Større eksempel: Beregn π via tilfældige tal

Vi kan udnytte formlerne for arealet af en cirkel og arealet af et kvadrat til at beregne $\pi$:

$$Arealet\ af\ en\ cirkel = \pi r^2$$

$$Arealet\ af\ et\ kvadrat = s^2$$

For at gøre det skal vi kigge på en cirkel indskrevet i et kvadrat, hvor cirklens radius er $r$:

Arealet af kvadratet kan nu beregnes ud fra radiusen:

$$Areal\ af\ kvadratet = s^2 = (2r)^2 = 4r^2$$

Lad os nu lege at vi er på en skydebane og skyder helt tilfældigt inde for kvadratet. Du forsøger ikke at ramme inde i eller uden for cirklen, men rammer bare helt tilfældigt over hele kvadratet:

Hvis du gør det i lang nok tid vil forholdet mellem antal skud der rammer ind i cirklen og antal skud uden for cirklen blive lig med forholdet mellem arealet af cirklen og arealet af kvadratet:

$$\frac{Skud\ i\ cirklen}{Skud\ i\ alt} = \frac{Arealet\ af\ cirklen}{Arealet\ af\ kvadratet}$$

Lad os prøve at indsætte formlerne ovenfor:

$$\frac{Skud\ i\ cirklen}{Skud\ i\ alt} = \frac{\pi*r^2}{4r^2} = \frac{\pi}{4}$$

Gang med 4:

$$\frac{4 * Skud\ i\ cirklen}{Skud\ i\ alt} = \frac{4\pi}{4} = \frac{\pi}{4}$$

Vi har nu en formel der kan bruges til at udregne $\pi$! Jo flere skud, jo bedre resultat!

Opgave 17

Nedenfor er et program der sætter tilfældige punkter inde i et kvadrat. Kopier programmet ind i KhanAcademy-editoren og tilføj en betingelse i draw-funktionen der afgører om et punkt er inde i en cirkel eller uden for en cirkel og tæller antal hits op.

Afgørelsen kan træffes ved at mål afstanden fra centrum til punktet og se om afstanden er mindre end cirklens radius. Brug afstandsformlen:

$$|AB| = \sqrt{(x_B - x_A)^2 + (y_B - y_A)^2}$$

Hvis man f.eks. vil finde afstanden mellem punkterne (1,2) og (5,3) er den $$|AB|=\sqrt{(5-1)^2+(3-2)^2}=\sqrt{16+1}=\sqrt{17}\approx4,123$$

Koden du skal rette:

// Radius
var r = 200;

// Tællere
var total = 0;
var hits = 0;

strokeWeight(3);
noFill();
ellipse(r,r,2*r,2*r);

draw = function() {
    // Vælg et tilfældigt punkt i kvadratet
    var x = random(0,2*r);
    var y = random(0,2*r);
    stroke(0,0,0);
    point(x,y);
    total = total + 1;

    // TILFØJ DIN KODE HER
    // if (inde i cirklen) {
    //    læg en til "hits"-variablen
    // }

    // Estimér pi ud fra antal hits i cirklen
    var pi_estimate = 4*(hits/total);

    // Opdater tekst-felt
    noStroke();
    fill(255, 255, 255);
    rect(0,0,200,30);
    fill(0, 0, 0);
    text("pi estimat: " + pi_estimate, 10, 20);
};