Københavns Universitet

Naturvidenskabelig embedseksamen, første del Matematik & Beregninger

Skriftlig prøveeksamen 19. oktober 2004

Sættet består af 3 opgaver, som vægtes ens. I tilfælde af fejl eller unøjagtigheder i opgaveteksten forventes det, at eksaminanderne selv præciserer besvarelsens forudsætninger. Alle sædvanlige hjælpemidler er tilladt. Opgavesættet besvares på separate ark, der udleveres af eksamenstilsynet. Besvarelsen kan formuleres på dansk eller engelsk eller en blanding heraf. Indskrivning med blyant er tilladt. Opgaveteksten kan deltagerne tage med sig.

Mathematics and Computation Test exam October 19, 2004

I define [f(x, y) ≐ if(x = 0, y, f(x − 1, y + y + 1))] [A ¨= Y′ λx.λy.x]

Exercise 1. Prove one of the following: [Mac lemma L04.0.1A: x ∈ N → ∀y∈N: f(x, y) ∈ N] [Mac antilemma L04.0.1B: x ∈ N → ∀y∈N: f(x, y) ∈ N]

Exercise 2. Prove one of the following: [Mac lemma L04.0.2A: x ∈ N → ∀y∈D: f(x, y) ∈ D] [Mac antilemma L04.0.2B: x ∈ N → ∀y∈D: f(x, y) ∈ D]

Exercise 3. Prove one of the following: [Mac lemma L04.0.3A: A′ 1′ 2′ 3′ 4′ 5 ≡ A] [Mac antilemma L04.0.3B: A′ 1′ 2′ 3′ 4′ 5 ≡ A]

The following rules may be used:

[ Mac rule TypeBNotD: x ∈ B ⊢ x ∈ D ≡ F ]
[ Mac rule TypeBNotX: x ∈ B ⊢ x ∈ X ≡ F ]
[ Mac rule TypeBNotE: x ∈ B ⊢ x ∈ E ≡ F ]
[ Mac rule TypeDNotB: x ∈ D ⊢ x ∈ B ≡ F ]
[ Mac rule TypeDNotX: x ∈ D ⊢ x ∈ X ≡ F ]
[ Mac rule TypeDNotE: x ∈ D ⊢ x ∈ E ≡ F ]
[ Mac rule TypeXNotB: x ∈ X ⊢ x ∈ B ≡ F ]
[ Mac rule TypeXNotD: x ∈ X ⊢ x ∈ D ≡ F ]
[ Mac rule TypeXNotE: x ∈ X ⊢ x ∈ E ≡ F ]
[ Mac rule TypeENotB: x ∈ E ⊢ x ∈ B ≡ F ]
[ Mac rule TypeENotD: x ∈ E ⊢ x ∈ D ≡ F ]
[ Mac rule TypeENotX: x ∈ E ⊢ x ∈ X ≡ F ]