\documentclass [fleqn,titlepage]{article}
\setlength {\overfullrule }{1mm}
\input{lgwinclude}

\usepackage{latexsym}

%\setlength{\parindent}{0em}
%\setlength{\parskip}{1ex}

% The font of each Logiweb construct is under tight control except that
% strings are typeset in whatever font is in effect at the time of
% typesetting. This is done to enhance the readability of strings in the
% TeX source generated by Logiweb. The default font for typesetting
% strings is \rm:
\everymath{\rm}

\usepackage{makeidx}
%\usepackage{page} - fjernet 3.5.06
%\makeindex        - fjernet 3.5.06
\newcommand{\intro}[1]{\emph{#1}}
\newcommand{\indexintro}[1]{\index{#1}\intro{#1}}
\newlength{\bracketwidth}
\settowidth{\bracketwidth}{$[{}$}
\newcommand{\back}{\protect\makebox[-1.0\bracketwidth]{}}

% tilfoejede pakker
\usepackage{lscape} 
\usepackage{multicol}
\usepackage{float}
\usepackage[latin1]{inputenc}
\usepackage[dvips]{graphicx} 
\usepackage{verbatim}
\usepackage[danish]{babel}
\usepackage{graphpap}

\usepackage[dvipdfm=true]{hyperref}
\hypersetup{pdfpagemode=none}
\hypersetup{pdfstartpage=1}
\hypersetup{pdfstartview=FitBH}
\hypersetup{pdfpagescrop={120 130 490 730}}
%\hypersetup{pdftitle=}
\hypersetup{colorlinks=false}
\bibliographystyle{plain}

% \tex{something} writes something to page.otx for later inclusion
\newwrite\outex
\newtoks\toktex
\immediate\openout\outex=page.otx
\newcommand{\tex}[1]{\toktex={\item #1}\immediate\write\outex{\the\toktex}}

% \test{something} writes something to page.tst for later inclusion
\newwrite\outest
\immediate\openout\outest=page.tst
\newcommand{\test}[1]{\toktex={\item #1}\immediate\write\outest{\the\toktex}}

% Concerning \catcode`\@=11 : See the TeXbook, Appendix B (page 344).
% \afterheading suppresses indentation once, c.f. latex.ltx.
% \display{something} displays something as a displayed equation except
% that linebreaking is possible and displaymath is not turned on by default.
% The first paragraph after \display{something} is unindented.
% Glue below formulas may be wrong. The definition of \display misses
% something like \addvspace{\belowdisplayskip}.
\catcode`\@=11
\def\afterheading{\@afterheading}
\catcode`\@=12
\newcommand{\display}[1]{\begin{list}{}{\setlength{\leftmargin}{\mathindent}}
\item #1\end{list}
\afterheading}
\newcommand{\statement}[1]{\begin{list}{}{\setlength{\leftmargin}{0mm}}
\item #1\end{list}
\afterheading}

\begin {document}

\floatplacement{figure}{h!}
\floatplacement{table}{h!}
\hyphenation{her-ud-over ek-si-stens-va-ri-ab-le an-dre dob-belt-im-pli-ka-ti-on ob-jekt-kvan-tor de-fi-ni-tions-lem-ma ens-be-tyd-en-de 
und-er-af-snit slut-ning-en inde-hol-der for-klar-ing-en si-de-be-ting-el-sen
des-uden be-vis-check-er-en}


\raggedright

SUPSUPSUPSUPSUPSUPSUPSUPSUPSUPSUPSUPSUPSUPSUP



$
[RemoveOr
\stackrel{
stmt
}{\rightarrow}SystemQ
\vdash 
\forall \underline{
\mathsf {a}}
\colon \dot{\neg}\,(\underline{
\mathsf {a}}
)n
\Rightarrow \underline{
\mathsf {a}}
\vdash \underline{
\mathsf {a}}
]$

$
[RemoveOr
\stackrel{
proof
}{\rightarrow}
\lambda 
\mathsf {c}
.
\lambda 
\mathsf{x}
.
{\cal P}( 
\lceil SystemQ
\vdash 
\forall \underline{
\mathsf {a}}
\colon \dot{\neg}\,(\underline{
\mathsf {a}}
)n
\Rightarrow \underline{
\mathsf {a}}
\vdash Repetition
\rhd \dot{\neg}\,(\underline{
\mathsf {a}}
)n
\Rightarrow \underline{
\mathsf {a}}
\gg \dot{\neg}\,(\underline{
\mathsf {a}}
)n
\Rightarrow \underline{
\mathsf {a}}
; AutoImply
\gg \underline{
\mathsf {a}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {a}}
; FromNegations
\rhd \underline{
\mathsf {a}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {a}}
\rhd \dot{\neg}\,(\underline{
\mathsf {a}}
)n
\Rightarrow \underline{
\mathsf {a}}
\gg \underline{
\mathsf {a}}
\rceil 
, 
p_0
, 
\mathsf {c}
)
]$

$
[leqTransitivity
\stackrel{
stmt
}{\rightarrow}SystemQ
\vdash 
\forall \underline{
\mathsf{x}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf{y}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf{z}}
\colon \underline{
\mathsf{x}}
 <= \underline{
\mathsf{y}}
\vdash \underline{
\mathsf{y}}
 <= \underline{
\mathsf{z}}
\vdash \underline{
\mathsf{x}}
 <= \underline{
\mathsf{z}}
]$

$
[leqTransitivity
\stackrel{
proof
}{\rightarrow}
\lambda 
\mathsf {c}
.
\lambda 
\mathsf{x}
.
{\cal P}( 
\lceil SystemQ
\vdash 
\forall \underline{
\mathsf{x}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf{y}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf{z}}
\colon \underline{
\mathsf{x}}
 <= \underline{
\mathsf{y}}
\vdash \underline{
\mathsf{y}}
 <= \underline{
\mathsf{z}}
\vdash leqTransitivityAxiom
\gg \underline{
\mathsf{x}}
 <= \underline{
\mathsf{y}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf{y}}
 <= \underline{
\mathsf{z}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf{x}}
 <= \underline{
\mathsf{z}}
; MP2
\rhd \underline{
\mathsf{x}}
 <= \underline{
\mathsf{y}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf{y}}
 <= \underline{
\mathsf{z}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf{x}}
 <= \underline{
\mathsf{z}}
\rhd \underline{
\mathsf{x}}
 <= \underline{
\mathsf{y}}
\rhd \underline{
\mathsf{y}}
 <= \underline{
\mathsf{z}}
\gg \underline{
\mathsf{x}}
 <= \underline{
\mathsf{z}}
\rceil 
, 
p_0
, 
\mathsf {c}
)
]$


$
[leqAntisymmetry
\stackrel{
stmt
}{\rightarrow}SystemQ
\vdash 
\forall \underline{
\mathsf{x}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf{y}}
\colon \underline{
\mathsf{x}}
 <= \underline{
\mathsf{y}}
\vdash \underline{
\mathsf{y}}
 <= \underline{
\mathsf{x}}
\vdash \underline{
\mathsf{x}}
 = \underline{
\mathsf{y}}
]$

$
[leqAntisymmetry
\stackrel{
proof
}{\rightarrow}
\lambda 
\mathsf {c}
.
\lambda 
\mathsf{x}
.
{\cal P}( 
\lceil SystemQ
\vdash 
\forall \underline{
\mathsf{x}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf{y}}
\colon \underline{
\mathsf{x}}
 <= \underline{
\mathsf{y}}
\vdash \underline{
\mathsf{y}}
 <= \underline{
\mathsf{x}}
\vdash leqAntisymmetryAxiom
\gg \underline{
\mathsf{x}}
 <= \underline{
\mathsf{y}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf{y}}
 <= \underline{
\mathsf{x}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf{x}}
 = \underline{
\mathsf{y}}
; MP2
\rhd \underline{
\mathsf{x}}
 <= \underline{
\mathsf{y}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf{y}}
 <= \underline{
\mathsf{x}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf{x}}
 = \underline{
\mathsf{y}}
\rhd \underline{
\mathsf{x}}
 <= \underline{
\mathsf{y}}
\rhd \underline{
\mathsf{y}}
 <= \underline{
\mathsf{x}}
\gg \underline{
\mathsf{x}}
 = \underline{
\mathsf{y}}
\rceil 
, 
p_0
, 
\mathsf {c}
)
]$

$
[leqAddition
\stackrel{
stmt
}{\rightarrow}SystemQ
\vdash 
\forall \underline{
\mathsf{x}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf{y}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf{z}}
\colon \underline{
\mathsf{x}}
 <= \underline{
\mathsf{y}}
\vdash (\underline{
\mathsf{x}}
+\underline{
\mathsf{z}}
)
 <= (\underline{
\mathsf{y}}
+\underline{
\mathsf{z}}
)
]$

$
[leqAddition
\stackrel{
proof
}{\rightarrow}
\lambda 
\mathsf {c}
.
\lambda 
\mathsf{x}
.
{\cal P}( 
\lceil SystemQ
\vdash 
\forall \underline{
\mathsf{x}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf{y}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf{z}}
\colon \underline{
\mathsf{x}}
 <= \underline{
\mathsf{y}}
\vdash leqAdditionAxiom
\gg \underline{
\mathsf{x}}
 <= \underline{
\mathsf{y}}
\Rightarrow (\underline{
\mathsf{x}}
+\underline{
\mathsf{z}}
)
 <= (\underline{
\mathsf{y}}
+\underline{
\mathsf{z}}
)
; MP
\rhd \underline{
\mathsf{x}}
 <= \underline{
\mathsf{y}}
\Rightarrow (\underline{
\mathsf{x}}
+\underline{
\mathsf{z}}
)
 <= (\underline{
\mathsf{y}}
+\underline{
\mathsf{z}}
)
\rhd \underline{
\mathsf{x}}
 <= \underline{
\mathsf{y}}
\gg (\underline{
\mathsf{x}}
+\underline{
\mathsf{z}}
)
 <= (\underline{
\mathsf{y}}
+\underline{
\mathsf{z}}
)
\rceil 
, 
p_0
, 
\mathsf {c}
)
]$

$
[leqMultiplication
\stackrel{
stmt
}{\rightarrow}SystemQ
\vdash 
\forall \underline{
\mathsf{x}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf{y}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf{z}}
\colon 0
 <= \underline{
\mathsf{z}}
\vdash \underline{
\mathsf{x}}
 <= \underline{
\mathsf{y}}
\vdash (\underline{
\mathsf{x}}
*\underline{
\mathsf{z}}
)
 <= (\underline{
\mathsf{y}}
*\underline{
\mathsf{z}}
)
]$

$
[leqMultiplication
\stackrel{
proof
}{\rightarrow}
\lambda 
\mathsf {c}
.
\lambda 
\mathsf{x}
.
{\cal P}( 
\lceil SystemQ
\vdash 
\forall \underline{
\mathsf{x}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf{y}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf{z}}
\colon 0
 <= \underline{
\mathsf{z}}
\vdash \underline{
\mathsf{x}}
 <= \underline{
\mathsf{y}}
\vdash leqMultiplicationAxiom
\gg 0
 <= \underline{
\mathsf{z}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf{x}}
 <= \underline{
\mathsf{y}}
\Rightarrow (\underline{
\mathsf{x}}
*\underline{
\mathsf{z}}
)
 <= (\underline{
\mathsf{y}}
*\underline{
\mathsf{z}}
)
; MP2
\rhd 0
 <= \underline{
\mathsf{z}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf{x}}
 <= \underline{
\mathsf{y}}
\Rightarrow (\underline{
\mathsf{x}}
*\underline{
\mathsf{z}}
)
 <= (\underline{
\mathsf{y}}
*\underline{
\mathsf{z}}
)
\rhd 0
 <= \underline{
\mathsf{z}}
\rhd \underline{
\mathsf{x}}
 <= \underline{
\mathsf{y}}
\gg (\underline{
\mathsf{x}}
*\underline{
\mathsf{z}}
)
 <= (\underline{
\mathsf{y}}
*\underline{
\mathsf{z}}
)
\rceil 
, 
p_0
, 
\mathsf {c}
)
]$



$
[Reciprocal
\stackrel{
stmt
}{\rightarrow}SystemQ
\vdash 
\forall \underline{
\mathsf{x}}
\colon \dot{\neg}\,(\underline{
\mathsf{x}}
 = 0
)n
\vdash (\underline{
\mathsf{x}}
*rec\underline{
\mathsf{x}}
)
 = 1
]$

$
[Reciprocal
\stackrel{
proof
}{\rightarrow}
\lambda 
\mathsf {c}
.
\lambda 
\mathsf{x}
.
{\cal P}( 
\lceil SystemQ
\vdash 
\forall \underline{
\mathsf{x}}
\colon \dot{\neg}\,(\underline{
\mathsf{x}}
 = 0
)n
\vdash ReciprocalAxiom
\gg \dot{\neg}\,(\underline{
\mathsf{x}}
 = 0
)n
\Rightarrow (\underline{
\mathsf{x}}
*rec\underline{
\mathsf{x}}
)
 = 1
; MP
\rhd \dot{\neg}\,(\underline{
\mathsf{x}}
 = 0
)n
\Rightarrow (\underline{
\mathsf{x}}
*rec\underline{
\mathsf{x}}
)
 = 1
\rhd \dot{\neg}\,(\underline{
\mathsf{x}}
 = 0
)n
\gg (\underline{
\mathsf{x}}
*rec\underline{
\mathsf{x}}
)
 = 1
\rceil 
, 
p_0
, 
\mathsf {c}
)
]$


$
[eqLeq
\stackrel{
stmt
}{\rightarrow}SystemQ
\vdash 
\forall \underline{
\mathsf{x}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf{y}}
\colon \underline{
\mathsf{x}}
 = \underline{
\mathsf{y}}
\vdash \underline{
\mathsf{x}}
 <= \underline{
\mathsf{y}}
]$

$
[eqLeq
\stackrel{
proof
}{\rightarrow}
\lambda 
\mathsf {c}
.
\lambda 
\mathsf{x}
.
{\cal P}( 
\lceil SystemQ
\vdash 
\forall \underline{
\mathsf{x}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf{y}}
\colon \underline{
\mathsf{x}}
 = \underline{
\mathsf{y}}
\vdash EqLeqAxiom
\gg \underline{
\mathsf{x}}
 = \underline{
\mathsf{y}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf{x}}
 <= \underline{
\mathsf{y}}
; MP
\rhd \underline{
\mathsf{x}}
 = \underline{
\mathsf{y}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf{x}}
 <= \underline{
\mathsf{y}}
\rhd \underline{
\mathsf{x}}
 = \underline{
\mathsf{y}}
\gg \underline{
\mathsf{x}}
 <= \underline{
\mathsf{y}}
\rceil 
, 
p_0
, 
\mathsf {c}
)
]$

$
[eqAddition
\stackrel{
stmt
}{\rightarrow}SystemQ
\vdash 
\forall \underline{
\mathsf{x}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf{y}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf{z}}
\colon \underline{
\mathsf{x}}
 = \underline{
\mathsf{y}}
\vdash (\underline{
\mathsf{x}}
+\underline{
\mathsf{z}}
)
 = (\underline{
\mathsf{y}}
+\underline{
\mathsf{z}}
)
]$

$
[eqAddition
\stackrel{
proof
}{\rightarrow}
\lambda 
\mathsf {c}
.
\lambda 
\mathsf{x}
.
{\cal P}( 
\lceil SystemQ
\vdash 
\forall \underline{
\mathsf{x}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf{y}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf{z}}
\colon \underline{
\mathsf{x}}
 = \underline{
\mathsf{y}}
\vdash EqAdditionAxiom
\gg \underline{
\mathsf{x}}
 = \underline{
\mathsf{y}}
\Rightarrow (\underline{
\mathsf{x}}
+\underline{
\mathsf{z}}
)
 = (\underline{
\mathsf{y}}
+\underline{
\mathsf{z}}
)
; MP
\rhd \underline{
\mathsf{x}}
 = \underline{
\mathsf{y}}
\Rightarrow (\underline{
\mathsf{x}}
+\underline{
\mathsf{z}}
)
 = (\underline{
\mathsf{y}}
+\underline{
\mathsf{z}}
)
\rhd \underline{
\mathsf{x}}
 = \underline{
\mathsf{y}}
\gg (\underline{
\mathsf{x}}
+\underline{
\mathsf{z}}
)
 = (\underline{
\mathsf{y}}
+\underline{
\mathsf{z}}
)
\rceil 
, 
p_0
, 
\mathsf {c}
)
]$

$
[eqMultiplication
\stackrel{
stmt
}{\rightarrow}SystemQ
\vdash 
\forall \underline{
\mathsf{x}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf{y}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf{z}}
\colon \underline{
\mathsf{x}}
 = \underline{
\mathsf{y}}
\vdash (\underline{
\mathsf{x}}
*\underline{
\mathsf{z}}
)
 = (\underline{
\mathsf{y}}
*\underline{
\mathsf{z}}
)
]$

$
[eqMultiplication
\stackrel{
proof
}{\rightarrow}
\lambda 
\mathsf {c}
.
\lambda 
\mathsf{x}
.
{\cal P}( 
\lceil SystemQ
\vdash 
\forall \underline{
\mathsf{x}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf{y}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf{z}}
\colon \underline{
\mathsf{x}}
 = \underline{
\mathsf{y}}
\vdash EqMultiplicationAxiom
\gg \underline{
\mathsf{x}}
 = \underline{
\mathsf{y}}
\Rightarrow (\underline{
\mathsf{x}}
*\underline{
\mathsf{z}}
)
 = (\underline{
\mathsf{y}}
*\underline{
\mathsf{z}}
)
; MP
\rhd \underline{
\mathsf{x}}
 = \underline{
\mathsf{y}}
\Rightarrow (\underline{
\mathsf{x}}
*\underline{
\mathsf{z}}
)
 = (\underline{
\mathsf{y}}
*\underline{
\mathsf{z}}
)
\rhd \underline{
\mathsf{x}}
 = \underline{
\mathsf{y}}
\gg (\underline{
\mathsf{x}}
*\underline{
\mathsf{z}}
)
 = (\underline{
\mathsf{y}}
*\underline{
\mathsf{z}}
)
\rceil 
, 
p_0
, 
\mathsf {c}
)
]$


$
[Equality
\stackrel{
stmt
}{\rightarrow}SystemQ
\vdash 
\forall \underline{
\mathsf{x}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf{y}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf{z}}
\colon \underline{
\mathsf{x}}
 = \underline{
\mathsf{y}}
\vdash \underline{
\mathsf{x}}
 = \underline{
\mathsf{z}}
\vdash \underline{
\mathsf{y}}
 = \underline{
\mathsf{z}}
]$

$
[Equality
\stackrel{
proof
}{\rightarrow}
\lambda 
\mathsf {c}
.
\lambda 
\mathsf{x}
.
{\cal P}( 
\lceil SystemQ
\vdash 
\forall \underline{
\mathsf{x}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf{y}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf{z}}
\colon \underline{
\mathsf{x}}
 = \underline{
\mathsf{y}}
\vdash \underline{
\mathsf{x}}
 = \underline{
\mathsf{z}}
\vdash EqualityAxiom
\gg \underline{
\mathsf{x}}
 = \underline{
\mathsf{y}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf{x}}
 = \underline{
\mathsf{z}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf{y}}
 = \underline{
\mathsf{z}}
; MP2
\rhd \underline{
\mathsf{x}}
 = \underline{
\mathsf{y}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf{x}}
 = \underline{
\mathsf{z}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf{y}}
 = \underline{
\mathsf{z}}
\rhd \underline{
\mathsf{x}}
 = \underline{
\mathsf{y}}
\rhd \underline{
\mathsf{x}}
 = \underline{
\mathsf{z}}
\gg \underline{
\mathsf{y}}
 = \underline{
\mathsf{z}}
\rceil 
, 
p_0
, 
\mathsf {c}
)
]$

$
[eqReflexivity
\stackrel{
stmt
}{\rightarrow}SystemQ
\vdash 
\forall \underline{
\mathsf{x}}
\colon \underline{
\mathsf{x}}
 = \underline{
\mathsf{x}}
]$

$
[eqReflexivity
\stackrel{
proof
}{\rightarrow}
\lambda 
\mathsf {c}
.
\lambda 
\mathsf{x}
.
{\cal P}( 
\lceil SystemQ
\vdash 
\forall \underline{
\mathsf{x}}
\colon leqReflexivity
\gg \underline{
\mathsf{x}}
 <= \underline{
\mathsf{x}}
; leqAntisymmetry
\rhd \underline{
\mathsf{x}}
 <= \underline{
\mathsf{x}}
\rhd \underline{
\mathsf{x}}
 <= \underline{
\mathsf{x}}
\gg \underline{
\mathsf{x}}
 = \underline{
\mathsf{x}}
\rceil 
, 
p_0
, 
\mathsf {c}
)
]$

$
[eqSymmetry
\stackrel{
stmt
}{\rightarrow}SystemQ
\vdash 
\forall \underline{
\mathsf{x}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf{y}}
\colon \underline{
\mathsf{x}}
 = \underline{
\mathsf{y}}
\vdash \underline{
\mathsf{y}}
 = \underline{
\mathsf{x}}
]$

$
[eqSymmetry
\stackrel{
proof
}{\rightarrow}
\lambda 
\mathsf {c}
.
\lambda 
\mathsf{x}
.
{\cal P}( 
\lceil SystemQ
\vdash 
\forall \underline{
\mathsf{x}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf{y}}
\colon \underline{
\mathsf{x}}
 = \underline{
\mathsf{y}}
\vdash eqReflexivity
\gg \underline{
\mathsf{x}}
 = \underline{
\mathsf{x}}
; Equality
\rhd \underline{
\mathsf{x}}
 = \underline{
\mathsf{y}}
\rhd \underline{
\mathsf{x}}
 = \underline{
\mathsf{x}}
\gg \underline{
\mathsf{y}}
 = \underline{
\mathsf{x}}
\rceil 
, 
p_0
, 
\mathsf {c}
)
]$

$
[eqTransitivity
\stackrel{
stmt
}{\rightarrow}SystemQ
\vdash 
\forall \underline{
\mathsf{x}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf{y}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf{z}}
\colon \underline{
\mathsf{x}}
 = \underline{
\mathsf{y}}
\vdash \underline{
\mathsf{y}}
 = \underline{
\mathsf{z}}
\vdash \underline{
\mathsf{x}}
 = \underline{
\mathsf{z}}
]$

$
[eqTransitivity
\stackrel{
proof
}{\rightarrow}
\lambda 
\mathsf {c}
.
\lambda 
\mathsf{x}
.
{\cal P}( 
\lceil SystemQ
\vdash 
\forall \underline{
\mathsf{x}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf{y}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf{z}}
\colon \underline{
\mathsf{x}}
 = \underline{
\mathsf{y}}
\vdash \underline{
\mathsf{y}}
 = \underline{
\mathsf{z}}
\vdash eqSymmetry
\rhd \underline{
\mathsf{x}}
 = \underline{
\mathsf{y}}
\gg \underline{
\mathsf{y}}
 = \underline{
\mathsf{x}}
; Equality
\rhd \underline{
\mathsf{y}}
 = \underline{
\mathsf{x}}
\rhd \underline{
\mathsf{y}}
 = \underline{
\mathsf{z}}
\gg \underline{
\mathsf{x}}
 = \underline{
\mathsf{z}}
\rceil 
, 
p_0
, 
\mathsf {c}
)
]$

$
[eqTransitivity4
\stackrel{
stmt
}{\rightarrow}SystemQ
\vdash 
\forall \underline{
\mathsf{x}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf{y}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf{z}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf {u}}
\colon \underline{
\mathsf{x}}
 = \underline{
\mathsf{y}}
\vdash \underline{
\mathsf{y}}
 = \underline{
\mathsf{z}}
\vdash \underline{
\mathsf{z}}
 = \underline{
\mathsf {u}}
\vdash \underline{
\mathsf{x}}
 = \underline{
\mathsf {u}}
]$

$
[eqTransitivity4
\stackrel{
proof
}{\rightarrow}
\lambda 
\mathsf {c}
.
\lambda 
\mathsf{x}
.
{\cal P}( 
\lceil SystemQ
\vdash 
\forall \underline{
\mathsf{x}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf{y}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf{z}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf {u}}
\colon \underline{
\mathsf{x}}
 = \underline{
\mathsf{y}}
\vdash \underline{
\mathsf{y}}
 = \underline{
\mathsf{z}}
\vdash \underline{
\mathsf{z}}
 = \underline{
\mathsf {u}}
\vdash eqTransitivity
\rhd \underline{
\mathsf{x}}
 = \underline{
\mathsf{y}}
\rhd \underline{
\mathsf{y}}
 = \underline{
\mathsf{z}}
\gg \underline{
\mathsf{x}}
 = \underline{
\mathsf{z}}
; eqTransitivity
\rhd \underline{
\mathsf{x}}
 = \underline{
\mathsf{z}}
\rhd \underline{
\mathsf{z}}
 = \underline{
\mathsf {u}}
\gg \underline{
\mathsf{x}}
 = \underline{
\mathsf {u}}
\rceil 
, 
p_0
, 
\mathsf {c}
)
]$


$
[eqTransitivity5
\stackrel{
stmt
}{\rightarrow}SystemQ
\vdash 
\forall \underline{
\mathsf{x}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf{y}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf{z}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf {u}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf {v}}
\colon \underline{
\mathsf{x}}
 = \underline{
\mathsf{y}}
\vdash \underline{
\mathsf{y}}
 = \underline{
\mathsf{z}}
\vdash \underline{
\mathsf{z}}
 = \underline{
\mathsf {u}}
\vdash \underline{
\mathsf {u}}
 = \underline{
\mathsf {v}}
\vdash \underline{
\mathsf{x}}
 = \underline{
\mathsf {v}}
]$

$
[eqTransitivity5
\stackrel{
proof
}{\rightarrow}
\lambda 
\mathsf {c}
.
\lambda 
\mathsf{x}
.
{\cal P}( 
\lceil SystemQ
\vdash 
\forall \underline{
\mathsf{x}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf{y}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf{z}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf {u}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf {v}}
\colon \underline{
\mathsf{x}}
 = \underline{
\mathsf{y}}
\vdash \underline{
\mathsf{y}}
 = \underline{
\mathsf{z}}
\vdash \underline{
\mathsf{z}}
 = \underline{
\mathsf {u}}
\vdash \underline{
\mathsf {u}}
 = \underline{
\mathsf {v}}
\vdash eqTransitivity4
\rhd \underline{
\mathsf{x}}
 = \underline{
\mathsf{y}}
\rhd \underline{
\mathsf{y}}
 = \underline{
\mathsf{z}}
\rhd \underline{
\mathsf{z}}
 = \underline{
\mathsf {u}}
\gg \underline{
\mathsf{x}}
 = \underline{
\mathsf {u}}
; eqTransitivity
\rhd \underline{
\mathsf{x}}
 = \underline{
\mathsf {u}}
\rhd \underline{
\mathsf {u}}
 = \underline{
\mathsf {v}}
\gg \underline{
\mathsf{x}}
 = \underline{
\mathsf {v}}
\rceil 
, 
p_0
, 
\mathsf {c}
)
]$

$
[eqTransitivity6
\stackrel{
stmt
}{\rightarrow}SystemQ
\vdash 
\forall \underline{
\mathsf{x}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf{y}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf{z}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf {u}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf {v}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf {w}}
\colon \underline{
\mathsf{x}}
 = \underline{
\mathsf{y}}
\vdash \underline{
\mathsf{y}}
 = \underline{
\mathsf{z}}
\vdash \underline{
\mathsf{z}}
 = \underline{
\mathsf {u}}
\vdash \underline{
\mathsf {u}}
 = \underline{
\mathsf {v}}
\vdash \underline{
\mathsf {v}}
 = \underline{
\mathsf {w}}
\vdash \underline{
\mathsf{x}}
 = \underline{
\mathsf {w}}
]$

$
[eqTransitivity6
\stackrel{
proof
}{\rightarrow}
\lambda 
\mathsf {c}
.
\lambda 
\mathsf{x}
.
{\cal P}( 
\lceil SystemQ
\vdash 
\forall \underline{
\mathsf{x}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf{y}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf{z}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf {u}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf {v}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf {w}}
\colon \underline{
\mathsf{x}}
 = \underline{
\mathsf{y}}
\vdash \underline{
\mathsf{y}}
 = \underline{
\mathsf{z}}
\vdash \underline{
\mathsf{z}}
 = \underline{
\mathsf {u}}
\vdash \underline{
\mathsf {u}}
 = \underline{
\mathsf {v}}
\vdash \underline{
\mathsf {v}}
 = \underline{
\mathsf {w}}
\vdash eqTransitivity5
\rhd \underline{
\mathsf{x}}
 = \underline{
\mathsf{y}}
\rhd \underline{
\mathsf{y}}
 = \underline{
\mathsf{z}}
\rhd \underline{
\mathsf{z}}
 = \underline{
\mathsf {u}}
\rhd \underline{
\mathsf {u}}
 = \underline{
\mathsf {v}}
\gg \underline{
\mathsf{x}}
 = \underline{
\mathsf {v}}
; eqTransitivity
\rhd \underline{
\mathsf{x}}
 = \underline{
\mathsf {v}}
\rhd \underline{
\mathsf {v}}
 = \underline{
\mathsf {w}}
\gg \underline{
\mathsf{x}}
 = \underline{
\mathsf {w}}
\rceil 
, 
p_0
, 
\mathsf {c}
)
]$



$
[Induction
\stackrel{
stmt
}{\rightarrow}SystemQ
\vdash 
\forall \underline{(v1)}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf {a}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf {b}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf {c}}
\colon \langle \underline{
\mathsf {b}}
{\equiv} \underline{
\mathsf {a}}
| \underline{(v1)}
{:==} 0
\rangle_{Me}
\mathrel {\makebox [0mm][l]{$\vdash $}\,{\vdash }} \langle \underline{
\mathsf {c}}
{\equiv} \underline{
\mathsf {a}}
| \underline{(v1)}
{:==} (\underline{(v1)}
+1
)
\rangle_{Me}
\mathrel {\makebox [0mm][l]{$\vdash $}\,{\vdash }} \underline{
\mathsf {b}}
\vdash \underline{
\mathsf {a}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {c}}
\vdash \underline{
\mathsf {a}}
]$

$
[Induction
\stackrel{
proof
}{\rightarrow}
\lambda 
\mathsf {c}
.
\lambda 
\mathsf{x}
.
{\cal P}( 
\lceil SystemQ
\vdash 
\forall \underline{(v1)}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf {a}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf {b}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf {c}}
\colon \langle \underline{
\mathsf {b}}
{\equiv} \underline{
\mathsf {a}}
| \underline{(v1)}
{:==} 0
\rangle_{Me}
\mathrel {\makebox [0mm][l]{$\vdash $}\,{\vdash }} \langle \underline{
\mathsf {c}}
{\equiv} \underline{
\mathsf {a}}
| \underline{(v1)}
{:==} (\underline{(v1)}
+1
)
\rangle_{Me}
\mathrel {\makebox [0mm][l]{$\vdash $}\,{\vdash }} \underline{
\mathsf {b}}
\vdash \underline{
\mathsf {a}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {c}}
\vdash Gen
\rhd \underline{
\mathsf {a}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {c}}
\gg 
\forall_{obj} \underline{(v1)}
\colon \underline{
\mathsf {a}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {c}}
; InductionAxiom
\mathrel {\makebox [0mm][l]{$\rhd $}\,{\rhd }} \langle \underline{
\mathsf {b}}
{\equiv} \underline{
\mathsf {a}}
| \underline{(v1)}
{:==} 0
\rangle_{Me}
\mathrel {\makebox [0mm][l]{$\rhd $}\,{\rhd }} \langle \underline{
\mathsf {c}}
{\equiv} \underline{
\mathsf {a}}
| \underline{(v1)}
{:==} (\underline{(v1)}
+1
)
\rangle_{Me}
\gg \underline{
\mathsf {b}}
\Rightarrow 
\forall_{obj} \underline{(v1)}
\colon \underline{
\mathsf {a}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {c}}
\Rightarrow 
\forall_{obj} \underline{(v1)}
\colon \underline{
\mathsf {a}}
; MP2
\rhd \underline{
\mathsf {b}}
\Rightarrow 
\forall_{obj} \underline{(v1)}
\colon \underline{
\mathsf {a}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {c}}
\Rightarrow 
\forall_{obj} \underline{(v1)}
\colon \underline{
\mathsf {a}}
\rhd \underline{
\mathsf {b}}
\rhd 
\forall_{obj} \underline{(v1)}
\colon \underline{
\mathsf {a}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {c}}
\gg 
\forall_{obj} \underline{(v1)}
\colon \underline{
\mathsf {a}}
; A4
\mathop {\char64} \underline{(v1)}
\rhd 
\forall_{obj} \underline{(v1)}
\colon \underline{
\mathsf {a}}
\gg \underline{
\mathsf {a}}
\rceil 
, 
p_0
, 
\mathsf {c}
)
]$

$
[ToSeries
\stackrel{
stmt
}{\rightarrow}SystemQ
\vdash 
\forall \underline{(fx)}
\colon 
\forall \underline{(sy)}
\colon 
\forall_{obj} \overline{(r1)}
\colon \overline{(r1)}
 \mathrel{\in} \underline{(fx)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op1)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op2)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\overline{(op1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(op2)}
 \mathrel{\in} \underline{(sy)}
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(r1)}
 = \{\{\overline{(op1)}
,\overline{(op1)}
\}
,\{\overline{(op1)}
,\overline{(op2)}
\}
\}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\vdash 
\forall_{obj} \overline{(f1)}
\colon 
\forall_{obj} \overline{(f2)}
\colon 
\forall_{obj} \overline{(f3)}
\colon 
\forall_{obj} \overline{(f4)}
\colon \{\{\overline{(f1)}
,\overline{(f1)}
\}
,\{\overline{(f1)}
,\overline{(f2)}
\}
\}
 \mathrel{\in} \underline{(fx)}
\Rightarrow \{\{\overline{(f3)}
,\overline{(f3)}
\}
,\{\overline{(f3)}
,\overline{(f4)}
\}
\}
 \mathrel{\in} \underline{(fx)}
\Rightarrow \overline{(f1)}
 = \overline{(f3)}
\Rightarrow \overline{(f2)}
 = \overline{(f4)}
\vdash 
\forall_{obj} \overline{(s1)}
\colon \overline{(s1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(s2)}
\colon \dot{\neg}\,(\{\{\overline{(s1)}
,\overline{(s1)}
\}
,\{\overline{(s1)}
,\overline{(s2)}
\}
\}
 \mathrel{\in} \underline{(fx)}
)n
)n
\vdash \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(r1)}
\colon \overline{(r1)}
 \mathrel{\in} \underline{(fx)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op1)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op2)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\overline{(op1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(op2)}
 \mathrel{\in} \underline{(sy)}
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(r1)}
 = \{\{\overline{(op1)}
,\overline{(op1)}
\}
,\{\overline{(op1)}
,\overline{(op2)}
\}
\}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(f1)}
\colon 
\forall_{obj} \overline{(f2)}
\colon 
\forall_{obj} \overline{(f3)}
\colon 
\forall_{obj} \overline{(f4)}
\colon \{\{\overline{(f1)}
,\overline{(f1)}
\}
,\{\overline{(f1)}
,\overline{(f2)}
\}
\}
 \mathrel{\in} \underline{(fx)}
\Rightarrow \{\{\overline{(f3)}
,\overline{(f3)}
\}
,\{\overline{(f3)}
,\overline{(f4)}
\}
\}
 \mathrel{\in} \underline{(fx)}
\Rightarrow \overline{(f1)}
 = \overline{(f3)}
\Rightarrow \overline{(f2)}
 = \overline{(f4)}
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(s1)}
\colon \overline{(s1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(s2)}
\colon \dot{\neg}\,(\{\{\overline{(s1)}
,\overline{(s1)}
\}
,\{\overline{(s1)}
,\overline{(s2)}
\}
\}
 \mathrel{\in} \underline{(fx)}
)n
)n
)n
)n
]$

$
[ToSeries
\stackrel{
proof
}{\rightarrow}
\lambda 
\mathsf {c}
.
\lambda 
\mathsf{x}
.
{\cal P}( 
\lceil SystemQ
\vdash 
\forall \underline{(fx)}
\colon 
\forall \underline{(sy)}
\colon 
\forall_{obj} \overline{(r1)}
\colon \overline{(r1)}
 \mathrel{\in} \underline{(fx)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op1)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op2)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\overline{(op1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(op2)}
 \mathrel{\in} \underline{(sy)}
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(r1)}
 = \{\{\overline{(op1)}
,\overline{(op1)}
\}
,\{\overline{(op1)}
,\overline{(op2)}
\}
\}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\vdash 
\forall_{obj} \overline{(f1)}
\colon 
\forall_{obj} \overline{(f2)}
\colon 
\forall_{obj} \overline{(f3)}
\colon 
\forall_{obj} \overline{(f4)}
\colon \{\{\overline{(f1)}
,\overline{(f1)}
\}
,\{\overline{(f1)}
,\overline{(f2)}
\}
\}
 \mathrel{\in} \underline{(fx)}
\Rightarrow \{\{\overline{(f3)}
,\overline{(f3)}
\}
,\{\overline{(f3)}
,\overline{(f4)}
\}
\}
 \mathrel{\in} \underline{(fx)}
\Rightarrow \overline{(f1)}
 = \overline{(f3)}
\Rightarrow \overline{(f2)}
 = \overline{(f4)}
\vdash 
\forall_{obj} \overline{(s1)}
\colon \overline{(s1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(s2)}
\colon \dot{\neg}\,(\{\{\overline{(s1)}
,\overline{(s1)}
\}
,\{\overline{(s1)}
,\overline{(s2)}
\}
\}
 \mathrel{\in} \underline{(fx)}
)n
)n
\vdash Repetition
\rhd 
\forall_{obj} \overline{(r1)}
\colon \overline{(r1)}
 \mathrel{\in} \underline{(fx)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op1)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op2)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\overline{(op1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(op2)}
 \mathrel{\in} \underline{(sy)}
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(r1)}
 = \{\{\overline{(op1)}
,\overline{(op1)}
\}
,\{\overline{(op1)}
,\overline{(op2)}
\}
\}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\gg 
\forall_{obj} \overline{(r1)}
\colon \overline{(r1)}
 \mathrel{\in} \underline{(fx)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op1)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op2)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\overline{(op1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(op2)}
 \mathrel{\in} \underline{(sy)}
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(r1)}
 = \{\{\overline{(op1)}
,\overline{(op1)}
\}
,\{\overline{(op1)}
,\overline{(op2)}
\}
\}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
; JoinConjuncts
\rhd 
\forall_{obj} \overline{(r1)}
\colon \overline{(r1)}
 \mathrel{\in} \underline{(fx)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op1)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op2)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\overline{(op1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(op2)}
 \mathrel{\in} \underline{(sy)}
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(r1)}
 = \{\{\overline{(op1)}
,\overline{(op1)}
\}
,\{\overline{(op1)}
,\overline{(op2)}
\}
\}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\rhd 
\forall_{obj} \overline{(f1)}
\colon 
\forall_{obj} \overline{(f2)}
\colon 
\forall_{obj} \overline{(f3)}
\colon 
\forall_{obj} \overline{(f4)}
\colon \{\{\overline{(f1)}
,\overline{(f1)}
\}
,\{\overline{(f1)}
,\overline{(f2)}
\}
\}
 \mathrel{\in} \underline{(fx)}
\Rightarrow \{\{\overline{(f3)}
,\overline{(f3)}
\}
,\{\overline{(f3)}
,\overline{(f4)}
\}
\}
 \mathrel{\in} \underline{(fx)}
\Rightarrow \overline{(f1)}
 = \overline{(f3)}
\Rightarrow \overline{(f2)}
 = \overline{(f4)}
\gg \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(r1)}
\colon \overline{(r1)}
 \mathrel{\in} \underline{(fx)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op1)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op2)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\overline{(op1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(op2)}
 \mathrel{\in} \underline{(sy)}
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(r1)}
 = \{\{\overline{(op1)}
,\overline{(op1)}
\}
,\{\overline{(op1)}
,\overline{(op2)}
\}
\}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(f1)}
\colon 
\forall_{obj} \overline{(f2)}
\colon 
\forall_{obj} \overline{(f3)}
\colon 
\forall_{obj} \overline{(f4)}
\colon \{\{\overline{(f1)}
,\overline{(f1)}
\}
,\{\overline{(f1)}
,\overline{(f2)}
\}
\}
 \mathrel{\in} \underline{(fx)}
\Rightarrow \{\{\overline{(f3)}
,\overline{(f3)}
\}
,\{\overline{(f3)}
,\overline{(f4)}
\}
\}
 \mathrel{\in} \underline{(fx)}
\Rightarrow \overline{(f1)}
 = \overline{(f3)}
\Rightarrow \overline{(f2)}
 = \overline{(f4)}
)n
)n
; Repetition
\rhd \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(r1)}
\colon \overline{(r1)}
 \mathrel{\in} \underline{(fx)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op1)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op2)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\overline{(op1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(op2)}
 \mathrel{\in} \underline{(sy)}
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(r1)}
 = \{\{\overline{(op1)}
,\overline{(op1)}
\}
,\{\overline{(op1)}
,\overline{(op2)}
\}
\}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(f1)}
\colon 
\forall_{obj} \overline{(f2)}
\colon 
\forall_{obj} \overline{(f3)}
\colon 
\forall_{obj} \overline{(f4)}
\colon \{\{\overline{(f1)}
,\overline{(f1)}
\}
,\{\overline{(f1)}
,\overline{(f2)}
\}
\}
 \mathrel{\in} \underline{(fx)}
\Rightarrow \{\{\overline{(f3)}
,\overline{(f3)}
\}
,\{\overline{(f3)}
,\overline{(f4)}
\}
\}
 \mathrel{\in} \underline{(fx)}
\Rightarrow \overline{(f1)}
 = \overline{(f3)}
\Rightarrow \overline{(f2)}
 = \overline{(f4)}
)n
)n
\gg \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(r1)}
\colon \overline{(r1)}
 \mathrel{\in} \underline{(fx)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op1)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op2)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\overline{(op1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(op2)}
 \mathrel{\in} \underline{(sy)}
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(r1)}
 = \{\{\overline{(op1)}
,\overline{(op1)}
\}
,\{\overline{(op1)}
,\overline{(op2)}
\}
\}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(f1)}
\colon 
\forall_{obj} \overline{(f2)}
\colon 
\forall_{obj} \overline{(f3)}
\colon 
\forall_{obj} \overline{(f4)}
\colon \{\{\overline{(f1)}
,\overline{(f1)}
\}
,\{\overline{(f1)}
,\overline{(f2)}
\}
\}
 \mathrel{\in} \underline{(fx)}
\Rightarrow \{\{\overline{(f3)}
,\overline{(f3)}
\}
,\{\overline{(f3)}
,\overline{(f4)}
\}
\}
 \mathrel{\in} \underline{(fx)}
\Rightarrow \overline{(f1)}
 = \overline{(f3)}
\Rightarrow \overline{(f2)}
 = \overline{(f4)}
)n
)n
; JoinConjuncts
\rhd \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(r1)}
\colon \overline{(r1)}
 \mathrel{\in} \underline{(fx)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op1)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op2)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\overline{(op1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(op2)}
 \mathrel{\in} \underline{(sy)}
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(r1)}
 = \{\{\overline{(op1)}
,\overline{(op1)}
\}
,\{\overline{(op1)}
,\overline{(op2)}
\}
\}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(f1)}
\colon 
\forall_{obj} \overline{(f2)}
\colon 
\forall_{obj} \overline{(f3)}
\colon 
\forall_{obj} \overline{(f4)}
\colon \{\{\overline{(f1)}
,\overline{(f1)}
\}
,\{\overline{(f1)}
,\overline{(f2)}
\}
\}
 \mathrel{\in} \underline{(fx)}
\Rightarrow \{\{\overline{(f3)}
,\overline{(f3)}
\}
,\{\overline{(f3)}
,\overline{(f4)}
\}
\}
 \mathrel{\in} \underline{(fx)}
\Rightarrow \overline{(f1)}
 = \overline{(f3)}
\Rightarrow \overline{(f2)}
 = \overline{(f4)}
)n
)n
\rhd 
\forall_{obj} \overline{(s1)}
\colon \overline{(s1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(s2)}
\colon \dot{\neg}\,(\{\{\overline{(s1)}
,\overline{(s1)}
\}
,\{\overline{(s1)}
,\overline{(s2)}
\}
\}
 \mathrel{\in} \underline{(fx)}
)n
)n
\gg \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(r1)}
\colon \overline{(r1)}
 \mathrel{\in} \underline{(fx)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op1)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op2)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\overline{(op1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(op2)}
 \mathrel{\in} \underline{(sy)}
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(r1)}
 = \{\{\overline{(op1)}
,\overline{(op1)}
\}
,\{\overline{(op1)}
,\overline{(op2)}
\}
\}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(f1)}
\colon 
\forall_{obj} \overline{(f2)}
\colon 
\forall_{obj} \overline{(f3)}
\colon 
\forall_{obj} \overline{(f4)}
\colon \{\{\overline{(f1)}
,\overline{(f1)}
\}
,\{\overline{(f1)}
,\overline{(f2)}
\}
\}
 \mathrel{\in} \underline{(fx)}
\Rightarrow \{\{\overline{(f3)}
,\overline{(f3)}
\}
,\{\overline{(f3)}
,\overline{(f4)}
\}
\}
 \mathrel{\in} \underline{(fx)}
\Rightarrow \overline{(f1)}
 = \overline{(f3)}
\Rightarrow \overline{(f2)}
 = \overline{(f4)}
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(s1)}
\colon \overline{(s1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(s2)}
\colon \dot{\neg}\,(\{\{\overline{(s1)}
,\overline{(s1)}
\}
,\{\overline{(s1)}
,\overline{(s2)}
\}
\}
 \mathrel{\in} \underline{(fx)}
)n
)n
)n
)n
; Repetition
\rhd \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(r1)}
\colon \overline{(r1)}
 \mathrel{\in} \underline{(fx)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op1)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op2)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\overline{(op1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(op2)}
 \mathrel{\in} \underline{(sy)}
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(r1)}
 = \{\{\overline{(op1)}
,\overline{(op1)}
\}
,\{\overline{(op1)}
,\overline{(op2)}
\}
\}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(f1)}
\colon 
\forall_{obj} \overline{(f2)}
\colon 
\forall_{obj} \overline{(f3)}
\colon 
\forall_{obj} \overline{(f4)}
\colon \{\{\overline{(f1)}
,\overline{(f1)}
\}
,\{\overline{(f1)}
,\overline{(f2)}
\}
\}
 \mathrel{\in} \underline{(fx)}
\Rightarrow \{\{\overline{(f3)}
,\overline{(f3)}
\}
,\{\overline{(f3)}
,\overline{(f4)}
\}
\}
 \mathrel{\in} \underline{(fx)}
\Rightarrow \overline{(f1)}
 = \overline{(f3)}
\Rightarrow \overline{(f2)}
 = \overline{(f4)}
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(s1)}
\colon \overline{(s1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(s2)}
\colon \dot{\neg}\,(\{\{\overline{(s1)}
,\overline{(s1)}
\}
,\{\overline{(s1)}
,\overline{(s2)}
\}
\}
 \mathrel{\in} \underline{(fx)}
)n
)n
)n
)n
\gg \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(r1)}
\colon \overline{(r1)}
 \mathrel{\in} \underline{(fx)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op1)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op2)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\overline{(op1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(op2)}
 \mathrel{\in} \underline{(sy)}
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(r1)}
 = \{\{\overline{(op1)}
,\overline{(op1)}
\}
,\{\overline{(op1)}
,\overline{(op2)}
\}
\}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(f1)}
\colon 
\forall_{obj} \overline{(f2)}
\colon 
\forall_{obj} \overline{(f3)}
\colon 
\forall_{obj} \overline{(f4)}
\colon \{\{\overline{(f1)}
,\overline{(f1)}
\}
,\{\overline{(f1)}
,\overline{(f2)}
\}
\}
 \mathrel{\in} \underline{(fx)}
\Rightarrow \{\{\overline{(f3)}
,\overline{(f3)}
\}
,\{\overline{(f3)}
,\overline{(f4)}
\}
\}
 \mathrel{\in} \underline{(fx)}
\Rightarrow \overline{(f1)}
 = \overline{(f3)}
\Rightarrow \overline{(f2)}
 = \overline{(f4)}
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(s1)}
\colon \overline{(s1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(s2)}
\colon \dot{\neg}\,(\{\{\overline{(s1)}
,\overline{(s1)}
\}
,\{\overline{(s1)}
,\overline{(s2)}
\}
\}
 \mathrel{\in} \underline{(fx)}
)n
)n
)n
)n
\rceil 
, 
p_0
, 
\mathsf {c}
)
]$

$
[FromSeries
\stackrel{
stmt
}{\rightarrow}SystemQ
\vdash 
\forall \underline{(fx)}
\colon 
\forall \underline{(sy)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(r1)}
\colon \overline{(r1)}
 \mathrel{\in} \underline{(fx)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op1)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op2)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\overline{(op1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(op2)}
 \mathrel{\in} \underline{(sy)}
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(r1)}
 = \{\{\overline{(op1)}
,\overline{(op1)}
\}
,\{\overline{(op1)}
,\overline{(op2)}
\}
\}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(f1)}
\colon 
\forall_{obj} \overline{(f2)}
\colon 
\forall_{obj} \overline{(f3)}
\colon 
\forall_{obj} \overline{(f4)}
\colon \{\{\overline{(f1)}
,\overline{(f1)}
\}
,\{\overline{(f1)}
,\overline{(f2)}
\}
\}
 \mathrel{\in} \underline{(fx)}
\Rightarrow \{\{\overline{(f3)}
,\overline{(f3)}
\}
,\{\overline{(f3)}
,\overline{(f4)}
\}
\}
 \mathrel{\in} \underline{(fx)}
\Rightarrow \overline{(f1)}
 = \overline{(f3)}
\Rightarrow \overline{(f2)}
 = \overline{(f4)}
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(s1)}
\colon \overline{(s1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(s2)}
\colon \dot{\neg}\,(\{\{\overline{(s1)}
,\overline{(s1)}
\}
,\{\overline{(s1)}
,\overline{(s2)}
\}
\}
 \mathrel{\in} \underline{(fx)}
)n
)n
)n
)n
\vdash \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(r1)}
\colon \overline{(r1)}
 \mathrel{\in} \underline{(fx)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op1)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op2)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\overline{(op1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(op2)}
 \mathrel{\in} \underline{(sy)}
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(r1)}
 = \{\{\overline{(op1)}
,\overline{(op1)}
\}
,\{\overline{(op1)}
,\overline{(op2)}
\}
\}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(f1)}
\colon 
\forall_{obj} \overline{(f2)}
\colon 
\forall_{obj} \overline{(f3)}
\colon 
\forall_{obj} \overline{(f4)}
\colon \{\{\overline{(f1)}
,\overline{(f1)}
\}
,\{\overline{(f1)}
,\overline{(f2)}
\}
\}
 \mathrel{\in} \underline{(fx)}
\Rightarrow \{\{\overline{(f3)}
,\overline{(f3)}
\}
,\{\overline{(f3)}
,\overline{(f4)}
\}
\}
 \mathrel{\in} \underline{(fx)}
\Rightarrow \overline{(f1)}
 = \overline{(f3)}
\Rightarrow \overline{(f2)}
 = \overline{(f4)}
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(s1)}
\colon \overline{(s1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(s2)}
\colon \dot{\neg}\,(\{\{\overline{(s1)}
,\overline{(s1)}
\}
,\{\overline{(s1)}
,\overline{(s2)}
\}
\}
 \mathrel{\in} \underline{(fx)}
)n
)n
)n
)n
]$


$
[FromSeries
\stackrel{
proof
}{\rightarrow}
\lambda 
\mathsf {c}
.
\lambda 
\mathsf{x}
.
{\cal P}( 
\lceil SystemQ
\vdash 
\forall \underline{(fx)}
\colon 
\forall \underline{(sy)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(r1)}
\colon \overline{(r1)}
 \mathrel{\in} \underline{(fx)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op1)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op2)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\overline{(op1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(op2)}
 \mathrel{\in} \underline{(sy)}
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(r1)}
 = \{\{\overline{(op1)}
,\overline{(op1)}
\}
,\{\overline{(op1)}
,\overline{(op2)}
\}
\}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(f1)}
\colon 
\forall_{obj} \overline{(f2)}
\colon 
\forall_{obj} \overline{(f3)}
\colon 
\forall_{obj} \overline{(f4)}
\colon \{\{\overline{(f1)}
,\overline{(f1)}
\}
,\{\overline{(f1)}
,\overline{(f2)}
\}
\}
 \mathrel{\in} \underline{(fx)}
\Rightarrow \{\{\overline{(f3)}
,\overline{(f3)}
\}
,\{\overline{(f3)}
,\overline{(f4)}
\}
\}
 \mathrel{\in} \underline{(fx)}
\Rightarrow \overline{(f1)}
 = \overline{(f3)}
\Rightarrow \overline{(f2)}
 = \overline{(f4)}
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(s1)}
\colon \overline{(s1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(s2)}
\colon \dot{\neg}\,(\{\{\overline{(s1)}
,\overline{(s1)}
\}
,\{\overline{(s1)}
,\overline{(s2)}
\}
\}
 \mathrel{\in} \underline{(fx)}
)n
)n
)n
)n
\vdash Repetition
\rhd \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(r1)}
\colon \overline{(r1)}
 \mathrel{\in} \underline{(fx)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op1)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op2)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\overline{(op1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(op2)}
 \mathrel{\in} \underline{(sy)}
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(r1)}
 = \{\{\overline{(op1)}
,\overline{(op1)}
\}
,\{\overline{(op1)}
,\overline{(op2)}
\}
\}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(f1)}
\colon 
\forall_{obj} \overline{(f2)}
\colon 
\forall_{obj} \overline{(f3)}
\colon 
\forall_{obj} \overline{(f4)}
\colon \{\{\overline{(f1)}
,\overline{(f1)}
\}
,\{\overline{(f1)}
,\overline{(f2)}
\}
\}
 \mathrel{\in} \underline{(fx)}
\Rightarrow \{\{\overline{(f3)}
,\overline{(f3)}
\}
,\{\overline{(f3)}
,\overline{(f4)}
\}
\}
 \mathrel{\in} \underline{(fx)}
\Rightarrow \overline{(f1)}
 = \overline{(f3)}
\Rightarrow \overline{(f2)}
 = \overline{(f4)}
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(s1)}
\colon \overline{(s1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(s2)}
\colon \dot{\neg}\,(\{\{\overline{(s1)}
,\overline{(s1)}
\}
,\{\overline{(s1)}
,\overline{(s2)}
\}
\}
 \mathrel{\in} \underline{(fx)}
)n
)n
)n
)n
\gg \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(r1)}
\colon \overline{(r1)}
 \mathrel{\in} \underline{(fx)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op1)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op2)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\overline{(op1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(op2)}
 \mathrel{\in} \underline{(sy)}
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(r1)}
 = \{\{\overline{(op1)}
,\overline{(op1)}
\}
,\{\overline{(op1)}
,\overline{(op2)}
\}
\}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(f1)}
\colon 
\forall_{obj} \overline{(f2)}
\colon 
\forall_{obj} \overline{(f3)}
\colon 
\forall_{obj} \overline{(f4)}
\colon \{\{\overline{(f1)}
,\overline{(f1)}
\}
,\{\overline{(f1)}
,\overline{(f2)}
\}
\}
 \mathrel{\in} \underline{(fx)}
\Rightarrow \{\{\overline{(f3)}
,\overline{(f3)}
\}
,\{\overline{(f3)}
,\overline{(f4)}
\}
\}
 \mathrel{\in} \underline{(fx)}
\Rightarrow \overline{(f1)}
 = \overline{(f3)}
\Rightarrow \overline{(f2)}
 = \overline{(f4)}
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(s1)}
\colon \overline{(s1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(s2)}
\colon \dot{\neg}\,(\{\{\overline{(s1)}
,\overline{(s1)}
\}
,\{\overline{(s1)}
,\overline{(s2)}
\}
\}
 \mathrel{\in} \underline{(fx)}
)n
)n
)n
)n
; Repetition
\rhd \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(r1)}
\colon \overline{(r1)}
 \mathrel{\in} \underline{(fx)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op1)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op2)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\overline{(op1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(op2)}
 \mathrel{\in} \underline{(sy)}
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(r1)}
 = \{\{\overline{(op1)}
,\overline{(op1)}
\}
,\{\overline{(op1)}
,\overline{(op2)}
\}
\}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(f1)}
\colon 
\forall_{obj} \overline{(f2)}
\colon 
\forall_{obj} \overline{(f3)}
\colon 
\forall_{obj} \overline{(f4)}
\colon \{\{\overline{(f1)}
,\overline{(f1)}
\}
,\{\overline{(f1)}
,\overline{(f2)}
\}
\}
 \mathrel{\in} \underline{(fx)}
\Rightarrow \{\{\overline{(f3)}
,\overline{(f3)}
\}
,\{\overline{(f3)}
,\overline{(f4)}
\}
\}
 \mathrel{\in} \underline{(fx)}
\Rightarrow \overline{(f1)}
 = \overline{(f3)}
\Rightarrow \overline{(f2)}
 = \overline{(f4)}
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(s1)}
\colon \overline{(s1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(s2)}
\colon \dot{\neg}\,(\{\{\overline{(s1)}
,\overline{(s1)}
\}
,\{\overline{(s1)}
,\overline{(s2)}
\}
\}
 \mathrel{\in} \underline{(fx)}
)n
)n
)n
)n
\gg \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(r1)}
\colon \overline{(r1)}
 \mathrel{\in} \underline{(fx)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op1)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op2)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\overline{(op1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(op2)}
 \mathrel{\in} \underline{(sy)}
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(r1)}
 = \{\{\overline{(op1)}
,\overline{(op1)}
\}
,\{\overline{(op1)}
,\overline{(op2)}
\}
\}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(f1)}
\colon 
\forall_{obj} \overline{(f2)}
\colon 
\forall_{obj} \overline{(f3)}
\colon 
\forall_{obj} \overline{(f4)}
\colon \{\{\overline{(f1)}
,\overline{(f1)}
\}
,\{\overline{(f1)}
,\overline{(f2)}
\}
\}
 \mathrel{\in} \underline{(fx)}
\Rightarrow \{\{\overline{(f3)}
,\overline{(f3)}
\}
,\{\overline{(f3)}
,\overline{(f4)}
\}
\}
 \mathrel{\in} \underline{(fx)}
\Rightarrow \overline{(f1)}
 = \overline{(f3)}
\Rightarrow \overline{(f2)}
 = \overline{(f4)}
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(s1)}
\colon \overline{(s1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(s2)}
\colon \dot{\neg}\,(\{\{\overline{(s1)}
,\overline{(s1)}
\}
,\{\overline{(s1)}
,\overline{(s2)}
\}
\}
 \mathrel{\in} \underline{(fx)}
)n
)n
)n
)n
; Repetition
\rhd \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(r1)}
\colon \overline{(r1)}
 \mathrel{\in} \underline{(fx)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op1)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op2)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\overline{(op1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(op2)}
 \mathrel{\in} \underline{(sy)}
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(r1)}
 = \{\{\overline{(op1)}
,\overline{(op1)}
\}
,\{\overline{(op1)}
,\overline{(op2)}
\}
\}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(f1)}
\colon 
\forall_{obj} \overline{(f2)}
\colon 
\forall_{obj} \overline{(f3)}
\colon 
\forall_{obj} \overline{(f4)}
\colon \{\{\overline{(f1)}
,\overline{(f1)}
\}
,\{\overline{(f1)}
,\overline{(f2)}
\}
\}
 \mathrel{\in} \underline{(fx)}
\Rightarrow \{\{\overline{(f3)}
,\overline{(f3)}
\}
,\{\overline{(f3)}
,\overline{(f4)}
\}
\}
 \mathrel{\in} \underline{(fx)}
\Rightarrow \overline{(f1)}
 = \overline{(f3)}
\Rightarrow \overline{(f2)}
 = \overline{(f4)}
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(s1)}
\colon \overline{(s1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(s2)}
\colon \dot{\neg}\,(\{\{\overline{(s1)}
,\overline{(s1)}
\}
,\{\overline{(s1)}
,\overline{(s2)}
\}
\}
 \mathrel{\in} \underline{(fx)}
)n
)n
)n
)n
\gg \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(r1)}
\colon \overline{(r1)}
 \mathrel{\in} \underline{(fx)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op1)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op2)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\overline{(op1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(op2)}
 \mathrel{\in} \underline{(sy)}
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(r1)}
 = \{\{\overline{(op1)}
,\overline{(op1)}
\}
,\{\overline{(op1)}
,\overline{(op2)}
\}
\}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(f1)}
\colon 
\forall_{obj} \overline{(f2)}
\colon 
\forall_{obj} \overline{(f3)}
\colon 
\forall_{obj} \overline{(f4)}
\colon \{\{\overline{(f1)}
,\overline{(f1)}
\}
,\{\overline{(f1)}
,\overline{(f2)}
\}
\}
 \mathrel{\in} \underline{(fx)}
\Rightarrow \{\{\overline{(f3)}
,\overline{(f3)}
\}
,\{\overline{(f3)}
,\overline{(f4)}
\}
\}
 \mathrel{\in} \underline{(fx)}
\Rightarrow \overline{(f1)}
 = \overline{(f3)}
\Rightarrow \overline{(f2)}
 = \overline{(f4)}
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(s1)}
\colon \overline{(s1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(s2)}
\colon \dot{\neg}\,(\{\{\overline{(s1)}
,\overline{(s1)}
\}
,\{\overline{(s1)}
,\overline{(s2)}
\}
\}
 \mathrel{\in} \underline{(fx)}
)n
)n
)n
)n
; Repetition
\rhd \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(r1)}
\colon \overline{(r1)}
 \mathrel{\in} \underline{(fx)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op1)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op2)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\overline{(op1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(op2)}
 \mathrel{\in} \underline{(sy)}
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(r1)}
 = \{\{\overline{(op1)}
,\overline{(op1)}
\}
,\{\overline{(op1)}
,\overline{(op2)}
\}
\}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(f1)}
\colon 
\forall_{obj} \overline{(f2)}
\colon 
\forall_{obj} \overline{(f3)}
\colon 
\forall_{obj} \overline{(f4)}
\colon \{\{\overline{(f1)}
,\overline{(f1)}
\}
,\{\overline{(f1)}
,\overline{(f2)}
\}
\}
 \mathrel{\in} \underline{(fx)}
\Rightarrow \{\{\overline{(f3)}
,\overline{(f3)}
\}
,\{\overline{(f3)}
,\overline{(f4)}
\}
\}
 \mathrel{\in} \underline{(fx)}
\Rightarrow \overline{(f1)}
 = \overline{(f3)}
\Rightarrow \overline{(f2)}
 = \overline{(f4)}
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(s1)}
\colon \overline{(s1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(s2)}
\colon \dot{\neg}\,(\{\{\overline{(s1)}
,\overline{(s1)}
\}
,\{\overline{(s1)}
,\overline{(s2)}
\}
\}
 \mathrel{\in} \underline{(fx)}
)n
)n
)n
)n
\gg \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(r1)}
\colon \overline{(r1)}
 \mathrel{\in} \underline{(fx)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op1)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op2)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\overline{(op1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(op2)}
 \mathrel{\in} \underline{(sy)}
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(r1)}
 = \{\{\overline{(op1)}
,\overline{(op1)}
\}
,\{\overline{(op1)}
,\overline{(op2)}
\}
\}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(f1)}
\colon 
\forall_{obj} \overline{(f2)}
\colon 
\forall_{obj} \overline{(f3)}
\colon 
\forall_{obj} \overline{(f4)}
\colon \{\{\overline{(f1)}
,\overline{(f1)}
\}
,\{\overline{(f1)}
,\overline{(f2)}
\}
\}
 \mathrel{\in} \underline{(fx)}
\Rightarrow \{\{\overline{(f3)}
,\overline{(f3)}
\}
,\{\overline{(f3)}
,\overline{(f4)}
\}
\}
 \mathrel{\in} \underline{(fx)}
\Rightarrow \overline{(f1)}
 = \overline{(f3)}
\Rightarrow \overline{(f2)}
 = \overline{(f4)}
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(s1)}
\colon \overline{(s1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(s2)}
\colon \dot{\neg}\,(\{\{\overline{(s1)}
,\overline{(s1)}
\}
,\{\overline{(s1)}
,\overline{(s2)}
\}
\}
 \mathrel{\in} \underline{(fx)}
)n
)n
)n
)n
\rceil 
, 
p_0
, 
\mathsf {c}
)
]$

$
[IntroExist(Helper)
\stackrel{
stmt
}{\rightarrow}SystemQ
\vdash 
\forall \underline{
\mathsf{x}}
\colon 
\forall \underline{(v1)}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf {a}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf {b}}
\colon \langle \dot{\neg}\,(\underline{
\mathsf {a}}
)n
{\equiv} \dot{\neg}\,(\underline{
\mathsf {b}}
)n
| \underline{(v1)}
{:==} \underline{
\mathsf{x}}
\rangle_{Me}
\mathrel {\makebox [0mm][l]{$\vdash $}\,{\vdash }} 
\forall_{obj} \underline{(v1)}
\colon \dot{\neg}\,(\underline{
\mathsf {b}}
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\underline{
\mathsf {a}}
)n
]$

$
[IntroExist(Helper)
\stackrel{
proof
}{\rightarrow}
\lambda 
\mathsf {c}
.
\lambda 
\mathsf{x}
.
{\cal P}( 
\lceil SystemQ
\vdash 
\forall \underline{
\mathsf{x}}
\colon 
\forall \underline{(v1)}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf {a}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf {b}}
\colon \langle \dot{\neg}\,(\underline{
\mathsf {a}}
)n
{\equiv} \dot{\neg}\,(\underline{
\mathsf {b}}
)n
| \underline{(v1)}
{:==} \underline{
\mathsf{x}}
\rangle_{Me}
\mathrel {\makebox [0mm][l]{$\vdash $}\,{\vdash }} 
\forall_{obj} \underline{(v1)}
\colon \dot{\neg}\,(\underline{
\mathsf {b}}
)n
\vdash A4
\mathop {\char64} \underline{
\mathsf{x}}
\mathrel {\makebox [0mm][l]{$\rhd $}\,{\rhd }} \langle \dot{\neg}\,(\underline{
\mathsf {a}}
)n
{\equiv} \dot{\neg}\,(\underline{
\mathsf {b}}
)n
| \underline{(v1)}
{:==} \underline{
\mathsf{x}}
\rangle_{Me}
\rhd 
\forall_{obj} \underline{(v1)}
\colon \dot{\neg}\,(\underline{
\mathsf {b}}
)n
\gg \dot{\neg}\,(\underline{
\mathsf {a}}
)n
; 
\forall \underline{
\mathsf{x}}
\colon 
\forall \underline{(v1)}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf {a}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf {b}}
\colon Ded
\rhd 
\forall \underline{
\mathsf{x}}
\colon 
\forall \underline{(v1)}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf {a}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf {b}}
\colon \langle \dot{\neg}\,(\underline{
\mathsf {a}}
)n
{\equiv} \dot{\neg}\,(\underline{
\mathsf {b}}
)n
| \underline{(v1)}
{:==} \underline{
\mathsf{x}}
\rangle_{Me}
\mathrel {\makebox [0mm][l]{$\vdash $}\,{\vdash }} 
\forall_{obj} \underline{(v1)}
\colon \dot{\neg}\,(\underline{
\mathsf {b}}
)n
\vdash \dot{\neg}\,(\underline{
\mathsf {a}}
)n
\gg \langle \dot{\neg}\,(\underline{
\mathsf {a}}
)n
{\equiv} \dot{\neg}\,(\underline{
\mathsf {b}}
)n
| \underline{(v1)}
{:==} \underline{
\mathsf{x}}
\rangle_{Me}
\mathrel {\makebox [0mm][l]{$\vdash $}\,{\vdash }} 
\forall_{obj} \underline{(v1)}
\colon \dot{\neg}\,(\underline{
\mathsf {b}}
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\underline{
\mathsf {a}}
)n
\rceil 
, 
p_0
, 
\mathsf {c}
)
]$

$
[IntroExist
\stackrel{
stmt
}{\rightarrow}SystemQ
\vdash 
\forall \underline{
\mathsf{x}}
\colon 
\forall \underline{(v1)}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf {a}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf {b}}
\colon \langle \dot{\neg}\,(\underline{
\mathsf {a}}
)n
{\equiv} \dot{\neg}\,(\underline{
\mathsf {b}}
)n
| \underline{(v1)}
{:==} \underline{
\mathsf{x}}
\rangle_{Me}
\mathrel {\makebox [0mm][l]{$\vdash $}\,{\vdash }} \underline{
\mathsf {a}}
\vdash \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \underline{(v1)}
\colon \dot{\neg}\,(\underline{
\mathsf {b}}
)n
)n
]$

$
[IntroExist
\stackrel{
proof
}{\rightarrow}
\lambda 
\mathsf {c}
.
\lambda 
\mathsf{x}
.
{\cal P}( 
\lceil SystemQ
\vdash 
\forall \underline{
\mathsf{x}}
\colon 
\forall \underline{(v1)}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf {a}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf {b}}
\colon \langle \dot{\neg}\,(\underline{
\mathsf {a}}
)n
{\equiv} \dot{\neg}\,(\underline{
\mathsf {b}}
)n
| \underline{(v1)}
{:==} \underline{
\mathsf{x}}
\rangle_{Me}
\mathrel {\makebox [0mm][l]{$\vdash $}\,{\vdash }} IntroExist(Helper)
\mathop {\char64} \underline{
\mathsf{x}}
\mathrel {\makebox [0mm][l]{$\rhd $}\,{\rhd }} \langle \dot{\neg}\,(\underline{
\mathsf {a}}
)n
{\equiv} \dot{\neg}\,(\underline{
\mathsf {b}}
)n
| \underline{(v1)}
{:==} \underline{
\mathsf{x}}
\rangle_{Me}
\gg 
\forall_{obj} \underline{(v1)}
\colon \dot{\neg}\,(\underline{
\mathsf {b}}
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\underline{
\mathsf {a}}
)n
; \underline{
\mathsf {a}}
\vdash AddDoubleNeg
\rhd \underline{
\mathsf {a}}
\gg \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\underline{
\mathsf {a}}
)n
)n
; MT
\rhd 
\forall_{obj} \underline{(v1)}
\colon \dot{\neg}\,(\underline{
\mathsf {b}}
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\underline{
\mathsf {a}}
)n
\rhd \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\underline{
\mathsf {a}}
)n
)n
\gg \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \underline{(v1)}
\colon \dot{\neg}\,(\underline{
\mathsf {b}}
)n
)n
; Repetition
\rhd \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \underline{(v1)}
\colon \dot{\neg}\,(\underline{
\mathsf {b}}
)n
)n
\gg \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \underline{(v1)}
\colon \dot{\neg}\,(\underline{
\mathsf {b}}
)n
)n
\rceil 
, 
p_0
, 
\mathsf {c}
)
]$

$
[ExistMP
\stackrel{
stmt
}{\rightarrow}SystemQ
\vdash 
\forall \underline{(v1)}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf {a}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf {b}}
\colon \underline{
\mathsf {a}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {b}}
\vdash \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \underline{(v1)}
\colon \dot{\neg}\,(\underline{
\mathsf {a}}
)n
)n
\vdash \underline{
\mathsf {b}}
]$

$
[ExistMP
\stackrel{
proof
}{\rightarrow}
\lambda 
\mathsf {c}
.
\lambda 
\mathsf{x}
.
{\cal P}( 
\lceil SystemQ
\vdash 
\forall \underline{(v1)}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf {a}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf {b}}
\colon \underline{
\mathsf {a}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {b}}
\vdash \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \underline{(v1)}
\colon \dot{\neg}\,(\underline{
\mathsf {a}}
)n
)n
\vdash \dot{\neg}\,(\underline{
\mathsf {b}}
)n
\vdash MT
\rhd \underline{
\mathsf {a}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {b}}
\rhd \dot{\neg}\,(\underline{
\mathsf {b}}
)n
\gg \dot{\neg}\,(\underline{
\mathsf {a}}
)n
; Gen
\rhd \dot{\neg}\,(\underline{
\mathsf {a}}
)n
\gg 
\forall_{obj} \underline{(v1)}
\colon \dot{\neg}\,(\underline{
\mathsf {a}}
)n
; Repetition
\rhd \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \underline{(v1)}
\colon \dot{\neg}\,(\underline{
\mathsf {a}}
)n
)n
\gg \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \underline{(v1)}
\colon \dot{\neg}\,(\underline{
\mathsf {a}}
)n
)n
; FromContradiction
\rhd 
\forall_{obj} \underline{(v1)}
\colon \dot{\neg}\,(\underline{
\mathsf {a}}
)n
\rhd \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \underline{(v1)}
\colon \dot{\neg}\,(\underline{
\mathsf {a}}
)n
)n
\gg \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\underline{
\mathsf {b}}
)n
)n
; 
\forall \underline{(v1)}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf {a}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf {b}}
\colon Ded
\rhd 
\forall \underline{(v1)}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf {a}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf {b}}
\colon \underline{
\mathsf {a}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {b}}
\vdash \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \underline{(v1)}
\colon \dot{\neg}\,(\underline{
\mathsf {a}}
)n
)n
\vdash \dot{\neg}\,(\underline{
\mathsf {b}}
)n
\vdash \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\underline{
\mathsf {b}}
)n
)n
\gg \underline{
\mathsf {a}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {b}}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \underline{(v1)}
\colon \dot{\neg}\,(\underline{
\mathsf {a}}
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\underline{
\mathsf {b}}
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\underline{
\mathsf {b}}
)n
)n
; \underline{
\mathsf {a}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {b}}
\vdash \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \underline{(v1)}
\colon \dot{\neg}\,(\underline{
\mathsf {a}}
)n
)n
\vdash MP2
\rhd \underline{
\mathsf {a}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {b}}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \underline{(v1)}
\colon \dot{\neg}\,(\underline{
\mathsf {a}}
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\underline{
\mathsf {b}}
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\underline{
\mathsf {b}}
)n
)n
\rhd \underline{
\mathsf {a}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {b}}
\rhd \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \underline{(v1)}
\colon \dot{\neg}\,(\underline{
\mathsf {a}}
)n
)n
\gg \dot{\neg}\,(\underline{
\mathsf {b}}
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\underline{
\mathsf {b}}
)n
)n
; 
\mbox{prop lemma imply negation}
\rhd \dot{\neg}\,(\underline{
\mathsf {b}}
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\underline{
\mathsf {b}}
)n
)n
\gg \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\underline{
\mathsf {b}}
)n
)n
; RemoveDoubleNeg
\rhd \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\underline{
\mathsf {b}}
)n
)n
\gg \underline{
\mathsf {b}}
\rceil 
, 
p_0
, 
\mathsf {c}
)
]$



$
[ExistMP2
\stackrel{
stmt
}{\rightarrow}SystemQ
\vdash 
\forall \underline{(v1)}
\colon 
\forall \underline{(v2)}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf {a}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf {b}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf {c}}
\colon \underline{
\mathsf {a}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {b}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {c}}
\vdash \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \underline{(v1)}
\colon \dot{\neg}\,(\underline{
\mathsf {a}}
)n
)n
\vdash \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \underline{(v2)}
\colon \dot{\neg}\,(\underline{
\mathsf {b}}
)n
)n
\vdash \underline{
\mathsf {c}}
]$


$
[ExistMP2
\stackrel{
proof
}{\rightarrow}
\lambda 
\mathsf {c}
.
\lambda 
\mathsf{x}
.
{\cal P}( 
\lceil SystemQ
\vdash 
\forall \underline{(v1)}
\colon 
\forall \underline{(v2)}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf {a}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf {b}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf {c}}
\colon \underline{
\mathsf {a}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {b}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {c}}
\vdash \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \underline{(v1)}
\colon \dot{\neg}\,(\underline{
\mathsf {a}}
)n
)n
\vdash \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \underline{(v2)}
\colon \dot{\neg}\,(\underline{
\mathsf {b}}
)n
)n
\vdash ExistMP
\rhd \underline{
\mathsf {a}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {b}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {c}}
\rhd \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \underline{(v1)}
\colon \dot{\neg}\,(\underline{
\mathsf {a}}
)n
)n
\gg \underline{
\mathsf {b}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {c}}
; ExistMP
\rhd \underline{
\mathsf {b}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {c}}
\rhd \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \underline{(v2)}
\colon \dot{\neg}\,(\underline{
\mathsf {b}}
)n
)n
\gg \underline{
\mathsf {c}}
\rceil 
, 
p_0
, 
\mathsf {c}
)
]$

$
[TwiceExistMP
\stackrel{
stmt
}{\rightarrow}SystemQ
\vdash 
\forall \underline{(v1)}
\colon 
\forall \underline{(v2)}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf {a}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf {b}}
\colon \underline{
\mathsf {a}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {b}}
\vdash \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \underline{(v1)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \underline{(v2)}
\colon \dot{\neg}\,(\underline{
\mathsf {a}}
)n
)n
)n
)n
\vdash \underline{
\mathsf {b}}
]$

$
[TwiceExistMP
\stackrel{
proof
}{\rightarrow}
\lambda 
\mathsf {c}
.
\lambda 
\mathsf{x}
.
{\cal P}( 
\lceil SystemQ
\vdash 
\forall \underline{(v2)}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf {a}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf {b}}
\colon \underline{
\mathsf {a}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {b}}
\vdash \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \underline{(v2)}
\colon \dot{\neg}\,(\underline{
\mathsf {a}}
)n
)n
\vdash ExistMP
\rhd \underline{
\mathsf {a}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {b}}
\rhd \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \underline{(v2)}
\colon \dot{\neg}\,(\underline{
\mathsf {a}}
)n
)n
\gg \underline{
\mathsf {b}}
; 
\forall \underline{(v1)}
\colon 
\forall \underline{(v2)}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf {a}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf {b}}
\colon Ded
\rhd 
\forall \underline{(v2)}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf {a}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf {b}}
\colon \underline{
\mathsf {a}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {b}}
\vdash \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \underline{(v2)}
\colon \dot{\neg}\,(\underline{
\mathsf {a}}
)n
)n
\vdash \underline{
\mathsf {b}}
\gg \underline{
\mathsf {a}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {b}}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \underline{(v2)}
\colon \dot{\neg}\,(\underline{
\mathsf {a}}
)n
)n
\Rightarrow \underline{
\mathsf {b}}
; \underline{
\mathsf {a}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {b}}
\vdash \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \underline{(v1)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \underline{(v2)}
\colon \dot{\neg}\,(\underline{
\mathsf {a}}
)n
)n
)n
)n
\vdash MP
\rhd \underline{
\mathsf {a}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {b}}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \underline{(v2)}
\colon \dot{\neg}\,(\underline{
\mathsf {a}}
)n
)n
\Rightarrow \underline{
\mathsf {b}}
\rhd \underline{
\mathsf {a}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {b}}
\gg \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \underline{(v2)}
\colon \dot{\neg}\,(\underline{
\mathsf {a}}
)n
)n
\Rightarrow \underline{
\mathsf {b}}
; ExistMP
\rhd \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \underline{(v2)}
\colon \dot{\neg}\,(\underline{
\mathsf {a}}
)n
)n
\Rightarrow \underline{
\mathsf {b}}
\rhd \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \underline{(v1)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \underline{(v2)}
\colon \dot{\neg}\,(\underline{
\mathsf {a}}
)n
)n
)n
)n
\gg \underline{
\mathsf {b}}
\rceil 
, 
p_0
, 
\mathsf {c}
)
]$

$
[TwiceExistMP2
\stackrel{
stmt
}{\rightarrow}SystemQ
\vdash 
\forall \underline{(v1)}
\colon 
\forall \underline{(v2)}
\colon 
\forall \underline{(v3)}
\colon 
\forall \underline{(v4)}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf {a}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf {b}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf {c}}
\colon \underline{
\mathsf {a}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {b}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {c}}
\vdash \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \underline{(v1)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \underline{(v2)}
\colon \dot{\neg}\,(\underline{
\mathsf {a}}
)n
)n
)n
)n
\vdash \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \underline{(v3)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \underline{(v4)}
\colon \dot{\neg}\,(\underline{
\mathsf {b}}
)n
)n
)n
)n
\vdash \underline{
\mathsf {c}}
]$

$
[TwiceExistMP2
\stackrel{
proof
}{\rightarrow}
\lambda 
\mathsf {c}
.
\lambda 
\mathsf{x}
.
{\cal P}( 
\lceil SystemQ
\vdash 
\forall \underline{(v1)}
\colon 
\forall \underline{(v2)}
\colon 
\forall \underline{(v3)}
\colon 
\forall \underline{(v4)}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf {a}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf {b}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf {c}}
\colon \underline{
\mathsf {a}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {b}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {c}}
\vdash \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \underline{(v1)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \underline{(v2)}
\colon \dot{\neg}\,(\underline{
\mathsf {a}}
)n
)n
)n
)n
\vdash \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \underline{(v3)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \underline{(v4)}
\colon \dot{\neg}\,(\underline{
\mathsf {b}}
)n
)n
)n
)n
\vdash TwiceExistMP
\rhd \underline{
\mathsf {a}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {b}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {c}}
\rhd \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \underline{(v1)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \underline{(v2)}
\colon \dot{\neg}\,(\underline{
\mathsf {a}}
)n
)n
)n
)n
\gg \underline{
\mathsf {b}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {c}}
; TwiceExistMP
\rhd \underline{
\mathsf {b}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {c}}
\rhd \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \underline{(v3)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \underline{(v4)}
\colon \dot{\neg}\,(\underline{
\mathsf {b}}
)n
)n
)n
)n
\gg \underline{
\mathsf {c}}
\rceil 
, 
p_0
, 
\mathsf {c}
)
]$


$
[NeqSymmetry
\stackrel{
stmt
}{\rightarrow}SystemQ
\vdash 
\forall \underline{
\mathsf{x}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf{y}}
\colon \dot{\neg}\,(\underline{
\mathsf{x}}
 = \underline{
\mathsf{y}}
)n
\vdash \dot{\neg}\,(\underline{
\mathsf{y}}
 = \underline{
\mathsf{x}}
)n
]$

$
[NeqSymmetry
\stackrel{
proof
}{\rightarrow}
\lambda 
\mathsf {c}
.
\lambda 
\mathsf{x}
.
{\cal P}( 
\lceil SystemQ
\vdash 
\forall \underline{
\mathsf{x}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf{y}}
\colon \underline{
\mathsf{y}}
 = \underline{
\mathsf{x}}
\vdash eqSymmetry
\rhd \underline{
\mathsf{y}}
 = \underline{
\mathsf{x}}
\gg \underline{
\mathsf{x}}
 = \underline{
\mathsf{y}}
; 
\forall \underline{
\mathsf{x}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf{y}}
\colon Ded
\rhd 
\forall \underline{
\mathsf{x}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf{y}}
\colon \underline{
\mathsf{y}}
 = \underline{
\mathsf{x}}
\vdash \underline{
\mathsf{x}}
 = \underline{
\mathsf{y}}
\gg \underline{
\mathsf{y}}
 = \underline{
\mathsf{x}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf{x}}
 = \underline{
\mathsf{y}}
; \dot{\neg}\,(\underline{
\mathsf{x}}
 = \underline{
\mathsf{y}}
)n
\vdash MT
\rhd \underline{
\mathsf{y}}
 = \underline{
\mathsf{x}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf{x}}
 = \underline{
\mathsf{y}}
\rhd \dot{\neg}\,(\underline{
\mathsf{x}}
 = \underline{
\mathsf{y}}
)n
\gg \dot{\neg}\,(\underline{
\mathsf{y}}
 = \underline{
\mathsf{x}}
)n
\rceil 
, 
p_0
, 
\mathsf {c}
)
]$

$
[SubNeqLeft
\stackrel{
stmt
}{\rightarrow}SystemQ
\vdash 
\forall \underline{
\mathsf{x}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf{y}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf{z}}
\colon \underline{
\mathsf{x}}
 = \underline{
\mathsf{y}}
\vdash \dot{\neg}\,(\underline{
\mathsf{x}}
 = \underline{
\mathsf{z}}
)n
\vdash \dot{\neg}\,(\underline{
\mathsf{y}}
 = \underline{
\mathsf{z}}
)n
]$

$
[SubNeqLeft
\stackrel{
proof
}{\rightarrow}
\lambda 
\mathsf {c}
.
\lambda 
\mathsf{x}
.
{\cal P}( 
\lceil SystemQ
\vdash 
\forall \underline{
\mathsf{x}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf{y}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf{z}}
\colon \underline{
\mathsf{x}}
 = \underline{
\mathsf{y}}
\vdash \dot{\neg}\,(\underline{
\mathsf{x}}
 = \underline{
\mathsf{z}}
)n
\vdash EqualityAxiom
\gg \underline{
\mathsf{y}}
 = \underline{
\mathsf{x}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf{y}}
 = \underline{
\mathsf{z}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf{x}}
 = \underline{
\mathsf{z}}
; eqSymmetry
\rhd \underline{
\mathsf{x}}
 = \underline{
\mathsf{y}}
\gg \underline{
\mathsf{y}}
 = \underline{
\mathsf{x}}
; MP
\rhd \underline{
\mathsf{y}}
 = \underline{
\mathsf{x}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf{y}}
 = \underline{
\mathsf{z}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf{x}}
 = \underline{
\mathsf{z}}
\rhd \underline{
\mathsf{y}}
 = \underline{
\mathsf{x}}
\gg \underline{
\mathsf{y}}
 = \underline{
\mathsf{z}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf{x}}
 = \underline{
\mathsf{z}}
; Contrapositive
\rhd \underline{
\mathsf{y}}
 = \underline{
\mathsf{z}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf{x}}
 = \underline{
\mathsf{z}}
\gg \dot{\neg}\,(\underline{
\mathsf{x}}
 = \underline{
\mathsf{z}}
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\underline{
\mathsf{y}}
 = \underline{
\mathsf{z}}
)n
; MP
\rhd \dot{\neg}\,(\underline{
\mathsf{x}}
 = \underline{
\mathsf{z}}
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\underline{
\mathsf{y}}
 = \underline{
\mathsf{z}}
)n
\rhd \dot{\neg}\,(\underline{
\mathsf{x}}
 = \underline{
\mathsf{z}}
)n
\gg \dot{\neg}\,(\underline{
\mathsf{y}}
 = \underline{
\mathsf{z}}
)n
\rceil 
, 
p_0
, 
\mathsf {c}
)
]$

$
[InPair(1)
\stackrel{
stmt
}{\rightarrow}SystemQ
\vdash 
\forall \underline{(sx)}
\colon 
\forall \underline{(sy)}
\colon \underline{(sx)}
 \mathrel{\in} \{\underline{(sx)}
,\underline{(sy)}
\}
]$

$
[InPair(1)
\stackrel{
proof
}{\rightarrow}
\lambda 
\mathsf {c}
.
\lambda 
\mathsf{x}
.
{\cal P}( 
\lceil SystemQ
\vdash 
\forall \underline{(sx)}
\colon 
\forall \underline{(sy)}
\colon eqReflexivity
\gg \underline{(sx)}
 = \underline{(sx)}
; WeakenOr2
\rhd \underline{(sx)}
 = \underline{(sx)}
\gg \dot{\neg}\,(\underline{(sx)}
 = \underline{(sx)}
)n
\Rightarrow \underline{(sx)}
 = \underline{(sy)}
; Formula2Pair
\rhd \dot{\neg}\,(\underline{(sx)}
 = \underline{(sx)}
)n
\Rightarrow \underline{(sx)}
 = \underline{(sy)}
\gg \underline{(sx)}
 \mathrel{\in} \{\underline{(sx)}
,\underline{(sy)}
\}
\rceil 
, 
p_0
, 
\mathsf {c}
)
]$

$
[InPair(2)
\stackrel{
stmt
}{\rightarrow}SystemQ
\vdash 
\forall \underline{(sx)}
\colon 
\forall \underline{(sy)}
\colon \underline{(sy)}
 \mathrel{\in} \{\underline{(sx)}
,\underline{(sy)}
\}
]$

$
[InPair(2)
\stackrel{
proof
}{\rightarrow}
\lambda 
\mathsf {c}
.
\lambda 
\mathsf{x}
.
{\cal P}( 
\lceil SystemQ
\vdash 
\forall \underline{(sx)}
\colon 
\forall \underline{(sy)}
\colon eqReflexivity
\gg \underline{(sy)}
 = \underline{(sy)}
; WeakenOr1
\rhd \underline{(sy)}
 = \underline{(sy)}
\gg \dot{\neg}\,(\underline{(sy)}
 = \underline{(sx)}
)n
\Rightarrow \underline{(sy)}
 = \underline{(sy)}
; Formula2Pair
\rhd \dot{\neg}\,(\underline{(sy)}
 = \underline{(sx)}
)n
\Rightarrow \underline{(sy)}
 = \underline{(sy)}
\gg \underline{(sy)}
 \mathrel{\in} \{\underline{(sx)}
,\underline{(sy)}
\}
\rceil 
, 
p_0
, 
\mathsf {c}
)
]$



$
[FromSingleton
\stackrel{
stmt
}{\rightarrow}SystemQ
\vdash 
\forall \underline{(sx)}
\colon 
\forall \underline{(sy)}
\colon \underline{(sx)}
 \mathrel{\in} \{\underline{(sy)}
,\underline{(sy)}
\}
\vdash \underline{(sx)}
 = \underline{(sy)}
]$

$
[FromSingleton
\stackrel{
proof
}{\rightarrow}
\lambda 
\mathsf {c}
.
\lambda 
\mathsf{x}
.
{\cal P}( 
\lceil SystemQ
\vdash 
\forall \underline{(sx)}
\colon 
\forall \underline{(sy)}
\colon \underline{(sx)}
 \mathrel{\in} \{\underline{(sy)}
,\underline{(sy)}
\}
\vdash Repetition
\rhd \underline{(sx)}
 \mathrel{\in} \{\underline{(sy)}
,\underline{(sy)}
\}
\gg \underline{(sx)}
 \mathrel{\in} \{\underline{(sy)}
,\underline{(sy)}
\}
; Pair2Formula
\rhd \underline{(sx)}
 \mathrel{\in} \{\underline{(sy)}
,\underline{(sy)}
\}
\gg \dot{\neg}\,(\underline{(sx)}
 = \underline{(sy)}
)n
\Rightarrow \underline{(sx)}
 = \underline{(sy)}
; RemoveOr
\rhd \dot{\neg}\,(\underline{(sx)}
 = \underline{(sy)}
)n
\Rightarrow \underline{(sx)}
 = \underline{(sy)}
\gg \underline{(sx)}
 = \underline{(sy)}
\rceil 
, 
p_0
, 
\mathsf {c}
)
]$

$
[ToSingleton
\stackrel{
stmt
}{\rightarrow}SystemQ
\vdash 
\forall \underline{(sx)}
\colon 
\forall \underline{(sy)}
\colon \underline{(sx)}
 = \underline{(sy)}
\vdash \underline{(sx)}
 \mathrel{\in} \{\underline{(sy)}
,\underline{(sy)}
\}
]$

$
[ToSingleton
\stackrel{
proof
}{\rightarrow}
\lambda 
\mathsf {c}
.
\lambda 
\mathsf{x}
.
{\cal P}( 
\lceil SystemQ
\vdash 
\forall \underline{(sx)}
\colon 
\forall \underline{(sy)}
\colon \underline{(sx)}
 = \underline{(sy)}
\vdash WeakenOr1
\rhd \underline{(sx)}
 = \underline{(sy)}
\gg \dot{\neg}\,(\underline{(sx)}
 = \underline{(sy)}
)n
\Rightarrow \underline{(sx)}
 = \underline{(sy)}
; Formula2Pair
\rhd \dot{\neg}\,(\underline{(sx)}
 = \underline{(sy)}
)n
\Rightarrow \underline{(sx)}
 = \underline{(sy)}
\gg \underline{(sx)}
 \mathrel{\in} \{\underline{(sy)}
,\underline{(sy)}
\}
; Repetition
\rhd \underline{(sx)}
 \mathrel{\in} \{\underline{(sy)}
,\underline{(sy)}
\}
\gg \underline{(sx)}
 \mathrel{\in} \{\underline{(sy)}
,\underline{(sy)}
\}
\rceil 
, 
p_0
, 
\mathsf {c}
)
]$

$
[FromSameSingleton
\stackrel{
stmt
}{\rightarrow}SystemQ
\vdash 
\forall \underline{(sx)}
\colon 
\forall \underline{(sy)}
\colon \{\underline{(sx)}
,\underline{(sx)}
\}
 = \{\underline{(sy)}
,\underline{(sy)}
\}
\vdash \underline{(sx)}
 = \underline{(sy)}
]$

$
[FromSameSingleton
\stackrel{
proof
}{\rightarrow}
\lambda 
\mathsf {c}
.
\lambda 
\mathsf{x}
.
{\cal P}( 
\lceil SystemQ
\vdash 
\forall \underline{(sx)}
\colon 
\forall \underline{(sy)}
\colon \{\underline{(sx)}
,\underline{(sx)}
\}
 = \{\underline{(sy)}
,\underline{(sy)}
\}
\vdash eqReflexivity
\gg \underline{(sx)}
 = \underline{(sx)}
; ToSingleton
\rhd \underline{(sx)}
 = \underline{(sx)}
\gg \underline{(sx)}
 \mathrel{\in} \{\underline{(sx)}
,\underline{(sx)}
\}
; SENC1
\rhd \{\underline{(sx)}
,\underline{(sx)}
\}
 = \{\underline{(sy)}
,\underline{(sy)}
\}
\rhd \underline{(sx)}
 \mathrel{\in} \{\underline{(sx)}
,\underline{(sx)}
\}
\gg \underline{(sx)}
 \mathrel{\in} \{\underline{(sy)}
,\underline{(sy)}
\}
; FromSingleton
\rhd \underline{(sx)}
 \mathrel{\in} \{\underline{(sy)}
,\underline{(sy)}
\}
\gg \underline{(sx)}
 = \underline{(sy)}
\rceil 
, 
p_0
, 
\mathsf {c}
)
]$




$
[SingletonmembersEqual
\stackrel{
stmt
}{\rightarrow}SystemQ
\vdash 
\forall \underline{(sx)}
\colon 
\forall \underline{(sy)}
\colon 
\forall \underline{(sz)}
\colon \{\underline{(sx)}
,\underline{(sy)}
\}
 = \{\underline{(sz)}
,\underline{(sz)}
\}
\vdash \underline{(sx)}
 = \underline{(sy)}
]$

$
[SingletonmembersEqual
\stackrel{
proof
}{\rightarrow}
\lambda 
\mathsf {c}
.
\lambda 
\mathsf{x}
.
{\cal P}( 
\lceil SystemQ
\vdash 
\forall \underline{(sx)}
\colon 
\forall \underline{(sy)}
\colon 
\forall \underline{(sz)}
\colon \{\underline{(sx)}
,\underline{(sy)}
\}
 = \{\underline{(sz)}
,\underline{(sz)}
\}
\vdash InPair(1)
\gg \underline{(sx)}
 \mathrel{\in} \{\underline{(sx)}
,\underline{(sy)}
\}
; SENC1
\rhd \{\underline{(sx)}
,\underline{(sy)}
\}
 = \{\underline{(sz)}
,\underline{(sz)}
\}
\rhd \underline{(sx)}
 \mathrel{\in} \{\underline{(sx)}
,\underline{(sy)}
\}
\gg \underline{(sx)}
 \mathrel{\in} \{\underline{(sz)}
,\underline{(sz)}
\}
; FromSingleton
\rhd \underline{(sx)}
 \mathrel{\in} \{\underline{(sz)}
,\underline{(sz)}
\}
\gg \underline{(sx)}
 = \underline{(sz)}
; InPair(2)
\gg \underline{(sy)}
 \mathrel{\in} \{\underline{(sx)}
,\underline{(sy)}
\}
; SENC1
\rhd \{\underline{(sx)}
,\underline{(sy)}
\}
 = \{\underline{(sz)}
,\underline{(sz)}
\}
\rhd \underline{(sy)}
 \mathrel{\in} \{\underline{(sx)}
,\underline{(sy)}
\}
\gg \underline{(sy)}
 \mathrel{\in} \{\underline{(sz)}
,\underline{(sz)}
\}
; FromSingleton
\rhd \underline{(sy)}
 \mathrel{\in} \{\underline{(sz)}
,\underline{(sz)}
\}
\gg \underline{(sy)}
 = \underline{(sz)}
; eqSymmetry
\rhd \underline{(sy)}
 = \underline{(sz)}
\gg \underline{(sz)}
 = \underline{(sy)}
; eqTransitivity
\rhd \underline{(sx)}
 = \underline{(sz)}
\rhd \underline{(sz)}
 = \underline{(sy)}
\gg \underline{(sx)}
 = \underline{(sy)}
\rceil 
, 
p_0
, 
\mathsf {c}
)
]$

$
[UnequalsNotInSingleton
\stackrel{
stmt
}{\rightarrow}SystemQ
\vdash 
\forall \underline{(sx)}
\colon 
\forall \underline{(sy)}
\colon 
\forall \underline{(sz)}
\colon \dot{\neg}\,(\underline{(sx)}
 = \underline{(sy)}
)n
\vdash \dot{\neg}\,(\{\underline{(sx)}
,\underline{(sy)}
\}
 = \{\underline{(sz)}
,\underline{(sz)}
\}
)n
]$

$
[UnequalsNotInSingleton
\stackrel{
proof
}{\rightarrow}
\lambda 
\mathsf {c}
.
\lambda 
\mathsf{x}
.
{\cal P}( 
\lceil SystemQ
\vdash 
\forall \underline{(sx)}
\colon 
\forall \underline{(sy)}
\colon 
\forall \underline{(sz)}
\colon \{\underline{(sx)}
,\underline{(sy)}
\}
 = \{\underline{(sz)}
,\underline{(sz)}
\}
\vdash SingletonmembersEqual
\rhd \{\underline{(sx)}
,\underline{(sy)}
\}
 = \{\underline{(sz)}
,\underline{(sz)}
\}
\gg \underline{(sx)}
 = \underline{(sy)}
; 
\forall \underline{(sx)}
\colon 
\forall \underline{(sy)}
\colon 
\forall \underline{(sz)}
\colon Ded
\rhd 
\forall \underline{(sx)}
\colon 
\forall \underline{(sy)}
\colon 
\forall \underline{(sz)}
\colon \{\underline{(sx)}
,\underline{(sy)}
\}
 = \{\underline{(sz)}
,\underline{(sz)}
\}
\vdash \underline{(sx)}
 = \underline{(sy)}
\gg \{\underline{(sx)}
,\underline{(sy)}
\}
 = \{\underline{(sz)}
,\underline{(sz)}
\}
\Rightarrow \underline{(sx)}
 = \underline{(sy)}
; \dot{\neg}\,(\underline{(sx)}
 = \underline{(sy)}
)n
\vdash MT
\rhd \{\underline{(sx)}
,\underline{(sy)}
\}
 = \{\underline{(sz)}
,\underline{(sz)}
\}
\Rightarrow \underline{(sx)}
 = \underline{(sy)}
\rhd \dot{\neg}\,(\underline{(sx)}
 = \underline{(sy)}
)n
\gg \dot{\neg}\,(\{\underline{(sx)}
,\underline{(sy)}
\}
 = \{\underline{(sz)}
,\underline{(sz)}
\}
)n
\rceil 
, 
p_0
, 
\mathsf {c}
)
]$

$
[NonsingletonmembersUnequal
\stackrel{
stmt
}{\rightarrow}SystemQ
\vdash 
\forall \underline{(sx)}
\colon 
\forall \underline{(sy)}
\colon \dot{\neg}\,(\{\underline{(sx)}
,\underline{(sy)}
\}
 = \{\underline{(sx)}
,\underline{(sx)}
\}
)n
\vdash \dot{\neg}\,(\underline{(sx)}
 = \underline{(sy)}
)n
]$

$
[NonsingletonmembersUnequal
\stackrel{
proof
}{\rightarrow}
\lambda 
\mathsf {c}
.
\lambda 
\mathsf{x}
.
{\cal P}( 
\lceil SystemQ
\vdash 
\forall \underline{(sx)}
\colon 
\forall \underline{(sy)}
\colon \underline{(sx)}
 = \underline{(sy)}
\vdash eqReflexivity
\gg \underline{(sx)}
 = \underline{(sx)}
; SamePair
\rhd \underline{(sx)}
 = \underline{(sx)}
\rhd \underline{(sx)}
 = \underline{(sy)}
\gg \{\underline{(sx)}
,\underline{(sx)}
\}
 = \{\underline{(sx)}
,\underline{(sy)}
\}
; Repetition
\rhd \{\underline{(sx)}
,\underline{(sx)}
\}
 = \{\underline{(sx)}
,\underline{(sy)}
\}
\gg \{\underline{(sx)}
,\underline{(sx)}
\}
 = \{\underline{(sx)}
,\underline{(sy)}
\}
; eqSymmetry
\rhd \{\underline{(sx)}
,\underline{(sx)}
\}
 = \{\underline{(sx)}
,\underline{(sy)}
\}
\gg \{\underline{(sx)}
,\underline{(sy)}
\}
 = \{\underline{(sx)}
,\underline{(sx)}
\}
; 
\forall \underline{(sx)}
\colon 
\forall \underline{(sy)}
\colon Ded
\rhd 
\forall \underline{(sx)}
\colon 
\forall \underline{(sy)}
\colon \underline{(sx)}
 = \underline{(sy)}
\vdash \{\underline{(sx)}
,\underline{(sy)}
\}
 = \{\underline{(sx)}
,\underline{(sx)}
\}
\gg \underline{(sx)}
 = \underline{(sy)}
\Rightarrow \{\underline{(sx)}
,\underline{(sy)}
\}
 = \{\underline{(sx)}
,\underline{(sx)}
\}
; \dot{\neg}\,(\{\underline{(sx)}
,\underline{(sy)}
\}
 = \{\underline{(sx)}
,\underline{(sx)}
\}
)n
\vdash MT
\rhd \underline{(sx)}
 = \underline{(sy)}
\Rightarrow \{\underline{(sx)}
,\underline{(sy)}
\}
 = \{\underline{(sx)}
,\underline{(sx)}
\}
\rhd \dot{\neg}\,(\{\underline{(sx)}
,\underline{(sy)}
\}
 = \{\underline{(sx)}
,\underline{(sx)}
\}
)n
\gg \dot{\neg}\,(\underline{(sx)}
 = \underline{(sy)}
)n
\rceil 
, 
p_0
, 
\mathsf {c}
)
]$

$
[FromOrderedPair
\stackrel{
stmt
}{\rightarrow}SystemQ
\vdash 
\forall \underline{(sx)}
\colon 
\forall \underline{(sx1)}
\colon 
\forall \underline{(sy)}
\colon 
\forall \underline{(sy1)}
\colon \{\{\underline{(sx)}
,\underline{(sx)}
\}
,\{\underline{(sx)}
,\underline{(sy)}
\}
\}
 = \{\{\underline{(sx1)}
,\underline{(sx1)}
\}
,\{\underline{(sx1)}
,\underline{(sy1)}
\}
\}
\vdash \dot{\neg}\,(\underline{(sx)}
 = \underline{(sx1)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\underline{(sy)}
 = \underline{(sy1)}
)n
)n
]$

$
[FromOrderedPair
\stackrel{
proof
}{\rightarrow}
\lambda 
\mathsf {c}
.
\lambda 
\mathsf{x}
.
{\cal P}( 
\lceil SystemQ
\vdash 
\forall \underline{(sx)}
\colon 
\forall \underline{(sx1)}
\colon 
\forall \underline{(sy)}
\colon 
\forall \underline{(sy1)}
\colon \underline{(sx1)}
 = \underline{(sy1)}
\vdash \{\{\underline{(sx)}
,\underline{(sx)}
\}
,\{\underline{(sx)}
,\underline{(sy)}
\}
\}
 = \{\{\underline{(sx1)}
,\underline{(sx1)}
\}
,\{\underline{(sx1)}
,\underline{(sy1)}
\}
\}
\vdash Repetition
\rhd \{\{\underline{(sx)}
,\underline{(sx)}
\}
,\{\underline{(sx)}
,\underline{(sy)}
\}
\}
 = \{\{\underline{(sx1)}
,\underline{(sx1)}
\}
,\{\underline{(sx1)}
,\underline{(sy1)}
\}
\}
\gg \{\{\underline{(sx)}
,\underline{(sx)}
\}
,\{\underline{(sx)}
,\underline{(sy)}
\}
\}
 = \{\{\underline{(sx1)}
,\underline{(sx1)}
\}
,\{\underline{(sx1)}
,\underline{(sy1)}
\}
\}
; eqReflexivity
\gg \underline{(sx1)}
 = \underline{(sx1)}
; SamePair
\rhd \underline{(sx1)}
 = \underline{(sx1)}
\rhd \underline{(sx1)}
 = \underline{(sy1)}
\gg \{\underline{(sx1)}
,\underline{(sx1)}
\}
 = \{\underline{(sx1)}
,\underline{(sy1)}
\}
; Repetition
\rhd \{\underline{(sx1)}
,\underline{(sx1)}
\}
 = \{\underline{(sx1)}
,\underline{(sy1)}
\}
\gg \{\underline{(sx1)}
,\underline{(sx1)}
\}
 = \{\underline{(sx1)}
,\underline{(sy1)}
\}
; eqReflexivity
\gg \{\underline{(sx1)}
,\underline{(sx1)}
\}
 = \{\underline{(sx1)}
,\underline{(sx1)}
\}
; SamePair
\rhd \{\underline{(sx1)}
,\underline{(sx1)}
\}
 = \{\underline{(sx1)}
,\underline{(sx1)}
\}
\rhd \{\underline{(sx1)}
,\underline{(sx1)}
\}
 = \{\underline{(sx1)}
,\underline{(sy1)}
\}
\gg \{\{\underline{(sx1)}
,\underline{(sx1)}
\}
,\{\underline{(sx1)}
,\underline{(sx1)}
\}
\}
 = \{\{\underline{(sx1)}
,\underline{(sx1)}
\}
,\{\underline{(sx1)}
,\underline{(sy1)}
\}
\}
; Repetition
\rhd \{\{\underline{(sx1)}
,\underline{(sx1)}
\}
,\{\underline{(sx1)}
,\underline{(sx1)}
\}
\}
 = \{\{\underline{(sx1)}
,\underline{(sx1)}
\}
,\{\underline{(sx1)}
,\underline{(sy1)}
\}
\}
\gg \{\{\underline{(sx1)}
,\underline{(sx1)}
\}
,\{\underline{(sx1)}
,\underline{(sx1)}
\}
\}
 = \{\{\underline{(sx1)}
,\underline{(sx1)}
\}
,\{\underline{(sx1)}
,\underline{(sy1)}
\}
\}
; eqSymmetry
\rhd \{\{\underline{(sx1)}
,\underline{(sx1)}
\}
,\{\underline{(sx1)}
,\underline{(sx1)}
\}
\}
 = \{\{\underline{(sx1)}
,\underline{(sx1)}
\}
,\{\underline{(sx1)}
,\underline{(sy1)}
\}
\}
\gg \{\{\underline{(sx1)}
,\underline{(sx1)}
\}
,\{\underline{(sx1)}
,\underline{(sy1)}
\}
\}
 = \{\{\underline{(sx1)}
,\underline{(sx1)}
\}
,\{\underline{(sx1)}
,\underline{(sx1)}
\}
\}
; eqTransitivity
\rhd \{\{\underline{(sx)}
,\underline{(sx)}
\}
,\{\underline{(sx)}
,\underline{(sy)}
\}
\}
 = \{\{\underline{(sx1)}
,\underline{(sx1)}
\}
,\{\underline{(sx1)}
,\underline{(sy1)}
\}
\}
\rhd \{\{\underline{(sx1)}
,\underline{(sx1)}
\}
,\{\underline{(sx1)}
,\underline{(sy1)}
\}
\}
 = \{\{\underline{(sx1)}
,\underline{(sx1)}
\}
,\{\underline{(sx1)}
,\underline{(sx1)}
\}
\}
\gg \{\{\underline{(sx)}
,\underline{(sx)}
\}
,\{\underline{(sx)}
,\underline{(sy)}
\}
\}
 = \{\{\underline{(sx1)}
,\underline{(sx1)}
\}
,\{\underline{(sx1)}
,\underline{(sx1)}
\}
\}
; InPair(1)
\gg \{\underline{(sx)}
,\underline{(sx)}
\}
 \mathrel{\in} \{\{\underline{(sx)}
,\underline{(sx)}
\}
,\{\underline{(sx)}
,\underline{(sy)}
\}
\}
; SENC1
\rhd \{\{\underline{(sx)}
,\underline{(sx)}
\}
,\{\underline{(sx)}
,\underline{(sy)}
\}
\}
 = \{\{\underline{(sx1)}
,\underline{(sx1)}
\}
,\{\underline{(sx1)}
,\underline{(sx1)}
\}
\}
\rhd \{\underline{(sx)}
,\underline{(sx)}
\}
 \mathrel{\in} \{\{\underline{(sx)}
,\underline{(sx)}
\}
,\{\underline{(sx)}
,\underline{(sy)}
\}
\}
\gg \{\underline{(sx)}
,\underline{(sx)}
\}
 \mathrel{\in} \{\{\underline{(sx1)}
,\underline{(sx1)}
\}
,\{\underline{(sx1)}
,\underline{(sx1)}
\}
\}
; FromSingleton
\rhd \{\underline{(sx)}
,\underline{(sx)}
\}
 \mathrel{\in} \{\{\underline{(sx1)}
,\underline{(sx1)}
\}
,\{\underline{(sx1)}
,\underline{(sx1)}
\}
\}
\gg \{\underline{(sx)}
,\underline{(sx)}
\}
 = \{\underline{(sx1)}
,\underline{(sx1)}
\}
; FromSameSingleton
\rhd \{\underline{(sx)}
,\underline{(sx)}
\}
 = \{\underline{(sx1)}
,\underline{(sx1)}
\}
\gg \underline{(sx)}
 = \underline{(sx1)}
; eqSymmetry
\rhd \{\underline{(sx)}
,\underline{(sx)}
\}
 = \{\underline{(sx1)}
,\underline{(sx1)}
\}
\gg \{\underline{(sx1)}
,\underline{(sx1)}
\}
 = \{\underline{(sx)}
,\underline{(sx)}
\}
; SameSingleton
\rhd \{\underline{(sx1)}
,\underline{(sx1)}
\}
 = \{\underline{(sx)}
,\underline{(sx)}
\}
\gg \{\{\underline{(sx1)}
,\underline{(sx1)}
\}
,\{\underline{(sx1)}
,\underline{(sx1)}
\}
\}
 = \{\{\underline{(sx)}
,\underline{(sx)}
\}
,\{\underline{(sx)}
,\underline{(sx)}
\}
\}
; eqTransitivity
\rhd \{\{\underline{(sx)}
,\underline{(sx)}
\}
,\{\underline{(sx)}
,\underline{(sy)}
\}
\}
 = \{\{\underline{(sx1)}
,\underline{(sx1)}
\}
,\{\underline{(sx1)}
,\underline{(sx1)}
\}
\}
\rhd \{\{\underline{(sx1)}
,\underline{(sx1)}
\}
,\{\underline{(sx1)}
,\underline{(sx1)}
\}
\}
 = \{\{\underline{(sx)}
,\underline{(sx)}
\}
,\{\underline{(sx)}
,\underline{(sx)}
\}
\}
\gg \{\{\underline{(sx)}
,\underline{(sx)}
\}
,\{\underline{(sx)}
,\underline{(sy)}
\}
\}
 = \{\{\underline{(sx)}
,\underline{(sx)}
\}
,\{\underline{(sx)}
,\underline{(sx)}
\}
\}
; InPair(2)
\gg \{\underline{(sx)}
,\underline{(sy)}
\}
 \mathrel{\in} \{\{\underline{(sx)}
,\underline{(sx)}
\}
,\{\underline{(sx)}
,\underline{(sy)}
\}
\}
; SENC1
\rhd \{\{\underline{(sx)}
,\underline{(sx)}
\}
,\{\underline{(sx)}
,\underline{(sy)}
\}
\}
 = \{\{\underline{(sx)}
,\underline{(sx)}
\}
,\{\underline{(sx)}
,\underline{(sx)}
\}
\}
\rhd \{\underline{(sx)}
,\underline{(sy)}
\}
 \mathrel{\in} \{\{\underline{(sx)}
,\underline{(sx)}
\}
,\{\underline{(sx)}
,\underline{(sy)}
\}
\}
\gg \{\underline{(sx)}
,\underline{(sy)}
\}
 \mathrel{\in} \{\{\underline{(sx)}
,\underline{(sx)}
\}
,\{\underline{(sx)}
,\underline{(sx)}
\}
\}
; FromSingleton
\rhd \{\underline{(sx)}
,\underline{(sy)}
\}
 \mathrel{\in} \{\{\underline{(sx)}
,\underline{(sx)}
\}
,\{\underline{(sx)}
,\underline{(sx)}
\}
\}
\gg \{\underline{(sx)}
,\underline{(sy)}
\}
 = \{\underline{(sx)}
,\underline{(sx)}
\}
; SingletonmembersEqual
\rhd \{\underline{(sx)}
,\underline{(sy)}
\}
 = \{\underline{(sx)}
,\underline{(sx)}
\}
\gg \underline{(sx)}
 = \underline{(sy)}
; eqSymmetry
\rhd \underline{(sx)}
 = \underline{(sy)}
\gg \underline{(sy)}
 = \underline{(sx)}
; eqTransitivity4
\rhd \underline{(sy)}
 = \underline{(sx)}
\rhd \underline{(sx)}
 = \underline{(sx1)}
\rhd \underline{(sx1)}
 = \underline{(sy1)}
\gg \underline{(sy)}
 = \underline{(sy1)}
; JoinConjuncts
\rhd \underline{(sx)}
 = \underline{(sx1)}
\rhd \underline{(sy)}
 = \underline{(sy1)}
\gg \dot{\neg}\,(\underline{(sx)}
 = \underline{(sx1)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\underline{(sy)}
 = \underline{(sy1)}
)n
)n
; 
\forall \underline{(sx)}
\colon 
\forall \underline{(sx1)}
\colon 
\forall \underline{(sy)}
\colon 
\forall \underline{(sy1)}
\colon \dot{\neg}\,(\underline{(sx1)}
 = \underline{(sy1)}
)n
\vdash \{\{\underline{(sx)}
,\underline{(sx)}
\}
,\{\underline{(sx)}
,\underline{(sy)}
\}
\}
 = \{\{\underline{(sx1)}
,\underline{(sx1)}
\}
,\{\underline{(sx1)}
,\underline{(sy1)}
\}
\}
\vdash Repetition
\rhd \{\{\underline{(sx)}
,\underline{(sx)}
\}
,\{\underline{(sx)}
,\underline{(sy)}
\}
\}
 = \{\{\underline{(sx1)}
,\underline{(sx1)}
\}
,\{\underline{(sx1)}
,\underline{(sy1)}
\}
\}
\gg \{\{\underline{(sx)}
,\underline{(sx)}
\}
,\{\underline{(sx)}
,\underline{(sy)}
\}
\}
 = \{\{\underline{(sx1)}
,\underline{(sx1)}
\}
,\{\underline{(sx1)}
,\underline{(sy1)}
\}
\}
; InPair(1)
\gg \{\underline{(sx)}
,\underline{(sx)}
\}
 \mathrel{\in} \{\{\underline{(sx)}
,\underline{(sx)}
\}
,\{\underline{(sx)}
,\underline{(sy)}
\}
\}
; SENC1
\rhd \{\{\underline{(sx)}
,\underline{(sx)}
\}
,\{\underline{(sx)}
,\underline{(sy)}
\}
\}
 = \{\{\underline{(sx1)}
,\underline{(sx1)}
\}
,\{\underline{(sx1)}
,\underline{(sy1)}
\}
\}
\rhd \{\underline{(sx)}
,\underline{(sx)}
\}
 \mathrel{\in} \{\{\underline{(sx)}
,\underline{(sx)}
\}
,\{\underline{(sx)}
,\underline{(sy)}
\}
\}
\gg \{\underline{(sx)}
,\underline{(sx)}
\}
 \mathrel{\in} \{\{\underline{(sx1)}
,\underline{(sx1)}
\}
,\{\underline{(sx1)}
,\underline{(sy1)}
\}
\}
; Pair2Formula
\rhd \{\underline{(sx)}
,\underline{(sx)}
\}
 \mathrel{\in} \{\{\underline{(sx1)}
,\underline{(sx1)}
\}
,\{\underline{(sx1)}
,\underline{(sy1)}
\}
\}
\gg \dot{\neg}\,(\{\underline{(sx)}
,\underline{(sx)}
\}
 = \{\underline{(sx1)}
,\underline{(sx1)}
\}
)n
\Rightarrow \{\underline{(sx)}
,\underline{(sx)}
\}
 = \{\underline{(sx1)}
,\underline{(sy1)}
\}
; UnequalsNotInSingleton
\rhd \dot{\neg}\,(\underline{(sx1)}
 = \underline{(sy1)}
)n
\gg \dot{\neg}\,(\{\underline{(sx1)}
,\underline{(sy1)}
\}
 = \{\underline{(sx)}
,\underline{(sx)}
\}
)n
; NeqSymmetry
\rhd \dot{\neg}\,(\{\underline{(sx1)}
,\underline{(sy1)}
\}
 = \{\underline{(sx)}
,\underline{(sx)}
\}
)n
\gg \dot{\neg}\,(\{\underline{(sx)}
,\underline{(sx)}
\}
 = \{\underline{(sx1)}
,\underline{(sy1)}
\}
)n
; NegateDisjunct2
\rhd \dot{\neg}\,(\{\underline{(sx)}
,\underline{(sx)}
\}
 = \{\underline{(sx1)}
,\underline{(sx1)}
\}
)n
\Rightarrow \{\underline{(sx)}
,\underline{(sx)}
\}
 = \{\underline{(sx1)}
,\underline{(sy1)}
\}
\rhd \dot{\neg}\,(\{\underline{(sx)}
,\underline{(sx)}
\}
 = \{\underline{(sx1)}
,\underline{(sy1)}
\}
)n
\gg \{\underline{(sx)}
,\underline{(sx)}
\}
 = \{\underline{(sx1)}
,\underline{(sx1)}
\}
; FromSameSingleton
\rhd \{\underline{(sx)}
,\underline{(sx)}
\}
 = \{\underline{(sx1)}
,\underline{(sx1)}
\}
\gg \underline{(sx)}
 = \underline{(sx1)}
; InPair(2)
\gg \{\underline{(sx1)}
,\underline{(sy1)}
\}
 \mathrel{\in} \{\{\underline{(sx1)}
,\underline{(sx1)}
\}
,\{\underline{(sx1)}
,\underline{(sy1)}
\}
\}
; SENC2
\rhd \{\{\underline{(sx)}
,\underline{(sx)}
\}
,\{\underline{(sx)}
,\underline{(sy)}
\}
\}
 = \{\{\underline{(sx1)}
,\underline{(sx1)}
\}
,\{\underline{(sx1)}
,\underline{(sy1)}
\}
\}
\rhd \{\underline{(sx1)}
,\underline{(sy1)}
\}
 \mathrel{\in} \{\{\underline{(sx1)}
,\underline{(sx1)}
\}
,\{\underline{(sx1)}
,\underline{(sy1)}
\}
\}
\gg \{\underline{(sx1)}
,\underline{(sy1)}
\}
 \mathrel{\in} \{\{\underline{(sx)}
,\underline{(sx)}
\}
,\{\underline{(sx)}
,\underline{(sy)}
\}
\}
; Pair2Formula
\rhd \{\underline{(sx1)}
,\underline{(sy1)}
\}
 \mathrel{\in} \{\{\underline{(sx)}
,\underline{(sx)}
\}
,\{\underline{(sx)}
,\underline{(sy)}
\}
\}
\gg \dot{\neg}\,(\{\underline{(sx1)}
,\underline{(sy1)}
\}
 = \{\underline{(sx)}
,\underline{(sx)}
\}
)n
\Rightarrow \{\underline{(sx1)}
,\underline{(sy1)}
\}
 = \{\underline{(sx)}
,\underline{(sy)}
\}
; NegateDisjunct1
\rhd \dot{\neg}\,(\{\underline{(sx1)}
,\underline{(sy1)}
\}
 = \{\underline{(sx)}
,\underline{(sx)}
\}
)n
\Rightarrow \{\underline{(sx1)}
,\underline{(sy1)}
\}
 = \{\underline{(sx)}
,\underline{(sy)}
\}
\rhd \dot{\neg}\,(\{\underline{(sx1)}
,\underline{(sy1)}
\}
 = \{\underline{(sx)}
,\underline{(sx)}
\}
)n
\gg \{\underline{(sx1)}
,\underline{(sy1)}
\}
 = \{\underline{(sx)}
,\underline{(sy)}
\}
; InPair(2)
\gg \underline{(sy)}
 \mathrel{\in} \{\underline{(sx)}
,\underline{(sy)}
\}
; SENC2
\rhd \{\underline{(sx1)}
,\underline{(sy1)}
\}
 = \{\underline{(sx)}
,\underline{(sy)}
\}
\rhd \underline{(sy)}
 \mathrel{\in} \{\underline{(sx)}
,\underline{(sy)}
\}
\gg \underline{(sy)}
 \mathrel{\in} \{\underline{(sx1)}
,\underline{(sy1)}
\}
; Pair2Formula
\rhd \underline{(sy)}
 \mathrel{\in} \{\underline{(sx1)}
,\underline{(sy1)}
\}
\gg \dot{\neg}\,(\underline{(sy)}
 = \underline{(sx1)}
)n
\Rightarrow \underline{(sy)}
 = \underline{(sy1)}
; UnequalsNotInSingleton
\rhd \dot{\neg}\,(\underline{(sx1)}
 = \underline{(sy1)}
)n
\gg \dot{\neg}\,(\{\underline{(sx1)}
,\underline{(sy1)}
\}
 = \{\underline{(sx)}
,\underline{(sx)}
\}
)n
; SubNeqLeft
\rhd \{\underline{(sx1)}
,\underline{(sy1)}
\}
 = \{\underline{(sx)}
,\underline{(sy)}
\}
\rhd \dot{\neg}\,(\{\underline{(sx1)}
,\underline{(sy1)}
\}
 = \{\underline{(sx)}
,\underline{(sx)}
\}
)n
\gg \dot{\neg}\,(\{\underline{(sx)}
,\underline{(sy)}
\}
 = \{\underline{(sx)}
,\underline{(sx)}
\}
)n
; NonsingletonmembersUnequal
\rhd \dot{\neg}\,(\{\underline{(sx)}
,\underline{(sy)}
\}
 = \{\underline{(sx)}
,\underline{(sx)}
\}
)n
\gg \dot{\neg}\,(\underline{(sx)}
 = \underline{(sy)}
)n
; SubNeqLeft
\rhd \underline{(sx)}
 = \underline{(sx1)}
\rhd \dot{\neg}\,(\underline{(sx)}
 = \underline{(sy)}
)n
\gg \dot{\neg}\,(\underline{(sx1)}
 = \underline{(sy)}
)n
; NeqSymmetry
\rhd \dot{\neg}\,(\underline{(sx1)}
 = \underline{(sy)}
)n
\gg \dot{\neg}\,(\underline{(sy)}
 = \underline{(sx1)}
)n
; NegateDisjunct1
\rhd \dot{\neg}\,(\underline{(sy)}
 = \underline{(sx1)}
)n
\Rightarrow \underline{(sy)}
 = \underline{(sy1)}
\rhd \dot{\neg}\,(\underline{(sy)}
 = \underline{(sx1)}
)n
\gg \underline{(sy)}
 = \underline{(sy1)}
; JoinConjuncts
\rhd \underline{(sx)}
 = \underline{(sx1)}
\rhd \underline{(sy)}
 = \underline{(sy1)}
\gg \dot{\neg}\,(\underline{(sx)}
 = \underline{(sx1)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\underline{(sy)}
 = \underline{(sy1)}
)n
)n
; 
\forall \underline{(sx)}
\colon 
\forall \underline{(sx1)}
\colon 
\forall \underline{(sy)}
\colon 
\forall \underline{(sy1)}
\colon Ded
\rhd 
\forall \underline{(sx)}
\colon 
\forall \underline{(sx1)}
\colon 
\forall \underline{(sy)}
\colon 
\forall \underline{(sy1)}
\colon \underline{(sx1)}
 = \underline{(sy1)}
\vdash \{\{\underline{(sx)}
,\underline{(sx)}
\}
,\{\underline{(sx)}
,\underline{(sy)}
\}
\}
 = \{\{\underline{(sx1)}
,\underline{(sx1)}
\}
,\{\underline{(sx1)}
,\underline{(sy1)}
\}
\}
\vdash \dot{\neg}\,(\underline{(sx)}
 = \underline{(sx1)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\underline{(sy)}
 = \underline{(sy1)}
)n
)n
\gg \underline{(sx1)}
 = \underline{(sy1)}
\Rightarrow \{\{\underline{(sx)}
,\underline{(sx)}
\}
,\{\underline{(sx)}
,\underline{(sy)}
\}
\}
 = \{\{\underline{(sx1)}
,\underline{(sx1)}
\}
,\{\underline{(sx1)}
,\underline{(sy1)}
\}
\}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\underline{(sx)}
 = \underline{(sx1)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\underline{(sy)}
 = \underline{(sy1)}
)n
)n
; Ded
\rhd 
\forall \underline{(sx)}
\colon 
\forall \underline{(sx1)}
\colon 
\forall \underline{(sy)}
\colon 
\forall \underline{(sy1)}
\colon \dot{\neg}\,(\underline{(sx1)}
 = \underline{(sy1)}
)n
\vdash \{\{\underline{(sx)}
,\underline{(sx)}
\}
,\{\underline{(sx)}
,\underline{(sy)}
\}
\}
 = \{\{\underline{(sx1)}
,\underline{(sx1)}
\}
,\{\underline{(sx1)}
,\underline{(sy1)}
\}
\}
\vdash \dot{\neg}\,(\underline{(sx)}
 = \underline{(sx1)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\underline{(sy)}
 = \underline{(sy1)}
)n
)n
\gg \dot{\neg}\,(\underline{(sx1)}
 = \underline{(sy1)}
)n
\Rightarrow \{\{\underline{(sx)}
,\underline{(sx)}
\}
,\{\underline{(sx)}
,\underline{(sy)}
\}
\}
 = \{\{\underline{(sx1)}
,\underline{(sx1)}
\}
,\{\underline{(sx1)}
,\underline{(sy1)}
\}
\}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\underline{(sx)}
 = \underline{(sx1)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\underline{(sy)}
 = \underline{(sy1)}
)n
)n
; \{\{\underline{(sx)}
,\underline{(sx)}
\}
,\{\underline{(sx)}
,\underline{(sy)}
\}
\}
 = \{\{\underline{(sx1)}
,\underline{(sx1)}
\}
,\{\underline{(sx1)}
,\underline{(sy1)}
\}
\}
\vdash FromNegations
\rhd \underline{(sx1)}
 = \underline{(sy1)}
\Rightarrow \{\{\underline{(sx)}
,\underline{(sx)}
\}
,\{\underline{(sx)}
,\underline{(sy)}
\}
\}
 = \{\{\underline{(sx1)}
,\underline{(sx1)}
\}
,\{\underline{(sx1)}
,\underline{(sy1)}
\}
\}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\underline{(sx)}
 = \underline{(sx1)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\underline{(sy)}
 = \underline{(sy1)}
)n
)n
\rhd \dot{\neg}\,(\underline{(sx1)}
 = \underline{(sy1)}
)n
\Rightarrow \{\{\underline{(sx)}
,\underline{(sx)}
\}
,\{\underline{(sx)}
,\underline{(sy)}
\}
\}
 = \{\{\underline{(sx1)}
,\underline{(sx1)}
\}
,\{\underline{(sx1)}
,\underline{(sy1)}
\}
\}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\underline{(sx)}
 = \underline{(sx1)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\underline{(sy)}
 = \underline{(sy1)}
)n
)n
\gg \{\{\underline{(sx)}
,\underline{(sx)}
\}
,\{\underline{(sx)}
,\underline{(sy)}
\}
\}
 = \{\{\underline{(sx1)}
,\underline{(sx1)}
\}
,\{\underline{(sx1)}
,\underline{(sy1)}
\}
\}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\underline{(sx)}
 = \underline{(sx1)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\underline{(sy)}
 = \underline{(sy1)}
)n
)n
; MP
\rhd \{\{\underline{(sx)}
,\underline{(sx)}
\}
,\{\underline{(sx)}
,\underline{(sy)}
\}
\}
 = \{\{\underline{(sx1)}
,\underline{(sx1)}
\}
,\{\underline{(sx1)}
,\underline{(sy1)}
\}
\}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\underline{(sx)}
 = \underline{(sx1)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\underline{(sy)}
 = \underline{(sy1)}
)n
)n
\rhd \{\{\underline{(sx)}
,\underline{(sx)}
\}
,\{\underline{(sx)}
,\underline{(sy)}
\}
\}
 = \{\{\underline{(sx1)}
,\underline{(sx1)}
\}
,\{\underline{(sx1)}
,\underline{(sy1)}
\}
\}
\gg \dot{\neg}\,(\underline{(sx)}
 = \underline{(sx1)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\underline{(sy)}
 = \underline{(sy1)}
)n
)n
\rceil 
, 
p_0
, 
\mathsf {c}
)
]$

$
[FromOrderedPair(1)
\stackrel{
stmt
}{\rightarrow}SystemQ
\vdash 
\forall \underline{(sx)}
\colon 
\forall \underline{(sx1)}
\colon 
\forall \underline{(sy)}
\colon 
\forall \underline{(sy1)}
\colon \{\{\underline{(sx)}
,\underline{(sx)}
\}
,\{\underline{(sx)}
,\underline{(sy)}
\}
\}
 = \{\{\underline{(sx1)}
,\underline{(sx1)}
\}
,\{\underline{(sx1)}
,\underline{(sy1)}
\}
\}
\vdash \underline{(sx)}
 = \underline{(sx1)}
]$

$
[FromOrderedPair(1)
\stackrel{
proof
}{\rightarrow}
\lambda 
\mathsf {c}
.
\lambda 
\mathsf{x}
.
{\cal P}( 
\lceil SystemQ
\vdash 
\forall \underline{(sx)}
\colon 
\forall \underline{(sx1)}
\colon 
\forall \underline{(sy)}
\colon 
\forall \underline{(sy1)}
\colon \{\{\underline{(sx)}
,\underline{(sx)}
\}
,\{\underline{(sx)}
,\underline{(sy)}
\}
\}
 = \{\{\underline{(sx1)}
,\underline{(sx1)}
\}
,\{\underline{(sx1)}
,\underline{(sy1)}
\}
\}
\vdash FromOrderedPair
\rhd \{\{\underline{(sx)}
,\underline{(sx)}
\}
,\{\underline{(sx)}
,\underline{(sy)}
\}
\}
 = \{\{\underline{(sx1)}
,\underline{(sx1)}
\}
,\{\underline{(sx1)}
,\underline{(sy1)}
\}
\}
\gg \dot{\neg}\,(\underline{(sx)}
 = \underline{(sx1)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\underline{(sy)}
 = \underline{(sy1)}
)n
)n
; FirstConjunct
\rhd \dot{\neg}\,(\underline{(sx)}
 = \underline{(sx1)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\underline{(sy)}
 = \underline{(sy1)}
)n
)n
\gg \underline{(sx)}
 = \underline{(sx1)}
\rceil 
, 
p_0
, 
\mathsf {c}
)
]$

$
[FromOrderedPair(2)
\stackrel{
stmt
}{\rightarrow}SystemQ
\vdash 
\forall \underline{(sx)}
\colon 
\forall \underline{(sx1)}
\colon 
\forall \underline{(sy)}
\colon 
\forall \underline{(sy1)}
\colon \{\{\underline{(sx)}
,\underline{(sx)}
\}
,\{\underline{(sx)}
,\underline{(sy)}
\}
\}
 = \{\{\underline{(sx1)}
,\underline{(sx1)}
\}
,\{\underline{(sx1)}
,\underline{(sy1)}
\}
\}
\vdash \underline{(sy)}
 = \underline{(sy1)}
]$

$
[FromOrderedPair(2)
\stackrel{
proof
}{\rightarrow}
\lambda 
\mathsf {c}
.
\lambda 
\mathsf{x}
.
{\cal P}( 
\lceil SystemQ
\vdash 
\forall \underline{(sx)}
\colon 
\forall \underline{(sx1)}
\colon 
\forall \underline{(sy)}
\colon 
\forall \underline{(sy1)}
\colon \{\{\underline{(sx)}
,\underline{(sx)}
\}
,\{\underline{(sx)}
,\underline{(sy)}
\}
\}
 = \{\{\underline{(sx1)}
,\underline{(sx1)}
\}
,\{\underline{(sx1)}
,\underline{(sy1)}
\}
\}
\vdash FromOrderedPair
\rhd \{\{\underline{(sx)}
,\underline{(sx)}
\}
,\{\underline{(sx)}
,\underline{(sy)}
\}
\}
 = \{\{\underline{(sx1)}
,\underline{(sx1)}
\}
,\{\underline{(sx1)}
,\underline{(sy1)}
\}
\}
\gg \dot{\neg}\,(\underline{(sx)}
 = \underline{(sx1)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\underline{(sy)}
 = \underline{(sy1)}
)n
)n
; SecondConjunct
\rhd \dot{\neg}\,(\underline{(sx)}
 = \underline{(sx1)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\underline{(sy)}
 = \underline{(sy1)}
)n
)n
\gg \underline{(sy)}
 = \underline{(sy1)}
\rceil 
, 
p_0
, 
\mathsf {c}
)
]$


$
[SameMember(2)
\stackrel{
stmt
}{\rightarrow}SystemQ
\vdash 
\forall \underline{(sx)}
\colon 
\forall \underline{(sy)}
\colon 
\forall \underline{(sz)}
\colon \underline{(sx)}
 = \underline{(sy)}
\vdash \underline{(sy)}
 \mathrel{\in} \underline{(sz)}
\vdash \underline{(sx)}
 \mathrel{\in} \underline{(sz)}
]$

$
[SameMember(2)
\stackrel{
proof
}{\rightarrow}
\lambda 
\mathsf {c}
.
\lambda 
\mathsf{x}
.
{\cal P}( 
\lceil SystemQ
\vdash 
\forall \underline{(sx)}
\colon 
\forall \underline{(sy)}
\colon 
\forall \underline{(sz)}
\colon \underline{(sx)}
 = \underline{(sy)}
\vdash \underline{(sy)}
 \mathrel{\in} \underline{(sz)}
\vdash eqSymmetry
\rhd \underline{(sx)}
 = \underline{(sy)}
\gg \underline{(sy)}
 = \underline{(sx)}
; SameMember
\rhd \underline{(sy)}
 = \underline{(sx)}
\rhd \underline{(sy)}
 \mathrel{\in} \underline{(sz)}
\gg \underline{(sx)}
 \mathrel{\in} \underline{(sz)}
\rceil 
, 
p_0
, 
\mathsf {c}
)
]$

$
[ToBinaryUnion(1)
\stackrel{
stmt
}{\rightarrow}SystemQ
\vdash 
\forall \underline{(sx)}
\colon 
\forall \underline{(sy)}
\colon 
\forall \underline{(sz)}
\colon 
\forall \underline{(su)}
\colon \underline{(sx)}
 \mathrel{\in} \underline{(sy)}
\vdash \underline{(sx)}
 \mathrel{\in} Union(\{\underline{(sy)}
,\underline{(sz)}
\}
)
]$

$
[ToBinaryUnion(1)
\stackrel{
proof
}{\rightarrow}
\lambda 
\mathsf {c}
.
\lambda 
\mathsf{x}
.
{\cal P}( 
\lceil SystemQ
\vdash 
\forall \underline{(sx)}
\colon 
\forall \underline{(sy)}
\colon 
\forall \underline{(sz)}
\colon 
\forall \underline{(su)}
\colon \underline{(sx)}
 \mathrel{\in} \underline{(sy)}
\vdash InPair(1)
\gg \underline{(sy)}
 \mathrel{\in} \{\underline{(sy)}
,\underline{(sz)}
\}
; JoinConjuncts
\rhd \underline{(sx)}
 \mathrel{\in} \underline{(sy)}
\rhd \underline{(sy)}
 \mathrel{\in} \{\underline{(sy)}
,\underline{(sz)}
\}
\gg \dot{\neg}\,(\underline{(sx)}
 \mathrel{\in} \underline{(sy)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\underline{(sy)}
 \mathrel{\in} \{\underline{(sy)}
,\underline{(sz)}
\}
)n
)n
; IntroExist
\mathop {\char64} \underline{(sy)}
\rhd \dot{\neg}\,(\underline{(sx)}
 \mathrel{\in} \underline{(sy)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\underline{(sy)}
 \mathrel{\in} \{\underline{(sy)}
,\underline{(sz)}
\}
)n
)n
\gg \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \underline{(su)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\underline{(sx)}
 \mathrel{\in} \underline{(su)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\underline{(su)}
 \mathrel{\in} \{\underline{(sy)}
,\underline{(sz)}
\}
)n
)n
)n
)n
; Formula2Union
\rhd \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \underline{(su)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\underline{(sx)}
 \mathrel{\in} \underline{(su)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\underline{(su)}
 \mathrel{\in} \{\underline{(sy)}
,\underline{(sz)}
\}
)n
)n
)n
)n
\gg \underline{(sx)}
 \mathrel{\in} Union(\{\underline{(sy)}
,\underline{(sz)}
\}
)
; Repetition
\rhd \underline{(sx)}
 \mathrel{\in} Union(\{\underline{(sy)}
,\underline{(sz)}
\}
)
\gg \underline{(sx)}
 \mathrel{\in} Union(\{\underline{(sy)}
,\underline{(sz)}
\}
)
\rceil 
, 
p_0
, 
\mathsf {c}
)
]$



$
[ToBinaryUnion(2)
\stackrel{
stmt
}{\rightarrow}SystemQ
\vdash 
\forall \underline{(sx)}
\colon 
\forall \underline{(sy)}
\colon 
\forall \underline{(sz)}
\colon 
\forall \underline{(su)}
\colon \underline{(sx)}
 \mathrel{\in} \underline{(sz)}
\vdash \underline{(sx)}
 \mathrel{\in} Union(\{\underline{(sy)}
,\underline{(sz)}
\}
)
]$


$
[ToBinaryUnion(2)
\stackrel{
proof
}{\rightarrow}
\lambda 
\mathsf {c}
.
\lambda 
\mathsf{x}
.
{\cal P}( 
\lceil SystemQ
\vdash 
\forall \underline{(sx)}
\colon 
\forall \underline{(sy)}
\colon 
\forall \underline{(sz)}
\colon 
\forall \underline{(su)}
\colon \underline{(sx)}
 \mathrel{\in} \underline{(sz)}
\vdash InPair(2)
\gg \underline{(sz)}
 \mathrel{\in} \{\underline{(sy)}
,\underline{(sz)}
\}
; JoinConjuncts
\rhd \underline{(sx)}
 \mathrel{\in} \underline{(sz)}
\rhd \underline{(sz)}
 \mathrel{\in} \{\underline{(sy)}
,\underline{(sz)}
\}
\gg \dot{\neg}\,(\underline{(sx)}
 \mathrel{\in} \underline{(sz)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\underline{(sz)}
 \mathrel{\in} \{\underline{(sy)}
,\underline{(sz)}
\}
)n
)n
; IntroExist
\mathop {\char64} \underline{(sz)}
\rhd \dot{\neg}\,(\underline{(sx)}
 \mathrel{\in} \underline{(sz)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\underline{(sz)}
 \mathrel{\in} \{\underline{(sy)}
,\underline{(sz)}
\}
)n
)n
\gg \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \underline{(su)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\underline{(sx)}
 \mathrel{\in} \underline{(su)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\underline{(su)}
 \mathrel{\in} \{\underline{(sy)}
,\underline{(sz)}
\}
)n
)n
)n
)n
; Formula2Union
\rhd \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \underline{(su)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\underline{(sx)}
 \mathrel{\in} \underline{(su)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\underline{(su)}
 \mathrel{\in} \{\underline{(sy)}
,\underline{(sz)}
\}
)n
)n
)n
)n
\gg \underline{(sx)}
 \mathrel{\in} Union(\{\underline{(sy)}
,\underline{(sz)}
\}
)
; Repetition
\rhd \underline{(sx)}
 \mathrel{\in} Union(\{\underline{(sy)}
,\underline{(sz)}
\}
)
\gg \underline{(sx)}
 \mathrel{\in} Union(\{\underline{(sy)}
,\underline{(sz)}
\}
)
\rceil 
, 
p_0
, 
\mathsf {c}
)
]$

$
[FromOrderedPair(TwoLevels)
\stackrel{
stmt
}{\rightarrow}SystemQ
\vdash 
\forall \underline{(sx)}
\colon 
\forall \underline{(sy)}
\colon 
\forall \underline{(sz)}
\colon 
\forall \underline{(su)}
\colon \underline{(sx)}
 \mathrel{\in} \underline{(sy)}
\vdash \underline{(sy)}
 \mathrel{\in} \{\{\underline{(sz)}
,\underline{(sz)}
\}
,\{\underline{(sz)}
,\underline{(su)}
\}
\}
\vdash \dot{\neg}\,(\underline{(sx)}
 = \underline{(sz)}
)n
\Rightarrow \underline{(sx)}
 = \underline{(su)}
]$

$
[FromOrderedPair(TwoLevels)
\stackrel{
proof
}{\rightarrow}
\lambda 
\mathsf {c}
.
\lambda 
\mathsf{x}
.
{\cal P}( 
\lceil SystemQ
\vdash 
\forall \underline{(sx)}
\colon 
\forall \underline{(sy)}
\colon 
\forall \underline{(sz)}
\colon 
\forall \underline{(su)}
\colon \underline{(sx)}
 \mathrel{\in} \underline{(sy)}
\vdash \underline{(sy)}
 \mathrel{\in} \{\{\underline{(sz)}
,\underline{(sz)}
\}
,\{\underline{(sz)}
,\underline{(su)}
\}
\}
\vdash Repetition
\rhd \underline{(sy)}
 \mathrel{\in} \{\{\underline{(sz)}
,\underline{(sz)}
\}
,\{\underline{(sz)}
,\underline{(su)}
\}
\}
\gg \underline{(sy)}
 \mathrel{\in} \{\{\underline{(sz)}
,\underline{(sz)}
\}
,\{\underline{(sz)}
,\underline{(su)}
\}
\}
; Pair2Formula
\rhd \underline{(sy)}
 \mathrel{\in} \{\{\underline{(sz)}
,\underline{(sz)}
\}
,\{\underline{(sz)}
,\underline{(su)}
\}
\}
\gg \dot{\neg}\,(\underline{(sy)}
 = \{\underline{(sz)}
,\underline{(sz)}
\}
)n
\Rightarrow \underline{(sy)}
 = \{\underline{(sz)}
,\underline{(su)}
\}
; 
\forall \underline{(sx)}
\colon 
\forall \underline{(sy)}
\colon 
\forall \underline{(sz)}
\colon 
\forall \underline{(su)}
\colon \underline{(sy)}
 = \{\underline{(sz)}
,\underline{(sz)}
\}
\vdash \underline{(sx)}
 \mathrel{\in} \underline{(sy)}
\vdash SENC1
\rhd \underline{(sy)}
 = \{\underline{(sz)}
,\underline{(sz)}
\}
\rhd \underline{(sx)}
 \mathrel{\in} \underline{(sy)}
\gg \underline{(sx)}
 \mathrel{\in} \{\underline{(sz)}
,\underline{(sz)}
\}
; FromSingleton
\rhd \underline{(sx)}
 \mathrel{\in} \{\underline{(sz)}
,\underline{(sz)}
\}
\gg \underline{(sx)}
 = \underline{(sz)}
; WeakenOr2
\rhd \underline{(sx)}
 = \underline{(sz)}
\gg \dot{\neg}\,(\underline{(sx)}
 = \underline{(sz)}
)n
\Rightarrow \underline{(sx)}
 = \underline{(su)}
; 
\forall \underline{(sx)}
\colon 
\forall \underline{(sy)}
\colon 
\forall \underline{(sz)}
\colon 
\forall \underline{(su)}
\colon \underline{(sy)}
 = \{\underline{(sz)}
,\underline{(su)}
\}
\vdash \underline{(sx)}
 \mathrel{\in} \underline{(sy)}
\vdash SENC1
\rhd \underline{(sy)}
 = \{\underline{(sz)}
,\underline{(su)}
\}
\rhd \underline{(sx)}
 \mathrel{\in} \underline{(sy)}
\gg \underline{(sx)}
 \mathrel{\in} \{\underline{(sz)}
,\underline{(su)}
\}
; Pair2Formula
\rhd \underline{(sx)}
 \mathrel{\in} \{\underline{(sz)}
,\underline{(su)}
\}
\gg \dot{\neg}\,(\underline{(sx)}
 = \underline{(sz)}
)n
\Rightarrow \underline{(sx)}
 = \underline{(su)}
; Ded
\rhd 
\forall \underline{(sx)}
\colon 
\forall \underline{(sy)}
\colon 
\forall \underline{(sz)}
\colon 
\forall \underline{(su)}
\colon \underline{(sy)}
 = \{\underline{(sz)}
,\underline{(sz)}
\}
\vdash \underline{(sx)}
 \mathrel{\in} \underline{(sy)}
\vdash \dot{\neg}\,(\underline{(sx)}
 = \underline{(sz)}
)n
\Rightarrow \underline{(sx)}
 = \underline{(su)}
\gg \underline{(sy)}
 = \{\underline{(sz)}
,\underline{(sz)}
\}
\Rightarrow \underline{(sx)}
 \mathrel{\in} \underline{(sy)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\underline{(sx)}
 = \underline{(sz)}
)n
\Rightarrow \underline{(sx)}
 = \underline{(su)}
; Ded
\rhd 
\forall \underline{(sx)}
\colon 
\forall \underline{(sy)}
\colon 
\forall \underline{(sz)}
\colon 
\forall \underline{(su)}
\colon \underline{(sy)}
 = \{\underline{(sz)}
,\underline{(su)}
\}
\vdash \underline{(sx)}
 \mathrel{\in} \underline{(sy)}
\vdash \dot{\neg}\,(\underline{(sx)}
 = \underline{(sz)}
)n
\Rightarrow \underline{(sx)}
 = \underline{(su)}
\gg \underline{(sy)}
 = \{\underline{(sz)}
,\underline{(su)}
\}
\Rightarrow \underline{(sx)}
 \mathrel{\in} \underline{(sy)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\underline{(sx)}
 = \underline{(sz)}
)n
\Rightarrow \underline{(sx)}
 = \underline{(su)}
; FromDisjuncts
\rhd \dot{\neg}\,(\underline{(sy)}
 = \{\underline{(sz)}
,\underline{(sz)}
\}
)n
\Rightarrow \underline{(sy)}
 = \{\underline{(sz)}
,\underline{(su)}
\}
\rhd \underline{(sy)}
 = \{\underline{(sz)}
,\underline{(sz)}
\}
\Rightarrow \underline{(sx)}
 \mathrel{\in} \underline{(sy)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\underline{(sx)}
 = \underline{(sz)}
)n
\Rightarrow \underline{(sx)}
 = \underline{(su)}
\rhd \underline{(sy)}
 = \{\underline{(sz)}
,\underline{(su)}
\}
\Rightarrow \underline{(sx)}
 \mathrel{\in} \underline{(sy)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\underline{(sx)}
 = \underline{(sz)}
)n
\Rightarrow \underline{(sx)}
 = \underline{(su)}
\gg \underline{(sx)}
 \mathrel{\in} \underline{(sy)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\underline{(sx)}
 = \underline{(sz)}
)n
\Rightarrow \underline{(sx)}
 = \underline{(su)}
; MP
\rhd \underline{(sx)}
 \mathrel{\in} \underline{(sy)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\underline{(sx)}
 = \underline{(sz)}
)n
\Rightarrow \underline{(sx)}
 = \underline{(su)}
\rhd \underline{(sx)}
 \mathrel{\in} \underline{(sy)}
\gg \dot{\neg}\,(\underline{(sx)}
 = \underline{(sz)}
)n
\Rightarrow \underline{(sx)}
 = \underline{(su)}
\rceil 
, 
p_0
, 
\mathsf {c}
)
]$




$
[CartProdIsRelation
\stackrel{
stmt
}{\rightarrow}SystemQ
\vdash 
\forall \underline{(sx)}
\colon 
\forall \underline{(sy)}
\colon 
\forall_{obj} \overline{(r1)}
\colon \overline{(r1)}
 \mathrel{\in}  \{ ph \mathrel{\in} P(P(Union(\{\underline{(sx)}
,\underline{(sy)}
\}
)
)
)
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op1)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op2)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\overline{(op1)}
 \mathrel{\in} \underline{(sx)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(op2)}
 \mathrel{\in} \underline{(sy)}
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\mathsf {a}
 _{Ph} 
 = \{\{\overline{(op1)}
,\overline{(op1)}
\}
,\{\overline{(op1)}
,\overline{(op2)}
\}
\}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op1)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op2)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\overline{(op1)}
 \mathrel{\in} \underline{(sx)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(op2)}
 \mathrel{\in} \underline{(sy)}
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(r1)}
 = \{\{\overline{(op1)}
,\overline{(op1)}
\}
,\{\overline{(op1)}
,\overline{(op2)}
\}
\}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
]$

$
[CartProdIsRelation
\stackrel{
proof
}{\rightarrow}
\lambda 
\mathsf {c}
.
\lambda 
\mathsf{x}
.
{\cal P}( 
\lceil SystemQ
\vdash 
\forall \underline{(sx)}
\colon 
\forall \underline{(sy)}
\colon \overline{(r1)}
 \mathrel{\in}  \{ ph \mathrel{\in} P(P(Union(\{\underline{(sx)}
,\underline{(sy)}
\}
)
)
)
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op1)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op2)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\overline{(op1)}
 \mathrel{\in} \underline{(sx)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(op2)}
 \mathrel{\in} \underline{(sy)}
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\mathsf {a}
 _{Ph} 
 = \{\{\overline{(op1)}
,\overline{(op1)}
\}
,\{\overline{(op1)}
,\overline{(op2)}
\}
\}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\}
\vdash Sep2Formula
\rhd \overline{(r1)}
 \mathrel{\in}  \{ ph \mathrel{\in} P(P(Union(\{\underline{(sx)}
,\underline{(sy)}
\}
)
)
)
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op1)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op2)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\overline{(op1)}
 \mathrel{\in} \underline{(sx)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(op2)}
 \mathrel{\in} \underline{(sy)}
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\mathsf {a}
 _{Ph} 
 = \{\{\overline{(op1)}
,\overline{(op1)}
\}
,\{\overline{(op1)}
,\overline{(op2)}
\}
\}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\}
\gg \dot{\neg}\,(\overline{(r1)}
 \mathrel{\in} P(P(Union(\{\underline{(sx)}
,\underline{(sy)}
\}
)
)
)
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op1)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op2)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\overline{(op1)}
 \mathrel{\in} \underline{(sx)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(op2)}
 \mathrel{\in} \underline{(sy)}
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(r1)}
 = \{\{\overline{(op1)}
,\overline{(op1)}
\}
,\{\overline{(op1)}
,\overline{(op2)}
\}
\}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
)n
)n
; SecondConjunct
\rhd \dot{\neg}\,(\overline{(r1)}
 \mathrel{\in} P(P(Union(\{\underline{(sx)}
,\underline{(sy)}
\}
)
)
)
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op1)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op2)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\overline{(op1)}
 \mathrel{\in} \underline{(sx)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(op2)}
 \mathrel{\in} \underline{(sy)}
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(r1)}
 = \{\{\overline{(op1)}
,\overline{(op1)}
\}
,\{\overline{(op1)}
,\overline{(op2)}
\}
\}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\gg \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op1)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op2)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\overline{(op1)}
 \mathrel{\in} \underline{(sx)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(op2)}
 \mathrel{\in} \underline{(sy)}
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(r1)}
 = \{\{\overline{(op1)}
,\overline{(op1)}
\}
,\{\overline{(op1)}
,\overline{(op2)}
\}
\}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
; 
\forall \underline{(sx)}
\colon 
\forall \underline{(sy)}
\colon Ded
\rhd 
\forall \underline{(sx)}
\colon 
\forall \underline{(sy)}
\colon \overline{(r1)}
 \mathrel{\in}  \{ ph \mathrel{\in} P(P(Union(\{\underline{(sx)}
,\underline{(sy)}
\}
)
)
)
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op1)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op2)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\overline{(op1)}
 \mathrel{\in} \underline{(sx)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(op2)}
 \mathrel{\in} \underline{(sy)}
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\mathsf {a}
 _{Ph} 
 = \{\{\overline{(op1)}
,\overline{(op1)}
\}
,\{\overline{(op1)}
,\overline{(op2)}
\}
\}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\}
\vdash \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op1)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op2)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\overline{(op1)}
 \mathrel{\in} \underline{(sx)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(op2)}
 \mathrel{\in} \underline{(sy)}
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(r1)}
 = \{\{\overline{(op1)}
,\overline{(op1)}
\}
,\{\overline{(op1)}
,\overline{(op2)}
\}
\}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\gg \overline{(r1)}
 \mathrel{\in}  \{ ph \mathrel{\in} P(P(Union(\{\underline{(sx)}
,\underline{(sy)}
\}
)
)
)
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op1)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op2)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\overline{(op1)}
 \mathrel{\in} \underline{(sx)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(op2)}
 \mathrel{\in} \underline{(sy)}
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\mathsf {a}
 _{Ph} 
 = \{\{\overline{(op1)}
,\overline{(op1)}
\}
,\{\overline{(op1)}
,\overline{(op2)}
\}
\}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op1)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op2)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\overline{(op1)}
 \mathrel{\in} \underline{(sx)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(op2)}
 \mathrel{\in} \underline{(sy)}
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(r1)}
 = \{\{\overline{(op1)}
,\overline{(op1)}
\}
,\{\overline{(op1)}
,\overline{(op2)}
\}
\}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
; Gen
\rhd \overline{(r1)}
 \mathrel{\in}  \{ ph \mathrel{\in} P(P(Union(\{\underline{(sx)}
,\underline{(sy)}
\}
)
)
)
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op1)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op2)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\overline{(op1)}
 \mathrel{\in} \underline{(sx)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(op2)}
 \mathrel{\in} \underline{(sy)}
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\mathsf {a}
 _{Ph} 
 = \{\{\overline{(op1)}
,\overline{(op1)}
\}
,\{\overline{(op1)}
,\overline{(op2)}
\}
\}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op1)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op2)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\overline{(op1)}
 \mathrel{\in} \underline{(sx)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(op2)}
 \mathrel{\in} \underline{(sy)}
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(r1)}
 = \{\{\overline{(op1)}
,\overline{(op1)}
\}
,\{\overline{(op1)}
,\overline{(op2)}
\}
\}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\gg 
\forall_{obj} \overline{(r1)}
\colon \overline{(r1)}
 \mathrel{\in}  \{ ph \mathrel{\in} P(P(Union(\{\underline{(sx)}
,\underline{(sy)}
\}
)
)
)
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op1)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op2)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\overline{(op1)}
 \mathrel{\in} \underline{(sx)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(op2)}
 \mathrel{\in} \underline{(sy)}
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\mathsf {a}
 _{Ph} 
 = \{\{\overline{(op1)}
,\overline{(op1)}
\}
,\{\overline{(op1)}
,\overline{(op2)}
\}
\}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op1)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op2)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\overline{(op1)}
 \mathrel{\in} \underline{(sx)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(op2)}
 \mathrel{\in} \underline{(sy)}
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(r1)}
 = \{\{\overline{(op1)}
,\overline{(op1)}
\}
,\{\overline{(op1)}
,\overline{(op2)}
\}
\}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
; Repetition
\rhd 
\forall_{obj} \overline{(r1)}
\colon \overline{(r1)}
 \mathrel{\in}  \{ ph \mathrel{\in} P(P(Union(\{\underline{(sx)}
,\underline{(sy)}
\}
)
)
)
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op1)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op2)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\overline{(op1)}
 \mathrel{\in} \underline{(sx)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(op2)}
 \mathrel{\in} \underline{(sy)}
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\mathsf {a}
 _{Ph} 
 = \{\{\overline{(op1)}
,\overline{(op1)}
\}
,\{\overline{(op1)}
,\overline{(op2)}
\}
\}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op1)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op2)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\overline{(op1)}
 \mathrel{\in} \underline{(sx)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(op2)}
 \mathrel{\in} \underline{(sy)}
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(r1)}
 = \{\{\overline{(op1)}
,\overline{(op1)}
\}
,\{\overline{(op1)}
,\overline{(op2)}
\}
\}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\gg 
\forall_{obj} \overline{(r1)}
\colon \overline{(r1)}
 \mathrel{\in}  \{ ph \mathrel{\in} P(P(Union(\{\underline{(sx)}
,\underline{(sy)}
\}
)
)
)
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op1)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op2)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\overline{(op1)}
 \mathrel{\in} \underline{(sx)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(op2)}
 \mathrel{\in} \underline{(sy)}
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\mathsf {a}
 _{Ph} 
 = \{\{\overline{(op1)}
,\overline{(op1)}
\}
,\{\overline{(op1)}
,\overline{(op2)}
\}
\}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op1)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op2)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\overline{(op1)}
 \mathrel{\in} \underline{(sx)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(op2)}
 \mathrel{\in} \underline{(sy)}
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(r1)}
 = \{\{\overline{(op1)}
,\overline{(op1)}
\}
,\{\overline{(op1)}
,\overline{(op2)}
\}
\}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\rceil 
, 
p_0
, 
\mathsf {c}
)
]$

$
[FromSubset
\stackrel{
stmt
}{\rightarrow}SystemQ
\vdash 
\forall \underline{(sx)}
\colon 
\forall \underline{(sy)}
\colon 
\forall \underline{(sz)}
\colon 
\forall_{obj} \overline{(s1)}
\colon \overline{(s1)}
 \mathrel{\in} \underline{(sx)}
\Rightarrow \overline{(s1)}
 \mathrel{\in} \underline{(sy)}
\vdash \underline{(sz)}
 \mathrel{\in} \underline{(sx)}
\vdash \underline{(sz)}
 \mathrel{\in} \underline{(sy)}
]$

$
[FromSubset
\stackrel{
proof
}{\rightarrow}
\lambda 
\mathsf {c}
.
\lambda 
\mathsf{x}
.
{\cal P}( 
\lceil SystemQ
\vdash 
\forall \underline{(sx)}
\colon 
\forall \underline{(sy)}
\colon 
\forall \underline{(sz)}
\colon 
\forall_{obj} \overline{(s1)}
\colon \overline{(s1)}
 \mathrel{\in} \underline{(sx)}
\Rightarrow \overline{(s1)}
 \mathrel{\in} \underline{(sy)}
\vdash \underline{(sz)}
 \mathrel{\in} \underline{(sx)}
\vdash Repetition
\rhd 
\forall_{obj} \overline{(s1)}
\colon \overline{(s1)}
 \mathrel{\in} \underline{(sx)}
\Rightarrow \overline{(s1)}
 \mathrel{\in} \underline{(sy)}
\gg 
\forall_{obj} \overline{(s1)}
\colon \overline{(s1)}
 \mathrel{\in} \underline{(sx)}
\Rightarrow \overline{(s1)}
 \mathrel{\in} \underline{(sy)}
; A4
\mathop {\char64} \underline{(sz)}
\rhd 
\forall_{obj} \overline{(s1)}
\colon \overline{(s1)}
 \mathrel{\in} \underline{(sx)}
\Rightarrow \overline{(s1)}
 \mathrel{\in} \underline{(sy)}
\gg \underline{(sz)}
 \mathrel{\in} \underline{(sx)}
\Rightarrow \underline{(sz)}
 \mathrel{\in} \underline{(sy)}
; MP
\rhd \underline{(sz)}
 \mathrel{\in} \underline{(sx)}
\Rightarrow \underline{(sz)}
 \mathrel{\in} \underline{(sy)}
\rhd \underline{(sz)}
 \mathrel{\in} \underline{(sx)}
\gg \underline{(sz)}
 \mathrel{\in} \underline{(sy)}
\rceil 
, 
p_0
, 
\mathsf {c}
)
]$

$
[SubsetIsRelation
\stackrel{
stmt
}{\rightarrow}SystemQ
\vdash 
\forall \underline{(sx)}
\colon 
\forall \underline{(sy)}
\colon 
\forall \underline{(sz)}
\colon 
\forall \underline{(su)}
\colon 
\forall_{obj} \overline{(r1)}
\colon \overline{(r1)}
 \mathrel{\in} \underline{(sx)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op1)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op2)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\overline{(op1)}
 \mathrel{\in} \underline{(sz)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(op2)}
 \mathrel{\in} \underline{(su)}
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(r1)}
 = \{\{\overline{(op1)}
,\overline{(op1)}
\}
,\{\overline{(op1)}
,\overline{(op2)}
\}
\}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\vdash 
\forall_{obj} \overline{(s1)}
\colon \overline{(s1)}
 \mathrel{\in} \underline{(sy)}
\Rightarrow \overline{(s1)}
 \mathrel{\in} \underline{(sx)}
\vdash 
\forall_{obj} \overline{(r1)}
\colon \overline{(r1)}
 \mathrel{\in} \underline{(sy)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op1)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op2)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\overline{(op1)}
 \mathrel{\in} \underline{(sz)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(op2)}
 \mathrel{\in} \underline{(su)}
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(r1)}
 = \{\{\overline{(op1)}
,\overline{(op1)}
\}
,\{\overline{(op1)}
,\overline{(op2)}
\}
\}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
]$

$
[SubsetIsRelation
\stackrel{
proof
}{\rightarrow}
\lambda 
\mathsf {c}
.
\lambda 
\mathsf{x}
.
{\cal P}( 
\lceil SystemQ
\vdash 
\forall \underline{(sx)}
\colon 
\forall \underline{(sy)}
\colon 
\forall \underline{(sz)}
\colon 
\forall \underline{(su)}
\colon 
\forall_{obj} \overline{(r1)}
\colon \overline{(r1)}
 \mathrel{\in} \underline{(sx)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op1)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op2)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\overline{(op1)}
 \mathrel{\in} \underline{(sz)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(op2)}
 \mathrel{\in} \underline{(su)}
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(r1)}
 = \{\{\overline{(op1)}
,\overline{(op1)}
\}
,\{\overline{(op1)}
,\overline{(op2)}
\}
\}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\vdash 
\forall_{obj} \overline{(s1)}
\colon \overline{(s1)}
 \mathrel{\in} \underline{(sy)}
\Rightarrow \overline{(s1)}
 \mathrel{\in} \underline{(sx)}
\vdash \overline{(r1)}
 \mathrel{\in} \underline{(sy)}
\vdash Repetition
\rhd 
\forall_{obj} \overline{(r1)}
\colon \overline{(r1)}
 \mathrel{\in} \underline{(sx)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op1)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op2)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\overline{(op1)}
 \mathrel{\in} \underline{(sz)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(op2)}
 \mathrel{\in} \underline{(su)}
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(r1)}
 = \{\{\overline{(op1)}
,\overline{(op1)}
\}
,\{\overline{(op1)}
,\overline{(op2)}
\}
\}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\gg 
\forall_{obj} \overline{(r1)}
\colon \overline{(r1)}
 \mathrel{\in} \underline{(sx)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op1)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op2)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\overline{(op1)}
 \mathrel{\in} \underline{(sz)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(op2)}
 \mathrel{\in} \underline{(su)}
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(r1)}
 = \{\{\overline{(op1)}
,\overline{(op1)}
\}
,\{\overline{(op1)}
,\overline{(op2)}
\}
\}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
; A4
\mathop {\char64} \overline{(r1)}
\rhd 
\forall_{obj} \overline{(r1)}
\colon \overline{(r1)}
 \mathrel{\in} \underline{(sx)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op1)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op2)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\overline{(op1)}
 \mathrel{\in} \underline{(sz)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(op2)}
 \mathrel{\in} \underline{(su)}
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(r1)}
 = \{\{\overline{(op1)}
,\overline{(op1)}
\}
,\{\overline{(op1)}
,\overline{(op2)}
\}
\}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\gg \overline{(r1)}
 \mathrel{\in} \underline{(sx)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op1)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op2)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\overline{(op1)}
 \mathrel{\in} \underline{(sz)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(op2)}
 \mathrel{\in} \underline{(su)}
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(r1)}
 = \{\{\overline{(op1)}
,\overline{(op1)}
\}
,\{\overline{(op1)}
,\overline{(op2)}
\}
\}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
; FromSubset
\rhd 
\forall_{obj} \overline{(s1)}
\colon \overline{(s1)}
 \mathrel{\in} \underline{(sy)}
\Rightarrow \overline{(s1)}
 \mathrel{\in} \underline{(sx)}
\rhd \overline{(r1)}
 \mathrel{\in} \underline{(sy)}
\gg \overline{(r1)}
 \mathrel{\in} \underline{(sx)}
; MP
\rhd \overline{(r1)}
 \mathrel{\in} \underline{(sx)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op1)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op2)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\overline{(op1)}
 \mathrel{\in} \underline{(sz)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(op2)}
 \mathrel{\in} \underline{(su)}
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(r1)}
 = \{\{\overline{(op1)}
,\overline{(op1)}
\}
,\{\overline{(op1)}
,\overline{(op2)}
\}
\}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\rhd \overline{(r1)}
 \mathrel{\in} \underline{(sx)}
\gg \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op1)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op2)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\overline{(op1)}
 \mathrel{\in} \underline{(sz)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(op2)}
 \mathrel{\in} \underline{(su)}
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(r1)}
 = \{\{\overline{(op1)}
,\overline{(op1)}
\}
,\{\overline{(op1)}
,\overline{(op2)}
\}
\}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
; 
\forall \underline{(sx)}
\colon 
\forall \underline{(sy)}
\colon 
\forall \underline{(sz)}
\colon 
\forall \underline{(su)}
\colon Ded
\rhd 
\forall \underline{(sx)}
\colon 
\forall \underline{(sy)}
\colon 
\forall \underline{(sz)}
\colon 
\forall \underline{(su)}
\colon 
\forall_{obj} \overline{(r1)}
\colon \overline{(r1)}
 \mathrel{\in} \underline{(sx)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op1)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op2)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\overline{(op1)}
 \mathrel{\in} \underline{(sz)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(op2)}
 \mathrel{\in} \underline{(su)}
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(r1)}
 = \{\{\overline{(op1)}
,\overline{(op1)}
\}
,\{\overline{(op1)}
,\overline{(op2)}
\}
\}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\vdash 
\forall_{obj} \overline{(s1)}
\colon \overline{(s1)}
 \mathrel{\in} \underline{(sy)}
\Rightarrow \overline{(s1)}
 \mathrel{\in} \underline{(sx)}
\vdash \overline{(r1)}
 \mathrel{\in} \underline{(sy)}
\vdash \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op1)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op2)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\overline{(op1)}
 \mathrel{\in} \underline{(sz)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(op2)}
 \mathrel{\in} \underline{(su)}
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(r1)}
 = \{\{\overline{(op1)}
,\overline{(op1)}
\}
,\{\overline{(op1)}
,\overline{(op2)}
\}
\}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\gg 
\forall_{obj} \overline{(r1)}
\colon \overline{(r1)}
 \mathrel{\in} \underline{(sx)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op1)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op2)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\overline{(op1)}
 \mathrel{\in} \underline{(sz)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(op2)}
 \mathrel{\in} \underline{(su)}
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(r1)}
 = \{\{\overline{(op1)}
,\overline{(op1)}
\}
,\{\overline{(op1)}
,\overline{(op2)}
\}
\}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\Rightarrow 
\forall_{obj} \overline{(s1)}
\colon \overline{(s1)}
 \mathrel{\in} \underline{(sy)}
\Rightarrow \overline{(s1)}
 \mathrel{\in} \underline{(sx)}
\Rightarrow \overline{(r1)}
 \mathrel{\in} \underline{(sy)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op1)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op2)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\overline{(op1)}
 \mathrel{\in} \underline{(sz)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(op2)}
 \mathrel{\in} \underline{(su)}
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(r1)}
 = \{\{\overline{(op1)}
,\overline{(op1)}
\}
,\{\overline{(op1)}
,\overline{(op2)}
\}
\}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
; 
\forall_{obj} \overline{(r1)}
\colon \overline{(r1)}
 \mathrel{\in} \underline{(sx)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op1)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op2)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\overline{(op1)}
 \mathrel{\in} \underline{(sz)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(op2)}
 \mathrel{\in} \underline{(su)}
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(r1)}
 = \{\{\overline{(op1)}
,\overline{(op1)}
\}
,\{\overline{(op1)}
,\overline{(op2)}
\}
\}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\vdash 
\forall_{obj} \overline{(s1)}
\colon \overline{(s1)}
 \mathrel{\in} \underline{(sy)}
\Rightarrow \overline{(s1)}
 \mathrel{\in} \underline{(sx)}
\vdash MP2
\rhd 
\forall_{obj} \overline{(r1)}
\colon \overline{(r1)}
 \mathrel{\in} \underline{(sx)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op1)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op2)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\overline{(op1)}
 \mathrel{\in} \underline{(sz)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(op2)}
 \mathrel{\in} \underline{(su)}
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(r1)}
 = \{\{\overline{(op1)}
,\overline{(op1)}
\}
,\{\overline{(op1)}
,\overline{(op2)}
\}
\}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\Rightarrow 
\forall_{obj} \overline{(s1)}
\colon \overline{(s1)}
 \mathrel{\in} \underline{(sy)}
\Rightarrow \overline{(s1)}
 \mathrel{\in} \underline{(sx)}
\Rightarrow \overline{(r1)}
 \mathrel{\in} \underline{(sy)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op1)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op2)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\overline{(op1)}
 \mathrel{\in} \underline{(sz)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(op2)}
 \mathrel{\in} \underline{(su)}
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(r1)}
 = \{\{\overline{(op1)}
,\overline{(op1)}
\}
,\{\overline{(op1)}
,\overline{(op2)}
\}
\}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\rhd 
\forall_{obj} \overline{(r1)}
\colon \overline{(r1)}
 \mathrel{\in} \underline{(sx)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op1)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op2)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\overline{(op1)}
 \mathrel{\in} \underline{(sz)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(op2)}
 \mathrel{\in} \underline{(su)}
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(r1)}
 = \{\{\overline{(op1)}
,\overline{(op1)}
\}
,\{\overline{(op1)}
,\overline{(op2)}
\}
\}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\rhd 
\forall_{obj} \overline{(s1)}
\colon \overline{(s1)}
 \mathrel{\in} \underline{(sy)}
\Rightarrow \overline{(s1)}
 \mathrel{\in} \underline{(sx)}
\gg \overline{(r1)}
 \mathrel{\in} \underline{(sy)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op1)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op2)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\overline{(op1)}
 \mathrel{\in} \underline{(sz)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(op2)}
 \mathrel{\in} \underline{(su)}
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(r1)}
 = \{\{\overline{(op1)}
,\overline{(op1)}
\}
,\{\overline{(op1)}
,\overline{(op2)}
\}
\}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
; Gen
\rhd \overline{(r1)}
 \mathrel{\in} \underline{(sy)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op1)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op2)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\overline{(op1)}
 \mathrel{\in} \underline{(sz)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(op2)}
 \mathrel{\in} \underline{(su)}
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(r1)}
 = \{\{\overline{(op1)}
,\overline{(op1)}
\}
,\{\overline{(op1)}
,\overline{(op2)}
\}
\}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\gg 
\forall_{obj} \overline{(r1)}
\colon \overline{(r1)}
 \mathrel{\in} \underline{(sy)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op1)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op2)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\overline{(op1)}
 \mathrel{\in} \underline{(sz)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(op2)}
 \mathrel{\in} \underline{(su)}
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(r1)}
 = \{\{\overline{(op1)}
,\overline{(op1)}
\}
,\{\overline{(op1)}
,\overline{(op2)}
\}
\}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
; Repetition
\rhd 
\forall_{obj} \overline{(r1)}
\colon \overline{(r1)}
 \mathrel{\in} \underline{(sy)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op1)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op2)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\overline{(op1)}
 \mathrel{\in} \underline{(sz)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(op2)}
 \mathrel{\in} \underline{(su)}
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(r1)}
 = \{\{\overline{(op1)}
,\overline{(op1)}
\}
,\{\overline{(op1)}
,\overline{(op2)}
\}
\}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\gg 
\forall_{obj} \overline{(r1)}
\colon \overline{(r1)}
 \mathrel{\in} \underline{(sy)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op1)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op2)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\overline{(op1)}
 \mathrel{\in} \underline{(sz)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(op2)}
 \mathrel{\in} \underline{(su)}
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(r1)}
 = \{\{\overline{(op1)}
,\overline{(op1)}
\}
,\{\overline{(op1)}
,\overline{(op2)}
\}
\}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\rceil 
, 
p_0
, 
\mathsf {c}
)
]$

$
[CPseparationIsRelation
\stackrel{
stmt
}{\rightarrow}SystemQ
\vdash 
\forall \underline{
\mathsf {a}}
\colon 
\forall \underline{(sx)}
\colon 
\forall \underline{(sy)}
\colon 
\forall_{obj} \overline{(r1)}
\colon \overline{(r1)}
 \mathrel{\in}  \{ ph \mathrel{\in}  \{ ph \mathrel{\in} P(P(Union(\{\underline{(sx)}
,\underline{(sy)}
\}
)
)
)
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op1)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op2)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\overline{(op1)}
 \mathrel{\in} \underline{(sx)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(op2)}
 \mathrel{\in} \underline{(sy)}
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\mathsf {a}
 _{Ph} 
 = \{\{\overline{(op1)}
,\overline{(op1)}
\}
,\{\overline{(op1)}
,\overline{(op2)}
\}
\}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\}
\mid \underline{
\mathsf {a}}
\}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op1)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op2)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\overline{(op1)}
 \mathrel{\in} \underline{(sx)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(op2)}
 \mathrel{\in} \underline{(sy)}
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(r1)}
 = \{\{\overline{(op1)}
,\overline{(op1)}
\}
,\{\overline{(op1)}
,\overline{(op2)}
\}
\}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
]$

$
[CPseparationIsRelation
\stackrel{
proof
}{\rightarrow}
\lambda 
\mathsf {c}
.
\lambda 
\mathsf{x}
.
{\cal P}( 
\lceil SystemQ
\vdash 
\forall \underline{
\mathsf {a}}
\colon 
\forall \underline{(sx)}
\colon 
\forall \underline{(sy)}
\colon \overline{(s1)}
 \mathrel{\in}  \{ ph \mathrel{\in}  \{ ph \mathrel{\in} P(P(Union(\{\underline{(sx)}
,\underline{(sy)}
\}
)
)
)
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op1)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op2)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\overline{(op1)}
 \mathrel{\in} \underline{(sx)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(op2)}
 \mathrel{\in} \underline{(sy)}
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\mathsf {a}
 _{Ph} 
 = \{\{\overline{(op1)}
,\overline{(op1)}
\}
,\{\overline{(op1)}
,\overline{(op2)}
\}
\}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\}
\mid \underline{
\mathsf {a}}
\}
\vdash Separation2formula(1)
\rhd \overline{(s1)}
 \mathrel{\in}  \{ ph \mathrel{\in}  \{ ph \mathrel{\in} P(P(Union(\{\underline{(sx)}
,\underline{(sy)}
\}
)
)
)
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op1)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op2)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\overline{(op1)}
 \mathrel{\in} \underline{(sx)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(op2)}
 \mathrel{\in} \underline{(sy)}
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\mathsf {a}
 _{Ph} 
 = \{\{\overline{(op1)}
,\overline{(op1)}
\}
,\{\overline{(op1)}
,\overline{(op2)}
\}
\}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\}
\mid \underline{
\mathsf {a}}
\}
\gg \overline{(s1)}
 \mathrel{\in}  \{ ph \mathrel{\in} P(P(Union(\{\underline{(sx)}
,\underline{(sy)}
\}
)
)
)
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op1)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op2)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\overline{(op1)}
 \mathrel{\in} \underline{(sx)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(op2)}
 \mathrel{\in} \underline{(sy)}
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\mathsf {a}
 _{Ph} 
 = \{\{\overline{(op1)}
,\overline{(op1)}
\}
,\{\overline{(op1)}
,\overline{(op2)}
\}
\}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\}
; 
\forall \underline{
\mathsf {a}}
\colon 
\forall \underline{(sx)}
\colon 
\forall \underline{(sy)}
\colon Ded
\rhd 
\forall \underline{
\mathsf {a}}
\colon 
\forall \underline{(sx)}
\colon 
\forall \underline{(sy)}
\colon \overline{(s1)}
 \mathrel{\in}  \{ ph \mathrel{\in}  \{ ph \mathrel{\in} P(P(Union(\{\underline{(sx)}
,\underline{(sy)}
\}
)
)
)
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op1)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op2)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\overline{(op1)}
 \mathrel{\in} \underline{(sx)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(op2)}
 \mathrel{\in} \underline{(sy)}
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\mathsf {a}
 _{Ph} 
 = \{\{\overline{(op1)}
,\overline{(op1)}
\}
,\{\overline{(op1)}
,\overline{(op2)}
\}
\}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\}
\mid \underline{
\mathsf {a}}
\}
\vdash \overline{(s1)}
 \mathrel{\in}  \{ ph \mathrel{\in} P(P(Union(\{\underline{(sx)}
,\underline{(sy)}
\}
)
)
)
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op1)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op2)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\overline{(op1)}
 \mathrel{\in} \underline{(sx)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(op2)}
 \mathrel{\in} \underline{(sy)}
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\mathsf {a}
 _{Ph} 
 = \{\{\overline{(op1)}
,\overline{(op1)}
\}
,\{\overline{(op1)}
,\overline{(op2)}
\}
\}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\}
\gg 
\forall_{obj} \overline{(s1)}
\colon \overline{(s1)}
 \mathrel{\in}  \{ ph \mathrel{\in}  \{ ph \mathrel{\in} P(P(Union(\{\underline{(sx)}
,\underline{(sy)}
\}
)
)
)
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op1)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op2)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\overline{(op1)}
 \mathrel{\in} \underline{(sx)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(op2)}
 \mathrel{\in} \underline{(sy)}
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\mathsf {a}
 _{Ph} 
 = \{\{\overline{(op1)}
,\overline{(op1)}
\}
,\{\overline{(op1)}
,\overline{(op2)}
\}
\}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\}
\mid \underline{
\mathsf {a}}
\}
\Rightarrow \overline{(s1)}
 \mathrel{\in}  \{ ph \mathrel{\in} P(P(Union(\{\underline{(sx)}
,\underline{(sy)}
\}
)
)
)
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op1)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op2)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\overline{(op1)}
 \mathrel{\in} \underline{(sx)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(op2)}
 \mathrel{\in} \underline{(sy)}
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\mathsf {a}
 _{Ph} 
 = \{\{\overline{(op1)}
,\overline{(op1)}
\}
,\{\overline{(op1)}
,\overline{(op2)}
\}
\}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\}
; Repetition
\rhd 
\forall_{obj} \overline{(s1)}
\colon \overline{(s1)}
 \mathrel{\in}  \{ ph \mathrel{\in}  \{ ph \mathrel{\in} P(P(Union(\{\underline{(sx)}
,\underline{(sy)}
\}
)
)
)
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op1)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op2)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\overline{(op1)}
 \mathrel{\in} \underline{(sx)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(op2)}
 \mathrel{\in} \underline{(sy)}
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\mathsf {a}
 _{Ph} 
 = \{\{\overline{(op1)}
,\overline{(op1)}
\}
,\{\overline{(op1)}
,\overline{(op2)}
\}
\}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\}
\mid \underline{
\mathsf {a}}
\}
\Rightarrow \overline{(s1)}
 \mathrel{\in}  \{ ph \mathrel{\in} P(P(Union(\{\underline{(sx)}
,\underline{(sy)}
\}
)
)
)
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op1)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op2)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\overline{(op1)}
 \mathrel{\in} \underline{(sx)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(op2)}
 \mathrel{\in} \underline{(sy)}
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\mathsf {a}
 _{Ph} 
 = \{\{\overline{(op1)}
,\overline{(op1)}
\}
,\{\overline{(op1)}
,\overline{(op2)}
\}
\}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\}
\gg 
\forall_{obj} \overline{(s1)}
\colon \overline{(s1)}
 \mathrel{\in}  \{ ph \mathrel{\in}  \{ ph \mathrel{\in} P(P(Union(\{\underline{(sx)}
,\underline{(sy)}
\}
)
)
)
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op1)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op2)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\overline{(op1)}
 \mathrel{\in} \underline{(sx)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(op2)}
 \mathrel{\in} \underline{(sy)}
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\mathsf {a}
 _{Ph} 
 = \{\{\overline{(op1)}
,\overline{(op1)}
\}
,\{\overline{(op1)}
,\overline{(op2)}
\}
\}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\}
\mid \underline{
\mathsf {a}}
\}
\Rightarrow \overline{(s1)}
 \mathrel{\in}  \{ ph \mathrel{\in} P(P(Union(\{\underline{(sx)}
,\underline{(sy)}
\}
)
)
)
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op1)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op2)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\overline{(op1)}
 \mathrel{\in} \underline{(sx)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(op2)}
 \mathrel{\in} \underline{(sy)}
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\mathsf {a}
 _{Ph} 
 = \{\{\overline{(op1)}
,\overline{(op1)}
\}
,\{\overline{(op1)}
,\overline{(op2)}
\}
\}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\}
; CartProdIsRelation
\gg 
\forall_{obj} \overline{(r1)}
\colon \overline{(r1)}
 \mathrel{\in}  \{ ph \mathrel{\in} P(P(Union(\{\underline{(sx)}
,\underline{(sy)}
\}
)
)
)
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op1)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op2)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\overline{(op1)}
 \mathrel{\in} \underline{(sx)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(op2)}
 \mathrel{\in} \underline{(sy)}
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\mathsf {a}
 _{Ph} 
 = \{\{\overline{(op1)}
,\overline{(op1)}
\}
,\{\overline{(op1)}
,\overline{(op2)}
\}
\}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op1)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op2)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\overline{(op1)}
 \mathrel{\in} \underline{(sx)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(op2)}
 \mathrel{\in} \underline{(sy)}
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(r1)}
 = \{\{\overline{(op1)}
,\overline{(op1)}
\}
,\{\overline{(op1)}
,\overline{(op2)}
\}
\}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
; SubsetIsRelation
\rhd 
\forall_{obj} \overline{(r1)}
\colon \overline{(r1)}
 \mathrel{\in}  \{ ph \mathrel{\in} P(P(Union(\{\underline{(sx)}
,\underline{(sy)}
\}
)
)
)
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op1)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op2)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\overline{(op1)}
 \mathrel{\in} \underline{(sx)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(op2)}
 \mathrel{\in} \underline{(sy)}
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\mathsf {a}
 _{Ph} 
 = \{\{\overline{(op1)}
,\overline{(op1)}
\}
,\{\overline{(op1)}
,\overline{(op2)}
\}
\}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op1)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op2)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\overline{(op1)}
 \mathrel{\in} \underline{(sx)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(op2)}
 \mathrel{\in} \underline{(sy)}
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(r1)}
 = \{\{\overline{(op1)}
,\overline{(op1)}
\}
,\{\overline{(op1)}
,\overline{(op2)}
\}
\}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\rhd 
\forall_{obj} \overline{(s1)}
\colon \overline{(s1)}
 \mathrel{\in}  \{ ph \mathrel{\in}  \{ ph \mathrel{\in} P(P(Union(\{\underline{(sx)}
,\underline{(sy)}
\}
)
)
)
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op1)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op2)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\overline{(op1)}
 \mathrel{\in} \underline{(sx)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(op2)}
 \mathrel{\in} \underline{(sy)}
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\mathsf {a}
 _{Ph} 
 = \{\{\overline{(op1)}
,\overline{(op1)}
\}
,\{\overline{(op1)}
,\overline{(op2)}
\}
\}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\}
\mid \underline{
\mathsf {a}}
\}
\Rightarrow \overline{(s1)}
 \mathrel{\in}  \{ ph \mathrel{\in} P(P(Union(\{\underline{(sx)}
,\underline{(sy)}
\}
)
)
)
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op1)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op2)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\overline{(op1)}
 \mathrel{\in} \underline{(sx)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(op2)}
 \mathrel{\in} \underline{(sy)}
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\mathsf {a}
 _{Ph} 
 = \{\{\overline{(op1)}
,\overline{(op1)}
\}
,\{\overline{(op1)}
,\overline{(op2)}
\}
\}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\}
\gg 
\forall_{obj} \overline{(r1)}
\colon \overline{(r1)}
 \mathrel{\in}  \{ ph \mathrel{\in}  \{ ph \mathrel{\in} P(P(Union(\{\underline{(sx)}
,\underline{(sy)}
\}
)
)
)
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op1)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op2)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\overline{(op1)}
 \mathrel{\in} \underline{(sx)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(op2)}
 \mathrel{\in} \underline{(sy)}
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\mathsf {a}
 _{Ph} 
 = \{\{\overline{(op1)}
,\overline{(op1)}
\}
,\{\overline{(op1)}
,\overline{(op2)}
\}
\}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\}
\mid \underline{
\mathsf {a}}
\}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op1)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op2)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\overline{(op1)}
 \mathrel{\in} \underline{(sx)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(op2)}
 \mathrel{\in} \underline{(sy)}
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(r1)}
 = \{\{\overline{(op1)}
,\overline{(op1)}
\}
,\{\overline{(op1)}
,\overline{(op2)}
\}
\}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\rceil 
, 
p_0
, 
\mathsf {c}
)
]$


$
[ToCartProd(Helper)
\stackrel{
stmt
}{\rightarrow}SystemQ
\vdash 
\forall \underline{(sx)}
\colon 
\forall \underline{(sx1)}
\colon 
\forall \underline{(sy)}
\colon 
\forall \underline{(sy1)}
\colon 
\forall \underline{(sz)}
\colon \underline{(sx)}
 \mathrel{\in} \underline{(sx1)}
\vdash \underline{(sy)}
 \mathrel{\in} \underline{(sy1)}
\vdash \underline{(sz)}
 \mathrel{\in} \{\{\underline{(sx)}
,\underline{(sx)}
\}
,\{\underline{(sx)}
,\underline{(sy)}
\}
\}
\vdash 
\forall_{obj} \overline{(s1)}
\colon \overline{(s1)}
 \mathrel{\in} \underline{(sz)}
\Rightarrow \overline{(s1)}
 \mathrel{\in} Union(\{\underline{(sx1)}
,\underline{(sy1)}
\}
)
]$

$
[ToCartProd(Helper)
\stackrel{
proof
}{\rightarrow}
\lambda 
\mathsf {c}
.
\lambda 
\mathsf{x}
.
{\cal P}( 
\lceil SystemQ
\vdash 
\forall \underline{(sx)}
\colon 
\forall \underline{(sx1)}
\colon 
\forall \underline{(sy)}
\colon 
\forall \underline{(sy1)}
\colon 
\forall \underline{(sz)}
\colon \underline{(sx)}
 \mathrel{\in} \underline{(sx1)}
\vdash \underline{(sy)}
 \mathrel{\in} \underline{(sy1)}
\vdash \underline{(sz)}
 \mathrel{\in} \{\{\underline{(sx)}
,\underline{(sx)}
\}
,\{\underline{(sx)}
,\underline{(sy)}
\}
\}
\vdash \overline{(s1)}
 \mathrel{\in} \underline{(sz)}
\vdash FromOrderedPair(TwoLevels)
\rhd \overline{(s1)}
 \mathrel{\in} \underline{(sz)}
\rhd \underline{(sz)}
 \mathrel{\in} \{\{\underline{(sx)}
,\underline{(sx)}
\}
,\{\underline{(sx)}
,\underline{(sy)}
\}
\}
\gg \dot{\neg}\,(\overline{(s1)}
 = \underline{(sx)}
)n
\Rightarrow \overline{(s1)}
 = \underline{(sy)}
; 
\forall \underline{(sx)}
\colon 
\forall \underline{(sx1)}
\colon 
\forall \underline{(sy1)}
\colon \underline{(sx)}
 \mathrel{\in} \underline{(sx1)}
\vdash \overline{(s1)}
 = \underline{(sx)}
\vdash SameMember(2)
\rhd \overline{(s1)}
 = \underline{(sx)}
\rhd \underline{(sx)}
 \mathrel{\in} \underline{(sx1)}
\gg \overline{(s1)}
 \mathrel{\in} \underline{(sx1)}
; ToBinaryUnion(1)
\rhd \overline{(s1)}
 \mathrel{\in} \underline{(sx1)}
\gg \overline{(s1)}
 \mathrel{\in} Union(\{\underline{(sx1)}
,\underline{(sy1)}
\}
)
; 
\forall \underline{(sx1)}
\colon 
\forall \underline{(sy)}
\colon 
\forall \underline{(sy1)}
\colon \underline{(sy)}
 \mathrel{\in} \underline{(sy1)}
\vdash \overline{(s1)}
 = \underline{(sy)}
\vdash SameMember(2)
\rhd \overline{(s1)}
 = \underline{(sy)}
\rhd \underline{(sy)}
 \mathrel{\in} \underline{(sy1)}
\gg \overline{(s1)}
 \mathrel{\in} \underline{(sy1)}
; ToBinaryUnion(2)
\rhd \overline{(s1)}
 \mathrel{\in} \underline{(sy1)}
\gg \overline{(s1)}
 \mathrel{\in} Union(\{\underline{(sx1)}
,\underline{(sy1)}
\}
)
; Ded
\rhd 
\forall \underline{(sx)}
\colon 
\forall \underline{(sx1)}
\colon 
\forall \underline{(sy1)}
\colon \underline{(sx)}
 \mathrel{\in} \underline{(sx1)}
\vdash \overline{(s1)}
 = \underline{(sx)}
\vdash \overline{(s1)}
 \mathrel{\in} Union(\{\underline{(sx1)}
,\underline{(sy1)}
\}
)
\gg \underline{(sx)}
 \mathrel{\in} \underline{(sx1)}
\Rightarrow \overline{(s1)}
 = \underline{(sx)}
\Rightarrow \overline{(s1)}
 \mathrel{\in} Union(\{\underline{(sx1)}
,\underline{(sy1)}
\}
)
; MP
\rhd \underline{(sx)}
 \mathrel{\in} \underline{(sx1)}
\Rightarrow \overline{(s1)}
 = \underline{(sx)}
\Rightarrow \overline{(s1)}
 \mathrel{\in} Union(\{\underline{(sx1)}
,\underline{(sy1)}
\}
)
\rhd \underline{(sx)}
 \mathrel{\in} \underline{(sx1)}
\gg \overline{(s1)}
 = \underline{(sx)}
\Rightarrow \overline{(s1)}
 \mathrel{\in} Union(\{\underline{(sx1)}
,\underline{(sy1)}
\}
)
; Ded
\rhd 
\forall \underline{(sx1)}
\colon 
\forall \underline{(sy)}
\colon 
\forall \underline{(sy1)}
\colon \underline{(sy)}
 \mathrel{\in} \underline{(sy1)}
\vdash \overline{(s1)}
 = \underline{(sy)}
\vdash \overline{(s1)}
 \mathrel{\in} Union(\{\underline{(sx1)}
,\underline{(sy1)}
\}
)
\gg \underline{(sy)}
 \mathrel{\in} \underline{(sy1)}
\Rightarrow \overline{(s1)}
 = \underline{(sy)}
\Rightarrow \overline{(s1)}
 \mathrel{\in} Union(\{\underline{(sx1)}
,\underline{(sy1)}
\}
)
; MP
\rhd \underline{(sy)}
 \mathrel{\in} \underline{(sy1)}
\Rightarrow \overline{(s1)}
 = \underline{(sy)}
\Rightarrow \overline{(s1)}
 \mathrel{\in} Union(\{\underline{(sx1)}
,\underline{(sy1)}
\}
)
\rhd \underline{(sy)}
 \mathrel{\in} \underline{(sy1)}
\gg \overline{(s1)}
 = \underline{(sy)}
\Rightarrow \overline{(s1)}
 \mathrel{\in} Union(\{\underline{(sx1)}
,\underline{(sy1)}
\}
)
; FromDisjuncts
\rhd \dot{\neg}\,(\overline{(s1)}
 = \underline{(sx)}
)n
\Rightarrow \overline{(s1)}
 = \underline{(sy)}
\rhd \overline{(s1)}
 = \underline{(sx)}
\Rightarrow \overline{(s1)}
 \mathrel{\in} Union(\{\underline{(sx1)}
,\underline{(sy1)}
\}
)
\rhd \overline{(s1)}
 = \underline{(sy)}
\Rightarrow \overline{(s1)}
 \mathrel{\in} Union(\{\underline{(sx1)}
,\underline{(sy1)}
\}
)
\gg \overline{(s1)}
 \mathrel{\in} Union(\{\underline{(sx1)}
,\underline{(sy1)}
\}
)
; 
\forall \underline{(sx)}
\colon 
\forall \underline{(sx1)}
\colon 
\forall \underline{(sy)}
\colon 
\forall \underline{(sy1)}
\colon 
\forall \underline{(sz)}
\colon Ded
\rhd 
\forall \underline{(sx)}
\colon 
\forall \underline{(sx1)}
\colon 
\forall \underline{(sy)}
\colon 
\forall \underline{(sy1)}
\colon 
\forall \underline{(sz)}
\colon \underline{(sx)}
 \mathrel{\in} \underline{(sx1)}
\vdash \underline{(sy)}
 \mathrel{\in} \underline{(sy1)}
\vdash \underline{(sz)}
 \mathrel{\in} \{\{\underline{(sx)}
,\underline{(sx)}
\}
,\{\underline{(sx)}
,\underline{(sy)}
\}
\}
\vdash \overline{(s1)}
 \mathrel{\in} \underline{(sz)}
\vdash \overline{(s1)}
 \mathrel{\in} Union(\{\underline{(sx1)}
,\underline{(sy1)}
\}
)
\gg \underline{(sx)}
 \mathrel{\in} \underline{(sx1)}
\Rightarrow \underline{(sy)}
 \mathrel{\in} \underline{(sy1)}
\Rightarrow \underline{(sz)}
 \mathrel{\in} \{\{\underline{(sx)}
,\underline{(sx)}
\}
,\{\underline{(sx)}
,\underline{(sy)}
\}
\}
\Rightarrow \overline{(s1)}
 \mathrel{\in} \underline{(sz)}
\Rightarrow \overline{(s1)}
 \mathrel{\in} Union(\{\underline{(sx1)}
,\underline{(sy1)}
\}
)
; \underline{(sx)}
 \mathrel{\in} \underline{(sx1)}
\vdash \underline{(sy)}
 \mathrel{\in} \underline{(sy1)}
\vdash \underline{(sz)}
 \mathrel{\in} \{\{\underline{(sx)}
,\underline{(sx)}
\}
,\{\underline{(sx)}
,\underline{(sy)}
\}
\}
\vdash MP3
\rhd \underline{(sx)}
 \mathrel{\in} \underline{(sx1)}
\Rightarrow \underline{(sy)}
 \mathrel{\in} \underline{(sy1)}
\Rightarrow \underline{(sz)}
 \mathrel{\in} \{\{\underline{(sx)}
,\underline{(sx)}
\}
,\{\underline{(sx)}
,\underline{(sy)}
\}
\}
\Rightarrow \overline{(s1)}
 \mathrel{\in} \underline{(sz)}
\Rightarrow \overline{(s1)}
 \mathrel{\in} Union(\{\underline{(sx1)}
,\underline{(sy1)}
\}
)
\rhd \underline{(sx)}
 \mathrel{\in} \underline{(sx1)}
\rhd \underline{(sy)}
 \mathrel{\in} \underline{(sy1)}
\rhd \underline{(sz)}
 \mathrel{\in} \{\{\underline{(sx)}
,\underline{(sx)}
\}
,\{\underline{(sx)}
,\underline{(sy)}
\}
\}
\gg \overline{(s1)}
 \mathrel{\in} \underline{(sz)}
\Rightarrow \overline{(s1)}
 \mathrel{\in} Union(\{\underline{(sx1)}
,\underline{(sy1)}
\}
)
; Gen
\rhd \overline{(s1)}
 \mathrel{\in} \underline{(sz)}
\Rightarrow \overline{(s1)}
 \mathrel{\in} Union(\{\underline{(sx1)}
,\underline{(sy1)}
\}
)
\gg 
\forall_{obj} \overline{(s1)}
\colon \overline{(s1)}
 \mathrel{\in} \underline{(sz)}
\Rightarrow \overline{(s1)}
 \mathrel{\in} Union(\{\underline{(sx1)}
,\underline{(sy1)}
\}
)
; Repetition
\rhd 
\forall_{obj} \overline{(s1)}
\colon \overline{(s1)}
 \mathrel{\in} \underline{(sz)}
\Rightarrow \overline{(s1)}
 \mathrel{\in} Union(\{\underline{(sx1)}
,\underline{(sy1)}
\}
)
\gg 
\forall_{obj} \overline{(s1)}
\colon \overline{(s1)}
 \mathrel{\in} \underline{(sz)}
\Rightarrow \overline{(s1)}
 \mathrel{\in} Union(\{\underline{(sx1)}
,\underline{(sy1)}
\}
)
\rceil 
, 
p_0
, 
\mathsf {c}
)
]$



$
[ToCartProd
\stackrel{
stmt
}{\rightarrow}SystemQ
\vdash 
\forall \underline{(sx)}
\colon 
\forall \underline{(sx1)}
\colon 
\forall \underline{(sy)}
\colon 
\forall \underline{(sy1)}
\colon \underline{(sx)}
 \mathrel{\in} \underline{(sx1)}
\vdash \underline{(sy)}
 \mathrel{\in} \underline{(sy1)}
\vdash \{\{\underline{(sx)}
,\underline{(sx)}
\}
,\{\underline{(sx)}
,\underline{(sy)}
\}
\}
 \mathrel{\in}  \{ ph \mathrel{\in} P(P(Union(\{\underline{(sx1)}
,\underline{(sy1)}
\}
)
)
)
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op1)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op2)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\overline{(op1)}
 \mathrel{\in} \underline{(sx1)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(op2)}
 \mathrel{\in} \underline{(sy1)}
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\mathsf {a}
 _{Ph} 
 = \{\{\overline{(op1)}
,\overline{(op1)}
\}
,\{\overline{(op1)}
,\overline{(op2)}
\}
\}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\}
]$

$
[ToCartProd
\stackrel{
proof
}{\rightarrow}
\lambda 
\mathsf {c}
.
\lambda 
\mathsf{x}
.
{\cal P}( 
\lceil SystemQ
\vdash 
\forall \underline{(sx)}
\colon 
\forall \underline{(sx1)}
\colon 
\forall \underline{(sy)}
\colon 
\forall \underline{(sy1)}
\colon \underline{(sx)}
 \mathrel{\in} \underline{(sx1)}
\vdash \underline{(sy)}
 \mathrel{\in} \underline{(sy1)}
\vdash \overline{(s1)}
 \mathrel{\in} \{\{\underline{(sx)}
,\underline{(sx)}
\}
,\{\underline{(sx)}
,\underline{(sy)}
\}
\}
\vdash ToCartProd(Helper)
\rhd \underline{(sx)}
 \mathrel{\in} \underline{(sx1)}
\rhd \underline{(sy)}
 \mathrel{\in} \underline{(sy1)}
\rhd \overline{(s1)}
 \mathrel{\in} \{\{\underline{(sx)}
,\underline{(sx)}
\}
,\{\underline{(sx)}
,\underline{(sy)}
\}
\}
\gg 
\forall_{obj} \overline{(s1)}
\colon \overline{(s1)}
 \mathrel{\in} \overline{(s1)}
\Rightarrow \overline{(s1)}
 \mathrel{\in} Union(\{\underline{(sx1)}
,\underline{(sy1)}
\}
)
; Formula2Power
\rhd 
\forall_{obj} \overline{(s1)}
\colon \overline{(s1)}
 \mathrel{\in} \overline{(s1)}
\Rightarrow \overline{(s1)}
 \mathrel{\in} Union(\{\underline{(sx1)}
,\underline{(sy1)}
\}
)
\gg \overline{(s1)}
 \mathrel{\in} P(Union(\{\underline{(sx1)}
,\underline{(sy1)}
\}
)
)
; 
\forall \underline{(sx)}
\colon 
\forall \underline{(sx1)}
\colon 
\forall \underline{(sy)}
\colon 
\forall \underline{(sy1)}
\colon Ded
\rhd 
\forall \underline{(sx)}
\colon 
\forall \underline{(sx1)}
\colon 
\forall \underline{(sy)}
\colon 
\forall \underline{(sy1)}
\colon \underline{(sx)}
 \mathrel{\in} \underline{(sx1)}
\vdash \underline{(sy)}
 \mathrel{\in} \underline{(sy1)}
\vdash \overline{(s1)}
 \mathrel{\in} \{\{\underline{(sx)}
,\underline{(sx)}
\}
,\{\underline{(sx)}
,\underline{(sy)}
\}
\}
\vdash \overline{(s1)}
 \mathrel{\in} P(Union(\{\underline{(sx1)}
,\underline{(sy1)}
\}
)
)
\gg \underline{(sx)}
 \mathrel{\in} \underline{(sx1)}
\Rightarrow \underline{(sy)}
 \mathrel{\in} \underline{(sy1)}
\Rightarrow \overline{(s1)}
 \mathrel{\in} \{\{\underline{(sx)}
,\underline{(sx)}
\}
,\{\underline{(sx)}
,\underline{(sy)}
\}
\}
\Rightarrow \overline{(s1)}
 \mathrel{\in} P(Union(\{\underline{(sx1)}
,\underline{(sy1)}
\}
)
)
; \underline{(sx)}
 \mathrel{\in} \underline{(sx1)}
\vdash \underline{(sy)}
 \mathrel{\in} \underline{(sy1)}
\vdash MP2
\rhd \underline{(sx)}
 \mathrel{\in} \underline{(sx1)}
\Rightarrow \underline{(sy)}
 \mathrel{\in} \underline{(sy1)}
\Rightarrow \overline{(s1)}
 \mathrel{\in} \{\{\underline{(sx)}
,\underline{(sx)}
\}
,\{\underline{(sx)}
,\underline{(sy)}
\}
\}
\Rightarrow \overline{(s1)}
 \mathrel{\in} P(Union(\{\underline{(sx1)}
,\underline{(sy1)}
\}
)
)
\rhd \underline{(sx)}
 \mathrel{\in} \underline{(sx1)}
\rhd \underline{(sy)}
 \mathrel{\in} \underline{(sy1)}
\gg \overline{(s1)}
 \mathrel{\in} \{\{\underline{(sx)}
,\underline{(sx)}
\}
,\{\underline{(sx)}
,\underline{(sy)}
\}
\}
\Rightarrow \overline{(s1)}
 \mathrel{\in} P(Union(\{\underline{(sx1)}
,\underline{(sy1)}
\}
)
)
; Gen
\rhd \overline{(s1)}
 \mathrel{\in} \{\{\underline{(sx)}
,\underline{(sx)}
\}
,\{\underline{(sx)}
,\underline{(sy)}
\}
\}
\Rightarrow \overline{(s1)}
 \mathrel{\in} P(Union(\{\underline{(sx1)}
,\underline{(sy1)}
\}
)
)
\gg 
\forall_{obj} \overline{(s1)}
\colon \overline{(s1)}
 \mathrel{\in} \{\{\underline{(sx)}
,\underline{(sx)}
\}
,\{\underline{(sx)}
,\underline{(sy)}
\}
\}
\Rightarrow \overline{(s1)}
 \mathrel{\in} P(Union(\{\underline{(sx1)}
,\underline{(sy1)}
\}
)
)
; Repetition
\rhd 
\forall_{obj} \overline{(s1)}
\colon \overline{(s1)}
 \mathrel{\in} \{\{\underline{(sx)}
,\underline{(sx)}
\}
,\{\underline{(sx)}
,\underline{(sy)}
\}
\}
\Rightarrow \overline{(s1)}
 \mathrel{\in} P(Union(\{\underline{(sx1)}
,\underline{(sy1)}
\}
)
)
\gg 
\forall_{obj} \overline{(s1)}
\colon \overline{(s1)}
 \mathrel{\in} \{\{\underline{(sx)}
,\underline{(sx)}
\}
,\{\underline{(sx)}
,\underline{(sy)}
\}
\}
\Rightarrow \overline{(s1)}
 \mathrel{\in} P(Union(\{\underline{(sx1)}
,\underline{(sy1)}
\}
)
)
; Formula2Power
\rhd 
\forall_{obj} \overline{(s1)}
\colon \overline{(s1)}
 \mathrel{\in} \{\{\underline{(sx)}
,\underline{(sx)}
\}
,\{\underline{(sx)}
,\underline{(sy)}
\}
\}
\Rightarrow \overline{(s1)}
 \mathrel{\in} P(Union(\{\underline{(sx1)}
,\underline{(sy1)}
\}
)
)
\gg \{\{\underline{(sx)}
,\underline{(sx)}
\}
,\{\underline{(sx)}
,\underline{(sy)}
\}
\}
 \mathrel{\in} P(P(Union(\{\underline{(sx1)}
,\underline{(sy1)}
\}
)
)
)
; eqReflexivity
\gg \{\{\underline{(sx)}
,\underline{(sx)}
\}
,\{\underline{(sx)}
,\underline{(sy)}
\}
\}
 = \{\{\underline{(sx)}
,\underline{(sx)}
\}
,\{\underline{(sx)}
,\underline{(sy)}
\}
\}
; JoinConjuncts
\rhd \underline{(sx)}
 \mathrel{\in} \underline{(sx1)}
\rhd \underline{(sy)}
 \mathrel{\in} \underline{(sy1)}
\gg \dot{\neg}\,(\underline{(sx)}
 \mathrel{\in} \underline{(sx1)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\underline{(sy)}
 \mathrel{\in} \underline{(sy1)}
)n
)n
; JoinConjuncts
\rhd \dot{\neg}\,(\underline{(sx)}
 \mathrel{\in} \underline{(sx1)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\underline{(sy)}
 \mathrel{\in} \underline{(sy1)}
)n
)n
\rhd \{\{\underline{(sx)}
,\underline{(sx)}
\}
,\{\underline{(sx)}
,\underline{(sy)}
\}
\}
 = \{\{\underline{(sx)}
,\underline{(sx)}
\}
,\{\underline{(sx)}
,\underline{(sy)}
\}
\}
\gg \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\underline{(sx)}
 \mathrel{\in} \underline{(sx1)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\underline{(sy)}
 \mathrel{\in} \underline{(sy1)}
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\{\{\underline{(sx)}
,\underline{(sx)}
\}
,\{\underline{(sx)}
,\underline{(sy)}
\}
\}
 = \{\{\underline{(sx)}
,\underline{(sx)}
\}
,\{\underline{(sx)}
,\underline{(sy)}
\}
\}
)n
)n
; IntroExist
\mathop {\char64} \underline{(sy)}
\rhd \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\underline{(sx)}
 \mathrel{\in} \underline{(sx1)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\underline{(sy)}
 \mathrel{\in} \underline{(sy1)}
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\{\{\underline{(sx)}
,\underline{(sx)}
\}
,\{\underline{(sx)}
,\underline{(sy)}
\}
\}
 = \{\{\underline{(sx)}
,\underline{(sx)}
\}
,\{\underline{(sx)}
,\underline{(sy)}
\}
\}
)n
)n
\gg \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op2)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\underline{(sx)}
 \mathrel{\in} \underline{(sx1)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(op2)}
 \mathrel{\in} \underline{(sy1)}
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\{\{\underline{(sx)}
,\underline{(sx)}
\}
,\{\underline{(sx)}
,\underline{(sy)}
\}
\}
 = \{\{\underline{(sx)}
,\underline{(sx)}
\}
,\{\underline{(sx)}
,\overline{(op2)}
\}
\}
)n
)n
)n
)n
; IntroExist
\mathop {\char64} \underline{(sx)}
\rhd \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op2)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\underline{(sx)}
 \mathrel{\in} \underline{(sx1)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(op2)}
 \mathrel{\in} \underline{(sy1)}
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\{\{\underline{(sx)}
,\underline{(sx)}
\}
,\{\underline{(sx)}
,\underline{(sy)}
\}
\}
 = \{\{\underline{(sx)}
,\underline{(sx)}
\}
,\{\underline{(sx)}
,\overline{(op2)}
\}
\}
)n
)n
)n
)n
\gg \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op1)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op2)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\overline{(op1)}
 \mathrel{\in} \underline{(sx1)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(op2)}
 \mathrel{\in} \underline{(sy1)}
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\{\{\underline{(sx)}
,\underline{(sx)}
\}
,\{\underline{(sx)}
,\underline{(sy)}
\}
\}
 = \{\{\overline{(op1)}
,\overline{(op1)}
\}
,\{\overline{(op1)}
,\overline{(op2)}
\}
\}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
; Repetition
\rhd \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op1)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op2)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\overline{(op1)}
 \mathrel{\in} \underline{(sx1)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(op2)}
 \mathrel{\in} \underline{(sy1)}
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\{\{\underline{(sx)}
,\underline{(sx)}
\}
,\{\underline{(sx)}
,\underline{(sy)}
\}
\}
 = \{\{\overline{(op1)}
,\overline{(op1)}
\}
,\{\overline{(op1)}
,\overline{(op2)}
\}
\}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\gg \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op1)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op2)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\overline{(op1)}
 \mathrel{\in} \underline{(sx1)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(op2)}
 \mathrel{\in} \underline{(sy1)}
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\{\{\underline{(sx)}
,\underline{(sx)}
\}
,\{\underline{(sx)}
,\underline{(sy)}
\}
\}
 = \{\{\overline{(op1)}
,\overline{(op1)}
\}
,\{\overline{(op1)}
,\overline{(op2)}
\}
\}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
; Formula2Sep
\rhd \{\{\underline{(sx)}
,\underline{(sx)}
\}
,\{\underline{(sx)}
,\underline{(sy)}
\}
\}
 \mathrel{\in} P(P(Union(\{\underline{(sx1)}
,\underline{(sy1)}
\}
)
)
)
\rhd \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op1)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op2)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\overline{(op1)}
 \mathrel{\in} \underline{(sx1)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(op2)}
 \mathrel{\in} \underline{(sy1)}
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\{\{\underline{(sx)}
,\underline{(sx)}
\}
,\{\underline{(sx)}
,\underline{(sy)}
\}
\}
 = \{\{\overline{(op1)}
,\overline{(op1)}
\}
,\{\overline{(op1)}
,\overline{(op2)}
\}
\}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\gg \{\{\underline{(sx)}
,\underline{(sx)}
\}
,\{\underline{(sx)}
,\underline{(sy)}
\}
\}
 \mathrel{\in}  \{ ph \mathrel{\in} P(P(Union(\{\underline{(sx1)}
,\underline{(sy1)}
\}
)
)
)
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op1)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op2)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\overline{(op1)}
 \mathrel{\in} \underline{(sx1)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(op2)}
 \mathrel{\in} \underline{(sy1)}
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\mathsf {a}
 _{Ph} 
 = \{\{\overline{(op1)}
,\overline{(op1)}
\}
,\{\overline{(op1)}
,\overline{(op2)}
\}
\}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\}
; Repetition
\rhd \{\{\underline{(sx)}
,\underline{(sx)}
\}
,\{\underline{(sx)}
,\underline{(sy)}
\}
\}
 \mathrel{\in}  \{ ph \mathrel{\in} P(P(Union(\{\underline{(sx1)}
,\underline{(sy1)}
\}
)
)
)
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op1)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op2)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\overline{(op1)}
 \mathrel{\in} \underline{(sx1)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(op2)}
 \mathrel{\in} \underline{(sy1)}
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\mathsf {a}
 _{Ph} 
 = \{\{\overline{(op1)}
,\overline{(op1)}
\}
,\{\overline{(op1)}
,\overline{(op2)}
\}
\}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\}
\gg \{\{\underline{(sx)}
,\underline{(sx)}
\}
,\{\underline{(sx)}
,\underline{(sy)}
\}
\}
 \mathrel{\in}  \{ ph \mathrel{\in} P(P(Union(\{\underline{(sx1)}
,\underline{(sy1)}
\}
)
)
)
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op1)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op2)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\overline{(op1)}
 \mathrel{\in} \underline{(sx1)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(op2)}
 \mathrel{\in} \underline{(sy1)}
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\mathsf {a}
 _{Ph} 
 = \{\{\overline{(op1)}
,\overline{(op1)}
\}
,\{\overline{(op1)}
,\overline{(op2)}
\}
\}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\}
\rceil 
, 
p_0
, 
\mathsf {c}
)
]$



$
[CrsIsRelation
\stackrel{
stmt
}{\rightarrow}SystemQ
\vdash 
\forall \underline{
\mathsf{x}}
\colon 
\forall_{obj} \overline{(r1)}
\colon \overline{(r1)}
 \mathrel{\in}  \{ ph \mathrel{\in}  \{ ph \mathrel{\in} P(P(Union(\{N
,Q
\}
)
)
)
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op1)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op2)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\overline{(op1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(op2)}
 \mathrel{\in} Q
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\mathsf {a}
 _{Ph} 
 = \{\{\overline{(op1)}
,\overline{(op1)}
\}
,\{\overline{(op1)}
,\overline{(op2)}
\}
\}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\}
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(crs1)}
\colon \dot{\neg}\,(
\mathsf {c}
 _{Ph} 
 = \{\{\overline{(crs1)}
,\overline{(crs1)}
\}
,\{\overline{(crs1)}
,\underline{
\mathsf{x}}
\}
\}
)n
)n
\}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op1)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op2)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\overline{(op1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(op2)}
 \mathrel{\in} Q
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(r1)}
 = \{\{\overline{(op1)}
,\overline{(op1)}
\}
,\{\overline{(op1)}
,\overline{(op2)}
\}
\}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
]$

$
[CrsIsRelation
\stackrel{
proof
}{\rightarrow}
\lambda 
\mathsf {c}
.
\lambda 
\mathsf{x}
.
{\cal P}( 
\lceil SystemQ
\vdash 
\forall \underline{
\mathsf{x}}
\colon \overline{(s1)}
 \mathrel{\in}  \{ ph \mathrel{\in}  \{ ph \mathrel{\in} P(P(Union(\{N
,Q
\}
)
)
)
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op1)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op2)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\overline{(op1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(op2)}
 \mathrel{\in} Q
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\mathsf {a}
 _{Ph} 
 = \{\{\overline{(op1)}
,\overline{(op1)}
\}
,\{\overline{(op1)}
,\overline{(op2)}
\}
\}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\}
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(crs1)}
\colon \dot{\neg}\,(
\mathsf {c}
 _{Ph} 
 = \{\{\overline{(crs1)}
,\overline{(crs1)}
\}
,\{\overline{(crs1)}
,\underline{
\mathsf{x}}
\}
\}
)n
)n
\}
\vdash Repetition
\rhd \overline{(s1)}
 \mathrel{\in}  \{ ph \mathrel{\in}  \{ ph \mathrel{\in} P(P(Union(\{N
,Q
\}
)
)
)
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op1)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op2)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\overline{(op1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(op2)}
 \mathrel{\in} Q
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\mathsf {a}
 _{Ph} 
 = \{\{\overline{(op1)}
,\overline{(op1)}
\}
,\{\overline{(op1)}
,\overline{(op2)}
\}
\}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\}
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(crs1)}
\colon \dot{\neg}\,(
\mathsf {c}
 _{Ph} 
 = \{\{\overline{(crs1)}
,\overline{(crs1)}
\}
,\{\overline{(crs1)}
,\underline{
\mathsf{x}}
\}
\}
)n
)n
\}
\gg \overline{(s1)}
 \mathrel{\in}  \{ ph \mathrel{\in}  \{ ph \mathrel{\in} P(P(Union(\{N
,Q
\}
)
)
)
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op1)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op2)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\overline{(op1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(op2)}
 \mathrel{\in} Q
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\mathsf {a}
 _{Ph} 
 = \{\{\overline{(op1)}
,\overline{(op1)}
\}
,\{\overline{(op1)}
,\overline{(op2)}
\}
\}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\}
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(crs1)}
\colon \dot{\neg}\,(
\mathsf {c}
 _{Ph} 
 = \{\{\overline{(crs1)}
,\overline{(crs1)}
\}
,\{\overline{(crs1)}
,\underline{
\mathsf{x}}
\}
\}
)n
)n
\}
; Sep2Formula
\rhd \overline{(s1)}
 \mathrel{\in}  \{ ph \mathrel{\in}  \{ ph \mathrel{\in} P(P(Union(\{N
,Q
\}
)
)
)
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op1)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op2)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\overline{(op1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(op2)}
 \mathrel{\in} Q
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\mathsf {a}
 _{Ph} 
 = \{\{\overline{(op1)}
,\overline{(op1)}
\}
,\{\overline{(op1)}
,\overline{(op2)}
\}
\}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\}
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(crs1)}
\colon \dot{\neg}\,(
\mathsf {c}
 _{Ph} 
 = \{\{\overline{(crs1)}
,\overline{(crs1)}
\}
,\{\overline{(crs1)}
,\underline{
\mathsf{x}}
\}
\}
)n
)n
\}
\gg \dot{\neg}\,(\overline{(s1)}
 \mathrel{\in}  \{ ph \mathrel{\in} P(P(Union(\{N
,Q
\}
)
)
)
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op1)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op2)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\overline{(op1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(op2)}
 \mathrel{\in} Q
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\mathsf {a}
 _{Ph} 
 = \{\{\overline{(op1)}
,\overline{(op1)}
\}
,\{\overline{(op1)}
,\overline{(op2)}
\}
\}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(crs1)}
\colon \dot{\neg}\,(\overline{(s1)}
 = \{\{\overline{(crs1)}
,\overline{(crs1)}
\}
,\{\overline{(crs1)}
,\underline{
\mathsf{x}}
\}
\}
)n
)n
)n
)n
; FirstConjunct
\rhd \dot{\neg}\,(\overline{(s1)}
 \mathrel{\in}  \{ ph \mathrel{\in} P(P(Union(\{N
,Q
\}
)
)
)
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op1)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op2)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\overline{(op1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(op2)}
 \mathrel{\in} Q
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\mathsf {a}
 _{Ph} 
 = \{\{\overline{(op1)}
,\overline{(op1)}
\}
,\{\overline{(op1)}
,\overline{(op2)}
\}
\}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(crs1)}
\colon \dot{\neg}\,(\overline{(s1)}
 = \{\{\overline{(crs1)}
,\overline{(crs1)}
\}
,\{\overline{(crs1)}
,\underline{
\mathsf{x}}
\}
\}
)n
)n
)n
)n
\gg \overline{(s1)}
 \mathrel{\in}  \{ ph \mathrel{\in} P(P(Union(\{N
,Q
\}
)
)
)
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op1)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op2)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\overline{(op1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(op2)}
 \mathrel{\in} Q
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\mathsf {a}
 _{Ph} 
 = \{\{\overline{(op1)}
,\overline{(op1)}
\}
,\{\overline{(op1)}
,\overline{(op2)}
\}
\}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\}
; 
\forall \underline{
\mathsf{x}}
\colon Ded
\rhd 
\forall \underline{
\mathsf{x}}
\colon \overline{(s1)}
 \mathrel{\in}  \{ ph \mathrel{\in}  \{ ph \mathrel{\in} P(P(Union(\{N
,Q
\}
)
)
)
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op1)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op2)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\overline{(op1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(op2)}
 \mathrel{\in} Q
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\mathsf {a}
 _{Ph} 
 = \{\{\overline{(op1)}
,\overline{(op1)}
\}
,\{\overline{(op1)}
,\overline{(op2)}
\}
\}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\}
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(crs1)}
\colon \dot{\neg}\,(
\mathsf {c}
 _{Ph} 
 = \{\{\overline{(crs1)}
,\overline{(crs1)}
\}
,\{\overline{(crs1)}
,\underline{
\mathsf{x}}
\}
\}
)n
)n
\}
\vdash \overline{(s1)}
 \mathrel{\in}  \{ ph \mathrel{\in} P(P(Union(\{N
,Q
\}
)
)
)
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op1)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op2)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\overline{(op1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(op2)}
 \mathrel{\in} Q
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\mathsf {a}
 _{Ph} 
 = \{\{\overline{(op1)}
,\overline{(op1)}
\}
,\{\overline{(op1)}
,\overline{(op2)}
\}
\}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\}
\gg \overline{(s1)}
 \mathrel{\in}  \{ ph \mathrel{\in}  \{ ph \mathrel{\in} P(P(Union(\{N
,Q
\}
)
)
)
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op1)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op2)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\overline{(op1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(op2)}
 \mathrel{\in} Q
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\mathsf {a}
 _{Ph} 
 = \{\{\overline{(op1)}
,\overline{(op1)}
\}
,\{\overline{(op1)}
,\overline{(op2)}
\}
\}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\}
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(crs1)}
\colon \dot{\neg}\,(
\mathsf {c}
 _{Ph} 
 = \{\{\overline{(crs1)}
,\overline{(crs1)}
\}
,\{\overline{(crs1)}
,\underline{
\mathsf{x}}
\}
\}
)n
)n
\}
\Rightarrow \overline{(s1)}
 \mathrel{\in}  \{ ph \mathrel{\in} P(P(Union(\{N
,Q
\}
)
)
)
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op1)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op2)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\overline{(op1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(op2)}
 \mathrel{\in} Q
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\mathsf {a}
 _{Ph} 
 = \{\{\overline{(op1)}
,\overline{(op1)}
\}
,\{\overline{(op1)}
,\overline{(op2)}
\}
\}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\}
; Gen
\rhd \overline{(s1)}
 \mathrel{\in}  \{ ph \mathrel{\in}  \{ ph \mathrel{\in} P(P(Union(\{N
,Q
\}
)
)
)
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op1)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op2)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\overline{(op1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(op2)}
 \mathrel{\in} Q
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\mathsf {a}
 _{Ph} 
 = \{\{\overline{(op1)}
,\overline{(op1)}
\}
,\{\overline{(op1)}
,\overline{(op2)}
\}
\}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\}
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(crs1)}
\colon \dot{\neg}\,(
\mathsf {c}
 _{Ph} 
 = \{\{\overline{(crs1)}
,\overline{(crs1)}
\}
,\{\overline{(crs1)}
,\underline{
\mathsf{x}}
\}
\}
)n
)n
\}
\Rightarrow \overline{(s1)}
 \mathrel{\in}  \{ ph \mathrel{\in} P(P(Union(\{N
,Q
\}
)
)
)
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op1)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op2)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\overline{(op1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(op2)}
 \mathrel{\in} Q
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\mathsf {a}
 _{Ph} 
 = \{\{\overline{(op1)}
,\overline{(op1)}
\}
,\{\overline{(op1)}
,\overline{(op2)}
\}
\}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\}
\gg 
\forall_{obj} \overline{(s1)}
\colon \overline{(s1)}
 \mathrel{\in}  \{ ph \mathrel{\in}  \{ ph \mathrel{\in} P(P(Union(\{N
,Q
\}
)
)
)
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op1)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op2)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\overline{(op1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(op2)}
 \mathrel{\in} Q
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\mathsf {a}
 _{Ph} 
 = \{\{\overline{(op1)}
,\overline{(op1)}
\}
,\{\overline{(op1)}
,\overline{(op2)}
\}
\}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\}
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(crs1)}
\colon \dot{\neg}\,(
\mathsf {c}
 _{Ph} 
 = \{\{\overline{(crs1)}
,\overline{(crs1)}
\}
,\{\overline{(crs1)}
,\underline{
\mathsf{x}}
\}
\}
)n
)n
\}
\Rightarrow \overline{(s1)}
 \mathrel{\in}  \{ ph \mathrel{\in} P(P(Union(\{N
,Q
\}
)
)
)
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op1)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op2)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\overline{(op1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(op2)}
 \mathrel{\in} Q
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\mathsf {a}
 _{Ph} 
 = \{\{\overline{(op1)}
,\overline{(op1)}
\}
,\{\overline{(op1)}
,\overline{(op2)}
\}
\}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\}
; Repetition
\rhd 
\forall_{obj} \overline{(s1)}
\colon \overline{(s1)}
 \mathrel{\in}  \{ ph \mathrel{\in}  \{ ph \mathrel{\in} P(P(Union(\{N
,Q
\}
)
)
)
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op1)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op2)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\overline{(op1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(op2)}
 \mathrel{\in} Q
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\mathsf {a}
 _{Ph} 
 = \{\{\overline{(op1)}
,\overline{(op1)}
\}
,\{\overline{(op1)}
,\overline{(op2)}
\}
\}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\}
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(crs1)}
\colon \dot{\neg}\,(
\mathsf {c}
 _{Ph} 
 = \{\{\overline{(crs1)}
,\overline{(crs1)}
\}
,\{\overline{(crs1)}
,\underline{
\mathsf{x}}
\}
\}
)n
)n
\}
\Rightarrow \overline{(s1)}
 \mathrel{\in}  \{ ph \mathrel{\in} P(P(Union(\{N
,Q
\}
)
)
)
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op1)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op2)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\overline{(op1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(op2)}
 \mathrel{\in} Q
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\mathsf {a}
 _{Ph} 
 = \{\{\overline{(op1)}
,\overline{(op1)}
\}
,\{\overline{(op1)}
,\overline{(op2)}
\}
\}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\}
\gg 
\forall_{obj} \overline{(s1)}
\colon \overline{(s1)}
 \mathrel{\in}  \{ ph \mathrel{\in}  \{ ph \mathrel{\in} P(P(Union(\{N
,Q
\}
)
)
)
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op1)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op2)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\overline{(op1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(op2)}
 \mathrel{\in} Q
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\mathsf {a}
 _{Ph} 
 = \{\{\overline{(op1)}
,\overline{(op1)}
\}
,\{\overline{(op1)}
,\overline{(op2)}
\}
\}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\}
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(crs1)}
\colon \dot{\neg}\,(
\mathsf {c}
 _{Ph} 
 = \{\{\overline{(crs1)}
,\overline{(crs1)}
\}
,\{\overline{(crs1)}
,\underline{
\mathsf{x}}
\}
\}
)n
)n
\}
\Rightarrow \overline{(s1)}
 \mathrel{\in}  \{ ph \mathrel{\in} P(P(Union(\{N
,Q
\}
)
)
)
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op1)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op2)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\overline{(op1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(op2)}
 \mathrel{\in} Q
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\mathsf {a}
 _{Ph} 
 = \{\{\overline{(op1)}
,\overline{(op1)}
\}
,\{\overline{(op1)}
,\overline{(op2)}
\}
\}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\}
; CartProdIsRelation
\gg 
\forall_{obj} \overline{(r1)}
\colon \overline{(r1)}
 \mathrel{\in}  \{ ph \mathrel{\in} P(P(Union(\{N
,Q
\}
)
)
)
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op1)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op2)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\overline{(op1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(op2)}
 \mathrel{\in} Q
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\mathsf {a}
 _{Ph} 
 = \{\{\overline{(op1)}
,\overline{(op1)}
\}
,\{\overline{(op1)}
,\overline{(op2)}
\}
\}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op1)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op2)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\overline{(op1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(op2)}
 \mathrel{\in} Q
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(r1)}
 = \{\{\overline{(op1)}
,\overline{(op1)}
\}
,\{\overline{(op1)}
,\overline{(op2)}
\}
\}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
; SubsetIsRelation
\rhd 
\forall_{obj} \overline{(r1)}
\colon \overline{(r1)}
 \mathrel{\in}  \{ ph \mathrel{\in} P(P(Union(\{N
,Q
\}
)
)
)
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op1)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op2)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\overline{(op1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(op2)}
 \mathrel{\in} Q
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\mathsf {a}
 _{Ph} 
 = \{\{\overline{(op1)}
,\overline{(op1)}
\}
,\{\overline{(op1)}
,\overline{(op2)}
\}
\}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op1)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op2)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\overline{(op1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(op2)}
 \mathrel{\in} Q
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(r1)}
 = \{\{\overline{(op1)}
,\overline{(op1)}
\}
,\{\overline{(op1)}
,\overline{(op2)}
\}
\}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\rhd 
\forall_{obj} \overline{(s1)}
\colon \overline{(s1)}
 \mathrel{\in}  \{ ph \mathrel{\in}  \{ ph \mathrel{\in} P(P(Union(\{N
,Q
\}
)
)
)
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op1)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op2)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\overline{(op1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(op2)}
 \mathrel{\in} Q
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\mathsf {a}
 _{Ph} 
 = \{\{\overline{(op1)}
,\overline{(op1)}
\}
,\{\overline{(op1)}
,\overline{(op2)}
\}
\}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\}
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(crs1)}
\colon \dot{\neg}\,(
\mathsf {c}
 _{Ph} 
 = \{\{\overline{(crs1)}
,\overline{(crs1)}
\}
,\{\overline{(crs1)}
,\underline{
\mathsf{x}}
\}
\}
)n
)n
\}
\Rightarrow \overline{(s1)}
 \mathrel{\in}  \{ ph \mathrel{\in} P(P(Union(\{N
,Q
\}
)
)
)
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op1)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op2)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\overline{(op1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(op2)}
 \mathrel{\in} Q
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\mathsf {a}
 _{Ph} 
 = \{\{\overline{(op1)}
,\overline{(op1)}
\}
,\{\overline{(op1)}
,\overline{(op2)}
\}
\}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\}
\gg 
\forall_{obj} \overline{(r1)}
\colon \overline{(r1)}
 \mathrel{\in}  \{ ph \mathrel{\in}  \{ ph \mathrel{\in} P(P(Union(\{N
,Q
\}
)
)
)
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op1)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op2)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\overline{(op1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(op2)}
 \mathrel{\in} Q
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\mathsf {a}
 _{Ph} 
 = \{\{\overline{(op1)}
,\overline{(op1)}
\}
,\{\overline{(op1)}
,\overline{(op2)}
\}
\}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\}
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(crs1)}
\colon \dot{\neg}\,(
\mathsf {c}
 _{Ph} 
 = \{\{\overline{(crs1)}
,\overline{(crs1)}
\}
,\{\overline{(crs1)}
,\underline{
\mathsf{x}}
\}
\}
)n
)n
\}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op1)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op2)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\overline{(op1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(op2)}
 \mathrel{\in} Q
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(r1)}
 = \{\{\overline{(op1)}
,\overline{(op1)}
\}
,\{\overline{(op1)}
,\overline{(op2)}
\}
\}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\rceil 
, 
p_0
, 
\mathsf {c}
)
]$



$
[CrsIsFunction 
\stackrel{
stmt
}{\rightarrow}SystemQ
\vdash 
\forall \underline{
\mathsf{x}}
\colon \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(r1)}
\colon \overline{(r1)}
 \mathrel{\in}  \{ ph \mathrel{\in}  \{ ph \mathrel{\in} P(P(Union(\{N
,Q
\}
)
)
)
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op1)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op2)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\overline{(op1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(op2)}
 \mathrel{\in} Q
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\mathsf {a}
 _{Ph} 
 = \{\{\overline{(op1)}
,\overline{(op1)}
\}
,\{\overline{(op1)}
,\overline{(op2)}
\}
\}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\}
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(crs1)}
\colon \dot{\neg}\,(
\mathsf {c}
 _{Ph} 
 = \{\{\overline{(crs1)}
,\overline{(crs1)}
\}
,\{\overline{(crs1)}
,\underline{
\mathsf{x}}
\}
\}
)n
)n
\}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op1)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op2)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\overline{(op1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(op2)}
 \mathrel{\in} Q
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(r1)}
 = \{\{\overline{(op1)}
,\overline{(op1)}
\}
,\{\overline{(op1)}
,\overline{(op2)}
\}
\}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(f1)}
\colon 
\forall_{obj} \overline{(f2)}
\colon 
\forall_{obj} \overline{(f3)}
\colon 
\forall_{obj} \overline{(f4)}
\colon \{\{\overline{(f1)}
,\overline{(f1)}
\}
,\{\overline{(f1)}
,\overline{(f2)}
\}
\}
 \mathrel{\in}  \{ ph \mathrel{\in}  \{ ph \mathrel{\in} P(P(Union(\{N
,Q
\}
)
)
)
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op1)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op2)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\overline{(op1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(op2)}
 \mathrel{\in} Q
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\mathsf {a}
 _{Ph} 
 = \{\{\overline{(op1)}
,\overline{(op1)}
\}
,\{\overline{(op1)}
,\overline{(op2)}
\}
\}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\}
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(crs1)}
\colon \dot{\neg}\,(
\mathsf {c}
 _{Ph} 
 = \{\{\overline{(crs1)}
,\overline{(crs1)}
\}
,\{\overline{(crs1)}
,\underline{
\mathsf{x}}
\}
\}
)n
)n
\}
\Rightarrow \{\{\overline{(f3)}
,\overline{(f3)}
\}
,\{\overline{(f3)}
,\overline{(f4)}
\}
\}
 \mathrel{\in}  \{ ph \mathrel{\in}  \{ ph \mathrel{\in} P(P(Union(\{N
,Q
\}
)
)
)
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op1)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op2)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\overline{(op1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(op2)}
 \mathrel{\in} Q
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\mathsf {a}
 _{Ph} 
 = \{\{\overline{(op1)}
,\overline{(op1)}
\}
,\{\overline{(op1)}
,\overline{(op2)}
\}
\}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\}
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(crs1)}
\colon \dot{\neg}\,(
\mathsf {c}
 _{Ph} 
 = \{\{\overline{(crs1)}
,\overline{(crs1)}
\}
,\{\overline{(crs1)}
,\underline{
\mathsf{x}}
\}
\}
)n
)n
\}
\Rightarrow \overline{(f1)}
 = \overline{(f3)}
\Rightarrow \overline{(f2)}
 = \overline{(f4)}
)n
)n
]$

$
[CrsIsFunction 
\stackrel{
proof
}{\rightarrow}
\lambda 
\mathsf {c}
.
\lambda 
\mathsf{x}
.
{\cal P}( 
\lceil SystemQ
\vdash 
\forall \underline{
\mathsf{x}}
\colon \{\{\overline{(f1)}
,\overline{(f1)}
\}
,\{\overline{(f1)}
,\overline{(f2)}
\}
\}
 = \{\{\overline{(crs1)}
,\overline{(crs1)}
\}
,\{\overline{(crs1)}
,\underline{
\mathsf{x}}
\}
\}
\vdash \{\{\overline{(f3)}
,\overline{(f3)}
\}
,\{\overline{(f3)}
,\overline{(f4)}
\}
\}
 = \{\{\overline{(crs1)}
,\overline{(crs1)}
\}
,\{\overline{(crs1)}
,\underline{
\mathsf{x}}
\}
\}
\vdash FromOrderedPair
\rhd \{\{\overline{(f1)}
,\overline{(f1)}
\}
,\{\overline{(f1)}
,\overline{(f2)}
\}
\}
 = \{\{\overline{(crs1)}
,\overline{(crs1)}
\}
,\{\overline{(crs1)}
,\underline{
\mathsf{x}}
\}
\}
\gg \dot{\neg}\,(\overline{(f1)}
 = \overline{(crs1)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(f2)}
 = \underline{
\mathsf{x}}
)n
)n
; SecondConjunct
\rhd \dot{\neg}\,(\overline{(f1)}
 = \overline{(crs1)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(f2)}
 = \underline{
\mathsf{x}}
)n
)n
\gg \overline{(f2)}
 = \underline{
\mathsf{x}}
; FromOrderedPair
\rhd \{\{\overline{(f3)}
,\overline{(f3)}
\}
,\{\overline{(f3)}
,\overline{(f4)}
\}
\}
 = \{\{\overline{(crs1)}
,\overline{(crs1)}
\}
,\{\overline{(crs1)}
,\underline{
\mathsf{x}}
\}
\}
\gg \dot{\neg}\,(\overline{(f3)}
 = \overline{(crs1)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(f4)}
 = \underline{
\mathsf{x}}
)n
)n
; SecondConjunct
\rhd \dot{\neg}\,(\overline{(f3)}
 = \overline{(crs1)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(f4)}
 = \underline{
\mathsf{x}}
)n
)n
\gg \overline{(f4)}
 = \underline{
\mathsf{x}}
; eqSymmetry
\rhd \overline{(f4)}
 = \underline{
\mathsf{x}}
\gg \underline{
\mathsf{x}}
 = \overline{(f4)}
; eqTransitivity
\rhd \overline{(f2)}
 = \underline{
\mathsf{x}}
\rhd \underline{
\mathsf{x}}
 = \overline{(f4)}
\gg \overline{(f2)}
 = \overline{(f4)}
; 
\forall \underline{
\mathsf{x}}
\colon Ded
\rhd 
\forall \underline{
\mathsf{x}}
\colon \{\{\overline{(f1)}
,\overline{(f1)}
\}
,\{\overline{(f1)}
,\overline{(f2)}
\}
\}
 = \{\{\overline{(crs1)}
,\overline{(crs1)}
\}
,\{\overline{(crs1)}
,\underline{
\mathsf{x}}
\}
\}
\vdash \{\{\overline{(f3)}
,\overline{(f3)}
\}
,\{\overline{(f3)}
,\overline{(f4)}
\}
\}
 = \{\{\overline{(crs1)}
,\overline{(crs1)}
\}
,\{\overline{(crs1)}
,\underline{
\mathsf{x}}
\}
\}
\vdash \overline{(f2)}
 = \overline{(f4)}
\gg \{\{\overline{(f1)}
,\overline{(f1)}
\}
,\{\overline{(f1)}
,\overline{(f2)}
\}
\}
 = \{\{\overline{(crs1)}
,\overline{(crs1)}
\}
,\{\overline{(crs1)}
,\underline{
\mathsf{x}}
\}
\}
\Rightarrow \{\{\overline{(f3)}
,\overline{(f3)}
\}
,\{\overline{(f3)}
,\overline{(f4)}
\}
\}
 = \{\{\overline{(crs1)}
,\overline{(crs1)}
\}
,\{\overline{(crs1)}
,\underline{
\mathsf{x}}
\}
\}
\Rightarrow \overline{(f2)}
 = \overline{(f4)}
; \{\{\overline{(f1)}
,\overline{(f1)}
\}
,\{\overline{(f1)}
,\overline{(f2)}
\}
\}
 \mathrel{\in}  \{ ph \mathrel{\in}  \{ ph \mathrel{\in} P(P(Union(\{N
,Q
\}
)
)
)
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op1)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op2)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\overline{(op1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(op2)}
 \mathrel{\in} Q
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\mathsf {a}
 _{Ph} 
 = \{\{\overline{(op1)}
,\overline{(op1)}
\}
,\{\overline{(op1)}
,\overline{(op2)}
\}
\}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\}
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(crs1)}
\colon \dot{\neg}\,(
\mathsf {c}
 _{Ph} 
 = \{\{\overline{(crs1)}
,\overline{(crs1)}
\}
,\{\overline{(crs1)}
,\underline{
\mathsf{x}}
\}
\}
)n
)n
\}
\vdash \{\{\overline{(f3)}
,\overline{(f3)}
\}
,\{\overline{(f3)}
,\overline{(f4)}
\}
\}
 \mathrel{\in}  \{ ph \mathrel{\in}  \{ ph \mathrel{\in} P(P(Union(\{N
,Q
\}
)
)
)
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op1)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op2)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\overline{(op1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(op2)}
 \mathrel{\in} Q
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\mathsf {a}
 _{Ph} 
 = \{\{\overline{(op1)}
,\overline{(op1)}
\}
,\{\overline{(op1)}
,\overline{(op2)}
\}
\}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\}
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(crs1)}
\colon \dot{\neg}\,(
\mathsf {c}
 _{Ph} 
 = \{\{\overline{(crs1)}
,\overline{(crs1)}
\}
,\{\overline{(crs1)}
,\underline{
\mathsf{x}}
\}
\}
)n
)n
\}
\vdash \overline{(f1)}
 = \overline{(f3)}
\vdash Sep2Formula
\rhd \{\{\overline{(f1)}
,\overline{(f1)}
\}
,\{\overline{(f1)}
,\overline{(f2)}
\}
\}
 \mathrel{\in}  \{ ph \mathrel{\in}  \{ ph \mathrel{\in} P(P(Union(\{N
,Q
\}
)
)
)
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op1)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op2)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\overline{(op1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(op2)}
 \mathrel{\in} Q
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\mathsf {a}
 _{Ph} 
 = \{\{\overline{(op1)}
,\overline{(op1)}
\}
,\{\overline{(op1)}
,\overline{(op2)}
\}
\}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\}
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(crs1)}
\colon \dot{\neg}\,(
\mathsf {c}
 _{Ph} 
 = \{\{\overline{(crs1)}
,\overline{(crs1)}
\}
,\{\overline{(crs1)}
,\underline{
\mathsf{x}}
\}
\}
)n
)n
\}
\gg \dot{\neg}\,(\{\{\overline{(f1)}
,\overline{(f1)}
\}
,\{\overline{(f1)}
,\overline{(f2)}
\}
\}
 \mathrel{\in}  \{ ph \mathrel{\in} P(P(Union(\{N
,Q
\}
)
)
)
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op1)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op2)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\overline{(op1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(op2)}
 \mathrel{\in} Q
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\mathsf {a}
 _{Ph} 
 = \{\{\overline{(op1)}
,\overline{(op1)}
\}
,\{\overline{(op1)}
,\overline{(op2)}
\}
\}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(crs1)}
\colon \dot{\neg}\,(\{\{\overline{(f1)}
,\overline{(f1)}
\}
,\{\overline{(f1)}
,\overline{(f2)}
\}
\}
 = \{\{\overline{(crs1)}
,\overline{(crs1)}
\}
,\{\overline{(crs1)}
,\underline{
\mathsf{x}}
\}
\}
)n
)n
)n
)n
; SecondConjunct
\rhd \dot{\neg}\,(\{\{\overline{(f1)}
,\overline{(f1)}
\}
,\{\overline{(f1)}
,\overline{(f2)}
\}
\}
 \mathrel{\in}  \{ ph \mathrel{\in} P(P(Union(\{N
,Q
\}
)
)
)
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op1)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op2)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\overline{(op1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(op2)}
 \mathrel{\in} Q
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\mathsf {a}
 _{Ph} 
 = \{\{\overline{(op1)}
,\overline{(op1)}
\}
,\{\overline{(op1)}
,\overline{(op2)}
\}
\}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(crs1)}
\colon \dot{\neg}\,(\{\{\overline{(f1)}
,\overline{(f1)}
\}
,\{\overline{(f1)}
,\overline{(f2)}
\}
\}
 = \{\{\overline{(crs1)}
,\overline{(crs1)}
\}
,\{\overline{(crs1)}
,\underline{
\mathsf{x}}
\}
\}
)n
)n
)n
)n
\gg \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(crs1)}
\colon \dot{\neg}\,(\{\{\overline{(f1)}
,\overline{(f1)}
\}
,\{\overline{(f1)}
,\overline{(f2)}
\}
\}
 = \{\{\overline{(crs1)}
,\overline{(crs1)}
\}
,\{\overline{(crs1)}
,\underline{
\mathsf{x}}
\}
\}
)n
)n
; Sep2Formula
\rhd \{\{\overline{(f3)}
,\overline{(f3)}
\}
,\{\overline{(f3)}
,\overline{(f4)}
\}
\}
 \mathrel{\in}  \{ ph \mathrel{\in}  \{ ph \mathrel{\in} P(P(Union(\{N
,Q
\}
)
)
)
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op1)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op2)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\overline{(op1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(op2)}
 \mathrel{\in} Q
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\mathsf {a}
 _{Ph} 
 = \{\{\overline{(op1)}
,\overline{(op1)}
\}
,\{\overline{(op1)}
,\overline{(op2)}
\}
\}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\}
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(crs1)}
\colon \dot{\neg}\,(
\mathsf {c}
 _{Ph} 
 = \{\{\overline{(crs1)}
,\overline{(crs1)}
\}
,\{\overline{(crs1)}
,\underline{
\mathsf{x}}
\}
\}
)n
)n
\}
\gg \dot{\neg}\,(\{\{\overline{(f3)}
,\overline{(f3)}
\}
,\{\overline{(f3)}
,\overline{(f4)}
\}
\}
 \mathrel{\in}  \{ ph \mathrel{\in} P(P(Union(\{N
,Q
\}
)
)
)
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op1)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op2)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\overline{(op1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(op2)}
 \mathrel{\in} Q
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\mathsf {a}
 _{Ph} 
 = \{\{\overline{(op1)}
,\overline{(op1)}
\}
,\{\overline{(op1)}
,\overline{(op2)}
\}
\}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(crs1)}
\colon \dot{\neg}\,(\{\{\overline{(f3)}
,\overline{(f3)}
\}
,\{\overline{(f3)}
,\overline{(f4)}
\}
\}
 = \{\{\overline{(crs1)}
,\overline{(crs1)}
\}
,\{\overline{(crs1)}
,\underline{
\mathsf{x}}
\}
\}
)n
)n
)n
)n
; SecondConjunct
\rhd \dot{\neg}\,(\{\{\overline{(f3)}
,\overline{(f3)}
\}
,\{\overline{(f3)}
,\overline{(f4)}
\}
\}
 \mathrel{\in}  \{ ph \mathrel{\in} P(P(Union(\{N
,Q
\}
)
)
)
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op1)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op2)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\overline{(op1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(op2)}
 \mathrel{\in} Q
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\mathsf {a}
 _{Ph} 
 = \{\{\overline{(op1)}
,\overline{(op1)}
\}
,\{\overline{(op1)}
,\overline{(op2)}
\}
\}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(crs1)}
\colon \dot{\neg}\,(\{\{\overline{(f3)}
,\overline{(f3)}
\}
,\{\overline{(f3)}
,\overline{(f4)}
\}
\}
 = \{\{\overline{(crs1)}
,\overline{(crs1)}
\}
,\{\overline{(crs1)}
,\underline{
\mathsf{x}}
\}
\}
)n
)n
)n
)n
\gg \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(crs1)}
\colon \dot{\neg}\,(\{\{\overline{(f3)}
,\overline{(f3)}
\}
,\{\overline{(f3)}
,\overline{(f4)}
\}
\}
 = \{\{\overline{(crs1)}
,\overline{(crs1)}
\}
,\{\overline{(crs1)}
,\underline{
\mathsf{x}}
\}
\}
)n
)n
; ExistMP2
\rhd \{\{\overline{(f1)}
,\overline{(f1)}
\}
,\{\overline{(f1)}
,\overline{(f2)}
\}
\}
 = \{\{\overline{(crs1)}
,\overline{(crs1)}
\}
,\{\overline{(crs1)}
,\underline{
\mathsf{x}}
\}
\}
\Rightarrow \{\{\overline{(f3)}
,\overline{(f3)}
\}
,\{\overline{(f3)}
,\overline{(f4)}
\}
\}
 = \{\{\overline{(crs1)}
,\overline{(crs1)}
\}
,\{\overline{(crs1)}
,\underline{
\mathsf{x}}
\}
\}
\Rightarrow \overline{(f2)}
 = \overline{(f4)}
\rhd \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(crs1)}
\colon \dot{\neg}\,(\{\{\overline{(f1)}
,\overline{(f1)}
\}
,\{\overline{(f1)}
,\overline{(f2)}
\}
\}
 = \{\{\overline{(crs1)}
,\overline{(crs1)}
\}
,\{\overline{(crs1)}
,\underline{
\mathsf{x}}
\}
\}
)n
)n
\rhd \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(crs1)}
\colon \dot{\neg}\,(\{\{\overline{(f3)}
,\overline{(f3)}
\}
,\{\overline{(f3)}
,\overline{(f4)}
\}
\}
 = \{\{\overline{(crs1)}
,\overline{(crs1)}
\}
,\{\overline{(crs1)}
,\underline{
\mathsf{x}}
\}
\}
)n
)n
\gg \overline{(f2)}
 = \overline{(f4)}
; 
\forall \underline{
\mathsf{x}}
\colon Ded
\rhd 
\forall \underline{
\mathsf{x}}
\colon \{\{\overline{(f1)}
,\overline{(f1)}
\}
,\{\overline{(f1)}
,\overline{(f2)}
\}
\}
 \mathrel{\in}  \{ ph \mathrel{\in}  \{ ph \mathrel{\in} P(P(Union(\{N
,Q
\}
)
)
)
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op1)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op2)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\overline{(op1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(op2)}
 \mathrel{\in} Q
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\mathsf {a}
 _{Ph} 
 = \{\{\overline{(op1)}
,\overline{(op1)}
\}
,\{\overline{(op1)}
,\overline{(op2)}
\}
\}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\}
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(crs1)}
\colon \dot{\neg}\,(
\mathsf {c}
 _{Ph} 
 = \{\{\overline{(crs1)}
,\overline{(crs1)}
\}
,\{\overline{(crs1)}
,\underline{
\mathsf{x}}
\}
\}
)n
)n
\}
\vdash \{\{\overline{(f3)}
,\overline{(f3)}
\}
,\{\overline{(f3)}
,\overline{(f4)}
\}
\}
 \mathrel{\in}  \{ ph \mathrel{\in}  \{ ph \mathrel{\in} P(P(Union(\{N
,Q
\}
)
)
)
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op1)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op2)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\overline{(op1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(op2)}
 \mathrel{\in} Q
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\mathsf {a}
 _{Ph} 
 = \{\{\overline{(op1)}
,\overline{(op1)}
\}
,\{\overline{(op1)}
,\overline{(op2)}
\}
\}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\}
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(crs1)}
\colon \dot{\neg}\,(
\mathsf {c}
 _{Ph} 
 = \{\{\overline{(crs1)}
,\overline{(crs1)}
\}
,\{\overline{(crs1)}
,\underline{
\mathsf{x}}
\}
\}
)n
)n
\}
\vdash \overline{(f1)}
 = \overline{(f3)}
\vdash \overline{(f2)}
 = \overline{(f4)}
\gg 
\forall_{obj} \overline{(f1)}
\colon 
\forall_{obj} \overline{(f2)}
\colon 
\forall_{obj} \overline{(f3)}
\colon 
\forall_{obj} \overline{(f4)}
\colon \{\{\overline{(f1)}
,\overline{(f1)}
\}
,\{\overline{(f1)}
,\overline{(f2)}
\}
\}
 \mathrel{\in}  \{ ph \mathrel{\in}  \{ ph \mathrel{\in} P(P(Union(\{N
,Q
\}
)
)
)
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op1)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op2)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\overline{(op1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(op2)}
 \mathrel{\in} Q
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\mathsf {a}
 _{Ph} 
 = \{\{\overline{(op1)}
,\overline{(op1)}
\}
,\{\overline{(op1)}
,\overline{(op2)}
\}
\}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\}
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(crs1)}
\colon \dot{\neg}\,(
\mathsf {c}
 _{Ph} 
 = \{\{\overline{(crs1)}
,\overline{(crs1)}
\}
,\{\overline{(crs1)}
,\underline{
\mathsf{x}}
\}
\}
)n
)n
\}
\Rightarrow \{\{\overline{(f3)}
,\overline{(f3)}
\}
,\{\overline{(f3)}
,\overline{(f4)}
\}
\}
 \mathrel{\in}  \{ ph \mathrel{\in}  \{ ph \mathrel{\in} P(P(Union(\{N
,Q
\}
)
)
)
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op1)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op2)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\overline{(op1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(op2)}
 \mathrel{\in} Q
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\mathsf {a}
 _{Ph} 
 = \{\{\overline{(op1)}
,\overline{(op1)}
\}
,\{\overline{(op1)}
,\overline{(op2)}
\}
\}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\}
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(crs1)}
\colon \dot{\neg}\,(
\mathsf {c}
 _{Ph} 
 = \{\{\overline{(crs1)}
,\overline{(crs1)}
\}
,\{\overline{(crs1)}
,\underline{
\mathsf{x}}
\}
\}
)n
)n
\}
\Rightarrow \overline{(f1)}
 = \overline{(f3)}
\Rightarrow \overline{(f2)}
 = \overline{(f4)}
; CrsIsRelation
\gg 
\forall_{obj} \overline{(r1)}
\colon \overline{(r1)}
 \mathrel{\in}  \{ ph \mathrel{\in}  \{ ph \mathrel{\in} P(P(Union(\{N
,Q
\}
)
)
)
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op1)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op2)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\overline{(op1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(op2)}
 \mathrel{\in} Q
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\mathsf {a}
 _{Ph} 
 = \{\{\overline{(op1)}
,\overline{(op1)}
\}
,\{\overline{(op1)}
,\overline{(op2)}
\}
\}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\}
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(crs1)}
\colon \dot{\neg}\,(
\mathsf {c}
 _{Ph} 
 = \{\{\overline{(crs1)}
,\overline{(crs1)}
\}
,\{\overline{(crs1)}
,\underline{
\mathsf{x}}
\}
\}
)n
)n
\}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op1)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op2)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\overline{(op1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(op2)}
 \mathrel{\in} Q
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(r1)}
 = \{\{\overline{(op1)}
,\overline{(op1)}
\}
,\{\overline{(op1)}
,\overline{(op2)}
\}
\}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
; JoinConjuncts
\rhd 
\forall_{obj} \overline{(r1)}
\colon \overline{(r1)}
 \mathrel{\in}  \{ ph \mathrel{\in}  \{ ph \mathrel{\in} P(P(Union(\{N
,Q
\}
)
)
)
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op1)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op2)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\overline{(op1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(op2)}
 \mathrel{\in} Q
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\mathsf {a}
 _{Ph} 
 = \{\{\overline{(op1)}
,\overline{(op1)}
\}
,\{\overline{(op1)}
,\overline{(op2)}
\}
\}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\}
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(crs1)}
\colon \dot{\neg}\,(
\mathsf {c}
 _{Ph} 
 = \{\{\overline{(crs1)}
,\overline{(crs1)}
\}
,\{\overline{(crs1)}
,\underline{
\mathsf{x}}
\}
\}
)n
)n
\}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op1)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op2)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\overline{(op1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(op2)}
 \mathrel{\in} Q
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(r1)}
 = \{\{\overline{(op1)}
,\overline{(op1)}
\}
,\{\overline{(op1)}
,\overline{(op2)}
\}
\}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\rhd 
\forall_{obj} \overline{(f1)}
\colon 
\forall_{obj} \overline{(f2)}
\colon 
\forall_{obj} \overline{(f3)}
\colon 
\forall_{obj} \overline{(f4)}
\colon \{\{\overline{(f1)}
,\overline{(f1)}
\}
,\{\overline{(f1)}
,\overline{(f2)}
\}
\}
 \mathrel{\in}  \{ ph \mathrel{\in}  \{ ph \mathrel{\in} P(P(Union(\{N
,Q
\}
)
)
)
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op1)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op2)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\overline{(op1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(op2)}
 \mathrel{\in} Q
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\mathsf {a}
 _{Ph} 
 = \{\{\overline{(op1)}
,\overline{(op1)}
\}
,\{\overline{(op1)}
,\overline{(op2)}
\}
\}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\}
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(crs1)}
\colon \dot{\neg}\,(
\mathsf {c}
 _{Ph} 
 = \{\{\overline{(crs1)}
,\overline{(crs1)}
\}
,\{\overline{(crs1)}
,\underline{
\mathsf{x}}
\}
\}
)n
)n
\}
\Rightarrow \{\{\overline{(f3)}
,\overline{(f3)}
\}
,\{\overline{(f3)}
,\overline{(f4)}
\}
\}
 \mathrel{\in}  \{ ph \mathrel{\in}  \{ ph \mathrel{\in} P(P(Union(\{N
,Q
\}
)
)
)
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op1)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op2)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\overline{(op1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(op2)}
 \mathrel{\in} Q
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\mathsf {a}
 _{Ph} 
 = \{\{\overline{(op1)}
,\overline{(op1)}
\}
,\{\overline{(op1)}
,\overline{(op2)}
\}
\}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\}
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(crs1)}
\colon \dot{\neg}\,(
\mathsf {c}
 _{Ph} 
 = \{\{\overline{(crs1)}
,\overline{(crs1)}
\}
,\{\overline{(crs1)}
,\underline{
\mathsf{x}}
\}
\}
)n
)n
\}
\Rightarrow \overline{(f1)}
 = \overline{(f3)}
\Rightarrow \overline{(f2)}
 = \overline{(f4)}
\gg \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(r1)}
\colon \overline{(r1)}
 \mathrel{\in}  \{ ph \mathrel{\in}  \{ ph \mathrel{\in} P(P(Union(\{N
,Q
\}
)
)
)
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op1)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op2)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\overline{(op1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(op2)}
 \mathrel{\in} Q
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\mathsf {a}
 _{Ph} 
 = \{\{\overline{(op1)}
,\overline{(op1)}
\}
,\{\overline{(op1)}
,\overline{(op2)}
\}
\}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\}
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(crs1)}
\colon \dot{\neg}\,(
\mathsf {c}
 _{Ph} 
 = \{\{\overline{(crs1)}
,\overline{(crs1)}
\}
,\{\overline{(crs1)}
,\underline{
\mathsf{x}}
\}
\}
)n
)n
\}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op1)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op2)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\overline{(op1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(op2)}
 \mathrel{\in} Q
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(r1)}
 = \{\{\overline{(op1)}
,\overline{(op1)}
\}
,\{\overline{(op1)}
,\overline{(op2)}
\}
\}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(f1)}
\colon 
\forall_{obj} \overline{(f2)}
\colon 
\forall_{obj} \overline{(f3)}
\colon 
\forall_{obj} \overline{(f4)}
\colon \{\{\overline{(f1)}
,\overline{(f1)}
\}
,\{\overline{(f1)}
,\overline{(f2)}
\}
\}
 \mathrel{\in}  \{ ph \mathrel{\in}  \{ ph \mathrel{\in} P(P(Union(\{N
,Q
\}
)
)
)
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op1)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op2)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\overline{(op1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(op2)}
 \mathrel{\in} Q
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\mathsf {a}
 _{Ph} 
 = \{\{\overline{(op1)}
,\overline{(op1)}
\}
,\{\overline{(op1)}
,\overline{(op2)}
\}
\}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\}
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(crs1)}
\colon \dot{\neg}\,(
\mathsf {c}
 _{Ph} 
 = \{\{\overline{(crs1)}
,\overline{(crs1)}
\}
,\{\overline{(crs1)}
,\underline{
\mathsf{x}}
\}
\}
)n
)n
\}
\Rightarrow \{\{\overline{(f3)}
,\overline{(f3)}
\}
,\{\overline{(f3)}
,\overline{(f4)}
\}
\}
 \mathrel{\in}  \{ ph \mathrel{\in}  \{ ph \mathrel{\in} P(P(Union(\{N
,Q
\}
)
)
)
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op1)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op2)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\overline{(op1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(op2)}
 \mathrel{\in} Q
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\mathsf {a}
 _{Ph} 
 = \{\{\overline{(op1)}
,\overline{(op1)}
\}
,\{\overline{(op1)}
,\overline{(op2)}
\}
\}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\}
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(crs1)}
\colon \dot{\neg}\,(
\mathsf {c}
 _{Ph} 
 = \{\{\overline{(crs1)}
,\overline{(crs1)}
\}
,\{\overline{(crs1)}
,\underline{
\mathsf{x}}
\}
\}
)n
)n
\}
\Rightarrow \overline{(f1)}
 = \overline{(f3)}
\Rightarrow \overline{(f2)}
 = \overline{(f4)}
)n
)n
\rceil 
, 
p_0
, 
\mathsf {c}
)
]$

$
[CrsIsTotal
\stackrel{
stmt
}{\rightarrow}SystemQ
\vdash 
\forall \underline{
\mathsf {m}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf{x}}
\colon 
\lambda 
\mathsf {c}
.TypeRational0(
\lceil \underline{
\mathsf{x}}
\rceil 
)
\mathrel {\makebox [0mm][l]{$\vdash $}\,{\vdash }} \underline{
\mathsf {m}}
 \mathrel{\in} N
\vdash \{\{\underline{
\mathsf {m}}
,\underline{
\mathsf {m}}
\}
,\{\underline{
\mathsf {m}}
,\underline{
\mathsf{x}}
\}
\}
 \mathrel{\in}  \{ ph \mathrel{\in}  \{ ph \mathrel{\in} P(P(Union(\{N
,Q
\}
)
)
)
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op1)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op2)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\overline{(op1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(op2)}
 \mathrel{\in} Q
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\mathsf {a}
 _{Ph} 
 = \{\{\overline{(op1)}
,\overline{(op1)}
\}
,\{\overline{(op1)}
,\overline{(op2)}
\}
\}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\}
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(crs1)}
\colon \dot{\neg}\,(
\mathsf {c}
 _{Ph} 
 = \{\{\overline{(crs1)}
,\overline{(crs1)}
\}
,\{\overline{(crs1)}
,\underline{
\mathsf{x}}
\}
\}
)n
)n
\}
]$

$
[CrsIsTotal
\stackrel{
proof
}{\rightarrow}
\lambda 
\mathsf {c}
.
\lambda 
\mathsf{x}
.
{\cal P}( 
\lceil SystemQ
\vdash 
\forall \underline{
\mathsf {m}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf{x}}
\colon 
\lambda 
\mathsf {c}
.TypeRational0(
\lceil \underline{
\mathsf{x}}
\rceil 
)
\mathrel {\makebox [0mm][l]{$\vdash $}\,{\vdash }} \underline{
\mathsf {m}}
 \mathrel{\in} N
\vdash RationalType
\mathrel {\makebox [0mm][l]{$\rhd $}\,{\rhd }} 
\lambda 
\mathsf {c}
.TypeRational0(
\lceil \underline{
\mathsf{x}}
\rceil 
)
\gg \underline{
\mathsf{x}}
 \mathrel{\in} Q
; ToCartProd
\rhd \underline{
\mathsf {m}}
 \mathrel{\in} N
\rhd \underline{
\mathsf{x}}
 \mathrel{\in} Q
\gg \{\{\underline{
\mathsf {m}}
,\underline{
\mathsf {m}}
\}
,\{\underline{
\mathsf {m}}
,\underline{
\mathsf{x}}
\}
\}
 \mathrel{\in}  \{ ph \mathrel{\in} P(P(Union(\{N
,Q
\}
)
)
)
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op1)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op2)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\overline{(op1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(op2)}
 \mathrel{\in} Q
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\mathsf {a}
 _{Ph} 
 = \{\{\overline{(op1)}
,\overline{(op1)}
\}
,\{\overline{(op1)}
,\overline{(op2)}
\}
\}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\}
; eqReflexivity
\gg \{\{\underline{
\mathsf {m}}
,\underline{
\mathsf {m}}
\}
,\{\underline{
\mathsf {m}}
,\underline{
\mathsf{x}}
\}
\}
 = \{\{\underline{
\mathsf {m}}
,\underline{
\mathsf {m}}
\}
,\{\underline{
\mathsf {m}}
,\underline{
\mathsf{x}}
\}
\}
; IntroExist
\mathop {\char64} \underline{
\mathsf {m}}
\rhd \{\{\underline{
\mathsf {m}}
,\underline{
\mathsf {m}}
\}
,\{\underline{
\mathsf {m}}
,\underline{
\mathsf{x}}
\}
\}
 = \{\{\underline{
\mathsf {m}}
,\underline{
\mathsf {m}}
\}
,\{\underline{
\mathsf {m}}
,\underline{
\mathsf{x}}
\}
\}
\gg \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(crs1)}
\colon \dot{\neg}\,(\{\{\underline{
\mathsf {m}}
,\underline{
\mathsf {m}}
\}
,\{\underline{
\mathsf {m}}
,\underline{
\mathsf{x}}
\}
\}
 = \{\{\overline{(crs1)}
,\overline{(crs1)}
\}
,\{\overline{(crs1)}
,\underline{
\mathsf{x}}
\}
\}
)n
)n
; Formula2Sep
\rhd \{\{\underline{
\mathsf {m}}
,\underline{
\mathsf {m}}
\}
,\{\underline{
\mathsf {m}}
,\underline{
\mathsf{x}}
\}
\}
 \mathrel{\in}  \{ ph \mathrel{\in} P(P(Union(\{N
,Q
\}
)
)
)
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op1)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op2)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\overline{(op1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(op2)}
 \mathrel{\in} Q
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\mathsf {a}
 _{Ph} 
 = \{\{\overline{(op1)}
,\overline{(op1)}
\}
,\{\overline{(op1)}
,\overline{(op2)}
\}
\}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\}
\rhd \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(crs1)}
\colon \dot{\neg}\,(\{\{\underline{
\mathsf {m}}
,\underline{
\mathsf {m}}
\}
,\{\underline{
\mathsf {m}}
,\underline{
\mathsf{x}}
\}
\}
 = \{\{\overline{(crs1)}
,\overline{(crs1)}
\}
,\{\overline{(crs1)}
,\underline{
\mathsf{x}}
\}
\}
)n
)n
\gg \{\{\underline{
\mathsf {m}}
,\underline{
\mathsf {m}}
\}
,\{\underline{
\mathsf {m}}
,\underline{
\mathsf{x}}
\}
\}
 \mathrel{\in}  \{ ph \mathrel{\in}  \{ ph \mathrel{\in} P(P(Union(\{N
,Q
\}
)
)
)
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op1)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op2)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\overline{(op1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(op2)}
 \mathrel{\in} Q
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\mathsf {a}
 _{Ph} 
 = \{\{\overline{(op1)}
,\overline{(op1)}
\}
,\{\overline{(op1)}
,\overline{(op2)}
\}
\}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\}
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(crs1)}
\colon \dot{\neg}\,(
\mathsf {c}
 _{Ph} 
 = \{\{\overline{(crs1)}
,\overline{(crs1)}
\}
,\{\overline{(crs1)}
,\underline{
\mathsf{x}}
\}
\}
)n
)n
\}
\rceil 
, 
p_0
, 
\mathsf {c}
)
]$

$
[CrsIsSeries
\stackrel{
stmt
}{\rightarrow}SystemQ
\vdash 
\forall \underline{
\mathsf{x}}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(r1)}
\colon \overline{(r1)}
 \mathrel{\in}  \{ ph \mathrel{\in}  \{ ph \mathrel{\in} P(P(Union(\{N
,Q
\}
)
)
)
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op1)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op2)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\overline{(op1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(op2)}
 \mathrel{\in} Q
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\mathsf {a}
 _{Ph} 
 = \{\{\overline{(op1)}
,\overline{(op1)}
\}
,\{\overline{(op1)}
,\overline{(op2)}
\}
\}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\}
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(crs1)}
\colon \dot{\neg}\,(
\mathsf {c}
 _{Ph} 
 = \{\{\overline{(crs1)}
,\overline{(crs1)}
\}
,\{\overline{(crs1)}
,\underline{
\mathsf{x}}
\}
\}
)n
)n
\}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op1)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op2)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\overline{(op1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(op2)}
 \mathrel{\in} Q
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(r1)}
 = \{\{\overline{(op1)}
,\overline{(op1)}
\}
,\{\overline{(op1)}
,\overline{(op2)}
\}
\}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(f1)}
\colon 
\forall_{obj} \overline{(f2)}
\colon 
\forall_{obj} \overline{(f3)}
\colon 
\forall_{obj} \overline{(f4)}
\colon \{\{\overline{(f1)}
,\overline{(f1)}
\}
,\{\overline{(f1)}
,\overline{(f2)}
\}
\}
 \mathrel{\in}  \{ ph \mathrel{\in}  \{ ph \mathrel{\in} P(P(Union(\{N
,Q
\}
)
)
)
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op1)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op2)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\overline{(op1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(op2)}
 \mathrel{\in} Q
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\mathsf {a}
 _{Ph} 
 = \{\{\overline{(op1)}
,\overline{(op1)}
\}
,\{\overline{(op1)}
,\overline{(op2)}
\}
\}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\}
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(crs1)}
\colon \dot{\neg}\,(
\mathsf {c}
 _{Ph} 
 = \{\{\overline{(crs1)}
,\overline{(crs1)}
\}
,\{\overline{(crs1)}
,\underline{
\mathsf{x}}
\}
\}
)n
)n
\}
\Rightarrow \{\{\overline{(f3)}
,\overline{(f3)}
\}
,\{\overline{(f3)}
,\overline{(f4)}
\}
\}
 \mathrel{\in}  \{ ph \mathrel{\in}  \{ ph \mathrel{\in} P(P(Union(\{N
,Q
\}
)
)
)
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op1)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op2)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\overline{(op1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(op2)}
 \mathrel{\in} Q
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\mathsf {a}
 _{Ph} 
 = \{\{\overline{(op1)}
,\overline{(op1)}
\}
,\{\overline{(op1)}
,\overline{(op2)}
\}
\}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\}
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(crs1)}
\colon \dot{\neg}\,(
\mathsf {c}
 _{Ph} 
 = \{\{\overline{(crs1)}
,\overline{(crs1)}
\}
,\{\overline{(crs1)}
,\underline{
\mathsf{x}}
\}
\}
)n
)n
\}
\Rightarrow \overline{(f1)}
 = \overline{(f3)}
\Rightarrow \overline{(f2)}
 = \overline{(f4)}
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(s1)}
\colon \overline{(s1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(s2)}
\colon \dot{\neg}\,(\{\{\overline{(s1)}
,\overline{(s1)}
\}
,\{\overline{(s1)}
,\overline{(s2)}
\}
\}
 \mathrel{\in}  \{ ph \mathrel{\in}  \{ ph \mathrel{\in} P(P(Union(\{N
,Q
\}
)
)
)
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op1)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op2)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\overline{(op1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(op2)}
 \mathrel{\in} Q
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\mathsf {a}
 _{Ph} 
 = \{\{\overline{(op1)}
,\overline{(op1)}
\}
,\{\overline{(op1)}
,\overline{(op2)}
\}
\}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\}
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(crs1)}
\colon \dot{\neg}\,(
\mathsf {c}
 _{Ph} 
 = \{\{\overline{(crs1)}
,\overline{(crs1)}
\}
,\{\overline{(crs1)}
,\underline{
\mathsf{x}}
\}
\}
)n
)n
\}
)n
)n
)n
)n
]$

$
[CrsIsSeries
\stackrel{
proof
}{\rightarrow}
\lambda 
\mathsf {c}
.
\lambda 
\mathsf{x}
.
{\cal P}( 
\lceil SystemQ
\vdash 
\forall \underline{
\mathsf{x}}
\colon \overline{(s1)}
 \mathrel{\in} N
\vdash CrsIsTotal
\rhd \overline{(s1)}
 \mathrel{\in} N
\gg \{\{\overline{(s1)}
,\overline{(s1)}
\}
,\{\overline{(s1)}
,\underline{
\mathsf{x}}
\}
\}
 \mathrel{\in}  \{ ph \mathrel{\in}  \{ ph \mathrel{\in} P(P(Union(\{N
,Q
\}
)
)
)
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op1)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op2)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\overline{(op1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(op2)}
 \mathrel{\in} Q
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\mathsf {a}
 _{Ph} 
 = \{\{\overline{(op1)}
,\overline{(op1)}
\}
,\{\overline{(op1)}
,\overline{(op2)}
\}
\}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\}
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(crs1)}
\colon \dot{\neg}\,(
\mathsf {c}
 _{Ph} 
 = \{\{\overline{(crs1)}
,\overline{(crs1)}
\}
,\{\overline{(crs1)}
,\underline{
\mathsf{x}}
\}
\}
)n
)n
\}
; IntroExist
\mathop {\char64} \underline{
\mathsf{x}}
\rhd \overline{(s1)}
 \mathrel{\in} N
\gg \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(s2)}
\colon \dot{\neg}\,(\{\{\overline{(s1)}
,\overline{(s1)}
\}
,\{\overline{(s1)}
,\overline{(s2)}
\}
\}
 \mathrel{\in}  \{ ph \mathrel{\in}  \{ ph \mathrel{\in} P(P(Union(\{N
,Q
\}
)
)
)
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op1)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op2)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\overline{(op1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(op2)}
 \mathrel{\in} Q
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\mathsf {a}
 _{Ph} 
 = \{\{\overline{(op1)}
,\overline{(op1)}
\}
,\{\overline{(op1)}
,\overline{(op2)}
\}
\}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\}
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(crs1)}
\colon \dot{\neg}\,(
\mathsf {c}
 _{Ph} 
 = \{\{\overline{(crs1)}
,\overline{(crs1)}
\}
,\{\overline{(crs1)}
,\underline{
\mathsf{x}}
\}
\}
)n
)n
\}
)n
)n
; 
\forall \underline{
\mathsf{x}}
\colon Ded
\rhd 
\forall \underline{
\mathsf{x}}
\colon \overline{(s1)}
 \mathrel{\in} N
\vdash \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(s2)}
\colon \dot{\neg}\,(\{\{\overline{(s1)}
,\overline{(s1)}
\}
,\{\overline{(s1)}
,\overline{(s2)}
\}
\}
 \mathrel{\in}  \{ ph \mathrel{\in}  \{ ph \mathrel{\in} P(P(Union(\{N
,Q
\}
)
)
)
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op1)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op2)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\overline{(op1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(op2)}
 \mathrel{\in} Q
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\mathsf {a}
 _{Ph} 
 = \{\{\overline{(op1)}
,\overline{(op1)}
\}
,\{\overline{(op1)}
,\overline{(op2)}
\}
\}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\}
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(crs1)}
\colon \dot{\neg}\,(
\mathsf {c}
 _{Ph} 
 = \{\{\overline{(crs1)}
,\overline{(crs1)}
\}
,\{\overline{(crs1)}
,\underline{
\mathsf{x}}
\}
\}
)n
)n
\}
)n
)n
\gg \overline{(s1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(s2)}
\colon \dot{\neg}\,(\{\{\overline{(s1)}
,\overline{(s1)}
\}
,\{\overline{(s1)}
,\overline{(s2)}
\}
\}
 \mathrel{\in}  \{ ph \mathrel{\in}  \{ ph \mathrel{\in} P(P(Union(\{N
,Q
\}
)
)
)
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op1)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op2)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\overline{(op1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(op2)}
 \mathrel{\in} Q
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\mathsf {a}
 _{Ph} 
 = \{\{\overline{(op1)}
,\overline{(op1)}
\}
,\{\overline{(op1)}
,\overline{(op2)}
\}
\}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\}
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(crs1)}
\colon \dot{\neg}\,(
\mathsf {c}
 _{Ph} 
 = \{\{\overline{(crs1)}
,\overline{(crs1)}
\}
,\{\overline{(crs1)}
,\underline{
\mathsf{x}}
\}
\}
)n
)n
\}
)n
)n
; Gen
\rhd \overline{(s1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(s2)}
\colon \dot{\neg}\,(\{\{\overline{(s1)}
,\overline{(s1)}
\}
,\{\overline{(s1)}
,\overline{(s2)}
\}
\}
 \mathrel{\in}  \{ ph \mathrel{\in}  \{ ph \mathrel{\in} P(P(Union(\{N
,Q
\}
)
)
)
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op1)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op2)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\overline{(op1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(op2)}
 \mathrel{\in} Q
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\mathsf {a}
 _{Ph} 
 = \{\{\overline{(op1)}
,\overline{(op1)}
\}
,\{\overline{(op1)}
,\overline{(op2)}
\}
\}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\}
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(crs1)}
\colon \dot{\neg}\,(
\mathsf {c}
 _{Ph} 
 = \{\{\overline{(crs1)}
,\overline{(crs1)}
\}
,\{\overline{(crs1)}
,\underline{
\mathsf{x}}
\}
\}
)n
)n
\}
)n
)n
\gg 
\forall_{obj} \overline{(s1)}
\colon \overline{(s1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(s2)}
\colon \dot{\neg}\,(\{\{\overline{(s1)}
,\overline{(s1)}
\}
,\{\overline{(s1)}
,\overline{(s2)}
\}
\}
 \mathrel{\in}  \{ ph \mathrel{\in}  \{ ph \mathrel{\in} P(P(Union(\{N
,Q
\}
)
)
)
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op1)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op2)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\overline{(op1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(op2)}
 \mathrel{\in} Q
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\mathsf {a}
 _{Ph} 
 = \{\{\overline{(op1)}
,\overline{(op1)}
\}
,\{\overline{(op1)}
,\overline{(op2)}
\}
\}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\}
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(crs1)}
\colon \dot{\neg}\,(
\mathsf {c}
 _{Ph} 
 = \{\{\overline{(crs1)}
,\overline{(crs1)}
\}
,\{\overline{(crs1)}
,\underline{
\mathsf{x}}
\}
\}
)n
)n
\}
)n
)n
; CrsIsFunction 
\gg \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(r1)}
\colon \overline{(r1)}
 \mathrel{\in}  \{ ph \mathrel{\in}  \{ ph \mathrel{\in} P(P(Union(\{N
,Q
\}
)
)
)
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op1)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op2)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\overline{(op1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(op2)}
 \mathrel{\in} Q
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\mathsf {a}
 _{Ph} 
 = \{\{\overline{(op1)}
,\overline{(op1)}
\}
,\{\overline{(op1)}
,\overline{(op2)}
\}
\}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\}
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(crs1)}
\colon \dot{\neg}\,(
\mathsf {c}
 _{Ph} 
 = \{\{\overline{(crs1)}
,\overline{(crs1)}
\}
,\{\overline{(crs1)}
,\underline{
\mathsf{x}}
\}
\}
)n
)n
\}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op1)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op2)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\overline{(op1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(op2)}
 \mathrel{\in} Q
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(r1)}
 = \{\{\overline{(op1)}
,\overline{(op1)}
\}
,\{\overline{(op1)}
,\overline{(op2)}
\}
\}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(f1)}
\colon 
\forall_{obj} \overline{(f2)}
\colon 
\forall_{obj} \overline{(f3)}
\colon 
\forall_{obj} \overline{(f4)}
\colon \{\{\overline{(f1)}
,\overline{(f1)}
\}
,\{\overline{(f1)}
,\overline{(f2)}
\}
\}
 \mathrel{\in}  \{ ph \mathrel{\in}  \{ ph \mathrel{\in} P(P(Union(\{N
,Q
\}
)
)
)
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op1)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op2)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\overline{(op1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(op2)}
 \mathrel{\in} Q
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\mathsf {a}
 _{Ph} 
 = \{\{\overline{(op1)}
,\overline{(op1)}
\}
,\{\overline{(op1)}
,\overline{(op2)}
\}
\}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\}
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(crs1)}
\colon \dot{\neg}\,(
\mathsf {c}
 _{Ph} 
 = \{\{\overline{(crs1)}
,\overline{(crs1)}
\}
,\{\overline{(crs1)}
,\underline{
\mathsf{x}}
\}
\}
)n
)n
\}
\Rightarrow \{\{\overline{(f3)}
,\overline{(f3)}
\}
,\{\overline{(f3)}
,\overline{(f4)}
\}
\}
 \mathrel{\in}  \{ ph \mathrel{\in}  \{ ph \mathrel{\in} P(P(Union(\{N
,Q
\}
)
)
)
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op1)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op2)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\overline{(op1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(op2)}
 \mathrel{\in} Q
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\mathsf {a}
 _{Ph} 
 = \{\{\overline{(op1)}
,\overline{(op1)}
\}
,\{\overline{(op1)}
,\overline{(op2)}
\}
\}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\}
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(crs1)}
\colon \dot{\neg}\,(
\mathsf {c}
 _{Ph} 
 = \{\{\overline{(crs1)}
,\overline{(crs1)}
\}
,\{\overline{(crs1)}
,\underline{
\mathsf{x}}
\}
\}
)n
)n
\}
\Rightarrow \overline{(f1)}
 = \overline{(f3)}
\Rightarrow \overline{(f2)}
 = \overline{(f4)}
)n
)n
; JoinConjuncts
\rhd \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(r1)}
\colon \overline{(r1)}
 \mathrel{\in}  \{ ph \mathrel{\in}  \{ ph \mathrel{\in} P(P(Union(\{N
,Q
\}
)
)
)
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op1)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op2)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\overline{(op1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(op2)}
 \mathrel{\in} Q
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\mathsf {a}
 _{Ph} 
 = \{\{\overline{(op1)}
,\overline{(op1)}
\}
,\{\overline{(op1)}
,\overline{(op2)}
\}
\}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\}
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(crs1)}
\colon \dot{\neg}\,(
\mathsf {c}
 _{Ph} 
 = \{\{\overline{(crs1)}
,\overline{(crs1)}
\}
,\{\overline{(crs1)}
,\underline{
\mathsf{x}}
\}
\}
)n
)n
\}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op1)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op2)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\overline{(op1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(op2)}
 \mathrel{\in} Q
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(r1)}
 = \{\{\overline{(op1)}
,\overline{(op1)}
\}
,\{\overline{(op1)}
,\overline{(op2)}
\}
\}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(f1)}
\colon 
\forall_{obj} \overline{(f2)}
\colon 
\forall_{obj} \overline{(f3)}
\colon 
\forall_{obj} \overline{(f4)}
\colon \{\{\overline{(f1)}
,\overline{(f1)}
\}
,\{\overline{(f1)}
,\overline{(f2)}
\}
\}
 \mathrel{\in}  \{ ph \mathrel{\in}  \{ ph \mathrel{\in} P(P(Union(\{N
,Q
\}
)
)
)
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op1)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op2)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\overline{(op1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(op2)}
 \mathrel{\in} Q
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\mathsf {a}
 _{Ph} 
 = \{\{\overline{(op1)}
,\overline{(op1)}
\}
,\{\overline{(op1)}
,\overline{(op2)}
\}
\}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\}
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(crs1)}
\colon \dot{\neg}\,(
\mathsf {c}
 _{Ph} 
 = \{\{\overline{(crs1)}
,\overline{(crs1)}
\}
,\{\overline{(crs1)}
,\underline{
\mathsf{x}}
\}
\}
)n
)n
\}
\Rightarrow \{\{\overline{(f3)}
,\overline{(f3)}
\}
,\{\overline{(f3)}
,\overline{(f4)}
\}
\}
 \mathrel{\in}  \{ ph \mathrel{\in}  \{ ph \mathrel{\in} P(P(Union(\{N
,Q
\}
)
)
)
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op1)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op2)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\overline{(op1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(op2)}
 \mathrel{\in} Q
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\mathsf {a}
 _{Ph} 
 = \{\{\overline{(op1)}
,\overline{(op1)}
\}
,\{\overline{(op1)}
,\overline{(op2)}
\}
\}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\}
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(crs1)}
\colon \dot{\neg}\,(
\mathsf {c}
 _{Ph} 
 = \{\{\overline{(crs1)}
,\overline{(crs1)}
\}
,\{\overline{(crs1)}
,\underline{
\mathsf{x}}
\}
\}
)n
)n
\}
\Rightarrow \overline{(f1)}
 = \overline{(f3)}
\Rightarrow \overline{(f2)}
 = \overline{(f4)}
)n
)n
\rhd 
\forall_{obj} \overline{(s1)}
\colon \overline{(s1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(s2)}
\colon \dot{\neg}\,(\{\{\overline{(s1)}
,\overline{(s1)}
\}
,\{\overline{(s1)}
,\overline{(s2)}
\}
\}
 \mathrel{\in}  \{ ph \mathrel{\in}  \{ ph \mathrel{\in} P(P(Union(\{N
,Q
\}
)
)
)
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op1)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op2)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\overline{(op1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(op2)}
 \mathrel{\in} Q
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\mathsf {a}
 _{Ph} 
 = \{\{\overline{(op1)}
,\overline{(op1)}
\}
,\{\overline{(op1)}
,\overline{(op2)}
\}
\}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\}
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(crs1)}
\colon \dot{\neg}\,(
\mathsf {c}
 _{Ph} 
 = \{\{\overline{(crs1)}
,\overline{(crs1)}
\}
,\{\overline{(crs1)}
,\underline{
\mathsf{x}}
\}
\}
)n
)n
\}
)n
)n
\gg \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(r1)}
\colon \overline{(r1)}
 \mathrel{\in}  \{ ph \mathrel{\in}  \{ ph \mathrel{\in} P(P(Union(\{N
,Q
\}
)
)
)
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op1)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op2)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\overline{(op1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(op2)}
 \mathrel{\in} Q
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\mathsf {a}
 _{Ph} 
 = \{\{\overline{(op1)}
,\overline{(op1)}
\}
,\{\overline{(op1)}
,\overline{(op2)}
\}
\}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\}
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(crs1)}
\colon \dot{\neg}\,(
\mathsf {c}
 _{Ph} 
 = \{\{\overline{(crs1)}
,\overline{(crs1)}
\}
,\{\overline{(crs1)}
,\underline{
\mathsf{x}}
\}
\}
)n
)n
\}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op1)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op2)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\overline{(op1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(op2)}
 \mathrel{\in} Q
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(r1)}
 = \{\{\overline{(op1)}
,\overline{(op1)}
\}
,\{\overline{(op1)}
,\overline{(op2)}
\}
\}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(f1)}
\colon 
\forall_{obj} \overline{(f2)}
\colon 
\forall_{obj} \overline{(f3)}
\colon 
\forall_{obj} \overline{(f4)}
\colon \{\{\overline{(f1)}
,\overline{(f1)}
\}
,\{\overline{(f1)}
,\overline{(f2)}
\}
\}
 \mathrel{\in}  \{ ph \mathrel{\in}  \{ ph \mathrel{\in} P(P(Union(\{N
,Q
\}
)
)
)
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op1)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op2)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\overline{(op1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(op2)}
 \mathrel{\in} Q
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\mathsf {a}
 _{Ph} 
 = \{\{\overline{(op1)}
,\overline{(op1)}
\}
,\{\overline{(op1)}
,\overline{(op2)}
\}
\}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\}
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(crs1)}
\colon \dot{\neg}\,(
\mathsf {c}
 _{Ph} 
 = \{\{\overline{(crs1)}
,\overline{(crs1)}
\}
,\{\overline{(crs1)}
,\underline{
\mathsf{x}}
\}
\}
)n
)n
\}
\Rightarrow \{\{\overline{(f3)}
,\overline{(f3)}
\}
,\{\overline{(f3)}
,\overline{(f4)}
\}
\}
 \mathrel{\in}  \{ ph \mathrel{\in}  \{ ph \mathrel{\in} P(P(Union(\{N
,Q
\}
)
)
)
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op1)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op2)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\overline{(op1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(op2)}
 \mathrel{\in} Q
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\mathsf {a}
 _{Ph} 
 = \{\{\overline{(op1)}
,\overline{(op1)}
\}
,\{\overline{(op1)}
,\overline{(op2)}
\}
\}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\}
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(crs1)}
\colon \dot{\neg}\,(
\mathsf {c}
 _{Ph} 
 = \{\{\overline{(crs1)}
,\overline{(crs1)}
\}
,\{\overline{(crs1)}
,\underline{
\mathsf{x}}
\}
\}
)n
)n
\}
\Rightarrow \overline{(f1)}
 = \overline{(f3)}
\Rightarrow \overline{(f2)}
 = \overline{(f4)}
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(s1)}
\colon \overline{(s1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(s2)}
\colon \dot{\neg}\,(\{\{\overline{(s1)}
,\overline{(s1)}
\}
,\{\overline{(s1)}
,\overline{(s2)}
\}
\}
 \mathrel{\in}  \{ ph \mathrel{\in}  \{ ph \mathrel{\in} P(P(Union(\{N
,Q
\}
)
)
)
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op1)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op2)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\overline{(op1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(op2)}
 \mathrel{\in} Q
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\mathsf {a}
 _{Ph} 
 = \{\{\overline{(op1)}
,\overline{(op1)}
\}
,\{\overline{(op1)}
,\overline{(op2)}
\}
\}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\}
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(crs1)}
\colon \dot{\neg}\,(
\mathsf {c}
 _{Ph} 
 = \{\{\overline{(crs1)}
,\overline{(crs1)}
\}
,\{\overline{(crs1)}
,\underline{
\mathsf{x}}
\}
\}
)n
)n
\}
)n
)n
)n
)n
\rceil 
, 
p_0
, 
\mathsf {c}
)
]$


$
[CrsLookup
\stackrel{
stmt
}{\rightarrow}SystemQ
\vdash 
\forall \underline{
\mathsf {m}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf{x}}
\colon \underline{
\mathsf {m}}
 \mathrel{\in} N
\vdash  \{ ph \mathrel{\in}  \{ ph \mathrel{\in} P(P(Union(\{N
,Q
\}
)
)
)
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op1)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op2)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\overline{(op1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(op2)}
 \mathrel{\in} Q
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\mathsf {a}
 _{Ph} 
 = \{\{\overline{(op1)}
,\overline{(op1)}
\}
,\{\overline{(op1)}
,\overline{(op2)}
\}
\}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\}
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(crs1)}
\colon \dot{\neg}\,(
\mathsf {c}
 _{Ph} 
 = \{\{\overline{(crs1)}
,\overline{(crs1)}
\}
,\{\overline{(crs1)}
,\underline{
\mathsf{x}}
\}
\}
)n
)n
\}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
 = \underline{
\mathsf{x}}
]$

$
[CrsLookup
\stackrel{
proof
}{\rightarrow}
\lambda 
\mathsf {c}
.
\lambda 
\mathsf{x}
.
{\cal P}( 
\lceil SystemQ
\vdash 
\forall \underline{
\mathsf {m}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf{x}}
\colon \underline{
\mathsf {m}}
 \mathrel{\in} N
\vdash CrsIsSeries
\gg \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(r1)}
\colon \overline{(r1)}
 \mathrel{\in}  \{ ph \mathrel{\in}  \{ ph \mathrel{\in} P(P(Union(\{N
,Q
\}
)
)
)
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op1)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op2)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\overline{(op1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(op2)}
 \mathrel{\in} Q
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\mathsf {a}
 _{Ph} 
 = \{\{\overline{(op1)}
,\overline{(op1)}
\}
,\{\overline{(op1)}
,\overline{(op2)}
\}
\}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\}
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(crs1)}
\colon \dot{\neg}\,(
\mathsf {c}
 _{Ph} 
 = \{\{\overline{(crs1)}
,\overline{(crs1)}
\}
,\{\overline{(crs1)}
,\underline{
\mathsf{x}}
\}
\}
)n
)n
\}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op1)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op2)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\overline{(op1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(op2)}
 \mathrel{\in} Q
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(r1)}
 = \{\{\overline{(op1)}
,\overline{(op1)}
\}
,\{\overline{(op1)}
,\overline{(op2)}
\}
\}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(f1)}
\colon 
\forall_{obj} \overline{(f2)}
\colon 
\forall_{obj} \overline{(f3)}
\colon 
\forall_{obj} \overline{(f4)}
\colon \{\{\overline{(f1)}
,\overline{(f1)}
\}
,\{\overline{(f1)}
,\overline{(f2)}
\}
\}
 \mathrel{\in}  \{ ph \mathrel{\in}  \{ ph \mathrel{\in} P(P(Union(\{N
,Q
\}
)
)
)
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op1)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op2)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\overline{(op1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(op2)}
 \mathrel{\in} Q
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\mathsf {a}
 _{Ph} 
 = \{\{\overline{(op1)}
,\overline{(op1)}
\}
,\{\overline{(op1)}
,\overline{(op2)}
\}
\}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\}
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(crs1)}
\colon \dot{\neg}\,(
\mathsf {c}
 _{Ph} 
 = \{\{\overline{(crs1)}
,\overline{(crs1)}
\}
,\{\overline{(crs1)}
,\underline{
\mathsf{x}}
\}
\}
)n
)n
\}
\Rightarrow \{\{\overline{(f3)}
,\overline{(f3)}
\}
,\{\overline{(f3)}
,\overline{(f4)}
\}
\}
 \mathrel{\in}  \{ ph \mathrel{\in}  \{ ph \mathrel{\in} P(P(Union(\{N
,Q
\}
)
)
)
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op1)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op2)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\overline{(op1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(op2)}
 \mathrel{\in} Q
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\mathsf {a}
 _{Ph} 
 = \{\{\overline{(op1)}
,\overline{(op1)}
\}
,\{\overline{(op1)}
,\overline{(op2)}
\}
\}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\}
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(crs1)}
\colon \dot{\neg}\,(
\mathsf {c}
 _{Ph} 
 = \{\{\overline{(crs1)}
,\overline{(crs1)}
\}
,\{\overline{(crs1)}
,\underline{
\mathsf{x}}
\}
\}
)n
)n
\}
\Rightarrow \overline{(f1)}
 = \overline{(f3)}
\Rightarrow \overline{(f2)}
 = \overline{(f4)}
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(s1)}
\colon \overline{(s1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(s2)}
\colon \dot{\neg}\,(\{\{\overline{(s1)}
,\overline{(s1)}
\}
,\{\overline{(s1)}
,\overline{(s2)}
\}
\}
 \mathrel{\in}  \{ ph \mathrel{\in}  \{ ph \mathrel{\in} P(P(Union(\{N
,Q
\}
)
)
)
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op1)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op2)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\overline{(op1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(op2)}
 \mathrel{\in} Q
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\mathsf {a}
 _{Ph} 
 = \{\{\overline{(op1)}
,\overline{(op1)}
\}
,\{\overline{(op1)}
,\overline{(op2)}
\}
\}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\}
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(crs1)}
\colon \dot{\neg}\,(
\mathsf {c}
 _{Ph} 
 = \{\{\overline{(crs1)}
,\overline{(crs1)}
\}
,\{\overline{(crs1)}
,\underline{
\mathsf{x}}
\}
\}
)n
)n
\}
)n
)n
)n
)n
; MemberOfSeries
\rhd \underline{
\mathsf {m}}
 \mathrel{\in} N
\rhd \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(r1)}
\colon \overline{(r1)}
 \mathrel{\in}  \{ ph \mathrel{\in}  \{ ph \mathrel{\in} P(P(Union(\{N
,Q
\}
)
)
)
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op1)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op2)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\overline{(op1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(op2)}
 \mathrel{\in} Q
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\mathsf {a}
 _{Ph} 
 = \{\{\overline{(op1)}
,\overline{(op1)}
\}
,\{\overline{(op1)}
,\overline{(op2)}
\}
\}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\}
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(crs1)}
\colon \dot{\neg}\,(
\mathsf {c}
 _{Ph} 
 = \{\{\overline{(crs1)}
,\overline{(crs1)}
\}
,\{\overline{(crs1)}
,\underline{
\mathsf{x}}
\}
\}
)n
)n
\}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op1)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op2)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\overline{(op1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(op2)}
 \mathrel{\in} Q
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(r1)}
 = \{\{\overline{(op1)}
,\overline{(op1)}
\}
,\{\overline{(op1)}
,\overline{(op2)}
\}
\}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(f1)}
\colon 
\forall_{obj} \overline{(f2)}
\colon 
\forall_{obj} \overline{(f3)}
\colon 
\forall_{obj} \overline{(f4)}
\colon \{\{\overline{(f1)}
,\overline{(f1)}
\}
,\{\overline{(f1)}
,\overline{(f2)}
\}
\}
 \mathrel{\in}  \{ ph \mathrel{\in}  \{ ph \mathrel{\in} P(P(Union(\{N
,Q
\}
)
)
)
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op1)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op2)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\overline{(op1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(op2)}
 \mathrel{\in} Q
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\mathsf {a}
 _{Ph} 
 = \{\{\overline{(op1)}
,\overline{(op1)}
\}
,\{\overline{(op1)}
,\overline{(op2)}
\}
\}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\}
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(crs1)}
\colon \dot{\neg}\,(
\mathsf {c}
 _{Ph} 
 = \{\{\overline{(crs1)}
,\overline{(crs1)}
\}
,\{\overline{(crs1)}
,\underline{
\mathsf{x}}
\}
\}
)n
)n
\}
\Rightarrow \{\{\overline{(f3)}
,\overline{(f3)}
\}
,\{\overline{(f3)}
,\overline{(f4)}
\}
\}
 \mathrel{\in}  \{ ph \mathrel{\in}  \{ ph \mathrel{\in} P(P(Union(\{N
,Q
\}
)
)
)
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op1)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op2)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\overline{(op1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(op2)}
 \mathrel{\in} Q
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\mathsf {a}
 _{Ph} 
 = \{\{\overline{(op1)}
,\overline{(op1)}
\}
,\{\overline{(op1)}
,\overline{(op2)}
\}
\}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\}
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(crs1)}
\colon \dot{\neg}\,(
\mathsf {c}
 _{Ph} 
 = \{\{\overline{(crs1)}
,\overline{(crs1)}
\}
,\{\overline{(crs1)}
,\underline{
\mathsf{x}}
\}
\}
)n
)n
\}
\Rightarrow \overline{(f1)}
 = \overline{(f3)}
\Rightarrow \overline{(f2)}
 = \overline{(f4)}
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(s1)}
\colon \overline{(s1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(s2)}
\colon \dot{\neg}\,(\{\{\overline{(s1)}
,\overline{(s1)}
\}
,\{\overline{(s1)}
,\overline{(s2)}
\}
\}
 \mathrel{\in}  \{ ph \mathrel{\in}  \{ ph \mathrel{\in} P(P(Union(\{N
,Q
\}
)
)
)
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op1)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op2)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\overline{(op1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(op2)}
 \mathrel{\in} Q
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\mathsf {a}
 _{Ph} 
 = \{\{\overline{(op1)}
,\overline{(op1)}
\}
,\{\overline{(op1)}
,\overline{(op2)}
\}
\}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\}
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(crs1)}
\colon \dot{\neg}\,(
\mathsf {c}
 _{Ph} 
 = \{\{\overline{(crs1)}
,\overline{(crs1)}
\}
,\{\overline{(crs1)}
,\underline{
\mathsf{x}}
\}
\}
)n
)n
\}
)n
)n
)n
)n
\gg \{\{\underline{
\mathsf {m}}
,\underline{
\mathsf {m}}
\}
,\{\underline{
\mathsf {m}}
, \{ ph \mathrel{\in}  \{ ph \mathrel{\in} P(P(Union(\{N
,Q
\}
)
)
)
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op1)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op2)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\overline{(op1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(op2)}
 \mathrel{\in} Q
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\mathsf {a}
 _{Ph} 
 = \{\{\overline{(op1)}
,\overline{(op1)}
\}
,\{\overline{(op1)}
,\overline{(op2)}
\}
\}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\}
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(crs1)}
\colon \dot{\neg}\,(
\mathsf {c}
 _{Ph} 
 = \{\{\overline{(crs1)}
,\overline{(crs1)}
\}
,\{\overline{(crs1)}
,\underline{
\mathsf{x}}
\}
\}
)n
)n
\}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
\}
\}
 \mathrel{\in}  \{ ph \mathrel{\in}  \{ ph \mathrel{\in} P(P(Union(\{N
,Q
\}
)
)
)
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op1)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op2)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\overline{(op1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(op2)}
 \mathrel{\in} Q
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\mathsf {a}
 _{Ph} 
 = \{\{\overline{(op1)}
,\overline{(op1)}
\}
,\{\overline{(op1)}
,\overline{(op2)}
\}
\}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\}
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(crs1)}
\colon \dot{\neg}\,(
\mathsf {c}
 _{Ph} 
 = \{\{\overline{(crs1)}
,\overline{(crs1)}
\}
,\{\overline{(crs1)}
,\underline{
\mathsf{x}}
\}
\}
)n
)n
\}
; CrsIsTotal
\rhd \underline{
\mathsf {m}}
 \mathrel{\in} N
\gg \{\{\underline{
\mathsf {m}}
,\underline{
\mathsf {m}}
\}
,\{\underline{
\mathsf {m}}
,\underline{
\mathsf{x}}
\}
\}
 \mathrel{\in}  \{ ph \mathrel{\in}  \{ ph \mathrel{\in} P(P(Union(\{N
,Q
\}
)
)
)
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op1)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op2)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\overline{(op1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(op2)}
 \mathrel{\in} Q
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\mathsf {a}
 _{Ph} 
 = \{\{\overline{(op1)}
,\overline{(op1)}
\}
,\{\overline{(op1)}
,\overline{(op2)}
\}
\}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\}
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(crs1)}
\colon \dot{\neg}\,(
\mathsf {c}
 _{Ph} 
 = \{\{\overline{(crs1)}
,\overline{(crs1)}
\}
,\{\overline{(crs1)}
,\underline{
\mathsf{x}}
\}
\}
)n
)n
\}
; eqReflexivity
\gg \underline{
\mathsf {m}}
 = \underline{
\mathsf {m}}
; UniqueMember
\rhd \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(r1)}
\colon \overline{(r1)}
 \mathrel{\in}  \{ ph \mathrel{\in}  \{ ph \mathrel{\in} P(P(Union(\{N
,Q
\}
)
)
)
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op1)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op2)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\overline{(op1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(op2)}
 \mathrel{\in} Q
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\mathsf {a}
 _{Ph} 
 = \{\{\overline{(op1)}
,\overline{(op1)}
\}
,\{\overline{(op1)}
,\overline{(op2)}
\}
\}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\}
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(crs1)}
\colon \dot{\neg}\,(
\mathsf {c}
 _{Ph} 
 = \{\{\overline{(crs1)}
,\overline{(crs1)}
\}
,\{\overline{(crs1)}
,\underline{
\mathsf{x}}
\}
\}
)n
)n
\}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op1)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op2)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\overline{(op1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(op2)}
 \mathrel{\in} Q
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(r1)}
 = \{\{\overline{(op1)}
,\overline{(op1)}
\}
,\{\overline{(op1)}
,\overline{(op2)}
\}
\}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(f1)}
\colon 
\forall_{obj} \overline{(f2)}
\colon 
\forall_{obj} \overline{(f3)}
\colon 
\forall_{obj} \overline{(f4)}
\colon \{\{\overline{(f1)}
,\overline{(f1)}
\}
,\{\overline{(f1)}
,\overline{(f2)}
\}
\}
 \mathrel{\in}  \{ ph \mathrel{\in}  \{ ph \mathrel{\in} P(P(Union(\{N
,Q
\}
)
)
)
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op1)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op2)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\overline{(op1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(op2)}
 \mathrel{\in} Q
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\mathsf {a}
 _{Ph} 
 = \{\{\overline{(op1)}
,\overline{(op1)}
\}
,\{\overline{(op1)}
,\overline{(op2)}
\}
\}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\}
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(crs1)}
\colon \dot{\neg}\,(
\mathsf {c}
 _{Ph} 
 = \{\{\overline{(crs1)}
,\overline{(crs1)}
\}
,\{\overline{(crs1)}
,\underline{
\mathsf{x}}
\}
\}
)n
)n
\}
\Rightarrow \{\{\overline{(f3)}
,\overline{(f3)}
\}
,\{\overline{(f3)}
,\overline{(f4)}
\}
\}
 \mathrel{\in}  \{ ph \mathrel{\in}  \{ ph \mathrel{\in} P(P(Union(\{N
,Q
\}
)
)
)
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op1)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op2)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\overline{(op1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(op2)}
 \mathrel{\in} Q
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\mathsf {a}
 _{Ph} 
 = \{\{\overline{(op1)}
,\overline{(op1)}
\}
,\{\overline{(op1)}
,\overline{(op2)}
\}
\}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\}
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(crs1)}
\colon \dot{\neg}\,(
\mathsf {c}
 _{Ph} 
 = \{\{\overline{(crs1)}
,\overline{(crs1)}
\}
,\{\overline{(crs1)}
,\underline{
\mathsf{x}}
\}
\}
)n
)n
\}
\Rightarrow \overline{(f1)}
 = \overline{(f3)}
\Rightarrow \overline{(f2)}
 = \overline{(f4)}
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(s1)}
\colon \overline{(s1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(s2)}
\colon \dot{\neg}\,(\{\{\overline{(s1)}
,\overline{(s1)}
\}
,\{\overline{(s1)}
,\overline{(s2)}
\}
\}
 \mathrel{\in}  \{ ph \mathrel{\in}  \{ ph \mathrel{\in} P(P(Union(\{N
,Q
\}
)
)
)
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op1)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op2)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\overline{(op1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(op2)}
 \mathrel{\in} Q
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\mathsf {a}
 _{Ph} 
 = \{\{\overline{(op1)}
,\overline{(op1)}
\}
,\{\overline{(op1)}
,\overline{(op2)}
\}
\}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\}
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(crs1)}
\colon \dot{\neg}\,(
\mathsf {c}
 _{Ph} 
 = \{\{\overline{(crs1)}
,\overline{(crs1)}
\}
,\{\overline{(crs1)}
,\underline{
\mathsf{x}}
\}
\}
)n
)n
\}
)n
)n
)n
)n
\rhd \{\{\underline{
\mathsf {m}}
,\underline{
\mathsf {m}}
\}
,\{\underline{
\mathsf {m}}
, \{ ph \mathrel{\in}  \{ ph \mathrel{\in} P(P(Union(\{N
,Q
\}
)
)
)
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op1)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op2)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\overline{(op1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(op2)}
 \mathrel{\in} Q
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\mathsf {a}
 _{Ph} 
 = \{\{\overline{(op1)}
,\overline{(op1)}
\}
,\{\overline{(op1)}
,\overline{(op2)}
\}
\}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\}
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(crs1)}
\colon \dot{\neg}\,(
\mathsf {c}
 _{Ph} 
 = \{\{\overline{(crs1)}
,\overline{(crs1)}
\}
,\{\overline{(crs1)}
,\underline{
\mathsf{x}}
\}
\}
)n
)n
\}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
\}
\}
 \mathrel{\in}  \{ ph \mathrel{\in}  \{ ph \mathrel{\in} P(P(Union(\{N
,Q
\}
)
)
)
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op1)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op2)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\overline{(op1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(op2)}
 \mathrel{\in} Q
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\mathsf {a}
 _{Ph} 
 = \{\{\overline{(op1)}
,\overline{(op1)}
\}
,\{\overline{(op1)}
,\overline{(op2)}
\}
\}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\}
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(crs1)}
\colon \dot{\neg}\,(
\mathsf {c}
 _{Ph} 
 = \{\{\overline{(crs1)}
,\overline{(crs1)}
\}
,\{\overline{(crs1)}
,\underline{
\mathsf{x}}
\}
\}
)n
)n
\}
\rhd \{\{\underline{
\mathsf {m}}
,\underline{
\mathsf {m}}
\}
,\{\underline{
\mathsf {m}}
,\underline{
\mathsf{x}}
\}
\}
 \mathrel{\in}  \{ ph \mathrel{\in}  \{ ph \mathrel{\in} P(P(Union(\{N
,Q
\}
)
)
)
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op1)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op2)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\overline{(op1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(op2)}
 \mathrel{\in} Q
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\mathsf {a}
 _{Ph} 
 = \{\{\overline{(op1)}
,\overline{(op1)}
\}
,\{\overline{(op1)}
,\overline{(op2)}
\}
\}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\}
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(crs1)}
\colon \dot{\neg}\,(
\mathsf {c}
 _{Ph} 
 = \{\{\overline{(crs1)}
,\overline{(crs1)}
\}
,\{\overline{(crs1)}
,\underline{
\mathsf{x}}
\}
\}
)n
)n
\}
\rhd \underline{
\mathsf {m}}
 = \underline{
\mathsf {m}}
\gg  \{ ph \mathrel{\in}  \{ ph \mathrel{\in} P(P(Union(\{N
,Q
\}
)
)
)
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op1)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op2)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\overline{(op1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(op2)}
 \mathrel{\in} Q
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\mathsf {a}
 _{Ph} 
 = \{\{\overline{(op1)}
,\overline{(op1)}
\}
,\{\overline{(op1)}
,\overline{(op2)}
\}
\}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\}
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(crs1)}
\colon \dot{\neg}\,(
\mathsf {c}
 _{Ph} 
 = \{\{\overline{(crs1)}
,\overline{(crs1)}
\}
,\{\overline{(crs1)}
,\underline{
\mathsf{x}}
\}
\}
)n
)n
\}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
 = \underline{
\mathsf{x}}
\rceil 
, 
p_0
, 
\mathsf {c}
)
]$

$
[0f
\stackrel{
stmt
}{\rightarrow}SystemQ
\vdash 
\forall \underline{
\mathsf {m}}
\colon \underline{
\mathsf {m}}
 \mathrel{\in} N
\vdash  \{ ph \mathrel{\in}  \{ ph \mathrel{\in} P(P(Union(\{N
,Q
\}
)
)
)
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op1)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op2)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\overline{(op1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(op2)}
 \mathrel{\in} Q
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\mathsf {a}
 _{Ph} 
 = \{\{\overline{(op1)}
,\overline{(op1)}
\}
,\{\overline{(op1)}
,\overline{(op2)}
\}
\}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\}
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(crs1)}
\colon \dot{\neg}\,(
\mathsf {c}
 _{Ph} 
 = \{\{\overline{(crs1)}
,\overline{(crs1)}
\}
,\{\overline{(crs1)}
,0
\}
\}
)n
)n
\}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
 = 0
]$

$
[0f
\stackrel{
proof
}{\rightarrow}
\lambda 
\mathsf {c}
.
\lambda 
\mathsf{x}
.
{\cal P}( 
\lceil SystemQ
\vdash 
\forall \underline{
\mathsf {m}}
\colon \underline{
\mathsf {m}}
 \mathrel{\in} N
\vdash CrsLookup
\rhd \underline{
\mathsf {m}}
 \mathrel{\in} N
\gg  \{ ph \mathrel{\in}  \{ ph \mathrel{\in} P(P(Union(\{N
,Q
\}
)
)
)
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op1)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op2)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\overline{(op1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(op2)}
 \mathrel{\in} Q
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\mathsf {a}
 _{Ph} 
 = \{\{\overline{(op1)}
,\overline{(op1)}
\}
,\{\overline{(op1)}
,\overline{(op2)}
\}
\}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\}
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(crs1)}
\colon \dot{\neg}\,(
\mathsf {c}
 _{Ph} 
 = \{\{\overline{(crs1)}
,\overline{(crs1)}
\}
,\{\overline{(crs1)}
,0
\}
\}
)n
)n
\}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
 = 0
; Repetition
\rhd  \{ ph \mathrel{\in}  \{ ph \mathrel{\in} P(P(Union(\{N
,Q
\}
)
)
)
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op1)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op2)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\overline{(op1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(op2)}
 \mathrel{\in} Q
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\mathsf {a}
 _{Ph} 
 = \{\{\overline{(op1)}
,\overline{(op1)}
\}
,\{\overline{(op1)}
,\overline{(op2)}
\}
\}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\}
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(crs1)}
\colon \dot{\neg}\,(
\mathsf {c}
 _{Ph} 
 = \{\{\overline{(crs1)}
,\overline{(crs1)}
\}
,\{\overline{(crs1)}
,0
\}
\}
)n
)n
\}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
 = 0
\gg  \{ ph \mathrel{\in}  \{ ph \mathrel{\in} P(P(Union(\{N
,Q
\}
)
)
)
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op1)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op2)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\overline{(op1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(op2)}
 \mathrel{\in} Q
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\mathsf {a}
 _{Ph} 
 = \{\{\overline{(op1)}
,\overline{(op1)}
\}
,\{\overline{(op1)}
,\overline{(op2)}
\}
\}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\}
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(crs1)}
\colon \dot{\neg}\,(
\mathsf {c}
 _{Ph} 
 = \{\{\overline{(crs1)}
,\overline{(crs1)}
\}
,\{\overline{(crs1)}
,0
\}
\}
)n
)n
\}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
 = 0
\rceil 
, 
p_0
, 
\mathsf {c}
)
]$


$
[1f
\stackrel{
stmt
}{\rightarrow}SystemQ
\vdash 
\forall \underline{
\mathsf {m}}
\colon \underline{
\mathsf {m}}
 \mathrel{\in} N
\vdash  \{ ph \mathrel{\in}  \{ ph \mathrel{\in} P(P(Union(\{N
,Q
\}
)
)
)
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op1)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op2)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\overline{(op1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(op2)}
 \mathrel{\in} Q
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\mathsf {a}
 _{Ph} 
 = \{\{\overline{(op1)}
,\overline{(op1)}
\}
,\{\overline{(op1)}
,\overline{(op2)}
\}
\}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\}
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(crs1)}
\colon \dot{\neg}\,(
\mathsf {c}
 _{Ph} 
 = \{\{\overline{(crs1)}
,\overline{(crs1)}
\}
,\{\overline{(crs1)}
,1
\}
\}
)n
)n
\}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
 = 1
]$



$
[1f
\stackrel{
proof
}{\rightarrow}
\lambda 
\mathsf {c}
.
\lambda 
\mathsf{x}
.
{\cal P}( 
\lceil SystemQ
\vdash 
\forall \underline{
\mathsf {m}}
\colon \underline{
\mathsf {m}}
 \mathrel{\in} N
\vdash CrsLookup
\rhd \underline{
\mathsf {m}}
 \mathrel{\in} N
\gg  \{ ph \mathrel{\in}  \{ ph \mathrel{\in} P(P(Union(\{N
,Q
\}
)
)
)
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op1)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op2)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\overline{(op1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(op2)}
 \mathrel{\in} Q
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\mathsf {a}
 _{Ph} 
 = \{\{\overline{(op1)}
,\overline{(op1)}
\}
,\{\overline{(op1)}
,\overline{(op2)}
\}
\}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\}
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(crs1)}
\colon \dot{\neg}\,(
\mathsf {c}
 _{Ph} 
 = \{\{\overline{(crs1)}
,\overline{(crs1)}
\}
,\{\overline{(crs1)}
,1
\}
\}
)n
)n
\}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
 = 1
; Repetition
\rhd  \{ ph \mathrel{\in}  \{ ph \mathrel{\in} P(P(Union(\{N
,Q
\}
)
)
)
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op1)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op2)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\overline{(op1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(op2)}
 \mathrel{\in} Q
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\mathsf {a}
 _{Ph} 
 = \{\{\overline{(op1)}
,\overline{(op1)}
\}
,\{\overline{(op1)}
,\overline{(op2)}
\}
\}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\}
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(crs1)}
\colon \dot{\neg}\,(
\mathsf {c}
 _{Ph} 
 = \{\{\overline{(crs1)}
,\overline{(crs1)}
\}
,\{\overline{(crs1)}
,1
\}
\}
)n
)n
\}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
 = 1
\gg  \{ ph \mathrel{\in}  \{ ph \mathrel{\in} P(P(Union(\{N
,Q
\}
)
)
)
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op1)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op2)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\overline{(op1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(op2)}
 \mathrel{\in} Q
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\mathsf {a}
 _{Ph} 
 = \{\{\overline{(op1)}
,\overline{(op1)}
\}
,\{\overline{(op1)}
,\overline{(op2)}
\}
\}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\}
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(crs1)}
\colon \dot{\neg}\,(
\mathsf {c}
 _{Ph} 
 = \{\{\overline{(crs1)}
,\overline{(crs1)}
\}
,\{\overline{(crs1)}
,1
\}
\}
)n
)n
\}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
 = 1
\rceil 
, 
p_0
, 
\mathsf {c}
)
]$




-------(6.11.06, lemmaer fra kvanti, mod kronologien)






$
[DistributionOut
\stackrel{
stmt
}{\rightarrow}SystemQ
\vdash 
\forall \underline{
\mathsf{x}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf{y}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf{z}}
\colon ((\underline{
\mathsf{x}}
*\underline{
\mathsf{y}}
)
+(\underline{
\mathsf{x}}
*\underline{
\mathsf{z}}
)
)
 = (\underline{
\mathsf{x}}
*(\underline{
\mathsf{y}}
+\underline{
\mathsf{z}}
)
)
]$

$
[DistributionOut
\stackrel{
proof
}{\rightarrow}
\lambda 
\mathsf {c}
.
\lambda 
\mathsf{x}
.
{\cal P}( 
\lceil SystemQ
\vdash 
\forall \underline{
\mathsf{x}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf{y}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf{z}}
\colon Distribution
\gg (\underline{
\mathsf{x}}
*(\underline{
\mathsf{y}}
+\underline{
\mathsf{z}}
)
)
 = ((\underline{
\mathsf{x}}
*\underline{
\mathsf{y}}
)
+(\underline{
\mathsf{x}}
*\underline{
\mathsf{z}}
)
)
; eqSymmetry
\rhd (\underline{
\mathsf{x}}
*(\underline{
\mathsf{y}}
+\underline{
\mathsf{z}}
)
)
 = ((\underline{
\mathsf{x}}
*\underline{
\mathsf{y}}
)
+(\underline{
\mathsf{x}}
*\underline{
\mathsf{z}}
)
)
\gg ((\underline{
\mathsf{x}}
*\underline{
\mathsf{y}}
)
+(\underline{
\mathsf{x}}
*\underline{
\mathsf{z}}
)
)
 = (\underline{
\mathsf{x}}
*(\underline{
\mathsf{y}}
+\underline{
\mathsf{z}}
)
)
\rceil 
, 
p_0
, 
\mathsf {c}
)
]$

$
[Three2twoTerms
\stackrel{
stmt
}{\rightarrow}SystemQ
\vdash 
\forall \underline{
\mathsf{x}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf{y}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf{z}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf {u}}
\colon (\underline{
\mathsf{y}}
+\underline{
\mathsf{z}}
)
 = \underline{
\mathsf {u}}
\vdash ((\underline{
\mathsf{x}}
+\underline{
\mathsf{y}}
)
+\underline{
\mathsf{z}}
)
 = (\underline{
\mathsf{x}}
+\underline{
\mathsf {u}}
)
]$

$
[Three2twoTerms
\stackrel{
proof
}{\rightarrow}
\lambda 
\mathsf {c}
.
\lambda 
\mathsf{x}
.
{\cal P}( 
\lceil SystemQ
\vdash 
\forall \underline{
\mathsf{x}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf{y}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf{z}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf {u}}
\colon (\underline{
\mathsf{y}}
+\underline{
\mathsf{z}}
)
 = \underline{
\mathsf {u}}
\vdash 
\mbox{lemma eqAdditionLeft}
\rhd (\underline{
\mathsf{y}}
+\underline{
\mathsf{z}}
)
 = \underline{
\mathsf {u}}
\gg (\underline{
\mathsf{x}}
+(\underline{
\mathsf{y}}
+\underline{
\mathsf{z}}
)
)
 = (\underline{
\mathsf{x}}
+\underline{
\mathsf {u}}
)
; plusAssociativity
\gg ((\underline{
\mathsf{x}}
+\underline{
\mathsf{y}}
)
+\underline{
\mathsf{z}}
)
 = (\underline{
\mathsf{x}}
+(\underline{
\mathsf{y}}
+\underline{
\mathsf{z}}
)
)
; eqTransitivity
\rhd ((\underline{
\mathsf{x}}
+\underline{
\mathsf{y}}
)
+\underline{
\mathsf{z}}
)
 = (\underline{
\mathsf{x}}
+(\underline{
\mathsf{y}}
+\underline{
\mathsf{z}}
)
)
\rhd (\underline{
\mathsf{x}}
+(\underline{
\mathsf{y}}
+\underline{
\mathsf{z}}
)
)
 = (\underline{
\mathsf{x}}
+\underline{
\mathsf {u}}
)
\gg ((\underline{
\mathsf{x}}
+\underline{
\mathsf{y}}
)
+\underline{
\mathsf{z}}
)
 = (\underline{
\mathsf{x}}
+\underline{
\mathsf {u}}
)
\rceil 
, 
p_0
, 
\mathsf {c}
)
]$

$
[Three2threeTerms
\stackrel{
stmt
}{\rightarrow}SystemQ
\vdash 
\forall \underline{
\mathsf{x}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf{y}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf{z}}
\colon ((\underline{
\mathsf{x}}
+\underline{
\mathsf{y}}
)
+\underline{
\mathsf{z}}
)
 = ((\underline{
\mathsf{x}}
+\underline{
\mathsf{z}}
)
+\underline{
\mathsf{y}}
)
]$

$
[Three2threeTerms
\stackrel{
proof
}{\rightarrow}
\lambda 
\mathsf {c}
.
\lambda 
\mathsf{x}
.
{\cal P}( 
\lceil SystemQ
\vdash 
\forall \underline{
\mathsf{x}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf{y}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf{z}}
\colon plusCommutativity
\gg (\underline{
\mathsf{y}}
+\underline{
\mathsf{z}}
)
 = (\underline{
\mathsf{z}}
+\underline{
\mathsf{y}}
)
; Three2twoTerms
\rhd (\underline{
\mathsf{y}}
+\underline{
\mathsf{z}}
)
 = (\underline{
\mathsf{z}}
+\underline{
\mathsf{y}}
)
\gg ((\underline{
\mathsf{x}}
+\underline{
\mathsf{y}}
)
+\underline{
\mathsf{z}}
)
 = (\underline{
\mathsf{x}}
+(\underline{
\mathsf{z}}
+\underline{
\mathsf{y}}
)
)
; plusAssociativity
\gg ((\underline{
\mathsf{x}}
+\underline{
\mathsf{z}}
)
+\underline{
\mathsf{y}}
)
 = (\underline{
\mathsf{x}}
+(\underline{
\mathsf{z}}
+\underline{
\mathsf{y}}
)
)
; eqSymmetry
\rhd ((\underline{
\mathsf{x}}
+\underline{
\mathsf{z}}
)
+\underline{
\mathsf{y}}
)
 = (\underline{
\mathsf{x}}
+(\underline{
\mathsf{z}}
+\underline{
\mathsf{y}}
)
)
\gg (\underline{
\mathsf{x}}
+(\underline{
\mathsf{z}}
+\underline{
\mathsf{y}}
)
)
 = ((\underline{
\mathsf{x}}
+\underline{
\mathsf{z}}
)
+\underline{
\mathsf{y}}
)
; eqTransitivity
\rhd ((\underline{
\mathsf{x}}
+\underline{
\mathsf{y}}
)
+\underline{
\mathsf{z}}
)
 = (\underline{
\mathsf{x}}
+(\underline{
\mathsf{z}}
+\underline{
\mathsf{y}}
)
)
\rhd (\underline{
\mathsf{x}}
+(\underline{
\mathsf{z}}
+\underline{
\mathsf{y}}
)
)
 = ((\underline{
\mathsf{x}}
+\underline{
\mathsf{z}}
)
+\underline{
\mathsf{y}}
)
\gg ((\underline{
\mathsf{x}}
+\underline{
\mathsf{y}}
)
+\underline{
\mathsf{z}}
)
 = ((\underline{
\mathsf{x}}
+\underline{
\mathsf{z}}
)
+\underline{
\mathsf{y}}
)
\rceil 
, 
p_0
, 
\mathsf {c}
)
]$

$
[Three2twoFactors
\stackrel{
stmt
}{\rightarrow}SystemQ
\vdash 
\forall \underline{
\mathsf{x}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf{y}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf{z}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf {u}}
\colon (\underline{
\mathsf{y}}
*\underline{
\mathsf{z}}
)
 = \underline{
\mathsf {u}}
\vdash ((\underline{
\mathsf{x}}
*\underline{
\mathsf{y}}
)
*\underline{
\mathsf{z}}
)
 = (\underline{
\mathsf{x}}
*\underline{
\mathsf {u}}
)
]$

$
[Three2twoFactors
\stackrel{
proof
}{\rightarrow}
\lambda 
\mathsf {c}
.
\lambda 
\mathsf{x}
.
{\cal P}( 
\lceil SystemQ
\vdash 
\forall \underline{
\mathsf{x}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf{y}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf{z}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf {u}}
\colon (\underline{
\mathsf{y}}
*\underline{
\mathsf{z}}
)
 = \underline{
\mathsf {u}}
\vdash 
\mbox{lemma eqMultiplicationLeft}
\rhd (\underline{
\mathsf{y}}
*\underline{
\mathsf{z}}
)
 = \underline{
\mathsf {u}}
\gg (\underline{
\mathsf{x}}
*(\underline{
\mathsf{y}}
*\underline{
\mathsf{z}}
)
)
 = (\underline{
\mathsf{x}}
*\underline{
\mathsf {u}}
)
; timesAssociativity
\gg ((\underline{
\mathsf{x}}
*\underline{
\mathsf{y}}
)
*\underline{
\mathsf{z}}
)
 = (\underline{
\mathsf{x}}
*(\underline{
\mathsf{y}}
*\underline{
\mathsf{z}}
)
)
; eqTransitivity
\rhd ((\underline{
\mathsf{x}}
*\underline{
\mathsf{y}}
)
*\underline{
\mathsf{z}}
)
 = (\underline{
\mathsf{x}}
*(\underline{
\mathsf{y}}
*\underline{
\mathsf{z}}
)
)
\rhd (\underline{
\mathsf{x}}
*(\underline{
\mathsf{y}}
*\underline{
\mathsf{z}}
)
)
 = (\underline{
\mathsf{x}}
*\underline{
\mathsf {u}}
)
\gg ((\underline{
\mathsf{x}}
*\underline{
\mathsf{y}}
)
*\underline{
\mathsf{z}}
)
 = (\underline{
\mathsf{x}}
*\underline{
\mathsf {u}}
)
\rceil 
, 
p_0
, 
\mathsf {c}
)
]$


$
[x=x+(y-y)
\stackrel{
stmt
}{\rightarrow}SystemQ
\vdash 
\forall \underline{
\mathsf{x}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf{y}}
\colon \underline{
\mathsf{x}}
 = (\underline{
\mathsf{x}}
+(\underline{
\mathsf{y}}
+(-u\underline{
\mathsf{y}}
)
)
)
]$

$
[x=x+(y-y)
\stackrel{
proof
}{\rightarrow}
\lambda 
\mathsf {c}
.
\lambda 
\mathsf{x}
.
{\cal P}( 
\lceil SystemQ
\vdash 
\forall \underline{
\mathsf{x}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf{y}}
\colon plus0
\gg (\underline{
\mathsf{x}}
+0
)
 = \underline{
\mathsf{x}}
; Negative
\gg (\underline{
\mathsf{y}}
+(-u\underline{
\mathsf{y}}
)
)
 = 0
; eqSymmetry
\rhd (\underline{
\mathsf{y}}
+(-u\underline{
\mathsf{y}}
)
)
 = 0
\gg 0
 = (\underline{
\mathsf{y}}
+(-u\underline{
\mathsf{y}}
)
)
; 
\mbox{lemma eqAdditionLeft}
\rhd 0
 = (\underline{
\mathsf{y}}
+(-u\underline{
\mathsf{y}}
)
)
\gg (\underline{
\mathsf{x}}
+0
)
 = (\underline{
\mathsf{x}}
+(\underline{
\mathsf{y}}
+(-u\underline{
\mathsf{y}}
)
)
)
; Equality
\rhd (\underline{
\mathsf{x}}
+0
)
 = \underline{
\mathsf{x}}
\rhd (\underline{
\mathsf{x}}
+0
)
 = (\underline{
\mathsf{x}}
+(\underline{
\mathsf{y}}
+(-u\underline{
\mathsf{y}}
)
)
)
\gg \underline{
\mathsf{x}}
 = (\underline{
\mathsf{x}}
+(\underline{
\mathsf{y}}
+(-u\underline{
\mathsf{y}}
)
)
)
\rceil 
, 
p_0
, 
\mathsf {c}
)
]$

$
[x=x+y-y
\stackrel{
stmt
}{\rightarrow}SystemQ
\vdash 
\forall \underline{
\mathsf{x}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf{y}}
\colon \underline{
\mathsf{x}}
 = ((\underline{
\mathsf{x}}
+\underline{
\mathsf{y}}
)
+(-u\underline{
\mathsf{y}}
)
)
]$

$
[x=x+y-y
\stackrel{
proof
}{\rightarrow}
\lambda 
\mathsf {c}
.
\lambda 
\mathsf{x}
.
{\cal P}( 
\lceil SystemQ
\vdash 
\forall \underline{
\mathsf{x}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf{y}}
\colon x=x+(y-y)
\gg \underline{
\mathsf{x}}
 = (\underline{
\mathsf{x}}
+(\underline{
\mathsf{y}}
+(-u\underline{
\mathsf{y}}
)
)
)
; plusAssociativity
\gg ((\underline{
\mathsf{x}}
+\underline{
\mathsf{y}}
)
+(-u\underline{
\mathsf{y}}
)
)
 = (\underline{
\mathsf{x}}
+(\underline{
\mathsf{y}}
+(-u\underline{
\mathsf{y}}
)
)
)
; eqSymmetry
\rhd ((\underline{
\mathsf{x}}
+\underline{
\mathsf{y}}
)
+(-u\underline{
\mathsf{y}}
)
)
 = (\underline{
\mathsf{x}}
+(\underline{
\mathsf{y}}
+(-u\underline{
\mathsf{y}}
)
)
)
\gg (\underline{
\mathsf{x}}
+(\underline{
\mathsf{y}}
+(-u\underline{
\mathsf{y}}
)
)
)
 = ((\underline{
\mathsf{x}}
+\underline{
\mathsf{y}}
)
+(-u\underline{
\mathsf{y}}
)
)
; eqTransitivity
\rhd \underline{
\mathsf{x}}
 = (\underline{
\mathsf{x}}
+(\underline{
\mathsf{y}}
+(-u\underline{
\mathsf{y}}
)
)
)
\rhd (\underline{
\mathsf{x}}
+(\underline{
\mathsf{y}}
+(-u\underline{
\mathsf{y}}
)
)
)
 = ((\underline{
\mathsf{x}}
+\underline{
\mathsf{y}}
)
+(-u\underline{
\mathsf{y}}
)
)
\gg \underline{
\mathsf{x}}
 = ((\underline{
\mathsf{x}}
+\underline{
\mathsf{y}}
)
+(-u\underline{
\mathsf{y}}
)
)
\rceil 
, 
p_0
, 
\mathsf {c}
)
]$

$
[x=x*y*(1/y)
\stackrel{
stmt
}{\rightarrow}SystemQ
\vdash 
\forall \underline{
\mathsf{x}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf{y}}
\colon \dot{\neg}\,(\underline{
\mathsf{y}}
 = 0
)n
\vdash \underline{
\mathsf{x}}
 = ((\underline{
\mathsf{x}}
*\underline{
\mathsf{y}}
)
*rec\underline{
\mathsf{y}}
)
]$

$
[x=x*y*(1/y)
\stackrel{
proof
}{\rightarrow}
\lambda 
\mathsf {c}
.
\lambda 
\mathsf{x}
.
{\cal P}( 
\lceil SystemQ
\vdash 
\forall \underline{
\mathsf{x}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf{y}}
\colon \dot{\neg}\,(\underline{
\mathsf{y}}
 = 0
)n
\vdash times1
\gg (\underline{
\mathsf{x}}
*1
)
 = \underline{
\mathsf{x}}
; Reciprocal
\rhd \dot{\neg}\,(\underline{
\mathsf{y}}
 = 0
)n
\gg (\underline{
\mathsf{y}}
*rec\underline{
\mathsf{y}}
)
 = 1
; Three2twoFactors
\rhd (\underline{
\mathsf{y}}
*rec\underline{
\mathsf{y}}
)
 = 1
\gg ((\underline{
\mathsf{x}}
*\underline{
\mathsf{y}}
)
*rec\underline{
\mathsf{y}}
)
 = (\underline{
\mathsf{x}}
*1
)
; eqTransitivity
\rhd ((\underline{
\mathsf{x}}
*\underline{
\mathsf{y}}
)
*rec\underline{
\mathsf{y}}
)
 = (\underline{
\mathsf{x}}
*1
)
\rhd (\underline{
\mathsf{x}}
*1
)
 = \underline{
\mathsf{x}}
\gg ((\underline{
\mathsf{x}}
*\underline{
\mathsf{y}}
)
*rec\underline{
\mathsf{y}}
)
 = \underline{
\mathsf{x}}
; eqSymmetry
\rhd ((\underline{
\mathsf{x}}
*\underline{
\mathsf{y}}
)
*rec\underline{
\mathsf{y}}
)
 = \underline{
\mathsf{x}}
\gg \underline{
\mathsf{x}}
 = ((\underline{
\mathsf{x}}
*\underline{
\mathsf{y}}
)
*rec\underline{
\mathsf{y}}
)
\rceil 
, 
p_0
, 
\mathsf {c}
)
]$

$
[x*0+x=x
\stackrel{
stmt
}{\rightarrow}SystemQ
\vdash 
\forall \underline{
\mathsf{x}}
\colon ((\underline{
\mathsf{x}}
*0
)
+\underline{
\mathsf{x}}
)
 = \underline{
\mathsf{x}}
]$

$
[x*0+x=x
\stackrel{
proof
}{\rightarrow}
\lambda 
\mathsf {c}
.
\lambda 
\mathsf{x}
.
{\cal P}( 
\lceil SystemQ
\vdash 
\forall \underline{
\mathsf{x}}
\colon times1
\gg (\underline{
\mathsf{x}}
*1
)
 = \underline{
\mathsf{x}}
; eqSymmetry
\rhd (\underline{
\mathsf{x}}
*1
)
 = \underline{
\mathsf{x}}
\gg \underline{
\mathsf{x}}
 = (\underline{
\mathsf{x}}
*1
)
; 
\mbox{lemma eqAdditionLeft}
\rhd \underline{
\mathsf{x}}
 = (\underline{
\mathsf{x}}
*1
)
\gg ((\underline{
\mathsf{x}}
*0
)
+\underline{
\mathsf{x}}
)
 = ((\underline{
\mathsf{x}}
*0
)
+(\underline{
\mathsf{x}}
*1
)
)
; Distribution
\gg (\underline{
\mathsf{x}}
*(0
+1
)
)
 = ((\underline{
\mathsf{x}}
*0
)
+(\underline{
\mathsf{x}}
*1
)
)
; eqSymmetry
\rhd (\underline{
\mathsf{x}}
*(0
+1
)
)
 = ((\underline{
\mathsf{x}}
*0
)
+(\underline{
\mathsf{x}}
*1
)
)
\gg ((\underline{
\mathsf{x}}
*0
)
+(\underline{
\mathsf{x}}
*1
)
)
 = (\underline{
\mathsf{x}}
*(0
+1
)
)
; 
\mbox{lemma plus0Left}
\gg (0
+1
)
 = 1
; 
\mbox{lemma eqMultiplicationLeft}
\rhd (0
+1
)
 = 1
\gg (\underline{
\mathsf{x}}
*(0
+1
)
)
 = (\underline{
\mathsf{x}}
*1
)
; eqTransitivity5
\rhd ((\underline{
\mathsf{x}}
*0
)
+\underline{
\mathsf{x}}
)
 = ((\underline{
\mathsf{x}}
*0
)
+(\underline{
\mathsf{x}}
*1
)
)
\rhd ((\underline{
\mathsf{x}}
*0
)
+(\underline{
\mathsf{x}}
*1
)
)
 = (\underline{
\mathsf{x}}
*(0
+1
)
)
\rhd (\underline{
\mathsf{x}}
*(0
+1
)
)
 = (\underline{
\mathsf{x}}
*1
)
\rhd (\underline{
\mathsf{x}}
*1
)
 = \underline{
\mathsf{x}}
\gg ((\underline{
\mathsf{x}}
*0
)
+\underline{
\mathsf{x}}
)
 = \underline{
\mathsf{x}}
\rceil 
, 
p_0
, 
\mathsf {c}
)
]$

$
[x*0=0
\stackrel{
stmt
}{\rightarrow}SystemQ
\vdash 
\forall \underline{
\mathsf{x}}
\colon (\underline{
\mathsf{x}}
*0
)
 = 0
]$

$
[x*0=0
\stackrel{
proof
}{\rightarrow}
\lambda 
\mathsf {c}
.
\lambda 
\mathsf{x}
.
{\cal P}( 
\lceil SystemQ
\vdash 
\forall \underline{
\mathsf{x}}
\colon x=x+(y-y)
\gg (\underline{
\mathsf{x}}
*0
)
 = ((\underline{
\mathsf{x}}
*0
)
+(\underline{
\mathsf{x}}
+(-u\underline{
\mathsf{x}}
)
)
)
; plusAssociativity
\gg (((\underline{
\mathsf{x}}
*0
)
+\underline{
\mathsf{x}}
)
+(-u\underline{
\mathsf{x}}
)
)
 = ((\underline{
\mathsf{x}}
*0
)
+(\underline{
\mathsf{x}}
+(-u\underline{
\mathsf{x}}
)
)
)
; eqSymmetry
\rhd (((\underline{
\mathsf{x}}
*0
)
+\underline{
\mathsf{x}}
)
+(-u\underline{
\mathsf{x}}
)
)
 = ((\underline{
\mathsf{x}}
*0
)
+(\underline{
\mathsf{x}}
+(-u\underline{
\mathsf{x}}
)
)
)
\gg ((\underline{
\mathsf{x}}
*0
)
+(\underline{
\mathsf{x}}
+(-u\underline{
\mathsf{x}}
)
)
)
 = (((\underline{
\mathsf{x}}
*0
)
+\underline{
\mathsf{x}}
)
+(-u\underline{
\mathsf{x}}
)
)
; x*0+x=x
\gg ((\underline{
\mathsf{x}}
*0
)
+\underline{
\mathsf{x}}
)
 = \underline{
\mathsf{x}}
; eqAddition
\rhd ((\underline{
\mathsf{x}}
*0
)
+\underline{
\mathsf{x}}
)
 = \underline{
\mathsf{x}}
\gg (((\underline{
\mathsf{x}}
*0
)
+\underline{
\mathsf{x}}
)
+(-u\underline{
\mathsf{x}}
)
)
 = (\underline{
\mathsf{x}}
+(-u\underline{
\mathsf{x}}
)
)
; Negative
\gg (\underline{
\mathsf{x}}
+(-u\underline{
\mathsf{x}}
)
)
 = 0
; eqTransitivity5
\rhd (\underline{
\mathsf{x}}
*0
)
 = ((\underline{
\mathsf{x}}
*0
)
+(\underline{
\mathsf{x}}
+(-u\underline{
\mathsf{x}}
)
)
)
\rhd ((\underline{
\mathsf{x}}
*0
)
+(\underline{
\mathsf{x}}
+(-u\underline{
\mathsf{x}}
)
)
)
 = (((\underline{
\mathsf{x}}
*0
)
+\underline{
\mathsf{x}}
)
+(-u\underline{
\mathsf{x}}
)
)
\rhd (((\underline{
\mathsf{x}}
*0
)
+\underline{
\mathsf{x}}
)
+(-u\underline{
\mathsf{x}}
)
)
 = (\underline{
\mathsf{x}}
+(-u\underline{
\mathsf{x}}
)
)
\rhd (\underline{
\mathsf{x}}
+(-u\underline{
\mathsf{x}}
)
)
 = 0
\gg (\underline{
\mathsf{x}}
*0
)
 = 0
\rceil 
, 
p_0
, 
\mathsf {c}
)
]$

$
[(-1)*(-1)+(-1)*1=0
\stackrel{
stmt
}{\rightarrow}SystemQ
\vdash (((-u1
)
*(-u1
)
)
+((-u1
)
*1
)
)
 = 0
]$

$
[(-1)*(-1)+(-1)*1=0
\stackrel{
proof
}{\rightarrow}
\lambda 
\mathsf {c}
.
\lambda 
\mathsf{x}
.
{\cal P}( 
\lceil SystemQ
\vdash DistributionOut
\gg (((-u1
)
*(-u1
)
)
+((-u1
)
*1
)
)
 = ((-u1
)
*((-u1
)
+1
)
)
; Negative
\gg (1
+(-u1
)
)
 = 0
; plusCommutativity
\gg ((-u1
)
+1
)
 = (1
+(-u1
)
)
; eqTransitivity
\rhd ((-u1
)
+1
)
 = (1
+(-u1
)
)
\rhd (1
+(-u1
)
)
 = 0
\gg ((-u1
)
+1
)
 = 0
; 
\mbox{lemma eqMultiplicationLeft}
\rhd ((-u1
)
+1
)
 = 0
\gg ((-u1
)
*((-u1
)
+1
)
)
 = ((-u1
)
*0
)
; x*0=0
\gg ((-u1
)
*0
)
 = 0
; eqTransitivity4
\rhd (((-u1
)
*(-u1
)
)
+((-u1
)
*1
)
)
 = ((-u1
)
*((-u1
)
+1
)
)
\rhd ((-u1
)
*((-u1
)
+1
)
)
 = ((-u1
)
*0
)
\rhd ((-u1
)
*0
)
 = 0
\gg (((-u1
)
*(-u1
)
)
+((-u1
)
*1
)
)
 = 0
\rceil 
, 
p_0
, 
\mathsf {c}
)
]$

$
[(-1)*(-1)=1
\stackrel{
stmt
}{\rightarrow}SystemQ
\vdash ((-u1
)
*(-u1
)
)
 = 1
]$


$
[(-1)*(-1)=1
\stackrel{
proof
}{\rightarrow}
\lambda 
\mathsf {c}
.
\lambda 
\mathsf{x}
.
{\cal P}( 
\lceil SystemQ
\vdash x=x+(y-y)
\gg ((-u1
)
*(-u1
)
)
 = (((-u1
)
*(-u1
)
)
+(1
+(-u1
)
)
)
; times1
\gg ((-u1
)
*1
)
 = (-u1
)
; eqSymmetry
\rhd ((-u1
)
*1
)
 = (-u1
)
\gg (-u1
)
 = ((-u1
)
*1
)
; 
\mbox{lemma eqAdditionLeft}
\rhd (-u1
)
 = ((-u1
)
*1
)
\gg (1
+(-u1
)
)
 = (1
+((-u1
)
*1
)
)
; 
\mbox{lemma eqAdditionLeft}
\rhd (1
+(-u1
)
)
 = (1
+((-u1
)
*1
)
)
\gg (((-u1
)
*(-u1
)
)
+(1
+(-u1
)
)
)
 = (((-u1
)
*(-u1
)
)
+(1
+((-u1
)
*1
)
)
)
; plusCommutativity
\gg (1
+((-u1
)
*1
)
)
 = (((-u1
)
*1
)
+1
)
; 
\mbox{lemma eqAdditionLeft}
\rhd (1
+((-u1
)
*1
)
)
 = (((-u1
)
*1
)
+1
)
\gg (((-u1
)
*(-u1
)
)
+(1
+((-u1
)
*1
)
)
)
 = (((-u1
)
*(-u1
)
)
+(((-u1
)
*1
)
+1
)
)
; plusAssociativity
\gg ((((-u1
)
*(-u1
)
)
+((-u1
)
*1
)
)
+1
)
 = (((-u1
)
*(-u1
)
)
+(((-u1
)
*1
)
+1
)
)
; eqSymmetry
\rhd ((((-u1
)
*(-u1
)
)
+((-u1
)
*1
)
)
+1
)
 = (((-u1
)
*(-u1
)
)
+(((-u1
)
*1
)
+1
)
)
\gg (((-u1
)
*(-u1
)
)
+(((-u1
)
*1
)
+1
)
)
 = ((((-u1
)
*(-u1
)
)
+((-u1
)
*1
)
)
+1
)
; (-1)*(-1)+(-1)*1=0
\gg (((-u1
)
*(-u1
)
)
+((-u1
)
*1
)
)
 = 0
; eqAddition
\rhd (((-u1
)
*(-u1
)
)
+((-u1
)
*1
)
)
 = 0
\gg ((((-u1
)
*(-u1
)
)
+((-u1
)
*1
)
)
+1
)
 = (0
+1
)
; 
\mbox{lemma plus0Left}
\gg (0
+1
)
 = 1
; eqTransitivity5
\rhd ((-u1
)
*(-u1
)
)
 = (((-u1
)
*(-u1
)
)
+(1
+(-u1
)
)
)
\rhd (((-u1
)
*(-u1
)
)
+(1
+(-u1
)
)
)
 = (((-u1
)
*(-u1
)
)
+(1
+((-u1
)
*1
)
)
)
\rhd (((-u1
)
*(-u1
)
)
+(1
+((-u1
)
*1
)
)
)
 = (((-u1
)
*(-u1
)
)
+(((-u1
)
*1
)
+1
)
)
\rhd (((-u1
)
*(-u1
)
)
+(((-u1
)
*1
)
+1
)
)
 = ((((-u1
)
*(-u1
)
)
+((-u1
)
*1
)
)
+1
)
\gg ((-u1
)
*(-u1
)
)
 = ((((-u1
)
*(-u1
)
)
+((-u1
)
*1
)
)
+1
)
; eqTransitivity4
\rhd ((-u1
)
*(-u1
)
)
 = ((((-u1
)
*(-u1
)
)
+((-u1
)
*1
)
)
+1
)
\rhd ((((-u1
)
*(-u1
)
)
+((-u1
)
*1
)
)
+1
)
 = (0
+1
)
\rhd (0
+1
)
 = 1
\gg ((-u1
)
*(-u1
)
)
 = 1
\rceil 
, 
p_0
, 
\mathsf {c}
)
]$

$
[subLeqRight
\stackrel{
stmt
}{\rightarrow}SystemQ
\vdash 
\forall \underline{
\mathsf{x}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf{y}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf{z}}
\colon \underline{
\mathsf{x}}
 = \underline{
\mathsf{y}}
\vdash \underline{
\mathsf{z}}
 <= \underline{
\mathsf{x}}
\vdash \underline{
\mathsf{z}}
 <= \underline{
\mathsf{y}}
]$

$
[subLeqRight
\stackrel{
proof
}{\rightarrow}
\lambda 
\mathsf {c}
.
\lambda 
\mathsf{x}
.
{\cal P}( 
\lceil SystemQ
\vdash 
\forall \underline{
\mathsf{x}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf{y}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf{z}}
\colon \underline{
\mathsf{x}}
 = \underline{
\mathsf{y}}
\vdash \underline{
\mathsf{z}}
 <= \underline{
\mathsf{x}}
\vdash eqLeq
\rhd \underline{
\mathsf{x}}
 = \underline{
\mathsf{y}}
\gg \underline{
\mathsf{x}}
 <= \underline{
\mathsf{y}}
; leqTransitivity
\rhd \underline{
\mathsf{z}}
 <= \underline{
\mathsf{x}}
\rhd \underline{
\mathsf{x}}
 <= \underline{
\mathsf{y}}
\gg \underline{
\mathsf{z}}
 <= \underline{
\mathsf{y}}
\rceil 
, 
p_0
, 
\mathsf {c}
)
]$

$
[subLeqLeft
\stackrel{
stmt
}{\rightarrow}SystemQ
\vdash 
\forall \underline{
\mathsf{x}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf{y}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf{z}}
\colon \underline{
\mathsf{x}}
 = \underline{
\mathsf{y}}
\vdash \underline{
\mathsf{x}}
 <= \underline{
\mathsf{z}}
\vdash \underline{
\mathsf{y}}
 <= \underline{
\mathsf{z}}
]$

$
[subLeqLeft
\stackrel{
proof
}{\rightarrow}
\lambda 
\mathsf {c}
.
\lambda 
\mathsf{x}
.
{\cal P}( 
\lceil SystemQ
\vdash 
\forall \underline{
\mathsf{x}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf{y}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf{z}}
\colon \underline{
\mathsf{x}}
 = \underline{
\mathsf{y}}
\vdash \underline{
\mathsf{x}}
 <= \underline{
\mathsf{z}}
\vdash eqSymmetry
\rhd \underline{
\mathsf{x}}
 = \underline{
\mathsf{y}}
\gg \underline{
\mathsf{y}}
 = \underline{
\mathsf{x}}
; eqLeq
\rhd \underline{
\mathsf{y}}
 = \underline{
\mathsf{x}}
\gg \underline{
\mathsf{y}}
 <= \underline{
\mathsf{x}}
; leqTransitivity
\rhd \underline{
\mathsf{y}}
 <= \underline{
\mathsf{x}}
\rhd \underline{
\mathsf{x}}
 <= \underline{
\mathsf{z}}
\gg \underline{
\mathsf{y}}
 <= \underline{
\mathsf{z}}
\rceil 
, 
p_0
, 
\mathsf {c}
)
]$


$
[0<1Helper
\stackrel{
stmt
}{\rightarrow}SystemQ
\vdash 1
 <= 0
\Rightarrow 0
 <= 1
]$

$
[0<1Helper
\stackrel{
proof
}{\rightarrow}
\lambda 
\mathsf {c}
.
\lambda 
\mathsf{x}
.
{\cal P}( 
\lceil SystemQ
\vdash 1
 <= 0
\vdash leqAddition
\rhd 1
 <= 0
\gg (1
+(-u1
)
)
 <= (0
+(-u1
)
)
; Negative
\gg (1
+(-u1
)
)
 = 0
; subLeqLeft
\rhd (1
+(-u1
)
)
 = 0
\rhd (1
+(-u1
)
)
 <= (0
+(-u1
)
)
\gg 0
 <= (0
+(-u1
)
)
; 
\mbox{lemma plus0Left}
\gg (0
+(-u1
)
)
 = (-u1
)
; subLeqRight
\rhd (0
+(-u1
)
)
 = (-u1
)
\rhd 0
 <= (0
+(-u1
)
)
\gg 0
 <= (-u1
)
; leqMultiplication
\rhd 0
 <= (-u1
)
\rhd 0
 <= (-u1
)
\gg (0
*(-u1
)
)
 <= ((-u1
)
*(-u1
)
)
; x*0=0
\gg ((-u1
)
*0
)
 = 0
; timesCommutativity
\gg (0
*(-u1
)
)
 = ((-u1
)
*0
)
; eqTransitivity
\rhd (0
*(-u1
)
)
 = ((-u1
)
*0
)
\rhd ((-u1
)
*0
)
 = 0
\gg (0
*(-u1
)
)
 = 0
; subLeqLeft
\rhd (0
*(-u1
)
)
 = 0
\rhd (0
*(-u1
)
)
 <= ((-u1
)
*(-u1
)
)
\gg 0
 <= ((-u1
)
*(-u1
)
)
; (-1)*(-1)=1
\gg ((-u1
)
*(-u1
)
)
 = 1
; subLeqRight
\rhd ((-u1
)
*(-u1
)
)
 = 1
\rhd 0
 <= ((-u1
)
*(-u1
)
)
\gg 0
 <= 1
; Ded
\rhd 1
 <= 0
\vdash 0
 <= 1
\gg 1
 <= 0
\Rightarrow 0
 <= 1
\rceil 
, 
p_0
, 
\mathsf {c}
)
]$

$
[0<1
\stackrel{
stmt
}{\rightarrow}SystemQ
\vdash \dot{\neg}\,(0
 <= 1
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(0
 = 1
)n
)n
)n
]$

$
[0<1
\stackrel{
proof
}{\rightarrow}
\lambda 
\mathsf {c}
.
\lambda 
\mathsf{x}
.
{\cal P}( 
\lceil SystemQ
\vdash leqTotality
\gg \dot{\neg}\,(0
 <= 1
)n
\Rightarrow 1
 <= 0
; AutoImply
\gg 0
 <= 1
\Rightarrow 0
 <= 1
; 0<1Helper
\gg 1
 <= 0
\Rightarrow 0
 <= 1
; FromDisjuncts
\rhd \dot{\neg}\,(0
 <= 1
)n
\Rightarrow 1
 <= 0
\rhd 0
 <= 1
\Rightarrow 0
 <= 1
\rhd 1
 <= 0
\Rightarrow 0
 <= 1
\gg 0
 <= 1
; 0not1
\gg \dot{\neg}\,(0
 = 1
)n
; JoinConjuncts
\rhd 0
 <= 1
\rhd \dot{\neg}\,(0
 = 1
)n
\gg \dot{\neg}\,(0
 <= 1
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(0
 = 1
)n
)n
)n
\rceil 
, 
p_0
, 
\mathsf {c}
)
]$

$
[AddEquations
\stackrel{
stmt
}{\rightarrow}SystemQ
\vdash 
\forall \underline{
\mathsf{x}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf{y}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf{z}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf {u}}
\colon \underline{
\mathsf{x}}
 = \underline{
\mathsf{y}}
\vdash \underline{
\mathsf{z}}
 = \underline{
\mathsf {u}}
\vdash (\underline{
\mathsf{x}}
+\underline{
\mathsf{z}}
)
 = (\underline{
\mathsf{y}}
+\underline{
\mathsf {u}}
)
]$

$
[AddEquations
\stackrel{
proof
}{\rightarrow}
\lambda 
\mathsf {c}
.
\lambda 
\mathsf{x}
.
{\cal P}( 
\lceil SystemQ
\vdash 
\forall \underline{
\mathsf{x}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf{y}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf{z}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf {u}}
\colon \underline{
\mathsf{x}}
 = \underline{
\mathsf{y}}
\vdash \underline{
\mathsf{z}}
 = \underline{
\mathsf {u}}
\vdash eqAddition
\rhd \underline{
\mathsf{x}}
 = \underline{
\mathsf{y}}
\gg (\underline{
\mathsf{x}}
+\underline{
\mathsf{z}}
)
 = (\underline{
\mathsf{y}}
+\underline{
\mathsf{z}}
)
; 
\mbox{lemma eqAdditionLeft}
\rhd \underline{
\mathsf{z}}
 = \underline{
\mathsf {u}}
\gg (\underline{
\mathsf{y}}
+\underline{
\mathsf{z}}
)
 = (\underline{
\mathsf{y}}
+\underline{
\mathsf {u}}
)
; eqTransitivity
\rhd (\underline{
\mathsf{x}}
+\underline{
\mathsf{z}}
)
 = (\underline{
\mathsf{y}}
+\underline{
\mathsf{z}}
)
\rhd (\underline{
\mathsf{y}}
+\underline{
\mathsf{z}}
)
 = (\underline{
\mathsf{y}}
+\underline{
\mathsf {u}}
)
\gg (\underline{
\mathsf{x}}
+\underline{
\mathsf{z}}
)
 = (\underline{
\mathsf{y}}
+\underline{
\mathsf {u}}
)
\rceil 
, 
p_0
, 
\mathsf {c}
)
]$

$
[SubtractEquations
\stackrel{
stmt
}{\rightarrow}SystemQ
\vdash 
\forall \underline{
\mathsf{x}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf{y}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf{z}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf {u}}
\colon (\underline{
\mathsf{x}}
+\underline{
\mathsf{z}}
)
 = (\underline{
\mathsf{y}}
+\underline{
\mathsf {u}}
)
\vdash \underline{
\mathsf{z}}
 = \underline{
\mathsf {u}}
\vdash \underline{
\mathsf{x}}
 = \underline{
\mathsf{y}}
]$

$
[SubtractEquations
\stackrel{
proof
}{\rightarrow}
\lambda 
\mathsf {c}
.
\lambda 
\mathsf{x}
.
{\cal P}( 
\lceil SystemQ
\vdash 
\forall \underline{
\mathsf{x}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf{y}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf{z}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf {u}}
\colon (\underline{
\mathsf{x}}
+\underline{
\mathsf{z}}
)
 = (\underline{
\mathsf{y}}
+\underline{
\mathsf {u}}
)
\vdash \underline{
\mathsf{z}}
 = \underline{
\mathsf {u}}
\vdash eqAddition
\rhd (\underline{
\mathsf{x}}
+\underline{
\mathsf{z}}
)
 = (\underline{
\mathsf{y}}
+\underline{
\mathsf {u}}
)
\gg ((\underline{
\mathsf{x}}
+\underline{
\mathsf{z}}
)
+(-u\underline{
\mathsf{z}}
)
)
 = ((\underline{
\mathsf{y}}
+\underline{
\mathsf {u}}
)
+(-u\underline{
\mathsf{z}}
)
)
; 
\mbox{lemma plus0Left}
\gg (0
+\underline{
\mathsf{z}}
)
 = \underline{
\mathsf{z}}
; eqTransitivity
\rhd (0
+\underline{
\mathsf{z}}
)
 = \underline{
\mathsf{z}}
\rhd \underline{
\mathsf{z}}
 = \underline{
\mathsf {u}}
\gg (0
+\underline{
\mathsf{z}}
)
 = \underline{
\mathsf {u}}
; PositiveToRight(Eq)
\rhd (0
+\underline{
\mathsf{z}}
)
 = \underline{
\mathsf {u}}
\gg 0
 = (\underline{
\mathsf {u}}
+(-u\underline{
\mathsf{z}}
)
)
; eqSymmetry
\rhd 0
 = (\underline{
\mathsf {u}}
+(-u\underline{
\mathsf{z}}
)
)
\gg (\underline{
\mathsf {u}}
+(-u\underline{
\mathsf{z}}
)
)
 = 0
; 
\mbox{lemma eqAdditionLeft}
\rhd (\underline{
\mathsf {u}}
+(-u\underline{
\mathsf{z}}
)
)
 = 0
\gg (\underline{
\mathsf{y}}
+(\underline{
\mathsf {u}}
+(-u\underline{
\mathsf{z}}
)
)
)
 = (\underline{
\mathsf{y}}
+0
)
; plusAssociativity
\gg ((\underline{
\mathsf{y}}
+\underline{
\mathsf {u}}
)
+(-u\underline{
\mathsf{z}}
)
)
 = (\underline{
\mathsf{y}}
+(\underline{
\mathsf {u}}
+(-u\underline{
\mathsf{z}}
)
)
)
; plus0
\gg (\underline{
\mathsf{y}}
+0
)
 = \underline{
\mathsf{y}}
; eqTransitivity4
\rhd ((\underline{
\mathsf{y}}
+\underline{
\mathsf {u}}
)
+(-u\underline{
\mathsf{z}}
)
)
 = (\underline{
\mathsf{y}}
+(\underline{
\mathsf {u}}
+(-u\underline{
\mathsf{z}}
)
)
)
\rhd (\underline{
\mathsf{y}}
+(\underline{
\mathsf {u}}
+(-u\underline{
\mathsf{z}}
)
)
)
 = (\underline{
\mathsf{y}}
+0
)
\rhd (\underline{
\mathsf{y}}
+0
)
 = \underline{
\mathsf{y}}
\gg ((\underline{
\mathsf{y}}
+\underline{
\mathsf {u}}
)
+(-u\underline{
\mathsf{z}}
)
)
 = \underline{
\mathsf{y}}
; x=x+y-y
\gg \underline{
\mathsf{x}}
 = ((\underline{
\mathsf{x}}
+\underline{
\mathsf{z}}
)
+(-u\underline{
\mathsf{z}}
)
)
; eqTransitivity4
\rhd \underline{
\mathsf{x}}
 = ((\underline{
\mathsf{x}}
+\underline{
\mathsf{z}}
)
+(-u\underline{
\mathsf{z}}
)
)
\rhd ((\underline{
\mathsf{x}}
+\underline{
\mathsf{z}}
)
+(-u\underline{
\mathsf{z}}
)
)
 = ((\underline{
\mathsf{y}}
+\underline{
\mathsf {u}}
)
+(-u\underline{
\mathsf{z}}
)
)
\rhd ((\underline{
\mathsf{y}}
+\underline{
\mathsf {u}}
)
+(-u\underline{
\mathsf{z}}
)
)
 = \underline{
\mathsf{y}}
\gg \underline{
\mathsf{x}}
 = \underline{
\mathsf{y}}
\rceil 
, 
p_0
, 
\mathsf {c}
)
]$

$
[SubtractEquationsLeft
\stackrel{
stmt
}{\rightarrow}SystemQ
\vdash 
\forall \underline{
\mathsf{x}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf{y}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf{z}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf {u}}
\colon (\underline{
\mathsf{x}}
+\underline{
\mathsf{z}}
)
 = (\underline{
\mathsf{y}}
+\underline{
\mathsf {u}}
)
\vdash \underline{
\mathsf{x}}
 = \underline{
\mathsf{y}}
\vdash \underline{
\mathsf{z}}
 = \underline{
\mathsf {u}}
]$

$
[SubtractEquationsLeft
\stackrel{
proof
}{\rightarrow}
\lambda 
\mathsf {c}
.
\lambda 
\mathsf{x}
.
{\cal P}( 
\lceil SystemQ
\vdash 
\forall \underline{
\mathsf{x}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf{y}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf{z}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf {u}}
\colon (\underline{
\mathsf{x}}
+\underline{
\mathsf{z}}
)
 = (\underline{
\mathsf{y}}
+\underline{
\mathsf {u}}
)
\vdash \underline{
\mathsf{x}}
 = \underline{
\mathsf{y}}
\vdash plusCommutativity
\gg (\underline{
\mathsf{z}}
+\underline{
\mathsf{x}}
)
 = (\underline{
\mathsf{x}}
+\underline{
\mathsf{z}}
)
; plusCommutativity
\gg (\underline{
\mathsf{y}}
+\underline{
\mathsf {u}}
)
 = (\underline{
\mathsf {u}}
+\underline{
\mathsf{y}}
)
; eqTransitivity4
\rhd (\underline{
\mathsf{z}}
+\underline{
\mathsf{x}}
)
 = (\underline{
\mathsf{x}}
+\underline{
\mathsf{z}}
)
\rhd (\underline{
\mathsf{x}}
+\underline{
\mathsf{z}}
)
 = (\underline{
\mathsf{y}}
+\underline{
\mathsf {u}}
)
\rhd (\underline{
\mathsf{y}}
+\underline{
\mathsf {u}}
)
 = (\underline{
\mathsf {u}}
+\underline{
\mathsf{y}}
)
\gg (\underline{
\mathsf{z}}
+\underline{
\mathsf{x}}
)
 = (\underline{
\mathsf {u}}
+\underline{
\mathsf{y}}
)
; SubtractEquations
\rhd (\underline{
\mathsf{z}}
+\underline{
\mathsf{x}}
)
 = (\underline{
\mathsf {u}}
+\underline{
\mathsf{y}}
)
\rhd \underline{
\mathsf{x}}
 = \underline{
\mathsf{y}}
\gg \underline{
\mathsf{z}}
 = \underline{
\mathsf {u}}
\rceil 
, 
p_0
, 
\mathsf {c}
)
]$

$
[EqNegated
\stackrel{
stmt
}{\rightarrow}SystemQ
\vdash 
\forall \underline{
\mathsf{x}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf{y}}
\colon \underline{
\mathsf{x}}
 = \underline{
\mathsf{y}}
\vdash (-u\underline{
\mathsf{x}}
)
 = (-u\underline{
\mathsf{y}}
)
]$

$
[EqNegated
\stackrel{
proof
}{\rightarrow}
\lambda 
\mathsf {c}
.
\lambda 
\mathsf{x}
.
{\cal P}( 
\lceil SystemQ
\vdash 
\forall \underline{
\mathsf{x}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf{y}}
\colon \underline{
\mathsf{x}}
 = \underline{
\mathsf{y}}
\vdash Negative
\gg (\underline{
\mathsf{x}}
+(-u\underline{
\mathsf{x}}
)
)
 = 0
; Negative
\gg (\underline{
\mathsf{y}}
+(-u\underline{
\mathsf{y}}
)
)
 = 0
; eqSymmetry
\rhd (\underline{
\mathsf{y}}
+(-u\underline{
\mathsf{y}}
)
)
 = 0
\gg 0
 = (\underline{
\mathsf{y}}
+(-u\underline{
\mathsf{y}}
)
)
; eqTransitivity
\rhd (\underline{
\mathsf{x}}
+(-u\underline{
\mathsf{x}}
)
)
 = 0
\rhd 0
 = (\underline{
\mathsf{y}}
+(-u\underline{
\mathsf{y}}
)
)
\gg (\underline{
\mathsf{x}}
+(-u\underline{
\mathsf{x}}
)
)
 = (\underline{
\mathsf{y}}
+(-u\underline{
\mathsf{y}}
)
)
; SubtractEquationsLeft
\rhd (\underline{
\mathsf{x}}
+(-u\underline{
\mathsf{x}}
)
)
 = (\underline{
\mathsf{y}}
+(-u\underline{
\mathsf{y}}
)
)
\rhd \underline{
\mathsf{x}}
 = \underline{
\mathsf{y}}
\gg (-u\underline{
\mathsf{x}}
)
 = (-u\underline{
\mathsf{y}}
)
\rceil 
, 
p_0
, 
\mathsf {c}
)
]$

$
[PositiveToRight(Eq)
\stackrel{
stmt
}{\rightarrow}SystemQ
\vdash 
\forall \underline{
\mathsf{x}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf{y}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf{z}}
\colon (\underline{
\mathsf{x}}
+\underline{
\mathsf{y}}
)
 = \underline{
\mathsf{z}}
\vdash \underline{
\mathsf{x}}
 = (\underline{
\mathsf{z}}
+(-u\underline{
\mathsf{y}}
)
)
]$

$
[PositiveToRight(Eq)
\stackrel{
proof
}{\rightarrow}
\lambda 
\mathsf {c}
.
\lambda 
\mathsf{x}
.
{\cal P}( 
\lceil SystemQ
\vdash 
\forall \underline{
\mathsf{x}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf{y}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf{z}}
\colon (\underline{
\mathsf{x}}
+\underline{
\mathsf{y}}
)
 = \underline{
\mathsf{z}}
\vdash eqAddition
\rhd (\underline{
\mathsf{x}}
+\underline{
\mathsf{y}}
)
 = \underline{
\mathsf{z}}
\gg ((\underline{
\mathsf{x}}
+\underline{
\mathsf{y}}
)
+(-u\underline{
\mathsf{y}}
)
)
 = (\underline{
\mathsf{z}}
+(-u\underline{
\mathsf{y}}
)
)
; x=x+y-y
\gg \underline{
\mathsf{x}}
 = ((\underline{
\mathsf{x}}
+\underline{
\mathsf{y}}
)
+(-u\underline{
\mathsf{y}}
)
)
; eqTransitivity
\rhd \underline{
\mathsf{x}}
 = ((\underline{
\mathsf{x}}
+\underline{
\mathsf{y}}
)
+(-u\underline{
\mathsf{y}}
)
)
\rhd ((\underline{
\mathsf{x}}
+\underline{
\mathsf{y}}
)
+(-u\underline{
\mathsf{y}}
)
)
 = (\underline{
\mathsf{z}}
+(-u\underline{
\mathsf{y}}
)
)
\gg \underline{
\mathsf{x}}
 = (\underline{
\mathsf{z}}
+(-u\underline{
\mathsf{y}}
)
)
\rceil 
, 
p_0
, 
\mathsf {c}
)
]$

$
[PositiveToLeft(Eq)(1 term)
\stackrel{
stmt
}{\rightarrow}SystemQ
\vdash 
\forall \underline{
\mathsf{x}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf{y}}
\colon \underline{
\mathsf{x}}
 = \underline{
\mathsf{y}}
\vdash (\underline{
\mathsf{x}}
+(-u\underline{
\mathsf{y}}
)
)
 = 0
]$

$
[PositiveToLeft(Eq)(1 term)
\stackrel{
proof
}{\rightarrow}
\lambda 
\mathsf {c}
.
\lambda 
\mathsf{x}
.
{\cal P}( 
\lceil SystemQ
\vdash 
\forall \underline{
\mathsf{x}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf{y}}
\colon \underline{
\mathsf{x}}
 = \underline{
\mathsf{y}}
\vdash eqAddition
\rhd \underline{
\mathsf{x}}
 = \underline{
\mathsf{y}}
\gg (\underline{
\mathsf{x}}
+(-u\underline{
\mathsf{y}}
)
)
 = (\underline{
\mathsf{y}}
+(-u\underline{
\mathsf{y}}
)
)
; Negative
\gg (\underline{
\mathsf{y}}
+(-u\underline{
\mathsf{y}}
)
)
 = 0
; eqTransitivity
\rhd (\underline{
\mathsf{x}}
+(-u\underline{
\mathsf{y}}
)
)
 = (\underline{
\mathsf{y}}
+(-u\underline{
\mathsf{y}}
)
)
\rhd (\underline{
\mathsf{y}}
+(-u\underline{
\mathsf{y}}
)
)
 = 0
\gg (\underline{
\mathsf{x}}
+(-u\underline{
\mathsf{y}}
)
)
 = 0
\rceil 
, 
p_0
, 
\mathsf {c}
)
]$

$
[PositiveToRight(Leq)
\stackrel{
stmt
}{\rightarrow}SystemQ
\vdash 
\forall \underline{
\mathsf{x}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf{y}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf{z}}
\colon (\underline{
\mathsf{x}}
+\underline{
\mathsf{y}}
)
 <= \underline{
\mathsf{z}}
\vdash \underline{
\mathsf{x}}
 <= (\underline{
\mathsf{z}}
+(-u\underline{
\mathsf{y}}
)
)
]$

$
[PositiveToRight(Leq)
\stackrel{
proof
}{\rightarrow}
\lambda 
\mathsf {c}
.
\lambda 
\mathsf{x}
.
{\cal P}( 
\lceil SystemQ
\vdash 
\forall \underline{
\mathsf{x}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf{y}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf{z}}
\colon (\underline{
\mathsf{x}}
+\underline{
\mathsf{y}}
)
 <= \underline{
\mathsf{z}}
\vdash leqAddition
\rhd (\underline{
\mathsf{x}}
+\underline{
\mathsf{y}}
)
 <= \underline{
\mathsf{z}}
\gg ((\underline{
\mathsf{x}}
+\underline{
\mathsf{y}}
)
+(-u\underline{
\mathsf{y}}
)
)
 <= (\underline{
\mathsf{z}}
+(-u\underline{
\mathsf{y}}
)
)
; x=x+y-y
\gg \underline{
\mathsf{x}}
 = ((\underline{
\mathsf{x}}
+\underline{
\mathsf{y}}
)
+(-u\underline{
\mathsf{y}}
)
)
; eqSymmetry
\rhd \underline{
\mathsf{x}}
 = ((\underline{
\mathsf{x}}
+\underline{
\mathsf{y}}
)
+(-u\underline{
\mathsf{y}}
)
)
\gg ((\underline{
\mathsf{x}}
+\underline{
\mathsf{y}}
)
+(-u\underline{
\mathsf{y}}
)
)
 = \underline{
\mathsf{x}}
; subLeqLeft
\rhd ((\underline{
\mathsf{x}}
+\underline{
\mathsf{y}}
)
+(-u\underline{
\mathsf{y}}
)
)
 = \underline{
\mathsf{x}}
\rhd ((\underline{
\mathsf{x}}
+\underline{
\mathsf{y}}
)
+(-u\underline{
\mathsf{y}}
)
)
 <= (\underline{
\mathsf{z}}
+(-u\underline{
\mathsf{y}}
)
)
\gg \underline{
\mathsf{x}}
 <= (\underline{
\mathsf{z}}
+(-u\underline{
\mathsf{y}}
)
)
\rceil 
, 
p_0
, 
\mathsf {c}
)
]$



$
[PositiveToRight(Leq)(1 term)
\stackrel{
stmt
}{\rightarrow}SystemQ
\vdash 
\forall \underline{
\mathsf{y}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf{z}}
\colon \underline{
\mathsf{y}}
 <= \underline{
\mathsf{z}}
\vdash 0
 <= (\underline{
\mathsf{z}}
+(-u\underline{
\mathsf{y}}
)
)
]$

$
[PositiveToRight(Leq)(1 term)
\stackrel{
proof
}{\rightarrow}
\lambda 
\mathsf {c}
.
\lambda 
\mathsf{x}
.
{\cal P}( 
\lceil SystemQ
\vdash 
\forall \underline{
\mathsf{y}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf{z}}
\colon \underline{
\mathsf{y}}
 <= \underline{
\mathsf{z}}
\vdash 
\mbox{lemma plus0Left}
\gg (0
+\underline{
\mathsf{y}}
)
 = \underline{
\mathsf{y}}
; eqSymmetry
\rhd (0
+\underline{
\mathsf{y}}
)
 = \underline{
\mathsf{y}}
\gg \underline{
\mathsf{y}}
 = (0
+\underline{
\mathsf{y}}
)
; subLeqLeft
\rhd \underline{
\mathsf{y}}
 = (0
+\underline{
\mathsf{y}}
)
\rhd \underline{
\mathsf{y}}
 <= \underline{
\mathsf{z}}
\gg (0
+\underline{
\mathsf{y}}
)
 <= \underline{
\mathsf{z}}
; PositiveToRight(Leq)
\rhd (0
+\underline{
\mathsf{y}}
)
 <= \underline{
\mathsf{z}}
\gg 0
 <= (\underline{
\mathsf{z}}
+(-u\underline{
\mathsf{y}}
)
)
\rceil 
, 
p_0
, 
\mathsf {c}
)
]$


$
[NegativeToLeft(Eq)
\stackrel{
stmt
}{\rightarrow}SystemQ
\vdash 
\forall \underline{
\mathsf{x}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf{y}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf{z}}
\colon \underline{
\mathsf{x}}
 = (\underline{
\mathsf{y}}
+(-u\underline{
\mathsf{z}}
)
)
\vdash (\underline{
\mathsf{x}}
+\underline{
\mathsf{z}}
)
 = \underline{
\mathsf{y}}
]$

$
[NegativeToLeft(Eq)
\stackrel{
proof
}{\rightarrow}
\lambda 
\mathsf {c}
.
\lambda 
\mathsf{x}
.
{\cal P}( 
\lceil SystemQ
\vdash 
\forall \underline{
\mathsf{x}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf{y}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf{z}}
\colon \underline{
\mathsf{x}}
 = (\underline{
\mathsf{y}}
+(-u\underline{
\mathsf{z}}
)
)
\vdash eqAddition
\rhd \underline{
\mathsf{x}}
 = (\underline{
\mathsf{y}}
+(-u\underline{
\mathsf{z}}
)
)
\gg (\underline{
\mathsf{x}}
+\underline{
\mathsf{z}}
)
 = ((\underline{
\mathsf{y}}
+(-u\underline{
\mathsf{z}}
)
)
+\underline{
\mathsf{z}}
)
; Three2threeTerms
\gg ((\underline{
\mathsf{y}}
+(-u\underline{
\mathsf{z}}
)
)
+\underline{
\mathsf{z}}
)
 = ((\underline{
\mathsf{y}}
+\underline{
\mathsf{z}}
)
+(-u\underline{
\mathsf{z}}
)
)
; x=x+y-y
\gg \underline{
\mathsf{y}}
 = ((\underline{
\mathsf{y}}
+\underline{
\mathsf{z}}
)
+(-u\underline{
\mathsf{z}}
)
)
; eqSymmetry
\rhd \underline{
\mathsf{y}}
 = ((\underline{
\mathsf{y}}
+\underline{
\mathsf{z}}
)
+(-u\underline{
\mathsf{z}}
)
)
\gg ((\underline{
\mathsf{y}}
+\underline{
\mathsf{z}}
)
+(-u\underline{
\mathsf{z}}
)
)
 = \underline{
\mathsf{y}}
; eqTransitivity4
\rhd (\underline{
\mathsf{x}}
+\underline{
\mathsf{z}}
)
 = ((\underline{
\mathsf{y}}
+(-u\underline{
\mathsf{z}}
)
)
+\underline{
\mathsf{z}}
)
\rhd ((\underline{
\mathsf{y}}
+(-u\underline{
\mathsf{z}}
)
)
+\underline{
\mathsf{z}}
)
 = ((\underline{
\mathsf{y}}
+\underline{
\mathsf{z}}
)
+(-u\underline{
\mathsf{z}}
)
)
\rhd ((\underline{
\mathsf{y}}
+\underline{
\mathsf{z}}
)
+(-u\underline{
\mathsf{z}}
)
)
 = \underline{
\mathsf{y}}
\gg (\underline{
\mathsf{x}}
+\underline{
\mathsf{z}}
)
 = \underline{
\mathsf{y}}
\rceil 
, 
p_0
, 
\mathsf {c}
)
]$

(*** NO EQUALITY ***)



$
[LessNeq
\stackrel{
stmt
}{\rightarrow}SystemQ
\vdash 
\forall \underline{
\mathsf{x}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf{y}}
\colon \dot{\neg}\,(\underline{
\mathsf{x}}
 <= \underline{
\mathsf{y}}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\underline{
\mathsf{x}}
 = \underline{
\mathsf{y}}
)n
)n
)n
\vdash \dot{\neg}\,(\underline{
\mathsf{x}}
 = \underline{
\mathsf{y}}
)n
]$

$
[LessNeq
\stackrel{
proof
}{\rightarrow}
\lambda 
\mathsf {c}
.
\lambda 
\mathsf{x}
.
{\cal P}( 
\lceil SystemQ
\vdash 
\forall \underline{
\mathsf{x}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf{y}}
\colon \dot{\neg}\,(\underline{
\mathsf{x}}
 <= \underline{
\mathsf{y}}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\underline{
\mathsf{x}}
 = \underline{
\mathsf{y}}
)n
)n
)n
\vdash Repetition
\rhd \dot{\neg}\,(\underline{
\mathsf{x}}
 <= \underline{
\mathsf{y}}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\underline{
\mathsf{x}}
 = \underline{
\mathsf{y}}
)n
)n
)n
\gg \dot{\neg}\,(\underline{
\mathsf{x}}
 <= \underline{
\mathsf{y}}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\underline{
\mathsf{x}}
 = \underline{
\mathsf{y}}
)n
)n
)n
; SecondConjunct
\rhd \dot{\neg}\,(\underline{
\mathsf{x}}
 <= \underline{
\mathsf{y}}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\underline{
\mathsf{x}}
 = \underline{
\mathsf{y}}
)n
)n
)n
\gg \dot{\neg}\,(\underline{
\mathsf{x}}
 = \underline{
\mathsf{y}}
)n
\rceil 
, 
p_0
, 
\mathsf {c}
)
]$



$
[x+y=zBackwards
\stackrel{
stmt
}{\rightarrow}SystemQ
\vdash 
\forall \underline{
\mathsf{x}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf{y}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf{z}}
\colon (\underline{
\mathsf{x}}
+\underline{
\mathsf{y}}
)
 = \underline{
\mathsf{z}}
\vdash \underline{
\mathsf{z}}
 = (\underline{
\mathsf{y}}
+\underline{
\mathsf{x}}
)
]$

$
[x+y=zBackwards
\stackrel{
proof
}{\rightarrow}
\lambda 
\mathsf {c}
.
\lambda 
\mathsf{x}
.
{\cal P}( 
\lceil SystemQ
\vdash 
\forall \underline{
\mathsf{x}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf{y}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf{z}}
\colon (\underline{
\mathsf{x}}
+\underline{
\mathsf{y}}
)
 = \underline{
\mathsf{z}}
\vdash plusCommutativity
\gg (\underline{
\mathsf{x}}
+\underline{
\mathsf{y}}
)
 = (\underline{
\mathsf{y}}
+\underline{
\mathsf{x}}
)
; Equality
\rhd (\underline{
\mathsf{x}}
+\underline{
\mathsf{y}}
)
 = \underline{
\mathsf{z}}
\gg \underline{
\mathsf{z}}
 = (\underline{
\mathsf{y}}
+\underline{
\mathsf{x}}
)
\rceil 
, 
p_0
, 
\mathsf {c}
)
]$

$
[x*y=zBackwards
\stackrel{
stmt
}{\rightarrow}SystemQ
\vdash 
\forall \underline{
\mathsf{x}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf{y}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf{z}}
\colon (\underline{
\mathsf{x}}
*\underline{
\mathsf{y}}
)
 = \underline{
\mathsf{z}}
\vdash \underline{
\mathsf{z}}
 = (\underline{
\mathsf{y}}
*\underline{
\mathsf{x}}
)
]$

$
[x*y=zBackwards
\stackrel{
proof
}{\rightarrow}
\lambda 
\mathsf {c}
.
\lambda 
\mathsf{x}
.
{\cal P}( 
\lceil SystemQ
\vdash 
\forall \underline{
\mathsf{x}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf{y}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf{z}}
\colon (\underline{
\mathsf{x}}
*\underline{
\mathsf{y}}
)
 = \underline{
\mathsf{z}}
\vdash timesCommutativity
\gg (\underline{
\mathsf{x}}
*\underline{
\mathsf{y}}
)
 = (\underline{
\mathsf{y}}
*\underline{
\mathsf{x}}
)
; Equality
\rhd (\underline{
\mathsf{x}}
*\underline{
\mathsf{y}}
)
 = \underline{
\mathsf{z}}
\gg \underline{
\mathsf{z}}
 = (\underline{
\mathsf{y}}
*\underline{
\mathsf{x}}
)
\rceil 
, 
p_0
, 
\mathsf {c}
)
]$



$
[DoubleMinus
\stackrel{
stmt
}{\rightarrow}SystemQ
\vdash 
\forall \underline{
\mathsf{x}}
\colon (-u(-u\underline{
\mathsf{x}}
)
)
 = \underline{
\mathsf{x}}
]$

$
[DoubleMinus
\stackrel{
proof
}{\rightarrow}
\lambda 
\mathsf {c}
.
\lambda 
\mathsf{x}
.
{\cal P}( 
\lceil SystemQ
\vdash 
\forall \underline{
\mathsf{x}}
\colon Negative
\gg ((-u\underline{
\mathsf{x}}
)
+(-u(-u\underline{
\mathsf{x}}
)
)
)
 = 0
; x+y=zBackwards
\rhd ((-u\underline{
\mathsf{x}}
)
+(-u(-u\underline{
\mathsf{x}}
)
)
)
 = 0
\gg 0
 = ((-u(-u\underline{
\mathsf{x}}
)
)
+(-u\underline{
\mathsf{x}}
)
)
; NegativeToLeft(Eq)
\rhd 0
 = ((-u(-u\underline{
\mathsf{x}}
)
)
+(-u\underline{
\mathsf{x}}
)
)
\gg (0
+\underline{
\mathsf{x}}
)
 = (-u(-u\underline{
\mathsf{x}}
)
)
; 
\mbox{lemma plus0Left}
\gg (0
+\underline{
\mathsf{x}}
)
 = \underline{
\mathsf{x}}
; Equality
\rhd (0
+\underline{
\mathsf{x}}
)
 = (-u(-u\underline{
\mathsf{x}}
)
)
\rhd (0
+\underline{
\mathsf{x}}
)
 = \underline{
\mathsf{x}}
\gg (-u(-u\underline{
\mathsf{x}}
)
)
 = \underline{
\mathsf{x}}
\rceil 
, 
p_0
, 
\mathsf {c}
)
]$



$
[NeqNegated
\stackrel{
stmt
}{\rightarrow}SystemQ
\vdash 
\forall \underline{
\mathsf{x}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf{y}}
\colon \dot{\neg}\,(\underline{
\mathsf{x}}
 = \underline{
\mathsf{y}}
)n
\vdash \dot{\neg}\,((-u\underline{
\mathsf{x}}
)
 = (-u\underline{
\mathsf{y}}
)
)n
]$

$
[NeqNegated
\stackrel{
proof
}{\rightarrow}
\lambda 
\mathsf {c}
.
\lambda 
\mathsf{x}
.
{\cal P}( 
\lceil SystemQ
\vdash 
\forall \underline{
\mathsf{x}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf{y}}
\colon \dot{\neg}\,(\underline{
\mathsf{x}}
 = \underline{
\mathsf{y}}
)n
\vdash (-u\underline{
\mathsf{x}}
)
 = (-u\underline{
\mathsf{y}}
)
\vdash EqNegated
\rhd (-u\underline{
\mathsf{x}}
)
 = (-u\underline{
\mathsf{y}}
)
\gg (-u(-u\underline{
\mathsf{x}}
)
)
 = (-u(-u\underline{
\mathsf{y}}
)
)
; DoubleMinus
\gg (-u(-u\underline{
\mathsf{x}}
)
)
 = \underline{
\mathsf{x}}
; eqSymmetry
\rhd (-u(-u\underline{
\mathsf{x}}
)
)
 = \underline{
\mathsf{x}}
\gg \underline{
\mathsf{x}}
 = (-u(-u\underline{
\mathsf{x}}
)
)
; DoubleMinus
\gg (-u(-u\underline{
\mathsf{y}}
)
)
 = \underline{
\mathsf{y}}
; eqTransitivity4
\rhd \underline{
\mathsf{x}}
 = (-u(-u\underline{
\mathsf{x}}
)
)
\rhd (-u(-u\underline{
\mathsf{x}}
)
)
 = (-u(-u\underline{
\mathsf{y}}
)
)
\rhd (-u(-u\underline{
\mathsf{y}}
)
)
 = \underline{
\mathsf{y}}
\gg \underline{
\mathsf{x}}
 = \underline{
\mathsf{y}}
; FromContradiction
\rhd \underline{
\mathsf{x}}
 = \underline{
\mathsf{y}}
\rhd \dot{\neg}\,(\underline{
\mathsf{x}}
 = \underline{
\mathsf{y}}
)n
\gg \dot{\neg}\,((-u\underline{
\mathsf{x}}
)
 = (-u\underline{
\mathsf{y}}
)
)n
; 
\forall \underline{
\mathsf{x}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf{y}}
\colon Ded
\rhd 
\forall \underline{
\mathsf{x}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf{y}}
\colon \dot{\neg}\,(\underline{
\mathsf{x}}
 = \underline{
\mathsf{y}}
)n
\vdash (-u\underline{
\mathsf{x}}
)
 = (-u\underline{
\mathsf{y}}
)
\vdash \dot{\neg}\,((-u\underline{
\mathsf{x}}
)
 = (-u\underline{
\mathsf{y}}
)
)n
\gg \dot{\neg}\,(\underline{
\mathsf{x}}
 = \underline{
\mathsf{y}}
)n
\Rightarrow (-u\underline{
\mathsf{x}}
)
 = (-u\underline{
\mathsf{y}}
)
\Rightarrow \dot{\neg}\,((-u\underline{
\mathsf{x}}
)
 = (-u\underline{
\mathsf{y}}
)
)n
; \dot{\neg}\,(\underline{
\mathsf{x}}
 = \underline{
\mathsf{y}}
)n
\vdash MP
\rhd \dot{\neg}\,(\underline{
\mathsf{x}}
 = \underline{
\mathsf{y}}
)n
\Rightarrow (-u\underline{
\mathsf{x}}
)
 = (-u\underline{
\mathsf{y}}
)
\Rightarrow \dot{\neg}\,((-u\underline{
\mathsf{x}}
)
 = (-u\underline{
\mathsf{y}}
)
)n
\rhd \dot{\neg}\,(\underline{
\mathsf{x}}
 = \underline{
\mathsf{y}}
)n
\gg (-u\underline{
\mathsf{x}}
)
 = (-u\underline{
\mathsf{y}}
)
\Rightarrow \dot{\neg}\,((-u\underline{
\mathsf{x}}
)
 = (-u\underline{
\mathsf{y}}
)
)n
; 
\mbox{prop lemma imply negation}
\rhd (-u\underline{
\mathsf{x}}
)
 = (-u\underline{
\mathsf{y}}
)
\Rightarrow \dot{\neg}\,((-u\underline{
\mathsf{x}}
)
 = (-u\underline{
\mathsf{y}}
)
)n
\gg \dot{\neg}\,((-u\underline{
\mathsf{x}}
)
 = (-u\underline{
\mathsf{y}}
)
)n
\rceil 
, 
p_0
, 
\mathsf {c}
)
]$

$
[SubNeqRight
\stackrel{
stmt
}{\rightarrow}SystemQ
\vdash 
\forall \underline{
\mathsf{x}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf{y}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf{z}}
\colon \underline{
\mathsf{x}}
 = \underline{
\mathsf{y}}
\vdash \dot{\neg}\,(\underline{
\mathsf{z}}
 = \underline{
\mathsf{x}}
)n
\vdash \dot{\neg}\,(\underline{
\mathsf{z}}
 = \underline{
\mathsf{y}}
)n
]$

$
[SubNeqRight
\stackrel{
proof
}{\rightarrow}
\lambda 
\mathsf {c}
.
\lambda 
\mathsf{x}
.
{\cal P}( 
\lceil SystemQ
\vdash 
\forall \underline{
\mathsf{x}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf{y}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf{z}}
\colon \underline{
\mathsf{x}}
 = \underline{
\mathsf{y}}
\vdash \dot{\neg}\,(\underline{
\mathsf{z}}
 = \underline{
\mathsf{x}}
)n
\vdash NeqSymmetry
\rhd \dot{\neg}\,(\underline{
\mathsf{z}}
 = \underline{
\mathsf{x}}
)n
\gg \dot{\neg}\,(\underline{
\mathsf{x}}
 = \underline{
\mathsf{z}}
)n
; SubNeqLeft
\rhd \underline{
\mathsf{x}}
 = \underline{
\mathsf{y}}
\rhd \dot{\neg}\,(\underline{
\mathsf{x}}
 = \underline{
\mathsf{z}}
)n
\gg \dot{\neg}\,(\underline{
\mathsf{y}}
 = \underline{
\mathsf{z}}
)n
; NeqSymmetry
\rhd \dot{\neg}\,(\underline{
\mathsf{y}}
 = \underline{
\mathsf{z}}
)n
\gg \dot{\neg}\,(\underline{
\mathsf{z}}
 = \underline{
\mathsf{y}}
)n
\rceil 
, 
p_0
, 
\mathsf {c}
)
]$

% linie 4000

$
[NeqAddition
\stackrel{
stmt
}{\rightarrow}SystemQ
\vdash 
\forall \underline{
\mathsf{x}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf{y}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf{z}}
\colon \dot{\neg}\,(\underline{
\mathsf{x}}
 = \underline{
\mathsf{y}}
)n
\vdash \dot{\neg}\,((\underline{
\mathsf{x}}
+\underline{
\mathsf{z}}
)
 = (\underline{
\mathsf{y}}
+\underline{
\mathsf{z}}
)
)n
]$

$
[NeqAddition
\stackrel{
proof
}{\rightarrow}
\lambda 
\mathsf {c}
.
\lambda 
\mathsf{x}
.
{\cal P}( 
\lceil SystemQ
\vdash 
\forall \underline{
\mathsf{x}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf{y}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf{z}}
\colon \dot{\neg}\,(\underline{
\mathsf{x}}
 = \underline{
\mathsf{y}}
)n
\vdash (\underline{
\mathsf{x}}
+\underline{
\mathsf{z}}
)
 = (\underline{
\mathsf{y}}
+\underline{
\mathsf{z}}
)
\vdash eqReflexivity
\gg \underline{
\mathsf{z}}
 = \underline{
\mathsf{z}}
; SubtractEquations
\rhd (\underline{
\mathsf{x}}
+\underline{
\mathsf{z}}
)
 = (\underline{
\mathsf{y}}
+\underline{
\mathsf{z}}
)
\rhd \underline{
\mathsf{z}}
 = \underline{
\mathsf{z}}
\gg \underline{
\mathsf{x}}
 = \underline{
\mathsf{y}}
; FromContradiction
\rhd \underline{
\mathsf{x}}
 = \underline{
\mathsf{y}}
\rhd \dot{\neg}\,(\underline{
\mathsf{x}}
 = \underline{
\mathsf{y}}
)n
\gg \dot{\neg}\,((\underline{
\mathsf{x}}
+\underline{
\mathsf{z}}
)
 = (\underline{
\mathsf{y}}
+\underline{
\mathsf{z}}
)
)n
; 
\forall \underline{
\mathsf{x}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf{y}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf{z}}
\colon Ded
\rhd 
\forall \underline{
\mathsf{x}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf{y}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf{z}}
\colon \dot{\neg}\,(\underline{
\mathsf{x}}
 = \underline{
\mathsf{y}}
)n
\vdash (\underline{
\mathsf{x}}
+\underline{
\mathsf{z}}
)
 = (\underline{
\mathsf{y}}
+\underline{
\mathsf{z}}
)
\vdash \dot{\neg}\,((\underline{
\mathsf{x}}
+\underline{
\mathsf{z}}
)
 = (\underline{
\mathsf{y}}
+\underline{
\mathsf{z}}
)
)n
\gg \dot{\neg}\,(\underline{
\mathsf{x}}
 = \underline{
\mathsf{y}}
)n
\Rightarrow (\underline{
\mathsf{x}}
+\underline{
\mathsf{z}}
)
 = (\underline{
\mathsf{y}}
+\underline{
\mathsf{z}}
)
\Rightarrow \dot{\neg}\,((\underline{
\mathsf{x}}
+\underline{
\mathsf{z}}
)
 = (\underline{
\mathsf{y}}
+\underline{
\mathsf{z}}
)
)n
; \dot{\neg}\,(\underline{
\mathsf{x}}
 = \underline{
\mathsf{y}}
)n
\vdash MP
\rhd \dot{\neg}\,(\underline{
\mathsf{x}}
 = \underline{
\mathsf{y}}
)n
\Rightarrow (\underline{
\mathsf{x}}
+\underline{
\mathsf{z}}
)
 = (\underline{
\mathsf{y}}
+\underline{
\mathsf{z}}
)
\Rightarrow \dot{\neg}\,((\underline{
\mathsf{x}}
+\underline{
\mathsf{z}}
)
 = (\underline{
\mathsf{y}}
+\underline{
\mathsf{z}}
)
)n
\rhd \dot{\neg}\,(\underline{
\mathsf{x}}
 = \underline{
\mathsf{y}}
)n
\gg (\underline{
\mathsf{x}}
+\underline{
\mathsf{z}}
)
 = (\underline{
\mathsf{y}}
+\underline{
\mathsf{z}}
)
\Rightarrow \dot{\neg}\,((\underline{
\mathsf{x}}
+\underline{
\mathsf{z}}
)
 = (\underline{
\mathsf{y}}
+\underline{
\mathsf{z}}
)
)n
; 
\mbox{prop lemma imply negation}
\rhd (\underline{
\mathsf{x}}
+\underline{
\mathsf{z}}
)
 = (\underline{
\mathsf{y}}
+\underline{
\mathsf{z}}
)
\Rightarrow \dot{\neg}\,((\underline{
\mathsf{x}}
+\underline{
\mathsf{z}}
)
 = (\underline{
\mathsf{y}}
+\underline{
\mathsf{z}}
)
)n
\gg \dot{\neg}\,((\underline{
\mathsf{x}}
+\underline{
\mathsf{z}}
)
 = (\underline{
\mathsf{y}}
+\underline{
\mathsf{z}}
)
)n
\rceil 
, 
p_0
, 
\mathsf {c}
)
]$


$
[NeqMultiplication
\stackrel{
stmt
}{\rightarrow}SystemQ
\vdash 
\forall \underline{
\mathsf{x}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf{y}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf{z}}
\colon \dot{\neg}\,(\underline{
\mathsf{z}}
 = 0
)n
\vdash \dot{\neg}\,(\underline{
\mathsf{x}}
 = \underline{
\mathsf{y}}
)n
\vdash \dot{\neg}\,((\underline{
\mathsf{x}}
*\underline{
\mathsf{z}}
)
 = (\underline{
\mathsf{y}}
*\underline{
\mathsf{z}}
)
)n
]$

$
[NeqMultiplication
\stackrel{
proof
}{\rightarrow}
\lambda 
\mathsf {c}
.
\lambda 
\mathsf{x}
.
{\cal P}( 
\lceil SystemQ
\vdash 
\forall \underline{
\mathsf{x}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf{y}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf{z}}
\colon \dot{\neg}\,(\underline{
\mathsf{z}}
 = 0
)n
\vdash \dot{\neg}\,(\underline{
\mathsf{x}}
 = \underline{
\mathsf{y}}
)n
\vdash (\underline{
\mathsf{x}}
*\underline{
\mathsf{z}}
)
 = (\underline{
\mathsf{y}}
*\underline{
\mathsf{z}}
)
\vdash x=x*y*(1/y)
\rhd \dot{\neg}\,(\underline{
\mathsf{z}}
 = 0
)n
\gg \underline{
\mathsf{x}}
 = ((\underline{
\mathsf{x}}
*\underline{
\mathsf{z}}
)
*rec\underline{
\mathsf{z}}
)
; eqMultiplication
\rhd (\underline{
\mathsf{x}}
*\underline{
\mathsf{z}}
)
 = (\underline{
\mathsf{y}}
*\underline{
\mathsf{z}}
)
\gg ((\underline{
\mathsf{x}}
*\underline{
\mathsf{z}}
)
*rec\underline{
\mathsf{z}}
)
 = ((\underline{
\mathsf{y}}
*\underline{
\mathsf{z}}
)
*rec\underline{
\mathsf{z}}
)
; x=x*y*(1/y)
\rhd \dot{\neg}\,(\underline{
\mathsf{z}}
 = 0
)n
\gg \underline{
\mathsf{y}}
 = ((\underline{
\mathsf{y}}
*\underline{
\mathsf{z}}
)
*rec\underline{
\mathsf{z}}
)
; eqSymmetry
\rhd \underline{
\mathsf{y}}
 = ((\underline{
\mathsf{y}}
*\underline{
\mathsf{z}}
)
*rec\underline{
\mathsf{z}}
)
\gg ((\underline{
\mathsf{y}}
*\underline{
\mathsf{z}}
)
*rec\underline{
\mathsf{z}}
)
 = \underline{
\mathsf{y}}
; eqTransitivity4
\rhd \underline{
\mathsf{x}}
 = ((\underline{
\mathsf{x}}
*\underline{
\mathsf{z}}
)
*rec\underline{
\mathsf{z}}
)
\rhd ((\underline{
\mathsf{x}}
*\underline{
\mathsf{z}}
)
*rec\underline{
\mathsf{z}}
)
 = ((\underline{
\mathsf{y}}
*\underline{
\mathsf{z}}
)
*rec\underline{
\mathsf{z}}
)
\rhd ((\underline{
\mathsf{y}}
*\underline{
\mathsf{z}}
)
*rec\underline{
\mathsf{z}}
)
 = \underline{
\mathsf{y}}
\gg \underline{
\mathsf{x}}
 = \underline{
\mathsf{y}}
; FromContradiction
\rhd \underline{
\mathsf{x}}
 = \underline{
\mathsf{y}}
\rhd \dot{\neg}\,(\underline{
\mathsf{x}}
 = \underline{
\mathsf{y}}
)n
\gg \dot{\neg}\,((\underline{
\mathsf{x}}
*\underline{
\mathsf{z}}
)
 = (\underline{
\mathsf{y}}
*\underline{
\mathsf{z}}
)
)n
; 
\forall \underline{
\mathsf{x}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf{y}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf{z}}
\colon Ded
\rhd 
\forall \underline{
\mathsf{x}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf{y}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf{z}}
\colon \dot{\neg}\,(\underline{
\mathsf{z}}
 = 0
)n
\vdash \dot{\neg}\,(\underline{
\mathsf{x}}
 = \underline{
\mathsf{y}}
)n
\vdash (\underline{
\mathsf{x}}
*\underline{
\mathsf{z}}
)
 = (\underline{
\mathsf{y}}
*\underline{
\mathsf{z}}
)
\vdash \dot{\neg}\,((\underline{
\mathsf{x}}
*\underline{
\mathsf{z}}
)
 = (\underline{
\mathsf{y}}
*\underline{
\mathsf{z}}
)
)n
\gg \dot{\neg}\,(\underline{
\mathsf{z}}
 = 0
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\underline{
\mathsf{x}}
 = \underline{
\mathsf{y}}
)n
\Rightarrow (\underline{
\mathsf{x}}
*\underline{
\mathsf{z}}
)
 = (\underline{
\mathsf{y}}
*\underline{
\mathsf{z}}
)
\Rightarrow \dot{\neg}\,((\underline{
\mathsf{x}}
*\underline{
\mathsf{z}}
)
 = (\underline{
\mathsf{y}}
*\underline{
\mathsf{z}}
)
)n
; \dot{\neg}\,(\underline{
\mathsf{z}}
 = 0
)n
\vdash \dot{\neg}\,(\underline{
\mathsf{x}}
 = \underline{
\mathsf{y}}
)n
\vdash MP2
\rhd \dot{\neg}\,(\underline{
\mathsf{z}}
 = 0
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\underline{
\mathsf{x}}
 = \underline{
\mathsf{y}}
)n
\Rightarrow (\underline{
\mathsf{x}}
*\underline{
\mathsf{z}}
)
 = (\underline{
\mathsf{y}}
*\underline{
\mathsf{z}}
)
\Rightarrow \dot{\neg}\,((\underline{
\mathsf{x}}
*\underline{
\mathsf{z}}
)
 = (\underline{
\mathsf{y}}
*\underline{
\mathsf{z}}
)
)n
\rhd \dot{\neg}\,(\underline{
\mathsf{z}}
 = 0
)n
\rhd \dot{\neg}\,(\underline{
\mathsf{x}}
 = \underline{
\mathsf{y}}
)n
\gg (\underline{
\mathsf{x}}
*\underline{
\mathsf{z}}
)
 = (\underline{
\mathsf{y}}
*\underline{
\mathsf{z}}
)
\Rightarrow \dot{\neg}\,((\underline{
\mathsf{x}}
*\underline{
\mathsf{z}}
)
 = (\underline{
\mathsf{y}}
*\underline{
\mathsf{z}}
)
)n
; 
\mbox{prop lemma imply negation}
\rhd (\underline{
\mathsf{x}}
*\underline{
\mathsf{z}}
)
 = (\underline{
\mathsf{y}}
*\underline{
\mathsf{z}}
)
\Rightarrow \dot{\neg}\,((\underline{
\mathsf{x}}
*\underline{
\mathsf{z}}
)
 = (\underline{
\mathsf{y}}
*\underline{
\mathsf{z}}
)
)n
\gg \dot{\neg}\,((\underline{
\mathsf{x}}
*\underline{
\mathsf{z}}
)
 = (\underline{
\mathsf{y}}
*\underline{
\mathsf{z}}
)
)n
\rceil 
, 
p_0
, 
\mathsf {c}
)
]$

(*** NEGATIVE ***)




$
[UniqueNegative
\stackrel{
stmt
}{\rightarrow}SystemQ
\vdash 
\forall \underline{
\mathsf{x}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf{y}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf{z}}
\colon (\underline{
\mathsf{x}}
+\underline{
\mathsf{y}}
)
 = 0
\vdash (\underline{
\mathsf{x}}
+\underline{
\mathsf{z}}
)
 = 0
\vdash \underline{
\mathsf{y}}
 = \underline{
\mathsf{z}}
]$

$
[UniqueNegative
\stackrel{
proof
}{\rightarrow}
\lambda 
\mathsf {c}
.
\lambda 
\mathsf{x}
.
{\cal P}( 
\lceil SystemQ
\vdash 
\forall \underline{
\mathsf{x}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf{y}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf{z}}
\colon (\underline{
\mathsf{x}}
+\underline{
\mathsf{y}}
)
 = 0
\vdash (\underline{
\mathsf{x}}
+\underline{
\mathsf{z}}
)
 = 0
\vdash plusCommutativity
\gg (\underline{
\mathsf{y}}
+\underline{
\mathsf{x}}
)
 = (\underline{
\mathsf{x}}
+\underline{
\mathsf{y}}
)
; eqTransitivity
\rhd (\underline{
\mathsf{y}}
+\underline{
\mathsf{x}}
)
 = (\underline{
\mathsf{x}}
+\underline{
\mathsf{y}}
)
\rhd (\underline{
\mathsf{x}}
+\underline{
\mathsf{y}}
)
 = 0
\gg (\underline{
\mathsf{y}}
+\underline{
\mathsf{x}}
)
 = 0
; PositiveToRight(Eq)
\rhd (\underline{
\mathsf{y}}
+\underline{
\mathsf{x}}
)
 = 0
\gg \underline{
\mathsf{y}}
 = (0
+(-u\underline{
\mathsf{x}}
)
)
; plusCommutativity
\gg (\underline{
\mathsf{z}}
+\underline{
\mathsf{x}}
)
 = (\underline{
\mathsf{x}}
+\underline{
\mathsf{z}}
)
; eqTransitivity
\rhd (\underline{
\mathsf{z}}
+\underline{
\mathsf{x}}
)
 = (\underline{
\mathsf{x}}
+\underline{
\mathsf{z}}
)
\rhd (\underline{
\mathsf{x}}
+\underline{
\mathsf{z}}
)
 = 0
\gg (\underline{
\mathsf{z}}
+\underline{
\mathsf{x}}
)
 = 0
; PositiveToRight(Eq)
\rhd (\underline{
\mathsf{z}}
+\underline{
\mathsf{x}}
)
 = 0
\gg \underline{
\mathsf{z}}
 = (0
+(-u\underline{
\mathsf{x}}
)
)
; eqSymmetry
\rhd \underline{
\mathsf{z}}
 = (0
+(-u\underline{
\mathsf{x}}
)
)
\gg (0
+(-u\underline{
\mathsf{x}}
)
)
 = \underline{
\mathsf{z}}
; eqTransitivity
\rhd \underline{
\mathsf{y}}
 = (0
+(-u\underline{
\mathsf{x}}
)
)
\rhd (0
+(-u\underline{
\mathsf{x}}
)
)
 = \underline{
\mathsf{z}}
\gg \underline{
\mathsf{y}}
 = \underline{
\mathsf{z}}
\rceil 
, 
p_0
, 
\mathsf {c}
)
]$


$
[FromLess
\stackrel{
stmt
}{\rightarrow}SystemQ
\vdash 
\forall \underline{
\mathsf{x}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf{y}}
\colon \dot{\neg}\,(\underline{
\mathsf{x}}
 <= \underline{
\mathsf{y}}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\underline{
\mathsf{x}}
 = \underline{
\mathsf{y}}
)n
)n
)n
\vdash \dot{\neg}\,(\underline{
\mathsf{y}}
 <= \underline{
\mathsf{x}}
)n
]$

$
[FromLess
\stackrel{
proof
}{\rightarrow}
\lambda 
\mathsf {c}
.
\lambda 
\mathsf{x}
.
{\cal P}( 
\lceil SystemQ
\vdash 
\forall \underline{
\mathsf{x}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf{y}}
\colon \underline{
\mathsf{y}}
 <= \underline{
\mathsf{x}}
\vdash toNotLess
\rhd \underline{
\mathsf{y}}
 <= \underline{
\mathsf{x}}
\gg \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\underline{
\mathsf{x}}
 <= \underline{
\mathsf{y}}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\underline{
\mathsf{x}}
 = \underline{
\mathsf{y}}
)n
)n
)n
)n
; 
\forall \underline{
\mathsf{x}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf{y}}
\colon Ded
\rhd 
\forall \underline{
\mathsf{x}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf{y}}
\colon \underline{
\mathsf{y}}
 <= \underline{
\mathsf{x}}
\vdash \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\underline{
\mathsf{x}}
 <= \underline{
\mathsf{y}}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\underline{
\mathsf{x}}
 = \underline{
\mathsf{y}}
)n
)n
)n
)n
\gg \underline{
\mathsf{y}}
 <= \underline{
\mathsf{x}}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\underline{
\mathsf{x}}
 <= \underline{
\mathsf{y}}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\underline{
\mathsf{x}}
 = \underline{
\mathsf{y}}
)n
)n
)n
)n
; \dot{\neg}\,(\underline{
\mathsf{x}}
 <= \underline{
\mathsf{y}}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\underline{
\mathsf{x}}
 = \underline{
\mathsf{y}}
)n
)n
)n
\vdash AddDoubleNeg
\rhd \dot{\neg}\,(\underline{
\mathsf{x}}
 <= \underline{
\mathsf{y}}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\underline{
\mathsf{x}}
 = \underline{
\mathsf{y}}
)n
)n
)n
\gg \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\underline{
\mathsf{x}}
 <= \underline{
\mathsf{y}}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\underline{
\mathsf{x}}
 = \underline{
\mathsf{y}}
)n
)n
)n
)n
)n
; MT
\rhd \underline{
\mathsf{y}}
 <= \underline{
\mathsf{x}}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\underline{
\mathsf{x}}
 <= \underline{
\mathsf{y}}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\underline{
\mathsf{x}}
 = \underline{
\mathsf{y}}
)n
)n
)n
)n
\rhd \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\underline{
\mathsf{x}}
 <= \underline{
\mathsf{y}}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\underline{
\mathsf{x}}
 = \underline{
\mathsf{y}}
)n
)n
)n
)n
)n
\gg \dot{\neg}\,(\underline{
\mathsf{y}}
 <= \underline{
\mathsf{x}}
)n
\rceil 
, 
p_0
, 
\mathsf {c}
)
]$

$
[ToLess
\stackrel{
stmt
}{\rightarrow}SystemQ
\vdash 
\forall \underline{
\mathsf{x}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf{y}}
\colon \dot{\neg}\,(\underline{
\mathsf{x}}
 <= \underline{
\mathsf{y}}
)n
\vdash \dot{\neg}\,(\underline{
\mathsf{y}}
 <= \underline{
\mathsf{x}}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\underline{
\mathsf{y}}
 = \underline{
\mathsf{x}}
)n
)n
)n
]$

$
[ToLess
\stackrel{
proof
}{\rightarrow}
\lambda 
\mathsf {c}
.
\lambda 
\mathsf{x}
.
{\cal P}( 
\lceil SystemQ
\vdash 
\forall \underline{
\mathsf{x}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf{y}}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\underline{
\mathsf{y}}
 <= \underline{
\mathsf{x}}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\underline{
\mathsf{y}}
 = \underline{
\mathsf{x}}
)n
)n
)n
)n
\vdash fromNotLess
\rhd \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\underline{
\mathsf{y}}
 <= \underline{
\mathsf{x}}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\underline{
\mathsf{y}}
 = \underline{
\mathsf{x}}
)n
)n
)n
)n
\gg \underline{
\mathsf{x}}
 <= \underline{
\mathsf{y}}
; 
\forall \underline{
\mathsf{x}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf{y}}
\colon Ded
\rhd 
\forall \underline{
\mathsf{x}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf{y}}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\underline{
\mathsf{y}}
 <= \underline{
\mathsf{x}}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\underline{
\mathsf{y}}
 = \underline{
\mathsf{x}}
)n
)n
)n
)n
\vdash \underline{
\mathsf{x}}
 <= \underline{
\mathsf{y}}
\gg \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\underline{
\mathsf{y}}
 <= \underline{
\mathsf{x}}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\underline{
\mathsf{y}}
 = \underline{
\mathsf{x}}
)n
)n
)n
)n
\Rightarrow \underline{
\mathsf{x}}
 <= \underline{
\mathsf{y}}
; \dot{\neg}\,(\underline{
\mathsf{x}}
 <= \underline{
\mathsf{y}}
)n
\vdash NegativeMT
\rhd \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\underline{
\mathsf{y}}
 <= \underline{
\mathsf{x}}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\underline{
\mathsf{y}}
 = \underline{
\mathsf{x}}
)n
)n
)n
)n
\Rightarrow \underline{
\mathsf{x}}
 <= \underline{
\mathsf{y}}
\rhd \dot{\neg}\,(\underline{
\mathsf{x}}
 <= \underline{
\mathsf{y}}
)n
\gg \dot{\neg}\,(\underline{
\mathsf{y}}
 <= \underline{
\mathsf{x}}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\underline{
\mathsf{y}}
 = \underline{
\mathsf{x}}
)n
)n
)n
\rceil 
, 
p_0
, 
\mathsf {c}
)
]$



$
[fromNotLess
\stackrel{
stmt
}{\rightarrow}SystemQ
\vdash 
\forall \underline{
\mathsf{x}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf{y}}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\underline{
\mathsf{x}}
 <= \underline{
\mathsf{y}}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\underline{
\mathsf{x}}
 = \underline{
\mathsf{y}}
)n
)n
)n
)n
\vdash \underline{
\mathsf{y}}
 <= \underline{
\mathsf{x}}
]$

$
[fromNotLess
\stackrel{
proof
}{\rightarrow}
\lambda 
\mathsf {c}
.
\lambda 
\mathsf{x}
.
{\cal P}( 
\lceil SystemQ
\vdash 
\forall \underline{
\mathsf{x}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf{y}}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\underline{
\mathsf{x}}
 <= \underline{
\mathsf{y}}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\underline{
\mathsf{x}}
 = \underline{
\mathsf{y}}
)n
)n
)n
)n
\vdash \underline{
\mathsf{x}}
 <= \underline{
\mathsf{y}}
\vdash Repetition
\rhd \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\underline{
\mathsf{x}}
 <= \underline{
\mathsf{y}}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\underline{
\mathsf{x}}
 = \underline{
\mathsf{y}}
)n
)n
)n
)n
\gg \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\underline{
\mathsf{x}}
 <= \underline{
\mathsf{y}}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\underline{
\mathsf{x}}
 = \underline{
\mathsf{y}}
)n
)n
)n
)n
; RemoveDoubleNeg
\rhd \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\underline{
\mathsf{x}}
 <= \underline{
\mathsf{y}}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\underline{
\mathsf{x}}
 = \underline{
\mathsf{y}}
)n
)n
)n
)n
\gg \underline{
\mathsf{x}}
 <= \underline{
\mathsf{y}}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\underline{
\mathsf{x}}
 = \underline{
\mathsf{y}}
)n
)n
; MP
\rhd \underline{
\mathsf{x}}
 <= \underline{
\mathsf{y}}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\underline{
\mathsf{x}}
 = \underline{
\mathsf{y}}
)n
)n
\rhd \underline{
\mathsf{x}}
 <= \underline{
\mathsf{y}}
\gg \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\underline{
\mathsf{x}}
 = \underline{
\mathsf{y}}
)n
)n
; RemoveDoubleNeg
\rhd \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\underline{
\mathsf{x}}
 = \underline{
\mathsf{y}}
)n
)n
\gg \underline{
\mathsf{x}}
 = \underline{
\mathsf{y}}
; eqSymmetry
\rhd \underline{
\mathsf{x}}
 = \underline{
\mathsf{y}}
\gg \underline{
\mathsf{y}}
 = \underline{
\mathsf{x}}
; eqLeq
\rhd \underline{
\mathsf{y}}
 = \underline{
\mathsf{x}}
\gg \underline{
\mathsf{y}}
 <= \underline{
\mathsf{x}}
; 
\forall \underline{
\mathsf{x}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf{y}}
\colon Ded
\rhd 
\forall \underline{
\mathsf{x}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf{y}}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\underline{
\mathsf{x}}
 <= \underline{
\mathsf{y}}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\underline{
\mathsf{x}}
 = \underline{
\mathsf{y}}
)n
)n
)n
)n
\vdash \underline{
\mathsf{x}}
 <= \underline{
\mathsf{y}}
\vdash \underline{
\mathsf{y}}
 <= \underline{
\mathsf{x}}
\gg \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\underline{
\mathsf{x}}
 <= \underline{
\mathsf{y}}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\underline{
\mathsf{x}}
 = \underline{
\mathsf{y}}
)n
)n
)n
)n
\Rightarrow \underline{
\mathsf{x}}
 <= \underline{
\mathsf{y}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf{y}}
 <= \underline{
\mathsf{x}}
; \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\underline{
\mathsf{x}}
 <= \underline{
\mathsf{y}}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\underline{
\mathsf{x}}
 = \underline{
\mathsf{y}}
)n
)n
)n
)n
\vdash MP
\rhd \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\underline{
\mathsf{x}}
 <= \underline{
\mathsf{y}}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\underline{
\mathsf{x}}
 = \underline{
\mathsf{y}}
)n
)n
)n
)n
\Rightarrow \underline{
\mathsf{x}}
 <= \underline{
\mathsf{y}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf{y}}
 <= \underline{
\mathsf{x}}
\rhd \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\underline{
\mathsf{x}}
 <= \underline{
\mathsf{y}}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\underline{
\mathsf{x}}
 = \underline{
\mathsf{y}}
)n
)n
)n
)n
\gg \underline{
\mathsf{x}}
 <= \underline{
\mathsf{y}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf{y}}
 <= \underline{
\mathsf{x}}
; AutoImply
\gg \underline{
\mathsf{y}}
 <= \underline{
\mathsf{x}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf{y}}
 <= \underline{
\mathsf{x}}
; leqTotality
\gg \dot{\neg}\,(\underline{
\mathsf{x}}
 <= \underline{
\mathsf{y}}
)n
\Rightarrow \underline{
\mathsf{y}}
 <= \underline{
\mathsf{x}}
; FromDisjuncts
\rhd \dot{\neg}\,(\underline{
\mathsf{x}}
 <= \underline{
\mathsf{y}}
)n
\Rightarrow \underline{
\mathsf{y}}
 <= \underline{
\mathsf{x}}
\rhd \underline{
\mathsf{x}}
 <= \underline{
\mathsf{y}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf{y}}
 <= \underline{
\mathsf{x}}
\rhd \underline{
\mathsf{y}}
 <= \underline{
\mathsf{x}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf{y}}
 <= \underline{
\mathsf{x}}
\gg \underline{
\mathsf{y}}
 <= \underline{
\mathsf{x}}
\rceil 
, 
p_0
, 
\mathsf {c}
)
]$


$
[toNotLess
\stackrel{
stmt
}{\rightarrow}SystemQ
\vdash 
\forall \underline{
\mathsf{x}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf{y}}
\colon \underline{
\mathsf{x}}
 <= \underline{
\mathsf{y}}
\vdash \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\underline{
\mathsf{y}}
 <= \underline{
\mathsf{x}}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\underline{
\mathsf{y}}
 = \underline{
\mathsf{x}}
)n
)n
)n
)n
]$

$
[toNotLess
\stackrel{
proof
}{\rightarrow}
\lambda 
\mathsf {c}
.
\lambda 
\mathsf{x}
.
{\cal P}( 
\lceil SystemQ
\vdash 
\forall \underline{
\mathsf{x}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf{y}}
\colon \underline{
\mathsf{x}}
 <= \underline{
\mathsf{y}}
\vdash \underline{
\mathsf{y}}
 <= \underline{
\mathsf{x}}
\vdash leqAntisymmetry
\rhd \underline{
\mathsf{y}}
 <= \underline{
\mathsf{x}}
\rhd \underline{
\mathsf{x}}
 <= \underline{
\mathsf{y}}
\gg \underline{
\mathsf{y}}
 = \underline{
\mathsf{x}}
; AddDoubleNeg
\rhd \underline{
\mathsf{y}}
 = \underline{
\mathsf{x}}
\gg \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\underline{
\mathsf{y}}
 = \underline{
\mathsf{x}}
)n
)n
; 
\forall \underline{
\mathsf{x}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf{y}}
\colon Ded
\rhd 
\forall \underline{
\mathsf{x}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf{y}}
\colon \underline{
\mathsf{x}}
 <= \underline{
\mathsf{y}}
\vdash \underline{
\mathsf{y}}
 <= \underline{
\mathsf{x}}
\vdash \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\underline{
\mathsf{y}}
 = \underline{
\mathsf{x}}
)n
)n
\gg \underline{
\mathsf{x}}
 <= \underline{
\mathsf{y}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf{y}}
 <= \underline{
\mathsf{x}}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\underline{
\mathsf{y}}
 = \underline{
\mathsf{x}}
)n
)n
; \underline{
\mathsf{x}}
 <= \underline{
\mathsf{y}}
\vdash MP
\rhd \underline{
\mathsf{x}}
 <= \underline{
\mathsf{y}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf{y}}
 <= \underline{
\mathsf{x}}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\underline{
\mathsf{y}}
 = \underline{
\mathsf{x}}
)n
)n
\rhd \underline{
\mathsf{x}}
 <= \underline{
\mathsf{y}}
\gg \underline{
\mathsf{y}}
 <= \underline{
\mathsf{x}}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\underline{
\mathsf{y}}
 = \underline{
\mathsf{x}}
)n
)n
; AddDoubleNeg
\rhd \underline{
\mathsf{y}}
 <= \underline{
\mathsf{x}}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\underline{
\mathsf{y}}
 = \underline{
\mathsf{x}}
)n
)n
\gg \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\underline{
\mathsf{y}}
 <= \underline{
\mathsf{x}}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\underline{
\mathsf{y}}
 = \underline{
\mathsf{x}}
)n
)n
)n
)n
; Repetition
\rhd \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\underline{
\mathsf{y}}
 <= \underline{
\mathsf{x}}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\underline{
\mathsf{y}}
 = \underline{
\mathsf{x}}
)n
)n
)n
)n
\gg \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\underline{
\mathsf{y}}
 <= \underline{
\mathsf{x}}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\underline{
\mathsf{y}}
 = \underline{
\mathsf{x}}
)n
)n
)n
)n
; Repetition
\rhd \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\underline{
\mathsf{y}}
 <= \underline{
\mathsf{x}}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\underline{
\mathsf{y}}
 = \underline{
\mathsf{x}}
)n
)n
)n
)n
\gg \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\underline{
\mathsf{y}}
 <= \underline{
\mathsf{x}}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\underline{
\mathsf{y}}
 = \underline{
\mathsf{x}}
)n
)n
)n
)n
\rceil 
, 
p_0
, 
\mathsf {c}
)
]$




(*** LEQ ***)

$
[LeqLessEq
\stackrel{
stmt
}{\rightarrow}SystemQ
\vdash 
\forall \underline{
\mathsf{x}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf{y}}
\colon \underline{
\mathsf{x}}
 <= \underline{
\mathsf{y}}
\vdash \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\underline{
\mathsf{x}}
 <= \underline{
\mathsf{y}}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\underline{
\mathsf{x}}
 = \underline{
\mathsf{y}}
)n
)n
)n
)n
\Rightarrow \underline{
\mathsf{x}}
 = \underline{
\mathsf{y}}
]$

$
[LeqLessEq
\stackrel{
proof
}{\rightarrow}
\lambda 
\mathsf {c}
.
\lambda 
\mathsf{x}
.
{\cal P}( 
\lceil SystemQ
\vdash 
\forall \underline{
\mathsf{x}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf{y}}
\colon \underline{
\mathsf{x}}
 <= \underline{
\mathsf{y}}
\vdash \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\underline{
\mathsf{x}}
 <= \underline{
\mathsf{y}}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\underline{
\mathsf{x}}
 = \underline{
\mathsf{y}}
)n
)n
)n
)n
\vdash fromNotLess
\rhd \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\underline{
\mathsf{x}}
 <= \underline{
\mathsf{y}}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\underline{
\mathsf{x}}
 = \underline{
\mathsf{y}}
)n
)n
)n
)n
\gg \underline{
\mathsf{y}}
 <= \underline{
\mathsf{x}}
; leqAntisymmetry
\rhd \underline{
\mathsf{x}}
 <= \underline{
\mathsf{y}}
\rhd \underline{
\mathsf{y}}
 <= \underline{
\mathsf{x}}
\gg \underline{
\mathsf{x}}
 = \underline{
\mathsf{y}}
; 
\forall \underline{
\mathsf{x}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf{y}}
\colon Ded
\rhd 
\forall \underline{
\mathsf{x}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf{y}}
\colon \underline{
\mathsf{x}}
 <= \underline{
\mathsf{y}}
\vdash \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\underline{
\mathsf{x}}
 <= \underline{
\mathsf{y}}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\underline{
\mathsf{x}}
 = \underline{
\mathsf{y}}
)n
)n
)n
)n
\vdash \underline{
\mathsf{x}}
 = \underline{
\mathsf{y}}
\gg \underline{
\mathsf{x}}
 <= \underline{
\mathsf{y}}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\underline{
\mathsf{x}}
 <= \underline{
\mathsf{y}}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\underline{
\mathsf{x}}
 = \underline{
\mathsf{y}}
)n
)n
)n
)n
\Rightarrow \underline{
\mathsf{x}}
 = \underline{
\mathsf{y}}
; \underline{
\mathsf{x}}
 <= \underline{
\mathsf{y}}
\vdash MP
\rhd \underline{
\mathsf{x}}
 <= \underline{
\mathsf{y}}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\underline{
\mathsf{x}}
 <= \underline{
\mathsf{y}}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\underline{
\mathsf{x}}
 = \underline{
\mathsf{y}}
)n
)n
)n
)n
\Rightarrow \underline{
\mathsf{x}}
 = \underline{
\mathsf{y}}
\rhd \underline{
\mathsf{x}}
 <= \underline{
\mathsf{y}}
\gg \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\underline{
\mathsf{x}}
 <= \underline{
\mathsf{y}}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\underline{
\mathsf{x}}
 = \underline{
\mathsf{y}}
)n
)n
)n
)n
\Rightarrow \underline{
\mathsf{x}}
 = \underline{
\mathsf{y}}
; Repetition
\rhd \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\underline{
\mathsf{x}}
 <= \underline{
\mathsf{y}}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\underline{
\mathsf{x}}
 = \underline{
\mathsf{y}}
)n
)n
)n
)n
\Rightarrow \underline{
\mathsf{x}}
 = \underline{
\mathsf{y}}
\gg \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\underline{
\mathsf{x}}
 <= \underline{
\mathsf{y}}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\underline{
\mathsf{x}}
 = \underline{
\mathsf{y}}
)n
)n
)n
)n
\Rightarrow \underline{
\mathsf{x}}
 = \underline{
\mathsf{y}}
\rceil 
, 
p_0
, 
\mathsf {c}
)
]$



$
[LessLeq
\stackrel{
stmt
}{\rightarrow}SystemQ
\vdash 
\forall \underline{
\mathsf{x}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf{y}}
\colon \dot{\neg}\,(\underline{
\mathsf{x}}
 <= \underline{
\mathsf{y}}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\underline{
\mathsf{x}}
 = \underline{
\mathsf{y}}
)n
)n
)n
\vdash \underline{
\mathsf{x}}
 <= \underline{
\mathsf{y}}
]$

$
[LessLeq
\stackrel{
proof
}{\rightarrow}
\lambda 
\mathsf {c}
.
\lambda 
\mathsf{x}
.
{\cal P}( 
\lceil SystemQ
\vdash 
\forall \underline{
\mathsf{x}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf{y}}
\colon \dot{\neg}\,(\underline{
\mathsf{x}}
 <= \underline{
\mathsf{y}}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\underline{
\mathsf{x}}
 = \underline{
\mathsf{y}}
)n
)n
)n
\vdash Repetition
\rhd \dot{\neg}\,(\underline{
\mathsf{x}}
 <= \underline{
\mathsf{y}}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\underline{
\mathsf{x}}
 = \underline{
\mathsf{y}}
)n
)n
)n
\gg \dot{\neg}\,(\underline{
\mathsf{x}}
 <= \underline{
\mathsf{y}}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\underline{
\mathsf{x}}
 = \underline{
\mathsf{y}}
)n
)n
)n
; FirstConjunct
\rhd \dot{\neg}\,(\underline{
\mathsf{x}}
 <= \underline{
\mathsf{y}}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\underline{
\mathsf{x}}
 = \underline{
\mathsf{y}}
)n
)n
)n
\gg \underline{
\mathsf{x}}
 <= \underline{
\mathsf{y}}
\rceil 
, 
p_0
, 
\mathsf {c}
)
]$

$
[FromLeqGeq
\stackrel{
stmt
}{\rightarrow}SystemQ
\vdash 
\forall \underline{
\mathsf {a}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf{x}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf{y}}
\colon \underline{
\mathsf{x}}
 <= \underline{
\mathsf{y}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {a}}
\vdash \underline{
\mathsf{y}}
 <= \underline{
\mathsf{x}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {a}}
\vdash \underline{
\mathsf {a}}
]$

$
[FromLeqGeq
\stackrel{
proof
}{\rightarrow}
\lambda 
\mathsf {c}
.
\lambda 
\mathsf{x}
.
{\cal P}( 
\lceil SystemQ
\vdash 
\forall \underline{
\mathsf {a}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf{x}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf{y}}
\colon \underline{
\mathsf{x}}
 <= \underline{
\mathsf{y}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {a}}
\vdash \underline{
\mathsf{y}}
 <= \underline{
\mathsf{x}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {a}}
\vdash leqTotality
\gg \dot{\neg}\,(\underline{
\mathsf{x}}
 <= \underline{
\mathsf{y}}
)n
\Rightarrow \underline{
\mathsf{y}}
 <= \underline{
\mathsf{x}}
; FromDisjuncts
\rhd \dot{\neg}\,(\underline{
\mathsf{x}}
 <= \underline{
\mathsf{y}}
)n
\Rightarrow \underline{
\mathsf{y}}
 <= \underline{
\mathsf{x}}
\rhd \underline{
\mathsf{x}}
 <= \underline{
\mathsf{y}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {a}}
\rhd \underline{
\mathsf{y}}
 <= \underline{
\mathsf{x}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {a}}
\gg \underline{
\mathsf {a}}
\rceil 
, 
p_0
, 
\mathsf {c}
)
]$



$
[SubLessRight
\stackrel{
stmt
}{\rightarrow}SystemQ
\vdash 
\forall \underline{
\mathsf{x}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf{y}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf{z}}
\colon \underline{
\mathsf{x}}
 = \underline{
\mathsf{y}}
\vdash \dot{\neg}\,(\underline{
\mathsf{z}}
 <= \underline{
\mathsf{x}}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\underline{
\mathsf{z}}
 = \underline{
\mathsf{x}}
)n
)n
)n
\vdash \dot{\neg}\,(\underline{
\mathsf{z}}
 <= \underline{
\mathsf{y}}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\underline{
\mathsf{z}}
 = \underline{
\mathsf{y}}
)n
)n
)n
]$

$
[SubLessRight
\stackrel{
proof
}{\rightarrow}
\lambda 
\mathsf {c}
.
\lambda 
\mathsf{x}
.
{\cal P}( 
\lceil SystemQ
\vdash 
\forall \underline{
\mathsf{x}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf{y}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf{z}}
\colon \underline{
\mathsf{x}}
 = \underline{
\mathsf{y}}
\vdash \dot{\neg}\,(\underline{
\mathsf{z}}
 <= \underline{
\mathsf{x}}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\underline{
\mathsf{z}}
 = \underline{
\mathsf{x}}
)n
)n
)n
\vdash Repetition
\rhd \dot{\neg}\,(\underline{
\mathsf{z}}
 <= \underline{
\mathsf{x}}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\underline{
\mathsf{z}}
 = \underline{
\mathsf{x}}
)n
)n
)n
\gg \dot{\neg}\,(\underline{
\mathsf{z}}
 <= \underline{
\mathsf{x}}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\underline{
\mathsf{z}}
 = \underline{
\mathsf{x}}
)n
)n
)n
; FirstConjunct
\rhd \dot{\neg}\,(\underline{
\mathsf{z}}
 <= \underline{
\mathsf{x}}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\underline{
\mathsf{z}}
 = \underline{
\mathsf{x}}
)n
)n
)n
\gg \underline{
\mathsf{z}}
 <= \underline{
\mathsf{x}}
; subLeqRight
\rhd \underline{
\mathsf{x}}
 = \underline{
\mathsf{y}}
\rhd \underline{
\mathsf{z}}
 <= \underline{
\mathsf{x}}
\gg \underline{
\mathsf{z}}
 <= \underline{
\mathsf{y}}
; SecondConjunct
\rhd \dot{\neg}\,(\underline{
\mathsf{z}}
 <= \underline{
\mathsf{x}}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\underline{
\mathsf{z}}
 = \underline{
\mathsf{x}}
)n
)n
)n
\gg \dot{\neg}\,(\underline{
\mathsf{z}}
 = \underline{
\mathsf{x}}
)n
; SubNeqRight
\rhd \underline{
\mathsf{x}}
 = \underline{
\mathsf{y}}
\rhd \dot{\neg}\,(\underline{
\mathsf{z}}
 = \underline{
\mathsf{x}}
)n
\gg \dot{\neg}\,(\underline{
\mathsf{z}}
 = \underline{
\mathsf{y}}
)n
; JoinConjuncts
\rhd \underline{
\mathsf{z}}
 <= \underline{
\mathsf{y}}
\rhd \dot{\neg}\,(\underline{
\mathsf{z}}
 = \underline{
\mathsf{y}}
)n
\gg \dot{\neg}\,(\underline{
\mathsf{z}}
 <= \underline{
\mathsf{y}}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\underline{
\mathsf{z}}
 = \underline{
\mathsf{y}}
)n
)n
)n
\rceil 
, 
p_0
, 
\mathsf {c}
)
]$

$
[SubLessLeft
\stackrel{
stmt
}{\rightarrow}SystemQ
\vdash 
\forall \underline{
\mathsf{x}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf{y}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf{z}}
\colon \underline{
\mathsf{x}}
 = \underline{
\mathsf{y}}
\vdash \dot{\neg}\,(\underline{
\mathsf{x}}
 <= \underline{
\mathsf{z}}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\underline{
\mathsf{x}}
 = \underline{
\mathsf{z}}
)n
)n
)n
\vdash \dot{\neg}\,(\underline{
\mathsf{y}}
 <= \underline{
\mathsf{z}}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\underline{
\mathsf{y}}
 = \underline{
\mathsf{z}}
)n
)n
)n
]$

$
[SubLessLeft
\stackrel{
proof
}{\rightarrow}
\lambda 
\mathsf {c}
.
\lambda 
\mathsf{x}
.
{\cal P}( 
\lceil SystemQ
\vdash 
\forall \underline{
\mathsf{x}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf{y}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf{z}}
\colon \underline{
\mathsf{x}}
 = \underline{
\mathsf{y}}
\vdash \dot{\neg}\,(\underline{
\mathsf{x}}
 <= \underline{
\mathsf{z}}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\underline{
\mathsf{x}}
 = \underline{
\mathsf{z}}
)n
)n
)n
\vdash Repetition
\rhd \dot{\neg}\,(\underline{
\mathsf{x}}
 <= \underline{
\mathsf{z}}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\underline{
\mathsf{x}}
 = \underline{
\mathsf{z}}
)n
)n
)n
\gg \dot{\neg}\,(\underline{
\mathsf{x}}
 <= \underline{
\mathsf{z}}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\underline{
\mathsf{x}}
 = \underline{
\mathsf{z}}
)n
)n
)n
; FirstConjunct
\rhd \dot{\neg}\,(\underline{
\mathsf{x}}
 <= \underline{
\mathsf{z}}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\underline{
\mathsf{x}}
 = \underline{
\mathsf{z}}
)n
)n
)n
\gg \underline{
\mathsf{x}}
 <= \underline{
\mathsf{z}}
; subLeqLeft
\rhd \underline{
\mathsf{x}}
 = \underline{
\mathsf{y}}
\rhd \underline{
\mathsf{x}}
 <= \underline{
\mathsf{z}}
\gg \underline{
\mathsf{y}}
 <= \underline{
\mathsf{z}}
; SecondConjunct
\rhd \dot{\neg}\,(\underline{
\mathsf{x}}
 <= \underline{
\mathsf{z}}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\underline{
\mathsf{x}}
 = \underline{
\mathsf{z}}
)n
)n
)n
\gg \dot{\neg}\,(\underline{
\mathsf{x}}
 = \underline{
\mathsf{z}}
)n
; SubNeqLeft
\rhd \underline{
\mathsf{x}}
 = \underline{
\mathsf{y}}
\rhd \dot{\neg}\,(\underline{
\mathsf{x}}
 = \underline{
\mathsf{z}}
)n
\gg \dot{\neg}\,(\underline{
\mathsf{y}}
 = \underline{
\mathsf{z}}
)n
; JoinConjuncts
\rhd \underline{
\mathsf{y}}
 <= \underline{
\mathsf{z}}
\rhd \dot{\neg}\,(\underline{
\mathsf{y}}
 = \underline{
\mathsf{z}}
)n
\gg \dot{\neg}\,(\underline{
\mathsf{y}}
 <= \underline{
\mathsf{z}}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\underline{
\mathsf{y}}
 = \underline{
\mathsf{z}}
)n
)n
)n
\rceil 
, 
p_0
, 
\mathsf {c}
)
]$

$
[leqLessTransitivity
\stackrel{
stmt
}{\rightarrow}SystemQ
\vdash 
\forall \underline{
\mathsf{x}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf{y}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf{z}}
\colon \underline{
\mathsf{x}}
 <= \underline{
\mathsf{y}}
\vdash \dot{\neg}\,(\underline{
\mathsf{y}}
 <= \underline{
\mathsf{z}}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\underline{
\mathsf{y}}
 = \underline{
\mathsf{z}}
)n
)n
)n
\vdash \dot{\neg}\,(\underline{
\mathsf{x}}
 <= \underline{
\mathsf{z}}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\underline{
\mathsf{x}}
 = \underline{
\mathsf{z}}
)n
)n
)n
]$

$
[leqLessTransitivity
\stackrel{
proof
}{\rightarrow}
\lambda 
\mathsf {c}
.
\lambda 
\mathsf{x}
.
{\cal P}( 
\lceil SystemQ
\vdash 
\forall \underline{
\mathsf{x}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf{y}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf{z}}
\colon \underline{
\mathsf{x}}
 <= \underline{
\mathsf{y}}
\vdash \dot{\neg}\,(\underline{
\mathsf{y}}
 <= \underline{
\mathsf{z}}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\underline{
\mathsf{y}}
 = \underline{
\mathsf{z}}
)n
)n
)n
\vdash \underline{
\mathsf{x}}
 = \underline{
\mathsf{z}}
\vdash FirstConjunct
\rhd \dot{\neg}\,(\underline{
\mathsf{y}}
 <= \underline{
\mathsf{z}}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\underline{
\mathsf{y}}
 = \underline{
\mathsf{z}}
)n
)n
)n
\gg \underline{
\mathsf{y}}
 <= \underline{
\mathsf{z}}
; SecondConjunct
\rhd \dot{\neg}\,(\underline{
\mathsf{y}}
 <= \underline{
\mathsf{z}}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\underline{
\mathsf{y}}
 = \underline{
\mathsf{z}}
)n
)n
)n
\gg \dot{\neg}\,(\underline{
\mathsf{y}}
 = \underline{
\mathsf{z}}
)n
; subLeqLeft
\rhd \underline{
\mathsf{x}}
 = \underline{
\mathsf{z}}
\rhd \underline{
\mathsf{x}}
 <= \underline{
\mathsf{y}}
\gg \underline{
\mathsf{z}}
 <= \underline{
\mathsf{y}}
; leqAntisymmetry
\rhd \underline{
\mathsf{y}}
 <= \underline{
\mathsf{z}}
\rhd \underline{
\mathsf{z}}
 <= \underline{
\mathsf{y}}
\gg \underline{
\mathsf{y}}
 = \underline{
\mathsf{z}}
; FromContradiction
\rhd \underline{
\mathsf{y}}
 = \underline{
\mathsf{z}}
\rhd \dot{\neg}\,(\underline{
\mathsf{y}}
 = \underline{
\mathsf{z}}
)n
\gg \dot{\neg}\,(\underline{
\mathsf{x}}
 = \underline{
\mathsf{z}}
)n
; 
\forall \underline{
\mathsf{x}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf{y}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf{z}}
\colon Ded
\rhd 
\forall \underline{
\mathsf{x}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf{y}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf{z}}
\colon \underline{
\mathsf{x}}
 <= \underline{
\mathsf{y}}
\vdash \dot{\neg}\,(\underline{
\mathsf{y}}
 <= \underline{
\mathsf{z}}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\underline{
\mathsf{y}}
 = \underline{
\mathsf{z}}
)n
)n
)n
\vdash \underline{
\mathsf{x}}
 = \underline{
\mathsf{z}}
\vdash \dot{\neg}\,(\underline{
\mathsf{x}}
 = \underline{
\mathsf{z}}
)n
\gg \underline{
\mathsf{x}}
 <= \underline{
\mathsf{y}}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\underline{
\mathsf{y}}
 <= \underline{
\mathsf{z}}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\underline{
\mathsf{y}}
 = \underline{
\mathsf{z}}
)n
)n
)n
\Rightarrow \underline{
\mathsf{x}}
 = \underline{
\mathsf{z}}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\underline{
\mathsf{x}}
 = \underline{
\mathsf{z}}
)n
; \underline{
\mathsf{x}}
 <= \underline{
\mathsf{y}}
\vdash \dot{\neg}\,(\underline{
\mathsf{y}}
 <= \underline{
\mathsf{z}}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\underline{
\mathsf{y}}
 = \underline{
\mathsf{z}}
)n
)n
)n
\vdash MP2
\rhd \underline{
\mathsf{x}}
 <= \underline{
\mathsf{y}}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\underline{
\mathsf{y}}
 <= \underline{
\mathsf{z}}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\underline{
\mathsf{y}}
 = \underline{
\mathsf{z}}
)n
)n
)n
\Rightarrow \underline{
\mathsf{x}}
 = \underline{
\mathsf{z}}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\underline{
\mathsf{x}}
 = \underline{
\mathsf{z}}
)n
\rhd \underline{
\mathsf{x}}
 <= \underline{
\mathsf{y}}
\rhd \dot{\neg}\,(\underline{
\mathsf{y}}
 <= \underline{
\mathsf{z}}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\underline{
\mathsf{y}}
 = \underline{
\mathsf{z}}
)n
)n
)n
\gg \underline{
\mathsf{x}}
 = \underline{
\mathsf{z}}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\underline{
\mathsf{x}}
 = \underline{
\mathsf{z}}
)n
; 
\mbox{prop lemma imply negation}
\rhd \underline{
\mathsf{x}}
 = \underline{
\mathsf{z}}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\underline{
\mathsf{x}}
 = \underline{
\mathsf{z}}
)n
\gg \dot{\neg}\,(\underline{
\mathsf{x}}
 = \underline{
\mathsf{z}}
)n
; FirstConjunct
\rhd \dot{\neg}\,(\underline{
\mathsf{y}}
 <= \underline{
\mathsf{z}}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\underline{
\mathsf{y}}
 = \underline{
\mathsf{z}}
)n
)n
)n
\gg \underline{
\mathsf{y}}
 <= \underline{
\mathsf{z}}
; leqTransitivity
\rhd \underline{
\mathsf{x}}
 <= \underline{
\mathsf{y}}
\rhd \underline{
\mathsf{y}}
 <= \underline{
\mathsf{z}}
\gg \underline{
\mathsf{x}}
 <= \underline{
\mathsf{z}}
; JoinConjuncts
\rhd \underline{
\mathsf{x}}
 <= \underline{
\mathsf{z}}
\rhd \dot{\neg}\,(\underline{
\mathsf{x}}
 = \underline{
\mathsf{z}}
)n
\gg \dot{\neg}\,(\underline{
\mathsf{x}}
 <= \underline{
\mathsf{z}}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\underline{
\mathsf{x}}
 = \underline{
\mathsf{z}}
)n
)n
)n
\rceil 
, 
p_0
, 
\mathsf {c}
)
]$

$
[LessAddition
\stackrel{
stmt
}{\rightarrow}SystemQ
\vdash 
\forall \underline{
\mathsf{x}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf{y}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf{z}}
\colon \dot{\neg}\,(\underline{
\mathsf{x}}
 <= \underline{
\mathsf{y}}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\underline{
\mathsf{x}}
 = \underline{
\mathsf{y}}
)n
)n
)n
\vdash \dot{\neg}\,((\underline{
\mathsf{x}}
+\underline{
\mathsf{z}}
)
 <= (\underline{
\mathsf{y}}
+\underline{
\mathsf{z}}
)
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,((\underline{
\mathsf{x}}
+\underline{
\mathsf{z}}
)
 = (\underline{
\mathsf{y}}
+\underline{
\mathsf{z}}
)
)n
)n
)n
]$

$
[LessAddition
\stackrel{
proof
}{\rightarrow}
\lambda 
\mathsf {c}
.
\lambda 
\mathsf{x}
.
{\cal P}( 
\lceil SystemQ
\vdash 
\forall \underline{
\mathsf{x}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf{y}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf{z}}
\colon \dot{\neg}\,(\underline{
\mathsf{x}}
 <= \underline{
\mathsf{y}}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\underline{
\mathsf{x}}
 = \underline{
\mathsf{y}}
)n
)n
)n
\vdash LessLeq
\rhd \dot{\neg}\,(\underline{
\mathsf{x}}
 <= \underline{
\mathsf{y}}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\underline{
\mathsf{x}}
 = \underline{
\mathsf{y}}
)n
)n
)n
\gg \underline{
\mathsf{x}}
 <= \underline{
\mathsf{y}}
; leqAddition
\rhd \underline{
\mathsf{x}}
 <= \underline{
\mathsf{y}}
\gg (\underline{
\mathsf{x}}
+\underline{
\mathsf{z}}
)
 <= (\underline{
\mathsf{y}}
+\underline{
\mathsf{z}}
)
; LessNeq
\rhd \dot{\neg}\,(\underline{
\mathsf{x}}
 <= \underline{
\mathsf{y}}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\underline{
\mathsf{x}}
 = \underline{
\mathsf{y}}
)n
)n
)n
\gg \dot{\neg}\,(\underline{
\mathsf{x}}
 = \underline{
\mathsf{y}}
)n
; NeqAddition
\rhd \dot{\neg}\,(\underline{
\mathsf{x}}
 = \underline{
\mathsf{y}}
)n
\gg \dot{\neg}\,((\underline{
\mathsf{x}}
+\underline{
\mathsf{z}}
)
 = (\underline{
\mathsf{y}}
+\underline{
\mathsf{z}}
)
)n
; JoinConjuncts
\rhd (\underline{
\mathsf{x}}
+\underline{
\mathsf{z}}
)
 <= (\underline{
\mathsf{y}}
+\underline{
\mathsf{z}}
)
\rhd \dot{\neg}\,((\underline{
\mathsf{x}}
+\underline{
\mathsf{z}}
)
 = (\underline{
\mathsf{y}}
+\underline{
\mathsf{z}}
)
)n
\gg \dot{\neg}\,((\underline{
\mathsf{x}}
+\underline{
\mathsf{z}}
)
 <= (\underline{
\mathsf{y}}
+\underline{
\mathsf{z}}
)
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,((\underline{
\mathsf{x}}
+\underline{
\mathsf{z}}
)
 = (\underline{
\mathsf{y}}
+\underline{
\mathsf{z}}
)
)n
)n
)n
\rceil 
, 
p_0
, 
\mathsf {c}
)
]$

$
[LessAdditionLeft
\stackrel{
stmt
}{\rightarrow}SystemQ
\vdash 
\forall \underline{
\mathsf{x}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf{y}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf{z}}
\colon \dot{\neg}\,(\underline{
\mathsf{x}}
 <= \underline{
\mathsf{y}}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\underline{
\mathsf{x}}
 = \underline{
\mathsf{y}}
)n
)n
)n
\vdash \dot{\neg}\,((\underline{
\mathsf{z}}
+\underline{
\mathsf{x}}
)
 <= (\underline{
\mathsf{z}}
+\underline{
\mathsf{y}}
)
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,((\underline{
\mathsf{z}}
+\underline{
\mathsf{x}}
)
 = (\underline{
\mathsf{z}}
+\underline{
\mathsf{y}}
)
)n
)n
)n
]$

$
[LessAdditionLeft
\stackrel{
proof
}{\rightarrow}
\lambda 
\mathsf {c}
.
\lambda 
\mathsf{x}
.
{\cal P}( 
\lceil SystemQ
\vdash 
\forall \underline{
\mathsf{x}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf{y}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf{z}}
\colon \dot{\neg}\,(\underline{
\mathsf{x}}
 <= \underline{
\mathsf{y}}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\underline{
\mathsf{x}}
 = \underline{
\mathsf{y}}
)n
)n
)n
\vdash LessAddition
\rhd \dot{\neg}\,(\underline{
\mathsf{x}}
 <= \underline{
\mathsf{y}}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\underline{
\mathsf{x}}
 = \underline{
\mathsf{y}}
)n
)n
)n
\gg \dot{\neg}\,((\underline{
\mathsf{x}}
+\underline{
\mathsf{z}}
)
 <= (\underline{
\mathsf{y}}
+\underline{
\mathsf{z}}
)
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,((\underline{
\mathsf{x}}
+\underline{
\mathsf{z}}
)
 = (\underline{
\mathsf{y}}
+\underline{
\mathsf{z}}
)
)n
)n
)n
; plusCommutativity
\gg (\underline{
\mathsf{x}}
+\underline{
\mathsf{z}}
)
 = (\underline{
\mathsf{z}}
+\underline{
\mathsf{x}}
)
; SubLessLeft
\rhd (\underline{
\mathsf{x}}
+\underline{
\mathsf{z}}
)
 = (\underline{
\mathsf{z}}
+\underline{
\mathsf{x}}
)
\rhd \dot{\neg}\,((\underline{
\mathsf{x}}
+\underline{
\mathsf{z}}
)
 <= (\underline{
\mathsf{y}}
+\underline{
\mathsf{z}}
)
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,((\underline{
\mathsf{x}}
+\underline{
\mathsf{z}}
)
 = (\underline{
\mathsf{y}}
+\underline{
\mathsf{z}}
)
)n
)n
)n
\gg \dot{\neg}\,((\underline{
\mathsf{z}}
+\underline{
\mathsf{x}}
)
 <= (\underline{
\mathsf{y}}
+\underline{
\mathsf{z}}
)
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,((\underline{
\mathsf{z}}
+\underline{
\mathsf{x}}
)
 = (\underline{
\mathsf{y}}
+\underline{
\mathsf{z}}
)
)n
)n
)n
; plusCommutativity
\gg (\underline{
\mathsf{y}}
+\underline{
\mathsf{z}}
)
 = (\underline{
\mathsf{z}}
+\underline{
\mathsf{y}}
)
; SubLessRight
\rhd (\underline{
\mathsf{y}}
+\underline{
\mathsf{z}}
)
 = (\underline{
\mathsf{z}}
+\underline{
\mathsf{y}}
)
\rhd \dot{\neg}\,((\underline{
\mathsf{z}}
+\underline{
\mathsf{x}}
)
 <= (\underline{
\mathsf{y}}
+\underline{
\mathsf{z}}
)
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,((\underline{
\mathsf{z}}
+\underline{
\mathsf{x}}
)
 = (\underline{
\mathsf{y}}
+\underline{
\mathsf{z}}
)
)n
)n
)n
\gg \dot{\neg}\,((\underline{
\mathsf{z}}
+\underline{
\mathsf{x}}
)
 <= (\underline{
\mathsf{z}}
+\underline{
\mathsf{y}}
)
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,((\underline{
\mathsf{z}}
+\underline{
\mathsf{x}}
)
 = (\underline{
\mathsf{z}}
+\underline{
\mathsf{y}}
)
)n
)n
)n
\rceil 
, 
p_0
, 
\mathsf {c}
)
]$


$
[Leq+1
\stackrel{
stmt
}{\rightarrow}SystemQ
\vdash 
\forall \underline{
\mathsf{x}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf{y}}
\colon \underline{
\mathsf{x}}
 <= \underline{
\mathsf{y}}
\vdash \dot{\neg}\,(\underline{
\mathsf{x}}
 <= (\underline{
\mathsf{y}}
+1
)
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\underline{
\mathsf{x}}
 = (\underline{
\mathsf{y}}
+1
)
)n
)n
)n
]$

$
[Leq+1
\stackrel{
proof
}{\rightarrow}
\lambda 
\mathsf {c}
.
\lambda 
\mathsf{x}
.
{\cal P}( 
\lceil SystemQ
\vdash 
\forall \underline{
\mathsf{x}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf{y}}
\colon \underline{
\mathsf{x}}
 <= \underline{
\mathsf{y}}
\vdash 0<1
\gg \dot{\neg}\,(0
 <= 1
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(0
 = 1
)n
)n
)n
; LessAdditionLeft
\rhd \dot{\neg}\,(0
 <= 1
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(0
 = 1
)n
)n
)n
\gg \dot{\neg}\,((\underline{
\mathsf{y}}
+0
)
 <= (\underline{
\mathsf{y}}
+1
)
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,((\underline{
\mathsf{y}}
+0
)
 = (\underline{
\mathsf{y}}
+1
)
)n
)n
)n
; plus0
\gg (\underline{
\mathsf{y}}
+0
)
 = \underline{
\mathsf{y}}
; SubLessLeft
\rhd (\underline{
\mathsf{y}}
+0
)
 = \underline{
\mathsf{y}}
\rhd \dot{\neg}\,((\underline{
\mathsf{y}}
+0
)
 <= (\underline{
\mathsf{y}}
+1
)
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,((\underline{
\mathsf{y}}
+0
)
 = (\underline{
\mathsf{y}}
+1
)
)n
)n
)n
\gg \dot{\neg}\,(\underline{
\mathsf{y}}
 <= (\underline{
\mathsf{y}}
+1
)
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\underline{
\mathsf{y}}
 = (\underline{
\mathsf{y}}
+1
)
)n
)n
)n
; leqLessTransitivity
\rhd \underline{
\mathsf{x}}
 <= \underline{
\mathsf{y}}
\rhd \dot{\neg}\,(\underline{
\mathsf{y}}
 <= (\underline{
\mathsf{y}}
+1
)
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\underline{
\mathsf{y}}
 = (\underline{
\mathsf{y}}
+1
)
)n
)n
)n
\gg \dot{\neg}\,(\underline{
\mathsf{x}}
 <= (\underline{
\mathsf{y}}
+1
)
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\underline{
\mathsf{x}}
 = (\underline{
\mathsf{y}}
+1
)
)n
)n
)n
\rceil 
, 
p_0
, 
\mathsf {c}
)
]$



$
[LeqAdditionLeft
\stackrel{
stmt
}{\rightarrow}SystemQ
\vdash 
\forall \underline{
\mathsf{x}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf{y}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf{z}}
\colon \underline{
\mathsf{x}}
 <= \underline{
\mathsf{y}}
\vdash (\underline{
\mathsf{z}}
+\underline{
\mathsf{x}}
)
 <= (\underline{
\mathsf{z}}
+\underline{
\mathsf{y}}
)
]$

$
[LeqAdditionLeft
\stackrel{
proof
}{\rightarrow}
\lambda 
\mathsf {c}
.
\lambda 
\mathsf{x}
.
{\cal P}( 
\lceil SystemQ
\vdash 
\forall \underline{
\mathsf{x}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf{y}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf{z}}
\colon \underline{
\mathsf{x}}
 <= \underline{
\mathsf{y}}
\vdash leqAddition
\rhd \underline{
\mathsf{x}}
 <= \underline{
\mathsf{y}}
\gg (\underline{
\mathsf{x}}
+\underline{
\mathsf{z}}
)
 <= (\underline{
\mathsf{y}}
+\underline{
\mathsf{z}}
)
; plusCommutativity
\gg (\underline{
\mathsf{x}}
+\underline{
\mathsf{z}}
)
 = (\underline{
\mathsf{z}}
+\underline{
\mathsf{x}}
)
; plusCommutativity
\gg (\underline{
\mathsf{y}}
+\underline{
\mathsf{z}}
)
 = (\underline{
\mathsf{z}}
+\underline{
\mathsf{y}}
)
; subLeqLeft
\rhd (\underline{
\mathsf{x}}
+\underline{
\mathsf{z}}
)
 = (\underline{
\mathsf{z}}
+\underline{
\mathsf{x}}
)
\rhd (\underline{
\mathsf{x}}
+\underline{
\mathsf{z}}
)
 <= (\underline{
\mathsf{y}}
+\underline{
\mathsf{z}}
)
\gg (\underline{
\mathsf{z}}
+\underline{
\mathsf{x}}
)
 <= (\underline{
\mathsf{y}}
+\underline{
\mathsf{z}}
)
; subLeqRight
\rhd (\underline{
\mathsf{y}}
+\underline{
\mathsf{z}}
)
 = (\underline{
\mathsf{z}}
+\underline{
\mathsf{y}}
)
\rhd (\underline{
\mathsf{z}}
+\underline{
\mathsf{x}}
)
 <= (\underline{
\mathsf{y}}
+\underline{
\mathsf{z}}
)
\gg (\underline{
\mathsf{z}}
+\underline{
\mathsf{x}}
)
 <= (\underline{
\mathsf{z}}
+\underline{
\mathsf{y}}
)
\rceil 
, 
p_0
, 
\mathsf {c}
)
]$




$
[leqSubtraction
\stackrel{
stmt
}{\rightarrow}SystemQ
\vdash 
\forall \underline{
\mathsf{x}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf{y}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf{z}}
\colon (\underline{
\mathsf{x}}
+\underline{
\mathsf{z}}
)
 <= (\underline{
\mathsf{y}}
+\underline{
\mathsf{z}}
)
\vdash \underline{
\mathsf{x}}
 <= \underline{
\mathsf{y}}
]$

$
[leqSubtraction
\stackrel{
proof
}{\rightarrow}
\lambda 
\mathsf {c}
.
\lambda 
\mathsf{x}
.
{\cal P}( 
\lceil SystemQ
\vdash 
\forall \underline{
\mathsf{x}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf{y}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf{z}}
\colon (\underline{
\mathsf{x}}
+\underline{
\mathsf{z}}
)
 <= (\underline{
\mathsf{y}}
+\underline{
\mathsf{z}}
)
\vdash leqAddition
\rhd (\underline{
\mathsf{x}}
+\underline{
\mathsf{z}}
)
 <= (\underline{
\mathsf{y}}
+\underline{
\mathsf{z}}
)
\gg ((\underline{
\mathsf{x}}
+\underline{
\mathsf{z}}
)
+(-u\underline{
\mathsf{z}}
)
)
 <= ((\underline{
\mathsf{y}}
+\underline{
\mathsf{z}}
)
+(-u\underline{
\mathsf{z}}
)
)
; x=x+y-y
\gg \underline{
\mathsf{x}}
 = ((\underline{
\mathsf{x}}
+\underline{
\mathsf{z}}
)
+(-u\underline{
\mathsf{z}}
)
)
; eqSymmetry
\rhd \underline{
\mathsf{x}}
 = ((\underline{
\mathsf{x}}
+\underline{
\mathsf{z}}
)
+(-u\underline{
\mathsf{z}}
)
)
\gg ((\underline{
\mathsf{x}}
+\underline{
\mathsf{z}}
)
+(-u\underline{
\mathsf{z}}
)
)
 = \underline{
\mathsf{x}}
; x=x+y-y
\gg \underline{
\mathsf{y}}
 = ((\underline{
\mathsf{y}}
+\underline{
\mathsf{z}}
)
+(-u\underline{
\mathsf{z}}
)
)
; eqSymmetry
\rhd \underline{
\mathsf{y}}
 = ((\underline{
\mathsf{y}}
+\underline{
\mathsf{z}}
)
+(-u\underline{
\mathsf{z}}
)
)
\gg ((\underline{
\mathsf{y}}
+\underline{
\mathsf{z}}
)
+(-u\underline{
\mathsf{z}}
)
)
 = \underline{
\mathsf{y}}
; subLeqLeft
\rhd ((\underline{
\mathsf{x}}
+\underline{
\mathsf{z}}
)
+(-u\underline{
\mathsf{z}}
)
)
 = \underline{
\mathsf{x}}
\rhd ((\underline{
\mathsf{x}}
+\underline{
\mathsf{z}}
)
+(-u\underline{
\mathsf{z}}
)
)
 <= ((\underline{
\mathsf{y}}
+\underline{
\mathsf{z}}
)
+(-u\underline{
\mathsf{z}}
)
)
\gg \underline{
\mathsf{x}}
 <= ((\underline{
\mathsf{y}}
+\underline{
\mathsf{z}}
)
+(-u\underline{
\mathsf{z}}
)
)
; subLeqRight
\rhd ((\underline{
\mathsf{y}}
+\underline{
\mathsf{z}}
)
+(-u\underline{
\mathsf{z}}
)
)
 = \underline{
\mathsf{y}}
\rhd \underline{
\mathsf{x}}
 <= ((\underline{
\mathsf{y}}
+\underline{
\mathsf{z}}
)
+(-u\underline{
\mathsf{z}}
)
)
\gg \underline{
\mathsf{x}}
 <= \underline{
\mathsf{y}}
\rceil 
, 
p_0
, 
\mathsf {c}
)
]$

$
[leqSubtractionLeft
\stackrel{
stmt
}{\rightarrow}SystemQ
\vdash 
\forall \underline{
\mathsf{x}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf{y}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf{z}}
\colon (\underline{
\mathsf{z}}
+\underline{
\mathsf{x}}
)
 <= (\underline{
\mathsf{z}}
+\underline{
\mathsf{y}}
)
\vdash \underline{
\mathsf{x}}
 <= \underline{
\mathsf{y}}
]$

$
[leqSubtractionLeft
\stackrel{
proof
}{\rightarrow}
\lambda 
\mathsf {c}
.
\lambda 
\mathsf{x}
.
{\cal P}( 
\lceil SystemQ
\vdash 
\forall \underline{
\mathsf{x}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf{y}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf{z}}
\colon (\underline{
\mathsf{z}}
+\underline{
\mathsf{x}}
)
 <= (\underline{
\mathsf{z}}
+\underline{
\mathsf{y}}
)
\vdash plusCommutativity
\gg (\underline{
\mathsf{z}}
+\underline{
\mathsf{x}}
)
 = (\underline{
\mathsf{x}}
+\underline{
\mathsf{z}}
)
; plusCommutativity
\gg (\underline{
\mathsf{z}}
+\underline{
\mathsf{y}}
)
 = (\underline{
\mathsf{y}}
+\underline{
\mathsf{z}}
)
; subLeqLeft
\rhd (\underline{
\mathsf{z}}
+\underline{
\mathsf{x}}
)
 = (\underline{
\mathsf{x}}
+\underline{
\mathsf{z}}
)
\rhd (\underline{
\mathsf{z}}
+\underline{
\mathsf{x}}
)
 <= (\underline{
\mathsf{z}}
+\underline{
\mathsf{y}}
)
\gg (\underline{
\mathsf{x}}
+\underline{
\mathsf{z}}
)
 <= (\underline{
\mathsf{z}}
+\underline{
\mathsf{y}}
)
; subLeqRight
\rhd (\underline{
\mathsf{z}}
+\underline{
\mathsf{y}}
)
 = (\underline{
\mathsf{y}}
+\underline{
\mathsf{z}}
)
\rhd (\underline{
\mathsf{x}}
+\underline{
\mathsf{z}}
)
 <= (\underline{
\mathsf{z}}
+\underline{
\mathsf{y}}
)
\gg (\underline{
\mathsf{x}}
+\underline{
\mathsf{z}}
)
 <= (\underline{
\mathsf{y}}
+\underline{
\mathsf{z}}
)
; leqSubtraction
\rhd (\underline{
\mathsf{x}}
+\underline{
\mathsf{z}}
)
 <= (\underline{
\mathsf{y}}
+\underline{
\mathsf{z}}
)
\gg \underline{
\mathsf{x}}
 <= \underline{
\mathsf{y}}
\rceil 
, 
p_0
, 
\mathsf {c}
)
]$


$
[negativeToLeft(Leq)
\stackrel{
stmt
}{\rightarrow}SystemQ
\vdash 
\forall \underline{
\mathsf{x}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf{y}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf{z}}
\colon \underline{
\mathsf{x}}
 <= (\underline{
\mathsf{y}}
+(-u\underline{
\mathsf{z}}
)
)
\vdash (\underline{
\mathsf{x}}
+\underline{
\mathsf{z}}
)
 <= \underline{
\mathsf{y}}
]$

$
[negativeToLeft(Leq)
\stackrel{
proof
}{\rightarrow}
\lambda 
\mathsf {c}
.
\lambda 
\mathsf{x}
.
{\cal P}( 
\lceil SystemQ
\vdash 
\forall \underline{
\mathsf{x}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf{y}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf{z}}
\colon \underline{
\mathsf{x}}
 <= (\underline{
\mathsf{y}}
+(-u\underline{
\mathsf{z}}
)
)
\vdash leqAddition
\rhd \underline{
\mathsf{x}}
 <= (\underline{
\mathsf{y}}
+(-u\underline{
\mathsf{z}}
)
)
\gg (\underline{
\mathsf{x}}
+\underline{
\mathsf{z}}
)
 <= ((\underline{
\mathsf{y}}
+(-u\underline{
\mathsf{z}}
)
)
+\underline{
\mathsf{z}}
)
; x=x+y-y
\gg \underline{
\mathsf{y}}
 = ((\underline{
\mathsf{y}}
+\underline{
\mathsf{z}}
)
+(-u\underline{
\mathsf{z}}
)
)
; Three2threeTerms
\gg ((\underline{
\mathsf{y}}
+\underline{
\mathsf{z}}
)
+(-u\underline{
\mathsf{z}}
)
)
 = ((\underline{
\mathsf{y}}
+(-u\underline{
\mathsf{z}}
)
)
+\underline{
\mathsf{z}}
)
; eqTransitivity
\rhd \underline{
\mathsf{y}}
 = ((\underline{
\mathsf{y}}
+\underline{
\mathsf{z}}
)
+(-u\underline{
\mathsf{z}}
)
)
\rhd ((\underline{
\mathsf{y}}
+\underline{
\mathsf{z}}
)
+(-u\underline{
\mathsf{z}}
)
)
 = ((\underline{
\mathsf{y}}
+(-u\underline{
\mathsf{z}}
)
)
+\underline{
\mathsf{z}}
)
\gg \underline{
\mathsf{y}}
 = ((\underline{
\mathsf{y}}
+(-u\underline{
\mathsf{z}}
)
)
+\underline{
\mathsf{z}}
)
; eqSymmetry
\rhd \underline{
\mathsf{y}}
 = ((\underline{
\mathsf{y}}
+(-u\underline{
\mathsf{z}}
)
)
+\underline{
\mathsf{z}}
)
\gg ((\underline{
\mathsf{y}}
+(-u\underline{
\mathsf{z}}
)
)
+\underline{
\mathsf{z}}
)
 = \underline{
\mathsf{y}}
; subLeqRight
\rhd ((\underline{
\mathsf{y}}
+(-u\underline{
\mathsf{z}}
)
)
+\underline{
\mathsf{z}}
)
 = \underline{
\mathsf{y}}
\rhd (\underline{
\mathsf{x}}
+\underline{
\mathsf{z}}
)
 <= ((\underline{
\mathsf{y}}
+(-u\underline{
\mathsf{z}}
)
)
+\underline{
\mathsf{z}}
)
\gg (\underline{
\mathsf{x}}
+\underline{
\mathsf{z}}
)
 <= \underline{
\mathsf{y}}
\rceil 
, 
p_0
, 
\mathsf {c}
)
]$

$
[thirdGeq
\stackrel{
stmt
}{\rightarrow}SystemQ
\vdash 
\forall \underline{
\mathsf{x}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf{y}}
\colon \dot{\neg}\,(\underline{
\mathsf{x}}
 <= 
\mathsf {c}
 _{Ex}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\underline{
\mathsf{y}}
 <= 
\mathsf {c}
 _{Ex}
)n
)n
]$

$
[thirdGeq
\stackrel{
proof
}{\rightarrow}
\lambda 
\mathsf {c}
.
\lambda 
\mathsf{x}
.
{\cal P}( 
\lceil SystemQ
\vdash 
\forall \underline{
\mathsf{x}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf{y}}
\colon \underline{
\mathsf{x}}
 <= \underline{
\mathsf{y}}
\vdash leqReflexivity
\gg \underline{
\mathsf{y}}
 <= \underline{
\mathsf{y}}
; JoinConjuncts
\rhd \underline{
\mathsf{x}}
 <= \underline{
\mathsf{y}}
\rhd \underline{
\mathsf{y}}
 <= \underline{
\mathsf{y}}
\gg \dot{\neg}\,(\underline{
\mathsf{x}}
 <= \underline{
\mathsf{y}}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\underline{
\mathsf{y}}
 <= \underline{
\mathsf{y}}
)n
)n
; ExistIntro
\mathop {\char64} 
\mathsf {c}
 _{Ex}
\mathop {\char64} \underline{
\mathsf{y}}
\rhd \dot{\neg}\,(\underline{
\mathsf{x}}
 <= \underline{
\mathsf{y}}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\underline{
\mathsf{y}}
 <= \underline{
\mathsf{y}}
)n
)n
\gg \dot{\neg}\,(\underline{
\mathsf{x}}
 <= 
\mathsf {c}
 _{Ex}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\underline{
\mathsf{y}}
 <= 
\mathsf {c}
 _{Ex}
)n
)n
; 
\forall \underline{
\mathsf{x}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf{y}}
\colon \underline{
\mathsf{y}}
 <= \underline{
\mathsf{x}}
\vdash leqReflexivity
\gg \underline{
\mathsf{x}}
 <= \underline{
\mathsf{x}}
; JoinConjuncts
\rhd \underline{
\mathsf{x}}
 <= \underline{
\mathsf{x}}
\rhd \underline{
\mathsf{y}}
 <= \underline{
\mathsf{x}}
\gg \dot{\neg}\,(\underline{
\mathsf{x}}
 <= \underline{
\mathsf{x}}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\underline{
\mathsf{y}}
 <= \underline{
\mathsf{x}}
)n
)n
; ExistIntro
\mathop {\char64} 
\mathsf {c}
 _{Ex}
\mathop {\char64} \underline{
\mathsf{x}}
\rhd \dot{\neg}\,(\underline{
\mathsf{x}}
 <= \underline{
\mathsf{x}}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\underline{
\mathsf{y}}
 <= \underline{
\mathsf{x}}
)n
)n
\gg \dot{\neg}\,(\underline{
\mathsf{x}}
 <= 
\mathsf {c}
 _{Ex}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\underline{
\mathsf{y}}
 <= 
\mathsf {c}
 _{Ex}
)n
)n
; 
\forall \underline{
\mathsf{x}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf{y}}
\colon Ded
\rhd 
\forall \underline{
\mathsf{x}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf{y}}
\colon \underline{
\mathsf{x}}
 <= \underline{
\mathsf{y}}
\vdash \dot{\neg}\,(\underline{
\mathsf{x}}
 <= 
\mathsf {c}
 _{Ex}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\underline{
\mathsf{y}}
 <= 
\mathsf {c}
 _{Ex}
)n
)n
\gg \underline{
\mathsf{x}}
 <= \underline{
\mathsf{y}}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\underline{
\mathsf{x}}
 <= 
\mathsf {c}
 _{Ex}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\underline{
\mathsf{y}}
 <= 
\mathsf {c}
 _{Ex}
)n
)n
; Ded
\rhd 
\forall \underline{
\mathsf{x}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf{y}}
\colon \underline{
\mathsf{y}}
 <= \underline{
\mathsf{x}}
\vdash \dot{\neg}\,(\underline{
\mathsf{x}}
 <= 
\mathsf {c}
 _{Ex}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\underline{
\mathsf{y}}
 <= 
\mathsf {c}
 _{Ex}
)n
)n
\gg \underline{
\mathsf{y}}
 <= \underline{
\mathsf{x}}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\underline{
\mathsf{x}}
 <= 
\mathsf {c}
 _{Ex}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\underline{
\mathsf{y}}
 <= 
\mathsf {c}
 _{Ex}
)n
)n
; leqTotality
\gg \dot{\neg}\,(\underline{
\mathsf{x}}
 <= \underline{
\mathsf{y}}
)n
\Rightarrow \underline{
\mathsf{y}}
 <= \underline{
\mathsf{x}}
; FromDisjuncts
\rhd \dot{\neg}\,(\underline{
\mathsf{x}}
 <= \underline{
\mathsf{y}}
)n
\Rightarrow \underline{
\mathsf{y}}
 <= \underline{
\mathsf{x}}
\rhd \underline{
\mathsf{x}}
 <= \underline{
\mathsf{y}}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\underline{
\mathsf{x}}
 <= 
\mathsf {c}
 _{Ex}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\underline{
\mathsf{y}}
 <= 
\mathsf {c}
 _{Ex}
)n
)n
\rhd \underline{
\mathsf{y}}
 <= \underline{
\mathsf{x}}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\underline{
\mathsf{x}}
 <= 
\mathsf {c}
 _{Ex}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\underline{
\mathsf{y}}
 <= 
\mathsf {c}
 _{Ex}
)n
)n
\gg \dot{\neg}\,(\underline{
\mathsf{x}}
 <= 
\mathsf {c}
 _{Ex}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\underline{
\mathsf{y}}
 <= 
\mathsf {c}
 _{Ex}
)n
)n
\rceil 
, 
p_0
, 
\mathsf {c}
)
]$

$
[LeqNegated
\stackrel{
stmt
}{\rightarrow}SystemQ
\vdash 
\forall \underline{
\mathsf{x}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf{y}}
\colon \underline{
\mathsf{x}}
 <= \underline{
\mathsf{y}}
\vdash (-u\underline{
\mathsf{y}}
)
 <= (-u\underline{
\mathsf{x}}
)
]$

$
[LeqNegated
\stackrel{
proof
}{\rightarrow}
\lambda 
\mathsf {c}
.
\lambda 
\mathsf{x}
.
{\cal P}( 
\lceil SystemQ
\vdash 
\forall \underline{
\mathsf{x}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf{y}}
\colon \underline{
\mathsf{x}}
 <= \underline{
\mathsf{y}}
\vdash leqAddition
\rhd \underline{
\mathsf{x}}
 <= \underline{
\mathsf{y}}
\gg (\underline{
\mathsf{x}}
+(-u\underline{
\mathsf{x}}
)
)
 <= (\underline{
\mathsf{y}}
+(-u\underline{
\mathsf{x}}
)
)
; Negative
\gg (\underline{
\mathsf{x}}
+(-u\underline{
\mathsf{x}}
)
)
 = 0
; subLeqLeft
\rhd (\underline{
\mathsf{x}}
+(-u\underline{
\mathsf{x}}
)
)
 = 0
\rhd (\underline{
\mathsf{x}}
+(-u\underline{
\mathsf{x}}
)
)
 <= (\underline{
\mathsf{y}}
+(-u\underline{
\mathsf{x}}
)
)
\gg 0
 <= (\underline{
\mathsf{y}}
+(-u\underline{
\mathsf{x}}
)
)
; plusCommutativity
\gg (\underline{
\mathsf{y}}
+(-u\underline{
\mathsf{x}}
)
)
 = ((-u\underline{
\mathsf{x}}
)
+\underline{
\mathsf{y}}
)
; subLeqRight
\rhd (\underline{
\mathsf{y}}
+(-u\underline{
\mathsf{x}}
)
)
 = ((-u\underline{
\mathsf{x}}
)
+\underline{
\mathsf{y}}
)
\rhd 0
 <= (\underline{
\mathsf{y}}
+(-u\underline{
\mathsf{x}}
)
)
\gg 0
 <= ((-u\underline{
\mathsf{x}}
)
+\underline{
\mathsf{y}}
)
; leqAddition
\rhd 0
 <= ((-u\underline{
\mathsf{x}}
)
+\underline{
\mathsf{y}}
)
\gg (0
+(-u\underline{
\mathsf{y}}
)
)
 <= (((-u\underline{
\mathsf{x}}
)
+\underline{
\mathsf{y}}
)
+(-u\underline{
\mathsf{y}}
)
)
; 
\mbox{lemma plus0Left}
\gg (0
+(-u\underline{
\mathsf{y}}
)
)
 = (-u\underline{
\mathsf{y}}
)
; x=x+y-y
\gg (-u\underline{
\mathsf{x}}
)
 = (((-u\underline{
\mathsf{x}}
)
+\underline{
\mathsf{y}}
)
+(-u\underline{
\mathsf{y}}
)
)
; eqSymmetry
\rhd (-u\underline{
\mathsf{x}}
)
 = (((-u\underline{
\mathsf{x}}
)
+\underline{
\mathsf{y}}
)
+(-u\underline{
\mathsf{y}}
)
)
\gg (((-u\underline{
\mathsf{x}}
)
+\underline{
\mathsf{y}}
)
+(-u\underline{
\mathsf{y}}
)
)
 = (-u\underline{
\mathsf{x}}
)
; subLeqLeft
\rhd (0
+(-u\underline{
\mathsf{y}}
)
)
 = (-u\underline{
\mathsf{y}}
)
\rhd (0
+(-u\underline{
\mathsf{y}}
)
)
 <= (((-u\underline{
\mathsf{x}}
)
+\underline{
\mathsf{y}}
)
+(-u\underline{
\mathsf{y}}
)
)
\gg (-u\underline{
\mathsf{y}}
)
 <= (((-u\underline{
\mathsf{x}}
)
+\underline{
\mathsf{y}}
)
+(-u\underline{
\mathsf{y}}
)
)
; subLeqRight
\rhd (((-u\underline{
\mathsf{x}}
)
+\underline{
\mathsf{y}}
)
+(-u\underline{
\mathsf{y}}
)
)
 = (-u\underline{
\mathsf{x}}
)
\rhd (-u\underline{
\mathsf{y}}
)
 <= (((-u\underline{
\mathsf{x}}
)
+\underline{
\mathsf{y}}
)
+(-u\underline{
\mathsf{y}}
)
)
\gg (-u\underline{
\mathsf{y}}
)
 <= (-u\underline{
\mathsf{x}}
)
\rceil 
, 
p_0
, 
\mathsf {c}
)
]$

$
[AddEquations(Leq)
\stackrel{
stmt
}{\rightarrow}SystemQ
\vdash 
\forall \underline{
\mathsf{x}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf{y}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf{z}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf {u}}
\colon \underline{
\mathsf{x}}
 <= \underline{
\mathsf{y}}
\vdash \underline{
\mathsf{z}}
 <= \underline{
\mathsf {u}}
\vdash (\underline{
\mathsf{x}}
+\underline{
\mathsf{z}}
)
 <= (\underline{
\mathsf{y}}
+\underline{
\mathsf {u}}
)
]$

$
[AddEquations(Leq)
\stackrel{
proof
}{\rightarrow}
\lambda 
\mathsf {c}
.
\lambda 
\mathsf{x}
.
{\cal P}( 
\lceil SystemQ
\vdash 
\forall \underline{
\mathsf{x}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf{y}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf{z}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf {u}}
\colon \underline{
\mathsf{x}}
 <= \underline{
\mathsf{y}}
\vdash \underline{
\mathsf{z}}
 <= \underline{
\mathsf {u}}
\vdash leqAddition
\rhd \underline{
\mathsf{x}}
 <= \underline{
\mathsf{y}}
\gg (\underline{
\mathsf{x}}
+\underline{
\mathsf{z}}
)
 <= (\underline{
\mathsf{y}}
+\underline{
\mathsf{z}}
)
; LeqAdditionLeft
\rhd \underline{
\mathsf{z}}
 <= \underline{
\mathsf {u}}
\gg (\underline{
\mathsf{y}}
+\underline{
\mathsf{z}}
)
 <= (\underline{
\mathsf{y}}
+\underline{
\mathsf {u}}
)
; leqTransitivity
\rhd (\underline{
\mathsf{x}}
+\underline{
\mathsf{z}}
)
 <= (\underline{
\mathsf{y}}
+\underline{
\mathsf{z}}
)
\rhd (\underline{
\mathsf{y}}
+\underline{
\mathsf{z}}
)
 <= (\underline{
\mathsf{y}}
+\underline{
\mathsf {u}}
)
\gg (\underline{
\mathsf{x}}
+\underline{
\mathsf{z}}
)
 <= (\underline{
\mathsf{y}}
+\underline{
\mathsf {u}}
)
\rceil 
, 
p_0
, 
\mathsf {c}
)
]$



(*** LESS ***)

$
[LeqNeqLess
\stackrel{
stmt
}{\rightarrow}SystemQ
\vdash 
\forall \underline{
\mathsf{x}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf{y}}
\colon \underline{
\mathsf{x}}
 <= \underline{
\mathsf{y}}
\vdash \dot{\neg}\,(\underline{
\mathsf{x}}
 = \underline{
\mathsf{y}}
)n
\vdash \dot{\neg}\,(\underline{
\mathsf{x}}
 <= \underline{
\mathsf{y}}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\underline{
\mathsf{x}}
 = \underline{
\mathsf{y}}
)n
)n
)n
]$

$
[LeqNeqLess
\stackrel{
proof
}{\rightarrow}
\lambda 
\mathsf {c}
.
\lambda 
\mathsf{x}
.
{\cal P}( 
\lceil SystemQ
\vdash 
\forall \underline{
\mathsf{x}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf{y}}
\colon \underline{
\mathsf{x}}
 <= \underline{
\mathsf{y}}
\vdash \dot{\neg}\,(\underline{
\mathsf{x}}
 = \underline{
\mathsf{y}}
)n
\vdash JoinConjuncts
\rhd \underline{
\mathsf{x}}
 <= \underline{
\mathsf{y}}
\rhd \dot{\neg}\,(\underline{
\mathsf{x}}
 = \underline{
\mathsf{y}}
)n
\gg \dot{\neg}\,(\underline{
\mathsf{x}}
 <= \underline{
\mathsf{y}}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\underline{
\mathsf{x}}
 = \underline{
\mathsf{y}}
)n
)n
)n
; Repetition
\rhd \dot{\neg}\,(\underline{
\mathsf{x}}
 <= \underline{
\mathsf{y}}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\underline{
\mathsf{x}}
 = \underline{
\mathsf{y}}
)n
)n
)n
\gg \dot{\neg}\,(\underline{
\mathsf{x}}
 <= \underline{
\mathsf{y}}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\underline{
\mathsf{x}}
 = \underline{
\mathsf{y}}
)n
)n
)n
\rceil 
, 
p_0
, 
\mathsf {c}
)
]$


$
[LessMultiplication
\stackrel{
stmt
}{\rightarrow}SystemQ
\vdash 
\forall \underline{
\mathsf{x}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf{y}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf{z}}
\colon \dot{\neg}\,(0
 <= \underline{
\mathsf{z}}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(0
 = \underline{
\mathsf{z}}
)n
)n
)n
\vdash \dot{\neg}\,(\underline{
\mathsf{x}}
 <= \underline{
\mathsf{y}}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\underline{
\mathsf{x}}
 = \underline{
\mathsf{y}}
)n
)n
)n
\vdash \dot{\neg}\,((\underline{
\mathsf{x}}
*\underline{
\mathsf{z}}
)
 <= (\underline{
\mathsf{y}}
*\underline{
\mathsf{z}}
)
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,((\underline{
\mathsf{x}}
*\underline{
\mathsf{z}}
)
 = (\underline{
\mathsf{y}}
*\underline{
\mathsf{z}}
)
)n
)n
)n
]$

$
[LessMultiplication
\stackrel{
proof
}{\rightarrow}
\lambda 
\mathsf {c}
.
\lambda 
\mathsf{x}
.
{\cal P}( 
\lceil SystemQ
\vdash 
\forall \underline{
\mathsf{x}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf{y}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf{z}}
\colon \dot{\neg}\,(0
 <= \underline{
\mathsf{z}}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(0
 = \underline{
\mathsf{z}}
)n
)n
)n
\vdash \dot{\neg}\,(\underline{
\mathsf{x}}
 <= \underline{
\mathsf{y}}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\underline{
\mathsf{x}}
 = \underline{
\mathsf{y}}
)n
)n
)n
\vdash LessLeq
\rhd \dot{\neg}\,(\underline{
\mathsf{x}}
 <= \underline{
\mathsf{y}}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\underline{
\mathsf{x}}
 = \underline{
\mathsf{y}}
)n
)n
)n
\gg \underline{
\mathsf{x}}
 <= \underline{
\mathsf{y}}
; LessLeq
\rhd \dot{\neg}\,(0
 <= \underline{
\mathsf{z}}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(0
 = \underline{
\mathsf{z}}
)n
)n
)n
\gg 0
 <= \underline{
\mathsf{z}}
; leqMultiplication
\rhd 0
 <= \underline{
\mathsf{z}}
\rhd \underline{
\mathsf{x}}
 <= \underline{
\mathsf{y}}
\gg (\underline{
\mathsf{x}}
*\underline{
\mathsf{z}}
)
 <= (\underline{
\mathsf{y}}
*\underline{
\mathsf{z}}
)
; LessNeq
\rhd \dot{\neg}\,(\underline{
\mathsf{x}}
 <= \underline{
\mathsf{y}}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\underline{
\mathsf{x}}
 = \underline{
\mathsf{y}}
)n
)n
)n
\gg \dot{\neg}\,(\underline{
\mathsf{x}}
 = \underline{
\mathsf{y}}
)n
; LessNeq
\rhd \dot{\neg}\,(0
 <= \underline{
\mathsf{z}}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(0
 = \underline{
\mathsf{z}}
)n
)n
)n
\gg \dot{\neg}\,(0
 = \underline{
\mathsf{z}}
)n
; NeqSymmetry
\rhd \dot{\neg}\,(0
 = \underline{
\mathsf{z}}
)n
\gg \dot{\neg}\,(\underline{
\mathsf{z}}
 = 0
)n
; NeqMultiplication
\rhd \dot{\neg}\,(\underline{
\mathsf{z}}
 = 0
)n
\rhd \dot{\neg}\,(\underline{
\mathsf{x}}
 = \underline{
\mathsf{y}}
)n
\gg \dot{\neg}\,((\underline{
\mathsf{x}}
*\underline{
\mathsf{z}}
)
 = (\underline{
\mathsf{y}}
*\underline{
\mathsf{z}}
)
)n
; LeqNeqLess
\rhd (\underline{
\mathsf{x}}
*\underline{
\mathsf{z}}
)
 <= (\underline{
\mathsf{y}}
*\underline{
\mathsf{z}}
)
\rhd \dot{\neg}\,((\underline{
\mathsf{x}}
*\underline{
\mathsf{z}}
)
 = (\underline{
\mathsf{y}}
*\underline{
\mathsf{z}}
)
)n
\gg \dot{\neg}\,((\underline{
\mathsf{x}}
*\underline{
\mathsf{z}}
)
 <= (\underline{
\mathsf{y}}
*\underline{
\mathsf{z}}
)
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,((\underline{
\mathsf{x}}
*\underline{
\mathsf{z}}
)
 = (\underline{
\mathsf{y}}
*\underline{
\mathsf{z}}
)
)n
)n
)n
\rceil 
, 
p_0
, 
\mathsf {c}
)
]$

$
[LessMultiplicationLeft
\stackrel{
stmt
}{\rightarrow}SystemQ
\vdash 
\forall \underline{
\mathsf{x}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf{y}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf{z}}
\colon \dot{\neg}\,(0
 <= \underline{
\mathsf{z}}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(0
 = \underline{
\mathsf{z}}
)n
)n
)n
\vdash \dot{\neg}\,(\underline{
\mathsf{x}}
 <= \underline{
\mathsf{y}}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\underline{
\mathsf{x}}
 = \underline{
\mathsf{y}}
)n
)n
)n
\vdash \dot{\neg}\,((\underline{
\mathsf{z}}
*\underline{
\mathsf{x}}
)
 <= (\underline{
\mathsf{z}}
*\underline{
\mathsf{y}}
)
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,((\underline{
\mathsf{z}}
*\underline{
\mathsf{x}}
)
 = (\underline{
\mathsf{z}}
*\underline{
\mathsf{y}}
)
)n
)n
)n
]$

$
[LessMultiplicationLeft
\stackrel{
proof
}{\rightarrow}
\lambda 
\mathsf {c}
.
\lambda 
\mathsf{x}
.
{\cal P}( 
\lceil SystemQ
\vdash 
\forall \underline{
\mathsf{x}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf{y}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf{z}}
\colon \dot{\neg}\,(0
 <= \underline{
\mathsf{z}}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(0
 = \underline{
\mathsf{z}}
)n
)n
)n
\vdash \dot{\neg}\,(\underline{
\mathsf{x}}
 <= \underline{
\mathsf{y}}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\underline{
\mathsf{x}}
 = \underline{
\mathsf{y}}
)n
)n
)n
\vdash LessMultiplication
\rhd \dot{\neg}\,(0
 <= \underline{
\mathsf{z}}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(0
 = \underline{
\mathsf{z}}
)n
)n
)n
\rhd \dot{\neg}\,(\underline{
\mathsf{x}}
 <= \underline{
\mathsf{y}}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\underline{
\mathsf{x}}
 = \underline{
\mathsf{y}}
)n
)n
)n
\gg \dot{\neg}\,((\underline{
\mathsf{x}}
*\underline{
\mathsf{z}}
)
 <= (\underline{
\mathsf{y}}
*\underline{
\mathsf{z}}
)
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,((\underline{
\mathsf{x}}
*\underline{
\mathsf{z}}
)
 = (\underline{
\mathsf{y}}
*\underline{
\mathsf{z}}
)
)n
)n
)n
; timesCommutativity
\gg (\underline{
\mathsf{x}}
*\underline{
\mathsf{z}}
)
 = (\underline{
\mathsf{z}}
*\underline{
\mathsf{x}}
)
; timesCommutativity
\gg (\underline{
\mathsf{y}}
*\underline{
\mathsf{z}}
)
 = (\underline{
\mathsf{z}}
*\underline{
\mathsf{y}}
)
; SubLessLeft
\rhd (\underline{
\mathsf{x}}
*\underline{
\mathsf{z}}
)
 = (\underline{
\mathsf{z}}
*\underline{
\mathsf{x}}
)
\rhd \dot{\neg}\,((\underline{
\mathsf{x}}
*\underline{
\mathsf{z}}
)
 <= (\underline{
\mathsf{y}}
*\underline{
\mathsf{z}}
)
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,((\underline{
\mathsf{x}}
*\underline{
\mathsf{z}}
)
 = (\underline{
\mathsf{y}}
*\underline{
\mathsf{z}}
)
)n
)n
)n
\gg \dot{\neg}\,((\underline{
\mathsf{z}}
*\underline{
\mathsf{x}}
)
 <= (\underline{
\mathsf{y}}
*\underline{
\mathsf{z}}
)
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,((\underline{
\mathsf{z}}
*\underline{
\mathsf{x}}
)
 = (\underline{
\mathsf{y}}
*\underline{
\mathsf{z}}
)
)n
)n
)n
; SubLessRight
\rhd (\underline{
\mathsf{y}}
*\underline{
\mathsf{z}}
)
 = (\underline{
\mathsf{z}}
*\underline{
\mathsf{y}}
)
\rhd \dot{\neg}\,((\underline{
\mathsf{z}}
*\underline{
\mathsf{x}}
)
 <= (\underline{
\mathsf{y}}
*\underline{
\mathsf{z}}
)
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,((\underline{
\mathsf{z}}
*\underline{
\mathsf{x}}
)
 = (\underline{
\mathsf{y}}
*\underline{
\mathsf{z}}
)
)n
)n
)n
\gg \dot{\neg}\,((\underline{
\mathsf{z}}
*\underline{
\mathsf{x}}
)
 <= (\underline{
\mathsf{z}}
*\underline{
\mathsf{y}}
)
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,((\underline{
\mathsf{z}}
*\underline{
\mathsf{x}}
)
 = (\underline{
\mathsf{z}}
*\underline{
\mathsf{y}}
)
)n
)n
)n
\rceil 
, 
p_0
, 
\mathsf {c}
)
]$

$
[LessDivision
\stackrel{
stmt
}{\rightarrow}SystemQ
\vdash 
\forall \underline{
\mathsf{x}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf{y}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf{z}}
\colon 0
 <= \underline{
\mathsf{z}}
\vdash \dot{\neg}\,((\underline{
\mathsf{x}}
*\underline{
\mathsf{z}}
)
 <= (\underline{
\mathsf{y}}
*\underline{
\mathsf{z}}
)
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,((\underline{
\mathsf{x}}
*\underline{
\mathsf{z}}
)
 = (\underline{
\mathsf{y}}
*\underline{
\mathsf{z}}
)
)n
)n
)n
\vdash \dot{\neg}\,(\underline{
\mathsf{x}}
 <= \underline{
\mathsf{y}}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\underline{
\mathsf{x}}
 = \underline{
\mathsf{y}}
)n
)n
)n
]$



$
[LessDivision
\stackrel{
proof
}{\rightarrow}
\lambda 
\mathsf {c}
.
\lambda 
\mathsf{x}
.
{\cal P}( 
\lceil SystemQ
\vdash 
\forall \underline{
\mathsf{x}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf{y}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf{z}}
\colon 0
 <= \underline{
\mathsf{z}}
\vdash \dot{\neg}\,((\underline{
\mathsf{x}}
*\underline{
\mathsf{z}}
)
 <= (\underline{
\mathsf{y}}
*\underline{
\mathsf{z}}
)
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,((\underline{
\mathsf{x}}
*\underline{
\mathsf{z}}
)
 = (\underline{
\mathsf{y}}
*\underline{
\mathsf{z}}
)
)n
)n
)n
\vdash FromLess
\rhd \dot{\neg}\,((\underline{
\mathsf{x}}
*\underline{
\mathsf{z}}
)
 <= (\underline{
\mathsf{y}}
*\underline{
\mathsf{z}}
)
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,((\underline{
\mathsf{x}}
*\underline{
\mathsf{z}}
)
 = (\underline{
\mathsf{y}}
*\underline{
\mathsf{z}}
)
)n
)n
)n
\gg \dot{\neg}\,((\underline{
\mathsf{y}}
*\underline{
\mathsf{z}}
)
 <= (\underline{
\mathsf{x}}
*\underline{
\mathsf{z}}
)
)n
; leqMultiplicationAxiom
\gg 0
 <= \underline{
\mathsf{z}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf{y}}
 <= \underline{
\mathsf{x}}
\Rightarrow (\underline{
\mathsf{y}}
*\underline{
\mathsf{z}}
)
 <= (\underline{
\mathsf{x}}
*\underline{
\mathsf{z}}
)
; MP
\rhd 0
 <= \underline{
\mathsf{z}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf{y}}
 <= \underline{
\mathsf{x}}
\Rightarrow (\underline{
\mathsf{y}}
*\underline{
\mathsf{z}}
)
 <= (\underline{
\mathsf{x}}
*\underline{
\mathsf{z}}
)
\rhd 0
 <= \underline{
\mathsf{z}}
\gg \underline{
\mathsf{y}}
 <= \underline{
\mathsf{x}}
\Rightarrow (\underline{
\mathsf{y}}
*\underline{
\mathsf{z}}
)
 <= (\underline{
\mathsf{x}}
*\underline{
\mathsf{z}}
)
; Contrapositive
\rhd \underline{
\mathsf{y}}
 <= \underline{
\mathsf{x}}
\Rightarrow (\underline{
\mathsf{y}}
*\underline{
\mathsf{z}}
)
 <= (\underline{
\mathsf{x}}
*\underline{
\mathsf{z}}
)
\gg \dot{\neg}\,((\underline{
\mathsf{y}}
*\underline{
\mathsf{z}}
)
 <= (\underline{
\mathsf{x}}
*\underline{
\mathsf{z}}
)
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\underline{
\mathsf{y}}
 <= \underline{
\mathsf{x}}
)n
; MP
\rhd \dot{\neg}\,((\underline{
\mathsf{y}}
*\underline{
\mathsf{z}}
)
 <= (\underline{
\mathsf{x}}
*\underline{
\mathsf{z}}
)
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\underline{
\mathsf{y}}
 <= \underline{
\mathsf{x}}
)n
\rhd \dot{\neg}\,((\underline{
\mathsf{y}}
*\underline{
\mathsf{z}}
)
 <= (\underline{
\mathsf{x}}
*\underline{
\mathsf{z}}
)
)n
\gg \dot{\neg}\,(\underline{
\mathsf{y}}
 <= \underline{
\mathsf{x}}
)n
; ToLess
\rhd \dot{\neg}\,(\underline{
\mathsf{y}}
 <= \underline{
\mathsf{x}}
)n
\gg \dot{\neg}\,(\underline{
\mathsf{x}}
 <= \underline{
\mathsf{y}}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\underline{
\mathsf{x}}
 = \underline{
\mathsf{y}}
)n
)n
)n
\rceil 
, 
p_0
, 
\mathsf {c}
)
]$





$
[LessLeqTransitivity
\stackrel{
stmt
}{\rightarrow}SystemQ
\vdash 
\forall \underline{
\mathsf{x}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf{y}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf{z}}
\colon \dot{\neg}\,(\underline{
\mathsf{x}}
 <= \underline{
\mathsf{y}}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\underline{
\mathsf{x}}
 = \underline{
\mathsf{y}}
)n
)n
)n
\vdash \underline{
\mathsf{y}}
 <= \underline{
\mathsf{z}}
\vdash \dot{\neg}\,(\underline{
\mathsf{x}}
 <= \underline{
\mathsf{z}}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\underline{
\mathsf{x}}
 = \underline{
\mathsf{z}}
)n
)n
)n
]$

$
[LessLeqTransitivity
\stackrel{
proof
}{\rightarrow}
\lambda 
\mathsf {c}
.
\lambda 
\mathsf{x}
.
{\cal P}( 
\lceil SystemQ
\vdash 
\forall \underline{
\mathsf{x}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf{y}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf{z}}
\colon \dot{\neg}\,(\underline{
\mathsf{x}}
 <= \underline{
\mathsf{y}}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\underline{
\mathsf{x}}
 = \underline{
\mathsf{y}}
)n
)n
)n
\vdash \underline{
\mathsf{y}}
 <= \underline{
\mathsf{z}}
\vdash \underline{
\mathsf{z}}
 = \underline{
\mathsf{x}}
\vdash FirstConjunct
\rhd \dot{\neg}\,(\underline{
\mathsf{x}}
 <= \underline{
\mathsf{y}}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\underline{
\mathsf{x}}
 = \underline{
\mathsf{y}}
)n
)n
)n
\gg \underline{
\mathsf{x}}
 <= \underline{
\mathsf{y}}
; SecondConjunct
\rhd \dot{\neg}\,(\underline{
\mathsf{x}}
 <= \underline{
\mathsf{y}}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\underline{
\mathsf{x}}
 = \underline{
\mathsf{y}}
)n
)n
)n
\gg \dot{\neg}\,(\underline{
\mathsf{x}}
 = \underline{
\mathsf{y}}
)n
; subLeqRight
\rhd \underline{
\mathsf{z}}
 = \underline{
\mathsf{x}}
\rhd \underline{
\mathsf{y}}
 <= \underline{
\mathsf{z}}
\gg \underline{
\mathsf{y}}
 <= \underline{
\mathsf{x}}
; leqAntisymmetry
\rhd \underline{
\mathsf{x}}
 <= \underline{
\mathsf{y}}
\rhd \underline{
\mathsf{y}}
 <= \underline{
\mathsf{x}}
\gg \underline{
\mathsf{x}}
 = \underline{
\mathsf{y}}
; FromContradiction
\rhd \underline{
\mathsf{x}}
 = \underline{
\mathsf{y}}
\rhd \dot{\neg}\,(\underline{
\mathsf{x}}
 = \underline{
\mathsf{y}}
)n
\gg \dot{\neg}\,(\underline{
\mathsf{z}}
 = \underline{
\mathsf{x}}
)n
; 
\forall \underline{
\mathsf{x}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf{y}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf{z}}
\colon Ded
\rhd 
\forall \underline{
\mathsf{x}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf{y}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf{z}}
\colon \dot{\neg}\,(\underline{
\mathsf{x}}
 <= \underline{
\mathsf{y}}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\underline{
\mathsf{x}}
 = \underline{
\mathsf{y}}
)n
)n
)n
\vdash \underline{
\mathsf{y}}
 <= \underline{
\mathsf{z}}
\vdash \underline{
\mathsf{z}}
 = \underline{
\mathsf{x}}
\vdash \dot{\neg}\,(\underline{
\mathsf{z}}
 = \underline{
\mathsf{x}}
)n
\gg \dot{\neg}\,(\underline{
\mathsf{x}}
 <= \underline{
\mathsf{y}}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\underline{
\mathsf{x}}
 = \underline{
\mathsf{y}}
)n
)n
)n
\Rightarrow \underline{
\mathsf{y}}
 <= \underline{
\mathsf{z}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf{z}}
 = \underline{
\mathsf{x}}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\underline{
\mathsf{z}}
 = \underline{
\mathsf{x}}
)n
; \dot{\neg}\,(\underline{
\mathsf{x}}
 <= \underline{
\mathsf{y}}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\underline{
\mathsf{x}}
 = \underline{
\mathsf{y}}
)n
)n
)n
\vdash \underline{
\mathsf{y}}
 <= \underline{
\mathsf{z}}
\vdash MP2
\rhd \dot{\neg}\,(\underline{
\mathsf{x}}
 <= \underline{
\mathsf{y}}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\underline{
\mathsf{x}}
 = \underline{
\mathsf{y}}
)n
)n
)n
\Rightarrow \underline{
\mathsf{y}}
 <= \underline{
\mathsf{z}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf{z}}
 = \underline{
\mathsf{x}}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\underline{
\mathsf{z}}
 = \underline{
\mathsf{x}}
)n
\rhd \dot{\neg}\,(\underline{
\mathsf{x}}
 <= \underline{
\mathsf{y}}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\underline{
\mathsf{x}}
 = \underline{
\mathsf{y}}
)n
)n
)n
\rhd \underline{
\mathsf{y}}
 <= \underline{
\mathsf{z}}
\gg \underline{
\mathsf{z}}
 = \underline{
\mathsf{x}}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\underline{
\mathsf{z}}
 = \underline{
\mathsf{x}}
)n
; 
\mbox{prop lemma imply negation}
\rhd \underline{
\mathsf{z}}
 = \underline{
\mathsf{x}}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\underline{
\mathsf{z}}
 = \underline{
\mathsf{x}}
)n
\gg \dot{\neg}\,(\underline{
\mathsf{z}}
 = \underline{
\mathsf{x}}
)n
; NeqSymmetry
\rhd \dot{\neg}\,(\underline{
\mathsf{z}}
 = \underline{
\mathsf{x}}
)n
\gg \dot{\neg}\,(\underline{
\mathsf{x}}
 = \underline{
\mathsf{z}}
)n
; FirstConjunct
\rhd \dot{\neg}\,(\underline{
\mathsf{x}}
 <= \underline{
\mathsf{y}}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\underline{
\mathsf{x}}
 = \underline{
\mathsf{y}}
)n
)n
)n
\gg \underline{
\mathsf{x}}
 <= \underline{
\mathsf{y}}
; leqTransitivity
\rhd \underline{
\mathsf{x}}
 <= \underline{
\mathsf{y}}
\rhd \underline{
\mathsf{y}}
 <= \underline{
\mathsf{z}}
\gg \underline{
\mathsf{x}}
 <= \underline{
\mathsf{z}}
; JoinConjuncts
\rhd \underline{
\mathsf{x}}
 <= \underline{
\mathsf{z}}
\rhd \dot{\neg}\,(\underline{
\mathsf{x}}
 = \underline{
\mathsf{z}}
)n
\gg \dot{\neg}\,(\underline{
\mathsf{x}}
 <= \underline{
\mathsf{z}}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\underline{
\mathsf{x}}
 = \underline{
\mathsf{z}}
)n
)n
)n
\rceil 
, 
p_0
, 
\mathsf {c}
)
]$

$
[LessTransitivity
\stackrel{
stmt
}{\rightarrow}SystemQ
\vdash 
\forall \underline{
\mathsf{x}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf{y}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf{z}}
\colon \dot{\neg}\,(\underline{
\mathsf{x}}
 <= \underline{
\mathsf{y}}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\underline{
\mathsf{x}}
 = \underline{
\mathsf{y}}
)n
)n
)n
\vdash \dot{\neg}\,(\underline{
\mathsf{y}}
 <= \underline{
\mathsf{z}}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\underline{
\mathsf{y}}
 = \underline{
\mathsf{z}}
)n
)n
)n
\vdash \dot{\neg}\,(\underline{
\mathsf{x}}
 <= \underline{
\mathsf{z}}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\underline{
\mathsf{x}}
 = \underline{
\mathsf{z}}
)n
)n
)n
]$

$
[LessTransitivity
\stackrel{
proof
}{\rightarrow}
\lambda 
\mathsf {c}
.
\lambda 
\mathsf{x}
.
{\cal P}( 
\lceil SystemQ
\vdash 
\forall \underline{
\mathsf{x}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf{y}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf{z}}
\colon \dot{\neg}\,(\underline{
\mathsf{x}}
 <= \underline{
\mathsf{y}}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\underline{
\mathsf{x}}
 = \underline{
\mathsf{y}}
)n
)n
)n
\vdash \dot{\neg}\,(\underline{
\mathsf{y}}
 <= \underline{
\mathsf{z}}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\underline{
\mathsf{y}}
 = \underline{
\mathsf{z}}
)n
)n
)n
\vdash FirstConjunct
\rhd \dot{\neg}\,(\underline{
\mathsf{y}}
 <= \underline{
\mathsf{z}}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\underline{
\mathsf{y}}
 = \underline{
\mathsf{z}}
)n
)n
)n
\gg \underline{
\mathsf{y}}
 <= \underline{
\mathsf{z}}
; LessLeqTransitivity
\rhd \dot{\neg}\,(\underline{
\mathsf{x}}
 <= \underline{
\mathsf{y}}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\underline{
\mathsf{x}}
 = \underline{
\mathsf{y}}
)n
)n
)n
\rhd \underline{
\mathsf{y}}
 <= \underline{
\mathsf{z}}
\gg \dot{\neg}\,(\underline{
\mathsf{x}}
 <= \underline{
\mathsf{z}}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\underline{
\mathsf{x}}
 = \underline{
\mathsf{z}}
)n
)n
)n
\rceil 
, 
p_0
, 
\mathsf {c}
)
]$


$
[AddEquations(Less)
\stackrel{
stmt
}{\rightarrow}SystemQ
\vdash 
\forall \underline{
\mathsf{x}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf{y}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf{z}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf {u}}
\colon \dot{\neg}\,(\underline{
\mathsf{x}}
 <= \underline{
\mathsf{y}}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\underline{
\mathsf{x}}
 = \underline{
\mathsf{y}}
)n
)n
)n
\vdash \dot{\neg}\,(\underline{
\mathsf{z}}
 <= \underline{
\mathsf {u}}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\underline{
\mathsf{z}}
 = \underline{
\mathsf {u}}
)n
)n
)n
\vdash \dot{\neg}\,((\underline{
\mathsf{x}}
+\underline{
\mathsf{z}}
)
 <= (\underline{
\mathsf{y}}
+\underline{
\mathsf {u}}
)
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,((\underline{
\mathsf{x}}
+\underline{
\mathsf{z}}
)
 = (\underline{
\mathsf{y}}
+\underline{
\mathsf {u}}
)
)n
)n
)n
]$

$
[AddEquations(Less)
\stackrel{
proof
}{\rightarrow}
\lambda 
\mathsf {c}
.
\lambda 
\mathsf{x}
.
{\cal P}( 
\lceil SystemQ
\vdash 
\forall \underline{
\mathsf{x}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf{y}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf{z}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf {u}}
\colon \dot{\neg}\,(\underline{
\mathsf{x}}
 <= \underline{
\mathsf{y}}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\underline{
\mathsf{x}}
 = \underline{
\mathsf{y}}
)n
)n
)n
\vdash \dot{\neg}\,(\underline{
\mathsf{z}}
 <= \underline{
\mathsf {u}}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\underline{
\mathsf{z}}
 = \underline{
\mathsf {u}}
)n
)n
)n
\vdash LessAddition
\rhd \dot{\neg}\,(\underline{
\mathsf{x}}
 <= \underline{
\mathsf{y}}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\underline{
\mathsf{x}}
 = \underline{
\mathsf{y}}
)n
)n
)n
\gg \dot{\neg}\,((\underline{
\mathsf{x}}
+\underline{
\mathsf{z}}
)
 <= (\underline{
\mathsf{y}}
+\underline{
\mathsf{z}}
)
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,((\underline{
\mathsf{x}}
+\underline{
\mathsf{z}}
)
 = (\underline{
\mathsf{y}}
+\underline{
\mathsf{z}}
)
)n
)n
)n
; LessAdditionLeft
\rhd \dot{\neg}\,(\underline{
\mathsf{z}}
 <= \underline{
\mathsf {u}}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\underline{
\mathsf{z}}
 = \underline{
\mathsf {u}}
)n
)n
)n
\gg \dot{\neg}\,((\underline{
\mathsf{y}}
+\underline{
\mathsf{z}}
)
 <= (\underline{
\mathsf{y}}
+\underline{
\mathsf {u}}
)
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,((\underline{
\mathsf{y}}
+\underline{
\mathsf{z}}
)
 = (\underline{
\mathsf{y}}
+\underline{
\mathsf {u}}
)
)n
)n
)n
; LessTransitivity
\rhd \dot{\neg}\,((\underline{
\mathsf{x}}
+\underline{
\mathsf{z}}
)
 <= (\underline{
\mathsf{y}}
+\underline{
\mathsf{z}}
)
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,((\underline{
\mathsf{x}}
+\underline{
\mathsf{z}}
)
 = (\underline{
\mathsf{y}}
+\underline{
\mathsf{z}}
)
)n
)n
)n
\rhd \dot{\neg}\,((\underline{
\mathsf{y}}
+\underline{
\mathsf{z}}
)
 <= (\underline{
\mathsf{y}}
+\underline{
\mathsf {u}}
)
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,((\underline{
\mathsf{y}}
+\underline{
\mathsf{z}}
)
 = (\underline{
\mathsf{y}}
+\underline{
\mathsf {u}}
)
)n
)n
)n
\gg \dot{\neg}\,((\underline{
\mathsf{x}}
+\underline{
\mathsf{z}}
)
 <= (\underline{
\mathsf{y}}
+\underline{
\mathsf {u}}
)
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,((\underline{
\mathsf{x}}
+\underline{
\mathsf{z}}
)
 = (\underline{
\mathsf{y}}
+\underline{
\mathsf {u}}
)
)n
)n
)n
\rceil 
, 
p_0
, 
\mathsf {c}
)
]$

$
[LessTotality
\stackrel{
stmt
}{\rightarrow}SystemQ
\vdash 
\forall \underline{
\mathsf{x}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf{y}}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\underline{
\mathsf{x}}
 <= \underline{
\mathsf{y}}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\underline{
\mathsf{x}}
 = \underline{
\mathsf{y}}
)n
)n
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\underline{
\mathsf{x}}
 = \underline{
\mathsf{y}}
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\underline{
\mathsf{y}}
 <= \underline{
\mathsf{x}}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\underline{
\mathsf{y}}
 = \underline{
\mathsf{x}}
)n
)n
)n
]$

$
[LessTotality
\stackrel{
proof
}{\rightarrow}
\lambda 
\mathsf {c}
.
\lambda 
\mathsf{x}
.
{\cal P}( 
\lceil SystemQ
\vdash 
\forall \underline{
\mathsf{x}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf{y}}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\underline{
\mathsf{x}}
 <= \underline{
\mathsf{y}}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\underline{
\mathsf{x}}
 = \underline{
\mathsf{y}}
)n
)n
)n
)n
\vdash \dot{\neg}\,(\underline{
\mathsf{x}}
 = \underline{
\mathsf{y}}
)n
\vdash fromNotLess
\rhd \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\underline{
\mathsf{x}}
 <= \underline{
\mathsf{y}}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\underline{
\mathsf{x}}
 = \underline{
\mathsf{y}}
)n
)n
)n
)n
\gg \underline{
\mathsf{y}}
 <= \underline{
\mathsf{x}}
; NeqSymmetry
\rhd \dot{\neg}\,(\underline{
\mathsf{x}}
 = \underline{
\mathsf{y}}
)n
\gg \dot{\neg}\,(\underline{
\mathsf{y}}
 = \underline{
\mathsf{x}}
)n
; LeqNeqLess
\rhd \underline{
\mathsf{y}}
 <= \underline{
\mathsf{x}}
\rhd \dot{\neg}\,(\underline{
\mathsf{y}}
 = \underline{
\mathsf{x}}
)n
\gg \dot{\neg}\,(\underline{
\mathsf{y}}
 <= \underline{
\mathsf{x}}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\underline{
\mathsf{y}}
 = \underline{
\mathsf{x}}
)n
)n
)n
; 
\forall \underline{
\mathsf{x}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf{y}}
\colon Ded
\rhd 
\forall \underline{
\mathsf{x}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf{y}}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\underline{
\mathsf{x}}
 <= \underline{
\mathsf{y}}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\underline{
\mathsf{x}}
 = \underline{
\mathsf{y}}
)n
)n
)n
)n
\vdash \dot{\neg}\,(\underline{
\mathsf{x}}
 = \underline{
\mathsf{y}}
)n
\vdash \dot{\neg}\,(\underline{
\mathsf{y}}
 <= \underline{
\mathsf{x}}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\underline{
\mathsf{y}}
 = \underline{
\mathsf{x}}
)n
)n
)n
\gg \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\underline{
\mathsf{x}}
 <= \underline{
\mathsf{y}}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\underline{
\mathsf{x}}
 = \underline{
\mathsf{y}}
)n
)n
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\underline{
\mathsf{x}}
 = \underline{
\mathsf{y}}
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\underline{
\mathsf{y}}
 <= \underline{
\mathsf{x}}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\underline{
\mathsf{y}}
 = \underline{
\mathsf{x}}
)n
)n
)n
; Repetition
\rhd \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\underline{
\mathsf{x}}
 <= \underline{
\mathsf{y}}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\underline{
\mathsf{x}}
 = \underline{
\mathsf{y}}
)n
)n
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\underline{
\mathsf{x}}
 = \underline{
\mathsf{y}}
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\underline{
\mathsf{y}}
 <= \underline{
\mathsf{x}}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\underline{
\mathsf{y}}
 = \underline{
\mathsf{x}}
)n
)n
)n
\gg \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\underline{
\mathsf{x}}
 <= \underline{
\mathsf{y}}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\underline{
\mathsf{x}}
 = \underline{
\mathsf{y}}
)n
)n
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\underline{
\mathsf{x}}
 = \underline{
\mathsf{y}}
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\underline{
\mathsf{y}}
 <= \underline{
\mathsf{x}}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\underline{
\mathsf{y}}
 = \underline{
\mathsf{x}}
)n
)n
)n
\rceil 
, 
p_0
, 
\mathsf {c}
)
]$



$
[NegativeLessPositive
\stackrel{
stmt
}{\rightarrow}SystemQ
\vdash 
\forall \underline{
\mathsf{x}}
\colon \dot{\neg}\,(0
 <= \underline{
\mathsf{x}}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(0
 = \underline{
\mathsf{x}}
)n
)n
)n
\vdash \dot{\neg}\,((-u\underline{
\mathsf{x}}
)
 <= \underline{
\mathsf{x}}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,((-u\underline{
\mathsf{x}}
)
 = \underline{
\mathsf{x}}
)n
)n
)n
]$

$
[NegativeLessPositive
\stackrel{
proof
}{\rightarrow}
\lambda 
\mathsf {c}
.
\lambda 
\mathsf{x}
.
{\cal P}( 
\lceil SystemQ
\vdash 
\forall \underline{
\mathsf{x}}
\colon \dot{\neg}\,(0
 <= \underline{
\mathsf{x}}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(0
 = \underline{
\mathsf{x}}
)n
)n
)n
\vdash FirstConjunct
\rhd \dot{\neg}\,(0
 <= \underline{
\mathsf{x}}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(0
 = \underline{
\mathsf{x}}
)n
)n
)n
\gg 0
 <= \underline{
\mathsf{x}}
; leqAddition
\rhd 0
 <= \underline{
\mathsf{x}}
\gg (0
+(-u\underline{
\mathsf{x}}
)
)
 <= (\underline{
\mathsf{x}}
+(-u\underline{
\mathsf{x}}
)
)
; 
\mbox{lemma plus0Left}
\gg (0
+(-u\underline{
\mathsf{x}}
)
)
 = (-u\underline{
\mathsf{x}}
)
; Negative
\gg (\underline{
\mathsf{x}}
+(-u\underline{
\mathsf{x}}
)
)
 = 0
; subLeqLeft
\rhd (0
+(-u\underline{
\mathsf{x}}
)
)
 = (-u\underline{
\mathsf{x}}
)
\rhd (0
+(-u\underline{
\mathsf{x}}
)
)
 <= (\underline{
\mathsf{x}}
+(-u\underline{
\mathsf{x}}
)
)
\gg (-u\underline{
\mathsf{x}}
)
 <= (\underline{
\mathsf{x}}
+(-u\underline{
\mathsf{x}}
)
)
; subLeqRight
\rhd (\underline{
\mathsf{x}}
+(-u\underline{
\mathsf{x}}
)
)
 = 0
\rhd (-u\underline{
\mathsf{x}}
)
 <= (\underline{
\mathsf{x}}
+(-u\underline{
\mathsf{x}}
)
)
\gg (-u\underline{
\mathsf{x}}
)
 <= 0
; leqLessTransitivity
\rhd (-u\underline{
\mathsf{x}}
)
 <= 0
\rhd \dot{\neg}\,(0
 <= \underline{
\mathsf{x}}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(0
 = \underline{
\mathsf{x}}
)n
)n
)n
\gg \dot{\neg}\,((-u\underline{
\mathsf{x}}
)
 <= \underline{
\mathsf{x}}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,((-u\underline{
\mathsf{x}}
)
 = \underline{
\mathsf{x}}
)n
)n
)n
\rceil 
, 
p_0
, 
\mathsf {c}
)
]$


$
[LessNegated
\stackrel{
stmt
}{\rightarrow}SystemQ
\vdash 
\forall \underline{
\mathsf{x}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf{y}}
\colon \dot{\neg}\,(\underline{
\mathsf{x}}
 <= \underline{
\mathsf{y}}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\underline{
\mathsf{x}}
 = \underline{
\mathsf{y}}
)n
)n
)n
\vdash \dot{\neg}\,((-u\underline{
\mathsf{y}}
)
 <= (-u\underline{
\mathsf{x}}
)
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,((-u\underline{
\mathsf{y}}
)
 = (-u\underline{
\mathsf{x}}
)
)n
)n
)n
]$


$
[LessNegated
\stackrel{
proof
}{\rightarrow}
\lambda 
\mathsf {c}
.
\lambda 
\mathsf{x}
.
{\cal P}( 
\lceil SystemQ
\vdash 
\forall \underline{
\mathsf{x}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf{y}}
\colon \dot{\neg}\,(\underline{
\mathsf{x}}
 <= \underline{
\mathsf{y}}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\underline{
\mathsf{x}}
 = \underline{
\mathsf{y}}
)n
)n
)n
\vdash LessLeq
\rhd \dot{\neg}\,(\underline{
\mathsf{x}}
 <= \underline{
\mathsf{y}}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\underline{
\mathsf{x}}
 = \underline{
\mathsf{y}}
)n
)n
)n
\gg \underline{
\mathsf{x}}
 <= \underline{
\mathsf{y}}
; LeqNegated
\rhd \underline{
\mathsf{x}}
 <= \underline{
\mathsf{y}}
\gg (-u\underline{
\mathsf{y}}
)
 <= (-u\underline{
\mathsf{x}}
)
; LessNeq
\rhd \dot{\neg}\,(\underline{
\mathsf{x}}
 <= \underline{
\mathsf{y}}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\underline{
\mathsf{x}}
 = \underline{
\mathsf{y}}
)n
)n
)n
\gg \dot{\neg}\,(\underline{
\mathsf{x}}
 = \underline{
\mathsf{y}}
)n
; NeqNegated
\rhd \dot{\neg}\,(\underline{
\mathsf{x}}
 = \underline{
\mathsf{y}}
)n
\gg \dot{\neg}\,((-u\underline{
\mathsf{x}}
)
 = (-u\underline{
\mathsf{y}}
)
)n
; NeqSymmetry
\rhd \dot{\neg}\,((-u\underline{
\mathsf{x}}
)
 = (-u\underline{
\mathsf{y}}
)
)n
\gg \dot{\neg}\,((-u\underline{
\mathsf{y}}
)
 = (-u\underline{
\mathsf{x}}
)
)n
; LeqNeqLess
\rhd (-u\underline{
\mathsf{y}}
)
 <= (-u\underline{
\mathsf{x}}
)
\rhd \dot{\neg}\,((-u\underline{
\mathsf{y}}
)
 = (-u\underline{
\mathsf{x}}
)
)n
\gg \dot{\neg}\,((-u\underline{
\mathsf{y}}
)
 <= (-u\underline{
\mathsf{x}}
)
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,((-u\underline{
\mathsf{y}}
)
 = (-u\underline{
\mathsf{x}}
)
)n
)n
)n
\rceil 
, 
p_0
, 
\mathsf {c}
)
]$

$
[-0=0
\stackrel{
stmt
}{\rightarrow}SystemQ
\vdash (-u0
)
 = 0
]$

$
[-0=0
\stackrel{
proof
}{\rightarrow}
\lambda 
\mathsf {c}
.
\lambda 
\mathsf{x}
.
{\cal P}( 
\lceil SystemQ
\vdash Negative
\gg (0
+(-u0
)
)
 = 0
; plus0
\gg (0
+0
)
 = 0
; UniqueNegative
\rhd (0
+(-u0
)
)
 = 0
\rhd (0
+0
)
 = 0
\gg (-u0
)
 = 0
\rceil 
, 
p_0
, 
\mathsf {c}
)
]$


$
[PositiveNegated
\stackrel{
stmt
}{\rightarrow}SystemQ
\vdash 
\forall \underline{
\mathsf{x}}
\colon \dot{\neg}\,(0
 <= \underline{
\mathsf{x}}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(0
 = \underline{
\mathsf{x}}
)n
)n
)n
\vdash \dot{\neg}\,((-u\underline{
\mathsf{x}}
)
 <= 0
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,((-u\underline{
\mathsf{x}}
)
 = 0
)n
)n
)n
]$

$
[PositiveNegated
\stackrel{
proof
}{\rightarrow}
\lambda 
\mathsf {c}
.
\lambda 
\mathsf{x}
.
{\cal P}( 
\lceil SystemQ
\vdash 
\forall \underline{
\mathsf{x}}
\colon \dot{\neg}\,(0
 <= \underline{
\mathsf{x}}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(0
 = \underline{
\mathsf{x}}
)n
)n
)n
\vdash LessNegated
\rhd \dot{\neg}\,(0
 <= \underline{
\mathsf{x}}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(0
 = \underline{
\mathsf{x}}
)n
)n
)n
\gg \dot{\neg}\,((-u\underline{
\mathsf{x}}
)
 <= (-u0
)
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,((-u\underline{
\mathsf{x}}
)
 = (-u0
)
)n
)n
)n
; -0=0
\gg (-u0
)
 = 0
; SubLessRight
\rhd (-u0
)
 = 0
\rhd \dot{\neg}\,((-u\underline{
\mathsf{x}}
)
 <= (-u0
)
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,((-u\underline{
\mathsf{x}}
)
 = (-u0
)
)n
)n
)n
\gg \dot{\neg}\,((-u\underline{
\mathsf{x}}
)
 <= 0
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,((-u\underline{
\mathsf{x}}
)
 = 0
)n
)n
)n
\rceil 
, 
p_0
, 
\mathsf {c}
)
]$

$
[NonpositiveNegated
\stackrel{
stmt
}{\rightarrow}SystemQ
\vdash 
\forall \underline{
\mathsf{x}}
\colon \underline{
\mathsf{x}}
 <= 0
\vdash 0
 <= (-u\underline{
\mathsf{x}}
)
]$

$
[NonpositiveNegated
\stackrel{
proof
}{\rightarrow}
\lambda 
\mathsf {c}
.
\lambda 
\mathsf{x}
.
{\cal P}( 
\lceil SystemQ
\vdash 
\forall \underline{
\mathsf{x}}
\colon \underline{
\mathsf{x}}
 <= 0
\vdash LeqNegated
\rhd \underline{
\mathsf{x}}
 <= 0
\gg (-u0
)
 <= (-u\underline{
\mathsf{x}}
)
; -0=0
\gg (-u0
)
 = 0
; subLeqLeft
\rhd (-u0
)
 = 0
\rhd (-u0
)
 <= (-u\underline{
\mathsf{x}}
)
\gg 0
 <= (-u\underline{
\mathsf{x}}
)
\rceil 
, 
p_0
, 
\mathsf {c}
)
]$

$
[NegativeNegated
\stackrel{
stmt
}{\rightarrow}SystemQ
\vdash 
\forall \underline{
\mathsf{x}}
\colon \dot{\neg}\,(\underline{
\mathsf{x}}
 <= 0
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\underline{
\mathsf{x}}
 = 0
)n
)n
)n
\vdash \dot{\neg}\,(0
 <= (-u\underline{
\mathsf{x}}
)
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(0
 = (-u\underline{
\mathsf{x}}
)
)n
)n
)n
]$

$
[NegativeNegated
\stackrel{
proof
}{\rightarrow}
\lambda 
\mathsf {c}
.
\lambda 
\mathsf{x}
.
{\cal P}( 
\lceil SystemQ
\vdash 
\forall \underline{
\mathsf{x}}
\colon \dot{\neg}\,(\underline{
\mathsf{x}}
 <= 0
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\underline{
\mathsf{x}}
 = 0
)n
)n
)n
\vdash LessNegated
\rhd \dot{\neg}\,(\underline{
\mathsf{x}}
 <= 0
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\underline{
\mathsf{x}}
 = 0
)n
)n
)n
\gg \dot{\neg}\,((-u0
)
 <= (-u\underline{
\mathsf{x}}
)
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,((-u0
)
 = (-u\underline{
\mathsf{x}}
)
)n
)n
)n
; -0=0
\gg (-u0
)
 = 0
; SubLessLeft
\rhd (-u0
)
 = 0
\rhd \dot{\neg}\,((-u0
)
 <= (-u\underline{
\mathsf{x}}
)
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,((-u0
)
 = (-u\underline{
\mathsf{x}}
)
)n
)n
)n
\gg \dot{\neg}\,(0
 <= (-u\underline{
\mathsf{x}}
)
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(0
 = (-u\underline{
\mathsf{x}}
)
)n
)n
)n
\rceil 
, 
p_0
, 
\mathsf {c}
)
]$

$
[NonnegativeNegated
\stackrel{
stmt
}{\rightarrow}SystemQ
\vdash 
\forall \underline{
\mathsf{x}}
\colon 0
 <= \underline{
\mathsf{x}}
\vdash (-u\underline{
\mathsf{x}}
)
 <= 0
]$

$
[NonnegativeNegated
\stackrel{
proof
}{\rightarrow}
\lambda 
\mathsf {c}
.
\lambda 
\mathsf{x}
.
{\cal P}( 
\lceil SystemQ
\vdash 
\forall \underline{
\mathsf{x}}
\colon 0
 <= \underline{
\mathsf{x}}
\vdash LeqNegated
\rhd 0
 <= \underline{
\mathsf{x}}
\gg (-u\underline{
\mathsf{x}}
)
 <= (-u0
)
; -0=0
\gg (-u0
)
 = 0
; subLeqRight
\rhd (-u0
)
 = 0
\rhd (-u\underline{
\mathsf{x}}
)
 <= (-u0
)
\gg (-u\underline{
\mathsf{x}}
)
 <= 0
\rceil 
, 
p_0
, 
\mathsf {c}
)
]$


$
[0<2
\stackrel{
stmt
}{\rightarrow}SystemQ
\vdash \dot{\neg}\,(0
 <= (1
+1
)
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(0
 = (1
+1
)
)n
)n
)n
]$

$
[0<2
\stackrel{
proof
}{\rightarrow}
\lambda 
\mathsf {c}
.
\lambda 
\mathsf{x}
.
{\cal P}( 
\lceil SystemQ
\vdash 0<1
\gg \dot{\neg}\,(0
 <= 1
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(0
 = 1
)n
)n
)n
; LessAddition
\rhd \dot{\neg}\,(0
 <= 1
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(0
 = 1
)n
)n
)n
\gg \dot{\neg}\,((0
+1
)
 <= (1
+1
)
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,((0
+1
)
 = (1
+1
)
)n
)n
)n
; 
\mbox{lemma plus0Left}
\gg (0
+1
)
 = 1
; SubLessLeft
\rhd (0
+1
)
 = 1
\rhd \dot{\neg}\,((0
+1
)
 <= (1
+1
)
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,((0
+1
)
 = (1
+1
)
)n
)n
)n
\gg \dot{\neg}\,(1
 <= (1
+1
)
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(1
 = (1
+1
)
)n
)n
)n
; LessTransitivity
\rhd \dot{\neg}\,(0
 <= 1
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(0
 = 1
)n
)n
)n
\rhd \dot{\neg}\,(1
 <= (1
+1
)
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(1
 = (1
+1
)
)n
)n
)n
\gg \dot{\neg}\,(0
 <= (1
+1
)
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(0
 = (1
+1
)
)n
)n
)n
\rceil 
, 
p_0
, 
\mathsf {c}
)
]$


$
[0<1/2
\stackrel{
stmt
}{\rightarrow}SystemQ
\vdash \dot{\neg}\,(0
 <= rec(1
+1
)
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(0
 = rec(1
+1
)
)n
)n
)n
]$

$
[0<1/2
\stackrel{
proof
}{\rightarrow}
\lambda 
\mathsf {c}
.
\lambda 
\mathsf{x}
.
{\cal P}( 
\lceil SystemQ
\vdash 0<2
\gg \dot{\neg}\,(0
 <= (1
+1
)
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(0
 = (1
+1
)
)n
)n
)n
; FirstConjunct
\rhd \dot{\neg}\,(0
 <= (1
+1
)
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(0
 = (1
+1
)
)n
)n
)n
\gg 0
 <= (1
+1
)
; SecondConjunct
\rhd \dot{\neg}\,(0
 <= (1
+1
)
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(0
 = (1
+1
)
)n
)n
)n
\gg \dot{\neg}\,(0
 = (1
+1
)
)n
; NeqSymmetry
\rhd \dot{\neg}\,(0
 = (1
+1
)
)n
\gg \dot{\neg}\,((1
+1
)
 = 0
)n
; 0<1
\gg \dot{\neg}\,(0
 <= 1
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(0
 = 1
)n
)n
)n
; x*0=0
\gg ((1
+1
)
*0
)
 = 0
; x*y=zBackwards
\rhd ((1
+1
)
*0
)
 = 0
\gg 0
 = (0
*(1
+1
)
)
; SubLessLeft
\rhd 0
 = (0
*(1
+1
)
)
\rhd \dot{\neg}\,(0
 <= 1
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(0
 = 1
)n
)n
)n
\gg \dot{\neg}\,((0
*(1
+1
)
)
 <= 1
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,((0
*(1
+1
)
)
 = 1
)n
)n
)n
; Reciprocal
\rhd \dot{\neg}\,((1
+1
)
 = 0
)n
\gg ((1
+1
)
*rec(1
+1
)
)
 = 1
; x*y=zBackwards
\rhd ((1
+1
)
*rec(1
+1
)
)
 = 1
\gg 1
 = (rec(1
+1
)
*(1
+1
)
)
; SubLessRight
\rhd 1
 = (rec(1
+1
)
*(1
+1
)
)
\rhd \dot{\neg}\,((0
*(1
+1
)
)
 <= 1
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,((0
*(1
+1
)
)
 = 1
)n
)n
)n
\gg \dot{\neg}\,((0
*(1
+1
)
)
 <= (rec(1
+1
)
*(1
+1
)
)
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,((0
*(1
+1
)
)
 = (rec(1
+1
)
*(1
+1
)
)
)n
)n
)n
; LessDivision
\rhd 0
 <= (1
+1
)
\rhd \dot{\neg}\,((0
*(1
+1
)
)
 <= (rec(1
+1
)
*(1
+1
)
)
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,((0
*(1
+1
)
)
 = (rec(1
+1
)
*(1
+1
)
)
)n
)n
)n
\gg \dot{\neg}\,(0
 <= rec(1
+1
)
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(0
 = rec(1
+1
)
)n
)n
)n
\rceil 
, 
p_0
, 
\mathsf {c}
)
]$


$
[PositiveHalved
\stackrel{
stmt
}{\rightarrow}SystemQ
\vdash 
\forall \underline{
\mathsf{x}}
\colon \dot{\neg}\,(0
 <= \underline{
\mathsf{x}}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(0
 = \underline{
\mathsf{x}}
)n
)n
)n
\vdash \dot{\neg}\,(0
 <= (rec(1
+1
)
*\underline{
\mathsf{x}}
)
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(0
 = (rec(1
+1
)
*\underline{
\mathsf{x}}
)
)n
)n
)n
]$

$
[PositiveHalved
\stackrel{
proof
}{\rightarrow}
\lambda 
\mathsf {c}
.
\lambda 
\mathsf{x}
.
{\cal P}( 
\lceil SystemQ
\vdash 
\forall \underline{
\mathsf{x}}
\colon \dot{\neg}\,(0
 <= \underline{
\mathsf{x}}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(0
 = \underline{
\mathsf{x}}
)n
)n
)n
\vdash 0<1/2
\gg \dot{\neg}\,(0
 <= rec(1
+1
)
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(0
 = rec(1
+1
)
)n
)n
)n
; LessMultiplicationLeft
\rhd \dot{\neg}\,(0
 <= rec(1
+1
)
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(0
 = rec(1
+1
)
)n
)n
)n
\rhd \dot{\neg}\,(0
 <= \underline{
\mathsf{x}}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(0
 = \underline{
\mathsf{x}}
)n
)n
)n
\gg \dot{\neg}\,((rec(1
+1
)
*0
)
 <= (rec(1
+1
)
*\underline{
\mathsf{x}}
)
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,((rec(1
+1
)
*0
)
 = (rec(1
+1
)
*\underline{
\mathsf{x}}
)
)n
)n
)n
; x*0=0
\gg (rec(1
+1
)
*0
)
 = 0
; SubLessLeft
\rhd (rec(1
+1
)
*0
)
 = 0
\rhd \dot{\neg}\,((rec(1
+1
)
*0
)
 <= (rec(1
+1
)
*\underline{
\mathsf{x}}
)
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,((rec(1
+1
)
*0
)
 = (rec(1
+1
)
*\underline{
\mathsf{x}}
)
)n
)n
)n
\gg \dot{\neg}\,(0
 <= (rec(1
+1
)
*\underline{
\mathsf{x}}
)
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(0
 = (rec(1
+1
)
*\underline{
\mathsf{x}}
)
)n
)n
)n
\rceil 
, 
p_0
, 
\mathsf {c}
)
]$


$
[FromNot<<
\stackrel{
stmt
}{\rightarrow}SystemQ
\vdash 
\forall \underline{(fx)}
\colon 
\forall \underline{(fy)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(\epsilon)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {n}}
\colon \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {m}}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(0
 <= \overline{(\epsilon)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(0
 = \overline{(\epsilon)}
)n
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{
\mathsf {n}}
 <= \overline{
\mathsf {m}}
\Rightarrow \underline{(fx)}
[\overline{
\mathsf {m}}
]
 <= (\underline{(fy)}
[\overline{
\mathsf {m}}
]
+(-u\overline{(\epsilon)}
)
)
)n
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\vdash \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(\epsilon)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {n}}
\colon \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {m}}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(0
 <= \overline{(\epsilon)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(0
 = \overline{(\epsilon)}
)n
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{
\mathsf {n}}
 <= \overline{
\mathsf {m}}
\Rightarrow \underline{(fx)}
[\overline{
\mathsf {m}}
]
 <= (\underline{(fy)}
[\overline{
\mathsf {m}}
]
+(-u\overline{(\epsilon)}
)
)
)n
)n
)n
)n
)n
)n
)n
]$

$
[FromNot<<
\stackrel{
proof
}{\rightarrow}
\lambda 
\mathsf {c}
.
\lambda 
\mathsf{x}
.
{\cal P}( 
\lceil SystemQ
\vdash 
\forall \underline{(fx)}
\colon 
\forall \underline{(fy)}
\colon AutoImply
\gg \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(\epsilon)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {n}}
\colon \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {m}}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(0
 <= \overline{(\epsilon)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(0
 = \overline{(\epsilon)}
)n
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{
\mathsf {n}}
 <= \overline{
\mathsf {m}}
\Rightarrow \underline{(fx)}
[\overline{
\mathsf {m}}
]
 <= (\underline{(fy)}
[\overline{
\mathsf {m}}
]
+(-u\overline{(\epsilon)}
)
)
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(\epsilon)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {n}}
\colon \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {m}}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(0
 <= \overline{(\epsilon)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(0
 = \overline{(\epsilon)}
)n
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{
\mathsf {n}}
 <= \overline{
\mathsf {m}}
\Rightarrow \underline{(fx)}
[\overline{
\mathsf {m}}
]
 <= (\underline{(fy)}
[\overline{
\mathsf {m}}
]
+(-u\overline{(\epsilon)}
)
)
)n
)n
)n
)n
)n
)n
; \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(\epsilon)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {n}}
\colon \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {m}}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(0
 <= \overline{(\epsilon)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(0
 = \overline{(\epsilon)}
)n
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{
\mathsf {n}}
 <= \overline{
\mathsf {m}}
\Rightarrow \underline{(fx)}
[\overline{
\mathsf {m}}
]
 <= (\underline{(fy)}
[\overline{
\mathsf {m}}
]
+(-u\overline{(\epsilon)}
)
)
)n
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\vdash MT
\rhd \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(\epsilon)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {n}}
\colon \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {m}}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(0
 <= \overline{(\epsilon)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(0
 = \overline{(\epsilon)}
)n
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{
\mathsf {n}}
 <= \overline{
\mathsf {m}}
\Rightarrow \underline{(fx)}
[\overline{
\mathsf {m}}
]
 <= (\underline{(fy)}
[\overline{
\mathsf {m}}
]
+(-u\overline{(\epsilon)}
)
)
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(\epsilon)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {n}}
\colon \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {m}}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(0
 <= \overline{(\epsilon)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(0
 = \overline{(\epsilon)}
)n
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{
\mathsf {n}}
 <= \overline{
\mathsf {m}}
\Rightarrow \underline{(fx)}
[\overline{
\mathsf {m}}
]
 <= (\underline{(fy)}
[\overline{
\mathsf {m}}
]
+(-u\overline{(\epsilon)}
)
)
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\rhd \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(\epsilon)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {n}}
\colon \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {m}}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(0
 <= \overline{(\epsilon)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(0
 = \overline{(\epsilon)}
)n
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{
\mathsf {n}}
 <= \overline{
\mathsf {m}}
\Rightarrow \underline{(fx)}
[\overline{
\mathsf {m}}
]
 <= (\underline{(fy)}
[\overline{
\mathsf {m}}
]
+(-u\overline{(\epsilon)}
)
)
)n
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\gg \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(\epsilon)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {n}}
\colon \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {m}}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(0
 <= \overline{(\epsilon)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(0
 = \overline{(\epsilon)}
)n
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{
\mathsf {n}}
 <= \overline{
\mathsf {m}}
\Rightarrow \underline{(fx)}
[\overline{
\mathsf {m}}
]
 <= (\underline{(fy)}
[\overline{
\mathsf {m}}
]
+(-u\overline{(\epsilon)}
)
)
)n
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\rceil 
, 
p_0
, 
\mathsf {c}
)
]$


(*** NUMERISK ***)

$
[ToNegatedAnd
\stackrel{
stmt
}{\rightarrow}SystemQ
\vdash 
\forall \underline{
\mathsf {a}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf {b}}
\colon \underline{
\mathsf {a}}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\underline{
\mathsf {b}}
)n
\vdash \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\underline{
\mathsf {a}}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\underline{
\mathsf {b}}
)n
)n
)n
]$

$
[ToNegatedAnd
\stackrel{
proof
}{\rightarrow}
\lambda 
\mathsf {c}
.
\lambda 
\mathsf{x}
.
{\cal P}( 
\lceil SystemQ
\vdash 
\forall \underline{
\mathsf {a}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf {b}}
\colon \underline{
\mathsf {a}}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\underline{
\mathsf {b}}
)n
\vdash AddDoubleNeg
\rhd \underline{
\mathsf {a}}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\underline{
\mathsf {b}}
)n
\gg \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\underline{
\mathsf {a}}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\underline{
\mathsf {b}}
)n
)n
)n
; Repetition
\rhd \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\underline{
\mathsf {a}}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\underline{
\mathsf {b}}
)n
)n
)n
\gg \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\underline{
\mathsf {a}}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\underline{
\mathsf {b}}
)n
)n
)n
\rceil 
, 
p_0
, 
\mathsf {c}
)
]$

$
[ToNegatedAnd(1)
\stackrel{
stmt
}{\rightarrow}SystemQ
\vdash 
\forall \underline{
\mathsf {a}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf {b}}
\colon \dot{\neg}\,(\underline{
\mathsf {a}}
)n
\vdash \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\underline{
\mathsf {a}}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\underline{
\mathsf {b}}
)n
)n
)n
]$

$
[ToNegatedAnd(1)
\stackrel{
proof
}{\rightarrow}
\lambda 
\mathsf {c}
.
\lambda 
\mathsf{x}
.
{\cal P}( 
\lceil SystemQ
\vdash 
\forall \underline{
\mathsf {a}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf {b}}
\colon \dot{\neg}\,(\underline{
\mathsf {a}}
)n
\vdash \underline{
\mathsf {a}}
\vdash FromContradiction
\rhd \underline{
\mathsf {a}}
\rhd \dot{\neg}\,(\underline{
\mathsf {a}}
)n
\gg \dot{\neg}\,(\underline{
\mathsf {b}}
)n
; 
\forall \underline{
\mathsf {a}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf {b}}
\colon Ded
\rhd 
\forall \underline{
\mathsf {a}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf {b}}
\colon \dot{\neg}\,(\underline{
\mathsf {a}}
)n
\vdash \underline{
\mathsf {a}}
\vdash \dot{\neg}\,(\underline{
\mathsf {b}}
)n
\gg \dot{\neg}\,(\underline{
\mathsf {a}}
)n
\Rightarrow \underline{
\mathsf {a}}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\underline{
\mathsf {b}}
)n
; \dot{\neg}\,(\underline{
\mathsf {a}}
)n
\vdash MP
\rhd \dot{\neg}\,(\underline{
\mathsf {a}}
)n
\Rightarrow \underline{
\mathsf {a}}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\underline{
\mathsf {b}}
)n
\rhd \dot{\neg}\,(\underline{
\mathsf {a}}
)n
\gg \underline{
\mathsf {a}}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\underline{
\mathsf {b}}
)n
; ToNegatedAnd
\rhd \underline{
\mathsf {a}}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\underline{
\mathsf {b}}
)n
\gg \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\underline{
\mathsf {a}}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\underline{
\mathsf {b}}
)n
)n
)n
\rceil 
, 
p_0
, 
\mathsf {c}
)
]$

$
[NonnegativeNumerical
\stackrel{
stmt
}{\rightarrow}SystemQ
\vdash 
\forall \underline{
\mathsf{x}}
\colon 0
 <= \underline{
\mathsf{x}}
\vdash |\underline{
\mathsf{x}}
|
 = \underline{
\mathsf{x}}
]$

$
[NonnegativeNumerical
\stackrel{
proof
}{\rightarrow}
\lambda 
\mathsf {c}
.
\lambda 
\mathsf{x}
.
{\cal P}( 
\lceil SystemQ
\vdash 
\forall \underline{
\mathsf{x}}
\colon 0
 <= \underline{
\mathsf{x}}
\vdash Numerical
\gg \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(0
 <= \underline{
\mathsf{x}}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(|\underline{
\mathsf{x}}
|
 = \underline{
\mathsf{x}}
)n
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(0
 <= \underline{
\mathsf{x}}
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(|\underline{
\mathsf{x}}
|
 = (-u\underline{
\mathsf{x}}
)
)n
)n
; AddDoubleNeg
\rhd 0
 <= \underline{
\mathsf{x}}
\gg \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(0
 <= \underline{
\mathsf{x}}
)n
)n
; ToNegatedAnd(1)
\rhd \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(0
 <= \underline{
\mathsf{x}}
)n
)n
\gg \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(0
 <= \underline{
\mathsf{x}}
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(|\underline{
\mathsf{x}}
|
 = (-u\underline{
\mathsf{x}}
)
)n
)n
)n
; NegateDisjunct2
\rhd \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(0
 <= \underline{
\mathsf{x}}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(|\underline{
\mathsf{x}}
|
 = \underline{
\mathsf{x}}
)n
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(0
 <= \underline{
\mathsf{x}}
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(|\underline{
\mathsf{x}}
|
 = (-u\underline{
\mathsf{x}}
)
)n
)n
\rhd \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(0
 <= \underline{
\mathsf{x}}
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(|\underline{
\mathsf{x}}
|
 = (-u\underline{
\mathsf{x}}
)
)n
)n
)n
\gg \dot{\neg}\,(0
 <= \underline{
\mathsf{x}}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(|\underline{
\mathsf{x}}
|
 = \underline{
\mathsf{x}}
)n
)n
; SecondConjunct
\rhd \dot{\neg}\,(0
 <= \underline{
\mathsf{x}}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(|\underline{
\mathsf{x}}
|
 = \underline{
\mathsf{x}}
)n
)n
\gg |\underline{
\mathsf{x}}
|
 = \underline{
\mathsf{x}}
\rceil 
, 
p_0
, 
\mathsf {c}
)
]$

$
[PositiveNumerical
\stackrel{
stmt
}{\rightarrow}SystemQ
\vdash 
\forall \underline{
\mathsf{x}}
\colon \dot{\neg}\,(0
 <= \underline{
\mathsf{x}}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(0
 = \underline{
\mathsf{x}}
)n
)n
)n
\vdash |\underline{
\mathsf{x}}
|
 = \underline{
\mathsf{x}}
]$

$
[PositiveNumerical
\stackrel{
proof
}{\rightarrow}
\lambda 
\mathsf {c}
.
\lambda 
\mathsf{x}
.
{\cal P}( 
\lceil SystemQ
\vdash 
\forall \underline{
\mathsf{x}}
\colon \dot{\neg}\,(0
 <= \underline{
\mathsf{x}}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(0
 = \underline{
\mathsf{x}}
)n
)n
)n
\vdash LessLeq
\rhd \dot{\neg}\,(0
 <= \underline{
\mathsf{x}}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(0
 = \underline{
\mathsf{x}}
)n
)n
)n
\gg 0
 <= \underline{
\mathsf{x}}
; NonnegativeNumerical
\rhd 0
 <= \underline{
\mathsf{x}}
\gg |\underline{
\mathsf{x}}
|
 = \underline{
\mathsf{x}}
\rceil 
, 
p_0
, 
\mathsf {c}
)
]$

$
[NegativeNumerical
\stackrel{
stmt
}{\rightarrow}SystemQ
\vdash 
\forall \underline{
\mathsf{x}}
\colon \dot{\neg}\,(\underline{
\mathsf{x}}
 <= 0
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\underline{
\mathsf{x}}
 = 0
)n
)n
)n
\vdash |\underline{
\mathsf{x}}
|
 = (-u\underline{
\mathsf{x}}
)
]$

$
[NegativeNumerical
\stackrel{
proof
}{\rightarrow}
\lambda 
\mathsf {c}
.
\lambda 
\mathsf{x}
.
{\cal P}( 
\lceil SystemQ
\vdash 
\forall \underline{
\mathsf{x}}
\colon \dot{\neg}\,(\underline{
\mathsf{x}}
 <= 0
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\underline{
\mathsf{x}}
 = 0
)n
)n
)n
\vdash Numerical
\gg \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(0
 <= \underline{
\mathsf{x}}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(|\underline{
\mathsf{x}}
|
 = \underline{
\mathsf{x}}
)n
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(0
 <= \underline{
\mathsf{x}}
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(|\underline{
\mathsf{x}}
|
 = (-u\underline{
\mathsf{x}}
)
)n
)n
; FromLess
\rhd \dot{\neg}\,(\underline{
\mathsf{x}}
 <= 0
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\underline{
\mathsf{x}}
 = 0
)n
)n
)n
\gg \dot{\neg}\,(0
 <= \underline{
\mathsf{x}}
)n
; ToNegatedAnd(1)
\rhd \dot{\neg}\,(0
 <= \underline{
\mathsf{x}}
)n
\gg \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(0
 <= \underline{
\mathsf{x}}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(|\underline{
\mathsf{x}}
|
 = \underline{
\mathsf{x}}
)n
)n
)n
; NegateDisjunct1
\rhd \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(0
 <= \underline{
\mathsf{x}}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(|\underline{
\mathsf{x}}
|
 = \underline{
\mathsf{x}}
)n
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(0
 <= \underline{
\mathsf{x}}
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(|\underline{
\mathsf{x}}
|
 = (-u\underline{
\mathsf{x}}
)
)n
)n
\rhd \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(0
 <= \underline{
\mathsf{x}}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(|\underline{
\mathsf{x}}
|
 = \underline{
\mathsf{x}}
)n
)n
)n
\gg \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(0
 <= \underline{
\mathsf{x}}
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(|\underline{
\mathsf{x}}
|
 = (-u\underline{
\mathsf{x}}
)
)n
)n
; SecondConjunct
\rhd \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(0
 <= \underline{
\mathsf{x}}
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(|\underline{
\mathsf{x}}
|
 = (-u\underline{
\mathsf{x}}
)
)n
)n
\gg |\underline{
\mathsf{x}}
|
 = (-u\underline{
\mathsf{x}}
)
\rceil 
, 
p_0
, 
\mathsf {c}
)
]$

$
[
\mbox{lemma nonpositiveNumerical}
\stackrel{
stmt
}{\rightarrow}SystemQ
\vdash 
\forall \underline{
\mathsf{x}}
\colon \underline{
\mathsf{x}}
 <= 0
\vdash |\underline{
\mathsf{x}}
|
 = (-u\underline{
\mathsf{x}}
)
]$

$
[
\mbox{lemma nonpositiveNumerical}
\stackrel{
proof
}{\rightarrow}
\lambda 
\mathsf {c}
.
\lambda 
\mathsf{x}
.
{\cal P}( 
\lceil SystemQ
\vdash 
\forall \underline{
\mathsf{x}}
\colon \dot{\neg}\,(\underline{
\mathsf{x}}
 <= 0
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\underline{
\mathsf{x}}
 = 0
)n
)n
)n
\vdash NegativeNumerical
\rhd \dot{\neg}\,(\underline{
\mathsf{x}}
 <= 0
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\underline{
\mathsf{x}}
 = 0
)n
)n
)n
\gg |\underline{
\mathsf{x}}
|
 = (-u\underline{
\mathsf{x}}
)
; 
\forall \underline{
\mathsf{x}}
\colon \underline{
\mathsf{x}}
 = 0
\vdash eqSymmetry
\rhd \underline{
\mathsf{x}}
 = 0
\gg 0
 = \underline{
\mathsf{x}}
; eqLeq
\rhd 0
 = \underline{
\mathsf{x}}
\gg 0
 <= \underline{
\mathsf{x}}
; NonnegativeNumerical
\rhd 0
 <= \underline{
\mathsf{x}}
\gg |\underline{
\mathsf{x}}
|
 = \underline{
\mathsf{x}}
; -0=0
\gg (-u0
)
 = 0
; eqSymmetry
\rhd (-u0
)
 = 0
\gg 0
 = (-u0
)
; EqNegated
\rhd 0
 = \underline{
\mathsf{x}}
\gg (-u0
)
 = (-u\underline{
\mathsf{x}}
)
; eqTransitivity5
\rhd |\underline{
\mathsf{x}}
|
 = \underline{
\mathsf{x}}
\rhd \underline{
\mathsf{x}}
 = 0
\rhd 0
 = (-u0
)
\rhd (-u0
)
 = (-u\underline{
\mathsf{x}}
)
\gg |\underline{
\mathsf{x}}
|
 = (-u\underline{
\mathsf{x}}
)
; 
\forall \underline{
\mathsf{x}}
\colon Ded
\rhd 
\forall \underline{
\mathsf{x}}
\colon \dot{\neg}\,(\underline{
\mathsf{x}}
 <= 0
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\underline{
\mathsf{x}}
 = 0
)n
)n
)n
\vdash |\underline{
\mathsf{x}}
|
 = (-u\underline{
\mathsf{x}}
)
\gg \dot{\neg}\,(\underline{
\mathsf{x}}
 <= 0
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\underline{
\mathsf{x}}
 = 0
)n
)n
)n
\Rightarrow |\underline{
\mathsf{x}}
|
 = (-u\underline{
\mathsf{x}}
)
; Ded
\rhd 
\forall \underline{
\mathsf{x}}
\colon \underline{
\mathsf{x}}
 = 0
\vdash |\underline{
\mathsf{x}}
|
 = (-u\underline{
\mathsf{x}}
)
\gg \underline{
\mathsf{x}}
 = 0
\Rightarrow |\underline{
\mathsf{x}}
|
 = (-u\underline{
\mathsf{x}}
)
; \underline{
\mathsf{x}}
 <= 0
\vdash LeqLessEq
\rhd \underline{
\mathsf{x}}
 <= 0
\gg \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\underline{
\mathsf{x}}
 <= 0
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\underline{
\mathsf{x}}
 = 0
)n
)n
)n
)n
\Rightarrow \underline{
\mathsf{x}}
 = 0
; FromDisjuncts
\rhd \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\underline{
\mathsf{x}}
 <= 0
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\underline{
\mathsf{x}}
 = 0
)n
)n
)n
)n
\Rightarrow \underline{
\mathsf{x}}
 = 0
\rhd \dot{\neg}\,(\underline{
\mathsf{x}}
 <= 0
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\underline{
\mathsf{x}}
 = 0
)n
)n
)n
\Rightarrow |\underline{
\mathsf{x}}
|
 = (-u\underline{
\mathsf{x}}
)
\rhd \underline{
\mathsf{x}}
 = 0
\Rightarrow |\underline{
\mathsf{x}}
|
 = (-u\underline{
\mathsf{x}}
)
\gg |\underline{
\mathsf{x}}
|
 = (-u\underline{
\mathsf{x}}
)
\rceil 
, 
p_0
, 
\mathsf {c}
)
]$


$
[|0|=0
\stackrel{
stmt
}{\rightarrow}SystemQ
\vdash |0
|
 = 0
]$

$
[|0|=0
\stackrel{
proof
}{\rightarrow}
\lambda 
\mathsf {c}
.
\lambda 
\mathsf{x}
.
{\cal P}( 
\lceil SystemQ
\vdash leqReflexivity
\gg 0
 <= 0
; NonnegativeNumerical
\rhd 0
 <= 0
\gg |0
|
 = 0
\rceil 
, 
p_0
, 
\mathsf {c}
)
]$



$
[0<=|x|
\stackrel{
stmt
}{\rightarrow}SystemQ
\vdash 
\forall \underline{
\mathsf{x}}
\colon 0
 <= |\underline{
\mathsf{x}}
|
]$

$
[0<=|x|
\stackrel{
proof
}{\rightarrow}
\lambda 
\mathsf {c}
.
\lambda 
\mathsf{x}
.
{\cal P}( 
\lceil SystemQ
\vdash 
\forall \underline{
\mathsf{x}}
\colon 0
 <= \underline{
\mathsf{x}}
\vdash NonnegativeNumerical
\rhd 0
 <= \underline{
\mathsf{x}}
\gg |\underline{
\mathsf{x}}
|
 = \underline{
\mathsf{x}}
; eqSymmetry
\rhd |\underline{
\mathsf{x}}
|
 = \underline{
\mathsf{x}}
\gg \underline{
\mathsf{x}}
 = |\underline{
\mathsf{x}}
|
; subLeqRight
\rhd \underline{
\mathsf{x}}
 = |\underline{
\mathsf{x}}
|
\rhd 0
 <= \underline{
\mathsf{x}}
\gg 0
 <= |\underline{
\mathsf{x}}
|
; 
\forall \underline{
\mathsf{x}}
\colon \dot{\neg}\,(0
 <= \underline{
\mathsf{x}}
)n
\vdash ToLess
\rhd \dot{\neg}\,(0
 <= \underline{
\mathsf{x}}
)n
\gg \dot{\neg}\,(\underline{
\mathsf{x}}
 <= 0
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\underline{
\mathsf{x}}
 = 0
)n
)n
)n
; NegativeNumerical
\rhd \dot{\neg}\,(\underline{
\mathsf{x}}
 <= 0
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\underline{
\mathsf{x}}
 = 0
)n
)n
)n
\gg |\underline{
\mathsf{x}}
|
 = (-u\underline{
\mathsf{x}}
)
; eqSymmetry
\rhd |\underline{
\mathsf{x}}
|
 = (-u\underline{
\mathsf{x}}
)
\gg (-u\underline{
\mathsf{x}}
)
 = |\underline{
\mathsf{x}}
|
; NegativeNegated
\rhd \dot{\neg}\,(\underline{
\mathsf{x}}
 <= 0
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\underline{
\mathsf{x}}
 = 0
)n
)n
)n
\gg \dot{\neg}\,(0
 <= (-u\underline{
\mathsf{x}}
)
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(0
 = (-u\underline{
\mathsf{x}}
)
)n
)n
)n
; LessLeq
\rhd \dot{\neg}\,(0
 <= (-u\underline{
\mathsf{x}}
)
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(0
 = (-u\underline{
\mathsf{x}}
)
)n
)n
)n
\gg 0
 <= (-u\underline{
\mathsf{x}}
)
; subLeqRight
\rhd (-u\underline{
\mathsf{x}}
)
 = |\underline{
\mathsf{x}}
|
\rhd 0
 <= (-u\underline{
\mathsf{x}}
)
\gg 0
 <= |\underline{
\mathsf{x}}
|
; 
\forall \underline{
\mathsf{x}}
\colon Ded
\rhd 
\forall \underline{
\mathsf{x}}
\colon 0
 <= \underline{
\mathsf{x}}
\vdash 0
 <= |\underline{
\mathsf{x}}
|
\gg 0
 <= \underline{
\mathsf{x}}
\Rightarrow 0
 <= |\underline{
\mathsf{x}}
|
; Ded
\rhd 
\forall \underline{
\mathsf{x}}
\colon \dot{\neg}\,(0
 <= \underline{
\mathsf{x}}
)n
\vdash 0
 <= |\underline{
\mathsf{x}}
|
\gg \dot{\neg}\,(0
 <= \underline{
\mathsf{x}}
)n
\Rightarrow 0
 <= |\underline{
\mathsf{x}}
|
; FromNegations
\rhd 0
 <= \underline{
\mathsf{x}}
\Rightarrow 0
 <= |\underline{
\mathsf{x}}
|
\rhd \dot{\neg}\,(0
 <= \underline{
\mathsf{x}}
)n
\Rightarrow 0
 <= |\underline{
\mathsf{x}}
|
\gg 0
 <= |\underline{
\mathsf{x}}
|
\rceil 
, 
p_0
, 
\mathsf {c}
)
]$


$
[SameNumerical
\stackrel{
stmt
}{\rightarrow}SystemQ
\vdash 
\forall \underline{
\mathsf{x}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf{y}}
\colon \underline{
\mathsf{x}}
 = \underline{
\mathsf{y}}
\vdash |\underline{
\mathsf{x}}
|
 = |\underline{
\mathsf{y}}
|
]$

$
[SameNumerical
\stackrel{
proof
}{\rightarrow}
\lambda 
\mathsf {c}
.
\lambda 
\mathsf{x}
.
{\cal P}( 
\lceil SystemQ
\vdash 
\forall \underline{
\mathsf{x}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf{y}}
\colon 0
 <= \underline{
\mathsf{x}}
\vdash \underline{
\mathsf{x}}
 = \underline{
\mathsf{y}}
\vdash NonnegativeNumerical
\rhd 0
 <= \underline{
\mathsf{x}}
\gg |\underline{
\mathsf{x}}
|
 = \underline{
\mathsf{x}}
; subLeqRight
\rhd \underline{
\mathsf{x}}
 = \underline{
\mathsf{y}}
\rhd 0
 <= \underline{
\mathsf{x}}
\gg 0
 <= \underline{
\mathsf{y}}
; NonnegativeNumerical
\rhd 0
 <= \underline{
\mathsf{y}}
\gg |\underline{
\mathsf{y}}
|
 = \underline{
\mathsf{y}}
; eqSymmetry
\rhd |\underline{
\mathsf{y}}
|
 = \underline{
\mathsf{y}}
\gg \underline{
\mathsf{y}}
 = |\underline{
\mathsf{y}}
|
; eqTransitivity4
\rhd |\underline{
\mathsf{x}}
|
 = \underline{
\mathsf{x}}
\rhd \underline{
\mathsf{x}}
 = \underline{
\mathsf{y}}
\rhd \underline{
\mathsf{y}}
 = |\underline{
\mathsf{y}}
|
\gg |\underline{
\mathsf{x}}
|
 = |\underline{
\mathsf{y}}
|
; 
\forall \underline{
\mathsf{x}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf{y}}
\colon \dot{\neg}\,(0
 <= \underline{
\mathsf{x}}
)n
\vdash \underline{
\mathsf{x}}
 = \underline{
\mathsf{y}}
\vdash ToLess
\rhd \dot{\neg}\,(0
 <= \underline{
\mathsf{x}}
)n
\gg \dot{\neg}\,(\underline{
\mathsf{x}}
 <= 0
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\underline{
\mathsf{x}}
 = 0
)n
)n
)n
; NegativeNumerical
\rhd \dot{\neg}\,(\underline{
\mathsf{x}}
 <= 0
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\underline{
\mathsf{x}}
 = 0
)n
)n
)n
\gg |\underline{
\mathsf{x}}
|
 = (-u\underline{
\mathsf{x}}
)
; SubLessLeft
\rhd \underline{
\mathsf{x}}
 = \underline{
\mathsf{y}}
\rhd \dot{\neg}\,(\underline{
\mathsf{x}}
 <= 0
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\underline{
\mathsf{x}}
 = 0
)n
)n
)n
\gg \dot{\neg}\,(\underline{
\mathsf{y}}
 <= 0
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\underline{
\mathsf{y}}
 = 0
)n
)n
)n
; NegativeNumerical
\rhd \dot{\neg}\,(\underline{
\mathsf{y}}
 <= 0
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\underline{
\mathsf{y}}
 = 0
)n
)n
)n
\gg |\underline{
\mathsf{y}}
|
 = (-u\underline{
\mathsf{y}}
)
; eqSymmetry
\rhd |\underline{
\mathsf{y}}
|
 = (-u\underline{
\mathsf{y}}
)
\gg (-u\underline{
\mathsf{y}}
)
 = |\underline{
\mathsf{y}}
|
; EqNegated
\rhd \underline{
\mathsf{x}}
 = \underline{
\mathsf{y}}
\gg (-u\underline{
\mathsf{x}}
)
 = (-u\underline{
\mathsf{y}}
)
; eqTransitivity4
\rhd |\underline{
\mathsf{x}}
|
 = (-u\underline{
\mathsf{x}}
)
\rhd (-u\underline{
\mathsf{x}}
)
 = (-u\underline{
\mathsf{y}}
)
\rhd (-u\underline{
\mathsf{y}}
)
 = |\underline{
\mathsf{y}}
|
\gg |\underline{
\mathsf{x}}
|
 = |\underline{
\mathsf{y}}
|
; 
\forall \underline{
\mathsf{x}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf{y}}
\colon \underline{
\mathsf{x}}
 = \underline{
\mathsf{y}}
\vdash Ded
\rhd 
\forall \underline{
\mathsf{x}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf{y}}
\colon 0
 <= \underline{
\mathsf{x}}
\vdash \underline{
\mathsf{x}}
 = \underline{
\mathsf{y}}
\vdash |\underline{
\mathsf{x}}
|
 = |\underline{
\mathsf{y}}
|
\gg 0
 <= \underline{
\mathsf{x}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf{x}}
 = \underline{
\mathsf{y}}
\Rightarrow |\underline{
\mathsf{x}}
|
 = |\underline{
\mathsf{y}}
|
; Ded
\rhd 
\forall \underline{
\mathsf{x}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf{y}}
\colon \dot{\neg}\,(0
 <= \underline{
\mathsf{x}}
)n
\vdash \underline{
\mathsf{x}}
 = \underline{
\mathsf{y}}
\vdash |\underline{
\mathsf{x}}
|
 = |\underline{
\mathsf{y}}
|
\gg \dot{\neg}\,(0
 <= \underline{
\mathsf{x}}
)n
\Rightarrow \underline{
\mathsf{x}}
 = \underline{
\mathsf{y}}
\Rightarrow |\underline{
\mathsf{x}}
|
 = |\underline{
\mathsf{y}}
|
; FromNegations
\rhd 0
 <= \underline{
\mathsf{x}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf{x}}
 = \underline{
\mathsf{y}}
\Rightarrow |\underline{
\mathsf{x}}
|
 = |\underline{
\mathsf{y}}
|
\rhd \dot{\neg}\,(0
 <= \underline{
\mathsf{x}}
)n
\Rightarrow \underline{
\mathsf{x}}
 = \underline{
\mathsf{y}}
\Rightarrow |\underline{
\mathsf{x}}
|
 = |\underline{
\mathsf{y}}
|
\gg \underline{
\mathsf{x}}
 = \underline{
\mathsf{y}}
\Rightarrow |\underline{
\mathsf{x}}
|
 = |\underline{
\mathsf{y}}
|
; MP
\rhd \underline{
\mathsf{x}}
 = \underline{
\mathsf{y}}
\Rightarrow |\underline{
\mathsf{x}}
|
 = |\underline{
\mathsf{y}}
|
\rhd \underline{
\mathsf{x}}
 = \underline{
\mathsf{y}}
\gg |\underline{
\mathsf{x}}
|
 = |\underline{
\mathsf{y}}
|
\rceil 
, 
p_0
, 
\mathsf {c}
)
]$

$
[SignNumerical(+)
\stackrel{
stmt
}{\rightarrow}SystemQ
\vdash 
\forall \underline{
\mathsf{x}}
\colon \dot{\neg}\,(0
 <= \underline{
\mathsf{x}}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(0
 = \underline{
\mathsf{x}}
)n
)n
)n
\vdash |\underline{
\mathsf{x}}
|
 = |(-u\underline{
\mathsf{x}}
)
|
]$

$
[SignNumerical(+)
\stackrel{
proof
}{\rightarrow}
\lambda 
\mathsf {c}
.
\lambda 
\mathsf{x}
.
{\cal P}( 
\lceil SystemQ
\vdash 
\forall \underline{
\mathsf{x}}
\colon \dot{\neg}\,(0
 <= \underline{
\mathsf{x}}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(0
 = \underline{
\mathsf{x}}
)n
)n
)n
\vdash PositiveNumerical
\rhd \dot{\neg}\,(0
 <= \underline{
\mathsf{x}}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(0
 = \underline{
\mathsf{x}}
)n
)n
)n
\gg |\underline{
\mathsf{x}}
|
 = \underline{
\mathsf{x}}
; PositiveNegated
\rhd \dot{\neg}\,(0
 <= \underline{
\mathsf{x}}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(0
 = \underline{
\mathsf{x}}
)n
)n
)n
\gg \dot{\neg}\,((-u\underline{
\mathsf{x}}
)
 <= 0
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,((-u\underline{
\mathsf{x}}
)
 = 0
)n
)n
)n
; NegativeNumerical
\rhd \dot{\neg}\,((-u\underline{
\mathsf{x}}
)
 <= 0
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,((-u\underline{
\mathsf{x}}
)
 = 0
)n
)n
)n
\gg |(-u\underline{
\mathsf{x}}
)
|
 = (-u(-u\underline{
\mathsf{x}}
)
)
; DoubleMinus
\gg (-u(-u\underline{
\mathsf{x}}
)
)
 = \underline{
\mathsf{x}}
; eqTransitivity
\rhd |(-u\underline{
\mathsf{x}}
)
|
 = (-u(-u\underline{
\mathsf{x}}
)
)
\rhd (-u(-u\underline{
\mathsf{x}}
)
)
 = \underline{
\mathsf{x}}
\gg |(-u\underline{
\mathsf{x}}
)
|
 = \underline{
\mathsf{x}}
; eqSymmetry
\rhd |(-u\underline{
\mathsf{x}}
)
|
 = \underline{
\mathsf{x}}
\gg \underline{
\mathsf{x}}
 = |(-u\underline{
\mathsf{x}}
)
|
; eqTransitivity
\rhd |\underline{
\mathsf{x}}
|
 = \underline{
\mathsf{x}}
\rhd \underline{
\mathsf{x}}
 = |(-u\underline{
\mathsf{x}}
)
|
\gg |\underline{
\mathsf{x}}
|
 = |(-u\underline{
\mathsf{x}}
)
|
\rceil 
, 
p_0
, 
\mathsf {c}
)
]$


$
[SignNumerical
\stackrel{
stmt
}{\rightarrow}SystemQ
\vdash 
\forall \underline{
\mathsf{x}}
\colon |\underline{
\mathsf{x}}
|
 = |(-u\underline{
\mathsf{x}}
)
|
]$

$
[SignNumerical
\stackrel{
proof
}{\rightarrow}
\lambda 
\mathsf {c}
.
\lambda 
\mathsf{x}
.
{\cal P}( 
\lceil SystemQ
\vdash 
\forall \underline{
\mathsf{x}}
\colon \dot{\neg}\,(\underline{
\mathsf{x}}
 <= 0
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\underline{
\mathsf{x}}
 = 0
)n
)n
)n
\vdash NegativeNegated
\rhd \dot{\neg}\,(\underline{
\mathsf{x}}
 <= 0
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\underline{
\mathsf{x}}
 = 0
)n
)n
)n
\gg \dot{\neg}\,(0
 <= (-u\underline{
\mathsf{x}}
)
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(0
 = (-u\underline{
\mathsf{x}}
)
)n
)n
)n
; SignNumerical(+)
\rhd \dot{\neg}\,(0
 <= (-u\underline{
\mathsf{x}}
)
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(0
 = (-u\underline{
\mathsf{x}}
)
)n
)n
)n
\gg |(-u\underline{
\mathsf{x}}
)
|
 = |(-u(-u\underline{
\mathsf{x}}
)
)
|
; DoubleMinus
\gg (-u(-u\underline{
\mathsf{x}}
)
)
 = \underline{
\mathsf{x}}
; SameNumerical
\rhd (-u(-u\underline{
\mathsf{x}}
)
)
 = \underline{
\mathsf{x}}
\gg |(-u(-u\underline{
\mathsf{x}}
)
)
|
 = |\underline{
\mathsf{x}}
|
; eqTransitivity
\rhd |(-u\underline{
\mathsf{x}}
)
|
 = |(-u(-u\underline{
\mathsf{x}}
)
)
|
\rhd |(-u(-u\underline{
\mathsf{x}}
)
)
|
 = |\underline{
\mathsf{x}}
|
\gg |(-u\underline{
\mathsf{x}}
)
|
 = |\underline{
\mathsf{x}}
|
; eqSymmetry
\rhd |(-u\underline{
\mathsf{x}}
)
|
 = |\underline{
\mathsf{x}}
|
\gg |\underline{
\mathsf{x}}
|
 = |(-u\underline{
\mathsf{x}}
)
|
; 
\forall \underline{
\mathsf{x}}
\colon \underline{
\mathsf{x}}
 = 0
\vdash EqNegated
\rhd \underline{
\mathsf{x}}
 = 0
\gg (-u\underline{
\mathsf{x}}
)
 = (-u0
)
; -0=0
\gg (-u0
)
 = 0
; eqSymmetry
\rhd \underline{
\mathsf{x}}
 = 0
\gg 0
 = \underline{
\mathsf{x}}
; eqTransitivity4
\rhd (-u\underline{
\mathsf{x}}
)
 = (-u0
)
\rhd (-u0
)
 = 0
\rhd 0
 = \underline{
\mathsf{x}}
\gg (-u\underline{
\mathsf{x}}
)
 = \underline{
\mathsf{x}}
; eqSymmetry
\rhd (-u\underline{
\mathsf{x}}
)
 = \underline{
\mathsf{x}}
\gg \underline{
\mathsf{x}}
 = (-u\underline{
\mathsf{x}}
)
; SameNumerical
\rhd \underline{
\mathsf{x}}
 = (-u\underline{
\mathsf{x}}
)
\gg |\underline{
\mathsf{x}}
|
 = |(-u\underline{
\mathsf{x}}
)
|
; 
\forall \underline{
\mathsf{x}}
\colon \dot{\neg}\,(0
 <= \underline{
\mathsf{x}}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(0
 = \underline{
\mathsf{x}}
)n
)n
)n
\vdash SignNumerical(+)
\rhd \dot{\neg}\,(0
 <= \underline{
\mathsf{x}}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(0
 = \underline{
\mathsf{x}}
)n
)n
)n
\gg |\underline{
\mathsf{x}}
|
 = |(-u\underline{
\mathsf{x}}
)
|
; 
\forall \underline{
\mathsf{x}}
\colon Ded
\rhd 
\forall \underline{
\mathsf{x}}
\colon \dot{\neg}\,(\underline{
\mathsf{x}}
 <= 0
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\underline{
\mathsf{x}}
 = 0
)n
)n
)n
\vdash |\underline{
\mathsf{x}}
|
 = |(-u\underline{
\mathsf{x}}
)
|
\gg \dot{\neg}\,(\underline{
\mathsf{x}}
 <= 0
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\underline{
\mathsf{x}}
 = 0
)n
)n
)n
\Rightarrow |\underline{
\mathsf{x}}
|
 = |(-u\underline{
\mathsf{x}}
)
|
; Ded
\rhd 
\forall \underline{
\mathsf{x}}
\colon \underline{
\mathsf{x}}
 = 0
\vdash |\underline{
\mathsf{x}}
|
 = |(-u\underline{
\mathsf{x}}
)
|
\gg \underline{
\mathsf{x}}
 = 0
\Rightarrow |\underline{
\mathsf{x}}
|
 = |(-u\underline{
\mathsf{x}}
)
|
; Ded
\rhd 
\forall \underline{
\mathsf{x}}
\colon \dot{\neg}\,(0
 <= \underline{
\mathsf{x}}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(0
 = \underline{
\mathsf{x}}
)n
)n
)n
\vdash |\underline{
\mathsf{x}}
|
 = |(-u\underline{
\mathsf{x}}
)
|
\gg \dot{\neg}\,(0
 <= \underline{
\mathsf{x}}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(0
 = \underline{
\mathsf{x}}
)n
)n
)n
\Rightarrow |\underline{
\mathsf{x}}
|
 = |(-u\underline{
\mathsf{x}}
)
|
; LessTotality
\gg \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\underline{
\mathsf{x}}
 <= 0
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\underline{
\mathsf{x}}
 = 0
)n
)n
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\underline{
\mathsf{x}}
 = 0
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(0
 <= \underline{
\mathsf{x}}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(0
 = \underline{
\mathsf{x}}
)n
)n
)n
; From3Disjuncts
\rhd \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\underline{
\mathsf{x}}
 <= 0
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\underline{
\mathsf{x}}
 = 0
)n
)n
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\underline{
\mathsf{x}}
 = 0
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(0
 <= \underline{
\mathsf{x}}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(0
 = \underline{
\mathsf{x}}
)n
)n
)n
\rhd \dot{\neg}\,(\underline{
\mathsf{x}}
 <= 0
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\underline{
\mathsf{x}}
 = 0
)n
)n
)n
\Rightarrow |\underline{
\mathsf{x}}
|
 = |(-u\underline{
\mathsf{x}}
)
|
\rhd \underline{
\mathsf{x}}
 = 0
\Rightarrow |\underline{
\mathsf{x}}
|
 = |(-u\underline{
\mathsf{x}}
)
|
\rhd \dot{\neg}\,(0
 <= \underline{
\mathsf{x}}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(0
 = \underline{
\mathsf{x}}
)n
)n
)n
\Rightarrow |\underline{
\mathsf{x}}
|
 = |(-u\underline{
\mathsf{x}}
)
|
\gg |\underline{
\mathsf{x}}
|
 = |(-u\underline{
\mathsf{x}}
)
|
\rceil 
, 
p_0
, 
\mathsf {c}
)
]$




$
[-x-y=-(x+y)
\stackrel{
stmt
}{\rightarrow}SystemQ
\vdash 
\forall \underline{
\mathsf{x}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf{y}}
\colon ((-u\underline{
\mathsf{x}}
)
+(-u\underline{
\mathsf{y}}
)
)
 = (-u(\underline{
\mathsf{x}}
+\underline{
\mathsf{y}}
)
)
]$

$
[-x-y=-(x+y)
\stackrel{
proof
}{\rightarrow}
\lambda 
\mathsf {c}
.
\lambda 
\mathsf{x}
.
{\cal P}( 
\lceil SystemQ
\vdash 
\forall \underline{
\mathsf{x}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf{y}}
\colon Times(-1)Left
\gg ((-u1
)
*\underline{
\mathsf{x}}
)
 = (-u\underline{
\mathsf{x}}
)
; Times(-1)Left
\gg ((-u1
)
*\underline{
\mathsf{y}}
)
 = (-u\underline{
\mathsf{y}}
)
; AddEquations
\rhd ((-u1
)
*\underline{
\mathsf{x}}
)
 = (-u\underline{
\mathsf{x}}
)
\rhd ((-u1
)
*\underline{
\mathsf{y}}
)
 = (-u\underline{
\mathsf{y}}
)
\gg (((-u1
)
*\underline{
\mathsf{x}}
)
+((-u1
)
*\underline{
\mathsf{y}}
)
)
 = ((-u\underline{
\mathsf{x}}
)
+(-u\underline{
\mathsf{y}}
)
)
; eqSymmetry
\rhd (((-u1
)
*\underline{
\mathsf{x}}
)
+((-u1
)
*\underline{
\mathsf{y}}
)
)
 = ((-u\underline{
\mathsf{x}}
)
+(-u\underline{
\mathsf{y}}
)
)
\gg ((-u\underline{
\mathsf{x}}
)
+(-u\underline{
\mathsf{y}}
)
)
 = (((-u1
)
*\underline{
\mathsf{x}}
)
+((-u1
)
*\underline{
\mathsf{y}}
)
)
; DistributionOut
\gg (((-u1
)
*\underline{
\mathsf{x}}
)
+((-u1
)
*\underline{
\mathsf{y}}
)
)
 = ((-u1
)
*(\underline{
\mathsf{x}}
+\underline{
\mathsf{y}}
)
)
; Times(-1)Left
\gg ((-u1
)
*(\underline{
\mathsf{x}}
+\underline{
\mathsf{y}}
)
)
 = (-u(\underline{
\mathsf{x}}
+\underline{
\mathsf{y}}
)
)
; eqTransitivity4
\rhd ((-u\underline{
\mathsf{x}}
)
+(-u\underline{
\mathsf{y}}
)
)
 = (((-u1
)
*\underline{
\mathsf{x}}
)
+((-u1
)
*\underline{
\mathsf{y}}
)
)
\rhd (((-u1
)
*\underline{
\mathsf{x}}
)
+((-u1
)
*\underline{
\mathsf{y}}
)
)
 = ((-u1
)
*(\underline{
\mathsf{x}}
+\underline{
\mathsf{y}}
)
)
\rhd ((-u1
)
*(\underline{
\mathsf{x}}
+\underline{
\mathsf{y}}
)
)
 = (-u(\underline{
\mathsf{x}}
+\underline{
\mathsf{y}}
)
)
\gg ((-u\underline{
\mathsf{x}}
)
+(-u\underline{
\mathsf{y}}
)
)
 = (-u(\underline{
\mathsf{x}}
+\underline{
\mathsf{y}}
)
)
\rceil 
, 
p_0
, 
\mathsf {c}
)
]$


$
[MinusNegated
\stackrel{
stmt
}{\rightarrow}SystemQ
\vdash 
\forall \underline{
\mathsf{x}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf{y}}
\colon (-u(\underline{
\mathsf{x}}
+(-u\underline{
\mathsf{y}}
)
)
)
 = (\underline{
\mathsf{y}}
+(-u\underline{
\mathsf{x}}
)
)
]$

$
[MinusNegated
\stackrel{
proof
}{\rightarrow}
\lambda 
\mathsf {c}
.
\lambda 
\mathsf{x}
.
{\cal P}( 
\lceil SystemQ
\vdash 
\forall \underline{
\mathsf{x}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf{y}}
\colon DoubleMinus
\gg (-u(-u\underline{
\mathsf{y}}
)
)
 = \underline{
\mathsf{y}}
; eqAddition
\rhd (-u(-u\underline{
\mathsf{y}}
)
)
 = \underline{
\mathsf{y}}
\gg ((-u(-u\underline{
\mathsf{y}}
)
)
+(-u\underline{
\mathsf{x}}
)
)
 = (\underline{
\mathsf{y}}
+(-u\underline{
\mathsf{x}}
)
)
; eqSymmetry
\rhd ((-u(-u\underline{
\mathsf{y}}
)
)
+(-u\underline{
\mathsf{x}}
)
)
 = (\underline{
\mathsf{y}}
+(-u\underline{
\mathsf{x}}
)
)
\gg (\underline{
\mathsf{y}}
+(-u\underline{
\mathsf{x}}
)
)
 = ((-u(-u\underline{
\mathsf{y}}
)
)
+(-u\underline{
\mathsf{x}}
)
)
; -x-y=-(x+y)
\gg ((-u(-u\underline{
\mathsf{y}}
)
)
+(-u\underline{
\mathsf{x}}
)
)
 = (-u((-u\underline{
\mathsf{y}}
)
+\underline{
\mathsf{x}}
)
)
; plusCommutativity
\gg ((-u\underline{
\mathsf{y}}
)
+\underline{
\mathsf{x}}
)
 = (\underline{
\mathsf{x}}
+(-u\underline{
\mathsf{y}}
)
)
; EqNegated
\rhd ((-u\underline{
\mathsf{y}}
)
+\underline{
\mathsf{x}}
)
 = (\underline{
\mathsf{x}}
+(-u\underline{
\mathsf{y}}
)
)
\gg (-u((-u\underline{
\mathsf{y}}
)
+\underline{
\mathsf{x}}
)
)
 = (-u(\underline{
\mathsf{x}}
+(-u\underline{
\mathsf{y}}
)
)
)
; eqTransitivity4
\rhd (\underline{
\mathsf{y}}
+(-u\underline{
\mathsf{x}}
)
)
 = ((-u(-u\underline{
\mathsf{y}}
)
)
+(-u\underline{
\mathsf{x}}
)
)
\rhd ((-u(-u\underline{
\mathsf{y}}
)
)
+(-u\underline{
\mathsf{x}}
)
)
 = (-u((-u\underline{
\mathsf{y}}
)
+\underline{
\mathsf{x}}
)
)
\rhd (-u((-u\underline{
\mathsf{y}}
)
+\underline{
\mathsf{x}}
)
)
 = (-u(\underline{
\mathsf{x}}
+(-u\underline{
\mathsf{y}}
)
)
)
\gg (\underline{
\mathsf{y}}
+(-u\underline{
\mathsf{x}}
)
)
 = (-u(\underline{
\mathsf{x}}
+(-u\underline{
\mathsf{y}}
)
)
)
; eqSymmetry
\rhd (\underline{
\mathsf{y}}
+(-u\underline{
\mathsf{x}}
)
)
 = (-u(\underline{
\mathsf{x}}
+(-u\underline{
\mathsf{y}}
)
)
)
\gg (-u(\underline{
\mathsf{x}}
+(-u\underline{
\mathsf{y}}
)
)
)
 = (\underline{
\mathsf{y}}
+(-u\underline{
\mathsf{x}}
)
)
\rceil 
, 
p_0
, 
\mathsf {c}
)
]$


$
[NumericalDifference
\stackrel{
stmt
}{\rightarrow}SystemQ
\vdash 
\forall \underline{
\mathsf{x}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf{y}}
\colon |(\underline{
\mathsf{x}}
+(-u\underline{
\mathsf{y}}
)
)
|
 = |(\underline{
\mathsf{y}}
+(-u\underline{
\mathsf{x}}
)
)
|
]$

$
[NumericalDifference
\stackrel{
proof
}{\rightarrow}
\lambda 
\mathsf {c}
.
\lambda 
\mathsf{x}
.
{\cal P}( 
\lceil SystemQ
\vdash 
\forall \underline{
\mathsf{x}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf{y}}
\colon SignNumerical
\gg |(\underline{
\mathsf{x}}
+(-u\underline{
\mathsf{y}}
)
)
|
 = |(-u(\underline{
\mathsf{x}}
+(-u\underline{
\mathsf{y}}
)
)
)
|
; MinusNegated
\gg (-u(\underline{
\mathsf{x}}
+(-u\underline{
\mathsf{y}}
)
)
)
 = (\underline{
\mathsf{y}}
+(-u\underline{
\mathsf{x}}
)
)
; SameNumerical
\rhd (-u(\underline{
\mathsf{x}}
+(-u\underline{
\mathsf{y}}
)
)
)
 = (\underline{
\mathsf{y}}
+(-u\underline{
\mathsf{x}}
)
)
\gg |(-u(\underline{
\mathsf{x}}
+(-u\underline{
\mathsf{y}}
)
)
)
|
 = |(\underline{
\mathsf{y}}
+(-u\underline{
\mathsf{x}}
)
)
|
; eqTransitivity
\rhd |(\underline{
\mathsf{x}}
+(-u\underline{
\mathsf{y}}
)
)
|
 = |(-u(\underline{
\mathsf{x}}
+(-u\underline{
\mathsf{y}}
)
)
)
|
\rhd |(-u(\underline{
\mathsf{x}}
+(-u\underline{
\mathsf{y}}
)
)
)
|
 = |(\underline{
\mathsf{y}}
+(-u\underline{
\mathsf{x}}
)
)
|
\gg |(\underline{
\mathsf{x}}
+(-u\underline{
\mathsf{y}}
)
)
|
 = |(\underline{
\mathsf{y}}
+(-u\underline{
\mathsf{x}}
)
)
|
\rceil 
, 
p_0
, 
\mathsf {c}
)
]$

$
[SplitNumericalSumHelper
\stackrel{
stmt
}{\rightarrow}SystemQ
\vdash 
\forall \underline{
\mathsf{x}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf{y}}
\colon |((-u\underline{
\mathsf{x}}
)
+(-u\underline{
\mathsf{y}}
)
)
|
 <= (|(-u\underline{
\mathsf{x}}
)
|
+|(-u\underline{
\mathsf{y}}
)
|
)
\vdash |(\underline{
\mathsf{x}}
+\underline{
\mathsf{y}}
)
|
 <= (|\underline{
\mathsf{x}}
|
+|\underline{
\mathsf{y}}
|
)
]$

$
[SplitNumericalSumHelper
\stackrel{
proof
}{\rightarrow}
\lambda 
\mathsf {c}
.
\lambda 
\mathsf{x}
.
{\cal P}( 
\lceil SystemQ
\vdash 
\forall \underline{
\mathsf{x}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf{y}}
\colon |((-u\underline{
\mathsf{x}}
)
+(-u\underline{
\mathsf{y}}
)
)
|
 <= (|(-u\underline{
\mathsf{x}}
)
|
+|(-u\underline{
\mathsf{y}}
)
|
)
\vdash SignNumerical
\gg |\underline{
\mathsf{x}}
|
 = |(-u\underline{
\mathsf{x}}
)
|
; SignNumerical
\gg |\underline{
\mathsf{y}}
|
 = |(-u\underline{
\mathsf{y}}
)
|
; AddEquations
\rhd |\underline{
\mathsf{x}}
|
 = |(-u\underline{
\mathsf{x}}
)
|
\rhd |\underline{
\mathsf{y}}
|
 = |(-u\underline{
\mathsf{y}}
)
|
\gg (|\underline{
\mathsf{x}}
|
+|\underline{
\mathsf{y}}
|
)
 = (|(-u\underline{
\mathsf{x}}
)
|
+|(-u\underline{
\mathsf{y}}
)
|
)
; eqSymmetry
\rhd (|\underline{
\mathsf{x}}
|
+|\underline{
\mathsf{y}}
|
)
 = (|(-u\underline{
\mathsf{x}}
)
|
+|(-u\underline{
\mathsf{y}}
)
|
)
\gg (|(-u\underline{
\mathsf{x}}
)
|
+|(-u\underline{
\mathsf{y}}
)
|
)
 = (|\underline{
\mathsf{x}}
|
+|\underline{
\mathsf{y}}
|
)
; -x-y=-(x+y)
\gg ((-u\underline{
\mathsf{x}}
)
+(-u\underline{
\mathsf{y}}
)
)
 = (-u(\underline{
\mathsf{x}}
+\underline{
\mathsf{y}}
)
)
; SameNumerical
\rhd ((-u\underline{
\mathsf{x}}
)
+(-u\underline{
\mathsf{y}}
)
)
 = (-u(\underline{
\mathsf{x}}
+\underline{
\mathsf{y}}
)
)
\gg |((-u\underline{
\mathsf{x}}
)
+(-u\underline{
\mathsf{y}}
)
)
|
 = |(-u(\underline{
\mathsf{x}}
+\underline{
\mathsf{y}}
)
)
|
; SignNumerical
\gg |(\underline{
\mathsf{x}}
+\underline{
\mathsf{y}}
)
|
 = |(-u(\underline{
\mathsf{x}}
+\underline{
\mathsf{y}}
)
)
|
; eqSymmetry
\rhd |(\underline{
\mathsf{x}}
+\underline{
\mathsf{y}}
)
|
 = |(-u(\underline{
\mathsf{x}}
+\underline{
\mathsf{y}}
)
)
|
\gg |(-u(\underline{
\mathsf{x}}
+\underline{
\mathsf{y}}
)
)
|
 = |(\underline{
\mathsf{x}}
+\underline{
\mathsf{y}}
)
|
; eqTransitivity
\rhd |((-u\underline{
\mathsf{x}}
)
+(-u\underline{
\mathsf{y}}
)
)
|
 = |(-u(\underline{
\mathsf{x}}
+\underline{
\mathsf{y}}
)
)
|
\rhd |(-u(\underline{
\mathsf{x}}
+\underline{
\mathsf{y}}
)
)
|
 = |(\underline{
\mathsf{x}}
+\underline{
\mathsf{y}}
)
|
\gg |((-u\underline{
\mathsf{x}}
)
+(-u\underline{
\mathsf{y}}
)
)
|
 = |(\underline{
\mathsf{x}}
+\underline{
\mathsf{y}}
)
|
; subLeqRight
\rhd (|(-u\underline{
\mathsf{x}}
)
|
+|(-u\underline{
\mathsf{y}}
)
|
)
 = (|\underline{
\mathsf{x}}
|
+|\underline{
\mathsf{y}}
|
)
\rhd |((-u\underline{
\mathsf{x}}
)
+(-u\underline{
\mathsf{y}}
)
)
|
 <= (|(-u\underline{
\mathsf{x}}
)
|
+|(-u\underline{
\mathsf{y}}
)
|
)
\gg |((-u\underline{
\mathsf{x}}
)
+(-u\underline{
\mathsf{y}}
)
)
|
 <= (|\underline{
\mathsf{x}}
|
+|\underline{
\mathsf{y}}
|
)
; subLeqLeft
\rhd |((-u\underline{
\mathsf{x}}
)
+(-u\underline{
\mathsf{y}}
)
)
|
 = |(\underline{
\mathsf{x}}
+\underline{
\mathsf{y}}
)
|
\rhd |((-u\underline{
\mathsf{x}}
)
+(-u\underline{
\mathsf{y}}
)
)
|
 <= (|\underline{
\mathsf{x}}
|
+|\underline{
\mathsf{y}}
|
)
\gg |(\underline{
\mathsf{x}}
+\underline{
\mathsf{y}}
)
|
 <= (|\underline{
\mathsf{x}}
|
+|\underline{
\mathsf{y}}
|
)
\rceil 
, 
p_0
, 
\mathsf {c}
)
]$


$
[splitNumericalSum(++)
\stackrel{
stmt
}{\rightarrow}SystemQ
\vdash 
\forall \underline{
\mathsf{x}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf{y}}
\colon 0
 <= \underline{
\mathsf{x}}
\vdash 0
 <= \underline{
\mathsf{y}}
\vdash |(\underline{
\mathsf{x}}
+\underline{
\mathsf{y}}
)
|
 <= (|\underline{
\mathsf{x}}
|
+|\underline{
\mathsf{y}}
|
)
]$

$
[splitNumericalSum(++)
\stackrel{
proof
}{\rightarrow}
\lambda 
\mathsf {c}
.
\lambda 
\mathsf{x}
.
{\cal P}( 
\lceil SystemQ
\vdash 
\forall \underline{
\mathsf{x}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf{y}}
\colon 0
 <= \underline{
\mathsf{x}}
\vdash 0
 <= \underline{
\mathsf{y}}
\vdash AddEquations(Leq)
\rhd 0
 <= \underline{
\mathsf{x}}
\rhd 0
 <= \underline{
\mathsf{y}}
\gg (0
+0
)
 <= (\underline{
\mathsf{x}}
+\underline{
\mathsf{y}}
)
; plus0
\gg (0
+0
)
 = 0
; subLeqLeft
\rhd (0
+0
)
 = 0
\rhd (0
+0
)
 <= (\underline{
\mathsf{x}}
+\underline{
\mathsf{y}}
)
\gg 0
 <= (\underline{
\mathsf{x}}
+\underline{
\mathsf{y}}
)
; NonnegativeNumerical
\rhd 0
 <= (\underline{
\mathsf{x}}
+\underline{
\mathsf{y}}
)
\gg |(\underline{
\mathsf{x}}
+\underline{
\mathsf{y}}
)
|
 = (\underline{
\mathsf{x}}
+\underline{
\mathsf{y}}
)
; NonnegativeNumerical
\rhd 0
 <= \underline{
\mathsf{x}}
\gg |\underline{
\mathsf{x}}
|
 = \underline{
\mathsf{x}}
; NonnegativeNumerical
\rhd 0
 <= \underline{
\mathsf{y}}
\gg |\underline{
\mathsf{y}}
|
 = \underline{
\mathsf{y}}
; AddEquations
\rhd |\underline{
\mathsf{x}}
|
 = \underline{
\mathsf{x}}
\rhd |\underline{
\mathsf{y}}
|
 = \underline{
\mathsf{y}}
\gg (|\underline{
\mathsf{x}}
|
+|\underline{
\mathsf{y}}
|
)
 = (\underline{
\mathsf{x}}
+\underline{
\mathsf{y}}
)
; eqSymmetry
\rhd (|\underline{
\mathsf{x}}
|
+|\underline{
\mathsf{y}}
|
)
 = (\underline{
\mathsf{x}}
+\underline{
\mathsf{y}}
)
\gg (\underline{
\mathsf{x}}
+\underline{
\mathsf{y}}
)
 = (|\underline{
\mathsf{x}}
|
+|\underline{
\mathsf{y}}
|
)
; eqTransitivity
\rhd |(\underline{
\mathsf{x}}
+\underline{
\mathsf{y}}
)
|
 = (\underline{
\mathsf{x}}
+\underline{
\mathsf{y}}
)
\rhd (\underline{
\mathsf{x}}
+\underline{
\mathsf{y}}
)
 = (|\underline{
\mathsf{x}}
|
+|\underline{
\mathsf{y}}
|
)
\gg |(\underline{
\mathsf{x}}
+\underline{
\mathsf{y}}
)
|
 = (|\underline{
\mathsf{x}}
|
+|\underline{
\mathsf{y}}
|
)
; eqLeq
\rhd |(\underline{
\mathsf{x}}
+\underline{
\mathsf{y}}
)
|
 = (|\underline{
\mathsf{x}}
|
+|\underline{
\mathsf{y}}
|
)
\gg |(\underline{
\mathsf{x}}
+\underline{
\mathsf{y}}
)
|
 <= (|\underline{
\mathsf{x}}
|
+|\underline{
\mathsf{y}}
|
)
\rceil 
, 
p_0
, 
\mathsf {c}
)
]$

$
[splitNumericalSum(--)
\stackrel{
stmt
}{\rightarrow}SystemQ
\vdash 
\forall \underline{
\mathsf{x}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf{y}}
\colon \underline{
\mathsf{x}}
 <= 0
\vdash \underline{
\mathsf{y}}
 <= 0
\vdash |(\underline{
\mathsf{x}}
+\underline{
\mathsf{y}}
)
|
 <= (|\underline{
\mathsf{x}}
|
+|\underline{
\mathsf{y}}
|
)
]$

$
[splitNumericalSum(--)
\stackrel{
proof
}{\rightarrow}
\lambda 
\mathsf {c}
.
\lambda 
\mathsf{x}
.
{\cal P}( 
\lceil SystemQ
\vdash 
\forall \underline{
\mathsf{x}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf{y}}
\colon \underline{
\mathsf{x}}
 <= 0
\vdash \underline{
\mathsf{y}}
 <= 0
\vdash NonpositiveNegated
\rhd \underline{
\mathsf{x}}
 <= 0
\gg 0
 <= (-u\underline{
\mathsf{x}}
)
; NonpositiveNegated
\rhd \underline{
\mathsf{y}}
 <= 0
\gg 0
 <= (-u\underline{
\mathsf{y}}
)
; splitNumericalSum(++)
\rhd 0
 <= (-u\underline{
\mathsf{x}}
)
\rhd 0
 <= (-u\underline{
\mathsf{y}}
)
\gg |((-u\underline{
\mathsf{x}}
)
+(-u\underline{
\mathsf{y}}
)
)
|
 <= (|(-u\underline{
\mathsf{x}}
)
|
+|(-u\underline{
\mathsf{y}}
)
|
)
; SplitNumericalSumHelper
\rhd |((-u\underline{
\mathsf{x}}
)
+(-u\underline{
\mathsf{y}}
)
)
|
 <= (|(-u\underline{
\mathsf{x}}
)
|
+|(-u\underline{
\mathsf{y}}
)
|
)
\gg |(\underline{
\mathsf{x}}
+\underline{
\mathsf{y}}
)
|
 <= (|\underline{
\mathsf{x}}
|
+|\underline{
\mathsf{y}}
|
)
\rceil 
, 
p_0
, 
\mathsf {c}
)
]$

$
[splitNumericalSum(+-small)
\stackrel{
stmt
}{\rightarrow}SystemQ
\vdash 
\forall \underline{
\mathsf{x}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf{y}}
\colon 0
 <= \underline{
\mathsf{x}}
\vdash \underline{
\mathsf{y}}
 <= 0
\vdash |\underline{
\mathsf{y}}
|
 <= |\underline{
\mathsf{x}}
|
\vdash |(\underline{
\mathsf{x}}
+\underline{
\mathsf{y}}
)
|
 <= |\underline{
\mathsf{x}}
|
]$

$
[splitNumericalSum(+-small)
\stackrel{
proof
}{\rightarrow}
\lambda 
\mathsf {c}
.
\lambda 
\mathsf{x}
.
{\cal P}( 
\lceil SystemQ
\vdash 
\forall \underline{
\mathsf{x}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf{y}}
\colon 0
 <= \underline{
\mathsf{x}}
\vdash \underline{
\mathsf{y}}
 <= 0
\vdash |\underline{
\mathsf{y}}
|
 <= |\underline{
\mathsf{x}}
|
\vdash LeqAdditionLeft
\rhd \underline{
\mathsf{y}}
 <= 0
\gg (\underline{
\mathsf{x}}
+\underline{
\mathsf{y}}
)
 <= (\underline{
\mathsf{x}}
+0
)
; plus0
\gg (\underline{
\mathsf{x}}
+0
)
 = \underline{
\mathsf{x}}
; subLeqRight
\rhd (\underline{
\mathsf{x}}
+0
)
 = \underline{
\mathsf{x}}
\rhd (\underline{
\mathsf{x}}
+\underline{
\mathsf{y}}
)
 <= (\underline{
\mathsf{x}}
+0
)
\gg (\underline{
\mathsf{x}}
+\underline{
\mathsf{y}}
)
 <= \underline{
\mathsf{x}}
; PositiveToRight(Leq)(1 term)
\rhd |\underline{
\mathsf{y}}
|
 <= |\underline{
\mathsf{x}}
|
\gg 0
 <= (|\underline{
\mathsf{x}}
|
+(-u|\underline{
\mathsf{y}}
|
)
)
; 
\mbox{lemma nonpositiveNumerical}
\rhd \underline{
\mathsf{y}}
 <= 0
\gg |\underline{
\mathsf{y}}
|
 = (-u\underline{
\mathsf{y}}
)
; EqNegated
\rhd |\underline{
\mathsf{y}}
|
 = (-u\underline{
\mathsf{y}}
)
\gg (-u|\underline{
\mathsf{y}}
|
)
 = (-u(-u\underline{
\mathsf{y}}
)
)
; DoubleMinus
\gg (-u(-u\underline{
\mathsf{y}}
)
)
 = \underline{
\mathsf{y}}
; eqTransitivity
\rhd (-u|\underline{
\mathsf{y}}
|
)
 = (-u(-u\underline{
\mathsf{y}}
)
)
\rhd (-u(-u\underline{
\mathsf{y}}
)
)
 = \underline{
\mathsf{y}}
\gg (-u|\underline{
\mathsf{y}}
|
)
 = \underline{
\mathsf{y}}
; NonnegativeNumerical
\rhd 0
 <= \underline{
\mathsf{x}}
\gg |\underline{
\mathsf{x}}
|
 = \underline{
\mathsf{x}}
; AddEquations
\rhd |\underline{
\mathsf{x}}
|
 = \underline{
\mathsf{x}}
\rhd (-u|\underline{
\mathsf{y}}
|
)
 = \underline{
\mathsf{y}}
\gg (|\underline{
\mathsf{x}}
|
+(-u|\underline{
\mathsf{y}}
|
)
)
 = (\underline{
\mathsf{x}}
+\underline{
\mathsf{y}}
)
; subLeqRight
\rhd (|\underline{
\mathsf{x}}
|
+(-u|\underline{
\mathsf{y}}
|
)
)
 = (\underline{
\mathsf{x}}
+\underline{
\mathsf{y}}
)
\rhd 0
 <= (|\underline{
\mathsf{x}}
|
+(-u|\underline{
\mathsf{y}}
|
)
)
\gg 0
 <= (\underline{
\mathsf{x}}
+\underline{
\mathsf{y}}
)
; NonnegativeNumerical
\rhd 0
 <= (\underline{
\mathsf{x}}
+\underline{
\mathsf{y}}
)
\gg |(\underline{
\mathsf{x}}
+\underline{
\mathsf{y}}
)
|
 = (\underline{
\mathsf{x}}
+\underline{
\mathsf{y}}
)
; eqSymmetry
\rhd |(\underline{
\mathsf{x}}
+\underline{
\mathsf{y}}
)
|
 = (\underline{
\mathsf{x}}
+\underline{
\mathsf{y}}
)
\gg (\underline{
\mathsf{x}}
+\underline{
\mathsf{y}}
)
 = |(\underline{
\mathsf{x}}
+\underline{
\mathsf{y}}
)
|
; eqSymmetry
\rhd |\underline{
\mathsf{x}}
|
 = \underline{
\mathsf{x}}
\gg \underline{
\mathsf{x}}
 = |\underline{
\mathsf{x}}
|
; subLeqLeft
\rhd (\underline{
\mathsf{x}}
+\underline{
\mathsf{y}}
)
 = |(\underline{
\mathsf{x}}
+\underline{
\mathsf{y}}
)
|
\rhd (\underline{
\mathsf{x}}
+\underline{
\mathsf{y}}
)
 <= \underline{
\mathsf{x}}
\gg |(\underline{
\mathsf{x}}
+\underline{
\mathsf{y}}
)
|
 <= \underline{
\mathsf{x}}
; subLeqRight
\rhd \underline{
\mathsf{x}}
 = |\underline{
\mathsf{x}}
|
\rhd |(\underline{
\mathsf{x}}
+\underline{
\mathsf{y}}
)
|
 <= \underline{
\mathsf{x}}
\gg |(\underline{
\mathsf{x}}
+\underline{
\mathsf{y}}
)
|
 <= |\underline{
\mathsf{x}}
|
\rceil 
, 
p_0
, 
\mathsf {c}
)
]$

$
[splitNumericalSum(+-big)
\stackrel{
stmt
}{\rightarrow}SystemQ
\vdash 
\forall \underline{
\mathsf{x}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf{y}}
\colon 0
 <= \underline{
\mathsf{x}}
\vdash \underline{
\mathsf{y}}
 <= 0
\vdash \dot{\neg}\,(|\underline{
\mathsf{x}}
|
 <= |\underline{
\mathsf{y}}
|
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(|\underline{
\mathsf{x}}
|
 = |\underline{
\mathsf{y}}
|
)n
)n
)n
\vdash |(\underline{
\mathsf{x}}
+\underline{
\mathsf{y}}
)
|
 <= |\underline{
\mathsf{y}}
|
]$

$
[splitNumericalSum(+-big)
\stackrel{
proof
}{\rightarrow}
\lambda 
\mathsf {c}
.
\lambda 
\mathsf{x}
.
{\cal P}( 
\lceil SystemQ
\vdash 
\forall \underline{
\mathsf{x}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf{y}}
\colon 0
 <= \underline{
\mathsf{x}}
\vdash \underline{
\mathsf{y}}
 <= 0
\vdash \dot{\neg}\,(|\underline{
\mathsf{x}}
|
 <= |\underline{
\mathsf{y}}
|
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(|\underline{
\mathsf{x}}
|
 = |\underline{
\mathsf{y}}
|
)n
)n
)n
\vdash NonnegativeNegated
\rhd 0
 <= \underline{
\mathsf{x}}
\gg (-u\underline{
\mathsf{x}}
)
 <= 0
; NonpositiveNegated
\rhd \underline{
\mathsf{y}}
 <= 0
\gg 0
 <= (-u\underline{
\mathsf{y}}
)
; SignNumerical
\gg |\underline{
\mathsf{x}}
|
 = |(-u\underline{
\mathsf{x}}
)
|
; SubLessLeft
\rhd |\underline{
\mathsf{x}}
|
 = |(-u\underline{
\mathsf{x}}
)
|
\rhd \dot{\neg}\,(|\underline{
\mathsf{x}}
|
 <= |\underline{
\mathsf{y}}
|
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(|\underline{
\mathsf{x}}
|
 = |\underline{
\mathsf{y}}
|
)n
)n
)n
\gg \dot{\neg}\,(|(-u\underline{
\mathsf{x}}
)
|
 <= |\underline{
\mathsf{y}}
|
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(|(-u\underline{
\mathsf{x}}
)
|
 = |\underline{
\mathsf{y}}
|
)n
)n
)n
; SignNumerical
\gg |\underline{
\mathsf{y}}
|
 = |(-u\underline{
\mathsf{y}}
)
|
; SubLessRight
\rhd |\underline{
\mathsf{y}}
|
 = |(-u\underline{
\mathsf{y}}
)
|
\rhd \dot{\neg}\,(|(-u\underline{
\mathsf{x}}
)
|
 <= |\underline{
\mathsf{y}}
|
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(|(-u\underline{
\mathsf{x}}
)
|
 = |\underline{
\mathsf{y}}
|
)n
)n
)n
\gg \dot{\neg}\,(|(-u\underline{
\mathsf{x}}
)
|
 <= |(-u\underline{
\mathsf{y}}
)
|
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(|(-u\underline{
\mathsf{x}}
)
|
 = |(-u\underline{
\mathsf{y}}
)
|
)n
)n
)n
; LessLeq
\rhd \dot{\neg}\,(|(-u\underline{
\mathsf{x}}
)
|
 <= |(-u\underline{
\mathsf{y}}
)
|
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(|(-u\underline{
\mathsf{x}}
)
|
 = |(-u\underline{
\mathsf{y}}
)
|
)n
)n
)n
\gg |(-u\underline{
\mathsf{x}}
)
|
 <= |(-u\underline{
\mathsf{y}}
)
|
; splitNumericalSum(+-small)
\rhd 0
 <= (-u\underline{
\mathsf{y}}
)
\rhd (-u\underline{
\mathsf{x}}
)
 <= 0
\rhd |(-u\underline{
\mathsf{x}}
)
|
 <= |(-u\underline{
\mathsf{y}}
)
|
\gg |((-u\underline{
\mathsf{y}}
)
+(-u\underline{
\mathsf{x}}
)
)
|
 <= |(-u\underline{
\mathsf{y}}
)
|
; SignNumerical
\gg |(\underline{
\mathsf{x}}
+\underline{
\mathsf{y}}
)
|
 = |(-u(\underline{
\mathsf{x}}
+\underline{
\mathsf{y}}
)
)
|
; -x-y=-(x+y)
\gg ((-u\underline{
\mathsf{x}}
)
+(-u\underline{
\mathsf{y}}
)
)
 = (-u(\underline{
\mathsf{x}}
+\underline{
\mathsf{y}}
)
)
; plusCommutativity
\gg ((-u\underline{
\mathsf{x}}
)
+(-u\underline{
\mathsf{y}}
)
)
 = ((-u\underline{
\mathsf{y}}
)
+(-u\underline{
\mathsf{x}}
)
)
; Equality
\rhd ((-u\underline{
\mathsf{x}}
)
+(-u\underline{
\mathsf{y}}
)
)
 = (-u(\underline{
\mathsf{x}}
+\underline{
\mathsf{y}}
)
)
\rhd ((-u\underline{
\mathsf{x}}
)
+(-u\underline{
\mathsf{y}}
)
)
 = ((-u\underline{
\mathsf{y}}
)
+(-u\underline{
\mathsf{x}}
)
)
\gg (-u(\underline{
\mathsf{x}}
+\underline{
\mathsf{y}}
)
)
 = ((-u\underline{
\mathsf{y}}
)
+(-u\underline{
\mathsf{x}}
)
)
; SameNumerical
\rhd (-u(\underline{
\mathsf{x}}
+\underline{
\mathsf{y}}
)
)
 = ((-u\underline{
\mathsf{y}}
)
+(-u\underline{
\mathsf{x}}
)
)
\gg |(-u(\underline{
\mathsf{x}}
+\underline{
\mathsf{y}}
)
)
|
 = |((-u\underline{
\mathsf{y}}
)
+(-u\underline{
\mathsf{x}}
)
)
|
; eqTransitivity
\rhd |(\underline{
\mathsf{x}}
+\underline{
\mathsf{y}}
)
|
 = |(-u(\underline{
\mathsf{x}}
+\underline{
\mathsf{y}}
)
)
|
\rhd |(-u(\underline{
\mathsf{x}}
+\underline{
\mathsf{y}}
)
)
|
 = |((-u\underline{
\mathsf{y}}
)
+(-u\underline{
\mathsf{x}}
)
)
|
\gg |(\underline{
\mathsf{x}}
+\underline{
\mathsf{y}}
)
|
 = |((-u\underline{
\mathsf{y}}
)
+(-u\underline{
\mathsf{x}}
)
)
|
; eqSymmetry
\rhd |(\underline{
\mathsf{x}}
+\underline{
\mathsf{y}}
)
|
 = |((-u\underline{
\mathsf{y}}
)
+(-u\underline{
\mathsf{x}}
)
)
|
\gg |((-u\underline{
\mathsf{y}}
)
+(-u\underline{
\mathsf{x}}
)
)
|
 = |(\underline{
\mathsf{x}}
+\underline{
\mathsf{y}}
)
|
; eqSymmetry
\rhd |\underline{
\mathsf{y}}
|
 = |(-u\underline{
\mathsf{y}}
)
|
\gg |(-u\underline{
\mathsf{y}}
)
|
 = |\underline{
\mathsf{y}}
|
; subLeqLeft
\rhd |((-u\underline{
\mathsf{y}}
)
+(-u\underline{
\mathsf{x}}
)
)
|
 = |(\underline{
\mathsf{x}}
+\underline{
\mathsf{y}}
)
|
\rhd |((-u\underline{
\mathsf{y}}
)
+(-u\underline{
\mathsf{x}}
)
)
|
 <= |(-u\underline{
\mathsf{y}}
)
|
\gg |(\underline{
\mathsf{x}}
+\underline{
\mathsf{y}}
)
|
 <= |(-u\underline{
\mathsf{y}}
)
|
; subLeqRight
\rhd |(-u\underline{
\mathsf{y}}
)
|
 = |\underline{
\mathsf{y}}
|
\rhd |(\underline{
\mathsf{x}}
+\underline{
\mathsf{y}}
)
|
 <= |(-u\underline{
\mathsf{y}}
)
|
\gg |(\underline{
\mathsf{x}}
+\underline{
\mathsf{y}}
)
|
 <= |\underline{
\mathsf{y}}
|
\rceil 
, 
p_0
, 
\mathsf {c}
)
]$

$
[splitNumericalSum(+-)
\stackrel{
stmt
}{\rightarrow}SystemQ
\vdash 
\forall \underline{
\mathsf{x}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf{y}}
\colon 0
 <= \underline{
\mathsf{x}}
\vdash \underline{
\mathsf{y}}
 <= 0
\vdash |(\underline{
\mathsf{x}}
+\underline{
\mathsf{y}}
)
|
 <= (|\underline{
\mathsf{x}}
|
+|\underline{
\mathsf{y}}
|
)
]$

$
[splitNumericalSum(+-)
\stackrel{
proof
}{\rightarrow}
\lambda 
\mathsf {c}
.
\lambda 
\mathsf{x}
.
{\cal P}( 
\lceil SystemQ
\vdash 
\forall \underline{
\mathsf{x}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf{y}}
\colon |\underline{
\mathsf{y}}
|
 <= |\underline{
\mathsf{x}}
|
\vdash 0
 <= \underline{
\mathsf{x}}
\vdash \underline{
\mathsf{y}}
 <= 0
\vdash splitNumericalSum(+-small)
\rhd 0
 <= \underline{
\mathsf{x}}
\rhd \underline{
\mathsf{y}}
 <= 0
\rhd |\underline{
\mathsf{y}}
|
 <= |\underline{
\mathsf{x}}
|
\gg |(\underline{
\mathsf{x}}
+\underline{
\mathsf{y}}
)
|
 <= |\underline{
\mathsf{x}}
|
; 0<=|x|
\gg 0
 <= |\underline{
\mathsf{y}}
|
; LeqAdditionLeft
\rhd 0
 <= |\underline{
\mathsf{y}}
|
\gg (|\underline{
\mathsf{x}}
|
+0
)
 <= (|\underline{
\mathsf{x}}
|
+|\underline{
\mathsf{y}}
|
)
; plus0
\gg (|\underline{
\mathsf{x}}
|
+0
)
 = |\underline{
\mathsf{x}}
|
; subLeqLeft
\rhd (|\underline{
\mathsf{x}}
|
+0
)
 = |\underline{
\mathsf{x}}
|
\rhd (|\underline{
\mathsf{x}}
|
+0
)
 <= (|\underline{
\mathsf{x}}
|
+|\underline{
\mathsf{y}}
|
)
\gg |\underline{
\mathsf{x}}
|
 <= (|\underline{
\mathsf{x}}
|
+|\underline{
\mathsf{y}}
|
)
; leqTransitivity
\rhd |(\underline{
\mathsf{x}}
+\underline{
\mathsf{y}}
)
|
 <= |\underline{
\mathsf{x}}
|
\rhd |\underline{
\mathsf{x}}
|
 <= (|\underline{
\mathsf{x}}
|
+|\underline{
\mathsf{y}}
|
)
\gg |(\underline{
\mathsf{x}}
+\underline{
\mathsf{y}}
)
|
 <= (|\underline{
\mathsf{x}}
|
+|\underline{
\mathsf{y}}
|
)
; 
\forall \underline{
\mathsf{x}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf{y}}
\colon \dot{\neg}\,(|\underline{
\mathsf{y}}
|
 <= |\underline{
\mathsf{x}}
|
)n
\vdash 0
 <= \underline{
\mathsf{x}}
\vdash \underline{
\mathsf{y}}
 <= 0
\vdash ToLess
\rhd \dot{\neg}\,(|\underline{
\mathsf{y}}
|
 <= |\underline{
\mathsf{x}}
|
)n
\gg \dot{\neg}\,(|\underline{
\mathsf{x}}
|
 <= |\underline{
\mathsf{y}}
|
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(|\underline{
\mathsf{x}}
|
 = |\underline{
\mathsf{y}}
|
)n
)n
)n
; splitNumericalSum(+-big)
\rhd 0
 <= \underline{
\mathsf{x}}
\rhd \underline{
\mathsf{y}}
 <= 0
\rhd \dot{\neg}\,(|\underline{
\mathsf{x}}
|
 <= |\underline{
\mathsf{y}}
|
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(|\underline{
\mathsf{x}}
|
 = |\underline{
\mathsf{y}}
|
)n
)n
)n
\gg |(\underline{
\mathsf{x}}
+\underline{
\mathsf{y}}
)
|
 <= |\underline{
\mathsf{y}}
|
; 0<=|x|
\gg 0
 <= |\underline{
\mathsf{x}}
|
; leqAddition
\rhd 0
 <= |\underline{
\mathsf{x}}
|
\gg (0
+|\underline{
\mathsf{y}}
|
)
 <= (|\underline{
\mathsf{x}}
|
+|\underline{
\mathsf{y}}
|
)
; 
\mbox{lemma plus0Left}
\gg (0
+|\underline{
\mathsf{y}}
|
)
 = |\underline{
\mathsf{y}}
|
; subLeqLeft
\rhd (0
+|\underline{
\mathsf{y}}
|
)
 = |\underline{
\mathsf{y}}
|
\rhd (0
+|\underline{
\mathsf{y}}
|
)
 <= (|\underline{
\mathsf{x}}
|
+|\underline{
\mathsf{y}}
|
)
\gg |\underline{
\mathsf{y}}
|
 <= (|\underline{
\mathsf{x}}
|
+|\underline{
\mathsf{y}}
|
)
; leqTransitivity
\rhd |(\underline{
\mathsf{x}}
+\underline{
\mathsf{y}}
)
|
 <= |\underline{
\mathsf{y}}
|
\rhd |\underline{
\mathsf{y}}
|
 <= (|\underline{
\mathsf{x}}
|
+|\underline{
\mathsf{y}}
|
)
\gg |(\underline{
\mathsf{x}}
+\underline{
\mathsf{y}}
)
|
 <= (|\underline{
\mathsf{x}}
|
+|\underline{
\mathsf{y}}
|
)
; 
\forall \underline{
\mathsf{x}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf{y}}
\colon Ded
\rhd 
\forall \underline{
\mathsf{x}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf{y}}
\colon |\underline{
\mathsf{y}}
|
 <= |\underline{
\mathsf{x}}
|
\vdash 0
 <= \underline{
\mathsf{x}}
\vdash \underline{
\mathsf{y}}
 <= 0
\vdash |(\underline{
\mathsf{x}}
+\underline{
\mathsf{y}}
)
|
 <= (|\underline{
\mathsf{x}}
|
+|\underline{
\mathsf{y}}
|
)
\gg |\underline{
\mathsf{y}}
|
 <= |\underline{
\mathsf{x}}
|
\Rightarrow 0
 <= \underline{
\mathsf{x}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf{y}}
 <= 0
\Rightarrow |(\underline{
\mathsf{x}}
+\underline{
\mathsf{y}}
)
|
 <= (|\underline{
\mathsf{x}}
|
+|\underline{
\mathsf{y}}
|
)
; Ded
\rhd 
\forall \underline{
\mathsf{x}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf{y}}
\colon \dot{\neg}\,(|\underline{
\mathsf{y}}
|
 <= |\underline{
\mathsf{x}}
|
)n
\vdash 0
 <= \underline{
\mathsf{x}}
\vdash \underline{
\mathsf{y}}
 <= 0
\vdash |(\underline{
\mathsf{x}}
+\underline{
\mathsf{y}}
)
|
 <= (|\underline{
\mathsf{x}}
|
+|\underline{
\mathsf{y}}
|
)
\gg \dot{\neg}\,(|\underline{
\mathsf{y}}
|
 <= |\underline{
\mathsf{x}}
|
)n
\Rightarrow 0
 <= \underline{
\mathsf{x}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf{y}}
 <= 0
\Rightarrow |(\underline{
\mathsf{x}}
+\underline{
\mathsf{y}}
)
|
 <= (|\underline{
\mathsf{x}}
|
+|\underline{
\mathsf{y}}
|
)
; 0
 <= \underline{
\mathsf{x}}
\vdash \underline{
\mathsf{y}}
 <= 0
\vdash FromNegations
\rhd |\underline{
\mathsf{y}}
|
 <= |\underline{
\mathsf{x}}
|
\Rightarrow 0
 <= \underline{
\mathsf{x}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf{y}}
 <= 0
\Rightarrow |(\underline{
\mathsf{x}}
+\underline{
\mathsf{y}}
)
|
 <= (|\underline{
\mathsf{x}}
|
+|\underline{
\mathsf{y}}
|
)
\rhd \dot{\neg}\,(|\underline{
\mathsf{y}}
|
 <= |\underline{
\mathsf{x}}
|
)n
\Rightarrow 0
 <= \underline{
\mathsf{x}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf{y}}
 <= 0
\Rightarrow |(\underline{
\mathsf{x}}
+\underline{
\mathsf{y}}
)
|
 <= (|\underline{
\mathsf{x}}
|
+|\underline{
\mathsf{y}}
|
)
\gg 0
 <= \underline{
\mathsf{x}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf{y}}
 <= 0
\Rightarrow |(\underline{
\mathsf{x}}
+\underline{
\mathsf{y}}
)
|
 <= (|\underline{
\mathsf{x}}
|
+|\underline{
\mathsf{y}}
|
)
; MP2
\rhd 0
 <= \underline{
\mathsf{x}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf{y}}
 <= 0
\Rightarrow |(\underline{
\mathsf{x}}
+\underline{
\mathsf{y}}
)
|
 <= (|\underline{
\mathsf{x}}
|
+|\underline{
\mathsf{y}}
|
)
\rhd 0
 <= \underline{
\mathsf{x}}
\rhd \underline{
\mathsf{y}}
 <= 0
\gg |(\underline{
\mathsf{x}}
+\underline{
\mathsf{y}}
)
|
 <= (|\underline{
\mathsf{x}}
|
+|\underline{
\mathsf{y}}
|
)
\rceil 
, 
p_0
, 
\mathsf {c}
)
]$

$
[splitNumericalSum(-+)
\stackrel{
stmt
}{\rightarrow}SystemQ
\vdash 
\forall \underline{
\mathsf{x}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf{y}}
\colon \underline{
\mathsf{x}}
 <= 0
\vdash 0
 <= \underline{
\mathsf{y}}
\vdash |(\underline{
\mathsf{x}}
+\underline{
\mathsf{y}}
)
|
 <= (|\underline{
\mathsf{x}}
|
+|\underline{
\mathsf{y}}
|
)
]$

$
[splitNumericalSum(-+)
\stackrel{
proof
}{\rightarrow}
\lambda 
\mathsf {c}
.
\lambda 
\mathsf{x}
.
{\cal P}( 
\lceil SystemQ
\vdash 
\forall \underline{
\mathsf{x}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf{y}}
\colon \underline{
\mathsf{x}}
 <= 0
\vdash 0
 <= \underline{
\mathsf{y}}
\vdash NonpositiveNegated
\rhd \underline{
\mathsf{x}}
 <= 0
\gg 0
 <= (-u\underline{
\mathsf{x}}
)
; NonnegativeNegated
\rhd 0
 <= \underline{
\mathsf{y}}
\gg (-u\underline{
\mathsf{y}}
)
 <= 0
; splitNumericalSum(+-)
\rhd 0
 <= (-u\underline{
\mathsf{x}}
)
\rhd (-u\underline{
\mathsf{y}}
)
 <= 0
\gg |((-u\underline{
\mathsf{x}}
)
+(-u\underline{
\mathsf{y}}
)
)
|
 <= (|(-u\underline{
\mathsf{x}}
)
|
+|(-u\underline{
\mathsf{y}}
)
|
)
; SplitNumericalSumHelper
\rhd |((-u\underline{
\mathsf{x}}
)
+(-u\underline{
\mathsf{y}}
)
)
|
 <= (|(-u\underline{
\mathsf{x}}
)
|
+|(-u\underline{
\mathsf{y}}
)
|
)
\gg |(\underline{
\mathsf{x}}
+\underline{
\mathsf{y}}
)
|
 <= (|\underline{
\mathsf{x}}
|
+|\underline{
\mathsf{y}}
|
)
\rceil 
, 
p_0
, 
\mathsf {c}
)
]$

$
[splitNumericalSum
\stackrel{
stmt
}{\rightarrow}SystemQ
\vdash 
\forall \underline{
\mathsf{x}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf{y}}
\colon |(\underline{
\mathsf{x}}
+\underline{
\mathsf{y}}
)
|
 <= (|\underline{
\mathsf{x}}
|
+|\underline{
\mathsf{y}}
|
)
]$

$
[splitNumericalSum
\stackrel{
proof
}{\rightarrow}
\lambda 
\mathsf {c}
.
\lambda 
\mathsf{x}
.
{\cal P}( 
\lceil SystemQ
\vdash 
\forall \underline{
\mathsf{x}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf{y}}
\colon 0
 <= \underline{
\mathsf{x}}
\vdash 0
 <= \underline{
\mathsf{y}}
\vdash splitNumericalSum(++)
\rhd 0
 <= \underline{
\mathsf{x}}
\rhd 0
 <= \underline{
\mathsf{y}}
\gg |(\underline{
\mathsf{x}}
+\underline{
\mathsf{y}}
)
|
 <= (|\underline{
\mathsf{x}}
|
+|\underline{
\mathsf{y}}
|
)
; 
\forall \underline{
\mathsf{x}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf{y}}
\colon 0
 <= \underline{
\mathsf{x}}
\vdash \underline{
\mathsf{y}}
 <= 0
\vdash splitNumericalSum(+-)
\rhd 0
 <= \underline{
\mathsf{x}}
\rhd \underline{
\mathsf{y}}
 <= 0
\gg |(\underline{
\mathsf{x}}
+\underline{
\mathsf{y}}
)
|
 <= (|\underline{
\mathsf{x}}
|
+|\underline{
\mathsf{y}}
|
)
; 
\forall \underline{
\mathsf{x}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf{y}}
\colon \underline{
\mathsf{x}}
 <= 0
\vdash 0
 <= \underline{
\mathsf{y}}
\vdash splitNumericalSum(-+)
\rhd \underline{
\mathsf{x}}
 <= 0
\rhd 0
 <= \underline{
\mathsf{y}}
\gg |(\underline{
\mathsf{x}}
+\underline{
\mathsf{y}}
)
|
 <= (|\underline{
\mathsf{x}}
|
+|\underline{
\mathsf{y}}
|
)
; 
\forall \underline{
\mathsf{x}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf{y}}
\colon \underline{
\mathsf{x}}
 <= 0
\vdash \underline{
\mathsf{y}}
 <= 0
\vdash splitNumericalSum(--)
\rhd \underline{
\mathsf{x}}
 <= 0
\rhd \underline{
\mathsf{y}}
 <= 0
\gg |(\underline{
\mathsf{x}}
+\underline{
\mathsf{y}}
)
|
 <= (|\underline{
\mathsf{x}}
|
+|\underline{
\mathsf{y}}
|
)
; 
\forall \underline{
\mathsf{x}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf{y}}
\colon Ded
\rhd 
\forall \underline{
\mathsf{x}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf{y}}
\colon 0
 <= \underline{
\mathsf{x}}
\vdash 0
 <= \underline{
\mathsf{y}}
\vdash |(\underline{
\mathsf{x}}
+\underline{
\mathsf{y}}
)
|
 <= (|\underline{
\mathsf{x}}
|
+|\underline{
\mathsf{y}}
|
)
\gg 0
 <= \underline{
\mathsf{x}}
\Rightarrow 0
 <= \underline{
\mathsf{y}}
\Rightarrow |(\underline{
\mathsf{x}}
+\underline{
\mathsf{y}}
)
|
 <= (|\underline{
\mathsf{x}}
|
+|\underline{
\mathsf{y}}
|
)
; Ded
\rhd 
\forall \underline{
\mathsf{x}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf{y}}
\colon 0
 <= \underline{
\mathsf{x}}
\vdash \underline{
\mathsf{y}}
 <= 0
\vdash |(\underline{
\mathsf{x}}
+\underline{
\mathsf{y}}
)
|
 <= (|\underline{
\mathsf{x}}
|
+|\underline{
\mathsf{y}}
|
)
\gg 0
 <= \underline{
\mathsf{x}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf{y}}
 <= 0
\Rightarrow |(\underline{
\mathsf{x}}
+\underline{
\mathsf{y}}
)
|
 <= (|\underline{
\mathsf{x}}
|
+|\underline{
\mathsf{y}}
|
)
; Ded
\rhd 
\forall \underline{
\mathsf{x}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf{y}}
\colon \underline{
\mathsf{x}}
 <= 0
\vdash 0
 <= \underline{
\mathsf{y}}
\vdash |(\underline{
\mathsf{x}}
+\underline{
\mathsf{y}}
)
|
 <= (|\underline{
\mathsf{x}}
|
+|\underline{
\mathsf{y}}
|
)
\gg \underline{
\mathsf{x}}
 <= 0
\Rightarrow 0
 <= \underline{
\mathsf{y}}
\Rightarrow |(\underline{
\mathsf{x}}
+\underline{
\mathsf{y}}
)
|
 <= (|\underline{
\mathsf{x}}
|
+|\underline{
\mathsf{y}}
|
)
; Ded
\rhd 
\forall \underline{
\mathsf{x}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf{y}}
\colon \underline{
\mathsf{x}}
 <= 0
\vdash \underline{
\mathsf{y}}
 <= 0
\vdash |(\underline{
\mathsf{x}}
+\underline{
\mathsf{y}}
)
|
 <= (|\underline{
\mathsf{x}}
|
+|\underline{
\mathsf{y}}
|
)
\gg \underline{
\mathsf{x}}
 <= 0
\Rightarrow \underline{
\mathsf{y}}
 <= 0
\Rightarrow |(\underline{
\mathsf{x}}
+\underline{
\mathsf{y}}
)
|
 <= (|\underline{
\mathsf{x}}
|
+|\underline{
\mathsf{y}}
|
)
; FromLeqGeq
\rhd 0
 <= \underline{
\mathsf{x}}
\Rightarrow 0
 <= \underline{
\mathsf{y}}
\Rightarrow |(\underline{
\mathsf{x}}
+\underline{
\mathsf{y}}
)
|
 <= (|\underline{
\mathsf{x}}
|
+|\underline{
\mathsf{y}}
|
)
\rhd \underline{
\mathsf{x}}
 <= 0
\Rightarrow 0
 <= \underline{
\mathsf{y}}
\Rightarrow |(\underline{
\mathsf{x}}
+\underline{
\mathsf{y}}
)
|
 <= (|\underline{
\mathsf{x}}
|
+|\underline{
\mathsf{y}}
|
)
\gg 0
 <= \underline{
\mathsf{y}}
\Rightarrow |(\underline{
\mathsf{x}}
+\underline{
\mathsf{y}}
)
|
 <= (|\underline{
\mathsf{x}}
|
+|\underline{
\mathsf{y}}
|
)
; FromLeqGeq
\rhd 0
 <= \underline{
\mathsf{x}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf{y}}
 <= 0
\Rightarrow |(\underline{
\mathsf{x}}
+\underline{
\mathsf{y}}
)
|
 <= (|\underline{
\mathsf{x}}
|
+|\underline{
\mathsf{y}}
|
)
\rhd \underline{
\mathsf{x}}
 <= 0
\Rightarrow \underline{
\mathsf{y}}
 <= 0
\Rightarrow |(\underline{
\mathsf{x}}
+\underline{
\mathsf{y}}
)
|
 <= (|\underline{
\mathsf{x}}
|
+|\underline{
\mathsf{y}}
|
)
\gg \underline{
\mathsf{y}}
 <= 0
\Rightarrow |(\underline{
\mathsf{x}}
+\underline{
\mathsf{y}}
)
|
 <= (|\underline{
\mathsf{x}}
|
+|\underline{
\mathsf{y}}
|
)
; FromLeqGeq
\rhd 0
 <= \underline{
\mathsf{y}}
\Rightarrow |(\underline{
\mathsf{x}}
+\underline{
\mathsf{y}}
)
|
 <= (|\underline{
\mathsf{x}}
|
+|\underline{
\mathsf{y}}
|
)
\rhd \underline{
\mathsf{y}}
 <= 0
\Rightarrow |(\underline{
\mathsf{x}}
+\underline{
\mathsf{y}}
)
|
 <= (|\underline{
\mathsf{x}}
|
+|\underline{
\mathsf{y}}
|
)
\gg |(\underline{
\mathsf{x}}
+\underline{
\mathsf{y}}
)
|
 <= (|\underline{
\mathsf{x}}
|
+|\underline{
\mathsf{y}}
|
)
\rceil 
, 
p_0
, 
\mathsf {c}
)
]$

$
[insertMiddleTerm(Sum)
\stackrel{
stmt
}{\rightarrow}SystemQ
\vdash 
\forall \underline{
\mathsf{x}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf{y}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf{z}}
\colon (\underline{
\mathsf{x}}
+\underline{
\mathsf{y}}
)
 = ((\underline{
\mathsf{x}}
+(-u\underline{
\mathsf{z}}
)
)
+(\underline{
\mathsf{z}}
+\underline{
\mathsf{y}}
)
)
]$

$
[insertMiddleTerm(Sum)
\stackrel{
proof
}{\rightarrow}
\lambda 
\mathsf {c}
.
\lambda 
\mathsf{x}
.
{\cal P}( 
\lceil SystemQ
\vdash 
\forall \underline{
\mathsf{x}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf{y}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf{z}}
\colon x=x+y-y
\gg \underline{
\mathsf{x}}
 = ((\underline{
\mathsf{x}}
+\underline{
\mathsf{z}}
)
+(-u\underline{
\mathsf{z}}
)
)
; Three2threeTerms
\gg ((\underline{
\mathsf{x}}
+\underline{
\mathsf{z}}
)
+(-u\underline{
\mathsf{z}}
)
)
 = ((\underline{
\mathsf{x}}
+(-u\underline{
\mathsf{z}}
)
)
+\underline{
\mathsf{z}}
)
; eqTransitivity
\rhd \underline{
\mathsf{x}}
 = ((\underline{
\mathsf{x}}
+\underline{
\mathsf{z}}
)
+(-u\underline{
\mathsf{z}}
)
)
\rhd ((\underline{
\mathsf{x}}
+\underline{
\mathsf{z}}
)
+(-u\underline{
\mathsf{z}}
)
)
 = ((\underline{
\mathsf{x}}
+(-u\underline{
\mathsf{z}}
)
)
+\underline{
\mathsf{z}}
)
\gg \underline{
\mathsf{x}}
 = ((\underline{
\mathsf{x}}
+(-u\underline{
\mathsf{z}}
)
)
+\underline{
\mathsf{z}}
)
; eqAddition
\rhd \underline{
\mathsf{x}}
 = ((\underline{
\mathsf{x}}
+(-u\underline{
\mathsf{z}}
)
)
+\underline{
\mathsf{z}}
)
\gg (\underline{
\mathsf{x}}
+\underline{
\mathsf{y}}
)
 = (((\underline{
\mathsf{x}}
+(-u\underline{
\mathsf{z}}
)
)
+\underline{
\mathsf{z}}
)
+\underline{
\mathsf{y}}
)
; plusAssociativity
\gg (((\underline{
\mathsf{x}}
+(-u\underline{
\mathsf{z}}
)
)
+\underline{
\mathsf{z}}
)
+\underline{
\mathsf{y}}
)
 = ((\underline{
\mathsf{x}}
+(-u\underline{
\mathsf{z}}
)
)
+(\underline{
\mathsf{z}}
+\underline{
\mathsf{y}}
)
)
; eqTransitivity
\rhd (\underline{
\mathsf{x}}
+\underline{
\mathsf{y}}
)
 = (((\underline{
\mathsf{x}}
+(-u\underline{
\mathsf{z}}
)
)
+\underline{
\mathsf{z}}
)
+\underline{
\mathsf{y}}
)
\rhd (((\underline{
\mathsf{x}}
+(-u\underline{
\mathsf{z}}
)
)
+\underline{
\mathsf{z}}
)
+\underline{
\mathsf{y}}
)
 = ((\underline{
\mathsf{x}}
+(-u\underline{
\mathsf{z}}
)
)
+(\underline{
\mathsf{z}}
+\underline{
\mathsf{y}}
)
)
\gg (\underline{
\mathsf{x}}
+\underline{
\mathsf{y}}
)
 = ((\underline{
\mathsf{x}}
+(-u\underline{
\mathsf{z}}
)
)
+(\underline{
\mathsf{z}}
+\underline{
\mathsf{y}}
)
)
\rceil 
, 
p_0
, 
\mathsf {c}
)
]$


$
[insertMiddleTerm(Numerical)
\stackrel{
stmt
}{\rightarrow}SystemQ
\vdash 
\forall \underline{
\mathsf{x}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf{y}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf{z}}
\colon |(\underline{
\mathsf{x}}
+\underline{
\mathsf{y}}
)
|
 <= (|(\underline{
\mathsf{x}}
+(-u\underline{
\mathsf{z}}
)
)
|
+|(\underline{
\mathsf{z}}
+\underline{
\mathsf{y}}
)
|
)
]$

$
[insertMiddleTerm(Numerical)
\stackrel{
proof
}{\rightarrow}
\lambda 
\mathsf {c}
.
\lambda 
\mathsf{x}
.
{\cal P}( 
\lceil SystemQ
\vdash 
\forall \underline{
\mathsf{x}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf{y}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf{z}}
\colon splitNumericalSum
\gg |((\underline{
\mathsf{x}}
+(-u\underline{
\mathsf{z}}
)
)
+(\underline{
\mathsf{z}}
+\underline{
\mathsf{y}}
)
)
|
 <= (|(\underline{
\mathsf{x}}
+(-u\underline{
\mathsf{z}}
)
)
|
+|(\underline{
\mathsf{z}}
+\underline{
\mathsf{y}}
)
|
)
; insertMiddleTerm(Sum)
\gg (\underline{
\mathsf{x}}
+\underline{
\mathsf{y}}
)
 = ((\underline{
\mathsf{x}}
+(-u\underline{
\mathsf{z}}
)
)
+(\underline{
\mathsf{z}}
+\underline{
\mathsf{y}}
)
)
; SameNumerical
\rhd (\underline{
\mathsf{x}}
+\underline{
\mathsf{y}}
)
 = ((\underline{
\mathsf{x}}
+(-u\underline{
\mathsf{z}}
)
)
+(\underline{
\mathsf{z}}
+\underline{
\mathsf{y}}
)
)
\gg |(\underline{
\mathsf{x}}
+\underline{
\mathsf{y}}
)
|
 = |((\underline{
\mathsf{x}}
+(-u\underline{
\mathsf{z}}
)
)
+(\underline{
\mathsf{z}}
+\underline{
\mathsf{y}}
)
)
|
; eqSymmetry
\rhd |(\underline{
\mathsf{x}}
+\underline{
\mathsf{y}}
)
|
 = |((\underline{
\mathsf{x}}
+(-u\underline{
\mathsf{z}}
)
)
+(\underline{
\mathsf{z}}
+\underline{
\mathsf{y}}
)
)
|
\gg |((\underline{
\mathsf{x}}
+(-u\underline{
\mathsf{z}}
)
)
+(\underline{
\mathsf{z}}
+\underline{
\mathsf{y}}
)
)
|
 = |(\underline{
\mathsf{x}}
+\underline{
\mathsf{y}}
)
|
; subLeqLeft
\rhd |((\underline{
\mathsf{x}}
+(-u\underline{
\mathsf{z}}
)
)
+(\underline{
\mathsf{z}}
+\underline{
\mathsf{y}}
)
)
|
 = |(\underline{
\mathsf{x}}
+\underline{
\mathsf{y}}
)
|
\rhd |((\underline{
\mathsf{x}}
+(-u\underline{
\mathsf{z}}
)
)
+(\underline{
\mathsf{z}}
+\underline{
\mathsf{y}}
)
)
|
 <= (|(\underline{
\mathsf{x}}
+(-u\underline{
\mathsf{z}}
)
)
|
+|(\underline{
\mathsf{z}}
+\underline{
\mathsf{y}}
)
|
)
\gg |(\underline{
\mathsf{x}}
+\underline{
\mathsf{y}}
)
|
 <= (|(\underline{
\mathsf{x}}
+(-u\underline{
\mathsf{z}}
)
)
|
+|(\underline{
\mathsf{z}}
+\underline{
\mathsf{y}}
)
|
)
\rceil 
, 
p_0
, 
\mathsf {c}
)
]$

(*** REGNESTYKKER ***)



$
[insertMiddleTerm(Difference)
\stackrel{
stmt
}{\rightarrow}SystemQ
\vdash 
\forall \underline{
\mathsf{x}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf{y}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf{z}}
\colon (\underline{
\mathsf{x}}
+(-u\underline{
\mathsf{y}}
)
)
 = ((\underline{
\mathsf{x}}
+\underline{
\mathsf{z}}
)
+(-u(\underline{
\mathsf{y}}
+\underline{
\mathsf{z}}
)
)
)
]$

$
[insertMiddleTerm(Difference)
\stackrel{
proof
}{\rightarrow}
\lambda 
\mathsf {c}
.
\lambda 
\mathsf{x}
.
{\cal P}( 
\lceil SystemQ
\vdash 
\forall \underline{
\mathsf{x}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf{y}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf{z}}
\colon insertMiddleTerm(Sum)
\gg (\underline{
\mathsf{x}}
+(-u\underline{
\mathsf{y}}
)
)
 = ((\underline{
\mathsf{x}}
+(-u(-u\underline{
\mathsf{z}}
)
)
)
+((-u\underline{
\mathsf{z}}
)
+(-u\underline{
\mathsf{y}}
)
)
)
; DoubleMinus
\gg (-u(-u\underline{
\mathsf{z}}
)
)
 = \underline{
\mathsf{z}}
; 
\mbox{lemma eqAdditionLeft}
\rhd (-u(-u\underline{
\mathsf{z}}
)
)
 = \underline{
\mathsf{z}}
\gg (\underline{
\mathsf{x}}
+(-u(-u\underline{
\mathsf{z}}
)
)
)
 = (\underline{
\mathsf{x}}
+\underline{
\mathsf{z}}
)
; plusCommutativity
\gg ((-u\underline{
\mathsf{z}}
)
+(-u\underline{
\mathsf{y}}
)
)
 = ((-u\underline{
\mathsf{y}}
)
+(-u\underline{
\mathsf{z}}
)
)
; -x-y=-(x+y)
\gg ((-u\underline{
\mathsf{y}}
)
+(-u\underline{
\mathsf{z}}
)
)
 = (-u(\underline{
\mathsf{y}}
+\underline{
\mathsf{z}}
)
)
; eqTransitivity
\rhd ((-u\underline{
\mathsf{z}}
)
+(-u\underline{
\mathsf{y}}
)
)
 = ((-u\underline{
\mathsf{y}}
)
+(-u\underline{
\mathsf{z}}
)
)
\rhd ((-u\underline{
\mathsf{y}}
)
+(-u\underline{
\mathsf{z}}
)
)
 = (-u(\underline{
\mathsf{y}}
+\underline{
\mathsf{z}}
)
)
\gg ((-u\underline{
\mathsf{z}}
)
+(-u\underline{
\mathsf{y}}
)
)
 = (-u(\underline{
\mathsf{y}}
+\underline{
\mathsf{z}}
)
)
; AddEquations
\rhd (\underline{
\mathsf{x}}
+(-u(-u\underline{
\mathsf{z}}
)
)
)
 = (\underline{
\mathsf{x}}
+\underline{
\mathsf{z}}
)
\rhd ((-u\underline{
\mathsf{z}}
)
+(-u\underline{
\mathsf{y}}
)
)
 = (-u(\underline{
\mathsf{y}}
+\underline{
\mathsf{z}}
)
)
\gg ((\underline{
\mathsf{x}}
+(-u(-u\underline{
\mathsf{z}}
)
)
)
+((-u\underline{
\mathsf{z}}
)
+(-u\underline{
\mathsf{y}}
)
)
)
 = ((\underline{
\mathsf{x}}
+\underline{
\mathsf{z}}
)
+(-u(\underline{
\mathsf{y}}
+\underline{
\mathsf{z}}
)
)
)
; eqTransitivity
\rhd (\underline{
\mathsf{x}}
+(-u\underline{
\mathsf{y}}
)
)
 = ((\underline{
\mathsf{x}}
+(-u(-u\underline{
\mathsf{z}}
)
)
)
+((-u\underline{
\mathsf{z}}
)
+(-u\underline{
\mathsf{y}}
)
)
)
\rhd ((\underline{
\mathsf{x}}
+(-u(-u\underline{
\mathsf{z}}
)
)
)
+((-u\underline{
\mathsf{z}}
)
+(-u\underline{
\mathsf{y}}
)
)
)
 = ((\underline{
\mathsf{x}}
+\underline{
\mathsf{z}}
)
+(-u(\underline{
\mathsf{y}}
+\underline{
\mathsf{z}}
)
)
)
\gg (\underline{
\mathsf{x}}
+(-u\underline{
\mathsf{y}}
)
)
 = ((\underline{
\mathsf{x}}
+\underline{
\mathsf{z}}
)
+(-u(\underline{
\mathsf{y}}
+\underline{
\mathsf{z}}
)
)
)
\rceil 
, 
p_0
, 
\mathsf {c}
)
]$



$
[TwoWholes
\stackrel{
stmt
}{\rightarrow}SystemQ
\vdash 
\forall \underline{
\mathsf{x}}
\colon (\underline{
\mathsf{x}}
+\underline{
\mathsf{x}}
)
 = ((1
+1
)
*\underline{
\mathsf{x}}
)
]$


$
[TwoWholes
\stackrel{
proof
}{\rightarrow}
\lambda 
\mathsf {c}
.
\lambda 
\mathsf{x}
.
{\cal P}( 
\lceil SystemQ
\vdash 
\forall \underline{
\mathsf{x}}
\colon times1
\gg (\underline{
\mathsf{x}}
*1
)
 = \underline{
\mathsf{x}}
; eqSymmetry
\gg \underline{
\mathsf{x}}
 = (\underline{
\mathsf{x}}
*1
)
; 
\mbox{lemma eqAdditionLeft}
\rhd \underline{
\mathsf{x}}
 = (\underline{
\mathsf{x}}
*1
)
\gg (\underline{
\mathsf{x}}
+\underline{
\mathsf{x}}
)
 = (\underline{
\mathsf{x}}
+(\underline{
\mathsf{x}}
*1
)
)
; eqAddition
\rhd \underline{
\mathsf{x}}
 = (\underline{
\mathsf{x}}
*1
)
\gg (\underline{
\mathsf{x}}
+(\underline{
\mathsf{x}}
*1
)
)
 = ((\underline{
\mathsf{x}}
*1
)
+(\underline{
\mathsf{x}}
*1
)
)
; eqTransitivity
\rhd (\underline{
\mathsf{x}}
+\underline{
\mathsf{x}}
)
 = (\underline{
\mathsf{x}}
+(\underline{
\mathsf{x}}
*1
)
)
\rhd (\underline{
\mathsf{x}}
+(\underline{
\mathsf{x}}
*1
)
)
 = ((\underline{
\mathsf{x}}
*1
)
+(\underline{
\mathsf{x}}
*1
)
)
\gg (\underline{
\mathsf{x}}
+\underline{
\mathsf{x}}
)
 = ((\underline{
\mathsf{x}}
*1
)
+(\underline{
\mathsf{x}}
*1
)
)
; DistributionOut
\gg ((\underline{
\mathsf{x}}
*1
)
+(\underline{
\mathsf{x}}
*1
)
)
 = (\underline{
\mathsf{x}}
*(1
+1
)
)
; Repetition
\rhd ((\underline{
\mathsf{x}}
*1
)
+(\underline{
\mathsf{x}}
*1
)
)
 = (\underline{
\mathsf{x}}
*(1
+1
)
)
\gg ((\underline{
\mathsf{x}}
*1
)
+(\underline{
\mathsf{x}}
*1
)
)
 = (\underline{
\mathsf{x}}
*(1
+1
)
)
; timesCommutativity
\gg (\underline{
\mathsf{x}}
*(1
+1
)
)
 = ((1
+1
)
*\underline{
\mathsf{x}}
)
; eqTransitivity4
\rhd (\underline{
\mathsf{x}}
+\underline{
\mathsf{x}}
)
 = ((\underline{
\mathsf{x}}
*1
)
+(\underline{
\mathsf{x}}
*1
)
)
\rhd ((\underline{
\mathsf{x}}
*1
)
+(\underline{
\mathsf{x}}
*1
)
)
 = (\underline{
\mathsf{x}}
*(1
+1
)
)
\rhd (\underline{
\mathsf{x}}
*(1
+1
)
)
 = ((1
+1
)
*\underline{
\mathsf{x}}
)
\gg (\underline{
\mathsf{x}}
+\underline{
\mathsf{x}}
)
 = ((1
+1
)
*\underline{
\mathsf{x}}
)
\rceil 
, 
p_0
, 
\mathsf {c}
)
]$


$
[TwoHalves
\stackrel{
stmt
}{\rightarrow}SystemQ
\vdash 
\forall \underline{
\mathsf{x}}
\colon ((rec(1
+1
)
*\underline{
\mathsf{x}}
)
+(rec(1
+1
)
*\underline{
\mathsf{x}}
)
)
 = \underline{
\mathsf{x}}
]$

$
[TwoHalves
\stackrel{
proof
}{\rightarrow}
\lambda 
\mathsf {c}
.
\lambda 
\mathsf{x}
.
{\cal P}( 
\lceil SystemQ
\vdash 
\forall \underline{
\mathsf{x}}
\colon 0<2
\gg \dot{\neg}\,(0
 <= (1
+1
)
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(0
 = (1
+1
)
)n
)n
)n
; LessNeq
\rhd \dot{\neg}\,(0
 <= (1
+1
)
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(0
 = (1
+1
)
)n
)n
)n
\gg \dot{\neg}\,(0
 = (1
+1
)
)n
; NeqSymmetry
\rhd \dot{\neg}\,(0
 = (1
+1
)
)n
\gg \dot{\neg}\,((1
+1
)
 = 0
)n
; TwoWholes
\gg ((rec(1
+1
)
*\underline{
\mathsf{x}}
)
+(rec(1
+1
)
*\underline{
\mathsf{x}}
)
)
 = ((1
+1
)
*(rec(1
+1
)
*\underline{
\mathsf{x}}
)
)
; timesAssociativity
\gg (((1
+1
)
*rec(1
+1
)
)
*\underline{
\mathsf{x}}
)
 = ((1
+1
)
*(rec(1
+1
)
*\underline{
\mathsf{x}}
)
)
; eqSymmetry
\rhd (((1
+1
)
*rec(1
+1
)
)
*\underline{
\mathsf{x}}
)
 = ((1
+1
)
*(rec(1
+1
)
*\underline{
\mathsf{x}}
)
)
\gg ((1
+1
)
*(rec(1
+1
)
*\underline{
\mathsf{x}}
)
)
 = (((1
+1
)
*rec(1
+1
)
)
*\underline{
\mathsf{x}}
)
; Reciprocal
\rhd \dot{\neg}\,((1
+1
)
 = 0
)n
\gg ((1
+1
)
*rec(1
+1
)
)
 = 1
; eqMultiplication
\rhd ((1
+1
)
*rec(1
+1
)
)
 = 1
\gg (((1
+1
)
*rec(1
+1
)
)
*\underline{
\mathsf{x}}
)
 = (1
*\underline{
\mathsf{x}}
)
; 
\mbox{lemma times1Left}
\gg (1
*\underline{
\mathsf{x}}
)
 = \underline{
\mathsf{x}}
; eqTransitivity5
\rhd ((rec(1
+1
)
*\underline{
\mathsf{x}}
)
+(rec(1
+1
)
*\underline{
\mathsf{x}}
)
)
 = ((1
+1
)
*(rec(1
+1
)
*\underline{
\mathsf{x}}
)
)
\rhd ((1
+1
)
*(rec(1
+1
)
*\underline{
\mathsf{x}}
)
)
 = (((1
+1
)
*rec(1
+1
)
)
*\underline{
\mathsf{x}}
)
\rhd (((1
+1
)
*rec(1
+1
)
)
*\underline{
\mathsf{x}}
)
 = (1
*\underline{
\mathsf{x}}
)
\rhd (1
*\underline{
\mathsf{x}}
)
 = \underline{
\mathsf{x}}
\gg ((rec(1
+1
)
*\underline{
\mathsf{x}}
)
+(rec(1
+1
)
*\underline{
\mathsf{x}}
)
)
 = \underline{
\mathsf{x}}
\rceil 
, 
p_0
, 
\mathsf {c}
)
]$

$
[ThreeWholes
\stackrel{
stmt
}{\rightarrow}SystemQ
\vdash 
\forall \underline{
\mathsf{x}}
\colon ((\underline{
\mathsf{x}}
+\underline{
\mathsf{x}}
)
+\underline{
\mathsf{x}}
)
 = (((1
+1
)
+1
)
*\underline{
\mathsf{x}}
)
]$

$
[ThreeWholes
\stackrel{
proof
}{\rightarrow}
\lambda 
\mathsf {c}
.
\lambda 
\mathsf{x}
.
{\cal P}( 
\lceil SystemQ
\vdash 
\forall \underline{
\mathsf{x}}
\colon TwoWholes
\gg (\underline{
\mathsf{x}}
+\underline{
\mathsf{x}}
)
 = ((1
+1
)
*\underline{
\mathsf{x}}
)
; 
\mbox{lemma times1Left}
\gg (1
*\underline{
\mathsf{x}}
)
 = \underline{
\mathsf{x}}
; eqSymmetry
\rhd (1
*\underline{
\mathsf{x}}
)
 = \underline{
\mathsf{x}}
\gg \underline{
\mathsf{x}}
 = (1
*\underline{
\mathsf{x}}
)
; AddEquations
\rhd (\underline{
\mathsf{x}}
+\underline{
\mathsf{x}}
)
 = ((1
+1
)
*\underline{
\mathsf{x}}
)
\rhd \underline{
\mathsf{x}}
 = (1
*\underline{
\mathsf{x}}
)
\gg ((\underline{
\mathsf{x}}
+\underline{
\mathsf{x}}
)
+\underline{
\mathsf{x}}
)
 = (((1
+1
)
*\underline{
\mathsf{x}}
)
+(1
*\underline{
\mathsf{x}}
)
)
; DistributionOutLeft
\gg (((1
+1
)
*\underline{
\mathsf{x}}
)
+(1
*\underline{
\mathsf{x}}
)
)
 = (\underline{
\mathsf{x}}
*((1
+1
)
+1
)
)
; timesCommutativity
\gg (\underline{
\mathsf{x}}
*((1
+1
)
+1
)
)
 = (((1
+1
)
+1
)
*\underline{
\mathsf{x}}
)
; eqTransitivity4
\rhd ((\underline{
\mathsf{x}}
+\underline{
\mathsf{x}}
)
+\underline{
\mathsf{x}}
)
 = (((1
+1
)
*\underline{
\mathsf{x}}
)
+(1
*\underline{
\mathsf{x}}
)
)
\rhd (((1
+1
)
*\underline{
\mathsf{x}}
)
+(1
*\underline{
\mathsf{x}}
)
)
 = (\underline{
\mathsf{x}}
*((1
+1
)
+1
)
)
\rhd (\underline{
\mathsf{x}}
*((1
+1
)
+1
)
)
 = (((1
+1
)
+1
)
*\underline{
\mathsf{x}}
)
\gg ((\underline{
\mathsf{x}}
+\underline{
\mathsf{x}}
)
+\underline{
\mathsf{x}}
)
 = (((1
+1
)
+1
)
*\underline{
\mathsf{x}}
)
; Repetition
\rhd ((\underline{
\mathsf{x}}
+\underline{
\mathsf{x}}
)
+\underline{
\mathsf{x}}
)
 = (((1
+1
)
+1
)
*\underline{
\mathsf{x}}
)
\gg ((\underline{
\mathsf{x}}
+\underline{
\mathsf{x}}
)
+\underline{
\mathsf{x}}
)
 = (((1
+1
)
+1
)
*\underline{
\mathsf{x}}
)
\rceil 
, 
p_0
, 
\mathsf {c}
)
]$

$
[0<3
\stackrel{
stmt
}{\rightarrow}SystemQ
\vdash \dot{\neg}\,(0
 <= ((1
+1
)
+1
)
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(0
 = ((1
+1
)
+1
)
)n
)n
)n
]$

$
[0<3
\stackrel{
proof
}{\rightarrow}
\lambda 
\mathsf {c}
.
\lambda 
\mathsf{x}
.
{\cal P}( 
\lceil SystemQ
\vdash 0<2
\gg \dot{\neg}\,(0
 <= (1
+1
)
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(0
 = (1
+1
)
)n
)n
)n
; LessLeq
\rhd \dot{\neg}\,(0
 <= (1
+1
)
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(0
 = (1
+1
)
)n
)n
)n
\gg 0
 <= (1
+1
)
; Leq+1
\rhd 0
 <= (1
+1
)
\gg \dot{\neg}\,(0
 <= ((1
+1
)
+1
)
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(0
 = ((1
+1
)
+1
)
)n
)n
)n
; Repetition
\rhd \dot{\neg}\,(0
 <= ((1
+1
)
+1
)
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(0
 = ((1
+1
)
+1
)
)n
)n
)n
\gg \dot{\neg}\,(0
 <= ((1
+1
)
+1
)
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(0
 = ((1
+1
)
+1
)
)n
)n
)n
\rceil 
, 
p_0
, 
\mathsf {c}
)
]$

$
[ThreeThirds
\stackrel{
stmt
}{\rightarrow}SystemQ
\vdash 
\forall \underline{
\mathsf{x}}
\colon (((rec((1
+1
)
+1
)
*\underline{
\mathsf{x}}
)
+(rec((1
+1
)
+1
)
*\underline{
\mathsf{x}}
)
)
+(rec((1
+1
)
+1
)
*\underline{
\mathsf{x}}
)
)
 = \underline{
\mathsf{x}}
]$

$
[ThreeThirds
\stackrel{
proof
}{\rightarrow}
\lambda 
\mathsf {c}
.
\lambda 
\mathsf{x}
.
{\cal P}( 
\lceil SystemQ
\vdash 
\forall \underline{
\mathsf{x}}
\colon 0<3
\gg \dot{\neg}\,(0
 <= ((1
+1
)
+1
)
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(0
 = ((1
+1
)
+1
)
)n
)n
)n
; PositiveNonzero
\rhd \dot{\neg}\,(0
 <= ((1
+1
)
+1
)
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(0
 = ((1
+1
)
+1
)
)n
)n
)n
\gg \dot{\neg}\,(((1
+1
)
+1
)
 = 0
)n
; ThreeWholes
\gg (((rec((1
+1
)
+1
)
*\underline{
\mathsf{x}}
)
+(rec((1
+1
)
+1
)
*\underline{
\mathsf{x}}
)
)
+(rec((1
+1
)
+1
)
*\underline{
\mathsf{x}}
)
)
 = (((1
+1
)
+1
)
*(rec((1
+1
)
+1
)
*\underline{
\mathsf{x}}
)
)
; timesAssociativity
\gg ((((1
+1
)
+1
)
*rec((1
+1
)
+1
)
)
*\underline{
\mathsf{x}}
)
 = (((1
+1
)
+1
)
*(rec((1
+1
)
+1
)
*\underline{
\mathsf{x}}
)
)
; eqSymmetry
\rhd ((((1
+1
)
+1
)
*rec((1
+1
)
+1
)
)
*\underline{
\mathsf{x}}
)
 = (((1
+1
)
+1
)
*(rec((1
+1
)
+1
)
*\underline{
\mathsf{x}}
)
)
\gg (((1
+1
)
+1
)
*(rec((1
+1
)
+1
)
*\underline{
\mathsf{x}}
)
)
 = ((((1
+1
)
+1
)
*rec((1
+1
)
+1
)
)
*\underline{
\mathsf{x}}
)
; Reciprocal
\rhd \dot{\neg}\,(((1
+1
)
+1
)
 = 0
)n
\gg (((1
+1
)
+1
)
*rec((1
+1
)
+1
)
)
 = 1
; eqMultiplication
\rhd (((1
+1
)
+1
)
*rec((1
+1
)
+1
)
)
 = 1
\gg ((((1
+1
)
+1
)
*rec((1
+1
)
+1
)
)
*\underline{
\mathsf{x}}
)
 = (1
*\underline{
\mathsf{x}}
)
; 
\mbox{lemma times1Left}
\gg (1
*\underline{
\mathsf{x}}
)
 = \underline{
\mathsf{x}}
; eqTransitivity5
\rhd (((rec((1
+1
)
+1
)
*\underline{
\mathsf{x}}
)
+(rec((1
+1
)
+1
)
*\underline{
\mathsf{x}}
)
)
+(rec((1
+1
)
+1
)
*\underline{
\mathsf{x}}
)
)
 = (((1
+1
)
+1
)
*(rec((1
+1
)
+1
)
*\underline{
\mathsf{x}}
)
)
\rhd (((1
+1
)
+1
)
*(rec((1
+1
)
+1
)
*\underline{
\mathsf{x}}
)
)
 = ((((1
+1
)
+1
)
*rec((1
+1
)
+1
)
)
*\underline{
\mathsf{x}}
)
\rhd ((((1
+1
)
+1
)
*rec((1
+1
)
+1
)
)
*\underline{
\mathsf{x}}
)
 = (1
*\underline{
\mathsf{x}}
)
\rhd (1
*\underline{
\mathsf{x}}
)
 = \underline{
\mathsf{x}}
\gg (((rec((1
+1
)
+1
)
*\underline{
\mathsf{x}}
)
+(rec((1
+1
)
+1
)
*\underline{
\mathsf{x}}
)
)
+(rec((1
+1
)
+1
)
*\underline{
\mathsf{x}}
)
)
 = \underline{
\mathsf{x}}
\rceil 
, 
p_0
, 
\mathsf {c}
)
]$

$
[0<1/3
\stackrel{
stmt
}{\rightarrow}SystemQ
\vdash \dot{\neg}\,(0
 <= rec((1
+1
)
+1
)
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(0
 = rec((1
+1
)
+1
)
)n
)n
)n
]$

$
[0<1/3
\stackrel{
proof
}{\rightarrow}
\lambda 
\mathsf {c}
.
\lambda 
\mathsf{x}
.
{\cal P}( 
\lceil SystemQ
\vdash 0<3
\gg \dot{\neg}\,(0
 <= ((1
+1
)
+1
)
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(0
 = ((1
+1
)
+1
)
)n
)n
)n
; PositiveInverted
\rhd \dot{\neg}\,(0
 <= ((1
+1
)
+1
)
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(0
 = ((1
+1
)
+1
)
)n
)n
)n
\gg \dot{\neg}\,(0
 <= rec((1
+1
)
+1
)
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(0
 = rec((1
+1
)
+1
)
)n
)n
)n
\rceil 
, 
p_0
, 
\mathsf {c}
)
]$


$
[Times(-1)
\stackrel{
stmt
}{\rightarrow}SystemQ
\vdash 
\forall \underline{
\mathsf{x}}
\colon (\underline{
\mathsf{x}}
*(-u1
)
)
 = (-u\underline{
\mathsf{x}}
)
]$

$
[Times(-1)
\stackrel{
proof
}{\rightarrow}
\lambda 
\mathsf {c}
.
\lambda 
\mathsf{x}
.
{\cal P}( 
\lceil SystemQ
\vdash 
\forall \underline{
\mathsf{x}}
\colon Negative
\gg (1
+(-u1
)
)
 = 0
; plusCommutativity
\gg ((-u1
)
+1
)
 = (1
+(-u1
)
)
; eqTransitivity
\rhd ((-u1
)
+1
)
 = (1
+(-u1
)
)
\rhd (1
+(-u1
)
)
 = 0
\gg ((-u1
)
+1
)
 = 0
; 
\mbox{lemma eqMultiplicationLeft}
\rhd ((-u1
)
+1
)
 = 0
\gg (\underline{
\mathsf{x}}
*((-u1
)
+1
)
)
 = (\underline{
\mathsf{x}}
*0
)
; x*0=0
\gg (\underline{
\mathsf{x}}
*0
)
 = 0
; eqTransitivity
\rhd (\underline{
\mathsf{x}}
*((-u1
)
+1
)
)
 = (\underline{
\mathsf{x}}
*0
)
\rhd (\underline{
\mathsf{x}}
*0
)
 = 0
\gg (\underline{
\mathsf{x}}
*((-u1
)
+1
)
)
 = 0
; Distribution
\gg (\underline{
\mathsf{x}}
*((-u1
)
+1
)
)
 = ((\underline{
\mathsf{x}}
*(-u1
)
)
+(\underline{
\mathsf{x}}
*1
)
)
; eqSymmetry
\rhd (\underline{
\mathsf{x}}
*((-u1
)
+1
)
)
 = ((\underline{
\mathsf{x}}
*(-u1
)
)
+(\underline{
\mathsf{x}}
*1
)
)
\gg ((\underline{
\mathsf{x}}
*(-u1
)
)
+(\underline{
\mathsf{x}}
*1
)
)
 = (\underline{
\mathsf{x}}
*((-u1
)
+1
)
)
; eqTransitivity
\rhd ((\underline{
\mathsf{x}}
*(-u1
)
)
+(\underline{
\mathsf{x}}
*1
)
)
 = (\underline{
\mathsf{x}}
*((-u1
)
+1
)
)
\rhd (\underline{
\mathsf{x}}
*((-u1
)
+1
)
)
 = 0
\gg ((\underline{
\mathsf{x}}
*(-u1
)
)
+(\underline{
\mathsf{x}}
*1
)
)
 = 0
; PositiveToRight(Eq)
\rhd ((\underline{
\mathsf{x}}
*(-u1
)
)
+(\underline{
\mathsf{x}}
*1
)
)
 = 0
\gg (\underline{
\mathsf{x}}
*(-u1
)
)
 = (0
+(-u(\underline{
\mathsf{x}}
*1
)
)
)
; 
\mbox{lemma plus0Left}
\gg (0
+(-u(\underline{
\mathsf{x}}
*1
)
)
)
 = (-u(\underline{
\mathsf{x}}
*1
)
)
; eqTransitivity
\rhd (\underline{
\mathsf{x}}
*(-u1
)
)
 = (0
+(-u(\underline{
\mathsf{x}}
*1
)
)
)
\rhd (0
+(-u(\underline{
\mathsf{x}}
*1
)
)
)
 = (-u(\underline{
\mathsf{x}}
*1
)
)
\gg (\underline{
\mathsf{x}}
*(-u1
)
)
 = (-u(\underline{
\mathsf{x}}
*1
)
)
; times1
\gg (\underline{
\mathsf{x}}
*1
)
 = \underline{
\mathsf{x}}
; EqNegated
\rhd (\underline{
\mathsf{x}}
*1
)
 = \underline{
\mathsf{x}}
\gg (-u(\underline{
\mathsf{x}}
*1
)
)
 = (-u\underline{
\mathsf{x}}
)
; eqTransitivity
\rhd (\underline{
\mathsf{x}}
*(-u1
)
)
 = (-u(\underline{
\mathsf{x}}
*1
)
)
\rhd (-u(\underline{
\mathsf{x}}
*1
)
)
 = (-u\underline{
\mathsf{x}}
)
\gg (\underline{
\mathsf{x}}
*(-u1
)
)
 = (-u\underline{
\mathsf{x}}
)
\rceil 
, 
p_0
, 
\mathsf {c}
)
]$

$
[Times(-1)Left
\stackrel{
stmt
}{\rightarrow}SystemQ
\vdash 
\forall \underline{
\mathsf{x}}
\colon ((-u1
)
*\underline{
\mathsf{x}}
)
 = (-u\underline{
\mathsf{x}}
)
]$

$
[Times(-1)Left
\stackrel{
proof
}{\rightarrow}
\lambda 
\mathsf {c}
.
\lambda 
\mathsf{x}
.
{\cal P}( 
\lceil SystemQ
\vdash 
\forall \underline{
\mathsf{x}}
\colon Times(-1)
\gg (\underline{
\mathsf{x}}
*(-u1
)
)
 = (-u\underline{
\mathsf{x}}
)
; timesCommutativity
\gg ((-u1
)
*\underline{
\mathsf{x}}
)
 = (\underline{
\mathsf{x}}
*(-u1
)
)
; eqTransitivity
\rhd ((-u1
)
*\underline{
\mathsf{x}}
)
 = (\underline{
\mathsf{x}}
*(-u1
)
)
\rhd (\underline{
\mathsf{x}}
*(-u1
)
)
 = (-u\underline{
\mathsf{x}}
)
\gg ((-u1
)
*\underline{
\mathsf{x}}
)
 = (-u\underline{
\mathsf{x}}
)
\rceil 
, 
p_0
, 
\mathsf {c}
)
]$







(*** KVANTI ***)

\begin{list}{}{
\setlength{\leftmargin}{5em}
\setlength{\itemindent}{-5em}}

\item $
[Nat(
\mathsf{x}
)
\stackrel{
\mathrm {macro}
}{\rightarrow}
\lambda 
\mathsf {t}
.
\lambda 
\mathsf {s}
.
\lambda 
\mathsf {c}
.
\tilde {{\cal M}}_4(
\mathsf {t}
,
\mathsf {s}
,
\mathsf {c}
,
\lceil 
[Nat(
\mathsf{x}
)
\mathrel {\ddot {=}}
\lambda 
\mathsf {c}
.
\lceil 
\mathsf{x}
\rceil 
\in_t 
(
\lceil V_{2n}
\rceil 
\mathrel { : \, : }
\lceil {\cal M}
\rceil 
\mathrel { : \, : }
\lceil {\cal N}
\rceil 
\mathrel { : \, : }
\mathsf {T}
)
]
\rceil 
)
]$

\item $
[\langle 
\mathsf {a}
{\equiv} 
\mathsf {b}
| 
\mathsf{x}
{:==} 
\mathsf {t}
\rangle_{Me}
\stackrel{
\mathrm {macro}
}{\rightarrow}
\lambda 
\mathsf {t}
.
\lambda 
\mathsf {s}
.
\lambda 
\mathsf {c}
.
\tilde {{\cal M}}_4(
\mathsf {t}
,
\mathsf {s}
,
\mathsf {c}
,
\lceil 
[\langle 
\mathsf {a}
{\equiv} 
\mathsf {b}
| 
\mathsf{x}
{:==} 
\mathsf {t}
\rangle_{Me}
\mathrel {\ddot {=}}\langle 
\lceil 
\mathsf {a}
\rceil 
{\equiv}^1 
\lceil 
\mathsf {b}
\rceil 
| 
\lceil 
\mathsf{x}
\rceil 
{:==} 
\lceil 
\mathsf {t}
\rceil 
\rangle_{Me} 
]
\rceil 
)
]$

\item $
[\langle 
\mathsf {a}
{\equiv}^1 
\mathsf {b}
| 
\mathsf{x}
{:==} 
\mathsf {t}
\rangle_{Me} 
\stackrel{
\mathrm {val}
}{\rightarrow}
\mathsf {a}
!
\mathsf{x}
!
\mathsf {t}
!
\newline 
\mathrm {If}(
\mathrm {If}(
\mathsf {b}
\stackrel{r}{=} 
\lceil 
\forall_{obj} 
\mathsf {u}
\colon 
\mathsf {v}
\rceil 
,\linebreak [0]
\mathsf {b}
{}^{1}
\stackrel {t}{=}
\mathsf{x}
,\linebreak [0]
\mathsf {F}
)
,\linebreak [0]
\mathsf {a}
\stackrel {t}{=}
\mathsf {b}
,\linebreak [0]
\newline 
\mathrm {If}(
\mathsf {b}
\stackrel {t}{=}
\mathsf{x}
,\linebreak [0]
\mathsf {a}
\stackrel {t}{=}
\mathsf {t}
,\linebreak [0]
\mathrm {If}(
\newline 
\mathsf {a}
\stackrel{r}{=} 
\mathsf {b}
,\linebreak [0]\langle 
\mathsf {a}
{}^t
{\equiv}^* 
\mathsf {b}
{}^t
| 
\mathsf{x}
{:==} 
\mathsf {t}
\rangle_{Me} 
,\linebreak [0]
\mathsf {F}
)
)
)
]$

\item $
[\langle 
\mathsf {a}
{\equiv}^* 
\mathsf {b}
| 
\mathsf{x}
{:==} 
\mathsf {t}
\rangle_{Me} 
\stackrel{
\mathrm {val}
}{\rightarrow}
\mathsf {b}
!
\mathsf{x}
!
\mathsf {t}
!
\mathrm {If}(
\mathsf {a}
,\linebreak [0]
\mathsf {T}
,\linebreak [0]
\mathrm {If}(\langle 
\mathsf {a}
{}^h
{\equiv}^1 
\mathsf {b}
{}^h
| 
\mathsf{x}
{:==} 
\mathsf {t}
\rangle_{Me} 
,\linebreak [0]\langle 
\mathsf {a}
{}^t
{\equiv}^* 
\mathsf {b}
{}^t
| 
\mathsf{x}
{:==} 
\mathsf {t}
\rangle_{Me} 
,\linebreak [0]
\mathsf {F}
)
)
]$

\end{list}




$
[AllNegated(Imply)
\stackrel{
stmt
}{\rightarrow}SystemQ
\vdash 
\forall \underline{(v1)}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf {a}}
\colon \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \underline{(v1)}
\colon \underline{
\mathsf {a}}
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \underline{(v1)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\underline{
\mathsf {a}}
)n
)n
)n
]$

$
[AllNegated(Imply)
\stackrel{
proof
}{\rightarrow}
\lambda 
\mathsf {c}
.
\lambda 
\mathsf{x}
.
{\cal P}( 
\lceil SystemQ
\vdash 
\forall \underline{(v1)}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf {a}}
\colon 
\forall_{obj} \underline{(v1)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\underline{
\mathsf {a}}
)n
)n
\vdash A4
\mathop {\char64} \underline{
\mathsf{x}}
\rhd 
\forall_{obj} \underline{(v1)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\underline{
\mathsf {a}}
)n
)n
\gg \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\underline{
\mathsf {a}}
)n
)n
; RemoveDoubleNeg
\rhd \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\underline{
\mathsf {a}}
)n
)n
\gg \underline{
\mathsf {a}}
; Gen
\rhd \underline{
\mathsf {a}}
\gg 
\forall_{obj} \underline{(v1)}
\colon \underline{
\mathsf {a}}
; 
\forall \underline{(v1)}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf {a}}
\colon Ded
\rhd 
\forall \underline{(v1)}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf {a}}
\colon 
\forall_{obj} \underline{(v1)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\underline{
\mathsf {a}}
)n
)n
\vdash 
\forall_{obj} \underline{(v1)}
\colon \underline{
\mathsf {a}}
\gg 
\forall_{obj} \underline{(v1)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\underline{
\mathsf {a}}
)n
)n
\Rightarrow 
\forall_{obj} \underline{(v1)}
\colon \underline{
\mathsf {a}}
; Contrapositive
\rhd 
\forall_{obj} \underline{(v1)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\underline{
\mathsf {a}}
)n
)n
\Rightarrow 
\forall_{obj} \underline{(v1)}
\colon \underline{
\mathsf {a}}
\gg \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \underline{(v1)}
\colon \underline{
\mathsf {a}}
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \underline{(v1)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\underline{
\mathsf {a}}
)n
)n
)n
; Repetition
\rhd \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \underline{(v1)}
\colon \underline{
\mathsf {a}}
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \underline{(v1)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\underline{
\mathsf {a}}
)n
)n
)n
\gg \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \underline{(v1)}
\colon \underline{
\mathsf {a}}
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \underline{(v1)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\underline{
\mathsf {a}}
)n
)n
)n
\rceil 
, 
p_0
, 
\mathsf {c}
)
]$


$
[ExistNegated(Imply)
\stackrel{
stmt
}{\rightarrow}SystemQ
\vdash 
\forall \underline{(v1)}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf {a}}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \underline{(v1)}
\colon \dot{\neg}\,(\underline{
\mathsf {a}}
)n
)n
)n
\Rightarrow 
\forall_{obj} \underline{(v1)}
\colon \dot{\neg}\,(\underline{
\mathsf {a}}
)n
]$

$
[ExistNegated(Imply)
\stackrel{
proof
}{\rightarrow}
\lambda 
\mathsf {c}
.
\lambda 
\mathsf{x}
.
{\cal P}( 
\lceil SystemQ
\vdash 
\forall \underline{(v1)}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf {a}}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \underline{(v1)}
\colon \dot{\neg}\,(\underline{
\mathsf {a}}
)n
)n
)n
\vdash Repetition
\rhd \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \underline{(v1)}
\colon \dot{\neg}\,(\underline{
\mathsf {a}}
)n
)n
)n
\gg \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \underline{(v1)}
\colon \dot{\neg}\,(\underline{
\mathsf {a}}
)n
)n
)n
; RemoveDoubleNeg
\rhd \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \underline{(v1)}
\colon \dot{\neg}\,(\underline{
\mathsf {a}}
)n
)n
)n
\gg 
\forall_{obj} \underline{(v1)}
\colon \dot{\neg}\,(\underline{
\mathsf {a}}
)n
; 
\forall \underline{(v1)}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf {a}}
\colon Ded
\rhd 
\forall \underline{(v1)}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf {a}}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \underline{(v1)}
\colon \dot{\neg}\,(\underline{
\mathsf {a}}
)n
)n
)n
\vdash 
\forall_{obj} \underline{(v1)}
\colon \dot{\neg}\,(\underline{
\mathsf {a}}
)n
\gg \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \underline{(v1)}
\colon \dot{\neg}\,(\underline{
\mathsf {a}}
)n
)n
)n
\Rightarrow 
\forall_{obj} \underline{(v1)}
\colon \dot{\neg}\,(\underline{
\mathsf {a}}
)n
\rceil 
, 
p_0
, 
\mathsf {c}
)
]$

$
[AddAll 
\stackrel{
stmt
}{\rightarrow}SystemQ
\vdash 
\forall \underline{(v1)}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf {a}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf {b}}
\colon \underline{
\mathsf {a}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {b}}
\vdash 
\forall_{obj} \underline{(v1)}
\colon \underline{
\mathsf {a}}
\Rightarrow 
\forall_{obj} \underline{(v1)}
\colon \underline{
\mathsf {b}}
]$

$
[AddAll 
\stackrel{
proof
}{\rightarrow}
\lambda 
\mathsf {c}
.
\lambda 
\mathsf{x}
.
{\cal P}( 
\lceil SystemQ
\vdash 
\forall \underline{(v1)}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf {a}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf {b}}
\colon \underline{
\mathsf {a}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {b}}
\vdash 
\forall_{obj} \underline{(v1)}
\colon \underline{
\mathsf {a}}
\vdash A4
\rhd 
\forall_{obj} \underline{(v1)}
\colon \underline{
\mathsf {a}}
\gg \underline{
\mathsf {a}}
; MP
\rhd \underline{
\mathsf {a}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {b}}
\rhd \underline{
\mathsf {a}}
\gg \underline{
\mathsf {b}}
; Gen
\rhd \underline{
\mathsf {b}}
\gg 
\forall_{obj} \underline{(v1)}
\colon \underline{
\mathsf {b}}
; 
\forall \underline{(v1)}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf {a}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf {b}}
\colon Ded
\rhd 
\forall \underline{(v1)}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf {a}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf {b}}
\colon \underline{
\mathsf {a}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {b}}
\vdash 
\forall_{obj} \underline{(v1)}
\colon \underline{
\mathsf {a}}
\vdash 
\forall_{obj} \underline{(v1)}
\colon \underline{
\mathsf {b}}
\gg \underline{
\mathsf {a}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {b}}
\Rightarrow 
\forall_{obj} \underline{(v1)}
\colon \underline{
\mathsf {a}}
\Rightarrow 
\forall_{obj} \underline{(v1)}
\colon \underline{
\mathsf {b}}
; \underline{
\mathsf {a}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {b}}
\vdash MP
\rhd \underline{
\mathsf {a}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {b}}
\Rightarrow 
\forall_{obj} \underline{(v1)}
\colon \underline{
\mathsf {a}}
\Rightarrow 
\forall_{obj} \underline{(v1)}
\colon \underline{
\mathsf {b}}
\rhd \underline{
\mathsf {a}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {b}}
\gg 
\forall_{obj} \underline{(v1)}
\colon \underline{
\mathsf {a}}
\Rightarrow 
\forall_{obj} \underline{(v1)}
\colon \underline{
\mathsf {b}}
\rceil 
, 
p_0
, 
\mathsf {c}
)
]$

$
[AddExist(Helper1)
\stackrel{
stmt
}{\rightarrow}SystemQ
\vdash 
\forall \underline{
\mathsf{y}}
\colon 
\forall \underline{(v1)}
\colon 
\forall \underline{(v2)}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf {a}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf {b}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf {c}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf {d}}
\colon \langle \dot{\neg}\,(\underline{
\mathsf {b}}
)n
{\equiv} \dot{\neg}\,(\underline{
\mathsf {d}}
)n
| \underline{(v2)}
{:==} \underline{
\mathsf{y}}
\rangle_{Me}
\mathrel {\makebox [0mm][l]{$\vdash $}\,{\vdash }} \underline{
\mathsf {a}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {b}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {c}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {a}}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \underline{(v1)}
\colon \dot{\neg}\,(\underline{
\mathsf {c}}
)n
)n
\Rightarrow 
\forall_{obj} \underline{(v2)}
\colon \dot{\neg}\,(\underline{
\mathsf {d}}
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \underline{(v2)}
\colon \dot{\neg}\,(\underline{
\mathsf {d}}
)n
)n
]$

$
[AddExist(Helper1)
\stackrel{
proof
}{\rightarrow}
\lambda 
\mathsf {c}
.
\lambda 
\mathsf{x}
.
{\cal P}( 
\lceil SystemQ
\vdash 
\forall \underline{
\mathsf{y}}
\colon 
\forall \underline{(v1)}
\colon 
\forall \underline{(v2)}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf {a}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf {b}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf {c}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf {d}}
\colon \langle \dot{\neg}\,(\underline{
\mathsf {b}}
)n
{\equiv} \dot{\neg}\,(\underline{
\mathsf {d}}
)n
| \underline{(v2)}
{:==} \underline{
\mathsf{y}}
\rangle_{Me}
\mathrel {\makebox [0mm][l]{$\vdash $}\,{\vdash }} \underline{
\mathsf {a}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {b}}
\vdash \underline{
\mathsf {c}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {a}}
\vdash \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \underline{(v1)}
\colon \dot{\neg}\,(\underline{
\mathsf {c}}
)n
)n
\vdash 
\forall_{obj} \underline{(v2)}
\colon \dot{\neg}\,(\underline{
\mathsf {d}}
)n
\vdash A4
\mathop {\char64} \underline{
\mathsf{y}}
\rhd 
\forall_{obj} \underline{(v2)}
\colon \dot{\neg}\,(\underline{
\mathsf {d}}
)n
\gg \dot{\neg}\,(\underline{
\mathsf {b}}
)n
; MT
\rhd \underline{
\mathsf {a}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {b}}
\rhd \dot{\neg}\,(\underline{
\mathsf {b}}
)n
\gg \dot{\neg}\,(\underline{
\mathsf {a}}
)n
; MT
\rhd \underline{
\mathsf {c}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {a}}
\rhd \dot{\neg}\,(\underline{
\mathsf {a}}
)n
\gg \dot{\neg}\,(\underline{
\mathsf {c}}
)n
; Gen
\rhd \dot{\neg}\,(\underline{
\mathsf {c}}
)n
\gg 
\forall_{obj} \underline{(v1)}
\colon \dot{\neg}\,(\underline{
\mathsf {c}}
)n
; Repetition
\rhd \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \underline{(v1)}
\colon \dot{\neg}\,(\underline{
\mathsf {c}}
)n
)n
\gg \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \underline{(v1)}
\colon \dot{\neg}\,(\underline{
\mathsf {c}}
)n
)n
; FromContradiction
\rhd 
\forall_{obj} \underline{(v1)}
\colon \dot{\neg}\,(\underline{
\mathsf {c}}
)n
\rhd \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \underline{(v1)}
\colon \dot{\neg}\,(\underline{
\mathsf {c}}
)n
)n
\gg \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \underline{(v2)}
\colon \dot{\neg}\,(\underline{
\mathsf {d}}
)n
)n
; 
\forall \underline{
\mathsf{y}}
\colon 
\forall \underline{(v1)}
\colon 
\forall \underline{(v2)}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf {a}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf {b}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf {c}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf {d}}
\colon Ded
\rhd 
\forall \underline{
\mathsf{y}}
\colon 
\forall \underline{(v1)}
\colon 
\forall \underline{(v2)}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf {a}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf {b}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf {c}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf {d}}
\colon \langle \dot{\neg}\,(\underline{
\mathsf {b}}
)n
{\equiv} \dot{\neg}\,(\underline{
\mathsf {d}}
)n
| \underline{(v2)}
{:==} \underline{
\mathsf{y}}
\rangle_{Me}
\mathrel {\makebox [0mm][l]{$\vdash $}\,{\vdash }} \underline{
\mathsf {a}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {b}}
\vdash \underline{
\mathsf {c}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {a}}
\vdash \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \underline{(v1)}
\colon \dot{\neg}\,(\underline{
\mathsf {c}}
)n
)n
\vdash 
\forall_{obj} \underline{(v2)}
\colon \dot{\neg}\,(\underline{
\mathsf {d}}
)n
\vdash \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \underline{(v2)}
\colon \dot{\neg}\,(\underline{
\mathsf {d}}
)n
)n
\gg \langle \dot{\neg}\,(\underline{
\mathsf {b}}
)n
{\equiv} \dot{\neg}\,(\underline{
\mathsf {d}}
)n
| \underline{(v2)}
{:==} \underline{
\mathsf{y}}
\rangle_{Me}
\mathrel {\makebox [0mm][l]{$\vdash $}\,{\vdash }} \underline{
\mathsf {a}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {b}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {c}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {a}}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \underline{(v1)}
\colon \dot{\neg}\,(\underline{
\mathsf {c}}
)n
)n
\Rightarrow 
\forall_{obj} \underline{(v2)}
\colon \dot{\neg}\,(\underline{
\mathsf {d}}
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \underline{(v2)}
\colon \dot{\neg}\,(\underline{
\mathsf {d}}
)n
)n
\rceil 
, 
p_0
, 
\mathsf {c}
)
]$


$
[AddExist(Helper2)
\stackrel{
stmt
}{\rightarrow}SystemQ
\vdash 
\forall \underline{
\mathsf{y}}
\colon 
\forall \underline{(v1)}
\colon 
\forall \underline{(v2)}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf {a}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf {b}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf {c}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf {d}}
\colon \langle \dot{\neg}\,(\underline{
\mathsf {b}}
)n
{\equiv} \dot{\neg}\,(\underline{
\mathsf {d}}
)n
| \underline{(v2)}
{:==} \underline{
\mathsf{y}}
\rangle_{Me}
\mathrel {\makebox [0mm][l]{$\vdash $}\,{\vdash }} \underline{
\mathsf {a}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {b}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {c}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {a}}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \underline{(v1)}
\colon \dot{\neg}\,(\underline{
\mathsf {c}}
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \underline{(v2)}
\colon \dot{\neg}\,(\underline{
\mathsf {d}}
)n
)n
]$

$
[AddExist(Helper2)
\stackrel{
proof
}{\rightarrow}
\lambda 
\mathsf {c}
.
\lambda 
\mathsf{x}
.
{\cal P}( 
\lceil SystemQ
\vdash 
\forall \underline{
\mathsf{y}}
\colon 
\forall \underline{(v1)}
\colon 
\forall \underline{(v2)}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf {a}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf {b}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf {c}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf {d}}
\colon \langle \dot{\neg}\,(\underline{
\mathsf {b}}
)n
{\equiv} \dot{\neg}\,(\underline{
\mathsf {d}}
)n
| \underline{(v2)}
{:==} \underline{
\mathsf{y}}
\rangle_{Me}
\mathrel {\makebox [0mm][l]{$\vdash $}\,{\vdash }} \underline{
\mathsf {a}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {b}}
\vdash \underline{
\mathsf {c}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {a}}
\vdash \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \underline{(v1)}
\colon \dot{\neg}\,(\underline{
\mathsf {c}}
)n
)n
\vdash AddExist(Helper1)
\mathrel {\makebox [0mm][l]{$\rhd $}\,{\rhd }} \langle \dot{\neg}\,(\underline{
\mathsf {b}}
)n
{\equiv} \dot{\neg}\,(\underline{
\mathsf {d}}
)n
| \underline{(v2)}
{:==} \underline{
\mathsf{y}}
\rangle_{Me}
\gg \underline{
\mathsf {a}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {b}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {c}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {a}}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \underline{(v1)}
\colon \dot{\neg}\,(\underline{
\mathsf {c}}
)n
)n
\Rightarrow 
\forall_{obj} \underline{(v2)}
\colon \dot{\neg}\,(\underline{
\mathsf {d}}
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \underline{(v2)}
\colon \dot{\neg}\,(\underline{
\mathsf {d}}
)n
)n
; MP3
\rhd \underline{
\mathsf {a}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {b}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {c}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {a}}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \underline{(v1)}
\colon \dot{\neg}\,(\underline{
\mathsf {c}}
)n
)n
\Rightarrow 
\forall_{obj} \underline{(v2)}
\colon \dot{\neg}\,(\underline{
\mathsf {d}}
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \underline{(v2)}
\colon \dot{\neg}\,(\underline{
\mathsf {d}}
)n
)n
\rhd \underline{
\mathsf {a}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {b}}
\rhd \underline{
\mathsf {c}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {a}}
\rhd \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \underline{(v1)}
\colon \dot{\neg}\,(\underline{
\mathsf {c}}
)n
)n
\gg 
\forall_{obj} \underline{(v2)}
\colon \dot{\neg}\,(\underline{
\mathsf {d}}
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \underline{(v2)}
\colon \dot{\neg}\,(\underline{
\mathsf {d}}
)n
)n
; 
\mbox{prop lemma imply negation}
\rhd 
\forall_{obj} \underline{(v2)}
\colon \dot{\neg}\,(\underline{
\mathsf {d}}
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \underline{(v2)}
\colon \dot{\neg}\,(\underline{
\mathsf {d}}
)n
)n
\gg \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \underline{(v2)}
\colon \dot{\neg}\,(\underline{
\mathsf {d}}
)n
)n
; Repetition
\rhd \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \underline{(v2)}
\colon \dot{\neg}\,(\underline{
\mathsf {d}}
)n
)n
\gg \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \underline{(v2)}
\colon \dot{\neg}\,(\underline{
\mathsf {d}}
)n
)n
; 
\forall \underline{
\mathsf{y}}
\colon 
\forall \underline{(v1)}
\colon 
\forall \underline{(v2)}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf {a}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf {b}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf {c}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf {d}}
\colon Ded
\rhd 
\forall \underline{
\mathsf{y}}
\colon 
\forall \underline{(v1)}
\colon 
\forall \underline{(v2)}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf {a}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf {b}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf {c}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf {d}}
\colon \langle \dot{\neg}\,(\underline{
\mathsf {b}}
)n
{\equiv} \dot{\neg}\,(\underline{
\mathsf {d}}
)n
| \underline{(v2)}
{:==} \underline{
\mathsf{y}}
\rangle_{Me}
\mathrel {\makebox [0mm][l]{$\vdash $}\,{\vdash }} \underline{
\mathsf {a}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {b}}
\vdash \underline{
\mathsf {c}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {a}}
\vdash \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \underline{(v1)}
\colon \dot{\neg}\,(\underline{
\mathsf {c}}
)n
)n
\vdash \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \underline{(v2)}
\colon \dot{\neg}\,(\underline{
\mathsf {d}}
)n
)n
\gg \langle \dot{\neg}\,(\underline{
\mathsf {b}}
)n
{\equiv} \dot{\neg}\,(\underline{
\mathsf {d}}
)n
| \underline{(v2)}
{:==} \underline{
\mathsf{y}}
\rangle_{Me}
\mathrel {\makebox [0mm][l]{$\vdash $}\,{\vdash }} \underline{
\mathsf {a}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {b}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {c}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {a}}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \underline{(v1)}
\colon \dot{\neg}\,(\underline{
\mathsf {c}}
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \underline{(v2)}
\colon \dot{\neg}\,(\underline{
\mathsf {d}}
)n
)n
\rceil 
, 
p_0
, 
\mathsf {c}
)
]$

$
[AddExist
\stackrel{
stmt
}{\rightarrow}SystemQ
\vdash 
\forall \underline{
\mathsf{y}}
\colon 
\forall \underline{(v1)}
\colon 
\forall \underline{(v2)}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf {a}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf {b}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf {c}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf {d}}
\colon \langle \dot{\neg}\,(\underline{
\mathsf {b}}
)n
{\equiv} \dot{\neg}\,(\underline{
\mathsf {d}}
)n
| \underline{(v2)}
{:==} \underline{
\mathsf{y}}
\rangle_{Me}
\mathrel {\makebox [0mm][l]{$\vdash $}\,{\vdash }} \underline{
\mathsf {a}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {b}}
\vdash \underline{
\mathsf {c}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {a}}
\vdash \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \underline{(v1)}
\colon \dot{\neg}\,(\underline{
\mathsf {c}}
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \underline{(v2)}
\colon \dot{\neg}\,(\underline{
\mathsf {d}}
)n
)n
]$

$
[AddExist
\stackrel{
proof
}{\rightarrow}
\lambda 
\mathsf {c}
.
\lambda 
\mathsf{x}
.
{\cal P}( 
\lceil SystemQ
\vdash 
\forall \underline{
\mathsf{y}}
\colon 
\forall \underline{(v1)}
\colon 
\forall \underline{(v2)}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf {a}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf {b}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf {c}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf {d}}
\colon \langle \dot{\neg}\,(\underline{
\mathsf {b}}
)n
{\equiv} \dot{\neg}\,(\underline{
\mathsf {d}}
)n
| \underline{(v2)}
{:==} \underline{
\mathsf{y}}
\rangle_{Me}
\mathrel {\makebox [0mm][l]{$\vdash $}\,{\vdash }} \underline{
\mathsf {a}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {b}}
\vdash \underline{
\mathsf {c}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {a}}
\vdash AddExist(Helper2)
\mathrel {\makebox [0mm][l]{$\rhd $}\,{\rhd }} \langle \dot{\neg}\,(\underline{
\mathsf {b}}
)n
{\equiv} \dot{\neg}\,(\underline{
\mathsf {d}}
)n
| \underline{(v2)}
{:==} \underline{
\mathsf{y}}
\rangle_{Me}
\gg \underline{
\mathsf {a}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {b}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {c}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {a}}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \underline{(v1)}
\colon \dot{\neg}\,(\underline{
\mathsf {c}}
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \underline{(v2)}
\colon \dot{\neg}\,(\underline{
\mathsf {d}}
)n
)n
; MP2
\rhd \underline{
\mathsf {a}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {b}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {c}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {a}}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \underline{(v1)}
\colon \dot{\neg}\,(\underline{
\mathsf {c}}
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \underline{(v2)}
\colon \dot{\neg}\,(\underline{
\mathsf {d}}
)n
)n
\rhd \underline{
\mathsf {a}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {b}}
\rhd \underline{
\mathsf {c}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {a}}
\gg \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \underline{(v1)}
\colon \dot{\neg}\,(\underline{
\mathsf {c}}
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \underline{(v2)}
\colon \dot{\neg}\,(\underline{
\mathsf {d}}
)n
)n
\rceil 
, 
p_0
, 
\mathsf {c}
)
]$


$
[AddExist(SimpleAnt)
\stackrel{
stmt
}{\rightarrow}SystemQ
\vdash 
\forall \underline{
\mathsf{y}}
\colon 
\forall \underline{(v1)}
\colon 
\forall \underline{(v2)}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf {a}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf {b}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf {d}}
\colon \langle \dot{\neg}\,(\underline{
\mathsf {b}}
)n
{\equiv} \dot{\neg}\,(\underline{
\mathsf {d}}
)n
| \underline{(v2)}
{:==} \underline{
\mathsf{y}}
\rangle_{Me}
\mathrel {\makebox [0mm][l]{$\vdash $}\,{\vdash }} \underline{
\mathsf {a}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {b}}
\vdash \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \underline{(v1)}
\colon \dot{\neg}\,(\underline{
\mathsf {a}}
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \underline{(v2)}
\colon \dot{\neg}\,(\underline{
\mathsf {d}}
)n
)n
]$


$
[AddExist(SimpleAnt)
\stackrel{
proof
}{\rightarrow}
\lambda 
\mathsf {c}
.
\lambda 
\mathsf{x}
.
{\cal P}( 
\lceil SystemQ
\vdash 
\forall \underline{
\mathsf{y}}
\colon 
\forall \underline{(v1)}
\colon 
\forall \underline{(v2)}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf {a}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf {b}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf {d}}
\colon \langle \dot{\neg}\,(\underline{
\mathsf {b}}
)n
{\equiv} \dot{\neg}\,(\underline{
\mathsf {d}}
)n
| \underline{(v2)}
{:==} \underline{
\mathsf{y}}
\rangle_{Me}
\mathrel {\makebox [0mm][l]{$\vdash $}\,{\vdash }} \underline{
\mathsf {a}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {b}}
\vdash AutoImply
\gg \underline{
\mathsf {a}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {a}}
; AddExist
\mathop {\char64} \underline{
\mathsf{y}}
\mathrel {\makebox [0mm][l]{$\rhd $}\,{\rhd }} \langle \dot{\neg}\,(\underline{
\mathsf {b}}
)n
{\equiv} \dot{\neg}\,(\underline{
\mathsf {d}}
)n
| \underline{(v2)}
{:==} \underline{
\mathsf{y}}
\rangle_{Me}
\rhd \underline{
\mathsf {a}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {b}}
\rhd \underline{
\mathsf {a}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {a}}
\gg \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \underline{(v1)}
\colon \dot{\neg}\,(\underline{
\mathsf {a}}
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \underline{(v2)}
\colon \dot{\neg}\,(\underline{
\mathsf {d}}
)n
)n
\rceil 
, 
p_0
, 
\mathsf {c}
)
]$


$
[AddExist(Simple)
\stackrel{
stmt
}{\rightarrow}SystemQ
\vdash 
\forall \underline{(v1)}
\colon 
\forall \underline{(v2)}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf {a}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf {b}}
\colon \underline{
\mathsf {a}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {b}}
\vdash \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \underline{(v1)}
\colon \dot{\neg}\,(\underline{
\mathsf {a}}
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \underline{(v2)}
\colon \dot{\neg}\,(\underline{
\mathsf {b}}
)n
)n
]$

$
[AddExist(Simple)
\stackrel{
proof
}{\rightarrow}
\lambda 
\mathsf {c}
.
\lambda 
\mathsf{x}
.
{\cal P}( 
\lceil SystemQ
\vdash 
\forall \underline{(v1)}
\colon 
\forall \underline{(v2)}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf {a}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf {b}}
\colon \underline{
\mathsf {a}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {b}}
\vdash AutoImply
\gg \underline{
\mathsf {a}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {a}}
; AddExist
\mathop {\char64} \underline{(v2)}
\rhd \underline{
\mathsf {a}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {b}}
\rhd \underline{
\mathsf {a}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {a}}
\gg \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \underline{(v1)}
\colon \dot{\neg}\,(\underline{
\mathsf {a}}
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \underline{(v2)}
\colon \dot{\neg}\,(\underline{
\mathsf {b}}
)n
)n
\rceil 
, 
p_0
, 
\mathsf {c}
)
]$

$
[AEA-negated
\stackrel{
stmt
}{\rightarrow}SystemQ
\vdash 
\forall \underline{(v1)}
\colon 
\forall \underline{(v2)}
\colon 
\forall \underline{(v3)}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf {a}}
\colon \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \underline{(v1)}
\colon \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \underline{(v2)}
\colon \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \underline{(v3)}
\colon \underline{
\mathsf {a}}
)n
)n
)n
\vdash \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \underline{(v1)}
\colon \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \underline{(v2)}
\colon \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \underline{(v3)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\underline{
\mathsf {a}}
)n
)n
)n
)n
)n
]$

$
[AEA-negated
\stackrel{
proof
}{\rightarrow}
\lambda 
\mathsf {c}
.
\lambda 
\mathsf{x}
.
{\cal P}( 
\lceil SystemQ
\vdash 
\forall \underline{(v1)}
\colon 
\forall \underline{(v2)}
\colon 
\forall \underline{(v3)}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf {a}}
\colon \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \underline{(v1)}
\colon \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \underline{(v2)}
\colon \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \underline{(v3)}
\colon \underline{
\mathsf {a}}
)n
)n
)n
\vdash AllNegated(Imply)
\gg \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \underline{(v3)}
\colon \underline{
\mathsf {a}}
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \underline{(v3)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\underline{
\mathsf {a}}
)n
)n
)n
; AddAll 
\rhd \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \underline{(v3)}
\colon \underline{
\mathsf {a}}
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \underline{(v3)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\underline{
\mathsf {a}}
)n
)n
)n
\gg 
\forall_{obj} \underline{(v2)}
\colon \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \underline{(v3)}
\colon \underline{
\mathsf {a}}
)n
\Rightarrow 
\forall_{obj} \underline{(v2)}
\colon \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \underline{(v3)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\underline{
\mathsf {a}}
)n
)n
)n
; ExistNegated(Imply)
\gg \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \underline{(v2)}
\colon \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \underline{(v3)}
\colon \underline{
\mathsf {a}}
)n
)n
)n
\Rightarrow 
\forall_{obj} \underline{(v2)}
\colon \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \underline{(v3)}
\colon \underline{
\mathsf {a}}
)n
; ImplyTransitivity
\rhd \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \underline{(v2)}
\colon \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \underline{(v3)}
\colon \underline{
\mathsf {a}}
)n
)n
)n
\Rightarrow 
\forall_{obj} \underline{(v2)}
\colon \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \underline{(v3)}
\colon \underline{
\mathsf {a}}
)n
\rhd 
\forall_{obj} \underline{(v2)}
\colon \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \underline{(v3)}
\colon \underline{
\mathsf {a}}
)n
\Rightarrow 
\forall_{obj} \underline{(v2)}
\colon \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \underline{(v3)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\underline{
\mathsf {a}}
)n
)n
)n
\gg \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \underline{(v2)}
\colon \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \underline{(v3)}
\colon \underline{
\mathsf {a}}
)n
)n
)n
\Rightarrow 
\forall_{obj} \underline{(v2)}
\colon \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \underline{(v3)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\underline{
\mathsf {a}}
)n
)n
)n
; AddExist(Simple)
\rhd \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \underline{(v2)}
\colon \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \underline{(v3)}
\colon \underline{
\mathsf {a}}
)n
)n
)n
\Rightarrow 
\forall_{obj} \underline{(v2)}
\colon \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \underline{(v3)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\underline{
\mathsf {a}}
)n
)n
)n
\gg \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \underline{(v1)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \underline{(v2)}
\colon \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \underline{(v3)}
\colon \underline{
\mathsf {a}}
)n
)n
)n
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \underline{(v1)}
\colon \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \underline{(v2)}
\colon \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \underline{(v3)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\underline{
\mathsf {a}}
)n
)n
)n
)n
)n
; AllNegated(Imply)
\gg \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \underline{(v1)}
\colon \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \underline{(v2)}
\colon \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \underline{(v3)}
\colon \underline{
\mathsf {a}}
)n
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \underline{(v1)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \underline{(v2)}
\colon \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \underline{(v3)}
\colon \underline{
\mathsf {a}}
)n
)n
)n
)n
)n
; ImplyTransitivity
\rhd \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \underline{(v1)}
\colon \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \underline{(v2)}
\colon \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \underline{(v3)}
\colon \underline{
\mathsf {a}}
)n
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \underline{(v1)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \underline{(v2)}
\colon \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \underline{(v3)}
\colon \underline{
\mathsf {a}}
)n
)n
)n
)n
)n
\rhd \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \underline{(v1)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \underline{(v2)}
\colon \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \underline{(v3)}
\colon \underline{
\mathsf {a}}
)n
)n
)n
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \underline{(v1)}
\colon \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \underline{(v2)}
\colon \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \underline{(v3)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\underline{
\mathsf {a}}
)n
)n
)n
)n
)n
\gg \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \underline{(v1)}
\colon \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \underline{(v2)}
\colon \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \underline{(v3)}
\colon \underline{
\mathsf {a}}
)n
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \underline{(v1)}
\colon \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \underline{(v2)}
\colon \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \underline{(v3)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\underline{
\mathsf {a}}
)n
)n
)n
)n
)n
; MP
\rhd \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \underline{(v1)}
\colon \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \underline{(v2)}
\colon \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \underline{(v3)}
\colon \underline{
\mathsf {a}}
)n
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \underline{(v1)}
\colon \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \underline{(v2)}
\colon \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \underline{(v3)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\underline{
\mathsf {a}}
)n
)n
)n
)n
)n
\rhd \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \underline{(v1)}
\colon \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \underline{(v2)}
\colon \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \underline{(v3)}
\colon \underline{
\mathsf {a}}
)n
)n
)n
\gg \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \underline{(v1)}
\colon \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \underline{(v2)}
\colon \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \underline{(v3)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\underline{
\mathsf {a}}
)n
)n
)n
)n
)n
\rceil 
, 
p_0
, 
\mathsf {c}
)
]$

$
[AddEAE
\stackrel{
stmt
}{\rightarrow}SystemQ
\vdash 
\forall \underline{(v1)}
\colon 
\forall \underline{(v2)}
\colon 
\forall \underline{(v3)}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf {a}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf {b}}
\colon \underline{
\mathsf {a}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {b}}
\vdash \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \underline{(v1)}
\colon \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \underline{(v2)}
\colon \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \underline{(v3)}
\colon \dot{\neg}\,(\underline{
\mathsf {a}}
)n
)n
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \underline{(v1)}
\colon \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \underline{(v2)}
\colon \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \underline{(v3)}
\colon \dot{\neg}\,(\underline{
\mathsf {b}}
)n
)n
)n
)n
]$

$
[AddEAE
\stackrel{
proof
}{\rightarrow}
\lambda 
\mathsf {c}
.
\lambda 
\mathsf{x}
.
{\cal P}( 
\lceil SystemQ
\vdash 
\forall \underline{(v1)}
\colon 
\forall \underline{(v2)}
\colon 
\forall \underline{(v3)}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf {a}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf {b}}
\colon \underline{
\mathsf {a}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {b}}
\vdash AddExist(Simple)
\rhd \underline{
\mathsf {a}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {b}}
\gg \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \underline{(v3)}
\colon \dot{\neg}\,(\underline{
\mathsf {a}}
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \underline{(v3)}
\colon \dot{\neg}\,(\underline{
\mathsf {b}}
)n
)n
; AddAll 
\rhd \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \underline{(v3)}
\colon \dot{\neg}\,(\underline{
\mathsf {a}}
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \underline{(v3)}
\colon \dot{\neg}\,(\underline{
\mathsf {b}}
)n
)n
\gg 
\forall_{obj} \underline{(v2)}
\colon \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \underline{(v3)}
\colon \dot{\neg}\,(\underline{
\mathsf {a}}
)n
)n
\Rightarrow 
\forall_{obj} \underline{(v2)}
\colon \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \underline{(v3)}
\colon \dot{\neg}\,(\underline{
\mathsf {b}}
)n
)n
; AddExist(Simple)
\rhd 
\forall_{obj} \underline{(v2)}
\colon \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \underline{(v3)}
\colon \dot{\neg}\,(\underline{
\mathsf {a}}
)n
)n
\Rightarrow 
\forall_{obj} \underline{(v2)}
\colon \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \underline{(v3)}
\colon \dot{\neg}\,(\underline{
\mathsf {b}}
)n
)n
\gg \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \underline{(v1)}
\colon \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \underline{(v2)}
\colon \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \underline{(v3)}
\colon \dot{\neg}\,(\underline{
\mathsf {a}}
)n
)n
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \underline{(v1)}
\colon \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \underline{(v2)}
\colon \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \underline{(v3)}
\colon \dot{\neg}\,(\underline{
\mathsf {b}}
)n
)n
)n
)n
\rceil 
, 
p_0
, 
\mathsf {c}
)
]$



$
[FromNotSameF(Weak)(Helper)
\stackrel{
stmt
}{\rightarrow}SystemQ
\vdash 
\forall \underline{
\mathsf{x}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf{y}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf{z}}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(|(\underline{
\mathsf{x}}
+(-u\underline{
\mathsf{y}}
)
)
|
 <= \underline{
\mathsf{z}}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(|(\underline{
\mathsf{x}}
+(-u\underline{
\mathsf{y}}
)
)
|
 = \underline{
\mathsf{z}}
)n
)n
)n
)n
\vdash \dot{\neg}\,(\underline{
\mathsf{x}}
 <= (\underline{
\mathsf{y}}
+(-u\underline{
\mathsf{z}}
)
)
)n
\Rightarrow \underline{
\mathsf{y}}
 <= (\underline{
\mathsf{x}}
+(-u\underline{
\mathsf{z}}
)
)
]$

$
[FromNotSameF(Weak)(Helper)
\stackrel{
proof
}{\rightarrow}
\lambda 
\mathsf {c}
.
\lambda 
\mathsf{x}
.
{\cal P}( 
\lceil SystemQ
\vdash 
\forall \underline{
\mathsf{x}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf{y}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf{z}}
\colon \underline{
\mathsf{z}}
 <= |(\underline{
\mathsf{x}}
+(-u\underline{
\mathsf{y}}
)
)
|
\vdash 0
 <= (\underline{
\mathsf{x}}
+(-u\underline{
\mathsf{y}}
)
)
\vdash NonnegativeNumerical
\rhd 0
 <= (\underline{
\mathsf{x}}
+(-u\underline{
\mathsf{y}}
)
)
\gg |(\underline{
\mathsf{x}}
+(-u\underline{
\mathsf{y}}
)
)
|
 = (\underline{
\mathsf{x}}
+(-u\underline{
\mathsf{y}}
)
)
; subLeqRight
\rhd |(\underline{
\mathsf{x}}
+(-u\underline{
\mathsf{y}}
)
)
|
 = (\underline{
\mathsf{x}}
+(-u\underline{
\mathsf{y}}
)
)
\rhd \underline{
\mathsf{z}}
 <= |(\underline{
\mathsf{x}}
+(-u\underline{
\mathsf{y}}
)
)
|
\gg \underline{
\mathsf{z}}
 <= (\underline{
\mathsf{x}}
+(-u\underline{
\mathsf{y}}
)
)
; negativeToLeft(Leq)
\rhd \underline{
\mathsf{z}}
 <= (\underline{
\mathsf{x}}
+(-u\underline{
\mathsf{y}}
)
)
\gg (\underline{
\mathsf{z}}
+\underline{
\mathsf{y}}
)
 <= \underline{
\mathsf{x}}
; plusCommutativity
\gg (\underline{
\mathsf{z}}
+\underline{
\mathsf{y}}
)
 = (\underline{
\mathsf{y}}
+\underline{
\mathsf{z}}
)
; subLeqLeft
\rhd (\underline{
\mathsf{z}}
+\underline{
\mathsf{y}}
)
 = (\underline{
\mathsf{y}}
+\underline{
\mathsf{z}}
)
\rhd (\underline{
\mathsf{z}}
+\underline{
\mathsf{y}}
)
 <= \underline{
\mathsf{x}}
\gg (\underline{
\mathsf{y}}
+\underline{
\mathsf{z}}
)
 <= \underline{
\mathsf{x}}
; PositiveToRight(Leq)
\rhd (\underline{
\mathsf{y}}
+\underline{
\mathsf{z}}
)
 <= \underline{
\mathsf{x}}
\gg \underline{
\mathsf{y}}
 <= (\underline{
\mathsf{x}}
+(-u\underline{
\mathsf{z}}
)
)
; WeakenOr1
\rhd \underline{
\mathsf{y}}
 <= (\underline{
\mathsf{x}}
+(-u\underline{
\mathsf{z}}
)
)
\gg \dot{\neg}\,(\underline{
\mathsf{x}}
 <= (\underline{
\mathsf{y}}
+(-u\underline{
\mathsf{z}}
)
)
)n
\Rightarrow \underline{
\mathsf{y}}
 <= (\underline{
\mathsf{x}}
+(-u\underline{
\mathsf{z}}
)
)
; 
\forall \underline{
\mathsf{x}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf{y}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf{z}}
\colon \underline{
\mathsf{z}}
 <= |(\underline{
\mathsf{x}}
+(-u\underline{
\mathsf{y}}
)
)
|
\vdash \dot{\neg}\,(0
 <= (\underline{
\mathsf{x}}
+(-u\underline{
\mathsf{y}}
)
)
)n
\vdash ToLess
\rhd \dot{\neg}\,(0
 <= (\underline{
\mathsf{x}}
+(-u\underline{
\mathsf{y}}
)
)
)n
\gg \dot{\neg}\,((\underline{
\mathsf{x}}
+(-u\underline{
\mathsf{y}}
)
)
 <= 0
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,((\underline{
\mathsf{x}}
+(-u\underline{
\mathsf{y}}
)
)
 = 0
)n
)n
)n
; NegativeNumerical
\gg |(\underline{
\mathsf{x}}
+(-u\underline{
\mathsf{y}}
)
)
|
 = (-u(\underline{
\mathsf{x}}
+(-u\underline{
\mathsf{y}}
)
)
)
; MinusNegated
\gg (-u(\underline{
\mathsf{x}}
+(-u\underline{
\mathsf{y}}
)
)
)
 = (\underline{
\mathsf{y}}
+(-u\underline{
\mathsf{x}}
)
)
; eqTransitivity
\rhd |(\underline{
\mathsf{x}}
+(-u\underline{
\mathsf{y}}
)
)
|
 = (-u(\underline{
\mathsf{x}}
+(-u\underline{
\mathsf{y}}
)
)
)
\rhd (-u(\underline{
\mathsf{x}}
+(-u\underline{
\mathsf{y}}
)
)
)
 = (\underline{
\mathsf{y}}
+(-u\underline{
\mathsf{x}}
)
)
\gg |(\underline{
\mathsf{x}}
+(-u\underline{
\mathsf{y}}
)
)
|
 = (\underline{
\mathsf{y}}
+(-u\underline{
\mathsf{x}}
)
)
; subLeqRight
\rhd |(\underline{
\mathsf{x}}
+(-u\underline{
\mathsf{y}}
)
)
|
 = (\underline{
\mathsf{y}}
+(-u\underline{
\mathsf{x}}
)
)
\rhd \underline{
\mathsf{z}}
 <= |(\underline{
\mathsf{x}}
+(-u\underline{
\mathsf{y}}
)
)
|
\gg \underline{
\mathsf{z}}
 <= (\underline{
\mathsf{y}}
+(-u\underline{
\mathsf{x}}
)
)
; negativeToLeft(Leq)
\rhd \underline{
\mathsf{z}}
 <= (\underline{
\mathsf{y}}
+(-u\underline{
\mathsf{x}}
)
)
\gg (\underline{
\mathsf{z}}
+\underline{
\mathsf{x}}
)
 <= \underline{
\mathsf{y}}
; plusCommutativity
\gg (\underline{
\mathsf{z}}
+\underline{
\mathsf{x}}
)
 = (\underline{
\mathsf{x}}
+\underline{
\mathsf{z}}
)
; subLeqLeft
\rhd (\underline{
\mathsf{z}}
+\underline{
\mathsf{x}}
)
 = (\underline{
\mathsf{x}}
+\underline{
\mathsf{z}}
)
\rhd (\underline{
\mathsf{z}}
+\underline{
\mathsf{x}}
)
 <= \underline{
\mathsf{y}}
\gg (\underline{
\mathsf{x}}
+\underline{
\mathsf{z}}
)
 <= \underline{
\mathsf{y}}
; PositiveToRight(Leq)
\rhd (\underline{
\mathsf{x}}
+\underline{
\mathsf{z}}
)
 <= \underline{
\mathsf{y}}
\gg \underline{
\mathsf{x}}
 <= (\underline{
\mathsf{y}}
+(-u\underline{
\mathsf{z}}
)
)
; WeakenOr2
\rhd \underline{
\mathsf{x}}
 <= (\underline{
\mathsf{y}}
+(-u\underline{
\mathsf{z}}
)
)
\gg \dot{\neg}\,(\underline{
\mathsf{x}}
 <= (\underline{
\mathsf{y}}
+(-u\underline{
\mathsf{z}}
)
)
)n
\Rightarrow \underline{
\mathsf{y}}
 <= (\underline{
\mathsf{x}}
+(-u\underline{
\mathsf{z}}
)
)
; 
\forall \underline{
\mathsf{x}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf{y}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf{z}}
\colon Ded
\rhd 
\forall \underline{
\mathsf{x}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf{y}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf{z}}
\colon \underline{
\mathsf{z}}
 <= |(\underline{
\mathsf{x}}
+(-u\underline{
\mathsf{y}}
)
)
|
\vdash 0
 <= (\underline{
\mathsf{x}}
+(-u\underline{
\mathsf{y}}
)
)
\vdash \dot{\neg}\,(\underline{
\mathsf{x}}
 <= (\underline{
\mathsf{y}}
+(-u\underline{
\mathsf{z}}
)
)
)n
\Rightarrow \underline{
\mathsf{y}}
 <= (\underline{
\mathsf{x}}
+(-u\underline{
\mathsf{z}}
)
)
\gg \underline{
\mathsf{z}}
 <= |(\underline{
\mathsf{x}}
+(-u\underline{
\mathsf{y}}
)
)
|
\Rightarrow 0
 <= (\underline{
\mathsf{x}}
+(-u\underline{
\mathsf{y}}
)
)
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\underline{
\mathsf{x}}
 <= (\underline{
\mathsf{y}}
+(-u\underline{
\mathsf{z}}
)
)
)n
\Rightarrow \underline{
\mathsf{y}}
 <= (\underline{
\mathsf{x}}
+(-u\underline{
\mathsf{z}}
)
)
; Ded
\rhd 
\forall \underline{
\mathsf{x}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf{y}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf{z}}
\colon \underline{
\mathsf{z}}
 <= |(\underline{
\mathsf{x}}
+(-u\underline{
\mathsf{y}}
)
)
|
\vdash \dot{\neg}\,(0
 <= (\underline{
\mathsf{x}}
+(-u\underline{
\mathsf{y}}
)
)
)n
\vdash \dot{\neg}\,(\underline{
\mathsf{x}}
 <= (\underline{
\mathsf{y}}
+(-u\underline{
\mathsf{z}}
)
)
)n
\Rightarrow \underline{
\mathsf{y}}
 <= (\underline{
\mathsf{x}}
+(-u\underline{
\mathsf{z}}
)
)
\gg \underline{
\mathsf{z}}
 <= |(\underline{
\mathsf{x}}
+(-u\underline{
\mathsf{y}}
)
)
|
\Rightarrow \dot{\neg}\,(0
 <= (\underline{
\mathsf{x}}
+(-u\underline{
\mathsf{y}}
)
)
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\underline{
\mathsf{x}}
 <= (\underline{
\mathsf{y}}
+(-u\underline{
\mathsf{z}}
)
)
)n
\Rightarrow \underline{
\mathsf{y}}
 <= (\underline{
\mathsf{x}}
+(-u\underline{
\mathsf{z}}
)
)
; \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(|(\underline{
\mathsf{x}}
+(-u\underline{
\mathsf{y}}
)
)
|
 <= \underline{
\mathsf{z}}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(|(\underline{
\mathsf{x}}
+(-u\underline{
\mathsf{y}}
)
)
|
 = \underline{
\mathsf{z}}
)n
)n
)n
)n
\vdash fromNotLess
\rhd \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(|(\underline{
\mathsf{x}}
+(-u\underline{
\mathsf{y}}
)
)
|
 <= \underline{
\mathsf{z}}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(|(\underline{
\mathsf{x}}
+(-u\underline{
\mathsf{y}}
)
)
|
 = \underline{
\mathsf{z}}
)n
)n
)n
)n
\gg \underline{
\mathsf{z}}
 <= |(\underline{
\mathsf{x}}
+(-u\underline{
\mathsf{y}}
)
)
|
; MP
\rhd \underline{
\mathsf{z}}
 <= |(\underline{
\mathsf{x}}
+(-u\underline{
\mathsf{y}}
)
)
|
\Rightarrow 0
 <= (\underline{
\mathsf{x}}
+(-u\underline{
\mathsf{y}}
)
)
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\underline{
\mathsf{x}}
 <= (\underline{
\mathsf{y}}
+(-u\underline{
\mathsf{z}}
)
)
)n
\Rightarrow \underline{
\mathsf{y}}
 <= (\underline{
\mathsf{x}}
+(-u\underline{
\mathsf{z}}
)
)
\rhd \underline{
\mathsf{z}}
 <= |(\underline{
\mathsf{x}}
+(-u\underline{
\mathsf{y}}
)
)
|
\gg 0
 <= (\underline{
\mathsf{x}}
+(-u\underline{
\mathsf{y}}
)
)
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\underline{
\mathsf{x}}
 <= (\underline{
\mathsf{y}}
+(-u\underline{
\mathsf{z}}
)
)
)n
\Rightarrow \underline{
\mathsf{y}}
 <= (\underline{
\mathsf{x}}
+(-u\underline{
\mathsf{z}}
)
)
; MP
\rhd \underline{
\mathsf{z}}
 <= |(\underline{
\mathsf{x}}
+(-u\underline{
\mathsf{y}}
)
)
|
\Rightarrow \dot{\neg}\,(0
 <= (\underline{
\mathsf{x}}
+(-u\underline{
\mathsf{y}}
)
)
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\underline{
\mathsf{x}}
 <= (\underline{
\mathsf{y}}
+(-u\underline{
\mathsf{z}}
)
)
)n
\Rightarrow \underline{
\mathsf{y}}
 <= (\underline{
\mathsf{x}}
+(-u\underline{
\mathsf{z}}
)
)
\rhd \underline{
\mathsf{z}}
 <= |(\underline{
\mathsf{x}}
+(-u\underline{
\mathsf{y}}
)
)
|
\gg \dot{\neg}\,(0
 <= (\underline{
\mathsf{x}}
+(-u\underline{
\mathsf{y}}
)
)
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\underline{
\mathsf{x}}
 <= (\underline{
\mathsf{y}}
+(-u\underline{
\mathsf{z}}
)
)
)n
\Rightarrow \underline{
\mathsf{y}}
 <= (\underline{
\mathsf{x}}
+(-u\underline{
\mathsf{z}}
)
)
; FromNegations
\rhd 0
 <= (\underline{
\mathsf{x}}
+(-u\underline{
\mathsf{y}}
)
)
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\underline{
\mathsf{x}}
 <= (\underline{
\mathsf{y}}
+(-u\underline{
\mathsf{z}}
)
)
)n
\Rightarrow \underline{
\mathsf{y}}
 <= (\underline{
\mathsf{x}}
+(-u\underline{
\mathsf{z}}
)
)
\rhd \dot{\neg}\,(0
 <= (\underline{
\mathsf{x}}
+(-u\underline{
\mathsf{y}}
)
)
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\underline{
\mathsf{x}}
 <= (\underline{
\mathsf{y}}
+(-u\underline{
\mathsf{z}}
)
)
)n
\Rightarrow \underline{
\mathsf{y}}
 <= (\underline{
\mathsf{x}}
+(-u\underline{
\mathsf{z}}
)
)
\gg \dot{\neg}\,(\underline{
\mathsf{x}}
 <= (\underline{
\mathsf{y}}
+(-u\underline{
\mathsf{z}}
)
)
)n
\Rightarrow \underline{
\mathsf{y}}
 <= (\underline{
\mathsf{x}}
+(-u\underline{
\mathsf{z}}
)
)
\rceil 
, 
p_0
, 
\mathsf {c}
)
]$

$
[FromNotSameF(Weak)
\stackrel{
stmt
}{\rightarrow}SystemQ
\vdash 
\forall \underline{
\mathsf {m}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf {n}}
\colon 
\forall \underline{(\epsilon)}
\colon 
\forall \underline{(fx)}
\colon 
\forall \underline{(fy)}
\colon \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(\epsilon)}
\colon \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {n}}
\colon \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {m}}
\colon \dot{\neg}\,(0
 <= \overline{(\epsilon)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(0
 = \overline{(\epsilon)}
)n
)n
)n
\Rightarrow \overline{
\mathsf {n}}
 <= \overline{
\mathsf {m}}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(|(\underline{(fx)}
[\overline{
\mathsf {m}}
]
+(-u\underline{(fy)}
[\overline{
\mathsf {m}}
]
)
)
|
 <= \overline{(\epsilon)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(|(\underline{(fx)}
[\overline{
\mathsf {m}}
]
+(-u\underline{(fy)}
[\overline{
\mathsf {m}}
]
)
)
|
 = \overline{(\epsilon)}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\vdash \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \underline{(\epsilon)}
\colon \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \underline{
\mathsf {n}}
\colon \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \underline{
\mathsf {m}}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(0
 <= \underline{(\epsilon)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(0
 = \underline{(\epsilon)}
)n
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\underline{
\mathsf {n}}
 <= \underline{
\mathsf {m}}
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
 <= (\underline{(fy)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
+(-u\underline{(\epsilon)}
)
)
)n
\Rightarrow \underline{(fy)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
 <= (\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
+(-u\underline{(\epsilon)}
)
)
)n
)n
)n
)n
)n
)n
]$

$
[FromNotSameF(Weak)
\stackrel{
proof
}{\rightarrow}
\lambda 
\mathsf {c}
.
\lambda 
\mathsf{x}
.
{\cal P}( 
\lceil SystemQ
\vdash 
\forall \underline{
\mathsf {m}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf {n}}
\colon 
\forall \underline{(\epsilon)}
\colon 
\forall \underline{(fx)}
\colon 
\forall \underline{(fy)}
\colon \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(\epsilon)}
\colon \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {n}}
\colon \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {m}}
\colon \dot{\neg}\,(0
 <= \overline{(\epsilon)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(0
 = \overline{(\epsilon)}
)n
)n
)n
\Rightarrow \overline{
\mathsf {n}}
 <= \overline{
\mathsf {m}}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(|(\underline{(fx)}
[\overline{
\mathsf {m}}
]
+(-u\underline{(fy)}
[\overline{
\mathsf {m}}
]
)
)
|
 <= \overline{(\epsilon)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(|(\underline{(fx)}
[\overline{
\mathsf {m}}
]
+(-u\underline{(fy)}
[\overline{
\mathsf {m}}
]
)
)
|
 = \overline{(\epsilon)}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\vdash Repetition
\rhd \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(\epsilon)}
\colon \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {n}}
\colon \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {m}}
\colon \dot{\neg}\,(0
 <= \overline{(\epsilon)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(0
 = \overline{(\epsilon)}
)n
)n
)n
\Rightarrow \overline{
\mathsf {n}}
 <= \overline{
\mathsf {m}}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(|(\underline{(fx)}
[\overline{
\mathsf {m}}
]
+(-u\underline{(fy)}
[\overline{
\mathsf {m}}
]
)
)
|
 <= \overline{(\epsilon)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(|(\underline{(fx)}
[\overline{
\mathsf {m}}
]
+(-u\underline{(fy)}
[\overline{
\mathsf {m}}
]
)
)
|
 = \overline{(\epsilon)}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\gg \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(\epsilon)}
\colon \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {n}}
\colon \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {m}}
\colon \dot{\neg}\,(0
 <= \overline{(\epsilon)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(0
 = \overline{(\epsilon)}
)n
)n
)n
\Rightarrow \overline{
\mathsf {n}}
 <= \overline{
\mathsf {m}}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(|(\underline{(fx)}
[\overline{
\mathsf {m}}
]
+(-u\underline{(fy)}
[\overline{
\mathsf {m}}
]
)
)
|
 <= \overline{(\epsilon)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(|(\underline{(fx)}
[\overline{
\mathsf {m}}
]
+(-u\underline{(fy)}
[\overline{
\mathsf {m}}
]
)
)
|
 = \overline{(\epsilon)}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
; Ded
\rhd \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(\epsilon)}
\colon \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {n}}
\colon \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {m}}
\colon \dot{\neg}\,(0
 <= \overline{(\epsilon)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(0
 = \overline{(\epsilon)}
)n
)n
)n
\Rightarrow \overline{
\mathsf {n}}
 <= \overline{
\mathsf {m}}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(|(\underline{(fx)}
[\overline{
\mathsf {m}}
]
+(-u\underline{(fy)}
[\overline{
\mathsf {m}}
]
)
)
|
 <= \overline{(\epsilon)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(|(\underline{(fx)}
[\overline{
\mathsf {m}}
]
+(-u\underline{(fy)}
[\overline{
\mathsf {m}}
]
)
)
|
 = \overline{(\epsilon)}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\gg \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \underline{(\epsilon)}
\colon \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \underline{
\mathsf {n}}
\colon \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \underline{
\mathsf {m}}
\colon \dot{\neg}\,(0
 <= \underline{(\epsilon)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(0
 = \underline{(\epsilon)}
)n
)n
)n
\Rightarrow \underline{
\mathsf {n}}
 <= \underline{
\mathsf {m}}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(|(\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
+(-u\underline{(fy)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
)
)
|
 <= \underline{(\epsilon)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(|(\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
+(-u\underline{(fy)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
)
)
|
 = \underline{(\epsilon)}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
; AEA-negated
\rhd \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \underline{(\epsilon)}
\colon \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \underline{
\mathsf {n}}
\colon \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \underline{
\mathsf {m}}
\colon \dot{\neg}\,(0
 <= \underline{(\epsilon)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(0
 = \underline{(\epsilon)}
)n
)n
)n
\Rightarrow \underline{
\mathsf {n}}
 <= \underline{
\mathsf {m}}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(|(\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
+(-u\underline{(fy)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
)
)
|
 <= \underline{(\epsilon)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(|(\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
+(-u\underline{(fy)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
)
)
|
 = \underline{(\epsilon)}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\gg \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \underline{(\epsilon)}
\colon \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \underline{
\mathsf {n}}
\colon \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \underline{
\mathsf {m}}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(0
 <= \underline{(\epsilon)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(0
 = \underline{(\epsilon)}
)n
)n
)n
\Rightarrow \underline{
\mathsf {n}}
 <= \underline{
\mathsf {m}}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(|(\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
+(-u\underline{(fy)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
)
)
|
 <= \underline{(\epsilon)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(|(\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
+(-u\underline{(fy)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
)
)
|
 = \underline{(\epsilon)}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
)n
)n
; 
\forall \underline{
\mathsf {m}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf {n}}
\colon 
\forall \underline{(\epsilon)}
\colon 
\forall \underline{(fx)}
\colon 
\forall \underline{(fy)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(0
 <= \underline{(\epsilon)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(0
 = \underline{(\epsilon)}
)n
)n
)n
\Rightarrow \underline{
\mathsf {n}}
 <= \underline{
\mathsf {m}}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(|(\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
+(-u\underline{(fy)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
)
)
|
 <= \underline{(\epsilon)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(|(\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
+(-u\underline{(fy)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
)
)
|
 = \underline{(\epsilon)}
)n
)n
)n
)n
\vdash FromNegated(2*Imply)
\rhd \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(0
 <= \underline{(\epsilon)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(0
 = \underline{(\epsilon)}
)n
)n
)n
\Rightarrow \underline{
\mathsf {n}}
 <= \underline{
\mathsf {m}}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(|(\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
+(-u\underline{(fy)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
)
)
|
 <= \underline{(\epsilon)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(|(\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
+(-u\underline{(fy)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
)
)
|
 = \underline{(\epsilon)}
)n
)n
)n
)n
\gg \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(0
 <= \underline{(\epsilon)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(0
 = \underline{(\epsilon)}
)n
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\underline{
\mathsf {n}}
 <= \underline{
\mathsf {m}}
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(|(\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
+(-u\underline{(fy)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
)
)
|
 <= \underline{(\epsilon)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(|(\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
+(-u\underline{(fy)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
)
)
|
 = \underline{(\epsilon)}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
; FirstConjunct
\rhd \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(0
 <= \underline{(\epsilon)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(0
 = \underline{(\epsilon)}
)n
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\underline{
\mathsf {n}}
 <= \underline{
\mathsf {m}}
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(|(\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
+(-u\underline{(fy)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
)
)
|
 <= \underline{(\epsilon)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(|(\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
+(-u\underline{(fy)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
)
)
|
 = \underline{(\epsilon)}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\gg \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(0
 <= \underline{(\epsilon)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(0
 = \underline{(\epsilon)}
)n
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\underline{
\mathsf {n}}
 <= \underline{
\mathsf {m}}
)n
)n
; SecondConjunct
\rhd \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(0
 <= \underline{(\epsilon)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(0
 = \underline{(\epsilon)}
)n
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\underline{
\mathsf {n}}
 <= \underline{
\mathsf {m}}
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(|(\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
+(-u\underline{(fy)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
)
)
|
 <= \underline{(\epsilon)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(|(\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
+(-u\underline{(fy)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
)
)
|
 = \underline{(\epsilon)}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\gg \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(|(\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
+(-u\underline{(fy)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
)
)
|
 <= \underline{(\epsilon)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(|(\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
+(-u\underline{(fy)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
)
)
|
 = \underline{(\epsilon)}
)n
)n
)n
)n
; FromNotSameF(Weak)(Helper)
\rhd \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(|(\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
+(-u\underline{(fy)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
)
)
|
 <= \underline{(\epsilon)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(|(\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
+(-u\underline{(fy)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
)
)
|
 = \underline{(\epsilon)}
)n
)n
)n
)n
\gg \dot{\neg}\,(\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
 <= (\underline{(fy)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
+(-u\underline{(\epsilon)}
)
)
)n
\Rightarrow \underline{(fy)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
 <= (\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
+(-u\underline{(\epsilon)}
)
)
; JoinConjuncts
\rhd \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(0
 <= \underline{(\epsilon)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(0
 = \underline{(\epsilon)}
)n
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\underline{
\mathsf {n}}
 <= \underline{
\mathsf {m}}
)n
)n
\rhd \dot{\neg}\,(\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
 <= (\underline{(fy)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
+(-u\underline{(\epsilon)}
)
)
)n
\Rightarrow \underline{(fy)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
 <= (\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
+(-u\underline{(\epsilon)}
)
)
\gg \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(0
 <= \underline{(\epsilon)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(0
 = \underline{(\epsilon)}
)n
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\underline{
\mathsf {n}}
 <= \underline{
\mathsf {m}}
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
 <= (\underline{(fy)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
+(-u\underline{(\epsilon)}
)
)
)n
\Rightarrow \underline{(fy)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
 <= (\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
+(-u\underline{(\epsilon)}
)
)
)n
)n
; Ded
\rhd 
\forall \underline{
\mathsf {m}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf {n}}
\colon 
\forall \underline{(\epsilon)}
\colon 
\forall \underline{(fx)}
\colon 
\forall \underline{(fy)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(0
 <= \underline{(\epsilon)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(0
 = \underline{(\epsilon)}
)n
)n
)n
\Rightarrow \underline{
\mathsf {n}}
 <= \underline{
\mathsf {m}}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(|(\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
+(-u\underline{(fy)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
)
)
|
 <= \underline{(\epsilon)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(|(\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
+(-u\underline{(fy)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
)
)
|
 = \underline{(\epsilon)}
)n
)n
)n
)n
\vdash \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(0
 <= \underline{(\epsilon)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(0
 = \underline{(\epsilon)}
)n
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\underline{
\mathsf {n}}
 <= \underline{
\mathsf {m}}
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
 <= (\underline{(fy)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
+(-u\underline{(\epsilon)}
)
)
)n
\Rightarrow \underline{(fy)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
 <= (\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
+(-u\underline{(\epsilon)}
)
)
)n
)n
\gg \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(0
 <= \underline{(\epsilon)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(0
 = \underline{(\epsilon)}
)n
)n
)n
\Rightarrow \underline{
\mathsf {n}}
 <= \underline{
\mathsf {m}}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(|(\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
+(-u\underline{(fy)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
)
)
|
 <= \underline{(\epsilon)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(|(\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
+(-u\underline{(fy)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
)
)
|
 = \underline{(\epsilon)}
)n
)n
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(0
 <= \underline{(\epsilon)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(0
 = \underline{(\epsilon)}
)n
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\underline{
\mathsf {n}}
 <= \underline{
\mathsf {m}}
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
 <= (\underline{(fy)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
+(-u\underline{(\epsilon)}
)
)
)n
\Rightarrow \underline{(fy)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
 <= (\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
+(-u\underline{(\epsilon)}
)
)
)n
)n
; AddEAE
\rhd \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(0
 <= \underline{(\epsilon)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(0
 = \underline{(\epsilon)}
)n
)n
)n
\Rightarrow \underline{
\mathsf {n}}
 <= \underline{
\mathsf {m}}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(|(\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
+(-u\underline{(fy)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
)
)
|
 <= \underline{(\epsilon)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(|(\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
+(-u\underline{(fy)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
)
)
|
 = \underline{(\epsilon)}
)n
)n
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(0
 <= \underline{(\epsilon)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(0
 = \underline{(\epsilon)}
)n
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\underline{
\mathsf {n}}
 <= \underline{
\mathsf {m}}
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
 <= (\underline{(fy)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
+(-u\underline{(\epsilon)}
)
)
)n
\Rightarrow \underline{(fy)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
 <= (\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
+(-u\underline{(\epsilon)}
)
)
)n
)n
\gg \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \underline{(\epsilon)}
\colon \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \underline{
\mathsf {n}}
\colon \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \underline{
\mathsf {m}}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(0
 <= \underline{(\epsilon)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(0
 = \underline{(\epsilon)}
)n
)n
)n
\Rightarrow \underline{
\mathsf {n}}
 <= \underline{
\mathsf {m}}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(|(\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
+(-u\underline{(fy)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
)
)
|
 <= \underline{(\epsilon)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(|(\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
+(-u\underline{(fy)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
)
)
|
 = \underline{(\epsilon)}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \underline{(\epsilon)}
\colon \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \underline{
\mathsf {n}}
\colon \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \underline{
\mathsf {m}}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(0
 <= \underline{(\epsilon)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(0
 = \underline{(\epsilon)}
)n
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\underline{
\mathsf {n}}
 <= \underline{
\mathsf {m}}
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
 <= (\underline{(fy)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
+(-u\underline{(\epsilon)}
)
)
)n
\Rightarrow \underline{(fy)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
 <= (\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
+(-u\underline{(\epsilon)}
)
)
)n
)n
)n
)n
)n
)n
; MP
\rhd \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \underline{(\epsilon)}
\colon \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \underline{
\mathsf {n}}
\colon \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \underline{
\mathsf {m}}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(0
 <= \underline{(\epsilon)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(0
 = \underline{(\epsilon)}
)n
)n
)n
\Rightarrow \underline{
\mathsf {n}}
 <= \underline{
\mathsf {m}}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(|(\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
+(-u\underline{(fy)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
)
)
|
 <= \underline{(\epsilon)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(|(\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
+(-u\underline{(fy)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
)
)
|
 = \underline{(\epsilon)}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \underline{(\epsilon)}
\colon \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \underline{
\mathsf {n}}
\colon \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \underline{
\mathsf {m}}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(0
 <= \underline{(\epsilon)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(0
 = \underline{(\epsilon)}
)n
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\underline{
\mathsf {n}}
 <= \underline{
\mathsf {m}}
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
 <= (\underline{(fy)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
+(-u\underline{(\epsilon)}
)
)
)n
\Rightarrow \underline{(fy)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
 <= (\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
+(-u\underline{(\epsilon)}
)
)
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\rhd \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \underline{(\epsilon)}
\colon \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \underline{
\mathsf {n}}
\colon \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \underline{
\mathsf {m}}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(0
 <= \underline{(\epsilon)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(0
 = \underline{(\epsilon)}
)n
)n
)n
\Rightarrow \underline{
\mathsf {n}}
 <= \underline{
\mathsf {m}}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(|(\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
+(-u\underline{(fy)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
)
)
|
 <= \underline{(\epsilon)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(|(\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
+(-u\underline{(fy)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
)
)
|
 = \underline{(\epsilon)}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\gg \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \underline{(\epsilon)}
\colon \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \underline{
\mathsf {n}}
\colon \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \underline{
\mathsf {m}}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(0
 <= \underline{(\epsilon)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(0
 = \underline{(\epsilon)}
)n
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\underline{
\mathsf {n}}
 <= \underline{
\mathsf {m}}
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
 <= (\underline{(fy)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
+(-u\underline{(\epsilon)}
)
)
)n
\Rightarrow \underline{(fy)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
 <= (\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
+(-u\underline{(\epsilon)}
)
)
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\rceil 
, 
p_0
, 
\mathsf {c}
)
]$


$
[FromMax(1)
\stackrel{
stmt
}{\rightarrow}SystemQ
\vdash 
\forall \underline{
\mathsf{x}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf{y}}
\colon \underline{
\mathsf{y}}
 <= \underline{
\mathsf{x}}
\vdash if(\underline{
\mathsf{y}}
 <= \underline{
\mathsf{x}}
,\underline{
\mathsf{x}}
,\underline{
\mathsf{y}}
)
 = \underline{
\mathsf{x}}
]$

$
[FromMax(1)
\stackrel{
proof
}{\rightarrow}
\lambda 
\mathsf {c}
.
\lambda 
\mathsf{x}
.
{\cal P}( 
\lceil SystemQ
\vdash 
\forall \underline{
\mathsf{x}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf{y}}
\colon \underline{
\mathsf{y}}
 <= \underline{
\mathsf{x}}
\vdash Max
\gg \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\underline{
\mathsf{y}}
 <= \underline{
\mathsf{x}}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(if(\underline{
\mathsf{y}}
 <= \underline{
\mathsf{x}}
,\underline{
\mathsf{x}}
,\underline{
\mathsf{y}}
)
 = \underline{
\mathsf{x}}
)n
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\underline{
\mathsf{y}}
 <= \underline{
\mathsf{x}}
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(if(\underline{
\mathsf{y}}
 <= \underline{
\mathsf{x}}
,\underline{
\mathsf{x}}
,\underline{
\mathsf{y}}
)
 = \underline{
\mathsf{y}}
)n
)n
; AddDoubleNeg
\rhd \underline{
\mathsf{y}}
 <= \underline{
\mathsf{x}}
\gg \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\underline{
\mathsf{y}}
 <= \underline{
\mathsf{x}}
)n
)n
; ToNegatedAnd(1)
\rhd \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\underline{
\mathsf{y}}
 <= \underline{
\mathsf{x}}
)n
)n
\gg \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\underline{
\mathsf{y}}
 <= \underline{
\mathsf{x}}
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(if(\underline{
\mathsf{y}}
 <= \underline{
\mathsf{x}}
,\underline{
\mathsf{x}}
,\underline{
\mathsf{y}}
)
 = \underline{
\mathsf{y}}
)n
)n
)n
; NegateDisjunct2
\rhd \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\underline{
\mathsf{y}}
 <= \underline{
\mathsf{x}}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(if(\underline{
\mathsf{y}}
 <= \underline{
\mathsf{x}}
,\underline{
\mathsf{x}}
,\underline{
\mathsf{y}}
)
 = \underline{
\mathsf{x}}
)n
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\underline{
\mathsf{y}}
 <= \underline{
\mathsf{x}}
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(if(\underline{
\mathsf{y}}
 <= \underline{
\mathsf{x}}
,\underline{
\mathsf{x}}
,\underline{
\mathsf{y}}
)
 = \underline{
\mathsf{y}}
)n
)n
\rhd \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\underline{
\mathsf{y}}
 <= \underline{
\mathsf{x}}
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(if(\underline{
\mathsf{y}}
 <= \underline{
\mathsf{x}}
,\underline{
\mathsf{x}}
,\underline{
\mathsf{y}}
)
 = \underline{
\mathsf{y}}
)n
)n
)n
\gg \dot{\neg}\,(\underline{
\mathsf{y}}
 <= \underline{
\mathsf{x}}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(if(\underline{
\mathsf{y}}
 <= \underline{
\mathsf{x}}
,\underline{
\mathsf{x}}
,\underline{
\mathsf{y}}
)
 = \underline{
\mathsf{x}}
)n
)n
; SecondConjunct
\rhd \dot{\neg}\,(\underline{
\mathsf{y}}
 <= \underline{
\mathsf{x}}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(if(\underline{
\mathsf{y}}
 <= \underline{
\mathsf{x}}
,\underline{
\mathsf{x}}
,\underline{
\mathsf{y}}
)
 = \underline{
\mathsf{x}}
)n
)n
\gg if(\underline{
\mathsf{y}}
 <= \underline{
\mathsf{x}}
,\underline{
\mathsf{x}}
,\underline{
\mathsf{y}}
)
 = \underline{
\mathsf{x}}
\rceil 
, 
p_0
, 
\mathsf {c}
)
]$

$
[FromMax(2)
\stackrel{
stmt
}{\rightarrow}SystemQ
\vdash 
\forall \underline{
\mathsf{x}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf{y}}
\colon \dot{\neg}\,(\underline{
\mathsf{y}}
 <= \underline{
\mathsf{x}}
)n
\vdash if(\underline{
\mathsf{y}}
 <= \underline{
\mathsf{x}}
,\underline{
\mathsf{x}}
,\underline{
\mathsf{y}}
)
 = \underline{
\mathsf{y}}
]$

$
[FromMax(2)
\stackrel{
proof
}{\rightarrow}
\lambda 
\mathsf {c}
.
\lambda 
\mathsf{x}
.
{\cal P}( 
\lceil SystemQ
\vdash 
\forall \underline{
\mathsf{x}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf{y}}
\colon \dot{\neg}\,(\underline{
\mathsf{y}}
 <= \underline{
\mathsf{x}}
)n
\vdash Max
\gg \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\underline{
\mathsf{y}}
 <= \underline{
\mathsf{x}}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(if(\underline{
\mathsf{y}}
 <= \underline{
\mathsf{x}}
,\underline{
\mathsf{x}}
,\underline{
\mathsf{y}}
)
 = \underline{
\mathsf{x}}
)n
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\underline{
\mathsf{y}}
 <= \underline{
\mathsf{x}}
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(if(\underline{
\mathsf{y}}
 <= \underline{
\mathsf{x}}
,\underline{
\mathsf{x}}
,\underline{
\mathsf{y}}
)
 = \underline{
\mathsf{y}}
)n
)n
; ToNegatedAnd(1)
\rhd \dot{\neg}\,(\underline{
\mathsf{y}}
 <= \underline{
\mathsf{x}}
)n
\gg \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\underline{
\mathsf{y}}
 <= \underline{
\mathsf{x}}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(if(\underline{
\mathsf{y}}
 <= \underline{
\mathsf{x}}
,\underline{
\mathsf{x}}
,\underline{
\mathsf{y}}
)
 = \underline{
\mathsf{x}}
)n
)n
)n
; NegateDisjunct1
\rhd \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\underline{
\mathsf{y}}
 <= \underline{
\mathsf{x}}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(if(\underline{
\mathsf{y}}
 <= \underline{
\mathsf{x}}
,\underline{
\mathsf{x}}
,\underline{
\mathsf{y}}
)
 = \underline{
\mathsf{x}}
)n
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\underline{
\mathsf{y}}
 <= \underline{
\mathsf{x}}
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(if(\underline{
\mathsf{y}}
 <= \underline{
\mathsf{x}}
,\underline{
\mathsf{x}}
,\underline{
\mathsf{y}}
)
 = \underline{
\mathsf{y}}
)n
)n
\rhd \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\underline{
\mathsf{y}}
 <= \underline{
\mathsf{x}}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(if(\underline{
\mathsf{y}}
 <= \underline{
\mathsf{x}}
,\underline{
\mathsf{x}}
,\underline{
\mathsf{y}}
)
 = \underline{
\mathsf{x}}
)n
)n
)n
\gg \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\underline{
\mathsf{y}}
 <= \underline{
\mathsf{x}}
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(if(\underline{
\mathsf{y}}
 <= \underline{
\mathsf{x}}
,\underline{
\mathsf{x}}
,\underline{
\mathsf{y}}
)
 = \underline{
\mathsf{y}}
)n
)n
; SecondConjunct
\rhd \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\underline{
\mathsf{y}}
 <= \underline{
\mathsf{x}}
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(if(\underline{
\mathsf{y}}
 <= \underline{
\mathsf{x}}
,\underline{
\mathsf{x}}
,\underline{
\mathsf{y}}
)
 = \underline{
\mathsf{y}}
)n
)n
\gg if(\underline{
\mathsf{y}}
 <= \underline{
\mathsf{x}}
,\underline{
\mathsf{x}}
,\underline{
\mathsf{y}}
)
 = \underline{
\mathsf{y}}
\rceil 
, 
p_0
, 
\mathsf {c}
)
]$



$
[MaxLeq(1)
\stackrel{
stmt
}{\rightarrow}SystemQ
\vdash 
\forall \underline{
\mathsf{x}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf{y}}
\colon \underline{
\mathsf{x}}
 <= if(\underline{
\mathsf{y}}
 <= \underline{
\mathsf{x}}
,\underline{
\mathsf{x}}
,\underline{
\mathsf{y}}
)
]$

$
[MaxLeq(1)
\stackrel{
proof
}{\rightarrow}
\lambda 
\mathsf {c}
.
\lambda 
\mathsf{x}
.
{\cal P}( 
\lceil SystemQ
\vdash 
\forall \underline{
\mathsf{x}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf{y}}
\colon \underline{
\mathsf{y}}
 <= \underline{
\mathsf{x}}
\vdash FromMax(1)
\rhd \underline{
\mathsf{y}}
 <= \underline{
\mathsf{x}}
\gg if(\underline{
\mathsf{y}}
 <= \underline{
\mathsf{x}}
,\underline{
\mathsf{x}}
,\underline{
\mathsf{y}}
)
 = \underline{
\mathsf{x}}
; eqSymmetry
\rhd if(\underline{
\mathsf{y}}
 <= \underline{
\mathsf{x}}
,\underline{
\mathsf{x}}
,\underline{
\mathsf{y}}
)
 = \underline{
\mathsf{x}}
\gg \underline{
\mathsf{x}}
 = if(\underline{
\mathsf{y}}
 <= \underline{
\mathsf{x}}
,\underline{
\mathsf{x}}
,\underline{
\mathsf{y}}
)
; eqLeq
\rhd \underline{
\mathsf{x}}
 = if(\underline{
\mathsf{y}}
 <= \underline{
\mathsf{x}}
,\underline{
\mathsf{x}}
,\underline{
\mathsf{y}}
)
\gg \underline{
\mathsf{x}}
 <= if(\underline{
\mathsf{y}}
 <= \underline{
\mathsf{x}}
,\underline{
\mathsf{x}}
,\underline{
\mathsf{y}}
)
; 
\forall \underline{
\mathsf{x}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf{y}}
\colon \dot{\neg}\,(\underline{
\mathsf{y}}
 <= \underline{
\mathsf{x}}
)n
\vdash FromMax(2)
\rhd \dot{\neg}\,(\underline{
\mathsf{y}}
 <= \underline{
\mathsf{x}}
)n
\gg if(\underline{
\mathsf{y}}
 <= \underline{
\mathsf{x}}
,\underline{
\mathsf{x}}
,\underline{
\mathsf{y}}
)
 = \underline{
\mathsf{y}}
; eqSymmetry
\rhd if(\underline{
\mathsf{y}}
 <= \underline{
\mathsf{x}}
,\underline{
\mathsf{x}}
,\underline{
\mathsf{y}}
)
 = \underline{
\mathsf{y}}
\gg \underline{
\mathsf{y}}
 = if(\underline{
\mathsf{y}}
 <= \underline{
\mathsf{x}}
,\underline{
\mathsf{x}}
,\underline{
\mathsf{y}}
)
; ToLess
\rhd \dot{\neg}\,(\underline{
\mathsf{y}}
 <= \underline{
\mathsf{x}}
)n
\gg \dot{\neg}\,(\underline{
\mathsf{x}}
 <= \underline{
\mathsf{y}}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\underline{
\mathsf{x}}
 = \underline{
\mathsf{y}}
)n
)n
)n
; LessLeq
\rhd \dot{\neg}\,(\underline{
\mathsf{x}}
 <= \underline{
\mathsf{y}}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\underline{
\mathsf{x}}
 = \underline{
\mathsf{y}}
)n
)n
)n
\gg \underline{
\mathsf{x}}
 <= \underline{
\mathsf{y}}
; subLeqRight
\rhd \underline{
\mathsf{y}}
 = if(\underline{
\mathsf{y}}
 <= \underline{
\mathsf{x}}
,\underline{
\mathsf{x}}
,\underline{
\mathsf{y}}
)
\rhd \underline{
\mathsf{x}}
 <= \underline{
\mathsf{y}}
\gg \underline{
\mathsf{x}}
 <= if(\underline{
\mathsf{y}}
 <= \underline{
\mathsf{x}}
,\underline{
\mathsf{x}}
,\underline{
\mathsf{y}}
)
; 
\forall \underline{
\mathsf{x}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf{y}}
\colon Ded
\rhd 
\forall \underline{
\mathsf{x}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf{y}}
\colon \underline{
\mathsf{y}}
 <= \underline{
\mathsf{x}}
\vdash \underline{
\mathsf{x}}
 <= if(\underline{
\mathsf{y}}
 <= \underline{
\mathsf{x}}
,\underline{
\mathsf{x}}
,\underline{
\mathsf{y}}
)
\gg \underline{
\mathsf{y}}
 <= \underline{
\mathsf{x}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf{x}}
 <= if(\underline{
\mathsf{y}}
 <= \underline{
\mathsf{x}}
,\underline{
\mathsf{x}}
,\underline{
\mathsf{y}}
)
; Ded
\rhd 
\forall \underline{
\mathsf{x}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf{y}}
\colon \dot{\neg}\,(\underline{
\mathsf{y}}
 <= \underline{
\mathsf{x}}
)n
\vdash \underline{
\mathsf{x}}
 <= if(\underline{
\mathsf{y}}
 <= \underline{
\mathsf{x}}
,\underline{
\mathsf{x}}
,\underline{
\mathsf{y}}
)
\gg \dot{\neg}\,(\underline{
\mathsf{y}}
 <= \underline{
\mathsf{x}}
)n
\Rightarrow \underline{
\mathsf{x}}
 <= if(\underline{
\mathsf{y}}
 <= \underline{
\mathsf{x}}
,\underline{
\mathsf{x}}
,\underline{
\mathsf{y}}
)
; FromNegations
\rhd \underline{
\mathsf{y}}
 <= \underline{
\mathsf{x}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf{x}}
 <= if(\underline{
\mathsf{y}}
 <= \underline{
\mathsf{x}}
,\underline{
\mathsf{x}}
,\underline{
\mathsf{y}}
)
\rhd \dot{\neg}\,(\underline{
\mathsf{y}}
 <= \underline{
\mathsf{x}}
)n
\Rightarrow \underline{
\mathsf{x}}
 <= if(\underline{
\mathsf{y}}
 <= \underline{
\mathsf{x}}
,\underline{
\mathsf{x}}
,\underline{
\mathsf{y}}
)
\gg \underline{
\mathsf{x}}
 <= if(\underline{
\mathsf{y}}
 <= \underline{
\mathsf{x}}
,\underline{
\mathsf{x}}
,\underline{
\mathsf{y}}
)
\rceil 
, 
p_0
, 
\mathsf {c}
)
]$



$
[MaxLeq(2)
\stackrel{
stmt
}{\rightarrow}SystemQ
\vdash 
\forall \underline{
\mathsf{x}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf{y}}
\colon \underline{
\mathsf{y}}
 <= if(\underline{
\mathsf{y}}
 <= \underline{
\mathsf{x}}
,\underline{
\mathsf{x}}
,\underline{
\mathsf{y}}
)
]$

$
[MaxLeq(2)
\stackrel{
proof
}{\rightarrow}
\lambda 
\mathsf {c}
.
\lambda 
\mathsf{x}
.
{\cal P}( 
\lceil SystemQ
\vdash 
\forall \underline{
\mathsf{x}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf{y}}
\colon \underline{
\mathsf{y}}
 <= \underline{
\mathsf{x}}
\vdash FromMax(1)
\rhd \underline{
\mathsf{y}}
 <= \underline{
\mathsf{x}}
\gg if(\underline{
\mathsf{y}}
 <= \underline{
\mathsf{x}}
,\underline{
\mathsf{x}}
,\underline{
\mathsf{y}}
)
 = \underline{
\mathsf{x}}
; eqSymmetry
\rhd if(\underline{
\mathsf{y}}
 <= \underline{
\mathsf{x}}
,\underline{
\mathsf{x}}
,\underline{
\mathsf{y}}
)
 = \underline{
\mathsf{x}}
\gg \underline{
\mathsf{x}}
 = if(\underline{
\mathsf{y}}
 <= \underline{
\mathsf{x}}
,\underline{
\mathsf{x}}
,\underline{
\mathsf{y}}
)
; subLeqRight
\rhd \underline{
\mathsf{x}}
 = if(\underline{
\mathsf{y}}
 <= \underline{
\mathsf{x}}
,\underline{
\mathsf{x}}
,\underline{
\mathsf{y}}
)
\rhd \underline{
\mathsf{y}}
 <= \underline{
\mathsf{x}}
\gg \underline{
\mathsf{y}}
 <= if(\underline{
\mathsf{y}}
 <= \underline{
\mathsf{x}}
,\underline{
\mathsf{x}}
,\underline{
\mathsf{y}}
)
; 
\forall \underline{
\mathsf{x}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf{y}}
\colon \dot{\neg}\,(\underline{
\mathsf{y}}
 <= \underline{
\mathsf{x}}
)n
\vdash FromMax(2)
\rhd \dot{\neg}\,(\underline{
\mathsf{y}}
 <= \underline{
\mathsf{x}}
)n
\gg if(\underline{
\mathsf{y}}
 <= \underline{
\mathsf{x}}
,\underline{
\mathsf{x}}
,\underline{
\mathsf{y}}
)
 = \underline{
\mathsf{y}}
; eqSymmetry
\rhd if(\underline{
\mathsf{y}}
 <= \underline{
\mathsf{x}}
,\underline{
\mathsf{x}}
,\underline{
\mathsf{y}}
)
 = \underline{
\mathsf{y}}
\gg \underline{
\mathsf{y}}
 = if(\underline{
\mathsf{y}}
 <= \underline{
\mathsf{x}}
,\underline{
\mathsf{x}}
,\underline{
\mathsf{y}}
)
; eqLeq
\rhd \underline{
\mathsf{y}}
 = if(\underline{
\mathsf{y}}
 <= \underline{
\mathsf{x}}
,\underline{
\mathsf{x}}
,\underline{
\mathsf{y}}
)
\gg \underline{
\mathsf{y}}
 <= if(\underline{
\mathsf{y}}
 <= \underline{
\mathsf{x}}
,\underline{
\mathsf{x}}
,\underline{
\mathsf{y}}
)
; 
\forall \underline{
\mathsf{x}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf{y}}
\colon Ded
\rhd 
\forall \underline{
\mathsf{x}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf{y}}
\colon \underline{
\mathsf{y}}
 <= \underline{
\mathsf{x}}
\vdash \underline{
\mathsf{y}}
 <= if(\underline{
\mathsf{y}}
 <= \underline{
\mathsf{x}}
,\underline{
\mathsf{x}}
,\underline{
\mathsf{y}}
)
\gg \underline{
\mathsf{y}}
 <= \underline{
\mathsf{x}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf{y}}
 <= if(\underline{
\mathsf{y}}
 <= \underline{
\mathsf{x}}
,\underline{
\mathsf{x}}
,\underline{
\mathsf{y}}
)
; Ded
\rhd 
\forall \underline{
\mathsf{x}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf{y}}
\colon \dot{\neg}\,(\underline{
\mathsf{y}}
 <= \underline{
\mathsf{x}}
)n
\vdash \underline{
\mathsf{y}}
 <= if(\underline{
\mathsf{y}}
 <= \underline{
\mathsf{x}}
,\underline{
\mathsf{x}}
,\underline{
\mathsf{y}}
)
\gg \dot{\neg}\,(\underline{
\mathsf{y}}
 <= \underline{
\mathsf{x}}
)n
\Rightarrow \underline{
\mathsf{y}}
 <= if(\underline{
\mathsf{y}}
 <= \underline{
\mathsf{x}}
,\underline{
\mathsf{x}}
,\underline{
\mathsf{y}}
)
; FromNegations
\rhd \underline{
\mathsf{y}}
 <= \underline{
\mathsf{x}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf{y}}
 <= if(\underline{
\mathsf{y}}
 <= \underline{
\mathsf{x}}
,\underline{
\mathsf{x}}
,\underline{
\mathsf{y}}
)
\rhd \dot{\neg}\,(\underline{
\mathsf{y}}
 <= \underline{
\mathsf{x}}
)n
\Rightarrow \underline{
\mathsf{y}}
 <= if(\underline{
\mathsf{y}}
 <= \underline{
\mathsf{x}}
,\underline{
\mathsf{x}}
,\underline{
\mathsf{y}}
)
\gg \underline{
\mathsf{y}}
 <= if(\underline{
\mathsf{y}}
 <= \underline{
\mathsf{x}}
,\underline{
\mathsf{x}}
,\underline{
\mathsf{y}}
)
\rceil 
, 
p_0
, 
\mathsf {c}
)
]$






$
[
\mbox{lemma negativeToRight(Leq)}
\stackrel{
stmt
}{\rightarrow}SystemQ
\vdash 
\forall \underline{
\mathsf{x}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf{y}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf{z}}
\colon (\underline{
\mathsf{x}}
+(-u\underline{
\mathsf{y}}
)
)
 <= \underline{
\mathsf{z}}
\vdash \underline{
\mathsf{x}}
 <= (\underline{
\mathsf{z}}
+\underline{
\mathsf{y}}
)
]$

$
[
\mbox{lemma negativeToRight(Leq)}
\stackrel{
proof
}{\rightarrow}
\lambda 
\mathsf {c}
.
\lambda 
\mathsf{x}
.
{\cal P}( 
\lceil SystemQ
\vdash 
\forall \underline{
\mathsf{x}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf{y}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf{z}}
\colon (\underline{
\mathsf{x}}
+(-u\underline{
\mathsf{y}}
)
)
 <= \underline{
\mathsf{z}}
\vdash leqAddition
\rhd (\underline{
\mathsf{x}}
+(-u\underline{
\mathsf{y}}
)
)
 <= \underline{
\mathsf{z}}
\gg ((\underline{
\mathsf{x}}
+(-u\underline{
\mathsf{y}}
)
)
+\underline{
\mathsf{y}}
)
 <= (\underline{
\mathsf{z}}
+\underline{
\mathsf{y}}
)
; x=x+y-y
\gg \underline{
\mathsf{x}}
 = ((\underline{
\mathsf{x}}
+\underline{
\mathsf{y}}
)
+(-u\underline{
\mathsf{y}}
)
)
; Three2threeTerms
\gg ((\underline{
\mathsf{x}}
+\underline{
\mathsf{y}}
)
+(-u\underline{
\mathsf{y}}
)
)
 = ((\underline{
\mathsf{x}}
+(-u\underline{
\mathsf{y}}
)
)
+\underline{
\mathsf{y}}
)
; eqTransitivity
\rhd \underline{
\mathsf{x}}
 = ((\underline{
\mathsf{x}}
+\underline{
\mathsf{y}}
)
+(-u\underline{
\mathsf{y}}
)
)
\rhd ((\underline{
\mathsf{x}}
+\underline{
\mathsf{y}}
)
+(-u\underline{
\mathsf{y}}
)
)
 = ((\underline{
\mathsf{x}}
+(-u\underline{
\mathsf{y}}
)
)
+\underline{
\mathsf{y}}
)
\gg \underline{
\mathsf{x}}
 = ((\underline{
\mathsf{x}}
+(-u\underline{
\mathsf{y}}
)
)
+\underline{
\mathsf{y}}
)
; eqSymmetry
\rhd \underline{
\mathsf{x}}
 = ((\underline{
\mathsf{x}}
+(-u\underline{
\mathsf{y}}
)
)
+\underline{
\mathsf{y}}
)
\gg ((\underline{
\mathsf{x}}
+(-u\underline{
\mathsf{y}}
)
)
+\underline{
\mathsf{y}}
)
 = \underline{
\mathsf{x}}
; subLeqLeft
\rhd ((\underline{
\mathsf{x}}
+(-u\underline{
\mathsf{y}}
)
)
+\underline{
\mathsf{y}}
)
 = \underline{
\mathsf{x}}
\rhd ((\underline{
\mathsf{x}}
+(-u\underline{
\mathsf{y}}
)
)
+\underline{
\mathsf{y}}
)
 <= (\underline{
\mathsf{z}}
+\underline{
\mathsf{y}}
)
\gg \underline{
\mathsf{x}}
 <= (\underline{
\mathsf{z}}
+\underline{
\mathsf{y}}
)
\rceil 
, 
p_0
, 
\mathsf {c}
)
]$



$
[LessThanMax
\stackrel{
stmt
}{\rightarrow}SystemQ
\vdash 
\forall \underline{
\mathsf {a}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf{x}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf{y}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf{z}}
\colon \underline{
\mathsf {a}}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\underline{
\mathsf{x}}
 <= \underline{
\mathsf{y}}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\underline{
\mathsf{x}}
 = \underline{
\mathsf{y}}
)n
)n
)n
\vdash \dot{\neg}\,(\underline{
\mathsf {a}}
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\underline{
\mathsf{x}}
 <= \underline{
\mathsf{z}}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\underline{
\mathsf{x}}
 = \underline{
\mathsf{z}}
)n
)n
)n
\vdash \dot{\neg}\,(\underline{
\mathsf{x}}
 <= if(\underline{
\mathsf{z}}
 <= \underline{
\mathsf{y}}
,\underline{
\mathsf{y}}
,\underline{
\mathsf{z}}
)
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\underline{
\mathsf{x}}
 = if(\underline{
\mathsf{z}}
 <= \underline{
\mathsf{y}}
,\underline{
\mathsf{y}}
,\underline{
\mathsf{z}}
)
)n
)n
)n
]$

$
[LessThanMax
\stackrel{
proof
}{\rightarrow}
\lambda 
\mathsf {c}
.
\lambda 
\mathsf{x}
.
{\cal P}( 
\lceil SystemQ
\vdash 
\forall \underline{
\mathsf {a}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf{x}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf{y}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf{z}}
\colon \underline{
\mathsf {a}}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\underline{
\mathsf{x}}
 <= \underline{
\mathsf{y}}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\underline{
\mathsf{x}}
 = \underline{
\mathsf{y}}
)n
)n
)n
\vdash \underline{
\mathsf {a}}
\vdash MP
\rhd \underline{
\mathsf {a}}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\underline{
\mathsf{x}}
 <= \underline{
\mathsf{y}}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\underline{
\mathsf{x}}
 = \underline{
\mathsf{y}}
)n
)n
)n
\rhd \underline{
\mathsf {a}}
\gg \dot{\neg}\,(\underline{
\mathsf{x}}
 <= \underline{
\mathsf{y}}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\underline{
\mathsf{x}}
 = \underline{
\mathsf{y}}
)n
)n
)n
; MaxLeq(1)
\gg \underline{
\mathsf{y}}
 <= if(\underline{
\mathsf{z}}
 <= \underline{
\mathsf{y}}
,\underline{
\mathsf{y}}
,\underline{
\mathsf{z}}
)
; LessLeqTransitivity
\rhd \dot{\neg}\,(\underline{
\mathsf{x}}
 <= \underline{
\mathsf{y}}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\underline{
\mathsf{x}}
 = \underline{
\mathsf{y}}
)n
)n
)n
\rhd \underline{
\mathsf{y}}
 <= if(\underline{
\mathsf{z}}
 <= \underline{
\mathsf{y}}
,\underline{
\mathsf{y}}
,\underline{
\mathsf{z}}
)
\gg \dot{\neg}\,(\underline{
\mathsf{x}}
 <= if(\underline{
\mathsf{z}}
 <= \underline{
\mathsf{y}}
,\underline{
\mathsf{y}}
,\underline{
\mathsf{z}}
)
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\underline{
\mathsf{x}}
 = if(\underline{
\mathsf{z}}
 <= \underline{
\mathsf{y}}
,\underline{
\mathsf{y}}
,\underline{
\mathsf{z}}
)
)n
)n
)n
; 
\forall \underline{
\mathsf {a}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf{x}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf{y}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf{z}}
\colon \dot{\neg}\,(\underline{
\mathsf {a}}
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\underline{
\mathsf{x}}
 <= \underline{
\mathsf{z}}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\underline{
\mathsf{x}}
 = \underline{
\mathsf{z}}
)n
)n
)n
\vdash \dot{\neg}\,(\underline{
\mathsf {a}}
)n
\vdash MP
\rhd \dot{\neg}\,(\underline{
\mathsf {a}}
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\underline{
\mathsf{x}}
 <= \underline{
\mathsf{z}}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\underline{
\mathsf{x}}
 = \underline{
\mathsf{z}}
)n
)n
)n
\rhd \dot{\neg}\,(\underline{
\mathsf {a}}
)n
\gg \dot{\neg}\,(\underline{
\mathsf{x}}
 <= \underline{
\mathsf{z}}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\underline{
\mathsf{x}}
 = \underline{
\mathsf{z}}
)n
)n
)n
; MaxLeq(2)
\gg \underline{
\mathsf{z}}
 <= if(\underline{
\mathsf{z}}
 <= \underline{
\mathsf{y}}
,\underline{
\mathsf{y}}
,\underline{
\mathsf{z}}
)
; LessLeqTransitivity
\rhd \dot{\neg}\,(\underline{
\mathsf{x}}
 <= \underline{
\mathsf{z}}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\underline{
\mathsf{x}}
 = \underline{
\mathsf{z}}
)n
)n
)n
\rhd \underline{
\mathsf{z}}
 <= if(\underline{
\mathsf{z}}
 <= \underline{
\mathsf{y}}
,\underline{
\mathsf{y}}
,\underline{
\mathsf{z}}
)
\gg \dot{\neg}\,(\underline{
\mathsf{x}}
 <= if(\underline{
\mathsf{z}}
 <= \underline{
\mathsf{y}}
,\underline{
\mathsf{y}}
,\underline{
\mathsf{z}}
)
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\underline{
\mathsf{x}}
 = if(\underline{
\mathsf{z}}
 <= \underline{
\mathsf{y}}
,\underline{
\mathsf{y}}
,\underline{
\mathsf{z}}
)
)n
)n
)n
; 
\forall \underline{
\mathsf {a}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf{x}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf{y}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf{z}}
\colon Ded
\rhd 
\forall \underline{
\mathsf {a}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf{x}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf{y}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf{z}}
\colon \underline{
\mathsf {a}}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\underline{
\mathsf{x}}
 <= \underline{
\mathsf{y}}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\underline{
\mathsf{x}}
 = \underline{
\mathsf{y}}
)n
)n
)n
\vdash \underline{
\mathsf {a}}
\vdash \dot{\neg}\,(\underline{
\mathsf{x}}
 <= if(\underline{
\mathsf{z}}
 <= \underline{
\mathsf{y}}
,\underline{
\mathsf{y}}
,\underline{
\mathsf{z}}
)
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\underline{
\mathsf{x}}
 = if(\underline{
\mathsf{z}}
 <= \underline{
\mathsf{y}}
,\underline{
\mathsf{y}}
,\underline{
\mathsf{z}}
)
)n
)n
)n
\gg \underline{
\mathsf {a}}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\underline{
\mathsf{x}}
 <= \underline{
\mathsf{y}}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\underline{
\mathsf{x}}
 = \underline{
\mathsf{y}}
)n
)n
)n
\Rightarrow \underline{
\mathsf {a}}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\underline{
\mathsf{x}}
 <= if(\underline{
\mathsf{z}}
 <= \underline{
\mathsf{y}}
,\underline{
\mathsf{y}}
,\underline{
\mathsf{z}}
)
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\underline{
\mathsf{x}}
 = if(\underline{
\mathsf{z}}
 <= \underline{
\mathsf{y}}
,\underline{
\mathsf{y}}
,\underline{
\mathsf{z}}
)
)n
)n
)n
; Ded
\rhd 
\forall \underline{
\mathsf {a}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf{x}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf{y}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf{z}}
\colon \dot{\neg}\,(\underline{
\mathsf {a}}
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\underline{
\mathsf{x}}
 <= \underline{
\mathsf{z}}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\underline{
\mathsf{x}}
 = \underline{
\mathsf{z}}
)n
)n
)n
\vdash \dot{\neg}\,(\underline{
\mathsf {a}}
)n
\vdash \dot{\neg}\,(\underline{
\mathsf{x}}
 <= if(\underline{
\mathsf{z}}
 <= \underline{
\mathsf{y}}
,\underline{
\mathsf{y}}
,\underline{
\mathsf{z}}
)
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\underline{
\mathsf{x}}
 = if(\underline{
\mathsf{z}}
 <= \underline{
\mathsf{y}}
,\underline{
\mathsf{y}}
,\underline{
\mathsf{z}}
)
)n
)n
)n
\gg \dot{\neg}\,(\underline{
\mathsf {a}}
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\underline{
\mathsf{x}}
 <= \underline{
\mathsf{z}}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\underline{
\mathsf{x}}
 = \underline{
\mathsf{z}}
)n
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\underline{
\mathsf {a}}
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\underline{
\mathsf{x}}
 <= if(\underline{
\mathsf{z}}
 <= \underline{
\mathsf{y}}
,\underline{
\mathsf{y}}
,\underline{
\mathsf{z}}
)
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\underline{
\mathsf{x}}
 = if(\underline{
\mathsf{z}}
 <= \underline{
\mathsf{y}}
,\underline{
\mathsf{y}}
,\underline{
\mathsf{z}}
)
)n
)n
)n
; \underline{
\mathsf {a}}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\underline{
\mathsf{x}}
 <= \underline{
\mathsf{y}}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\underline{
\mathsf{x}}
 = \underline{
\mathsf{y}}
)n
)n
)n
\vdash \dot{\neg}\,(\underline{
\mathsf {a}}
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\underline{
\mathsf{x}}
 <= \underline{
\mathsf{z}}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\underline{
\mathsf{x}}
 = \underline{
\mathsf{z}}
)n
)n
)n
\vdash MP
\rhd \underline{
\mathsf {a}}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\underline{
\mathsf{x}}
 <= \underline{
\mathsf{y}}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\underline{
\mathsf{x}}
 = \underline{
\mathsf{y}}
)n
)n
)n
\Rightarrow \underline{
\mathsf {a}}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\underline{
\mathsf{x}}
 <= if(\underline{
\mathsf{z}}
 <= \underline{
\mathsf{y}}
,\underline{
\mathsf{y}}
,\underline{
\mathsf{z}}
)
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\underline{
\mathsf{x}}
 = if(\underline{
\mathsf{z}}
 <= \underline{
\mathsf{y}}
,\underline{
\mathsf{y}}
,\underline{
\mathsf{z}}
)
)n
)n
)n
\rhd \underline{
\mathsf {a}}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\underline{
\mathsf{x}}
 <= \underline{
\mathsf{y}}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\underline{
\mathsf{x}}
 = \underline{
\mathsf{y}}
)n
)n
)n
\gg \underline{
\mathsf {a}}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\underline{
\mathsf{x}}
 <= if(\underline{
\mathsf{z}}
 <= \underline{
\mathsf{y}}
,\underline{
\mathsf{y}}
,\underline{
\mathsf{z}}
)
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\underline{
\mathsf{x}}
 = if(\underline{
\mathsf{z}}
 <= \underline{
\mathsf{y}}
,\underline{
\mathsf{y}}
,\underline{
\mathsf{z}}
)
)n
)n
)n
; MP
\rhd \dot{\neg}\,(\underline{
\mathsf {a}}
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\underline{
\mathsf{x}}
 <= \underline{
\mathsf{z}}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\underline{
\mathsf{x}}
 = \underline{
\mathsf{z}}
)n
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\underline{
\mathsf {a}}
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\underline{
\mathsf{x}}
 <= if(\underline{
\mathsf{z}}
 <= \underline{
\mathsf{y}}
,\underline{
\mathsf{y}}
,\underline{
\mathsf{z}}
)
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\underline{
\mathsf{x}}
 = if(\underline{
\mathsf{z}}
 <= \underline{
\mathsf{y}}
,\underline{
\mathsf{y}}
,\underline{
\mathsf{z}}
)
)n
)n
)n
\rhd \dot{\neg}\,(\underline{
\mathsf {a}}
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\underline{
\mathsf{x}}
 <= \underline{
\mathsf{z}}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\underline{
\mathsf{x}}
 = \underline{
\mathsf{z}}
)n
)n
)n
\gg \dot{\neg}\,(\underline{
\mathsf {a}}
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\underline{
\mathsf{x}}
 <= if(\underline{
\mathsf{z}}
 <= \underline{
\mathsf{y}}
,\underline{
\mathsf{y}}
,\underline{
\mathsf{z}}
)
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\underline{
\mathsf{x}}
 = if(\underline{
\mathsf{z}}
 <= \underline{
\mathsf{y}}
,\underline{
\mathsf{y}}
,\underline{
\mathsf{z}}
)
)n
)n
)n
; FromNegations
\rhd \underline{
\mathsf {a}}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\underline{
\mathsf{x}}
 <= if(\underline{
\mathsf{z}}
 <= \underline{
\mathsf{y}}
,\underline{
\mathsf{y}}
,\underline{
\mathsf{z}}
)
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\underline{
\mathsf{x}}
 = if(\underline{
\mathsf{z}}
 <= \underline{
\mathsf{y}}
,\underline{
\mathsf{y}}
,\underline{
\mathsf{z}}
)
)n
)n
)n
\rhd \dot{\neg}\,(\underline{
\mathsf {a}}
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\underline{
\mathsf{x}}
 <= if(\underline{
\mathsf{z}}
 <= \underline{
\mathsf{y}}
,\underline{
\mathsf{y}}
,\underline{
\mathsf{z}}
)
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\underline{
\mathsf{x}}
 = if(\underline{
\mathsf{z}}
 <= \underline{
\mathsf{y}}
,\underline{
\mathsf{y}}
,\underline{
\mathsf{z}}
)
)n
)n
)n
\gg \dot{\neg}\,(\underline{
\mathsf{x}}
 <= if(\underline{
\mathsf{z}}
 <= \underline{
\mathsf{y}}
,\underline{
\mathsf{y}}
,\underline{
\mathsf{z}}
)
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\underline{
\mathsf{x}}
 = if(\underline{
\mathsf{z}}
 <= \underline{
\mathsf{y}}
,\underline{
\mathsf{y}}
,\underline{
\mathsf{z}}
)
)n
)n
)n
\rceil 
, 
p_0
, 
\mathsf {c}
)
]$


$
[NonnegativeFactors
\stackrel{
stmt
}{\rightarrow}SystemQ
\vdash 
\forall \underline{
\mathsf{x}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf{y}}
\colon 0
 <= \underline{
\mathsf{x}}
\vdash 0
 <= \underline{
\mathsf{y}}
\vdash 0
 <= (\underline{
\mathsf{x}}
*\underline{
\mathsf{y}}
)
]$

$
[NonnegativeFactors
\stackrel{
proof
}{\rightarrow}
\lambda 
\mathsf {c}
.
\lambda 
\mathsf{x}
.
{\cal P}( 
\lceil SystemQ
\vdash 
\forall \underline{
\mathsf{x}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf{y}}
\colon 0
 <= \underline{
\mathsf{x}}
\vdash 0
 <= \underline{
\mathsf{y}}
\vdash leqMultiplication
\rhd 0
 <= \underline{
\mathsf{y}}
\rhd 0
 <= \underline{
\mathsf{x}}
\gg (0
*\underline{
\mathsf{y}}
)
 <= (\underline{
\mathsf{x}}
*\underline{
\mathsf{y}}
)
; timesCommutativity
\gg (0
*\underline{
\mathsf{y}}
)
 = (\underline{
\mathsf{y}}
*0
)
; x*0=0
\gg (\underline{
\mathsf{y}}
*0
)
 = 0
; eqTransitivity
\rhd (0
*\underline{
\mathsf{y}}
)
 = (\underline{
\mathsf{y}}
*0
)
\rhd (\underline{
\mathsf{y}}
*0
)
 = 0
\gg (0
*\underline{
\mathsf{y}}
)
 = 0
; subLeqLeft
\rhd (0
*\underline{
\mathsf{y}}
)
 = 0
\rhd (0
*\underline{
\mathsf{y}}
)
 <= (\underline{
\mathsf{x}}
*\underline{
\mathsf{y}}
)
\gg 0
 <= (\underline{
\mathsf{x}}
*\underline{
\mathsf{y}}
)
\rceil 
, 
p_0
, 
\mathsf {c}
)
]$


$
[MultiplyEquations
\stackrel{
stmt
}{\rightarrow}SystemQ
\vdash 
\forall \underline{
\mathsf{x}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf{y}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf{z}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf {u}}
\colon \underline{
\mathsf{x}}
 = \underline{
\mathsf{y}}
\vdash \underline{
\mathsf{z}}
 = \underline{
\mathsf {u}}
\vdash (\underline{
\mathsf{x}}
*\underline{
\mathsf{z}}
)
 = (\underline{
\mathsf{y}}
*\underline{
\mathsf {u}}
)
]$

$
[MultiplyEquations
\stackrel{
proof
}{\rightarrow}
\lambda 
\mathsf {c}
.
\lambda 
\mathsf{x}
.
{\cal P}( 
\lceil SystemQ
\vdash 
\forall \underline{
\mathsf{x}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf{y}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf{z}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf {u}}
\colon \underline{
\mathsf{x}}
 = \underline{
\mathsf{y}}
\vdash \underline{
\mathsf{z}}
 = \underline{
\mathsf {u}}
\vdash eqMultiplication
\rhd \underline{
\mathsf{x}}
 = \underline{
\mathsf{y}}
\gg (\underline{
\mathsf{x}}
*\underline{
\mathsf{z}}
)
 = (\underline{
\mathsf{y}}
*\underline{
\mathsf{z}}
)
; 
\mbox{lemma eqMultiplicationLeft}
\rhd \underline{
\mathsf{z}}
 = \underline{
\mathsf {u}}
\gg (\underline{
\mathsf{y}}
*\underline{
\mathsf{z}}
)
 = (\underline{
\mathsf{y}}
*\underline{
\mathsf {u}}
)
; eqTransitivity
\rhd (\underline{
\mathsf{x}}
*\underline{
\mathsf{z}}
)
 = (\underline{
\mathsf{y}}
*\underline{
\mathsf{z}}
)
\rhd (\underline{
\mathsf{y}}
*\underline{
\mathsf{z}}
)
 = (\underline{
\mathsf{y}}
*\underline{
\mathsf {u}}
)
\gg (\underline{
\mathsf{x}}
*\underline{
\mathsf{z}}
)
 = (\underline{
\mathsf{y}}
*\underline{
\mathsf {u}}
)
\rceil 
, 
p_0
, 
\mathsf {c}
)
]$




$
[MinusTimesMinus
\stackrel{
stmt
}{\rightarrow}SystemQ
\vdash 
\forall \underline{
\mathsf{x}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf{y}}
\colon ((-u\underline{
\mathsf{x}}
)
*(-u\underline{
\mathsf{y}}
)
)
 = (\underline{
\mathsf{x}}
*\underline{
\mathsf{y}}
)
]$

$
[MinusTimesMinus
\stackrel{
proof
}{\rightarrow}
\lambda 
\mathsf {c}
.
\lambda 
\mathsf{x}
.
{\cal P}( 
\lceil SystemQ
\vdash 
\forall \underline{
\mathsf{x}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf{y}}
\colon DoubleMinus
\gg (-u(-u\underline{
\mathsf{y}}
)
)
 = \underline{
\mathsf{y}}
; Times(-1)Left
\gg ((-u1
)
*(-u\underline{
\mathsf{y}}
)
)
 = (-u(-u\underline{
\mathsf{y}}
)
)
; eqTransitivity
\rhd ((-u1
)
*(-u\underline{
\mathsf{y}}
)
)
 = (-u(-u\underline{
\mathsf{y}}
)
)
\rhd (-u(-u\underline{
\mathsf{y}}
)
)
 = \underline{
\mathsf{y}}
\gg ((-u1
)
*(-u\underline{
\mathsf{y}}
)
)
 = \underline{
\mathsf{y}}
; 
\mbox{lemma eqMultiplicationLeft}
\rhd ((-u1
)
*(-u\underline{
\mathsf{y}}
)
)
 = \underline{
\mathsf{y}}
\gg (\underline{
\mathsf{x}}
*((-u1
)
*(-u\underline{
\mathsf{y}}
)
)
)
 = (\underline{
\mathsf{x}}
*\underline{
\mathsf{y}}
)
; Times(-1)
\gg (\underline{
\mathsf{x}}
*(-u1
)
)
 = (-u\underline{
\mathsf{x}}
)
; eqMultiplication
\rhd (\underline{
\mathsf{x}}
*(-u1
)
)
 = (-u\underline{
\mathsf{x}}
)
\gg ((\underline{
\mathsf{x}}
*(-u1
)
)
*(-u\underline{
\mathsf{y}}
)
)
 = ((-u\underline{
\mathsf{x}}
)
*(-u\underline{
\mathsf{y}}
)
)
; timesAssociativity
\gg ((\underline{
\mathsf{x}}
*(-u1
)
)
*(-u\underline{
\mathsf{y}}
)
)
 = (\underline{
\mathsf{x}}
*((-u1
)
*(-u\underline{
\mathsf{y}}
)
)
)
; Equality
\rhd ((\underline{
\mathsf{x}}
*(-u1
)
)
*(-u\underline{
\mathsf{y}}
)
)
 = ((-u\underline{
\mathsf{x}}
)
*(-u\underline{
\mathsf{y}}
)
)
\rhd ((\underline{
\mathsf{x}}
*(-u1
)
)
*(-u\underline{
\mathsf{y}}
)
)
 = (\underline{
\mathsf{x}}
*((-u1
)
*(-u\underline{
\mathsf{y}}
)
)
)
\gg ((-u\underline{
\mathsf{x}}
)
*(-u\underline{
\mathsf{y}}
)
)
 = (\underline{
\mathsf{x}}
*((-u1
)
*(-u\underline{
\mathsf{y}}
)
)
)
; eqTransitivity
\rhd ((-u\underline{
\mathsf{x}}
)
*(-u\underline{
\mathsf{y}}
)
)
 = (\underline{
\mathsf{x}}
*((-u1
)
*(-u\underline{
\mathsf{y}}
)
)
)
\rhd (\underline{
\mathsf{x}}
*((-u1
)
*(-u\underline{
\mathsf{y}}
)
)
)
 = (\underline{
\mathsf{x}}
*\underline{
\mathsf{y}}
)
\gg ((-u\underline{
\mathsf{x}}
)
*(-u\underline{
\mathsf{y}}
)
)
 = (\underline{
\mathsf{x}}
*\underline{
\mathsf{y}}
)
\rceil 
, 
p_0
, 
\mathsf {c}
)
]$

$
[PlusTimesMinus
\stackrel{
stmt
}{\rightarrow}SystemQ
\vdash 
\forall \underline{
\mathsf{x}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf{y}}
\colon (\underline{
\mathsf{x}}
*(-u\underline{
\mathsf{y}}
)
)
 = (-u(\underline{
\mathsf{x}}
*\underline{
\mathsf{y}}
)
)
]$

$
[PlusTimesMinus
\stackrel{
proof
}{\rightarrow}
\lambda 
\mathsf {c}
.
\lambda 
\mathsf{x}
.
{\cal P}( 
\lceil SystemQ
\vdash 
\forall \underline{
\mathsf{x}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf{y}}
\colon Times(-1)Left
\gg ((-u1
)
*\underline{
\mathsf{y}}
)
 = (-u\underline{
\mathsf{y}}
)
; 
\mbox{lemma eqMultiplicationLeft}
\rhd ((-u1
)
*\underline{
\mathsf{y}}
)
 = (-u\underline{
\mathsf{y}}
)
\gg (\underline{
\mathsf{x}}
*((-u1
)
*\underline{
\mathsf{y}}
)
)
 = (\underline{
\mathsf{x}}
*(-u\underline{
\mathsf{y}}
)
)
; timesAssociativity
\gg ((\underline{
\mathsf{x}}
*(-u1
)
)
*\underline{
\mathsf{y}}
)
 = (\underline{
\mathsf{x}}
*((-u1
)
*\underline{
\mathsf{y}}
)
)
; timesCommutativity
\gg (\underline{
\mathsf{x}}
*(-u1
)
)
 = ((-u1
)
*\underline{
\mathsf{x}}
)
; eqMultiplication
\rhd (\underline{
\mathsf{x}}
*(-u1
)
)
 = ((-u1
)
*\underline{
\mathsf{x}}
)
\gg ((\underline{
\mathsf{x}}
*(-u1
)
)
*\underline{
\mathsf{y}}
)
 = (((-u1
)
*\underline{
\mathsf{x}}
)
*\underline{
\mathsf{y}}
)
; timesAssociativity
\gg (((-u1
)
*\underline{
\mathsf{x}}
)
*\underline{
\mathsf{y}}
)
 = ((-u1
)
*(\underline{
\mathsf{x}}
*\underline{
\mathsf{y}}
)
)
; Times(-1)Left
\gg ((-u1
)
*(\underline{
\mathsf{x}}
*\underline{
\mathsf{y}}
)
)
 = (-u(\underline{
\mathsf{x}}
*\underline{
\mathsf{y}}
)
)
; eqTransitivity4
\rhd ((\underline{
\mathsf{x}}
*(-u1
)
)
*\underline{
\mathsf{y}}
)
 = (((-u1
)
*\underline{
\mathsf{x}}
)
*\underline{
\mathsf{y}}
)
\rhd (((-u1
)
*\underline{
\mathsf{x}}
)
*\underline{
\mathsf{y}}
)
 = ((-u1
)
*(\underline{
\mathsf{x}}
*\underline{
\mathsf{y}}
)
)
\rhd ((-u1
)
*(\underline{
\mathsf{x}}
*\underline{
\mathsf{y}}
)
)
 = (-u(\underline{
\mathsf{x}}
*\underline{
\mathsf{y}}
)
)
\gg ((\underline{
\mathsf{x}}
*(-u1
)
)
*\underline{
\mathsf{y}}
)
 = (-u(\underline{
\mathsf{x}}
*\underline{
\mathsf{y}}
)
)
; Equality
\rhd ((\underline{
\mathsf{x}}
*(-u1
)
)
*\underline{
\mathsf{y}}
)
 = (-u(\underline{
\mathsf{x}}
*\underline{
\mathsf{y}}
)
)
\rhd ((\underline{
\mathsf{x}}
*(-u1
)
)
*\underline{
\mathsf{y}}
)
 = (\underline{
\mathsf{x}}
*((-u1
)
*\underline{
\mathsf{y}}
)
)
\gg (-u(\underline{
\mathsf{x}}
*\underline{
\mathsf{y}}
)
)
 = (\underline{
\mathsf{x}}
*((-u1
)
*\underline{
\mathsf{y}}
)
)
; eqTransitivity
\rhd (-u(\underline{
\mathsf{x}}
*\underline{
\mathsf{y}}
)
)
 = (\underline{
\mathsf{x}}
*((-u1
)
*\underline{
\mathsf{y}}
)
)
\rhd (\underline{
\mathsf{x}}
*((-u1
)
*\underline{
\mathsf{y}}
)
)
 = (\underline{
\mathsf{x}}
*(-u\underline{
\mathsf{y}}
)
)
\gg (-u(\underline{
\mathsf{x}}
*\underline{
\mathsf{y}}
)
)
 = (\underline{
\mathsf{x}}
*(-u\underline{
\mathsf{y}}
)
)
; eqSymmetry
\rhd (-u(\underline{
\mathsf{x}}
*\underline{
\mathsf{y}}
)
)
 = (\underline{
\mathsf{x}}
*(-u\underline{
\mathsf{y}}
)
)
\gg (\underline{
\mathsf{x}}
*(-u\underline{
\mathsf{y}}
)
)
 = (-u(\underline{
\mathsf{x}}
*\underline{
\mathsf{y}}
)
)
\rceil 
, 
p_0
, 
\mathsf {c}
)
]$


$
[SplitNumericalProduct(++)
\stackrel{
stmt
}{\rightarrow}SystemQ
\vdash 
\forall \underline{
\mathsf{x}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf{y}}
\colon 0
 <= \underline{
\mathsf{x}}
\vdash 0
 <= \underline{
\mathsf{y}}
\vdash |(\underline{
\mathsf{x}}
*\underline{
\mathsf{y}}
)
|
 = (|\underline{
\mathsf{x}}
|
*|\underline{
\mathsf{y}}
|
)
]$

$
[SplitNumericalProduct(++)
\stackrel{
proof
}{\rightarrow}
\lambda 
\mathsf {c}
.
\lambda 
\mathsf{x}
.
{\cal P}( 
\lceil SystemQ
\vdash 
\forall \underline{
\mathsf{x}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf{y}}
\colon 0
 <= \underline{
\mathsf{x}}
\vdash 0
 <= \underline{
\mathsf{y}}
\vdash NonnegativeFactors
\rhd 0
 <= \underline{
\mathsf{x}}
\rhd 0
 <= \underline{
\mathsf{y}}
\gg 0
 <= (\underline{
\mathsf{x}}
*\underline{
\mathsf{y}}
)
; NonnegativeNumerical
\rhd 0
 <= (\underline{
\mathsf{x}}
*\underline{
\mathsf{y}}
)
\gg |(\underline{
\mathsf{x}}
*\underline{
\mathsf{y}}
)
|
 = (\underline{
\mathsf{x}}
*\underline{
\mathsf{y}}
)
; NonnegativeNumerical
\rhd 0
 <= \underline{
\mathsf{x}}
\gg |\underline{
\mathsf{x}}
|
 = \underline{
\mathsf{x}}
; NonnegativeNumerical
\rhd 0
 <= \underline{
\mathsf{y}}
\gg |\underline{
\mathsf{y}}
|
 = \underline{
\mathsf{y}}
; MultiplyEquations
\rhd |\underline{
\mathsf{x}}
|
 = \underline{
\mathsf{x}}
\rhd |\underline{
\mathsf{y}}
|
 = \underline{
\mathsf{y}}
\gg (|\underline{
\mathsf{x}}
|
*|\underline{
\mathsf{y}}
|
)
 = (\underline{
\mathsf{x}}
*\underline{
\mathsf{y}}
)
; eqSymmetry
\rhd (|\underline{
\mathsf{x}}
|
*|\underline{
\mathsf{y}}
|
)
 = (\underline{
\mathsf{x}}
*\underline{
\mathsf{y}}
)
\gg (\underline{
\mathsf{x}}
*\underline{
\mathsf{y}}
)
 = (|\underline{
\mathsf{x}}
|
*|\underline{
\mathsf{y}}
|
)
; eqTransitivity
\rhd |(\underline{
\mathsf{x}}
*\underline{
\mathsf{y}}
)
|
 = (\underline{
\mathsf{x}}
*\underline{
\mathsf{y}}
)
\rhd (\underline{
\mathsf{x}}
*\underline{
\mathsf{y}}
)
 = (|\underline{
\mathsf{x}}
|
*|\underline{
\mathsf{y}}
|
)
\gg |(\underline{
\mathsf{x}}
*\underline{
\mathsf{y}}
)
|
 = (|\underline{
\mathsf{x}}
|
*|\underline{
\mathsf{y}}
|
)
\rceil 
, 
p_0
, 
\mathsf {c}
)
]$


$
[SplitNumericalProduct(+-)
\stackrel{
stmt
}{\rightarrow}SystemQ
\vdash 
\forall \underline{
\mathsf{x}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf{y}}
\colon 0
 <= \underline{
\mathsf{x}}
\vdash \underline{
\mathsf{y}}
 <= 0
\vdash |(\underline{
\mathsf{x}}
*\underline{
\mathsf{y}}
)
|
 = (|\underline{
\mathsf{x}}
|
*|\underline{
\mathsf{y}}
|
)
]$

$
[SplitNumericalProduct(+-)
\stackrel{
proof
}{\rightarrow}
\lambda 
\mathsf {c}
.
\lambda 
\mathsf{x}
.
{\cal P}( 
\lceil SystemQ
\vdash 
\forall \underline{
\mathsf{x}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf{y}}
\colon 0
 <= \underline{
\mathsf{x}}
\vdash \underline{
\mathsf{y}}
 <= 0
\vdash SignNumerical
\gg |(\underline{
\mathsf{x}}
*\underline{
\mathsf{y}}
)
|
 = |(-u(\underline{
\mathsf{x}}
*\underline{
\mathsf{y}}
)
)
|
; eqSymmetry
\rhd |(\underline{
\mathsf{x}}
*\underline{
\mathsf{y}}
)
|
 = |(-u(\underline{
\mathsf{x}}
*\underline{
\mathsf{y}}
)
)
|
\gg |(-u(\underline{
\mathsf{x}}
*\underline{
\mathsf{y}}
)
)
|
 = |(\underline{
\mathsf{x}}
*\underline{
\mathsf{y}}
)
|
; PlusTimesMinus
\gg (\underline{
\mathsf{x}}
*(-u\underline{
\mathsf{y}}
)
)
 = (-u(\underline{
\mathsf{x}}
*\underline{
\mathsf{y}}
)
)
; SameNumerical
\rhd (\underline{
\mathsf{x}}
*(-u\underline{
\mathsf{y}}
)
)
 = (-u(\underline{
\mathsf{x}}
*\underline{
\mathsf{y}}
)
)
\gg |(\underline{
\mathsf{x}}
*(-u\underline{
\mathsf{y}}
)
)
|
 = |(-u(\underline{
\mathsf{x}}
*\underline{
\mathsf{y}}
)
)
|
; eqTransitivity
\rhd |(\underline{
\mathsf{x}}
*(-u\underline{
\mathsf{y}}
)
)
|
 = |(-u(\underline{
\mathsf{x}}
*\underline{
\mathsf{y}}
)
)
|
\rhd |(-u(\underline{
\mathsf{x}}
*\underline{
\mathsf{y}}
)
)
|
 = |(\underline{
\mathsf{x}}
*\underline{
\mathsf{y}}
)
|
\gg |(\underline{
\mathsf{x}}
*(-u\underline{
\mathsf{y}}
)
)
|
 = |(\underline{
\mathsf{x}}
*\underline{
\mathsf{y}}
)
|
; SignNumerical
\gg |\underline{
\mathsf{y}}
|
 = |(-u\underline{
\mathsf{y}}
)
|
; eqSymmetry
\rhd |\underline{
\mathsf{y}}
|
 = |(-u\underline{
\mathsf{y}}
)
|
\gg |(-u\underline{
\mathsf{y}}
)
|
 = |\underline{
\mathsf{y}}
|
; 
\mbox{lemma eqMultiplicationLeft}
\rhd |(-u\underline{
\mathsf{y}}
)
|
 = |\underline{
\mathsf{y}}
|
\gg (|\underline{
\mathsf{x}}
|
*|(-u\underline{
\mathsf{y}}
)
|
)
 = (|\underline{
\mathsf{x}}
|
*|\underline{
\mathsf{y}}
|
)
; NonpositiveNegated
\rhd \underline{
\mathsf{y}}
 <= 0
\gg 0
 <= (-u\underline{
\mathsf{y}}
)
; SplitNumericalProduct(++)
\rhd 0
 <= \underline{
\mathsf{x}}
\rhd 0
 <= (-u\underline{
\mathsf{y}}
)
\gg |(\underline{
\mathsf{x}}
*(-u\underline{
\mathsf{y}}
)
)
|
 = (|\underline{
\mathsf{x}}
|
*|(-u\underline{
\mathsf{y}}
)
|
)
; eqTransitivity
\rhd |(\underline{
\mathsf{x}}
*(-u\underline{
\mathsf{y}}
)
)
|
 = (|\underline{
\mathsf{x}}
|
*|(-u\underline{
\mathsf{y}}
)
|
)
\rhd (|\underline{
\mathsf{x}}
|
*|(-u\underline{
\mathsf{y}}
)
|
)
 = (|\underline{
\mathsf{x}}
|
*|\underline{
\mathsf{y}}
|
)
\gg |(\underline{
\mathsf{x}}
*(-u\underline{
\mathsf{y}}
)
)
|
 = (|\underline{
\mathsf{x}}
|
*|\underline{
\mathsf{y}}
|
)
; Equality
\rhd |(\underline{
\mathsf{x}}
*(-u\underline{
\mathsf{y}}
)
)
|
 = |(\underline{
\mathsf{x}}
*\underline{
\mathsf{y}}
)
|
\rhd |(\underline{
\mathsf{x}}
*(-u\underline{
\mathsf{y}}
)
)
|
 = (|\underline{
\mathsf{x}}
|
*|\underline{
\mathsf{y}}
|
)
\gg |(\underline{
\mathsf{x}}
*\underline{
\mathsf{y}}
)
|
 = (|\underline{
\mathsf{x}}
|
*|\underline{
\mathsf{y}}
|
)
\rceil 
, 
p_0
, 
\mathsf {c}
)
]$


$
[SplitNumericalProduct
\stackrel{
stmt
}{\rightarrow}SystemQ
\vdash 
\forall \underline{
\mathsf{x}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf{y}}
\colon |(\underline{
\mathsf{x}}
*\underline{
\mathsf{y}}
)
|
 = (|\underline{
\mathsf{x}}
|
*|\underline{
\mathsf{y}}
|
)
]$


$
[SplitNumericalProduct
\stackrel{
proof
}{\rightarrow}
\lambda 
\mathsf {c}
.
\lambda 
\mathsf{x}
.
{\cal P}( 
\lceil SystemQ
\vdash 
\forall \underline{
\mathsf{x}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf{y}}
\colon 0
 <= \underline{
\mathsf{x}}
\vdash 0
 <= \underline{
\mathsf{y}}
\vdash SplitNumericalProduct(++)
\rhd 0
 <= \underline{
\mathsf{x}}
\rhd 0
 <= \underline{
\mathsf{y}}
\gg |(\underline{
\mathsf{x}}
*\underline{
\mathsf{y}}
)
|
 = (|\underline{
\mathsf{x}}
|
*|\underline{
\mathsf{y}}
|
)
; 
\forall \underline{
\mathsf{x}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf{y}}
\colon 0
 <= \underline{
\mathsf{x}}
\vdash \underline{
\mathsf{y}}
 <= 0
\vdash SplitNumericalProduct(+-)
\rhd 0
 <= \underline{
\mathsf{x}}
\rhd \underline{
\mathsf{y}}
 <= 0
\gg |(\underline{
\mathsf{x}}
*\underline{
\mathsf{y}}
)
|
 = (|\underline{
\mathsf{x}}
|
*|\underline{
\mathsf{y}}
|
)
; 
\forall \underline{
\mathsf{x}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf{y}}
\colon \underline{
\mathsf{x}}
 <= 0
\vdash 0
 <= \underline{
\mathsf{y}}
\vdash SplitNumericalProduct(+-)
\rhd 0
 <= \underline{
\mathsf{y}}
\rhd \underline{
\mathsf{x}}
 <= 0
\gg |(\underline{
\mathsf{y}}
*\underline{
\mathsf{x}}
)
|
 = (|\underline{
\mathsf{y}}
|
*|\underline{
\mathsf{x}}
|
)
; timesCommutativity
\gg (\underline{
\mathsf{x}}
*\underline{
\mathsf{y}}
)
 = (\underline{
\mathsf{y}}
*\underline{
\mathsf{x}}
)
; SameNumerical
\rhd (\underline{
\mathsf{x}}
*\underline{
\mathsf{y}}
)
 = (\underline{
\mathsf{y}}
*\underline{
\mathsf{x}}
)
\gg |(\underline{
\mathsf{x}}
*\underline{
\mathsf{y}}
)
|
 = |(\underline{
\mathsf{y}}
*\underline{
\mathsf{x}}
)
|
; timesCommutativity
\gg (|\underline{
\mathsf{y}}
|
*|\underline{
\mathsf{x}}
|
)
 = (|\underline{
\mathsf{x}}
|
*|\underline{
\mathsf{y}}
|
)
; eqTransitivity4
\rhd |(\underline{
\mathsf{x}}
*\underline{
\mathsf{y}}
)
|
 = |(\underline{
\mathsf{y}}
*\underline{
\mathsf{x}}
)
|
\rhd |(\underline{
\mathsf{y}}
*\underline{
\mathsf{x}}
)
|
 = (|\underline{
\mathsf{y}}
|
*|\underline{
\mathsf{x}}
|
)
\rhd (|\underline{
\mathsf{y}}
|
*|\underline{
\mathsf{x}}
|
)
 = (|\underline{
\mathsf{x}}
|
*|\underline{
\mathsf{y}}
|
)
\gg |(\underline{
\mathsf{x}}
*\underline{
\mathsf{y}}
)
|
 = (|\underline{
\mathsf{x}}
|
*|\underline{
\mathsf{y}}
|
)
; 
\forall \underline{
\mathsf{x}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf{y}}
\colon \underline{
\mathsf{x}}
 <= 0
\vdash \underline{
\mathsf{y}}
 <= 0
\vdash NonpositiveNegated
\rhd \underline{
\mathsf{x}}
 <= 0
\gg 0
 <= (-u\underline{
\mathsf{x}}
)
; NonpositiveNegated
\rhd \underline{
\mathsf{y}}
 <= 0
\gg 0
 <= (-u\underline{
\mathsf{y}}
)
; SplitNumericalProduct(++)
\rhd 0
 <= (-u\underline{
\mathsf{x}}
)
\rhd 0
 <= (-u\underline{
\mathsf{y}}
)
\gg |((-u\underline{
\mathsf{x}}
)
*(-u\underline{
\mathsf{y}}
)
)
|
 = (|(-u\underline{
\mathsf{x}}
)
|
*|(-u\underline{
\mathsf{y}}
)
|
)
; MinusTimesMinus
\gg ((-u\underline{
\mathsf{x}}
)
*(-u\underline{
\mathsf{y}}
)
)
 = (\underline{
\mathsf{x}}
*\underline{
\mathsf{y}}
)
; SameNumerical
\rhd ((-u\underline{
\mathsf{x}}
)
*(-u\underline{
\mathsf{y}}
)
)
 = (\underline{
\mathsf{x}}
*\underline{
\mathsf{y}}
)
\gg |((-u\underline{
\mathsf{x}}
)
*(-u\underline{
\mathsf{y}}
)
)
|
 = |(\underline{
\mathsf{x}}
*\underline{
\mathsf{y}}
)
|
; eqSymmetry
\rhd |((-u\underline{
\mathsf{x}}
)
*(-u\underline{
\mathsf{y}}
)
)
|
 = |(\underline{
\mathsf{x}}
*\underline{
\mathsf{y}}
)
|
\gg |(\underline{
\mathsf{x}}
*\underline{
\mathsf{y}}
)
|
 = |((-u\underline{
\mathsf{x}}
)
*(-u\underline{
\mathsf{y}}
)
)
|
; SignNumerical
\gg |\underline{
\mathsf{x}}
|
 = |(-u\underline{
\mathsf{x}}
)
|
; SignNumerical
\gg |\underline{
\mathsf{y}}
|
 = |(-u\underline{
\mathsf{y}}
)
|
; MultiplyEquations
\rhd |\underline{
\mathsf{x}}
|
 = |(-u\underline{
\mathsf{x}}
)
|
\rhd |\underline{
\mathsf{y}}
|
 = |(-u\underline{
\mathsf{y}}
)
|
\gg (|\underline{
\mathsf{x}}
|
*|\underline{
\mathsf{y}}
|
)
 = (|(-u\underline{
\mathsf{x}}
)
|
*|(-u\underline{
\mathsf{y}}
)
|
)
; eqSymmetry
\rhd (|\underline{
\mathsf{x}}
|
*|\underline{
\mathsf{y}}
|
)
 = (|(-u\underline{
\mathsf{x}}
)
|
*|(-u\underline{
\mathsf{y}}
)
|
)
\gg (|(-u\underline{
\mathsf{x}}
)
|
*|(-u\underline{
\mathsf{y}}
)
|
)
 = (|\underline{
\mathsf{x}}
|
*|\underline{
\mathsf{y}}
|
)
; eqTransitivity4
\rhd |(\underline{
\mathsf{x}}
*\underline{
\mathsf{y}}
)
|
 = |((-u\underline{
\mathsf{x}}
)
*(-u\underline{
\mathsf{y}}
)
)
|
\rhd |((-u\underline{
\mathsf{x}}
)
*(-u\underline{
\mathsf{y}}
)
)
|
 = (|(-u\underline{
\mathsf{x}}
)
|
*|(-u\underline{
\mathsf{y}}
)
|
)
\rhd (|(-u\underline{
\mathsf{x}}
)
|
*|(-u\underline{
\mathsf{y}}
)
|
)
 = (|\underline{
\mathsf{x}}
|
*|\underline{
\mathsf{y}}
|
)
\gg |(\underline{
\mathsf{x}}
*\underline{
\mathsf{y}}
)
|
 = (|\underline{
\mathsf{x}}
|
*|\underline{
\mathsf{y}}
|
)
; 
\forall \underline{
\mathsf{x}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf{y}}
\colon Ded
\rhd 
\forall \underline{
\mathsf{x}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf{y}}
\colon 0
 <= \underline{
\mathsf{x}}
\vdash 0
 <= \underline{
\mathsf{y}}
\vdash |(\underline{
\mathsf{x}}
*\underline{
\mathsf{y}}
)
|
 = (|\underline{
\mathsf{x}}
|
*|\underline{
\mathsf{y}}
|
)
\gg 0
 <= \underline{
\mathsf{x}}
\Rightarrow 0
 <= \underline{
\mathsf{y}}
\Rightarrow |(\underline{
\mathsf{x}}
*\underline{
\mathsf{y}}
)
|
 = (|\underline{
\mathsf{x}}
|
*|\underline{
\mathsf{y}}
|
)
; Ded
\rhd 
\forall \underline{
\mathsf{x}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf{y}}
\colon 0
 <= \underline{
\mathsf{x}}
\vdash \underline{
\mathsf{y}}
 <= 0
\vdash |(\underline{
\mathsf{x}}
*\underline{
\mathsf{y}}
)
|
 = (|\underline{
\mathsf{x}}
|
*|\underline{
\mathsf{y}}
|
)
\gg 0
 <= \underline{
\mathsf{x}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf{y}}
 <= 0
\Rightarrow |(\underline{
\mathsf{x}}
*\underline{
\mathsf{y}}
)
|
 = (|\underline{
\mathsf{x}}
|
*|\underline{
\mathsf{y}}
|
)
; Ded
\rhd 
\forall \underline{
\mathsf{x}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf{y}}
\colon \underline{
\mathsf{x}}
 <= 0
\vdash 0
 <= \underline{
\mathsf{y}}
\vdash |(\underline{
\mathsf{x}}
*\underline{
\mathsf{y}}
)
|
 = (|\underline{
\mathsf{x}}
|
*|\underline{
\mathsf{y}}
|
)
\gg \underline{
\mathsf{x}}
 <= 0
\Rightarrow 0
 <= \underline{
\mathsf{y}}
\Rightarrow |(\underline{
\mathsf{x}}
*\underline{
\mathsf{y}}
)
|
 = (|\underline{
\mathsf{x}}
|
*|\underline{
\mathsf{y}}
|
)
; Ded
\rhd 
\forall \underline{
\mathsf{x}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf{y}}
\colon \underline{
\mathsf{x}}
 <= 0
\vdash \underline{
\mathsf{y}}
 <= 0
\vdash |(\underline{
\mathsf{x}}
*\underline{
\mathsf{y}}
)
|
 = (|\underline{
\mathsf{x}}
|
*|\underline{
\mathsf{y}}
|
)
\gg \underline{
\mathsf{x}}
 <= 0
\Rightarrow \underline{
\mathsf{y}}
 <= 0
\Rightarrow |(\underline{
\mathsf{x}}
*\underline{
\mathsf{y}}
)
|
 = (|\underline{
\mathsf{x}}
|
*|\underline{
\mathsf{y}}
|
)
; FromLeqGeq
\rhd 0
 <= \underline{
\mathsf{x}}
\Rightarrow 0
 <= \underline{
\mathsf{y}}
\Rightarrow |(\underline{
\mathsf{x}}
*\underline{
\mathsf{y}}
)
|
 = (|\underline{
\mathsf{x}}
|
*|\underline{
\mathsf{y}}
|
)
\rhd \underline{
\mathsf{x}}
 <= 0
\Rightarrow 0
 <= \underline{
\mathsf{y}}
\Rightarrow |(\underline{
\mathsf{x}}
*\underline{
\mathsf{y}}
)
|
 = (|\underline{
\mathsf{x}}
|
*|\underline{
\mathsf{y}}
|
)
\gg 0
 <= \underline{
\mathsf{y}}
\Rightarrow |(\underline{
\mathsf{x}}
*\underline{
\mathsf{y}}
)
|
 = (|\underline{
\mathsf{x}}
|
*|\underline{
\mathsf{y}}
|
)
; FromLeqGeq
\rhd 0
 <= \underline{
\mathsf{x}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf{y}}
 <= 0
\Rightarrow |(\underline{
\mathsf{x}}
*\underline{
\mathsf{y}}
)
|
 = (|\underline{
\mathsf{x}}
|
*|\underline{
\mathsf{y}}
|
)
\rhd \underline{
\mathsf{x}}
 <= 0
\Rightarrow \underline{
\mathsf{y}}
 <= 0
\Rightarrow |(\underline{
\mathsf{x}}
*\underline{
\mathsf{y}}
)
|
 = (|\underline{
\mathsf{x}}
|
*|\underline{
\mathsf{y}}
|
)
\gg \underline{
\mathsf{y}}
 <= 0
\Rightarrow |(\underline{
\mathsf{x}}
*\underline{
\mathsf{y}}
)
|
 = (|\underline{
\mathsf{x}}
|
*|\underline{
\mathsf{y}}
|
)
; FromLeqGeq
\rhd 0
 <= \underline{
\mathsf{y}}
\Rightarrow |(\underline{
\mathsf{x}}
*\underline{
\mathsf{y}}
)
|
 = (|\underline{
\mathsf{x}}
|
*|\underline{
\mathsf{y}}
|
)
\rhd \underline{
\mathsf{y}}
 <= 0
\Rightarrow |(\underline{
\mathsf{x}}
*\underline{
\mathsf{y}}
)
|
 = (|\underline{
\mathsf{x}}
|
*|\underline{
\mathsf{y}}
|
)
\gg |(\underline{
\mathsf{x}}
*\underline{
\mathsf{y}}
)
|
 = (|\underline{
\mathsf{x}}
|
*|\underline{
\mathsf{y}}
|
)
\rceil 
, 
p_0
, 
\mathsf {c}
)
]$

$
[Three2threeFactors
\stackrel{
stmt
}{\rightarrow}SystemQ
\vdash 
\forall \underline{
\mathsf{x}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf{y}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf{z}}
\colon ((\underline{
\mathsf{x}}
*\underline{
\mathsf{y}}
)
*\underline{
\mathsf{z}}
)
 = ((\underline{
\mathsf{x}}
*\underline{
\mathsf{z}}
)
*\underline{
\mathsf{y}}
)
]$

$
[Three2threeFactors
\stackrel{
proof
}{\rightarrow}
\lambda 
\mathsf {c}
.
\lambda 
\mathsf{x}
.
{\cal P}( 
\lceil SystemQ
\vdash 
\forall \underline{
\mathsf{x}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf{y}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf{z}}
\colon timesCommutativity
\gg (\underline{
\mathsf{y}}
*\underline{
\mathsf{z}}
)
 = (\underline{
\mathsf{z}}
*\underline{
\mathsf{y}}
)
; Three2twoFactors
\rhd (\underline{
\mathsf{y}}
*\underline{
\mathsf{z}}
)
 = (\underline{
\mathsf{z}}
*\underline{
\mathsf{y}}
)
\gg ((\underline{
\mathsf{x}}
*\underline{
\mathsf{y}}
)
*\underline{
\mathsf{z}}
)
 = (\underline{
\mathsf{x}}
*(\underline{
\mathsf{z}}
*\underline{
\mathsf{y}}
)
)
; timesAssociativity
\gg ((\underline{
\mathsf{x}}
*\underline{
\mathsf{z}}
)
*\underline{
\mathsf{y}}
)
 = (\underline{
\mathsf{x}}
*(\underline{
\mathsf{z}}
*\underline{
\mathsf{y}}
)
)
; eqSymmetry
\rhd ((\underline{
\mathsf{x}}
*\underline{
\mathsf{z}}
)
*\underline{
\mathsf{y}}
)
 = (\underline{
\mathsf{x}}
*(\underline{
\mathsf{z}}
*\underline{
\mathsf{y}}
)
)
\gg (\underline{
\mathsf{x}}
*(\underline{
\mathsf{z}}
*\underline{
\mathsf{y}}
)
)
 = ((\underline{
\mathsf{x}}
*\underline{
\mathsf{z}}
)
*\underline{
\mathsf{y}}
)
; eqTransitivity
\rhd ((\underline{
\mathsf{x}}
*\underline{
\mathsf{y}}
)
*\underline{
\mathsf{z}}
)
 = (\underline{
\mathsf{x}}
*(\underline{
\mathsf{z}}
*\underline{
\mathsf{y}}
)
)
\rhd (\underline{
\mathsf{x}}
*(\underline{
\mathsf{z}}
*\underline{
\mathsf{y}}
)
)
 = ((\underline{
\mathsf{x}}
*\underline{
\mathsf{z}}
)
*\underline{
\mathsf{y}}
)
\gg ((\underline{
\mathsf{x}}
*\underline{
\mathsf{y}}
)
*\underline{
\mathsf{z}}
)
 = ((\underline{
\mathsf{x}}
*\underline{
\mathsf{z}}
)
*\underline{
\mathsf{y}}
)
\rceil 
, 
p_0
, 
\mathsf {c}
)
]$


$
[DistributionOutLeft
\stackrel{
stmt
}{\rightarrow}SystemQ
\vdash 
\forall \underline{
\mathsf{x}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf{y}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf{z}}
\colon ((\underline{
\mathsf{y}}
*\underline{
\mathsf{x}}
)
+(\underline{
\mathsf{z}}
*\underline{
\mathsf{x}}
)
)
 = (\underline{
\mathsf{x}}
*(\underline{
\mathsf{y}}
+\underline{
\mathsf{z}}
)
)
]$

$
[DistributionOutLeft
\stackrel{
proof
}{\rightarrow}
\lambda 
\mathsf {c}
.
\lambda 
\mathsf{x}
.
{\cal P}( 
\lceil SystemQ
\vdash 
\forall \underline{
\mathsf{x}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf{y}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf{z}}
\colon timesCommutativity
\gg (\underline{
\mathsf{y}}
*\underline{
\mathsf{x}}
)
 = (\underline{
\mathsf{x}}
*\underline{
\mathsf{y}}
)
; timesCommutativity
\gg (\underline{
\mathsf{z}}
*\underline{
\mathsf{x}}
)
 = (\underline{
\mathsf{x}}
*\underline{
\mathsf{z}}
)
; AddEquations
\rhd (\underline{
\mathsf{y}}
*\underline{
\mathsf{x}}
)
 = (\underline{
\mathsf{x}}
*\underline{
\mathsf{y}}
)
\rhd (\underline{
\mathsf{z}}
*\underline{
\mathsf{x}}
)
 = (\underline{
\mathsf{x}}
*\underline{
\mathsf{z}}
)
\gg ((\underline{
\mathsf{y}}
*\underline{
\mathsf{x}}
)
+(\underline{
\mathsf{z}}
*\underline{
\mathsf{x}}
)
)
 = ((\underline{
\mathsf{x}}
*\underline{
\mathsf{y}}
)
+(\underline{
\mathsf{x}}
*\underline{
\mathsf{z}}
)
)
; DistributionOut
\gg ((\underline{
\mathsf{x}}
*\underline{
\mathsf{y}}
)
+(\underline{
\mathsf{x}}
*\underline{
\mathsf{z}}
)
)
 = (\underline{
\mathsf{x}}
*(\underline{
\mathsf{y}}
+\underline{
\mathsf{z}}
)
)
; eqTransitivity
\rhd ((\underline{
\mathsf{y}}
*\underline{
\mathsf{x}}
)
+(\underline{
\mathsf{z}}
*\underline{
\mathsf{x}}
)
)
 = ((\underline{
\mathsf{x}}
*\underline{
\mathsf{y}}
)
+(\underline{
\mathsf{x}}
*\underline{
\mathsf{z}}
)
)
\rhd ((\underline{
\mathsf{x}}
*\underline{
\mathsf{y}}
)
+(\underline{
\mathsf{x}}
*\underline{
\mathsf{z}}
)
)
 = (\underline{
\mathsf{x}}
*(\underline{
\mathsf{y}}
+\underline{
\mathsf{z}}
)
)
\gg ((\underline{
\mathsf{y}}
*\underline{
\mathsf{x}}
)
+(\underline{
\mathsf{z}}
*\underline{
\mathsf{x}}
)
)
 = (\underline{
\mathsf{x}}
*(\underline{
\mathsf{y}}
+\underline{
\mathsf{z}}
)
)
\rceil 
, 
p_0
, 
\mathsf {c}
)
]$



$
[NonzeroFactors
\stackrel{
stmt
}{\rightarrow}SystemQ
\vdash 
\forall \underline{
\mathsf{x}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf{y}}
\colon \dot{\neg}\,(\underline{
\mathsf{x}}
 = 0
)n
\vdash \dot{\neg}\,(\underline{
\mathsf{y}}
 = 0
)n
\vdash \dot{\neg}\,((\underline{
\mathsf{x}}
*\underline{
\mathsf{y}}
)
 = 0
)n
]$

$
[NonzeroFactors
\stackrel{
proof
}{\rightarrow}
\lambda 
\mathsf {c}
.
\lambda 
\mathsf{x}
.
{\cal P}( 
\lceil SystemQ
\vdash 
\forall \underline{
\mathsf{x}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf{y}}
\colon \dot{\neg}\,(\underline{
\mathsf{x}}
 = 0
)n
\vdash \dot{\neg}\,(\underline{
\mathsf{y}}
 = 0
)n
\vdash NeqMultiplication
\rhd \dot{\neg}\,(\underline{
\mathsf{y}}
 = 0
)n
\rhd \dot{\neg}\,(\underline{
\mathsf{x}}
 = 0
)n
\gg \dot{\neg}\,((\underline{
\mathsf{x}}
*\underline{
\mathsf{y}}
)
 = (0
*\underline{
\mathsf{y}}
)
)n
; timesCommutativity
\gg (0
*\underline{
\mathsf{y}}
)
 = (\underline{
\mathsf{y}}
*0
)
; x*0=0
\gg (\underline{
\mathsf{y}}
*0
)
 = 0
; eqTransitivity
\rhd (0
*\underline{
\mathsf{y}}
)
 = (\underline{
\mathsf{y}}
*0
)
\rhd (\underline{
\mathsf{y}}
*0
)
 = 0
\gg (0
*\underline{
\mathsf{y}}
)
 = 0
; SubNeqRight
\rhd (0
*\underline{
\mathsf{y}}
)
 = 0
\rhd \dot{\neg}\,((\underline{
\mathsf{x}}
*\underline{
\mathsf{y}}
)
 = (0
*\underline{
\mathsf{y}}
)
)n
\gg \dot{\neg}\,((\underline{
\mathsf{x}}
*\underline{
\mathsf{y}}
)
 = 0
)n
\rceil 
, 
p_0
, 
\mathsf {c}
)
]$

$
[PositiveFactors
\stackrel{
stmt
}{\rightarrow}SystemQ
\vdash 
\forall \underline{
\mathsf{x}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf{y}}
\colon \dot{\neg}\,(0
 <= \underline{
\mathsf{x}}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(0
 = \underline{
\mathsf{x}}
)n
)n
)n
\vdash \dot{\neg}\,(0
 <= \underline{
\mathsf{y}}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(0
 = \underline{
\mathsf{y}}
)n
)n
)n
\vdash \dot{\neg}\,(0
 <= (\underline{
\mathsf{x}}
*\underline{
\mathsf{y}}
)
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(0
 = (\underline{
\mathsf{x}}
*\underline{
\mathsf{y}}
)
)n
)n
)n
]$

$
[PositiveFactors
\stackrel{
proof
}{\rightarrow}
\lambda 
\mathsf {c}
.
\lambda 
\mathsf{x}
.
{\cal P}( 
\lceil SystemQ
\vdash 
\forall \underline{
\mathsf{x}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf{y}}
\colon \dot{\neg}\,(0
 <= \underline{
\mathsf{x}}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(0
 = \underline{
\mathsf{x}}
)n
)n
)n
\vdash \dot{\neg}\,(0
 <= \underline{
\mathsf{y}}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(0
 = \underline{
\mathsf{y}}
)n
)n
)n
\vdash Repetition
\rhd \dot{\neg}\,(0
 <= \underline{
\mathsf{x}}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(0
 = \underline{
\mathsf{x}}
)n
)n
)n
\gg \dot{\neg}\,(0
 <= \underline{
\mathsf{x}}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(0
 = \underline{
\mathsf{x}}
)n
)n
)n
; FirstConjunct
\rhd \dot{\neg}\,(0
 <= \underline{
\mathsf{x}}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(0
 = \underline{
\mathsf{x}}
)n
)n
)n
\gg 0
 <= \underline{
\mathsf{x}}
; SecondConjunct
\rhd \dot{\neg}\,(0
 <= \underline{
\mathsf{x}}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(0
 = \underline{
\mathsf{x}}
)n
)n
)n
\gg \dot{\neg}\,(0
 = \underline{
\mathsf{x}}
)n
; NeqSymmetry
\rhd \dot{\neg}\,(0
 = \underline{
\mathsf{x}}
)n
\gg \dot{\neg}\,(\underline{
\mathsf{x}}
 = 0
)n
; Repetition
\rhd \dot{\neg}\,(0
 <= \underline{
\mathsf{y}}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(0
 = \underline{
\mathsf{y}}
)n
)n
)n
\gg \dot{\neg}\,(0
 <= \underline{
\mathsf{y}}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(0
 = \underline{
\mathsf{y}}
)n
)n
)n
; FirstConjunct
\rhd \dot{\neg}\,(0
 <= \underline{
\mathsf{y}}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(0
 = \underline{
\mathsf{y}}
)n
)n
)n
\gg 0
 <= \underline{
\mathsf{y}}
; SecondConjunct
\rhd \dot{\neg}\,(0
 <= \underline{
\mathsf{y}}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(0
 = \underline{
\mathsf{y}}
)n
)n
)n
\gg \dot{\neg}\,(0
 = \underline{
\mathsf{y}}
)n
; NeqSymmetry
\rhd \dot{\neg}\,(0
 = \underline{
\mathsf{y}}
)n
\gg \dot{\neg}\,(\underline{
\mathsf{y}}
 = 0
)n
; NonnegativeFactors
\rhd 0
 <= \underline{
\mathsf{x}}
\rhd 0
 <= \underline{
\mathsf{y}}
\gg 0
 <= (\underline{
\mathsf{x}}
*\underline{
\mathsf{y}}
)
; NonzeroFactors
\rhd \dot{\neg}\,(\underline{
\mathsf{x}}
 = 0
)n
\rhd \dot{\neg}\,(\underline{
\mathsf{y}}
 = 0
)n
\gg \dot{\neg}\,((\underline{
\mathsf{x}}
*\underline{
\mathsf{y}}
)
 = 0
)n
; NeqSymmetry
\rhd \dot{\neg}\,((\underline{
\mathsf{x}}
*\underline{
\mathsf{y}}
)
 = 0
)n
\gg \dot{\neg}\,(0
 = (\underline{
\mathsf{x}}
*\underline{
\mathsf{y}}
)
)n
; JoinConjuncts
\rhd 0
 <= (\underline{
\mathsf{x}}
*\underline{
\mathsf{y}}
)
\rhd \dot{\neg}\,(0
 = (\underline{
\mathsf{x}}
*\underline{
\mathsf{y}}
)
)n
\gg \dot{\neg}\,(0
 <= (\underline{
\mathsf{x}}
*\underline{
\mathsf{y}}
)
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(0
 = (\underline{
\mathsf{x}}
*\underline{
\mathsf{y}}
)
)n
)n
)n
; Repetition
\rhd \dot{\neg}\,(0
 <= (\underline{
\mathsf{x}}
*\underline{
\mathsf{y}}
)
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(0
 = (\underline{
\mathsf{x}}
*\underline{
\mathsf{y}}
)
)n
)n
)n
\gg \dot{\neg}\,(0
 <= (\underline{
\mathsf{x}}
*\underline{
\mathsf{y}}
)
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(0
 = (\underline{
\mathsf{x}}
*\underline{
\mathsf{y}}
)
)n
)n
)n
\rceil 
, 
p_0
, 
\mathsf {c}
)
]$



$
[SeriesSubsetCP
\stackrel{
stmt
}{\rightarrow}SystemQ
\vdash 
\forall \underline{(fx)}
\colon 
\forall \underline{(sy)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(r1)}
\colon \overline{(r1)}
 \mathrel{\in} \underline{(fx)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op1)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op2)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\overline{(op1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(op2)}
 \mathrel{\in} \underline{(sy)}
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(r1)}
 = \{\{\overline{(op1)}
,\overline{(op1)}
\}
,\{\overline{(op1)}
,\overline{(op2)}
\}
\}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(f1)}
\colon 
\forall_{obj} \overline{(f2)}
\colon 
\forall_{obj} \overline{(f3)}
\colon 
\forall_{obj} \overline{(f4)}
\colon \{\{\overline{(f1)}
,\overline{(f1)}
\}
,\{\overline{(f1)}
,\overline{(f2)}
\}
\}
 \mathrel{\in} \underline{(fx)}
\Rightarrow \{\{\overline{(f3)}
,\overline{(f3)}
\}
,\{\overline{(f3)}
,\overline{(f4)}
\}
\}
 \mathrel{\in} \underline{(fx)}
\Rightarrow \overline{(f1)}
 = \overline{(f3)}
\Rightarrow \overline{(f2)}
 = \overline{(f4)}
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(s1)}
\colon \overline{(s1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(s2)}
\colon \dot{\neg}\,(\{\{\overline{(s1)}
,\overline{(s1)}
\}
,\{\overline{(s1)}
,\overline{(s2)}
\}
\}
 \mathrel{\in} \underline{(fx)}
)n
)n
)n
)n
\vdash 
\forall_{obj} \overline{(s1)}
\colon \overline{(s1)}
 \mathrel{\in} \underline{(fx)}
\Rightarrow \overline{(s1)}
 \mathrel{\in}  \{ ph \mathrel{\in} P(P(Union(\{N
,\underline{(sy)}
\}
)
)
)
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op1)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op2)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\overline{(op1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(op2)}
 \mathrel{\in} \underline{(sy)}
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\mathsf {a}
 _{Ph} 
 = \{\{\overline{(op1)}
,\overline{(op1)}
\}
,\{\overline{(op1)}
,\overline{(op2)}
\}
\}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\}
]$

$
[SeriesSubsetCP
\stackrel{
proof
}{\rightarrow}
\lambda 
\mathsf {c}
.
\lambda 
\mathsf{x}
.
{\cal P}( 
\lceil SystemQ
\vdash 
\forall \underline{(fx)}
\colon 
\forall \underline{(sy)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(r1)}
\colon \overline{(r1)}
 \mathrel{\in} \underline{(fx)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op1)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op2)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\overline{(op1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(op2)}
 \mathrel{\in} \underline{(sy)}
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(r1)}
 = \{\{\overline{(op1)}
,\overline{(op1)}
\}
,\{\overline{(op1)}
,\overline{(op2)}
\}
\}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(f1)}
\colon 
\forall_{obj} \overline{(f2)}
\colon 
\forall_{obj} \overline{(f3)}
\colon 
\forall_{obj} \overline{(f4)}
\colon \{\{\overline{(f1)}
,\overline{(f1)}
\}
,\{\overline{(f1)}
,\overline{(f2)}
\}
\}
 \mathrel{\in} \underline{(fx)}
\Rightarrow \{\{\overline{(f3)}
,\overline{(f3)}
\}
,\{\overline{(f3)}
,\overline{(f4)}
\}
\}
 \mathrel{\in} \underline{(fx)}
\Rightarrow \overline{(f1)}
 = \overline{(f3)}
\Rightarrow \overline{(f2)}
 = \overline{(f4)}
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(s1)}
\colon \overline{(s1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(s2)}
\colon \dot{\neg}\,(\{\{\overline{(s1)}
,\overline{(s1)}
\}
,\{\overline{(s1)}
,\overline{(s2)}
\}
\}
 \mathrel{\in} \underline{(fx)}
)n
)n
)n
)n
\vdash \overline{(s1)}
 \mathrel{\in} \underline{(fx)}
\vdash FromSeries
\rhd \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(r1)}
\colon \overline{(r1)}
 \mathrel{\in} \underline{(fx)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op1)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op2)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\overline{(op1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(op2)}
 \mathrel{\in} \underline{(sy)}
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(r1)}
 = \{\{\overline{(op1)}
,\overline{(op1)}
\}
,\{\overline{(op1)}
,\overline{(op2)}
\}
\}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(f1)}
\colon 
\forall_{obj} \overline{(f2)}
\colon 
\forall_{obj} \overline{(f3)}
\colon 
\forall_{obj} \overline{(f4)}
\colon \{\{\overline{(f1)}
,\overline{(f1)}
\}
,\{\overline{(f1)}
,\overline{(f2)}
\}
\}
 \mathrel{\in} \underline{(fx)}
\Rightarrow \{\{\overline{(f3)}
,\overline{(f3)}
\}
,\{\overline{(f3)}
,\overline{(f4)}
\}
\}
 \mathrel{\in} \underline{(fx)}
\Rightarrow \overline{(f1)}
 = \overline{(f3)}
\Rightarrow \overline{(f2)}
 = \overline{(f4)}
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(s1)}
\colon \overline{(s1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(s2)}
\colon \dot{\neg}\,(\{\{\overline{(s1)}
,\overline{(s1)}
\}
,\{\overline{(s1)}
,\overline{(s2)}
\}
\}
 \mathrel{\in} \underline{(fx)}
)n
)n
)n
)n
\gg \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(r1)}
\colon \overline{(r1)}
 \mathrel{\in} \underline{(fx)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op1)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op2)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\overline{(op1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(op2)}
 \mathrel{\in} \underline{(sy)}
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(r1)}
 = \{\{\overline{(op1)}
,\overline{(op1)}
\}
,\{\overline{(op1)}
,\overline{(op2)}
\}
\}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(f1)}
\colon 
\forall_{obj} \overline{(f2)}
\colon 
\forall_{obj} \overline{(f3)}
\colon 
\forall_{obj} \overline{(f4)}
\colon \{\{\overline{(f1)}
,\overline{(f1)}
\}
,\{\overline{(f1)}
,\overline{(f2)}
\}
\}
 \mathrel{\in} \underline{(fx)}
\Rightarrow \{\{\overline{(f3)}
,\overline{(f3)}
\}
,\{\overline{(f3)}
,\overline{(f4)}
\}
\}
 \mathrel{\in} \underline{(fx)}
\Rightarrow \overline{(f1)}
 = \overline{(f3)}
\Rightarrow \overline{(f2)}
 = \overline{(f4)}
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(s1)}
\colon \overline{(s1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(s2)}
\colon \dot{\neg}\,(\{\{\overline{(s1)}
,\overline{(s1)}
\}
,\{\overline{(s1)}
,\overline{(s2)}
\}
\}
 \mathrel{\in} \underline{(fx)}
)n
)n
)n
)n
; FirstConjunct
\rhd \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(r1)}
\colon \overline{(r1)}
 \mathrel{\in} \underline{(fx)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op1)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op2)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\overline{(op1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(op2)}
 \mathrel{\in} \underline{(sy)}
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(r1)}
 = \{\{\overline{(op1)}
,\overline{(op1)}
\}
,\{\overline{(op1)}
,\overline{(op2)}
\}
\}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(f1)}
\colon 
\forall_{obj} \overline{(f2)}
\colon 
\forall_{obj} \overline{(f3)}
\colon 
\forall_{obj} \overline{(f4)}
\colon \{\{\overline{(f1)}
,\overline{(f1)}
\}
,\{\overline{(f1)}
,\overline{(f2)}
\}
\}
 \mathrel{\in} \underline{(fx)}
\Rightarrow \{\{\overline{(f3)}
,\overline{(f3)}
\}
,\{\overline{(f3)}
,\overline{(f4)}
\}
\}
 \mathrel{\in} \underline{(fx)}
\Rightarrow \overline{(f1)}
 = \overline{(f3)}
\Rightarrow \overline{(f2)}
 = \overline{(f4)}
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(s1)}
\colon \overline{(s1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(s2)}
\colon \dot{\neg}\,(\{\{\overline{(s1)}
,\overline{(s1)}
\}
,\{\overline{(s1)}
,\overline{(s2)}
\}
\}
 \mathrel{\in} \underline{(fx)}
)n
)n
)n
)n
\gg \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(r1)}
\colon \overline{(r1)}
 \mathrel{\in} \underline{(fx)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op1)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op2)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\overline{(op1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(op2)}
 \mathrel{\in} \underline{(sy)}
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(r1)}
 = \{\{\overline{(op1)}
,\overline{(op1)}
\}
,\{\overline{(op1)}
,\overline{(op2)}
\}
\}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(f1)}
\colon 
\forall_{obj} \overline{(f2)}
\colon 
\forall_{obj} \overline{(f3)}
\colon 
\forall_{obj} \overline{(f4)}
\colon \{\{\overline{(f1)}
,\overline{(f1)}
\}
,\{\overline{(f1)}
,\overline{(f2)}
\}
\}
 \mathrel{\in} \underline{(fx)}
\Rightarrow \{\{\overline{(f3)}
,\overline{(f3)}
\}
,\{\overline{(f3)}
,\overline{(f4)}
\}
\}
 \mathrel{\in} \underline{(fx)}
\Rightarrow \overline{(f1)}
 = \overline{(f3)}
\Rightarrow \overline{(f2)}
 = \overline{(f4)}
)n
)n
; FirstConjunct
\rhd \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(r1)}
\colon \overline{(r1)}
 \mathrel{\in} \underline{(fx)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op1)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op2)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\overline{(op1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(op2)}
 \mathrel{\in} \underline{(sy)}
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(r1)}
 = \{\{\overline{(op1)}
,\overline{(op1)}
\}
,\{\overline{(op1)}
,\overline{(op2)}
\}
\}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(f1)}
\colon 
\forall_{obj} \overline{(f2)}
\colon 
\forall_{obj} \overline{(f3)}
\colon 
\forall_{obj} \overline{(f4)}
\colon \{\{\overline{(f1)}
,\overline{(f1)}
\}
,\{\overline{(f1)}
,\overline{(f2)}
\}
\}
 \mathrel{\in} \underline{(fx)}
\Rightarrow \{\{\overline{(f3)}
,\overline{(f3)}
\}
,\{\overline{(f3)}
,\overline{(f4)}
\}
\}
 \mathrel{\in} \underline{(fx)}
\Rightarrow \overline{(f1)}
 = \overline{(f3)}
\Rightarrow \overline{(f2)}
 = \overline{(f4)}
)n
)n
\gg 
\forall_{obj} \overline{(r1)}
\colon \overline{(r1)}
 \mathrel{\in} \underline{(fx)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op1)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op2)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\overline{(op1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(op2)}
 \mathrel{\in} \underline{(sy)}
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(r1)}
 = \{\{\overline{(op1)}
,\overline{(op1)}
\}
,\{\overline{(op1)}
,\overline{(op2)}
\}
\}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
; A4
\mathop {\char64} \overline{(s1)}
\rhd 
\forall_{obj} \overline{(r1)}
\colon \overline{(r1)}
 \mathrel{\in} \underline{(fx)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op1)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op2)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\overline{(op1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(op2)}
 \mathrel{\in} \underline{(sy)}
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(r1)}
 = \{\{\overline{(op1)}
,\overline{(op1)}
\}
,\{\overline{(op1)}
,\overline{(op2)}
\}
\}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\gg \overline{(s1)}
 \mathrel{\in} \underline{(fx)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op1)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op2)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\overline{(op1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(op2)}
 \mathrel{\in} \underline{(sy)}
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(s1)}
 = \{\{\overline{(op1)}
,\overline{(op1)}
\}
,\{\overline{(op1)}
,\overline{(op2)}
\}
\}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
; MP
\rhd \overline{(s1)}
 \mathrel{\in} \underline{(fx)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op1)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op2)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\overline{(op1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(op2)}
 \mathrel{\in} \underline{(sy)}
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(s1)}
 = \{\{\overline{(op1)}
,\overline{(op1)}
\}
,\{\overline{(op1)}
,\overline{(op2)}
\}
\}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\rhd \overline{(s1)}
 \mathrel{\in} \underline{(fx)}
\gg \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op1)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op2)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\overline{(op1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(op2)}
 \mathrel{\in} \underline{(sy)}
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(s1)}
 = \{\{\overline{(op1)}
,\overline{(op1)}
\}
,\{\overline{(op1)}
,\overline{(op2)}
\}
\}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
; 
\forall \underline{(sy)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\overline{(op1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(op2)}
 \mathrel{\in} \underline{(sy)}
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(s1)}
 = \{\{\overline{(op1)}
,\overline{(op1)}
\}
,\{\overline{(op1)}
,\overline{(op2)}
\}
\}
)n
)n
\vdash FirstConjunct
\rhd \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\overline{(op1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(op2)}
 \mathrel{\in} \underline{(sy)}
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(s1)}
 = \{\{\overline{(op1)}
,\overline{(op1)}
\}
,\{\overline{(op1)}
,\overline{(op2)}
\}
\}
)n
)n
\gg \dot{\neg}\,(\overline{(op1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(op2)}
 \mathrel{\in} \underline{(sy)}
)n
)n
; FirstConjunct
\rhd \dot{\neg}\,(\overline{(op1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(op2)}
 \mathrel{\in} \underline{(sy)}
)n
)n
\gg \overline{(op1)}
 \mathrel{\in} N
; SecondConjunct
\rhd \dot{\neg}\,(\overline{(op1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(op2)}
 \mathrel{\in} \underline{(sy)}
)n
)n
\gg \overline{(op2)}
 \mathrel{\in} \underline{(sy)}
; SecondConjunct
\rhd \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\overline{(op1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(op2)}
 \mathrel{\in} \underline{(sy)}
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(s1)}
 = \{\{\overline{(op1)}
,\overline{(op1)}
\}
,\{\overline{(op1)}
,\overline{(op2)}
\}
\}
)n
)n
\gg \overline{(s1)}
 = \{\{\overline{(op1)}
,\overline{(op1)}
\}
,\{\overline{(op1)}
,\overline{(op2)}
\}
\}
; eqSymmetry
\rhd \overline{(s1)}
 = \{\{\overline{(op1)}
,\overline{(op1)}
\}
,\{\overline{(op1)}
,\overline{(op2)}
\}
\}
\gg \{\{\overline{(op1)}
,\overline{(op1)}
\}
,\{\overline{(op1)}
,\overline{(op2)}
\}
\}
 = \overline{(s1)}
; ToCartProd
\rhd \overline{(op1)}
 \mathrel{\in} N
\rhd \overline{(op2)}
 \mathrel{\in} \underline{(sy)}
\gg \{\{\overline{(op1)}
,\overline{(op1)}
\}
,\{\overline{(op1)}
,\overline{(op2)}
\}
\}
 \mathrel{\in}  \{ ph \mathrel{\in} P(P(Union(\{N
,\underline{(sy)}
\}
)
)
)
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op1)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op2)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\overline{(op1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(op2)}
 \mathrel{\in} \underline{(sy)}
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\mathsf {a}
 _{Ph} 
 = \{\{\overline{(op1)}
,\overline{(op1)}
\}
,\{\overline{(op1)}
,\overline{(op2)}
\}
\}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\}
; SameMember
\rhd \{\{\overline{(op1)}
,\overline{(op1)}
\}
,\{\overline{(op1)}
,\overline{(op2)}
\}
\}
 = \overline{(s1)}
\rhd \{\{\overline{(op1)}
,\overline{(op1)}
\}
,\{\overline{(op1)}
,\overline{(op2)}
\}
\}
 \mathrel{\in}  \{ ph \mathrel{\in} P(P(Union(\{N
,\underline{(sy)}
\}
)
)
)
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op1)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op2)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\overline{(op1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(op2)}
 \mathrel{\in} \underline{(sy)}
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\mathsf {a}
 _{Ph} 
 = \{\{\overline{(op1)}
,\overline{(op1)}
\}
,\{\overline{(op1)}
,\overline{(op2)}
\}
\}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\}
\gg \overline{(s1)}
 \mathrel{\in}  \{ ph \mathrel{\in} P(P(Union(\{N
,\underline{(sy)}
\}
)
)
)
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op1)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op2)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\overline{(op1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(op2)}
 \mathrel{\in} \underline{(sy)}
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\mathsf {a}
 _{Ph} 
 = \{\{\overline{(op1)}
,\overline{(op1)}
\}
,\{\overline{(op1)}
,\overline{(op2)}
\}
\}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\}
; Ded
\rhd 
\forall \underline{(sy)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\overline{(op1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(op2)}
 \mathrel{\in} \underline{(sy)}
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(s1)}
 = \{\{\overline{(op1)}
,\overline{(op1)}
\}
,\{\overline{(op1)}
,\overline{(op2)}
\}
\}
)n
)n
\vdash \overline{(s1)}
 \mathrel{\in}  \{ ph \mathrel{\in} P(P(Union(\{N
,\underline{(sy)}
\}
)
)
)
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op1)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op2)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\overline{(op1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(op2)}
 \mathrel{\in} \underline{(sy)}
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\mathsf {a}
 _{Ph} 
 = \{\{\overline{(op1)}
,\overline{(op1)}
\}
,\{\overline{(op1)}
,\overline{(op2)}
\}
\}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\}
\gg \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\overline{(op1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(op2)}
 \mathrel{\in} \underline{(sy)}
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(s1)}
 = \{\{\overline{(op1)}
,\overline{(op1)}
\}
,\{\overline{(op1)}
,\overline{(op2)}
\}
\}
)n
)n
\Rightarrow \overline{(s1)}
 \mathrel{\in}  \{ ph \mathrel{\in} P(P(Union(\{N
,\underline{(sy)}
\}
)
)
)
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op1)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op2)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\overline{(op1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(op2)}
 \mathrel{\in} \underline{(sy)}
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\mathsf {a}
 _{Ph} 
 = \{\{\overline{(op1)}
,\overline{(op1)}
\}
,\{\overline{(op1)}
,\overline{(op2)}
\}
\}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\}
; TwiceExistMP
\rhd \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\overline{(op1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(op2)}
 \mathrel{\in} \underline{(sy)}
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(s1)}
 = \{\{\overline{(op1)}
,\overline{(op1)}
\}
,\{\overline{(op1)}
,\overline{(op2)}
\}
\}
)n
)n
\Rightarrow \overline{(s1)}
 \mathrel{\in}  \{ ph \mathrel{\in} P(P(Union(\{N
,\underline{(sy)}
\}
)
)
)
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op1)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op2)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\overline{(op1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(op2)}
 \mathrel{\in} \underline{(sy)}
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\mathsf {a}
 _{Ph} 
 = \{\{\overline{(op1)}
,\overline{(op1)}
\}
,\{\overline{(op1)}
,\overline{(op2)}
\}
\}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\}
\rhd \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op1)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op2)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\overline{(op1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(op2)}
 \mathrel{\in} \underline{(sy)}
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(s1)}
 = \{\{\overline{(op1)}
,\overline{(op1)}
\}
,\{\overline{(op1)}
,\overline{(op2)}
\}
\}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\gg \overline{(s1)}
 \mathrel{\in}  \{ ph \mathrel{\in} P(P(Union(\{N
,\underline{(sy)}
\}
)
)
)
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op1)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op2)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\overline{(op1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(op2)}
 \mathrel{\in} \underline{(sy)}
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\mathsf {a}
 _{Ph} 
 = \{\{\overline{(op1)}
,\overline{(op1)}
\}
,\{\overline{(op1)}
,\overline{(op2)}
\}
\}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\}
; 
\forall \underline{(fx)}
\colon 
\forall \underline{(sy)}
\colon Ded
\rhd 
\forall \underline{(fx)}
\colon 
\forall \underline{(sy)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(r1)}
\colon \overline{(r1)}
 \mathrel{\in} \underline{(fx)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op1)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op2)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\overline{(op1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(op2)}
 \mathrel{\in} \underline{(sy)}
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(r1)}
 = \{\{\overline{(op1)}
,\overline{(op1)}
\}
,\{\overline{(op1)}
,\overline{(op2)}
\}
\}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(f1)}
\colon 
\forall_{obj} \overline{(f2)}
\colon 
\forall_{obj} \overline{(f3)}
\colon 
\forall_{obj} \overline{(f4)}
\colon \{\{\overline{(f1)}
,\overline{(f1)}
\}
,\{\overline{(f1)}
,\overline{(f2)}
\}
\}
 \mathrel{\in} \underline{(fx)}
\Rightarrow \{\{\overline{(f3)}
,\overline{(f3)}
\}
,\{\overline{(f3)}
,\overline{(f4)}
\}
\}
 \mathrel{\in} \underline{(fx)}
\Rightarrow \overline{(f1)}
 = \overline{(f3)}
\Rightarrow \overline{(f2)}
 = \overline{(f4)}
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(s1)}
\colon \overline{(s1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(s2)}
\colon \dot{\neg}\,(\{\{\overline{(s1)}
,\overline{(s1)}
\}
,\{\overline{(s1)}
,\overline{(s2)}
\}
\}
 \mathrel{\in} \underline{(fx)}
)n
)n
)n
)n
\vdash \overline{(s1)}
 \mathrel{\in} \underline{(fx)}
\vdash \overline{(s1)}
 \mathrel{\in}  \{ ph \mathrel{\in} P(P(Union(\{N
,\underline{(sy)}
\}
)
)
)
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op1)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op2)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\overline{(op1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(op2)}
 \mathrel{\in} \underline{(sy)}
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\mathsf {a}
 _{Ph} 
 = \{\{\overline{(op1)}
,\overline{(op1)}
\}
,\{\overline{(op1)}
,\overline{(op2)}
\}
\}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\}
\gg \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(r1)}
\colon \overline{(r1)}
 \mathrel{\in} \underline{(fx)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op1)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op2)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\overline{(op1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(op2)}
 \mathrel{\in} \underline{(sy)}
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(r1)}
 = \{\{\overline{(op1)}
,\overline{(op1)}
\}
,\{\overline{(op1)}
,\overline{(op2)}
\}
\}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(f1)}
\colon 
\forall_{obj} \overline{(f2)}
\colon 
\forall_{obj} \overline{(f3)}
\colon 
\forall_{obj} \overline{(f4)}
\colon \{\{\overline{(f1)}
,\overline{(f1)}
\}
,\{\overline{(f1)}
,\overline{(f2)}
\}
\}
 \mathrel{\in} \underline{(fx)}
\Rightarrow \{\{\overline{(f3)}
,\overline{(f3)}
\}
,\{\overline{(f3)}
,\overline{(f4)}
\}
\}
 \mathrel{\in} \underline{(fx)}
\Rightarrow \overline{(f1)}
 = \overline{(f3)}
\Rightarrow \overline{(f2)}
 = \overline{(f4)}
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(s1)}
\colon \overline{(s1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(s2)}
\colon \dot{\neg}\,(\{\{\overline{(s1)}
,\overline{(s1)}
\}
,\{\overline{(s1)}
,\overline{(s2)}
\}
\}
 \mathrel{\in} \underline{(fx)}
)n
)n
)n
)n
\Rightarrow 
\forall_{obj} \overline{(s1)}
\colon \overline{(s1)}
 \mathrel{\in} \underline{(fx)}
\Rightarrow \overline{(s1)}
 \mathrel{\in}  \{ ph \mathrel{\in} P(P(Union(\{N
,\underline{(sy)}
\}
)
)
)
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op1)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op2)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\overline{(op1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(op2)}
 \mathrel{\in} \underline{(sy)}
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\mathsf {a}
 _{Ph} 
 = \{\{\overline{(op1)}
,\overline{(op1)}
\}
,\{\overline{(op1)}
,\overline{(op2)}
\}
\}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\}
; \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(r1)}
\colon \overline{(r1)}
 \mathrel{\in} \underline{(fx)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op1)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op2)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\overline{(op1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(op2)}
 \mathrel{\in} \underline{(sy)}
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(r1)}
 = \{\{\overline{(op1)}
,\overline{(op1)}
\}
,\{\overline{(op1)}
,\overline{(op2)}
\}
\}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(f1)}
\colon 
\forall_{obj} \overline{(f2)}
\colon 
\forall_{obj} \overline{(f3)}
\colon 
\forall_{obj} \overline{(f4)}
\colon \{\{\overline{(f1)}
,\overline{(f1)}
\}
,\{\overline{(f1)}
,\overline{(f2)}
\}
\}
 \mathrel{\in} \underline{(fx)}
\Rightarrow \{\{\overline{(f3)}
,\overline{(f3)}
\}
,\{\overline{(f3)}
,\overline{(f4)}
\}
\}
 \mathrel{\in} \underline{(fx)}
\Rightarrow \overline{(f1)}
 = \overline{(f3)}
\Rightarrow \overline{(f2)}
 = \overline{(f4)}
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(s1)}
\colon \overline{(s1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(s2)}
\colon \dot{\neg}\,(\{\{\overline{(s1)}
,\overline{(s1)}
\}
,\{\overline{(s1)}
,\overline{(s2)}
\}
\}
 \mathrel{\in} \underline{(fx)}
)n
)n
)n
)n
\vdash MP
\rhd \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(r1)}
\colon \overline{(r1)}
 \mathrel{\in} \underline{(fx)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op1)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op2)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\overline{(op1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(op2)}
 \mathrel{\in} \underline{(sy)}
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(r1)}
 = \{\{\overline{(op1)}
,\overline{(op1)}
\}
,\{\overline{(op1)}
,\overline{(op2)}
\}
\}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(f1)}
\colon 
\forall_{obj} \overline{(f2)}
\colon 
\forall_{obj} \overline{(f3)}
\colon 
\forall_{obj} \overline{(f4)}
\colon \{\{\overline{(f1)}
,\overline{(f1)}
\}
,\{\overline{(f1)}
,\overline{(f2)}
\}
\}
 \mathrel{\in} \underline{(fx)}
\Rightarrow \{\{\overline{(f3)}
,\overline{(f3)}
\}
,\{\overline{(f3)}
,\overline{(f4)}
\}
\}
 \mathrel{\in} \underline{(fx)}
\Rightarrow \overline{(f1)}
 = \overline{(f3)}
\Rightarrow \overline{(f2)}
 = \overline{(f4)}
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(s1)}
\colon \overline{(s1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(s2)}
\colon \dot{\neg}\,(\{\{\overline{(s1)}
,\overline{(s1)}
\}
,\{\overline{(s1)}
,\overline{(s2)}
\}
\}
 \mathrel{\in} \underline{(fx)}
)n
)n
)n
)n
\Rightarrow 
\forall_{obj} \overline{(s1)}
\colon \overline{(s1)}
 \mathrel{\in} \underline{(fx)}
\Rightarrow \overline{(s1)}
 \mathrel{\in}  \{ ph \mathrel{\in} P(P(Union(\{N
,\underline{(sy)}
\}
)
)
)
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op1)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op2)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\overline{(op1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(op2)}
 \mathrel{\in} \underline{(sy)}
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\mathsf {a}
 _{Ph} 
 = \{\{\overline{(op1)}
,\overline{(op1)}
\}
,\{\overline{(op1)}
,\overline{(op2)}
\}
\}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\}
\rhd \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(r1)}
\colon \overline{(r1)}
 \mathrel{\in} \underline{(fx)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op1)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op2)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\overline{(op1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(op2)}
 \mathrel{\in} \underline{(sy)}
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(r1)}
 = \{\{\overline{(op1)}
,\overline{(op1)}
\}
,\{\overline{(op1)}
,\overline{(op2)}
\}
\}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(f1)}
\colon 
\forall_{obj} \overline{(f2)}
\colon 
\forall_{obj} \overline{(f3)}
\colon 
\forall_{obj} \overline{(f4)}
\colon \{\{\overline{(f1)}
,\overline{(f1)}
\}
,\{\overline{(f1)}
,\overline{(f2)}
\}
\}
 \mathrel{\in} \underline{(fx)}
\Rightarrow \{\{\overline{(f3)}
,\overline{(f3)}
\}
,\{\overline{(f3)}
,\overline{(f4)}
\}
\}
 \mathrel{\in} \underline{(fx)}
\Rightarrow \overline{(f1)}
 = \overline{(f3)}
\Rightarrow \overline{(f2)}
 = \overline{(f4)}
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(s1)}
\colon \overline{(s1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(s2)}
\colon \dot{\neg}\,(\{\{\overline{(s1)}
,\overline{(s1)}
\}
,\{\overline{(s1)}
,\overline{(s2)}
\}
\}
 \mathrel{\in} \underline{(fx)}
)n
)n
)n
)n
\gg 
\forall_{obj} \overline{(s1)}
\colon \overline{(s1)}
 \mathrel{\in} \underline{(fx)}
\Rightarrow \overline{(s1)}
 \mathrel{\in}  \{ ph \mathrel{\in} P(P(Union(\{N
,\underline{(sy)}
\}
)
)
)
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op1)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op2)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\overline{(op1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(op2)}
 \mathrel{\in} \underline{(sy)}
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\mathsf {a}
 _{Ph} 
 = \{\{\overline{(op1)}
,\overline{(op1)}
\}
,\{\overline{(op1)}
,\overline{(op2)}
\}
\}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\}
; Repetition
\rhd 
\forall_{obj} \overline{(s1)}
\colon \overline{(s1)}
 \mathrel{\in} \underline{(fx)}
\Rightarrow \overline{(s1)}
 \mathrel{\in}  \{ ph \mathrel{\in} P(P(Union(\{N
,\underline{(sy)}
\}
)
)
)
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op1)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op2)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\overline{(op1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(op2)}
 \mathrel{\in} \underline{(sy)}
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\mathsf {a}
 _{Ph} 
 = \{\{\overline{(op1)}
,\overline{(op1)}
\}
,\{\overline{(op1)}
,\overline{(op2)}
\}
\}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\}
\gg 
\forall_{obj} \overline{(s1)}
\colon \overline{(s1)}
 \mathrel{\in} \underline{(fx)}
\Rightarrow \overline{(s1)}
 \mathrel{\in}  \{ ph \mathrel{\in} P(P(Union(\{N
,\underline{(sy)}
\}
)
)
)
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op1)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op2)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\overline{(op1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(op2)}
 \mathrel{\in} \underline{(sy)}
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\mathsf {a}
 _{Ph} 
 = \{\{\overline{(op1)}
,\overline{(op1)}
\}
,\{\overline{(op1)}
,\overline{(op2)}
\}
\}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\}
\rceil 
, 
p_0
, 
\mathsf {c}
)
]$


$
[FromCartProd
\stackrel{
stmt
}{\rightarrow}SystemQ
\vdash 
\forall \underline{(sx)}
\colon 
\forall \underline{(sx1)}
\colon 
\forall \underline{(sy)}
\colon 
\forall \underline{(sy1)}
\colon \{\{\underline{(sx)}
,\underline{(sx)}
\}
,\{\underline{(sx)}
,\underline{(sy)}
\}
\}
 \mathrel{\in}  \{ ph \mathrel{\in} P(P(Union(\{\underline{(sx1)}
,\underline{(sy1)}
\}
)
)
)
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op1)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op2)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\overline{(op1)}
 \mathrel{\in} \underline{(sx1)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(op2)}
 \mathrel{\in} \underline{(sy1)}
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\mathsf {a}
 _{Ph} 
 = \{\{\overline{(op1)}
,\overline{(op1)}
\}
,\{\overline{(op1)}
,\overline{(op2)}
\}
\}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\}
\vdash \dot{\neg}\,(\underline{(sx)}
 \mathrel{\in} \underline{(sx1)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\underline{(sy)}
 \mathrel{\in} \underline{(sy1)}
)n
)n
]$

$
[FromCartProd
\stackrel{
proof
}{\rightarrow}
\lambda 
\mathsf {c}
.
\lambda 
\mathsf{x}
.
{\cal P}( 
\lceil SystemQ
\vdash 
\forall \underline{(sx)}
\colon 
\forall \underline{(sx1)}
\colon 
\forall \underline{(sy)}
\colon 
\forall \underline{(sy1)}
\colon \{\{\underline{(sx)}
,\underline{(sx)}
\}
,\{\underline{(sx)}
,\underline{(sy)}
\}
\}
 \mathrel{\in}  \{ ph \mathrel{\in} P(P(Union(\{\underline{(sx1)}
,\underline{(sy1)}
\}
)
)
)
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op1)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op2)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\overline{(op1)}
 \mathrel{\in} \underline{(sx1)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(op2)}
 \mathrel{\in} \underline{(sy1)}
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\mathsf {a}
 _{Ph} 
 = \{\{\overline{(op1)}
,\overline{(op1)}
\}
,\{\overline{(op1)}
,\overline{(op2)}
\}
\}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\}
\vdash Repetition
\rhd \{\{\underline{(sx)}
,\underline{(sx)}
\}
,\{\underline{(sx)}
,\underline{(sy)}
\}
\}
 \mathrel{\in}  \{ ph \mathrel{\in} P(P(Union(\{\underline{(sx1)}
,\underline{(sy1)}
\}
)
)
)
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op1)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op2)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\overline{(op1)}
 \mathrel{\in} \underline{(sx1)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(op2)}
 \mathrel{\in} \underline{(sy1)}
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\mathsf {a}
 _{Ph} 
 = \{\{\overline{(op1)}
,\overline{(op1)}
\}
,\{\overline{(op1)}
,\overline{(op2)}
\}
\}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\}
\gg \{\{\underline{(sx)}
,\underline{(sx)}
\}
,\{\underline{(sx)}
,\underline{(sy)}
\}
\}
 \mathrel{\in}  \{ ph \mathrel{\in} P(P(Union(\{\underline{(sx1)}
,\underline{(sy1)}
\}
)
)
)
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op1)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op2)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\overline{(op1)}
 \mathrel{\in} \underline{(sx1)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(op2)}
 \mathrel{\in} \underline{(sy1)}
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\mathsf {a}
 _{Ph} 
 = \{\{\overline{(op1)}
,\overline{(op1)}
\}
,\{\overline{(op1)}
,\overline{(op2)}
\}
\}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\}
; Sep2Formula
\rhd \{\{\underline{(sx)}
,\underline{(sx)}
\}
,\{\underline{(sx)}
,\underline{(sy)}
\}
\}
 \mathrel{\in}  \{ ph \mathrel{\in} P(P(Union(\{\underline{(sx1)}
,\underline{(sy1)}
\}
)
)
)
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op1)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op2)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\overline{(op1)}
 \mathrel{\in} \underline{(sx1)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(op2)}
 \mathrel{\in} \underline{(sy1)}
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\mathsf {a}
 _{Ph} 
 = \{\{\overline{(op1)}
,\overline{(op1)}
\}
,\{\overline{(op1)}
,\overline{(op2)}
\}
\}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\}
\gg \dot{\neg}\,(\{\{\underline{(sx)}
,\underline{(sx)}
\}
,\{\underline{(sx)}
,\underline{(sy)}
\}
\}
 \mathrel{\in} P(P(Union(\{\underline{(sx1)}
,\underline{(sy1)}
\}
)
)
)
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op1)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op2)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\overline{(op1)}
 \mathrel{\in} \underline{(sx1)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(op2)}
 \mathrel{\in} \underline{(sy1)}
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\{\{\underline{(sx)}
,\underline{(sx)}
\}
,\{\underline{(sx)}
,\underline{(sy)}
\}
\}
 = \{\{\overline{(op1)}
,\overline{(op1)}
\}
,\{\overline{(op1)}
,\overline{(op2)}
\}
\}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
)n
)n
; SecondConjunct
\rhd \dot{\neg}\,(\{\{\underline{(sx)}
,\underline{(sx)}
\}
,\{\underline{(sx)}
,\underline{(sy)}
\}
\}
 \mathrel{\in} P(P(Union(\{\underline{(sx1)}
,\underline{(sy1)}
\}
)
)
)
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op1)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op2)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\overline{(op1)}
 \mathrel{\in} \underline{(sx1)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(op2)}
 \mathrel{\in} \underline{(sy1)}
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\{\{\underline{(sx)}
,\underline{(sx)}
\}
,\{\underline{(sx)}
,\underline{(sy)}
\}
\}
 = \{\{\overline{(op1)}
,\overline{(op1)}
\}
,\{\overline{(op1)}
,\overline{(op2)}
\}
\}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\gg \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op1)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op2)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\overline{(op1)}
 \mathrel{\in} \underline{(sx1)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(op2)}
 \mathrel{\in} \underline{(sy1)}
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\{\{\underline{(sx)}
,\underline{(sx)}
\}
,\{\underline{(sx)}
,\underline{(sy)}
\}
\}
 = \{\{\overline{(op1)}
,\overline{(op1)}
\}
,\{\overline{(op1)}
,\overline{(op2)}
\}
\}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
; Repetition
\rhd \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op1)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op2)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\overline{(op1)}
 \mathrel{\in} \underline{(sx1)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(op2)}
 \mathrel{\in} \underline{(sy1)}
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\{\{\underline{(sx)}
,\underline{(sx)}
\}
,\{\underline{(sx)}
,\underline{(sy)}
\}
\}
 = \{\{\overline{(op1)}
,\overline{(op1)}
\}
,\{\overline{(op1)}
,\overline{(op2)}
\}
\}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\gg \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op1)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op2)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\overline{(op1)}
 \mathrel{\in} \underline{(sx1)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(op2)}
 \mathrel{\in} \underline{(sy1)}
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\{\{\underline{(sx)}
,\underline{(sx)}
\}
,\{\underline{(sx)}
,\underline{(sy)}
\}
\}
 = \{\{\overline{(op1)}
,\overline{(op1)}
\}
,\{\overline{(op1)}
,\overline{(op2)}
\}
\}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
; 
\forall \underline{(sx)}
\colon 
\forall \underline{(sx1)}
\colon 
\forall \underline{(sy)}
\colon 
\forall \underline{(sy1)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\overline{(op1)}
 \mathrel{\in} \underline{(sx1)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(op2)}
 \mathrel{\in} \underline{(sy1)}
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\{\{\underline{(sx)}
,\underline{(sx)}
\}
,\{\underline{(sx)}
,\underline{(sy)}
\}
\}
 = \{\{\overline{(op1)}
,\overline{(op1)}
\}
,\{\overline{(op1)}
,\overline{(op2)}
\}
\}
)n
)n
\vdash FirstConjunct
\rhd \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\overline{(op1)}
 \mathrel{\in} \underline{(sx1)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(op2)}
 \mathrel{\in} \underline{(sy1)}
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\{\{\underline{(sx)}
,\underline{(sx)}
\}
,\{\underline{(sx)}
,\underline{(sy)}
\}
\}
 = \{\{\overline{(op1)}
,\overline{(op1)}
\}
,\{\overline{(op1)}
,\overline{(op2)}
\}
\}
)n
)n
\gg \dot{\neg}\,(\overline{(op1)}
 \mathrel{\in} \underline{(sx1)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(op2)}
 \mathrel{\in} \underline{(sy1)}
)n
)n
; FirstConjunct
\rhd \dot{\neg}\,(\overline{(op1)}
 \mathrel{\in} \underline{(sx1)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(op2)}
 \mathrel{\in} \underline{(sy1)}
)n
)n
\gg \overline{(op1)}
 \mathrel{\in} \underline{(sx1)}
; SecondConjunct
\rhd \dot{\neg}\,(\overline{(op1)}
 \mathrel{\in} \underline{(sx1)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(op2)}
 \mathrel{\in} \underline{(sy1)}
)n
)n
\gg \overline{(op2)}
 \mathrel{\in} \underline{(sy1)}
; SecondConjunct
\rhd \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\overline{(op1)}
 \mathrel{\in} \underline{(sx1)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(op2)}
 \mathrel{\in} \underline{(sy1)}
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\{\{\underline{(sx)}
,\underline{(sx)}
\}
,\{\underline{(sx)}
,\underline{(sy)}
\}
\}
 = \{\{\overline{(op1)}
,\overline{(op1)}
\}
,\{\overline{(op1)}
,\overline{(op2)}
\}
\}
)n
)n
\gg \{\{\underline{(sx)}
,\underline{(sx)}
\}
,\{\underline{(sx)}
,\underline{(sy)}
\}
\}
 = \{\{\overline{(op1)}
,\overline{(op1)}
\}
,\{\overline{(op1)}
,\overline{(op2)}
\}
\}
; FromOrderedPair(1)
\rhd \{\{\underline{(sx)}
,\underline{(sx)}
\}
,\{\underline{(sx)}
,\underline{(sy)}
\}
\}
 = \{\{\overline{(op1)}
,\overline{(op1)}
\}
,\{\overline{(op1)}
,\overline{(op2)}
\}
\}
\gg \underline{(sx)}
 = \overline{(op1)}
; SameMember(2)
\rhd \underline{(sx)}
 = \overline{(op1)}
\rhd \overline{(op1)}
 \mathrel{\in} \underline{(sx1)}
\gg \underline{(sx)}
 \mathrel{\in} \underline{(sx1)}
; FromOrderedPair(2)
\rhd \{\{\underline{(sx)}
,\underline{(sx)}
\}
,\{\underline{(sx)}
,\underline{(sy)}
\}
\}
 = \{\{\overline{(op1)}
,\overline{(op1)}
\}
,\{\overline{(op1)}
,\overline{(op2)}
\}
\}
\gg \underline{(sy)}
 = \overline{(op2)}
; SameMember(2)
\rhd \underline{(sy)}
 = \overline{(op2)}
\rhd \overline{(op2)}
 \mathrel{\in} \underline{(sy1)}
\gg \underline{(sy)}
 \mathrel{\in} \underline{(sy1)}
; JoinConjuncts
\rhd \underline{(sx)}
 \mathrel{\in} \underline{(sx1)}
\rhd \underline{(sy)}
 \mathrel{\in} \underline{(sy1)}
\gg \dot{\neg}\,(\underline{(sx)}
 \mathrel{\in} \underline{(sx1)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\underline{(sy)}
 \mathrel{\in} \underline{(sy1)}
)n
)n
; Ded
\rhd 
\forall \underline{(sx)}
\colon 
\forall \underline{(sx1)}
\colon 
\forall \underline{(sy)}
\colon 
\forall \underline{(sy1)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\overline{(op1)}
 \mathrel{\in} \underline{(sx1)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(op2)}
 \mathrel{\in} \underline{(sy1)}
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\{\{\underline{(sx)}
,\underline{(sx)}
\}
,\{\underline{(sx)}
,\underline{(sy)}
\}
\}
 = \{\{\overline{(op1)}
,\overline{(op1)}
\}
,\{\overline{(op1)}
,\overline{(op2)}
\}
\}
)n
)n
\vdash \dot{\neg}\,(\underline{(sx)}
 \mathrel{\in} \underline{(sx1)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\underline{(sy)}
 \mathrel{\in} \underline{(sy1)}
)n
)n
\gg \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\overline{(op1)}
 \mathrel{\in} \underline{(sx1)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(op2)}
 \mathrel{\in} \underline{(sy1)}
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\{\{\underline{(sx)}
,\underline{(sx)}
\}
,\{\underline{(sx)}
,\underline{(sy)}
\}
\}
 = \{\{\overline{(op1)}
,\overline{(op1)}
\}
,\{\overline{(op1)}
,\overline{(op2)}
\}
\}
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\underline{(sx)}
 \mathrel{\in} \underline{(sx1)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\underline{(sy)}
 \mathrel{\in} \underline{(sy1)}
)n
)n
; TwiceExistMP
\rhd \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\overline{(op1)}
 \mathrel{\in} \underline{(sx1)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(op2)}
 \mathrel{\in} \underline{(sy1)}
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\{\{\underline{(sx)}
,\underline{(sx)}
\}
,\{\underline{(sx)}
,\underline{(sy)}
\}
\}
 = \{\{\overline{(op1)}
,\overline{(op1)}
\}
,\{\overline{(op1)}
,\overline{(op2)}
\}
\}
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\underline{(sx)}
 \mathrel{\in} \underline{(sx1)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\underline{(sy)}
 \mathrel{\in} \underline{(sy1)}
)n
)n
\rhd \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op1)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op2)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\overline{(op1)}
 \mathrel{\in} \underline{(sx1)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(op2)}
 \mathrel{\in} \underline{(sy1)}
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\{\{\underline{(sx)}
,\underline{(sx)}
\}
,\{\underline{(sx)}
,\underline{(sy)}
\}
\}
 = \{\{\overline{(op1)}
,\overline{(op1)}
\}
,\{\overline{(op1)}
,\overline{(op2)}
\}
\}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\gg \dot{\neg}\,(\underline{(sx)}
 \mathrel{\in} \underline{(sx1)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\underline{(sy)}
 \mathrel{\in} \underline{(sy1)}
)n
)n
\rceil 
, 
p_0
, 
\mathsf {c}
)
]$
 


$
[FromCartProd(1)
\stackrel{
stmt
}{\rightarrow}SystemQ
\vdash 
\forall \underline{(sx)}
\colon 
\forall \underline{(sx1)}
\colon 
\forall \underline{(sy)}
\colon 
\forall \underline{(sy1)}
\colon \{\{\underline{(sx)}
,\underline{(sx)}
\}
,\{\underline{(sx)}
,\underline{(sy)}
\}
\}
 \mathrel{\in}  \{ ph \mathrel{\in} P(P(Union(\{\underline{(sx1)}
,\underline{(sy1)}
\}
)
)
)
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op1)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op2)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\overline{(op1)}
 \mathrel{\in} \underline{(sx1)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(op2)}
 \mathrel{\in} \underline{(sy1)}
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\mathsf {a}
 _{Ph} 
 = \{\{\overline{(op1)}
,\overline{(op1)}
\}
,\{\overline{(op1)}
,\overline{(op2)}
\}
\}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\}
\vdash \underline{(sx)}
 \mathrel{\in} \underline{(sx1)}
]$

$
[FromCartProd(1)
\stackrel{
proof
}{\rightarrow}
\lambda 
\mathsf {c}
.
\lambda 
\mathsf{x}
.
{\cal P}( 
\lceil SystemQ
\vdash 
\forall \underline{(sx)}
\colon 
\forall \underline{(sx1)}
\colon 
\forall \underline{(sy)}
\colon 
\forall \underline{(sy1)}
\colon \{\{\underline{(sx)}
,\underline{(sx)}
\}
,\{\underline{(sx)}
,\underline{(sy)}
\}
\}
 \mathrel{\in}  \{ ph \mathrel{\in} P(P(Union(\{\underline{(sx1)}
,\underline{(sy1)}
\}
)
)
)
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op1)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op2)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\overline{(op1)}
 \mathrel{\in} \underline{(sx1)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(op2)}
 \mathrel{\in} \underline{(sy1)}
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\mathsf {a}
 _{Ph} 
 = \{\{\overline{(op1)}
,\overline{(op1)}
\}
,\{\overline{(op1)}
,\overline{(op2)}
\}
\}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\}
\vdash FromCartProd
\rhd \{\{\underline{(sx)}
,\underline{(sx)}
\}
,\{\underline{(sx)}
,\underline{(sy)}
\}
\}
 \mathrel{\in}  \{ ph \mathrel{\in} P(P(Union(\{\underline{(sx1)}
,\underline{(sy1)}
\}
)
)
)
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op1)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op2)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\overline{(op1)}
 \mathrel{\in} \underline{(sx1)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(op2)}
 \mathrel{\in} \underline{(sy1)}
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\mathsf {a}
 _{Ph} 
 = \{\{\overline{(op1)}
,\overline{(op1)}
\}
,\{\overline{(op1)}
,\overline{(op2)}
\}
\}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\}
\gg \dot{\neg}\,(\underline{(sx)}
 \mathrel{\in} \underline{(sx1)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\underline{(sy)}
 \mathrel{\in} \underline{(sy1)}
)n
)n
; FirstConjunct
\rhd \dot{\neg}\,(\underline{(sx)}
 \mathrel{\in} \underline{(sx1)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\underline{(sy)}
 \mathrel{\in} \underline{(sy1)}
)n
)n
\gg \underline{(sx)}
 \mathrel{\in} \underline{(sx1)}
\rceil 
, 
p_0
, 
\mathsf {c}
)
]$

$
[FromCartProd(2)
\stackrel{
stmt
}{\rightarrow}SystemQ
\vdash 
\forall \underline{(sx)}
\colon 
\forall \underline{(sx1)}
\colon 
\forall \underline{(sy)}
\colon 
\forall \underline{(sy1)}
\colon \{\{\underline{(sx)}
,\underline{(sx)}
\}
,\{\underline{(sx)}
,\underline{(sy)}
\}
\}
 \mathrel{\in}  \{ ph \mathrel{\in} P(P(Union(\{\underline{(sx1)}
,\underline{(sy1)}
\}
)
)
)
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op1)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op2)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\overline{(op1)}
 \mathrel{\in} \underline{(sx1)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(op2)}
 \mathrel{\in} \underline{(sy1)}
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\mathsf {a}
 _{Ph} 
 = \{\{\overline{(op1)}
,\overline{(op1)}
\}
,\{\overline{(op1)}
,\overline{(op2)}
\}
\}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\}
\vdash \underline{(sy)}
 \mathrel{\in} \underline{(sy1)}
]$

$
[FromCartProd(2)
\stackrel{
proof
}{\rightarrow}
\lambda 
\mathsf {c}
.
\lambda 
\mathsf{x}
.
{\cal P}( 
\lceil SystemQ
\vdash 
\forall \underline{(sx)}
\colon 
\forall \underline{(sx1)}
\colon 
\forall \underline{(sy)}
\colon 
\forall \underline{(sy1)}
\colon \{\{\underline{(sx)}
,\underline{(sx)}
\}
,\{\underline{(sx)}
,\underline{(sy)}
\}
\}
 \mathrel{\in}  \{ ph \mathrel{\in} P(P(Union(\{\underline{(sx1)}
,\underline{(sy1)}
\}
)
)
)
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op1)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op2)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\overline{(op1)}
 \mathrel{\in} \underline{(sx1)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(op2)}
 \mathrel{\in} \underline{(sy1)}
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\mathsf {a}
 _{Ph} 
 = \{\{\overline{(op1)}
,\overline{(op1)}
\}
,\{\overline{(op1)}
,\overline{(op2)}
\}
\}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\}
\vdash FromCartProd
\rhd \{\{\underline{(sx)}
,\underline{(sx)}
\}
,\{\underline{(sx)}
,\underline{(sy)}
\}
\}
 \mathrel{\in}  \{ ph \mathrel{\in} P(P(Union(\{\underline{(sx1)}
,\underline{(sy1)}
\}
)
)
)
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op1)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op2)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\overline{(op1)}
 \mathrel{\in} \underline{(sx1)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(op2)}
 \mathrel{\in} \underline{(sy1)}
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\mathsf {a}
 _{Ph} 
 = \{\{\overline{(op1)}
,\overline{(op1)}
\}
,\{\overline{(op1)}
,\overline{(op2)}
\}
\}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\}
\gg \dot{\neg}\,(\underline{(sx)}
 \mathrel{\in} \underline{(sx1)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\underline{(sy)}
 \mathrel{\in} \underline{(sy1)}
)n
)n
; SecondConjunct
\rhd \dot{\neg}\,(\underline{(sx)}
 \mathrel{\in} \underline{(sx1)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\underline{(sy)}
 \mathrel{\in} \underline{(sy1)}
)n
)n
\gg \underline{(sy)}
 \mathrel{\in} \underline{(sy1)}
\rceil 
, 
p_0
, 
\mathsf {c}
)
]$



$
[ValueType
\stackrel{
stmt
}{\rightarrow}SystemQ
\vdash 
\forall \underline{
\mathsf {m}}
\colon 
\forall \underline{(fx)}
\colon 
\forall \underline{(sy)}
\colon \underline{
\mathsf {m}}
 \mathrel{\in} N
\vdash \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(r1)}
\colon \overline{(r1)}
 \mathrel{\in} \underline{(fx)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op1)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op2)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\overline{(op1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(op2)}
 \mathrel{\in} \underline{(sy)}
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(r1)}
 = \{\{\overline{(op1)}
,\overline{(op1)}
\}
,\{\overline{(op1)}
,\overline{(op2)}
\}
\}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(f1)}
\colon 
\forall_{obj} \overline{(f2)}
\colon 
\forall_{obj} \overline{(f3)}
\colon 
\forall_{obj} \overline{(f4)}
\colon \{\{\overline{(f1)}
,\overline{(f1)}
\}
,\{\overline{(f1)}
,\overline{(f2)}
\}
\}
 \mathrel{\in} \underline{(fx)}
\Rightarrow \{\{\overline{(f3)}
,\overline{(f3)}
\}
,\{\overline{(f3)}
,\overline{(f4)}
\}
\}
 \mathrel{\in} \underline{(fx)}
\Rightarrow \overline{(f1)}
 = \overline{(f3)}
\Rightarrow \overline{(f2)}
 = \overline{(f4)}
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(s1)}
\colon \overline{(s1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(s2)}
\colon \dot{\neg}\,(\{\{\overline{(s1)}
,\overline{(s1)}
\}
,\{\overline{(s1)}
,\overline{(s2)}
\}
\}
 \mathrel{\in} \underline{(fx)}
)n
)n
)n
)n
\vdash \underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
 \mathrel{\in} \underline{(sy)}
]$

$
[ValueType
\stackrel{
proof
}{\rightarrow}
\lambda 
\mathsf {c}
.
\lambda 
\mathsf{x}
.
{\cal P}( 
\lceil SystemQ
\vdash 
\forall \underline{
\mathsf {m}}
\colon 
\forall \underline{(fx)}
\colon 
\forall \underline{(sy)}
\colon \underline{
\mathsf {m}}
 \mathrel{\in} N
\vdash \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(r1)}
\colon \overline{(r1)}
 \mathrel{\in} \underline{(fx)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op1)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op2)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\overline{(op1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(op2)}
 \mathrel{\in} \underline{(sy)}
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(r1)}
 = \{\{\overline{(op1)}
,\overline{(op1)}
\}
,\{\overline{(op1)}
,\overline{(op2)}
\}
\}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(f1)}
\colon 
\forall_{obj} \overline{(f2)}
\colon 
\forall_{obj} \overline{(f3)}
\colon 
\forall_{obj} \overline{(f4)}
\colon \{\{\overline{(f1)}
,\overline{(f1)}
\}
,\{\overline{(f1)}
,\overline{(f2)}
\}
\}
 \mathrel{\in} \underline{(fx)}
\Rightarrow \{\{\overline{(f3)}
,\overline{(f3)}
\}
,\{\overline{(f3)}
,\overline{(f4)}
\}
\}
 \mathrel{\in} \underline{(fx)}
\Rightarrow \overline{(f1)}
 = \overline{(f3)}
\Rightarrow \overline{(f2)}
 = \overline{(f4)}
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(s1)}
\colon \overline{(s1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(s2)}
\colon \dot{\neg}\,(\{\{\overline{(s1)}
,\overline{(s1)}
\}
,\{\overline{(s1)}
,\overline{(s2)}
\}
\}
 \mathrel{\in} \underline{(fx)}
)n
)n
)n
)n
\vdash MemberOfSeries
\rhd \underline{
\mathsf {m}}
 \mathrel{\in} N
\rhd \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(r1)}
\colon \overline{(r1)}
 \mathrel{\in} \underline{(fx)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op1)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op2)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\overline{(op1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(op2)}
 \mathrel{\in} \underline{(sy)}
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(r1)}
 = \{\{\overline{(op1)}
,\overline{(op1)}
\}
,\{\overline{(op1)}
,\overline{(op2)}
\}
\}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(f1)}
\colon 
\forall_{obj} \overline{(f2)}
\colon 
\forall_{obj} \overline{(f3)}
\colon 
\forall_{obj} \overline{(f4)}
\colon \{\{\overline{(f1)}
,\overline{(f1)}
\}
,\{\overline{(f1)}
,\overline{(f2)}
\}
\}
 \mathrel{\in} \underline{(fx)}
\Rightarrow \{\{\overline{(f3)}
,\overline{(f3)}
\}
,\{\overline{(f3)}
,\overline{(f4)}
\}
\}
 \mathrel{\in} \underline{(fx)}
\Rightarrow \overline{(f1)}
 = \overline{(f3)}
\Rightarrow \overline{(f2)}
 = \overline{(f4)}
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(s1)}
\colon \overline{(s1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(s2)}
\colon \dot{\neg}\,(\{\{\overline{(s1)}
,\overline{(s1)}
\}
,\{\overline{(s1)}
,\overline{(s2)}
\}
\}
 \mathrel{\in} \underline{(fx)}
)n
)n
)n
)n
\gg \{\{\underline{
\mathsf {m}}
,\underline{
\mathsf {m}}
\}
,\{\underline{
\mathsf {m}}
,\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
\}
\}
 \mathrel{\in} \underline{(fx)}
; SeriesSubsetCP
\rhd \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(r1)}
\colon \overline{(r1)}
 \mathrel{\in} \underline{(fx)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op1)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op2)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\overline{(op1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(op2)}
 \mathrel{\in} \underline{(sy)}
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(r1)}
 = \{\{\overline{(op1)}
,\overline{(op1)}
\}
,\{\overline{(op1)}
,\overline{(op2)}
\}
\}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(f1)}
\colon 
\forall_{obj} \overline{(f2)}
\colon 
\forall_{obj} \overline{(f3)}
\colon 
\forall_{obj} \overline{(f4)}
\colon \{\{\overline{(f1)}
,\overline{(f1)}
\}
,\{\overline{(f1)}
,\overline{(f2)}
\}
\}
 \mathrel{\in} \underline{(fx)}
\Rightarrow \{\{\overline{(f3)}
,\overline{(f3)}
\}
,\{\overline{(f3)}
,\overline{(f4)}
\}
\}
 \mathrel{\in} \underline{(fx)}
\Rightarrow \overline{(f1)}
 = \overline{(f3)}
\Rightarrow \overline{(f2)}
 = \overline{(f4)}
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(s1)}
\colon \overline{(s1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(s2)}
\colon \dot{\neg}\,(\{\{\overline{(s1)}
,\overline{(s1)}
\}
,\{\overline{(s1)}
,\overline{(s2)}
\}
\}
 \mathrel{\in} \underline{(fx)}
)n
)n
)n
)n
\gg 
\forall_{obj} \overline{(s1)}
\colon \overline{(s1)}
 \mathrel{\in} \underline{(fx)}
\Rightarrow \overline{(s1)}
 \mathrel{\in}  \{ ph \mathrel{\in} P(P(Union(\{N
,\underline{(sy)}
\}
)
)
)
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op1)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op2)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\overline{(op1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(op2)}
 \mathrel{\in} \underline{(sy)}
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\mathsf {a}
 _{Ph} 
 = \{\{\overline{(op1)}
,\overline{(op1)}
\}
,\{\overline{(op1)}
,\overline{(op2)}
\}
\}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\}
; FromSubset
\rhd 
\forall_{obj} \overline{(s1)}
\colon \overline{(s1)}
 \mathrel{\in} \underline{(fx)}
\Rightarrow \overline{(s1)}
 \mathrel{\in}  \{ ph \mathrel{\in} P(P(Union(\{N
,\underline{(sy)}
\}
)
)
)
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op1)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op2)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\overline{(op1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(op2)}
 \mathrel{\in} \underline{(sy)}
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\mathsf {a}
 _{Ph} 
 = \{\{\overline{(op1)}
,\overline{(op1)}
\}
,\{\overline{(op1)}
,\overline{(op2)}
\}
\}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\}
\rhd \{\{\underline{
\mathsf {m}}
,\underline{
\mathsf {m}}
\}
,\{\underline{
\mathsf {m}}
,\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
\}
\}
 \mathrel{\in} \underline{(fx)}
\gg \{\{\underline{
\mathsf {m}}
,\underline{
\mathsf {m}}
\}
,\{\underline{
\mathsf {m}}
,\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
\}
\}
 \mathrel{\in}  \{ ph \mathrel{\in} P(P(Union(\{N
,\underline{(sy)}
\}
)
)
)
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op1)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op2)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\overline{(op1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(op2)}
 \mathrel{\in} \underline{(sy)}
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\mathsf {a}
 _{Ph} 
 = \{\{\overline{(op1)}
,\overline{(op1)}
\}
,\{\overline{(op1)}
,\overline{(op2)}
\}
\}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\}
; FromCartProd(2)
\rhd \{\{\underline{
\mathsf {m}}
,\underline{
\mathsf {m}}
\}
,\{\underline{
\mathsf {m}}
,\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
\}
\}
 \mathrel{\in}  \{ ph \mathrel{\in} P(P(Union(\{N
,\underline{(sy)}
\}
)
)
)
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op1)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op2)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\overline{(op1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(op2)}
 \mathrel{\in} \underline{(sy)}
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\mathsf {a}
 _{Ph} 
 = \{\{\overline{(op1)}
,\overline{(op1)}
\}
,\{\overline{(op1)}
,\overline{(op2)}
\}
\}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\}
\gg \underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
 \mathrel{\in} \underline{(sy)}
\rceil 
, 
p_0
, 
\mathsf {c}
)
]$

$
[productIsFunction
\stackrel{
stmt
}{\rightarrow}SystemQ
\vdash 
\forall \underline{(m1)}
\colon 
\forall \underline{(m2)}
\colon 
\forall \underline{(fx)}
\colon 
\forall \underline{(fy)}
\colon 
\forall_{obj} \overline{(f1)}
\colon 
\forall_{obj} \overline{(f2)}
\colon 
\forall_{obj} \overline{(f3)}
\colon 
\forall_{obj} \overline{(f4)}
\colon \{\{\overline{(f1)}
,\overline{(f1)}
\}
,\{\overline{(f1)}
,\overline{(f2)}
\}
\}
 \mathrel{\in}  \{ ph \mathrel{\in}  \{ ph \mathrel{\in} P(P(Union(\{N
,Q
\}
)
)
)
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op1)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op2)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\overline{(op1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(op2)}
 \mathrel{\in} Q
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\mathsf {a}
 _{Ph} 
 = \{\{\overline{(op1)}
,\overline{(op1)}
\}
,\{\overline{(op1)}
,\overline{(op2)}
\}
\}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\}
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \underline{
\mathsf {m}}
\colon \dot{\neg}\,(
\mathsf {e}
 _{Ph} 
 = \{\{\underline{
\mathsf {m}}
,\underline{
\mathsf {m}}
\}
,\{\underline{
\mathsf {m}}
,(\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
*\underline{(fy)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
)
\}
\}
)n
)n
\}
\Rightarrow \{\{\overline{(f3)}
,\overline{(f3)}
\}
,\{\overline{(f3)}
,\overline{(f4)}
\}
\}
 \mathrel{\in}  \{ ph \mathrel{\in}  \{ ph \mathrel{\in} P(P(Union(\{N
,Q
\}
)
)
)
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op1)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op2)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\overline{(op1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(op2)}
 \mathrel{\in} Q
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\mathsf {a}
 _{Ph} 
 = \{\{\overline{(op1)}
,\overline{(op1)}
\}
,\{\overline{(op1)}
,\overline{(op2)}
\}
\}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\}
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \underline{
\mathsf {m}}
\colon \dot{\neg}\,(
\mathsf {e}
 _{Ph} 
 = \{\{\underline{
\mathsf {m}}
,\underline{
\mathsf {m}}
\}
,\{\underline{
\mathsf {m}}
,(\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
*\underline{(fy)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
)
\}
\}
)n
)n
\}
\Rightarrow \overline{(f1)}
 = \overline{(f3)}
\Rightarrow \overline{(f2)}
 = \overline{(f4)}
]$

$
[productIsFunction
\stackrel{
proof
}{\rightarrow}
\lambda 
\mathsf {c}
.
\lambda 
\mathsf{x}
.
{\cal P}( 
\lceil SystemQ
\vdash 
\forall \underline{(m1)}
\colon 
\forall \underline{(m2)}
\colon 
\forall \underline{(fx)}
\colon 
\forall \underline{(fy)}
\colon \overline{(f1)}
 = \overline{(f3)}
\vdash \{\{\overline{(f1)}
,\overline{(f1)}
\}
,\{\overline{(f1)}
,\overline{(f2)}
\}
\}
 = \{\{\underline{(m1)}
,\underline{(m1)}
\}
,\{\underline{(m1)}
,(\underline{(fx)}
[\underline{(m1)}
]
*\underline{(fy)}
[\underline{(m1)}
]
)
\}
\}
\vdash \{\{\overline{(f3)}
,\overline{(f3)}
\}
,\{\overline{(f3)}
,\overline{(f4)}
\}
\}
 = \{\{\underline{(m2)}
,\underline{(m2)}
\}
,\{\underline{(m2)}
,(\underline{(fx)}
[\underline{(m2)}
]
*\underline{(fy)}
[\underline{(m2)}
]
)
\}
\}
\vdash FromOrderedPair(1)
\rhd \{\{\overline{(f1)}
,\overline{(f1)}
\}
,\{\overline{(f1)}
,\overline{(f2)}
\}
\}
 = \{\{\underline{(m1)}
,\underline{(m1)}
\}
,\{\underline{(m1)}
,(\underline{(fx)}
[\underline{(m1)}
]
*\underline{(fy)}
[\underline{(m1)}
]
)
\}
\}
\gg \overline{(f1)}
 = \underline{(m1)}
; eqSymmetry
\rhd \overline{(f1)}
 = \underline{(m1)}
\gg \underline{(m1)}
 = \overline{(f1)}
; FromOrderedPair(1)
\rhd \{\{\overline{(f3)}
,\overline{(f3)}
\}
,\{\overline{(f3)}
,\overline{(f4)}
\}
\}
 = \{\{\underline{(m2)}
,\underline{(m2)}
\}
,\{\underline{(m2)}
,(\underline{(fx)}
[\underline{(m2)}
]
*\underline{(fy)}
[\underline{(m2)}
]
)
\}
\}
\gg \overline{(f3)}
 = \underline{(m2)}
; eqTransitivity4
\rhd \underline{(m1)}
 = \overline{(f1)}
\rhd \overline{(f1)}
 = \overline{(f3)}
\rhd \overline{(f3)}
 = \underline{(m2)}
\gg \underline{(m1)}
 = \underline{(m2)}
; SameSeries
\rhd \underline{(m1)}
 = \underline{(m2)}
\gg \underline{(fx)}
[\underline{(m1)}
]
 = \underline{(fx)}
[\underline{(m2)}
]
; SameSeries
\rhd \underline{(m1)}
 = \underline{(m2)}
\gg \underline{(fy)}
[\underline{(m1)}
]
 = \underline{(fy)}
[\underline{(m2)}
]
; MultiplyEquations
\rhd \underline{(fx)}
[\underline{(m1)}
]
 = \underline{(fx)}
[\underline{(m2)}
]
\rhd \underline{(fy)}
[\underline{(m1)}
]
 = \underline{(fy)}
[\underline{(m2)}
]
\gg (\underline{(fx)}
[\underline{(m1)}
]
*\underline{(fy)}
[\underline{(m1)}
]
)
 = (\underline{(fx)}
[\underline{(m2)}
]
*\underline{(fy)}
[\underline{(m2)}
]
)
; FromOrderedPair(2)
\rhd \{\{\overline{(f1)}
,\overline{(f1)}
\}
,\{\overline{(f1)}
,\overline{(f2)}
\}
\}
 = \{\{\underline{(m1)}
,\underline{(m1)}
\}
,\{\underline{(m1)}
,(\underline{(fx)}
[\underline{(m1)}
]
*\underline{(fy)}
[\underline{(m1)}
]
)
\}
\}
\gg \overline{(f2)}
 = (\underline{(fx)}
[\underline{(m1)}
]
*\underline{(fy)}
[\underline{(m1)}
]
)
; FromOrderedPair(2)
\rhd \{\{\overline{(f3)}
,\overline{(f3)}
\}
,\{\overline{(f3)}
,\overline{(f4)}
\}
\}
 = \{\{\underline{(m2)}
,\underline{(m2)}
\}
,\{\underline{(m2)}
,(\underline{(fx)}
[\underline{(m2)}
]
*\underline{(fy)}
[\underline{(m2)}
]
)
\}
\}
\gg \overline{(f4)}
 = (\underline{(fx)}
[\underline{(m2)}
]
*\underline{(fy)}
[\underline{(m2)}
]
)
; eqSymmetry
\rhd \overline{(f4)}
 = (\underline{(fx)}
[\underline{(m2)}
]
*\underline{(fy)}
[\underline{(m2)}
]
)
\gg (\underline{(fx)}
[\underline{(m2)}
]
*\underline{(fy)}
[\underline{(m2)}
]
)
 = \overline{(f4)}
; eqTransitivity4
\rhd \overline{(f2)}
 = (\underline{(fx)}
[\underline{(m1)}
]
*\underline{(fy)}
[\underline{(m1)}
]
)
\rhd (\underline{(fx)}
[\underline{(m1)}
]
*\underline{(fy)}
[\underline{(m1)}
]
)
 = (\underline{(fx)}
[\underline{(m2)}
]
*\underline{(fy)}
[\underline{(m2)}
]
)
\rhd (\underline{(fx)}
[\underline{(m2)}
]
*\underline{(fy)}
[\underline{(m2)}
]
)
 = \overline{(f4)}
\gg \overline{(f2)}
 = \overline{(f4)}
; 
\forall \underline{(m1)}
\colon 
\forall \underline{(m2)}
\colon 
\forall \underline{(fx)}
\colon 
\forall \underline{(fy)}
\colon Ded
\rhd 
\forall \underline{(m1)}
\colon 
\forall \underline{(m2)}
\colon 
\forall \underline{(fx)}
\colon 
\forall \underline{(fy)}
\colon \overline{(f1)}
 = \overline{(f3)}
\vdash \{\{\overline{(f1)}
,\overline{(f1)}
\}
,\{\overline{(f1)}
,\overline{(f2)}
\}
\}
 = \{\{\underline{(m1)}
,\underline{(m1)}
\}
,\{\underline{(m1)}
,(\underline{(fx)}
[\underline{(m1)}
]
*\underline{(fy)}
[\underline{(m1)}
]
)
\}
\}
\vdash \{\{\overline{(f3)}
,\overline{(f3)}
\}
,\{\overline{(f3)}
,\overline{(f4)}
\}
\}
 = \{\{\underline{(m2)}
,\underline{(m2)}
\}
,\{\underline{(m2)}
,(\underline{(fx)}
[\underline{(m2)}
]
*\underline{(fy)}
[\underline{(m2)}
]
)
\}
\}
\vdash \overline{(f2)}
 = \overline{(f4)}
\gg 
\forall_{obj} \overline{(f1)}
\colon 
\forall_{obj} \overline{(f2)}
\colon 
\forall_{obj} \overline{(f3)}
\colon 
\forall_{obj} \overline{(f4)}
\colon \{\{\overline{(f1)}
,\overline{(f1)}
\}
,\{\overline{(f1)}
,\overline{(f2)}
\}
\}
 \mathrel{\in}  \{ ph \mathrel{\in}  \{ ph \mathrel{\in} P(P(Union(\{N
,Q
\}
)
)
)
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op1)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op2)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\overline{(op1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(op2)}
 \mathrel{\in} Q
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\mathsf {a}
 _{Ph} 
 = \{\{\overline{(op1)}
,\overline{(op1)}
\}
,\{\overline{(op1)}
,\overline{(op2)}
\}
\}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\}
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \underline{
\mathsf {m}}
\colon \dot{\neg}\,(
\mathsf {e}
 _{Ph} 
 = \{\{\underline{
\mathsf {m}}
,\underline{
\mathsf {m}}
\}
,\{\underline{
\mathsf {m}}
,(\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
*\underline{(fy)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
)
\}
\}
)n
)n
\}
\Rightarrow \{\{\overline{(f3)}
,\overline{(f3)}
\}
,\{\overline{(f3)}
,\overline{(f4)}
\}
\}
 \mathrel{\in}  \{ ph \mathrel{\in}  \{ ph \mathrel{\in} P(P(Union(\{N
,Q
\}
)
)
)
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op1)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op2)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\overline{(op1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(op2)}
 \mathrel{\in} Q
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\mathsf {a}
 _{Ph} 
 = \{\{\overline{(op1)}
,\overline{(op1)}
\}
,\{\overline{(op1)}
,\overline{(op2)}
\}
\}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\}
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \underline{
\mathsf {m}}
\colon \dot{\neg}\,(
\mathsf {e}
 _{Ph} 
 = \{\{\underline{
\mathsf {m}}
,\underline{
\mathsf {m}}
\}
,\{\underline{
\mathsf {m}}
,(\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
*\underline{(fy)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
)
\}
\}
)n
)n
\}
\Rightarrow \overline{(f1)}
 = \overline{(f3)}
\Rightarrow \overline{(f2)}
 = \overline{(f4)}
\rceil 
, 
p_0
, 
\mathsf {c}
)
]$

$
[productIsTotal
\stackrel{
stmt
}{\rightarrow}SystemQ
\vdash 
\forall \underline{
\mathsf {m}}
\colon 
\forall \underline{(fx)}
\colon 
\forall \underline{(fy)}
\colon 
\forall_{obj} \overline{(s1)}
\colon \overline{(s1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(s2)}
\colon \dot{\neg}\,(\{\{\overline{(s1)}
,\overline{(s1)}
\}
,\{\overline{(s1)}
,\overline{(s2)}
\}
\}
 \mathrel{\in}  \{ ph \mathrel{\in}  \{ ph \mathrel{\in} P(P(Union(\{N
,Q
\}
)
)
)
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op1)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op2)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\overline{(op1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(op2)}
 \mathrel{\in} Q
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\mathsf {a}
 _{Ph} 
 = \{\{\overline{(op1)}
,\overline{(op1)}
\}
,\{\overline{(op1)}
,\overline{(op2)}
\}
\}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\}
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \underline{
\mathsf {m}}
\colon \dot{\neg}\,(
\mathsf {e}
 _{Ph} 
 = \{\{\underline{
\mathsf {m}}
,\underline{
\mathsf {m}}
\}
,\{\underline{
\mathsf {m}}
,(\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
*\underline{(fy)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
)
\}
\}
)n
)n
\}
)n
)n
]$

$
[productIsTotal
\stackrel{
proof
}{\rightarrow}
\lambda 
\mathsf {c}
.
\lambda 
\mathsf{x}
.
{\cal P}( 
\lceil SystemQ
\vdash 
\forall \underline{
\mathsf {m}}
\colon 
\forall \underline{(fx)}
\colon 
\forall \underline{(fy)}
\colon \overline{(s1)}
 \mathrel{\in} N
\vdash SeriesType
\gg \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(r1)}
\colon \overline{(r1)}
 \mathrel{\in} \underline{(fx)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op1)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op2)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\overline{(op1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(op2)}
 \mathrel{\in} Q
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(r1)}
 = \{\{\overline{(op1)}
,\overline{(op1)}
\}
,\{\overline{(op1)}
,\overline{(op2)}
\}
\}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(f1)}
\colon 
\forall_{obj} \overline{(f2)}
\colon 
\forall_{obj} \overline{(f3)}
\colon 
\forall_{obj} \overline{(f4)}
\colon \{\{\overline{(f1)}
,\overline{(f1)}
\}
,\{\overline{(f1)}
,\overline{(f2)}
\}
\}
 \mathrel{\in} \underline{(fx)}
\Rightarrow \{\{\overline{(f3)}
,\overline{(f3)}
\}
,\{\overline{(f3)}
,\overline{(f4)}
\}
\}
 \mathrel{\in} \underline{(fx)}
\Rightarrow \overline{(f1)}
 = \overline{(f3)}
\Rightarrow \overline{(f2)}
 = \overline{(f4)}
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(s1)}
\colon \overline{(s1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(s2)}
\colon \dot{\neg}\,(\{\{\overline{(s1)}
,\overline{(s1)}
\}
,\{\overline{(s1)}
,\overline{(s2)}
\}
\}
 \mathrel{\in} \underline{(fx)}
)n
)n
)n
)n
; SeriesType
\gg \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(r1)}
\colon \overline{(r1)}
 \mathrel{\in} \underline{(fy)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op1)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op2)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\overline{(op1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(op2)}
 \mathrel{\in} Q
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(r1)}
 = \{\{\overline{(op1)}
,\overline{(op1)}
\}
,\{\overline{(op1)}
,\overline{(op2)}
\}
\}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(f1)}
\colon 
\forall_{obj} \overline{(f2)}
\colon 
\forall_{obj} \overline{(f3)}
\colon 
\forall_{obj} \overline{(f4)}
\colon \{\{\overline{(f1)}
,\overline{(f1)}
\}
,\{\overline{(f1)}
,\overline{(f2)}
\}
\}
 \mathrel{\in} \underline{(fy)}
\Rightarrow \{\{\overline{(f3)}
,\overline{(f3)}
\}
,\{\overline{(f3)}
,\overline{(f4)}
\}
\}
 \mathrel{\in} \underline{(fy)}
\Rightarrow \overline{(f1)}
 = \overline{(f3)}
\Rightarrow \overline{(f2)}
 = \overline{(f4)}
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(s1)}
\colon \overline{(s1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(s2)}
\colon \dot{\neg}\,(\{\{\overline{(s1)}
,\overline{(s1)}
\}
,\{\overline{(s1)}
,\overline{(s2)}
\}
\}
 \mathrel{\in} \underline{(fy)}
)n
)n
)n
)n
; ValueType
\rhd \overline{(s1)}
 \mathrel{\in} N
\rhd \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(r1)}
\colon \overline{(r1)}
 \mathrel{\in} \underline{(fx)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op1)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op2)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\overline{(op1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(op2)}
 \mathrel{\in} Q
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(r1)}
 = \{\{\overline{(op1)}
,\overline{(op1)}
\}
,\{\overline{(op1)}
,\overline{(op2)}
\}
\}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(f1)}
\colon 
\forall_{obj} \overline{(f2)}
\colon 
\forall_{obj} \overline{(f3)}
\colon 
\forall_{obj} \overline{(f4)}
\colon \{\{\overline{(f1)}
,\overline{(f1)}
\}
,\{\overline{(f1)}
,\overline{(f2)}
\}
\}
 \mathrel{\in} \underline{(fx)}
\Rightarrow \{\{\overline{(f3)}
,\overline{(f3)}
\}
,\{\overline{(f3)}
,\overline{(f4)}
\}
\}
 \mathrel{\in} \underline{(fx)}
\Rightarrow \overline{(f1)}
 = \overline{(f3)}
\Rightarrow \overline{(f2)}
 = \overline{(f4)}
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(s1)}
\colon \overline{(s1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(s2)}
\colon \dot{\neg}\,(\{\{\overline{(s1)}
,\overline{(s1)}
\}
,\{\overline{(s1)}
,\overline{(s2)}
\}
\}
 \mathrel{\in} \underline{(fx)}
)n
)n
)n
)n
\gg \underline{(fx)}
[\overline{(s1)}
]
 \mathrel{\in} Q
; ValueType
\rhd \overline{(s1)}
 \mathrel{\in} N
\rhd \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(r1)}
\colon \overline{(r1)}
 \mathrel{\in} \underline{(fy)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op1)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op2)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\overline{(op1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(op2)}
 \mathrel{\in} Q
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(r1)}
 = \{\{\overline{(op1)}
,\overline{(op1)}
\}
,\{\overline{(op1)}
,\overline{(op2)}
\}
\}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(f1)}
\colon 
\forall_{obj} \overline{(f2)}
\colon 
\forall_{obj} \overline{(f3)}
\colon 
\forall_{obj} \overline{(f4)}
\colon \{\{\overline{(f1)}
,\overline{(f1)}
\}
,\{\overline{(f1)}
,\overline{(f2)}
\}
\}
 \mathrel{\in} \underline{(fy)}
\Rightarrow \{\{\overline{(f3)}
,\overline{(f3)}
\}
,\{\overline{(f3)}
,\overline{(f4)}
\}
\}
 \mathrel{\in} \underline{(fy)}
\Rightarrow \overline{(f1)}
 = \overline{(f3)}
\Rightarrow \overline{(f2)}
 = \overline{(f4)}
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(s1)}
\colon \overline{(s1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(s2)}
\colon \dot{\neg}\,(\{\{\overline{(s1)}
,\overline{(s1)}
\}
,\{\overline{(s1)}
,\overline{(s2)}
\}
\}
 \mathrel{\in} \underline{(fy)}
)n
)n
)n
)n
\gg \underline{(fy)}
[\overline{(s1)}
]
 \mathrel{\in} Q
; Qclosed(Multiplication)
\rhd \underline{(fx)}
[\overline{(s1)}
]
 \mathrel{\in} Q
\rhd \underline{(fy)}
[\overline{(s1)}
]
 \mathrel{\in} Q
\gg (\underline{(fx)}
[\overline{(s1)}
]
*\underline{(fy)}
[\overline{(s1)}
]
)
 \mathrel{\in} Q
; ToCartProd
\rhd \overline{(s1)}
 \mathrel{\in} N
\rhd (\underline{(fx)}
[\overline{(s1)}
]
*\underline{(fy)}
[\overline{(s1)}
]
)
 \mathrel{\in} Q
\gg \{\{\overline{(s1)}
,\overline{(s1)}
\}
,\{\overline{(s1)}
,(\underline{(fx)}
[\overline{(s1)}
]
*\underline{(fy)}
[\overline{(s1)}
]
)
\}
\}
 \mathrel{\in}  \{ ph \mathrel{\in} P(P(Union(\{N
,Q
\}
)
)
)
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op1)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op2)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\overline{(op1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(op2)}
 \mathrel{\in} Q
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\mathsf {a}
 _{Ph} 
 = \{\{\overline{(op1)}
,\overline{(op1)}
\}
,\{\overline{(op1)}
,\overline{(op2)}
\}
\}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\}
; eqReflexivity
\gg \{\{\overline{(s1)}
,\overline{(s1)}
\}
,\{\overline{(s1)}
,(\underline{(fx)}
[\overline{(s1)}
]
*\underline{(fy)}
[\overline{(s1)}
]
)
\}
\}
 = \{\{\overline{(s1)}
,\overline{(s1)}
\}
,\{\overline{(s1)}
,(\underline{(fx)}
[\overline{(s1)}
]
*\underline{(fy)}
[\overline{(s1)}
]
)
\}
\}
; IntroExist
\mathop {\char64} \overline{(s1)}
\rhd \{\{\overline{(s1)}
,\overline{(s1)}
\}
,\{\overline{(s1)}
,(\underline{(fx)}
[\overline{(s1)}
]
*\underline{(fy)}
[\overline{(s1)}
]
)
\}
\}
 = \{\{\overline{(s1)}
,\overline{(s1)}
\}
,\{\overline{(s1)}
,(\underline{(fx)}
[\overline{(s1)}
]
*\underline{(fy)}
[\overline{(s1)}
]
)
\}
\}
\gg \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \underline{
\mathsf {m}}
\colon \dot{\neg}\,(\{\{\overline{(s1)}
,\overline{(s1)}
\}
,\{\overline{(s1)}
,(\underline{(fx)}
[\overline{(s1)}
]
*\underline{(fy)}
[\overline{(s1)}
]
)
\}
\}
 = \{\{\underline{
\mathsf {m}}
,\underline{
\mathsf {m}}
\}
,\{\underline{
\mathsf {m}}
,(\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
*\underline{(fy)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
)
\}
\}
)n
)n
; Formula2Sep
\rhd \{\{\overline{(s1)}
,\overline{(s1)}
\}
,\{\overline{(s1)}
,(\underline{(fx)}
[\overline{(s1)}
]
*\underline{(fy)}
[\overline{(s1)}
]
)
\}
\}
 \mathrel{\in}  \{ ph \mathrel{\in} P(P(Union(\{N
,Q
\}
)
)
)
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op1)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op2)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\overline{(op1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(op2)}
 \mathrel{\in} Q
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\mathsf {a}
 _{Ph} 
 = \{\{\overline{(op1)}
,\overline{(op1)}
\}
,\{\overline{(op1)}
,\overline{(op2)}
\}
\}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\}
\rhd \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \underline{
\mathsf {m}}
\colon \dot{\neg}\,(\{\{\overline{(s1)}
,\overline{(s1)}
\}
,\{\overline{(s1)}
,(\underline{(fx)}
[\overline{(s1)}
]
*\underline{(fy)}
[\overline{(s1)}
]
)
\}
\}
 = \{\{\underline{
\mathsf {m}}
,\underline{
\mathsf {m}}
\}
,\{\underline{
\mathsf {m}}
,(\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
*\underline{(fy)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
)
\}
\}
)n
)n
\gg \{\{\overline{(s1)}
,\overline{(s1)}
\}
,\{\overline{(s1)}
,(\underline{(fx)}
[\overline{(s1)}
]
*\underline{(fy)}
[\overline{(s1)}
]
)
\}
\}
 \mathrel{\in}  \{ ph \mathrel{\in}  \{ ph \mathrel{\in} P(P(Union(\{N
,Q
\}
)
)
)
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op1)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op2)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\overline{(op1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(op2)}
 \mathrel{\in} Q
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\mathsf {a}
 _{Ph} 
 = \{\{\overline{(op1)}
,\overline{(op1)}
\}
,\{\overline{(op1)}
,\overline{(op2)}
\}
\}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\}
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \underline{
\mathsf {m}}
\colon \dot{\neg}\,(
\mathsf {e}
 _{Ph} 
 = \{\{\underline{
\mathsf {m}}
,\underline{
\mathsf {m}}
\}
,\{\underline{
\mathsf {m}}
,(\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
*\underline{(fy)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
)
\}
\}
)n
)n
\}
; Repetition
\rhd \{\{\overline{(s1)}
,\overline{(s1)}
\}
,\{\overline{(s1)}
,(\underline{(fx)}
[\overline{(s1)}
]
*\underline{(fy)}
[\overline{(s1)}
]
)
\}
\}
 \mathrel{\in}  \{ ph \mathrel{\in}  \{ ph \mathrel{\in} P(P(Union(\{N
,Q
\}
)
)
)
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op1)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op2)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\overline{(op1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(op2)}
 \mathrel{\in} Q
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\mathsf {a}
 _{Ph} 
 = \{\{\overline{(op1)}
,\overline{(op1)}
\}
,\{\overline{(op1)}
,\overline{(op2)}
\}
\}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\}
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \underline{
\mathsf {m}}
\colon \dot{\neg}\,(
\mathsf {e}
 _{Ph} 
 = \{\{\underline{
\mathsf {m}}
,\underline{
\mathsf {m}}
\}
,\{\underline{
\mathsf {m}}
,(\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
*\underline{(fy)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
)
\}
\}
)n
)n
\}
\gg \{\{\overline{(s1)}
,\overline{(s1)}
\}
,\{\overline{(s1)}
,(\underline{(fx)}
[\overline{(s1)}
]
*\underline{(fy)}
[\overline{(s1)}
]
)
\}
\}
 \mathrel{\in}  \{ ph \mathrel{\in}  \{ ph \mathrel{\in} P(P(Union(\{N
,Q
\}
)
)
)
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op1)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op2)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\overline{(op1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(op2)}
 \mathrel{\in} Q
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\mathsf {a}
 _{Ph} 
 = \{\{\overline{(op1)}
,\overline{(op1)}
\}
,\{\overline{(op1)}
,\overline{(op2)}
\}
\}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\}
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \underline{
\mathsf {m}}
\colon \dot{\neg}\,(
\mathsf {e}
 _{Ph} 
 = \{\{\underline{
\mathsf {m}}
,\underline{
\mathsf {m}}
\}
,\{\underline{
\mathsf {m}}
,(\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
*\underline{(fy)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
)
\}
\}
)n
)n
\}
; IntroExist
\mathop {\char64} (\underline{(fx)}
[\overline{(s1)}
]
*\underline{(fy)}
[\overline{(s1)}
]
)
\rhd \{\{\overline{(s1)}
,\overline{(s1)}
\}
,\{\overline{(s1)}
,(\underline{(fx)}
[\overline{(s1)}
]
*\underline{(fy)}
[\overline{(s1)}
]
)
\}
\}
 \mathrel{\in}  \{ ph \mathrel{\in}  \{ ph \mathrel{\in} P(P(Union(\{N
,Q
\}
)
)
)
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op1)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op2)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\overline{(op1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(op2)}
 \mathrel{\in} Q
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\mathsf {a}
 _{Ph} 
 = \{\{\overline{(op1)}
,\overline{(op1)}
\}
,\{\overline{(op1)}
,\overline{(op2)}
\}
\}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\}
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \underline{
\mathsf {m}}
\colon \dot{\neg}\,(
\mathsf {e}
 _{Ph} 
 = \{\{\underline{
\mathsf {m}}
,\underline{
\mathsf {m}}
\}
,\{\underline{
\mathsf {m}}
,(\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
*\underline{(fy)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
)
\}
\}
)n
)n
\}
\gg \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(s2)}
\colon \dot{\neg}\,(\{\{\overline{(s1)}
,\overline{(s1)}
\}
,\{\overline{(s1)}
,\overline{(s2)}
\}
\}
 \mathrel{\in}  \{ ph \mathrel{\in}  \{ ph \mathrel{\in} P(P(Union(\{N
,Q
\}
)
)
)
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op1)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op2)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\overline{(op1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(op2)}
 \mathrel{\in} Q
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\mathsf {a}
 _{Ph} 
 = \{\{\overline{(op1)}
,\overline{(op1)}
\}
,\{\overline{(op1)}
,\overline{(op2)}
\}
\}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\}
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \underline{
\mathsf {m}}
\colon \dot{\neg}\,(
\mathsf {e}
 _{Ph} 
 = \{\{\underline{
\mathsf {m}}
,\underline{
\mathsf {m}}
\}
,\{\underline{
\mathsf {m}}
,(\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
*\underline{(fy)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
)
\}
\}
)n
)n
\}
)n
)n
; 
\forall \underline{
\mathsf {m}}
\colon 
\forall \underline{(fx)}
\colon 
\forall \underline{(fy)}
\colon Ded
\rhd 
\forall \underline{
\mathsf {m}}
\colon 
\forall \underline{(fx)}
\colon 
\forall \underline{(fy)}
\colon \overline{(s1)}
 \mathrel{\in} N
\vdash \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(s2)}
\colon \dot{\neg}\,(\{\{\overline{(s1)}
,\overline{(s1)}
\}
,\{\overline{(s1)}
,\overline{(s2)}
\}
\}
 \mathrel{\in}  \{ ph \mathrel{\in}  \{ ph \mathrel{\in} P(P(Union(\{N
,Q
\}
)
)
)
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op1)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op2)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\overline{(op1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(op2)}
 \mathrel{\in} Q
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\mathsf {a}
 _{Ph} 
 = \{\{\overline{(op1)}
,\overline{(op1)}
\}
,\{\overline{(op1)}
,\overline{(op2)}
\}
\}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\}
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \underline{
\mathsf {m}}
\colon \dot{\neg}\,(
\mathsf {e}
 _{Ph} 
 = \{\{\underline{
\mathsf {m}}
,\underline{
\mathsf {m}}
\}
,\{\underline{
\mathsf {m}}
,(\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
*\underline{(fy)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
)
\}
\}
)n
)n
\}
)n
)n
\gg 
\forall_{obj} \overline{(s1)}
\colon \overline{(s1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(s2)}
\colon \dot{\neg}\,(\{\{\overline{(s1)}
,\overline{(s1)}
\}
,\{\overline{(s1)}
,\overline{(s2)}
\}
\}
 \mathrel{\in}  \{ ph \mathrel{\in}  \{ ph \mathrel{\in} P(P(Union(\{N
,Q
\}
)
)
)
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op1)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op2)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\overline{(op1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(op2)}
 \mathrel{\in} Q
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\mathsf {a}
 _{Ph} 
 = \{\{\overline{(op1)}
,\overline{(op1)}
\}
,\{\overline{(op1)}
,\overline{(op2)}
\}
\}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\}
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \underline{
\mathsf {m}}
\colon \dot{\neg}\,(
\mathsf {e}
 _{Ph} 
 = \{\{\underline{
\mathsf {m}}
,\underline{
\mathsf {m}}
\}
,\{\underline{
\mathsf {m}}
,(\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
*\underline{(fy)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
)
\}
\}
)n
)n
\}
)n
)n
\rceil 
, 
p_0
, 
\mathsf {c}
)
]$


$
[ProductIsRationalSeries
\stackrel{
stmt
}{\rightarrow}SystemQ
\vdash 
\forall \underline{
\mathsf {m}}
\colon 
\forall \underline{(m1)}
\colon 
\forall \underline{(m2)}
\colon 
\forall \underline{(fx)}
\colon 
\forall \underline{(fy)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(r1)}
\colon \overline{(r1)}
 \mathrel{\in}  \{ ph \mathrel{\in}  \{ ph \mathrel{\in} P(P(Union(\{N
,Q
\}
)
)
)
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op1)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op2)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\overline{(op1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(op2)}
 \mathrel{\in} Q
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\mathsf {a}
 _{Ph} 
 = \{\{\overline{(op1)}
,\overline{(op1)}
\}
,\{\overline{(op1)}
,\overline{(op2)}
\}
\}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\}
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \underline{
\mathsf {m}}
\colon \dot{\neg}\,(
\mathsf {e}
 _{Ph} 
 = \{\{\underline{
\mathsf {m}}
,\underline{
\mathsf {m}}
\}
,\{\underline{
\mathsf {m}}
,(\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
*\underline{(fy)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
)
\}
\}
)n
)n
\}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op1)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op2)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\overline{(op1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(op2)}
 \mathrel{\in} Q
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(r1)}
 = \{\{\overline{(op1)}
,\overline{(op1)}
\}
,\{\overline{(op1)}
,\overline{(op2)}
\}
\}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(f1)}
\colon 
\forall_{obj} \overline{(f2)}
\colon 
\forall_{obj} \overline{(f3)}
\colon 
\forall_{obj} \overline{(f4)}
\colon \{\{\overline{(f1)}
,\overline{(f1)}
\}
,\{\overline{(f1)}
,\overline{(f2)}
\}
\}
 \mathrel{\in}  \{ ph \mathrel{\in}  \{ ph \mathrel{\in} P(P(Union(\{N
,Q
\}
)
)
)
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op1)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op2)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\overline{(op1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(op2)}
 \mathrel{\in} Q
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\mathsf {a}
 _{Ph} 
 = \{\{\overline{(op1)}
,\overline{(op1)}
\}
,\{\overline{(op1)}
,\overline{(op2)}
\}
\}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\}
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \underline{
\mathsf {m}}
\colon \dot{\neg}\,(
\mathsf {e}
 _{Ph} 
 = \{\{\underline{
\mathsf {m}}
,\underline{
\mathsf {m}}
\}
,\{\underline{
\mathsf {m}}
,(\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
*\underline{(fy)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
)
\}
\}
)n
)n
\}
\Rightarrow \{\{\overline{(f3)}
,\overline{(f3)}
\}
,\{\overline{(f3)}
,\overline{(f4)}
\}
\}
 \mathrel{\in}  \{ ph \mathrel{\in}  \{ ph \mathrel{\in} P(P(Union(\{N
,Q
\}
)
)
)
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op1)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op2)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\overline{(op1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(op2)}
 \mathrel{\in} Q
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\mathsf {a}
 _{Ph} 
 = \{\{\overline{(op1)}
,\overline{(op1)}
\}
,\{\overline{(op1)}
,\overline{(op2)}
\}
\}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\}
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \underline{
\mathsf {m}}
\colon \dot{\neg}\,(
\mathsf {e}
 _{Ph} 
 = \{\{\underline{
\mathsf {m}}
,\underline{
\mathsf {m}}
\}
,\{\underline{
\mathsf {m}}
,(\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
*\underline{(fy)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
)
\}
\}
)n
)n
\}
\Rightarrow \overline{(f1)}
 = \overline{(f3)}
\Rightarrow \overline{(f2)}
 = \overline{(f4)}
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(s1)}
\colon \overline{(s1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(s2)}
\colon \dot{\neg}\,(\{\{\overline{(s1)}
,\overline{(s1)}
\}
,\{\overline{(s1)}
,\overline{(s2)}
\}
\}
 \mathrel{\in}  \{ ph \mathrel{\in}  \{ ph \mathrel{\in} P(P(Union(\{N
,Q
\}
)
)
)
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op1)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op2)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\overline{(op1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(op2)}
 \mathrel{\in} Q
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\mathsf {a}
 _{Ph} 
 = \{\{\overline{(op1)}
,\overline{(op1)}
\}
,\{\overline{(op1)}
,\overline{(op2)}
\}
\}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\}
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \underline{
\mathsf {m}}
\colon \dot{\neg}\,(
\mathsf {e}
 _{Ph} 
 = \{\{\underline{
\mathsf {m}}
,\underline{
\mathsf {m}}
\}
,\{\underline{
\mathsf {m}}
,(\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
*\underline{(fy)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
)
\}
\}
)n
)n
\}
)n
)n
)n
)n
]$

$
[ProductIsRationalSeries
\stackrel{
proof
}{\rightarrow}
\lambda 
\mathsf {c}
.
\lambda 
\mathsf{x}
.
{\cal P}( 
\lceil SystemQ
\vdash 
\forall \underline{
\mathsf {m}}
\colon 
\forall \underline{(m1)}
\colon 
\forall \underline{(m2)}
\colon 
\forall \underline{(fx)}
\colon 
\forall \underline{(fy)}
\colon CPseparationIsRelation
\gg 
\forall_{obj} \overline{(r1)}
\colon \overline{(r1)}
 \mathrel{\in}  \{ ph \mathrel{\in}  \{ ph \mathrel{\in} P(P(Union(\{N
,Q
\}
)
)
)
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op1)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op2)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\overline{(op1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(op2)}
 \mathrel{\in} Q
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\mathsf {a}
 _{Ph} 
 = \{\{\overline{(op1)}
,\overline{(op1)}
\}
,\{\overline{(op1)}
,\overline{(op2)}
\}
\}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\}
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \underline{
\mathsf {m}}
\colon \dot{\neg}\,(
\mathsf {e}
 _{Ph} 
 = \{\{\underline{
\mathsf {m}}
,\underline{
\mathsf {m}}
\}
,\{\underline{
\mathsf {m}}
,(\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
*\underline{(fy)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
)
\}
\}
)n
)n
\}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op1)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op2)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\overline{(op1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(op2)}
 \mathrel{\in} Q
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(r1)}
 = \{\{\overline{(op1)}
,\overline{(op1)}
\}
,\{\overline{(op1)}
,\overline{(op2)}
\}
\}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
; productIsFunction
\gg 
\forall_{obj} \overline{(f1)}
\colon 
\forall_{obj} \overline{(f2)}
\colon 
\forall_{obj} \overline{(f3)}
\colon 
\forall_{obj} \overline{(f4)}
\colon \{\{\overline{(f1)}
,\overline{(f1)}
\}
,\{\overline{(f1)}
,\overline{(f2)}
\}
\}
 \mathrel{\in}  \{ ph \mathrel{\in}  \{ ph \mathrel{\in} P(P(Union(\{N
,Q
\}
)
)
)
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op1)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op2)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\overline{(op1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(op2)}
 \mathrel{\in} Q
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\mathsf {a}
 _{Ph} 
 = \{\{\overline{(op1)}
,\overline{(op1)}
\}
,\{\overline{(op1)}
,\overline{(op2)}
\}
\}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\}
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \underline{
\mathsf {m}}
\colon \dot{\neg}\,(
\mathsf {e}
 _{Ph} 
 = \{\{\underline{
\mathsf {m}}
,\underline{
\mathsf {m}}
\}
,\{\underline{
\mathsf {m}}
,(\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
*\underline{(fy)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
)
\}
\}
)n
)n
\}
\Rightarrow \{\{\overline{(f3)}
,\overline{(f3)}
\}
,\{\overline{(f3)}
,\overline{(f4)}
\}
\}
 \mathrel{\in}  \{ ph \mathrel{\in}  \{ ph \mathrel{\in} P(P(Union(\{N
,Q
\}
)
)
)
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op1)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op2)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\overline{(op1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(op2)}
 \mathrel{\in} Q
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\mathsf {a}
 _{Ph} 
 = \{\{\overline{(op1)}
,\overline{(op1)}
\}
,\{\overline{(op1)}
,\overline{(op2)}
\}
\}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\}
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \underline{
\mathsf {m}}
\colon \dot{\neg}\,(
\mathsf {e}
 _{Ph} 
 = \{\{\underline{
\mathsf {m}}
,\underline{
\mathsf {m}}
\}
,\{\underline{
\mathsf {m}}
,(\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
*\underline{(fy)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
)
\}
\}
)n
)n
\}
\Rightarrow \overline{(f1)}
 = \overline{(f3)}
\Rightarrow \overline{(f2)}
 = \overline{(f4)}
; productIsTotal
\gg 
\forall_{obj} \overline{(s1)}
\colon \overline{(s1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(s2)}
\colon \dot{\neg}\,(\{\{\overline{(s1)}
,\overline{(s1)}
\}
,\{\overline{(s1)}
,\overline{(s2)}
\}
\}
 \mathrel{\in}  \{ ph \mathrel{\in}  \{ ph \mathrel{\in} P(P(Union(\{N
,Q
\}
)
)
)
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op1)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op2)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\overline{(op1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(op2)}
 \mathrel{\in} Q
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\mathsf {a}
 _{Ph} 
 = \{\{\overline{(op1)}
,\overline{(op1)}
\}
,\{\overline{(op1)}
,\overline{(op2)}
\}
\}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\}
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \underline{
\mathsf {m}}
\colon \dot{\neg}\,(
\mathsf {e}
 _{Ph} 
 = \{\{\underline{
\mathsf {m}}
,\underline{
\mathsf {m}}
\}
,\{\underline{
\mathsf {m}}
,(\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
*\underline{(fy)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
)
\}
\}
)n
)n
\}
)n
)n
; ToSeries
\rhd 
\forall_{obj} \overline{(r1)}
\colon \overline{(r1)}
 \mathrel{\in}  \{ ph \mathrel{\in}  \{ ph \mathrel{\in} P(P(Union(\{N
,Q
\}
)
)
)
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op1)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op2)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\overline{(op1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(op2)}
 \mathrel{\in} Q
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\mathsf {a}
 _{Ph} 
 = \{\{\overline{(op1)}
,\overline{(op1)}
\}
,\{\overline{(op1)}
,\overline{(op2)}
\}
\}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\}
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \underline{
\mathsf {m}}
\colon \dot{\neg}\,(
\mathsf {e}
 _{Ph} 
 = \{\{\underline{
\mathsf {m}}
,\underline{
\mathsf {m}}
\}
,\{\underline{
\mathsf {m}}
,(\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
*\underline{(fy)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
)
\}
\}
)n
)n
\}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op1)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op2)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\overline{(op1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(op2)}
 \mathrel{\in} Q
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(r1)}
 = \{\{\overline{(op1)}
,\overline{(op1)}
\}
,\{\overline{(op1)}
,\overline{(op2)}
\}
\}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\rhd 
\forall_{obj} \overline{(f1)}
\colon 
\forall_{obj} \overline{(f2)}
\colon 
\forall_{obj} \overline{(f3)}
\colon 
\forall_{obj} \overline{(f4)}
\colon \{\{\overline{(f1)}
,\overline{(f1)}
\}
,\{\overline{(f1)}
,\overline{(f2)}
\}
\}
 \mathrel{\in}  \{ ph \mathrel{\in}  \{ ph \mathrel{\in} P(P(Union(\{N
,Q
\}
)
)
)
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op1)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op2)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\overline{(op1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(op2)}
 \mathrel{\in} Q
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\mathsf {a}
 _{Ph} 
 = \{\{\overline{(op1)}
,\overline{(op1)}
\}
,\{\overline{(op1)}
,\overline{(op2)}
\}
\}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\}
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \underline{
\mathsf {m}}
\colon \dot{\neg}\,(
\mathsf {e}
 _{Ph} 
 = \{\{\underline{
\mathsf {m}}
,\underline{
\mathsf {m}}
\}
,\{\underline{
\mathsf {m}}
,(\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
*\underline{(fy)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
)
\}
\}
)n
)n
\}
\Rightarrow \{\{\overline{(f3)}
,\overline{(f3)}
\}
,\{\overline{(f3)}
,\overline{(f4)}
\}
\}
 \mathrel{\in}  \{ ph \mathrel{\in}  \{ ph \mathrel{\in} P(P(Union(\{N
,Q
\}
)
)
)
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op1)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op2)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\overline{(op1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(op2)}
 \mathrel{\in} Q
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\mathsf {a}
 _{Ph} 
 = \{\{\overline{(op1)}
,\overline{(op1)}
\}
,\{\overline{(op1)}
,\overline{(op2)}
\}
\}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\}
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \underline{
\mathsf {m}}
\colon \dot{\neg}\,(
\mathsf {e}
 _{Ph} 
 = \{\{\underline{
\mathsf {m}}
,\underline{
\mathsf {m}}
\}
,\{\underline{
\mathsf {m}}
,(\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
*\underline{(fy)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
)
\}
\}
)n
)n
\}
\Rightarrow \overline{(f1)}
 = \overline{(f3)}
\Rightarrow \overline{(f2)}
 = \overline{(f4)}
\rhd 
\forall_{obj} \overline{(s1)}
\colon \overline{(s1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(s2)}
\colon \dot{\neg}\,(\{\{\overline{(s1)}
,\overline{(s1)}
\}
,\{\overline{(s1)}
,\overline{(s2)}
\}
\}
 \mathrel{\in}  \{ ph \mathrel{\in}  \{ ph \mathrel{\in} P(P(Union(\{N
,Q
\}
)
)
)
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op1)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op2)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\overline{(op1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(op2)}
 \mathrel{\in} Q
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\mathsf {a}
 _{Ph} 
 = \{\{\overline{(op1)}
,\overline{(op1)}
\}
,\{\overline{(op1)}
,\overline{(op2)}
\}
\}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\}
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \underline{
\mathsf {m}}
\colon \dot{\neg}\,(
\mathsf {e}
 _{Ph} 
 = \{\{\underline{
\mathsf {m}}
,\underline{
\mathsf {m}}
\}
,\{\underline{
\mathsf {m}}
,(\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
*\underline{(fy)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
)
\}
\}
)n
)n
\}
)n
)n
\gg \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(r1)}
\colon \overline{(r1)}
 \mathrel{\in}  \{ ph \mathrel{\in}  \{ ph \mathrel{\in} P(P(Union(\{N
,Q
\}
)
)
)
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op1)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op2)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\overline{(op1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(op2)}
 \mathrel{\in} Q
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\mathsf {a}
 _{Ph} 
 = \{\{\overline{(op1)}
,\overline{(op1)}
\}
,\{\overline{(op1)}
,\overline{(op2)}
\}
\}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\}
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \underline{
\mathsf {m}}
\colon \dot{\neg}\,(
\mathsf {e}
 _{Ph} 
 = \{\{\underline{
\mathsf {m}}
,\underline{
\mathsf {m}}
\}
,\{\underline{
\mathsf {m}}
,(\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
*\underline{(fy)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
)
\}
\}
)n
)n
\}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op1)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op2)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\overline{(op1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(op2)}
 \mathrel{\in} Q
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(r1)}
 = \{\{\overline{(op1)}
,\overline{(op1)}
\}
,\{\overline{(op1)}
,\overline{(op2)}
\}
\}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(f1)}
\colon 
\forall_{obj} \overline{(f2)}
\colon 
\forall_{obj} \overline{(f3)}
\colon 
\forall_{obj} \overline{(f4)}
\colon \{\{\overline{(f1)}
,\overline{(f1)}
\}
,\{\overline{(f1)}
,\overline{(f2)}
\}
\}
 \mathrel{\in}  \{ ph \mathrel{\in}  \{ ph \mathrel{\in} P(P(Union(\{N
,Q
\}
)
)
)
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op1)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op2)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\overline{(op1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(op2)}
 \mathrel{\in} Q
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\mathsf {a}
 _{Ph} 
 = \{\{\overline{(op1)}
,\overline{(op1)}
\}
,\{\overline{(op1)}
,\overline{(op2)}
\}
\}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\}
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \underline{
\mathsf {m}}
\colon \dot{\neg}\,(
\mathsf {e}
 _{Ph} 
 = \{\{\underline{
\mathsf {m}}
,\underline{
\mathsf {m}}
\}
,\{\underline{
\mathsf {m}}
,(\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
*\underline{(fy)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
)
\}
\}
)n
)n
\}
\Rightarrow \{\{\overline{(f3)}
,\overline{(f3)}
\}
,\{\overline{(f3)}
,\overline{(f4)}
\}
\}
 \mathrel{\in}  \{ ph \mathrel{\in}  \{ ph \mathrel{\in} P(P(Union(\{N
,Q
\}
)
)
)
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op1)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op2)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\overline{(op1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(op2)}
 \mathrel{\in} Q
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\mathsf {a}
 _{Ph} 
 = \{\{\overline{(op1)}
,\overline{(op1)}
\}
,\{\overline{(op1)}
,\overline{(op2)}
\}
\}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\}
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \underline{
\mathsf {m}}
\colon \dot{\neg}\,(
\mathsf {e}
 _{Ph} 
 = \{\{\underline{
\mathsf {m}}
,\underline{
\mathsf {m}}
\}
,\{\underline{
\mathsf {m}}
,(\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
*\underline{(fy)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
)
\}
\}
)n
)n
\}
\Rightarrow \overline{(f1)}
 = \overline{(f3)}
\Rightarrow \overline{(f2)}
 = \overline{(f4)}
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(s1)}
\colon \overline{(s1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(s2)}
\colon \dot{\neg}\,(\{\{\overline{(s1)}
,\overline{(s1)}
\}
,\{\overline{(s1)}
,\overline{(s2)}
\}
\}
 \mathrel{\in}  \{ ph \mathrel{\in}  \{ ph \mathrel{\in} P(P(Union(\{N
,Q
\}
)
)
)
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op1)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op2)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\overline{(op1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(op2)}
 \mathrel{\in} Q
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\mathsf {a}
 _{Ph} 
 = \{\{\overline{(op1)}
,\overline{(op1)}
\}
,\{\overline{(op1)}
,\overline{(op2)}
\}
\}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\}
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \underline{
\mathsf {m}}
\colon \dot{\neg}\,(
\mathsf {e}
 _{Ph} 
 = \{\{\underline{
\mathsf {m}}
,\underline{
\mathsf {m}}
\}
,\{\underline{
\mathsf {m}}
,(\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
*\underline{(fy)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
)
\}
\}
)n
)n
\}
)n
)n
)n
)n
\rceil 
, 
p_0
, 
\mathsf {c}
)
]$


$
[TimesF
\stackrel{
stmt
}{\rightarrow}SystemQ
\vdash 
\forall \underline{
\mathsf {m}}
\colon 
\forall \underline{(fx)}
\colon 
\forall \underline{(fy)}
\colon 
\lambda 
\mathsf {c}
.TypeNat0(
\lceil \underline{
\mathsf {m}}
\rceil 
)
\mathrel {\makebox [0mm][l]{$\vdash $}\,{\vdash }} 
\lambda 
\mathsf {c}
.Typeseries0(
\lceil \underline{(fx)}
\rceil 
,
\lceil Q
\rceil 
)
\mathrel {\makebox [0mm][l]{$\vdash $}\,{\vdash }} 
\lambda 
\mathsf {c}
.Typeseries0(
\lceil \underline{(fy)}
\rceil 
,
\lceil Q
\rceil 
)
\mathrel {\makebox [0mm][l]{$\vdash $}\,{\vdash }}  \{ ph \mathrel{\in}  \{ ph \mathrel{\in} P(P(Union(\{N
,Q
\}
)
)
)
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op1)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op2)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\overline{(op1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(op2)}
 \mathrel{\in} Q
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\mathsf {a}
 _{Ph} 
 = \{\{\overline{(op1)}
,\overline{(op1)}
\}
,\{\overline{(op1)}
,\overline{(op2)}
\}
\}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\}
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \underline{
\mathsf {m}}
\colon \dot{\neg}\,(
\mathsf {e}
 _{Ph} 
 = \{\{\underline{
\mathsf {m}}
,\underline{
\mathsf {m}}
\}
,\{\underline{
\mathsf {m}}
,(\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
*\underline{(fy)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
)
\}
\}
)n
)n
\}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
 = (\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
*\underline{(fy)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
)
]$

$
[TimesF
\stackrel{
proof
}{\rightarrow}
\lambda 
\mathsf {c}
.
\lambda 
\mathsf{x}
.
{\cal P}( 
\lceil SystemQ
\vdash 
\forall \underline{
\mathsf {m}}
\colon 
\forall \underline{(fx)}
\colon 
\forall \underline{(fy)}
\colon 
\lambda 
\mathsf {c}
.TypeNat0(
\lceil \underline{
\mathsf {m}}
\rceil 
)
\mathrel {\makebox [0mm][l]{$\vdash $}\,{\vdash }} 
\lambda 
\mathsf {c}
.Typeseries0(
\lceil \underline{(fx)}
\rceil 
,
\lceil Q
\rceil 
)
\mathrel {\makebox [0mm][l]{$\vdash $}\,{\vdash }} 
\lambda 
\mathsf {c}
.Typeseries0(
\lceil \underline{(fy)}
\rceil 
,
\lceil Q
\rceil 
)
\mathrel {\makebox [0mm][l]{$\vdash $}\,{\vdash }} NatType
\gg \underline{
\mathsf {m}}
 \mathrel{\in} N
; SeriesType
\gg \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(r1)}
\colon \overline{(r1)}
 \mathrel{\in} \underline{(fx)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op1)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op2)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\overline{(op1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(op2)}
 \mathrel{\in} Q
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(r1)}
 = \{\{\overline{(op1)}
,\overline{(op1)}
\}
,\{\overline{(op1)}
,\overline{(op2)}
\}
\}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(f1)}
\colon 
\forall_{obj} \overline{(f2)}
\colon 
\forall_{obj} \overline{(f3)}
\colon 
\forall_{obj} \overline{(f4)}
\colon \{\{\overline{(f1)}
,\overline{(f1)}
\}
,\{\overline{(f1)}
,\overline{(f2)}
\}
\}
 \mathrel{\in} \underline{(fx)}
\Rightarrow \{\{\overline{(f3)}
,\overline{(f3)}
\}
,\{\overline{(f3)}
,\overline{(f4)}
\}
\}
 \mathrel{\in} \underline{(fx)}
\Rightarrow \overline{(f1)}
 = \overline{(f3)}
\Rightarrow \overline{(f2)}
 = \overline{(f4)}
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(s1)}
\colon \overline{(s1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(s2)}
\colon \dot{\neg}\,(\{\{\overline{(s1)}
,\overline{(s1)}
\}
,\{\overline{(s1)}
,\overline{(s2)}
\}
\}
 \mathrel{\in} \underline{(fx)}
)n
)n
)n
)n
; SeriesType
\gg \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(r1)}
\colon \overline{(r1)}
 \mathrel{\in} \underline{(fy)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op1)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op2)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\overline{(op1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(op2)}
 \mathrel{\in} Q
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(r1)}
 = \{\{\overline{(op1)}
,\overline{(op1)}
\}
,\{\overline{(op1)}
,\overline{(op2)}
\}
\}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(f1)}
\colon 
\forall_{obj} \overline{(f2)}
\colon 
\forall_{obj} \overline{(f3)}
\colon 
\forall_{obj} \overline{(f4)}
\colon \{\{\overline{(f1)}
,\overline{(f1)}
\}
,\{\overline{(f1)}
,\overline{(f2)}
\}
\}
 \mathrel{\in} \underline{(fy)}
\Rightarrow \{\{\overline{(f3)}
,\overline{(f3)}
\}
,\{\overline{(f3)}
,\overline{(f4)}
\}
\}
 \mathrel{\in} \underline{(fy)}
\Rightarrow \overline{(f1)}
 = \overline{(f3)}
\Rightarrow \overline{(f2)}
 = \overline{(f4)}
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(s1)}
\colon \overline{(s1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(s2)}
\colon \dot{\neg}\,(\{\{\overline{(s1)}
,\overline{(s1)}
\}
,\{\overline{(s1)}
,\overline{(s2)}
\}
\}
 \mathrel{\in} \underline{(fy)}
)n
)n
)n
)n
; ProductIsRationalSeries
\gg \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(r1)}
\colon \overline{(r1)}
 \mathrel{\in}  \{ ph \mathrel{\in}  \{ ph \mathrel{\in} P(P(Union(\{N
,Q
\}
)
)
)
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op1)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op2)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\overline{(op1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(op2)}
 \mathrel{\in} Q
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\mathsf {a}
 _{Ph} 
 = \{\{\overline{(op1)}
,\overline{(op1)}
\}
,\{\overline{(op1)}
,\overline{(op2)}
\}
\}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\}
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \underline{
\mathsf {m}}
\colon \dot{\neg}\,(
\mathsf {e}
 _{Ph} 
 = \{\{\underline{
\mathsf {m}}
,\underline{
\mathsf {m}}
\}
,\{\underline{
\mathsf {m}}
,(\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
*\underline{(fy)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
)
\}
\}
)n
)n
\}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op1)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op2)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\overline{(op1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(op2)}
 \mathrel{\in} Q
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(r1)}
 = \{\{\overline{(op1)}
,\overline{(op1)}
\}
,\{\overline{(op1)}
,\overline{(op2)}
\}
\}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(f1)}
\colon 
\forall_{obj} \overline{(f2)}
\colon 
\forall_{obj} \overline{(f3)}
\colon 
\forall_{obj} \overline{(f4)}
\colon \{\{\overline{(f1)}
,\overline{(f1)}
\}
,\{\overline{(f1)}
,\overline{(f2)}
\}
\}
 \mathrel{\in}  \{ ph \mathrel{\in}  \{ ph \mathrel{\in} P(P(Union(\{N
,Q
\}
)
)
)
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op1)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op2)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\overline{(op1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(op2)}
 \mathrel{\in} Q
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\mathsf {a}
 _{Ph} 
 = \{\{\overline{(op1)}
,\overline{(op1)}
\}
,\{\overline{(op1)}
,\overline{(op2)}
\}
\}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\}
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \underline{
\mathsf {m}}
\colon \dot{\neg}\,(
\mathsf {e}
 _{Ph} 
 = \{\{\underline{
\mathsf {m}}
,\underline{
\mathsf {m}}
\}
,\{\underline{
\mathsf {m}}
,(\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
*\underline{(fy)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
)
\}
\}
)n
)n
\}
\Rightarrow \{\{\overline{(f3)}
,\overline{(f3)}
\}
,\{\overline{(f3)}
,\overline{(f4)}
\}
\}
 \mathrel{\in}  \{ ph \mathrel{\in}  \{ ph \mathrel{\in} P(P(Union(\{N
,Q
\}
)
)
)
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op1)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op2)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\overline{(op1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(op2)}
 \mathrel{\in} Q
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\mathsf {a}
 _{Ph} 
 = \{\{\overline{(op1)}
,\overline{(op1)}
\}
,\{\overline{(op1)}
,\overline{(op2)}
\}
\}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\}
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \underline{
\mathsf {m}}
\colon \dot{\neg}\,(
\mathsf {e}
 _{Ph} 
 = \{\{\underline{
\mathsf {m}}
,\underline{
\mathsf {m}}
\}
,\{\underline{
\mathsf {m}}
,(\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
*\underline{(fy)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
)
\}
\}
)n
)n
\}
\Rightarrow \overline{(f1)}
 = \overline{(f3)}
\Rightarrow \overline{(f2)}
 = \overline{(f4)}
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(s1)}
\colon \overline{(s1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(s2)}
\colon \dot{\neg}\,(\{\{\overline{(s1)}
,\overline{(s1)}
\}
,\{\overline{(s1)}
,\overline{(s2)}
\}
\}
 \mathrel{\in}  \{ ph \mathrel{\in}  \{ ph \mathrel{\in} P(P(Union(\{N
,Q
\}
)
)
)
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op1)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op2)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\overline{(op1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(op2)}
 \mathrel{\in} Q
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\mathsf {a}
 _{Ph} 
 = \{\{\overline{(op1)}
,\overline{(op1)}
\}
,\{\overline{(op1)}
,\overline{(op2)}
\}
\}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\}
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \underline{
\mathsf {m}}
\colon \dot{\neg}\,(
\mathsf {e}
 _{Ph} 
 = \{\{\underline{
\mathsf {m}}
,\underline{
\mathsf {m}}
\}
,\{\underline{
\mathsf {m}}
,(\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
*\underline{(fy)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
)
\}
\}
)n
)n
\}
)n
)n
)n
)n
; MemberOfSeries
\rhd \underline{
\mathsf {m}}
 \mathrel{\in} N
\rhd \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(r1)}
\colon \overline{(r1)}
 \mathrel{\in}  \{ ph \mathrel{\in}  \{ ph \mathrel{\in} P(P(Union(\{N
,Q
\}
)
)
)
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op1)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op2)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\overline{(op1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(op2)}
 \mathrel{\in} Q
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\mathsf {a}
 _{Ph} 
 = \{\{\overline{(op1)}
,\overline{(op1)}
\}
,\{\overline{(op1)}
,\overline{(op2)}
\}
\}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\}
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \underline{
\mathsf {m}}
\colon \dot{\neg}\,(
\mathsf {e}
 _{Ph} 
 = \{\{\underline{
\mathsf {m}}
,\underline{
\mathsf {m}}
\}
,\{\underline{
\mathsf {m}}
,(\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
*\underline{(fy)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
)
\}
\}
)n
)n
\}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op1)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op2)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\overline{(op1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(op2)}
 \mathrel{\in} Q
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(r1)}
 = \{\{\overline{(op1)}
,\overline{(op1)}
\}
,\{\overline{(op1)}
,\overline{(op2)}
\}
\}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(f1)}
\colon 
\forall_{obj} \overline{(f2)}
\colon 
\forall_{obj} \overline{(f3)}
\colon 
\forall_{obj} \overline{(f4)}
\colon \{\{\overline{(f1)}
,\overline{(f1)}
\}
,\{\overline{(f1)}
,\overline{(f2)}
\}
\}
 \mathrel{\in}  \{ ph \mathrel{\in}  \{ ph \mathrel{\in} P(P(Union(\{N
,Q
\}
)
)
)
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op1)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op2)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\overline{(op1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(op2)}
 \mathrel{\in} Q
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\mathsf {a}
 _{Ph} 
 = \{\{\overline{(op1)}
,\overline{(op1)}
\}
,\{\overline{(op1)}
,\overline{(op2)}
\}
\}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\}
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \underline{
\mathsf {m}}
\colon \dot{\neg}\,(
\mathsf {e}
 _{Ph} 
 = \{\{\underline{
\mathsf {m}}
,\underline{
\mathsf {m}}
\}
,\{\underline{
\mathsf {m}}
,(\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
*\underline{(fy)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
)
\}
\}
)n
)n
\}
\Rightarrow \{\{\overline{(f3)}
,\overline{(f3)}
\}
,\{\overline{(f3)}
,\overline{(f4)}
\}
\}
 \mathrel{\in}  \{ ph \mathrel{\in}  \{ ph \mathrel{\in} P(P(Union(\{N
,Q
\}
)
)
)
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op1)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op2)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\overline{(op1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(op2)}
 \mathrel{\in} Q
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\mathsf {a}
 _{Ph} 
 = \{\{\overline{(op1)}
,\overline{(op1)}
\}
,\{\overline{(op1)}
,\overline{(op2)}
\}
\}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\}
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \underline{
\mathsf {m}}
\colon \dot{\neg}\,(
\mathsf {e}
 _{Ph} 
 = \{\{\underline{
\mathsf {m}}
,\underline{
\mathsf {m}}
\}
,\{\underline{
\mathsf {m}}
,(\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
*\underline{(fy)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
)
\}
\}
)n
)n
\}
\Rightarrow \overline{(f1)}
 = \overline{(f3)}
\Rightarrow \overline{(f2)}
 = \overline{(f4)}
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(s1)}
\colon \overline{(s1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(s2)}
\colon \dot{\neg}\,(\{\{\overline{(s1)}
,\overline{(s1)}
\}
,\{\overline{(s1)}
,\overline{(s2)}
\}
\}
 \mathrel{\in}  \{ ph \mathrel{\in}  \{ ph \mathrel{\in} P(P(Union(\{N
,Q
\}
)
)
)
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op1)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op2)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\overline{(op1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(op2)}
 \mathrel{\in} Q
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\mathsf {a}
 _{Ph} 
 = \{\{\overline{(op1)}
,\overline{(op1)}
\}
,\{\overline{(op1)}
,\overline{(op2)}
\}
\}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\}
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \underline{
\mathsf {m}}
\colon \dot{\neg}\,(
\mathsf {e}
 _{Ph} 
 = \{\{\underline{
\mathsf {m}}
,\underline{
\mathsf {m}}
\}
,\{\underline{
\mathsf {m}}
,(\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
*\underline{(fy)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
)
\}
\}
)n
)n
\}
)n
)n
)n
)n
\gg \{\{\underline{
\mathsf {m}}
,\underline{
\mathsf {m}}
\}
,\{\underline{
\mathsf {m}}
, \{ ph \mathrel{\in}  \{ ph \mathrel{\in} P(P(Union(\{N
,Q
\}
)
)
)
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op1)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op2)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\overline{(op1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(op2)}
 \mathrel{\in} Q
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\mathsf {a}
 _{Ph} 
 = \{\{\overline{(op1)}
,\overline{(op1)}
\}
,\{\overline{(op1)}
,\overline{(op2)}
\}
\}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\}
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \underline{
\mathsf {m}}
\colon \dot{\neg}\,(
\mathsf {e}
 _{Ph} 
 = \{\{\underline{
\mathsf {m}}
,\underline{
\mathsf {m}}
\}
,\{\underline{
\mathsf {m}}
,(\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
*\underline{(fy)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
)
\}
\}
)n
)n
\}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
\}
\}
 \mathrel{\in}  \{ ph \mathrel{\in}  \{ ph \mathrel{\in} P(P(Union(\{N
,Q
\}
)
)
)
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op1)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op2)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\overline{(op1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(op2)}
 \mathrel{\in} Q
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\mathsf {a}
 _{Ph} 
 = \{\{\overline{(op1)}
,\overline{(op1)}
\}
,\{\overline{(op1)}
,\overline{(op2)}
\}
\}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\}
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \underline{
\mathsf {m}}
\colon \dot{\neg}\,(
\mathsf {e}
 _{Ph} 
 = \{\{\underline{
\mathsf {m}}
,\underline{
\mathsf {m}}
\}
,\{\underline{
\mathsf {m}}
,(\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
*\underline{(fy)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
)
\}
\}
)n
)n
\}
; ValueType
\rhd \underline{
\mathsf {m}}
 \mathrel{\in} N
\rhd \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(r1)}
\colon \overline{(r1)}
 \mathrel{\in} \underline{(fx)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op1)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op2)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\overline{(op1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(op2)}
 \mathrel{\in} Q
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(r1)}
 = \{\{\overline{(op1)}
,\overline{(op1)}
\}
,\{\overline{(op1)}
,\overline{(op2)}
\}
\}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(f1)}
\colon 
\forall_{obj} \overline{(f2)}
\colon 
\forall_{obj} \overline{(f3)}
\colon 
\forall_{obj} \overline{(f4)}
\colon \{\{\overline{(f1)}
,\overline{(f1)}
\}
,\{\overline{(f1)}
,\overline{(f2)}
\}
\}
 \mathrel{\in} \underline{(fx)}
\Rightarrow \{\{\overline{(f3)}
,\overline{(f3)}
\}
,\{\overline{(f3)}
,\overline{(f4)}
\}
\}
 \mathrel{\in} \underline{(fx)}
\Rightarrow \overline{(f1)}
 = \overline{(f3)}
\Rightarrow \overline{(f2)}
 = \overline{(f4)}
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(s1)}
\colon \overline{(s1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(s2)}
\colon \dot{\neg}\,(\{\{\overline{(s1)}
,\overline{(s1)}
\}
,\{\overline{(s1)}
,\overline{(s2)}
\}
\}
 \mathrel{\in} \underline{(fx)}
)n
)n
)n
)n
\gg \underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
 \mathrel{\in} Q
; ValueType
\rhd \underline{
\mathsf {m}}
 \mathrel{\in} N
\rhd \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(r1)}
\colon \overline{(r1)}
 \mathrel{\in} \underline{(fy)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op1)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op2)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\overline{(op1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(op2)}
 \mathrel{\in} Q
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(r1)}
 = \{\{\overline{(op1)}
,\overline{(op1)}
\}
,\{\overline{(op1)}
,\overline{(op2)}
\}
\}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(f1)}
\colon 
\forall_{obj} \overline{(f2)}
\colon 
\forall_{obj} \overline{(f3)}
\colon 
\forall_{obj} \overline{(f4)}
\colon \{\{\overline{(f1)}
,\overline{(f1)}
\}
,\{\overline{(f1)}
,\overline{(f2)}
\}
\}
 \mathrel{\in} \underline{(fy)}
\Rightarrow \{\{\overline{(f3)}
,\overline{(f3)}
\}
,\{\overline{(f3)}
,\overline{(f4)}
\}
\}
 \mathrel{\in} \underline{(fy)}
\Rightarrow \overline{(f1)}
 = \overline{(f3)}
\Rightarrow \overline{(f2)}
 = \overline{(f4)}
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(s1)}
\colon \overline{(s1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(s2)}
\colon \dot{\neg}\,(\{\{\overline{(s1)}
,\overline{(s1)}
\}
,\{\overline{(s1)}
,\overline{(s2)}
\}
\}
 \mathrel{\in} \underline{(fy)}
)n
)n
)n
)n
\gg \underline{(fy)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
 \mathrel{\in} Q
; Qclosed(Multiplication)
\rhd \underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
 \mathrel{\in} Q
\rhd \underline{(fy)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
 \mathrel{\in} Q
\gg (\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
*\underline{(fy)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
)
 \mathrel{\in} Q
; ToCartProd
\rhd \underline{
\mathsf {m}}
 \mathrel{\in} N
\rhd (\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
*\underline{(fy)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
)
 \mathrel{\in} Q
\gg \{\{\underline{
\mathsf {m}}
,\underline{
\mathsf {m}}
\}
,\{\underline{
\mathsf {m}}
,(\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
*\underline{(fy)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
)
\}
\}
 \mathrel{\in}  \{ ph \mathrel{\in} P(P(Union(\{N
,Q
\}
)
)
)
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op1)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op2)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\overline{(op1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(op2)}
 \mathrel{\in} Q
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\mathsf {a}
 _{Ph} 
 = \{\{\overline{(op1)}
,\overline{(op1)}
\}
,\{\overline{(op1)}
,\overline{(op2)}
\}
\}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\}
; eqReflexivity
\gg \{\{\underline{
\mathsf {m}}
,\underline{
\mathsf {m}}
\}
,\{\underline{
\mathsf {m}}
,(\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
*\underline{(fy)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
)
\}
\}
 = \{\{\underline{
\mathsf {m}}
,\underline{
\mathsf {m}}
\}
,\{\underline{
\mathsf {m}}
,(\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
*\underline{(fy)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
)
\}
\}
; IntroExist
\mathop {\char64} \underline{
\mathsf {m}}
\rhd \{\{\underline{
\mathsf {m}}
,\underline{
\mathsf {m}}
\}
,\{\underline{
\mathsf {m}}
,(\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
*\underline{(fy)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
)
\}
\}
 = \{\{\underline{
\mathsf {m}}
,\underline{
\mathsf {m}}
\}
,\{\underline{
\mathsf {m}}
,(\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
*\underline{(fy)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
)
\}
\}
\gg \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \underline{
\mathsf {m}}
\colon \dot{\neg}\,(\{\{\underline{
\mathsf {m}}
,\underline{
\mathsf {m}}
\}
,\{\underline{
\mathsf {m}}
,(\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
*\underline{(fy)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
)
\}
\}
 = \{\{\underline{
\mathsf {m}}
,\underline{
\mathsf {m}}
\}
,\{\underline{
\mathsf {m}}
,(\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
*\underline{(fy)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
)
\}
\}
)n
)n
; Formula2Sep
\rhd \{\{\underline{
\mathsf {m}}
,\underline{
\mathsf {m}}
\}
,\{\underline{
\mathsf {m}}
,(\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
*\underline{(fy)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
)
\}
\}
 \mathrel{\in}  \{ ph \mathrel{\in} P(P(Union(\{N
,Q
\}
)
)
)
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op1)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op2)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\overline{(op1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(op2)}
 \mathrel{\in} Q
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\mathsf {a}
 _{Ph} 
 = \{\{\overline{(op1)}
,\overline{(op1)}
\}
,\{\overline{(op1)}
,\overline{(op2)}
\}
\}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\}
\rhd \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \underline{
\mathsf {m}}
\colon \dot{\neg}\,(\{\{\underline{
\mathsf {m}}
,\underline{
\mathsf {m}}
\}
,\{\underline{
\mathsf {m}}
,(\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
*\underline{(fy)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
)
\}
\}
 = \{\{\underline{
\mathsf {m}}
,\underline{
\mathsf {m}}
\}
,\{\underline{
\mathsf {m}}
,(\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
*\underline{(fy)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
)
\}
\}
)n
)n
\gg \{\{\underline{
\mathsf {m}}
,\underline{
\mathsf {m}}
\}
,\{\underline{
\mathsf {m}}
,(\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
*\underline{(fy)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
)
\}
\}
 \mathrel{\in}  \{ ph \mathrel{\in}  \{ ph \mathrel{\in} P(P(Union(\{N
,Q
\}
)
)
)
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op1)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op2)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\overline{(op1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(op2)}
 \mathrel{\in} Q
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\mathsf {a}
 _{Ph} 
 = \{\{\overline{(op1)}
,\overline{(op1)}
\}
,\{\overline{(op1)}
,\overline{(op2)}
\}
\}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\}
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \underline{
\mathsf {m}}
\colon \dot{\neg}\,(
\mathsf {e}
 _{Ph} 
 = \{\{\underline{
\mathsf {m}}
,\underline{
\mathsf {m}}
\}
,\{\underline{
\mathsf {m}}
,(\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
*\underline{(fy)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
)
\}
\}
)n
)n
\}
; eqReflexivity
\gg \underline{
\mathsf {m}}
 = \underline{
\mathsf {m}}
; UniqueMember
\rhd \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(r1)}
\colon \overline{(r1)}
 \mathrel{\in}  \{ ph \mathrel{\in}  \{ ph \mathrel{\in} P(P(Union(\{N
,Q
\}
)
)
)
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op1)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op2)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\overline{(op1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(op2)}
 \mathrel{\in} Q
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\mathsf {a}
 _{Ph} 
 = \{\{\overline{(op1)}
,\overline{(op1)}
\}
,\{\overline{(op1)}
,\overline{(op2)}
\}
\}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\}
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \underline{
\mathsf {m}}
\colon \dot{\neg}\,(
\mathsf {e}
 _{Ph} 
 = \{\{\underline{
\mathsf {m}}
,\underline{
\mathsf {m}}
\}
,\{\underline{
\mathsf {m}}
,(\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
*\underline{(fy)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
)
\}
\}
)n
)n
\}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op1)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op2)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\overline{(op1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(op2)}
 \mathrel{\in} Q
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(r1)}
 = \{\{\overline{(op1)}
,\overline{(op1)}
\}
,\{\overline{(op1)}
,\overline{(op2)}
\}
\}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(f1)}
\colon 
\forall_{obj} \overline{(f2)}
\colon 
\forall_{obj} \overline{(f3)}
\colon 
\forall_{obj} \overline{(f4)}
\colon \{\{\overline{(f1)}
,\overline{(f1)}
\}
,\{\overline{(f1)}
,\overline{(f2)}
\}
\}
 \mathrel{\in}  \{ ph \mathrel{\in}  \{ ph \mathrel{\in} P(P(Union(\{N
,Q
\}
)
)
)
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op1)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op2)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\overline{(op1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(op2)}
 \mathrel{\in} Q
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\mathsf {a}
 _{Ph} 
 = \{\{\overline{(op1)}
,\overline{(op1)}
\}
,\{\overline{(op1)}
,\overline{(op2)}
\}
\}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\}
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \underline{
\mathsf {m}}
\colon \dot{\neg}\,(
\mathsf {e}
 _{Ph} 
 = \{\{\underline{
\mathsf {m}}
,\underline{
\mathsf {m}}
\}
,\{\underline{
\mathsf {m}}
,(\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
*\underline{(fy)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
)
\}
\}
)n
)n
\}
\Rightarrow \{\{\overline{(f3)}
,\overline{(f3)}
\}
,\{\overline{(f3)}
,\overline{(f4)}
\}
\}
 \mathrel{\in}  \{ ph \mathrel{\in}  \{ ph \mathrel{\in} P(P(Union(\{N
,Q
\}
)
)
)
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op1)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op2)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\overline{(op1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(op2)}
 \mathrel{\in} Q
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\mathsf {a}
 _{Ph} 
 = \{\{\overline{(op1)}
,\overline{(op1)}
\}
,\{\overline{(op1)}
,\overline{(op2)}
\}
\}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\}
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \underline{
\mathsf {m}}
\colon \dot{\neg}\,(
\mathsf {e}
 _{Ph} 
 = \{\{\underline{
\mathsf {m}}
,\underline{
\mathsf {m}}
\}
,\{\underline{
\mathsf {m}}
,(\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
*\underline{(fy)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
)
\}
\}
)n
)n
\}
\Rightarrow \overline{(f1)}
 = \overline{(f3)}
\Rightarrow \overline{(f2)}
 = \overline{(f4)}
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(s1)}
\colon \overline{(s1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(s2)}
\colon \dot{\neg}\,(\{\{\overline{(s1)}
,\overline{(s1)}
\}
,\{\overline{(s1)}
,\overline{(s2)}
\}
\}
 \mathrel{\in}  \{ ph \mathrel{\in}  \{ ph \mathrel{\in} P(P(Union(\{N
,Q
\}
)
)
)
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op1)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op2)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\overline{(op1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(op2)}
 \mathrel{\in} Q
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\mathsf {a}
 _{Ph} 
 = \{\{\overline{(op1)}
,\overline{(op1)}
\}
,\{\overline{(op1)}
,\overline{(op2)}
\}
\}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\}
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \underline{
\mathsf {m}}
\colon \dot{\neg}\,(
\mathsf {e}
 _{Ph} 
 = \{\{\underline{
\mathsf {m}}
,\underline{
\mathsf {m}}
\}
,\{\underline{
\mathsf {m}}
,(\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
*\underline{(fy)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
)
\}
\}
)n
)n
\}
)n
)n
)n
)n
\rhd \{\{\underline{
\mathsf {m}}
,\underline{
\mathsf {m}}
\}
,\{\underline{
\mathsf {m}}
, \{ ph \mathrel{\in}  \{ ph \mathrel{\in} P(P(Union(\{N
,Q
\}
)
)
)
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op1)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op2)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\overline{(op1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(op2)}
 \mathrel{\in} Q
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\mathsf {a}
 _{Ph} 
 = \{\{\overline{(op1)}
,\overline{(op1)}
\}
,\{\overline{(op1)}
,\overline{(op2)}
\}
\}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\}
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \underline{
\mathsf {m}}
\colon \dot{\neg}\,(
\mathsf {e}
 _{Ph} 
 = \{\{\underline{
\mathsf {m}}
,\underline{
\mathsf {m}}
\}
,\{\underline{
\mathsf {m}}
,(\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
*\underline{(fy)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
)
\}
\}
)n
)n
\}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
\}
\}
 \mathrel{\in}  \{ ph \mathrel{\in}  \{ ph \mathrel{\in} P(P(Union(\{N
,Q
\}
)
)
)
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op1)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op2)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\overline{(op1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(op2)}
 \mathrel{\in} Q
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\mathsf {a}
 _{Ph} 
 = \{\{\overline{(op1)}
,\overline{(op1)}
\}
,\{\overline{(op1)}
,\overline{(op2)}
\}
\}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\}
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \underline{
\mathsf {m}}
\colon \dot{\neg}\,(
\mathsf {e}
 _{Ph} 
 = \{\{\underline{
\mathsf {m}}
,\underline{
\mathsf {m}}
\}
,\{\underline{
\mathsf {m}}
,(\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
*\underline{(fy)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
)
\}
\}
)n
)n
\}
\rhd \{\{\underline{
\mathsf {m}}
,\underline{
\mathsf {m}}
\}
,\{\underline{
\mathsf {m}}
,(\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
*\underline{(fy)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
)
\}
\}
 \mathrel{\in}  \{ ph \mathrel{\in}  \{ ph \mathrel{\in} P(P(Union(\{N
,Q
\}
)
)
)
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op1)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op2)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\overline{(op1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(op2)}
 \mathrel{\in} Q
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\mathsf {a}
 _{Ph} 
 = \{\{\overline{(op1)}
,\overline{(op1)}
\}
,\{\overline{(op1)}
,\overline{(op2)}
\}
\}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\}
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \underline{
\mathsf {m}}
\colon \dot{\neg}\,(
\mathsf {e}
 _{Ph} 
 = \{\{\underline{
\mathsf {m}}
,\underline{
\mathsf {m}}
\}
,\{\underline{
\mathsf {m}}
,(\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
*\underline{(fy)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
)
\}
\}
)n
)n
\}
\rhd \underline{
\mathsf {m}}
 = \underline{
\mathsf {m}}
\gg  \{ ph \mathrel{\in}  \{ ph \mathrel{\in} P(P(Union(\{N
,Q
\}
)
)
)
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op1)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op2)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\overline{(op1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(op2)}
 \mathrel{\in} Q
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\mathsf {a}
 _{Ph} 
 = \{\{\overline{(op1)}
,\overline{(op1)}
\}
,\{\overline{(op1)}
,\overline{(op2)}
\}
\}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\}
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \underline{
\mathsf {m}}
\colon \dot{\neg}\,(
\mathsf {e}
 _{Ph} 
 = \{\{\underline{
\mathsf {m}}
,\underline{
\mathsf {m}}
\}
,\{\underline{
\mathsf {m}}
,(\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
*\underline{(fy)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
)
\}
\}
)n
)n
\}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
 = (\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
*\underline{(fy)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
)
\rceil 
, 
p_0
, 
\mathsf {c}
)
]$



$
[sameOrderedPair
\stackrel{
stmt
}{\rightarrow}SystemQ
\vdash 
\forall \underline{(sx)}
\colon 
\forall \underline{(sx1)}
\colon 
\forall \underline{(sy)}
\colon 
\forall \underline{(sy1)}
\colon \underline{(sx)}
 = \underline{(sx1)}
\vdash \underline{(sy)}
 = \underline{(sy1)}
\vdash \{\{\underline{(sx)}
,\underline{(sx)}
\}
,\{\underline{(sx)}
,\underline{(sy)}
\}
\}
 = \{\{\underline{(sx1)}
,\underline{(sx1)}
\}
,\{\underline{(sx1)}
,\underline{(sy1)}
\}
\}
]$

$
[sameOrderedPair
\stackrel{
proof
}{\rightarrow}
\lambda 
\mathsf {c}
.
\lambda 
\mathsf{x}
.
{\cal P}( 
\lceil SystemQ
\vdash 
\forall \underline{(sx)}
\colon 
\forall \underline{(sx1)}
\colon 
\forall \underline{(sy)}
\colon 
\forall \underline{(sy1)}
\colon \underline{(sx)}
 = \underline{(sx1)}
\vdash \underline{(sy)}
 = \underline{(sy1)}
\vdash SameSingleton
\rhd \underline{(sx)}
 = \underline{(sx1)}
\gg \{\underline{(sx)}
,\underline{(sx)}
\}
 = \{\underline{(sx1)}
,\underline{(sx1)}
\}
; SamePair
\rhd \underline{(sx)}
 = \underline{(sx1)}
\rhd \underline{(sy)}
 = \underline{(sy1)}
\gg \{\underline{(sx)}
,\underline{(sy)}
\}
 = \{\underline{(sx1)}
,\underline{(sy1)}
\}
; SamePair
\rhd \{\underline{(sx)}
,\underline{(sx)}
\}
 = \{\underline{(sx1)}
,\underline{(sx1)}
\}
\rhd \{\underline{(sx)}
,\underline{(sy)}
\}
 = \{\underline{(sx1)}
,\underline{(sy1)}
\}
\gg \{\{\underline{(sx)}
,\underline{(sx)}
\}
,\{\underline{(sx)}
,\underline{(sy)}
\}
\}
 = \{\{\underline{(sx1)}
,\underline{(sx1)}
\}
,\{\underline{(sx1)}
,\underline{(sy1)}
\}
\}
; Repetition
\rhd \{\{\underline{(sx)}
,\underline{(sx)}
\}
,\{\underline{(sx)}
,\underline{(sy)}
\}
\}
 = \{\{\underline{(sx1)}
,\underline{(sx1)}
\}
,\{\underline{(sx1)}
,\underline{(sy1)}
\}
\}
\gg \{\{\underline{(sx)}
,\underline{(sx)}
\}
,\{\underline{(sx)}
,\underline{(sy)}
\}
\}
 = \{\{\underline{(sx1)}
,\underline{(sx1)}
\}
,\{\underline{(sx1)}
,\underline{(sy1)}
\}
\}
\rceil 
, 
p_0
, 
\mathsf {c}
)
]$

$
[InSeriesHelper
\stackrel{
stmt
}{\rightarrow}SystemQ
\vdash 
\forall \underline{
\mathsf {m}}
\colon 
\forall \underline{(fx)}
\colon 
\forall \underline{(sx)}
\colon 
\forall \underline{(sy)}
\colon \underline{(sy)}
 \mathrel{\in} \underline{(fx)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(r1)}
\colon \overline{(r1)}
 \mathrel{\in} \underline{(fx)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op1)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op2)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\overline{(op1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(op2)}
 \mathrel{\in} \underline{(sx)}
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(r1)}
 = \{\{\overline{(op1)}
,\overline{(op1)}
\}
,\{\overline{(op1)}
,\overline{(op2)}
\}
\}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(f1)}
\colon 
\forall_{obj} \overline{(f2)}
\colon 
\forall_{obj} \overline{(f3)}
\colon 
\forall_{obj} \overline{(f4)}
\colon \{\{\overline{(f1)}
,\overline{(f1)}
\}
,\{\overline{(f1)}
,\overline{(f2)}
\}
\}
 \mathrel{\in} \underline{(fx)}
\Rightarrow \{\{\overline{(f3)}
,\overline{(f3)}
\}
,\{\overline{(f3)}
,\overline{(f4)}
\}
\}
 \mathrel{\in} \underline{(fx)}
\Rightarrow \overline{(f1)}
 = \overline{(f3)}
\Rightarrow \overline{(f2)}
 = \overline{(f4)}
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(s1)}
\colon \overline{(s1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(s2)}
\colon \dot{\neg}\,(\{\{\overline{(s1)}
,\overline{(s1)}
\}
,\{\overline{(s1)}
,\overline{(s2)}
\}
\}
 \mathrel{\in} \underline{(fx)}
)n
)n
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\overline{(op1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(op2)}
 \mathrel{\in} \underline{(sx)}
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\underline{(sy)}
 = \{\{\overline{(op1)}
,\overline{(op1)}
\}
,\{\overline{(op1)}
,\overline{(op2)}
\}
\}
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \underline{
\mathsf {m}}
\colon \dot{\neg}\,(\underline{(sy)}
 = \{\{\underline{
\mathsf {m}}
,\underline{
\mathsf {m}}
\}
,\{\underline{
\mathsf {m}}
,\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
\}
\}
)n
)n
]$

$
[InSeriesHelper
\stackrel{
proof
}{\rightarrow}
\lambda 
\mathsf {c}
.
\lambda 
\mathsf{x}
.
{\cal P}( 
\lceil SystemQ
\vdash 
\forall \underline{
\mathsf {m}}
\colon 
\forall \underline{(fx)}
\colon 
\forall \underline{(sx)}
\colon 
\forall \underline{(sy)}
\colon \underline{(sy)}
 \mathrel{\in} \underline{(fx)}
\vdash \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(r1)}
\colon \overline{(r1)}
 \mathrel{\in} \underline{(fx)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op1)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op2)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\overline{(op1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(op2)}
 \mathrel{\in} \underline{(sx)}
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(r1)}
 = \{\{\overline{(op1)}
,\overline{(op1)}
\}
,\{\overline{(op1)}
,\overline{(op2)}
\}
\}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(f1)}
\colon 
\forall_{obj} \overline{(f2)}
\colon 
\forall_{obj} \overline{(f3)}
\colon 
\forall_{obj} \overline{(f4)}
\colon \{\{\overline{(f1)}
,\overline{(f1)}
\}
,\{\overline{(f1)}
,\overline{(f2)}
\}
\}
 \mathrel{\in} \underline{(fx)}
\Rightarrow \{\{\overline{(f3)}
,\overline{(f3)}
\}
,\{\overline{(f3)}
,\overline{(f4)}
\}
\}
 \mathrel{\in} \underline{(fx)}
\Rightarrow \overline{(f1)}
 = \overline{(f3)}
\Rightarrow \overline{(f2)}
 = \overline{(f4)}
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(s1)}
\colon \overline{(s1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(s2)}
\colon \dot{\neg}\,(\{\{\overline{(s1)}
,\overline{(s1)}
\}
,\{\overline{(s1)}
,\overline{(s2)}
\}
\}
 \mathrel{\in} \underline{(fx)}
)n
)n
)n
)n
\vdash \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\overline{(op1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(op2)}
 \mathrel{\in} \underline{(sx)}
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\underline{(sy)}
 = \{\{\overline{(op1)}
,\overline{(op1)}
\}
,\{\overline{(op1)}
,\overline{(op2)}
\}
\}
)n
)n
\vdash FirstConjunct
\rhd \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\overline{(op1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(op2)}
 \mathrel{\in} \underline{(sx)}
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\underline{(sy)}
 = \{\{\overline{(op1)}
,\overline{(op1)}
\}
,\{\overline{(op1)}
,\overline{(op2)}
\}
\}
)n
)n
\gg \dot{\neg}\,(\overline{(op1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(op2)}
 \mathrel{\in} \underline{(sx)}
)n
)n
; FirstConjunct
\rhd \dot{\neg}\,(\overline{(op1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(op2)}
 \mathrel{\in} \underline{(sx)}
)n
)n
\gg \overline{(op1)}
 \mathrel{\in} N
; SecondConjunct
\rhd \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\overline{(op1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(op2)}
 \mathrel{\in} \underline{(sx)}
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\underline{(sy)}
 = \{\{\overline{(op1)}
,\overline{(op1)}
\}
,\{\overline{(op1)}
,\overline{(op2)}
\}
\}
)n
)n
\gg \underline{(sy)}
 = \{\{\overline{(op1)}
,\overline{(op1)}
\}
,\{\overline{(op1)}
,\overline{(op2)}
\}
\}
; SameMember
\rhd \underline{(sy)}
 = \{\{\overline{(op1)}
,\overline{(op1)}
\}
,\{\overline{(op1)}
,\overline{(op2)}
\}
\}
\rhd \underline{(sy)}
 \mathrel{\in} \underline{(fx)}
\gg \{\{\overline{(op1)}
,\overline{(op1)}
\}
,\{\overline{(op1)}
,\overline{(op2)}
\}
\}
 \mathrel{\in} \underline{(fx)}
; MemberOfSeries
\rhd \overline{(op1)}
 \mathrel{\in} N
\rhd \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(r1)}
\colon \overline{(r1)}
 \mathrel{\in} \underline{(fx)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op1)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op2)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\overline{(op1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(op2)}
 \mathrel{\in} \underline{(sx)}
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(r1)}
 = \{\{\overline{(op1)}
,\overline{(op1)}
\}
,\{\overline{(op1)}
,\overline{(op2)}
\}
\}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(f1)}
\colon 
\forall_{obj} \overline{(f2)}
\colon 
\forall_{obj} \overline{(f3)}
\colon 
\forall_{obj} \overline{(f4)}
\colon \{\{\overline{(f1)}
,\overline{(f1)}
\}
,\{\overline{(f1)}
,\overline{(f2)}
\}
\}
 \mathrel{\in} \underline{(fx)}
\Rightarrow \{\{\overline{(f3)}
,\overline{(f3)}
\}
,\{\overline{(f3)}
,\overline{(f4)}
\}
\}
 \mathrel{\in} \underline{(fx)}
\Rightarrow \overline{(f1)}
 = \overline{(f3)}
\Rightarrow \overline{(f2)}
 = \overline{(f4)}
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(s1)}
\colon \overline{(s1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(s2)}
\colon \dot{\neg}\,(\{\{\overline{(s1)}
,\overline{(s1)}
\}
,\{\overline{(s1)}
,\overline{(s2)}
\}
\}
 \mathrel{\in} \underline{(fx)}
)n
)n
)n
)n
\gg \{\{\overline{(op1)}
,\overline{(op1)}
\}
,\{\overline{(op1)}
,\underline{(fx)}
[\overline{(op1)}
]
\}
\}
 \mathrel{\in} \underline{(fx)}
; eqReflexivity
\gg \overline{(op1)}
 = \overline{(op1)}
; UniqueMember
\rhd \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(r1)}
\colon \overline{(r1)}
 \mathrel{\in} \underline{(fx)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op1)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op2)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\overline{(op1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(op2)}
 \mathrel{\in} \underline{(sx)}
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(r1)}
 = \{\{\overline{(op1)}
,\overline{(op1)}
\}
,\{\overline{(op1)}
,\overline{(op2)}
\}
\}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(f1)}
\colon 
\forall_{obj} \overline{(f2)}
\colon 
\forall_{obj} \overline{(f3)}
\colon 
\forall_{obj} \overline{(f4)}
\colon \{\{\overline{(f1)}
,\overline{(f1)}
\}
,\{\overline{(f1)}
,\overline{(f2)}
\}
\}
 \mathrel{\in} \underline{(fx)}
\Rightarrow \{\{\overline{(f3)}
,\overline{(f3)}
\}
,\{\overline{(f3)}
,\overline{(f4)}
\}
\}
 \mathrel{\in} \underline{(fx)}
\Rightarrow \overline{(f1)}
 = \overline{(f3)}
\Rightarrow \overline{(f2)}
 = \overline{(f4)}
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(s1)}
\colon \overline{(s1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(s2)}
\colon \dot{\neg}\,(\{\{\overline{(s1)}
,\overline{(s1)}
\}
,\{\overline{(s1)}
,\overline{(s2)}
\}
\}
 \mathrel{\in} \underline{(fx)}
)n
)n
)n
)n
\rhd \{\{\overline{(op1)}
,\overline{(op1)}
\}
,\{\overline{(op1)}
,\overline{(op2)}
\}
\}
 \mathrel{\in} \underline{(fx)}
\rhd \{\{\overline{(op1)}
,\overline{(op1)}
\}
,\{\overline{(op1)}
,\underline{(fx)}
[\overline{(op1)}
]
\}
\}
 \mathrel{\in} \underline{(fx)}
\rhd \overline{(op1)}
 = \overline{(op1)}
\gg \overline{(op2)}
 = \underline{(fx)}
[\overline{(op1)}
]
; sameOrderedPair
\rhd \overline{(op1)}
 = \overline{(op1)}
\rhd \overline{(op2)}
 = \underline{(fx)}
[\overline{(op1)}
]
\gg \{\{\overline{(op1)}
,\overline{(op1)}
\}
,\{\overline{(op1)}
,\overline{(op2)}
\}
\}
 = \{\{\overline{(op1)}
,\overline{(op1)}
\}
,\{\overline{(op1)}
,\underline{(fx)}
[\overline{(op1)}
]
\}
\}
; eqTransitivity
\rhd \underline{(sy)}
 = \{\{\overline{(op1)}
,\overline{(op1)}
\}
,\{\overline{(op1)}
,\overline{(op2)}
\}
\}
\rhd \{\{\overline{(op1)}
,\overline{(op1)}
\}
,\{\overline{(op1)}
,\overline{(op2)}
\}
\}
 = \{\{\overline{(op1)}
,\overline{(op1)}
\}
,\{\overline{(op1)}
,\underline{(fx)}
[\overline{(op1)}
]
\}
\}
\gg \underline{(sy)}
 = \{\{\overline{(op1)}
,\overline{(op1)}
\}
,\{\overline{(op1)}
,\underline{(fx)}
[\overline{(op1)}
]
\}
\}
; IntroExist
\mathop {\char64} \overline{(op1)}
\rhd \underline{(sy)}
 = \{\{\overline{(op1)}
,\overline{(op1)}
\}
,\{\overline{(op1)}
,\underline{(fx)}
[\overline{(op1)}
]
\}
\}
\gg \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \underline{
\mathsf {m}}
\colon \dot{\neg}\,(\underline{(sy)}
 = \{\{\underline{
\mathsf {m}}
,\underline{
\mathsf {m}}
\}
,\{\underline{
\mathsf {m}}
,\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
\}
\}
)n
)n
; 
\forall \underline{
\mathsf {m}}
\colon 
\forall \underline{(fx)}
\colon 
\forall \underline{(sx)}
\colon 
\forall \underline{(sy)}
\colon Ded
\rhd 
\forall \underline{
\mathsf {m}}
\colon 
\forall \underline{(fx)}
\colon 
\forall \underline{(sx)}
\colon 
\forall \underline{(sy)}
\colon \underline{(sy)}
 \mathrel{\in} \underline{(fx)}
\vdash \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(r1)}
\colon \overline{(r1)}
 \mathrel{\in} \underline{(fx)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op1)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op2)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\overline{(op1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(op2)}
 \mathrel{\in} \underline{(sx)}
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(r1)}
 = \{\{\overline{(op1)}
,\overline{(op1)}
\}
,\{\overline{(op1)}
,\overline{(op2)}
\}
\}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(f1)}
\colon 
\forall_{obj} \overline{(f2)}
\colon 
\forall_{obj} \overline{(f3)}
\colon 
\forall_{obj} \overline{(f4)}
\colon \{\{\overline{(f1)}
,\overline{(f1)}
\}
,\{\overline{(f1)}
,\overline{(f2)}
\}
\}
 \mathrel{\in} \underline{(fx)}
\Rightarrow \{\{\overline{(f3)}
,\overline{(f3)}
\}
,\{\overline{(f3)}
,\overline{(f4)}
\}
\}
 \mathrel{\in} \underline{(fx)}
\Rightarrow \overline{(f1)}
 = \overline{(f3)}
\Rightarrow \overline{(f2)}
 = \overline{(f4)}
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(s1)}
\colon \overline{(s1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(s2)}
\colon \dot{\neg}\,(\{\{\overline{(s1)}
,\overline{(s1)}
\}
,\{\overline{(s1)}
,\overline{(s2)}
\}
\}
 \mathrel{\in} \underline{(fx)}
)n
)n
)n
)n
\vdash \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\overline{(op1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(op2)}
 \mathrel{\in} \underline{(sx)}
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\underline{(sy)}
 = \{\{\overline{(op1)}
,\overline{(op1)}
\}
,\{\overline{(op1)}
,\overline{(op2)}
\}
\}
)n
)n
\vdash \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \underline{
\mathsf {m}}
\colon \dot{\neg}\,(\underline{(sy)}
 = \{\{\underline{
\mathsf {m}}
,\underline{
\mathsf {m}}
\}
,\{\underline{
\mathsf {m}}
,\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
\}
\}
)n
)n
\gg \underline{(sy)}
 \mathrel{\in} \underline{(fx)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(r1)}
\colon \overline{(r1)}
 \mathrel{\in} \underline{(fx)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op1)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op2)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\overline{(op1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(op2)}
 \mathrel{\in} \underline{(sx)}
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(r1)}
 = \{\{\overline{(op1)}
,\overline{(op1)}
\}
,\{\overline{(op1)}
,\overline{(op2)}
\}
\}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(f1)}
\colon 
\forall_{obj} \overline{(f2)}
\colon 
\forall_{obj} \overline{(f3)}
\colon 
\forall_{obj} \overline{(f4)}
\colon \{\{\overline{(f1)}
,\overline{(f1)}
\}
,\{\overline{(f1)}
,\overline{(f2)}
\}
\}
 \mathrel{\in} \underline{(fx)}
\Rightarrow \{\{\overline{(f3)}
,\overline{(f3)}
\}
,\{\overline{(f3)}
,\overline{(f4)}
\}
\}
 \mathrel{\in} \underline{(fx)}
\Rightarrow \overline{(f1)}
 = \overline{(f3)}
\Rightarrow \overline{(f2)}
 = \overline{(f4)}
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(s1)}
\colon \overline{(s1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(s2)}
\colon \dot{\neg}\,(\{\{\overline{(s1)}
,\overline{(s1)}
\}
,\{\overline{(s1)}
,\overline{(s2)}
\}
\}
 \mathrel{\in} \underline{(fx)}
)n
)n
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\overline{(op1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(op2)}
 \mathrel{\in} \underline{(sx)}
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\underline{(sy)}
 = \{\{\overline{(op1)}
,\overline{(op1)}
\}
,\{\overline{(op1)}
,\overline{(op2)}
\}
\}
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \underline{
\mathsf {m}}
\colon \dot{\neg}\,(\underline{(sy)}
 = \{\{\underline{
\mathsf {m}}
,\underline{
\mathsf {m}}
\}
,\{\underline{
\mathsf {m}}
,\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
\}
\}
)n
)n
\rceil 
, 
p_0
, 
\mathsf {c}
)
]$

$
[InSeries
\stackrel{
stmt
}{\rightarrow}SystemQ
\vdash 
\forall \underline{
\mathsf {m}}
\colon 
\forall \underline{(fx)}
\colon 
\forall \underline{(sx)}
\colon 
\forall \underline{(sy)}
\colon 
\lambda 
\mathsf {c}
.Typeseries0(
\lceil \underline{(fx)}
\rceil 
,
\lceil \underline{(sx)}
\rceil 
)
\mathrel {\makebox [0mm][l]{$\vdash $}\,{\vdash }} \underline{(sy)}
 \mathrel{\in} \underline{(fx)}
\vdash \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \underline{
\mathsf {m}}
\colon \dot{\neg}\,(\underline{(sy)}
 = \{\{\underline{
\mathsf {m}}
,\underline{
\mathsf {m}}
\}
,\{\underline{
\mathsf {m}}
,\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
\}
\}
)n
)n
]$

$
[InSeries
\stackrel{
proof
}{\rightarrow}
\lambda 
\mathsf {c}
.
\lambda 
\mathsf{x}
.
{\cal P}( 
\lceil SystemQ
\vdash 
\forall \underline{
\mathsf {m}}
\colon 
\forall \underline{(fx)}
\colon 
\forall \underline{(sx)}
\colon 
\forall \underline{(sy)}
\colon 
\lambda 
\mathsf {c}
.Typeseries0(
\lceil \underline{(fx)}
\rceil 
,
\lceil \underline{(sx)}
\rceil 
)
\mathrel {\makebox [0mm][l]{$\vdash $}\,{\vdash }} \underline{(sy)}
 \mathrel{\in} \underline{(fx)}
\vdash SeriesType
\mathrel {\makebox [0mm][l]{$\rhd $}\,{\rhd }} 
\lambda 
\mathsf {c}
.Typeseries0(
\lceil \underline{(fx)}
\rceil 
,
\lceil \underline{(sx)}
\rceil 
)
\gg \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(r1)}
\colon \overline{(r1)}
 \mathrel{\in} \underline{(fx)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op1)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op2)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\overline{(op1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(op2)}
 \mathrel{\in} \underline{(sx)}
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(r1)}
 = \{\{\overline{(op1)}
,\overline{(op1)}
\}
,\{\overline{(op1)}
,\overline{(op2)}
\}
\}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(f1)}
\colon 
\forall_{obj} \overline{(f2)}
\colon 
\forall_{obj} \overline{(f3)}
\colon 
\forall_{obj} \overline{(f4)}
\colon \{\{\overline{(f1)}
,\overline{(f1)}
\}
,\{\overline{(f1)}
,\overline{(f2)}
\}
\}
 \mathrel{\in} \underline{(fx)}
\Rightarrow \{\{\overline{(f3)}
,\overline{(f3)}
\}
,\{\overline{(f3)}
,\overline{(f4)}
\}
\}
 \mathrel{\in} \underline{(fx)}
\Rightarrow \overline{(f1)}
 = \overline{(f3)}
\Rightarrow \overline{(f2)}
 = \overline{(f4)}
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(s1)}
\colon \overline{(s1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(s2)}
\colon \dot{\neg}\,(\{\{\overline{(s1)}
,\overline{(s1)}
\}
,\{\overline{(s1)}
,\overline{(s2)}
\}
\}
 \mathrel{\in} \underline{(fx)}
)n
)n
)n
)n
; Repetition
\rhd \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(r1)}
\colon \overline{(r1)}
 \mathrel{\in} \underline{(fx)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op1)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op2)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\overline{(op1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(op2)}
 \mathrel{\in} \underline{(sx)}
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(r1)}
 = \{\{\overline{(op1)}
,\overline{(op1)}
\}
,\{\overline{(op1)}
,\overline{(op2)}
\}
\}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(f1)}
\colon 
\forall_{obj} \overline{(f2)}
\colon 
\forall_{obj} \overline{(f3)}
\colon 
\forall_{obj} \overline{(f4)}
\colon \{\{\overline{(f1)}
,\overline{(f1)}
\}
,\{\overline{(f1)}
,\overline{(f2)}
\}
\}
 \mathrel{\in} \underline{(fx)}
\Rightarrow \{\{\overline{(f3)}
,\overline{(f3)}
\}
,\{\overline{(f3)}
,\overline{(f4)}
\}
\}
 \mathrel{\in} \underline{(fx)}
\Rightarrow \overline{(f1)}
 = \overline{(f3)}
\Rightarrow \overline{(f2)}
 = \overline{(f4)}
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(s1)}
\colon \overline{(s1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(s2)}
\colon \dot{\neg}\,(\{\{\overline{(s1)}
,\overline{(s1)}
\}
,\{\overline{(s1)}
,\overline{(s2)}
\}
\}
 \mathrel{\in} \underline{(fx)}
)n
)n
)n
)n
\gg \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(r1)}
\colon \overline{(r1)}
 \mathrel{\in} \underline{(fx)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op1)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op2)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\overline{(op1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(op2)}
 \mathrel{\in} \underline{(sx)}
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(r1)}
 = \{\{\overline{(op1)}
,\overline{(op1)}
\}
,\{\overline{(op1)}
,\overline{(op2)}
\}
\}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(f1)}
\colon 
\forall_{obj} \overline{(f2)}
\colon 
\forall_{obj} \overline{(f3)}
\colon 
\forall_{obj} \overline{(f4)}
\colon \{\{\overline{(f1)}
,\overline{(f1)}
\}
,\{\overline{(f1)}
,\overline{(f2)}
\}
\}
 \mathrel{\in} \underline{(fx)}
\Rightarrow \{\{\overline{(f3)}
,\overline{(f3)}
\}
,\{\overline{(f3)}
,\overline{(f4)}
\}
\}
 \mathrel{\in} \underline{(fx)}
\Rightarrow \overline{(f1)}
 = \overline{(f3)}
\Rightarrow \overline{(f2)}
 = \overline{(f4)}
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(s1)}
\colon \overline{(s1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(s2)}
\colon \dot{\neg}\,(\{\{\overline{(s1)}
,\overline{(s1)}
\}
,\{\overline{(s1)}
,\overline{(s2)}
\}
\}
 \mathrel{\in} \underline{(fx)}
)n
)n
)n
)n
; FirstConjunct
\rhd \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(r1)}
\colon \overline{(r1)}
 \mathrel{\in} \underline{(fx)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op1)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op2)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\overline{(op1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(op2)}
 \mathrel{\in} \underline{(sx)}
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(r1)}
 = \{\{\overline{(op1)}
,\overline{(op1)}
\}
,\{\overline{(op1)}
,\overline{(op2)}
\}
\}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(f1)}
\colon 
\forall_{obj} \overline{(f2)}
\colon 
\forall_{obj} \overline{(f3)}
\colon 
\forall_{obj} \overline{(f4)}
\colon \{\{\overline{(f1)}
,\overline{(f1)}
\}
,\{\overline{(f1)}
,\overline{(f2)}
\}
\}
 \mathrel{\in} \underline{(fx)}
\Rightarrow \{\{\overline{(f3)}
,\overline{(f3)}
\}
,\{\overline{(f3)}
,\overline{(f4)}
\}
\}
 \mathrel{\in} \underline{(fx)}
\Rightarrow \overline{(f1)}
 = \overline{(f3)}
\Rightarrow \overline{(f2)}
 = \overline{(f4)}
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(s1)}
\colon \overline{(s1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(s2)}
\colon \dot{\neg}\,(\{\{\overline{(s1)}
,\overline{(s1)}
\}
,\{\overline{(s1)}
,\overline{(s2)}
\}
\}
 \mathrel{\in} \underline{(fx)}
)n
)n
)n
)n
\gg \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(r1)}
\colon \overline{(r1)}
 \mathrel{\in} \underline{(fx)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op1)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op2)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\overline{(op1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(op2)}
 \mathrel{\in} \underline{(sx)}
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(r1)}
 = \{\{\overline{(op1)}
,\overline{(op1)}
\}
,\{\overline{(op1)}
,\overline{(op2)}
\}
\}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(f1)}
\colon 
\forall_{obj} \overline{(f2)}
\colon 
\forall_{obj} \overline{(f3)}
\colon 
\forall_{obj} \overline{(f4)}
\colon \{\{\overline{(f1)}
,\overline{(f1)}
\}
,\{\overline{(f1)}
,\overline{(f2)}
\}
\}
 \mathrel{\in} \underline{(fx)}
\Rightarrow \{\{\overline{(f3)}
,\overline{(f3)}
\}
,\{\overline{(f3)}
,\overline{(f4)}
\}
\}
 \mathrel{\in} \underline{(fx)}
\Rightarrow \overline{(f1)}
 = \overline{(f3)}
\Rightarrow \overline{(f2)}
 = \overline{(f4)}
)n
)n
; Repetition
\rhd \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(r1)}
\colon \overline{(r1)}
 \mathrel{\in} \underline{(fx)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op1)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op2)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\overline{(op1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(op2)}
 \mathrel{\in} \underline{(sx)}
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(r1)}
 = \{\{\overline{(op1)}
,\overline{(op1)}
\}
,\{\overline{(op1)}
,\overline{(op2)}
\}
\}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(f1)}
\colon 
\forall_{obj} \overline{(f2)}
\colon 
\forall_{obj} \overline{(f3)}
\colon 
\forall_{obj} \overline{(f4)}
\colon \{\{\overline{(f1)}
,\overline{(f1)}
\}
,\{\overline{(f1)}
,\overline{(f2)}
\}
\}
 \mathrel{\in} \underline{(fx)}
\Rightarrow \{\{\overline{(f3)}
,\overline{(f3)}
\}
,\{\overline{(f3)}
,\overline{(f4)}
\}
\}
 \mathrel{\in} \underline{(fx)}
\Rightarrow \overline{(f1)}
 = \overline{(f3)}
\Rightarrow \overline{(f2)}
 = \overline{(f4)}
)n
)n
\gg \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(r1)}
\colon \overline{(r1)}
 \mathrel{\in} \underline{(fx)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op1)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op2)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\overline{(op1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(op2)}
 \mathrel{\in} \underline{(sx)}
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(r1)}
 = \{\{\overline{(op1)}
,\overline{(op1)}
\}
,\{\overline{(op1)}
,\overline{(op2)}
\}
\}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(f1)}
\colon 
\forall_{obj} \overline{(f2)}
\colon 
\forall_{obj} \overline{(f3)}
\colon 
\forall_{obj} \overline{(f4)}
\colon \{\{\overline{(f1)}
,\overline{(f1)}
\}
,\{\overline{(f1)}
,\overline{(f2)}
\}
\}
 \mathrel{\in} \underline{(fx)}
\Rightarrow \{\{\overline{(f3)}
,\overline{(f3)}
\}
,\{\overline{(f3)}
,\overline{(f4)}
\}
\}
 \mathrel{\in} \underline{(fx)}
\Rightarrow \overline{(f1)}
 = \overline{(f3)}
\Rightarrow \overline{(f2)}
 = \overline{(f4)}
)n
)n
; FirstConjunct
\rhd \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(r1)}
\colon \overline{(r1)}
 \mathrel{\in} \underline{(fx)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op1)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op2)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\overline{(op1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(op2)}
 \mathrel{\in} \underline{(sx)}
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(r1)}
 = \{\{\overline{(op1)}
,\overline{(op1)}
\}
,\{\overline{(op1)}
,\overline{(op2)}
\}
\}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(f1)}
\colon 
\forall_{obj} \overline{(f2)}
\colon 
\forall_{obj} \overline{(f3)}
\colon 
\forall_{obj} \overline{(f4)}
\colon \{\{\overline{(f1)}
,\overline{(f1)}
\}
,\{\overline{(f1)}
,\overline{(f2)}
\}
\}
 \mathrel{\in} \underline{(fx)}
\Rightarrow \{\{\overline{(f3)}
,\overline{(f3)}
\}
,\{\overline{(f3)}
,\overline{(f4)}
\}
\}
 \mathrel{\in} \underline{(fx)}
\Rightarrow \overline{(f1)}
 = \overline{(f3)}
\Rightarrow \overline{(f2)}
 = \overline{(f4)}
)n
)n
\gg 
\forall_{obj} \overline{(r1)}
\colon \overline{(r1)}
 \mathrel{\in} \underline{(fx)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op1)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op2)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\overline{(op1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(op2)}
 \mathrel{\in} \underline{(sx)}
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(r1)}
 = \{\{\overline{(op1)}
,\overline{(op1)}
\}
,\{\overline{(op1)}
,\overline{(op2)}
\}
\}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
; Repetition
\rhd 
\forall_{obj} \overline{(r1)}
\colon \overline{(r1)}
 \mathrel{\in} \underline{(fx)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op1)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op2)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\overline{(op1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(op2)}
 \mathrel{\in} \underline{(sx)}
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(r1)}
 = \{\{\overline{(op1)}
,\overline{(op1)}
\}
,\{\overline{(op1)}
,\overline{(op2)}
\}
\}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\gg 
\forall_{obj} \overline{(r1)}
\colon \overline{(r1)}
 \mathrel{\in} \underline{(fx)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op1)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op2)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\overline{(op1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(op2)}
 \mathrel{\in} \underline{(sx)}
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(r1)}
 = \{\{\overline{(op1)}
,\overline{(op1)}
\}
,\{\overline{(op1)}
,\overline{(op2)}
\}
\}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
; A4
\mathop {\char64} \underline{(sy)}
\rhd 
\forall_{obj} \overline{(r1)}
\colon \overline{(r1)}
 \mathrel{\in} \underline{(fx)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op1)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op2)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\overline{(op1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(op2)}
 \mathrel{\in} \underline{(sx)}
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(r1)}
 = \{\{\overline{(op1)}
,\overline{(op1)}
\}
,\{\overline{(op1)}
,\overline{(op2)}
\}
\}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\gg \underline{(sy)}
 \mathrel{\in} \underline{(fx)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op1)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op2)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\overline{(op1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(op2)}
 \mathrel{\in} \underline{(sx)}
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\underline{(sy)}
 = \{\{\overline{(op1)}
,\overline{(op1)}
\}
,\{\overline{(op1)}
,\overline{(op2)}
\}
\}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
; MP
\rhd \underline{(sy)}
 \mathrel{\in} \underline{(fx)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op1)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op2)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\overline{(op1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(op2)}
 \mathrel{\in} \underline{(sx)}
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\underline{(sy)}
 = \{\{\overline{(op1)}
,\overline{(op1)}
\}
,\{\overline{(op1)}
,\overline{(op2)}
\}
\}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\rhd \underline{(sy)}
 \mathrel{\in} \underline{(fx)}
\gg \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op1)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op2)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\overline{(op1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(op2)}
 \mathrel{\in} \underline{(sx)}
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\underline{(sy)}
 = \{\{\overline{(op1)}
,\overline{(op1)}
\}
,\{\overline{(op1)}
,\overline{(op2)}
\}
\}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
; Repetition
\rhd \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op1)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op2)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\overline{(op1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(op2)}
 \mathrel{\in} \underline{(sx)}
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\underline{(sy)}
 = \{\{\overline{(op1)}
,\overline{(op1)}
\}
,\{\overline{(op1)}
,\overline{(op2)}
\}
\}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\gg \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op1)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op2)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\overline{(op1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(op2)}
 \mathrel{\in} \underline{(sx)}
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\underline{(sy)}
 = \{\{\overline{(op1)}
,\overline{(op1)}
\}
,\{\overline{(op1)}
,\overline{(op2)}
\}
\}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
; InSeriesHelper
\gg \underline{(sy)}
 \mathrel{\in} \underline{(fx)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(r1)}
\colon \overline{(r1)}
 \mathrel{\in} \underline{(fx)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op1)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op2)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\overline{(op1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(op2)}
 \mathrel{\in} \underline{(sx)}
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(r1)}
 = \{\{\overline{(op1)}
,\overline{(op1)}
\}
,\{\overline{(op1)}
,\overline{(op2)}
\}
\}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(f1)}
\colon 
\forall_{obj} \overline{(f2)}
\colon 
\forall_{obj} \overline{(f3)}
\colon 
\forall_{obj} \overline{(f4)}
\colon \{\{\overline{(f1)}
,\overline{(f1)}
\}
,\{\overline{(f1)}
,\overline{(f2)}
\}
\}
 \mathrel{\in} \underline{(fx)}
\Rightarrow \{\{\overline{(f3)}
,\overline{(f3)}
\}
,\{\overline{(f3)}
,\overline{(f4)}
\}
\}
 \mathrel{\in} \underline{(fx)}
\Rightarrow \overline{(f1)}
 = \overline{(f3)}
\Rightarrow \overline{(f2)}
 = \overline{(f4)}
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(s1)}
\colon \overline{(s1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(s2)}
\colon \dot{\neg}\,(\{\{\overline{(s1)}
,\overline{(s1)}
\}
,\{\overline{(s1)}
,\overline{(s2)}
\}
\}
 \mathrel{\in} \underline{(fx)}
)n
)n
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\overline{(op1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(op2)}
 \mathrel{\in} \underline{(sx)}
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\underline{(sy)}
 = \{\{\overline{(op1)}
,\overline{(op1)}
\}
,\{\overline{(op1)}
,\overline{(op2)}
\}
\}
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \underline{
\mathsf {m}}
\colon \dot{\neg}\,(\underline{(sy)}
 = \{\{\underline{
\mathsf {m}}
,\underline{
\mathsf {m}}
\}
,\{\underline{
\mathsf {m}}
,\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
\}
\}
)n
)n
; MP2
\rhd \underline{(sy)}
 \mathrel{\in} \underline{(fx)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(r1)}
\colon \overline{(r1)}
 \mathrel{\in} \underline{(fx)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op1)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op2)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\overline{(op1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(op2)}
 \mathrel{\in} \underline{(sx)}
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(r1)}
 = \{\{\overline{(op1)}
,\overline{(op1)}
\}
,\{\overline{(op1)}
,\overline{(op2)}
\}
\}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(f1)}
\colon 
\forall_{obj} \overline{(f2)}
\colon 
\forall_{obj} \overline{(f3)}
\colon 
\forall_{obj} \overline{(f4)}
\colon \{\{\overline{(f1)}
,\overline{(f1)}
\}
,\{\overline{(f1)}
,\overline{(f2)}
\}
\}
 \mathrel{\in} \underline{(fx)}
\Rightarrow \{\{\overline{(f3)}
,\overline{(f3)}
\}
,\{\overline{(f3)}
,\overline{(f4)}
\}
\}
 \mathrel{\in} \underline{(fx)}
\Rightarrow \overline{(f1)}
 = \overline{(f3)}
\Rightarrow \overline{(f2)}
 = \overline{(f4)}
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(s1)}
\colon \overline{(s1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(s2)}
\colon \dot{\neg}\,(\{\{\overline{(s1)}
,\overline{(s1)}
\}
,\{\overline{(s1)}
,\overline{(s2)}
\}
\}
 \mathrel{\in} \underline{(fx)}
)n
)n
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\overline{(op1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(op2)}
 \mathrel{\in} \underline{(sx)}
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\underline{(sy)}
 = \{\{\overline{(op1)}
,\overline{(op1)}
\}
,\{\overline{(op1)}
,\overline{(op2)}
\}
\}
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \underline{
\mathsf {m}}
\colon \dot{\neg}\,(\underline{(sy)}
 = \{\{\underline{
\mathsf {m}}
,\underline{
\mathsf {m}}
\}
,\{\underline{
\mathsf {m}}
,\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
\}
\}
)n
)n
\rhd \underline{(sy)}
 \mathrel{\in} \underline{(fx)}
\rhd \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(r1)}
\colon \overline{(r1)}
 \mathrel{\in} \underline{(fx)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op1)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op2)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\overline{(op1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(op2)}
 \mathrel{\in} \underline{(sx)}
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(r1)}
 = \{\{\overline{(op1)}
,\overline{(op1)}
\}
,\{\overline{(op1)}
,\overline{(op2)}
\}
\}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(f1)}
\colon 
\forall_{obj} \overline{(f2)}
\colon 
\forall_{obj} \overline{(f3)}
\colon 
\forall_{obj} \overline{(f4)}
\colon \{\{\overline{(f1)}
,\overline{(f1)}
\}
,\{\overline{(f1)}
,\overline{(f2)}
\}
\}
 \mathrel{\in} \underline{(fx)}
\Rightarrow \{\{\overline{(f3)}
,\overline{(f3)}
\}
,\{\overline{(f3)}
,\overline{(f4)}
\}
\}
 \mathrel{\in} \underline{(fx)}
\Rightarrow \overline{(f1)}
 = \overline{(f3)}
\Rightarrow \overline{(f2)}
 = \overline{(f4)}
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(s1)}
\colon \overline{(s1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(s2)}
\colon \dot{\neg}\,(\{\{\overline{(s1)}
,\overline{(s1)}
\}
,\{\overline{(s1)}
,\overline{(s2)}
\}
\}
 \mathrel{\in} \underline{(fx)}
)n
)n
)n
)n
\gg \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\overline{(op1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(op2)}
 \mathrel{\in} \underline{(sx)}
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\underline{(sy)}
 = \{\{\overline{(op1)}
,\overline{(op1)}
\}
,\{\overline{(op1)}
,\overline{(op2)}
\}
\}
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \underline{
\mathsf {m}}
\colon \dot{\neg}\,(\underline{(sy)}
 = \{\{\underline{
\mathsf {m}}
,\underline{
\mathsf {m}}
\}
,\{\underline{
\mathsf {m}}
,\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
\}
\}
)n
)n
; TwiceExistMP
\rhd \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\overline{(op1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(op2)}
 \mathrel{\in} \underline{(sx)}
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\underline{(sy)}
 = \{\{\overline{(op1)}
,\overline{(op1)}
\}
,\{\overline{(op1)}
,\overline{(op2)}
\}
\}
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \underline{
\mathsf {m}}
\colon \dot{\neg}\,(\underline{(sy)}
 = \{\{\underline{
\mathsf {m}}
,\underline{
\mathsf {m}}
\}
,\{\underline{
\mathsf {m}}
,\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
\}
\}
)n
)n
\rhd \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op1)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op2)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\overline{(op1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(op2)}
 \mathrel{\in} \underline{(sx)}
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\underline{(sy)}
 = \{\{\overline{(op1)}
,\overline{(op1)}
\}
,\{\overline{(op1)}
,\overline{(op2)}
\}
\}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\gg \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \underline{
\mathsf {m}}
\colon \dot{\neg}\,(\underline{(sy)}
 = \{\{\underline{
\mathsf {m}}
,\underline{
\mathsf {m}}
\}
,\{\underline{
\mathsf {m}}
,\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
\}
\}
)n
)n
\rceil 
, 
p_0
, 
\mathsf {c}
)
]$

$
[To=f(Subset)(Helper)
\stackrel{
stmt
}{\rightarrow}SystemQ
\vdash 
\forall \underline{
\mathsf {m}}
\colon 
\forall \underline{(fx)}
\colon 
\forall \underline{(fy)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(r1)}
\colon \overline{(r1)}
 \mathrel{\in} \underline{(fy)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op1)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op2)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\overline{(op1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(op2)}
 \mathrel{\in} Q
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(r1)}
 = \{\{\overline{(op1)}
,\overline{(op1)}
\}
,\{\overline{(op1)}
,\overline{(op2)}
\}
\}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(f1)}
\colon 
\forall_{obj} \overline{(f2)}
\colon 
\forall_{obj} \overline{(f3)}
\colon 
\forall_{obj} \overline{(f4)}
\colon \{\{\overline{(f1)}
,\overline{(f1)}
\}
,\{\overline{(f1)}
,\overline{(f2)}
\}
\}
 \mathrel{\in} \underline{(fy)}
\Rightarrow \{\{\overline{(f3)}
,\overline{(f3)}
\}
,\{\overline{(f3)}
,\overline{(f4)}
\}
\}
 \mathrel{\in} \underline{(fy)}
\Rightarrow \overline{(f1)}
 = \overline{(f3)}
\Rightarrow \overline{(f2)}
 = \overline{(f4)}
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(s1)}
\colon \overline{(s1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(s2)}
\colon \dot{\neg}\,(\{\{\overline{(s1)}
,\overline{(s1)}
\}
,\{\overline{(s1)}
,\overline{(s2)}
\}
\}
 \mathrel{\in} \underline{(fy)}
)n
)n
)n
)n
\Rightarrow 
\forall_{obj} \underline{
\mathsf {m}}
\colon \underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
 = \underline{(fy)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
\Rightarrow \overline{(s1)}
 = \{\{\underline{
\mathsf {m}}
,\underline{
\mathsf {m}}
\}
,\{\underline{
\mathsf {m}}
,\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
\}
\}
\Rightarrow \overline{(s1)}
 \mathrel{\in} \underline{(fy)}
]$

$
[To=f(Subset)(Helper)
\stackrel{
proof
}{\rightarrow}
\lambda 
\mathsf {c}
.
\lambda 
\mathsf{x}
.
{\cal P}( 
\lceil SystemQ
\vdash 
\forall \underline{
\mathsf {m}}
\colon 
\forall \underline{(fx)}
\colon 
\forall \underline{(fy)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(r1)}
\colon \overline{(r1)}
 \mathrel{\in} \underline{(fy)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op1)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op2)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\overline{(op1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(op2)}
 \mathrel{\in} Q
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(r1)}
 = \{\{\overline{(op1)}
,\overline{(op1)}
\}
,\{\overline{(op1)}
,\overline{(op2)}
\}
\}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(f1)}
\colon 
\forall_{obj} \overline{(f2)}
\colon 
\forall_{obj} \overline{(f3)}
\colon 
\forall_{obj} \overline{(f4)}
\colon \{\{\overline{(f1)}
,\overline{(f1)}
\}
,\{\overline{(f1)}
,\overline{(f2)}
\}
\}
 \mathrel{\in} \underline{(fy)}
\Rightarrow \{\{\overline{(f3)}
,\overline{(f3)}
\}
,\{\overline{(f3)}
,\overline{(f4)}
\}
\}
 \mathrel{\in} \underline{(fy)}
\Rightarrow \overline{(f1)}
 = \overline{(f3)}
\Rightarrow \overline{(f2)}
 = \overline{(f4)}
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(s1)}
\colon \overline{(s1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(s2)}
\colon \dot{\neg}\,(\{\{\overline{(s1)}
,\overline{(s1)}
\}
,\{\overline{(s1)}
,\overline{(s2)}
\}
\}
 \mathrel{\in} \underline{(fy)}
)n
)n
)n
)n
\vdash 
\forall_{obj} \underline{
\mathsf {m}}
\colon \underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
 = \underline{(fy)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
\vdash \overline{(s1)}
 = \{\{\underline{
\mathsf {m}}
,\underline{
\mathsf {m}}
\}
,\{\underline{
\mathsf {m}}
,\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
\}
\}
\vdash eqReflexivity
\gg \underline{
\mathsf {m}}
 = \underline{
\mathsf {m}}
; A4
\mathop {\char64} \underline{
\mathsf {m}}
\rhd 
\forall_{obj} \underline{
\mathsf {m}}
\colon \underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
 = \underline{(fy)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
\gg \underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
 = \underline{(fy)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
; sameOrderedPair
\rhd \underline{
\mathsf {m}}
 = \underline{
\mathsf {m}}
\rhd \underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
 = \underline{(fy)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
\gg \{\{\underline{
\mathsf {m}}
,\underline{
\mathsf {m}}
\}
,\{\underline{
\mathsf {m}}
,\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
\}
\}
 = \{\{\underline{
\mathsf {m}}
,\underline{
\mathsf {m}}
\}
,\{\underline{
\mathsf {m}}
,\underline{(fy)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
\}
\}
; eqTransitivity
\rhd \overline{(s1)}
 = \{\{\underline{
\mathsf {m}}
,\underline{
\mathsf {m}}
\}
,\{\underline{
\mathsf {m}}
,\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
\}
\}
\rhd \{\{\underline{
\mathsf {m}}
,\underline{
\mathsf {m}}
\}
,\{\underline{
\mathsf {m}}
,\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
\}
\}
 = \{\{\underline{
\mathsf {m}}
,\underline{
\mathsf {m}}
\}
,\{\underline{
\mathsf {m}}
,\underline{(fy)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
\}
\}
\gg \overline{(s1)}
 = \{\{\underline{
\mathsf {m}}
,\underline{
\mathsf {m}}
\}
,\{\underline{
\mathsf {m}}
,\underline{(fy)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
\}
\}
; eqSymmetry
\rhd \overline{(s1)}
 = \{\{\underline{
\mathsf {m}}
,\underline{
\mathsf {m}}
\}
,\{\underline{
\mathsf {m}}
,\underline{(fy)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
\}
\}
\gg \{\{\underline{
\mathsf {m}}
,\underline{
\mathsf {m}}
\}
,\{\underline{
\mathsf {m}}
,\underline{(fy)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
\}
\}
 = \overline{(s1)}
; NatType
\gg \underline{
\mathsf {m}}
 \mathrel{\in} N
; MemberOfSeries
\rhd \underline{
\mathsf {m}}
 \mathrel{\in} N
\rhd \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(r1)}
\colon \overline{(r1)}
 \mathrel{\in} \underline{(fy)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op1)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op2)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\overline{(op1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(op2)}
 \mathrel{\in} Q
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(r1)}
 = \{\{\overline{(op1)}
,\overline{(op1)}
\}
,\{\overline{(op1)}
,\overline{(op2)}
\}
\}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(f1)}
\colon 
\forall_{obj} \overline{(f2)}
\colon 
\forall_{obj} \overline{(f3)}
\colon 
\forall_{obj} \overline{(f4)}
\colon \{\{\overline{(f1)}
,\overline{(f1)}
\}
,\{\overline{(f1)}
,\overline{(f2)}
\}
\}
 \mathrel{\in} \underline{(fy)}
\Rightarrow \{\{\overline{(f3)}
,\overline{(f3)}
\}
,\{\overline{(f3)}
,\overline{(f4)}
\}
\}
 \mathrel{\in} \underline{(fy)}
\Rightarrow \overline{(f1)}
 = \overline{(f3)}
\Rightarrow \overline{(f2)}
 = \overline{(f4)}
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(s1)}
\colon \overline{(s1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(s2)}
\colon \dot{\neg}\,(\{\{\overline{(s1)}
,\overline{(s1)}
\}
,\{\overline{(s1)}
,\overline{(s2)}
\}
\}
 \mathrel{\in} \underline{(fy)}
)n
)n
)n
)n
\gg \{\{\underline{
\mathsf {m}}
,\underline{
\mathsf {m}}
\}
,\{\underline{
\mathsf {m}}
,\underline{(fy)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
\}
\}
 \mathrel{\in} \underline{(fy)}
; SameMember
\rhd \{\{\underline{
\mathsf {m}}
,\underline{
\mathsf {m}}
\}
,\{\underline{
\mathsf {m}}
,\underline{(fy)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
\}
\}
 = \overline{(s1)}
\rhd \{\{\underline{
\mathsf {m}}
,\underline{
\mathsf {m}}
\}
,\{\underline{
\mathsf {m}}
,\underline{(fy)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
\}
\}
 \mathrel{\in} \underline{(fy)}
\gg \overline{(s1)}
 \mathrel{\in} \underline{(fy)}
; 
\forall \underline{
\mathsf {m}}
\colon 
\forall \underline{(fx)}
\colon 
\forall \underline{(fy)}
\colon Ded
\rhd 
\forall \underline{
\mathsf {m}}
\colon 
\forall \underline{(fx)}
\colon 
\forall \underline{(fy)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(r1)}
\colon \overline{(r1)}
 \mathrel{\in} \underline{(fy)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op1)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op2)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\overline{(op1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(op2)}
 \mathrel{\in} Q
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(r1)}
 = \{\{\overline{(op1)}
,\overline{(op1)}
\}
,\{\overline{(op1)}
,\overline{(op2)}
\}
\}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(f1)}
\colon 
\forall_{obj} \overline{(f2)}
\colon 
\forall_{obj} \overline{(f3)}
\colon 
\forall_{obj} \overline{(f4)}
\colon \{\{\overline{(f1)}
,\overline{(f1)}
\}
,\{\overline{(f1)}
,\overline{(f2)}
\}
\}
 \mathrel{\in} \underline{(fy)}
\Rightarrow \{\{\overline{(f3)}
,\overline{(f3)}
\}
,\{\overline{(f3)}
,\overline{(f4)}
\}
\}
 \mathrel{\in} \underline{(fy)}
\Rightarrow \overline{(f1)}
 = \overline{(f3)}
\Rightarrow \overline{(f2)}
 = \overline{(f4)}
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(s1)}
\colon \overline{(s1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(s2)}
\colon \dot{\neg}\,(\{\{\overline{(s1)}
,\overline{(s1)}
\}
,\{\overline{(s1)}
,\overline{(s2)}
\}
\}
 \mathrel{\in} \underline{(fy)}
)n
)n
)n
)n
\vdash 
\forall_{obj} \underline{
\mathsf {m}}
\colon \underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
 = \underline{(fy)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
\vdash \overline{(s1)}
 = \{\{\underline{
\mathsf {m}}
,\underline{
\mathsf {m}}
\}
,\{\underline{
\mathsf {m}}
,\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
\}
\}
\vdash \overline{(s1)}
 \mathrel{\in} \underline{(fy)}
\gg \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(r1)}
\colon \overline{(r1)}
 \mathrel{\in} \underline{(fy)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op1)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op2)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\overline{(op1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(op2)}
 \mathrel{\in} Q
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(r1)}
 = \{\{\overline{(op1)}
,\overline{(op1)}
\}
,\{\overline{(op1)}
,\overline{(op2)}
\}
\}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(f1)}
\colon 
\forall_{obj} \overline{(f2)}
\colon 
\forall_{obj} \overline{(f3)}
\colon 
\forall_{obj} \overline{(f4)}
\colon \{\{\overline{(f1)}
,\overline{(f1)}
\}
,\{\overline{(f1)}
,\overline{(f2)}
\}
\}
 \mathrel{\in} \underline{(fy)}
\Rightarrow \{\{\overline{(f3)}
,\overline{(f3)}
\}
,\{\overline{(f3)}
,\overline{(f4)}
\}
\}
 \mathrel{\in} \underline{(fy)}
\Rightarrow \overline{(f1)}
 = \overline{(f3)}
\Rightarrow \overline{(f2)}
 = \overline{(f4)}
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(s1)}
\colon \overline{(s1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(s2)}
\colon \dot{\neg}\,(\{\{\overline{(s1)}
,\overline{(s1)}
\}
,\{\overline{(s1)}
,\overline{(s2)}
\}
\}
 \mathrel{\in} \underline{(fy)}
)n
)n
)n
)n
\Rightarrow 
\forall_{obj} \underline{
\mathsf {m}}
\colon \underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
 = \underline{(fy)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
\Rightarrow \overline{(s1)}
 = \{\{\underline{
\mathsf {m}}
,\underline{
\mathsf {m}}
\}
,\{\underline{
\mathsf {m}}
,\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
\}
\}
\Rightarrow \overline{(s1)}
 \mathrel{\in} \underline{(fy)}
\rceil 
, 
p_0
, 
\mathsf {c}
)
]$

$
[To=f(Subset)
\stackrel{
stmt
}{\rightarrow}SystemQ
\vdash 
\forall \underline{
\mathsf {m}}
\colon 
\forall \underline{(fx)}
\colon 
\forall \underline{(fy)}
\colon 
\lambda 
\mathsf {c}
.Typeseries0(
\lceil \underline{(fx)}
\rceil 
,
\lceil Q
\rceil 
)
\mathrel {\makebox [0mm][l]{$\vdash $}\,{\vdash }} 
\lambda 
\mathsf {c}
.Typeseries0(
\lceil \underline{(fy)}
\rceil 
,
\lceil Q
\rceil 
)
\mathrel {\makebox [0mm][l]{$\vdash $}\,{\vdash }} 
\forall_{obj} \underline{
\mathsf {m}}
\colon \underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
 = \underline{(fy)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
\vdash 
\forall_{obj} \overline{(s1)}
\colon \overline{(s1)}
 \mathrel{\in} \underline{(fx)}
\Rightarrow \overline{(s1)}
 \mathrel{\in} \underline{(fy)}
]$

$
[To=f(Subset)
\stackrel{
proof
}{\rightarrow}
\lambda 
\mathsf {c}
.
\lambda 
\mathsf{x}
.
{\cal P}( 
\lceil SystemQ
\vdash 
\forall \underline{
\mathsf {m}}
\colon 
\forall \underline{(fx)}
\colon 
\forall \underline{(fy)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(r1)}
\colon \overline{(r1)}
 \mathrel{\in} \underline{(fx)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op1)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op2)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\overline{(op1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(op2)}
 \mathrel{\in} Q
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(r1)}
 = \{\{\overline{(op1)}
,\overline{(op1)}
\}
,\{\overline{(op1)}
,\overline{(op2)}
\}
\}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(f1)}
\colon 
\forall_{obj} \overline{(f2)}
\colon 
\forall_{obj} \overline{(f3)}
\colon 
\forall_{obj} \overline{(f4)}
\colon \{\{\overline{(f1)}
,\overline{(f1)}
\}
,\{\overline{(f1)}
,\overline{(f2)}
\}
\}
 \mathrel{\in} \underline{(fx)}
\Rightarrow \{\{\overline{(f3)}
,\overline{(f3)}
\}
,\{\overline{(f3)}
,\overline{(f4)}
\}
\}
 \mathrel{\in} \underline{(fx)}
\Rightarrow \overline{(f1)}
 = \overline{(f3)}
\Rightarrow \overline{(f2)}
 = \overline{(f4)}
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(s1)}
\colon \overline{(s1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(s2)}
\colon \dot{\neg}\,(\{\{\overline{(s1)}
,\overline{(s1)}
\}
,\{\overline{(s1)}
,\overline{(s2)}
\}
\}
 \mathrel{\in} \underline{(fx)}
)n
)n
)n
)n
\vdash \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(r1)}
\colon \overline{(r1)}
 \mathrel{\in} \underline{(fy)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op1)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op2)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\overline{(op1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(op2)}
 \mathrel{\in} Q
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(r1)}
 = \{\{\overline{(op1)}
,\overline{(op1)}
\}
,\{\overline{(op1)}
,\overline{(op2)}
\}
\}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(f1)}
\colon 
\forall_{obj} \overline{(f2)}
\colon 
\forall_{obj} \overline{(f3)}
\colon 
\forall_{obj} \overline{(f4)}
\colon \{\{\overline{(f1)}
,\overline{(f1)}
\}
,\{\overline{(f1)}
,\overline{(f2)}
\}
\}
 \mathrel{\in} \underline{(fy)}
\Rightarrow \{\{\overline{(f3)}
,\overline{(f3)}
\}
,\{\overline{(f3)}
,\overline{(f4)}
\}
\}
 \mathrel{\in} \underline{(fy)}
\Rightarrow \overline{(f1)}
 = \overline{(f3)}
\Rightarrow \overline{(f2)}
 = \overline{(f4)}
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(s1)}
\colon \overline{(s1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(s2)}
\colon \dot{\neg}\,(\{\{\overline{(s1)}
,\overline{(s1)}
\}
,\{\overline{(s1)}
,\overline{(s2)}
\}
\}
 \mathrel{\in} \underline{(fy)}
)n
)n
)n
)n
\vdash 
\forall_{obj} \underline{
\mathsf {m}}
\colon \underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
 = \underline{(fy)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
\vdash \overline{(s1)}
 \mathrel{\in} \underline{(fx)}
\vdash InSeries
\gg \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \underline{
\mathsf {m}}
\colon \dot{\neg}\,(\overline{(s1)}
 = \{\{\underline{
\mathsf {m}}
,\underline{
\mathsf {m}}
\}
,\{\underline{
\mathsf {m}}
,\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
\}
\}
)n
)n
; To=f(Subset)(Helper)
\gg \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(r1)}
\colon \overline{(r1)}
 \mathrel{\in} \underline{(fy)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op1)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op2)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\overline{(op1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(op2)}
 \mathrel{\in} Q
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(r1)}
 = \{\{\overline{(op1)}
,\overline{(op1)}
\}
,\{\overline{(op1)}
,\overline{(op2)}
\}
\}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(f1)}
\colon 
\forall_{obj} \overline{(f2)}
\colon 
\forall_{obj} \overline{(f3)}
\colon 
\forall_{obj} \overline{(f4)}
\colon \{\{\overline{(f1)}
,\overline{(f1)}
\}
,\{\overline{(f1)}
,\overline{(f2)}
\}
\}
 \mathrel{\in} \underline{(fy)}
\Rightarrow \{\{\overline{(f3)}
,\overline{(f3)}
\}
,\{\overline{(f3)}
,\overline{(f4)}
\}
\}
 \mathrel{\in} \underline{(fy)}
\Rightarrow \overline{(f1)}
 = \overline{(f3)}
\Rightarrow \overline{(f2)}
 = \overline{(f4)}
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(s1)}
\colon \overline{(s1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(s2)}
\colon \dot{\neg}\,(\{\{\overline{(s1)}
,\overline{(s1)}
\}
,\{\overline{(s1)}
,\overline{(s2)}
\}
\}
 \mathrel{\in} \underline{(fy)}
)n
)n
)n
)n
\Rightarrow 
\forall_{obj} \underline{
\mathsf {m}}
\colon \underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
 = \underline{(fy)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
\Rightarrow \overline{(s1)}
 = \{\{\underline{
\mathsf {m}}
,\underline{
\mathsf {m}}
\}
,\{\underline{
\mathsf {m}}
,\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
\}
\}
\Rightarrow \overline{(s1)}
 \mathrel{\in} \underline{(fy)}
; MP2
\rhd \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(r1)}
\colon \overline{(r1)}
 \mathrel{\in} \underline{(fy)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op1)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op2)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\overline{(op1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(op2)}
 \mathrel{\in} Q
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(r1)}
 = \{\{\overline{(op1)}
,\overline{(op1)}
\}
,\{\overline{(op1)}
,\overline{(op2)}
\}
\}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(f1)}
\colon 
\forall_{obj} \overline{(f2)}
\colon 
\forall_{obj} \overline{(f3)}
\colon 
\forall_{obj} \overline{(f4)}
\colon \{\{\overline{(f1)}
,\overline{(f1)}
\}
,\{\overline{(f1)}
,\overline{(f2)}
\}
\}
 \mathrel{\in} \underline{(fy)}
\Rightarrow \{\{\overline{(f3)}
,\overline{(f3)}
\}
,\{\overline{(f3)}
,\overline{(f4)}
\}
\}
 \mathrel{\in} \underline{(fy)}
\Rightarrow \overline{(f1)}
 = \overline{(f3)}
\Rightarrow \overline{(f2)}
 = \overline{(f4)}
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(s1)}
\colon \overline{(s1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(s2)}
\colon \dot{\neg}\,(\{\{\overline{(s1)}
,\overline{(s1)}
\}
,\{\overline{(s1)}
,\overline{(s2)}
\}
\}
 \mathrel{\in} \underline{(fy)}
)n
)n
)n
)n
\Rightarrow 
\forall_{obj} \underline{
\mathsf {m}}
\colon \underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
 = \underline{(fy)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
\Rightarrow \overline{(s1)}
 = \{\{\underline{
\mathsf {m}}
,\underline{
\mathsf {m}}
\}
,\{\underline{
\mathsf {m}}
,\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
\}
\}
\Rightarrow \overline{(s1)}
 \mathrel{\in} \underline{(fy)}
\rhd \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(r1)}
\colon \overline{(r1)}
 \mathrel{\in} \underline{(fy)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op1)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op2)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\overline{(op1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(op2)}
 \mathrel{\in} Q
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(r1)}
 = \{\{\overline{(op1)}
,\overline{(op1)}
\}
,\{\overline{(op1)}
,\overline{(op2)}
\}
\}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(f1)}
\colon 
\forall_{obj} \overline{(f2)}
\colon 
\forall_{obj} \overline{(f3)}
\colon 
\forall_{obj} \overline{(f4)}
\colon \{\{\overline{(f1)}
,\overline{(f1)}
\}
,\{\overline{(f1)}
,\overline{(f2)}
\}
\}
 \mathrel{\in} \underline{(fy)}
\Rightarrow \{\{\overline{(f3)}
,\overline{(f3)}
\}
,\{\overline{(f3)}
,\overline{(f4)}
\}
\}
 \mathrel{\in} \underline{(fy)}
\Rightarrow \overline{(f1)}
 = \overline{(f3)}
\Rightarrow \overline{(f2)}
 = \overline{(f4)}
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(s1)}
\colon \overline{(s1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(s2)}
\colon \dot{\neg}\,(\{\{\overline{(s1)}
,\overline{(s1)}
\}
,\{\overline{(s1)}
,\overline{(s2)}
\}
\}
 \mathrel{\in} \underline{(fy)}
)n
)n
)n
)n
\rhd 
\forall_{obj} \underline{
\mathsf {m}}
\colon \underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
 = \underline{(fy)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
\gg \overline{(s1)}
 = \{\{\underline{
\mathsf {m}}
,\underline{
\mathsf {m}}
\}
,\{\underline{
\mathsf {m}}
,\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
\}
\}
\Rightarrow \overline{(s1)}
 \mathrel{\in} \underline{(fy)}
; ExistMP
\rhd \overline{(s1)}
 = \{\{\underline{
\mathsf {m}}
,\underline{
\mathsf {m}}
\}
,\{\underline{
\mathsf {m}}
,\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
\}
\}
\Rightarrow \overline{(s1)}
 \mathrel{\in} \underline{(fy)}
\rhd \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \underline{
\mathsf {m}}
\colon \dot{\neg}\,(\overline{(s1)}
 = \{\{\underline{
\mathsf {m}}
,\underline{
\mathsf {m}}
\}
,\{\underline{
\mathsf {m}}
,\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
\}
\}
)n
)n
\gg \overline{(s1)}
 \mathrel{\in} \underline{(fy)}
; 
\forall \underline{
\mathsf {m}}
\colon 
\forall \underline{(fx)}
\colon 
\forall \underline{(fy)}
\colon Ded
\rhd 
\forall \underline{
\mathsf {m}}
\colon 
\forall \underline{(fx)}
\colon 
\forall \underline{(fy)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(r1)}
\colon \overline{(r1)}
 \mathrel{\in} \underline{(fx)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op1)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op2)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\overline{(op1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(op2)}
 \mathrel{\in} Q
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(r1)}
 = \{\{\overline{(op1)}
,\overline{(op1)}
\}
,\{\overline{(op1)}
,\overline{(op2)}
\}
\}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(f1)}
\colon 
\forall_{obj} \overline{(f2)}
\colon 
\forall_{obj} \overline{(f3)}
\colon 
\forall_{obj} \overline{(f4)}
\colon \{\{\overline{(f1)}
,\overline{(f1)}
\}
,\{\overline{(f1)}
,\overline{(f2)}
\}
\}
 \mathrel{\in} \underline{(fx)}
\Rightarrow \{\{\overline{(f3)}
,\overline{(f3)}
\}
,\{\overline{(f3)}
,\overline{(f4)}
\}
\}
 \mathrel{\in} \underline{(fx)}
\Rightarrow \overline{(f1)}
 = \overline{(f3)}
\Rightarrow \overline{(f2)}
 = \overline{(f4)}
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(s1)}
\colon \overline{(s1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(s2)}
\colon \dot{\neg}\,(\{\{\overline{(s1)}
,\overline{(s1)}
\}
,\{\overline{(s1)}
,\overline{(s2)}
\}
\}
 \mathrel{\in} \underline{(fx)}
)n
)n
)n
)n
\vdash \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(r1)}
\colon \overline{(r1)}
 \mathrel{\in} \underline{(fy)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op1)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op2)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\overline{(op1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(op2)}
 \mathrel{\in} Q
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(r1)}
 = \{\{\overline{(op1)}
,\overline{(op1)}
\}
,\{\overline{(op1)}
,\overline{(op2)}
\}
\}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(f1)}
\colon 
\forall_{obj} \overline{(f2)}
\colon 
\forall_{obj} \overline{(f3)}
\colon 
\forall_{obj} \overline{(f4)}
\colon \{\{\overline{(f1)}
,\overline{(f1)}
\}
,\{\overline{(f1)}
,\overline{(f2)}
\}
\}
 \mathrel{\in} \underline{(fy)}
\Rightarrow \{\{\overline{(f3)}
,\overline{(f3)}
\}
,\{\overline{(f3)}
,\overline{(f4)}
\}
\}
 \mathrel{\in} \underline{(fy)}
\Rightarrow \overline{(f1)}
 = \overline{(f3)}
\Rightarrow \overline{(f2)}
 = \overline{(f4)}
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(s1)}
\colon \overline{(s1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(s2)}
\colon \dot{\neg}\,(\{\{\overline{(s1)}
,\overline{(s1)}
\}
,\{\overline{(s1)}
,\overline{(s2)}
\}
\}
 \mathrel{\in} \underline{(fy)}
)n
)n
)n
)n
\vdash 
\forall_{obj} \underline{
\mathsf {m}}
\colon \underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
 = \underline{(fy)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
\vdash \overline{(s1)}
 \mathrel{\in} \underline{(fx)}
\vdash \overline{(s1)}
 \mathrel{\in} \underline{(fy)}
\gg \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(r1)}
\colon \overline{(r1)}
 \mathrel{\in} \underline{(fx)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op1)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op2)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\overline{(op1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(op2)}
 \mathrel{\in} Q
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(r1)}
 = \{\{\overline{(op1)}
,\overline{(op1)}
\}
,\{\overline{(op1)}
,\overline{(op2)}
\}
\}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(f1)}
\colon 
\forall_{obj} \overline{(f2)}
\colon 
\forall_{obj} \overline{(f3)}
\colon 
\forall_{obj} \overline{(f4)}
\colon \{\{\overline{(f1)}
,\overline{(f1)}
\}
,\{\overline{(f1)}
,\overline{(f2)}
\}
\}
 \mathrel{\in} \underline{(fx)}
\Rightarrow \{\{\overline{(f3)}
,\overline{(f3)}
\}
,\{\overline{(f3)}
,\overline{(f4)}
\}
\}
 \mathrel{\in} \underline{(fx)}
\Rightarrow \overline{(f1)}
 = \overline{(f3)}
\Rightarrow \overline{(f2)}
 = \overline{(f4)}
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(s1)}
\colon \overline{(s1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(s2)}
\colon \dot{\neg}\,(\{\{\overline{(s1)}
,\overline{(s1)}
\}
,\{\overline{(s1)}
,\overline{(s2)}
\}
\}
 \mathrel{\in} \underline{(fx)}
)n
)n
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(r1)}
\colon \overline{(r1)}
 \mathrel{\in} \underline{(fy)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op1)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op2)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\overline{(op1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(op2)}
 \mathrel{\in} Q
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(r1)}
 = \{\{\overline{(op1)}
,\overline{(op1)}
\}
,\{\overline{(op1)}
,\overline{(op2)}
\}
\}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(f1)}
\colon 
\forall_{obj} \overline{(f2)}
\colon 
\forall_{obj} \overline{(f3)}
\colon 
\forall_{obj} \overline{(f4)}
\colon \{\{\overline{(f1)}
,\overline{(f1)}
\}
,\{\overline{(f1)}
,\overline{(f2)}
\}
\}
 \mathrel{\in} \underline{(fy)}
\Rightarrow \{\{\overline{(f3)}
,\overline{(f3)}
\}
,\{\overline{(f3)}
,\overline{(f4)}
\}
\}
 \mathrel{\in} \underline{(fy)}
\Rightarrow \overline{(f1)}
 = \overline{(f3)}
\Rightarrow \overline{(f2)}
 = \overline{(f4)}
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(s1)}
\colon \overline{(s1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(s2)}
\colon \dot{\neg}\,(\{\{\overline{(s1)}
,\overline{(s1)}
\}
,\{\overline{(s1)}
,\overline{(s2)}
\}
\}
 \mathrel{\in} \underline{(fy)}
)n
)n
)n
)n
\Rightarrow 
\forall_{obj} \underline{
\mathsf {m}}
\colon \underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
 = \underline{(fy)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
\Rightarrow \overline{(s1)}
 \mathrel{\in} \underline{(fx)}
\Rightarrow \overline{(s1)}
 \mathrel{\in} \underline{(fy)}
; 
\lambda 
\mathsf {c}
.Typeseries0(
\lceil \underline{(fx)}
\rceil 
,
\lceil Q
\rceil 
)
\mathrel {\makebox [0mm][l]{$\vdash $}\,{\vdash }} 
\lambda 
\mathsf {c}
.Typeseries0(
\lceil \underline{(fy)}
\rceil 
,
\lceil Q
\rceil 
)
\mathrel {\makebox [0mm][l]{$\vdash $}\,{\vdash }} 
\forall_{obj} \underline{
\mathsf {m}}
\colon \underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
 = \underline{(fy)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
\vdash SeriesType
\mathrel {\makebox [0mm][l]{$\rhd $}\,{\rhd }} 
\lambda 
\mathsf {c}
.Typeseries0(
\lceil \underline{(fx)}
\rceil 
,
\lceil Q
\rceil 
)
\gg \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(r1)}
\colon \overline{(r1)}
 \mathrel{\in} \underline{(fx)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op1)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op2)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\overline{(op1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(op2)}
 \mathrel{\in} Q
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(r1)}
 = \{\{\overline{(op1)}
,\overline{(op1)}
\}
,\{\overline{(op1)}
,\overline{(op2)}
\}
\}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(f1)}
\colon 
\forall_{obj} \overline{(f2)}
\colon 
\forall_{obj} \overline{(f3)}
\colon 
\forall_{obj} \overline{(f4)}
\colon \{\{\overline{(f1)}
,\overline{(f1)}
\}
,\{\overline{(f1)}
,\overline{(f2)}
\}
\}
 \mathrel{\in} \underline{(fx)}
\Rightarrow \{\{\overline{(f3)}
,\overline{(f3)}
\}
,\{\overline{(f3)}
,\overline{(f4)}
\}
\}
 \mathrel{\in} \underline{(fx)}
\Rightarrow \overline{(f1)}
 = \overline{(f3)}
\Rightarrow \overline{(f2)}
 = \overline{(f4)}
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(s1)}
\colon \overline{(s1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(s2)}
\colon \dot{\neg}\,(\{\{\overline{(s1)}
,\overline{(s1)}
\}
,\{\overline{(s1)}
,\overline{(s2)}
\}
\}
 \mathrel{\in} \underline{(fx)}
)n
)n
)n
)n
; SeriesType
\mathrel {\makebox [0mm][l]{$\rhd $}\,{\rhd }} 
\lambda 
\mathsf {c}
.Typeseries0(
\lceil \underline{(fy)}
\rceil 
,
\lceil Q
\rceil 
)
\gg \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(r1)}
\colon \overline{(r1)}
 \mathrel{\in} \underline{(fy)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op1)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op2)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\overline{(op1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(op2)}
 \mathrel{\in} Q
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(r1)}
 = \{\{\overline{(op1)}
,\overline{(op1)}
\}
,\{\overline{(op1)}
,\overline{(op2)}
\}
\}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(f1)}
\colon 
\forall_{obj} \overline{(f2)}
\colon 
\forall_{obj} \overline{(f3)}
\colon 
\forall_{obj} \overline{(f4)}
\colon \{\{\overline{(f1)}
,\overline{(f1)}
\}
,\{\overline{(f1)}
,\overline{(f2)}
\}
\}
 \mathrel{\in} \underline{(fy)}
\Rightarrow \{\{\overline{(f3)}
,\overline{(f3)}
\}
,\{\overline{(f3)}
,\overline{(f4)}
\}
\}
 \mathrel{\in} \underline{(fy)}
\Rightarrow \overline{(f1)}
 = \overline{(f3)}
\Rightarrow \overline{(f2)}
 = \overline{(f4)}
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(s1)}
\colon \overline{(s1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(s2)}
\colon \dot{\neg}\,(\{\{\overline{(s1)}
,\overline{(s1)}
\}
,\{\overline{(s1)}
,\overline{(s2)}
\}
\}
 \mathrel{\in} \underline{(fy)}
)n
)n
)n
)n
; MP3
\rhd \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(r1)}
\colon \overline{(r1)}
 \mathrel{\in} \underline{(fx)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op1)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op2)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\overline{(op1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(op2)}
 \mathrel{\in} Q
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(r1)}
 = \{\{\overline{(op1)}
,\overline{(op1)}
\}
,\{\overline{(op1)}
,\overline{(op2)}
\}
\}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(f1)}
\colon 
\forall_{obj} \overline{(f2)}
\colon 
\forall_{obj} \overline{(f3)}
\colon 
\forall_{obj} \overline{(f4)}
\colon \{\{\overline{(f1)}
,\overline{(f1)}
\}
,\{\overline{(f1)}
,\overline{(f2)}
\}
\}
 \mathrel{\in} \underline{(fx)}
\Rightarrow \{\{\overline{(f3)}
,\overline{(f3)}
\}
,\{\overline{(f3)}
,\overline{(f4)}
\}
\}
 \mathrel{\in} \underline{(fx)}
\Rightarrow \overline{(f1)}
 = \overline{(f3)}
\Rightarrow \overline{(f2)}
 = \overline{(f4)}
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(s1)}
\colon \overline{(s1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(s2)}
\colon \dot{\neg}\,(\{\{\overline{(s1)}
,\overline{(s1)}
\}
,\{\overline{(s1)}
,\overline{(s2)}
\}
\}
 \mathrel{\in} \underline{(fx)}
)n
)n
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(r1)}
\colon \overline{(r1)}
 \mathrel{\in} \underline{(fy)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op1)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op2)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\overline{(op1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(op2)}
 \mathrel{\in} Q
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(r1)}
 = \{\{\overline{(op1)}
,\overline{(op1)}
\}
,\{\overline{(op1)}
,\overline{(op2)}
\}
\}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(f1)}
\colon 
\forall_{obj} \overline{(f2)}
\colon 
\forall_{obj} \overline{(f3)}
\colon 
\forall_{obj} \overline{(f4)}
\colon \{\{\overline{(f1)}
,\overline{(f1)}
\}
,\{\overline{(f1)}
,\overline{(f2)}
\}
\}
 \mathrel{\in} \underline{(fy)}
\Rightarrow \{\{\overline{(f3)}
,\overline{(f3)}
\}
,\{\overline{(f3)}
,\overline{(f4)}
\}
\}
 \mathrel{\in} \underline{(fy)}
\Rightarrow \overline{(f1)}
 = \overline{(f3)}
\Rightarrow \overline{(f2)}
 = \overline{(f4)}
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(s1)}
\colon \overline{(s1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(s2)}
\colon \dot{\neg}\,(\{\{\overline{(s1)}
,\overline{(s1)}
\}
,\{\overline{(s1)}
,\overline{(s2)}
\}
\}
 \mathrel{\in} \underline{(fy)}
)n
)n
)n
)n
\Rightarrow 
\forall_{obj} \underline{
\mathsf {m}}
\colon \underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
 = \underline{(fy)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
\Rightarrow \overline{(s1)}
 \mathrel{\in} \underline{(fx)}
\Rightarrow \overline{(s1)}
 \mathrel{\in} \underline{(fy)}
\rhd \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(r1)}
\colon \overline{(r1)}
 \mathrel{\in} \underline{(fx)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op1)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op2)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\overline{(op1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(op2)}
 \mathrel{\in} Q
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(r1)}
 = \{\{\overline{(op1)}
,\overline{(op1)}
\}
,\{\overline{(op1)}
,\overline{(op2)}
\}
\}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(f1)}
\colon 
\forall_{obj} \overline{(f2)}
\colon 
\forall_{obj} \overline{(f3)}
\colon 
\forall_{obj} \overline{(f4)}
\colon \{\{\overline{(f1)}
,\overline{(f1)}
\}
,\{\overline{(f1)}
,\overline{(f2)}
\}
\}
 \mathrel{\in} \underline{(fx)}
\Rightarrow \{\{\overline{(f3)}
,\overline{(f3)}
\}
,\{\overline{(f3)}
,\overline{(f4)}
\}
\}
 \mathrel{\in} \underline{(fx)}
\Rightarrow \overline{(f1)}
 = \overline{(f3)}
\Rightarrow \overline{(f2)}
 = \overline{(f4)}
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(s1)}
\colon \overline{(s1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(s2)}
\colon \dot{\neg}\,(\{\{\overline{(s1)}
,\overline{(s1)}
\}
,\{\overline{(s1)}
,\overline{(s2)}
\}
\}
 \mathrel{\in} \underline{(fx)}
)n
)n
)n
)n
\rhd \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(r1)}
\colon \overline{(r1)}
 \mathrel{\in} \underline{(fy)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op1)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op2)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\overline{(op1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(op2)}
 \mathrel{\in} Q
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(r1)}
 = \{\{\overline{(op1)}
,\overline{(op1)}
\}
,\{\overline{(op1)}
,\overline{(op2)}
\}
\}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(f1)}
\colon 
\forall_{obj} \overline{(f2)}
\colon 
\forall_{obj} \overline{(f3)}
\colon 
\forall_{obj} \overline{(f4)}
\colon \{\{\overline{(f1)}
,\overline{(f1)}
\}
,\{\overline{(f1)}
,\overline{(f2)}
\}
\}
 \mathrel{\in} \underline{(fy)}
\Rightarrow \{\{\overline{(f3)}
,\overline{(f3)}
\}
,\{\overline{(f3)}
,\overline{(f4)}
\}
\}
 \mathrel{\in} \underline{(fy)}
\Rightarrow \overline{(f1)}
 = \overline{(f3)}
\Rightarrow \overline{(f2)}
 = \overline{(f4)}
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(s1)}
\colon \overline{(s1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(s2)}
\colon \dot{\neg}\,(\{\{\overline{(s1)}
,\overline{(s1)}
\}
,\{\overline{(s1)}
,\overline{(s2)}
\}
\}
 \mathrel{\in} \underline{(fy)}
)n
)n
)n
)n
\rhd 
\forall_{obj} \underline{
\mathsf {m}}
\colon \underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
 = \underline{(fy)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
\gg \overline{(s1)}
 \mathrel{\in} \underline{(fx)}
\Rightarrow \overline{(s1)}
 \mathrel{\in} \underline{(fy)}
; Gen
\rhd \overline{(s1)}
 \mathrel{\in} \underline{(fx)}
\Rightarrow \overline{(s1)}
 \mathrel{\in} \underline{(fy)}
\gg 
\forall_{obj} \overline{(s1)}
\colon \overline{(s1)}
 \mathrel{\in} \underline{(fx)}
\Rightarrow \overline{(s1)}
 \mathrel{\in} \underline{(fy)}
; Repetition
\rhd 
\forall_{obj} \overline{(s1)}
\colon \overline{(s1)}
 \mathrel{\in} \underline{(fx)}
\Rightarrow \overline{(s1)}
 \mathrel{\in} \underline{(fy)}
\gg 
\forall_{obj} \overline{(s1)}
\colon \overline{(s1)}
 \mathrel{\in} \underline{(fx)}
\Rightarrow \overline{(s1)}
 \mathrel{\in} \underline{(fy)}
\rceil 
, 
p_0
, 
\mathsf {c}
)
]$


$
[To=f
\stackrel{
stmt
}{\rightarrow}SystemQ
\vdash 
\forall \underline{
\mathsf {m}}
\colon 
\forall \underline{(fx)}
\colon 
\forall \underline{(fy)}
\colon 
\lambda 
\mathsf {c}
.Typeseries0(
\lceil \underline{(fx)}
\rceil 
,
\lceil Q
\rceil 
)
\mathrel {\makebox [0mm][l]{$\vdash $}\,{\vdash }} 
\lambda 
\mathsf {c}
.Typeseries0(
\lceil \underline{(fy)}
\rceil 
,
\lceil Q
\rceil 
)
\mathrel {\makebox [0mm][l]{$\vdash $}\,{\vdash }} 
\forall_{obj} \underline{
\mathsf {m}}
\colon \underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
 = \underline{(fy)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
\vdash \underline{(fx)}
 = \underline{(fy)}
]$

$
[To=f
\stackrel{
proof
}{\rightarrow}
\lambda 
\mathsf {c}
.
\lambda 
\mathsf{x}
.
{\cal P}( 
\lceil SystemQ
\vdash 
\forall \underline{
\mathsf {m}}
\colon 
\forall \underline{(fx)}
\colon 
\forall \underline{(fy)}
\colon 
\lambda 
\mathsf {c}
.Typeseries0(
\lceil \underline{(fx)}
\rceil 
,
\lceil Q
\rceil 
)
\mathrel {\makebox [0mm][l]{$\vdash $}\,{\vdash }} 
\lambda 
\mathsf {c}
.Typeseries0(
\lceil \underline{(fy)}
\rceil 
,
\lceil Q
\rceil 
)
\mathrel {\makebox [0mm][l]{$\vdash $}\,{\vdash }} 
\forall_{obj} \underline{
\mathsf {m}}
\colon \underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
 = \underline{(fy)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
\vdash A4
\mathop {\char64} \underline{
\mathsf {m}}
\rhd 
\forall_{obj} \underline{
\mathsf {m}}
\colon \underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
 = \underline{(fy)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
\gg \underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
 = \underline{(fy)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
; eqSymmetry
\rhd \underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
 = \underline{(fy)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
\gg \underline{(fy)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
 = \underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
; Gen
\rhd \underline{(fy)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
 = \underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
\gg 
\forall_{obj} \underline{
\mathsf {m}}
\colon \underline{(fy)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
 = \underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
; To=f(Subset)
\mathrel {\makebox [0mm][l]{$\rhd $}\,{\rhd }} 
\lambda 
\mathsf {c}
.Typeseries0(
\lceil \underline{(fx)}
\rceil 
,
\lceil Q
\rceil 
)
\mathrel {\makebox [0mm][l]{$\rhd $}\,{\rhd }} 
\lambda 
\mathsf {c}
.Typeseries0(
\lceil \underline{(fy)}
\rceil 
,
\lceil Q
\rceil 
)
\rhd 
\forall_{obj} \underline{
\mathsf {m}}
\colon \underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
 = \underline{(fy)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
\gg 
\forall_{obj} \overline{(s1)}
\colon \overline{(s1)}
 \mathrel{\in} \underline{(fx)}
\Rightarrow \overline{(s1)}
 \mathrel{\in} \underline{(fy)}
; To=f(Subset)
\mathrel {\makebox [0mm][l]{$\rhd $}\,{\rhd }} 
\lambda 
\mathsf {c}
.Typeseries0(
\lceil \underline{(fy)}
\rceil 
,
\lceil Q
\rceil 
)
\mathrel {\makebox [0mm][l]{$\rhd $}\,{\rhd }} 
\lambda 
\mathsf {c}
.Typeseries0(
\lceil \underline{(fx)}
\rceil 
,
\lceil Q
\rceil 
)
\rhd 
\forall_{obj} \underline{
\mathsf {m}}
\colon \underline{(fy)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
 = \underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
\gg 
\forall_{obj} \overline{(s1)}
\colon \overline{(s1)}
 \mathrel{\in} \underline{(fy)}
\Rightarrow \overline{(s1)}
 \mathrel{\in} \underline{(fx)}
; ToSetEquality
\rhd 
\forall_{obj} \overline{(s1)}
\colon \overline{(s1)}
 \mathrel{\in} \underline{(fx)}
\Rightarrow \overline{(s1)}
 \mathrel{\in} \underline{(fy)}
\rhd 
\forall_{obj} \overline{(s1)}
\colon \overline{(s1)}
 \mathrel{\in} \underline{(fy)}
\Rightarrow \overline{(s1)}
 \mathrel{\in} \underline{(fx)}
\gg \underline{(fx)}
 = \underline{(fy)}
\rceil 
, 
p_0
, 
\mathsf {c}
)
]$

$
[Tester1
\stackrel{
stmt
}{\rightarrow}SystemQ
\vdash 
\forall \underline{
\mathsf {m}}
\colon 
\forall \underline{(fx)}
\colon 
\forall \underline{(fy)}
\colon 
\forall_{obj} \underline{
\mathsf {m}}
\colon \underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
 = \underline{(fy)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
\vdash \underline{(fx)}
 = \underline{(fy)}
]$

$
[Tester1
\stackrel{
proof
}{\rightarrow}
\lambda 
\mathsf {c}
.
\lambda 
\mathsf{x}
.
{\cal P}( 
\lceil SystemQ
\vdash 
\forall \underline{
\mathsf {m}}
\colon 
\forall \underline{(fx)}
\colon 
\forall \underline{(fy)}
\colon 
\forall_{obj} \underline{
\mathsf {m}}
\colon \underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
 = \underline{(fy)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
\vdash To=f
\rhd 
\forall_{obj} \underline{
\mathsf {m}}
\colon \underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
 = \underline{(fy)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
\gg \underline{(fx)}
 = \underline{(fy)}
\rceil 
, 
p_0
, 
\mathsf {c}
)
]$


$
[PositiveNonzero
\stackrel{
stmt
}{\rightarrow}SystemQ
\vdash 
\forall \underline{
\mathsf{x}}
\colon \dot{\neg}\,(0
 <= \underline{
\mathsf{x}}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(0
 = \underline{
\mathsf{x}}
)n
)n
)n
\vdash \dot{\neg}\,(\underline{
\mathsf{x}}
 = 0
)n
]$

$
[PositiveNonzero
\stackrel{
proof
}{\rightarrow}
\lambda 
\mathsf {c}
.
\lambda 
\mathsf{x}
.
{\cal P}( 
\lceil SystemQ
\vdash 
\forall \underline{
\mathsf{x}}
\colon \dot{\neg}\,(0
 <= \underline{
\mathsf{x}}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(0
 = \underline{
\mathsf{x}}
)n
)n
)n
\vdash Repetition
\rhd \dot{\neg}\,(0
 <= \underline{
\mathsf{x}}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(0
 = \underline{
\mathsf{x}}
)n
)n
)n
\gg \dot{\neg}\,(0
 <= \underline{
\mathsf{x}}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(0
 = \underline{
\mathsf{x}}
)n
)n
)n
; SecondConjunct
\rhd \dot{\neg}\,(0
 <= \underline{
\mathsf{x}}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(0
 = \underline{
\mathsf{x}}
)n
)n
)n
\gg \dot{\neg}\,(0
 = \underline{
\mathsf{x}}
)n
; NeqSymmetry
\rhd \dot{\neg}\,(0
 = \underline{
\mathsf{x}}
)n
\gg \dot{\neg}\,(\underline{
\mathsf{x}}
 = 0
)n
\rceil 
, 
p_0
, 
\mathsf {c}
)
]$

$
[reciprocalToLeft(Less)
\stackrel{
stmt
}{\rightarrow}SystemQ
\vdash 
\forall \underline{
\mathsf{x}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf{y}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf{z}}
\colon \dot{\neg}\,(0
 <= \underline{
\mathsf{z}}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(0
 = \underline{
\mathsf{z}}
)n
)n
)n
\vdash \dot{\neg}\,(\underline{
\mathsf{x}}
 <= (\underline{
\mathsf{y}}
*rec\underline{
\mathsf{z}}
)
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\underline{
\mathsf{x}}
 = (\underline{
\mathsf{y}}
*rec\underline{
\mathsf{z}}
)
)n
)n
)n
\vdash \dot{\neg}\,((\underline{
\mathsf{x}}
*\underline{
\mathsf{z}}
)
 <= \underline{
\mathsf{y}}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,((\underline{
\mathsf{x}}
*\underline{
\mathsf{z}}
)
 = \underline{
\mathsf{y}}
)n
)n
)n
]$

$
[reciprocalToLeft(Less)
\stackrel{
proof
}{\rightarrow}
\lambda 
\mathsf {c}
.
\lambda 
\mathsf{x}
.
{\cal P}( 
\lceil SystemQ
\vdash 
\forall \underline{
\mathsf{x}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf{y}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf{z}}
\colon \dot{\neg}\,(0
 <= \underline{
\mathsf{z}}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(0
 = \underline{
\mathsf{z}}
)n
)n
)n
\vdash \dot{\neg}\,(\underline{
\mathsf{x}}
 <= (\underline{
\mathsf{y}}
*rec\underline{
\mathsf{z}}
)
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\underline{
\mathsf{x}}
 = (\underline{
\mathsf{y}}
*rec\underline{
\mathsf{z}}
)
)n
)n
)n
\vdash LessMultiplication
\rhd \dot{\neg}\,(0
 <= \underline{
\mathsf{z}}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(0
 = \underline{
\mathsf{z}}
)n
)n
)n
\rhd \dot{\neg}\,(\underline{
\mathsf{x}}
 <= (\underline{
\mathsf{y}}
*rec\underline{
\mathsf{z}}
)
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\underline{
\mathsf{x}}
 = (\underline{
\mathsf{y}}
*rec\underline{
\mathsf{z}}
)
)n
)n
)n
\gg \dot{\neg}\,((\underline{
\mathsf{x}}
*\underline{
\mathsf{z}}
)
 <= ((\underline{
\mathsf{y}}
*rec\underline{
\mathsf{z}}
)
*\underline{
\mathsf{z}}
)
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,((\underline{
\mathsf{x}}
*\underline{
\mathsf{z}}
)
 = ((\underline{
\mathsf{y}}
*rec\underline{
\mathsf{z}}
)
*\underline{
\mathsf{z}}
)
)n
)n
)n
; Three2threeFactors
\gg ((\underline{
\mathsf{y}}
*rec\underline{
\mathsf{z}}
)
*\underline{
\mathsf{z}}
)
 = ((\underline{
\mathsf{y}}
*\underline{
\mathsf{z}}
)
*rec\underline{
\mathsf{z}}
)
; PositiveNonzero
\rhd \dot{\neg}\,(0
 <= \underline{
\mathsf{z}}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(0
 = \underline{
\mathsf{z}}
)n
)n
)n
\gg \dot{\neg}\,(\underline{
\mathsf{z}}
 = 0
)n
; x=x*y*(1/y)
\rhd \dot{\neg}\,(\underline{
\mathsf{z}}
 = 0
)n
\gg \underline{
\mathsf{y}}
 = ((\underline{
\mathsf{y}}
*\underline{
\mathsf{z}}
)
*rec\underline{
\mathsf{z}}
)
; eqSymmetry
\rhd \underline{
\mathsf{y}}
 = ((\underline{
\mathsf{y}}
*\underline{
\mathsf{z}}
)
*rec\underline{
\mathsf{z}}
)
\gg ((\underline{
\mathsf{y}}
*\underline{
\mathsf{z}}
)
*rec\underline{
\mathsf{z}}
)
 = \underline{
\mathsf{y}}
; eqTransitivity
\rhd ((\underline{
\mathsf{y}}
*rec\underline{
\mathsf{z}}
)
*\underline{
\mathsf{z}}
)
 = ((\underline{
\mathsf{y}}
*\underline{
\mathsf{z}}
)
*rec\underline{
\mathsf{z}}
)
\rhd ((\underline{
\mathsf{y}}
*\underline{
\mathsf{z}}
)
*rec\underline{
\mathsf{z}}
)
 = \underline{
\mathsf{y}}
\gg ((\underline{
\mathsf{y}}
*rec\underline{
\mathsf{z}}
)
*\underline{
\mathsf{z}}
)
 = \underline{
\mathsf{y}}
; SubLessRight
\rhd ((\underline{
\mathsf{y}}
*rec\underline{
\mathsf{z}}
)
*\underline{
\mathsf{z}}
)
 = \underline{
\mathsf{y}}
\rhd \dot{\neg}\,((\underline{
\mathsf{x}}
*\underline{
\mathsf{z}}
)
 <= ((\underline{
\mathsf{y}}
*rec\underline{
\mathsf{z}}
)
*\underline{
\mathsf{z}}
)
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,((\underline{
\mathsf{x}}
*\underline{
\mathsf{z}}
)
 = ((\underline{
\mathsf{y}}
*rec\underline{
\mathsf{z}}
)
*\underline{
\mathsf{z}}
)
)n
)n
)n
\gg \dot{\neg}\,((\underline{
\mathsf{x}}
*\underline{
\mathsf{z}}
)
 <= \underline{
\mathsf{y}}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,((\underline{
\mathsf{x}}
*\underline{
\mathsf{z}}
)
 = \underline{
\mathsf{y}}
)n
)n
)n
\rceil 
, 
p_0
, 
\mathsf {c}
)
]$




XX 0<1/2 er et specialtilfaelde
$
[PositiveInverted
\stackrel{
stmt
}{\rightarrow}SystemQ
\vdash 
\forall \underline{
\mathsf{x}}
\colon \dot{\neg}\,(0
 <= \underline{
\mathsf{x}}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(0
 = \underline{
\mathsf{x}}
)n
)n
)n
\vdash \dot{\neg}\,(0
 <= rec\underline{
\mathsf{x}}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(0
 = rec\underline{
\mathsf{x}}
)n
)n
)n
]$

$
[PositiveInverted
\stackrel{
proof
}{\rightarrow}
\lambda 
\mathsf {c}
.
\lambda 
\mathsf{x}
.
{\cal P}( 
\lceil SystemQ
\vdash 
\forall \underline{
\mathsf{x}}
\colon \dot{\neg}\,(0
 <= \underline{
\mathsf{x}}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(0
 = \underline{
\mathsf{x}}
)n
)n
)n
\vdash FirstConjunct
\rhd \dot{\neg}\,(0
 <= \underline{
\mathsf{x}}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(0
 = \underline{
\mathsf{x}}
)n
)n
)n
\gg 0
 <= \underline{
\mathsf{x}}
; SecondConjunct
\rhd \dot{\neg}\,(0
 <= \underline{
\mathsf{x}}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(0
 = \underline{
\mathsf{x}}
)n
)n
)n
\gg \dot{\neg}\,(0
 = \underline{
\mathsf{x}}
)n
; NeqSymmetry
\rhd \dot{\neg}\,(0
 = \underline{
\mathsf{x}}
)n
\gg \dot{\neg}\,(\underline{
\mathsf{x}}
 = 0
)n
; 0<1
\gg \dot{\neg}\,(0
 <= 1
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(0
 = 1
)n
)n
)n
; x*0=0
\gg (\underline{
\mathsf{x}}
*0
)
 = 0
; x*y=zBackwards
\rhd (\underline{
\mathsf{x}}
*0
)
 = 0
\gg 0
 = (0
*\underline{
\mathsf{x}}
)
; SubLessLeft
\rhd 0
 = (0
*\underline{
\mathsf{x}}
)
\rhd \dot{\neg}\,(0
 <= 1
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(0
 = 1
)n
)n
)n
\gg \dot{\neg}\,((0
*\underline{
\mathsf{x}}
)
 <= 1
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,((0
*\underline{
\mathsf{x}}
)
 = 1
)n
)n
)n
; Reciprocal
\rhd \dot{\neg}\,(\underline{
\mathsf{x}}
 = 0
)n
\gg (\underline{
\mathsf{x}}
*rec\underline{
\mathsf{x}}
)
 = 1
; x*y=zBackwards
\rhd (\underline{
\mathsf{x}}
*rec\underline{
\mathsf{x}}
)
 = 1
\gg 1
 = (rec\underline{
\mathsf{x}}
*\underline{
\mathsf{x}}
)
; SubLessRight
\rhd 1
 = (rec\underline{
\mathsf{x}}
*\underline{
\mathsf{x}}
)
\rhd \dot{\neg}\,((0
*\underline{
\mathsf{x}}
)
 <= 1
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,((0
*\underline{
\mathsf{x}}
)
 = 1
)n
)n
)n
\gg \dot{\neg}\,((0
*\underline{
\mathsf{x}}
)
 <= (rec\underline{
\mathsf{x}}
*\underline{
\mathsf{x}}
)
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,((0
*\underline{
\mathsf{x}}
)
 = (rec\underline{
\mathsf{x}}
*\underline{
\mathsf{x}}
)
)n
)n
)n
; LessDivision
\rhd 0
 <= \underline{
\mathsf{x}}
\rhd \dot{\neg}\,((0
*\underline{
\mathsf{x}}
)
 <= (rec\underline{
\mathsf{x}}
*\underline{
\mathsf{x}}
)
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,((0
*\underline{
\mathsf{x}}
)
 = (rec\underline{
\mathsf{x}}
*\underline{
\mathsf{x}}
)
)n
)n
)n
\gg \dot{\neg}\,(0
 <= rec\underline{
\mathsf{x}}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(0
 = rec\underline{
\mathsf{x}}
)n
)n
)n
\rceil 
, 
p_0
, 
\mathsf {c}
)
]$

--------------------

$
[ToNumericalLess
\stackrel{
stmt
}{\rightarrow}SystemQ
\vdash 
\forall \underline{
\mathsf{x}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf{y}}
\colon \dot{\neg}\,((-u\underline{
\mathsf{y}}
)
 <= \underline{
\mathsf{x}}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,((-u\underline{
\mathsf{y}}
)
 = \underline{
\mathsf{x}}
)n
)n
)n
\vdash \dot{\neg}\,(\underline{
\mathsf{x}}
 <= \underline{
\mathsf{y}}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\underline{
\mathsf{x}}
 = \underline{
\mathsf{y}}
)n
)n
)n
\vdash \dot{\neg}\,(|\underline{
\mathsf{x}}
|
 <= \underline{
\mathsf{y}}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(|\underline{
\mathsf{x}}
|
 = \underline{
\mathsf{y}}
)n
)n
)n
]$

$
[ToNumericalLess
\stackrel{
proof
}{\rightarrow}
\lambda 
\mathsf {c}
.
\lambda 
\mathsf{x}
.
{\cal P}( 
\lceil SystemQ
\vdash 
\forall \underline{
\mathsf{x}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf{y}}
\colon \dot{\neg}\,(\underline{
\mathsf{x}}
 <= \underline{
\mathsf{y}}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\underline{
\mathsf{x}}
 = \underline{
\mathsf{y}}
)n
)n
)n
\vdash 0
 <= \underline{
\mathsf{x}}
\vdash NonnegativeNumerical
\rhd 0
 <= \underline{
\mathsf{x}}
\gg |\underline{
\mathsf{x}}
|
 = \underline{
\mathsf{x}}
; eqSymmetry
\rhd |\underline{
\mathsf{x}}
|
 = \underline{
\mathsf{x}}
\gg \underline{
\mathsf{x}}
 = |\underline{
\mathsf{x}}
|
; SubLessLeft
\rhd \underline{
\mathsf{x}}
 = |\underline{
\mathsf{x}}
|
\rhd \dot{\neg}\,(\underline{
\mathsf{x}}
 <= \underline{
\mathsf{y}}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\underline{
\mathsf{x}}
 = \underline{
\mathsf{y}}
)n
)n
)n
\gg \dot{\neg}\,(|\underline{
\mathsf{x}}
|
 <= \underline{
\mathsf{y}}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(|\underline{
\mathsf{x}}
|
 = \underline{
\mathsf{y}}
)n
)n
)n
; 
\forall \underline{
\mathsf{x}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf{y}}
\colon \dot{\neg}\,((-u\underline{
\mathsf{y}}
)
 <= \underline{
\mathsf{x}}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,((-u\underline{
\mathsf{y}}
)
 = \underline{
\mathsf{x}}
)n
)n
)n
\vdash \underline{
\mathsf{x}}
 <= 0
\vdash LessNegated
\rhd \dot{\neg}\,((-u\underline{
\mathsf{y}}
)
 <= \underline{
\mathsf{x}}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,((-u\underline{
\mathsf{y}}
)
 = \underline{
\mathsf{x}}
)n
)n
)n
\gg \dot{\neg}\,((-u\underline{
\mathsf{x}}
)
 <= (-u(-u\underline{
\mathsf{y}}
)
)
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,((-u\underline{
\mathsf{x}}
)
 = (-u(-u\underline{
\mathsf{y}}
)
)
)n
)n
)n
; 
\mbox{lemma nonpositiveNumerical}
\rhd \underline{
\mathsf{x}}
 <= 0
\gg |\underline{
\mathsf{x}}
|
 = (-u\underline{
\mathsf{x}}
)
; eqSymmetry
\rhd |\underline{
\mathsf{x}}
|
 = (-u\underline{
\mathsf{x}}
)
\gg (-u\underline{
\mathsf{x}}
)
 = |\underline{
\mathsf{x}}
|
; SubLessLeft
\rhd (-u\underline{
\mathsf{x}}
)
 = |\underline{
\mathsf{x}}
|
\rhd \dot{\neg}\,((-u\underline{
\mathsf{x}}
)
 <= (-u(-u\underline{
\mathsf{y}}
)
)
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,((-u\underline{
\mathsf{x}}
)
 = (-u(-u\underline{
\mathsf{y}}
)
)
)n
)n
)n
\gg \dot{\neg}\,(|\underline{
\mathsf{x}}
|
 <= (-u(-u\underline{
\mathsf{y}}
)
)
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(|\underline{
\mathsf{x}}
|
 = (-u(-u\underline{
\mathsf{y}}
)
)
)n
)n
)n
; DoubleMinus
\gg (-u(-u\underline{
\mathsf{y}}
)
)
 = \underline{
\mathsf{y}}
; SubLessRight
\rhd (-u(-u\underline{
\mathsf{y}}
)
)
 = \underline{
\mathsf{y}}
\rhd \dot{\neg}\,(|\underline{
\mathsf{x}}
|
 <= (-u(-u\underline{
\mathsf{y}}
)
)
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(|\underline{
\mathsf{x}}
|
 = (-u(-u\underline{
\mathsf{y}}
)
)
)n
)n
)n
\gg \dot{\neg}\,(|\underline{
\mathsf{x}}
|
 <= \underline{
\mathsf{y}}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(|\underline{
\mathsf{x}}
|
 = \underline{
\mathsf{y}}
)n
)n
)n
; 
\forall \underline{
\mathsf{x}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf{y}}
\colon Ded
\rhd 
\forall \underline{
\mathsf{x}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf{y}}
\colon \dot{\neg}\,(\underline{
\mathsf{x}}
 <= \underline{
\mathsf{y}}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\underline{
\mathsf{x}}
 = \underline{
\mathsf{y}}
)n
)n
)n
\vdash 0
 <= \underline{
\mathsf{x}}
\vdash \dot{\neg}\,(|\underline{
\mathsf{x}}
|
 <= \underline{
\mathsf{y}}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(|\underline{
\mathsf{x}}
|
 = \underline{
\mathsf{y}}
)n
)n
)n
\gg \dot{\neg}\,(\underline{
\mathsf{x}}
 <= \underline{
\mathsf{y}}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\underline{
\mathsf{x}}
 = \underline{
\mathsf{y}}
)n
)n
)n
\Rightarrow 0
 <= \underline{
\mathsf{x}}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(|\underline{
\mathsf{x}}
|
 <= \underline{
\mathsf{y}}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(|\underline{
\mathsf{x}}
|
 = \underline{
\mathsf{y}}
)n
)n
)n
; Ded
\rhd 
\forall \underline{
\mathsf{x}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf{y}}
\colon \dot{\neg}\,((-u\underline{
\mathsf{y}}
)
 <= \underline{
\mathsf{x}}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,((-u\underline{
\mathsf{y}}
)
 = \underline{
\mathsf{x}}
)n
)n
)n
\vdash \underline{
\mathsf{x}}
 <= 0
\vdash \dot{\neg}\,(|\underline{
\mathsf{x}}
|
 <= \underline{
\mathsf{y}}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(|\underline{
\mathsf{x}}
|
 = \underline{
\mathsf{y}}
)n
)n
)n
\gg \dot{\neg}\,((-u\underline{
\mathsf{y}}
)
 <= \underline{
\mathsf{x}}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,((-u\underline{
\mathsf{y}}
)
 = \underline{
\mathsf{x}}
)n
)n
)n
\Rightarrow \underline{
\mathsf{x}}
 <= 0
\Rightarrow \dot{\neg}\,(|\underline{
\mathsf{x}}
|
 <= \underline{
\mathsf{y}}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(|\underline{
\mathsf{x}}
|
 = \underline{
\mathsf{y}}
)n
)n
)n
; \dot{\neg}\,((-u\underline{
\mathsf{y}}
)
 <= \underline{
\mathsf{x}}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,((-u\underline{
\mathsf{y}}
)
 = \underline{
\mathsf{x}}
)n
)n
)n
\vdash \dot{\neg}\,(\underline{
\mathsf{x}}
 <= \underline{
\mathsf{y}}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\underline{
\mathsf{x}}
 = \underline{
\mathsf{y}}
)n
)n
)n
\vdash MP
\rhd \dot{\neg}\,(\underline{
\mathsf{x}}
 <= \underline{
\mathsf{y}}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\underline{
\mathsf{x}}
 = \underline{
\mathsf{y}}
)n
)n
)n
\Rightarrow 0
 <= \underline{
\mathsf{x}}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(|\underline{
\mathsf{x}}
|
 <= \underline{
\mathsf{y}}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(|\underline{
\mathsf{x}}
|
 = \underline{
\mathsf{y}}
)n
)n
)n
\rhd \dot{\neg}\,(\underline{
\mathsf{x}}
 <= \underline{
\mathsf{y}}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\underline{
\mathsf{x}}
 = \underline{
\mathsf{y}}
)n
)n
)n
\gg 0
 <= \underline{
\mathsf{x}}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(|\underline{
\mathsf{x}}
|
 <= \underline{
\mathsf{y}}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(|\underline{
\mathsf{x}}
|
 = \underline{
\mathsf{y}}
)n
)n
)n
; MP
\rhd \dot{\neg}\,((-u\underline{
\mathsf{y}}
)
 <= \underline{
\mathsf{x}}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,((-u\underline{
\mathsf{y}}
)
 = \underline{
\mathsf{x}}
)n
)n
)n
\Rightarrow \underline{
\mathsf{x}}
 <= 0
\Rightarrow \dot{\neg}\,(|\underline{
\mathsf{x}}
|
 <= \underline{
\mathsf{y}}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(|\underline{
\mathsf{x}}
|
 = \underline{
\mathsf{y}}
)n
)n
)n
\rhd \dot{\neg}\,((-u\underline{
\mathsf{y}}
)
 <= \underline{
\mathsf{x}}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,((-u\underline{
\mathsf{y}}
)
 = \underline{
\mathsf{x}}
)n
)n
)n
\gg \underline{
\mathsf{x}}
 <= 0
\Rightarrow \dot{\neg}\,(|\underline{
\mathsf{x}}
|
 <= \underline{
\mathsf{y}}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(|\underline{
\mathsf{x}}
|
 = \underline{
\mathsf{y}}
)n
)n
)n
; FromLeqGeq
\rhd 0
 <= \underline{
\mathsf{x}}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(|\underline{
\mathsf{x}}
|
 <= \underline{
\mathsf{y}}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(|\underline{
\mathsf{x}}
|
 = \underline{
\mathsf{y}}
)n
)n
)n
\rhd \underline{
\mathsf{x}}
 <= 0
\Rightarrow \dot{\neg}\,(|\underline{
\mathsf{x}}
|
 <= \underline{
\mathsf{y}}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(|\underline{
\mathsf{x}}
|
 = \underline{
\mathsf{y}}
)n
)n
)n
\gg \dot{\neg}\,(|\underline{
\mathsf{x}}
|
 <= \underline{
\mathsf{y}}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(|\underline{
\mathsf{x}}
|
 = \underline{
\mathsf{y}}
)n
)n
)n
\rceil 
, 
p_0
, 
\mathsf {c}
)
]$

$
[x<=|x|
\stackrel{
stmt
}{\rightarrow}SystemQ
\vdash 
\forall \underline{
\mathsf{x}}
\colon \underline{
\mathsf{x}}
 <= |\underline{
\mathsf{x}}
|
]$

$
[x<=|x|
\stackrel{
proof
}{\rightarrow}
\lambda 
\mathsf {c}
.
\lambda 
\mathsf{x}
.
{\cal P}( 
\lceil SystemQ
\vdash 
\forall \underline{
\mathsf{x}}
\colon 0
 <= \underline{
\mathsf{x}}
\vdash NonnegativeNumerical
\gg |\underline{
\mathsf{x}}
|
 = \underline{
\mathsf{x}}
; eqSymmetry
\rhd |\underline{
\mathsf{x}}
|
 = \underline{
\mathsf{x}}
\gg \underline{
\mathsf{x}}
 = |\underline{
\mathsf{x}}
|
; eqLeq
\rhd \underline{
\mathsf{x}}
 = |\underline{
\mathsf{x}}
|
\gg \underline{
\mathsf{x}}
 <= |\underline{
\mathsf{x}}
|
; 
\forall \underline{
\mathsf{x}}
\colon \underline{
\mathsf{x}}
 <= 0
\vdash 0<=|x|
\gg 0
 <= |\underline{
\mathsf{x}}
|
; leqTransitivity
\rhd \underline{
\mathsf{x}}
 <= 0
\rhd 0
 <= |\underline{
\mathsf{x}}
|
\gg \underline{
\mathsf{x}}
 <= |\underline{
\mathsf{x}}
|
; 
\forall \underline{
\mathsf{x}}
\colon Ded
\rhd 
\forall \underline{
\mathsf{x}}
\colon 0
 <= \underline{
\mathsf{x}}
\vdash \underline{
\mathsf{x}}
 <= |\underline{
\mathsf{x}}
|
\gg 0
 <= \underline{
\mathsf{x}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf{x}}
 <= |\underline{
\mathsf{x}}
|
; Ded
\rhd 
\forall \underline{
\mathsf{x}}
\colon \underline{
\mathsf{x}}
 <= 0
\vdash \underline{
\mathsf{x}}
 <= |\underline{
\mathsf{x}}
|
\gg \underline{
\mathsf{x}}
 <= 0
\Rightarrow \underline{
\mathsf{x}}
 <= |\underline{
\mathsf{x}}
|
; FromLeqGeq
\rhd 0
 <= \underline{
\mathsf{x}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf{x}}
 <= |\underline{
\mathsf{x}}
|
\rhd \underline{
\mathsf{x}}
 <= 0
\Rightarrow \underline{
\mathsf{x}}
 <= |\underline{
\mathsf{x}}
|
\gg \underline{
\mathsf{x}}
 <= |\underline{
\mathsf{x}}
|
\rceil 
, 
p_0
, 
\mathsf {c}
)
]$

$
[PositiveToLeft(Less)
\stackrel{
stmt
}{\rightarrow}SystemQ
\vdash 
\forall \underline{
\mathsf{x}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf{y}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf{z}}
\colon \dot{\neg}\,(\underline{
\mathsf{x}}
 <= (\underline{
\mathsf{y}}
+\underline{
\mathsf{z}}
)
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\underline{
\mathsf{x}}
 = (\underline{
\mathsf{y}}
+\underline{
\mathsf{z}}
)
)n
)n
)n
\vdash \dot{\neg}\,((\underline{
\mathsf{x}}
+(-u\underline{
\mathsf{z}}
)
)
 <= \underline{
\mathsf{y}}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,((\underline{
\mathsf{x}}
+(-u\underline{
\mathsf{z}}
)
)
 = \underline{
\mathsf{y}}
)n
)n
)n
]$

$
[PositiveToLeft(Less)
\stackrel{
proof
}{\rightarrow}
\lambda 
\mathsf {c}
.
\lambda 
\mathsf{x}
.
{\cal P}( 
\lceil SystemQ
\vdash 
\forall \underline{
\mathsf{x}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf{y}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf{z}}
\colon \dot{\neg}\,(\underline{
\mathsf{x}}
 <= (\underline{
\mathsf{y}}
+\underline{
\mathsf{z}}
)
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\underline{
\mathsf{x}}
 = (\underline{
\mathsf{y}}
+\underline{
\mathsf{z}}
)
)n
)n
)n
\vdash LessAddition
\rhd \dot{\neg}\,(\underline{
\mathsf{x}}
 <= (\underline{
\mathsf{y}}
+\underline{
\mathsf{z}}
)
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\underline{
\mathsf{x}}
 = (\underline{
\mathsf{y}}
+\underline{
\mathsf{z}}
)
)n
)n
)n
\gg \dot{\neg}\,((\underline{
\mathsf{x}}
+(-u\underline{
\mathsf{z}}
)
)
 <= ((\underline{
\mathsf{y}}
+\underline{
\mathsf{z}}
)
+(-u\underline{
\mathsf{z}}
)
)
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,((\underline{
\mathsf{x}}
+(-u\underline{
\mathsf{z}}
)
)
 = ((\underline{
\mathsf{y}}
+\underline{
\mathsf{z}}
)
+(-u\underline{
\mathsf{z}}
)
)
)n
)n
)n
; x=x+y-y
\gg \underline{
\mathsf{y}}
 = ((\underline{
\mathsf{y}}
+\underline{
\mathsf{z}}
)
+(-u\underline{
\mathsf{z}}
)
)
; eqSymmetry
\rhd \underline{
\mathsf{y}}
 = ((\underline{
\mathsf{y}}
+\underline{
\mathsf{z}}
)
+(-u\underline{
\mathsf{z}}
)
)
\gg ((\underline{
\mathsf{y}}
+\underline{
\mathsf{z}}
)
+(-u\underline{
\mathsf{z}}
)
)
 = \underline{
\mathsf{y}}
; SubLessRight
\rhd ((\underline{
\mathsf{y}}
+\underline{
\mathsf{z}}
)
+(-u\underline{
\mathsf{z}}
)
)
 = \underline{
\mathsf{y}}
\rhd \dot{\neg}\,((\underline{
\mathsf{x}}
+(-u\underline{
\mathsf{z}}
)
)
 <= ((\underline{
\mathsf{y}}
+\underline{
\mathsf{z}}
)
+(-u\underline{
\mathsf{z}}
)
)
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,((\underline{
\mathsf{x}}
+(-u\underline{
\mathsf{z}}
)
)
 = ((\underline{
\mathsf{y}}
+\underline{
\mathsf{z}}
)
+(-u\underline{
\mathsf{z}}
)
)
)n
)n
)n
\gg \dot{\neg}\,((\underline{
\mathsf{x}}
+(-u\underline{
\mathsf{z}}
)
)
 <= \underline{
\mathsf{y}}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,((\underline{
\mathsf{x}}
+(-u\underline{
\mathsf{z}}
)
)
 = \underline{
\mathsf{y}}
)n
)n
)n
\rceil 
, 
p_0
, 
\mathsf {c}
)
]$

$
[NegativeToRight(Less)
\stackrel{
stmt
}{\rightarrow}SystemQ
\vdash 
\forall \underline{
\mathsf{x}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf{y}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf{z}}
\colon \dot{\neg}\,((\underline{
\mathsf{x}}
+(-u\underline{
\mathsf{y}}
)
)
 <= \underline{
\mathsf{z}}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,((\underline{
\mathsf{x}}
+(-u\underline{
\mathsf{y}}
)
)
 = \underline{
\mathsf{z}}
)n
)n
)n
\vdash \dot{\neg}\,(\underline{
\mathsf{x}}
 <= (\underline{
\mathsf{z}}
+\underline{
\mathsf{y}}
)
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\underline{
\mathsf{x}}
 = (\underline{
\mathsf{z}}
+\underline{
\mathsf{y}}
)
)n
)n
)n
]$

$
[NegativeToRight(Less)
\stackrel{
proof
}{\rightarrow}
\lambda 
\mathsf {c}
.
\lambda 
\mathsf{x}
.
{\cal P}( 
\lceil SystemQ
\vdash 
\forall \underline{
\mathsf{x}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf{y}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf{z}}
\colon \dot{\neg}\,((\underline{
\mathsf{x}}
+(-u\underline{
\mathsf{y}}
)
)
 <= \underline{
\mathsf{z}}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,((\underline{
\mathsf{x}}
+(-u\underline{
\mathsf{y}}
)
)
 = \underline{
\mathsf{z}}
)n
)n
)n
\vdash LessAddition
\rhd \dot{\neg}\,((\underline{
\mathsf{x}}
+(-u\underline{
\mathsf{y}}
)
)
 <= \underline{
\mathsf{z}}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,((\underline{
\mathsf{x}}
+(-u\underline{
\mathsf{y}}
)
)
 = \underline{
\mathsf{z}}
)n
)n
)n
\gg \dot{\neg}\,(((\underline{
\mathsf{x}}
+(-u\underline{
\mathsf{y}}
)
)
+\underline{
\mathsf{y}}
)
 <= (\underline{
\mathsf{z}}
+\underline{
\mathsf{y}}
)
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(((\underline{
\mathsf{x}}
+(-u\underline{
\mathsf{y}}
)
)
+\underline{
\mathsf{y}}
)
 = (\underline{
\mathsf{z}}
+\underline{
\mathsf{y}}
)
)n
)n
)n
; Three2threeTerms
\gg ((\underline{
\mathsf{x}}
+(-u\underline{
\mathsf{y}}
)
)
+\underline{
\mathsf{y}}
)
 = ((\underline{
\mathsf{x}}
+\underline{
\mathsf{y}}
)
+(-u\underline{
\mathsf{y}}
)
)
; x=x+y-y
\gg \underline{
\mathsf{x}}
 = ((\underline{
\mathsf{x}}
+\underline{
\mathsf{y}}
)
+(-u\underline{
\mathsf{y}}
)
)
; eqSymmetry
\rhd \underline{
\mathsf{x}}
 = ((\underline{
\mathsf{x}}
+\underline{
\mathsf{y}}
)
+(-u\underline{
\mathsf{y}}
)
)
\gg ((\underline{
\mathsf{x}}
+\underline{
\mathsf{y}}
)
+(-u\underline{
\mathsf{y}}
)
)
 = \underline{
\mathsf{x}}
; eqTransitivity
\rhd ((\underline{
\mathsf{x}}
+(-u\underline{
\mathsf{y}}
)
)
+\underline{
\mathsf{y}}
)
 = ((\underline{
\mathsf{x}}
+\underline{
\mathsf{y}}
)
+(-u\underline{
\mathsf{y}}
)
)
\rhd ((\underline{
\mathsf{x}}
+\underline{
\mathsf{y}}
)
+(-u\underline{
\mathsf{y}}
)
)
 = \underline{
\mathsf{x}}
\gg ((\underline{
\mathsf{x}}
+(-u\underline{
\mathsf{y}}
)
)
+\underline{
\mathsf{y}}
)
 = \underline{
\mathsf{x}}
; SubLessLeft
\rhd ((\underline{
\mathsf{x}}
+(-u\underline{
\mathsf{y}}
)
)
+\underline{
\mathsf{y}}
)
 = \underline{
\mathsf{x}}
\rhd \dot{\neg}\,(((\underline{
\mathsf{x}}
+(-u\underline{
\mathsf{y}}
)
)
+\underline{
\mathsf{y}}
)
 <= (\underline{
\mathsf{z}}
+\underline{
\mathsf{y}}
)
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(((\underline{
\mathsf{x}}
+(-u\underline{
\mathsf{y}}
)
)
+\underline{
\mathsf{y}}
)
 = (\underline{
\mathsf{z}}
+\underline{
\mathsf{y}}
)
)n
)n
)n
\gg \dot{\neg}\,(\underline{
\mathsf{x}}
 <= (\underline{
\mathsf{z}}
+\underline{
\mathsf{y}}
)
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\underline{
\mathsf{x}}
 = (\underline{
\mathsf{z}}
+\underline{
\mathsf{y}}
)
)n
)n
)n
\rceil 
, 
p_0
, 
\mathsf {c}
)
]$


$
[NumericalDifferenceLess(Helper)
\stackrel{
stmt
}{\rightarrow}SystemQ
\vdash 
\forall \underline{
\mathsf{x}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf{y}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf{z}}
\colon 0
 <= (\underline{
\mathsf{x}}
+(-u\underline{
\mathsf{y}}
)
)
\vdash \dot{\neg}\,((\underline{
\mathsf{x}}
+(-u\underline{
\mathsf{y}}
)
)
 <= \underline{
\mathsf{z}}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,((\underline{
\mathsf{x}}
+(-u\underline{
\mathsf{y}}
)
)
 = \underline{
\mathsf{z}}
)n
)n
)n
\vdash \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,((\underline{
\mathsf{y}}
+(-u\underline{
\mathsf{z}}
)
)
 <= \underline{
\mathsf{x}}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,((\underline{
\mathsf{y}}
+(-u\underline{
\mathsf{z}}
)
)
 = \underline{
\mathsf{x}}
)n
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\underline{
\mathsf{x}}
 <= (\underline{
\mathsf{y}}
+\underline{
\mathsf{z}}
)
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\underline{
\mathsf{x}}
 = (\underline{
\mathsf{y}}
+\underline{
\mathsf{z}}
)
)n
)n
)n
)n
)n
]$

$
[NumericalDifferenceLess(Helper)
\stackrel{
proof
}{\rightarrow}
\lambda 
\mathsf {c}
.
\lambda 
\mathsf{x}
.
{\cal P}( 
\lceil SystemQ
\vdash 
\forall \underline{
\mathsf{x}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf{y}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf{z}}
\colon 0
 <= (\underline{
\mathsf{x}}
+(-u\underline{
\mathsf{y}}
)
)
\vdash \dot{\neg}\,((\underline{
\mathsf{x}}
+(-u\underline{
\mathsf{y}}
)
)
 <= \underline{
\mathsf{z}}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,((\underline{
\mathsf{x}}
+(-u\underline{
\mathsf{y}}
)
)
 = \underline{
\mathsf{z}}
)n
)n
)n
\vdash leqLessTransitivity
\rhd 0
 <= (\underline{
\mathsf{x}}
+(-u\underline{
\mathsf{y}}
)
)
\rhd \dot{\neg}\,((\underline{
\mathsf{x}}
+(-u\underline{
\mathsf{y}}
)
)
 <= \underline{
\mathsf{z}}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,((\underline{
\mathsf{x}}
+(-u\underline{
\mathsf{y}}
)
)
 = \underline{
\mathsf{z}}
)n
)n
)n
\gg \dot{\neg}\,(0
 <= \underline{
\mathsf{z}}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(0
 = \underline{
\mathsf{z}}
)n
)n
)n
; PositiveNegated
\rhd \dot{\neg}\,(0
 <= \underline{
\mathsf{z}}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(0
 = \underline{
\mathsf{z}}
)n
)n
)n
\gg \dot{\neg}\,((-u\underline{
\mathsf{z}}
)
 <= 0
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,((-u\underline{
\mathsf{z}}
)
 = 0
)n
)n
)n
; LessAdditionLeft
\rhd \dot{\neg}\,((-u\underline{
\mathsf{z}}
)
 <= 0
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,((-u\underline{
\mathsf{z}}
)
 = 0
)n
)n
)n
\gg \dot{\neg}\,((\underline{
\mathsf{y}}
+(-u\underline{
\mathsf{z}}
)
)
 <= (\underline{
\mathsf{y}}
+0
)
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,((\underline{
\mathsf{y}}
+(-u\underline{
\mathsf{z}}
)
)
 = (\underline{
\mathsf{y}}
+0
)
)n
)n
)n
; plus0
\gg (\underline{
\mathsf{y}}
+0
)
 = \underline{
\mathsf{y}}
; SubLessRight
\rhd (\underline{
\mathsf{y}}
+0
)
 = \underline{
\mathsf{y}}
\rhd \dot{\neg}\,((\underline{
\mathsf{y}}
+(-u\underline{
\mathsf{z}}
)
)
 <= (\underline{
\mathsf{y}}
+0
)
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,((\underline{
\mathsf{y}}
+(-u\underline{
\mathsf{z}}
)
)
 = (\underline{
\mathsf{y}}
+0
)
)n
)n
)n
\gg \dot{\neg}\,((\underline{
\mathsf{y}}
+(-u\underline{
\mathsf{z}}
)
)
 <= \underline{
\mathsf{y}}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,((\underline{
\mathsf{y}}
+(-u\underline{
\mathsf{z}}
)
)
 = \underline{
\mathsf{y}}
)n
)n
)n
; negativeToLeft(Leq)(1 term)
\rhd 0
 <= (\underline{
\mathsf{x}}
+(-u\underline{
\mathsf{y}}
)
)
\gg \underline{
\mathsf{y}}
 <= \underline{
\mathsf{x}}
; LessLeqTransitivity
\rhd \dot{\neg}\,((\underline{
\mathsf{y}}
+(-u\underline{
\mathsf{z}}
)
)
 <= \underline{
\mathsf{y}}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,((\underline{
\mathsf{y}}
+(-u\underline{
\mathsf{z}}
)
)
 = \underline{
\mathsf{y}}
)n
)n
)n
\rhd \underline{
\mathsf{y}}
 <= \underline{
\mathsf{x}}
\gg \dot{\neg}\,((\underline{
\mathsf{y}}
+(-u\underline{
\mathsf{z}}
)
)
 <= \underline{
\mathsf{x}}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,((\underline{
\mathsf{y}}
+(-u\underline{
\mathsf{z}}
)
)
 = \underline{
\mathsf{x}}
)n
)n
)n
; NegativeToRight(Less)
\rhd \dot{\neg}\,((\underline{
\mathsf{x}}
+(-u\underline{
\mathsf{y}}
)
)
 <= \underline{
\mathsf{z}}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,((\underline{
\mathsf{x}}
+(-u\underline{
\mathsf{y}}
)
)
 = \underline{
\mathsf{z}}
)n
)n
)n
\gg \dot{\neg}\,(\underline{
\mathsf{x}}
 <= (\underline{
\mathsf{z}}
+\underline{
\mathsf{y}}
)
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\underline{
\mathsf{x}}
 = (\underline{
\mathsf{z}}
+\underline{
\mathsf{y}}
)
)n
)n
)n
; plusCommutativity
\gg (\underline{
\mathsf{z}}
+\underline{
\mathsf{y}}
)
 = (\underline{
\mathsf{y}}
+\underline{
\mathsf{z}}
)
; SubLessRight
\rhd (\underline{
\mathsf{z}}
+\underline{
\mathsf{y}}
)
 = (\underline{
\mathsf{y}}
+\underline{
\mathsf{z}}
)
\rhd \dot{\neg}\,(\underline{
\mathsf{x}}
 <= (\underline{
\mathsf{z}}
+\underline{
\mathsf{y}}
)
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\underline{
\mathsf{x}}
 = (\underline{
\mathsf{z}}
+\underline{
\mathsf{y}}
)
)n
)n
)n
\gg \dot{\neg}\,(\underline{
\mathsf{x}}
 <= (\underline{
\mathsf{y}}
+\underline{
\mathsf{z}}
)
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\underline{
\mathsf{x}}
 = (\underline{
\mathsf{y}}
+\underline{
\mathsf{z}}
)
)n
)n
)n
; JoinConjuncts
\rhd \dot{\neg}\,((\underline{
\mathsf{y}}
+(-u\underline{
\mathsf{z}}
)
)
 <= \underline{
\mathsf{x}}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,((\underline{
\mathsf{y}}
+(-u\underline{
\mathsf{z}}
)
)
 = \underline{
\mathsf{x}}
)n
)n
)n
\rhd \dot{\neg}\,(\underline{
\mathsf{x}}
 <= (\underline{
\mathsf{y}}
+\underline{
\mathsf{z}}
)
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\underline{
\mathsf{x}}
 = (\underline{
\mathsf{y}}
+\underline{
\mathsf{z}}
)
)n
)n
)n
\gg \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,((\underline{
\mathsf{y}}
+(-u\underline{
\mathsf{z}}
)
)
 <= \underline{
\mathsf{x}}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,((\underline{
\mathsf{y}}
+(-u\underline{
\mathsf{z}}
)
)
 = \underline{
\mathsf{x}}
)n
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\underline{
\mathsf{x}}
 <= (\underline{
\mathsf{y}}
+\underline{
\mathsf{z}}
)
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\underline{
\mathsf{x}}
 = (\underline{
\mathsf{y}}
+\underline{
\mathsf{z}}
)
)n
)n
)n
)n
)n
\rceil 
, 
p_0
, 
\mathsf {c}
)
]$



$
[NumericalDifferenceLess
\stackrel{
stmt
}{\rightarrow}SystemQ
\vdash 
\forall \underline{
\mathsf{x}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf{y}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf{z}}
\colon \dot{\neg}\,(|(\underline{
\mathsf{x}}
+(-u\underline{
\mathsf{y}}
)
)
|
 <= \underline{
\mathsf{z}}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(|(\underline{
\mathsf{x}}
+(-u\underline{
\mathsf{y}}
)
)
|
 = \underline{
\mathsf{z}}
)n
)n
)n
\vdash \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,((\underline{
\mathsf{y}}
+(-u\underline{
\mathsf{z}}
)
)
 <= \underline{
\mathsf{x}}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,((\underline{
\mathsf{y}}
+(-u\underline{
\mathsf{z}}
)
)
 = \underline{
\mathsf{x}}
)n
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\underline{
\mathsf{x}}
 <= (\underline{
\mathsf{y}}
+\underline{
\mathsf{z}}
)
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\underline{
\mathsf{x}}
 = (\underline{
\mathsf{y}}
+\underline{
\mathsf{z}}
)
)n
)n
)n
)n
)n
]$

$
[NumericalDifferenceLess
\stackrel{
proof
}{\rightarrow}
\lambda 
\mathsf {c}
.
\lambda 
\mathsf{x}
.
{\cal P}( 
\lceil SystemQ
\vdash 
\forall \underline{
\mathsf{x}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf{y}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf{z}}
\colon \dot{\neg}\,(|(\underline{
\mathsf{x}}
+(-u\underline{
\mathsf{y}}
)
)
|
 <= \underline{
\mathsf{z}}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(|(\underline{
\mathsf{x}}
+(-u\underline{
\mathsf{y}}
)
)
|
 = \underline{
\mathsf{z}}
)n
)n
)n
\vdash 0
 <= (\underline{
\mathsf{x}}
+(-u\underline{
\mathsf{y}}
)
)
\vdash NonnegativeNumerical
\rhd 0
 <= (\underline{
\mathsf{x}}
+(-u\underline{
\mathsf{y}}
)
)
\gg |(\underline{
\mathsf{x}}
+(-u\underline{
\mathsf{y}}
)
)
|
 = (\underline{
\mathsf{x}}
+(-u\underline{
\mathsf{y}}
)
)
; SubLessLeft
\rhd |(\underline{
\mathsf{x}}
+(-u\underline{
\mathsf{y}}
)
)
|
 = (\underline{
\mathsf{x}}
+(-u\underline{
\mathsf{y}}
)
)
\rhd \dot{\neg}\,(|(\underline{
\mathsf{x}}
+(-u\underline{
\mathsf{y}}
)
)
|
 <= \underline{
\mathsf{z}}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(|(\underline{
\mathsf{x}}
+(-u\underline{
\mathsf{y}}
)
)
|
 = \underline{
\mathsf{z}}
)n
)n
)n
\gg \dot{\neg}\,((\underline{
\mathsf{x}}
+(-u\underline{
\mathsf{y}}
)
)
 <= \underline{
\mathsf{z}}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,((\underline{
\mathsf{x}}
+(-u\underline{
\mathsf{y}}
)
)
 = \underline{
\mathsf{z}}
)n
)n
)n
; NumericalDifferenceLess(Helper)
\rhd 0
 <= (\underline{
\mathsf{x}}
+(-u\underline{
\mathsf{y}}
)
)
\rhd \dot{\neg}\,((\underline{
\mathsf{x}}
+(-u\underline{
\mathsf{y}}
)
)
 <= \underline{
\mathsf{z}}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,((\underline{
\mathsf{x}}
+(-u\underline{
\mathsf{y}}
)
)
 = \underline{
\mathsf{z}}
)n
)n
)n
\gg \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,((\underline{
\mathsf{y}}
+(-u\underline{
\mathsf{z}}
)
)
 <= \underline{
\mathsf{x}}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,((\underline{
\mathsf{y}}
+(-u\underline{
\mathsf{z}}
)
)
 = \underline{
\mathsf{x}}
)n
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\underline{
\mathsf{x}}
 <= (\underline{
\mathsf{y}}
+\underline{
\mathsf{z}}
)
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\underline{
\mathsf{x}}
 = (\underline{
\mathsf{y}}
+\underline{
\mathsf{z}}
)
)n
)n
)n
)n
)n
; 
\forall \underline{
\mathsf{x}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf{y}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf{z}}
\colon \dot{\neg}\,(|(\underline{
\mathsf{x}}
+(-u\underline{
\mathsf{y}}
)
)
|
 <= \underline{
\mathsf{z}}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(|(\underline{
\mathsf{x}}
+(-u\underline{
\mathsf{y}}
)
)
|
 = \underline{
\mathsf{z}}
)n
)n
)n
\vdash \dot{\neg}\,(0
 <= (\underline{
\mathsf{x}}
+(-u\underline{
\mathsf{y}}
)
)
)n
\vdash ToLess
\rhd \dot{\neg}\,(0
 <= (\underline{
\mathsf{x}}
+(-u\underline{
\mathsf{y}}
)
)
)n
\gg \dot{\neg}\,((\underline{
\mathsf{x}}
+(-u\underline{
\mathsf{y}}
)
)
 <= 0
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,((\underline{
\mathsf{x}}
+(-u\underline{
\mathsf{y}}
)
)
 = 0
)n
)n
)n
; NegativeNumerical
\rhd \dot{\neg}\,((\underline{
\mathsf{x}}
+(-u\underline{
\mathsf{y}}
)
)
 <= 0
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,((\underline{
\mathsf{x}}
+(-u\underline{
\mathsf{y}}
)
)
 = 0
)n
)n
)n
\gg |(\underline{
\mathsf{x}}
+(-u\underline{
\mathsf{y}}
)
)
|
 = (-u(\underline{
\mathsf{x}}
+(-u\underline{
\mathsf{y}}
)
)
)
; MinusNegated
\gg (-u(\underline{
\mathsf{x}}
+(-u\underline{
\mathsf{y}}
)
)
)
 = (\underline{
\mathsf{y}}
+(-u\underline{
\mathsf{x}}
)
)
; eqTransitivity
\rhd |(\underline{
\mathsf{x}}
+(-u\underline{
\mathsf{y}}
)
)
|
 = (-u(\underline{
\mathsf{x}}
+(-u\underline{
\mathsf{y}}
)
)
)
\rhd (-u(\underline{
\mathsf{x}}
+(-u\underline{
\mathsf{y}}
)
)
)
 = (\underline{
\mathsf{y}}
+(-u\underline{
\mathsf{x}}
)
)
\gg |(\underline{
\mathsf{x}}
+(-u\underline{
\mathsf{y}}
)
)
|
 = (\underline{
\mathsf{y}}
+(-u\underline{
\mathsf{x}}
)
)
; SubLessLeft
\rhd |(\underline{
\mathsf{x}}
+(-u\underline{
\mathsf{y}}
)
)
|
 = (\underline{
\mathsf{y}}
+(-u\underline{
\mathsf{x}}
)
)
\rhd \dot{\neg}\,(|(\underline{
\mathsf{x}}
+(-u\underline{
\mathsf{y}}
)
)
|
 <= \underline{
\mathsf{z}}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(|(\underline{
\mathsf{x}}
+(-u\underline{
\mathsf{y}}
)
)
|
 = \underline{
\mathsf{z}}
)n
)n
)n
\gg \dot{\neg}\,((\underline{
\mathsf{y}}
+(-u\underline{
\mathsf{x}}
)
)
 <= \underline{
\mathsf{z}}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,((\underline{
\mathsf{y}}
+(-u\underline{
\mathsf{x}}
)
)
 = \underline{
\mathsf{z}}
)n
)n
)n
; NegativeNegated
\rhd \dot{\neg}\,((\underline{
\mathsf{x}}
+(-u\underline{
\mathsf{y}}
)
)
 <= 0
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,((\underline{
\mathsf{x}}
+(-u\underline{
\mathsf{y}}
)
)
 = 0
)n
)n
)n
\gg \dot{\neg}\,(0
 <= (-u(\underline{
\mathsf{x}}
+(-u\underline{
\mathsf{y}}
)
)
)
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(0
 = (-u(\underline{
\mathsf{x}}
+(-u\underline{
\mathsf{y}}
)
)
)
)n
)n
)n
; SubLessRight
\rhd (-u(\underline{
\mathsf{x}}
+(-u\underline{
\mathsf{y}}
)
)
)
 = (\underline{
\mathsf{y}}
+(-u\underline{
\mathsf{x}}
)
)
\rhd \dot{\neg}\,(0
 <= (-u(\underline{
\mathsf{x}}
+(-u\underline{
\mathsf{y}}
)
)
)
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(0
 = (-u(\underline{
\mathsf{x}}
+(-u\underline{
\mathsf{y}}
)
)
)
)n
)n
)n
\gg \dot{\neg}\,(0
 <= (\underline{
\mathsf{y}}
+(-u\underline{
\mathsf{x}}
)
)
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(0
 = (\underline{
\mathsf{y}}
+(-u\underline{
\mathsf{x}}
)
)
)n
)n
)n
; LessLeq
\rhd \dot{\neg}\,(0
 <= (\underline{
\mathsf{y}}
+(-u\underline{
\mathsf{x}}
)
)
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(0
 = (\underline{
\mathsf{y}}
+(-u\underline{
\mathsf{x}}
)
)
)n
)n
)n
\gg 0
 <= (\underline{
\mathsf{y}}
+(-u\underline{
\mathsf{x}}
)
)
; NumericalDifferenceLess(Helper)
\rhd 0
 <= (\underline{
\mathsf{y}}
+(-u\underline{
\mathsf{x}}
)
)
\rhd \dot{\neg}\,((\underline{
\mathsf{y}}
+(-u\underline{
\mathsf{x}}
)
)
 <= \underline{
\mathsf{z}}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,((\underline{
\mathsf{y}}
+(-u\underline{
\mathsf{x}}
)
)
 = \underline{
\mathsf{z}}
)n
)n
)n
\gg \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,((\underline{
\mathsf{x}}
+(-u\underline{
\mathsf{z}}
)
)
 <= \underline{
\mathsf{y}}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,((\underline{
\mathsf{x}}
+(-u\underline{
\mathsf{z}}
)
)
 = \underline{
\mathsf{y}}
)n
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\underline{
\mathsf{y}}
 <= (\underline{
\mathsf{x}}
+\underline{
\mathsf{z}}
)
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\underline{
\mathsf{y}}
 = (\underline{
\mathsf{x}}
+\underline{
\mathsf{z}}
)
)n
)n
)n
)n
)n
; FirstConjunct
\rhd \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,((\underline{
\mathsf{x}}
+(-u\underline{
\mathsf{z}}
)
)
 <= \underline{
\mathsf{y}}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,((\underline{
\mathsf{x}}
+(-u\underline{
\mathsf{z}}
)
)
 = \underline{
\mathsf{y}}
)n
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\underline{
\mathsf{y}}
 <= (\underline{
\mathsf{x}}
+\underline{
\mathsf{z}}
)
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\underline{
\mathsf{y}}
 = (\underline{
\mathsf{x}}
+\underline{
\mathsf{z}}
)
)n
)n
)n
)n
)n
\gg \dot{\neg}\,((\underline{
\mathsf{x}}
+(-u\underline{
\mathsf{z}}
)
)
 <= \underline{
\mathsf{y}}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,((\underline{
\mathsf{x}}
+(-u\underline{
\mathsf{z}}
)
)
 = \underline{
\mathsf{y}}
)n
)n
)n
; NegativeToRight(Less)
\rhd \dot{\neg}\,((\underline{
\mathsf{x}}
+(-u\underline{
\mathsf{z}}
)
)
 <= \underline{
\mathsf{y}}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,((\underline{
\mathsf{x}}
+(-u\underline{
\mathsf{z}}
)
)
 = \underline{
\mathsf{y}}
)n
)n
)n
\gg \dot{\neg}\,(\underline{
\mathsf{x}}
 <= (\underline{
\mathsf{y}}
+\underline{
\mathsf{z}}
)
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\underline{
\mathsf{x}}
 = (\underline{
\mathsf{y}}
+\underline{
\mathsf{z}}
)
)n
)n
)n
; SecondConjunct
\rhd \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,((\underline{
\mathsf{x}}
+(-u\underline{
\mathsf{z}}
)
)
 <= \underline{
\mathsf{y}}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,((\underline{
\mathsf{x}}
+(-u\underline{
\mathsf{z}}
)
)
 = \underline{
\mathsf{y}}
)n
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\underline{
\mathsf{y}}
 <= (\underline{
\mathsf{x}}
+\underline{
\mathsf{z}}
)
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\underline{
\mathsf{y}}
 = (\underline{
\mathsf{x}}
+\underline{
\mathsf{z}}
)
)n
)n
)n
)n
)n
\gg \dot{\neg}\,(\underline{
\mathsf{y}}
 <= (\underline{
\mathsf{x}}
+\underline{
\mathsf{z}}
)
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\underline{
\mathsf{y}}
 = (\underline{
\mathsf{x}}
+\underline{
\mathsf{z}}
)
)n
)n
)n
; PositiveToLeft(Less)
\rhd \dot{\neg}\,(\underline{
\mathsf{y}}
 <= (\underline{
\mathsf{x}}
+\underline{
\mathsf{z}}
)
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\underline{
\mathsf{y}}
 = (\underline{
\mathsf{x}}
+\underline{
\mathsf{z}}
)
)n
)n
)n
\gg \dot{\neg}\,((\underline{
\mathsf{y}}
+(-u\underline{
\mathsf{z}}
)
)
 <= \underline{
\mathsf{x}}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,((\underline{
\mathsf{y}}
+(-u\underline{
\mathsf{z}}
)
)
 = \underline{
\mathsf{x}}
)n
)n
)n
; JoinConjuncts
\rhd \dot{\neg}\,((\underline{
\mathsf{y}}
+(-u\underline{
\mathsf{z}}
)
)
 <= \underline{
\mathsf{x}}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,((\underline{
\mathsf{y}}
+(-u\underline{
\mathsf{z}}
)
)
 = \underline{
\mathsf{x}}
)n
)n
)n
\rhd \dot{\neg}\,(\underline{
\mathsf{x}}
 <= (\underline{
\mathsf{y}}
+\underline{
\mathsf{z}}
)
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\underline{
\mathsf{x}}
 = (\underline{
\mathsf{y}}
+\underline{
\mathsf{z}}
)
)n
)n
)n
\gg \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,((\underline{
\mathsf{y}}
+(-u\underline{
\mathsf{z}}
)
)
 <= \underline{
\mathsf{x}}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,((\underline{
\mathsf{y}}
+(-u\underline{
\mathsf{z}}
)
)
 = \underline{
\mathsf{x}}
)n
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\underline{
\mathsf{x}}
 <= (\underline{
\mathsf{y}}
+\underline{
\mathsf{z}}
)
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\underline{
\mathsf{x}}
 = (\underline{
\mathsf{y}}
+\underline{
\mathsf{z}}
)
)n
)n
)n
)n
)n
; 
\forall \underline{
\mathsf{x}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf{y}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf{z}}
\colon Ded
\rhd 
\forall \underline{
\mathsf{x}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf{y}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf{z}}
\colon \dot{\neg}\,(|(\underline{
\mathsf{x}}
+(-u\underline{
\mathsf{y}}
)
)
|
 <= \underline{
\mathsf{z}}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(|(\underline{
\mathsf{x}}
+(-u\underline{
\mathsf{y}}
)
)
|
 = \underline{
\mathsf{z}}
)n
)n
)n
\vdash 0
 <= (\underline{
\mathsf{x}}
+(-u\underline{
\mathsf{y}}
)
)
\vdash \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,((\underline{
\mathsf{y}}
+(-u\underline{
\mathsf{z}}
)
)
 <= \underline{
\mathsf{x}}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,((\underline{
\mathsf{y}}
+(-u\underline{
\mathsf{z}}
)
)
 = \underline{
\mathsf{x}}
)n
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\underline{
\mathsf{x}}
 <= (\underline{
\mathsf{y}}
+\underline{
\mathsf{z}}
)
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\underline{
\mathsf{x}}
 = (\underline{
\mathsf{y}}
+\underline{
\mathsf{z}}
)
)n
)n
)n
)n
)n
\gg \dot{\neg}\,(|(\underline{
\mathsf{x}}
+(-u\underline{
\mathsf{y}}
)
)
|
 <= \underline{
\mathsf{z}}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(|(\underline{
\mathsf{x}}
+(-u\underline{
\mathsf{y}}
)
)
|
 = \underline{
\mathsf{z}}
)n
)n
)n
\Rightarrow 0
 <= (\underline{
\mathsf{x}}
+(-u\underline{
\mathsf{y}}
)
)
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,((\underline{
\mathsf{y}}
+(-u\underline{
\mathsf{z}}
)
)
 <= \underline{
\mathsf{x}}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,((\underline{
\mathsf{y}}
+(-u\underline{
\mathsf{z}}
)
)
 = \underline{
\mathsf{x}}
)n
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\underline{
\mathsf{x}}
 <= (\underline{
\mathsf{y}}
+\underline{
\mathsf{z}}
)
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\underline{
\mathsf{x}}
 = (\underline{
\mathsf{y}}
+\underline{
\mathsf{z}}
)
)n
)n
)n
)n
)n
; Ded
\rhd 
\forall \underline{
\mathsf{x}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf{y}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf{z}}
\colon \dot{\neg}\,(|(\underline{
\mathsf{x}}
+(-u\underline{
\mathsf{y}}
)
)
|
 <= \underline{
\mathsf{z}}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(|(\underline{
\mathsf{x}}
+(-u\underline{
\mathsf{y}}
)
)
|
 = \underline{
\mathsf{z}}
)n
)n
)n
\vdash \dot{\neg}\,(0
 <= (\underline{
\mathsf{x}}
+(-u\underline{
\mathsf{y}}
)
)
)n
\vdash \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,((\underline{
\mathsf{y}}
+(-u\underline{
\mathsf{z}}
)
)
 <= \underline{
\mathsf{x}}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,((\underline{
\mathsf{y}}
+(-u\underline{
\mathsf{z}}
)
)
 = \underline{
\mathsf{x}}
)n
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\underline{
\mathsf{x}}
 <= (\underline{
\mathsf{y}}
+\underline{
\mathsf{z}}
)
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\underline{
\mathsf{x}}
 = (\underline{
\mathsf{y}}
+\underline{
\mathsf{z}}
)
)n
)n
)n
)n
)n
\gg \dot{\neg}\,(|(\underline{
\mathsf{x}}
+(-u\underline{
\mathsf{y}}
)
)
|
 <= \underline{
\mathsf{z}}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(|(\underline{
\mathsf{x}}
+(-u\underline{
\mathsf{y}}
)
)
|
 = \underline{
\mathsf{z}}
)n
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(0
 <= (\underline{
\mathsf{x}}
+(-u\underline{
\mathsf{y}}
)
)
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,((\underline{
\mathsf{y}}
+(-u\underline{
\mathsf{z}}
)
)
 <= \underline{
\mathsf{x}}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,((\underline{
\mathsf{y}}
+(-u\underline{
\mathsf{z}}
)
)
 = \underline{
\mathsf{x}}
)n
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\underline{
\mathsf{x}}
 <= (\underline{
\mathsf{y}}
+\underline{
\mathsf{z}}
)
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\underline{
\mathsf{x}}
 = (\underline{
\mathsf{y}}
+\underline{
\mathsf{z}}
)
)n
)n
)n
)n
)n
; \dot{\neg}\,(|(\underline{
\mathsf{x}}
+(-u\underline{
\mathsf{y}}
)
)
|
 <= \underline{
\mathsf{z}}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(|(\underline{
\mathsf{x}}
+(-u\underline{
\mathsf{y}}
)
)
|
 = \underline{
\mathsf{z}}
)n
)n
)n
\vdash MP
\rhd \dot{\neg}\,(|(\underline{
\mathsf{x}}
+(-u\underline{
\mathsf{y}}
)
)
|
 <= \underline{
\mathsf{z}}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(|(\underline{
\mathsf{x}}
+(-u\underline{
\mathsf{y}}
)
)
|
 = \underline{
\mathsf{z}}
)n
)n
)n
\Rightarrow 0
 <= (\underline{
\mathsf{x}}
+(-u\underline{
\mathsf{y}}
)
)
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,((\underline{
\mathsf{y}}
+(-u\underline{
\mathsf{z}}
)
)
 <= \underline{
\mathsf{x}}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,((\underline{
\mathsf{y}}
+(-u\underline{
\mathsf{z}}
)
)
 = \underline{
\mathsf{x}}
)n
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\underline{
\mathsf{x}}
 <= (\underline{
\mathsf{y}}
+\underline{
\mathsf{z}}
)
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\underline{
\mathsf{x}}
 = (\underline{
\mathsf{y}}
+\underline{
\mathsf{z}}
)
)n
)n
)n
)n
)n
\rhd \dot{\neg}\,(|(\underline{
\mathsf{x}}
+(-u\underline{
\mathsf{y}}
)
)
|
 <= \underline{
\mathsf{z}}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(|(\underline{
\mathsf{x}}
+(-u\underline{
\mathsf{y}}
)
)
|
 = \underline{
\mathsf{z}}
)n
)n
)n
\gg 0
 <= (\underline{
\mathsf{x}}
+(-u\underline{
\mathsf{y}}
)
)
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,((\underline{
\mathsf{y}}
+(-u\underline{
\mathsf{z}}
)
)
 <= \underline{
\mathsf{x}}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,((\underline{
\mathsf{y}}
+(-u\underline{
\mathsf{z}}
)
)
 = \underline{
\mathsf{x}}
)n
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\underline{
\mathsf{x}}
 <= (\underline{
\mathsf{y}}
+\underline{
\mathsf{z}}
)
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\underline{
\mathsf{x}}
 = (\underline{
\mathsf{y}}
+\underline{
\mathsf{z}}
)
)n
)n
)n
)n
)n
; MP
\rhd \dot{\neg}\,(|(\underline{
\mathsf{x}}
+(-u\underline{
\mathsf{y}}
)
)
|
 <= \underline{
\mathsf{z}}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(|(\underline{
\mathsf{x}}
+(-u\underline{
\mathsf{y}}
)
)
|
 = \underline{
\mathsf{z}}
)n
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(0
 <= (\underline{
\mathsf{x}}
+(-u\underline{
\mathsf{y}}
)
)
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,((\underline{
\mathsf{y}}
+(-u\underline{
\mathsf{z}}
)
)
 <= \underline{
\mathsf{x}}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,((\underline{
\mathsf{y}}
+(-u\underline{
\mathsf{z}}
)
)
 = \underline{
\mathsf{x}}
)n
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\underline{
\mathsf{x}}
 <= (\underline{
\mathsf{y}}
+\underline{
\mathsf{z}}
)
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\underline{
\mathsf{x}}
 = (\underline{
\mathsf{y}}
+\underline{
\mathsf{z}}
)
)n
)n
)n
)n
)n
\rhd \dot{\neg}\,(|(\underline{
\mathsf{x}}
+(-u\underline{
\mathsf{y}}
)
)
|
 <= \underline{
\mathsf{z}}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(|(\underline{
\mathsf{x}}
+(-u\underline{
\mathsf{y}}
)
)
|
 = \underline{
\mathsf{z}}
)n
)n
)n
\gg \dot{\neg}\,(0
 <= (\underline{
\mathsf{x}}
+(-u\underline{
\mathsf{y}}
)
)
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,((\underline{
\mathsf{y}}
+(-u\underline{
\mathsf{z}}
)
)
 <= \underline{
\mathsf{x}}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,((\underline{
\mathsf{y}}
+(-u\underline{
\mathsf{z}}
)
)
 = \underline{
\mathsf{x}}
)n
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\underline{
\mathsf{x}}
 <= (\underline{
\mathsf{y}}
+\underline{
\mathsf{z}}
)
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\underline{
\mathsf{x}}
 = (\underline{
\mathsf{y}}
+\underline{
\mathsf{z}}
)
)n
)n
)n
)n
)n
; FromNegations
\rhd 0
 <= (\underline{
\mathsf{x}}
+(-u\underline{
\mathsf{y}}
)
)
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,((\underline{
\mathsf{y}}
+(-u\underline{
\mathsf{z}}
)
)
 <= \underline{
\mathsf{x}}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,((\underline{
\mathsf{y}}
+(-u\underline{
\mathsf{z}}
)
)
 = \underline{
\mathsf{x}}
)n
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\underline{
\mathsf{x}}
 <= (\underline{
\mathsf{y}}
+\underline{
\mathsf{z}}
)
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\underline{
\mathsf{x}}
 = (\underline{
\mathsf{y}}
+\underline{
\mathsf{z}}
)
)n
)n
)n
)n
)n
\rhd \dot{\neg}\,(0
 <= (\underline{
\mathsf{x}}
+(-u\underline{
\mathsf{y}}
)
)
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,((\underline{
\mathsf{y}}
+(-u\underline{
\mathsf{z}}
)
)
 <= \underline{
\mathsf{x}}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,((\underline{
\mathsf{y}}
+(-u\underline{
\mathsf{z}}
)
)
 = \underline{
\mathsf{x}}
)n
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\underline{
\mathsf{x}}
 <= (\underline{
\mathsf{y}}
+\underline{
\mathsf{z}}
)
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\underline{
\mathsf{x}}
 = (\underline{
\mathsf{y}}
+\underline{
\mathsf{z}}
)
)n
)n
)n
)n
)n
\gg \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,((\underline{
\mathsf{y}}
+(-u\underline{
\mathsf{z}}
)
)
 <= \underline{
\mathsf{x}}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,((\underline{
\mathsf{y}}
+(-u\underline{
\mathsf{z}}
)
)
 = \underline{
\mathsf{x}}
)n
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\underline{
\mathsf{x}}
 <= (\underline{
\mathsf{y}}
+\underline{
\mathsf{z}}
)
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\underline{
\mathsf{x}}
 = (\underline{
\mathsf{y}}
+\underline{
\mathsf{z}}
)
)n
)n
)n
)n
)n
\rceil 
, 
p_0
, 
\mathsf {c}
)
]$


$
[F-Bounded(Helper)
\stackrel{
stmt
}{\rightarrow}SystemQ
\vdash 
\forall \underline{
\mathsf{x}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf{y}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf{z}}
\colon \dot{\neg}\,(|(\underline{
\mathsf{x}}
+(-u\underline{
\mathsf{y}}
)
)
|
 <= \underline{
\mathsf{z}}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(|(\underline{
\mathsf{x}}
+(-u\underline{
\mathsf{y}}
)
)
|
 = \underline{
\mathsf{z}}
)n
)n
)n
\vdash \dot{\neg}\,(|\underline{
\mathsf{y}}
|
 <= if(|(\underline{
\mathsf{x}}
+(-u\underline{
\mathsf{z}}
)
)
|
 <= |(\underline{
\mathsf{x}}
+\underline{
\mathsf{z}}
)
|
,|(\underline{
\mathsf{x}}
+\underline{
\mathsf{z}}
)
|
,|(\underline{
\mathsf{x}}
+(-u\underline{
\mathsf{z}}
)
)
|
)
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(|\underline{
\mathsf{y}}
|
 = if(|(\underline{
\mathsf{x}}
+(-u\underline{
\mathsf{z}}
)
)
|
 <= |(\underline{
\mathsf{x}}
+\underline{
\mathsf{z}}
)
|
,|(\underline{
\mathsf{x}}
+\underline{
\mathsf{z}}
)
|
,|(\underline{
\mathsf{x}}
+(-u\underline{
\mathsf{z}}
)
)
|
)
)n
)n
)n
]$

$
[F-Bounded(Helper)
\stackrel{
proof
}{\rightarrow}
\lambda 
\mathsf {c}
.
\lambda 
\mathsf{x}
.
{\cal P}( 
\lceil SystemQ
\vdash 
\forall \underline{
\mathsf{x}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf{y}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf{z}}
\colon \dot{\neg}\,(|(\underline{
\mathsf{x}}
+(-u\underline{
\mathsf{y}}
)
)
|
 <= \underline{
\mathsf{z}}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(|(\underline{
\mathsf{x}}
+(-u\underline{
\mathsf{y}}
)
)
|
 = \underline{
\mathsf{z}}
)n
)n
)n
\vdash NumericalDifferenceLess
\rhd \dot{\neg}\,(|(\underline{
\mathsf{x}}
+(-u\underline{
\mathsf{y}}
)
)
|
 <= \underline{
\mathsf{z}}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(|(\underline{
\mathsf{x}}
+(-u\underline{
\mathsf{y}}
)
)
|
 = \underline{
\mathsf{z}}
)n
)n
)n
\gg \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,((\underline{
\mathsf{y}}
+(-u\underline{
\mathsf{z}}
)
)
 <= \underline{
\mathsf{x}}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,((\underline{
\mathsf{y}}
+(-u\underline{
\mathsf{z}}
)
)
 = \underline{
\mathsf{x}}
)n
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\underline{
\mathsf{x}}
 <= (\underline{
\mathsf{y}}
+\underline{
\mathsf{z}}
)
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\underline{
\mathsf{x}}
 = (\underline{
\mathsf{y}}
+\underline{
\mathsf{z}}
)
)n
)n
)n
)n
)n
; FirstConjunct
\rhd \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,((\underline{
\mathsf{y}}
+(-u\underline{
\mathsf{z}}
)
)
 <= \underline{
\mathsf{x}}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,((\underline{
\mathsf{y}}
+(-u\underline{
\mathsf{z}}
)
)
 = \underline{
\mathsf{x}}
)n
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\underline{
\mathsf{x}}
 <= (\underline{
\mathsf{y}}
+\underline{
\mathsf{z}}
)
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\underline{
\mathsf{x}}
 = (\underline{
\mathsf{y}}
+\underline{
\mathsf{z}}
)
)n
)n
)n
)n
)n
\gg \dot{\neg}\,((\underline{
\mathsf{y}}
+(-u\underline{
\mathsf{z}}
)
)
 <= \underline{
\mathsf{x}}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,((\underline{
\mathsf{y}}
+(-u\underline{
\mathsf{z}}
)
)
 = \underline{
\mathsf{x}}
)n
)n
)n
; NegativeToRight(Less)
\rhd \dot{\neg}\,((\underline{
\mathsf{y}}
+(-u\underline{
\mathsf{z}}
)
)
 <= \underline{
\mathsf{x}}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,((\underline{
\mathsf{y}}
+(-u\underline{
\mathsf{z}}
)
)
 = \underline{
\mathsf{x}}
)n
)n
)n
\gg \dot{\neg}\,(\underline{
\mathsf{y}}
 <= (\underline{
\mathsf{x}}
+\underline{
\mathsf{z}}
)
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\underline{
\mathsf{y}}
 = (\underline{
\mathsf{x}}
+\underline{
\mathsf{z}}
)
)n
)n
)n
; x<=|x|
\gg (\underline{
\mathsf{x}}
+\underline{
\mathsf{z}}
)
 <= |(\underline{
\mathsf{x}}
+\underline{
\mathsf{z}}
)
|
; LessLeqTransitivity
\rhd \dot{\neg}\,(\underline{
\mathsf{y}}
 <= (\underline{
\mathsf{x}}
+\underline{
\mathsf{z}}
)
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\underline{
\mathsf{y}}
 = (\underline{
\mathsf{x}}
+\underline{
\mathsf{z}}
)
)n
)n
)n
\rhd (\underline{
\mathsf{x}}
+\underline{
\mathsf{z}}
)
 <= |(\underline{
\mathsf{x}}
+\underline{
\mathsf{z}}
)
|
\gg \dot{\neg}\,(\underline{
\mathsf{y}}
 <= |(\underline{
\mathsf{x}}
+\underline{
\mathsf{z}}
)
|
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\underline{
\mathsf{y}}
 = |(\underline{
\mathsf{x}}
+\underline{
\mathsf{z}}
)
|
)n
)n
)n
; MaxLeq(1)
\gg |(\underline{
\mathsf{x}}
+\underline{
\mathsf{z}}
)
|
 <= if(|(\underline{
\mathsf{x}}
+(-u\underline{
\mathsf{z}}
)
)
|
 <= |(\underline{
\mathsf{x}}
+\underline{
\mathsf{z}}
)
|
,|(\underline{
\mathsf{x}}
+\underline{
\mathsf{z}}
)
|
,|(\underline{
\mathsf{x}}
+(-u\underline{
\mathsf{z}}
)
)
|
)
; LessLeqTransitivity
\rhd \dot{\neg}\,(\underline{
\mathsf{y}}
 <= |(\underline{
\mathsf{x}}
+\underline{
\mathsf{z}}
)
|
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\underline{
\mathsf{y}}
 = |(\underline{
\mathsf{x}}
+\underline{
\mathsf{z}}
)
|
)n
)n
)n
\rhd |(\underline{
\mathsf{x}}
+\underline{
\mathsf{z}}
)
|
 <= if(|(\underline{
\mathsf{x}}
+(-u\underline{
\mathsf{z}}
)
)
|
 <= |(\underline{
\mathsf{x}}
+\underline{
\mathsf{z}}
)
|
,|(\underline{
\mathsf{x}}
+\underline{
\mathsf{z}}
)
|
,|(\underline{
\mathsf{x}}
+(-u\underline{
\mathsf{z}}
)
)
|
)
\gg \dot{\neg}\,(\underline{
\mathsf{y}}
 <= if(|(\underline{
\mathsf{x}}
+(-u\underline{
\mathsf{z}}
)
)
|
 <= |(\underline{
\mathsf{x}}
+\underline{
\mathsf{z}}
)
|
,|(\underline{
\mathsf{x}}
+\underline{
\mathsf{z}}
)
|
,|(\underline{
\mathsf{x}}
+(-u\underline{
\mathsf{z}}
)
)
|
)
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\underline{
\mathsf{y}}
 = if(|(\underline{
\mathsf{x}}
+(-u\underline{
\mathsf{z}}
)
)
|
 <= |(\underline{
\mathsf{x}}
+\underline{
\mathsf{z}}
)
|
,|(\underline{
\mathsf{x}}
+\underline{
\mathsf{z}}
)
|
,|(\underline{
\mathsf{x}}
+(-u\underline{
\mathsf{z}}
)
)
|
)
)n
)n
)n
; SecondConjunct
\rhd \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,((\underline{
\mathsf{y}}
+(-u\underline{
\mathsf{z}}
)
)
 <= \underline{
\mathsf{x}}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,((\underline{
\mathsf{y}}
+(-u\underline{
\mathsf{z}}
)
)
 = \underline{
\mathsf{x}}
)n
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\underline{
\mathsf{x}}
 <= (\underline{
\mathsf{y}}
+\underline{
\mathsf{z}}
)
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\underline{
\mathsf{x}}
 = (\underline{
\mathsf{y}}
+\underline{
\mathsf{z}}
)
)n
)n
)n
)n
)n
\gg \dot{\neg}\,(\underline{
\mathsf{x}}
 <= (\underline{
\mathsf{y}}
+\underline{
\mathsf{z}}
)
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\underline{
\mathsf{x}}
 = (\underline{
\mathsf{y}}
+\underline{
\mathsf{z}}
)
)n
)n
)n
; PositiveToLeft(Less)
\rhd \dot{\neg}\,(\underline{
\mathsf{x}}
 <= (\underline{
\mathsf{y}}
+\underline{
\mathsf{z}}
)
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\underline{
\mathsf{x}}
 = (\underline{
\mathsf{y}}
+\underline{
\mathsf{z}}
)
)n
)n
)n
\gg \dot{\neg}\,((\underline{
\mathsf{x}}
+(-u\underline{
\mathsf{z}}
)
)
 <= \underline{
\mathsf{y}}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,((\underline{
\mathsf{x}}
+(-u\underline{
\mathsf{z}}
)
)
 = \underline{
\mathsf{y}}
)n
)n
)n
; x<=|x|
\gg (\underline{
\mathsf{z}}
+(-u\underline{
\mathsf{x}}
)
)
 <= |(\underline{
\mathsf{z}}
+(-u\underline{
\mathsf{x}}
)
)
|
; NumericalDifference
\gg |(\underline{
\mathsf{z}}
+(-u\underline{
\mathsf{x}}
)
)
|
 = |(\underline{
\mathsf{x}}
+(-u\underline{
\mathsf{z}}
)
)
|
; subLeqRight
\rhd |(\underline{
\mathsf{z}}
+(-u\underline{
\mathsf{x}}
)
)
|
 = |(\underline{
\mathsf{x}}
+(-u\underline{
\mathsf{z}}
)
)
|
\rhd (\underline{
\mathsf{z}}
+(-u\underline{
\mathsf{x}}
)
)
 <= |(\underline{
\mathsf{z}}
+(-u\underline{
\mathsf{x}}
)
)
|
\gg (\underline{
\mathsf{z}}
+(-u\underline{
\mathsf{x}}
)
)
 <= |(\underline{
\mathsf{x}}
+(-u\underline{
\mathsf{z}}
)
)
|
; LeqNegated
\rhd (\underline{
\mathsf{z}}
+(-u\underline{
\mathsf{x}}
)
)
 <= |(\underline{
\mathsf{x}}
+(-u\underline{
\mathsf{z}}
)
)
|
\gg (-u|(\underline{
\mathsf{x}}
+(-u\underline{
\mathsf{z}}
)
)
|
)
 <= (-u(\underline{
\mathsf{z}}
+(-u\underline{
\mathsf{x}}
)
)
)
; MinusNegated
\gg (-u(\underline{
\mathsf{z}}
+(-u\underline{
\mathsf{x}}
)
)
)
 = (\underline{
\mathsf{x}}
+(-u\underline{
\mathsf{z}}
)
)
; subLeqRight
\rhd (-u(\underline{
\mathsf{z}}
+(-u\underline{
\mathsf{x}}
)
)
)
 = (\underline{
\mathsf{x}}
+(-u\underline{
\mathsf{z}}
)
)
\rhd (-u|(\underline{
\mathsf{x}}
+(-u\underline{
\mathsf{z}}
)
)
|
)
 <= (-u(\underline{
\mathsf{z}}
+(-u\underline{
\mathsf{x}}
)
)
)
\gg (-u|(\underline{
\mathsf{x}}
+(-u\underline{
\mathsf{z}}
)
)
|
)
 <= (\underline{
\mathsf{x}}
+(-u\underline{
\mathsf{z}}
)
)
; leqLessTransitivity
\rhd (-u|(\underline{
\mathsf{x}}
+(-u\underline{
\mathsf{z}}
)
)
|
)
 <= (\underline{
\mathsf{x}}
+(-u\underline{
\mathsf{z}}
)
)
\rhd \dot{\neg}\,((\underline{
\mathsf{x}}
+(-u\underline{
\mathsf{z}}
)
)
 <= \underline{
\mathsf{y}}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,((\underline{
\mathsf{x}}
+(-u\underline{
\mathsf{z}}
)
)
 = \underline{
\mathsf{y}}
)n
)n
)n
\gg \dot{\neg}\,((-u|(\underline{
\mathsf{x}}
+(-u\underline{
\mathsf{z}}
)
)
|
)
 <= \underline{
\mathsf{y}}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,((-u|(\underline{
\mathsf{x}}
+(-u\underline{
\mathsf{z}}
)
)
|
)
 = \underline{
\mathsf{y}}
)n
)n
)n
; MaxLeq(2)
\gg |(\underline{
\mathsf{x}}
+(-u\underline{
\mathsf{z}}
)
)
|
 <= if(|(\underline{
\mathsf{x}}
+(-u\underline{
\mathsf{z}}
)
)
|
 <= |(\underline{
\mathsf{x}}
+\underline{
\mathsf{z}}
)
|
,|(\underline{
\mathsf{x}}
+\underline{
\mathsf{z}}
)
|
,|(\underline{
\mathsf{x}}
+(-u\underline{
\mathsf{z}}
)
)
|
)
; LeqNegated
\rhd |(\underline{
\mathsf{x}}
+(-u\underline{
\mathsf{z}}
)
)
|
 <= if(|(\underline{
\mathsf{x}}
+(-u\underline{
\mathsf{z}}
)
)
|
 <= |(\underline{
\mathsf{x}}
+\underline{
\mathsf{z}}
)
|
,|(\underline{
\mathsf{x}}
+\underline{
\mathsf{z}}
)
|
,|(\underline{
\mathsf{x}}
+(-u\underline{
\mathsf{z}}
)
)
|
)
\gg (-uif(|(\underline{
\mathsf{x}}
+(-u\underline{
\mathsf{z}}
)
)
|
 <= |(\underline{
\mathsf{x}}
+\underline{
\mathsf{z}}
)
|
,|(\underline{
\mathsf{x}}
+\underline{
\mathsf{z}}
)
|
,|(\underline{
\mathsf{x}}
+(-u\underline{
\mathsf{z}}
)
)
|
)
)
 <= (-u|(\underline{
\mathsf{x}}
+(-u\underline{
\mathsf{z}}
)
)
|
)
; leqLessTransitivity
\rhd (-uif(|(\underline{
\mathsf{x}}
+(-u\underline{
\mathsf{z}}
)
)
|
 <= |(\underline{
\mathsf{x}}
+\underline{
\mathsf{z}}
)
|
,|(\underline{
\mathsf{x}}
+\underline{
\mathsf{z}}
)
|
,|(\underline{
\mathsf{x}}
+(-u\underline{
\mathsf{z}}
)
)
|
)
)
 <= (-u|(\underline{
\mathsf{x}}
+(-u\underline{
\mathsf{z}}
)
)
|
)
\rhd \dot{\neg}\,((-u|(\underline{
\mathsf{x}}
+(-u\underline{
\mathsf{z}}
)
)
|
)
 <= \underline{
\mathsf{y}}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,((-u|(\underline{
\mathsf{x}}
+(-u\underline{
\mathsf{z}}
)
)
|
)
 = \underline{
\mathsf{y}}
)n
)n
)n
\gg \dot{\neg}\,((-uif(|(\underline{
\mathsf{x}}
+(-u\underline{
\mathsf{z}}
)
)
|
 <= |(\underline{
\mathsf{x}}
+\underline{
\mathsf{z}}
)
|
,|(\underline{
\mathsf{x}}
+\underline{
\mathsf{z}}
)
|
,|(\underline{
\mathsf{x}}
+(-u\underline{
\mathsf{z}}
)
)
|
)
)
 <= \underline{
\mathsf{y}}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,((-uif(|(\underline{
\mathsf{x}}
+(-u\underline{
\mathsf{z}}
)
)
|
 <= |(\underline{
\mathsf{x}}
+\underline{
\mathsf{z}}
)
|
,|(\underline{
\mathsf{x}}
+\underline{
\mathsf{z}}
)
|
,|(\underline{
\mathsf{x}}
+(-u\underline{
\mathsf{z}}
)
)
|
)
)
 = \underline{
\mathsf{y}}
)n
)n
)n
; ToNumericalLess
\rhd \dot{\neg}\,((-uif(|(\underline{
\mathsf{x}}
+(-u\underline{
\mathsf{z}}
)
)
|
 <= |(\underline{
\mathsf{x}}
+\underline{
\mathsf{z}}
)
|
,|(\underline{
\mathsf{x}}
+\underline{
\mathsf{z}}
)
|
,|(\underline{
\mathsf{x}}
+(-u\underline{
\mathsf{z}}
)
)
|
)
)
 <= \underline{
\mathsf{y}}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,((-uif(|(\underline{
\mathsf{x}}
+(-u\underline{
\mathsf{z}}
)
)
|
 <= |(\underline{
\mathsf{x}}
+\underline{
\mathsf{z}}
)
|
,|(\underline{
\mathsf{x}}
+\underline{
\mathsf{z}}
)
|
,|(\underline{
\mathsf{x}}
+(-u\underline{
\mathsf{z}}
)
)
|
)
)
 = \underline{
\mathsf{y}}
)n
)n
)n
\rhd \dot{\neg}\,(\underline{
\mathsf{y}}
 <= if(|(\underline{
\mathsf{x}}
+(-u\underline{
\mathsf{z}}
)
)
|
 <= |(\underline{
\mathsf{x}}
+\underline{
\mathsf{z}}
)
|
,|(\underline{
\mathsf{x}}
+\underline{
\mathsf{z}}
)
|
,|(\underline{
\mathsf{x}}
+(-u\underline{
\mathsf{z}}
)
)
|
)
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\underline{
\mathsf{y}}
 = if(|(\underline{
\mathsf{x}}
+(-u\underline{
\mathsf{z}}
)
)
|
 <= |(\underline{
\mathsf{x}}
+\underline{
\mathsf{z}}
)
|
,|(\underline{
\mathsf{x}}
+\underline{
\mathsf{z}}
)
|
,|(\underline{
\mathsf{x}}
+(-u\underline{
\mathsf{z}}
)
)
|
)
)n
)n
)n
\gg \dot{\neg}\,(|\underline{
\mathsf{y}}
|
 <= if(|(\underline{
\mathsf{x}}
+(-u\underline{
\mathsf{z}}
)
)
|
 <= |(\underline{
\mathsf{x}}
+\underline{
\mathsf{z}}
)
|
,|(\underline{
\mathsf{x}}
+\underline{
\mathsf{z}}
)
|
,|(\underline{
\mathsf{x}}
+(-u\underline{
\mathsf{z}}
)
)
|
)
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(|\underline{
\mathsf{y}}
|
 = if(|(\underline{
\mathsf{x}}
+(-u\underline{
\mathsf{z}}
)
)
|
 <= |(\underline{
\mathsf{x}}
+\underline{
\mathsf{z}}
)
|
,|(\underline{
\mathsf{x}}
+\underline{
\mathsf{z}}
)
|
,|(\underline{
\mathsf{x}}
+(-u\underline{
\mathsf{z}}
)
)
|
)
)n
)n
)n
\rceil 
, 
p_0
, 
\mathsf {c}
)
]$

$
[F-Bounded
\stackrel{
stmt
}{\rightarrow}SystemQ
\vdash 
\forall \underline{(v1)}
\colon 
\forall \underline{(v2)}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf {n}}
\colon 
\forall \underline{(\epsilon)}
\colon 
\forall \underline{(fx)}
\colon \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \underline{(v1)}
\colon \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \underline{(v2)}
\colon \dot{\neg}\,(|\underline{(fx)}
[\underline{(v2)}
]
|
 <= \underline{(v1)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(|\underline{(fx)}
[\underline{(v2)}
]
|
 = \underline{(v1)}
)n
)n
)n
)n
)n
]$

$
[F-Bounded
\stackrel{
proof
}{\rightarrow}
\lambda 
\mathsf {c}
.
\lambda 
\mathsf{x}
.
{\cal P}( 
\lceil SystemQ
\vdash 
\forall \underline{(v1)}
\colon 
\forall \underline{(v2)}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf {n}}
\colon 
\forall \underline{(fx)}
\colon 
\forall_{obj} \underline{(v1)}
\colon 
\forall_{obj} \underline{(v2)}
\colon \dot{\neg}\,(0
 <= 1
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(0
 = 1
)n
)n
)n
\Rightarrow \underline{
\mathsf {n}}
 <= \underline{(v1)}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {n}}
 <= \underline{(v2)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(|(\underline{(fx)}
[\underline{(v1)}
]
+(-u\underline{(fx)}
[\underline{(v2)}
]
)
)
|
 <= 1
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(|(\underline{(fx)}
[\underline{(v1)}
]
+(-u\underline{(fx)}
[\underline{(v2)}
]
)
)
|
 = 1
)n
)n
)n
\vdash \underline{
\mathsf {n}}
 <= \underline{(v2)}
\vdash A4
\mathop {\char64} \underline{
\mathsf {n}}
\rhd 
\forall_{obj} \underline{(v1)}
\colon 
\forall_{obj} \underline{(v2)}
\colon \dot{\neg}\,(0
 <= 1
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(0
 = 1
)n
)n
)n
\Rightarrow \underline{
\mathsf {n}}
 <= \underline{(v1)}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {n}}
 <= \underline{(v2)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(|(\underline{(fx)}
[\underline{(v1)}
]
+(-u\underline{(fx)}
[\underline{(v2)}
]
)
)
|
 <= 1
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(|(\underline{(fx)}
[\underline{(v1)}
]
+(-u\underline{(fx)}
[\underline{(v2)}
]
)
)
|
 = 1
)n
)n
)n
\gg 
\forall_{obj} \underline{(v2)}
\colon \dot{\neg}\,(0
 <= 1
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(0
 = 1
)n
)n
)n
\Rightarrow \underline{
\mathsf {n}}
 <= \underline{
\mathsf {n}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {n}}
 <= \underline{(v2)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(|(\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {n}}
]
+(-u\underline{(fx)}
[\underline{(v2)}
]
)
)
|
 <= 1
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(|(\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {n}}
]
+(-u\underline{(fx)}
[\underline{(v2)}
]
)
)
|
 = 1
)n
)n
)n
; A4
\mathop {\char64} \underline{(v2)}
\rhd 
\forall_{obj} \underline{(v2)}
\colon \dot{\neg}\,(0
 <= 1
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(0
 = 1
)n
)n
)n
\Rightarrow \underline{
\mathsf {n}}
 <= \underline{
\mathsf {n}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {n}}
 <= \underline{(v2)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(|(\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {n}}
]
+(-u\underline{(fx)}
[\underline{(v2)}
]
)
)
|
 <= 1
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(|(\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {n}}
]
+(-u\underline{(fx)}
[\underline{(v2)}
]
)
)
|
 = 1
)n
)n
)n
\gg \dot{\neg}\,(0
 <= 1
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(0
 = 1
)n
)n
)n
\Rightarrow \underline{
\mathsf {n}}
 <= \underline{
\mathsf {n}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {n}}
 <= \underline{(v2)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(|(\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {n}}
]
+(-u\underline{(fx)}
[\underline{(v2)}
]
)
)
|
 <= 1
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(|(\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {n}}
]
+(-u\underline{(fx)}
[\underline{(v2)}
]
)
)
|
 = 1
)n
)n
)n
; 0<1
\gg \dot{\neg}\,(0
 <= 1
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(0
 = 1
)n
)n
)n
; leqReflexivity
\gg \underline{
\mathsf {n}}
 <= \underline{
\mathsf {n}}
; MP3
\rhd \dot{\neg}\,(0
 <= 1
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(0
 = 1
)n
)n
)n
\Rightarrow \underline{
\mathsf {n}}
 <= \underline{
\mathsf {n}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {n}}
 <= \underline{(v2)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(|(\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {n}}
]
+(-u\underline{(fx)}
[\underline{(v2)}
]
)
)
|
 <= 1
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(|(\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {n}}
]
+(-u\underline{(fx)}
[\underline{(v2)}
]
)
)
|
 = 1
)n
)n
)n
\rhd \dot{\neg}\,(0
 <= 1
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(0
 = 1
)n
)n
)n
\rhd \underline{
\mathsf {n}}
 <= \underline{
\mathsf {n}}
\rhd \underline{
\mathsf {n}}
 <= \underline{(v2)}
\gg \dot{\neg}\,(|(\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {n}}
]
+(-u\underline{(fx)}
[\underline{(v2)}
]
)
)
|
 <= 1
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(|(\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {n}}
]
+(-u\underline{(fx)}
[\underline{(v2)}
]
)
)
|
 = 1
)n
)n
)n
; F-Bounded(Helper)
\rhd \dot{\neg}\,(|(\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {n}}
]
+(-u\underline{(fx)}
[\underline{(v2)}
]
)
)
|
 <= 1
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(|(\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {n}}
]
+(-u\underline{(fx)}
[\underline{(v2)}
]
)
)
|
 = 1
)n
)n
)n
\gg \dot{\neg}\,(|\underline{(fx)}
[\underline{(v2)}
]
|
 <= if(|(\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {n}}
]
+(-u1
)
)
|
 <= |(\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {n}}
]
+1
)
|
,|(\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {n}}
]
+1
)
|
,|(\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {n}}
]
+(-u1
)
)
|
)
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(|\underline{(fx)}
[\underline{(v2)}
]
|
 = if(|(\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {n}}
]
+(-u1
)
)
|
 <= |(\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {n}}
]
+1
)
|
,|(\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {n}}
]
+1
)
|
,|(\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {n}}
]
+(-u1
)
)
|
)
)n
)n
)n
; 
\forall \underline{(v1)}
\colon 
\forall \underline{(v2)}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf {n}}
\colon 
\forall \underline{(fx)}
\colon 
\forall_{obj} \underline{(v2)}
\colon \underline{(v2)}
 <= \underline{
\mathsf {n}}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(|\underline{(fx)}
[\underline{(v2)}
]
|
 <= \underline{(v1)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(|\underline{(fx)}
[\underline{(v2)}
]
|
 = \underline{(v1)}
)n
)n
)n
\vdash \dot{\neg}\,(\underline{
\mathsf {n}}
 <= \underline{(v2)}
)n
\vdash A4
\mathop {\char64} \underline{(v2)}
\rhd 
\forall_{obj} \underline{(v2)}
\colon \underline{(v2)}
 <= \underline{
\mathsf {n}}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(|\underline{(fx)}
[\underline{(v2)}
]
|
 <= \underline{(v1)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(|\underline{(fx)}
[\underline{(v2)}
]
|
 = \underline{(v1)}
)n
)n
)n
\gg \underline{(v2)}
 <= \underline{
\mathsf {n}}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(|\underline{(fx)}
[\underline{(v2)}
]
|
 <= \underline{(v1)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(|\underline{(fx)}
[\underline{(v2)}
]
|
 = \underline{(v1)}
)n
)n
)n
; ToLess
\rhd \dot{\neg}\,(\underline{
\mathsf {n}}
 <= \underline{(v2)}
)n
\gg \dot{\neg}\,(\underline{(v2)}
 <= \underline{
\mathsf {n}}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\underline{(v2)}
 = \underline{
\mathsf {n}}
)n
)n
)n
; LessLeq
\rhd \dot{\neg}\,(\underline{(v2)}
 <= \underline{
\mathsf {n}}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\underline{(v2)}
 = \underline{
\mathsf {n}}
)n
)n
)n
\gg \underline{(v2)}
 <= \underline{
\mathsf {n}}
; MP
\rhd \underline{(v2)}
 <= \underline{
\mathsf {n}}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(|\underline{(fx)}
[\underline{(v2)}
]
|
 <= \underline{(v1)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(|\underline{(fx)}
[\underline{(v2)}
]
|
 = \underline{(v1)}
)n
)n
)n
\rhd \underline{(v2)}
 <= \underline{
\mathsf {n}}
\gg \dot{\neg}\,(|\underline{(fx)}
[\underline{(v2)}
]
|
 <= \underline{(v1)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(|\underline{(fx)}
[\underline{(v2)}
]
|
 = \underline{(v1)}
)n
)n
)n
; 
\forall \underline{(v1)}
\colon 
\forall \underline{(v2)}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf {n}}
\colon 
\forall \underline{(\epsilon)}
\colon 
\forall \underline{(fx)}
\colon Ded
\rhd 
\forall \underline{(v1)}
\colon 
\forall \underline{(v2)}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf {n}}
\colon 
\forall \underline{(fx)}
\colon 
\forall_{obj} \underline{(v1)}
\colon 
\forall_{obj} \underline{(v2)}
\colon \dot{\neg}\,(0
 <= 1
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(0
 = 1
)n
)n
)n
\Rightarrow \underline{
\mathsf {n}}
 <= \underline{(v1)}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {n}}
 <= \underline{(v2)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(|(\underline{(fx)}
[\underline{(v1)}
]
+(-u\underline{(fx)}
[\underline{(v2)}
]
)
)
|
 <= 1
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(|(\underline{(fx)}
[\underline{(v1)}
]
+(-u\underline{(fx)}
[\underline{(v2)}
]
)
)
|
 = 1
)n
)n
)n
\vdash \underline{
\mathsf {n}}
 <= \underline{(v2)}
\vdash \dot{\neg}\,(|\underline{(fx)}
[\underline{(v2)}
]
|
 <= if(|(\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {n}}
]
+(-u1
)
)
|
 <= |(\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {n}}
]
+1
)
|
,|(\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {n}}
]
+1
)
|
,|(\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {n}}
]
+(-u1
)
)
|
)
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(|\underline{(fx)}
[\underline{(v2)}
]
|
 = if(|(\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {n}}
]
+(-u1
)
)
|
 <= |(\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {n}}
]
+1
)
|
,|(\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {n}}
]
+1
)
|
,|(\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {n}}
]
+(-u1
)
)
|
)
)n
)n
)n
\gg 
\forall_{obj} \underline{(v1)}
\colon 
\forall_{obj} \underline{(v2)}
\colon \dot{\neg}\,(0
 <= 1
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(0
 = 1
)n
)n
)n
\Rightarrow \underline{
\mathsf {n}}
 <= \underline{(v1)}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {n}}
 <= \underline{(v2)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(|(\underline{(fx)}
[\underline{(v1)}
]
+(-u\underline{(fx)}
[\underline{(v2)}
]
)
)
|
 <= 1
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(|(\underline{(fx)}
[\underline{(v1)}
]
+(-u\underline{(fx)}
[\underline{(v2)}
]
)
)
|
 = 1
)n
)n
)n
\Rightarrow \underline{
\mathsf {n}}
 <= \underline{(v2)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(|\underline{(fx)}
[\underline{(v2)}
]
|
 <= if(|(\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {n}}
]
+(-u1
)
)
|
 <= |(\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {n}}
]
+1
)
|
,|(\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {n}}
]
+1
)
|
,|(\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {n}}
]
+(-u1
)
)
|
)
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(|\underline{(fx)}
[\underline{(v2)}
]
|
 = if(|(\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {n}}
]
+(-u1
)
)
|
 <= |(\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {n}}
]
+1
)
|
,|(\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {n}}
]
+1
)
|
,|(\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {n}}
]
+(-u1
)
)
|
)
)n
)n
)n
; Ded
\rhd 
\forall \underline{(v1)}
\colon 
\forall \underline{(v2)}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf {n}}
\colon 
\forall \underline{(fx)}
\colon 
\forall_{obj} \underline{(v2)}
\colon \underline{(v2)}
 <= \underline{
\mathsf {n}}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(|\underline{(fx)}
[\underline{(v2)}
]
|
 <= \underline{(v1)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(|\underline{(fx)}
[\underline{(v2)}
]
|
 = \underline{(v1)}
)n
)n
)n
\vdash \dot{\neg}\,(\underline{
\mathsf {n}}
 <= \underline{(v2)}
)n
\vdash \dot{\neg}\,(|\underline{(fx)}
[\underline{(v2)}
]
|
 <= \underline{(v1)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(|\underline{(fx)}
[\underline{(v2)}
]
|
 = \underline{(v1)}
)n
)n
)n
\gg 
\forall_{obj} \underline{(v2)}
\colon \underline{(v2)}
 <= \underline{
\mathsf {n}}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(|\underline{(fx)}
[\underline{(v2)}
]
|
 <= \underline{(v1)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(|\underline{(fx)}
[\underline{(v2)}
]
|
 = \underline{(v1)}
)n
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\underline{
\mathsf {n}}
 <= \underline{(v2)}
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(|\underline{(fx)}
[\underline{(v2)}
]
|
 <= \underline{(v1)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(|\underline{(fx)}
[\underline{(v2)}
]
|
 = \underline{(v1)}
)n
)n
)n
; Cauchy
\gg 
\forall_{obj} \underline{(\epsilon)}
\colon \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \underline{
\mathsf {n}}
\colon \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \underline{(v1)}
\colon 
\forall_{obj} \underline{(v2)}
\colon \dot{\neg}\,(0
 <= \underline{(\epsilon)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(0
 = \underline{(\epsilon)}
)n
)n
)n
\Rightarrow \underline{
\mathsf {n}}
 <= \underline{(v1)}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {n}}
 <= \underline{(v2)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(|(\underline{(fx)}
[\underline{(v1)}
]
+(-u\underline{(fx)}
[\underline{(v2)}
]
)
)
|
 <= \underline{(\epsilon)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(|(\underline{(fx)}
[\underline{(v1)}
]
+(-u\underline{(fx)}
[\underline{(v2)}
]
)
)
|
 = \underline{(\epsilon)}
)n
)n
)n
)n
)n
; A4
\mathop {\char64} 1
\rhd 
\forall_{obj} \underline{(\epsilon)}
\colon \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \underline{
\mathsf {n}}
\colon \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \underline{(v1)}
\colon 
\forall_{obj} \underline{(v2)}
\colon \dot{\neg}\,(0
 <= \underline{(\epsilon)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(0
 = \underline{(\epsilon)}
)n
)n
)n
\Rightarrow \underline{
\mathsf {n}}
 <= \underline{(v1)}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {n}}
 <= \underline{(v2)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(|(\underline{(fx)}
[\underline{(v1)}
]
+(-u\underline{(fx)}
[\underline{(v2)}
]
)
)
|
 <= \underline{(\epsilon)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(|(\underline{(fx)}
[\underline{(v1)}
]
+(-u\underline{(fx)}
[\underline{(v2)}
]
)
)
|
 = \underline{(\epsilon)}
)n
)n
)n
)n
)n
\gg \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \underline{
\mathsf {n}}
\colon \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \underline{(v1)}
\colon 
\forall_{obj} \underline{(v2)}
\colon \dot{\neg}\,(0
 <= 1
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(0
 = 1
)n
)n
)n
\Rightarrow \underline{
\mathsf {n}}
 <= \underline{(v1)}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {n}}
 <= \underline{(v2)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(|(\underline{(fx)}
[\underline{(v1)}
]
+(-u\underline{(fx)}
[\underline{(v2)}
]
)
)
|
 <= 1
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(|(\underline{(fx)}
[\underline{(v1)}
]
+(-u\underline{(fx)}
[\underline{(v2)}
]
)
)
|
 = 1
)n
)n
)n
)n
)n
; Fpart-Bounded
\gg \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \underline{(v1)}
\colon \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \underline{(v2)}
\colon \underline{(v2)}
 <= \underline{
\mathsf {n}}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(|\underline{(fx)}
[\underline{(v2)}
]
|
 <= \underline{(v1)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(|\underline{(fx)}
[\underline{(v2)}
]
|
 = \underline{(v1)}
)n
)n
)n
)n
)n
; ExistMP
\rhd 
\forall_{obj} \underline{(v1)}
\colon 
\forall_{obj} \underline{(v2)}
\colon \dot{\neg}\,(0
 <= 1
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(0
 = 1
)n
)n
)n
\Rightarrow \underline{
\mathsf {n}}
 <= \underline{(v1)}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {n}}
 <= \underline{(v2)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(|(\underline{(fx)}
[\underline{(v1)}
]
+(-u\underline{(fx)}
[\underline{(v2)}
]
)
)
|
 <= 1
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(|(\underline{(fx)}
[\underline{(v1)}
]
+(-u\underline{(fx)}
[\underline{(v2)}
]
)
)
|
 = 1
)n
)n
)n
\Rightarrow \underline{
\mathsf {n}}
 <= \underline{(v2)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(|\underline{(fx)}
[\underline{(v2)}
]
|
 <= if(|(\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {n}}
]
+(-u1
)
)
|
 <= |(\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {n}}
]
+1
)
|
,|(\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {n}}
]
+1
)
|
,|(\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {n}}
]
+(-u1
)
)
|
)
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(|\underline{(fx)}
[\underline{(v2)}
]
|
 = if(|(\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {n}}
]
+(-u1
)
)
|
 <= |(\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {n}}
]
+1
)
|
,|(\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {n}}
]
+1
)
|
,|(\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {n}}
]
+(-u1
)
)
|
)
)n
)n
)n
\rhd \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \underline{
\mathsf {n}}
\colon \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \underline{(v1)}
\colon 
\forall_{obj} \underline{(v2)}
\colon \dot{\neg}\,(0
 <= 1
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(0
 = 1
)n
)n
)n
\Rightarrow \underline{
\mathsf {n}}
 <= \underline{(v1)}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {n}}
 <= \underline{(v2)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(|(\underline{(fx)}
[\underline{(v1)}
]
+(-u\underline{(fx)}
[\underline{(v2)}
]
)
)
|
 <= 1
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(|(\underline{(fx)}
[\underline{(v1)}
]
+(-u\underline{(fx)}
[\underline{(v2)}
]
)
)
|
 = 1
)n
)n
)n
)n
)n
\gg \underline{
\mathsf {n}}
 <= \underline{(v2)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(|\underline{(fx)}
[\underline{(v2)}
]
|
 <= if(|(\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {n}}
]
+(-u1
)
)
|
 <= |(\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {n}}
]
+1
)
|
,|(\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {n}}
]
+1
)
|
,|(\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {n}}
]
+(-u1
)
)
|
)
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(|\underline{(fx)}
[\underline{(v2)}
]
|
 = if(|(\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {n}}
]
+(-u1
)
)
|
 <= |(\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {n}}
]
+1
)
|
,|(\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {n}}
]
+1
)
|
,|(\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {n}}
]
+(-u1
)
)
|
)
)n
)n
)n
; ExistMP
\rhd 
\forall_{obj} \underline{(v2)}
\colon \underline{(v2)}
 <= \underline{
\mathsf {n}}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(|\underline{(fx)}
[\underline{(v2)}
]
|
 <= \underline{(v1)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(|\underline{(fx)}
[\underline{(v2)}
]
|
 = \underline{(v1)}
)n
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\underline{
\mathsf {n}}
 <= \underline{(v2)}
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(|\underline{(fx)}
[\underline{(v2)}
]
|
 <= \underline{(v1)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(|\underline{(fx)}
[\underline{(v2)}
]
|
 = \underline{(v1)}
)n
)n
)n
\rhd \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \underline{(v1)}
\colon \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \underline{(v2)}
\colon \underline{(v2)}
 <= \underline{
\mathsf {n}}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(|\underline{(fx)}
[\underline{(v2)}
]
|
 <= \underline{(v1)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(|\underline{(fx)}
[\underline{(v2)}
]
|
 = \underline{(v1)}
)n
)n
)n
)n
)n
\gg \dot{\neg}\,(\underline{
\mathsf {n}}
 <= \underline{(v2)}
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(|\underline{(fx)}
[\underline{(v2)}
]
|
 <= \underline{(v1)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(|\underline{(fx)}
[\underline{(v2)}
]
|
 = \underline{(v1)}
)n
)n
)n
; LessThanMax
\rhd \underline{
\mathsf {n}}
 <= \underline{(v2)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(|\underline{(fx)}
[\underline{(v2)}
]
|
 <= if(|(\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {n}}
]
+(-u1
)
)
|
 <= |(\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {n}}
]
+1
)
|
,|(\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {n}}
]
+1
)
|
,|(\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {n}}
]
+(-u1
)
)
|
)
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(|\underline{(fx)}
[\underline{(v2)}
]
|
 = if(|(\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {n}}
]
+(-u1
)
)
|
 <= |(\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {n}}
]
+1
)
|
,|(\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {n}}
]
+1
)
|
,|(\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {n}}
]
+(-u1
)
)
|
)
)n
)n
)n
\rhd \dot{\neg}\,(\underline{
\mathsf {n}}
 <= \underline{(v2)}
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(|\underline{(fx)}
[\underline{(v2)}
]
|
 <= \underline{(v1)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(|\underline{(fx)}
[\underline{(v2)}
]
|
 = \underline{(v1)}
)n
)n
)n
\gg \dot{\neg}\,(|\underline{(fx)}
[\underline{(v2)}
]
|
 <= if(\underline{(v1)}
 <= if(|(\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {n}}
]
+(-u1
)
)
|
 <= |(\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {n}}
]
+1
)
|
,|(\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {n}}
]
+1
)
|
,|(\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {n}}
]
+(-u1
)
)
|
)
,if(|(\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {n}}
]
+(-u1
)
)
|
 <= |(\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {n}}
]
+1
)
|
,|(\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {n}}
]
+1
)
|
,|(\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {n}}
]
+(-u1
)
)
|
)
,\underline{(v1)}
)
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(|\underline{(fx)}
[\underline{(v2)}
]
|
 = if(\underline{(v1)}
 <= if(|(\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {n}}
]
+(-u1
)
)
|
 <= |(\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {n}}
]
+1
)
|
,|(\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {n}}
]
+1
)
|
,|(\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {n}}
]
+(-u1
)
)
|
)
,if(|(\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {n}}
]
+(-u1
)
)
|
 <= |(\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {n}}
]
+1
)
|
,|(\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {n}}
]
+1
)
|
,|(\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {n}}
]
+(-u1
)
)
|
)
,\underline{(v1)}
)
)n
)n
)n
; Gen
\rhd \dot{\neg}\,(|\underline{(fx)}
[\underline{(v2)}
]
|
 <= if(\underline{(v1)}
 <= if(|(\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {n}}
]
+(-u1
)
)
|
 <= |(\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {n}}
]
+1
)
|
,|(\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {n}}
]
+1
)
|
,|(\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {n}}
]
+(-u1
)
)
|
)
,if(|(\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {n}}
]
+(-u1
)
)
|
 <= |(\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {n}}
]
+1
)
|
,|(\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {n}}
]
+1
)
|
,|(\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {n}}
]
+(-u1
)
)
|
)
,\underline{(v1)}
)
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(|\underline{(fx)}
[\underline{(v2)}
]
|
 = if(\underline{(v1)}
 <= if(|(\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {n}}
]
+(-u1
)
)
|
 <= |(\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {n}}
]
+1
)
|
,|(\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {n}}
]
+1
)
|
,|(\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {n}}
]
+(-u1
)
)
|
)
,if(|(\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {n}}
]
+(-u1
)
)
|
 <= |(\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {n}}
]
+1
)
|
,|(\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {n}}
]
+1
)
|
,|(\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {n}}
]
+(-u1
)
)
|
)
,\underline{(v1)}
)
)n
)n
)n
\gg 
\forall_{obj} \underline{(v2)}
\colon \dot{\neg}\,(|\underline{(fx)}
[\underline{(v2)}
]
|
 <= if(\underline{(v1)}
 <= if(|(\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {n}}
]
+(-u1
)
)
|
 <= |(\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {n}}
]
+1
)
|
,|(\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {n}}
]
+1
)
|
,|(\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {n}}
]
+(-u1
)
)
|
)
,if(|(\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {n}}
]
+(-u1
)
)
|
 <= |(\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {n}}
]
+1
)
|
,|(\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {n}}
]
+1
)
|
,|(\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {n}}
]
+(-u1
)
)
|
)
,\underline{(v1)}
)
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(|\underline{(fx)}
[\underline{(v2)}
]
|
 = if(\underline{(v1)}
 <= if(|(\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {n}}
]
+(-u1
)
)
|
 <= |(\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {n}}
]
+1
)
|
,|(\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {n}}
]
+1
)
|
,|(\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {n}}
]
+(-u1
)
)
|
)
,if(|(\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {n}}
]
+(-u1
)
)
|
 <= |(\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {n}}
]
+1
)
|
,|(\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {n}}
]
+1
)
|
,|(\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {n}}
]
+(-u1
)
)
|
)
,\underline{(v1)}
)
)n
)n
)n
; IntroExist
\mathop {\char64} if(\underline{(v1)}
 <= if(|(\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {n}}
]
+(-u1
)
)
|
 <= |(\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {n}}
]
+1
)
|
,|(\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {n}}
]
+1
)
|
,|(\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {n}}
]
+(-u1
)
)
|
)
,if(|(\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {n}}
]
+(-u1
)
)
|
 <= |(\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {n}}
]
+1
)
|
,|(\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {n}}
]
+1
)
|
,|(\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {n}}
]
+(-u1
)
)
|
)
,\underline{(v1)}
)
\rhd 
\forall_{obj} \underline{(v2)}
\colon \dot{\neg}\,(|\underline{(fx)}
[\underline{(v2)}
]
|
 <= if(\underline{(v1)}
 <= if(|(\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {n}}
]
+(-u1
)
)
|
 <= |(\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {n}}
]
+1
)
|
,|(\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {n}}
]
+1
)
|
,|(\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {n}}
]
+(-u1
)
)
|
)
,if(|(\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {n}}
]
+(-u1
)
)
|
 <= |(\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {n}}
]
+1
)
|
,|(\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {n}}
]
+1
)
|
,|(\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {n}}
]
+(-u1
)
)
|
)
,\underline{(v1)}
)
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(|\underline{(fx)}
[\underline{(v2)}
]
|
 = if(\underline{(v1)}
 <= if(|(\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {n}}
]
+(-u1
)
)
|
 <= |(\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {n}}
]
+1
)
|
,|(\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {n}}
]
+1
)
|
,|(\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {n}}
]
+(-u1
)
)
|
)
,if(|(\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {n}}
]
+(-u1
)
)
|
 <= |(\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {n}}
]
+1
)
|
,|(\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {n}}
]
+1
)
|
,|(\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {n}}
]
+(-u1
)
)
|
)
,\underline{(v1)}
)
)n
)n
)n
\gg \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \underline{(v1)}
\colon \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \underline{(v2)}
\colon \dot{\neg}\,(|\underline{(fx)}
[\underline{(v2)}
]
|
 <= \underline{(v1)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(|\underline{(fx)}
[\underline{(v2)}
]
|
 = \underline{(v1)}
)n
)n
)n
)n
)n
\rceil 
, 
p_0
, 
\mathsf {c}
)
]$

$
[Fpart-Bounded(Base)
\stackrel{
stmt
}{\rightarrow}SystemQ
\vdash 
\forall \underline{(v1)}
\colon 
\forall \underline{(v2n)}
\colon 
\forall \underline{(fx)}
\colon \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \underline{(v1)}
\colon \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \underline{(v2n)}
\colon \underline{(v2n)}
 <= 0
\Rightarrow \dot{\neg}\,(|\underline{(fx)}
[\underline{(v2n)}
]
|
 <= \underline{(v1)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(|\underline{(fx)}
[\underline{(v2n)}
]
|
 = \underline{(v1)}
)n
)n
)n
)n
)n
]$

$
[Fpart-Bounded(Base)
\stackrel{
proof
}{\rightarrow}
\lambda 
\mathsf {c}
.
\lambda 
\mathsf{x}
.
{\cal P}( 
\lceil SystemQ
\vdash 
\forall \underline{(v1)}
\colon 
\forall \underline{(v2n)}
\colon 
\forall \underline{(fx)}
\colon \underline{(v2n)}
 <= 0
\vdash LeqLessEq
\rhd \underline{(v2n)}
 <= 0
\gg \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\underline{(v2n)}
 <= 0
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\underline{(v2n)}
 = 0
)n
)n
)n
)n
\Rightarrow \underline{(v2n)}
 = 0
; Nonnegative(N)
\gg 0
 <= \underline{(v2n)}
; toNotLess
\rhd 0
 <= \underline{(v2n)}
\gg \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\underline{(v2n)}
 <= 0
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\underline{(v2n)}
 = 0
)n
)n
)n
)n
; NegateDisjunct1
\rhd \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\underline{(v2n)}
 <= 0
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\underline{(v2n)}
 = 0
)n
)n
)n
)n
\Rightarrow \underline{(v2n)}
 = 0
\rhd \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\underline{(v2n)}
 <= 0
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\underline{(v2n)}
 = 0
)n
)n
)n
)n
\gg \underline{(v2n)}
 = 0
; SameSeries
\rhd \underline{(v2n)}
 = 0
\gg \underline{(fx)}
[\underline{(v2n)}
]
 = \underline{(fx)}
[0
]
; SameNumerical
\rhd \underline{(fx)}
[\underline{(v2n)}
]
 = \underline{(fx)}
[0
]
\gg |\underline{(fx)}
[\underline{(v2n)}
]
|
 = |\underline{(fx)}
[0
]
|
; eqAddition
\rhd |\underline{(fx)}
[\underline{(v2n)}
]
|
 = |\underline{(fx)}
[0
]
|
\gg (|\underline{(fx)}
[\underline{(v2n)}
]
|
+1
)
 = (|\underline{(fx)}
[0
]
|
+1
)
; leqReflexivity
\gg |\underline{(fx)}
[\underline{(v2n)}
]
|
 <= |\underline{(fx)}
[\underline{(v2n)}
]
|
; Leq+1
\rhd |\underline{(fx)}
[\underline{(v2n)}
]
|
 <= |\underline{(fx)}
[\underline{(v2n)}
]
|
\gg \dot{\neg}\,(|\underline{(fx)}
[\underline{(v2n)}
]
|
 <= (|\underline{(fx)}
[\underline{(v2n)}
]
|
+1
)
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(|\underline{(fx)}
[\underline{(v2n)}
]
|
 = (|\underline{(fx)}
[\underline{(v2n)}
]
|
+1
)
)n
)n
)n
; SubLessRight
\rhd (|\underline{(fx)}
[\underline{(v2n)}
]
|
+1
)
 = (|\underline{(fx)}
[0
]
|
+1
)
\rhd \dot{\neg}\,(|\underline{(fx)}
[\underline{(v2n)}
]
|
 <= (|\underline{(fx)}
[\underline{(v2n)}
]
|
+1
)
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(|\underline{(fx)}
[\underline{(v2n)}
]
|
 = (|\underline{(fx)}
[\underline{(v2n)}
]
|
+1
)
)n
)n
)n
\gg \dot{\neg}\,(|\underline{(fx)}
[\underline{(v2n)}
]
|
 <= (|\underline{(fx)}
[0
]
|
+1
)
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(|\underline{(fx)}
[\underline{(v2n)}
]
|
 = (|\underline{(fx)}
[0
]
|
+1
)
)n
)n
)n
; 
\forall \underline{(v1)}
\colon 
\forall \underline{(v2n)}
\colon 
\forall \underline{(fx)}
\colon Ded
\rhd 
\forall \underline{(v1)}
\colon 
\forall \underline{(v2n)}
\colon 
\forall \underline{(fx)}
\colon \underline{(v2n)}
 <= 0
\vdash \dot{\neg}\,(|\underline{(fx)}
[\underline{(v2n)}
]
|
 <= (|\underline{(fx)}
[0
]
|
+1
)
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(|\underline{(fx)}
[\underline{(v2n)}
]
|
 = (|\underline{(fx)}
[0
]
|
+1
)
)n
)n
)n
\gg \underline{(v2n)}
 <= 0
\Rightarrow \dot{\neg}\,(|\underline{(fx)}
[\underline{(v2n)}
]
|
 <= (|\underline{(fx)}
[0
]
|
+1
)
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(|\underline{(fx)}
[\underline{(v2n)}
]
|
 = (|\underline{(fx)}
[0
]
|
+1
)
)n
)n
)n
; Gen
\rhd \underline{(v2n)}
 <= 0
\Rightarrow \dot{\neg}\,(|\underline{(fx)}
[\underline{(v2n)}
]
|
 <= (|\underline{(fx)}
[0
]
|
+1
)
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(|\underline{(fx)}
[\underline{(v2n)}
]
|
 = (|\underline{(fx)}
[0
]
|
+1
)
)n
)n
)n
\gg 
\forall_{obj} \underline{(v2n)}
\colon \underline{(v2n)}
 <= 0
\Rightarrow \dot{\neg}\,(|\underline{(fx)}
[\underline{(v2n)}
]
|
 <= (|\underline{(fx)}
[0
]
|
+1
)
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(|\underline{(fx)}
[\underline{(v2n)}
]
|
 = (|\underline{(fx)}
[0
]
|
+1
)
)n
)n
)n
; IntroExist
\mathop {\char64} (|\underline{(fx)}
[0
]
|
+1
)
\rhd 
\forall_{obj} \underline{(v2n)}
\colon \underline{(v2n)}
 <= 0
\Rightarrow \dot{\neg}\,(|\underline{(fx)}
[\underline{(v2n)}
]
|
 <= (|\underline{(fx)}
[0
]
|
+1
)
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(|\underline{(fx)}
[\underline{(v2n)}
]
|
 = (|\underline{(fx)}
[0
]
|
+1
)
)n
)n
)n
\gg \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \underline{(v1)}
\colon \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \underline{(v2n)}
\colon \underline{(v2n)}
 <= 0
\Rightarrow \dot{\neg}\,(|\underline{(fx)}
[\underline{(v2n)}
]
|
 <= \underline{(v1)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(|\underline{(fx)}
[\underline{(v2n)}
]
|
 = \underline{(v1)}
)n
)n
)n
)n
)n
\rceil 
, 
p_0
, 
\mathsf {c}
)
]$




$
[Fpart-Bounded(InduHelper)
\stackrel{
stmt
}{\rightarrow}SystemQ
\vdash 
\forall \underline{(v1)}
\colon 
\forall \underline{(v2n)}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf {n}}
\colon 
\forall \underline{(fx)}
\colon \underline{(v2n)}
 <= \underline{
\mathsf {n}}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(|\underline{(fx)}
[\underline{(v2n)}
]
|
 <= \underline{(v1)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(|\underline{(fx)}
[\underline{(v2n)}
]
|
 = \underline{(v1)}
)n
)n
)n
\vdash \underline{(v2n)}
 <= (\underline{
\mathsf {n}}
+1
)
\vdash \dot{\neg}\,(|\underline{(fx)}
[\underline{(v2n)}
]
|
 <= if((|\underline{(fx)}
[(\underline{
\mathsf {n}}
+1
)
]
|
+1
)
 <= \underline{(v1)}
,\underline{(v1)}
,(|\underline{(fx)}
[(\underline{
\mathsf {n}}
+1
)
]
|
+1
)
)
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(|\underline{(fx)}
[\underline{(v2n)}
]
|
 = if((|\underline{(fx)}
[(\underline{
\mathsf {n}}
+1
)
]
|
+1
)
 <= \underline{(v1)}
,\underline{(v1)}
,(|\underline{(fx)}
[(\underline{
\mathsf {n}}
+1
)
]
|
+1
)
)
)n
)n
)n
]$

$
[Fpart-Bounded(InduHelper)
\stackrel{
proof
}{\rightarrow}
\lambda 
\mathsf {c}
.
\lambda 
\mathsf{x}
.
{\cal P}( 
\lceil SystemQ
\vdash 
\forall \underline{(v1)}
\colon 
\forall \underline{(v2n)}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf {n}}
\colon 
\forall \underline{(fx)}
\colon \underline{(v2n)}
 <= \underline{
\mathsf {n}}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(|\underline{(fx)}
[\underline{(v2n)}
]
|
 <= \underline{(v1)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(|\underline{(fx)}
[\underline{(v2n)}
]
|
 = \underline{(v1)}
)n
)n
)n
\vdash \underline{(v2n)}
 <= (\underline{
\mathsf {n}}
+1
)
\vdash LeqLessEq
\rhd \underline{(v2n)}
 <= (\underline{
\mathsf {n}}
+1
)
\gg \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\underline{(v2n)}
 <= (\underline{
\mathsf {n}}
+1
)
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\underline{(v2n)}
 = (\underline{
\mathsf {n}}
+1
)
)n
)n
)n
)n
\Rightarrow \underline{(v2n)}
 = (\underline{
\mathsf {n}}
+1
)
; 
\forall \underline{(v1)}
\colon 
\forall \underline{(v2n)}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf {n}}
\colon 
\forall \underline{(fx)}
\colon \underline{(v2n)}
 <= \underline{
\mathsf {n}}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(|\underline{(fx)}
[\underline{(v2n)}
]
|
 <= \underline{(v1)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(|\underline{(fx)}
[\underline{(v2n)}
]
|
 = \underline{(v1)}
)n
)n
)n
\vdash \dot{\neg}\,(\underline{(v2n)}
 <= (\underline{
\mathsf {n}}
+1
)
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\underline{(v2n)}
 = (\underline{
\mathsf {n}}
+1
)
)n
)n
)n
\vdash LessMinus1(N)
\rhd \dot{\neg}\,(\underline{(v2n)}
 <= (\underline{
\mathsf {n}}
+1
)
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\underline{(v2n)}
 = (\underline{
\mathsf {n}}
+1
)
)n
)n
)n
\gg \underline{(v2n)}
 <= \underline{
\mathsf {n}}
; MP
\rhd \underline{(v2n)}
 <= \underline{
\mathsf {n}}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(|\underline{(fx)}
[\underline{(v2n)}
]
|
 <= \underline{(v1)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(|\underline{(fx)}
[\underline{(v2n)}
]
|
 = \underline{(v1)}
)n
)n
)n
\rhd \underline{(v2n)}
 <= \underline{
\mathsf {n}}
\gg \dot{\neg}\,(|\underline{(fx)}
[\underline{(v2n)}
]
|
 <= \underline{(v1)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(|\underline{(fx)}
[\underline{(v2n)}
]
|
 = \underline{(v1)}
)n
)n
)n
; MaxLeq(1)
\gg \underline{(v1)}
 <= if((|\underline{(fx)}
[(\underline{
\mathsf {n}}
+1
)
]
|
+1
)
 <= \underline{(v1)}
,\underline{(v1)}
,(|\underline{(fx)}
[(\underline{
\mathsf {n}}
+1
)
]
|
+1
)
)
; LessLeqTransitivity
\rhd \dot{\neg}\,(|\underline{(fx)}
[\underline{(v2n)}
]
|
 <= \underline{(v1)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(|\underline{(fx)}
[\underline{(v2n)}
]
|
 = \underline{(v1)}
)n
)n
)n
\rhd \underline{(v1)}
 <= if((|\underline{(fx)}
[(\underline{
\mathsf {n}}
+1
)
]
|
+1
)
 <= \underline{(v1)}
,\underline{(v1)}
,(|\underline{(fx)}
[(\underline{
\mathsf {n}}
+1
)
]
|
+1
)
)
\gg \dot{\neg}\,(|\underline{(fx)}
[\underline{(v2n)}
]
|
 <= if((|\underline{(fx)}
[(\underline{
\mathsf {n}}
+1
)
]
|
+1
)
 <= \underline{(v1)}
,\underline{(v1)}
,(|\underline{(fx)}
[(\underline{
\mathsf {n}}
+1
)
]
|
+1
)
)
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(|\underline{(fx)}
[\underline{(v2n)}
]
|
 = if((|\underline{(fx)}
[(\underline{
\mathsf {n}}
+1
)
]
|
+1
)
 <= \underline{(v1)}
,\underline{(v1)}
,(|\underline{(fx)}
[(\underline{
\mathsf {n}}
+1
)
]
|
+1
)
)
)n
)n
)n
; 
\forall \underline{(v1)}
\colon 
\forall \underline{(v2n)}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf {n}}
\colon 
\forall \underline{(fx)}
\colon \underline{(v2n)}
 = (\underline{
\mathsf {n}}
+1
)
\vdash SameSeries
\rhd \underline{(v2n)}
 = (\underline{
\mathsf {n}}
+1
)
\gg \underline{(fx)}
[\underline{(v2n)}
]
 = \underline{(fx)}
[(\underline{
\mathsf {n}}
+1
)
]
; SameNumerical
\rhd \underline{(fx)}
[\underline{(v2n)}
]
 = \underline{(fx)}
[(\underline{
\mathsf {n}}
+1
)
]
\gg |\underline{(fx)}
[\underline{(v2n)}
]
|
 = |\underline{(fx)}
[(\underline{
\mathsf {n}}
+1
)
]
|
; eqLeq
\rhd |\underline{(fx)}
[\underline{(v2n)}
]
|
 = |\underline{(fx)}
[(\underline{
\mathsf {n}}
+1
)
]
|
\gg |\underline{(fx)}
[\underline{(v2n)}
]
|
 <= |\underline{(fx)}
[(\underline{
\mathsf {n}}
+1
)
]
|
; Leq+1
\rhd |\underline{(fx)}
[\underline{(v2n)}
]
|
 <= |\underline{(fx)}
[(\underline{
\mathsf {n}}
+1
)
]
|
\gg \dot{\neg}\,(|\underline{(fx)}
[\underline{(v2n)}
]
|
 <= (|\underline{(fx)}
[(\underline{
\mathsf {n}}
+1
)
]
|
+1
)
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(|\underline{(fx)}
[\underline{(v2n)}
]
|
 = (|\underline{(fx)}
[(\underline{
\mathsf {n}}
+1
)
]
|
+1
)
)n
)n
)n
; MaxLeq(2)
\gg (|\underline{(fx)}
[(\underline{
\mathsf {n}}
+1
)
]
|
+1
)
 <= if((|\underline{(fx)}
[(\underline{
\mathsf {n}}
+1
)
]
|
+1
)
 <= \underline{(v1)}
,\underline{(v1)}
,(|\underline{(fx)}
[(\underline{
\mathsf {n}}
+1
)
]
|
+1
)
)
; LessLeqTransitivity
\rhd \dot{\neg}\,(|\underline{(fx)}
[\underline{(v2n)}
]
|
 <= (|\underline{(fx)}
[(\underline{
\mathsf {n}}
+1
)
]
|
+1
)
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(|\underline{(fx)}
[\underline{(v2n)}
]
|
 = (|\underline{(fx)}
[(\underline{
\mathsf {n}}
+1
)
]
|
+1
)
)n
)n
)n
\rhd (|\underline{(fx)}
[(\underline{
\mathsf {n}}
+1
)
]
|
+1
)
 <= if((|\underline{(fx)}
[(\underline{
\mathsf {n}}
+1
)
]
|
+1
)
 <= \underline{(v1)}
,\underline{(v1)}
,(|\underline{(fx)}
[(\underline{
\mathsf {n}}
+1
)
]
|
+1
)
)
\gg \dot{\neg}\,(|\underline{(fx)}
[\underline{(v2n)}
]
|
 <= if((|\underline{(fx)}
[(\underline{
\mathsf {n}}
+1
)
]
|
+1
)
 <= \underline{(v1)}
,\underline{(v1)}
,(|\underline{(fx)}
[(\underline{
\mathsf {n}}
+1
)
]
|
+1
)
)
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(|\underline{(fx)}
[\underline{(v2n)}
]
|
 = if((|\underline{(fx)}
[(\underline{
\mathsf {n}}
+1
)
]
|
+1
)
 <= \underline{(v1)}
,\underline{(v1)}
,(|\underline{(fx)}
[(\underline{
\mathsf {n}}
+1
)
]
|
+1
)
)
)n
)n
)n
; Ded
\rhd 
\forall \underline{(v1)}
\colon 
\forall \underline{(v2n)}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf {n}}
\colon 
\forall \underline{(fx)}
\colon \underline{(v2n)}
 <= \underline{
\mathsf {n}}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(|\underline{(fx)}
[\underline{(v2n)}
]
|
 <= \underline{(v1)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(|\underline{(fx)}
[\underline{(v2n)}
]
|
 = \underline{(v1)}
)n
)n
)n
\vdash \dot{\neg}\,(\underline{(v2n)}
 <= (\underline{
\mathsf {n}}
+1
)
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\underline{(v2n)}
 = (\underline{
\mathsf {n}}
+1
)
)n
)n
)n
\vdash \dot{\neg}\,(|\underline{(fx)}
[\underline{(v2n)}
]
|
 <= if((|\underline{(fx)}
[(\underline{
\mathsf {n}}
+1
)
]
|
+1
)
 <= \underline{(v1)}
,\underline{(v1)}
,(|\underline{(fx)}
[(\underline{
\mathsf {n}}
+1
)
]
|
+1
)
)
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(|\underline{(fx)}
[\underline{(v2n)}
]
|
 = if((|\underline{(fx)}
[(\underline{
\mathsf {n}}
+1
)
]
|
+1
)
 <= \underline{(v1)}
,\underline{(v1)}
,(|\underline{(fx)}
[(\underline{
\mathsf {n}}
+1
)
]
|
+1
)
)
)n
)n
)n
\gg \underline{(v2n)}
 <= \underline{
\mathsf {n}}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(|\underline{(fx)}
[\underline{(v2n)}
]
|
 <= \underline{(v1)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(|\underline{(fx)}
[\underline{(v2n)}
]
|
 = \underline{(v1)}
)n
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\underline{(v2n)}
 <= (\underline{
\mathsf {n}}
+1
)
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\underline{(v2n)}
 = (\underline{
\mathsf {n}}
+1
)
)n
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(|\underline{(fx)}
[\underline{(v2n)}
]
|
 <= if((|\underline{(fx)}
[(\underline{
\mathsf {n}}
+1
)
]
|
+1
)
 <= \underline{(v1)}
,\underline{(v1)}
,(|\underline{(fx)}
[(\underline{
\mathsf {n}}
+1
)
]
|
+1
)
)
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(|\underline{(fx)}
[\underline{(v2n)}
]
|
 = if((|\underline{(fx)}
[(\underline{
\mathsf {n}}
+1
)
]
|
+1
)
 <= \underline{(v1)}
,\underline{(v1)}
,(|\underline{(fx)}
[(\underline{
\mathsf {n}}
+1
)
]
|
+1
)
)
)n
)n
)n
; MP
\rhd \underline{(v2n)}
 <= \underline{
\mathsf {n}}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(|\underline{(fx)}
[\underline{(v2n)}
]
|
 <= \underline{(v1)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(|\underline{(fx)}
[\underline{(v2n)}
]
|
 = \underline{(v1)}
)n
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\underline{(v2n)}
 <= (\underline{
\mathsf {n}}
+1
)
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\underline{(v2n)}
 = (\underline{
\mathsf {n}}
+1
)
)n
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(|\underline{(fx)}
[\underline{(v2n)}
]
|
 <= if((|\underline{(fx)}
[(\underline{
\mathsf {n}}
+1
)
]
|
+1
)
 <= \underline{(v1)}
,\underline{(v1)}
,(|\underline{(fx)}
[(\underline{
\mathsf {n}}
+1
)
]
|
+1
)
)
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(|\underline{(fx)}
[\underline{(v2n)}
]
|
 = if((|\underline{(fx)}
[(\underline{
\mathsf {n}}
+1
)
]
|
+1
)
 <= \underline{(v1)}
,\underline{(v1)}
,(|\underline{(fx)}
[(\underline{
\mathsf {n}}
+1
)
]
|
+1
)
)
)n
)n
)n
\rhd \underline{(v2n)}
 <= \underline{
\mathsf {n}}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(|\underline{(fx)}
[\underline{(v2n)}
]
|
 <= \underline{(v1)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(|\underline{(fx)}
[\underline{(v2n)}
]
|
 = \underline{(v1)}
)n
)n
)n
\gg \dot{\neg}\,(\underline{(v2n)}
 <= (\underline{
\mathsf {n}}
+1
)
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\underline{(v2n)}
 = (\underline{
\mathsf {n}}
+1
)
)n
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(|\underline{(fx)}
[\underline{(v2n)}
]
|
 <= if((|\underline{(fx)}
[(\underline{
\mathsf {n}}
+1
)
]
|
+1
)
 <= \underline{(v1)}
,\underline{(v1)}
,(|\underline{(fx)}
[(\underline{
\mathsf {n}}
+1
)
]
|
+1
)
)
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(|\underline{(fx)}
[\underline{(v2n)}
]
|
 = if((|\underline{(fx)}
[(\underline{
\mathsf {n}}
+1
)
]
|
+1
)
 <= \underline{(v1)}
,\underline{(v1)}
,(|\underline{(fx)}
[(\underline{
\mathsf {n}}
+1
)
]
|
+1
)
)
)n
)n
)n
; Ded
\rhd 
\forall \underline{(v1)}
\colon 
\forall \underline{(v2n)}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf {n}}
\colon 
\forall \underline{(fx)}
\colon \underline{(v2n)}
 = (\underline{
\mathsf {n}}
+1
)
\vdash \dot{\neg}\,(|\underline{(fx)}
[\underline{(v2n)}
]
|
 <= if((|\underline{(fx)}
[(\underline{
\mathsf {n}}
+1
)
]
|
+1
)
 <= \underline{(v1)}
,\underline{(v1)}
,(|\underline{(fx)}
[(\underline{
\mathsf {n}}
+1
)
]
|
+1
)
)
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(|\underline{(fx)}
[\underline{(v2n)}
]
|
 = if((|\underline{(fx)}
[(\underline{
\mathsf {n}}
+1
)
]
|
+1
)
 <= \underline{(v1)}
,\underline{(v1)}
,(|\underline{(fx)}
[(\underline{
\mathsf {n}}
+1
)
]
|
+1
)
)
)n
)n
)n
\gg \underline{(v2n)}
 = (\underline{
\mathsf {n}}
+1
)
\Rightarrow \dot{\neg}\,(|\underline{(fx)}
[\underline{(v2n)}
]
|
 <= if((|\underline{(fx)}
[(\underline{
\mathsf {n}}
+1
)
]
|
+1
)
 <= \underline{(v1)}
,\underline{(v1)}
,(|\underline{(fx)}
[(\underline{
\mathsf {n}}
+1
)
]
|
+1
)
)
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(|\underline{(fx)}
[\underline{(v2n)}
]
|
 = if((|\underline{(fx)}
[(\underline{
\mathsf {n}}
+1
)
]
|
+1
)
 <= \underline{(v1)}
,\underline{(v1)}
,(|\underline{(fx)}
[(\underline{
\mathsf {n}}
+1
)
]
|
+1
)
)
)n
)n
)n
; FromDisjuncts
\rhd \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\underline{(v2n)}
 <= (\underline{
\mathsf {n}}
+1
)
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\underline{(v2n)}
 = (\underline{
\mathsf {n}}
+1
)
)n
)n
)n
)n
\Rightarrow \underline{(v2n)}
 = (\underline{
\mathsf {n}}
+1
)
\rhd \dot{\neg}\,(\underline{(v2n)}
 <= (\underline{
\mathsf {n}}
+1
)
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\underline{(v2n)}
 = (\underline{
\mathsf {n}}
+1
)
)n
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(|\underline{(fx)}
[\underline{(v2n)}
]
|
 <= if((|\underline{(fx)}
[(\underline{
\mathsf {n}}
+1
)
]
|
+1
)
 <= \underline{(v1)}
,\underline{(v1)}
,(|\underline{(fx)}
[(\underline{
\mathsf {n}}
+1
)
]
|
+1
)
)
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(|\underline{(fx)}
[\underline{(v2n)}
]
|
 = if((|\underline{(fx)}
[(\underline{
\mathsf {n}}
+1
)
]
|
+1
)
 <= \underline{(v1)}
,\underline{(v1)}
,(|\underline{(fx)}
[(\underline{
\mathsf {n}}
+1
)
]
|
+1
)
)
)n
)n
)n
\rhd \underline{(v2n)}
 = (\underline{
\mathsf {n}}
+1
)
\Rightarrow \dot{\neg}\,(|\underline{(fx)}
[\underline{(v2n)}
]
|
 <= if((|\underline{(fx)}
[(\underline{
\mathsf {n}}
+1
)
]
|
+1
)
 <= \underline{(v1)}
,\underline{(v1)}
,(|\underline{(fx)}
[(\underline{
\mathsf {n}}
+1
)
]
|
+1
)
)
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(|\underline{(fx)}
[\underline{(v2n)}
]
|
 = if((|\underline{(fx)}
[(\underline{
\mathsf {n}}
+1
)
]
|
+1
)
 <= \underline{(v1)}
,\underline{(v1)}
,(|\underline{(fx)}
[(\underline{
\mathsf {n}}
+1
)
]
|
+1
)
)
)n
)n
)n
\gg \dot{\neg}\,(|\underline{(fx)}
[\underline{(v2n)}
]
|
 <= if((|\underline{(fx)}
[(\underline{
\mathsf {n}}
+1
)
]
|
+1
)
 <= \underline{(v1)}
,\underline{(v1)}
,(|\underline{(fx)}
[(\underline{
\mathsf {n}}
+1
)
]
|
+1
)
)
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(|\underline{(fx)}
[\underline{(v2n)}
]
|
 = if((|\underline{(fx)}
[(\underline{
\mathsf {n}}
+1
)
]
|
+1
)
 <= \underline{(v1)}
,\underline{(v1)}
,(|\underline{(fx)}
[(\underline{
\mathsf {n}}
+1
)
]
|
+1
)
)
)n
)n
)n
\rceil 
, 
p_0
, 
\mathsf {c}
)
]$

$
[Fpart-Bounded(Indu)
\stackrel{
stmt
}{\rightarrow}SystemQ
\vdash 
\forall \underline{(v1)}
\colon 
\forall \underline{(v2n)}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf {n}}
\colon 
\forall \underline{(fx)}
\colon \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \underline{(v1)}
\colon \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \underline{(v2n)}
\colon \underline{(v2n)}
 <= \underline{
\mathsf {n}}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(|\underline{(fx)}
[\underline{(v2n)}
]
|
 <= \underline{(v1)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(|\underline{(fx)}
[\underline{(v2n)}
]
|
 = \underline{(v1)}
)n
)n
)n
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \underline{(v1)}
\colon \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \underline{(v2n)}
\colon \underline{(v2n)}
 <= (\underline{
\mathsf {n}}
+1
)
\Rightarrow \dot{\neg}\,(|\underline{(fx)}
[\underline{(v2n)}
]
|
 <= \underline{(v1)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(|\underline{(fx)}
[\underline{(v2n)}
]
|
 = \underline{(v1)}
)n
)n
)n
)n
)n
]$


$
[Fpart-Bounded(Indu)
\stackrel{
proof
}{\rightarrow}
\lambda 
\mathsf {c}
.
\lambda 
\mathsf{x}
.
{\cal P}( 
\lceil SystemQ
\vdash 
\forall \underline{(v1)}
\colon 
\forall \underline{(v2n)}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf {n}}
\colon 
\forall \underline{(fx)}
\colon \underline{(v2n)}
 <= \underline{
\mathsf {n}}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(|\underline{(fx)}
[\underline{(v2n)}
]
|
 <= \underline{(v1)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(|\underline{(fx)}
[\underline{(v2n)}
]
|
 = \underline{(v1)}
)n
)n
)n
\vdash \underline{(v2n)}
 <= (\underline{
\mathsf {n}}
+1
)
\vdash Fpart-Bounded(InduHelper)
\rhd \underline{(v2n)}
 <= \underline{
\mathsf {n}}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(|\underline{(fx)}
[\underline{(v2n)}
]
|
 <= \underline{(v1)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(|\underline{(fx)}
[\underline{(v2n)}
]
|
 = \underline{(v1)}
)n
)n
)n
\rhd \underline{(v2n)}
 <= (\underline{
\mathsf {n}}
+1
)
\gg \dot{\neg}\,(|\underline{(fx)}
[\underline{(v2n)}
]
|
 <= if((|\underline{(fx)}
[(\underline{
\mathsf {n}}
+1
)
]
|
+1
)
 <= \underline{(v1)}
,\underline{(v1)}
,(|\underline{(fx)}
[(\underline{
\mathsf {n}}
+1
)
]
|
+1
)
)
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(|\underline{(fx)}
[\underline{(v2n)}
]
|
 = if((|\underline{(fx)}
[(\underline{
\mathsf {n}}
+1
)
]
|
+1
)
 <= \underline{(v1)}
,\underline{(v1)}
,(|\underline{(fx)}
[(\underline{
\mathsf {n}}
+1
)
]
|
+1
)
)
)n
)n
)n
; 
\forall \underline{(v1)}
\colon 
\forall \underline{(v2n)}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf {n}}
\colon 
\forall \underline{(fx)}
\colon Ded
\rhd 
\forall \underline{(v1)}
\colon 
\forall \underline{(v2n)}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf {n}}
\colon 
\forall \underline{(fx)}
\colon \underline{(v2n)}
 <= \underline{
\mathsf {n}}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(|\underline{(fx)}
[\underline{(v2n)}
]
|
 <= \underline{(v1)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(|\underline{(fx)}
[\underline{(v2n)}
]
|
 = \underline{(v1)}
)n
)n
)n
\vdash \underline{(v2n)}
 <= (\underline{
\mathsf {n}}
+1
)
\vdash \dot{\neg}\,(|\underline{(fx)}
[\underline{(v2n)}
]
|
 <= if((|\underline{(fx)}
[(\underline{
\mathsf {n}}
+1
)
]
|
+1
)
 <= \underline{(v1)}
,\underline{(v1)}
,(|\underline{(fx)}
[(\underline{
\mathsf {n}}
+1
)
]
|
+1
)
)
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(|\underline{(fx)}
[\underline{(v2n)}
]
|
 = if((|\underline{(fx)}
[(\underline{
\mathsf {n}}
+1
)
]
|
+1
)
 <= \underline{(v1)}
,\underline{(v1)}
,(|\underline{(fx)}
[(\underline{
\mathsf {n}}
+1
)
]
|
+1
)
)
)n
)n
)n
\gg \underline{(v2n)}
 <= \underline{
\mathsf {n}}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(|\underline{(fx)}
[\underline{(v2n)}
]
|
 <= \underline{(v1)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(|\underline{(fx)}
[\underline{(v2n)}
]
|
 = \underline{(v1)}
)n
)n
)n
\Rightarrow \underline{(v2n)}
 <= (\underline{
\mathsf {n}}
+1
)
\Rightarrow \dot{\neg}\,(|\underline{(fx)}
[\underline{(v2n)}
]
|
 <= if((|\underline{(fx)}
[(\underline{
\mathsf {n}}
+1
)
]
|
+1
)
 <= \underline{(v1)}
,\underline{(v1)}
,(|\underline{(fx)}
[(\underline{
\mathsf {n}}
+1
)
]
|
+1
)
)
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(|\underline{(fx)}
[\underline{(v2n)}
]
|
 = if((|\underline{(fx)}
[(\underline{
\mathsf {n}}
+1
)
]
|
+1
)
 <= \underline{(v1)}
,\underline{(v1)}
,(|\underline{(fx)}
[(\underline{
\mathsf {n}}
+1
)
]
|
+1
)
)
)n
)n
)n
; AddAll 
\rhd \underline{(v2n)}
 <= \underline{
\mathsf {n}}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(|\underline{(fx)}
[\underline{(v2n)}
]
|
 <= \underline{(v1)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(|\underline{(fx)}
[\underline{(v2n)}
]
|
 = \underline{(v1)}
)n
)n
)n
\Rightarrow \underline{(v2n)}
 <= (\underline{
\mathsf {n}}
+1
)
\Rightarrow \dot{\neg}\,(|\underline{(fx)}
[\underline{(v2n)}
]
|
 <= if((|\underline{(fx)}
[(\underline{
\mathsf {n}}
+1
)
]
|
+1
)
 <= \underline{(v1)}
,\underline{(v1)}
,(|\underline{(fx)}
[(\underline{
\mathsf {n}}
+1
)
]
|
+1
)
)
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(|\underline{(fx)}
[\underline{(v2n)}
]
|
 = if((|\underline{(fx)}
[(\underline{
\mathsf {n}}
+1
)
]
|
+1
)
 <= \underline{(v1)}
,\underline{(v1)}
,(|\underline{(fx)}
[(\underline{
\mathsf {n}}
+1
)
]
|
+1
)
)
)n
)n
)n
\gg 
\forall_{obj} \underline{(v2n)}
\colon \underline{(v2n)}
 <= \underline{
\mathsf {n}}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(|\underline{(fx)}
[\underline{(v2n)}
]
|
 <= \underline{(v1)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(|\underline{(fx)}
[\underline{(v2n)}
]
|
 = \underline{(v1)}
)n
)n
)n
\Rightarrow 
\forall_{obj} \underline{(v2n)}
\colon \underline{(v2n)}
 <= (\underline{
\mathsf {n}}
+1
)
\Rightarrow \dot{\neg}\,(|\underline{(fx)}
[\underline{(v2n)}
]
|
 <= if((|\underline{(fx)}
[(\underline{
\mathsf {n}}
+1
)
]
|
+1
)
 <= \underline{(v1)}
,\underline{(v1)}
,(|\underline{(fx)}
[(\underline{
\mathsf {n}}
+1
)
]
|
+1
)
)
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(|\underline{(fx)}
[\underline{(v2n)}
]
|
 = if((|\underline{(fx)}
[(\underline{
\mathsf {n}}
+1
)
]
|
+1
)
 <= \underline{(v1)}
,\underline{(v1)}
,(|\underline{(fx)}
[(\underline{
\mathsf {n}}
+1
)
]
|
+1
)
)
)n
)n
)n
; AddExist(SimpleAnt)
\mathop {\char64} if((|\underline{(fx)}
[(\underline{
\mathsf {n}}
+1
)
]
|
+1
)
 <= \underline{(v1)}
,\underline{(v1)}
,(|\underline{(fx)}
[(\underline{
\mathsf {n}}
+1
)
]
|
+1
)
)
\rhd 
\forall_{obj} \underline{(v2n)}
\colon \underline{(v2n)}
 <= \underline{
\mathsf {n}}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(|\underline{(fx)}
[\underline{(v2n)}
]
|
 <= \underline{(v1)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(|\underline{(fx)}
[\underline{(v2n)}
]
|
 = \underline{(v1)}
)n
)n
)n
\Rightarrow 
\forall_{obj} \underline{(v2n)}
\colon \underline{(v2n)}
 <= (\underline{
\mathsf {n}}
+1
)
\Rightarrow \dot{\neg}\,(|\underline{(fx)}
[\underline{(v2n)}
]
|
 <= if((|\underline{(fx)}
[(\underline{
\mathsf {n}}
+1
)
]
|
+1
)
 <= \underline{(v1)}
,\underline{(v1)}
,(|\underline{(fx)}
[(\underline{
\mathsf {n}}
+1
)
]
|
+1
)
)
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(|\underline{(fx)}
[\underline{(v2n)}
]
|
 = if((|\underline{(fx)}
[(\underline{
\mathsf {n}}
+1
)
]
|
+1
)
 <= \underline{(v1)}
,\underline{(v1)}
,(|\underline{(fx)}
[(\underline{
\mathsf {n}}
+1
)
]
|
+1
)
)
)n
)n
)n
\gg \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \underline{(v1)}
\colon \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \underline{(v2n)}
\colon \underline{(v2n)}
 <= \underline{
\mathsf {n}}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(|\underline{(fx)}
[\underline{(v2n)}
]
|
 <= \underline{(v1)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(|\underline{(fx)}
[\underline{(v2n)}
]
|
 = \underline{(v1)}
)n
)n
)n
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \underline{(v1)}
\colon \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \underline{(v2n)}
\colon \underline{(v2n)}
 <= (\underline{
\mathsf {n}}
+1
)
\Rightarrow \dot{\neg}\,(|\underline{(fx)}
[\underline{(v2n)}
]
|
 <= \underline{(v1)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(|\underline{(fx)}
[\underline{(v2n)}
]
|
 = \underline{(v1)}
)n
)n
)n
)n
)n
\rceil 
, 
p_0
, 
\mathsf {c}
)
]$




$
[Fpart-Bounded
\stackrel{
stmt
}{\rightarrow}SystemQ
\vdash 
\forall \underline{(v1)}
\colon 
\forall \underline{(v2)}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf {n}}
\colon 
\forall \underline{(fx)}
\colon \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \underline{(v1)}
\colon \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \underline{(v2)}
\colon \underline{(v2)}
 <= \underline{
\mathsf {n}}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(|\underline{(fx)}
[\underline{(v2)}
]
|
 <= \underline{(v1)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(|\underline{(fx)}
[\underline{(v2)}
]
|
 = \underline{(v1)}
)n
)n
)n
)n
)n
]$

$
[Fpart-Bounded
\stackrel{
proof
}{\rightarrow}
\lambda 
\mathsf {c}
.
\lambda 
\mathsf{x}
.
{\cal P}( 
\lceil SystemQ
\vdash 
\forall \underline{(v1)}
\colon 
\forall \underline{(v2)}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf {n}}
\colon 
\forall \underline{(fx)}
\colon Fpart-Bounded(Base)
\gg \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \underline{(v1)}
\colon \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \underline{(v2)}
\colon \underline{(v2)}
 <= 0
\Rightarrow \dot{\neg}\,(|\underline{(fx)}
[\underline{(v2)}
]
|
 <= \underline{(v1)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(|\underline{(fx)}
[\underline{(v2)}
]
|
 = \underline{(v1)}
)n
)n
)n
)n
)n
; Fpart-Bounded(Indu)
\gg \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \underline{(v1)}
\colon \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \underline{(v2)}
\colon \underline{(v2)}
 <= \underline{
\mathsf {n}}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(|\underline{(fx)}
[\underline{(v2)}
]
|
 <= \underline{(v1)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(|\underline{(fx)}
[\underline{(v2)}
]
|
 = \underline{(v1)}
)n
)n
)n
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \underline{(v1)}
\colon \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \underline{(v2)}
\colon \underline{(v2)}
 <= (\underline{
\mathsf {n}}
+1
)
\Rightarrow \dot{\neg}\,(|\underline{(fx)}
[\underline{(v2)}
]
|
 <= \underline{(v1)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(|\underline{(fx)}
[\underline{(v2)}
]
|
 = \underline{(v1)}
)n
)n
)n
)n
)n
; Induction
\rhd \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \underline{(v1)}
\colon \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \underline{(v2)}
\colon \underline{(v2)}
 <= 0
\Rightarrow \dot{\neg}\,(|\underline{(fx)}
[\underline{(v2)}
]
|
 <= \underline{(v1)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(|\underline{(fx)}
[\underline{(v2)}
]
|
 = \underline{(v1)}
)n
)n
)n
)n
)n
\rhd \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \underline{(v1)}
\colon \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \underline{(v2)}
\colon \underline{(v2)}
 <= \underline{
\mathsf {n}}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(|\underline{(fx)}
[\underline{(v2)}
]
|
 <= \underline{(v1)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(|\underline{(fx)}
[\underline{(v2)}
]
|
 = \underline{(v1)}
)n
)n
)n
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \underline{(v1)}
\colon \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \underline{(v2)}
\colon \underline{(v2)}
 <= (\underline{
\mathsf {n}}
+1
)
\Rightarrow \dot{\neg}\,(|\underline{(fx)}
[\underline{(v2)}
]
|
 <= \underline{(v1)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(|\underline{(fx)}
[\underline{(v2)}
]
|
 = \underline{(v1)}
)n
)n
)n
)n
)n
\gg \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \underline{(v1)}
\colon \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \underline{(v2)}
\colon \underline{(v2)}
 <= \underline{
\mathsf {n}}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(|\underline{(fx)}
[\underline{(v2)}
]
|
 <= \underline{(v1)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(|\underline{(fx)}
[\underline{(v2)}
]
|
 = \underline{(v1)}
)n
)n
)n
)n
)n
\rceil 
, 
p_0
, 
\mathsf {c}
)
]$



$
[negativeToLeft(Leq)(1 term)
\stackrel{
stmt
}{\rightarrow}SystemQ
\vdash 
\forall \underline{
\mathsf{y}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf{z}}
\colon 0
 <= (\underline{
\mathsf{y}}
+(-u\underline{
\mathsf{z}}
)
)
\vdash \underline{
\mathsf{z}}
 <= \underline{
\mathsf{y}}
]$

$
[negativeToLeft(Leq)(1 term)
\stackrel{
proof
}{\rightarrow}
\lambda 
\mathsf {c}
.
\lambda 
\mathsf{x}
.
{\cal P}( 
\lceil SystemQ
\vdash 
\forall \underline{
\mathsf{y}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf{z}}
\colon 0
 <= (\underline{
\mathsf{y}}
+(-u\underline{
\mathsf{z}}
)
)
\vdash negativeToLeft(Leq)
\rhd 0
 <= (\underline{
\mathsf{y}}
+(-u\underline{
\mathsf{z}}
)
)
\gg (0
+\underline{
\mathsf{z}}
)
 <= \underline{
\mathsf{y}}
; 
\mbox{lemma plus0Left}
\gg (0
+\underline{
\mathsf{z}}
)
 = \underline{
\mathsf{z}}
; subLeqLeft
\rhd (0
+\underline{
\mathsf{z}}
)
 = \underline{
\mathsf{z}}
\gg \underline{
\mathsf{z}}
 <= \underline{
\mathsf{y}}
\rceil 
, 
p_0
, 
\mathsf {c}
)
]$





$
[NegativeToLeft(Less)
\stackrel{
stmt
}{\rightarrow}SystemQ
\vdash 
\forall \underline{
\mathsf{x}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf{y}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf{z}}
\colon \dot{\neg}\,(\underline{
\mathsf{x}}
 <= (\underline{
\mathsf{y}}
+(-u\underline{
\mathsf{z}}
)
)
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\underline{
\mathsf{x}}
 = (\underline{
\mathsf{y}}
+(-u\underline{
\mathsf{z}}
)
)
)n
)n
)n
\vdash \dot{\neg}\,((\underline{
\mathsf{x}}
+\underline{
\mathsf{z}}
)
 <= \underline{
\mathsf{y}}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,((\underline{
\mathsf{x}}
+\underline{
\mathsf{z}}
)
 = \underline{
\mathsf{y}}
)n
)n
)n
]$

$
[NegativeToLeft(Less)
\stackrel{
proof
}{\rightarrow}
\lambda 
\mathsf {c}
.
\lambda 
\mathsf{x}
.
{\cal P}( 
\lceil SystemQ
\vdash 
\forall \underline{
\mathsf{x}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf{y}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf{z}}
\colon \dot{\neg}\,(\underline{
\mathsf{x}}
 <= (\underline{
\mathsf{y}}
+(-u\underline{
\mathsf{z}}
)
)
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\underline{
\mathsf{x}}
 = (\underline{
\mathsf{y}}
+(-u\underline{
\mathsf{z}}
)
)
)n
)n
)n
\vdash LessAddition
\rhd \dot{\neg}\,(\underline{
\mathsf{x}}
 <= (\underline{
\mathsf{y}}
+(-u\underline{
\mathsf{z}}
)
)
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\underline{
\mathsf{x}}
 = (\underline{
\mathsf{y}}
+(-u\underline{
\mathsf{z}}
)
)
)n
)n
)n
\gg \dot{\neg}\,((\underline{
\mathsf{x}}
+\underline{
\mathsf{z}}
)
 <= ((\underline{
\mathsf{y}}
+(-u\underline{
\mathsf{z}}
)
)
+\underline{
\mathsf{z}}
)
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,((\underline{
\mathsf{x}}
+\underline{
\mathsf{z}}
)
 = ((\underline{
\mathsf{y}}
+(-u\underline{
\mathsf{z}}
)
)
+\underline{
\mathsf{z}}
)
)n
)n
)n
; Three2threeTerms
\gg ((\underline{
\mathsf{y}}
+(-u\underline{
\mathsf{z}}
)
)
+\underline{
\mathsf{z}}
)
 = ((\underline{
\mathsf{y}}
+\underline{
\mathsf{z}}
)
+(-u\underline{
\mathsf{z}}
)
)
; x=x+y-y
\gg \underline{
\mathsf{y}}
 = ((\underline{
\mathsf{y}}
+\underline{
\mathsf{z}}
)
+(-u\underline{
\mathsf{z}}
)
)
; eqSymmetry
\rhd \underline{
\mathsf{y}}
 = ((\underline{
\mathsf{y}}
+\underline{
\mathsf{z}}
)
+(-u\underline{
\mathsf{z}}
)
)
\gg ((\underline{
\mathsf{y}}
+\underline{
\mathsf{z}}
)
+(-u\underline{
\mathsf{z}}
)
)
 = \underline{
\mathsf{y}}
; eqTransitivity
\rhd ((\underline{
\mathsf{y}}
+(-u\underline{
\mathsf{z}}
)
)
+\underline{
\mathsf{z}}
)
 = ((\underline{
\mathsf{y}}
+\underline{
\mathsf{z}}
)
+(-u\underline{
\mathsf{z}}
)
)
\rhd ((\underline{
\mathsf{y}}
+\underline{
\mathsf{z}}
)
+(-u\underline{
\mathsf{z}}
)
)
 = \underline{
\mathsf{y}}
\gg ((\underline{
\mathsf{y}}
+(-u\underline{
\mathsf{z}}
)
)
+\underline{
\mathsf{z}}
)
 = \underline{
\mathsf{y}}
; SubLessRight
\rhd ((\underline{
\mathsf{y}}
+(-u\underline{
\mathsf{z}}
)
)
+\underline{
\mathsf{z}}
)
 = \underline{
\mathsf{y}}
\rhd \dot{\neg}\,((\underline{
\mathsf{x}}
+\underline{
\mathsf{z}}
)
 <= ((\underline{
\mathsf{y}}
+(-u\underline{
\mathsf{z}}
)
)
+\underline{
\mathsf{z}}
)
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,((\underline{
\mathsf{x}}
+\underline{
\mathsf{z}}
)
 = ((\underline{
\mathsf{y}}
+(-u\underline{
\mathsf{z}}
)
)
+\underline{
\mathsf{z}}
)
)n
)n
)n
\gg \dot{\neg}\,((\underline{
\mathsf{x}}
+\underline{
\mathsf{z}}
)
 <= \underline{
\mathsf{y}}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,((\underline{
\mathsf{x}}
+\underline{
\mathsf{z}}
)
 = \underline{
\mathsf{y}}
)n
)n
)n
\rceil 
, 
p_0
, 
\mathsf {c}
)
]$



$
[PositiveTripled
\stackrel{
stmt
}{\rightarrow}SystemQ
\vdash 
\forall \underline{
\mathsf{x}}
\colon \dot{\neg}\,(0
 <= (rec((1
+1
)
+1
)
*\underline{
\mathsf{x}}
)
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(0
 = (rec((1
+1
)
+1
)
*\underline{
\mathsf{x}}
)
)n
)n
)n
\vdash \dot{\neg}\,(0
 <= \underline{
\mathsf{x}}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(0
 = \underline{
\mathsf{x}}
)n
)n
)n
]$

$
[PositiveTripled
\stackrel{
proof
}{\rightarrow}
\lambda 
\mathsf {c}
.
\lambda 
\mathsf{x}
.
{\cal P}( 
\lceil SystemQ
\vdash 
\forall \underline{
\mathsf{x}}
\colon \dot{\neg}\,(0
 <= (rec((1
+1
)
+1
)
*\underline{
\mathsf{x}}
)
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(0
 = (rec((1
+1
)
+1
)
*\underline{
\mathsf{x}}
)
)n
)n
)n
\vdash 0<3
\gg \dot{\neg}\,(0
 <= ((1
+1
)
+1
)
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(0
 = ((1
+1
)
+1
)
)n
)n
)n
; PositiveFactors
\rhd \dot{\neg}\,(0
 <= ((1
+1
)
+1
)
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(0
 = ((1
+1
)
+1
)
)n
)n
)n
\rhd \dot{\neg}\,(0
 <= (rec((1
+1
)
+1
)
*\underline{
\mathsf{x}}
)
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(0
 = (rec((1
+1
)
+1
)
*\underline{
\mathsf{x}}
)
)n
)n
)n
\gg \dot{\neg}\,(0
 <= (((1
+1
)
+1
)
*(rec((1
+1
)
+1
)
*\underline{
\mathsf{x}}
)
)
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(0
 = (((1
+1
)
+1
)
*(rec((1
+1
)
+1
)
*\underline{
\mathsf{x}}
)
)
)n
)n
)n
; timesAssociativity
\gg ((((1
+1
)
+1
)
*rec((1
+1
)
+1
)
)
*\underline{
\mathsf{x}}
)
 = (((1
+1
)
+1
)
*(rec((1
+1
)
+1
)
*\underline{
\mathsf{x}}
)
)
; eqSymmetry
\rhd ((((1
+1
)
+1
)
*rec((1
+1
)
+1
)
)
*\underline{
\mathsf{x}}
)
 = (((1
+1
)
+1
)
*(rec((1
+1
)
+1
)
*\underline{
\mathsf{x}}
)
)
\gg (((1
+1
)
+1
)
*(rec((1
+1
)
+1
)
*\underline{
\mathsf{x}}
)
)
 = ((((1
+1
)
+1
)
*rec((1
+1
)
+1
)
)
*\underline{
\mathsf{x}}
)
; PositiveNonzero
\rhd \dot{\neg}\,(0
 <= ((1
+1
)
+1
)
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(0
 = ((1
+1
)
+1
)
)n
)n
)n
\gg \dot{\neg}\,(((1
+1
)
+1
)
 = 0
)n
; Reciprocal
\rhd \dot{\neg}\,(((1
+1
)
+1
)
 = 0
)n
\gg (((1
+1
)
+1
)
*rec((1
+1
)
+1
)
)
 = 1
; eqMultiplication
\rhd (((1
+1
)
+1
)
*rec((1
+1
)
+1
)
)
 = 1
\gg ((((1
+1
)
+1
)
*rec((1
+1
)
+1
)
)
*\underline{
\mathsf{x}}
)
 = (1
*\underline{
\mathsf{x}}
)
; 
\mbox{lemma times1Left}
\gg (1
*\underline{
\mathsf{x}}
)
 = \underline{
\mathsf{x}}
; eqTransitivity4
\rhd (((1
+1
)
+1
)
*(rec((1
+1
)
+1
)
*\underline{
\mathsf{x}}
)
)
 = ((((1
+1
)
+1
)
*rec((1
+1
)
+1
)
)
*\underline{
\mathsf{x}}
)
\rhd ((((1
+1
)
+1
)
*rec((1
+1
)
+1
)
)
*\underline{
\mathsf{x}}
)
 = (1
*\underline{
\mathsf{x}}
)
\rhd (1
*\underline{
\mathsf{x}}
)
 = \underline{
\mathsf{x}}
\gg (((1
+1
)
+1
)
*(rec((1
+1
)
+1
)
*\underline{
\mathsf{x}}
)
)
 = \underline{
\mathsf{x}}
; SubLessRight
\rhd (((1
+1
)
+1
)
*(rec((1
+1
)
+1
)
*\underline{
\mathsf{x}}
)
)
 = \underline{
\mathsf{x}}
\rhd \dot{\neg}\,(0
 <= (((1
+1
)
+1
)
*(rec((1
+1
)
+1
)
*\underline{
\mathsf{x}}
)
)
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(0
 = (((1
+1
)
+1
)
*(rec((1
+1
)
+1
)
*\underline{
\mathsf{x}}
)
)
)n
)n
)n
\gg \dot{\neg}\,(0
 <= \underline{
\mathsf{x}}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(0
 = \underline{
\mathsf{x}}
)n
)n
)n
\rceil 
, 
p_0
, 
\mathsf {c}
)
]$

$
[PositiveDividedBy3
\stackrel{
stmt
}{\rightarrow}SystemQ
\vdash 
\forall \underline{
\mathsf{x}}
\colon \dot{\neg}\,(0
 <= \underline{
\mathsf{x}}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(0
 = \underline{
\mathsf{x}}
)n
)n
)n
\vdash \dot{\neg}\,(0
 <= (rec((1
+1
)
+1
)
*\underline{
\mathsf{x}}
)
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(0
 = (rec((1
+1
)
+1
)
*\underline{
\mathsf{x}}
)
)n
)n
)n
]$

$
[PositiveDividedBy3
\stackrel{
proof
}{\rightarrow}
\lambda 
\mathsf {c}
.
\lambda 
\mathsf{x}
.
{\cal P}( 
\lceil SystemQ
\vdash 
\forall \underline{
\mathsf{x}}
\colon \dot{\neg}\,(0
 <= \underline{
\mathsf{x}}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(0
 = \underline{
\mathsf{x}}
)n
)n
)n
\vdash 0<3
\gg \dot{\neg}\,(0
 <= ((1
+1
)
+1
)
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(0
 = ((1
+1
)
+1
)
)n
)n
)n
; PositiveInverted
\rhd \dot{\neg}\,(0
 <= ((1
+1
)
+1
)
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(0
 = ((1
+1
)
+1
)
)n
)n
)n
\gg \dot{\neg}\,(0
 <= rec((1
+1
)
+1
)
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(0
 = rec((1
+1
)
+1
)
)n
)n
)n
; PositiveFactors
\rhd \dot{\neg}\,(0
 <= rec((1
+1
)
+1
)
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(0
 = rec((1
+1
)
+1
)
)n
)n
)n
\rhd \dot{\neg}\,(0
 <= \underline{
\mathsf{x}}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(0
 = \underline{
\mathsf{x}}
)n
)n
)n
\gg \dot{\neg}\,(0
 <= (rec((1
+1
)
+1
)
*\underline{
\mathsf{x}}
)
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(0
 = (rec((1
+1
)
+1
)
*\underline{
\mathsf{x}}
)
)n
)n
)n
\rceil 
, 
p_0
, 
\mathsf {c}
)
]$

$
[|x-x|=0
\stackrel{
stmt
}{\rightarrow}SystemQ
\vdash 
\forall \underline{
\mathsf{x}}
\colon |(\underline{
\mathsf{x}}
+(-u\underline{
\mathsf{x}}
)
)
|
 = 0
]$

$
[|x-x|=0
\stackrel{
proof
}{\rightarrow}
\lambda 
\mathsf {c}
.
\lambda 
\mathsf{x}
.
{\cal P}( 
\lceil SystemQ
\vdash 
\forall \underline{
\mathsf{x}}
\colon eqReflexivity
\gg \underline{
\mathsf{x}}
 = \underline{
\mathsf{x}}
; PositiveToLeft(Eq)(1 term)
\rhd \underline{
\mathsf{x}}
 = \underline{
\mathsf{x}}
\gg (\underline{
\mathsf{x}}
+(-u\underline{
\mathsf{x}}
)
)
 = 0
; SameNumerical
\rhd (\underline{
\mathsf{x}}
+(-u\underline{
\mathsf{x}}
)
)
 = 0
\gg |(\underline{
\mathsf{x}}
+(-u\underline{
\mathsf{x}}
)
)
|
 = |0
|
; |0|=0
\gg |0
|
 = 0
; eqTransitivity
\rhd |(\underline{
\mathsf{x}}
+(-u\underline{
\mathsf{x}}
)
)
|
 = |0
|
\rhd |0
|
 = 0
\gg |(\underline{
\mathsf{x}}
+(-u\underline{
\mathsf{x}}
)
)
|
 = 0
\rceil 
, 
p_0
, 
\mathsf {c}
)
]$

$
[1<2
\stackrel{
stmt
}{\rightarrow}SystemQ
\vdash \dot{\neg}\,(1
 <= (1
+1
)
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(1
 = (1
+1
)
)n
)n
)n
]$

$
[1<2
\stackrel{
proof
}{\rightarrow}
\lambda 
\mathsf {c}
.
\lambda 
\mathsf{x}
.
{\cal P}( 
\lceil SystemQ
\vdash 0<1
\gg \dot{\neg}\,(0
 <= 1
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(0
 = 1
)n
)n
)n
; LessAddition
\rhd \dot{\neg}\,(0
 <= 1
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(0
 = 1
)n
)n
)n
\gg \dot{\neg}\,((0
+1
)
 <= (1
+1
)
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,((0
+1
)
 = (1
+1
)
)n
)n
)n
; 
\mbox{lemma plus0Left}
\gg (0
+1
)
 = 1
; SubLessLeft
\rhd (0
+1
)
 = 1
\rhd \dot{\neg}\,((0
+1
)
 <= (1
+1
)
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,((0
+1
)
 = (1
+1
)
)n
)n
)n
\gg \dot{\neg}\,(1
 <= (1
+1
)
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(1
 = (1
+1
)
)n
)n
)n
; Repetition
\rhd \dot{\neg}\,(1
 <= (1
+1
)
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(1
 = (1
+1
)
)n
)n
)n
\gg \dot{\neg}\,(1
 <= (1
+1
)
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(1
 = (1
+1
)
)n
)n
)n
\rceil 
, 
p_0
, 
\mathsf {c}
)
]$

$
[1/3<2/3
\stackrel{
stmt
}{\rightarrow}SystemQ
\vdash \dot{\neg}\,(rec((1
+1
)
+1
)
 <= ((1
+1
)
*rec((1
+1
)
+1
)
)
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(rec((1
+1
)
+1
)
 = ((1
+1
)
*rec((1
+1
)
+1
)
)
)n
)n
)n
]$

$
[1/3<2/3
\stackrel{
proof
}{\rightarrow}
\lambda 
\mathsf {c}
.
\lambda 
\mathsf{x}
.
{\cal P}( 
\lceil SystemQ
\vdash 1<2
\gg \dot{\neg}\,(1
 <= (1
+1
)
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(1
 = (1
+1
)
)n
)n
)n
; 0<1/3
\gg \dot{\neg}\,(0
 <= rec((1
+1
)
+1
)
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(0
 = rec((1
+1
)
+1
)
)n
)n
)n
; LessMultiplication
\rhd \dot{\neg}\,(0
 <= rec((1
+1
)
+1
)
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(0
 = rec((1
+1
)
+1
)
)n
)n
)n
\rhd \dot{\neg}\,(1
 <= (1
+1
)
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(1
 = (1
+1
)
)n
)n
)n
\gg \dot{\neg}\,((1
*rec((1
+1
)
+1
)
)
 <= ((1
+1
)
*rec((1
+1
)
+1
)
)
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,((1
*rec((1
+1
)
+1
)
)
 = ((1
+1
)
*rec((1
+1
)
+1
)
)
)n
)n
)n
; 
\mbox{lemma times1Left}
\gg (1
*rec((1
+1
)
+1
)
)
 = rec((1
+1
)
+1
)
; SubLessLeft
\rhd (1
*rec((1
+1
)
+1
)
)
 = rec((1
+1
)
+1
)
\rhd \dot{\neg}\,((1
*rec((1
+1
)
+1
)
)
 <= ((1
+1
)
*rec((1
+1
)
+1
)
)
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,((1
*rec((1
+1
)
+1
)
)
 = ((1
+1
)
*rec((1
+1
)
+1
)
)
)n
)n
)n
\gg \dot{\neg}\,(rec((1
+1
)
+1
)
 <= ((1
+1
)
*rec((1
+1
)
+1
)
)
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(rec((1
+1
)
+1
)
 = ((1
+1
)
*rec((1
+1
)
+1
)
)
)n
)n
)n
; Repetition
\rhd \dot{\neg}\,(rec((1
+1
)
+1
)
 <= ((1
+1
)
*rec((1
+1
)
+1
)
)
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(rec((1
+1
)
+1
)
 = ((1
+1
)
*rec((1
+1
)
+1
)
)
)n
)n
)n
\gg \dot{\neg}\,(rec((1
+1
)
+1
)
 <= ((1
+1
)
*rec((1
+1
)
+1
)
)
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(rec((1
+1
)
+1
)
 = ((1
+1
)
*rec((1
+1
)
+1
)
)
)n
)n
)n
\rceil 
, 
p_0
, 
\mathsf {c}
)
]$



$
[(1/3)x+(1/3)x=(2/3)x
\stackrel{
stmt
}{\rightarrow}SystemQ
\vdash 
\forall \underline{
\mathsf{x}}
\colon ((rec((1
+1
)
+1
)
*\underline{
\mathsf{x}}
)
+(rec((1
+1
)
+1
)
*\underline{
\mathsf{x}}
)
)
 = (((1
+1
)
*rec((1
+1
)
+1
)
)
*\underline{
\mathsf{x}}
)
]$

$
[(1/3)x+(1/3)x=(2/3)x
\stackrel{
proof
}{\rightarrow}
\lambda 
\mathsf {c}
.
\lambda 
\mathsf{x}
.
{\cal P}( 
\lceil SystemQ
\vdash 
\forall \underline{
\mathsf{x}}
\colon TwoWholes
\gg ((rec((1
+1
)
+1
)
*\underline{
\mathsf{x}}
)
+(rec((1
+1
)
+1
)
*\underline{
\mathsf{x}}
)
)
 = ((1
+1
)
*(rec((1
+1
)
+1
)
*\underline{
\mathsf{x}}
)
)
; timesAssociativity
\gg (((1
+1
)
*rec((1
+1
)
+1
)
)
*\underline{
\mathsf{x}}
)
 = ((1
+1
)
*(rec((1
+1
)
+1
)
*\underline{
\mathsf{x}}
)
)
; eqSymmetry
\rhd (((1
+1
)
*rec((1
+1
)
+1
)
)
*\underline{
\mathsf{x}}
)
 = ((1
+1
)
*(rec((1
+1
)
+1
)
*\underline{
\mathsf{x}}
)
)
\gg ((1
+1
)
*(rec((1
+1
)
+1
)
*\underline{
\mathsf{x}}
)
)
 = (((1
+1
)
*rec((1
+1
)
+1
)
)
*\underline{
\mathsf{x}}
)
; eqTransitivity
\rhd ((rec((1
+1
)
+1
)
*\underline{
\mathsf{x}}
)
+(rec((1
+1
)
+1
)
*\underline{
\mathsf{x}}
)
)
 = ((1
+1
)
*(rec((1
+1
)
+1
)
*\underline{
\mathsf{x}}
)
)
\rhd ((1
+1
)
*(rec((1
+1
)
+1
)
*\underline{
\mathsf{x}}
)
)
 = (((1
+1
)
*rec((1
+1
)
+1
)
)
*\underline{
\mathsf{x}}
)
\gg ((rec((1
+1
)
+1
)
*\underline{
\mathsf{x}}
)
+(rec((1
+1
)
+1
)
*\underline{
\mathsf{x}}
)
)
 = (((1
+1
)
*rec((1
+1
)
+1
)
)
*\underline{
\mathsf{x}}
)
; Repetition
\rhd ((rec((1
+1
)
+1
)
*\underline{
\mathsf{x}}
)
+(rec((1
+1
)
+1
)
*\underline{
\mathsf{x}}
)
)
 = (((1
+1
)
*rec((1
+1
)
+1
)
)
*\underline{
\mathsf{x}}
)
\gg ((rec((1
+1
)
+1
)
*\underline{
\mathsf{x}}
)
+(rec((1
+1
)
+1
)
*\underline{
\mathsf{x}}
)
)
 = (((1
+1
)
*rec((1
+1
)
+1
)
)
*\underline{
\mathsf{x}}
)
\rceil 
, 
p_0
, 
\mathsf {c}
)
]$


$
[-(1/3)x-(1/3)x=-(2/3)x
\stackrel{
stmt
}{\rightarrow}SystemQ
\vdash 
\forall \underline{
\mathsf{x}}
\colon ((-u(rec((1
+1
)
+1
)
*\underline{
\mathsf{x}}
)
)
+(-u(rec((1
+1
)
+1
)
*\underline{
\mathsf{x}}
)
)
)
 = (-u(((1
+1
)
*rec((1
+1
)
+1
)
)
*\underline{
\mathsf{x}}
)
)
]$

$
[-(1/3)x-(1/3)x=-(2/3)x
\stackrel{
proof
}{\rightarrow}
\lambda 
\mathsf {c}
.
\lambda 
\mathsf{x}
.
{\cal P}( 
\lceil SystemQ
\vdash 
\forall \underline{
\mathsf{x}}
\colon (1/3)x+(1/3)x=(2/3)x
\gg ((rec((1
+1
)
+1
)
*\underline{
\mathsf{x}}
)
+(rec((1
+1
)
+1
)
*\underline{
\mathsf{x}}
)
)
 = (((1
+1
)
*rec((1
+1
)
+1
)
)
*\underline{
\mathsf{x}}
)
; EqNegated
\rhd ((rec((1
+1
)
+1
)
*\underline{
\mathsf{x}}
)
+(rec((1
+1
)
+1
)
*\underline{
\mathsf{x}}
)
)
 = (((1
+1
)
*rec((1
+1
)
+1
)
)
*\underline{
\mathsf{x}}
)
\gg (-u((rec((1
+1
)
+1
)
*\underline{
\mathsf{x}}
)
+(rec((1
+1
)
+1
)
*\underline{
\mathsf{x}}
)
)
)
 = (-u(((1
+1
)
*rec((1
+1
)
+1
)
)
*\underline{
\mathsf{x}}
)
)
; -x-y=-(x+y)
\gg ((-u(rec((1
+1
)
+1
)
*\underline{
\mathsf{x}}
)
)
+(-u(rec((1
+1
)
+1
)
*\underline{
\mathsf{x}}
)
)
)
 = (-u((rec((1
+1
)
+1
)
*\underline{
\mathsf{x}}
)
+(rec((1
+1
)
+1
)
*\underline{
\mathsf{x}}
)
)
)
; eqTransitivity
\rhd ((-u(rec((1
+1
)
+1
)
*\underline{
\mathsf{x}}
)
)
+(-u(rec((1
+1
)
+1
)
*\underline{
\mathsf{x}}
)
)
)
 = (-u((rec((1
+1
)
+1
)
*\underline{
\mathsf{x}}
)
+(rec((1
+1
)
+1
)
*\underline{
\mathsf{x}}
)
)
)
\rhd (-u((rec((1
+1
)
+1
)
*\underline{
\mathsf{x}}
)
+(rec((1
+1
)
+1
)
*\underline{
\mathsf{x}}
)
)
)
 = (-u(((1
+1
)
*rec((1
+1
)
+1
)
)
*\underline{
\mathsf{x}}
)
)
\gg ((-u(rec((1
+1
)
+1
)
*\underline{
\mathsf{x}}
)
)
+(-u(rec((1
+1
)
+1
)
*\underline{
\mathsf{x}}
)
)
)
 = (-u(((1
+1
)
*rec((1
+1
)
+1
)
)
*\underline{
\mathsf{x}}
)
)
\rceil 
, 
p_0
, 
\mathsf {c}
)
]$

$
[(2/3)x+(1/3)x=x
\stackrel{
stmt
}{\rightarrow}SystemQ
\vdash 
\forall \underline{
\mathsf{x}}
\colon ((((1
+1
)
*rec((1
+1
)
+1
)
)
*\underline{
\mathsf{x}}
)
+(rec((1
+1
)
+1
)
*\underline{
\mathsf{x}}
)
)
 = \underline{
\mathsf{x}}
]$

$
[(2/3)x+(1/3)x=x
\stackrel{
proof
}{\rightarrow}
\lambda 
\mathsf {c}
.
\lambda 
\mathsf{x}
.
{\cal P}( 
\lceil SystemQ
\vdash 
\forall \underline{
\mathsf{x}}
\colon TwoWholes
\gg ((rec((1
+1
)
+1
)
*\underline{
\mathsf{x}}
)
+(rec((1
+1
)
+1
)
*\underline{
\mathsf{x}}
)
)
 = ((1
+1
)
*(rec((1
+1
)
+1
)
*\underline{
\mathsf{x}}
)
)
; timesAssociativity
\gg (((1
+1
)
*rec((1
+1
)
+1
)
)
*\underline{
\mathsf{x}}
)
 = ((1
+1
)
*(rec((1
+1
)
+1
)
*\underline{
\mathsf{x}}
)
)
; eqSymmetry
\rhd (((1
+1
)
*rec((1
+1
)
+1
)
)
*\underline{
\mathsf{x}}
)
 = ((1
+1
)
*(rec((1
+1
)
+1
)
*\underline{
\mathsf{x}}
)
)
\gg ((1
+1
)
*(rec((1
+1
)
+1
)
*\underline{
\mathsf{x}}
)
)
 = (((1
+1
)
*rec((1
+1
)
+1
)
)
*\underline{
\mathsf{x}}
)
; eqTransitivity
\rhd ((rec((1
+1
)
+1
)
*\underline{
\mathsf{x}}
)
+(rec((1
+1
)
+1
)
*\underline{
\mathsf{x}}
)
)
 = ((1
+1
)
*(rec((1
+1
)
+1
)
*\underline{
\mathsf{x}}
)
)
\rhd ((1
+1
)
*(rec((1
+1
)
+1
)
*\underline{
\mathsf{x}}
)
)
 = (((1
+1
)
*rec((1
+1
)
+1
)
)
*\underline{
\mathsf{x}}
)
\gg ((rec((1
+1
)
+1
)
*\underline{
\mathsf{x}}
)
+(rec((1
+1
)
+1
)
*\underline{
\mathsf{x}}
)
)
 = (((1
+1
)
*rec((1
+1
)
+1
)
)
*\underline{
\mathsf{x}}
)
; eqAddition
\rhd ((rec((1
+1
)
+1
)
*\underline{
\mathsf{x}}
)
+(rec((1
+1
)
+1
)
*\underline{
\mathsf{x}}
)
)
 = (((1
+1
)
*rec((1
+1
)
+1
)
)
*\underline{
\mathsf{x}}
)
\gg (((rec((1
+1
)
+1
)
*\underline{
\mathsf{x}}
)
+(rec((1
+1
)
+1
)
*\underline{
\mathsf{x}}
)
)
+(rec((1
+1
)
+1
)
*\underline{
\mathsf{x}}
)
)
 = ((((1
+1
)
*rec((1
+1
)
+1
)
)
*\underline{
\mathsf{x}}
)
+(rec((1
+1
)
+1
)
*\underline{
\mathsf{x}}
)
)
; ThreeThirds
\gg (((rec((1
+1
)
+1
)
*\underline{
\mathsf{x}}
)
+(rec((1
+1
)
+1
)
*\underline{
\mathsf{x}}
)
)
+(rec((1
+1
)
+1
)
*\underline{
\mathsf{x}}
)
)
 = \underline{
\mathsf{x}}
; Equality
\rhd (((rec((1
+1
)
+1
)
*\underline{
\mathsf{x}}
)
+(rec((1
+1
)
+1
)
*\underline{
\mathsf{x}}
)
)
+(rec((1
+1
)
+1
)
*\underline{
\mathsf{x}}
)
)
 = ((((1
+1
)
*rec((1
+1
)
+1
)
)
*\underline{
\mathsf{x}}
)
+(rec((1
+1
)
+1
)
*\underline{
\mathsf{x}}
)
)
\rhd (((rec((1
+1
)
+1
)
*\underline{
\mathsf{x}}
)
+(rec((1
+1
)
+1
)
*\underline{
\mathsf{x}}
)
)
+(rec((1
+1
)
+1
)
*\underline{
\mathsf{x}}
)
)
 = \underline{
\mathsf{x}}
\gg ((((1
+1
)
*rec((1
+1
)
+1
)
)
*\underline{
\mathsf{x}}
)
+(rec((1
+1
)
+1
)
*\underline{
\mathsf{x}}
)
)
 = \underline{
\mathsf{x}}
\rceil 
, 
p_0
, 
\mathsf {c}
)
]$


$
[-x+(1/3)x=-(2/3)x
\stackrel{
stmt
}{\rightarrow}SystemQ
\vdash 
\forall \underline{
\mathsf{x}}
\colon ((-u\underline{
\mathsf{x}}
)
+(rec((1
+1
)
+1
)
*\underline{
\mathsf{x}}
)
)
 = (-u(((1
+1
)
*rec((1
+1
)
+1
)
)
*\underline{
\mathsf{x}}
)
)
]$

$
[-x+(1/3)x=-(2/3)x
\stackrel{
proof
}{\rightarrow}
\lambda 
\mathsf {c}
.
\lambda 
\mathsf{x}
.
{\cal P}( 
\lceil SystemQ
\vdash 
\forall \underline{
\mathsf{x}}
\colon (2/3)x+(1/3)x=x
\gg ((((1
+1
)
*rec((1
+1
)
+1
)
)
*\underline{
\mathsf{x}}
)
+(rec((1
+1
)
+1
)
*\underline{
\mathsf{x}}
)
)
 = \underline{
\mathsf{x}}
; PositiveToRight(Eq)
\rhd ((((1
+1
)
*rec((1
+1
)
+1
)
)
*\underline{
\mathsf{x}}
)
+(rec((1
+1
)
+1
)
*\underline{
\mathsf{x}}
)
)
 = \underline{
\mathsf{x}}
\gg (((1
+1
)
*rec((1
+1
)
+1
)
)
*\underline{
\mathsf{x}}
)
 = (\underline{
\mathsf{x}}
+(-u(rec((1
+1
)
+1
)
*\underline{
\mathsf{x}}
)
)
)
; EqNegated
\rhd (((1
+1
)
*rec((1
+1
)
+1
)
)
*\underline{
\mathsf{x}}
)
 = (\underline{
\mathsf{x}}
+(-u(rec((1
+1
)
+1
)
*\underline{
\mathsf{x}}
)
)
)
\gg (-u(((1
+1
)
*rec((1
+1
)
+1
)
)
*\underline{
\mathsf{x}}
)
)
 = (-u(\underline{
\mathsf{x}}
+(-u(rec((1
+1
)
+1
)
*\underline{
\mathsf{x}}
)
)
)
)
; MinusNegated
\gg (-u(\underline{
\mathsf{x}}
+(-u(rec((1
+1
)
+1
)
*\underline{
\mathsf{x}}
)
)
)
)
 = ((rec((1
+1
)
+1
)
*\underline{
\mathsf{x}}
)
+(-u\underline{
\mathsf{x}}
)
)
; plusCommutativity
\gg ((rec((1
+1
)
+1
)
*\underline{
\mathsf{x}}
)
+(-u\underline{
\mathsf{x}}
)
)
 = ((-u\underline{
\mathsf{x}}
)
+(rec((1
+1
)
+1
)
*\underline{
\mathsf{x}}
)
)
; eqTransitivity4
\rhd (-u(((1
+1
)
*rec((1
+1
)
+1
)
)
*\underline{
\mathsf{x}}
)
)
 = (-u(\underline{
\mathsf{x}}
+(-u(rec((1
+1
)
+1
)
*\underline{
\mathsf{x}}
)
)
)
)
\rhd (-u(\underline{
\mathsf{x}}
+(-u(rec((1
+1
)
+1
)
*\underline{
\mathsf{x}}
)
)
)
)
 = ((rec((1
+1
)
+1
)
*\underline{
\mathsf{x}}
)
+(-u\underline{
\mathsf{x}}
)
)
\rhd ((rec((1
+1
)
+1
)
*\underline{
\mathsf{x}}
)
+(-u\underline{
\mathsf{x}}
)
)
 = ((-u\underline{
\mathsf{x}}
)
+(rec((1
+1
)
+1
)
*\underline{
\mathsf{x}}
)
)
\gg (-u(((1
+1
)
*rec((1
+1
)
+1
)
)
*\underline{
\mathsf{x}}
)
)
 = ((-u\underline{
\mathsf{x}}
)
+(rec((1
+1
)
+1
)
*\underline{
\mathsf{x}}
)
)
; eqSymmetry
\rhd (-u(((1
+1
)
*rec((1
+1
)
+1
)
)
*\underline{
\mathsf{x}}
)
)
 = ((-u\underline{
\mathsf{x}}
)
+(rec((1
+1
)
+1
)
*\underline{
\mathsf{x}}
)
)
\gg ((-u\underline{
\mathsf{x}}
)
+(rec((1
+1
)
+1
)
*\underline{
\mathsf{x}}
)
)
 = (-u(((1
+1
)
*rec((1
+1
)
+1
)
)
*\underline{
\mathsf{x}}
)
)
\rceil 
, 
p_0
, 
\mathsf {c}
)
]$

line ell y because lemma (2/3)x+(1/3)x=x indeed 
  2/3 * meta x + 1/3 * meta x = meta x end line
line ell a because lemma eqTransitivity modus ponens ell x modus ponens ell y indeed
  1/3 * meta x + 2/3 * meta x = meta x end line



$
[PreserveLessGreater
\stackrel{
stmt
}{\rightarrow}SystemQ
\vdash 
\forall \underline{(x1)}
\colon 
\forall \underline{(x2)}
\colon 
\forall \underline{(y1)}
\colon 
\forall \underline{(y2)}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf{z}}
\colon \underline{(x1)}
 <= (\underline{(y1)}
+(-u\underline{
\mathsf{z}}
)
)
\vdash \dot{\neg}\,(|(\underline{(x1)}
+(-u\underline{(x2)}
)
)
|
 <= (rec((1
+1
)
+1
)
*\underline{
\mathsf{z}}
)
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(|(\underline{(x1)}
+(-u\underline{(x2)}
)
)
|
 = (rec((1
+1
)
+1
)
*\underline{
\mathsf{z}}
)
)n
)n
)n
\vdash \dot{\neg}\,(|(\underline{(y1)}
+(-u\underline{(y2)}
)
)
|
 <= (rec((1
+1
)
+1
)
*\underline{
\mathsf{z}}
)
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(|(\underline{(y1)}
+(-u\underline{(y2)}
)
)
|
 = (rec((1
+1
)
+1
)
*\underline{
\mathsf{z}}
)
)n
)n
)n
\vdash \underline{(x2)}
 <= (\underline{(y2)}
+(-u(rec((1
+1
)
+1
)
*\underline{
\mathsf{z}}
)
)
)
]$

$
[PreserveLessGreater
\stackrel{
proof
}{\rightarrow}
\lambda 
\mathsf {c}
.
\lambda 
\mathsf{x}
.
{\cal P}( 
\lceil SystemQ
\vdash 
\forall \underline{(x1)}
\colon 
\forall \underline{(x2)}
\colon 
\forall \underline{(y1)}
\colon 
\forall \underline{(y2)}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf{z}}
\colon \underline{(x1)}
 <= (\underline{(y1)}
+(-u\underline{
\mathsf{z}}
)
)
\vdash \dot{\neg}\,(|(\underline{(x1)}
+(-u\underline{(x2)}
)
)
|
 <= (rec((1
+1
)
+1
)
*\underline{
\mathsf{z}}
)
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(|(\underline{(x1)}
+(-u\underline{(x2)}
)
)
|
 = (rec((1
+1
)
+1
)
*\underline{
\mathsf{z}}
)
)n
)n
)n
\vdash \dot{\neg}\,(|(\underline{(y1)}
+(-u\underline{(y2)}
)
)
|
 <= (rec((1
+1
)
+1
)
*\underline{
\mathsf{z}}
)
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(|(\underline{(y1)}
+(-u\underline{(y2)}
)
)
|
 = (rec((1
+1
)
+1
)
*\underline{
\mathsf{z}}
)
)n
)n
)n
\vdash 0<=|x|
\gg 0
 <= |(\underline{(x1)}
+(-u\underline{(x2)}
)
)
|
; leqLessTransitivity
\rhd 0
 <= |(\underline{(x1)}
+(-u\underline{(x2)}
)
)
|
\rhd \dot{\neg}\,(|(\underline{(x1)}
+(-u\underline{(x2)}
)
)
|
 <= (rec((1
+1
)
+1
)
*\underline{
\mathsf{z}}
)
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(|(\underline{(x1)}
+(-u\underline{(x2)}
)
)
|
 = (rec((1
+1
)
+1
)
*\underline{
\mathsf{z}}
)
)n
)n
)n
\gg \dot{\neg}\,(0
 <= (rec((1
+1
)
+1
)
*\underline{
\mathsf{z}}
)
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(0
 = (rec((1
+1
)
+1
)
*\underline{
\mathsf{z}}
)
)n
)n
)n
; PositiveTripled
\rhd \dot{\neg}\,(0
 <= (rec((1
+1
)
+1
)
*\underline{
\mathsf{z}}
)
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(0
 = (rec((1
+1
)
+1
)
*\underline{
\mathsf{z}}
)
)n
)n
)n
\gg \dot{\neg}\,(0
 <= \underline{
\mathsf{z}}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(0
 = \underline{
\mathsf{z}}
)n
)n
)n
; NumericalDifferenceLess
\rhd \dot{\neg}\,(|(\underline{(x1)}
+(-u\underline{(x2)}
)
)
|
 <= (rec((1
+1
)
+1
)
*\underline{
\mathsf{z}}
)
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(|(\underline{(x1)}
+(-u\underline{(x2)}
)
)
|
 = (rec((1
+1
)
+1
)
*\underline{
\mathsf{z}}
)
)n
)n
)n
\gg \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,((\underline{(x2)}
+(-u(rec((1
+1
)
+1
)
*\underline{
\mathsf{z}}
)
)
)
 <= \underline{(x1)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,((\underline{(x2)}
+(-u(rec((1
+1
)
+1
)
*\underline{
\mathsf{z}}
)
)
)
 = \underline{(x1)}
)n
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\underline{(x1)}
 <= (\underline{(x2)}
+(rec((1
+1
)
+1
)
*\underline{
\mathsf{z}}
)
)
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\underline{(x1)}
 = (\underline{(x2)}
+(rec((1
+1
)
+1
)
*\underline{
\mathsf{z}}
)
)
)n
)n
)n
)n
)n
; FirstConjunct
\rhd \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,((\underline{(x2)}
+(-u(rec((1
+1
)
+1
)
*\underline{
\mathsf{z}}
)
)
)
 <= \underline{(x1)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,((\underline{(x2)}
+(-u(rec((1
+1
)
+1
)
*\underline{
\mathsf{z}}
)
)
)
 = \underline{(x1)}
)n
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\underline{(x1)}
 <= (\underline{(x2)}
+(rec((1
+1
)
+1
)
*\underline{
\mathsf{z}}
)
)
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\underline{(x1)}
 = (\underline{(x2)}
+(rec((1
+1
)
+1
)
*\underline{
\mathsf{z}}
)
)
)n
)n
)n
)n
)n
\gg \dot{\neg}\,((\underline{(x2)}
+(-u(rec((1
+1
)
+1
)
*\underline{
\mathsf{z}}
)
)
)
 <= \underline{(x1)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,((\underline{(x2)}
+(-u(rec((1
+1
)
+1
)
*\underline{
\mathsf{z}}
)
)
)
 = \underline{(x1)}
)n
)n
)n
; NegativeToRight(Less)
\rhd \dot{\neg}\,((\underline{(x2)}
+(-u(rec((1
+1
)
+1
)
*\underline{
\mathsf{z}}
)
)
)
 <= \underline{(x1)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,((\underline{(x2)}
+(-u(rec((1
+1
)
+1
)
*\underline{
\mathsf{z}}
)
)
)
 = \underline{(x1)}
)n
)n
)n
\gg \dot{\neg}\,(\underline{(x2)}
 <= (\underline{(x1)}
+(rec((1
+1
)
+1
)
*\underline{
\mathsf{z}}
)
)
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\underline{(x2)}
 = (\underline{(x1)}
+(rec((1
+1
)
+1
)
*\underline{
\mathsf{z}}
)
)
)n
)n
)n
; leqAddition
\rhd \underline{(x1)}
 <= (\underline{(y1)}
+(-u\underline{
\mathsf{z}}
)
)
\gg (\underline{(x1)}
+(rec((1
+1
)
+1
)
*\underline{
\mathsf{z}}
)
)
 <= ((\underline{(y1)}
+(-u\underline{
\mathsf{z}}
)
)
+(rec((1
+1
)
+1
)
*\underline{
\mathsf{z}}
)
)
; -x+(1/3)x=-(2/3)x
\gg ((-u\underline{
\mathsf{z}}
)
+(rec((1
+1
)
+1
)
*\underline{
\mathsf{z}}
)
)
 = (-u(((1
+1
)
*rec((1
+1
)
+1
)
)
*\underline{
\mathsf{z}}
)
)
; Three2twoTerms
\rhd ((-u\underline{
\mathsf{z}}
)
+(rec((1
+1
)
+1
)
*\underline{
\mathsf{z}}
)
)
 = (-u(((1
+1
)
*rec((1
+1
)
+1
)
)
*\underline{
\mathsf{z}}
)
)
\gg ((\underline{(y1)}
+(-u\underline{
\mathsf{z}}
)
)
+(rec((1
+1
)
+1
)
*\underline{
\mathsf{z}}
)
)
 = (\underline{(y1)}
+(-u(((1
+1
)
*rec((1
+1
)
+1
)
)
*\underline{
\mathsf{z}}
)
)
)
; subLeqRight
\rhd ((\underline{(y1)}
+(-u\underline{
\mathsf{z}}
)
)
+(rec((1
+1
)
+1
)
*\underline{
\mathsf{z}}
)
)
 = (\underline{(y1)}
+(-u(((1
+1
)
*rec((1
+1
)
+1
)
)
*\underline{
\mathsf{z}}
)
)
)
\rhd (\underline{(x1)}
+(rec((1
+1
)
+1
)
*\underline{
\mathsf{z}}
)
)
 <= ((\underline{(y1)}
+(-u\underline{
\mathsf{z}}
)
)
+(rec((1
+1
)
+1
)
*\underline{
\mathsf{z}}
)
)
\gg (\underline{(x1)}
+(rec((1
+1
)
+1
)
*\underline{
\mathsf{z}}
)
)
 <= (\underline{(y1)}
+(-u(((1
+1
)
*rec((1
+1
)
+1
)
)
*\underline{
\mathsf{z}}
)
)
)
; NumericalDifferenceLess
\rhd \dot{\neg}\,(|(\underline{(y1)}
+(-u\underline{(y2)}
)
)
|
 <= (rec((1
+1
)
+1
)
*\underline{
\mathsf{z}}
)
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(|(\underline{(y1)}
+(-u\underline{(y2)}
)
)
|
 = (rec((1
+1
)
+1
)
*\underline{
\mathsf{z}}
)
)n
)n
)n
\gg \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,((\underline{(y2)}
+(-u(rec((1
+1
)
+1
)
*\underline{
\mathsf{z}}
)
)
)
 <= \underline{(y1)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,((\underline{(y2)}
+(-u(rec((1
+1
)
+1
)
*\underline{
\mathsf{z}}
)
)
)
 = \underline{(y1)}
)n
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\underline{(y1)}
 <= (\underline{(y2)}
+(rec((1
+1
)
+1
)
*\underline{
\mathsf{z}}
)
)
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\underline{(y1)}
 = (\underline{(y2)}
+(rec((1
+1
)
+1
)
*\underline{
\mathsf{z}}
)
)
)n
)n
)n
)n
)n
; SecondConjunct
\rhd \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,((\underline{(y2)}
+(-u(rec((1
+1
)
+1
)
*\underline{
\mathsf{z}}
)
)
)
 <= \underline{(y1)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,((\underline{(y2)}
+(-u(rec((1
+1
)
+1
)
*\underline{
\mathsf{z}}
)
)
)
 = \underline{(y1)}
)n
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\underline{(y1)}
 <= (\underline{(y2)}
+(rec((1
+1
)
+1
)
*\underline{
\mathsf{z}}
)
)
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\underline{(y1)}
 = (\underline{(y2)}
+(rec((1
+1
)
+1
)
*\underline{
\mathsf{z}}
)
)
)n
)n
)n
)n
)n
\gg \dot{\neg}\,(\underline{(y1)}
 <= (\underline{(y2)}
+(rec((1
+1
)
+1
)
*\underline{
\mathsf{z}}
)
)
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\underline{(y1)}
 = (\underline{(y2)}
+(rec((1
+1
)
+1
)
*\underline{
\mathsf{z}}
)
)
)n
)n
)n
; PositiveToLeft(Less)
\rhd \dot{\neg}\,(\underline{(y1)}
 <= (\underline{(y2)}
+(rec((1
+1
)
+1
)
*\underline{
\mathsf{z}}
)
)
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\underline{(y1)}
 = (\underline{(y2)}
+(rec((1
+1
)
+1
)
*\underline{
\mathsf{z}}
)
)
)n
)n
)n
\gg \dot{\neg}\,((\underline{(y1)}
+(-u(rec((1
+1
)
+1
)
*\underline{
\mathsf{z}}
)
)
)
 <= \underline{(y2)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,((\underline{(y1)}
+(-u(rec((1
+1
)
+1
)
*\underline{
\mathsf{z}}
)
)
)
 = \underline{(y2)}
)n
)n
)n
; LessAddition
\rhd \dot{\neg}\,((\underline{(y1)}
+(-u(rec((1
+1
)
+1
)
*\underline{
\mathsf{z}}
)
)
)
 <= \underline{(y2)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,((\underline{(y1)}
+(-u(rec((1
+1
)
+1
)
*\underline{
\mathsf{z}}
)
)
)
 = \underline{(y2)}
)n
)n
)n
\gg \dot{\neg}\,(((\underline{(y1)}
+(-u(rec((1
+1
)
+1
)
*\underline{
\mathsf{z}}
)
)
)
+(-u(rec((1
+1
)
+1
)
*\underline{
\mathsf{z}}
)
)
)
 <= (\underline{(y2)}
+(-u(rec((1
+1
)
+1
)
*\underline{
\mathsf{z}}
)
)
)
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(((\underline{(y1)}
+(-u(rec((1
+1
)
+1
)
*\underline{
\mathsf{z}}
)
)
)
+(-u(rec((1
+1
)
+1
)
*\underline{
\mathsf{z}}
)
)
)
 = (\underline{(y2)}
+(-u(rec((1
+1
)
+1
)
*\underline{
\mathsf{z}}
)
)
)
)n
)n
)n
; plusAssociativity
\gg ((\underline{(y1)}
+(-u(rec((1
+1
)
+1
)
*\underline{
\mathsf{z}}
)
)
)
+(-u(rec((1
+1
)
+1
)
*\underline{
\mathsf{z}}
)
)
)
 = (\underline{(y1)}
+((-u(rec((1
+1
)
+1
)
*\underline{
\mathsf{z}}
)
)
+(-u(rec((1
+1
)
+1
)
*\underline{
\mathsf{z}}
)
)
)
)
; -(1/3)x-(1/3)x=-(2/3)x
\gg ((-u(rec((1
+1
)
+1
)
*\underline{
\mathsf{z}}
)
)
+(-u(rec((1
+1
)
+1
)
*\underline{
\mathsf{z}}
)
)
)
 = (-u(((1
+1
)
*rec((1
+1
)
+1
)
)
*\underline{
\mathsf{z}}
)
)
; 
\mbox{lemma eqAdditionLeft}
\rhd ((-u(rec((1
+1
)
+1
)
*\underline{
\mathsf{z}}
)
)
+(-u(rec((1
+1
)
+1
)
*\underline{
\mathsf{z}}
)
)
)
 = (-u(((1
+1
)
*rec((1
+1
)
+1
)
)
*\underline{
\mathsf{z}}
)
)
\gg (\underline{(y1)}
+((-u(rec((1
+1
)
+1
)
*\underline{
\mathsf{z}}
)
)
+(-u(rec((1
+1
)
+1
)
*\underline{
\mathsf{z}}
)
)
)
)
 = (\underline{(y1)}
+(-u(((1
+1
)
*rec((1
+1
)
+1
)
)
*\underline{
\mathsf{z}}
)
)
)
; eqTransitivity
\rhd ((\underline{(y1)}
+(-u(rec((1
+1
)
+1
)
*\underline{
\mathsf{z}}
)
)
)
+(-u(rec((1
+1
)
+1
)
*\underline{
\mathsf{z}}
)
)
)
 = (\underline{(y1)}
+((-u(rec((1
+1
)
+1
)
*\underline{
\mathsf{z}}
)
)
+(-u(rec((1
+1
)
+1
)
*\underline{
\mathsf{z}}
)
)
)
)
\rhd (\underline{(y1)}
+((-u(rec((1
+1
)
+1
)
*\underline{
\mathsf{z}}
)
)
+(-u(rec((1
+1
)
+1
)
*\underline{
\mathsf{z}}
)
)
)
)
 = (\underline{(y1)}
+(-u(((1
+1
)
*rec((1
+1
)
+1
)
)
*\underline{
\mathsf{z}}
)
)
)
\gg ((\underline{(y1)}
+(-u(rec((1
+1
)
+1
)
*\underline{
\mathsf{z}}
)
)
)
+(-u(rec((1
+1
)
+1
)
*\underline{
\mathsf{z}}
)
)
)
 = (\underline{(y1)}
+(-u(((1
+1
)
*rec((1
+1
)
+1
)
)
*\underline{
\mathsf{z}}
)
)
)
; SubLessLeft
\rhd ((\underline{(y1)}
+(-u(rec((1
+1
)
+1
)
*\underline{
\mathsf{z}}
)
)
)
+(-u(rec((1
+1
)
+1
)
*\underline{
\mathsf{z}}
)
)
)
 = (\underline{(y1)}
+(-u(((1
+1
)
*rec((1
+1
)
+1
)
)
*\underline{
\mathsf{z}}
)
)
)
\rhd \dot{\neg}\,(((\underline{(y1)}
+(-u(rec((1
+1
)
+1
)
*\underline{
\mathsf{z}}
)
)
)
+(-u(rec((1
+1
)
+1
)
*\underline{
\mathsf{z}}
)
)
)
 <= (\underline{(y2)}
+(-u(rec((1
+1
)
+1
)
*\underline{
\mathsf{z}}
)
)
)
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(((\underline{(y1)}
+(-u(rec((1
+1
)
+1
)
*\underline{
\mathsf{z}}
)
)
)
+(-u(rec((1
+1
)
+1
)
*\underline{
\mathsf{z}}
)
)
)
 = (\underline{(y2)}
+(-u(rec((1
+1
)
+1
)
*\underline{
\mathsf{z}}
)
)
)
)n
)n
)n
\gg \dot{\neg}\,((\underline{(y1)}
+(-u(((1
+1
)
*rec((1
+1
)
+1
)
)
*\underline{
\mathsf{z}}
)
)
)
 <= (\underline{(y2)}
+(-u(rec((1
+1
)
+1
)
*\underline{
\mathsf{z}}
)
)
)
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,((\underline{(y1)}
+(-u(((1
+1
)
*rec((1
+1
)
+1
)
)
*\underline{
\mathsf{z}}
)
)
)
 = (\underline{(y2)}
+(-u(rec((1
+1
)
+1
)
*\underline{
\mathsf{z}}
)
)
)
)n
)n
)n
; LessLeqTransitivity
\rhd \dot{\neg}\,(\underline{(x2)}
 <= (\underline{(x1)}
+(rec((1
+1
)
+1
)
*\underline{
\mathsf{z}}
)
)
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\underline{(x2)}
 = (\underline{(x1)}
+(rec((1
+1
)
+1
)
*\underline{
\mathsf{z}}
)
)
)n
)n
)n
\rhd (\underline{(x1)}
+(rec((1
+1
)
+1
)
*\underline{
\mathsf{z}}
)
)
 <= (\underline{(y1)}
+(-u(((1
+1
)
*rec((1
+1
)
+1
)
)
*\underline{
\mathsf{z}}
)
)
)
\gg \dot{\neg}\,(\underline{(x2)}
 <= (\underline{(y1)}
+(-u(((1
+1
)
*rec((1
+1
)
+1
)
)
*\underline{
\mathsf{z}}
)
)
)
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\underline{(x2)}
 = (\underline{(y1)}
+(-u(((1
+1
)
*rec((1
+1
)
+1
)
)
*\underline{
\mathsf{z}}
)
)
)
)n
)n
)n
; LessTransitivity
\rhd \dot{\neg}\,(\underline{(x2)}
 <= (\underline{(y1)}
+(-u(((1
+1
)
*rec((1
+1
)
+1
)
)
*\underline{
\mathsf{z}}
)
)
)
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\underline{(x2)}
 = (\underline{(y1)}
+(-u(((1
+1
)
*rec((1
+1
)
+1
)
)
*\underline{
\mathsf{z}}
)
)
)
)n
)n
)n
\rhd \dot{\neg}\,((\underline{(y1)}
+(-u(((1
+1
)
*rec((1
+1
)
+1
)
)
*\underline{
\mathsf{z}}
)
)
)
 <= (\underline{(y2)}
+(-u(rec((1
+1
)
+1
)
*\underline{
\mathsf{z}}
)
)
)
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,((\underline{(y1)}
+(-u(((1
+1
)
*rec((1
+1
)
+1
)
)
*\underline{
\mathsf{z}}
)
)
)
 = (\underline{(y2)}
+(-u(rec((1
+1
)
+1
)
*\underline{
\mathsf{z}}
)
)
)
)n
)n
)n
\gg \dot{\neg}\,(\underline{(x2)}
 <= (\underline{(y2)}
+(-u(rec((1
+1
)
+1
)
*\underline{
\mathsf{z}}
)
)
)
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\underline{(x2)}
 = (\underline{(y2)}
+(-u(rec((1
+1
)
+1
)
*\underline{
\mathsf{z}}
)
)
)
)n
)n
)n
; LessLeq
\rhd \dot{\neg}\,(\underline{(x2)}
 <= (\underline{(y2)}
+(-u(rec((1
+1
)
+1
)
*\underline{
\mathsf{z}}
)
)
)
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\underline{(x2)}
 = (\underline{(y2)}
+(-u(rec((1
+1
)
+1
)
*\underline{
\mathsf{z}}
)
)
)
)n
)n
)n
\gg \underline{(x2)}
 <= (\underline{(y2)}
+(-u(rec((1
+1
)
+1
)
*\underline{
\mathsf{z}}
)
)
)
\rceil 
, 
p_0
, 
\mathsf {c}
)
]$








$
[ClosetolessIsLess
\stackrel{
stmt
}{\rightarrow}SystemQ
\vdash 
\forall \underline{(x1)}
\colon 
\forall \underline{(x2)}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf{y}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf{z}}
\colon \underline{(x1)}
 <= (\underline{
\mathsf{y}}
+(-u\underline{
\mathsf{z}}
)
)
\vdash \dot{\neg}\,(|(\underline{(x1)}
+(-u\underline{(x2)}
)
)
|
 <= (rec((1
+1
)
+1
)
*\underline{
\mathsf{z}}
)
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(|(\underline{(x1)}
+(-u\underline{(x2)}
)
)
|
 = (rec((1
+1
)
+1
)
*\underline{
\mathsf{z}}
)
)n
)n
)n
\vdash \underline{(x2)}
 <= (\underline{
\mathsf{y}}
+(-u(rec((1
+1
)
+1
)
*\underline{
\mathsf{z}}
)
)
)
]$

$
[ClosetolessIsLess
\stackrel{
proof
}{\rightarrow}
\lambda 
\mathsf {c}
.
\lambda 
\mathsf{x}
.
{\cal P}( 
\lceil SystemQ
\vdash 
\forall \underline{(x1)}
\colon 
\forall \underline{(x2)}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf{y}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf{z}}
\colon \underline{(x1)}
 <= (\underline{
\mathsf{y}}
+(-u\underline{
\mathsf{z}}
)
)
\vdash \dot{\neg}\,(|(\underline{(x1)}
+(-u\underline{(x2)}
)
)
|
 <= (rec((1
+1
)
+1
)
*\underline{
\mathsf{z}}
)
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(|(\underline{(x1)}
+(-u\underline{(x2)}
)
)
|
 = (rec((1
+1
)
+1
)
*\underline{
\mathsf{z}}
)
)n
)n
)n
\vdash 0<=|x|
\gg 0
 <= |(\underline{(x1)}
+(-u\underline{(x2)}
)
)
|
; leqLessTransitivity
\rhd 0
 <= |(\underline{(x1)}
+(-u\underline{(x2)}
)
)
|
\rhd \dot{\neg}\,(|(\underline{(x1)}
+(-u\underline{(x2)}
)
)
|
 <= (rec((1
+1
)
+1
)
*\underline{
\mathsf{z}}
)
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(|(\underline{(x1)}
+(-u\underline{(x2)}
)
)
|
 = (rec((1
+1
)
+1
)
*\underline{
\mathsf{z}}
)
)n
)n
)n
\gg \dot{\neg}\,(0
 <= (rec((1
+1
)
+1
)
*\underline{
\mathsf{z}}
)
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(0
 = (rec((1
+1
)
+1
)
*\underline{
\mathsf{z}}
)
)n
)n
)n
; |x-x|=0
\gg |(\underline{
\mathsf{y}}
+(-u\underline{
\mathsf{y}}
)
)
|
 = 0
; eqSymmetry
\rhd |(\underline{
\mathsf{y}}
+(-u\underline{
\mathsf{y}}
)
)
|
 = 0
\gg 0
 = |(\underline{
\mathsf{y}}
+(-u\underline{
\mathsf{y}}
)
)
|
; SubLessLeft
\rhd 0
 = |(\underline{
\mathsf{y}}
+(-u\underline{
\mathsf{y}}
)
)
|
\rhd \dot{\neg}\,(0
 <= (rec((1
+1
)
+1
)
*\underline{
\mathsf{z}}
)
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(0
 = (rec((1
+1
)
+1
)
*\underline{
\mathsf{z}}
)
)n
)n
)n
\gg \dot{\neg}\,(|(\underline{
\mathsf{y}}
+(-u\underline{
\mathsf{y}}
)
)
|
 <= (rec((1
+1
)
+1
)
*\underline{
\mathsf{z}}
)
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(|(\underline{
\mathsf{y}}
+(-u\underline{
\mathsf{y}}
)
)
|
 = (rec((1
+1
)
+1
)
*\underline{
\mathsf{z}}
)
)n
)n
)n
; PreserveLessGreater
\rhd \underline{(x1)}
 <= (\underline{
\mathsf{y}}
+(-u\underline{
\mathsf{z}}
)
)
\rhd \dot{\neg}\,(|(\underline{(x1)}
+(-u\underline{(x2)}
)
)
|
 <= (rec((1
+1
)
+1
)
*\underline{
\mathsf{z}}
)
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(|(\underline{(x1)}
+(-u\underline{(x2)}
)
)
|
 = (rec((1
+1
)
+1
)
*\underline{
\mathsf{z}}
)
)n
)n
)n
\rhd \dot{\neg}\,(|(\underline{
\mathsf{y}}
+(-u\underline{
\mathsf{y}}
)
)
|
 <= (rec((1
+1
)
+1
)
*\underline{
\mathsf{z}}
)
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(|(\underline{
\mathsf{y}}
+(-u\underline{
\mathsf{y}}
)
)
|
 = (rec((1
+1
)
+1
)
*\underline{
\mathsf{z}}
)
)n
)n
)n
\gg \underline{(x2)}
 <= (\underline{
\mathsf{y}}
+(-u(rec((1
+1
)
+1
)
*\underline{
\mathsf{z}}
)
)
)
\rceil 
, 
p_0
, 
\mathsf {c}
)
]$


$
[SubLessLeft(F)
\stackrel{
stmt
}{\rightarrow}SystemQ
\vdash 
\forall \underline{(fx)}
\colon 
\forall \underline{(fy)}
\colon 
\forall \underline{(fz)}
\colon 
\forall_{obj} \overline{(\epsilon)}
\colon \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {n}}
\colon \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {m}}
\colon \dot{\neg}\,(0
 <= \overline{(\epsilon)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(0
 = \overline{(\epsilon)}
)n
)n
)n
\Rightarrow \overline{
\mathsf {n}}
 <= \overline{
\mathsf {m}}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(|(\underline{(fx)}
[\overline{
\mathsf {m}}
]
+(-u\underline{(fy)}
[\overline{
\mathsf {m}}
]
)
)
|
 <= \overline{(\epsilon)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(|(\underline{(fx)}
[\overline{
\mathsf {m}}
]
+(-u\underline{(fy)}
[\overline{
\mathsf {m}}
]
)
)
|
 = \overline{(\epsilon)}
)n
)n
)n
)n
)n
\vdash \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(\epsilon)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {n}}
\colon \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {m}}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(0
 <= \overline{(\epsilon)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(0
 = \overline{(\epsilon)}
)n
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{
\mathsf {n}}
 <= \overline{
\mathsf {m}}
\Rightarrow \underline{(fx)}
[\overline{
\mathsf {m}}
]
 <= (\underline{(fz)}
[\overline{
\mathsf {m}}
]
+(-u\overline{(\epsilon)}
)
)
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\vdash \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(\epsilon)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {n}}
\colon \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {m}}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(0
 <= \overline{(\epsilon)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(0
 = \overline{(\epsilon)}
)n
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{
\mathsf {n}}
 <= \overline{
\mathsf {m}}
\Rightarrow \underline{(fy)}
[\overline{
\mathsf {m}}
]
 <= (\underline{(fz)}
[\overline{
\mathsf {m}}
]
+(-u\overline{(\epsilon)}
)
)
)n
)n
)n
)n
)n
)n
]$

$
[SubLessLeft(F)
\stackrel{
proof
}{\rightarrow}
\lambda 
\mathsf {c}
.
\lambda 
\mathsf{x}
.
{\cal P}( 
\lceil SystemQ
\vdash 
\forall \underline{(fx)}
\colon 
\forall \underline{(fy)}
\colon 
\forall \underline{(fz)}
\colon 
\forall_{obj} \overline{(\epsilon)}
\colon \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {n}}
\colon \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {m}}
\colon \dot{\neg}\,(0
 <= \overline{(\epsilon)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(0
 = \overline{(\epsilon)}
)n
)n
)n
\Rightarrow \overline{
\mathsf {n}}
 <= \overline{
\mathsf {m}}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(|(\underline{(fx)}
[\overline{
\mathsf {m}}
]
+(-u\underline{(fy)}
[\overline{
\mathsf {m}}
]
)
)
|
 <= \overline{(\epsilon)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(|(\underline{(fx)}
[\overline{
\mathsf {m}}
]
+(-u\underline{(fy)}
[\overline{
\mathsf {m}}
]
)
)
|
 = \overline{(\epsilon)}
)n
)n
)n
)n
)n
\vdash \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(\epsilon)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {n}}
\colon \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {m}}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(0
 <= \overline{(\epsilon)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(0
 = \overline{(\epsilon)}
)n
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{
\mathsf {n}}
 <= \overline{
\mathsf {m}}
\Rightarrow \underline{(fx)}
[\overline{
\mathsf {m}}
]
 <= (\underline{(fz)}
[\overline{
\mathsf {m}}
]
+(-u\overline{(\epsilon)}
)
)
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\vdash Repetition
\rhd 
\forall_{obj} \overline{(\epsilon)}
\colon \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {n}}
\colon \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {m}}
\colon \dot{\neg}\,(0
 <= \overline{(\epsilon)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(0
 = \overline{(\epsilon)}
)n
)n
)n
\Rightarrow \overline{
\mathsf {n}}
 <= \overline{
\mathsf {m}}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(|(\underline{(fx)}
[\overline{
\mathsf {m}}
]
+(-u\underline{(fy)}
[\overline{
\mathsf {m}}
]
)
)
|
 <= \overline{(\epsilon)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(|(\underline{(fx)}
[\overline{
\mathsf {m}}
]
+(-u\underline{(fy)}
[\overline{
\mathsf {m}}
]
)
)
|
 = \overline{(\epsilon)}
)n
)n
)n
)n
)n
\gg 
\forall_{obj} \overline{(\epsilon)}
\colon \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {n}}
\colon \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {m}}
\colon \dot{\neg}\,(0
 <= \overline{(\epsilon)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(0
 = \overline{(\epsilon)}
)n
)n
)n
\Rightarrow \overline{
\mathsf {n}}
 <= \overline{
\mathsf {m}}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(|(\underline{(fx)}
[\overline{
\mathsf {m}}
]
+(-u\underline{(fy)}
[\overline{
\mathsf {m}}
]
)
)
|
 <= \overline{(\epsilon)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(|(\underline{(fx)}
[\overline{
\mathsf {m}}
]
+(-u\underline{(fy)}
[\overline{
\mathsf {m}}
]
)
)
|
 = \overline{(\epsilon)}
)n
)n
)n
)n
)n
; Ded
\rhd 
\forall_{obj} \overline{(\epsilon)}
\colon \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {n}}
\colon \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {m}}
\colon \dot{\neg}\,(0
 <= \overline{(\epsilon)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(0
 = \overline{(\epsilon)}
)n
)n
)n
\Rightarrow \overline{
\mathsf {n}}
 <= \overline{
\mathsf {m}}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(|(\underline{(fx)}
[\overline{
\mathsf {m}}
]
+(-u\underline{(fy)}
[\overline{
\mathsf {m}}
]
)
)
|
 <= \overline{(\epsilon)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(|(\underline{(fx)}
[\overline{
\mathsf {m}}
]
+(-u\underline{(fy)}
[\overline{
\mathsf {m}}
]
)
)
|
 = \overline{(\epsilon)}
)n
)n
)n
)n
)n
\gg 
\forall_{obj} \overline{(\epsilon)}
\colon \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(n1)}
\colon \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {m}}
\colon \dot{\neg}\,(0
 <= \overline{(\epsilon)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(0
 = \overline{(\epsilon)}
)n
)n
)n
\Rightarrow \overline{(n1)}
 <= \overline{
\mathsf {m}}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(|(\underline{(fx)}
[\overline{
\mathsf {m}}
]
+(-u\underline{(fy)}
[\overline{
\mathsf {m}}
]
)
)
|
 <= \overline{(\epsilon)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(|(\underline{(fx)}
[\overline{
\mathsf {m}}
]
+(-u\underline{(fy)}
[\overline{
\mathsf {m}}
]
)
)
|
 = \overline{(\epsilon)}
)n
)n
)n
)n
)n
; A4
\mathop {\char64} (rec((1
+1
)
+1
)
*\overline{(\epsilon)}
)
\rhd 
\forall_{obj} \overline{(\epsilon)}
\colon \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {n}}
\colon \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {m}}
\colon \dot{\neg}\,(0
 <= \overline{(\epsilon)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(0
 = \overline{(\epsilon)}
)n
)n
)n
\Rightarrow \overline{
\mathsf {n}}
 <= \overline{
\mathsf {m}}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(|(\underline{(fx)}
[\overline{
\mathsf {m}}
]
+(-u\underline{(fy)}
[\overline{
\mathsf {m}}
]
)
)
|
 <= \overline{(\epsilon)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(|(\underline{(fx)}
[\overline{
\mathsf {m}}
]
+(-u\underline{(fy)}
[\overline{
\mathsf {m}}
]
)
)
|
 = \overline{(\epsilon)}
)n
)n
)n
)n
)n
\gg \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(n1)}
\colon \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {m}}
\colon \dot{\neg}\,(0
 <= (rec((1
+1
)
+1
)
*\overline{(\epsilon)}
)
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(0
 = (rec((1
+1
)
+1
)
*\overline{(\epsilon)}
)
)n
)n
)n
\Rightarrow \overline{(n1)}
 <= \overline{
\mathsf {m}}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(|(\underline{(fx)}
[\overline{
\mathsf {m}}
]
+(-u\underline{(fy)}
[\overline{
\mathsf {m}}
]
)
)
|
 <= (rec((1
+1
)
+1
)
*\overline{(\epsilon)}
)
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(|(\underline{(fx)}
[\overline{
\mathsf {m}}
]
+(-u\underline{(fy)}
[\overline{
\mathsf {m}}
]
)
)
|
 = (rec((1
+1
)
+1
)
*\overline{(\epsilon)}
)
)n
)n
)n
)n
)n
; Repetition
\rhd \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(\epsilon)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {n}}
\colon \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {m}}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(0
 <= \overline{(\epsilon)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(0
 = \overline{(\epsilon)}
)n
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{
\mathsf {n}}
 <= \overline{
\mathsf {m}}
\Rightarrow \underline{(fx)}
[\overline{
\mathsf {m}}
]
 <= (\underline{(fz)}
[\overline{
\mathsf {m}}
]
+(-u\overline{(\epsilon)}
)
)
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\gg \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(\epsilon)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {n}}
\colon \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {m}}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(0
 <= \overline{(\epsilon)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(0
 = \overline{(\epsilon)}
)n
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{
\mathsf {n}}
 <= \overline{
\mathsf {m}}
\Rightarrow \underline{(fx)}
[\overline{
\mathsf {m}}
]
 <= (\underline{(fz)}
[\overline{
\mathsf {m}}
]
+(-u\overline{(\epsilon)}
)
)
)n
)n
)n
)n
)n
)n
; Ded
\rhd \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(\epsilon)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {n}}
\colon \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {m}}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(0
 <= \overline{(\epsilon)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(0
 = \overline{(\epsilon)}
)n
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{
\mathsf {n}}
 <= \overline{
\mathsf {m}}
\Rightarrow \underline{(fx)}
[\overline{
\mathsf {m}}
]
 <= (\underline{(fz)}
[\overline{
\mathsf {m}}
]
+(-u\overline{(\epsilon)}
)
)
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\gg \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(\epsilon)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(n2)}
\colon \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {m}}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(0
 <= \overline{(\epsilon)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(0
 = \overline{(\epsilon)}
)n
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(n2)}
 <= \overline{
\mathsf {m}}
\Rightarrow \underline{(fx)}
[\overline{
\mathsf {m}}
]
 <= (\underline{(fz)}
[\overline{
\mathsf {m}}
]
+(-u\overline{(\epsilon)}
)
)
)n
)n
)n
)n
)n
)n
; 
\forall \underline{(fx)}
\colon 
\forall \underline{(fx)}
\colon 
\forall \underline{(fz)}
\colon 
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {m}}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(0
 <= \overline{(\epsilon)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(0
 = \overline{(\epsilon)}
)n
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(n2)}
 <= \overline{
\mathsf {m}}
\Rightarrow \underline{(fx)}
[\overline{
\mathsf {m}}
]
 <= (\underline{(fz)}
[\overline{
\mathsf {m}}
]
+(-u\overline{(\epsilon)}
)
)
)n
)n
\vdash A4
\mathop {\char64} \overline{
\mathsf {m}}
\rhd 
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {m}}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(0
 <= \overline{(\epsilon)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(0
 = \overline{(\epsilon)}
)n
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(n2)}
 <= \overline{
\mathsf {m}}
\Rightarrow \underline{(fx)}
[\overline{
\mathsf {m}}
]
 <= (\underline{(fz)}
[\overline{
\mathsf {m}}
]
+(-u\overline{(\epsilon)}
)
)
)n
)n
\gg \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(0
 <= \overline{(\epsilon)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(0
 = \overline{(\epsilon)}
)n
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(n2)}
 <= \overline{
\mathsf {m}}
\Rightarrow \underline{(fx)}
[\overline{
\mathsf {m}}
]
 <= (\underline{(fz)}
[\overline{
\mathsf {m}}
]
+(-u\overline{(\epsilon)}
)
)
)n
)n
; FirstConjunct
\rhd \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(0
 <= \overline{(\epsilon)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(0
 = \overline{(\epsilon)}
)n
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(n2)}
 <= \overline{
\mathsf {m}}
\Rightarrow \underline{(fx)}
[\overline{
\mathsf {m}}
]
 <= (\underline{(fz)}
[\overline{
\mathsf {m}}
]
+(-u\overline{(\epsilon)}
)
)
)n
)n
\gg \dot{\neg}\,(0
 <= \overline{(\epsilon)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(0
 = \overline{(\epsilon)}
)n
)n
)n
; PositiveDividedBy3
\rhd \dot{\neg}\,(0
 <= \overline{(\epsilon)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(0
 = \overline{(\epsilon)}
)n
)n
)n
\gg \dot{\neg}\,(0
 <= (rec((1
+1
)
+1
)
*\overline{(\epsilon)}
)
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(0
 = (rec((1
+1
)
+1
)
*\overline{(\epsilon)}
)
)n
)n
)n
; 
\forall \underline{(fx)}
\colon 
\forall \underline{(fy)}
\colon 
\forall \underline{(fz)}
\colon 
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {m}}
\colon \dot{\neg}\,(0
 <= (rec((1
+1
)
+1
)
*\overline{(\epsilon)}
)
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(0
 = (rec((1
+1
)
+1
)
*\overline{(\epsilon)}
)
)n
)n
)n
\Rightarrow \overline{(n1)}
 <= \overline{
\mathsf {m}}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(|(\underline{(fx)}
[\overline{
\mathsf {m}}
]
+(-u\underline{(fy)}
[\overline{
\mathsf {m}}
]
)
)
|
 <= (rec((1
+1
)
+1
)
*\overline{(\epsilon)}
)
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(|(\underline{(fx)}
[\overline{
\mathsf {m}}
]
+(-u\underline{(fy)}
[\overline{
\mathsf {m}}
]
)
)
|
 = (rec((1
+1
)
+1
)
*\overline{(\epsilon)}
)
)n
)n
)n
\vdash 
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {m}}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(0
 <= \overline{(\epsilon)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(0
 = \overline{(\epsilon)}
)n
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(n2)}
 <= \overline{
\mathsf {m}}
\Rightarrow \underline{(fx)}
[\overline{
\mathsf {m}}
]
 <= (\underline{(fz)}
[\overline{
\mathsf {m}}
]
+(-u\overline{(\epsilon)}
)
)
)n
)n
\vdash if(\overline{(n2)}
 <= \overline{(n1)}
,\overline{(n1)}
,\overline{(n2)}
)
 <= \overline{
\mathsf {m}}
\vdash MaxLeq(1)
\gg \overline{(n1)}
 <= if(\overline{(n2)}
 <= \overline{(n1)}
,\overline{(n1)}
,\overline{(n2)}
)
; leqTransitivity
\rhd \overline{(n1)}
 <= if(\overline{(n2)}
 <= \overline{(n1)}
,\overline{(n1)}
,\overline{(n2)}
)
\rhd if(\overline{(n2)}
 <= \overline{(n1)}
,\overline{(n1)}
,\overline{(n2)}
)
 <= \overline{
\mathsf {m}}
\gg \overline{(n1)}
 <= \overline{
\mathsf {m}}
; MaxLeq(2)
\gg \overline{(n2)}
 <= if(\overline{(n2)}
 <= \overline{(n1)}
,\overline{(n1)}
,\overline{(n2)}
)
; leqTransitivity
\rhd \overline{(n2)}
 <= if(\overline{(n2)}
 <= \overline{(n1)}
,\overline{(n1)}
,\overline{(n2)}
)
\rhd if(\overline{(n2)}
 <= \overline{(n1)}
,\overline{(n1)}
,\overline{(n2)}
)
 <= \overline{
\mathsf {m}}
\gg \overline{(n2)}
 <= \overline{
\mathsf {m}}
; A4
\mathop {\char64} \overline{
\mathsf {m}}
\rhd 
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {m}}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(0
 <= \overline{(\epsilon)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(0
 = \overline{(\epsilon)}
)n
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(n2)}
 <= \overline{
\mathsf {m}}
\Rightarrow \underline{(fx)}
[\overline{
\mathsf {m}}
]
 <= (\underline{(fz)}
[\overline{
\mathsf {m}}
]
+(-u\overline{(\epsilon)}
)
)
)n
)n
\gg \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(0
 <= \overline{(\epsilon)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(0
 = \overline{(\epsilon)}
)n
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(n2)}
 <= \overline{
\mathsf {m}}
\Rightarrow \underline{(fx)}
[\overline{
\mathsf {m}}
]
 <= (\underline{(fz)}
[\overline{
\mathsf {m}}
]
+(-u\overline{(\epsilon)}
)
)
)n
)n
; FirstConjunct
\rhd \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(0
 <= \overline{(\epsilon)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(0
 = \overline{(\epsilon)}
)n
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(n2)}
 <= \overline{
\mathsf {m}}
\Rightarrow \underline{(fx)}
[\overline{
\mathsf {m}}
]
 <= (\underline{(fz)}
[\overline{
\mathsf {m}}
]
+(-u\overline{(\epsilon)}
)
)
)n
)n
\gg \dot{\neg}\,(0
 <= \overline{(\epsilon)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(0
 = \overline{(\epsilon)}
)n
)n
)n
; SecondConjunct
\rhd \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(0
 <= \overline{(\epsilon)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(0
 = \overline{(\epsilon)}
)n
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(n2)}
 <= \overline{
\mathsf {m}}
\Rightarrow \underline{(fx)}
[\overline{
\mathsf {m}}
]
 <= (\underline{(fz)}
[\overline{
\mathsf {m}}
]
+(-u\overline{(\epsilon)}
)
)
)n
)n
\gg \overline{(n2)}
 <= \overline{
\mathsf {m}}
\Rightarrow \underline{(fx)}
[\overline{
\mathsf {m}}
]
 <= (\underline{(fz)}
[\overline{
\mathsf {m}}
]
+(-u\overline{(\epsilon)}
)
)
; MP
\rhd \overline{(n2)}
 <= \overline{
\mathsf {m}}
\Rightarrow \underline{(fx)}
[\overline{
\mathsf {m}}
]
 <= (\underline{(fz)}
[\overline{
\mathsf {m}}
]
+(-u\overline{(\epsilon)}
)
)
\rhd \overline{(n2)}
 <= \overline{
\mathsf {m}}
\gg \underline{(fx)}
[\overline{
\mathsf {m}}
]
 <= (\underline{(fz)}
[\overline{
\mathsf {m}}
]
+(-u\overline{(\epsilon)}
)
)
; A4
\mathop {\char64} \overline{
\mathsf {m}}
\rhd 
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {m}}
\colon \dot{\neg}\,(0
 <= (rec((1
+1
)
+1
)
*\overline{(\epsilon)}
)
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(0
 = (rec((1
+1
)
+1
)
*\overline{(\epsilon)}
)
)n
)n
)n
\Rightarrow \overline{(n1)}
 <= \overline{
\mathsf {m}}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(|(\underline{(fx)}
[\overline{
\mathsf {m}}
]
+(-u\underline{(fy)}
[\overline{
\mathsf {m}}
]
)
)
|
 <= (rec((1
+1
)
+1
)
*\overline{(\epsilon)}
)
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(|(\underline{(fx)}
[\overline{
\mathsf {m}}
]
+(-u\underline{(fy)}
[\overline{
\mathsf {m}}
]
)
)
|
 = (rec((1
+1
)
+1
)
*\overline{(\epsilon)}
)
)n
)n
)n
\gg \dot{\neg}\,(0
 <= (rec((1
+1
)
+1
)
*\overline{(\epsilon)}
)
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(0
 = (rec((1
+1
)
+1
)
*\overline{(\epsilon)}
)
)n
)n
)n
\Rightarrow \overline{(n1)}
 <= \overline{
\mathsf {m}}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(|(\underline{(fx)}
[\overline{
\mathsf {m}}
]
+(-u\underline{(fy)}
[\overline{
\mathsf {m}}
]
)
)
|
 <= (rec((1
+1
)
+1
)
*\overline{(\epsilon)}
)
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(|(\underline{(fx)}
[\overline{
\mathsf {m}}
]
+(-u\underline{(fy)}
[\overline{
\mathsf {m}}
]
)
)
|
 = (rec((1
+1
)
+1
)
*\overline{(\epsilon)}
)
)n
)n
)n
; PositiveDividedBy3
\rhd \dot{\neg}\,(0
 <= \overline{(\epsilon)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(0
 = \overline{(\epsilon)}
)n
)n
)n
\gg \dot{\neg}\,(0
 <= (rec((1
+1
)
+1
)
*\overline{(\epsilon)}
)
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(0
 = (rec((1
+1
)
+1
)
*\overline{(\epsilon)}
)
)n
)n
)n
; MP2
\rhd \dot{\neg}\,(0
 <= (rec((1
+1
)
+1
)
*\overline{(\epsilon)}
)
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(0
 = (rec((1
+1
)
+1
)
*\overline{(\epsilon)}
)
)n
)n
)n
\Rightarrow \overline{(n1)}
 <= \overline{
\mathsf {m}}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(|(\underline{(fx)}
[\overline{
\mathsf {m}}
]
+(-u\underline{(fy)}
[\overline{
\mathsf {m}}
]
)
)
|
 <= (rec((1
+1
)
+1
)
*\overline{(\epsilon)}
)
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(|(\underline{(fx)}
[\overline{
\mathsf {m}}
]
+(-u\underline{(fy)}
[\overline{
\mathsf {m}}
]
)
)
|
 = (rec((1
+1
)
+1
)
*\overline{(\epsilon)}
)
)n
)n
)n
\rhd \dot{\neg}\,(0
 <= (rec((1
+1
)
+1
)
*\overline{(\epsilon)}
)
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(0
 = (rec((1
+1
)
+1
)
*\overline{(\epsilon)}
)
)n
)n
)n
\rhd \overline{(n1)}
 <= \overline{
\mathsf {m}}
\gg \dot{\neg}\,(|(\underline{(fx)}
[\overline{
\mathsf {m}}
]
+(-u\underline{(fy)}
[\overline{
\mathsf {m}}
]
)
)
|
 <= (rec((1
+1
)
+1
)
*\overline{(\epsilon)}
)
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(|(\underline{(fx)}
[\overline{
\mathsf {m}}
]
+(-u\underline{(fy)}
[\overline{
\mathsf {m}}
]
)
)
|
 = (rec((1
+1
)
+1
)
*\overline{(\epsilon)}
)
)n
)n
)n
; ClosetolessIsLess
\rhd \underline{(fx)}
[\overline{
\mathsf {m}}
]
 <= (\underline{(fz)}
[\overline{
\mathsf {m}}
]
+(-u\overline{(\epsilon)}
)
)
\rhd \dot{\neg}\,(|(\underline{(fx)}
[\overline{
\mathsf {m}}
]
+(-u\underline{(fy)}
[\overline{
\mathsf {m}}
]
)
)
|
 <= (rec((1
+1
)
+1
)
*\overline{(\epsilon)}
)
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(|(\underline{(fx)}
[\overline{
\mathsf {m}}
]
+(-u\underline{(fy)}
[\overline{
\mathsf {m}}
]
)
)
|
 = (rec((1
+1
)
+1
)
*\overline{(\epsilon)}
)
)n
)n
)n
\gg \underline{(fy)}
[\overline{
\mathsf {m}}
]
 <= (\underline{(fz)}
[\overline{
\mathsf {m}}
]
+(-u(rec((1
+1
)
+1
)
*\overline{(\epsilon)}
)
)
)
; Ded
\rhd 
\forall \underline{(fx)}
\colon 
\forall \underline{(fx)}
\colon 
\forall \underline{(fz)}
\colon 
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {m}}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(0
 <= \overline{(\epsilon)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(0
 = \overline{(\epsilon)}
)n
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(n2)}
 <= \overline{
\mathsf {m}}
\Rightarrow \underline{(fx)}
[\overline{
\mathsf {m}}
]
 <= (\underline{(fz)}
[\overline{
\mathsf {m}}
]
+(-u\overline{(\epsilon)}
)
)
)n
)n
\vdash \dot{\neg}\,(0
 <= (rec((1
+1
)
+1
)
*\overline{(\epsilon)}
)
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(0
 = (rec((1
+1
)
+1
)
*\overline{(\epsilon)}
)
)n
)n
)n
\gg 
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {m}}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(0
 <= \overline{(\epsilon)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(0
 = \overline{(\epsilon)}
)n
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(n2)}
 <= \overline{
\mathsf {m}}
\Rightarrow \underline{(fx)}
[\overline{
\mathsf {m}}
]
 <= (\underline{(fz)}
[\overline{
\mathsf {m}}
]
+(-u\overline{(\epsilon)}
)
)
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(0
 <= (rec((1
+1
)
+1
)
*\overline{(\epsilon)}
)
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(0
 = (rec((1
+1
)
+1
)
*\overline{(\epsilon)}
)
)n
)n
)n
; TwiceExistMP
\rhd 
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {m}}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(0
 <= \overline{(\epsilon)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(0
 = \overline{(\epsilon)}
)n
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(n2)}
 <= \overline{
\mathsf {m}}
\Rightarrow \underline{(fx)}
[\overline{
\mathsf {m}}
]
 <= (\underline{(fz)}
[\overline{
\mathsf {m}}
]
+(-u\overline{(\epsilon)}
)
)
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(0
 <= (rec((1
+1
)
+1
)
*\overline{(\epsilon)}
)
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(0
 = (rec((1
+1
)
+1
)
*\overline{(\epsilon)}
)
)n
)n
)n
\rhd \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(\epsilon)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(n2)}
\colon \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {m}}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(0
 <= \overline{(\epsilon)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(0
 = \overline{(\epsilon)}
)n
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(n2)}
 <= \overline{
\mathsf {m}}
\Rightarrow \underline{(fx)}
[\overline{
\mathsf {m}}
]
 <= (\underline{(fz)}
[\overline{
\mathsf {m}}
]
+(-u\overline{(\epsilon)}
)
)
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\gg \dot{\neg}\,(0
 <= (rec((1
+1
)
+1
)
*\overline{(\epsilon)}
)
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(0
 = (rec((1
+1
)
+1
)
*\overline{(\epsilon)}
)
)n
)n
)n
; Ded
\rhd 
\forall \underline{(fx)}
\colon 
\forall \underline{(fy)}
\colon 
\forall \underline{(fz)}
\colon 
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {m}}
\colon \dot{\neg}\,(0
 <= (rec((1
+1
)
+1
)
*\overline{(\epsilon)}
)
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(0
 = (rec((1
+1
)
+1
)
*\overline{(\epsilon)}
)
)n
)n
)n
\Rightarrow \overline{(n1)}
 <= \overline{
\mathsf {m}}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(|(\underline{(fx)}
[\overline{
\mathsf {m}}
]
+(-u\underline{(fy)}
[\overline{
\mathsf {m}}
]
)
)
|
 <= (rec((1
+1
)
+1
)
*\overline{(\epsilon)}
)
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(|(\underline{(fx)}
[\overline{
\mathsf {m}}
]
+(-u\underline{(fy)}
[\overline{
\mathsf {m}}
]
)
)
|
 = (rec((1
+1
)
+1
)
*\overline{(\epsilon)}
)
)n
)n
)n
\vdash 
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {m}}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(0
 <= \overline{(\epsilon)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(0
 = \overline{(\epsilon)}
)n
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(n2)}
 <= \overline{
\mathsf {m}}
\Rightarrow \underline{(fx)}
[\overline{
\mathsf {m}}
]
 <= (\underline{(fz)}
[\overline{
\mathsf {m}}
]
+(-u\overline{(\epsilon)}
)
)
)n
)n
\vdash if(\overline{(n2)}
 <= \overline{(n1)}
,\overline{(n1)}
,\overline{(n2)}
)
 <= \overline{
\mathsf {m}}
\vdash \underline{(fy)}
[\overline{
\mathsf {m}}
]
 <= (\underline{(fz)}
[\overline{
\mathsf {m}}
]
+(-u(rec((1
+1
)
+1
)
*\overline{(\epsilon)}
)
)
)
\gg 
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {m}}
\colon \dot{\neg}\,(0
 <= (rec((1
+1
)
+1
)
*\overline{(\epsilon)}
)
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(0
 = (rec((1
+1
)
+1
)
*\overline{(\epsilon)}
)
)n
)n
)n
\Rightarrow \overline{(n1)}
 <= \overline{
\mathsf {m}}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(|(\underline{(fx)}
[\overline{
\mathsf {m}}
]
+(-u\underline{(fy)}
[\overline{
\mathsf {m}}
]
)
)
|
 <= (rec((1
+1
)
+1
)
*\overline{(\epsilon)}
)
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(|(\underline{(fx)}
[\overline{
\mathsf {m}}
]
+(-u\underline{(fy)}
[\overline{
\mathsf {m}}
]
)
)
|
 = (rec((1
+1
)
+1
)
*\overline{(\epsilon)}
)
)n
)n
)n
\Rightarrow 
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {m}}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(0
 <= \overline{(\epsilon)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(0
 = \overline{(\epsilon)}
)n
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(n2)}
 <= \overline{
\mathsf {m}}
\Rightarrow \underline{(fx)}
[\overline{
\mathsf {m}}
]
 <= (\underline{(fz)}
[\overline{
\mathsf {m}}
]
+(-u\overline{(\epsilon)}
)
)
)n
)n
\Rightarrow if(\overline{(n2)}
 <= \overline{(n1)}
,\overline{(n1)}
,\overline{(n2)}
)
 <= \overline{
\mathsf {m}}
\Rightarrow \underline{(fy)}
[\overline{
\mathsf {m}}
]
 <= (\underline{(fz)}
[\overline{
\mathsf {m}}
]
+(-u(rec((1
+1
)
+1
)
*\overline{(\epsilon)}
)
)
)
; ExistMP
\rhd 
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {m}}
\colon \dot{\neg}\,(0
 <= (rec((1
+1
)
+1
)
*\overline{(\epsilon)}
)
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(0
 = (rec((1
+1
)
+1
)
*\overline{(\epsilon)}
)
)n
)n
)n
\Rightarrow \overline{(n1)}
 <= \overline{
\mathsf {m}}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(|(\underline{(fx)}
[\overline{
\mathsf {m}}
]
+(-u\underline{(fy)}
[\overline{
\mathsf {m}}
]
)
)
|
 <= (rec((1
+1
)
+1
)
*\overline{(\epsilon)}
)
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(|(\underline{(fx)}
[\overline{
\mathsf {m}}
]
+(-u\underline{(fy)}
[\overline{
\mathsf {m}}
]
)
)
|
 = (rec((1
+1
)
+1
)
*\overline{(\epsilon)}
)
)n
)n
)n
\Rightarrow 
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {m}}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(0
 <= \overline{(\epsilon)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(0
 = \overline{(\epsilon)}
)n
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(n2)}
 <= \overline{
\mathsf {m}}
\Rightarrow \underline{(fx)}
[\overline{
\mathsf {m}}
]
 <= (\underline{(fz)}
[\overline{
\mathsf {m}}
]
+(-u\overline{(\epsilon)}
)
)
)n
)n
\Rightarrow if(\overline{(n2)}
 <= \overline{(n1)}
,\overline{(n1)}
,\overline{(n2)}
)
 <= \overline{
\mathsf {m}}
\Rightarrow \underline{(fy)}
[\overline{
\mathsf {m}}
]
 <= (\underline{(fz)}
[\overline{
\mathsf {m}}
]
+(-u(rec((1
+1
)
+1
)
*\overline{(\epsilon)}
)
)
)
\rhd \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(n1)}
\colon \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {m}}
\colon \dot{\neg}\,(0
 <= (rec((1
+1
)
+1
)
*\overline{(\epsilon)}
)
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(0
 = (rec((1
+1
)
+1
)
*\overline{(\epsilon)}
)
)n
)n
)n
\Rightarrow \overline{(n1)}
 <= \overline{
\mathsf {m}}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(|(\underline{(fx)}
[\overline{
\mathsf {m}}
]
+(-u\underline{(fy)}
[\overline{
\mathsf {m}}
]
)
)
|
 <= (rec((1
+1
)
+1
)
*\overline{(\epsilon)}
)
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(|(\underline{(fx)}
[\overline{
\mathsf {m}}
]
+(-u\underline{(fy)}
[\overline{
\mathsf {m}}
]
)
)
|
 = (rec((1
+1
)
+1
)
*\overline{(\epsilon)}
)
)n
)n
)n
)n
)n
\gg 
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {m}}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(0
 <= \overline{(\epsilon)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(0
 = \overline{(\epsilon)}
)n
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(n2)}
 <= \overline{
\mathsf {m}}
\Rightarrow \underline{(fx)}
[\overline{
\mathsf {m}}
]
 <= (\underline{(fz)}
[\overline{
\mathsf {m}}
]
+(-u\overline{(\epsilon)}
)
)
)n
)n
\Rightarrow if(\overline{(n2)}
 <= \overline{(n1)}
,\overline{(n1)}
,\overline{(n2)}
)
 <= \overline{
\mathsf {m}}
\Rightarrow \underline{(fy)}
[\overline{
\mathsf {m}}
]
 <= (\underline{(fz)}
[\overline{
\mathsf {m}}
]
+(-u(rec((1
+1
)
+1
)
*\overline{(\epsilon)}
)
)
)
; TwiceExistMP
\rhd 
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {m}}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(0
 <= \overline{(\epsilon)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(0
 = \overline{(\epsilon)}
)n
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(n2)}
 <= \overline{
\mathsf {m}}
\Rightarrow \underline{(fx)}
[\overline{
\mathsf {m}}
]
 <= (\underline{(fz)}
[\overline{
\mathsf {m}}
]
+(-u\overline{(\epsilon)}
)
)
)n
)n
\Rightarrow if(\overline{(n2)}
 <= \overline{(n1)}
,\overline{(n1)}
,\overline{(n2)}
)
 <= \overline{
\mathsf {m}}
\Rightarrow \underline{(fy)}
[\overline{
\mathsf {m}}
]
 <= (\underline{(fz)}
[\overline{
\mathsf {m}}
]
+(-u(rec((1
+1
)
+1
)
*\overline{(\epsilon)}
)
)
)
\rhd \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(\epsilon)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(n2)}
\colon \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {m}}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(0
 <= \overline{(\epsilon)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(0
 = \overline{(\epsilon)}
)n
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(n2)}
 <= \overline{
\mathsf {m}}
\Rightarrow \underline{(fx)}
[\overline{
\mathsf {m}}
]
 <= (\underline{(fz)}
[\overline{
\mathsf {m}}
]
+(-u\overline{(\epsilon)}
)
)
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\gg if(\overline{(n2)}
 <= \overline{(n1)}
,\overline{(n1)}
,\overline{(n2)}
)
 <= \overline{
\mathsf {m}}
\Rightarrow \underline{(fy)}
[\overline{
\mathsf {m}}
]
 <= (\underline{(fz)}
[\overline{
\mathsf {m}}
]
+(-u(rec((1
+1
)
+1
)
*\overline{(\epsilon)}
)
)
)
; JoinConjuncts
\rhd \dot{\neg}\,(0
 <= (rec((1
+1
)
+1
)
*\overline{(\epsilon)}
)
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(0
 = (rec((1
+1
)
+1
)
*\overline{(\epsilon)}
)
)n
)n
)n
\rhd if(\overline{(n2)}
 <= \overline{(n1)}
,\overline{(n1)}
,\overline{(n2)}
)
 <= \overline{
\mathsf {m}}
\Rightarrow \underline{(fy)}
[\overline{
\mathsf {m}}
]
 <= (\underline{(fz)}
[\overline{
\mathsf {m}}
]
+(-u(rec((1
+1
)
+1
)
*\overline{(\epsilon)}
)
)
)
\gg \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(0
 <= (rec((1
+1
)
+1
)
*\overline{(\epsilon)}
)
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(0
 = (rec((1
+1
)
+1
)
*\overline{(\epsilon)}
)
)n
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(if(\overline{(n2)}
 <= \overline{(n1)}
,\overline{(n1)}
,\overline{(n2)}
)
 <= \overline{
\mathsf {m}}
\Rightarrow \underline{(fy)}
[\overline{
\mathsf {m}}
]
 <= (\underline{(fz)}
[\overline{
\mathsf {m}}
]
+(-u(rec((1
+1
)
+1
)
*\overline{(\epsilon)}
)
)
)
)n
)n
; Gen
\rhd \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(0
 <= (rec((1
+1
)
+1
)
*\overline{(\epsilon)}
)
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(0
 = (rec((1
+1
)
+1
)
*\overline{(\epsilon)}
)
)n
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(if(\overline{(n2)}
 <= \overline{(n1)}
,\overline{(n1)}
,\overline{(n2)}
)
 <= \overline{
\mathsf {m}}
\Rightarrow \underline{(fy)}
[\overline{
\mathsf {m}}
]
 <= (\underline{(fz)}
[\overline{
\mathsf {m}}
]
+(-u(rec((1
+1
)
+1
)
*\overline{(\epsilon)}
)
)
)
)n
)n
\gg 
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {m}}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(0
 <= (rec((1
+1
)
+1
)
*\overline{(\epsilon)}
)
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(0
 = (rec((1
+1
)
+1
)
*\overline{(\epsilon)}
)
)n
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(if(\overline{(n2)}
 <= \overline{(n1)}
,\overline{(n1)}
,\overline{(n2)}
)
 <= \overline{
\mathsf {m}}
\Rightarrow \underline{(fy)}
[\overline{
\mathsf {m}}
]
 <= (\underline{(fz)}
[\overline{
\mathsf {m}}
]
+(-u(rec((1
+1
)
+1
)
*\overline{(\epsilon)}
)
)
)
)n
)n
; IntroExist
\mathop {\char64} if(\overline{(n2)}
 <= \overline{(n1)}
,\overline{(n1)}
,\overline{(n2)}
)
\rhd 
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {m}}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(0
 <= (rec((1
+1
)
+1
)
*\overline{(\epsilon)}
)
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(0
 = (rec((1
+1
)
+1
)
*\overline{(\epsilon)}
)
)n
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(if(\overline{(n2)}
 <= \overline{(n1)}
,\overline{(n1)}
,\overline{(n2)}
)
 <= \overline{
\mathsf {m}}
\Rightarrow \underline{(fy)}
[\overline{
\mathsf {m}}
]
 <= (\underline{(fz)}
[\overline{
\mathsf {m}}
]
+(-u(rec((1
+1
)
+1
)
*\overline{(\epsilon)}
)
)
)
)n
)n
\gg \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {n}}
\colon \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {m}}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(0
 <= (rec((1
+1
)
+1
)
*\overline{(\epsilon)}
)
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(0
 = (rec((1
+1
)
+1
)
*\overline{(\epsilon)}
)
)n
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{
\mathsf {n}}
 <= \overline{
\mathsf {m}}
\Rightarrow \underline{(fy)}
[\overline{
\mathsf {m}}
]
 <= (\underline{(fz)}
[\overline{
\mathsf {m}}
]
+(-u(rec((1
+1
)
+1
)
*\overline{(\epsilon)}
)
)
)
)n
)n
)n
)n
; IntroExist
\mathop {\char64} (rec((1
+1
)
+1
)
*\overline{(\epsilon)}
)
\rhd \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {n}}
\colon \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {m}}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(0
 <= (rec((1
+1
)
+1
)
*\overline{(\epsilon)}
)
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(0
 = (rec((1
+1
)
+1
)
*\overline{(\epsilon)}
)
)n
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{
\mathsf {n}}
 <= \overline{
\mathsf {m}}
\Rightarrow \underline{(fy)}
[\overline{
\mathsf {m}}
]
 <= (\underline{(fz)}
[\overline{
\mathsf {m}}
]
+(-u(rec((1
+1
)
+1
)
*\overline{(\epsilon)}
)
)
)
)n
)n
)n
)n
\gg \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(\epsilon)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {n}}
\colon \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {m}}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(0
 <= \overline{(\epsilon)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(0
 = \overline{(\epsilon)}
)n
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{
\mathsf {n}}
 <= \overline{
\mathsf {m}}
\Rightarrow \underline{(fy)}
[\overline{
\mathsf {m}}
]
 <= (\underline{(fz)}
[\overline{
\mathsf {m}}
]
+(-u\overline{(\epsilon)}
)
)
)n
)n
)n
)n
)n
)n
; Repetition
\rhd \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(\epsilon)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {n}}
\colon \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {m}}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(0
 <= \overline{(\epsilon)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(0
 = \overline{(\epsilon)}
)n
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{
\mathsf {n}}
 <= \overline{
\mathsf {m}}
\Rightarrow \underline{(fy)}
[\overline{
\mathsf {m}}
]
 <= (\underline{(fz)}
[\overline{
\mathsf {m}}
]
+(-u\overline{(\epsilon)}
)
)
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\gg \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(\epsilon)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {n}}
\colon \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {m}}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(0
 <= \overline{(\epsilon)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(0
 = \overline{(\epsilon)}
)n
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{
\mathsf {n}}
 <= \overline{
\mathsf {m}}
\Rightarrow \underline{(fy)}
[\overline{
\mathsf {m}}
]
 <= (\underline{(fz)}
[\overline{
\mathsf {m}}
]
+(-u\overline{(\epsilon)}
)
)
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\rceil 
, 
p_0
, 
\mathsf {c}
)
]$

$
[SubLessLeft(R)
\stackrel{
stmt
}{\rightarrow}SystemQ
\vdash 
\forall \underline{(fx)}
\colon 
\forall \underline{(fy)}
\colon 
\forall \underline{(fz)}
\colon  \{ ph \mathrel{\in} P( \{ ph \mathrel{\in} P( \{ ph \mathrel{\in} P(P(Union(\{N
,Q
\}
)
)
)
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op1)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op2)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\overline{(op1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(op2)}
 \mathrel{\in} Q
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\mathsf {a}
 _{Ph} 
 = \{\{\overline{(op1)}
,\overline{(op1)}
\}
,\{\overline{(op1)}
,\overline{(op2)}
\}
\}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\}
)
\mid \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(r1)}
\colon \overline{(r1)}
 \mathrel{\in} 
\mathsf {f}
 _{Ph} 
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op1)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op2)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\overline{(op1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(op2)}
 \mathrel{\in} Q
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(r1)}
 = \{\{\overline{(op1)}
,\overline{(op1)}
\}
,\{\overline{(op1)}
,\overline{(op2)}
\}
\}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(f1)}
\colon 
\forall_{obj} \overline{(f2)}
\colon 
\forall_{obj} \overline{(f3)}
\colon 
\forall_{obj} \overline{(f4)}
\colon \{\{\overline{(f1)}
,\overline{(f1)}
\}
,\{\overline{(f1)}
,\overline{(f2)}
\}
\}
 \mathrel{\in} 
\mathsf {f}
 _{Ph} 
\Rightarrow \{\{\overline{(f3)}
,\overline{(f3)}
\}
,\{\overline{(f3)}
,\overline{(f4)}
\}
\}
 \mathrel{\in} 
\mathsf {f}
 _{Ph} 
\Rightarrow \overline{(f1)}
 = \overline{(f3)}
\Rightarrow \overline{(f2)}
 = \overline{(f4)}
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(s1)}
\colon \overline{(s1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(s2)}
\colon \dot{\neg}\,(\{\{\overline{(s1)}
,\overline{(s1)}
\}
,\{\overline{(s1)}
,\overline{(s2)}
\}
\}
 \mathrel{\in} 
\mathsf {f}
 _{Ph} 
)n
)n
)n
)n
\}
)
\mid 
\forall_{obj} \overline{(\epsilon)}
\colon \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {n}}
\colon \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {m}}
\colon \dot{\neg}\,(0
 <= \overline{(\epsilon)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(0
 = \overline{(\epsilon)}
)n
)n
)n
\Rightarrow \overline{
\mathsf {n}}
 <= \overline{
\mathsf {m}}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(|(\underline{(fx)}
[\overline{
\mathsf {m}}
]
+(-u
\mathsf {d}
 _{Ph} 
[\overline{
\mathsf {m}}
]
)
)
|
 <= \overline{(\epsilon)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(|(\underline{(fx)}
[\overline{
\mathsf {m}}
]
+(-u
\mathsf {d}
 _{Ph} 
[\overline{
\mathsf {m}}
]
)
)
|
 = \overline{(\epsilon)}
)n
)n
)n
)n
)n
\}
 =  \{ ph \mathrel{\in} P( \{ ph \mathrel{\in} P( \{ ph \mathrel{\in} P(P(Union(\{N
,Q
\}
)
)
)
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op1)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op2)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\overline{(op1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(op2)}
 \mathrel{\in} Q
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\mathsf {a}
 _{Ph} 
 = \{\{\overline{(op1)}
,\overline{(op1)}
\}
,\{\overline{(op1)}
,\overline{(op2)}
\}
\}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\}
)
\mid \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(r1)}
\colon \overline{(r1)}
 \mathrel{\in} 
\mathsf {f}
 _{Ph} 
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op1)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op2)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\overline{(op1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(op2)}
 \mathrel{\in} Q
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(r1)}
 = \{\{\overline{(op1)}
,\overline{(op1)}
\}
,\{\overline{(op1)}
,\overline{(op2)}
\}
\}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(f1)}
\colon 
\forall_{obj} \overline{(f2)}
\colon 
\forall_{obj} \overline{(f3)}
\colon 
\forall_{obj} \overline{(f4)}
\colon \{\{\overline{(f1)}
,\overline{(f1)}
\}
,\{\overline{(f1)}
,\overline{(f2)}
\}
\}
 \mathrel{\in} 
\mathsf {f}
 _{Ph} 
\Rightarrow \{\{\overline{(f3)}
,\overline{(f3)}
\}
,\{\overline{(f3)}
,\overline{(f4)}
\}
\}
 \mathrel{\in} 
\mathsf {f}
 _{Ph} 
\Rightarrow \overline{(f1)}
 = \overline{(f3)}
\Rightarrow \overline{(f2)}
 = \overline{(f4)}
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(s1)}
\colon \overline{(s1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(s2)}
\colon \dot{\neg}\,(\{\{\overline{(s1)}
,\overline{(s1)}
\}
,\{\overline{(s1)}
,\overline{(s2)}
\}
\}
 \mathrel{\in} 
\mathsf {f}
 _{Ph} 
)n
)n
)n
)n
\}
)
\mid 
\forall_{obj} \overline{(\epsilon)}
\colon \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {n}}
\colon \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {m}}
\colon \dot{\neg}\,(0
 <= \overline{(\epsilon)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(0
 = \overline{(\epsilon)}
)n
)n
)n
\Rightarrow \overline{
\mathsf {n}}
 <= \overline{
\mathsf {m}}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(|(\underline{(fy)}
[\overline{
\mathsf {m}}
]
+(-u
\mathsf {d}
 _{Ph} 
[\overline{
\mathsf {m}}
]
)
)
|
 <= \overline{(\epsilon)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(|(\underline{(fy)}
[\overline{
\mathsf {m}}
]
+(-u
\mathsf {d}
 _{Ph} 
[\overline{
\mathsf {m}}
]
)
)
|
 = \overline{(\epsilon)}
)n
)n
)n
)n
)n
\}
\vdash \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(\epsilon)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {n}}
\colon \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {m}}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(0
 <= \overline{(\epsilon)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(0
 = \overline{(\epsilon)}
)n
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{
\mathsf {n}}
 <= \overline{
\mathsf {m}}
\Rightarrow \underline{(fx)}
[\overline{
\mathsf {m}}
]
 <= (\underline{(fz)}
[\overline{
\mathsf {m}}
]
+(-u\overline{(\epsilon)}
)
)
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\vdash \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(\epsilon)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {n}}
\colon \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {m}}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(0
 <= \overline{(\epsilon)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(0
 = \overline{(\epsilon)}
)n
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{
\mathsf {n}}
 <= \overline{
\mathsf {m}}
\Rightarrow \underline{(fy)}
[\overline{
\mathsf {m}}
]
 <= (\underline{(fz)}
[\overline{
\mathsf {m}}
]
+(-u\overline{(\epsilon)}
)
)
)n
)n
)n
)n
)n
)n
]$

$
[SubLessLeft(R)
\stackrel{
proof
}{\rightarrow}
\lambda 
\mathsf {c}
.
\lambda 
\mathsf{x}
.
{\cal P}( 
\lceil SystemQ
\vdash 
\forall \underline{(fx)}
\colon 
\forall \underline{(fy)}
\colon 
\forall \underline{(fz)}
\colon  \{ ph \mathrel{\in} P( \{ ph \mathrel{\in} P( \{ ph \mathrel{\in} P(P(Union(\{N
,Q
\}
)
)
)
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op1)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op2)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\overline{(op1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(op2)}
 \mathrel{\in} Q
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\mathsf {a}
 _{Ph} 
 = \{\{\overline{(op1)}
,\overline{(op1)}
\}
,\{\overline{(op1)}
,\overline{(op2)}
\}
\}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\}
)
\mid \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(r1)}
\colon \overline{(r1)}
 \mathrel{\in} 
\mathsf {f}
 _{Ph} 
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op1)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op2)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\overline{(op1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(op2)}
 \mathrel{\in} Q
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(r1)}
 = \{\{\overline{(op1)}
,\overline{(op1)}
\}
,\{\overline{(op1)}
,\overline{(op2)}
\}
\}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(f1)}
\colon 
\forall_{obj} \overline{(f2)}
\colon 
\forall_{obj} \overline{(f3)}
\colon 
\forall_{obj} \overline{(f4)}
\colon \{\{\overline{(f1)}
,\overline{(f1)}
\}
,\{\overline{(f1)}
,\overline{(f2)}
\}
\}
 \mathrel{\in} 
\mathsf {f}
 _{Ph} 
\Rightarrow \{\{\overline{(f3)}
,\overline{(f3)}
\}
,\{\overline{(f3)}
,\overline{(f4)}
\}
\}
 \mathrel{\in} 
\mathsf {f}
 _{Ph} 
\Rightarrow \overline{(f1)}
 = \overline{(f3)}
\Rightarrow \overline{(f2)}
 = \overline{(f4)}
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(s1)}
\colon \overline{(s1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(s2)}
\colon \dot{\neg}\,(\{\{\overline{(s1)}
,\overline{(s1)}
\}
,\{\overline{(s1)}
,\overline{(s2)}
\}
\}
 \mathrel{\in} 
\mathsf {f}
 _{Ph} 
)n
)n
)n
)n
\}
)
\mid 
\forall_{obj} \overline{(\epsilon)}
\colon \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {n}}
\colon \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {m}}
\colon \dot{\neg}\,(0
 <= \overline{(\epsilon)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(0
 = \overline{(\epsilon)}
)n
)n
)n
\Rightarrow \overline{
\mathsf {n}}
 <= \overline{
\mathsf {m}}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(|(\underline{(fx)}
[\overline{
\mathsf {m}}
]
+(-u
\mathsf {d}
 _{Ph} 
[\overline{
\mathsf {m}}
]
)
)
|
 <= \overline{(\epsilon)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(|(\underline{(fx)}
[\overline{
\mathsf {m}}
]
+(-u
\mathsf {d}
 _{Ph} 
[\overline{
\mathsf {m}}
]
)
)
|
 = \overline{(\epsilon)}
)n
)n
)n
)n
)n
\}
 =  \{ ph \mathrel{\in} P( \{ ph \mathrel{\in} P( \{ ph \mathrel{\in} P(P(Union(\{N
,Q
\}
)
)
)
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op1)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op2)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\overline{(op1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(op2)}
 \mathrel{\in} Q
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\mathsf {a}
 _{Ph} 
 = \{\{\overline{(op1)}
,\overline{(op1)}
\}
,\{\overline{(op1)}
,\overline{(op2)}
\}
\}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\}
)
\mid \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(r1)}
\colon \overline{(r1)}
 \mathrel{\in} 
\mathsf {f}
 _{Ph} 
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op1)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op2)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\overline{(op1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(op2)}
 \mathrel{\in} Q
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(r1)}
 = \{\{\overline{(op1)}
,\overline{(op1)}
\}
,\{\overline{(op1)}
,\overline{(op2)}
\}
\}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(f1)}
\colon 
\forall_{obj} \overline{(f2)}
\colon 
\forall_{obj} \overline{(f3)}
\colon 
\forall_{obj} \overline{(f4)}
\colon \{\{\overline{(f1)}
,\overline{(f1)}
\}
,\{\overline{(f1)}
,\overline{(f2)}
\}
\}
 \mathrel{\in} 
\mathsf {f}
 _{Ph} 
\Rightarrow \{\{\overline{(f3)}
,\overline{(f3)}
\}
,\{\overline{(f3)}
,\overline{(f4)}
\}
\}
 \mathrel{\in} 
\mathsf {f}
 _{Ph} 
\Rightarrow \overline{(f1)}
 = \overline{(f3)}
\Rightarrow \overline{(f2)}
 = \overline{(f4)}
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(s1)}
\colon \overline{(s1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(s2)}
\colon \dot{\neg}\,(\{\{\overline{(s1)}
,\overline{(s1)}
\}
,\{\overline{(s1)}
,\overline{(s2)}
\}
\}
 \mathrel{\in} 
\mathsf {f}
 _{Ph} 
)n
)n
)n
)n
\}
)
\mid 
\forall_{obj} \overline{(\epsilon)}
\colon \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {n}}
\colon \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {m}}
\colon \dot{\neg}\,(0
 <= \overline{(\epsilon)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(0
 = \overline{(\epsilon)}
)n
)n
)n
\Rightarrow \overline{
\mathsf {n}}
 <= \overline{
\mathsf {m}}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(|(\underline{(fy)}
[\overline{
\mathsf {m}}
]
+(-u
\mathsf {d}
 _{Ph} 
[\overline{
\mathsf {m}}
]
)
)
|
 <= \overline{(\epsilon)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(|(\underline{(fy)}
[\overline{
\mathsf {m}}
]
+(-u
\mathsf {d}
 _{Ph} 
[\overline{
\mathsf {m}}
]
)
)
|
 = \overline{(\epsilon)}
)n
)n
)n
)n
)n
\}
\vdash \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(\epsilon)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {n}}
\colon \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {m}}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(0
 <= \overline{(\epsilon)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(0
 = \overline{(\epsilon)}
)n
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{
\mathsf {n}}
 <= \overline{
\mathsf {m}}
\Rightarrow \underline{(fx)}
[\overline{
\mathsf {m}}
]
 <= (\underline{(fz)}
[\overline{
\mathsf {m}}
]
+(-u\overline{(\epsilon)}
)
)
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\vdash From==
\rhd  \{ ph \mathrel{\in} P( \{ ph \mathrel{\in} P( \{ ph \mathrel{\in} P(P(Union(\{N
,Q
\}
)
)
)
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op1)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op2)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\overline{(op1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(op2)}
 \mathrel{\in} Q
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\mathsf {a}
 _{Ph} 
 = \{\{\overline{(op1)}
,\overline{(op1)}
\}
,\{\overline{(op1)}
,\overline{(op2)}
\}
\}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\}
)
\mid \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(r1)}
\colon \overline{(r1)}
 \mathrel{\in} 
\mathsf {f}
 _{Ph} 
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op1)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op2)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\overline{(op1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(op2)}
 \mathrel{\in} Q
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(r1)}
 = \{\{\overline{(op1)}
,\overline{(op1)}
\}
,\{\overline{(op1)}
,\overline{(op2)}
\}
\}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(f1)}
\colon 
\forall_{obj} \overline{(f2)}
\colon 
\forall_{obj} \overline{(f3)}
\colon 
\forall_{obj} \overline{(f4)}
\colon \{\{\overline{(f1)}
,\overline{(f1)}
\}
,\{\overline{(f1)}
,\overline{(f2)}
\}
\}
 \mathrel{\in} 
\mathsf {f}
 _{Ph} 
\Rightarrow \{\{\overline{(f3)}
,\overline{(f3)}
\}
,\{\overline{(f3)}
,\overline{(f4)}
\}
\}
 \mathrel{\in} 
\mathsf {f}
 _{Ph} 
\Rightarrow \overline{(f1)}
 = \overline{(f3)}
\Rightarrow \overline{(f2)}
 = \overline{(f4)}
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(s1)}
\colon \overline{(s1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(s2)}
\colon \dot{\neg}\,(\{\{\overline{(s1)}
,\overline{(s1)}
\}
,\{\overline{(s1)}
,\overline{(s2)}
\}
\}
 \mathrel{\in} 
\mathsf {f}
 _{Ph} 
)n
)n
)n
)n
\}
)
\mid 
\forall_{obj} \overline{(\epsilon)}
\colon \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {n}}
\colon \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {m}}
\colon \dot{\neg}\,(0
 <= \overline{(\epsilon)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(0
 = \overline{(\epsilon)}
)n
)n
)n
\Rightarrow \overline{
\mathsf {n}}
 <= \overline{
\mathsf {m}}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(|(\underline{(fx)}
[\overline{
\mathsf {m}}
]
+(-u
\mathsf {d}
 _{Ph} 
[\overline{
\mathsf {m}}
]
)
)
|
 <= \overline{(\epsilon)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(|(\underline{(fx)}
[\overline{
\mathsf {m}}
]
+(-u
\mathsf {d}
 _{Ph} 
[\overline{
\mathsf {m}}
]
)
)
|
 = \overline{(\epsilon)}
)n
)n
)n
)n
)n
\}
 =  \{ ph \mathrel{\in} P( \{ ph \mathrel{\in} P( \{ ph \mathrel{\in} P(P(Union(\{N
,Q
\}
)
)
)
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op1)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op2)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\overline{(op1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(op2)}
 \mathrel{\in} Q
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\mathsf {a}
 _{Ph} 
 = \{\{\overline{(op1)}
,\overline{(op1)}
\}
,\{\overline{(op1)}
,\overline{(op2)}
\}
\}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\}
)
\mid \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(r1)}
\colon \overline{(r1)}
 \mathrel{\in} 
\mathsf {f}
 _{Ph} 
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op1)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op2)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\overline{(op1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(op2)}
 \mathrel{\in} Q
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(r1)}
 = \{\{\overline{(op1)}
,\overline{(op1)}
\}
,\{\overline{(op1)}
,\overline{(op2)}
\}
\}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(f1)}
\colon 
\forall_{obj} \overline{(f2)}
\colon 
\forall_{obj} \overline{(f3)}
\colon 
\forall_{obj} \overline{(f4)}
\colon \{\{\overline{(f1)}
,\overline{(f1)}
\}
,\{\overline{(f1)}
,\overline{(f2)}
\}
\}
 \mathrel{\in} 
\mathsf {f}
 _{Ph} 
\Rightarrow \{\{\overline{(f3)}
,\overline{(f3)}
\}
,\{\overline{(f3)}
,\overline{(f4)}
\}
\}
 \mathrel{\in} 
\mathsf {f}
 _{Ph} 
\Rightarrow \overline{(f1)}
 = \overline{(f3)}
\Rightarrow \overline{(f2)}
 = \overline{(f4)}
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(s1)}
\colon \overline{(s1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(s2)}
\colon \dot{\neg}\,(\{\{\overline{(s1)}
,\overline{(s1)}
\}
,\{\overline{(s1)}
,\overline{(s2)}
\}
\}
 \mathrel{\in} 
\mathsf {f}
 _{Ph} 
)n
)n
)n
)n
\}
)
\mid 
\forall_{obj} \overline{(\epsilon)}
\colon \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {n}}
\colon \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {m}}
\colon \dot{\neg}\,(0
 <= \overline{(\epsilon)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(0
 = \overline{(\epsilon)}
)n
)n
)n
\Rightarrow \overline{
\mathsf {n}}
 <= \overline{
\mathsf {m}}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(|(\underline{(fy)}
[\overline{
\mathsf {m}}
]
+(-u
\mathsf {d}
 _{Ph} 
[\overline{
\mathsf {m}}
]
)
)
|
 <= \overline{(\epsilon)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(|(\underline{(fy)}
[\overline{
\mathsf {m}}
]
+(-u
\mathsf {d}
 _{Ph} 
[\overline{
\mathsf {m}}
]
)
)
|
 = \overline{(\epsilon)}
)n
)n
)n
)n
)n
\}
\gg 
\forall_{obj} \overline{(\epsilon)}
\colon \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {n}}
\colon \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {m}}
\colon \dot{\neg}\,(0
 <= \overline{(\epsilon)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(0
 = \overline{(\epsilon)}
)n
)n
)n
\Rightarrow \overline{
\mathsf {n}}
 <= \overline{
\mathsf {m}}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(|(\underline{(fx)}
[\overline{
\mathsf {m}}
]
+(-u\underline{(fy)}
[\overline{
\mathsf {m}}
]
)
)
|
 <= \overline{(\epsilon)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(|(\underline{(fx)}
[\overline{
\mathsf {m}}
]
+(-u\underline{(fy)}
[\overline{
\mathsf {m}}
]
)
)
|
 = \overline{(\epsilon)}
)n
)n
)n
)n
)n
; Repetition
\rhd \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(\epsilon)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {n}}
\colon \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {m}}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(0
 <= \overline{(\epsilon)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(0
 = \overline{(\epsilon)}
)n
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{
\mathsf {n}}
 <= \overline{
\mathsf {m}}
\Rightarrow \underline{(fx)}
[\overline{
\mathsf {m}}
]
 <= (\underline{(fz)}
[\overline{
\mathsf {m}}
]
+(-u\overline{(\epsilon)}
)
)
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\gg \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(\epsilon)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {n}}
\colon \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {m}}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(0
 <= \overline{(\epsilon)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(0
 = \overline{(\epsilon)}
)n
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{
\mathsf {n}}
 <= \overline{
\mathsf {m}}
\Rightarrow \underline{(fx)}
[\overline{
\mathsf {m}}
]
 <= (\underline{(fz)}
[\overline{
\mathsf {m}}
]
+(-u\overline{(\epsilon)}
)
)
)n
)n
)n
)n
)n
)n
; SubLessLeft(F)
\rhd 
\forall_{obj} \overline{(\epsilon)}
\colon \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {n}}
\colon \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {m}}
\colon \dot{\neg}\,(0
 <= \overline{(\epsilon)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(0
 = \overline{(\epsilon)}
)n
)n
)n
\Rightarrow \overline{
\mathsf {n}}
 <= \overline{
\mathsf {m}}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(|(\underline{(fx)}
[\overline{
\mathsf {m}}
]
+(-u\underline{(fy)}
[\overline{
\mathsf {m}}
]
)
)
|
 <= \overline{(\epsilon)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(|(\underline{(fx)}
[\overline{
\mathsf {m}}
]
+(-u\underline{(fy)}
[\overline{
\mathsf {m}}
]
)
)
|
 = \overline{(\epsilon)}
)n
)n
)n
)n
)n
\rhd \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(\epsilon)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {n}}
\colon \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {m}}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(0
 <= \overline{(\epsilon)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(0
 = \overline{(\epsilon)}
)n
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{
\mathsf {n}}
 <= \overline{
\mathsf {m}}
\Rightarrow \underline{(fx)}
[\overline{
\mathsf {m}}
]
 <= (\underline{(fz)}
[\overline{
\mathsf {m}}
]
+(-u\overline{(\epsilon)}
)
)
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\gg \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(\epsilon)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {n}}
\colon \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {m}}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(0
 <= \overline{(\epsilon)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(0
 = \overline{(\epsilon)}
)n
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{
\mathsf {n}}
 <= \overline{
\mathsf {m}}
\Rightarrow \underline{(fy)}
[\overline{
\mathsf {m}}
]
 <= (\underline{(fz)}
[\overline{
\mathsf {m}}
]
+(-u\overline{(\epsilon)}
)
)
)n
)n
)n
)n
)n
)n
; Repetition
\rhd \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(\epsilon)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {n}}
\colon \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {m}}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(0
 <= \overline{(\epsilon)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(0
 = \overline{(\epsilon)}
)n
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{
\mathsf {n}}
 <= \overline{
\mathsf {m}}
\Rightarrow \underline{(fy)}
[\overline{
\mathsf {m}}
]
 <= (\underline{(fz)}
[\overline{
\mathsf {m}}
]
+(-u\overline{(\epsilon)}
)
)
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\gg \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(\epsilon)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {n}}
\colon \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {m}}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(0
 <= \overline{(\epsilon)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(0
 = \overline{(\epsilon)}
)n
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{
\mathsf {n}}
 <= \overline{
\mathsf {m}}
\Rightarrow \underline{(fy)}
[\overline{
\mathsf {m}}
]
 <= (\underline{(fz)}
[\overline{
\mathsf {m}}
]
+(-u\overline{(\epsilon)}
)
)
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\rceil 
, 
p_0
, 
\mathsf {c}
)
]$




$
[ClosetogreaterIsGreater
\stackrel{
stmt
}{\rightarrow}SystemQ
\vdash 
\forall \underline{
\mathsf{x}}
\colon 
\forall \underline{(y1)}
\colon 
\forall \underline{(y2)}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf{z}}
\colon \underline{
\mathsf{x}}
 <= (\underline{(y1)}
+(-u\underline{
\mathsf{z}}
)
)
\vdash \dot{\neg}\,(|(\underline{(y1)}
+(-u\underline{(y2)}
)
)
|
 <= (rec((1
+1
)
+1
)
*\underline{
\mathsf{z}}
)
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(|(\underline{(y1)}
+(-u\underline{(y2)}
)
)
|
 = (rec((1
+1
)
+1
)
*\underline{
\mathsf{z}}
)
)n
)n
)n
\vdash \underline{
\mathsf{x}}
 <= (\underline{(y2)}
+(-u(rec((1
+1
)
+1
)
*\underline{
\mathsf{z}}
)
)
)
]$

$
[ClosetogreaterIsGreater
\stackrel{
proof
}{\rightarrow}
\lambda 
\mathsf {c}
.
\lambda 
\mathsf{x}
.
{\cal P}( 
\lceil SystemQ
\vdash 
\forall \underline{
\mathsf{x}}
\colon 
\forall \underline{(y1)}
\colon 
\forall \underline{(y2)}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf{z}}
\colon \underline{
\mathsf{x}}
 <= (\underline{(y1)}
+(-u\underline{
\mathsf{z}}
)
)
\vdash \dot{\neg}\,(|(\underline{(y1)}
+(-u\underline{(y2)}
)
)
|
 <= (rec((1
+1
)
+1
)
*\underline{
\mathsf{z}}
)
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(|(\underline{(y1)}
+(-u\underline{(y2)}
)
)
|
 = (rec((1
+1
)
+1
)
*\underline{
\mathsf{z}}
)
)n
)n
)n
\vdash 0<=|x|
\gg 0
 <= |(\underline{(y1)}
+(-u\underline{(y2)}
)
)
|
; leqLessTransitivity
\rhd 0
 <= |(\underline{(y1)}
+(-u\underline{(y2)}
)
)
|
\rhd \dot{\neg}\,(|(\underline{(y1)}
+(-u\underline{(y2)}
)
)
|
 <= (rec((1
+1
)
+1
)
*\underline{
\mathsf{z}}
)
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(|(\underline{(y1)}
+(-u\underline{(y2)}
)
)
|
 = (rec((1
+1
)
+1
)
*\underline{
\mathsf{z}}
)
)n
)n
)n
\gg \dot{\neg}\,(0
 <= (rec((1
+1
)
+1
)
*\underline{
\mathsf{z}}
)
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(0
 = (rec((1
+1
)
+1
)
*\underline{
\mathsf{z}}
)
)n
)n
)n
; |x-x|=0
\gg |(\underline{
\mathsf{x}}
+(-u\underline{
\mathsf{x}}
)
)
|
 = 0
; eqSymmetry
\rhd |(\underline{
\mathsf{x}}
+(-u\underline{
\mathsf{x}}
)
)
|
 = 0
\gg 0
 = |(\underline{
\mathsf{x}}
+(-u\underline{
\mathsf{x}}
)
)
|
; SubLessLeft
\rhd 0
 = |(\underline{
\mathsf{x}}
+(-u\underline{
\mathsf{x}}
)
)
|
\rhd \dot{\neg}\,(0
 <= (rec((1
+1
)
+1
)
*\underline{
\mathsf{z}}
)
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(0
 = (rec((1
+1
)
+1
)
*\underline{
\mathsf{z}}
)
)n
)n
)n
\gg \dot{\neg}\,(|(\underline{
\mathsf{x}}
+(-u\underline{
\mathsf{x}}
)
)
|
 <= (rec((1
+1
)
+1
)
*\underline{
\mathsf{z}}
)
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(|(\underline{
\mathsf{x}}
+(-u\underline{
\mathsf{x}}
)
)
|
 = (rec((1
+1
)
+1
)
*\underline{
\mathsf{z}}
)
)n
)n
)n
; PreserveLessGreater
\rhd \underline{
\mathsf{x}}
 <= (\underline{(y1)}
+(-u\underline{
\mathsf{z}}
)
)
\rhd \dot{\neg}\,(|(\underline{
\mathsf{x}}
+(-u\underline{
\mathsf{x}}
)
)
|
 <= (rec((1
+1
)
+1
)
*\underline{
\mathsf{z}}
)
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(|(\underline{
\mathsf{x}}
+(-u\underline{
\mathsf{x}}
)
)
|
 = (rec((1
+1
)
+1
)
*\underline{
\mathsf{z}}
)
)n
)n
)n
\rhd \dot{\neg}\,(|(\underline{(y1)}
+(-u\underline{(y2)}
)
)
|
 <= (rec((1
+1
)
+1
)
*\underline{
\mathsf{z}}
)
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(|(\underline{(y1)}
+(-u\underline{(y2)}
)
)
|
 = (rec((1
+1
)
+1
)
*\underline{
\mathsf{z}}
)
)n
)n
)n
\gg \underline{
\mathsf{x}}
 <= (\underline{(y2)}
+(-u(rec((1
+1
)
+1
)
*\underline{
\mathsf{z}}
)
)
)
\rceil 
, 
p_0
, 
\mathsf {c}
)
]$


$
[SubLessRight(F)
\stackrel{
stmt
}{\rightarrow}SystemQ
\vdash 
\forall \underline{(fx)}
\colon 
\forall \underline{(fy)}
\colon 
\forall \underline{(fz)}
\colon 
\forall_{obj} \overline{(\epsilon)}
\colon \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {n}}
\colon \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {m}}
\colon \dot{\neg}\,(0
 <= \overline{(\epsilon)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(0
 = \overline{(\epsilon)}
)n
)n
)n
\Rightarrow \overline{
\mathsf {n}}
 <= \overline{
\mathsf {m}}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(|(\underline{(fx)}
[\overline{
\mathsf {m}}
]
+(-u\underline{(fy)}
[\overline{
\mathsf {m}}
]
)
)
|
 <= \overline{(\epsilon)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(|(\underline{(fx)}
[\overline{
\mathsf {m}}
]
+(-u\underline{(fy)}
[\overline{
\mathsf {m}}
]
)
)
|
 = \overline{(\epsilon)}
)n
)n
)n
)n
)n
\vdash \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(\epsilon)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {n}}
\colon \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {m}}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(0
 <= \overline{(\epsilon)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(0
 = \overline{(\epsilon)}
)n
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{
\mathsf {n}}
 <= \overline{
\mathsf {m}}
\Rightarrow \underline{(fz)}
[\overline{
\mathsf {m}}
]
 <= (\underline{(fx)}
[\overline{
\mathsf {m}}
]
+(-u\overline{(\epsilon)}
)
)
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\vdash \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(\epsilon)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {n}}
\colon \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {m}}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(0
 <= \overline{(\epsilon)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(0
 = \overline{(\epsilon)}
)n
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{
\mathsf {n}}
 <= \overline{
\mathsf {m}}
\Rightarrow \underline{(fz)}
[\overline{
\mathsf {m}}
]
 <= (\underline{(fy)}
[\overline{
\mathsf {m}}
]
+(-u\overline{(\epsilon)}
)
)
)n
)n
)n
)n
)n
)n
]$

$
[SubLessRight(F)
\stackrel{
proof
}{\rightarrow}
\lambda 
\mathsf {c}
.
\lambda 
\mathsf{x}
.
{\cal P}( 
\lceil SystemQ
\vdash 
\forall \underline{(fx)}
\colon 
\forall \underline{(fy)}
\colon 
\forall \underline{(fz)}
\colon 
\forall_{obj} \overline{(\epsilon)}
\colon \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {n}}
\colon \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {m}}
\colon \dot{\neg}\,(0
 <= \overline{(\epsilon)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(0
 = \overline{(\epsilon)}
)n
)n
)n
\Rightarrow \overline{
\mathsf {n}}
 <= \overline{
\mathsf {m}}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(|(\underline{(fx)}
[\overline{
\mathsf {m}}
]
+(-u\underline{(fy)}
[\overline{
\mathsf {m}}
]
)
)
|
 <= \overline{(\epsilon)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(|(\underline{(fx)}
[\overline{
\mathsf {m}}
]
+(-u\underline{(fy)}
[\overline{
\mathsf {m}}
]
)
)
|
 = \overline{(\epsilon)}
)n
)n
)n
)n
)n
\vdash \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(\epsilon)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {n}}
\colon \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {m}}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(0
 <= \overline{(\epsilon)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(0
 = \overline{(\epsilon)}
)n
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{
\mathsf {n}}
 <= \overline{
\mathsf {m}}
\Rightarrow \underline{(fz)}
[\overline{
\mathsf {m}}
]
 <= (\underline{(fx)}
[\overline{
\mathsf {m}}
]
+(-u\overline{(\epsilon)}
)
)
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\vdash Repetition
\rhd 
\forall_{obj} \overline{(\epsilon)}
\colon \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {n}}
\colon \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {m}}
\colon \dot{\neg}\,(0
 <= \overline{(\epsilon)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(0
 = \overline{(\epsilon)}
)n
)n
)n
\Rightarrow \overline{
\mathsf {n}}
 <= \overline{
\mathsf {m}}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(|(\underline{(fx)}
[\overline{
\mathsf {m}}
]
+(-u\underline{(fy)}
[\overline{
\mathsf {m}}
]
)
)
|
 <= \overline{(\epsilon)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(|(\underline{(fx)}
[\overline{
\mathsf {m}}
]
+(-u\underline{(fy)}
[\overline{
\mathsf {m}}
]
)
)
|
 = \overline{(\epsilon)}
)n
)n
)n
)n
)n
\gg 
\forall_{obj} \overline{(\epsilon)}
\colon \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {n}}
\colon \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {m}}
\colon \dot{\neg}\,(0
 <= \overline{(\epsilon)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(0
 = \overline{(\epsilon)}
)n
)n
)n
\Rightarrow \overline{
\mathsf {n}}
 <= \overline{
\mathsf {m}}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(|(\underline{(fx)}
[\overline{
\mathsf {m}}
]
+(-u\underline{(fy)}
[\overline{
\mathsf {m}}
]
)
)
|
 <= \overline{(\epsilon)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(|(\underline{(fx)}
[\overline{
\mathsf {m}}
]
+(-u\underline{(fy)}
[\overline{
\mathsf {m}}
]
)
)
|
 = \overline{(\epsilon)}
)n
)n
)n
)n
)n
; Ded
\rhd 
\forall_{obj} \overline{(\epsilon)}
\colon \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {n}}
\colon \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {m}}
\colon \dot{\neg}\,(0
 <= \overline{(\epsilon)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(0
 = \overline{(\epsilon)}
)n
)n
)n
\Rightarrow \overline{
\mathsf {n}}
 <= \overline{
\mathsf {m}}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(|(\underline{(fx)}
[\overline{
\mathsf {m}}
]
+(-u\underline{(fy)}
[\overline{
\mathsf {m}}
]
)
)
|
 <= \overline{(\epsilon)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(|(\underline{(fx)}
[\overline{
\mathsf {m}}
]
+(-u\underline{(fy)}
[\overline{
\mathsf {m}}
]
)
)
|
 = \overline{(\epsilon)}
)n
)n
)n
)n
)n
\gg 
\forall_{obj} \overline{(\epsilon)}
\colon \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(n1)}
\colon \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {m}}
\colon \dot{\neg}\,(0
 <= \overline{(\epsilon)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(0
 = \overline{(\epsilon)}
)n
)n
)n
\Rightarrow \overline{(n1)}
 <= \overline{
\mathsf {m}}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(|(\underline{(fx)}
[\overline{
\mathsf {m}}
]
+(-u\underline{(fy)}
[\overline{
\mathsf {m}}
]
)
)
|
 <= \overline{(\epsilon)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(|(\underline{(fx)}
[\overline{
\mathsf {m}}
]
+(-u\underline{(fy)}
[\overline{
\mathsf {m}}
]
)
)
|
 = \overline{(\epsilon)}
)n
)n
)n
)n
)n
; A4
\mathop {\char64} (rec((1
+1
)
+1
)
*\overline{(\epsilon)}
)
\rhd 
\forall_{obj} \overline{(\epsilon)}
\colon \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {n}}
\colon \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {m}}
\colon \dot{\neg}\,(0
 <= \overline{(\epsilon)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(0
 = \overline{(\epsilon)}
)n
)n
)n
\Rightarrow \overline{
\mathsf {n}}
 <= \overline{
\mathsf {m}}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(|(\underline{(fx)}
[\overline{
\mathsf {m}}
]
+(-u\underline{(fy)}
[\overline{
\mathsf {m}}
]
)
)
|
 <= \overline{(\epsilon)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(|(\underline{(fx)}
[\overline{
\mathsf {m}}
]
+(-u\underline{(fy)}
[\overline{
\mathsf {m}}
]
)
)
|
 = \overline{(\epsilon)}
)n
)n
)n
)n
)n
\gg \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(n1)}
\colon \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {m}}
\colon \dot{\neg}\,(0
 <= (rec((1
+1
)
+1
)
*\overline{(\epsilon)}
)
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(0
 = (rec((1
+1
)
+1
)
*\overline{(\epsilon)}
)
)n
)n
)n
\Rightarrow \overline{(n1)}
 <= \overline{
\mathsf {m}}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(|(\underline{(fx)}
[\overline{
\mathsf {m}}
]
+(-u\underline{(fy)}
[\overline{
\mathsf {m}}
]
)
)
|
 <= (rec((1
+1
)
+1
)
*\overline{(\epsilon)}
)
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(|(\underline{(fx)}
[\overline{
\mathsf {m}}
]
+(-u\underline{(fy)}
[\overline{
\mathsf {m}}
]
)
)
|
 = (rec((1
+1
)
+1
)
*\overline{(\epsilon)}
)
)n
)n
)n
)n
)n
; Repetition
\rhd \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(\epsilon)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {n}}
\colon \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {m}}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(0
 <= \overline{(\epsilon)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(0
 = \overline{(\epsilon)}
)n
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{
\mathsf {n}}
 <= \overline{
\mathsf {m}}
\Rightarrow \underline{(fz)}
[\overline{
\mathsf {m}}
]
 <= (\underline{(fx)}
[\overline{
\mathsf {m}}
]
+(-u\overline{(\epsilon)}
)
)
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\gg \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(\epsilon)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {n}}
\colon \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {m}}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(0
 <= \overline{(\epsilon)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(0
 = \overline{(\epsilon)}
)n
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{
\mathsf {n}}
 <= \overline{
\mathsf {m}}
\Rightarrow \underline{(fz)}
[\overline{
\mathsf {m}}
]
 <= (\underline{(fx)}
[\overline{
\mathsf {m}}
]
+(-u\overline{(\epsilon)}
)
)
)n
)n
)n
)n
)n
)n
; Ded
\rhd \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(\epsilon)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {n}}
\colon \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {m}}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(0
 <= \overline{(\epsilon)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(0
 = \overline{(\epsilon)}
)n
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{
\mathsf {n}}
 <= \overline{
\mathsf {m}}
\Rightarrow \underline{(fz)}
[\overline{
\mathsf {m}}
]
 <= (\underline{(fx)}
[\overline{
\mathsf {m}}
]
+(-u\overline{(\epsilon)}
)
)
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\gg \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(\epsilon)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(n2)}
\colon \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {m}}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(0
 <= \overline{(\epsilon)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(0
 = \overline{(\epsilon)}
)n
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(n2)}
 <= \overline{
\mathsf {m}}
\Rightarrow \underline{(fz)}
[\overline{
\mathsf {m}}
]
 <= (\underline{(fx)}
[\overline{
\mathsf {m}}
]
+(-u\overline{(\epsilon)}
)
)
)n
)n
)n
)n
)n
)n
; 
\forall \underline{(fx)}
\colon 
\forall \underline{(fx)}
\colon 
\forall \underline{(fz)}
\colon 
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {m}}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(0
 <= \overline{(\epsilon)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(0
 = \overline{(\epsilon)}
)n
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(n2)}
 <= \overline{
\mathsf {m}}
\Rightarrow \underline{(fz)}
[\overline{
\mathsf {m}}
]
 <= (\underline{(fx)}
[\overline{
\mathsf {m}}
]
+(-u\overline{(\epsilon)}
)
)
)n
)n
\vdash A4
\mathop {\char64} \overline{
\mathsf {m}}
\rhd 
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {m}}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(0
 <= \overline{(\epsilon)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(0
 = \overline{(\epsilon)}
)n
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(n2)}
 <= \overline{
\mathsf {m}}
\Rightarrow \underline{(fz)}
[\overline{
\mathsf {m}}
]
 <= (\underline{(fx)}
[\overline{
\mathsf {m}}
]
+(-u\overline{(\epsilon)}
)
)
)n
)n
\gg \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(0
 <= \overline{(\epsilon)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(0
 = \overline{(\epsilon)}
)n
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(n2)}
 <= \overline{
\mathsf {m}}
\Rightarrow \underline{(fz)}
[\overline{
\mathsf {m}}
]
 <= (\underline{(fx)}
[\overline{
\mathsf {m}}
]
+(-u\overline{(\epsilon)}
)
)
)n
)n
; FirstConjunct
\rhd \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(0
 <= \overline{(\epsilon)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(0
 = \overline{(\epsilon)}
)n
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(n2)}
 <= \overline{
\mathsf {m}}
\Rightarrow \underline{(fz)}
[\overline{
\mathsf {m}}
]
 <= (\underline{(fx)}
[\overline{
\mathsf {m}}
]
+(-u\overline{(\epsilon)}
)
)
)n
)n
\gg \dot{\neg}\,(0
 <= \overline{(\epsilon)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(0
 = \overline{(\epsilon)}
)n
)n
)n
; PositiveDividedBy3
\rhd \dot{\neg}\,(0
 <= \overline{(\epsilon)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(0
 = \overline{(\epsilon)}
)n
)n
)n
\gg \dot{\neg}\,(0
 <= (rec((1
+1
)
+1
)
*\overline{(\epsilon)}
)
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(0
 = (rec((1
+1
)
+1
)
*\overline{(\epsilon)}
)
)n
)n
)n
; 
\forall \underline{(fx)}
\colon 
\forall \underline{(fy)}
\colon 
\forall \underline{(fz)}
\colon 
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {m}}
\colon \dot{\neg}\,(0
 <= (rec((1
+1
)
+1
)
*\overline{(\epsilon)}
)
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(0
 = (rec((1
+1
)
+1
)
*\overline{(\epsilon)}
)
)n
)n
)n
\Rightarrow \overline{(n1)}
 <= \overline{
\mathsf {m}}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(|(\underline{(fx)}
[\overline{
\mathsf {m}}
]
+(-u\underline{(fy)}
[\overline{
\mathsf {m}}
]
)
)
|
 <= (rec((1
+1
)
+1
)
*\overline{(\epsilon)}
)
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(|(\underline{(fx)}
[\overline{
\mathsf {m}}
]
+(-u\underline{(fy)}
[\overline{
\mathsf {m}}
]
)
)
|
 = (rec((1
+1
)
+1
)
*\overline{(\epsilon)}
)
)n
)n
)n
\vdash 
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {m}}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(0
 <= \overline{(\epsilon)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(0
 = \overline{(\epsilon)}
)n
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(n2)}
 <= \overline{
\mathsf {m}}
\Rightarrow \underline{(fz)}
[\overline{
\mathsf {m}}
]
 <= (\underline{(fx)}
[\overline{
\mathsf {m}}
]
+(-u\overline{(\epsilon)}
)
)
)n
)n
\vdash if(\overline{(n2)}
 <= \overline{(n1)}
,\overline{(n1)}
,\overline{(n2)}
)
 <= \overline{
\mathsf {m}}
\vdash MaxLeq(1)
\gg \overline{(n1)}
 <= if(\overline{(n2)}
 <= \overline{(n1)}
,\overline{(n1)}
,\overline{(n2)}
)
; leqTransitivity
\rhd \overline{(n1)}
 <= if(\overline{(n2)}
 <= \overline{(n1)}
,\overline{(n1)}
,\overline{(n2)}
)
\rhd if(\overline{(n2)}
 <= \overline{(n1)}
,\overline{(n1)}
,\overline{(n2)}
)
 <= \overline{
\mathsf {m}}
\gg \overline{(n1)}
 <= \overline{
\mathsf {m}}
; MaxLeq(2)
\gg \overline{(n2)}
 <= if(\overline{(n2)}
 <= \overline{(n1)}
,\overline{(n1)}
,\overline{(n2)}
)
; leqTransitivity
\rhd \overline{(n2)}
 <= if(\overline{(n2)}
 <= \overline{(n1)}
,\overline{(n1)}
,\overline{(n2)}
)
\rhd if(\overline{(n2)}
 <= \overline{(n1)}
,\overline{(n1)}
,\overline{(n2)}
)
 <= \overline{
\mathsf {m}}
\gg \overline{(n2)}
 <= \overline{
\mathsf {m}}
; A4
\mathop {\char64} \overline{
\mathsf {m}}
\rhd 
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {m}}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(0
 <= \overline{(\epsilon)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(0
 = \overline{(\epsilon)}
)n
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(n2)}
 <= \overline{
\mathsf {m}}
\Rightarrow \underline{(fz)}
[\overline{
\mathsf {m}}
]
 <= (\underline{(fx)}
[\overline{
\mathsf {m}}
]
+(-u\overline{(\epsilon)}
)
)
)n
)n
\gg \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(0
 <= \overline{(\epsilon)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(0
 = \overline{(\epsilon)}
)n
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(n2)}
 <= \overline{
\mathsf {m}}
\Rightarrow \underline{(fz)}
[\overline{
\mathsf {m}}
]
 <= (\underline{(fx)}
[\overline{
\mathsf {m}}
]
+(-u\overline{(\epsilon)}
)
)
)n
)n
; FirstConjunct
\rhd \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(0
 <= \overline{(\epsilon)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(0
 = \overline{(\epsilon)}
)n
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(n2)}
 <= \overline{
\mathsf {m}}
\Rightarrow \underline{(fz)}
[\overline{
\mathsf {m}}
]
 <= (\underline{(fx)}
[\overline{
\mathsf {m}}
]
+(-u\overline{(\epsilon)}
)
)
)n
)n
\gg \dot{\neg}\,(0
 <= \overline{(\epsilon)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(0
 = \overline{(\epsilon)}
)n
)n
)n
; SecondConjunct
\rhd \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(0
 <= \overline{(\epsilon)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(0
 = \overline{(\epsilon)}
)n
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(n2)}
 <= \overline{
\mathsf {m}}
\Rightarrow \underline{(fz)}
[\overline{
\mathsf {m}}
]
 <= (\underline{(fx)}
[\overline{
\mathsf {m}}
]
+(-u\overline{(\epsilon)}
)
)
)n
)n
\gg \overline{(n2)}
 <= \overline{
\mathsf {m}}
\Rightarrow \underline{(fz)}
[\overline{
\mathsf {m}}
]
 <= (\underline{(fx)}
[\overline{
\mathsf {m}}
]
+(-u\overline{(\epsilon)}
)
)
; MP
\rhd \overline{(n2)}
 <= \overline{
\mathsf {m}}
\Rightarrow \underline{(fz)}
[\overline{
\mathsf {m}}
]
 <= (\underline{(fx)}
[\overline{
\mathsf {m}}
]
+(-u\overline{(\epsilon)}
)
)
\rhd \overline{(n2)}
 <= \overline{
\mathsf {m}}
\gg \underline{(fz)}
[\overline{
\mathsf {m}}
]
 <= (\underline{(fx)}
[\overline{
\mathsf {m}}
]
+(-u\overline{(\epsilon)}
)
)
; A4
\mathop {\char64} \overline{
\mathsf {m}}
\rhd 
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {m}}
\colon \dot{\neg}\,(0
 <= (rec((1
+1
)
+1
)
*\overline{(\epsilon)}
)
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(0
 = (rec((1
+1
)
+1
)
*\overline{(\epsilon)}
)
)n
)n
)n
\Rightarrow \overline{(n1)}
 <= \overline{
\mathsf {m}}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(|(\underline{(fx)}
[\overline{
\mathsf {m}}
]
+(-u\underline{(fy)}
[\overline{
\mathsf {m}}
]
)
)
|
 <= (rec((1
+1
)
+1
)
*\overline{(\epsilon)}
)
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(|(\underline{(fx)}
[\overline{
\mathsf {m}}
]
+(-u\underline{(fy)}
[\overline{
\mathsf {m}}
]
)
)
|
 = (rec((1
+1
)
+1
)
*\overline{(\epsilon)}
)
)n
)n
)n
\gg \dot{\neg}\,(0
 <= (rec((1
+1
)
+1
)
*\overline{(\epsilon)}
)
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(0
 = (rec((1
+1
)
+1
)
*\overline{(\epsilon)}
)
)n
)n
)n
\Rightarrow \overline{(n1)}
 <= \overline{
\mathsf {m}}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(|(\underline{(fx)}
[\overline{
\mathsf {m}}
]
+(-u\underline{(fy)}
[\overline{
\mathsf {m}}
]
)
)
|
 <= (rec((1
+1
)
+1
)
*\overline{(\epsilon)}
)
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(|(\underline{(fx)}
[\overline{
\mathsf {m}}
]
+(-u\underline{(fy)}
[\overline{
\mathsf {m}}
]
)
)
|
 = (rec((1
+1
)
+1
)
*\overline{(\epsilon)}
)
)n
)n
)n
; PositiveDividedBy3
\rhd \dot{\neg}\,(0
 <= \overline{(\epsilon)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(0
 = \overline{(\epsilon)}
)n
)n
)n
\gg \dot{\neg}\,(0
 <= (rec((1
+1
)
+1
)
*\overline{(\epsilon)}
)
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(0
 = (rec((1
+1
)
+1
)
*\overline{(\epsilon)}
)
)n
)n
)n
; MP2
\rhd \dot{\neg}\,(0
 <= (rec((1
+1
)
+1
)
*\overline{(\epsilon)}
)
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(0
 = (rec((1
+1
)
+1
)
*\overline{(\epsilon)}
)
)n
)n
)n
\Rightarrow \overline{(n1)}
 <= \overline{
\mathsf {m}}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(|(\underline{(fx)}
[\overline{
\mathsf {m}}
]
+(-u\underline{(fy)}
[\overline{
\mathsf {m}}
]
)
)
|
 <= (rec((1
+1
)
+1
)
*\overline{(\epsilon)}
)
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(|(\underline{(fx)}
[\overline{
\mathsf {m}}
]
+(-u\underline{(fy)}
[\overline{
\mathsf {m}}
]
)
)
|
 = (rec((1
+1
)
+1
)
*\overline{(\epsilon)}
)
)n
)n
)n
\rhd \dot{\neg}\,(0
 <= (rec((1
+1
)
+1
)
*\overline{(\epsilon)}
)
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(0
 = (rec((1
+1
)
+1
)
*\overline{(\epsilon)}
)
)n
)n
)n
\rhd \overline{(n1)}
 <= \overline{
\mathsf {m}}
\gg \dot{\neg}\,(|(\underline{(fx)}
[\overline{
\mathsf {m}}
]
+(-u\underline{(fy)}
[\overline{
\mathsf {m}}
]
)
)
|
 <= (rec((1
+1
)
+1
)
*\overline{(\epsilon)}
)
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(|(\underline{(fx)}
[\overline{
\mathsf {m}}
]
+(-u\underline{(fy)}
[\overline{
\mathsf {m}}
]
)
)
|
 = (rec((1
+1
)
+1
)
*\overline{(\epsilon)}
)
)n
)n
)n
; ClosetogreaterIsGreater
\rhd \underline{(fz)}
[\overline{
\mathsf {m}}
]
 <= (\underline{(fx)}
[\overline{
\mathsf {m}}
]
+(-u\overline{(\epsilon)}
)
)
\rhd \dot{\neg}\,(|(\underline{(fx)}
[\overline{
\mathsf {m}}
]
+(-u\underline{(fy)}
[\overline{
\mathsf {m}}
]
)
)
|
 <= (rec((1
+1
)
+1
)
*\overline{(\epsilon)}
)
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(|(\underline{(fx)}
[\overline{
\mathsf {m}}
]
+(-u\underline{(fy)}
[\overline{
\mathsf {m}}
]
)
)
|
 = (rec((1
+1
)
+1
)
*\overline{(\epsilon)}
)
)n
)n
)n
\gg \underline{(fz)}
[\overline{
\mathsf {m}}
]
 <= (\underline{(fy)}
[\overline{
\mathsf {m}}
]
+(-u(rec((1
+1
)
+1
)
*\overline{(\epsilon)}
)
)
)
; Ded
\rhd 
\forall \underline{(fx)}
\colon 
\forall \underline{(fx)}
\colon 
\forall \underline{(fz)}
\colon 
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {m}}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(0
 <= \overline{(\epsilon)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(0
 = \overline{(\epsilon)}
)n
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(n2)}
 <= \overline{
\mathsf {m}}
\Rightarrow \underline{(fz)}
[\overline{
\mathsf {m}}
]
 <= (\underline{(fx)}
[\overline{
\mathsf {m}}
]
+(-u\overline{(\epsilon)}
)
)
)n
)n
\vdash \dot{\neg}\,(0
 <= (rec((1
+1
)
+1
)
*\overline{(\epsilon)}
)
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(0
 = (rec((1
+1
)
+1
)
*\overline{(\epsilon)}
)
)n
)n
)n
\gg 
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {m}}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(0
 <= \overline{(\epsilon)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(0
 = \overline{(\epsilon)}
)n
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(n2)}
 <= \overline{
\mathsf {m}}
\Rightarrow \underline{(fz)}
[\overline{
\mathsf {m}}
]
 <= (\underline{(fx)}
[\overline{
\mathsf {m}}
]
+(-u\overline{(\epsilon)}
)
)
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(0
 <= (rec((1
+1
)
+1
)
*\overline{(\epsilon)}
)
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(0
 = (rec((1
+1
)
+1
)
*\overline{(\epsilon)}
)
)n
)n
)n
; TwiceExistMP
\rhd 
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {m}}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(0
 <= \overline{(\epsilon)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(0
 = \overline{(\epsilon)}
)n
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(n2)}
 <= \overline{
\mathsf {m}}
\Rightarrow \underline{(fz)}
[\overline{
\mathsf {m}}
]
 <= (\underline{(fx)}
[\overline{
\mathsf {m}}
]
+(-u\overline{(\epsilon)}
)
)
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(0
 <= (rec((1
+1
)
+1
)
*\overline{(\epsilon)}
)
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(0
 = (rec((1
+1
)
+1
)
*\overline{(\epsilon)}
)
)n
)n
)n
\rhd \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(\epsilon)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(n2)}
\colon \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {m}}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(0
 <= \overline{(\epsilon)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(0
 = \overline{(\epsilon)}
)n
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(n2)}
 <= \overline{
\mathsf {m}}
\Rightarrow \underline{(fz)}
[\overline{
\mathsf {m}}
]
 <= (\underline{(fx)}
[\overline{
\mathsf {m}}
]
+(-u\overline{(\epsilon)}
)
)
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\gg \dot{\neg}\,(0
 <= (rec((1
+1
)
+1
)
*\overline{(\epsilon)}
)
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(0
 = (rec((1
+1
)
+1
)
*\overline{(\epsilon)}
)
)n
)n
)n
; Ded
\rhd 
\forall \underline{(fx)}
\colon 
\forall \underline{(fy)}
\colon 
\forall \underline{(fz)}
\colon 
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {m}}
\colon \dot{\neg}\,(0
 <= (rec((1
+1
)
+1
)
*\overline{(\epsilon)}
)
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(0
 = (rec((1
+1
)
+1
)
*\overline{(\epsilon)}
)
)n
)n
)n
\Rightarrow \overline{(n1)}
 <= \overline{
\mathsf {m}}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(|(\underline{(fx)}
[\overline{
\mathsf {m}}
]
+(-u\underline{(fy)}
[\overline{
\mathsf {m}}
]
)
)
|
 <= (rec((1
+1
)
+1
)
*\overline{(\epsilon)}
)
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(|(\underline{(fx)}
[\overline{
\mathsf {m}}
]
+(-u\underline{(fy)}
[\overline{
\mathsf {m}}
]
)
)
|
 = (rec((1
+1
)
+1
)
*\overline{(\epsilon)}
)
)n
)n
)n
\vdash 
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {m}}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(0
 <= \overline{(\epsilon)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(0
 = \overline{(\epsilon)}
)n
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(n2)}
 <= \overline{
\mathsf {m}}
\Rightarrow \underline{(fz)}
[\overline{
\mathsf {m}}
]
 <= (\underline{(fx)}
[\overline{
\mathsf {m}}
]
+(-u\overline{(\epsilon)}
)
)
)n
)n
\vdash if(\overline{(n2)}
 <= \overline{(n1)}
,\overline{(n1)}
,\overline{(n2)}
)
 <= \overline{
\mathsf {m}}
\vdash \underline{(fz)}
[\overline{
\mathsf {m}}
]
 <= (\underline{(fy)}
[\overline{
\mathsf {m}}
]
+(-u(rec((1
+1
)
+1
)
*\overline{(\epsilon)}
)
)
)
\gg 
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {m}}
\colon \dot{\neg}\,(0
 <= (rec((1
+1
)
+1
)
*\overline{(\epsilon)}
)
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(0
 = (rec((1
+1
)
+1
)
*\overline{(\epsilon)}
)
)n
)n
)n
\Rightarrow \overline{(n1)}
 <= \overline{
\mathsf {m}}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(|(\underline{(fx)}
[\overline{
\mathsf {m}}
]
+(-u\underline{(fy)}
[\overline{
\mathsf {m}}
]
)
)
|
 <= (rec((1
+1
)
+1
)
*\overline{(\epsilon)}
)
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(|(\underline{(fx)}
[\overline{
\mathsf {m}}
]
+(-u\underline{(fy)}
[\overline{
\mathsf {m}}
]
)
)
|
 = (rec((1
+1
)
+1
)
*\overline{(\epsilon)}
)
)n
)n
)n
\Rightarrow 
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {m}}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(0
 <= \overline{(\epsilon)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(0
 = \overline{(\epsilon)}
)n
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(n2)}
 <= \overline{
\mathsf {m}}
\Rightarrow \underline{(fz)}
[\overline{
\mathsf {m}}
]
 <= (\underline{(fx)}
[\overline{
\mathsf {m}}
]
+(-u\overline{(\epsilon)}
)
)
)n
)n
\Rightarrow if(\overline{(n2)}
 <= \overline{(n1)}
,\overline{(n1)}
,\overline{(n2)}
)
 <= \overline{
\mathsf {m}}
\Rightarrow \underline{(fz)}
[\overline{
\mathsf {m}}
]
 <= (\underline{(fy)}
[\overline{
\mathsf {m}}
]
+(-u(rec((1
+1
)
+1
)
*\overline{(\epsilon)}
)
)
)
; ExistMP
\rhd 
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {m}}
\colon \dot{\neg}\,(0
 <= (rec((1
+1
)
+1
)
*\overline{(\epsilon)}
)
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(0
 = (rec((1
+1
)
+1
)
*\overline{(\epsilon)}
)
)n
)n
)n
\Rightarrow \overline{(n1)}
 <= \overline{
\mathsf {m}}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(|(\underline{(fx)}
[\overline{
\mathsf {m}}
]
+(-u\underline{(fy)}
[\overline{
\mathsf {m}}
]
)
)
|
 <= (rec((1
+1
)
+1
)
*\overline{(\epsilon)}
)
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(|(\underline{(fx)}
[\overline{
\mathsf {m}}
]
+(-u\underline{(fy)}
[\overline{
\mathsf {m}}
]
)
)
|
 = (rec((1
+1
)
+1
)
*\overline{(\epsilon)}
)
)n
)n
)n
\Rightarrow 
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {m}}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(0
 <= \overline{(\epsilon)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(0
 = \overline{(\epsilon)}
)n
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(n2)}
 <= \overline{
\mathsf {m}}
\Rightarrow \underline{(fz)}
[\overline{
\mathsf {m}}
]
 <= (\underline{(fx)}
[\overline{
\mathsf {m}}
]
+(-u\overline{(\epsilon)}
)
)
)n
)n
\Rightarrow if(\overline{(n2)}
 <= \overline{(n1)}
,\overline{(n1)}
,\overline{(n2)}
)
 <= \overline{
\mathsf {m}}
\Rightarrow \underline{(fz)}
[\overline{
\mathsf {m}}
]
 <= (\underline{(fy)}
[\overline{
\mathsf {m}}
]
+(-u(rec((1
+1
)
+1
)
*\overline{(\epsilon)}
)
)
)
\rhd \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(n1)}
\colon \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {m}}
\colon \dot{\neg}\,(0
 <= (rec((1
+1
)
+1
)
*\overline{(\epsilon)}
)
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(0
 = (rec((1
+1
)
+1
)
*\overline{(\epsilon)}
)
)n
)n
)n
\Rightarrow \overline{(n1)}
 <= \overline{
\mathsf {m}}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(|(\underline{(fx)}
[\overline{
\mathsf {m}}
]
+(-u\underline{(fy)}
[\overline{
\mathsf {m}}
]
)
)
|
 <= (rec((1
+1
)
+1
)
*\overline{(\epsilon)}
)
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(|(\underline{(fx)}
[\overline{
\mathsf {m}}
]
+(-u\underline{(fy)}
[\overline{
\mathsf {m}}
]
)
)
|
 = (rec((1
+1
)
+1
)
*\overline{(\epsilon)}
)
)n
)n
)n
)n
)n
\gg 
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {m}}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(0
 <= \overline{(\epsilon)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(0
 = \overline{(\epsilon)}
)n
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(n2)}
 <= \overline{
\mathsf {m}}
\Rightarrow \underline{(fz)}
[\overline{
\mathsf {m}}
]
 <= (\underline{(fx)}
[\overline{
\mathsf {m}}
]
+(-u\overline{(\epsilon)}
)
)
)n
)n
\Rightarrow if(\overline{(n2)}
 <= \overline{(n1)}
,\overline{(n1)}
,\overline{(n2)}
)
 <= \overline{
\mathsf {m}}
\Rightarrow \underline{(fz)}
[\overline{
\mathsf {m}}
]
 <= (\underline{(fy)}
[\overline{
\mathsf {m}}
]
+(-u(rec((1
+1
)
+1
)
*\overline{(\epsilon)}
)
)
)
; TwiceExistMP
\rhd 
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {m}}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(0
 <= \overline{(\epsilon)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(0
 = \overline{(\epsilon)}
)n
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(n2)}
 <= \overline{
\mathsf {m}}
\Rightarrow \underline{(fz)}
[\overline{
\mathsf {m}}
]
 <= (\underline{(fx)}
[\overline{
\mathsf {m}}
]
+(-u\overline{(\epsilon)}
)
)
)n
)n
\Rightarrow if(\overline{(n2)}
 <= \overline{(n1)}
,\overline{(n1)}
,\overline{(n2)}
)
 <= \overline{
\mathsf {m}}
\Rightarrow \underline{(fz)}
[\overline{
\mathsf {m}}
]
 <= (\underline{(fy)}
[\overline{
\mathsf {m}}
]
+(-u(rec((1
+1
)
+1
)
*\overline{(\epsilon)}
)
)
)
\rhd \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(\epsilon)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(n2)}
\colon \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {m}}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(0
 <= \overline{(\epsilon)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(0
 = \overline{(\epsilon)}
)n
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(n2)}
 <= \overline{
\mathsf {m}}
\Rightarrow \underline{(fz)}
[\overline{
\mathsf {m}}
]
 <= (\underline{(fx)}
[\overline{
\mathsf {m}}
]
+(-u\overline{(\epsilon)}
)
)
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\gg if(\overline{(n2)}
 <= \overline{(n1)}
,\overline{(n1)}
,\overline{(n2)}
)
 <= \overline{
\mathsf {m}}
\Rightarrow \underline{(fz)}
[\overline{
\mathsf {m}}
]
 <= (\underline{(fy)}
[\overline{
\mathsf {m}}
]
+(-u(rec((1
+1
)
+1
)
*\overline{(\epsilon)}
)
)
)
; JoinConjuncts
\rhd \dot{\neg}\,(0
 <= (rec((1
+1
)
+1
)
*\overline{(\epsilon)}
)
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(0
 = (rec((1
+1
)
+1
)
*\overline{(\epsilon)}
)
)n
)n
)n
\rhd if(\overline{(n2)}
 <= \overline{(n1)}
,\overline{(n1)}
,\overline{(n2)}
)
 <= \overline{
\mathsf {m}}
\Rightarrow \underline{(fz)}
[\overline{
\mathsf {m}}
]
 <= (\underline{(fy)}
[\overline{
\mathsf {m}}
]
+(-u(rec((1
+1
)
+1
)
*\overline{(\epsilon)}
)
)
)
\gg \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(0
 <= (rec((1
+1
)
+1
)
*\overline{(\epsilon)}
)
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(0
 = (rec((1
+1
)
+1
)
*\overline{(\epsilon)}
)
)n
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(if(\overline{(n2)}
 <= \overline{(n1)}
,\overline{(n1)}
,\overline{(n2)}
)
 <= \overline{
\mathsf {m}}
\Rightarrow \underline{(fz)}
[\overline{
\mathsf {m}}
]
 <= (\underline{(fy)}
[\overline{
\mathsf {m}}
]
+(-u(rec((1
+1
)
+1
)
*\overline{(\epsilon)}
)
)
)
)n
)n
; Gen
\rhd \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(0
 <= (rec((1
+1
)
+1
)
*\overline{(\epsilon)}
)
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(0
 = (rec((1
+1
)
+1
)
*\overline{(\epsilon)}
)
)n
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(if(\overline{(n2)}
 <= \overline{(n1)}
,\overline{(n1)}
,\overline{(n2)}
)
 <= \overline{
\mathsf {m}}
\Rightarrow \underline{(fz)}
[\overline{
\mathsf {m}}
]
 <= (\underline{(fy)}
[\overline{
\mathsf {m}}
]
+(-u(rec((1
+1
)
+1
)
*\overline{(\epsilon)}
)
)
)
)n
)n
\gg 
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {m}}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(0
 <= (rec((1
+1
)
+1
)
*\overline{(\epsilon)}
)
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(0
 = (rec((1
+1
)
+1
)
*\overline{(\epsilon)}
)
)n
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(if(\overline{(n2)}
 <= \overline{(n1)}
,\overline{(n1)}
,\overline{(n2)}
)
 <= \overline{
\mathsf {m}}
\Rightarrow \underline{(fz)}
[\overline{
\mathsf {m}}
]
 <= (\underline{(fy)}
[\overline{
\mathsf {m}}
]
+(-u(rec((1
+1
)
+1
)
*\overline{(\epsilon)}
)
)
)
)n
)n
; IntroExist
\mathop {\char64} if(\overline{(n2)}
 <= \overline{(n1)}
,\overline{(n1)}
,\overline{(n2)}
)
\rhd 
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {m}}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(0
 <= (rec((1
+1
)
+1
)
*\overline{(\epsilon)}
)
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(0
 = (rec((1
+1
)
+1
)
*\overline{(\epsilon)}
)
)n
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(if(\overline{(n2)}
 <= \overline{(n1)}
,\overline{(n1)}
,\overline{(n2)}
)
 <= \overline{
\mathsf {m}}
\Rightarrow \underline{(fz)}
[\overline{
\mathsf {m}}
]
 <= (\underline{(fy)}
[\overline{
\mathsf {m}}
]
+(-u(rec((1
+1
)
+1
)
*\overline{(\epsilon)}
)
)
)
)n
)n
\gg \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {n}}
\colon \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {m}}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(0
 <= (rec((1
+1
)
+1
)
*\overline{(\epsilon)}
)
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(0
 = (rec((1
+1
)
+1
)
*\overline{(\epsilon)}
)
)n
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{
\mathsf {n}}
 <= \overline{
\mathsf {m}}
\Rightarrow \underline{(fz)}
[\overline{
\mathsf {m}}
]
 <= (\underline{(fy)}
[\overline{
\mathsf {m}}
]
+(-u(rec((1
+1
)
+1
)
*\overline{(\epsilon)}
)
)
)
)n
)n
)n
)n
; IntroExist
\mathop {\char64} (rec((1
+1
)
+1
)
*\overline{(\epsilon)}
)
\rhd \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {n}}
\colon \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {m}}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(0
 <= (rec((1
+1
)
+1
)
*\overline{(\epsilon)}
)
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(0
 = (rec((1
+1
)
+1
)
*\overline{(\epsilon)}
)
)n
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{
\mathsf {n}}
 <= \overline{
\mathsf {m}}
\Rightarrow \underline{(fz)}
[\overline{
\mathsf {m}}
]
 <= (\underline{(fy)}
[\overline{
\mathsf {m}}
]
+(-u(rec((1
+1
)
+1
)
*\overline{(\epsilon)}
)
)
)
)n
)n
)n
)n
\gg \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(\epsilon)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {n}}
\colon \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {m}}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(0
 <= \overline{(\epsilon)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(0
 = \overline{(\epsilon)}
)n
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{
\mathsf {n}}
 <= \overline{
\mathsf {m}}
\Rightarrow \underline{(fz)}
[\overline{
\mathsf {m}}
]
 <= (\underline{(fy)}
[\overline{
\mathsf {m}}
]
+(-u\overline{(\epsilon)}
)
)
)n
)n
)n
)n
)n
)n
; Repetition
\rhd \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(\epsilon)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {n}}
\colon \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {m}}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(0
 <= \overline{(\epsilon)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(0
 = \overline{(\epsilon)}
)n
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{
\mathsf {n}}
 <= \overline{
\mathsf {m}}
\Rightarrow \underline{(fz)}
[\overline{
\mathsf {m}}
]
 <= (\underline{(fy)}
[\overline{
\mathsf {m}}
]
+(-u\overline{(\epsilon)}
)
)
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\gg \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(\epsilon)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {n}}
\colon \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {m}}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(0
 <= \overline{(\epsilon)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(0
 = \overline{(\epsilon)}
)n
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{
\mathsf {n}}
 <= \overline{
\mathsf {m}}
\Rightarrow \underline{(fz)}
[\overline{
\mathsf {m}}
]
 <= (\underline{(fy)}
[\overline{
\mathsf {m}}
]
+(-u\overline{(\epsilon)}
)
)
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\rceil 
, 
p_0
, 
\mathsf {c}
)
]$


$
[SubLessRight(R)
\stackrel{
stmt
}{\rightarrow}SystemQ
\vdash 
\forall \underline{(fx)}
\colon 
\forall \underline{(fy)}
\colon 
\forall \underline{(fz)}
\colon  \{ ph \mathrel{\in} P( \{ ph \mathrel{\in} P( \{ ph \mathrel{\in} P(P(Union(\{N
,Q
\}
)
)
)
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op1)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op2)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\overline{(op1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(op2)}
 \mathrel{\in} Q
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\mathsf {a}
 _{Ph} 
 = \{\{\overline{(op1)}
,\overline{(op1)}
\}
,\{\overline{(op1)}
,\overline{(op2)}
\}
\}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\}
)
\mid \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(r1)}
\colon \overline{(r1)}
 \mathrel{\in} 
\mathsf {f}
 _{Ph} 
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op1)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op2)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\overline{(op1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(op2)}
 \mathrel{\in} Q
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(r1)}
 = \{\{\overline{(op1)}
,\overline{(op1)}
\}
,\{\overline{(op1)}
,\overline{(op2)}
\}
\}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(f1)}
\colon 
\forall_{obj} \overline{(f2)}
\colon 
\forall_{obj} \overline{(f3)}
\colon 
\forall_{obj} \overline{(f4)}
\colon \{\{\overline{(f1)}
,\overline{(f1)}
\}
,\{\overline{(f1)}
,\overline{(f2)}
\}
\}
 \mathrel{\in} 
\mathsf {f}
 _{Ph} 
\Rightarrow \{\{\overline{(f3)}
,\overline{(f3)}
\}
,\{\overline{(f3)}
,\overline{(f4)}
\}
\}
 \mathrel{\in} 
\mathsf {f}
 _{Ph} 
\Rightarrow \overline{(f1)}
 = \overline{(f3)}
\Rightarrow \overline{(f2)}
 = \overline{(f4)}
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(s1)}
\colon \overline{(s1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(s2)}
\colon \dot{\neg}\,(\{\{\overline{(s1)}
,\overline{(s1)}
\}
,\{\overline{(s1)}
,\overline{(s2)}
\}
\}
 \mathrel{\in} 
\mathsf {f}
 _{Ph} 
)n
)n
)n
)n
\}
)
\mid 
\forall_{obj} \overline{(\epsilon)}
\colon \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {n}}
\colon \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {m}}
\colon \dot{\neg}\,(0
 <= \overline{(\epsilon)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(0
 = \overline{(\epsilon)}
)n
)n
)n
\Rightarrow \overline{
\mathsf {n}}
 <= \overline{
\mathsf {m}}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(|(\underline{(fx)}
[\overline{
\mathsf {m}}
]
+(-u
\mathsf {d}
 _{Ph} 
[\overline{
\mathsf {m}}
]
)
)
|
 <= \overline{(\epsilon)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(|(\underline{(fx)}
[\overline{
\mathsf {m}}
]
+(-u
\mathsf {d}
 _{Ph} 
[\overline{
\mathsf {m}}
]
)
)
|
 = \overline{(\epsilon)}
)n
)n
)n
)n
)n
\}
 =  \{ ph \mathrel{\in} P( \{ ph \mathrel{\in} P( \{ ph \mathrel{\in} P(P(Union(\{N
,Q
\}
)
)
)
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op1)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op2)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\overline{(op1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(op2)}
 \mathrel{\in} Q
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\mathsf {a}
 _{Ph} 
 = \{\{\overline{(op1)}
,\overline{(op1)}
\}
,\{\overline{(op1)}
,\overline{(op2)}
\}
\}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\}
)
\mid \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(r1)}
\colon \overline{(r1)}
 \mathrel{\in} 
\mathsf {f}
 _{Ph} 
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op1)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op2)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\overline{(op1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(op2)}
 \mathrel{\in} Q
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(r1)}
 = \{\{\overline{(op1)}
,\overline{(op1)}
\}
,\{\overline{(op1)}
,\overline{(op2)}
\}
\}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(f1)}
\colon 
\forall_{obj} \overline{(f2)}
\colon 
\forall_{obj} \overline{(f3)}
\colon 
\forall_{obj} \overline{(f4)}
\colon \{\{\overline{(f1)}
,\overline{(f1)}
\}
,\{\overline{(f1)}
,\overline{(f2)}
\}
\}
 \mathrel{\in} 
\mathsf {f}
 _{Ph} 
\Rightarrow \{\{\overline{(f3)}
,\overline{(f3)}
\}
,\{\overline{(f3)}
,\overline{(f4)}
\}
\}
 \mathrel{\in} 
\mathsf {f}
 _{Ph} 
\Rightarrow \overline{(f1)}
 = \overline{(f3)}
\Rightarrow \overline{(f2)}
 = \overline{(f4)}
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(s1)}
\colon \overline{(s1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(s2)}
\colon \dot{\neg}\,(\{\{\overline{(s1)}
,\overline{(s1)}
\}
,\{\overline{(s1)}
,\overline{(s2)}
\}
\}
 \mathrel{\in} 
\mathsf {f}
 _{Ph} 
)n
)n
)n
)n
\}
)
\mid 
\forall_{obj} \overline{(\epsilon)}
\colon \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {n}}
\colon \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {m}}
\colon \dot{\neg}\,(0
 <= \overline{(\epsilon)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(0
 = \overline{(\epsilon)}
)n
)n
)n
\Rightarrow \overline{
\mathsf {n}}
 <= \overline{
\mathsf {m}}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(|(\underline{(fy)}
[\overline{
\mathsf {m}}
]
+(-u
\mathsf {d}
 _{Ph} 
[\overline{
\mathsf {m}}
]
)
)
|
 <= \overline{(\epsilon)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(|(\underline{(fy)}
[\overline{
\mathsf {m}}
]
+(-u
\mathsf {d}
 _{Ph} 
[\overline{
\mathsf {m}}
]
)
)
|
 = \overline{(\epsilon)}
)n
)n
)n
)n
)n
\}
\vdash \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(\epsilon)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {n}}
\colon \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {m}}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(0
 <= \overline{(\epsilon)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(0
 = \overline{(\epsilon)}
)n
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{
\mathsf {n}}
 <= \overline{
\mathsf {m}}
\Rightarrow \underline{(fz)}
[\overline{
\mathsf {m}}
]
 <= (\underline{(fx)}
[\overline{
\mathsf {m}}
]
+(-u\overline{(\epsilon)}
)
)
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\vdash \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(\epsilon)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {n}}
\colon \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {m}}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(0
 <= \overline{(\epsilon)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(0
 = \overline{(\epsilon)}
)n
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{
\mathsf {n}}
 <= \overline{
\mathsf {m}}
\Rightarrow \underline{(fz)}
[\overline{
\mathsf {m}}
]
 <= (\underline{(fy)}
[\overline{
\mathsf {m}}
]
+(-u\overline{(\epsilon)}
)
)
)n
)n
)n
)n
)n
)n
]$

$
[SubLessRight(R)
\stackrel{
proof
}{\rightarrow}
\lambda 
\mathsf {c}
.
\lambda 
\mathsf{x}
.
{\cal P}( 
\lceil SystemQ
\vdash 
\forall \underline{(fx)}
\colon 
\forall \underline{(fy)}
\colon 
\forall \underline{(fz)}
\colon  \{ ph \mathrel{\in} P( \{ ph \mathrel{\in} P( \{ ph \mathrel{\in} P(P(Union(\{N
,Q
\}
)
)
)
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op1)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op2)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\overline{(op1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(op2)}
 \mathrel{\in} Q
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\mathsf {a}
 _{Ph} 
 = \{\{\overline{(op1)}
,\overline{(op1)}
\}
,\{\overline{(op1)}
,\overline{(op2)}
\}
\}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\}
)
\mid \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(r1)}
\colon \overline{(r1)}
 \mathrel{\in} 
\mathsf {f}
 _{Ph} 
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op1)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op2)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\overline{(op1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(op2)}
 \mathrel{\in} Q
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(r1)}
 = \{\{\overline{(op1)}
,\overline{(op1)}
\}
,\{\overline{(op1)}
,\overline{(op2)}
\}
\}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(f1)}
\colon 
\forall_{obj} \overline{(f2)}
\colon 
\forall_{obj} \overline{(f3)}
\colon 
\forall_{obj} \overline{(f4)}
\colon \{\{\overline{(f1)}
,\overline{(f1)}
\}
,\{\overline{(f1)}
,\overline{(f2)}
\}
\}
 \mathrel{\in} 
\mathsf {f}
 _{Ph} 
\Rightarrow \{\{\overline{(f3)}
,\overline{(f3)}
\}
,\{\overline{(f3)}
,\overline{(f4)}
\}
\}
 \mathrel{\in} 
\mathsf {f}
 _{Ph} 
\Rightarrow \overline{(f1)}
 = \overline{(f3)}
\Rightarrow \overline{(f2)}
 = \overline{(f4)}
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(s1)}
\colon \overline{(s1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(s2)}
\colon \dot{\neg}\,(\{\{\overline{(s1)}
,\overline{(s1)}
\}
,\{\overline{(s1)}
,\overline{(s2)}
\}
\}
 \mathrel{\in} 
\mathsf {f}
 _{Ph} 
)n
)n
)n
)n
\}
)
\mid 
\forall_{obj} \overline{(\epsilon)}
\colon \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {n}}
\colon \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {m}}
\colon \dot{\neg}\,(0
 <= \overline{(\epsilon)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(0
 = \overline{(\epsilon)}
)n
)n
)n
\Rightarrow \overline{
\mathsf {n}}
 <= \overline{
\mathsf {m}}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(|(\underline{(fx)}
[\overline{
\mathsf {m}}
]
+(-u
\mathsf {d}
 _{Ph} 
[\overline{
\mathsf {m}}
]
)
)
|
 <= \overline{(\epsilon)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(|(\underline{(fx)}
[\overline{
\mathsf {m}}
]
+(-u
\mathsf {d}
 _{Ph} 
[\overline{
\mathsf {m}}
]
)
)
|
 = \overline{(\epsilon)}
)n
)n
)n
)n
)n
\}
 =  \{ ph \mathrel{\in} P( \{ ph \mathrel{\in} P( \{ ph \mathrel{\in} P(P(Union(\{N
,Q
\}
)
)
)
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op1)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op2)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\overline{(op1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(op2)}
 \mathrel{\in} Q
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\mathsf {a}
 _{Ph} 
 = \{\{\overline{(op1)}
,\overline{(op1)}
\}
,\{\overline{(op1)}
,\overline{(op2)}
\}
\}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\}
)
\mid \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(r1)}
\colon \overline{(r1)}
 \mathrel{\in} 
\mathsf {f}
 _{Ph} 
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op1)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op2)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\overline{(op1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(op2)}
 \mathrel{\in} Q
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(r1)}
 = \{\{\overline{(op1)}
,\overline{(op1)}
\}
,\{\overline{(op1)}
,\overline{(op2)}
\}
\}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(f1)}
\colon 
\forall_{obj} \overline{(f2)}
\colon 
\forall_{obj} \overline{(f3)}
\colon 
\forall_{obj} \overline{(f4)}
\colon \{\{\overline{(f1)}
,\overline{(f1)}
\}
,\{\overline{(f1)}
,\overline{(f2)}
\}
\}
 \mathrel{\in} 
\mathsf {f}
 _{Ph} 
\Rightarrow \{\{\overline{(f3)}
,\overline{(f3)}
\}
,\{\overline{(f3)}
,\overline{(f4)}
\}
\}
 \mathrel{\in} 
\mathsf {f}
 _{Ph} 
\Rightarrow \overline{(f1)}
 = \overline{(f3)}
\Rightarrow \overline{(f2)}
 = \overline{(f4)}
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(s1)}
\colon \overline{(s1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(s2)}
\colon \dot{\neg}\,(\{\{\overline{(s1)}
,\overline{(s1)}
\}
,\{\overline{(s1)}
,\overline{(s2)}
\}
\}
 \mathrel{\in} 
\mathsf {f}
 _{Ph} 
)n
)n
)n
)n
\}
)
\mid 
\forall_{obj} \overline{(\epsilon)}
\colon \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {n}}
\colon \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {m}}
\colon \dot{\neg}\,(0
 <= \overline{(\epsilon)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(0
 = \overline{(\epsilon)}
)n
)n
)n
\Rightarrow \overline{
\mathsf {n}}
 <= \overline{
\mathsf {m}}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(|(\underline{(fy)}
[\overline{
\mathsf {m}}
]
+(-u
\mathsf {d}
 _{Ph} 
[\overline{
\mathsf {m}}
]
)
)
|
 <= \overline{(\epsilon)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(|(\underline{(fy)}
[\overline{
\mathsf {m}}
]
+(-u
\mathsf {d}
 _{Ph} 
[\overline{
\mathsf {m}}
]
)
)
|
 = \overline{(\epsilon)}
)n
)n
)n
)n
)n
\}
\vdash \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(\epsilon)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {n}}
\colon \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {m}}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(0
 <= \overline{(\epsilon)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(0
 = \overline{(\epsilon)}
)n
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{
\mathsf {n}}
 <= \overline{
\mathsf {m}}
\Rightarrow \underline{(fz)}
[\overline{
\mathsf {m}}
]
 <= (\underline{(fx)}
[\overline{
\mathsf {m}}
]
+(-u\overline{(\epsilon)}
)
)
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\vdash From==
\rhd  \{ ph \mathrel{\in} P( \{ ph \mathrel{\in} P( \{ ph \mathrel{\in} P(P(Union(\{N
,Q
\}
)
)
)
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op1)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op2)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\overline{(op1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(op2)}
 \mathrel{\in} Q
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\mathsf {a}
 _{Ph} 
 = \{\{\overline{(op1)}
,\overline{(op1)}
\}
,\{\overline{(op1)}
,\overline{(op2)}
\}
\}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\}
)
\mid \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(r1)}
\colon \overline{(r1)}
 \mathrel{\in} 
\mathsf {f}
 _{Ph} 
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op1)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op2)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\overline{(op1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(op2)}
 \mathrel{\in} Q
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(r1)}
 = \{\{\overline{(op1)}
,\overline{(op1)}
\}
,\{\overline{(op1)}
,\overline{(op2)}
\}
\}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(f1)}
\colon 
\forall_{obj} \overline{(f2)}
\colon 
\forall_{obj} \overline{(f3)}
\colon 
\forall_{obj} \overline{(f4)}
\colon \{\{\overline{(f1)}
,\overline{(f1)}
\}
,\{\overline{(f1)}
,\overline{(f2)}
\}
\}
 \mathrel{\in} 
\mathsf {f}
 _{Ph} 
\Rightarrow \{\{\overline{(f3)}
,\overline{(f3)}
\}
,\{\overline{(f3)}
,\overline{(f4)}
\}
\}
 \mathrel{\in} 
\mathsf {f}
 _{Ph} 
\Rightarrow \overline{(f1)}
 = \overline{(f3)}
\Rightarrow \overline{(f2)}
 = \overline{(f4)}
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(s1)}
\colon \overline{(s1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(s2)}
\colon \dot{\neg}\,(\{\{\overline{(s1)}
,\overline{(s1)}
\}
,\{\overline{(s1)}
,\overline{(s2)}
\}
\}
 \mathrel{\in} 
\mathsf {f}
 _{Ph} 
)n
)n
)n
)n
\}
)
\mid 
\forall_{obj} \overline{(\epsilon)}
\colon \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {n}}
\colon \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {m}}
\colon \dot{\neg}\,(0
 <= \overline{(\epsilon)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(0
 = \overline{(\epsilon)}
)n
)n
)n
\Rightarrow \overline{
\mathsf {n}}
 <= \overline{
\mathsf {m}}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(|(\underline{(fx)}
[\overline{
\mathsf {m}}
]
+(-u
\mathsf {d}
 _{Ph} 
[\overline{
\mathsf {m}}
]
)
)
|
 <= \overline{(\epsilon)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(|(\underline{(fx)}
[\overline{
\mathsf {m}}
]
+(-u
\mathsf {d}
 _{Ph} 
[\overline{
\mathsf {m}}
]
)
)
|
 = \overline{(\epsilon)}
)n
)n
)n
)n
)n
\}
 =  \{ ph \mathrel{\in} P( \{ ph \mathrel{\in} P( \{ ph \mathrel{\in} P(P(Union(\{N
,Q
\}
)
)
)
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op1)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op2)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\overline{(op1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(op2)}
 \mathrel{\in} Q
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\mathsf {a}
 _{Ph} 
 = \{\{\overline{(op1)}
,\overline{(op1)}
\}
,\{\overline{(op1)}
,\overline{(op2)}
\}
\}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\}
)
\mid \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(r1)}
\colon \overline{(r1)}
 \mathrel{\in} 
\mathsf {f}
 _{Ph} 
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op1)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op2)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\overline{(op1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(op2)}
 \mathrel{\in} Q
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(r1)}
 = \{\{\overline{(op1)}
,\overline{(op1)}
\}
,\{\overline{(op1)}
,\overline{(op2)}
\}
\}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(f1)}
\colon 
\forall_{obj} \overline{(f2)}
\colon 
\forall_{obj} \overline{(f3)}
\colon 
\forall_{obj} \overline{(f4)}
\colon \{\{\overline{(f1)}
,\overline{(f1)}
\}
,\{\overline{(f1)}
,\overline{(f2)}
\}
\}
 \mathrel{\in} 
\mathsf {f}
 _{Ph} 
\Rightarrow \{\{\overline{(f3)}
,\overline{(f3)}
\}
,\{\overline{(f3)}
,\overline{(f4)}
\}
\}
 \mathrel{\in} 
\mathsf {f}
 _{Ph} 
\Rightarrow \overline{(f1)}
 = \overline{(f3)}
\Rightarrow \overline{(f2)}
 = \overline{(f4)}
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(s1)}
\colon \overline{(s1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(s2)}
\colon \dot{\neg}\,(\{\{\overline{(s1)}
,\overline{(s1)}
\}
,\{\overline{(s1)}
,\overline{(s2)}
\}
\}
 \mathrel{\in} 
\mathsf {f}
 _{Ph} 
)n
)n
)n
)n
\}
)
\mid 
\forall_{obj} \overline{(\epsilon)}
\colon \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {n}}
\colon \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {m}}
\colon \dot{\neg}\,(0
 <= \overline{(\epsilon)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(0
 = \overline{(\epsilon)}
)n
)n
)n
\Rightarrow \overline{
\mathsf {n}}
 <= \overline{
\mathsf {m}}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(|(\underline{(fy)}
[\overline{
\mathsf {m}}
]
+(-u
\mathsf {d}
 _{Ph} 
[\overline{
\mathsf {m}}
]
)
)
|
 <= \overline{(\epsilon)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(|(\underline{(fy)}
[\overline{
\mathsf {m}}
]
+(-u
\mathsf {d}
 _{Ph} 
[\overline{
\mathsf {m}}
]
)
)
|
 = \overline{(\epsilon)}
)n
)n
)n
)n
)n
\}
\gg 
\forall_{obj} \overline{(\epsilon)}
\colon \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {n}}
\colon \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {m}}
\colon \dot{\neg}\,(0
 <= \overline{(\epsilon)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(0
 = \overline{(\epsilon)}
)n
)n
)n
\Rightarrow \overline{
\mathsf {n}}
 <= \overline{
\mathsf {m}}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(|(\underline{(fx)}
[\overline{
\mathsf {m}}
]
+(-u\underline{(fy)}
[\overline{
\mathsf {m}}
]
)
)
|
 <= \overline{(\epsilon)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(|(\underline{(fx)}
[\overline{
\mathsf {m}}
]
+(-u\underline{(fy)}
[\overline{
\mathsf {m}}
]
)
)
|
 = \overline{(\epsilon)}
)n
)n
)n
)n
)n
; Repetition
\rhd \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(\epsilon)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {n}}
\colon \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {m}}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(0
 <= \overline{(\epsilon)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(0
 = \overline{(\epsilon)}
)n
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{
\mathsf {n}}
 <= \overline{
\mathsf {m}}
\Rightarrow \underline{(fz)}
[\overline{
\mathsf {m}}
]
 <= (\underline{(fx)}
[\overline{
\mathsf {m}}
]
+(-u\overline{(\epsilon)}
)
)
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\gg \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(\epsilon)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {n}}
\colon \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {m}}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(0
 <= \overline{(\epsilon)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(0
 = \overline{(\epsilon)}
)n
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{
\mathsf {n}}
 <= \overline{
\mathsf {m}}
\Rightarrow \underline{(fz)}
[\overline{
\mathsf {m}}
]
 <= (\underline{(fx)}
[\overline{
\mathsf {m}}
]
+(-u\overline{(\epsilon)}
)
)
)n
)n
)n
)n
)n
)n
; SubLessRight(F)
\rhd 
\forall_{obj} \overline{(\epsilon)}
\colon \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {n}}
\colon \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {m}}
\colon \dot{\neg}\,(0
 <= \overline{(\epsilon)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(0
 = \overline{(\epsilon)}
)n
)n
)n
\Rightarrow \overline{
\mathsf {n}}
 <= \overline{
\mathsf {m}}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(|(\underline{(fx)}
[\overline{
\mathsf {m}}
]
+(-u\underline{(fy)}
[\overline{
\mathsf {m}}
]
)
)
|
 <= \overline{(\epsilon)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(|(\underline{(fx)}
[\overline{
\mathsf {m}}
]
+(-u\underline{(fy)}
[\overline{
\mathsf {m}}
]
)
)
|
 = \overline{(\epsilon)}
)n
)n
)n
)n
)n
\rhd \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(\epsilon)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {n}}
\colon \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {m}}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(0
 <= \overline{(\epsilon)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(0
 = \overline{(\epsilon)}
)n
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{
\mathsf {n}}
 <= \overline{
\mathsf {m}}
\Rightarrow \underline{(fz)}
[\overline{
\mathsf {m}}
]
 <= (\underline{(fx)}
[\overline{
\mathsf {m}}
]
+(-u\overline{(\epsilon)}
)
)
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\gg \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(\epsilon)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {n}}
\colon \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {m}}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(0
 <= \overline{(\epsilon)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(0
 = \overline{(\epsilon)}
)n
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{
\mathsf {n}}
 <= \overline{
\mathsf {m}}
\Rightarrow \underline{(fz)}
[\overline{
\mathsf {m}}
]
 <= (\underline{(fy)}
[\overline{
\mathsf {m}}
]
+(-u\overline{(\epsilon)}
)
)
)n
)n
)n
)n
)n
)n
; Repetition
\rhd \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(\epsilon)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {n}}
\colon \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {m}}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(0
 <= \overline{(\epsilon)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(0
 = \overline{(\epsilon)}
)n
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{
\mathsf {n}}
 <= \overline{
\mathsf {m}}
\Rightarrow \underline{(fz)}
[\overline{
\mathsf {m}}
]
 <= (\underline{(fy)}
[\overline{
\mathsf {m}}
]
+(-u\overline{(\epsilon)}
)
)
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\gg \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(\epsilon)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {n}}
\colon \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {m}}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(0
 <= \overline{(\epsilon)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(0
 = \overline{(\epsilon)}
)n
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{
\mathsf {n}}
 <= \overline{
\mathsf {m}}
\Rightarrow \underline{(fz)}
[\overline{
\mathsf {m}}
]
 <= (\underline{(fy)}
[\overline{
\mathsf {m}}
]
+(-u\overline{(\epsilon)}
)
)
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\rceil 
, 
p_0
, 
\mathsf {c}
)
]$


$
[-x*y=-(x*y)
\stackrel{
stmt
}{\rightarrow}SystemQ
\vdash 
\forall \underline{
\mathsf{x}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf{y}}
\colon ((-u\underline{
\mathsf{x}}
)
*\underline{
\mathsf{y}}
)
 = (-u(\underline{
\mathsf{x}}
*\underline{
\mathsf{y}}
)
)
]$

$
[-x*y=-(x*y)
\stackrel{
proof
}{\rightarrow}
\lambda 
\mathsf {c}
.
\lambda 
\mathsf{x}
.
{\cal P}( 
\lceil SystemQ
\vdash 
\forall \underline{
\mathsf{x}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf{y}}
\colon Times(-1)Left
\gg ((-u1
)
*\underline{
\mathsf{x}}
)
 = (-u\underline{
\mathsf{x}}
)
; eqMultiplication
\rhd ((-u1
)
*\underline{
\mathsf{x}}
)
 = (-u\underline{
\mathsf{x}}
)
\gg (((-u1
)
*\underline{
\mathsf{x}}
)
*\underline{
\mathsf{y}}
)
 = ((-u\underline{
\mathsf{x}}
)
*\underline{
\mathsf{y}}
)
; eqSymmetry
\rhd (((-u1
)
*\underline{
\mathsf{x}}
)
*\underline{
\mathsf{y}}
)
 = ((-u\underline{
\mathsf{x}}
)
*\underline{
\mathsf{y}}
)
\gg ((-u\underline{
\mathsf{x}}
)
*\underline{
\mathsf{y}}
)
 = (((-u1
)
*\underline{
\mathsf{x}}
)
*\underline{
\mathsf{y}}
)
; timesAssociativity
\gg (((-u1
)
*\underline{
\mathsf{x}}
)
*\underline{
\mathsf{y}}
)
 = ((-u1
)
*(\underline{
\mathsf{x}}
*\underline{
\mathsf{y}}
)
)
; Times(-1)Left
\gg ((-u1
)
*(\underline{
\mathsf{x}}
*\underline{
\mathsf{y}}
)
)
 = (-u(\underline{
\mathsf{x}}
*\underline{
\mathsf{y}}
)
)
; eqTransitivity4
\rhd ((-u\underline{
\mathsf{x}}
)
*\underline{
\mathsf{y}}
)
 = (((-u1
)
*\underline{
\mathsf{x}}
)
*\underline{
\mathsf{y}}
)
\rhd (((-u1
)
*\underline{
\mathsf{x}}
)
*\underline{
\mathsf{y}}
)
 = ((-u1
)
*(\underline{
\mathsf{x}}
*\underline{
\mathsf{y}}
)
)
\rhd ((-u1
)
*(\underline{
\mathsf{x}}
*\underline{
\mathsf{y}}
)
)
 = (-u(\underline{
\mathsf{x}}
*\underline{
\mathsf{y}}
)
)
\gg ((-u\underline{
\mathsf{x}}
)
*\underline{
\mathsf{y}}
)
 = (-u(\underline{
\mathsf{x}}
*\underline{
\mathsf{y}}
)
)
\rceil 
, 
p_0
, 
\mathsf {c}
)
]$

$
[LeqMultiplicationLeft 
\stackrel{
stmt
}{\rightarrow}SystemQ
\vdash 
\forall \underline{
\mathsf{x}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf{y}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf{z}}
\colon 0
 <= \underline{
\mathsf{z}}
\vdash \underline{
\mathsf{x}}
 <= \underline{
\mathsf{y}}
\vdash (\underline{
\mathsf{z}}
*\underline{
\mathsf{x}}
)
 <= (\underline{
\mathsf{z}}
*\underline{
\mathsf{y}}
)
]$

$
[LeqMultiplicationLeft 
\stackrel{
proof
}{\rightarrow}
\lambda 
\mathsf {c}
.
\lambda 
\mathsf{x}
.
{\cal P}( 
\lceil SystemQ
\vdash 
\forall \underline{
\mathsf{x}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf{y}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf{z}}
\colon 0
 <= \underline{
\mathsf{z}}
\vdash \underline{
\mathsf{x}}
 <= \underline{
\mathsf{y}}
\vdash leqMultiplication
\rhd 0
 <= \underline{
\mathsf{z}}
\rhd \underline{
\mathsf{x}}
 <= \underline{
\mathsf{y}}
\gg (\underline{
\mathsf{x}}
*\underline{
\mathsf{z}}
)
 <= (\underline{
\mathsf{y}}
*\underline{
\mathsf{z}}
)
; timesCommutativity
\gg (\underline{
\mathsf{x}}
*\underline{
\mathsf{z}}
)
 = (\underline{
\mathsf{z}}
*\underline{
\mathsf{x}}
)
; subLeqLeft
\rhd (\underline{
\mathsf{x}}
*\underline{
\mathsf{z}}
)
 = (\underline{
\mathsf{z}}
*\underline{
\mathsf{x}}
)
\rhd (\underline{
\mathsf{x}}
*\underline{
\mathsf{z}}
)
 <= (\underline{
\mathsf{y}}
*\underline{
\mathsf{z}}
)
\gg (\underline{
\mathsf{z}}
*\underline{
\mathsf{x}}
)
 <= (\underline{
\mathsf{y}}
*\underline{
\mathsf{z}}
)
; timesCommutativity
\gg (\underline{
\mathsf{y}}
*\underline{
\mathsf{z}}
)
 = (\underline{
\mathsf{z}}
*\underline{
\mathsf{y}}
)
; subLeqRight
\rhd (\underline{
\mathsf{y}}
*\underline{
\mathsf{z}}
)
 = (\underline{
\mathsf{z}}
*\underline{
\mathsf{y}}
)
\rhd (\underline{
\mathsf{z}}
*\underline{
\mathsf{x}}
)
 <= (\underline{
\mathsf{y}}
*\underline{
\mathsf{z}}
)
\gg (\underline{
\mathsf{z}}
*\underline{
\mathsf{x}}
)
 <= (\underline{
\mathsf{z}}
*\underline{
\mathsf{y}}
)
\rceil 
, 
p_0
, 
\mathsf {c}
)
]$

$
[SameFmultiplication(Helper)
\stackrel{
stmt
}{\rightarrow}SystemQ
\vdash 
\forall \underline{(v1)}
\colon 
\forall \underline{(v2)}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf {m}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf {n}}
\colon 
\forall \underline{(\epsilon)}
\colon 
\forall \underline{(fx)}
\colon 
\forall \underline{(fy)}
\colon 
\forall \underline{(fz)}
\colon 
\forall_{obj} \underline{
\mathsf {m}}
\colon \dot{\neg}\,(0
 <= (\underline{(\epsilon)}
*rec\underline{(v1)}
)
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(0
 = (\underline{(\epsilon)}
*rec\underline{(v1)}
)
)n
)n
)n
\Rightarrow \underline{
\mathsf {n}}
 <= \underline{
\mathsf {m}}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(|(\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
+(-u\underline{(fy)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
)
)
|
 <= (\underline{(\epsilon)}
*rec\underline{(v1)}
)
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(|(\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
+(-u\underline{(fy)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
)
)
|
 = (\underline{(\epsilon)}
*rec\underline{(v1)}
)
)n
)n
)n
\Rightarrow 
\forall_{obj} \underline{(v2)}
\colon \dot{\neg}\,(|\underline{(fz)}
[\underline{(v2)}
]
|
 <= \underline{(v1)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(|\underline{(fz)}
[\underline{(v2)}
]
|
 = \underline{(v1)}
)n
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(0
 <= \underline{(\epsilon)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(0
 = \underline{(\epsilon)}
)n
)n
)n
\Rightarrow \underline{
\mathsf {n}}
 <= \underline{
\mathsf {m}}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(|( \{ ph \mathrel{\in}  \{ ph \mathrel{\in} P(P(Union(\{N
,Q
\}
)
)
)
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op1)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op2)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\overline{(op1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(op2)}
 \mathrel{\in} Q
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\mathsf {a}
 _{Ph} 
 = \{\{\overline{(op1)}
,\overline{(op1)}
\}
,\{\overline{(op1)}
,\overline{(op2)}
\}
\}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\}
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \underline{
\mathsf {m}}
\colon \dot{\neg}\,(
\mathsf {e}
 _{Ph} 
 = \{\{\underline{
\mathsf {m}}
,\underline{
\mathsf {m}}
\}
,\{\underline{
\mathsf {m}}
,(\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
*\underline{(fz)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
)
\}
\}
)n
)n
\}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
+(-u \{ ph \mathrel{\in}  \{ ph \mathrel{\in} P(P(Union(\{N
,Q
\}
)
)
)
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op1)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op2)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\overline{(op1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(op2)}
 \mathrel{\in} Q
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\mathsf {a}
 _{Ph} 
 = \{\{\overline{(op1)}
,\overline{(op1)}
\}
,\{\overline{(op1)}
,\overline{(op2)}
\}
\}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\}
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \underline{
\mathsf {m}}
\colon \dot{\neg}\,(
\mathsf {e}
 _{Ph} 
 = \{\{\underline{
\mathsf {m}}
,\underline{
\mathsf {m}}
\}
,\{\underline{
\mathsf {m}}
,(\underline{(fy)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
*\underline{(fz)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
)
\}
\}
)n
)n
\}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
)
)
|
 <= \underline{(\epsilon)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(|( \{ ph \mathrel{\in}  \{ ph \mathrel{\in} P(P(Union(\{N
,Q
\}
)
)
)
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op1)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op2)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\overline{(op1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(op2)}
 \mathrel{\in} Q
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\mathsf {a}
 _{Ph} 
 = \{\{\overline{(op1)}
,\overline{(op1)}
\}
,\{\overline{(op1)}
,\overline{(op2)}
\}
\}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\}
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \underline{
\mathsf {m}}
\colon \dot{\neg}\,(
\mathsf {e}
 _{Ph} 
 = \{\{\underline{
\mathsf {m}}
,\underline{
\mathsf {m}}
\}
,\{\underline{
\mathsf {m}}
,(\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
*\underline{(fz)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
)
\}
\}
)n
)n
\}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
+(-u \{ ph \mathrel{\in}  \{ ph \mathrel{\in} P(P(Union(\{N
,Q
\}
)
)
)
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op1)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op2)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\overline{(op1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(op2)}
 \mathrel{\in} Q
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\mathsf {a}
 _{Ph} 
 = \{\{\overline{(op1)}
,\overline{(op1)}
\}
,\{\overline{(op1)}
,\overline{(op2)}
\}
\}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\}
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \underline{
\mathsf {m}}
\colon \dot{\neg}\,(
\mathsf {e}
 _{Ph} 
 = \{\{\underline{
\mathsf {m}}
,\underline{
\mathsf {m}}
\}
,\{\underline{
\mathsf {m}}
,(\underline{(fy)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
*\underline{(fz)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
)
\}
\}
)n
)n
\}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
)
)
|
 = \underline{(\epsilon)}
)n
)n
)n
]$


$
[SameFmultiplication(Helper)
\stackrel{
proof
}{\rightarrow}
\lambda 
\mathsf {c}
.
\lambda 
\mathsf{x}
.
{\cal P}( 
\lceil SystemQ
\vdash 
\forall \underline{(v1)}
\colon 
\forall \underline{(v2)}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf {m}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf {n}}
\colon 
\forall \underline{(\epsilon)}
\colon 
\forall \underline{(fx)}
\colon 
\forall \underline{(fy)}
\colon 
\forall \underline{(fz)}
\colon 
\forall_{obj} \underline{
\mathsf {m}}
\colon \dot{\neg}\,(0
 <= (\underline{(\epsilon)}
*rec\underline{(v1)}
)
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(0
 = (\underline{(\epsilon)}
*rec\underline{(v1)}
)
)n
)n
)n
\Rightarrow \underline{
\mathsf {n}}
 <= \underline{
\mathsf {m}}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(|(\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
+(-u\underline{(fy)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
)
)
|
 <= (\underline{(\epsilon)}
*rec\underline{(v1)}
)
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(|(\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
+(-u\underline{(fy)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
)
)
|
 = (\underline{(\epsilon)}
*rec\underline{(v1)}
)
)n
)n
)n
\vdash 
\forall_{obj} \underline{(v2)}
\colon \dot{\neg}\,(|\underline{(fz)}
[\underline{(v2)}
]
|
 <= \underline{(v1)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(|\underline{(fz)}
[\underline{(v2)}
]
|
 = \underline{(v1)}
)n
)n
)n
\vdash \dot{\neg}\,(0
 <= \underline{(\epsilon)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(0
 = \underline{(\epsilon)}
)n
)n
)n
\vdash \underline{
\mathsf {n}}
 <= \underline{
\mathsf {m}}
\vdash A4
\mathop {\char64} \underline{(v2)}
\rhd 
\forall_{obj} \underline{(v2)}
\colon \dot{\neg}\,(|\underline{(fz)}
[\underline{(v2)}
]
|
 <= \underline{(v1)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(|\underline{(fz)}
[\underline{(v2)}
]
|
 = \underline{(v1)}
)n
)n
)n
\gg \dot{\neg}\,(|\underline{(fz)}
[\underline{(v2)}
]
|
 <= \underline{(v1)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(|\underline{(fz)}
[\underline{(v2)}
]
|
 = \underline{(v1)}
)n
)n
)n
; 0<=|x|
\gg 0
 <= |\underline{(fz)}
[\underline{(v2)}
]
|
; leqLessTransitivity
\rhd 0
 <= |\underline{(fz)}
[\underline{(v2)}
]
|
\rhd \dot{\neg}\,(|\underline{(fz)}
[\underline{(v2)}
]
|
 <= \underline{(v1)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(|\underline{(fz)}
[\underline{(v2)}
]
|
 = \underline{(v1)}
)n
)n
)n
\gg \dot{\neg}\,(0
 <= \underline{(v1)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(0
 = \underline{(v1)}
)n
)n
)n
; PositiveInverted
\rhd \dot{\neg}\,(0
 <= \underline{(v1)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(0
 = \underline{(v1)}
)n
)n
)n
\gg \dot{\neg}\,(0
 <= rec\underline{(v1)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(0
 = rec\underline{(v1)}
)n
)n
)n
; PositiveFactors
\rhd \dot{\neg}\,(0
 <= \underline{(\epsilon)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(0
 = \underline{(\epsilon)}
)n
)n
)n
\rhd \dot{\neg}\,(0
 <= rec\underline{(v1)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(0
 = rec\underline{(v1)}
)n
)n
)n
\gg \dot{\neg}\,(0
 <= (\underline{(\epsilon)}
*rec\underline{(v1)}
)
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(0
 = (\underline{(\epsilon)}
*rec\underline{(v1)}
)
)n
)n
)n
; A4
\mathop {\char64} \underline{
\mathsf {m}}
\rhd 
\forall_{obj} \underline{
\mathsf {m}}
\colon \dot{\neg}\,(0
 <= (\underline{(\epsilon)}
*rec\underline{(v1)}
)
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(0
 = (\underline{(\epsilon)}
*rec\underline{(v1)}
)
)n
)n
)n
\Rightarrow \underline{
\mathsf {n}}
 <= \underline{
\mathsf {m}}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(|(\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
+(-u\underline{(fy)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
)
)
|
 <= (\underline{(\epsilon)}
*rec\underline{(v1)}
)
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(|(\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
+(-u\underline{(fy)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
)
)
|
 = (\underline{(\epsilon)}
*rec\underline{(v1)}
)
)n
)n
)n
\gg \dot{\neg}\,(0
 <= (\underline{(\epsilon)}
*rec\underline{(v1)}
)
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(0
 = (\underline{(\epsilon)}
*rec\underline{(v1)}
)
)n
)n
)n
\Rightarrow \underline{
\mathsf {n}}
 <= \underline{
\mathsf {m}}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(|(\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
+(-u\underline{(fy)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
)
)
|
 <= (\underline{(\epsilon)}
*rec\underline{(v1)}
)
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(|(\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
+(-u\underline{(fy)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
)
)
|
 = (\underline{(\epsilon)}
*rec\underline{(v1)}
)
)n
)n
)n
; MP2
\rhd \dot{\neg}\,(0
 <= (\underline{(\epsilon)}
*rec\underline{(v1)}
)
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(0
 = (\underline{(\epsilon)}
*rec\underline{(v1)}
)
)n
)n
)n
\Rightarrow \underline{
\mathsf {n}}
 <= \underline{
\mathsf {m}}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(|(\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
+(-u\underline{(fy)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
)
)
|
 <= (\underline{(\epsilon)}
*rec\underline{(v1)}
)
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(|(\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
+(-u\underline{(fy)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
)
)
|
 = (\underline{(\epsilon)}
*rec\underline{(v1)}
)
)n
)n
)n
\rhd \dot{\neg}\,(0
 <= (\underline{(\epsilon)}
*rec\underline{(v1)}
)
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(0
 = (\underline{(\epsilon)}
*rec\underline{(v1)}
)
)n
)n
)n
\rhd \underline{
\mathsf {n}}
 <= \underline{
\mathsf {m}}
\gg \dot{\neg}\,(|(\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
+(-u\underline{(fy)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
)
)
|
 <= (\underline{(\epsilon)}
*rec\underline{(v1)}
)
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(|(\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
+(-u\underline{(fy)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
)
)
|
 = (\underline{(\epsilon)}
*rec\underline{(v1)}
)
)n
)n
)n
; reciprocalToLeft(Less)
\rhd \dot{\neg}\,(0
 <= \underline{(v1)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(0
 = \underline{(v1)}
)n
)n
)n
\rhd \dot{\neg}\,(|(\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
+(-u\underline{(fy)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
)
)
|
 <= (\underline{(\epsilon)}
*rec\underline{(v1)}
)
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(|(\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
+(-u\underline{(fy)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
)
)
|
 = (\underline{(\epsilon)}
*rec\underline{(v1)}
)
)n
)n
)n
\gg \dot{\neg}\,((|(\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
+(-u\underline{(fy)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
)
)
|
*\underline{(v1)}
)
 <= \underline{(\epsilon)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,((|(\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
+(-u\underline{(fy)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
)
)
|
*\underline{(v1)}
)
 = \underline{(\epsilon)}
)n
)n
)n
; TimesF
\gg  \{ ph \mathrel{\in}  \{ ph \mathrel{\in} P(P(Union(\{N
,Q
\}
)
)
)
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op1)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op2)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\overline{(op1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(op2)}
 \mathrel{\in} Q
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\mathsf {a}
 _{Ph} 
 = \{\{\overline{(op1)}
,\overline{(op1)}
\}
,\{\overline{(op1)}
,\overline{(op2)}
\}
\}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\}
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \underline{
\mathsf {m}}
\colon \dot{\neg}\,(
\mathsf {e}
 _{Ph} 
 = \{\{\underline{
\mathsf {m}}
,\underline{
\mathsf {m}}
\}
,\{\underline{
\mathsf {m}}
,(\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
*\underline{(fz)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
)
\}
\}
)n
)n
\}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
 = (\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
*\underline{(fz)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
)
; TimesF
\gg  \{ ph \mathrel{\in}  \{ ph \mathrel{\in} P(P(Union(\{N
,Q
\}
)
)
)
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op1)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op2)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\overline{(op1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(op2)}
 \mathrel{\in} Q
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\mathsf {a}
 _{Ph} 
 = \{\{\overline{(op1)}
,\overline{(op1)}
\}
,\{\overline{(op1)}
,\overline{(op2)}
\}
\}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\}
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \underline{
\mathsf {m}}
\colon \dot{\neg}\,(
\mathsf {e}
 _{Ph} 
 = \{\{\underline{
\mathsf {m}}
,\underline{
\mathsf {m}}
\}
,\{\underline{
\mathsf {m}}
,(\underline{(fy)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
*\underline{(fz)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
)
\}
\}
)n
)n
\}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
 = (\underline{(fy)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
*\underline{(fz)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
)
; EqNegated
\rhd  \{ ph \mathrel{\in}  \{ ph \mathrel{\in} P(P(Union(\{N
,Q
\}
)
)
)
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op1)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op2)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\overline{(op1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(op2)}
 \mathrel{\in} Q
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\mathsf {a}
 _{Ph} 
 = \{\{\overline{(op1)}
,\overline{(op1)}
\}
,\{\overline{(op1)}
,\overline{(op2)}
\}
\}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\}
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \underline{
\mathsf {m}}
\colon \dot{\neg}\,(
\mathsf {e}
 _{Ph} 
 = \{\{\underline{
\mathsf {m}}
,\underline{
\mathsf {m}}
\}
,\{\underline{
\mathsf {m}}
,(\underline{(fy)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
*\underline{(fz)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
)
\}
\}
)n
)n
\}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
 = (\underline{(fy)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
*\underline{(fz)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
)
\gg (-u \{ ph \mathrel{\in}  \{ ph \mathrel{\in} P(P(Union(\{N
,Q
\}
)
)
)
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op1)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op2)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\overline{(op1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(op2)}
 \mathrel{\in} Q
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\mathsf {a}
 _{Ph} 
 = \{\{\overline{(op1)}
,\overline{(op1)}
\}
,\{\overline{(op1)}
,\overline{(op2)}
\}
\}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\}
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \underline{
\mathsf {m}}
\colon \dot{\neg}\,(
\mathsf {e}
 _{Ph} 
 = \{\{\underline{
\mathsf {m}}
,\underline{
\mathsf {m}}
\}
,\{\underline{
\mathsf {m}}
,(\underline{(fy)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
*\underline{(fz)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
)
\}
\}
)n
)n
\}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
)
 = (-u(\underline{(fy)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
*\underline{(fz)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
)
)
; -x*y=-(x*y)
\gg ((-u\underline{(fy)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
)
*\underline{(fz)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
)
 = (-u(\underline{(fy)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
*\underline{(fz)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
)
)
; eqSymmetry
\rhd ((-u\underline{(fy)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
)
*\underline{(fz)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
)
 = (-u(\underline{(fy)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
*\underline{(fz)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
)
)
\gg (-u(\underline{(fy)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
*\underline{(fz)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
)
)
 = ((-u\underline{(fy)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
)
*\underline{(fz)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
)
; eqTransitivity
\rhd (-u \{ ph \mathrel{\in}  \{ ph \mathrel{\in} P(P(Union(\{N
,Q
\}
)
)
)
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op1)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op2)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\overline{(op1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(op2)}
 \mathrel{\in} Q
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\mathsf {a}
 _{Ph} 
 = \{\{\overline{(op1)}
,\overline{(op1)}
\}
,\{\overline{(op1)}
,\overline{(op2)}
\}
\}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\}
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \underline{
\mathsf {m}}
\colon \dot{\neg}\,(
\mathsf {e}
 _{Ph} 
 = \{\{\underline{
\mathsf {m}}
,\underline{
\mathsf {m}}
\}
,\{\underline{
\mathsf {m}}
,(\underline{(fy)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
*\underline{(fz)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
)
\}
\}
)n
)n
\}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
)
 = (-u(\underline{(fy)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
*\underline{(fz)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
)
)
\rhd (-u(\underline{(fy)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
*\underline{(fz)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
)
)
 = ((-u\underline{(fy)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
)
*\underline{(fz)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
)
\gg (-u \{ ph \mathrel{\in}  \{ ph \mathrel{\in} P(P(Union(\{N
,Q
\}
)
)
)
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op1)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op2)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\overline{(op1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(op2)}
 \mathrel{\in} Q
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\mathsf {a}
 _{Ph} 
 = \{\{\overline{(op1)}
,\overline{(op1)}
\}
,\{\overline{(op1)}
,\overline{(op2)}
\}
\}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\}
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \underline{
\mathsf {m}}
\colon \dot{\neg}\,(
\mathsf {e}
 _{Ph} 
 = \{\{\underline{
\mathsf {m}}
,\underline{
\mathsf {m}}
\}
,\{\underline{
\mathsf {m}}
,(\underline{(fy)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
*\underline{(fz)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
)
\}
\}
)n
)n
\}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
)
 = ((-u\underline{(fy)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
)
*\underline{(fz)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
)
; AddEquations
\rhd  \{ ph \mathrel{\in}  \{ ph \mathrel{\in} P(P(Union(\{N
,Q
\}
)
)
)
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op1)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op2)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\overline{(op1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(op2)}
 \mathrel{\in} Q
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\mathsf {a}
 _{Ph} 
 = \{\{\overline{(op1)}
,\overline{(op1)}
\}
,\{\overline{(op1)}
,\overline{(op2)}
\}
\}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\}
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \underline{
\mathsf {m}}
\colon \dot{\neg}\,(
\mathsf {e}
 _{Ph} 
 = \{\{\underline{
\mathsf {m}}
,\underline{
\mathsf {m}}
\}
,\{\underline{
\mathsf {m}}
,(\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
*\underline{(fz)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
)
\}
\}
)n
)n
\}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
 = (\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
*\underline{(fz)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
)
\rhd (-u \{ ph \mathrel{\in}  \{ ph \mathrel{\in} P(P(Union(\{N
,Q
\}
)
)
)
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op1)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op2)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\overline{(op1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(op2)}
 \mathrel{\in} Q
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\mathsf {a}
 _{Ph} 
 = \{\{\overline{(op1)}
,\overline{(op1)}
\}
,\{\overline{(op1)}
,\overline{(op2)}
\}
\}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\}
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \underline{
\mathsf {m}}
\colon \dot{\neg}\,(
\mathsf {e}
 _{Ph} 
 = \{\{\underline{
\mathsf {m}}
,\underline{
\mathsf {m}}
\}
,\{\underline{
\mathsf {m}}
,(\underline{(fy)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
*\underline{(fz)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
)
\}
\}
)n
)n
\}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
)
 = ((-u\underline{(fy)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
)
*\underline{(fz)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
)
\gg ( \{ ph \mathrel{\in}  \{ ph \mathrel{\in} P(P(Union(\{N
,Q
\}
)
)
)
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op1)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op2)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\overline{(op1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(op2)}
 \mathrel{\in} Q
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\mathsf {a}
 _{Ph} 
 = \{\{\overline{(op1)}
,\overline{(op1)}
\}
,\{\overline{(op1)}
,\overline{(op2)}
\}
\}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\}
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \underline{
\mathsf {m}}
\colon \dot{\neg}\,(
\mathsf {e}
 _{Ph} 
 = \{\{\underline{
\mathsf {m}}
,\underline{
\mathsf {m}}
\}
,\{\underline{
\mathsf {m}}
,(\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
*\underline{(fz)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
)
\}
\}
)n
)n
\}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
+(-u \{ ph \mathrel{\in}  \{ ph \mathrel{\in} P(P(Union(\{N
,Q
\}
)
)
)
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op1)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op2)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\overline{(op1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(op2)}
 \mathrel{\in} Q
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\mathsf {a}
 _{Ph} 
 = \{\{\overline{(op1)}
,\overline{(op1)}
\}
,\{\overline{(op1)}
,\overline{(op2)}
\}
\}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\}
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \underline{
\mathsf {m}}
\colon \dot{\neg}\,(
\mathsf {e}
 _{Ph} 
 = \{\{\underline{
\mathsf {m}}
,\underline{
\mathsf {m}}
\}
,\{\underline{
\mathsf {m}}
,(\underline{(fy)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
*\underline{(fz)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
)
\}
\}
)n
)n
\}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
)
)
 = ((\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
*\underline{(fz)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
)
+((-u\underline{(fy)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
)
*\underline{(fz)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
)
)
; DistributionOutLeft
\gg ((\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
*\underline{(fz)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
)
+((-u\underline{(fy)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
)
*\underline{(fz)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
)
)
 = (\underline{(fz)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
*(\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
+(-u\underline{(fy)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
)
)
)
; eqTransitivity
\rhd ( \{ ph \mathrel{\in}  \{ ph \mathrel{\in} P(P(Union(\{N
,Q
\}
)
)
)
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op1)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op2)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\overline{(op1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(op2)}
 \mathrel{\in} Q
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\mathsf {a}
 _{Ph} 
 = \{\{\overline{(op1)}
,\overline{(op1)}
\}
,\{\overline{(op1)}
,\overline{(op2)}
\}
\}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\}
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \underline{
\mathsf {m}}
\colon \dot{\neg}\,(
\mathsf {e}
 _{Ph} 
 = \{\{\underline{
\mathsf {m}}
,\underline{
\mathsf {m}}
\}
,\{\underline{
\mathsf {m}}
,(\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
*\underline{(fz)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
)
\}
\}
)n
)n
\}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
+(-u \{ ph \mathrel{\in}  \{ ph \mathrel{\in} P(P(Union(\{N
,Q
\}
)
)
)
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op1)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op2)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\overline{(op1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(op2)}
 \mathrel{\in} Q
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\mathsf {a}
 _{Ph} 
 = \{\{\overline{(op1)}
,\overline{(op1)}
\}
,\{\overline{(op1)}
,\overline{(op2)}
\}
\}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\}
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \underline{
\mathsf {m}}
\colon \dot{\neg}\,(
\mathsf {e}
 _{Ph} 
 = \{\{\underline{
\mathsf {m}}
,\underline{
\mathsf {m}}
\}
,\{\underline{
\mathsf {m}}
,(\underline{(fy)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
*\underline{(fz)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
)
\}
\}
)n
)n
\}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
)
)
 = ((\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
*\underline{(fz)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
)
+((-u\underline{(fy)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
)
*\underline{(fz)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
)
)
\rhd ((\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
*\underline{(fz)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
)
+((-u\underline{(fy)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
)
*\underline{(fz)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
)
)
 = (\underline{(fz)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
*(\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
+(-u\underline{(fy)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
)
)
)
\gg ( \{ ph \mathrel{\in}  \{ ph \mathrel{\in} P(P(Union(\{N
,Q
\}
)
)
)
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op1)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op2)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\overline{(op1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(op2)}
 \mathrel{\in} Q
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\mathsf {a}
 _{Ph} 
 = \{\{\overline{(op1)}
,\overline{(op1)}
\}
,\{\overline{(op1)}
,\overline{(op2)}
\}
\}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\}
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \underline{
\mathsf {m}}
\colon \dot{\neg}\,(
\mathsf {e}
 _{Ph} 
 = \{\{\underline{
\mathsf {m}}
,\underline{
\mathsf {m}}
\}
,\{\underline{
\mathsf {m}}
,(\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
*\underline{(fz)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
)
\}
\}
)n
)n
\}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
+(-u \{ ph \mathrel{\in}  \{ ph \mathrel{\in} P(P(Union(\{N
,Q
\}
)
)
)
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op1)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op2)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\overline{(op1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(op2)}
 \mathrel{\in} Q
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\mathsf {a}
 _{Ph} 
 = \{\{\overline{(op1)}
,\overline{(op1)}
\}
,\{\overline{(op1)}
,\overline{(op2)}
\}
\}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\}
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \underline{
\mathsf {m}}
\colon \dot{\neg}\,(
\mathsf {e}
 _{Ph} 
 = \{\{\underline{
\mathsf {m}}
,\underline{
\mathsf {m}}
\}
,\{\underline{
\mathsf {m}}
,(\underline{(fy)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
*\underline{(fz)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
)
\}
\}
)n
)n
\}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
)
)
 = (\underline{(fz)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
*(\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
+(-u\underline{(fy)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
)
)
)
; SameNumerical
\rhd ( \{ ph \mathrel{\in}  \{ ph \mathrel{\in} P(P(Union(\{N
,Q
\}
)
)
)
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op1)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op2)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\overline{(op1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(op2)}
 \mathrel{\in} Q
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\mathsf {a}
 _{Ph} 
 = \{\{\overline{(op1)}
,\overline{(op1)}
\}
,\{\overline{(op1)}
,\overline{(op2)}
\}
\}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\}
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \underline{
\mathsf {m}}
\colon \dot{\neg}\,(
\mathsf {e}
 _{Ph} 
 = \{\{\underline{
\mathsf {m}}
,\underline{
\mathsf {m}}
\}
,\{\underline{
\mathsf {m}}
,(\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
*\underline{(fz)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
)
\}
\}
)n
)n
\}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
+(-u \{ ph \mathrel{\in}  \{ ph \mathrel{\in} P(P(Union(\{N
,Q
\}
)
)
)
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op1)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op2)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\overline{(op1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(op2)}
 \mathrel{\in} Q
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\mathsf {a}
 _{Ph} 
 = \{\{\overline{(op1)}
,\overline{(op1)}
\}
,\{\overline{(op1)}
,\overline{(op2)}
\}
\}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\}
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \underline{
\mathsf {m}}
\colon \dot{\neg}\,(
\mathsf {e}
 _{Ph} 
 = \{\{\underline{
\mathsf {m}}
,\underline{
\mathsf {m}}
\}
,\{\underline{
\mathsf {m}}
,(\underline{(fy)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
*\underline{(fz)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
)
\}
\}
)n
)n
\}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
)
)
 = (\underline{(fz)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
*(\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
+(-u\underline{(fy)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
)
)
)
\gg |( \{ ph \mathrel{\in}  \{ ph \mathrel{\in} P(P(Union(\{N
,Q
\}
)
)
)
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op1)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op2)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\overline{(op1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(op2)}
 \mathrel{\in} Q
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\mathsf {a}
 _{Ph} 
 = \{\{\overline{(op1)}
,\overline{(op1)}
\}
,\{\overline{(op1)}
,\overline{(op2)}
\}
\}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\}
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \underline{
\mathsf {m}}
\colon \dot{\neg}\,(
\mathsf {e}
 _{Ph} 
 = \{\{\underline{
\mathsf {m}}
,\underline{
\mathsf {m}}
\}
,\{\underline{
\mathsf {m}}
,(\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
*\underline{(fz)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
)
\}
\}
)n
)n
\}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
+(-u \{ ph \mathrel{\in}  \{ ph \mathrel{\in} P(P(Union(\{N
,Q
\}
)
)
)
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op1)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op2)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\overline{(op1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(op2)}
 \mathrel{\in} Q
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\mathsf {a}
 _{Ph} 
 = \{\{\overline{(op1)}
,\overline{(op1)}
\}
,\{\overline{(op1)}
,\overline{(op2)}
\}
\}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\}
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \underline{
\mathsf {m}}
\colon \dot{\neg}\,(
\mathsf {e}
 _{Ph} 
 = \{\{\underline{
\mathsf {m}}
,\underline{
\mathsf {m}}
\}
,\{\underline{
\mathsf {m}}
,(\underline{(fy)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
*\underline{(fz)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
)
\}
\}
)n
)n
\}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
)
)
|
 = |(\underline{(fz)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
*(\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
+(-u\underline{(fy)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
)
)
)
|
; SplitNumericalProduct
\gg |(\underline{(fz)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
*(\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
+(-u\underline{(fy)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
)
)
)
|
 = (|\underline{(fz)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
|
*|(\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
+(-u\underline{(fy)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
)
)
|
)
; timesCommutativity
\gg (|\underline{(fz)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
|
*|(\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
+(-u\underline{(fy)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
)
)
|
)
 = (|(\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
+(-u\underline{(fy)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
)
)
|
*|\underline{(fz)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
|
)
; eqTransitivity4
\rhd |( \{ ph \mathrel{\in}  \{ ph \mathrel{\in} P(P(Union(\{N
,Q
\}
)
)
)
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op1)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op2)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\overline{(op1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(op2)}
 \mathrel{\in} Q
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\mathsf {a}
 _{Ph} 
 = \{\{\overline{(op1)}
,\overline{(op1)}
\}
,\{\overline{(op1)}
,\overline{(op2)}
\}
\}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\}
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \underline{
\mathsf {m}}
\colon \dot{\neg}\,(
\mathsf {e}
 _{Ph} 
 = \{\{\underline{
\mathsf {m}}
,\underline{
\mathsf {m}}
\}
,\{\underline{
\mathsf {m}}
,(\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
*\underline{(fz)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
)
\}
\}
)n
)n
\}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
+(-u \{ ph \mathrel{\in}  \{ ph \mathrel{\in} P(P(Union(\{N
,Q
\}
)
)
)
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op1)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op2)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\overline{(op1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(op2)}
 \mathrel{\in} Q
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\mathsf {a}
 _{Ph} 
 = \{\{\overline{(op1)}
,\overline{(op1)}
\}
,\{\overline{(op1)}
,\overline{(op2)}
\}
\}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\}
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \underline{
\mathsf {m}}
\colon \dot{\neg}\,(
\mathsf {e}
 _{Ph} 
 = \{\{\underline{
\mathsf {m}}
,\underline{
\mathsf {m}}
\}
,\{\underline{
\mathsf {m}}
,(\underline{(fy)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
*\underline{(fz)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
)
\}
\}
)n
)n
\}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
)
)
|
 = |(\underline{(fz)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
*(\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
+(-u\underline{(fy)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
)
)
)
|
\rhd |(\underline{(fz)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
*(\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
+(-u\underline{(fy)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
)
)
)
|
 = (|\underline{(fz)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
|
*|(\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
+(-u\underline{(fy)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
)
)
|
)
\rhd (|\underline{(fz)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
|
*|(\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
+(-u\underline{(fy)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
)
)
|
)
 = (|(\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
+(-u\underline{(fy)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
)
)
|
*|\underline{(fz)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
|
)
\gg |( \{ ph \mathrel{\in}  \{ ph \mathrel{\in} P(P(Union(\{N
,Q
\}
)
)
)
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op1)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op2)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\overline{(op1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(op2)}
 \mathrel{\in} Q
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\mathsf {a}
 _{Ph} 
 = \{\{\overline{(op1)}
,\overline{(op1)}
\}
,\{\overline{(op1)}
,\overline{(op2)}
\}
\}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\}
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \underline{
\mathsf {m}}
\colon \dot{\neg}\,(
\mathsf {e}
 _{Ph} 
 = \{\{\underline{
\mathsf {m}}
,\underline{
\mathsf {m}}
\}
,\{\underline{
\mathsf {m}}
,(\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
*\underline{(fz)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
)
\}
\}
)n
)n
\}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
+(-u \{ ph \mathrel{\in}  \{ ph \mathrel{\in} P(P(Union(\{N
,Q
\}
)
)
)
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op1)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op2)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\overline{(op1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(op2)}
 \mathrel{\in} Q
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\mathsf {a}
 _{Ph} 
 = \{\{\overline{(op1)}
,\overline{(op1)}
\}
,\{\overline{(op1)}
,\overline{(op2)}
\}
\}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\}
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \underline{
\mathsf {m}}
\colon \dot{\neg}\,(
\mathsf {e}
 _{Ph} 
 = \{\{\underline{
\mathsf {m}}
,\underline{
\mathsf {m}}
\}
,\{\underline{
\mathsf {m}}
,(\underline{(fy)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
*\underline{(fz)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
)
\}
\}
)n
)n
\}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
)
)
|
 = (|(\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
+(-u\underline{(fy)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
)
)
|
*|\underline{(fz)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
|
)
; eqSymmetry
\rhd |( \{ ph \mathrel{\in}  \{ ph \mathrel{\in} P(P(Union(\{N
,Q
\}
)
)
)
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op1)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op2)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\overline{(op1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(op2)}
 \mathrel{\in} Q
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\mathsf {a}
 _{Ph} 
 = \{\{\overline{(op1)}
,\overline{(op1)}
\}
,\{\overline{(op1)}
,\overline{(op2)}
\}
\}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\}
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \underline{
\mathsf {m}}
\colon \dot{\neg}\,(
\mathsf {e}
 _{Ph} 
 = \{\{\underline{
\mathsf {m}}
,\underline{
\mathsf {m}}
\}
,\{\underline{
\mathsf {m}}
,(\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
*\underline{(fz)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
)
\}
\}
)n
)n
\}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
+(-u \{ ph \mathrel{\in}  \{ ph \mathrel{\in} P(P(Union(\{N
,Q
\}
)
)
)
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op1)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op2)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\overline{(op1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(op2)}
 \mathrel{\in} Q
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\mathsf {a}
 _{Ph} 
 = \{\{\overline{(op1)}
,\overline{(op1)}
\}
,\{\overline{(op1)}
,\overline{(op2)}
\}
\}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\}
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \underline{
\mathsf {m}}
\colon \dot{\neg}\,(
\mathsf {e}
 _{Ph} 
 = \{\{\underline{
\mathsf {m}}
,\underline{
\mathsf {m}}
\}
,\{\underline{
\mathsf {m}}
,(\underline{(fy)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
*\underline{(fz)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
)
\}
\}
)n
)n
\}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
)
)
|
 = (|(\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
+(-u\underline{(fy)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
)
)
|
*|\underline{(fz)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
|
)
\gg (|(\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
+(-u\underline{(fy)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
)
)
|
*|\underline{(fz)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
|
)
 = |( \{ ph \mathrel{\in}  \{ ph \mathrel{\in} P(P(Union(\{N
,Q
\}
)
)
)
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op1)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op2)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\overline{(op1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(op2)}
 \mathrel{\in} Q
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\mathsf {a}
 _{Ph} 
 = \{\{\overline{(op1)}
,\overline{(op1)}
\}
,\{\overline{(op1)}
,\overline{(op2)}
\}
\}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\}
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \underline{
\mathsf {m}}
\colon \dot{\neg}\,(
\mathsf {e}
 _{Ph} 
 = \{\{\underline{
\mathsf {m}}
,\underline{
\mathsf {m}}
\}
,\{\underline{
\mathsf {m}}
,(\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
*\underline{(fz)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
)
\}
\}
)n
)n
\}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
+(-u \{ ph \mathrel{\in}  \{ ph \mathrel{\in} P(P(Union(\{N
,Q
\}
)
)
)
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op1)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op2)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\overline{(op1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(op2)}
 \mathrel{\in} Q
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\mathsf {a}
 _{Ph} 
 = \{\{\overline{(op1)}
,\overline{(op1)}
\}
,\{\overline{(op1)}
,\overline{(op2)}
\}
\}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\}
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \underline{
\mathsf {m}}
\colon \dot{\neg}\,(
\mathsf {e}
 _{Ph} 
 = \{\{\underline{
\mathsf {m}}
,\underline{
\mathsf {m}}
\}
,\{\underline{
\mathsf {m}}
,(\underline{(fy)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
*\underline{(fz)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
)
\}
\}
)n
)n
\}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
)
)
|
; A4
\mathop {\char64} \underline{(fz)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
\rhd 
\forall_{obj} \underline{(v2)}
\colon \dot{\neg}\,(|\underline{(fz)}
[\underline{(v2)}
]
|
 <= \underline{(v1)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(|\underline{(fz)}
[\underline{(v2)}
]
|
 = \underline{(v1)}
)n
)n
)n
\gg |\underline{(fz)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
|
 <= \underline{(v1)}
; 0<=|x|
\gg 0
 <= |(\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
+(-u\underline{(fy)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
)
)
|
; LeqMultiplicationLeft 
\rhd 0
 <= |(\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
+(-u\underline{(fy)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
)
)
|
\rhd |\underline{(fz)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
|
 <= \underline{(v1)}
\gg (|(\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
+(-u\underline{(fy)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
)
)
|
*|\underline{(fz)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
|
)
 <= (|(\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
+(-u\underline{(fy)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
)
)
|
*\underline{(v1)}
)
; leqLessTransitivity
\rhd (|(\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
+(-u\underline{(fy)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
)
)
|
*|\underline{(fz)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
|
)
 <= (|(\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
+(-u\underline{(fy)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
)
)
|
*\underline{(v1)}
)
\rhd \dot{\neg}\,((|(\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
+(-u\underline{(fy)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
)
)
|
*\underline{(v1)}
)
 <= \underline{(\epsilon)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,((|(\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
+(-u\underline{(fy)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
)
)
|
*\underline{(v1)}
)
 = \underline{(\epsilon)}
)n
)n
)n
\gg \dot{\neg}\,((|(\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
+(-u\underline{(fy)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
)
)
|
*|\underline{(fz)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
|
)
 <= \underline{(\epsilon)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,((|(\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
+(-u\underline{(fy)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
)
)
|
*|\underline{(fz)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
|
)
 = \underline{(\epsilon)}
)n
)n
)n
; SubLessLeft
\rhd (|(\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
+(-u\underline{(fy)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
)
)
|
*|\underline{(fz)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
|
)
 = |( \{ ph \mathrel{\in}  \{ ph \mathrel{\in} P(P(Union(\{N
,Q
\}
)
)
)
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op1)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op2)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\overline{(op1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(op2)}
 \mathrel{\in} Q
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\mathsf {a}
 _{Ph} 
 = \{\{\overline{(op1)}
,\overline{(op1)}
\}
,\{\overline{(op1)}
,\overline{(op2)}
\}
\}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\}
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \underline{
\mathsf {m}}
\colon \dot{\neg}\,(
\mathsf {e}
 _{Ph} 
 = \{\{\underline{
\mathsf {m}}
,\underline{
\mathsf {m}}
\}
,\{\underline{
\mathsf {m}}
,(\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
*\underline{(fz)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
)
\}
\}
)n
)n
\}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
+(-u \{ ph \mathrel{\in}  \{ ph \mathrel{\in} P(P(Union(\{N
,Q
\}
)
)
)
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op1)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op2)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\overline{(op1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(op2)}
 \mathrel{\in} Q
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\mathsf {a}
 _{Ph} 
 = \{\{\overline{(op1)}
,\overline{(op1)}
\}
,\{\overline{(op1)}
,\overline{(op2)}
\}
\}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\}
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \underline{
\mathsf {m}}
\colon \dot{\neg}\,(
\mathsf {e}
 _{Ph} 
 = \{\{\underline{
\mathsf {m}}
,\underline{
\mathsf {m}}
\}
,\{\underline{
\mathsf {m}}
,(\underline{(fy)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
*\underline{(fz)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
)
\}
\}
)n
)n
\}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
)
)
|
\rhd \dot{\neg}\,((|(\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
+(-u\underline{(fy)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
)
)
|
*|\underline{(fz)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
|
)
 <= \underline{(\epsilon)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,((|(\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
+(-u\underline{(fy)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
)
)
|
*|\underline{(fz)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
|
)
 = \underline{(\epsilon)}
)n
)n
)n
\gg \dot{\neg}\,(|( \{ ph \mathrel{\in}  \{ ph \mathrel{\in} P(P(Union(\{N
,Q
\}
)
)
)
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op1)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op2)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\overline{(op1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(op2)}
 \mathrel{\in} Q
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\mathsf {a}
 _{Ph} 
 = \{\{\overline{(op1)}
,\overline{(op1)}
\}
,\{\overline{(op1)}
,\overline{(op2)}
\}
\}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\}
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \underline{
\mathsf {m}}
\colon \dot{\neg}\,(
\mathsf {e}
 _{Ph} 
 = \{\{\underline{
\mathsf {m}}
,\underline{
\mathsf {m}}
\}
,\{\underline{
\mathsf {m}}
,(\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
*\underline{(fz)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
)
\}
\}
)n
)n
\}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
+(-u \{ ph \mathrel{\in}  \{ ph \mathrel{\in} P(P(Union(\{N
,Q
\}
)
)
)
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op1)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op2)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\overline{(op1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(op2)}
 \mathrel{\in} Q
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\mathsf {a}
 _{Ph} 
 = \{\{\overline{(op1)}
,\overline{(op1)}
\}
,\{\overline{(op1)}
,\overline{(op2)}
\}
\}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\}
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \underline{
\mathsf {m}}
\colon \dot{\neg}\,(
\mathsf {e}
 _{Ph} 
 = \{\{\underline{
\mathsf {m}}
,\underline{
\mathsf {m}}
\}
,\{\underline{
\mathsf {m}}
,(\underline{(fy)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
*\underline{(fz)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
)
\}
\}
)n
)n
\}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
)
)
|
 <= \underline{(\epsilon)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(|( \{ ph \mathrel{\in}  \{ ph \mathrel{\in} P(P(Union(\{N
,Q
\}
)
)
)
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op1)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op2)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\overline{(op1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(op2)}
 \mathrel{\in} Q
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\mathsf {a}
 _{Ph} 
 = \{\{\overline{(op1)}
,\overline{(op1)}
\}
,\{\overline{(op1)}
,\overline{(op2)}
\}
\}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\}
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \underline{
\mathsf {m}}
\colon \dot{\neg}\,(
\mathsf {e}
 _{Ph} 
 = \{\{\underline{
\mathsf {m}}
,\underline{
\mathsf {m}}
\}
,\{\underline{
\mathsf {m}}
,(\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
*\underline{(fz)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
)
\}
\}
)n
)n
\}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
+(-u \{ ph \mathrel{\in}  \{ ph \mathrel{\in} P(P(Union(\{N
,Q
\}
)
)
)
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op1)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op2)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\overline{(op1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(op2)}
 \mathrel{\in} Q
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\mathsf {a}
 _{Ph} 
 = \{\{\overline{(op1)}
,\overline{(op1)}
\}
,\{\overline{(op1)}
,\overline{(op2)}
\}
\}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\}
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \underline{
\mathsf {m}}
\colon \dot{\neg}\,(
\mathsf {e}
 _{Ph} 
 = \{\{\underline{
\mathsf {m}}
,\underline{
\mathsf {m}}
\}
,\{\underline{
\mathsf {m}}
,(\underline{(fy)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
*\underline{(fz)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
)
\}
\}
)n
)n
\}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
)
)
|
 = \underline{(\epsilon)}
)n
)n
)n
; 
\forall \underline{(v1)}
\colon 
\forall \underline{(v2)}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf {m}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf {n}}
\colon 
\forall \underline{(\epsilon)}
\colon 
\forall \underline{(fx)}
\colon 
\forall \underline{(fy)}
\colon 
\forall \underline{(fz)}
\colon Ded
\rhd 
\forall \underline{(v1)}
\colon 
\forall \underline{(v2)}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf {m}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf {n}}
\colon 
\forall \underline{(\epsilon)}
\colon 
\forall \underline{(fx)}
\colon 
\forall \underline{(fy)}
\colon 
\forall \underline{(fz)}
\colon 
\forall_{obj} \underline{
\mathsf {m}}
\colon \dot{\neg}\,(0
 <= (\underline{(\epsilon)}
*rec\underline{(v1)}
)
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(0
 = (\underline{(\epsilon)}
*rec\underline{(v1)}
)
)n
)n
)n
\Rightarrow \underline{
\mathsf {n}}
 <= \underline{
\mathsf {m}}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(|(\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
+(-u\underline{(fy)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
)
)
|
 <= (\underline{(\epsilon)}
*rec\underline{(v1)}
)
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(|(\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
+(-u\underline{(fy)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
)
)
|
 = (\underline{(\epsilon)}
*rec\underline{(v1)}
)
)n
)n
)n
\vdash 
\forall_{obj} \underline{(v2)}
\colon \dot{\neg}\,(|\underline{(fz)}
[\underline{(v2)}
]
|
 <= \underline{(v1)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(|\underline{(fz)}
[\underline{(v2)}
]
|
 = \underline{(v1)}
)n
)n
)n
\vdash \dot{\neg}\,(0
 <= \underline{(\epsilon)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(0
 = \underline{(\epsilon)}
)n
)n
)n
\vdash \underline{
\mathsf {n}}
 <= \underline{
\mathsf {m}}
\vdash \dot{\neg}\,(|( \{ ph \mathrel{\in}  \{ ph \mathrel{\in} P(P(Union(\{N
,Q
\}
)
)
)
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op1)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op2)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\overline{(op1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(op2)}
 \mathrel{\in} Q
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\mathsf {a}
 _{Ph} 
 = \{\{\overline{(op1)}
,\overline{(op1)}
\}
,\{\overline{(op1)}
,\overline{(op2)}
\}
\}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\}
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \underline{
\mathsf {m}}
\colon \dot{\neg}\,(
\mathsf {e}
 _{Ph} 
 = \{\{\underline{
\mathsf {m}}
,\underline{
\mathsf {m}}
\}
,\{\underline{
\mathsf {m}}
,(\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
*\underline{(fz)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
)
\}
\}
)n
)n
\}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
+(-u \{ ph \mathrel{\in}  \{ ph \mathrel{\in} P(P(Union(\{N
,Q
\}
)
)
)
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op1)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op2)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\overline{(op1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(op2)}
 \mathrel{\in} Q
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\mathsf {a}
 _{Ph} 
 = \{\{\overline{(op1)}
,\overline{(op1)}
\}
,\{\overline{(op1)}
,\overline{(op2)}
\}
\}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\}
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \underline{
\mathsf {m}}
\colon \dot{\neg}\,(
\mathsf {e}
 _{Ph} 
 = \{\{\underline{
\mathsf {m}}
,\underline{
\mathsf {m}}
\}
,\{\underline{
\mathsf {m}}
,(\underline{(fy)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
*\underline{(fz)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
)
\}
\}
)n
)n
\}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
)
)
|
 <= \underline{(\epsilon)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(|( \{ ph \mathrel{\in}  \{ ph \mathrel{\in} P(P(Union(\{N
,Q
\}
)
)
)
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op1)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op2)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\overline{(op1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(op2)}
 \mathrel{\in} Q
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\mathsf {a}
 _{Ph} 
 = \{\{\overline{(op1)}
,\overline{(op1)}
\}
,\{\overline{(op1)}
,\overline{(op2)}
\}
\}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\}
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \underline{
\mathsf {m}}
\colon \dot{\neg}\,(
\mathsf {e}
 _{Ph} 
 = \{\{\underline{
\mathsf {m}}
,\underline{
\mathsf {m}}
\}
,\{\underline{
\mathsf {m}}
,(\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
*\underline{(fz)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
)
\}
\}
)n
)n
\}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
+(-u \{ ph \mathrel{\in}  \{ ph \mathrel{\in} P(P(Union(\{N
,Q
\}
)
)
)
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op1)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op2)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\overline{(op1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(op2)}
 \mathrel{\in} Q
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\mathsf {a}
 _{Ph} 
 = \{\{\overline{(op1)}
,\overline{(op1)}
\}
,\{\overline{(op1)}
,\overline{(op2)}
\}
\}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\}
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \underline{
\mathsf {m}}
\colon \dot{\neg}\,(
\mathsf {e}
 _{Ph} 
 = \{\{\underline{
\mathsf {m}}
,\underline{
\mathsf {m}}
\}
,\{\underline{
\mathsf {m}}
,(\underline{(fy)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
*\underline{(fz)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
)
\}
\}
)n
)n
\}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
)
)
|
 = \underline{(\epsilon)}
)n
)n
)n
\gg 
\forall_{obj} \underline{
\mathsf {m}}
\colon \dot{\neg}\,(0
 <= (\underline{(\epsilon)}
*rec\underline{(v1)}
)
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(0
 = (\underline{(\epsilon)}
*rec\underline{(v1)}
)
)n
)n
)n
\Rightarrow \underline{
\mathsf {n}}
 <= \underline{
\mathsf {m}}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(|(\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
+(-u\underline{(fy)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
)
)
|
 <= (\underline{(\epsilon)}
*rec\underline{(v1)}
)
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(|(\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
+(-u\underline{(fy)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
)
)
|
 = (\underline{(\epsilon)}
*rec\underline{(v1)}
)
)n
)n
)n
\Rightarrow 
\forall_{obj} \underline{(v2)}
\colon \dot{\neg}\,(|\underline{(fz)}
[\underline{(v2)}
]
|
 <= \underline{(v1)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(|\underline{(fz)}
[\underline{(v2)}
]
|
 = \underline{(v1)}
)n
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(0
 <= \underline{(\epsilon)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(0
 = \underline{(\epsilon)}
)n
)n
)n
\Rightarrow \underline{
\mathsf {n}}
 <= \underline{
\mathsf {m}}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(|( \{ ph \mathrel{\in}  \{ ph \mathrel{\in} P(P(Union(\{N
,Q
\}
)
)
)
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op1)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op2)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\overline{(op1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(op2)}
 \mathrel{\in} Q
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\mathsf {a}
 _{Ph} 
 = \{\{\overline{(op1)}
,\overline{(op1)}
\}
,\{\overline{(op1)}
,\overline{(op2)}
\}
\}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\}
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \underline{
\mathsf {m}}
\colon \dot{\neg}\,(
\mathsf {e}
 _{Ph} 
 = \{\{\underline{
\mathsf {m}}
,\underline{
\mathsf {m}}
\}
,\{\underline{
\mathsf {m}}
,(\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
*\underline{(fz)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
)
\}
\}
)n
)n
\}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
+(-u \{ ph \mathrel{\in}  \{ ph \mathrel{\in} P(P(Union(\{N
,Q
\}
)
)
)
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op1)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op2)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\overline{(op1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(op2)}
 \mathrel{\in} Q
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\mathsf {a}
 _{Ph} 
 = \{\{\overline{(op1)}
,\overline{(op1)}
\}
,\{\overline{(op1)}
,\overline{(op2)}
\}
\}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\}
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \underline{
\mathsf {m}}
\colon \dot{\neg}\,(
\mathsf {e}
 _{Ph} 
 = \{\{\underline{
\mathsf {m}}
,\underline{
\mathsf {m}}
\}
,\{\underline{
\mathsf {m}}
,(\underline{(fy)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
*\underline{(fz)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
)
\}
\}
)n
)n
\}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
)
)
|
 <= \underline{(\epsilon)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(|( \{ ph \mathrel{\in}  \{ ph \mathrel{\in} P(P(Union(\{N
,Q
\}
)
)
)
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op1)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op2)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\overline{(op1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(op2)}
 \mathrel{\in} Q
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\mathsf {a}
 _{Ph} 
 = \{\{\overline{(op1)}
,\overline{(op1)}
\}
,\{\overline{(op1)}
,\overline{(op2)}
\}
\}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\}
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \underline{
\mathsf {m}}
\colon \dot{\neg}\,(
\mathsf {e}
 _{Ph} 
 = \{\{\underline{
\mathsf {m}}
,\underline{
\mathsf {m}}
\}
,\{\underline{
\mathsf {m}}
,(\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
*\underline{(fz)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
)
\}
\}
)n
)n
\}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
+(-u \{ ph \mathrel{\in}  \{ ph \mathrel{\in} P(P(Union(\{N
,Q
\}
)
)
)
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op1)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op2)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\overline{(op1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(op2)}
 \mathrel{\in} Q
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\mathsf {a}
 _{Ph} 
 = \{\{\overline{(op1)}
,\overline{(op1)}
\}
,\{\overline{(op1)}
,\overline{(op2)}
\}
\}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\}
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \underline{
\mathsf {m}}
\colon \dot{\neg}\,(
\mathsf {e}
 _{Ph} 
 = \{\{\underline{
\mathsf {m}}
,\underline{
\mathsf {m}}
\}
,\{\underline{
\mathsf {m}}
,(\underline{(fy)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
*\underline{(fz)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
)
\}
\}
)n
)n
\}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
)
)
|
 = \underline{(\epsilon)}
)n
)n
)n
\rceil 
, 
p_0
, 
\mathsf {c}
)
]$



$
[SameFmultiplication
\stackrel{
stmt
}{\rightarrow}SystemQ
\vdash 
\forall \underline{(v1)}
\colon 
\forall \underline{(v2)}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf {m}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf {n}}
\colon 
\forall \underline{(\epsilon)}
\colon 
\forall \underline{(fx)}
\colon 
\forall \underline{(fy)}
\colon 
\forall \underline{(fz)}
\colon 
\forall_{obj} \overline{(\epsilon)}
\colon \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {n}}
\colon \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {m}}
\colon \dot{\neg}\,(0
 <= \overline{(\epsilon)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(0
 = \overline{(\epsilon)}
)n
)n
)n
\Rightarrow \overline{
\mathsf {n}}
 <= \overline{
\mathsf {m}}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(|(\underline{(fx)}
[\overline{
\mathsf {m}}
]
+(-u\underline{(fy)}
[\overline{
\mathsf {m}}
]
)
)
|
 <= \overline{(\epsilon)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(|(\underline{(fx)}
[\overline{
\mathsf {m}}
]
+(-u\underline{(fy)}
[\overline{
\mathsf {m}}
]
)
)
|
 = \overline{(\epsilon)}
)n
)n
)n
)n
)n
\vdash 
\forall_{obj} \overline{(\epsilon)}
\colon \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {n}}
\colon \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {m}}
\colon \dot{\neg}\,(0
 <= \overline{(\epsilon)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(0
 = \overline{(\epsilon)}
)n
)n
)n
\Rightarrow \overline{
\mathsf {n}}
 <= \overline{
\mathsf {m}}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(|( \{ ph \mathrel{\in}  \{ ph \mathrel{\in} P(P(Union(\{N
,Q
\}
)
)
)
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op1)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op2)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\overline{(op1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(op2)}
 \mathrel{\in} Q
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\mathsf {a}
 _{Ph} 
 = \{\{\overline{(op1)}
,\overline{(op1)}
\}
,\{\overline{(op1)}
,\overline{(op2)}
\}
\}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\}
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \underline{
\mathsf {m}}
\colon \dot{\neg}\,(
\mathsf {e}
 _{Ph} 
 = \{\{\underline{
\mathsf {m}}
,\underline{
\mathsf {m}}
\}
,\{\underline{
\mathsf {m}}
,(\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
*\underline{(fz)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
)
\}
\}
)n
)n
\}
[\overline{
\mathsf {m}}
]
+(-u \{ ph \mathrel{\in}  \{ ph \mathrel{\in} P(P(Union(\{N
,Q
\}
)
)
)
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op1)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op2)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\overline{(op1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(op2)}
 \mathrel{\in} Q
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\mathsf {a}
 _{Ph} 
 = \{\{\overline{(op1)}
,\overline{(op1)}
\}
,\{\overline{(op1)}
,\overline{(op2)}
\}
\}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\}
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \underline{
\mathsf {m}}
\colon \dot{\neg}\,(
\mathsf {e}
 _{Ph} 
 = \{\{\underline{
\mathsf {m}}
,\underline{
\mathsf {m}}
\}
,\{\underline{
\mathsf {m}}
,(\underline{(fy)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
*\underline{(fz)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
)
\}
\}
)n
)n
\}
[\overline{
\mathsf {m}}
]
)
)
|
 <= \overline{(\epsilon)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(|( \{ ph \mathrel{\in}  \{ ph \mathrel{\in} P(P(Union(\{N
,Q
\}
)
)
)
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op1)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op2)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\overline{(op1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(op2)}
 \mathrel{\in} Q
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\mathsf {a}
 _{Ph} 
 = \{\{\overline{(op1)}
,\overline{(op1)}
\}
,\{\overline{(op1)}
,\overline{(op2)}
\}
\}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\}
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \underline{
\mathsf {m}}
\colon \dot{\neg}\,(
\mathsf {e}
 _{Ph} 
 = \{\{\underline{
\mathsf {m}}
,\underline{
\mathsf {m}}
\}
,\{\underline{
\mathsf {m}}
,(\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
*\underline{(fz)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
)
\}
\}
)n
)n
\}
[\overline{
\mathsf {m}}
]
+(-u \{ ph \mathrel{\in}  \{ ph \mathrel{\in} P(P(Union(\{N
,Q
\}
)
)
)
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op1)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op2)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\overline{(op1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(op2)}
 \mathrel{\in} Q
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\mathsf {a}
 _{Ph} 
 = \{\{\overline{(op1)}
,\overline{(op1)}
\}
,\{\overline{(op1)}
,\overline{(op2)}
\}
\}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\}
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \underline{
\mathsf {m}}
\colon \dot{\neg}\,(
\mathsf {e}
 _{Ph} 
 = \{\{\underline{
\mathsf {m}}
,\underline{
\mathsf {m}}
\}
,\{\underline{
\mathsf {m}}
,(\underline{(fy)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
*\underline{(fz)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
)
\}
\}
)n
)n
\}
[\overline{
\mathsf {m}}
]
)
)
|
 = \overline{(\epsilon)}
)n
)n
)n
)n
)n
]$

$
[SameFmultiplication
\stackrel{
proof
}{\rightarrow}
\lambda 
\mathsf {c}
.
\lambda 
\mathsf{x}
.
{\cal P}( 
\lceil SystemQ
\vdash 
\forall \underline{(v1)}
\colon 
\forall \underline{(v2)}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf {m}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf {n}}
\colon 
\forall \underline{(\epsilon)}
\colon 
\forall \underline{(fx)}
\colon 
\forall \underline{(fy)}
\colon 
\forall \underline{(fz)}
\colon 
\forall_{obj} \overline{(\epsilon)}
\colon \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {n}}
\colon \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {m}}
\colon \dot{\neg}\,(0
 <= \overline{(\epsilon)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(0
 = \overline{(\epsilon)}
)n
)n
)n
\Rightarrow \overline{
\mathsf {n}}
 <= \overline{
\mathsf {m}}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(|(\underline{(fx)}
[\overline{
\mathsf {m}}
]
+(-u\underline{(fy)}
[\overline{
\mathsf {m}}
]
)
)
|
 <= \overline{(\epsilon)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(|(\underline{(fx)}
[\overline{
\mathsf {m}}
]
+(-u\underline{(fy)}
[\overline{
\mathsf {m}}
]
)
)
|
 = \overline{(\epsilon)}
)n
)n
)n
)n
)n
\vdash Repetition
\rhd 
\forall_{obj} \overline{(\epsilon)}
\colon \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {n}}
\colon \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {m}}
\colon \dot{\neg}\,(0
 <= \overline{(\epsilon)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(0
 = \overline{(\epsilon)}
)n
)n
)n
\Rightarrow \overline{
\mathsf {n}}
 <= \overline{
\mathsf {m}}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(|(\underline{(fx)}
[\overline{
\mathsf {m}}
]
+(-u\underline{(fy)}
[\overline{
\mathsf {m}}
]
)
)
|
 <= \overline{(\epsilon)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(|(\underline{(fx)}
[\overline{
\mathsf {m}}
]
+(-u\underline{(fy)}
[\overline{
\mathsf {m}}
]
)
)
|
 = \overline{(\epsilon)}
)n
)n
)n
)n
)n
\gg 
\forall_{obj} \overline{(\epsilon)}
\colon \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {n}}
\colon \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {m}}
\colon \dot{\neg}\,(0
 <= \overline{(\epsilon)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(0
 = \overline{(\epsilon)}
)n
)n
)n
\Rightarrow \overline{
\mathsf {n}}
 <= \overline{
\mathsf {m}}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(|(\underline{(fx)}
[\overline{
\mathsf {m}}
]
+(-u\underline{(fy)}
[\overline{
\mathsf {m}}
]
)
)
|
 <= \overline{(\epsilon)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(|(\underline{(fx)}
[\overline{
\mathsf {m}}
]
+(-u\underline{(fy)}
[\overline{
\mathsf {m}}
]
)
)
|
 = \overline{(\epsilon)}
)n
)n
)n
)n
)n
; Ded
\rhd 
\forall_{obj} \overline{(\epsilon)}
\colon \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {n}}
\colon \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {m}}
\colon \dot{\neg}\,(0
 <= \overline{(\epsilon)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(0
 = \overline{(\epsilon)}
)n
)n
)n
\Rightarrow \overline{
\mathsf {n}}
 <= \overline{
\mathsf {m}}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(|(\underline{(fx)}
[\overline{
\mathsf {m}}
]
+(-u\underline{(fy)}
[\overline{
\mathsf {m}}
]
)
)
|
 <= \overline{(\epsilon)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(|(\underline{(fx)}
[\overline{
\mathsf {m}}
]
+(-u\underline{(fy)}
[\overline{
\mathsf {m}}
]
)
)
|
 = \overline{(\epsilon)}
)n
)n
)n
)n
)n
\gg 
\forall_{obj} \underline{(\epsilon)}
\colon \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \underline{
\mathsf {n}}
\colon \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \underline{
\mathsf {m}}
\colon \dot{\neg}\,(0
 <= \underline{(\epsilon)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(0
 = \underline{(\epsilon)}
)n
)n
)n
\Rightarrow \underline{
\mathsf {n}}
 <= \underline{
\mathsf {m}}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(|(\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
+(-u\underline{(fy)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
)
)
|
 <= \underline{(\epsilon)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(|(\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
+(-u\underline{(fy)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
)
)
|
 = \underline{(\epsilon)}
)n
)n
)n
)n
)n
; A4
\mathop {\char64} (\underline{(\epsilon)}
*rec\underline{(v1)}
)
\rhd 
\forall_{obj} \underline{(\epsilon)}
\colon \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \underline{
\mathsf {n}}
\colon \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \underline{
\mathsf {m}}
\colon \dot{\neg}\,(0
 <= \underline{(\epsilon)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(0
 = \underline{(\epsilon)}
)n
)n
)n
\Rightarrow \underline{
\mathsf {n}}
 <= \underline{
\mathsf {m}}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(|(\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
+(-u\underline{(fy)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
)
)
|
 <= \underline{(\epsilon)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(|(\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
+(-u\underline{(fy)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
)
)
|
 = \underline{(\epsilon)}
)n
)n
)n
)n
)n
\gg \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \underline{
\mathsf {n}}
\colon \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \underline{
\mathsf {m}}
\colon \dot{\neg}\,(0
 <= (\underline{(\epsilon)}
*rec\underline{(v1)}
)
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(0
 = (\underline{(\epsilon)}
*rec\underline{(v1)}
)
)n
)n
)n
\Rightarrow \underline{
\mathsf {n}}
 <= \underline{
\mathsf {m}}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(|(\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
+(-u\underline{(fy)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
)
)
|
 <= (\underline{(\epsilon)}
*rec\underline{(v1)}
)
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(|(\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
+(-u\underline{(fy)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
)
)
|
 = (\underline{(\epsilon)}
*rec\underline{(v1)}
)
)n
)n
)n
)n
)n
; F-Bounded
\gg \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \underline{(v1)}
\colon \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \underline{(v2)}
\colon \dot{\neg}\,(|\underline{(fz)}
[\underline{(v2)}
]
|
 <= \underline{(v1)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(|\underline{(fz)}
[\underline{(v2)}
]
|
 = \underline{(v1)}
)n
)n
)n
)n
)n
; SameFmultiplication(Helper)
\gg 
\forall_{obj} \underline{
\mathsf {m}}
\colon \dot{\neg}\,(0
 <= (\underline{(\epsilon)}
*rec\underline{(v1)}
)
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(0
 = (\underline{(\epsilon)}
*rec\underline{(v1)}
)
)n
)n
)n
\Rightarrow \underline{
\mathsf {n}}
 <= \underline{
\mathsf {m}}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(|(\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
+(-u\underline{(fy)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
)
)
|
 <= (\underline{(\epsilon)}
*rec\underline{(v1)}
)
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(|(\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
+(-u\underline{(fy)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
)
)
|
 = (\underline{(\epsilon)}
*rec\underline{(v1)}
)
)n
)n
)n
\Rightarrow 
\forall_{obj} \underline{(v2)}
\colon \dot{\neg}\,(|\underline{(fz)}
[\underline{(v2)}
]
|
 <= \underline{(v1)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(|\underline{(fz)}
[\underline{(v2)}
]
|
 = \underline{(v1)}
)n
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(0
 <= \underline{(\epsilon)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(0
 = \underline{(\epsilon)}
)n
)n
)n
\Rightarrow \underline{
\mathsf {n}}
 <= \underline{
\mathsf {m}}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(|( \{ ph \mathrel{\in}  \{ ph \mathrel{\in} P(P(Union(\{N
,Q
\}
)
)
)
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op1)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op2)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\overline{(op1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(op2)}
 \mathrel{\in} Q
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\mathsf {a}
 _{Ph} 
 = \{\{\overline{(op1)}
,\overline{(op1)}
\}
,\{\overline{(op1)}
,\overline{(op2)}
\}
\}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\}
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \underline{
\mathsf {m}}
\colon \dot{\neg}\,(
\mathsf {e}
 _{Ph} 
 = \{\{\underline{
\mathsf {m}}
,\underline{
\mathsf {m}}
\}
,\{\underline{
\mathsf {m}}
,(\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
*\underline{(fz)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
)
\}
\}
)n
)n
\}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
+(-u \{ ph \mathrel{\in}  \{ ph \mathrel{\in} P(P(Union(\{N
,Q
\}
)
)
)
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op1)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op2)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\overline{(op1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(op2)}
 \mathrel{\in} Q
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\mathsf {a}
 _{Ph} 
 = \{\{\overline{(op1)}
,\overline{(op1)}
\}
,\{\overline{(op1)}
,\overline{(op2)}
\}
\}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\}
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \underline{
\mathsf {m}}
\colon \dot{\neg}\,(
\mathsf {e}
 _{Ph} 
 = \{\{\underline{
\mathsf {m}}
,\underline{
\mathsf {m}}
\}
,\{\underline{
\mathsf {m}}
,(\underline{(fy)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
*\underline{(fz)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
)
\}
\}
)n
)n
\}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
)
)
|
 <= \underline{(\epsilon)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(|( \{ ph \mathrel{\in}  \{ ph \mathrel{\in} P(P(Union(\{N
,Q
\}
)
)
)
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op1)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op2)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\overline{(op1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(op2)}
 \mathrel{\in} Q
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\mathsf {a}
 _{Ph} 
 = \{\{\overline{(op1)}
,\overline{(op1)}
\}
,\{\overline{(op1)}
,\overline{(op2)}
\}
\}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\}
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \underline{
\mathsf {m}}
\colon \dot{\neg}\,(
\mathsf {e}
 _{Ph} 
 = \{\{\underline{
\mathsf {m}}
,\underline{
\mathsf {m}}
\}
,\{\underline{
\mathsf {m}}
,(\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
*\underline{(fz)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
)
\}
\}
)n
)n
\}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
+(-u \{ ph \mathrel{\in}  \{ ph \mathrel{\in} P(P(Union(\{N
,Q
\}
)
)
)
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op1)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op2)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\overline{(op1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(op2)}
 \mathrel{\in} Q
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\mathsf {a}
 _{Ph} 
 = \{\{\overline{(op1)}
,\overline{(op1)}
\}
,\{\overline{(op1)}
,\overline{(op2)}
\}
\}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\}
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \underline{
\mathsf {m}}
\colon \dot{\neg}\,(
\mathsf {e}
 _{Ph} 
 = \{\{\underline{
\mathsf {m}}
,\underline{
\mathsf {m}}
\}
,\{\underline{
\mathsf {m}}
,(\underline{(fy)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
*\underline{(fz)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
)
\}
\}
)n
)n
\}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
)
)
|
 = \underline{(\epsilon)}
)n
)n
)n
; ExistMP2
\rhd 
\forall_{obj} \underline{
\mathsf {m}}
\colon \dot{\neg}\,(0
 <= (\underline{(\epsilon)}
*rec\underline{(v1)}
)
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(0
 = (\underline{(\epsilon)}
*rec\underline{(v1)}
)
)n
)n
)n
\Rightarrow \underline{
\mathsf {n}}
 <= \underline{
\mathsf {m}}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(|(\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
+(-u\underline{(fy)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
)
)
|
 <= (\underline{(\epsilon)}
*rec\underline{(v1)}
)
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(|(\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
+(-u\underline{(fy)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
)
)
|
 = (\underline{(\epsilon)}
*rec\underline{(v1)}
)
)n
)n
)n
\Rightarrow 
\forall_{obj} \underline{(v2)}
\colon \dot{\neg}\,(|\underline{(fz)}
[\underline{(v2)}
]
|
 <= \underline{(v1)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(|\underline{(fz)}
[\underline{(v2)}
]
|
 = \underline{(v1)}
)n
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(0
 <= \underline{(\epsilon)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(0
 = \underline{(\epsilon)}
)n
)n
)n
\Rightarrow \underline{
\mathsf {n}}
 <= \underline{
\mathsf {m}}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(|( \{ ph \mathrel{\in}  \{ ph \mathrel{\in} P(P(Union(\{N
,Q
\}
)
)
)
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op1)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op2)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\overline{(op1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(op2)}
 \mathrel{\in} Q
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\mathsf {a}
 _{Ph} 
 = \{\{\overline{(op1)}
,\overline{(op1)}
\}
,\{\overline{(op1)}
,\overline{(op2)}
\}
\}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\}
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \underline{
\mathsf {m}}
\colon \dot{\neg}\,(
\mathsf {e}
 _{Ph} 
 = \{\{\underline{
\mathsf {m}}
,\underline{
\mathsf {m}}
\}
,\{\underline{
\mathsf {m}}
,(\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
*\underline{(fz)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
)
\}
\}
)n
)n
\}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
+(-u \{ ph \mathrel{\in}  \{ ph \mathrel{\in} P(P(Union(\{N
,Q
\}
)
)
)
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op1)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op2)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\overline{(op1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(op2)}
 \mathrel{\in} Q
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\mathsf {a}
 _{Ph} 
 = \{\{\overline{(op1)}
,\overline{(op1)}
\}
,\{\overline{(op1)}
,\overline{(op2)}
\}
\}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\}
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \underline{
\mathsf {m}}
\colon \dot{\neg}\,(
\mathsf {e}
 _{Ph} 
 = \{\{\underline{
\mathsf {m}}
,\underline{
\mathsf {m}}
\}
,\{\underline{
\mathsf {m}}
,(\underline{(fy)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
*\underline{(fz)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
)
\}
\}
)n
)n
\}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
)
)
|
 <= \underline{(\epsilon)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(|( \{ ph \mathrel{\in}  \{ ph \mathrel{\in} P(P(Union(\{N
,Q
\}
)
)
)
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op1)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op2)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\overline{(op1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(op2)}
 \mathrel{\in} Q
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\mathsf {a}
 _{Ph} 
 = \{\{\overline{(op1)}
,\overline{(op1)}
\}
,\{\overline{(op1)}
,\overline{(op2)}
\}
\}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\}
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \underline{
\mathsf {m}}
\colon \dot{\neg}\,(
\mathsf {e}
 _{Ph} 
 = \{\{\underline{
\mathsf {m}}
,\underline{
\mathsf {m}}
\}
,\{\underline{
\mathsf {m}}
,(\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
*\underline{(fz)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
)
\}
\}
)n
)n
\}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
+(-u \{ ph \mathrel{\in}  \{ ph \mathrel{\in} P(P(Union(\{N
,Q
\}
)
)
)
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op1)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op2)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\overline{(op1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(op2)}
 \mathrel{\in} Q
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\mathsf {a}
 _{Ph} 
 = \{\{\overline{(op1)}
,\overline{(op1)}
\}
,\{\overline{(op1)}
,\overline{(op2)}
\}
\}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\}
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \underline{
\mathsf {m}}
\colon \dot{\neg}\,(
\mathsf {e}
 _{Ph} 
 = \{\{\underline{
\mathsf {m}}
,\underline{
\mathsf {m}}
\}
,\{\underline{
\mathsf {m}}
,(\underline{(fy)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
*\underline{(fz)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
)
\}
\}
)n
)n
\}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
)
)
|
 = \underline{(\epsilon)}
)n
)n
)n
\rhd \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \underline{
\mathsf {n}}
\colon \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \underline{
\mathsf {m}}
\colon \dot{\neg}\,(0
 <= (\underline{(\epsilon)}
*rec\underline{(v1)}
)
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(0
 = (\underline{(\epsilon)}
*rec\underline{(v1)}
)
)n
)n
)n
\Rightarrow \underline{
\mathsf {n}}
 <= \underline{
\mathsf {m}}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(|(\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
+(-u\underline{(fy)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
)
)
|
 <= (\underline{(\epsilon)}
*rec\underline{(v1)}
)
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(|(\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
+(-u\underline{(fy)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
)
)
|
 = (\underline{(\epsilon)}
*rec\underline{(v1)}
)
)n
)n
)n
)n
)n
\rhd \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \underline{(v1)}
\colon \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \underline{(v2)}
\colon \dot{\neg}\,(|\underline{(fz)}
[\underline{(v2)}
]
|
 <= \underline{(v1)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(|\underline{(fz)}
[\underline{(v2)}
]
|
 = \underline{(v1)}
)n
)n
)n
)n
)n
\gg \dot{\neg}\,(0
 <= \underline{(\epsilon)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(0
 = \underline{(\epsilon)}
)n
)n
)n
\Rightarrow \underline{
\mathsf {n}}
 <= \underline{
\mathsf {m}}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(|( \{ ph \mathrel{\in}  \{ ph \mathrel{\in} P(P(Union(\{N
,Q
\}
)
)
)
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op1)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op2)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\overline{(op1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(op2)}
 \mathrel{\in} Q
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\mathsf {a}
 _{Ph} 
 = \{\{\overline{(op1)}
,\overline{(op1)}
\}
,\{\overline{(op1)}
,\overline{(op2)}
\}
\}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\}
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \underline{
\mathsf {m}}
\colon \dot{\neg}\,(
\mathsf {e}
 _{Ph} 
 = \{\{\underline{
\mathsf {m}}
,\underline{
\mathsf {m}}
\}
,\{\underline{
\mathsf {m}}
,(\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
*\underline{(fz)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
)
\}
\}
)n
)n
\}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
+(-u \{ ph \mathrel{\in}  \{ ph \mathrel{\in} P(P(Union(\{N
,Q
\}
)
)
)
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op1)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op2)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\overline{(op1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(op2)}
 \mathrel{\in} Q
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\mathsf {a}
 _{Ph} 
 = \{\{\overline{(op1)}
,\overline{(op1)}
\}
,\{\overline{(op1)}
,\overline{(op2)}
\}
\}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\}
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \underline{
\mathsf {m}}
\colon \dot{\neg}\,(
\mathsf {e}
 _{Ph} 
 = \{\{\underline{
\mathsf {m}}
,\underline{
\mathsf {m}}
\}
,\{\underline{
\mathsf {m}}
,(\underline{(fy)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
*\underline{(fz)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
)
\}
\}
)n
)n
\}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
)
)
|
 <= \underline{(\epsilon)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(|( \{ ph \mathrel{\in}  \{ ph \mathrel{\in} P(P(Union(\{N
,Q
\}
)
)
)
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op1)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op2)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\overline{(op1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(op2)}
 \mathrel{\in} Q
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\mathsf {a}
 _{Ph} 
 = \{\{\overline{(op1)}
,\overline{(op1)}
\}
,\{\overline{(op1)}
,\overline{(op2)}
\}
\}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\}
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \underline{
\mathsf {m}}
\colon \dot{\neg}\,(
\mathsf {e}
 _{Ph} 
 = \{\{\underline{
\mathsf {m}}
,\underline{
\mathsf {m}}
\}
,\{\underline{
\mathsf {m}}
,(\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
*\underline{(fz)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
)
\}
\}
)n
)n
\}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
+(-u \{ ph \mathrel{\in}  \{ ph \mathrel{\in} P(P(Union(\{N
,Q
\}
)
)
)
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op1)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op2)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\overline{(op1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(op2)}
 \mathrel{\in} Q
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\mathsf {a}
 _{Ph} 
 = \{\{\overline{(op1)}
,\overline{(op1)}
\}
,\{\overline{(op1)}
,\overline{(op2)}
\}
\}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\}
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \underline{
\mathsf {m}}
\colon \dot{\neg}\,(
\mathsf {e}
 _{Ph} 
 = \{\{\underline{
\mathsf {m}}
,\underline{
\mathsf {m}}
\}
,\{\underline{
\mathsf {m}}
,(\underline{(fy)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
*\underline{(fz)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
)
\}
\}
)n
)n
\}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
)
)
|
 = \underline{(\epsilon)}
)n
)n
)n
; Gen
\rhd \dot{\neg}\,(0
 <= \underline{(\epsilon)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(0
 = \underline{(\epsilon)}
)n
)n
)n
\Rightarrow \underline{
\mathsf {n}}
 <= \underline{
\mathsf {m}}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(|( \{ ph \mathrel{\in}  \{ ph \mathrel{\in} P(P(Union(\{N
,Q
\}
)
)
)
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op1)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op2)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\overline{(op1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(op2)}
 \mathrel{\in} Q
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\mathsf {a}
 _{Ph} 
 = \{\{\overline{(op1)}
,\overline{(op1)}
\}
,\{\overline{(op1)}
,\overline{(op2)}
\}
\}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\}
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \underline{
\mathsf {m}}
\colon \dot{\neg}\,(
\mathsf {e}
 _{Ph} 
 = \{\{\underline{
\mathsf {m}}
,\underline{
\mathsf {m}}
\}
,\{\underline{
\mathsf {m}}
,(\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
*\underline{(fz)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
)
\}
\}
)n
)n
\}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
+(-u \{ ph \mathrel{\in}  \{ ph \mathrel{\in} P(P(Union(\{N
,Q
\}
)
)
)
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op1)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op2)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\overline{(op1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(op2)}
 \mathrel{\in} Q
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\mathsf {a}
 _{Ph} 
 = \{\{\overline{(op1)}
,\overline{(op1)}
\}
,\{\overline{(op1)}
,\overline{(op2)}
\}
\}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\}
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \underline{
\mathsf {m}}
\colon \dot{\neg}\,(
\mathsf {e}
 _{Ph} 
 = \{\{\underline{
\mathsf {m}}
,\underline{
\mathsf {m}}
\}
,\{\underline{
\mathsf {m}}
,(\underline{(fy)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
*\underline{(fz)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
)
\}
\}
)n
)n
\}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
)
)
|
 <= \underline{(\epsilon)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(|( \{ ph \mathrel{\in}  \{ ph \mathrel{\in} P(P(Union(\{N
,Q
\}
)
)
)
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op1)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op2)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\overline{(op1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(op2)}
 \mathrel{\in} Q
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\mathsf {a}
 _{Ph} 
 = \{\{\overline{(op1)}
,\overline{(op1)}
\}
,\{\overline{(op1)}
,\overline{(op2)}
\}
\}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\}
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \underline{
\mathsf {m}}
\colon \dot{\neg}\,(
\mathsf {e}
 _{Ph} 
 = \{\{\underline{
\mathsf {m}}
,\underline{
\mathsf {m}}
\}
,\{\underline{
\mathsf {m}}
,(\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
*\underline{(fz)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
)
\}
\}
)n
)n
\}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
+(-u \{ ph \mathrel{\in}  \{ ph \mathrel{\in} P(P(Union(\{N
,Q
\}
)
)
)
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op1)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op2)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\overline{(op1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(op2)}
 \mathrel{\in} Q
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\mathsf {a}
 _{Ph} 
 = \{\{\overline{(op1)}
,\overline{(op1)}
\}
,\{\overline{(op1)}
,\overline{(op2)}
\}
\}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\}
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \underline{
\mathsf {m}}
\colon \dot{\neg}\,(
\mathsf {e}
 _{Ph} 
 = \{\{\underline{
\mathsf {m}}
,\underline{
\mathsf {m}}
\}
,\{\underline{
\mathsf {m}}
,(\underline{(fy)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
*\underline{(fz)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
)
\}
\}
)n
)n
\}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
)
)
|
 = \underline{(\epsilon)}
)n
)n
)n
\gg 
\forall_{obj} \underline{
\mathsf {m}}
\colon \dot{\neg}\,(0
 <= \underline{(\epsilon)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(0
 = \underline{(\epsilon)}
)n
)n
)n
\Rightarrow \underline{
\mathsf {n}}
 <= \underline{
\mathsf {m}}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(|( \{ ph \mathrel{\in}  \{ ph \mathrel{\in} P(P(Union(\{N
,Q
\}
)
)
)
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op1)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op2)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\overline{(op1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(op2)}
 \mathrel{\in} Q
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\mathsf {a}
 _{Ph} 
 = \{\{\overline{(op1)}
,\overline{(op1)}
\}
,\{\overline{(op1)}
,\overline{(op2)}
\}
\}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\}
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \underline{
\mathsf {m}}
\colon \dot{\neg}\,(
\mathsf {e}
 _{Ph} 
 = \{\{\underline{
\mathsf {m}}
,\underline{
\mathsf {m}}
\}
,\{\underline{
\mathsf {m}}
,(\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
*\underline{(fz)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
)
\}
\}
)n
)n
\}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
+(-u \{ ph \mathrel{\in}  \{ ph \mathrel{\in} P(P(Union(\{N
,Q
\}
)
)
)
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op1)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op2)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\overline{(op1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(op2)}
 \mathrel{\in} Q
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\mathsf {a}
 _{Ph} 
 = \{\{\overline{(op1)}
,\overline{(op1)}
\}
,\{\overline{(op1)}
,\overline{(op2)}
\}
\}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\}
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \underline{
\mathsf {m}}
\colon \dot{\neg}\,(
\mathsf {e}
 _{Ph} 
 = \{\{\underline{
\mathsf {m}}
,\underline{
\mathsf {m}}
\}
,\{\underline{
\mathsf {m}}
,(\underline{(fy)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
*\underline{(fz)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
)
\}
\}
)n
)n
\}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
)
)
|
 <= \underline{(\epsilon)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(|( \{ ph \mathrel{\in}  \{ ph \mathrel{\in} P(P(Union(\{N
,Q
\}
)
)
)
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op1)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op2)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\overline{(op1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(op2)}
 \mathrel{\in} Q
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\mathsf {a}
 _{Ph} 
 = \{\{\overline{(op1)}
,\overline{(op1)}
\}
,\{\overline{(op1)}
,\overline{(op2)}
\}
\}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\}
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \underline{
\mathsf {m}}
\colon \dot{\neg}\,(
\mathsf {e}
 _{Ph} 
 = \{\{\underline{
\mathsf {m}}
,\underline{
\mathsf {m}}
\}
,\{\underline{
\mathsf {m}}
,(\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
*\underline{(fz)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
)
\}
\}
)n
)n
\}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
+(-u \{ ph \mathrel{\in}  \{ ph \mathrel{\in} P(P(Union(\{N
,Q
\}
)
)
)
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op1)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op2)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\overline{(op1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(op2)}
 \mathrel{\in} Q
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\mathsf {a}
 _{Ph} 
 = \{\{\overline{(op1)}
,\overline{(op1)}
\}
,\{\overline{(op1)}
,\overline{(op2)}
\}
\}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\}
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \underline{
\mathsf {m}}
\colon \dot{\neg}\,(
\mathsf {e}
 _{Ph} 
 = \{\{\underline{
\mathsf {m}}
,\underline{
\mathsf {m}}
\}
,\{\underline{
\mathsf {m}}
,(\underline{(fy)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
*\underline{(fz)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
)
\}
\}
)n
)n
\}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
)
)
|
 = \underline{(\epsilon)}
)n
)n
)n
; IntroExist
\mathop {\char64} \underline{
\mathsf {n}}
\rhd 
\forall_{obj} \underline{
\mathsf {m}}
\colon \dot{\neg}\,(0
 <= \underline{(\epsilon)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(0
 = \underline{(\epsilon)}
)n
)n
)n
\Rightarrow \underline{
\mathsf {n}}
 <= \underline{
\mathsf {m}}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(|( \{ ph \mathrel{\in}  \{ ph \mathrel{\in} P(P(Union(\{N
,Q
\}
)
)
)
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op1)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op2)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\overline{(op1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(op2)}
 \mathrel{\in} Q
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\mathsf {a}
 _{Ph} 
 = \{\{\overline{(op1)}
,\overline{(op1)}
\}
,\{\overline{(op1)}
,\overline{(op2)}
\}
\}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\}
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \underline{
\mathsf {m}}
\colon \dot{\neg}\,(
\mathsf {e}
 _{Ph} 
 = \{\{\underline{
\mathsf {m}}
,\underline{
\mathsf {m}}
\}
,\{\underline{
\mathsf {m}}
,(\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
*\underline{(fz)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
)
\}
\}
)n
)n
\}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
+(-u \{ ph \mathrel{\in}  \{ ph \mathrel{\in} P(P(Union(\{N
,Q
\}
)
)
)
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op1)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op2)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\overline{(op1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(op2)}
 \mathrel{\in} Q
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\mathsf {a}
 _{Ph} 
 = \{\{\overline{(op1)}
,\overline{(op1)}
\}
,\{\overline{(op1)}
,\overline{(op2)}
\}
\}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\}
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \underline{
\mathsf {m}}
\colon \dot{\neg}\,(
\mathsf {e}
 _{Ph} 
 = \{\{\underline{
\mathsf {m}}
,\underline{
\mathsf {m}}
\}
,\{\underline{
\mathsf {m}}
,(\underline{(fy)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
*\underline{(fz)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
)
\}
\}
)n
)n
\}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
)
)
|
 <= \underline{(\epsilon)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(|( \{ ph \mathrel{\in}  \{ ph \mathrel{\in} P(P(Union(\{N
,Q
\}
)
)
)
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op1)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op2)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\overline{(op1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(op2)}
 \mathrel{\in} Q
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\mathsf {a}
 _{Ph} 
 = \{\{\overline{(op1)}
,\overline{(op1)}
\}
,\{\overline{(op1)}
,\overline{(op2)}
\}
\}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\}
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \underline{
\mathsf {m}}
\colon \dot{\neg}\,(
\mathsf {e}
 _{Ph} 
 = \{\{\underline{
\mathsf {m}}
,\underline{
\mathsf {m}}
\}
,\{\underline{
\mathsf {m}}
,(\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
*\underline{(fz)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
)
\}
\}
)n
)n
\}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
+(-u \{ ph \mathrel{\in}  \{ ph \mathrel{\in} P(P(Union(\{N
,Q
\}
)
)
)
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op1)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op2)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\overline{(op1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(op2)}
 \mathrel{\in} Q
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\mathsf {a}
 _{Ph} 
 = \{\{\overline{(op1)}
,\overline{(op1)}
\}
,\{\overline{(op1)}
,\overline{(op2)}
\}
\}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\}
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \underline{
\mathsf {m}}
\colon \dot{\neg}\,(
\mathsf {e}
 _{Ph} 
 = \{\{\underline{
\mathsf {m}}
,\underline{
\mathsf {m}}
\}
,\{\underline{
\mathsf {m}}
,(\underline{(fy)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
*\underline{(fz)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
)
\}
\}
)n
)n
\}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
)
)
|
 = \underline{(\epsilon)}
)n
)n
)n
\gg \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \underline{
\mathsf {n}}
\colon \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \underline{
\mathsf {m}}
\colon \dot{\neg}\,(0
 <= \underline{(\epsilon)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(0
 = \underline{(\epsilon)}
)n
)n
)n
\Rightarrow \underline{
\mathsf {n}}
 <= \underline{
\mathsf {m}}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(|( \{ ph \mathrel{\in}  \{ ph \mathrel{\in} P(P(Union(\{N
,Q
\}
)
)
)
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op1)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op2)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\overline{(op1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(op2)}
 \mathrel{\in} Q
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\mathsf {a}
 _{Ph} 
 = \{\{\overline{(op1)}
,\overline{(op1)}
\}
,\{\overline{(op1)}
,\overline{(op2)}
\}
\}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\}
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \underline{
\mathsf {m}}
\colon \dot{\neg}\,(
\mathsf {e}
 _{Ph} 
 = \{\{\underline{
\mathsf {m}}
,\underline{
\mathsf {m}}
\}
,\{\underline{
\mathsf {m}}
,(\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
*\underline{(fz)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
)
\}
\}
)n
)n
\}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
+(-u \{ ph \mathrel{\in}  \{ ph \mathrel{\in} P(P(Union(\{N
,Q
\}
)
)
)
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op1)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op2)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\overline{(op1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(op2)}
 \mathrel{\in} Q
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\mathsf {a}
 _{Ph} 
 = \{\{\overline{(op1)}
,\overline{(op1)}
\}
,\{\overline{(op1)}
,\overline{(op2)}
\}
\}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\}
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \underline{
\mathsf {m}}
\colon \dot{\neg}\,(
\mathsf {e}
 _{Ph} 
 = \{\{\underline{
\mathsf {m}}
,\underline{
\mathsf {m}}
\}
,\{\underline{
\mathsf {m}}
,(\underline{(fy)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
*\underline{(fz)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
)
\}
\}
)n
)n
\}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
)
)
|
 <= \underline{(\epsilon)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(|( \{ ph \mathrel{\in}  \{ ph \mathrel{\in} P(P(Union(\{N
,Q
\}
)
)
)
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op1)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op2)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\overline{(op1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(op2)}
 \mathrel{\in} Q
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\mathsf {a}
 _{Ph} 
 = \{\{\overline{(op1)}
,\overline{(op1)}
\}
,\{\overline{(op1)}
,\overline{(op2)}
\}
\}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\}
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \underline{
\mathsf {m}}
\colon \dot{\neg}\,(
\mathsf {e}
 _{Ph} 
 = \{\{\underline{
\mathsf {m}}
,\underline{
\mathsf {m}}
\}
,\{\underline{
\mathsf {m}}
,(\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
*\underline{(fz)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
)
\}
\}
)n
)n
\}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
+(-u \{ ph \mathrel{\in}  \{ ph \mathrel{\in} P(P(Union(\{N
,Q
\}
)
)
)
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op1)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op2)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\overline{(op1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(op2)}
 \mathrel{\in} Q
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\mathsf {a}
 _{Ph} 
 = \{\{\overline{(op1)}
,\overline{(op1)}
\}
,\{\overline{(op1)}
,\overline{(op2)}
\}
\}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\}
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \underline{
\mathsf {m}}
\colon \dot{\neg}\,(
\mathsf {e}
 _{Ph} 
 = \{\{\underline{
\mathsf {m}}
,\underline{
\mathsf {m}}
\}
,\{\underline{
\mathsf {m}}
,(\underline{(fy)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
*\underline{(fz)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
)
\}
\}
)n
)n
\}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
)
)
|
 = \underline{(\epsilon)}
)n
)n
)n
)n
)n
; Gen
\rhd \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \underline{
\mathsf {n}}
\colon \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \underline{
\mathsf {m}}
\colon \dot{\neg}\,(0
 <= \underline{(\epsilon)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(0
 = \underline{(\epsilon)}
)n
)n
)n
\Rightarrow \underline{
\mathsf {n}}
 <= \underline{
\mathsf {m}}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(|( \{ ph \mathrel{\in}  \{ ph \mathrel{\in} P(P(Union(\{N
,Q
\}
)
)
)
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op1)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op2)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\overline{(op1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(op2)}
 \mathrel{\in} Q
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\mathsf {a}
 _{Ph} 
 = \{\{\overline{(op1)}
,\overline{(op1)}
\}
,\{\overline{(op1)}
,\overline{(op2)}
\}
\}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\}
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \underline{
\mathsf {m}}
\colon \dot{\neg}\,(
\mathsf {e}
 _{Ph} 
 = \{\{\underline{
\mathsf {m}}
,\underline{
\mathsf {m}}
\}
,\{\underline{
\mathsf {m}}
,(\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
*\underline{(fz)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
)
\}
\}
)n
)n
\}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
+(-u \{ ph \mathrel{\in}  \{ ph \mathrel{\in} P(P(Union(\{N
,Q
\}
)
)
)
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op1)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op2)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\overline{(op1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(op2)}
 \mathrel{\in} Q
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\mathsf {a}
 _{Ph} 
 = \{\{\overline{(op1)}
,\overline{(op1)}
\}
,\{\overline{(op1)}
,\overline{(op2)}
\}
\}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\}
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \underline{
\mathsf {m}}
\colon \dot{\neg}\,(
\mathsf {e}
 _{Ph} 
 = \{\{\underline{
\mathsf {m}}
,\underline{
\mathsf {m}}
\}
,\{\underline{
\mathsf {m}}
,(\underline{(fy)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
*\underline{(fz)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
)
\}
\}
)n
)n
\}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
)
)
|
 <= \underline{(\epsilon)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(|( \{ ph \mathrel{\in}  \{ ph \mathrel{\in} P(P(Union(\{N
,Q
\}
)
)
)
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op1)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op2)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\overline{(op1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(op2)}
 \mathrel{\in} Q
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\mathsf {a}
 _{Ph} 
 = \{\{\overline{(op1)}
,\overline{(op1)}
\}
,\{\overline{(op1)}
,\overline{(op2)}
\}
\}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\}
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \underline{
\mathsf {m}}
\colon \dot{\neg}\,(
\mathsf {e}
 _{Ph} 
 = \{\{\underline{
\mathsf {m}}
,\underline{
\mathsf {m}}
\}
,\{\underline{
\mathsf {m}}
,(\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
*\underline{(fz)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
)
\}
\}
)n
)n
\}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
+(-u \{ ph \mathrel{\in}  \{ ph \mathrel{\in} P(P(Union(\{N
,Q
\}
)
)
)
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op1)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op2)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\overline{(op1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(op2)}
 \mathrel{\in} Q
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\mathsf {a}
 _{Ph} 
 = \{\{\overline{(op1)}
,\overline{(op1)}
\}
,\{\overline{(op1)}
,\overline{(op2)}
\}
\}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\}
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \underline{
\mathsf {m}}
\colon \dot{\neg}\,(
\mathsf {e}
 _{Ph} 
 = \{\{\underline{
\mathsf {m}}
,\underline{
\mathsf {m}}
\}
,\{\underline{
\mathsf {m}}
,(\underline{(fy)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
*\underline{(fz)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
)
\}
\}
)n
)n
\}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
)
)
|
 = \underline{(\epsilon)}
)n
)n
)n
)n
)n
\gg 
\forall_{obj} \underline{(\epsilon)}
\colon \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \underline{
\mathsf {n}}
\colon \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \underline{
\mathsf {m}}
\colon \dot{\neg}\,(0
 <= \underline{(\epsilon)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(0
 = \underline{(\epsilon)}
)n
)n
)n
\Rightarrow \underline{
\mathsf {n}}
 <= \underline{
\mathsf {m}}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(|( \{ ph \mathrel{\in}  \{ ph \mathrel{\in} P(P(Union(\{N
,Q
\}
)
)
)
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op1)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op2)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\overline{(op1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(op2)}
 \mathrel{\in} Q
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\mathsf {a}
 _{Ph} 
 = \{\{\overline{(op1)}
,\overline{(op1)}
\}
,\{\overline{(op1)}
,\overline{(op2)}
\}
\}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\}
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \underline{
\mathsf {m}}
\colon \dot{\neg}\,(
\mathsf {e}
 _{Ph} 
 = \{\{\underline{
\mathsf {m}}
,\underline{
\mathsf {m}}
\}
,\{\underline{
\mathsf {m}}
,(\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
*\underline{(fz)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
)
\}
\}
)n
)n
\}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
+(-u \{ ph \mathrel{\in}  \{ ph \mathrel{\in} P(P(Union(\{N
,Q
\}
)
)
)
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op1)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op2)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\overline{(op1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(op2)}
 \mathrel{\in} Q
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\mathsf {a}
 _{Ph} 
 = \{\{\overline{(op1)}
,\overline{(op1)}
\}
,\{\overline{(op1)}
,\overline{(op2)}
\}
\}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\}
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \underline{
\mathsf {m}}
\colon \dot{\neg}\,(
\mathsf {e}
 _{Ph} 
 = \{\{\underline{
\mathsf {m}}
,\underline{
\mathsf {m}}
\}
,\{\underline{
\mathsf {m}}
,(\underline{(fy)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
*\underline{(fz)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
)
\}
\}
)n
)n
\}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
)
)
|
 <= \underline{(\epsilon)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(|( \{ ph \mathrel{\in}  \{ ph \mathrel{\in} P(P(Union(\{N
,Q
\}
)
)
)
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op1)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op2)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\overline{(op1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(op2)}
 \mathrel{\in} Q
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\mathsf {a}
 _{Ph} 
 = \{\{\overline{(op1)}
,\overline{(op1)}
\}
,\{\overline{(op1)}
,\overline{(op2)}
\}
\}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\}
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \underline{
\mathsf {m}}
\colon \dot{\neg}\,(
\mathsf {e}
 _{Ph} 
 = \{\{\underline{
\mathsf {m}}
,\underline{
\mathsf {m}}
\}
,\{\underline{
\mathsf {m}}
,(\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
*\underline{(fz)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
)
\}
\}
)n
)n
\}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
+(-u \{ ph \mathrel{\in}  \{ ph \mathrel{\in} P(P(Union(\{N
,Q
\}
)
)
)
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op1)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op2)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\overline{(op1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(op2)}
 \mathrel{\in} Q
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\mathsf {a}
 _{Ph} 
 = \{\{\overline{(op1)}
,\overline{(op1)}
\}
,\{\overline{(op1)}
,\overline{(op2)}
\}
\}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\}
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \underline{
\mathsf {m}}
\colon \dot{\neg}\,(
\mathsf {e}
 _{Ph} 
 = \{\{\underline{
\mathsf {m}}
,\underline{
\mathsf {m}}
\}
,\{\underline{
\mathsf {m}}
,(\underline{(fy)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
*\underline{(fz)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
)
\}
\}
)n
)n
\}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
)
)
|
 = \underline{(\epsilon)}
)n
)n
)n
)n
)n
; Ded
\rhd 
\forall_{obj} \underline{(\epsilon)}
\colon \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \underline{
\mathsf {n}}
\colon \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \underline{
\mathsf {m}}
\colon \dot{\neg}\,(0
 <= \underline{(\epsilon)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(0
 = \underline{(\epsilon)}
)n
)n
)n
\Rightarrow \underline{
\mathsf {n}}
 <= \underline{
\mathsf {m}}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(|( \{ ph \mathrel{\in}  \{ ph \mathrel{\in} P(P(Union(\{N
,Q
\}
)
)
)
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op1)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op2)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\overline{(op1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(op2)}
 \mathrel{\in} Q
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\mathsf {a}
 _{Ph} 
 = \{\{\overline{(op1)}
,\overline{(op1)}
\}
,\{\overline{(op1)}
,\overline{(op2)}
\}
\}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\}
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \underline{
\mathsf {m}}
\colon \dot{\neg}\,(
\mathsf {e}
 _{Ph} 
 = \{\{\underline{
\mathsf {m}}
,\underline{
\mathsf {m}}
\}
,\{\underline{
\mathsf {m}}
,(\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
*\underline{(fz)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
)
\}
\}
)n
)n
\}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
+(-u \{ ph \mathrel{\in}  \{ ph \mathrel{\in} P(P(Union(\{N
,Q
\}
)
)
)
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op1)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op2)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\overline{(op1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(op2)}
 \mathrel{\in} Q
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\mathsf {a}
 _{Ph} 
 = \{\{\overline{(op1)}
,\overline{(op1)}
\}
,\{\overline{(op1)}
,\overline{(op2)}
\}
\}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\}
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \underline{
\mathsf {m}}
\colon \dot{\neg}\,(
\mathsf {e}
 _{Ph} 
 = \{\{\underline{
\mathsf {m}}
,\underline{
\mathsf {m}}
\}
,\{\underline{
\mathsf {m}}
,(\underline{(fy)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
*\underline{(fz)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
)
\}
\}
)n
)n
\}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
)
)
|
 <= \underline{(\epsilon)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(|( \{ ph \mathrel{\in}  \{ ph \mathrel{\in} P(P(Union(\{N
,Q
\}
)
)
)
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op1)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op2)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\overline{(op1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(op2)}
 \mathrel{\in} Q
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\mathsf {a}
 _{Ph} 
 = \{\{\overline{(op1)}
,\overline{(op1)}
\}
,\{\overline{(op1)}
,\overline{(op2)}
\}
\}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\}
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \underline{
\mathsf {m}}
\colon \dot{\neg}\,(
\mathsf {e}
 _{Ph} 
 = \{\{\underline{
\mathsf {m}}
,\underline{
\mathsf {m}}
\}
,\{\underline{
\mathsf {m}}
,(\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
*\underline{(fz)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
)
\}
\}
)n
)n
\}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
+(-u \{ ph \mathrel{\in}  \{ ph \mathrel{\in} P(P(Union(\{N
,Q
\}
)
)
)
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op1)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op2)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\overline{(op1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(op2)}
 \mathrel{\in} Q
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\mathsf {a}
 _{Ph} 
 = \{\{\overline{(op1)}
,\overline{(op1)}
\}
,\{\overline{(op1)}
,\overline{(op2)}
\}
\}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\}
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \underline{
\mathsf {m}}
\colon \dot{\neg}\,(
\mathsf {e}
 _{Ph} 
 = \{\{\underline{
\mathsf {m}}
,\underline{
\mathsf {m}}
\}
,\{\underline{
\mathsf {m}}
,(\underline{(fy)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
*\underline{(fz)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
)
\}
\}
)n
)n
\}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
)
)
|
 = \underline{(\epsilon)}
)n
)n
)n
)n
)n
\gg 
\forall_{obj} \overline{(\epsilon)}
\colon \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {n}}
\colon \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {m}}
\colon \dot{\neg}\,(0
 <= \overline{(\epsilon)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(0
 = \overline{(\epsilon)}
)n
)n
)n
\Rightarrow \overline{
\mathsf {n}}
 <= \overline{
\mathsf {m}}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(|( \{ ph \mathrel{\in}  \{ ph \mathrel{\in} P(P(Union(\{N
,Q
\}
)
)
)
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op1)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op2)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\overline{(op1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(op2)}
 \mathrel{\in} Q
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\mathsf {a}
 _{Ph} 
 = \{\{\overline{(op1)}
,\overline{(op1)}
\}
,\{\overline{(op1)}
,\overline{(op2)}
\}
\}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\}
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \underline{
\mathsf {m}}
\colon \dot{\neg}\,(
\mathsf {e}
 _{Ph} 
 = \{\{\underline{
\mathsf {m}}
,\underline{
\mathsf {m}}
\}
,\{\underline{
\mathsf {m}}
,(\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
*\underline{(fz)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
)
\}
\}
)n
)n
\}
[\overline{
\mathsf {m}}
]
+(-u \{ ph \mathrel{\in}  \{ ph \mathrel{\in} P(P(Union(\{N
,Q
\}
)
)
)
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op1)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op2)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\overline{(op1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(op2)}
 \mathrel{\in} Q
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\mathsf {a}
 _{Ph} 
 = \{\{\overline{(op1)}
,\overline{(op1)}
\}
,\{\overline{(op1)}
,\overline{(op2)}
\}
\}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\}
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \underline{
\mathsf {m}}
\colon \dot{\neg}\,(
\mathsf {e}
 _{Ph} 
 = \{\{\underline{
\mathsf {m}}
,\underline{
\mathsf {m}}
\}
,\{\underline{
\mathsf {m}}
,(\underline{(fy)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
*\underline{(fz)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
)
\}
\}
)n
)n
\}
[\overline{
\mathsf {m}}
]
)
)
|
 <= \overline{(\epsilon)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(|( \{ ph \mathrel{\in}  \{ ph \mathrel{\in} P(P(Union(\{N
,Q
\}
)
)
)
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op1)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op2)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\overline{(op1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(op2)}
 \mathrel{\in} Q
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\mathsf {a}
 _{Ph} 
 = \{\{\overline{(op1)}
,\overline{(op1)}
\}
,\{\overline{(op1)}
,\overline{(op2)}
\}
\}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\}
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \underline{
\mathsf {m}}
\colon \dot{\neg}\,(
\mathsf {e}
 _{Ph} 
 = \{\{\underline{
\mathsf {m}}
,\underline{
\mathsf {m}}
\}
,\{\underline{
\mathsf {m}}
,(\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
*\underline{(fz)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
)
\}
\}
)n
)n
\}
[\overline{
\mathsf {m}}
]
+(-u \{ ph \mathrel{\in}  \{ ph \mathrel{\in} P(P(Union(\{N
,Q
\}
)
)
)
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op1)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op2)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\overline{(op1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(op2)}
 \mathrel{\in} Q
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\mathsf {a}
 _{Ph} 
 = \{\{\overline{(op1)}
,\overline{(op1)}
\}
,\{\overline{(op1)}
,\overline{(op2)}
\}
\}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\}
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \underline{
\mathsf {m}}
\colon \dot{\neg}\,(
\mathsf {e}
 _{Ph} 
 = \{\{\underline{
\mathsf {m}}
,\underline{
\mathsf {m}}
\}
,\{\underline{
\mathsf {m}}
,(\underline{(fy)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
*\underline{(fz)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
)
\}
\}
)n
)n
\}
[\overline{
\mathsf {m}}
]
)
)
|
 = \overline{(\epsilon)}
)n
)n
)n
)n
)n
; Repetition
\rhd 
\forall_{obj} \overline{(\epsilon)}
\colon \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {n}}
\colon \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {m}}
\colon \dot{\neg}\,(0
 <= \overline{(\epsilon)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(0
 = \overline{(\epsilon)}
)n
)n
)n
\Rightarrow \overline{
\mathsf {n}}
 <= \overline{
\mathsf {m}}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(|( \{ ph \mathrel{\in}  \{ ph \mathrel{\in} P(P(Union(\{N
,Q
\}
)
)
)
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op1)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op2)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\overline{(op1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(op2)}
 \mathrel{\in} Q
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\mathsf {a}
 _{Ph} 
 = \{\{\overline{(op1)}
,\overline{(op1)}
\}
,\{\overline{(op1)}
,\overline{(op2)}
\}
\}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\}
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \underline{
\mathsf {m}}
\colon \dot{\neg}\,(
\mathsf {e}
 _{Ph} 
 = \{\{\underline{
\mathsf {m}}
,\underline{
\mathsf {m}}
\}
,\{\underline{
\mathsf {m}}
,(\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
*\underline{(fz)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
)
\}
\}
)n
)n
\}
[\overline{
\mathsf {m}}
]
+(-u \{ ph \mathrel{\in}  \{ ph \mathrel{\in} P(P(Union(\{N
,Q
\}
)
)
)
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op1)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op2)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\overline{(op1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(op2)}
 \mathrel{\in} Q
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\mathsf {a}
 _{Ph} 
 = \{\{\overline{(op1)}
,\overline{(op1)}
\}
,\{\overline{(op1)}
,\overline{(op2)}
\}
\}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\}
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \underline{
\mathsf {m}}
\colon \dot{\neg}\,(
\mathsf {e}
 _{Ph} 
 = \{\{\underline{
\mathsf {m}}
,\underline{
\mathsf {m}}
\}
,\{\underline{
\mathsf {m}}
,(\underline{(fy)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
*\underline{(fz)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
)
\}
\}
)n
)n
\}
[\overline{
\mathsf {m}}
]
)
)
|
 <= \overline{(\epsilon)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(|( \{ ph \mathrel{\in}  \{ ph \mathrel{\in} P(P(Union(\{N
,Q
\}
)
)
)
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op1)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op2)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\overline{(op1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(op2)}
 \mathrel{\in} Q
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\mathsf {a}
 _{Ph} 
 = \{\{\overline{(op1)}
,\overline{(op1)}
\}
,\{\overline{(op1)}
,\overline{(op2)}
\}
\}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\}
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \underline{
\mathsf {m}}
\colon \dot{\neg}\,(
\mathsf {e}
 _{Ph} 
 = \{\{\underline{
\mathsf {m}}
,\underline{
\mathsf {m}}
\}
,\{\underline{
\mathsf {m}}
,(\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
*\underline{(fz)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
)
\}
\}
)n
)n
\}
[\overline{
\mathsf {m}}
]
+(-u \{ ph \mathrel{\in}  \{ ph \mathrel{\in} P(P(Union(\{N
,Q
\}
)
)
)
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op1)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op2)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\overline{(op1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(op2)}
 \mathrel{\in} Q
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\mathsf {a}
 _{Ph} 
 = \{\{\overline{(op1)}
,\overline{(op1)}
\}
,\{\overline{(op1)}
,\overline{(op2)}
\}
\}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\}
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \underline{
\mathsf {m}}
\colon \dot{\neg}\,(
\mathsf {e}
 _{Ph} 
 = \{\{\underline{
\mathsf {m}}
,\underline{
\mathsf {m}}
\}
,\{\underline{
\mathsf {m}}
,(\underline{(fy)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
*\underline{(fz)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
)
\}
\}
)n
)n
\}
[\overline{
\mathsf {m}}
]
)
)
|
 = \overline{(\epsilon)}
)n
)n
)n
)n
)n
\gg 
\forall_{obj} \overline{(\epsilon)}
\colon \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {n}}
\colon \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {m}}
\colon \dot{\neg}\,(0
 <= \overline{(\epsilon)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(0
 = \overline{(\epsilon)}
)n
)n
)n
\Rightarrow \overline{
\mathsf {n}}
 <= \overline{
\mathsf {m}}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(|( \{ ph \mathrel{\in}  \{ ph \mathrel{\in} P(P(Union(\{N
,Q
\}
)
)
)
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op1)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op2)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\overline{(op1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(op2)}
 \mathrel{\in} Q
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\mathsf {a}
 _{Ph} 
 = \{\{\overline{(op1)}
,\overline{(op1)}
\}
,\{\overline{(op1)}
,\overline{(op2)}
\}
\}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\}
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \underline{
\mathsf {m}}
\colon \dot{\neg}\,(
\mathsf {e}
 _{Ph} 
 = \{\{\underline{
\mathsf {m}}
,\underline{
\mathsf {m}}
\}
,\{\underline{
\mathsf {m}}
,(\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
*\underline{(fz)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
)
\}
\}
)n
)n
\}
[\overline{
\mathsf {m}}
]
+(-u \{ ph \mathrel{\in}  \{ ph \mathrel{\in} P(P(Union(\{N
,Q
\}
)
)
)
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op1)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op2)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\overline{(op1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(op2)}
 \mathrel{\in} Q
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\mathsf {a}
 _{Ph} 
 = \{\{\overline{(op1)}
,\overline{(op1)}
\}
,\{\overline{(op1)}
,\overline{(op2)}
\}
\}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\}
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \underline{
\mathsf {m}}
\colon \dot{\neg}\,(
\mathsf {e}
 _{Ph} 
 = \{\{\underline{
\mathsf {m}}
,\underline{
\mathsf {m}}
\}
,\{\underline{
\mathsf {m}}
,(\underline{(fy)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
*\underline{(fz)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
)
\}
\}
)n
)n
\}
[\overline{
\mathsf {m}}
]
)
)
|
 <= \overline{(\epsilon)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(|( \{ ph \mathrel{\in}  \{ ph \mathrel{\in} P(P(Union(\{N
,Q
\}
)
)
)
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op1)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op2)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\overline{(op1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(op2)}
 \mathrel{\in} Q
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\mathsf {a}
 _{Ph} 
 = \{\{\overline{(op1)}
,\overline{(op1)}
\}
,\{\overline{(op1)}
,\overline{(op2)}
\}
\}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\}
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \underline{
\mathsf {m}}
\colon \dot{\neg}\,(
\mathsf {e}
 _{Ph} 
 = \{\{\underline{
\mathsf {m}}
,\underline{
\mathsf {m}}
\}
,\{\underline{
\mathsf {m}}
,(\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
*\underline{(fz)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
)
\}
\}
)n
)n
\}
[\overline{
\mathsf {m}}
]
+(-u \{ ph \mathrel{\in}  \{ ph \mathrel{\in} P(P(Union(\{N
,Q
\}
)
)
)
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op1)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op2)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\overline{(op1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(op2)}
 \mathrel{\in} Q
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\mathsf {a}
 _{Ph} 
 = \{\{\overline{(op1)}
,\overline{(op1)}
\}
,\{\overline{(op1)}
,\overline{(op2)}
\}
\}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\}
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \underline{
\mathsf {m}}
\colon \dot{\neg}\,(
\mathsf {e}
 _{Ph} 
 = \{\{\underline{
\mathsf {m}}
,\underline{
\mathsf {m}}
\}
,\{\underline{
\mathsf {m}}
,(\underline{(fy)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
*\underline{(fz)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
)
\}
\}
)n
)n
\}
[\overline{
\mathsf {m}}
]
)
)
|
 = \overline{(\epsilon)}
)n
)n
)n
)n
)n
\rceil 
, 
p_0
, 
\mathsf {c}
)
]$



$
[EqMultiplication(R)
\stackrel{
stmt
}{\rightarrow}SystemQ
\vdash 
\forall \underline{(fx)}
\colon 
\forall \underline{(fy)}
\colon 
\forall \underline{(fz)}
\colon  \{ ph \mathrel{\in} P( \{ ph \mathrel{\in} P( \{ ph \mathrel{\in} P(P(Union(\{N
,Q
\}
)
)
)
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op1)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op2)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\overline{(op1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(op2)}
 \mathrel{\in} Q
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\mathsf {a}
 _{Ph} 
 = \{\{\overline{(op1)}
,\overline{(op1)}
\}
,\{\overline{(op1)}
,\overline{(op2)}
\}
\}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\}
)
\mid \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(r1)}
\colon \overline{(r1)}
 \mathrel{\in} 
\mathsf {f}
 _{Ph} 
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op1)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op2)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\overline{(op1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(op2)}
 \mathrel{\in} Q
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(r1)}
 = \{\{\overline{(op1)}
,\overline{(op1)}
\}
,\{\overline{(op1)}
,\overline{(op2)}
\}
\}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(f1)}
\colon 
\forall_{obj} \overline{(f2)}
\colon 
\forall_{obj} \overline{(f3)}
\colon 
\forall_{obj} \overline{(f4)}
\colon \{\{\overline{(f1)}
,\overline{(f1)}
\}
,\{\overline{(f1)}
,\overline{(f2)}
\}
\}
 \mathrel{\in} 
\mathsf {f}
 _{Ph} 
\Rightarrow \{\{\overline{(f3)}
,\overline{(f3)}
\}
,\{\overline{(f3)}
,\overline{(f4)}
\}
\}
 \mathrel{\in} 
\mathsf {f}
 _{Ph} 
\Rightarrow \overline{(f1)}
 = \overline{(f3)}
\Rightarrow \overline{(f2)}
 = \overline{(f4)}
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(s1)}
\colon \overline{(s1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(s2)}
\colon \dot{\neg}\,(\{\{\overline{(s1)}
,\overline{(s1)}
\}
,\{\overline{(s1)}
,\overline{(s2)}
\}
\}
 \mathrel{\in} 
\mathsf {f}
 _{Ph} 
)n
)n
)n
)n
\}
)
\mid 
\forall_{obj} \overline{(\epsilon)}
\colon \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {n}}
\colon \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {m}}
\colon \dot{\neg}\,(0
 <= \overline{(\epsilon)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(0
 = \overline{(\epsilon)}
)n
)n
)n
\Rightarrow \overline{
\mathsf {n}}
 <= \overline{
\mathsf {m}}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(|(\underline{(fx)}
[\overline{
\mathsf {m}}
]
+(-u
\mathsf {d}
 _{Ph} 
[\overline{
\mathsf {m}}
]
)
)
|
 <= \overline{(\epsilon)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(|(\underline{(fx)}
[\overline{
\mathsf {m}}
]
+(-u
\mathsf {d}
 _{Ph} 
[\overline{
\mathsf {m}}
]
)
)
|
 = \overline{(\epsilon)}
)n
)n
)n
)n
)n
\}
 =  \{ ph \mathrel{\in} P( \{ ph \mathrel{\in} P( \{ ph \mathrel{\in} P(P(Union(\{N
,Q
\}
)
)
)
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op1)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op2)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\overline{(op1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(op2)}
 \mathrel{\in} Q
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\mathsf {a}
 _{Ph} 
 = \{\{\overline{(op1)}
,\overline{(op1)}
\}
,\{\overline{(op1)}
,\overline{(op2)}
\}
\}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\}
)
\mid \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(r1)}
\colon \overline{(r1)}
 \mathrel{\in} 
\mathsf {f}
 _{Ph} 
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op1)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op2)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\overline{(op1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(op2)}
 \mathrel{\in} Q
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(r1)}
 = \{\{\overline{(op1)}
,\overline{(op1)}
\}
,\{\overline{(op1)}
,\overline{(op2)}
\}
\}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(f1)}
\colon 
\forall_{obj} \overline{(f2)}
\colon 
\forall_{obj} \overline{(f3)}
\colon 
\forall_{obj} \overline{(f4)}
\colon \{\{\overline{(f1)}
,\overline{(f1)}
\}
,\{\overline{(f1)}
,\overline{(f2)}
\}
\}
 \mathrel{\in} 
\mathsf {f}
 _{Ph} 
\Rightarrow \{\{\overline{(f3)}
,\overline{(f3)}
\}
,\{\overline{(f3)}
,\overline{(f4)}
\}
\}
 \mathrel{\in} 
\mathsf {f}
 _{Ph} 
\Rightarrow \overline{(f1)}
 = \overline{(f3)}
\Rightarrow \overline{(f2)}
 = \overline{(f4)}
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(s1)}
\colon \overline{(s1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(s2)}
\colon \dot{\neg}\,(\{\{\overline{(s1)}
,\overline{(s1)}
\}
,\{\overline{(s1)}
,\overline{(s2)}
\}
\}
 \mathrel{\in} 
\mathsf {f}
 _{Ph} 
)n
)n
)n
)n
\}
)
\mid 
\forall_{obj} \overline{(\epsilon)}
\colon \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {n}}
\colon \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {m}}
\colon \dot{\neg}\,(0
 <= \overline{(\epsilon)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(0
 = \overline{(\epsilon)}
)n
)n
)n
\Rightarrow \overline{
\mathsf {n}}
 <= \overline{
\mathsf {m}}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(|(\underline{(fy)}
[\overline{
\mathsf {m}}
]
+(-u
\mathsf {d}
 _{Ph} 
[\overline{
\mathsf {m}}
]
)
)
|
 <= \overline{(\epsilon)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(|(\underline{(fy)}
[\overline{
\mathsf {m}}
]
+(-u
\mathsf {d}
 _{Ph} 
[\overline{
\mathsf {m}}
]
)
)
|
 = \overline{(\epsilon)}
)n
)n
)n
)n
)n
\}
\vdash  \{ ph \mathrel{\in} P( \{ ph \mathrel{\in} P( \{ ph \mathrel{\in} P(P(Union(\{N
,Q
\}
)
)
)
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op1)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op2)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\overline{(op1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(op2)}
 \mathrel{\in} Q
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\mathsf {a}
 _{Ph} 
 = \{\{\overline{(op1)}
,\overline{(op1)}
\}
,\{\overline{(op1)}
,\overline{(op2)}
\}
\}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\}
)
\mid \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(r1)}
\colon \overline{(r1)}
 \mathrel{\in} 
\mathsf {f}
 _{Ph} 
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op1)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op2)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\overline{(op1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(op2)}
 \mathrel{\in} Q
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(r1)}
 = \{\{\overline{(op1)}
,\overline{(op1)}
\}
,\{\overline{(op1)}
,\overline{(op2)}
\}
\}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(f1)}
\colon 
\forall_{obj} \overline{(f2)}
\colon 
\forall_{obj} \overline{(f3)}
\colon 
\forall_{obj} \overline{(f4)}
\colon \{\{\overline{(f1)}
,\overline{(f1)}
\}
,\{\overline{(f1)}
,\overline{(f2)}
\}
\}
 \mathrel{\in} 
\mathsf {f}
 _{Ph} 
\Rightarrow \{\{\overline{(f3)}
,\overline{(f3)}
\}
,\{\overline{(f3)}
,\overline{(f4)}
\}
\}
 \mathrel{\in} 
\mathsf {f}
 _{Ph} 
\Rightarrow \overline{(f1)}
 = \overline{(f3)}
\Rightarrow \overline{(f2)}
 = \overline{(f4)}
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(s1)}
\colon \overline{(s1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(s2)}
\colon \dot{\neg}\,(\{\{\overline{(s1)}
,\overline{(s1)}
\}
,\{\overline{(s1)}
,\overline{(s2)}
\}
\}
 \mathrel{\in} 
\mathsf {f}
 _{Ph} 
)n
)n
)n
)n
\}
)
\mid 
\forall_{obj} \overline{(\epsilon)}
\colon \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {n}}
\colon \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {m}}
\colon \dot{\neg}\,(0
 <= \overline{(\epsilon)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(0
 = \overline{(\epsilon)}
)n
)n
)n
\Rightarrow \overline{
\mathsf {n}}
 <= \overline{
\mathsf {m}}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(|( \{ ph \mathrel{\in}  \{ ph \mathrel{\in} P(P(Union(\{N
,Q
\}
)
)
)
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op1)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op2)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\overline{(op1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(op2)}
 \mathrel{\in} Q
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\mathsf {a}
 _{Ph} 
 = \{\{\overline{(op1)}
,\overline{(op1)}
\}
,\{\overline{(op1)}
,\overline{(op2)}
\}
\}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\}
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \underline{
\mathsf {m}}
\colon \dot{\neg}\,(
\mathsf {e}
 _{Ph} 
 = \{\{\underline{
\mathsf {m}}
,\underline{
\mathsf {m}}
\}
,\{\underline{
\mathsf {m}}
,(\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
*\underline{(fz)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
)
\}
\}
)n
)n
\}
[\overline{
\mathsf {m}}
]
+(-u
\mathsf {d}
 _{Ph} 
[\overline{
\mathsf {m}}
]
)
)
|
 <= \overline{(\epsilon)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(|( \{ ph \mathrel{\in}  \{ ph \mathrel{\in} P(P(Union(\{N
,Q
\}
)
)
)
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op1)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op2)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\overline{(op1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(op2)}
 \mathrel{\in} Q
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\mathsf {a}
 _{Ph} 
 = \{\{\overline{(op1)}
,\overline{(op1)}
\}
,\{\overline{(op1)}
,\overline{(op2)}
\}
\}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\}
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \underline{
\mathsf {m}}
\colon \dot{\neg}\,(
\mathsf {e}
 _{Ph} 
 = \{\{\underline{
\mathsf {m}}
,\underline{
\mathsf {m}}
\}
,\{\underline{
\mathsf {m}}
,(\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
*\underline{(fz)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
)
\}
\}
)n
)n
\}
[\overline{
\mathsf {m}}
]
+(-u
\mathsf {d}
 _{Ph} 
[\overline{
\mathsf {m}}
]
)
)
|
 = \overline{(\epsilon)}
)n
)n
)n
)n
)n
\}
 =  \{ ph \mathrel{\in} P( \{ ph \mathrel{\in} P( \{ ph \mathrel{\in} P(P(Union(\{N
,Q
\}
)
)
)
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op1)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op2)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\overline{(op1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(op2)}
 \mathrel{\in} Q
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\mathsf {a}
 _{Ph} 
 = \{\{\overline{(op1)}
,\overline{(op1)}
\}
,\{\overline{(op1)}
,\overline{(op2)}
\}
\}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\}
)
\mid \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(r1)}
\colon \overline{(r1)}
 \mathrel{\in} 
\mathsf {f}
 _{Ph} 
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op1)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op2)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\overline{(op1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(op2)}
 \mathrel{\in} Q
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(r1)}
 = \{\{\overline{(op1)}
,\overline{(op1)}
\}
,\{\overline{(op1)}
,\overline{(op2)}
\}
\}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(f1)}
\colon 
\forall_{obj} \overline{(f2)}
\colon 
\forall_{obj} \overline{(f3)}
\colon 
\forall_{obj} \overline{(f4)}
\colon \{\{\overline{(f1)}
,\overline{(f1)}
\}
,\{\overline{(f1)}
,\overline{(f2)}
\}
\}
 \mathrel{\in} 
\mathsf {f}
 _{Ph} 
\Rightarrow \{\{\overline{(f3)}
,\overline{(f3)}
\}
,\{\overline{(f3)}
,\overline{(f4)}
\}
\}
 \mathrel{\in} 
\mathsf {f}
 _{Ph} 
\Rightarrow \overline{(f1)}
 = \overline{(f3)}
\Rightarrow \overline{(f2)}
 = \overline{(f4)}
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(s1)}
\colon \overline{(s1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(s2)}
\colon \dot{\neg}\,(\{\{\overline{(s1)}
,\overline{(s1)}
\}
,\{\overline{(s1)}
,\overline{(s2)}
\}
\}
 \mathrel{\in} 
\mathsf {f}
 _{Ph} 
)n
)n
)n
)n
\}
)
\mid 
\forall_{obj} \overline{(\epsilon)}
\colon \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {n}}
\colon \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {m}}
\colon \dot{\neg}\,(0
 <= \overline{(\epsilon)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(0
 = \overline{(\epsilon)}
)n
)n
)n
\Rightarrow \overline{
\mathsf {n}}
 <= \overline{
\mathsf {m}}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(|( \{ ph \mathrel{\in}  \{ ph \mathrel{\in} P(P(Union(\{N
,Q
\}
)
)
)
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op1)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op2)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\overline{(op1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(op2)}
 \mathrel{\in} Q
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\mathsf {a}
 _{Ph} 
 = \{\{\overline{(op1)}
,\overline{(op1)}
\}
,\{\overline{(op1)}
,\overline{(op2)}
\}
\}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\}
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \underline{
\mathsf {m}}
\colon \dot{\neg}\,(
\mathsf {e}
 _{Ph} 
 = \{\{\underline{
\mathsf {m}}
,\underline{
\mathsf {m}}
\}
,\{\underline{
\mathsf {m}}
,(\underline{(fy)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
*\underline{(fz)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
)
\}
\}
)n
)n
\}
[\overline{
\mathsf {m}}
]
+(-u
\mathsf {d}
 _{Ph} 
[\overline{
\mathsf {m}}
]
)
)
|
 <= \overline{(\epsilon)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(|( \{ ph \mathrel{\in}  \{ ph \mathrel{\in} P(P(Union(\{N
,Q
\}
)
)
)
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op1)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op2)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\overline{(op1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(op2)}
 \mathrel{\in} Q
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\mathsf {a}
 _{Ph} 
 = \{\{\overline{(op1)}
,\overline{(op1)}
\}
,\{\overline{(op1)}
,\overline{(op2)}
\}
\}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\}
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \underline{
\mathsf {m}}
\colon \dot{\neg}\,(
\mathsf {e}
 _{Ph} 
 = \{\{\underline{
\mathsf {m}}
,\underline{
\mathsf {m}}
\}
,\{\underline{
\mathsf {m}}
,(\underline{(fy)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
*\underline{(fz)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
)
\}
\}
)n
)n
\}
[\overline{
\mathsf {m}}
]
+(-u
\mathsf {d}
 _{Ph} 
[\overline{
\mathsf {m}}
]
)
)
|
 = \overline{(\epsilon)}
)n
)n
)n
)n
)n
\}
]$


$
[EqMultiplication(R)
\stackrel{
proof
}{\rightarrow}
\lambda 
\mathsf {c}
.
\lambda 
\mathsf{x}
.
{\cal P}( 
\lceil SystemQ
\vdash 
\forall \underline{(fx)}
\colon 
\forall \underline{(fy)}
\colon 
\forall \underline{(fz)}
\colon  \{ ph \mathrel{\in} P( \{ ph \mathrel{\in} P( \{ ph \mathrel{\in} P(P(Union(\{N
,Q
\}
)
)
)
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op1)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op2)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\overline{(op1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(op2)}
 \mathrel{\in} Q
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\mathsf {a}
 _{Ph} 
 = \{\{\overline{(op1)}
,\overline{(op1)}
\}
,\{\overline{(op1)}
,\overline{(op2)}
\}
\}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\}
)
\mid \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(r1)}
\colon \overline{(r1)}
 \mathrel{\in} 
\mathsf {f}
 _{Ph} 
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op1)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op2)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\overline{(op1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(op2)}
 \mathrel{\in} Q
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(r1)}
 = \{\{\overline{(op1)}
,\overline{(op1)}
\}
,\{\overline{(op1)}
,\overline{(op2)}
\}
\}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(f1)}
\colon 
\forall_{obj} \overline{(f2)}
\colon 
\forall_{obj} \overline{(f3)}
\colon 
\forall_{obj} \overline{(f4)}
\colon \{\{\overline{(f1)}
,\overline{(f1)}
\}
,\{\overline{(f1)}
,\overline{(f2)}
\}
\}
 \mathrel{\in} 
\mathsf {f}
 _{Ph} 
\Rightarrow \{\{\overline{(f3)}
,\overline{(f3)}
\}
,\{\overline{(f3)}
,\overline{(f4)}
\}
\}
 \mathrel{\in} 
\mathsf {f}
 _{Ph} 
\Rightarrow \overline{(f1)}
 = \overline{(f3)}
\Rightarrow \overline{(f2)}
 = \overline{(f4)}
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(s1)}
\colon \overline{(s1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(s2)}
\colon \dot{\neg}\,(\{\{\overline{(s1)}
,\overline{(s1)}
\}
,\{\overline{(s1)}
,\overline{(s2)}
\}
\}
 \mathrel{\in} 
\mathsf {f}
 _{Ph} 
)n
)n
)n
)n
\}
)
\mid 
\forall_{obj} \overline{(\epsilon)}
\colon \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {n}}
\colon \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {m}}
\colon \dot{\neg}\,(0
 <= \overline{(\epsilon)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(0
 = \overline{(\epsilon)}
)n
)n
)n
\Rightarrow \overline{
\mathsf {n}}
 <= \overline{
\mathsf {m}}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(|(\underline{(fx)}
[\overline{
\mathsf {m}}
]
+(-u
\mathsf {d}
 _{Ph} 
[\overline{
\mathsf {m}}
]
)
)
|
 <= \overline{(\epsilon)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(|(\underline{(fx)}
[\overline{
\mathsf {m}}
]
+(-u
\mathsf {d}
 _{Ph} 
[\overline{
\mathsf {m}}
]
)
)
|
 = \overline{(\epsilon)}
)n
)n
)n
)n
)n
\}
 =  \{ ph \mathrel{\in} P( \{ ph \mathrel{\in} P( \{ ph \mathrel{\in} P(P(Union(\{N
,Q
\}
)
)
)
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op1)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op2)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\overline{(op1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(op2)}
 \mathrel{\in} Q
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\mathsf {a}
 _{Ph} 
 = \{\{\overline{(op1)}
,\overline{(op1)}
\}
,\{\overline{(op1)}
,\overline{(op2)}
\}
\}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\}
)
\mid \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(r1)}
\colon \overline{(r1)}
 \mathrel{\in} 
\mathsf {f}
 _{Ph} 
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op1)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op2)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\overline{(op1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(op2)}
 \mathrel{\in} Q
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(r1)}
 = \{\{\overline{(op1)}
,\overline{(op1)}
\}
,\{\overline{(op1)}
,\overline{(op2)}
\}
\}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(f1)}
\colon 
\forall_{obj} \overline{(f2)}
\colon 
\forall_{obj} \overline{(f3)}
\colon 
\forall_{obj} \overline{(f4)}
\colon \{\{\overline{(f1)}
,\overline{(f1)}
\}
,\{\overline{(f1)}
,\overline{(f2)}
\}
\}
 \mathrel{\in} 
\mathsf {f}
 _{Ph} 
\Rightarrow \{\{\overline{(f3)}
,\overline{(f3)}
\}
,\{\overline{(f3)}
,\overline{(f4)}
\}
\}
 \mathrel{\in} 
\mathsf {f}
 _{Ph} 
\Rightarrow \overline{(f1)}
 = \overline{(f3)}
\Rightarrow \overline{(f2)}
 = \overline{(f4)}
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(s1)}
\colon \overline{(s1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(s2)}
\colon \dot{\neg}\,(\{\{\overline{(s1)}
,\overline{(s1)}
\}
,\{\overline{(s1)}
,\overline{(s2)}
\}
\}
 \mathrel{\in} 
\mathsf {f}
 _{Ph} 
)n
)n
)n
)n
\}
)
\mid 
\forall_{obj} \overline{(\epsilon)}
\colon \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {n}}
\colon \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {m}}
\colon \dot{\neg}\,(0
 <= \overline{(\epsilon)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(0
 = \overline{(\epsilon)}
)n
)n
)n
\Rightarrow \overline{
\mathsf {n}}
 <= \overline{
\mathsf {m}}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(|(\underline{(fy)}
[\overline{
\mathsf {m}}
]
+(-u
\mathsf {d}
 _{Ph} 
[\overline{
\mathsf {m}}
]
)
)
|
 <= \overline{(\epsilon)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(|(\underline{(fy)}
[\overline{
\mathsf {m}}
]
+(-u
\mathsf {d}
 _{Ph} 
[\overline{
\mathsf {m}}
]
)
)
|
 = \overline{(\epsilon)}
)n
)n
)n
)n
)n
\}
\vdash From==
\rhd  \{ ph \mathrel{\in} P( \{ ph \mathrel{\in} P( \{ ph \mathrel{\in} P(P(Union(\{N
,Q
\}
)
)
)
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op1)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op2)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\overline{(op1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(op2)}
 \mathrel{\in} Q
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\mathsf {a}
 _{Ph} 
 = \{\{\overline{(op1)}
,\overline{(op1)}
\}
,\{\overline{(op1)}
,\overline{(op2)}
\}
\}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\}
)
\mid \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(r1)}
\colon \overline{(r1)}
 \mathrel{\in} 
\mathsf {f}
 _{Ph} 
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op1)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op2)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\overline{(op1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(op2)}
 \mathrel{\in} Q
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(r1)}
 = \{\{\overline{(op1)}
,\overline{(op1)}
\}
,\{\overline{(op1)}
,\overline{(op2)}
\}
\}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(f1)}
\colon 
\forall_{obj} \overline{(f2)}
\colon 
\forall_{obj} \overline{(f3)}
\colon 
\forall_{obj} \overline{(f4)}
\colon \{\{\overline{(f1)}
,\overline{(f1)}
\}
,\{\overline{(f1)}
,\overline{(f2)}
\}
\}
 \mathrel{\in} 
\mathsf {f}
 _{Ph} 
\Rightarrow \{\{\overline{(f3)}
,\overline{(f3)}
\}
,\{\overline{(f3)}
,\overline{(f4)}
\}
\}
 \mathrel{\in} 
\mathsf {f}
 _{Ph} 
\Rightarrow \overline{(f1)}
 = \overline{(f3)}
\Rightarrow \overline{(f2)}
 = \overline{(f4)}
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(s1)}
\colon \overline{(s1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(s2)}
\colon \dot{\neg}\,(\{\{\overline{(s1)}
,\overline{(s1)}
\}
,\{\overline{(s1)}
,\overline{(s2)}
\}
\}
 \mathrel{\in} 
\mathsf {f}
 _{Ph} 
)n
)n
)n
)n
\}
)
\mid 
\forall_{obj} \overline{(\epsilon)}
\colon \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {n}}
\colon \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {m}}
\colon \dot{\neg}\,(0
 <= \overline{(\epsilon)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(0
 = \overline{(\epsilon)}
)n
)n
)n
\Rightarrow \overline{
\mathsf {n}}
 <= \overline{
\mathsf {m}}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(|(\underline{(fx)}
[\overline{
\mathsf {m}}
]
+(-u
\mathsf {d}
 _{Ph} 
[\overline{
\mathsf {m}}
]
)
)
|
 <= \overline{(\epsilon)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(|(\underline{(fx)}
[\overline{
\mathsf {m}}
]
+(-u
\mathsf {d}
 _{Ph} 
[\overline{
\mathsf {m}}
]
)
)
|
 = \overline{(\epsilon)}
)n
)n
)n
)n
)n
\}
 =  \{ ph \mathrel{\in} P( \{ ph \mathrel{\in} P( \{ ph \mathrel{\in} P(P(Union(\{N
,Q
\}
)
)
)
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op1)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op2)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\overline{(op1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(op2)}
 \mathrel{\in} Q
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\mathsf {a}
 _{Ph} 
 = \{\{\overline{(op1)}
,\overline{(op1)}
\}
,\{\overline{(op1)}
,\overline{(op2)}
\}
\}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\}
)
\mid \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(r1)}
\colon \overline{(r1)}
 \mathrel{\in} 
\mathsf {f}
 _{Ph} 
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op1)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op2)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\overline{(op1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(op2)}
 \mathrel{\in} Q
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(r1)}
 = \{\{\overline{(op1)}
,\overline{(op1)}
\}
,\{\overline{(op1)}
,\overline{(op2)}
\}
\}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(f1)}
\colon 
\forall_{obj} \overline{(f2)}
\colon 
\forall_{obj} \overline{(f3)}
\colon 
\forall_{obj} \overline{(f4)}
\colon \{\{\overline{(f1)}
,\overline{(f1)}
\}
,\{\overline{(f1)}
,\overline{(f2)}
\}
\}
 \mathrel{\in} 
\mathsf {f}
 _{Ph} 
\Rightarrow \{\{\overline{(f3)}
,\overline{(f3)}
\}
,\{\overline{(f3)}
,\overline{(f4)}
\}
\}
 \mathrel{\in} 
\mathsf {f}
 _{Ph} 
\Rightarrow \overline{(f1)}
 = \overline{(f3)}
\Rightarrow \overline{(f2)}
 = \overline{(f4)}
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(s1)}
\colon \overline{(s1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(s2)}
\colon \dot{\neg}\,(\{\{\overline{(s1)}
,\overline{(s1)}
\}
,\{\overline{(s1)}
,\overline{(s2)}
\}
\}
 \mathrel{\in} 
\mathsf {f}
 _{Ph} 
)n
)n
)n
)n
\}
)
\mid 
\forall_{obj} \overline{(\epsilon)}
\colon \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {n}}
\colon \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {m}}
\colon \dot{\neg}\,(0
 <= \overline{(\epsilon)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(0
 = \overline{(\epsilon)}
)n
)n
)n
\Rightarrow \overline{
\mathsf {n}}
 <= \overline{
\mathsf {m}}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(|(\underline{(fy)}
[\overline{
\mathsf {m}}
]
+(-u
\mathsf {d}
 _{Ph} 
[\overline{
\mathsf {m}}
]
)
)
|
 <= \overline{(\epsilon)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(|(\underline{(fy)}
[\overline{
\mathsf {m}}
]
+(-u
\mathsf {d}
 _{Ph} 
[\overline{
\mathsf {m}}
]
)
)
|
 = \overline{(\epsilon)}
)n
)n
)n
)n
)n
\}
\gg 
\forall_{obj} \overline{(\epsilon)}
\colon \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {n}}
\colon \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {m}}
\colon \dot{\neg}\,(0
 <= \overline{(\epsilon)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(0
 = \overline{(\epsilon)}
)n
)n
)n
\Rightarrow \overline{
\mathsf {n}}
 <= \overline{
\mathsf {m}}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(|(\underline{(fx)}
[\overline{
\mathsf {m}}
]
+(-u\underline{(fy)}
[\overline{
\mathsf {m}}
]
)
)
|
 <= \overline{(\epsilon)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(|(\underline{(fx)}
[\overline{
\mathsf {m}}
]
+(-u\underline{(fy)}
[\overline{
\mathsf {m}}
]
)
)
|
 = \overline{(\epsilon)}
)n
)n
)n
)n
)n
; SameFmultiplication
\rhd 
\forall_{obj} \overline{(\epsilon)}
\colon \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {n}}
\colon \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {m}}
\colon \dot{\neg}\,(0
 <= \overline{(\epsilon)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(0
 = \overline{(\epsilon)}
)n
)n
)n
\Rightarrow \overline{
\mathsf {n}}
 <= \overline{
\mathsf {m}}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(|(\underline{(fx)}
[\overline{
\mathsf {m}}
]
+(-u\underline{(fy)}
[\overline{
\mathsf {m}}
]
)
)
|
 <= \overline{(\epsilon)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(|(\underline{(fx)}
[\overline{
\mathsf {m}}
]
+(-u\underline{(fy)}
[\overline{
\mathsf {m}}
]
)
)
|
 = \overline{(\epsilon)}
)n
)n
)n
)n
)n
\gg 
\forall_{obj} \overline{(\epsilon)}
\colon \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {n}}
\colon \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {m}}
\colon \dot{\neg}\,(0
 <= \overline{(\epsilon)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(0
 = \overline{(\epsilon)}
)n
)n
)n
\Rightarrow \overline{
\mathsf {n}}
 <= \overline{
\mathsf {m}}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(|( \{ ph \mathrel{\in}  \{ ph \mathrel{\in} P(P(Union(\{N
,Q
\}
)
)
)
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op1)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op2)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\overline{(op1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(op2)}
 \mathrel{\in} Q
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\mathsf {a}
 _{Ph} 
 = \{\{\overline{(op1)}
,\overline{(op1)}
\}
,\{\overline{(op1)}
,\overline{(op2)}
\}
\}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\}
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \underline{
\mathsf {m}}
\colon \dot{\neg}\,(
\mathsf {e}
 _{Ph} 
 = \{\{\underline{
\mathsf {m}}
,\underline{
\mathsf {m}}
\}
,\{\underline{
\mathsf {m}}
,(\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
*\underline{(fz)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
)
\}
\}
)n
)n
\}
[\overline{
\mathsf {m}}
]
+(-u \{ ph \mathrel{\in}  \{ ph \mathrel{\in} P(P(Union(\{N
,Q
\}
)
)
)
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op1)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op2)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\overline{(op1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(op2)}
 \mathrel{\in} Q
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\mathsf {a}
 _{Ph} 
 = \{\{\overline{(op1)}
,\overline{(op1)}
\}
,\{\overline{(op1)}
,\overline{(op2)}
\}
\}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\}
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \underline{
\mathsf {m}}
\colon \dot{\neg}\,(
\mathsf {e}
 _{Ph} 
 = \{\{\underline{
\mathsf {m}}
,\underline{
\mathsf {m}}
\}
,\{\underline{
\mathsf {m}}
,(\underline{(fy)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
*\underline{(fz)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
)
\}
\}
)n
)n
\}
[\overline{
\mathsf {m}}
]
)
)
|
 <= \overline{(\epsilon)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(|( \{ ph \mathrel{\in}  \{ ph \mathrel{\in} P(P(Union(\{N
,Q
\}
)
)
)
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op1)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op2)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\overline{(op1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(op2)}
 \mathrel{\in} Q
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\mathsf {a}
 _{Ph} 
 = \{\{\overline{(op1)}
,\overline{(op1)}
\}
,\{\overline{(op1)}
,\overline{(op2)}
\}
\}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\}
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \underline{
\mathsf {m}}
\colon \dot{\neg}\,(
\mathsf {e}
 _{Ph} 
 = \{\{\underline{
\mathsf {m}}
,\underline{
\mathsf {m}}
\}
,\{\underline{
\mathsf {m}}
,(\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
*\underline{(fz)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
)
\}
\}
)n
)n
\}
[\overline{
\mathsf {m}}
]
+(-u \{ ph \mathrel{\in}  \{ ph \mathrel{\in} P(P(Union(\{N
,Q
\}
)
)
)
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op1)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op2)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\overline{(op1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(op2)}
 \mathrel{\in} Q
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\mathsf {a}
 _{Ph} 
 = \{\{\overline{(op1)}
,\overline{(op1)}
\}
,\{\overline{(op1)}
,\overline{(op2)}
\}
\}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\}
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \underline{
\mathsf {m}}
\colon \dot{\neg}\,(
\mathsf {e}
 _{Ph} 
 = \{\{\underline{
\mathsf {m}}
,\underline{
\mathsf {m}}
\}
,\{\underline{
\mathsf {m}}
,(\underline{(fy)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
*\underline{(fz)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
)
\}
\}
)n
)n
\}
[\overline{
\mathsf {m}}
]
)
)
|
 = \overline{(\epsilon)}
)n
)n
)n
)n
)n
; To==
\rhd 
\forall_{obj} \overline{(\epsilon)}
\colon \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {n}}
\colon \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {m}}
\colon \dot{\neg}\,(0
 <= \overline{(\epsilon)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(0
 = \overline{(\epsilon)}
)n
)n
)n
\Rightarrow \overline{
\mathsf {n}}
 <= \overline{
\mathsf {m}}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(|( \{ ph \mathrel{\in}  \{ ph \mathrel{\in} P(P(Union(\{N
,Q
\}
)
)
)
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op1)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op2)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\overline{(op1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(op2)}
 \mathrel{\in} Q
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\mathsf {a}
 _{Ph} 
 = \{\{\overline{(op1)}
,\overline{(op1)}
\}
,\{\overline{(op1)}
,\overline{(op2)}
\}
\}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\}
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \underline{
\mathsf {m}}
\colon \dot{\neg}\,(
\mathsf {e}
 _{Ph} 
 = \{\{\underline{
\mathsf {m}}
,\underline{
\mathsf {m}}
\}
,\{\underline{
\mathsf {m}}
,(\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
*\underline{(fz)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
)
\}
\}
)n
)n
\}
[\overline{
\mathsf {m}}
]
+(-u \{ ph \mathrel{\in}  \{ ph \mathrel{\in} P(P(Union(\{N
,Q
\}
)
)
)
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op1)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op2)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\overline{(op1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(op2)}
 \mathrel{\in} Q
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\mathsf {a}
 _{Ph} 
 = \{\{\overline{(op1)}
,\overline{(op1)}
\}
,\{\overline{(op1)}
,\overline{(op2)}
\}
\}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\}
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \underline{
\mathsf {m}}
\colon \dot{\neg}\,(
\mathsf {e}
 _{Ph} 
 = \{\{\underline{
\mathsf {m}}
,\underline{
\mathsf {m}}
\}
,\{\underline{
\mathsf {m}}
,(\underline{(fy)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
*\underline{(fz)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
)
\}
\}
)n
)n
\}
[\overline{
\mathsf {m}}
]
)
)
|
 <= \overline{(\epsilon)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(|( \{ ph \mathrel{\in}  \{ ph \mathrel{\in} P(P(Union(\{N
,Q
\}
)
)
)
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op1)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op2)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\overline{(op1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(op2)}
 \mathrel{\in} Q
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\mathsf {a}
 _{Ph} 
 = \{\{\overline{(op1)}
,\overline{(op1)}
\}
,\{\overline{(op1)}
,\overline{(op2)}
\}
\}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\}
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \underline{
\mathsf {m}}
\colon \dot{\neg}\,(
\mathsf {e}
 _{Ph} 
 = \{\{\underline{
\mathsf {m}}
,\underline{
\mathsf {m}}
\}
,\{\underline{
\mathsf {m}}
,(\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
*\underline{(fz)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
)
\}
\}
)n
)n
\}
[\overline{
\mathsf {m}}
]
+(-u \{ ph \mathrel{\in}  \{ ph \mathrel{\in} P(P(Union(\{N
,Q
\}
)
)
)
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op1)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op2)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\overline{(op1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(op2)}
 \mathrel{\in} Q
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\mathsf {a}
 _{Ph} 
 = \{\{\overline{(op1)}
,\overline{(op1)}
\}
,\{\overline{(op1)}
,\overline{(op2)}
\}
\}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\}
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \underline{
\mathsf {m}}
\colon \dot{\neg}\,(
\mathsf {e}
 _{Ph} 
 = \{\{\underline{
\mathsf {m}}
,\underline{
\mathsf {m}}
\}
,\{\underline{
\mathsf {m}}
,(\underline{(fy)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
*\underline{(fz)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
)
\}
\}
)n
)n
\}
[\overline{
\mathsf {m}}
]
)
)
|
 = \overline{(\epsilon)}
)n
)n
)n
)n
)n
\gg  \{ ph \mathrel{\in} P( \{ ph \mathrel{\in} P( \{ ph \mathrel{\in} P(P(Union(\{N
,Q
\}
)
)
)
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op1)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op2)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\overline{(op1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(op2)}
 \mathrel{\in} Q
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\mathsf {a}
 _{Ph} 
 = \{\{\overline{(op1)}
,\overline{(op1)}
\}
,\{\overline{(op1)}
,\overline{(op2)}
\}
\}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\}
)
\mid \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(r1)}
\colon \overline{(r1)}
 \mathrel{\in} 
\mathsf {f}
 _{Ph} 
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op1)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op2)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\overline{(op1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(op2)}
 \mathrel{\in} Q
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(r1)}
 = \{\{\overline{(op1)}
,\overline{(op1)}
\}
,\{\overline{(op1)}
,\overline{(op2)}
\}
\}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(f1)}
\colon 
\forall_{obj} \overline{(f2)}
\colon 
\forall_{obj} \overline{(f3)}
\colon 
\forall_{obj} \overline{(f4)}
\colon \{\{\overline{(f1)}
,\overline{(f1)}
\}
,\{\overline{(f1)}
,\overline{(f2)}
\}
\}
 \mathrel{\in} 
\mathsf {f}
 _{Ph} 
\Rightarrow \{\{\overline{(f3)}
,\overline{(f3)}
\}
,\{\overline{(f3)}
,\overline{(f4)}
\}
\}
 \mathrel{\in} 
\mathsf {f}
 _{Ph} 
\Rightarrow \overline{(f1)}
 = \overline{(f3)}
\Rightarrow \overline{(f2)}
 = \overline{(f4)}
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(s1)}
\colon \overline{(s1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(s2)}
\colon \dot{\neg}\,(\{\{\overline{(s1)}
,\overline{(s1)}
\}
,\{\overline{(s1)}
,\overline{(s2)}
\}
\}
 \mathrel{\in} 
\mathsf {f}
 _{Ph} 
)n
)n
)n
)n
\}
)
\mid 
\forall_{obj} \overline{(\epsilon)}
\colon \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {n}}
\colon \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {m}}
\colon \dot{\neg}\,(0
 <= \overline{(\epsilon)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(0
 = \overline{(\epsilon)}
)n
)n
)n
\Rightarrow \overline{
\mathsf {n}}
 <= \overline{
\mathsf {m}}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(|( \{ ph \mathrel{\in}  \{ ph \mathrel{\in} P(P(Union(\{N
,Q
\}
)
)
)
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op1)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op2)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\overline{(op1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(op2)}
 \mathrel{\in} Q
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\mathsf {a}
 _{Ph} 
 = \{\{\overline{(op1)}
,\overline{(op1)}
\}
,\{\overline{(op1)}
,\overline{(op2)}
\}
\}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\}
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \underline{
\mathsf {m}}
\colon \dot{\neg}\,(
\mathsf {e}
 _{Ph} 
 = \{\{\underline{
\mathsf {m}}
,\underline{
\mathsf {m}}
\}
,\{\underline{
\mathsf {m}}
,(\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
*\underline{(fz)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
)
\}
\}
)n
)n
\}
[\overline{
\mathsf {m}}
]
+(-u
\mathsf {d}
 _{Ph} 
[\overline{
\mathsf {m}}
]
)
)
|
 <= \overline{(\epsilon)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(|( \{ ph \mathrel{\in}  \{ ph \mathrel{\in} P(P(Union(\{N
,Q
\}
)
)
)
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op1)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op2)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\overline{(op1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(op2)}
 \mathrel{\in} Q
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\mathsf {a}
 _{Ph} 
 = \{\{\overline{(op1)}
,\overline{(op1)}
\}
,\{\overline{(op1)}
,\overline{(op2)}
\}
\}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\}
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \underline{
\mathsf {m}}
\colon \dot{\neg}\,(
\mathsf {e}
 _{Ph} 
 = \{\{\underline{
\mathsf {m}}
,\underline{
\mathsf {m}}
\}
,\{\underline{
\mathsf {m}}
,(\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
*\underline{(fz)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
)
\}
\}
)n
)n
\}
[\overline{
\mathsf {m}}
]
+(-u
\mathsf {d}
 _{Ph} 
[\overline{
\mathsf {m}}
]
)
)
|
 = \overline{(\epsilon)}
)n
)n
)n
)n
)n
\}
 =  \{ ph \mathrel{\in} P( \{ ph \mathrel{\in} P( \{ ph \mathrel{\in} P(P(Union(\{N
,Q
\}
)
)
)
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op1)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op2)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\overline{(op1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(op2)}
 \mathrel{\in} Q
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\mathsf {a}
 _{Ph} 
 = \{\{\overline{(op1)}
,\overline{(op1)}
\}
,\{\overline{(op1)}
,\overline{(op2)}
\}
\}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\}
)
\mid \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(r1)}
\colon \overline{(r1)}
 \mathrel{\in} 
\mathsf {f}
 _{Ph} 
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op1)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op2)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\overline{(op1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(op2)}
 \mathrel{\in} Q
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(r1)}
 = \{\{\overline{(op1)}
,\overline{(op1)}
\}
,\{\overline{(op1)}
,\overline{(op2)}
\}
\}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(f1)}
\colon 
\forall_{obj} \overline{(f2)}
\colon 
\forall_{obj} \overline{(f3)}
\colon 
\forall_{obj} \overline{(f4)}
\colon \{\{\overline{(f1)}
,\overline{(f1)}
\}
,\{\overline{(f1)}
,\overline{(f2)}
\}
\}
 \mathrel{\in} 
\mathsf {f}
 _{Ph} 
\Rightarrow \{\{\overline{(f3)}
,\overline{(f3)}
\}
,\{\overline{(f3)}
,\overline{(f4)}
\}
\}
 \mathrel{\in} 
\mathsf {f}
 _{Ph} 
\Rightarrow \overline{(f1)}
 = \overline{(f3)}
\Rightarrow \overline{(f2)}
 = \overline{(f4)}
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(s1)}
\colon \overline{(s1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(s2)}
\colon \dot{\neg}\,(\{\{\overline{(s1)}
,\overline{(s1)}
\}
,\{\overline{(s1)}
,\overline{(s2)}
\}
\}
 \mathrel{\in} 
\mathsf {f}
 _{Ph} 
)n
)n
)n
)n
\}
)
\mid 
\forall_{obj} \overline{(\epsilon)}
\colon \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {n}}
\colon \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {m}}
\colon \dot{\neg}\,(0
 <= \overline{(\epsilon)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(0
 = \overline{(\epsilon)}
)n
)n
)n
\Rightarrow \overline{
\mathsf {n}}
 <= \overline{
\mathsf {m}}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(|( \{ ph \mathrel{\in}  \{ ph \mathrel{\in} P(P(Union(\{N
,Q
\}
)
)
)
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op1)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op2)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\overline{(op1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(op2)}
 \mathrel{\in} Q
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\mathsf {a}
 _{Ph} 
 = \{\{\overline{(op1)}
,\overline{(op1)}
\}
,\{\overline{(op1)}
,\overline{(op2)}
\}
\}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\}
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \underline{
\mathsf {m}}
\colon \dot{\neg}\,(
\mathsf {e}
 _{Ph} 
 = \{\{\underline{
\mathsf {m}}
,\underline{
\mathsf {m}}
\}
,\{\underline{
\mathsf {m}}
,(\underline{(fy)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
*\underline{(fz)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
)
\}
\}
)n
)n
\}
[\overline{
\mathsf {m}}
]
+(-u
\mathsf {d}
 _{Ph} 
[\overline{
\mathsf {m}}
]
)
)
|
 <= \overline{(\epsilon)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(|( \{ ph \mathrel{\in}  \{ ph \mathrel{\in} P(P(Union(\{N
,Q
\}
)
)
)
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op1)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op2)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\overline{(op1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(op2)}
 \mathrel{\in} Q
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\mathsf {a}
 _{Ph} 
 = \{\{\overline{(op1)}
,\overline{(op1)}
\}
,\{\overline{(op1)}
,\overline{(op2)}
\}
\}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\}
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \underline{
\mathsf {m}}
\colon \dot{\neg}\,(
\mathsf {e}
 _{Ph} 
 = \{\{\underline{
\mathsf {m}}
,\underline{
\mathsf {m}}
\}
,\{\underline{
\mathsf {m}}
,(\underline{(fy)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
*\underline{(fz)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
)
\}
\}
)n
)n
\}
[\overline{
\mathsf {m}}
]
+(-u
\mathsf {d}
 _{Ph} 
[\overline{
\mathsf {m}}
]
)
)
|
 = \overline{(\epsilon)}
)n
)n
)n
)n
)n
\}
; eqReflexivity
\gg  \{ ph \mathrel{\in} P( \{ ph \mathrel{\in} P( \{ ph \mathrel{\in} P(P(Union(\{N
,Q
\}
)
)
)
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op1)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op2)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\overline{(op1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(op2)}
 \mathrel{\in} Q
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\mathsf {a}
 _{Ph} 
 = \{\{\overline{(op1)}
,\overline{(op1)}
\}
,\{\overline{(op1)}
,\overline{(op2)}
\}
\}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\}
)
\mid \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(r1)}
\colon \overline{(r1)}
 \mathrel{\in} 
\mathsf {f}
 _{Ph} 
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op1)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op2)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\overline{(op1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(op2)}
 \mathrel{\in} Q
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(r1)}
 = \{\{\overline{(op1)}
,\overline{(op1)}
\}
,\{\overline{(op1)}
,\overline{(op2)}
\}
\}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(f1)}
\colon 
\forall_{obj} \overline{(f2)}
\colon 
\forall_{obj} \overline{(f3)}
\colon 
\forall_{obj} \overline{(f4)}
\colon \{\{\overline{(f1)}
,\overline{(f1)}
\}
,\{\overline{(f1)}
,\overline{(f2)}
\}
\}
 \mathrel{\in} 
\mathsf {f}
 _{Ph} 
\Rightarrow \{\{\overline{(f3)}
,\overline{(f3)}
\}
,\{\overline{(f3)}
,\overline{(f4)}
\}
\}
 \mathrel{\in} 
\mathsf {f}
 _{Ph} 
\Rightarrow \overline{(f1)}
 = \overline{(f3)}
\Rightarrow \overline{(f2)}
 = \overline{(f4)}
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(s1)}
\colon \overline{(s1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(s2)}
\colon \dot{\neg}\,(\{\{\overline{(s1)}
,\overline{(s1)}
\}
,\{\overline{(s1)}
,\overline{(s2)}
\}
\}
 \mathrel{\in} 
\mathsf {f}
 _{Ph} 
)n
)n
)n
)n
\}
)
\mid 
\forall_{obj} \overline{(\epsilon)}
\colon \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {n}}
\colon \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {m}}
\colon \dot{\neg}\,(0
 <= \overline{(\epsilon)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(0
 = \overline{(\epsilon)}
)n
)n
)n
\Rightarrow \overline{
\mathsf {n}}
 <= \overline{
\mathsf {m}}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(|( \{ ph \mathrel{\in}  \{ ph \mathrel{\in} P(P(Union(\{N
,Q
\}
)
)
)
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op1)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op2)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\overline{(op1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(op2)}
 \mathrel{\in} Q
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\mathsf {a}
 _{Ph} 
 = \{\{\overline{(op1)}
,\overline{(op1)}
\}
,\{\overline{(op1)}
,\overline{(op2)}
\}
\}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\}
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \underline{
\mathsf {m}}
\colon \dot{\neg}\,(
\mathsf {e}
 _{Ph} 
 = \{\{\underline{
\mathsf {m}}
,\underline{
\mathsf {m}}
\}
,\{\underline{
\mathsf {m}}
,(\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
*\underline{(fz)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
)
\}
\}
)n
)n
\}
[\overline{
\mathsf {m}}
]
+(-u
\mathsf {d}
 _{Ph} 
[\overline{
\mathsf {m}}
]
)
)
|
 <= \overline{(\epsilon)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(|( \{ ph \mathrel{\in}  \{ ph \mathrel{\in} P(P(Union(\{N
,Q
\}
)
)
)
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op1)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op2)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\overline{(op1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(op2)}
 \mathrel{\in} Q
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\mathsf {a}
 _{Ph} 
 = \{\{\overline{(op1)}
,\overline{(op1)}
\}
,\{\overline{(op1)}
,\overline{(op2)}
\}
\}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\}
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \underline{
\mathsf {m}}
\colon \dot{\neg}\,(
\mathsf {e}
 _{Ph} 
 = \{\{\underline{
\mathsf {m}}
,\underline{
\mathsf {m}}
\}
,\{\underline{
\mathsf {m}}
,(\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
*\underline{(fz)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
)
\}
\}
)n
)n
\}
[\overline{
\mathsf {m}}
]
+(-u
\mathsf {d}
 _{Ph} 
[\overline{
\mathsf {m}}
]
)
)
|
 = \overline{(\epsilon)}
)n
)n
)n
)n
)n
\}
 =  \{ ph \mathrel{\in} P( \{ ph \mathrel{\in} P( \{ ph \mathrel{\in} P(P(Union(\{N
,Q
\}
)
)
)
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op1)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op2)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\overline{(op1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(op2)}
 \mathrel{\in} Q
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\mathsf {a}
 _{Ph} 
 = \{\{\overline{(op1)}
,\overline{(op1)}
\}
,\{\overline{(op1)}
,\overline{(op2)}
\}
\}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\}
)
\mid \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(r1)}
\colon \overline{(r1)}
 \mathrel{\in} 
\mathsf {f}
 _{Ph} 
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op1)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op2)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\overline{(op1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(op2)}
 \mathrel{\in} Q
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(r1)}
 = \{\{\overline{(op1)}
,\overline{(op1)}
\}
,\{\overline{(op1)}
,\overline{(op2)}
\}
\}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(f1)}
\colon 
\forall_{obj} \overline{(f2)}
\colon 
\forall_{obj} \overline{(f3)}
\colon 
\forall_{obj} \overline{(f4)}
\colon \{\{\overline{(f1)}
,\overline{(f1)}
\}
,\{\overline{(f1)}
,\overline{(f2)}
\}
\}
 \mathrel{\in} 
\mathsf {f}
 _{Ph} 
\Rightarrow \{\{\overline{(f3)}
,\overline{(f3)}
\}
,\{\overline{(f3)}
,\overline{(f4)}
\}
\}
 \mathrel{\in} 
\mathsf {f}
 _{Ph} 
\Rightarrow \overline{(f1)}
 = \overline{(f3)}
\Rightarrow \overline{(f2)}
 = \overline{(f4)}
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(s1)}
\colon \overline{(s1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(s2)}
\colon \dot{\neg}\,(\{\{\overline{(s1)}
,\overline{(s1)}
\}
,\{\overline{(s1)}
,\overline{(s2)}
\}
\}
 \mathrel{\in} 
\mathsf {f}
 _{Ph} 
)n
)n
)n
)n
\}
)
\mid 
\forall_{obj} \overline{(\epsilon)}
\colon \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {n}}
\colon \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {m}}
\colon \dot{\neg}\,(0
 <= \overline{(\epsilon)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(0
 = \overline{(\epsilon)}
)n
)n
)n
\Rightarrow \overline{
\mathsf {n}}
 <= \overline{
\mathsf {m}}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(|( \{ ph \mathrel{\in}  \{ ph \mathrel{\in} P(P(Union(\{N
,Q
\}
)
)
)
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op1)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op2)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\overline{(op1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(op2)}
 \mathrel{\in} Q
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\mathsf {a}
 _{Ph} 
 = \{\{\overline{(op1)}
,\overline{(op1)}
\}
,\{\overline{(op1)}
,\overline{(op2)}
\}
\}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\}
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \underline{
\mathsf {m}}
\colon \dot{\neg}\,(
\mathsf {e}
 _{Ph} 
 = \{\{\underline{
\mathsf {m}}
,\underline{
\mathsf {m}}
\}
,\{\underline{
\mathsf {m}}
,(\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
*\underline{(fz)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
)
\}
\}
)n
)n
\}
[\overline{
\mathsf {m}}
]
+(-u
\mathsf {d}
 _{Ph} 
[\overline{
\mathsf {m}}
]
)
)
|
 <= \overline{(\epsilon)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(|( \{ ph \mathrel{\in}  \{ ph \mathrel{\in} P(P(Union(\{N
,Q
\}
)
)
)
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op1)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op2)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\overline{(op1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(op2)}
 \mathrel{\in} Q
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\mathsf {a}
 _{Ph} 
 = \{\{\overline{(op1)}
,\overline{(op1)}
\}
,\{\overline{(op1)}
,\overline{(op2)}
\}
\}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\}
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \underline{
\mathsf {m}}
\colon \dot{\neg}\,(
\mathsf {e}
 _{Ph} 
 = \{\{\underline{
\mathsf {m}}
,\underline{
\mathsf {m}}
\}
,\{\underline{
\mathsf {m}}
,(\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
*\underline{(fz)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
)
\}
\}
)n
)n
\}
[\overline{
\mathsf {m}}
]
+(-u
\mathsf {d}
 _{Ph} 
[\overline{
\mathsf {m}}
]
)
)
|
 = \overline{(\epsilon)}
)n
)n
)n
)n
)n
\}
; eqReflexivity
\gg  \{ ph \mathrel{\in} P( \{ ph \mathrel{\in} P( \{ ph \mathrel{\in} P(P(Union(\{N
,Q
\}
)
)
)
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op1)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op2)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\overline{(op1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(op2)}
 \mathrel{\in} Q
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\mathsf {a}
 _{Ph} 
 = \{\{\overline{(op1)}
,\overline{(op1)}
\}
,\{\overline{(op1)}
,\overline{(op2)}
\}
\}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\}
)
\mid \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(r1)}
\colon \overline{(r1)}
 \mathrel{\in} 
\mathsf {f}
 _{Ph} 
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op1)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op2)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\overline{(op1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(op2)}
 \mathrel{\in} Q
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(r1)}
 = \{\{\overline{(op1)}
,\overline{(op1)}
\}
,\{\overline{(op1)}
,\overline{(op2)}
\}
\}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(f1)}
\colon 
\forall_{obj} \overline{(f2)}
\colon 
\forall_{obj} \overline{(f3)}
\colon 
\forall_{obj} \overline{(f4)}
\colon \{\{\overline{(f1)}
,\overline{(f1)}
\}
,\{\overline{(f1)}
,\overline{(f2)}
\}
\}
 \mathrel{\in} 
\mathsf {f}
 _{Ph} 
\Rightarrow \{\{\overline{(f3)}
,\overline{(f3)}
\}
,\{\overline{(f3)}
,\overline{(f4)}
\}
\}
 \mathrel{\in} 
\mathsf {f}
 _{Ph} 
\Rightarrow \overline{(f1)}
 = \overline{(f3)}
\Rightarrow \overline{(f2)}
 = \overline{(f4)}
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(s1)}
\colon \overline{(s1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(s2)}
\colon \dot{\neg}\,(\{\{\overline{(s1)}
,\overline{(s1)}
\}
,\{\overline{(s1)}
,\overline{(s2)}
\}
\}
 \mathrel{\in} 
\mathsf {f}
 _{Ph} 
)n
)n
)n
)n
\}
)
\mid 
\forall_{obj} \overline{(\epsilon)}
\colon \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {n}}
\colon \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {m}}
\colon \dot{\neg}\,(0
 <= \overline{(\epsilon)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(0
 = \overline{(\epsilon)}
)n
)n
)n
\Rightarrow \overline{
\mathsf {n}}
 <= \overline{
\mathsf {m}}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(|( \{ ph \mathrel{\in}  \{ ph \mathrel{\in} P(P(Union(\{N
,Q
\}
)
)
)
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op1)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op2)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\overline{(op1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(op2)}
 \mathrel{\in} Q
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\mathsf {a}
 _{Ph} 
 = \{\{\overline{(op1)}
,\overline{(op1)}
\}
,\{\overline{(op1)}
,\overline{(op2)}
\}
\}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\}
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \underline{
\mathsf {m}}
\colon \dot{\neg}\,(
\mathsf {e}
 _{Ph} 
 = \{\{\underline{
\mathsf {m}}
,\underline{
\mathsf {m}}
\}
,\{\underline{
\mathsf {m}}
,(\underline{(fy)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
*\underline{(fz)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
)
\}
\}
)n
)n
\}
[\overline{
\mathsf {m}}
]
+(-u
\mathsf {d}
 _{Ph} 
[\overline{
\mathsf {m}}
]
)
)
|
 <= \overline{(\epsilon)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(|( \{ ph \mathrel{\in}  \{ ph \mathrel{\in} P(P(Union(\{N
,Q
\}
)
)
)
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op1)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op2)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\overline{(op1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(op2)}
 \mathrel{\in} Q
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\mathsf {a}
 _{Ph} 
 = \{\{\overline{(op1)}
,\overline{(op1)}
\}
,\{\overline{(op1)}
,\overline{(op2)}
\}
\}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\}
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \underline{
\mathsf {m}}
\colon \dot{\neg}\,(
\mathsf {e}
 _{Ph} 
 = \{\{\underline{
\mathsf {m}}
,\underline{
\mathsf {m}}
\}
,\{\underline{
\mathsf {m}}
,(\underline{(fy)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
*\underline{(fz)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
)
\}
\}
)n
)n
\}
[\overline{
\mathsf {m}}
]
+(-u
\mathsf {d}
 _{Ph} 
[\overline{
\mathsf {m}}
]
)
)
|
 = \overline{(\epsilon)}
)n
)n
)n
)n
)n
\}
 =  \{ ph \mathrel{\in} P( \{ ph \mathrel{\in} P( \{ ph \mathrel{\in} P(P(Union(\{N
,Q
\}
)
)
)
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op1)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op2)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\overline{(op1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(op2)}
 \mathrel{\in} Q
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\mathsf {a}
 _{Ph} 
 = \{\{\overline{(op1)}
,\overline{(op1)}
\}
,\{\overline{(op1)}
,\overline{(op2)}
\}
\}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\}
)
\mid \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(r1)}
\colon \overline{(r1)}
 \mathrel{\in} 
\mathsf {f}
 _{Ph} 
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op1)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op2)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\overline{(op1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(op2)}
 \mathrel{\in} Q
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(r1)}
 = \{\{\overline{(op1)}
,\overline{(op1)}
\}
,\{\overline{(op1)}
,\overline{(op2)}
\}
\}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(f1)}
\colon 
\forall_{obj} \overline{(f2)}
\colon 
\forall_{obj} \overline{(f3)}
\colon 
\forall_{obj} \overline{(f4)}
\colon \{\{\overline{(f1)}
,\overline{(f1)}
\}
,\{\overline{(f1)}
,\overline{(f2)}
\}
\}
 \mathrel{\in} 
\mathsf {f}
 _{Ph} 
\Rightarrow \{\{\overline{(f3)}
,\overline{(f3)}
\}
,\{\overline{(f3)}
,\overline{(f4)}
\}
\}
 \mathrel{\in} 
\mathsf {f}
 _{Ph} 
\Rightarrow \overline{(f1)}
 = \overline{(f3)}
\Rightarrow \overline{(f2)}
 = \overline{(f4)}
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(s1)}
\colon \overline{(s1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(s2)}
\colon \dot{\neg}\,(\{\{\overline{(s1)}
,\overline{(s1)}
\}
,\{\overline{(s1)}
,\overline{(s2)}
\}
\}
 \mathrel{\in} 
\mathsf {f}
 _{Ph} 
)n
)n
)n
)n
\}
)
\mid 
\forall_{obj} \overline{(\epsilon)}
\colon \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {n}}
\colon \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {m}}
\colon \dot{\neg}\,(0
 <= \overline{(\epsilon)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(0
 = \overline{(\epsilon)}
)n
)n
)n
\Rightarrow \overline{
\mathsf {n}}
 <= \overline{
\mathsf {m}}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(|( \{ ph \mathrel{\in}  \{ ph \mathrel{\in} P(P(Union(\{N
,Q
\}
)
)
)
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op1)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op2)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\overline{(op1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(op2)}
 \mathrel{\in} Q
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\mathsf {a}
 _{Ph} 
 = \{\{\overline{(op1)}
,\overline{(op1)}
\}
,\{\overline{(op1)}
,\overline{(op2)}
\}
\}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\}
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \underline{
\mathsf {m}}
\colon \dot{\neg}\,(
\mathsf {e}
 _{Ph} 
 = \{\{\underline{
\mathsf {m}}
,\underline{
\mathsf {m}}
\}
,\{\underline{
\mathsf {m}}
,(\underline{(fy)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
*\underline{(fz)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
)
\}
\}
)n
)n
\}
[\overline{
\mathsf {m}}
]
+(-u
\mathsf {d}
 _{Ph} 
[\overline{
\mathsf {m}}
]
)
)
|
 <= \overline{(\epsilon)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(|( \{ ph \mathrel{\in}  \{ ph \mathrel{\in} P(P(Union(\{N
,Q
\}
)
)
)
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op1)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op2)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\overline{(op1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(op2)}
 \mathrel{\in} Q
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\mathsf {a}
 _{Ph} 
 = \{\{\overline{(op1)}
,\overline{(op1)}
\}
,\{\overline{(op1)}
,\overline{(op2)}
\}
\}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\}
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \underline{
\mathsf {m}}
\colon \dot{\neg}\,(
\mathsf {e}
 _{Ph} 
 = \{\{\underline{
\mathsf {m}}
,\underline{
\mathsf {m}}
\}
,\{\underline{
\mathsf {m}}
,(\underline{(fy)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
*\underline{(fz)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
)
\}
\}
)n
)n
\}
[\overline{
\mathsf {m}}
]
+(-u
\mathsf {d}
 _{Ph} 
[\overline{
\mathsf {m}}
]
)
)
|
 = \overline{(\epsilon)}
)n
)n
)n
)n
)n
\}
; eqTransitivity4
\rhd  \{ ph \mathrel{\in} P( \{ ph \mathrel{\in} P( \{ ph \mathrel{\in} P(P(Union(\{N
,Q
\}
)
)
)
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op1)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op2)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\overline{(op1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(op2)}
 \mathrel{\in} Q
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\mathsf {a}
 _{Ph} 
 = \{\{\overline{(op1)}
,\overline{(op1)}
\}
,\{\overline{(op1)}
,\overline{(op2)}
\}
\}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\}
)
\mid \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(r1)}
\colon \overline{(r1)}
 \mathrel{\in} 
\mathsf {f}
 _{Ph} 
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op1)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op2)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\overline{(op1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(op2)}
 \mathrel{\in} Q
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(r1)}
 = \{\{\overline{(op1)}
,\overline{(op1)}
\}
,\{\overline{(op1)}
,\overline{(op2)}
\}
\}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(f1)}
\colon 
\forall_{obj} \overline{(f2)}
\colon 
\forall_{obj} \overline{(f3)}
\colon 
\forall_{obj} \overline{(f4)}
\colon \{\{\overline{(f1)}
,\overline{(f1)}
\}
,\{\overline{(f1)}
,\overline{(f2)}
\}
\}
 \mathrel{\in} 
\mathsf {f}
 _{Ph} 
\Rightarrow \{\{\overline{(f3)}
,\overline{(f3)}
\}
,\{\overline{(f3)}
,\overline{(f4)}
\}
\}
 \mathrel{\in} 
\mathsf {f}
 _{Ph} 
\Rightarrow \overline{(f1)}
 = \overline{(f3)}
\Rightarrow \overline{(f2)}
 = \overline{(f4)}
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(s1)}
\colon \overline{(s1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(s2)}
\colon \dot{\neg}\,(\{\{\overline{(s1)}
,\overline{(s1)}
\}
,\{\overline{(s1)}
,\overline{(s2)}
\}
\}
 \mathrel{\in} 
\mathsf {f}
 _{Ph} 
)n
)n
)n
)n
\}
)
\mid 
\forall_{obj} \overline{(\epsilon)}
\colon \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {n}}
\colon \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {m}}
\colon \dot{\neg}\,(0
 <= \overline{(\epsilon)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(0
 = \overline{(\epsilon)}
)n
)n
)n
\Rightarrow \overline{
\mathsf {n}}
 <= \overline{
\mathsf {m}}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(|( \{ ph \mathrel{\in}  \{ ph \mathrel{\in} P(P(Union(\{N
,Q
\}
)
)
)
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op1)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op2)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\overline{(op1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(op2)}
 \mathrel{\in} Q
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\mathsf {a}
 _{Ph} 
 = \{\{\overline{(op1)}
,\overline{(op1)}
\}
,\{\overline{(op1)}
,\overline{(op2)}
\}
\}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\}
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \underline{
\mathsf {m}}
\colon \dot{\neg}\,(
\mathsf {e}
 _{Ph} 
 = \{\{\underline{
\mathsf {m}}
,\underline{
\mathsf {m}}
\}
,\{\underline{
\mathsf {m}}
,(\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
*\underline{(fz)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
)
\}
\}
)n
)n
\}
[\overline{
\mathsf {m}}
]
+(-u
\mathsf {d}
 _{Ph} 
[\overline{
\mathsf {m}}
]
)
)
|
 <= \overline{(\epsilon)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(|( \{ ph \mathrel{\in}  \{ ph \mathrel{\in} P(P(Union(\{N
,Q
\}
)
)
)
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op1)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op2)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\overline{(op1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(op2)}
 \mathrel{\in} Q
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\mathsf {a}
 _{Ph} 
 = \{\{\overline{(op1)}
,\overline{(op1)}
\}
,\{\overline{(op1)}
,\overline{(op2)}
\}
\}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\}
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \underline{
\mathsf {m}}
\colon \dot{\neg}\,(
\mathsf {e}
 _{Ph} 
 = \{\{\underline{
\mathsf {m}}
,\underline{
\mathsf {m}}
\}
,\{\underline{
\mathsf {m}}
,(\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
*\underline{(fz)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
)
\}
\}
)n
)n
\}
[\overline{
\mathsf {m}}
]
+(-u
\mathsf {d}
 _{Ph} 
[\overline{
\mathsf {m}}
]
)
)
|
 = \overline{(\epsilon)}
)n
)n
)n
)n
)n
\}
 =  \{ ph \mathrel{\in} P( \{ ph \mathrel{\in} P( \{ ph \mathrel{\in} P(P(Union(\{N
,Q
\}
)
)
)
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op1)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op2)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\overline{(op1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(op2)}
 \mathrel{\in} Q
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\mathsf {a}
 _{Ph} 
 = \{\{\overline{(op1)}
,\overline{(op1)}
\}
,\{\overline{(op1)}
,\overline{(op2)}
\}
\}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\}
)
\mid \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(r1)}
\colon \overline{(r1)}
 \mathrel{\in} 
\mathsf {f}
 _{Ph} 
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op1)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op2)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\overline{(op1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(op2)}
 \mathrel{\in} Q
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(r1)}
 = \{\{\overline{(op1)}
,\overline{(op1)}
\}
,\{\overline{(op1)}
,\overline{(op2)}
\}
\}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(f1)}
\colon 
\forall_{obj} \overline{(f2)}
\colon 
\forall_{obj} \overline{(f3)}
\colon 
\forall_{obj} \overline{(f4)}
\colon \{\{\overline{(f1)}
,\overline{(f1)}
\}
,\{\overline{(f1)}
,\overline{(f2)}
\}
\}
 \mathrel{\in} 
\mathsf {f}
 _{Ph} 
\Rightarrow \{\{\overline{(f3)}
,\overline{(f3)}
\}
,\{\overline{(f3)}
,\overline{(f4)}
\}
\}
 \mathrel{\in} 
\mathsf {f}
 _{Ph} 
\Rightarrow \overline{(f1)}
 = \overline{(f3)}
\Rightarrow \overline{(f2)}
 = \overline{(f4)}
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(s1)}
\colon \overline{(s1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(s2)}
\colon \dot{\neg}\,(\{\{\overline{(s1)}
,\overline{(s1)}
\}
,\{\overline{(s1)}
,\overline{(s2)}
\}
\}
 \mathrel{\in} 
\mathsf {f}
 _{Ph} 
)n
)n
)n
)n
\}
)
\mid 
\forall_{obj} \overline{(\epsilon)}
\colon \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {n}}
\colon \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {m}}
\colon \dot{\neg}\,(0
 <= \overline{(\epsilon)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(0
 = \overline{(\epsilon)}
)n
)n
)n
\Rightarrow \overline{
\mathsf {n}}
 <= \overline{
\mathsf {m}}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(|( \{ ph \mathrel{\in}  \{ ph \mathrel{\in} P(P(Union(\{N
,Q
\}
)
)
)
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op1)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op2)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\overline{(op1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(op2)}
 \mathrel{\in} Q
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\mathsf {a}
 _{Ph} 
 = \{\{\overline{(op1)}
,\overline{(op1)}
\}
,\{\overline{(op1)}
,\overline{(op2)}
\}
\}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\}
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \underline{
\mathsf {m}}
\colon \dot{\neg}\,(
\mathsf {e}
 _{Ph} 
 = \{\{\underline{
\mathsf {m}}
,\underline{
\mathsf {m}}
\}
,\{\underline{
\mathsf {m}}
,(\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
*\underline{(fz)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
)
\}
\}
)n
)n
\}
[\overline{
\mathsf {m}}
]
+(-u
\mathsf {d}
 _{Ph} 
[\overline{
\mathsf {m}}
]
)
)
|
 <= \overline{(\epsilon)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(|( \{ ph \mathrel{\in}  \{ ph \mathrel{\in} P(P(Union(\{N
,Q
\}
)
)
)
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op1)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op2)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\overline{(op1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(op2)}
 \mathrel{\in} Q
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\mathsf {a}
 _{Ph} 
 = \{\{\overline{(op1)}
,\overline{(op1)}
\}
,\{\overline{(op1)}
,\overline{(op2)}
\}
\}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\}
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \underline{
\mathsf {m}}
\colon \dot{\neg}\,(
\mathsf {e}
 _{Ph} 
 = \{\{\underline{
\mathsf {m}}
,\underline{
\mathsf {m}}
\}
,\{\underline{
\mathsf {m}}
,(\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
*\underline{(fz)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
)
\}
\}
)n
)n
\}
[\overline{
\mathsf {m}}
]
+(-u
\mathsf {d}
 _{Ph} 
[\overline{
\mathsf {m}}
]
)
)
|
 = \overline{(\epsilon)}
)n
)n
)n
)n
)n
\}
\rhd  \{ ph \mathrel{\in} P( \{ ph \mathrel{\in} P( \{ ph \mathrel{\in} P(P(Union(\{N
,Q
\}
)
)
)
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op1)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op2)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\overline{(op1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(op2)}
 \mathrel{\in} Q
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\mathsf {a}
 _{Ph} 
 = \{\{\overline{(op1)}
,\overline{(op1)}
\}
,\{\overline{(op1)}
,\overline{(op2)}
\}
\}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\}
)
\mid \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(r1)}
\colon \overline{(r1)}
 \mathrel{\in} 
\mathsf {f}
 _{Ph} 
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op1)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op2)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\overline{(op1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(op2)}
 \mathrel{\in} Q
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(r1)}
 = \{\{\overline{(op1)}
,\overline{(op1)}
\}
,\{\overline{(op1)}
,\overline{(op2)}
\}
\}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(f1)}
\colon 
\forall_{obj} \overline{(f2)}
\colon 
\forall_{obj} \overline{(f3)}
\colon 
\forall_{obj} \overline{(f4)}
\colon \{\{\overline{(f1)}
,\overline{(f1)}
\}
,\{\overline{(f1)}
,\overline{(f2)}
\}
\}
 \mathrel{\in} 
\mathsf {f}
 _{Ph} 
\Rightarrow \{\{\overline{(f3)}
,\overline{(f3)}
\}
,\{\overline{(f3)}
,\overline{(f4)}
\}
\}
 \mathrel{\in} 
\mathsf {f}
 _{Ph} 
\Rightarrow \overline{(f1)}
 = \overline{(f3)}
\Rightarrow \overline{(f2)}
 = \overline{(f4)}
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(s1)}
\colon \overline{(s1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(s2)}
\colon \dot{\neg}\,(\{\{\overline{(s1)}
,\overline{(s1)}
\}
,\{\overline{(s1)}
,\overline{(s2)}
\}
\}
 \mathrel{\in} 
\mathsf {f}
 _{Ph} 
)n
)n
)n
)n
\}
)
\mid 
\forall_{obj} \overline{(\epsilon)}
\colon \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {n}}
\colon \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {m}}
\colon \dot{\neg}\,(0
 <= \overline{(\epsilon)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(0
 = \overline{(\epsilon)}
)n
)n
)n
\Rightarrow \overline{
\mathsf {n}}
 <= \overline{
\mathsf {m}}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(|( \{ ph \mathrel{\in}  \{ ph \mathrel{\in} P(P(Union(\{N
,Q
\}
)
)
)
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op1)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op2)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\overline{(op1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(op2)}
 \mathrel{\in} Q
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\mathsf {a}
 _{Ph} 
 = \{\{\overline{(op1)}
,\overline{(op1)}
\}
,\{\overline{(op1)}
,\overline{(op2)}
\}
\}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\}
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \underline{
\mathsf {m}}
\colon \dot{\neg}\,(
\mathsf {e}
 _{Ph} 
 = \{\{\underline{
\mathsf {m}}
,\underline{
\mathsf {m}}
\}
,\{\underline{
\mathsf {m}}
,(\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
*\underline{(fz)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
)
\}
\}
)n
)n
\}
[\overline{
\mathsf {m}}
]
+(-u
\mathsf {d}
 _{Ph} 
[\overline{
\mathsf {m}}
]
)
)
|
 <= \overline{(\epsilon)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(|( \{ ph \mathrel{\in}  \{ ph \mathrel{\in} P(P(Union(\{N
,Q
\}
)
)
)
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op1)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op2)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\overline{(op1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(op2)}
 \mathrel{\in} Q
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\mathsf {a}
 _{Ph} 
 = \{\{\overline{(op1)}
,\overline{(op1)}
\}
,\{\overline{(op1)}
,\overline{(op2)}
\}
\}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\}
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \underline{
\mathsf {m}}
\colon \dot{\neg}\,(
\mathsf {e}
 _{Ph} 
 = \{\{\underline{
\mathsf {m}}
,\underline{
\mathsf {m}}
\}
,\{\underline{
\mathsf {m}}
,(\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
*\underline{(fz)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
)
\}
\}
)n
)n
\}
[\overline{
\mathsf {m}}
]
+(-u
\mathsf {d}
 _{Ph} 
[\overline{
\mathsf {m}}
]
)
)
|
 = \overline{(\epsilon)}
)n
)n
)n
)n
)n
\}
 =  \{ ph \mathrel{\in} P( \{ ph \mathrel{\in} P( \{ ph \mathrel{\in} P(P(Union(\{N
,Q
\}
)
)
)
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op1)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op2)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\overline{(op1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(op2)}
 \mathrel{\in} Q
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\mathsf {a}
 _{Ph} 
 = \{\{\overline{(op1)}
,\overline{(op1)}
\}
,\{\overline{(op1)}
,\overline{(op2)}
\}
\}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\}
)
\mid \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(r1)}
\colon \overline{(r1)}
 \mathrel{\in} 
\mathsf {f}
 _{Ph} 
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op1)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op2)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\overline{(op1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(op2)}
 \mathrel{\in} Q
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(r1)}
 = \{\{\overline{(op1)}
,\overline{(op1)}
\}
,\{\overline{(op1)}
,\overline{(op2)}
\}
\}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(f1)}
\colon 
\forall_{obj} \overline{(f2)}
\colon 
\forall_{obj} \overline{(f3)}
\colon 
\forall_{obj} \overline{(f4)}
\colon \{\{\overline{(f1)}
,\overline{(f1)}
\}
,\{\overline{(f1)}
,\overline{(f2)}
\}
\}
 \mathrel{\in} 
\mathsf {f}
 _{Ph} 
\Rightarrow \{\{\overline{(f3)}
,\overline{(f3)}
\}
,\{\overline{(f3)}
,\overline{(f4)}
\}
\}
 \mathrel{\in} 
\mathsf {f}
 _{Ph} 
\Rightarrow \overline{(f1)}
 = \overline{(f3)}
\Rightarrow \overline{(f2)}
 = \overline{(f4)}
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(s1)}
\colon \overline{(s1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(s2)}
\colon \dot{\neg}\,(\{\{\overline{(s1)}
,\overline{(s1)}
\}
,\{\overline{(s1)}
,\overline{(s2)}
\}
\}
 \mathrel{\in} 
\mathsf {f}
 _{Ph} 
)n
)n
)n
)n
\}
)
\mid 
\forall_{obj} \overline{(\epsilon)}
\colon \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {n}}
\colon \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {m}}
\colon \dot{\neg}\,(0
 <= \overline{(\epsilon)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(0
 = \overline{(\epsilon)}
)n
)n
)n
\Rightarrow \overline{
\mathsf {n}}
 <= \overline{
\mathsf {m}}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(|( \{ ph \mathrel{\in}  \{ ph \mathrel{\in} P(P(Union(\{N
,Q
\}
)
)
)
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op1)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op2)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\overline{(op1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(op2)}
 \mathrel{\in} Q
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\mathsf {a}
 _{Ph} 
 = \{\{\overline{(op1)}
,\overline{(op1)}
\}
,\{\overline{(op1)}
,\overline{(op2)}
\}
\}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\}
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \underline{
\mathsf {m}}
\colon \dot{\neg}\,(
\mathsf {e}
 _{Ph} 
 = \{\{\underline{
\mathsf {m}}
,\underline{
\mathsf {m}}
\}
,\{\underline{
\mathsf {m}}
,(\underline{(fy)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
*\underline{(fz)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
)
\}
\}
)n
)n
\}
[\overline{
\mathsf {m}}
]
+(-u
\mathsf {d}
 _{Ph} 
[\overline{
\mathsf {m}}
]
)
)
|
 <= \overline{(\epsilon)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(|( \{ ph \mathrel{\in}  \{ ph \mathrel{\in} P(P(Union(\{N
,Q
\}
)
)
)
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op1)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op2)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\overline{(op1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(op2)}
 \mathrel{\in} Q
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\mathsf {a}
 _{Ph} 
 = \{\{\overline{(op1)}
,\overline{(op1)}
\}
,\{\overline{(op1)}
,\overline{(op2)}
\}
\}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\}
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \underline{
\mathsf {m}}
\colon \dot{\neg}\,(
\mathsf {e}
 _{Ph} 
 = \{\{\underline{
\mathsf {m}}
,\underline{
\mathsf {m}}
\}
,\{\underline{
\mathsf {m}}
,(\underline{(fy)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
*\underline{(fz)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
)
\}
\}
)n
)n
\}
[\overline{
\mathsf {m}}
]
+(-u
\mathsf {d}
 _{Ph} 
[\overline{
\mathsf {m}}
]
)
)
|
 = \overline{(\epsilon)}
)n
)n
)n
)n
)n
\}
\rhd  \{ ph \mathrel{\in} P( \{ ph \mathrel{\in} P( \{ ph \mathrel{\in} P(P(Union(\{N
,Q
\}
)
)
)
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op1)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op2)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\overline{(op1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(op2)}
 \mathrel{\in} Q
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\mathsf {a}
 _{Ph} 
 = \{\{\overline{(op1)}
,\overline{(op1)}
\}
,\{\overline{(op1)}
,\overline{(op2)}
\}
\}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\}
)
\mid \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(r1)}
\colon \overline{(r1)}
 \mathrel{\in} 
\mathsf {f}
 _{Ph} 
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op1)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op2)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\overline{(op1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(op2)}
 \mathrel{\in} Q
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(r1)}
 = \{\{\overline{(op1)}
,\overline{(op1)}
\}
,\{\overline{(op1)}
,\overline{(op2)}
\}
\}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(f1)}
\colon 
\forall_{obj} \overline{(f2)}
\colon 
\forall_{obj} \overline{(f3)}
\colon 
\forall_{obj} \overline{(f4)}
\colon \{\{\overline{(f1)}
,\overline{(f1)}
\}
,\{\overline{(f1)}
,\overline{(f2)}
\}
\}
 \mathrel{\in} 
\mathsf {f}
 _{Ph} 
\Rightarrow \{\{\overline{(f3)}
,\overline{(f3)}
\}
,\{\overline{(f3)}
,\overline{(f4)}
\}
\}
 \mathrel{\in} 
\mathsf {f}
 _{Ph} 
\Rightarrow \overline{(f1)}
 = \overline{(f3)}
\Rightarrow \overline{(f2)}
 = \overline{(f4)}
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(s1)}
\colon \overline{(s1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(s2)}
\colon \dot{\neg}\,(\{\{\overline{(s1)}
,\overline{(s1)}
\}
,\{\overline{(s1)}
,\overline{(s2)}
\}
\}
 \mathrel{\in} 
\mathsf {f}
 _{Ph} 
)n
)n
)n
)n
\}
)
\mid 
\forall_{obj} \overline{(\epsilon)}
\colon \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {n}}
\colon \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {m}}
\colon \dot{\neg}\,(0
 <= \overline{(\epsilon)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(0
 = \overline{(\epsilon)}
)n
)n
)n
\Rightarrow \overline{
\mathsf {n}}
 <= \overline{
\mathsf {m}}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(|( \{ ph \mathrel{\in}  \{ ph \mathrel{\in} P(P(Union(\{N
,Q
\}
)
)
)
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op1)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op2)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\overline{(op1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(op2)}
 \mathrel{\in} Q
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\mathsf {a}
 _{Ph} 
 = \{\{\overline{(op1)}
,\overline{(op1)}
\}
,\{\overline{(op1)}
,\overline{(op2)}
\}
\}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\}
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \underline{
\mathsf {m}}
\colon \dot{\neg}\,(
\mathsf {e}
 _{Ph} 
 = \{\{\underline{
\mathsf {m}}
,\underline{
\mathsf {m}}
\}
,\{\underline{
\mathsf {m}}
,(\underline{(fy)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
*\underline{(fz)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
)
\}
\}
)n
)n
\}
[\overline{
\mathsf {m}}
]
+(-u
\mathsf {d}
 _{Ph} 
[\overline{
\mathsf {m}}
]
)
)
|
 <= \overline{(\epsilon)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(|( \{ ph \mathrel{\in}  \{ ph \mathrel{\in} P(P(Union(\{N
,Q
\}
)
)
)
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op1)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op2)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\overline{(op1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(op2)}
 \mathrel{\in} Q
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\mathsf {a}
 _{Ph} 
 = \{\{\overline{(op1)}
,\overline{(op1)}
\}
,\{\overline{(op1)}
,\overline{(op2)}
\}
\}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\}
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \underline{
\mathsf {m}}
\colon \dot{\neg}\,(
\mathsf {e}
 _{Ph} 
 = \{\{\underline{
\mathsf {m}}
,\underline{
\mathsf {m}}
\}
,\{\underline{
\mathsf {m}}
,(\underline{(fy)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
*\underline{(fz)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
)
\}
\}
)n
)n
\}
[\overline{
\mathsf {m}}
]
+(-u
\mathsf {d}
 _{Ph} 
[\overline{
\mathsf {m}}
]
)
)
|
 = \overline{(\epsilon)}
)n
)n
)n
)n
)n
\}
 =  \{ ph \mathrel{\in} P( \{ ph \mathrel{\in} P( \{ ph \mathrel{\in} P(P(Union(\{N
,Q
\}
)
)
)
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op1)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op2)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\overline{(op1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(op2)}
 \mathrel{\in} Q
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\mathsf {a}
 _{Ph} 
 = \{\{\overline{(op1)}
,\overline{(op1)}
\}
,\{\overline{(op1)}
,\overline{(op2)}
\}
\}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\}
)
\mid \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(r1)}
\colon \overline{(r1)}
 \mathrel{\in} 
\mathsf {f}
 _{Ph} 
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op1)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op2)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\overline{(op1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(op2)}
 \mathrel{\in} Q
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(r1)}
 = \{\{\overline{(op1)}
,\overline{(op1)}
\}
,\{\overline{(op1)}
,\overline{(op2)}
\}
\}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(f1)}
\colon 
\forall_{obj} \overline{(f2)}
\colon 
\forall_{obj} \overline{(f3)}
\colon 
\forall_{obj} \overline{(f4)}
\colon \{\{\overline{(f1)}
,\overline{(f1)}
\}
,\{\overline{(f1)}
,\overline{(f2)}
\}
\}
 \mathrel{\in} 
\mathsf {f}
 _{Ph} 
\Rightarrow \{\{\overline{(f3)}
,\overline{(f3)}
\}
,\{\overline{(f3)}
,\overline{(f4)}
\}
\}
 \mathrel{\in} 
\mathsf {f}
 _{Ph} 
\Rightarrow \overline{(f1)}
 = \overline{(f3)}
\Rightarrow \overline{(f2)}
 = \overline{(f4)}
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(s1)}
\colon \overline{(s1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(s2)}
\colon \dot{\neg}\,(\{\{\overline{(s1)}
,\overline{(s1)}
\}
,\{\overline{(s1)}
,\overline{(s2)}
\}
\}
 \mathrel{\in} 
\mathsf {f}
 _{Ph} 
)n
)n
)n
)n
\}
)
\mid 
\forall_{obj} \overline{(\epsilon)}
\colon \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {n}}
\colon \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {m}}
\colon \dot{\neg}\,(0
 <= \overline{(\epsilon)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(0
 = \overline{(\epsilon)}
)n
)n
)n
\Rightarrow \overline{
\mathsf {n}}
 <= \overline{
\mathsf {m}}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(|( \{ ph \mathrel{\in}  \{ ph \mathrel{\in} P(P(Union(\{N
,Q
\}
)
)
)
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op1)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op2)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\overline{(op1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(op2)}
 \mathrel{\in} Q
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\mathsf {a}
 _{Ph} 
 = \{\{\overline{(op1)}
,\overline{(op1)}
\}
,\{\overline{(op1)}
,\overline{(op2)}
\}
\}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\}
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \underline{
\mathsf {m}}
\colon \dot{\neg}\,(
\mathsf {e}
 _{Ph} 
 = \{\{\underline{
\mathsf {m}}
,\underline{
\mathsf {m}}
\}
,\{\underline{
\mathsf {m}}
,(\underline{(fy)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
*\underline{(fz)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
)
\}
\}
)n
)n
\}
[\overline{
\mathsf {m}}
]
+(-u
\mathsf {d}
 _{Ph} 
[\overline{
\mathsf {m}}
]
)
)
|
 <= \overline{(\epsilon)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(|( \{ ph \mathrel{\in}  \{ ph \mathrel{\in} P(P(Union(\{N
,Q
\}
)
)
)
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op1)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op2)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\overline{(op1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(op2)}
 \mathrel{\in} Q
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\mathsf {a}
 _{Ph} 
 = \{\{\overline{(op1)}
,\overline{(op1)}
\}
,\{\overline{(op1)}
,\overline{(op2)}
\}
\}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\}
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \underline{
\mathsf {m}}
\colon \dot{\neg}\,(
\mathsf {e}
 _{Ph} 
 = \{\{\underline{
\mathsf {m}}
,\underline{
\mathsf {m}}
\}
,\{\underline{
\mathsf {m}}
,(\underline{(fy)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
*\underline{(fz)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
)
\}
\}
)n
)n
\}
[\overline{
\mathsf {m}}
]
+(-u
\mathsf {d}
 _{Ph} 
[\overline{
\mathsf {m}}
]
)
)
|
 = \overline{(\epsilon)}
)n
)n
)n
)n
)n
\}
\gg  \{ ph \mathrel{\in} P( \{ ph \mathrel{\in} P( \{ ph \mathrel{\in} P(P(Union(\{N
,Q
\}
)
)
)
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op1)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op2)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\overline{(op1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(op2)}
 \mathrel{\in} Q
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\mathsf {a}
 _{Ph} 
 = \{\{\overline{(op1)}
,\overline{(op1)}
\}
,\{\overline{(op1)}
,\overline{(op2)}
\}
\}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\}
)
\mid \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(r1)}
\colon \overline{(r1)}
 \mathrel{\in} 
\mathsf {f}
 _{Ph} 
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op1)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op2)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\overline{(op1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(op2)}
 \mathrel{\in} Q
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(r1)}
 = \{\{\overline{(op1)}
,\overline{(op1)}
\}
,\{\overline{(op1)}
,\overline{(op2)}
\}
\}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(f1)}
\colon 
\forall_{obj} \overline{(f2)}
\colon 
\forall_{obj} \overline{(f3)}
\colon 
\forall_{obj} \overline{(f4)}
\colon \{\{\overline{(f1)}
,\overline{(f1)}
\}
,\{\overline{(f1)}
,\overline{(f2)}
\}
\}
 \mathrel{\in} 
\mathsf {f}
 _{Ph} 
\Rightarrow \{\{\overline{(f3)}
,\overline{(f3)}
\}
,\{\overline{(f3)}
,\overline{(f4)}
\}
\}
 \mathrel{\in} 
\mathsf {f}
 _{Ph} 
\Rightarrow \overline{(f1)}
 = \overline{(f3)}
\Rightarrow \overline{(f2)}
 = \overline{(f4)}
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(s1)}
\colon \overline{(s1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(s2)}
\colon \dot{\neg}\,(\{\{\overline{(s1)}
,\overline{(s1)}
\}
,\{\overline{(s1)}
,\overline{(s2)}
\}
\}
 \mathrel{\in} 
\mathsf {f}
 _{Ph} 
)n
)n
)n
)n
\}
)
\mid 
\forall_{obj} \overline{(\epsilon)}
\colon \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {n}}
\colon \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {m}}
\colon \dot{\neg}\,(0
 <= \overline{(\epsilon)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(0
 = \overline{(\epsilon)}
)n
)n
)n
\Rightarrow \overline{
\mathsf {n}}
 <= \overline{
\mathsf {m}}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(|( \{ ph \mathrel{\in}  \{ ph \mathrel{\in} P(P(Union(\{N
,Q
\}
)
)
)
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op1)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op2)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\overline{(op1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(op2)}
 \mathrel{\in} Q
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\mathsf {a}
 _{Ph} 
 = \{\{\overline{(op1)}
,\overline{(op1)}
\}
,\{\overline{(op1)}
,\overline{(op2)}
\}
\}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\}
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \underline{
\mathsf {m}}
\colon \dot{\neg}\,(
\mathsf {e}
 _{Ph} 
 = \{\{\underline{
\mathsf {m}}
,\underline{
\mathsf {m}}
\}
,\{\underline{
\mathsf {m}}
,(\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
*\underline{(fz)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
)
\}
\}
)n
)n
\}
[\overline{
\mathsf {m}}
]
+(-u
\mathsf {d}
 _{Ph} 
[\overline{
\mathsf {m}}
]
)
)
|
 <= \overline{(\epsilon)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(|( \{ ph \mathrel{\in}  \{ ph \mathrel{\in} P(P(Union(\{N
,Q
\}
)
)
)
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op1)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op2)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\overline{(op1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(op2)}
 \mathrel{\in} Q
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\mathsf {a}
 _{Ph} 
 = \{\{\overline{(op1)}
,\overline{(op1)}
\}
,\{\overline{(op1)}
,\overline{(op2)}
\}
\}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\}
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \underline{
\mathsf {m}}
\colon \dot{\neg}\,(
\mathsf {e}
 _{Ph} 
 = \{\{\underline{
\mathsf {m}}
,\underline{
\mathsf {m}}
\}
,\{\underline{
\mathsf {m}}
,(\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
*\underline{(fz)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
)
\}
\}
)n
)n
\}
[\overline{
\mathsf {m}}
]
+(-u
\mathsf {d}
 _{Ph} 
[\overline{
\mathsf {m}}
]
)
)
|
 = \overline{(\epsilon)}
)n
)n
)n
)n
)n
\}
 =  \{ ph \mathrel{\in} P( \{ ph \mathrel{\in} P( \{ ph \mathrel{\in} P(P(Union(\{N
,Q
\}
)
)
)
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op1)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op2)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\overline{(op1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(op2)}
 \mathrel{\in} Q
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\mathsf {a}
 _{Ph} 
 = \{\{\overline{(op1)}
,\overline{(op1)}
\}
,\{\overline{(op1)}
,\overline{(op2)}
\}
\}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\}
)
\mid \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(r1)}
\colon \overline{(r1)}
 \mathrel{\in} 
\mathsf {f}
 _{Ph} 
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op1)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op2)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\overline{(op1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(op2)}
 \mathrel{\in} Q
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(r1)}
 = \{\{\overline{(op1)}
,\overline{(op1)}
\}
,\{\overline{(op1)}
,\overline{(op2)}
\}
\}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(f1)}
\colon 
\forall_{obj} \overline{(f2)}
\colon 
\forall_{obj} \overline{(f3)}
\colon 
\forall_{obj} \overline{(f4)}
\colon \{\{\overline{(f1)}
,\overline{(f1)}
\}
,\{\overline{(f1)}
,\overline{(f2)}
\}
\}
 \mathrel{\in} 
\mathsf {f}
 _{Ph} 
\Rightarrow \{\{\overline{(f3)}
,\overline{(f3)}
\}
,\{\overline{(f3)}
,\overline{(f4)}
\}
\}
 \mathrel{\in} 
\mathsf {f}
 _{Ph} 
\Rightarrow \overline{(f1)}
 = \overline{(f3)}
\Rightarrow \overline{(f2)}
 = \overline{(f4)}
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(s1)}
\colon \overline{(s1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(s2)}
\colon \dot{\neg}\,(\{\{\overline{(s1)}
,\overline{(s1)}
\}
,\{\overline{(s1)}
,\overline{(s2)}
\}
\}
 \mathrel{\in} 
\mathsf {f}
 _{Ph} 
)n
)n
)n
)n
\}
)
\mid 
\forall_{obj} \overline{(\epsilon)}
\colon \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {n}}
\colon \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {m}}
\colon \dot{\neg}\,(0
 <= \overline{(\epsilon)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(0
 = \overline{(\epsilon)}
)n
)n
)n
\Rightarrow \overline{
\mathsf {n}}
 <= \overline{
\mathsf {m}}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(|( \{ ph \mathrel{\in}  \{ ph \mathrel{\in} P(P(Union(\{N
,Q
\}
)
)
)
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op1)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op2)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\overline{(op1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(op2)}
 \mathrel{\in} Q
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\mathsf {a}
 _{Ph} 
 = \{\{\overline{(op1)}
,\overline{(op1)}
\}
,\{\overline{(op1)}
,\overline{(op2)}
\}
\}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\}
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \underline{
\mathsf {m}}
\colon \dot{\neg}\,(
\mathsf {e}
 _{Ph} 
 = \{\{\underline{
\mathsf {m}}
,\underline{
\mathsf {m}}
\}
,\{\underline{
\mathsf {m}}
,(\underline{(fy)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
*\underline{(fz)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
)
\}
\}
)n
)n
\}
[\overline{
\mathsf {m}}
]
+(-u
\mathsf {d}
 _{Ph} 
[\overline{
\mathsf {m}}
]
)
)
|
 <= \overline{(\epsilon)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(|( \{ ph \mathrel{\in}  \{ ph \mathrel{\in} P(P(Union(\{N
,Q
\}
)
)
)
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op1)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op2)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\overline{(op1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(op2)}
 \mathrel{\in} Q
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\mathsf {a}
 _{Ph} 
 = \{\{\overline{(op1)}
,\overline{(op1)}
\}
,\{\overline{(op1)}
,\overline{(op2)}
\}
\}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\}
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \underline{
\mathsf {m}}
\colon \dot{\neg}\,(
\mathsf {e}
 _{Ph} 
 = \{\{\underline{
\mathsf {m}}
,\underline{
\mathsf {m}}
\}
,\{\underline{
\mathsf {m}}
,(\underline{(fy)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
*\underline{(fz)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
)
\}
\}
)n
)n
\}
[\overline{
\mathsf {m}}
]
+(-u
\mathsf {d}
 _{Ph} 
[\overline{
\mathsf {m}}
]
)
)
|
 = \overline{(\epsilon)}
)n
)n
)n
)n
)n
\}
\rceil 
, 
p_0
, 
\mathsf {c}
)
]$

$
[x*0=0(F)
\stackrel{
stmt
}{\rightarrow}SystemQ
\vdash 
\forall \underline{
\mathsf {m}}
\colon 
\forall \underline{(fx)}
\colon  \{ ph \mathrel{\in}  \{ ph \mathrel{\in} P(P(Union(\{N
,Q
\}
)
)
)
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op1)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op2)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\overline{(op1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(op2)}
 \mathrel{\in} Q
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\mathsf {a}
 _{Ph} 
 = \{\{\overline{(op1)}
,\overline{(op1)}
\}
,\{\overline{(op1)}
,\overline{(op2)}
\}
\}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\}
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \underline{
\mathsf {m}}
\colon \dot{\neg}\,(
\mathsf {e}
 _{Ph} 
 = \{\{\underline{
\mathsf {m}}
,\underline{
\mathsf {m}}
\}
,\{\underline{
\mathsf {m}}
,(\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
* \{ ph \mathrel{\in}  \{ ph \mathrel{\in} P(P(Union(\{N
,Q
\}
)
)
)
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op1)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op2)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\overline{(op1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(op2)}
 \mathrel{\in} Q
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\mathsf {a}
 _{Ph} 
 = \{\{\overline{(op1)}
,\overline{(op1)}
\}
,\{\overline{(op1)}
,\overline{(op2)}
\}
\}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\}
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(crs1)}
\colon \dot{\neg}\,(
\mathsf {c}
 _{Ph} 
 = \{\{\overline{(crs1)}
,\overline{(crs1)}
\}
,\{\overline{(crs1)}
,0
\}
\}
)n
)n
\}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
)
\}
\}
)n
)n
\}
 =  \{ ph \mathrel{\in}  \{ ph \mathrel{\in} P(P(Union(\{N
,Q
\}
)
)
)
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op1)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op2)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\overline{(op1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(op2)}
 \mathrel{\in} Q
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\mathsf {a}
 _{Ph} 
 = \{\{\overline{(op1)}
,\overline{(op1)}
\}
,\{\overline{(op1)}
,\overline{(op2)}
\}
\}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\}
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(crs1)}
\colon \dot{\neg}\,(
\mathsf {c}
 _{Ph} 
 = \{\{\overline{(crs1)}
,\overline{(crs1)}
\}
,\{\overline{(crs1)}
,0
\}
\}
)n
)n
\}
]$

$
[x*0=0(F)
\stackrel{
proof
}{\rightarrow}
\lambda 
\mathsf {c}
.
\lambda 
\mathsf{x}
.
{\cal P}( 
\lceil SystemQ
\vdash 
\forall \underline{
\mathsf {m}}
\colon 
\forall \underline{(fx)}
\colon TimesF
\gg  \{ ph \mathrel{\in}  \{ ph \mathrel{\in} P(P(Union(\{N
,Q
\}
)
)
)
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op1)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op2)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\overline{(op1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(op2)}
 \mathrel{\in} Q
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\mathsf {a}
 _{Ph} 
 = \{\{\overline{(op1)}
,\overline{(op1)}
\}
,\{\overline{(op1)}
,\overline{(op2)}
\}
\}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\}
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \underline{
\mathsf {m}}
\colon \dot{\neg}\,(
\mathsf {e}
 _{Ph} 
 = \{\{\underline{
\mathsf {m}}
,\underline{
\mathsf {m}}
\}
,\{\underline{
\mathsf {m}}
,(\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
* \{ ph \mathrel{\in}  \{ ph \mathrel{\in} P(P(Union(\{N
,Q
\}
)
)
)
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op1)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op2)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\overline{(op1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(op2)}
 \mathrel{\in} Q
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\mathsf {a}
 _{Ph} 
 = \{\{\overline{(op1)}
,\overline{(op1)}
\}
,\{\overline{(op1)}
,\overline{(op2)}
\}
\}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\}
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(crs1)}
\colon \dot{\neg}\,(
\mathsf {c}
 _{Ph} 
 = \{\{\overline{(crs1)}
,\overline{(crs1)}
\}
,\{\overline{(crs1)}
,0
\}
\}
)n
)n
\}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
)
\}
\}
)n
)n
\}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
 = (\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
* \{ ph \mathrel{\in}  \{ ph \mathrel{\in} P(P(Union(\{N
,Q
\}
)
)
)
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op1)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op2)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\overline{(op1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(op2)}
 \mathrel{\in} Q
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\mathsf {a}
 _{Ph} 
 = \{\{\overline{(op1)}
,\overline{(op1)}
\}
,\{\overline{(op1)}
,\overline{(op2)}
\}
\}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\}
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(crs1)}
\colon \dot{\neg}\,(
\mathsf {c}
 _{Ph} 
 = \{\{\overline{(crs1)}
,\overline{(crs1)}
\}
,\{\overline{(crs1)}
,0
\}
\}
)n
)n
\}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
)
; NatType
\gg \underline{
\mathsf {m}}
 \mathrel{\in} N
; 0f
\rhd \underline{
\mathsf {m}}
 \mathrel{\in} N
\gg  \{ ph \mathrel{\in}  \{ ph \mathrel{\in} P(P(Union(\{N
,Q
\}
)
)
)
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op1)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op2)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\overline{(op1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(op2)}
 \mathrel{\in} Q
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\mathsf {a}
 _{Ph} 
 = \{\{\overline{(op1)}
,\overline{(op1)}
\}
,\{\overline{(op1)}
,\overline{(op2)}
\}
\}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\}
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(crs1)}
\colon \dot{\neg}\,(
\mathsf {c}
 _{Ph} 
 = \{\{\overline{(crs1)}
,\overline{(crs1)}
\}
,\{\overline{(crs1)}
,0
\}
\}
)n
)n
\}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
 = 0
; 
\mbox{lemma eqMultiplicationLeft}
\rhd  \{ ph \mathrel{\in}  \{ ph \mathrel{\in} P(P(Union(\{N
,Q
\}
)
)
)
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op1)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op2)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\overline{(op1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(op2)}
 \mathrel{\in} Q
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\mathsf {a}
 _{Ph} 
 = \{\{\overline{(op1)}
,\overline{(op1)}
\}
,\{\overline{(op1)}
,\overline{(op2)}
\}
\}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\}
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(crs1)}
\colon \dot{\neg}\,(
\mathsf {c}
 _{Ph} 
 = \{\{\overline{(crs1)}
,\overline{(crs1)}
\}
,\{\overline{(crs1)}
,0
\}
\}
)n
)n
\}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
 = 0
\gg (\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
* \{ ph \mathrel{\in}  \{ ph \mathrel{\in} P(P(Union(\{N
,Q
\}
)
)
)
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op1)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op2)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\overline{(op1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(op2)}
 \mathrel{\in} Q
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\mathsf {a}
 _{Ph} 
 = \{\{\overline{(op1)}
,\overline{(op1)}
\}
,\{\overline{(op1)}
,\overline{(op2)}
\}
\}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\}
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(crs1)}
\colon \dot{\neg}\,(
\mathsf {c}
 _{Ph} 
 = \{\{\overline{(crs1)}
,\overline{(crs1)}
\}
,\{\overline{(crs1)}
,0
\}
\}
)n
)n
\}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
)
 = (\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
*0
)
; x*0=0
\gg (\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
*0
)
 = 0
; eqSymmetry
\rhd  \{ ph \mathrel{\in}  \{ ph \mathrel{\in} P(P(Union(\{N
,Q
\}
)
)
)
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op1)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op2)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\overline{(op1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(op2)}
 \mathrel{\in} Q
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\mathsf {a}
 _{Ph} 
 = \{\{\overline{(op1)}
,\overline{(op1)}
\}
,\{\overline{(op1)}
,\overline{(op2)}
\}
\}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\}
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(crs1)}
\colon \dot{\neg}\,(
\mathsf {c}
 _{Ph} 
 = \{\{\overline{(crs1)}
,\overline{(crs1)}
\}
,\{\overline{(crs1)}
,0
\}
\}
)n
)n
\}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
 = 0
\gg 0
 =  \{ ph \mathrel{\in}  \{ ph \mathrel{\in} P(P(Union(\{N
,Q
\}
)
)
)
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op1)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op2)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\overline{(op1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(op2)}
 \mathrel{\in} Q
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\mathsf {a}
 _{Ph} 
 = \{\{\overline{(op1)}
,\overline{(op1)}
\}
,\{\overline{(op1)}
,\overline{(op2)}
\}
\}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\}
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(crs1)}
\colon \dot{\neg}\,(
\mathsf {c}
 _{Ph} 
 = \{\{\overline{(crs1)}
,\overline{(crs1)}
\}
,\{\overline{(crs1)}
,0
\}
\}
)n
)n
\}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
; eqTransitivity5
\rhd  \{ ph \mathrel{\in}  \{ ph \mathrel{\in} P(P(Union(\{N
,Q
\}
)
)
)
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op1)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op2)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\overline{(op1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(op2)}
 \mathrel{\in} Q
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\mathsf {a}
 _{Ph} 
 = \{\{\overline{(op1)}
,\overline{(op1)}
\}
,\{\overline{(op1)}
,\overline{(op2)}
\}
\}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\}
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \underline{
\mathsf {m}}
\colon \dot{\neg}\,(
\mathsf {e}
 _{Ph} 
 = \{\{\underline{
\mathsf {m}}
,\underline{
\mathsf {m}}
\}
,\{\underline{
\mathsf {m}}
,(\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
* \{ ph \mathrel{\in}  \{ ph \mathrel{\in} P(P(Union(\{N
,Q
\}
)
)
)
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op1)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op2)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\overline{(op1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(op2)}
 \mathrel{\in} Q
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\mathsf {a}
 _{Ph} 
 = \{\{\overline{(op1)}
,\overline{(op1)}
\}
,\{\overline{(op1)}
,\overline{(op2)}
\}
\}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\}
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(crs1)}
\colon \dot{\neg}\,(
\mathsf {c}
 _{Ph} 
 = \{\{\overline{(crs1)}
,\overline{(crs1)}
\}
,\{\overline{(crs1)}
,0
\}
\}
)n
)n
\}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
)
\}
\}
)n
)n
\}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
 = (\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
* \{ ph \mathrel{\in}  \{ ph \mathrel{\in} P(P(Union(\{N
,Q
\}
)
)
)
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op1)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op2)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\overline{(op1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(op2)}
 \mathrel{\in} Q
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\mathsf {a}
 _{Ph} 
 = \{\{\overline{(op1)}
,\overline{(op1)}
\}
,\{\overline{(op1)}
,\overline{(op2)}
\}
\}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\}
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(crs1)}
\colon \dot{\neg}\,(
\mathsf {c}
 _{Ph} 
 = \{\{\overline{(crs1)}
,\overline{(crs1)}
\}
,\{\overline{(crs1)}
,0
\}
\}
)n
)n
\}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
)
\rhd (\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
* \{ ph \mathrel{\in}  \{ ph \mathrel{\in} P(P(Union(\{N
,Q
\}
)
)
)
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op1)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op2)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\overline{(op1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(op2)}
 \mathrel{\in} Q
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\mathsf {a}
 _{Ph} 
 = \{\{\overline{(op1)}
,\overline{(op1)}
\}
,\{\overline{(op1)}
,\overline{(op2)}
\}
\}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\}
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(crs1)}
\colon \dot{\neg}\,(
\mathsf {c}
 _{Ph} 
 = \{\{\overline{(crs1)}
,\overline{(crs1)}
\}
,\{\overline{(crs1)}
,0
\}
\}
)n
)n
\}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
)
 = (\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
*0
)
\rhd (\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
*0
)
 = 0
\rhd 0
 =  \{ ph \mathrel{\in}  \{ ph \mathrel{\in} P(P(Union(\{N
,Q
\}
)
)
)
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op1)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op2)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\overline{(op1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(op2)}
 \mathrel{\in} Q
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\mathsf {a}
 _{Ph} 
 = \{\{\overline{(op1)}
,\overline{(op1)}
\}
,\{\overline{(op1)}
,\overline{(op2)}
\}
\}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\}
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(crs1)}
\colon \dot{\neg}\,(
\mathsf {c}
 _{Ph} 
 = \{\{\overline{(crs1)}
,\overline{(crs1)}
\}
,\{\overline{(crs1)}
,0
\}
\}
)n
)n
\}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
\gg  \{ ph \mathrel{\in}  \{ ph \mathrel{\in} P(P(Union(\{N
,Q
\}
)
)
)
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op1)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op2)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\overline{(op1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(op2)}
 \mathrel{\in} Q
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\mathsf {a}
 _{Ph} 
 = \{\{\overline{(op1)}
,\overline{(op1)}
\}
,\{\overline{(op1)}
,\overline{(op2)}
\}
\}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\}
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \underline{
\mathsf {m}}
\colon \dot{\neg}\,(
\mathsf {e}
 _{Ph} 
 = \{\{\underline{
\mathsf {m}}
,\underline{
\mathsf {m}}
\}
,\{\underline{
\mathsf {m}}
,(\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
* \{ ph \mathrel{\in}  \{ ph \mathrel{\in} P(P(Union(\{N
,Q
\}
)
)
)
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op1)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op2)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\overline{(op1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(op2)}
 \mathrel{\in} Q
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\mathsf {a}
 _{Ph} 
 = \{\{\overline{(op1)}
,\overline{(op1)}
\}
,\{\overline{(op1)}
,\overline{(op2)}
\}
\}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\}
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(crs1)}
\colon \dot{\neg}\,(
\mathsf {c}
 _{Ph} 
 = \{\{\overline{(crs1)}
,\overline{(crs1)}
\}
,\{\overline{(crs1)}
,0
\}
\}
)n
)n
\}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
)
\}
\}
)n
)n
\}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
 =  \{ ph \mathrel{\in}  \{ ph \mathrel{\in} P(P(Union(\{N
,Q
\}
)
)
)
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op1)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op2)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\overline{(op1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(op2)}
 \mathrel{\in} Q
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\mathsf {a}
 _{Ph} 
 = \{\{\overline{(op1)}
,\overline{(op1)}
\}
,\{\overline{(op1)}
,\overline{(op2)}
\}
\}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\}
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(crs1)}
\colon \dot{\neg}\,(
\mathsf {c}
 _{Ph} 
 = \{\{\overline{(crs1)}
,\overline{(crs1)}
\}
,\{\overline{(crs1)}
,0
\}
\}
)n
)n
\}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
; Gen
\rhd  \{ ph \mathrel{\in}  \{ ph \mathrel{\in} P(P(Union(\{N
,Q
\}
)
)
)
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op1)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op2)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\overline{(op1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(op2)}
 \mathrel{\in} Q
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\mathsf {a}
 _{Ph} 
 = \{\{\overline{(op1)}
,\overline{(op1)}
\}
,\{\overline{(op1)}
,\overline{(op2)}
\}
\}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\}
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \underline{
\mathsf {m}}
\colon \dot{\neg}\,(
\mathsf {e}
 _{Ph} 
 = \{\{\underline{
\mathsf {m}}
,\underline{
\mathsf {m}}
\}
,\{\underline{
\mathsf {m}}
,(\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
* \{ ph \mathrel{\in}  \{ ph \mathrel{\in} P(P(Union(\{N
,Q
\}
)
)
)
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op1)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op2)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\overline{(op1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(op2)}
 \mathrel{\in} Q
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\mathsf {a}
 _{Ph} 
 = \{\{\overline{(op1)}
,\overline{(op1)}
\}
,\{\overline{(op1)}
,\overline{(op2)}
\}
\}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\}
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(crs1)}
\colon \dot{\neg}\,(
\mathsf {c}
 _{Ph} 
 = \{\{\overline{(crs1)}
,\overline{(crs1)}
\}
,\{\overline{(crs1)}
,0
\}
\}
)n
)n
\}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
)
\}
\}
)n
)n
\}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
 =  \{ ph \mathrel{\in}  \{ ph \mathrel{\in} P(P(Union(\{N
,Q
\}
)
)
)
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op1)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op2)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\overline{(op1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(op2)}
 \mathrel{\in} Q
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\mathsf {a}
 _{Ph} 
 = \{\{\overline{(op1)}
,\overline{(op1)}
\}
,\{\overline{(op1)}
,\overline{(op2)}
\}
\}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\}
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(crs1)}
\colon \dot{\neg}\,(
\mathsf {c}
 _{Ph} 
 = \{\{\overline{(crs1)}
,\overline{(crs1)}
\}
,\{\overline{(crs1)}
,0
\}
\}
)n
)n
\}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
\gg 
\forall_{obj} \underline{
\mathsf {m}}
\colon  \{ ph \mathrel{\in}  \{ ph \mathrel{\in} P(P(Union(\{N
,Q
\}
)
)
)
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op1)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op2)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\overline{(op1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(op2)}
 \mathrel{\in} Q
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\mathsf {a}
 _{Ph} 
 = \{\{\overline{(op1)}
,\overline{(op1)}
\}
,\{\overline{(op1)}
,\overline{(op2)}
\}
\}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\}
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \underline{
\mathsf {m}}
\colon \dot{\neg}\,(
\mathsf {e}
 _{Ph} 
 = \{\{\underline{
\mathsf {m}}
,\underline{
\mathsf {m}}
\}
,\{\underline{
\mathsf {m}}
,(\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
* \{ ph \mathrel{\in}  \{ ph \mathrel{\in} P(P(Union(\{N
,Q
\}
)
)
)
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op1)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op2)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\overline{(op1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(op2)}
 \mathrel{\in} Q
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\mathsf {a}
 _{Ph} 
 = \{\{\overline{(op1)}
,\overline{(op1)}
\}
,\{\overline{(op1)}
,\overline{(op2)}
\}
\}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\}
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(crs1)}
\colon \dot{\neg}\,(
\mathsf {c}
 _{Ph} 
 = \{\{\overline{(crs1)}
,\overline{(crs1)}
\}
,\{\overline{(crs1)}
,0
\}
\}
)n
)n
\}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
)
\}
\}
)n
)n
\}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
 =  \{ ph \mathrel{\in}  \{ ph \mathrel{\in} P(P(Union(\{N
,Q
\}
)
)
)
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op1)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op2)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\overline{(op1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(op2)}
 \mathrel{\in} Q
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\mathsf {a}
 _{Ph} 
 = \{\{\overline{(op1)}
,\overline{(op1)}
\}
,\{\overline{(op1)}
,\overline{(op2)}
\}
\}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\}
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(crs1)}
\colon \dot{\neg}\,(
\mathsf {c}
 _{Ph} 
 = \{\{\overline{(crs1)}
,\overline{(crs1)}
\}
,\{\overline{(crs1)}
,0
\}
\}
)n
)n
\}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
; To=f
\rhd 
\forall_{obj} \underline{
\mathsf {m}}
\colon  \{ ph \mathrel{\in}  \{ ph \mathrel{\in} P(P(Union(\{N
,Q
\}
)
)
)
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op1)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op2)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\overline{(op1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(op2)}
 \mathrel{\in} Q
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\mathsf {a}
 _{Ph} 
 = \{\{\overline{(op1)}
,\overline{(op1)}
\}
,\{\overline{(op1)}
,\overline{(op2)}
\}
\}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\}
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \underline{
\mathsf {m}}
\colon \dot{\neg}\,(
\mathsf {e}
 _{Ph} 
 = \{\{\underline{
\mathsf {m}}
,\underline{
\mathsf {m}}
\}
,\{\underline{
\mathsf {m}}
,(\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
* \{ ph \mathrel{\in}  \{ ph \mathrel{\in} P(P(Union(\{N
,Q
\}
)
)
)
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op1)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op2)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\overline{(op1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(op2)}
 \mathrel{\in} Q
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\mathsf {a}
 _{Ph} 
 = \{\{\overline{(op1)}
,\overline{(op1)}
\}
,\{\overline{(op1)}
,\overline{(op2)}
\}
\}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\}
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(crs1)}
\colon \dot{\neg}\,(
\mathsf {c}
 _{Ph} 
 = \{\{\overline{(crs1)}
,\overline{(crs1)}
\}
,\{\overline{(crs1)}
,0
\}
\}
)n
)n
\}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
)
\}
\}
)n
)n
\}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
 =  \{ ph \mathrel{\in}  \{ ph \mathrel{\in} P(P(Union(\{N
,Q
\}
)
)
)
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op1)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op2)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\overline{(op1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(op2)}
 \mathrel{\in} Q
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\mathsf {a}
 _{Ph} 
 = \{\{\overline{(op1)}
,\overline{(op1)}
\}
,\{\overline{(op1)}
,\overline{(op2)}
\}
\}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\}
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(crs1)}
\colon \dot{\neg}\,(
\mathsf {c}
 _{Ph} 
 = \{\{\overline{(crs1)}
,\overline{(crs1)}
\}
,\{\overline{(crs1)}
,0
\}
\}
)n
)n
\}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
\gg  \{ ph \mathrel{\in}  \{ ph \mathrel{\in} P(P(Union(\{N
,Q
\}
)
)
)
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op1)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op2)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\overline{(op1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(op2)}
 \mathrel{\in} Q
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\mathsf {a}
 _{Ph} 
 = \{\{\overline{(op1)}
,\overline{(op1)}
\}
,\{\overline{(op1)}
,\overline{(op2)}
\}
\}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\}
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \underline{
\mathsf {m}}
\colon \dot{\neg}\,(
\mathsf {e}
 _{Ph} 
 = \{\{\underline{
\mathsf {m}}
,\underline{
\mathsf {m}}
\}
,\{\underline{
\mathsf {m}}
,(\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
* \{ ph \mathrel{\in}  \{ ph \mathrel{\in} P(P(Union(\{N
,Q
\}
)
)
)
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op1)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op2)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\overline{(op1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(op2)}
 \mathrel{\in} Q
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\mathsf {a}
 _{Ph} 
 = \{\{\overline{(op1)}
,\overline{(op1)}
\}
,\{\overline{(op1)}
,\overline{(op2)}
\}
\}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\}
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(crs1)}
\colon \dot{\neg}\,(
\mathsf {c}
 _{Ph} 
 = \{\{\overline{(crs1)}
,\overline{(crs1)}
\}
,\{\overline{(crs1)}
,0
\}
\}
)n
)n
\}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
)
\}
\}
)n
)n
\}
 =  \{ ph \mathrel{\in}  \{ ph \mathrel{\in} P(P(Union(\{N
,Q
\}
)
)
)
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op1)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op2)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\overline{(op1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(op2)}
 \mathrel{\in} Q
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\mathsf {a}
 _{Ph} 
 = \{\{\overline{(op1)}
,\overline{(op1)}
\}
,\{\overline{(op1)}
,\overline{(op2)}
\}
\}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\}
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(crs1)}
\colon \dot{\neg}\,(
\mathsf {c}
 _{Ph} 
 = \{\{\overline{(crs1)}
,\overline{(crs1)}
\}
,\{\overline{(crs1)}
,0
\}
\}
)n
)n
\}
\rceil 
, 
p_0
, 
\mathsf {c}
)
]$

$
[x*0=0(R)
\stackrel{
stmt
}{\rightarrow}SystemQ
\vdash 
\forall \underline{(fx)}
\colon  \{ ph \mathrel{\in} P( \{ ph \mathrel{\in} P( \{ ph \mathrel{\in} P(P(Union(\{N
,Q
\}
)
)
)
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op1)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op2)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\overline{(op1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(op2)}
 \mathrel{\in} Q
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\mathsf {a}
 _{Ph} 
 = \{\{\overline{(op1)}
,\overline{(op1)}
\}
,\{\overline{(op1)}
,\overline{(op2)}
\}
\}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\}
)
\mid \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(r1)}
\colon \overline{(r1)}
 \mathrel{\in} 
\mathsf {f}
 _{Ph} 
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op1)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op2)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\overline{(op1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(op2)}
 \mathrel{\in} Q
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(r1)}
 = \{\{\overline{(op1)}
,\overline{(op1)}
\}
,\{\overline{(op1)}
,\overline{(op2)}
\}
\}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(f1)}
\colon 
\forall_{obj} \overline{(f2)}
\colon 
\forall_{obj} \overline{(f3)}
\colon 
\forall_{obj} \overline{(f4)}
\colon \{\{\overline{(f1)}
,\overline{(f1)}
\}
,\{\overline{(f1)}
,\overline{(f2)}
\}
\}
 \mathrel{\in} 
\mathsf {f}
 _{Ph} 
\Rightarrow \{\{\overline{(f3)}
,\overline{(f3)}
\}
,\{\overline{(f3)}
,\overline{(f4)}
\}
\}
 \mathrel{\in} 
\mathsf {f}
 _{Ph} 
\Rightarrow \overline{(f1)}
 = \overline{(f3)}
\Rightarrow \overline{(f2)}
 = \overline{(f4)}
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(s1)}
\colon \overline{(s1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(s2)}
\colon \dot{\neg}\,(\{\{\overline{(s1)}
,\overline{(s1)}
\}
,\{\overline{(s1)}
,\overline{(s2)}
\}
\}
 \mathrel{\in} 
\mathsf {f}
 _{Ph} 
)n
)n
)n
)n
\}
)
\mid 
\forall_{obj} \overline{(\epsilon)}
\colon \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {n}}
\colon \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {m}}
\colon \dot{\neg}\,(0
 <= \overline{(\epsilon)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(0
 = \overline{(\epsilon)}
)n
)n
)n
\Rightarrow \overline{
\mathsf {n}}
 <= \overline{
\mathsf {m}}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(|( \{ ph \mathrel{\in}  \{ ph \mathrel{\in} P(P(Union(\{N
,Q
\}
)
)
)
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op1)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op2)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\overline{(op1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(op2)}
 \mathrel{\in} Q
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\mathsf {a}
 _{Ph} 
 = \{\{\overline{(op1)}
,\overline{(op1)}
\}
,\{\overline{(op1)}
,\overline{(op2)}
\}
\}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\}
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \underline{
\mathsf {m}}
\colon \dot{\neg}\,(
\mathsf {e}
 _{Ph} 
 = \{\{\underline{
\mathsf {m}}
,\underline{
\mathsf {m}}
\}
,\{\underline{
\mathsf {m}}
,(\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
* \{ ph \mathrel{\in}  \{ ph \mathrel{\in} P(P(Union(\{N
,Q
\}
)
)
)
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op1)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op2)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\overline{(op1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(op2)}
 \mathrel{\in} Q
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\mathsf {a}
 _{Ph} 
 = \{\{\overline{(op1)}
,\overline{(op1)}
\}
,\{\overline{(op1)}
,\overline{(op2)}
\}
\}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\}
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(crs1)}
\colon \dot{\neg}\,(
\mathsf {c}
 _{Ph} 
 = \{\{\overline{(crs1)}
,\overline{(crs1)}
\}
,\{\overline{(crs1)}
,0
\}
\}
)n
)n
\}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
)
\}
\}
)n
)n
\}
[\overline{
\mathsf {m}}
]
+(-u
\mathsf {d}
 _{Ph} 
[\overline{
\mathsf {m}}
]
)
)
|
 <= \overline{(\epsilon)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(|( \{ ph \mathrel{\in}  \{ ph \mathrel{\in} P(P(Union(\{N
,Q
\}
)
)
)
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op1)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op2)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\overline{(op1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(op2)}
 \mathrel{\in} Q
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\mathsf {a}
 _{Ph} 
 = \{\{\overline{(op1)}
,\overline{(op1)}
\}
,\{\overline{(op1)}
,\overline{(op2)}
\}
\}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\}
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \underline{
\mathsf {m}}
\colon \dot{\neg}\,(
\mathsf {e}
 _{Ph} 
 = \{\{\underline{
\mathsf {m}}
,\underline{
\mathsf {m}}
\}
,\{\underline{
\mathsf {m}}
,(\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
* \{ ph \mathrel{\in}  \{ ph \mathrel{\in} P(P(Union(\{N
,Q
\}
)
)
)
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op1)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op2)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\overline{(op1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(op2)}
 \mathrel{\in} Q
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\mathsf {a}
 _{Ph} 
 = \{\{\overline{(op1)}
,\overline{(op1)}
\}
,\{\overline{(op1)}
,\overline{(op2)}
\}
\}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\}
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(crs1)}
\colon \dot{\neg}\,(
\mathsf {c}
 _{Ph} 
 = \{\{\overline{(crs1)}
,\overline{(crs1)}
\}
,\{\overline{(crs1)}
,0
\}
\}
)n
)n
\}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
)
\}
\}
)n
)n
\}
[\overline{
\mathsf {m}}
]
+(-u
\mathsf {d}
 _{Ph} 
[\overline{
\mathsf {m}}
]
)
)
|
 = \overline{(\epsilon)}
)n
)n
)n
)n
)n
\}
 =  \{ ph \mathrel{\in} P( \{ ph \mathrel{\in} P( \{ ph \mathrel{\in} P(P(Union(\{N
,Q
\}
)
)
)
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op1)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op2)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\overline{(op1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(op2)}
 \mathrel{\in} Q
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\mathsf {a}
 _{Ph} 
 = \{\{\overline{(op1)}
,\overline{(op1)}
\}
,\{\overline{(op1)}
,\overline{(op2)}
\}
\}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\}
)
\mid \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(r1)}
\colon \overline{(r1)}
 \mathrel{\in} 
\mathsf {f}
 _{Ph} 
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op1)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op2)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\overline{(op1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(op2)}
 \mathrel{\in} Q
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(r1)}
 = \{\{\overline{(op1)}
,\overline{(op1)}
\}
,\{\overline{(op1)}
,\overline{(op2)}
\}
\}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(f1)}
\colon 
\forall_{obj} \overline{(f2)}
\colon 
\forall_{obj} \overline{(f3)}
\colon 
\forall_{obj} \overline{(f4)}
\colon \{\{\overline{(f1)}
,\overline{(f1)}
\}
,\{\overline{(f1)}
,\overline{(f2)}
\}
\}
 \mathrel{\in} 
\mathsf {f}
 _{Ph} 
\Rightarrow \{\{\overline{(f3)}
,\overline{(f3)}
\}
,\{\overline{(f3)}
,\overline{(f4)}
\}
\}
 \mathrel{\in} 
\mathsf {f}
 _{Ph} 
\Rightarrow \overline{(f1)}
 = \overline{(f3)}
\Rightarrow \overline{(f2)}
 = \overline{(f4)}
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(s1)}
\colon \overline{(s1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(s2)}
\colon \dot{\neg}\,(\{\{\overline{(s1)}
,\overline{(s1)}
\}
,\{\overline{(s1)}
,\overline{(s2)}
\}
\}
 \mathrel{\in} 
\mathsf {f}
 _{Ph} 
)n
)n
)n
)n
\}
)
\mid 
\forall_{obj} \overline{(\epsilon)}
\colon \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {n}}
\colon \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {m}}
\colon \dot{\neg}\,(0
 <= \overline{(\epsilon)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(0
 = \overline{(\epsilon)}
)n
)n
)n
\Rightarrow \overline{
\mathsf {n}}
 <= \overline{
\mathsf {m}}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(|( \{ ph \mathrel{\in}  \{ ph \mathrel{\in} P(P(Union(\{N
,Q
\}
)
)
)
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op1)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op2)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\overline{(op1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(op2)}
 \mathrel{\in} Q
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\mathsf {a}
 _{Ph} 
 = \{\{\overline{(op1)}
,\overline{(op1)}
\}
,\{\overline{(op1)}
,\overline{(op2)}
\}
\}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\}
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(crs1)}
\colon \dot{\neg}\,(
\mathsf {c}
 _{Ph} 
 = \{\{\overline{(crs1)}
,\overline{(crs1)}
\}
,\{\overline{(crs1)}
,0
\}
\}
)n
)n
\}
[\overline{
\mathsf {m}}
]
+(-u
\mathsf {d}
 _{Ph} 
[\overline{
\mathsf {m}}
]
)
)
|
 <= \overline{(\epsilon)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(|( \{ ph \mathrel{\in}  \{ ph \mathrel{\in} P(P(Union(\{N
,Q
\}
)
)
)
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op1)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op2)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\overline{(op1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(op2)}
 \mathrel{\in} Q
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\mathsf {a}
 _{Ph} 
 = \{\{\overline{(op1)}
,\overline{(op1)}
\}
,\{\overline{(op1)}
,\overline{(op2)}
\}
\}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\}
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(crs1)}
\colon \dot{\neg}\,(
\mathsf {c}
 _{Ph} 
 = \{\{\overline{(crs1)}
,\overline{(crs1)}
\}
,\{\overline{(crs1)}
,0
\}
\}
)n
)n
\}
[\overline{
\mathsf {m}}
]
+(-u
\mathsf {d}
 _{Ph} 
[\overline{
\mathsf {m}}
]
)
)
|
 = \overline{(\epsilon)}
)n
)n
)n
)n
)n
\}
]$

$
[x*0=0(R)
\stackrel{
proof
}{\rightarrow}
\lambda 
\mathsf {c}
.
\lambda 
\mathsf{x}
.
{\cal P}( 
\lceil SystemQ
\vdash 
\forall \underline{(fx)}
\colon x*0=0(F)
\gg  \{ ph \mathrel{\in}  \{ ph \mathrel{\in} P(P(Union(\{N
,Q
\}
)
)
)
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op1)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op2)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\overline{(op1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(op2)}
 \mathrel{\in} Q
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\mathsf {a}
 _{Ph} 
 = \{\{\overline{(op1)}
,\overline{(op1)}
\}
,\{\overline{(op1)}
,\overline{(op2)}
\}
\}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\}
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \underline{
\mathsf {m}}
\colon \dot{\neg}\,(
\mathsf {e}
 _{Ph} 
 = \{\{\underline{
\mathsf {m}}
,\underline{
\mathsf {m}}
\}
,\{\underline{
\mathsf {m}}
,(\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
* \{ ph \mathrel{\in}  \{ ph \mathrel{\in} P(P(Union(\{N
,Q
\}
)
)
)
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op1)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op2)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\overline{(op1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(op2)}
 \mathrel{\in} Q
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\mathsf {a}
 _{Ph} 
 = \{\{\overline{(op1)}
,\overline{(op1)}
\}
,\{\overline{(op1)}
,\overline{(op2)}
\}
\}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\}
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(crs1)}
\colon \dot{\neg}\,(
\mathsf {c}
 _{Ph} 
 = \{\{\overline{(crs1)}
,\overline{(crs1)}
\}
,\{\overline{(crs1)}
,0
\}
\}
)n
)n
\}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
)
\}
\}
)n
)n
\}
 =  \{ ph \mathrel{\in}  \{ ph \mathrel{\in} P(P(Union(\{N
,Q
\}
)
)
)
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op1)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op2)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\overline{(op1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(op2)}
 \mathrel{\in} Q
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\mathsf {a}
 _{Ph} 
 = \{\{\overline{(op1)}
,\overline{(op1)}
\}
,\{\overline{(op1)}
,\overline{(op2)}
\}
\}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\}
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(crs1)}
\colon \dot{\neg}\,(
\mathsf {c}
 _{Ph} 
 = \{\{\overline{(crs1)}
,\overline{(crs1)}
\}
,\{\overline{(crs1)}
,0
\}
\}
)n
)n
\}
; 
\mbox{lemma =f to sameF}
\rhd  \{ ph \mathrel{\in}  \{ ph \mathrel{\in} P(P(Union(\{N
,Q
\}
)
)
)
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op1)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op2)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\overline{(op1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(op2)}
 \mathrel{\in} Q
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\mathsf {a}
 _{Ph} 
 = \{\{\overline{(op1)}
,\overline{(op1)}
\}
,\{\overline{(op1)}
,\overline{(op2)}
\}
\}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\}
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \underline{
\mathsf {m}}
\colon \dot{\neg}\,(
\mathsf {e}
 _{Ph} 
 = \{\{\underline{
\mathsf {m}}
,\underline{
\mathsf {m}}
\}
,\{\underline{
\mathsf {m}}
,(\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
* \{ ph \mathrel{\in}  \{ ph \mathrel{\in} P(P(Union(\{N
,Q
\}
)
)
)
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op1)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op2)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\overline{(op1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(op2)}
 \mathrel{\in} Q
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\mathsf {a}
 _{Ph} 
 = \{\{\overline{(op1)}
,\overline{(op1)}
\}
,\{\overline{(op1)}
,\overline{(op2)}
\}
\}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\}
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(crs1)}
\colon \dot{\neg}\,(
\mathsf {c}
 _{Ph} 
 = \{\{\overline{(crs1)}
,\overline{(crs1)}
\}
,\{\overline{(crs1)}
,0
\}
\}
)n
)n
\}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
)
\}
\}
)n
)n
\}
 =  \{ ph \mathrel{\in}  \{ ph \mathrel{\in} P(P(Union(\{N
,Q
\}
)
)
)
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op1)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op2)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\overline{(op1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(op2)}
 \mathrel{\in} Q
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\mathsf {a}
 _{Ph} 
 = \{\{\overline{(op1)}
,\overline{(op1)}
\}
,\{\overline{(op1)}
,\overline{(op2)}
\}
\}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\}
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(crs1)}
\colon \dot{\neg}\,(
\mathsf {c}
 _{Ph} 
 = \{\{\overline{(crs1)}
,\overline{(crs1)}
\}
,\{\overline{(crs1)}
,0
\}
\}
)n
)n
\}
\gg 
\forall_{obj} \overline{(\epsilon)}
\colon \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {n}}
\colon \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {m}}
\colon \dot{\neg}\,(0
 <= \overline{(\epsilon)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(0
 = \overline{(\epsilon)}
)n
)n
)n
\Rightarrow \overline{
\mathsf {n}}
 <= \overline{
\mathsf {m}}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(|( \{ ph \mathrel{\in}  \{ ph \mathrel{\in} P(P(Union(\{N
,Q
\}
)
)
)
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op1)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op2)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\overline{(op1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(op2)}
 \mathrel{\in} Q
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\mathsf {a}
 _{Ph} 
 = \{\{\overline{(op1)}
,\overline{(op1)}
\}
,\{\overline{(op1)}
,\overline{(op2)}
\}
\}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\}
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \underline{
\mathsf {m}}
\colon \dot{\neg}\,(
\mathsf {e}
 _{Ph} 
 = \{\{\underline{
\mathsf {m}}
,\underline{
\mathsf {m}}
\}
,\{\underline{
\mathsf {m}}
,(\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
* \{ ph \mathrel{\in}  \{ ph \mathrel{\in} P(P(Union(\{N
,Q
\}
)
)
)
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op1)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op2)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\overline{(op1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(op2)}
 \mathrel{\in} Q
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\mathsf {a}
 _{Ph} 
 = \{\{\overline{(op1)}
,\overline{(op1)}
\}
,\{\overline{(op1)}
,\overline{(op2)}
\}
\}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\}
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(crs1)}
\colon \dot{\neg}\,(
\mathsf {c}
 _{Ph} 
 = \{\{\overline{(crs1)}
,\overline{(crs1)}
\}
,\{\overline{(crs1)}
,0
\}
\}
)n
)n
\}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
)
\}
\}
)n
)n
\}
[\overline{
\mathsf {m}}
]
+(-u \{ ph \mathrel{\in}  \{ ph \mathrel{\in} P(P(Union(\{N
,Q
\}
)
)
)
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op1)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op2)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\overline{(op1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(op2)}
 \mathrel{\in} Q
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\mathsf {a}
 _{Ph} 
 = \{\{\overline{(op1)}
,\overline{(op1)}
\}
,\{\overline{(op1)}
,\overline{(op2)}
\}
\}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\}
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(crs1)}
\colon \dot{\neg}\,(
\mathsf {c}
 _{Ph} 
 = \{\{\overline{(crs1)}
,\overline{(crs1)}
\}
,\{\overline{(crs1)}
,0
\}
\}
)n
)n
\}
[\overline{
\mathsf {m}}
]
)
)
|
 <= \overline{(\epsilon)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(|( \{ ph \mathrel{\in}  \{ ph \mathrel{\in} P(P(Union(\{N
,Q
\}
)
)
)
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op1)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op2)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\overline{(op1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(op2)}
 \mathrel{\in} Q
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\mathsf {a}
 _{Ph} 
 = \{\{\overline{(op1)}
,\overline{(op1)}
\}
,\{\overline{(op1)}
,\overline{(op2)}
\}
\}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\}
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \underline{
\mathsf {m}}
\colon \dot{\neg}\,(
\mathsf {e}
 _{Ph} 
 = \{\{\underline{
\mathsf {m}}
,\underline{
\mathsf {m}}
\}
,\{\underline{
\mathsf {m}}
,(\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
* \{ ph \mathrel{\in}  \{ ph \mathrel{\in} P(P(Union(\{N
,Q
\}
)
)
)
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op1)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op2)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\overline{(op1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(op2)}
 \mathrel{\in} Q
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\mathsf {a}
 _{Ph} 
 = \{\{\overline{(op1)}
,\overline{(op1)}
\}
,\{\overline{(op1)}
,\overline{(op2)}
\}
\}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\}
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(crs1)}
\colon \dot{\neg}\,(
\mathsf {c}
 _{Ph} 
 = \{\{\overline{(crs1)}
,\overline{(crs1)}
\}
,\{\overline{(crs1)}
,0
\}
\}
)n
)n
\}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
)
\}
\}
)n
)n
\}
[\overline{
\mathsf {m}}
]
+(-u \{ ph \mathrel{\in}  \{ ph \mathrel{\in} P(P(Union(\{N
,Q
\}
)
)
)
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op1)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op2)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\overline{(op1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(op2)}
 \mathrel{\in} Q
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\mathsf {a}
 _{Ph} 
 = \{\{\overline{(op1)}
,\overline{(op1)}
\}
,\{\overline{(op1)}
,\overline{(op2)}
\}
\}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\}
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(crs1)}
\colon \dot{\neg}\,(
\mathsf {c}
 _{Ph} 
 = \{\{\overline{(crs1)}
,\overline{(crs1)}
\}
,\{\overline{(crs1)}
,0
\}
\}
)n
)n
\}
[\overline{
\mathsf {m}}
]
)
)
|
 = \overline{(\epsilon)}
)n
)n
)n
)n
)n
; To==
\rhd 
\forall_{obj} \overline{(\epsilon)}
\colon \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {n}}
\colon \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {m}}
\colon \dot{\neg}\,(0
 <= \overline{(\epsilon)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(0
 = \overline{(\epsilon)}
)n
)n
)n
\Rightarrow \overline{
\mathsf {n}}
 <= \overline{
\mathsf {m}}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(|( \{ ph \mathrel{\in}  \{ ph \mathrel{\in} P(P(Union(\{N
,Q
\}
)
)
)
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op1)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op2)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\overline{(op1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(op2)}
 \mathrel{\in} Q
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\mathsf {a}
 _{Ph} 
 = \{\{\overline{(op1)}
,\overline{(op1)}
\}
,\{\overline{(op1)}
,\overline{(op2)}
\}
\}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\}
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \underline{
\mathsf {m}}
\colon \dot{\neg}\,(
\mathsf {e}
 _{Ph} 
 = \{\{\underline{
\mathsf {m}}
,\underline{
\mathsf {m}}
\}
,\{\underline{
\mathsf {m}}
,(\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
* \{ ph \mathrel{\in}  \{ ph \mathrel{\in} P(P(Union(\{N
,Q
\}
)
)
)
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op1)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op2)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\overline{(op1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(op2)}
 \mathrel{\in} Q
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\mathsf {a}
 _{Ph} 
 = \{\{\overline{(op1)}
,\overline{(op1)}
\}
,\{\overline{(op1)}
,\overline{(op2)}
\}
\}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\}
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(crs1)}
\colon \dot{\neg}\,(
\mathsf {c}
 _{Ph} 
 = \{\{\overline{(crs1)}
,\overline{(crs1)}
\}
,\{\overline{(crs1)}
,0
\}
\}
)n
)n
\}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
)
\}
\}
)n
)n
\}
[\overline{
\mathsf {m}}
]
+(-u \{ ph \mathrel{\in}  \{ ph \mathrel{\in} P(P(Union(\{N
,Q
\}
)
)
)
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op1)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op2)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\overline{(op1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(op2)}
 \mathrel{\in} Q
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\mathsf {a}
 _{Ph} 
 = \{\{\overline{(op1)}
,\overline{(op1)}
\}
,\{\overline{(op1)}
,\overline{(op2)}
\}
\}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\}
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(crs1)}
\colon \dot{\neg}\,(
\mathsf {c}
 _{Ph} 
 = \{\{\overline{(crs1)}
,\overline{(crs1)}
\}
,\{\overline{(crs1)}
,0
\}
\}
)n
)n
\}
[\overline{
\mathsf {m}}
]
)
)
|
 <= \overline{(\epsilon)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(|( \{ ph \mathrel{\in}  \{ ph \mathrel{\in} P(P(Union(\{N
,Q
\}
)
)
)
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op1)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op2)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\overline{(op1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(op2)}
 \mathrel{\in} Q
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\mathsf {a}
 _{Ph} 
 = \{\{\overline{(op1)}
,\overline{(op1)}
\}
,\{\overline{(op1)}
,\overline{(op2)}
\}
\}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\}
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \underline{
\mathsf {m}}
\colon \dot{\neg}\,(
\mathsf {e}
 _{Ph} 
 = \{\{\underline{
\mathsf {m}}
,\underline{
\mathsf {m}}
\}
,\{\underline{
\mathsf {m}}
,(\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
* \{ ph \mathrel{\in}  \{ ph \mathrel{\in} P(P(Union(\{N
,Q
\}
)
)
)
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op1)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op2)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\overline{(op1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(op2)}
 \mathrel{\in} Q
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\mathsf {a}
 _{Ph} 
 = \{\{\overline{(op1)}
,\overline{(op1)}
\}
,\{\overline{(op1)}
,\overline{(op2)}
\}
\}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\}
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(crs1)}
\colon \dot{\neg}\,(
\mathsf {c}
 _{Ph} 
 = \{\{\overline{(crs1)}
,\overline{(crs1)}
\}
,\{\overline{(crs1)}
,0
\}
\}
)n
)n
\}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
)
\}
\}
)n
)n
\}
[\overline{
\mathsf {m}}
]
+(-u \{ ph \mathrel{\in}  \{ ph \mathrel{\in} P(P(Union(\{N
,Q
\}
)
)
)
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op1)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op2)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\overline{(op1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(op2)}
 \mathrel{\in} Q
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\mathsf {a}
 _{Ph} 
 = \{\{\overline{(op1)}
,\overline{(op1)}
\}
,\{\overline{(op1)}
,\overline{(op2)}
\}
\}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\}
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(crs1)}
\colon \dot{\neg}\,(
\mathsf {c}
 _{Ph} 
 = \{\{\overline{(crs1)}
,\overline{(crs1)}
\}
,\{\overline{(crs1)}
,0
\}
\}
)n
)n
\}
[\overline{
\mathsf {m}}
]
)
)
|
 = \overline{(\epsilon)}
)n
)n
)n
)n
)n
\gg  \{ ph \mathrel{\in} P( \{ ph \mathrel{\in} P( \{ ph \mathrel{\in} P(P(Union(\{N
,Q
\}
)
)
)
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op1)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op2)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\overline{(op1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(op2)}
 \mathrel{\in} Q
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\mathsf {a}
 _{Ph} 
 = \{\{\overline{(op1)}
,\overline{(op1)}
\}
,\{\overline{(op1)}
,\overline{(op2)}
\}
\}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\}
)
\mid \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(r1)}
\colon \overline{(r1)}
 \mathrel{\in} 
\mathsf {f}
 _{Ph} 
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op1)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op2)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\overline{(op1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(op2)}
 \mathrel{\in} Q
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(r1)}
 = \{\{\overline{(op1)}
,\overline{(op1)}
\}
,\{\overline{(op1)}
,\overline{(op2)}
\}
\}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(f1)}
\colon 
\forall_{obj} \overline{(f2)}
\colon 
\forall_{obj} \overline{(f3)}
\colon 
\forall_{obj} \overline{(f4)}
\colon \{\{\overline{(f1)}
,\overline{(f1)}
\}
,\{\overline{(f1)}
,\overline{(f2)}
\}
\}
 \mathrel{\in} 
\mathsf {f}
 _{Ph} 
\Rightarrow \{\{\overline{(f3)}
,\overline{(f3)}
\}
,\{\overline{(f3)}
,\overline{(f4)}
\}
\}
 \mathrel{\in} 
\mathsf {f}
 _{Ph} 
\Rightarrow \overline{(f1)}
 = \overline{(f3)}
\Rightarrow \overline{(f2)}
 = \overline{(f4)}
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(s1)}
\colon \overline{(s1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(s2)}
\colon \dot{\neg}\,(\{\{\overline{(s1)}
,\overline{(s1)}
\}
,\{\overline{(s1)}
,\overline{(s2)}
\}
\}
 \mathrel{\in} 
\mathsf {f}
 _{Ph} 
)n
)n
)n
)n
\}
)
\mid 
\forall_{obj} \overline{(\epsilon)}
\colon \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {n}}
\colon \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {m}}
\colon \dot{\neg}\,(0
 <= \overline{(\epsilon)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(0
 = \overline{(\epsilon)}
)n
)n
)n
\Rightarrow \overline{
\mathsf {n}}
 <= \overline{
\mathsf {m}}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(|( \{ ph \mathrel{\in}  \{ ph \mathrel{\in} P(P(Union(\{N
,Q
\}
)
)
)
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op1)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op2)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\overline{(op1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(op2)}
 \mathrel{\in} Q
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\mathsf {a}
 _{Ph} 
 = \{\{\overline{(op1)}
,\overline{(op1)}
\}
,\{\overline{(op1)}
,\overline{(op2)}
\}
\}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\}
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \underline{
\mathsf {m}}
\colon \dot{\neg}\,(
\mathsf {e}
 _{Ph} 
 = \{\{\underline{
\mathsf {m}}
,\underline{
\mathsf {m}}
\}
,\{\underline{
\mathsf {m}}
,(\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
* \{ ph \mathrel{\in}  \{ ph \mathrel{\in} P(P(Union(\{N
,Q
\}
)
)
)
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op1)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op2)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\overline{(op1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(op2)}
 \mathrel{\in} Q
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\mathsf {a}
 _{Ph} 
 = \{\{\overline{(op1)}
,\overline{(op1)}
\}
,\{\overline{(op1)}
,\overline{(op2)}
\}
\}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\}
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(crs1)}
\colon \dot{\neg}\,(
\mathsf {c}
 _{Ph} 
 = \{\{\overline{(crs1)}
,\overline{(crs1)}
\}
,\{\overline{(crs1)}
,0
\}
\}
)n
)n
\}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
)
\}
\}
)n
)n
\}
[\overline{
\mathsf {m}}
]
+(-u
\mathsf {d}
 _{Ph} 
[\overline{
\mathsf {m}}
]
)
)
|
 <= \overline{(\epsilon)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(|( \{ ph \mathrel{\in}  \{ ph \mathrel{\in} P(P(Union(\{N
,Q
\}
)
)
)
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op1)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op2)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\overline{(op1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(op2)}
 \mathrel{\in} Q
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\mathsf {a}
 _{Ph} 
 = \{\{\overline{(op1)}
,\overline{(op1)}
\}
,\{\overline{(op1)}
,\overline{(op2)}
\}
\}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\}
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \underline{
\mathsf {m}}
\colon \dot{\neg}\,(
\mathsf {e}
 _{Ph} 
 = \{\{\underline{
\mathsf {m}}
,\underline{
\mathsf {m}}
\}
,\{\underline{
\mathsf {m}}
,(\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
* \{ ph \mathrel{\in}  \{ ph \mathrel{\in} P(P(Union(\{N
,Q
\}
)
)
)
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op1)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op2)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\overline{(op1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(op2)}
 \mathrel{\in} Q
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\mathsf {a}
 _{Ph} 
 = \{\{\overline{(op1)}
,\overline{(op1)}
\}
,\{\overline{(op1)}
,\overline{(op2)}
\}
\}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\}
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(crs1)}
\colon \dot{\neg}\,(
\mathsf {c}
 _{Ph} 
 = \{\{\overline{(crs1)}
,\overline{(crs1)}
\}
,\{\overline{(crs1)}
,0
\}
\}
)n
)n
\}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
)
\}
\}
)n
)n
\}
[\overline{
\mathsf {m}}
]
+(-u
\mathsf {d}
 _{Ph} 
[\overline{
\mathsf {m}}
]
)
)
|
 = \overline{(\epsilon)}
)n
)n
)n
)n
)n
\}
 =  \{ ph \mathrel{\in} P( \{ ph \mathrel{\in} P( \{ ph \mathrel{\in} P(P(Union(\{N
,Q
\}
)
)
)
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op1)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op2)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\overline{(op1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(op2)}
 \mathrel{\in} Q
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\mathsf {a}
 _{Ph} 
 = \{\{\overline{(op1)}
,\overline{(op1)}
\}
,\{\overline{(op1)}
,\overline{(op2)}
\}
\}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\}
)
\mid \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(r1)}
\colon \overline{(r1)}
 \mathrel{\in} 
\mathsf {f}
 _{Ph} 
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op1)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op2)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\overline{(op1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(op2)}
 \mathrel{\in} Q
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(r1)}
 = \{\{\overline{(op1)}
,\overline{(op1)}
\}
,\{\overline{(op1)}
,\overline{(op2)}
\}
\}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(f1)}
\colon 
\forall_{obj} \overline{(f2)}
\colon 
\forall_{obj} \overline{(f3)}
\colon 
\forall_{obj} \overline{(f4)}
\colon \{\{\overline{(f1)}
,\overline{(f1)}
\}
,\{\overline{(f1)}
,\overline{(f2)}
\}
\}
 \mathrel{\in} 
\mathsf {f}
 _{Ph} 
\Rightarrow \{\{\overline{(f3)}
,\overline{(f3)}
\}
,\{\overline{(f3)}
,\overline{(f4)}
\}
\}
 \mathrel{\in} 
\mathsf {f}
 _{Ph} 
\Rightarrow \overline{(f1)}
 = \overline{(f3)}
\Rightarrow \overline{(f2)}
 = \overline{(f4)}
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(s1)}
\colon \overline{(s1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(s2)}
\colon \dot{\neg}\,(\{\{\overline{(s1)}
,\overline{(s1)}
\}
,\{\overline{(s1)}
,\overline{(s2)}
\}
\}
 \mathrel{\in} 
\mathsf {f}
 _{Ph} 
)n
)n
)n
)n
\}
)
\mid 
\forall_{obj} \overline{(\epsilon)}
\colon \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {n}}
\colon \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {m}}
\colon \dot{\neg}\,(0
 <= \overline{(\epsilon)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(0
 = \overline{(\epsilon)}
)n
)n
)n
\Rightarrow \overline{
\mathsf {n}}
 <= \overline{
\mathsf {m}}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(|( \{ ph \mathrel{\in}  \{ ph \mathrel{\in} P(P(Union(\{N
,Q
\}
)
)
)
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op1)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op2)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\overline{(op1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(op2)}
 \mathrel{\in} Q
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\mathsf {a}
 _{Ph} 
 = \{\{\overline{(op1)}
,\overline{(op1)}
\}
,\{\overline{(op1)}
,\overline{(op2)}
\}
\}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\}
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(crs1)}
\colon \dot{\neg}\,(
\mathsf {c}
 _{Ph} 
 = \{\{\overline{(crs1)}
,\overline{(crs1)}
\}
,\{\overline{(crs1)}
,0
\}
\}
)n
)n
\}
[\overline{
\mathsf {m}}
]
+(-u
\mathsf {d}
 _{Ph} 
[\overline{
\mathsf {m}}
]
)
)
|
 <= \overline{(\epsilon)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(|( \{ ph \mathrel{\in}  \{ ph \mathrel{\in} P(P(Union(\{N
,Q
\}
)
)
)
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op1)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op2)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\overline{(op1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(op2)}
 \mathrel{\in} Q
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\mathsf {a}
 _{Ph} 
 = \{\{\overline{(op1)}
,\overline{(op1)}
\}
,\{\overline{(op1)}
,\overline{(op2)}
\}
\}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\}
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(crs1)}
\colon \dot{\neg}\,(
\mathsf {c}
 _{Ph} 
 = \{\{\overline{(crs1)}
,\overline{(crs1)}
\}
,\{\overline{(crs1)}
,0
\}
\}
)n
)n
\}
[\overline{
\mathsf {m}}
]
+(-u
\mathsf {d}
 _{Ph} 
[\overline{
\mathsf {m}}
]
)
)
|
 = \overline{(\epsilon)}
)n
)n
)n
)n
)n
\}
; eqReflexivity
\gg  \{ ph \mathrel{\in} P( \{ ph \mathrel{\in} P( \{ ph \mathrel{\in} P(P(Union(\{N
,Q
\}
)
)
)
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op1)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op2)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\overline{(op1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(op2)}
 \mathrel{\in} Q
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\mathsf {a}
 _{Ph} 
 = \{\{\overline{(op1)}
,\overline{(op1)}
\}
,\{\overline{(op1)}
,\overline{(op2)}
\}
\}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\}
)
\mid \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(r1)}
\colon \overline{(r1)}
 \mathrel{\in} 
\mathsf {f}
 _{Ph} 
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op1)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op2)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\overline{(op1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(op2)}
 \mathrel{\in} Q
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(r1)}
 = \{\{\overline{(op1)}
,\overline{(op1)}
\}
,\{\overline{(op1)}
,\overline{(op2)}
\}
\}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(f1)}
\colon 
\forall_{obj} \overline{(f2)}
\colon 
\forall_{obj} \overline{(f3)}
\colon 
\forall_{obj} \overline{(f4)}
\colon \{\{\overline{(f1)}
,\overline{(f1)}
\}
,\{\overline{(f1)}
,\overline{(f2)}
\}
\}
 \mathrel{\in} 
\mathsf {f}
 _{Ph} 
\Rightarrow \{\{\overline{(f3)}
,\overline{(f3)}
\}
,\{\overline{(f3)}
,\overline{(f4)}
\}
\}
 \mathrel{\in} 
\mathsf {f}
 _{Ph} 
\Rightarrow \overline{(f1)}
 = \overline{(f3)}
\Rightarrow \overline{(f2)}
 = \overline{(f4)}
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(s1)}
\colon \overline{(s1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(s2)}
\colon \dot{\neg}\,(\{\{\overline{(s1)}
,\overline{(s1)}
\}
,\{\overline{(s1)}
,\overline{(s2)}
\}
\}
 \mathrel{\in} 
\mathsf {f}
 _{Ph} 
)n
)n
)n
)n
\}
)
\mid 
\forall_{obj} \overline{(\epsilon)}
\colon \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {n}}
\colon \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {m}}
\colon \dot{\neg}\,(0
 <= \overline{(\epsilon)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(0
 = \overline{(\epsilon)}
)n
)n
)n
\Rightarrow \overline{
\mathsf {n}}
 <= \overline{
\mathsf {m}}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(|( \{ ph \mathrel{\in}  \{ ph \mathrel{\in} P(P(Union(\{N
,Q
\}
)
)
)
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op1)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op2)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\overline{(op1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(op2)}
 \mathrel{\in} Q
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\mathsf {a}
 _{Ph} 
 = \{\{\overline{(op1)}
,\overline{(op1)}
\}
,\{\overline{(op1)}
,\overline{(op2)}
\}
\}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\}
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \underline{
\mathsf {m}}
\colon \dot{\neg}\,(
\mathsf {e}
 _{Ph} 
 = \{\{\underline{
\mathsf {m}}
,\underline{
\mathsf {m}}
\}
,\{\underline{
\mathsf {m}}
,(\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
* \{ ph \mathrel{\in}  \{ ph \mathrel{\in} P(P(Union(\{N
,Q
\}
)
)
)
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op1)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op2)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\overline{(op1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(op2)}
 \mathrel{\in} Q
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\mathsf {a}
 _{Ph} 
 = \{\{\overline{(op1)}
,\overline{(op1)}
\}
,\{\overline{(op1)}
,\overline{(op2)}
\}
\}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\}
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(crs1)}
\colon \dot{\neg}\,(
\mathsf {c}
 _{Ph} 
 = \{\{\overline{(crs1)}
,\overline{(crs1)}
\}
,\{\overline{(crs1)}
,0
\}
\}
)n
)n
\}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
)
\}
\}
)n
)n
\}
[\overline{
\mathsf {m}}
]
+(-u
\mathsf {d}
 _{Ph} 
[\overline{
\mathsf {m}}
]
)
)
|
 <= \overline{(\epsilon)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(|( \{ ph \mathrel{\in}  \{ ph \mathrel{\in} P(P(Union(\{N
,Q
\}
)
)
)
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op1)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op2)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\overline{(op1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(op2)}
 \mathrel{\in} Q
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\mathsf {a}
 _{Ph} 
 = \{\{\overline{(op1)}
,\overline{(op1)}
\}
,\{\overline{(op1)}
,\overline{(op2)}
\}
\}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\}
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \underline{
\mathsf {m}}
\colon \dot{\neg}\,(
\mathsf {e}
 _{Ph} 
 = \{\{\underline{
\mathsf {m}}
,\underline{
\mathsf {m}}
\}
,\{\underline{
\mathsf {m}}
,(\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
* \{ ph \mathrel{\in}  \{ ph \mathrel{\in} P(P(Union(\{N
,Q
\}
)
)
)
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op1)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op2)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\overline{(op1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(op2)}
 \mathrel{\in} Q
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\mathsf {a}
 _{Ph} 
 = \{\{\overline{(op1)}
,\overline{(op1)}
\}
,\{\overline{(op1)}
,\overline{(op2)}
\}
\}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\}
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(crs1)}
\colon \dot{\neg}\,(
\mathsf {c}
 _{Ph} 
 = \{\{\overline{(crs1)}
,\overline{(crs1)}
\}
,\{\overline{(crs1)}
,0
\}
\}
)n
)n
\}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
)
\}
\}
)n
)n
\}
[\overline{
\mathsf {m}}
]
+(-u
\mathsf {d}
 _{Ph} 
[\overline{
\mathsf {m}}
]
)
)
|
 = \overline{(\epsilon)}
)n
)n
)n
)n
)n
\}
 =  \{ ph \mathrel{\in} P( \{ ph \mathrel{\in} P( \{ ph \mathrel{\in} P(P(Union(\{N
,Q
\}
)
)
)
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op1)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op2)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\overline{(op1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(op2)}
 \mathrel{\in} Q
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\mathsf {a}
 _{Ph} 
 = \{\{\overline{(op1)}
,\overline{(op1)}
\}
,\{\overline{(op1)}
,\overline{(op2)}
\}
\}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\}
)
\mid \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(r1)}
\colon \overline{(r1)}
 \mathrel{\in} 
\mathsf {f}
 _{Ph} 
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op1)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op2)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\overline{(op1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(op2)}
 \mathrel{\in} Q
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(r1)}
 = \{\{\overline{(op1)}
,\overline{(op1)}
\}
,\{\overline{(op1)}
,\overline{(op2)}
\}
\}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(f1)}
\colon 
\forall_{obj} \overline{(f2)}
\colon 
\forall_{obj} \overline{(f3)}
\colon 
\forall_{obj} \overline{(f4)}
\colon \{\{\overline{(f1)}
,\overline{(f1)}
\}
,\{\overline{(f1)}
,\overline{(f2)}
\}
\}
 \mathrel{\in} 
\mathsf {f}
 _{Ph} 
\Rightarrow \{\{\overline{(f3)}
,\overline{(f3)}
\}
,\{\overline{(f3)}
,\overline{(f4)}
\}
\}
 \mathrel{\in} 
\mathsf {f}
 _{Ph} 
\Rightarrow \overline{(f1)}
 = \overline{(f3)}
\Rightarrow \overline{(f2)}
 = \overline{(f4)}
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(s1)}
\colon \overline{(s1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(s2)}
\colon \dot{\neg}\,(\{\{\overline{(s1)}
,\overline{(s1)}
\}
,\{\overline{(s1)}
,\overline{(s2)}
\}
\}
 \mathrel{\in} 
\mathsf {f}
 _{Ph} 
)n
)n
)n
)n
\}
)
\mid 
\forall_{obj} \overline{(\epsilon)}
\colon \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {n}}
\colon \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {m}}
\colon \dot{\neg}\,(0
 <= \overline{(\epsilon)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(0
 = \overline{(\epsilon)}
)n
)n
)n
\Rightarrow \overline{
\mathsf {n}}
 <= \overline{
\mathsf {m}}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(|( \{ ph \mathrel{\in}  \{ ph \mathrel{\in} P(P(Union(\{N
,Q
\}
)
)
)
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op1)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op2)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\overline{(op1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(op2)}
 \mathrel{\in} Q
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\mathsf {a}
 _{Ph} 
 = \{\{\overline{(op1)}
,\overline{(op1)}
\}
,\{\overline{(op1)}
,\overline{(op2)}
\}
\}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\}
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \underline{
\mathsf {m}}
\colon \dot{\neg}\,(
\mathsf {e}
 _{Ph} 
 = \{\{\underline{
\mathsf {m}}
,\underline{
\mathsf {m}}
\}
,\{\underline{
\mathsf {m}}
,(\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
* \{ ph \mathrel{\in}  \{ ph \mathrel{\in} P(P(Union(\{N
,Q
\}
)
)
)
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op1)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op2)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\overline{(op1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(op2)}
 \mathrel{\in} Q
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\mathsf {a}
 _{Ph} 
 = \{\{\overline{(op1)}
,\overline{(op1)}
\}
,\{\overline{(op1)}
,\overline{(op2)}
\}
\}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\}
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(crs1)}
\colon \dot{\neg}\,(
\mathsf {c}
 _{Ph} 
 = \{\{\overline{(crs1)}
,\overline{(crs1)}
\}
,\{\overline{(crs1)}
,0
\}
\}
)n
)n
\}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
)
\}
\}
)n
)n
\}
[\overline{
\mathsf {m}}
]
+(-u
\mathsf {d}
 _{Ph} 
[\overline{
\mathsf {m}}
]
)
)
|
 <= \overline{(\epsilon)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(|( \{ ph \mathrel{\in}  \{ ph \mathrel{\in} P(P(Union(\{N
,Q
\}
)
)
)
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op1)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op2)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\overline{(op1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(op2)}
 \mathrel{\in} Q
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\mathsf {a}
 _{Ph} 
 = \{\{\overline{(op1)}
,\overline{(op1)}
\}
,\{\overline{(op1)}
,\overline{(op2)}
\}
\}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\}
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \underline{
\mathsf {m}}
\colon \dot{\neg}\,(
\mathsf {e}
 _{Ph} 
 = \{\{\underline{
\mathsf {m}}
,\underline{
\mathsf {m}}
\}
,\{\underline{
\mathsf {m}}
,(\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
* \{ ph \mathrel{\in}  \{ ph \mathrel{\in} P(P(Union(\{N
,Q
\}
)
)
)
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op1)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op2)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\overline{(op1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(op2)}
 \mathrel{\in} Q
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\mathsf {a}
 _{Ph} 
 = \{\{\overline{(op1)}
,\overline{(op1)}
\}
,\{\overline{(op1)}
,\overline{(op2)}
\}
\}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\}
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(crs1)}
\colon \dot{\neg}\,(
\mathsf {c}
 _{Ph} 
 = \{\{\overline{(crs1)}
,\overline{(crs1)}
\}
,\{\overline{(crs1)}
,0
\}
\}
)n
)n
\}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
)
\}
\}
)n
)n
\}
[\overline{
\mathsf {m}}
]
+(-u
\mathsf {d}
 _{Ph} 
[\overline{
\mathsf {m}}
]
)
)
|
 = \overline{(\epsilon)}
)n
)n
)n
)n
)n
\}
; \!{}==\!{}Transitivity
\rhd  \{ ph \mathrel{\in} P( \{ ph \mathrel{\in} P( \{ ph \mathrel{\in} P(P(Union(\{N
,Q
\}
)
)
)
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op1)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op2)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\overline{(op1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(op2)}
 \mathrel{\in} Q
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\mathsf {a}
 _{Ph} 
 = \{\{\overline{(op1)}
,\overline{(op1)}
\}
,\{\overline{(op1)}
,\overline{(op2)}
\}
\}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\}
)
\mid \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(r1)}
\colon \overline{(r1)}
 \mathrel{\in} 
\mathsf {f}
 _{Ph} 
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op1)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op2)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\overline{(op1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(op2)}
 \mathrel{\in} Q
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(r1)}
 = \{\{\overline{(op1)}
,\overline{(op1)}
\}
,\{\overline{(op1)}
,\overline{(op2)}
\}
\}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(f1)}
\colon 
\forall_{obj} \overline{(f2)}
\colon 
\forall_{obj} \overline{(f3)}
\colon 
\forall_{obj} \overline{(f4)}
\colon \{\{\overline{(f1)}
,\overline{(f1)}
\}
,\{\overline{(f1)}
,\overline{(f2)}
\}
\}
 \mathrel{\in} 
\mathsf {f}
 _{Ph} 
\Rightarrow \{\{\overline{(f3)}
,\overline{(f3)}
\}
,\{\overline{(f3)}
,\overline{(f4)}
\}
\}
 \mathrel{\in} 
\mathsf {f}
 _{Ph} 
\Rightarrow \overline{(f1)}
 = \overline{(f3)}
\Rightarrow \overline{(f2)}
 = \overline{(f4)}
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(s1)}
\colon \overline{(s1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(s2)}
\colon \dot{\neg}\,(\{\{\overline{(s1)}
,\overline{(s1)}
\}
,\{\overline{(s1)}
,\overline{(s2)}
\}
\}
 \mathrel{\in} 
\mathsf {f}
 _{Ph} 
)n
)n
)n
)n
\}
)
\mid 
\forall_{obj} \overline{(\epsilon)}
\colon \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {n}}
\colon \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {m}}
\colon \dot{\neg}\,(0
 <= \overline{(\epsilon)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(0
 = \overline{(\epsilon)}
)n
)n
)n
\Rightarrow \overline{
\mathsf {n}}
 <= \overline{
\mathsf {m}}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(|( \{ ph \mathrel{\in}  \{ ph \mathrel{\in} P(P(Union(\{N
,Q
\}
)
)
)
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op1)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op2)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\overline{(op1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(op2)}
 \mathrel{\in} Q
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\mathsf {a}
 _{Ph} 
 = \{\{\overline{(op1)}
,\overline{(op1)}
\}
,\{\overline{(op1)}
,\overline{(op2)}
\}
\}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\}
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \underline{
\mathsf {m}}
\colon \dot{\neg}\,(
\mathsf {e}
 _{Ph} 
 = \{\{\underline{
\mathsf {m}}
,\underline{
\mathsf {m}}
\}
,\{\underline{
\mathsf {m}}
,(\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
* \{ ph \mathrel{\in}  \{ ph \mathrel{\in} P(P(Union(\{N
,Q
\}
)
)
)
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op1)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op2)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\overline{(op1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(op2)}
 \mathrel{\in} Q
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\mathsf {a}
 _{Ph} 
 = \{\{\overline{(op1)}
,\overline{(op1)}
\}
,\{\overline{(op1)}
,\overline{(op2)}
\}
\}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\}
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(crs1)}
\colon \dot{\neg}\,(
\mathsf {c}
 _{Ph} 
 = \{\{\overline{(crs1)}
,\overline{(crs1)}
\}
,\{\overline{(crs1)}
,0
\}
\}
)n
)n
\}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
)
\}
\}
)n
)n
\}
[\overline{
\mathsf {m}}
]
+(-u
\mathsf {d}
 _{Ph} 
[\overline{
\mathsf {m}}
]
)
)
|
 <= \overline{(\epsilon)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(|( \{ ph \mathrel{\in}  \{ ph \mathrel{\in} P(P(Union(\{N
,Q
\}
)
)
)
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op1)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op2)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\overline{(op1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(op2)}
 \mathrel{\in} Q
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\mathsf {a}
 _{Ph} 
 = \{\{\overline{(op1)}
,\overline{(op1)}
\}
,\{\overline{(op1)}
,\overline{(op2)}
\}
\}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\}
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \underline{
\mathsf {m}}
\colon \dot{\neg}\,(
\mathsf {e}
 _{Ph} 
 = \{\{\underline{
\mathsf {m}}
,\underline{
\mathsf {m}}
\}
,\{\underline{
\mathsf {m}}
,(\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
* \{ ph \mathrel{\in}  \{ ph \mathrel{\in} P(P(Union(\{N
,Q
\}
)
)
)
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op1)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op2)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\overline{(op1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(op2)}
 \mathrel{\in} Q
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\mathsf {a}
 _{Ph} 
 = \{\{\overline{(op1)}
,\overline{(op1)}
\}
,\{\overline{(op1)}
,\overline{(op2)}
\}
\}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\}
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(crs1)}
\colon \dot{\neg}\,(
\mathsf {c}
 _{Ph} 
 = \{\{\overline{(crs1)}
,\overline{(crs1)}
\}
,\{\overline{(crs1)}
,0
\}
\}
)n
)n
\}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
)
\}
\}
)n
)n
\}
[\overline{
\mathsf {m}}
]
+(-u
\mathsf {d}
 _{Ph} 
[\overline{
\mathsf {m}}
]
)
)
|
 = \overline{(\epsilon)}
)n
)n
)n
)n
)n
\}
 =  \{ ph \mathrel{\in} P( \{ ph \mathrel{\in} P( \{ ph \mathrel{\in} P(P(Union(\{N
,Q
\}
)
)
)
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op1)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op2)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\overline{(op1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(op2)}
 \mathrel{\in} Q
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\mathsf {a}
 _{Ph} 
 = \{\{\overline{(op1)}
,\overline{(op1)}
\}
,\{\overline{(op1)}
,\overline{(op2)}
\}
\}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\}
)
\mid \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(r1)}
\colon \overline{(r1)}
 \mathrel{\in} 
\mathsf {f}
 _{Ph} 
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op1)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op2)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\overline{(op1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(op2)}
 \mathrel{\in} Q
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(r1)}
 = \{\{\overline{(op1)}
,\overline{(op1)}
\}
,\{\overline{(op1)}
,\overline{(op2)}
\}
\}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(f1)}
\colon 
\forall_{obj} \overline{(f2)}
\colon 
\forall_{obj} \overline{(f3)}
\colon 
\forall_{obj} \overline{(f4)}
\colon \{\{\overline{(f1)}
,\overline{(f1)}
\}
,\{\overline{(f1)}
,\overline{(f2)}
\}
\}
 \mathrel{\in} 
\mathsf {f}
 _{Ph} 
\Rightarrow \{\{\overline{(f3)}
,\overline{(f3)}
\}
,\{\overline{(f3)}
,\overline{(f4)}
\}
\}
 \mathrel{\in} 
\mathsf {f}
 _{Ph} 
\Rightarrow \overline{(f1)}
 = \overline{(f3)}
\Rightarrow \overline{(f2)}
 = \overline{(f4)}
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(s1)}
\colon \overline{(s1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(s2)}
\colon \dot{\neg}\,(\{\{\overline{(s1)}
,\overline{(s1)}
\}
,\{\overline{(s1)}
,\overline{(s2)}
\}
\}
 \mathrel{\in} 
\mathsf {f}
 _{Ph} 
)n
)n
)n
)n
\}
)
\mid 
\forall_{obj} \overline{(\epsilon)}
\colon \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {n}}
\colon \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {m}}
\colon \dot{\neg}\,(0
 <= \overline{(\epsilon)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(0
 = \overline{(\epsilon)}
)n
)n
)n
\Rightarrow \overline{
\mathsf {n}}
 <= \overline{
\mathsf {m}}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(|( \{ ph \mathrel{\in}  \{ ph \mathrel{\in} P(P(Union(\{N
,Q
\}
)
)
)
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op1)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op2)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\overline{(op1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(op2)}
 \mathrel{\in} Q
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\mathsf {a}
 _{Ph} 
 = \{\{\overline{(op1)}
,\overline{(op1)}
\}
,\{\overline{(op1)}
,\overline{(op2)}
\}
\}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\}
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \underline{
\mathsf {m}}
\colon \dot{\neg}\,(
\mathsf {e}
 _{Ph} 
 = \{\{\underline{
\mathsf {m}}
,\underline{
\mathsf {m}}
\}
,\{\underline{
\mathsf {m}}
,(\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
* \{ ph \mathrel{\in}  \{ ph \mathrel{\in} P(P(Union(\{N
,Q
\}
)
)
)
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op1)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op2)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\overline{(op1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(op2)}
 \mathrel{\in} Q
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\mathsf {a}
 _{Ph} 
 = \{\{\overline{(op1)}
,\overline{(op1)}
\}
,\{\overline{(op1)}
,\overline{(op2)}
\}
\}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\}
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(crs1)}
\colon \dot{\neg}\,(
\mathsf {c}
 _{Ph} 
 = \{\{\overline{(crs1)}
,\overline{(crs1)}
\}
,\{\overline{(crs1)}
,0
\}
\}
)n
)n
\}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
)
\}
\}
)n
)n
\}
[\overline{
\mathsf {m}}
]
+(-u
\mathsf {d}
 _{Ph} 
[\overline{
\mathsf {m}}
]
)
)
|
 <= \overline{(\epsilon)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(|( \{ ph \mathrel{\in}  \{ ph \mathrel{\in} P(P(Union(\{N
,Q
\}
)
)
)
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op1)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op2)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\overline{(op1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(op2)}
 \mathrel{\in} Q
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\mathsf {a}
 _{Ph} 
 = \{\{\overline{(op1)}
,\overline{(op1)}
\}
,\{\overline{(op1)}
,\overline{(op2)}
\}
\}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\}
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \underline{
\mathsf {m}}
\colon \dot{\neg}\,(
\mathsf {e}
 _{Ph} 
 = \{\{\underline{
\mathsf {m}}
,\underline{
\mathsf {m}}
\}
,\{\underline{
\mathsf {m}}
,(\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
* \{ ph \mathrel{\in}  \{ ph \mathrel{\in} P(P(Union(\{N
,Q
\}
)
)
)
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op1)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op2)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\overline{(op1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(op2)}
 \mathrel{\in} Q
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\mathsf {a}
 _{Ph} 
 = \{\{\overline{(op1)}
,\overline{(op1)}
\}
,\{\overline{(op1)}
,\overline{(op2)}
\}
\}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\}
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(crs1)}
\colon \dot{\neg}\,(
\mathsf {c}
 _{Ph} 
 = \{\{\overline{(crs1)}
,\overline{(crs1)}
\}
,\{\overline{(crs1)}
,0
\}
\}
)n
)n
\}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
)
\}
\}
)n
)n
\}
[\overline{
\mathsf {m}}
]
+(-u
\mathsf {d}
 _{Ph} 
[\overline{
\mathsf {m}}
]
)
)
|
 = \overline{(\epsilon)}
)n
)n
)n
)n
)n
\}
\rhd  \{ ph \mathrel{\in} P( \{ ph \mathrel{\in} P( \{ ph \mathrel{\in} P(P(Union(\{N
,Q
\}
)
)
)
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op1)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op2)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\overline{(op1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(op2)}
 \mathrel{\in} Q
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\mathsf {a}
 _{Ph} 
 = \{\{\overline{(op1)}
,\overline{(op1)}
\}
,\{\overline{(op1)}
,\overline{(op2)}
\}
\}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\}
)
\mid \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(r1)}
\colon \overline{(r1)}
 \mathrel{\in} 
\mathsf {f}
 _{Ph} 
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op1)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op2)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\overline{(op1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(op2)}
 \mathrel{\in} Q
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(r1)}
 = \{\{\overline{(op1)}
,\overline{(op1)}
\}
,\{\overline{(op1)}
,\overline{(op2)}
\}
\}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(f1)}
\colon 
\forall_{obj} \overline{(f2)}
\colon 
\forall_{obj} \overline{(f3)}
\colon 
\forall_{obj} \overline{(f4)}
\colon \{\{\overline{(f1)}
,\overline{(f1)}
\}
,\{\overline{(f1)}
,\overline{(f2)}
\}
\}
 \mathrel{\in} 
\mathsf {f}
 _{Ph} 
\Rightarrow \{\{\overline{(f3)}
,\overline{(f3)}
\}
,\{\overline{(f3)}
,\overline{(f4)}
\}
\}
 \mathrel{\in} 
\mathsf {f}
 _{Ph} 
\Rightarrow \overline{(f1)}
 = \overline{(f3)}
\Rightarrow \overline{(f2)}
 = \overline{(f4)}
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(s1)}
\colon \overline{(s1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(s2)}
\colon \dot{\neg}\,(\{\{\overline{(s1)}
,\overline{(s1)}
\}
,\{\overline{(s1)}
,\overline{(s2)}
\}
\}
 \mathrel{\in} 
\mathsf {f}
 _{Ph} 
)n
)n
)n
)n
\}
)
\mid 
\forall_{obj} \overline{(\epsilon)}
\colon \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {n}}
\colon \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {m}}
\colon \dot{\neg}\,(0
 <= \overline{(\epsilon)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(0
 = \overline{(\epsilon)}
)n
)n
)n
\Rightarrow \overline{
\mathsf {n}}
 <= \overline{
\mathsf {m}}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(|( \{ ph \mathrel{\in}  \{ ph \mathrel{\in} P(P(Union(\{N
,Q
\}
)
)
)
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op1)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op2)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\overline{(op1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(op2)}
 \mathrel{\in} Q
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\mathsf {a}
 _{Ph} 
 = \{\{\overline{(op1)}
,\overline{(op1)}
\}
,\{\overline{(op1)}
,\overline{(op2)}
\}
\}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\}
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \underline{
\mathsf {m}}
\colon \dot{\neg}\,(
\mathsf {e}
 _{Ph} 
 = \{\{\underline{
\mathsf {m}}
,\underline{
\mathsf {m}}
\}
,\{\underline{
\mathsf {m}}
,(\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
* \{ ph \mathrel{\in}  \{ ph \mathrel{\in} P(P(Union(\{N
,Q
\}
)
)
)
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op1)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op2)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\overline{(op1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(op2)}
 \mathrel{\in} Q
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\mathsf {a}
 _{Ph} 
 = \{\{\overline{(op1)}
,\overline{(op1)}
\}
,\{\overline{(op1)}
,\overline{(op2)}
\}
\}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\}
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(crs1)}
\colon \dot{\neg}\,(
\mathsf {c}
 _{Ph} 
 = \{\{\overline{(crs1)}
,\overline{(crs1)}
\}
,\{\overline{(crs1)}
,0
\}
\}
)n
)n
\}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
)
\}
\}
)n
)n
\}
[\overline{
\mathsf {m}}
]
+(-u
\mathsf {d}
 _{Ph} 
[\overline{
\mathsf {m}}
]
)
)
|
 <= \overline{(\epsilon)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(|( \{ ph \mathrel{\in}  \{ ph \mathrel{\in} P(P(Union(\{N
,Q
\}
)
)
)
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op1)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op2)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\overline{(op1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(op2)}
 \mathrel{\in} Q
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\mathsf {a}
 _{Ph} 
 = \{\{\overline{(op1)}
,\overline{(op1)}
\}
,\{\overline{(op1)}
,\overline{(op2)}
\}
\}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\}
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \underline{
\mathsf {m}}
\colon \dot{\neg}\,(
\mathsf {e}
 _{Ph} 
 = \{\{\underline{
\mathsf {m}}
,\underline{
\mathsf {m}}
\}
,\{\underline{
\mathsf {m}}
,(\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
* \{ ph \mathrel{\in}  \{ ph \mathrel{\in} P(P(Union(\{N
,Q
\}
)
)
)
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op1)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op2)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\overline{(op1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(op2)}
 \mathrel{\in} Q
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\mathsf {a}
 _{Ph} 
 = \{\{\overline{(op1)}
,\overline{(op1)}
\}
,\{\overline{(op1)}
,\overline{(op2)}
\}
\}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\}
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(crs1)}
\colon \dot{\neg}\,(
\mathsf {c}
 _{Ph} 
 = \{\{\overline{(crs1)}
,\overline{(crs1)}
\}
,\{\overline{(crs1)}
,0
\}
\}
)n
)n
\}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
)
\}
\}
)n
)n
\}
[\overline{
\mathsf {m}}
]
+(-u
\mathsf {d}
 _{Ph} 
[\overline{
\mathsf {m}}
]
)
)
|
 = \overline{(\epsilon)}
)n
)n
)n
)n
)n
\}
 =  \{ ph \mathrel{\in} P( \{ ph \mathrel{\in} P( \{ ph \mathrel{\in} P(P(Union(\{N
,Q
\}
)
)
)
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op1)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op2)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\overline{(op1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(op2)}
 \mathrel{\in} Q
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\mathsf {a}
 _{Ph} 
 = \{\{\overline{(op1)}
,\overline{(op1)}
\}
,\{\overline{(op1)}
,\overline{(op2)}
\}
\}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\}
)
\mid \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(r1)}
\colon \overline{(r1)}
 \mathrel{\in} 
\mathsf {f}
 _{Ph} 
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op1)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op2)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\overline{(op1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(op2)}
 \mathrel{\in} Q
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(r1)}
 = \{\{\overline{(op1)}
,\overline{(op1)}
\}
,\{\overline{(op1)}
,\overline{(op2)}
\}
\}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(f1)}
\colon 
\forall_{obj} \overline{(f2)}
\colon 
\forall_{obj} \overline{(f3)}
\colon 
\forall_{obj} \overline{(f4)}
\colon \{\{\overline{(f1)}
,\overline{(f1)}
\}
,\{\overline{(f1)}
,\overline{(f2)}
\}
\}
 \mathrel{\in} 
\mathsf {f}
 _{Ph} 
\Rightarrow \{\{\overline{(f3)}
,\overline{(f3)}
\}
,\{\overline{(f3)}
,\overline{(f4)}
\}
\}
 \mathrel{\in} 
\mathsf {f}
 _{Ph} 
\Rightarrow \overline{(f1)}
 = \overline{(f3)}
\Rightarrow \overline{(f2)}
 = \overline{(f4)}
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(s1)}
\colon \overline{(s1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(s2)}
\colon \dot{\neg}\,(\{\{\overline{(s1)}
,\overline{(s1)}
\}
,\{\overline{(s1)}
,\overline{(s2)}
\}
\}
 \mathrel{\in} 
\mathsf {f}
 _{Ph} 
)n
)n
)n
)n
\}
)
\mid 
\forall_{obj} \overline{(\epsilon)}
\colon \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {n}}
\colon \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {m}}
\colon \dot{\neg}\,(0
 <= \overline{(\epsilon)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(0
 = \overline{(\epsilon)}
)n
)n
)n
\Rightarrow \overline{
\mathsf {n}}
 <= \overline{
\mathsf {m}}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(|( \{ ph \mathrel{\in}  \{ ph \mathrel{\in} P(P(Union(\{N
,Q
\}
)
)
)
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op1)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op2)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\overline{(op1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(op2)}
 \mathrel{\in} Q
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\mathsf {a}
 _{Ph} 
 = \{\{\overline{(op1)}
,\overline{(op1)}
\}
,\{\overline{(op1)}
,\overline{(op2)}
\}
\}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\}
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(crs1)}
\colon \dot{\neg}\,(
\mathsf {c}
 _{Ph} 
 = \{\{\overline{(crs1)}
,\overline{(crs1)}
\}
,\{\overline{(crs1)}
,0
\}
\}
)n
)n
\}
[\overline{
\mathsf {m}}
]
+(-u
\mathsf {d}
 _{Ph} 
[\overline{
\mathsf {m}}
]
)
)
|
 <= \overline{(\epsilon)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(|( \{ ph \mathrel{\in}  \{ ph \mathrel{\in} P(P(Union(\{N
,Q
\}
)
)
)
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op1)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op2)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\overline{(op1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(op2)}
 \mathrel{\in} Q
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\mathsf {a}
 _{Ph} 
 = \{\{\overline{(op1)}
,\overline{(op1)}
\}
,\{\overline{(op1)}
,\overline{(op2)}
\}
\}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\}
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(crs1)}
\colon \dot{\neg}\,(
\mathsf {c}
 _{Ph} 
 = \{\{\overline{(crs1)}
,\overline{(crs1)}
\}
,\{\overline{(crs1)}
,0
\}
\}
)n
)n
\}
[\overline{
\mathsf {m}}
]
+(-u
\mathsf {d}
 _{Ph} 
[\overline{
\mathsf {m}}
]
)
)
|
 = \overline{(\epsilon)}
)n
)n
)n
)n
)n
\}
\gg  \{ ph \mathrel{\in} P( \{ ph \mathrel{\in} P( \{ ph \mathrel{\in} P(P(Union(\{N
,Q
\}
)
)
)
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op1)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op2)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\overline{(op1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(op2)}
 \mathrel{\in} Q
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\mathsf {a}
 _{Ph} 
 = \{\{\overline{(op1)}
,\overline{(op1)}
\}
,\{\overline{(op1)}
,\overline{(op2)}
\}
\}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\}
)
\mid \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(r1)}
\colon \overline{(r1)}
 \mathrel{\in} 
\mathsf {f}
 _{Ph} 
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op1)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op2)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\overline{(op1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(op2)}
 \mathrel{\in} Q
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(r1)}
 = \{\{\overline{(op1)}
,\overline{(op1)}
\}
,\{\overline{(op1)}
,\overline{(op2)}
\}
\}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(f1)}
\colon 
\forall_{obj} \overline{(f2)}
\colon 
\forall_{obj} \overline{(f3)}
\colon 
\forall_{obj} \overline{(f4)}
\colon \{\{\overline{(f1)}
,\overline{(f1)}
\}
,\{\overline{(f1)}
,\overline{(f2)}
\}
\}
 \mathrel{\in} 
\mathsf {f}
 _{Ph} 
\Rightarrow \{\{\overline{(f3)}
,\overline{(f3)}
\}
,\{\overline{(f3)}
,\overline{(f4)}
\}
\}
 \mathrel{\in} 
\mathsf {f}
 _{Ph} 
\Rightarrow \overline{(f1)}
 = \overline{(f3)}
\Rightarrow \overline{(f2)}
 = \overline{(f4)}
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(s1)}
\colon \overline{(s1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(s2)}
\colon \dot{\neg}\,(\{\{\overline{(s1)}
,\overline{(s1)}
\}
,\{\overline{(s1)}
,\overline{(s2)}
\}
\}
 \mathrel{\in} 
\mathsf {f}
 _{Ph} 
)n
)n
)n
)n
\}
)
\mid 
\forall_{obj} \overline{(\epsilon)}
\colon \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {n}}
\colon \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {m}}
\colon \dot{\neg}\,(0
 <= \overline{(\epsilon)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(0
 = \overline{(\epsilon)}
)n
)n
)n
\Rightarrow \overline{
\mathsf {n}}
 <= \overline{
\mathsf {m}}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(|( \{ ph \mathrel{\in}  \{ ph \mathrel{\in} P(P(Union(\{N
,Q
\}
)
)
)
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op1)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op2)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\overline{(op1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(op2)}
 \mathrel{\in} Q
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\mathsf {a}
 _{Ph} 
 = \{\{\overline{(op1)}
,\overline{(op1)}
\}
,\{\overline{(op1)}
,\overline{(op2)}
\}
\}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\}
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \underline{
\mathsf {m}}
\colon \dot{\neg}\,(
\mathsf {e}
 _{Ph} 
 = \{\{\underline{
\mathsf {m}}
,\underline{
\mathsf {m}}
\}
,\{\underline{
\mathsf {m}}
,(\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
* \{ ph \mathrel{\in}  \{ ph \mathrel{\in} P(P(Union(\{N
,Q
\}
)
)
)
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op1)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op2)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\overline{(op1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(op2)}
 \mathrel{\in} Q
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\mathsf {a}
 _{Ph} 
 = \{\{\overline{(op1)}
,\overline{(op1)}
\}
,\{\overline{(op1)}
,\overline{(op2)}
\}
\}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\}
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(crs1)}
\colon \dot{\neg}\,(
\mathsf {c}
 _{Ph} 
 = \{\{\overline{(crs1)}
,\overline{(crs1)}
\}
,\{\overline{(crs1)}
,0
\}
\}
)n
)n
\}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
)
\}
\}
)n
)n
\}
[\overline{
\mathsf {m}}
]
+(-u
\mathsf {d}
 _{Ph} 
[\overline{
\mathsf {m}}
]
)
)
|
 <= \overline{(\epsilon)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(|( \{ ph \mathrel{\in}  \{ ph \mathrel{\in} P(P(Union(\{N
,Q
\}
)
)
)
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op1)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op2)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\overline{(op1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(op2)}
 \mathrel{\in} Q
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\mathsf {a}
 _{Ph} 
 = \{\{\overline{(op1)}
,\overline{(op1)}
\}
,\{\overline{(op1)}
,\overline{(op2)}
\}
\}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\}
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \underline{
\mathsf {m}}
\colon \dot{\neg}\,(
\mathsf {e}
 _{Ph} 
 = \{\{\underline{
\mathsf {m}}
,\underline{
\mathsf {m}}
\}
,\{\underline{
\mathsf {m}}
,(\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
* \{ ph \mathrel{\in}  \{ ph \mathrel{\in} P(P(Union(\{N
,Q
\}
)
)
)
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op1)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op2)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\overline{(op1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(op2)}
 \mathrel{\in} Q
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\mathsf {a}
 _{Ph} 
 = \{\{\overline{(op1)}
,\overline{(op1)}
\}
,\{\overline{(op1)}
,\overline{(op2)}
\}
\}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\}
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(crs1)}
\colon \dot{\neg}\,(
\mathsf {c}
 _{Ph} 
 = \{\{\overline{(crs1)}
,\overline{(crs1)}
\}
,\{\overline{(crs1)}
,0
\}
\}
)n
)n
\}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
)
\}
\}
)n
)n
\}
[\overline{
\mathsf {m}}
]
+(-u
\mathsf {d}
 _{Ph} 
[\overline{
\mathsf {m}}
]
)
)
|
 = \overline{(\epsilon)}
)n
)n
)n
)n
)n
\}
 =  \{ ph \mathrel{\in} P( \{ ph \mathrel{\in} P( \{ ph \mathrel{\in} P(P(Union(\{N
,Q
\}
)
)
)
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op1)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op2)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\overline{(op1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(op2)}
 \mathrel{\in} Q
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\mathsf {a}
 _{Ph} 
 = \{\{\overline{(op1)}
,\overline{(op1)}
\}
,\{\overline{(op1)}
,\overline{(op2)}
\}
\}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\}
)
\mid \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(r1)}
\colon \overline{(r1)}
 \mathrel{\in} 
\mathsf {f}
 _{Ph} 
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op1)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op2)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\overline{(op1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(op2)}
 \mathrel{\in} Q
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(r1)}
 = \{\{\overline{(op1)}
,\overline{(op1)}
\}
,\{\overline{(op1)}
,\overline{(op2)}
\}
\}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(f1)}
\colon 
\forall_{obj} \overline{(f2)}
\colon 
\forall_{obj} \overline{(f3)}
\colon 
\forall_{obj} \overline{(f4)}
\colon \{\{\overline{(f1)}
,\overline{(f1)}
\}
,\{\overline{(f1)}
,\overline{(f2)}
\}
\}
 \mathrel{\in} 
\mathsf {f}
 _{Ph} 
\Rightarrow \{\{\overline{(f3)}
,\overline{(f3)}
\}
,\{\overline{(f3)}
,\overline{(f4)}
\}
\}
 \mathrel{\in} 
\mathsf {f}
 _{Ph} 
\Rightarrow \overline{(f1)}
 = \overline{(f3)}
\Rightarrow \overline{(f2)}
 = \overline{(f4)}
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(s1)}
\colon \overline{(s1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(s2)}
\colon \dot{\neg}\,(\{\{\overline{(s1)}
,\overline{(s1)}
\}
,\{\overline{(s1)}
,\overline{(s2)}
\}
\}
 \mathrel{\in} 
\mathsf {f}
 _{Ph} 
)n
)n
)n
)n
\}
)
\mid 
\forall_{obj} \overline{(\epsilon)}
\colon \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {n}}
\colon \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {m}}
\colon \dot{\neg}\,(0
 <= \overline{(\epsilon)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(0
 = \overline{(\epsilon)}
)n
)n
)n
\Rightarrow \overline{
\mathsf {n}}
 <= \overline{
\mathsf {m}}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(|( \{ ph \mathrel{\in}  \{ ph \mathrel{\in} P(P(Union(\{N
,Q
\}
)
)
)
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op1)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op2)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\overline{(op1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(op2)}
 \mathrel{\in} Q
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\mathsf {a}
 _{Ph} 
 = \{\{\overline{(op1)}
,\overline{(op1)}
\}
,\{\overline{(op1)}
,\overline{(op2)}
\}
\}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\}
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(crs1)}
\colon \dot{\neg}\,(
\mathsf {c}
 _{Ph} 
 = \{\{\overline{(crs1)}
,\overline{(crs1)}
\}
,\{\overline{(crs1)}
,0
\}
\}
)n
)n
\}
[\overline{
\mathsf {m}}
]
+(-u
\mathsf {d}
 _{Ph} 
[\overline{
\mathsf {m}}
]
)
)
|
 <= \overline{(\epsilon)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(|( \{ ph \mathrel{\in}  \{ ph \mathrel{\in} P(P(Union(\{N
,Q
\}
)
)
)
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op1)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op2)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\overline{(op1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(op2)}
 \mathrel{\in} Q
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\mathsf {a}
 _{Ph} 
 = \{\{\overline{(op1)}
,\overline{(op1)}
\}
,\{\overline{(op1)}
,\overline{(op2)}
\}
\}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\}
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(crs1)}
\colon \dot{\neg}\,(
\mathsf {c}
 _{Ph} 
 = \{\{\overline{(crs1)}
,\overline{(crs1)}
\}
,\{\overline{(crs1)}
,0
\}
\}
)n
)n
\}
[\overline{
\mathsf {m}}
]
+(-u
\mathsf {d}
 _{Ph} 
[\overline{
\mathsf {m}}
]
)
)
|
 = \overline{(\epsilon)}
)n
)n
)n
)n
)n
\}
; Repetition
\rhd  \{ ph \mathrel{\in} P( \{ ph \mathrel{\in} P( \{ ph \mathrel{\in} P(P(Union(\{N
,Q
\}
)
)
)
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op1)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op2)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\overline{(op1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(op2)}
 \mathrel{\in} Q
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\mathsf {a}
 _{Ph} 
 = \{\{\overline{(op1)}
,\overline{(op1)}
\}
,\{\overline{(op1)}
,\overline{(op2)}
\}
\}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\}
)
\mid \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(r1)}
\colon \overline{(r1)}
 \mathrel{\in} 
\mathsf {f}
 _{Ph} 
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op1)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op2)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\overline{(op1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(op2)}
 \mathrel{\in} Q
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(r1)}
 = \{\{\overline{(op1)}
,\overline{(op1)}
\}
,\{\overline{(op1)}
,\overline{(op2)}
\}
\}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(f1)}
\colon 
\forall_{obj} \overline{(f2)}
\colon 
\forall_{obj} \overline{(f3)}
\colon 
\forall_{obj} \overline{(f4)}
\colon \{\{\overline{(f1)}
,\overline{(f1)}
\}
,\{\overline{(f1)}
,\overline{(f2)}
\}
\}
 \mathrel{\in} 
\mathsf {f}
 _{Ph} 
\Rightarrow \{\{\overline{(f3)}
,\overline{(f3)}
\}
,\{\overline{(f3)}
,\overline{(f4)}
\}
\}
 \mathrel{\in} 
\mathsf {f}
 _{Ph} 
\Rightarrow \overline{(f1)}
 = \overline{(f3)}
\Rightarrow \overline{(f2)}
 = \overline{(f4)}
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(s1)}
\colon \overline{(s1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(s2)}
\colon \dot{\neg}\,(\{\{\overline{(s1)}
,\overline{(s1)}
\}
,\{\overline{(s1)}
,\overline{(s2)}
\}
\}
 \mathrel{\in} 
\mathsf {f}
 _{Ph} 
)n
)n
)n
)n
\}
)
\mid 
\forall_{obj} \overline{(\epsilon)}
\colon \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {n}}
\colon \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {m}}
\colon \dot{\neg}\,(0
 <= \overline{(\epsilon)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(0
 = \overline{(\epsilon)}
)n
)n
)n
\Rightarrow \overline{
\mathsf {n}}
 <= \overline{
\mathsf {m}}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(|( \{ ph \mathrel{\in}  \{ ph \mathrel{\in} P(P(Union(\{N
,Q
\}
)
)
)
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op1)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op2)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\overline{(op1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(op2)}
 \mathrel{\in} Q
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\mathsf {a}
 _{Ph} 
 = \{\{\overline{(op1)}
,\overline{(op1)}
\}
,\{\overline{(op1)}
,\overline{(op2)}
\}
\}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\}
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \underline{
\mathsf {m}}
\colon \dot{\neg}\,(
\mathsf {e}
 _{Ph} 
 = \{\{\underline{
\mathsf {m}}
,\underline{
\mathsf {m}}
\}
,\{\underline{
\mathsf {m}}
,(\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
* \{ ph \mathrel{\in}  \{ ph \mathrel{\in} P(P(Union(\{N
,Q
\}
)
)
)
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op1)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op2)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\overline{(op1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(op2)}
 \mathrel{\in} Q
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\mathsf {a}
 _{Ph} 
 = \{\{\overline{(op1)}
,\overline{(op1)}
\}
,\{\overline{(op1)}
,\overline{(op2)}
\}
\}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\}
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(crs1)}
\colon \dot{\neg}\,(
\mathsf {c}
 _{Ph} 
 = \{\{\overline{(crs1)}
,\overline{(crs1)}
\}
,\{\overline{(crs1)}
,0
\}
\}
)n
)n
\}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
)
\}
\}
)n
)n
\}
[\overline{
\mathsf {m}}
]
+(-u
\mathsf {d}
 _{Ph} 
[\overline{
\mathsf {m}}
]
)
)
|
 <= \overline{(\epsilon)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(|( \{ ph \mathrel{\in}  \{ ph \mathrel{\in} P(P(Union(\{N
,Q
\}
)
)
)
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op1)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op2)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\overline{(op1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(op2)}
 \mathrel{\in} Q
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\mathsf {a}
 _{Ph} 
 = \{\{\overline{(op1)}
,\overline{(op1)}
\}
,\{\overline{(op1)}
,\overline{(op2)}
\}
\}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\}
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \underline{
\mathsf {m}}
\colon \dot{\neg}\,(
\mathsf {e}
 _{Ph} 
 = \{\{\underline{
\mathsf {m}}
,\underline{
\mathsf {m}}
\}
,\{\underline{
\mathsf {m}}
,(\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
* \{ ph \mathrel{\in}  \{ ph \mathrel{\in} P(P(Union(\{N
,Q
\}
)
)
)
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op1)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op2)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\overline{(op1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(op2)}
 \mathrel{\in} Q
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\mathsf {a}
 _{Ph} 
 = \{\{\overline{(op1)}
,\overline{(op1)}
\}
,\{\overline{(op1)}
,\overline{(op2)}
\}
\}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\}
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(crs1)}
\colon \dot{\neg}\,(
\mathsf {c}
 _{Ph} 
 = \{\{\overline{(crs1)}
,\overline{(crs1)}
\}
,\{\overline{(crs1)}
,0
\}
\}
)n
)n
\}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
)
\}
\}
)n
)n
\}
[\overline{
\mathsf {m}}
]
+(-u
\mathsf {d}
 _{Ph} 
[\overline{
\mathsf {m}}
]
)
)
|
 = \overline{(\epsilon)}
)n
)n
)n
)n
)n
\}
 =  \{ ph \mathrel{\in} P( \{ ph \mathrel{\in} P( \{ ph \mathrel{\in} P(P(Union(\{N
,Q
\}
)
)
)
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op1)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op2)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\overline{(op1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(op2)}
 \mathrel{\in} Q
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\mathsf {a}
 _{Ph} 
 = \{\{\overline{(op1)}
,\overline{(op1)}
\}
,\{\overline{(op1)}
,\overline{(op2)}
\}
\}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\}
)
\mid \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(r1)}
\colon \overline{(r1)}
 \mathrel{\in} 
\mathsf {f}
 _{Ph} 
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op1)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op2)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\overline{(op1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(op2)}
 \mathrel{\in} Q
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(r1)}
 = \{\{\overline{(op1)}
,\overline{(op1)}
\}
,\{\overline{(op1)}
,\overline{(op2)}
\}
\}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(f1)}
\colon 
\forall_{obj} \overline{(f2)}
\colon 
\forall_{obj} \overline{(f3)}
\colon 
\forall_{obj} \overline{(f4)}
\colon \{\{\overline{(f1)}
,\overline{(f1)}
\}
,\{\overline{(f1)}
,\overline{(f2)}
\}
\}
 \mathrel{\in} 
\mathsf {f}
 _{Ph} 
\Rightarrow \{\{\overline{(f3)}
,\overline{(f3)}
\}
,\{\overline{(f3)}
,\overline{(f4)}
\}
\}
 \mathrel{\in} 
\mathsf {f}
 _{Ph} 
\Rightarrow \overline{(f1)}
 = \overline{(f3)}
\Rightarrow \overline{(f2)}
 = \overline{(f4)}
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(s1)}
\colon \overline{(s1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(s2)}
\colon \dot{\neg}\,(\{\{\overline{(s1)}
,\overline{(s1)}
\}
,\{\overline{(s1)}
,\overline{(s2)}
\}
\}
 \mathrel{\in} 
\mathsf {f}
 _{Ph} 
)n
)n
)n
)n
\}
)
\mid 
\forall_{obj} \overline{(\epsilon)}
\colon \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {n}}
\colon \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {m}}
\colon \dot{\neg}\,(0
 <= \overline{(\epsilon)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(0
 = \overline{(\epsilon)}
)n
)n
)n
\Rightarrow \overline{
\mathsf {n}}
 <= \overline{
\mathsf {m}}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(|( \{ ph \mathrel{\in}  \{ ph \mathrel{\in} P(P(Union(\{N
,Q
\}
)
)
)
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op1)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op2)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\overline{(op1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(op2)}
 \mathrel{\in} Q
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\mathsf {a}
 _{Ph} 
 = \{\{\overline{(op1)}
,\overline{(op1)}
\}
,\{\overline{(op1)}
,\overline{(op2)}
\}
\}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\}
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(crs1)}
\colon \dot{\neg}\,(
\mathsf {c}
 _{Ph} 
 = \{\{\overline{(crs1)}
,\overline{(crs1)}
\}
,\{\overline{(crs1)}
,0
\}
\}
)n
)n
\}
[\overline{
\mathsf {m}}
]
+(-u
\mathsf {d}
 _{Ph} 
[\overline{
\mathsf {m}}
]
)
)
|
 <= \overline{(\epsilon)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(|( \{ ph \mathrel{\in}  \{ ph \mathrel{\in} P(P(Union(\{N
,Q
\}
)
)
)
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op1)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op2)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\overline{(op1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(op2)}
 \mathrel{\in} Q
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\mathsf {a}
 _{Ph} 
 = \{\{\overline{(op1)}
,\overline{(op1)}
\}
,\{\overline{(op1)}
,\overline{(op2)}
\}
\}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\}
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(crs1)}
\colon \dot{\neg}\,(
\mathsf {c}
 _{Ph} 
 = \{\{\overline{(crs1)}
,\overline{(crs1)}
\}
,\{\overline{(crs1)}
,0
\}
\}
)n
)n
\}
[\overline{
\mathsf {m}}
]
+(-u
\mathsf {d}
 _{Ph} 
[\overline{
\mathsf {m}}
]
)
)
|
 = \overline{(\epsilon)}
)n
)n
)n
)n
)n
\}
\gg  \{ ph \mathrel{\in} P( \{ ph \mathrel{\in} P( \{ ph \mathrel{\in} P(P(Union(\{N
,Q
\}
)
)
)
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op1)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op2)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\overline{(op1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(op2)}
 \mathrel{\in} Q
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\mathsf {a}
 _{Ph} 
 = \{\{\overline{(op1)}
,\overline{(op1)}
\}
,\{\overline{(op1)}
,\overline{(op2)}
\}
\}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\}
)
\mid \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(r1)}
\colon \overline{(r1)}
 \mathrel{\in} 
\mathsf {f}
 _{Ph} 
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op1)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op2)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\overline{(op1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(op2)}
 \mathrel{\in} Q
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(r1)}
 = \{\{\overline{(op1)}
,\overline{(op1)}
\}
,\{\overline{(op1)}
,\overline{(op2)}
\}
\}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(f1)}
\colon 
\forall_{obj} \overline{(f2)}
\colon 
\forall_{obj} \overline{(f3)}
\colon 
\forall_{obj} \overline{(f4)}
\colon \{\{\overline{(f1)}
,\overline{(f1)}
\}
,\{\overline{(f1)}
,\overline{(f2)}
\}
\}
 \mathrel{\in} 
\mathsf {f}
 _{Ph} 
\Rightarrow \{\{\overline{(f3)}
,\overline{(f3)}
\}
,\{\overline{(f3)}
,\overline{(f4)}
\}
\}
 \mathrel{\in} 
\mathsf {f}
 _{Ph} 
\Rightarrow \overline{(f1)}
 = \overline{(f3)}
\Rightarrow \overline{(f2)}
 = \overline{(f4)}
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(s1)}
\colon \overline{(s1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(s2)}
\colon \dot{\neg}\,(\{\{\overline{(s1)}
,\overline{(s1)}
\}
,\{\overline{(s1)}
,\overline{(s2)}
\}
\}
 \mathrel{\in} 
\mathsf {f}
 _{Ph} 
)n
)n
)n
)n
\}
)
\mid 
\forall_{obj} \overline{(\epsilon)}
\colon \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {n}}
\colon \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {m}}
\colon \dot{\neg}\,(0
 <= \overline{(\epsilon)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(0
 = \overline{(\epsilon)}
)n
)n
)n
\Rightarrow \overline{
\mathsf {n}}
 <= \overline{
\mathsf {m}}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(|( \{ ph \mathrel{\in}  \{ ph \mathrel{\in} P(P(Union(\{N
,Q
\}
)
)
)
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op1)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op2)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\overline{(op1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(op2)}
 \mathrel{\in} Q
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\mathsf {a}
 _{Ph} 
 = \{\{\overline{(op1)}
,\overline{(op1)}
\}
,\{\overline{(op1)}
,\overline{(op2)}
\}
\}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\}
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \underline{
\mathsf {m}}
\colon \dot{\neg}\,(
\mathsf {e}
 _{Ph} 
 = \{\{\underline{
\mathsf {m}}
,\underline{
\mathsf {m}}
\}
,\{\underline{
\mathsf {m}}
,(\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
* \{ ph \mathrel{\in}  \{ ph \mathrel{\in} P(P(Union(\{N
,Q
\}
)
)
)
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op1)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op2)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\overline{(op1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(op2)}
 \mathrel{\in} Q
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\mathsf {a}
 _{Ph} 
 = \{\{\overline{(op1)}
,\overline{(op1)}
\}
,\{\overline{(op1)}
,\overline{(op2)}
\}
\}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\}
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(crs1)}
\colon \dot{\neg}\,(
\mathsf {c}
 _{Ph} 
 = \{\{\overline{(crs1)}
,\overline{(crs1)}
\}
,\{\overline{(crs1)}
,0
\}
\}
)n
)n
\}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
)
\}
\}
)n
)n
\}
[\overline{
\mathsf {m}}
]
+(-u
\mathsf {d}
 _{Ph} 
[\overline{
\mathsf {m}}
]
)
)
|
 <= \overline{(\epsilon)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(|( \{ ph \mathrel{\in}  \{ ph \mathrel{\in} P(P(Union(\{N
,Q
\}
)
)
)
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op1)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op2)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\overline{(op1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(op2)}
 \mathrel{\in} Q
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\mathsf {a}
 _{Ph} 
 = \{\{\overline{(op1)}
,\overline{(op1)}
\}
,\{\overline{(op1)}
,\overline{(op2)}
\}
\}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\}
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \underline{
\mathsf {m}}
\colon \dot{\neg}\,(
\mathsf {e}
 _{Ph} 
 = \{\{\underline{
\mathsf {m}}
,\underline{
\mathsf {m}}
\}
,\{\underline{
\mathsf {m}}
,(\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
* \{ ph \mathrel{\in}  \{ ph \mathrel{\in} P(P(Union(\{N
,Q
\}
)
)
)
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op1)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op2)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\overline{(op1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(op2)}
 \mathrel{\in} Q
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\mathsf {a}
 _{Ph} 
 = \{\{\overline{(op1)}
,\overline{(op1)}
\}
,\{\overline{(op1)}
,\overline{(op2)}
\}
\}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\}
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(crs1)}
\colon \dot{\neg}\,(
\mathsf {c}
 _{Ph} 
 = \{\{\overline{(crs1)}
,\overline{(crs1)}
\}
,\{\overline{(crs1)}
,0
\}
\}
)n
)n
\}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
)
\}
\}
)n
)n
\}
[\overline{
\mathsf {m}}
]
+(-u
\mathsf {d}
 _{Ph} 
[\overline{
\mathsf {m}}
]
)
)
|
 = \overline{(\epsilon)}
)n
)n
)n
)n
)n
\}
 =  \{ ph \mathrel{\in} P( \{ ph \mathrel{\in} P( \{ ph \mathrel{\in} P(P(Union(\{N
,Q
\}
)
)
)
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op1)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op2)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\overline{(op1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(op2)}
 \mathrel{\in} Q
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\mathsf {a}
 _{Ph} 
 = \{\{\overline{(op1)}
,\overline{(op1)}
\}
,\{\overline{(op1)}
,\overline{(op2)}
\}
\}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\}
)
\mid \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(r1)}
\colon \overline{(r1)}
 \mathrel{\in} 
\mathsf {f}
 _{Ph} 
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op1)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op2)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\overline{(op1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(op2)}
 \mathrel{\in} Q
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(r1)}
 = \{\{\overline{(op1)}
,\overline{(op1)}
\}
,\{\overline{(op1)}
,\overline{(op2)}
\}
\}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(f1)}
\colon 
\forall_{obj} \overline{(f2)}
\colon 
\forall_{obj} \overline{(f3)}
\colon 
\forall_{obj} \overline{(f4)}
\colon \{\{\overline{(f1)}
,\overline{(f1)}
\}
,\{\overline{(f1)}
,\overline{(f2)}
\}
\}
 \mathrel{\in} 
\mathsf {f}
 _{Ph} 
\Rightarrow \{\{\overline{(f3)}
,\overline{(f3)}
\}
,\{\overline{(f3)}
,\overline{(f4)}
\}
\}
 \mathrel{\in} 
\mathsf {f}
 _{Ph} 
\Rightarrow \overline{(f1)}
 = \overline{(f3)}
\Rightarrow \overline{(f2)}
 = \overline{(f4)}
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(s1)}
\colon \overline{(s1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(s2)}
\colon \dot{\neg}\,(\{\{\overline{(s1)}
,\overline{(s1)}
\}
,\{\overline{(s1)}
,\overline{(s2)}
\}
\}
 \mathrel{\in} 
\mathsf {f}
 _{Ph} 
)n
)n
)n
)n
\}
)
\mid 
\forall_{obj} \overline{(\epsilon)}
\colon \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {n}}
\colon \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {m}}
\colon \dot{\neg}\,(0
 <= \overline{(\epsilon)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(0
 = \overline{(\epsilon)}
)n
)n
)n
\Rightarrow \overline{
\mathsf {n}}
 <= \overline{
\mathsf {m}}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(|( \{ ph \mathrel{\in}  \{ ph \mathrel{\in} P(P(Union(\{N
,Q
\}
)
)
)
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op1)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op2)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\overline{(op1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(op2)}
 \mathrel{\in} Q
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\mathsf {a}
 _{Ph} 
 = \{\{\overline{(op1)}
,\overline{(op1)}
\}
,\{\overline{(op1)}
,\overline{(op2)}
\}
\}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\}
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(crs1)}
\colon \dot{\neg}\,(
\mathsf {c}
 _{Ph} 
 = \{\{\overline{(crs1)}
,\overline{(crs1)}
\}
,\{\overline{(crs1)}
,0
\}
\}
)n
)n
\}
[\overline{
\mathsf {m}}
]
+(-u
\mathsf {d}
 _{Ph} 
[\overline{
\mathsf {m}}
]
)
)
|
 <= \overline{(\epsilon)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(|( \{ ph \mathrel{\in}  \{ ph \mathrel{\in} P(P(Union(\{N
,Q
\}
)
)
)
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op1)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op2)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\overline{(op1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(op2)}
 \mathrel{\in} Q
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\mathsf {a}
 _{Ph} 
 = \{\{\overline{(op1)}
,\overline{(op1)}
\}
,\{\overline{(op1)}
,\overline{(op2)}
\}
\}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\}
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(crs1)}
\colon \dot{\neg}\,(
\mathsf {c}
 _{Ph} 
 = \{\{\overline{(crs1)}
,\overline{(crs1)}
\}
,\{\overline{(crs1)}
,0
\}
\}
)n
)n
\}
[\overline{
\mathsf {m}}
]
+(-u
\mathsf {d}
 _{Ph} 
[\overline{
\mathsf {m}}
]
)
)
|
 = \overline{(\epsilon)}
)n
)n
)n
)n
)n
\}
\rceil 
, 
p_0
, 
\mathsf {c}
)
]$



$
[DistributionLeft
\stackrel{
stmt
}{\rightarrow}SystemQ
\vdash 
\forall \underline{
\mathsf{x}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf{y}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf{z}}
\colon (\underline{
\mathsf{x}}
*(\underline{
\mathsf{y}}
+\underline{
\mathsf{z}}
)
)
 = ((\underline{
\mathsf{y}}
*\underline{
\mathsf{x}}
)
+(\underline{
\mathsf{z}}
*\underline{
\mathsf{x}}
)
)
]$

$
[DistributionLeft
\stackrel{
proof
}{\rightarrow}
\lambda 
\mathsf {c}
.
\lambda 
\mathsf{x}
.
{\cal P}( 
\lceil SystemQ
\vdash 
\forall \underline{
\mathsf{x}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf{y}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf{z}}
\colon DistributionOutLeft
\gg ((\underline{
\mathsf{y}}
*\underline{
\mathsf{x}}
)
+(\underline{
\mathsf{z}}
*\underline{
\mathsf{x}}
)
)
 = (\underline{
\mathsf{x}}
*(\underline{
\mathsf{y}}
+\underline{
\mathsf{z}}
)
)
; eqSymmetry
\rhd ((\underline{
\mathsf{y}}
*\underline{
\mathsf{x}}
)
+(\underline{
\mathsf{z}}
*\underline{
\mathsf{x}}
)
)
 = (\underline{
\mathsf{x}}
*(\underline{
\mathsf{y}}
+\underline{
\mathsf{z}}
)
)
\gg (\underline{
\mathsf{x}}
*(\underline{
\mathsf{y}}
+\underline{
\mathsf{z}}
)
)
 = ((\underline{
\mathsf{y}}
*\underline{
\mathsf{x}}
)
+(\underline{
\mathsf{z}}
*\underline{
\mathsf{x}}
)
)
\rceil 
, 
p_0
, 
\mathsf {c}
)
]$

XX 'nonnegativeFactors' er en konsekvens heraf
$
[MultiplyEquations(Leq)
\stackrel{
stmt
}{\rightarrow}SystemQ
\vdash 
\forall \underline{
\mathsf{x}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf{y}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf{z}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf {u}}
\colon 0
 <= \underline{
\mathsf{x}}
\vdash 0
 <= \underline{
\mathsf{z}}
\vdash \underline{
\mathsf{x}}
 <= \underline{
\mathsf{y}}
\vdash \underline{
\mathsf{z}}
 <= \underline{
\mathsf {u}}
\vdash (\underline{
\mathsf{x}}
*\underline{
\mathsf{z}}
)
 <= (\underline{
\mathsf{y}}
*\underline{
\mathsf {u}}
)
]$

$
[MultiplyEquations(Leq)
\stackrel{
proof
}{\rightarrow}
\lambda 
\mathsf {c}
.
\lambda 
\mathsf{x}
.
{\cal P}( 
\lceil SystemQ
\vdash 
\forall \underline{
\mathsf{x}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf{y}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf{z}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf {u}}
\colon 0
 <= \underline{
\mathsf{x}}
\vdash 0
 <= \underline{
\mathsf{z}}
\vdash \underline{
\mathsf{x}}
 <= \underline{
\mathsf{y}}
\vdash \underline{
\mathsf{z}}
 <= \underline{
\mathsf {u}}
\vdash leqMultiplication
\rhd 0
 <= \underline{
\mathsf{z}}
\rhd \underline{
\mathsf{x}}
 <= \underline{
\mathsf{y}}
\gg (\underline{
\mathsf{x}}
*\underline{
\mathsf{z}}
)
 <= (\underline{
\mathsf{y}}
*\underline{
\mathsf{z}}
)
; leqTransitivity
\rhd 0
 <= \underline{
\mathsf{x}}
\rhd \underline{
\mathsf{x}}
 <= \underline{
\mathsf{y}}
\gg 0
 <= \underline{
\mathsf{y}}
; LeqMultiplicationLeft 
\rhd 0
 <= \underline{
\mathsf{y}}
\rhd \underline{
\mathsf{z}}
 <= \underline{
\mathsf {u}}
\gg (\underline{
\mathsf{y}}
*\underline{
\mathsf{z}}
)
 <= (\underline{
\mathsf{y}}
*\underline{
\mathsf {u}}
)
; leqTransitivity
\rhd (\underline{
\mathsf{x}}
*\underline{
\mathsf{z}}
)
 <= (\underline{
\mathsf{y}}
*\underline{
\mathsf{z}}
)
\rhd (\underline{
\mathsf{y}}
*\underline{
\mathsf{z}}
)
 <= (\underline{
\mathsf{y}}
*\underline{
\mathsf {u}}
)
\gg (\underline{
\mathsf{x}}
*\underline{
\mathsf{z}}
)
 <= (\underline{
\mathsf{y}}
*\underline{
\mathsf {u}}
)
\rceil 
, 
p_0
, 
\mathsf {c}
)
]$


$
[LessMultiplication(F)(Helper2)
\stackrel{
stmt
}{\rightarrow}SystemQ
\vdash 
\forall \underline{
\mathsf{x}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf{y}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf{z}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf {u}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf {v}}
\colon \dot{\neg}\,(0
 <= \underline{
\mathsf {u}}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(0
 = \underline{
\mathsf {u}}
)n
)n
)n
\vdash \dot{\neg}\,(0
 <= \underline{
\mathsf {v}}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(0
 = \underline{
\mathsf {v}}
)n
)n
)n
\vdash \underline{
\mathsf{x}}
 <= (\underline{
\mathsf{y}}
+(-u\underline{
\mathsf {u}}
)
)
\vdash 0
 <= (\underline{
\mathsf{z}}
+(-u\underline{
\mathsf {v}}
)
)
\vdash (\underline{
\mathsf{x}}
*\underline{
\mathsf{z}}
)
 <= ((\underline{
\mathsf{y}}
*\underline{
\mathsf{z}}
)
+(-u(\underline{
\mathsf {u}}
*\underline{
\mathsf {v}}
)
)
)
]$

$
[LessMultiplication(F)(Helper2)
\stackrel{
proof
}{\rightarrow}
\lambda 
\mathsf {c}
.
\lambda 
\mathsf{x}
.
{\cal P}( 
\lceil SystemQ
\vdash 
\forall \underline{
\mathsf{x}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf{y}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf{z}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf {u}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf {v}}
\colon \dot{\neg}\,(0
 <= \underline{
\mathsf {u}}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(0
 = \underline{
\mathsf {u}}
)n
)n
)n
\vdash \dot{\neg}\,(0
 <= \underline{
\mathsf {v}}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(0
 = \underline{
\mathsf {v}}
)n
)n
)n
\vdash \underline{
\mathsf{x}}
 <= (\underline{
\mathsf{y}}
+(-u\underline{
\mathsf {u}}
)
)
\vdash 0
 <= (\underline{
\mathsf{z}}
+(-u\underline{
\mathsf {v}}
)
)
\vdash negativeToLeft(Leq)
\rhd \underline{
\mathsf{x}}
 <= (\underline{
\mathsf{y}}
+(-u\underline{
\mathsf {u}}
)
)
\gg (\underline{
\mathsf{x}}
+\underline{
\mathsf {u}}
)
 <= \underline{
\mathsf{y}}
; plusCommutativity
\gg (\underline{
\mathsf{x}}
+\underline{
\mathsf {u}}
)
 = (\underline{
\mathsf {u}}
+\underline{
\mathsf{x}}
)
; subLeqLeft
\rhd (\underline{
\mathsf{x}}
+\underline{
\mathsf {u}}
)
 = (\underline{
\mathsf {u}}
+\underline{
\mathsf{x}}
)
\rhd (\underline{
\mathsf{x}}
+\underline{
\mathsf {u}}
)
 <= \underline{
\mathsf{y}}
\gg (\underline{
\mathsf {u}}
+\underline{
\mathsf{x}}
)
 <= \underline{
\mathsf{y}}
; PositiveToRight(Leq)
\rhd (\underline{
\mathsf {u}}
+\underline{
\mathsf{x}}
)
 <= \underline{
\mathsf{y}}
\gg \underline{
\mathsf {u}}
 <= (\underline{
\mathsf{y}}
+(-u\underline{
\mathsf{x}}
)
)
; negativeToLeft(Leq)(1 term)
\rhd 0
 <= (\underline{
\mathsf{z}}
+(-u\underline{
\mathsf {v}}
)
)
\gg \underline{
\mathsf {v}}
 <= \underline{
\mathsf{z}}
; LessLeq
\rhd \dot{\neg}\,(0
 <= \underline{
\mathsf {u}}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(0
 = \underline{
\mathsf {u}}
)n
)n
)n
\gg 0
 <= \underline{
\mathsf {u}}
; LessLeq
\rhd \dot{\neg}\,(0
 <= \underline{
\mathsf {v}}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(0
 = \underline{
\mathsf {v}}
)n
)n
)n
\gg 0
 <= \underline{
\mathsf {v}}
; MultiplyEquations(Leq)
\rhd 0
 <= \underline{
\mathsf {u}}
\rhd 0
 <= \underline{
\mathsf {v}}
\rhd \underline{
\mathsf {u}}
 <= (\underline{
\mathsf{y}}
+(-u\underline{
\mathsf{x}}
)
)
\rhd \underline{
\mathsf {v}}
 <= \underline{
\mathsf{z}}
\gg (\underline{
\mathsf {u}}
*\underline{
\mathsf {v}}
)
 <= ((\underline{
\mathsf{y}}
+(-u\underline{
\mathsf{x}}
)
)
*\underline{
\mathsf{z}}
)
; timesCommutativity
\gg ((\underline{
\mathsf{y}}
+(-u\underline{
\mathsf{x}}
)
)
*\underline{
\mathsf{z}}
)
 = (\underline{
\mathsf{z}}
*(\underline{
\mathsf{y}}
+(-u\underline{
\mathsf{x}}
)
)
)
; DistributionLeft
\gg (\underline{
\mathsf{z}}
*(\underline{
\mathsf{y}}
+(-u\underline{
\mathsf{x}}
)
)
)
 = ((\underline{
\mathsf{y}}
*\underline{
\mathsf{z}}
)
+((-u\underline{
\mathsf{x}}
)
*\underline{
\mathsf{z}}
)
)
; -x*y=-(x*y)
\gg ((-u\underline{
\mathsf{x}}
)
*\underline{
\mathsf{z}}
)
 = (-u(\underline{
\mathsf{x}}
*\underline{
\mathsf{z}}
)
)
; 
\mbox{lemma eqAdditionLeft}
\rhd ((-u\underline{
\mathsf{x}}
)
*\underline{
\mathsf{z}}
)
 = (-u(\underline{
\mathsf{x}}
*\underline{
\mathsf{z}}
)
)
\gg ((\underline{
\mathsf{y}}
*\underline{
\mathsf{z}}
)
+((-u\underline{
\mathsf{x}}
)
*\underline{
\mathsf{z}}
)
)
 = ((\underline{
\mathsf{y}}
*\underline{
\mathsf{z}}
)
+(-u(\underline{
\mathsf{x}}
*\underline{
\mathsf{z}}
)
)
)
; eqTransitivity4
\rhd ((\underline{
\mathsf{y}}
+(-u\underline{
\mathsf{x}}
)
)
*\underline{
\mathsf{z}}
)
 = (\underline{
\mathsf{z}}
*(\underline{
\mathsf{y}}
+(-u\underline{
\mathsf{x}}
)
)
)
\rhd (\underline{
\mathsf{z}}
*(\underline{
\mathsf{y}}
+(-u\underline{
\mathsf{x}}
)
)
)
 = ((\underline{
\mathsf{y}}
*\underline{
\mathsf{z}}
)
+((-u\underline{
\mathsf{x}}
)
*\underline{
\mathsf{z}}
)
)
\rhd ((\underline{
\mathsf{y}}
*\underline{
\mathsf{z}}
)
+((-u\underline{
\mathsf{x}}
)
*\underline{
\mathsf{z}}
)
)
 = ((\underline{
\mathsf{y}}
*\underline{
\mathsf{z}}
)
+(-u(\underline{
\mathsf{x}}
*\underline{
\mathsf{z}}
)
)
)
\gg ((\underline{
\mathsf{y}}
+(-u\underline{
\mathsf{x}}
)
)
*\underline{
\mathsf{z}}
)
 = ((\underline{
\mathsf{y}}
*\underline{
\mathsf{z}}
)
+(-u(\underline{
\mathsf{x}}
*\underline{
\mathsf{z}}
)
)
)
; subLeqRight
\rhd ((\underline{
\mathsf{y}}
+(-u\underline{
\mathsf{x}}
)
)
*\underline{
\mathsf{z}}
)
 = ((\underline{
\mathsf{y}}
*\underline{
\mathsf{z}}
)
+(-u(\underline{
\mathsf{x}}
*\underline{
\mathsf{z}}
)
)
)
\rhd (\underline{
\mathsf {u}}
*\underline{
\mathsf {v}}
)
 <= ((\underline{
\mathsf{y}}
+(-u\underline{
\mathsf{x}}
)
)
*\underline{
\mathsf{z}}
)
\gg (\underline{
\mathsf {u}}
*\underline{
\mathsf {v}}
)
 <= ((\underline{
\mathsf{y}}
*\underline{
\mathsf{z}}
)
+(-u(\underline{
\mathsf{x}}
*\underline{
\mathsf{z}}
)
)
)
; negativeToLeft(Leq)
\rhd (\underline{
\mathsf {u}}
*\underline{
\mathsf {v}}
)
 <= ((\underline{
\mathsf{y}}
*\underline{
\mathsf{z}}
)
+(-u(\underline{
\mathsf{x}}
*\underline{
\mathsf{z}}
)
)
)
\gg ((\underline{
\mathsf {u}}
*\underline{
\mathsf {v}}
)
+(\underline{
\mathsf{x}}
*\underline{
\mathsf{z}}
)
)
 <= (\underline{
\mathsf{y}}
*\underline{
\mathsf{z}}
)
; plusCommutativity
\gg ((\underline{
\mathsf {u}}
*\underline{
\mathsf {v}}
)
+(\underline{
\mathsf{x}}
*\underline{
\mathsf{z}}
)
)
 = ((\underline{
\mathsf{x}}
*\underline{
\mathsf{z}}
)
+(\underline{
\mathsf {u}}
*\underline{
\mathsf {v}}
)
)
; subLeqLeft
\rhd ((\underline{
\mathsf {u}}
*\underline{
\mathsf {v}}
)
+(\underline{
\mathsf{x}}
*\underline{
\mathsf{z}}
)
)
 = ((\underline{
\mathsf{x}}
*\underline{
\mathsf{z}}
)
+(\underline{
\mathsf {u}}
*\underline{
\mathsf {v}}
)
)
\rhd ((\underline{
\mathsf {u}}
*\underline{
\mathsf {v}}
)
+(\underline{
\mathsf{x}}
*\underline{
\mathsf{z}}
)
)
 <= (\underline{
\mathsf{y}}
*\underline{
\mathsf{z}}
)
\gg ((\underline{
\mathsf{x}}
*\underline{
\mathsf{z}}
)
+(\underline{
\mathsf {u}}
*\underline{
\mathsf {v}}
)
)
 <= (\underline{
\mathsf{y}}
*\underline{
\mathsf{z}}
)
; PositiveToRight(Leq)
\rhd ((\underline{
\mathsf{x}}
*\underline{
\mathsf{z}}
)
+(\underline{
\mathsf {u}}
*\underline{
\mathsf {v}}
)
)
 <= (\underline{
\mathsf{y}}
*\underline{
\mathsf{z}}
)
\gg (\underline{
\mathsf{x}}
*\underline{
\mathsf{z}}
)
 <= ((\underline{
\mathsf{y}}
*\underline{
\mathsf{z}}
)
+(-u(\underline{
\mathsf {u}}
*\underline{
\mathsf {v}}
)
)
)
\rceil 
, 
p_0
, 
\mathsf {c}
)
]$

$
[LessMultiplication(F)(Helper)
\stackrel{
stmt
}{\rightarrow}SystemQ
\vdash 
\forall \underline{
\mathsf {m}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf {n}}
\colon 
\forall \underline{(\epsilon)_{1}}
\colon 
\forall \underline{(\epsilon 2)}
\colon 
\forall \underline{(fx)}
\colon 
\forall \underline{(fy)}
\colon 
\forall \underline{(fz)}
\colon 
\forall_{obj} \underline{
\mathsf {m}}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(0
 <= \underline{(\epsilon)_{1}}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(0
 = \underline{(\epsilon)_{1}}
)n
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\underline{
\mathsf {n}}
 <= \underline{
\mathsf {m}}
\Rightarrow \underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
 <= (\underline{(fy)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
+(-u\underline{(\epsilon)_{1}}
)
)
)n
)n
\Rightarrow 
\forall_{obj} \underline{
\mathsf {m}}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(0
 <= \underline{(\epsilon 2)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(0
 = \underline{(\epsilon 2)}
)n
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\underline{
\mathsf {n}}
 <= \underline{
\mathsf {m}}
\Rightarrow  \{ ph \mathrel{\in}  \{ ph \mathrel{\in} P(P(Union(\{N
,Q
\}
)
)
)
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op1)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op2)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\overline{(op1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(op2)}
 \mathrel{\in} Q
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\mathsf {a}
 _{Ph} 
 = \{\{\overline{(op1)}
,\overline{(op1)}
\}
,\{\overline{(op1)}
,\overline{(op2)}
\}
\}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\}
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(crs1)}
\colon \dot{\neg}\,(
\mathsf {c}
 _{Ph} 
 = \{\{\overline{(crs1)}
,\overline{(crs1)}
\}
,\{\overline{(crs1)}
,0
\}
\}
)n
)n
\}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
 <= (\underline{(fz)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
+(-u\underline{(\epsilon 2)}
)
)
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(0
 <= (\underline{(\epsilon)_{1}}
*\underline{(\epsilon 2)}
)
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(0
 = (\underline{(\epsilon)_{1}}
*\underline{(\epsilon 2)}
)
)n
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\underline{
\mathsf {n}}
 <= \underline{
\mathsf {m}}
\Rightarrow  \{ ph \mathrel{\in}  \{ ph \mathrel{\in} P(P(Union(\{N
,Q
\}
)
)
)
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op1)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op2)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\overline{(op1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(op2)}
 \mathrel{\in} Q
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\mathsf {a}
 _{Ph} 
 = \{\{\overline{(op1)}
,\overline{(op1)}
\}
,\{\overline{(op1)}
,\overline{(op2)}
\}
\}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\}
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \underline{
\mathsf {m}}
\colon \dot{\neg}\,(
\mathsf {e}
 _{Ph} 
 = \{\{\underline{
\mathsf {m}}
,\underline{
\mathsf {m}}
\}
,\{\underline{
\mathsf {m}}
,(\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
*\underline{(fz)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
)
\}
\}
)n
)n
\}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
 <= ( \{ ph \mathrel{\in}  \{ ph \mathrel{\in} P(P(Union(\{N
,Q
\}
)
)
)
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op1)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op2)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\overline{(op1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(op2)}
 \mathrel{\in} Q
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\mathsf {a}
 _{Ph} 
 = \{\{\overline{(op1)}
,\overline{(op1)}
\}
,\{\overline{(op1)}
,\overline{(op2)}
\}
\}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\}
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \underline{
\mathsf {m}}
\colon \dot{\neg}\,(
\mathsf {e}
 _{Ph} 
 = \{\{\underline{
\mathsf {m}}
,\underline{
\mathsf {m}}
\}
,\{\underline{
\mathsf {m}}
,(\underline{(fy)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
*\underline{(fz)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
)
\}
\}
)n
)n
\}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
+(-u(\underline{(\epsilon)_{1}}
*\underline{(\epsilon 2)}
)
)
)
)n
)n
]$

$
[LessMultiplication(F)(Helper)
\stackrel{
proof
}{\rightarrow}
\lambda 
\mathsf {c}
.
\lambda 
\mathsf{x}
.
{\cal P}( 
\lceil SystemQ
\vdash 
\forall \underline{
\mathsf {m}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf {n}}
\colon 
\forall \underline{(\epsilon)_{1}}
\colon 
\forall \underline{(\epsilon 2)}
\colon 
\forall \underline{(fx)}
\colon 
\forall \underline{(fy)}
\colon 
\forall \underline{(fz)}
\colon 
\forall_{obj} \underline{
\mathsf {m}}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(0
 <= \underline{(\epsilon)_{1}}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(0
 = \underline{(\epsilon)_{1}}
)n
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\underline{
\mathsf {n}}
 <= \underline{
\mathsf {m}}
\Rightarrow \underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
 <= (\underline{(fy)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
+(-u\underline{(\epsilon)_{1}}
)
)
)n
)n
\vdash 
\forall_{obj} \underline{
\mathsf {m}}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(0
 <= \underline{(\epsilon 2)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(0
 = \underline{(\epsilon 2)}
)n
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\underline{
\mathsf {n}}
 <= \underline{
\mathsf {m}}
\Rightarrow  \{ ph \mathrel{\in}  \{ ph \mathrel{\in} P(P(Union(\{N
,Q
\}
)
)
)
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op1)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op2)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\overline{(op1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(op2)}
 \mathrel{\in} Q
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\mathsf {a}
 _{Ph} 
 = \{\{\overline{(op1)}
,\overline{(op1)}
\}
,\{\overline{(op1)}
,\overline{(op2)}
\}
\}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\}
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(crs1)}
\colon \dot{\neg}\,(
\mathsf {c}
 _{Ph} 
 = \{\{\overline{(crs1)}
,\overline{(crs1)}
\}
,\{\overline{(crs1)}
,0
\}
\}
)n
)n
\}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
 <= (\underline{(fz)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
+(-u\underline{(\epsilon 2)}
)
)
)n
)n
\vdash A4
\mathop {\char64} \underline{
\mathsf {m}}
\rhd 
\forall_{obj} \underline{
\mathsf {m}}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(0
 <= \underline{(\epsilon)_{1}}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(0
 = \underline{(\epsilon)_{1}}
)n
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\underline{
\mathsf {n}}
 <= \underline{
\mathsf {m}}
\Rightarrow \underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
 <= (\underline{(fy)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
+(-u\underline{(\epsilon)_{1}}
)
)
)n
)n
\gg \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(0
 <= \underline{(\epsilon)_{1}}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(0
 = \underline{(\epsilon)_{1}}
)n
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\underline{
\mathsf {n}}
 <= \underline{
\mathsf {m}}
\Rightarrow \underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
 <= (\underline{(fy)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
+(-u\underline{(\epsilon)_{1}}
)
)
)n
)n
; A4
\mathop {\char64} \underline{
\mathsf {m}}
\rhd 
\forall_{obj} \underline{
\mathsf {m}}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(0
 <= \underline{(\epsilon 2)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(0
 = \underline{(\epsilon 2)}
)n
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\underline{
\mathsf {n}}
 <= \underline{
\mathsf {m}}
\Rightarrow  \{ ph \mathrel{\in}  \{ ph \mathrel{\in} P(P(Union(\{N
,Q
\}
)
)
)
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op1)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op2)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\overline{(op1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(op2)}
 \mathrel{\in} Q
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\mathsf {a}
 _{Ph} 
 = \{\{\overline{(op1)}
,\overline{(op1)}
\}
,\{\overline{(op1)}
,\overline{(op2)}
\}
\}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\}
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(crs1)}
\colon \dot{\neg}\,(
\mathsf {c}
 _{Ph} 
 = \{\{\overline{(crs1)}
,\overline{(crs1)}
\}
,\{\overline{(crs1)}
,0
\}
\}
)n
)n
\}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
 <= (\underline{(fz)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
+(-u\underline{(\epsilon 2)}
)
)
)n
)n
\gg \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(0
 <= \underline{(\epsilon 2)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(0
 = \underline{(\epsilon 2)}
)n
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\underline{
\mathsf {n}}
 <= \underline{
\mathsf {m}}
\Rightarrow  \{ ph \mathrel{\in}  \{ ph \mathrel{\in} P(P(Union(\{N
,Q
\}
)
)
)
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op1)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op2)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\overline{(op1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(op2)}
 \mathrel{\in} Q
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\mathsf {a}
 _{Ph} 
 = \{\{\overline{(op1)}
,\overline{(op1)}
\}
,\{\overline{(op1)}
,\overline{(op2)}
\}
\}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\}
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(crs1)}
\colon \dot{\neg}\,(
\mathsf {c}
 _{Ph} 
 = \{\{\overline{(crs1)}
,\overline{(crs1)}
\}
,\{\overline{(crs1)}
,0
\}
\}
)n
)n
\}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
 <= (\underline{(fz)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
+(-u\underline{(\epsilon 2)}
)
)
)n
)n
; FirstConjunct
\rhd \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(0
 <= \underline{(\epsilon)_{1}}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(0
 = \underline{(\epsilon)_{1}}
)n
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\underline{
\mathsf {n}}
 <= \underline{
\mathsf {m}}
\Rightarrow \underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
 <= (\underline{(fy)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
+(-u\underline{(\epsilon)_{1}}
)
)
)n
)n
\gg \dot{\neg}\,(0
 <= \underline{(\epsilon)_{1}}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(0
 = \underline{(\epsilon)_{1}}
)n
)n
)n
; FirstConjunct
\rhd \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(0
 <= \underline{(\epsilon 2)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(0
 = \underline{(\epsilon 2)}
)n
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\underline{
\mathsf {n}}
 <= \underline{
\mathsf {m}}
\Rightarrow  \{ ph \mathrel{\in}  \{ ph \mathrel{\in} P(P(Union(\{N
,Q
\}
)
)
)
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op1)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op2)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\overline{(op1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(op2)}
 \mathrel{\in} Q
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\mathsf {a}
 _{Ph} 
 = \{\{\overline{(op1)}
,\overline{(op1)}
\}
,\{\overline{(op1)}
,\overline{(op2)}
\}
\}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\}
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(crs1)}
\colon \dot{\neg}\,(
\mathsf {c}
 _{Ph} 
 = \{\{\overline{(crs1)}
,\overline{(crs1)}
\}
,\{\overline{(crs1)}
,0
\}
\}
)n
)n
\}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
 <= (\underline{(fz)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
+(-u\underline{(\epsilon 2)}
)
)
)n
)n
\gg \dot{\neg}\,(0
 <= \underline{(\epsilon 2)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(0
 = \underline{(\epsilon 2)}
)n
)n
)n
; PositiveFactors
\rhd \dot{\neg}\,(0
 <= \underline{(\epsilon)_{1}}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(0
 = \underline{(\epsilon)_{1}}
)n
)n
)n
\rhd \dot{\neg}\,(0
 <= \underline{(\epsilon 2)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(0
 = \underline{(\epsilon 2)}
)n
)n
)n
\gg \dot{\neg}\,(0
 <= (\underline{(\epsilon)_{1}}
*\underline{(\epsilon 2)}
)
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(0
 = (\underline{(\epsilon)_{1}}
*\underline{(\epsilon 2)}
)
)n
)n
)n
; 
\forall \underline{
\mathsf {m}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf {n}}
\colon 
\forall \underline{(\epsilon)_{1}}
\colon 
\forall \underline{(\epsilon 2)}
\colon 
\forall \underline{(fx)}
\colon 
\forall \underline{(fy)}
\colon 
\forall \underline{(fz)}
\colon 
\forall_{obj} \underline{
\mathsf {m}}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(0
 <= \underline{(\epsilon)_{1}}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(0
 = \underline{(\epsilon)_{1}}
)n
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\underline{
\mathsf {n}}
 <= \underline{
\mathsf {m}}
\Rightarrow \underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
 <= (\underline{(fy)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
+(-u\underline{(\epsilon)_{1}}
)
)
)n
)n
\vdash 
\forall_{obj} \underline{
\mathsf {m}}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(0
 <= \underline{(\epsilon 2)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(0
 = \underline{(\epsilon 2)}
)n
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\underline{
\mathsf {n}}
 <= \underline{
\mathsf {m}}
\Rightarrow  \{ ph \mathrel{\in}  \{ ph \mathrel{\in} P(P(Union(\{N
,Q
\}
)
)
)
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op1)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op2)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\overline{(op1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(op2)}
 \mathrel{\in} Q
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\mathsf {a}
 _{Ph} 
 = \{\{\overline{(op1)}
,\overline{(op1)}
\}
,\{\overline{(op1)}
,\overline{(op2)}
\}
\}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\}
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(crs1)}
\colon \dot{\neg}\,(
\mathsf {c}
 _{Ph} 
 = \{\{\overline{(crs1)}
,\overline{(crs1)}
\}
,\{\overline{(crs1)}
,0
\}
\}
)n
)n
\}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
 <= (\underline{(fz)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
+(-u\underline{(\epsilon 2)}
)
)
)n
)n
\vdash \underline{
\mathsf {n}}
 <= \underline{
\mathsf {m}}
\vdash A4
\mathop {\char64} \underline{
\mathsf {m}}
\rhd 
\forall_{obj} \underline{
\mathsf {m}}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(0
 <= \underline{(\epsilon)_{1}}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(0
 = \underline{(\epsilon)_{1}}
)n
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\underline{
\mathsf {n}}
 <= \underline{
\mathsf {m}}
\Rightarrow \underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
 <= (\underline{(fy)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
+(-u\underline{(\epsilon)_{1}}
)
)
)n
)n
\gg \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(0
 <= \underline{(\epsilon)_{1}}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(0
 = \underline{(\epsilon)_{1}}
)n
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\underline{
\mathsf {n}}
 <= \underline{
\mathsf {m}}
\Rightarrow \underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
 <= (\underline{(fy)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
+(-u\underline{(\epsilon)_{1}}
)
)
)n
)n
; A4
\mathop {\char64} \underline{
\mathsf {m}}
\rhd 
\forall_{obj} \underline{
\mathsf {m}}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(0
 <= \underline{(\epsilon 2)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(0
 = \underline{(\epsilon 2)}
)n
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\underline{
\mathsf {n}}
 <= \underline{
\mathsf {m}}
\Rightarrow  \{ ph \mathrel{\in}  \{ ph \mathrel{\in} P(P(Union(\{N
,Q
\}
)
)
)
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op1)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op2)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\overline{(op1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(op2)}
 \mathrel{\in} Q
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\mathsf {a}
 _{Ph} 
 = \{\{\overline{(op1)}
,\overline{(op1)}
\}
,\{\overline{(op1)}
,\overline{(op2)}
\}
\}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\}
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(crs1)}
\colon \dot{\neg}\,(
\mathsf {c}
 _{Ph} 
 = \{\{\overline{(crs1)}
,\overline{(crs1)}
\}
,\{\overline{(crs1)}
,0
\}
\}
)n
)n
\}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
 <= (\underline{(fz)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
+(-u\underline{(\epsilon 2)}
)
)
)n
)n
\gg \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(0
 <= \underline{(\epsilon 2)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(0
 = \underline{(\epsilon 2)}
)n
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\underline{
\mathsf {n}}
 <= \underline{
\mathsf {m}}
\Rightarrow  \{ ph \mathrel{\in}  \{ ph \mathrel{\in} P(P(Union(\{N
,Q
\}
)
)
)
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op1)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op2)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\overline{(op1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(op2)}
 \mathrel{\in} Q
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\mathsf {a}
 _{Ph} 
 = \{\{\overline{(op1)}
,\overline{(op1)}
\}
,\{\overline{(op1)}
,\overline{(op2)}
\}
\}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\}
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(crs1)}
\colon \dot{\neg}\,(
\mathsf {c}
 _{Ph} 
 = \{\{\overline{(crs1)}
,\overline{(crs1)}
\}
,\{\overline{(crs1)}
,0
\}
\}
)n
)n
\}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
 <= (\underline{(fz)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
+(-u\underline{(\epsilon 2)}
)
)
)n
)n
; FirstConjunct
\rhd \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(0
 <= \underline{(\epsilon)_{1}}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(0
 = \underline{(\epsilon)_{1}}
)n
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\underline{
\mathsf {n}}
 <= \underline{
\mathsf {m}}
\Rightarrow \underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
 <= (\underline{(fy)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
+(-u\underline{(\epsilon)_{1}}
)
)
)n
)n
\gg \dot{\neg}\,(0
 <= \underline{(\epsilon)_{1}}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(0
 = \underline{(\epsilon)_{1}}
)n
)n
)n
; FirstConjunct
\rhd \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(0
 <= \underline{(\epsilon 2)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(0
 = \underline{(\epsilon 2)}
)n
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\underline{
\mathsf {n}}
 <= \underline{
\mathsf {m}}
\Rightarrow  \{ ph \mathrel{\in}  \{ ph \mathrel{\in} P(P(Union(\{N
,Q
\}
)
)
)
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op1)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op2)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\overline{(op1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(op2)}
 \mathrel{\in} Q
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\mathsf {a}
 _{Ph} 
 = \{\{\overline{(op1)}
,\overline{(op1)}
\}
,\{\overline{(op1)}
,\overline{(op2)}
\}
\}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\}
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(crs1)}
\colon \dot{\neg}\,(
\mathsf {c}
 _{Ph} 
 = \{\{\overline{(crs1)}
,\overline{(crs1)}
\}
,\{\overline{(crs1)}
,0
\}
\}
)n
)n
\}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
 <= (\underline{(fz)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
+(-u\underline{(\epsilon 2)}
)
)
)n
)n
\gg \dot{\neg}\,(0
 <= \underline{(\epsilon 2)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(0
 = \underline{(\epsilon 2)}
)n
)n
)n
; SecondConjunct
\rhd \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(0
 <= \underline{(\epsilon)_{1}}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(0
 = \underline{(\epsilon)_{1}}
)n
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\underline{
\mathsf {n}}
 <= \underline{
\mathsf {m}}
\Rightarrow \underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
 <= (\underline{(fy)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
+(-u\underline{(\epsilon)_{1}}
)
)
)n
)n
\gg \underline{
\mathsf {n}}
 <= \underline{
\mathsf {m}}
\Rightarrow \underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
 <= (\underline{(fy)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
+(-u\underline{(\epsilon)_{1}}
)
)
; MP
\rhd \underline{
\mathsf {n}}
 <= \underline{
\mathsf {m}}
\Rightarrow \underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
 <= (\underline{(fy)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
+(-u\underline{(\epsilon)_{1}}
)
)
\rhd \underline{
\mathsf {n}}
 <= \underline{
\mathsf {m}}
\gg \underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
 <= (\underline{(fy)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
+(-u\underline{(\epsilon)_{1}}
)
)
; SecondConjunct
\rhd \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(0
 <= \underline{(\epsilon 2)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(0
 = \underline{(\epsilon 2)}
)n
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\underline{
\mathsf {n}}
 <= \underline{
\mathsf {m}}
\Rightarrow  \{ ph \mathrel{\in}  \{ ph \mathrel{\in} P(P(Union(\{N
,Q
\}
)
)
)
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op1)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op2)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\overline{(op1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(op2)}
 \mathrel{\in} Q
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\mathsf {a}
 _{Ph} 
 = \{\{\overline{(op1)}
,\overline{(op1)}
\}
,\{\overline{(op1)}
,\overline{(op2)}
\}
\}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\}
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(crs1)}
\colon \dot{\neg}\,(
\mathsf {c}
 _{Ph} 
 = \{\{\overline{(crs1)}
,\overline{(crs1)}
\}
,\{\overline{(crs1)}
,0
\}
\}
)n
)n
\}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
 <= (\underline{(fz)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
+(-u\underline{(\epsilon 2)}
)
)
)n
)n
\gg \underline{
\mathsf {n}}
 <= \underline{
\mathsf {m}}
\Rightarrow  \{ ph \mathrel{\in}  \{ ph \mathrel{\in} P(P(Union(\{N
,Q
\}
)
)
)
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op1)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op2)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\overline{(op1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(op2)}
 \mathrel{\in} Q
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\mathsf {a}
 _{Ph} 
 = \{\{\overline{(op1)}
,\overline{(op1)}
\}
,\{\overline{(op1)}
,\overline{(op2)}
\}
\}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\}
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(crs1)}
\colon \dot{\neg}\,(
\mathsf {c}
 _{Ph} 
 = \{\{\overline{(crs1)}
,\overline{(crs1)}
\}
,\{\overline{(crs1)}
,0
\}
\}
)n
)n
\}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
 <= (\underline{(fz)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
+(-u\underline{(\epsilon 2)}
)
)
; MP
\rhd \underline{
\mathsf {n}}
 <= \underline{
\mathsf {m}}
\Rightarrow  \{ ph \mathrel{\in}  \{ ph \mathrel{\in} P(P(Union(\{N
,Q
\}
)
)
)
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op1)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op2)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\overline{(op1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(op2)}
 \mathrel{\in} Q
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\mathsf {a}
 _{Ph} 
 = \{\{\overline{(op1)}
,\overline{(op1)}
\}
,\{\overline{(op1)}
,\overline{(op2)}
\}
\}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\}
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(crs1)}
\colon \dot{\neg}\,(
\mathsf {c}
 _{Ph} 
 = \{\{\overline{(crs1)}
,\overline{(crs1)}
\}
,\{\overline{(crs1)}
,0
\}
\}
)n
)n
\}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
 <= (\underline{(fz)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
+(-u\underline{(\epsilon 2)}
)
)
\rhd \underline{
\mathsf {n}}
 <= \underline{
\mathsf {m}}
\gg  \{ ph \mathrel{\in}  \{ ph \mathrel{\in} P(P(Union(\{N
,Q
\}
)
)
)
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op1)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op2)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\overline{(op1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(op2)}
 \mathrel{\in} Q
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\mathsf {a}
 _{Ph} 
 = \{\{\overline{(op1)}
,\overline{(op1)}
\}
,\{\overline{(op1)}
,\overline{(op2)}
\}
\}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\}
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(crs1)}
\colon \dot{\neg}\,(
\mathsf {c}
 _{Ph} 
 = \{\{\overline{(crs1)}
,\overline{(crs1)}
\}
,\{\overline{(crs1)}
,0
\}
\}
)n
)n
\}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
 <= (\underline{(fz)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
+(-u\underline{(\epsilon 2)}
)
)
; NatType
\gg \underline{
\mathsf {m}}
 \mathrel{\in} N
; 0f
\rhd \underline{
\mathsf {m}}
 \mathrel{\in} N
\gg  \{ ph \mathrel{\in}  \{ ph \mathrel{\in} P(P(Union(\{N
,Q
\}
)
)
)
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op1)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op2)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\overline{(op1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(op2)}
 \mathrel{\in} Q
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\mathsf {a}
 _{Ph} 
 = \{\{\overline{(op1)}
,\overline{(op1)}
\}
,\{\overline{(op1)}
,\overline{(op2)}
\}
\}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\}
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(crs1)}
\colon \dot{\neg}\,(
\mathsf {c}
 _{Ph} 
 = \{\{\overline{(crs1)}
,\overline{(crs1)}
\}
,\{\overline{(crs1)}
,0
\}
\}
)n
)n
\}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
 = 0
; subLeqLeft
\rhd  \{ ph \mathrel{\in}  \{ ph \mathrel{\in} P(P(Union(\{N
,Q
\}
)
)
)
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op1)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op2)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\overline{(op1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(op2)}
 \mathrel{\in} Q
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\mathsf {a}
 _{Ph} 
 = \{\{\overline{(op1)}
,\overline{(op1)}
\}
,\{\overline{(op1)}
,\overline{(op2)}
\}
\}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\}
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(crs1)}
\colon \dot{\neg}\,(
\mathsf {c}
 _{Ph} 
 = \{\{\overline{(crs1)}
,\overline{(crs1)}
\}
,\{\overline{(crs1)}
,0
\}
\}
)n
)n
\}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
 = 0
\rhd  \{ ph \mathrel{\in}  \{ ph \mathrel{\in} P(P(Union(\{N
,Q
\}
)
)
)
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op1)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op2)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\overline{(op1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(op2)}
 \mathrel{\in} Q
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\mathsf {a}
 _{Ph} 
 = \{\{\overline{(op1)}
,\overline{(op1)}
\}
,\{\overline{(op1)}
,\overline{(op2)}
\}
\}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\}
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(crs1)}
\colon \dot{\neg}\,(
\mathsf {c}
 _{Ph} 
 = \{\{\overline{(crs1)}
,\overline{(crs1)}
\}
,\{\overline{(crs1)}
,0
\}
\}
)n
)n
\}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
 <= (\underline{(fz)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
+(-u\underline{(\epsilon 2)}
)
)
\gg 0
 <= (\underline{(fz)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
+(-u\underline{(\epsilon 2)}
)
)
; LessMultiplication(F)(Helper2)
\rhd \dot{\neg}\,(0
 <= \underline{(\epsilon)_{1}}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(0
 = \underline{(\epsilon)_{1}}
)n
)n
)n
\rhd \dot{\neg}\,(0
 <= \underline{(\epsilon 2)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(0
 = \underline{(\epsilon 2)}
)n
)n
)n
\rhd \underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
 <= (\underline{(fy)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
+(-u\underline{(\epsilon)_{1}}
)
)
\rhd 0
 <= (\underline{(fz)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
+(-u\underline{(\epsilon 2)}
)
)
\gg (\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
*\underline{(fz)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
)
 <= ((\underline{(fy)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
*\underline{(fz)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
)
+(-u(\underline{(\epsilon)_{1}}
*\underline{(\epsilon 2)}
)
)
)
; 
\mbox{lemma timesF(Sym)}
\gg (\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
*\underline{(fz)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
)
 =  \{ ph \mathrel{\in}  \{ ph \mathrel{\in} P(P(Union(\{N
,Q
\}
)
)
)
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op1)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op2)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\overline{(op1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(op2)}
 \mathrel{\in} Q
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\mathsf {a}
 _{Ph} 
 = \{\{\overline{(op1)}
,\overline{(op1)}
\}
,\{\overline{(op1)}
,\overline{(op2)}
\}
\}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\}
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \underline{
\mathsf {m}}
\colon \dot{\neg}\,(
\mathsf {e}
 _{Ph} 
 = \{\{\underline{
\mathsf {m}}
,\underline{
\mathsf {m}}
\}
,\{\underline{
\mathsf {m}}
,(\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
*\underline{(fz)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
)
\}
\}
)n
)n
\}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
; subLeqLeft
\rhd (\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
*\underline{(fz)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
)
 =  \{ ph \mathrel{\in}  \{ ph \mathrel{\in} P(P(Union(\{N
,Q
\}
)
)
)
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op1)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op2)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\overline{(op1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(op2)}
 \mathrel{\in} Q
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\mathsf {a}
 _{Ph} 
 = \{\{\overline{(op1)}
,\overline{(op1)}
\}
,\{\overline{(op1)}
,\overline{(op2)}
\}
\}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\}
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \underline{
\mathsf {m}}
\colon \dot{\neg}\,(
\mathsf {e}
 _{Ph} 
 = \{\{\underline{
\mathsf {m}}
,\underline{
\mathsf {m}}
\}
,\{\underline{
\mathsf {m}}
,(\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
*\underline{(fz)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
)
\}
\}
)n
)n
\}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
\rhd (\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
*\underline{(fz)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
)
 <= ((\underline{(fy)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
*\underline{(fz)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
)
+(-u(\underline{(\epsilon)_{1}}
*\underline{(\epsilon 2)}
)
)
)
\gg  \{ ph \mathrel{\in}  \{ ph \mathrel{\in} P(P(Union(\{N
,Q
\}
)
)
)
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op1)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op2)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\overline{(op1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(op2)}
 \mathrel{\in} Q
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\mathsf {a}
 _{Ph} 
 = \{\{\overline{(op1)}
,\overline{(op1)}
\}
,\{\overline{(op1)}
,\overline{(op2)}
\}
\}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\}
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \underline{
\mathsf {m}}
\colon \dot{\neg}\,(
\mathsf {e}
 _{Ph} 
 = \{\{\underline{
\mathsf {m}}
,\underline{
\mathsf {m}}
\}
,\{\underline{
\mathsf {m}}
,(\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
*\underline{(fz)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
)
\}
\}
)n
)n
\}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
 <= ((\underline{(fy)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
*\underline{(fz)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
)
+(-u(\underline{(\epsilon)_{1}}
*\underline{(\epsilon 2)}
)
)
)
; 
\mbox{lemma timesF(Sym)}
\gg (\underline{(fy)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
*\underline{(fz)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
)
 =  \{ ph \mathrel{\in}  \{ ph \mathrel{\in} P(P(Union(\{N
,Q
\}
)
)
)
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op1)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op2)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\overline{(op1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(op2)}
 \mathrel{\in} Q
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\mathsf {a}
 _{Ph} 
 = \{\{\overline{(op1)}
,\overline{(op1)}
\}
,\{\overline{(op1)}
,\overline{(op2)}
\}
\}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\}
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \underline{
\mathsf {m}}
\colon \dot{\neg}\,(
\mathsf {e}
 _{Ph} 
 = \{\{\underline{
\mathsf {m}}
,\underline{
\mathsf {m}}
\}
,\{\underline{
\mathsf {m}}
,(\underline{(fy)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
*\underline{(fz)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
)
\}
\}
)n
)n
\}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
; eqAddition
\rhd (\underline{(fy)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
*\underline{(fz)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
)
 =  \{ ph \mathrel{\in}  \{ ph \mathrel{\in} P(P(Union(\{N
,Q
\}
)
)
)
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op1)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op2)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\overline{(op1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(op2)}
 \mathrel{\in} Q
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\mathsf {a}
 _{Ph} 
 = \{\{\overline{(op1)}
,\overline{(op1)}
\}
,\{\overline{(op1)}
,\overline{(op2)}
\}
\}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\}
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \underline{
\mathsf {m}}
\colon \dot{\neg}\,(
\mathsf {e}
 _{Ph} 
 = \{\{\underline{
\mathsf {m}}
,\underline{
\mathsf {m}}
\}
,\{\underline{
\mathsf {m}}
,(\underline{(fy)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
*\underline{(fz)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
)
\}
\}
)n
)n
\}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
\gg ((\underline{(fy)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
*\underline{(fz)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
)
+(-u(\underline{(\epsilon)_{1}}
*\underline{(\epsilon 2)}
)
)
)
 = ( \{ ph \mathrel{\in}  \{ ph \mathrel{\in} P(P(Union(\{N
,Q
\}
)
)
)
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op1)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op2)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\overline{(op1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(op2)}
 \mathrel{\in} Q
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\mathsf {a}
 _{Ph} 
 = \{\{\overline{(op1)}
,\overline{(op1)}
\}
,\{\overline{(op1)}
,\overline{(op2)}
\}
\}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\}
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \underline{
\mathsf {m}}
\colon \dot{\neg}\,(
\mathsf {e}
 _{Ph} 
 = \{\{\underline{
\mathsf {m}}
,\underline{
\mathsf {m}}
\}
,\{\underline{
\mathsf {m}}
,(\underline{(fy)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
*\underline{(fz)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
)
\}
\}
)n
)n
\}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
+(-u(\underline{(\epsilon)_{1}}
*\underline{(\epsilon 2)}
)
)
)
; subLeqRight
\rhd ((\underline{(fy)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
*\underline{(fz)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
)
+(-u(\underline{(\epsilon)_{1}}
*\underline{(\epsilon 2)}
)
)
)
 = ( \{ ph \mathrel{\in}  \{ ph \mathrel{\in} P(P(Union(\{N
,Q
\}
)
)
)
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op1)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op2)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\overline{(op1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(op2)}
 \mathrel{\in} Q
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\mathsf {a}
 _{Ph} 
 = \{\{\overline{(op1)}
,\overline{(op1)}
\}
,\{\overline{(op1)}
,\overline{(op2)}
\}
\}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\}
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \underline{
\mathsf {m}}
\colon \dot{\neg}\,(
\mathsf {e}
 _{Ph} 
 = \{\{\underline{
\mathsf {m}}
,\underline{
\mathsf {m}}
\}
,\{\underline{
\mathsf {m}}
,(\underline{(fy)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
*\underline{(fz)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
)
\}
\}
)n
)n
\}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
+(-u(\underline{(\epsilon)_{1}}
*\underline{(\epsilon 2)}
)
)
)
\rhd  \{ ph \mathrel{\in}  \{ ph \mathrel{\in} P(P(Union(\{N
,Q
\}
)
)
)
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op1)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op2)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\overline{(op1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(op2)}
 \mathrel{\in} Q
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\mathsf {a}
 _{Ph} 
 = \{\{\overline{(op1)}
,\overline{(op1)}
\}
,\{\overline{(op1)}
,\overline{(op2)}
\}
\}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\}
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \underline{
\mathsf {m}}
\colon \dot{\neg}\,(
\mathsf {e}
 _{Ph} 
 = \{\{\underline{
\mathsf {m}}
,\underline{
\mathsf {m}}
\}
,\{\underline{
\mathsf {m}}
,(\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
*\underline{(fz)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
)
\}
\}
)n
)n
\}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
 <= ((\underline{(fy)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
*\underline{(fz)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
)
+(-u(\underline{(\epsilon)_{1}}
*\underline{(\epsilon 2)}
)
)
)
\gg  \{ ph \mathrel{\in}  \{ ph \mathrel{\in} P(P(Union(\{N
,Q
\}
)
)
)
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op1)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op2)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\overline{(op1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(op2)}
 \mathrel{\in} Q
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\mathsf {a}
 _{Ph} 
 = \{\{\overline{(op1)}
,\overline{(op1)}
\}
,\{\overline{(op1)}
,\overline{(op2)}
\}
\}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\}
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \underline{
\mathsf {m}}
\colon \dot{\neg}\,(
\mathsf {e}
 _{Ph} 
 = \{\{\underline{
\mathsf {m}}
,\underline{
\mathsf {m}}
\}
,\{\underline{
\mathsf {m}}
,(\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
*\underline{(fz)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
)
\}
\}
)n
)n
\}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
 <= ( \{ ph \mathrel{\in}  \{ ph \mathrel{\in} P(P(Union(\{N
,Q
\}
)
)
)
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op1)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op2)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\overline{(op1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(op2)}
 \mathrel{\in} Q
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\mathsf {a}
 _{Ph} 
 = \{\{\overline{(op1)}
,\overline{(op1)}
\}
,\{\overline{(op1)}
,\overline{(op2)}
\}
\}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\}
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \underline{
\mathsf {m}}
\colon \dot{\neg}\,(
\mathsf {e}
 _{Ph} 
 = \{\{\underline{
\mathsf {m}}
,\underline{
\mathsf {m}}
\}
,\{\underline{
\mathsf {m}}
,(\underline{(fy)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
*\underline{(fz)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
)
\}
\}
)n
)n
\}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
+(-u(\underline{(\epsilon)_{1}}
*\underline{(\epsilon 2)}
)
)
)
; 
\forall \underline{
\mathsf {m}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf {n}}
\colon 
\forall \underline{(\epsilon)_{1}}
\colon 
\forall \underline{(\epsilon 2)}
\colon 
\forall \underline{(fx)}
\colon 
\forall \underline{(fy)}
\colon 
\forall \underline{(fz)}
\colon Ded
\rhd 
\forall \underline{
\mathsf {m}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf {n}}
\colon 
\forall \underline{(\epsilon)_{1}}
\colon 
\forall \underline{(\epsilon 2)}
\colon 
\forall \underline{(fx)}
\colon 
\forall \underline{(fy)}
\colon 
\forall \underline{(fz)}
\colon 
\forall_{obj} \underline{
\mathsf {m}}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(0
 <= \underline{(\epsilon)_{1}}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(0
 = \underline{(\epsilon)_{1}}
)n
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\underline{
\mathsf {n}}
 <= \underline{
\mathsf {m}}
\Rightarrow \underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
 <= (\underline{(fy)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
+(-u\underline{(\epsilon)_{1}}
)
)
)n
)n
\vdash 
\forall_{obj} \underline{
\mathsf {m}}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(0
 <= \underline{(\epsilon 2)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(0
 = \underline{(\epsilon 2)}
)n
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\underline{
\mathsf {n}}
 <= \underline{
\mathsf {m}}
\Rightarrow  \{ ph \mathrel{\in}  \{ ph \mathrel{\in} P(P(Union(\{N
,Q
\}
)
)
)
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op1)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op2)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\overline{(op1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(op2)}
 \mathrel{\in} Q
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\mathsf {a}
 _{Ph} 
 = \{\{\overline{(op1)}
,\overline{(op1)}
\}
,\{\overline{(op1)}
,\overline{(op2)}
\}
\}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\}
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(crs1)}
\colon \dot{\neg}\,(
\mathsf {c}
 _{Ph} 
 = \{\{\overline{(crs1)}
,\overline{(crs1)}
\}
,\{\overline{(crs1)}
,0
\}
\}
)n
)n
\}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
 <= (\underline{(fz)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
+(-u\underline{(\epsilon 2)}
)
)
)n
)n
\vdash \dot{\neg}\,(0
 <= (\underline{(\epsilon)_{1}}
*\underline{(\epsilon 2)}
)
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(0
 = (\underline{(\epsilon)_{1}}
*\underline{(\epsilon 2)}
)
)n
)n
)n
\gg 
\forall_{obj} \underline{
\mathsf {m}}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(0
 <= \underline{(\epsilon)_{1}}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(0
 = \underline{(\epsilon)_{1}}
)n
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\underline{
\mathsf {n}}
 <= \underline{
\mathsf {m}}
\Rightarrow \underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
 <= (\underline{(fy)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
+(-u\underline{(\epsilon)_{1}}
)
)
)n
)n
\Rightarrow 
\forall_{obj} \underline{
\mathsf {m}}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(0
 <= \underline{(\epsilon 2)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(0
 = \underline{(\epsilon 2)}
)n
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\underline{
\mathsf {n}}
 <= \underline{
\mathsf {m}}
\Rightarrow  \{ ph \mathrel{\in}  \{ ph \mathrel{\in} P(P(Union(\{N
,Q
\}
)
)
)
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op1)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op2)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\overline{(op1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(op2)}
 \mathrel{\in} Q
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\mathsf {a}
 _{Ph} 
 = \{\{\overline{(op1)}
,\overline{(op1)}
\}
,\{\overline{(op1)}
,\overline{(op2)}
\}
\}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\}
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(crs1)}
\colon \dot{\neg}\,(
\mathsf {c}
 _{Ph} 
 = \{\{\overline{(crs1)}
,\overline{(crs1)}
\}
,\{\overline{(crs1)}
,0
\}
\}
)n
)n
\}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
 <= (\underline{(fz)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
+(-u\underline{(\epsilon 2)}
)
)
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(0
 <= (\underline{(\epsilon)_{1}}
*\underline{(\epsilon 2)}
)
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(0
 = (\underline{(\epsilon)_{1}}
*\underline{(\epsilon 2)}
)
)n
)n
)n
; Ded
\rhd 
\forall \underline{
\mathsf {m}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf {n}}
\colon 
\forall \underline{(\epsilon)_{1}}
\colon 
\forall \underline{(\epsilon 2)}
\colon 
\forall \underline{(fx)}
\colon 
\forall \underline{(fy)}
\colon 
\forall \underline{(fz)}
\colon 
\forall_{obj} \underline{
\mathsf {m}}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(0
 <= \underline{(\epsilon)_{1}}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(0
 = \underline{(\epsilon)_{1}}
)n
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\underline{
\mathsf {n}}
 <= \underline{
\mathsf {m}}
\Rightarrow \underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
 <= (\underline{(fy)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
+(-u\underline{(\epsilon)_{1}}
)
)
)n
)n
\vdash 
\forall_{obj} \underline{
\mathsf {m}}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(0
 <= \underline{(\epsilon 2)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(0
 = \underline{(\epsilon 2)}
)n
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\underline{
\mathsf {n}}
 <= \underline{
\mathsf {m}}
\Rightarrow  \{ ph \mathrel{\in}  \{ ph \mathrel{\in} P(P(Union(\{N
,Q
\}
)
)
)
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op1)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op2)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\overline{(op1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(op2)}
 \mathrel{\in} Q
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\mathsf {a}
 _{Ph} 
 = \{\{\overline{(op1)}
,\overline{(op1)}
\}
,\{\overline{(op1)}
,\overline{(op2)}
\}
\}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\}
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(crs1)}
\colon \dot{\neg}\,(
\mathsf {c}
 _{Ph} 
 = \{\{\overline{(crs1)}
,\overline{(crs1)}
\}
,\{\overline{(crs1)}
,0
\}
\}
)n
)n
\}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
 <= (\underline{(fz)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
+(-u\underline{(\epsilon 2)}
)
)
)n
)n
\vdash \underline{
\mathsf {n}}
 <= \underline{
\mathsf {m}}
\vdash  \{ ph \mathrel{\in}  \{ ph \mathrel{\in} P(P(Union(\{N
,Q
\}
)
)
)
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op1)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op2)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\overline{(op1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(op2)}
 \mathrel{\in} Q
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\mathsf {a}
 _{Ph} 
 = \{\{\overline{(op1)}
,\overline{(op1)}
\}
,\{\overline{(op1)}
,\overline{(op2)}
\}
\}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\}
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \underline{
\mathsf {m}}
\colon \dot{\neg}\,(
\mathsf {e}
 _{Ph} 
 = \{\{\underline{
\mathsf {m}}
,\underline{
\mathsf {m}}
\}
,\{\underline{
\mathsf {m}}
,(\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
*\underline{(fz)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
)
\}
\}
)n
)n
\}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
 <= ( \{ ph \mathrel{\in}  \{ ph \mathrel{\in} P(P(Union(\{N
,Q
\}
)
)
)
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op1)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op2)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\overline{(op1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(op2)}
 \mathrel{\in} Q
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\mathsf {a}
 _{Ph} 
 = \{\{\overline{(op1)}
,\overline{(op1)}
\}
,\{\overline{(op1)}
,\overline{(op2)}
\}
\}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\}
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \underline{
\mathsf {m}}
\colon \dot{\neg}\,(
\mathsf {e}
 _{Ph} 
 = \{\{\underline{
\mathsf {m}}
,\underline{
\mathsf {m}}
\}
,\{\underline{
\mathsf {m}}
,(\underline{(fy)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
*\underline{(fz)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
)
\}
\}
)n
)n
\}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
+(-u(\underline{(\epsilon)_{1}}
*\underline{(\epsilon 2)}
)
)
)
\gg 
\forall_{obj} \underline{
\mathsf {m}}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(0
 <= \underline{(\epsilon)_{1}}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(0
 = \underline{(\epsilon)_{1}}
)n
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\underline{
\mathsf {n}}
 <= \underline{
\mathsf {m}}
\Rightarrow \underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
 <= (\underline{(fy)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
+(-u\underline{(\epsilon)_{1}}
)
)
)n
)n
\Rightarrow 
\forall_{obj} \underline{
\mathsf {m}}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(0
 <= \underline{(\epsilon 2)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(0
 = \underline{(\epsilon 2)}
)n
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\underline{
\mathsf {n}}
 <= \underline{
\mathsf {m}}
\Rightarrow  \{ ph \mathrel{\in}  \{ ph \mathrel{\in} P(P(Union(\{N
,Q
\}
)
)
)
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op1)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op2)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\overline{(op1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(op2)}
 \mathrel{\in} Q
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\mathsf {a}
 _{Ph} 
 = \{\{\overline{(op1)}
,\overline{(op1)}
\}
,\{\overline{(op1)}
,\overline{(op2)}
\}
\}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\}
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(crs1)}
\colon \dot{\neg}\,(
\mathsf {c}
 _{Ph} 
 = \{\{\overline{(crs1)}
,\overline{(crs1)}
\}
,\{\overline{(crs1)}
,0
\}
\}
)n
)n
\}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
 <= (\underline{(fz)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
+(-u\underline{(\epsilon 2)}
)
)
)n
)n
\Rightarrow \underline{
\mathsf {n}}
 <= \underline{
\mathsf {m}}
\Rightarrow  \{ ph \mathrel{\in}  \{ ph \mathrel{\in} P(P(Union(\{N
,Q
\}
)
)
)
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op1)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op2)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\overline{(op1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(op2)}
 \mathrel{\in} Q
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\mathsf {a}
 _{Ph} 
 = \{\{\overline{(op1)}
,\overline{(op1)}
\}
,\{\overline{(op1)}
,\overline{(op2)}
\}
\}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\}
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \underline{
\mathsf {m}}
\colon \dot{\neg}\,(
\mathsf {e}
 _{Ph} 
 = \{\{\underline{
\mathsf {m}}
,\underline{
\mathsf {m}}
\}
,\{\underline{
\mathsf {m}}
,(\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
*\underline{(fz)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
)
\}
\}
)n
)n
\}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
 <= ( \{ ph \mathrel{\in}  \{ ph \mathrel{\in} P(P(Union(\{N
,Q
\}
)
)
)
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op1)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op2)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\overline{(op1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(op2)}
 \mathrel{\in} Q
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\mathsf {a}
 _{Ph} 
 = \{\{\overline{(op1)}
,\overline{(op1)}
\}
,\{\overline{(op1)}
,\overline{(op2)}
\}
\}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\}
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \underline{
\mathsf {m}}
\colon \dot{\neg}\,(
\mathsf {e}
 _{Ph} 
 = \{\{\underline{
\mathsf {m}}
,\underline{
\mathsf {m}}
\}
,\{\underline{
\mathsf {m}}
,(\underline{(fy)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
*\underline{(fz)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
)
\}
\}
)n
)n
\}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
+(-u(\underline{(\epsilon)_{1}}
*\underline{(\epsilon 2)}
)
)
)
; JoinConjuncts(2conditions)
\rhd 
\forall_{obj} \underline{
\mathsf {m}}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(0
 <= \underline{(\epsilon)_{1}}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(0
 = \underline{(\epsilon)_{1}}
)n
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\underline{
\mathsf {n}}
 <= \underline{
\mathsf {m}}
\Rightarrow \underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
 <= (\underline{(fy)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
+(-u\underline{(\epsilon)_{1}}
)
)
)n
)n
\Rightarrow 
\forall_{obj} \underline{
\mathsf {m}}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(0
 <= \underline{(\epsilon 2)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(0
 = \underline{(\epsilon 2)}
)n
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\underline{
\mathsf {n}}
 <= \underline{
\mathsf {m}}
\Rightarrow  \{ ph \mathrel{\in}  \{ ph \mathrel{\in} P(P(Union(\{N
,Q
\}
)
)
)
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op1)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op2)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\overline{(op1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(op2)}
 \mathrel{\in} Q
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\mathsf {a}
 _{Ph} 
 = \{\{\overline{(op1)}
,\overline{(op1)}
\}
,\{\overline{(op1)}
,\overline{(op2)}
\}
\}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\}
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(crs1)}
\colon \dot{\neg}\,(
\mathsf {c}
 _{Ph} 
 = \{\{\overline{(crs1)}
,\overline{(crs1)}
\}
,\{\overline{(crs1)}
,0
\}
\}
)n
)n
\}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
 <= (\underline{(fz)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
+(-u\underline{(\epsilon 2)}
)
)
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(0
 <= (\underline{(\epsilon)_{1}}
*\underline{(\epsilon 2)}
)
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(0
 = (\underline{(\epsilon)_{1}}
*\underline{(\epsilon 2)}
)
)n
)n
)n
\rhd 
\forall_{obj} \underline{
\mathsf {m}}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(0
 <= \underline{(\epsilon)_{1}}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(0
 = \underline{(\epsilon)_{1}}
)n
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\underline{
\mathsf {n}}
 <= \underline{
\mathsf {m}}
\Rightarrow \underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
 <= (\underline{(fy)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
+(-u\underline{(\epsilon)_{1}}
)
)
)n
)n
\Rightarrow 
\forall_{obj} \underline{
\mathsf {m}}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(0
 <= \underline{(\epsilon 2)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(0
 = \underline{(\epsilon 2)}
)n
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\underline{
\mathsf {n}}
 <= \underline{
\mathsf {m}}
\Rightarrow  \{ ph \mathrel{\in}  \{ ph \mathrel{\in} P(P(Union(\{N
,Q
\}
)
)
)
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op1)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op2)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\overline{(op1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(op2)}
 \mathrel{\in} Q
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\mathsf {a}
 _{Ph} 
 = \{\{\overline{(op1)}
,\overline{(op1)}
\}
,\{\overline{(op1)}
,\overline{(op2)}
\}
\}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\}
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(crs1)}
\colon \dot{\neg}\,(
\mathsf {c}
 _{Ph} 
 = \{\{\overline{(crs1)}
,\overline{(crs1)}
\}
,\{\overline{(crs1)}
,0
\}
\}
)n
)n
\}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
 <= (\underline{(fz)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
+(-u\underline{(\epsilon 2)}
)
)
)n
)n
\Rightarrow \underline{
\mathsf {n}}
 <= \underline{
\mathsf {m}}
\Rightarrow  \{ ph \mathrel{\in}  \{ ph \mathrel{\in} P(P(Union(\{N
,Q
\}
)
)
)
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op1)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op2)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\overline{(op1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(op2)}
 \mathrel{\in} Q
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\mathsf {a}
 _{Ph} 
 = \{\{\overline{(op1)}
,\overline{(op1)}
\}
,\{\overline{(op1)}
,\overline{(op2)}
\}
\}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\}
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \underline{
\mathsf {m}}
\colon \dot{\neg}\,(
\mathsf {e}
 _{Ph} 
 = \{\{\underline{
\mathsf {m}}
,\underline{
\mathsf {m}}
\}
,\{\underline{
\mathsf {m}}
,(\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
*\underline{(fz)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
)
\}
\}
)n
)n
\}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
 <= ( \{ ph \mathrel{\in}  \{ ph \mathrel{\in} P(P(Union(\{N
,Q
\}
)
)
)
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op1)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op2)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\overline{(op1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(op2)}
 \mathrel{\in} Q
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\mathsf {a}
 _{Ph} 
 = \{\{\overline{(op1)}
,\overline{(op1)}
\}
,\{\overline{(op1)}
,\overline{(op2)}
\}
\}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\}
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \underline{
\mathsf {m}}
\colon \dot{\neg}\,(
\mathsf {e}
 _{Ph} 
 = \{\{\underline{
\mathsf {m}}
,\underline{
\mathsf {m}}
\}
,\{\underline{
\mathsf {m}}
,(\underline{(fy)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
*\underline{(fz)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
)
\}
\}
)n
)n
\}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
+(-u(\underline{(\epsilon)_{1}}
*\underline{(\epsilon 2)}
)
)
)
\gg 
\forall_{obj} \underline{
\mathsf {m}}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(0
 <= \underline{(\epsilon)_{1}}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(0
 = \underline{(\epsilon)_{1}}
)n
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\underline{
\mathsf {n}}
 <= \underline{
\mathsf {m}}
\Rightarrow \underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
 <= (\underline{(fy)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
+(-u\underline{(\epsilon)_{1}}
)
)
)n
)n
\Rightarrow 
\forall_{obj} \underline{
\mathsf {m}}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(0
 <= \underline{(\epsilon 2)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(0
 = \underline{(\epsilon 2)}
)n
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\underline{
\mathsf {n}}
 <= \underline{
\mathsf {m}}
\Rightarrow  \{ ph \mathrel{\in}  \{ ph \mathrel{\in} P(P(Union(\{N
,Q
\}
)
)
)
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op1)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op2)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\overline{(op1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(op2)}
 \mathrel{\in} Q
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\mathsf {a}
 _{Ph} 
 = \{\{\overline{(op1)}
,\overline{(op1)}
\}
,\{\overline{(op1)}
,\overline{(op2)}
\}
\}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\}
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(crs1)}
\colon \dot{\neg}\,(
\mathsf {c}
 _{Ph} 
 = \{\{\overline{(crs1)}
,\overline{(crs1)}
\}
,\{\overline{(crs1)}
,0
\}
\}
)n
)n
\}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
 <= (\underline{(fz)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
+(-u\underline{(\epsilon 2)}
)
)
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(0
 <= (\underline{(\epsilon)_{1}}
*\underline{(\epsilon 2)}
)
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(0
 = (\underline{(\epsilon)_{1}}
*\underline{(\epsilon 2)}
)
)n
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\underline{
\mathsf {n}}
 <= \underline{
\mathsf {m}}
\Rightarrow  \{ ph \mathrel{\in}  \{ ph \mathrel{\in} P(P(Union(\{N
,Q
\}
)
)
)
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op1)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op2)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\overline{(op1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(op2)}
 \mathrel{\in} Q
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\mathsf {a}
 _{Ph} 
 = \{\{\overline{(op1)}
,\overline{(op1)}
\}
,\{\overline{(op1)}
,\overline{(op2)}
\}
\}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\}
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \underline{
\mathsf {m}}
\colon \dot{\neg}\,(
\mathsf {e}
 _{Ph} 
 = \{\{\underline{
\mathsf {m}}
,\underline{
\mathsf {m}}
\}
,\{\underline{
\mathsf {m}}
,(\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
*\underline{(fz)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
)
\}
\}
)n
)n
\}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
 <= ( \{ ph \mathrel{\in}  \{ ph \mathrel{\in} P(P(Union(\{N
,Q
\}
)
)
)
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op1)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op2)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\overline{(op1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(op2)}
 \mathrel{\in} Q
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\mathsf {a}
 _{Ph} 
 = \{\{\overline{(op1)}
,\overline{(op1)}
\}
,\{\overline{(op1)}
,\overline{(op2)}
\}
\}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\}
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \underline{
\mathsf {m}}
\colon \dot{\neg}\,(
\mathsf {e}
 _{Ph} 
 = \{\{\underline{
\mathsf {m}}
,\underline{
\mathsf {m}}
\}
,\{\underline{
\mathsf {m}}
,(\underline{(fy)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
*\underline{(fz)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
)
\}
\}
)n
)n
\}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
+(-u(\underline{(\epsilon)_{1}}
*\underline{(\epsilon 2)}
)
)
)
)n
)n
\rceil 
, 
p_0
, 
\mathsf {c}
)
]$

$
[LessMultiplication(F)
\stackrel{
stmt
}{\rightarrow}SystemQ
\vdash 
\forall \underline{
\mathsf {m}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf {n}}
\colon 
\forall \underline{(\epsilon)_{1}}
\colon 
\forall \underline{(\epsilon 2)}
\colon 
\forall \underline{(fx)}
\colon 
\forall \underline{(fy)}
\colon 
\forall \underline{(fz)}
\colon \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(\epsilon)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {n}}
\colon \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {m}}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(0
 <= \overline{(\epsilon)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(0
 = \overline{(\epsilon)}
)n
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{
\mathsf {n}}
 <= \overline{
\mathsf {m}}
\Rightarrow  \{ ph \mathrel{\in}  \{ ph \mathrel{\in} P(P(Union(\{N
,Q
\}
)
)
)
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op1)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op2)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\overline{(op1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(op2)}
 \mathrel{\in} Q
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\mathsf {a}
 _{Ph} 
 = \{\{\overline{(op1)}
,\overline{(op1)}
\}
,\{\overline{(op1)}
,\overline{(op2)}
\}
\}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\}
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(crs1)}
\colon \dot{\neg}\,(
\mathsf {c}
 _{Ph} 
 = \{\{\overline{(crs1)}
,\overline{(crs1)}
\}
,\{\overline{(crs1)}
,0
\}
\}
)n
)n
\}
[\overline{
\mathsf {m}}
]
 <= (\underline{(fz)}
[\overline{
\mathsf {m}}
]
+(-u\overline{(\epsilon)}
)
)
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\vdash \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(\epsilon)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {n}}
\colon \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {m}}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(0
 <= \overline{(\epsilon)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(0
 = \overline{(\epsilon)}
)n
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{
\mathsf {n}}
 <= \overline{
\mathsf {m}}
\Rightarrow \underline{(fx)}
[\overline{
\mathsf {m}}
]
 <= (\underline{(fy)}
[\overline{
\mathsf {m}}
]
+(-u\overline{(\epsilon)}
)
)
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\vdash \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(\epsilon)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {n}}
\colon \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {m}}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(0
 <= \overline{(\epsilon)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(0
 = \overline{(\epsilon)}
)n
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{
\mathsf {n}}
 <= \overline{
\mathsf {m}}
\Rightarrow  \{ ph \mathrel{\in}  \{ ph \mathrel{\in} P(P(Union(\{N
,Q
\}
)
)
)
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op1)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op2)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\overline{(op1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(op2)}
 \mathrel{\in} Q
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\mathsf {a}
 _{Ph} 
 = \{\{\overline{(op1)}
,\overline{(op1)}
\}
,\{\overline{(op1)}
,\overline{(op2)}
\}
\}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\}
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \underline{
\mathsf {m}}
\colon \dot{\neg}\,(
\mathsf {e}
 _{Ph} 
 = \{\{\underline{
\mathsf {m}}
,\underline{
\mathsf {m}}
\}
,\{\underline{
\mathsf {m}}
,(\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
*\underline{(fz)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
)
\}
\}
)n
)n
\}
[\overline{
\mathsf {m}}
]
 <= ( \{ ph \mathrel{\in}  \{ ph \mathrel{\in} P(P(Union(\{N
,Q
\}
)
)
)
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op1)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op2)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\overline{(op1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(op2)}
 \mathrel{\in} Q
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\mathsf {a}
 _{Ph} 
 = \{\{\overline{(op1)}
,\overline{(op1)}
\}
,\{\overline{(op1)}
,\overline{(op2)}
\}
\}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\}
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \underline{
\mathsf {m}}
\colon \dot{\neg}\,(
\mathsf {e}
 _{Ph} 
 = \{\{\underline{
\mathsf {m}}
,\underline{
\mathsf {m}}
\}
,\{\underline{
\mathsf {m}}
,(\underline{(fy)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
*\underline{(fz)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
)
\}
\}
)n
)n
\}
[\overline{
\mathsf {m}}
]
+(-u\overline{(\epsilon)}
)
)
)n
)n
)n
)n
)n
)n
]$

$
[LessMultiplication(F)
\stackrel{
proof
}{\rightarrow}
\lambda 
\mathsf {c}
.
\lambda 
\mathsf{x}
.
{\cal P}( 
\lceil SystemQ
\vdash 
\forall \underline{
\mathsf {m}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf {n}}
\colon 
\forall \underline{(\epsilon)_{1}}
\colon 
\forall \underline{(\epsilon 2)}
\colon 
\forall \underline{(fx)}
\colon 
\forall \underline{(fy)}
\colon 
\forall \underline{(fz)}
\colon \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(\epsilon)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {n}}
\colon \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {m}}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(0
 <= \overline{(\epsilon)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(0
 = \overline{(\epsilon)}
)n
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{
\mathsf {n}}
 <= \overline{
\mathsf {m}}
\Rightarrow  \{ ph \mathrel{\in}  \{ ph \mathrel{\in} P(P(Union(\{N
,Q
\}
)
)
)
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op1)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op2)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\overline{(op1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(op2)}
 \mathrel{\in} Q
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\mathsf {a}
 _{Ph} 
 = \{\{\overline{(op1)}
,\overline{(op1)}
\}
,\{\overline{(op1)}
,\overline{(op2)}
\}
\}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\}
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(crs1)}
\colon \dot{\neg}\,(
\mathsf {c}
 _{Ph} 
 = \{\{\overline{(crs1)}
,\overline{(crs1)}
\}
,\{\overline{(crs1)}
,0
\}
\}
)n
)n
\}
[\overline{
\mathsf {m}}
]
 <= (\underline{(fz)}
[\overline{
\mathsf {m}}
]
+(-u\overline{(\epsilon)}
)
)
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\vdash \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(\epsilon)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {n}}
\colon \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {m}}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(0
 <= \overline{(\epsilon)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(0
 = \overline{(\epsilon)}
)n
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{
\mathsf {n}}
 <= \overline{
\mathsf {m}}
\Rightarrow \underline{(fx)}
[\overline{
\mathsf {m}}
]
 <= (\underline{(fy)}
[\overline{
\mathsf {m}}
]
+(-u\overline{(\epsilon)}
)
)
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\vdash Repetition
\rhd \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(\epsilon)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {n}}
\colon \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {m}}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(0
 <= \overline{(\epsilon)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(0
 = \overline{(\epsilon)}
)n
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{
\mathsf {n}}
 <= \overline{
\mathsf {m}}
\Rightarrow \underline{(fx)}
[\overline{
\mathsf {m}}
]
 <= (\underline{(fy)}
[\overline{
\mathsf {m}}
]
+(-u\overline{(\epsilon)}
)
)
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\gg \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(\epsilon)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {n}}
\colon \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {m}}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(0
 <= \overline{(\epsilon)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(0
 = \overline{(\epsilon)}
)n
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{
\mathsf {n}}
 <= \overline{
\mathsf {m}}
\Rightarrow \underline{(fx)}
[\overline{
\mathsf {m}}
]
 <= (\underline{(fy)}
[\overline{
\mathsf {m}}
]
+(-u\overline{(\epsilon)}
)
)
)n
)n
)n
)n
)n
)n
; Ded
\rhd \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(\epsilon)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {n}}
\colon \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {m}}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(0
 <= \overline{(\epsilon)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(0
 = \overline{(\epsilon)}
)n
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{
\mathsf {n}}
 <= \overline{
\mathsf {m}}
\Rightarrow \underline{(fx)}
[\overline{
\mathsf {m}}
]
 <= (\underline{(fy)}
[\overline{
\mathsf {m}}
]
+(-u\overline{(\epsilon)}
)
)
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\gg \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \underline{(\epsilon)_{1}}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \underline{
\mathsf {n}}
\colon \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \underline{
\mathsf {m}}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(0
 <= \underline{(\epsilon)_{1}}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(0
 = \underline{(\epsilon)_{1}}
)n
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\underline{
\mathsf {n}}
 <= \underline{
\mathsf {m}}
\Rightarrow \underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
 <= (\underline{(fy)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
+(-u\underline{(\epsilon)_{1}}
)
)
)n
)n
)n
)n
)n
)n
; Repetition
\rhd \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(\epsilon)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {n}}
\colon \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {m}}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(0
 <= \overline{(\epsilon)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(0
 = \overline{(\epsilon)}
)n
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{
\mathsf {n}}
 <= \overline{
\mathsf {m}}
\Rightarrow  \{ ph \mathrel{\in}  \{ ph \mathrel{\in} P(P(Union(\{N
,Q
\}
)
)
)
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op1)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op2)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\overline{(op1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(op2)}
 \mathrel{\in} Q
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\mathsf {a}
 _{Ph} 
 = \{\{\overline{(op1)}
,\overline{(op1)}
\}
,\{\overline{(op1)}
,\overline{(op2)}
\}
\}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\}
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(crs1)}
\colon \dot{\neg}\,(
\mathsf {c}
 _{Ph} 
 = \{\{\overline{(crs1)}
,\overline{(crs1)}
\}
,\{\overline{(crs1)}
,0
\}
\}
)n
)n
\}
[\overline{
\mathsf {m}}
]
 <= (\underline{(fz)}
[\overline{
\mathsf {m}}
]
+(-u\overline{(\epsilon)}
)
)
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\gg \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(\epsilon)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {n}}
\colon \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {m}}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(0
 <= \overline{(\epsilon)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(0
 = \overline{(\epsilon)}
)n
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{
\mathsf {n}}
 <= \overline{
\mathsf {m}}
\Rightarrow  \{ ph \mathrel{\in}  \{ ph \mathrel{\in} P(P(Union(\{N
,Q
\}
)
)
)
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op1)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op2)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\overline{(op1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(op2)}
 \mathrel{\in} Q
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\mathsf {a}
 _{Ph} 
 = \{\{\overline{(op1)}
,\overline{(op1)}
\}
,\{\overline{(op1)}
,\overline{(op2)}
\}
\}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\}
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(crs1)}
\colon \dot{\neg}\,(
\mathsf {c}
 _{Ph} 
 = \{\{\overline{(crs1)}
,\overline{(crs1)}
\}
,\{\overline{(crs1)}
,0
\}
\}
)n
)n
\}
[\overline{
\mathsf {m}}
]
 <= (\underline{(fz)}
[\overline{
\mathsf {m}}
]
+(-u\overline{(\epsilon)}
)
)
)n
)n
)n
)n
)n
)n
; Ded
\rhd \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(\epsilon)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {n}}
\colon \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {m}}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(0
 <= \overline{(\epsilon)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(0
 = \overline{(\epsilon)}
)n
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{
\mathsf {n}}
 <= \overline{
\mathsf {m}}
\Rightarrow  \{ ph \mathrel{\in}  \{ ph \mathrel{\in} P(P(Union(\{N
,Q
\}
)
)
)
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op1)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op2)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\overline{(op1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(op2)}
 \mathrel{\in} Q
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\mathsf {a}
 _{Ph} 
 = \{\{\overline{(op1)}
,\overline{(op1)}
\}
,\{\overline{(op1)}
,\overline{(op2)}
\}
\}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\}
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(crs1)}
\colon \dot{\neg}\,(
\mathsf {c}
 _{Ph} 
 = \{\{\overline{(crs1)}
,\overline{(crs1)}
\}
,\{\overline{(crs1)}
,0
\}
\}
)n
)n
\}
[\overline{
\mathsf {m}}
]
 <= (\underline{(fz)}
[\overline{
\mathsf {m}}
]
+(-u\overline{(\epsilon)}
)
)
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\gg \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \underline{(\epsilon 2)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \underline{
\mathsf {n}}
\colon \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \underline{
\mathsf {m}}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(0
 <= \underline{(\epsilon 2)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(0
 = \underline{(\epsilon 2)}
)n
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\underline{
\mathsf {n}}
 <= \underline{
\mathsf {m}}
\Rightarrow  \{ ph \mathrel{\in}  \{ ph \mathrel{\in} P(P(Union(\{N
,Q
\}
)
)
)
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op1)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op2)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\overline{(op1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(op2)}
 \mathrel{\in} Q
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\mathsf {a}
 _{Ph} 
 = \{\{\overline{(op1)}
,\overline{(op1)}
\}
,\{\overline{(op1)}
,\overline{(op2)}
\}
\}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\}
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(crs1)}
\colon \dot{\neg}\,(
\mathsf {c}
 _{Ph} 
 = \{\{\overline{(crs1)}
,\overline{(crs1)}
\}
,\{\overline{(crs1)}
,0
\}
\}
)n
)n
\}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
 <= (\underline{(fz)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
+(-u\underline{(\epsilon 2)}
)
)
)n
)n
)n
)n
)n
)n
; LessMultiplication(F)(Helper)
\gg 
\forall_{obj} \underline{
\mathsf {m}}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(0
 <= \underline{(\epsilon)_{1}}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(0
 = \underline{(\epsilon)_{1}}
)n
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\underline{
\mathsf {n}}
 <= \underline{
\mathsf {m}}
\Rightarrow \underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
 <= (\underline{(fy)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
+(-u\underline{(\epsilon)_{1}}
)
)
)n
)n
\Rightarrow 
\forall_{obj} \underline{
\mathsf {m}}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(0
 <= \underline{(\epsilon 2)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(0
 = \underline{(\epsilon 2)}
)n
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\underline{
\mathsf {n}}
 <= \underline{
\mathsf {m}}
\Rightarrow  \{ ph \mathrel{\in}  \{ ph \mathrel{\in} P(P(Union(\{N
,Q
\}
)
)
)
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op1)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op2)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\overline{(op1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(op2)}
 \mathrel{\in} Q
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\mathsf {a}
 _{Ph} 
 = \{\{\overline{(op1)}
,\overline{(op1)}
\}
,\{\overline{(op1)}
,\overline{(op2)}
\}
\}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\}
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(crs1)}
\colon \dot{\neg}\,(
\mathsf {c}
 _{Ph} 
 = \{\{\overline{(crs1)}
,\overline{(crs1)}
\}
,\{\overline{(crs1)}
,0
\}
\}
)n
)n
\}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
 <= (\underline{(fz)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
+(-u\underline{(\epsilon 2)}
)
)
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(0
 <= (\underline{(\epsilon)_{1}}
*\underline{(\epsilon 2)}
)
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(0
 = (\underline{(\epsilon)_{1}}
*\underline{(\epsilon 2)}
)
)n
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\underline{
\mathsf {n}}
 <= \underline{
\mathsf {m}}
\Rightarrow  \{ ph \mathrel{\in}  \{ ph \mathrel{\in} P(P(Union(\{N
,Q
\}
)
)
)
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op1)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op2)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\overline{(op1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(op2)}
 \mathrel{\in} Q
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\mathsf {a}
 _{Ph} 
 = \{\{\overline{(op1)}
,\overline{(op1)}
\}
,\{\overline{(op1)}
,\overline{(op2)}
\}
\}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\}
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \underline{
\mathsf {m}}
\colon \dot{\neg}\,(
\mathsf {e}
 _{Ph} 
 = \{\{\underline{
\mathsf {m}}
,\underline{
\mathsf {m}}
\}
,\{\underline{
\mathsf {m}}
,(\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
*\underline{(fz)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
)
\}
\}
)n
)n
\}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
 <= ( \{ ph \mathrel{\in}  \{ ph \mathrel{\in} P(P(Union(\{N
,Q
\}
)
)
)
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op1)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op2)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\overline{(op1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(op2)}
 \mathrel{\in} Q
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\mathsf {a}
 _{Ph} 
 = \{\{\overline{(op1)}
,\overline{(op1)}
\}
,\{\overline{(op1)}
,\overline{(op2)}
\}
\}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\}
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \underline{
\mathsf {m}}
\colon \dot{\neg}\,(
\mathsf {e}
 _{Ph} 
 = \{\{\underline{
\mathsf {m}}
,\underline{
\mathsf {m}}
\}
,\{\underline{
\mathsf {m}}
,(\underline{(fy)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
*\underline{(fz)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
)
\}
\}
)n
)n
\}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
+(-u(\underline{(\epsilon)_{1}}
*\underline{(\epsilon 2)}
)
)
)
)n
)n
; TwiceExistMP2
\rhd 
\forall_{obj} \underline{
\mathsf {m}}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(0
 <= \underline{(\epsilon)_{1}}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(0
 = \underline{(\epsilon)_{1}}
)n
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\underline{
\mathsf {n}}
 <= \underline{
\mathsf {m}}
\Rightarrow \underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
 <= (\underline{(fy)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
+(-u\underline{(\epsilon)_{1}}
)
)
)n
)n
\Rightarrow 
\forall_{obj} \underline{
\mathsf {m}}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(0
 <= \underline{(\epsilon 2)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(0
 = \underline{(\epsilon 2)}
)n
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\underline{
\mathsf {n}}
 <= \underline{
\mathsf {m}}
\Rightarrow  \{ ph \mathrel{\in}  \{ ph \mathrel{\in} P(P(Union(\{N
,Q
\}
)
)
)
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op1)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op2)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\overline{(op1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(op2)}
 \mathrel{\in} Q
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\mathsf {a}
 _{Ph} 
 = \{\{\overline{(op1)}
,\overline{(op1)}
\}
,\{\overline{(op1)}
,\overline{(op2)}
\}
\}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\}
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(crs1)}
\colon \dot{\neg}\,(
\mathsf {c}
 _{Ph} 
 = \{\{\overline{(crs1)}
,\overline{(crs1)}
\}
,\{\overline{(crs1)}
,0
\}
\}
)n
)n
\}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
 <= (\underline{(fz)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
+(-u\underline{(\epsilon 2)}
)
)
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(0
 <= (\underline{(\epsilon)_{1}}
*\underline{(\epsilon 2)}
)
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(0
 = (\underline{(\epsilon)_{1}}
*\underline{(\epsilon 2)}
)
)n
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\underline{
\mathsf {n}}
 <= \underline{
\mathsf {m}}
\Rightarrow  \{ ph \mathrel{\in}  \{ ph \mathrel{\in} P(P(Union(\{N
,Q
\}
)
)
)
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op1)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op2)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\overline{(op1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(op2)}
 \mathrel{\in} Q
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\mathsf {a}
 _{Ph} 
 = \{\{\overline{(op1)}
,\overline{(op1)}
\}
,\{\overline{(op1)}
,\overline{(op2)}
\}
\}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\}
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \underline{
\mathsf {m}}
\colon \dot{\neg}\,(
\mathsf {e}
 _{Ph} 
 = \{\{\underline{
\mathsf {m}}
,\underline{
\mathsf {m}}
\}
,\{\underline{
\mathsf {m}}
,(\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
*\underline{(fz)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
)
\}
\}
)n
)n
\}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
 <= ( \{ ph \mathrel{\in}  \{ ph \mathrel{\in} P(P(Union(\{N
,Q
\}
)
)
)
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op1)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op2)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\overline{(op1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(op2)}
 \mathrel{\in} Q
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\mathsf {a}
 _{Ph} 
 = \{\{\overline{(op1)}
,\overline{(op1)}
\}
,\{\overline{(op1)}
,\overline{(op2)}
\}
\}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\}
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \underline{
\mathsf {m}}
\colon \dot{\neg}\,(
\mathsf {e}
 _{Ph} 
 = \{\{\underline{
\mathsf {m}}
,\underline{
\mathsf {m}}
\}
,\{\underline{
\mathsf {m}}
,(\underline{(fy)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
*\underline{(fz)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
)
\}
\}
)n
)n
\}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
+(-u(\underline{(\epsilon)_{1}}
*\underline{(\epsilon 2)}
)
)
)
)n
)n
\rhd \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \underline{(\epsilon)_{1}}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \underline{
\mathsf {n}}
\colon \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \underline{
\mathsf {m}}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(0
 <= \underline{(\epsilon)_{1}}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(0
 = \underline{(\epsilon)_{1}}
)n
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\underline{
\mathsf {n}}
 <= \underline{
\mathsf {m}}
\Rightarrow \underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
 <= (\underline{(fy)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
+(-u\underline{(\epsilon)_{1}}
)
)
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\rhd \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \underline{(\epsilon 2)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \underline{
\mathsf {n}}
\colon \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \underline{
\mathsf {m}}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(0
 <= \underline{(\epsilon 2)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(0
 = \underline{(\epsilon 2)}
)n
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\underline{
\mathsf {n}}
 <= \underline{
\mathsf {m}}
\Rightarrow  \{ ph \mathrel{\in}  \{ ph \mathrel{\in} P(P(Union(\{N
,Q
\}
)
)
)
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op1)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op2)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\overline{(op1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(op2)}
 \mathrel{\in} Q
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\mathsf {a}
 _{Ph} 
 = \{\{\overline{(op1)}
,\overline{(op1)}
\}
,\{\overline{(op1)}
,\overline{(op2)}
\}
\}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\}
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(crs1)}
\colon \dot{\neg}\,(
\mathsf {c}
 _{Ph} 
 = \{\{\overline{(crs1)}
,\overline{(crs1)}
\}
,\{\overline{(crs1)}
,0
\}
\}
)n
)n
\}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
 <= (\underline{(fz)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
+(-u\underline{(\epsilon 2)}
)
)
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\gg \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(0
 <= (\underline{(\epsilon)_{1}}
*\underline{(\epsilon 2)}
)
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(0
 = (\underline{(\epsilon)_{1}}
*\underline{(\epsilon 2)}
)
)n
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\underline{
\mathsf {n}}
 <= \underline{
\mathsf {m}}
\Rightarrow  \{ ph \mathrel{\in}  \{ ph \mathrel{\in} P(P(Union(\{N
,Q
\}
)
)
)
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op1)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op2)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\overline{(op1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(op2)}
 \mathrel{\in} Q
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\mathsf {a}
 _{Ph} 
 = \{\{\overline{(op1)}
,\overline{(op1)}
\}
,\{\overline{(op1)}
,\overline{(op2)}
\}
\}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\}
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \underline{
\mathsf {m}}
\colon \dot{\neg}\,(
\mathsf {e}
 _{Ph} 
 = \{\{\underline{
\mathsf {m}}
,\underline{
\mathsf {m}}
\}
,\{\underline{
\mathsf {m}}
,(\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
*\underline{(fz)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
)
\}
\}
)n
)n
\}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
 <= ( \{ ph \mathrel{\in}  \{ ph \mathrel{\in} P(P(Union(\{N
,Q
\}
)
)
)
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op1)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op2)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\overline{(op1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(op2)}
 \mathrel{\in} Q
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\mathsf {a}
 _{Ph} 
 = \{\{\overline{(op1)}
,\overline{(op1)}
\}
,\{\overline{(op1)}
,\overline{(op2)}
\}
\}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\}
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \underline{
\mathsf {m}}
\colon \dot{\neg}\,(
\mathsf {e}
 _{Ph} 
 = \{\{\underline{
\mathsf {m}}
,\underline{
\mathsf {m}}
\}
,\{\underline{
\mathsf {m}}
,(\underline{(fy)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
*\underline{(fz)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
)
\}
\}
)n
)n
\}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
+(-u(\underline{(\epsilon)_{1}}
*\underline{(\epsilon 2)}
)
)
)
)n
)n
; Gen
\rhd \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(0
 <= (\underline{(\epsilon)_{1}}
*\underline{(\epsilon 2)}
)
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(0
 = (\underline{(\epsilon)_{1}}
*\underline{(\epsilon 2)}
)
)n
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\underline{
\mathsf {n}}
 <= \underline{
\mathsf {m}}
\Rightarrow  \{ ph \mathrel{\in}  \{ ph \mathrel{\in} P(P(Union(\{N
,Q
\}
)
)
)
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op1)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op2)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\overline{(op1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(op2)}
 \mathrel{\in} Q
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\mathsf {a}
 _{Ph} 
 = \{\{\overline{(op1)}
,\overline{(op1)}
\}
,\{\overline{(op1)}
,\overline{(op2)}
\}
\}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\}
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \underline{
\mathsf {m}}
\colon \dot{\neg}\,(
\mathsf {e}
 _{Ph} 
 = \{\{\underline{
\mathsf {m}}
,\underline{
\mathsf {m}}
\}
,\{\underline{
\mathsf {m}}
,(\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
*\underline{(fz)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
)
\}
\}
)n
)n
\}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
 <= ( \{ ph \mathrel{\in}  \{ ph \mathrel{\in} P(P(Union(\{N
,Q
\}
)
)
)
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op1)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op2)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\overline{(op1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(op2)}
 \mathrel{\in} Q
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\mathsf {a}
 _{Ph} 
 = \{\{\overline{(op1)}
,\overline{(op1)}
\}
,\{\overline{(op1)}
,\overline{(op2)}
\}
\}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\}
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \underline{
\mathsf {m}}
\colon \dot{\neg}\,(
\mathsf {e}
 _{Ph} 
 = \{\{\underline{
\mathsf {m}}
,\underline{
\mathsf {m}}
\}
,\{\underline{
\mathsf {m}}
,(\underline{(fy)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
*\underline{(fz)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
)
\}
\}
)n
)n
\}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
+(-u(\underline{(\epsilon)_{1}}
*\underline{(\epsilon 2)}
)
)
)
)n
)n
\gg 
\forall_{obj} \underline{
\mathsf {m}}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(0
 <= (\underline{(\epsilon)_{1}}
*\underline{(\epsilon 2)}
)
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(0
 = (\underline{(\epsilon)_{1}}
*\underline{(\epsilon 2)}
)
)n
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\underline{
\mathsf {n}}
 <= \underline{
\mathsf {m}}
\Rightarrow  \{ ph \mathrel{\in}  \{ ph \mathrel{\in} P(P(Union(\{N
,Q
\}
)
)
)
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op1)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op2)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\overline{(op1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(op2)}
 \mathrel{\in} Q
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\mathsf {a}
 _{Ph} 
 = \{\{\overline{(op1)}
,\overline{(op1)}
\}
,\{\overline{(op1)}
,\overline{(op2)}
\}
\}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\}
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \underline{
\mathsf {m}}
\colon \dot{\neg}\,(
\mathsf {e}
 _{Ph} 
 = \{\{\underline{
\mathsf {m}}
,\underline{
\mathsf {m}}
\}
,\{\underline{
\mathsf {m}}
,(\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
*\underline{(fz)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
)
\}
\}
)n
)n
\}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
 <= ( \{ ph \mathrel{\in}  \{ ph \mathrel{\in} P(P(Union(\{N
,Q
\}
)
)
)
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op1)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op2)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\overline{(op1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(op2)}
 \mathrel{\in} Q
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\mathsf {a}
 _{Ph} 
 = \{\{\overline{(op1)}
,\overline{(op1)}
\}
,\{\overline{(op1)}
,\overline{(op2)}
\}
\}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\}
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \underline{
\mathsf {m}}
\colon \dot{\neg}\,(
\mathsf {e}
 _{Ph} 
 = \{\{\underline{
\mathsf {m}}
,\underline{
\mathsf {m}}
\}
,\{\underline{
\mathsf {m}}
,(\underline{(fy)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
*\underline{(fz)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
)
\}
\}
)n
)n
\}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
+(-u(\underline{(\epsilon)_{1}}
*\underline{(\epsilon 2)}
)
)
)
)n
)n
; IntroExist
\mathop {\char64} \underline{
\mathsf {n}}
\rhd 
\forall_{obj} \underline{
\mathsf {m}}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(0
 <= (\underline{(\epsilon)_{1}}
*\underline{(\epsilon 2)}
)
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(0
 = (\underline{(\epsilon)_{1}}
*\underline{(\epsilon 2)}
)
)n
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\underline{
\mathsf {n}}
 <= \underline{
\mathsf {m}}
\Rightarrow  \{ ph \mathrel{\in}  \{ ph \mathrel{\in} P(P(Union(\{N
,Q
\}
)
)
)
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op1)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op2)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\overline{(op1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(op2)}
 \mathrel{\in} Q
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\mathsf {a}
 _{Ph} 
 = \{\{\overline{(op1)}
,\overline{(op1)}
\}
,\{\overline{(op1)}
,\overline{(op2)}
\}
\}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\}
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \underline{
\mathsf {m}}
\colon \dot{\neg}\,(
\mathsf {e}
 _{Ph} 
 = \{\{\underline{
\mathsf {m}}
,\underline{
\mathsf {m}}
\}
,\{\underline{
\mathsf {m}}
,(\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
*\underline{(fz)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
)
\}
\}
)n
)n
\}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
 <= ( \{ ph \mathrel{\in}  \{ ph \mathrel{\in} P(P(Union(\{N
,Q
\}
)
)
)
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op1)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op2)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\overline{(op1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(op2)}
 \mathrel{\in} Q
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\mathsf {a}
 _{Ph} 
 = \{\{\overline{(op1)}
,\overline{(op1)}
\}
,\{\overline{(op1)}
,\overline{(op2)}
\}
\}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\}
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \underline{
\mathsf {m}}
\colon \dot{\neg}\,(
\mathsf {e}
 _{Ph} 
 = \{\{\underline{
\mathsf {m}}
,\underline{
\mathsf {m}}
\}
,\{\underline{
\mathsf {m}}
,(\underline{(fy)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
*\underline{(fz)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
)
\}
\}
)n
)n
\}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
+(-u(\underline{(\epsilon)_{1}}
*\underline{(\epsilon 2)}
)
)
)
)n
)n
\gg \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \underline{
\mathsf {n}}
\colon \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \underline{
\mathsf {m}}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(0
 <= (\underline{(\epsilon)_{1}}
*\underline{(\epsilon 2)}
)
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(0
 = (\underline{(\epsilon)_{1}}
*\underline{(\epsilon 2)}
)
)n
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\underline{
\mathsf {n}}
 <= \underline{
\mathsf {m}}
\Rightarrow  \{ ph \mathrel{\in}  \{ ph \mathrel{\in} P(P(Union(\{N
,Q
\}
)
)
)
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op1)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op2)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\overline{(op1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(op2)}
 \mathrel{\in} Q
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\mathsf {a}
 _{Ph} 
 = \{\{\overline{(op1)}
,\overline{(op1)}
\}
,\{\overline{(op1)}
,\overline{(op2)}
\}
\}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\}
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \underline{
\mathsf {m}}
\colon \dot{\neg}\,(
\mathsf {e}
 _{Ph} 
 = \{\{\underline{
\mathsf {m}}
,\underline{
\mathsf {m}}
\}
,\{\underline{
\mathsf {m}}
,(\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
*\underline{(fz)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
)
\}
\}
)n
)n
\}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
 <= ( \{ ph \mathrel{\in}  \{ ph \mathrel{\in} P(P(Union(\{N
,Q
\}
)
)
)
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op1)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op2)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\overline{(op1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(op2)}
 \mathrel{\in} Q
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\mathsf {a}
 _{Ph} 
 = \{\{\overline{(op1)}
,\overline{(op1)}
\}
,\{\overline{(op1)}
,\overline{(op2)}
\}
\}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\}
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \underline{
\mathsf {m}}
\colon \dot{\neg}\,(
\mathsf {e}
 _{Ph} 
 = \{\{\underline{
\mathsf {m}}
,\underline{
\mathsf {m}}
\}
,\{\underline{
\mathsf {m}}
,(\underline{(fy)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
*\underline{(fz)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
)
\}
\}
)n
)n
\}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
+(-u(\underline{(\epsilon)_{1}}
*\underline{(\epsilon 2)}
)
)
)
)n
)n
)n
)n
; IntroExist
\mathop {\char64} (\underline{(\epsilon)_{1}}
*\underline{(\epsilon 2)}
)
\rhd \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \underline{
\mathsf {n}}
\colon \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \underline{
\mathsf {m}}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(0
 <= (\underline{(\epsilon)_{1}}
*\underline{(\epsilon 2)}
)
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(0
 = (\underline{(\epsilon)_{1}}
*\underline{(\epsilon 2)}
)
)n
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\underline{
\mathsf {n}}
 <= \underline{
\mathsf {m}}
\Rightarrow  \{ ph \mathrel{\in}  \{ ph \mathrel{\in} P(P(Union(\{N
,Q
\}
)
)
)
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op1)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op2)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\overline{(op1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(op2)}
 \mathrel{\in} Q
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\mathsf {a}
 _{Ph} 
 = \{\{\overline{(op1)}
,\overline{(op1)}
\}
,\{\overline{(op1)}
,\overline{(op2)}
\}
\}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\}
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \underline{
\mathsf {m}}
\colon \dot{\neg}\,(
\mathsf {e}
 _{Ph} 
 = \{\{\underline{
\mathsf {m}}
,\underline{
\mathsf {m}}
\}
,\{\underline{
\mathsf {m}}
,(\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
*\underline{(fz)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
)
\}
\}
)n
)n
\}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
 <= ( \{ ph \mathrel{\in}  \{ ph \mathrel{\in} P(P(Union(\{N
,Q
\}
)
)
)
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op1)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op2)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\overline{(op1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(op2)}
 \mathrel{\in} Q
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\mathsf {a}
 _{Ph} 
 = \{\{\overline{(op1)}
,\overline{(op1)}
\}
,\{\overline{(op1)}
,\overline{(op2)}
\}
\}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\}
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \underline{
\mathsf {m}}
\colon \dot{\neg}\,(
\mathsf {e}
 _{Ph} 
 = \{\{\underline{
\mathsf {m}}
,\underline{
\mathsf {m}}
\}
,\{\underline{
\mathsf {m}}
,(\underline{(fy)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
*\underline{(fz)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
)
\}
\}
)n
)n
\}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
+(-u(\underline{(\epsilon)_{1}}
*\underline{(\epsilon 2)}
)
)
)
)n
)n
)n
)n
\gg \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \underline{(\epsilon)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \underline{
\mathsf {n}}
\colon \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \underline{
\mathsf {m}}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(0
 <= \underline{(\epsilon)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(0
 = \underline{(\epsilon)}
)n
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\underline{
\mathsf {n}}
 <= \underline{
\mathsf {m}}
\Rightarrow  \{ ph \mathrel{\in}  \{ ph \mathrel{\in} P(P(Union(\{N
,Q
\}
)
)
)
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op1)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op2)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\overline{(op1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(op2)}
 \mathrel{\in} Q
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\mathsf {a}
 _{Ph} 
 = \{\{\overline{(op1)}
,\overline{(op1)}
\}
,\{\overline{(op1)}
,\overline{(op2)}
\}
\}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\}
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \underline{
\mathsf {m}}
\colon \dot{\neg}\,(
\mathsf {e}
 _{Ph} 
 = \{\{\underline{
\mathsf {m}}
,\underline{
\mathsf {m}}
\}
,\{\underline{
\mathsf {m}}
,(\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
*\underline{(fz)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
)
\}
\}
)n
)n
\}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
 <= ( \{ ph \mathrel{\in}  \{ ph \mathrel{\in} P(P(Union(\{N
,Q
\}
)
)
)
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op1)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op2)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\overline{(op1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(op2)}
 \mathrel{\in} Q
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\mathsf {a}
 _{Ph} 
 = \{\{\overline{(op1)}
,\overline{(op1)}
\}
,\{\overline{(op1)}
,\overline{(op2)}
\}
\}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\}
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \underline{
\mathsf {m}}
\colon \dot{\neg}\,(
\mathsf {e}
 _{Ph} 
 = \{\{\underline{
\mathsf {m}}
,\underline{
\mathsf {m}}
\}
,\{\underline{
\mathsf {m}}
,(\underline{(fy)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
*\underline{(fz)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
)
\}
\}
)n
)n
\}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
+(-u\underline{(\epsilon)}
)
)
)n
)n
)n
)n
)n
)n
; Ded
\rhd \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \underline{(\epsilon)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \underline{
\mathsf {n}}
\colon \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \underline{
\mathsf {m}}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(0
 <= \underline{(\epsilon)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(0
 = \underline{(\epsilon)}
)n
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\underline{
\mathsf {n}}
 <= \underline{
\mathsf {m}}
\Rightarrow  \{ ph \mathrel{\in}  \{ ph \mathrel{\in} P(P(Union(\{N
,Q
\}
)
)
)
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op1)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op2)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\overline{(op1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(op2)}
 \mathrel{\in} Q
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\mathsf {a}
 _{Ph} 
 = \{\{\overline{(op1)}
,\overline{(op1)}
\}
,\{\overline{(op1)}
,\overline{(op2)}
\}
\}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\}
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \underline{
\mathsf {m}}
\colon \dot{\neg}\,(
\mathsf {e}
 _{Ph} 
 = \{\{\underline{
\mathsf {m}}
,\underline{
\mathsf {m}}
\}
,\{\underline{
\mathsf {m}}
,(\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
*\underline{(fz)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
)
\}
\}
)n
)n
\}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
 <= ( \{ ph \mathrel{\in}  \{ ph \mathrel{\in} P(P(Union(\{N
,Q
\}
)
)
)
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op1)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op2)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\overline{(op1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(op2)}
 \mathrel{\in} Q
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\mathsf {a}
 _{Ph} 
 = \{\{\overline{(op1)}
,\overline{(op1)}
\}
,\{\overline{(op1)}
,\overline{(op2)}
\}
\}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\}
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \underline{
\mathsf {m}}
\colon \dot{\neg}\,(
\mathsf {e}
 _{Ph} 
 = \{\{\underline{
\mathsf {m}}
,\underline{
\mathsf {m}}
\}
,\{\underline{
\mathsf {m}}
,(\underline{(fy)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
*\underline{(fz)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
)
\}
\}
)n
)n
\}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
+(-u\underline{(\epsilon)}
)
)
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\gg \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(\epsilon)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {n}}
\colon \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {m}}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(0
 <= \overline{(\epsilon)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(0
 = \overline{(\epsilon)}
)n
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{
\mathsf {n}}
 <= \overline{
\mathsf {m}}
\Rightarrow  \{ ph \mathrel{\in}  \{ ph \mathrel{\in} P(P(Union(\{N
,Q
\}
)
)
)
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op1)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op2)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\overline{(op1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(op2)}
 \mathrel{\in} Q
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\mathsf {a}
 _{Ph} 
 = \{\{\overline{(op1)}
,\overline{(op1)}
\}
,\{\overline{(op1)}
,\overline{(op2)}
\}
\}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\}
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \underline{
\mathsf {m}}
\colon \dot{\neg}\,(
\mathsf {e}
 _{Ph} 
 = \{\{\underline{
\mathsf {m}}
,\underline{
\mathsf {m}}
\}
,\{\underline{
\mathsf {m}}
,(\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
*\underline{(fz)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
)
\}
\}
)n
)n
\}
[\overline{
\mathsf {m}}
]
 <= ( \{ ph \mathrel{\in}  \{ ph \mathrel{\in} P(P(Union(\{N
,Q
\}
)
)
)
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op1)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op2)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\overline{(op1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(op2)}
 \mathrel{\in} Q
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\mathsf {a}
 _{Ph} 
 = \{\{\overline{(op1)}
,\overline{(op1)}
\}
,\{\overline{(op1)}
,\overline{(op2)}
\}
\}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\}
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \underline{
\mathsf {m}}
\colon \dot{\neg}\,(
\mathsf {e}
 _{Ph} 
 = \{\{\underline{
\mathsf {m}}
,\underline{
\mathsf {m}}
\}
,\{\underline{
\mathsf {m}}
,(\underline{(fy)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
*\underline{(fz)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
)
\}
\}
)n
)n
\}
[\overline{
\mathsf {m}}
]
+(-u\overline{(\epsilon)}
)
)
)n
)n
)n
)n
)n
)n
; Repetition
\rhd \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(\epsilon)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {n}}
\colon \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {m}}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(0
 <= \overline{(\epsilon)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(0
 = \overline{(\epsilon)}
)n
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{
\mathsf {n}}
 <= \overline{
\mathsf {m}}
\Rightarrow  \{ ph \mathrel{\in}  \{ ph \mathrel{\in} P(P(Union(\{N
,Q
\}
)
)
)
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op1)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op2)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\overline{(op1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(op2)}
 \mathrel{\in} Q
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\mathsf {a}
 _{Ph} 
 = \{\{\overline{(op1)}
,\overline{(op1)}
\}
,\{\overline{(op1)}
,\overline{(op2)}
\}
\}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\}
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \underline{
\mathsf {m}}
\colon \dot{\neg}\,(
\mathsf {e}
 _{Ph} 
 = \{\{\underline{
\mathsf {m}}
,\underline{
\mathsf {m}}
\}
,\{\underline{
\mathsf {m}}
,(\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
*\underline{(fz)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
)
\}
\}
)n
)n
\}
[\overline{
\mathsf {m}}
]
 <= ( \{ ph \mathrel{\in}  \{ ph \mathrel{\in} P(P(Union(\{N
,Q
\}
)
)
)
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op1)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op2)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\overline{(op1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(op2)}
 \mathrel{\in} Q
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\mathsf {a}
 _{Ph} 
 = \{\{\overline{(op1)}
,\overline{(op1)}
\}
,\{\overline{(op1)}
,\overline{(op2)}
\}
\}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\}
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \underline{
\mathsf {m}}
\colon \dot{\neg}\,(
\mathsf {e}
 _{Ph} 
 = \{\{\underline{
\mathsf {m}}
,\underline{
\mathsf {m}}
\}
,\{\underline{
\mathsf {m}}
,(\underline{(fy)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
*\underline{(fz)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
)
\}
\}
)n
)n
\}
[\overline{
\mathsf {m}}
]
+(-u\overline{(\epsilon)}
)
)
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\gg \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(\epsilon)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {n}}
\colon \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {m}}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(0
 <= \overline{(\epsilon)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(0
 = \overline{(\epsilon)}
)n
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{
\mathsf {n}}
 <= \overline{
\mathsf {m}}
\Rightarrow  \{ ph \mathrel{\in}  \{ ph \mathrel{\in} P(P(Union(\{N
,Q
\}
)
)
)
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op1)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op2)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\overline{(op1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(op2)}
 \mathrel{\in} Q
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\mathsf {a}
 _{Ph} 
 = \{\{\overline{(op1)}
,\overline{(op1)}
\}
,\{\overline{(op1)}
,\overline{(op2)}
\}
\}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\}
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \underline{
\mathsf {m}}
\colon \dot{\neg}\,(
\mathsf {e}
 _{Ph} 
 = \{\{\underline{
\mathsf {m}}
,\underline{
\mathsf {m}}
\}
,\{\underline{
\mathsf {m}}
,(\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
*\underline{(fz)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
)
\}
\}
)n
)n
\}
[\overline{
\mathsf {m}}
]
 <= ( \{ ph \mathrel{\in}  \{ ph \mathrel{\in} P(P(Union(\{N
,Q
\}
)
)
)
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op1)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op2)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\overline{(op1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(op2)}
 \mathrel{\in} Q
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\mathsf {a}
 _{Ph} 
 = \{\{\overline{(op1)}
,\overline{(op1)}
\}
,\{\overline{(op1)}
,\overline{(op2)}
\}
\}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\}
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \underline{
\mathsf {m}}
\colon \dot{\neg}\,(
\mathsf {e}
 _{Ph} 
 = \{\{\underline{
\mathsf {m}}
,\underline{
\mathsf {m}}
\}
,\{\underline{
\mathsf {m}}
,(\underline{(fy)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
*\underline{(fz)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
)
\}
\}
)n
)n
\}
[\overline{
\mathsf {m}}
]
+(-u\overline{(\epsilon)}
)
)
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\rceil 
, 
p_0
, 
\mathsf {c}
)
]$



$
[LessMultiplication(R)
\stackrel{
stmt
}{\rightarrow}SystemQ
\vdash 
\forall \underline{(fx)}
\colon 
\forall \underline{(fy)}
\colon 
\forall \underline{(fz)}
\colon \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(\epsilon)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {n}}
\colon \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {m}}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(0
 <= \overline{(\epsilon)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(0
 = \overline{(\epsilon)}
)n
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{
\mathsf {n}}
 <= \overline{
\mathsf {m}}
\Rightarrow  \{ ph \mathrel{\in}  \{ ph \mathrel{\in} P(P(Union(\{N
,Q
\}
)
)
)
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op1)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op2)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\overline{(op1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(op2)}
 \mathrel{\in} Q
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\mathsf {a}
 _{Ph} 
 = \{\{\overline{(op1)}
,\overline{(op1)}
\}
,\{\overline{(op1)}
,\overline{(op2)}
\}
\}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\}
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(crs1)}
\colon \dot{\neg}\,(
\mathsf {c}
 _{Ph} 
 = \{\{\overline{(crs1)}
,\overline{(crs1)}
\}
,\{\overline{(crs1)}
,0
\}
\}
)n
)n
\}
[\overline{
\mathsf {m}}
]
 <= (\underline{(fz)}
[\overline{
\mathsf {m}}
]
+(-u\overline{(\epsilon)}
)
)
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\vdash \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(\epsilon)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {n}}
\colon \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {m}}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(0
 <= \overline{(\epsilon)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(0
 = \overline{(\epsilon)}
)n
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{
\mathsf {n}}
 <= \overline{
\mathsf {m}}
\Rightarrow \underline{(fx)}
[\overline{
\mathsf {m}}
]
 <= (\underline{(fy)}
[\overline{
\mathsf {m}}
]
+(-u\overline{(\epsilon)}
)
)
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\vdash \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(\epsilon)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {n}}
\colon \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {m}}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(0
 <= \overline{(\epsilon)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(0
 = \overline{(\epsilon)}
)n
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{
\mathsf {n}}
 <= \overline{
\mathsf {m}}
\Rightarrow  \{ ph \mathrel{\in}  \{ ph \mathrel{\in} P(P(Union(\{N
,Q
\}
)
)
)
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op1)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op2)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\overline{(op1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(op2)}
 \mathrel{\in} Q
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\mathsf {a}
 _{Ph} 
 = \{\{\overline{(op1)}
,\overline{(op1)}
\}
,\{\overline{(op1)}
,\overline{(op2)}
\}
\}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\}
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \underline{
\mathsf {m}}
\colon \dot{\neg}\,(
\mathsf {e}
 _{Ph} 
 = \{\{\underline{
\mathsf {m}}
,\underline{
\mathsf {m}}
\}
,\{\underline{
\mathsf {m}}
,(\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
*\underline{(fz)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
)
\}
\}
)n
)n
\}
[\overline{
\mathsf {m}}
]
 <= ( \{ ph \mathrel{\in}  \{ ph \mathrel{\in} P(P(Union(\{N
,Q
\}
)
)
)
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op1)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op2)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\overline{(op1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(op2)}
 \mathrel{\in} Q
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\mathsf {a}
 _{Ph} 
 = \{\{\overline{(op1)}
,\overline{(op1)}
\}
,\{\overline{(op1)}
,\overline{(op2)}
\}
\}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\}
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \underline{
\mathsf {m}}
\colon \dot{\neg}\,(
\mathsf {e}
 _{Ph} 
 = \{\{\underline{
\mathsf {m}}
,\underline{
\mathsf {m}}
\}
,\{\underline{
\mathsf {m}}
,(\underline{(fy)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
*\underline{(fz)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
)
\}
\}
)n
)n
\}
[\overline{
\mathsf {m}}
]
+(-u\overline{(\epsilon)}
)
)
)n
)n
)n
)n
)n
)n
]$

$
[LessMultiplication(R)
\stackrel{
proof
}{\rightarrow}
\lambda 
\mathsf {c}
.
\lambda 
\mathsf{x}
.
{\cal P}( 
\lceil SystemQ
\vdash 
\forall \underline{(fx)}
\colon 
\forall \underline{(fy)}
\colon 
\forall \underline{(fz)}
\colon \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(\epsilon)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {n}}
\colon \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {m}}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(0
 <= \overline{(\epsilon)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(0
 = \overline{(\epsilon)}
)n
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{
\mathsf {n}}
 <= \overline{
\mathsf {m}}
\Rightarrow  \{ ph \mathrel{\in}  \{ ph \mathrel{\in} P(P(Union(\{N
,Q
\}
)
)
)
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op1)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op2)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\overline{(op1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(op2)}
 \mathrel{\in} Q
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\mathsf {a}
 _{Ph} 
 = \{\{\overline{(op1)}
,\overline{(op1)}
\}
,\{\overline{(op1)}
,\overline{(op2)}
\}
\}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\}
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(crs1)}
\colon \dot{\neg}\,(
\mathsf {c}
 _{Ph} 
 = \{\{\overline{(crs1)}
,\overline{(crs1)}
\}
,\{\overline{(crs1)}
,0
\}
\}
)n
)n
\}
[\overline{
\mathsf {m}}
]
 <= (\underline{(fz)}
[\overline{
\mathsf {m}}
]
+(-u\overline{(\epsilon)}
)
)
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\vdash \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(\epsilon)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {n}}
\colon \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {m}}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(0
 <= \overline{(\epsilon)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(0
 = \overline{(\epsilon)}
)n
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{
\mathsf {n}}
 <= \overline{
\mathsf {m}}
\Rightarrow \underline{(fx)}
[\overline{
\mathsf {m}}
]
 <= (\underline{(fy)}
[\overline{
\mathsf {m}}
]
+(-u\overline{(\epsilon)}
)
)
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\vdash Repetition
\rhd \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(\epsilon)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {n}}
\colon \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {m}}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(0
 <= \overline{(\epsilon)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(0
 = \overline{(\epsilon)}
)n
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{
\mathsf {n}}
 <= \overline{
\mathsf {m}}
\Rightarrow  \{ ph \mathrel{\in}  \{ ph \mathrel{\in} P(P(Union(\{N
,Q
\}
)
)
)
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op1)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op2)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\overline{(op1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(op2)}
 \mathrel{\in} Q
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\mathsf {a}
 _{Ph} 
 = \{\{\overline{(op1)}
,\overline{(op1)}
\}
,\{\overline{(op1)}
,\overline{(op2)}
\}
\}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\}
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(crs1)}
\colon \dot{\neg}\,(
\mathsf {c}
 _{Ph} 
 = \{\{\overline{(crs1)}
,\overline{(crs1)}
\}
,\{\overline{(crs1)}
,0
\}
\}
)n
)n
\}
[\overline{
\mathsf {m}}
]
 <= (\underline{(fz)}
[\overline{
\mathsf {m}}
]
+(-u\overline{(\epsilon)}
)
)
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\gg \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(\epsilon)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {n}}
\colon \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {m}}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(0
 <= \overline{(\epsilon)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(0
 = \overline{(\epsilon)}
)n
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{
\mathsf {n}}
 <= \overline{
\mathsf {m}}
\Rightarrow  \{ ph \mathrel{\in}  \{ ph \mathrel{\in} P(P(Union(\{N
,Q
\}
)
)
)
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op1)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op2)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\overline{(op1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(op2)}
 \mathrel{\in} Q
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\mathsf {a}
 _{Ph} 
 = \{\{\overline{(op1)}
,\overline{(op1)}
\}
,\{\overline{(op1)}
,\overline{(op2)}
\}
\}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\}
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(crs1)}
\colon \dot{\neg}\,(
\mathsf {c}
 _{Ph} 
 = \{\{\overline{(crs1)}
,\overline{(crs1)}
\}
,\{\overline{(crs1)}
,0
\}
\}
)n
)n
\}
[\overline{
\mathsf {m}}
]
 <= (\underline{(fz)}
[\overline{
\mathsf {m}}
]
+(-u\overline{(\epsilon)}
)
)
)n
)n
)n
)n
)n
)n
; Repetition
\rhd \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(\epsilon)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {n}}
\colon \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {m}}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(0
 <= \overline{(\epsilon)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(0
 = \overline{(\epsilon)}
)n
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{
\mathsf {n}}
 <= \overline{
\mathsf {m}}
\Rightarrow \underline{(fx)}
[\overline{
\mathsf {m}}
]
 <= (\underline{(fy)}
[\overline{
\mathsf {m}}
]
+(-u\overline{(\epsilon)}
)
)
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\gg \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(\epsilon)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {n}}
\colon \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {m}}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(0
 <= \overline{(\epsilon)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(0
 = \overline{(\epsilon)}
)n
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{
\mathsf {n}}
 <= \overline{
\mathsf {m}}
\Rightarrow \underline{(fx)}
[\overline{
\mathsf {m}}
]
 <= (\underline{(fy)}
[\overline{
\mathsf {m}}
]
+(-u\overline{(\epsilon)}
)
)
)n
)n
)n
)n
)n
)n
; LessMultiplication(F)
\rhd \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(\epsilon)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {n}}
\colon \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {m}}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(0
 <= \overline{(\epsilon)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(0
 = \overline{(\epsilon)}
)n
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{
\mathsf {n}}
 <= \overline{
\mathsf {m}}
\Rightarrow  \{ ph \mathrel{\in}  \{ ph \mathrel{\in} P(P(Union(\{N
,Q
\}
)
)
)
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op1)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op2)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\overline{(op1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(op2)}
 \mathrel{\in} Q
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\mathsf {a}
 _{Ph} 
 = \{\{\overline{(op1)}
,\overline{(op1)}
\}
,\{\overline{(op1)}
,\overline{(op2)}
\}
\}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\}
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(crs1)}
\colon \dot{\neg}\,(
\mathsf {c}
 _{Ph} 
 = \{\{\overline{(crs1)}
,\overline{(crs1)}
\}
,\{\overline{(crs1)}
,0
\}
\}
)n
)n
\}
[\overline{
\mathsf {m}}
]
 <= (\underline{(fz)}
[\overline{
\mathsf {m}}
]
+(-u\overline{(\epsilon)}
)
)
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\rhd \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(\epsilon)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {n}}
\colon \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {m}}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(0
 <= \overline{(\epsilon)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(0
 = \overline{(\epsilon)}
)n
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{
\mathsf {n}}
 <= \overline{
\mathsf {m}}
\Rightarrow \underline{(fx)}
[\overline{
\mathsf {m}}
]
 <= (\underline{(fy)}
[\overline{
\mathsf {m}}
]
+(-u\overline{(\epsilon)}
)
)
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\gg \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(\epsilon)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {n}}
\colon \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {m}}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(0
 <= \overline{(\epsilon)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(0
 = \overline{(\epsilon)}
)n
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{
\mathsf {n}}
 <= \overline{
\mathsf {m}}
\Rightarrow  \{ ph \mathrel{\in}  \{ ph \mathrel{\in} P(P(Union(\{N
,Q
\}
)
)
)
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op1)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op2)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\overline{(op1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(op2)}
 \mathrel{\in} Q
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\mathsf {a}
 _{Ph} 
 = \{\{\overline{(op1)}
,\overline{(op1)}
\}
,\{\overline{(op1)}
,\overline{(op2)}
\}
\}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\}
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \underline{
\mathsf {m}}
\colon \dot{\neg}\,(
\mathsf {e}
 _{Ph} 
 = \{\{\underline{
\mathsf {m}}
,\underline{
\mathsf {m}}
\}
,\{\underline{
\mathsf {m}}
,(\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
*\underline{(fz)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
)
\}
\}
)n
)n
\}
[\overline{
\mathsf {m}}
]
 <= ( \{ ph \mathrel{\in}  \{ ph \mathrel{\in} P(P(Union(\{N
,Q
\}
)
)
)
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op1)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op2)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\overline{(op1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(op2)}
 \mathrel{\in} Q
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\mathsf {a}
 _{Ph} 
 = \{\{\overline{(op1)}
,\overline{(op1)}
\}
,\{\overline{(op1)}
,\overline{(op2)}
\}
\}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\}
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \underline{
\mathsf {m}}
\colon \dot{\neg}\,(
\mathsf {e}
 _{Ph} 
 = \{\{\underline{
\mathsf {m}}
,\underline{
\mathsf {m}}
\}
,\{\underline{
\mathsf {m}}
,(\underline{(fy)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
*\underline{(fz)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
)
\}
\}
)n
)n
\}
[\overline{
\mathsf {m}}
]
+(-u\overline{(\epsilon)}
)
)
)n
)n
)n
)n
)n
)n
; Repetition
\rhd \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(\epsilon)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {n}}
\colon \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {m}}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(0
 <= \overline{(\epsilon)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(0
 = \overline{(\epsilon)}
)n
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{
\mathsf {n}}
 <= \overline{
\mathsf {m}}
\Rightarrow  \{ ph \mathrel{\in}  \{ ph \mathrel{\in} P(P(Union(\{N
,Q
\}
)
)
)
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op1)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op2)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\overline{(op1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(op2)}
 \mathrel{\in} Q
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\mathsf {a}
 _{Ph} 
 = \{\{\overline{(op1)}
,\overline{(op1)}
\}
,\{\overline{(op1)}
,\overline{(op2)}
\}
\}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\}
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \underline{
\mathsf {m}}
\colon \dot{\neg}\,(
\mathsf {e}
 _{Ph} 
 = \{\{\underline{
\mathsf {m}}
,\underline{
\mathsf {m}}
\}
,\{\underline{
\mathsf {m}}
,(\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
*\underline{(fz)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
)
\}
\}
)n
)n
\}
[\overline{
\mathsf {m}}
]
 <= ( \{ ph \mathrel{\in}  \{ ph \mathrel{\in} P(P(Union(\{N
,Q
\}
)
)
)
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op1)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op2)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\overline{(op1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(op2)}
 \mathrel{\in} Q
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\mathsf {a}
 _{Ph} 
 = \{\{\overline{(op1)}
,\overline{(op1)}
\}
,\{\overline{(op1)}
,\overline{(op2)}
\}
\}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\}
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \underline{
\mathsf {m}}
\colon \dot{\neg}\,(
\mathsf {e}
 _{Ph} 
 = \{\{\underline{
\mathsf {m}}
,\underline{
\mathsf {m}}
\}
,\{\underline{
\mathsf {m}}
,(\underline{(fy)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
*\underline{(fz)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
)
\}
\}
)n
)n
\}
[\overline{
\mathsf {m}}
]
+(-u\overline{(\epsilon)}
)
)
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\gg \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(\epsilon)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {n}}
\colon \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {m}}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(0
 <= \overline{(\epsilon)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(0
 = \overline{(\epsilon)}
)n
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{
\mathsf {n}}
 <= \overline{
\mathsf {m}}
\Rightarrow  \{ ph \mathrel{\in}  \{ ph \mathrel{\in} P(P(Union(\{N
,Q
\}
)
)
)
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op1)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op2)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\overline{(op1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(op2)}
 \mathrel{\in} Q
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\mathsf {a}
 _{Ph} 
 = \{\{\overline{(op1)}
,\overline{(op1)}
\}
,\{\overline{(op1)}
,\overline{(op2)}
\}
\}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\}
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \underline{
\mathsf {m}}
\colon \dot{\neg}\,(
\mathsf {e}
 _{Ph} 
 = \{\{\underline{
\mathsf {m}}
,\underline{
\mathsf {m}}
\}
,\{\underline{
\mathsf {m}}
,(\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
*\underline{(fz)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
)
\}
\}
)n
)n
\}
[\overline{
\mathsf {m}}
]
 <= ( \{ ph \mathrel{\in}  \{ ph \mathrel{\in} P(P(Union(\{N
,Q
\}
)
)
)
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op1)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op2)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\overline{(op1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(op2)}
 \mathrel{\in} Q
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\mathsf {a}
 _{Ph} 
 = \{\{\overline{(op1)}
,\overline{(op1)}
\}
,\{\overline{(op1)}
,\overline{(op2)}
\}
\}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\}
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \underline{
\mathsf {m}}
\colon \dot{\neg}\,(
\mathsf {e}
 _{Ph} 
 = \{\{\underline{
\mathsf {m}}
,\underline{
\mathsf {m}}
\}
,\{\underline{
\mathsf {m}}
,(\underline{(fy)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
*\underline{(fz)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
)
\}
\}
)n
)n
\}
[\overline{
\mathsf {m}}
]
+(-u\overline{(\epsilon)}
)
)
)n
)n
)n
)n
)n
)n
; eqReflexivity
\gg  \{ ph \mathrel{\in} P( \{ ph \mathrel{\in} P( \{ ph \mathrel{\in} P(P(Union(\{N
,Q
\}
)
)
)
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op1)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op2)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\overline{(op1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(op2)}
 \mathrel{\in} Q
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\mathsf {a}
 _{Ph} 
 = \{\{\overline{(op1)}
,\overline{(op1)}
\}
,\{\overline{(op1)}
,\overline{(op2)}
\}
\}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\}
)
\mid \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(r1)}
\colon \overline{(r1)}
 \mathrel{\in} 
\mathsf {f}
 _{Ph} 
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op1)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op2)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\overline{(op1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(op2)}
 \mathrel{\in} Q
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(r1)}
 = \{\{\overline{(op1)}
,\overline{(op1)}
\}
,\{\overline{(op1)}
,\overline{(op2)}
\}
\}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(f1)}
\colon 
\forall_{obj} \overline{(f2)}
\colon 
\forall_{obj} \overline{(f3)}
\colon 
\forall_{obj} \overline{(f4)}
\colon \{\{\overline{(f1)}
,\overline{(f1)}
\}
,\{\overline{(f1)}
,\overline{(f2)}
\}
\}
 \mathrel{\in} 
\mathsf {f}
 _{Ph} 
\Rightarrow \{\{\overline{(f3)}
,\overline{(f3)}
\}
,\{\overline{(f3)}
,\overline{(f4)}
\}
\}
 \mathrel{\in} 
\mathsf {f}
 _{Ph} 
\Rightarrow \overline{(f1)}
 = \overline{(f3)}
\Rightarrow \overline{(f2)}
 = \overline{(f4)}
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(s1)}
\colon \overline{(s1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(s2)}
\colon \dot{\neg}\,(\{\{\overline{(s1)}
,\overline{(s1)}
\}
,\{\overline{(s1)}
,\overline{(s2)}
\}
\}
 \mathrel{\in} 
\mathsf {f}
 _{Ph} 
)n
)n
)n
)n
\}
)
\mid 
\forall_{obj} \overline{(\epsilon)}
\colon \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {n}}
\colon \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {m}}
\colon \dot{\neg}\,(0
 <= \overline{(\epsilon)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(0
 = \overline{(\epsilon)}
)n
)n
)n
\Rightarrow \overline{
\mathsf {n}}
 <= \overline{
\mathsf {m}}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(|( \{ ph \mathrel{\in}  \{ ph \mathrel{\in} P(P(Union(\{N
,Q
\}
)
)
)
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op1)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op2)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\overline{(op1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(op2)}
 \mathrel{\in} Q
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\mathsf {a}
 _{Ph} 
 = \{\{\overline{(op1)}
,\overline{(op1)}
\}
,\{\overline{(op1)}
,\overline{(op2)}
\}
\}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\}
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \underline{
\mathsf {m}}
\colon \dot{\neg}\,(
\mathsf {e}
 _{Ph} 
 = \{\{\underline{
\mathsf {m}}
,\underline{
\mathsf {m}}
\}
,\{\underline{
\mathsf {m}}
,(\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
*\underline{(fz)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
)
\}
\}
)n
)n
\}
[\overline{
\mathsf {m}}
]
+(-u
\mathsf {d}
 _{Ph} 
[\overline{
\mathsf {m}}
]
)
)
|
 <= \overline{(\epsilon)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(|( \{ ph \mathrel{\in}  \{ ph \mathrel{\in} P(P(Union(\{N
,Q
\}
)
)
)
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op1)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op2)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\overline{(op1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(op2)}
 \mathrel{\in} Q
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\mathsf {a}
 _{Ph} 
 = \{\{\overline{(op1)}
,\overline{(op1)}
\}
,\{\overline{(op1)}
,\overline{(op2)}
\}
\}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\}
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \underline{
\mathsf {m}}
\colon \dot{\neg}\,(
\mathsf {e}
 _{Ph} 
 = \{\{\underline{
\mathsf {m}}
,\underline{
\mathsf {m}}
\}
,\{\underline{
\mathsf {m}}
,(\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
*\underline{(fz)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
)
\}
\}
)n
)n
\}
[\overline{
\mathsf {m}}
]
+(-u
\mathsf {d}
 _{Ph} 
[\overline{
\mathsf {m}}
]
)
)
|
 = \overline{(\epsilon)}
)n
)n
)n
)n
)n
\}
 =  \{ ph \mathrel{\in} P( \{ ph \mathrel{\in} P( \{ ph \mathrel{\in} P(P(Union(\{N
,Q
\}
)
)
)
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op1)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op2)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\overline{(op1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(op2)}
 \mathrel{\in} Q
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\mathsf {a}
 _{Ph} 
 = \{\{\overline{(op1)}
,\overline{(op1)}
\}
,\{\overline{(op1)}
,\overline{(op2)}
\}
\}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\}
)
\mid \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(r1)}
\colon \overline{(r1)}
 \mathrel{\in} 
\mathsf {f}
 _{Ph} 
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op1)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op2)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\overline{(op1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(op2)}
 \mathrel{\in} Q
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(r1)}
 = \{\{\overline{(op1)}
,\overline{(op1)}
\}
,\{\overline{(op1)}
,\overline{(op2)}
\}
\}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(f1)}
\colon 
\forall_{obj} \overline{(f2)}
\colon 
\forall_{obj} \overline{(f3)}
\colon 
\forall_{obj} \overline{(f4)}
\colon \{\{\overline{(f1)}
,\overline{(f1)}
\}
,\{\overline{(f1)}
,\overline{(f2)}
\}
\}
 \mathrel{\in} 
\mathsf {f}
 _{Ph} 
\Rightarrow \{\{\overline{(f3)}
,\overline{(f3)}
\}
,\{\overline{(f3)}
,\overline{(f4)}
\}
\}
 \mathrel{\in} 
\mathsf {f}
 _{Ph} 
\Rightarrow \overline{(f1)}
 = \overline{(f3)}
\Rightarrow \overline{(f2)}
 = \overline{(f4)}
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(s1)}
\colon \overline{(s1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(s2)}
\colon \dot{\neg}\,(\{\{\overline{(s1)}
,\overline{(s1)}
\}
,\{\overline{(s1)}
,\overline{(s2)}
\}
\}
 \mathrel{\in} 
\mathsf {f}
 _{Ph} 
)n
)n
)n
)n
\}
)
\mid 
\forall_{obj} \overline{(\epsilon)}
\colon \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {n}}
\colon \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {m}}
\colon \dot{\neg}\,(0
 <= \overline{(\epsilon)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(0
 = \overline{(\epsilon)}
)n
)n
)n
\Rightarrow \overline{
\mathsf {n}}
 <= \overline{
\mathsf {m}}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(|( \{ ph \mathrel{\in}  \{ ph \mathrel{\in} P(P(Union(\{N
,Q
\}
)
)
)
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op1)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op2)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\overline{(op1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(op2)}
 \mathrel{\in} Q
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\mathsf {a}
 _{Ph} 
 = \{\{\overline{(op1)}
,\overline{(op1)}
\}
,\{\overline{(op1)}
,\overline{(op2)}
\}
\}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\}
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \underline{
\mathsf {m}}
\colon \dot{\neg}\,(
\mathsf {e}
 _{Ph} 
 = \{\{\underline{
\mathsf {m}}
,\underline{
\mathsf {m}}
\}
,\{\underline{
\mathsf {m}}
,(\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
*\underline{(fz)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
)
\}
\}
)n
)n
\}
[\overline{
\mathsf {m}}
]
+(-u
\mathsf {d}
 _{Ph} 
[\overline{
\mathsf {m}}
]
)
)
|
 <= \overline{(\epsilon)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(|( \{ ph \mathrel{\in}  \{ ph \mathrel{\in} P(P(Union(\{N
,Q
\}
)
)
)
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op1)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op2)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\overline{(op1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(op2)}
 \mathrel{\in} Q
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\mathsf {a}
 _{Ph} 
 = \{\{\overline{(op1)}
,\overline{(op1)}
\}
,\{\overline{(op1)}
,\overline{(op2)}
\}
\}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\}
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \underline{
\mathsf {m}}
\colon \dot{\neg}\,(
\mathsf {e}
 _{Ph} 
 = \{\{\underline{
\mathsf {m}}
,\underline{
\mathsf {m}}
\}
,\{\underline{
\mathsf {m}}
,(\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
*\underline{(fz)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
)
\}
\}
)n
)n
\}
[\overline{
\mathsf {m}}
]
+(-u
\mathsf {d}
 _{Ph} 
[\overline{
\mathsf {m}}
]
)
)
|
 = \overline{(\epsilon)}
)n
)n
)n
)n
)n
\}
; SubLessLeft(R)
\rhd  \{ ph \mathrel{\in} P( \{ ph \mathrel{\in} P( \{ ph \mathrel{\in} P(P(Union(\{N
,Q
\}
)
)
)
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op1)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op2)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\overline{(op1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(op2)}
 \mathrel{\in} Q
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\mathsf {a}
 _{Ph} 
 = \{\{\overline{(op1)}
,\overline{(op1)}
\}
,\{\overline{(op1)}
,\overline{(op2)}
\}
\}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\}
)
\mid \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(r1)}
\colon \overline{(r1)}
 \mathrel{\in} 
\mathsf {f}
 _{Ph} 
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op1)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op2)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\overline{(op1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(op2)}
 \mathrel{\in} Q
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(r1)}
 = \{\{\overline{(op1)}
,\overline{(op1)}
\}
,\{\overline{(op1)}
,\overline{(op2)}
\}
\}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(f1)}
\colon 
\forall_{obj} \overline{(f2)}
\colon 
\forall_{obj} \overline{(f3)}
\colon 
\forall_{obj} \overline{(f4)}
\colon \{\{\overline{(f1)}
,\overline{(f1)}
\}
,\{\overline{(f1)}
,\overline{(f2)}
\}
\}
 \mathrel{\in} 
\mathsf {f}
 _{Ph} 
\Rightarrow \{\{\overline{(f3)}
,\overline{(f3)}
\}
,\{\overline{(f3)}
,\overline{(f4)}
\}
\}
 \mathrel{\in} 
\mathsf {f}
 _{Ph} 
\Rightarrow \overline{(f1)}
 = \overline{(f3)}
\Rightarrow \overline{(f2)}
 = \overline{(f4)}
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(s1)}
\colon \overline{(s1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(s2)}
\colon \dot{\neg}\,(\{\{\overline{(s1)}
,\overline{(s1)}
\}
,\{\overline{(s1)}
,\overline{(s2)}
\}
\}
 \mathrel{\in} 
\mathsf {f}
 _{Ph} 
)n
)n
)n
)n
\}
)
\mid 
\forall_{obj} \overline{(\epsilon)}
\colon \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {n}}
\colon \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {m}}
\colon \dot{\neg}\,(0
 <= \overline{(\epsilon)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(0
 = \overline{(\epsilon)}
)n
)n
)n
\Rightarrow \overline{
\mathsf {n}}
 <= \overline{
\mathsf {m}}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(|( \{ ph \mathrel{\in}  \{ ph \mathrel{\in} P(P(Union(\{N
,Q
\}
)
)
)
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op1)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op2)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\overline{(op1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(op2)}
 \mathrel{\in} Q
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\mathsf {a}
 _{Ph} 
 = \{\{\overline{(op1)}
,\overline{(op1)}
\}
,\{\overline{(op1)}
,\overline{(op2)}
\}
\}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\}
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \underline{
\mathsf {m}}
\colon \dot{\neg}\,(
\mathsf {e}
 _{Ph} 
 = \{\{\underline{
\mathsf {m}}
,\underline{
\mathsf {m}}
\}
,\{\underline{
\mathsf {m}}
,(\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
*\underline{(fz)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
)
\}
\}
)n
)n
\}
[\overline{
\mathsf {m}}
]
+(-u
\mathsf {d}
 _{Ph} 
[\overline{
\mathsf {m}}
]
)
)
|
 <= \overline{(\epsilon)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(|( \{ ph \mathrel{\in}  \{ ph \mathrel{\in} P(P(Union(\{N
,Q
\}
)
)
)
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op1)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op2)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\overline{(op1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(op2)}
 \mathrel{\in} Q
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\mathsf {a}
 _{Ph} 
 = \{\{\overline{(op1)}
,\overline{(op1)}
\}
,\{\overline{(op1)}
,\overline{(op2)}
\}
\}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\}
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \underline{
\mathsf {m}}
\colon \dot{\neg}\,(
\mathsf {e}
 _{Ph} 
 = \{\{\underline{
\mathsf {m}}
,\underline{
\mathsf {m}}
\}
,\{\underline{
\mathsf {m}}
,(\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
*\underline{(fz)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
)
\}
\}
)n
)n
\}
[\overline{
\mathsf {m}}
]
+(-u
\mathsf {d}
 _{Ph} 
[\overline{
\mathsf {m}}
]
)
)
|
 = \overline{(\epsilon)}
)n
)n
)n
)n
)n
\}
 =  \{ ph \mathrel{\in} P( \{ ph \mathrel{\in} P( \{ ph \mathrel{\in} P(P(Union(\{N
,Q
\}
)
)
)
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op1)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op2)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\overline{(op1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(op2)}
 \mathrel{\in} Q
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\mathsf {a}
 _{Ph} 
 = \{\{\overline{(op1)}
,\overline{(op1)}
\}
,\{\overline{(op1)}
,\overline{(op2)}
\}
\}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\}
)
\mid \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(r1)}
\colon \overline{(r1)}
 \mathrel{\in} 
\mathsf {f}
 _{Ph} 
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op1)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op2)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\overline{(op1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(op2)}
 \mathrel{\in} Q
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(r1)}
 = \{\{\overline{(op1)}
,\overline{(op1)}
\}
,\{\overline{(op1)}
,\overline{(op2)}
\}
\}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(f1)}
\colon 
\forall_{obj} \overline{(f2)}
\colon 
\forall_{obj} \overline{(f3)}
\colon 
\forall_{obj} \overline{(f4)}
\colon \{\{\overline{(f1)}
,\overline{(f1)}
\}
,\{\overline{(f1)}
,\overline{(f2)}
\}
\}
 \mathrel{\in} 
\mathsf {f}
 _{Ph} 
\Rightarrow \{\{\overline{(f3)}
,\overline{(f3)}
\}
,\{\overline{(f3)}
,\overline{(f4)}
\}
\}
 \mathrel{\in} 
\mathsf {f}
 _{Ph} 
\Rightarrow \overline{(f1)}
 = \overline{(f3)}
\Rightarrow \overline{(f2)}
 = \overline{(f4)}
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(s1)}
\colon \overline{(s1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(s2)}
\colon \dot{\neg}\,(\{\{\overline{(s1)}
,\overline{(s1)}
\}
,\{\overline{(s1)}
,\overline{(s2)}
\}
\}
 \mathrel{\in} 
\mathsf {f}
 _{Ph} 
)n
)n
)n
)n
\}
)
\mid 
\forall_{obj} \overline{(\epsilon)}
\colon \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {n}}
\colon \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {m}}
\colon \dot{\neg}\,(0
 <= \overline{(\epsilon)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(0
 = \overline{(\epsilon)}
)n
)n
)n
\Rightarrow \overline{
\mathsf {n}}
 <= \overline{
\mathsf {m}}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(|( \{ ph \mathrel{\in}  \{ ph \mathrel{\in} P(P(Union(\{N
,Q
\}
)
)
)
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op1)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op2)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\overline{(op1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(op2)}
 \mathrel{\in} Q
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\mathsf {a}
 _{Ph} 
 = \{\{\overline{(op1)}
,\overline{(op1)}
\}
,\{\overline{(op1)}
,\overline{(op2)}
\}
\}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\}
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \underline{
\mathsf {m}}
\colon \dot{\neg}\,(
\mathsf {e}
 _{Ph} 
 = \{\{\underline{
\mathsf {m}}
,\underline{
\mathsf {m}}
\}
,\{\underline{
\mathsf {m}}
,(\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
*\underline{(fz)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
)
\}
\}
)n
)n
\}
[\overline{
\mathsf {m}}
]
+(-u
\mathsf {d}
 _{Ph} 
[\overline{
\mathsf {m}}
]
)
)
|
 <= \overline{(\epsilon)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(|( \{ ph \mathrel{\in}  \{ ph \mathrel{\in} P(P(Union(\{N
,Q
\}
)
)
)
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op1)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op2)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\overline{(op1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(op2)}
 \mathrel{\in} Q
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\mathsf {a}
 _{Ph} 
 = \{\{\overline{(op1)}
,\overline{(op1)}
\}
,\{\overline{(op1)}
,\overline{(op2)}
\}
\}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\}
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \underline{
\mathsf {m}}
\colon \dot{\neg}\,(
\mathsf {e}
 _{Ph} 
 = \{\{\underline{
\mathsf {m}}
,\underline{
\mathsf {m}}
\}
,\{\underline{
\mathsf {m}}
,(\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
*\underline{(fz)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
)
\}
\}
)n
)n
\}
[\overline{
\mathsf {m}}
]
+(-u
\mathsf {d}
 _{Ph} 
[\overline{
\mathsf {m}}
]
)
)
|
 = \overline{(\epsilon)}
)n
)n
)n
)n
)n
\}
\rhd \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(\epsilon)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {n}}
\colon \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {m}}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(0
 <= \overline{(\epsilon)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(0
 = \overline{(\epsilon)}
)n
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{
\mathsf {n}}
 <= \overline{
\mathsf {m}}
\Rightarrow  \{ ph \mathrel{\in}  \{ ph \mathrel{\in} P(P(Union(\{N
,Q
\}
)
)
)
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op1)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op2)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\overline{(op1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(op2)}
 \mathrel{\in} Q
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\mathsf {a}
 _{Ph} 
 = \{\{\overline{(op1)}
,\overline{(op1)}
\}
,\{\overline{(op1)}
,\overline{(op2)}
\}
\}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\}
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \underline{
\mathsf {m}}
\colon \dot{\neg}\,(
\mathsf {e}
 _{Ph} 
 = \{\{\underline{
\mathsf {m}}
,\underline{
\mathsf {m}}
\}
,\{\underline{
\mathsf {m}}
,(\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
*\underline{(fz)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
)
\}
\}
)n
)n
\}
[\overline{
\mathsf {m}}
]
 <= ( \{ ph \mathrel{\in}  \{ ph \mathrel{\in} P(P(Union(\{N
,Q
\}
)
)
)
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op1)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op2)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\overline{(op1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(op2)}
 \mathrel{\in} Q
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\mathsf {a}
 _{Ph} 
 = \{\{\overline{(op1)}
,\overline{(op1)}
\}
,\{\overline{(op1)}
,\overline{(op2)}
\}
\}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\}
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \underline{
\mathsf {m}}
\colon \dot{\neg}\,(
\mathsf {e}
 _{Ph} 
 = \{\{\underline{
\mathsf {m}}
,\underline{
\mathsf {m}}
\}
,\{\underline{
\mathsf {m}}
,(\underline{(fy)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
*\underline{(fz)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
)
\}
\}
)n
)n
\}
[\overline{
\mathsf {m}}
]
+(-u\overline{(\epsilon)}
)
)
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\gg \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(\epsilon)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {n}}
\colon \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {m}}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(0
 <= \overline{(\epsilon)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(0
 = \overline{(\epsilon)}
)n
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{
\mathsf {n}}
 <= \overline{
\mathsf {m}}
\Rightarrow  \{ ph \mathrel{\in}  \{ ph \mathrel{\in} P(P(Union(\{N
,Q
\}
)
)
)
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op1)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op2)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\overline{(op1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(op2)}
 \mathrel{\in} Q
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\mathsf {a}
 _{Ph} 
 = \{\{\overline{(op1)}
,\overline{(op1)}
\}
,\{\overline{(op1)}
,\overline{(op2)}
\}
\}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\}
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \underline{
\mathsf {m}}
\colon \dot{\neg}\,(
\mathsf {e}
 _{Ph} 
 = \{\{\underline{
\mathsf {m}}
,\underline{
\mathsf {m}}
\}
,\{\underline{
\mathsf {m}}
,(\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
*\underline{(fz)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
)
\}
\}
)n
)n
\}
[\overline{
\mathsf {m}}
]
 <= ( \{ ph \mathrel{\in}  \{ ph \mathrel{\in} P(P(Union(\{N
,Q
\}
)
)
)
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op1)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op2)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\overline{(op1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(op2)}
 \mathrel{\in} Q
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\mathsf {a}
 _{Ph} 
 = \{\{\overline{(op1)}
,\overline{(op1)}
\}
,\{\overline{(op1)}
,\overline{(op2)}
\}
\}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\}
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \underline{
\mathsf {m}}
\colon \dot{\neg}\,(
\mathsf {e}
 _{Ph} 
 = \{\{\underline{
\mathsf {m}}
,\underline{
\mathsf {m}}
\}
,\{\underline{
\mathsf {m}}
,(\underline{(fy)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
*\underline{(fz)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
)
\}
\}
)n
)n
\}
[\overline{
\mathsf {m}}
]
+(-u\overline{(\epsilon)}
)
)
)n
)n
)n
)n
)n
)n
; eqReflexivity
\gg  \{ ph \mathrel{\in} P( \{ ph \mathrel{\in} P( \{ ph \mathrel{\in} P(P(Union(\{N
,Q
\}
)
)
)
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op1)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op2)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\overline{(op1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(op2)}
 \mathrel{\in} Q
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\mathsf {a}
 _{Ph} 
 = \{\{\overline{(op1)}
,\overline{(op1)}
\}
,\{\overline{(op1)}
,\overline{(op2)}
\}
\}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\}
)
\mid \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(r1)}
\colon \overline{(r1)}
 \mathrel{\in} 
\mathsf {f}
 _{Ph} 
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op1)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op2)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\overline{(op1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(op2)}
 \mathrel{\in} Q
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(r1)}
 = \{\{\overline{(op1)}
,\overline{(op1)}
\}
,\{\overline{(op1)}
,\overline{(op2)}
\}
\}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(f1)}
\colon 
\forall_{obj} \overline{(f2)}
\colon 
\forall_{obj} \overline{(f3)}
\colon 
\forall_{obj} \overline{(f4)}
\colon \{\{\overline{(f1)}
,\overline{(f1)}
\}
,\{\overline{(f1)}
,\overline{(f2)}
\}
\}
 \mathrel{\in} 
\mathsf {f}
 _{Ph} 
\Rightarrow \{\{\overline{(f3)}
,\overline{(f3)}
\}
,\{\overline{(f3)}
,\overline{(f4)}
\}
\}
 \mathrel{\in} 
\mathsf {f}
 _{Ph} 
\Rightarrow \overline{(f1)}
 = \overline{(f3)}
\Rightarrow \overline{(f2)}
 = \overline{(f4)}
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(s1)}
\colon \overline{(s1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(s2)}
\colon \dot{\neg}\,(\{\{\overline{(s1)}
,\overline{(s1)}
\}
,\{\overline{(s1)}
,\overline{(s2)}
\}
\}
 \mathrel{\in} 
\mathsf {f}
 _{Ph} 
)n
)n
)n
)n
\}
)
\mid 
\forall_{obj} \overline{(\epsilon)}
\colon \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {n}}
\colon \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {m}}
\colon \dot{\neg}\,(0
 <= \overline{(\epsilon)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(0
 = \overline{(\epsilon)}
)n
)n
)n
\Rightarrow \overline{
\mathsf {n}}
 <= \overline{
\mathsf {m}}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(|( \{ ph \mathrel{\in}  \{ ph \mathrel{\in} P(P(Union(\{N
,Q
\}
)
)
)
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op1)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op2)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\overline{(op1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(op2)}
 \mathrel{\in} Q
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\mathsf {a}
 _{Ph} 
 = \{\{\overline{(op1)}
,\overline{(op1)}
\}
,\{\overline{(op1)}
,\overline{(op2)}
\}
\}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\}
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \underline{
\mathsf {m}}
\colon \dot{\neg}\,(
\mathsf {e}
 _{Ph} 
 = \{\{\underline{
\mathsf {m}}
,\underline{
\mathsf {m}}
\}
,\{\underline{
\mathsf {m}}
,(\underline{(fy)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
*\underline{(fz)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
)
\}
\}
)n
)n
\}
[\overline{
\mathsf {m}}
]
+(-u
\mathsf {d}
 _{Ph} 
[\overline{
\mathsf {m}}
]
)
)
|
 <= \overline{(\epsilon)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(|( \{ ph \mathrel{\in}  \{ ph \mathrel{\in} P(P(Union(\{N
,Q
\}
)
)
)
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op1)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op2)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\overline{(op1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(op2)}
 \mathrel{\in} Q
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\mathsf {a}
 _{Ph} 
 = \{\{\overline{(op1)}
,\overline{(op1)}
\}
,\{\overline{(op1)}
,\overline{(op2)}
\}
\}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\}
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \underline{
\mathsf {m}}
\colon \dot{\neg}\,(
\mathsf {e}
 _{Ph} 
 = \{\{\underline{
\mathsf {m}}
,\underline{
\mathsf {m}}
\}
,\{\underline{
\mathsf {m}}
,(\underline{(fy)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
*\underline{(fz)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
)
\}
\}
)n
)n
\}
[\overline{
\mathsf {m}}
]
+(-u
\mathsf {d}
 _{Ph} 
[\overline{
\mathsf {m}}
]
)
)
|
 = \overline{(\epsilon)}
)n
)n
)n
)n
)n
\}
 =  \{ ph \mathrel{\in} P( \{ ph \mathrel{\in} P( \{ ph \mathrel{\in} P(P(Union(\{N
,Q
\}
)
)
)
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op1)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op2)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\overline{(op1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(op2)}
 \mathrel{\in} Q
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\mathsf {a}
 _{Ph} 
 = \{\{\overline{(op1)}
,\overline{(op1)}
\}
,\{\overline{(op1)}
,\overline{(op2)}
\}
\}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\}
)
\mid \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(r1)}
\colon \overline{(r1)}
 \mathrel{\in} 
\mathsf {f}
 _{Ph} 
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op1)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op2)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\overline{(op1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(op2)}
 \mathrel{\in} Q
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(r1)}
 = \{\{\overline{(op1)}
,\overline{(op1)}
\}
,\{\overline{(op1)}
,\overline{(op2)}
\}
\}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(f1)}
\colon 
\forall_{obj} \overline{(f2)}
\colon 
\forall_{obj} \overline{(f3)}
\colon 
\forall_{obj} \overline{(f4)}
\colon \{\{\overline{(f1)}
,\overline{(f1)}
\}
,\{\overline{(f1)}
,\overline{(f2)}
\}
\}
 \mathrel{\in} 
\mathsf {f}
 _{Ph} 
\Rightarrow \{\{\overline{(f3)}
,\overline{(f3)}
\}
,\{\overline{(f3)}
,\overline{(f4)}
\}
\}
 \mathrel{\in} 
\mathsf {f}
 _{Ph} 
\Rightarrow \overline{(f1)}
 = \overline{(f3)}
\Rightarrow \overline{(f2)}
 = \overline{(f4)}
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(s1)}
\colon \overline{(s1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(s2)}
\colon \dot{\neg}\,(\{\{\overline{(s1)}
,\overline{(s1)}
\}
,\{\overline{(s1)}
,\overline{(s2)}
\}
\}
 \mathrel{\in} 
\mathsf {f}
 _{Ph} 
)n
)n
)n
)n
\}
)
\mid 
\forall_{obj} \overline{(\epsilon)}
\colon \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {n}}
\colon \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {m}}
\colon \dot{\neg}\,(0
 <= \overline{(\epsilon)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(0
 = \overline{(\epsilon)}
)n
)n
)n
\Rightarrow \overline{
\mathsf {n}}
 <= \overline{
\mathsf {m}}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(|( \{ ph \mathrel{\in}  \{ ph \mathrel{\in} P(P(Union(\{N
,Q
\}
)
)
)
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op1)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op2)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\overline{(op1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(op2)}
 \mathrel{\in} Q
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\mathsf {a}
 _{Ph} 
 = \{\{\overline{(op1)}
,\overline{(op1)}
\}
,\{\overline{(op1)}
,\overline{(op2)}
\}
\}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\}
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \underline{
\mathsf {m}}
\colon \dot{\neg}\,(
\mathsf {e}
 _{Ph} 
 = \{\{\underline{
\mathsf {m}}
,\underline{
\mathsf {m}}
\}
,\{\underline{
\mathsf {m}}
,(\underline{(fy)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
*\underline{(fz)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
)
\}
\}
)n
)n
\}
[\overline{
\mathsf {m}}
]
+(-u
\mathsf {d}
 _{Ph} 
[\overline{
\mathsf {m}}
]
)
)
|
 <= \overline{(\epsilon)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(|( \{ ph \mathrel{\in}  \{ ph \mathrel{\in} P(P(Union(\{N
,Q
\}
)
)
)
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op1)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op2)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\overline{(op1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(op2)}
 \mathrel{\in} Q
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\mathsf {a}
 _{Ph} 
 = \{\{\overline{(op1)}
,\overline{(op1)}
\}
,\{\overline{(op1)}
,\overline{(op2)}
\}
\}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\}
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \underline{
\mathsf {m}}
\colon \dot{\neg}\,(
\mathsf {e}
 _{Ph} 
 = \{\{\underline{
\mathsf {m}}
,\underline{
\mathsf {m}}
\}
,\{\underline{
\mathsf {m}}
,(\underline{(fy)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
*\underline{(fz)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
)
\}
\}
)n
)n
\}
[\overline{
\mathsf {m}}
]
+(-u
\mathsf {d}
 _{Ph} 
[\overline{
\mathsf {m}}
]
)
)
|
 = \overline{(\epsilon)}
)n
)n
)n
)n
)n
\}
; SubLessRight(R)
\rhd  \{ ph \mathrel{\in} P( \{ ph \mathrel{\in} P( \{ ph \mathrel{\in} P(P(Union(\{N
,Q
\}
)
)
)
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op1)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op2)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\overline{(op1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(op2)}
 \mathrel{\in} Q
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\mathsf {a}
 _{Ph} 
 = \{\{\overline{(op1)}
,\overline{(op1)}
\}
,\{\overline{(op1)}
,\overline{(op2)}
\}
\}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\}
)
\mid \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(r1)}
\colon \overline{(r1)}
 \mathrel{\in} 
\mathsf {f}
 _{Ph} 
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op1)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op2)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\overline{(op1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(op2)}
 \mathrel{\in} Q
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(r1)}
 = \{\{\overline{(op1)}
,\overline{(op1)}
\}
,\{\overline{(op1)}
,\overline{(op2)}
\}
\}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(f1)}
\colon 
\forall_{obj} \overline{(f2)}
\colon 
\forall_{obj} \overline{(f3)}
\colon 
\forall_{obj} \overline{(f4)}
\colon \{\{\overline{(f1)}
,\overline{(f1)}
\}
,\{\overline{(f1)}
,\overline{(f2)}
\}
\}
 \mathrel{\in} 
\mathsf {f}
 _{Ph} 
\Rightarrow \{\{\overline{(f3)}
,\overline{(f3)}
\}
,\{\overline{(f3)}
,\overline{(f4)}
\}
\}
 \mathrel{\in} 
\mathsf {f}
 _{Ph} 
\Rightarrow \overline{(f1)}
 = \overline{(f3)}
\Rightarrow \overline{(f2)}
 = \overline{(f4)}
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(s1)}
\colon \overline{(s1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(s2)}
\colon \dot{\neg}\,(\{\{\overline{(s1)}
,\overline{(s1)}
\}
,\{\overline{(s1)}
,\overline{(s2)}
\}
\}
 \mathrel{\in} 
\mathsf {f}
 _{Ph} 
)n
)n
)n
)n
\}
)
\mid 
\forall_{obj} \overline{(\epsilon)}
\colon \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {n}}
\colon \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {m}}
\colon \dot{\neg}\,(0
 <= \overline{(\epsilon)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(0
 = \overline{(\epsilon)}
)n
)n
)n
\Rightarrow \overline{
\mathsf {n}}
 <= \overline{
\mathsf {m}}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(|( \{ ph \mathrel{\in}  \{ ph \mathrel{\in} P(P(Union(\{N
,Q
\}
)
)
)
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op1)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op2)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\overline{(op1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(op2)}
 \mathrel{\in} Q
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\mathsf {a}
 _{Ph} 
 = \{\{\overline{(op1)}
,\overline{(op1)}
\}
,\{\overline{(op1)}
,\overline{(op2)}
\}
\}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\}
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \underline{
\mathsf {m}}
\colon \dot{\neg}\,(
\mathsf {e}
 _{Ph} 
 = \{\{\underline{
\mathsf {m}}
,\underline{
\mathsf {m}}
\}
,\{\underline{
\mathsf {m}}
,(\underline{(fy)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
*\underline{(fz)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
)
\}
\}
)n
)n
\}
[\overline{
\mathsf {m}}
]
+(-u
\mathsf {d}
 _{Ph} 
[\overline{
\mathsf {m}}
]
)
)
|
 <= \overline{(\epsilon)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(|( \{ ph \mathrel{\in}  \{ ph \mathrel{\in} P(P(Union(\{N
,Q
\}
)
)
)
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op1)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op2)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\overline{(op1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(op2)}
 \mathrel{\in} Q
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\mathsf {a}
 _{Ph} 
 = \{\{\overline{(op1)}
,\overline{(op1)}
\}
,\{\overline{(op1)}
,\overline{(op2)}
\}
\}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\}
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \underline{
\mathsf {m}}
\colon \dot{\neg}\,(
\mathsf {e}
 _{Ph} 
 = \{\{\underline{
\mathsf {m}}
,\underline{
\mathsf {m}}
\}
,\{\underline{
\mathsf {m}}
,(\underline{(fy)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
*\underline{(fz)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
)
\}
\}
)n
)n
\}
[\overline{
\mathsf {m}}
]
+(-u
\mathsf {d}
 _{Ph} 
[\overline{
\mathsf {m}}
]
)
)
|
 = \overline{(\epsilon)}
)n
)n
)n
)n
)n
\}
 =  \{ ph \mathrel{\in} P( \{ ph \mathrel{\in} P( \{ ph \mathrel{\in} P(P(Union(\{N
,Q
\}
)
)
)
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op1)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op2)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\overline{(op1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(op2)}
 \mathrel{\in} Q
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\mathsf {a}
 _{Ph} 
 = \{\{\overline{(op1)}
,\overline{(op1)}
\}
,\{\overline{(op1)}
,\overline{(op2)}
\}
\}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\}
)
\mid \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(r1)}
\colon \overline{(r1)}
 \mathrel{\in} 
\mathsf {f}
 _{Ph} 
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op1)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op2)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\overline{(op1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(op2)}
 \mathrel{\in} Q
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(r1)}
 = \{\{\overline{(op1)}
,\overline{(op1)}
\}
,\{\overline{(op1)}
,\overline{(op2)}
\}
\}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(f1)}
\colon 
\forall_{obj} \overline{(f2)}
\colon 
\forall_{obj} \overline{(f3)}
\colon 
\forall_{obj} \overline{(f4)}
\colon \{\{\overline{(f1)}
,\overline{(f1)}
\}
,\{\overline{(f1)}
,\overline{(f2)}
\}
\}
 \mathrel{\in} 
\mathsf {f}
 _{Ph} 
\Rightarrow \{\{\overline{(f3)}
,\overline{(f3)}
\}
,\{\overline{(f3)}
,\overline{(f4)}
\}
\}
 \mathrel{\in} 
\mathsf {f}
 _{Ph} 
\Rightarrow \overline{(f1)}
 = \overline{(f3)}
\Rightarrow \overline{(f2)}
 = \overline{(f4)}
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(s1)}
\colon \overline{(s1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(s2)}
\colon \dot{\neg}\,(\{\{\overline{(s1)}
,\overline{(s1)}
\}
,\{\overline{(s1)}
,\overline{(s2)}
\}
\}
 \mathrel{\in} 
\mathsf {f}
 _{Ph} 
)n
)n
)n
)n
\}
)
\mid 
\forall_{obj} \overline{(\epsilon)}
\colon \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {n}}
\colon \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {m}}
\colon \dot{\neg}\,(0
 <= \overline{(\epsilon)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(0
 = \overline{(\epsilon)}
)n
)n
)n
\Rightarrow \overline{
\mathsf {n}}
 <= \overline{
\mathsf {m}}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(|( \{ ph \mathrel{\in}  \{ ph \mathrel{\in} P(P(Union(\{N
,Q
\}
)
)
)
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op1)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op2)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\overline{(op1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(op2)}
 \mathrel{\in} Q
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\mathsf {a}
 _{Ph} 
 = \{\{\overline{(op1)}
,\overline{(op1)}
\}
,\{\overline{(op1)}
,\overline{(op2)}
\}
\}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\}
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \underline{
\mathsf {m}}
\colon \dot{\neg}\,(
\mathsf {e}
 _{Ph} 
 = \{\{\underline{
\mathsf {m}}
,\underline{
\mathsf {m}}
\}
,\{\underline{
\mathsf {m}}
,(\underline{(fy)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
*\underline{(fz)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
)
\}
\}
)n
)n
\}
[\overline{
\mathsf {m}}
]
+(-u
\mathsf {d}
 _{Ph} 
[\overline{
\mathsf {m}}
]
)
)
|
 <= \overline{(\epsilon)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(|( \{ ph \mathrel{\in}  \{ ph \mathrel{\in} P(P(Union(\{N
,Q
\}
)
)
)
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op1)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op2)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\overline{(op1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(op2)}
 \mathrel{\in} Q
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\mathsf {a}
 _{Ph} 
 = \{\{\overline{(op1)}
,\overline{(op1)}
\}
,\{\overline{(op1)}
,\overline{(op2)}
\}
\}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\}
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \underline{
\mathsf {m}}
\colon \dot{\neg}\,(
\mathsf {e}
 _{Ph} 
 = \{\{\underline{
\mathsf {m}}
,\underline{
\mathsf {m}}
\}
,\{\underline{
\mathsf {m}}
,(\underline{(fy)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
*\underline{(fz)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
)
\}
\}
)n
)n
\}
[\overline{
\mathsf {m}}
]
+(-u
\mathsf {d}
 _{Ph} 
[\overline{
\mathsf {m}}
]
)
)
|
 = \overline{(\epsilon)}
)n
)n
)n
)n
)n
\}
\rhd \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(\epsilon)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {n}}
\colon \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {m}}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(0
 <= \overline{(\epsilon)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(0
 = \overline{(\epsilon)}
)n
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{
\mathsf {n}}
 <= \overline{
\mathsf {m}}
\Rightarrow  \{ ph \mathrel{\in}  \{ ph \mathrel{\in} P(P(Union(\{N
,Q
\}
)
)
)
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op1)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op2)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\overline{(op1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(op2)}
 \mathrel{\in} Q
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\mathsf {a}
 _{Ph} 
 = \{\{\overline{(op1)}
,\overline{(op1)}
\}
,\{\overline{(op1)}
,\overline{(op2)}
\}
\}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\}
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \underline{
\mathsf {m}}
\colon \dot{\neg}\,(
\mathsf {e}
 _{Ph} 
 = \{\{\underline{
\mathsf {m}}
,\underline{
\mathsf {m}}
\}
,\{\underline{
\mathsf {m}}
,(\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
*\underline{(fz)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
)
\}
\}
)n
)n
\}
[\overline{
\mathsf {m}}
]
 <= ( \{ ph \mathrel{\in}  \{ ph \mathrel{\in} P(P(Union(\{N
,Q
\}
)
)
)
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op1)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op2)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\overline{(op1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(op2)}
 \mathrel{\in} Q
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\mathsf {a}
 _{Ph} 
 = \{\{\overline{(op1)}
,\overline{(op1)}
\}
,\{\overline{(op1)}
,\overline{(op2)}
\}
\}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\}
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \underline{
\mathsf {m}}
\colon \dot{\neg}\,(
\mathsf {e}
 _{Ph} 
 = \{\{\underline{
\mathsf {m}}
,\underline{
\mathsf {m}}
\}
,\{\underline{
\mathsf {m}}
,(\underline{(fy)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
*\underline{(fz)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
)
\}
\}
)n
)n
\}
[\overline{
\mathsf {m}}
]
+(-u\overline{(\epsilon)}
)
)
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\gg \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(\epsilon)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {n}}
\colon \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {m}}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(0
 <= \overline{(\epsilon)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(0
 = \overline{(\epsilon)}
)n
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{
\mathsf {n}}
 <= \overline{
\mathsf {m}}
\Rightarrow  \{ ph \mathrel{\in}  \{ ph \mathrel{\in} P(P(Union(\{N
,Q
\}
)
)
)
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op1)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op2)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\overline{(op1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(op2)}
 \mathrel{\in} Q
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\mathsf {a}
 _{Ph} 
 = \{\{\overline{(op1)}
,\overline{(op1)}
\}
,\{\overline{(op1)}
,\overline{(op2)}
\}
\}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\}
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \underline{
\mathsf {m}}
\colon \dot{\neg}\,(
\mathsf {e}
 _{Ph} 
 = \{\{\underline{
\mathsf {m}}
,\underline{
\mathsf {m}}
\}
,\{\underline{
\mathsf {m}}
,(\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
*\underline{(fz)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
)
\}
\}
)n
)n
\}
[\overline{
\mathsf {m}}
]
 <= ( \{ ph \mathrel{\in}  \{ ph \mathrel{\in} P(P(Union(\{N
,Q
\}
)
)
)
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op1)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op2)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\overline{(op1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(op2)}
 \mathrel{\in} Q
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\mathsf {a}
 _{Ph} 
 = \{\{\overline{(op1)}
,\overline{(op1)}
\}
,\{\overline{(op1)}
,\overline{(op2)}
\}
\}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\}
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \underline{
\mathsf {m}}
\colon \dot{\neg}\,(
\mathsf {e}
 _{Ph} 
 = \{\{\underline{
\mathsf {m}}
,\underline{
\mathsf {m}}
\}
,\{\underline{
\mathsf {m}}
,(\underline{(fy)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
*\underline{(fz)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
)
\}
\}
)n
)n
\}
[\overline{
\mathsf {m}}
]
+(-u\overline{(\epsilon)}
)
)
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\rceil 
, 
p_0
, 
\mathsf {c}
)
]$

---------------

$
[EqMultiplicationLeft(R)
\stackrel{
stmt
}{\rightarrow}SystemQ
\vdash 
\forall \underline{(fx)}
\colon 
\forall \underline{(fy)}
\colon 
\forall \underline{(fz)}
\colon  \{ ph \mathrel{\in} P( \{ ph \mathrel{\in} P( \{ ph \mathrel{\in} P(P(Union(\{N
,Q
\}
)
)
)
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op1)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op2)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\overline{(op1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(op2)}
 \mathrel{\in} Q
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\mathsf {a}
 _{Ph} 
 = \{\{\overline{(op1)}
,\overline{(op1)}
\}
,\{\overline{(op1)}
,\overline{(op2)}
\}
\}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\}
)
\mid \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(r1)}
\colon \overline{(r1)}
 \mathrel{\in} 
\mathsf {f}
 _{Ph} 
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op1)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op2)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\overline{(op1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(op2)}
 \mathrel{\in} Q
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(r1)}
 = \{\{\overline{(op1)}
,\overline{(op1)}
\}
,\{\overline{(op1)}
,\overline{(op2)}
\}
\}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(f1)}
\colon 
\forall_{obj} \overline{(f2)}
\colon 
\forall_{obj} \overline{(f3)}
\colon 
\forall_{obj} \overline{(f4)}
\colon \{\{\overline{(f1)}
,\overline{(f1)}
\}
,\{\overline{(f1)}
,\overline{(f2)}
\}
\}
 \mathrel{\in} 
\mathsf {f}
 _{Ph} 
\Rightarrow \{\{\overline{(f3)}
,\overline{(f3)}
\}
,\{\overline{(f3)}
,\overline{(f4)}
\}
\}
 \mathrel{\in} 
\mathsf {f}
 _{Ph} 
\Rightarrow \overline{(f1)}
 = \overline{(f3)}
\Rightarrow \overline{(f2)}
 = \overline{(f4)}
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(s1)}
\colon \overline{(s1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(s2)}
\colon \dot{\neg}\,(\{\{\overline{(s1)}
,\overline{(s1)}
\}
,\{\overline{(s1)}
,\overline{(s2)}
\}
\}
 \mathrel{\in} 
\mathsf {f}
 _{Ph} 
)n
)n
)n
)n
\}
)
\mid 
\forall_{obj} \overline{(\epsilon)}
\colon \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {n}}
\colon \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {m}}
\colon \dot{\neg}\,(0
 <= \overline{(\epsilon)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(0
 = \overline{(\epsilon)}
)n
)n
)n
\Rightarrow \overline{
\mathsf {n}}
 <= \overline{
\mathsf {m}}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(|(\underline{(fx)}
[\overline{
\mathsf {m}}
]
+(-u
\mathsf {d}
 _{Ph} 
[\overline{
\mathsf {m}}
]
)
)
|
 <= \overline{(\epsilon)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(|(\underline{(fx)}
[\overline{
\mathsf {m}}
]
+(-u
\mathsf {d}
 _{Ph} 
[\overline{
\mathsf {m}}
]
)
)
|
 = \overline{(\epsilon)}
)n
)n
)n
)n
)n
\}
 =  \{ ph \mathrel{\in} P( \{ ph \mathrel{\in} P( \{ ph \mathrel{\in} P(P(Union(\{N
,Q
\}
)
)
)
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op1)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op2)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\overline{(op1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(op2)}
 \mathrel{\in} Q
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\mathsf {a}
 _{Ph} 
 = \{\{\overline{(op1)}
,\overline{(op1)}
\}
,\{\overline{(op1)}
,\overline{(op2)}
\}
\}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\}
)
\mid \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(r1)}
\colon \overline{(r1)}
 \mathrel{\in} 
\mathsf {f}
 _{Ph} 
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op1)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op2)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\overline{(op1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(op2)}
 \mathrel{\in} Q
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(r1)}
 = \{\{\overline{(op1)}
,\overline{(op1)}
\}
,\{\overline{(op1)}
,\overline{(op2)}
\}
\}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(f1)}
\colon 
\forall_{obj} \overline{(f2)}
\colon 
\forall_{obj} \overline{(f3)}
\colon 
\forall_{obj} \overline{(f4)}
\colon \{\{\overline{(f1)}
,\overline{(f1)}
\}
,\{\overline{(f1)}
,\overline{(f2)}
\}
\}
 \mathrel{\in} 
\mathsf {f}
 _{Ph} 
\Rightarrow \{\{\overline{(f3)}
,\overline{(f3)}
\}
,\{\overline{(f3)}
,\overline{(f4)}
\}
\}
 \mathrel{\in} 
\mathsf {f}
 _{Ph} 
\Rightarrow \overline{(f1)}
 = \overline{(f3)}
\Rightarrow \overline{(f2)}
 = \overline{(f4)}
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(s1)}
\colon \overline{(s1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(s2)}
\colon \dot{\neg}\,(\{\{\overline{(s1)}
,\overline{(s1)}
\}
,\{\overline{(s1)}
,\overline{(s2)}
\}
\}
 \mathrel{\in} 
\mathsf {f}
 _{Ph} 
)n
)n
)n
)n
\}
)
\mid 
\forall_{obj} \overline{(\epsilon)}
\colon \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {n}}
\colon \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {m}}
\colon \dot{\neg}\,(0
 <= \overline{(\epsilon)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(0
 = \overline{(\epsilon)}
)n
)n
)n
\Rightarrow \overline{
\mathsf {n}}
 <= \overline{
\mathsf {m}}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(|(\underline{(fy)}
[\overline{
\mathsf {m}}
]
+(-u
\mathsf {d}
 _{Ph} 
[\overline{
\mathsf {m}}
]
)
)
|
 <= \overline{(\epsilon)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(|(\underline{(fy)}
[\overline{
\mathsf {m}}
]
+(-u
\mathsf {d}
 _{Ph} 
[\overline{
\mathsf {m}}
]
)
)
|
 = \overline{(\epsilon)}
)n
)n
)n
)n
)n
\}
\vdash  \{ ph \mathrel{\in} P( \{ ph \mathrel{\in} P( \{ ph \mathrel{\in} P(P(Union(\{N
,Q
\}
)
)
)
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op1)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op2)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\overline{(op1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(op2)}
 \mathrel{\in} Q
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\mathsf {a}
 _{Ph} 
 = \{\{\overline{(op1)}
,\overline{(op1)}
\}
,\{\overline{(op1)}
,\overline{(op2)}
\}
\}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\}
)
\mid \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(r1)}
\colon \overline{(r1)}
 \mathrel{\in} 
\mathsf {f}
 _{Ph} 
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op1)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op2)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\overline{(op1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(op2)}
 \mathrel{\in} Q
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(r1)}
 = \{\{\overline{(op1)}
,\overline{(op1)}
\}
,\{\overline{(op1)}
,\overline{(op2)}
\}
\}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(f1)}
\colon 
\forall_{obj} \overline{(f2)}
\colon 
\forall_{obj} \overline{(f3)}
\colon 
\forall_{obj} \overline{(f4)}
\colon \{\{\overline{(f1)}
,\overline{(f1)}
\}
,\{\overline{(f1)}
,\overline{(f2)}
\}
\}
 \mathrel{\in} 
\mathsf {f}
 _{Ph} 
\Rightarrow \{\{\overline{(f3)}
,\overline{(f3)}
\}
,\{\overline{(f3)}
,\overline{(f4)}
\}
\}
 \mathrel{\in} 
\mathsf {f}
 _{Ph} 
\Rightarrow \overline{(f1)}
 = \overline{(f3)}
\Rightarrow \overline{(f2)}
 = \overline{(f4)}
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(s1)}
\colon \overline{(s1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(s2)}
\colon \dot{\neg}\,(\{\{\overline{(s1)}
,\overline{(s1)}
\}
,\{\overline{(s1)}
,\overline{(s2)}
\}
\}
 \mathrel{\in} 
\mathsf {f}
 _{Ph} 
)n
)n
)n
)n
\}
)
\mid 
\forall_{obj} \overline{(\epsilon)}
\colon \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {n}}
\colon \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {m}}
\colon \dot{\neg}\,(0
 <= \overline{(\epsilon)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(0
 = \overline{(\epsilon)}
)n
)n
)n
\Rightarrow \overline{
\mathsf {n}}
 <= \overline{
\mathsf {m}}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(|( \{ ph \mathrel{\in}  \{ ph \mathrel{\in} P(P(Union(\{N
,Q
\}
)
)
)
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op1)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op2)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\overline{(op1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(op2)}
 \mathrel{\in} Q
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\mathsf {a}
 _{Ph} 
 = \{\{\overline{(op1)}
,\overline{(op1)}
\}
,\{\overline{(op1)}
,\overline{(op2)}
\}
\}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\}
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \underline{
\mathsf {m}}
\colon \dot{\neg}\,(
\mathsf {e}
 _{Ph} 
 = \{\{\underline{
\mathsf {m}}
,\underline{
\mathsf {m}}
\}
,\{\underline{
\mathsf {m}}
,(\underline{(fz)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
*\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
)
\}
\}
)n
)n
\}
[\overline{
\mathsf {m}}
]
+(-u
\mathsf {d}
 _{Ph} 
[\overline{
\mathsf {m}}
]
)
)
|
 <= \overline{(\epsilon)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(|( \{ ph \mathrel{\in}  \{ ph \mathrel{\in} P(P(Union(\{N
,Q
\}
)
)
)
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op1)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op2)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\overline{(op1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(op2)}
 \mathrel{\in} Q
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\mathsf {a}
 _{Ph} 
 = \{\{\overline{(op1)}
,\overline{(op1)}
\}
,\{\overline{(op1)}
,\overline{(op2)}
\}
\}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\}
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \underline{
\mathsf {m}}
\colon \dot{\neg}\,(
\mathsf {e}
 _{Ph} 
 = \{\{\underline{
\mathsf {m}}
,\underline{
\mathsf {m}}
\}
,\{\underline{
\mathsf {m}}
,(\underline{(fz)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
*\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
)
\}
\}
)n
)n
\}
[\overline{
\mathsf {m}}
]
+(-u
\mathsf {d}
 _{Ph} 
[\overline{
\mathsf {m}}
]
)
)
|
 = \overline{(\epsilon)}
)n
)n
)n
)n
)n
\}
 =  \{ ph \mathrel{\in} P( \{ ph \mathrel{\in} P( \{ ph \mathrel{\in} P(P(Union(\{N
,Q
\}
)
)
)
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op1)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op2)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\overline{(op1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(op2)}
 \mathrel{\in} Q
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\mathsf {a}
 _{Ph} 
 = \{\{\overline{(op1)}
,\overline{(op1)}
\}
,\{\overline{(op1)}
,\overline{(op2)}
\}
\}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\}
)
\mid \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(r1)}
\colon \overline{(r1)}
 \mathrel{\in} 
\mathsf {f}
 _{Ph} 
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op1)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op2)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\overline{(op1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(op2)}
 \mathrel{\in} Q
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(r1)}
 = \{\{\overline{(op1)}
,\overline{(op1)}
\}
,\{\overline{(op1)}
,\overline{(op2)}
\}
\}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(f1)}
\colon 
\forall_{obj} \overline{(f2)}
\colon 
\forall_{obj} \overline{(f3)}
\colon 
\forall_{obj} \overline{(f4)}
\colon \{\{\overline{(f1)}
,\overline{(f1)}
\}
,\{\overline{(f1)}
,\overline{(f2)}
\}
\}
 \mathrel{\in} 
\mathsf {f}
 _{Ph} 
\Rightarrow \{\{\overline{(f3)}
,\overline{(f3)}
\}
,\{\overline{(f3)}
,\overline{(f4)}
\}
\}
 \mathrel{\in} 
\mathsf {f}
 _{Ph} 
\Rightarrow \overline{(f1)}
 = \overline{(f3)}
\Rightarrow \overline{(f2)}
 = \overline{(f4)}
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(s1)}
\colon \overline{(s1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(s2)}
\colon \dot{\neg}\,(\{\{\overline{(s1)}
,\overline{(s1)}
\}
,\{\overline{(s1)}
,\overline{(s2)}
\}
\}
 \mathrel{\in} 
\mathsf {f}
 _{Ph} 
)n
)n
)n
)n
\}
)
\mid 
\forall_{obj} \overline{(\epsilon)}
\colon \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {n}}
\colon \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {m}}
\colon \dot{\neg}\,(0
 <= \overline{(\epsilon)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(0
 = \overline{(\epsilon)}
)n
)n
)n
\Rightarrow \overline{
\mathsf {n}}
 <= \overline{
\mathsf {m}}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(|( \{ ph \mathrel{\in}  \{ ph \mathrel{\in} P(P(Union(\{N
,Q
\}
)
)
)
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op1)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op2)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\overline{(op1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(op2)}
 \mathrel{\in} Q
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\mathsf {a}
 _{Ph} 
 = \{\{\overline{(op1)}
,\overline{(op1)}
\}
,\{\overline{(op1)}
,\overline{(op2)}
\}
\}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\}
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \underline{
\mathsf {m}}
\colon \dot{\neg}\,(
\mathsf {e}
 _{Ph} 
 = \{\{\underline{
\mathsf {m}}
,\underline{
\mathsf {m}}
\}
,\{\underline{
\mathsf {m}}
,(\underline{(fz)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
*\underline{(fy)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
)
\}
\}
)n
)n
\}
[\overline{
\mathsf {m}}
]
+(-u
\mathsf {d}
 _{Ph} 
[\overline{
\mathsf {m}}
]
)
)
|
 <= \overline{(\epsilon)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(|( \{ ph \mathrel{\in}  \{ ph \mathrel{\in} P(P(Union(\{N
,Q
\}
)
)
)
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op1)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op2)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\overline{(op1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(op2)}
 \mathrel{\in} Q
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\mathsf {a}
 _{Ph} 
 = \{\{\overline{(op1)}
,\overline{(op1)}
\}
,\{\overline{(op1)}
,\overline{(op2)}
\}
\}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\}
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \underline{
\mathsf {m}}
\colon \dot{\neg}\,(
\mathsf {e}
 _{Ph} 
 = \{\{\underline{
\mathsf {m}}
,\underline{
\mathsf {m}}
\}
,\{\underline{
\mathsf {m}}
,(\underline{(fz)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
*\underline{(fy)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
)
\}
\}
)n
)n
\}
[\overline{
\mathsf {m}}
]
+(-u
\mathsf {d}
 _{Ph} 
[\overline{
\mathsf {m}}
]
)
)
|
 = \overline{(\epsilon)}
)n
)n
)n
)n
)n
\}
]$

$
[EqMultiplicationLeft(R)
\stackrel{
proof
}{\rightarrow}
\lambda 
\mathsf {c}
.
\lambda 
\mathsf{x}
.
{\cal P}( 
\lceil SystemQ
\vdash 
\forall \underline{(fx)}
\colon 
\forall \underline{(fy)}
\colon 
\forall \underline{(fz)}
\colon  \{ ph \mathrel{\in} P( \{ ph \mathrel{\in} P( \{ ph \mathrel{\in} P(P(Union(\{N
,Q
\}
)
)
)
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op1)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op2)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\overline{(op1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(op2)}
 \mathrel{\in} Q
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\mathsf {a}
 _{Ph} 
 = \{\{\overline{(op1)}
,\overline{(op1)}
\}
,\{\overline{(op1)}
,\overline{(op2)}
\}
\}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\}
)
\mid \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(r1)}
\colon \overline{(r1)}
 \mathrel{\in} 
\mathsf {f}
 _{Ph} 
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op1)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op2)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\overline{(op1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(op2)}
 \mathrel{\in} Q
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(r1)}
 = \{\{\overline{(op1)}
,\overline{(op1)}
\}
,\{\overline{(op1)}
,\overline{(op2)}
\}
\}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(f1)}
\colon 
\forall_{obj} \overline{(f2)}
\colon 
\forall_{obj} \overline{(f3)}
\colon 
\forall_{obj} \overline{(f4)}
\colon \{\{\overline{(f1)}
,\overline{(f1)}
\}
,\{\overline{(f1)}
,\overline{(f2)}
\}
\}
 \mathrel{\in} 
\mathsf {f}
 _{Ph} 
\Rightarrow \{\{\overline{(f3)}
,\overline{(f3)}
\}
,\{\overline{(f3)}
,\overline{(f4)}
\}
\}
 \mathrel{\in} 
\mathsf {f}
 _{Ph} 
\Rightarrow \overline{(f1)}
 = \overline{(f3)}
\Rightarrow \overline{(f2)}
 = \overline{(f4)}
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(s1)}
\colon \overline{(s1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(s2)}
\colon \dot{\neg}\,(\{\{\overline{(s1)}
,\overline{(s1)}
\}
,\{\overline{(s1)}
,\overline{(s2)}
\}
\}
 \mathrel{\in} 
\mathsf {f}
 _{Ph} 
)n
)n
)n
)n
\}
)
\mid 
\forall_{obj} \overline{(\epsilon)}
\colon \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {n}}
\colon \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {m}}
\colon \dot{\neg}\,(0
 <= \overline{(\epsilon)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(0
 = \overline{(\epsilon)}
)n
)n
)n
\Rightarrow \overline{
\mathsf {n}}
 <= \overline{
\mathsf {m}}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(|(\underline{(fx)}
[\overline{
\mathsf {m}}
]
+(-u
\mathsf {d}
 _{Ph} 
[\overline{
\mathsf {m}}
]
)
)
|
 <= \overline{(\epsilon)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(|(\underline{(fx)}
[\overline{
\mathsf {m}}
]
+(-u
\mathsf {d}
 _{Ph} 
[\overline{
\mathsf {m}}
]
)
)
|
 = \overline{(\epsilon)}
)n
)n
)n
)n
)n
\}
 =  \{ ph \mathrel{\in} P( \{ ph \mathrel{\in} P( \{ ph \mathrel{\in} P(P(Union(\{N
,Q
\}
)
)
)
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op1)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op2)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\overline{(op1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(op2)}
 \mathrel{\in} Q
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\mathsf {a}
 _{Ph} 
 = \{\{\overline{(op1)}
,\overline{(op1)}
\}
,\{\overline{(op1)}
,\overline{(op2)}
\}
\}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\}
)
\mid \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(r1)}
\colon \overline{(r1)}
 \mathrel{\in} 
\mathsf {f}
 _{Ph} 
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op1)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op2)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\overline{(op1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(op2)}
 \mathrel{\in} Q
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(r1)}
 = \{\{\overline{(op1)}
,\overline{(op1)}
\}
,\{\overline{(op1)}
,\overline{(op2)}
\}
\}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(f1)}
\colon 
\forall_{obj} \overline{(f2)}
\colon 
\forall_{obj} \overline{(f3)}
\colon 
\forall_{obj} \overline{(f4)}
\colon \{\{\overline{(f1)}
,\overline{(f1)}
\}
,\{\overline{(f1)}
,\overline{(f2)}
\}
\}
 \mathrel{\in} 
\mathsf {f}
 _{Ph} 
\Rightarrow \{\{\overline{(f3)}
,\overline{(f3)}
\}
,\{\overline{(f3)}
,\overline{(f4)}
\}
\}
 \mathrel{\in} 
\mathsf {f}
 _{Ph} 
\Rightarrow \overline{(f1)}
 = \overline{(f3)}
\Rightarrow \overline{(f2)}
 = \overline{(f4)}
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(s1)}
\colon \overline{(s1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(s2)}
\colon \dot{\neg}\,(\{\{\overline{(s1)}
,\overline{(s1)}
\}
,\{\overline{(s1)}
,\overline{(s2)}
\}
\}
 \mathrel{\in} 
\mathsf {f}
 _{Ph} 
)n
)n
)n
)n
\}
)
\mid 
\forall_{obj} \overline{(\epsilon)}
\colon \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {n}}
\colon \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {m}}
\colon \dot{\neg}\,(0
 <= \overline{(\epsilon)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(0
 = \overline{(\epsilon)}
)n
)n
)n
\Rightarrow \overline{
\mathsf {n}}
 <= \overline{
\mathsf {m}}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(|(\underline{(fy)}
[\overline{
\mathsf {m}}
]
+(-u
\mathsf {d}
 _{Ph} 
[\overline{
\mathsf {m}}
]
)
)
|
 <= \overline{(\epsilon)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(|(\underline{(fy)}
[\overline{
\mathsf {m}}
]
+(-u
\mathsf {d}
 _{Ph} 
[\overline{
\mathsf {m}}
]
)
)
|
 = \overline{(\epsilon)}
)n
)n
)n
)n
)n
\}
\vdash EqMultiplication(R)
\rhd  \{ ph \mathrel{\in} P( \{ ph \mathrel{\in} P( \{ ph \mathrel{\in} P(P(Union(\{N
,Q
\}
)
)
)
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op1)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op2)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\overline{(op1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(op2)}
 \mathrel{\in} Q
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\mathsf {a}
 _{Ph} 
 = \{\{\overline{(op1)}
,\overline{(op1)}
\}
,\{\overline{(op1)}
,\overline{(op2)}
\}
\}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\}
)
\mid \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(r1)}
\colon \overline{(r1)}
 \mathrel{\in} 
\mathsf {f}
 _{Ph} 
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op1)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op2)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\overline{(op1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(op2)}
 \mathrel{\in} Q
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(r1)}
 = \{\{\overline{(op1)}
,\overline{(op1)}
\}
,\{\overline{(op1)}
,\overline{(op2)}
\}
\}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(f1)}
\colon 
\forall_{obj} \overline{(f2)}
\colon 
\forall_{obj} \overline{(f3)}
\colon 
\forall_{obj} \overline{(f4)}
\colon \{\{\overline{(f1)}
,\overline{(f1)}
\}
,\{\overline{(f1)}
,\overline{(f2)}
\}
\}
 \mathrel{\in} 
\mathsf {f}
 _{Ph} 
\Rightarrow \{\{\overline{(f3)}
,\overline{(f3)}
\}
,\{\overline{(f3)}
,\overline{(f4)}
\}
\}
 \mathrel{\in} 
\mathsf {f}
 _{Ph} 
\Rightarrow \overline{(f1)}
 = \overline{(f3)}
\Rightarrow \overline{(f2)}
 = \overline{(f4)}
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(s1)}
\colon \overline{(s1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(s2)}
\colon \dot{\neg}\,(\{\{\overline{(s1)}
,\overline{(s1)}
\}
,\{\overline{(s1)}
,\overline{(s2)}
\}
\}
 \mathrel{\in} 
\mathsf {f}
 _{Ph} 
)n
)n
)n
)n
\}
)
\mid 
\forall_{obj} \overline{(\epsilon)}
\colon \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {n}}
\colon \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {m}}
\colon \dot{\neg}\,(0
 <= \overline{(\epsilon)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(0
 = \overline{(\epsilon)}
)n
)n
)n
\Rightarrow \overline{
\mathsf {n}}
 <= \overline{
\mathsf {m}}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(|(\underline{(fx)}
[\overline{
\mathsf {m}}
]
+(-u
\mathsf {d}
 _{Ph} 
[\overline{
\mathsf {m}}
]
)
)
|
 <= \overline{(\epsilon)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(|(\underline{(fx)}
[\overline{
\mathsf {m}}
]
+(-u
\mathsf {d}
 _{Ph} 
[\overline{
\mathsf {m}}
]
)
)
|
 = \overline{(\epsilon)}
)n
)n
)n
)n
)n
\}
 =  \{ ph \mathrel{\in} P( \{ ph \mathrel{\in} P( \{ ph \mathrel{\in} P(P(Union(\{N
,Q
\}
)
)
)
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op1)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op2)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\overline{(op1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(op2)}
 \mathrel{\in} Q
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\mathsf {a}
 _{Ph} 
 = \{\{\overline{(op1)}
,\overline{(op1)}
\}
,\{\overline{(op1)}
,\overline{(op2)}
\}
\}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\}
)
\mid \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(r1)}
\colon \overline{(r1)}
 \mathrel{\in} 
\mathsf {f}
 _{Ph} 
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op1)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op2)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\overline{(op1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(op2)}
 \mathrel{\in} Q
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(r1)}
 = \{\{\overline{(op1)}
,\overline{(op1)}
\}
,\{\overline{(op1)}
,\overline{(op2)}
\}
\}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(f1)}
\colon 
\forall_{obj} \overline{(f2)}
\colon 
\forall_{obj} \overline{(f3)}
\colon 
\forall_{obj} \overline{(f4)}
\colon \{\{\overline{(f1)}
,\overline{(f1)}
\}
,\{\overline{(f1)}
,\overline{(f2)}
\}
\}
 \mathrel{\in} 
\mathsf {f}
 _{Ph} 
\Rightarrow \{\{\overline{(f3)}
,\overline{(f3)}
\}
,\{\overline{(f3)}
,\overline{(f4)}
\}
\}
 \mathrel{\in} 
\mathsf {f}
 _{Ph} 
\Rightarrow \overline{(f1)}
 = \overline{(f3)}
\Rightarrow \overline{(f2)}
 = \overline{(f4)}
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(s1)}
\colon \overline{(s1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(s2)}
\colon \dot{\neg}\,(\{\{\overline{(s1)}
,\overline{(s1)}
\}
,\{\overline{(s1)}
,\overline{(s2)}
\}
\}
 \mathrel{\in} 
\mathsf {f}
 _{Ph} 
)n
)n
)n
)n
\}
)
\mid 
\forall_{obj} \overline{(\epsilon)}
\colon \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {n}}
\colon \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {m}}
\colon \dot{\neg}\,(0
 <= \overline{(\epsilon)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(0
 = \overline{(\epsilon)}
)n
)n
)n
\Rightarrow \overline{
\mathsf {n}}
 <= \overline{
\mathsf {m}}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(|(\underline{(fy)}
[\overline{
\mathsf {m}}
]
+(-u
\mathsf {d}
 _{Ph} 
[\overline{
\mathsf {m}}
]
)
)
|
 <= \overline{(\epsilon)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(|(\underline{(fy)}
[\overline{
\mathsf {m}}
]
+(-u
\mathsf {d}
 _{Ph} 
[\overline{
\mathsf {m}}
]
)
)
|
 = \overline{(\epsilon)}
)n
)n
)n
)n
)n
\}
\gg  \{ ph \mathrel{\in} P( \{ ph \mathrel{\in} P( \{ ph \mathrel{\in} P(P(Union(\{N
,Q
\}
)
)
)
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op1)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op2)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\overline{(op1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(op2)}
 \mathrel{\in} Q
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\mathsf {a}
 _{Ph} 
 = \{\{\overline{(op1)}
,\overline{(op1)}
\}
,\{\overline{(op1)}
,\overline{(op2)}
\}
\}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\}
)
\mid \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(r1)}
\colon \overline{(r1)}
 \mathrel{\in} 
\mathsf {f}
 _{Ph} 
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op1)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op2)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\overline{(op1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(op2)}
 \mathrel{\in} Q
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(r1)}
 = \{\{\overline{(op1)}
,\overline{(op1)}
\}
,\{\overline{(op1)}
,\overline{(op2)}
\}
\}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(f1)}
\colon 
\forall_{obj} \overline{(f2)}
\colon 
\forall_{obj} \overline{(f3)}
\colon 
\forall_{obj} \overline{(f4)}
\colon \{\{\overline{(f1)}
,\overline{(f1)}
\}
,\{\overline{(f1)}
,\overline{(f2)}
\}
\}
 \mathrel{\in} 
\mathsf {f}
 _{Ph} 
\Rightarrow \{\{\overline{(f3)}
,\overline{(f3)}
\}
,\{\overline{(f3)}
,\overline{(f4)}
\}
\}
 \mathrel{\in} 
\mathsf {f}
 _{Ph} 
\Rightarrow \overline{(f1)}
 = \overline{(f3)}
\Rightarrow \overline{(f2)}
 = \overline{(f4)}
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(s1)}
\colon \overline{(s1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(s2)}
\colon \dot{\neg}\,(\{\{\overline{(s1)}
,\overline{(s1)}
\}
,\{\overline{(s1)}
,\overline{(s2)}
\}
\}
 \mathrel{\in} 
\mathsf {f}
 _{Ph} 
)n
)n
)n
)n
\}
)
\mid 
\forall_{obj} \overline{(\epsilon)}
\colon \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {n}}
\colon \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {m}}
\colon \dot{\neg}\,(0
 <= \overline{(\epsilon)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(0
 = \overline{(\epsilon)}
)n
)n
)n
\Rightarrow \overline{
\mathsf {n}}
 <= \overline{
\mathsf {m}}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(|( \{ ph \mathrel{\in}  \{ ph \mathrel{\in} P(P(Union(\{N
,Q
\}
)
)
)
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op1)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op2)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\overline{(op1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(op2)}
 \mathrel{\in} Q
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\mathsf {a}
 _{Ph} 
 = \{\{\overline{(op1)}
,\overline{(op1)}
\}
,\{\overline{(op1)}
,\overline{(op2)}
\}
\}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\}
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \underline{
\mathsf {m}}
\colon \dot{\neg}\,(
\mathsf {e}
 _{Ph} 
 = \{\{\underline{
\mathsf {m}}
,\underline{
\mathsf {m}}
\}
,\{\underline{
\mathsf {m}}
,(\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
*\underline{(fz)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
)
\}
\}
)n
)n
\}
[\overline{
\mathsf {m}}
]
+(-u
\mathsf {d}
 _{Ph} 
[\overline{
\mathsf {m}}
]
)
)
|
 <= \overline{(\epsilon)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(|( \{ ph \mathrel{\in}  \{ ph \mathrel{\in} P(P(Union(\{N
,Q
\}
)
)
)
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op1)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op2)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\overline{(op1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(op2)}
 \mathrel{\in} Q
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\mathsf {a}
 _{Ph} 
 = \{\{\overline{(op1)}
,\overline{(op1)}
\}
,\{\overline{(op1)}
,\overline{(op2)}
\}
\}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\}
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \underline{
\mathsf {m}}
\colon \dot{\neg}\,(
\mathsf {e}
 _{Ph} 
 = \{\{\underline{
\mathsf {m}}
,\underline{
\mathsf {m}}
\}
,\{\underline{
\mathsf {m}}
,(\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
*\underline{(fz)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
)
\}
\}
)n
)n
\}
[\overline{
\mathsf {m}}
]
+(-u
\mathsf {d}
 _{Ph} 
[\overline{
\mathsf {m}}
]
)
)
|
 = \overline{(\epsilon)}
)n
)n
)n
)n
)n
\}
 =  \{ ph \mathrel{\in} P( \{ ph \mathrel{\in} P( \{ ph \mathrel{\in} P(P(Union(\{N
,Q
\}
)
)
)
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op1)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op2)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\overline{(op1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(op2)}
 \mathrel{\in} Q
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\mathsf {a}
 _{Ph} 
 = \{\{\overline{(op1)}
,\overline{(op1)}
\}
,\{\overline{(op1)}
,\overline{(op2)}
\}
\}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\}
)
\mid \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(r1)}
\colon \overline{(r1)}
 \mathrel{\in} 
\mathsf {f}
 _{Ph} 
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op1)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op2)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\overline{(op1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(op2)}
 \mathrel{\in} Q
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(r1)}
 = \{\{\overline{(op1)}
,\overline{(op1)}
\}
,\{\overline{(op1)}
,\overline{(op2)}
\}
\}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(f1)}
\colon 
\forall_{obj} \overline{(f2)}
\colon 
\forall_{obj} \overline{(f3)}
\colon 
\forall_{obj} \overline{(f4)}
\colon \{\{\overline{(f1)}
,\overline{(f1)}
\}
,\{\overline{(f1)}
,\overline{(f2)}
\}
\}
 \mathrel{\in} 
\mathsf {f}
 _{Ph} 
\Rightarrow \{\{\overline{(f3)}
,\overline{(f3)}
\}
,\{\overline{(f3)}
,\overline{(f4)}
\}
\}
 \mathrel{\in} 
\mathsf {f}
 _{Ph} 
\Rightarrow \overline{(f1)}
 = \overline{(f3)}
\Rightarrow \overline{(f2)}
 = \overline{(f4)}
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(s1)}
\colon \overline{(s1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(s2)}
\colon \dot{\neg}\,(\{\{\overline{(s1)}
,\overline{(s1)}
\}
,\{\overline{(s1)}
,\overline{(s2)}
\}
\}
 \mathrel{\in} 
\mathsf {f}
 _{Ph} 
)n
)n
)n
)n
\}
)
\mid 
\forall_{obj} \overline{(\epsilon)}
\colon \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {n}}
\colon \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {m}}
\colon \dot{\neg}\,(0
 <= \overline{(\epsilon)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(0
 = \overline{(\epsilon)}
)n
)n
)n
\Rightarrow \overline{
\mathsf {n}}
 <= \overline{
\mathsf {m}}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(|( \{ ph \mathrel{\in}  \{ ph \mathrel{\in} P(P(Union(\{N
,Q
\}
)
)
)
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op1)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op2)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\overline{(op1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(op2)}
 \mathrel{\in} Q
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\mathsf {a}
 _{Ph} 
 = \{\{\overline{(op1)}
,\overline{(op1)}
\}
,\{\overline{(op1)}
,\overline{(op2)}
\}
\}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\}
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \underline{
\mathsf {m}}
\colon \dot{\neg}\,(
\mathsf {e}
 _{Ph} 
 = \{\{\underline{
\mathsf {m}}
,\underline{
\mathsf {m}}
\}
,\{\underline{
\mathsf {m}}
,(\underline{(fy)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
*\underline{(fz)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
)
\}
\}
)n
)n
\}
[\overline{
\mathsf {m}}
]
+(-u
\mathsf {d}
 _{Ph} 
[\overline{
\mathsf {m}}
]
)
)
|
 <= \overline{(\epsilon)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(|( \{ ph \mathrel{\in}  \{ ph \mathrel{\in} P(P(Union(\{N
,Q
\}
)
)
)
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op1)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op2)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\overline{(op1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(op2)}
 \mathrel{\in} Q
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\mathsf {a}
 _{Ph} 
 = \{\{\overline{(op1)}
,\overline{(op1)}
\}
,\{\overline{(op1)}
,\overline{(op2)}
\}
\}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\}
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \underline{
\mathsf {m}}
\colon \dot{\neg}\,(
\mathsf {e}
 _{Ph} 
 = \{\{\underline{
\mathsf {m}}
,\underline{
\mathsf {m}}
\}
,\{\underline{
\mathsf {m}}
,(\underline{(fy)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
*\underline{(fz)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
)
\}
\}
)n
)n
\}
[\overline{
\mathsf {m}}
]
+(-u
\mathsf {d}
 _{Ph} 
[\overline{
\mathsf {m}}
]
)
)
|
 = \overline{(\epsilon)}
)n
)n
)n
)n
)n
\}
; TimesCommutativity(R)
\gg  \{ ph \mathrel{\in} P( \{ ph \mathrel{\in} P( \{ ph \mathrel{\in} P(P(Union(\{N
,Q
\}
)
)
)
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op1)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op2)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\overline{(op1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(op2)}
 \mathrel{\in} Q
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\mathsf {a}
 _{Ph} 
 = \{\{\overline{(op1)}
,\overline{(op1)}
\}
,\{\overline{(op1)}
,\overline{(op2)}
\}
\}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\}
)
\mid \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(r1)}
\colon \overline{(r1)}
 \mathrel{\in} 
\mathsf {f}
 _{Ph} 
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op1)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op2)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\overline{(op1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(op2)}
 \mathrel{\in} Q
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(r1)}
 = \{\{\overline{(op1)}
,\overline{(op1)}
\}
,\{\overline{(op1)}
,\overline{(op2)}
\}
\}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(f1)}
\colon 
\forall_{obj} \overline{(f2)}
\colon 
\forall_{obj} \overline{(f3)}
\colon 
\forall_{obj} \overline{(f4)}
\colon \{\{\overline{(f1)}
,\overline{(f1)}
\}
,\{\overline{(f1)}
,\overline{(f2)}
\}
\}
 \mathrel{\in} 
\mathsf {f}
 _{Ph} 
\Rightarrow \{\{\overline{(f3)}
,\overline{(f3)}
\}
,\{\overline{(f3)}
,\overline{(f4)}
\}
\}
 \mathrel{\in} 
\mathsf {f}
 _{Ph} 
\Rightarrow \overline{(f1)}
 = \overline{(f3)}
\Rightarrow \overline{(f2)}
 = \overline{(f4)}
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(s1)}
\colon \overline{(s1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(s2)}
\colon \dot{\neg}\,(\{\{\overline{(s1)}
,\overline{(s1)}
\}
,\{\overline{(s1)}
,\overline{(s2)}
\}
\}
 \mathrel{\in} 
\mathsf {f}
 _{Ph} 
)n
)n
)n
)n
\}
)
\mid 
\forall_{obj} \overline{(\epsilon)}
\colon \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {n}}
\colon \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {m}}
\colon \dot{\neg}\,(0
 <= \overline{(\epsilon)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(0
 = \overline{(\epsilon)}
)n
)n
)n
\Rightarrow \overline{
\mathsf {n}}
 <= \overline{
\mathsf {m}}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(|( \{ ph \mathrel{\in}  \{ ph \mathrel{\in} P(P(Union(\{N
,Q
\}
)
)
)
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op1)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op2)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\overline{(op1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(op2)}
 \mathrel{\in} Q
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\mathsf {a}
 _{Ph} 
 = \{\{\overline{(op1)}
,\overline{(op1)}
\}
,\{\overline{(op1)}
,\overline{(op2)}
\}
\}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\}
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \underline{
\mathsf {m}}
\colon \dot{\neg}\,(
\mathsf {e}
 _{Ph} 
 = \{\{\underline{
\mathsf {m}}
,\underline{
\mathsf {m}}
\}
,\{\underline{
\mathsf {m}}
,(\underline{(fz)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
*\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
)
\}
\}
)n
)n
\}
[\overline{
\mathsf {m}}
]
+(-u
\mathsf {d}
 _{Ph} 
[\overline{
\mathsf {m}}
]
)
)
|
 <= \overline{(\epsilon)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(|( \{ ph \mathrel{\in}  \{ ph \mathrel{\in} P(P(Union(\{N
,Q
\}
)
)
)
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op1)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op2)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\overline{(op1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(op2)}
 \mathrel{\in} Q
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\mathsf {a}
 _{Ph} 
 = \{\{\overline{(op1)}
,\overline{(op1)}
\}
,\{\overline{(op1)}
,\overline{(op2)}
\}
\}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\}
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \underline{
\mathsf {m}}
\colon \dot{\neg}\,(
\mathsf {e}
 _{Ph} 
 = \{\{\underline{
\mathsf {m}}
,\underline{
\mathsf {m}}
\}
,\{\underline{
\mathsf {m}}
,(\underline{(fz)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
*\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
)
\}
\}
)n
)n
\}
[\overline{
\mathsf {m}}
]
+(-u
\mathsf {d}
 _{Ph} 
[\overline{
\mathsf {m}}
]
)
)
|
 = \overline{(\epsilon)}
)n
)n
)n
)n
)n
\}
 =  \{ ph \mathrel{\in} P( \{ ph \mathrel{\in} P( \{ ph \mathrel{\in} P(P(Union(\{N
,Q
\}
)
)
)
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op1)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op2)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\overline{(op1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(op2)}
 \mathrel{\in} Q
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\mathsf {a}
 _{Ph} 
 = \{\{\overline{(op1)}
,\overline{(op1)}
\}
,\{\overline{(op1)}
,\overline{(op2)}
\}
\}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\}
)
\mid \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(r1)}
\colon \overline{(r1)}
 \mathrel{\in} 
\mathsf {f}
 _{Ph} 
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op1)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op2)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\overline{(op1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(op2)}
 \mathrel{\in} Q
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(r1)}
 = \{\{\overline{(op1)}
,\overline{(op1)}
\}
,\{\overline{(op1)}
,\overline{(op2)}
\}
\}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(f1)}
\colon 
\forall_{obj} \overline{(f2)}
\colon 
\forall_{obj} \overline{(f3)}
\colon 
\forall_{obj} \overline{(f4)}
\colon \{\{\overline{(f1)}
,\overline{(f1)}
\}
,\{\overline{(f1)}
,\overline{(f2)}
\}
\}
 \mathrel{\in} 
\mathsf {f}
 _{Ph} 
\Rightarrow \{\{\overline{(f3)}
,\overline{(f3)}
\}
,\{\overline{(f3)}
,\overline{(f4)}
\}
\}
 \mathrel{\in} 
\mathsf {f}
 _{Ph} 
\Rightarrow \overline{(f1)}
 = \overline{(f3)}
\Rightarrow \overline{(f2)}
 = \overline{(f4)}
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(s1)}
\colon \overline{(s1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(s2)}
\colon \dot{\neg}\,(\{\{\overline{(s1)}
,\overline{(s1)}
\}
,\{\overline{(s1)}
,\overline{(s2)}
\}
\}
 \mathrel{\in} 
\mathsf {f}
 _{Ph} 
)n
)n
)n
)n
\}
)
\mid 
\forall_{obj} \overline{(\epsilon)}
\colon \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {n}}
\colon \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {m}}
\colon \dot{\neg}\,(0
 <= \overline{(\epsilon)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(0
 = \overline{(\epsilon)}
)n
)n
)n
\Rightarrow \overline{
\mathsf {n}}
 <= \overline{
\mathsf {m}}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(|( \{ ph \mathrel{\in}  \{ ph \mathrel{\in} P(P(Union(\{N
,Q
\}
)
)
)
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op1)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op2)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\overline{(op1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(op2)}
 \mathrel{\in} Q
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\mathsf {a}
 _{Ph} 
 = \{\{\overline{(op1)}
,\overline{(op1)}
\}
,\{\overline{(op1)}
,\overline{(op2)}
\}
\}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\}
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \underline{
\mathsf {m}}
\colon \dot{\neg}\,(
\mathsf {e}
 _{Ph} 
 = \{\{\underline{
\mathsf {m}}
,\underline{
\mathsf {m}}
\}
,\{\underline{
\mathsf {m}}
,(\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
*\underline{(fz)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
)
\}
\}
)n
)n
\}
[\overline{
\mathsf {m}}
]
+(-u
\mathsf {d}
 _{Ph} 
[\overline{
\mathsf {m}}
]
)
)
|
 <= \overline{(\epsilon)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(|( \{ ph \mathrel{\in}  \{ ph \mathrel{\in} P(P(Union(\{N
,Q
\}
)
)
)
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op1)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op2)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\overline{(op1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(op2)}
 \mathrel{\in} Q
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\mathsf {a}
 _{Ph} 
 = \{\{\overline{(op1)}
,\overline{(op1)}
\}
,\{\overline{(op1)}
,\overline{(op2)}
\}
\}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\}
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \underline{
\mathsf {m}}
\colon \dot{\neg}\,(
\mathsf {e}
 _{Ph} 
 = \{\{\underline{
\mathsf {m}}
,\underline{
\mathsf {m}}
\}
,\{\underline{
\mathsf {m}}
,(\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
*\underline{(fz)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
)
\}
\}
)n
)n
\}
[\overline{
\mathsf {m}}
]
+(-u
\mathsf {d}
 _{Ph} 
[\overline{
\mathsf {m}}
]
)
)
|
 = \overline{(\epsilon)}
)n
)n
)n
)n
)n
\}
; TimesCommutativity(R)
\gg  \{ ph \mathrel{\in} P( \{ ph \mathrel{\in} P( \{ ph \mathrel{\in} P(P(Union(\{N
,Q
\}
)
)
)
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op1)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op2)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\overline{(op1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(op2)}
 \mathrel{\in} Q
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\mathsf {a}
 _{Ph} 
 = \{\{\overline{(op1)}
,\overline{(op1)}
\}
,\{\overline{(op1)}
,\overline{(op2)}
\}
\}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\}
)
\mid \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(r1)}
\colon \overline{(r1)}
 \mathrel{\in} 
\mathsf {f}
 _{Ph} 
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op1)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op2)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\overline{(op1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(op2)}
 \mathrel{\in} Q
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(r1)}
 = \{\{\overline{(op1)}
,\overline{(op1)}
\}
,\{\overline{(op1)}
,\overline{(op2)}
\}
\}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(f1)}
\colon 
\forall_{obj} \overline{(f2)}
\colon 
\forall_{obj} \overline{(f3)}
\colon 
\forall_{obj} \overline{(f4)}
\colon \{\{\overline{(f1)}
,\overline{(f1)}
\}
,\{\overline{(f1)}
,\overline{(f2)}
\}
\}
 \mathrel{\in} 
\mathsf {f}
 _{Ph} 
\Rightarrow \{\{\overline{(f3)}
,\overline{(f3)}
\}
,\{\overline{(f3)}
,\overline{(f4)}
\}
\}
 \mathrel{\in} 
\mathsf {f}
 _{Ph} 
\Rightarrow \overline{(f1)}
 = \overline{(f3)}
\Rightarrow \overline{(f2)}
 = \overline{(f4)}
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(s1)}
\colon \overline{(s1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(s2)}
\colon \dot{\neg}\,(\{\{\overline{(s1)}
,\overline{(s1)}
\}
,\{\overline{(s1)}
,\overline{(s2)}
\}
\}
 \mathrel{\in} 
\mathsf {f}
 _{Ph} 
)n
)n
)n
)n
\}
)
\mid 
\forall_{obj} \overline{(\epsilon)}
\colon \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {n}}
\colon \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {m}}
\colon \dot{\neg}\,(0
 <= \overline{(\epsilon)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(0
 = \overline{(\epsilon)}
)n
)n
)n
\Rightarrow \overline{
\mathsf {n}}
 <= \overline{
\mathsf {m}}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(|( \{ ph \mathrel{\in}  \{ ph \mathrel{\in} P(P(Union(\{N
,Q
\}
)
)
)
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op1)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op2)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\overline{(op1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(op2)}
 \mathrel{\in} Q
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\mathsf {a}
 _{Ph} 
 = \{\{\overline{(op1)}
,\overline{(op1)}
\}
,\{\overline{(op1)}
,\overline{(op2)}
\}
\}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\}
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \underline{
\mathsf {m}}
\colon \dot{\neg}\,(
\mathsf {e}
 _{Ph} 
 = \{\{\underline{
\mathsf {m}}
,\underline{
\mathsf {m}}
\}
,\{\underline{
\mathsf {m}}
,(\underline{(fy)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
*\underline{(fz)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
)
\}
\}
)n
)n
\}
[\overline{
\mathsf {m}}
]
+(-u
\mathsf {d}
 _{Ph} 
[\overline{
\mathsf {m}}
]
)
)
|
 <= \overline{(\epsilon)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(|( \{ ph \mathrel{\in}  \{ ph \mathrel{\in} P(P(Union(\{N
,Q
\}
)
)
)
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op1)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op2)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\overline{(op1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(op2)}
 \mathrel{\in} Q
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\mathsf {a}
 _{Ph} 
 = \{\{\overline{(op1)}
,\overline{(op1)}
\}
,\{\overline{(op1)}
,\overline{(op2)}
\}
\}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\}
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \underline{
\mathsf {m}}
\colon \dot{\neg}\,(
\mathsf {e}
 _{Ph} 
 = \{\{\underline{
\mathsf {m}}
,\underline{
\mathsf {m}}
\}
,\{\underline{
\mathsf {m}}
,(\underline{(fy)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
*\underline{(fz)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
)
\}
\}
)n
)n
\}
[\overline{
\mathsf {m}}
]
+(-u
\mathsf {d}
 _{Ph} 
[\overline{
\mathsf {m}}
]
)
)
|
 = \overline{(\epsilon)}
)n
)n
)n
)n
)n
\}
 =  \{ ph \mathrel{\in} P( \{ ph \mathrel{\in} P( \{ ph \mathrel{\in} P(P(Union(\{N
,Q
\}
)
)
)
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op1)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op2)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\overline{(op1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(op2)}
 \mathrel{\in} Q
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\mathsf {a}
 _{Ph} 
 = \{\{\overline{(op1)}
,\overline{(op1)}
\}
,\{\overline{(op1)}
,\overline{(op2)}
\}
\}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\}
)
\mid \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(r1)}
\colon \overline{(r1)}
 \mathrel{\in} 
\mathsf {f}
 _{Ph} 
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op1)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op2)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\overline{(op1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(op2)}
 \mathrel{\in} Q
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(r1)}
 = \{\{\overline{(op1)}
,\overline{(op1)}
\}
,\{\overline{(op1)}
,\overline{(op2)}
\}
\}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(f1)}
\colon 
\forall_{obj} \overline{(f2)}
\colon 
\forall_{obj} \overline{(f3)}
\colon 
\forall_{obj} \overline{(f4)}
\colon \{\{\overline{(f1)}
,\overline{(f1)}
\}
,\{\overline{(f1)}
,\overline{(f2)}
\}
\}
 \mathrel{\in} 
\mathsf {f}
 _{Ph} 
\Rightarrow \{\{\overline{(f3)}
,\overline{(f3)}
\}
,\{\overline{(f3)}
,\overline{(f4)}
\}
\}
 \mathrel{\in} 
\mathsf {f}
 _{Ph} 
\Rightarrow \overline{(f1)}
 = \overline{(f3)}
\Rightarrow \overline{(f2)}
 = \overline{(f4)}
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(s1)}
\colon \overline{(s1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(s2)}
\colon \dot{\neg}\,(\{\{\overline{(s1)}
,\overline{(s1)}
\}
,\{\overline{(s1)}
,\overline{(s2)}
\}
\}
 \mathrel{\in} 
\mathsf {f}
 _{Ph} 
)n
)n
)n
)n
\}
)
\mid 
\forall_{obj} \overline{(\epsilon)}
\colon \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {n}}
\colon \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {m}}
\colon \dot{\neg}\,(0
 <= \overline{(\epsilon)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(0
 = \overline{(\epsilon)}
)n
)n
)n
\Rightarrow \overline{
\mathsf {n}}
 <= \overline{
\mathsf {m}}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(|( \{ ph \mathrel{\in}  \{ ph \mathrel{\in} P(P(Union(\{N
,Q
\}
)
)
)
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op1)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op2)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\overline{(op1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(op2)}
 \mathrel{\in} Q
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\mathsf {a}
 _{Ph} 
 = \{\{\overline{(op1)}
,\overline{(op1)}
\}
,\{\overline{(op1)}
,\overline{(op2)}
\}
\}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\}
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \underline{
\mathsf {m}}
\colon \dot{\neg}\,(
\mathsf {e}
 _{Ph} 
 = \{\{\underline{
\mathsf {m}}
,\underline{
\mathsf {m}}
\}
,\{\underline{
\mathsf {m}}
,(\underline{(fz)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
*\underline{(fy)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
)
\}
\}
)n
)n
\}
[\overline{
\mathsf {m}}
]
+(-u
\mathsf {d}
 _{Ph} 
[\overline{
\mathsf {m}}
]
)
)
|
 <= \overline{(\epsilon)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(|( \{ ph \mathrel{\in}  \{ ph \mathrel{\in} P(P(Union(\{N
,Q
\}
)
)
)
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op1)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op2)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\overline{(op1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(op2)}
 \mathrel{\in} Q
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\mathsf {a}
 _{Ph} 
 = \{\{\overline{(op1)}
,\overline{(op1)}
\}
,\{\overline{(op1)}
,\overline{(op2)}
\}
\}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\}
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \underline{
\mathsf {m}}
\colon \dot{\neg}\,(
\mathsf {e}
 _{Ph} 
 = \{\{\underline{
\mathsf {m}}
,\underline{
\mathsf {m}}
\}
,\{\underline{
\mathsf {m}}
,(\underline{(fz)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
*\underline{(fy)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
)
\}
\}
)n
)n
\}
[\overline{
\mathsf {m}}
]
+(-u
\mathsf {d}
 _{Ph} 
[\overline{
\mathsf {m}}
]
)
)
|
 = \overline{(\epsilon)}
)n
)n
)n
)n
)n
\}
; \!{}==\!{}Transitivity
\rhd  \{ ph \mathrel{\in} P( \{ ph \mathrel{\in} P( \{ ph \mathrel{\in} P(P(Union(\{N
,Q
\}
)
)
)
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op1)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op2)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\overline{(op1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(op2)}
 \mathrel{\in} Q
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\mathsf {a}
 _{Ph} 
 = \{\{\overline{(op1)}
,\overline{(op1)}
\}
,\{\overline{(op1)}
,\overline{(op2)}
\}
\}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\}
)
\mid \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(r1)}
\colon \overline{(r1)}
 \mathrel{\in} 
\mathsf {f}
 _{Ph} 
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op1)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op2)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\overline{(op1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(op2)}
 \mathrel{\in} Q
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(r1)}
 = \{\{\overline{(op1)}
,\overline{(op1)}
\}
,\{\overline{(op1)}
,\overline{(op2)}
\}
\}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(f1)}
\colon 
\forall_{obj} \overline{(f2)}
\colon 
\forall_{obj} \overline{(f3)}
\colon 
\forall_{obj} \overline{(f4)}
\colon \{\{\overline{(f1)}
,\overline{(f1)}
\}
,\{\overline{(f1)}
,\overline{(f2)}
\}
\}
 \mathrel{\in} 
\mathsf {f}
 _{Ph} 
\Rightarrow \{\{\overline{(f3)}
,\overline{(f3)}
\}
,\{\overline{(f3)}
,\overline{(f4)}
\}
\}
 \mathrel{\in} 
\mathsf {f}
 _{Ph} 
\Rightarrow \overline{(f1)}
 = \overline{(f3)}
\Rightarrow \overline{(f2)}
 = \overline{(f4)}
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(s1)}
\colon \overline{(s1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(s2)}
\colon \dot{\neg}\,(\{\{\overline{(s1)}
,\overline{(s1)}
\}
,\{\overline{(s1)}
,\overline{(s2)}
\}
\}
 \mathrel{\in} 
\mathsf {f}
 _{Ph} 
)n
)n
)n
)n
\}
)
\mid 
\forall_{obj} \overline{(\epsilon)}
\colon \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {n}}
\colon \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {m}}
\colon \dot{\neg}\,(0
 <= \overline{(\epsilon)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(0
 = \overline{(\epsilon)}
)n
)n
)n
\Rightarrow \overline{
\mathsf {n}}
 <= \overline{
\mathsf {m}}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(|( \{ ph \mathrel{\in}  \{ ph \mathrel{\in} P(P(Union(\{N
,Q
\}
)
)
)
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op1)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op2)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\overline{(op1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(op2)}
 \mathrel{\in} Q
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\mathsf {a}
 _{Ph} 
 = \{\{\overline{(op1)}
,\overline{(op1)}
\}
,\{\overline{(op1)}
,\overline{(op2)}
\}
\}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\}
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \underline{
\mathsf {m}}
\colon \dot{\neg}\,(
\mathsf {e}
 _{Ph} 
 = \{\{\underline{
\mathsf {m}}
,\underline{
\mathsf {m}}
\}
,\{\underline{
\mathsf {m}}
,(\underline{(fz)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
*\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
)
\}
\}
)n
)n
\}
[\overline{
\mathsf {m}}
]
+(-u
\mathsf {d}
 _{Ph} 
[\overline{
\mathsf {m}}
]
)
)
|
 <= \overline{(\epsilon)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(|( \{ ph \mathrel{\in}  \{ ph \mathrel{\in} P(P(Union(\{N
,Q
\}
)
)
)
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op1)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op2)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\overline{(op1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(op2)}
 \mathrel{\in} Q
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\mathsf {a}
 _{Ph} 
 = \{\{\overline{(op1)}
,\overline{(op1)}
\}
,\{\overline{(op1)}
,\overline{(op2)}
\}
\}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\}
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \underline{
\mathsf {m}}
\colon \dot{\neg}\,(
\mathsf {e}
 _{Ph} 
 = \{\{\underline{
\mathsf {m}}
,\underline{
\mathsf {m}}
\}
,\{\underline{
\mathsf {m}}
,(\underline{(fz)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
*\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
)
\}
\}
)n
)n
\}
[\overline{
\mathsf {m}}
]
+(-u
\mathsf {d}
 _{Ph} 
[\overline{
\mathsf {m}}
]
)
)
|
 = \overline{(\epsilon)}
)n
)n
)n
)n
)n
\}
 =  \{ ph \mathrel{\in} P( \{ ph \mathrel{\in} P( \{ ph \mathrel{\in} P(P(Union(\{N
,Q
\}
)
)
)
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op1)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op2)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\overline{(op1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(op2)}
 \mathrel{\in} Q
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\mathsf {a}
 _{Ph} 
 = \{\{\overline{(op1)}
,\overline{(op1)}
\}
,\{\overline{(op1)}
,\overline{(op2)}
\}
\}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\}
)
\mid \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(r1)}
\colon \overline{(r1)}
 \mathrel{\in} 
\mathsf {f}
 _{Ph} 
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op1)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op2)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\overline{(op1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(op2)}
 \mathrel{\in} Q
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(r1)}
 = \{\{\overline{(op1)}
,\overline{(op1)}
\}
,\{\overline{(op1)}
,\overline{(op2)}
\}
\}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(f1)}
\colon 
\forall_{obj} \overline{(f2)}
\colon 
\forall_{obj} \overline{(f3)}
\colon 
\forall_{obj} \overline{(f4)}
\colon \{\{\overline{(f1)}
,\overline{(f1)}
\}
,\{\overline{(f1)}
,\overline{(f2)}
\}
\}
 \mathrel{\in} 
\mathsf {f}
 _{Ph} 
\Rightarrow \{\{\overline{(f3)}
,\overline{(f3)}
\}
,\{\overline{(f3)}
,\overline{(f4)}
\}
\}
 \mathrel{\in} 
\mathsf {f}
 _{Ph} 
\Rightarrow \overline{(f1)}
 = \overline{(f3)}
\Rightarrow \overline{(f2)}
 = \overline{(f4)}
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(s1)}
\colon \overline{(s1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(s2)}
\colon \dot{\neg}\,(\{\{\overline{(s1)}
,\overline{(s1)}
\}
,\{\overline{(s1)}
,\overline{(s2)}
\}
\}
 \mathrel{\in} 
\mathsf {f}
 _{Ph} 
)n
)n
)n
)n
\}
)
\mid 
\forall_{obj} \overline{(\epsilon)}
\colon \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {n}}
\colon \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {m}}
\colon \dot{\neg}\,(0
 <= \overline{(\epsilon)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(0
 = \overline{(\epsilon)}
)n
)n
)n
\Rightarrow \overline{
\mathsf {n}}
 <= \overline{
\mathsf {m}}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(|( \{ ph \mathrel{\in}  \{ ph \mathrel{\in} P(P(Union(\{N
,Q
\}
)
)
)
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op1)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op2)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\overline{(op1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(op2)}
 \mathrel{\in} Q
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\mathsf {a}
 _{Ph} 
 = \{\{\overline{(op1)}
,\overline{(op1)}
\}
,\{\overline{(op1)}
,\overline{(op2)}
\}
\}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\}
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \underline{
\mathsf {m}}
\colon \dot{\neg}\,(
\mathsf {e}
 _{Ph} 
 = \{\{\underline{
\mathsf {m}}
,\underline{
\mathsf {m}}
\}
,\{\underline{
\mathsf {m}}
,(\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
*\underline{(fz)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
)
\}
\}
)n
)n
\}
[\overline{
\mathsf {m}}
]
+(-u
\mathsf {d}
 _{Ph} 
[\overline{
\mathsf {m}}
]
)
)
|
 <= \overline{(\epsilon)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(|( \{ ph \mathrel{\in}  \{ ph \mathrel{\in} P(P(Union(\{N
,Q
\}
)
)
)
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op1)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op2)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\overline{(op1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(op2)}
 \mathrel{\in} Q
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\mathsf {a}
 _{Ph} 
 = \{\{\overline{(op1)}
,\overline{(op1)}
\}
,\{\overline{(op1)}
,\overline{(op2)}
\}
\}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\}
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \underline{
\mathsf {m}}
\colon \dot{\neg}\,(
\mathsf {e}
 _{Ph} 
 = \{\{\underline{
\mathsf {m}}
,\underline{
\mathsf {m}}
\}
,\{\underline{
\mathsf {m}}
,(\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
*\underline{(fz)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
)
\}
\}
)n
)n
\}
[\overline{
\mathsf {m}}
]
+(-u
\mathsf {d}
 _{Ph} 
[\overline{
\mathsf {m}}
]
)
)
|
 = \overline{(\epsilon)}
)n
)n
)n
)n
)n
\}
\rhd  \{ ph \mathrel{\in} P( \{ ph \mathrel{\in} P( \{ ph \mathrel{\in} P(P(Union(\{N
,Q
\}
)
)
)
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op1)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op2)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\overline{(op1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(op2)}
 \mathrel{\in} Q
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\mathsf {a}
 _{Ph} 
 = \{\{\overline{(op1)}
,\overline{(op1)}
\}
,\{\overline{(op1)}
,\overline{(op2)}
\}
\}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\}
)
\mid \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(r1)}
\colon \overline{(r1)}
 \mathrel{\in} 
\mathsf {f}
 _{Ph} 
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op1)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op2)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\overline{(op1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(op2)}
 \mathrel{\in} Q
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(r1)}
 = \{\{\overline{(op1)}
,\overline{(op1)}
\}
,\{\overline{(op1)}
,\overline{(op2)}
\}
\}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(f1)}
\colon 
\forall_{obj} \overline{(f2)}
\colon 
\forall_{obj} \overline{(f3)}
\colon 
\forall_{obj} \overline{(f4)}
\colon \{\{\overline{(f1)}
,\overline{(f1)}
\}
,\{\overline{(f1)}
,\overline{(f2)}
\}
\}
 \mathrel{\in} 
\mathsf {f}
 _{Ph} 
\Rightarrow \{\{\overline{(f3)}
,\overline{(f3)}
\}
,\{\overline{(f3)}
,\overline{(f4)}
\}
\}
 \mathrel{\in} 
\mathsf {f}
 _{Ph} 
\Rightarrow \overline{(f1)}
 = \overline{(f3)}
\Rightarrow \overline{(f2)}
 = \overline{(f4)}
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(s1)}
\colon \overline{(s1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(s2)}
\colon \dot{\neg}\,(\{\{\overline{(s1)}
,\overline{(s1)}
\}
,\{\overline{(s1)}
,\overline{(s2)}
\}
\}
 \mathrel{\in} 
\mathsf {f}
 _{Ph} 
)n
)n
)n
)n
\}
)
\mid 
\forall_{obj} \overline{(\epsilon)}
\colon \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {n}}
\colon \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {m}}
\colon \dot{\neg}\,(0
 <= \overline{(\epsilon)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(0
 = \overline{(\epsilon)}
)n
)n
)n
\Rightarrow \overline{
\mathsf {n}}
 <= \overline{
\mathsf {m}}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(|( \{ ph \mathrel{\in}  \{ ph \mathrel{\in} P(P(Union(\{N
,Q
\}
)
)
)
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op1)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op2)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\overline{(op1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(op2)}
 \mathrel{\in} Q
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\mathsf {a}
 _{Ph} 
 = \{\{\overline{(op1)}
,\overline{(op1)}
\}
,\{\overline{(op1)}
,\overline{(op2)}
\}
\}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\}
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \underline{
\mathsf {m}}
\colon \dot{\neg}\,(
\mathsf {e}
 _{Ph} 
 = \{\{\underline{
\mathsf {m}}
,\underline{
\mathsf {m}}
\}
,\{\underline{
\mathsf {m}}
,(\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
*\underline{(fz)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
)
\}
\}
)n
)n
\}
[\overline{
\mathsf {m}}
]
+(-u
\mathsf {d}
 _{Ph} 
[\overline{
\mathsf {m}}
]
)
)
|
 <= \overline{(\epsilon)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(|( \{ ph \mathrel{\in}  \{ ph \mathrel{\in} P(P(Union(\{N
,Q
\}
)
)
)
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op1)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op2)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\overline{(op1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(op2)}
 \mathrel{\in} Q
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\mathsf {a}
 _{Ph} 
 = \{\{\overline{(op1)}
,\overline{(op1)}
\}
,\{\overline{(op1)}
,\overline{(op2)}
\}
\}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\}
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \underline{
\mathsf {m}}
\colon \dot{\neg}\,(
\mathsf {e}
 _{Ph} 
 = \{\{\underline{
\mathsf {m}}
,\underline{
\mathsf {m}}
\}
,\{\underline{
\mathsf {m}}
,(\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
*\underline{(fz)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
)
\}
\}
)n
)n
\}
[\overline{
\mathsf {m}}
]
+(-u
\mathsf {d}
 _{Ph} 
[\overline{
\mathsf {m}}
]
)
)
|
 = \overline{(\epsilon)}
)n
)n
)n
)n
)n
\}
 =  \{ ph \mathrel{\in} P( \{ ph \mathrel{\in} P( \{ ph \mathrel{\in} P(P(Union(\{N
,Q
\}
)
)
)
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op1)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op2)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\overline{(op1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(op2)}
 \mathrel{\in} Q
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\mathsf {a}
 _{Ph} 
 = \{\{\overline{(op1)}
,\overline{(op1)}
\}
,\{\overline{(op1)}
,\overline{(op2)}
\}
\}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\}
)
\mid \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(r1)}
\colon \overline{(r1)}
 \mathrel{\in} 
\mathsf {f}
 _{Ph} 
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op1)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op2)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\overline{(op1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(op2)}
 \mathrel{\in} Q
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(r1)}
 = \{\{\overline{(op1)}
,\overline{(op1)}
\}
,\{\overline{(op1)}
,\overline{(op2)}
\}
\}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(f1)}
\colon 
\forall_{obj} \overline{(f2)}
\colon 
\forall_{obj} \overline{(f3)}
\colon 
\forall_{obj} \overline{(f4)}
\colon \{\{\overline{(f1)}
,\overline{(f1)}
\}
,\{\overline{(f1)}
,\overline{(f2)}
\}
\}
 \mathrel{\in} 
\mathsf {f}
 _{Ph} 
\Rightarrow \{\{\overline{(f3)}
,\overline{(f3)}
\}
,\{\overline{(f3)}
,\overline{(f4)}
\}
\}
 \mathrel{\in} 
\mathsf {f}
 _{Ph} 
\Rightarrow \overline{(f1)}
 = \overline{(f3)}
\Rightarrow \overline{(f2)}
 = \overline{(f4)}
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(s1)}
\colon \overline{(s1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(s2)}
\colon \dot{\neg}\,(\{\{\overline{(s1)}
,\overline{(s1)}
\}
,\{\overline{(s1)}
,\overline{(s2)}
\}
\}
 \mathrel{\in} 
\mathsf {f}
 _{Ph} 
)n
)n
)n
)n
\}
)
\mid 
\forall_{obj} \overline{(\epsilon)}
\colon \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {n}}
\colon \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {m}}
\colon \dot{\neg}\,(0
 <= \overline{(\epsilon)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(0
 = \overline{(\epsilon)}
)n
)n
)n
\Rightarrow \overline{
\mathsf {n}}
 <= \overline{
\mathsf {m}}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(|( \{ ph \mathrel{\in}  \{ ph \mathrel{\in} P(P(Union(\{N
,Q
\}
)
)
)
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op1)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op2)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\overline{(op1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(op2)}
 \mathrel{\in} Q
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\mathsf {a}
 _{Ph} 
 = \{\{\overline{(op1)}
,\overline{(op1)}
\}
,\{\overline{(op1)}
,\overline{(op2)}
\}
\}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\}
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \underline{
\mathsf {m}}
\colon \dot{\neg}\,(
\mathsf {e}
 _{Ph} 
 = \{\{\underline{
\mathsf {m}}
,\underline{
\mathsf {m}}
\}
,\{\underline{
\mathsf {m}}
,(\underline{(fy)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
*\underline{(fz)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
)
\}
\}
)n
)n
\}
[\overline{
\mathsf {m}}
]
+(-u
\mathsf {d}
 _{Ph} 
[\overline{
\mathsf {m}}
]
)
)
|
 <= \overline{(\epsilon)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(|( \{ ph \mathrel{\in}  \{ ph \mathrel{\in} P(P(Union(\{N
,Q
\}
)
)
)
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op1)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op2)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\overline{(op1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(op2)}
 \mathrel{\in} Q
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\mathsf {a}
 _{Ph} 
 = \{\{\overline{(op1)}
,\overline{(op1)}
\}
,\{\overline{(op1)}
,\overline{(op2)}
\}
\}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\}
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \underline{
\mathsf {m}}
\colon \dot{\neg}\,(
\mathsf {e}
 _{Ph} 
 = \{\{\underline{
\mathsf {m}}
,\underline{
\mathsf {m}}
\}
,\{\underline{
\mathsf {m}}
,(\underline{(fy)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
*\underline{(fz)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
)
\}
\}
)n
)n
\}
[\overline{
\mathsf {m}}
]
+(-u
\mathsf {d}
 _{Ph} 
[\overline{
\mathsf {m}}
]
)
)
|
 = \overline{(\epsilon)}
)n
)n
)n
)n
)n
\}
\gg  \{ ph \mathrel{\in} P( \{ ph \mathrel{\in} P( \{ ph \mathrel{\in} P(P(Union(\{N
,Q
\}
)
)
)
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op1)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op2)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\overline{(op1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(op2)}
 \mathrel{\in} Q
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\mathsf {a}
 _{Ph} 
 = \{\{\overline{(op1)}
,\overline{(op1)}
\}
,\{\overline{(op1)}
,\overline{(op2)}
\}
\}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\}
)
\mid \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(r1)}
\colon \overline{(r1)}
 \mathrel{\in} 
\mathsf {f}
 _{Ph} 
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op1)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op2)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\overline{(op1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(op2)}
 \mathrel{\in} Q
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(r1)}
 = \{\{\overline{(op1)}
,\overline{(op1)}
\}
,\{\overline{(op1)}
,\overline{(op2)}
\}
\}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(f1)}
\colon 
\forall_{obj} \overline{(f2)}
\colon 
\forall_{obj} \overline{(f3)}
\colon 
\forall_{obj} \overline{(f4)}
\colon \{\{\overline{(f1)}
,\overline{(f1)}
\}
,\{\overline{(f1)}
,\overline{(f2)}
\}
\}
 \mathrel{\in} 
\mathsf {f}
 _{Ph} 
\Rightarrow \{\{\overline{(f3)}
,\overline{(f3)}
\}
,\{\overline{(f3)}
,\overline{(f4)}
\}
\}
 \mathrel{\in} 
\mathsf {f}
 _{Ph} 
\Rightarrow \overline{(f1)}
 = \overline{(f3)}
\Rightarrow \overline{(f2)}
 = \overline{(f4)}
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(s1)}
\colon \overline{(s1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(s2)}
\colon \dot{\neg}\,(\{\{\overline{(s1)}
,\overline{(s1)}
\}
,\{\overline{(s1)}
,\overline{(s2)}
\}
\}
 \mathrel{\in} 
\mathsf {f}
 _{Ph} 
)n
)n
)n
)n
\}
)
\mid 
\forall_{obj} \overline{(\epsilon)}
\colon \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {n}}
\colon \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {m}}
\colon \dot{\neg}\,(0
 <= \overline{(\epsilon)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(0
 = \overline{(\epsilon)}
)n
)n
)n
\Rightarrow \overline{
\mathsf {n}}
 <= \overline{
\mathsf {m}}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(|( \{ ph \mathrel{\in}  \{ ph \mathrel{\in} P(P(Union(\{N
,Q
\}
)
)
)
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op1)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op2)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\overline{(op1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(op2)}
 \mathrel{\in} Q
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\mathsf {a}
 _{Ph} 
 = \{\{\overline{(op1)}
,\overline{(op1)}
\}
,\{\overline{(op1)}
,\overline{(op2)}
\}
\}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\}
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \underline{
\mathsf {m}}
\colon \dot{\neg}\,(
\mathsf {e}
 _{Ph} 
 = \{\{\underline{
\mathsf {m}}
,\underline{
\mathsf {m}}
\}
,\{\underline{
\mathsf {m}}
,(\underline{(fz)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
*\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
)
\}
\}
)n
)n
\}
[\overline{
\mathsf {m}}
]
+(-u
\mathsf {d}
 _{Ph} 
[\overline{
\mathsf {m}}
]
)
)
|
 <= \overline{(\epsilon)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(|( \{ ph \mathrel{\in}  \{ ph \mathrel{\in} P(P(Union(\{N
,Q
\}
)
)
)
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op1)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op2)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\overline{(op1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(op2)}
 \mathrel{\in} Q
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\mathsf {a}
 _{Ph} 
 = \{\{\overline{(op1)}
,\overline{(op1)}
\}
,\{\overline{(op1)}
,\overline{(op2)}
\}
\}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\}
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \underline{
\mathsf {m}}
\colon \dot{\neg}\,(
\mathsf {e}
 _{Ph} 
 = \{\{\underline{
\mathsf {m}}
,\underline{
\mathsf {m}}
\}
,\{\underline{
\mathsf {m}}
,(\underline{(fz)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
*\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
)
\}
\}
)n
)n
\}
[\overline{
\mathsf {m}}
]
+(-u
\mathsf {d}
 _{Ph} 
[\overline{
\mathsf {m}}
]
)
)
|
 = \overline{(\epsilon)}
)n
)n
)n
)n
)n
\}
 =  \{ ph \mathrel{\in} P( \{ ph \mathrel{\in} P( \{ ph \mathrel{\in} P(P(Union(\{N
,Q
\}
)
)
)
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op1)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op2)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\overline{(op1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(op2)}
 \mathrel{\in} Q
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\mathsf {a}
 _{Ph} 
 = \{\{\overline{(op1)}
,\overline{(op1)}
\}
,\{\overline{(op1)}
,\overline{(op2)}
\}
\}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\}
)
\mid \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(r1)}
\colon \overline{(r1)}
 \mathrel{\in} 
\mathsf {f}
 _{Ph} 
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op1)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op2)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\overline{(op1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(op2)}
 \mathrel{\in} Q
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(r1)}
 = \{\{\overline{(op1)}
,\overline{(op1)}
\}
,\{\overline{(op1)}
,\overline{(op2)}
\}
\}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(f1)}
\colon 
\forall_{obj} \overline{(f2)}
\colon 
\forall_{obj} \overline{(f3)}
\colon 
\forall_{obj} \overline{(f4)}
\colon \{\{\overline{(f1)}
,\overline{(f1)}
\}
,\{\overline{(f1)}
,\overline{(f2)}
\}
\}
 \mathrel{\in} 
\mathsf {f}
 _{Ph} 
\Rightarrow \{\{\overline{(f3)}
,\overline{(f3)}
\}
,\{\overline{(f3)}
,\overline{(f4)}
\}
\}
 \mathrel{\in} 
\mathsf {f}
 _{Ph} 
\Rightarrow \overline{(f1)}
 = \overline{(f3)}
\Rightarrow \overline{(f2)}
 = \overline{(f4)}
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(s1)}
\colon \overline{(s1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(s2)}
\colon \dot{\neg}\,(\{\{\overline{(s1)}
,\overline{(s1)}
\}
,\{\overline{(s1)}
,\overline{(s2)}
\}
\}
 \mathrel{\in} 
\mathsf {f}
 _{Ph} 
)n
)n
)n
)n
\}
)
\mid 
\forall_{obj} \overline{(\epsilon)}
\colon \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {n}}
\colon \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {m}}
\colon \dot{\neg}\,(0
 <= \overline{(\epsilon)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(0
 = \overline{(\epsilon)}
)n
)n
)n
\Rightarrow \overline{
\mathsf {n}}
 <= \overline{
\mathsf {m}}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(|( \{ ph \mathrel{\in}  \{ ph \mathrel{\in} P(P(Union(\{N
,Q
\}
)
)
)
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op1)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op2)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\overline{(op1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(op2)}
 \mathrel{\in} Q
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\mathsf {a}
 _{Ph} 
 = \{\{\overline{(op1)}
,\overline{(op1)}
\}
,\{\overline{(op1)}
,\overline{(op2)}
\}
\}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\}
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \underline{
\mathsf {m}}
\colon \dot{\neg}\,(
\mathsf {e}
 _{Ph} 
 = \{\{\underline{
\mathsf {m}}
,\underline{
\mathsf {m}}
\}
,\{\underline{
\mathsf {m}}
,(\underline{(fy)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
*\underline{(fz)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
)
\}
\}
)n
)n
\}
[\overline{
\mathsf {m}}
]
+(-u
\mathsf {d}
 _{Ph} 
[\overline{
\mathsf {m}}
]
)
)
|
 <= \overline{(\epsilon)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(|( \{ ph \mathrel{\in}  \{ ph \mathrel{\in} P(P(Union(\{N
,Q
\}
)
)
)
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op1)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op2)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\overline{(op1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(op2)}
 \mathrel{\in} Q
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\mathsf {a}
 _{Ph} 
 = \{\{\overline{(op1)}
,\overline{(op1)}
\}
,\{\overline{(op1)}
,\overline{(op2)}
\}
\}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\}
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \underline{
\mathsf {m}}
\colon \dot{\neg}\,(
\mathsf {e}
 _{Ph} 
 = \{\{\underline{
\mathsf {m}}
,\underline{
\mathsf {m}}
\}
,\{\underline{
\mathsf {m}}
,(\underline{(fy)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
*\underline{(fz)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
)
\}
\}
)n
)n
\}
[\overline{
\mathsf {m}}
]
+(-u
\mathsf {d}
 _{Ph} 
[\overline{
\mathsf {m}}
]
)
)
|
 = \overline{(\epsilon)}
)n
)n
)n
)n
)n
\}
; \!{}==\!{}Transitivity
\rhd  \{ ph \mathrel{\in} P( \{ ph \mathrel{\in} P( \{ ph \mathrel{\in} P(P(Union(\{N
,Q
\}
)
)
)
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op1)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op2)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\overline{(op1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(op2)}
 \mathrel{\in} Q
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\mathsf {a}
 _{Ph} 
 = \{\{\overline{(op1)}
,\overline{(op1)}
\}
,\{\overline{(op1)}
,\overline{(op2)}
\}
\}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\}
)
\mid \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(r1)}
\colon \overline{(r1)}
 \mathrel{\in} 
\mathsf {f}
 _{Ph} 
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op1)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op2)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\overline{(op1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(op2)}
 \mathrel{\in} Q
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(r1)}
 = \{\{\overline{(op1)}
,\overline{(op1)}
\}
,\{\overline{(op1)}
,\overline{(op2)}
\}
\}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(f1)}
\colon 
\forall_{obj} \overline{(f2)}
\colon 
\forall_{obj} \overline{(f3)}
\colon 
\forall_{obj} \overline{(f4)}
\colon \{\{\overline{(f1)}
,\overline{(f1)}
\}
,\{\overline{(f1)}
,\overline{(f2)}
\}
\}
 \mathrel{\in} 
\mathsf {f}
 _{Ph} 
\Rightarrow \{\{\overline{(f3)}
,\overline{(f3)}
\}
,\{\overline{(f3)}
,\overline{(f4)}
\}
\}
 \mathrel{\in} 
\mathsf {f}
 _{Ph} 
\Rightarrow \overline{(f1)}
 = \overline{(f3)}
\Rightarrow \overline{(f2)}
 = \overline{(f4)}
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(s1)}
\colon \overline{(s1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(s2)}
\colon \dot{\neg}\,(\{\{\overline{(s1)}
,\overline{(s1)}
\}
,\{\overline{(s1)}
,\overline{(s2)}
\}
\}
 \mathrel{\in} 
\mathsf {f}
 _{Ph} 
)n
)n
)n
)n
\}
)
\mid 
\forall_{obj} \overline{(\epsilon)}
\colon \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {n}}
\colon \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {m}}
\colon \dot{\neg}\,(0
 <= \overline{(\epsilon)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(0
 = \overline{(\epsilon)}
)n
)n
)n
\Rightarrow \overline{
\mathsf {n}}
 <= \overline{
\mathsf {m}}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(|( \{ ph \mathrel{\in}  \{ ph \mathrel{\in} P(P(Union(\{N
,Q
\}
)
)
)
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op1)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op2)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\overline{(op1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(op2)}
 \mathrel{\in} Q
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\mathsf {a}
 _{Ph} 
 = \{\{\overline{(op1)}
,\overline{(op1)}
\}
,\{\overline{(op1)}
,\overline{(op2)}
\}
\}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\}
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \underline{
\mathsf {m}}
\colon \dot{\neg}\,(
\mathsf {e}
 _{Ph} 
 = \{\{\underline{
\mathsf {m}}
,\underline{
\mathsf {m}}
\}
,\{\underline{
\mathsf {m}}
,(\underline{(fz)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
*\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
)
\}
\}
)n
)n
\}
[\overline{
\mathsf {m}}
]
+(-u
\mathsf {d}
 _{Ph} 
[\overline{
\mathsf {m}}
]
)
)
|
 <= \overline{(\epsilon)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(|( \{ ph \mathrel{\in}  \{ ph \mathrel{\in} P(P(Union(\{N
,Q
\}
)
)
)
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op1)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op2)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\overline{(op1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(op2)}
 \mathrel{\in} Q
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\mathsf {a}
 _{Ph} 
 = \{\{\overline{(op1)}
,\overline{(op1)}
\}
,\{\overline{(op1)}
,\overline{(op2)}
\}
\}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\}
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \underline{
\mathsf {m}}
\colon \dot{\neg}\,(
\mathsf {e}
 _{Ph} 
 = \{\{\underline{
\mathsf {m}}
,\underline{
\mathsf {m}}
\}
,\{\underline{
\mathsf {m}}
,(\underline{(fz)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
*\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
)
\}
\}
)n
)n
\}
[\overline{
\mathsf {m}}
]
+(-u
\mathsf {d}
 _{Ph} 
[\overline{
\mathsf {m}}
]
)
)
|
 = \overline{(\epsilon)}
)n
)n
)n
)n
)n
\}
 =  \{ ph \mathrel{\in} P( \{ ph \mathrel{\in} P( \{ ph \mathrel{\in} P(P(Union(\{N
,Q
\}
)
)
)
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op1)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op2)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\overline{(op1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(op2)}
 \mathrel{\in} Q
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\mathsf {a}
 _{Ph} 
 = \{\{\overline{(op1)}
,\overline{(op1)}
\}
,\{\overline{(op1)}
,\overline{(op2)}
\}
\}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\}
)
\mid \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(r1)}
\colon \overline{(r1)}
 \mathrel{\in} 
\mathsf {f}
 _{Ph} 
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op1)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op2)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\overline{(op1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(op2)}
 \mathrel{\in} Q
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(r1)}
 = \{\{\overline{(op1)}
,\overline{(op1)}
\}
,\{\overline{(op1)}
,\overline{(op2)}
\}
\}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(f1)}
\colon 
\forall_{obj} \overline{(f2)}
\colon 
\forall_{obj} \overline{(f3)}
\colon 
\forall_{obj} \overline{(f4)}
\colon \{\{\overline{(f1)}
,\overline{(f1)}
\}
,\{\overline{(f1)}
,\overline{(f2)}
\}
\}
 \mathrel{\in} 
\mathsf {f}
 _{Ph} 
\Rightarrow \{\{\overline{(f3)}
,\overline{(f3)}
\}
,\{\overline{(f3)}
,\overline{(f4)}
\}
\}
 \mathrel{\in} 
\mathsf {f}
 _{Ph} 
\Rightarrow \overline{(f1)}
 = \overline{(f3)}
\Rightarrow \overline{(f2)}
 = \overline{(f4)}
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(s1)}
\colon \overline{(s1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(s2)}
\colon \dot{\neg}\,(\{\{\overline{(s1)}
,\overline{(s1)}
\}
,\{\overline{(s1)}
,\overline{(s2)}
\}
\}
 \mathrel{\in} 
\mathsf {f}
 _{Ph} 
)n
)n
)n
)n
\}
)
\mid 
\forall_{obj} \overline{(\epsilon)}
\colon \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {n}}
\colon \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {m}}
\colon \dot{\neg}\,(0
 <= \overline{(\epsilon)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(0
 = \overline{(\epsilon)}
)n
)n
)n
\Rightarrow \overline{
\mathsf {n}}
 <= \overline{
\mathsf {m}}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(|( \{ ph \mathrel{\in}  \{ ph \mathrel{\in} P(P(Union(\{N
,Q
\}
)
)
)
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op1)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op2)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\overline{(op1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(op2)}
 \mathrel{\in} Q
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\mathsf {a}
 _{Ph} 
 = \{\{\overline{(op1)}
,\overline{(op1)}
\}
,\{\overline{(op1)}
,\overline{(op2)}
\}
\}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\}
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \underline{
\mathsf {m}}
\colon \dot{\neg}\,(
\mathsf {e}
 _{Ph} 
 = \{\{\underline{
\mathsf {m}}
,\underline{
\mathsf {m}}
\}
,\{\underline{
\mathsf {m}}
,(\underline{(fy)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
*\underline{(fz)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
)
\}
\}
)n
)n
\}
[\overline{
\mathsf {m}}
]
+(-u
\mathsf {d}
 _{Ph} 
[\overline{
\mathsf {m}}
]
)
)
|
 <= \overline{(\epsilon)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(|( \{ ph \mathrel{\in}  \{ ph \mathrel{\in} P(P(Union(\{N
,Q
\}
)
)
)
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op1)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op2)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\overline{(op1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(op2)}
 \mathrel{\in} Q
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\mathsf {a}
 _{Ph} 
 = \{\{\overline{(op1)}
,\overline{(op1)}
\}
,\{\overline{(op1)}
,\overline{(op2)}
\}
\}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\}
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \underline{
\mathsf {m}}
\colon \dot{\neg}\,(
\mathsf {e}
 _{Ph} 
 = \{\{\underline{
\mathsf {m}}
,\underline{
\mathsf {m}}
\}
,\{\underline{
\mathsf {m}}
,(\underline{(fy)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
*\underline{(fz)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
)
\}
\}
)n
)n
\}
[\overline{
\mathsf {m}}
]
+(-u
\mathsf {d}
 _{Ph} 
[\overline{
\mathsf {m}}
]
)
)
|
 = \overline{(\epsilon)}
)n
)n
)n
)n
)n
\}
\rhd  \{ ph \mathrel{\in} P( \{ ph \mathrel{\in} P( \{ ph \mathrel{\in} P(P(Union(\{N
,Q
\}
)
)
)
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op1)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op2)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\overline{(op1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(op2)}
 \mathrel{\in} Q
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\mathsf {a}
 _{Ph} 
 = \{\{\overline{(op1)}
,\overline{(op1)}
\}
,\{\overline{(op1)}
,\overline{(op2)}
\}
\}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\}
)
\mid \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(r1)}
\colon \overline{(r1)}
 \mathrel{\in} 
\mathsf {f}
 _{Ph} 
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op1)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op2)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\overline{(op1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(op2)}
 \mathrel{\in} Q
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(r1)}
 = \{\{\overline{(op1)}
,\overline{(op1)}
\}
,\{\overline{(op1)}
,\overline{(op2)}
\}
\}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(f1)}
\colon 
\forall_{obj} \overline{(f2)}
\colon 
\forall_{obj} \overline{(f3)}
\colon 
\forall_{obj} \overline{(f4)}
\colon \{\{\overline{(f1)}
,\overline{(f1)}
\}
,\{\overline{(f1)}
,\overline{(f2)}
\}
\}
 \mathrel{\in} 
\mathsf {f}
 _{Ph} 
\Rightarrow \{\{\overline{(f3)}
,\overline{(f3)}
\}
,\{\overline{(f3)}
,\overline{(f4)}
\}
\}
 \mathrel{\in} 
\mathsf {f}
 _{Ph} 
\Rightarrow \overline{(f1)}
 = \overline{(f3)}
\Rightarrow \overline{(f2)}
 = \overline{(f4)}
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(s1)}
\colon \overline{(s1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(s2)}
\colon \dot{\neg}\,(\{\{\overline{(s1)}
,\overline{(s1)}
\}
,\{\overline{(s1)}
,\overline{(s2)}
\}
\}
 \mathrel{\in} 
\mathsf {f}
 _{Ph} 
)n
)n
)n
)n
\}
)
\mid 
\forall_{obj} \overline{(\epsilon)}
\colon \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {n}}
\colon \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {m}}
\colon \dot{\neg}\,(0
 <= \overline{(\epsilon)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(0
 = \overline{(\epsilon)}
)n
)n
)n
\Rightarrow \overline{
\mathsf {n}}
 <= \overline{
\mathsf {m}}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(|( \{ ph \mathrel{\in}  \{ ph \mathrel{\in} P(P(Union(\{N
,Q
\}
)
)
)
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op1)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op2)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\overline{(op1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(op2)}
 \mathrel{\in} Q
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\mathsf {a}
 _{Ph} 
 = \{\{\overline{(op1)}
,\overline{(op1)}
\}
,\{\overline{(op1)}
,\overline{(op2)}
\}
\}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\}
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \underline{
\mathsf {m}}
\colon \dot{\neg}\,(
\mathsf {e}
 _{Ph} 
 = \{\{\underline{
\mathsf {m}}
,\underline{
\mathsf {m}}
\}
,\{\underline{
\mathsf {m}}
,(\underline{(fy)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
*\underline{(fz)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
)
\}
\}
)n
)n
\}
[\overline{
\mathsf {m}}
]
+(-u
\mathsf {d}
 _{Ph} 
[\overline{
\mathsf {m}}
]
)
)
|
 <= \overline{(\epsilon)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(|( \{ ph \mathrel{\in}  \{ ph \mathrel{\in} P(P(Union(\{N
,Q
\}
)
)
)
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op1)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op2)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\overline{(op1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(op2)}
 \mathrel{\in} Q
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\mathsf {a}
 _{Ph} 
 = \{\{\overline{(op1)}
,\overline{(op1)}
\}
,\{\overline{(op1)}
,\overline{(op2)}
\}
\}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\}
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \underline{
\mathsf {m}}
\colon \dot{\neg}\,(
\mathsf {e}
 _{Ph} 
 = \{\{\underline{
\mathsf {m}}
,\underline{
\mathsf {m}}
\}
,\{\underline{
\mathsf {m}}
,(\underline{(fy)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
*\underline{(fz)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
)
\}
\}
)n
)n
\}
[\overline{
\mathsf {m}}
]
+(-u
\mathsf {d}
 _{Ph} 
[\overline{
\mathsf {m}}
]
)
)
|
 = \overline{(\epsilon)}
)n
)n
)n
)n
)n
\}
 =  \{ ph \mathrel{\in} P( \{ ph \mathrel{\in} P( \{ ph \mathrel{\in} P(P(Union(\{N
,Q
\}
)
)
)
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op1)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op2)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\overline{(op1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(op2)}
 \mathrel{\in} Q
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\mathsf {a}
 _{Ph} 
 = \{\{\overline{(op1)}
,\overline{(op1)}
\}
,\{\overline{(op1)}
,\overline{(op2)}
\}
\}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\}
)
\mid \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(r1)}
\colon \overline{(r1)}
 \mathrel{\in} 
\mathsf {f}
 _{Ph} 
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op1)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op2)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\overline{(op1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(op2)}
 \mathrel{\in} Q
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(r1)}
 = \{\{\overline{(op1)}
,\overline{(op1)}
\}
,\{\overline{(op1)}
,\overline{(op2)}
\}
\}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(f1)}
\colon 
\forall_{obj} \overline{(f2)}
\colon 
\forall_{obj} \overline{(f3)}
\colon 
\forall_{obj} \overline{(f4)}
\colon \{\{\overline{(f1)}
,\overline{(f1)}
\}
,\{\overline{(f1)}
,\overline{(f2)}
\}
\}
 \mathrel{\in} 
\mathsf {f}
 _{Ph} 
\Rightarrow \{\{\overline{(f3)}
,\overline{(f3)}
\}
,\{\overline{(f3)}
,\overline{(f4)}
\}
\}
 \mathrel{\in} 
\mathsf {f}
 _{Ph} 
\Rightarrow \overline{(f1)}
 = \overline{(f3)}
\Rightarrow \overline{(f2)}
 = \overline{(f4)}
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(s1)}
\colon \overline{(s1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(s2)}
\colon \dot{\neg}\,(\{\{\overline{(s1)}
,\overline{(s1)}
\}
,\{\overline{(s1)}
,\overline{(s2)}
\}
\}
 \mathrel{\in} 
\mathsf {f}
 _{Ph} 
)n
)n
)n
)n
\}
)
\mid 
\forall_{obj} \overline{(\epsilon)}
\colon \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {n}}
\colon \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {m}}
\colon \dot{\neg}\,(0
 <= \overline{(\epsilon)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(0
 = \overline{(\epsilon)}
)n
)n
)n
\Rightarrow \overline{
\mathsf {n}}
 <= \overline{
\mathsf {m}}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(|( \{ ph \mathrel{\in}  \{ ph \mathrel{\in} P(P(Union(\{N
,Q
\}
)
)
)
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op1)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op2)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\overline{(op1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(op2)}
 \mathrel{\in} Q
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\mathsf {a}
 _{Ph} 
 = \{\{\overline{(op1)}
,\overline{(op1)}
\}
,\{\overline{(op1)}
,\overline{(op2)}
\}
\}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\}
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \underline{
\mathsf {m}}
\colon \dot{\neg}\,(
\mathsf {e}
 _{Ph} 
 = \{\{\underline{
\mathsf {m}}
,\underline{
\mathsf {m}}
\}
,\{\underline{
\mathsf {m}}
,(\underline{(fz)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
*\underline{(fy)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
)
\}
\}
)n
)n
\}
[\overline{
\mathsf {m}}
]
+(-u
\mathsf {d}
 _{Ph} 
[\overline{
\mathsf {m}}
]
)
)
|
 <= \overline{(\epsilon)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(|( \{ ph \mathrel{\in}  \{ ph \mathrel{\in} P(P(Union(\{N
,Q
\}
)
)
)
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op1)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op2)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\overline{(op1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(op2)}
 \mathrel{\in} Q
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\mathsf {a}
 _{Ph} 
 = \{\{\overline{(op1)}
,\overline{(op1)}
\}
,\{\overline{(op1)}
,\overline{(op2)}
\}
\}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\}
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \underline{
\mathsf {m}}
\colon \dot{\neg}\,(
\mathsf {e}
 _{Ph} 
 = \{\{\underline{
\mathsf {m}}
,\underline{
\mathsf {m}}
\}
,\{\underline{
\mathsf {m}}
,(\underline{(fz)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
*\underline{(fy)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
)
\}
\}
)n
)n
\}
[\overline{
\mathsf {m}}
]
+(-u
\mathsf {d}
 _{Ph} 
[\overline{
\mathsf {m}}
]
)
)
|
 = \overline{(\epsilon)}
)n
)n
)n
)n
)n
\}
\gg  \{ ph \mathrel{\in} P( \{ ph \mathrel{\in} P( \{ ph \mathrel{\in} P(P(Union(\{N
,Q
\}
)
)
)
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op1)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op2)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\overline{(op1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(op2)}
 \mathrel{\in} Q
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\mathsf {a}
 _{Ph} 
 = \{\{\overline{(op1)}
,\overline{(op1)}
\}
,\{\overline{(op1)}
,\overline{(op2)}
\}
\}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\}
)
\mid \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(r1)}
\colon \overline{(r1)}
 \mathrel{\in} 
\mathsf {f}
 _{Ph} 
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op1)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op2)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\overline{(op1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(op2)}
 \mathrel{\in} Q
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(r1)}
 = \{\{\overline{(op1)}
,\overline{(op1)}
\}
,\{\overline{(op1)}
,\overline{(op2)}
\}
\}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(f1)}
\colon 
\forall_{obj} \overline{(f2)}
\colon 
\forall_{obj} \overline{(f3)}
\colon 
\forall_{obj} \overline{(f4)}
\colon \{\{\overline{(f1)}
,\overline{(f1)}
\}
,\{\overline{(f1)}
,\overline{(f2)}
\}
\}
 \mathrel{\in} 
\mathsf {f}
 _{Ph} 
\Rightarrow \{\{\overline{(f3)}
,\overline{(f3)}
\}
,\{\overline{(f3)}
,\overline{(f4)}
\}
\}
 \mathrel{\in} 
\mathsf {f}
 _{Ph} 
\Rightarrow \overline{(f1)}
 = \overline{(f3)}
\Rightarrow \overline{(f2)}
 = \overline{(f4)}
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(s1)}
\colon \overline{(s1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(s2)}
\colon \dot{\neg}\,(\{\{\overline{(s1)}
,\overline{(s1)}
\}
,\{\overline{(s1)}
,\overline{(s2)}
\}
\}
 \mathrel{\in} 
\mathsf {f}
 _{Ph} 
)n
)n
)n
)n
\}
)
\mid 
\forall_{obj} \overline{(\epsilon)}
\colon \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {n}}
\colon \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {m}}
\colon \dot{\neg}\,(0
 <= \overline{(\epsilon)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(0
 = \overline{(\epsilon)}
)n
)n
)n
\Rightarrow \overline{
\mathsf {n}}
 <= \overline{
\mathsf {m}}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(|( \{ ph \mathrel{\in}  \{ ph \mathrel{\in} P(P(Union(\{N
,Q
\}
)
)
)
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op1)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op2)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\overline{(op1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(op2)}
 \mathrel{\in} Q
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\mathsf {a}
 _{Ph} 
 = \{\{\overline{(op1)}
,\overline{(op1)}
\}
,\{\overline{(op1)}
,\overline{(op2)}
\}
\}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\}
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \underline{
\mathsf {m}}
\colon \dot{\neg}\,(
\mathsf {e}
 _{Ph} 
 = \{\{\underline{
\mathsf {m}}
,\underline{
\mathsf {m}}
\}
,\{\underline{
\mathsf {m}}
,(\underline{(fz)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
*\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
)
\}
\}
)n
)n
\}
[\overline{
\mathsf {m}}
]
+(-u
\mathsf {d}
 _{Ph} 
[\overline{
\mathsf {m}}
]
)
)
|
 <= \overline{(\epsilon)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(|( \{ ph \mathrel{\in}  \{ ph \mathrel{\in} P(P(Union(\{N
,Q
\}
)
)
)
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op1)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op2)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\overline{(op1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(op2)}
 \mathrel{\in} Q
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\mathsf {a}
 _{Ph} 
 = \{\{\overline{(op1)}
,\overline{(op1)}
\}
,\{\overline{(op1)}
,\overline{(op2)}
\}
\}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\}
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \underline{
\mathsf {m}}
\colon \dot{\neg}\,(
\mathsf {e}
 _{Ph} 
 = \{\{\underline{
\mathsf {m}}
,\underline{
\mathsf {m}}
\}
,\{\underline{
\mathsf {m}}
,(\underline{(fz)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
*\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
)
\}
\}
)n
)n
\}
[\overline{
\mathsf {m}}
]
+(-u
\mathsf {d}
 _{Ph} 
[\overline{
\mathsf {m}}
]
)
)
|
 = \overline{(\epsilon)}
)n
)n
)n
)n
)n
\}
 =  \{ ph \mathrel{\in} P( \{ ph \mathrel{\in} P( \{ ph \mathrel{\in} P(P(Union(\{N
,Q
\}
)
)
)
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op1)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op2)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\overline{(op1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(op2)}
 \mathrel{\in} Q
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\mathsf {a}
 _{Ph} 
 = \{\{\overline{(op1)}
,\overline{(op1)}
\}
,\{\overline{(op1)}
,\overline{(op2)}
\}
\}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\}
)
\mid \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(r1)}
\colon \overline{(r1)}
 \mathrel{\in} 
\mathsf {f}
 _{Ph} 
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op1)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op2)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\overline{(op1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(op2)}
 \mathrel{\in} Q
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(r1)}
 = \{\{\overline{(op1)}
,\overline{(op1)}
\}
,\{\overline{(op1)}
,\overline{(op2)}
\}
\}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(f1)}
\colon 
\forall_{obj} \overline{(f2)}
\colon 
\forall_{obj} \overline{(f3)}
\colon 
\forall_{obj} \overline{(f4)}
\colon \{\{\overline{(f1)}
,\overline{(f1)}
\}
,\{\overline{(f1)}
,\overline{(f2)}
\}
\}
 \mathrel{\in} 
\mathsf {f}
 _{Ph} 
\Rightarrow \{\{\overline{(f3)}
,\overline{(f3)}
\}
,\{\overline{(f3)}
,\overline{(f4)}
\}
\}
 \mathrel{\in} 
\mathsf {f}
 _{Ph} 
\Rightarrow \overline{(f1)}
 = \overline{(f3)}
\Rightarrow \overline{(f2)}
 = \overline{(f4)}
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(s1)}
\colon \overline{(s1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(s2)}
\colon \dot{\neg}\,(\{\{\overline{(s1)}
,\overline{(s1)}
\}
,\{\overline{(s1)}
,\overline{(s2)}
\}
\}
 \mathrel{\in} 
\mathsf {f}
 _{Ph} 
)n
)n
)n
)n
\}
)
\mid 
\forall_{obj} \overline{(\epsilon)}
\colon \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {n}}
\colon \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {m}}
\colon \dot{\neg}\,(0
 <= \overline{(\epsilon)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(0
 = \overline{(\epsilon)}
)n
)n
)n
\Rightarrow \overline{
\mathsf {n}}
 <= \overline{
\mathsf {m}}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(|( \{ ph \mathrel{\in}  \{ ph \mathrel{\in} P(P(Union(\{N
,Q
\}
)
)
)
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op1)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op2)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\overline{(op1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(op2)}
 \mathrel{\in} Q
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\mathsf {a}
 _{Ph} 
 = \{\{\overline{(op1)}
,\overline{(op1)}
\}
,\{\overline{(op1)}
,\overline{(op2)}
\}
\}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\}
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \underline{
\mathsf {m}}
\colon \dot{\neg}\,(
\mathsf {e}
 _{Ph} 
 = \{\{\underline{
\mathsf {m}}
,\underline{
\mathsf {m}}
\}
,\{\underline{
\mathsf {m}}
,(\underline{(fz)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
*\underline{(fy)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
)
\}
\}
)n
)n
\}
[\overline{
\mathsf {m}}
]
+(-u
\mathsf {d}
 _{Ph} 
[\overline{
\mathsf {m}}
]
)
)
|
 <= \overline{(\epsilon)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(|( \{ ph \mathrel{\in}  \{ ph \mathrel{\in} P(P(Union(\{N
,Q
\}
)
)
)
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op1)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op2)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\overline{(op1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(op2)}
 \mathrel{\in} Q
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\mathsf {a}
 _{Ph} 
 = \{\{\overline{(op1)}
,\overline{(op1)}
\}
,\{\overline{(op1)}
,\overline{(op2)}
\}
\}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\}
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \underline{
\mathsf {m}}
\colon \dot{\neg}\,(
\mathsf {e}
 _{Ph} 
 = \{\{\underline{
\mathsf {m}}
,\underline{
\mathsf {m}}
\}
,\{\underline{
\mathsf {m}}
,(\underline{(fz)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
*\underline{(fy)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
)
\}
\}
)n
)n
\}
[\overline{
\mathsf {m}}
]
+(-u
\mathsf {d}
 _{Ph} 
[\overline{
\mathsf {m}}
]
)
)
|
 = \overline{(\epsilon)}
)n
)n
)n
)n
)n
\}
\rceil 
, 
p_0
, 
\mathsf {c}
)
]$

$
[LeqMultiplication(R)
\stackrel{
stmt
}{\rightarrow}SystemQ
\vdash 
\forall \underline{(fx)}
\colon 
\forall \underline{(fy)}
\colon 
\forall \underline{(fz)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(\epsilon)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {n}}
\colon \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {m}}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(0
 <= \overline{(\epsilon)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(0
 = \overline{(\epsilon)}
)n
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{
\mathsf {n}}
 <= \overline{
\mathsf {m}}
\Rightarrow  \{ ph \mathrel{\in}  \{ ph \mathrel{\in} P(P(Union(\{N
,Q
\}
)
)
)
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op1)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op2)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\overline{(op1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(op2)}
 \mathrel{\in} Q
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\mathsf {a}
 _{Ph} 
 = \{\{\overline{(op1)}
,\overline{(op1)}
\}
,\{\overline{(op1)}
,\overline{(op2)}
\}
\}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\}
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(crs1)}
\colon \dot{\neg}\,(
\mathsf {c}
 _{Ph} 
 = \{\{\overline{(crs1)}
,\overline{(crs1)}
\}
,\{\overline{(crs1)}
,0
\}
\}
)n
)n
\}
[\overline{
\mathsf {m}}
]
 <= (\underline{(fz)}
[\overline{
\mathsf {m}}
]
+(-u\overline{(\epsilon)}
)
)
)n
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\Rightarrow  \{ ph \mathrel{\in} P( \{ ph \mathrel{\in} P( \{ ph \mathrel{\in} P(P(Union(\{N
,Q
\}
)
)
)
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op1)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op2)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\overline{(op1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(op2)}
 \mathrel{\in} Q
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\mathsf {a}
 _{Ph} 
 = \{\{\overline{(op1)}
,\overline{(op1)}
\}
,\{\overline{(op1)}
,\overline{(op2)}
\}
\}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\}
)
\mid \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(r1)}
\colon \overline{(r1)}
 \mathrel{\in} 
\mathsf {f}
 _{Ph} 
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op1)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op2)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\overline{(op1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(op2)}
 \mathrel{\in} Q
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(r1)}
 = \{\{\overline{(op1)}
,\overline{(op1)}
\}
,\{\overline{(op1)}
,\overline{(op2)}
\}
\}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(f1)}
\colon 
\forall_{obj} \overline{(f2)}
\colon 
\forall_{obj} \overline{(f3)}
\colon 
\forall_{obj} \overline{(f4)}
\colon \{\{\overline{(f1)}
,\overline{(f1)}
\}
,\{\overline{(f1)}
,\overline{(f2)}
\}
\}
 \mathrel{\in} 
\mathsf {f}
 _{Ph} 
\Rightarrow \{\{\overline{(f3)}
,\overline{(f3)}
\}
,\{\overline{(f3)}
,\overline{(f4)}
\}
\}
 \mathrel{\in} 
\mathsf {f}
 _{Ph} 
\Rightarrow \overline{(f1)}
 = \overline{(f3)}
\Rightarrow \overline{(f2)}
 = \overline{(f4)}
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(s1)}
\colon \overline{(s1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(s2)}
\colon \dot{\neg}\,(\{\{\overline{(s1)}
,\overline{(s1)}
\}
,\{\overline{(s1)}
,\overline{(s2)}
\}
\}
 \mathrel{\in} 
\mathsf {f}
 _{Ph} 
)n
)n
)n
)n
\}
)
\mid 
\forall_{obj} \overline{(\epsilon)}
\colon \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {n}}
\colon \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {m}}
\colon \dot{\neg}\,(0
 <= \overline{(\epsilon)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(0
 = \overline{(\epsilon)}
)n
)n
)n
\Rightarrow \overline{
\mathsf {n}}
 <= \overline{
\mathsf {m}}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(|( \{ ph \mathrel{\in}  \{ ph \mathrel{\in} P(P(Union(\{N
,Q
\}
)
)
)
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op1)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op2)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\overline{(op1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(op2)}
 \mathrel{\in} Q
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\mathsf {a}
 _{Ph} 
 = \{\{\overline{(op1)}
,\overline{(op1)}
\}
,\{\overline{(op1)}
,\overline{(op2)}
\}
\}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\}
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(crs1)}
\colon \dot{\neg}\,(
\mathsf {c}
 _{Ph} 
 = \{\{\overline{(crs1)}
,\overline{(crs1)}
\}
,\{\overline{(crs1)}
,0
\}
\}
)n
)n
\}
[\overline{
\mathsf {m}}
]
+(-u
\mathsf {d}
 _{Ph} 
[\overline{
\mathsf {m}}
]
)
)
|
 <= \overline{(\epsilon)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(|( \{ ph \mathrel{\in}  \{ ph \mathrel{\in} P(P(Union(\{N
,Q
\}
)
)
)
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op1)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op2)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\overline{(op1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(op2)}
 \mathrel{\in} Q
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\mathsf {a}
 _{Ph} 
 = \{\{\overline{(op1)}
,\overline{(op1)}
\}
,\{\overline{(op1)}
,\overline{(op2)}
\}
\}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\}
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(crs1)}
\colon \dot{\neg}\,(
\mathsf {c}
 _{Ph} 
 = \{\{\overline{(crs1)}
,\overline{(crs1)}
\}
,\{\overline{(crs1)}
,0
\}
\}
)n
)n
\}
[\overline{
\mathsf {m}}
]
+(-u
\mathsf {d}
 _{Ph} 
[\overline{
\mathsf {m}}
]
)
)
|
 = \overline{(\epsilon)}
)n
)n
)n
)n
)n
\}
 =  \{ ph \mathrel{\in} P( \{ ph \mathrel{\in} P( \{ ph \mathrel{\in} P(P(Union(\{N
,Q
\}
)
)
)
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op1)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op2)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\overline{(op1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(op2)}
 \mathrel{\in} Q
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\mathsf {a}
 _{Ph} 
 = \{\{\overline{(op1)}
,\overline{(op1)}
\}
,\{\overline{(op1)}
,\overline{(op2)}
\}
\}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\}
)
\mid \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(r1)}
\colon \overline{(r1)}
 \mathrel{\in} 
\mathsf {f}
 _{Ph} 
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op1)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op2)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\overline{(op1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(op2)}
 \mathrel{\in} Q
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(r1)}
 = \{\{\overline{(op1)}
,\overline{(op1)}
\}
,\{\overline{(op1)}
,\overline{(op2)}
\}
\}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(f1)}
\colon 
\forall_{obj} \overline{(f2)}
\colon 
\forall_{obj} \overline{(f3)}
\colon 
\forall_{obj} \overline{(f4)}
\colon \{\{\overline{(f1)}
,\overline{(f1)}
\}
,\{\overline{(f1)}
,\overline{(f2)}
\}
\}
 \mathrel{\in} 
\mathsf {f}
 _{Ph} 
\Rightarrow \{\{\overline{(f3)}
,\overline{(f3)}
\}
,\{\overline{(f3)}
,\overline{(f4)}
\}
\}
 \mathrel{\in} 
\mathsf {f}
 _{Ph} 
\Rightarrow \overline{(f1)}
 = \overline{(f3)}
\Rightarrow \overline{(f2)}
 = \overline{(f4)}
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(s1)}
\colon \overline{(s1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(s2)}
\colon \dot{\neg}\,(\{\{\overline{(s1)}
,\overline{(s1)}
\}
,\{\overline{(s1)}
,\overline{(s2)}
\}
\}
 \mathrel{\in} 
\mathsf {f}
 _{Ph} 
)n
)n
)n
)n
\}
)
\mid 
\forall_{obj} \overline{(\epsilon)}
\colon \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {n}}
\colon \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {m}}
\colon \dot{\neg}\,(0
 <= \overline{(\epsilon)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(0
 = \overline{(\epsilon)}
)n
)n
)n
\Rightarrow \overline{
\mathsf {n}}
 <= \overline{
\mathsf {m}}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(|(\underline{(fz)}
[\overline{
\mathsf {m}}
]
+(-u
\mathsf {d}
 _{Ph} 
[\overline{
\mathsf {m}}
]
)
)
|
 <= \overline{(\epsilon)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(|(\underline{(fz)}
[\overline{
\mathsf {m}}
]
+(-u
\mathsf {d}
 _{Ph} 
[\overline{
\mathsf {m}}
]
)
)
|
 = \overline{(\epsilon)}
)n
)n
)n
)n
)n
\}
\vdash \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(\epsilon)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {n}}
\colon \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {m}}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(0
 <= \overline{(\epsilon)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(0
 = \overline{(\epsilon)}
)n
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{
\mathsf {n}}
 <= \overline{
\mathsf {m}}
\Rightarrow \underline{(fx)}
[\overline{
\mathsf {m}}
]
 <= (\underline{(fy)}
[\overline{
\mathsf {m}}
]
+(-u\overline{(\epsilon)}
)
)
)n
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\Rightarrow  \{ ph \mathrel{\in} P( \{ ph \mathrel{\in} P( \{ ph \mathrel{\in} P(P(Union(\{N
,Q
\}
)
)
)
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op1)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op2)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\overline{(op1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(op2)}
 \mathrel{\in} Q
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\mathsf {a}
 _{Ph} 
 = \{\{\overline{(op1)}
,\overline{(op1)}
\}
,\{\overline{(op1)}
,\overline{(op2)}
\}
\}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\}
)
\mid \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(r1)}
\colon \overline{(r1)}
 \mathrel{\in} 
\mathsf {f}
 _{Ph} 
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op1)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op2)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\overline{(op1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(op2)}
 \mathrel{\in} Q
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(r1)}
 = \{\{\overline{(op1)}
,\overline{(op1)}
\}
,\{\overline{(op1)}
,\overline{(op2)}
\}
\}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(f1)}
\colon 
\forall_{obj} \overline{(f2)}
\colon 
\forall_{obj} \overline{(f3)}
\colon 
\forall_{obj} \overline{(f4)}
\colon \{\{\overline{(f1)}
,\overline{(f1)}
\}
,\{\overline{(f1)}
,\overline{(f2)}
\}
\}
 \mathrel{\in} 
\mathsf {f}
 _{Ph} 
\Rightarrow \{\{\overline{(f3)}
,\overline{(f3)}
\}
,\{\overline{(f3)}
,\overline{(f4)}
\}
\}
 \mathrel{\in} 
\mathsf {f}
 _{Ph} 
\Rightarrow \overline{(f1)}
 = \overline{(f3)}
\Rightarrow \overline{(f2)}
 = \overline{(f4)}
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(s1)}
\colon \overline{(s1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(s2)}
\colon \dot{\neg}\,(\{\{\overline{(s1)}
,\overline{(s1)}
\}
,\{\overline{(s1)}
,\overline{(s2)}
\}
\}
 \mathrel{\in} 
\mathsf {f}
 _{Ph} 
)n
)n
)n
)n
\}
)
\mid 
\forall_{obj} \overline{(\epsilon)}
\colon \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {n}}
\colon \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {m}}
\colon \dot{\neg}\,(0
 <= \overline{(\epsilon)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(0
 = \overline{(\epsilon)}
)n
)n
)n
\Rightarrow \overline{
\mathsf {n}}
 <= \overline{
\mathsf {m}}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(|(\underline{(fx)}
[\overline{
\mathsf {m}}
]
+(-u
\mathsf {d}
 _{Ph} 
[\overline{
\mathsf {m}}
]
)
)
|
 <= \overline{(\epsilon)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(|(\underline{(fx)}
[\overline{
\mathsf {m}}
]
+(-u
\mathsf {d}
 _{Ph} 
[\overline{
\mathsf {m}}
]
)
)
|
 = \overline{(\epsilon)}
)n
)n
)n
)n
)n
\}
 =  \{ ph \mathrel{\in} P( \{ ph \mathrel{\in} P( \{ ph \mathrel{\in} P(P(Union(\{N
,Q
\}
)
)
)
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op1)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op2)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\overline{(op1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(op2)}
 \mathrel{\in} Q
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\mathsf {a}
 _{Ph} 
 = \{\{\overline{(op1)}
,\overline{(op1)}
\}
,\{\overline{(op1)}
,\overline{(op2)}
\}
\}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\}
)
\mid \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(r1)}
\colon \overline{(r1)}
 \mathrel{\in} 
\mathsf {f}
 _{Ph} 
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op1)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op2)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\overline{(op1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(op2)}
 \mathrel{\in} Q
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(r1)}
 = \{\{\overline{(op1)}
,\overline{(op1)}
\}
,\{\overline{(op1)}
,\overline{(op2)}
\}
\}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(f1)}
\colon 
\forall_{obj} \overline{(f2)}
\colon 
\forall_{obj} \overline{(f3)}
\colon 
\forall_{obj} \overline{(f4)}
\colon \{\{\overline{(f1)}
,\overline{(f1)}
\}
,\{\overline{(f1)}
,\overline{(f2)}
\}
\}
 \mathrel{\in} 
\mathsf {f}
 _{Ph} 
\Rightarrow \{\{\overline{(f3)}
,\overline{(f3)}
\}
,\{\overline{(f3)}
,\overline{(f4)}
\}
\}
 \mathrel{\in} 
\mathsf {f}
 _{Ph} 
\Rightarrow \overline{(f1)}
 = \overline{(f3)}
\Rightarrow \overline{(f2)}
 = \overline{(f4)}
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(s1)}
\colon \overline{(s1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(s2)}
\colon \dot{\neg}\,(\{\{\overline{(s1)}
,\overline{(s1)}
\}
,\{\overline{(s1)}
,\overline{(s2)}
\}
\}
 \mathrel{\in} 
\mathsf {f}
 _{Ph} 
)n
)n
)n
)n
\}
)
\mid 
\forall_{obj} \overline{(\epsilon)}
\colon \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {n}}
\colon \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {m}}
\colon \dot{\neg}\,(0
 <= \overline{(\epsilon)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(0
 = \overline{(\epsilon)}
)n
)n
)n
\Rightarrow \overline{
\mathsf {n}}
 <= \overline{
\mathsf {m}}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(|(\underline{(fy)}
[\overline{
\mathsf {m}}
]
+(-u
\mathsf {d}
 _{Ph} 
[\overline{
\mathsf {m}}
]
)
)
|
 <= \overline{(\epsilon)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(|(\underline{(fy)}
[\overline{
\mathsf {m}}
]
+(-u
\mathsf {d}
 _{Ph} 
[\overline{
\mathsf {m}}
]
)
)
|
 = \overline{(\epsilon)}
)n
)n
)n
)n
)n
\}
\vdash \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(\epsilon)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {n}}
\colon \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {m}}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(0
 <= \overline{(\epsilon)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(0
 = \overline{(\epsilon)}
)n
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{
\mathsf {n}}
 <= \overline{
\mathsf {m}}
\Rightarrow  \{ ph \mathrel{\in}  \{ ph \mathrel{\in} P(P(Union(\{N
,Q
\}
)
)
)
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op1)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op2)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\overline{(op1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(op2)}
 \mathrel{\in} Q
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\mathsf {a}
 _{Ph} 
 = \{\{\overline{(op1)}
,\overline{(op1)}
\}
,\{\overline{(op1)}
,\overline{(op2)}
\}
\}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\}
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \underline{
\mathsf {m}}
\colon \dot{\neg}\,(
\mathsf {e}
 _{Ph} 
 = \{\{\underline{
\mathsf {m}}
,\underline{
\mathsf {m}}
\}
,\{\underline{
\mathsf {m}}
,(\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
*\underline{(fz)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
)
\}
\}
)n
)n
\}
[\overline{
\mathsf {m}}
]
 <= ( \{ ph \mathrel{\in}  \{ ph \mathrel{\in} P(P(Union(\{N
,Q
\}
)
)
)
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op1)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op2)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\overline{(op1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(op2)}
 \mathrel{\in} Q
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\mathsf {a}
 _{Ph} 
 = \{\{\overline{(op1)}
,\overline{(op1)}
\}
,\{\overline{(op1)}
,\overline{(op2)}
\}
\}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\}
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \underline{
\mathsf {m}}
\colon \dot{\neg}\,(
\mathsf {e}
 _{Ph} 
 = \{\{\underline{
\mathsf {m}}
,\underline{
\mathsf {m}}
\}
,\{\underline{
\mathsf {m}}
,(\underline{(fy)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
*\underline{(fz)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
)
\}
\}
)n
)n
\}
[\overline{
\mathsf {m}}
]
+(-u\overline{(\epsilon)}
)
)
)n
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\Rightarrow  \{ ph \mathrel{\in} P( \{ ph \mathrel{\in} P( \{ ph \mathrel{\in} P(P(Union(\{N
,Q
\}
)
)
)
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op1)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op2)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\overline{(op1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(op2)}
 \mathrel{\in} Q
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\mathsf {a}
 _{Ph} 
 = \{\{\overline{(op1)}
,\overline{(op1)}
\}
,\{\overline{(op1)}
,\overline{(op2)}
\}
\}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\}
)
\mid \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(r1)}
\colon \overline{(r1)}
 \mathrel{\in} 
\mathsf {f}
 _{Ph} 
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op1)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op2)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\overline{(op1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(op2)}
 \mathrel{\in} Q
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(r1)}
 = \{\{\overline{(op1)}
,\overline{(op1)}
\}
,\{\overline{(op1)}
,\overline{(op2)}
\}
\}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(f1)}
\colon 
\forall_{obj} \overline{(f2)}
\colon 
\forall_{obj} \overline{(f3)}
\colon 
\forall_{obj} \overline{(f4)}
\colon \{\{\overline{(f1)}
,\overline{(f1)}
\}
,\{\overline{(f1)}
,\overline{(f2)}
\}
\}
 \mathrel{\in} 
\mathsf {f}
 _{Ph} 
\Rightarrow \{\{\overline{(f3)}
,\overline{(f3)}
\}
,\{\overline{(f3)}
,\overline{(f4)}
\}
\}
 \mathrel{\in} 
\mathsf {f}
 _{Ph} 
\Rightarrow \overline{(f1)}
 = \overline{(f3)}
\Rightarrow \overline{(f2)}
 = \overline{(f4)}
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(s1)}
\colon \overline{(s1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(s2)}
\colon \dot{\neg}\,(\{\{\overline{(s1)}
,\overline{(s1)}
\}
,\{\overline{(s1)}
,\overline{(s2)}
\}
\}
 \mathrel{\in} 
\mathsf {f}
 _{Ph} 
)n
)n
)n
)n
\}
)
\mid 
\forall_{obj} \overline{(\epsilon)}
\colon \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {n}}
\colon \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {m}}
\colon \dot{\neg}\,(0
 <= \overline{(\epsilon)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(0
 = \overline{(\epsilon)}
)n
)n
)n
\Rightarrow \overline{
\mathsf {n}}
 <= \overline{
\mathsf {m}}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(|( \{ ph \mathrel{\in}  \{ ph \mathrel{\in} P(P(Union(\{N
,Q
\}
)
)
)
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op1)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op2)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\overline{(op1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(op2)}
 \mathrel{\in} Q
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\mathsf {a}
 _{Ph} 
 = \{\{\overline{(op1)}
,\overline{(op1)}
\}
,\{\overline{(op1)}
,\overline{(op2)}
\}
\}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\}
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \underline{
\mathsf {m}}
\colon \dot{\neg}\,(
\mathsf {e}
 _{Ph} 
 = \{\{\underline{
\mathsf {m}}
,\underline{
\mathsf {m}}
\}
,\{\underline{
\mathsf {m}}
,(\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
*\underline{(fz)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
)
\}
\}
)n
)n
\}
[\overline{
\mathsf {m}}
]
+(-u
\mathsf {d}
 _{Ph} 
[\overline{
\mathsf {m}}
]
)
)
|
 <= \overline{(\epsilon)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(|( \{ ph \mathrel{\in}  \{ ph \mathrel{\in} P(P(Union(\{N
,Q
\}
)
)
)
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op1)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op2)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\overline{(op1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(op2)}
 \mathrel{\in} Q
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\mathsf {a}
 _{Ph} 
 = \{\{\overline{(op1)}
,\overline{(op1)}
\}
,\{\overline{(op1)}
,\overline{(op2)}
\}
\}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\}
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \underline{
\mathsf {m}}
\colon \dot{\neg}\,(
\mathsf {e}
 _{Ph} 
 = \{\{\underline{
\mathsf {m}}
,\underline{
\mathsf {m}}
\}
,\{\underline{
\mathsf {m}}
,(\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
*\underline{(fz)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
)
\}
\}
)n
)n
\}
[\overline{
\mathsf {m}}
]
+(-u
\mathsf {d}
 _{Ph} 
[\overline{
\mathsf {m}}
]
)
)
|
 = \overline{(\epsilon)}
)n
)n
)n
)n
)n
\}
 =  \{ ph \mathrel{\in} P( \{ ph \mathrel{\in} P( \{ ph \mathrel{\in} P(P(Union(\{N
,Q
\}
)
)
)
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op1)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op2)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\overline{(op1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(op2)}
 \mathrel{\in} Q
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\mathsf {a}
 _{Ph} 
 = \{\{\overline{(op1)}
,\overline{(op1)}
\}
,\{\overline{(op1)}
,\overline{(op2)}
\}
\}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\}
)
\mid \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(r1)}
\colon \overline{(r1)}
 \mathrel{\in} 
\mathsf {f}
 _{Ph} 
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op1)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op2)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\overline{(op1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(op2)}
 \mathrel{\in} Q
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(r1)}
 = \{\{\overline{(op1)}
,\overline{(op1)}
\}
,\{\overline{(op1)}
,\overline{(op2)}
\}
\}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(f1)}
\colon 
\forall_{obj} \overline{(f2)}
\colon 
\forall_{obj} \overline{(f3)}
\colon 
\forall_{obj} \overline{(f4)}
\colon \{\{\overline{(f1)}
,\overline{(f1)}
\}
,\{\overline{(f1)}
,\overline{(f2)}
\}
\}
 \mathrel{\in} 
\mathsf {f}
 _{Ph} 
\Rightarrow \{\{\overline{(f3)}
,\overline{(f3)}
\}
,\{\overline{(f3)}
,\overline{(f4)}
\}
\}
 \mathrel{\in} 
\mathsf {f}
 _{Ph} 
\Rightarrow \overline{(f1)}
 = \overline{(f3)}
\Rightarrow \overline{(f2)}
 = \overline{(f4)}
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(s1)}
\colon \overline{(s1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(s2)}
\colon \dot{\neg}\,(\{\{\overline{(s1)}
,\overline{(s1)}
\}
,\{\overline{(s1)}
,\overline{(s2)}
\}
\}
 \mathrel{\in} 
\mathsf {f}
 _{Ph} 
)n
)n
)n
)n
\}
)
\mid 
\forall_{obj} \overline{(\epsilon)}
\colon \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {n}}
\colon \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {m}}
\colon \dot{\neg}\,(0
 <= \overline{(\epsilon)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(0
 = \overline{(\epsilon)}
)n
)n
)n
\Rightarrow \overline{
\mathsf {n}}
 <= \overline{
\mathsf {m}}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(|( \{ ph \mathrel{\in}  \{ ph \mathrel{\in} P(P(Union(\{N
,Q
\}
)
)
)
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op1)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op2)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\overline{(op1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(op2)}
 \mathrel{\in} Q
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\mathsf {a}
 _{Ph} 
 = \{\{\overline{(op1)}
,\overline{(op1)}
\}
,\{\overline{(op1)}
,\overline{(op2)}
\}
\}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\}
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \underline{
\mathsf {m}}
\colon \dot{\neg}\,(
\mathsf {e}
 _{Ph} 
 = \{\{\underline{
\mathsf {m}}
,\underline{
\mathsf {m}}
\}
,\{\underline{
\mathsf {m}}
,(\underline{(fy)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
*\underline{(fz)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
)
\}
\}
)n
)n
\}
[\overline{
\mathsf {m}}
]
+(-u
\mathsf {d}
 _{Ph} 
[\overline{
\mathsf {m}}
]
)
)
|
 <= \overline{(\epsilon)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(|( \{ ph \mathrel{\in}  \{ ph \mathrel{\in} P(P(Union(\{N
,Q
\}
)
)
)
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op1)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op2)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\overline{(op1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(op2)}
 \mathrel{\in} Q
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\mathsf {a}
 _{Ph} 
 = \{\{\overline{(op1)}
,\overline{(op1)}
\}
,\{\overline{(op1)}
,\overline{(op2)}
\}
\}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\}
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \underline{
\mathsf {m}}
\colon \dot{\neg}\,(
\mathsf {e}
 _{Ph} 
 = \{\{\underline{
\mathsf {m}}
,\underline{
\mathsf {m}}
\}
,\{\underline{
\mathsf {m}}
,(\underline{(fy)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
*\underline{(fz)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
)
\}
\}
)n
)n
\}
[\overline{
\mathsf {m}}
]
+(-u
\mathsf {d}
 _{Ph} 
[\overline{
\mathsf {m}}
]
)
)
|
 = \overline{(\epsilon)}
)n
)n
)n
)n
)n
\}
]$

$
[LeqMultiplication(R)
\stackrel{
proof
}{\rightarrow}
\lambda 
\mathsf {c}
.
\lambda 
\mathsf{x}
.
{\cal P}( 
\lceil SystemQ
\vdash 
\forall \underline{(fx)}
\colon 
\forall \underline{(fy)}
\colon 
\forall \underline{(fz)}
\colon  \{ ph \mathrel{\in} P( \{ ph \mathrel{\in} P( \{ ph \mathrel{\in} P(P(Union(\{N
,Q
\}
)
)
)
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op1)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op2)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\overline{(op1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(op2)}
 \mathrel{\in} Q
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\mathsf {a}
 _{Ph} 
 = \{\{\overline{(op1)}
,\overline{(op1)}
\}
,\{\overline{(op1)}
,\overline{(op2)}
\}
\}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\}
)
\mid \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(r1)}
\colon \overline{(r1)}
 \mathrel{\in} 
\mathsf {f}
 _{Ph} 
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op1)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op2)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\overline{(op1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(op2)}
 \mathrel{\in} Q
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(r1)}
 = \{\{\overline{(op1)}
,\overline{(op1)}
\}
,\{\overline{(op1)}
,\overline{(op2)}
\}
\}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(f1)}
\colon 
\forall_{obj} \overline{(f2)}
\colon 
\forall_{obj} \overline{(f3)}
\colon 
\forall_{obj} \overline{(f4)}
\colon \{\{\overline{(f1)}
,\overline{(f1)}
\}
,\{\overline{(f1)}
,\overline{(f2)}
\}
\}
 \mathrel{\in} 
\mathsf {f}
 _{Ph} 
\Rightarrow \{\{\overline{(f3)}
,\overline{(f3)}
\}
,\{\overline{(f3)}
,\overline{(f4)}
\}
\}
 \mathrel{\in} 
\mathsf {f}
 _{Ph} 
\Rightarrow \overline{(f1)}
 = \overline{(f3)}
\Rightarrow \overline{(f2)}
 = \overline{(f4)}
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(s1)}
\colon \overline{(s1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(s2)}
\colon \dot{\neg}\,(\{\{\overline{(s1)}
,\overline{(s1)}
\}
,\{\overline{(s1)}
,\overline{(s2)}
\}
\}
 \mathrel{\in} 
\mathsf {f}
 _{Ph} 
)n
)n
)n
)n
\}
)
\mid 
\forall_{obj} \overline{(\epsilon)}
\colon \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {n}}
\colon \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {m}}
\colon \dot{\neg}\,(0
 <= \overline{(\epsilon)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(0
 = \overline{(\epsilon)}
)n
)n
)n
\Rightarrow \overline{
\mathsf {n}}
 <= \overline{
\mathsf {m}}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(|( \{ ph \mathrel{\in}  \{ ph \mathrel{\in} P(P(Union(\{N
,Q
\}
)
)
)
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op1)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op2)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\overline{(op1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(op2)}
 \mathrel{\in} Q
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\mathsf {a}
 _{Ph} 
 = \{\{\overline{(op1)}
,\overline{(op1)}
\}
,\{\overline{(op1)}
,\overline{(op2)}
\}
\}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\}
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(crs1)}
\colon \dot{\neg}\,(
\mathsf {c}
 _{Ph} 
 = \{\{\overline{(crs1)}
,\overline{(crs1)}
\}
,\{\overline{(crs1)}
,0
\}
\}
)n
)n
\}
[\overline{
\mathsf {m}}
]
+(-u
\mathsf {d}
 _{Ph} 
[\overline{
\mathsf {m}}
]
)
)
|
 <= \overline{(\epsilon)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(|( \{ ph \mathrel{\in}  \{ ph \mathrel{\in} P(P(Union(\{N
,Q
\}
)
)
)
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op1)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op2)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\overline{(op1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(op2)}
 \mathrel{\in} Q
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\mathsf {a}
 _{Ph} 
 = \{\{\overline{(op1)}
,\overline{(op1)}
\}
,\{\overline{(op1)}
,\overline{(op2)}
\}
\}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\}
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(crs1)}
\colon \dot{\neg}\,(
\mathsf {c}
 _{Ph} 
 = \{\{\overline{(crs1)}
,\overline{(crs1)}
\}
,\{\overline{(crs1)}
,0
\}
\}
)n
)n
\}
[\overline{
\mathsf {m}}
]
+(-u
\mathsf {d}
 _{Ph} 
[\overline{
\mathsf {m}}
]
)
)
|
 = \overline{(\epsilon)}
)n
)n
)n
)n
)n
\}
 =  \{ ph \mathrel{\in} P( \{ ph \mathrel{\in} P( \{ ph \mathrel{\in} P(P(Union(\{N
,Q
\}
)
)
)
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op1)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op2)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\overline{(op1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(op2)}
 \mathrel{\in} Q
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\mathsf {a}
 _{Ph} 
 = \{\{\overline{(op1)}
,\overline{(op1)}
\}
,\{\overline{(op1)}
,\overline{(op2)}
\}
\}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\}
)
\mid \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(r1)}
\colon \overline{(r1)}
 \mathrel{\in} 
\mathsf {f}
 _{Ph} 
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op1)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op2)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\overline{(op1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(op2)}
 \mathrel{\in} Q
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(r1)}
 = \{\{\overline{(op1)}
,\overline{(op1)}
\}
,\{\overline{(op1)}
,\overline{(op2)}
\}
\}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(f1)}
\colon 
\forall_{obj} \overline{(f2)}
\colon 
\forall_{obj} \overline{(f3)}
\colon 
\forall_{obj} \overline{(f4)}
\colon \{\{\overline{(f1)}
,\overline{(f1)}
\}
,\{\overline{(f1)}
,\overline{(f2)}
\}
\}
 \mathrel{\in} 
\mathsf {f}
 _{Ph} 
\Rightarrow \{\{\overline{(f3)}
,\overline{(f3)}
\}
,\{\overline{(f3)}
,\overline{(f4)}
\}
\}
 \mathrel{\in} 
\mathsf {f}
 _{Ph} 
\Rightarrow \overline{(f1)}
 = \overline{(f3)}
\Rightarrow \overline{(f2)}
 = \overline{(f4)}
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(s1)}
\colon \overline{(s1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(s2)}
\colon \dot{\neg}\,(\{\{\overline{(s1)}
,\overline{(s1)}
\}
,\{\overline{(s1)}
,\overline{(s2)}
\}
\}
 \mathrel{\in} 
\mathsf {f}
 _{Ph} 
)n
)n
)n
)n
\}
)
\mid 
\forall_{obj} \overline{(\epsilon)}
\colon \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {n}}
\colon \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {m}}
\colon \dot{\neg}\,(0
 <= \overline{(\epsilon)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(0
 = \overline{(\epsilon)}
)n
)n
)n
\Rightarrow \overline{
\mathsf {n}}
 <= \overline{
\mathsf {m}}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(|(\underline{(fz)}
[\overline{
\mathsf {m}}
]
+(-u
\mathsf {d}
 _{Ph} 
[\overline{
\mathsf {m}}
]
)
)
|
 <= \overline{(\epsilon)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(|(\underline{(fz)}
[\overline{
\mathsf {m}}
]
+(-u
\mathsf {d}
 _{Ph} 
[\overline{
\mathsf {m}}
]
)
)
|
 = \overline{(\epsilon)}
)n
)n
)n
)n
)n
\}
\vdash ==\!{}Symmetry
\rhd  \{ ph \mathrel{\in} P( \{ ph \mathrel{\in} P( \{ ph \mathrel{\in} P(P(Union(\{N
,Q
\}
)
)
)
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op1)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op2)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\overline{(op1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(op2)}
 \mathrel{\in} Q
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\mathsf {a}
 _{Ph} 
 = \{\{\overline{(op1)}
,\overline{(op1)}
\}
,\{\overline{(op1)}
,\overline{(op2)}
\}
\}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\}
)
\mid \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(r1)}
\colon \overline{(r1)}
 \mathrel{\in} 
\mathsf {f}
 _{Ph} 
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op1)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op2)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\overline{(op1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(op2)}
 \mathrel{\in} Q
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(r1)}
 = \{\{\overline{(op1)}
,\overline{(op1)}
\}
,\{\overline{(op1)}
,\overline{(op2)}
\}
\}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(f1)}
\colon 
\forall_{obj} \overline{(f2)}
\colon 
\forall_{obj} \overline{(f3)}
\colon 
\forall_{obj} \overline{(f4)}
\colon \{\{\overline{(f1)}
,\overline{(f1)}
\}
,\{\overline{(f1)}
,\overline{(f2)}
\}
\}
 \mathrel{\in} 
\mathsf {f}
 _{Ph} 
\Rightarrow \{\{\overline{(f3)}
,\overline{(f3)}
\}
,\{\overline{(f3)}
,\overline{(f4)}
\}
\}
 \mathrel{\in} 
\mathsf {f}
 _{Ph} 
\Rightarrow \overline{(f1)}
 = \overline{(f3)}
\Rightarrow \overline{(f2)}
 = \overline{(f4)}
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(s1)}
\colon \overline{(s1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(s2)}
\colon \dot{\neg}\,(\{\{\overline{(s1)}
,\overline{(s1)}
\}
,\{\overline{(s1)}
,\overline{(s2)}
\}
\}
 \mathrel{\in} 
\mathsf {f}
 _{Ph} 
)n
)n
)n
)n
\}
)
\mid 
\forall_{obj} \overline{(\epsilon)}
\colon \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {n}}
\colon \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {m}}
\colon \dot{\neg}\,(0
 <= \overline{(\epsilon)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(0
 = \overline{(\epsilon)}
)n
)n
)n
\Rightarrow \overline{
\mathsf {n}}
 <= \overline{
\mathsf {m}}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(|( \{ ph \mathrel{\in}  \{ ph \mathrel{\in} P(P(Union(\{N
,Q
\}
)
)
)
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op1)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op2)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\overline{(op1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(op2)}
 \mathrel{\in} Q
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\mathsf {a}
 _{Ph} 
 = \{\{\overline{(op1)}
,\overline{(op1)}
\}
,\{\overline{(op1)}
,\overline{(op2)}
\}
\}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\}
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(crs1)}
\colon \dot{\neg}\,(
\mathsf {c}
 _{Ph} 
 = \{\{\overline{(crs1)}
,\overline{(crs1)}
\}
,\{\overline{(crs1)}
,0
\}
\}
)n
)n
\}
[\overline{
\mathsf {m}}
]
+(-u
\mathsf {d}
 _{Ph} 
[\overline{
\mathsf {m}}
]
)
)
|
 <= \overline{(\epsilon)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(|( \{ ph \mathrel{\in}  \{ ph \mathrel{\in} P(P(Union(\{N
,Q
\}
)
)
)
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op1)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op2)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\overline{(op1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(op2)}
 \mathrel{\in} Q
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\mathsf {a}
 _{Ph} 
 = \{\{\overline{(op1)}
,\overline{(op1)}
\}
,\{\overline{(op1)}
,\overline{(op2)}
\}
\}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\}
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(crs1)}
\colon \dot{\neg}\,(
\mathsf {c}
 _{Ph} 
 = \{\{\overline{(crs1)}
,\overline{(crs1)}
\}
,\{\overline{(crs1)}
,0
\}
\}
)n
)n
\}
[\overline{
\mathsf {m}}
]
+(-u
\mathsf {d}
 _{Ph} 
[\overline{
\mathsf {m}}
]
)
)
|
 = \overline{(\epsilon)}
)n
)n
)n
)n
)n
\}
 =  \{ ph \mathrel{\in} P( \{ ph \mathrel{\in} P( \{ ph \mathrel{\in} P(P(Union(\{N
,Q
\}
)
)
)
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op1)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op2)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\overline{(op1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(op2)}
 \mathrel{\in} Q
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\mathsf {a}
 _{Ph} 
 = \{\{\overline{(op1)}
,\overline{(op1)}
\}
,\{\overline{(op1)}
,\overline{(op2)}
\}
\}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\}
)
\mid \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(r1)}
\colon \overline{(r1)}
 \mathrel{\in} 
\mathsf {f}
 _{Ph} 
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op1)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op2)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\overline{(op1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(op2)}
 \mathrel{\in} Q
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(r1)}
 = \{\{\overline{(op1)}
,\overline{(op1)}
\}
,\{\overline{(op1)}
,\overline{(op2)}
\}
\}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(f1)}
\colon 
\forall_{obj} \overline{(f2)}
\colon 
\forall_{obj} \overline{(f3)}
\colon 
\forall_{obj} \overline{(f4)}
\colon \{\{\overline{(f1)}
,\overline{(f1)}
\}
,\{\overline{(f1)}
,\overline{(f2)}
\}
\}
 \mathrel{\in} 
\mathsf {f}
 _{Ph} 
\Rightarrow \{\{\overline{(f3)}
,\overline{(f3)}
\}
,\{\overline{(f3)}
,\overline{(f4)}
\}
\}
 \mathrel{\in} 
\mathsf {f}
 _{Ph} 
\Rightarrow \overline{(f1)}
 = \overline{(f3)}
\Rightarrow \overline{(f2)}
 = \overline{(f4)}
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(s1)}
\colon \overline{(s1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(s2)}
\colon \dot{\neg}\,(\{\{\overline{(s1)}
,\overline{(s1)}
\}
,\{\overline{(s1)}
,\overline{(s2)}
\}
\}
 \mathrel{\in} 
\mathsf {f}
 _{Ph} 
)n
)n
)n
)n
\}
)
\mid 
\forall_{obj} \overline{(\epsilon)}
\colon \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {n}}
\colon \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {m}}
\colon \dot{\neg}\,(0
 <= \overline{(\epsilon)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(0
 = \overline{(\epsilon)}
)n
)n
)n
\Rightarrow \overline{
\mathsf {n}}
 <= \overline{
\mathsf {m}}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(|(\underline{(fz)}
[\overline{
\mathsf {m}}
]
+(-u
\mathsf {d}
 _{Ph} 
[\overline{
\mathsf {m}}
]
)
)
|
 <= \overline{(\epsilon)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(|(\underline{(fz)}
[\overline{
\mathsf {m}}
]
+(-u
\mathsf {d}
 _{Ph} 
[\overline{
\mathsf {m}}
]
)
)
|
 = \overline{(\epsilon)}
)n
)n
)n
)n
)n
\}
\gg  \{ ph \mathrel{\in} P( \{ ph \mathrel{\in} P( \{ ph \mathrel{\in} P(P(Union(\{N
,Q
\}
)
)
)
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op1)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op2)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\overline{(op1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(op2)}
 \mathrel{\in} Q
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\mathsf {a}
 _{Ph} 
 = \{\{\overline{(op1)}
,\overline{(op1)}
\}
,\{\overline{(op1)}
,\overline{(op2)}
\}
\}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\}
)
\mid \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(r1)}
\colon \overline{(r1)}
 \mathrel{\in} 
\mathsf {f}
 _{Ph} 
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op1)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op2)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\overline{(op1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(op2)}
 \mathrel{\in} Q
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(r1)}
 = \{\{\overline{(op1)}
,\overline{(op1)}
\}
,\{\overline{(op1)}
,\overline{(op2)}
\}
\}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(f1)}
\colon 
\forall_{obj} \overline{(f2)}
\colon 
\forall_{obj} \overline{(f3)}
\colon 
\forall_{obj} \overline{(f4)}
\colon \{\{\overline{(f1)}
,\overline{(f1)}
\}
,\{\overline{(f1)}
,\overline{(f2)}
\}
\}
 \mathrel{\in} 
\mathsf {f}
 _{Ph} 
\Rightarrow \{\{\overline{(f3)}
,\overline{(f3)}
\}
,\{\overline{(f3)}
,\overline{(f4)}
\}
\}
 \mathrel{\in} 
\mathsf {f}
 _{Ph} 
\Rightarrow \overline{(f1)}
 = \overline{(f3)}
\Rightarrow \overline{(f2)}
 = \overline{(f4)}
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(s1)}
\colon \overline{(s1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(s2)}
\colon \dot{\neg}\,(\{\{\overline{(s1)}
,\overline{(s1)}
\}
,\{\overline{(s1)}
,\overline{(s2)}
\}
\}
 \mathrel{\in} 
\mathsf {f}
 _{Ph} 
)n
)n
)n
)n
\}
)
\mid 
\forall_{obj} \overline{(\epsilon)}
\colon \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {n}}
\colon \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {m}}
\colon \dot{\neg}\,(0
 <= \overline{(\epsilon)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(0
 = \overline{(\epsilon)}
)n
)n
)n
\Rightarrow \overline{
\mathsf {n}}
 <= \overline{
\mathsf {m}}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(|(\underline{(fz)}
[\overline{
\mathsf {m}}
]
+(-u
\mathsf {d}
 _{Ph} 
[\overline{
\mathsf {m}}
]
)
)
|
 <= \overline{(\epsilon)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(|(\underline{(fz)}
[\overline{
\mathsf {m}}
]
+(-u
\mathsf {d}
 _{Ph} 
[\overline{
\mathsf {m}}
]
)
)
|
 = \overline{(\epsilon)}
)n
)n
)n
)n
)n
\}
 =  \{ ph \mathrel{\in} P( \{ ph \mathrel{\in} P( \{ ph \mathrel{\in} P(P(Union(\{N
,Q
\}
)
)
)
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op1)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op2)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\overline{(op1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(op2)}
 \mathrel{\in} Q
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\mathsf {a}
 _{Ph} 
 = \{\{\overline{(op1)}
,\overline{(op1)}
\}
,\{\overline{(op1)}
,\overline{(op2)}
\}
\}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\}
)
\mid \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(r1)}
\colon \overline{(r1)}
 \mathrel{\in} 
\mathsf {f}
 _{Ph} 
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op1)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op2)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\overline{(op1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(op2)}
 \mathrel{\in} Q
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(r1)}
 = \{\{\overline{(op1)}
,\overline{(op1)}
\}
,\{\overline{(op1)}
,\overline{(op2)}
\}
\}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(f1)}
\colon 
\forall_{obj} \overline{(f2)}
\colon 
\forall_{obj} \overline{(f3)}
\colon 
\forall_{obj} \overline{(f4)}
\colon \{\{\overline{(f1)}
,\overline{(f1)}
\}
,\{\overline{(f1)}
,\overline{(f2)}
\}
\}
 \mathrel{\in} 
\mathsf {f}
 _{Ph} 
\Rightarrow \{\{\overline{(f3)}
,\overline{(f3)}
\}
,\{\overline{(f3)}
,\overline{(f4)}
\}
\}
 \mathrel{\in} 
\mathsf {f}
 _{Ph} 
\Rightarrow \overline{(f1)}
 = \overline{(f3)}
\Rightarrow \overline{(f2)}
 = \overline{(f4)}
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(s1)}
\colon \overline{(s1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(s2)}
\colon \dot{\neg}\,(\{\{\overline{(s1)}
,\overline{(s1)}
\}
,\{\overline{(s1)}
,\overline{(s2)}
\}
\}
 \mathrel{\in} 
\mathsf {f}
 _{Ph} 
)n
)n
)n
)n
\}
)
\mid 
\forall_{obj} \overline{(\epsilon)}
\colon \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {n}}
\colon \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {m}}
\colon \dot{\neg}\,(0
 <= \overline{(\epsilon)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(0
 = \overline{(\epsilon)}
)n
)n
)n
\Rightarrow \overline{
\mathsf {n}}
 <= \overline{
\mathsf {m}}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(|( \{ ph \mathrel{\in}  \{ ph \mathrel{\in} P(P(Union(\{N
,Q
\}
)
)
)
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op1)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op2)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\overline{(op1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(op2)}
 \mathrel{\in} Q
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\mathsf {a}
 _{Ph} 
 = \{\{\overline{(op1)}
,\overline{(op1)}
\}
,\{\overline{(op1)}
,\overline{(op2)}
\}
\}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\}
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(crs1)}
\colon \dot{\neg}\,(
\mathsf {c}
 _{Ph} 
 = \{\{\overline{(crs1)}
,\overline{(crs1)}
\}
,\{\overline{(crs1)}
,0
\}
\}
)n
)n
\}
[\overline{
\mathsf {m}}
]
+(-u
\mathsf {d}
 _{Ph} 
[\overline{
\mathsf {m}}
]
)
)
|
 <= \overline{(\epsilon)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(|( \{ ph \mathrel{\in}  \{ ph \mathrel{\in} P(P(Union(\{N
,Q
\}
)
)
)
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op1)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op2)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\overline{(op1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(op2)}
 \mathrel{\in} Q
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\mathsf {a}
 _{Ph} 
 = \{\{\overline{(op1)}
,\overline{(op1)}
\}
,\{\overline{(op1)}
,\overline{(op2)}
\}
\}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\}
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(crs1)}
\colon \dot{\neg}\,(
\mathsf {c}
 _{Ph} 
 = \{\{\overline{(crs1)}
,\overline{(crs1)}
\}
,\{\overline{(crs1)}
,0
\}
\}
)n
)n
\}
[\overline{
\mathsf {m}}
]
+(-u
\mathsf {d}
 _{Ph} 
[\overline{
\mathsf {m}}
]
)
)
|
 = \overline{(\epsilon)}
)n
)n
)n
)n
)n
\}
; EqMultiplicationLeft(R)
\rhd  \{ ph \mathrel{\in} P( \{ ph \mathrel{\in} P( \{ ph \mathrel{\in} P(P(Union(\{N
,Q
\}
)
)
)
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op1)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op2)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\overline{(op1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(op2)}
 \mathrel{\in} Q
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\mathsf {a}
 _{Ph} 
 = \{\{\overline{(op1)}
,\overline{(op1)}
\}
,\{\overline{(op1)}
,\overline{(op2)}
\}
\}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\}
)
\mid \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(r1)}
\colon \overline{(r1)}
 \mathrel{\in} 
\mathsf {f}
 _{Ph} 
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op1)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op2)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\overline{(op1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(op2)}
 \mathrel{\in} Q
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(r1)}
 = \{\{\overline{(op1)}
,\overline{(op1)}
\}
,\{\overline{(op1)}
,\overline{(op2)}
\}
\}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(f1)}
\colon 
\forall_{obj} \overline{(f2)}
\colon 
\forall_{obj} \overline{(f3)}
\colon 
\forall_{obj} \overline{(f4)}
\colon \{\{\overline{(f1)}
,\overline{(f1)}
\}
,\{\overline{(f1)}
,\overline{(f2)}
\}
\}
 \mathrel{\in} 
\mathsf {f}
 _{Ph} 
\Rightarrow \{\{\overline{(f3)}
,\overline{(f3)}
\}
,\{\overline{(f3)}
,\overline{(f4)}
\}
\}
 \mathrel{\in} 
\mathsf {f}
 _{Ph} 
\Rightarrow \overline{(f1)}
 = \overline{(f3)}
\Rightarrow \overline{(f2)}
 = \overline{(f4)}
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(s1)}
\colon \overline{(s1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(s2)}
\colon \dot{\neg}\,(\{\{\overline{(s1)}
,\overline{(s1)}
\}
,\{\overline{(s1)}
,\overline{(s2)}
\}
\}
 \mathrel{\in} 
\mathsf {f}
 _{Ph} 
)n
)n
)n
)n
\}
)
\mid 
\forall_{obj} \overline{(\epsilon)}
\colon \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {n}}
\colon \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {m}}
\colon \dot{\neg}\,(0
 <= \overline{(\epsilon)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(0
 = \overline{(\epsilon)}
)n
)n
)n
\Rightarrow \overline{
\mathsf {n}}
 <= \overline{
\mathsf {m}}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(|(\underline{(fz)}
[\overline{
\mathsf {m}}
]
+(-u
\mathsf {d}
 _{Ph} 
[\overline{
\mathsf {m}}
]
)
)
|
 <= \overline{(\epsilon)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(|(\underline{(fz)}
[\overline{
\mathsf {m}}
]
+(-u
\mathsf {d}
 _{Ph} 
[\overline{
\mathsf {m}}
]
)
)
|
 = \overline{(\epsilon)}
)n
)n
)n
)n
)n
\}
 =  \{ ph \mathrel{\in} P( \{ ph \mathrel{\in} P( \{ ph \mathrel{\in} P(P(Union(\{N
,Q
\}
)
)
)
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op1)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op2)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\overline{(op1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(op2)}
 \mathrel{\in} Q
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\mathsf {a}
 _{Ph} 
 = \{\{\overline{(op1)}
,\overline{(op1)}
\}
,\{\overline{(op1)}
,\overline{(op2)}
\}
\}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\}
)
\mid \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(r1)}
\colon \overline{(r1)}
 \mathrel{\in} 
\mathsf {f}
 _{Ph} 
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op1)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op2)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\overline{(op1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(op2)}
 \mathrel{\in} Q
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(r1)}
 = \{\{\overline{(op1)}
,\overline{(op1)}
\}
,\{\overline{(op1)}
,\overline{(op2)}
\}
\}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(f1)}
\colon 
\forall_{obj} \overline{(f2)}
\colon 
\forall_{obj} \overline{(f3)}
\colon 
\forall_{obj} \overline{(f4)}
\colon \{\{\overline{(f1)}
,\overline{(f1)}
\}
,\{\overline{(f1)}
,\overline{(f2)}
\}
\}
 \mathrel{\in} 
\mathsf {f}
 _{Ph} 
\Rightarrow \{\{\overline{(f3)}
,\overline{(f3)}
\}
,\{\overline{(f3)}
,\overline{(f4)}
\}
\}
 \mathrel{\in} 
\mathsf {f}
 _{Ph} 
\Rightarrow \overline{(f1)}
 = \overline{(f3)}
\Rightarrow \overline{(f2)}
 = \overline{(f4)}
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(s1)}
\colon \overline{(s1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(s2)}
\colon \dot{\neg}\,(\{\{\overline{(s1)}
,\overline{(s1)}
\}
,\{\overline{(s1)}
,\overline{(s2)}
\}
\}
 \mathrel{\in} 
\mathsf {f}
 _{Ph} 
)n
)n
)n
)n
\}
)
\mid 
\forall_{obj} \overline{(\epsilon)}
\colon \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {n}}
\colon \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {m}}
\colon \dot{\neg}\,(0
 <= \overline{(\epsilon)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(0
 = \overline{(\epsilon)}
)n
)n
)n
\Rightarrow \overline{
\mathsf {n}}
 <= \overline{
\mathsf {m}}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(|( \{ ph \mathrel{\in}  \{ ph \mathrel{\in} P(P(Union(\{N
,Q
\}
)
)
)
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op1)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op2)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\overline{(op1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(op2)}
 \mathrel{\in} Q
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\mathsf {a}
 _{Ph} 
 = \{\{\overline{(op1)}
,\overline{(op1)}
\}
,\{\overline{(op1)}
,\overline{(op2)}
\}
\}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\}
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(crs1)}
\colon \dot{\neg}\,(
\mathsf {c}
 _{Ph} 
 = \{\{\overline{(crs1)}
,\overline{(crs1)}
\}
,\{\overline{(crs1)}
,0
\}
\}
)n
)n
\}
[\overline{
\mathsf {m}}
]
+(-u
\mathsf {d}
 _{Ph} 
[\overline{
\mathsf {m}}
]
)
)
|
 <= \overline{(\epsilon)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(|( \{ ph \mathrel{\in}  \{ ph \mathrel{\in} P(P(Union(\{N
,Q
\}
)
)
)
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op1)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op2)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\overline{(op1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(op2)}
 \mathrel{\in} Q
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\mathsf {a}
 _{Ph} 
 = \{\{\overline{(op1)}
,\overline{(op1)}
\}
,\{\overline{(op1)}
,\overline{(op2)}
\}
\}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\}
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(crs1)}
\colon \dot{\neg}\,(
\mathsf {c}
 _{Ph} 
 = \{\{\overline{(crs1)}
,\overline{(crs1)}
\}
,\{\overline{(crs1)}
,0
\}
\}
)n
)n
\}
[\overline{
\mathsf {m}}
]
+(-u
\mathsf {d}
 _{Ph} 
[\overline{
\mathsf {m}}
]
)
)
|
 = \overline{(\epsilon)}
)n
)n
)n
)n
)n
\}
\gg  \{ ph \mathrel{\in} P( \{ ph \mathrel{\in} P( \{ ph \mathrel{\in} P(P(Union(\{N
,Q
\}
)
)
)
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op1)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op2)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\overline{(op1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(op2)}
 \mathrel{\in} Q
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\mathsf {a}
 _{Ph} 
 = \{\{\overline{(op1)}
,\overline{(op1)}
\}
,\{\overline{(op1)}
,\overline{(op2)}
\}
\}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\}
)
\mid \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(r1)}
\colon \overline{(r1)}
 \mathrel{\in} 
\mathsf {f}
 _{Ph} 
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op1)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op2)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\overline{(op1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(op2)}
 \mathrel{\in} Q
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(r1)}
 = \{\{\overline{(op1)}
,\overline{(op1)}
\}
,\{\overline{(op1)}
,\overline{(op2)}
\}
\}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(f1)}
\colon 
\forall_{obj} \overline{(f2)}
\colon 
\forall_{obj} \overline{(f3)}
\colon 
\forall_{obj} \overline{(f4)}
\colon \{\{\overline{(f1)}
,\overline{(f1)}
\}
,\{\overline{(f1)}
,\overline{(f2)}
\}
\}
 \mathrel{\in} 
\mathsf {f}
 _{Ph} 
\Rightarrow \{\{\overline{(f3)}
,\overline{(f3)}
\}
,\{\overline{(f3)}
,\overline{(f4)}
\}
\}
 \mathrel{\in} 
\mathsf {f}
 _{Ph} 
\Rightarrow \overline{(f1)}
 = \overline{(f3)}
\Rightarrow \overline{(f2)}
 = \overline{(f4)}
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(s1)}
\colon \overline{(s1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(s2)}
\colon \dot{\neg}\,(\{\{\overline{(s1)}
,\overline{(s1)}
\}
,\{\overline{(s1)}
,\overline{(s2)}
\}
\}
 \mathrel{\in} 
\mathsf {f}
 _{Ph} 
)n
)n
)n
)n
\}
)
\mid 
\forall_{obj} \overline{(\epsilon)}
\colon \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {n}}
\colon \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {m}}
\colon \dot{\neg}\,(0
 <= \overline{(\epsilon)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(0
 = \overline{(\epsilon)}
)n
)n
)n
\Rightarrow \overline{
\mathsf {n}}
 <= \overline{
\mathsf {m}}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(|( \{ ph \mathrel{\in}  \{ ph \mathrel{\in} P(P(Union(\{N
,Q
\}
)
)
)
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op1)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op2)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\overline{(op1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(op2)}
 \mathrel{\in} Q
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\mathsf {a}
 _{Ph} 
 = \{\{\overline{(op1)}
,\overline{(op1)}
\}
,\{\overline{(op1)}
,\overline{(op2)}
\}
\}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\}
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \underline{
\mathsf {m}}
\colon \dot{\neg}\,(
\mathsf {e}
 _{Ph} 
 = \{\{\underline{
\mathsf {m}}
,\underline{
\mathsf {m}}
\}
,\{\underline{
\mathsf {m}}
,(\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
*\underline{(fz)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
)
\}
\}
)n
)n
\}
[\overline{
\mathsf {m}}
]
+(-u
\mathsf {d}
 _{Ph} 
[\overline{
\mathsf {m}}
]
)
)
|
 <= \overline{(\epsilon)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(|( \{ ph \mathrel{\in}  \{ ph \mathrel{\in} P(P(Union(\{N
,Q
\}
)
)
)
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op1)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op2)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\overline{(op1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(op2)}
 \mathrel{\in} Q
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\mathsf {a}
 _{Ph} 
 = \{\{\overline{(op1)}
,\overline{(op1)}
\}
,\{\overline{(op1)}
,\overline{(op2)}
\}
\}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\}
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \underline{
\mathsf {m}}
\colon \dot{\neg}\,(
\mathsf {e}
 _{Ph} 
 = \{\{\underline{
\mathsf {m}}
,\underline{
\mathsf {m}}
\}
,\{\underline{
\mathsf {m}}
,(\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
*\underline{(fz)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
)
\}
\}
)n
)n
\}
[\overline{
\mathsf {m}}
]
+(-u
\mathsf {d}
 _{Ph} 
[\overline{
\mathsf {m}}
]
)
)
|
 = \overline{(\epsilon)}
)n
)n
)n
)n
)n
\}
 =  \{ ph \mathrel{\in} P( \{ ph \mathrel{\in} P( \{ ph \mathrel{\in} P(P(Union(\{N
,Q
\}
)
)
)
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op1)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op2)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\overline{(op1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(op2)}
 \mathrel{\in} Q
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\mathsf {a}
 _{Ph} 
 = \{\{\overline{(op1)}
,\overline{(op1)}
\}
,\{\overline{(op1)}
,\overline{(op2)}
\}
\}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\}
)
\mid \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(r1)}
\colon \overline{(r1)}
 \mathrel{\in} 
\mathsf {f}
 _{Ph} 
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op1)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op2)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\overline{(op1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(op2)}
 \mathrel{\in} Q
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(r1)}
 = \{\{\overline{(op1)}
,\overline{(op1)}
\}
,\{\overline{(op1)}
,\overline{(op2)}
\}
\}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(f1)}
\colon 
\forall_{obj} \overline{(f2)}
\colon 
\forall_{obj} \overline{(f3)}
\colon 
\forall_{obj} \overline{(f4)}
\colon \{\{\overline{(f1)}
,\overline{(f1)}
\}
,\{\overline{(f1)}
,\overline{(f2)}
\}
\}
 \mathrel{\in} 
\mathsf {f}
 _{Ph} 
\Rightarrow \{\{\overline{(f3)}
,\overline{(f3)}
\}
,\{\overline{(f3)}
,\overline{(f4)}
\}
\}
 \mathrel{\in} 
\mathsf {f}
 _{Ph} 
\Rightarrow \overline{(f1)}
 = \overline{(f3)}
\Rightarrow \overline{(f2)}
 = \overline{(f4)}
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(s1)}
\colon \overline{(s1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(s2)}
\colon \dot{\neg}\,(\{\{\overline{(s1)}
,\overline{(s1)}
\}
,\{\overline{(s1)}
,\overline{(s2)}
\}
\}
 \mathrel{\in} 
\mathsf {f}
 _{Ph} 
)n
)n
)n
)n
\}
)
\mid 
\forall_{obj} \overline{(\epsilon)}
\colon \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {n}}
\colon \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {m}}
\colon \dot{\neg}\,(0
 <= \overline{(\epsilon)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(0
 = \overline{(\epsilon)}
)n
)n
)n
\Rightarrow \overline{
\mathsf {n}}
 <= \overline{
\mathsf {m}}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(|( \{ ph \mathrel{\in}  \{ ph \mathrel{\in} P(P(Union(\{N
,Q
\}
)
)
)
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op1)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op2)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\overline{(op1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(op2)}
 \mathrel{\in} Q
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\mathsf {a}
 _{Ph} 
 = \{\{\overline{(op1)}
,\overline{(op1)}
\}
,\{\overline{(op1)}
,\overline{(op2)}
\}
\}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\}
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \underline{
\mathsf {m}}
\colon \dot{\neg}\,(
\mathsf {e}
 _{Ph} 
 = \{\{\underline{
\mathsf {m}}
,\underline{
\mathsf {m}}
\}
,\{\underline{
\mathsf {m}}
,(\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
* \{ ph \mathrel{\in}  \{ ph \mathrel{\in} P(P(Union(\{N
,Q
\}
)
)
)
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op1)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op2)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\overline{(op1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(op2)}
 \mathrel{\in} Q
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\mathsf {a}
 _{Ph} 
 = \{\{\overline{(op1)}
,\overline{(op1)}
\}
,\{\overline{(op1)}
,\overline{(op2)}
\}
\}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\}
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(crs1)}
\colon \dot{\neg}\,(
\mathsf {c}
 _{Ph} 
 = \{\{\overline{(crs1)}
,\overline{(crs1)}
\}
,\{\overline{(crs1)}
,0
\}
\}
)n
)n
\}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
)
\}
\}
)n
)n
\}
[\overline{
\mathsf {m}}
]
+(-u
\mathsf {d}
 _{Ph} 
[\overline{
\mathsf {m}}
]
)
)
|
 <= \overline{(\epsilon)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(|( \{ ph \mathrel{\in}  \{ ph \mathrel{\in} P(P(Union(\{N
,Q
\}
)
)
)
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op1)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op2)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\overline{(op1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(op2)}
 \mathrel{\in} Q
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\mathsf {a}
 _{Ph} 
 = \{\{\overline{(op1)}
,\overline{(op1)}
\}
,\{\overline{(op1)}
,\overline{(op2)}
\}
\}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\}
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \underline{
\mathsf {m}}
\colon \dot{\neg}\,(
\mathsf {e}
 _{Ph} 
 = \{\{\underline{
\mathsf {m}}
,\underline{
\mathsf {m}}
\}
,\{\underline{
\mathsf {m}}
,(\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
* \{ ph \mathrel{\in}  \{ ph \mathrel{\in} P(P(Union(\{N
,Q
\}
)
)
)
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op1)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op2)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\overline{(op1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(op2)}
 \mathrel{\in} Q
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\mathsf {a}
 _{Ph} 
 = \{\{\overline{(op1)}
,\overline{(op1)}
\}
,\{\overline{(op1)}
,\overline{(op2)}
\}
\}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\}
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(crs1)}
\colon \dot{\neg}\,(
\mathsf {c}
 _{Ph} 
 = \{\{\overline{(crs1)}
,\overline{(crs1)}
\}
,\{\overline{(crs1)}
,0
\}
\}
)n
)n
\}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
)
\}
\}
)n
)n
\}
[\overline{
\mathsf {m}}
]
+(-u
\mathsf {d}
 _{Ph} 
[\overline{
\mathsf {m}}
]
)
)
|
 = \overline{(\epsilon)}
)n
)n
)n
)n
)n
\}
; x*0=0(R)
\gg  \{ ph \mathrel{\in} P( \{ ph \mathrel{\in} P( \{ ph \mathrel{\in} P(P(Union(\{N
,Q
\}
)
)
)
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op1)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op2)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\overline{(op1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(op2)}
 \mathrel{\in} Q
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\mathsf {a}
 _{Ph} 
 = \{\{\overline{(op1)}
,\overline{(op1)}
\}
,\{\overline{(op1)}
,\overline{(op2)}
\}
\}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\}
)
\mid \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(r1)}
\colon \overline{(r1)}
 \mathrel{\in} 
\mathsf {f}
 _{Ph} 
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op1)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op2)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\overline{(op1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(op2)}
 \mathrel{\in} Q
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(r1)}
 = \{\{\overline{(op1)}
,\overline{(op1)}
\}
,\{\overline{(op1)}
,\overline{(op2)}
\}
\}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(f1)}
\colon 
\forall_{obj} \overline{(f2)}
\colon 
\forall_{obj} \overline{(f3)}
\colon 
\forall_{obj} \overline{(f4)}
\colon \{\{\overline{(f1)}
,\overline{(f1)}
\}
,\{\overline{(f1)}
,\overline{(f2)}
\}
\}
 \mathrel{\in} 
\mathsf {f}
 _{Ph} 
\Rightarrow \{\{\overline{(f3)}
,\overline{(f3)}
\}
,\{\overline{(f3)}
,\overline{(f4)}
\}
\}
 \mathrel{\in} 
\mathsf {f}
 _{Ph} 
\Rightarrow \overline{(f1)}
 = \overline{(f3)}
\Rightarrow \overline{(f2)}
 = \overline{(f4)}
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(s1)}
\colon \overline{(s1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(s2)}
\colon \dot{\neg}\,(\{\{\overline{(s1)}
,\overline{(s1)}
\}
,\{\overline{(s1)}
,\overline{(s2)}
\}
\}
 \mathrel{\in} 
\mathsf {f}
 _{Ph} 
)n
)n
)n
)n
\}
)
\mid 
\forall_{obj} \overline{(\epsilon)}
\colon \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {n}}
\colon \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {m}}
\colon \dot{\neg}\,(0
 <= \overline{(\epsilon)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(0
 = \overline{(\epsilon)}
)n
)n
)n
\Rightarrow \overline{
\mathsf {n}}
 <= \overline{
\mathsf {m}}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(|( \{ ph \mathrel{\in}  \{ ph \mathrel{\in} P(P(Union(\{N
,Q
\}
)
)
)
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op1)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op2)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\overline{(op1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(op2)}
 \mathrel{\in} Q
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\mathsf {a}
 _{Ph} 
 = \{\{\overline{(op1)}
,\overline{(op1)}
\}
,\{\overline{(op1)}
,\overline{(op2)}
\}
\}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\}
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \underline{
\mathsf {m}}
\colon \dot{\neg}\,(
\mathsf {e}
 _{Ph} 
 = \{\{\underline{
\mathsf {m}}
,\underline{
\mathsf {m}}
\}
,\{\underline{
\mathsf {m}}
,(\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
* \{ ph \mathrel{\in}  \{ ph \mathrel{\in} P(P(Union(\{N
,Q
\}
)
)
)
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op1)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op2)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\overline{(op1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(op2)}
 \mathrel{\in} Q
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\mathsf {a}
 _{Ph} 
 = \{\{\overline{(op1)}
,\overline{(op1)}
\}
,\{\overline{(op1)}
,\overline{(op2)}
\}
\}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\}
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(crs1)}
\colon \dot{\neg}\,(
\mathsf {c}
 _{Ph} 
 = \{\{\overline{(crs1)}
,\overline{(crs1)}
\}
,\{\overline{(crs1)}
,0
\}
\}
)n
)n
\}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
)
\}
\}
)n
)n
\}
[\overline{
\mathsf {m}}
]
+(-u
\mathsf {d}
 _{Ph} 
[\overline{
\mathsf {m}}
]
)
)
|
 <= \overline{(\epsilon)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(|( \{ ph \mathrel{\in}  \{ ph \mathrel{\in} P(P(Union(\{N
,Q
\}
)
)
)
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op1)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op2)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\overline{(op1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(op2)}
 \mathrel{\in} Q
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\mathsf {a}
 _{Ph} 
 = \{\{\overline{(op1)}
,\overline{(op1)}
\}
,\{\overline{(op1)}
,\overline{(op2)}
\}
\}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\}
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \underline{
\mathsf {m}}
\colon \dot{\neg}\,(
\mathsf {e}
 _{Ph} 
 = \{\{\underline{
\mathsf {m}}
,\underline{
\mathsf {m}}
\}
,\{\underline{
\mathsf {m}}
,(\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
* \{ ph \mathrel{\in}  \{ ph \mathrel{\in} P(P(Union(\{N
,Q
\}
)
)
)
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op1)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op2)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\overline{(op1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(op2)}
 \mathrel{\in} Q
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\mathsf {a}
 _{Ph} 
 = \{\{\overline{(op1)}
,\overline{(op1)}
\}
,\{\overline{(op1)}
,\overline{(op2)}
\}
\}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\}
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(crs1)}
\colon \dot{\neg}\,(
\mathsf {c}
 _{Ph} 
 = \{\{\overline{(crs1)}
,\overline{(crs1)}
\}
,\{\overline{(crs1)}
,0
\}
\}
)n
)n
\}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
)
\}
\}
)n
)n
\}
[\overline{
\mathsf {m}}
]
+(-u
\mathsf {d}
 _{Ph} 
[\overline{
\mathsf {m}}
]
)
)
|
 = \overline{(\epsilon)}
)n
)n
)n
)n
)n
\}
 =  \{ ph \mathrel{\in} P( \{ ph \mathrel{\in} P( \{ ph \mathrel{\in} P(P(Union(\{N
,Q
\}
)
)
)
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op1)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op2)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\overline{(op1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(op2)}
 \mathrel{\in} Q
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\mathsf {a}
 _{Ph} 
 = \{\{\overline{(op1)}
,\overline{(op1)}
\}
,\{\overline{(op1)}
,\overline{(op2)}
\}
\}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\}
)
\mid \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(r1)}
\colon \overline{(r1)}
 \mathrel{\in} 
\mathsf {f}
 _{Ph} 
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op1)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op2)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\overline{(op1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(op2)}
 \mathrel{\in} Q
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(r1)}
 = \{\{\overline{(op1)}
,\overline{(op1)}
\}
,\{\overline{(op1)}
,\overline{(op2)}
\}
\}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(f1)}
\colon 
\forall_{obj} \overline{(f2)}
\colon 
\forall_{obj} \overline{(f3)}
\colon 
\forall_{obj} \overline{(f4)}
\colon \{\{\overline{(f1)}
,\overline{(f1)}
\}
,\{\overline{(f1)}
,\overline{(f2)}
\}
\}
 \mathrel{\in} 
\mathsf {f}
 _{Ph} 
\Rightarrow \{\{\overline{(f3)}
,\overline{(f3)}
\}
,\{\overline{(f3)}
,\overline{(f4)}
\}
\}
 \mathrel{\in} 
\mathsf {f}
 _{Ph} 
\Rightarrow \overline{(f1)}
 = \overline{(f3)}
\Rightarrow \overline{(f2)}
 = \overline{(f4)}
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(s1)}
\colon \overline{(s1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(s2)}
\colon \dot{\neg}\,(\{\{\overline{(s1)}
,\overline{(s1)}
\}
,\{\overline{(s1)}
,\overline{(s2)}
\}
\}
 \mathrel{\in} 
\mathsf {f}
 _{Ph} 
)n
)n
)n
)n
\}
)
\mid 
\forall_{obj} \overline{(\epsilon)}
\colon \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {n}}
\colon \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {m}}
\colon \dot{\neg}\,(0
 <= \overline{(\epsilon)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(0
 = \overline{(\epsilon)}
)n
)n
)n
\Rightarrow \overline{
\mathsf {n}}
 <= \overline{
\mathsf {m}}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(|( \{ ph \mathrel{\in}  \{ ph \mathrel{\in} P(P(Union(\{N
,Q
\}
)
)
)
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op1)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op2)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\overline{(op1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(op2)}
 \mathrel{\in} Q
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\mathsf {a}
 _{Ph} 
 = \{\{\overline{(op1)}
,\overline{(op1)}
\}
,\{\overline{(op1)}
,\overline{(op2)}
\}
\}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\}
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(crs1)}
\colon \dot{\neg}\,(
\mathsf {c}
 _{Ph} 
 = \{\{\overline{(crs1)}
,\overline{(crs1)}
\}
,\{\overline{(crs1)}
,0
\}
\}
)n
)n
\}
[\overline{
\mathsf {m}}
]
+(-u
\mathsf {d}
 _{Ph} 
[\overline{
\mathsf {m}}
]
)
)
|
 <= \overline{(\epsilon)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(|( \{ ph \mathrel{\in}  \{ ph \mathrel{\in} P(P(Union(\{N
,Q
\}
)
)
)
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op1)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op2)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\overline{(op1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(op2)}
 \mathrel{\in} Q
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\mathsf {a}
 _{Ph} 
 = \{\{\overline{(op1)}
,\overline{(op1)}
\}
,\{\overline{(op1)}
,\overline{(op2)}
\}
\}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\}
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(crs1)}
\colon \dot{\neg}\,(
\mathsf {c}
 _{Ph} 
 = \{\{\overline{(crs1)}
,\overline{(crs1)}
\}
,\{\overline{(crs1)}
,0
\}
\}
)n
)n
\}
[\overline{
\mathsf {m}}
]
+(-u
\mathsf {d}
 _{Ph} 
[\overline{
\mathsf {m}}
]
)
)
|
 = \overline{(\epsilon)}
)n
)n
)n
)n
)n
\}
; x*0=0(R)
\gg  \{ ph \mathrel{\in} P( \{ ph \mathrel{\in} P( \{ ph \mathrel{\in} P(P(Union(\{N
,Q
\}
)
)
)
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op1)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op2)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\overline{(op1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(op2)}
 \mathrel{\in} Q
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\mathsf {a}
 _{Ph} 
 = \{\{\overline{(op1)}
,\overline{(op1)}
\}
,\{\overline{(op1)}
,\overline{(op2)}
\}
\}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\}
)
\mid \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(r1)}
\colon \overline{(r1)}
 \mathrel{\in} 
\mathsf {f}
 _{Ph} 
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op1)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op2)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\overline{(op1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(op2)}
 \mathrel{\in} Q
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(r1)}
 = \{\{\overline{(op1)}
,\overline{(op1)}
\}
,\{\overline{(op1)}
,\overline{(op2)}
\}
\}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(f1)}
\colon 
\forall_{obj} \overline{(f2)}
\colon 
\forall_{obj} \overline{(f3)}
\colon 
\forall_{obj} \overline{(f4)}
\colon \{\{\overline{(f1)}
,\overline{(f1)}
\}
,\{\overline{(f1)}
,\overline{(f2)}
\}
\}
 \mathrel{\in} 
\mathsf {f}
 _{Ph} 
\Rightarrow \{\{\overline{(f3)}
,\overline{(f3)}
\}
,\{\overline{(f3)}
,\overline{(f4)}
\}
\}
 \mathrel{\in} 
\mathsf {f}
 _{Ph} 
\Rightarrow \overline{(f1)}
 = \overline{(f3)}
\Rightarrow \overline{(f2)}
 = \overline{(f4)}
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(s1)}
\colon \overline{(s1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(s2)}
\colon \dot{\neg}\,(\{\{\overline{(s1)}
,\overline{(s1)}
\}
,\{\overline{(s1)}
,\overline{(s2)}
\}
\}
 \mathrel{\in} 
\mathsf {f}
 _{Ph} 
)n
)n
)n
)n
\}
)
\mid 
\forall_{obj} \overline{(\epsilon)}
\colon \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {n}}
\colon \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {m}}
\colon \dot{\neg}\,(0
 <= \overline{(\epsilon)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(0
 = \overline{(\epsilon)}
)n
)n
)n
\Rightarrow \overline{
\mathsf {n}}
 <= \overline{
\mathsf {m}}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(|( \{ ph \mathrel{\in}  \{ ph \mathrel{\in} P(P(Union(\{N
,Q
\}
)
)
)
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op1)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op2)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\overline{(op1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(op2)}
 \mathrel{\in} Q
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\mathsf {a}
 _{Ph} 
 = \{\{\overline{(op1)}
,\overline{(op1)}
\}
,\{\overline{(op1)}
,\overline{(op2)}
\}
\}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\}
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \underline{
\mathsf {m}}
\colon \dot{\neg}\,(
\mathsf {e}
 _{Ph} 
 = \{\{\underline{
\mathsf {m}}
,\underline{
\mathsf {m}}
\}
,\{\underline{
\mathsf {m}}
,(\underline{(fy)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
* \{ ph \mathrel{\in}  \{ ph \mathrel{\in} P(P(Union(\{N
,Q
\}
)
)
)
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op1)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op2)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\overline{(op1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(op2)}
 \mathrel{\in} Q
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\mathsf {a}
 _{Ph} 
 = \{\{\overline{(op1)}
,\overline{(op1)}
\}
,\{\overline{(op1)}
,\overline{(op2)}
\}
\}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\}
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(crs1)}
\colon \dot{\neg}\,(
\mathsf {c}
 _{Ph} 
 = \{\{\overline{(crs1)}
,\overline{(crs1)}
\}
,\{\overline{(crs1)}
,0
\}
\}
)n
)n
\}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
)
\}
\}
)n
)n
\}
[\overline{
\mathsf {m}}
]
+(-u
\mathsf {d}
 _{Ph} 
[\overline{
\mathsf {m}}
]
)
)
|
 <= \overline{(\epsilon)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(|( \{ ph \mathrel{\in}  \{ ph \mathrel{\in} P(P(Union(\{N
,Q
\}
)
)
)
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op1)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op2)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\overline{(op1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(op2)}
 \mathrel{\in} Q
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\mathsf {a}
 _{Ph} 
 = \{\{\overline{(op1)}
,\overline{(op1)}
\}
,\{\overline{(op1)}
,\overline{(op2)}
\}
\}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\}
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \underline{
\mathsf {m}}
\colon \dot{\neg}\,(
\mathsf {e}
 _{Ph} 
 = \{\{\underline{
\mathsf {m}}
,\underline{
\mathsf {m}}
\}
,\{\underline{
\mathsf {m}}
,(\underline{(fy)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
* \{ ph \mathrel{\in}  \{ ph \mathrel{\in} P(P(Union(\{N
,Q
\}
)
)
)
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op1)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op2)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\overline{(op1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(op2)}
 \mathrel{\in} Q
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\mathsf {a}
 _{Ph} 
 = \{\{\overline{(op1)}
,\overline{(op1)}
\}
,\{\overline{(op1)}
,\overline{(op2)}
\}
\}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\}
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(crs1)}
\colon \dot{\neg}\,(
\mathsf {c}
 _{Ph} 
 = \{\{\overline{(crs1)}
,\overline{(crs1)}
\}
,\{\overline{(crs1)}
,0
\}
\}
)n
)n
\}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
)
\}
\}
)n
)n
\}
[\overline{
\mathsf {m}}
]
+(-u
\mathsf {d}
 _{Ph} 
[\overline{
\mathsf {m}}
]
)
)
|
 = \overline{(\epsilon)}
)n
)n
)n
)n
)n
\}
 =  \{ ph \mathrel{\in} P( \{ ph \mathrel{\in} P( \{ ph \mathrel{\in} P(P(Union(\{N
,Q
\}
)
)
)
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op1)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op2)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\overline{(op1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(op2)}
 \mathrel{\in} Q
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\mathsf {a}
 _{Ph} 
 = \{\{\overline{(op1)}
,\overline{(op1)}
\}
,\{\overline{(op1)}
,\overline{(op2)}
\}
\}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\}
)
\mid \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(r1)}
\colon \overline{(r1)}
 \mathrel{\in} 
\mathsf {f}
 _{Ph} 
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op1)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op2)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\overline{(op1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(op2)}
 \mathrel{\in} Q
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(r1)}
 = \{\{\overline{(op1)}
,\overline{(op1)}
\}
,\{\overline{(op1)}
,\overline{(op2)}
\}
\}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(f1)}
\colon 
\forall_{obj} \overline{(f2)}
\colon 
\forall_{obj} \overline{(f3)}
\colon 
\forall_{obj} \overline{(f4)}
\colon \{\{\overline{(f1)}
,\overline{(f1)}
\}
,\{\overline{(f1)}
,\overline{(f2)}
\}
\}
 \mathrel{\in} 
\mathsf {f}
 _{Ph} 
\Rightarrow \{\{\overline{(f3)}
,\overline{(f3)}
\}
,\{\overline{(f3)}
,\overline{(f4)}
\}
\}
 \mathrel{\in} 
\mathsf {f}
 _{Ph} 
\Rightarrow \overline{(f1)}
 = \overline{(f3)}
\Rightarrow \overline{(f2)}
 = \overline{(f4)}
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(s1)}
\colon \overline{(s1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(s2)}
\colon \dot{\neg}\,(\{\{\overline{(s1)}
,\overline{(s1)}
\}
,\{\overline{(s1)}
,\overline{(s2)}
\}
\}
 \mathrel{\in} 
\mathsf {f}
 _{Ph} 
)n
)n
)n
)n
\}
)
\mid 
\forall_{obj} \overline{(\epsilon)}
\colon \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {n}}
\colon \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {m}}
\colon \dot{\neg}\,(0
 <= \overline{(\epsilon)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(0
 = \overline{(\epsilon)}
)n
)n
)n
\Rightarrow \overline{
\mathsf {n}}
 <= \overline{
\mathsf {m}}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(|( \{ ph \mathrel{\in}  \{ ph \mathrel{\in} P(P(Union(\{N
,Q
\}
)
)
)
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op1)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op2)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\overline{(op1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(op2)}
 \mathrel{\in} Q
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\mathsf {a}
 _{Ph} 
 = \{\{\overline{(op1)}
,\overline{(op1)}
\}
,\{\overline{(op1)}
,\overline{(op2)}
\}
\}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\}
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(crs1)}
\colon \dot{\neg}\,(
\mathsf {c}
 _{Ph} 
 = \{\{\overline{(crs1)}
,\overline{(crs1)}
\}
,\{\overline{(crs1)}
,0
\}
\}
)n
)n
\}
[\overline{
\mathsf {m}}
]
+(-u
\mathsf {d}
 _{Ph} 
[\overline{
\mathsf {m}}
]
)
)
|
 <= \overline{(\epsilon)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(|( \{ ph \mathrel{\in}  \{ ph \mathrel{\in} P(P(Union(\{N
,Q
\}
)
)
)
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op1)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op2)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\overline{(op1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(op2)}
 \mathrel{\in} Q
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\mathsf {a}
 _{Ph} 
 = \{\{\overline{(op1)}
,\overline{(op1)}
\}
,\{\overline{(op1)}
,\overline{(op2)}
\}
\}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\}
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(crs1)}
\colon \dot{\neg}\,(
\mathsf {c}
 _{Ph} 
 = \{\{\overline{(crs1)}
,\overline{(crs1)}
\}
,\{\overline{(crs1)}
,0
\}
\}
)n
)n
\}
[\overline{
\mathsf {m}}
]
+(-u
\mathsf {d}
 _{Ph} 
[\overline{
\mathsf {m}}
]
)
)
|
 = \overline{(\epsilon)}
)n
)n
)n
)n
)n
\}
; ==\!{}Symmetry
\rhd  \{ ph \mathrel{\in} P( \{ ph \mathrel{\in} P( \{ ph \mathrel{\in} P(P(Union(\{N
,Q
\}
)
)
)
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op1)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op2)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\overline{(op1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(op2)}
 \mathrel{\in} Q
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\mathsf {a}
 _{Ph} 
 = \{\{\overline{(op1)}
,\overline{(op1)}
\}
,\{\overline{(op1)}
,\overline{(op2)}
\}
\}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\}
)
\mid \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(r1)}
\colon \overline{(r1)}
 \mathrel{\in} 
\mathsf {f}
 _{Ph} 
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op1)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op2)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\overline{(op1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(op2)}
 \mathrel{\in} Q
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(r1)}
 = \{\{\overline{(op1)}
,\overline{(op1)}
\}
,\{\overline{(op1)}
,\overline{(op2)}
\}
\}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(f1)}
\colon 
\forall_{obj} \overline{(f2)}
\colon 
\forall_{obj} \overline{(f3)}
\colon 
\forall_{obj} \overline{(f4)}
\colon \{\{\overline{(f1)}
,\overline{(f1)}
\}
,\{\overline{(f1)}
,\overline{(f2)}
\}
\}
 \mathrel{\in} 
\mathsf {f}
 _{Ph} 
\Rightarrow \{\{\overline{(f3)}
,\overline{(f3)}
\}
,\{\overline{(f3)}
,\overline{(f4)}
\}
\}
 \mathrel{\in} 
\mathsf {f}
 _{Ph} 
\Rightarrow \overline{(f1)}
 = \overline{(f3)}
\Rightarrow \overline{(f2)}
 = \overline{(f4)}
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(s1)}
\colon \overline{(s1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(s2)}
\colon \dot{\neg}\,(\{\{\overline{(s1)}
,\overline{(s1)}
\}
,\{\overline{(s1)}
,\overline{(s2)}
\}
\}
 \mathrel{\in} 
\mathsf {f}
 _{Ph} 
)n
)n
)n
)n
\}
)
\mid 
\forall_{obj} \overline{(\epsilon)}
\colon \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {n}}
\colon \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {m}}
\colon \dot{\neg}\,(0
 <= \overline{(\epsilon)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(0
 = \overline{(\epsilon)}
)n
)n
)n
\Rightarrow \overline{
\mathsf {n}}
 <= \overline{
\mathsf {m}}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(|( \{ ph \mathrel{\in}  \{ ph \mathrel{\in} P(P(Union(\{N
,Q
\}
)
)
)
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op1)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op2)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\overline{(op1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(op2)}
 \mathrel{\in} Q
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\mathsf {a}
 _{Ph} 
 = \{\{\overline{(op1)}
,\overline{(op1)}
\}
,\{\overline{(op1)}
,\overline{(op2)}
\}
\}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\}
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \underline{
\mathsf {m}}
\colon \dot{\neg}\,(
\mathsf {e}
 _{Ph} 
 = \{\{\underline{
\mathsf {m}}
,\underline{
\mathsf {m}}
\}
,\{\underline{
\mathsf {m}}
,(\underline{(fy)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
* \{ ph \mathrel{\in}  \{ ph \mathrel{\in} P(P(Union(\{N
,Q
\}
)
)
)
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op1)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op2)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\overline{(op1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(op2)}
 \mathrel{\in} Q
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\mathsf {a}
 _{Ph} 
 = \{\{\overline{(op1)}
,\overline{(op1)}
\}
,\{\overline{(op1)}
,\overline{(op2)}
\}
\}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\}
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(crs1)}
\colon \dot{\neg}\,(
\mathsf {c}
 _{Ph} 
 = \{\{\overline{(crs1)}
,\overline{(crs1)}
\}
,\{\overline{(crs1)}
,0
\}
\}
)n
)n
\}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
)
\}
\}
)n
)n
\}
[\overline{
\mathsf {m}}
]
+(-u
\mathsf {d}
 _{Ph} 
[\overline{
\mathsf {m}}
]
)
)
|
 <= \overline{(\epsilon)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(|( \{ ph \mathrel{\in}  \{ ph \mathrel{\in} P(P(Union(\{N
,Q
\}
)
)
)
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op1)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op2)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\overline{(op1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(op2)}
 \mathrel{\in} Q
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\mathsf {a}
 _{Ph} 
 = \{\{\overline{(op1)}
,\overline{(op1)}
\}
,\{\overline{(op1)}
,\overline{(op2)}
\}
\}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\}
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \underline{
\mathsf {m}}
\colon \dot{\neg}\,(
\mathsf {e}
 _{Ph} 
 = \{\{\underline{
\mathsf {m}}
,\underline{
\mathsf {m}}
\}
,\{\underline{
\mathsf {m}}
,(\underline{(fy)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
* \{ ph \mathrel{\in}  \{ ph \mathrel{\in} P(P(Union(\{N
,Q
\}
)
)
)
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op1)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op2)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\overline{(op1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(op2)}
 \mathrel{\in} Q
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\mathsf {a}
 _{Ph} 
 = \{\{\overline{(op1)}
,\overline{(op1)}
\}
,\{\overline{(op1)}
,\overline{(op2)}
\}
\}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\}
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(crs1)}
\colon \dot{\neg}\,(
\mathsf {c}
 _{Ph} 
 = \{\{\overline{(crs1)}
,\overline{(crs1)}
\}
,\{\overline{(crs1)}
,0
\}
\}
)n
)n
\}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
)
\}
\}
)n
)n
\}
[\overline{
\mathsf {m}}
]
+(-u
\mathsf {d}
 _{Ph} 
[\overline{
\mathsf {m}}
]
)
)
|
 = \overline{(\epsilon)}
)n
)n
)n
)n
)n
\}
 =  \{ ph \mathrel{\in} P( \{ ph \mathrel{\in} P( \{ ph \mathrel{\in} P(P(Union(\{N
,Q
\}
)
)
)
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op1)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op2)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\overline{(op1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(op2)}
 \mathrel{\in} Q
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\mathsf {a}
 _{Ph} 
 = \{\{\overline{(op1)}
,\overline{(op1)}
\}
,\{\overline{(op1)}
,\overline{(op2)}
\}
\}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\}
)
\mid \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(r1)}
\colon \overline{(r1)}
 \mathrel{\in} 
\mathsf {f}
 _{Ph} 
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op1)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op2)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\overline{(op1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(op2)}
 \mathrel{\in} Q
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(r1)}
 = \{\{\overline{(op1)}
,\overline{(op1)}
\}
,\{\overline{(op1)}
,\overline{(op2)}
\}
\}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(f1)}
\colon 
\forall_{obj} \overline{(f2)}
\colon 
\forall_{obj} \overline{(f3)}
\colon 
\forall_{obj} \overline{(f4)}
\colon \{\{\overline{(f1)}
,\overline{(f1)}
\}
,\{\overline{(f1)}
,\overline{(f2)}
\}
\}
 \mathrel{\in} 
\mathsf {f}
 _{Ph} 
\Rightarrow \{\{\overline{(f3)}
,\overline{(f3)}
\}
,\{\overline{(f3)}
,\overline{(f4)}
\}
\}
 \mathrel{\in} 
\mathsf {f}
 _{Ph} 
\Rightarrow \overline{(f1)}
 = \overline{(f3)}
\Rightarrow \overline{(f2)}
 = \overline{(f4)}
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(s1)}
\colon \overline{(s1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(s2)}
\colon \dot{\neg}\,(\{\{\overline{(s1)}
,\overline{(s1)}
\}
,\{\overline{(s1)}
,\overline{(s2)}
\}
\}
 \mathrel{\in} 
\mathsf {f}
 _{Ph} 
)n
)n
)n
)n
\}
)
\mid 
\forall_{obj} \overline{(\epsilon)}
\colon \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {n}}
\colon \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {m}}
\colon \dot{\neg}\,(0
 <= \overline{(\epsilon)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(0
 = \overline{(\epsilon)}
)n
)n
)n
\Rightarrow \overline{
\mathsf {n}}
 <= \overline{
\mathsf {m}}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(|( \{ ph \mathrel{\in}  \{ ph \mathrel{\in} P(P(Union(\{N
,Q
\}
)
)
)
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op1)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op2)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\overline{(op1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(op2)}
 \mathrel{\in} Q
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\mathsf {a}
 _{Ph} 
 = \{\{\overline{(op1)}
,\overline{(op1)}
\}
,\{\overline{(op1)}
,\overline{(op2)}
\}
\}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\}
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(crs1)}
\colon \dot{\neg}\,(
\mathsf {c}
 _{Ph} 
 = \{\{\overline{(crs1)}
,\overline{(crs1)}
\}
,\{\overline{(crs1)}
,0
\}
\}
)n
)n
\}
[\overline{
\mathsf {m}}
]
+(-u
\mathsf {d}
 _{Ph} 
[\overline{
\mathsf {m}}
]
)
)
|
 <= \overline{(\epsilon)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(|( \{ ph \mathrel{\in}  \{ ph \mathrel{\in} P(P(Union(\{N
,Q
\}
)
)
)
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op1)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op2)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\overline{(op1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(op2)}
 \mathrel{\in} Q
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\mathsf {a}
 _{Ph} 
 = \{\{\overline{(op1)}
,\overline{(op1)}
\}
,\{\overline{(op1)}
,\overline{(op2)}
\}
\}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\}
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(crs1)}
\colon \dot{\neg}\,(
\mathsf {c}
 _{Ph} 
 = \{\{\overline{(crs1)}
,\overline{(crs1)}
\}
,\{\overline{(crs1)}
,0
\}
\}
)n
)n
\}
[\overline{
\mathsf {m}}
]
+(-u
\mathsf {d}
 _{Ph} 
[\overline{
\mathsf {m}}
]
)
)
|
 = \overline{(\epsilon)}
)n
)n
)n
)n
)n
\}
\gg  \{ ph \mathrel{\in} P( \{ ph \mathrel{\in} P( \{ ph \mathrel{\in} P(P(Union(\{N
,Q
\}
)
)
)
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op1)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op2)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\overline{(op1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(op2)}
 \mathrel{\in} Q
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\mathsf {a}
 _{Ph} 
 = \{\{\overline{(op1)}
,\overline{(op1)}
\}
,\{\overline{(op1)}
,\overline{(op2)}
\}
\}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\}
)
\mid \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(r1)}
\colon \overline{(r1)}
 \mathrel{\in} 
\mathsf {f}
 _{Ph} 
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op1)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op2)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\overline{(op1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(op2)}
 \mathrel{\in} Q
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(r1)}
 = \{\{\overline{(op1)}
,\overline{(op1)}
\}
,\{\overline{(op1)}
,\overline{(op2)}
\}
\}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(f1)}
\colon 
\forall_{obj} \overline{(f2)}
\colon 
\forall_{obj} \overline{(f3)}
\colon 
\forall_{obj} \overline{(f4)}
\colon \{\{\overline{(f1)}
,\overline{(f1)}
\}
,\{\overline{(f1)}
,\overline{(f2)}
\}
\}
 \mathrel{\in} 
\mathsf {f}
 _{Ph} 
\Rightarrow \{\{\overline{(f3)}
,\overline{(f3)}
\}
,\{\overline{(f3)}
,\overline{(f4)}
\}
\}
 \mathrel{\in} 
\mathsf {f}
 _{Ph} 
\Rightarrow \overline{(f1)}
 = \overline{(f3)}
\Rightarrow \overline{(f2)}
 = \overline{(f4)}
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(s1)}
\colon \overline{(s1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(s2)}
\colon \dot{\neg}\,(\{\{\overline{(s1)}
,\overline{(s1)}
\}
,\{\overline{(s1)}
,\overline{(s2)}
\}
\}
 \mathrel{\in} 
\mathsf {f}
 _{Ph} 
)n
)n
)n
)n
\}
)
\mid 
\forall_{obj} \overline{(\epsilon)}
\colon \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {n}}
\colon \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {m}}
\colon \dot{\neg}\,(0
 <= \overline{(\epsilon)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(0
 = \overline{(\epsilon)}
)n
)n
)n
\Rightarrow \overline{
\mathsf {n}}
 <= \overline{
\mathsf {m}}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(|( \{ ph \mathrel{\in}  \{ ph \mathrel{\in} P(P(Union(\{N
,Q
\}
)
)
)
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op1)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op2)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\overline{(op1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(op2)}
 \mathrel{\in} Q
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\mathsf {a}
 _{Ph} 
 = \{\{\overline{(op1)}
,\overline{(op1)}
\}
,\{\overline{(op1)}
,\overline{(op2)}
\}
\}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\}
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(crs1)}
\colon \dot{\neg}\,(
\mathsf {c}
 _{Ph} 
 = \{\{\overline{(crs1)}
,\overline{(crs1)}
\}
,\{\overline{(crs1)}
,0
\}
\}
)n
)n
\}
[\overline{
\mathsf {m}}
]
+(-u
\mathsf {d}
 _{Ph} 
[\overline{
\mathsf {m}}
]
)
)
|
 <= \overline{(\epsilon)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(|( \{ ph \mathrel{\in}  \{ ph \mathrel{\in} P(P(Union(\{N
,Q
\}
)
)
)
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op1)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op2)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\overline{(op1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(op2)}
 \mathrel{\in} Q
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\mathsf {a}
 _{Ph} 
 = \{\{\overline{(op1)}
,\overline{(op1)}
\}
,\{\overline{(op1)}
,\overline{(op2)}
\}
\}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\}
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(crs1)}
\colon \dot{\neg}\,(
\mathsf {c}
 _{Ph} 
 = \{\{\overline{(crs1)}
,\overline{(crs1)}
\}
,\{\overline{(crs1)}
,0
\}
\}
)n
)n
\}
[\overline{
\mathsf {m}}
]
+(-u
\mathsf {d}
 _{Ph} 
[\overline{
\mathsf {m}}
]
)
)
|
 = \overline{(\epsilon)}
)n
)n
)n
)n
)n
\}
 =  \{ ph \mathrel{\in} P( \{ ph \mathrel{\in} P( \{ ph \mathrel{\in} P(P(Union(\{N
,Q
\}
)
)
)
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op1)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op2)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\overline{(op1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(op2)}
 \mathrel{\in} Q
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\mathsf {a}
 _{Ph} 
 = \{\{\overline{(op1)}
,\overline{(op1)}
\}
,\{\overline{(op1)}
,\overline{(op2)}
\}
\}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\}
)
\mid \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(r1)}
\colon \overline{(r1)}
 \mathrel{\in} 
\mathsf {f}
 _{Ph} 
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op1)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op2)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\overline{(op1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(op2)}
 \mathrel{\in} Q
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(r1)}
 = \{\{\overline{(op1)}
,\overline{(op1)}
\}
,\{\overline{(op1)}
,\overline{(op2)}
\}
\}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(f1)}
\colon 
\forall_{obj} \overline{(f2)}
\colon 
\forall_{obj} \overline{(f3)}
\colon 
\forall_{obj} \overline{(f4)}
\colon \{\{\overline{(f1)}
,\overline{(f1)}
\}
,\{\overline{(f1)}
,\overline{(f2)}
\}
\}
 \mathrel{\in} 
\mathsf {f}
 _{Ph} 
\Rightarrow \{\{\overline{(f3)}
,\overline{(f3)}
\}
,\{\overline{(f3)}
,\overline{(f4)}
\}
\}
 \mathrel{\in} 
\mathsf {f}
 _{Ph} 
\Rightarrow \overline{(f1)}
 = \overline{(f3)}
\Rightarrow \overline{(f2)}
 = \overline{(f4)}
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(s1)}
\colon \overline{(s1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(s2)}
\colon \dot{\neg}\,(\{\{\overline{(s1)}
,\overline{(s1)}
\}
,\{\overline{(s1)}
,\overline{(s2)}
\}
\}
 \mathrel{\in} 
\mathsf {f}
 _{Ph} 
)n
)n
)n
)n
\}
)
\mid 
\forall_{obj} \overline{(\epsilon)}
\colon \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {n}}
\colon \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {m}}
\colon \dot{\neg}\,(0
 <= \overline{(\epsilon)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(0
 = \overline{(\epsilon)}
)n
)n
)n
\Rightarrow \overline{
\mathsf {n}}
 <= \overline{
\mathsf {m}}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(|( \{ ph \mathrel{\in}  \{ ph \mathrel{\in} P(P(Union(\{N
,Q
\}
)
)
)
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op1)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op2)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\overline{(op1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(op2)}
 \mathrel{\in} Q
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\mathsf {a}
 _{Ph} 
 = \{\{\overline{(op1)}
,\overline{(op1)}
\}
,\{\overline{(op1)}
,\overline{(op2)}
\}
\}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\}
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \underline{
\mathsf {m}}
\colon \dot{\neg}\,(
\mathsf {e}
 _{Ph} 
 = \{\{\underline{
\mathsf {m}}
,\underline{
\mathsf {m}}
\}
,\{\underline{
\mathsf {m}}
,(\underline{(fy)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
* \{ ph \mathrel{\in}  \{ ph \mathrel{\in} P(P(Union(\{N
,Q
\}
)
)
)
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op1)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op2)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\overline{(op1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(op2)}
 \mathrel{\in} Q
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\mathsf {a}
 _{Ph} 
 = \{\{\overline{(op1)}
,\overline{(op1)}
\}
,\{\overline{(op1)}
,\overline{(op2)}
\}
\}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\}
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(crs1)}
\colon \dot{\neg}\,(
\mathsf {c}
 _{Ph} 
 = \{\{\overline{(crs1)}
,\overline{(crs1)}
\}
,\{\overline{(crs1)}
,0
\}
\}
)n
)n
\}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
)
\}
\}
)n
)n
\}
[\overline{
\mathsf {m}}
]
+(-u
\mathsf {d}
 _{Ph} 
[\overline{
\mathsf {m}}
]
)
)
|
 <= \overline{(\epsilon)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(|( \{ ph \mathrel{\in}  \{ ph \mathrel{\in} P(P(Union(\{N
,Q
\}
)
)
)
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op1)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op2)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\overline{(op1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(op2)}
 \mathrel{\in} Q
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\mathsf {a}
 _{Ph} 
 = \{\{\overline{(op1)}
,\overline{(op1)}
\}
,\{\overline{(op1)}
,\overline{(op2)}
\}
\}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\}
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \underline{
\mathsf {m}}
\colon \dot{\neg}\,(
\mathsf {e}
 _{Ph} 
 = \{\{\underline{
\mathsf {m}}
,\underline{
\mathsf {m}}
\}
,\{\underline{
\mathsf {m}}
,(\underline{(fy)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
* \{ ph \mathrel{\in}  \{ ph \mathrel{\in} P(P(Union(\{N
,Q
\}
)
)
)
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op1)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op2)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\overline{(op1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(op2)}
 \mathrel{\in} Q
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\mathsf {a}
 _{Ph} 
 = \{\{\overline{(op1)}
,\overline{(op1)}
\}
,\{\overline{(op1)}
,\overline{(op2)}
\}
\}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\}
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(crs1)}
\colon \dot{\neg}\,(
\mathsf {c}
 _{Ph} 
 = \{\{\overline{(crs1)}
,\overline{(crs1)}
\}
,\{\overline{(crs1)}
,0
\}
\}
)n
)n
\}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
)
\}
\}
)n
)n
\}
[\overline{
\mathsf {m}}
]
+(-u
\mathsf {d}
 _{Ph} 
[\overline{
\mathsf {m}}
]
)
)
|
 = \overline{(\epsilon)}
)n
)n
)n
)n
)n
\}
; EqMultiplicationLeft(R)
\rhd  \{ ph \mathrel{\in} P( \{ ph \mathrel{\in} P( \{ ph \mathrel{\in} P(P(Union(\{N
,Q
\}
)
)
)
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op1)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op2)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\overline{(op1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(op2)}
 \mathrel{\in} Q
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\mathsf {a}
 _{Ph} 
 = \{\{\overline{(op1)}
,\overline{(op1)}
\}
,\{\overline{(op1)}
,\overline{(op2)}
\}
\}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\}
)
\mid \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(r1)}
\colon \overline{(r1)}
 \mathrel{\in} 
\mathsf {f}
 _{Ph} 
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op1)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op2)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\overline{(op1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(op2)}
 \mathrel{\in} Q
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(r1)}
 = \{\{\overline{(op1)}
,\overline{(op1)}
\}
,\{\overline{(op1)}
,\overline{(op2)}
\}
\}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(f1)}
\colon 
\forall_{obj} \overline{(f2)}
\colon 
\forall_{obj} \overline{(f3)}
\colon 
\forall_{obj} \overline{(f4)}
\colon \{\{\overline{(f1)}
,\overline{(f1)}
\}
,\{\overline{(f1)}
,\overline{(f2)}
\}
\}
 \mathrel{\in} 
\mathsf {f}
 _{Ph} 
\Rightarrow \{\{\overline{(f3)}
,\overline{(f3)}
\}
,\{\overline{(f3)}
,\overline{(f4)}
\}
\}
 \mathrel{\in} 
\mathsf {f}
 _{Ph} 
\Rightarrow \overline{(f1)}
 = \overline{(f3)}
\Rightarrow \overline{(f2)}
 = \overline{(f4)}
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(s1)}
\colon \overline{(s1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(s2)}
\colon \dot{\neg}\,(\{\{\overline{(s1)}
,\overline{(s1)}
\}
,\{\overline{(s1)}
,\overline{(s2)}
\}
\}
 \mathrel{\in} 
\mathsf {f}
 _{Ph} 
)n
)n
)n
)n
\}
)
\mid 
\forall_{obj} \overline{(\epsilon)}
\colon \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {n}}
\colon \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {m}}
\colon \dot{\neg}\,(0
 <= \overline{(\epsilon)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(0
 = \overline{(\epsilon)}
)n
)n
)n
\Rightarrow \overline{
\mathsf {n}}
 <= \overline{
\mathsf {m}}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(|( \{ ph \mathrel{\in}  \{ ph \mathrel{\in} P(P(Union(\{N
,Q
\}
)
)
)
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op1)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op2)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\overline{(op1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(op2)}
 \mathrel{\in} Q
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\mathsf {a}
 _{Ph} 
 = \{\{\overline{(op1)}
,\overline{(op1)}
\}
,\{\overline{(op1)}
,\overline{(op2)}
\}
\}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\}
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(crs1)}
\colon \dot{\neg}\,(
\mathsf {c}
 _{Ph} 
 = \{\{\overline{(crs1)}
,\overline{(crs1)}
\}
,\{\overline{(crs1)}
,0
\}
\}
)n
)n
\}
[\overline{
\mathsf {m}}
]
+(-u
\mathsf {d}
 _{Ph} 
[\overline{
\mathsf {m}}
]
)
)
|
 <= \overline{(\epsilon)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(|( \{ ph \mathrel{\in}  \{ ph \mathrel{\in} P(P(Union(\{N
,Q
\}
)
)
)
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op1)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op2)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\overline{(op1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(op2)}
 \mathrel{\in} Q
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\mathsf {a}
 _{Ph} 
 = \{\{\overline{(op1)}
,\overline{(op1)}
\}
,\{\overline{(op1)}
,\overline{(op2)}
\}
\}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\}
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(crs1)}
\colon \dot{\neg}\,(
\mathsf {c}
 _{Ph} 
 = \{\{\overline{(crs1)}
,\overline{(crs1)}
\}
,\{\overline{(crs1)}
,0
\}
\}
)n
)n
\}
[\overline{
\mathsf {m}}
]
+(-u
\mathsf {d}
 _{Ph} 
[\overline{
\mathsf {m}}
]
)
)
|
 = \overline{(\epsilon)}
)n
)n
)n
)n
)n
\}
 =  \{ ph \mathrel{\in} P( \{ ph \mathrel{\in} P( \{ ph \mathrel{\in} P(P(Union(\{N
,Q
\}
)
)
)
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op1)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op2)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\overline{(op1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(op2)}
 \mathrel{\in} Q
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\mathsf {a}
 _{Ph} 
 = \{\{\overline{(op1)}
,\overline{(op1)}
\}
,\{\overline{(op1)}
,\overline{(op2)}
\}
\}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\}
)
\mid \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(r1)}
\colon \overline{(r1)}
 \mathrel{\in} 
\mathsf {f}
 _{Ph} 
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op1)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op2)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\overline{(op1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(op2)}
 \mathrel{\in} Q
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(r1)}
 = \{\{\overline{(op1)}
,\overline{(op1)}
\}
,\{\overline{(op1)}
,\overline{(op2)}
\}
\}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(f1)}
\colon 
\forall_{obj} \overline{(f2)}
\colon 
\forall_{obj} \overline{(f3)}
\colon 
\forall_{obj} \overline{(f4)}
\colon \{\{\overline{(f1)}
,\overline{(f1)}
\}
,\{\overline{(f1)}
,\overline{(f2)}
\}
\}
 \mathrel{\in} 
\mathsf {f}
 _{Ph} 
\Rightarrow \{\{\overline{(f3)}
,\overline{(f3)}
\}
,\{\overline{(f3)}
,\overline{(f4)}
\}
\}
 \mathrel{\in} 
\mathsf {f}
 _{Ph} 
\Rightarrow \overline{(f1)}
 = \overline{(f3)}
\Rightarrow \overline{(f2)}
 = \overline{(f4)}
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(s1)}
\colon \overline{(s1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(s2)}
\colon \dot{\neg}\,(\{\{\overline{(s1)}
,\overline{(s1)}
\}
,\{\overline{(s1)}
,\overline{(s2)}
\}
\}
 \mathrel{\in} 
\mathsf {f}
 _{Ph} 
)n
)n
)n
)n
\}
)
\mid 
\forall_{obj} \overline{(\epsilon)}
\colon \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {n}}
\colon \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {m}}
\colon \dot{\neg}\,(0
 <= \overline{(\epsilon)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(0
 = \overline{(\epsilon)}
)n
)n
)n
\Rightarrow \overline{
\mathsf {n}}
 <= \overline{
\mathsf {m}}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(|(\underline{(fz)}
[\overline{
\mathsf {m}}
]
+(-u
\mathsf {d}
 _{Ph} 
[\overline{
\mathsf {m}}
]
)
)
|
 <= \overline{(\epsilon)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(|(\underline{(fz)}
[\overline{
\mathsf {m}}
]
+(-u
\mathsf {d}
 _{Ph} 
[\overline{
\mathsf {m}}
]
)
)
|
 = \overline{(\epsilon)}
)n
)n
)n
)n
)n
\}
\gg  \{ ph \mathrel{\in} P( \{ ph \mathrel{\in} P( \{ ph \mathrel{\in} P(P(Union(\{N
,Q
\}
)
)
)
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op1)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op2)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\overline{(op1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(op2)}
 \mathrel{\in} Q
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\mathsf {a}
 _{Ph} 
 = \{\{\overline{(op1)}
,\overline{(op1)}
\}
,\{\overline{(op1)}
,\overline{(op2)}
\}
\}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\}
)
\mid \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(r1)}
\colon \overline{(r1)}
 \mathrel{\in} 
\mathsf {f}
 _{Ph} 
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op1)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op2)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\overline{(op1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(op2)}
 \mathrel{\in} Q
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(r1)}
 = \{\{\overline{(op1)}
,\overline{(op1)}
\}
,\{\overline{(op1)}
,\overline{(op2)}
\}
\}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(f1)}
\colon 
\forall_{obj} \overline{(f2)}
\colon 
\forall_{obj} \overline{(f3)}
\colon 
\forall_{obj} \overline{(f4)}
\colon \{\{\overline{(f1)}
,\overline{(f1)}
\}
,\{\overline{(f1)}
,\overline{(f2)}
\}
\}
 \mathrel{\in} 
\mathsf {f}
 _{Ph} 
\Rightarrow \{\{\overline{(f3)}
,\overline{(f3)}
\}
,\{\overline{(f3)}
,\overline{(f4)}
\}
\}
 \mathrel{\in} 
\mathsf {f}
 _{Ph} 
\Rightarrow \overline{(f1)}
 = \overline{(f3)}
\Rightarrow \overline{(f2)}
 = \overline{(f4)}
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(s1)}
\colon \overline{(s1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(s2)}
\colon \dot{\neg}\,(\{\{\overline{(s1)}
,\overline{(s1)}
\}
,\{\overline{(s1)}
,\overline{(s2)}
\}
\}
 \mathrel{\in} 
\mathsf {f}
 _{Ph} 
)n
)n
)n
)n
\}
)
\mid 
\forall_{obj} \overline{(\epsilon)}
\colon \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {n}}
\colon \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {m}}
\colon \dot{\neg}\,(0
 <= \overline{(\epsilon)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(0
 = \overline{(\epsilon)}
)n
)n
)n
\Rightarrow \overline{
\mathsf {n}}
 <= \overline{
\mathsf {m}}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(|( \{ ph \mathrel{\in}  \{ ph \mathrel{\in} P(P(Union(\{N
,Q
\}
)
)
)
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op1)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op2)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\overline{(op1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(op2)}
 \mathrel{\in} Q
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\mathsf {a}
 _{Ph} 
 = \{\{\overline{(op1)}
,\overline{(op1)}
\}
,\{\overline{(op1)}
,\overline{(op2)}
\}
\}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\}
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \underline{
\mathsf {m}}
\colon \dot{\neg}\,(
\mathsf {e}
 _{Ph} 
 = \{\{\underline{
\mathsf {m}}
,\underline{
\mathsf {m}}
\}
,\{\underline{
\mathsf {m}}
,(\underline{(fy)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
* \{ ph \mathrel{\in}  \{ ph \mathrel{\in} P(P(Union(\{N
,Q
\}
)
)
)
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op1)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op2)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\overline{(op1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(op2)}
 \mathrel{\in} Q
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\mathsf {a}
 _{Ph} 
 = \{\{\overline{(op1)}
,\overline{(op1)}
\}
,\{\overline{(op1)}
,\overline{(op2)}
\}
\}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\}
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(crs1)}
\colon \dot{\neg}\,(
\mathsf {c}
 _{Ph} 
 = \{\{\overline{(crs1)}
,\overline{(crs1)}
\}
,\{\overline{(crs1)}
,0
\}
\}
)n
)n
\}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
)
\}
\}
)n
)n
\}
[\overline{
\mathsf {m}}
]
+(-u
\mathsf {d}
 _{Ph} 
[\overline{
\mathsf {m}}
]
)
)
|
 <= \overline{(\epsilon)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(|( \{ ph \mathrel{\in}  \{ ph \mathrel{\in} P(P(Union(\{N
,Q
\}
)
)
)
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op1)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op2)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\overline{(op1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(op2)}
 \mathrel{\in} Q
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\mathsf {a}
 _{Ph} 
 = \{\{\overline{(op1)}
,\overline{(op1)}
\}
,\{\overline{(op1)}
,\overline{(op2)}
\}
\}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\}
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \underline{
\mathsf {m}}
\colon \dot{\neg}\,(
\mathsf {e}
 _{Ph} 
 = \{\{\underline{
\mathsf {m}}
,\underline{
\mathsf {m}}
\}
,\{\underline{
\mathsf {m}}
,(\underline{(fy)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
* \{ ph \mathrel{\in}  \{ ph \mathrel{\in} P(P(Union(\{N
,Q
\}
)
)
)
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op1)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op2)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\overline{(op1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(op2)}
 \mathrel{\in} Q
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\mathsf {a}
 _{Ph} 
 = \{\{\overline{(op1)}
,\overline{(op1)}
\}
,\{\overline{(op1)}
,\overline{(op2)}
\}
\}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\}
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(crs1)}
\colon \dot{\neg}\,(
\mathsf {c}
 _{Ph} 
 = \{\{\overline{(crs1)}
,\overline{(crs1)}
\}
,\{\overline{(crs1)}
,0
\}
\}
)n
)n
\}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
)
\}
\}
)n
)n
\}
[\overline{
\mathsf {m}}
]
+(-u
\mathsf {d}
 _{Ph} 
[\overline{
\mathsf {m}}
]
)
)
|
 = \overline{(\epsilon)}
)n
)n
)n
)n
)n
\}
 =  \{ ph \mathrel{\in} P( \{ ph \mathrel{\in} P( \{ ph \mathrel{\in} P(P(Union(\{N
,Q
\}
)
)
)
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op1)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op2)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\overline{(op1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(op2)}
 \mathrel{\in} Q
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\mathsf {a}
 _{Ph} 
 = \{\{\overline{(op1)}
,\overline{(op1)}
\}
,\{\overline{(op1)}
,\overline{(op2)}
\}
\}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\}
)
\mid \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(r1)}
\colon \overline{(r1)}
 \mathrel{\in} 
\mathsf {f}
 _{Ph} 
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op1)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op2)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\overline{(op1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(op2)}
 \mathrel{\in} Q
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(r1)}
 = \{\{\overline{(op1)}
,\overline{(op1)}
\}
,\{\overline{(op1)}
,\overline{(op2)}
\}
\}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(f1)}
\colon 
\forall_{obj} \overline{(f2)}
\colon 
\forall_{obj} \overline{(f3)}
\colon 
\forall_{obj} \overline{(f4)}
\colon \{\{\overline{(f1)}
,\overline{(f1)}
\}
,\{\overline{(f1)}
,\overline{(f2)}
\}
\}
 \mathrel{\in} 
\mathsf {f}
 _{Ph} 
\Rightarrow \{\{\overline{(f3)}
,\overline{(f3)}
\}
,\{\overline{(f3)}
,\overline{(f4)}
\}
\}
 \mathrel{\in} 
\mathsf {f}
 _{Ph} 
\Rightarrow \overline{(f1)}
 = \overline{(f3)}
\Rightarrow \overline{(f2)}
 = \overline{(f4)}
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(s1)}
\colon \overline{(s1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(s2)}
\colon \dot{\neg}\,(\{\{\overline{(s1)}
,\overline{(s1)}
\}
,\{\overline{(s1)}
,\overline{(s2)}
\}
\}
 \mathrel{\in} 
\mathsf {f}
 _{Ph} 
)n
)n
)n
)n
\}
)
\mid 
\forall_{obj} \overline{(\epsilon)}
\colon \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {n}}
\colon \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {m}}
\colon \dot{\neg}\,(0
 <= \overline{(\epsilon)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(0
 = \overline{(\epsilon)}
)n
)n
)n
\Rightarrow \overline{
\mathsf {n}}
 <= \overline{
\mathsf {m}}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(|( \{ ph \mathrel{\in}  \{ ph \mathrel{\in} P(P(Union(\{N
,Q
\}
)
)
)
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op1)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op2)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\overline{(op1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(op2)}
 \mathrel{\in} Q
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\mathsf {a}
 _{Ph} 
 = \{\{\overline{(op1)}
,\overline{(op1)}
\}
,\{\overline{(op1)}
,\overline{(op2)}
\}
\}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\}
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \underline{
\mathsf {m}}
\colon \dot{\neg}\,(
\mathsf {e}
 _{Ph} 
 = \{\{\underline{
\mathsf {m}}
,\underline{
\mathsf {m}}
\}
,\{\underline{
\mathsf {m}}
,(\underline{(fy)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
*\underline{(fz)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
)
\}
\}
)n
)n
\}
[\overline{
\mathsf {m}}
]
+(-u
\mathsf {d}
 _{Ph} 
[\overline{
\mathsf {m}}
]
)
)
|
 <= \overline{(\epsilon)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(|( \{ ph \mathrel{\in}  \{ ph \mathrel{\in} P(P(Union(\{N
,Q
\}
)
)
)
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op1)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op2)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\overline{(op1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(op2)}
 \mathrel{\in} Q
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\mathsf {a}
 _{Ph} 
 = \{\{\overline{(op1)}
,\overline{(op1)}
\}
,\{\overline{(op1)}
,\overline{(op2)}
\}
\}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\}
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \underline{
\mathsf {m}}
\colon \dot{\neg}\,(
\mathsf {e}
 _{Ph} 
 = \{\{\underline{
\mathsf {m}}
,\underline{
\mathsf {m}}
\}
,\{\underline{
\mathsf {m}}
,(\underline{(fy)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
*\underline{(fz)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
)
\}
\}
)n
)n
\}
[\overline{
\mathsf {m}}
]
+(-u
\mathsf {d}
 _{Ph} 
[\overline{
\mathsf {m}}
]
)
)
|
 = \overline{(\epsilon)}
)n
)n
)n
)n
)n
\}
; \!{}==\!{}Transitivity
\rhd  \{ ph \mathrel{\in} P( \{ ph \mathrel{\in} P( \{ ph \mathrel{\in} P(P(Union(\{N
,Q
\}
)
)
)
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op1)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op2)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\overline{(op1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(op2)}
 \mathrel{\in} Q
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\mathsf {a}
 _{Ph} 
 = \{\{\overline{(op1)}
,\overline{(op1)}
\}
,\{\overline{(op1)}
,\overline{(op2)}
\}
\}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\}
)
\mid \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(r1)}
\colon \overline{(r1)}
 \mathrel{\in} 
\mathsf {f}
 _{Ph} 
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op1)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op2)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\overline{(op1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(op2)}
 \mathrel{\in} Q
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(r1)}
 = \{\{\overline{(op1)}
,\overline{(op1)}
\}
,\{\overline{(op1)}
,\overline{(op2)}
\}
\}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(f1)}
\colon 
\forall_{obj} \overline{(f2)}
\colon 
\forall_{obj} \overline{(f3)}
\colon 
\forall_{obj} \overline{(f4)}
\colon \{\{\overline{(f1)}
,\overline{(f1)}
\}
,\{\overline{(f1)}
,\overline{(f2)}
\}
\}
 \mathrel{\in} 
\mathsf {f}
 _{Ph} 
\Rightarrow \{\{\overline{(f3)}
,\overline{(f3)}
\}
,\{\overline{(f3)}
,\overline{(f4)}
\}
\}
 \mathrel{\in} 
\mathsf {f}
 _{Ph} 
\Rightarrow \overline{(f1)}
 = \overline{(f3)}
\Rightarrow \overline{(f2)}
 = \overline{(f4)}
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(s1)}
\colon \overline{(s1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(s2)}
\colon \dot{\neg}\,(\{\{\overline{(s1)}
,\overline{(s1)}
\}
,\{\overline{(s1)}
,\overline{(s2)}
\}
\}
 \mathrel{\in} 
\mathsf {f}
 _{Ph} 
)n
)n
)n
)n
\}
)
\mid 
\forall_{obj} \overline{(\epsilon)}
\colon \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {n}}
\colon \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {m}}
\colon \dot{\neg}\,(0
 <= \overline{(\epsilon)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(0
 = \overline{(\epsilon)}
)n
)n
)n
\Rightarrow \overline{
\mathsf {n}}
 <= \overline{
\mathsf {m}}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(|( \{ ph \mathrel{\in}  \{ ph \mathrel{\in} P(P(Union(\{N
,Q
\}
)
)
)
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op1)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op2)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\overline{(op1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(op2)}
 \mathrel{\in} Q
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\mathsf {a}
 _{Ph} 
 = \{\{\overline{(op1)}
,\overline{(op1)}
\}
,\{\overline{(op1)}
,\overline{(op2)}
\}
\}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\}
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \underline{
\mathsf {m}}
\colon \dot{\neg}\,(
\mathsf {e}
 _{Ph} 
 = \{\{\underline{
\mathsf {m}}
,\underline{
\mathsf {m}}
\}
,\{\underline{
\mathsf {m}}
,(\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
*\underline{(fz)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
)
\}
\}
)n
)n
\}
[\overline{
\mathsf {m}}
]
+(-u
\mathsf {d}
 _{Ph} 
[\overline{
\mathsf {m}}
]
)
)
|
 <= \overline{(\epsilon)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(|( \{ ph \mathrel{\in}  \{ ph \mathrel{\in} P(P(Union(\{N
,Q
\}
)
)
)
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op1)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op2)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\overline{(op1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(op2)}
 \mathrel{\in} Q
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\mathsf {a}
 _{Ph} 
 = \{\{\overline{(op1)}
,\overline{(op1)}
\}
,\{\overline{(op1)}
,\overline{(op2)}
\}
\}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\}
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \underline{
\mathsf {m}}
\colon \dot{\neg}\,(
\mathsf {e}
 _{Ph} 
 = \{\{\underline{
\mathsf {m}}
,\underline{
\mathsf {m}}
\}
,\{\underline{
\mathsf {m}}
,(\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
*\underline{(fz)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
)
\}
\}
)n
)n
\}
[\overline{
\mathsf {m}}
]
+(-u
\mathsf {d}
 _{Ph} 
[\overline{
\mathsf {m}}
]
)
)
|
 = \overline{(\epsilon)}
)n
)n
)n
)n
)n
\}
 =  \{ ph \mathrel{\in} P( \{ ph \mathrel{\in} P( \{ ph \mathrel{\in} P(P(Union(\{N
,Q
\}
)
)
)
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op1)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op2)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\overline{(op1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(op2)}
 \mathrel{\in} Q
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\mathsf {a}
 _{Ph} 
 = \{\{\overline{(op1)}
,\overline{(op1)}
\}
,\{\overline{(op1)}
,\overline{(op2)}
\}
\}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\}
)
\mid \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(r1)}
\colon \overline{(r1)}
 \mathrel{\in} 
\mathsf {f}
 _{Ph} 
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op1)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op2)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\overline{(op1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(op2)}
 \mathrel{\in} Q
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(r1)}
 = \{\{\overline{(op1)}
,\overline{(op1)}
\}
,\{\overline{(op1)}
,\overline{(op2)}
\}
\}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(f1)}
\colon 
\forall_{obj} \overline{(f2)}
\colon 
\forall_{obj} \overline{(f3)}
\colon 
\forall_{obj} \overline{(f4)}
\colon \{\{\overline{(f1)}
,\overline{(f1)}
\}
,\{\overline{(f1)}
,\overline{(f2)}
\}
\}
 \mathrel{\in} 
\mathsf {f}
 _{Ph} 
\Rightarrow \{\{\overline{(f3)}
,\overline{(f3)}
\}
,\{\overline{(f3)}
,\overline{(f4)}
\}
\}
 \mathrel{\in} 
\mathsf {f}
 _{Ph} 
\Rightarrow \overline{(f1)}
 = \overline{(f3)}
\Rightarrow \overline{(f2)}
 = \overline{(f4)}
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(s1)}
\colon \overline{(s1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(s2)}
\colon \dot{\neg}\,(\{\{\overline{(s1)}
,\overline{(s1)}
\}
,\{\overline{(s1)}
,\overline{(s2)}
\}
\}
 \mathrel{\in} 
\mathsf {f}
 _{Ph} 
)n
)n
)n
)n
\}
)
\mid 
\forall_{obj} \overline{(\epsilon)}
\colon \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {n}}
\colon \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {m}}
\colon \dot{\neg}\,(0
 <= \overline{(\epsilon)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(0
 = \overline{(\epsilon)}
)n
)n
)n
\Rightarrow \overline{
\mathsf {n}}
 <= \overline{
\mathsf {m}}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(|( \{ ph \mathrel{\in}  \{ ph \mathrel{\in} P(P(Union(\{N
,Q
\}
)
)
)
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op1)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op2)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\overline{(op1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(op2)}
 \mathrel{\in} Q
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\mathsf {a}
 _{Ph} 
 = \{\{\overline{(op1)}
,\overline{(op1)}
\}
,\{\overline{(op1)}
,\overline{(op2)}
\}
\}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\}
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \underline{
\mathsf {m}}
\colon \dot{\neg}\,(
\mathsf {e}
 _{Ph} 
 = \{\{\underline{
\mathsf {m}}
,\underline{
\mathsf {m}}
\}
,\{\underline{
\mathsf {m}}
,(\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
* \{ ph \mathrel{\in}  \{ ph \mathrel{\in} P(P(Union(\{N
,Q
\}
)
)
)
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op1)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op2)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\overline{(op1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(op2)}
 \mathrel{\in} Q
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\mathsf {a}
 _{Ph} 
 = \{\{\overline{(op1)}
,\overline{(op1)}
\}
,\{\overline{(op1)}
,\overline{(op2)}
\}
\}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\}
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(crs1)}
\colon \dot{\neg}\,(
\mathsf {c}
 _{Ph} 
 = \{\{\overline{(crs1)}
,\overline{(crs1)}
\}
,\{\overline{(crs1)}
,0
\}
\}
)n
)n
\}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
)
\}
\}
)n
)n
\}
[\overline{
\mathsf {m}}
]
+(-u
\mathsf {d}
 _{Ph} 
[\overline{
\mathsf {m}}
]
)
)
|
 <= \overline{(\epsilon)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(|( \{ ph \mathrel{\in}  \{ ph \mathrel{\in} P(P(Union(\{N
,Q
\}
)
)
)
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op1)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op2)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\overline{(op1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(op2)}
 \mathrel{\in} Q
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\mathsf {a}
 _{Ph} 
 = \{\{\overline{(op1)}
,\overline{(op1)}
\}
,\{\overline{(op1)}
,\overline{(op2)}
\}
\}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\}
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \underline{
\mathsf {m}}
\colon \dot{\neg}\,(
\mathsf {e}
 _{Ph} 
 = \{\{\underline{
\mathsf {m}}
,\underline{
\mathsf {m}}
\}
,\{\underline{
\mathsf {m}}
,(\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
* \{ ph \mathrel{\in}  \{ ph \mathrel{\in} P(P(Union(\{N
,Q
\}
)
)
)
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op1)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op2)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\overline{(op1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(op2)}
 \mathrel{\in} Q
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\mathsf {a}
 _{Ph} 
 = \{\{\overline{(op1)}
,\overline{(op1)}
\}
,\{\overline{(op1)}
,\overline{(op2)}
\}
\}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\}
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(crs1)}
\colon \dot{\neg}\,(
\mathsf {c}
 _{Ph} 
 = \{\{\overline{(crs1)}
,\overline{(crs1)}
\}
,\{\overline{(crs1)}
,0
\}
\}
)n
)n
\}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
)
\}
\}
)n
)n
\}
[\overline{
\mathsf {m}}
]
+(-u
\mathsf {d}
 _{Ph} 
[\overline{
\mathsf {m}}
]
)
)
|
 = \overline{(\epsilon)}
)n
)n
)n
)n
)n
\}
\rhd  \{ ph \mathrel{\in} P( \{ ph \mathrel{\in} P( \{ ph \mathrel{\in} P(P(Union(\{N
,Q
\}
)
)
)
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op1)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op2)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\overline{(op1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(op2)}
 \mathrel{\in} Q
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\mathsf {a}
 _{Ph} 
 = \{\{\overline{(op1)}
,\overline{(op1)}
\}
,\{\overline{(op1)}
,\overline{(op2)}
\}
\}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\}
)
\mid \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(r1)}
\colon \overline{(r1)}
 \mathrel{\in} 
\mathsf {f}
 _{Ph} 
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op1)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op2)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\overline{(op1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(op2)}
 \mathrel{\in} Q
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(r1)}
 = \{\{\overline{(op1)}
,\overline{(op1)}
\}
,\{\overline{(op1)}
,\overline{(op2)}
\}
\}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(f1)}
\colon 
\forall_{obj} \overline{(f2)}
\colon 
\forall_{obj} \overline{(f3)}
\colon 
\forall_{obj} \overline{(f4)}
\colon \{\{\overline{(f1)}
,\overline{(f1)}
\}
,\{\overline{(f1)}
,\overline{(f2)}
\}
\}
 \mathrel{\in} 
\mathsf {f}
 _{Ph} 
\Rightarrow \{\{\overline{(f3)}
,\overline{(f3)}
\}
,\{\overline{(f3)}
,\overline{(f4)}
\}
\}
 \mathrel{\in} 
\mathsf {f}
 _{Ph} 
\Rightarrow \overline{(f1)}
 = \overline{(f3)}
\Rightarrow \overline{(f2)}
 = \overline{(f4)}
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(s1)}
\colon \overline{(s1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(s2)}
\colon \dot{\neg}\,(\{\{\overline{(s1)}
,\overline{(s1)}
\}
,\{\overline{(s1)}
,\overline{(s2)}
\}
\}
 \mathrel{\in} 
\mathsf {f}
 _{Ph} 
)n
)n
)n
)n
\}
)
\mid 
\forall_{obj} \overline{(\epsilon)}
\colon \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {n}}
\colon \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {m}}
\colon \dot{\neg}\,(0
 <= \overline{(\epsilon)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(0
 = \overline{(\epsilon)}
)n
)n
)n
\Rightarrow \overline{
\mathsf {n}}
 <= \overline{
\mathsf {m}}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(|( \{ ph \mathrel{\in}  \{ ph \mathrel{\in} P(P(Union(\{N
,Q
\}
)
)
)
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op1)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op2)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\overline{(op1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(op2)}
 \mathrel{\in} Q
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\mathsf {a}
 _{Ph} 
 = \{\{\overline{(op1)}
,\overline{(op1)}
\}
,\{\overline{(op1)}
,\overline{(op2)}
\}
\}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\}
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \underline{
\mathsf {m}}
\colon \dot{\neg}\,(
\mathsf {e}
 _{Ph} 
 = \{\{\underline{
\mathsf {m}}
,\underline{
\mathsf {m}}
\}
,\{\underline{
\mathsf {m}}
,(\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
* \{ ph \mathrel{\in}  \{ ph \mathrel{\in} P(P(Union(\{N
,Q
\}
)
)
)
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op1)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op2)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\overline{(op1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(op2)}
 \mathrel{\in} Q
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\mathsf {a}
 _{Ph} 
 = \{\{\overline{(op1)}
,\overline{(op1)}
\}
,\{\overline{(op1)}
,\overline{(op2)}
\}
\}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\}
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(crs1)}
\colon \dot{\neg}\,(
\mathsf {c}
 _{Ph} 
 = \{\{\overline{(crs1)}
,\overline{(crs1)}
\}
,\{\overline{(crs1)}
,0
\}
\}
)n
)n
\}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
)
\}
\}
)n
)n
\}
[\overline{
\mathsf {m}}
]
+(-u
\mathsf {d}
 _{Ph} 
[\overline{
\mathsf {m}}
]
)
)
|
 <= \overline{(\epsilon)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(|( \{ ph \mathrel{\in}  \{ ph \mathrel{\in} P(P(Union(\{N
,Q
\}
)
)
)
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op1)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op2)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\overline{(op1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(op2)}
 \mathrel{\in} Q
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\mathsf {a}
 _{Ph} 
 = \{\{\overline{(op1)}
,\overline{(op1)}
\}
,\{\overline{(op1)}
,\overline{(op2)}
\}
\}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\}
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \underline{
\mathsf {m}}
\colon \dot{\neg}\,(
\mathsf {e}
 _{Ph} 
 = \{\{\underline{
\mathsf {m}}
,\underline{
\mathsf {m}}
\}
,\{\underline{
\mathsf {m}}
,(\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
* \{ ph \mathrel{\in}  \{ ph \mathrel{\in} P(P(Union(\{N
,Q
\}
)
)
)
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op1)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op2)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\overline{(op1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(op2)}
 \mathrel{\in} Q
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\mathsf {a}
 _{Ph} 
 = \{\{\overline{(op1)}
,\overline{(op1)}
\}
,\{\overline{(op1)}
,\overline{(op2)}
\}
\}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\}
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(crs1)}
\colon \dot{\neg}\,(
\mathsf {c}
 _{Ph} 
 = \{\{\overline{(crs1)}
,\overline{(crs1)}
\}
,\{\overline{(crs1)}
,0
\}
\}
)n
)n
\}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
)
\}
\}
)n
)n
\}
[\overline{
\mathsf {m}}
]
+(-u
\mathsf {d}
 _{Ph} 
[\overline{
\mathsf {m}}
]
)
)
|
 = \overline{(\epsilon)}
)n
)n
)n
)n
)n
\}
 =  \{ ph \mathrel{\in} P( \{ ph \mathrel{\in} P( \{ ph \mathrel{\in} P(P(Union(\{N
,Q
\}
)
)
)
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op1)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op2)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\overline{(op1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(op2)}
 \mathrel{\in} Q
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\mathsf {a}
 _{Ph} 
 = \{\{\overline{(op1)}
,\overline{(op1)}
\}
,\{\overline{(op1)}
,\overline{(op2)}
\}
\}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\}
)
\mid \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(r1)}
\colon \overline{(r1)}
 \mathrel{\in} 
\mathsf {f}
 _{Ph} 
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op1)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op2)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\overline{(op1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(op2)}
 \mathrel{\in} Q
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(r1)}
 = \{\{\overline{(op1)}
,\overline{(op1)}
\}
,\{\overline{(op1)}
,\overline{(op2)}
\}
\}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(f1)}
\colon 
\forall_{obj} \overline{(f2)}
\colon 
\forall_{obj} \overline{(f3)}
\colon 
\forall_{obj} \overline{(f4)}
\colon \{\{\overline{(f1)}
,\overline{(f1)}
\}
,\{\overline{(f1)}
,\overline{(f2)}
\}
\}
 \mathrel{\in} 
\mathsf {f}
 _{Ph} 
\Rightarrow \{\{\overline{(f3)}
,\overline{(f3)}
\}
,\{\overline{(f3)}
,\overline{(f4)}
\}
\}
 \mathrel{\in} 
\mathsf {f}
 _{Ph} 
\Rightarrow \overline{(f1)}
 = \overline{(f3)}
\Rightarrow \overline{(f2)}
 = \overline{(f4)}
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(s1)}
\colon \overline{(s1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(s2)}
\colon \dot{\neg}\,(\{\{\overline{(s1)}
,\overline{(s1)}
\}
,\{\overline{(s1)}
,\overline{(s2)}
\}
\}
 \mathrel{\in} 
\mathsf {f}
 _{Ph} 
)n
)n
)n
)n
\}
)
\mid 
\forall_{obj} \overline{(\epsilon)}
\colon \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {n}}
\colon \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {m}}
\colon \dot{\neg}\,(0
 <= \overline{(\epsilon)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(0
 = \overline{(\epsilon)}
)n
)n
)n
\Rightarrow \overline{
\mathsf {n}}
 <= \overline{
\mathsf {m}}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(|( \{ ph \mathrel{\in}  \{ ph \mathrel{\in} P(P(Union(\{N
,Q
\}
)
)
)
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op1)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op2)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\overline{(op1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(op2)}
 \mathrel{\in} Q
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\mathsf {a}
 _{Ph} 
 = \{\{\overline{(op1)}
,\overline{(op1)}
\}
,\{\overline{(op1)}
,\overline{(op2)}
\}
\}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\}
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(crs1)}
\colon \dot{\neg}\,(
\mathsf {c}
 _{Ph} 
 = \{\{\overline{(crs1)}
,\overline{(crs1)}
\}
,\{\overline{(crs1)}
,0
\}
\}
)n
)n
\}
[\overline{
\mathsf {m}}
]
+(-u
\mathsf {d}
 _{Ph} 
[\overline{
\mathsf {m}}
]
)
)
|
 <= \overline{(\epsilon)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(|( \{ ph \mathrel{\in}  \{ ph \mathrel{\in} P(P(Union(\{N
,Q
\}
)
)
)
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op1)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op2)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\overline{(op1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(op2)}
 \mathrel{\in} Q
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\mathsf {a}
 _{Ph} 
 = \{\{\overline{(op1)}
,\overline{(op1)}
\}
,\{\overline{(op1)}
,\overline{(op2)}
\}
\}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\}
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(crs1)}
\colon \dot{\neg}\,(
\mathsf {c}
 _{Ph} 
 = \{\{\overline{(crs1)}
,\overline{(crs1)}
\}
,\{\overline{(crs1)}
,0
\}
\}
)n
)n
\}
[\overline{
\mathsf {m}}
]
+(-u
\mathsf {d}
 _{Ph} 
[\overline{
\mathsf {m}}
]
)
)
|
 = \overline{(\epsilon)}
)n
)n
)n
)n
)n
\}
\gg  \{ ph \mathrel{\in} P( \{ ph \mathrel{\in} P( \{ ph \mathrel{\in} P(P(Union(\{N
,Q
\}
)
)
)
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op1)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op2)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\overline{(op1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(op2)}
 \mathrel{\in} Q
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\mathsf {a}
 _{Ph} 
 = \{\{\overline{(op1)}
,\overline{(op1)}
\}
,\{\overline{(op1)}
,\overline{(op2)}
\}
\}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\}
)
\mid \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(r1)}
\colon \overline{(r1)}
 \mathrel{\in} 
\mathsf {f}
 _{Ph} 
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op1)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op2)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\overline{(op1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(op2)}
 \mathrel{\in} Q
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(r1)}
 = \{\{\overline{(op1)}
,\overline{(op1)}
\}
,\{\overline{(op1)}
,\overline{(op2)}
\}
\}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(f1)}
\colon 
\forall_{obj} \overline{(f2)}
\colon 
\forall_{obj} \overline{(f3)}
\colon 
\forall_{obj} \overline{(f4)}
\colon \{\{\overline{(f1)}
,\overline{(f1)}
\}
,\{\overline{(f1)}
,\overline{(f2)}
\}
\}
 \mathrel{\in} 
\mathsf {f}
 _{Ph} 
\Rightarrow \{\{\overline{(f3)}
,\overline{(f3)}
\}
,\{\overline{(f3)}
,\overline{(f4)}
\}
\}
 \mathrel{\in} 
\mathsf {f}
 _{Ph} 
\Rightarrow \overline{(f1)}
 = \overline{(f3)}
\Rightarrow \overline{(f2)}
 = \overline{(f4)}
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(s1)}
\colon \overline{(s1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(s2)}
\colon \dot{\neg}\,(\{\{\overline{(s1)}
,\overline{(s1)}
\}
,\{\overline{(s1)}
,\overline{(s2)}
\}
\}
 \mathrel{\in} 
\mathsf {f}
 _{Ph} 
)n
)n
)n
)n
\}
)
\mid 
\forall_{obj} \overline{(\epsilon)}
\colon \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {n}}
\colon \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {m}}
\colon \dot{\neg}\,(0
 <= \overline{(\epsilon)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(0
 = \overline{(\epsilon)}
)n
)n
)n
\Rightarrow \overline{
\mathsf {n}}
 <= \overline{
\mathsf {m}}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(|( \{ ph \mathrel{\in}  \{ ph \mathrel{\in} P(P(Union(\{N
,Q
\}
)
)
)
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op1)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op2)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\overline{(op1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(op2)}
 \mathrel{\in} Q
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\mathsf {a}
 _{Ph} 
 = \{\{\overline{(op1)}
,\overline{(op1)}
\}
,\{\overline{(op1)}
,\overline{(op2)}
\}
\}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\}
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \underline{
\mathsf {m}}
\colon \dot{\neg}\,(
\mathsf {e}
 _{Ph} 
 = \{\{\underline{
\mathsf {m}}
,\underline{
\mathsf {m}}
\}
,\{\underline{
\mathsf {m}}
,(\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
*\underline{(fz)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
)
\}
\}
)n
)n
\}
[\overline{
\mathsf {m}}
]
+(-u
\mathsf {d}
 _{Ph} 
[\overline{
\mathsf {m}}
]
)
)
|
 <= \overline{(\epsilon)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(|( \{ ph \mathrel{\in}  \{ ph \mathrel{\in} P(P(Union(\{N
,Q
\}
)
)
)
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op1)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op2)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\overline{(op1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(op2)}
 \mathrel{\in} Q
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\mathsf {a}
 _{Ph} 
 = \{\{\overline{(op1)}
,\overline{(op1)}
\}
,\{\overline{(op1)}
,\overline{(op2)}
\}
\}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\}
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \underline{
\mathsf {m}}
\colon \dot{\neg}\,(
\mathsf {e}
 _{Ph} 
 = \{\{\underline{
\mathsf {m}}
,\underline{
\mathsf {m}}
\}
,\{\underline{
\mathsf {m}}
,(\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
*\underline{(fz)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
)
\}
\}
)n
)n
\}
[\overline{
\mathsf {m}}
]
+(-u
\mathsf {d}
 _{Ph} 
[\overline{
\mathsf {m}}
]
)
)
|
 = \overline{(\epsilon)}
)n
)n
)n
)n
)n
\}
 =  \{ ph \mathrel{\in} P( \{ ph \mathrel{\in} P( \{ ph \mathrel{\in} P(P(Union(\{N
,Q
\}
)
)
)
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op1)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op2)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\overline{(op1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(op2)}
 \mathrel{\in} Q
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\mathsf {a}
 _{Ph} 
 = \{\{\overline{(op1)}
,\overline{(op1)}
\}
,\{\overline{(op1)}
,\overline{(op2)}
\}
\}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\}
)
\mid \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(r1)}
\colon \overline{(r1)}
 \mathrel{\in} 
\mathsf {f}
 _{Ph} 
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op1)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op2)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\overline{(op1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(op2)}
 \mathrel{\in} Q
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(r1)}
 = \{\{\overline{(op1)}
,\overline{(op1)}
\}
,\{\overline{(op1)}
,\overline{(op2)}
\}
\}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(f1)}
\colon 
\forall_{obj} \overline{(f2)}
\colon 
\forall_{obj} \overline{(f3)}
\colon 
\forall_{obj} \overline{(f4)}
\colon \{\{\overline{(f1)}
,\overline{(f1)}
\}
,\{\overline{(f1)}
,\overline{(f2)}
\}
\}
 \mathrel{\in} 
\mathsf {f}
 _{Ph} 
\Rightarrow \{\{\overline{(f3)}
,\overline{(f3)}
\}
,\{\overline{(f3)}
,\overline{(f4)}
\}
\}
 \mathrel{\in} 
\mathsf {f}
 _{Ph} 
\Rightarrow \overline{(f1)}
 = \overline{(f3)}
\Rightarrow \overline{(f2)}
 = \overline{(f4)}
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(s1)}
\colon \overline{(s1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(s2)}
\colon \dot{\neg}\,(\{\{\overline{(s1)}
,\overline{(s1)}
\}
,\{\overline{(s1)}
,\overline{(s2)}
\}
\}
 \mathrel{\in} 
\mathsf {f}
 _{Ph} 
)n
)n
)n
)n
\}
)
\mid 
\forall_{obj} \overline{(\epsilon)}
\colon \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {n}}
\colon \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {m}}
\colon \dot{\neg}\,(0
 <= \overline{(\epsilon)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(0
 = \overline{(\epsilon)}
)n
)n
)n
\Rightarrow \overline{
\mathsf {n}}
 <= \overline{
\mathsf {m}}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(|( \{ ph \mathrel{\in}  \{ ph \mathrel{\in} P(P(Union(\{N
,Q
\}
)
)
)
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op1)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op2)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\overline{(op1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(op2)}
 \mathrel{\in} Q
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\mathsf {a}
 _{Ph} 
 = \{\{\overline{(op1)}
,\overline{(op1)}
\}
,\{\overline{(op1)}
,\overline{(op2)}
\}
\}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\}
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(crs1)}
\colon \dot{\neg}\,(
\mathsf {c}
 _{Ph} 
 = \{\{\overline{(crs1)}
,\overline{(crs1)}
\}
,\{\overline{(crs1)}
,0
\}
\}
)n
)n
\}
[\overline{
\mathsf {m}}
]
+(-u
\mathsf {d}
 _{Ph} 
[\overline{
\mathsf {m}}
]
)
)
|
 <= \overline{(\epsilon)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(|( \{ ph \mathrel{\in}  \{ ph \mathrel{\in} P(P(Union(\{N
,Q
\}
)
)
)
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op1)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op2)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\overline{(op1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(op2)}
 \mathrel{\in} Q
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\mathsf {a}
 _{Ph} 
 = \{\{\overline{(op1)}
,\overline{(op1)}
\}
,\{\overline{(op1)}
,\overline{(op2)}
\}
\}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\}
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(crs1)}
\colon \dot{\neg}\,(
\mathsf {c}
 _{Ph} 
 = \{\{\overline{(crs1)}
,\overline{(crs1)}
\}
,\{\overline{(crs1)}
,0
\}
\}
)n
)n
\}
[\overline{
\mathsf {m}}
]
+(-u
\mathsf {d}
 _{Ph} 
[\overline{
\mathsf {m}}
]
)
)
|
 = \overline{(\epsilon)}
)n
)n
)n
)n
)n
\}
; \!{}==\!{}Transitivity
\rhd  \{ ph \mathrel{\in} P( \{ ph \mathrel{\in} P( \{ ph \mathrel{\in} P(P(Union(\{N
,Q
\}
)
)
)
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op1)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op2)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\overline{(op1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(op2)}
 \mathrel{\in} Q
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\mathsf {a}
 _{Ph} 
 = \{\{\overline{(op1)}
,\overline{(op1)}
\}
,\{\overline{(op1)}
,\overline{(op2)}
\}
\}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\}
)
\mid \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(r1)}
\colon \overline{(r1)}
 \mathrel{\in} 
\mathsf {f}
 _{Ph} 
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op1)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op2)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\overline{(op1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(op2)}
 \mathrel{\in} Q
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(r1)}
 = \{\{\overline{(op1)}
,\overline{(op1)}
\}
,\{\overline{(op1)}
,\overline{(op2)}
\}
\}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(f1)}
\colon 
\forall_{obj} \overline{(f2)}
\colon 
\forall_{obj} \overline{(f3)}
\colon 
\forall_{obj} \overline{(f4)}
\colon \{\{\overline{(f1)}
,\overline{(f1)}
\}
,\{\overline{(f1)}
,\overline{(f2)}
\}
\}
 \mathrel{\in} 
\mathsf {f}
 _{Ph} 
\Rightarrow \{\{\overline{(f3)}
,\overline{(f3)}
\}
,\{\overline{(f3)}
,\overline{(f4)}
\}
\}
 \mathrel{\in} 
\mathsf {f}
 _{Ph} 
\Rightarrow \overline{(f1)}
 = \overline{(f3)}
\Rightarrow \overline{(f2)}
 = \overline{(f4)}
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(s1)}
\colon \overline{(s1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(s2)}
\colon \dot{\neg}\,(\{\{\overline{(s1)}
,\overline{(s1)}
\}
,\{\overline{(s1)}
,\overline{(s2)}
\}
\}
 \mathrel{\in} 
\mathsf {f}
 _{Ph} 
)n
)n
)n
)n
\}
)
\mid 
\forall_{obj} \overline{(\epsilon)}
\colon \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {n}}
\colon \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {m}}
\colon \dot{\neg}\,(0
 <= \overline{(\epsilon)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(0
 = \overline{(\epsilon)}
)n
)n
)n
\Rightarrow \overline{
\mathsf {n}}
 <= \overline{
\mathsf {m}}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(|( \{ ph \mathrel{\in}  \{ ph \mathrel{\in} P(P(Union(\{N
,Q
\}
)
)
)
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op1)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op2)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\overline{(op1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(op2)}
 \mathrel{\in} Q
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\mathsf {a}
 _{Ph} 
 = \{\{\overline{(op1)}
,\overline{(op1)}
\}
,\{\overline{(op1)}
,\overline{(op2)}
\}
\}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\}
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \underline{
\mathsf {m}}
\colon \dot{\neg}\,(
\mathsf {e}
 _{Ph} 
 = \{\{\underline{
\mathsf {m}}
,\underline{
\mathsf {m}}
\}
,\{\underline{
\mathsf {m}}
,(\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
*\underline{(fz)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
)
\}
\}
)n
)n
\}
[\overline{
\mathsf {m}}
]
+(-u
\mathsf {d}
 _{Ph} 
[\overline{
\mathsf {m}}
]
)
)
|
 <= \overline{(\epsilon)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(|( \{ ph \mathrel{\in}  \{ ph \mathrel{\in} P(P(Union(\{N
,Q
\}
)
)
)
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op1)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op2)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\overline{(op1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(op2)}
 \mathrel{\in} Q
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\mathsf {a}
 _{Ph} 
 = \{\{\overline{(op1)}
,\overline{(op1)}
\}
,\{\overline{(op1)}
,\overline{(op2)}
\}
\}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\}
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \underline{
\mathsf {m}}
\colon \dot{\neg}\,(
\mathsf {e}
 _{Ph} 
 = \{\{\underline{
\mathsf {m}}
,\underline{
\mathsf {m}}
\}
,\{\underline{
\mathsf {m}}
,(\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
*\underline{(fz)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
)
\}
\}
)n
)n
\}
[\overline{
\mathsf {m}}
]
+(-u
\mathsf {d}
 _{Ph} 
[\overline{
\mathsf {m}}
]
)
)
|
 = \overline{(\epsilon)}
)n
)n
)n
)n
)n
\}
 =  \{ ph \mathrel{\in} P( \{ ph \mathrel{\in} P( \{ ph \mathrel{\in} P(P(Union(\{N
,Q
\}
)
)
)
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op1)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op2)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\overline{(op1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(op2)}
 \mathrel{\in} Q
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\mathsf {a}
 _{Ph} 
 = \{\{\overline{(op1)}
,\overline{(op1)}
\}
,\{\overline{(op1)}
,\overline{(op2)}
\}
\}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\}
)
\mid \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(r1)}
\colon \overline{(r1)}
 \mathrel{\in} 
\mathsf {f}
 _{Ph} 
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op1)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op2)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\overline{(op1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(op2)}
 \mathrel{\in} Q
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(r1)}
 = \{\{\overline{(op1)}
,\overline{(op1)}
\}
,\{\overline{(op1)}
,\overline{(op2)}
\}
\}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(f1)}
\colon 
\forall_{obj} \overline{(f2)}
\colon 
\forall_{obj} \overline{(f3)}
\colon 
\forall_{obj} \overline{(f4)}
\colon \{\{\overline{(f1)}
,\overline{(f1)}
\}
,\{\overline{(f1)}
,\overline{(f2)}
\}
\}
 \mathrel{\in} 
\mathsf {f}
 _{Ph} 
\Rightarrow \{\{\overline{(f3)}
,\overline{(f3)}
\}
,\{\overline{(f3)}
,\overline{(f4)}
\}
\}
 \mathrel{\in} 
\mathsf {f}
 _{Ph} 
\Rightarrow \overline{(f1)}
 = \overline{(f3)}
\Rightarrow \overline{(f2)}
 = \overline{(f4)}
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(s1)}
\colon \overline{(s1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(s2)}
\colon \dot{\neg}\,(\{\{\overline{(s1)}
,\overline{(s1)}
\}
,\{\overline{(s1)}
,\overline{(s2)}
\}
\}
 \mathrel{\in} 
\mathsf {f}
 _{Ph} 
)n
)n
)n
)n
\}
)
\mid 
\forall_{obj} \overline{(\epsilon)}
\colon \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {n}}
\colon \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {m}}
\colon \dot{\neg}\,(0
 <= \overline{(\epsilon)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(0
 = \overline{(\epsilon)}
)n
)n
)n
\Rightarrow \overline{
\mathsf {n}}
 <= \overline{
\mathsf {m}}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(|( \{ ph \mathrel{\in}  \{ ph \mathrel{\in} P(P(Union(\{N
,Q
\}
)
)
)
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op1)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op2)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\overline{(op1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(op2)}
 \mathrel{\in} Q
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\mathsf {a}
 _{Ph} 
 = \{\{\overline{(op1)}
,\overline{(op1)}
\}
,\{\overline{(op1)}
,\overline{(op2)}
\}
\}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\}
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(crs1)}
\colon \dot{\neg}\,(
\mathsf {c}
 _{Ph} 
 = \{\{\overline{(crs1)}
,\overline{(crs1)}
\}
,\{\overline{(crs1)}
,0
\}
\}
)n
)n
\}
[\overline{
\mathsf {m}}
]
+(-u
\mathsf {d}
 _{Ph} 
[\overline{
\mathsf {m}}
]
)
)
|
 <= \overline{(\epsilon)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(|( \{ ph \mathrel{\in}  \{ ph \mathrel{\in} P(P(Union(\{N
,Q
\}
)
)
)
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op1)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op2)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\overline{(op1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(op2)}
 \mathrel{\in} Q
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\mathsf {a}
 _{Ph} 
 = \{\{\overline{(op1)}
,\overline{(op1)}
\}
,\{\overline{(op1)}
,\overline{(op2)}
\}
\}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\}
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(crs1)}
\colon \dot{\neg}\,(
\mathsf {c}
 _{Ph} 
 = \{\{\overline{(crs1)}
,\overline{(crs1)}
\}
,\{\overline{(crs1)}
,0
\}
\}
)n
)n
\}
[\overline{
\mathsf {m}}
]
+(-u
\mathsf {d}
 _{Ph} 
[\overline{
\mathsf {m}}
]
)
)
|
 = \overline{(\epsilon)}
)n
)n
)n
)n
)n
\}
\rhd  \{ ph \mathrel{\in} P( \{ ph \mathrel{\in} P( \{ ph \mathrel{\in} P(P(Union(\{N
,Q
\}
)
)
)
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op1)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op2)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\overline{(op1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(op2)}
 \mathrel{\in} Q
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\mathsf {a}
 _{Ph} 
 = \{\{\overline{(op1)}
,\overline{(op1)}
\}
,\{\overline{(op1)}
,\overline{(op2)}
\}
\}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\}
)
\mid \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(r1)}
\colon \overline{(r1)}
 \mathrel{\in} 
\mathsf {f}
 _{Ph} 
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op1)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op2)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\overline{(op1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(op2)}
 \mathrel{\in} Q
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(r1)}
 = \{\{\overline{(op1)}
,\overline{(op1)}
\}
,\{\overline{(op1)}
,\overline{(op2)}
\}
\}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(f1)}
\colon 
\forall_{obj} \overline{(f2)}
\colon 
\forall_{obj} \overline{(f3)}
\colon 
\forall_{obj} \overline{(f4)}
\colon \{\{\overline{(f1)}
,\overline{(f1)}
\}
,\{\overline{(f1)}
,\overline{(f2)}
\}
\}
 \mathrel{\in} 
\mathsf {f}
 _{Ph} 
\Rightarrow \{\{\overline{(f3)}
,\overline{(f3)}
\}
,\{\overline{(f3)}
,\overline{(f4)}
\}
\}
 \mathrel{\in} 
\mathsf {f}
 _{Ph} 
\Rightarrow \overline{(f1)}
 = \overline{(f3)}
\Rightarrow \overline{(f2)}
 = \overline{(f4)}
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(s1)}
\colon \overline{(s1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(s2)}
\colon \dot{\neg}\,(\{\{\overline{(s1)}
,\overline{(s1)}
\}
,\{\overline{(s1)}
,\overline{(s2)}
\}
\}
 \mathrel{\in} 
\mathsf {f}
 _{Ph} 
)n
)n
)n
)n
\}
)
\mid 
\forall_{obj} \overline{(\epsilon)}
\colon \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {n}}
\colon \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {m}}
\colon \dot{\neg}\,(0
 <= \overline{(\epsilon)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(0
 = \overline{(\epsilon)}
)n
)n
)n
\Rightarrow \overline{
\mathsf {n}}
 <= \overline{
\mathsf {m}}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(|( \{ ph \mathrel{\in}  \{ ph \mathrel{\in} P(P(Union(\{N
,Q
\}
)
)
)
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op1)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op2)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\overline{(op1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(op2)}
 \mathrel{\in} Q
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\mathsf {a}
 _{Ph} 
 = \{\{\overline{(op1)}
,\overline{(op1)}
\}
,\{\overline{(op1)}
,\overline{(op2)}
\}
\}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\}
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(crs1)}
\colon \dot{\neg}\,(
\mathsf {c}
 _{Ph} 
 = \{\{\overline{(crs1)}
,\overline{(crs1)}
\}
,\{\overline{(crs1)}
,0
\}
\}
)n
)n
\}
[\overline{
\mathsf {m}}
]
+(-u
\mathsf {d}
 _{Ph} 
[\overline{
\mathsf {m}}
]
)
)
|
 <= \overline{(\epsilon)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(|( \{ ph \mathrel{\in}  \{ ph \mathrel{\in} P(P(Union(\{N
,Q
\}
)
)
)
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op1)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op2)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\overline{(op1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(op2)}
 \mathrel{\in} Q
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\mathsf {a}
 _{Ph} 
 = \{\{\overline{(op1)}
,\overline{(op1)}
\}
,\{\overline{(op1)}
,\overline{(op2)}
\}
\}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\}
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(crs1)}
\colon \dot{\neg}\,(
\mathsf {c}
 _{Ph} 
 = \{\{\overline{(crs1)}
,\overline{(crs1)}
\}
,\{\overline{(crs1)}
,0
\}
\}
)n
)n
\}
[\overline{
\mathsf {m}}
]
+(-u
\mathsf {d}
 _{Ph} 
[\overline{
\mathsf {m}}
]
)
)
|
 = \overline{(\epsilon)}
)n
)n
)n
)n
)n
\}
 =  \{ ph \mathrel{\in} P( \{ ph \mathrel{\in} P( \{ ph \mathrel{\in} P(P(Union(\{N
,Q
\}
)
)
)
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op1)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op2)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\overline{(op1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(op2)}
 \mathrel{\in} Q
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\mathsf {a}
 _{Ph} 
 = \{\{\overline{(op1)}
,\overline{(op1)}
\}
,\{\overline{(op1)}
,\overline{(op2)}
\}
\}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\}
)
\mid \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(r1)}
\colon \overline{(r1)}
 \mathrel{\in} 
\mathsf {f}
 _{Ph} 
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op1)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op2)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\overline{(op1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(op2)}
 \mathrel{\in} Q
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(r1)}
 = \{\{\overline{(op1)}
,\overline{(op1)}
\}
,\{\overline{(op1)}
,\overline{(op2)}
\}
\}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(f1)}
\colon 
\forall_{obj} \overline{(f2)}
\colon 
\forall_{obj} \overline{(f3)}
\colon 
\forall_{obj} \overline{(f4)}
\colon \{\{\overline{(f1)}
,\overline{(f1)}
\}
,\{\overline{(f1)}
,\overline{(f2)}
\}
\}
 \mathrel{\in} 
\mathsf {f}
 _{Ph} 
\Rightarrow \{\{\overline{(f3)}
,\overline{(f3)}
\}
,\{\overline{(f3)}
,\overline{(f4)}
\}
\}
 \mathrel{\in} 
\mathsf {f}
 _{Ph} 
\Rightarrow \overline{(f1)}
 = \overline{(f3)}
\Rightarrow \overline{(f2)}
 = \overline{(f4)}
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(s1)}
\colon \overline{(s1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(s2)}
\colon \dot{\neg}\,(\{\{\overline{(s1)}
,\overline{(s1)}
\}
,\{\overline{(s1)}
,\overline{(s2)}
\}
\}
 \mathrel{\in} 
\mathsf {f}
 _{Ph} 
)n
)n
)n
)n
\}
)
\mid 
\forall_{obj} \overline{(\epsilon)}
\colon \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {n}}
\colon \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {m}}
\colon \dot{\neg}\,(0
 <= \overline{(\epsilon)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(0
 = \overline{(\epsilon)}
)n
)n
)n
\Rightarrow \overline{
\mathsf {n}}
 <= \overline{
\mathsf {m}}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(|( \{ ph \mathrel{\in}  \{ ph \mathrel{\in} P(P(Union(\{N
,Q
\}
)
)
)
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op1)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op2)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\overline{(op1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(op2)}
 \mathrel{\in} Q
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\mathsf {a}
 _{Ph} 
 = \{\{\overline{(op1)}
,\overline{(op1)}
\}
,\{\overline{(op1)}
,\overline{(op2)}
\}
\}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\}
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \underline{
\mathsf {m}}
\colon \dot{\neg}\,(
\mathsf {e}
 _{Ph} 
 = \{\{\underline{
\mathsf {m}}
,\underline{
\mathsf {m}}
\}
,\{\underline{
\mathsf {m}}
,(\underline{(fy)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
* \{ ph \mathrel{\in}  \{ ph \mathrel{\in} P(P(Union(\{N
,Q
\}
)
)
)
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op1)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op2)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\overline{(op1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(op2)}
 \mathrel{\in} Q
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\mathsf {a}
 _{Ph} 
 = \{\{\overline{(op1)}
,\overline{(op1)}
\}
,\{\overline{(op1)}
,\overline{(op2)}
\}
\}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\}
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(crs1)}
\colon \dot{\neg}\,(
\mathsf {c}
 _{Ph} 
 = \{\{\overline{(crs1)}
,\overline{(crs1)}
\}
,\{\overline{(crs1)}
,0
\}
\}
)n
)n
\}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
)
\}
\}
)n
)n
\}
[\overline{
\mathsf {m}}
]
+(-u
\mathsf {d}
 _{Ph} 
[\overline{
\mathsf {m}}
]
)
)
|
 <= \overline{(\epsilon)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(|( \{ ph \mathrel{\in}  \{ ph \mathrel{\in} P(P(Union(\{N
,Q
\}
)
)
)
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op1)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op2)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\overline{(op1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(op2)}
 \mathrel{\in} Q
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\mathsf {a}
 _{Ph} 
 = \{\{\overline{(op1)}
,\overline{(op1)}
\}
,\{\overline{(op1)}
,\overline{(op2)}
\}
\}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\}
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \underline{
\mathsf {m}}
\colon \dot{\neg}\,(
\mathsf {e}
 _{Ph} 
 = \{\{\underline{
\mathsf {m}}
,\underline{
\mathsf {m}}
\}
,\{\underline{
\mathsf {m}}
,(\underline{(fy)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
* \{ ph \mathrel{\in}  \{ ph \mathrel{\in} P(P(Union(\{N
,Q
\}
)
)
)
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op1)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op2)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\overline{(op1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(op2)}
 \mathrel{\in} Q
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\mathsf {a}
 _{Ph} 
 = \{\{\overline{(op1)}
,\overline{(op1)}
\}
,\{\overline{(op1)}
,\overline{(op2)}
\}
\}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\}
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(crs1)}
\colon \dot{\neg}\,(
\mathsf {c}
 _{Ph} 
 = \{\{\overline{(crs1)}
,\overline{(crs1)}
\}
,\{\overline{(crs1)}
,0
\}
\}
)n
)n
\}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
)
\}
\}
)n
)n
\}
[\overline{
\mathsf {m}}
]
+(-u
\mathsf {d}
 _{Ph} 
[\overline{
\mathsf {m}}
]
)
)
|
 = \overline{(\epsilon)}
)n
)n
)n
)n
)n
\}
\gg  \{ ph \mathrel{\in} P( \{ ph \mathrel{\in} P( \{ ph \mathrel{\in} P(P(Union(\{N
,Q
\}
)
)
)
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op1)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op2)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\overline{(op1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(op2)}
 \mathrel{\in} Q
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\mathsf {a}
 _{Ph} 
 = \{\{\overline{(op1)}
,\overline{(op1)}
\}
,\{\overline{(op1)}
,\overline{(op2)}
\}
\}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\}
)
\mid \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(r1)}
\colon \overline{(r1)}
 \mathrel{\in} 
\mathsf {f}
 _{Ph} 
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op1)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op2)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\overline{(op1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(op2)}
 \mathrel{\in} Q
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(r1)}
 = \{\{\overline{(op1)}
,\overline{(op1)}
\}
,\{\overline{(op1)}
,\overline{(op2)}
\}
\}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(f1)}
\colon 
\forall_{obj} \overline{(f2)}
\colon 
\forall_{obj} \overline{(f3)}
\colon 
\forall_{obj} \overline{(f4)}
\colon \{\{\overline{(f1)}
,\overline{(f1)}
\}
,\{\overline{(f1)}
,\overline{(f2)}
\}
\}
 \mathrel{\in} 
\mathsf {f}
 _{Ph} 
\Rightarrow \{\{\overline{(f3)}
,\overline{(f3)}
\}
,\{\overline{(f3)}
,\overline{(f4)}
\}
\}
 \mathrel{\in} 
\mathsf {f}
 _{Ph} 
\Rightarrow \overline{(f1)}
 = \overline{(f3)}
\Rightarrow \overline{(f2)}
 = \overline{(f4)}
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(s1)}
\colon \overline{(s1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(s2)}
\colon \dot{\neg}\,(\{\{\overline{(s1)}
,\overline{(s1)}
\}
,\{\overline{(s1)}
,\overline{(s2)}
\}
\}
 \mathrel{\in} 
\mathsf {f}
 _{Ph} 
)n
)n
)n
)n
\}
)
\mid 
\forall_{obj} \overline{(\epsilon)}
\colon \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {n}}
\colon \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {m}}
\colon \dot{\neg}\,(0
 <= \overline{(\epsilon)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(0
 = \overline{(\epsilon)}
)n
)n
)n
\Rightarrow \overline{
\mathsf {n}}
 <= \overline{
\mathsf {m}}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(|( \{ ph \mathrel{\in}  \{ ph \mathrel{\in} P(P(Union(\{N
,Q
\}
)
)
)
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op1)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op2)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\overline{(op1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(op2)}
 \mathrel{\in} Q
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\mathsf {a}
 _{Ph} 
 = \{\{\overline{(op1)}
,\overline{(op1)}
\}
,\{\overline{(op1)}
,\overline{(op2)}
\}
\}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\}
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \underline{
\mathsf {m}}
\colon \dot{\neg}\,(
\mathsf {e}
 _{Ph} 
 = \{\{\underline{
\mathsf {m}}
,\underline{
\mathsf {m}}
\}
,\{\underline{
\mathsf {m}}
,(\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
*\underline{(fz)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
)
\}
\}
)n
)n
\}
[\overline{
\mathsf {m}}
]
+(-u
\mathsf {d}
 _{Ph} 
[\overline{
\mathsf {m}}
]
)
)
|
 <= \overline{(\epsilon)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(|( \{ ph \mathrel{\in}  \{ ph \mathrel{\in} P(P(Union(\{N
,Q
\}
)
)
)
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op1)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op2)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\overline{(op1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(op2)}
 \mathrel{\in} Q
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\mathsf {a}
 _{Ph} 
 = \{\{\overline{(op1)}
,\overline{(op1)}
\}
,\{\overline{(op1)}
,\overline{(op2)}
\}
\}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\}
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \underline{
\mathsf {m}}
\colon \dot{\neg}\,(
\mathsf {e}
 _{Ph} 
 = \{\{\underline{
\mathsf {m}}
,\underline{
\mathsf {m}}
\}
,\{\underline{
\mathsf {m}}
,(\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
*\underline{(fz)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
)
\}
\}
)n
)n
\}
[\overline{
\mathsf {m}}
]
+(-u
\mathsf {d}
 _{Ph} 
[\overline{
\mathsf {m}}
]
)
)
|
 = \overline{(\epsilon)}
)n
)n
)n
)n
)n
\}
 =  \{ ph \mathrel{\in} P( \{ ph \mathrel{\in} P( \{ ph \mathrel{\in} P(P(Union(\{N
,Q
\}
)
)
)
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op1)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op2)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\overline{(op1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(op2)}
 \mathrel{\in} Q
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\mathsf {a}
 _{Ph} 
 = \{\{\overline{(op1)}
,\overline{(op1)}
\}
,\{\overline{(op1)}
,\overline{(op2)}
\}
\}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\}
)
\mid \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(r1)}
\colon \overline{(r1)}
 \mathrel{\in} 
\mathsf {f}
 _{Ph} 
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op1)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op2)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\overline{(op1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(op2)}
 \mathrel{\in} Q
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(r1)}
 = \{\{\overline{(op1)}
,\overline{(op1)}
\}
,\{\overline{(op1)}
,\overline{(op2)}
\}
\}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(f1)}
\colon 
\forall_{obj} \overline{(f2)}
\colon 
\forall_{obj} \overline{(f3)}
\colon 
\forall_{obj} \overline{(f4)}
\colon \{\{\overline{(f1)}
,\overline{(f1)}
\}
,\{\overline{(f1)}
,\overline{(f2)}
\}
\}
 \mathrel{\in} 
\mathsf {f}
 _{Ph} 
\Rightarrow \{\{\overline{(f3)}
,\overline{(f3)}
\}
,\{\overline{(f3)}
,\overline{(f4)}
\}
\}
 \mathrel{\in} 
\mathsf {f}
 _{Ph} 
\Rightarrow \overline{(f1)}
 = \overline{(f3)}
\Rightarrow \overline{(f2)}
 = \overline{(f4)}
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(s1)}
\colon \overline{(s1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(s2)}
\colon \dot{\neg}\,(\{\{\overline{(s1)}
,\overline{(s1)}
\}
,\{\overline{(s1)}
,\overline{(s2)}
\}
\}
 \mathrel{\in} 
\mathsf {f}
 _{Ph} 
)n
)n
)n
)n
\}
)
\mid 
\forall_{obj} \overline{(\epsilon)}
\colon \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {n}}
\colon \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {m}}
\colon \dot{\neg}\,(0
 <= \overline{(\epsilon)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(0
 = \overline{(\epsilon)}
)n
)n
)n
\Rightarrow \overline{
\mathsf {n}}
 <= \overline{
\mathsf {m}}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(|( \{ ph \mathrel{\in}  \{ ph \mathrel{\in} P(P(Union(\{N
,Q
\}
)
)
)
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op1)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op2)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\overline{(op1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(op2)}
 \mathrel{\in} Q
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\mathsf {a}
 _{Ph} 
 = \{\{\overline{(op1)}
,\overline{(op1)}
\}
,\{\overline{(op1)}
,\overline{(op2)}
\}
\}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\}
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \underline{
\mathsf {m}}
\colon \dot{\neg}\,(
\mathsf {e}
 _{Ph} 
 = \{\{\underline{
\mathsf {m}}
,\underline{
\mathsf {m}}
\}
,\{\underline{
\mathsf {m}}
,(\underline{(fy)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
* \{ ph \mathrel{\in}  \{ ph \mathrel{\in} P(P(Union(\{N
,Q
\}
)
)
)
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op1)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op2)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\overline{(op1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(op2)}
 \mathrel{\in} Q
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\mathsf {a}
 _{Ph} 
 = \{\{\overline{(op1)}
,\overline{(op1)}
\}
,\{\overline{(op1)}
,\overline{(op2)}
\}
\}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\}
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(crs1)}
\colon \dot{\neg}\,(
\mathsf {c}
 _{Ph} 
 = \{\{\overline{(crs1)}
,\overline{(crs1)}
\}
,\{\overline{(crs1)}
,0
\}
\}
)n
)n
\}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
)
\}
\}
)n
)n
\}
[\overline{
\mathsf {m}}
]
+(-u
\mathsf {d}
 _{Ph} 
[\overline{
\mathsf {m}}
]
)
)
|
 <= \overline{(\epsilon)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(|( \{ ph \mathrel{\in}  \{ ph \mathrel{\in} P(P(Union(\{N
,Q
\}
)
)
)
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op1)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op2)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\overline{(op1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(op2)}
 \mathrel{\in} Q
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\mathsf {a}
 _{Ph} 
 = \{\{\overline{(op1)}
,\overline{(op1)}
\}
,\{\overline{(op1)}
,\overline{(op2)}
\}
\}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\}
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \underline{
\mathsf {m}}
\colon \dot{\neg}\,(
\mathsf {e}
 _{Ph} 
 = \{\{\underline{
\mathsf {m}}
,\underline{
\mathsf {m}}
\}
,\{\underline{
\mathsf {m}}
,(\underline{(fy)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
* \{ ph \mathrel{\in}  \{ ph \mathrel{\in} P(P(Union(\{N
,Q
\}
)
)
)
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op1)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op2)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\overline{(op1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(op2)}
 \mathrel{\in} Q
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\mathsf {a}
 _{Ph} 
 = \{\{\overline{(op1)}
,\overline{(op1)}
\}
,\{\overline{(op1)}
,\overline{(op2)}
\}
\}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\}
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(crs1)}
\colon \dot{\neg}\,(
\mathsf {c}
 _{Ph} 
 = \{\{\overline{(crs1)}
,\overline{(crs1)}
\}
,\{\overline{(crs1)}
,0
\}
\}
)n
)n
\}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
)
\}
\}
)n
)n
\}
[\overline{
\mathsf {m}}
]
+(-u
\mathsf {d}
 _{Ph} 
[\overline{
\mathsf {m}}
]
)
)
|
 = \overline{(\epsilon)}
)n
)n
)n
)n
)n
\}
; \!{}==\!{}Transitivity
\rhd  \{ ph \mathrel{\in} P( \{ ph \mathrel{\in} P( \{ ph \mathrel{\in} P(P(Union(\{N
,Q
\}
)
)
)
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op1)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op2)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\overline{(op1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(op2)}
 \mathrel{\in} Q
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\mathsf {a}
 _{Ph} 
 = \{\{\overline{(op1)}
,\overline{(op1)}
\}
,\{\overline{(op1)}
,\overline{(op2)}
\}
\}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\}
)
\mid \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(r1)}
\colon \overline{(r1)}
 \mathrel{\in} 
\mathsf {f}
 _{Ph} 
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op1)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op2)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\overline{(op1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(op2)}
 \mathrel{\in} Q
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(r1)}
 = \{\{\overline{(op1)}
,\overline{(op1)}
\}
,\{\overline{(op1)}
,\overline{(op2)}
\}
\}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(f1)}
\colon 
\forall_{obj} \overline{(f2)}
\colon 
\forall_{obj} \overline{(f3)}
\colon 
\forall_{obj} \overline{(f4)}
\colon \{\{\overline{(f1)}
,\overline{(f1)}
\}
,\{\overline{(f1)}
,\overline{(f2)}
\}
\}
 \mathrel{\in} 
\mathsf {f}
 _{Ph} 
\Rightarrow \{\{\overline{(f3)}
,\overline{(f3)}
\}
,\{\overline{(f3)}
,\overline{(f4)}
\}
\}
 \mathrel{\in} 
\mathsf {f}
 _{Ph} 
\Rightarrow \overline{(f1)}
 = \overline{(f3)}
\Rightarrow \overline{(f2)}
 = \overline{(f4)}
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(s1)}
\colon \overline{(s1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(s2)}
\colon \dot{\neg}\,(\{\{\overline{(s1)}
,\overline{(s1)}
\}
,\{\overline{(s1)}
,\overline{(s2)}
\}
\}
 \mathrel{\in} 
\mathsf {f}
 _{Ph} 
)n
)n
)n
)n
\}
)
\mid 
\forall_{obj} \overline{(\epsilon)}
\colon \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {n}}
\colon \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {m}}
\colon \dot{\neg}\,(0
 <= \overline{(\epsilon)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(0
 = \overline{(\epsilon)}
)n
)n
)n
\Rightarrow \overline{
\mathsf {n}}
 <= \overline{
\mathsf {m}}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(|( \{ ph \mathrel{\in}  \{ ph \mathrel{\in} P(P(Union(\{N
,Q
\}
)
)
)
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op1)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op2)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\overline{(op1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(op2)}
 \mathrel{\in} Q
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\mathsf {a}
 _{Ph} 
 = \{\{\overline{(op1)}
,\overline{(op1)}
\}
,\{\overline{(op1)}
,\overline{(op2)}
\}
\}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\}
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \underline{
\mathsf {m}}
\colon \dot{\neg}\,(
\mathsf {e}
 _{Ph} 
 = \{\{\underline{
\mathsf {m}}
,\underline{
\mathsf {m}}
\}
,\{\underline{
\mathsf {m}}
,(\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
*\underline{(fz)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
)
\}
\}
)n
)n
\}
[\overline{
\mathsf {m}}
]
+(-u
\mathsf {d}
 _{Ph} 
[\overline{
\mathsf {m}}
]
)
)
|
 <= \overline{(\epsilon)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(|( \{ ph \mathrel{\in}  \{ ph \mathrel{\in} P(P(Union(\{N
,Q
\}
)
)
)
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op1)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op2)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\overline{(op1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(op2)}
 \mathrel{\in} Q
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\mathsf {a}
 _{Ph} 
 = \{\{\overline{(op1)}
,\overline{(op1)}
\}
,\{\overline{(op1)}
,\overline{(op2)}
\}
\}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\}
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \underline{
\mathsf {m}}
\colon \dot{\neg}\,(
\mathsf {e}
 _{Ph} 
 = \{\{\underline{
\mathsf {m}}
,\underline{
\mathsf {m}}
\}
,\{\underline{
\mathsf {m}}
,(\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
*\underline{(fz)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
)
\}
\}
)n
)n
\}
[\overline{
\mathsf {m}}
]
+(-u
\mathsf {d}
 _{Ph} 
[\overline{
\mathsf {m}}
]
)
)
|
 = \overline{(\epsilon)}
)n
)n
)n
)n
)n
\}
 =  \{ ph \mathrel{\in} P( \{ ph \mathrel{\in} P( \{ ph \mathrel{\in} P(P(Union(\{N
,Q
\}
)
)
)
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op1)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op2)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\overline{(op1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(op2)}
 \mathrel{\in} Q
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\mathsf {a}
 _{Ph} 
 = \{\{\overline{(op1)}
,\overline{(op1)}
\}
,\{\overline{(op1)}
,\overline{(op2)}
\}
\}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\}
)
\mid \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(r1)}
\colon \overline{(r1)}
 \mathrel{\in} 
\mathsf {f}
 _{Ph} 
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op1)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op2)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\overline{(op1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(op2)}
 \mathrel{\in} Q
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(r1)}
 = \{\{\overline{(op1)}
,\overline{(op1)}
\}
,\{\overline{(op1)}
,\overline{(op2)}
\}
\}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(f1)}
\colon 
\forall_{obj} \overline{(f2)}
\colon 
\forall_{obj} \overline{(f3)}
\colon 
\forall_{obj} \overline{(f4)}
\colon \{\{\overline{(f1)}
,\overline{(f1)}
\}
,\{\overline{(f1)}
,\overline{(f2)}
\}
\}
 \mathrel{\in} 
\mathsf {f}
 _{Ph} 
\Rightarrow \{\{\overline{(f3)}
,\overline{(f3)}
\}
,\{\overline{(f3)}
,\overline{(f4)}
\}
\}
 \mathrel{\in} 
\mathsf {f}
 _{Ph} 
\Rightarrow \overline{(f1)}
 = \overline{(f3)}
\Rightarrow \overline{(f2)}
 = \overline{(f4)}
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(s1)}
\colon \overline{(s1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(s2)}
\colon \dot{\neg}\,(\{\{\overline{(s1)}
,\overline{(s1)}
\}
,\{\overline{(s1)}
,\overline{(s2)}
\}
\}
 \mathrel{\in} 
\mathsf {f}
 _{Ph} 
)n
)n
)n
)n
\}
)
\mid 
\forall_{obj} \overline{(\epsilon)}
\colon \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {n}}
\colon \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {m}}
\colon \dot{\neg}\,(0
 <= \overline{(\epsilon)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(0
 = \overline{(\epsilon)}
)n
)n
)n
\Rightarrow \overline{
\mathsf {n}}
 <= \overline{
\mathsf {m}}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(|( \{ ph \mathrel{\in}  \{ ph \mathrel{\in} P(P(Union(\{N
,Q
\}
)
)
)
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op1)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op2)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\overline{(op1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(op2)}
 \mathrel{\in} Q
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\mathsf {a}
 _{Ph} 
 = \{\{\overline{(op1)}
,\overline{(op1)}
\}
,\{\overline{(op1)}
,\overline{(op2)}
\}
\}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\}
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \underline{
\mathsf {m}}
\colon \dot{\neg}\,(
\mathsf {e}
 _{Ph} 
 = \{\{\underline{
\mathsf {m}}
,\underline{
\mathsf {m}}
\}
,\{\underline{
\mathsf {m}}
,(\underline{(fy)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
* \{ ph \mathrel{\in}  \{ ph \mathrel{\in} P(P(Union(\{N
,Q
\}
)
)
)
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op1)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op2)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\overline{(op1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(op2)}
 \mathrel{\in} Q
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\mathsf {a}
 _{Ph} 
 = \{\{\overline{(op1)}
,\overline{(op1)}
\}
,\{\overline{(op1)}
,\overline{(op2)}
\}
\}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\}
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(crs1)}
\colon \dot{\neg}\,(
\mathsf {c}
 _{Ph} 
 = \{\{\overline{(crs1)}
,\overline{(crs1)}
\}
,\{\overline{(crs1)}
,0
\}
\}
)n
)n
\}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
)
\}
\}
)n
)n
\}
[\overline{
\mathsf {m}}
]
+(-u
\mathsf {d}
 _{Ph} 
[\overline{
\mathsf {m}}
]
)
)
|
 <= \overline{(\epsilon)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(|( \{ ph \mathrel{\in}  \{ ph \mathrel{\in} P(P(Union(\{N
,Q
\}
)
)
)
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op1)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op2)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\overline{(op1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(op2)}
 \mathrel{\in} Q
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\mathsf {a}
 _{Ph} 
 = \{\{\overline{(op1)}
,\overline{(op1)}
\}
,\{\overline{(op1)}
,\overline{(op2)}
\}
\}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\}
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \underline{
\mathsf {m}}
\colon \dot{\neg}\,(
\mathsf {e}
 _{Ph} 
 = \{\{\underline{
\mathsf {m}}
,\underline{
\mathsf {m}}
\}
,\{\underline{
\mathsf {m}}
,(\underline{(fy)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
* \{ ph \mathrel{\in}  \{ ph \mathrel{\in} P(P(Union(\{N
,Q
\}
)
)
)
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op1)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op2)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\overline{(op1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(op2)}
 \mathrel{\in} Q
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\mathsf {a}
 _{Ph} 
 = \{\{\overline{(op1)}
,\overline{(op1)}
\}
,\{\overline{(op1)}
,\overline{(op2)}
\}
\}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\}
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(crs1)}
\colon \dot{\neg}\,(
\mathsf {c}
 _{Ph} 
 = \{\{\overline{(crs1)}
,\overline{(crs1)}
\}
,\{\overline{(crs1)}
,0
\}
\}
)n
)n
\}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
)
\}
\}
)n
)n
\}
[\overline{
\mathsf {m}}
]
+(-u
\mathsf {d}
 _{Ph} 
[\overline{
\mathsf {m}}
]
)
)
|
 = \overline{(\epsilon)}
)n
)n
)n
)n
)n
\}
\rhd  \{ ph \mathrel{\in} P( \{ ph \mathrel{\in} P( \{ ph \mathrel{\in} P(P(Union(\{N
,Q
\}
)
)
)
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op1)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op2)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\overline{(op1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(op2)}
 \mathrel{\in} Q
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\mathsf {a}
 _{Ph} 
 = \{\{\overline{(op1)}
,\overline{(op1)}
\}
,\{\overline{(op1)}
,\overline{(op2)}
\}
\}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\}
)
\mid \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(r1)}
\colon \overline{(r1)}
 \mathrel{\in} 
\mathsf {f}
 _{Ph} 
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op1)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op2)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\overline{(op1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(op2)}
 \mathrel{\in} Q
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(r1)}
 = \{\{\overline{(op1)}
,\overline{(op1)}
\}
,\{\overline{(op1)}
,\overline{(op2)}
\}
\}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(f1)}
\colon 
\forall_{obj} \overline{(f2)}
\colon 
\forall_{obj} \overline{(f3)}
\colon 
\forall_{obj} \overline{(f4)}
\colon \{\{\overline{(f1)}
,\overline{(f1)}
\}
,\{\overline{(f1)}
,\overline{(f2)}
\}
\}
 \mathrel{\in} 
\mathsf {f}
 _{Ph} 
\Rightarrow \{\{\overline{(f3)}
,\overline{(f3)}
\}
,\{\overline{(f3)}
,\overline{(f4)}
\}
\}
 \mathrel{\in} 
\mathsf {f}
 _{Ph} 
\Rightarrow \overline{(f1)}
 = \overline{(f3)}
\Rightarrow \overline{(f2)}
 = \overline{(f4)}
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(s1)}
\colon \overline{(s1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(s2)}
\colon \dot{\neg}\,(\{\{\overline{(s1)}
,\overline{(s1)}
\}
,\{\overline{(s1)}
,\overline{(s2)}
\}
\}
 \mathrel{\in} 
\mathsf {f}
 _{Ph} 
)n
)n
)n
)n
\}
)
\mid 
\forall_{obj} \overline{(\epsilon)}
\colon \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {n}}
\colon \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {m}}
\colon \dot{\neg}\,(0
 <= \overline{(\epsilon)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(0
 = \overline{(\epsilon)}
)n
)n
)n
\Rightarrow \overline{
\mathsf {n}}
 <= \overline{
\mathsf {m}}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(|( \{ ph \mathrel{\in}  \{ ph \mathrel{\in} P(P(Union(\{N
,Q
\}
)
)
)
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op1)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op2)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\overline{(op1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(op2)}
 \mathrel{\in} Q
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\mathsf {a}
 _{Ph} 
 = \{\{\overline{(op1)}
,\overline{(op1)}
\}
,\{\overline{(op1)}
,\overline{(op2)}
\}
\}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\}
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \underline{
\mathsf {m}}
\colon \dot{\neg}\,(
\mathsf {e}
 _{Ph} 
 = \{\{\underline{
\mathsf {m}}
,\underline{
\mathsf {m}}
\}
,\{\underline{
\mathsf {m}}
,(\underline{(fy)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
* \{ ph \mathrel{\in}  \{ ph \mathrel{\in} P(P(Union(\{N
,Q
\}
)
)
)
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op1)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op2)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\overline{(op1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(op2)}
 \mathrel{\in} Q
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\mathsf {a}
 _{Ph} 
 = \{\{\overline{(op1)}
,\overline{(op1)}
\}
,\{\overline{(op1)}
,\overline{(op2)}
\}
\}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\}
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(crs1)}
\colon \dot{\neg}\,(
\mathsf {c}
 _{Ph} 
 = \{\{\overline{(crs1)}
,\overline{(crs1)}
\}
,\{\overline{(crs1)}
,0
\}
\}
)n
)n
\}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
)
\}
\}
)n
)n
\}
[\overline{
\mathsf {m}}
]
+(-u
\mathsf {d}
 _{Ph} 
[\overline{
\mathsf {m}}
]
)
)
|
 <= \overline{(\epsilon)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(|( \{ ph \mathrel{\in}  \{ ph \mathrel{\in} P(P(Union(\{N
,Q
\}
)
)
)
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op1)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op2)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\overline{(op1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(op2)}
 \mathrel{\in} Q
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\mathsf {a}
 _{Ph} 
 = \{\{\overline{(op1)}
,\overline{(op1)}
\}
,\{\overline{(op1)}
,\overline{(op2)}
\}
\}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\}
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \underline{
\mathsf {m}}
\colon \dot{\neg}\,(
\mathsf {e}
 _{Ph} 
 = \{\{\underline{
\mathsf {m}}
,\underline{
\mathsf {m}}
\}
,\{\underline{
\mathsf {m}}
,(\underline{(fy)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
* \{ ph \mathrel{\in}  \{ ph \mathrel{\in} P(P(Union(\{N
,Q
\}
)
)
)
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op1)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op2)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\overline{(op1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(op2)}
 \mathrel{\in} Q
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\mathsf {a}
 _{Ph} 
 = \{\{\overline{(op1)}
,\overline{(op1)}
\}
,\{\overline{(op1)}
,\overline{(op2)}
\}
\}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\}
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(crs1)}
\colon \dot{\neg}\,(
\mathsf {c}
 _{Ph} 
 = \{\{\overline{(crs1)}
,\overline{(crs1)}
\}
,\{\overline{(crs1)}
,0
\}
\}
)n
)n
\}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
)
\}
\}
)n
)n
\}
[\overline{
\mathsf {m}}
]
+(-u
\mathsf {d}
 _{Ph} 
[\overline{
\mathsf {m}}
]
)
)
|
 = \overline{(\epsilon)}
)n
)n
)n
)n
)n
\}
 =  \{ ph \mathrel{\in} P( \{ ph \mathrel{\in} P( \{ ph \mathrel{\in} P(P(Union(\{N
,Q
\}
)
)
)
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op1)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op2)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\overline{(op1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(op2)}
 \mathrel{\in} Q
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\mathsf {a}
 _{Ph} 
 = \{\{\overline{(op1)}
,\overline{(op1)}
\}
,\{\overline{(op1)}
,\overline{(op2)}
\}
\}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\}
)
\mid \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(r1)}
\colon \overline{(r1)}
 \mathrel{\in} 
\mathsf {f}
 _{Ph} 
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op1)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op2)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\overline{(op1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(op2)}
 \mathrel{\in} Q
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(r1)}
 = \{\{\overline{(op1)}
,\overline{(op1)}
\}
,\{\overline{(op1)}
,\overline{(op2)}
\}
\}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(f1)}
\colon 
\forall_{obj} \overline{(f2)}
\colon 
\forall_{obj} \overline{(f3)}
\colon 
\forall_{obj} \overline{(f4)}
\colon \{\{\overline{(f1)}
,\overline{(f1)}
\}
,\{\overline{(f1)}
,\overline{(f2)}
\}
\}
 \mathrel{\in} 
\mathsf {f}
 _{Ph} 
\Rightarrow \{\{\overline{(f3)}
,\overline{(f3)}
\}
,\{\overline{(f3)}
,\overline{(f4)}
\}
\}
 \mathrel{\in} 
\mathsf {f}
 _{Ph} 
\Rightarrow \overline{(f1)}
 = \overline{(f3)}
\Rightarrow \overline{(f2)}
 = \overline{(f4)}
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(s1)}
\colon \overline{(s1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(s2)}
\colon \dot{\neg}\,(\{\{\overline{(s1)}
,\overline{(s1)}
\}
,\{\overline{(s1)}
,\overline{(s2)}
\}
\}
 \mathrel{\in} 
\mathsf {f}
 _{Ph} 
)n
)n
)n
)n
\}
)
\mid 
\forall_{obj} \overline{(\epsilon)}
\colon \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {n}}
\colon \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {m}}
\colon \dot{\neg}\,(0
 <= \overline{(\epsilon)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(0
 = \overline{(\epsilon)}
)n
)n
)n
\Rightarrow \overline{
\mathsf {n}}
 <= \overline{
\mathsf {m}}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(|( \{ ph \mathrel{\in}  \{ ph \mathrel{\in} P(P(Union(\{N
,Q
\}
)
)
)
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op1)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op2)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\overline{(op1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(op2)}
 \mathrel{\in} Q
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\mathsf {a}
 _{Ph} 
 = \{\{\overline{(op1)}
,\overline{(op1)}
\}
,\{\overline{(op1)}
,\overline{(op2)}
\}
\}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\}
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \underline{
\mathsf {m}}
\colon \dot{\neg}\,(
\mathsf {e}
 _{Ph} 
 = \{\{\underline{
\mathsf {m}}
,\underline{
\mathsf {m}}
\}
,\{\underline{
\mathsf {m}}
,(\underline{(fy)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
*\underline{(fz)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
)
\}
\}
)n
)n
\}
[\overline{
\mathsf {m}}
]
+(-u
\mathsf {d}
 _{Ph} 
[\overline{
\mathsf {m}}
]
)
)
|
 <= \overline{(\epsilon)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(|( \{ ph \mathrel{\in}  \{ ph \mathrel{\in} P(P(Union(\{N
,Q
\}
)
)
)
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op1)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op2)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\overline{(op1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(op2)}
 \mathrel{\in} Q
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\mathsf {a}
 _{Ph} 
 = \{\{\overline{(op1)}
,\overline{(op1)}
\}
,\{\overline{(op1)}
,\overline{(op2)}
\}
\}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\}
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \underline{
\mathsf {m}}
\colon \dot{\neg}\,(
\mathsf {e}
 _{Ph} 
 = \{\{\underline{
\mathsf {m}}
,\underline{
\mathsf {m}}
\}
,\{\underline{
\mathsf {m}}
,(\underline{(fy)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
*\underline{(fz)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
)
\}
\}
)n
)n
\}
[\overline{
\mathsf {m}}
]
+(-u
\mathsf {d}
 _{Ph} 
[\overline{
\mathsf {m}}
]
)
)
|
 = \overline{(\epsilon)}
)n
)n
)n
)n
)n
\}
\gg  \{ ph \mathrel{\in} P( \{ ph \mathrel{\in} P( \{ ph \mathrel{\in} P(P(Union(\{N
,Q
\}
)
)
)
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op1)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op2)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\overline{(op1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(op2)}
 \mathrel{\in} Q
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\mathsf {a}
 _{Ph} 
 = \{\{\overline{(op1)}
,\overline{(op1)}
\}
,\{\overline{(op1)}
,\overline{(op2)}
\}
\}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\}
)
\mid \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(r1)}
\colon \overline{(r1)}
 \mathrel{\in} 
\mathsf {f}
 _{Ph} 
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op1)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op2)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\overline{(op1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(op2)}
 \mathrel{\in} Q
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(r1)}
 = \{\{\overline{(op1)}
,\overline{(op1)}
\}
,\{\overline{(op1)}
,\overline{(op2)}
\}
\}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(f1)}
\colon 
\forall_{obj} \overline{(f2)}
\colon 
\forall_{obj} \overline{(f3)}
\colon 
\forall_{obj} \overline{(f4)}
\colon \{\{\overline{(f1)}
,\overline{(f1)}
\}
,\{\overline{(f1)}
,\overline{(f2)}
\}
\}
 \mathrel{\in} 
\mathsf {f}
 _{Ph} 
\Rightarrow \{\{\overline{(f3)}
,\overline{(f3)}
\}
,\{\overline{(f3)}
,\overline{(f4)}
\}
\}
 \mathrel{\in} 
\mathsf {f}
 _{Ph} 
\Rightarrow \overline{(f1)}
 = \overline{(f3)}
\Rightarrow \overline{(f2)}
 = \overline{(f4)}
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(s1)}
\colon \overline{(s1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(s2)}
\colon \dot{\neg}\,(\{\{\overline{(s1)}
,\overline{(s1)}
\}
,\{\overline{(s1)}
,\overline{(s2)}
\}
\}
 \mathrel{\in} 
\mathsf {f}
 _{Ph} 
)n
)n
)n
)n
\}
)
\mid 
\forall_{obj} \overline{(\epsilon)}
\colon \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {n}}
\colon \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {m}}
\colon \dot{\neg}\,(0
 <= \overline{(\epsilon)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(0
 = \overline{(\epsilon)}
)n
)n
)n
\Rightarrow \overline{
\mathsf {n}}
 <= \overline{
\mathsf {m}}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(|( \{ ph \mathrel{\in}  \{ ph \mathrel{\in} P(P(Union(\{N
,Q
\}
)
)
)
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op1)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op2)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\overline{(op1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(op2)}
 \mathrel{\in} Q
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\mathsf {a}
 _{Ph} 
 = \{\{\overline{(op1)}
,\overline{(op1)}
\}
,\{\overline{(op1)}
,\overline{(op2)}
\}
\}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\}
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \underline{
\mathsf {m}}
\colon \dot{\neg}\,(
\mathsf {e}
 _{Ph} 
 = \{\{\underline{
\mathsf {m}}
,\underline{
\mathsf {m}}
\}
,\{\underline{
\mathsf {m}}
,(\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
*\underline{(fz)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
)
\}
\}
)n
)n
\}
[\overline{
\mathsf {m}}
]
+(-u
\mathsf {d}
 _{Ph} 
[\overline{
\mathsf {m}}
]
)
)
|
 <= \overline{(\epsilon)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(|( \{ ph \mathrel{\in}  \{ ph \mathrel{\in} P(P(Union(\{N
,Q
\}
)
)
)
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op1)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op2)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\overline{(op1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(op2)}
 \mathrel{\in} Q
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\mathsf {a}
 _{Ph} 
 = \{\{\overline{(op1)}
,\overline{(op1)}
\}
,\{\overline{(op1)}
,\overline{(op2)}
\}
\}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\}
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \underline{
\mathsf {m}}
\colon \dot{\neg}\,(
\mathsf {e}
 _{Ph} 
 = \{\{\underline{
\mathsf {m}}
,\underline{
\mathsf {m}}
\}
,\{\underline{
\mathsf {m}}
,(\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
*\underline{(fz)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
)
\}
\}
)n
)n
\}
[\overline{
\mathsf {m}}
]
+(-u
\mathsf {d}
 _{Ph} 
[\overline{
\mathsf {m}}
]
)
)
|
 = \overline{(\epsilon)}
)n
)n
)n
)n
)n
\}
 =  \{ ph \mathrel{\in} P( \{ ph \mathrel{\in} P( \{ ph \mathrel{\in} P(P(Union(\{N
,Q
\}
)
)
)
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op1)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op2)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\overline{(op1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(op2)}
 \mathrel{\in} Q
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\mathsf {a}
 _{Ph} 
 = \{\{\overline{(op1)}
,\overline{(op1)}
\}
,\{\overline{(op1)}
,\overline{(op2)}
\}
\}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\}
)
\mid \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(r1)}
\colon \overline{(r1)}
 \mathrel{\in} 
\mathsf {f}
 _{Ph} 
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op1)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op2)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\overline{(op1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(op2)}
 \mathrel{\in} Q
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(r1)}
 = \{\{\overline{(op1)}
,\overline{(op1)}
\}
,\{\overline{(op1)}
,\overline{(op2)}
\}
\}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(f1)}
\colon 
\forall_{obj} \overline{(f2)}
\colon 
\forall_{obj} \overline{(f3)}
\colon 
\forall_{obj} \overline{(f4)}
\colon \{\{\overline{(f1)}
,\overline{(f1)}
\}
,\{\overline{(f1)}
,\overline{(f2)}
\}
\}
 \mathrel{\in} 
\mathsf {f}
 _{Ph} 
\Rightarrow \{\{\overline{(f3)}
,\overline{(f3)}
\}
,\{\overline{(f3)}
,\overline{(f4)}
\}
\}
 \mathrel{\in} 
\mathsf {f}
 _{Ph} 
\Rightarrow \overline{(f1)}
 = \overline{(f3)}
\Rightarrow \overline{(f2)}
 = \overline{(f4)}
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(s1)}
\colon \overline{(s1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(s2)}
\colon \dot{\neg}\,(\{\{\overline{(s1)}
,\overline{(s1)}
\}
,\{\overline{(s1)}
,\overline{(s2)}
\}
\}
 \mathrel{\in} 
\mathsf {f}
 _{Ph} 
)n
)n
)n
)n
\}
)
\mid 
\forall_{obj} \overline{(\epsilon)}
\colon \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {n}}
\colon \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {m}}
\colon \dot{\neg}\,(0
 <= \overline{(\epsilon)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(0
 = \overline{(\epsilon)}
)n
)n
)n
\Rightarrow \overline{
\mathsf {n}}
 <= \overline{
\mathsf {m}}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(|( \{ ph \mathrel{\in}  \{ ph \mathrel{\in} P(P(Union(\{N
,Q
\}
)
)
)
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op1)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op2)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\overline{(op1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(op2)}
 \mathrel{\in} Q
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\mathsf {a}
 _{Ph} 
 = \{\{\overline{(op1)}
,\overline{(op1)}
\}
,\{\overline{(op1)}
,\overline{(op2)}
\}
\}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\}
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \underline{
\mathsf {m}}
\colon \dot{\neg}\,(
\mathsf {e}
 _{Ph} 
 = \{\{\underline{
\mathsf {m}}
,\underline{
\mathsf {m}}
\}
,\{\underline{
\mathsf {m}}
,(\underline{(fy)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
*\underline{(fz)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
)
\}
\}
)n
)n
\}
[\overline{
\mathsf {m}}
]
+(-u
\mathsf {d}
 _{Ph} 
[\overline{
\mathsf {m}}
]
)
)
|
 <= \overline{(\epsilon)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(|( \{ ph \mathrel{\in}  \{ ph \mathrel{\in} P(P(Union(\{N
,Q
\}
)
)
)
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op1)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op2)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\overline{(op1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(op2)}
 \mathrel{\in} Q
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\mathsf {a}
 _{Ph} 
 = \{\{\overline{(op1)}
,\overline{(op1)}
\}
,\{\overline{(op1)}
,\overline{(op2)}
\}
\}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\}
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \underline{
\mathsf {m}}
\colon \dot{\neg}\,(
\mathsf {e}
 _{Ph} 
 = \{\{\underline{
\mathsf {m}}
,\underline{
\mathsf {m}}
\}
,\{\underline{
\mathsf {m}}
,(\underline{(fy)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
*\underline{(fz)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
)
\}
\}
)n
)n
\}
[\overline{
\mathsf {m}}
]
+(-u
\mathsf {d}
 _{Ph} 
[\overline{
\mathsf {m}}
]
)
)
|
 = \overline{(\epsilon)}
)n
)n
)n
)n
)n
\}
; 
\mbox{lemma eqLeq(R)}
\rhd  \{ ph \mathrel{\in} P( \{ ph \mathrel{\in} P( \{ ph \mathrel{\in} P(P(Union(\{N
,Q
\}
)
)
)
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op1)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op2)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\overline{(op1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(op2)}
 \mathrel{\in} Q
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\mathsf {a}
 _{Ph} 
 = \{\{\overline{(op1)}
,\overline{(op1)}
\}
,\{\overline{(op1)}
,\overline{(op2)}
\}
\}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\}
)
\mid \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(r1)}
\colon \overline{(r1)}
 \mathrel{\in} 
\mathsf {f}
 _{Ph} 
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op1)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op2)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\overline{(op1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(op2)}
 \mathrel{\in} Q
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(r1)}
 = \{\{\overline{(op1)}
,\overline{(op1)}
\}
,\{\overline{(op1)}
,\overline{(op2)}
\}
\}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(f1)}
\colon 
\forall_{obj} \overline{(f2)}
\colon 
\forall_{obj} \overline{(f3)}
\colon 
\forall_{obj} \overline{(f4)}
\colon \{\{\overline{(f1)}
,\overline{(f1)}
\}
,\{\overline{(f1)}
,\overline{(f2)}
\}
\}
 \mathrel{\in} 
\mathsf {f}
 _{Ph} 
\Rightarrow \{\{\overline{(f3)}
,\overline{(f3)}
\}
,\{\overline{(f3)}
,\overline{(f4)}
\}
\}
 \mathrel{\in} 
\mathsf {f}
 _{Ph} 
\Rightarrow \overline{(f1)}
 = \overline{(f3)}
\Rightarrow \overline{(f2)}
 = \overline{(f4)}
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(s1)}
\colon \overline{(s1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(s2)}
\colon \dot{\neg}\,(\{\{\overline{(s1)}
,\overline{(s1)}
\}
,\{\overline{(s1)}
,\overline{(s2)}
\}
\}
 \mathrel{\in} 
\mathsf {f}
 _{Ph} 
)n
)n
)n
)n
\}
)
\mid 
\forall_{obj} \overline{(\epsilon)}
\colon \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {n}}
\colon \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {m}}
\colon \dot{\neg}\,(0
 <= \overline{(\epsilon)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(0
 = \overline{(\epsilon)}
)n
)n
)n
\Rightarrow \overline{
\mathsf {n}}
 <= \overline{
\mathsf {m}}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(|( \{ ph \mathrel{\in}  \{ ph \mathrel{\in} P(P(Union(\{N
,Q
\}
)
)
)
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op1)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op2)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\overline{(op1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(op2)}
 \mathrel{\in} Q
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\mathsf {a}
 _{Ph} 
 = \{\{\overline{(op1)}
,\overline{(op1)}
\}
,\{\overline{(op1)}
,\overline{(op2)}
\}
\}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\}
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \underline{
\mathsf {m}}
\colon \dot{\neg}\,(
\mathsf {e}
 _{Ph} 
 = \{\{\underline{
\mathsf {m}}
,\underline{
\mathsf {m}}
\}
,\{\underline{
\mathsf {m}}
,(\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
*\underline{(fz)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
)
\}
\}
)n
)n
\}
[\overline{
\mathsf {m}}
]
+(-u
\mathsf {d}
 _{Ph} 
[\overline{
\mathsf {m}}
]
)
)
|
 <= \overline{(\epsilon)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(|( \{ ph \mathrel{\in}  \{ ph \mathrel{\in} P(P(Union(\{N
,Q
\}
)
)
)
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op1)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op2)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\overline{(op1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(op2)}
 \mathrel{\in} Q
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\mathsf {a}
 _{Ph} 
 = \{\{\overline{(op1)}
,\overline{(op1)}
\}
,\{\overline{(op1)}
,\overline{(op2)}
\}
\}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\}
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \underline{
\mathsf {m}}
\colon \dot{\neg}\,(
\mathsf {e}
 _{Ph} 
 = \{\{\underline{
\mathsf {m}}
,\underline{
\mathsf {m}}
\}
,\{\underline{
\mathsf {m}}
,(\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
*\underline{(fz)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
)
\}
\}
)n
)n
\}
[\overline{
\mathsf {m}}
]
+(-u
\mathsf {d}
 _{Ph} 
[\overline{
\mathsf {m}}
]
)
)
|
 = \overline{(\epsilon)}
)n
)n
)n
)n
)n
\}
 =  \{ ph \mathrel{\in} P( \{ ph \mathrel{\in} P( \{ ph \mathrel{\in} P(P(Union(\{N
,Q
\}
)
)
)
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op1)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op2)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\overline{(op1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(op2)}
 \mathrel{\in} Q
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\mathsf {a}
 _{Ph} 
 = \{\{\overline{(op1)}
,\overline{(op1)}
\}
,\{\overline{(op1)}
,\overline{(op2)}
\}
\}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\}
)
\mid \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(r1)}
\colon \overline{(r1)}
 \mathrel{\in} 
\mathsf {f}
 _{Ph} 
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op1)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op2)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\overline{(op1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(op2)}
 \mathrel{\in} Q
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(r1)}
 = \{\{\overline{(op1)}
,\overline{(op1)}
\}
,\{\overline{(op1)}
,\overline{(op2)}
\}
\}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(f1)}
\colon 
\forall_{obj} \overline{(f2)}
\colon 
\forall_{obj} \overline{(f3)}
\colon 
\forall_{obj} \overline{(f4)}
\colon \{\{\overline{(f1)}
,\overline{(f1)}
\}
,\{\overline{(f1)}
,\overline{(f2)}
\}
\}
 \mathrel{\in} 
\mathsf {f}
 _{Ph} 
\Rightarrow \{\{\overline{(f3)}
,\overline{(f3)}
\}
,\{\overline{(f3)}
,\overline{(f4)}
\}
\}
 \mathrel{\in} 
\mathsf {f}
 _{Ph} 
\Rightarrow \overline{(f1)}
 = \overline{(f3)}
\Rightarrow \overline{(f2)}
 = \overline{(f4)}
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(s1)}
\colon \overline{(s1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(s2)}
\colon \dot{\neg}\,(\{\{\overline{(s1)}
,\overline{(s1)}
\}
,\{\overline{(s1)}
,\overline{(s2)}
\}
\}
 \mathrel{\in} 
\mathsf {f}
 _{Ph} 
)n
)n
)n
)n
\}
)
\mid 
\forall_{obj} \overline{(\epsilon)}
\colon \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {n}}
\colon \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {m}}
\colon \dot{\neg}\,(0
 <= \overline{(\epsilon)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(0
 = \overline{(\epsilon)}
)n
)n
)n
\Rightarrow \overline{
\mathsf {n}}
 <= \overline{
\mathsf {m}}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(|( \{ ph \mathrel{\in}  \{ ph \mathrel{\in} P(P(Union(\{N
,Q
\}
)
)
)
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op1)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op2)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\overline{(op1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(op2)}
 \mathrel{\in} Q
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\mathsf {a}
 _{Ph} 
 = \{\{\overline{(op1)}
,\overline{(op1)}
\}
,\{\overline{(op1)}
,\overline{(op2)}
\}
\}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\}
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \underline{
\mathsf {m}}
\colon \dot{\neg}\,(
\mathsf {e}
 _{Ph} 
 = \{\{\underline{
\mathsf {m}}
,\underline{
\mathsf {m}}
\}
,\{\underline{
\mathsf {m}}
,(\underline{(fy)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
*\underline{(fz)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
)
\}
\}
)n
)n
\}
[\overline{
\mathsf {m}}
]
+(-u
\mathsf {d}
 _{Ph} 
[\overline{
\mathsf {m}}
]
)
)
|
 <= \overline{(\epsilon)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(|( \{ ph \mathrel{\in}  \{ ph \mathrel{\in} P(P(Union(\{N
,Q
\}
)
)
)
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op1)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op2)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\overline{(op1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(op2)}
 \mathrel{\in} Q
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\mathsf {a}
 _{Ph} 
 = \{\{\overline{(op1)}
,\overline{(op1)}
\}
,\{\overline{(op1)}
,\overline{(op2)}
\}
\}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\}
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \underline{
\mathsf {m}}
\colon \dot{\neg}\,(
\mathsf {e}
 _{Ph} 
 = \{\{\underline{
\mathsf {m}}
,\underline{
\mathsf {m}}
\}
,\{\underline{
\mathsf {m}}
,(\underline{(fy)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
*\underline{(fz)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
)
\}
\}
)n
)n
\}
[\overline{
\mathsf {m}}
]
+(-u
\mathsf {d}
 _{Ph} 
[\overline{
\mathsf {m}}
]
)
)
|
 = \overline{(\epsilon)}
)n
)n
)n
)n
)n
\}
\gg \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(\epsilon)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {n}}
\colon \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {m}}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(0
 <= \overline{(\epsilon)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(0
 = \overline{(\epsilon)}
)n
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{
\mathsf {n}}
 <= \overline{
\mathsf {m}}
\Rightarrow  \{ ph \mathrel{\in}  \{ ph \mathrel{\in} P(P(Union(\{N
,Q
\}
)
)
)
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op1)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op2)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\overline{(op1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(op2)}
 \mathrel{\in} Q
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\mathsf {a}
 _{Ph} 
 = \{\{\overline{(op1)}
,\overline{(op1)}
\}
,\{\overline{(op1)}
,\overline{(op2)}
\}
\}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\}
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \underline{
\mathsf {m}}
\colon \dot{\neg}\,(
\mathsf {e}
 _{Ph} 
 = \{\{\underline{
\mathsf {m}}
,\underline{
\mathsf {m}}
\}
,\{\underline{
\mathsf {m}}
,(\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
*\underline{(fz)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
)
\}
\}
)n
)n
\}
[\overline{
\mathsf {m}}
]
 <= ( \{ ph \mathrel{\in}  \{ ph \mathrel{\in} P(P(Union(\{N
,Q
\}
)
)
)
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op1)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op2)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\overline{(op1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(op2)}
 \mathrel{\in} Q
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\mathsf {a}
 _{Ph} 
 = \{\{\overline{(op1)}
,\overline{(op1)}
\}
,\{\overline{(op1)}
,\overline{(op2)}
\}
\}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\}
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \underline{
\mathsf {m}}
\colon \dot{\neg}\,(
\mathsf {e}
 _{Ph} 
 = \{\{\underline{
\mathsf {m}}
,\underline{
\mathsf {m}}
\}
,\{\underline{
\mathsf {m}}
,(\underline{(fy)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
*\underline{(fz)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
)
\}
\}
)n
)n
\}
[\overline{
\mathsf {m}}
]
+(-u\overline{(\epsilon)}
)
)
)n
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\Rightarrow  \{ ph \mathrel{\in} P( \{ ph \mathrel{\in} P( \{ ph \mathrel{\in} P(P(Union(\{N
,Q
\}
)
)
)
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op1)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op2)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\overline{(op1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(op2)}
 \mathrel{\in} Q
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\mathsf {a}
 _{Ph} 
 = \{\{\overline{(op1)}
,\overline{(op1)}
\}
,\{\overline{(op1)}
,\overline{(op2)}
\}
\}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\}
)
\mid \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(r1)}
\colon \overline{(r1)}
 \mathrel{\in} 
\mathsf {f}
 _{Ph} 
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op1)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op2)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\overline{(op1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(op2)}
 \mathrel{\in} Q
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(r1)}
 = \{\{\overline{(op1)}
,\overline{(op1)}
\}
,\{\overline{(op1)}
,\overline{(op2)}
\}
\}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(f1)}
\colon 
\forall_{obj} \overline{(f2)}
\colon 
\forall_{obj} \overline{(f3)}
\colon 
\forall_{obj} \overline{(f4)}
\colon \{\{\overline{(f1)}
,\overline{(f1)}
\}
,\{\overline{(f1)}
,\overline{(f2)}
\}
\}
 \mathrel{\in} 
\mathsf {f}
 _{Ph} 
\Rightarrow \{\{\overline{(f3)}
,\overline{(f3)}
\}
,\{\overline{(f3)}
,\overline{(f4)}
\}
\}
 \mathrel{\in} 
\mathsf {f}
 _{Ph} 
\Rightarrow \overline{(f1)}
 = \overline{(f3)}
\Rightarrow \overline{(f2)}
 = \overline{(f4)}
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(s1)}
\colon \overline{(s1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(s2)}
\colon \dot{\neg}\,(\{\{\overline{(s1)}
,\overline{(s1)}
\}
,\{\overline{(s1)}
,\overline{(s2)}
\}
\}
 \mathrel{\in} 
\mathsf {f}
 _{Ph} 
)n
)n
)n
)n
\}
)
\mid 
\forall_{obj} \overline{(\epsilon)}
\colon \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {n}}
\colon \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {m}}
\colon \dot{\neg}\,(0
 <= \overline{(\epsilon)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(0
 = \overline{(\epsilon)}
)n
)n
)n
\Rightarrow \overline{
\mathsf {n}}
 <= \overline{
\mathsf {m}}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(|( \{ ph \mathrel{\in}  \{ ph \mathrel{\in} P(P(Union(\{N
,Q
\}
)
)
)
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op1)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op2)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\overline{(op1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(op2)}
 \mathrel{\in} Q
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\mathsf {a}
 _{Ph} 
 = \{\{\overline{(op1)}
,\overline{(op1)}
\}
,\{\overline{(op1)}
,\overline{(op2)}
\}
\}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\}
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \underline{
\mathsf {m}}
\colon \dot{\neg}\,(
\mathsf {e}
 _{Ph} 
 = \{\{\underline{
\mathsf {m}}
,\underline{
\mathsf {m}}
\}
,\{\underline{
\mathsf {m}}
,(\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
*\underline{(fz)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
)
\}
\}
)n
)n
\}
[\overline{
\mathsf {m}}
]
+(-u
\mathsf {d}
 _{Ph} 
[\overline{
\mathsf {m}}
]
)
)
|
 <= \overline{(\epsilon)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(|( \{ ph \mathrel{\in}  \{ ph \mathrel{\in} P(P(Union(\{N
,Q
\}
)
)
)
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op1)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op2)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\overline{(op1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(op2)}
 \mathrel{\in} Q
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\mathsf {a}
 _{Ph} 
 = \{\{\overline{(op1)}
,\overline{(op1)}
\}
,\{\overline{(op1)}
,\overline{(op2)}
\}
\}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\}
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \underline{
\mathsf {m}}
\colon \dot{\neg}\,(
\mathsf {e}
 _{Ph} 
 = \{\{\underline{
\mathsf {m}}
,\underline{
\mathsf {m}}
\}
,\{\underline{
\mathsf {m}}
,(\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
*\underline{(fz)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
)
\}
\}
)n
)n
\}
[\overline{
\mathsf {m}}
]
+(-u
\mathsf {d}
 _{Ph} 
[\overline{
\mathsf {m}}
]
)
)
|
 = \overline{(\epsilon)}
)n
)n
)n
)n
)n
\}
 =  \{ ph \mathrel{\in} P( \{ ph \mathrel{\in} P( \{ ph \mathrel{\in} P(P(Union(\{N
,Q
\}
)
)
)
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op1)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op2)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\overline{(op1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(op2)}
 \mathrel{\in} Q
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\mathsf {a}
 _{Ph} 
 = \{\{\overline{(op1)}
,\overline{(op1)}
\}
,\{\overline{(op1)}
,\overline{(op2)}
\}
\}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\}
)
\mid \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(r1)}
\colon \overline{(r1)}
 \mathrel{\in} 
\mathsf {f}
 _{Ph} 
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op1)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op2)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\overline{(op1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(op2)}
 \mathrel{\in} Q
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(r1)}
 = \{\{\overline{(op1)}
,\overline{(op1)}
\}
,\{\overline{(op1)}
,\overline{(op2)}
\}
\}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(f1)}
\colon 
\forall_{obj} \overline{(f2)}
\colon 
\forall_{obj} \overline{(f3)}
\colon 
\forall_{obj} \overline{(f4)}
\colon \{\{\overline{(f1)}
,\overline{(f1)}
\}
,\{\overline{(f1)}
,\overline{(f2)}
\}
\}
 \mathrel{\in} 
\mathsf {f}
 _{Ph} 
\Rightarrow \{\{\overline{(f3)}
,\overline{(f3)}
\}
,\{\overline{(f3)}
,\overline{(f4)}
\}
\}
 \mathrel{\in} 
\mathsf {f}
 _{Ph} 
\Rightarrow \overline{(f1)}
 = \overline{(f3)}
\Rightarrow \overline{(f2)}
 = \overline{(f4)}
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(s1)}
\colon \overline{(s1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(s2)}
\colon \dot{\neg}\,(\{\{\overline{(s1)}
,\overline{(s1)}
\}
,\{\overline{(s1)}
,\overline{(s2)}
\}
\}
 \mathrel{\in} 
\mathsf {f}
 _{Ph} 
)n
)n
)n
)n
\}
)
\mid 
\forall_{obj} \overline{(\epsilon)}
\colon \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {n}}
\colon \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {m}}
\colon \dot{\neg}\,(0
 <= \overline{(\epsilon)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(0
 = \overline{(\epsilon)}
)n
)n
)n
\Rightarrow \overline{
\mathsf {n}}
 <= \overline{
\mathsf {m}}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(|( \{ ph \mathrel{\in}  \{ ph \mathrel{\in} P(P(Union(\{N
,Q
\}
)
)
)
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op1)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op2)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\overline{(op1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(op2)}
 \mathrel{\in} Q
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\mathsf {a}
 _{Ph} 
 = \{\{\overline{(op1)}
,\overline{(op1)}
\}
,\{\overline{(op1)}
,\overline{(op2)}
\}
\}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\}
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \underline{
\mathsf {m}}
\colon \dot{\neg}\,(
\mathsf {e}
 _{Ph} 
 = \{\{\underline{
\mathsf {m}}
,\underline{
\mathsf {m}}
\}
,\{\underline{
\mathsf {m}}
,(\underline{(fy)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
*\underline{(fz)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
)
\}
\}
)n
)n
\}
[\overline{
\mathsf {m}}
]
+(-u
\mathsf {d}
 _{Ph} 
[\overline{
\mathsf {m}}
]
)
)
|
 <= \overline{(\epsilon)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(|( \{ ph \mathrel{\in}  \{ ph \mathrel{\in} P(P(Union(\{N
,Q
\}
)
)
)
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op1)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op2)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\overline{(op1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(op2)}
 \mathrel{\in} Q
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\mathsf {a}
 _{Ph} 
 = \{\{\overline{(op1)}
,\overline{(op1)}
\}
,\{\overline{(op1)}
,\overline{(op2)}
\}
\}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\}
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \underline{
\mathsf {m}}
\colon \dot{\neg}\,(
\mathsf {e}
 _{Ph} 
 = \{\{\underline{
\mathsf {m}}
,\underline{
\mathsf {m}}
\}
,\{\underline{
\mathsf {m}}
,(\underline{(fy)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
*\underline{(fz)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
)
\}
\}
)n
)n
\}
[\overline{
\mathsf {m}}
]
+(-u
\mathsf {d}
 _{Ph} 
[\overline{
\mathsf {m}}
]
)
)
|
 = \overline{(\epsilon)}
)n
)n
)n
)n
)n
\}
; 
\forall \underline{(fx)}
\colon 
\forall \underline{(fy)}
\colon 
\forall \underline{(fz)}
\colon  \{ ph \mathrel{\in} P( \{ ph \mathrel{\in} P( \{ ph \mathrel{\in} P(P(Union(\{N
,Q
\}
)
)
)
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op1)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op2)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\overline{(op1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(op2)}
 \mathrel{\in} Q
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\mathsf {a}
 _{Ph} 
 = \{\{\overline{(op1)}
,\overline{(op1)}
\}
,\{\overline{(op1)}
,\overline{(op2)}
\}
\}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\}
)
\mid \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(r1)}
\colon \overline{(r1)}
 \mathrel{\in} 
\mathsf {f}
 _{Ph} 
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op1)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op2)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\overline{(op1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(op2)}
 \mathrel{\in} Q
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(r1)}
 = \{\{\overline{(op1)}
,\overline{(op1)}
\}
,\{\overline{(op1)}
,\overline{(op2)}
\}
\}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(f1)}
\colon 
\forall_{obj} \overline{(f2)}
\colon 
\forall_{obj} \overline{(f3)}
\colon 
\forall_{obj} \overline{(f4)}
\colon \{\{\overline{(f1)}
,\overline{(f1)}
\}
,\{\overline{(f1)}
,\overline{(f2)}
\}
\}
 \mathrel{\in} 
\mathsf {f}
 _{Ph} 
\Rightarrow \{\{\overline{(f3)}
,\overline{(f3)}
\}
,\{\overline{(f3)}
,\overline{(f4)}
\}
\}
 \mathrel{\in} 
\mathsf {f}
 _{Ph} 
\Rightarrow \overline{(f1)}
 = \overline{(f3)}
\Rightarrow \overline{(f2)}
 = \overline{(f4)}
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(s1)}
\colon \overline{(s1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(s2)}
\colon \dot{\neg}\,(\{\{\overline{(s1)}
,\overline{(s1)}
\}
,\{\overline{(s1)}
,\overline{(s2)}
\}
\}
 \mathrel{\in} 
\mathsf {f}
 _{Ph} 
)n
)n
)n
)n
\}
)
\mid 
\forall_{obj} \overline{(\epsilon)}
\colon \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {n}}
\colon \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {m}}
\colon \dot{\neg}\,(0
 <= \overline{(\epsilon)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(0
 = \overline{(\epsilon)}
)n
)n
)n
\Rightarrow \overline{
\mathsf {n}}
 <= \overline{
\mathsf {m}}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(|(\underline{(fx)}
[\overline{
\mathsf {m}}
]
+(-u
\mathsf {d}
 _{Ph} 
[\overline{
\mathsf {m}}
]
)
)
|
 <= \overline{(\epsilon)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(|(\underline{(fx)}
[\overline{
\mathsf {m}}
]
+(-u
\mathsf {d}
 _{Ph} 
[\overline{
\mathsf {m}}
]
)
)
|
 = \overline{(\epsilon)}
)n
)n
)n
)n
)n
\}
 =  \{ ph \mathrel{\in} P( \{ ph \mathrel{\in} P( \{ ph \mathrel{\in} P(P(Union(\{N
,Q
\}
)
)
)
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op1)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op2)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\overline{(op1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(op2)}
 \mathrel{\in} Q
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\mathsf {a}
 _{Ph} 
 = \{\{\overline{(op1)}
,\overline{(op1)}
\}
,\{\overline{(op1)}
,\overline{(op2)}
\}
\}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\}
)
\mid \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(r1)}
\colon \overline{(r1)}
 \mathrel{\in} 
\mathsf {f}
 _{Ph} 
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op1)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op2)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\overline{(op1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(op2)}
 \mathrel{\in} Q
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(r1)}
 = \{\{\overline{(op1)}
,\overline{(op1)}
\}
,\{\overline{(op1)}
,\overline{(op2)}
\}
\}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(f1)}
\colon 
\forall_{obj} \overline{(f2)}
\colon 
\forall_{obj} \overline{(f3)}
\colon 
\forall_{obj} \overline{(f4)}
\colon \{\{\overline{(f1)}
,\overline{(f1)}
\}
,\{\overline{(f1)}
,\overline{(f2)}
\}
\}
 \mathrel{\in} 
\mathsf {f}
 _{Ph} 
\Rightarrow \{\{\overline{(f3)}
,\overline{(f3)}
\}
,\{\overline{(f3)}
,\overline{(f4)}
\}
\}
 \mathrel{\in} 
\mathsf {f}
 _{Ph} 
\Rightarrow \overline{(f1)}
 = \overline{(f3)}
\Rightarrow \overline{(f2)}
 = \overline{(f4)}
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(s1)}
\colon \overline{(s1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(s2)}
\colon \dot{\neg}\,(\{\{\overline{(s1)}
,\overline{(s1)}
\}
,\{\overline{(s1)}
,\overline{(s2)}
\}
\}
 \mathrel{\in} 
\mathsf {f}
 _{Ph} 
)n
)n
)n
)n
\}
)
\mid 
\forall_{obj} \overline{(\epsilon)}
\colon \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {n}}
\colon \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {m}}
\colon \dot{\neg}\,(0
 <= \overline{(\epsilon)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(0
 = \overline{(\epsilon)}
)n
)n
)n
\Rightarrow \overline{
\mathsf {n}}
 <= \overline{
\mathsf {m}}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(|(\underline{(fy)}
[\overline{
\mathsf {m}}
]
+(-u
\mathsf {d}
 _{Ph} 
[\overline{
\mathsf {m}}
]
)
)
|
 <= \overline{(\epsilon)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(|(\underline{(fy)}
[\overline{
\mathsf {m}}
]
+(-u
\mathsf {d}
 _{Ph} 
[\overline{
\mathsf {m}}
]
)
)
|
 = \overline{(\epsilon)}
)n
)n
)n
)n
)n
\}
\vdash EqMultiplication(R)
\rhd  \{ ph \mathrel{\in} P( \{ ph \mathrel{\in} P( \{ ph \mathrel{\in} P(P(Union(\{N
,Q
\}
)
)
)
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op1)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op2)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\overline{(op1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(op2)}
 \mathrel{\in} Q
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\mathsf {a}
 _{Ph} 
 = \{\{\overline{(op1)}
,\overline{(op1)}
\}
,\{\overline{(op1)}
,\overline{(op2)}
\}
\}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\}
)
\mid \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(r1)}
\colon \overline{(r1)}
 \mathrel{\in} 
\mathsf {f}
 _{Ph} 
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op1)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op2)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\overline{(op1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(op2)}
 \mathrel{\in} Q
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(r1)}
 = \{\{\overline{(op1)}
,\overline{(op1)}
\}
,\{\overline{(op1)}
,\overline{(op2)}
\}
\}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(f1)}
\colon 
\forall_{obj} \overline{(f2)}
\colon 
\forall_{obj} \overline{(f3)}
\colon 
\forall_{obj} \overline{(f4)}
\colon \{\{\overline{(f1)}
,\overline{(f1)}
\}
,\{\overline{(f1)}
,\overline{(f2)}
\}
\}
 \mathrel{\in} 
\mathsf {f}
 _{Ph} 
\Rightarrow \{\{\overline{(f3)}
,\overline{(f3)}
\}
,\{\overline{(f3)}
,\overline{(f4)}
\}
\}
 \mathrel{\in} 
\mathsf {f}
 _{Ph} 
\Rightarrow \overline{(f1)}
 = \overline{(f3)}
\Rightarrow \overline{(f2)}
 = \overline{(f4)}
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(s1)}
\colon \overline{(s1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(s2)}
\colon \dot{\neg}\,(\{\{\overline{(s1)}
,\overline{(s1)}
\}
,\{\overline{(s1)}
,\overline{(s2)}
\}
\}
 \mathrel{\in} 
\mathsf {f}
 _{Ph} 
)n
)n
)n
)n
\}
)
\mid 
\forall_{obj} \overline{(\epsilon)}
\colon \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {n}}
\colon \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {m}}
\colon \dot{\neg}\,(0
 <= \overline{(\epsilon)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(0
 = \overline{(\epsilon)}
)n
)n
)n
\Rightarrow \overline{
\mathsf {n}}
 <= \overline{
\mathsf {m}}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(|(\underline{(fx)}
[\overline{
\mathsf {m}}
]
+(-u
\mathsf {d}
 _{Ph} 
[\overline{
\mathsf {m}}
]
)
)
|
 <= \overline{(\epsilon)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(|(\underline{(fx)}
[\overline{
\mathsf {m}}
]
+(-u
\mathsf {d}
 _{Ph} 
[\overline{
\mathsf {m}}
]
)
)
|
 = \overline{(\epsilon)}
)n
)n
)n
)n
)n
\}
 =  \{ ph \mathrel{\in} P( \{ ph \mathrel{\in} P( \{ ph \mathrel{\in} P(P(Union(\{N
,Q
\}
)
)
)
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op1)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op2)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\overline{(op1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(op2)}
 \mathrel{\in} Q
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\mathsf {a}
 _{Ph} 
 = \{\{\overline{(op1)}
,\overline{(op1)}
\}
,\{\overline{(op1)}
,\overline{(op2)}
\}
\}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\}
)
\mid \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(r1)}
\colon \overline{(r1)}
 \mathrel{\in} 
\mathsf {f}
 _{Ph} 
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op1)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op2)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\overline{(op1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(op2)}
 \mathrel{\in} Q
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(r1)}
 = \{\{\overline{(op1)}
,\overline{(op1)}
\}
,\{\overline{(op1)}
,\overline{(op2)}
\}
\}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(f1)}
\colon 
\forall_{obj} \overline{(f2)}
\colon 
\forall_{obj} \overline{(f3)}
\colon 
\forall_{obj} \overline{(f4)}
\colon \{\{\overline{(f1)}
,\overline{(f1)}
\}
,\{\overline{(f1)}
,\overline{(f2)}
\}
\}
 \mathrel{\in} 
\mathsf {f}
 _{Ph} 
\Rightarrow \{\{\overline{(f3)}
,\overline{(f3)}
\}
,\{\overline{(f3)}
,\overline{(f4)}
\}
\}
 \mathrel{\in} 
\mathsf {f}
 _{Ph} 
\Rightarrow \overline{(f1)}
 = \overline{(f3)}
\Rightarrow \overline{(f2)}
 = \overline{(f4)}
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(s1)}
\colon \overline{(s1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(s2)}
\colon \dot{\neg}\,(\{\{\overline{(s1)}
,\overline{(s1)}
\}
,\{\overline{(s1)}
,\overline{(s2)}
\}
\}
 \mathrel{\in} 
\mathsf {f}
 _{Ph} 
)n
)n
)n
)n
\}
)
\mid 
\forall_{obj} \overline{(\epsilon)}
\colon \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {n}}
\colon \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {m}}
\colon \dot{\neg}\,(0
 <= \overline{(\epsilon)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(0
 = \overline{(\epsilon)}
)n
)n
)n
\Rightarrow \overline{
\mathsf {n}}
 <= \overline{
\mathsf {m}}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(|(\underline{(fy)}
[\overline{
\mathsf {m}}
]
+(-u
\mathsf {d}
 _{Ph} 
[\overline{
\mathsf {m}}
]
)
)
|
 <= \overline{(\epsilon)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(|(\underline{(fy)}
[\overline{
\mathsf {m}}
]
+(-u
\mathsf {d}
 _{Ph} 
[\overline{
\mathsf {m}}
]
)
)
|
 = \overline{(\epsilon)}
)n
)n
)n
)n
)n
\}
\gg  \{ ph \mathrel{\in} P( \{ ph \mathrel{\in} P( \{ ph \mathrel{\in} P(P(Union(\{N
,Q
\}
)
)
)
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op1)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op2)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\overline{(op1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(op2)}
 \mathrel{\in} Q
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\mathsf {a}
 _{Ph} 
 = \{\{\overline{(op1)}
,\overline{(op1)}
\}
,\{\overline{(op1)}
,\overline{(op2)}
\}
\}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\}
)
\mid \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(r1)}
\colon \overline{(r1)}
 \mathrel{\in} 
\mathsf {f}
 _{Ph} 
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op1)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op2)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\overline{(op1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(op2)}
 \mathrel{\in} Q
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(r1)}
 = \{\{\overline{(op1)}
,\overline{(op1)}
\}
,\{\overline{(op1)}
,\overline{(op2)}
\}
\}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(f1)}
\colon 
\forall_{obj} \overline{(f2)}
\colon 
\forall_{obj} \overline{(f3)}
\colon 
\forall_{obj} \overline{(f4)}
\colon \{\{\overline{(f1)}
,\overline{(f1)}
\}
,\{\overline{(f1)}
,\overline{(f2)}
\}
\}
 \mathrel{\in} 
\mathsf {f}
 _{Ph} 
\Rightarrow \{\{\overline{(f3)}
,\overline{(f3)}
\}
,\{\overline{(f3)}
,\overline{(f4)}
\}
\}
 \mathrel{\in} 
\mathsf {f}
 _{Ph} 
\Rightarrow \overline{(f1)}
 = \overline{(f3)}
\Rightarrow \overline{(f2)}
 = \overline{(f4)}
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(s1)}
\colon \overline{(s1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(s2)}
\colon \dot{\neg}\,(\{\{\overline{(s1)}
,\overline{(s1)}
\}
,\{\overline{(s1)}
,\overline{(s2)}
\}
\}
 \mathrel{\in} 
\mathsf {f}
 _{Ph} 
)n
)n
)n
)n
\}
)
\mid 
\forall_{obj} \overline{(\epsilon)}
\colon \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {n}}
\colon \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {m}}
\colon \dot{\neg}\,(0
 <= \overline{(\epsilon)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(0
 = \overline{(\epsilon)}
)n
)n
)n
\Rightarrow \overline{
\mathsf {n}}
 <= \overline{
\mathsf {m}}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(|( \{ ph \mathrel{\in}  \{ ph \mathrel{\in} P(P(Union(\{N
,Q
\}
)
)
)
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op1)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op2)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\overline{(op1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(op2)}
 \mathrel{\in} Q
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\mathsf {a}
 _{Ph} 
 = \{\{\overline{(op1)}
,\overline{(op1)}
\}
,\{\overline{(op1)}
,\overline{(op2)}
\}
\}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\}
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \underline{
\mathsf {m}}
\colon \dot{\neg}\,(
\mathsf {e}
 _{Ph} 
 = \{\{\underline{
\mathsf {m}}
,\underline{
\mathsf {m}}
\}
,\{\underline{
\mathsf {m}}
,(\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
*\underline{(fz)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
)
\}
\}
)n
)n
\}
[\overline{
\mathsf {m}}
]
+(-u
\mathsf {d}
 _{Ph} 
[\overline{
\mathsf {m}}
]
)
)
|
 <= \overline{(\epsilon)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(|( \{ ph \mathrel{\in}  \{ ph \mathrel{\in} P(P(Union(\{N
,Q
\}
)
)
)
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op1)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op2)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\overline{(op1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(op2)}
 \mathrel{\in} Q
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\mathsf {a}
 _{Ph} 
 = \{\{\overline{(op1)}
,\overline{(op1)}
\}
,\{\overline{(op1)}
,\overline{(op2)}
\}
\}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\}
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \underline{
\mathsf {m}}
\colon \dot{\neg}\,(
\mathsf {e}
 _{Ph} 
 = \{\{\underline{
\mathsf {m}}
,\underline{
\mathsf {m}}
\}
,\{\underline{
\mathsf {m}}
,(\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
*\underline{(fz)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
)
\}
\}
)n
)n
\}
[\overline{
\mathsf {m}}
]
+(-u
\mathsf {d}
 _{Ph} 
[\overline{
\mathsf {m}}
]
)
)
|
 = \overline{(\epsilon)}
)n
)n
)n
)n
)n
\}
 =  \{ ph \mathrel{\in} P( \{ ph \mathrel{\in} P( \{ ph \mathrel{\in} P(P(Union(\{N
,Q
\}
)
)
)
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op1)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op2)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\overline{(op1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(op2)}
 \mathrel{\in} Q
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\mathsf {a}
 _{Ph} 
 = \{\{\overline{(op1)}
,\overline{(op1)}
\}
,\{\overline{(op1)}
,\overline{(op2)}
\}
\}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\}
)
\mid \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(r1)}
\colon \overline{(r1)}
 \mathrel{\in} 
\mathsf {f}
 _{Ph} 
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op1)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op2)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\overline{(op1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(op2)}
 \mathrel{\in} Q
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(r1)}
 = \{\{\overline{(op1)}
,\overline{(op1)}
\}
,\{\overline{(op1)}
,\overline{(op2)}
\}
\}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(f1)}
\colon 
\forall_{obj} \overline{(f2)}
\colon 
\forall_{obj} \overline{(f3)}
\colon 
\forall_{obj} \overline{(f4)}
\colon \{\{\overline{(f1)}
,\overline{(f1)}
\}
,\{\overline{(f1)}
,\overline{(f2)}
\}
\}
 \mathrel{\in} 
\mathsf {f}
 _{Ph} 
\Rightarrow \{\{\overline{(f3)}
,\overline{(f3)}
\}
,\{\overline{(f3)}
,\overline{(f4)}
\}
\}
 \mathrel{\in} 
\mathsf {f}
 _{Ph} 
\Rightarrow \overline{(f1)}
 = \overline{(f3)}
\Rightarrow \overline{(f2)}
 = \overline{(f4)}
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(s1)}
\colon \overline{(s1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(s2)}
\colon \dot{\neg}\,(\{\{\overline{(s1)}
,\overline{(s1)}
\}
,\{\overline{(s1)}
,\overline{(s2)}
\}
\}
 \mathrel{\in} 
\mathsf {f}
 _{Ph} 
)n
)n
)n
)n
\}
)
\mid 
\forall_{obj} \overline{(\epsilon)}
\colon \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {n}}
\colon \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {m}}
\colon \dot{\neg}\,(0
 <= \overline{(\epsilon)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(0
 = \overline{(\epsilon)}
)n
)n
)n
\Rightarrow \overline{
\mathsf {n}}
 <= \overline{
\mathsf {m}}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(|( \{ ph \mathrel{\in}  \{ ph \mathrel{\in} P(P(Union(\{N
,Q
\}
)
)
)
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op1)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op2)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\overline{(op1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(op2)}
 \mathrel{\in} Q
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\mathsf {a}
 _{Ph} 
 = \{\{\overline{(op1)}
,\overline{(op1)}
\}
,\{\overline{(op1)}
,\overline{(op2)}
\}
\}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\}
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \underline{
\mathsf {m}}
\colon \dot{\neg}\,(
\mathsf {e}
 _{Ph} 
 = \{\{\underline{
\mathsf {m}}
,\underline{
\mathsf {m}}
\}
,\{\underline{
\mathsf {m}}
,(\underline{(fy)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
*\underline{(fz)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
)
\}
\}
)n
)n
\}
[\overline{
\mathsf {m}}
]
+(-u
\mathsf {d}
 _{Ph} 
[\overline{
\mathsf {m}}
]
)
)
|
 <= \overline{(\epsilon)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(|( \{ ph \mathrel{\in}  \{ ph \mathrel{\in} P(P(Union(\{N
,Q
\}
)
)
)
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op1)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op2)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\overline{(op1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(op2)}
 \mathrel{\in} Q
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\mathsf {a}
 _{Ph} 
 = \{\{\overline{(op1)}
,\overline{(op1)}
\}
,\{\overline{(op1)}
,\overline{(op2)}
\}
\}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\}
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \underline{
\mathsf {m}}
\colon \dot{\neg}\,(
\mathsf {e}
 _{Ph} 
 = \{\{\underline{
\mathsf {m}}
,\underline{
\mathsf {m}}
\}
,\{\underline{
\mathsf {m}}
,(\underline{(fy)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
*\underline{(fz)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
)
\}
\}
)n
)n
\}
[\overline{
\mathsf {m}}
]
+(-u
\mathsf {d}
 _{Ph} 
[\overline{
\mathsf {m}}
]
)
)
|
 = \overline{(\epsilon)}
)n
)n
)n
)n
)n
\}
; 
\mbox{lemma eqLeq(R)}
\rhd  \{ ph \mathrel{\in} P( \{ ph \mathrel{\in} P( \{ ph \mathrel{\in} P(P(Union(\{N
,Q
\}
)
)
)
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op1)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op2)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\overline{(op1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(op2)}
 \mathrel{\in} Q
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\mathsf {a}
 _{Ph} 
 = \{\{\overline{(op1)}
,\overline{(op1)}
\}
,\{\overline{(op1)}
,\overline{(op2)}
\}
\}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\}
)
\mid \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(r1)}
\colon \overline{(r1)}
 \mathrel{\in} 
\mathsf {f}
 _{Ph} 
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op1)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op2)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\overline{(op1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(op2)}
 \mathrel{\in} Q
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(r1)}
 = \{\{\overline{(op1)}
,\overline{(op1)}
\}
,\{\overline{(op1)}
,\overline{(op2)}
\}
\}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(f1)}
\colon 
\forall_{obj} \overline{(f2)}
\colon 
\forall_{obj} \overline{(f3)}
\colon 
\forall_{obj} \overline{(f4)}
\colon \{\{\overline{(f1)}
,\overline{(f1)}
\}
,\{\overline{(f1)}
,\overline{(f2)}
\}
\}
 \mathrel{\in} 
\mathsf {f}
 _{Ph} 
\Rightarrow \{\{\overline{(f3)}
,\overline{(f3)}
\}
,\{\overline{(f3)}
,\overline{(f4)}
\}
\}
 \mathrel{\in} 
\mathsf {f}
 _{Ph} 
\Rightarrow \overline{(f1)}
 = \overline{(f3)}
\Rightarrow \overline{(f2)}
 = \overline{(f4)}
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(s1)}
\colon \overline{(s1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(s2)}
\colon \dot{\neg}\,(\{\{\overline{(s1)}
,\overline{(s1)}
\}
,\{\overline{(s1)}
,\overline{(s2)}
\}
\}
 \mathrel{\in} 
\mathsf {f}
 _{Ph} 
)n
)n
)n
)n
\}
)
\mid 
\forall_{obj} \overline{(\epsilon)}
\colon \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {n}}
\colon \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {m}}
\colon \dot{\neg}\,(0
 <= \overline{(\epsilon)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(0
 = \overline{(\epsilon)}
)n
)n
)n
\Rightarrow \overline{
\mathsf {n}}
 <= \overline{
\mathsf {m}}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(|( \{ ph \mathrel{\in}  \{ ph \mathrel{\in} P(P(Union(\{N
,Q
\}
)
)
)
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op1)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op2)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\overline{(op1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(op2)}
 \mathrel{\in} Q
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\mathsf {a}
 _{Ph} 
 = \{\{\overline{(op1)}
,\overline{(op1)}
\}
,\{\overline{(op1)}
,\overline{(op2)}
\}
\}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\}
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \underline{
\mathsf {m}}
\colon \dot{\neg}\,(
\mathsf {e}
 _{Ph} 
 = \{\{\underline{
\mathsf {m}}
,\underline{
\mathsf {m}}
\}
,\{\underline{
\mathsf {m}}
,(\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
*\underline{(fz)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
)
\}
\}
)n
)n
\}
[\overline{
\mathsf {m}}
]
+(-u
\mathsf {d}
 _{Ph} 
[\overline{
\mathsf {m}}
]
)
)
|
 <= \overline{(\epsilon)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(|( \{ ph \mathrel{\in}  \{ ph \mathrel{\in} P(P(Union(\{N
,Q
\}
)
)
)
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op1)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op2)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\overline{(op1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(op2)}
 \mathrel{\in} Q
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\mathsf {a}
 _{Ph} 
 = \{\{\overline{(op1)}
,\overline{(op1)}
\}
,\{\overline{(op1)}
,\overline{(op2)}
\}
\}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\}
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \underline{
\mathsf {m}}
\colon \dot{\neg}\,(
\mathsf {e}
 _{Ph} 
 = \{\{\underline{
\mathsf {m}}
,\underline{
\mathsf {m}}
\}
,\{\underline{
\mathsf {m}}
,(\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
*\underline{(fz)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
)
\}
\}
)n
)n
\}
[\overline{
\mathsf {m}}
]
+(-u
\mathsf {d}
 _{Ph} 
[\overline{
\mathsf {m}}
]
)
)
|
 = \overline{(\epsilon)}
)n
)n
)n
)n
)n
\}
 =  \{ ph \mathrel{\in} P( \{ ph \mathrel{\in} P( \{ ph \mathrel{\in} P(P(Union(\{N
,Q
\}
)
)
)
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op1)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op2)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\overline{(op1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(op2)}
 \mathrel{\in} Q
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\mathsf {a}
 _{Ph} 
 = \{\{\overline{(op1)}
,\overline{(op1)}
\}
,\{\overline{(op1)}
,\overline{(op2)}
\}
\}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\}
)
\mid \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(r1)}
\colon \overline{(r1)}
 \mathrel{\in} 
\mathsf {f}
 _{Ph} 
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op1)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op2)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\overline{(op1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(op2)}
 \mathrel{\in} Q
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(r1)}
 = \{\{\overline{(op1)}
,\overline{(op1)}
\}
,\{\overline{(op1)}
,\overline{(op2)}
\}
\}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(f1)}
\colon 
\forall_{obj} \overline{(f2)}
\colon 
\forall_{obj} \overline{(f3)}
\colon 
\forall_{obj} \overline{(f4)}
\colon \{\{\overline{(f1)}
,\overline{(f1)}
\}
,\{\overline{(f1)}
,\overline{(f2)}
\}
\}
 \mathrel{\in} 
\mathsf {f}
 _{Ph} 
\Rightarrow \{\{\overline{(f3)}
,\overline{(f3)}
\}
,\{\overline{(f3)}
,\overline{(f4)}
\}
\}
 \mathrel{\in} 
\mathsf {f}
 _{Ph} 
\Rightarrow \overline{(f1)}
 = \overline{(f3)}
\Rightarrow \overline{(f2)}
 = \overline{(f4)}
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(s1)}
\colon \overline{(s1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(s2)}
\colon \dot{\neg}\,(\{\{\overline{(s1)}
,\overline{(s1)}
\}
,\{\overline{(s1)}
,\overline{(s2)}
\}
\}
 \mathrel{\in} 
\mathsf {f}
 _{Ph} 
)n
)n
)n
)n
\}
)
\mid 
\forall_{obj} \overline{(\epsilon)}
\colon \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {n}}
\colon \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {m}}
\colon \dot{\neg}\,(0
 <= \overline{(\epsilon)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(0
 = \overline{(\epsilon)}
)n
)n
)n
\Rightarrow \overline{
\mathsf {n}}
 <= \overline{
\mathsf {m}}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(|( \{ ph \mathrel{\in}  \{ ph \mathrel{\in} P(P(Union(\{N
,Q
\}
)
)
)
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op1)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op2)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\overline{(op1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(op2)}
 \mathrel{\in} Q
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\mathsf {a}
 _{Ph} 
 = \{\{\overline{(op1)}
,\overline{(op1)}
\}
,\{\overline{(op1)}
,\overline{(op2)}
\}
\}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\}
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \underline{
\mathsf {m}}
\colon \dot{\neg}\,(
\mathsf {e}
 _{Ph} 
 = \{\{\underline{
\mathsf {m}}
,\underline{
\mathsf {m}}
\}
,\{\underline{
\mathsf {m}}
,(\underline{(fy)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
*\underline{(fz)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
)
\}
\}
)n
)n
\}
[\overline{
\mathsf {m}}
]
+(-u
\mathsf {d}
 _{Ph} 
[\overline{
\mathsf {m}}
]
)
)
|
 <= \overline{(\epsilon)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(|( \{ ph \mathrel{\in}  \{ ph \mathrel{\in} P(P(Union(\{N
,Q
\}
)
)
)
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op1)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op2)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\overline{(op1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(op2)}
 \mathrel{\in} Q
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\mathsf {a}
 _{Ph} 
 = \{\{\overline{(op1)}
,\overline{(op1)}
\}
,\{\overline{(op1)}
,\overline{(op2)}
\}
\}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\}
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \underline{
\mathsf {m}}
\colon \dot{\neg}\,(
\mathsf {e}
 _{Ph} 
 = \{\{\underline{
\mathsf {m}}
,\underline{
\mathsf {m}}
\}
,\{\underline{
\mathsf {m}}
,(\underline{(fy)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
*\underline{(fz)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
)
\}
\}
)n
)n
\}
[\overline{
\mathsf {m}}
]
+(-u
\mathsf {d}
 _{Ph} 
[\overline{
\mathsf {m}}
]
)
)
|
 = \overline{(\epsilon)}
)n
)n
)n
)n
)n
\}
\gg \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(\epsilon)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {n}}
\colon \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {m}}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(0
 <= \overline{(\epsilon)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(0
 = \overline{(\epsilon)}
)n
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{
\mathsf {n}}
 <= \overline{
\mathsf {m}}
\Rightarrow  \{ ph \mathrel{\in}  \{ ph \mathrel{\in} P(P(Union(\{N
,Q
\}
)
)
)
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op1)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op2)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\overline{(op1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(op2)}
 \mathrel{\in} Q
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\mathsf {a}
 _{Ph} 
 = \{\{\overline{(op1)}
,\overline{(op1)}
\}
,\{\overline{(op1)}
,\overline{(op2)}
\}
\}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\}
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \underline{
\mathsf {m}}
\colon \dot{\neg}\,(
\mathsf {e}
 _{Ph} 
 = \{\{\underline{
\mathsf {m}}
,\underline{
\mathsf {m}}
\}
,\{\underline{
\mathsf {m}}
,(\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
*\underline{(fz)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
)
\}
\}
)n
)n
\}
[\overline{
\mathsf {m}}
]
 <= ( \{ ph \mathrel{\in}  \{ ph \mathrel{\in} P(P(Union(\{N
,Q
\}
)
)
)
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op1)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op2)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\overline{(op1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(op2)}
 \mathrel{\in} Q
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\mathsf {a}
 _{Ph} 
 = \{\{\overline{(op1)}
,\overline{(op1)}
\}
,\{\overline{(op1)}
,\overline{(op2)}
\}
\}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\}
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \underline{
\mathsf {m}}
\colon \dot{\neg}\,(
\mathsf {e}
 _{Ph} 
 = \{\{\underline{
\mathsf {m}}
,\underline{
\mathsf {m}}
\}
,\{\underline{
\mathsf {m}}
,(\underline{(fy)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
*\underline{(fz)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
)
\}
\}
)n
)n
\}
[\overline{
\mathsf {m}}
]
+(-u\overline{(\epsilon)}
)
)
)n
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\Rightarrow  \{ ph \mathrel{\in} P( \{ ph \mathrel{\in} P( \{ ph \mathrel{\in} P(P(Union(\{N
,Q
\}
)
)
)
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op1)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op2)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\overline{(op1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(op2)}
 \mathrel{\in} Q
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\mathsf {a}
 _{Ph} 
 = \{\{\overline{(op1)}
,\overline{(op1)}
\}
,\{\overline{(op1)}
,\overline{(op2)}
\}
\}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\}
)
\mid \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(r1)}
\colon \overline{(r1)}
 \mathrel{\in} 
\mathsf {f}
 _{Ph} 
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op1)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op2)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\overline{(op1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(op2)}
 \mathrel{\in} Q
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(r1)}
 = \{\{\overline{(op1)}
,\overline{(op1)}
\}
,\{\overline{(op1)}
,\overline{(op2)}
\}
\}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(f1)}
\colon 
\forall_{obj} \overline{(f2)}
\colon 
\forall_{obj} \overline{(f3)}
\colon 
\forall_{obj} \overline{(f4)}
\colon \{\{\overline{(f1)}
,\overline{(f1)}
\}
,\{\overline{(f1)}
,\overline{(f2)}
\}
\}
 \mathrel{\in} 
\mathsf {f}
 _{Ph} 
\Rightarrow \{\{\overline{(f3)}
,\overline{(f3)}
\}
,\{\overline{(f3)}
,\overline{(f4)}
\}
\}
 \mathrel{\in} 
\mathsf {f}
 _{Ph} 
\Rightarrow \overline{(f1)}
 = \overline{(f3)}
\Rightarrow \overline{(f2)}
 = \overline{(f4)}
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(s1)}
\colon \overline{(s1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(s2)}
\colon \dot{\neg}\,(\{\{\overline{(s1)}
,\overline{(s1)}
\}
,\{\overline{(s1)}
,\overline{(s2)}
\}
\}
 \mathrel{\in} 
\mathsf {f}
 _{Ph} 
)n
)n
)n
)n
\}
)
\mid 
\forall_{obj} \overline{(\epsilon)}
\colon \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {n}}
\colon \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {m}}
\colon \dot{\neg}\,(0
 <= \overline{(\epsilon)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(0
 = \overline{(\epsilon)}
)n
)n
)n
\Rightarrow \overline{
\mathsf {n}}
 <= \overline{
\mathsf {m}}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(|( \{ ph \mathrel{\in}  \{ ph \mathrel{\in} P(P(Union(\{N
,Q
\}
)
)
)
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op1)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op2)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\overline{(op1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(op2)}
 \mathrel{\in} Q
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\mathsf {a}
 _{Ph} 
 = \{\{\overline{(op1)}
,\overline{(op1)}
\}
,\{\overline{(op1)}
,\overline{(op2)}
\}
\}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\}
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \underline{
\mathsf {m}}
\colon \dot{\neg}\,(
\mathsf {e}
 _{Ph} 
 = \{\{\underline{
\mathsf {m}}
,\underline{
\mathsf {m}}
\}
,\{\underline{
\mathsf {m}}
,(\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
*\underline{(fz)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
)
\}
\}
)n
)n
\}
[\overline{
\mathsf {m}}
]
+(-u
\mathsf {d}
 _{Ph} 
[\overline{
\mathsf {m}}
]
)
)
|
 <= \overline{(\epsilon)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(|( \{ ph \mathrel{\in}  \{ ph \mathrel{\in} P(P(Union(\{N
,Q
\}
)
)
)
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op1)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op2)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\overline{(op1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(op2)}
 \mathrel{\in} Q
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\mathsf {a}
 _{Ph} 
 = \{\{\overline{(op1)}
,\overline{(op1)}
\}
,\{\overline{(op1)}
,\overline{(op2)}
\}
\}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\}
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \underline{
\mathsf {m}}
\colon \dot{\neg}\,(
\mathsf {e}
 _{Ph} 
 = \{\{\underline{
\mathsf {m}}
,\underline{
\mathsf {m}}
\}
,\{\underline{
\mathsf {m}}
,(\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
*\underline{(fz)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
)
\}
\}
)n
)n
\}
[\overline{
\mathsf {m}}
]
+(-u
\mathsf {d}
 _{Ph} 
[\overline{
\mathsf {m}}
]
)
)
|
 = \overline{(\epsilon)}
)n
)n
)n
)n
)n
\}
 =  \{ ph \mathrel{\in} P( \{ ph \mathrel{\in} P( \{ ph \mathrel{\in} P(P(Union(\{N
,Q
\}
)
)
)
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op1)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op2)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\overline{(op1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(op2)}
 \mathrel{\in} Q
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\mathsf {a}
 _{Ph} 
 = \{\{\overline{(op1)}
,\overline{(op1)}
\}
,\{\overline{(op1)}
,\overline{(op2)}
\}
\}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\}
)
\mid \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(r1)}
\colon \overline{(r1)}
 \mathrel{\in} 
\mathsf {f}
 _{Ph} 
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op1)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op2)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\overline{(op1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(op2)}
 \mathrel{\in} Q
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(r1)}
 = \{\{\overline{(op1)}
,\overline{(op1)}
\}
,\{\overline{(op1)}
,\overline{(op2)}
\}
\}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(f1)}
\colon 
\forall_{obj} \overline{(f2)}
\colon 
\forall_{obj} \overline{(f3)}
\colon 
\forall_{obj} \overline{(f4)}
\colon \{\{\overline{(f1)}
,\overline{(f1)}
\}
,\{\overline{(f1)}
,\overline{(f2)}
\}
\}
 \mathrel{\in} 
\mathsf {f}
 _{Ph} 
\Rightarrow \{\{\overline{(f3)}
,\overline{(f3)}
\}
,\{\overline{(f3)}
,\overline{(f4)}
\}
\}
 \mathrel{\in} 
\mathsf {f}
 _{Ph} 
\Rightarrow \overline{(f1)}
 = \overline{(f3)}
\Rightarrow \overline{(f2)}
 = \overline{(f4)}
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(s1)}
\colon \overline{(s1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(s2)}
\colon \dot{\neg}\,(\{\{\overline{(s1)}
,\overline{(s1)}
\}
,\{\overline{(s1)}
,\overline{(s2)}
\}
\}
 \mathrel{\in} 
\mathsf {f}
 _{Ph} 
)n
)n
)n
)n
\}
)
\mid 
\forall_{obj} \overline{(\epsilon)}
\colon \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {n}}
\colon \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {m}}
\colon \dot{\neg}\,(0
 <= \overline{(\epsilon)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(0
 = \overline{(\epsilon)}
)n
)n
)n
\Rightarrow \overline{
\mathsf {n}}
 <= \overline{
\mathsf {m}}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(|( \{ ph \mathrel{\in}  \{ ph \mathrel{\in} P(P(Union(\{N
,Q
\}
)
)
)
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op1)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op2)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\overline{(op1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(op2)}
 \mathrel{\in} Q
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\mathsf {a}
 _{Ph} 
 = \{\{\overline{(op1)}
,\overline{(op1)}
\}
,\{\overline{(op1)}
,\overline{(op2)}
\}
\}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\}
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \underline{
\mathsf {m}}
\colon \dot{\neg}\,(
\mathsf {e}
 _{Ph} 
 = \{\{\underline{
\mathsf {m}}
,\underline{
\mathsf {m}}
\}
,\{\underline{
\mathsf {m}}
,(\underline{(fy)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
*\underline{(fz)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
)
\}
\}
)n
)n
\}
[\overline{
\mathsf {m}}
]
+(-u
\mathsf {d}
 _{Ph} 
[\overline{
\mathsf {m}}
]
)
)
|
 <= \overline{(\epsilon)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(|( \{ ph \mathrel{\in}  \{ ph \mathrel{\in} P(P(Union(\{N
,Q
\}
)
)
)
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op1)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op2)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\overline{(op1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(op2)}
 \mathrel{\in} Q
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\mathsf {a}
 _{Ph} 
 = \{\{\overline{(op1)}
,\overline{(op1)}
\}
,\{\overline{(op1)}
,\overline{(op2)}
\}
\}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\}
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \underline{
\mathsf {m}}
\colon \dot{\neg}\,(
\mathsf {e}
 _{Ph} 
 = \{\{\underline{
\mathsf {m}}
,\underline{
\mathsf {m}}
\}
,\{\underline{
\mathsf {m}}
,(\underline{(fy)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
*\underline{(fz)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
)
\}
\}
)n
)n
\}
[\overline{
\mathsf {m}}
]
+(-u
\mathsf {d}
 _{Ph} 
[\overline{
\mathsf {m}}
]
)
)
|
 = \overline{(\epsilon)}
)n
)n
)n
)n
)n
\}
; 
\forall \underline{(fx)}
\colon 
\forall \underline{(fy)}
\colon 
\forall \underline{(fz)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(\epsilon)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {n}}
\colon \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {m}}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(0
 <= \overline{(\epsilon)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(0
 = \overline{(\epsilon)}
)n
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{
\mathsf {n}}
 <= \overline{
\mathsf {m}}
\Rightarrow  \{ ph \mathrel{\in}  \{ ph \mathrel{\in} P(P(Union(\{N
,Q
\}
)
)
)
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op1)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op2)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\overline{(op1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(op2)}
 \mathrel{\in} Q
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\mathsf {a}
 _{Ph} 
 = \{\{\overline{(op1)}
,\overline{(op1)}
\}
,\{\overline{(op1)}
,\overline{(op2)}
\}
\}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\}
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(crs1)}
\colon \dot{\neg}\,(
\mathsf {c}
 _{Ph} 
 = \{\{\overline{(crs1)}
,\overline{(crs1)}
\}
,\{\overline{(crs1)}
,0
\}
\}
)n
)n
\}
[\overline{
\mathsf {m}}
]
 <= (\underline{(fz)}
[\overline{
\mathsf {m}}
]
+(-u\overline{(\epsilon)}
)
)
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(\epsilon)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {n}}
\colon \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {m}}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(0
 <= \overline{(\epsilon)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(0
 = \overline{(\epsilon)}
)n
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{
\mathsf {n}}
 <= \overline{
\mathsf {m}}
\Rightarrow \underline{(fx)}
[\overline{
\mathsf {m}}
]
 <= (\underline{(fy)}
[\overline{
\mathsf {m}}
]
+(-u\overline{(\epsilon)}
)
)
)n
)n
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\vdash FirstConjunct
\rhd \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(\epsilon)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {n}}
\colon \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {m}}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(0
 <= \overline{(\epsilon)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(0
 = \overline{(\epsilon)}
)n
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{
\mathsf {n}}
 <= \overline{
\mathsf {m}}
\Rightarrow  \{ ph \mathrel{\in}  \{ ph \mathrel{\in} P(P(Union(\{N
,Q
\}
)
)
)
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op1)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op2)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\overline{(op1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(op2)}
 \mathrel{\in} Q
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\mathsf {a}
 _{Ph} 
 = \{\{\overline{(op1)}
,\overline{(op1)}
\}
,\{\overline{(op1)}
,\overline{(op2)}
\}
\}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\}
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(crs1)}
\colon \dot{\neg}\,(
\mathsf {c}
 _{Ph} 
 = \{\{\overline{(crs1)}
,\overline{(crs1)}
\}
,\{\overline{(crs1)}
,0
\}
\}
)n
)n
\}
[\overline{
\mathsf {m}}
]
 <= (\underline{(fz)}
[\overline{
\mathsf {m}}
]
+(-u\overline{(\epsilon)}
)
)
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(\epsilon)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {n}}
\colon \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {m}}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(0
 <= \overline{(\epsilon)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(0
 = \overline{(\epsilon)}
)n
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{
\mathsf {n}}
 <= \overline{
\mathsf {m}}
\Rightarrow \underline{(fx)}
[\overline{
\mathsf {m}}
]
 <= (\underline{(fy)}
[\overline{
\mathsf {m}}
]
+(-u\overline{(\epsilon)}
)
)
)n
)n
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\gg \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(\epsilon)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {n}}
\colon \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {m}}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(0
 <= \overline{(\epsilon)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(0
 = \overline{(\epsilon)}
)n
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{
\mathsf {n}}
 <= \overline{
\mathsf {m}}
\Rightarrow  \{ ph \mathrel{\in}  \{ ph \mathrel{\in} P(P(Union(\{N
,Q
\}
)
)
)
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op1)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op2)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\overline{(op1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(op2)}
 \mathrel{\in} Q
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\mathsf {a}
 _{Ph} 
 = \{\{\overline{(op1)}
,\overline{(op1)}
\}
,\{\overline{(op1)}
,\overline{(op2)}
\}
\}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\}
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(crs1)}
\colon \dot{\neg}\,(
\mathsf {c}
 _{Ph} 
 = \{\{\overline{(crs1)}
,\overline{(crs1)}
\}
,\{\overline{(crs1)}
,0
\}
\}
)n
)n
\}
[\overline{
\mathsf {m}}
]
 <= (\underline{(fz)}
[\overline{
\mathsf {m}}
]
+(-u\overline{(\epsilon)}
)
)
)n
)n
)n
)n
)n
)n
; SecondConjunct
\rhd \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(\epsilon)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {n}}
\colon \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {m}}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(0
 <= \overline{(\epsilon)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(0
 = \overline{(\epsilon)}
)n
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{
\mathsf {n}}
 <= \overline{
\mathsf {m}}
\Rightarrow  \{ ph \mathrel{\in}  \{ ph \mathrel{\in} P(P(Union(\{N
,Q
\}
)
)
)
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op1)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op2)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\overline{(op1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(op2)}
 \mathrel{\in} Q
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\mathsf {a}
 _{Ph} 
 = \{\{\overline{(op1)}
,\overline{(op1)}
\}
,\{\overline{(op1)}
,\overline{(op2)}
\}
\}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\}
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(crs1)}
\colon \dot{\neg}\,(
\mathsf {c}
 _{Ph} 
 = \{\{\overline{(crs1)}
,\overline{(crs1)}
\}
,\{\overline{(crs1)}
,0
\}
\}
)n
)n
\}
[\overline{
\mathsf {m}}
]
 <= (\underline{(fz)}
[\overline{
\mathsf {m}}
]
+(-u\overline{(\epsilon)}
)
)
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(\epsilon)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {n}}
\colon \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {m}}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(0
 <= \overline{(\epsilon)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(0
 = \overline{(\epsilon)}
)n
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{
\mathsf {n}}
 <= \overline{
\mathsf {m}}
\Rightarrow \underline{(fx)}
[\overline{
\mathsf {m}}
]
 <= (\underline{(fy)}
[\overline{
\mathsf {m}}
]
+(-u\overline{(\epsilon)}
)
)
)n
)n
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\gg \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(\epsilon)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {n}}
\colon \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {m}}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(0
 <= \overline{(\epsilon)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(0
 = \overline{(\epsilon)}
)n
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{
\mathsf {n}}
 <= \overline{
\mathsf {m}}
\Rightarrow \underline{(fx)}
[\overline{
\mathsf {m}}
]
 <= (\underline{(fy)}
[\overline{
\mathsf {m}}
]
+(-u\overline{(\epsilon)}
)
)
)n
)n
)n
)n
)n
)n
; LessMultiplication(R)
\rhd \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(\epsilon)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {n}}
\colon \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {m}}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(0
 <= \overline{(\epsilon)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(0
 = \overline{(\epsilon)}
)n
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{
\mathsf {n}}
 <= \overline{
\mathsf {m}}
\Rightarrow  \{ ph \mathrel{\in}  \{ ph \mathrel{\in} P(P(Union(\{N
,Q
\}
)
)
)
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op1)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op2)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\overline{(op1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(op2)}
 \mathrel{\in} Q
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\mathsf {a}
 _{Ph} 
 = \{\{\overline{(op1)}
,\overline{(op1)}
\}
,\{\overline{(op1)}
,\overline{(op2)}
\}
\}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\}
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(crs1)}
\colon \dot{\neg}\,(
\mathsf {c}
 _{Ph} 
 = \{\{\overline{(crs1)}
,\overline{(crs1)}
\}
,\{\overline{(crs1)}
,0
\}
\}
)n
)n
\}
[\overline{
\mathsf {m}}
]
 <= (\underline{(fz)}
[\overline{
\mathsf {m}}
]
+(-u\overline{(\epsilon)}
)
)
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\rhd \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(\epsilon)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {n}}
\colon \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {m}}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(0
 <= \overline{(\epsilon)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(0
 = \overline{(\epsilon)}
)n
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{
\mathsf {n}}
 <= \overline{
\mathsf {m}}
\Rightarrow \underline{(fx)}
[\overline{
\mathsf {m}}
]
 <= (\underline{(fy)}
[\overline{
\mathsf {m}}
]
+(-u\overline{(\epsilon)}
)
)
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\gg \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(\epsilon)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {n}}
\colon \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {m}}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(0
 <= \overline{(\epsilon)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(0
 = \overline{(\epsilon)}
)n
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{
\mathsf {n}}
 <= \overline{
\mathsf {m}}
\Rightarrow  \{ ph \mathrel{\in}  \{ ph \mathrel{\in} P(P(Union(\{N
,Q
\}
)
)
)
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op1)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op2)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\overline{(op1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(op2)}
 \mathrel{\in} Q
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\mathsf {a}
 _{Ph} 
 = \{\{\overline{(op1)}
,\overline{(op1)}
\}
,\{\overline{(op1)}
,\overline{(op2)}
\}
\}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\}
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \underline{
\mathsf {m}}
\colon \dot{\neg}\,(
\mathsf {e}
 _{Ph} 
 = \{\{\underline{
\mathsf {m}}
,\underline{
\mathsf {m}}
\}
,\{\underline{
\mathsf {m}}
,(\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
*\underline{(fz)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
)
\}
\}
)n
)n
\}
[\overline{
\mathsf {m}}
]
 <= ( \{ ph \mathrel{\in}  \{ ph \mathrel{\in} P(P(Union(\{N
,Q
\}
)
)
)
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op1)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op2)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\overline{(op1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(op2)}
 \mathrel{\in} Q
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\mathsf {a}
 _{Ph} 
 = \{\{\overline{(op1)}
,\overline{(op1)}
\}
,\{\overline{(op1)}
,\overline{(op2)}
\}
\}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\}
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \underline{
\mathsf {m}}
\colon \dot{\neg}\,(
\mathsf {e}
 _{Ph} 
 = \{\{\underline{
\mathsf {m}}
,\underline{
\mathsf {m}}
\}
,\{\underline{
\mathsf {m}}
,(\underline{(fy)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
*\underline{(fz)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
)
\}
\}
)n
)n
\}
[\overline{
\mathsf {m}}
]
+(-u\overline{(\epsilon)}
)
)
)n
)n
)n
)n
)n
)n
; LessLeq(R)
\rhd \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(\epsilon)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {n}}
\colon \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {m}}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(0
 <= \overline{(\epsilon)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(0
 = \overline{(\epsilon)}
)n
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{
\mathsf {n}}
 <= \overline{
\mathsf {m}}
\Rightarrow  \{ ph \mathrel{\in}  \{ ph \mathrel{\in} P(P(Union(\{N
,Q
\}
)
)
)
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op1)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op2)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\overline{(op1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(op2)}
 \mathrel{\in} Q
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\mathsf {a}
 _{Ph} 
 = \{\{\overline{(op1)}
,\overline{(op1)}
\}
,\{\overline{(op1)}
,\overline{(op2)}
\}
\}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\}
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \underline{
\mathsf {m}}
\colon \dot{\neg}\,(
\mathsf {e}
 _{Ph} 
 = \{\{\underline{
\mathsf {m}}
,\underline{
\mathsf {m}}
\}
,\{\underline{
\mathsf {m}}
,(\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
*\underline{(fz)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
)
\}
\}
)n
)n
\}
[\overline{
\mathsf {m}}
]
 <= ( \{ ph \mathrel{\in}  \{ ph \mathrel{\in} P(P(Union(\{N
,Q
\}
)
)
)
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op1)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op2)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\overline{(op1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(op2)}
 \mathrel{\in} Q
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\mathsf {a}
 _{Ph} 
 = \{\{\overline{(op1)}
,\overline{(op1)}
\}
,\{\overline{(op1)}
,\overline{(op2)}
\}
\}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\}
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \underline{
\mathsf {m}}
\colon \dot{\neg}\,(
\mathsf {e}
 _{Ph} 
 = \{\{\underline{
\mathsf {m}}
,\underline{
\mathsf {m}}
\}
,\{\underline{
\mathsf {m}}
,(\underline{(fy)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
*\underline{(fz)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
)
\}
\}
)n
)n
\}
[\overline{
\mathsf {m}}
]
+(-u\overline{(\epsilon)}
)
)
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\gg \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(\epsilon)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {n}}
\colon \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {m}}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(0
 <= \overline{(\epsilon)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(0
 = \overline{(\epsilon)}
)n
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{
\mathsf {n}}
 <= \overline{
\mathsf {m}}
\Rightarrow  \{ ph \mathrel{\in}  \{ ph \mathrel{\in} P(P(Union(\{N
,Q
\}
)
)
)
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op1)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op2)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\overline{(op1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(op2)}
 \mathrel{\in} Q
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\mathsf {a}
 _{Ph} 
 = \{\{\overline{(op1)}
,\overline{(op1)}
\}
,\{\overline{(op1)}
,\overline{(op2)}
\}
\}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\}
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \underline{
\mathsf {m}}
\colon \dot{\neg}\,(
\mathsf {e}
 _{Ph} 
 = \{\{\underline{
\mathsf {m}}
,\underline{
\mathsf {m}}
\}
,\{\underline{
\mathsf {m}}
,(\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
*\underline{(fz)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
)
\}
\}
)n
)n
\}
[\overline{
\mathsf {m}}
]
 <= ( \{ ph \mathrel{\in}  \{ ph \mathrel{\in} P(P(Union(\{N
,Q
\}
)
)
)
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op1)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op2)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\overline{(op1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(op2)}
 \mathrel{\in} Q
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\mathsf {a}
 _{Ph} 
 = \{\{\overline{(op1)}
,\overline{(op1)}
\}
,\{\overline{(op1)}
,\overline{(op2)}
\}
\}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\}
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \underline{
\mathsf {m}}
\colon \dot{\neg}\,(
\mathsf {e}
 _{Ph} 
 = \{\{\underline{
\mathsf {m}}
,\underline{
\mathsf {m}}
\}
,\{\underline{
\mathsf {m}}
,(\underline{(fy)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
*\underline{(fz)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
)
\}
\}
)n
)n
\}
[\overline{
\mathsf {m}}
]
+(-u\overline{(\epsilon)}
)
)
)n
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\Rightarrow  \{ ph \mathrel{\in} P( \{ ph \mathrel{\in} P( \{ ph \mathrel{\in} P(P(Union(\{N
,Q
\}
)
)
)
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op1)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op2)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\overline{(op1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(op2)}
 \mathrel{\in} Q
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\mathsf {a}
 _{Ph} 
 = \{\{\overline{(op1)}
,\overline{(op1)}
\}
,\{\overline{(op1)}
,\overline{(op2)}
\}
\}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\}
)
\mid \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(r1)}
\colon \overline{(r1)}
 \mathrel{\in} 
\mathsf {f}
 _{Ph} 
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op1)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op2)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\overline{(op1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(op2)}
 \mathrel{\in} Q
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(r1)}
 = \{\{\overline{(op1)}
,\overline{(op1)}
\}
,\{\overline{(op1)}
,\overline{(op2)}
\}
\}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(f1)}
\colon 
\forall_{obj} \overline{(f2)}
\colon 
\forall_{obj} \overline{(f3)}
\colon 
\forall_{obj} \overline{(f4)}
\colon \{\{\overline{(f1)}
,\overline{(f1)}
\}
,\{\overline{(f1)}
,\overline{(f2)}
\}
\}
 \mathrel{\in} 
\mathsf {f}
 _{Ph} 
\Rightarrow \{\{\overline{(f3)}
,\overline{(f3)}
\}
,\{\overline{(f3)}
,\overline{(f4)}
\}
\}
 \mathrel{\in} 
\mathsf {f}
 _{Ph} 
\Rightarrow \overline{(f1)}
 = \overline{(f3)}
\Rightarrow \overline{(f2)}
 = \overline{(f4)}
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(s1)}
\colon \overline{(s1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(s2)}
\colon \dot{\neg}\,(\{\{\overline{(s1)}
,\overline{(s1)}
\}
,\{\overline{(s1)}
,\overline{(s2)}
\}
\}
 \mathrel{\in} 
\mathsf {f}
 _{Ph} 
)n
)n
)n
)n
\}
)
\mid 
\forall_{obj} \overline{(\epsilon)}
\colon \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {n}}
\colon \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {m}}
\colon \dot{\neg}\,(0
 <= \overline{(\epsilon)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(0
 = \overline{(\epsilon)}
)n
)n
)n
\Rightarrow \overline{
\mathsf {n}}
 <= \overline{
\mathsf {m}}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(|( \{ ph \mathrel{\in}  \{ ph \mathrel{\in} P(P(Union(\{N
,Q
\}
)
)
)
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op1)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op2)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\overline{(op1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(op2)}
 \mathrel{\in} Q
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\mathsf {a}
 _{Ph} 
 = \{\{\overline{(op1)}
,\overline{(op1)}
\}
,\{\overline{(op1)}
,\overline{(op2)}
\}
\}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\}
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \underline{
\mathsf {m}}
\colon \dot{\neg}\,(
\mathsf {e}
 _{Ph} 
 = \{\{\underline{
\mathsf {m}}
,\underline{
\mathsf {m}}
\}
,\{\underline{
\mathsf {m}}
,(\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
*\underline{(fz)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
)
\}
\}
)n
)n
\}
[\overline{
\mathsf {m}}
]
+(-u
\mathsf {d}
 _{Ph} 
[\overline{
\mathsf {m}}
]
)
)
|
 <= \overline{(\epsilon)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(|( \{ ph \mathrel{\in}  \{ ph \mathrel{\in} P(P(Union(\{N
,Q
\}
)
)
)
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op1)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op2)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\overline{(op1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(op2)}
 \mathrel{\in} Q
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\mathsf {a}
 _{Ph} 
 = \{\{\overline{(op1)}
,\overline{(op1)}
\}
,\{\overline{(op1)}
,\overline{(op2)}
\}
\}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\}
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \underline{
\mathsf {m}}
\colon \dot{\neg}\,(
\mathsf {e}
 _{Ph} 
 = \{\{\underline{
\mathsf {m}}
,\underline{
\mathsf {m}}
\}
,\{\underline{
\mathsf {m}}
,(\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
*\underline{(fz)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
)
\}
\}
)n
)n
\}
[\overline{
\mathsf {m}}
]
+(-u
\mathsf {d}
 _{Ph} 
[\overline{
\mathsf {m}}
]
)
)
|
 = \overline{(\epsilon)}
)n
)n
)n
)n
)n
\}
 =  \{ ph \mathrel{\in} P( \{ ph \mathrel{\in} P( \{ ph \mathrel{\in} P(P(Union(\{N
,Q
\}
)
)
)
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op1)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op2)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\overline{(op1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(op2)}
 \mathrel{\in} Q
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\mathsf {a}
 _{Ph} 
 = \{\{\overline{(op1)}
,\overline{(op1)}
\}
,\{\overline{(op1)}
,\overline{(op2)}
\}
\}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\}
)
\mid \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(r1)}
\colon \overline{(r1)}
 \mathrel{\in} 
\mathsf {f}
 _{Ph} 
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op1)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op2)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\overline{(op1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(op2)}
 \mathrel{\in} Q
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(r1)}
 = \{\{\overline{(op1)}
,\overline{(op1)}
\}
,\{\overline{(op1)}
,\overline{(op2)}
\}
\}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(f1)}
\colon 
\forall_{obj} \overline{(f2)}
\colon 
\forall_{obj} \overline{(f3)}
\colon 
\forall_{obj} \overline{(f4)}
\colon \{\{\overline{(f1)}
,\overline{(f1)}
\}
,\{\overline{(f1)}
,\overline{(f2)}
\}
\}
 \mathrel{\in} 
\mathsf {f}
 _{Ph} 
\Rightarrow \{\{\overline{(f3)}
,\overline{(f3)}
\}
,\{\overline{(f3)}
,\overline{(f4)}
\}
\}
 \mathrel{\in} 
\mathsf {f}
 _{Ph} 
\Rightarrow \overline{(f1)}
 = \overline{(f3)}
\Rightarrow \overline{(f2)}
 = \overline{(f4)}
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(s1)}
\colon \overline{(s1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(s2)}
\colon \dot{\neg}\,(\{\{\overline{(s1)}
,\overline{(s1)}
\}
,\{\overline{(s1)}
,\overline{(s2)}
\}
\}
 \mathrel{\in} 
\mathsf {f}
 _{Ph} 
)n
)n
)n
)n
\}
)
\mid 
\forall_{obj} \overline{(\epsilon)}
\colon \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {n}}
\colon \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {m}}
\colon \dot{\neg}\,(0
 <= \overline{(\epsilon)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(0
 = \overline{(\epsilon)}
)n
)n
)n
\Rightarrow \overline{
\mathsf {n}}
 <= \overline{
\mathsf {m}}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(|( \{ ph \mathrel{\in}  \{ ph \mathrel{\in} P(P(Union(\{N
,Q
\}
)
)
)
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op1)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op2)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\overline{(op1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(op2)}
 \mathrel{\in} Q
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\mathsf {a}
 _{Ph} 
 = \{\{\overline{(op1)}
,\overline{(op1)}
\}
,\{\overline{(op1)}
,\overline{(op2)}
\}
\}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\}
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \underline{
\mathsf {m}}
\colon \dot{\neg}\,(
\mathsf {e}
 _{Ph} 
 = \{\{\underline{
\mathsf {m}}
,\underline{
\mathsf {m}}
\}
,\{\underline{
\mathsf {m}}
,(\underline{(fy)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
*\underline{(fz)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
)
\}
\}
)n
)n
\}
[\overline{
\mathsf {m}}
]
+(-u
\mathsf {d}
 _{Ph} 
[\overline{
\mathsf {m}}
]
)
)
|
 <= \overline{(\epsilon)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(|( \{ ph \mathrel{\in}  \{ ph \mathrel{\in} P(P(Union(\{N
,Q
\}
)
)
)
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op1)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op2)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\overline{(op1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(op2)}
 \mathrel{\in} Q
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\mathsf {a}
 _{Ph} 
 = \{\{\overline{(op1)}
,\overline{(op1)}
\}
,\{\overline{(op1)}
,\overline{(op2)}
\}
\}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\}
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \underline{
\mathsf {m}}
\colon \dot{\neg}\,(
\mathsf {e}
 _{Ph} 
 = \{\{\underline{
\mathsf {m}}
,\underline{
\mathsf {m}}
\}
,\{\underline{
\mathsf {m}}
,(\underline{(fy)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
*\underline{(fz)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
)
\}
\}
)n
)n
\}
[\overline{
\mathsf {m}}
]
+(-u
\mathsf {d}
 _{Ph} 
[\overline{
\mathsf {m}}
]
)
)
|
 = \overline{(\epsilon)}
)n
)n
)n
)n
)n
\}
; 
\forall \underline{(fx)}
\colon 
\forall \underline{(fy)}
\colon 
\forall \underline{(fz)}
\colon Ded
\rhd 
\forall \underline{(fx)}
\colon 
\forall \underline{(fy)}
\colon 
\forall \underline{(fz)}
\colon  \{ ph \mathrel{\in} P( \{ ph \mathrel{\in} P( \{ ph \mathrel{\in} P(P(Union(\{N
,Q
\}
)
)
)
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op1)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op2)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\overline{(op1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(op2)}
 \mathrel{\in} Q
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\mathsf {a}
 _{Ph} 
 = \{\{\overline{(op1)}
,\overline{(op1)}
\}
,\{\overline{(op1)}
,\overline{(op2)}
\}
\}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\}
)
\mid \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(r1)}
\colon \overline{(r1)}
 \mathrel{\in} 
\mathsf {f}
 _{Ph} 
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op1)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op2)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\overline{(op1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(op2)}
 \mathrel{\in} Q
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(r1)}
 = \{\{\overline{(op1)}
,\overline{(op1)}
\}
,\{\overline{(op1)}
,\overline{(op2)}
\}
\}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(f1)}
\colon 
\forall_{obj} \overline{(f2)}
\colon 
\forall_{obj} \overline{(f3)}
\colon 
\forall_{obj} \overline{(f4)}
\colon \{\{\overline{(f1)}
,\overline{(f1)}
\}
,\{\overline{(f1)}
,\overline{(f2)}
\}
\}
 \mathrel{\in} 
\mathsf {f}
 _{Ph} 
\Rightarrow \{\{\overline{(f3)}
,\overline{(f3)}
\}
,\{\overline{(f3)}
,\overline{(f4)}
\}
\}
 \mathrel{\in} 
\mathsf {f}
 _{Ph} 
\Rightarrow \overline{(f1)}
 = \overline{(f3)}
\Rightarrow \overline{(f2)}
 = \overline{(f4)}
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(s1)}
\colon \overline{(s1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(s2)}
\colon \dot{\neg}\,(\{\{\overline{(s1)}
,\overline{(s1)}
\}
,\{\overline{(s1)}
,\overline{(s2)}
\}
\}
 \mathrel{\in} 
\mathsf {f}
 _{Ph} 
)n
)n
)n
)n
\}
)
\mid 
\forall_{obj} \overline{(\epsilon)}
\colon \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {n}}
\colon \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {m}}
\colon \dot{\neg}\,(0
 <= \overline{(\epsilon)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(0
 = \overline{(\epsilon)}
)n
)n
)n
\Rightarrow \overline{
\mathsf {n}}
 <= \overline{
\mathsf {m}}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(|( \{ ph \mathrel{\in}  \{ ph \mathrel{\in} P(P(Union(\{N
,Q
\}
)
)
)
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op1)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op2)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\overline{(op1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(op2)}
 \mathrel{\in} Q
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\mathsf {a}
 _{Ph} 
 = \{\{\overline{(op1)}
,\overline{(op1)}
\}
,\{\overline{(op1)}
,\overline{(op2)}
\}
\}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\}
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(crs1)}
\colon \dot{\neg}\,(
\mathsf {c}
 _{Ph} 
 = \{\{\overline{(crs1)}
,\overline{(crs1)}
\}
,\{\overline{(crs1)}
,0
\}
\}
)n
)n
\}
[\overline{
\mathsf {m}}
]
+(-u
\mathsf {d}
 _{Ph} 
[\overline{
\mathsf {m}}
]
)
)
|
 <= \overline{(\epsilon)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(|( \{ ph \mathrel{\in}  \{ ph \mathrel{\in} P(P(Union(\{N
,Q
\}
)
)
)
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op1)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op2)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\overline{(op1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(op2)}
 \mathrel{\in} Q
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\mathsf {a}
 _{Ph} 
 = \{\{\overline{(op1)}
,\overline{(op1)}
\}
,\{\overline{(op1)}
,\overline{(op2)}
\}
\}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\}
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(crs1)}
\colon \dot{\neg}\,(
\mathsf {c}
 _{Ph} 
 = \{\{\overline{(crs1)}
,\overline{(crs1)}
\}
,\{\overline{(crs1)}
,0
\}
\}
)n
)n
\}
[\overline{
\mathsf {m}}
]
+(-u
\mathsf {d}
 _{Ph} 
[\overline{
\mathsf {m}}
]
)
)
|
 = \overline{(\epsilon)}
)n
)n
)n
)n
)n
\}
 =  \{ ph \mathrel{\in} P( \{ ph \mathrel{\in} P( \{ ph \mathrel{\in} P(P(Union(\{N
,Q
\}
)
)
)
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op1)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op2)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\overline{(op1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(op2)}
 \mathrel{\in} Q
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\mathsf {a}
 _{Ph} 
 = \{\{\overline{(op1)}
,\overline{(op1)}
\}
,\{\overline{(op1)}
,\overline{(op2)}
\}
\}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\}
)
\mid \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(r1)}
\colon \overline{(r1)}
 \mathrel{\in} 
\mathsf {f}
 _{Ph} 
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op1)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op2)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\overline{(op1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(op2)}
 \mathrel{\in} Q
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(r1)}
 = \{\{\overline{(op1)}
,\overline{(op1)}
\}
,\{\overline{(op1)}
,\overline{(op2)}
\}
\}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(f1)}
\colon 
\forall_{obj} \overline{(f2)}
\colon 
\forall_{obj} \overline{(f3)}
\colon 
\forall_{obj} \overline{(f4)}
\colon \{\{\overline{(f1)}
,\overline{(f1)}
\}
,\{\overline{(f1)}
,\overline{(f2)}
\}
\}
 \mathrel{\in} 
\mathsf {f}
 _{Ph} 
\Rightarrow \{\{\overline{(f3)}
,\overline{(f3)}
\}
,\{\overline{(f3)}
,\overline{(f4)}
\}
\}
 \mathrel{\in} 
\mathsf {f}
 _{Ph} 
\Rightarrow \overline{(f1)}
 = \overline{(f3)}
\Rightarrow \overline{(f2)}
 = \overline{(f4)}
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(s1)}
\colon \overline{(s1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(s2)}
\colon \dot{\neg}\,(\{\{\overline{(s1)}
,\overline{(s1)}
\}
,\{\overline{(s1)}
,\overline{(s2)}
\}
\}
 \mathrel{\in} 
\mathsf {f}
 _{Ph} 
)n
)n
)n
)n
\}
)
\mid 
\forall_{obj} \overline{(\epsilon)}
\colon \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {n}}
\colon \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {m}}
\colon \dot{\neg}\,(0
 <= \overline{(\epsilon)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(0
 = \overline{(\epsilon)}
)n
)n
)n
\Rightarrow \overline{
\mathsf {n}}
 <= \overline{
\mathsf {m}}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(|(\underline{(fz)}
[\overline{
\mathsf {m}}
]
+(-u
\mathsf {d}
 _{Ph} 
[\overline{
\mathsf {m}}
]
)
)
|
 <= \overline{(\epsilon)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(|(\underline{(fz)}
[\overline{
\mathsf {m}}
]
+(-u
\mathsf {d}
 _{Ph} 
[\overline{
\mathsf {m}}
]
)
)
|
 = \overline{(\epsilon)}
)n
)n
)n
)n
)n
\}
\vdash \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(\epsilon)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {n}}
\colon \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {m}}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(0
 <= \overline{(\epsilon)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(0
 = \overline{(\epsilon)}
)n
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{
\mathsf {n}}
 <= \overline{
\mathsf {m}}
\Rightarrow  \{ ph \mathrel{\in}  \{ ph \mathrel{\in} P(P(Union(\{N
,Q
\}
)
)
)
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op1)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op2)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\overline{(op1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(op2)}
 \mathrel{\in} Q
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\mathsf {a}
 _{Ph} 
 = \{\{\overline{(op1)}
,\overline{(op1)}
\}
,\{\overline{(op1)}
,\overline{(op2)}
\}
\}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\}
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \underline{
\mathsf {m}}
\colon \dot{\neg}\,(
\mathsf {e}
 _{Ph} 
 = \{\{\underline{
\mathsf {m}}
,\underline{
\mathsf {m}}
\}
,\{\underline{
\mathsf {m}}
,(\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
*\underline{(fz)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
)
\}
\}
)n
)n
\}
[\overline{
\mathsf {m}}
]
 <= ( \{ ph \mathrel{\in}  \{ ph \mathrel{\in} P(P(Union(\{N
,Q
\}
)
)
)
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op1)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op2)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\overline{(op1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(op2)}
 \mathrel{\in} Q
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\mathsf {a}
 _{Ph} 
 = \{\{\overline{(op1)}
,\overline{(op1)}
\}
,\{\overline{(op1)}
,\overline{(op2)}
\}
\}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\}
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \underline{
\mathsf {m}}
\colon \dot{\neg}\,(
\mathsf {e}
 _{Ph} 
 = \{\{\underline{
\mathsf {m}}
,\underline{
\mathsf {m}}
\}
,\{\underline{
\mathsf {m}}
,(\underline{(fy)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
*\underline{(fz)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
)
\}
\}
)n
)n
\}
[\overline{
\mathsf {m}}
]
+(-u\overline{(\epsilon)}
)
)
)n
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\Rightarrow  \{ ph \mathrel{\in} P( \{ ph \mathrel{\in} P( \{ ph \mathrel{\in} P(P(Union(\{N
,Q
\}
)
)
)
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op1)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op2)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\overline{(op1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(op2)}
 \mathrel{\in} Q
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\mathsf {a}
 _{Ph} 
 = \{\{\overline{(op1)}
,\overline{(op1)}
\}
,\{\overline{(op1)}
,\overline{(op2)}
\}
\}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\}
)
\mid \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(r1)}
\colon \overline{(r1)}
 \mathrel{\in} 
\mathsf {f}
 _{Ph} 
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op1)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op2)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\overline{(op1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(op2)}
 \mathrel{\in} Q
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(r1)}
 = \{\{\overline{(op1)}
,\overline{(op1)}
\}
,\{\overline{(op1)}
,\overline{(op2)}
\}
\}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(f1)}
\colon 
\forall_{obj} \overline{(f2)}
\colon 
\forall_{obj} \overline{(f3)}
\colon 
\forall_{obj} \overline{(f4)}
\colon \{\{\overline{(f1)}
,\overline{(f1)}
\}
,\{\overline{(f1)}
,\overline{(f2)}
\}
\}
 \mathrel{\in} 
\mathsf {f}
 _{Ph} 
\Rightarrow \{\{\overline{(f3)}
,\overline{(f3)}
\}
,\{\overline{(f3)}
,\overline{(f4)}
\}
\}
 \mathrel{\in} 
\mathsf {f}
 _{Ph} 
\Rightarrow \overline{(f1)}
 = \overline{(f3)}
\Rightarrow \overline{(f2)}
 = \overline{(f4)}
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(s1)}
\colon \overline{(s1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(s2)}
\colon \dot{\neg}\,(\{\{\overline{(s1)}
,\overline{(s1)}
\}
,\{\overline{(s1)}
,\overline{(s2)}
\}
\}
 \mathrel{\in} 
\mathsf {f}
 _{Ph} 
)n
)n
)n
)n
\}
)
\mid 
\forall_{obj} \overline{(\epsilon)}
\colon \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {n}}
\colon \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {m}}
\colon \dot{\neg}\,(0
 <= \overline{(\epsilon)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(0
 = \overline{(\epsilon)}
)n
)n
)n
\Rightarrow \overline{
\mathsf {n}}
 <= \overline{
\mathsf {m}}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(|( \{ ph \mathrel{\in}  \{ ph \mathrel{\in} P(P(Union(\{N
,Q
\}
)
)
)
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op1)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op2)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\overline{(op1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(op2)}
 \mathrel{\in} Q
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\mathsf {a}
 _{Ph} 
 = \{\{\overline{(op1)}
,\overline{(op1)}
\}
,\{\overline{(op1)}
,\overline{(op2)}
\}
\}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\}
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \underline{
\mathsf {m}}
\colon \dot{\neg}\,(
\mathsf {e}
 _{Ph} 
 = \{\{\underline{
\mathsf {m}}
,\underline{
\mathsf {m}}
\}
,\{\underline{
\mathsf {m}}
,(\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
*\underline{(fz)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
)
\}
\}
)n
)n
\}
[\overline{
\mathsf {m}}
]
+(-u
\mathsf {d}
 _{Ph} 
[\overline{
\mathsf {m}}
]
)
)
|
 <= \overline{(\epsilon)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(|( \{ ph \mathrel{\in}  \{ ph \mathrel{\in} P(P(Union(\{N
,Q
\}
)
)
)
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op1)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op2)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\overline{(op1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(op2)}
 \mathrel{\in} Q
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\mathsf {a}
 _{Ph} 
 = \{\{\overline{(op1)}
,\overline{(op1)}
\}
,\{\overline{(op1)}
,\overline{(op2)}
\}
\}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\}
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \underline{
\mathsf {m}}
\colon \dot{\neg}\,(
\mathsf {e}
 _{Ph} 
 = \{\{\underline{
\mathsf {m}}
,\underline{
\mathsf {m}}
\}
,\{\underline{
\mathsf {m}}
,(\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
*\underline{(fz)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
)
\}
\}
)n
)n
\}
[\overline{
\mathsf {m}}
]
+(-u
\mathsf {d}
 _{Ph} 
[\overline{
\mathsf {m}}
]
)
)
|
 = \overline{(\epsilon)}
)n
)n
)n
)n
)n
\}
 =  \{ ph \mathrel{\in} P( \{ ph \mathrel{\in} P( \{ ph \mathrel{\in} P(P(Union(\{N
,Q
\}
)
)
)
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op1)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op2)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\overline{(op1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(op2)}
 \mathrel{\in} Q
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\mathsf {a}
 _{Ph} 
 = \{\{\overline{(op1)}
,\overline{(op1)}
\}
,\{\overline{(op1)}
,\overline{(op2)}
\}
\}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\}
)
\mid \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(r1)}
\colon \overline{(r1)}
 \mathrel{\in} 
\mathsf {f}
 _{Ph} 
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op1)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op2)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\overline{(op1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(op2)}
 \mathrel{\in} Q
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(r1)}
 = \{\{\overline{(op1)}
,\overline{(op1)}
\}
,\{\overline{(op1)}
,\overline{(op2)}
\}
\}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(f1)}
\colon 
\forall_{obj} \overline{(f2)}
\colon 
\forall_{obj} \overline{(f3)}
\colon 
\forall_{obj} \overline{(f4)}
\colon \{\{\overline{(f1)}
,\overline{(f1)}
\}
,\{\overline{(f1)}
,\overline{(f2)}
\}
\}
 \mathrel{\in} 
\mathsf {f}
 _{Ph} 
\Rightarrow \{\{\overline{(f3)}
,\overline{(f3)}
\}
,\{\overline{(f3)}
,\overline{(f4)}
\}
\}
 \mathrel{\in} 
\mathsf {f}
 _{Ph} 
\Rightarrow \overline{(f1)}
 = \overline{(f3)}
\Rightarrow \overline{(f2)}
 = \overline{(f4)}
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(s1)}
\colon \overline{(s1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(s2)}
\colon \dot{\neg}\,(\{\{\overline{(s1)}
,\overline{(s1)}
\}
,\{\overline{(s1)}
,\overline{(s2)}
\}
\}
 \mathrel{\in} 
\mathsf {f}
 _{Ph} 
)n
)n
)n
)n
\}
)
\mid 
\forall_{obj} \overline{(\epsilon)}
\colon \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {n}}
\colon \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {m}}
\colon \dot{\neg}\,(0
 <= \overline{(\epsilon)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(0
 = \overline{(\epsilon)}
)n
)n
)n
\Rightarrow \overline{
\mathsf {n}}
 <= \overline{
\mathsf {m}}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(|( \{ ph \mathrel{\in}  \{ ph \mathrel{\in} P(P(Union(\{N
,Q
\}
)
)
)
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op1)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op2)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\overline{(op1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(op2)}
 \mathrel{\in} Q
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\mathsf {a}
 _{Ph} 
 = \{\{\overline{(op1)}
,\overline{(op1)}
\}
,\{\overline{(op1)}
,\overline{(op2)}
\}
\}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\}
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \underline{
\mathsf {m}}
\colon \dot{\neg}\,(
\mathsf {e}
 _{Ph} 
 = \{\{\underline{
\mathsf {m}}
,\underline{
\mathsf {m}}
\}
,\{\underline{
\mathsf {m}}
,(\underline{(fy)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
*\underline{(fz)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
)
\}
\}
)n
)n
\}
[\overline{
\mathsf {m}}
]
+(-u
\mathsf {d}
 _{Ph} 
[\overline{
\mathsf {m}}
]
)
)
|
 <= \overline{(\epsilon)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(|( \{ ph \mathrel{\in}  \{ ph \mathrel{\in} P(P(Union(\{N
,Q
\}
)
)
)
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op1)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op2)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\overline{(op1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(op2)}
 \mathrel{\in} Q
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\mathsf {a}
 _{Ph} 
 = \{\{\overline{(op1)}
,\overline{(op1)}
\}
,\{\overline{(op1)}
,\overline{(op2)}
\}
\}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\}
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \underline{
\mathsf {m}}
\colon \dot{\neg}\,(
\mathsf {e}
 _{Ph} 
 = \{\{\underline{
\mathsf {m}}
,\underline{
\mathsf {m}}
\}
,\{\underline{
\mathsf {m}}
,(\underline{(fy)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
*\underline{(fz)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
)
\}
\}
)n
)n
\}
[\overline{
\mathsf {m}}
]
+(-u
\mathsf {d}
 _{Ph} 
[\overline{
\mathsf {m}}
]
)
)
|
 = \overline{(\epsilon)}
)n
)n
)n
)n
)n
\}
\gg  \{ ph \mathrel{\in} P( \{ ph \mathrel{\in} P( \{ ph \mathrel{\in} P(P(Union(\{N
,Q
\}
)
)
)
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op1)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op2)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\overline{(op1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(op2)}
 \mathrel{\in} Q
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\mathsf {a}
 _{Ph} 
 = \{\{\overline{(op1)}
,\overline{(op1)}
\}
,\{\overline{(op1)}
,\overline{(op2)}
\}
\}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\}
)
\mid \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(r1)}
\colon \overline{(r1)}
 \mathrel{\in} 
\mathsf {f}
 _{Ph} 
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op1)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op2)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\overline{(op1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(op2)}
 \mathrel{\in} Q
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(r1)}
 = \{\{\overline{(op1)}
,\overline{(op1)}
\}
,\{\overline{(op1)}
,\overline{(op2)}
\}
\}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(f1)}
\colon 
\forall_{obj} \overline{(f2)}
\colon 
\forall_{obj} \overline{(f3)}
\colon 
\forall_{obj} \overline{(f4)}
\colon \{\{\overline{(f1)}
,\overline{(f1)}
\}
,\{\overline{(f1)}
,\overline{(f2)}
\}
\}
 \mathrel{\in} 
\mathsf {f}
 _{Ph} 
\Rightarrow \{\{\overline{(f3)}
,\overline{(f3)}
\}
,\{\overline{(f3)}
,\overline{(f4)}
\}
\}
 \mathrel{\in} 
\mathsf {f}
 _{Ph} 
\Rightarrow \overline{(f1)}
 = \overline{(f3)}
\Rightarrow \overline{(f2)}
 = \overline{(f4)}
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(s1)}
\colon \overline{(s1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(s2)}
\colon \dot{\neg}\,(\{\{\overline{(s1)}
,\overline{(s1)}
\}
,\{\overline{(s1)}
,\overline{(s2)}
\}
\}
 \mathrel{\in} 
\mathsf {f}
 _{Ph} 
)n
)n
)n
)n
\}
)
\mid 
\forall_{obj} \overline{(\epsilon)}
\colon \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {n}}
\colon \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {m}}
\colon \dot{\neg}\,(0
 <= \overline{(\epsilon)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(0
 = \overline{(\epsilon)}
)n
)n
)n
\Rightarrow \overline{
\mathsf {n}}
 <= \overline{
\mathsf {m}}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(|( \{ ph \mathrel{\in}  \{ ph \mathrel{\in} P(P(Union(\{N
,Q
\}
)
)
)
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op1)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op2)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\overline{(op1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(op2)}
 \mathrel{\in} Q
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\mathsf {a}
 _{Ph} 
 = \{\{\overline{(op1)}
,\overline{(op1)}
\}
,\{\overline{(op1)}
,\overline{(op2)}
\}
\}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\}
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(crs1)}
\colon \dot{\neg}\,(
\mathsf {c}
 _{Ph} 
 = \{\{\overline{(crs1)}
,\overline{(crs1)}
\}
,\{\overline{(crs1)}
,0
\}
\}
)n
)n
\}
[\overline{
\mathsf {m}}
]
+(-u
\mathsf {d}
 _{Ph} 
[\overline{
\mathsf {m}}
]
)
)
|
 <= \overline{(\epsilon)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(|( \{ ph \mathrel{\in}  \{ ph \mathrel{\in} P(P(Union(\{N
,Q
\}
)
)
)
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op1)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op2)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\overline{(op1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(op2)}
 \mathrel{\in} Q
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\mathsf {a}
 _{Ph} 
 = \{\{\overline{(op1)}
,\overline{(op1)}
\}
,\{\overline{(op1)}
,\overline{(op2)}
\}
\}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\}
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(crs1)}
\colon \dot{\neg}\,(
\mathsf {c}
 _{Ph} 
 = \{\{\overline{(crs1)}
,\overline{(crs1)}
\}
,\{\overline{(crs1)}
,0
\}
\}
)n
)n
\}
[\overline{
\mathsf {m}}
]
+(-u
\mathsf {d}
 _{Ph} 
[\overline{
\mathsf {m}}
]
)
)
|
 = \overline{(\epsilon)}
)n
)n
)n
)n
)n
\}
 =  \{ ph \mathrel{\in} P( \{ ph \mathrel{\in} P( \{ ph \mathrel{\in} P(P(Union(\{N
,Q
\}
)
)
)
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op1)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op2)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\overline{(op1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(op2)}
 \mathrel{\in} Q
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\mathsf {a}
 _{Ph} 
 = \{\{\overline{(op1)}
,\overline{(op1)}
\}
,\{\overline{(op1)}
,\overline{(op2)}
\}
\}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\}
)
\mid \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(r1)}
\colon \overline{(r1)}
 \mathrel{\in} 
\mathsf {f}
 _{Ph} 
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op1)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op2)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\overline{(op1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(op2)}
 \mathrel{\in} Q
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(r1)}
 = \{\{\overline{(op1)}
,\overline{(op1)}
\}
,\{\overline{(op1)}
,\overline{(op2)}
\}
\}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(f1)}
\colon 
\forall_{obj} \overline{(f2)}
\colon 
\forall_{obj} \overline{(f3)}
\colon 
\forall_{obj} \overline{(f4)}
\colon \{\{\overline{(f1)}
,\overline{(f1)}
\}
,\{\overline{(f1)}
,\overline{(f2)}
\}
\}
 \mathrel{\in} 
\mathsf {f}
 _{Ph} 
\Rightarrow \{\{\overline{(f3)}
,\overline{(f3)}
\}
,\{\overline{(f3)}
,\overline{(f4)}
\}
\}
 \mathrel{\in} 
\mathsf {f}
 _{Ph} 
\Rightarrow \overline{(f1)}
 = \overline{(f3)}
\Rightarrow \overline{(f2)}
 = \overline{(f4)}
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(s1)}
\colon \overline{(s1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(s2)}
\colon \dot{\neg}\,(\{\{\overline{(s1)}
,\overline{(s1)}
\}
,\{\overline{(s1)}
,\overline{(s2)}
\}
\}
 \mathrel{\in} 
\mathsf {f}
 _{Ph} 
)n
)n
)n
)n
\}
)
\mid 
\forall_{obj} \overline{(\epsilon)}
\colon \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {n}}
\colon \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {m}}
\colon \dot{\neg}\,(0
 <= \overline{(\epsilon)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(0
 = \overline{(\epsilon)}
)n
)n
)n
\Rightarrow \overline{
\mathsf {n}}
 <= \overline{
\mathsf {m}}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(|(\underline{(fz)}
[\overline{
\mathsf {m}}
]
+(-u
\mathsf {d}
 _{Ph} 
[\overline{
\mathsf {m}}
]
)
)
|
 <= \overline{(\epsilon)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(|(\underline{(fz)}
[\overline{
\mathsf {m}}
]
+(-u
\mathsf {d}
 _{Ph} 
[\overline{
\mathsf {m}}
]
)
)
|
 = \overline{(\epsilon)}
)n
)n
)n
)n
)n
\}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(\epsilon)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {n}}
\colon \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {m}}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(0
 <= \overline{(\epsilon)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(0
 = \overline{(\epsilon)}
)n
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{
\mathsf {n}}
 <= \overline{
\mathsf {m}}
\Rightarrow  \{ ph \mathrel{\in}  \{ ph \mathrel{\in} P(P(Union(\{N
,Q
\}
)
)
)
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op1)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op2)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\overline{(op1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(op2)}
 \mathrel{\in} Q
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\mathsf {a}
 _{Ph} 
 = \{\{\overline{(op1)}
,\overline{(op1)}
\}
,\{\overline{(op1)}
,\overline{(op2)}
\}
\}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\}
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \underline{
\mathsf {m}}
\colon \dot{\neg}\,(
\mathsf {e}
 _{Ph} 
 = \{\{\underline{
\mathsf {m}}
,\underline{
\mathsf {m}}
\}
,\{\underline{
\mathsf {m}}
,(\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
*\underline{(fz)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
)
\}
\}
)n
)n
\}
[\overline{
\mathsf {m}}
]
 <= ( \{ ph \mathrel{\in}  \{ ph \mathrel{\in} P(P(Union(\{N
,Q
\}
)
)
)
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op1)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op2)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\overline{(op1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(op2)}
 \mathrel{\in} Q
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\mathsf {a}
 _{Ph} 
 = \{\{\overline{(op1)}
,\overline{(op1)}
\}
,\{\overline{(op1)}
,\overline{(op2)}
\}
\}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\}
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \underline{
\mathsf {m}}
\colon \dot{\neg}\,(
\mathsf {e}
 _{Ph} 
 = \{\{\underline{
\mathsf {m}}
,\underline{
\mathsf {m}}
\}
,\{\underline{
\mathsf {m}}
,(\underline{(fy)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
*\underline{(fz)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
)
\}
\}
)n
)n
\}
[\overline{
\mathsf {m}}
]
+(-u\overline{(\epsilon)}
)
)
)n
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\Rightarrow  \{ ph \mathrel{\in} P( \{ ph \mathrel{\in} P( \{ ph \mathrel{\in} P(P(Union(\{N
,Q
\}
)
)
)
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op1)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op2)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\overline{(op1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(op2)}
 \mathrel{\in} Q
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\mathsf {a}
 _{Ph} 
 = \{\{\overline{(op1)}
,\overline{(op1)}
\}
,\{\overline{(op1)}
,\overline{(op2)}
\}
\}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\}
)
\mid \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(r1)}
\colon \overline{(r1)}
 \mathrel{\in} 
\mathsf {f}
 _{Ph} 
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op1)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op2)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\overline{(op1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(op2)}
 \mathrel{\in} Q
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(r1)}
 = \{\{\overline{(op1)}
,\overline{(op1)}
\}
,\{\overline{(op1)}
,\overline{(op2)}
\}
\}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(f1)}
\colon 
\forall_{obj} \overline{(f2)}
\colon 
\forall_{obj} \overline{(f3)}
\colon 
\forall_{obj} \overline{(f4)}
\colon \{\{\overline{(f1)}
,\overline{(f1)}
\}
,\{\overline{(f1)}
,\overline{(f2)}
\}
\}
 \mathrel{\in} 
\mathsf {f}
 _{Ph} 
\Rightarrow \{\{\overline{(f3)}
,\overline{(f3)}
\}
,\{\overline{(f3)}
,\overline{(f4)}
\}
\}
 \mathrel{\in} 
\mathsf {f}
 _{Ph} 
\Rightarrow \overline{(f1)}
 = \overline{(f3)}
\Rightarrow \overline{(f2)}
 = \overline{(f4)}
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(s1)}
\colon \overline{(s1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(s2)}
\colon \dot{\neg}\,(\{\{\overline{(s1)}
,\overline{(s1)}
\}
,\{\overline{(s1)}
,\overline{(s2)}
\}
\}
 \mathrel{\in} 
\mathsf {f}
 _{Ph} 
)n
)n
)n
)n
\}
)
\mid 
\forall_{obj} \overline{(\epsilon)}
\colon \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {n}}
\colon \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {m}}
\colon \dot{\neg}\,(0
 <= \overline{(\epsilon)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(0
 = \overline{(\epsilon)}
)n
)n
)n
\Rightarrow \overline{
\mathsf {n}}
 <= \overline{
\mathsf {m}}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(|( \{ ph \mathrel{\in}  \{ ph \mathrel{\in} P(P(Union(\{N
,Q
\}
)
)
)
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op1)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op2)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\overline{(op1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(op2)}
 \mathrel{\in} Q
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\mathsf {a}
 _{Ph} 
 = \{\{\overline{(op1)}
,\overline{(op1)}
\}
,\{\overline{(op1)}
,\overline{(op2)}
\}
\}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\}
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \underline{
\mathsf {m}}
\colon \dot{\neg}\,(
\mathsf {e}
 _{Ph} 
 = \{\{\underline{
\mathsf {m}}
,\underline{
\mathsf {m}}
\}
,\{\underline{
\mathsf {m}}
,(\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
*\underline{(fz)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
)
\}
\}
)n
)n
\}
[\overline{
\mathsf {m}}
]
+(-u
\mathsf {d}
 _{Ph} 
[\overline{
\mathsf {m}}
]
)
)
|
 <= \overline{(\epsilon)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(|( \{ ph \mathrel{\in}  \{ ph \mathrel{\in} P(P(Union(\{N
,Q
\}
)
)
)
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op1)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op2)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\overline{(op1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(op2)}
 \mathrel{\in} Q
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\mathsf {a}
 _{Ph} 
 = \{\{\overline{(op1)}
,\overline{(op1)}
\}
,\{\overline{(op1)}
,\overline{(op2)}
\}
\}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\}
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \underline{
\mathsf {m}}
\colon \dot{\neg}\,(
\mathsf {e}
 _{Ph} 
 = \{\{\underline{
\mathsf {m}}
,\underline{
\mathsf {m}}
\}
,\{\underline{
\mathsf {m}}
,(\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
*\underline{(fz)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
)
\}
\}
)n
)n
\}
[\overline{
\mathsf {m}}
]
+(-u
\mathsf {d}
 _{Ph} 
[\overline{
\mathsf {m}}
]
)
)
|
 = \overline{(\epsilon)}
)n
)n
)n
)n
)n
\}
 =  \{ ph \mathrel{\in} P( \{ ph \mathrel{\in} P( \{ ph \mathrel{\in} P(P(Union(\{N
,Q
\}
)
)
)
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op1)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op2)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\overline{(op1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(op2)}
 \mathrel{\in} Q
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\mathsf {a}
 _{Ph} 
 = \{\{\overline{(op1)}
,\overline{(op1)}
\}
,\{\overline{(op1)}
,\overline{(op2)}
\}
\}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\}
)
\mid \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(r1)}
\colon \overline{(r1)}
 \mathrel{\in} 
\mathsf {f}
 _{Ph} 
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op1)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op2)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\overline{(op1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(op2)}
 \mathrel{\in} Q
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(r1)}
 = \{\{\overline{(op1)}
,\overline{(op1)}
\}
,\{\overline{(op1)}
,\overline{(op2)}
\}
\}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(f1)}
\colon 
\forall_{obj} \overline{(f2)}
\colon 
\forall_{obj} \overline{(f3)}
\colon 
\forall_{obj} \overline{(f4)}
\colon \{\{\overline{(f1)}
,\overline{(f1)}
\}
,\{\overline{(f1)}
,\overline{(f2)}
\}
\}
 \mathrel{\in} 
\mathsf {f}
 _{Ph} 
\Rightarrow \{\{\overline{(f3)}
,\overline{(f3)}
\}
,\{\overline{(f3)}
,\overline{(f4)}
\}
\}
 \mathrel{\in} 
\mathsf {f}
 _{Ph} 
\Rightarrow \overline{(f1)}
 = \overline{(f3)}
\Rightarrow \overline{(f2)}
 = \overline{(f4)}
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(s1)}
\colon \overline{(s1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(s2)}
\colon \dot{\neg}\,(\{\{\overline{(s1)}
,\overline{(s1)}
\}
,\{\overline{(s1)}
,\overline{(s2)}
\}
\}
 \mathrel{\in} 
\mathsf {f}
 _{Ph} 
)n
)n
)n
)n
\}
)
\mid 
\forall_{obj} \overline{(\epsilon)}
\colon \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {n}}
\colon \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {m}}
\colon \dot{\neg}\,(0
 <= \overline{(\epsilon)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(0
 = \overline{(\epsilon)}
)n
)n
)n
\Rightarrow \overline{
\mathsf {n}}
 <= \overline{
\mathsf {m}}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(|( \{ ph \mathrel{\in}  \{ ph \mathrel{\in} P(P(Union(\{N
,Q
\}
)
)
)
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op1)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op2)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\overline{(op1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(op2)}
 \mathrel{\in} Q
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\mathsf {a}
 _{Ph} 
 = \{\{\overline{(op1)}
,\overline{(op1)}
\}
,\{\overline{(op1)}
,\overline{(op2)}
\}
\}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\}
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \underline{
\mathsf {m}}
\colon \dot{\neg}\,(
\mathsf {e}
 _{Ph} 
 = \{\{\underline{
\mathsf {m}}
,\underline{
\mathsf {m}}
\}
,\{\underline{
\mathsf {m}}
,(\underline{(fy)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
*\underline{(fz)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
)
\}
\}
)n
)n
\}
[\overline{
\mathsf {m}}
]
+(-u
\mathsf {d}
 _{Ph} 
[\overline{
\mathsf {m}}
]
)
)
|
 <= \overline{(\epsilon)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(|( \{ ph \mathrel{\in}  \{ ph \mathrel{\in} P(P(Union(\{N
,Q
\}
)
)
)
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op1)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op2)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\overline{(op1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(op2)}
 \mathrel{\in} Q
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\mathsf {a}
 _{Ph} 
 = \{\{\overline{(op1)}
,\overline{(op1)}
\}
,\{\overline{(op1)}
,\overline{(op2)}
\}
\}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\}
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \underline{
\mathsf {m}}
\colon \dot{\neg}\,(
\mathsf {e}
 _{Ph} 
 = \{\{\underline{
\mathsf {m}}
,\underline{
\mathsf {m}}
\}
,\{\underline{
\mathsf {m}}
,(\underline{(fy)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
*\underline{(fz)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
)
\}
\}
)n
)n
\}
[\overline{
\mathsf {m}}
]
+(-u
\mathsf {d}
 _{Ph} 
[\overline{
\mathsf {m}}
]
)
)
|
 = \overline{(\epsilon)}
)n
)n
)n
)n
)n
\}
; Ded
\rhd 
\forall \underline{(fx)}
\colon 
\forall \underline{(fy)}
\colon 
\forall \underline{(fz)}
\colon  \{ ph \mathrel{\in} P( \{ ph \mathrel{\in} P( \{ ph \mathrel{\in} P(P(Union(\{N
,Q
\}
)
)
)
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op1)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op2)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\overline{(op1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(op2)}
 \mathrel{\in} Q
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\mathsf {a}
 _{Ph} 
 = \{\{\overline{(op1)}
,\overline{(op1)}
\}
,\{\overline{(op1)}
,\overline{(op2)}
\}
\}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\}
)
\mid \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(r1)}
\colon \overline{(r1)}
 \mathrel{\in} 
\mathsf {f}
 _{Ph} 
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op1)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op2)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\overline{(op1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(op2)}
 \mathrel{\in} Q
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(r1)}
 = \{\{\overline{(op1)}
,\overline{(op1)}
\}
,\{\overline{(op1)}
,\overline{(op2)}
\}
\}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(f1)}
\colon 
\forall_{obj} \overline{(f2)}
\colon 
\forall_{obj} \overline{(f3)}
\colon 
\forall_{obj} \overline{(f4)}
\colon \{\{\overline{(f1)}
,\overline{(f1)}
\}
,\{\overline{(f1)}
,\overline{(f2)}
\}
\}
 \mathrel{\in} 
\mathsf {f}
 _{Ph} 
\Rightarrow \{\{\overline{(f3)}
,\overline{(f3)}
\}
,\{\overline{(f3)}
,\overline{(f4)}
\}
\}
 \mathrel{\in} 
\mathsf {f}
 _{Ph} 
\Rightarrow \overline{(f1)}
 = \overline{(f3)}
\Rightarrow \overline{(f2)}
 = \overline{(f4)}
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(s1)}
\colon \overline{(s1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(s2)}
\colon \dot{\neg}\,(\{\{\overline{(s1)}
,\overline{(s1)}
\}
,\{\overline{(s1)}
,\overline{(s2)}
\}
\}
 \mathrel{\in} 
\mathsf {f}
 _{Ph} 
)n
)n
)n
)n
\}
)
\mid 
\forall_{obj} \overline{(\epsilon)}
\colon \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {n}}
\colon \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {m}}
\colon \dot{\neg}\,(0
 <= \overline{(\epsilon)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(0
 = \overline{(\epsilon)}
)n
)n
)n
\Rightarrow \overline{
\mathsf {n}}
 <= \overline{
\mathsf {m}}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(|(\underline{(fx)}
[\overline{
\mathsf {m}}
]
+(-u
\mathsf {d}
 _{Ph} 
[\overline{
\mathsf {m}}
]
)
)
|
 <= \overline{(\epsilon)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(|(\underline{(fx)}
[\overline{
\mathsf {m}}
]
+(-u
\mathsf {d}
 _{Ph} 
[\overline{
\mathsf {m}}
]
)
)
|
 = \overline{(\epsilon)}
)n
)n
)n
)n
)n
\}
 =  \{ ph \mathrel{\in} P( \{ ph \mathrel{\in} P( \{ ph \mathrel{\in} P(P(Union(\{N
,Q
\}
)
)
)
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op1)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op2)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\overline{(op1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(op2)}
 \mathrel{\in} Q
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\mathsf {a}
 _{Ph} 
 = \{\{\overline{(op1)}
,\overline{(op1)}
\}
,\{\overline{(op1)}
,\overline{(op2)}
\}
\}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\}
)
\mid \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(r1)}
\colon \overline{(r1)}
 \mathrel{\in} 
\mathsf {f}
 _{Ph} 
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op1)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op2)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\overline{(op1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(op2)}
 \mathrel{\in} Q
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(r1)}
 = \{\{\overline{(op1)}
,\overline{(op1)}
\}
,\{\overline{(op1)}
,\overline{(op2)}
\}
\}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(f1)}
\colon 
\forall_{obj} \overline{(f2)}
\colon 
\forall_{obj} \overline{(f3)}
\colon 
\forall_{obj} \overline{(f4)}
\colon \{\{\overline{(f1)}
,\overline{(f1)}
\}
,\{\overline{(f1)}
,\overline{(f2)}
\}
\}
 \mathrel{\in} 
\mathsf {f}
 _{Ph} 
\Rightarrow \{\{\overline{(f3)}
,\overline{(f3)}
\}
,\{\overline{(f3)}
,\overline{(f4)}
\}
\}
 \mathrel{\in} 
\mathsf {f}
 _{Ph} 
\Rightarrow \overline{(f1)}
 = \overline{(f3)}
\Rightarrow \overline{(f2)}
 = \overline{(f4)}
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(s1)}
\colon \overline{(s1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(s2)}
\colon \dot{\neg}\,(\{\{\overline{(s1)}
,\overline{(s1)}
\}
,\{\overline{(s1)}
,\overline{(s2)}
\}
\}
 \mathrel{\in} 
\mathsf {f}
 _{Ph} 
)n
)n
)n
)n
\}
)
\mid 
\forall_{obj} \overline{(\epsilon)}
\colon \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {n}}
\colon \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {m}}
\colon \dot{\neg}\,(0
 <= \overline{(\epsilon)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(0
 = \overline{(\epsilon)}
)n
)n
)n
\Rightarrow \overline{
\mathsf {n}}
 <= \overline{
\mathsf {m}}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(|(\underline{(fy)}
[\overline{
\mathsf {m}}
]
+(-u
\mathsf {d}
 _{Ph} 
[\overline{
\mathsf {m}}
]
)
)
|
 <= \overline{(\epsilon)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(|(\underline{(fy)}
[\overline{
\mathsf {m}}
]
+(-u
\mathsf {d}
 _{Ph} 
[\overline{
\mathsf {m}}
]
)
)
|
 = \overline{(\epsilon)}
)n
)n
)n
)n
)n
\}
\vdash \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(\epsilon)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {n}}
\colon \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {m}}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(0
 <= \overline{(\epsilon)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(0
 = \overline{(\epsilon)}
)n
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{
\mathsf {n}}
 <= \overline{
\mathsf {m}}
\Rightarrow  \{ ph \mathrel{\in}  \{ ph \mathrel{\in} P(P(Union(\{N
,Q
\}
)
)
)
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op1)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op2)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\overline{(op1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(op2)}
 \mathrel{\in} Q
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\mathsf {a}
 _{Ph} 
 = \{\{\overline{(op1)}
,\overline{(op1)}
\}
,\{\overline{(op1)}
,\overline{(op2)}
\}
\}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\}
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \underline{
\mathsf {m}}
\colon \dot{\neg}\,(
\mathsf {e}
 _{Ph} 
 = \{\{\underline{
\mathsf {m}}
,\underline{
\mathsf {m}}
\}
,\{\underline{
\mathsf {m}}
,(\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
*\underline{(fz)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
)
\}
\}
)n
)n
\}
[\overline{
\mathsf {m}}
]
 <= ( \{ ph \mathrel{\in}  \{ ph \mathrel{\in} P(P(Union(\{N
,Q
\}
)
)
)
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op1)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op2)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\overline{(op1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(op2)}
 \mathrel{\in} Q
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\mathsf {a}
 _{Ph} 
 = \{\{\overline{(op1)}
,\overline{(op1)}
\}
,\{\overline{(op1)}
,\overline{(op2)}
\}
\}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\}
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \underline{
\mathsf {m}}
\colon \dot{\neg}\,(
\mathsf {e}
 _{Ph} 
 = \{\{\underline{
\mathsf {m}}
,\underline{
\mathsf {m}}
\}
,\{\underline{
\mathsf {m}}
,(\underline{(fy)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
*\underline{(fz)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
)
\}
\}
)n
)n
\}
[\overline{
\mathsf {m}}
]
+(-u\overline{(\epsilon)}
)
)
)n
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\Rightarrow  \{ ph \mathrel{\in} P( \{ ph \mathrel{\in} P( \{ ph \mathrel{\in} P(P(Union(\{N
,Q
\}
)
)
)
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op1)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op2)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\overline{(op1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(op2)}
 \mathrel{\in} Q
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\mathsf {a}
 _{Ph} 
 = \{\{\overline{(op1)}
,\overline{(op1)}
\}
,\{\overline{(op1)}
,\overline{(op2)}
\}
\}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\}
)
\mid \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(r1)}
\colon \overline{(r1)}
 \mathrel{\in} 
\mathsf {f}
 _{Ph} 
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op1)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op2)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\overline{(op1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(op2)}
 \mathrel{\in} Q
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(r1)}
 = \{\{\overline{(op1)}
,\overline{(op1)}
\}
,\{\overline{(op1)}
,\overline{(op2)}
\}
\}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(f1)}
\colon 
\forall_{obj} \overline{(f2)}
\colon 
\forall_{obj} \overline{(f3)}
\colon 
\forall_{obj} \overline{(f4)}
\colon \{\{\overline{(f1)}
,\overline{(f1)}
\}
,\{\overline{(f1)}
,\overline{(f2)}
\}
\}
 \mathrel{\in} 
\mathsf {f}
 _{Ph} 
\Rightarrow \{\{\overline{(f3)}
,\overline{(f3)}
\}
,\{\overline{(f3)}
,\overline{(f4)}
\}
\}
 \mathrel{\in} 
\mathsf {f}
 _{Ph} 
\Rightarrow \overline{(f1)}
 = \overline{(f3)}
\Rightarrow \overline{(f2)}
 = \overline{(f4)}
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(s1)}
\colon \overline{(s1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(s2)}
\colon \dot{\neg}\,(\{\{\overline{(s1)}
,\overline{(s1)}
\}
,\{\overline{(s1)}
,\overline{(s2)}
\}
\}
 \mathrel{\in} 
\mathsf {f}
 _{Ph} 
)n
)n
)n
)n
\}
)
\mid 
\forall_{obj} \overline{(\epsilon)}
\colon \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {n}}
\colon \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {m}}
\colon \dot{\neg}\,(0
 <= \overline{(\epsilon)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(0
 = \overline{(\epsilon)}
)n
)n
)n
\Rightarrow \overline{
\mathsf {n}}
 <= \overline{
\mathsf {m}}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(|( \{ ph \mathrel{\in}  \{ ph \mathrel{\in} P(P(Union(\{N
,Q
\}
)
)
)
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op1)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op2)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\overline{(op1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(op2)}
 \mathrel{\in} Q
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\mathsf {a}
 _{Ph} 
 = \{\{\overline{(op1)}
,\overline{(op1)}
\}
,\{\overline{(op1)}
,\overline{(op2)}
\}
\}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\}
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \underline{
\mathsf {m}}
\colon \dot{\neg}\,(
\mathsf {e}
 _{Ph} 
 = \{\{\underline{
\mathsf {m}}
,\underline{
\mathsf {m}}
\}
,\{\underline{
\mathsf {m}}
,(\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
*\underline{(fz)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
)
\}
\}
)n
)n
\}
[\overline{
\mathsf {m}}
]
+(-u
\mathsf {d}
 _{Ph} 
[\overline{
\mathsf {m}}
]
)
)
|
 <= \overline{(\epsilon)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(|( \{ ph \mathrel{\in}  \{ ph \mathrel{\in} P(P(Union(\{N
,Q
\}
)
)
)
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op1)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op2)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\overline{(op1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(op2)}
 \mathrel{\in} Q
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\mathsf {a}
 _{Ph} 
 = \{\{\overline{(op1)}
,\overline{(op1)}
\}
,\{\overline{(op1)}
,\overline{(op2)}
\}
\}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\}
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \underline{
\mathsf {m}}
\colon \dot{\neg}\,(
\mathsf {e}
 _{Ph} 
 = \{\{\underline{
\mathsf {m}}
,\underline{
\mathsf {m}}
\}
,\{\underline{
\mathsf {m}}
,(\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
*\underline{(fz)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
)
\}
\}
)n
)n
\}
[\overline{
\mathsf {m}}
]
+(-u
\mathsf {d}
 _{Ph} 
[\overline{
\mathsf {m}}
]
)
)
|
 = \overline{(\epsilon)}
)n
)n
)n
)n
)n
\}
 =  \{ ph \mathrel{\in} P( \{ ph \mathrel{\in} P( \{ ph \mathrel{\in} P(P(Union(\{N
,Q
\}
)
)
)
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op1)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op2)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\overline{(op1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(op2)}
 \mathrel{\in} Q
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\mathsf {a}
 _{Ph} 
 = \{\{\overline{(op1)}
,\overline{(op1)}
\}
,\{\overline{(op1)}
,\overline{(op2)}
\}
\}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\}
)
\mid \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(r1)}
\colon \overline{(r1)}
 \mathrel{\in} 
\mathsf {f}
 _{Ph} 
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op1)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op2)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\overline{(op1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(op2)}
 \mathrel{\in} Q
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(r1)}
 = \{\{\overline{(op1)}
,\overline{(op1)}
\}
,\{\overline{(op1)}
,\overline{(op2)}
\}
\}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(f1)}
\colon 
\forall_{obj} \overline{(f2)}
\colon 
\forall_{obj} \overline{(f3)}
\colon 
\forall_{obj} \overline{(f4)}
\colon \{\{\overline{(f1)}
,\overline{(f1)}
\}
,\{\overline{(f1)}
,\overline{(f2)}
\}
\}
 \mathrel{\in} 
\mathsf {f}
 _{Ph} 
\Rightarrow \{\{\overline{(f3)}
,\overline{(f3)}
\}
,\{\overline{(f3)}
,\overline{(f4)}
\}
\}
 \mathrel{\in} 
\mathsf {f}
 _{Ph} 
\Rightarrow \overline{(f1)}
 = \overline{(f3)}
\Rightarrow \overline{(f2)}
 = \overline{(f4)}
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(s1)}
\colon \overline{(s1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(s2)}
\colon \dot{\neg}\,(\{\{\overline{(s1)}
,\overline{(s1)}
\}
,\{\overline{(s1)}
,\overline{(s2)}
\}
\}
 \mathrel{\in} 
\mathsf {f}
 _{Ph} 
)n
)n
)n
)n
\}
)
\mid 
\forall_{obj} \overline{(\epsilon)}
\colon \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {n}}
\colon \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {m}}
\colon \dot{\neg}\,(0
 <= \overline{(\epsilon)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(0
 = \overline{(\epsilon)}
)n
)n
)n
\Rightarrow \overline{
\mathsf {n}}
 <= \overline{
\mathsf {m}}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(|( \{ ph \mathrel{\in}  \{ ph \mathrel{\in} P(P(Union(\{N
,Q
\}
)
)
)
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op1)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op2)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\overline{(op1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(op2)}
 \mathrel{\in} Q
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\mathsf {a}
 _{Ph} 
 = \{\{\overline{(op1)}
,\overline{(op1)}
\}
,\{\overline{(op1)}
,\overline{(op2)}
\}
\}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\}
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \underline{
\mathsf {m}}
\colon \dot{\neg}\,(
\mathsf {e}
 _{Ph} 
 = \{\{\underline{
\mathsf {m}}
,\underline{
\mathsf {m}}
\}
,\{\underline{
\mathsf {m}}
,(\underline{(fy)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
*\underline{(fz)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
)
\}
\}
)n
)n
\}
[\overline{
\mathsf {m}}
]
+(-u
\mathsf {d}
 _{Ph} 
[\overline{
\mathsf {m}}
]
)
)
|
 <= \overline{(\epsilon)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(|( \{ ph \mathrel{\in}  \{ ph \mathrel{\in} P(P(Union(\{N
,Q
\}
)
)
)
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op1)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op2)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\overline{(op1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(op2)}
 \mathrel{\in} Q
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\mathsf {a}
 _{Ph} 
 = \{\{\overline{(op1)}
,\overline{(op1)}
\}
,\{\overline{(op1)}
,\overline{(op2)}
\}
\}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\}
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \underline{
\mathsf {m}}
\colon \dot{\neg}\,(
\mathsf {e}
 _{Ph} 
 = \{\{\underline{
\mathsf {m}}
,\underline{
\mathsf {m}}
\}
,\{\underline{
\mathsf {m}}
,(\underline{(fy)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
*\underline{(fz)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
)
\}
\}
)n
)n
\}
[\overline{
\mathsf {m}}
]
+(-u
\mathsf {d}
 _{Ph} 
[\overline{
\mathsf {m}}
]
)
)
|
 = \overline{(\epsilon)}
)n
)n
)n
)n
)n
\}
\gg  \{ ph \mathrel{\in} P( \{ ph \mathrel{\in} P( \{ ph \mathrel{\in} P(P(Union(\{N
,Q
\}
)
)
)
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op1)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op2)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\overline{(op1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(op2)}
 \mathrel{\in} Q
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\mathsf {a}
 _{Ph} 
 = \{\{\overline{(op1)}
,\overline{(op1)}
\}
,\{\overline{(op1)}
,\overline{(op2)}
\}
\}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\}
)
\mid \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(r1)}
\colon \overline{(r1)}
 \mathrel{\in} 
\mathsf {f}
 _{Ph} 
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op1)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op2)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\overline{(op1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(op2)}
 \mathrel{\in} Q
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(r1)}
 = \{\{\overline{(op1)}
,\overline{(op1)}
\}
,\{\overline{(op1)}
,\overline{(op2)}
\}
\}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(f1)}
\colon 
\forall_{obj} \overline{(f2)}
\colon 
\forall_{obj} \overline{(f3)}
\colon 
\forall_{obj} \overline{(f4)}
\colon \{\{\overline{(f1)}
,\overline{(f1)}
\}
,\{\overline{(f1)}
,\overline{(f2)}
\}
\}
 \mathrel{\in} 
\mathsf {f}
 _{Ph} 
\Rightarrow \{\{\overline{(f3)}
,\overline{(f3)}
\}
,\{\overline{(f3)}
,\overline{(f4)}
\}
\}
 \mathrel{\in} 
\mathsf {f}
 _{Ph} 
\Rightarrow \overline{(f1)}
 = \overline{(f3)}
\Rightarrow \overline{(f2)}
 = \overline{(f4)}
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(s1)}
\colon \overline{(s1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(s2)}
\colon \dot{\neg}\,(\{\{\overline{(s1)}
,\overline{(s1)}
\}
,\{\overline{(s1)}
,\overline{(s2)}
\}
\}
 \mathrel{\in} 
\mathsf {f}
 _{Ph} 
)n
)n
)n
)n
\}
)
\mid 
\forall_{obj} \overline{(\epsilon)}
\colon \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {n}}
\colon \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {m}}
\colon \dot{\neg}\,(0
 <= \overline{(\epsilon)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(0
 = \overline{(\epsilon)}
)n
)n
)n
\Rightarrow \overline{
\mathsf {n}}
 <= \overline{
\mathsf {m}}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(|(\underline{(fx)}
[\overline{
\mathsf {m}}
]
+(-u
\mathsf {d}
 _{Ph} 
[\overline{
\mathsf {m}}
]
)
)
|
 <= \overline{(\epsilon)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(|(\underline{(fx)}
[\overline{
\mathsf {m}}
]
+(-u
\mathsf {d}
 _{Ph} 
[\overline{
\mathsf {m}}
]
)
)
|
 = \overline{(\epsilon)}
)n
)n
)n
)n
)n
\}
 =  \{ ph \mathrel{\in} P( \{ ph \mathrel{\in} P( \{ ph \mathrel{\in} P(P(Union(\{N
,Q
\}
)
)
)
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op1)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op2)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\overline{(op1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(op2)}
 \mathrel{\in} Q
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\mathsf {a}
 _{Ph} 
 = \{\{\overline{(op1)}
,\overline{(op1)}
\}
,\{\overline{(op1)}
,\overline{(op2)}
\}
\}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\}
)
\mid \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(r1)}
\colon \overline{(r1)}
 \mathrel{\in} 
\mathsf {f}
 _{Ph} 
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op1)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op2)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\overline{(op1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(op2)}
 \mathrel{\in} Q
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(r1)}
 = \{\{\overline{(op1)}
,\overline{(op1)}
\}
,\{\overline{(op1)}
,\overline{(op2)}
\}
\}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(f1)}
\colon 
\forall_{obj} \overline{(f2)}
\colon 
\forall_{obj} \overline{(f3)}
\colon 
\forall_{obj} \overline{(f4)}
\colon \{\{\overline{(f1)}
,\overline{(f1)}
\}
,\{\overline{(f1)}
,\overline{(f2)}
\}
\}
 \mathrel{\in} 
\mathsf {f}
 _{Ph} 
\Rightarrow \{\{\overline{(f3)}
,\overline{(f3)}
\}
,\{\overline{(f3)}
,\overline{(f4)}
\}
\}
 \mathrel{\in} 
\mathsf {f}
 _{Ph} 
\Rightarrow \overline{(f1)}
 = \overline{(f3)}
\Rightarrow \overline{(f2)}
 = \overline{(f4)}
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(s1)}
\colon \overline{(s1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(s2)}
\colon \dot{\neg}\,(\{\{\overline{(s1)}
,\overline{(s1)}
\}
,\{\overline{(s1)}
,\overline{(s2)}
\}
\}
 \mathrel{\in} 
\mathsf {f}
 _{Ph} 
)n
)n
)n
)n
\}
)
\mid 
\forall_{obj} \overline{(\epsilon)}
\colon \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {n}}
\colon \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {m}}
\colon \dot{\neg}\,(0
 <= \overline{(\epsilon)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(0
 = \overline{(\epsilon)}
)n
)n
)n
\Rightarrow \overline{
\mathsf {n}}
 <= \overline{
\mathsf {m}}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(|(\underline{(fy)}
[\overline{
\mathsf {m}}
]
+(-u
\mathsf {d}
 _{Ph} 
[\overline{
\mathsf {m}}
]
)
)
|
 <= \overline{(\epsilon)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(|(\underline{(fy)}
[\overline{
\mathsf {m}}
]
+(-u
\mathsf {d}
 _{Ph} 
[\overline{
\mathsf {m}}
]
)
)
|
 = \overline{(\epsilon)}
)n
)n
)n
)n
)n
\}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(\epsilon)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {n}}
\colon \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {m}}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(0
 <= \overline{(\epsilon)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(0
 = \overline{(\epsilon)}
)n
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{
\mathsf {n}}
 <= \overline{
\mathsf {m}}
\Rightarrow  \{ ph \mathrel{\in}  \{ ph \mathrel{\in} P(P(Union(\{N
,Q
\}
)
)
)
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op1)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op2)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\overline{(op1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(op2)}
 \mathrel{\in} Q
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\mathsf {a}
 _{Ph} 
 = \{\{\overline{(op1)}
,\overline{(op1)}
\}
,\{\overline{(op1)}
,\overline{(op2)}
\}
\}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\}
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \underline{
\mathsf {m}}
\colon \dot{\neg}\,(
\mathsf {e}
 _{Ph} 
 = \{\{\underline{
\mathsf {m}}
,\underline{
\mathsf {m}}
\}
,\{\underline{
\mathsf {m}}
,(\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
*\underline{(fz)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
)
\}
\}
)n
)n
\}
[\overline{
\mathsf {m}}
]
 <= ( \{ ph \mathrel{\in}  \{ ph \mathrel{\in} P(P(Union(\{N
,Q
\}
)
)
)
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op1)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op2)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\overline{(op1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(op2)}
 \mathrel{\in} Q
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\mathsf {a}
 _{Ph} 
 = \{\{\overline{(op1)}
,\overline{(op1)}
\}
,\{\overline{(op1)}
,\overline{(op2)}
\}
\}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\}
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \underline{
\mathsf {m}}
\colon \dot{\neg}\,(
\mathsf {e}
 _{Ph} 
 = \{\{\underline{
\mathsf {m}}
,\underline{
\mathsf {m}}
\}
,\{\underline{
\mathsf {m}}
,(\underline{(fy)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
*\underline{(fz)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
)
\}
\}
)n
)n
\}
[\overline{
\mathsf {m}}
]
+(-u\overline{(\epsilon)}
)
)
)n
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\Rightarrow  \{ ph \mathrel{\in} P( \{ ph \mathrel{\in} P( \{ ph \mathrel{\in} P(P(Union(\{N
,Q
\}
)
)
)
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op1)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op2)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\overline{(op1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(op2)}
 \mathrel{\in} Q
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\mathsf {a}
 _{Ph} 
 = \{\{\overline{(op1)}
,\overline{(op1)}
\}
,\{\overline{(op1)}
,\overline{(op2)}
\}
\}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\}
)
\mid \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(r1)}
\colon \overline{(r1)}
 \mathrel{\in} 
\mathsf {f}
 _{Ph} 
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op1)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op2)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\overline{(op1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(op2)}
 \mathrel{\in} Q
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(r1)}
 = \{\{\overline{(op1)}
,\overline{(op1)}
\}
,\{\overline{(op1)}
,\overline{(op2)}
\}
\}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(f1)}
\colon 
\forall_{obj} \overline{(f2)}
\colon 
\forall_{obj} \overline{(f3)}
\colon 
\forall_{obj} \overline{(f4)}
\colon \{\{\overline{(f1)}
,\overline{(f1)}
\}
,\{\overline{(f1)}
,\overline{(f2)}
\}
\}
 \mathrel{\in} 
\mathsf {f}
 _{Ph} 
\Rightarrow \{\{\overline{(f3)}
,\overline{(f3)}
\}
,\{\overline{(f3)}
,\overline{(f4)}
\}
\}
 \mathrel{\in} 
\mathsf {f}
 _{Ph} 
\Rightarrow \overline{(f1)}
 = \overline{(f3)}
\Rightarrow \overline{(f2)}
 = \overline{(f4)}
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(s1)}
\colon \overline{(s1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(s2)}
\colon \dot{\neg}\,(\{\{\overline{(s1)}
,\overline{(s1)}
\}
,\{\overline{(s1)}
,\overline{(s2)}
\}
\}
 \mathrel{\in} 
\mathsf {f}
 _{Ph} 
)n
)n
)n
)n
\}
)
\mid 
\forall_{obj} \overline{(\epsilon)}
\colon \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {n}}
\colon \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {m}}
\colon \dot{\neg}\,(0
 <= \overline{(\epsilon)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(0
 = \overline{(\epsilon)}
)n
)n
)n
\Rightarrow \overline{
\mathsf {n}}
 <= \overline{
\mathsf {m}}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(|( \{ ph \mathrel{\in}  \{ ph \mathrel{\in} P(P(Union(\{N
,Q
\}
)
)
)
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op1)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op2)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\overline{(op1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(op2)}
 \mathrel{\in} Q
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\mathsf {a}
 _{Ph} 
 = \{\{\overline{(op1)}
,\overline{(op1)}
\}
,\{\overline{(op1)}
,\overline{(op2)}
\}
\}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\}
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \underline{
\mathsf {m}}
\colon \dot{\neg}\,(
\mathsf {e}
 _{Ph} 
 = \{\{\underline{
\mathsf {m}}
,\underline{
\mathsf {m}}
\}
,\{\underline{
\mathsf {m}}
,(\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
*\underline{(fz)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
)
\}
\}
)n
)n
\}
[\overline{
\mathsf {m}}
]
+(-u
\mathsf {d}
 _{Ph} 
[\overline{
\mathsf {m}}
]
)
)
|
 <= \overline{(\epsilon)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(|( \{ ph \mathrel{\in}  \{ ph \mathrel{\in} P(P(Union(\{N
,Q
\}
)
)
)
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op1)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op2)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\overline{(op1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(op2)}
 \mathrel{\in} Q
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\mathsf {a}
 _{Ph} 
 = \{\{\overline{(op1)}
,\overline{(op1)}
\}
,\{\overline{(op1)}
,\overline{(op2)}
\}
\}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\}
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \underline{
\mathsf {m}}
\colon \dot{\neg}\,(
\mathsf {e}
 _{Ph} 
 = \{\{\underline{
\mathsf {m}}
,\underline{
\mathsf {m}}
\}
,\{\underline{
\mathsf {m}}
,(\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
*\underline{(fz)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
)
\}
\}
)n
)n
\}
[\overline{
\mathsf {m}}
]
+(-u
\mathsf {d}
 _{Ph} 
[\overline{
\mathsf {m}}
]
)
)
|
 = \overline{(\epsilon)}
)n
)n
)n
)n
)n
\}
 =  \{ ph \mathrel{\in} P( \{ ph \mathrel{\in} P( \{ ph \mathrel{\in} P(P(Union(\{N
,Q
\}
)
)
)
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op1)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op2)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\overline{(op1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(op2)}
 \mathrel{\in} Q
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\mathsf {a}
 _{Ph} 
 = \{\{\overline{(op1)}
,\overline{(op1)}
\}
,\{\overline{(op1)}
,\overline{(op2)}
\}
\}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\}
)
\mid \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(r1)}
\colon \overline{(r1)}
 \mathrel{\in} 
\mathsf {f}
 _{Ph} 
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op1)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op2)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\overline{(op1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(op2)}
 \mathrel{\in} Q
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(r1)}
 = \{\{\overline{(op1)}
,\overline{(op1)}
\}
,\{\overline{(op1)}
,\overline{(op2)}
\}
\}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(f1)}
\colon 
\forall_{obj} \overline{(f2)}
\colon 
\forall_{obj} \overline{(f3)}
\colon 
\forall_{obj} \overline{(f4)}
\colon \{\{\overline{(f1)}
,\overline{(f1)}
\}
,\{\overline{(f1)}
,\overline{(f2)}
\}
\}
 \mathrel{\in} 
\mathsf {f}
 _{Ph} 
\Rightarrow \{\{\overline{(f3)}
,\overline{(f3)}
\}
,\{\overline{(f3)}
,\overline{(f4)}
\}
\}
 \mathrel{\in} 
\mathsf {f}
 _{Ph} 
\Rightarrow \overline{(f1)}
 = \overline{(f3)}
\Rightarrow \overline{(f2)}
 = \overline{(f4)}
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(s1)}
\colon \overline{(s1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(s2)}
\colon \dot{\neg}\,(\{\{\overline{(s1)}
,\overline{(s1)}
\}
,\{\overline{(s1)}
,\overline{(s2)}
\}
\}
 \mathrel{\in} 
\mathsf {f}
 _{Ph} 
)n
)n
)n
)n
\}
)
\mid 
\forall_{obj} \overline{(\epsilon)}
\colon \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {n}}
\colon \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {m}}
\colon \dot{\neg}\,(0
 <= \overline{(\epsilon)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(0
 = \overline{(\epsilon)}
)n
)n
)n
\Rightarrow \overline{
\mathsf {n}}
 <= \overline{
\mathsf {m}}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(|( \{ ph \mathrel{\in}  \{ ph \mathrel{\in} P(P(Union(\{N
,Q
\}
)
)
)
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op1)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op2)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\overline{(op1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(op2)}
 \mathrel{\in} Q
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\mathsf {a}
 _{Ph} 
 = \{\{\overline{(op1)}
,\overline{(op1)}
\}
,\{\overline{(op1)}
,\overline{(op2)}
\}
\}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\}
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \underline{
\mathsf {m}}
\colon \dot{\neg}\,(
\mathsf {e}
 _{Ph} 
 = \{\{\underline{
\mathsf {m}}
,\underline{
\mathsf {m}}
\}
,\{\underline{
\mathsf {m}}
,(\underline{(fy)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
*\underline{(fz)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
)
\}
\}
)n
)n
\}
[\overline{
\mathsf {m}}
]
+(-u
\mathsf {d}
 _{Ph} 
[\overline{
\mathsf {m}}
]
)
)
|
 <= \overline{(\epsilon)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(|( \{ ph \mathrel{\in}  \{ ph \mathrel{\in} P(P(Union(\{N
,Q
\}
)
)
)
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op1)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op2)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\overline{(op1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(op2)}
 \mathrel{\in} Q
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\mathsf {a}
 _{Ph} 
 = \{\{\overline{(op1)}
,\overline{(op1)}
\}
,\{\overline{(op1)}
,\overline{(op2)}
\}
\}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\}
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \underline{
\mathsf {m}}
\colon \dot{\neg}\,(
\mathsf {e}
 _{Ph} 
 = \{\{\underline{
\mathsf {m}}
,\underline{
\mathsf {m}}
\}
,\{\underline{
\mathsf {m}}
,(\underline{(fy)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
*\underline{(fz)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
)
\}
\}
)n
)n
\}
[\overline{
\mathsf {m}}
]
+(-u
\mathsf {d}
 _{Ph} 
[\overline{
\mathsf {m}}
]
)
)
|
 = \overline{(\epsilon)}
)n
)n
)n
)n
)n
\}
; Ded
\rhd 
\forall \underline{(fx)}
\colon 
\forall \underline{(fy)}
\colon 
\forall \underline{(fz)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(\epsilon)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {n}}
\colon \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {m}}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(0
 <= \overline{(\epsilon)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(0
 = \overline{(\epsilon)}
)n
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{
\mathsf {n}}
 <= \overline{
\mathsf {m}}
\Rightarrow  \{ ph \mathrel{\in}  \{ ph \mathrel{\in} P(P(Union(\{N
,Q
\}
)
)
)
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op1)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op2)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\overline{(op1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(op2)}
 \mathrel{\in} Q
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\mathsf {a}
 _{Ph} 
 = \{\{\overline{(op1)}
,\overline{(op1)}
\}
,\{\overline{(op1)}
,\overline{(op2)}
\}
\}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\}
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(crs1)}
\colon \dot{\neg}\,(
\mathsf {c}
 _{Ph} 
 = \{\{\overline{(crs1)}
,\overline{(crs1)}
\}
,\{\overline{(crs1)}
,0
\}
\}
)n
)n
\}
[\overline{
\mathsf {m}}
]
 <= (\underline{(fz)}
[\overline{
\mathsf {m}}
]
+(-u\overline{(\epsilon)}
)
)
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(\epsilon)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {n}}
\colon \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {m}}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(0
 <= \overline{(\epsilon)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(0
 = \overline{(\epsilon)}
)n
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{
\mathsf {n}}
 <= \overline{
\mathsf {m}}
\Rightarrow \underline{(fx)}
[\overline{
\mathsf {m}}
]
 <= (\underline{(fy)}
[\overline{
\mathsf {m}}
]
+(-u\overline{(\epsilon)}
)
)
)n
)n
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\vdash \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(\epsilon)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {n}}
\colon \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {m}}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(0
 <= \overline{(\epsilon)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(0
 = \overline{(\epsilon)}
)n
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{
\mathsf {n}}
 <= \overline{
\mathsf {m}}
\Rightarrow  \{ ph \mathrel{\in}  \{ ph \mathrel{\in} P(P(Union(\{N
,Q
\}
)
)
)
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op1)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op2)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\overline{(op1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(op2)}
 \mathrel{\in} Q
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\mathsf {a}
 _{Ph} 
 = \{\{\overline{(op1)}
,\overline{(op1)}
\}
,\{\overline{(op1)}
,\overline{(op2)}
\}
\}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\}
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \underline{
\mathsf {m}}
\colon \dot{\neg}\,(
\mathsf {e}
 _{Ph} 
 = \{\{\underline{
\mathsf {m}}
,\underline{
\mathsf {m}}
\}
,\{\underline{
\mathsf {m}}
,(\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
*\underline{(fz)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
)
\}
\}
)n
)n
\}
[\overline{
\mathsf {m}}
]
 <= ( \{ ph \mathrel{\in}  \{ ph \mathrel{\in} P(P(Union(\{N
,Q
\}
)
)
)
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op1)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op2)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\overline{(op1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(op2)}
 \mathrel{\in} Q
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\mathsf {a}
 _{Ph} 
 = \{\{\overline{(op1)}
,\overline{(op1)}
\}
,\{\overline{(op1)}
,\overline{(op2)}
\}
\}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\}
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \underline{
\mathsf {m}}
\colon \dot{\neg}\,(
\mathsf {e}
 _{Ph} 
 = \{\{\underline{
\mathsf {m}}
,\underline{
\mathsf {m}}
\}
,\{\underline{
\mathsf {m}}
,(\underline{(fy)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
*\underline{(fz)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
)
\}
\}
)n
)n
\}
[\overline{
\mathsf {m}}
]
+(-u\overline{(\epsilon)}
)
)
)n
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\Rightarrow  \{ ph \mathrel{\in} P( \{ ph \mathrel{\in} P( \{ ph \mathrel{\in} P(P(Union(\{N
,Q
\}
)
)
)
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op1)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op2)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\overline{(op1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(op2)}
 \mathrel{\in} Q
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\mathsf {a}
 _{Ph} 
 = \{\{\overline{(op1)}
,\overline{(op1)}
\}
,\{\overline{(op1)}
,\overline{(op2)}
\}
\}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\}
)
\mid \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(r1)}
\colon \overline{(r1)}
 \mathrel{\in} 
\mathsf {f}
 _{Ph} 
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op1)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op2)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\overline{(op1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(op2)}
 \mathrel{\in} Q
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(r1)}
 = \{\{\overline{(op1)}
,\overline{(op1)}
\}
,\{\overline{(op1)}
,\overline{(op2)}
\}
\}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(f1)}
\colon 
\forall_{obj} \overline{(f2)}
\colon 
\forall_{obj} \overline{(f3)}
\colon 
\forall_{obj} \overline{(f4)}
\colon \{\{\overline{(f1)}
,\overline{(f1)}
\}
,\{\overline{(f1)}
,\overline{(f2)}
\}
\}
 \mathrel{\in} 
\mathsf {f}
 _{Ph} 
\Rightarrow \{\{\overline{(f3)}
,\overline{(f3)}
\}
,\{\overline{(f3)}
,\overline{(f4)}
\}
\}
 \mathrel{\in} 
\mathsf {f}
 _{Ph} 
\Rightarrow \overline{(f1)}
 = \overline{(f3)}
\Rightarrow \overline{(f2)}
 = \overline{(f4)}
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(s1)}
\colon \overline{(s1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(s2)}
\colon \dot{\neg}\,(\{\{\overline{(s1)}
,\overline{(s1)}
\}
,\{\overline{(s1)}
,\overline{(s2)}
\}
\}
 \mathrel{\in} 
\mathsf {f}
 _{Ph} 
)n
)n
)n
)n
\}
)
\mid 
\forall_{obj} \overline{(\epsilon)}
\colon \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {n}}
\colon \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {m}}
\colon \dot{\neg}\,(0
 <= \overline{(\epsilon)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(0
 = \overline{(\epsilon)}
)n
)n
)n
\Rightarrow \overline{
\mathsf {n}}
 <= \overline{
\mathsf {m}}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(|( \{ ph \mathrel{\in}  \{ ph \mathrel{\in} P(P(Union(\{N
,Q
\}
)
)
)
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op1)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op2)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\overline{(op1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(op2)}
 \mathrel{\in} Q
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\mathsf {a}
 _{Ph} 
 = \{\{\overline{(op1)}
,\overline{(op1)}
\}
,\{\overline{(op1)}
,\overline{(op2)}
\}
\}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\}
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \underline{
\mathsf {m}}
\colon \dot{\neg}\,(
\mathsf {e}
 _{Ph} 
 = \{\{\underline{
\mathsf {m}}
,\underline{
\mathsf {m}}
\}
,\{\underline{
\mathsf {m}}
,(\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
*\underline{(fz)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
)
\}
\}
)n
)n
\}
[\overline{
\mathsf {m}}
]
+(-u
\mathsf {d}
 _{Ph} 
[\overline{
\mathsf {m}}
]
)
)
|
 <= \overline{(\epsilon)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(|( \{ ph \mathrel{\in}  \{ ph \mathrel{\in} P(P(Union(\{N
,Q
\}
)
)
)
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op1)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op2)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\overline{(op1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(op2)}
 \mathrel{\in} Q
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\mathsf {a}
 _{Ph} 
 = \{\{\overline{(op1)}
,\overline{(op1)}
\}
,\{\overline{(op1)}
,\overline{(op2)}
\}
\}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\}
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \underline{
\mathsf {m}}
\colon \dot{\neg}\,(
\mathsf {e}
 _{Ph} 
 = \{\{\underline{
\mathsf {m}}
,\underline{
\mathsf {m}}
\}
,\{\underline{
\mathsf {m}}
,(\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
*\underline{(fz)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
)
\}
\}
)n
)n
\}
[\overline{
\mathsf {m}}
]
+(-u
\mathsf {d}
 _{Ph} 
[\overline{
\mathsf {m}}
]
)
)
|
 = \overline{(\epsilon)}
)n
)n
)n
)n
)n
\}
 =  \{ ph \mathrel{\in} P( \{ ph \mathrel{\in} P( \{ ph \mathrel{\in} P(P(Union(\{N
,Q
\}
)
)
)
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op1)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op2)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\overline{(op1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(op2)}
 \mathrel{\in} Q
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\mathsf {a}
 _{Ph} 
 = \{\{\overline{(op1)}
,\overline{(op1)}
\}
,\{\overline{(op1)}
,\overline{(op2)}
\}
\}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\}
)
\mid \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(r1)}
\colon \overline{(r1)}
 \mathrel{\in} 
\mathsf {f}
 _{Ph} 
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op1)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op2)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\overline{(op1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(op2)}
 \mathrel{\in} Q
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(r1)}
 = \{\{\overline{(op1)}
,\overline{(op1)}
\}
,\{\overline{(op1)}
,\overline{(op2)}
\}
\}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(f1)}
\colon 
\forall_{obj} \overline{(f2)}
\colon 
\forall_{obj} \overline{(f3)}
\colon 
\forall_{obj} \overline{(f4)}
\colon \{\{\overline{(f1)}
,\overline{(f1)}
\}
,\{\overline{(f1)}
,\overline{(f2)}
\}
\}
 \mathrel{\in} 
\mathsf {f}
 _{Ph} 
\Rightarrow \{\{\overline{(f3)}
,\overline{(f3)}
\}
,\{\overline{(f3)}
,\overline{(f4)}
\}
\}
 \mathrel{\in} 
\mathsf {f}
 _{Ph} 
\Rightarrow \overline{(f1)}
 = \overline{(f3)}
\Rightarrow \overline{(f2)}
 = \overline{(f4)}
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(s1)}
\colon \overline{(s1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(s2)}
\colon \dot{\neg}\,(\{\{\overline{(s1)}
,\overline{(s1)}
\}
,\{\overline{(s1)}
,\overline{(s2)}
\}
\}
 \mathrel{\in} 
\mathsf {f}
 _{Ph} 
)n
)n
)n
)n
\}
)
\mid 
\forall_{obj} \overline{(\epsilon)}
\colon \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {n}}
\colon \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {m}}
\colon \dot{\neg}\,(0
 <= \overline{(\epsilon)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(0
 = \overline{(\epsilon)}
)n
)n
)n
\Rightarrow \overline{
\mathsf {n}}
 <= \overline{
\mathsf {m}}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(|( \{ ph \mathrel{\in}  \{ ph \mathrel{\in} P(P(Union(\{N
,Q
\}
)
)
)
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op1)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op2)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\overline{(op1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(op2)}
 \mathrel{\in} Q
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\mathsf {a}
 _{Ph} 
 = \{\{\overline{(op1)}
,\overline{(op1)}
\}
,\{\overline{(op1)}
,\overline{(op2)}
\}
\}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\}
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \underline{
\mathsf {m}}
\colon \dot{\neg}\,(
\mathsf {e}
 _{Ph} 
 = \{\{\underline{
\mathsf {m}}
,\underline{
\mathsf {m}}
\}
,\{\underline{
\mathsf {m}}
,(\underline{(fy)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
*\underline{(fz)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
)
\}
\}
)n
)n
\}
[\overline{
\mathsf {m}}
]
+(-u
\mathsf {d}
 _{Ph} 
[\overline{
\mathsf {m}}
]
)
)
|
 <= \overline{(\epsilon)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(|( \{ ph \mathrel{\in}  \{ ph \mathrel{\in} P(P(Union(\{N
,Q
\}
)
)
)
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op1)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op2)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\overline{(op1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(op2)}
 \mathrel{\in} Q
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\mathsf {a}
 _{Ph} 
 = \{\{\overline{(op1)}
,\overline{(op1)}
\}
,\{\overline{(op1)}
,\overline{(op2)}
\}
\}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\}
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \underline{
\mathsf {m}}
\colon \dot{\neg}\,(
\mathsf {e}
 _{Ph} 
 = \{\{\underline{
\mathsf {m}}
,\underline{
\mathsf {m}}
\}
,\{\underline{
\mathsf {m}}
,(\underline{(fy)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
*\underline{(fz)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
)
\}
\}
)n
)n
\}
[\overline{
\mathsf {m}}
]
+(-u
\mathsf {d}
 _{Ph} 
[\overline{
\mathsf {m}}
]
)
)
|
 = \overline{(\epsilon)}
)n
)n
)n
)n
)n
\}
\gg \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(\epsilon)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {n}}
\colon \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {m}}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(0
 <= \overline{(\epsilon)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(0
 = \overline{(\epsilon)}
)n
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{
\mathsf {n}}
 <= \overline{
\mathsf {m}}
\Rightarrow  \{ ph \mathrel{\in}  \{ ph \mathrel{\in} P(P(Union(\{N
,Q
\}
)
)
)
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op1)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op2)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\overline{(op1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(op2)}
 \mathrel{\in} Q
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\mathsf {a}
 _{Ph} 
 = \{\{\overline{(op1)}
,\overline{(op1)}
\}
,\{\overline{(op1)}
,\overline{(op2)}
\}
\}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\}
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(crs1)}
\colon \dot{\neg}\,(
\mathsf {c}
 _{Ph} 
 = \{\{\overline{(crs1)}
,\overline{(crs1)}
\}
,\{\overline{(crs1)}
,0
\}
\}
)n
)n
\}
[\overline{
\mathsf {m}}
]
 <= (\underline{(fz)}
[\overline{
\mathsf {m}}
]
+(-u\overline{(\epsilon)}
)
)
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(\epsilon)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {n}}
\colon \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {m}}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(0
 <= \overline{(\epsilon)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(0
 = \overline{(\epsilon)}
)n
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{
\mathsf {n}}
 <= \overline{
\mathsf {m}}
\Rightarrow \underline{(fx)}
[\overline{
\mathsf {m}}
]
 <= (\underline{(fy)}
[\overline{
\mathsf {m}}
]
+(-u\overline{(\epsilon)}
)
)
)n
)n
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(\epsilon)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {n}}
\colon \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {m}}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(0
 <= \overline{(\epsilon)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(0
 = \overline{(\epsilon)}
)n
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{
\mathsf {n}}
 <= \overline{
\mathsf {m}}
\Rightarrow  \{ ph \mathrel{\in}  \{ ph \mathrel{\in} P(P(Union(\{N
,Q
\}
)
)
)
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op1)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op2)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\overline{(op1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(op2)}
 \mathrel{\in} Q
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\mathsf {a}
 _{Ph} 
 = \{\{\overline{(op1)}
,\overline{(op1)}
\}
,\{\overline{(op1)}
,\overline{(op2)}
\}
\}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\}
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \underline{
\mathsf {m}}
\colon \dot{\neg}\,(
\mathsf {e}
 _{Ph} 
 = \{\{\underline{
\mathsf {m}}
,\underline{
\mathsf {m}}
\}
,\{\underline{
\mathsf {m}}
,(\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
*\underline{(fz)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
)
\}
\}
)n
)n
\}
[\overline{
\mathsf {m}}
]
 <= ( \{ ph \mathrel{\in}  \{ ph \mathrel{\in} P(P(Union(\{N
,Q
\}
)
)
)
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op1)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op2)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\overline{(op1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(op2)}
 \mathrel{\in} Q
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\mathsf {a}
 _{Ph} 
 = \{\{\overline{(op1)}
,\overline{(op1)}
\}
,\{\overline{(op1)}
,\overline{(op2)}
\}
\}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\}
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \underline{
\mathsf {m}}
\colon \dot{\neg}\,(
\mathsf {e}
 _{Ph} 
 = \{\{\underline{
\mathsf {m}}
,\underline{
\mathsf {m}}
\}
,\{\underline{
\mathsf {m}}
,(\underline{(fy)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
*\underline{(fz)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
)
\}
\}
)n
)n
\}
[\overline{
\mathsf {m}}
]
+(-u\overline{(\epsilon)}
)
)
)n
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\Rightarrow  \{ ph \mathrel{\in} P( \{ ph \mathrel{\in} P( \{ ph \mathrel{\in} P(P(Union(\{N
,Q
\}
)
)
)
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op1)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op2)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\overline{(op1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(op2)}
 \mathrel{\in} Q
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\mathsf {a}
 _{Ph} 
 = \{\{\overline{(op1)}
,\overline{(op1)}
\}
,\{\overline{(op1)}
,\overline{(op2)}
\}
\}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\}
)
\mid \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(r1)}
\colon \overline{(r1)}
 \mathrel{\in} 
\mathsf {f}
 _{Ph} 
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op1)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op2)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\overline{(op1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(op2)}
 \mathrel{\in} Q
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(r1)}
 = \{\{\overline{(op1)}
,\overline{(op1)}
\}
,\{\overline{(op1)}
,\overline{(op2)}
\}
\}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(f1)}
\colon 
\forall_{obj} \overline{(f2)}
\colon 
\forall_{obj} \overline{(f3)}
\colon 
\forall_{obj} \overline{(f4)}
\colon \{\{\overline{(f1)}
,\overline{(f1)}
\}
,\{\overline{(f1)}
,\overline{(f2)}
\}
\}
 \mathrel{\in} 
\mathsf {f}
 _{Ph} 
\Rightarrow \{\{\overline{(f3)}
,\overline{(f3)}
\}
,\{\overline{(f3)}
,\overline{(f4)}
\}
\}
 \mathrel{\in} 
\mathsf {f}
 _{Ph} 
\Rightarrow \overline{(f1)}
 = \overline{(f3)}
\Rightarrow \overline{(f2)}
 = \overline{(f4)}
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(s1)}
\colon \overline{(s1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(s2)}
\colon \dot{\neg}\,(\{\{\overline{(s1)}
,\overline{(s1)}
\}
,\{\overline{(s1)}
,\overline{(s2)}
\}
\}
 \mathrel{\in} 
\mathsf {f}
 _{Ph} 
)n
)n
)n
)n
\}
)
\mid 
\forall_{obj} \overline{(\epsilon)}
\colon \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {n}}
\colon \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {m}}
\colon \dot{\neg}\,(0
 <= \overline{(\epsilon)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(0
 = \overline{(\epsilon)}
)n
)n
)n
\Rightarrow \overline{
\mathsf {n}}
 <= \overline{
\mathsf {m}}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(|( \{ ph \mathrel{\in}  \{ ph \mathrel{\in} P(P(Union(\{N
,Q
\}
)
)
)
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op1)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op2)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\overline{(op1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(op2)}
 \mathrel{\in} Q
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\mathsf {a}
 _{Ph} 
 = \{\{\overline{(op1)}
,\overline{(op1)}
\}
,\{\overline{(op1)}
,\overline{(op2)}
\}
\}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\}
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \underline{
\mathsf {m}}
\colon \dot{\neg}\,(
\mathsf {e}
 _{Ph} 
 = \{\{\underline{
\mathsf {m}}
,\underline{
\mathsf {m}}
\}
,\{\underline{
\mathsf {m}}
,(\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
*\underline{(fz)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
)
\}
\}
)n
)n
\}
[\overline{
\mathsf {m}}
]
+(-u
\mathsf {d}
 _{Ph} 
[\overline{
\mathsf {m}}
]
)
)
|
 <= \overline{(\epsilon)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(|( \{ ph \mathrel{\in}  \{ ph \mathrel{\in} P(P(Union(\{N
,Q
\}
)
)
)
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op1)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op2)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\overline{(op1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(op2)}
 \mathrel{\in} Q
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\mathsf {a}
 _{Ph} 
 = \{\{\overline{(op1)}
,\overline{(op1)}
\}
,\{\overline{(op1)}
,\overline{(op2)}
\}
\}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\}
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \underline{
\mathsf {m}}
\colon \dot{\neg}\,(
\mathsf {e}
 _{Ph} 
 = \{\{\underline{
\mathsf {m}}
,\underline{
\mathsf {m}}
\}
,\{\underline{
\mathsf {m}}
,(\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
*\underline{(fz)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
)
\}
\}
)n
)n
\}
[\overline{
\mathsf {m}}
]
+(-u
\mathsf {d}
 _{Ph} 
[\overline{
\mathsf {m}}
]
)
)
|
 = \overline{(\epsilon)}
)n
)n
)n
)n
)n
\}
 =  \{ ph \mathrel{\in} P( \{ ph \mathrel{\in} P( \{ ph \mathrel{\in} P(P(Union(\{N
,Q
\}
)
)
)
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op1)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op2)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\overline{(op1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(op2)}
 \mathrel{\in} Q
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\mathsf {a}
 _{Ph} 
 = \{\{\overline{(op1)}
,\overline{(op1)}
\}
,\{\overline{(op1)}
,\overline{(op2)}
\}
\}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\}
)
\mid \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(r1)}
\colon \overline{(r1)}
 \mathrel{\in} 
\mathsf {f}
 _{Ph} 
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op1)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op2)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\overline{(op1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(op2)}
 \mathrel{\in} Q
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(r1)}
 = \{\{\overline{(op1)}
,\overline{(op1)}
\}
,\{\overline{(op1)}
,\overline{(op2)}
\}
\}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(f1)}
\colon 
\forall_{obj} \overline{(f2)}
\colon 
\forall_{obj} \overline{(f3)}
\colon 
\forall_{obj} \overline{(f4)}
\colon \{\{\overline{(f1)}
,\overline{(f1)}
\}
,\{\overline{(f1)}
,\overline{(f2)}
\}
\}
 \mathrel{\in} 
\mathsf {f}
 _{Ph} 
\Rightarrow \{\{\overline{(f3)}
,\overline{(f3)}
\}
,\{\overline{(f3)}
,\overline{(f4)}
\}
\}
 \mathrel{\in} 
\mathsf {f}
 _{Ph} 
\Rightarrow \overline{(f1)}
 = \overline{(f3)}
\Rightarrow \overline{(f2)}
 = \overline{(f4)}
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(s1)}
\colon \overline{(s1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(s2)}
\colon \dot{\neg}\,(\{\{\overline{(s1)}
,\overline{(s1)}
\}
,\{\overline{(s1)}
,\overline{(s2)}
\}
\}
 \mathrel{\in} 
\mathsf {f}
 _{Ph} 
)n
)n
)n
)n
\}
)
\mid 
\forall_{obj} \overline{(\epsilon)}
\colon \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {n}}
\colon \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {m}}
\colon \dot{\neg}\,(0
 <= \overline{(\epsilon)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(0
 = \overline{(\epsilon)}
)n
)n
)n
\Rightarrow \overline{
\mathsf {n}}
 <= \overline{
\mathsf {m}}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(|( \{ ph \mathrel{\in}  \{ ph \mathrel{\in} P(P(Union(\{N
,Q
\}
)
)
)
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op1)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op2)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\overline{(op1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(op2)}
 \mathrel{\in} Q
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\mathsf {a}
 _{Ph} 
 = \{\{\overline{(op1)}
,\overline{(op1)}
\}
,\{\overline{(op1)}
,\overline{(op2)}
\}
\}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\}
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \underline{
\mathsf {m}}
\colon \dot{\neg}\,(
\mathsf {e}
 _{Ph} 
 = \{\{\underline{
\mathsf {m}}
,\underline{
\mathsf {m}}
\}
,\{\underline{
\mathsf {m}}
,(\underline{(fy)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
*\underline{(fz)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
)
\}
\}
)n
)n
\}
[\overline{
\mathsf {m}}
]
+(-u
\mathsf {d}
 _{Ph} 
[\overline{
\mathsf {m}}
]
)
)
|
 <= \overline{(\epsilon)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(|( \{ ph \mathrel{\in}  \{ ph \mathrel{\in} P(P(Union(\{N
,Q
\}
)
)
)
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op1)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op2)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\overline{(op1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(op2)}
 \mathrel{\in} Q
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\mathsf {a}
 _{Ph} 
 = \{\{\overline{(op1)}
,\overline{(op1)}
\}
,\{\overline{(op1)}
,\overline{(op2)}
\}
\}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\}
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \underline{
\mathsf {m}}
\colon \dot{\neg}\,(
\mathsf {e}
 _{Ph} 
 = \{\{\underline{
\mathsf {m}}
,\underline{
\mathsf {m}}
\}
,\{\underline{
\mathsf {m}}
,(\underline{(fy)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
*\underline{(fz)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
)
\}
\}
)n
)n
\}
[\overline{
\mathsf {m}}
]
+(-u
\mathsf {d}
 _{Ph} 
[\overline{
\mathsf {m}}
]
)
)
|
 = \overline{(\epsilon)}
)n
)n
)n
)n
)n
\}
; \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(\epsilon)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {n}}
\colon \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {m}}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(0
 <= \overline{(\epsilon)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(0
 = \overline{(\epsilon)}
)n
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{
\mathsf {n}}
 <= \overline{
\mathsf {m}}
\Rightarrow  \{ ph \mathrel{\in}  \{ ph \mathrel{\in} P(P(Union(\{N
,Q
\}
)
)
)
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op1)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op2)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\overline{(op1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(op2)}
 \mathrel{\in} Q
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\mathsf {a}
 _{Ph} 
 = \{\{\overline{(op1)}
,\overline{(op1)}
\}
,\{\overline{(op1)}
,\overline{(op2)}
\}
\}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\}
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(crs1)}
\colon \dot{\neg}\,(
\mathsf {c}
 _{Ph} 
 = \{\{\overline{(crs1)}
,\overline{(crs1)}
\}
,\{\overline{(crs1)}
,0
\}
\}
)n
)n
\}
[\overline{
\mathsf {m}}
]
 <= (\underline{(fz)}
[\overline{
\mathsf {m}}
]
+(-u\overline{(\epsilon)}
)
)
)n
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\Rightarrow  \{ ph \mathrel{\in} P( \{ ph \mathrel{\in} P( \{ ph \mathrel{\in} P(P(Union(\{N
,Q
\}
)
)
)
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op1)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op2)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\overline{(op1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(op2)}
 \mathrel{\in} Q
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\mathsf {a}
 _{Ph} 
 = \{\{\overline{(op1)}
,\overline{(op1)}
\}
,\{\overline{(op1)}
,\overline{(op2)}
\}
\}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\}
)
\mid \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(r1)}
\colon \overline{(r1)}
 \mathrel{\in} 
\mathsf {f}
 _{Ph} 
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op1)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op2)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\overline{(op1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(op2)}
 \mathrel{\in} Q
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(r1)}
 = \{\{\overline{(op1)}
,\overline{(op1)}
\}
,\{\overline{(op1)}
,\overline{(op2)}
\}
\}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(f1)}
\colon 
\forall_{obj} \overline{(f2)}
\colon 
\forall_{obj} \overline{(f3)}
\colon 
\forall_{obj} \overline{(f4)}
\colon \{\{\overline{(f1)}
,\overline{(f1)}
\}
,\{\overline{(f1)}
,\overline{(f2)}
\}
\}
 \mathrel{\in} 
\mathsf {f}
 _{Ph} 
\Rightarrow \{\{\overline{(f3)}
,\overline{(f3)}
\}
,\{\overline{(f3)}
,\overline{(f4)}
\}
\}
 \mathrel{\in} 
\mathsf {f}
 _{Ph} 
\Rightarrow \overline{(f1)}
 = \overline{(f3)}
\Rightarrow \overline{(f2)}
 = \overline{(f4)}
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(s1)}
\colon \overline{(s1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(s2)}
\colon \dot{\neg}\,(\{\{\overline{(s1)}
,\overline{(s1)}
\}
,\{\overline{(s1)}
,\overline{(s2)}
\}
\}
 \mathrel{\in} 
\mathsf {f}
 _{Ph} 
)n
)n
)n
)n
\}
)
\mid 
\forall_{obj} \overline{(\epsilon)}
\colon \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {n}}
\colon \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {m}}
\colon \dot{\neg}\,(0
 <= \overline{(\epsilon)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(0
 = \overline{(\epsilon)}
)n
)n
)n
\Rightarrow \overline{
\mathsf {n}}
 <= \overline{
\mathsf {m}}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(|( \{ ph \mathrel{\in}  \{ ph \mathrel{\in} P(P(Union(\{N
,Q
\}
)
)
)
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op1)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op2)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\overline{(op1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(op2)}
 \mathrel{\in} Q
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\mathsf {a}
 _{Ph} 
 = \{\{\overline{(op1)}
,\overline{(op1)}
\}
,\{\overline{(op1)}
,\overline{(op2)}
\}
\}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\}
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(crs1)}
\colon \dot{\neg}\,(
\mathsf {c}
 _{Ph} 
 = \{\{\overline{(crs1)}
,\overline{(crs1)}
\}
,\{\overline{(crs1)}
,0
\}
\}
)n
)n
\}
[\overline{
\mathsf {m}}
]
+(-u
\mathsf {d}
 _{Ph} 
[\overline{
\mathsf {m}}
]
)
)
|
 <= \overline{(\epsilon)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(|( \{ ph \mathrel{\in}  \{ ph \mathrel{\in} P(P(Union(\{N
,Q
\}
)
)
)
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op1)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op2)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\overline{(op1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(op2)}
 \mathrel{\in} Q
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\mathsf {a}
 _{Ph} 
 = \{\{\overline{(op1)}
,\overline{(op1)}
\}
,\{\overline{(op1)}
,\overline{(op2)}
\}
\}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\}
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(crs1)}
\colon \dot{\neg}\,(
\mathsf {c}
 _{Ph} 
 = \{\{\overline{(crs1)}
,\overline{(crs1)}
\}
,\{\overline{(crs1)}
,0
\}
\}
)n
)n
\}
[\overline{
\mathsf {m}}
]
+(-u
\mathsf {d}
 _{Ph} 
[\overline{
\mathsf {m}}
]
)
)
|
 = \overline{(\epsilon)}
)n
)n
)n
)n
)n
\}
 =  \{ ph \mathrel{\in} P( \{ ph \mathrel{\in} P( \{ ph \mathrel{\in} P(P(Union(\{N
,Q
\}
)
)
)
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op1)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op2)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\overline{(op1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(op2)}
 \mathrel{\in} Q
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\mathsf {a}
 _{Ph} 
 = \{\{\overline{(op1)}
,\overline{(op1)}
\}
,\{\overline{(op1)}
,\overline{(op2)}
\}
\}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\}
)
\mid \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(r1)}
\colon \overline{(r1)}
 \mathrel{\in} 
\mathsf {f}
 _{Ph} 
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op1)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op2)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\overline{(op1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(op2)}
 \mathrel{\in} Q
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(r1)}
 = \{\{\overline{(op1)}
,\overline{(op1)}
\}
,\{\overline{(op1)}
,\overline{(op2)}
\}
\}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(f1)}
\colon 
\forall_{obj} \overline{(f2)}
\colon 
\forall_{obj} \overline{(f3)}
\colon 
\forall_{obj} \overline{(f4)}
\colon \{\{\overline{(f1)}
,\overline{(f1)}
\}
,\{\overline{(f1)}
,\overline{(f2)}
\}
\}
 \mathrel{\in} 
\mathsf {f}
 _{Ph} 
\Rightarrow \{\{\overline{(f3)}
,\overline{(f3)}
\}
,\{\overline{(f3)}
,\overline{(f4)}
\}
\}
 \mathrel{\in} 
\mathsf {f}
 _{Ph} 
\Rightarrow \overline{(f1)}
 = \overline{(f3)}
\Rightarrow \overline{(f2)}
 = \overline{(f4)}
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(s1)}
\colon \overline{(s1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(s2)}
\colon \dot{\neg}\,(\{\{\overline{(s1)}
,\overline{(s1)}
\}
,\{\overline{(s1)}
,\overline{(s2)}
\}
\}
 \mathrel{\in} 
\mathsf {f}
 _{Ph} 
)n
)n
)n
)n
\}
)
\mid 
\forall_{obj} \overline{(\epsilon)}
\colon \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {n}}
\colon \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {m}}
\colon \dot{\neg}\,(0
 <= \overline{(\epsilon)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(0
 = \overline{(\epsilon)}
)n
)n
)n
\Rightarrow \overline{
\mathsf {n}}
 <= \overline{
\mathsf {m}}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(|(\underline{(fz)}
[\overline{
\mathsf {m}}
]
+(-u
\mathsf {d}
 _{Ph} 
[\overline{
\mathsf {m}}
]
)
)
|
 <= \overline{(\epsilon)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(|(\underline{(fz)}
[\overline{
\mathsf {m}}
]
+(-u
\mathsf {d}
 _{Ph} 
[\overline{
\mathsf {m}}
]
)
)
|
 = \overline{(\epsilon)}
)n
)n
)n
)n
)n
\}
\vdash \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(\epsilon)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {n}}
\colon \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {m}}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(0
 <= \overline{(\epsilon)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(0
 = \overline{(\epsilon)}
)n
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{
\mathsf {n}}
 <= \overline{
\mathsf {m}}
\Rightarrow \underline{(fx)}
[\overline{
\mathsf {m}}
]
 <= (\underline{(fy)}
[\overline{
\mathsf {m}}
]
+(-u\overline{(\epsilon)}
)
)
)n
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\Rightarrow  \{ ph \mathrel{\in} P( \{ ph \mathrel{\in} P( \{ ph \mathrel{\in} P(P(Union(\{N
,Q
\}
)
)
)
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op1)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op2)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\overline{(op1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(op2)}
 \mathrel{\in} Q
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\mathsf {a}
 _{Ph} 
 = \{\{\overline{(op1)}
,\overline{(op1)}
\}
,\{\overline{(op1)}
,\overline{(op2)}
\}
\}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\}
)
\mid \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(r1)}
\colon \overline{(r1)}
 \mathrel{\in} 
\mathsf {f}
 _{Ph} 
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op1)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op2)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\overline{(op1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(op2)}
 \mathrel{\in} Q
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(r1)}
 = \{\{\overline{(op1)}
,\overline{(op1)}
\}
,\{\overline{(op1)}
,\overline{(op2)}
\}
\}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(f1)}
\colon 
\forall_{obj} \overline{(f2)}
\colon 
\forall_{obj} \overline{(f3)}
\colon 
\forall_{obj} \overline{(f4)}
\colon \{\{\overline{(f1)}
,\overline{(f1)}
\}
,\{\overline{(f1)}
,\overline{(f2)}
\}
\}
 \mathrel{\in} 
\mathsf {f}
 _{Ph} 
\Rightarrow \{\{\overline{(f3)}
,\overline{(f3)}
\}
,\{\overline{(f3)}
,\overline{(f4)}
\}
\}
 \mathrel{\in} 
\mathsf {f}
 _{Ph} 
\Rightarrow \overline{(f1)}
 = \overline{(f3)}
\Rightarrow \overline{(f2)}
 = \overline{(f4)}
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(s1)}
\colon \overline{(s1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(s2)}
\colon \dot{\neg}\,(\{\{\overline{(s1)}
,\overline{(s1)}
\}
,\{\overline{(s1)}
,\overline{(s2)}
\}
\}
 \mathrel{\in} 
\mathsf {f}
 _{Ph} 
)n
)n
)n
)n
\}
)
\mid 
\forall_{obj} \overline{(\epsilon)}
\colon \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {n}}
\colon \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {m}}
\colon \dot{\neg}\,(0
 <= \overline{(\epsilon)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(0
 = \overline{(\epsilon)}
)n
)n
)n
\Rightarrow \overline{
\mathsf {n}}
 <= \overline{
\mathsf {m}}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(|(\underline{(fx)}
[\overline{
\mathsf {m}}
]
+(-u
\mathsf {d}
 _{Ph} 
[\overline{
\mathsf {m}}
]
)
)
|
 <= \overline{(\epsilon)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(|(\underline{(fx)}
[\overline{
\mathsf {m}}
]
+(-u
\mathsf {d}
 _{Ph} 
[\overline{
\mathsf {m}}
]
)
)
|
 = \overline{(\epsilon)}
)n
)n
)n
)n
)n
\}
 =  \{ ph \mathrel{\in} P( \{ ph \mathrel{\in} P( \{ ph \mathrel{\in} P(P(Union(\{N
,Q
\}
)
)
)
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op1)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op2)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\overline{(op1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(op2)}
 \mathrel{\in} Q
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\mathsf {a}
 _{Ph} 
 = \{\{\overline{(op1)}
,\overline{(op1)}
\}
,\{\overline{(op1)}
,\overline{(op2)}
\}
\}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\}
)
\mid \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(r1)}
\colon \overline{(r1)}
 \mathrel{\in} 
\mathsf {f}
 _{Ph} 
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op1)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op2)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\overline{(op1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(op2)}
 \mathrel{\in} Q
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(r1)}
 = \{\{\overline{(op1)}
,\overline{(op1)}
\}
,\{\overline{(op1)}
,\overline{(op2)}
\}
\}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(f1)}
\colon 
\forall_{obj} \overline{(f2)}
\colon 
\forall_{obj} \overline{(f3)}
\colon 
\forall_{obj} \overline{(f4)}
\colon \{\{\overline{(f1)}
,\overline{(f1)}
\}
,\{\overline{(f1)}
,\overline{(f2)}
\}
\}
 \mathrel{\in} 
\mathsf {f}
 _{Ph} 
\Rightarrow \{\{\overline{(f3)}
,\overline{(f3)}
\}
,\{\overline{(f3)}
,\overline{(f4)}
\}
\}
 \mathrel{\in} 
\mathsf {f}
 _{Ph} 
\Rightarrow \overline{(f1)}
 = \overline{(f3)}
\Rightarrow \overline{(f2)}
 = \overline{(f4)}
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(s1)}
\colon \overline{(s1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(s2)}
\colon \dot{\neg}\,(\{\{\overline{(s1)}
,\overline{(s1)}
\}
,\{\overline{(s1)}
,\overline{(s2)}
\}
\}
 \mathrel{\in} 
\mathsf {f}
 _{Ph} 
)n
)n
)n
)n
\}
)
\mid 
\forall_{obj} \overline{(\epsilon)}
\colon \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {n}}
\colon \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {m}}
\colon \dot{\neg}\,(0
 <= \overline{(\epsilon)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(0
 = \overline{(\epsilon)}
)n
)n
)n
\Rightarrow \overline{
\mathsf {n}}
 <= \overline{
\mathsf {m}}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(|(\underline{(fy)}
[\overline{
\mathsf {m}}
]
+(-u
\mathsf {d}
 _{Ph} 
[\overline{
\mathsf {m}}
]
)
)
|
 <= \overline{(\epsilon)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(|(\underline{(fy)}
[\overline{
\mathsf {m}}
]
+(-u
\mathsf {d}
 _{Ph} 
[\overline{
\mathsf {m}}
]
)
)
|
 = \overline{(\epsilon)}
)n
)n
)n
)n
)n
\}
\vdash Repetition
\rhd \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(\epsilon)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {n}}
\colon \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {m}}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(0
 <= \overline{(\epsilon)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(0
 = \overline{(\epsilon)}
)n
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{
\mathsf {n}}
 <= \overline{
\mathsf {m}}
\Rightarrow  \{ ph \mathrel{\in}  \{ ph \mathrel{\in} P(P(Union(\{N
,Q
\}
)
)
)
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op1)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op2)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\overline{(op1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(op2)}
 \mathrel{\in} Q
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\mathsf {a}
 _{Ph} 
 = \{\{\overline{(op1)}
,\overline{(op1)}
\}
,\{\overline{(op1)}
,\overline{(op2)}
\}
\}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\}
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(crs1)}
\colon \dot{\neg}\,(
\mathsf {c}
 _{Ph} 
 = \{\{\overline{(crs1)}
,\overline{(crs1)}
\}
,\{\overline{(crs1)}
,0
\}
\}
)n
)n
\}
[\overline{
\mathsf {m}}
]
 <= (\underline{(fz)}
[\overline{
\mathsf {m}}
]
+(-u\overline{(\epsilon)}
)
)
)n
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\Rightarrow  \{ ph \mathrel{\in} P( \{ ph \mathrel{\in} P( \{ ph \mathrel{\in} P(P(Union(\{N
,Q
\}
)
)
)
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op1)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op2)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\overline{(op1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(op2)}
 \mathrel{\in} Q
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\mathsf {a}
 _{Ph} 
 = \{\{\overline{(op1)}
,\overline{(op1)}
\}
,\{\overline{(op1)}
,\overline{(op2)}
\}
\}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\}
)
\mid \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(r1)}
\colon \overline{(r1)}
 \mathrel{\in} 
\mathsf {f}
 _{Ph} 
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op1)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op2)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\overline{(op1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(op2)}
 \mathrel{\in} Q
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(r1)}
 = \{\{\overline{(op1)}
,\overline{(op1)}
\}
,\{\overline{(op1)}
,\overline{(op2)}
\}
\}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(f1)}
\colon 
\forall_{obj} \overline{(f2)}
\colon 
\forall_{obj} \overline{(f3)}
\colon 
\forall_{obj} \overline{(f4)}
\colon \{\{\overline{(f1)}
,\overline{(f1)}
\}
,\{\overline{(f1)}
,\overline{(f2)}
\}
\}
 \mathrel{\in} 
\mathsf {f}
 _{Ph} 
\Rightarrow \{\{\overline{(f3)}
,\overline{(f3)}
\}
,\{\overline{(f3)}
,\overline{(f4)}
\}
\}
 \mathrel{\in} 
\mathsf {f}
 _{Ph} 
\Rightarrow \overline{(f1)}
 = \overline{(f3)}
\Rightarrow \overline{(f2)}
 = \overline{(f4)}
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(s1)}
\colon \overline{(s1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(s2)}
\colon \dot{\neg}\,(\{\{\overline{(s1)}
,\overline{(s1)}
\}
,\{\overline{(s1)}
,\overline{(s2)}
\}
\}
 \mathrel{\in} 
\mathsf {f}
 _{Ph} 
)n
)n
)n
)n
\}
)
\mid 
\forall_{obj} \overline{(\epsilon)}
\colon \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {n}}
\colon \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {m}}
\colon \dot{\neg}\,(0
 <= \overline{(\epsilon)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(0
 = \overline{(\epsilon)}
)n
)n
)n
\Rightarrow \overline{
\mathsf {n}}
 <= \overline{
\mathsf {m}}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(|( \{ ph \mathrel{\in}  \{ ph \mathrel{\in} P(P(Union(\{N
,Q
\}
)
)
)
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op1)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op2)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\overline{(op1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(op2)}
 \mathrel{\in} Q
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\mathsf {a}
 _{Ph} 
 = \{\{\overline{(op1)}
,\overline{(op1)}
\}
,\{\overline{(op1)}
,\overline{(op2)}
\}
\}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\}
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(crs1)}
\colon \dot{\neg}\,(
\mathsf {c}
 _{Ph} 
 = \{\{\overline{(crs1)}
,\overline{(crs1)}
\}
,\{\overline{(crs1)}
,0
\}
\}
)n
)n
\}
[\overline{
\mathsf {m}}
]
+(-u
\mathsf {d}
 _{Ph} 
[\overline{
\mathsf {m}}
]
)
)
|
 <= \overline{(\epsilon)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(|( \{ ph \mathrel{\in}  \{ ph \mathrel{\in} P(P(Union(\{N
,Q
\}
)
)
)
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op1)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op2)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\overline{(op1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(op2)}
 \mathrel{\in} Q
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\mathsf {a}
 _{Ph} 
 = \{\{\overline{(op1)}
,\overline{(op1)}
\}
,\{\overline{(op1)}
,\overline{(op2)}
\}
\}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\}
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(crs1)}
\colon \dot{\neg}\,(
\mathsf {c}
 _{Ph} 
 = \{\{\overline{(crs1)}
,\overline{(crs1)}
\}
,\{\overline{(crs1)}
,0
\}
\}
)n
)n
\}
[\overline{
\mathsf {m}}
]
+(-u
\mathsf {d}
 _{Ph} 
[\overline{
\mathsf {m}}
]
)
)
|
 = \overline{(\epsilon)}
)n
)n
)n
)n
)n
\}
 =  \{ ph \mathrel{\in} P( \{ ph \mathrel{\in} P( \{ ph \mathrel{\in} P(P(Union(\{N
,Q
\}
)
)
)
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op1)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op2)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\overline{(op1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(op2)}
 \mathrel{\in} Q
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\mathsf {a}
 _{Ph} 
 = \{\{\overline{(op1)}
,\overline{(op1)}
\}
,\{\overline{(op1)}
,\overline{(op2)}
\}
\}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\}
)
\mid \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(r1)}
\colon \overline{(r1)}
 \mathrel{\in} 
\mathsf {f}
 _{Ph} 
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op1)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op2)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\overline{(op1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(op2)}
 \mathrel{\in} Q
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(r1)}
 = \{\{\overline{(op1)}
,\overline{(op1)}
\}
,\{\overline{(op1)}
,\overline{(op2)}
\}
\}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(f1)}
\colon 
\forall_{obj} \overline{(f2)}
\colon 
\forall_{obj} \overline{(f3)}
\colon 
\forall_{obj} \overline{(f4)}
\colon \{\{\overline{(f1)}
,\overline{(f1)}
\}
,\{\overline{(f1)}
,\overline{(f2)}
\}
\}
 \mathrel{\in} 
\mathsf {f}
 _{Ph} 
\Rightarrow \{\{\overline{(f3)}
,\overline{(f3)}
\}
,\{\overline{(f3)}
,\overline{(f4)}
\}
\}
 \mathrel{\in} 
\mathsf {f}
 _{Ph} 
\Rightarrow \overline{(f1)}
 = \overline{(f3)}
\Rightarrow \overline{(f2)}
 = \overline{(f4)}
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(s1)}
\colon \overline{(s1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(s2)}
\colon \dot{\neg}\,(\{\{\overline{(s1)}
,\overline{(s1)}
\}
,\{\overline{(s1)}
,\overline{(s2)}
\}
\}
 \mathrel{\in} 
\mathsf {f}
 _{Ph} 
)n
)n
)n
)n
\}
)
\mid 
\forall_{obj} \overline{(\epsilon)}
\colon \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {n}}
\colon \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {m}}
\colon \dot{\neg}\,(0
 <= \overline{(\epsilon)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(0
 = \overline{(\epsilon)}
)n
)n
)n
\Rightarrow \overline{
\mathsf {n}}
 <= \overline{
\mathsf {m}}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(|(\underline{(fz)}
[\overline{
\mathsf {m}}
]
+(-u
\mathsf {d}
 _{Ph} 
[\overline{
\mathsf {m}}
]
)
)
|
 <= \overline{(\epsilon)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(|(\underline{(fz)}
[\overline{
\mathsf {m}}
]
+(-u
\mathsf {d}
 _{Ph} 
[\overline{
\mathsf {m}}
]
)
)
|
 = \overline{(\epsilon)}
)n
)n
)n
)n
)n
\}
\gg \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(\epsilon)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {n}}
\colon \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {m}}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(0
 <= \overline{(\epsilon)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(0
 = \overline{(\epsilon)}
)n
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{
\mathsf {n}}
 <= \overline{
\mathsf {m}}
\Rightarrow  \{ ph \mathrel{\in}  \{ ph \mathrel{\in} P(P(Union(\{N
,Q
\}
)
)
)
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op1)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op2)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\overline{(op1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(op2)}
 \mathrel{\in} Q
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\mathsf {a}
 _{Ph} 
 = \{\{\overline{(op1)}
,\overline{(op1)}
\}
,\{\overline{(op1)}
,\overline{(op2)}
\}
\}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\}
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(crs1)}
\colon \dot{\neg}\,(
\mathsf {c}
 _{Ph} 
 = \{\{\overline{(crs1)}
,\overline{(crs1)}
\}
,\{\overline{(crs1)}
,0
\}
\}
)n
)n
\}
[\overline{
\mathsf {m}}
]
 <= (\underline{(fz)}
[\overline{
\mathsf {m}}
]
+(-u\overline{(\epsilon)}
)
)
)n
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\Rightarrow  \{ ph \mathrel{\in} P( \{ ph \mathrel{\in} P( \{ ph \mathrel{\in} P(P(Union(\{N
,Q
\}
)
)
)
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op1)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op2)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\overline{(op1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(op2)}
 \mathrel{\in} Q
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\mathsf {a}
 _{Ph} 
 = \{\{\overline{(op1)}
,\overline{(op1)}
\}
,\{\overline{(op1)}
,\overline{(op2)}
\}
\}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\}
)
\mid \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(r1)}
\colon \overline{(r1)}
 \mathrel{\in} 
\mathsf {f}
 _{Ph} 
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op1)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op2)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\overline{(op1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(op2)}
 \mathrel{\in} Q
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(r1)}
 = \{\{\overline{(op1)}
,\overline{(op1)}
\}
,\{\overline{(op1)}
,\overline{(op2)}
\}
\}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(f1)}
\colon 
\forall_{obj} \overline{(f2)}
\colon 
\forall_{obj} \overline{(f3)}
\colon 
\forall_{obj} \overline{(f4)}
\colon \{\{\overline{(f1)}
,\overline{(f1)}
\}
,\{\overline{(f1)}
,\overline{(f2)}
\}
\}
 \mathrel{\in} 
\mathsf {f}
 _{Ph} 
\Rightarrow \{\{\overline{(f3)}
,\overline{(f3)}
\}
,\{\overline{(f3)}
,\overline{(f4)}
\}
\}
 \mathrel{\in} 
\mathsf {f}
 _{Ph} 
\Rightarrow \overline{(f1)}
 = \overline{(f3)}
\Rightarrow \overline{(f2)}
 = \overline{(f4)}
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(s1)}
\colon \overline{(s1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(s2)}
\colon \dot{\neg}\,(\{\{\overline{(s1)}
,\overline{(s1)}
\}
,\{\overline{(s1)}
,\overline{(s2)}
\}
\}
 \mathrel{\in} 
\mathsf {f}
 _{Ph} 
)n
)n
)n
)n
\}
)
\mid 
\forall_{obj} \overline{(\epsilon)}
\colon \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {n}}
\colon \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {m}}
\colon \dot{\neg}\,(0
 <= \overline{(\epsilon)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(0
 = \overline{(\epsilon)}
)n
)n
)n
\Rightarrow \overline{
\mathsf {n}}
 <= \overline{
\mathsf {m}}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(|( \{ ph \mathrel{\in}  \{ ph \mathrel{\in} P(P(Union(\{N
,Q
\}
)
)
)
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op1)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op2)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\overline{(op1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(op2)}
 \mathrel{\in} Q
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\mathsf {a}
 _{Ph} 
 = \{\{\overline{(op1)}
,\overline{(op1)}
\}
,\{\overline{(op1)}
,\overline{(op2)}
\}
\}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\}
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(crs1)}
\colon \dot{\neg}\,(
\mathsf {c}
 _{Ph} 
 = \{\{\overline{(crs1)}
,\overline{(crs1)}
\}
,\{\overline{(crs1)}
,0
\}
\}
)n
)n
\}
[\overline{
\mathsf {m}}
]
+(-u
\mathsf {d}
 _{Ph} 
[\overline{
\mathsf {m}}
]
)
)
|
 <= \overline{(\epsilon)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(|( \{ ph \mathrel{\in}  \{ ph \mathrel{\in} P(P(Union(\{N
,Q
\}
)
)
)
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op1)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op2)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\overline{(op1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(op2)}
 \mathrel{\in} Q
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\mathsf {a}
 _{Ph} 
 = \{\{\overline{(op1)}
,\overline{(op1)}
\}
,\{\overline{(op1)}
,\overline{(op2)}
\}
\}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\}
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(crs1)}
\colon \dot{\neg}\,(
\mathsf {c}
 _{Ph} 
 = \{\{\overline{(crs1)}
,\overline{(crs1)}
\}
,\{\overline{(crs1)}
,0
\}
\}
)n
)n
\}
[\overline{
\mathsf {m}}
]
+(-u
\mathsf {d}
 _{Ph} 
[\overline{
\mathsf {m}}
]
)
)
|
 = \overline{(\epsilon)}
)n
)n
)n
)n
)n
\}
 =  \{ ph \mathrel{\in} P( \{ ph \mathrel{\in} P( \{ ph \mathrel{\in} P(P(Union(\{N
,Q
\}
)
)
)
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op1)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op2)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\overline{(op1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(op2)}
 \mathrel{\in} Q
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\mathsf {a}
 _{Ph} 
 = \{\{\overline{(op1)}
,\overline{(op1)}
\}
,\{\overline{(op1)}
,\overline{(op2)}
\}
\}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\}
)
\mid \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(r1)}
\colon \overline{(r1)}
 \mathrel{\in} 
\mathsf {f}
 _{Ph} 
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op1)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op2)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\overline{(op1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(op2)}
 \mathrel{\in} Q
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(r1)}
 = \{\{\overline{(op1)}
,\overline{(op1)}
\}
,\{\overline{(op1)}
,\overline{(op2)}
\}
\}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(f1)}
\colon 
\forall_{obj} \overline{(f2)}
\colon 
\forall_{obj} \overline{(f3)}
\colon 
\forall_{obj} \overline{(f4)}
\colon \{\{\overline{(f1)}
,\overline{(f1)}
\}
,\{\overline{(f1)}
,\overline{(f2)}
\}
\}
 \mathrel{\in} 
\mathsf {f}
 _{Ph} 
\Rightarrow \{\{\overline{(f3)}
,\overline{(f3)}
\}
,\{\overline{(f3)}
,\overline{(f4)}
\}
\}
 \mathrel{\in} 
\mathsf {f}
 _{Ph} 
\Rightarrow \overline{(f1)}
 = \overline{(f3)}
\Rightarrow \overline{(f2)}
 = \overline{(f4)}
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(s1)}
\colon \overline{(s1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(s2)}
\colon \dot{\neg}\,(\{\{\overline{(s1)}
,\overline{(s1)}
\}
,\{\overline{(s1)}
,\overline{(s2)}
\}
\}
 \mathrel{\in} 
\mathsf {f}
 _{Ph} 
)n
)n
)n
)n
\}
)
\mid 
\forall_{obj} \overline{(\epsilon)}
\colon \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {n}}
\colon \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {m}}
\colon \dot{\neg}\,(0
 <= \overline{(\epsilon)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(0
 = \overline{(\epsilon)}
)n
)n
)n
\Rightarrow \overline{
\mathsf {n}}
 <= \overline{
\mathsf {m}}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(|(\underline{(fz)}
[\overline{
\mathsf {m}}
]
+(-u
\mathsf {d}
 _{Ph} 
[\overline{
\mathsf {m}}
]
)
)
|
 <= \overline{(\epsilon)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(|(\underline{(fz)}
[\overline{
\mathsf {m}}
]
+(-u
\mathsf {d}
 _{Ph} 
[\overline{
\mathsf {m}}
]
)
)
|
 = \overline{(\epsilon)}
)n
)n
)n
)n
)n
\}
; Repetition
\rhd \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(\epsilon)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {n}}
\colon \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {m}}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(0
 <= \overline{(\epsilon)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(0
 = \overline{(\epsilon)}
)n
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{
\mathsf {n}}
 <= \overline{
\mathsf {m}}
\Rightarrow \underline{(fx)}
[\overline{
\mathsf {m}}
]
 <= (\underline{(fy)}
[\overline{
\mathsf {m}}
]
+(-u\overline{(\epsilon)}
)
)
)n
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\Rightarrow  \{ ph \mathrel{\in} P( \{ ph \mathrel{\in} P( \{ ph \mathrel{\in} P(P(Union(\{N
,Q
\}
)
)
)
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op1)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op2)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\overline{(op1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(op2)}
 \mathrel{\in} Q
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\mathsf {a}
 _{Ph} 
 = \{\{\overline{(op1)}
,\overline{(op1)}
\}
,\{\overline{(op1)}
,\overline{(op2)}
\}
\}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\}
)
\mid \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(r1)}
\colon \overline{(r1)}
 \mathrel{\in} 
\mathsf {f}
 _{Ph} 
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op1)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op2)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\overline{(op1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(op2)}
 \mathrel{\in} Q
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(r1)}
 = \{\{\overline{(op1)}
,\overline{(op1)}
\}
,\{\overline{(op1)}
,\overline{(op2)}
\}
\}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(f1)}
\colon 
\forall_{obj} \overline{(f2)}
\colon 
\forall_{obj} \overline{(f3)}
\colon 
\forall_{obj} \overline{(f4)}
\colon \{\{\overline{(f1)}
,\overline{(f1)}
\}
,\{\overline{(f1)}
,\overline{(f2)}
\}
\}
 \mathrel{\in} 
\mathsf {f}
 _{Ph} 
\Rightarrow \{\{\overline{(f3)}
,\overline{(f3)}
\}
,\{\overline{(f3)}
,\overline{(f4)}
\}
\}
 \mathrel{\in} 
\mathsf {f}
 _{Ph} 
\Rightarrow \overline{(f1)}
 = \overline{(f3)}
\Rightarrow \overline{(f2)}
 = \overline{(f4)}
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(s1)}
\colon \overline{(s1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(s2)}
\colon \dot{\neg}\,(\{\{\overline{(s1)}
,\overline{(s1)}
\}
,\{\overline{(s1)}
,\overline{(s2)}
\}
\}
 \mathrel{\in} 
\mathsf {f}
 _{Ph} 
)n
)n
)n
)n
\}
)
\mid 
\forall_{obj} \overline{(\epsilon)}
\colon \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {n}}
\colon \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {m}}
\colon \dot{\neg}\,(0
 <= \overline{(\epsilon)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(0
 = \overline{(\epsilon)}
)n
)n
)n
\Rightarrow \overline{
\mathsf {n}}
 <= \overline{
\mathsf {m}}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(|(\underline{(fx)}
[\overline{
\mathsf {m}}
]
+(-u
\mathsf {d}
 _{Ph} 
[\overline{
\mathsf {m}}
]
)
)
|
 <= \overline{(\epsilon)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(|(\underline{(fx)}
[\overline{
\mathsf {m}}
]
+(-u
\mathsf {d}
 _{Ph} 
[\overline{
\mathsf {m}}
]
)
)
|
 = \overline{(\epsilon)}
)n
)n
)n
)n
)n
\}
 =  \{ ph \mathrel{\in} P( \{ ph \mathrel{\in} P( \{ ph \mathrel{\in} P(P(Union(\{N
,Q
\}
)
)
)
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op1)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op2)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\overline{(op1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(op2)}
 \mathrel{\in} Q
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\mathsf {a}
 _{Ph} 
 = \{\{\overline{(op1)}
,\overline{(op1)}
\}
,\{\overline{(op1)}
,\overline{(op2)}
\}
\}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\}
)
\mid \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(r1)}
\colon \overline{(r1)}
 \mathrel{\in} 
\mathsf {f}
 _{Ph} 
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op1)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op2)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\overline{(op1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(op2)}
 \mathrel{\in} Q
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(r1)}
 = \{\{\overline{(op1)}
,\overline{(op1)}
\}
,\{\overline{(op1)}
,\overline{(op2)}
\}
\}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(f1)}
\colon 
\forall_{obj} \overline{(f2)}
\colon 
\forall_{obj} \overline{(f3)}
\colon 
\forall_{obj} \overline{(f4)}
\colon \{\{\overline{(f1)}
,\overline{(f1)}
\}
,\{\overline{(f1)}
,\overline{(f2)}
\}
\}
 \mathrel{\in} 
\mathsf {f}
 _{Ph} 
\Rightarrow \{\{\overline{(f3)}
,\overline{(f3)}
\}
,\{\overline{(f3)}
,\overline{(f4)}
\}
\}
 \mathrel{\in} 
\mathsf {f}
 _{Ph} 
\Rightarrow \overline{(f1)}
 = \overline{(f3)}
\Rightarrow \overline{(f2)}
 = \overline{(f4)}
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(s1)}
\colon \overline{(s1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(s2)}
\colon \dot{\neg}\,(\{\{\overline{(s1)}
,\overline{(s1)}
\}
,\{\overline{(s1)}
,\overline{(s2)}
\}
\}
 \mathrel{\in} 
\mathsf {f}
 _{Ph} 
)n
)n
)n
)n
\}
)
\mid 
\forall_{obj} \overline{(\epsilon)}
\colon \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {n}}
\colon \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {m}}
\colon \dot{\neg}\,(0
 <= \overline{(\epsilon)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(0
 = \overline{(\epsilon)}
)n
)n
)n
\Rightarrow \overline{
\mathsf {n}}
 <= \overline{
\mathsf {m}}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(|(\underline{(fy)}
[\overline{
\mathsf {m}}
]
+(-u
\mathsf {d}
 _{Ph} 
[\overline{
\mathsf {m}}
]
)
)
|
 <= \overline{(\epsilon)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(|(\underline{(fy)}
[\overline{
\mathsf {m}}
]
+(-u
\mathsf {d}
 _{Ph} 
[\overline{
\mathsf {m}}
]
)
)
|
 = \overline{(\epsilon)}
)n
)n
)n
)n
)n
\}
\gg \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(\epsilon)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {n}}
\colon \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {m}}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(0
 <= \overline{(\epsilon)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(0
 = \overline{(\epsilon)}
)n
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{
\mathsf {n}}
 <= \overline{
\mathsf {m}}
\Rightarrow \underline{(fx)}
[\overline{
\mathsf {m}}
]
 <= (\underline{(fy)}
[\overline{
\mathsf {m}}
]
+(-u\overline{(\epsilon)}
)
)
)n
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\Rightarrow  \{ ph \mathrel{\in} P( \{ ph \mathrel{\in} P( \{ ph \mathrel{\in} P(P(Union(\{N
,Q
\}
)
)
)
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op1)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op2)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\overline{(op1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(op2)}
 \mathrel{\in} Q
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\mathsf {a}
 _{Ph} 
 = \{\{\overline{(op1)}
,\overline{(op1)}
\}
,\{\overline{(op1)}
,\overline{(op2)}
\}
\}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\}
)
\mid \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(r1)}
\colon \overline{(r1)}
 \mathrel{\in} 
\mathsf {f}
 _{Ph} 
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op1)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op2)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\overline{(op1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(op2)}
 \mathrel{\in} Q
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(r1)}
 = \{\{\overline{(op1)}
,\overline{(op1)}
\}
,\{\overline{(op1)}
,\overline{(op2)}
\}
\}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(f1)}
\colon 
\forall_{obj} \overline{(f2)}
\colon 
\forall_{obj} \overline{(f3)}
\colon 
\forall_{obj} \overline{(f4)}
\colon \{\{\overline{(f1)}
,\overline{(f1)}
\}
,\{\overline{(f1)}
,\overline{(f2)}
\}
\}
 \mathrel{\in} 
\mathsf {f}
 _{Ph} 
\Rightarrow \{\{\overline{(f3)}
,\overline{(f3)}
\}
,\{\overline{(f3)}
,\overline{(f4)}
\}
\}
 \mathrel{\in} 
\mathsf {f}
 _{Ph} 
\Rightarrow \overline{(f1)}
 = \overline{(f3)}
\Rightarrow \overline{(f2)}
 = \overline{(f4)}
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(s1)}
\colon \overline{(s1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(s2)}
\colon \dot{\neg}\,(\{\{\overline{(s1)}
,\overline{(s1)}
\}
,\{\overline{(s1)}
,\overline{(s2)}
\}
\}
 \mathrel{\in} 
\mathsf {f}
 _{Ph} 
)n
)n
)n
)n
\}
)
\mid 
\forall_{obj} \overline{(\epsilon)}
\colon \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {n}}
\colon \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {m}}
\colon \dot{\neg}\,(0
 <= \overline{(\epsilon)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(0
 = \overline{(\epsilon)}
)n
)n
)n
\Rightarrow \overline{
\mathsf {n}}
 <= \overline{
\mathsf {m}}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(|(\underline{(fx)}
[\overline{
\mathsf {m}}
]
+(-u
\mathsf {d}
 _{Ph} 
[\overline{
\mathsf {m}}
]
)
)
|
 <= \overline{(\epsilon)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(|(\underline{(fx)}
[\overline{
\mathsf {m}}
]
+(-u
\mathsf {d}
 _{Ph} 
[\overline{
\mathsf {m}}
]
)
)
|
 = \overline{(\epsilon)}
)n
)n
)n
)n
)n
\}
 =  \{ ph \mathrel{\in} P( \{ ph \mathrel{\in} P( \{ ph \mathrel{\in} P(P(Union(\{N
,Q
\}
)
)
)
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op1)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op2)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\overline{(op1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(op2)}
 \mathrel{\in} Q
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\mathsf {a}
 _{Ph} 
 = \{\{\overline{(op1)}
,\overline{(op1)}
\}
,\{\overline{(op1)}
,\overline{(op2)}
\}
\}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\}
)
\mid \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(r1)}
\colon \overline{(r1)}
 \mathrel{\in} 
\mathsf {f}
 _{Ph} 
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op1)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op2)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\overline{(op1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(op2)}
 \mathrel{\in} Q
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(r1)}
 = \{\{\overline{(op1)}
,\overline{(op1)}
\}
,\{\overline{(op1)}
,\overline{(op2)}
\}
\}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(f1)}
\colon 
\forall_{obj} \overline{(f2)}
\colon 
\forall_{obj} \overline{(f3)}
\colon 
\forall_{obj} \overline{(f4)}
\colon \{\{\overline{(f1)}
,\overline{(f1)}
\}
,\{\overline{(f1)}
,\overline{(f2)}
\}
\}
 \mathrel{\in} 
\mathsf {f}
 _{Ph} 
\Rightarrow \{\{\overline{(f3)}
,\overline{(f3)}
\}
,\{\overline{(f3)}
,\overline{(f4)}
\}
\}
 \mathrel{\in} 
\mathsf {f}
 _{Ph} 
\Rightarrow \overline{(f1)}
 = \overline{(f3)}
\Rightarrow \overline{(f2)}
 = \overline{(f4)}
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(s1)}
\colon \overline{(s1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(s2)}
\colon \dot{\neg}\,(\{\{\overline{(s1)}
,\overline{(s1)}
\}
,\{\overline{(s1)}
,\overline{(s2)}
\}
\}
 \mathrel{\in} 
\mathsf {f}
 _{Ph} 
)n
)n
)n
)n
\}
)
\mid 
\forall_{obj} \overline{(\epsilon)}
\colon \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {n}}
\colon \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {m}}
\colon \dot{\neg}\,(0
 <= \overline{(\epsilon)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(0
 = \overline{(\epsilon)}
)n
)n
)n
\Rightarrow \overline{
\mathsf {n}}
 <= \overline{
\mathsf {m}}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(|(\underline{(fy)}
[\overline{
\mathsf {m}}
]
+(-u
\mathsf {d}
 _{Ph} 
[\overline{
\mathsf {m}}
]
)
)
|
 <= \overline{(\epsilon)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(|(\underline{(fy)}
[\overline{
\mathsf {m}}
]
+(-u
\mathsf {d}
 _{Ph} 
[\overline{
\mathsf {m}}
]
)
)
|
 = \overline{(\epsilon)}
)n
)n
)n
)n
)n
\}
; ExpandDisjuncts
\rhd \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(\epsilon)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {n}}
\colon \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {m}}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(0
 <= \overline{(\epsilon)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(0
 = \overline{(\epsilon)}
)n
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{
\mathsf {n}}
 <= \overline{
\mathsf {m}}
\Rightarrow  \{ ph \mathrel{\in}  \{ ph \mathrel{\in} P(P(Union(\{N
,Q
\}
)
)
)
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op1)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op2)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\overline{(op1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(op2)}
 \mathrel{\in} Q
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\mathsf {a}
 _{Ph} 
 = \{\{\overline{(op1)}
,\overline{(op1)}
\}
,\{\overline{(op1)}
,\overline{(op2)}
\}
\}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\}
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(crs1)}
\colon \dot{\neg}\,(
\mathsf {c}
 _{Ph} 
 = \{\{\overline{(crs1)}
,\overline{(crs1)}
\}
,\{\overline{(crs1)}
,0
\}
\}
)n
)n
\}
[\overline{
\mathsf {m}}
]
 <= (\underline{(fz)}
[\overline{
\mathsf {m}}
]
+(-u\overline{(\epsilon)}
)
)
)n
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\Rightarrow  \{ ph \mathrel{\in} P( \{ ph \mathrel{\in} P( \{ ph \mathrel{\in} P(P(Union(\{N
,Q
\}
)
)
)
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op1)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op2)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\overline{(op1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(op2)}
 \mathrel{\in} Q
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\mathsf {a}
 _{Ph} 
 = \{\{\overline{(op1)}
,\overline{(op1)}
\}
,\{\overline{(op1)}
,\overline{(op2)}
\}
\}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\}
)
\mid \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(r1)}
\colon \overline{(r1)}
 \mathrel{\in} 
\mathsf {f}
 _{Ph} 
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op1)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op2)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\overline{(op1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(op2)}
 \mathrel{\in} Q
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(r1)}
 = \{\{\overline{(op1)}
,\overline{(op1)}
\}
,\{\overline{(op1)}
,\overline{(op2)}
\}
\}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(f1)}
\colon 
\forall_{obj} \overline{(f2)}
\colon 
\forall_{obj} \overline{(f3)}
\colon 
\forall_{obj} \overline{(f4)}
\colon \{\{\overline{(f1)}
,\overline{(f1)}
\}
,\{\overline{(f1)}
,\overline{(f2)}
\}
\}
 \mathrel{\in} 
\mathsf {f}
 _{Ph} 
\Rightarrow \{\{\overline{(f3)}
,\overline{(f3)}
\}
,\{\overline{(f3)}
,\overline{(f4)}
\}
\}
 \mathrel{\in} 
\mathsf {f}
 _{Ph} 
\Rightarrow \overline{(f1)}
 = \overline{(f3)}
\Rightarrow \overline{(f2)}
 = \overline{(f4)}
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(s1)}
\colon \overline{(s1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(s2)}
\colon \dot{\neg}\,(\{\{\overline{(s1)}
,\overline{(s1)}
\}
,\{\overline{(s1)}
,\overline{(s2)}
\}
\}
 \mathrel{\in} 
\mathsf {f}
 _{Ph} 
)n
)n
)n
)n
\}
)
\mid 
\forall_{obj} \overline{(\epsilon)}
\colon \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {n}}
\colon \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {m}}
\colon \dot{\neg}\,(0
 <= \overline{(\epsilon)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(0
 = \overline{(\epsilon)}
)n
)n
)n
\Rightarrow \overline{
\mathsf {n}}
 <= \overline{
\mathsf {m}}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(|( \{ ph \mathrel{\in}  \{ ph \mathrel{\in} P(P(Union(\{N
,Q
\}
)
)
)
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op1)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op2)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\overline{(op1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(op2)}
 \mathrel{\in} Q
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\mathsf {a}
 _{Ph} 
 = \{\{\overline{(op1)}
,\overline{(op1)}
\}
,\{\overline{(op1)}
,\overline{(op2)}
\}
\}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\}
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(crs1)}
\colon \dot{\neg}\,(
\mathsf {c}
 _{Ph} 
 = \{\{\overline{(crs1)}
,\overline{(crs1)}
\}
,\{\overline{(crs1)}
,0
\}
\}
)n
)n
\}
[\overline{
\mathsf {m}}
]
+(-u
\mathsf {d}
 _{Ph} 
[\overline{
\mathsf {m}}
]
)
)
|
 <= \overline{(\epsilon)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(|( \{ ph \mathrel{\in}  \{ ph \mathrel{\in} P(P(Union(\{N
,Q
\}
)
)
)
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op1)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op2)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\overline{(op1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(op2)}
 \mathrel{\in} Q
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\mathsf {a}
 _{Ph} 
 = \{\{\overline{(op1)}
,\overline{(op1)}
\}
,\{\overline{(op1)}
,\overline{(op2)}
\}
\}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\}
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(crs1)}
\colon \dot{\neg}\,(
\mathsf {c}
 _{Ph} 
 = \{\{\overline{(crs1)}
,\overline{(crs1)}
\}
,\{\overline{(crs1)}
,0
\}
\}
)n
)n
\}
[\overline{
\mathsf {m}}
]
+(-u
\mathsf {d}
 _{Ph} 
[\overline{
\mathsf {m}}
]
)
)
|
 = \overline{(\epsilon)}
)n
)n
)n
)n
)n
\}
 =  \{ ph \mathrel{\in} P( \{ ph \mathrel{\in} P( \{ ph \mathrel{\in} P(P(Union(\{N
,Q
\}
)
)
)
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op1)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op2)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\overline{(op1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(op2)}
 \mathrel{\in} Q
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\mathsf {a}
 _{Ph} 
 = \{\{\overline{(op1)}
,\overline{(op1)}
\}
,\{\overline{(op1)}
,\overline{(op2)}
\}
\}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\}
)
\mid \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(r1)}
\colon \overline{(r1)}
 \mathrel{\in} 
\mathsf {f}
 _{Ph} 
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op1)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op2)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\overline{(op1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(op2)}
 \mathrel{\in} Q
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(r1)}
 = \{\{\overline{(op1)}
,\overline{(op1)}
\}
,\{\overline{(op1)}
,\overline{(op2)}
\}
\}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(f1)}
\colon 
\forall_{obj} \overline{(f2)}
\colon 
\forall_{obj} \overline{(f3)}
\colon 
\forall_{obj} \overline{(f4)}
\colon \{\{\overline{(f1)}
,\overline{(f1)}
\}
,\{\overline{(f1)}
,\overline{(f2)}
\}
\}
 \mathrel{\in} 
\mathsf {f}
 _{Ph} 
\Rightarrow \{\{\overline{(f3)}
,\overline{(f3)}
\}
,\{\overline{(f3)}
,\overline{(f4)}
\}
\}
 \mathrel{\in} 
\mathsf {f}
 _{Ph} 
\Rightarrow \overline{(f1)}
 = \overline{(f3)}
\Rightarrow \overline{(f2)}
 = \overline{(f4)}
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(s1)}
\colon \overline{(s1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(s2)}
\colon \dot{\neg}\,(\{\{\overline{(s1)}
,\overline{(s1)}
\}
,\{\overline{(s1)}
,\overline{(s2)}
\}
\}
 \mathrel{\in} 
\mathsf {f}
 _{Ph} 
)n
)n
)n
)n
\}
)
\mid 
\forall_{obj} \overline{(\epsilon)}
\colon \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {n}}
\colon \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {m}}
\colon \dot{\neg}\,(0
 <= \overline{(\epsilon)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(0
 = \overline{(\epsilon)}
)n
)n
)n
\Rightarrow \overline{
\mathsf {n}}
 <= \overline{
\mathsf {m}}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(|(\underline{(fz)}
[\overline{
\mathsf {m}}
]
+(-u
\mathsf {d}
 _{Ph} 
[\overline{
\mathsf {m}}
]
)
)
|
 <= \overline{(\epsilon)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(|(\underline{(fz)}
[\overline{
\mathsf {m}}
]
+(-u
\mathsf {d}
 _{Ph} 
[\overline{
\mathsf {m}}
]
)
)
|
 = \overline{(\epsilon)}
)n
)n
)n
)n
)n
\}
\rhd \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(\epsilon)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {n}}
\colon \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {m}}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(0
 <= \overline{(\epsilon)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(0
 = \overline{(\epsilon)}
)n
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{
\mathsf {n}}
 <= \overline{
\mathsf {m}}
\Rightarrow \underline{(fx)}
[\overline{
\mathsf {m}}
]
 <= (\underline{(fy)}
[\overline{
\mathsf {m}}
]
+(-u\overline{(\epsilon)}
)
)
)n
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\Rightarrow  \{ ph \mathrel{\in} P( \{ ph \mathrel{\in} P( \{ ph \mathrel{\in} P(P(Union(\{N
,Q
\}
)
)
)
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op1)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op2)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\overline{(op1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(op2)}
 \mathrel{\in} Q
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\mathsf {a}
 _{Ph} 
 = \{\{\overline{(op1)}
,\overline{(op1)}
\}
,\{\overline{(op1)}
,\overline{(op2)}
\}
\}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\}
)
\mid \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(r1)}
\colon \overline{(r1)}
 \mathrel{\in} 
\mathsf {f}
 _{Ph} 
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op1)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op2)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\overline{(op1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(op2)}
 \mathrel{\in} Q
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(r1)}
 = \{\{\overline{(op1)}
,\overline{(op1)}
\}
,\{\overline{(op1)}
,\overline{(op2)}
\}
\}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(f1)}
\colon 
\forall_{obj} \overline{(f2)}
\colon 
\forall_{obj} \overline{(f3)}
\colon 
\forall_{obj} \overline{(f4)}
\colon \{\{\overline{(f1)}
,\overline{(f1)}
\}
,\{\overline{(f1)}
,\overline{(f2)}
\}
\}
 \mathrel{\in} 
\mathsf {f}
 _{Ph} 
\Rightarrow \{\{\overline{(f3)}
,\overline{(f3)}
\}
,\{\overline{(f3)}
,\overline{(f4)}
\}
\}
 \mathrel{\in} 
\mathsf {f}
 _{Ph} 
\Rightarrow \overline{(f1)}
 = \overline{(f3)}
\Rightarrow \overline{(f2)}
 = \overline{(f4)}
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(s1)}
\colon \overline{(s1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(s2)}
\colon \dot{\neg}\,(\{\{\overline{(s1)}
,\overline{(s1)}
\}
,\{\overline{(s1)}
,\overline{(s2)}
\}
\}
 \mathrel{\in} 
\mathsf {f}
 _{Ph} 
)n
)n
)n
)n
\}
)
\mid 
\forall_{obj} \overline{(\epsilon)}
\colon \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {n}}
\colon \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {m}}
\colon \dot{\neg}\,(0
 <= \overline{(\epsilon)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(0
 = \overline{(\epsilon)}
)n
)n
)n
\Rightarrow \overline{
\mathsf {n}}
 <= \overline{
\mathsf {m}}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(|(\underline{(fx)}
[\overline{
\mathsf {m}}
]
+(-u
\mathsf {d}
 _{Ph} 
[\overline{
\mathsf {m}}
]
)
)
|
 <= \overline{(\epsilon)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(|(\underline{(fx)}
[\overline{
\mathsf {m}}
]
+(-u
\mathsf {d}
 _{Ph} 
[\overline{
\mathsf {m}}
]
)
)
|
 = \overline{(\epsilon)}
)n
)n
)n
)n
)n
\}
 =  \{ ph \mathrel{\in} P( \{ ph \mathrel{\in} P( \{ ph \mathrel{\in} P(P(Union(\{N
,Q
\}
)
)
)
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op1)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op2)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\overline{(op1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(op2)}
 \mathrel{\in} Q
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\mathsf {a}
 _{Ph} 
 = \{\{\overline{(op1)}
,\overline{(op1)}
\}
,\{\overline{(op1)}
,\overline{(op2)}
\}
\}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\}
)
\mid \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(r1)}
\colon \overline{(r1)}
 \mathrel{\in} 
\mathsf {f}
 _{Ph} 
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op1)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op2)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\overline{(op1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(op2)}
 \mathrel{\in} Q
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(r1)}
 = \{\{\overline{(op1)}
,\overline{(op1)}
\}
,\{\overline{(op1)}
,\overline{(op2)}
\}
\}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(f1)}
\colon 
\forall_{obj} \overline{(f2)}
\colon 
\forall_{obj} \overline{(f3)}
\colon 
\forall_{obj} \overline{(f4)}
\colon \{\{\overline{(f1)}
,\overline{(f1)}
\}
,\{\overline{(f1)}
,\overline{(f2)}
\}
\}
 \mathrel{\in} 
\mathsf {f}
 _{Ph} 
\Rightarrow \{\{\overline{(f3)}
,\overline{(f3)}
\}
,\{\overline{(f3)}
,\overline{(f4)}
\}
\}
 \mathrel{\in} 
\mathsf {f}
 _{Ph} 
\Rightarrow \overline{(f1)}
 = \overline{(f3)}
\Rightarrow \overline{(f2)}
 = \overline{(f4)}
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(s1)}
\colon \overline{(s1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(s2)}
\colon \dot{\neg}\,(\{\{\overline{(s1)}
,\overline{(s1)}
\}
,\{\overline{(s1)}
,\overline{(s2)}
\}
\}
 \mathrel{\in} 
\mathsf {f}
 _{Ph} 
)n
)n
)n
)n
\}
)
\mid 
\forall_{obj} \overline{(\epsilon)}
\colon \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {n}}
\colon \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {m}}
\colon \dot{\neg}\,(0
 <= \overline{(\epsilon)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(0
 = \overline{(\epsilon)}
)n
)n
)n
\Rightarrow \overline{
\mathsf {n}}
 <= \overline{
\mathsf {m}}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(|(\underline{(fy)}
[\overline{
\mathsf {m}}
]
+(-u
\mathsf {d}
 _{Ph} 
[\overline{
\mathsf {m}}
]
)
)
|
 <= \overline{(\epsilon)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(|(\underline{(fy)}
[\overline{
\mathsf {m}}
]
+(-u
\mathsf {d}
 _{Ph} 
[\overline{
\mathsf {m}}
]
)
)
|
 = \overline{(\epsilon)}
)n
)n
)n
)n
)n
\}
\gg \dot{\neg}\,( \{ ph \mathrel{\in} P( \{ ph \mathrel{\in} P( \{ ph \mathrel{\in} P(P(Union(\{N
,Q
\}
)
)
)
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op1)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op2)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\overline{(op1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(op2)}
 \mathrel{\in} Q
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\mathsf {a}
 _{Ph} 
 = \{\{\overline{(op1)}
,\overline{(op1)}
\}
,\{\overline{(op1)}
,\overline{(op2)}
\}
\}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\}
)
\mid \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(r1)}
\colon \overline{(r1)}
 \mathrel{\in} 
\mathsf {f}
 _{Ph} 
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op1)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op2)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\overline{(op1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(op2)}
 \mathrel{\in} Q
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(r1)}
 = \{\{\overline{(op1)}
,\overline{(op1)}
\}
,\{\overline{(op1)}
,\overline{(op2)}
\}
\}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(f1)}
\colon 
\forall_{obj} \overline{(f2)}
\colon 
\forall_{obj} \overline{(f3)}
\colon 
\forall_{obj} \overline{(f4)}
\colon \{\{\overline{(f1)}
,\overline{(f1)}
\}
,\{\overline{(f1)}
,\overline{(f2)}
\}
\}
 \mathrel{\in} 
\mathsf {f}
 _{Ph} 
\Rightarrow \{\{\overline{(f3)}
,\overline{(f3)}
\}
,\{\overline{(f3)}
,\overline{(f4)}
\}
\}
 \mathrel{\in} 
\mathsf {f}
 _{Ph} 
\Rightarrow \overline{(f1)}
 = \overline{(f3)}
\Rightarrow \overline{(f2)}
 = \overline{(f4)}
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(s1)}
\colon \overline{(s1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(s2)}
\colon \dot{\neg}\,(\{\{\overline{(s1)}
,\overline{(s1)}
\}
,\{\overline{(s1)}
,\overline{(s2)}
\}
\}
 \mathrel{\in} 
\mathsf {f}
 _{Ph} 
)n
)n
)n
)n
\}
)
\mid 
\forall_{obj} \overline{(\epsilon)}
\colon \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {n}}
\colon \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {m}}
\colon \dot{\neg}\,(0
 <= \overline{(\epsilon)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(0
 = \overline{(\epsilon)}
)n
)n
)n
\Rightarrow \overline{
\mathsf {n}}
 <= \overline{
\mathsf {m}}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(|( \{ ph \mathrel{\in}  \{ ph \mathrel{\in} P(P(Union(\{N
,Q
\}
)
)
)
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op1)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op2)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\overline{(op1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(op2)}
 \mathrel{\in} Q
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\mathsf {a}
 _{Ph} 
 = \{\{\overline{(op1)}
,\overline{(op1)}
\}
,\{\overline{(op1)}
,\overline{(op2)}
\}
\}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\}
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(crs1)}
\colon \dot{\neg}\,(
\mathsf {c}
 _{Ph} 
 = \{\{\overline{(crs1)}
,\overline{(crs1)}
\}
,\{\overline{(crs1)}
,0
\}
\}
)n
)n
\}
[\overline{
\mathsf {m}}
]
+(-u
\mathsf {d}
 _{Ph} 
[\overline{
\mathsf {m}}
]
)
)
|
 <= \overline{(\epsilon)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(|( \{ ph \mathrel{\in}  \{ ph \mathrel{\in} P(P(Union(\{N
,Q
\}
)
)
)
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op1)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op2)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\overline{(op1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(op2)}
 \mathrel{\in} Q
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\mathsf {a}
 _{Ph} 
 = \{\{\overline{(op1)}
,\overline{(op1)}
\}
,\{\overline{(op1)}
,\overline{(op2)}
\}
\}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\}
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(crs1)}
\colon \dot{\neg}\,(
\mathsf {c}
 _{Ph} 
 = \{\{\overline{(crs1)}
,\overline{(crs1)}
\}
,\{\overline{(crs1)}
,0
\}
\}
)n
)n
\}
[\overline{
\mathsf {m}}
]
+(-u
\mathsf {d}
 _{Ph} 
[\overline{
\mathsf {m}}
]
)
)
|
 = \overline{(\epsilon)}
)n
)n
)n
)n
)n
\}
 =  \{ ph \mathrel{\in} P( \{ ph \mathrel{\in} P( \{ ph \mathrel{\in} P(P(Union(\{N
,Q
\}
)
)
)
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op1)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op2)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\overline{(op1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(op2)}
 \mathrel{\in} Q
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\mathsf {a}
 _{Ph} 
 = \{\{\overline{(op1)}
,\overline{(op1)}
\}
,\{\overline{(op1)}
,\overline{(op2)}
\}
\}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\}
)
\mid \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(r1)}
\colon \overline{(r1)}
 \mathrel{\in} 
\mathsf {f}
 _{Ph} 
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op1)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op2)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\overline{(op1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(op2)}
 \mathrel{\in} Q
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(r1)}
 = \{\{\overline{(op1)}
,\overline{(op1)}
\}
,\{\overline{(op1)}
,\overline{(op2)}
\}
\}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(f1)}
\colon 
\forall_{obj} \overline{(f2)}
\colon 
\forall_{obj} \overline{(f3)}
\colon 
\forall_{obj} \overline{(f4)}
\colon \{\{\overline{(f1)}
,\overline{(f1)}
\}
,\{\overline{(f1)}
,\overline{(f2)}
\}
\}
 \mathrel{\in} 
\mathsf {f}
 _{Ph} 
\Rightarrow \{\{\overline{(f3)}
,\overline{(f3)}
\}
,\{\overline{(f3)}
,\overline{(f4)}
\}
\}
 \mathrel{\in} 
\mathsf {f}
 _{Ph} 
\Rightarrow \overline{(f1)}
 = \overline{(f3)}
\Rightarrow \overline{(f2)}
 = \overline{(f4)}
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(s1)}
\colon \overline{(s1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(s2)}
\colon \dot{\neg}\,(\{\{\overline{(s1)}
,\overline{(s1)}
\}
,\{\overline{(s1)}
,\overline{(s2)}
\}
\}
 \mathrel{\in} 
\mathsf {f}
 _{Ph} 
)n
)n
)n
)n
\}
)
\mid 
\forall_{obj} \overline{(\epsilon)}
\colon \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {n}}
\colon \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {m}}
\colon \dot{\neg}\,(0
 <= \overline{(\epsilon)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(0
 = \overline{(\epsilon)}
)n
)n
)n
\Rightarrow \overline{
\mathsf {n}}
 <= \overline{
\mathsf {m}}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(|(\underline{(fz)}
[\overline{
\mathsf {m}}
]
+(-u
\mathsf {d}
 _{Ph} 
[\overline{
\mathsf {m}}
]
)
)
|
 <= \overline{(\epsilon)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(|(\underline{(fz)}
[\overline{
\mathsf {m}}
]
+(-u
\mathsf {d}
 _{Ph} 
[\overline{
\mathsf {m}}
]
)
)
|
 = \overline{(\epsilon)}
)n
)n
)n
)n
)n
\}
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,( \{ ph \mathrel{\in} P( \{ ph \mathrel{\in} P( \{ ph \mathrel{\in} P(P(Union(\{N
,Q
\}
)
)
)
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op1)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op2)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\overline{(op1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(op2)}
 \mathrel{\in} Q
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\mathsf {a}
 _{Ph} 
 = \{\{\overline{(op1)}
,\overline{(op1)}
\}
,\{\overline{(op1)}
,\overline{(op2)}
\}
\}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\}
)
\mid \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(r1)}
\colon \overline{(r1)}
 \mathrel{\in} 
\mathsf {f}
 _{Ph} 
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op1)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op2)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\overline{(op1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(op2)}
 \mathrel{\in} Q
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(r1)}
 = \{\{\overline{(op1)}
,\overline{(op1)}
\}
,\{\overline{(op1)}
,\overline{(op2)}
\}
\}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(f1)}
\colon 
\forall_{obj} \overline{(f2)}
\colon 
\forall_{obj} \overline{(f3)}
\colon 
\forall_{obj} \overline{(f4)}
\colon \{\{\overline{(f1)}
,\overline{(f1)}
\}
,\{\overline{(f1)}
,\overline{(f2)}
\}
\}
 \mathrel{\in} 
\mathsf {f}
 _{Ph} 
\Rightarrow \{\{\overline{(f3)}
,\overline{(f3)}
\}
,\{\overline{(f3)}
,\overline{(f4)}
\}
\}
 \mathrel{\in} 
\mathsf {f}
 _{Ph} 
\Rightarrow \overline{(f1)}
 = \overline{(f3)}
\Rightarrow \overline{(f2)}
 = \overline{(f4)}
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(s1)}
\colon \overline{(s1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(s2)}
\colon \dot{\neg}\,(\{\{\overline{(s1)}
,\overline{(s1)}
\}
,\{\overline{(s1)}
,\overline{(s2)}
\}
\}
 \mathrel{\in} 
\mathsf {f}
 _{Ph} 
)n
)n
)n
)n
\}
)
\mid 
\forall_{obj} \overline{(\epsilon)}
\colon \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {n}}
\colon \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {m}}
\colon \dot{\neg}\,(0
 <= \overline{(\epsilon)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(0
 = \overline{(\epsilon)}
)n
)n
)n
\Rightarrow \overline{
\mathsf {n}}
 <= \overline{
\mathsf {m}}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(|(\underline{(fx)}
[\overline{
\mathsf {m}}
]
+(-u
\mathsf {d}
 _{Ph} 
[\overline{
\mathsf {m}}
]
)
)
|
 <= \overline{(\epsilon)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(|(\underline{(fx)}
[\overline{
\mathsf {m}}
]
+(-u
\mathsf {d}
 _{Ph} 
[\overline{
\mathsf {m}}
]
)
)
|
 = \overline{(\epsilon)}
)n
)n
)n
)n
)n
\}
 =  \{ ph \mathrel{\in} P( \{ ph \mathrel{\in} P( \{ ph \mathrel{\in} P(P(Union(\{N
,Q
\}
)
)
)
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op1)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op2)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\overline{(op1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(op2)}
 \mathrel{\in} Q
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\mathsf {a}
 _{Ph} 
 = \{\{\overline{(op1)}
,\overline{(op1)}
\}
,\{\overline{(op1)}
,\overline{(op2)}
\}
\}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\}
)
\mid \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(r1)}
\colon \overline{(r1)}
 \mathrel{\in} 
\mathsf {f}
 _{Ph} 
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op1)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op2)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\overline{(op1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(op2)}
 \mathrel{\in} Q
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(r1)}
 = \{\{\overline{(op1)}
,\overline{(op1)}
\}
,\{\overline{(op1)}
,\overline{(op2)}
\}
\}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(f1)}
\colon 
\forall_{obj} \overline{(f2)}
\colon 
\forall_{obj} \overline{(f3)}
\colon 
\forall_{obj} \overline{(f4)}
\colon \{\{\overline{(f1)}
,\overline{(f1)}
\}
,\{\overline{(f1)}
,\overline{(f2)}
\}
\}
 \mathrel{\in} 
\mathsf {f}
 _{Ph} 
\Rightarrow \{\{\overline{(f3)}
,\overline{(f3)}
\}
,\{\overline{(f3)}
,\overline{(f4)}
\}
\}
 \mathrel{\in} 
\mathsf {f}
 _{Ph} 
\Rightarrow \overline{(f1)}
 = \overline{(f3)}
\Rightarrow \overline{(f2)}
 = \overline{(f4)}
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(s1)}
\colon \overline{(s1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(s2)}
\colon \dot{\neg}\,(\{\{\overline{(s1)}
,\overline{(s1)}
\}
,\{\overline{(s1)}
,\overline{(s2)}
\}
\}
 \mathrel{\in} 
\mathsf {f}
 _{Ph} 
)n
)n
)n
)n
\}
)
\mid 
\forall_{obj} \overline{(\epsilon)}
\colon \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {n}}
\colon \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {m}}
\colon \dot{\neg}\,(0
 <= \overline{(\epsilon)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(0
 = \overline{(\epsilon)}
)n
)n
)n
\Rightarrow \overline{
\mathsf {n}}
 <= \overline{
\mathsf {m}}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(|(\underline{(fy)}
[\overline{
\mathsf {m}}
]
+(-u
\mathsf {d}
 _{Ph} 
[\overline{
\mathsf {m}}
]
)
)
|
 <= \overline{(\epsilon)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(|(\underline{(fy)}
[\overline{
\mathsf {m}}
]
+(-u
\mathsf {d}
 _{Ph} 
[\overline{
\mathsf {m}}
]
)
)
|
 = \overline{(\epsilon)}
)n
)n
)n
)n
)n
\}
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(\epsilon)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {n}}
\colon \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {m}}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(0
 <= \overline{(\epsilon)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(0
 = \overline{(\epsilon)}
)n
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{
\mathsf {n}}
 <= \overline{
\mathsf {m}}
\Rightarrow  \{ ph \mathrel{\in}  \{ ph \mathrel{\in} P(P(Union(\{N
,Q
\}
)
)
)
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op1)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op2)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\overline{(op1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(op2)}
 \mathrel{\in} Q
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\mathsf {a}
 _{Ph} 
 = \{\{\overline{(op1)}
,\overline{(op1)}
\}
,\{\overline{(op1)}
,\overline{(op2)}
\}
\}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\}
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(crs1)}
\colon \dot{\neg}\,(
\mathsf {c}
 _{Ph} 
 = \{\{\overline{(crs1)}
,\overline{(crs1)}
\}
,\{\overline{(crs1)}
,0
\}
\}
)n
)n
\}
[\overline{
\mathsf {m}}
]
 <= (\underline{(fz)}
[\overline{
\mathsf {m}}
]
+(-u\overline{(\epsilon)}
)
)
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(\epsilon)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {n}}
\colon \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {m}}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(0
 <= \overline{(\epsilon)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(0
 = \overline{(\epsilon)}
)n
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{
\mathsf {n}}
 <= \overline{
\mathsf {m}}
\Rightarrow \underline{(fx)}
[\overline{
\mathsf {m}}
]
 <= (\underline{(fy)}
[\overline{
\mathsf {m}}
]
+(-u\overline{(\epsilon)}
)
)
)n
)n
)n
)n
)n
)n
)n
)n
; From3Disjuncts
\rhd \dot{\neg}\,( \{ ph \mathrel{\in} P( \{ ph \mathrel{\in} P( \{ ph \mathrel{\in} P(P(Union(\{N
,Q
\}
)
)
)
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op1)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op2)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\overline{(op1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(op2)}
 \mathrel{\in} Q
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\mathsf {a}
 _{Ph} 
 = \{\{\overline{(op1)}
,\overline{(op1)}
\}
,\{\overline{(op1)}
,\overline{(op2)}
\}
\}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\}
)
\mid \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(r1)}
\colon \overline{(r1)}
 \mathrel{\in} 
\mathsf {f}
 _{Ph} 
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op1)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op2)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\overline{(op1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(op2)}
 \mathrel{\in} Q
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(r1)}
 = \{\{\overline{(op1)}
,\overline{(op1)}
\}
,\{\overline{(op1)}
,\overline{(op2)}
\}
\}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(f1)}
\colon 
\forall_{obj} \overline{(f2)}
\colon 
\forall_{obj} \overline{(f3)}
\colon 
\forall_{obj} \overline{(f4)}
\colon \{\{\overline{(f1)}
,\overline{(f1)}
\}
,\{\overline{(f1)}
,\overline{(f2)}
\}
\}
 \mathrel{\in} 
\mathsf {f}
 _{Ph} 
\Rightarrow \{\{\overline{(f3)}
,\overline{(f3)}
\}
,\{\overline{(f3)}
,\overline{(f4)}
\}
\}
 \mathrel{\in} 
\mathsf {f}
 _{Ph} 
\Rightarrow \overline{(f1)}
 = \overline{(f3)}
\Rightarrow \overline{(f2)}
 = \overline{(f4)}
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(s1)}
\colon \overline{(s1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(s2)}
\colon \dot{\neg}\,(\{\{\overline{(s1)}
,\overline{(s1)}
\}
,\{\overline{(s1)}
,\overline{(s2)}
\}
\}
 \mathrel{\in} 
\mathsf {f}
 _{Ph} 
)n
)n
)n
)n
\}
)
\mid 
\forall_{obj} \overline{(\epsilon)}
\colon \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {n}}
\colon \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {m}}
\colon \dot{\neg}\,(0
 <= \overline{(\epsilon)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(0
 = \overline{(\epsilon)}
)n
)n
)n
\Rightarrow \overline{
\mathsf {n}}
 <= \overline{
\mathsf {m}}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(|( \{ ph \mathrel{\in}  \{ ph \mathrel{\in} P(P(Union(\{N
,Q
\}
)
)
)
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op1)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op2)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\overline{(op1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(op2)}
 \mathrel{\in} Q
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\mathsf {a}
 _{Ph} 
 = \{\{\overline{(op1)}
,\overline{(op1)}
\}
,\{\overline{(op1)}
,\overline{(op2)}
\}
\}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\}
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(crs1)}
\colon \dot{\neg}\,(
\mathsf {c}
 _{Ph} 
 = \{\{\overline{(crs1)}
,\overline{(crs1)}
\}
,\{\overline{(crs1)}
,0
\}
\}
)n
)n
\}
[\overline{
\mathsf {m}}
]
+(-u
\mathsf {d}
 _{Ph} 
[\overline{
\mathsf {m}}
]
)
)
|
 <= \overline{(\epsilon)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(|( \{ ph \mathrel{\in}  \{ ph \mathrel{\in} P(P(Union(\{N
,Q
\}
)
)
)
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op1)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op2)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\overline{(op1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(op2)}
 \mathrel{\in} Q
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\mathsf {a}
 _{Ph} 
 = \{\{\overline{(op1)}
,\overline{(op1)}
\}
,\{\overline{(op1)}
,\overline{(op2)}
\}
\}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\}
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(crs1)}
\colon \dot{\neg}\,(
\mathsf {c}
 _{Ph} 
 = \{\{\overline{(crs1)}
,\overline{(crs1)}
\}
,\{\overline{(crs1)}
,0
\}
\}
)n
)n
\}
[\overline{
\mathsf {m}}
]
+(-u
\mathsf {d}
 _{Ph} 
[\overline{
\mathsf {m}}
]
)
)
|
 = \overline{(\epsilon)}
)n
)n
)n
)n
)n
\}
 =  \{ ph \mathrel{\in} P( \{ ph \mathrel{\in} P( \{ ph \mathrel{\in} P(P(Union(\{N
,Q
\}
)
)
)
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op1)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op2)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\overline{(op1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(op2)}
 \mathrel{\in} Q
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\mathsf {a}
 _{Ph} 
 = \{\{\overline{(op1)}
,\overline{(op1)}
\}
,\{\overline{(op1)}
,\overline{(op2)}
\}
\}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\}
)
\mid \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(r1)}
\colon \overline{(r1)}
 \mathrel{\in} 
\mathsf {f}
 _{Ph} 
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op1)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op2)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\overline{(op1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(op2)}
 \mathrel{\in} Q
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(r1)}
 = \{\{\overline{(op1)}
,\overline{(op1)}
\}
,\{\overline{(op1)}
,\overline{(op2)}
\}
\}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(f1)}
\colon 
\forall_{obj} \overline{(f2)}
\colon 
\forall_{obj} \overline{(f3)}
\colon 
\forall_{obj} \overline{(f4)}
\colon \{\{\overline{(f1)}
,\overline{(f1)}
\}
,\{\overline{(f1)}
,\overline{(f2)}
\}
\}
 \mathrel{\in} 
\mathsf {f}
 _{Ph} 
\Rightarrow \{\{\overline{(f3)}
,\overline{(f3)}
\}
,\{\overline{(f3)}
,\overline{(f4)}
\}
\}
 \mathrel{\in} 
\mathsf {f}
 _{Ph} 
\Rightarrow \overline{(f1)}
 = \overline{(f3)}
\Rightarrow \overline{(f2)}
 = \overline{(f4)}
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(s1)}
\colon \overline{(s1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(s2)}
\colon \dot{\neg}\,(\{\{\overline{(s1)}
,\overline{(s1)}
\}
,\{\overline{(s1)}
,\overline{(s2)}
\}
\}
 \mathrel{\in} 
\mathsf {f}
 _{Ph} 
)n
)n
)n
)n
\}
)
\mid 
\forall_{obj} \overline{(\epsilon)}
\colon \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {n}}
\colon \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {m}}
\colon \dot{\neg}\,(0
 <= \overline{(\epsilon)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(0
 = \overline{(\epsilon)}
)n
)n
)n
\Rightarrow \overline{
\mathsf {n}}
 <= \overline{
\mathsf {m}}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(|(\underline{(fz)}
[\overline{
\mathsf {m}}
]
+(-u
\mathsf {d}
 _{Ph} 
[\overline{
\mathsf {m}}
]
)
)
|
 <= \overline{(\epsilon)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(|(\underline{(fz)}
[\overline{
\mathsf {m}}
]
+(-u
\mathsf {d}
 _{Ph} 
[\overline{
\mathsf {m}}
]
)
)
|
 = \overline{(\epsilon)}
)n
)n
)n
)n
)n
\}
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,( \{ ph \mathrel{\in} P( \{ ph \mathrel{\in} P( \{ ph \mathrel{\in} P(P(Union(\{N
,Q
\}
)
)
)
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op1)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op2)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\overline{(op1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(op2)}
 \mathrel{\in} Q
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\mathsf {a}
 _{Ph} 
 = \{\{\overline{(op1)}
,\overline{(op1)}
\}
,\{\overline{(op1)}
,\overline{(op2)}
\}
\}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\}
)
\mid \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(r1)}
\colon \overline{(r1)}
 \mathrel{\in} 
\mathsf {f}
 _{Ph} 
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op1)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op2)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\overline{(op1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(op2)}
 \mathrel{\in} Q
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(r1)}
 = \{\{\overline{(op1)}
,\overline{(op1)}
\}
,\{\overline{(op1)}
,\overline{(op2)}
\}
\}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(f1)}
\colon 
\forall_{obj} \overline{(f2)}
\colon 
\forall_{obj} \overline{(f3)}
\colon 
\forall_{obj} \overline{(f4)}
\colon \{\{\overline{(f1)}
,\overline{(f1)}
\}
,\{\overline{(f1)}
,\overline{(f2)}
\}
\}
 \mathrel{\in} 
\mathsf {f}
 _{Ph} 
\Rightarrow \{\{\overline{(f3)}
,\overline{(f3)}
\}
,\{\overline{(f3)}
,\overline{(f4)}
\}
\}
 \mathrel{\in} 
\mathsf {f}
 _{Ph} 
\Rightarrow \overline{(f1)}
 = \overline{(f3)}
\Rightarrow \overline{(f2)}
 = \overline{(f4)}
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(s1)}
\colon \overline{(s1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(s2)}
\colon \dot{\neg}\,(\{\{\overline{(s1)}
,\overline{(s1)}
\}
,\{\overline{(s1)}
,\overline{(s2)}
\}
\}
 \mathrel{\in} 
\mathsf {f}
 _{Ph} 
)n
)n
)n
)n
\}
)
\mid 
\forall_{obj} \overline{(\epsilon)}
\colon \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {n}}
\colon \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {m}}
\colon \dot{\neg}\,(0
 <= \overline{(\epsilon)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(0
 = \overline{(\epsilon)}
)n
)n
)n
\Rightarrow \overline{
\mathsf {n}}
 <= \overline{
\mathsf {m}}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(|(\underline{(fx)}
[\overline{
\mathsf {m}}
]
+(-u
\mathsf {d}
 _{Ph} 
[\overline{
\mathsf {m}}
]
)
)
|
 <= \overline{(\epsilon)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(|(\underline{(fx)}
[\overline{
\mathsf {m}}
]
+(-u
\mathsf {d}
 _{Ph} 
[\overline{
\mathsf {m}}
]
)
)
|
 = \overline{(\epsilon)}
)n
)n
)n
)n
)n
\}
 =  \{ ph \mathrel{\in} P( \{ ph \mathrel{\in} P( \{ ph \mathrel{\in} P(P(Union(\{N
,Q
\}
)
)
)
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op1)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op2)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\overline{(op1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(op2)}
 \mathrel{\in} Q
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\mathsf {a}
 _{Ph} 
 = \{\{\overline{(op1)}
,\overline{(op1)}
\}
,\{\overline{(op1)}
,\overline{(op2)}
\}
\}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\}
)
\mid \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(r1)}
\colon \overline{(r1)}
 \mathrel{\in} 
\mathsf {f}
 _{Ph} 
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op1)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op2)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\overline{(op1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(op2)}
 \mathrel{\in} Q
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(r1)}
 = \{\{\overline{(op1)}
,\overline{(op1)}
\}
,\{\overline{(op1)}
,\overline{(op2)}
\}
\}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(f1)}
\colon 
\forall_{obj} \overline{(f2)}
\colon 
\forall_{obj} \overline{(f3)}
\colon 
\forall_{obj} \overline{(f4)}
\colon \{\{\overline{(f1)}
,\overline{(f1)}
\}
,\{\overline{(f1)}
,\overline{(f2)}
\}
\}
 \mathrel{\in} 
\mathsf {f}
 _{Ph} 
\Rightarrow \{\{\overline{(f3)}
,\overline{(f3)}
\}
,\{\overline{(f3)}
,\overline{(f4)}
\}
\}
 \mathrel{\in} 
\mathsf {f}
 _{Ph} 
\Rightarrow \overline{(f1)}
 = \overline{(f3)}
\Rightarrow \overline{(f2)}
 = \overline{(f4)}
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(s1)}
\colon \overline{(s1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(s2)}
\colon \dot{\neg}\,(\{\{\overline{(s1)}
,\overline{(s1)}
\}
,\{\overline{(s1)}
,\overline{(s2)}
\}
\}
 \mathrel{\in} 
\mathsf {f}
 _{Ph} 
)n
)n
)n
)n
\}
)
\mid 
\forall_{obj} \overline{(\epsilon)}
\colon \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {n}}
\colon \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {m}}
\colon \dot{\neg}\,(0
 <= \overline{(\epsilon)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(0
 = \overline{(\epsilon)}
)n
)n
)n
\Rightarrow \overline{
\mathsf {n}}
 <= \overline{
\mathsf {m}}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(|(\underline{(fy)}
[\overline{
\mathsf {m}}
]
+(-u
\mathsf {d}
 _{Ph} 
[\overline{
\mathsf {m}}
]
)
)
|
 <= \overline{(\epsilon)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(|(\underline{(fy)}
[\overline{
\mathsf {m}}
]
+(-u
\mathsf {d}
 _{Ph} 
[\overline{
\mathsf {m}}
]
)
)
|
 = \overline{(\epsilon)}
)n
)n
)n
)n
)n
\}
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(\epsilon)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {n}}
\colon \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {m}}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(0
 <= \overline{(\epsilon)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(0
 = \overline{(\epsilon)}
)n
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{
\mathsf {n}}
 <= \overline{
\mathsf {m}}
\Rightarrow  \{ ph \mathrel{\in}  \{ ph \mathrel{\in} P(P(Union(\{N
,Q
\}
)
)
)
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op1)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op2)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\overline{(op1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(op2)}
 \mathrel{\in} Q
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\mathsf {a}
 _{Ph} 
 = \{\{\overline{(op1)}
,\overline{(op1)}
\}
,\{\overline{(op1)}
,\overline{(op2)}
\}
\}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\}
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(crs1)}
\colon \dot{\neg}\,(
\mathsf {c}
 _{Ph} 
 = \{\{\overline{(crs1)}
,\overline{(crs1)}
\}
,\{\overline{(crs1)}
,0
\}
\}
)n
)n
\}
[\overline{
\mathsf {m}}
]
 <= (\underline{(fz)}
[\overline{
\mathsf {m}}
]
+(-u\overline{(\epsilon)}
)
)
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(\epsilon)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {n}}
\colon \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {m}}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(0
 <= \overline{(\epsilon)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(0
 = \overline{(\epsilon)}
)n
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{
\mathsf {n}}
 <= \overline{
\mathsf {m}}
\Rightarrow \underline{(fx)}
[\overline{
\mathsf {m}}
]
 <= (\underline{(fy)}
[\overline{
\mathsf {m}}
]
+(-u\overline{(\epsilon)}
)
)
)n
)n
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\rhd  \{ ph \mathrel{\in} P( \{ ph \mathrel{\in} P( \{ ph \mathrel{\in} P(P(Union(\{N
,Q
\}
)
)
)
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op1)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op2)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\overline{(op1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(op2)}
 \mathrel{\in} Q
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\mathsf {a}
 _{Ph} 
 = \{\{\overline{(op1)}
,\overline{(op1)}
\}
,\{\overline{(op1)}
,\overline{(op2)}
\}
\}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\}
)
\mid \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(r1)}
\colon \overline{(r1)}
 \mathrel{\in} 
\mathsf {f}
 _{Ph} 
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op1)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op2)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\overline{(op1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(op2)}
 \mathrel{\in} Q
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(r1)}
 = \{\{\overline{(op1)}
,\overline{(op1)}
\}
,\{\overline{(op1)}
,\overline{(op2)}
\}
\}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(f1)}
\colon 
\forall_{obj} \overline{(f2)}
\colon 
\forall_{obj} \overline{(f3)}
\colon 
\forall_{obj} \overline{(f4)}
\colon \{\{\overline{(f1)}
,\overline{(f1)}
\}
,\{\overline{(f1)}
,\overline{(f2)}
\}
\}
 \mathrel{\in} 
\mathsf {f}
 _{Ph} 
\Rightarrow \{\{\overline{(f3)}
,\overline{(f3)}
\}
,\{\overline{(f3)}
,\overline{(f4)}
\}
\}
 \mathrel{\in} 
\mathsf {f}
 _{Ph} 
\Rightarrow \overline{(f1)}
 = \overline{(f3)}
\Rightarrow \overline{(f2)}
 = \overline{(f4)}
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(s1)}
\colon \overline{(s1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(s2)}
\colon \dot{\neg}\,(\{\{\overline{(s1)}
,\overline{(s1)}
\}
,\{\overline{(s1)}
,\overline{(s2)}
\}
\}
 \mathrel{\in} 
\mathsf {f}
 _{Ph} 
)n
)n
)n
)n
\}
)
\mid 
\forall_{obj} \overline{(\epsilon)}
\colon \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {n}}
\colon \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {m}}
\colon \dot{\neg}\,(0
 <= \overline{(\epsilon)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(0
 = \overline{(\epsilon)}
)n
)n
)n
\Rightarrow \overline{
\mathsf {n}}
 <= \overline{
\mathsf {m}}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(|( \{ ph \mathrel{\in}  \{ ph \mathrel{\in} P(P(Union(\{N
,Q
\}
)
)
)
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op1)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op2)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\overline{(op1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(op2)}
 \mathrel{\in} Q
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\mathsf {a}
 _{Ph} 
 = \{\{\overline{(op1)}
,\overline{(op1)}
\}
,\{\overline{(op1)}
,\overline{(op2)}
\}
\}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\}
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(crs1)}
\colon \dot{\neg}\,(
\mathsf {c}
 _{Ph} 
 = \{\{\overline{(crs1)}
,\overline{(crs1)}
\}
,\{\overline{(crs1)}
,0
\}
\}
)n
)n
\}
[\overline{
\mathsf {m}}
]
+(-u
\mathsf {d}
 _{Ph} 
[\overline{
\mathsf {m}}
]
)
)
|
 <= \overline{(\epsilon)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(|( \{ ph \mathrel{\in}  \{ ph \mathrel{\in} P(P(Union(\{N
,Q
\}
)
)
)
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op1)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op2)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\overline{(op1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(op2)}
 \mathrel{\in} Q
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\mathsf {a}
 _{Ph} 
 = \{\{\overline{(op1)}
,\overline{(op1)}
\}
,\{\overline{(op1)}
,\overline{(op2)}
\}
\}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\}
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(crs1)}
\colon \dot{\neg}\,(
\mathsf {c}
 _{Ph} 
 = \{\{\overline{(crs1)}
,\overline{(crs1)}
\}
,\{\overline{(crs1)}
,0
\}
\}
)n
)n
\}
[\overline{
\mathsf {m}}
]
+(-u
\mathsf {d}
 _{Ph} 
[\overline{
\mathsf {m}}
]
)
)
|
 = \overline{(\epsilon)}
)n
)n
)n
)n
)n
\}
 =  \{ ph \mathrel{\in} P( \{ ph \mathrel{\in} P( \{ ph \mathrel{\in} P(P(Union(\{N
,Q
\}
)
)
)
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op1)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op2)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\overline{(op1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(op2)}
 \mathrel{\in} Q
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\mathsf {a}
 _{Ph} 
 = \{\{\overline{(op1)}
,\overline{(op1)}
\}
,\{\overline{(op1)}
,\overline{(op2)}
\}
\}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\}
)
\mid \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(r1)}
\colon \overline{(r1)}
 \mathrel{\in} 
\mathsf {f}
 _{Ph} 
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op1)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op2)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\overline{(op1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(op2)}
 \mathrel{\in} Q
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(r1)}
 = \{\{\overline{(op1)}
,\overline{(op1)}
\}
,\{\overline{(op1)}
,\overline{(op2)}
\}
\}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(f1)}
\colon 
\forall_{obj} \overline{(f2)}
\colon 
\forall_{obj} \overline{(f3)}
\colon 
\forall_{obj} \overline{(f4)}
\colon \{\{\overline{(f1)}
,\overline{(f1)}
\}
,\{\overline{(f1)}
,\overline{(f2)}
\}
\}
 \mathrel{\in} 
\mathsf {f}
 _{Ph} 
\Rightarrow \{\{\overline{(f3)}
,\overline{(f3)}
\}
,\{\overline{(f3)}
,\overline{(f4)}
\}
\}
 \mathrel{\in} 
\mathsf {f}
 _{Ph} 
\Rightarrow \overline{(f1)}
 = \overline{(f3)}
\Rightarrow \overline{(f2)}
 = \overline{(f4)}
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(s1)}
\colon \overline{(s1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(s2)}
\colon \dot{\neg}\,(\{\{\overline{(s1)}
,\overline{(s1)}
\}
,\{\overline{(s1)}
,\overline{(s2)}
\}
\}
 \mathrel{\in} 
\mathsf {f}
 _{Ph} 
)n
)n
)n
)n
\}
)
\mid 
\forall_{obj} \overline{(\epsilon)}
\colon \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {n}}
\colon \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {m}}
\colon \dot{\neg}\,(0
 <= \overline{(\epsilon)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(0
 = \overline{(\epsilon)}
)n
)n
)n
\Rightarrow \overline{
\mathsf {n}}
 <= \overline{
\mathsf {m}}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(|(\underline{(fz)}
[\overline{
\mathsf {m}}
]
+(-u
\mathsf {d}
 _{Ph} 
[\overline{
\mathsf {m}}
]
)
)
|
 <= \overline{(\epsilon)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(|(\underline{(fz)}
[\overline{
\mathsf {m}}
]
+(-u
\mathsf {d}
 _{Ph} 
[\overline{
\mathsf {m}}
]
)
)
|
 = \overline{(\epsilon)}
)n
)n
)n
)n
)n
\}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(\epsilon)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {n}}
\colon \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {m}}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(0
 <= \overline{(\epsilon)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(0
 = \overline{(\epsilon)}
)n
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{
\mathsf {n}}
 <= \overline{
\mathsf {m}}
\Rightarrow  \{ ph \mathrel{\in}  \{ ph \mathrel{\in} P(P(Union(\{N
,Q
\}
)
)
)
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op1)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op2)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\overline{(op1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(op2)}
 \mathrel{\in} Q
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\mathsf {a}
 _{Ph} 
 = \{\{\overline{(op1)}
,\overline{(op1)}
\}
,\{\overline{(op1)}
,\overline{(op2)}
\}
\}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\}
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \underline{
\mathsf {m}}
\colon \dot{\neg}\,(
\mathsf {e}
 _{Ph} 
 = \{\{\underline{
\mathsf {m}}
,\underline{
\mathsf {m}}
\}
,\{\underline{
\mathsf {m}}
,(\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
*\underline{(fz)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
)
\}
\}
)n
)n
\}
[\overline{
\mathsf {m}}
]
 <= ( \{ ph \mathrel{\in}  \{ ph \mathrel{\in} P(P(Union(\{N
,Q
\}
)
)
)
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op1)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op2)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\overline{(op1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(op2)}
 \mathrel{\in} Q
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\mathsf {a}
 _{Ph} 
 = \{\{\overline{(op1)}
,\overline{(op1)}
\}
,\{\overline{(op1)}
,\overline{(op2)}
\}
\}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\}
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \underline{
\mathsf {m}}
\colon \dot{\neg}\,(
\mathsf {e}
 _{Ph} 
 = \{\{\underline{
\mathsf {m}}
,\underline{
\mathsf {m}}
\}
,\{\underline{
\mathsf {m}}
,(\underline{(fy)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
*\underline{(fz)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
)
\}
\}
)n
)n
\}
[\overline{
\mathsf {m}}
]
+(-u\overline{(\epsilon)}
)
)
)n
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\Rightarrow  \{ ph \mathrel{\in} P( \{ ph \mathrel{\in} P( \{ ph \mathrel{\in} P(P(Union(\{N
,Q
\}
)
)
)
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op1)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op2)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\overline{(op1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(op2)}
 \mathrel{\in} Q
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\mathsf {a}
 _{Ph} 
 = \{\{\overline{(op1)}
,\overline{(op1)}
\}
,\{\overline{(op1)}
,\overline{(op2)}
\}
\}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\}
)
\mid \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(r1)}
\colon \overline{(r1)}
 \mathrel{\in} 
\mathsf {f}
 _{Ph} 
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op1)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op2)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\overline{(op1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(op2)}
 \mathrel{\in} Q
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(r1)}
 = \{\{\overline{(op1)}
,\overline{(op1)}
\}
,\{\overline{(op1)}
,\overline{(op2)}
\}
\}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(f1)}
\colon 
\forall_{obj} \overline{(f2)}
\colon 
\forall_{obj} \overline{(f3)}
\colon 
\forall_{obj} \overline{(f4)}
\colon \{\{\overline{(f1)}
,\overline{(f1)}
\}
,\{\overline{(f1)}
,\overline{(f2)}
\}
\}
 \mathrel{\in} 
\mathsf {f}
 _{Ph} 
\Rightarrow \{\{\overline{(f3)}
,\overline{(f3)}
\}
,\{\overline{(f3)}
,\overline{(f4)}
\}
\}
 \mathrel{\in} 
\mathsf {f}
 _{Ph} 
\Rightarrow \overline{(f1)}
 = \overline{(f3)}
\Rightarrow \overline{(f2)}
 = \overline{(f4)}
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(s1)}
\colon \overline{(s1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(s2)}
\colon \dot{\neg}\,(\{\{\overline{(s1)}
,\overline{(s1)}
\}
,\{\overline{(s1)}
,\overline{(s2)}
\}
\}
 \mathrel{\in} 
\mathsf {f}
 _{Ph} 
)n
)n
)n
)n
\}
)
\mid 
\forall_{obj} \overline{(\epsilon)}
\colon \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {n}}
\colon \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {m}}
\colon \dot{\neg}\,(0
 <= \overline{(\epsilon)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(0
 = \overline{(\epsilon)}
)n
)n
)n
\Rightarrow \overline{
\mathsf {n}}
 <= \overline{
\mathsf {m}}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(|( \{ ph \mathrel{\in}  \{ ph \mathrel{\in} P(P(Union(\{N
,Q
\}
)
)
)
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op1)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op2)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\overline{(op1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(op2)}
 \mathrel{\in} Q
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\mathsf {a}
 _{Ph} 
 = \{\{\overline{(op1)}
,\overline{(op1)}
\}
,\{\overline{(op1)}
,\overline{(op2)}
\}
\}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\}
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \underline{
\mathsf {m}}
\colon \dot{\neg}\,(
\mathsf {e}
 _{Ph} 
 = \{\{\underline{
\mathsf {m}}
,\underline{
\mathsf {m}}
\}
,\{\underline{
\mathsf {m}}
,(\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
*\underline{(fz)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
)
\}
\}
)n
)n
\}
[\overline{
\mathsf {m}}
]
+(-u
\mathsf {d}
 _{Ph} 
[\overline{
\mathsf {m}}
]
)
)
|
 <= \overline{(\epsilon)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(|( \{ ph \mathrel{\in}  \{ ph \mathrel{\in} P(P(Union(\{N
,Q
\}
)
)
)
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op1)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op2)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\overline{(op1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(op2)}
 \mathrel{\in} Q
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\mathsf {a}
 _{Ph} 
 = \{\{\overline{(op1)}
,\overline{(op1)}
\}
,\{\overline{(op1)}
,\overline{(op2)}
\}
\}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\}
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \underline{
\mathsf {m}}
\colon \dot{\neg}\,(
\mathsf {e}
 _{Ph} 
 = \{\{\underline{
\mathsf {m}}
,\underline{
\mathsf {m}}
\}
,\{\underline{
\mathsf {m}}
,(\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
*\underline{(fz)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
)
\}
\}
)n
)n
\}
[\overline{
\mathsf {m}}
]
+(-u
\mathsf {d}
 _{Ph} 
[\overline{
\mathsf {m}}
]
)
)
|
 = \overline{(\epsilon)}
)n
)n
)n
)n
)n
\}
 =  \{ ph \mathrel{\in} P( \{ ph \mathrel{\in} P( \{ ph \mathrel{\in} P(P(Union(\{N
,Q
\}
)
)
)
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op1)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op2)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\overline{(op1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(op2)}
 \mathrel{\in} Q
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\mathsf {a}
 _{Ph} 
 = \{\{\overline{(op1)}
,\overline{(op1)}
\}
,\{\overline{(op1)}
,\overline{(op2)}
\}
\}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\}
)
\mid \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(r1)}
\colon \overline{(r1)}
 \mathrel{\in} 
\mathsf {f}
 _{Ph} 
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op1)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op2)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\overline{(op1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(op2)}
 \mathrel{\in} Q
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(r1)}
 = \{\{\overline{(op1)}
,\overline{(op1)}
\}
,\{\overline{(op1)}
,\overline{(op2)}
\}
\}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(f1)}
\colon 
\forall_{obj} \overline{(f2)}
\colon 
\forall_{obj} \overline{(f3)}
\colon 
\forall_{obj} \overline{(f4)}
\colon \{\{\overline{(f1)}
,\overline{(f1)}
\}
,\{\overline{(f1)}
,\overline{(f2)}
\}
\}
 \mathrel{\in} 
\mathsf {f}
 _{Ph} 
\Rightarrow \{\{\overline{(f3)}
,\overline{(f3)}
\}
,\{\overline{(f3)}
,\overline{(f4)}
\}
\}
 \mathrel{\in} 
\mathsf {f}
 _{Ph} 
\Rightarrow \overline{(f1)}
 = \overline{(f3)}
\Rightarrow \overline{(f2)}
 = \overline{(f4)}
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(s1)}
\colon \overline{(s1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(s2)}
\colon \dot{\neg}\,(\{\{\overline{(s1)}
,\overline{(s1)}
\}
,\{\overline{(s1)}
,\overline{(s2)}
\}
\}
 \mathrel{\in} 
\mathsf {f}
 _{Ph} 
)n
)n
)n
)n
\}
)
\mid 
\forall_{obj} \overline{(\epsilon)}
\colon \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {n}}
\colon \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {m}}
\colon \dot{\neg}\,(0
 <= \overline{(\epsilon)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(0
 = \overline{(\epsilon)}
)n
)n
)n
\Rightarrow \overline{
\mathsf {n}}
 <= \overline{
\mathsf {m}}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(|( \{ ph \mathrel{\in}  \{ ph \mathrel{\in} P(P(Union(\{N
,Q
\}
)
)
)
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op1)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op2)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\overline{(op1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(op2)}
 \mathrel{\in} Q
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\mathsf {a}
 _{Ph} 
 = \{\{\overline{(op1)}
,\overline{(op1)}
\}
,\{\overline{(op1)}
,\overline{(op2)}
\}
\}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\}
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \underline{
\mathsf {m}}
\colon \dot{\neg}\,(
\mathsf {e}
 _{Ph} 
 = \{\{\underline{
\mathsf {m}}
,\underline{
\mathsf {m}}
\}
,\{\underline{
\mathsf {m}}
,(\underline{(fy)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
*\underline{(fz)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
)
\}
\}
)n
)n
\}
[\overline{
\mathsf {m}}
]
+(-u
\mathsf {d}
 _{Ph} 
[\overline{
\mathsf {m}}
]
)
)
|
 <= \overline{(\epsilon)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(|( \{ ph \mathrel{\in}  \{ ph \mathrel{\in} P(P(Union(\{N
,Q
\}
)
)
)
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op1)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op2)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\overline{(op1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(op2)}
 \mathrel{\in} Q
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\mathsf {a}
 _{Ph} 
 = \{\{\overline{(op1)}
,\overline{(op1)}
\}
,\{\overline{(op1)}
,\overline{(op2)}
\}
\}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\}
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \underline{
\mathsf {m}}
\colon \dot{\neg}\,(
\mathsf {e}
 _{Ph} 
 = \{\{\underline{
\mathsf {m}}
,\underline{
\mathsf {m}}
\}
,\{\underline{
\mathsf {m}}
,(\underline{(fy)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
*\underline{(fz)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
)
\}
\}
)n
)n
\}
[\overline{
\mathsf {m}}
]
+(-u
\mathsf {d}
 _{Ph} 
[\overline{
\mathsf {m}}
]
)
)
|
 = \overline{(\epsilon)}
)n
)n
)n
)n
)n
\}
\rhd  \{ ph \mathrel{\in} P( \{ ph \mathrel{\in} P( \{ ph \mathrel{\in} P(P(Union(\{N
,Q
\}
)
)
)
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op1)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op2)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\overline{(op1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(op2)}
 \mathrel{\in} Q
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\mathsf {a}
 _{Ph} 
 = \{\{\overline{(op1)}
,\overline{(op1)}
\}
,\{\overline{(op1)}
,\overline{(op2)}
\}
\}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\}
)
\mid \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(r1)}
\colon \overline{(r1)}
 \mathrel{\in} 
\mathsf {f}
 _{Ph} 
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op1)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op2)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\overline{(op1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(op2)}
 \mathrel{\in} Q
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(r1)}
 = \{\{\overline{(op1)}
,\overline{(op1)}
\}
,\{\overline{(op1)}
,\overline{(op2)}
\}
\}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(f1)}
\colon 
\forall_{obj} \overline{(f2)}
\colon 
\forall_{obj} \overline{(f3)}
\colon 
\forall_{obj} \overline{(f4)}
\colon \{\{\overline{(f1)}
,\overline{(f1)}
\}
,\{\overline{(f1)}
,\overline{(f2)}
\}
\}
 \mathrel{\in} 
\mathsf {f}
 _{Ph} 
\Rightarrow \{\{\overline{(f3)}
,\overline{(f3)}
\}
,\{\overline{(f3)}
,\overline{(f4)}
\}
\}
 \mathrel{\in} 
\mathsf {f}
 _{Ph} 
\Rightarrow \overline{(f1)}
 = \overline{(f3)}
\Rightarrow \overline{(f2)}
 = \overline{(f4)}
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(s1)}
\colon \overline{(s1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(s2)}
\colon \dot{\neg}\,(\{\{\overline{(s1)}
,\overline{(s1)}
\}
,\{\overline{(s1)}
,\overline{(s2)}
\}
\}
 \mathrel{\in} 
\mathsf {f}
 _{Ph} 
)n
)n
)n
)n
\}
)
\mid 
\forall_{obj} \overline{(\epsilon)}
\colon \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {n}}
\colon \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {m}}
\colon \dot{\neg}\,(0
 <= \overline{(\epsilon)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(0
 = \overline{(\epsilon)}
)n
)n
)n
\Rightarrow \overline{
\mathsf {n}}
 <= \overline{
\mathsf {m}}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(|(\underline{(fx)}
[\overline{
\mathsf {m}}
]
+(-u
\mathsf {d}
 _{Ph} 
[\overline{
\mathsf {m}}
]
)
)
|
 <= \overline{(\epsilon)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(|(\underline{(fx)}
[\overline{
\mathsf {m}}
]
+(-u
\mathsf {d}
 _{Ph} 
[\overline{
\mathsf {m}}
]
)
)
|
 = \overline{(\epsilon)}
)n
)n
)n
)n
)n
\}
 =  \{ ph \mathrel{\in} P( \{ ph \mathrel{\in} P( \{ ph \mathrel{\in} P(P(Union(\{N
,Q
\}
)
)
)
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op1)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op2)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\overline{(op1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(op2)}
 \mathrel{\in} Q
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\mathsf {a}
 _{Ph} 
 = \{\{\overline{(op1)}
,\overline{(op1)}
\}
,\{\overline{(op1)}
,\overline{(op2)}
\}
\}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\}
)
\mid \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(r1)}
\colon \overline{(r1)}
 \mathrel{\in} 
\mathsf {f}
 _{Ph} 
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op1)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op2)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\overline{(op1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(op2)}
 \mathrel{\in} Q
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(r1)}
 = \{\{\overline{(op1)}
,\overline{(op1)}
\}
,\{\overline{(op1)}
,\overline{(op2)}
\}
\}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(f1)}
\colon 
\forall_{obj} \overline{(f2)}
\colon 
\forall_{obj} \overline{(f3)}
\colon 
\forall_{obj} \overline{(f4)}
\colon \{\{\overline{(f1)}
,\overline{(f1)}
\}
,\{\overline{(f1)}
,\overline{(f2)}
\}
\}
 \mathrel{\in} 
\mathsf {f}
 _{Ph} 
\Rightarrow \{\{\overline{(f3)}
,\overline{(f3)}
\}
,\{\overline{(f3)}
,\overline{(f4)}
\}
\}
 \mathrel{\in} 
\mathsf {f}
 _{Ph} 
\Rightarrow \overline{(f1)}
 = \overline{(f3)}
\Rightarrow \overline{(f2)}
 = \overline{(f4)}
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(s1)}
\colon \overline{(s1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(s2)}
\colon \dot{\neg}\,(\{\{\overline{(s1)}
,\overline{(s1)}
\}
,\{\overline{(s1)}
,\overline{(s2)}
\}
\}
 \mathrel{\in} 
\mathsf {f}
 _{Ph} 
)n
)n
)n
)n
\}
)
\mid 
\forall_{obj} \overline{(\epsilon)}
\colon \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {n}}
\colon \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {m}}
\colon \dot{\neg}\,(0
 <= \overline{(\epsilon)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(0
 = \overline{(\epsilon)}
)n
)n
)n
\Rightarrow \overline{
\mathsf {n}}
 <= \overline{
\mathsf {m}}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(|(\underline{(fy)}
[\overline{
\mathsf {m}}
]
+(-u
\mathsf {d}
 _{Ph} 
[\overline{
\mathsf {m}}
]
)
)
|
 <= \overline{(\epsilon)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(|(\underline{(fy)}
[\overline{
\mathsf {m}}
]
+(-u
\mathsf {d}
 _{Ph} 
[\overline{
\mathsf {m}}
]
)
)
|
 = \overline{(\epsilon)}
)n
)n
)n
)n
)n
\}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(\epsilon)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {n}}
\colon \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {m}}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(0
 <= \overline{(\epsilon)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(0
 = \overline{(\epsilon)}
)n
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{
\mathsf {n}}
 <= \overline{
\mathsf {m}}
\Rightarrow  \{ ph \mathrel{\in}  \{ ph \mathrel{\in} P(P(Union(\{N
,Q
\}
)
)
)
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op1)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op2)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\overline{(op1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(op2)}
 \mathrel{\in} Q
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\mathsf {a}
 _{Ph} 
 = \{\{\overline{(op1)}
,\overline{(op1)}
\}
,\{\overline{(op1)}
,\overline{(op2)}
\}
\}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\}
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \underline{
\mathsf {m}}
\colon \dot{\neg}\,(
\mathsf {e}
 _{Ph} 
 = \{\{\underline{
\mathsf {m}}
,\underline{
\mathsf {m}}
\}
,\{\underline{
\mathsf {m}}
,(\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
*\underline{(fz)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
)
\}
\}
)n
)n
\}
[\overline{
\mathsf {m}}
]
 <= ( \{ ph \mathrel{\in}  \{ ph \mathrel{\in} P(P(Union(\{N
,Q
\}
)
)
)
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op1)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op2)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\overline{(op1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(op2)}
 \mathrel{\in} Q
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\mathsf {a}
 _{Ph} 
 = \{\{\overline{(op1)}
,\overline{(op1)}
\}
,\{\overline{(op1)}
,\overline{(op2)}
\}
\}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\}
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \underline{
\mathsf {m}}
\colon \dot{\neg}\,(
\mathsf {e}
 _{Ph} 
 = \{\{\underline{
\mathsf {m}}
,\underline{
\mathsf {m}}
\}
,\{\underline{
\mathsf {m}}
,(\underline{(fy)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
*\underline{(fz)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
)
\}
\}
)n
)n
\}
[\overline{
\mathsf {m}}
]
+(-u\overline{(\epsilon)}
)
)
)n
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\Rightarrow  \{ ph \mathrel{\in} P( \{ ph \mathrel{\in} P( \{ ph \mathrel{\in} P(P(Union(\{N
,Q
\}
)
)
)
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op1)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op2)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\overline{(op1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(op2)}
 \mathrel{\in} Q
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\mathsf {a}
 _{Ph} 
 = \{\{\overline{(op1)}
,\overline{(op1)}
\}
,\{\overline{(op1)}
,\overline{(op2)}
\}
\}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\}
)
\mid \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(r1)}
\colon \overline{(r1)}
 \mathrel{\in} 
\mathsf {f}
 _{Ph} 
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op1)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op2)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\overline{(op1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(op2)}
 \mathrel{\in} Q
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(r1)}
 = \{\{\overline{(op1)}
,\overline{(op1)}
\}
,\{\overline{(op1)}
,\overline{(op2)}
\}
\}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(f1)}
\colon 
\forall_{obj} \overline{(f2)}
\colon 
\forall_{obj} \overline{(f3)}
\colon 
\forall_{obj} \overline{(f4)}
\colon \{\{\overline{(f1)}
,\overline{(f1)}
\}
,\{\overline{(f1)}
,\overline{(f2)}
\}
\}
 \mathrel{\in} 
\mathsf {f}
 _{Ph} 
\Rightarrow \{\{\overline{(f3)}
,\overline{(f3)}
\}
,\{\overline{(f3)}
,\overline{(f4)}
\}
\}
 \mathrel{\in} 
\mathsf {f}
 _{Ph} 
\Rightarrow \overline{(f1)}
 = \overline{(f3)}
\Rightarrow \overline{(f2)}
 = \overline{(f4)}
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(s1)}
\colon \overline{(s1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(s2)}
\colon \dot{\neg}\,(\{\{\overline{(s1)}
,\overline{(s1)}
\}
,\{\overline{(s1)}
,\overline{(s2)}
\}
\}
 \mathrel{\in} 
\mathsf {f}
 _{Ph} 
)n
)n
)n
)n
\}
)
\mid 
\forall_{obj} \overline{(\epsilon)}
\colon \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {n}}
\colon \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {m}}
\colon \dot{\neg}\,(0
 <= \overline{(\epsilon)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(0
 = \overline{(\epsilon)}
)n
)n
)n
\Rightarrow \overline{
\mathsf {n}}
 <= \overline{
\mathsf {m}}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(|( \{ ph \mathrel{\in}  \{ ph \mathrel{\in} P(P(Union(\{N
,Q
\}
)
)
)
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op1)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op2)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\overline{(op1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(op2)}
 \mathrel{\in} Q
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\mathsf {a}
 _{Ph} 
 = \{\{\overline{(op1)}
,\overline{(op1)}
\}
,\{\overline{(op1)}
,\overline{(op2)}
\}
\}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\}
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \underline{
\mathsf {m}}
\colon \dot{\neg}\,(
\mathsf {e}
 _{Ph} 
 = \{\{\underline{
\mathsf {m}}
,\underline{
\mathsf {m}}
\}
,\{\underline{
\mathsf {m}}
,(\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
*\underline{(fz)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
)
\}
\}
)n
)n
\}
[\overline{
\mathsf {m}}
]
+(-u
\mathsf {d}
 _{Ph} 
[\overline{
\mathsf {m}}
]
)
)
|
 <= \overline{(\epsilon)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(|( \{ ph \mathrel{\in}  \{ ph \mathrel{\in} P(P(Union(\{N
,Q
\}
)
)
)
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op1)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op2)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\overline{(op1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(op2)}
 \mathrel{\in} Q
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\mathsf {a}
 _{Ph} 
 = \{\{\overline{(op1)}
,\overline{(op1)}
\}
,\{\overline{(op1)}
,\overline{(op2)}
\}
\}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\}
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \underline{
\mathsf {m}}
\colon \dot{\neg}\,(
\mathsf {e}
 _{Ph} 
 = \{\{\underline{
\mathsf {m}}
,\underline{
\mathsf {m}}
\}
,\{\underline{
\mathsf {m}}
,(\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
*\underline{(fz)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
)
\}
\}
)n
)n
\}
[\overline{
\mathsf {m}}
]
+(-u
\mathsf {d}
 _{Ph} 
[\overline{
\mathsf {m}}
]
)
)
|
 = \overline{(\epsilon)}
)n
)n
)n
)n
)n
\}
 =  \{ ph \mathrel{\in} P( \{ ph \mathrel{\in} P( \{ ph \mathrel{\in} P(P(Union(\{N
,Q
\}
)
)
)
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op1)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op2)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\overline{(op1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(op2)}
 \mathrel{\in} Q
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\mathsf {a}
 _{Ph} 
 = \{\{\overline{(op1)}
,\overline{(op1)}
\}
,\{\overline{(op1)}
,\overline{(op2)}
\}
\}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\}
)
\mid \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(r1)}
\colon \overline{(r1)}
 \mathrel{\in} 
\mathsf {f}
 _{Ph} 
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op1)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op2)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\overline{(op1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(op2)}
 \mathrel{\in} Q
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(r1)}
 = \{\{\overline{(op1)}
,\overline{(op1)}
\}
,\{\overline{(op1)}
,\overline{(op2)}
\}
\}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(f1)}
\colon 
\forall_{obj} \overline{(f2)}
\colon 
\forall_{obj} \overline{(f3)}
\colon 
\forall_{obj} \overline{(f4)}
\colon \{\{\overline{(f1)}
,\overline{(f1)}
\}
,\{\overline{(f1)}
,\overline{(f2)}
\}
\}
 \mathrel{\in} 
\mathsf {f}
 _{Ph} 
\Rightarrow \{\{\overline{(f3)}
,\overline{(f3)}
\}
,\{\overline{(f3)}
,\overline{(f4)}
\}
\}
 \mathrel{\in} 
\mathsf {f}
 _{Ph} 
\Rightarrow \overline{(f1)}
 = \overline{(f3)}
\Rightarrow \overline{(f2)}
 = \overline{(f4)}
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(s1)}
\colon \overline{(s1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(s2)}
\colon \dot{\neg}\,(\{\{\overline{(s1)}
,\overline{(s1)}
\}
,\{\overline{(s1)}
,\overline{(s2)}
\}
\}
 \mathrel{\in} 
\mathsf {f}
 _{Ph} 
)n
)n
)n
)n
\}
)
\mid 
\forall_{obj} \overline{(\epsilon)}
\colon \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {n}}
\colon \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {m}}
\colon \dot{\neg}\,(0
 <= \overline{(\epsilon)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(0
 = \overline{(\epsilon)}
)n
)n
)n
\Rightarrow \overline{
\mathsf {n}}
 <= \overline{
\mathsf {m}}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(|( \{ ph \mathrel{\in}  \{ ph \mathrel{\in} P(P(Union(\{N
,Q
\}
)
)
)
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op1)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op2)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\overline{(op1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(op2)}
 \mathrel{\in} Q
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\mathsf {a}
 _{Ph} 
 = \{\{\overline{(op1)}
,\overline{(op1)}
\}
,\{\overline{(op1)}
,\overline{(op2)}
\}
\}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\}
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \underline{
\mathsf {m}}
\colon \dot{\neg}\,(
\mathsf {e}
 _{Ph} 
 = \{\{\underline{
\mathsf {m}}
,\underline{
\mathsf {m}}
\}
,\{\underline{
\mathsf {m}}
,(\underline{(fy)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
*\underline{(fz)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
)
\}
\}
)n
)n
\}
[\overline{
\mathsf {m}}
]
+(-u
\mathsf {d}
 _{Ph} 
[\overline{
\mathsf {m}}
]
)
)
|
 <= \overline{(\epsilon)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(|( \{ ph \mathrel{\in}  \{ ph \mathrel{\in} P(P(Union(\{N
,Q
\}
)
)
)
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op1)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op2)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\overline{(op1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(op2)}
 \mathrel{\in} Q
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\mathsf {a}
 _{Ph} 
 = \{\{\overline{(op1)}
,\overline{(op1)}
\}
,\{\overline{(op1)}
,\overline{(op2)}
\}
\}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\}
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \underline{
\mathsf {m}}
\colon \dot{\neg}\,(
\mathsf {e}
 _{Ph} 
 = \{\{\underline{
\mathsf {m}}
,\underline{
\mathsf {m}}
\}
,\{\underline{
\mathsf {m}}
,(\underline{(fy)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
*\underline{(fz)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
)
\}
\}
)n
)n
\}
[\overline{
\mathsf {m}}
]
+(-u
\mathsf {d}
 _{Ph} 
[\overline{
\mathsf {m}}
]
)
)
|
 = \overline{(\epsilon)}
)n
)n
)n
)n
)n
\}
\rhd \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(\epsilon)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {n}}
\colon \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {m}}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(0
 <= \overline{(\epsilon)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(0
 = \overline{(\epsilon)}
)n
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{
\mathsf {n}}
 <= \overline{
\mathsf {m}}
\Rightarrow  \{ ph \mathrel{\in}  \{ ph \mathrel{\in} P(P(Union(\{N
,Q
\}
)
)
)
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op1)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op2)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\overline{(op1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(op2)}
 \mathrel{\in} Q
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\mathsf {a}
 _{Ph} 
 = \{\{\overline{(op1)}
,\overline{(op1)}
\}
,\{\overline{(op1)}
,\overline{(op2)}
\}
\}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\}
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(crs1)}
\colon \dot{\neg}\,(
\mathsf {c}
 _{Ph} 
 = \{\{\overline{(crs1)}
,\overline{(crs1)}
\}
,\{\overline{(crs1)}
,0
\}
\}
)n
)n
\}
[\overline{
\mathsf {m}}
]
 <= (\underline{(fz)}
[\overline{
\mathsf {m}}
]
+(-u\overline{(\epsilon)}
)
)
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(\epsilon)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {n}}
\colon \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {m}}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(0
 <= \overline{(\epsilon)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(0
 = \overline{(\epsilon)}
)n
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{
\mathsf {n}}
 <= \overline{
\mathsf {m}}
\Rightarrow \underline{(fx)}
[\overline{
\mathsf {m}}
]
 <= (\underline{(fy)}
[\overline{
\mathsf {m}}
]
+(-u\overline{(\epsilon)}
)
)
)n
)n
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(\epsilon)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {n}}
\colon \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {m}}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(0
 <= \overline{(\epsilon)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(0
 = \overline{(\epsilon)}
)n
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{
\mathsf {n}}
 <= \overline{
\mathsf {m}}
\Rightarrow  \{ ph \mathrel{\in}  \{ ph \mathrel{\in} P(P(Union(\{N
,Q
\}
)
)
)
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op1)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op2)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\overline{(op1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(op2)}
 \mathrel{\in} Q
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\mathsf {a}
 _{Ph} 
 = \{\{\overline{(op1)}
,\overline{(op1)}
\}
,\{\overline{(op1)}
,\overline{(op2)}
\}
\}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\}
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \underline{
\mathsf {m}}
\colon \dot{\neg}\,(
\mathsf {e}
 _{Ph} 
 = \{\{\underline{
\mathsf {m}}
,\underline{
\mathsf {m}}
\}
,\{\underline{
\mathsf {m}}
,(\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
*\underline{(fz)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
)
\}
\}
)n
)n
\}
[\overline{
\mathsf {m}}
]
 <= ( \{ ph \mathrel{\in}  \{ ph \mathrel{\in} P(P(Union(\{N
,Q
\}
)
)
)
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op1)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op2)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\overline{(op1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(op2)}
 \mathrel{\in} Q
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\mathsf {a}
 _{Ph} 
 = \{\{\overline{(op1)}
,\overline{(op1)}
\}
,\{\overline{(op1)}
,\overline{(op2)}
\}
\}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\}
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \underline{
\mathsf {m}}
\colon \dot{\neg}\,(
\mathsf {e}
 _{Ph} 
 = \{\{\underline{
\mathsf {m}}
,\underline{
\mathsf {m}}
\}
,\{\underline{
\mathsf {m}}
,(\underline{(fy)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
*\underline{(fz)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
)
\}
\}
)n
)n
\}
[\overline{
\mathsf {m}}
]
+(-u\overline{(\epsilon)}
)
)
)n
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\Rightarrow  \{ ph \mathrel{\in} P( \{ ph \mathrel{\in} P( \{ ph \mathrel{\in} P(P(Union(\{N
,Q
\}
)
)
)
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op1)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op2)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\overline{(op1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(op2)}
 \mathrel{\in} Q
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\mathsf {a}
 _{Ph} 
 = \{\{\overline{(op1)}
,\overline{(op1)}
\}
,\{\overline{(op1)}
,\overline{(op2)}
\}
\}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\}
)
\mid \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(r1)}
\colon \overline{(r1)}
 \mathrel{\in} 
\mathsf {f}
 _{Ph} 
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op1)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op2)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\overline{(op1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(op2)}
 \mathrel{\in} Q
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(r1)}
 = \{\{\overline{(op1)}
,\overline{(op1)}
\}
,\{\overline{(op1)}
,\overline{(op2)}
\}
\}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(f1)}
\colon 
\forall_{obj} \overline{(f2)}
\colon 
\forall_{obj} \overline{(f3)}
\colon 
\forall_{obj} \overline{(f4)}
\colon \{\{\overline{(f1)}
,\overline{(f1)}
\}
,\{\overline{(f1)}
,\overline{(f2)}
\}
\}
 \mathrel{\in} 
\mathsf {f}
 _{Ph} 
\Rightarrow \{\{\overline{(f3)}
,\overline{(f3)}
\}
,\{\overline{(f3)}
,\overline{(f4)}
\}
\}
 \mathrel{\in} 
\mathsf {f}
 _{Ph} 
\Rightarrow \overline{(f1)}
 = \overline{(f3)}
\Rightarrow \overline{(f2)}
 = \overline{(f4)}
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(s1)}
\colon \overline{(s1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(s2)}
\colon \dot{\neg}\,(\{\{\overline{(s1)}
,\overline{(s1)}
\}
,\{\overline{(s1)}
,\overline{(s2)}
\}
\}
 \mathrel{\in} 
\mathsf {f}
 _{Ph} 
)n
)n
)n
)n
\}
)
\mid 
\forall_{obj} \overline{(\epsilon)}
\colon \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {n}}
\colon \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {m}}
\colon \dot{\neg}\,(0
 <= \overline{(\epsilon)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(0
 = \overline{(\epsilon)}
)n
)n
)n
\Rightarrow \overline{
\mathsf {n}}
 <= \overline{
\mathsf {m}}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(|( \{ ph \mathrel{\in}  \{ ph \mathrel{\in} P(P(Union(\{N
,Q
\}
)
)
)
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op1)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op2)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\overline{(op1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(op2)}
 \mathrel{\in} Q
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\mathsf {a}
 _{Ph} 
 = \{\{\overline{(op1)}
,\overline{(op1)}
\}
,\{\overline{(op1)}
,\overline{(op2)}
\}
\}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\}
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \underline{
\mathsf {m}}
\colon \dot{\neg}\,(
\mathsf {e}
 _{Ph} 
 = \{\{\underline{
\mathsf {m}}
,\underline{
\mathsf {m}}
\}
,\{\underline{
\mathsf {m}}
,(\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
*\underline{(fz)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
)
\}
\}
)n
)n
\}
[\overline{
\mathsf {m}}
]
+(-u
\mathsf {d}
 _{Ph} 
[\overline{
\mathsf {m}}
]
)
)
|
 <= \overline{(\epsilon)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(|( \{ ph \mathrel{\in}  \{ ph \mathrel{\in} P(P(Union(\{N
,Q
\}
)
)
)
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op1)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op2)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\overline{(op1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(op2)}
 \mathrel{\in} Q
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\mathsf {a}
 _{Ph} 
 = \{\{\overline{(op1)}
,\overline{(op1)}
\}
,\{\overline{(op1)}
,\overline{(op2)}
\}
\}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\}
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \underline{
\mathsf {m}}
\colon \dot{\neg}\,(
\mathsf {e}
 _{Ph} 
 = \{\{\underline{
\mathsf {m}}
,\underline{
\mathsf {m}}
\}
,\{\underline{
\mathsf {m}}
,(\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
*\underline{(fz)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
)
\}
\}
)n
)n
\}
[\overline{
\mathsf {m}}
]
+(-u
\mathsf {d}
 _{Ph} 
[\overline{
\mathsf {m}}
]
)
)
|
 = \overline{(\epsilon)}
)n
)n
)n
)n
)n
\}
 =  \{ ph \mathrel{\in} P( \{ ph \mathrel{\in} P( \{ ph \mathrel{\in} P(P(Union(\{N
,Q
\}
)
)
)
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op1)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op2)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\overline{(op1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(op2)}
 \mathrel{\in} Q
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\mathsf {a}
 _{Ph} 
 = \{\{\overline{(op1)}
,\overline{(op1)}
\}
,\{\overline{(op1)}
,\overline{(op2)}
\}
\}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\}
)
\mid \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(r1)}
\colon \overline{(r1)}
 \mathrel{\in} 
\mathsf {f}
 _{Ph} 
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op1)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op2)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\overline{(op1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(op2)}
 \mathrel{\in} Q
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(r1)}
 = \{\{\overline{(op1)}
,\overline{(op1)}
\}
,\{\overline{(op1)}
,\overline{(op2)}
\}
\}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(f1)}
\colon 
\forall_{obj} \overline{(f2)}
\colon 
\forall_{obj} \overline{(f3)}
\colon 
\forall_{obj} \overline{(f4)}
\colon \{\{\overline{(f1)}
,\overline{(f1)}
\}
,\{\overline{(f1)}
,\overline{(f2)}
\}
\}
 \mathrel{\in} 
\mathsf {f}
 _{Ph} 
\Rightarrow \{\{\overline{(f3)}
,\overline{(f3)}
\}
,\{\overline{(f3)}
,\overline{(f4)}
\}
\}
 \mathrel{\in} 
\mathsf {f}
 _{Ph} 
\Rightarrow \overline{(f1)}
 = \overline{(f3)}
\Rightarrow \overline{(f2)}
 = \overline{(f4)}
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(s1)}
\colon \overline{(s1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(s2)}
\colon \dot{\neg}\,(\{\{\overline{(s1)}
,\overline{(s1)}
\}
,\{\overline{(s1)}
,\overline{(s2)}
\}
\}
 \mathrel{\in} 
\mathsf {f}
 _{Ph} 
)n
)n
)n
)n
\}
)
\mid 
\forall_{obj} \overline{(\epsilon)}
\colon \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {n}}
\colon \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {m}}
\colon \dot{\neg}\,(0
 <= \overline{(\epsilon)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(0
 = \overline{(\epsilon)}
)n
)n
)n
\Rightarrow \overline{
\mathsf {n}}
 <= \overline{
\mathsf {m}}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(|( \{ ph \mathrel{\in}  \{ ph \mathrel{\in} P(P(Union(\{N
,Q
\}
)
)
)
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op1)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op2)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\overline{(op1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(op2)}
 \mathrel{\in} Q
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\mathsf {a}
 _{Ph} 
 = \{\{\overline{(op1)}
,\overline{(op1)}
\}
,\{\overline{(op1)}
,\overline{(op2)}
\}
\}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\}
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \underline{
\mathsf {m}}
\colon \dot{\neg}\,(
\mathsf {e}
 _{Ph} 
 = \{\{\underline{
\mathsf {m}}
,\underline{
\mathsf {m}}
\}
,\{\underline{
\mathsf {m}}
,(\underline{(fy)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
*\underline{(fz)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
)
\}
\}
)n
)n
\}
[\overline{
\mathsf {m}}
]
+(-u
\mathsf {d}
 _{Ph} 
[\overline{
\mathsf {m}}
]
)
)
|
 <= \overline{(\epsilon)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(|( \{ ph \mathrel{\in}  \{ ph \mathrel{\in} P(P(Union(\{N
,Q
\}
)
)
)
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op1)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op2)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\overline{(op1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(op2)}
 \mathrel{\in} Q
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\mathsf {a}
 _{Ph} 
 = \{\{\overline{(op1)}
,\overline{(op1)}
\}
,\{\overline{(op1)}
,\overline{(op2)}
\}
\}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\}
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \underline{
\mathsf {m}}
\colon \dot{\neg}\,(
\mathsf {e}
 _{Ph} 
 = \{\{\underline{
\mathsf {m}}
,\underline{
\mathsf {m}}
\}
,\{\underline{
\mathsf {m}}
,(\underline{(fy)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
*\underline{(fz)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
)
\}
\}
)n
)n
\}
[\overline{
\mathsf {m}}
]
+(-u
\mathsf {d}
 _{Ph} 
[\overline{
\mathsf {m}}
]
)
)
|
 = \overline{(\epsilon)}
)n
)n
)n
)n
)n
\}
\gg \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(\epsilon)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {n}}
\colon \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {m}}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(0
 <= \overline{(\epsilon)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(0
 = \overline{(\epsilon)}
)n
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{
\mathsf {n}}
 <= \overline{
\mathsf {m}}
\Rightarrow  \{ ph \mathrel{\in}  \{ ph \mathrel{\in} P(P(Union(\{N
,Q
\}
)
)
)
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op1)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op2)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\overline{(op1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(op2)}
 \mathrel{\in} Q
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\mathsf {a}
 _{Ph} 
 = \{\{\overline{(op1)}
,\overline{(op1)}
\}
,\{\overline{(op1)}
,\overline{(op2)}
\}
\}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\}
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \underline{
\mathsf {m}}
\colon \dot{\neg}\,(
\mathsf {e}
 _{Ph} 
 = \{\{\underline{
\mathsf {m}}
,\underline{
\mathsf {m}}
\}
,\{\underline{
\mathsf {m}}
,(\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
*\underline{(fz)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
)
\}
\}
)n
)n
\}
[\overline{
\mathsf {m}}
]
 <= ( \{ ph \mathrel{\in}  \{ ph \mathrel{\in} P(P(Union(\{N
,Q
\}
)
)
)
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op1)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op2)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\overline{(op1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(op2)}
 \mathrel{\in} Q
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\mathsf {a}
 _{Ph} 
 = \{\{\overline{(op1)}
,\overline{(op1)}
\}
,\{\overline{(op1)}
,\overline{(op2)}
\}
\}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\}
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \underline{
\mathsf {m}}
\colon \dot{\neg}\,(
\mathsf {e}
 _{Ph} 
 = \{\{\underline{
\mathsf {m}}
,\underline{
\mathsf {m}}
\}
,\{\underline{
\mathsf {m}}
,(\underline{(fy)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
*\underline{(fz)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
)
\}
\}
)n
)n
\}
[\overline{
\mathsf {m}}
]
+(-u\overline{(\epsilon)}
)
)
)n
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\Rightarrow  \{ ph \mathrel{\in} P( \{ ph \mathrel{\in} P( \{ ph \mathrel{\in} P(P(Union(\{N
,Q
\}
)
)
)
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op1)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op2)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\overline{(op1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(op2)}
 \mathrel{\in} Q
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\mathsf {a}
 _{Ph} 
 = \{\{\overline{(op1)}
,\overline{(op1)}
\}
,\{\overline{(op1)}
,\overline{(op2)}
\}
\}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\}
)
\mid \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(r1)}
\colon \overline{(r1)}
 \mathrel{\in} 
\mathsf {f}
 _{Ph} 
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op1)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op2)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\overline{(op1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(op2)}
 \mathrel{\in} Q
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(r1)}
 = \{\{\overline{(op1)}
,\overline{(op1)}
\}
,\{\overline{(op1)}
,\overline{(op2)}
\}
\}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(f1)}
\colon 
\forall_{obj} \overline{(f2)}
\colon 
\forall_{obj} \overline{(f3)}
\colon 
\forall_{obj} \overline{(f4)}
\colon \{\{\overline{(f1)}
,\overline{(f1)}
\}
,\{\overline{(f1)}
,\overline{(f2)}
\}
\}
 \mathrel{\in} 
\mathsf {f}
 _{Ph} 
\Rightarrow \{\{\overline{(f3)}
,\overline{(f3)}
\}
,\{\overline{(f3)}
,\overline{(f4)}
\}
\}
 \mathrel{\in} 
\mathsf {f}
 _{Ph} 
\Rightarrow \overline{(f1)}
 = \overline{(f3)}
\Rightarrow \overline{(f2)}
 = \overline{(f4)}
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(s1)}
\colon \overline{(s1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(s2)}
\colon \dot{\neg}\,(\{\{\overline{(s1)}
,\overline{(s1)}
\}
,\{\overline{(s1)}
,\overline{(s2)}
\}
\}
 \mathrel{\in} 
\mathsf {f}
 _{Ph} 
)n
)n
)n
)n
\}
)
\mid 
\forall_{obj} \overline{(\epsilon)}
\colon \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {n}}
\colon \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {m}}
\colon \dot{\neg}\,(0
 <= \overline{(\epsilon)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(0
 = \overline{(\epsilon)}
)n
)n
)n
\Rightarrow \overline{
\mathsf {n}}
 <= \overline{
\mathsf {m}}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(|( \{ ph \mathrel{\in}  \{ ph \mathrel{\in} P(P(Union(\{N
,Q
\}
)
)
)
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op1)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op2)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\overline{(op1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(op2)}
 \mathrel{\in} Q
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\mathsf {a}
 _{Ph} 
 = \{\{\overline{(op1)}
,\overline{(op1)}
\}
,\{\overline{(op1)}
,\overline{(op2)}
\}
\}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\}
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \underline{
\mathsf {m}}
\colon \dot{\neg}\,(
\mathsf {e}
 _{Ph} 
 = \{\{\underline{
\mathsf {m}}
,\underline{
\mathsf {m}}
\}
,\{\underline{
\mathsf {m}}
,(\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
*\underline{(fz)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
)
\}
\}
)n
)n
\}
[\overline{
\mathsf {m}}
]
+(-u
\mathsf {d}
 _{Ph} 
[\overline{
\mathsf {m}}
]
)
)
|
 <= \overline{(\epsilon)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(|( \{ ph \mathrel{\in}  \{ ph \mathrel{\in} P(P(Union(\{N
,Q
\}
)
)
)
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op1)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op2)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\overline{(op1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(op2)}
 \mathrel{\in} Q
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\mathsf {a}
 _{Ph} 
 = \{\{\overline{(op1)}
,\overline{(op1)}
\}
,\{\overline{(op1)}
,\overline{(op2)}
\}
\}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\}
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \underline{
\mathsf {m}}
\colon \dot{\neg}\,(
\mathsf {e}
 _{Ph} 
 = \{\{\underline{
\mathsf {m}}
,\underline{
\mathsf {m}}
\}
,\{\underline{
\mathsf {m}}
,(\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
*\underline{(fz)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
)
\}
\}
)n
)n
\}
[\overline{
\mathsf {m}}
]
+(-u
\mathsf {d}
 _{Ph} 
[\overline{
\mathsf {m}}
]
)
)
|
 = \overline{(\epsilon)}
)n
)n
)n
)n
)n
\}
 =  \{ ph \mathrel{\in} P( \{ ph \mathrel{\in} P( \{ ph \mathrel{\in} P(P(Union(\{N
,Q
\}
)
)
)
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op1)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op2)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\overline{(op1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(op2)}
 \mathrel{\in} Q
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\mathsf {a}
 _{Ph} 
 = \{\{\overline{(op1)}
,\overline{(op1)}
\}
,\{\overline{(op1)}
,\overline{(op2)}
\}
\}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\}
)
\mid \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(r1)}
\colon \overline{(r1)}
 \mathrel{\in} 
\mathsf {f}
 _{Ph} 
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op1)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op2)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\overline{(op1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(op2)}
 \mathrel{\in} Q
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(r1)}
 = \{\{\overline{(op1)}
,\overline{(op1)}
\}
,\{\overline{(op1)}
,\overline{(op2)}
\}
\}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(f1)}
\colon 
\forall_{obj} \overline{(f2)}
\colon 
\forall_{obj} \overline{(f3)}
\colon 
\forall_{obj} \overline{(f4)}
\colon \{\{\overline{(f1)}
,\overline{(f1)}
\}
,\{\overline{(f1)}
,\overline{(f2)}
\}
\}
 \mathrel{\in} 
\mathsf {f}
 _{Ph} 
\Rightarrow \{\{\overline{(f3)}
,\overline{(f3)}
\}
,\{\overline{(f3)}
,\overline{(f4)}
\}
\}
 \mathrel{\in} 
\mathsf {f}
 _{Ph} 
\Rightarrow \overline{(f1)}
 = \overline{(f3)}
\Rightarrow \overline{(f2)}
 = \overline{(f4)}
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(s1)}
\colon \overline{(s1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(s2)}
\colon \dot{\neg}\,(\{\{\overline{(s1)}
,\overline{(s1)}
\}
,\{\overline{(s1)}
,\overline{(s2)}
\}
\}
 \mathrel{\in} 
\mathsf {f}
 _{Ph} 
)n
)n
)n
)n
\}
)
\mid 
\forall_{obj} \overline{(\epsilon)}
\colon \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {n}}
\colon \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {m}}
\colon \dot{\neg}\,(0
 <= \overline{(\epsilon)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(0
 = \overline{(\epsilon)}
)n
)n
)n
\Rightarrow \overline{
\mathsf {n}}
 <= \overline{
\mathsf {m}}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(|( \{ ph \mathrel{\in}  \{ ph \mathrel{\in} P(P(Union(\{N
,Q
\}
)
)
)
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op1)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op2)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\overline{(op1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(op2)}
 \mathrel{\in} Q
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\mathsf {a}
 _{Ph} 
 = \{\{\overline{(op1)}
,\overline{(op1)}
\}
,\{\overline{(op1)}
,\overline{(op2)}
\}
\}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\}
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \underline{
\mathsf {m}}
\colon \dot{\neg}\,(
\mathsf {e}
 _{Ph} 
 = \{\{\underline{
\mathsf {m}}
,\underline{
\mathsf {m}}
\}
,\{\underline{
\mathsf {m}}
,(\underline{(fy)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
*\underline{(fz)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
)
\}
\}
)n
)n
\}
[\overline{
\mathsf {m}}
]
+(-u
\mathsf {d}
 _{Ph} 
[\overline{
\mathsf {m}}
]
)
)
|
 <= \overline{(\epsilon)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(|( \{ ph \mathrel{\in}  \{ ph \mathrel{\in} P(P(Union(\{N
,Q
\}
)
)
)
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op1)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op2)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\overline{(op1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(op2)}
 \mathrel{\in} Q
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\mathsf {a}
 _{Ph} 
 = \{\{\overline{(op1)}
,\overline{(op1)}
\}
,\{\overline{(op1)}
,\overline{(op2)}
\}
\}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\}
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \underline{
\mathsf {m}}
\colon \dot{\neg}\,(
\mathsf {e}
 _{Ph} 
 = \{\{\underline{
\mathsf {m}}
,\underline{
\mathsf {m}}
\}
,\{\underline{
\mathsf {m}}
,(\underline{(fy)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
*\underline{(fz)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
)
\}
\}
)n
)n
\}
[\overline{
\mathsf {m}}
]
+(-u
\mathsf {d}
 _{Ph} 
[\overline{
\mathsf {m}}
]
)
)
|
 = \overline{(\epsilon)}
)n
)n
)n
)n
)n
\}
\rceil 
, 
p_0
, 
\mathsf {c}
)
]$

$
[Cauchy(2)(Helper)
\stackrel{
stmt
}{\rightarrow}SystemQ
\vdash 
\forall \underline{(v1)}
\colon 
\forall \underline{(v2)}
\colon 
\forall \underline{(n1)}
\colon 
\forall \underline{(n2)}
\colon 
\forall \underline{(\epsilon)}
\colon 
\forall \underline{(fx)}
\colon 
\forall \underline{(fy)}
\colon 
\forall_{obj} \underline{(v1)}
\colon 
\forall_{obj} \underline{(v2)}
\colon \dot{\neg}\,(0
 <= \underline{(\epsilon)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(0
 = \underline{(\epsilon)}
)n
)n
)n
\Rightarrow \underline{(n1)}
 <= \underline{(v1)}
\Rightarrow \underline{(n1)}
 <= \underline{(v2)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(|(\underline{(fx)}
[\underline{(v1)}
]
+(-u\underline{(fx)}
[\underline{(v2)}
]
)
)
|
 <= \underline{(\epsilon)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(|(\underline{(fx)}
[\underline{(v1)}
]
+(-u\underline{(fx)}
[\underline{(v2)}
]
)
)
|
 = \underline{(\epsilon)}
)n
)n
)n
\Rightarrow 
\forall_{obj} \underline{(v1)}
\colon 
\forall_{obj} \underline{(v2)}
\colon \dot{\neg}\,(0
 <= \underline{(\epsilon)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(0
 = \underline{(\epsilon)}
)n
)n
)n
\Rightarrow \underline{(n2)}
 <= \underline{(v1)}
\Rightarrow \underline{(n2)}
 <= \underline{(v2)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(|(\underline{(fy)}
[\underline{(v1)}
]
+(-u\underline{(fy)}
[\underline{(v2)}
]
)
)
|
 <= \underline{(\epsilon)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(|(\underline{(fy)}
[\underline{(v1)}
]
+(-u\underline{(fy)}
[\underline{(v2)}
]
)
)
|
 = \underline{(\epsilon)}
)n
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(0
 <= \underline{(\epsilon)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(0
 = \underline{(\epsilon)}
)n
)n
)n
\Rightarrow if(\underline{(n2)}
 <= \underline{(n1)}
,\underline{(n1)}
,\underline{(n2)}
)
 <= \underline{(v1)}
\Rightarrow if(\underline{(n2)}
 <= \underline{(n1)}
,\underline{(n1)}
,\underline{(n2)}
)
 <= \underline{(v2)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(|(\underline{(fx)}
[\underline{(v1)}
]
+(-u\underline{(fx)}
[\underline{(v2)}
]
)
)
|
 <= \underline{(\epsilon)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(|(\underline{(fx)}
[\underline{(v1)}
]
+(-u\underline{(fx)}
[\underline{(v2)}
]
)
)
|
 = \underline{(\epsilon)}
)n
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(|(\underline{(fy)}
[\underline{(v1)}
]
+(-u\underline{(fy)}
[\underline{(v2)}
]
)
)
|
 <= \underline{(\epsilon)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(|(\underline{(fy)}
[\underline{(v1)}
]
+(-u\underline{(fy)}
[\underline{(v2)}
]
)
)
|
 = \underline{(\epsilon)}
)n
)n
)n
)n
)n
]$

$
[Cauchy(2)(Helper)
\stackrel{
proof
}{\rightarrow}
\lambda 
\mathsf {c}
.
\lambda 
\mathsf{x}
.
{\cal P}( 
\lceil SystemQ
\vdash 
\forall \underline{(v1)}
\colon 
\forall \underline{(v2)}
\colon 
\forall \underline{(n1)}
\colon 
\forall \underline{(n2)}
\colon 
\forall \underline{(\epsilon)}
\colon 
\forall \underline{(fx)}
\colon 
\forall \underline{(fy)}
\colon 
\forall_{obj} \underline{(v1)}
\colon 
\forall_{obj} \underline{(v2)}
\colon \dot{\neg}\,(0
 <= \underline{(\epsilon)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(0
 = \underline{(\epsilon)}
)n
)n
)n
\Rightarrow \underline{(n1)}
 <= \underline{(v1)}
\Rightarrow \underline{(n1)}
 <= \underline{(v2)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(|(\underline{(fx)}
[\underline{(v1)}
]
+(-u\underline{(fx)}
[\underline{(v2)}
]
)
)
|
 <= \underline{(\epsilon)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(|(\underline{(fx)}
[\underline{(v1)}
]
+(-u\underline{(fx)}
[\underline{(v2)}
]
)
)
|
 = \underline{(\epsilon)}
)n
)n
)n
\vdash 
\forall_{obj} \underline{(v1)}
\colon 
\forall_{obj} \underline{(v2)}
\colon \dot{\neg}\,(0
 <= \underline{(\epsilon)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(0
 = \underline{(\epsilon)}
)n
)n
)n
\Rightarrow \underline{(n2)}
 <= \underline{(v1)}
\Rightarrow \underline{(n2)}
 <= \underline{(v2)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(|(\underline{(fy)}
[\underline{(v1)}
]
+(-u\underline{(fy)}
[\underline{(v2)}
]
)
)
|
 <= \underline{(\epsilon)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(|(\underline{(fy)}
[\underline{(v1)}
]
+(-u\underline{(fy)}
[\underline{(v2)}
]
)
)
|
 = \underline{(\epsilon)}
)n
)n
)n
\vdash \dot{\neg}\,(0
 <= \underline{(\epsilon)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(0
 = \underline{(\epsilon)}
)n
)n
)n
\vdash if(\underline{(n2)}
 <= \underline{(n1)}
,\underline{(n1)}
,\underline{(n2)}
)
 <= \underline{(v1)}
\vdash if(\underline{(n2)}
 <= \underline{(n1)}
,\underline{(n1)}
,\underline{(n2)}
)
 <= \underline{(v2)}
\vdash MaxLeq(1)
\gg \underline{(n1)}
 <= if(\underline{(n2)}
 <= \underline{(n1)}
,\underline{(n1)}
,\underline{(n2)}
)
; leqTransitivity
\rhd \underline{(n1)}
 <= if(\underline{(n2)}
 <= \underline{(n1)}
,\underline{(n1)}
,\underline{(n2)}
)
\rhd if(\underline{(n2)}
 <= \underline{(n1)}
,\underline{(n1)}
,\underline{(n2)}
)
 <= \underline{(v1)}
\gg \underline{(n1)}
 <= \underline{(v1)}
; leqTransitivity
\rhd \underline{(n1)}
 <= if(\underline{(n2)}
 <= \underline{(n1)}
,\underline{(n1)}
,\underline{(n2)}
)
\rhd if(\underline{(n2)}
 <= \underline{(n1)}
,\underline{(n1)}
,\underline{(n2)}
)
 <= \underline{(v2)}
\gg \underline{(n1)}
 <= \underline{(v2)}
; MaxLeq(2)
\gg \underline{(n2)}
 <= if(\underline{(n2)}
 <= \underline{(n1)}
,\underline{(n1)}
,\underline{(n2)}
)
; leqTransitivity
\rhd \underline{(n2)}
 <= if(\underline{(n2)}
 <= \underline{(n1)}
,\underline{(n1)}
,\underline{(n2)}
)
\rhd if(\underline{(n2)}
 <= \underline{(n1)}
,\underline{(n1)}
,\underline{(n2)}
)
 <= \underline{(v1)}
\gg \underline{(n2)}
 <= \underline{(v1)}
; leqTransitivity
\rhd \underline{(n2)}
 <= if(\underline{(n2)}
 <= \underline{(n1)}
,\underline{(n1)}
,\underline{(n2)}
)
\rhd if(\underline{(n2)}
 <= \underline{(n1)}
,\underline{(n1)}
,\underline{(n2)}
)
 <= \underline{(v2)}
\gg \underline{(n2)}
 <= \underline{(v2)}
; A4
\mathop {\char64} \underline{(v1)}
\rhd 
\forall_{obj} \underline{(v1)}
\colon 
\forall_{obj} \underline{(v2)}
\colon \dot{\neg}\,(0
 <= \underline{(\epsilon)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(0
 = \underline{(\epsilon)}
)n
)n
)n
\Rightarrow \underline{(n1)}
 <= \underline{(v1)}
\Rightarrow \underline{(n1)}
 <= \underline{(v2)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(|(\underline{(fx)}
[\underline{(v1)}
]
+(-u\underline{(fx)}
[\underline{(v2)}
]
)
)
|
 <= \underline{(\epsilon)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(|(\underline{(fx)}
[\underline{(v1)}
]
+(-u\underline{(fx)}
[\underline{(v2)}
]
)
)
|
 = \underline{(\epsilon)}
)n
)n
)n
\gg 
\forall_{obj} \underline{(v2)}
\colon \dot{\neg}\,(0
 <= \underline{(\epsilon)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(0
 = \underline{(\epsilon)}
)n
)n
)n
\Rightarrow \underline{(n1)}
 <= \underline{(v1)}
\Rightarrow \underline{(n1)}
 <= \underline{(v2)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(|(\underline{(fx)}
[\underline{(v1)}
]
+(-u\underline{(fx)}
[\underline{(v2)}
]
)
)
|
 <= \underline{(\epsilon)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(|(\underline{(fx)}
[\underline{(v1)}
]
+(-u\underline{(fx)}
[\underline{(v2)}
]
)
)
|
 = \underline{(\epsilon)}
)n
)n
)n
; A4
\mathop {\char64} \underline{(v2)}
\rhd 
\forall_{obj} \underline{(v2)}
\colon \dot{\neg}\,(0
 <= \underline{(\epsilon)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(0
 = \underline{(\epsilon)}
)n
)n
)n
\Rightarrow \underline{(n1)}
 <= \underline{(v1)}
\Rightarrow \underline{(n1)}
 <= \underline{(v2)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(|(\underline{(fx)}
[\underline{(v1)}
]
+(-u\underline{(fx)}
[\underline{(v2)}
]
)
)
|
 <= \underline{(\epsilon)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(|(\underline{(fx)}
[\underline{(v1)}
]
+(-u\underline{(fx)}
[\underline{(v2)}
]
)
)
|
 = \underline{(\epsilon)}
)n
)n
)n
\gg \dot{\neg}\,(0
 <= \underline{(\epsilon)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(0
 = \underline{(\epsilon)}
)n
)n
)n
\Rightarrow \underline{(n1)}
 <= \underline{(v1)}
\Rightarrow \underline{(n1)}
 <= \underline{(v2)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(|(\underline{(fx)}
[\underline{(v1)}
]
+(-u\underline{(fx)}
[\underline{(v2)}
]
)
)
|
 <= \underline{(\epsilon)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(|(\underline{(fx)}
[\underline{(v1)}
]
+(-u\underline{(fx)}
[\underline{(v2)}
]
)
)
|
 = \underline{(\epsilon)}
)n
)n
)n
; MP3
\rhd \dot{\neg}\,(0
 <= \underline{(\epsilon)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(0
 = \underline{(\epsilon)}
)n
)n
)n
\Rightarrow \underline{(n1)}
 <= \underline{(v1)}
\Rightarrow \underline{(n1)}
 <= \underline{(v2)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(|(\underline{(fx)}
[\underline{(v1)}
]
+(-u\underline{(fx)}
[\underline{(v2)}
]
)
)
|
 <= \underline{(\epsilon)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(|(\underline{(fx)}
[\underline{(v1)}
]
+(-u\underline{(fx)}
[\underline{(v2)}
]
)
)
|
 = \underline{(\epsilon)}
)n
)n
)n
\rhd \dot{\neg}\,(0
 <= \underline{(\epsilon)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(0
 = \underline{(\epsilon)}
)n
)n
)n
\rhd \underline{(n1)}
 <= \underline{(v1)}
\rhd \underline{(n1)}
 <= \underline{(v2)}
\gg \dot{\neg}\,(|(\underline{(fx)}
[\underline{(v1)}
]
+(-u\underline{(fx)}
[\underline{(v2)}
]
)
)
|
 <= \underline{(\epsilon)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(|(\underline{(fx)}
[\underline{(v1)}
]
+(-u\underline{(fx)}
[\underline{(v2)}
]
)
)
|
 = \underline{(\epsilon)}
)n
)n
)n
; A4
\mathop {\char64} \underline{(v1)}
\rhd 
\forall_{obj} \underline{(v1)}
\colon 
\forall_{obj} \underline{(v2)}
\colon \dot{\neg}\,(0
 <= \underline{(\epsilon)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(0
 = \underline{(\epsilon)}
)n
)n
)n
\Rightarrow \underline{(n2)}
 <= \underline{(v1)}
\Rightarrow \underline{(n2)}
 <= \underline{(v2)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(|(\underline{(fy)}
[\underline{(v1)}
]
+(-u\underline{(fy)}
[\underline{(v2)}
]
)
)
|
 <= \underline{(\epsilon)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(|(\underline{(fy)}
[\underline{(v1)}
]
+(-u\underline{(fy)}
[\underline{(v2)}
]
)
)
|
 = \underline{(\epsilon)}
)n
)n
)n
\gg 
\forall_{obj} \underline{(v2)}
\colon \dot{\neg}\,(0
 <= \underline{(\epsilon)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(0
 = \underline{(\epsilon)}
)n
)n
)n
\Rightarrow \underline{(n2)}
 <= \underline{(v1)}
\Rightarrow \underline{(n2)}
 <= \underline{(v2)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(|(\underline{(fy)}
[\underline{(v1)}
]
+(-u\underline{(fy)}
[\underline{(v2)}
]
)
)
|
 <= \underline{(\epsilon)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(|(\underline{(fy)}
[\underline{(v1)}
]
+(-u\underline{(fy)}
[\underline{(v2)}
]
)
)
|
 = \underline{(\epsilon)}
)n
)n
)n
; A4
\mathop {\char64} \underline{(v2)}
\rhd 
\forall_{obj} \underline{(v2)}
\colon \dot{\neg}\,(0
 <= \underline{(\epsilon)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(0
 = \underline{(\epsilon)}
)n
)n
)n
\Rightarrow \underline{(n2)}
 <= \underline{(v1)}
\Rightarrow \underline{(n2)}
 <= \underline{(v2)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(|(\underline{(fy)}
[\underline{(v1)}
]
+(-u\underline{(fy)}
[\underline{(v2)}
]
)
)
|
 <= \underline{(\epsilon)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(|(\underline{(fy)}
[\underline{(v1)}
]
+(-u\underline{(fy)}
[\underline{(v2)}
]
)
)
|
 = \underline{(\epsilon)}
)n
)n
)n
\gg \dot{\neg}\,(0
 <= \underline{(\epsilon)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(0
 = \underline{(\epsilon)}
)n
)n
)n
\Rightarrow \underline{(n2)}
 <= \underline{(v1)}
\Rightarrow \underline{(n2)}
 <= \underline{(v2)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(|(\underline{(fy)}
[\underline{(v1)}
]
+(-u\underline{(fy)}
[\underline{(v2)}
]
)
)
|
 <= \underline{(\epsilon)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(|(\underline{(fy)}
[\underline{(v1)}
]
+(-u\underline{(fy)}
[\underline{(v2)}
]
)
)
|
 = \underline{(\epsilon)}
)n
)n
)n
; MP3
\rhd \dot{\neg}\,(0
 <= \underline{(\epsilon)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(0
 = \underline{(\epsilon)}
)n
)n
)n
\Rightarrow \underline{(n2)}
 <= \underline{(v1)}
\Rightarrow \underline{(n2)}
 <= \underline{(v2)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(|(\underline{(fy)}
[\underline{(v1)}
]
+(-u\underline{(fy)}
[\underline{(v2)}
]
)
)
|
 <= \underline{(\epsilon)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(|(\underline{(fy)}
[\underline{(v1)}
]
+(-u\underline{(fy)}
[\underline{(v2)}
]
)
)
|
 = \underline{(\epsilon)}
)n
)n
)n
\rhd \dot{\neg}\,(0
 <= \underline{(\epsilon)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(0
 = \underline{(\epsilon)}
)n
)n
)n
\rhd \underline{(n2)}
 <= \underline{(v1)}
\rhd \underline{(n2)}
 <= \underline{(v2)}
\gg \dot{\neg}\,(|(\underline{(fy)}
[\underline{(v1)}
]
+(-u\underline{(fy)}
[\underline{(v2)}
]
)
)
|
 <= \underline{(\epsilon)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(|(\underline{(fy)}
[\underline{(v1)}
]
+(-u\underline{(fy)}
[\underline{(v2)}
]
)
)
|
 = \underline{(\epsilon)}
)n
)n
)n
; JoinConjuncts
\rhd \dot{\neg}\,(|(\underline{(fx)}
[\underline{(v1)}
]
+(-u\underline{(fx)}
[\underline{(v2)}
]
)
)
|
 <= \underline{(\epsilon)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(|(\underline{(fx)}
[\underline{(v1)}
]
+(-u\underline{(fx)}
[\underline{(v2)}
]
)
)
|
 = \underline{(\epsilon)}
)n
)n
)n
\rhd \dot{\neg}\,(|(\underline{(fy)}
[\underline{(v1)}
]
+(-u\underline{(fy)}
[\underline{(v2)}
]
)
)
|
 <= \underline{(\epsilon)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(|(\underline{(fy)}
[\underline{(v1)}
]
+(-u\underline{(fy)}
[\underline{(v2)}
]
)
)
|
 = \underline{(\epsilon)}
)n
)n
)n
\gg \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(|(\underline{(fx)}
[\underline{(v1)}
]
+(-u\underline{(fx)}
[\underline{(v2)}
]
)
)
|
 <= \underline{(\epsilon)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(|(\underline{(fx)}
[\underline{(v1)}
]
+(-u\underline{(fx)}
[\underline{(v2)}
]
)
)
|
 = \underline{(\epsilon)}
)n
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(|(\underline{(fy)}
[\underline{(v1)}
]
+(-u\underline{(fy)}
[\underline{(v2)}
]
)
)
|
 <= \underline{(\epsilon)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(|(\underline{(fy)}
[\underline{(v1)}
]
+(-u\underline{(fy)}
[\underline{(v2)}
]
)
)
|
 = \underline{(\epsilon)}
)n
)n
)n
)n
)n
; 
\forall \underline{(v1)}
\colon 
\forall \underline{(v2)}
\colon 
\forall \underline{(n1)}
\colon 
\forall \underline{(n2)}
\colon 
\forall \underline{(\epsilon)}
\colon 
\forall \underline{(fx)}
\colon 
\forall \underline{(fy)}
\colon Ded
\rhd 
\forall \underline{(v1)}
\colon 
\forall \underline{(v2)}
\colon 
\forall \underline{(n1)}
\colon 
\forall \underline{(n2)}
\colon 
\forall \underline{(\epsilon)}
\colon 
\forall \underline{(fx)}
\colon 
\forall \underline{(fy)}
\colon 
\forall_{obj} \underline{(v1)}
\colon 
\forall_{obj} \underline{(v2)}
\colon \dot{\neg}\,(0
 <= \underline{(\epsilon)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(0
 = \underline{(\epsilon)}
)n
)n
)n
\Rightarrow \underline{(n1)}
 <= \underline{(v1)}
\Rightarrow \underline{(n1)}
 <= \underline{(v2)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(|(\underline{(fx)}
[\underline{(v1)}
]
+(-u\underline{(fx)}
[\underline{(v2)}
]
)
)
|
 <= \underline{(\epsilon)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(|(\underline{(fx)}
[\underline{(v1)}
]
+(-u\underline{(fx)}
[\underline{(v2)}
]
)
)
|
 = \underline{(\epsilon)}
)n
)n
)n
\vdash 
\forall_{obj} \underline{(v1)}
\colon 
\forall_{obj} \underline{(v2)}
\colon \dot{\neg}\,(0
 <= \underline{(\epsilon)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(0
 = \underline{(\epsilon)}
)n
)n
)n
\Rightarrow \underline{(n2)}
 <= \underline{(v1)}
\Rightarrow \underline{(n2)}
 <= \underline{(v2)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(|(\underline{(fy)}
[\underline{(v1)}
]
+(-u\underline{(fy)}
[\underline{(v2)}
]
)
)
|
 <= \underline{(\epsilon)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(|(\underline{(fy)}
[\underline{(v1)}
]
+(-u\underline{(fy)}
[\underline{(v2)}
]
)
)
|
 = \underline{(\epsilon)}
)n
)n
)n
\vdash \dot{\neg}\,(0
 <= \underline{(\epsilon)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(0
 = \underline{(\epsilon)}
)n
)n
)n
\vdash if(\underline{(n2)}
 <= \underline{(n1)}
,\underline{(n1)}
,\underline{(n2)}
)
 <= \underline{(v1)}
\vdash if(\underline{(n2)}
 <= \underline{(n1)}
,\underline{(n1)}
,\underline{(n2)}
)
 <= \underline{(v2)}
\vdash \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(|(\underline{(fx)}
[\underline{(v1)}
]
+(-u\underline{(fx)}
[\underline{(v2)}
]
)
)
|
 <= \underline{(\epsilon)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(|(\underline{(fx)}
[\underline{(v1)}
]
+(-u\underline{(fx)}
[\underline{(v2)}
]
)
)
|
 = \underline{(\epsilon)}
)n
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(|(\underline{(fy)}
[\underline{(v1)}
]
+(-u\underline{(fy)}
[\underline{(v2)}
]
)
)
|
 <= \underline{(\epsilon)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(|(\underline{(fy)}
[\underline{(v1)}
]
+(-u\underline{(fy)}
[\underline{(v2)}
]
)
)
|
 = \underline{(\epsilon)}
)n
)n
)n
)n
)n
\gg 
\forall_{obj} \underline{(v1)}
\colon 
\forall_{obj} \underline{(v2)}
\colon \dot{\neg}\,(0
 <= \underline{(\epsilon)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(0
 = \underline{(\epsilon)}
)n
)n
)n
\Rightarrow \underline{(n1)}
 <= \underline{(v1)}
\Rightarrow \underline{(n1)}
 <= \underline{(v2)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(|(\underline{(fx)}
[\underline{(v1)}
]
+(-u\underline{(fx)}
[\underline{(v2)}
]
)
)
|
 <= \underline{(\epsilon)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(|(\underline{(fx)}
[\underline{(v1)}
]
+(-u\underline{(fx)}
[\underline{(v2)}
]
)
)
|
 = \underline{(\epsilon)}
)n
)n
)n
\Rightarrow 
\forall_{obj} \underline{(v1)}
\colon 
\forall_{obj} \underline{(v2)}
\colon \dot{\neg}\,(0
 <= \underline{(\epsilon)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(0
 = \underline{(\epsilon)}
)n
)n
)n
\Rightarrow \underline{(n2)}
 <= \underline{(v1)}
\Rightarrow \underline{(n2)}
 <= \underline{(v2)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(|(\underline{(fy)}
[\underline{(v1)}
]
+(-u\underline{(fy)}
[\underline{(v2)}
]
)
)
|
 <= \underline{(\epsilon)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(|(\underline{(fy)}
[\underline{(v1)}
]
+(-u\underline{(fy)}
[\underline{(v2)}
]
)
)
|
 = \underline{(\epsilon)}
)n
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(0
 <= \underline{(\epsilon)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(0
 = \underline{(\epsilon)}
)n
)n
)n
\Rightarrow if(\underline{(n2)}
 <= \underline{(n1)}
,\underline{(n1)}
,\underline{(n2)}
)
 <= \underline{(v1)}
\Rightarrow if(\underline{(n2)}
 <= \underline{(n1)}
,\underline{(n1)}
,\underline{(n2)}
)
 <= \underline{(v2)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(|(\underline{(fx)}
[\underline{(v1)}
]
+(-u\underline{(fx)}
[\underline{(v2)}
]
)
)
|
 <= \underline{(\epsilon)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(|(\underline{(fx)}
[\underline{(v1)}
]
+(-u\underline{(fx)}
[\underline{(v2)}
]
)
)
|
 = \underline{(\epsilon)}
)n
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(|(\underline{(fy)}
[\underline{(v1)}
]
+(-u\underline{(fy)}
[\underline{(v2)}
]
)
)
|
 <= \underline{(\epsilon)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(|(\underline{(fy)}
[\underline{(v1)}
]
+(-u\underline{(fy)}
[\underline{(v2)}
]
)
)
|
 = \underline{(\epsilon)}
)n
)n
)n
)n
)n
\rceil 
, 
p_0
, 
\mathsf {c}
)
]$

$
[Cauchy(2)
\stackrel{
stmt
}{\rightarrow}SystemQ
\vdash 
\forall \underline{(v1)}
\colon 
\forall \underline{(v2)}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf {n}}
\colon 
\forall \underline{(n1)}
\colon 
\forall \underline{(n2)}
\colon 
\forall \underline{(\epsilon)}
\colon 
\forall \underline{(fx)}
\colon 
\forall \underline{(fy)}
\colon 
\forall_{obj} \underline{(\epsilon)}
\colon \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \underline{
\mathsf {n}}
\colon \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \underline{(v1)}
\colon 
\forall_{obj} \underline{(v2)}
\colon \dot{\neg}\,(0
 <= \underline{(\epsilon)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(0
 = \underline{(\epsilon)}
)n
)n
)n
\Rightarrow \underline{
\mathsf {n}}
 <= \underline{(v1)}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {n}}
 <= \underline{(v2)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(|(\underline{(fx)}
[\underline{(v1)}
]
+(-u\underline{(fx)}
[\underline{(v2)}
]
)
)
|
 <= \underline{(\epsilon)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(|(\underline{(fx)}
[\underline{(v1)}
]
+(-u\underline{(fx)}
[\underline{(v2)}
]
)
)
|
 = \underline{(\epsilon)}
)n
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(|(\underline{(fy)}
[\underline{(v1)}
]
+(-u\underline{(fy)}
[\underline{(v2)}
]
)
)
|
 <= \underline{(\epsilon)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(|(\underline{(fy)}
[\underline{(v1)}
]
+(-u\underline{(fy)}
[\underline{(v2)}
]
)
)
|
 = \underline{(\epsilon)}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
)n
]$

$
[Cauchy(2)
\stackrel{
proof
}{\rightarrow}
\lambda 
\mathsf {c}
.
\lambda 
\mathsf{x}
.
{\cal P}( 
\lceil SystemQ
\vdash 
\forall \underline{(v1)}
\colon 
\forall \underline{(v2)}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf {n}}
\colon 
\forall \underline{(n1)}
\colon 
\forall \underline{(n2)}
\colon 
\forall \underline{(\epsilon)}
\colon 
\forall \underline{(fx)}
\colon 
\forall \underline{(fy)}
\colon Cauchy
\gg 
\forall_{obj} \underline{(\epsilon)}
\colon \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \underline{(n1)}
\colon \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \underline{(v1)}
\colon 
\forall_{obj} \underline{(v2)}
\colon \dot{\neg}\,(0
 <= \underline{(\epsilon)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(0
 = \underline{(\epsilon)}
)n
)n
)n
\Rightarrow \underline{(n1)}
 <= \underline{(v1)}
\Rightarrow \underline{(n1)}
 <= \underline{(v2)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(|(\underline{(fx)}
[\underline{(v1)}
]
+(-u\underline{(fx)}
[\underline{(v2)}
]
)
)
|
 <= \underline{(\epsilon)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(|(\underline{(fx)}
[\underline{(v1)}
]
+(-u\underline{(fx)}
[\underline{(v2)}
]
)
)
|
 = \underline{(\epsilon)}
)n
)n
)n
)n
)n
; A4
\mathop {\char64} \underline{(\epsilon)}
\rhd 
\forall_{obj} \underline{(\epsilon)}
\colon \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \underline{(n1)}
\colon \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \underline{(v1)}
\colon 
\forall_{obj} \underline{(v2)}
\colon \dot{\neg}\,(0
 <= \underline{(\epsilon)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(0
 = \underline{(\epsilon)}
)n
)n
)n
\Rightarrow \underline{(n1)}
 <= \underline{(v1)}
\Rightarrow \underline{(n1)}
 <= \underline{(v2)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(|(\underline{(fx)}
[\underline{(v1)}
]
+(-u\underline{(fx)}
[\underline{(v2)}
]
)
)
|
 <= \underline{(\epsilon)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(|(\underline{(fx)}
[\underline{(v1)}
]
+(-u\underline{(fx)}
[\underline{(v2)}
]
)
)
|
 = \underline{(\epsilon)}
)n
)n
)n
)n
)n
\gg \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \underline{(n1)}
\colon \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \underline{(v1)}
\colon 
\forall_{obj} \underline{(v2)}
\colon \dot{\neg}\,(0
 <= \underline{(\epsilon)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(0
 = \underline{(\epsilon)}
)n
)n
)n
\Rightarrow \underline{(n1)}
 <= \underline{(v1)}
\Rightarrow \underline{(n1)}
 <= \underline{(v2)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(|(\underline{(fx)}
[\underline{(v1)}
]
+(-u\underline{(fx)}
[\underline{(v2)}
]
)
)
|
 <= \underline{(\epsilon)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(|(\underline{(fx)}
[\underline{(v1)}
]
+(-u\underline{(fx)}
[\underline{(v2)}
]
)
)
|
 = \underline{(\epsilon)}
)n
)n
)n
)n
)n
; Cauchy
\gg 
\forall_{obj} \underline{(\epsilon)}
\colon \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \underline{(n2)}
\colon \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \underline{(v1)}
\colon 
\forall_{obj} \underline{(v2)}
\colon \dot{\neg}\,(0
 <= \underline{(\epsilon)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(0
 = \underline{(\epsilon)}
)n
)n
)n
\Rightarrow \underline{(n2)}
 <= \underline{(v1)}
\Rightarrow \underline{(n2)}
 <= \underline{(v2)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(|(\underline{(fy)}
[\underline{(v1)}
]
+(-u\underline{(fy)}
[\underline{(v2)}
]
)
)
|
 <= \underline{(\epsilon)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(|(\underline{(fy)}
[\underline{(v1)}
]
+(-u\underline{(fy)}
[\underline{(v2)}
]
)
)
|
 = \underline{(\epsilon)}
)n
)n
)n
)n
)n
; A4
\mathop {\char64} \underline{(\epsilon)}
\rhd 
\forall_{obj} \underline{(\epsilon)}
\colon \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \underline{(n2)}
\colon \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \underline{(v1)}
\colon 
\forall_{obj} \underline{(v2)}
\colon \dot{\neg}\,(0
 <= \underline{(\epsilon)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(0
 = \underline{(\epsilon)}
)n
)n
)n
\Rightarrow \underline{(n2)}
 <= \underline{(v1)}
\Rightarrow \underline{(n2)}
 <= \underline{(v2)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(|(\underline{(fy)}
[\underline{(v1)}
]
+(-u\underline{(fy)}
[\underline{(v2)}
]
)
)
|
 <= \underline{(\epsilon)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(|(\underline{(fy)}
[\underline{(v1)}
]
+(-u\underline{(fy)}
[\underline{(v2)}
]
)
)
|
 = \underline{(\epsilon)}
)n
)n
)n
)n
)n
\gg \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \underline{(n2)}
\colon \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \underline{(v1)}
\colon 
\forall_{obj} \underline{(v2)}
\colon \dot{\neg}\,(0
 <= \underline{(\epsilon)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(0
 = \underline{(\epsilon)}
)n
)n
)n
\Rightarrow \underline{(n2)}
 <= \underline{(v1)}
\Rightarrow \underline{(n2)}
 <= \underline{(v2)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(|(\underline{(fy)}
[\underline{(v1)}
]
+(-u\underline{(fy)}
[\underline{(v2)}
]
)
)
|
 <= \underline{(\epsilon)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(|(\underline{(fy)}
[\underline{(v1)}
]
+(-u\underline{(fy)}
[\underline{(v2)}
]
)
)
|
 = \underline{(\epsilon)}
)n
)n
)n
)n
)n
; Cauchy(2)(Helper)
\gg 
\forall_{obj} \underline{(v1)}
\colon 
\forall_{obj} \underline{(v2)}
\colon \dot{\neg}\,(0
 <= \underline{(\epsilon)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(0
 = \underline{(\epsilon)}
)n
)n
)n
\Rightarrow \underline{(n1)}
 <= \underline{(v1)}
\Rightarrow \underline{(n1)}
 <= \underline{(v2)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(|(\underline{(fx)}
[\underline{(v1)}
]
+(-u\underline{(fx)}
[\underline{(v2)}
]
)
)
|
 <= \underline{(\epsilon)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(|(\underline{(fx)}
[\underline{(v1)}
]
+(-u\underline{(fx)}
[\underline{(v2)}
]
)
)
|
 = \underline{(\epsilon)}
)n
)n
)n
\Rightarrow 
\forall_{obj} \underline{(v1)}
\colon 
\forall_{obj} \underline{(v2)}
\colon \dot{\neg}\,(0
 <= \underline{(\epsilon)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(0
 = \underline{(\epsilon)}
)n
)n
)n
\Rightarrow \underline{(n2)}
 <= \underline{(v1)}
\Rightarrow \underline{(n2)}
 <= \underline{(v2)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(|(\underline{(fy)}
[\underline{(v1)}
]
+(-u\underline{(fy)}
[\underline{(v2)}
]
)
)
|
 <= \underline{(\epsilon)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(|(\underline{(fy)}
[\underline{(v1)}
]
+(-u\underline{(fy)}
[\underline{(v2)}
]
)
)
|
 = \underline{(\epsilon)}
)n
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(0
 <= \underline{(\epsilon)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(0
 = \underline{(\epsilon)}
)n
)n
)n
\Rightarrow if(\underline{(n2)}
 <= \underline{(n1)}
,\underline{(n1)}
,\underline{(n2)}
)
 <= \underline{(v1)}
\Rightarrow if(\underline{(n2)}
 <= \underline{(n1)}
,\underline{(n1)}
,\underline{(n2)}
)
 <= \underline{(v2)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(|(\underline{(fx)}
[\underline{(v1)}
]
+(-u\underline{(fx)}
[\underline{(v2)}
]
)
)
|
 <= \underline{(\epsilon)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(|(\underline{(fx)}
[\underline{(v1)}
]
+(-u\underline{(fx)}
[\underline{(v2)}
]
)
)
|
 = \underline{(\epsilon)}
)n
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(|(\underline{(fy)}
[\underline{(v1)}
]
+(-u\underline{(fy)}
[\underline{(v2)}
]
)
)
|
 <= \underline{(\epsilon)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(|(\underline{(fy)}
[\underline{(v1)}
]
+(-u\underline{(fy)}
[\underline{(v2)}
]
)
)
|
 = \underline{(\epsilon)}
)n
)n
)n
)n
)n
; ExistMP2
\rhd 
\forall_{obj} \underline{(v1)}
\colon 
\forall_{obj} \underline{(v2)}
\colon \dot{\neg}\,(0
 <= \underline{(\epsilon)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(0
 = \underline{(\epsilon)}
)n
)n
)n
\Rightarrow \underline{(n1)}
 <= \underline{(v1)}
\Rightarrow \underline{(n1)}
 <= \underline{(v2)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(|(\underline{(fx)}
[\underline{(v1)}
]
+(-u\underline{(fx)}
[\underline{(v2)}
]
)
)
|
 <= \underline{(\epsilon)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(|(\underline{(fx)}
[\underline{(v1)}
]
+(-u\underline{(fx)}
[\underline{(v2)}
]
)
)
|
 = \underline{(\epsilon)}
)n
)n
)n
\Rightarrow 
\forall_{obj} \underline{(v1)}
\colon 
\forall_{obj} \underline{(v2)}
\colon \dot{\neg}\,(0
 <= \underline{(\epsilon)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(0
 = \underline{(\epsilon)}
)n
)n
)n
\Rightarrow \underline{(n2)}
 <= \underline{(v1)}
\Rightarrow \underline{(n2)}
 <= \underline{(v2)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(|(\underline{(fy)}
[\underline{(v1)}
]
+(-u\underline{(fy)}
[\underline{(v2)}
]
)
)
|
 <= \underline{(\epsilon)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(|(\underline{(fy)}
[\underline{(v1)}
]
+(-u\underline{(fy)}
[\underline{(v2)}
]
)
)
|
 = \underline{(\epsilon)}
)n
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(0
 <= \underline{(\epsilon)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(0
 = \underline{(\epsilon)}
)n
)n
)n
\Rightarrow if(\underline{(n2)}
 <= \underline{(n1)}
,\underline{(n1)}
,\underline{(n2)}
)
 <= \underline{(v1)}
\Rightarrow if(\underline{(n2)}
 <= \underline{(n1)}
,\underline{(n1)}
,\underline{(n2)}
)
 <= \underline{(v2)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(|(\underline{(fx)}
[\underline{(v1)}
]
+(-u\underline{(fx)}
[\underline{(v2)}
]
)
)
|
 <= \underline{(\epsilon)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(|(\underline{(fx)}
[\underline{(v1)}
]
+(-u\underline{(fx)}
[\underline{(v2)}
]
)
)
|
 = \underline{(\epsilon)}
)n
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(|(\underline{(fy)}
[\underline{(v1)}
]
+(-u\underline{(fy)}
[\underline{(v2)}
]
)
)
|
 <= \underline{(\epsilon)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(|(\underline{(fy)}
[\underline{(v1)}
]
+(-u\underline{(fy)}
[\underline{(v2)}
]
)
)
|
 = \underline{(\epsilon)}
)n
)n
)n
)n
)n
\rhd \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \underline{(n1)}
\colon \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \underline{(v1)}
\colon 
\forall_{obj} \underline{(v2)}
\colon \dot{\neg}\,(0
 <= \underline{(\epsilon)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(0
 = \underline{(\epsilon)}
)n
)n
)n
\Rightarrow \underline{(n1)}
 <= \underline{(v1)}
\Rightarrow \underline{(n1)}
 <= \underline{(v2)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(|(\underline{(fx)}
[\underline{(v1)}
]
+(-u\underline{(fx)}
[\underline{(v2)}
]
)
)
|
 <= \underline{(\epsilon)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(|(\underline{(fx)}
[\underline{(v1)}
]
+(-u\underline{(fx)}
[\underline{(v2)}
]
)
)
|
 = \underline{(\epsilon)}
)n
)n
)n
)n
)n
\rhd \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \underline{(n2)}
\colon \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \underline{(v1)}
\colon 
\forall_{obj} \underline{(v2)}
\colon \dot{\neg}\,(0
 <= \underline{(\epsilon)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(0
 = \underline{(\epsilon)}
)n
)n
)n
\Rightarrow \underline{(n2)}
 <= \underline{(v1)}
\Rightarrow \underline{(n2)}
 <= \underline{(v2)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(|(\underline{(fy)}
[\underline{(v1)}
]
+(-u\underline{(fy)}
[\underline{(v2)}
]
)
)
|
 <= \underline{(\epsilon)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(|(\underline{(fy)}
[\underline{(v1)}
]
+(-u\underline{(fy)}
[\underline{(v2)}
]
)
)
|
 = \underline{(\epsilon)}
)n
)n
)n
)n
)n
\gg \dot{\neg}\,(0
 <= \underline{(\epsilon)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(0
 = \underline{(\epsilon)}
)n
)n
)n
\Rightarrow if(\underline{(n2)}
 <= \underline{(n1)}
,\underline{(n1)}
,\underline{(n2)}
)
 <= \underline{(v1)}
\Rightarrow if(\underline{(n2)}
 <= \underline{(n1)}
,\underline{(n1)}
,\underline{(n2)}
)
 <= \underline{(v2)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(|(\underline{(fx)}
[\underline{(v1)}
]
+(-u\underline{(fx)}
[\underline{(v2)}
]
)
)
|
 <= \underline{(\epsilon)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(|(\underline{(fx)}
[\underline{(v1)}
]
+(-u\underline{(fx)}
[\underline{(v2)}
]
)
)
|
 = \underline{(\epsilon)}
)n
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(|(\underline{(fy)}
[\underline{(v1)}
]
+(-u\underline{(fy)}
[\underline{(v2)}
]
)
)
|
 <= \underline{(\epsilon)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(|(\underline{(fy)}
[\underline{(v1)}
]
+(-u\underline{(fy)}
[\underline{(v2)}
]
)
)
|
 = \underline{(\epsilon)}
)n
)n
)n
)n
)n
; Gen
\rhd \dot{\neg}\,(0
 <= \underline{(\epsilon)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(0
 = \underline{(\epsilon)}
)n
)n
)n
\Rightarrow if(\underline{(n2)}
 <= \underline{(n1)}
,\underline{(n1)}
,\underline{(n2)}
)
 <= \underline{(v1)}
\Rightarrow if(\underline{(n2)}
 <= \underline{(n1)}
,\underline{(n1)}
,\underline{(n2)}
)
 <= \underline{(v2)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(|(\underline{(fx)}
[\underline{(v1)}
]
+(-u\underline{(fx)}
[\underline{(v2)}
]
)
)
|
 <= \underline{(\epsilon)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(|(\underline{(fx)}
[\underline{(v1)}
]
+(-u\underline{(fx)}
[\underline{(v2)}
]
)
)
|
 = \underline{(\epsilon)}
)n
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(|(\underline{(fy)}
[\underline{(v1)}
]
+(-u\underline{(fy)}
[\underline{(v2)}
]
)
)
|
 <= \underline{(\epsilon)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(|(\underline{(fy)}
[\underline{(v1)}
]
+(-u\underline{(fy)}
[\underline{(v2)}
]
)
)
|
 = \underline{(\epsilon)}
)n
)n
)n
)n
)n
\gg 
\forall_{obj} \underline{(v2)}
\colon \dot{\neg}\,(0
 <= \underline{(\epsilon)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(0
 = \underline{(\epsilon)}
)n
)n
)n
\Rightarrow if(\underline{(n2)}
 <= \underline{(n1)}
,\underline{(n1)}
,\underline{(n2)}
)
 <= \underline{(v1)}
\Rightarrow if(\underline{(n2)}
 <= \underline{(n1)}
,\underline{(n1)}
,\underline{(n2)}
)
 <= \underline{(v2)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(|(\underline{(fx)}
[\underline{(v1)}
]
+(-u\underline{(fx)}
[\underline{(v2)}
]
)
)
|
 <= \underline{(\epsilon)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(|(\underline{(fx)}
[\underline{(v1)}
]
+(-u\underline{(fx)}
[\underline{(v2)}
]
)
)
|
 = \underline{(\epsilon)}
)n
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(|(\underline{(fy)}
[\underline{(v1)}
]
+(-u\underline{(fy)}
[\underline{(v2)}
]
)
)
|
 <= \underline{(\epsilon)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(|(\underline{(fy)}
[\underline{(v1)}
]
+(-u\underline{(fy)}
[\underline{(v2)}
]
)
)
|
 = \underline{(\epsilon)}
)n
)n
)n
)n
)n
; Gen
\rhd 
\forall_{obj} \underline{(v2)}
\colon \dot{\neg}\,(0
 <= \underline{(\epsilon)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(0
 = \underline{(\epsilon)}
)n
)n
)n
\Rightarrow if(\underline{(n2)}
 <= \underline{(n1)}
,\underline{(n1)}
,\underline{(n2)}
)
 <= \underline{(v1)}
\Rightarrow if(\underline{(n2)}
 <= \underline{(n1)}
,\underline{(n1)}
,\underline{(n2)}
)
 <= \underline{(v2)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(|(\underline{(fx)}
[\underline{(v1)}
]
+(-u\underline{(fx)}
[\underline{(v2)}
]
)
)
|
 <= \underline{(\epsilon)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(|(\underline{(fx)}
[\underline{(v1)}
]
+(-u\underline{(fx)}
[\underline{(v2)}
]
)
)
|
 = \underline{(\epsilon)}
)n
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(|(\underline{(fy)}
[\underline{(v1)}
]
+(-u\underline{(fy)}
[\underline{(v2)}
]
)
)
|
 <= \underline{(\epsilon)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(|(\underline{(fy)}
[\underline{(v1)}
]
+(-u\underline{(fy)}
[\underline{(v2)}
]
)
)
|
 = \underline{(\epsilon)}
)n
)n
)n
)n
)n
\gg 
\forall_{obj} \underline{(v1)}
\colon 
\forall_{obj} \underline{(v2)}
\colon \dot{\neg}\,(0
 <= \underline{(\epsilon)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(0
 = \underline{(\epsilon)}
)n
)n
)n
\Rightarrow if(\underline{(n2)}
 <= \underline{(n1)}
,\underline{(n1)}
,\underline{(n2)}
)
 <= \underline{(v1)}
\Rightarrow if(\underline{(n2)}
 <= \underline{(n1)}
,\underline{(n1)}
,\underline{(n2)}
)
 <= \underline{(v2)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(|(\underline{(fx)}
[\underline{(v1)}
]
+(-u\underline{(fx)}
[\underline{(v2)}
]
)
)
|
 <= \underline{(\epsilon)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(|(\underline{(fx)}
[\underline{(v1)}
]
+(-u\underline{(fx)}
[\underline{(v2)}
]
)
)
|
 = \underline{(\epsilon)}
)n
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(|(\underline{(fy)}
[\underline{(v1)}
]
+(-u\underline{(fy)}
[\underline{(v2)}
]
)
)
|
 <= \underline{(\epsilon)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(|(\underline{(fy)}
[\underline{(v1)}
]
+(-u\underline{(fy)}
[\underline{(v2)}
]
)
)
|
 = \underline{(\epsilon)}
)n
)n
)n
)n
)n
; IntroExist
\mathop {\char64} if(\underline{(n2)}
 <= \underline{(n1)}
,\underline{(n1)}
,\underline{(n2)}
)
\rhd 
\forall_{obj} \underline{(v1)}
\colon 
\forall_{obj} \underline{(v2)}
\colon \dot{\neg}\,(0
 <= \underline{(\epsilon)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(0
 = \underline{(\epsilon)}
)n
)n
)n
\Rightarrow if(\underline{(n2)}
 <= \underline{(n1)}
,\underline{(n1)}
,\underline{(n2)}
)
 <= \underline{(v1)}
\Rightarrow if(\underline{(n2)}
 <= \underline{(n1)}
,\underline{(n1)}
,\underline{(n2)}
)
 <= \underline{(v2)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(|(\underline{(fx)}
[\underline{(v1)}
]
+(-u\underline{(fx)}
[\underline{(v2)}
]
)
)
|
 <= \underline{(\epsilon)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(|(\underline{(fx)}
[\underline{(v1)}
]
+(-u\underline{(fx)}
[\underline{(v2)}
]
)
)
|
 = \underline{(\epsilon)}
)n
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(|(\underline{(fy)}
[\underline{(v1)}
]
+(-u\underline{(fy)}
[\underline{(v2)}
]
)
)
|
 <= \underline{(\epsilon)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(|(\underline{(fy)}
[\underline{(v1)}
]
+(-u\underline{(fy)}
[\underline{(v2)}
]
)
)
|
 = \underline{(\epsilon)}
)n
)n
)n
)n
)n
\gg \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \underline{
\mathsf {n}}
\colon \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \underline{(v1)}
\colon 
\forall_{obj} \underline{(v2)}
\colon \dot{\neg}\,(0
 <= \underline{(\epsilon)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(0
 = \underline{(\epsilon)}
)n
)n
)n
\Rightarrow \underline{
\mathsf {n}}
 <= \underline{(v1)}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {n}}
 <= \underline{(v2)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(|(\underline{(fx)}
[\underline{(v1)}
]
+(-u\underline{(fx)}
[\underline{(v2)}
]
)
)
|
 <= \underline{(\epsilon)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(|(\underline{(fx)}
[\underline{(v1)}
]
+(-u\underline{(fx)}
[\underline{(v2)}
]
)
)
|
 = \underline{(\epsilon)}
)n
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(|(\underline{(fy)}
[\underline{(v1)}
]
+(-u\underline{(fy)}
[\underline{(v2)}
]
)
)
|
 <= \underline{(\epsilon)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(|(\underline{(fy)}
[\underline{(v1)}
]
+(-u\underline{(fy)}
[\underline{(v2)}
]
)
)
|
 = \underline{(\epsilon)}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
)n
; Gen
\rhd \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \underline{
\mathsf {n}}
\colon \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \underline{(v1)}
\colon 
\forall_{obj} \underline{(v2)}
\colon \dot{\neg}\,(0
 <= \underline{(\epsilon)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(0
 = \underline{(\epsilon)}
)n
)n
)n
\Rightarrow \underline{
\mathsf {n}}
 <= \underline{(v1)}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {n}}
 <= \underline{(v2)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(|(\underline{(fx)}
[\underline{(v1)}
]
+(-u\underline{(fx)}
[\underline{(v2)}
]
)
)
|
 <= \underline{(\epsilon)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(|(\underline{(fx)}
[\underline{(v1)}
]
+(-u\underline{(fx)}
[\underline{(v2)}
]
)
)
|
 = \underline{(\epsilon)}
)n
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(|(\underline{(fy)}
[\underline{(v1)}
]
+(-u\underline{(fy)}
[\underline{(v2)}
]
)
)
|
 <= \underline{(\epsilon)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(|(\underline{(fy)}
[\underline{(v1)}
]
+(-u\underline{(fy)}
[\underline{(v2)}
]
)
)
|
 = \underline{(\epsilon)}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\gg 
\forall_{obj} \underline{(\epsilon)}
\colon \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \underline{
\mathsf {n}}
\colon \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \underline{(v1)}
\colon 
\forall_{obj} \underline{(v2)}
\colon \dot{\neg}\,(0
 <= \underline{(\epsilon)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(0
 = \underline{(\epsilon)}
)n
)n
)n
\Rightarrow \underline{
\mathsf {n}}
 <= \underline{(v1)}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {n}}
 <= \underline{(v2)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(|(\underline{(fx)}
[\underline{(v1)}
]
+(-u\underline{(fx)}
[\underline{(v2)}
]
)
)
|
 <= \underline{(\epsilon)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(|(\underline{(fx)}
[\underline{(v1)}
]
+(-u\underline{(fx)}
[\underline{(v2)}
]
)
)
|
 = \underline{(\epsilon)}
)n
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(|(\underline{(fy)}
[\underline{(v1)}
]
+(-u\underline{(fy)}
[\underline{(v2)}
]
)
)
|
 <= \underline{(\epsilon)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(|(\underline{(fy)}
[\underline{(v1)}
]
+(-u\underline{(fy)}
[\underline{(v2)}
]
)
)
|
 = \underline{(\epsilon)}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\rceil 
, 
p_0
, 
\mathsf {c}
)
]$



$
[EAE-MP
\stackrel{
stmt
}{\rightarrow}SystemQ
\vdash 
\forall \underline{(v1)}
\colon 
\forall \underline{(v2)}
\colon 
\forall \underline{(v3)}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf {a}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf {b}}
\colon \underline{
\mathsf {a}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {b}}
\vdash \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \underline{(v1)}
\colon \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \underline{(v2)}
\colon \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \underline{(v3)}
\colon \dot{\neg}\,(\underline{
\mathsf {a}}
)n
)n
)n
)n
\vdash \underline{
\mathsf {b}}
]$

$
[EAE-MP
\stackrel{
proof
}{\rightarrow}
\lambda 
\mathsf {c}
.
\lambda 
\mathsf{x}
.
{\cal P}( 
\lceil SystemQ
\vdash 
\forall \underline{(v2)}
\colon 
\forall \underline{(v3)}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf {a}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf {b}}
\colon \underline{
\mathsf {a}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {b}}
\vdash 
\forall_{obj} \underline{(v2)}
\colon \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \underline{(v3)}
\colon \dot{\neg}\,(\underline{
\mathsf {a}}
)n
)n
\vdash A4
\mathop {\char64} \underline{(v2)}
\rhd 
\forall_{obj} \underline{(v2)}
\colon \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \underline{(v3)}
\colon \dot{\neg}\,(\underline{
\mathsf {a}}
)n
)n
\gg \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \underline{(v3)}
\colon \dot{\neg}\,(\underline{
\mathsf {a}}
)n
)n
; ExistMP
\rhd \underline{
\mathsf {a}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {b}}
\rhd \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \underline{(v3)}
\colon \dot{\neg}\,(\underline{
\mathsf {a}}
)n
)n
\gg \underline{
\mathsf {b}}
; 
\forall \underline{(v1)}
\colon 
\forall \underline{(v2)}
\colon 
\forall \underline{(v3)}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf {a}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf {b}}
\colon Ded
\rhd 
\forall \underline{(v2)}
\colon 
\forall \underline{(v3)}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf {a}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf {b}}
\colon \underline{
\mathsf {a}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {b}}
\vdash 
\forall_{obj} \underline{(v2)}
\colon \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \underline{(v3)}
\colon \dot{\neg}\,(\underline{
\mathsf {a}}
)n
)n
\vdash \underline{
\mathsf {b}}
\gg \underline{
\mathsf {a}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {b}}
\Rightarrow 
\forall_{obj} \underline{(v2)}
\colon \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \underline{(v3)}
\colon \dot{\neg}\,(\underline{
\mathsf {a}}
)n
)n
\Rightarrow \underline{
\mathsf {b}}
; \underline{
\mathsf {a}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {b}}
\vdash \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \underline{(v1)}
\colon \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \underline{(v2)}
\colon \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \underline{(v3)}
\colon \dot{\neg}\,(\underline{
\mathsf {a}}
)n
)n
)n
)n
\vdash MP
\rhd \underline{
\mathsf {a}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {b}}
\Rightarrow 
\forall_{obj} \underline{(v2)}
\colon \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \underline{(v3)}
\colon \dot{\neg}\,(\underline{
\mathsf {a}}
)n
)n
\Rightarrow \underline{
\mathsf {b}}
\rhd \underline{
\mathsf {a}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {b}}
\gg 
\forall_{obj} \underline{(v2)}
\colon \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \underline{(v3)}
\colon \dot{\neg}\,(\underline{
\mathsf {a}}
)n
)n
\Rightarrow \underline{
\mathsf {b}}
; ExistMP
\rhd 
\forall_{obj} \underline{(v2)}
\colon \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \underline{(v3)}
\colon \dot{\neg}\,(\underline{
\mathsf {a}}
)n
)n
\Rightarrow \underline{
\mathsf {b}}
\rhd \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \underline{(v1)}
\colon \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \underline{(v2)}
\colon \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \underline{(v3)}
\colon \dot{\neg}\,(\underline{
\mathsf {a}}
)n
)n
)n
)n
\gg \underline{
\mathsf {b}}
\rceil 
, 
p_0
, 
\mathsf {c}
)
]$







$
[AddEquations(LeqLess)
\stackrel{
stmt
}{\rightarrow}SystemQ
\vdash 
\forall \underline{
\mathsf{x}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf{y}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf{z}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf {u}}
\colon \underline{
\mathsf{x}}
 <= \underline{
\mathsf{y}}
\vdash \dot{\neg}\,(\underline{
\mathsf{z}}
 <= \underline{
\mathsf {u}}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\underline{
\mathsf{z}}
 = \underline{
\mathsf {u}}
)n
)n
)n
\vdash \dot{\neg}\,((\underline{
\mathsf{x}}
+\underline{
\mathsf{z}}
)
 <= (\underline{
\mathsf{y}}
+\underline{
\mathsf {u}}
)
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,((\underline{
\mathsf{x}}
+\underline{
\mathsf{z}}
)
 = (\underline{
\mathsf{y}}
+\underline{
\mathsf {u}}
)
)n
)n
)n
]$

$
[AddEquations(LeqLess)
\stackrel{
proof
}{\rightarrow}
\lambda 
\mathsf {c}
.
\lambda 
\mathsf{x}
.
{\cal P}( 
\lceil SystemQ
\vdash 
\forall \underline{
\mathsf{x}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf{y}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf{z}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf {u}}
\colon \underline{
\mathsf{x}}
 <= \underline{
\mathsf{y}}
\vdash \dot{\neg}\,(\underline{
\mathsf{z}}
 <= \underline{
\mathsf {u}}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\underline{
\mathsf{z}}
 = \underline{
\mathsf {u}}
)n
)n
)n
\vdash leqAddition
\rhd \underline{
\mathsf{x}}
 <= \underline{
\mathsf{y}}
\gg (\underline{
\mathsf{x}}
+\underline{
\mathsf{z}}
)
 <= (\underline{
\mathsf{y}}
+\underline{
\mathsf{z}}
)
; LessAdditionLeft
\rhd \dot{\neg}\,(\underline{
\mathsf{z}}
 <= \underline{
\mathsf {u}}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\underline{
\mathsf{z}}
 = \underline{
\mathsf {u}}
)n
)n
)n
\gg \dot{\neg}\,((\underline{
\mathsf{y}}
+\underline{
\mathsf{z}}
)
 <= (\underline{
\mathsf{y}}
+\underline{
\mathsf {u}}
)
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,((\underline{
\mathsf{y}}
+\underline{
\mathsf{z}}
)
 = (\underline{
\mathsf{y}}
+\underline{
\mathsf {u}}
)
)n
)n
)n
; leqLessTransitivity
\rhd (\underline{
\mathsf{x}}
+\underline{
\mathsf{z}}
)
 <= (\underline{
\mathsf{y}}
+\underline{
\mathsf{z}}
)
\rhd \dot{\neg}\,((\underline{
\mathsf{y}}
+\underline{
\mathsf{z}}
)
 <= (\underline{
\mathsf{y}}
+\underline{
\mathsf {u}}
)
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,((\underline{
\mathsf{y}}
+\underline{
\mathsf{z}}
)
 = (\underline{
\mathsf{y}}
+\underline{
\mathsf {u}}
)
)n
)n
)n
\gg \dot{\neg}\,((\underline{
\mathsf{x}}
+\underline{
\mathsf{z}}
)
 <= (\underline{
\mathsf{y}}
+\underline{
\mathsf {u}}
)
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,((\underline{
\mathsf{x}}
+\underline{
\mathsf{z}}
)
 = (\underline{
\mathsf{y}}
+\underline{
\mathsf {u}}
)
)n
)n
)n
\rceil 
, 
p_0
, 
\mathsf {c}
)
]$


$
[insertTwoMiddleTerms(Numerical)
\stackrel{
stmt
}{\rightarrow}SystemQ
\vdash 
\forall \underline{
\mathsf{x}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf{y}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf{z}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf {u}}
\colon |(\underline{
\mathsf{x}}
+\underline{
\mathsf{y}}
)
|
 <= ((|(\underline{
\mathsf{x}}
+(-u\underline{
\mathsf{z}}
)
)
|
+|(\underline{
\mathsf{z}}
+(-u\underline{
\mathsf {u}}
)
)
|
)
+|(\underline{
\mathsf {u}}
+\underline{
\mathsf{y}}
)
|
)
]$

$
[insertTwoMiddleTerms(Numerical)
\stackrel{
proof
}{\rightarrow}
\lambda 
\mathsf {c}
.
\lambda 
\mathsf{x}
.
{\cal P}( 
\lceil SystemQ
\vdash 
\forall \underline{
\mathsf{x}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf{y}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf{z}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf {u}}
\colon insertMiddleTerm(Numerical)
\gg |(\underline{
\mathsf{x}}
+\underline{
\mathsf{y}}
)
|
 <= (|(\underline{
\mathsf{x}}
+(-u\underline{
\mathsf{z}}
)
)
|
+|(\underline{
\mathsf{z}}
+\underline{
\mathsf{y}}
)
|
)
; insertMiddleTerm(Numerical)
\gg |(\underline{
\mathsf{z}}
+\underline{
\mathsf{y}}
)
|
 <= (|(\underline{
\mathsf{z}}
+(-u\underline{
\mathsf {u}}
)
)
|
+|(\underline{
\mathsf {u}}
+\underline{
\mathsf{y}}
)
|
)
; LeqAdditionLeft
\rhd |(\underline{
\mathsf{z}}
+\underline{
\mathsf{y}}
)
|
 <= (|(\underline{
\mathsf{z}}
+(-u\underline{
\mathsf {u}}
)
)
|
+|(\underline{
\mathsf {u}}
+\underline{
\mathsf{y}}
)
|
)
\gg (|(\underline{
\mathsf{x}}
+(-u\underline{
\mathsf{z}}
)
)
|
+|(\underline{
\mathsf{z}}
+\underline{
\mathsf{y}}
)
|
)
 <= (|(\underline{
\mathsf{x}}
+(-u\underline{
\mathsf{z}}
)
)
|
+(|(\underline{
\mathsf{z}}
+(-u\underline{
\mathsf {u}}
)
)
|
+|(\underline{
\mathsf {u}}
+\underline{
\mathsf{y}}
)
|
)
)
; leqTransitivity
\rhd |(\underline{
\mathsf{x}}
+\underline{
\mathsf{y}}
)
|
 <= (|(\underline{
\mathsf{x}}
+(-u\underline{
\mathsf{z}}
)
)
|
+|(\underline{
\mathsf{z}}
+\underline{
\mathsf{y}}
)
|
)
\rhd (|(\underline{
\mathsf{x}}
+(-u\underline{
\mathsf{z}}
)
)
|
+|(\underline{
\mathsf{z}}
+\underline{
\mathsf{y}}
)
|
)
 <= (|(\underline{
\mathsf{x}}
+(-u\underline{
\mathsf{z}}
)
)
|
+(|(\underline{
\mathsf{z}}
+(-u\underline{
\mathsf {u}}
)
)
|
+|(\underline{
\mathsf {u}}
+\underline{
\mathsf{y}}
)
|
)
)
\gg |(\underline{
\mathsf{x}}
+\underline{
\mathsf{y}}
)
|
 <= (|(\underline{
\mathsf{x}}
+(-u\underline{
\mathsf{z}}
)
)
|
+(|(\underline{
\mathsf{z}}
+(-u\underline{
\mathsf {u}}
)
)
|
+|(\underline{
\mathsf {u}}
+\underline{
\mathsf{y}}
)
|
)
)
; plusAssociativity
\gg ((|(\underline{
\mathsf{x}}
+(-u\underline{
\mathsf{z}}
)
)
|
+|(\underline{
\mathsf{z}}
+(-u\underline{
\mathsf {u}}
)
)
|
)
+|(\underline{
\mathsf {u}}
+\underline{
\mathsf{y}}
)
|
)
 = (|(\underline{
\mathsf{x}}
+(-u\underline{
\mathsf{z}}
)
)
|
+(|(\underline{
\mathsf{z}}
+(-u\underline{
\mathsf {u}}
)
)
|
+|(\underline{
\mathsf {u}}
+\underline{
\mathsf{y}}
)
|
)
)
; eqSymmetry
\rhd ((|(\underline{
\mathsf{x}}
+(-u\underline{
\mathsf{z}}
)
)
|
+|(\underline{
\mathsf{z}}
+(-u\underline{
\mathsf {u}}
)
)
|
)
+|(\underline{
\mathsf {u}}
+\underline{
\mathsf{y}}
)
|
)
 = (|(\underline{
\mathsf{x}}
+(-u\underline{
\mathsf{z}}
)
)
|
+(|(\underline{
\mathsf{z}}
+(-u\underline{
\mathsf {u}}
)
)
|
+|(\underline{
\mathsf {u}}
+\underline{
\mathsf{y}}
)
|
)
)
\gg (|(\underline{
\mathsf{x}}
+(-u\underline{
\mathsf{z}}
)
)
|
+(|(\underline{
\mathsf{z}}
+(-u\underline{
\mathsf {u}}
)
)
|
+|(\underline{
\mathsf {u}}
+\underline{
\mathsf{y}}
)
|
)
)
 = ((|(\underline{
\mathsf{x}}
+(-u\underline{
\mathsf{z}}
)
)
|
+|(\underline{
\mathsf{z}}
+(-u\underline{
\mathsf {u}}
)
)
|
)
+|(\underline{
\mathsf {u}}
+\underline{
\mathsf{y}}
)
|
)
; subLeqRight
\rhd (|(\underline{
\mathsf{x}}
+(-u\underline{
\mathsf{z}}
)
)
|
+(|(\underline{
\mathsf{z}}
+(-u\underline{
\mathsf {u}}
)
)
|
+|(\underline{
\mathsf {u}}
+\underline{
\mathsf{y}}
)
|
)
)
 = ((|(\underline{
\mathsf{x}}
+(-u\underline{
\mathsf{z}}
)
)
|
+|(\underline{
\mathsf{z}}
+(-u\underline{
\mathsf {u}}
)
)
|
)
+|(\underline{
\mathsf {u}}
+\underline{
\mathsf{y}}
)
|
)
\rhd |(\underline{
\mathsf{x}}
+\underline{
\mathsf{y}}
)
|
 <= (|(\underline{
\mathsf{x}}
+(-u\underline{
\mathsf{z}}
)
)
|
+(|(\underline{
\mathsf{z}}
+(-u\underline{
\mathsf {u}}
)
)
|
+|(\underline{
\mathsf {u}}
+\underline{
\mathsf{y}}
)
|
)
)
\gg |(\underline{
\mathsf{x}}
+\underline{
\mathsf{y}}
)
|
 <= ((|(\underline{
\mathsf{x}}
+(-u\underline{
\mathsf{z}}
)
)
|
+|(\underline{
\mathsf{z}}
+(-u\underline{
\mathsf {u}}
)
)
|
)
+|(\underline{
\mathsf {u}}
+\underline{
\mathsf{y}}
)
|
)
\rceil 
, 
p_0
, 
\mathsf {c}
)
]$

$
[FromPositiveNumerical
\stackrel{
stmt
}{\rightarrow}SystemQ
\vdash 
\forall \underline{
\mathsf{x}}
\colon \dot{\neg}\,(0
 <= |\underline{
\mathsf{x}}
|
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(0
 = |\underline{
\mathsf{x}}
|
)n
)n
)n
\vdash \dot{\neg}\,(\underline{
\mathsf{x}}
 = 0
)n
]$

$
[FromPositiveNumerical
\stackrel{
proof
}{\rightarrow}
\lambda 
\mathsf {c}
.
\lambda 
\mathsf{x}
.
{\cal P}( 
\lceil SystemQ
\vdash 
\forall \underline{
\mathsf{x}}
\colon 0
 <= \underline{
\mathsf{x}}
\vdash \dot{\neg}\,(0
 <= |\underline{
\mathsf{x}}
|
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(0
 = |\underline{
\mathsf{x}}
|
)n
)n
)n
\vdash NonnegativeNumerical
\rhd 0
 <= \underline{
\mathsf{x}}
\gg |\underline{
\mathsf{x}}
|
 = \underline{
\mathsf{x}}
; SubLessRight
\rhd |\underline{
\mathsf{x}}
|
 = \underline{
\mathsf{x}}
\rhd \dot{\neg}\,(0
 <= |\underline{
\mathsf{x}}
|
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(0
 = |\underline{
\mathsf{x}}
|
)n
)n
)n
\gg \dot{\neg}\,(0
 <= \underline{
\mathsf{x}}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(0
 = \underline{
\mathsf{x}}
)n
)n
)n
; LessNeq
\rhd \dot{\neg}\,(0
 <= \underline{
\mathsf{x}}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(0
 = \underline{
\mathsf{x}}
)n
)n
)n
\gg \dot{\neg}\,(0
 = \underline{
\mathsf{x}}
)n
; NeqSymmetry
\rhd \dot{\neg}\,(0
 = \underline{
\mathsf{x}}
)n
\gg \dot{\neg}\,(\underline{
\mathsf{x}}
 = 0
)n
; 
\forall \underline{
\mathsf{x}}
\colon \underline{
\mathsf{x}}
 <= 0
\vdash \dot{\neg}\,(0
 <= |\underline{
\mathsf{x}}
|
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(0
 = |\underline{
\mathsf{x}}
|
)n
)n
)n
\vdash 
\mbox{lemma nonpositiveNumerical}
\rhd \underline{
\mathsf{x}}
 <= 0
\gg |\underline{
\mathsf{x}}
|
 = (-u\underline{
\mathsf{x}}
)
; SubLessRight
\rhd |\underline{
\mathsf{x}}
|
 = (-u\underline{
\mathsf{x}}
)
\rhd \dot{\neg}\,(0
 <= |\underline{
\mathsf{x}}
|
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(0
 = |\underline{
\mathsf{x}}
|
)n
)n
)n
\gg \dot{\neg}\,(0
 <= (-u\underline{
\mathsf{x}}
)
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(0
 = (-u\underline{
\mathsf{x}}
)
)n
)n
)n
; PositiveNegated
\rhd \dot{\neg}\,(0
 <= (-u\underline{
\mathsf{x}}
)
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(0
 = (-u\underline{
\mathsf{x}}
)
)n
)n
)n
\gg \dot{\neg}\,((-u(-u\underline{
\mathsf{x}}
)
)
 <= 0
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,((-u(-u\underline{
\mathsf{x}}
)
)
 = 0
)n
)n
)n
; DoubleMinus
\gg (-u(-u\underline{
\mathsf{x}}
)
)
 = \underline{
\mathsf{x}}
; SubLessLeft
\rhd (-u(-u\underline{
\mathsf{x}}
)
)
 = \underline{
\mathsf{x}}
\rhd \dot{\neg}\,((-u(-u\underline{
\mathsf{x}}
)
)
 <= 0
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,((-u(-u\underline{
\mathsf{x}}
)
)
 = 0
)n
)n
)n
\gg \dot{\neg}\,(\underline{
\mathsf{x}}
 <= 0
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\underline{
\mathsf{x}}
 = 0
)n
)n
)n
; LessNeq
\rhd \dot{\neg}\,(\underline{
\mathsf{x}}
 <= 0
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\underline{
\mathsf{x}}
 = 0
)n
)n
)n
\gg \dot{\neg}\,(\underline{
\mathsf{x}}
 = 0
)n
; 
\forall \underline{
\mathsf{x}}
\colon Ded
\rhd 
\forall \underline{
\mathsf{x}}
\colon 0
 <= \underline{
\mathsf{x}}
\vdash \dot{\neg}\,(0
 <= |\underline{
\mathsf{x}}
|
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(0
 = |\underline{
\mathsf{x}}
|
)n
)n
)n
\vdash \dot{\neg}\,(\underline{
\mathsf{x}}
 = 0
)n
\gg 0
 <= \underline{
\mathsf{x}}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(0
 <= |\underline{
\mathsf{x}}
|
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(0
 = |\underline{
\mathsf{x}}
|
)n
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\underline{
\mathsf{x}}
 = 0
)n
; Ded
\rhd 
\forall \underline{
\mathsf{x}}
\colon \underline{
\mathsf{x}}
 <= 0
\vdash \dot{\neg}\,(0
 <= |\underline{
\mathsf{x}}
|
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(0
 = |\underline{
\mathsf{x}}
|
)n
)n
)n
\vdash \dot{\neg}\,(\underline{
\mathsf{x}}
 = 0
)n
\gg \underline{
\mathsf{x}}
 <= 0
\Rightarrow \dot{\neg}\,(0
 <= |\underline{
\mathsf{x}}
|
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(0
 = |\underline{
\mathsf{x}}
|
)n
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\underline{
\mathsf{x}}
 = 0
)n
; \dot{\neg}\,(0
 <= |\underline{
\mathsf{x}}
|
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(0
 = |\underline{
\mathsf{x}}
|
)n
)n
)n
\vdash FromLeqGeq
\rhd 0
 <= \underline{
\mathsf{x}}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(0
 <= |\underline{
\mathsf{x}}
|
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(0
 = |\underline{
\mathsf{x}}
|
)n
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\underline{
\mathsf{x}}
 = 0
)n
\rhd \underline{
\mathsf{x}}
 <= 0
\Rightarrow \dot{\neg}\,(0
 <= |\underline{
\mathsf{x}}
|
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(0
 = |\underline{
\mathsf{x}}
|
)n
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\underline{
\mathsf{x}}
 = 0
)n
\gg \dot{\neg}\,(0
 <= |\underline{
\mathsf{x}}
|
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(0
 = |\underline{
\mathsf{x}}
|
)n
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\underline{
\mathsf{x}}
 = 0
)n
; MP
\rhd \dot{\neg}\,(0
 <= |\underline{
\mathsf{x}}
|
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(0
 = |\underline{
\mathsf{x}}
|
)n
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\underline{
\mathsf{x}}
 = 0
)n
\rhd \dot{\neg}\,(0
 <= |\underline{
\mathsf{x}}
|
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(0
 = |\underline{
\mathsf{x}}
|
)n
)n
)n
\gg \dot{\neg}\,(\underline{
\mathsf{x}}
 = 0
)n
\rceil 
, 
p_0
, 
\mathsf {c}
)
]$



$
[NegativeToRight(Neq)(1 term)
\stackrel{
stmt
}{\rightarrow}SystemQ
\vdash 
\forall \underline{
\mathsf{x}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf{y}}
\colon \dot{\neg}\,((\underline{
\mathsf{x}}
+(-u\underline{
\mathsf{y}}
)
)
 = 0
)n
\vdash \dot{\neg}\,(\underline{
\mathsf{x}}
 = \underline{
\mathsf{y}}
)n
]$

$
[NegativeToRight(Neq)(1 term)
\stackrel{
proof
}{\rightarrow}
\lambda 
\mathsf {c}
.
\lambda 
\mathsf{x}
.
{\cal P}( 
\lceil SystemQ
\vdash 
\forall \underline{
\mathsf{x}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf{y}}
\colon \underline{
\mathsf{x}}
 = \underline{
\mathsf{y}}
\vdash PositiveToLeft(Eq)(1 term)
\rhd \underline{
\mathsf{x}}
 = \underline{
\mathsf{y}}
\gg (\underline{
\mathsf{x}}
+(-u\underline{
\mathsf{y}}
)
)
 = 0
; 
\forall \underline{
\mathsf{x}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf{y}}
\colon Ded
\rhd 
\forall \underline{
\mathsf{x}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf{y}}
\colon \underline{
\mathsf{x}}
 = \underline{
\mathsf{y}}
\vdash (\underline{
\mathsf{x}}
+(-u\underline{
\mathsf{y}}
)
)
 = 0
\gg \underline{
\mathsf{x}}
 = \underline{
\mathsf{y}}
\Rightarrow (\underline{
\mathsf{x}}
+(-u\underline{
\mathsf{y}}
)
)
 = 0
; \dot{\neg}\,((\underline{
\mathsf{x}}
+(-u\underline{
\mathsf{y}}
)
)
 = 0
)n
\vdash MT
\rhd \underline{
\mathsf{x}}
 = \underline{
\mathsf{y}}
\Rightarrow (\underline{
\mathsf{x}}
+(-u\underline{
\mathsf{y}}
)
)
 = 0
\rhd \dot{\neg}\,((\underline{
\mathsf{x}}
+(-u\underline{
\mathsf{y}}
)
)
 = 0
)n
\gg \dot{\neg}\,(\underline{
\mathsf{x}}
 = \underline{
\mathsf{y}}
)n
\rceil 
, 
p_0
, 
\mathsf {c}
)
]$


$
[NonzeroProduct(2)
\stackrel{
stmt
}{\rightarrow}SystemQ
\vdash 
\forall \underline{
\mathsf{x}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf{y}}
\colon \dot{\neg}\,((\underline{
\mathsf{x}}
*\underline{
\mathsf{y}}
)
 = 0
)n
\vdash \dot{\neg}\,(\underline{
\mathsf{y}}
 = 0
)n
]$

$
[NonzeroProduct(2)
\stackrel{
proof
}{\rightarrow}
\lambda 
\mathsf {c}
.
\lambda 
\mathsf{x}
.
{\cal P}( 
\lceil SystemQ
\vdash 
\forall \underline{
\mathsf{x}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf{y}}
\colon \underline{
\mathsf{y}}
 = 0
\vdash 
\mbox{lemma eqMultiplicationLeft}
\rhd \underline{
\mathsf{y}}
 = 0
\gg (\underline{
\mathsf{x}}
*\underline{
\mathsf{y}}
)
 = (\underline{
\mathsf{x}}
*0
)
; x*0=0
\gg (\underline{
\mathsf{x}}
*0
)
 = 0
; eqTransitivity
\rhd (\underline{
\mathsf{x}}
*\underline{
\mathsf{y}}
)
 = (\underline{
\mathsf{x}}
*0
)
\rhd (\underline{
\mathsf{x}}
*0
)
 = 0
\gg (\underline{
\mathsf{x}}
*\underline{
\mathsf{y}}
)
 = 0
; 
\forall \underline{
\mathsf{x}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf{y}}
\colon Ded
\rhd 
\forall \underline{
\mathsf{x}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf{y}}
\colon \underline{
\mathsf{y}}
 = 0
\vdash (\underline{
\mathsf{x}}
*\underline{
\mathsf{y}}
)
 = 0
\gg \underline{
\mathsf{y}}
 = 0
\Rightarrow (\underline{
\mathsf{x}}
*\underline{
\mathsf{y}}
)
 = 0
; \dot{\neg}\,((\underline{
\mathsf{x}}
*\underline{
\mathsf{y}}
)
 = 0
)n
\vdash MT
\rhd \underline{
\mathsf{y}}
 = 0
\Rightarrow (\underline{
\mathsf{x}}
*\underline{
\mathsf{y}}
)
 = 0
\rhd \dot{\neg}\,((\underline{
\mathsf{x}}
*\underline{
\mathsf{y}}
)
 = 0
)n
\gg \dot{\neg}\,(\underline{
\mathsf{y}}
 = 0
)n
\rceil 
, 
p_0
, 
\mathsf {c}
)
]$


$
[NonreciprocalToRight(Eq)(1 term)
\stackrel{
stmt
}{\rightarrow}SystemQ
\vdash 
\forall \underline{
\mathsf{x}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf{y}}
\colon (\underline{
\mathsf{x}}
*\underline{
\mathsf{y}}
)
 = 1
\vdash \underline{
\mathsf{x}}
 = rec\underline{
\mathsf{y}}
]$


$
[NonreciprocalToRight(Eq)(1 term)
\stackrel{
proof
}{\rightarrow}
\lambda 
\mathsf {c}
.
\lambda 
\mathsf{x}
.
{\cal P}( 
\lceil SystemQ
\vdash 
\forall \underline{
\mathsf{x}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf{y}}
\colon (\underline{
\mathsf{x}}
*\underline{
\mathsf{y}}
)
 = 1
\vdash eqMultiplication
\rhd (\underline{
\mathsf{x}}
*\underline{
\mathsf{y}}
)
 = 1
\gg ((\underline{
\mathsf{x}}
*\underline{
\mathsf{y}}
)
*rec\underline{
\mathsf{y}}
)
 = (1
*rec\underline{
\mathsf{y}}
)
; 0<1
\gg \dot{\neg}\,(0
 <= 1
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(0
 = 1
)n
)n
)n
; PositiveNonzero
\rhd \dot{\neg}\,(0
 <= 1
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(0
 = 1
)n
)n
)n
\gg \dot{\neg}\,(1
 = 0
)n
; eqSymmetry
\rhd (\underline{
\mathsf{x}}
*\underline{
\mathsf{y}}
)
 = 1
\gg 1
 = (\underline{
\mathsf{x}}
*\underline{
\mathsf{y}}
)
; SubNeqLeft
\rhd 1
 = (\underline{
\mathsf{x}}
*\underline{
\mathsf{y}}
)
\rhd \dot{\neg}\,(1
 = 0
)n
\gg \dot{\neg}\,((\underline{
\mathsf{x}}
*\underline{
\mathsf{y}}
)
 = 0
)n
; NonzeroProduct(2)
\rhd \dot{\neg}\,((\underline{
\mathsf{x}}
*\underline{
\mathsf{y}}
)
 = 0
)n
\gg \dot{\neg}\,(\underline{
\mathsf{y}}
 = 0
)n
; x=x*y*(1/y)
\rhd \dot{\neg}\,(\underline{
\mathsf{y}}
 = 0
)n
\gg \underline{
\mathsf{x}}
 = ((\underline{
\mathsf{x}}
*\underline{
\mathsf{y}}
)
*rec\underline{
\mathsf{y}}
)
; 
\mbox{lemma times1Left}
\gg (1
*rec\underline{
\mathsf{y}}
)
 = rec\underline{
\mathsf{y}}
; eqTransitivity4
\rhd \underline{
\mathsf{x}}
 = ((\underline{
\mathsf{x}}
*\underline{
\mathsf{y}}
)
*rec\underline{
\mathsf{y}}
)
\rhd ((\underline{
\mathsf{x}}
*\underline{
\mathsf{y}}
)
*rec\underline{
\mathsf{y}}
)
 = (1
*rec\underline{
\mathsf{y}}
)
\rhd (1
*rec\underline{
\mathsf{y}}
)
 = rec\underline{
\mathsf{y}}
\gg \underline{
\mathsf{x}}
 = rec\underline{
\mathsf{y}}
\rceil 
, 
p_0
, 
\mathsf {c}
)
]$


$
[NonreciprocalToRight(Eq)
\stackrel{
stmt
}{\rightarrow}SystemQ
\vdash 
\forall \underline{
\mathsf{x}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf{y}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf{z}}
\colon \dot{\neg}\,(\underline{
\mathsf{y}}
 = 0
)n
\vdash (\underline{
\mathsf{x}}
*\underline{
\mathsf{y}}
)
 = \underline{
\mathsf{z}}
\vdash \underline{
\mathsf{x}}
 = (\underline{
\mathsf{z}}
*rec\underline{
\mathsf{y}}
)
]$


$
[NonreciprocalToRight(Eq)
\stackrel{
proof
}{\rightarrow}
\lambda 
\mathsf {c}
.
\lambda 
\mathsf{x}
.
{\cal P}( 
\lceil SystemQ
\vdash 
\forall \underline{
\mathsf{x}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf{y}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf{z}}
\colon \dot{\neg}\,(\underline{
\mathsf{y}}
 = 0
)n
\vdash (\underline{
\mathsf{x}}
*\underline{
\mathsf{y}}
)
 = \underline{
\mathsf{z}}
\vdash eqMultiplication
\rhd (\underline{
\mathsf{x}}
*\underline{
\mathsf{y}}
)
 = \underline{
\mathsf{z}}
\gg ((\underline{
\mathsf{x}}
*\underline{
\mathsf{y}}
)
*rec\underline{
\mathsf{y}}
)
 = (\underline{
\mathsf{z}}
*rec\underline{
\mathsf{y}}
)
; x=x*y*(1/y)
\rhd \dot{\neg}\,(\underline{
\mathsf{y}}
 = 0
)n
\gg \underline{
\mathsf{x}}
 = ((\underline{
\mathsf{x}}
*\underline{
\mathsf{y}}
)
*rec\underline{
\mathsf{y}}
)
; eqTransitivity
\rhd \underline{
\mathsf{x}}
 = ((\underline{
\mathsf{x}}
*\underline{
\mathsf{y}}
)
*rec\underline{
\mathsf{y}}
)
\rhd ((\underline{
\mathsf{x}}
*\underline{
\mathsf{y}}
)
*rec\underline{
\mathsf{y}}
)
 = (\underline{
\mathsf{z}}
*rec\underline{
\mathsf{y}}
)
\gg \underline{
\mathsf{x}}
 = (\underline{
\mathsf{z}}
*rec\underline{
\mathsf{y}}
)
\rceil 
, 
p_0
, 
\mathsf {c}
)
]$


$
[NonreciprocalToLeft(Eq)(1 term)
\stackrel{
stmt
}{\rightarrow}SystemQ
\vdash 
\forall \underline{
\mathsf{x}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf{y}}
\colon 1
 = (\underline{
\mathsf{x}}
*\underline{
\mathsf{y}}
)
\vdash rec\underline{
\mathsf{y}}
 = \underline{
\mathsf{x}}
]$

$
[NonreciprocalToLeft(Eq)(1 term)
\stackrel{
proof
}{\rightarrow}
\lambda 
\mathsf {c}
.
\lambda 
\mathsf{x}
.
{\cal P}( 
\lceil SystemQ
\vdash 
\forall \underline{
\mathsf{x}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf{y}}
\colon 1
 = (\underline{
\mathsf{x}}
*\underline{
\mathsf{y}}
)
\vdash eqSymmetry
\rhd 1
 = (\underline{
\mathsf{x}}
*\underline{
\mathsf{y}}
)
\gg (\underline{
\mathsf{x}}
*\underline{
\mathsf{y}}
)
 = 1
; NonreciprocalToRight(Eq)(1 term)
\rhd (\underline{
\mathsf{x}}
*\underline{
\mathsf{y}}
)
 = 1
\gg \underline{
\mathsf{x}}
 = rec\underline{
\mathsf{y}}
; eqSymmetry
\rhd \underline{
\mathsf{x}}
 = rec\underline{
\mathsf{y}}
\gg rec\underline{
\mathsf{y}}
 = \underline{
\mathsf{x}}
\rceil 
, 
p_0
, 
\mathsf {c}
)
]$

$
[SameReciprocal
\stackrel{
stmt
}{\rightarrow}SystemQ
\vdash 
\forall \underline{
\mathsf{x}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf{y}}
\colon \dot{\neg}\,(\underline{
\mathsf{x}}
 = 0
)n
\vdash \underline{
\mathsf{x}}
 = \underline{
\mathsf{y}}
\vdash rec\underline{
\mathsf{x}}
 = rec\underline{
\mathsf{y}}
]$

$
[SameReciprocal
\stackrel{
proof
}{\rightarrow}
\lambda 
\mathsf {c}
.
\lambda 
\mathsf{x}
.
{\cal P}( 
\lceil SystemQ
\vdash 
\forall \underline{
\mathsf{x}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf{y}}
\colon \dot{\neg}\,(\underline{
\mathsf{x}}
 = 0
)n
\vdash \underline{
\mathsf{x}}
 = \underline{
\mathsf{y}}
\vdash 
\mbox{lemma times1Left}
\gg (1
*\underline{
\mathsf{x}}
)
 = \underline{
\mathsf{x}}
; eqTransitivity
\rhd (1
*\underline{
\mathsf{x}}
)
 = \underline{
\mathsf{x}}
\rhd \underline{
\mathsf{x}}
 = \underline{
\mathsf{y}}
\gg (1
*\underline{
\mathsf{x}}
)
 = \underline{
\mathsf{y}}
; NonreciprocalToRight(Eq)
\rhd \dot{\neg}\,(\underline{
\mathsf{x}}
 = 0
)n
\rhd (1
*\underline{
\mathsf{x}}
)
 = \underline{
\mathsf{y}}
\gg 1
 = (\underline{
\mathsf{y}}
*rec\underline{
\mathsf{x}}
)
; timesCommutativity
\gg (\underline{
\mathsf{y}}
*rec\underline{
\mathsf{x}}
)
 = (rec\underline{
\mathsf{x}}
*\underline{
\mathsf{y}}
)
; eqTransitivity
\rhd 1
 = (\underline{
\mathsf{y}}
*rec\underline{
\mathsf{x}}
)
\rhd (\underline{
\mathsf{y}}
*rec\underline{
\mathsf{x}}
)
 = (rec\underline{
\mathsf{x}}
*\underline{
\mathsf{y}}
)
\gg 1
 = (rec\underline{
\mathsf{x}}
*\underline{
\mathsf{y}}
)
; NonreciprocalToLeft(Eq)(1 term)
\rhd 1
 = (rec\underline{
\mathsf{x}}
*\underline{
\mathsf{y}}
)
\gg rec\underline{
\mathsf{y}}
 = rec\underline{
\mathsf{x}}
; eqSymmetry
\rhd rec\underline{
\mathsf{y}}
 = rec\underline{
\mathsf{x}}
\gg rec\underline{
\mathsf{x}}
 = rec\underline{
\mathsf{y}}
\rceil 
, 
p_0
, 
\mathsf {c}
)
]$



$
[OrderedPairEquality
\stackrel{
stmt
}{\rightarrow}SystemQ
\vdash 
\forall \underline{(sx)}
\colon 
\forall \underline{(sx1)}
\colon 
\forall \underline{(sy)}
\colon 
\forall \underline{(sy1)}
\colon 
\forall \underline{(sz)}
\colon 
\forall \underline{(sz1)}
\colon 
\forall \underline{(su)}
\colon 
\forall \underline{(su1)}
\colon \{\{\underline{(sx)}
,\underline{(sx)}
\}
,\{\underline{(sx)}
,\underline{(sx1)}
\}
\}
 = \{\{\underline{(sy)}
,\underline{(sy)}
\}
,\{\underline{(sy)}
,\underline{(sy1)}
\}
\}
\vdash \{\{\underline{(sz)}
,\underline{(sz)}
\}
,\{\underline{(sz)}
,\underline{(sz1)}
\}
\}
 = \{\{\underline{(su)}
,\underline{(su)}
\}
,\{\underline{(su)}
,\underline{(su1)}
\}
\}
\vdash \underline{(sx)}
 = \underline{(sz)}
\vdash \underline{(sy)}
 = \underline{(su)}
]$

$
[OrderedPairEquality
\stackrel{
proof
}{\rightarrow}
\lambda 
\mathsf {c}
.
\lambda 
\mathsf{x}
.
{\cal P}( 
\lceil SystemQ
\vdash 
\forall \underline{(sx)}
\colon 
\forall \underline{(sx1)}
\colon 
\forall \underline{(sy)}
\colon 
\forall \underline{(sy1)}
\colon 
\forall \underline{(sz)}
\colon 
\forall \underline{(sz1)}
\colon 
\forall \underline{(su)}
\colon 
\forall \underline{(su1)}
\colon \{\{\underline{(sx)}
,\underline{(sx)}
\}
,\{\underline{(sx)}
,\underline{(sx1)}
\}
\}
 = \{\{\underline{(sy)}
,\underline{(sy)}
\}
,\{\underline{(sy)}
,\underline{(sy1)}
\}
\}
\vdash \{\{\underline{(sz)}
,\underline{(sz)}
\}
,\{\underline{(sz)}
,\underline{(sz1)}
\}
\}
 = \{\{\underline{(su)}
,\underline{(su)}
\}
,\{\underline{(su)}
,\underline{(su1)}
\}
\}
\vdash \underline{(sx)}
 = \underline{(sz)}
\vdash FromOrderedPair(1)
\rhd \{\{\underline{(sx)}
,\underline{(sx)}
\}
,\{\underline{(sx)}
,\underline{(sx1)}
\}
\}
 = \{\{\underline{(sy)}
,\underline{(sy)}
\}
,\{\underline{(sy)}
,\underline{(sy1)}
\}
\}
\gg \underline{(sx)}
 = \underline{(sy)}
; eqSymmetry
\rhd \underline{(sx)}
 = \underline{(sy)}
\gg \underline{(sy)}
 = \underline{(sx)}
; FromOrderedPair(1)
\rhd \{\{\underline{(sz)}
,\underline{(sz)}
\}
,\{\underline{(sz)}
,\underline{(sz1)}
\}
\}
 = \{\{\underline{(su)}
,\underline{(su)}
\}
,\{\underline{(su)}
,\underline{(su1)}
\}
\}
\gg \underline{(sz)}
 = \underline{(su)}
; eqTransitivity4
\rhd \underline{(sy)}
 = \underline{(sx)}
\rhd \underline{(sx)}
 = \underline{(sz)}
\rhd \underline{(sz)}
 = \underline{(su)}
\gg \underline{(sy)}
 = \underline{(su)}
\rceil 
, 
p_0
, 
\mathsf {c}
)
]$




$
[ReciprocalIsFunction
\stackrel{
stmt
}{\rightarrow}SystemQ
\vdash 
\forall \underline{
\mathsf {m}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf {m}}
\colon 
\forall \underline{(fx)}
\colon 
\forall_{obj} \overline{(f1)}
\colon 
\forall_{obj} \overline{(f2)}
\colon 
\forall_{obj} \overline{(f3)}
\colon 
\forall_{obj} \overline{(f4)}
\colon \{\{\overline{(f1)}
,\overline{(f1)}
\}
,\{\overline{(f1)}
,\overline{(f2)}
\}
\}
 \mathrel{\in}  \{ ph \mathrel{\in}  \{ ph \mathrel{\in} P(P(Union(\{N
,Q
\}
)
)
)
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op1)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op2)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\overline{(op1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(op2)}
 \mathrel{\in} Q
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\mathsf {a}
 _{Ph} 
 = \{\{\overline{(op1)}
,\overline{(op1)}
\}
,\{\overline{(op1)}
,\overline{(op2)}
\}
\}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\}
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \underline{
\mathsf {m}}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
 = 0
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\mathsf {f}
 _{Ph} 
 = \{\{\underline{
\mathsf {m}}
,\underline{
\mathsf {m}}
\}
,\{\underline{
\mathsf {m}}
,rec\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
\}
\}
)n
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
 = 0
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\mathsf {f}
 _{Ph} 
 = \{\{\underline{
\mathsf {m}}
,\underline{
\mathsf {m}}
\}
,\{\underline{
\mathsf {m}}
,0
\}
\}
)n
)n
)n
)n
\}
\Rightarrow \{\{\overline{(f3)}
,\overline{(f3)}
\}
,\{\overline{(f3)}
,\overline{(f4)}
\}
\}
 \mathrel{\in}  \{ ph \mathrel{\in}  \{ ph \mathrel{\in} P(P(Union(\{N
,Q
\}
)
)
)
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op1)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op2)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\overline{(op1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(op2)}
 \mathrel{\in} Q
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\mathsf {a}
 _{Ph} 
 = \{\{\overline{(op1)}
,\overline{(op1)}
\}
,\{\overline{(op1)}
,\overline{(op2)}
\}
\}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\}
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \underline{
\mathsf {m}}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
 = 0
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\mathsf {f}
 _{Ph} 
 = \{\{\underline{
\mathsf {m}}
,\underline{
\mathsf {m}}
\}
,\{\underline{
\mathsf {m}}
,rec\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
\}
\}
)n
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
 = 0
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\mathsf {f}
 _{Ph} 
 = \{\{\underline{
\mathsf {m}}
,\underline{
\mathsf {m}}
\}
,\{\underline{
\mathsf {m}}
,0
\}
\}
)n
)n
)n
)n
\}
\Rightarrow \overline{(f1)}
 = \overline{(f3)}
\Rightarrow \overline{(f2)}
 = \overline{(f4)}
]$

$
[ReciprocalIsFunction
\stackrel{
proof
}{\rightarrow}
\lambda 
\mathsf {c}
.
\lambda 
\mathsf{x}
.
{\cal P}( 
\lceil SystemQ
\vdash 
\forall \underline{
\mathsf {m}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf {m}}
\colon 
\forall \underline{(fx)}
\colon \{\{\overline{(f1)}
,\overline{(f1)}
\}
,\{\overline{(f1)}
,\overline{(f2)}
\}
\}
 \mathrel{\in}  \{ ph \mathrel{\in}  \{ ph \mathrel{\in} P(P(Union(\{N
,Q
\}
)
)
)
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op1)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op2)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\overline{(op1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(op2)}
 \mathrel{\in} Q
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\mathsf {a}
 _{Ph} 
 = \{\{\overline{(op1)}
,\overline{(op1)}
\}
,\{\overline{(op1)}
,\overline{(op2)}
\}
\}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\}
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \underline{
\mathsf {m}}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
 = 0
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\mathsf {f}
 _{Ph} 
 = \{\{\underline{
\mathsf {m}}
,\underline{
\mathsf {m}}
\}
,\{\underline{
\mathsf {m}}
,rec\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
\}
\}
)n
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
 = 0
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\mathsf {f}
 _{Ph} 
 = \{\{\underline{
\mathsf {m}}
,\underline{
\mathsf {m}}
\}
,\{\underline{
\mathsf {m}}
,0
\}
\}
)n
)n
)n
)n
\}
\vdash \{\{\overline{(f3)}
,\overline{(f3)}
\}
,\{\overline{(f3)}
,\overline{(f4)}
\}
\}
 \mathrel{\in}  \{ ph \mathrel{\in}  \{ ph \mathrel{\in} P(P(Union(\{N
,Q
\}
)
)
)
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op1)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op2)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\overline{(op1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(op2)}
 \mathrel{\in} Q
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\mathsf {a}
 _{Ph} 
 = \{\{\overline{(op1)}
,\overline{(op1)}
\}
,\{\overline{(op1)}
,\overline{(op2)}
\}
\}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\}
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \underline{
\mathsf {m}}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
 = 0
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\mathsf {f}
 _{Ph} 
 = \{\{\underline{
\mathsf {m}}
,\underline{
\mathsf {m}}
\}
,\{\underline{
\mathsf {m}}
,rec\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
\}
\}
)n
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
 = 0
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\mathsf {f}
 _{Ph} 
 = \{\{\underline{
\mathsf {m}}
,\underline{
\mathsf {m}}
\}
,\{\underline{
\mathsf {m}}
,0
\}
\}
)n
)n
)n
)n
\}
\vdash \overline{(f1)}
 = \overline{(f3)}
\vdash Repetition
\rhd \{\{\overline{(f1)}
,\overline{(f1)}
\}
,\{\overline{(f1)}
,\overline{(f2)}
\}
\}
 \mathrel{\in}  \{ ph \mathrel{\in}  \{ ph \mathrel{\in} P(P(Union(\{N
,Q
\}
)
)
)
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op1)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op2)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\overline{(op1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(op2)}
 \mathrel{\in} Q
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\mathsf {a}
 _{Ph} 
 = \{\{\overline{(op1)}
,\overline{(op1)}
\}
,\{\overline{(op1)}
,\overline{(op2)}
\}
\}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\}
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \underline{
\mathsf {m}}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
 = 0
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\mathsf {f}
 _{Ph} 
 = \{\{\underline{
\mathsf {m}}
,\underline{
\mathsf {m}}
\}
,\{\underline{
\mathsf {m}}
,rec\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
\}
\}
)n
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
 = 0
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\mathsf {f}
 _{Ph} 
 = \{\{\underline{
\mathsf {m}}
,\underline{
\mathsf {m}}
\}
,\{\underline{
\mathsf {m}}
,0
\}
\}
)n
)n
)n
)n
\}
\gg \{\{\overline{(f1)}
,\overline{(f1)}
\}
,\{\overline{(f1)}
,\overline{(f2)}
\}
\}
 \mathrel{\in}  \{ ph \mathrel{\in}  \{ ph \mathrel{\in} P(P(Union(\{N
,Q
\}
)
)
)
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op1)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op2)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\overline{(op1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(op2)}
 \mathrel{\in} Q
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\mathsf {a}
 _{Ph} 
 = \{\{\overline{(op1)}
,\overline{(op1)}
\}
,\{\overline{(op1)}
,\overline{(op2)}
\}
\}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\}
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \underline{
\mathsf {m}}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
 = 0
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\mathsf {f}
 _{Ph} 
 = \{\{\underline{
\mathsf {m}}
,\underline{
\mathsf {m}}
\}
,\{\underline{
\mathsf {m}}
,rec\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
\}
\}
)n
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
 = 0
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\mathsf {f}
 _{Ph} 
 = \{\{\underline{
\mathsf {m}}
,\underline{
\mathsf {m}}
\}
,\{\underline{
\mathsf {m}}
,0
\}
\}
)n
)n
)n
)n
\}
; Separation2formula(2)
\rhd \{\{\overline{(f1)}
,\overline{(f1)}
\}
,\{\overline{(f1)}
,\overline{(f2)}
\}
\}
 \mathrel{\in}  \{ ph \mathrel{\in}  \{ ph \mathrel{\in} P(P(Union(\{N
,Q
\}
)
)
)
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op1)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op2)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\overline{(op1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(op2)}
 \mathrel{\in} Q
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\mathsf {a}
 _{Ph} 
 = \{\{\overline{(op1)}
,\overline{(op1)}
\}
,\{\overline{(op1)}
,\overline{(op2)}
\}
\}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\}
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \underline{
\mathsf {m}}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
 = 0
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\mathsf {f}
 _{Ph} 
 = \{\{\underline{
\mathsf {m}}
,\underline{
\mathsf {m}}
\}
,\{\underline{
\mathsf {m}}
,rec\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
\}
\}
)n
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
 = 0
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\mathsf {f}
 _{Ph} 
 = \{\{\underline{
\mathsf {m}}
,\underline{
\mathsf {m}}
\}
,\{\underline{
\mathsf {m}}
,0
\}
\}
)n
)n
)n
)n
\}
\gg \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \underline{
\mathsf {m}}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
 = 0
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\{\{\overline{(f1)}
,\overline{(f1)}
\}
,\{\overline{(f1)}
,\overline{(f2)}
\}
\}
 = \{\{\underline{
\mathsf {m}}
,\underline{
\mathsf {m}}
\}
,\{\underline{
\mathsf {m}}
,rec\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
\}
\}
)n
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
 = 0
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\{\{\overline{(f1)}
,\overline{(f1)}
\}
,\{\overline{(f1)}
,\overline{(f2)}
\}
\}
 = \{\{\underline{
\mathsf {m}}
,\underline{
\mathsf {m}}
\}
,\{\underline{
\mathsf {m}}
,0
\}
\}
)n
)n
)n
)n
; Repetition
\rhd \{\{\overline{(f3)}
,\overline{(f3)}
\}
,\{\overline{(f3)}
,\overline{(f4)}
\}
\}
 \mathrel{\in}  \{ ph \mathrel{\in}  \{ ph \mathrel{\in} P(P(Union(\{N
,Q
\}
)
)
)
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op1)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op2)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\overline{(op1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(op2)}
 \mathrel{\in} Q
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\mathsf {a}
 _{Ph} 
 = \{\{\overline{(op1)}
,\overline{(op1)}
\}
,\{\overline{(op1)}
,\overline{(op2)}
\}
\}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\}
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \underline{
\mathsf {m}}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
 = 0
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\mathsf {f}
 _{Ph} 
 = \{\{\underline{
\mathsf {m}}
,\underline{
\mathsf {m}}
\}
,\{\underline{
\mathsf {m}}
,rec\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
\}
\}
)n
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
 = 0
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\mathsf {f}
 _{Ph} 
 = \{\{\underline{
\mathsf {m}}
,\underline{
\mathsf {m}}
\}
,\{\underline{
\mathsf {m}}
,0
\}
\}
)n
)n
)n
)n
\}
\gg \{\{\overline{(f3)}
,\overline{(f3)}
\}
,\{\overline{(f3)}
,\overline{(f4)}
\}
\}
 \mathrel{\in}  \{ ph \mathrel{\in}  \{ ph \mathrel{\in} P(P(Union(\{N
,Q
\}
)
)
)
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op1)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op2)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\overline{(op1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(op2)}
 \mathrel{\in} Q
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\mathsf {a}
 _{Ph} 
 = \{\{\overline{(op1)}
,\overline{(op1)}
\}
,\{\overline{(op1)}
,\overline{(op2)}
\}
\}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\}
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \underline{
\mathsf {m}}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
 = 0
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\mathsf {f}
 _{Ph} 
 = \{\{\underline{
\mathsf {m}}
,\underline{
\mathsf {m}}
\}
,\{\underline{
\mathsf {m}}
,rec\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
\}
\}
)n
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
 = 0
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\mathsf {f}
 _{Ph} 
 = \{\{\underline{
\mathsf {m}}
,\underline{
\mathsf {m}}
\}
,\{\underline{
\mathsf {m}}
,0
\}
\}
)n
)n
)n
)n
\}
; Separation2formula(2)
\rhd \{\{\overline{(f3)}
,\overline{(f3)}
\}
,\{\overline{(f3)}
,\overline{(f4)}
\}
\}
 \mathrel{\in}  \{ ph \mathrel{\in}  \{ ph \mathrel{\in} P(P(Union(\{N
,Q
\}
)
)
)
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op1)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op2)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\overline{(op1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(op2)}
 \mathrel{\in} Q
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\mathsf {a}
 _{Ph} 
 = \{\{\overline{(op1)}
,\overline{(op1)}
\}
,\{\overline{(op1)}
,\overline{(op2)}
\}
\}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\}
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \underline{
\mathsf {m}}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
 = 0
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\mathsf {f}
 _{Ph} 
 = \{\{\underline{
\mathsf {m}}
,\underline{
\mathsf {m}}
\}
,\{\underline{
\mathsf {m}}
,rec\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
\}
\}
)n
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
 = 0
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\mathsf {f}
 _{Ph} 
 = \{\{\underline{
\mathsf {m}}
,\underline{
\mathsf {m}}
\}
,\{\underline{
\mathsf {m}}
,0
\}
\}
)n
)n
)n
)n
\}
\gg \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \underline{
\mathsf {m}}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
 = 0
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\{\{\overline{(f1)}
,\overline{(f1)}
\}
,\{\overline{(f1)}
,\overline{(f2)}
\}
\}
 = \{\{\underline{
\mathsf {m}}
,\underline{
\mathsf {m}}
\}
,\{\underline{
\mathsf {m}}
,rec\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
\}
\}
)n
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
 = 0
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\{\{\overline{(f1)}
,\overline{(f1)}
\}
,\{\overline{(f1)}
,\overline{(f2)}
\}
\}
 = \{\{\underline{
\mathsf {m}}
,\underline{
\mathsf {m}}
\}
,\{\underline{
\mathsf {m}}
,0
\}
\}
)n
)n
)n
)n
; 
\forall \underline{
\mathsf {m}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf {m}}
\colon 
\forall \underline{(fx)}
\colon \overline{(f1)}
 = \overline{(f3)}
\vdash \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
 = 0
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\{\{\overline{(f1)}
,\overline{(f1)}
\}
,\{\overline{(f1)}
,\overline{(f2)}
\}
\}
 = \{\{\underline{
\mathsf {m}}
,\underline{
\mathsf {m}}
\}
,\{\underline{
\mathsf {m}}
,rec\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
\}
\}
)n
)n
\vdash \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
 = 0
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\{\{\overline{(f3)}
,\overline{(f3)}
\}
,\{\overline{(f3)}
,\overline{(f4)}
\}
\}
 = \{\{\underline{
\mathsf {m}}
,\underline{
\mathsf {m}}
\}
,\{\underline{
\mathsf {m}}
,rec\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
\}
\}
)n
)n
\vdash FirstConjunct
\rhd \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
 = 0
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\{\{\overline{(f1)}
,\overline{(f1)}
\}
,\{\overline{(f1)}
,\overline{(f2)}
\}
\}
 = \{\{\underline{
\mathsf {m}}
,\underline{
\mathsf {m}}
\}
,\{\underline{
\mathsf {m}}
,rec\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
\}
\}
)n
)n
\gg \dot{\neg}\,(\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
 = 0
)n
; SecondConjunct
\rhd \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
 = 0
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\{\{\overline{(f1)}
,\overline{(f1)}
\}
,\{\overline{(f1)}
,\overline{(f2)}
\}
\}
 = \{\{\underline{
\mathsf {m}}
,\underline{
\mathsf {m}}
\}
,\{\underline{
\mathsf {m}}
,rec\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
\}
\}
)n
)n
\gg \{\{\overline{(f1)}
,\overline{(f1)}
\}
,\{\overline{(f1)}
,\overline{(f2)}
\}
\}
 = \{\{\underline{
\mathsf {m}}
,\underline{
\mathsf {m}}
\}
,\{\underline{
\mathsf {m}}
,rec\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
\}
\}
; SecondConjunct
\rhd \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
 = 0
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\{\{\overline{(f3)}
,\overline{(f3)}
\}
,\{\overline{(f3)}
,\overline{(f4)}
\}
\}
 = \{\{\underline{
\mathsf {m}}
,\underline{
\mathsf {m}}
\}
,\{\underline{
\mathsf {m}}
,rec\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
\}
\}
)n
)n
\gg \{\{\overline{(f3)}
,\overline{(f3)}
\}
,\{\overline{(f3)}
,\overline{(f4)}
\}
\}
 = \{\{\underline{
\mathsf {m}}
,\underline{
\mathsf {m}}
\}
,\{\underline{
\mathsf {m}}
,rec\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
\}
\}
; FromOrderedPair(1)
\rhd \{\{\overline{(f1)}
,\overline{(f1)}
\}
,\{\overline{(f1)}
,\overline{(f2)}
\}
\}
 = \{\{\underline{
\mathsf {m}}
,\underline{
\mathsf {m}}
\}
,\{\underline{
\mathsf {m}}
,rec\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
\}
\}
\gg \overline{(f1)}
 = \underline{
\mathsf {m}}
; eqSymmetry
\rhd \overline{(f1)}
 = \underline{
\mathsf {m}}
\gg \underline{
\mathsf {m}}
 = \overline{(f1)}
; FromOrderedPair(1)
\rhd \{\{\overline{(f3)}
,\overline{(f3)}
\}
,\{\overline{(f3)}
,\overline{(f4)}
\}
\}
 = \{\{\underline{
\mathsf {m}}
,\underline{
\mathsf {m}}
\}
,\{\underline{
\mathsf {m}}
,rec\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
\}
\}
\gg \overline{(f3)}
 = \underline{
\mathsf {m}}
; eqTransitivity4
\rhd \underline{
\mathsf {m}}
 = \overline{(f1)}
\rhd \overline{(f1)}
 = \overline{(f3)}
\rhd \overline{(f3)}
 = \underline{
\mathsf {m}}
\gg \underline{
\mathsf {m}}
 = \underline{
\mathsf {m}}
; SameSeries
\rhd \underline{
\mathsf {m}}
 = \underline{
\mathsf {m}}
\gg \underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
 = \underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
; SameReciprocal
\rhd \dot{\neg}\,(\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
 = 0
)n
\rhd \underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
 = \underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
\gg rec\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
 = rec\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
; FromOrderedPair(2)
\rhd \{\{\overline{(f1)}
,\overline{(f1)}
\}
,\{\overline{(f1)}
,\overline{(f2)}
\}
\}
 = \{\{\underline{
\mathsf {m}}
,\underline{
\mathsf {m}}
\}
,\{\underline{
\mathsf {m}}
,rec\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
\}
\}
\gg \overline{(f2)}
 = rec\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
; FromOrderedPair(2)
\rhd \{\{\overline{(f3)}
,\overline{(f3)}
\}
,\{\overline{(f3)}
,\overline{(f4)}
\}
\}
 = \{\{\underline{
\mathsf {m}}
,\underline{
\mathsf {m}}
\}
,\{\underline{
\mathsf {m}}
,rec\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
\}
\}
\gg \overline{(f4)}
 = rec\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
; eqSymmetry
\rhd \overline{(f4)}
 = rec\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
\gg rec\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
 = \overline{(f4)}
; eqTransitivity4
\rhd \overline{(f2)}
 = rec\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
\rhd rec\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
 = rec\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
\rhd rec\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
 = \overline{(f4)}
\gg \overline{(f2)}
 = \overline{(f4)}
; 
\forall \underline{
\mathsf {m}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf {m}}
\colon 
\forall \underline{(fx)}
\colon \overline{(f1)}
 = \overline{(f3)}
\vdash \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
 = 0
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\{\{\overline{(f1)}
,\overline{(f1)}
\}
,\{\overline{(f1)}
,\overline{(f2)}
\}
\}
 = \{\{\underline{
\mathsf {m}}
,\underline{
\mathsf {m}}
\}
,\{\underline{
\mathsf {m}}
,rec\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
\}
\}
)n
)n
\vdash \dot{\neg}\,(\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
 = 0
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\{\{\overline{(f3)}
,\overline{(f3)}
\}
,\{\overline{(f3)}
,\overline{(f4)}
\}
\}
 = \{\{\underline{
\mathsf {m}}
,\underline{
\mathsf {m}}
\}
,\{\underline{
\mathsf {m}}
,0
\}
\}
)n
)n
\vdash FirstConjunct
\rhd \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
 = 0
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\{\{\overline{(f1)}
,\overline{(f1)}
\}
,\{\overline{(f1)}
,\overline{(f2)}
\}
\}
 = \{\{\underline{
\mathsf {m}}
,\underline{
\mathsf {m}}
\}
,\{\underline{
\mathsf {m}}
,rec\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
\}
\}
)n
)n
\gg \dot{\neg}\,(\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
 = 0
)n
; SecondConjunct
\rhd \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
 = 0
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\{\{\overline{(f1)}
,\overline{(f1)}
\}
,\{\overline{(f1)}
,\overline{(f2)}
\}
\}
 = \{\{\underline{
\mathsf {m}}
,\underline{
\mathsf {m}}
\}
,\{\underline{
\mathsf {m}}
,rec\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
\}
\}
)n
)n
\gg \{\{\overline{(f1)}
,\overline{(f1)}
\}
,\{\overline{(f1)}
,\overline{(f2)}
\}
\}
 = \{\{\underline{
\mathsf {m}}
,\underline{
\mathsf {m}}
\}
,\{\underline{
\mathsf {m}}
,rec\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
\}
\}
; FirstConjunct
\rhd \dot{\neg}\,(\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
 = 0
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\{\{\overline{(f3)}
,\overline{(f3)}
\}
,\{\overline{(f3)}
,\overline{(f4)}
\}
\}
 = \{\{\underline{
\mathsf {m}}
,\underline{
\mathsf {m}}
\}
,\{\underline{
\mathsf {m}}
,0
\}
\}
)n
)n
\gg \underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
 = 0
; SecondConjunct
\rhd \dot{\neg}\,(\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
 = 0
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\{\{\overline{(f3)}
,\overline{(f3)}
\}
,\{\overline{(f3)}
,\overline{(f4)}
\}
\}
 = \{\{\underline{
\mathsf {m}}
,\underline{
\mathsf {m}}
\}
,\{\underline{
\mathsf {m}}
,0
\}
\}
)n
)n
\gg \{\{\overline{(f3)}
,\overline{(f3)}
\}
,\{\overline{(f3)}
,\overline{(f4)}
\}
\}
 = \{\{\underline{
\mathsf {m}}
,\underline{
\mathsf {m}}
\}
,\{\underline{
\mathsf {m}}
,0
\}
\}
; OrderedPairEquality
\rhd \{\{\overline{(f1)}
,\overline{(f1)}
\}
,\{\overline{(f1)}
,\overline{(f2)}
\}
\}
 = \{\{\underline{
\mathsf {m}}
,\underline{
\mathsf {m}}
\}
,\{\underline{
\mathsf {m}}
,rec\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
\}
\}
\rhd \{\{\overline{(f3)}
,\overline{(f3)}
\}
,\{\overline{(f3)}
,\overline{(f4)}
\}
\}
 = \{\{\underline{
\mathsf {m}}
,\underline{
\mathsf {m}}
\}
,\{\underline{
\mathsf {m}}
,0
\}
\}
\rhd \overline{(f1)}
 = \overline{(f3)}
\gg \underline{
\mathsf {m}}
 = \underline{
\mathsf {m}}
; SameSeries
\rhd \underline{
\mathsf {m}}
 = \underline{
\mathsf {m}}
\gg \underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
 = \underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
; eqTransitivity
\rhd \underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
 = \underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
\rhd \underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
 = 0
\gg \underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
 = 0
; FromContradiction
\rhd \underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
 = 0
\rhd \dot{\neg}\,(\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
 = 0
)n
\gg \overline{(f2)}
 = \overline{(f4)}
; 
\forall \underline{
\mathsf {m}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf {m}}
\colon 
\forall \underline{(fx)}
\colon \overline{(f1)}
 = \overline{(f3)}
\vdash \dot{\neg}\,(\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
 = 0
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\{\{\overline{(f1)}
,\overline{(f1)}
\}
,\{\overline{(f1)}
,\overline{(f2)}
\}
\}
 = \{\{\underline{
\mathsf {m}}
,\underline{
\mathsf {m}}
\}
,\{\underline{
\mathsf {m}}
,0
\}
\}
)n
)n
\vdash \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
 = 0
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\{\{\overline{(f3)}
,\overline{(f3)}
\}
,\{\overline{(f3)}
,\overline{(f4)}
\}
\}
 = \{\{\underline{
\mathsf {m}}
,\underline{
\mathsf {m}}
\}
,\{\underline{
\mathsf {m}}
,rec\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
\}
\}
)n
)n
\vdash FirstConjunct
\rhd \dot{\neg}\,(\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
 = 0
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\{\{\overline{(f1)}
,\overline{(f1)}
\}
,\{\overline{(f1)}
,\overline{(f2)}
\}
\}
 = \{\{\underline{
\mathsf {m}}
,\underline{
\mathsf {m}}
\}
,\{\underline{
\mathsf {m}}
,0
\}
\}
)n
)n
\gg \underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
 = 0
; SecondConjunct
\rhd \dot{\neg}\,(\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
 = 0
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\{\{\overline{(f1)}
,\overline{(f1)}
\}
,\{\overline{(f1)}
,\overline{(f2)}
\}
\}
 = \{\{\underline{
\mathsf {m}}
,\underline{
\mathsf {m}}
\}
,\{\underline{
\mathsf {m}}
,0
\}
\}
)n
)n
\gg \{\{\overline{(f1)}
,\overline{(f1)}
\}
,\{\overline{(f1)}
,\overline{(f2)}
\}
\}
 = \{\{\underline{
\mathsf {m}}
,\underline{
\mathsf {m}}
\}
,\{\underline{
\mathsf {m}}
,0
\}
\}
; FirstConjunct
\rhd \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
 = 0
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\{\{\overline{(f3)}
,\overline{(f3)}
\}
,\{\overline{(f3)}
,\overline{(f4)}
\}
\}
 = \{\{\underline{
\mathsf {m}}
,\underline{
\mathsf {m}}
\}
,\{\underline{
\mathsf {m}}
,rec\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
\}
\}
)n
)n
\gg \dot{\neg}\,(\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
 = 0
)n
; SecondConjunct
\rhd \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
 = 0
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\{\{\overline{(f3)}
,\overline{(f3)}
\}
,\{\overline{(f3)}
,\overline{(f4)}
\}
\}
 = \{\{\underline{
\mathsf {m}}
,\underline{
\mathsf {m}}
\}
,\{\underline{
\mathsf {m}}
,rec\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
\}
\}
)n
)n
\gg \{\{\overline{(f3)}
,\overline{(f3)}
\}
,\{\overline{(f3)}
,\overline{(f4)}
\}
\}
 = \{\{\underline{
\mathsf {m}}
,\underline{
\mathsf {m}}
\}
,\{\underline{
\mathsf {m}}
,rec\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
\}
\}
; OrderedPairEquality
\rhd \{\{\overline{(f1)}
,\overline{(f1)}
\}
,\{\overline{(f1)}
,\overline{(f2)}
\}
\}
 = \{\{\underline{
\mathsf {m}}
,\underline{
\mathsf {m}}
\}
,\{\underline{
\mathsf {m}}
,0
\}
\}
\rhd \{\{\overline{(f3)}
,\overline{(f3)}
\}
,\{\overline{(f3)}
,\overline{(f4)}
\}
\}
 = \{\{\underline{
\mathsf {m}}
,\underline{
\mathsf {m}}
\}
,\{\underline{
\mathsf {m}}
,rec\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
\}
\}
\rhd \overline{(f1)}
 = \overline{(f3)}
\gg \underline{
\mathsf {m}}
 = \underline{
\mathsf {m}}
; SameSeries
\rhd \underline{
\mathsf {m}}
 = \underline{
\mathsf {m}}
\gg \underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
 = \underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
; eqSymmetry
\rhd \underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
 = \underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
\gg \underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
 = \underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
; eqTransitivity
\rhd \underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
 = \underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
\rhd \underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
 = 0
\gg \underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
 = 0
; FromContradiction
\rhd \underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
 = 0
\rhd \dot{\neg}\,(\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
 = 0
)n
\gg \overline{(f2)}
 = \overline{(f4)}
; 
\forall \underline{
\mathsf {m}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf {m}}
\colon 
\forall \underline{(fx)}
\colon \dot{\neg}\,(\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
 = 0
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\{\{\overline{(f1)}
,\overline{(f1)}
\}
,\{\overline{(f1)}
,\overline{(f2)}
\}
\}
 = \{\{\underline{
\mathsf {m}}
,\underline{
\mathsf {m}}
\}
,\{\underline{
\mathsf {m}}
,0
\}
\}
)n
)n
\vdash \dot{\neg}\,(\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
 = 0
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\{\{\overline{(f3)}
,\overline{(f3)}
\}
,\{\overline{(f3)}
,\overline{(f4)}
\}
\}
 = \{\{\underline{
\mathsf {m}}
,\underline{
\mathsf {m}}
\}
,\{\underline{
\mathsf {m}}
,0
\}
\}
)n
)n
\vdash SecondConjunct
\rhd \dot{\neg}\,(\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
 = 0
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\{\{\overline{(f1)}
,\overline{(f1)}
\}
,\{\overline{(f1)}
,\overline{(f2)}
\}
\}
 = \{\{\underline{
\mathsf {m}}
,\underline{
\mathsf {m}}
\}
,\{\underline{
\mathsf {m}}
,0
\}
\}
)n
)n
\gg \{\{\overline{(f1)}
,\overline{(f1)}
\}
,\{\overline{(f1)}
,\overline{(f2)}
\}
\}
 = \{\{\underline{
\mathsf {m}}
,\underline{
\mathsf {m}}
\}
,\{\underline{
\mathsf {m}}
,0
\}
\}
; SecondConjunct
\rhd \dot{\neg}\,(\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
 = 0
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\{\{\overline{(f3)}
,\overline{(f3)}
\}
,\{\overline{(f3)}
,\overline{(f4)}
\}
\}
 = \{\{\underline{
\mathsf {m}}
,\underline{
\mathsf {m}}
\}
,\{\underline{
\mathsf {m}}
,0
\}
\}
)n
)n
\gg \{\{\overline{(f3)}
,\overline{(f3)}
\}
,\{\overline{(f3)}
,\overline{(f4)}
\}
\}
 = \{\{\underline{
\mathsf {m}}
,\underline{
\mathsf {m}}
\}
,\{\underline{
\mathsf {m}}
,0
\}
\}
; FromOrderedPair(2)
\rhd \{\{\overline{(f1)}
,\overline{(f1)}
\}
,\{\overline{(f1)}
,\overline{(f2)}
\}
\}
 = \{\{\underline{
\mathsf {m}}
,\underline{
\mathsf {m}}
\}
,\{\underline{
\mathsf {m}}
,0
\}
\}
\gg \overline{(f2)}
 = 0
; FromOrderedPair(2)
\rhd \{\{\overline{(f3)}
,\overline{(f3)}
\}
,\{\overline{(f3)}
,\overline{(f4)}
\}
\}
 = \{\{\underline{
\mathsf {m}}
,\underline{
\mathsf {m}}
\}
,\{\underline{
\mathsf {m}}
,0
\}
\}
\gg \overline{(f4)}
 = 0
; eqSymmetry
\rhd \overline{(f4)}
 = 0
\gg 0
 = \overline{(f4)}
; eqTransitivity
\rhd \overline{(f2)}
 = 0
\rhd 0
 = \overline{(f4)}
\gg \overline{(f2)}
 = \overline{(f4)}
; 
\forall \underline{
\mathsf {m}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf {m}}
\colon 
\forall \underline{(fx)}
\colon \overline{(f1)}
 = \overline{(f3)}
\vdash \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
 = 0
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\{\{\overline{(f1)}
,\overline{(f1)}
\}
,\{\overline{(f1)}
,\overline{(f2)}
\}
\}
 = \{\{\underline{
\mathsf {m}}
,\underline{
\mathsf {m}}
\}
,\{\underline{
\mathsf {m}}
,rec\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
\}
\}
)n
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
 = 0
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\{\{\overline{(f1)}
,\overline{(f1)}
\}
,\{\overline{(f1)}
,\overline{(f2)}
\}
\}
 = \{\{\underline{
\mathsf {m}}
,\underline{
\mathsf {m}}
\}
,\{\underline{
\mathsf {m}}
,0
\}
\}
)n
)n
\vdash \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
 = 0
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\{\{\overline{(f3)}
,\overline{(f3)}
\}
,\{\overline{(f3)}
,\overline{(f4)}
\}
\}
 = \{\{\underline{
\mathsf {m}}
,\underline{
\mathsf {m}}
\}
,\{\underline{
\mathsf {m}}
,rec\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
\}
\}
)n
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
 = 0
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\{\{\overline{(f3)}
,\overline{(f3)}
\}
,\{\overline{(f3)}
,\overline{(f4)}
\}
\}
 = \{\{\underline{
\mathsf {m}}
,\underline{
\mathsf {m}}
\}
,\{\underline{
\mathsf {m}}
,0
\}
\}
)n
)n
\vdash Ded
\rhd 
\forall \underline{
\mathsf {m}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf {m}}
\colon 
\forall \underline{(fx)}
\colon \overline{(f1)}
 = \overline{(f3)}
\vdash \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
 = 0
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\{\{\overline{(f1)}
,\overline{(f1)}
\}
,\{\overline{(f1)}
,\overline{(f2)}
\}
\}
 = \{\{\underline{
\mathsf {m}}
,\underline{
\mathsf {m}}
\}
,\{\underline{
\mathsf {m}}
,rec\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
\}
\}
)n
)n
\vdash \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
 = 0
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\{\{\overline{(f3)}
,\overline{(f3)}
\}
,\{\overline{(f3)}
,\overline{(f4)}
\}
\}
 = \{\{\underline{
\mathsf {m}}
,\underline{
\mathsf {m}}
\}
,\{\underline{
\mathsf {m}}
,rec\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
\}
\}
)n
)n
\vdash \overline{(f2)}
 = \overline{(f4)}
\gg \overline{(f1)}
 = \overline{(f3)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
 = 0
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\{\{\overline{(f1)}
,\overline{(f1)}
\}
,\{\overline{(f1)}
,\overline{(f2)}
\}
\}
 = \{\{\underline{
\mathsf {m}}
,\underline{
\mathsf {m}}
\}
,\{\underline{
\mathsf {m}}
,rec\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
\}
\}
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
 = 0
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\{\{\overline{(f3)}
,\overline{(f3)}
\}
,\{\overline{(f3)}
,\overline{(f4)}
\}
\}
 = \{\{\underline{
\mathsf {m}}
,\underline{
\mathsf {m}}
\}
,\{\underline{
\mathsf {m}}
,rec\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
\}
\}
)n
)n
\Rightarrow \overline{(f2)}
 = \overline{(f4)}
; MP
\rhd \overline{(f1)}
 = \overline{(f3)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
 = 0
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\{\{\overline{(f1)}
,\overline{(f1)}
\}
,\{\overline{(f1)}
,\overline{(f2)}
\}
\}
 = \{\{\underline{
\mathsf {m}}
,\underline{
\mathsf {m}}
\}
,\{\underline{
\mathsf {m}}
,rec\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
\}
\}
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
 = 0
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\{\{\overline{(f3)}
,\overline{(f3)}
\}
,\{\overline{(f3)}
,\overline{(f4)}
\}
\}
 = \{\{\underline{
\mathsf {m}}
,\underline{
\mathsf {m}}
\}
,\{\underline{
\mathsf {m}}
,rec\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
\}
\}
)n
)n
\Rightarrow \overline{(f2)}
 = \overline{(f4)}
\rhd \overline{(f1)}
 = \overline{(f3)}
\gg \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
 = 0
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\{\{\overline{(f1)}
,\overline{(f1)}
\}
,\{\overline{(f1)}
,\overline{(f2)}
\}
\}
 = \{\{\underline{
\mathsf {m}}
,\underline{
\mathsf {m}}
\}
,\{\underline{
\mathsf {m}}
,rec\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
\}
\}
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
 = 0
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\{\{\overline{(f3)}
,\overline{(f3)}
\}
,\{\overline{(f3)}
,\overline{(f4)}
\}
\}
 = \{\{\underline{
\mathsf {m}}
,\underline{
\mathsf {m}}
\}
,\{\underline{
\mathsf {m}}
,rec\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
\}
\}
)n
)n
\Rightarrow \overline{(f2)}
 = \overline{(f4)}
; Ded
\rhd 
\forall \underline{
\mathsf {m}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf {m}}
\colon 
\forall \underline{(fx)}
\colon \overline{(f1)}
 = \overline{(f3)}
\vdash \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
 = 0
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\{\{\overline{(f1)}
,\overline{(f1)}
\}
,\{\overline{(f1)}
,\overline{(f2)}
\}
\}
 = \{\{\underline{
\mathsf {m}}
,\underline{
\mathsf {m}}
\}
,\{\underline{
\mathsf {m}}
,rec\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
\}
\}
)n
)n
\vdash \dot{\neg}\,(\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
 = 0
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\{\{\overline{(f3)}
,\overline{(f3)}
\}
,\{\overline{(f3)}
,\overline{(f4)}
\}
\}
 = \{\{\underline{
\mathsf {m}}
,\underline{
\mathsf {m}}
\}
,\{\underline{
\mathsf {m}}
,0
\}
\}
)n
)n
\vdash \overline{(f2)}
 = \overline{(f4)}
\gg \overline{(f1)}
 = \overline{(f3)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
 = 0
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\{\{\overline{(f1)}
,\overline{(f1)}
\}
,\{\overline{(f1)}
,\overline{(f2)}
\}
\}
 = \{\{\underline{
\mathsf {m}}
,\underline{
\mathsf {m}}
\}
,\{\underline{
\mathsf {m}}
,rec\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
\}
\}
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
 = 0
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\{\{\overline{(f3)}
,\overline{(f3)}
\}
,\{\overline{(f3)}
,\overline{(f4)}
\}
\}
 = \{\{\underline{
\mathsf {m}}
,\underline{
\mathsf {m}}
\}
,\{\underline{
\mathsf {m}}
,0
\}
\}
)n
)n
\Rightarrow \overline{(f2)}
 = \overline{(f4)}
; MP
\rhd \overline{(f1)}
 = \overline{(f3)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
 = 0
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\{\{\overline{(f1)}
,\overline{(f1)}
\}
,\{\overline{(f1)}
,\overline{(f2)}
\}
\}
 = \{\{\underline{
\mathsf {m}}
,\underline{
\mathsf {m}}
\}
,\{\underline{
\mathsf {m}}
,rec\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
\}
\}
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
 = 0
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\{\{\overline{(f3)}
,\overline{(f3)}
\}
,\{\overline{(f3)}
,\overline{(f4)}
\}
\}
 = \{\{\underline{
\mathsf {m}}
,\underline{
\mathsf {m}}
\}
,\{\underline{
\mathsf {m}}
,0
\}
\}
)n
)n
\Rightarrow \overline{(f2)}
 = \overline{(f4)}
\rhd \overline{(f1)}
 = \overline{(f3)}
\gg \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
 = 0
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\{\{\overline{(f1)}
,\overline{(f1)}
\}
,\{\overline{(f1)}
,\overline{(f2)}
\}
\}
 = \{\{\underline{
\mathsf {m}}
,\underline{
\mathsf {m}}
\}
,\{\underline{
\mathsf {m}}
,rec\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
\}
\}
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
 = 0
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\{\{\overline{(f3)}
,\overline{(f3)}
\}
,\{\overline{(f3)}
,\overline{(f4)}
\}
\}
 = \{\{\underline{
\mathsf {m}}
,\underline{
\mathsf {m}}
\}
,\{\underline{
\mathsf {m}}
,0
\}
\}
)n
)n
\Rightarrow \overline{(f2)}
 = \overline{(f4)}
; Ded
\rhd 
\forall \underline{
\mathsf {m}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf {m}}
\colon 
\forall \underline{(fx)}
\colon \overline{(f1)}
 = \overline{(f3)}
\vdash \dot{\neg}\,(\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
 = 0
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\{\{\overline{(f1)}
,\overline{(f1)}
\}
,\{\overline{(f1)}
,\overline{(f2)}
\}
\}
 = \{\{\underline{
\mathsf {m}}
,\underline{
\mathsf {m}}
\}
,\{\underline{
\mathsf {m}}
,0
\}
\}
)n
)n
\vdash \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
 = 0
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\{\{\overline{(f3)}
,\overline{(f3)}
\}
,\{\overline{(f3)}
,\overline{(f4)}
\}
\}
 = \{\{\underline{
\mathsf {m}}
,\underline{
\mathsf {m}}
\}
,\{\underline{
\mathsf {m}}
,rec\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
\}
\}
)n
)n
\vdash \overline{(f2)}
 = \overline{(f4)}
\gg \overline{(f1)}
 = \overline{(f3)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
 = 0
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\{\{\overline{(f1)}
,\overline{(f1)}
\}
,\{\overline{(f1)}
,\overline{(f2)}
\}
\}
 = \{\{\underline{
\mathsf {m}}
,\underline{
\mathsf {m}}
\}
,\{\underline{
\mathsf {m}}
,0
\}
\}
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
 = 0
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\{\{\overline{(f3)}
,\overline{(f3)}
\}
,\{\overline{(f3)}
,\overline{(f4)}
\}
\}
 = \{\{\underline{
\mathsf {m}}
,\underline{
\mathsf {m}}
\}
,\{\underline{
\mathsf {m}}
,rec\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
\}
\}
)n
)n
\Rightarrow \overline{(f2)}
 = \overline{(f4)}
; MP
\rhd \overline{(f1)}
 = \overline{(f3)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
 = 0
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\{\{\overline{(f1)}
,\overline{(f1)}
\}
,\{\overline{(f1)}
,\overline{(f2)}
\}
\}
 = \{\{\underline{
\mathsf {m}}
,\underline{
\mathsf {m}}
\}
,\{\underline{
\mathsf {m}}
,0
\}
\}
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
 = 0
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\{\{\overline{(f3)}
,\overline{(f3)}
\}
,\{\overline{(f3)}
,\overline{(f4)}
\}
\}
 = \{\{\underline{
\mathsf {m}}
,\underline{
\mathsf {m}}
\}
,\{\underline{
\mathsf {m}}
,rec\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
\}
\}
)n
)n
\Rightarrow \overline{(f2)}
 = \overline{(f4)}
\rhd \overline{(f1)}
 = \overline{(f3)}
\gg \dot{\neg}\,(\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
 = 0
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\{\{\overline{(f1)}
,\overline{(f1)}
\}
,\{\overline{(f1)}
,\overline{(f2)}
\}
\}
 = \{\{\underline{
\mathsf {m}}
,\underline{
\mathsf {m}}
\}
,\{\underline{
\mathsf {m}}
,0
\}
\}
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
 = 0
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\{\{\overline{(f3)}
,\overline{(f3)}
\}
,\{\overline{(f3)}
,\overline{(f4)}
\}
\}
 = \{\{\underline{
\mathsf {m}}
,\underline{
\mathsf {m}}
\}
,\{\underline{
\mathsf {m}}
,rec\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
\}
\}
)n
)n
\Rightarrow \overline{(f2)}
 = \overline{(f4)}
; Ded
\rhd 
\forall \underline{
\mathsf {m}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf {m}}
\colon 
\forall \underline{(fx)}
\colon \dot{\neg}\,(\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
 = 0
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\{\{\overline{(f1)}
,\overline{(f1)}
\}
,\{\overline{(f1)}
,\overline{(f2)}
\}
\}
 = \{\{\underline{
\mathsf {m}}
,\underline{
\mathsf {m}}
\}
,\{\underline{
\mathsf {m}}
,0
\}
\}
)n
)n
\vdash \dot{\neg}\,(\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
 = 0
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\{\{\overline{(f3)}
,\overline{(f3)}
\}
,\{\overline{(f3)}
,\overline{(f4)}
\}
\}
 = \{\{\underline{
\mathsf {m}}
,\underline{
\mathsf {m}}
\}
,\{\underline{
\mathsf {m}}
,0
\}
\}
)n
)n
\vdash \overline{(f2)}
 = \overline{(f4)}
\gg \dot{\neg}\,(\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
 = 0
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\{\{\overline{(f1)}
,\overline{(f1)}
\}
,\{\overline{(f1)}
,\overline{(f2)}
\}
\}
 = \{\{\underline{
\mathsf {m}}
,\underline{
\mathsf {m}}
\}
,\{\underline{
\mathsf {m}}
,0
\}
\}
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
 = 0
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\{\{\overline{(f3)}
,\overline{(f3)}
\}
,\{\overline{(f3)}
,\overline{(f4)}
\}
\}
 = \{\{\underline{
\mathsf {m}}
,\underline{
\mathsf {m}}
\}
,\{\underline{
\mathsf {m}}
,0
\}
\}
)n
)n
\Rightarrow \overline{(f2)}
 = \overline{(f4)}
; From2*2Disjuncts
\rhd \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
 = 0
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\{\{\overline{(f1)}
,\overline{(f1)}
\}
,\{\overline{(f1)}
,\overline{(f2)}
\}
\}
 = \{\{\underline{
\mathsf {m}}
,\underline{
\mathsf {m}}
\}
,\{\underline{
\mathsf {m}}
,rec\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
\}
\}
)n
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
 = 0
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\{\{\overline{(f1)}
,\overline{(f1)}
\}
,\{\overline{(f1)}
,\overline{(f2)}
\}
\}
 = \{\{\underline{
\mathsf {m}}
,\underline{
\mathsf {m}}
\}
,\{\underline{
\mathsf {m}}
,0
\}
\}
)n
)n
\rhd \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
 = 0
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\{\{\overline{(f3)}
,\overline{(f3)}
\}
,\{\overline{(f3)}
,\overline{(f4)}
\}
\}
 = \{\{\underline{
\mathsf {m}}
,\underline{
\mathsf {m}}
\}
,\{\underline{
\mathsf {m}}
,rec\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
\}
\}
)n
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
 = 0
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\{\{\overline{(f3)}
,\overline{(f3)}
\}
,\{\overline{(f3)}
,\overline{(f4)}
\}
\}
 = \{\{\underline{
\mathsf {m}}
,\underline{
\mathsf {m}}
\}
,\{\underline{
\mathsf {m}}
,0
\}
\}
)n
)n
\rhd \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
 = 0
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\{\{\overline{(f1)}
,\overline{(f1)}
\}
,\{\overline{(f1)}
,\overline{(f2)}
\}
\}
 = \{\{\underline{
\mathsf {m}}
,\underline{
\mathsf {m}}
\}
,\{\underline{
\mathsf {m}}
,rec\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
\}
\}
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
 = 0
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\{\{\overline{(f3)}
,\overline{(f3)}
\}
,\{\overline{(f3)}
,\overline{(f4)}
\}
\}
 = \{\{\underline{
\mathsf {m}}
,\underline{
\mathsf {m}}
\}
,\{\underline{
\mathsf {m}}
,rec\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
\}
\}
)n
)n
\Rightarrow \overline{(f2)}
 = \overline{(f4)}
\rhd \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
 = 0
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\{\{\overline{(f1)}
,\overline{(f1)}
\}
,\{\overline{(f1)}
,\overline{(f2)}
\}
\}
 = \{\{\underline{
\mathsf {m}}
,\underline{
\mathsf {m}}
\}
,\{\underline{
\mathsf {m}}
,rec\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
\}
\}
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
 = 0
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\{\{\overline{(f3)}
,\overline{(f3)}
\}
,\{\overline{(f3)}
,\overline{(f4)}
\}
\}
 = \{\{\underline{
\mathsf {m}}
,\underline{
\mathsf {m}}
\}
,\{\underline{
\mathsf {m}}
,0
\}
\}
)n
)n
\Rightarrow \overline{(f2)}
 = \overline{(f4)}
\rhd \dot{\neg}\,(\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
 = 0
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\{\{\overline{(f1)}
,\overline{(f1)}
\}
,\{\overline{(f1)}
,\overline{(f2)}
\}
\}
 = \{\{\underline{
\mathsf {m}}
,\underline{
\mathsf {m}}
\}
,\{\underline{
\mathsf {m}}
,0
\}
\}
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
 = 0
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\{\{\overline{(f3)}
,\overline{(f3)}
\}
,\{\overline{(f3)}
,\overline{(f4)}
\}
\}
 = \{\{\underline{
\mathsf {m}}
,\underline{
\mathsf {m}}
\}
,\{\underline{
\mathsf {m}}
,rec\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
\}
\}
)n
)n
\Rightarrow \overline{(f2)}
 = \overline{(f4)}
\rhd \dot{\neg}\,(\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
 = 0
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\{\{\overline{(f1)}
,\overline{(f1)}
\}
,\{\overline{(f1)}
,\overline{(f2)}
\}
\}
 = \{\{\underline{
\mathsf {m}}
,\underline{
\mathsf {m}}
\}
,\{\underline{
\mathsf {m}}
,0
\}
\}
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
 = 0
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\{\{\overline{(f3)}
,\overline{(f3)}
\}
,\{\overline{(f3)}
,\overline{(f4)}
\}
\}
 = \{\{\underline{
\mathsf {m}}
,\underline{
\mathsf {m}}
\}
,\{\underline{
\mathsf {m}}
,0
\}
\}
)n
)n
\Rightarrow \overline{(f2)}
 = \overline{(f4)}
\gg \overline{(f2)}
 = \overline{(f4)}
; Ded
\rhd 
\forall \underline{
\mathsf {m}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf {m}}
\colon 
\forall \underline{(fx)}
\colon \overline{(f1)}
 = \overline{(f3)}
\vdash \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
 = 0
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\{\{\overline{(f1)}
,\overline{(f1)}
\}
,\{\overline{(f1)}
,\overline{(f2)}
\}
\}
 = \{\{\underline{
\mathsf {m}}
,\underline{
\mathsf {m}}
\}
,\{\underline{
\mathsf {m}}
,rec\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
\}
\}
)n
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
 = 0
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\{\{\overline{(f1)}
,\overline{(f1)}
\}
,\{\overline{(f1)}
,\overline{(f2)}
\}
\}
 = \{\{\underline{
\mathsf {m}}
,\underline{
\mathsf {m}}
\}
,\{\underline{
\mathsf {m}}
,0
\}
\}
)n
)n
\vdash \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
 = 0
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\{\{\overline{(f3)}
,\overline{(f3)}
\}
,\{\overline{(f3)}
,\overline{(f4)}
\}
\}
 = \{\{\underline{
\mathsf {m}}
,\underline{
\mathsf {m}}
\}
,\{\underline{
\mathsf {m}}
,rec\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
\}
\}
)n
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
 = 0
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\{\{\overline{(f3)}
,\overline{(f3)}
\}
,\{\overline{(f3)}
,\overline{(f4)}
\}
\}
 = \{\{\underline{
\mathsf {m}}
,\underline{
\mathsf {m}}
\}
,\{\underline{
\mathsf {m}}
,0
\}
\}
)n
)n
\vdash \overline{(f2)}
 = \overline{(f4)}
\gg \overline{(f1)}
 = \overline{(f3)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
 = 0
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\{\{\overline{(f1)}
,\overline{(f1)}
\}
,\{\overline{(f1)}
,\overline{(f2)}
\}
\}
 = \{\{\underline{
\mathsf {m}}
,\underline{
\mathsf {m}}
\}
,\{\underline{
\mathsf {m}}
,rec\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
\}
\}
)n
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
 = 0
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\{\{\overline{(f1)}
,\overline{(f1)}
\}
,\{\overline{(f1)}
,\overline{(f2)}
\}
\}
 = \{\{\underline{
\mathsf {m}}
,\underline{
\mathsf {m}}
\}
,\{\underline{
\mathsf {m}}
,0
\}
\}
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
 = 0
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\{\{\overline{(f1)}
,\overline{(f1)}
\}
,\{\overline{(f1)}
,\overline{(f2)}
\}
\}
 = \{\{\underline{
\mathsf {m}}
,\underline{
\mathsf {m}}
\}
,\{\underline{
\mathsf {m}}
,rec\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
\}
\}
)n
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
 = 0
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\{\{\overline{(f1)}
,\overline{(f1)}
\}
,\{\overline{(f1)}
,\overline{(f2)}
\}
\}
 = \{\{\underline{
\mathsf {m}}
,\underline{
\mathsf {m}}
\}
,\{\underline{
\mathsf {m}}
,0
\}
\}
)n
)n
\Rightarrow \overline{(f2)}
 = \overline{(f4)}
; MP
\rhd \overline{(f1)}
 = \overline{(f3)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
 = 0
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\{\{\overline{(f1)}
,\overline{(f1)}
\}
,\{\overline{(f1)}
,\overline{(f2)}
\}
\}
 = \{\{\underline{
\mathsf {m}}
,\underline{
\mathsf {m}}
\}
,\{\underline{
\mathsf {m}}
,rec\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
\}
\}
)n
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
 = 0
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\{\{\overline{(f1)}
,\overline{(f1)}
\}
,\{\overline{(f1)}
,\overline{(f2)}
\}
\}
 = \{\{\underline{
\mathsf {m}}
,\underline{
\mathsf {m}}
\}
,\{\underline{
\mathsf {m}}
,0
\}
\}
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
 = 0
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\{\{\overline{(f1)}
,\overline{(f1)}
\}
,\{\overline{(f1)}
,\overline{(f2)}
\}
\}
 = \{\{\underline{
\mathsf {m}}
,\underline{
\mathsf {m}}
\}
,\{\underline{
\mathsf {m}}
,rec\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
\}
\}
)n
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
 = 0
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\{\{\overline{(f1)}
,\overline{(f1)}
\}
,\{\overline{(f1)}
,\overline{(f2)}
\}
\}
 = \{\{\underline{
\mathsf {m}}
,\underline{
\mathsf {m}}
\}
,\{\underline{
\mathsf {m}}
,0
\}
\}
)n
)n
\Rightarrow \overline{(f2)}
 = \overline{(f4)}
\rhd \overline{(f1)}
 = \overline{(f3)}
\gg \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
 = 0
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\{\{\overline{(f1)}
,\overline{(f1)}
\}
,\{\overline{(f1)}
,\overline{(f2)}
\}
\}
 = \{\{\underline{
\mathsf {m}}
,\underline{
\mathsf {m}}
\}
,\{\underline{
\mathsf {m}}
,rec\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
\}
\}
)n
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
 = 0
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\{\{\overline{(f1)}
,\overline{(f1)}
\}
,\{\overline{(f1)}
,\overline{(f2)}
\}
\}
 = \{\{\underline{
\mathsf {m}}
,\underline{
\mathsf {m}}
\}
,\{\underline{
\mathsf {m}}
,0
\}
\}
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
 = 0
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\{\{\overline{(f1)}
,\overline{(f1)}
\}
,\{\overline{(f1)}
,\overline{(f2)}
\}
\}
 = \{\{\underline{
\mathsf {m}}
,\underline{
\mathsf {m}}
\}
,\{\underline{
\mathsf {m}}
,rec\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
\}
\}
)n
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
 = 0
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\{\{\overline{(f1)}
,\overline{(f1)}
\}
,\{\overline{(f1)}
,\overline{(f2)}
\}
\}
 = \{\{\underline{
\mathsf {m}}
,\underline{
\mathsf {m}}
\}
,\{\underline{
\mathsf {m}}
,0
\}
\}
)n
)n
\Rightarrow \overline{(f2)}
 = \overline{(f4)}
; ExistMP2
\rhd \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
 = 0
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\{\{\overline{(f1)}
,\overline{(f1)}
\}
,\{\overline{(f1)}
,\overline{(f2)}
\}
\}
 = \{\{\underline{
\mathsf {m}}
,\underline{
\mathsf {m}}
\}
,\{\underline{
\mathsf {m}}
,rec\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
\}
\}
)n
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
 = 0
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\{\{\overline{(f1)}
,\overline{(f1)}
\}
,\{\overline{(f1)}
,\overline{(f2)}
\}
\}
 = \{\{\underline{
\mathsf {m}}
,\underline{
\mathsf {m}}
\}
,\{\underline{
\mathsf {m}}
,0
\}
\}
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
 = 0
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\{\{\overline{(f1)}
,\overline{(f1)}
\}
,\{\overline{(f1)}
,\overline{(f2)}
\}
\}
 = \{\{\underline{
\mathsf {m}}
,\underline{
\mathsf {m}}
\}
,\{\underline{
\mathsf {m}}
,rec\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
\}
\}
)n
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
 = 0
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\{\{\overline{(f1)}
,\overline{(f1)}
\}
,\{\overline{(f1)}
,\overline{(f2)}
\}
\}
 = \{\{\underline{
\mathsf {m}}
,\underline{
\mathsf {m}}
\}
,\{\underline{
\mathsf {m}}
,0
\}
\}
)n
)n
\Rightarrow \overline{(f2)}
 = \overline{(f4)}
\rhd \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \underline{
\mathsf {m}}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
 = 0
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\{\{\overline{(f1)}
,\overline{(f1)}
\}
,\{\overline{(f1)}
,\overline{(f2)}
\}
\}
 = \{\{\underline{
\mathsf {m}}
,\underline{
\mathsf {m}}
\}
,\{\underline{
\mathsf {m}}
,rec\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
\}
\}
)n
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
 = 0
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\{\{\overline{(f1)}
,\overline{(f1)}
\}
,\{\overline{(f1)}
,\overline{(f2)}
\}
\}
 = \{\{\underline{
\mathsf {m}}
,\underline{
\mathsf {m}}
\}
,\{\underline{
\mathsf {m}}
,0
\}
\}
)n
)n
)n
)n
\rhd \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \underline{
\mathsf {m}}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
 = 0
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\{\{\overline{(f1)}
,\overline{(f1)}
\}
,\{\overline{(f1)}
,\overline{(f2)}
\}
\}
 = \{\{\underline{
\mathsf {m}}
,\underline{
\mathsf {m}}
\}
,\{\underline{
\mathsf {m}}
,rec\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
\}
\}
)n
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
 = 0
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\{\{\overline{(f1)}
,\overline{(f1)}
\}
,\{\overline{(f1)}
,\overline{(f2)}
\}
\}
 = \{\{\underline{
\mathsf {m}}
,\underline{
\mathsf {m}}
\}
,\{\underline{
\mathsf {m}}
,0
\}
\}
)n
)n
)n
)n
\gg \overline{(f2)}
 = \overline{(f4)}
; 
\forall \underline{
\mathsf {m}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf {m}}
\colon 
\forall \underline{(fx)}
\colon Ded
\rhd 
\forall \underline{
\mathsf {m}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf {m}}
\colon 
\forall \underline{(fx)}
\colon \{\{\overline{(f1)}
,\overline{(f1)}
\}
,\{\overline{(f1)}
,\overline{(f2)}
\}
\}
 \mathrel{\in}  \{ ph \mathrel{\in}  \{ ph \mathrel{\in} P(P(Union(\{N
,Q
\}
)
)
)
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op1)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op2)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\overline{(op1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(op2)}
 \mathrel{\in} Q
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\mathsf {a}
 _{Ph} 
 = \{\{\overline{(op1)}
,\overline{(op1)}
\}
,\{\overline{(op1)}
,\overline{(op2)}
\}
\}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\}
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \underline{
\mathsf {m}}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
 = 0
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\mathsf {f}
 _{Ph} 
 = \{\{\underline{
\mathsf {m}}
,\underline{
\mathsf {m}}
\}
,\{\underline{
\mathsf {m}}
,rec\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
\}
\}
)n
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
 = 0
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\mathsf {f}
 _{Ph} 
 = \{\{\underline{
\mathsf {m}}
,\underline{
\mathsf {m}}
\}
,\{\underline{
\mathsf {m}}
,0
\}
\}
)n
)n
)n
)n
\}
\vdash \{\{\overline{(f3)}
,\overline{(f3)}
\}
,\{\overline{(f3)}
,\overline{(f4)}
\}
\}
 \mathrel{\in}  \{ ph \mathrel{\in}  \{ ph \mathrel{\in} P(P(Union(\{N
,Q
\}
)
)
)
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op1)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op2)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\overline{(op1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(op2)}
 \mathrel{\in} Q
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\mathsf {a}
 _{Ph} 
 = \{\{\overline{(op1)}
,\overline{(op1)}
\}
,\{\overline{(op1)}
,\overline{(op2)}
\}
\}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\}
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \underline{
\mathsf {m}}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
 = 0
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\mathsf {f}
 _{Ph} 
 = \{\{\underline{
\mathsf {m}}
,\underline{
\mathsf {m}}
\}
,\{\underline{
\mathsf {m}}
,rec\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
\}
\}
)n
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
 = 0
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\mathsf {f}
 _{Ph} 
 = \{\{\underline{
\mathsf {m}}
,\underline{
\mathsf {m}}
\}
,\{\underline{
\mathsf {m}}
,0
\}
\}
)n
)n
)n
)n
\}
\vdash \overline{(f1)}
 = \overline{(f3)}
\vdash \overline{(f2)}
 = \overline{(f4)}
\gg 
\forall_{obj} \overline{(f1)}
\colon 
\forall_{obj} \overline{(f2)}
\colon 
\forall_{obj} \overline{(f3)}
\colon 
\forall_{obj} \overline{(f4)}
\colon \{\{\overline{(f1)}
,\overline{(f1)}
\}
,\{\overline{(f1)}
,\overline{(f2)}
\}
\}
 \mathrel{\in}  \{ ph \mathrel{\in}  \{ ph \mathrel{\in} P(P(Union(\{N
,Q
\}
)
)
)
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op1)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op2)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\overline{(op1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(op2)}
 \mathrel{\in} Q
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\mathsf {a}
 _{Ph} 
 = \{\{\overline{(op1)}
,\overline{(op1)}
\}
,\{\overline{(op1)}
,\overline{(op2)}
\}
\}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\}
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \underline{
\mathsf {m}}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
 = 0
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\mathsf {f}
 _{Ph} 
 = \{\{\underline{
\mathsf {m}}
,\underline{
\mathsf {m}}
\}
,\{\underline{
\mathsf {m}}
,rec\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
\}
\}
)n
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
 = 0
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\mathsf {f}
 _{Ph} 
 = \{\{\underline{
\mathsf {m}}
,\underline{
\mathsf {m}}
\}
,\{\underline{
\mathsf {m}}
,0
\}
\}
)n
)n
)n
)n
\}
\Rightarrow \{\{\overline{(f3)}
,\overline{(f3)}
\}
,\{\overline{(f3)}
,\overline{(f4)}
\}
\}
 \mathrel{\in}  \{ ph \mathrel{\in}  \{ ph \mathrel{\in} P(P(Union(\{N
,Q
\}
)
)
)
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op1)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op2)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\overline{(op1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(op2)}
 \mathrel{\in} Q
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\mathsf {a}
 _{Ph} 
 = \{\{\overline{(op1)}
,\overline{(op1)}
\}
,\{\overline{(op1)}
,\overline{(op2)}
\}
\}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\}
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \underline{
\mathsf {m}}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
 = 0
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\mathsf {f}
 _{Ph} 
 = \{\{\underline{
\mathsf {m}}
,\underline{
\mathsf {m}}
\}
,\{\underline{
\mathsf {m}}
,rec\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
\}
\}
)n
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
 = 0
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\mathsf {f}
 _{Ph} 
 = \{\{\underline{
\mathsf {m}}
,\underline{
\mathsf {m}}
\}
,\{\underline{
\mathsf {m}}
,0
\}
\}
)n
)n
)n
)n
\}
\Rightarrow \overline{(f1)}
 = \overline{(f3)}
\Rightarrow \overline{(f2)}
 = \overline{(f4)}
\rceil 
, 
p_0
, 
\mathsf {c}
)
]$

$
[ReciprocalIsTotal
\stackrel{
stmt
}{\rightarrow}SystemQ
\vdash 
\forall \underline{(fx)}
\colon 
\forall_{obj} \overline{(s1)}
\colon \overline{(s1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(s2)}
\colon \dot{\neg}\,(\{\{\overline{(s1)}
,\overline{(s1)}
\}
,\{\overline{(s1)}
,\overline{(s2)}
\}
\}
 \mathrel{\in}  \{ ph \mathrel{\in}  \{ ph \mathrel{\in} P(P(Union(\{N
,Q
\}
)
)
)
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op1)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op2)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\overline{(op1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(op2)}
 \mathrel{\in} Q
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\mathsf {a}
 _{Ph} 
 = \{\{\overline{(op1)}
,\overline{(op1)}
\}
,\{\overline{(op1)}
,\overline{(op2)}
\}
\}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\}
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \underline{
\mathsf {m}}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
 = 0
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\mathsf {f}
 _{Ph} 
 = \{\{\underline{
\mathsf {m}}
,\underline{
\mathsf {m}}
\}
,\{\underline{
\mathsf {m}}
,rec\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
\}
\}
)n
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
 = 0
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\mathsf {f}
 _{Ph} 
 = \{\{\underline{
\mathsf {m}}
,\underline{
\mathsf {m}}
\}
,\{\underline{
\mathsf {m}}
,0
\}
\}
)n
)n
)n
)n
\}
)n
)n
]$

$
[ReciprocalIsTotal
\stackrel{
proof
}{\rightarrow}
\lambda 
\mathsf {c}
.
\lambda 
\mathsf{x}
.
{\cal P}( 
\lceil SystemQ
\vdash 
\forall \underline{(fx)}
\colon \underline{(fx)}
[\overline{(s1)}
]
 = 0
\vdash \overline{(s1)}
 \mathrel{\in} N
\vdash RationalType
\gg 0
 \mathrel{\in} Q
; ToCartProd
\rhd \overline{(s1)}
 \mathrel{\in} N
\rhd 0
 \mathrel{\in} Q
\gg \{\{\overline{(s1)}
,\overline{(s1)}
\}
,\{\overline{(s1)}
,0
\}
\}
 \mathrel{\in}  \{ ph \mathrel{\in} P(P(Union(\{N
,Q
\}
)
)
)
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op1)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op2)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\overline{(op1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(op2)}
 \mathrel{\in} Q
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\mathsf {a}
 _{Ph} 
 = \{\{\overline{(op1)}
,\overline{(op1)}
\}
,\{\overline{(op1)}
,\overline{(op2)}
\}
\}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\}
; eqReflexivity
\gg \{\{\overline{(s1)}
,\overline{(s1)}
\}
,\{\overline{(s1)}
,0
\}
\}
 = \{\{\overline{(s1)}
,\overline{(s1)}
\}
,\{\overline{(s1)}
,0
\}
\}
; JoinConjuncts
\rhd \underline{(fx)}
[\overline{(s1)}
]
 = 0
\rhd \{\{\overline{(s1)}
,\overline{(s1)}
\}
,\{\overline{(s1)}
,0
\}
\}
 = \{\{\overline{(s1)}
,\overline{(s1)}
\}
,\{\overline{(s1)}
,0
\}
\}
\gg \dot{\neg}\,(\underline{(fx)}
[\overline{(s1)}
]
 = 0
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\{\{\overline{(s1)}
,\overline{(s1)}
\}
,\{\overline{(s1)}
,0
\}
\}
 = \{\{\overline{(s1)}
,\overline{(s1)}
\}
,\{\overline{(s1)}
,0
\}
\}
)n
)n
; WeakenOr1
\rhd \dot{\neg}\,(\underline{(fx)}
[\overline{(s1)}
]
 = 0
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\{\{\overline{(s1)}
,\overline{(s1)}
\}
,\{\overline{(s1)}
,0
\}
\}
 = \{\{\overline{(s1)}
,\overline{(s1)}
\}
,\{\overline{(s1)}
,0
\}
\}
)n
)n
\gg \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\underline{(fx)}
[\overline{(s1)}
]
 = 0
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\{\{\overline{(s1)}
,\overline{(s1)}
\}
,\{\overline{(s1)}
,0
\}
\}
 = \{\{\overline{(s1)}
,\overline{(s1)}
\}
,\{\overline{(s1)}
,rec\underline{(fx)}
[\overline{(s1)}
]
\}
\}
)n
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\underline{(fx)}
[\overline{(s1)}
]
 = 0
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\{\{\overline{(s1)}
,\overline{(s1)}
\}
,\{\overline{(s1)}
,0
\}
\}
 = \{\{\overline{(s1)}
,\overline{(s1)}
\}
,\{\overline{(s1)}
,0
\}
\}
)n
)n
; IntroExist
\mathop {\char64} \overline{(s1)}
\rhd \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\underline{(fx)}
[\overline{(s1)}
]
 = 0
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\{\{\overline{(s1)}
,\overline{(s1)}
\}
,\{\overline{(s1)}
,0
\}
\}
 = \{\{\overline{(s1)}
,\overline{(s1)}
\}
,\{\overline{(s1)}
,rec\underline{(fx)}
[\overline{(s1)}
]
\}
\}
)n
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\underline{(fx)}
[\overline{(s1)}
]
 = 0
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\{\{\overline{(s1)}
,\overline{(s1)}
\}
,\{\overline{(s1)}
,0
\}
\}
 = \{\{\overline{(s1)}
,\overline{(s1)}
\}
,\{\overline{(s1)}
,0
\}
\}
)n
)n
\gg \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \underline{
\mathsf {m}}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
 = 0
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\{\{\overline{(s1)}
,\overline{(s1)}
\}
,\{\overline{(s1)}
,0
\}
\}
 = \{\{\underline{
\mathsf {m}}
,\underline{
\mathsf {m}}
\}
,\{\underline{
\mathsf {m}}
,rec\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
\}
\}
)n
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
 = 0
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\{\{\overline{(s1)}
,\overline{(s1)}
\}
,\{\overline{(s1)}
,0
\}
\}
 = \{\{\underline{
\mathsf {m}}
,\underline{
\mathsf {m}}
\}
,\{\underline{
\mathsf {m}}
,0
\}
\}
)n
)n
)n
)n
; Formula2Sep
\rhd \{\{\overline{(s1)}
,\overline{(s1)}
\}
,\{\overline{(s1)}
,0
\}
\}
 \mathrel{\in}  \{ ph \mathrel{\in} P(P(Union(\{N
,Q
\}
)
)
)
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op1)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op2)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\overline{(op1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(op2)}
 \mathrel{\in} Q
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\mathsf {a}
 _{Ph} 
 = \{\{\overline{(op1)}
,\overline{(op1)}
\}
,\{\overline{(op1)}
,\overline{(op2)}
\}
\}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\}
\rhd \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \underline{
\mathsf {m}}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
 = 0
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\{\{\overline{(s1)}
,\overline{(s1)}
\}
,\{\overline{(s1)}
,0
\}
\}
 = \{\{\underline{
\mathsf {m}}
,\underline{
\mathsf {m}}
\}
,\{\underline{
\mathsf {m}}
,rec\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
\}
\}
)n
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
 = 0
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\{\{\overline{(s1)}
,\overline{(s1)}
\}
,\{\overline{(s1)}
,0
\}
\}
 = \{\{\underline{
\mathsf {m}}
,\underline{
\mathsf {m}}
\}
,\{\underline{
\mathsf {m}}
,0
\}
\}
)n
)n
)n
)n
\gg \{\{\overline{(s1)}
,\overline{(s1)}
\}
,\{\overline{(s1)}
,0
\}
\}
 \mathrel{\in}  \{ ph \mathrel{\in}  \{ ph \mathrel{\in} P(P(Union(\{N
,Q
\}
)
)
)
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op1)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op2)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\overline{(op1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(op2)}
 \mathrel{\in} Q
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\mathsf {a}
 _{Ph} 
 = \{\{\overline{(op1)}
,\overline{(op1)}
\}
,\{\overline{(op1)}
,\overline{(op2)}
\}
\}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\}
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \underline{
\mathsf {m}}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
 = 0
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\mathsf {f}
 _{Ph} 
 = \{\{\underline{
\mathsf {m}}
,\underline{
\mathsf {m}}
\}
,\{\underline{
\mathsf {m}}
,rec\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
\}
\}
)n
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
 = 0
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\mathsf {f}
 _{Ph} 
 = \{\{\underline{
\mathsf {m}}
,\underline{
\mathsf {m}}
\}
,\{\underline{
\mathsf {m}}
,0
\}
\}
)n
)n
)n
)n
\}
; IntroExist
\mathop {\char64} 0
\rhd \{\{\overline{(s1)}
,\overline{(s1)}
\}
,\{\overline{(s1)}
,0
\}
\}
 \mathrel{\in}  \{ ph \mathrel{\in}  \{ ph \mathrel{\in} P(P(Union(\{N
,Q
\}
)
)
)
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op1)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op2)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\overline{(op1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(op2)}
 \mathrel{\in} Q
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\mathsf {a}
 _{Ph} 
 = \{\{\overline{(op1)}
,\overline{(op1)}
\}
,\{\overline{(op1)}
,\overline{(op2)}
\}
\}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\}
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \underline{
\mathsf {m}}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
 = 0
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\mathsf {f}
 _{Ph} 
 = \{\{\underline{
\mathsf {m}}
,\underline{
\mathsf {m}}
\}
,\{\underline{
\mathsf {m}}
,rec\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
\}
\}
)n
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
 = 0
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\mathsf {f}
 _{Ph} 
 = \{\{\underline{
\mathsf {m}}
,\underline{
\mathsf {m}}
\}
,\{\underline{
\mathsf {m}}
,0
\}
\}
)n
)n
)n
)n
\}
\gg \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(s2)}
\colon \dot{\neg}\,(\{\{\overline{(s1)}
,\overline{(s1)}
\}
,\{\overline{(s1)}
,\overline{(s2)}
\}
\}
 \mathrel{\in}  \{ ph \mathrel{\in}  \{ ph \mathrel{\in} P(P(Union(\{N
,Q
\}
)
)
)
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op1)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op2)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\overline{(op1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(op2)}
 \mathrel{\in} Q
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\mathsf {a}
 _{Ph} 
 = \{\{\overline{(op1)}
,\overline{(op1)}
\}
,\{\overline{(op1)}
,\overline{(op2)}
\}
\}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\}
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \underline{
\mathsf {m}}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
 = 0
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\mathsf {f}
 _{Ph} 
 = \{\{\underline{
\mathsf {m}}
,\underline{
\mathsf {m}}
\}
,\{\underline{
\mathsf {m}}
,rec\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
\}
\}
)n
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
 = 0
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\mathsf {f}
 _{Ph} 
 = \{\{\underline{
\mathsf {m}}
,\underline{
\mathsf {m}}
\}
,\{\underline{
\mathsf {m}}
,0
\}
\}
)n
)n
)n
)n
\}
)n
)n
; 
\forall \underline{(fx)}
\colon \dot{\neg}\,(\underline{(fx)}
[\overline{(s1)}
]
 = 0
)n
\vdash \overline{(s1)}
 \mathrel{\in} N
\vdash SeriesType
\gg \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(r1)}
\colon \overline{(r1)}
 \mathrel{\in} \underline{(fx)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op1)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op2)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\overline{(op1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(op2)}
 \mathrel{\in} Q
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(r1)}
 = \{\{\overline{(op1)}
,\overline{(op1)}
\}
,\{\overline{(op1)}
,\overline{(op2)}
\}
\}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(f1)}
\colon 
\forall_{obj} \overline{(f2)}
\colon 
\forall_{obj} \overline{(f3)}
\colon 
\forall_{obj} \overline{(f4)}
\colon \{\{\overline{(f1)}
,\overline{(f1)}
\}
,\{\overline{(f1)}
,\overline{(f2)}
\}
\}
 \mathrel{\in} \underline{(fx)}
\Rightarrow \{\{\overline{(f3)}
,\overline{(f3)}
\}
,\{\overline{(f3)}
,\overline{(f4)}
\}
\}
 \mathrel{\in} \underline{(fx)}
\Rightarrow \overline{(f1)}
 = \overline{(f3)}
\Rightarrow \overline{(f2)}
 = \overline{(f4)}
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(s1)}
\colon \overline{(s1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(s2)}
\colon \dot{\neg}\,(\{\{\overline{(s1)}
,\overline{(s1)}
\}
,\{\overline{(s1)}
,\overline{(s2)}
\}
\}
 \mathrel{\in} \underline{(fx)}
)n
)n
)n
)n
; ValueType
\rhd \overline{(s1)}
 \mathrel{\in} N
\rhd \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(r1)}
\colon \overline{(r1)}
 \mathrel{\in} \underline{(fx)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op1)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op2)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\overline{(op1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(op2)}
 \mathrel{\in} Q
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(r1)}
 = \{\{\overline{(op1)}
,\overline{(op1)}
\}
,\{\overline{(op1)}
,\overline{(op2)}
\}
\}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(f1)}
\colon 
\forall_{obj} \overline{(f2)}
\colon 
\forall_{obj} \overline{(f3)}
\colon 
\forall_{obj} \overline{(f4)}
\colon \{\{\overline{(f1)}
,\overline{(f1)}
\}
,\{\overline{(f1)}
,\overline{(f2)}
\}
\}
 \mathrel{\in} \underline{(fx)}
\Rightarrow \{\{\overline{(f3)}
,\overline{(f3)}
\}
,\{\overline{(f3)}
,\overline{(f4)}
\}
\}
 \mathrel{\in} \underline{(fx)}
\Rightarrow \overline{(f1)}
 = \overline{(f3)}
\Rightarrow \overline{(f2)}
 = \overline{(f4)}
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(s1)}
\colon \overline{(s1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(s2)}
\colon \dot{\neg}\,(\{\{\overline{(s1)}
,\overline{(s1)}
\}
,\{\overline{(s1)}
,\overline{(s2)}
\}
\}
 \mathrel{\in} \underline{(fx)}
)n
)n
)n
)n
\gg \underline{(fx)}
[\overline{(s1)}
]
 \mathrel{\in} Q
; QisClosed(Reciprocal)
\rhd \dot{\neg}\,(\underline{(fx)}
[\overline{(s1)}
]
 = 0
)n
\rhd \underline{(fx)}
[\overline{(s1)}
]
 \mathrel{\in} Q
\gg rec\underline{(fx)}
[\overline{(s1)}
]
 \mathrel{\in} Q
; ToCartProd
\rhd \overline{(s1)}
 \mathrel{\in} N
\rhd rec\underline{(fx)}
[\overline{(s1)}
]
 \mathrel{\in} Q
\gg \{\{\overline{(s1)}
,\overline{(s1)}
\}
,\{\overline{(s1)}
,rec\underline{(fx)}
[\overline{(s1)}
]
\}
\}
 \mathrel{\in}  \{ ph \mathrel{\in} P(P(Union(\{N
,Q
\}
)
)
)
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op1)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op2)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\overline{(op1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(op2)}
 \mathrel{\in} Q
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\mathsf {a}
 _{Ph} 
 = \{\{\overline{(op1)}
,\overline{(op1)}
\}
,\{\overline{(op1)}
,\overline{(op2)}
\}
\}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\}
; eqReflexivity
\gg \{\{\overline{(s1)}
,\overline{(s1)}
\}
,\{\overline{(s1)}
,rec\underline{(fx)}
[\overline{(s1)}
]
\}
\}
 = \{\{\overline{(s1)}
,\overline{(s1)}
\}
,\{\overline{(s1)}
,rec\underline{(fx)}
[\overline{(s1)}
]
\}
\}
; JoinConjuncts
\rhd \dot{\neg}\,(\underline{(fx)}
[\overline{(s1)}
]
 = 0
)n
\rhd \{\{\overline{(s1)}
,\overline{(s1)}
\}
,\{\overline{(s1)}
,rec\underline{(fx)}
[\overline{(s1)}
]
\}
\}
 = \{\{\overline{(s1)}
,\overline{(s1)}
\}
,\{\overline{(s1)}
,rec\underline{(fx)}
[\overline{(s1)}
]
\}
\}
\gg \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\underline{(fx)}
[\overline{(s1)}
]
 = 0
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\{\{\overline{(s1)}
,\overline{(s1)}
\}
,\{\overline{(s1)}
,rec\underline{(fx)}
[\overline{(s1)}
]
\}
\}
 = \{\{\overline{(s1)}
,\overline{(s1)}
\}
,\{\overline{(s1)}
,rec\underline{(fx)}
[\overline{(s1)}
]
\}
\}
)n
)n
; WeakenOr2
\rhd \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\underline{(fx)}
[\overline{(s1)}
]
 = 0
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\{\{\overline{(s1)}
,\overline{(s1)}
\}
,\{\overline{(s1)}
,rec\underline{(fx)}
[\overline{(s1)}
]
\}
\}
 = \{\{\overline{(s1)}
,\overline{(s1)}
\}
,\{\overline{(s1)}
,rec\underline{(fx)}
[\overline{(s1)}
]
\}
\}
)n
)n
\gg \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\underline{(fx)}
[\overline{(s1)}
]
 = 0
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\{\{\overline{(s1)}
,\overline{(s1)}
\}
,\{\overline{(s1)}
,rec\underline{(fx)}
[\overline{(s1)}
]
\}
\}
 = \{\{\overline{(s1)}
,\overline{(s1)}
\}
,\{\overline{(s1)}
,rec\underline{(fx)}
[\overline{(s1)}
]
\}
\}
)n
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\underline{(fx)}
[\overline{(s1)}
]
 = 0
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\{\{\overline{(s1)}
,\overline{(s1)}
\}
,\{\overline{(s1)}
,rec\underline{(fx)}
[\overline{(s1)}
]
\}
\}
 = \{\{\overline{(s1)}
,\overline{(s1)}
\}
,\{\overline{(s1)}
,0
\}
\}
)n
)n
; IntroExist
\mathop {\char64} \overline{(s1)}
\rhd \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\underline{(fx)}
[\overline{(s1)}
]
 = 0
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\{\{\overline{(s1)}
,\overline{(s1)}
\}
,\{\overline{(s1)}
,rec\underline{(fx)}
[\overline{(s1)}
]
\}
\}
 = \{\{\overline{(s1)}
,\overline{(s1)}
\}
,\{\overline{(s1)}
,rec\underline{(fx)}
[\overline{(s1)}
]
\}
\}
)n
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\underline{(fx)}
[\overline{(s1)}
]
 = 0
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\{\{\overline{(s1)}
,\overline{(s1)}
\}
,\{\overline{(s1)}
,rec\underline{(fx)}
[\overline{(s1)}
]
\}
\}
 = \{\{\overline{(s1)}
,\overline{(s1)}
\}
,\{\overline{(s1)}
,0
\}
\}
)n
)n
\gg \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \underline{
\mathsf {m}}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
 = 0
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\{\{\overline{(s1)}
,\overline{(s1)}
\}
,\{\overline{(s1)}
,rec\underline{(fx)}
[\overline{(s1)}
]
\}
\}
 = \{\{\underline{
\mathsf {m}}
,\underline{
\mathsf {m}}
\}
,\{\underline{
\mathsf {m}}
,rec\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
\}
\}
)n
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
 = 0
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\{\{\overline{(s1)}
,\overline{(s1)}
\}
,\{\overline{(s1)}
,rec\underline{(fx)}
[\overline{(s1)}
]
\}
\}
 = \{\{\underline{
\mathsf {m}}
,\underline{
\mathsf {m}}
\}
,\{\underline{
\mathsf {m}}
,0
\}
\}
)n
)n
)n
)n
; Formula2Sep
\rhd \{\{\overline{(s1)}
,\overline{(s1)}
\}
,\{\overline{(s1)}
,rec\underline{(fx)}
[\overline{(s1)}
]
\}
\}
 \mathrel{\in}  \{ ph \mathrel{\in} P(P(Union(\{N
,Q
\}
)
)
)
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op1)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op2)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\overline{(op1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(op2)}
 \mathrel{\in} Q
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\mathsf {a}
 _{Ph} 
 = \{\{\overline{(op1)}
,\overline{(op1)}
\}
,\{\overline{(op1)}
,\overline{(op2)}
\}
\}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\}
\rhd \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \underline{
\mathsf {m}}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
 = 0
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\{\{\overline{(s1)}
,\overline{(s1)}
\}
,\{\overline{(s1)}
,rec\underline{(fx)}
[\overline{(s1)}
]
\}
\}
 = \{\{\underline{
\mathsf {m}}
,\underline{
\mathsf {m}}
\}
,\{\underline{
\mathsf {m}}
,rec\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
\}
\}
)n
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
 = 0
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\{\{\overline{(s1)}
,\overline{(s1)}
\}
,\{\overline{(s1)}
,rec\underline{(fx)}
[\overline{(s1)}
]
\}
\}
 = \{\{\underline{
\mathsf {m}}
,\underline{
\mathsf {m}}
\}
,\{\underline{
\mathsf {m}}
,0
\}
\}
)n
)n
)n
)n
\gg \{\{\overline{(s1)}
,\overline{(s1)}
\}
,\{\overline{(s1)}
,rec\underline{(fx)}
[\overline{(s1)}
]
\}
\}
 \mathrel{\in}  \{ ph \mathrel{\in}  \{ ph \mathrel{\in} P(P(Union(\{N
,Q
\}
)
)
)
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op1)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op2)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\overline{(op1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(op2)}
 \mathrel{\in} Q
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\mathsf {a}
 _{Ph} 
 = \{\{\overline{(op1)}
,\overline{(op1)}
\}
,\{\overline{(op1)}
,\overline{(op2)}
\}
\}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\}
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \underline{
\mathsf {m}}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
 = 0
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\mathsf {f}
 _{Ph} 
 = \{\{\underline{
\mathsf {m}}
,\underline{
\mathsf {m}}
\}
,\{\underline{
\mathsf {m}}
,rec\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
\}
\}
)n
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
 = 0
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\mathsf {f}
 _{Ph} 
 = \{\{\underline{
\mathsf {m}}
,\underline{
\mathsf {m}}
\}
,\{\underline{
\mathsf {m}}
,0
\}
\}
)n
)n
)n
)n
\}
; IntroExist
\mathop {\char64} rec\underline{(fx)}
[\overline{(s1)}
]
\rhd \{\{\overline{(s1)}
,\overline{(s1)}
\}
,\{\overline{(s1)}
,rec\underline{(fx)}
[\overline{(s1)}
]
\}
\}
 \mathrel{\in}  \{ ph \mathrel{\in}  \{ ph \mathrel{\in} P(P(Union(\{N
,Q
\}
)
)
)
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op1)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op2)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\overline{(op1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(op2)}
 \mathrel{\in} Q
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\mathsf {a}
 _{Ph} 
 = \{\{\overline{(op1)}
,\overline{(op1)}
\}
,\{\overline{(op1)}
,\overline{(op2)}
\}
\}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\}
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \underline{
\mathsf {m}}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
 = 0
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\mathsf {f}
 _{Ph} 
 = \{\{\underline{
\mathsf {m}}
,\underline{
\mathsf {m}}
\}
,\{\underline{
\mathsf {m}}
,rec\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
\}
\}
)n
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
 = 0
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\mathsf {f}
 _{Ph} 
 = \{\{\underline{
\mathsf {m}}
,\underline{
\mathsf {m}}
\}
,\{\underline{
\mathsf {m}}
,0
\}
\}
)n
)n
)n
)n
\}
\gg \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(s2)}
\colon \dot{\neg}\,(\{\{\overline{(s1)}
,\overline{(s1)}
\}
,\{\overline{(s1)}
,\overline{(s2)}
\}
\}
 \mathrel{\in}  \{ ph \mathrel{\in}  \{ ph \mathrel{\in} P(P(Union(\{N
,Q
\}
)
)
)
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op1)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op2)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\overline{(op1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(op2)}
 \mathrel{\in} Q
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\mathsf {a}
 _{Ph} 
 = \{\{\overline{(op1)}
,\overline{(op1)}
\}
,\{\overline{(op1)}
,\overline{(op2)}
\}
\}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\}
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \underline{
\mathsf {m}}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
 = 0
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\mathsf {f}
 _{Ph} 
 = \{\{\underline{
\mathsf {m}}
,\underline{
\mathsf {m}}
\}
,\{\underline{
\mathsf {m}}
,rec\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
\}
\}
)n
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
 = 0
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\mathsf {f}
 _{Ph} 
 = \{\{\underline{
\mathsf {m}}
,\underline{
\mathsf {m}}
\}
,\{\underline{
\mathsf {m}}
,0
\}
\}
)n
)n
)n
)n
\}
)n
)n
; 
\forall \underline{(fx)}
\colon Ded
\rhd 
\forall \underline{(fx)}
\colon \underline{(fx)}
[\overline{(s1)}
]
 = 0
\vdash \overline{(s1)}
 \mathrel{\in} N
\vdash \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(s2)}
\colon \dot{\neg}\,(\{\{\overline{(s1)}
,\overline{(s1)}
\}
,\{\overline{(s1)}
,\overline{(s2)}
\}
\}
 \mathrel{\in}  \{ ph \mathrel{\in}  \{ ph \mathrel{\in} P(P(Union(\{N
,Q
\}
)
)
)
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op1)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op2)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\overline{(op1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(op2)}
 \mathrel{\in} Q
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\mathsf {a}
 _{Ph} 
 = \{\{\overline{(op1)}
,\overline{(op1)}
\}
,\{\overline{(op1)}
,\overline{(op2)}
\}
\}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\}
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \underline{
\mathsf {m}}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
 = 0
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\mathsf {f}
 _{Ph} 
 = \{\{\underline{
\mathsf {m}}
,\underline{
\mathsf {m}}
\}
,\{\underline{
\mathsf {m}}
,rec\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
\}
\}
)n
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
 = 0
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\mathsf {f}
 _{Ph} 
 = \{\{\underline{
\mathsf {m}}
,\underline{
\mathsf {m}}
\}
,\{\underline{
\mathsf {m}}
,0
\}
\}
)n
)n
)n
)n
\}
)n
)n
\gg \underline{(fx)}
[\overline{(s1)}
]
 = 0
\Rightarrow 
\forall_{obj} \overline{(s1)}
\colon \overline{(s1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(s2)}
\colon \dot{\neg}\,(\{\{\overline{(s1)}
,\overline{(s1)}
\}
,\{\overline{(s1)}
,\overline{(s2)}
\}
\}
 \mathrel{\in}  \{ ph \mathrel{\in}  \{ ph \mathrel{\in} P(P(Union(\{N
,Q
\}
)
)
)
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op1)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op2)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\overline{(op1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(op2)}
 \mathrel{\in} Q
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\mathsf {a}
 _{Ph} 
 = \{\{\overline{(op1)}
,\overline{(op1)}
\}
,\{\overline{(op1)}
,\overline{(op2)}
\}
\}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\}
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \underline{
\mathsf {m}}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
 = 0
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\mathsf {f}
 _{Ph} 
 = \{\{\underline{
\mathsf {m}}
,\underline{
\mathsf {m}}
\}
,\{\underline{
\mathsf {m}}
,rec\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
\}
\}
)n
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
 = 0
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\mathsf {f}
 _{Ph} 
 = \{\{\underline{
\mathsf {m}}
,\underline{
\mathsf {m}}
\}
,\{\underline{
\mathsf {m}}
,0
\}
\}
)n
)n
)n
)n
\}
)n
)n
; Ded
\rhd 
\forall \underline{(fx)}
\colon \dot{\neg}\,(\underline{(fx)}
[\overline{(s1)}
]
 = 0
)n
\vdash \overline{(s1)}
 \mathrel{\in} N
\vdash \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(s2)}
\colon \dot{\neg}\,(\{\{\overline{(s1)}
,\overline{(s1)}
\}
,\{\overline{(s1)}
,\overline{(s2)}
\}
\}
 \mathrel{\in}  \{ ph \mathrel{\in}  \{ ph \mathrel{\in} P(P(Union(\{N
,Q
\}
)
)
)
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op1)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op2)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\overline{(op1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(op2)}
 \mathrel{\in} Q
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\mathsf {a}
 _{Ph} 
 = \{\{\overline{(op1)}
,\overline{(op1)}
\}
,\{\overline{(op1)}
,\overline{(op2)}
\}
\}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\}
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \underline{
\mathsf {m}}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
 = 0
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\mathsf {f}
 _{Ph} 
 = \{\{\underline{
\mathsf {m}}
,\underline{
\mathsf {m}}
\}
,\{\underline{
\mathsf {m}}
,rec\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
\}
\}
)n
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
 = 0
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\mathsf {f}
 _{Ph} 
 = \{\{\underline{
\mathsf {m}}
,\underline{
\mathsf {m}}
\}
,\{\underline{
\mathsf {m}}
,0
\}
\}
)n
)n
)n
)n
\}
)n
)n
\gg \dot{\neg}\,(\underline{(fx)}
[\overline{(s1)}
]
 = 0
)n
\Rightarrow 
\forall_{obj} \overline{(s1)}
\colon \overline{(s1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(s2)}
\colon \dot{\neg}\,(\{\{\overline{(s1)}
,\overline{(s1)}
\}
,\{\overline{(s1)}
,\overline{(s2)}
\}
\}
 \mathrel{\in}  \{ ph \mathrel{\in}  \{ ph \mathrel{\in} P(P(Union(\{N
,Q
\}
)
)
)
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op1)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op2)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\overline{(op1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(op2)}
 \mathrel{\in} Q
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\mathsf {a}
 _{Ph} 
 = \{\{\overline{(op1)}
,\overline{(op1)}
\}
,\{\overline{(op1)}
,\overline{(op2)}
\}
\}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\}
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \underline{
\mathsf {m}}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
 = 0
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\mathsf {f}
 _{Ph} 
 = \{\{\underline{
\mathsf {m}}
,\underline{
\mathsf {m}}
\}
,\{\underline{
\mathsf {m}}
,rec\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
\}
\}
)n
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
 = 0
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\mathsf {f}
 _{Ph} 
 = \{\{\underline{
\mathsf {m}}
,\underline{
\mathsf {m}}
\}
,\{\underline{
\mathsf {m}}
,0
\}
\}
)n
)n
)n
)n
\}
)n
)n
; FromNegations
\rhd \underline{(fx)}
[\overline{(s1)}
]
 = 0
\Rightarrow 
\forall_{obj} \overline{(s1)}
\colon \overline{(s1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(s2)}
\colon \dot{\neg}\,(\{\{\overline{(s1)}
,\overline{(s1)}
\}
,\{\overline{(s1)}
,\overline{(s2)}
\}
\}
 \mathrel{\in}  \{ ph \mathrel{\in}  \{ ph \mathrel{\in} P(P(Union(\{N
,Q
\}
)
)
)
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op1)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op2)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\overline{(op1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(op2)}
 \mathrel{\in} Q
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\mathsf {a}
 _{Ph} 
 = \{\{\overline{(op1)}
,\overline{(op1)}
\}
,\{\overline{(op1)}
,\overline{(op2)}
\}
\}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\}
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \underline{
\mathsf {m}}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
 = 0
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\mathsf {f}
 _{Ph} 
 = \{\{\underline{
\mathsf {m}}
,\underline{
\mathsf {m}}
\}
,\{\underline{
\mathsf {m}}
,rec\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
\}
\}
)n
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
 = 0
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\mathsf {f}
 _{Ph} 
 = \{\{\underline{
\mathsf {m}}
,\underline{
\mathsf {m}}
\}
,\{\underline{
\mathsf {m}}
,0
\}
\}
)n
)n
)n
)n
\}
)n
)n
\rhd \dot{\neg}\,(\underline{(fx)}
[\overline{(s1)}
]
 = 0
)n
\Rightarrow 
\forall_{obj} \overline{(s1)}
\colon \overline{(s1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(s2)}
\colon \dot{\neg}\,(\{\{\overline{(s1)}
,\overline{(s1)}
\}
,\{\overline{(s1)}
,\overline{(s2)}
\}
\}
 \mathrel{\in}  \{ ph \mathrel{\in}  \{ ph \mathrel{\in} P(P(Union(\{N
,Q
\}
)
)
)
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op1)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op2)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\overline{(op1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(op2)}
 \mathrel{\in} Q
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\mathsf {a}
 _{Ph} 
 = \{\{\overline{(op1)}
,\overline{(op1)}
\}
,\{\overline{(op1)}
,\overline{(op2)}
\}
\}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\}
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \underline{
\mathsf {m}}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
 = 0
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\mathsf {f}
 _{Ph} 
 = \{\{\underline{
\mathsf {m}}
,\underline{
\mathsf {m}}
\}
,\{\underline{
\mathsf {m}}
,rec\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
\}
\}
)n
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
 = 0
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\mathsf {f}
 _{Ph} 
 = \{\{\underline{
\mathsf {m}}
,\underline{
\mathsf {m}}
\}
,\{\underline{
\mathsf {m}}
,0
\}
\}
)n
)n
)n
)n
\}
)n
)n
\gg 
\forall_{obj} \overline{(s1)}
\colon \overline{(s1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(s2)}
\colon \dot{\neg}\,(\{\{\overline{(s1)}
,\overline{(s1)}
\}
,\{\overline{(s1)}
,\overline{(s2)}
\}
\}
 \mathrel{\in}  \{ ph \mathrel{\in}  \{ ph \mathrel{\in} P(P(Union(\{N
,Q
\}
)
)
)
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op1)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op2)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\overline{(op1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(op2)}
 \mathrel{\in} Q
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\mathsf {a}
 _{Ph} 
 = \{\{\overline{(op1)}
,\overline{(op1)}
\}
,\{\overline{(op1)}
,\overline{(op2)}
\}
\}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\}
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \underline{
\mathsf {m}}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
 = 0
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\mathsf {f}
 _{Ph} 
 = \{\{\underline{
\mathsf {m}}
,\underline{
\mathsf {m}}
\}
,\{\underline{
\mathsf {m}}
,rec\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
\}
\}
)n
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
 = 0
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\mathsf {f}
 _{Ph} 
 = \{\{\underline{
\mathsf {m}}
,\underline{
\mathsf {m}}
\}
,\{\underline{
\mathsf {m}}
,0
\}
\}
)n
)n
)n
)n
\}
)n
)n
\rceil 
, 
p_0
, 
\mathsf {c}
)
]$






$
[ReciprocalIsRationalSeries
\stackrel{
stmt
}{\rightarrow}SystemQ
\vdash 
\forall \underline{(fx)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(r1)}
\colon \overline{(r1)}
 \mathrel{\in}  \{ ph \mathrel{\in}  \{ ph \mathrel{\in} P(P(Union(\{N
,Q
\}
)
)
)
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op1)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op2)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\overline{(op1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(op2)}
 \mathrel{\in} Q
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\mathsf {a}
 _{Ph} 
 = \{\{\overline{(op1)}
,\overline{(op1)}
\}
,\{\overline{(op1)}
,\overline{(op2)}
\}
\}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\}
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \underline{
\mathsf {m}}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
 = 0
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\mathsf {f}
 _{Ph} 
 = \{\{\underline{
\mathsf {m}}
,\underline{
\mathsf {m}}
\}
,\{\underline{
\mathsf {m}}
,rec\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
\}
\}
)n
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
 = 0
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\mathsf {f}
 _{Ph} 
 = \{\{\underline{
\mathsf {m}}
,\underline{
\mathsf {m}}
\}
,\{\underline{
\mathsf {m}}
,0
\}
\}
)n
)n
)n
)n
\}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op1)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op2)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\overline{(op1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(op2)}
 \mathrel{\in} Q
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(r1)}
 = \{\{\overline{(op1)}
,\overline{(op1)}
\}
,\{\overline{(op1)}
,\overline{(op2)}
\}
\}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(f1)}
\colon 
\forall_{obj} \overline{(f2)}
\colon 
\forall_{obj} \overline{(f3)}
\colon 
\forall_{obj} \overline{(f4)}
\colon \{\{\overline{(f1)}
,\overline{(f1)}
\}
,\{\overline{(f1)}
,\overline{(f2)}
\}
\}
 \mathrel{\in}  \{ ph \mathrel{\in}  \{ ph \mathrel{\in} P(P(Union(\{N
,Q
\}
)
)
)
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op1)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op2)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\overline{(op1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(op2)}
 \mathrel{\in} Q
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\mathsf {a}
 _{Ph} 
 = \{\{\overline{(op1)}
,\overline{(op1)}
\}
,\{\overline{(op1)}
,\overline{(op2)}
\}
\}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\}
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \underline{
\mathsf {m}}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
 = 0
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\mathsf {f}
 _{Ph} 
 = \{\{\underline{
\mathsf {m}}
,\underline{
\mathsf {m}}
\}
,\{\underline{
\mathsf {m}}
,rec\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
\}
\}
)n
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
 = 0
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\mathsf {f}
 _{Ph} 
 = \{\{\underline{
\mathsf {m}}
,\underline{
\mathsf {m}}
\}
,\{\underline{
\mathsf {m}}
,0
\}
\}
)n
)n
)n
)n
\}
\Rightarrow \{\{\overline{(f3)}
,\overline{(f3)}
\}
,\{\overline{(f3)}
,\overline{(f4)}
\}
\}
 \mathrel{\in}  \{ ph \mathrel{\in}  \{ ph \mathrel{\in} P(P(Union(\{N
,Q
\}
)
)
)
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op1)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op2)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\overline{(op1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(op2)}
 \mathrel{\in} Q
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\mathsf {a}
 _{Ph} 
 = \{\{\overline{(op1)}
,\overline{(op1)}
\}
,\{\overline{(op1)}
,\overline{(op2)}
\}
\}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\}
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \underline{
\mathsf {m}}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
 = 0
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\mathsf {f}
 _{Ph} 
 = \{\{\underline{
\mathsf {m}}
,\underline{
\mathsf {m}}
\}
,\{\underline{
\mathsf {m}}
,rec\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
\}
\}
)n
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
 = 0
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\mathsf {f}
 _{Ph} 
 = \{\{\underline{
\mathsf {m}}
,\underline{
\mathsf {m}}
\}
,\{\underline{
\mathsf {m}}
,0
\}
\}
)n
)n
)n
)n
\}
\Rightarrow \overline{(f1)}
 = \overline{(f3)}
\Rightarrow \overline{(f2)}
 = \overline{(f4)}
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(s1)}
\colon \overline{(s1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(s2)}
\colon \dot{\neg}\,(\{\{\overline{(s1)}
,\overline{(s1)}
\}
,\{\overline{(s1)}
,\overline{(s2)}
\}
\}
 \mathrel{\in}  \{ ph \mathrel{\in}  \{ ph \mathrel{\in} P(P(Union(\{N
,Q
\}
)
)
)
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op1)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op2)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\overline{(op1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(op2)}
 \mathrel{\in} Q
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\mathsf {a}
 _{Ph} 
 = \{\{\overline{(op1)}
,\overline{(op1)}
\}
,\{\overline{(op1)}
,\overline{(op2)}
\}
\}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\}
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \underline{
\mathsf {m}}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
 = 0
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\mathsf {f}
 _{Ph} 
 = \{\{\underline{
\mathsf {m}}
,\underline{
\mathsf {m}}
\}
,\{\underline{
\mathsf {m}}
,rec\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
\}
\}
)n
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
 = 0
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\mathsf {f}
 _{Ph} 
 = \{\{\underline{
\mathsf {m}}
,\underline{
\mathsf {m}}
\}
,\{\underline{
\mathsf {m}}
,0
\}
\}
)n
)n
)n
)n
\}
)n
)n
)n
)n
]$

$
[ReciprocalIsRationalSeries
\stackrel{
proof
}{\rightarrow}
\lambda 
\mathsf {c}
.
\lambda 
\mathsf{x}
.
{\cal P}( 
\lceil SystemQ
\vdash 
\forall \underline{(fx)}
\colon CPseparationIsRelation
\gg 
\forall_{obj} \overline{(r1)}
\colon \overline{(r1)}
 \mathrel{\in}  \{ ph \mathrel{\in}  \{ ph \mathrel{\in} P(P(Union(\{N
,Q
\}
)
)
)
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op1)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op2)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\overline{(op1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(op2)}
 \mathrel{\in} Q
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\mathsf {a}
 _{Ph} 
 = \{\{\overline{(op1)}
,\overline{(op1)}
\}
,\{\overline{(op1)}
,\overline{(op2)}
\}
\}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\}
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \underline{
\mathsf {m}}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
 = 0
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\mathsf {f}
 _{Ph} 
 = \{\{\underline{
\mathsf {m}}
,\underline{
\mathsf {m}}
\}
,\{\underline{
\mathsf {m}}
,rec\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
\}
\}
)n
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
 = 0
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\mathsf {f}
 _{Ph} 
 = \{\{\underline{
\mathsf {m}}
,\underline{
\mathsf {m}}
\}
,\{\underline{
\mathsf {m}}
,0
\}
\}
)n
)n
)n
)n
\}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op1)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op2)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\overline{(op1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(op2)}
 \mathrel{\in} Q
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(r1)}
 = \{\{\overline{(op1)}
,\overline{(op1)}
\}
,\{\overline{(op1)}
,\overline{(op2)}
\}
\}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
; ReciprocalIsFunction
\gg 
\forall_{obj} \overline{(f1)}
\colon 
\forall_{obj} \overline{(f2)}
\colon 
\forall_{obj} \overline{(f3)}
\colon 
\forall_{obj} \overline{(f4)}
\colon \{\{\overline{(f1)}
,\overline{(f1)}
\}
,\{\overline{(f1)}
,\overline{(f2)}
\}
\}
 \mathrel{\in}  \{ ph \mathrel{\in}  \{ ph \mathrel{\in} P(P(Union(\{N
,Q
\}
)
)
)
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op1)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op2)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\overline{(op1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(op2)}
 \mathrel{\in} Q
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\mathsf {a}
 _{Ph} 
 = \{\{\overline{(op1)}
,\overline{(op1)}
\}
,\{\overline{(op1)}
,\overline{(op2)}
\}
\}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\}
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \underline{
\mathsf {m}}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
 = 0
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\mathsf {f}
 _{Ph} 
 = \{\{\underline{
\mathsf {m}}
,\underline{
\mathsf {m}}
\}
,\{\underline{
\mathsf {m}}
,rec\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
\}
\}
)n
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
 = 0
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\mathsf {f}
 _{Ph} 
 = \{\{\underline{
\mathsf {m}}
,\underline{
\mathsf {m}}
\}
,\{\underline{
\mathsf {m}}
,0
\}
\}
)n
)n
)n
)n
\}
\Rightarrow \{\{\overline{(f3)}
,\overline{(f3)}
\}
,\{\overline{(f3)}
,\overline{(f4)}
\}
\}
 \mathrel{\in}  \{ ph \mathrel{\in}  \{ ph \mathrel{\in} P(P(Union(\{N
,Q
\}
)
)
)
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op1)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op2)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\overline{(op1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(op2)}
 \mathrel{\in} Q
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\mathsf {a}
 _{Ph} 
 = \{\{\overline{(op1)}
,\overline{(op1)}
\}
,\{\overline{(op1)}
,\overline{(op2)}
\}
\}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\}
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \underline{
\mathsf {m}}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
 = 0
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\mathsf {f}
 _{Ph} 
 = \{\{\underline{
\mathsf {m}}
,\underline{
\mathsf {m}}
\}
,\{\underline{
\mathsf {m}}
,rec\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
\}
\}
)n
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
 = 0
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\mathsf {f}
 _{Ph} 
 = \{\{\underline{
\mathsf {m}}
,\underline{
\mathsf {m}}
\}
,\{\underline{
\mathsf {m}}
,0
\}
\}
)n
)n
)n
)n
\}
\Rightarrow \overline{(f1)}
 = \overline{(f3)}
\Rightarrow \overline{(f2)}
 = \overline{(f4)}
; ReciprocalIsTotal
\gg 
\forall_{obj} \overline{(s1)}
\colon \overline{(s1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(s2)}
\colon \dot{\neg}\,(\{\{\overline{(s1)}
,\overline{(s1)}
\}
,\{\overline{(s1)}
,\overline{(s2)}
\}
\}
 \mathrel{\in}  \{ ph \mathrel{\in}  \{ ph \mathrel{\in} P(P(Union(\{N
,Q
\}
)
)
)
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op1)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op2)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\overline{(op1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(op2)}
 \mathrel{\in} Q
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\mathsf {a}
 _{Ph} 
 = \{\{\overline{(op1)}
,\overline{(op1)}
\}
,\{\overline{(op1)}
,\overline{(op2)}
\}
\}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\}
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \underline{
\mathsf {m}}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
 = 0
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\mathsf {f}
 _{Ph} 
 = \{\{\underline{
\mathsf {m}}
,\underline{
\mathsf {m}}
\}
,\{\underline{
\mathsf {m}}
,rec\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
\}
\}
)n
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
 = 0
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\mathsf {f}
 _{Ph} 
 = \{\{\underline{
\mathsf {m}}
,\underline{
\mathsf {m}}
\}
,\{\underline{
\mathsf {m}}
,0
\}
\}
)n
)n
)n
)n
\}
)n
)n
; ToSeries
\rhd 
\forall_{obj} \overline{(r1)}
\colon \overline{(r1)}
 \mathrel{\in}  \{ ph \mathrel{\in}  \{ ph \mathrel{\in} P(P(Union(\{N
,Q
\}
)
)
)
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op1)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op2)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\overline{(op1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(op2)}
 \mathrel{\in} Q
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\mathsf {a}
 _{Ph} 
 = \{\{\overline{(op1)}
,\overline{(op1)}
\}
,\{\overline{(op1)}
,\overline{(op2)}
\}
\}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\}
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \underline{
\mathsf {m}}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
 = 0
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\mathsf {f}
 _{Ph} 
 = \{\{\underline{
\mathsf {m}}
,\underline{
\mathsf {m}}
\}
,\{\underline{
\mathsf {m}}
,rec\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
\}
\}
)n
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
 = 0
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\mathsf {f}
 _{Ph} 
 = \{\{\underline{
\mathsf {m}}
,\underline{
\mathsf {m}}
\}
,\{\underline{
\mathsf {m}}
,0
\}
\}
)n
)n
)n
)n
\}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op1)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op2)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\overline{(op1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(op2)}
 \mathrel{\in} Q
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(r1)}
 = \{\{\overline{(op1)}
,\overline{(op1)}
\}
,\{\overline{(op1)}
,\overline{(op2)}
\}
\}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\rhd 
\forall_{obj} \overline{(f1)}
\colon 
\forall_{obj} \overline{(f2)}
\colon 
\forall_{obj} \overline{(f3)}
\colon 
\forall_{obj} \overline{(f4)}
\colon \{\{\overline{(f1)}
,\overline{(f1)}
\}
,\{\overline{(f1)}
,\overline{(f2)}
\}
\}
 \mathrel{\in}  \{ ph \mathrel{\in}  \{ ph \mathrel{\in} P(P(Union(\{N
,Q
\}
)
)
)
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op1)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op2)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\overline{(op1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(op2)}
 \mathrel{\in} Q
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\mathsf {a}
 _{Ph} 
 = \{\{\overline{(op1)}
,\overline{(op1)}
\}
,\{\overline{(op1)}
,\overline{(op2)}
\}
\}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\}
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \underline{
\mathsf {m}}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
 = 0
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\mathsf {f}
 _{Ph} 
 = \{\{\underline{
\mathsf {m}}
,\underline{
\mathsf {m}}
\}
,\{\underline{
\mathsf {m}}
,rec\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
\}
\}
)n
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
 = 0
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\mathsf {f}
 _{Ph} 
 = \{\{\underline{
\mathsf {m}}
,\underline{
\mathsf {m}}
\}
,\{\underline{
\mathsf {m}}
,0
\}
\}
)n
)n
)n
)n
\}
\Rightarrow \{\{\overline{(f3)}
,\overline{(f3)}
\}
,\{\overline{(f3)}
,\overline{(f4)}
\}
\}
 \mathrel{\in}  \{ ph \mathrel{\in}  \{ ph \mathrel{\in} P(P(Union(\{N
,Q
\}
)
)
)
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op1)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op2)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\overline{(op1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(op2)}
 \mathrel{\in} Q
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\mathsf {a}
 _{Ph} 
 = \{\{\overline{(op1)}
,\overline{(op1)}
\}
,\{\overline{(op1)}
,\overline{(op2)}
\}
\}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\}
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \underline{
\mathsf {m}}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
 = 0
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\mathsf {f}
 _{Ph} 
 = \{\{\underline{
\mathsf {m}}
,\underline{
\mathsf {m}}
\}
,\{\underline{
\mathsf {m}}
,rec\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
\}
\}
)n
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
 = 0
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\mathsf {f}
 _{Ph} 
 = \{\{\underline{
\mathsf {m}}
,\underline{
\mathsf {m}}
\}
,\{\underline{
\mathsf {m}}
,0
\}
\}
)n
)n
)n
)n
\}
\Rightarrow \overline{(f1)}
 = \overline{(f3)}
\Rightarrow \overline{(f2)}
 = \overline{(f4)}
\rhd 
\forall_{obj} \overline{(s1)}
\colon \overline{(s1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(s2)}
\colon \dot{\neg}\,(\{\{\overline{(s1)}
,\overline{(s1)}
\}
,\{\overline{(s1)}
,\overline{(s2)}
\}
\}
 \mathrel{\in}  \{ ph \mathrel{\in}  \{ ph \mathrel{\in} P(P(Union(\{N
,Q
\}
)
)
)
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op1)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op2)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\overline{(op1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(op2)}
 \mathrel{\in} Q
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\mathsf {a}
 _{Ph} 
 = \{\{\overline{(op1)}
,\overline{(op1)}
\}
,\{\overline{(op1)}
,\overline{(op2)}
\}
\}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\}
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \underline{
\mathsf {m}}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
 = 0
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\mathsf {f}
 _{Ph} 
 = \{\{\underline{
\mathsf {m}}
,\underline{
\mathsf {m}}
\}
,\{\underline{
\mathsf {m}}
,rec\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
\}
\}
)n
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
 = 0
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\mathsf {f}
 _{Ph} 
 = \{\{\underline{
\mathsf {m}}
,\underline{
\mathsf {m}}
\}
,\{\underline{
\mathsf {m}}
,0
\}
\}
)n
)n
)n
)n
\}
)n
)n
\gg \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(r1)}
\colon \overline{(r1)}
 \mathrel{\in}  \{ ph \mathrel{\in}  \{ ph \mathrel{\in} P(P(Union(\{N
,Q
\}
)
)
)
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op1)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op2)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\overline{(op1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(op2)}
 \mathrel{\in} Q
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\mathsf {a}
 _{Ph} 
 = \{\{\overline{(op1)}
,\overline{(op1)}
\}
,\{\overline{(op1)}
,\overline{(op2)}
\}
\}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\}
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \underline{
\mathsf {m}}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
 = 0
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\mathsf {f}
 _{Ph} 
 = \{\{\underline{
\mathsf {m}}
,\underline{
\mathsf {m}}
\}
,\{\underline{
\mathsf {m}}
,rec\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
\}
\}
)n
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
 = 0
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\mathsf {f}
 _{Ph} 
 = \{\{\underline{
\mathsf {m}}
,\underline{
\mathsf {m}}
\}
,\{\underline{
\mathsf {m}}
,0
\}
\}
)n
)n
)n
)n
\}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op1)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op2)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\overline{(op1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(op2)}
 \mathrel{\in} Q
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(r1)}
 = \{\{\overline{(op1)}
,\overline{(op1)}
\}
,\{\overline{(op1)}
,\overline{(op2)}
\}
\}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(f1)}
\colon 
\forall_{obj} \overline{(f2)}
\colon 
\forall_{obj} \overline{(f3)}
\colon 
\forall_{obj} \overline{(f4)}
\colon \{\{\overline{(f1)}
,\overline{(f1)}
\}
,\{\overline{(f1)}
,\overline{(f2)}
\}
\}
 \mathrel{\in}  \{ ph \mathrel{\in}  \{ ph \mathrel{\in} P(P(Union(\{N
,Q
\}
)
)
)
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op1)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op2)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\overline{(op1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(op2)}
 \mathrel{\in} Q
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\mathsf {a}
 _{Ph} 
 = \{\{\overline{(op1)}
,\overline{(op1)}
\}
,\{\overline{(op1)}
,\overline{(op2)}
\}
\}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\}
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \underline{
\mathsf {m}}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
 = 0
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\mathsf {f}
 _{Ph} 
 = \{\{\underline{
\mathsf {m}}
,\underline{
\mathsf {m}}
\}
,\{\underline{
\mathsf {m}}
,rec\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
\}
\}
)n
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
 = 0
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\mathsf {f}
 _{Ph} 
 = \{\{\underline{
\mathsf {m}}
,\underline{
\mathsf {m}}
\}
,\{\underline{
\mathsf {m}}
,0
\}
\}
)n
)n
)n
)n
\}
\Rightarrow \{\{\overline{(f3)}
,\overline{(f3)}
\}
,\{\overline{(f3)}
,\overline{(f4)}
\}
\}
 \mathrel{\in}  \{ ph \mathrel{\in}  \{ ph \mathrel{\in} P(P(Union(\{N
,Q
\}
)
)
)
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op1)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op2)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\overline{(op1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(op2)}
 \mathrel{\in} Q
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\mathsf {a}
 _{Ph} 
 = \{\{\overline{(op1)}
,\overline{(op1)}
\}
,\{\overline{(op1)}
,\overline{(op2)}
\}
\}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\}
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \underline{
\mathsf {m}}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
 = 0
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\mathsf {f}
 _{Ph} 
 = \{\{\underline{
\mathsf {m}}
,\underline{
\mathsf {m}}
\}
,\{\underline{
\mathsf {m}}
,rec\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
\}
\}
)n
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
 = 0
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\mathsf {f}
 _{Ph} 
 = \{\{\underline{
\mathsf {m}}
,\underline{
\mathsf {m}}
\}
,\{\underline{
\mathsf {m}}
,0
\}
\}
)n
)n
)n
)n
\}
\Rightarrow \overline{(f1)}
 = \overline{(f3)}
\Rightarrow \overline{(f2)}
 = \overline{(f4)}
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(s1)}
\colon \overline{(s1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(s2)}
\colon \dot{\neg}\,(\{\{\overline{(s1)}
,\overline{(s1)}
\}
,\{\overline{(s1)}
,\overline{(s2)}
\}
\}
 \mathrel{\in}  \{ ph \mathrel{\in}  \{ ph \mathrel{\in} P(P(Union(\{N
,Q
\}
)
)
)
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op1)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op2)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\overline{(op1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(op2)}
 \mathrel{\in} Q
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\mathsf {a}
 _{Ph} 
 = \{\{\overline{(op1)}
,\overline{(op1)}
\}
,\{\overline{(op1)}
,\overline{(op2)}
\}
\}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\}
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \underline{
\mathsf {m}}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
 = 0
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\mathsf {f}
 _{Ph} 
 = \{\{\underline{
\mathsf {m}}
,\underline{
\mathsf {m}}
\}
,\{\underline{
\mathsf {m}}
,rec\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
\}
\}
)n
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
 = 0
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\mathsf {f}
 _{Ph} 
 = \{\{\underline{
\mathsf {m}}
,\underline{
\mathsf {m}}
\}
,\{\underline{
\mathsf {m}}
,0
\}
\}
)n
)n
)n
)n
\}
)n
)n
)n
)n
\rceil 
, 
p_0
, 
\mathsf {c}
)
]$

$
[ReciprocalFnynonzero
\stackrel{
stmt
}{\rightarrow}SystemQ
\vdash 
\forall \underline{
\mathsf {m}}
\colon 
\forall \underline{(m1)}
\colon 
\forall \underline{(fx)}
\colon \dot{\neg}\,(\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
 = 0
)n
\vdash  \{ ph \mathrel{\in}  \{ ph \mathrel{\in} P(P(Union(\{N
,Q
\}
)
)
)
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op1)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op2)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\overline{(op1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(op2)}
 \mathrel{\in} Q
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\mathsf {a}
 _{Ph} 
 = \{\{\overline{(op1)}
,\overline{(op1)}
\}
,\{\overline{(op1)}
,\overline{(op2)}
\}
\}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\}
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \underline{
\mathsf {m}}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
 = 0
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\mathsf {f}
 _{Ph} 
 = \{\{\underline{
\mathsf {m}}
,\underline{
\mathsf {m}}
\}
,\{\underline{
\mathsf {m}}
,rec\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
\}
\}
)n
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
 = 0
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\mathsf {f}
 _{Ph} 
 = \{\{\underline{
\mathsf {m}}
,\underline{
\mathsf {m}}
\}
,\{\underline{
\mathsf {m}}
,0
\}
\}
)n
)n
)n
)n
\}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
 = rec\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
]$


$
[ReciprocalFnynonzero
\stackrel{
proof
}{\rightarrow}
\lambda 
\mathsf {c}
.
\lambda 
\mathsf{x}
.
{\cal P}( 
\lceil SystemQ
\vdash 
\forall \underline{
\mathsf {m}}
\colon 
\forall \underline{(m1)}
\colon 
\forall \underline{(fx)}
\colon \dot{\neg}\,(\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
 = 0
)n
\vdash NatType
\gg \underline{
\mathsf {m}}
 \mathrel{\in} N
; ReciprocalIsRationalSeries
\gg \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(r1)}
\colon \overline{(r1)}
 \mathrel{\in}  \{ ph \mathrel{\in}  \{ ph \mathrel{\in} P(P(Union(\{N
,Q
\}
)
)
)
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op1)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op2)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\overline{(op1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(op2)}
 \mathrel{\in} Q
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\mathsf {a}
 _{Ph} 
 = \{\{\overline{(op1)}
,\overline{(op1)}
\}
,\{\overline{(op1)}
,\overline{(op2)}
\}
\}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\}
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \underline{
\mathsf {m}}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
 = 0
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\mathsf {f}
 _{Ph} 
 = \{\{\underline{
\mathsf {m}}
,\underline{
\mathsf {m}}
\}
,\{\underline{
\mathsf {m}}
,rec\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
\}
\}
)n
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
 = 0
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\mathsf {f}
 _{Ph} 
 = \{\{\underline{
\mathsf {m}}
,\underline{
\mathsf {m}}
\}
,\{\underline{
\mathsf {m}}
,0
\}
\}
)n
)n
)n
)n
\}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op1)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op2)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\overline{(op1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(op2)}
 \mathrel{\in} Q
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(r1)}
 = \{\{\overline{(op1)}
,\overline{(op1)}
\}
,\{\overline{(op1)}
,\overline{(op2)}
\}
\}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(f1)}
\colon 
\forall_{obj} \overline{(f2)}
\colon 
\forall_{obj} \overline{(f3)}
\colon 
\forall_{obj} \overline{(f4)}
\colon \{\{\overline{(f1)}
,\overline{(f1)}
\}
,\{\overline{(f1)}
,\overline{(f2)}
\}
\}
 \mathrel{\in}  \{ ph \mathrel{\in}  \{ ph \mathrel{\in} P(P(Union(\{N
,Q
\}
)
)
)
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op1)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op2)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\overline{(op1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(op2)}
 \mathrel{\in} Q
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\mathsf {a}
 _{Ph} 
 = \{\{\overline{(op1)}
,\overline{(op1)}
\}
,\{\overline{(op1)}
,\overline{(op2)}
\}
\}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\}
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \underline{
\mathsf {m}}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
 = 0
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\mathsf {f}
 _{Ph} 
 = \{\{\underline{
\mathsf {m}}
,\underline{
\mathsf {m}}
\}
,\{\underline{
\mathsf {m}}
,rec\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
\}
\}
)n
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
 = 0
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\mathsf {f}
 _{Ph} 
 = \{\{\underline{
\mathsf {m}}
,\underline{
\mathsf {m}}
\}
,\{\underline{
\mathsf {m}}
,0
\}
\}
)n
)n
)n
)n
\}
\Rightarrow \{\{\overline{(f3)}
,\overline{(f3)}
\}
,\{\overline{(f3)}
,\overline{(f4)}
\}
\}
 \mathrel{\in}  \{ ph \mathrel{\in}  \{ ph \mathrel{\in} P(P(Union(\{N
,Q
\}
)
)
)
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op1)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op2)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\overline{(op1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(op2)}
 \mathrel{\in} Q
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\mathsf {a}
 _{Ph} 
 = \{\{\overline{(op1)}
,\overline{(op1)}
\}
,\{\overline{(op1)}
,\overline{(op2)}
\}
\}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\}
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \underline{
\mathsf {m}}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
 = 0
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\mathsf {f}
 _{Ph} 
 = \{\{\underline{
\mathsf {m}}
,\underline{
\mathsf {m}}
\}
,\{\underline{
\mathsf {m}}
,rec\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
\}
\}
)n
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
 = 0
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\mathsf {f}
 _{Ph} 
 = \{\{\underline{
\mathsf {m}}
,\underline{
\mathsf {m}}
\}
,\{\underline{
\mathsf {m}}
,0
\}
\}
)n
)n
)n
)n
\}
\Rightarrow \overline{(f1)}
 = \overline{(f3)}
\Rightarrow \overline{(f2)}
 = \overline{(f4)}
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(s1)}
\colon \overline{(s1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(s2)}
\colon \dot{\neg}\,(\{\{\overline{(s1)}
,\overline{(s1)}
\}
,\{\overline{(s1)}
,\overline{(s2)}
\}
\}
 \mathrel{\in}  \{ ph \mathrel{\in}  \{ ph \mathrel{\in} P(P(Union(\{N
,Q
\}
)
)
)
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op1)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op2)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\overline{(op1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(op2)}
 \mathrel{\in} Q
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\mathsf {a}
 _{Ph} 
 = \{\{\overline{(op1)}
,\overline{(op1)}
\}
,\{\overline{(op1)}
,\overline{(op2)}
\}
\}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\}
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \underline{
\mathsf {m}}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
 = 0
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\mathsf {f}
 _{Ph} 
 = \{\{\underline{
\mathsf {m}}
,\underline{
\mathsf {m}}
\}
,\{\underline{
\mathsf {m}}
,rec\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
\}
\}
)n
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
 = 0
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\mathsf {f}
 _{Ph} 
 = \{\{\underline{
\mathsf {m}}
,\underline{
\mathsf {m}}
\}
,\{\underline{
\mathsf {m}}
,0
\}
\}
)n
)n
)n
)n
\}
)n
)n
)n
)n
; MemberOfSeries
\rhd \underline{
\mathsf {m}}
 \mathrel{\in} N
\rhd \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(r1)}
\colon \overline{(r1)}
 \mathrel{\in}  \{ ph \mathrel{\in}  \{ ph \mathrel{\in} P(P(Union(\{N
,Q
\}
)
)
)
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op1)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op2)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\overline{(op1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(op2)}
 \mathrel{\in} Q
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\mathsf {a}
 _{Ph} 
 = \{\{\overline{(op1)}
,\overline{(op1)}
\}
,\{\overline{(op1)}
,\overline{(op2)}
\}
\}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\}
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \underline{
\mathsf {m}}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
 = 0
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\mathsf {f}
 _{Ph} 
 = \{\{\underline{
\mathsf {m}}
,\underline{
\mathsf {m}}
\}
,\{\underline{
\mathsf {m}}
,rec\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
\}
\}
)n
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
 = 0
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\mathsf {f}
 _{Ph} 
 = \{\{\underline{
\mathsf {m}}
,\underline{
\mathsf {m}}
\}
,\{\underline{
\mathsf {m}}
,0
\}
\}
)n
)n
)n
)n
\}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op1)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op2)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\overline{(op1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(op2)}
 \mathrel{\in} Q
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(r1)}
 = \{\{\overline{(op1)}
,\overline{(op1)}
\}
,\{\overline{(op1)}
,\overline{(op2)}
\}
\}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(f1)}
\colon 
\forall_{obj} \overline{(f2)}
\colon 
\forall_{obj} \overline{(f3)}
\colon 
\forall_{obj} \overline{(f4)}
\colon \{\{\overline{(f1)}
,\overline{(f1)}
\}
,\{\overline{(f1)}
,\overline{(f2)}
\}
\}
 \mathrel{\in}  \{ ph \mathrel{\in}  \{ ph \mathrel{\in} P(P(Union(\{N
,Q
\}
)
)
)
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op1)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op2)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\overline{(op1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(op2)}
 \mathrel{\in} Q
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\mathsf {a}
 _{Ph} 
 = \{\{\overline{(op1)}
,\overline{(op1)}
\}
,\{\overline{(op1)}
,\overline{(op2)}
\}
\}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\}
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \underline{
\mathsf {m}}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
 = 0
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\mathsf {f}
 _{Ph} 
 = \{\{\underline{
\mathsf {m}}
,\underline{
\mathsf {m}}
\}
,\{\underline{
\mathsf {m}}
,rec\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
\}
\}
)n
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
 = 0
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\mathsf {f}
 _{Ph} 
 = \{\{\underline{
\mathsf {m}}
,\underline{
\mathsf {m}}
\}
,\{\underline{
\mathsf {m}}
,0
\}
\}
)n
)n
)n
)n
\}
\Rightarrow \{\{\overline{(f3)}
,\overline{(f3)}
\}
,\{\overline{(f3)}
,\overline{(f4)}
\}
\}
 \mathrel{\in}  \{ ph \mathrel{\in}  \{ ph \mathrel{\in} P(P(Union(\{N
,Q
\}
)
)
)
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op1)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op2)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\overline{(op1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(op2)}
 \mathrel{\in} Q
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\mathsf {a}
 _{Ph} 
 = \{\{\overline{(op1)}
,\overline{(op1)}
\}
,\{\overline{(op1)}
,\overline{(op2)}
\}
\}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\}
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \underline{
\mathsf {m}}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
 = 0
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\mathsf {f}
 _{Ph} 
 = \{\{\underline{
\mathsf {m}}
,\underline{
\mathsf {m}}
\}
,\{\underline{
\mathsf {m}}
,rec\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
\}
\}
)n
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
 = 0
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\mathsf {f}
 _{Ph} 
 = \{\{\underline{
\mathsf {m}}
,\underline{
\mathsf {m}}
\}
,\{\underline{
\mathsf {m}}
,0
\}
\}
)n
)n
)n
)n
\}
\Rightarrow \overline{(f1)}
 = \overline{(f3)}
\Rightarrow \overline{(f2)}
 = \overline{(f4)}
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(s1)}
\colon \overline{(s1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(s2)}
\colon \dot{\neg}\,(\{\{\overline{(s1)}
,\overline{(s1)}
\}
,\{\overline{(s1)}
,\overline{(s2)}
\}
\}
 \mathrel{\in}  \{ ph \mathrel{\in}  \{ ph \mathrel{\in} P(P(Union(\{N
,Q
\}
)
)
)
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op1)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op2)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\overline{(op1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(op2)}
 \mathrel{\in} Q
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\mathsf {a}
 _{Ph} 
 = \{\{\overline{(op1)}
,\overline{(op1)}
\}
,\{\overline{(op1)}
,\overline{(op2)}
\}
\}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\}
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \underline{
\mathsf {m}}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
 = 0
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\mathsf {f}
 _{Ph} 
 = \{\{\underline{
\mathsf {m}}
,\underline{
\mathsf {m}}
\}
,\{\underline{
\mathsf {m}}
,rec\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
\}
\}
)n
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
 = 0
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\mathsf {f}
 _{Ph} 
 = \{\{\underline{
\mathsf {m}}
,\underline{
\mathsf {m}}
\}
,\{\underline{
\mathsf {m}}
,0
\}
\}
)n
)n
)n
)n
\}
)n
)n
)n
)n
\gg \{\{\underline{
\mathsf {m}}
,\underline{
\mathsf {m}}
\}
,\{\underline{
\mathsf {m}}
, \{ ph \mathrel{\in}  \{ ph \mathrel{\in} P(P(Union(\{N
,Q
\}
)
)
)
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op1)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op2)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\overline{(op1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(op2)}
 \mathrel{\in} Q
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\mathsf {a}
 _{Ph} 
 = \{\{\overline{(op1)}
,\overline{(op1)}
\}
,\{\overline{(op1)}
,\overline{(op2)}
\}
\}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\}
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \underline{
\mathsf {m}}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
 = 0
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\mathsf {f}
 _{Ph} 
 = \{\{\underline{
\mathsf {m}}
,\underline{
\mathsf {m}}
\}
,\{\underline{
\mathsf {m}}
,rec\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
\}
\}
)n
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
 = 0
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\mathsf {f}
 _{Ph} 
 = \{\{\underline{
\mathsf {m}}
,\underline{
\mathsf {m}}
\}
,\{\underline{
\mathsf {m}}
,0
\}
\}
)n
)n
)n
)n
\}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
\}
\}
 \mathrel{\in}  \{ ph \mathrel{\in}  \{ ph \mathrel{\in} P(P(Union(\{N
,Q
\}
)
)
)
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op1)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op2)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\overline{(op1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(op2)}
 \mathrel{\in} Q
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\mathsf {a}
 _{Ph} 
 = \{\{\overline{(op1)}
,\overline{(op1)}
\}
,\{\overline{(op1)}
,\overline{(op2)}
\}
\}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\}
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \underline{
\mathsf {m}}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
 = 0
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\mathsf {f}
 _{Ph} 
 = \{\{\underline{
\mathsf {m}}
,\underline{
\mathsf {m}}
\}
,\{\underline{
\mathsf {m}}
,rec\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
\}
\}
)n
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
 = 0
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\mathsf {f}
 _{Ph} 
 = \{\{\underline{
\mathsf {m}}
,\underline{
\mathsf {m}}
\}
,\{\underline{
\mathsf {m}}
,0
\}
\}
)n
)n
)n
)n
\}
; Repetition
\rhd \{\{\underline{
\mathsf {m}}
,\underline{
\mathsf {m}}
\}
,\{\underline{
\mathsf {m}}
, \{ ph \mathrel{\in}  \{ ph \mathrel{\in} P(P(Union(\{N
,Q
\}
)
)
)
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op1)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op2)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\overline{(op1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(op2)}
 \mathrel{\in} Q
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\mathsf {a}
 _{Ph} 
 = \{\{\overline{(op1)}
,\overline{(op1)}
\}
,\{\overline{(op1)}
,\overline{(op2)}
\}
\}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\}
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \underline{
\mathsf {m}}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
 = 0
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\mathsf {f}
 _{Ph} 
 = \{\{\underline{
\mathsf {m}}
,\underline{
\mathsf {m}}
\}
,\{\underline{
\mathsf {m}}
,rec\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
\}
\}
)n
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
 = 0
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\mathsf {f}
 _{Ph} 
 = \{\{\underline{
\mathsf {m}}
,\underline{
\mathsf {m}}
\}
,\{\underline{
\mathsf {m}}
,0
\}
\}
)n
)n
)n
)n
\}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
\}
\}
 \mathrel{\in}  \{ ph \mathrel{\in}  \{ ph \mathrel{\in} P(P(Union(\{N
,Q
\}
)
)
)
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op1)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op2)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\overline{(op1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(op2)}
 \mathrel{\in} Q
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\mathsf {a}
 _{Ph} 
 = \{\{\overline{(op1)}
,\overline{(op1)}
\}
,\{\overline{(op1)}
,\overline{(op2)}
\}
\}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\}
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \underline{
\mathsf {m}}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
 = 0
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\mathsf {f}
 _{Ph} 
 = \{\{\underline{
\mathsf {m}}
,\underline{
\mathsf {m}}
\}
,\{\underline{
\mathsf {m}}
,rec\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
\}
\}
)n
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
 = 0
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\mathsf {f}
 _{Ph} 
 = \{\{\underline{
\mathsf {m}}
,\underline{
\mathsf {m}}
\}
,\{\underline{
\mathsf {m}}
,0
\}
\}
)n
)n
)n
)n
\}
\gg \{\{\underline{
\mathsf {m}}
,\underline{
\mathsf {m}}
\}
,\{\underline{
\mathsf {m}}
, \{ ph \mathrel{\in}  \{ ph \mathrel{\in} P(P(Union(\{N
,Q
\}
)
)
)
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op1)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op2)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\overline{(op1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(op2)}
 \mathrel{\in} Q
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\mathsf {a}
 _{Ph} 
 = \{\{\overline{(op1)}
,\overline{(op1)}
\}
,\{\overline{(op1)}
,\overline{(op2)}
\}
\}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\}
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \underline{
\mathsf {m}}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
 = 0
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\mathsf {f}
 _{Ph} 
 = \{\{\underline{
\mathsf {m}}
,\underline{
\mathsf {m}}
\}
,\{\underline{
\mathsf {m}}
,rec\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
\}
\}
)n
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
 = 0
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\mathsf {f}
 _{Ph} 
 = \{\{\underline{
\mathsf {m}}
,\underline{
\mathsf {m}}
\}
,\{\underline{
\mathsf {m}}
,0
\}
\}
)n
)n
)n
)n
\}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
\}
\}
 \mathrel{\in}  \{ ph \mathrel{\in}  \{ ph \mathrel{\in} P(P(Union(\{N
,Q
\}
)
)
)
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op1)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op2)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\overline{(op1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(op2)}
 \mathrel{\in} Q
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\mathsf {a}
 _{Ph} 
 = \{\{\overline{(op1)}
,\overline{(op1)}
\}
,\{\overline{(op1)}
,\overline{(op2)}
\}
\}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\}
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \underline{
\mathsf {m}}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
 = 0
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\mathsf {f}
 _{Ph} 
 = \{\{\underline{
\mathsf {m}}
,\underline{
\mathsf {m}}
\}
,\{\underline{
\mathsf {m}}
,rec\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
\}
\}
)n
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
 = 0
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\mathsf {f}
 _{Ph} 
 = \{\{\underline{
\mathsf {m}}
,\underline{
\mathsf {m}}
\}
,\{\underline{
\mathsf {m}}
,0
\}
\}
)n
)n
)n
)n
\}
; Separation2formula(2)
\rhd \{\{\underline{
\mathsf {m}}
,\underline{
\mathsf {m}}
\}
,\{\underline{
\mathsf {m}}
, \{ ph \mathrel{\in}  \{ ph \mathrel{\in} P(P(Union(\{N
,Q
\}
)
)
)
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op1)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op2)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\overline{(op1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(op2)}
 \mathrel{\in} Q
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\mathsf {a}
 _{Ph} 
 = \{\{\overline{(op1)}
,\overline{(op1)}
\}
,\{\overline{(op1)}
,\overline{(op2)}
\}
\}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\}
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \underline{
\mathsf {m}}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
 = 0
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\mathsf {f}
 _{Ph} 
 = \{\{\underline{
\mathsf {m}}
,\underline{
\mathsf {m}}
\}
,\{\underline{
\mathsf {m}}
,rec\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
\}
\}
)n
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
 = 0
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\mathsf {f}
 _{Ph} 
 = \{\{\underline{
\mathsf {m}}
,\underline{
\mathsf {m}}
\}
,\{\underline{
\mathsf {m}}
,0
\}
\}
)n
)n
)n
)n
\}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
\}
\}
 \mathrel{\in}  \{ ph \mathrel{\in}  \{ ph \mathrel{\in} P(P(Union(\{N
,Q
\}
)
)
)
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op1)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op2)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\overline{(op1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(op2)}
 \mathrel{\in} Q
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\mathsf {a}
 _{Ph} 
 = \{\{\overline{(op1)}
,\overline{(op1)}
\}
,\{\overline{(op1)}
,\overline{(op2)}
\}
\}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\}
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \underline{
\mathsf {m}}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
 = 0
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\mathsf {f}
 _{Ph} 
 = \{\{\underline{
\mathsf {m}}
,\underline{
\mathsf {m}}
\}
,\{\underline{
\mathsf {m}}
,rec\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
\}
\}
)n
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
 = 0
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\mathsf {f}
 _{Ph} 
 = \{\{\underline{
\mathsf {m}}
,\underline{
\mathsf {m}}
\}
,\{\underline{
\mathsf {m}}
,0
\}
\}
)n
)n
)n
)n
\}
\gg \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \underline{(m1)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\underline{(fx)}
[\underline{(m1)}
]
 = 0
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\{\{\underline{
\mathsf {m}}
,\underline{
\mathsf {m}}
\}
,\{\underline{
\mathsf {m}}
, \{ ph \mathrel{\in}  \{ ph \mathrel{\in} P(P(Union(\{N
,Q
\}
)
)
)
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op1)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op2)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\overline{(op1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(op2)}
 \mathrel{\in} Q
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\mathsf {a}
 _{Ph} 
 = \{\{\overline{(op1)}
,\overline{(op1)}
\}
,\{\overline{(op1)}
,\overline{(op2)}
\}
\}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\}
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \underline{
\mathsf {m}}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
 = 0
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\mathsf {f}
 _{Ph} 
 = \{\{\underline{
\mathsf {m}}
,\underline{
\mathsf {m}}
\}
,\{\underline{
\mathsf {m}}
,rec\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
\}
\}
)n
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
 = 0
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\mathsf {f}
 _{Ph} 
 = \{\{\underline{
\mathsf {m}}
,\underline{
\mathsf {m}}
\}
,\{\underline{
\mathsf {m}}
,0
\}
\}
)n
)n
)n
)n
\}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
\}
\}
 = \{\{\underline{(m1)}
,\underline{(m1)}
\}
,\{\underline{(m1)}
,rec\underline{(fx)}
[\underline{(m1)}
]
\}
\}
)n
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\underline{(fx)}
[\underline{(m1)}
]
 = 0
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\{\{\underline{
\mathsf {m}}
,\underline{
\mathsf {m}}
\}
,\{\underline{
\mathsf {m}}
, \{ ph \mathrel{\in}  \{ ph \mathrel{\in} P(P(Union(\{N
,Q
\}
)
)
)
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op1)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op2)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\overline{(op1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(op2)}
 \mathrel{\in} Q
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\mathsf {a}
 _{Ph} 
 = \{\{\overline{(op1)}
,\overline{(op1)}
\}
,\{\overline{(op1)}
,\overline{(op2)}
\}
\}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\}
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \underline{
\mathsf {m}}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
 = 0
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\mathsf {f}
 _{Ph} 
 = \{\{\underline{
\mathsf {m}}
,\underline{
\mathsf {m}}
\}
,\{\underline{
\mathsf {m}}
,rec\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
\}
\}
)n
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
 = 0
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\mathsf {f}
 _{Ph} 
 = \{\{\underline{
\mathsf {m}}
,\underline{
\mathsf {m}}
\}
,\{\underline{
\mathsf {m}}
,0
\}
\}
)n
)n
)n
)n
\}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
\}
\}
 = \{\{\underline{(m1)}
,\underline{(m1)}
\}
,\{\underline{(m1)}
,0
\}
\}
)n
)n
)n
)n
; 
\forall \underline{
\mathsf {m}}
\colon 
\forall \underline{(m1)}
\colon 
\forall \underline{(fx)}
\colon \dot{\neg}\,(\underline{(fx)}
[\underline{(m1)}
]
 = 0
)n
\vdash \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\underline{(fx)}
[\underline{(m1)}
]
 = 0
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\{\{\underline{
\mathsf {m}}
,\underline{
\mathsf {m}}
\}
,\{\underline{
\mathsf {m}}
, \{ ph \mathrel{\in}  \{ ph \mathrel{\in} P(P(Union(\{N
,Q
\}
)
)
)
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op1)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op2)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\overline{(op1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(op2)}
 \mathrel{\in} Q
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\mathsf {a}
 _{Ph} 
 = \{\{\overline{(op1)}
,\overline{(op1)}
\}
,\{\overline{(op1)}
,\overline{(op2)}
\}
\}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\}
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \underline{
\mathsf {m}}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
 = 0
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\mathsf {f}
 _{Ph} 
 = \{\{\underline{
\mathsf {m}}
,\underline{
\mathsf {m}}
\}
,\{\underline{
\mathsf {m}}
,rec\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
\}
\}
)n
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
 = 0
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\mathsf {f}
 _{Ph} 
 = \{\{\underline{
\mathsf {m}}
,\underline{
\mathsf {m}}
\}
,\{\underline{
\mathsf {m}}
,0
\}
\}
)n
)n
)n
)n
\}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
\}
\}
 = \{\{\underline{(m1)}
,\underline{(m1)}
\}
,\{\underline{(m1)}
,rec\underline{(fx)}
[\underline{(m1)}
]
\}
\}
)n
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\underline{(fx)}
[\underline{(m1)}
]
 = 0
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\{\{\underline{
\mathsf {m}}
,\underline{
\mathsf {m}}
\}
,\{\underline{
\mathsf {m}}
, \{ ph \mathrel{\in}  \{ ph \mathrel{\in} P(P(Union(\{N
,Q
\}
)
)
)
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op1)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op2)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\overline{(op1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(op2)}
 \mathrel{\in} Q
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\mathsf {a}
 _{Ph} 
 = \{\{\overline{(op1)}
,\overline{(op1)}
\}
,\{\overline{(op1)}
,\overline{(op2)}
\}
\}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\}
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \underline{
\mathsf {m}}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
 = 0
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\mathsf {f}
 _{Ph} 
 = \{\{\underline{
\mathsf {m}}
,\underline{
\mathsf {m}}
\}
,\{\underline{
\mathsf {m}}
,rec\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
\}
\}
)n
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
 = 0
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\mathsf {f}
 _{Ph} 
 = \{\{\underline{
\mathsf {m}}
,\underline{
\mathsf {m}}
\}
,\{\underline{
\mathsf {m}}
,0
\}
\}
)n
)n
)n
)n
\}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
\}
\}
 = \{\{\underline{(m1)}
,\underline{(m1)}
\}
,\{\underline{(m1)}
,0
\}
\}
)n
)n
\vdash ToNegatedAnd(1)
\rhd \dot{\neg}\,(\underline{(fx)}
[\underline{(m1)}
]
 = 0
)n
\gg \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\underline{(fx)}
[\underline{(m1)}
]
 = 0
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\{\{\underline{
\mathsf {m}}
,\underline{
\mathsf {m}}
\}
,\{\underline{
\mathsf {m}}
, \{ ph \mathrel{\in}  \{ ph \mathrel{\in} P(P(Union(\{N
,Q
\}
)
)
)
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op1)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op2)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\overline{(op1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(op2)}
 \mathrel{\in} Q
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\mathsf {a}
 _{Ph} 
 = \{\{\overline{(op1)}
,\overline{(op1)}
\}
,\{\overline{(op1)}
,\overline{(op2)}
\}
\}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\}
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \underline{
\mathsf {m}}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
 = 0
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\mathsf {f}
 _{Ph} 
 = \{\{\underline{
\mathsf {m}}
,\underline{
\mathsf {m}}
\}
,\{\underline{
\mathsf {m}}
,rec\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
\}
\}
)n
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
 = 0
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\mathsf {f}
 _{Ph} 
 = \{\{\underline{
\mathsf {m}}
,\underline{
\mathsf {m}}
\}
,\{\underline{
\mathsf {m}}
,0
\}
\}
)n
)n
)n
)n
\}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
\}
\}
 = \{\{\underline{(m1)}
,\underline{(m1)}
\}
,\{\underline{(m1)}
,0
\}
\}
)n
)n
)n
; NegateDisjunct2
\rhd \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\underline{(fx)}
[\underline{(m1)}
]
 = 0
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\{\{\underline{
\mathsf {m}}
,\underline{
\mathsf {m}}
\}
,\{\underline{
\mathsf {m}}
, \{ ph \mathrel{\in}  \{ ph \mathrel{\in} P(P(Union(\{N
,Q
\}
)
)
)
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op1)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op2)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\overline{(op1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(op2)}
 \mathrel{\in} Q
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\mathsf {a}
 _{Ph} 
 = \{\{\overline{(op1)}
,\overline{(op1)}
\}
,\{\overline{(op1)}
,\overline{(op2)}
\}
\}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\}
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \underline{
\mathsf {m}}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
 = 0
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\mathsf {f}
 _{Ph} 
 = \{\{\underline{
\mathsf {m}}
,\underline{
\mathsf {m}}
\}
,\{\underline{
\mathsf {m}}
,rec\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
\}
\}
)n
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
 = 0
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\mathsf {f}
 _{Ph} 
 = \{\{\underline{
\mathsf {m}}
,\underline{
\mathsf {m}}
\}
,\{\underline{
\mathsf {m}}
,0
\}
\}
)n
)n
)n
)n
\}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
\}
\}
 = \{\{\underline{(m1)}
,\underline{(m1)}
\}
,\{\underline{(m1)}
,rec\underline{(fx)}
[\underline{(m1)}
]
\}
\}
)n
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\underline{(fx)}
[\underline{(m1)}
]
 = 0
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\{\{\underline{
\mathsf {m}}
,\underline{
\mathsf {m}}
\}
,\{\underline{
\mathsf {m}}
, \{ ph \mathrel{\in}  \{ ph \mathrel{\in} P(P(Union(\{N
,Q
\}
)
)
)
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op1)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op2)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\overline{(op1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(op2)}
 \mathrel{\in} Q
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\mathsf {a}
 _{Ph} 
 = \{\{\overline{(op1)}
,\overline{(op1)}
\}
,\{\overline{(op1)}
,\overline{(op2)}
\}
\}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\}
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \underline{
\mathsf {m}}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
 = 0
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\mathsf {f}
 _{Ph} 
 = \{\{\underline{
\mathsf {m}}
,\underline{
\mathsf {m}}
\}
,\{\underline{
\mathsf {m}}
,rec\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
\}
\}
)n
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
 = 0
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\mathsf {f}
 _{Ph} 
 = \{\{\underline{
\mathsf {m}}
,\underline{
\mathsf {m}}
\}
,\{\underline{
\mathsf {m}}
,0
\}
\}
)n
)n
)n
)n
\}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
\}
\}
 = \{\{\underline{(m1)}
,\underline{(m1)}
\}
,\{\underline{(m1)}
,0
\}
\}
)n
)n
\rhd \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\underline{(fx)}
[\underline{(m1)}
]
 = 0
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\{\{\underline{
\mathsf {m}}
,\underline{
\mathsf {m}}
\}
,\{\underline{
\mathsf {m}}
, \{ ph \mathrel{\in}  \{ ph \mathrel{\in} P(P(Union(\{N
,Q
\}
)
)
)
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op1)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op2)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\overline{(op1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(op2)}
 \mathrel{\in} Q
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\mathsf {a}
 _{Ph} 
 = \{\{\overline{(op1)}
,\overline{(op1)}
\}
,\{\overline{(op1)}
,\overline{(op2)}
\}
\}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\}
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \underline{
\mathsf {m}}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
 = 0
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\mathsf {f}
 _{Ph} 
 = \{\{\underline{
\mathsf {m}}
,\underline{
\mathsf {m}}
\}
,\{\underline{
\mathsf {m}}
,rec\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
\}
\}
)n
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
 = 0
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\mathsf {f}
 _{Ph} 
 = \{\{\underline{
\mathsf {m}}
,\underline{
\mathsf {m}}
\}
,\{\underline{
\mathsf {m}}
,0
\}
\}
)n
)n
)n
)n
\}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
\}
\}
 = \{\{\underline{(m1)}
,\underline{(m1)}
\}
,\{\underline{(m1)}
,0
\}
\}
)n
)n
)n
\gg \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\underline{(fx)}
[\underline{(m1)}
]
 = 0
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\{\{\underline{
\mathsf {m}}
,\underline{
\mathsf {m}}
\}
,\{\underline{
\mathsf {m}}
, \{ ph \mathrel{\in}  \{ ph \mathrel{\in} P(P(Union(\{N
,Q
\}
)
)
)
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op1)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op2)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\overline{(op1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(op2)}
 \mathrel{\in} Q
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\mathsf {a}
 _{Ph} 
 = \{\{\overline{(op1)}
,\overline{(op1)}
\}
,\{\overline{(op1)}
,\overline{(op2)}
\}
\}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\}
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \underline{
\mathsf {m}}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
 = 0
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\mathsf {f}
 _{Ph} 
 = \{\{\underline{
\mathsf {m}}
,\underline{
\mathsf {m}}
\}
,\{\underline{
\mathsf {m}}
,rec\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
\}
\}
)n
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
 = 0
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\mathsf {f}
 _{Ph} 
 = \{\{\underline{
\mathsf {m}}
,\underline{
\mathsf {m}}
\}
,\{\underline{
\mathsf {m}}
,0
\}
\}
)n
)n
)n
)n
\}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
\}
\}
 = \{\{\underline{(m1)}
,\underline{(m1)}
\}
,\{\underline{(m1)}
,rec\underline{(fx)}
[\underline{(m1)}
]
\}
\}
)n
)n
; SecondConjunct
\rhd \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\underline{(fx)}
[\underline{(m1)}
]
 = 0
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\{\{\underline{
\mathsf {m}}
,\underline{
\mathsf {m}}
\}
,\{\underline{
\mathsf {m}}
, \{ ph \mathrel{\in}  \{ ph \mathrel{\in} P(P(Union(\{N
,Q
\}
)
)
)
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op1)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op2)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\overline{(op1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(op2)}
 \mathrel{\in} Q
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\mathsf {a}
 _{Ph} 
 = \{\{\overline{(op1)}
,\overline{(op1)}
\}
,\{\overline{(op1)}
,\overline{(op2)}
\}
\}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\}
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \underline{
\mathsf {m}}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
 = 0
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\mathsf {f}
 _{Ph} 
 = \{\{\underline{
\mathsf {m}}
,\underline{
\mathsf {m}}
\}
,\{\underline{
\mathsf {m}}
,rec\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
\}
\}
)n
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
 = 0
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\mathsf {f}
 _{Ph} 
 = \{\{\underline{
\mathsf {m}}
,\underline{
\mathsf {m}}
\}
,\{\underline{
\mathsf {m}}
,0
\}
\}
)n
)n
)n
)n
\}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
\}
\}
 = \{\{\underline{(m1)}
,\underline{(m1)}
\}
,\{\underline{(m1)}
,rec\underline{(fx)}
[\underline{(m1)}
]
\}
\}
)n
)n
\gg \{\{\underline{
\mathsf {m}}
,\underline{
\mathsf {m}}
\}
,\{\underline{
\mathsf {m}}
, \{ ph \mathrel{\in}  \{ ph \mathrel{\in} P(P(Union(\{N
,Q
\}
)
)
)
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op1)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op2)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\overline{(op1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(op2)}
 \mathrel{\in} Q
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\mathsf {a}
 _{Ph} 
 = \{\{\overline{(op1)}
,\overline{(op1)}
\}
,\{\overline{(op1)}
,\overline{(op2)}
\}
\}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\}
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \underline{
\mathsf {m}}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
 = 0
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\mathsf {f}
 _{Ph} 
 = \{\{\underline{
\mathsf {m}}
,\underline{
\mathsf {m}}
\}
,\{\underline{
\mathsf {m}}
,rec\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
\}
\}
)n
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
 = 0
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\mathsf {f}
 _{Ph} 
 = \{\{\underline{
\mathsf {m}}
,\underline{
\mathsf {m}}
\}
,\{\underline{
\mathsf {m}}
,0
\}
\}
)n
)n
)n
)n
\}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
\}
\}
 = \{\{\underline{(m1)}
,\underline{(m1)}
\}
,\{\underline{(m1)}
,rec\underline{(fx)}
[\underline{(m1)}
]
\}
\}
; FromOrderedPair(2)
\rhd \{\{\underline{
\mathsf {m}}
,\underline{
\mathsf {m}}
\}
,\{\underline{
\mathsf {m}}
, \{ ph \mathrel{\in}  \{ ph \mathrel{\in} P(P(Union(\{N
,Q
\}
)
)
)
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op1)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op2)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\overline{(op1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(op2)}
 \mathrel{\in} Q
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\mathsf {a}
 _{Ph} 
 = \{\{\overline{(op1)}
,\overline{(op1)}
\}
,\{\overline{(op1)}
,\overline{(op2)}
\}
\}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\}
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \underline{
\mathsf {m}}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
 = 0
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\mathsf {f}
 _{Ph} 
 = \{\{\underline{
\mathsf {m}}
,\underline{
\mathsf {m}}
\}
,\{\underline{
\mathsf {m}}
,rec\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
\}
\}
)n
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
 = 0
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\mathsf {f}
 _{Ph} 
 = \{\{\underline{
\mathsf {m}}
,\underline{
\mathsf {m}}
\}
,\{\underline{
\mathsf {m}}
,0
\}
\}
)n
)n
)n
)n
\}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
\}
\}
 = \{\{\underline{(m1)}
,\underline{(m1)}
\}
,\{\underline{(m1)}
,rec\underline{(fx)}
[\underline{(m1)}
]
\}
\}
\gg  \{ ph \mathrel{\in}  \{ ph \mathrel{\in} P(P(Union(\{N
,Q
\}
)
)
)
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op1)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op2)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\overline{(op1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(op2)}
 \mathrel{\in} Q
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\mathsf {a}
 _{Ph} 
 = \{\{\overline{(op1)}
,\overline{(op1)}
\}
,\{\overline{(op1)}
,\overline{(op2)}
\}
\}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\}
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \underline{
\mathsf {m}}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
 = 0
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\mathsf {f}
 _{Ph} 
 = \{\{\underline{
\mathsf {m}}
,\underline{
\mathsf {m}}
\}
,\{\underline{
\mathsf {m}}
,rec\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
\}
\}
)n
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
 = 0
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\mathsf {f}
 _{Ph} 
 = \{\{\underline{
\mathsf {m}}
,\underline{
\mathsf {m}}
\}
,\{\underline{
\mathsf {m}}
,0
\}
\}
)n
)n
)n
)n
\}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
 = rec\underline{(fx)}
[\underline{(m1)}
]
; FromOrderedPair(1)
\rhd \{\{\underline{
\mathsf {m}}
,\underline{
\mathsf {m}}
\}
,\{\underline{
\mathsf {m}}
, \{ ph \mathrel{\in}  \{ ph \mathrel{\in} P(P(Union(\{N
,Q
\}
)
)
)
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op1)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op2)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\overline{(op1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(op2)}
 \mathrel{\in} Q
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\mathsf {a}
 _{Ph} 
 = \{\{\overline{(op1)}
,\overline{(op1)}
\}
,\{\overline{(op1)}
,\overline{(op2)}
\}
\}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\}
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \underline{
\mathsf {m}}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
 = 0
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\mathsf {f}
 _{Ph} 
 = \{\{\underline{
\mathsf {m}}
,\underline{
\mathsf {m}}
\}
,\{\underline{
\mathsf {m}}
,rec\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
\}
\}
)n
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
 = 0
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\mathsf {f}
 _{Ph} 
 = \{\{\underline{
\mathsf {m}}
,\underline{
\mathsf {m}}
\}
,\{\underline{
\mathsf {m}}
,0
\}
\}
)n
)n
)n
)n
\}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
\}
\}
 = \{\{\underline{(m1)}
,\underline{(m1)}
\}
,\{\underline{(m1)}
,rec\underline{(fx)}
[\underline{(m1)}
]
\}
\}
\gg \underline{
\mathsf {m}}
 = \underline{(m1)}
; SameSeries
\rhd \underline{
\mathsf {m}}
 = \underline{(m1)}
\gg \underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
 = \underline{(fx)}
[\underline{(m1)}
]
; eqSymmetry
\rhd \underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
 = \underline{(fx)}
[\underline{(m1)}
]
\gg \underline{(fx)}
[\underline{(m1)}
]
 = \underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
; SameReciprocal
\rhd \dot{\neg}\,(\underline{(fx)}
[\underline{(m1)}
]
 = 0
)n
\rhd \underline{(fx)}
[\underline{(m1)}
]
 = \underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
\gg rec\underline{(fx)}
[\underline{(m1)}
]
 = rec\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
; eqTransitivity
\rhd  \{ ph \mathrel{\in}  \{ ph \mathrel{\in} P(P(Union(\{N
,Q
\}
)
)
)
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op1)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op2)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\overline{(op1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(op2)}
 \mathrel{\in} Q
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\mathsf {a}
 _{Ph} 
 = \{\{\overline{(op1)}
,\overline{(op1)}
\}
,\{\overline{(op1)}
,\overline{(op2)}
\}
\}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\}
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \underline{
\mathsf {m}}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
 = 0
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\mathsf {f}
 _{Ph} 
 = \{\{\underline{
\mathsf {m}}
,\underline{
\mathsf {m}}
\}
,\{\underline{
\mathsf {m}}
,rec\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
\}
\}
)n
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
 = 0
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\mathsf {f}
 _{Ph} 
 = \{\{\underline{
\mathsf {m}}
,\underline{
\mathsf {m}}
\}
,\{\underline{
\mathsf {m}}
,0
\}
\}
)n
)n
)n
)n
\}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
 = rec\underline{(fx)}
[\underline{(m1)}
]
\rhd rec\underline{(fx)}
[\underline{(m1)}
]
 = rec\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
\gg  \{ ph \mathrel{\in}  \{ ph \mathrel{\in} P(P(Union(\{N
,Q
\}
)
)
)
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op1)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op2)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\overline{(op1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(op2)}
 \mathrel{\in} Q
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\mathsf {a}
 _{Ph} 
 = \{\{\overline{(op1)}
,\overline{(op1)}
\}
,\{\overline{(op1)}
,\overline{(op2)}
\}
\}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\}
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \underline{
\mathsf {m}}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
 = 0
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\mathsf {f}
 _{Ph} 
 = \{\{\underline{
\mathsf {m}}
,\underline{
\mathsf {m}}
\}
,\{\underline{
\mathsf {m}}
,rec\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
\}
\}
)n
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
 = 0
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\mathsf {f}
 _{Ph} 
 = \{\{\underline{
\mathsf {m}}
,\underline{
\mathsf {m}}
\}
,\{\underline{
\mathsf {m}}
,0
\}
\}
)n
)n
)n
)n
\}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
 = rec\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
; Ded
\rhd 
\forall \underline{
\mathsf {m}}
\colon 
\forall \underline{(m1)}
\colon 
\forall \underline{(fx)}
\colon \dot{\neg}\,(\underline{(fx)}
[\underline{(m1)}
]
 = 0
)n
\vdash \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\underline{(fx)}
[\underline{(m1)}
]
 = 0
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\{\{\underline{
\mathsf {m}}
,\underline{
\mathsf {m}}
\}
,\{\underline{
\mathsf {m}}
, \{ ph \mathrel{\in}  \{ ph \mathrel{\in} P(P(Union(\{N
,Q
\}
)
)
)
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op1)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op2)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\overline{(op1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(op2)}
 \mathrel{\in} Q
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\mathsf {a}
 _{Ph} 
 = \{\{\overline{(op1)}
,\overline{(op1)}
\}
,\{\overline{(op1)}
,\overline{(op2)}
\}
\}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\}
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \underline{
\mathsf {m}}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
 = 0
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\mathsf {f}
 _{Ph} 
 = \{\{\underline{
\mathsf {m}}
,\underline{
\mathsf {m}}
\}
,\{\underline{
\mathsf {m}}
,rec\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
\}
\}
)n
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
 = 0
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\mathsf {f}
 _{Ph} 
 = \{\{\underline{
\mathsf {m}}
,\underline{
\mathsf {m}}
\}
,\{\underline{
\mathsf {m}}
,0
\}
\}
)n
)n
)n
)n
\}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
\}
\}
 = \{\{\underline{(m1)}
,\underline{(m1)}
\}
,\{\underline{(m1)}
,rec\underline{(fx)}
[\underline{(m1)}
]
\}
\}
)n
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\underline{(fx)}
[\underline{(m1)}
]
 = 0
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\{\{\underline{
\mathsf {m}}
,\underline{
\mathsf {m}}
\}
,\{\underline{
\mathsf {m}}
, \{ ph \mathrel{\in}  \{ ph \mathrel{\in} P(P(Union(\{N
,Q
\}
)
)
)
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op1)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op2)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\overline{(op1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(op2)}
 \mathrel{\in} Q
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\mathsf {a}
 _{Ph} 
 = \{\{\overline{(op1)}
,\overline{(op1)}
\}
,\{\overline{(op1)}
,\overline{(op2)}
\}
\}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\}
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \underline{
\mathsf {m}}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
 = 0
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\mathsf {f}
 _{Ph} 
 = \{\{\underline{
\mathsf {m}}
,\underline{
\mathsf {m}}
\}
,\{\underline{
\mathsf {m}}
,rec\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
\}
\}
)n
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
 = 0
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\mathsf {f}
 _{Ph} 
 = \{\{\underline{
\mathsf {m}}
,\underline{
\mathsf {m}}
\}
,\{\underline{
\mathsf {m}}
,0
\}
\}
)n
)n
)n
)n
\}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
\}
\}
 = \{\{\underline{(m1)}
,\underline{(m1)}
\}
,\{\underline{(m1)}
,0
\}
\}
)n
)n
\vdash  \{ ph \mathrel{\in}  \{ ph \mathrel{\in} P(P(Union(\{N
,Q
\}
)
)
)
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op1)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op2)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\overline{(op1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(op2)}
 \mathrel{\in} Q
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\mathsf {a}
 _{Ph} 
 = \{\{\overline{(op1)}
,\overline{(op1)}
\}
,\{\overline{(op1)}
,\overline{(op2)}
\}
\}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\}
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \underline{
\mathsf {m}}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
 = 0
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\mathsf {f}
 _{Ph} 
 = \{\{\underline{
\mathsf {m}}
,\underline{
\mathsf {m}}
\}
,\{\underline{
\mathsf {m}}
,rec\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
\}
\}
)n
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
 = 0
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\mathsf {f}
 _{Ph} 
 = \{\{\underline{
\mathsf {m}}
,\underline{
\mathsf {m}}
\}
,\{\underline{
\mathsf {m}}
,0
\}
\}
)n
)n
)n
)n
\}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
 = rec\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
\gg \dot{\neg}\,(\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
 = 0
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\underline{(fx)}
[\underline{(m1)}
]
 = 0
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\{\{\underline{
\mathsf {m}}
,\underline{
\mathsf {m}}
\}
,\{\underline{
\mathsf {m}}
, \{ ph \mathrel{\in}  \{ ph \mathrel{\in} P(P(Union(\{N
,Q
\}
)
)
)
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op1)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op2)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\overline{(op1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(op2)}
 \mathrel{\in} Q
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\mathsf {a}
 _{Ph} 
 = \{\{\overline{(op1)}
,\overline{(op1)}
\}
,\{\overline{(op1)}
,\overline{(op2)}
\}
\}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\}
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \underline{
\mathsf {m}}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
 = 0
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\mathsf {f}
 _{Ph} 
 = \{\{\underline{
\mathsf {m}}
,\underline{
\mathsf {m}}
\}
,\{\underline{
\mathsf {m}}
,rec\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
\}
\}
)n
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
 = 0
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\mathsf {f}
 _{Ph} 
 = \{\{\underline{
\mathsf {m}}
,\underline{
\mathsf {m}}
\}
,\{\underline{
\mathsf {m}}
,0
\}
\}
)n
)n
)n
)n
\}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
\}
\}
 = \{\{\underline{(m1)}
,\underline{(m1)}
\}
,\{\underline{(m1)}
,rec\underline{(fx)}
[\underline{(m1)}
]
\}
\}
)n
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\underline{(fx)}
[\underline{(m1)}
]
 = 0
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\{\{\underline{
\mathsf {m}}
,\underline{
\mathsf {m}}
\}
,\{\underline{
\mathsf {m}}
, \{ ph \mathrel{\in}  \{ ph \mathrel{\in} P(P(Union(\{N
,Q
\}
)
)
)
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op1)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op2)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\overline{(op1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(op2)}
 \mathrel{\in} Q
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\mathsf {a}
 _{Ph} 
 = \{\{\overline{(op1)}
,\overline{(op1)}
\}
,\{\overline{(op1)}
,\overline{(op2)}
\}
\}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\}
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \underline{
\mathsf {m}}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
 = 0
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\mathsf {f}
 _{Ph} 
 = \{\{\underline{
\mathsf {m}}
,\underline{
\mathsf {m}}
\}
,\{\underline{
\mathsf {m}}
,rec\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
\}
\}
)n
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
 = 0
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\mathsf {f}
 _{Ph} 
 = \{\{\underline{
\mathsf {m}}
,\underline{
\mathsf {m}}
\}
,\{\underline{
\mathsf {m}}
,0
\}
\}
)n
)n
)n
)n
\}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
\}
\}
 = \{\{\underline{(m1)}
,\underline{(m1)}
\}
,\{\underline{(m1)}
,0
\}
\}
)n
)n
\Rightarrow  \{ ph \mathrel{\in}  \{ ph \mathrel{\in} P(P(Union(\{N
,Q
\}
)
)
)
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op1)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op2)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\overline{(op1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(op2)}
 \mathrel{\in} Q
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\mathsf {a}
 _{Ph} 
 = \{\{\overline{(op1)}
,\overline{(op1)}
\}
,\{\overline{(op1)}
,\overline{(op2)}
\}
\}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\}
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \underline{
\mathsf {m}}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
 = 0
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\mathsf {f}
 _{Ph} 
 = \{\{\underline{
\mathsf {m}}
,\underline{
\mathsf {m}}
\}
,\{\underline{
\mathsf {m}}
,rec\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
\}
\}
)n
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
 = 0
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\mathsf {f}
 _{Ph} 
 = \{\{\underline{
\mathsf {m}}
,\underline{
\mathsf {m}}
\}
,\{\underline{
\mathsf {m}}
,0
\}
\}
)n
)n
)n
)n
\}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
 = rec\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
; MP
\rhd \dot{\neg}\,(\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
 = 0
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\underline{(fx)}
[\underline{(m1)}
]
 = 0
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\{\{\underline{
\mathsf {m}}
,\underline{
\mathsf {m}}
\}
,\{\underline{
\mathsf {m}}
, \{ ph \mathrel{\in}  \{ ph \mathrel{\in} P(P(Union(\{N
,Q
\}
)
)
)
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op1)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op2)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\overline{(op1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(op2)}
 \mathrel{\in} Q
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\mathsf {a}
 _{Ph} 
 = \{\{\overline{(op1)}
,\overline{(op1)}
\}
,\{\overline{(op1)}
,\overline{(op2)}
\}
\}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\}
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \underline{
\mathsf {m}}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
 = 0
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\mathsf {f}
 _{Ph} 
 = \{\{\underline{
\mathsf {m}}
,\underline{
\mathsf {m}}
\}
,\{\underline{
\mathsf {m}}
,rec\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
\}
\}
)n
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
 = 0
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\mathsf {f}
 _{Ph} 
 = \{\{\underline{
\mathsf {m}}
,\underline{
\mathsf {m}}
\}
,\{\underline{
\mathsf {m}}
,0
\}
\}
)n
)n
)n
)n
\}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
\}
\}
 = \{\{\underline{(m1)}
,\underline{(m1)}
\}
,\{\underline{(m1)}
,rec\underline{(fx)}
[\underline{(m1)}
]
\}
\}
)n
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\underline{(fx)}
[\underline{(m1)}
]
 = 0
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\{\{\underline{
\mathsf {m}}
,\underline{
\mathsf {m}}
\}
,\{\underline{
\mathsf {m}}
, \{ ph \mathrel{\in}  \{ ph \mathrel{\in} P(P(Union(\{N
,Q
\}
)
)
)
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op1)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op2)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\overline{(op1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(op2)}
 \mathrel{\in} Q
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\mathsf {a}
 _{Ph} 
 = \{\{\overline{(op1)}
,\overline{(op1)}
\}
,\{\overline{(op1)}
,\overline{(op2)}
\}
\}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\}
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \underline{
\mathsf {m}}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
 = 0
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\mathsf {f}
 _{Ph} 
 = \{\{\underline{
\mathsf {m}}
,\underline{
\mathsf {m}}
\}
,\{\underline{
\mathsf {m}}
,rec\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
\}
\}
)n
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
 = 0
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\mathsf {f}
 _{Ph} 
 = \{\{\underline{
\mathsf {m}}
,\underline{
\mathsf {m}}
\}
,\{\underline{
\mathsf {m}}
,0
\}
\}
)n
)n
)n
)n
\}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
\}
\}
 = \{\{\underline{(m1)}
,\underline{(m1)}
\}
,\{\underline{(m1)}
,0
\}
\}
)n
)n
\Rightarrow  \{ ph \mathrel{\in}  \{ ph \mathrel{\in} P(P(Union(\{N
,Q
\}
)
)
)
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op1)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op2)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\overline{(op1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(op2)}
 \mathrel{\in} Q
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\mathsf {a}
 _{Ph} 
 = \{\{\overline{(op1)}
,\overline{(op1)}
\}
,\{\overline{(op1)}
,\overline{(op2)}
\}
\}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\}
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \underline{
\mathsf {m}}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
 = 0
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\mathsf {f}
 _{Ph} 
 = \{\{\underline{
\mathsf {m}}
,\underline{
\mathsf {m}}
\}
,\{\underline{
\mathsf {m}}
,rec\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
\}
\}
)n
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
 = 0
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\mathsf {f}
 _{Ph} 
 = \{\{\underline{
\mathsf {m}}
,\underline{
\mathsf {m}}
\}
,\{\underline{
\mathsf {m}}
,0
\}
\}
)n
)n
)n
)n
\}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
 = rec\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
\rhd \dot{\neg}\,(\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
 = 0
)n
\gg \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\underline{(fx)}
[\underline{(m1)}
]
 = 0
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\{\{\underline{
\mathsf {m}}
,\underline{
\mathsf {m}}
\}
,\{\underline{
\mathsf {m}}
, \{ ph \mathrel{\in}  \{ ph \mathrel{\in} P(P(Union(\{N
,Q
\}
)
)
)
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op1)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op2)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\overline{(op1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(op2)}
 \mathrel{\in} Q
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\mathsf {a}
 _{Ph} 
 = \{\{\overline{(op1)}
,\overline{(op1)}
\}
,\{\overline{(op1)}
,\overline{(op2)}
\}
\}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\}
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \underline{
\mathsf {m}}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
 = 0
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\mathsf {f}
 _{Ph} 
 = \{\{\underline{
\mathsf {m}}
,\underline{
\mathsf {m}}
\}
,\{\underline{
\mathsf {m}}
,rec\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
\}
\}
)n
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
 = 0
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\mathsf {f}
 _{Ph} 
 = \{\{\underline{
\mathsf {m}}
,\underline{
\mathsf {m}}
\}
,\{\underline{
\mathsf {m}}
,0
\}
\}
)n
)n
)n
)n
\}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
\}
\}
 = \{\{\underline{(m1)}
,\underline{(m1)}
\}
,\{\underline{(m1)}
,rec\underline{(fx)}
[\underline{(m1)}
]
\}
\}
)n
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\underline{(fx)}
[\underline{(m1)}
]
 = 0
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\{\{\underline{
\mathsf {m}}
,\underline{
\mathsf {m}}
\}
,\{\underline{
\mathsf {m}}
, \{ ph \mathrel{\in}  \{ ph \mathrel{\in} P(P(Union(\{N
,Q
\}
)
)
)
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op1)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op2)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\overline{(op1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(op2)}
 \mathrel{\in} Q
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\mathsf {a}
 _{Ph} 
 = \{\{\overline{(op1)}
,\overline{(op1)}
\}
,\{\overline{(op1)}
,\overline{(op2)}
\}
\}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\}
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \underline{
\mathsf {m}}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
 = 0
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\mathsf {f}
 _{Ph} 
 = \{\{\underline{
\mathsf {m}}
,\underline{
\mathsf {m}}
\}
,\{\underline{
\mathsf {m}}
,rec\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
\}
\}
)n
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
 = 0
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\mathsf {f}
 _{Ph} 
 = \{\{\underline{
\mathsf {m}}
,\underline{
\mathsf {m}}
\}
,\{\underline{
\mathsf {m}}
,0
\}
\}
)n
)n
)n
)n
\}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
\}
\}
 = \{\{\underline{(m1)}
,\underline{(m1)}
\}
,\{\underline{(m1)}
,0
\}
\}
)n
)n
\Rightarrow  \{ ph \mathrel{\in}  \{ ph \mathrel{\in} P(P(Union(\{N
,Q
\}
)
)
)
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op1)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op2)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\overline{(op1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(op2)}
 \mathrel{\in} Q
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\mathsf {a}
 _{Ph} 
 = \{\{\overline{(op1)}
,\overline{(op1)}
\}
,\{\overline{(op1)}
,\overline{(op2)}
\}
\}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\}
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \underline{
\mathsf {m}}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
 = 0
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\mathsf {f}
 _{Ph} 
 = \{\{\underline{
\mathsf {m}}
,\underline{
\mathsf {m}}
\}
,\{\underline{
\mathsf {m}}
,rec\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
\}
\}
)n
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
 = 0
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\mathsf {f}
 _{Ph} 
 = \{\{\underline{
\mathsf {m}}
,\underline{
\mathsf {m}}
\}
,\{\underline{
\mathsf {m}}
,0
\}
\}
)n
)n
)n
)n
\}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
 = rec\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
; ExistMP
\rhd \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\underline{(fx)}
[\underline{(m1)}
]
 = 0
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\{\{\underline{
\mathsf {m}}
,\underline{
\mathsf {m}}
\}
,\{\underline{
\mathsf {m}}
, \{ ph \mathrel{\in}  \{ ph \mathrel{\in} P(P(Union(\{N
,Q
\}
)
)
)
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op1)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op2)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\overline{(op1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(op2)}
 \mathrel{\in} Q
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\mathsf {a}
 _{Ph} 
 = \{\{\overline{(op1)}
,\overline{(op1)}
\}
,\{\overline{(op1)}
,\overline{(op2)}
\}
\}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\}
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \underline{
\mathsf {m}}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
 = 0
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\mathsf {f}
 _{Ph} 
 = \{\{\underline{
\mathsf {m}}
,\underline{
\mathsf {m}}
\}
,\{\underline{
\mathsf {m}}
,rec\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
\}
\}
)n
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
 = 0
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\mathsf {f}
 _{Ph} 
 = \{\{\underline{
\mathsf {m}}
,\underline{
\mathsf {m}}
\}
,\{\underline{
\mathsf {m}}
,0
\}
\}
)n
)n
)n
)n
\}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
\}
\}
 = \{\{\underline{(m1)}
,\underline{(m1)}
\}
,\{\underline{(m1)}
,rec\underline{(fx)}
[\underline{(m1)}
]
\}
\}
)n
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\underline{(fx)}
[\underline{(m1)}
]
 = 0
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\{\{\underline{
\mathsf {m}}
,\underline{
\mathsf {m}}
\}
,\{\underline{
\mathsf {m}}
, \{ ph \mathrel{\in}  \{ ph \mathrel{\in} P(P(Union(\{N
,Q
\}
)
)
)
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op1)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op2)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\overline{(op1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(op2)}
 \mathrel{\in} Q
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\mathsf {a}
 _{Ph} 
 = \{\{\overline{(op1)}
,\overline{(op1)}
\}
,\{\overline{(op1)}
,\overline{(op2)}
\}
\}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\}
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \underline{
\mathsf {m}}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
 = 0
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\mathsf {f}
 _{Ph} 
 = \{\{\underline{
\mathsf {m}}
,\underline{
\mathsf {m}}
\}
,\{\underline{
\mathsf {m}}
,rec\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
\}
\}
)n
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
 = 0
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\mathsf {f}
 _{Ph} 
 = \{\{\underline{
\mathsf {m}}
,\underline{
\mathsf {m}}
\}
,\{\underline{
\mathsf {m}}
,0
\}
\}
)n
)n
)n
)n
\}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
\}
\}
 = \{\{\underline{(m1)}
,\underline{(m1)}
\}
,\{\underline{(m1)}
,0
\}
\}
)n
)n
\Rightarrow  \{ ph \mathrel{\in}  \{ ph \mathrel{\in} P(P(Union(\{N
,Q
\}
)
)
)
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op1)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op2)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\overline{(op1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(op2)}
 \mathrel{\in} Q
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\mathsf {a}
 _{Ph} 
 = \{\{\overline{(op1)}
,\overline{(op1)}
\}
,\{\overline{(op1)}
,\overline{(op2)}
\}
\}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\}
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \underline{
\mathsf {m}}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
 = 0
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\mathsf {f}
 _{Ph} 
 = \{\{\underline{
\mathsf {m}}
,\underline{
\mathsf {m}}
\}
,\{\underline{
\mathsf {m}}
,rec\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
\}
\}
)n
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
 = 0
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\mathsf {f}
 _{Ph} 
 = \{\{\underline{
\mathsf {m}}
,\underline{
\mathsf {m}}
\}
,\{\underline{
\mathsf {m}}
,0
\}
\}
)n
)n
)n
)n
\}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
 = rec\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
\rhd \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \underline{(m1)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\underline{(fx)}
[\underline{(m1)}
]
 = 0
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\{\{\underline{
\mathsf {m}}
,\underline{
\mathsf {m}}
\}
,\{\underline{
\mathsf {m}}
, \{ ph \mathrel{\in}  \{ ph \mathrel{\in} P(P(Union(\{N
,Q
\}
)
)
)
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op1)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op2)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\overline{(op1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(op2)}
 \mathrel{\in} Q
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\mathsf {a}
 _{Ph} 
 = \{\{\overline{(op1)}
,\overline{(op1)}
\}
,\{\overline{(op1)}
,\overline{(op2)}
\}
\}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\}
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \underline{
\mathsf {m}}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
 = 0
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\mathsf {f}
 _{Ph} 
 = \{\{\underline{
\mathsf {m}}
,\underline{
\mathsf {m}}
\}
,\{\underline{
\mathsf {m}}
,rec\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
\}
\}
)n
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
 = 0
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\mathsf {f}
 _{Ph} 
 = \{\{\underline{
\mathsf {m}}
,\underline{
\mathsf {m}}
\}
,\{\underline{
\mathsf {m}}
,0
\}
\}
)n
)n
)n
)n
\}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
\}
\}
 = \{\{\underline{(m1)}
,\underline{(m1)}
\}
,\{\underline{(m1)}
,rec\underline{(fx)}
[\underline{(m1)}
]
\}
\}
)n
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\underline{(fx)}
[\underline{(m1)}
]
 = 0
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\{\{\underline{
\mathsf {m}}
,\underline{
\mathsf {m}}
\}
,\{\underline{
\mathsf {m}}
, \{ ph \mathrel{\in}  \{ ph \mathrel{\in} P(P(Union(\{N
,Q
\}
)
)
)
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op1)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op2)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\overline{(op1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(op2)}
 \mathrel{\in} Q
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\mathsf {a}
 _{Ph} 
 = \{\{\overline{(op1)}
,\overline{(op1)}
\}
,\{\overline{(op1)}
,\overline{(op2)}
\}
\}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\}
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \underline{
\mathsf {m}}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
 = 0
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\mathsf {f}
 _{Ph} 
 = \{\{\underline{
\mathsf {m}}
,\underline{
\mathsf {m}}
\}
,\{\underline{
\mathsf {m}}
,rec\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
\}
\}
)n
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
 = 0
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\mathsf {f}
 _{Ph} 
 = \{\{\underline{
\mathsf {m}}
,\underline{
\mathsf {m}}
\}
,\{\underline{
\mathsf {m}}
,0
\}
\}
)n
)n
)n
)n
\}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
\}
\}
 = \{\{\underline{(m1)}
,\underline{(m1)}
\}
,\{\underline{(m1)}
,0
\}
\}
)n
)n
)n
)n
\gg  \{ ph \mathrel{\in}  \{ ph \mathrel{\in} P(P(Union(\{N
,Q
\}
)
)
)
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op1)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op2)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\overline{(op1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(op2)}
 \mathrel{\in} Q
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\mathsf {a}
 _{Ph} 
 = \{\{\overline{(op1)}
,\overline{(op1)}
\}
,\{\overline{(op1)}
,\overline{(op2)}
\}
\}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\}
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \underline{
\mathsf {m}}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
 = 0
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\mathsf {f}
 _{Ph} 
 = \{\{\underline{
\mathsf {m}}
,\underline{
\mathsf {m}}
\}
,\{\underline{
\mathsf {m}}
,rec\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
\}
\}
)n
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
 = 0
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\mathsf {f}
 _{Ph} 
 = \{\{\underline{
\mathsf {m}}
,\underline{
\mathsf {m}}
\}
,\{\underline{
\mathsf {m}}
,0
\}
\}
)n
)n
)n
)n
\}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
 = rec\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
\rceil 
, 
p_0
, 
\mathsf {c}
)
]$




$
[ReciprocalFnonzero
\stackrel{
stmt
}{\rightarrow}SystemQ
\vdash 
\forall \underline{
\mathsf {m}}
\colon 
\forall \underline{(fx)}
\colon \dot{\neg}\,(\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
 = 0
)n
\vdash 1f/\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
 = rec\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
]$

$
[ReciprocalFnonzero
\stackrel{
proof
}{\rightarrow}
\lambda 
\mathsf {c}
.
\lambda 
\mathsf{x}
.
{\cal P}( 
\lceil SystemQ
\vdash 
\forall \underline{
\mathsf {m}}
\colon 
\forall \underline{(fx)}
\colon \dot{\neg}\,(\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
 = 0
)n
\vdash IfThenElse(F)
\rhd \dot{\neg}\,(\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
 = 0
)n
\gg if(\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
 = 0
,0
,rec\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
)
 = rec\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
; ReciprocalF
\gg 1f/\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
 = if(\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
 = 0
,0
,rec\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
)
; eqTransitivity
\rhd 1f/\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
 = if(\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
 = 0
,0
,rec\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
)
\rhd if(\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
 = 0
,0
,rec\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
)
 = rec\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
\gg 1f/\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
 = rec\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
\rceil 
, 
p_0
, 
\mathsf {c}
)
]$



$
[(Eventually=f)2sameF(Helper)
\stackrel{
stmt
}{\rightarrow}SystemQ
\vdash 
\forall \underline{
\mathsf {m}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf {n}}
\colon 
\forall \underline{(\epsilon)}
\colon 
\forall \underline{(fx)}
\colon 
\forall \underline{(fy)}
\colon 
\forall_{obj} \underline{
\mathsf {m}}
\colon \underline{
\mathsf {n}}
 <= \underline{
\mathsf {m}}
\Rightarrow \underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
 = \underline{(fy)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
\Rightarrow \dot{\neg}\,(0
 <= \underline{(\epsilon)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(0
 = \underline{(\epsilon)}
)n
)n
)n
\Rightarrow \underline{
\mathsf {n}}
 <= \underline{
\mathsf {m}}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(|(\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
+(-u\underline{(fy)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
)
)
|
 <= \underline{(\epsilon)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(|(\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
+(-u\underline{(fy)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
)
)
|
 = \underline{(\epsilon)}
)n
)n
)n
]$

$
[(Eventually=f)2sameF(Helper)
\stackrel{
proof
}{\rightarrow}
\lambda 
\mathsf {c}
.
\lambda 
\mathsf{x}
.
{\cal P}( 
\lceil SystemQ
\vdash 
\forall \underline{
\mathsf {m}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf {n}}
\colon 
\forall \underline{(\epsilon)}
\colon 
\forall \underline{(fx)}
\colon 
\forall \underline{(fy)}
\colon 
\forall_{obj} \underline{
\mathsf {m}}
\colon \underline{
\mathsf {n}}
 <= \underline{
\mathsf {m}}
\Rightarrow \underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
 = \underline{(fy)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
\vdash A4
\mathop {\char64} \underline{
\mathsf {m}}
\rhd 
\forall_{obj} \underline{
\mathsf {m}}
\colon \underline{
\mathsf {n}}
 <= \underline{
\mathsf {m}}
\Rightarrow \underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
 = \underline{(fy)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
\gg \underline{
\mathsf {n}}
 <= \underline{
\mathsf {m}}
\Rightarrow \underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
 = \underline{(fy)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
; \dot{\neg}\,(0
 <= \underline{(\epsilon)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(0
 = \underline{(\epsilon)}
)n
)n
)n
\vdash \underline{
\mathsf {n}}
 <= \underline{
\mathsf {m}}
\vdash MP
\rhd \underline{
\mathsf {n}}
 <= \underline{
\mathsf {m}}
\Rightarrow \underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
 = \underline{(fy)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
\rhd \underline{
\mathsf {n}}
 <= \underline{
\mathsf {m}}
\gg \underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
 = \underline{(fy)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
; PositiveToLeft(Eq)(1 term)
\rhd \underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
 = \underline{(fy)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
\gg (\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
+(-u\underline{(fy)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
)
)
 = 0
; SameNumerical
\rhd (\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
+(-u\underline{(fy)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
)
)
 = 0
\gg |(\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
+(-u\underline{(fy)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
)
)
|
 = |0
|
; |0|=0
\gg |0
|
 = 0
; eqTransitivity
\rhd |(\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
+(-u\underline{(fy)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
)
)
|
 = |0
|
\rhd |0
|
 = 0
\gg |(\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
+(-u\underline{(fy)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
)
)
|
 = 0
; eqSymmetry
\rhd |(\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
+(-u\underline{(fy)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
)
)
|
 = 0
\gg 0
 = |(\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
+(-u\underline{(fy)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
)
)
|
; SubLessLeft
\rhd 0
 = |(\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
+(-u\underline{(fy)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
)
)
|
\rhd \dot{\neg}\,(0
 <= \underline{(\epsilon)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(0
 = \underline{(\epsilon)}
)n
)n
)n
\gg \dot{\neg}\,(|(\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
+(-u\underline{(fy)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
)
)
|
 <= \underline{(\epsilon)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(|(\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
+(-u\underline{(fy)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
)
)
|
 = \underline{(\epsilon)}
)n
)n
)n
; 
\forall \underline{
\mathsf {m}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf {n}}
\colon 
\forall \underline{(\epsilon)}
\colon 
\forall \underline{(fx)}
\colon 
\forall \underline{(fy)}
\colon Ded
\rhd 
\forall \underline{
\mathsf {m}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf {n}}
\colon 
\forall \underline{(\epsilon)}
\colon 
\forall \underline{(fx)}
\colon 
\forall \underline{(fy)}
\colon 
\forall_{obj} \underline{
\mathsf {m}}
\colon \underline{
\mathsf {n}}
 <= \underline{
\mathsf {m}}
\Rightarrow \underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
 = \underline{(fy)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
\vdash \dot{\neg}\,(0
 <= \underline{(\epsilon)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(0
 = \underline{(\epsilon)}
)n
)n
)n
\vdash \underline{
\mathsf {n}}
 <= \underline{
\mathsf {m}}
\vdash \dot{\neg}\,(|(\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
+(-u\underline{(fy)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
)
)
|
 <= \underline{(\epsilon)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(|(\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
+(-u\underline{(fy)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
)
)
|
 = \underline{(\epsilon)}
)n
)n
)n
\gg 
\forall_{obj} \underline{
\mathsf {m}}
\colon \underline{
\mathsf {n}}
 <= \underline{
\mathsf {m}}
\Rightarrow \underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
 = \underline{(fy)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
\Rightarrow \dot{\neg}\,(0
 <= \underline{(\epsilon)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(0
 = \underline{(\epsilon)}
)n
)n
)n
\Rightarrow \underline{
\mathsf {n}}
 <= \underline{
\mathsf {m}}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(|(\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
+(-u\underline{(fy)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
)
)
|
 <= \underline{(\epsilon)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(|(\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
+(-u\underline{(fy)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
)
)
|
 = \underline{(\epsilon)}
)n
)n
)n
\rceil 
, 
p_0
, 
\mathsf {c}
)
]$





$
[(Eventually=f)2sameF
\stackrel{
stmt
}{\rightarrow}SystemQ
\vdash 
\forall \underline{
\mathsf {m}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf {n}}
\colon 
\forall \underline{(fx)}
\colon 
\forall \underline{(fy)}
\colon \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \underline{
\mathsf {n}}
\colon \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \underline{
\mathsf {m}}
\colon \underline{
\mathsf {n}}
 <= \underline{
\mathsf {m}}
\Rightarrow \underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
 = \underline{(fy)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
)n
)n
\vdash 
\forall_{obj} \overline{(\epsilon)}
\colon \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {n}}
\colon \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {m}}
\colon \dot{\neg}\,(0
 <= \overline{(\epsilon)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(0
 = \overline{(\epsilon)}
)n
)n
)n
\Rightarrow \overline{
\mathsf {n}}
 <= \overline{
\mathsf {m}}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(|(\underline{(fx)}
[\overline{
\mathsf {m}}
]
+(-u\underline{(fy)}
[\overline{
\mathsf {m}}
]
)
)
|
 <= \overline{(\epsilon)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(|(\underline{(fx)}
[\overline{
\mathsf {m}}
]
+(-u\underline{(fy)}
[\overline{
\mathsf {m}}
]
)
)
|
 = \overline{(\epsilon)}
)n
)n
)n
)n
)n
]$

$
[(Eventually=f)2sameF
\stackrel{
proof
}{\rightarrow}
\lambda 
\mathsf {c}
.
\lambda 
\mathsf{x}
.
{\cal P}( 
\lceil SystemQ
\vdash 
\forall \underline{
\mathsf {m}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf {n}}
\colon 
\forall \underline{(fx)}
\colon 
\forall \underline{(fy)}
\colon \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \underline{
\mathsf {n}}
\colon \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \underline{
\mathsf {m}}
\colon \underline{
\mathsf {n}}
 <= \underline{
\mathsf {m}}
\Rightarrow \underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
 = \underline{(fy)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
)n
)n
\vdash (Eventually=f)2sameF(Helper)
\gg 
\forall_{obj} \underline{
\mathsf {m}}
\colon \underline{
\mathsf {n}}
 <= \underline{
\mathsf {m}}
\Rightarrow \underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
 = \underline{(fy)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
\Rightarrow \dot{\neg}\,(0
 <= \underline{(\epsilon)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(0
 = \underline{(\epsilon)}
)n
)n
)n
\Rightarrow \underline{
\mathsf {n}}
 <= \underline{
\mathsf {m}}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(|(\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
+(-u\underline{(fy)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
)
)
|
 <= \underline{(\epsilon)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(|(\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
+(-u\underline{(fy)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
)
)
|
 = \underline{(\epsilon)}
)n
)n
)n
; ExistMP
\rhd 
\forall_{obj} \underline{
\mathsf {m}}
\colon \underline{
\mathsf {n}}
 <= \underline{
\mathsf {m}}
\Rightarrow \underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
 = \underline{(fy)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
\Rightarrow \dot{\neg}\,(0
 <= \underline{(\epsilon)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(0
 = \underline{(\epsilon)}
)n
)n
)n
\Rightarrow \underline{
\mathsf {n}}
 <= \underline{
\mathsf {m}}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(|(\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
+(-u\underline{(fy)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
)
)
|
 <= \underline{(\epsilon)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(|(\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
+(-u\underline{(fy)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
)
)
|
 = \underline{(\epsilon)}
)n
)n
)n
\rhd \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \underline{
\mathsf {n}}
\colon \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \underline{
\mathsf {m}}
\colon \underline{
\mathsf {n}}
 <= \underline{
\mathsf {m}}
\Rightarrow \underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
 = \underline{(fy)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
)n
)n
\gg \dot{\neg}\,(0
 <= \underline{(\epsilon)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(0
 = \underline{(\epsilon)}
)n
)n
)n
\Rightarrow \underline{
\mathsf {n}}
 <= \underline{
\mathsf {m}}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(|(\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
+(-u\underline{(fy)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
)
)
|
 <= \underline{(\epsilon)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(|(\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
+(-u\underline{(fy)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
)
)
|
 = \underline{(\epsilon)}
)n
)n
)n
; Gen
\rhd \dot{\neg}\,(0
 <= \underline{(\epsilon)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(0
 = \underline{(\epsilon)}
)n
)n
)n
\Rightarrow \underline{
\mathsf {n}}
 <= \underline{
\mathsf {m}}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(|(\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
+(-u\underline{(fy)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
)
)
|
 <= \underline{(\epsilon)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(|(\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
+(-u\underline{(fy)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
)
)
|
 = \underline{(\epsilon)}
)n
)n
)n
\gg 
\forall_{obj} \underline{
\mathsf {m}}
\colon \dot{\neg}\,(0
 <= \underline{(\epsilon)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(0
 = \underline{(\epsilon)}
)n
)n
)n
\Rightarrow \underline{
\mathsf {n}}
 <= \underline{
\mathsf {m}}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(|(\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
+(-u\underline{(fy)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
)
)
|
 <= \underline{(\epsilon)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(|(\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
+(-u\underline{(fy)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
)
)
|
 = \underline{(\epsilon)}
)n
)n
)n
; IntroExist
\mathop {\char64} \underline{
\mathsf {n}}
\rhd 
\forall_{obj} \underline{
\mathsf {m}}
\colon \dot{\neg}\,(0
 <= \underline{(\epsilon)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(0
 = \underline{(\epsilon)}
)n
)n
)n
\Rightarrow \underline{
\mathsf {n}}
 <= \underline{
\mathsf {m}}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(|(\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
+(-u\underline{(fy)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
)
)
|
 <= \underline{(\epsilon)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(|(\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
+(-u\underline{(fy)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
)
)
|
 = \underline{(\epsilon)}
)n
)n
)n
\gg \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \underline{
\mathsf {n}}
\colon \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \underline{
\mathsf {m}}
\colon \dot{\neg}\,(0
 <= \underline{(\epsilon)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(0
 = \underline{(\epsilon)}
)n
)n
)n
\Rightarrow \underline{
\mathsf {n}}
 <= \underline{
\mathsf {m}}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(|(\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
+(-u\underline{(fy)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
)
)
|
 <= \underline{(\epsilon)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(|(\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
+(-u\underline{(fy)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
)
)
|
 = \underline{(\epsilon)}
)n
)n
)n
)n
)n
; Gen
\rhd \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \underline{
\mathsf {n}}
\colon \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \underline{
\mathsf {m}}
\colon \dot{\neg}\,(0
 <= \underline{(\epsilon)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(0
 = \underline{(\epsilon)}
)n
)n
)n
\Rightarrow \underline{
\mathsf {n}}
 <= \underline{
\mathsf {m}}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(|(\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
+(-u\underline{(fy)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
)
)
|
 <= \underline{(\epsilon)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(|(\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
+(-u\underline{(fy)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
)
)
|
 = \underline{(\epsilon)}
)n
)n
)n
)n
)n
\gg 
\forall_{obj} \underline{(\epsilon)}
\colon \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \underline{
\mathsf {n}}
\colon \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \underline{
\mathsf {m}}
\colon \dot{\neg}\,(0
 <= \underline{(\epsilon)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(0
 = \underline{(\epsilon)}
)n
)n
)n
\Rightarrow \underline{
\mathsf {n}}
 <= \underline{
\mathsf {m}}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(|(\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
+(-u\underline{(fy)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
)
)
|
 <= \underline{(\epsilon)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(|(\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
+(-u\underline{(fy)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
)
)
|
 = \underline{(\epsilon)}
)n
)n
)n
)n
)n
; Ded
\rhd 
\forall_{obj} \underline{(\epsilon)}
\colon \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \underline{
\mathsf {n}}
\colon \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \underline{
\mathsf {m}}
\colon \dot{\neg}\,(0
 <= \underline{(\epsilon)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(0
 = \underline{(\epsilon)}
)n
)n
)n
\Rightarrow \underline{
\mathsf {n}}
 <= \underline{
\mathsf {m}}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(|(\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
+(-u\underline{(fy)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
)
)
|
 <= \underline{(\epsilon)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(|(\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
+(-u\underline{(fy)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
)
)
|
 = \underline{(\epsilon)}
)n
)n
)n
)n
)n
\gg 
\forall_{obj} \overline{(\epsilon)}
\colon \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {n}}
\colon \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {m}}
\colon \dot{\neg}\,(0
 <= \overline{(\epsilon)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(0
 = \overline{(\epsilon)}
)n
)n
)n
\Rightarrow \overline{
\mathsf {n}}
 <= \overline{
\mathsf {m}}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(|(\underline{(fx)}
[\overline{
\mathsf {m}}
]
+(-u\underline{(fy)}
[\overline{
\mathsf {m}}
]
)
)
|
 <= \overline{(\epsilon)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(|(\underline{(fx)}
[\overline{
\mathsf {m}}
]
+(-u\underline{(fy)}
[\overline{
\mathsf {m}}
]
)
)
|
 = \overline{(\epsilon)}
)n
)n
)n
)n
)n
; Repetition
\rhd 
\forall_{obj} \overline{(\epsilon)}
\colon \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {n}}
\colon \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {m}}
\colon \dot{\neg}\,(0
 <= \overline{(\epsilon)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(0
 = \overline{(\epsilon)}
)n
)n
)n
\Rightarrow \overline{
\mathsf {n}}
 <= \overline{
\mathsf {m}}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(|(\underline{(fx)}
[\overline{
\mathsf {m}}
]
+(-u\underline{(fy)}
[\overline{
\mathsf {m}}
]
)
)
|
 <= \overline{(\epsilon)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(|(\underline{(fx)}
[\overline{
\mathsf {m}}
]
+(-u\underline{(fy)}
[\overline{
\mathsf {m}}
]
)
)
|
 = \overline{(\epsilon)}
)n
)n
)n
)n
)n
\gg 
\forall_{obj} \overline{(\epsilon)}
\colon \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {n}}
\colon \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {m}}
\colon \dot{\neg}\,(0
 <= \overline{(\epsilon)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(0
 = \overline{(\epsilon)}
)n
)n
)n
\Rightarrow \overline{
\mathsf {n}}
 <= \overline{
\mathsf {m}}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(|(\underline{(fx)}
[\overline{
\mathsf {m}}
]
+(-u\underline{(fy)}
[\overline{
\mathsf {m}}
]
)
)
|
 <= \overline{(\epsilon)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(|(\underline{(fx)}
[\overline{
\mathsf {m}}
]
+(-u\underline{(fy)}
[\overline{
\mathsf {m}}
]
)
)
|
 = \overline{(\epsilon)}
)n
)n
)n
)n
)n
\rceil 
, 
p_0
, 
\mathsf {c}
)
]$

$
[PositiveToRight(Less)
\stackrel{
stmt
}{\rightarrow}SystemQ
\vdash 
\forall \underline{
\mathsf{x}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf{y}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf{z}}
\colon \dot{\neg}\,((\underline{
\mathsf{x}}
+\underline{
\mathsf{y}}
)
 <= \underline{
\mathsf{z}}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,((\underline{
\mathsf{x}}
+\underline{
\mathsf{y}}
)
 = \underline{
\mathsf{z}}
)n
)n
)n
\vdash \dot{\neg}\,(\underline{
\mathsf{x}}
 <= (\underline{
\mathsf{z}}
+(-u\underline{
\mathsf{y}}
)
)
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\underline{
\mathsf{x}}
 = (\underline{
\mathsf{z}}
+(-u\underline{
\mathsf{y}}
)
)
)n
)n
)n
]$

$
[PositiveToRight(Less)
\stackrel{
proof
}{\rightarrow}
\lambda 
\mathsf {c}
.
\lambda 
\mathsf{x}
.
{\cal P}( 
\lceil SystemQ
\vdash 
\forall \underline{
\mathsf{x}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf{y}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf{z}}
\colon \dot{\neg}\,((\underline{
\mathsf{x}}
+\underline{
\mathsf{y}}
)
 <= \underline{
\mathsf{z}}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,((\underline{
\mathsf{x}}
+\underline{
\mathsf{y}}
)
 = \underline{
\mathsf{z}}
)n
)n
)n
\vdash LessAddition
\rhd \dot{\neg}\,((\underline{
\mathsf{x}}
+\underline{
\mathsf{y}}
)
 <= \underline{
\mathsf{z}}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,((\underline{
\mathsf{x}}
+\underline{
\mathsf{y}}
)
 = \underline{
\mathsf{z}}
)n
)n
)n
\gg \dot{\neg}\,(((\underline{
\mathsf{x}}
+\underline{
\mathsf{y}}
)
+(-u\underline{
\mathsf{y}}
)
)
 <= (\underline{
\mathsf{z}}
+(-u\underline{
\mathsf{y}}
)
)
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(((\underline{
\mathsf{x}}
+\underline{
\mathsf{y}}
)
+(-u\underline{
\mathsf{y}}
)
)
 = (\underline{
\mathsf{z}}
+(-u\underline{
\mathsf{y}}
)
)
)n
)n
)n
; x=x+y-y
\gg \underline{
\mathsf{x}}
 = ((\underline{
\mathsf{x}}
+\underline{
\mathsf{y}}
)
+(-u\underline{
\mathsf{y}}
)
)
; eqSymmetry
\rhd \underline{
\mathsf{x}}
 = ((\underline{
\mathsf{x}}
+\underline{
\mathsf{y}}
)
+(-u\underline{
\mathsf{y}}
)
)
\gg ((\underline{
\mathsf{x}}
+\underline{
\mathsf{y}}
)
+(-u\underline{
\mathsf{y}}
)
)
 = \underline{
\mathsf{x}}
; SubLessLeft
\rhd ((\underline{
\mathsf{x}}
+\underline{
\mathsf{y}}
)
+(-u\underline{
\mathsf{y}}
)
)
 = \underline{
\mathsf{x}}
\rhd \dot{\neg}\,(((\underline{
\mathsf{x}}
+\underline{
\mathsf{y}}
)
+(-u\underline{
\mathsf{y}}
)
)
 <= (\underline{
\mathsf{z}}
+(-u\underline{
\mathsf{y}}
)
)
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(((\underline{
\mathsf{x}}
+\underline{
\mathsf{y}}
)
+(-u\underline{
\mathsf{y}}
)
)
 = (\underline{
\mathsf{z}}
+(-u\underline{
\mathsf{y}}
)
)
)n
)n
)n
\gg \dot{\neg}\,(\underline{
\mathsf{x}}
 <= (\underline{
\mathsf{z}}
+(-u\underline{
\mathsf{y}}
)
)
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\underline{
\mathsf{x}}
 = (\underline{
\mathsf{z}}
+(-u\underline{
\mathsf{y}}
)
)
)n
)n
)n
\rceil 
, 
p_0
, 
\mathsf {c}
)
]$


$
[SwitchTerms(x-y<z)
\stackrel{
stmt
}{\rightarrow}SystemQ
\vdash 
\forall \underline{
\mathsf{x}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf{y}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf{z}}
\colon \dot{\neg}\,((\underline{
\mathsf{x}}
+(-u\underline{
\mathsf{y}}
)
)
 <= \underline{
\mathsf{z}}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,((\underline{
\mathsf{x}}
+(-u\underline{
\mathsf{y}}
)
)
 = \underline{
\mathsf{z}}
)n
)n
)n
\vdash \dot{\neg}\,((\underline{
\mathsf{x}}
+(-u\underline{
\mathsf{z}}
)
)
 <= \underline{
\mathsf{y}}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,((\underline{
\mathsf{x}}
+(-u\underline{
\mathsf{z}}
)
)
 = \underline{
\mathsf{y}}
)n
)n
)n
]$

$
[SwitchTerms(x-y<z)
\stackrel{
proof
}{\rightarrow}
\lambda 
\mathsf {c}
.
\lambda 
\mathsf{x}
.
{\cal P}( 
\lceil SystemQ
\vdash 
\forall \underline{
\mathsf{x}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf{y}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf{z}}
\colon \dot{\neg}\,((\underline{
\mathsf{x}}
+(-u\underline{
\mathsf{y}}
)
)
 <= \underline{
\mathsf{z}}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,((\underline{
\mathsf{x}}
+(-u\underline{
\mathsf{y}}
)
)
 = \underline{
\mathsf{z}}
)n
)n
)n
\vdash NegativeToRight(Less)
\rhd \dot{\neg}\,((\underline{
\mathsf{x}}
+(-u\underline{
\mathsf{y}}
)
)
 <= \underline{
\mathsf{z}}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,((\underline{
\mathsf{x}}
+(-u\underline{
\mathsf{y}}
)
)
 = \underline{
\mathsf{z}}
)n
)n
)n
\gg \dot{\neg}\,(\underline{
\mathsf{x}}
 <= (\underline{
\mathsf{z}}
+\underline{
\mathsf{y}}
)
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\underline{
\mathsf{x}}
 = (\underline{
\mathsf{z}}
+\underline{
\mathsf{y}}
)
)n
)n
)n
; plusCommutativity
\gg (\underline{
\mathsf{z}}
+\underline{
\mathsf{y}}
)
 = (\underline{
\mathsf{y}}
+\underline{
\mathsf{z}}
)
; SubLessRight
\rhd (\underline{
\mathsf{z}}
+\underline{
\mathsf{y}}
)
 = (\underline{
\mathsf{y}}
+\underline{
\mathsf{z}}
)
\rhd \dot{\neg}\,(\underline{
\mathsf{x}}
 <= (\underline{
\mathsf{z}}
+\underline{
\mathsf{y}}
)
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\underline{
\mathsf{x}}
 = (\underline{
\mathsf{z}}
+\underline{
\mathsf{y}}
)
)n
)n
)n
\gg \dot{\neg}\,(\underline{
\mathsf{x}}
 <= (\underline{
\mathsf{y}}
+\underline{
\mathsf{z}}
)
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\underline{
\mathsf{x}}
 = (\underline{
\mathsf{y}}
+\underline{
\mathsf{z}}
)
)n
)n
)n
; PositiveToLeft(Less)
\rhd \dot{\neg}\,(\underline{
\mathsf{x}}
 <= (\underline{
\mathsf{y}}
+\underline{
\mathsf{z}}
)
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\underline{
\mathsf{x}}
 = (\underline{
\mathsf{y}}
+\underline{
\mathsf{z}}
)
)n
)n
)n
\gg \dot{\neg}\,((\underline{
\mathsf{x}}
+(-u\underline{
\mathsf{z}}
)
)
 <= \underline{
\mathsf{y}}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,((\underline{
\mathsf{x}}
+(-u\underline{
\mathsf{z}}
)
)
 = \underline{
\mathsf{y}}
)n
)n
)n
\rceil 
, 
p_0
, 
\mathsf {c}
)
]$

$
[SwitchTerms(x<y-z)
\stackrel{
stmt
}{\rightarrow}SystemQ
\vdash 
\forall \underline{
\mathsf{x}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf{y}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf{z}}
\colon \dot{\neg}\,(\underline{
\mathsf{x}}
 <= (\underline{
\mathsf{y}}
+(-u\underline{
\mathsf{z}}
)
)
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\underline{
\mathsf{x}}
 = (\underline{
\mathsf{y}}
+(-u\underline{
\mathsf{z}}
)
)
)n
)n
)n
\vdash \dot{\neg}\,(\underline{
\mathsf{z}}
 <= (\underline{
\mathsf{y}}
+(-u\underline{
\mathsf{x}}
)
)
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\underline{
\mathsf{z}}
 = (\underline{
\mathsf{y}}
+(-u\underline{
\mathsf{x}}
)
)
)n
)n
)n
]$

$
[SwitchTerms(x<y-z)
\stackrel{
proof
}{\rightarrow}
\lambda 
\mathsf {c}
.
\lambda 
\mathsf{x}
.
{\cal P}( 
\lceil SystemQ
\vdash 
\forall \underline{
\mathsf{x}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf{y}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf{z}}
\colon \dot{\neg}\,(\underline{
\mathsf{x}}
 <= (\underline{
\mathsf{y}}
+(-u\underline{
\mathsf{z}}
)
)
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\underline{
\mathsf{x}}
 = (\underline{
\mathsf{y}}
+(-u\underline{
\mathsf{z}}
)
)
)n
)n
)n
\vdash NegativeToLeft(Less)
\rhd \dot{\neg}\,(\underline{
\mathsf{x}}
 <= (\underline{
\mathsf{y}}
+(-u\underline{
\mathsf{z}}
)
)
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\underline{
\mathsf{x}}
 = (\underline{
\mathsf{y}}
+(-u\underline{
\mathsf{z}}
)
)
)n
)n
)n
\gg \dot{\neg}\,((\underline{
\mathsf{x}}
+\underline{
\mathsf{z}}
)
 <= \underline{
\mathsf{y}}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,((\underline{
\mathsf{x}}
+\underline{
\mathsf{z}}
)
 = \underline{
\mathsf{y}}
)n
)n
)n
; plusCommutativity
\gg (\underline{
\mathsf{x}}
+\underline{
\mathsf{z}}
)
 = (\underline{
\mathsf{z}}
+\underline{
\mathsf{x}}
)
; SubLessLeft
\rhd (\underline{
\mathsf{x}}
+\underline{
\mathsf{z}}
)
 = (\underline{
\mathsf{z}}
+\underline{
\mathsf{x}}
)
\rhd \dot{\neg}\,((\underline{
\mathsf{x}}
+\underline{
\mathsf{z}}
)
 <= \underline{
\mathsf{y}}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,((\underline{
\mathsf{x}}
+\underline{
\mathsf{z}}
)
 = \underline{
\mathsf{y}}
)n
)n
)n
\gg \dot{\neg}\,((\underline{
\mathsf{z}}
+\underline{
\mathsf{x}}
)
 <= \underline{
\mathsf{y}}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,((\underline{
\mathsf{z}}
+\underline{
\mathsf{x}}
)
 = \underline{
\mathsf{y}}
)n
)n
)n
; PositiveToRight(Less)
\rhd \dot{\neg}\,((\underline{
\mathsf{z}}
+\underline{
\mathsf{x}}
)
 <= \underline{
\mathsf{y}}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,((\underline{
\mathsf{z}}
+\underline{
\mathsf{x}}
)
 = \underline{
\mathsf{y}}
)n
)n
)n
\gg \dot{\neg}\,(\underline{
\mathsf{z}}
 <= (\underline{
\mathsf{y}}
+(-u\underline{
\mathsf{x}}
)
)
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\underline{
\mathsf{z}}
 = (\underline{
\mathsf{y}}
+(-u\underline{
\mathsf{x}}
)
)
)n
)n
)n
\rceil 
, 
p_0
, 
\mathsf {c}
)
]$


$
[FromNot<f(Strong)(Helper2)
\stackrel{
stmt
}{\rightarrow}SystemQ
\vdash 
\forall \underline{
\mathsf{x}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf{y}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf{z}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf {u}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf {v}}
\colon \dot{\neg}\,(|(\underline{
\mathsf{x}}
+(-u\underline{
\mathsf{y}}
)
)
|
 <= (rec((1
+1
)
+1
)
*\underline{
\mathsf {v}}
)
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(|(\underline{
\mathsf{x}}
+(-u\underline{
\mathsf{y}}
)
)
|
 = (rec((1
+1
)
+1
)
*\underline{
\mathsf {v}}
)
)n
)n
)n
\vdash \dot{\neg}\,(|(\underline{
\mathsf{z}}
+(-u\underline{
\mathsf {u}}
)
)
|
 <= (rec((1
+1
)
+1
)
*\underline{
\mathsf {v}}
)
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(|(\underline{
\mathsf{z}}
+(-u\underline{
\mathsf {u}}
)
)
|
 = (rec((1
+1
)
+1
)
*\underline{
\mathsf {v}}
)
)n
)n
)n
\vdash \dot{\neg}\,((\underline{
\mathsf{y}}
+(-u\underline{
\mathsf {u}}
)
)
 <= (rec((1
+1
)
+1
)
*\underline{
\mathsf {v}}
)
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,((\underline{
\mathsf{y}}
+(-u\underline{
\mathsf {u}}
)
)
 = (rec((1
+1
)
+1
)
*\underline{
\mathsf {v}}
)
)n
)n
)n
\vdash \dot{\neg}\,((\underline{
\mathsf{x}}
+(-u\underline{
\mathsf{z}}
)
)
 <= \underline{
\mathsf {v}}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,((\underline{
\mathsf{x}}
+(-u\underline{
\mathsf{z}}
)
)
 = \underline{
\mathsf {v}}
)n
)n
)n
]$

$
[FromNot<f(Strong)(Helper2)
\stackrel{
proof
}{\rightarrow}
\lambda 
\mathsf {c}
.
\lambda 
\mathsf{x}
.
{\cal P}( 
\lceil SystemQ
\vdash 
\forall \underline{
\mathsf{x}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf{y}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf{z}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf {u}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf {v}}
\colon \dot{\neg}\,(|(\underline{
\mathsf{x}}
+(-u\underline{
\mathsf{y}}
)
)
|
 <= (rec((1
+1
)
+1
)
*\underline{
\mathsf {v}}
)
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(|(\underline{
\mathsf{x}}
+(-u\underline{
\mathsf{y}}
)
)
|
 = (rec((1
+1
)
+1
)
*\underline{
\mathsf {v}}
)
)n
)n
)n
\vdash \dot{\neg}\,(|(\underline{
\mathsf{z}}
+(-u\underline{
\mathsf {u}}
)
)
|
 <= (rec((1
+1
)
+1
)
*\underline{
\mathsf {v}}
)
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(|(\underline{
\mathsf{z}}
+(-u\underline{
\mathsf {u}}
)
)
|
 = (rec((1
+1
)
+1
)
*\underline{
\mathsf {v}}
)
)n
)n
)n
\vdash \dot{\neg}\,((\underline{
\mathsf{y}}
+(-u\underline{
\mathsf {u}}
)
)
 <= (rec((1
+1
)
+1
)
*\underline{
\mathsf {v}}
)
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,((\underline{
\mathsf{y}}
+(-u\underline{
\mathsf {u}}
)
)
 = (rec((1
+1
)
+1
)
*\underline{
\mathsf {v}}
)
)n
)n
)n
\vdash x<=|x|
\gg (\underline{
\mathsf{x}}
+(-u\underline{
\mathsf{y}}
)
)
 <= |(\underline{
\mathsf{x}}
+(-u\underline{
\mathsf{y}}
)
)
|
; leqLessTransitivity
\rhd (\underline{
\mathsf{x}}
+(-u\underline{
\mathsf{y}}
)
)
 <= |(\underline{
\mathsf{x}}
+(-u\underline{
\mathsf{y}}
)
)
|
\rhd \dot{\neg}\,(|(\underline{
\mathsf{x}}
+(-u\underline{
\mathsf{y}}
)
)
|
 <= (rec((1
+1
)
+1
)
*\underline{
\mathsf {v}}
)
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(|(\underline{
\mathsf{x}}
+(-u\underline{
\mathsf{y}}
)
)
|
 = (rec((1
+1
)
+1
)
*\underline{
\mathsf {v}}
)
)n
)n
)n
\gg \dot{\neg}\,((\underline{
\mathsf{x}}
+(-u\underline{
\mathsf{y}}
)
)
 <= (rec((1
+1
)
+1
)
*\underline{
\mathsf {v}}
)
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,((\underline{
\mathsf{x}}
+(-u\underline{
\mathsf{y}}
)
)
 = (rec((1
+1
)
+1
)
*\underline{
\mathsf {v}}
)
)n
)n
)n
; NumericalDifference
\gg |(\underline{
\mathsf{z}}
+(-u\underline{
\mathsf {u}}
)
)
|
 = |(\underline{
\mathsf {u}}
+(-u\underline{
\mathsf{z}}
)
)
|
; SubLessLeft
\rhd |(\underline{
\mathsf{z}}
+(-u\underline{
\mathsf {u}}
)
)
|
 = |(\underline{
\mathsf {u}}
+(-u\underline{
\mathsf{z}}
)
)
|
\rhd \dot{\neg}\,(|(\underline{
\mathsf{z}}
+(-u\underline{
\mathsf {u}}
)
)
|
 <= (rec((1
+1
)
+1
)
*\underline{
\mathsf {v}}
)
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(|(\underline{
\mathsf{z}}
+(-u\underline{
\mathsf {u}}
)
)
|
 = (rec((1
+1
)
+1
)
*\underline{
\mathsf {v}}
)
)n
)n
)n
\gg \dot{\neg}\,(|(\underline{
\mathsf {u}}
+(-u\underline{
\mathsf{z}}
)
)
|
 <= (rec((1
+1
)
+1
)
*\underline{
\mathsf {v}}
)
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(|(\underline{
\mathsf {u}}
+(-u\underline{
\mathsf{z}}
)
)
|
 = (rec((1
+1
)
+1
)
*\underline{
\mathsf {v}}
)
)n
)n
)n
; x<=|x|
\gg (\underline{
\mathsf {u}}
+(-u\underline{
\mathsf{z}}
)
)
 <= |(\underline{
\mathsf {u}}
+(-u\underline{
\mathsf{z}}
)
)
|
; leqLessTransitivity
\rhd (\underline{
\mathsf {u}}
+(-u\underline{
\mathsf{z}}
)
)
 <= |(\underline{
\mathsf {u}}
+(-u\underline{
\mathsf{z}}
)
)
|
\rhd \dot{\neg}\,(|(\underline{
\mathsf {u}}
+(-u\underline{
\mathsf{z}}
)
)
|
 <= (rec((1
+1
)
+1
)
*\underline{
\mathsf {v}}
)
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(|(\underline{
\mathsf {u}}
+(-u\underline{
\mathsf{z}}
)
)
|
 = (rec((1
+1
)
+1
)
*\underline{
\mathsf {v}}
)
)n
)n
)n
\gg \dot{\neg}\,((\underline{
\mathsf {u}}
+(-u\underline{
\mathsf{z}}
)
)
 <= (rec((1
+1
)
+1
)
*\underline{
\mathsf {v}}
)
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,((\underline{
\mathsf {u}}
+(-u\underline{
\mathsf{z}}
)
)
 = (rec((1
+1
)
+1
)
*\underline{
\mathsf {v}}
)
)n
)n
)n
; AddEquations(Less)
\rhd \dot{\neg}\,((\underline{
\mathsf{x}}
+(-u\underline{
\mathsf{y}}
)
)
 <= (rec((1
+1
)
+1
)
*\underline{
\mathsf {v}}
)
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,((\underline{
\mathsf{x}}
+(-u\underline{
\mathsf{y}}
)
)
 = (rec((1
+1
)
+1
)
*\underline{
\mathsf {v}}
)
)n
)n
)n
\rhd \dot{\neg}\,((\underline{
\mathsf{y}}
+(-u\underline{
\mathsf {u}}
)
)
 <= (rec((1
+1
)
+1
)
*\underline{
\mathsf {v}}
)
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,((\underline{
\mathsf{y}}
+(-u\underline{
\mathsf {u}}
)
)
 = (rec((1
+1
)
+1
)
*\underline{
\mathsf {v}}
)
)n
)n
)n
\gg \dot{\neg}\,(((\underline{
\mathsf{x}}
+(-u\underline{
\mathsf{y}}
)
)
+(\underline{
\mathsf{y}}
+(-u\underline{
\mathsf {u}}
)
)
)
 <= ((rec((1
+1
)
+1
)
*\underline{
\mathsf {v}}
)
+(rec((1
+1
)
+1
)
*\underline{
\mathsf {v}}
)
)
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(((\underline{
\mathsf{x}}
+(-u\underline{
\mathsf{y}}
)
)
+(\underline{
\mathsf{y}}
+(-u\underline{
\mathsf {u}}
)
)
)
 = ((rec((1
+1
)
+1
)
*\underline{
\mathsf {v}}
)
+(rec((1
+1
)
+1
)
*\underline{
\mathsf {v}}
)
)
)n
)n
)n
; AddEquations(Less)
\rhd \dot{\neg}\,(((\underline{
\mathsf{x}}
+(-u\underline{
\mathsf{y}}
)
)
+(\underline{
\mathsf{y}}
+(-u\underline{
\mathsf {u}}
)
)
)
 <= ((rec((1
+1
)
+1
)
*\underline{
\mathsf {v}}
)
+(rec((1
+1
)
+1
)
*\underline{
\mathsf {v}}
)
)
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(((\underline{
\mathsf{x}}
+(-u\underline{
\mathsf{y}}
)
)
+(\underline{
\mathsf{y}}
+(-u\underline{
\mathsf {u}}
)
)
)
 = ((rec((1
+1
)
+1
)
*\underline{
\mathsf {v}}
)
+(rec((1
+1
)
+1
)
*\underline{
\mathsf {v}}
)
)
)n
)n
)n
\rhd \dot{\neg}\,((\underline{
\mathsf {u}}
+(-u\underline{
\mathsf{z}}
)
)
 <= (rec((1
+1
)
+1
)
*\underline{
\mathsf {v}}
)
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,((\underline{
\mathsf {u}}
+(-u\underline{
\mathsf{z}}
)
)
 = (rec((1
+1
)
+1
)
*\underline{
\mathsf {v}}
)
)n
)n
)n
\gg \dot{\neg}\,((((\underline{
\mathsf{x}}
+(-u\underline{
\mathsf{y}}
)
)
+(\underline{
\mathsf{y}}
+(-u\underline{
\mathsf {u}}
)
)
)
+(\underline{
\mathsf {u}}
+(-u\underline{
\mathsf{z}}
)
)
)
 <= (((rec((1
+1
)
+1
)
*\underline{
\mathsf {v}}
)
+(rec((1
+1
)
+1
)
*\underline{
\mathsf {v}}
)
)
+(rec((1
+1
)
+1
)
*\underline{
\mathsf {v}}
)
)
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,((((\underline{
\mathsf{x}}
+(-u\underline{
\mathsf{y}}
)
)
+(\underline{
\mathsf{y}}
+(-u\underline{
\mathsf {u}}
)
)
)
+(\underline{
\mathsf {u}}
+(-u\underline{
\mathsf{z}}
)
)
)
 = (((rec((1
+1
)
+1
)
*\underline{
\mathsf {v}}
)
+(rec((1
+1
)
+1
)
*\underline{
\mathsf {v}}
)
)
+(rec((1
+1
)
+1
)
*\underline{
\mathsf {v}}
)
)
)n
)n
)n
; insertTwoMiddleTerms(Sum)
\gg (\underline{
\mathsf{x}}
+(-u\underline{
\mathsf{z}}
)
)
 = (((\underline{
\mathsf{x}}
+(-u\underline{
\mathsf{y}}
)
)
+(\underline{
\mathsf{y}}
+(-u\underline{
\mathsf {u}}
)
)
)
+(\underline{
\mathsf {u}}
+(-u\underline{
\mathsf{z}}
)
)
)
; eqSymmetry
\rhd (\underline{
\mathsf{x}}
+(-u\underline{
\mathsf{z}}
)
)
 = (((\underline{
\mathsf{x}}
+(-u\underline{
\mathsf{y}}
)
)
+(\underline{
\mathsf{y}}
+(-u\underline{
\mathsf {u}}
)
)
)
+(\underline{
\mathsf {u}}
+(-u\underline{
\mathsf{z}}
)
)
)
\gg (((\underline{
\mathsf{x}}
+(-u\underline{
\mathsf{y}}
)
)
+(\underline{
\mathsf{y}}
+(-u\underline{
\mathsf {u}}
)
)
)
+(\underline{
\mathsf {u}}
+(-u\underline{
\mathsf{z}}
)
)
)
 = (\underline{
\mathsf{x}}
+(-u\underline{
\mathsf{z}}
)
)
; SubLessLeft
\rhd (((\underline{
\mathsf{x}}
+(-u\underline{
\mathsf{y}}
)
)
+(\underline{
\mathsf{y}}
+(-u\underline{
\mathsf {u}}
)
)
)
+(\underline{
\mathsf {u}}
+(-u\underline{
\mathsf{z}}
)
)
)
 = (\underline{
\mathsf{x}}
+(-u\underline{
\mathsf{z}}
)
)
\rhd \dot{\neg}\,((((\underline{
\mathsf{x}}
+(-u\underline{
\mathsf{y}}
)
)
+(\underline{
\mathsf{y}}
+(-u\underline{
\mathsf {u}}
)
)
)
+(\underline{
\mathsf {u}}
+(-u\underline{
\mathsf{z}}
)
)
)
 <= (((rec((1
+1
)
+1
)
*\underline{
\mathsf {v}}
)
+(rec((1
+1
)
+1
)
*\underline{
\mathsf {v}}
)
)
+(rec((1
+1
)
+1
)
*\underline{
\mathsf {v}}
)
)
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,((((\underline{
\mathsf{x}}
+(-u\underline{
\mathsf{y}}
)
)
+(\underline{
\mathsf{y}}
+(-u\underline{
\mathsf {u}}
)
)
)
+(\underline{
\mathsf {u}}
+(-u\underline{
\mathsf{z}}
)
)
)
 = (((rec((1
+1
)
+1
)
*\underline{
\mathsf {v}}
)
+(rec((1
+1
)
+1
)
*\underline{
\mathsf {v}}
)
)
+(rec((1
+1
)
+1
)
*\underline{
\mathsf {v}}
)
)
)n
)n
)n
\gg \dot{\neg}\,((\underline{
\mathsf{x}}
+(-u\underline{
\mathsf{z}}
)
)
 <= (((rec((1
+1
)
+1
)
*\underline{
\mathsf {v}}
)
+(rec((1
+1
)
+1
)
*\underline{
\mathsf {v}}
)
)
+(rec((1
+1
)
+1
)
*\underline{
\mathsf {v}}
)
)
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,((\underline{
\mathsf{x}}
+(-u\underline{
\mathsf{z}}
)
)
 = (((rec((1
+1
)
+1
)
*\underline{
\mathsf {v}}
)
+(rec((1
+1
)
+1
)
*\underline{
\mathsf {v}}
)
)
+(rec((1
+1
)
+1
)
*\underline{
\mathsf {v}}
)
)
)n
)n
)n
; ThreeThirds
\gg (((rec((1
+1
)
+1
)
*\underline{
\mathsf {v}}
)
+(rec((1
+1
)
+1
)
*\underline{
\mathsf {v}}
)
)
+(rec((1
+1
)
+1
)
*\underline{
\mathsf {v}}
)
)
 = \underline{
\mathsf {v}}
; SubLessRight
\rhd (((rec((1
+1
)
+1
)
*\underline{
\mathsf {v}}
)
+(rec((1
+1
)
+1
)
*\underline{
\mathsf {v}}
)
)
+(rec((1
+1
)
+1
)
*\underline{
\mathsf {v}}
)
)
 = \underline{
\mathsf {v}}
\rhd \dot{\neg}\,((\underline{
\mathsf{x}}
+(-u\underline{
\mathsf{z}}
)
)
 <= (((rec((1
+1
)
+1
)
*\underline{
\mathsf {v}}
)
+(rec((1
+1
)
+1
)
*\underline{
\mathsf {v}}
)
)
+(rec((1
+1
)
+1
)
*\underline{
\mathsf {v}}
)
)
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,((\underline{
\mathsf{x}}
+(-u\underline{
\mathsf{z}}
)
)
 = (((rec((1
+1
)
+1
)
*\underline{
\mathsf {v}}
)
+(rec((1
+1
)
+1
)
*\underline{
\mathsf {v}}
)
)
+(rec((1
+1
)
+1
)
*\underline{
\mathsf {v}}
)
)
)n
)n
)n
\gg \dot{\neg}\,((\underline{
\mathsf{x}}
+(-u\underline{
\mathsf{z}}
)
)
 <= \underline{
\mathsf {v}}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,((\underline{
\mathsf{x}}
+(-u\underline{
\mathsf{z}}
)
)
 = \underline{
\mathsf {v}}
)n
)n
)n
\rceil 
, 
p_0
, 
\mathsf {c}
)
]$

$
[FromNot<f(Strong)(Helper)
\stackrel{
stmt
}{\rightarrow}SystemQ
\vdash 
\forall \underline{(v1)}
\colon 
\forall \underline{(v2)}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf {m}}
\colon 
\forall \underline{(n1)}
\colon 
\forall \underline{(n2)}
\colon 
\forall \underline{(\epsilon)}
\colon 
\forall \underline{(fx)}
\colon 
\forall \underline{(fy)}
\colon \dot{\neg}\,(0
 <= (rec((1
+1
)
+1
)
*\underline{(\epsilon)}
)
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(0
 = (rec((1
+1
)
+1
)
*\underline{(\epsilon)}
)
)n
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\underline{(n1)}
 <= \underline{(n2)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,((\underline{(fy)}
[\underline{(n2)}
]
+(-u(rec((1
+1
)
+1
)
*\underline{(\epsilon)}
)
)
)
 <= \underline{(fx)}
[\underline{(n2)}
]
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,((\underline{(fy)}
[\underline{(n2)}
]
+(-u(rec((1
+1
)
+1
)
*\underline{(\epsilon)}
)
)
)
 = \underline{(fx)}
[\underline{(n2)}
]
)n
)n
)n
)n
)n
\Rightarrow 
\forall_{obj} \underline{(v1)}
\colon 
\forall_{obj} \underline{(v2)}
\colon \dot{\neg}\,(0
 <= (rec((1
+1
)
+1
)
*\underline{(\epsilon)}
)
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(0
 = (rec((1
+1
)
+1
)
*\underline{(\epsilon)}
)
)n
)n
)n
\Rightarrow \underline{(n1)}
 <= \underline{(v1)}
\Rightarrow \underline{(n1)}
 <= \underline{(v2)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(|(\underline{(fx)}
[\underline{(v1)}
]
+(-u\underline{(fx)}
[\underline{(v2)}
]
)
)
|
 <= (rec((1
+1
)
+1
)
*\underline{(\epsilon)}
)
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(|(\underline{(fx)}
[\underline{(v1)}
]
+(-u\underline{(fx)}
[\underline{(v2)}
]
)
)
|
 = (rec((1
+1
)
+1
)
*\underline{(\epsilon)}
)
)n
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(|(\underline{(fy)}
[\underline{(v1)}
]
+(-u\underline{(fy)}
[\underline{(v2)}
]
)
)
|
 <= (rec((1
+1
)
+1
)
*\underline{(\epsilon)}
)
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(|(\underline{(fy)}
[\underline{(v1)}
]
+(-u\underline{(fy)}
[\underline{(v2)}
]
)
)
|
 = (rec((1
+1
)
+1
)
*\underline{(\epsilon)}
)
)n
)n
)n
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(0
 <= \underline{(\epsilon)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(0
 = \underline{(\epsilon)}
)n
)n
)n
\Rightarrow \underline{(n2)}
 <= \underline{
\mathsf {m}}
\Rightarrow \dot{\neg}\,((\underline{(fy)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
+(-u\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
)
)
 <= \underline{(\epsilon)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,((\underline{(fy)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
+(-u\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
)
)
 = \underline{(\epsilon)}
)n
)n
)n
]$

$
[FromNot<f(Strong)(Helper)
\stackrel{
proof
}{\rightarrow}
\lambda 
\mathsf {c}
.
\lambda 
\mathsf{x}
.
{\cal P}( 
\lceil SystemQ
\vdash 
\forall \underline{(v1)}
\colon 
\forall \underline{(v2)}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf {m}}
\colon 
\forall \underline{(n1)}
\colon 
\forall \underline{(n2)}
\colon 
\forall \underline{(\epsilon)}
\colon 
\forall \underline{(fx)}
\colon 
\forall \underline{(fy)}
\colon \dot{\neg}\,(0
 <= (rec((1
+1
)
+1
)
*\underline{(\epsilon)}
)
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(0
 = (rec((1
+1
)
+1
)
*\underline{(\epsilon)}
)
)n
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\underline{(n1)}
 <= \underline{(n2)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,((\underline{(fy)}
[\underline{(n2)}
]
+(-u(rec((1
+1
)
+1
)
*\underline{(\epsilon)}
)
)
)
 <= \underline{(fx)}
[\underline{(n2)}
]
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,((\underline{(fy)}
[\underline{(n2)}
]
+(-u(rec((1
+1
)
+1
)
*\underline{(\epsilon)}
)
)
)
 = \underline{(fx)}
[\underline{(n2)}
]
)n
)n
)n
)n
)n
\vdash 
\forall_{obj} \underline{(v1)}
\colon 
\forall_{obj} \underline{(v2)}
\colon \dot{\neg}\,(0
 <= (rec((1
+1
)
+1
)
*\underline{(\epsilon)}
)
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(0
 = (rec((1
+1
)
+1
)
*\underline{(\epsilon)}
)
)n
)n
)n
\Rightarrow \underline{(n1)}
 <= \underline{(v1)}
\Rightarrow \underline{(n1)}
 <= \underline{(v2)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(|(\underline{(fx)}
[\underline{(v1)}
]
+(-u\underline{(fx)}
[\underline{(v2)}
]
)
)
|
 <= (rec((1
+1
)
+1
)
*\underline{(\epsilon)}
)
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(|(\underline{(fx)}
[\underline{(v1)}
]
+(-u\underline{(fx)}
[\underline{(v2)}
]
)
)
|
 = (rec((1
+1
)
+1
)
*\underline{(\epsilon)}
)
)n
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(|(\underline{(fy)}
[\underline{(v1)}
]
+(-u\underline{(fy)}
[\underline{(v2)}
]
)
)
|
 <= (rec((1
+1
)
+1
)
*\underline{(\epsilon)}
)
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(|(\underline{(fy)}
[\underline{(v1)}
]
+(-u\underline{(fy)}
[\underline{(v2)}
]
)
)
|
 = (rec((1
+1
)
+1
)
*\underline{(\epsilon)}
)
)n
)n
)n
)n
)n
\vdash \dot{\neg}\,(0
 <= \underline{(\epsilon)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(0
 = \underline{(\epsilon)}
)n
)n
)n
\vdash \underline{(n2)}
 <= \underline{
\mathsf {m}}
\vdash 0<3
\gg \dot{\neg}\,(0
 <= ((1
+1
)
+1
)
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(0
 = ((1
+1
)
+1
)
)n
)n
)n
; PositiveInverted
\rhd \dot{\neg}\,(0
 <= ((1
+1
)
+1
)
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(0
 = ((1
+1
)
+1
)
)n
)n
)n
\gg \dot{\neg}\,(0
 <= rec((1
+1
)
+1
)
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(0
 = rec((1
+1
)
+1
)
)n
)n
)n
; PositiveFactors
\rhd \dot{\neg}\,(0
 <= rec((1
+1
)
+1
)
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(0
 = rec((1
+1
)
+1
)
)n
)n
)n
\rhd \dot{\neg}\,(0
 <= \underline{(\epsilon)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(0
 = \underline{(\epsilon)}
)n
)n
)n
\gg \dot{\neg}\,(0
 <= (rec((1
+1
)
+1
)
*\underline{(\epsilon)}
)
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(0
 = (rec((1
+1
)
+1
)
*\underline{(\epsilon)}
)
)n
)n
)n
; MP
\rhd \dot{\neg}\,(0
 <= (rec((1
+1
)
+1
)
*\underline{(\epsilon)}
)
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(0
 = (rec((1
+1
)
+1
)
*\underline{(\epsilon)}
)
)n
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\underline{(n1)}
 <= \underline{(n2)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,((\underline{(fy)}
[\underline{(n2)}
]
+(-u(rec((1
+1
)
+1
)
*\underline{(\epsilon)}
)
)
)
 <= \underline{(fx)}
[\underline{(n2)}
]
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,((\underline{(fy)}
[\underline{(n2)}
]
+(-u(rec((1
+1
)
+1
)
*\underline{(\epsilon)}
)
)
)
 = \underline{(fx)}
[\underline{(n2)}
]
)n
)n
)n
)n
)n
\rhd \dot{\neg}\,(0
 <= (rec((1
+1
)
+1
)
*\underline{(\epsilon)}
)
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(0
 = (rec((1
+1
)
+1
)
*\underline{(\epsilon)}
)
)n
)n
)n
\gg \dot{\neg}\,(\underline{(n1)}
 <= \underline{(n2)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,((\underline{(fy)}
[\underline{(n2)}
]
+(-u(rec((1
+1
)
+1
)
*\underline{(\epsilon)}
)
)
)
 <= \underline{(fx)}
[\underline{(n2)}
]
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,((\underline{(fy)}
[\underline{(n2)}
]
+(-u(rec((1
+1
)
+1
)
*\underline{(\epsilon)}
)
)
)
 = \underline{(fx)}
[\underline{(n2)}
]
)n
)n
)n
)n
)n
; FirstConjunct
\rhd \dot{\neg}\,(\underline{(n1)}
 <= \underline{(n2)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,((\underline{(fy)}
[\underline{(n2)}
]
+(-u(rec((1
+1
)
+1
)
*\underline{(\epsilon)}
)
)
)
 <= \underline{(fx)}
[\underline{(n2)}
]
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,((\underline{(fy)}
[\underline{(n2)}
]
+(-u(rec((1
+1
)
+1
)
*\underline{(\epsilon)}
)
)
)
 = \underline{(fx)}
[\underline{(n2)}
]
)n
)n
)n
)n
)n
\gg \underline{(n1)}
 <= \underline{(n2)}
; SecondConjunct
\rhd \dot{\neg}\,(\underline{(n1)}
 <= \underline{(n2)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,((\underline{(fy)}
[\underline{(n2)}
]
+(-u(rec((1
+1
)
+1
)
*\underline{(\epsilon)}
)
)
)
 <= \underline{(fx)}
[\underline{(n2)}
]
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,((\underline{(fy)}
[\underline{(n2)}
]
+(-u(rec((1
+1
)
+1
)
*\underline{(\epsilon)}
)
)
)
 = \underline{(fx)}
[\underline{(n2)}
]
)n
)n
)n
)n
)n
\gg \dot{\neg}\,((\underline{(fy)}
[\underline{(n2)}
]
+(-u(rec((1
+1
)
+1
)
*\underline{(\epsilon)}
)
)
)
 <= \underline{(fx)}
[\underline{(n2)}
]
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,((\underline{(fy)}
[\underline{(n2)}
]
+(-u(rec((1
+1
)
+1
)
*\underline{(\epsilon)}
)
)
)
 = \underline{(fx)}
[\underline{(n2)}
]
)n
)n
)n
; SwitchTerms(x-y<z)
\rhd \dot{\neg}\,((\underline{(fy)}
[\underline{(n2)}
]
+(-u(rec((1
+1
)
+1
)
*\underline{(\epsilon)}
)
)
)
 <= \underline{(fx)}
[\underline{(n2)}
]
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,((\underline{(fy)}
[\underline{(n2)}
]
+(-u(rec((1
+1
)
+1
)
*\underline{(\epsilon)}
)
)
)
 = \underline{(fx)}
[\underline{(n2)}
]
)n
)n
)n
\gg \dot{\neg}\,((\underline{(fy)}
[\underline{(n2)}
]
+(-u\underline{(fx)}
[\underline{(n2)}
]
)
)
 <= (rec((1
+1
)
+1
)
*\underline{(\epsilon)}
)
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,((\underline{(fy)}
[\underline{(n2)}
]
+(-u\underline{(fx)}
[\underline{(n2)}
]
)
)
 = (rec((1
+1
)
+1
)
*\underline{(\epsilon)}
)
)n
)n
)n
; leqTransitivity
\rhd \underline{(n1)}
 <= \underline{(n2)}
\rhd \underline{(n2)}
 <= \underline{
\mathsf {m}}
\gg \underline{(n1)}
 <= \underline{
\mathsf {m}}
; A4
\mathop {\char64} \underline{
\mathsf {m}}
\rhd 
\forall_{obj} \underline{(v1)}
\colon 
\forall_{obj} \underline{(v2)}
\colon \dot{\neg}\,(0
 <= (rec((1
+1
)
+1
)
*\underline{(\epsilon)}
)
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(0
 = (rec((1
+1
)
+1
)
*\underline{(\epsilon)}
)
)n
)n
)n
\Rightarrow \underline{(n1)}
 <= \underline{(v1)}
\Rightarrow \underline{(n1)}
 <= \underline{(v2)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(|(\underline{(fx)}
[\underline{(v1)}
]
+(-u\underline{(fx)}
[\underline{(v2)}
]
)
)
|
 <= (rec((1
+1
)
+1
)
*\underline{(\epsilon)}
)
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(|(\underline{(fx)}
[\underline{(v1)}
]
+(-u\underline{(fx)}
[\underline{(v2)}
]
)
)
|
 = (rec((1
+1
)
+1
)
*\underline{(\epsilon)}
)
)n
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(|(\underline{(fy)}
[\underline{(v1)}
]
+(-u\underline{(fy)}
[\underline{(v2)}
]
)
)
|
 <= (rec((1
+1
)
+1
)
*\underline{(\epsilon)}
)
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(|(\underline{(fy)}
[\underline{(v1)}
]
+(-u\underline{(fy)}
[\underline{(v2)}
]
)
)
|
 = (rec((1
+1
)
+1
)
*\underline{(\epsilon)}
)
)n
)n
)n
)n
)n
\gg 
\forall_{obj} \underline{(v2)}
\colon \dot{\neg}\,(0
 <= (rec((1
+1
)
+1
)
*\underline{(\epsilon)}
)
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(0
 = (rec((1
+1
)
+1
)
*\underline{(\epsilon)}
)
)n
)n
)n
\Rightarrow \underline{(n1)}
 <= \underline{
\mathsf {m}}
\Rightarrow \underline{(n1)}
 <= \underline{(v2)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(|(\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
+(-u\underline{(fx)}
[\underline{(v2)}
]
)
)
|
 <= (rec((1
+1
)
+1
)
*\underline{(\epsilon)}
)
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(|(\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
+(-u\underline{(fx)}
[\underline{(v2)}
]
)
)
|
 = (rec((1
+1
)
+1
)
*\underline{(\epsilon)}
)
)n
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(|(\underline{(fy)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
+(-u\underline{(fy)}
[\underline{(v2)}
]
)
)
|
 <= (rec((1
+1
)
+1
)
*\underline{(\epsilon)}
)
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(|(\underline{(fy)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
+(-u\underline{(fy)}
[\underline{(v2)}
]
)
)
|
 = (rec((1
+1
)
+1
)
*\underline{(\epsilon)}
)
)n
)n
)n
)n
)n
; A4
\mathop {\char64} \underline{(n2)}
\rhd 
\forall_{obj} \underline{(v2)}
\colon \dot{\neg}\,(0
 <= (rec((1
+1
)
+1
)
*\underline{(\epsilon)}
)
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(0
 = (rec((1
+1
)
+1
)
*\underline{(\epsilon)}
)
)n
)n
)n
\Rightarrow \underline{(n1)}
 <= \underline{
\mathsf {m}}
\Rightarrow \underline{(n1)}
 <= \underline{(v2)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(|(\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
+(-u\underline{(fx)}
[\underline{(v2)}
]
)
)
|
 <= (rec((1
+1
)
+1
)
*\underline{(\epsilon)}
)
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(|(\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
+(-u\underline{(fx)}
[\underline{(v2)}
]
)
)
|
 = (rec((1
+1
)
+1
)
*\underline{(\epsilon)}
)
)n
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(|(\underline{(fy)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
+(-u\underline{(fy)}
[\underline{(v2)}
]
)
)
|
 <= (rec((1
+1
)
+1
)
*\underline{(\epsilon)}
)
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(|(\underline{(fy)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
+(-u\underline{(fy)}
[\underline{(v2)}
]
)
)
|
 = (rec((1
+1
)
+1
)
*\underline{(\epsilon)}
)
)n
)n
)n
)n
)n
\gg \dot{\neg}\,(0
 <= (rec((1
+1
)
+1
)
*\underline{(\epsilon)}
)
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(0
 = (rec((1
+1
)
+1
)
*\underline{(\epsilon)}
)
)n
)n
)n
\Rightarrow \underline{(n1)}
 <= \underline{
\mathsf {m}}
\Rightarrow \underline{(n1)}
 <= \underline{(n2)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(|(\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
+(-u\underline{(fx)}
[\underline{(n2)}
]
)
)
|
 <= (rec((1
+1
)
+1
)
*\underline{(\epsilon)}
)
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(|(\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
+(-u\underline{(fx)}
[\underline{(n2)}
]
)
)
|
 = (rec((1
+1
)
+1
)
*\underline{(\epsilon)}
)
)n
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(|(\underline{(fy)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
+(-u\underline{(fy)}
[\underline{(n2)}
]
)
)
|
 <= (rec((1
+1
)
+1
)
*\underline{(\epsilon)}
)
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(|(\underline{(fy)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
+(-u\underline{(fy)}
[\underline{(n2)}
]
)
)
|
 = (rec((1
+1
)
+1
)
*\underline{(\epsilon)}
)
)n
)n
)n
)n
)n
; MP3
\rhd \dot{\neg}\,(0
 <= (rec((1
+1
)
+1
)
*\underline{(\epsilon)}
)
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(0
 = (rec((1
+1
)
+1
)
*\underline{(\epsilon)}
)
)n
)n
)n
\Rightarrow \underline{(n1)}
 <= \underline{
\mathsf {m}}
\Rightarrow \underline{(n1)}
 <= \underline{(n2)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(|(\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
+(-u\underline{(fx)}
[\underline{(n2)}
]
)
)
|
 <= (rec((1
+1
)
+1
)
*\underline{(\epsilon)}
)
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(|(\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
+(-u\underline{(fx)}
[\underline{(n2)}
]
)
)
|
 = (rec((1
+1
)
+1
)
*\underline{(\epsilon)}
)
)n
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(|(\underline{(fy)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
+(-u\underline{(fy)}
[\underline{(n2)}
]
)
)
|
 <= (rec((1
+1
)
+1
)
*\underline{(\epsilon)}
)
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(|(\underline{(fy)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
+(-u\underline{(fy)}
[\underline{(n2)}
]
)
)
|
 = (rec((1
+1
)
+1
)
*\underline{(\epsilon)}
)
)n
)n
)n
)n
)n
\rhd \dot{\neg}\,(0
 <= (rec((1
+1
)
+1
)
*\underline{(\epsilon)}
)
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(0
 = (rec((1
+1
)
+1
)
*\underline{(\epsilon)}
)
)n
)n
)n
\rhd \underline{(n1)}
 <= \underline{
\mathsf {m}}
\rhd \underline{(n1)}
 <= \underline{(n2)}
\gg \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(|(\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
+(-u\underline{(fx)}
[\underline{(n2)}
]
)
)
|
 <= (rec((1
+1
)
+1
)
*\underline{(\epsilon)}
)
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(|(\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
+(-u\underline{(fx)}
[\underline{(n2)}
]
)
)
|
 = (rec((1
+1
)
+1
)
*\underline{(\epsilon)}
)
)n
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(|(\underline{(fy)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
+(-u\underline{(fy)}
[\underline{(n2)}
]
)
)
|
 <= (rec((1
+1
)
+1
)
*\underline{(\epsilon)}
)
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(|(\underline{(fy)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
+(-u\underline{(fy)}
[\underline{(n2)}
]
)
)
|
 = (rec((1
+1
)
+1
)
*\underline{(\epsilon)}
)
)n
)n
)n
)n
)n
; FirstConjunct
\rhd \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(|(\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
+(-u\underline{(fx)}
[\underline{(n2)}
]
)
)
|
 <= (rec((1
+1
)
+1
)
*\underline{(\epsilon)}
)
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(|(\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
+(-u\underline{(fx)}
[\underline{(n2)}
]
)
)
|
 = (rec((1
+1
)
+1
)
*\underline{(\epsilon)}
)
)n
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(|(\underline{(fy)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
+(-u\underline{(fy)}
[\underline{(n2)}
]
)
)
|
 <= (rec((1
+1
)
+1
)
*\underline{(\epsilon)}
)
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(|(\underline{(fy)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
+(-u\underline{(fy)}
[\underline{(n2)}
]
)
)
|
 = (rec((1
+1
)
+1
)
*\underline{(\epsilon)}
)
)n
)n
)n
)n
)n
\gg \dot{\neg}\,(|(\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
+(-u\underline{(fx)}
[\underline{(n2)}
]
)
)
|
 <= (rec((1
+1
)
+1
)
*\underline{(\epsilon)}
)
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(|(\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
+(-u\underline{(fx)}
[\underline{(n2)}
]
)
)
|
 = (rec((1
+1
)
+1
)
*\underline{(\epsilon)}
)
)n
)n
)n
; SecondConjunct
\rhd \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(|(\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
+(-u\underline{(fx)}
[\underline{(n2)}
]
)
)
|
 <= (rec((1
+1
)
+1
)
*\underline{(\epsilon)}
)
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(|(\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
+(-u\underline{(fx)}
[\underline{(n2)}
]
)
)
|
 = (rec((1
+1
)
+1
)
*\underline{(\epsilon)}
)
)n
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(|(\underline{(fy)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
+(-u\underline{(fy)}
[\underline{(n2)}
]
)
)
|
 <= (rec((1
+1
)
+1
)
*\underline{(\epsilon)}
)
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(|(\underline{(fy)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
+(-u\underline{(fy)}
[\underline{(n2)}
]
)
)
|
 = (rec((1
+1
)
+1
)
*\underline{(\epsilon)}
)
)n
)n
)n
)n
)n
\gg \dot{\neg}\,(|(\underline{(fy)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
+(-u\underline{(fy)}
[\underline{(n2)}
]
)
)
|
 <= (rec((1
+1
)
+1
)
*\underline{(\epsilon)}
)
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(|(\underline{(fy)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
+(-u\underline{(fy)}
[\underline{(n2)}
]
)
)
|
 = (rec((1
+1
)
+1
)
*\underline{(\epsilon)}
)
)n
)n
)n
; FromNot<f(Strong)(Helper2)
\rhd \dot{\neg}\,(|(\underline{(fy)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
+(-u\underline{(fy)}
[\underline{(n2)}
]
)
)
|
 <= (rec((1
+1
)
+1
)
*\underline{(\epsilon)}
)
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(|(\underline{(fy)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
+(-u\underline{(fy)}
[\underline{(n2)}
]
)
)
|
 = (rec((1
+1
)
+1
)
*\underline{(\epsilon)}
)
)n
)n
)n
\rhd \dot{\neg}\,(|(\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
+(-u\underline{(fx)}
[\underline{(n2)}
]
)
)
|
 <= (rec((1
+1
)
+1
)
*\underline{(\epsilon)}
)
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(|(\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
+(-u\underline{(fx)}
[\underline{(n2)}
]
)
)
|
 = (rec((1
+1
)
+1
)
*\underline{(\epsilon)}
)
)n
)n
)n
\rhd \dot{\neg}\,((\underline{(fy)}
[\underline{(n2)}
]
+(-u\underline{(fx)}
[\underline{(n2)}
]
)
)
 <= (rec((1
+1
)
+1
)
*\underline{(\epsilon)}
)
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,((\underline{(fy)}
[\underline{(n2)}
]
+(-u\underline{(fx)}
[\underline{(n2)}
]
)
)
 = (rec((1
+1
)
+1
)
*\underline{(\epsilon)}
)
)n
)n
)n
\gg \dot{\neg}\,((\underline{(fy)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
+(-u\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
)
)
 <= \underline{(\epsilon)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,((\underline{(fy)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
+(-u\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
)
)
 = \underline{(\epsilon)}
)n
)n
)n
; 
\forall \underline{(v1)}
\colon 
\forall \underline{(v2)}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf {m}}
\colon 
\forall \underline{(n1)}
\colon 
\forall \underline{(n2)}
\colon 
\forall \underline{(\epsilon)}
\colon 
\forall \underline{(fx)}
\colon 
\forall \underline{(fy)}
\colon Ded
\rhd 
\forall \underline{(v1)}
\colon 
\forall \underline{(v2)}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf {m}}
\colon 
\forall \underline{(n1)}
\colon 
\forall \underline{(n2)}
\colon 
\forall \underline{(\epsilon)}
\colon 
\forall \underline{(fx)}
\colon 
\forall \underline{(fy)}
\colon \dot{\neg}\,(0
 <= (rec((1
+1
)
+1
)
*\underline{(\epsilon)}
)
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(0
 = (rec((1
+1
)
+1
)
*\underline{(\epsilon)}
)
)n
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\underline{(n1)}
 <= \underline{(n2)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,((\underline{(fy)}
[\underline{(n2)}
]
+(-u(rec((1
+1
)
+1
)
*\underline{(\epsilon)}
)
)
)
 <= \underline{(fx)}
[\underline{(n2)}
]
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,((\underline{(fy)}
[\underline{(n2)}
]
+(-u(rec((1
+1
)
+1
)
*\underline{(\epsilon)}
)
)
)
 = \underline{(fx)}
[\underline{(n2)}
]
)n
)n
)n
)n
)n
\vdash 
\forall_{obj} \underline{(v1)}
\colon 
\forall_{obj} \underline{(v2)}
\colon \dot{\neg}\,(0
 <= (rec((1
+1
)
+1
)
*\underline{(\epsilon)}
)
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(0
 = (rec((1
+1
)
+1
)
*\underline{(\epsilon)}
)
)n
)n
)n
\Rightarrow \underline{(n1)}
 <= \underline{(v1)}
\Rightarrow \underline{(n1)}
 <= \underline{(v2)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(|(\underline{(fx)}
[\underline{(v1)}
]
+(-u\underline{(fx)}
[\underline{(v2)}
]
)
)
|
 <= (rec((1
+1
)
+1
)
*\underline{(\epsilon)}
)
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(|(\underline{(fx)}
[\underline{(v1)}
]
+(-u\underline{(fx)}
[\underline{(v2)}
]
)
)
|
 = (rec((1
+1
)
+1
)
*\underline{(\epsilon)}
)
)n
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(|(\underline{(fy)}
[\underline{(v1)}
]
+(-u\underline{(fy)}
[\underline{(v2)}
]
)
)
|
 <= (rec((1
+1
)
+1
)
*\underline{(\epsilon)}
)
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(|(\underline{(fy)}
[\underline{(v1)}
]
+(-u\underline{(fy)}
[\underline{(v2)}
]
)
)
|
 = (rec((1
+1
)
+1
)
*\underline{(\epsilon)}
)
)n
)n
)n
)n
)n
\vdash \dot{\neg}\,(0
 <= \underline{(\epsilon)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(0
 = \underline{(\epsilon)}
)n
)n
)n
\vdash \underline{(n2)}
 <= \underline{
\mathsf {m}}
\vdash \dot{\neg}\,((\underline{(fy)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
+(-u\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
)
)
 <= \underline{(\epsilon)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,((\underline{(fy)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
+(-u\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
)
)
 = \underline{(\epsilon)}
)n
)n
)n
\gg \dot{\neg}\,(0
 <= (rec((1
+1
)
+1
)
*\underline{(\epsilon)}
)
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(0
 = (rec((1
+1
)
+1
)
*\underline{(\epsilon)}
)
)n
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\underline{(n1)}
 <= \underline{(n2)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,((\underline{(fy)}
[\underline{(n2)}
]
+(-u(rec((1
+1
)
+1
)
*\underline{(\epsilon)}
)
)
)
 <= \underline{(fx)}
[\underline{(n2)}
]
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,((\underline{(fy)}
[\underline{(n2)}
]
+(-u(rec((1
+1
)
+1
)
*\underline{(\epsilon)}
)
)
)
 = \underline{(fx)}
[\underline{(n2)}
]
)n
)n
)n
)n
)n
\Rightarrow 
\forall_{obj} \underline{(v1)}
\colon 
\forall_{obj} \underline{(v2)}
\colon \dot{\neg}\,(0
 <= (rec((1
+1
)
+1
)
*\underline{(\epsilon)}
)
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(0
 = (rec((1
+1
)
+1
)
*\underline{(\epsilon)}
)
)n
)n
)n
\Rightarrow \underline{(n1)}
 <= \underline{(v1)}
\Rightarrow \underline{(n1)}
 <= \underline{(v2)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(|(\underline{(fx)}
[\underline{(v1)}
]
+(-u\underline{(fx)}
[\underline{(v2)}
]
)
)
|
 <= (rec((1
+1
)
+1
)
*\underline{(\epsilon)}
)
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(|(\underline{(fx)}
[\underline{(v1)}
]
+(-u\underline{(fx)}
[\underline{(v2)}
]
)
)
|
 = (rec((1
+1
)
+1
)
*\underline{(\epsilon)}
)
)n
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(|(\underline{(fy)}
[\underline{(v1)}
]
+(-u\underline{(fy)}
[\underline{(v2)}
]
)
)
|
 <= (rec((1
+1
)
+1
)
*\underline{(\epsilon)}
)
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(|(\underline{(fy)}
[\underline{(v1)}
]
+(-u\underline{(fy)}
[\underline{(v2)}
]
)
)
|
 = (rec((1
+1
)
+1
)
*\underline{(\epsilon)}
)
)n
)n
)n
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(0
 <= \underline{(\epsilon)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(0
 = \underline{(\epsilon)}
)n
)n
)n
\Rightarrow \underline{(n2)}
 <= \underline{
\mathsf {m}}
\Rightarrow \dot{\neg}\,((\underline{(fy)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
+(-u\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
)
)
 <= \underline{(\epsilon)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,((\underline{(fy)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
+(-u\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
)
)
 = \underline{(\epsilon)}
)n
)n
)n
\rceil 
, 
p_0
, 
\mathsf {c}
)
]$

$
[FromNot<f(Strong)
\stackrel{
stmt
}{\rightarrow}SystemQ
\vdash 
\forall \underline{(v1)}
\colon 
\forall \underline{(v2)}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf {m}}
\colon 
\forall \underline{(n2)}
\colon 
\forall \underline{(\epsilon)}
\colon 
\forall \underline{(fx)}
\colon 
\forall \underline{(fy)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(\epsilon)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {n}}
\colon \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {m}}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(0
 <= \overline{(\epsilon)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(0
 = \overline{(\epsilon)}
)n
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{
\mathsf {n}}
 <= \overline{
\mathsf {m}}
\Rightarrow \underline{(fx)}
[\overline{
\mathsf {m}}
]
 <= (\underline{(fy)}
[\overline{
\mathsf {m}}
]
+(-u\overline{(\epsilon)}
)
)
)n
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\vdash \dot{\neg}\,(0
 <= \underline{(\epsilon)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(0
 = \underline{(\epsilon)}
)n
)n
)n
\Rightarrow \underline{(n2)}
 <= \underline{
\mathsf {m}}
\Rightarrow \dot{\neg}\,((\underline{(fy)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
+(-u\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
)
)
 <= \underline{(\epsilon)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,((\underline{(fy)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
+(-u\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
)
)
 = \underline{(\epsilon)}
)n
)n
)n
]$

$
[FromNot<f(Strong)
\stackrel{
proof
}{\rightarrow}
\lambda 
\mathsf {c}
.
\lambda 
\mathsf{x}
.
{\cal P}( 
\lceil SystemQ
\vdash 
\forall \underline{(v1)}
\colon 
\forall \underline{(v2)}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf {m}}
\colon 
\forall \underline{(n2)}
\colon 
\forall \underline{(\epsilon)}
\colon 
\forall \underline{(fx)}
\colon 
\forall \underline{(fy)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(\epsilon)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {n}}
\colon \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {m}}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(0
 <= \overline{(\epsilon)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(0
 = \overline{(\epsilon)}
)n
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{
\mathsf {n}}
 <= \overline{
\mathsf {m}}
\Rightarrow \underline{(fx)}
[\overline{
\mathsf {m}}
]
 <= (\underline{(fy)}
[\overline{
\mathsf {m}}
]
+(-u\overline{(\epsilon)}
)
)
)n
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\vdash FromNot<f(Weak)
\rhd \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(\epsilon)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {n}}
\colon \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {m}}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(0
 <= \overline{(\epsilon)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(0
 = \overline{(\epsilon)}
)n
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{
\mathsf {n}}
 <= \overline{
\mathsf {m}}
\Rightarrow \underline{(fx)}
[\overline{
\mathsf {m}}
]
 <= (\underline{(fy)}
[\overline{
\mathsf {m}}
]
+(-u\overline{(\epsilon)}
)
)
)n
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\gg 
\forall_{obj} \underline{(\epsilon)}
\colon 
\forall_{obj} \underline{
\mathsf {n}}
\colon \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \underline{(n2)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(0
 <= \underline{(\epsilon)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(0
 = \underline{(\epsilon)}
)n
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\underline{
\mathsf {n}}
 <= \underline{(n2)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,((\underline{(fy)}
[\underline{(n2)}
]
+(-u\underline{(\epsilon)}
)
)
 <= \underline{(fx)}
[\underline{(n2)}
]
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,((\underline{(fy)}
[\underline{(n2)}
]
+(-u\underline{(\epsilon)}
)
)
 = \underline{(fx)}
[\underline{(n2)}
]
)n
)n
)n
)n
)n
)n
)n
; A4
\mathop {\char64} (rec((1
+1
)
+1
)
*\underline{(\epsilon)}
)
\rhd 
\forall_{obj} \underline{(\epsilon)}
\colon 
\forall_{obj} \underline{
\mathsf {n}}
\colon \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \underline{(n2)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(0
 <= \underline{(\epsilon)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(0
 = \underline{(\epsilon)}
)n
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\underline{
\mathsf {n}}
 <= \underline{(n2)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,((\underline{(fy)}
[\underline{(n2)}
]
+(-u\underline{(\epsilon)}
)
)
 <= \underline{(fx)}
[\underline{(n2)}
]
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,((\underline{(fy)}
[\underline{(n2)}
]
+(-u\underline{(\epsilon)}
)
)
 = \underline{(fx)}
[\underline{(n2)}
]
)n
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\gg 
\forall_{obj} \underline{
\mathsf {n}}
\colon \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \underline{(n2)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(0
 <= (rec((1
+1
)
+1
)
*\underline{(\epsilon)}
)
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(0
 = (rec((1
+1
)
+1
)
*\underline{(\epsilon)}
)
)n
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\underline{
\mathsf {n}}
 <= \underline{(n2)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,((\underline{(fy)}
[\underline{(n2)}
]
+(-u(rec((1
+1
)
+1
)
*\underline{(\epsilon)}
)
)
)
 <= \underline{(fx)}
[\underline{(n2)}
]
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,((\underline{(fy)}
[\underline{(n2)}
]
+(-u(rec((1
+1
)
+1
)
*\underline{(\epsilon)}
)
)
)
 = \underline{(fx)}
[\underline{(n2)}
]
)n
)n
)n
)n
)n
)n
)n
; A4
\mathop {\char64} \underline{(n1)}
\rhd 
\forall_{obj} \underline{
\mathsf {n}}
\colon \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \underline{(n2)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(0
 <= (rec((1
+1
)
+1
)
*\underline{(\epsilon)}
)
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(0
 = (rec((1
+1
)
+1
)
*\underline{(\epsilon)}
)
)n
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\underline{
\mathsf {n}}
 <= \underline{(n2)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,((\underline{(fy)}
[\underline{(n2)}
]
+(-u(rec((1
+1
)
+1
)
*\underline{(\epsilon)}
)
)
)
 <= \underline{(fx)}
[\underline{(n2)}
]
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,((\underline{(fy)}
[\underline{(n2)}
]
+(-u(rec((1
+1
)
+1
)
*\underline{(\epsilon)}
)
)
)
 = \underline{(fx)}
[\underline{(n2)}
]
)n
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\gg \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \underline{(n2)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(0
 <= (rec((1
+1
)
+1
)
*\underline{(\epsilon)}
)
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(0
 = (rec((1
+1
)
+1
)
*\underline{(\epsilon)}
)
)n
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\underline{(n1)}
 <= \underline{(n2)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,((\underline{(fy)}
[\underline{(n2)}
]
+(-u(rec((1
+1
)
+1
)
*\underline{(\epsilon)}
)
)
)
 <= \underline{(fx)}
[\underline{(n2)}
]
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,((\underline{(fy)}
[\underline{(n2)}
]
+(-u(rec((1
+1
)
+1
)
*\underline{(\epsilon)}
)
)
)
 = \underline{(fx)}
[\underline{(n2)}
]
)n
)n
)n
)n
)n
)n
)n
; Cauchy(2)
\gg 
\forall_{obj} \underline{(\epsilon)}
\colon \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \underline{(n1)}
\colon \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \underline{(v1)}
\colon 
\forall_{obj} \underline{(v2)}
\colon \dot{\neg}\,(0
 <= \underline{(\epsilon)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(0
 = \underline{(\epsilon)}
)n
)n
)n
\Rightarrow \underline{(n1)}
 <= \underline{(v1)}
\Rightarrow \underline{(n1)}
 <= \underline{(v2)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(|(\underline{(fx)}
[\underline{(v1)}
]
+(-u\underline{(fx)}
[\underline{(v2)}
]
)
)
|
 <= \underline{(\epsilon)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(|(\underline{(fx)}
[\underline{(v1)}
]
+(-u\underline{(fx)}
[\underline{(v2)}
]
)
)
|
 = \underline{(\epsilon)}
)n
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(|(\underline{(fy)}
[\underline{(v1)}
]
+(-u\underline{(fy)}
[\underline{(v2)}
]
)
)
|
 <= \underline{(\epsilon)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(|(\underline{(fy)}
[\underline{(v1)}
]
+(-u\underline{(fy)}
[\underline{(v2)}
]
)
)
|
 = \underline{(\epsilon)}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
)n
; A4
\mathop {\char64} (rec((1
+1
)
+1
)
*\underline{(\epsilon)}
)
\rhd 
\forall_{obj} \underline{(\epsilon)}
\colon \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \underline{(n1)}
\colon \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \underline{(v1)}
\colon 
\forall_{obj} \underline{(v2)}
\colon \dot{\neg}\,(0
 <= \underline{(\epsilon)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(0
 = \underline{(\epsilon)}
)n
)n
)n
\Rightarrow \underline{(n1)}
 <= \underline{(v1)}
\Rightarrow \underline{(n1)}
 <= \underline{(v2)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(|(\underline{(fx)}
[\underline{(v1)}
]
+(-u\underline{(fx)}
[\underline{(v2)}
]
)
)
|
 <= \underline{(\epsilon)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(|(\underline{(fx)}
[\underline{(v1)}
]
+(-u\underline{(fx)}
[\underline{(v2)}
]
)
)
|
 = \underline{(\epsilon)}
)n
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(|(\underline{(fy)}
[\underline{(v1)}
]
+(-u\underline{(fy)}
[\underline{(v2)}
]
)
)
|
 <= \underline{(\epsilon)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(|(\underline{(fy)}
[\underline{(v1)}
]
+(-u\underline{(fy)}
[\underline{(v2)}
]
)
)
|
 = \underline{(\epsilon)}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\gg \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \underline{(n1)}
\colon \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \underline{(v1)}
\colon 
\forall_{obj} \underline{(v2)}
\colon \dot{\neg}\,(0
 <= (rec((1
+1
)
+1
)
*\underline{(\epsilon)}
)
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(0
 = (rec((1
+1
)
+1
)
*\underline{(\epsilon)}
)
)n
)n
)n
\Rightarrow \underline{(n1)}
 <= \underline{(v1)}
\Rightarrow \underline{(n1)}
 <= \underline{(v2)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(|(\underline{(fx)}
[\underline{(v1)}
]
+(-u\underline{(fx)}
[\underline{(v2)}
]
)
)
|
 <= (rec((1
+1
)
+1
)
*\underline{(\epsilon)}
)
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(|(\underline{(fx)}
[\underline{(v1)}
]
+(-u\underline{(fx)}
[\underline{(v2)}
]
)
)
|
 = (rec((1
+1
)
+1
)
*\underline{(\epsilon)}
)
)n
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(|(\underline{(fy)}
[\underline{(v1)}
]
+(-u\underline{(fy)}
[\underline{(v2)}
]
)
)
|
 <= (rec((1
+1
)
+1
)
*\underline{(\epsilon)}
)
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(|(\underline{(fy)}
[\underline{(v1)}
]
+(-u\underline{(fy)}
[\underline{(v2)}
]
)
)
|
 = (rec((1
+1
)
+1
)
*\underline{(\epsilon)}
)
)n
)n
)n
)n
)n
)n
)n
; FromNot<f(Strong)(Helper)
\gg \dot{\neg}\,(0
 <= (rec((1
+1
)
+1
)
*\underline{(\epsilon)}
)
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(0
 = (rec((1
+1
)
+1
)
*\underline{(\epsilon)}
)
)n
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\underline{(n1)}
 <= \underline{(n2)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,((\underline{(fy)}
[\underline{(n2)}
]
+(-u(rec((1
+1
)
+1
)
*\underline{(\epsilon)}
)
)
)
 <= \underline{(fx)}
[\underline{(n2)}
]
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,((\underline{(fy)}
[\underline{(n2)}
]
+(-u(rec((1
+1
)
+1
)
*\underline{(\epsilon)}
)
)
)
 = \underline{(fx)}
[\underline{(n2)}
]
)n
)n
)n
)n
)n
\Rightarrow 
\forall_{obj} \underline{(v1)}
\colon 
\forall_{obj} \underline{(v2)}
\colon \dot{\neg}\,(0
 <= (rec((1
+1
)
+1
)
*\underline{(\epsilon)}
)
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(0
 = (rec((1
+1
)
+1
)
*\underline{(\epsilon)}
)
)n
)n
)n
\Rightarrow \underline{(n1)}
 <= \underline{(v1)}
\Rightarrow \underline{(n1)}
 <= \underline{(v2)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(|(\underline{(fx)}
[\underline{(v1)}
]
+(-u\underline{(fx)}
[\underline{(v2)}
]
)
)
|
 <= (rec((1
+1
)
+1
)
*\underline{(\epsilon)}
)
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(|(\underline{(fx)}
[\underline{(v1)}
]
+(-u\underline{(fx)}
[\underline{(v2)}
]
)
)
|
 = (rec((1
+1
)
+1
)
*\underline{(\epsilon)}
)
)n
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(|(\underline{(fy)}
[\underline{(v1)}
]
+(-u\underline{(fy)}
[\underline{(v2)}
]
)
)
|
 <= (rec((1
+1
)
+1
)
*\underline{(\epsilon)}
)
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(|(\underline{(fy)}
[\underline{(v1)}
]
+(-u\underline{(fy)}
[\underline{(v2)}
]
)
)
|
 = (rec((1
+1
)
+1
)
*\underline{(\epsilon)}
)
)n
)n
)n
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(0
 <= \underline{(\epsilon)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(0
 = \underline{(\epsilon)}
)n
)n
)n
\Rightarrow \underline{(n2)}
 <= \underline{
\mathsf {m}}
\Rightarrow \dot{\neg}\,((\underline{(fy)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
+(-u\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
)
)
 <= \underline{(\epsilon)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,((\underline{(fy)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
+(-u\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
)
)
 = \underline{(\epsilon)}
)n
)n
)n
; ExistMP2
\rhd \dot{\neg}\,(0
 <= (rec((1
+1
)
+1
)
*\underline{(\epsilon)}
)
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(0
 = (rec((1
+1
)
+1
)
*\underline{(\epsilon)}
)
)n
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\underline{(n1)}
 <= \underline{(n2)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,((\underline{(fy)}
[\underline{(n2)}
]
+(-u(rec((1
+1
)
+1
)
*\underline{(\epsilon)}
)
)
)
 <= \underline{(fx)}
[\underline{(n2)}
]
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,((\underline{(fy)}
[\underline{(n2)}
]
+(-u(rec((1
+1
)
+1
)
*\underline{(\epsilon)}
)
)
)
 = \underline{(fx)}
[\underline{(n2)}
]
)n
)n
)n
)n
)n
\Rightarrow 
\forall_{obj} \underline{(v1)}
\colon 
\forall_{obj} \underline{(v2)}
\colon \dot{\neg}\,(0
 <= (rec((1
+1
)
+1
)
*\underline{(\epsilon)}
)
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(0
 = (rec((1
+1
)
+1
)
*\underline{(\epsilon)}
)
)n
)n
)n
\Rightarrow \underline{(n1)}
 <= \underline{(v1)}
\Rightarrow \underline{(n1)}
 <= \underline{(v2)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(|(\underline{(fx)}
[\underline{(v1)}
]
+(-u\underline{(fx)}
[\underline{(v2)}
]
)
)
|
 <= (rec((1
+1
)
+1
)
*\underline{(\epsilon)}
)
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(|(\underline{(fx)}
[\underline{(v1)}
]
+(-u\underline{(fx)}
[\underline{(v2)}
]
)
)
|
 = (rec((1
+1
)
+1
)
*\underline{(\epsilon)}
)
)n
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(|(\underline{(fy)}
[\underline{(v1)}
]
+(-u\underline{(fy)}
[\underline{(v2)}
]
)
)
|
 <= (rec((1
+1
)
+1
)
*\underline{(\epsilon)}
)
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(|(\underline{(fy)}
[\underline{(v1)}
]
+(-u\underline{(fy)}
[\underline{(v2)}
]
)
)
|
 = (rec((1
+1
)
+1
)
*\underline{(\epsilon)}
)
)n
)n
)n
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(0
 <= \underline{(\epsilon)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(0
 = \underline{(\epsilon)}
)n
)n
)n
\Rightarrow \underline{(n2)}
 <= \underline{
\mathsf {m}}
\Rightarrow \dot{\neg}\,((\underline{(fy)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
+(-u\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
)
)
 <= \underline{(\epsilon)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,((\underline{(fy)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
+(-u\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
)
)
 = \underline{(\epsilon)}
)n
)n
)n
\rhd \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \underline{(n2)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(0
 <= (rec((1
+1
)
+1
)
*\underline{(\epsilon)}
)
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(0
 = (rec((1
+1
)
+1
)
*\underline{(\epsilon)}
)
)n
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\underline{(n1)}
 <= \underline{(n2)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,((\underline{(fy)}
[\underline{(n2)}
]
+(-u(rec((1
+1
)
+1
)
*\underline{(\epsilon)}
)
)
)
 <= \underline{(fx)}
[\underline{(n2)}
]
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,((\underline{(fy)}
[\underline{(n2)}
]
+(-u(rec((1
+1
)
+1
)
*\underline{(\epsilon)}
)
)
)
 = \underline{(fx)}
[\underline{(n2)}
]
)n
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\rhd \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \underline{(n1)}
\colon \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \underline{(v1)}
\colon 
\forall_{obj} \underline{(v2)}
\colon \dot{\neg}\,(0
 <= (rec((1
+1
)
+1
)
*\underline{(\epsilon)}
)
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(0
 = (rec((1
+1
)
+1
)
*\underline{(\epsilon)}
)
)n
)n
)n
\Rightarrow \underline{(n1)}
 <= \underline{(v1)}
\Rightarrow \underline{(n1)}
 <= \underline{(v2)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(|(\underline{(fx)}
[\underline{(v1)}
]
+(-u\underline{(fx)}
[\underline{(v2)}
]
)
)
|
 <= (rec((1
+1
)
+1
)
*\underline{(\epsilon)}
)
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(|(\underline{(fx)}
[\underline{(v1)}
]
+(-u\underline{(fx)}
[\underline{(v2)}
]
)
)
|
 = (rec((1
+1
)
+1
)
*\underline{(\epsilon)}
)
)n
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(|(\underline{(fy)}
[\underline{(v1)}
]
+(-u\underline{(fy)}
[\underline{(v2)}
]
)
)
|
 <= (rec((1
+1
)
+1
)
*\underline{(\epsilon)}
)
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(|(\underline{(fy)}
[\underline{(v1)}
]
+(-u\underline{(fy)}
[\underline{(v2)}
]
)
)
|
 = (rec((1
+1
)
+1
)
*\underline{(\epsilon)}
)
)n
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\gg \dot{\neg}\,(0
 <= \underline{(\epsilon)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(0
 = \underline{(\epsilon)}
)n
)n
)n
\Rightarrow \underline{(n2)}
 <= \underline{
\mathsf {m}}
\Rightarrow \dot{\neg}\,((\underline{(fy)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
+(-u\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
)
)
 <= \underline{(\epsilon)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,((\underline{(fy)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
+(-u\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
)
)
 = \underline{(\epsilon)}
)n
)n
)n
\rceil 
, 
p_0
, 
\mathsf {c}
)
]$

$
[fromNotSameF(Strongest)(Helper2)
\stackrel{
stmt
}{\rightarrow}SystemQ
\vdash 
\forall \underline{
\mathsf{x}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf{y}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf{z}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf {u}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf {v}}
\colon \dot{\neg}\,(|(\underline{
\mathsf{x}}
+(-u\underline{
\mathsf{y}}
)
)
|
 <= (rec((1
+1
)
+1
)
*\underline{
\mathsf {v}}
)
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(|(\underline{
\mathsf{x}}
+(-u\underline{
\mathsf{y}}
)
)
|
 = (rec((1
+1
)
+1
)
*\underline{
\mathsf {v}}
)
)n
)n
)n
\vdash \dot{\neg}\,(|(\underline{
\mathsf{z}}
+(-u\underline{
\mathsf {u}}
)
)
|
 <= (rec((1
+1
)
+1
)
*\underline{
\mathsf {v}}
)
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(|(\underline{
\mathsf{z}}
+(-u\underline{
\mathsf {u}}
)
)
|
 = (rec((1
+1
)
+1
)
*\underline{
\mathsf {v}}
)
)n
)n
)n
\vdash \underline{
\mathsf {v}}
 <= |(\underline{
\mathsf{y}}
+(-u\underline{
\mathsf {u}}
)
)
|
\vdash \dot{\neg}\,((rec((1
+1
)
+1
)
*\underline{
\mathsf {v}}
)
 <= |(\underline{
\mathsf{x}}
+(-u\underline{
\mathsf{z}}
)
)
|
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,((rec((1
+1
)
+1
)
*\underline{
\mathsf {v}}
)
 = |(\underline{
\mathsf{x}}
+(-u\underline{
\mathsf{z}}
)
)
|
)n
)n
)n
]$

$
[fromNotSameF(Strongest)(Helper2)
\stackrel{
proof
}{\rightarrow}
\lambda 
\mathsf {c}
.
\lambda 
\mathsf{x}
.
{\cal P}( 
\lceil SystemQ
\vdash 
\forall \underline{
\mathsf{x}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf{y}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf{z}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf {u}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf {v}}
\colon \dot{\neg}\,(|(\underline{
\mathsf{x}}
+(-u\underline{
\mathsf{y}}
)
)
|
 <= (rec((1
+1
)
+1
)
*\underline{
\mathsf {v}}
)
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(|(\underline{
\mathsf{x}}
+(-u\underline{
\mathsf{y}}
)
)
|
 = (rec((1
+1
)
+1
)
*\underline{
\mathsf {v}}
)
)n
)n
)n
\vdash \dot{\neg}\,(|(\underline{
\mathsf{z}}
+(-u\underline{
\mathsf {u}}
)
)
|
 <= (rec((1
+1
)
+1
)
*\underline{
\mathsf {v}}
)
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(|(\underline{
\mathsf{z}}
+(-u\underline{
\mathsf {u}}
)
)
|
 = (rec((1
+1
)
+1
)
*\underline{
\mathsf {v}}
)
)n
)n
)n
\vdash \underline{
\mathsf {v}}
 <= |(\underline{
\mathsf{y}}
+(-u\underline{
\mathsf {u}}
)
)
|
\vdash NumericalDifference
\gg |(\underline{
\mathsf{x}}
+(-u\underline{
\mathsf{y}}
)
)
|
 = |(\underline{
\mathsf{y}}
+(-u\underline{
\mathsf{x}}
)
)
|
; SubLessLeft
\rhd |(\underline{
\mathsf{x}}
+(-u\underline{
\mathsf{y}}
)
)
|
 = |(\underline{
\mathsf{y}}
+(-u\underline{
\mathsf{x}}
)
)
|
\rhd \dot{\neg}\,(|(\underline{
\mathsf{x}}
+(-u\underline{
\mathsf{y}}
)
)
|
 <= (rec((1
+1
)
+1
)
*\underline{
\mathsf {v}}
)
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(|(\underline{
\mathsf{x}}
+(-u\underline{
\mathsf{y}}
)
)
|
 = (rec((1
+1
)
+1
)
*\underline{
\mathsf {v}}
)
)n
)n
)n
\gg \dot{\neg}\,(|(\underline{
\mathsf{y}}
+(-u\underline{
\mathsf{x}}
)
)
|
 <= (rec((1
+1
)
+1
)
*\underline{
\mathsf {v}}
)
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(|(\underline{
\mathsf{y}}
+(-u\underline{
\mathsf{x}}
)
)
|
 = (rec((1
+1
)
+1
)
*\underline{
\mathsf {v}}
)
)n
)n
)n
; LessNegated
\rhd \dot{\neg}\,(|(\underline{
\mathsf{y}}
+(-u\underline{
\mathsf{x}}
)
)
|
 <= (rec((1
+1
)
+1
)
*\underline{
\mathsf {v}}
)
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(|(\underline{
\mathsf{y}}
+(-u\underline{
\mathsf{x}}
)
)
|
 = (rec((1
+1
)
+1
)
*\underline{
\mathsf {v}}
)
)n
)n
)n
\gg \dot{\neg}\,((-u(rec((1
+1
)
+1
)
*\underline{
\mathsf {v}}
)
)
 <= (-u|(\underline{
\mathsf{y}}
+(-u\underline{
\mathsf{x}}
)
)
|
)
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,((-u(rec((1
+1
)
+1
)
*\underline{
\mathsf {v}}
)
)
 = (-u|(\underline{
\mathsf{y}}
+(-u\underline{
\mathsf{x}}
)
)
|
)
)n
)n
)n
; LessNegated
\rhd \dot{\neg}\,(|(\underline{
\mathsf{z}}
+(-u\underline{
\mathsf {u}}
)
)
|
 <= (rec((1
+1
)
+1
)
*\underline{
\mathsf {v}}
)
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(|(\underline{
\mathsf{z}}
+(-u\underline{
\mathsf {u}}
)
)
|
 = (rec((1
+1
)
+1
)
*\underline{
\mathsf {v}}
)
)n
)n
)n
\gg \dot{\neg}\,((-u(rec((1
+1
)
+1
)
*\underline{
\mathsf {v}}
)
)
 <= (-u|(\underline{
\mathsf{z}}
+(-u\underline{
\mathsf {u}}
)
)
|
)
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,((-u(rec((1
+1
)
+1
)
*\underline{
\mathsf {v}}
)
)
 = (-u|(\underline{
\mathsf{z}}
+(-u\underline{
\mathsf {u}}
)
)
|
)
)n
)n
)n
; AddEquations(LeqLess)
\rhd \underline{
\mathsf {v}}
 <= |(\underline{
\mathsf{y}}
+(-u\underline{
\mathsf {u}}
)
)
|
\rhd \dot{\neg}\,((-u(rec((1
+1
)
+1
)
*\underline{
\mathsf {v}}
)
)
 <= (-u|(\underline{
\mathsf{y}}
+(-u\underline{
\mathsf{x}}
)
)
|
)
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,((-u(rec((1
+1
)
+1
)
*\underline{
\mathsf {v}}
)
)
 = (-u|(\underline{
\mathsf{y}}
+(-u\underline{
\mathsf{x}}
)
)
|
)
)n
)n
)n
\gg \dot{\neg}\,((\underline{
\mathsf {v}}
+(-u(rec((1
+1
)
+1
)
*\underline{
\mathsf {v}}
)
)
)
 <= (|(\underline{
\mathsf{y}}
+(-u\underline{
\mathsf {u}}
)
)
|
+(-u|(\underline{
\mathsf{y}}
+(-u\underline{
\mathsf{x}}
)
)
|
)
)
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,((\underline{
\mathsf {v}}
+(-u(rec((1
+1
)
+1
)
*\underline{
\mathsf {v}}
)
)
)
 = (|(\underline{
\mathsf{y}}
+(-u\underline{
\mathsf {u}}
)
)
|
+(-u|(\underline{
\mathsf{y}}
+(-u\underline{
\mathsf{x}}
)
)
|
)
)
)n
)n
)n
; AddEquations(Less)
\rhd \dot{\neg}\,((\underline{
\mathsf {v}}
+(-u(rec((1
+1
)
+1
)
*\underline{
\mathsf {v}}
)
)
)
 <= (|(\underline{
\mathsf{y}}
+(-u\underline{
\mathsf {u}}
)
)
|
+(-u|(\underline{
\mathsf{y}}
+(-u\underline{
\mathsf{x}}
)
)
|
)
)
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,((\underline{
\mathsf {v}}
+(-u(rec((1
+1
)
+1
)
*\underline{
\mathsf {v}}
)
)
)
 = (|(\underline{
\mathsf{y}}
+(-u\underline{
\mathsf {u}}
)
)
|
+(-u|(\underline{
\mathsf{y}}
+(-u\underline{
\mathsf{x}}
)
)
|
)
)
)n
)n
)n
\rhd \dot{\neg}\,((-u(rec((1
+1
)
+1
)
*\underline{
\mathsf {v}}
)
)
 <= (-u|(\underline{
\mathsf{z}}
+(-u\underline{
\mathsf {u}}
)
)
|
)
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,((-u(rec((1
+1
)
+1
)
*\underline{
\mathsf {v}}
)
)
 = (-u|(\underline{
\mathsf{z}}
+(-u\underline{
\mathsf {u}}
)
)
|
)
)n
)n
)n
\gg \dot{\neg}\,(((\underline{
\mathsf {v}}
+(-u(rec((1
+1
)
+1
)
*\underline{
\mathsf {v}}
)
)
)
+(-u(rec((1
+1
)
+1
)
*\underline{
\mathsf {v}}
)
)
)
 <= ((|(\underline{
\mathsf{y}}
+(-u\underline{
\mathsf {u}}
)
)
|
+(-u|(\underline{
\mathsf{y}}
+(-u\underline{
\mathsf{x}}
)
)
|
)
)
+(-u|(\underline{
\mathsf{z}}
+(-u\underline{
\mathsf {u}}
)
)
|
)
)
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(((\underline{
\mathsf {v}}
+(-u(rec((1
+1
)
+1
)
*\underline{
\mathsf {v}}
)
)
)
+(-u(rec((1
+1
)
+1
)
*\underline{
\mathsf {v}}
)
)
)
 = ((|(\underline{
\mathsf{y}}
+(-u\underline{
\mathsf {u}}
)
)
|
+(-u|(\underline{
\mathsf{y}}
+(-u\underline{
\mathsf{x}}
)
)
|
)
)
+(-u|(\underline{
\mathsf{z}}
+(-u\underline{
\mathsf {u}}
)
)
|
)
)
)n
)n
)n
; insertTwoMiddleTerms(Numerical)
\gg |(\underline{
\mathsf{y}}
+(-u\underline{
\mathsf {u}}
)
)
|
 <= ((|(\underline{
\mathsf{y}}
+(-u\underline{
\mathsf{x}}
)
)
|
+|(\underline{
\mathsf{x}}
+(-u\underline{
\mathsf{z}}
)
)
|
)
+|(\underline{
\mathsf{z}}
+(-u\underline{
\mathsf {u}}
)
)
|
)
; plusAssociativity
\gg ((|(\underline{
\mathsf{y}}
+(-u\underline{
\mathsf{x}}
)
)
|
+|(\underline{
\mathsf{x}}
+(-u\underline{
\mathsf{z}}
)
)
|
)
+|(\underline{
\mathsf{z}}
+(-u\underline{
\mathsf {u}}
)
)
|
)
 = (|(\underline{
\mathsf{y}}
+(-u\underline{
\mathsf{x}}
)
)
|
+(|(\underline{
\mathsf{x}}
+(-u\underline{
\mathsf{z}}
)
)
|
+|(\underline{
\mathsf{z}}
+(-u\underline{
\mathsf {u}}
)
)
|
)
)
; plusCommutativity
\gg (|(\underline{
\mathsf{y}}
+(-u\underline{
\mathsf{x}}
)
)
|
+(|(\underline{
\mathsf{x}}
+(-u\underline{
\mathsf{z}}
)
)
|
+|(\underline{
\mathsf{z}}
+(-u\underline{
\mathsf {u}}
)
)
|
)
)
 = ((|(\underline{
\mathsf{x}}
+(-u\underline{
\mathsf{z}}
)
)
|
+|(\underline{
\mathsf{z}}
+(-u\underline{
\mathsf {u}}
)
)
|
)
+|(\underline{
\mathsf{y}}
+(-u\underline{
\mathsf{x}}
)
)
|
)
; eqTransitivity
\rhd ((|(\underline{
\mathsf{y}}
+(-u\underline{
\mathsf{x}}
)
)
|
+|(\underline{
\mathsf{x}}
+(-u\underline{
\mathsf{z}}
)
)
|
)
+|(\underline{
\mathsf{z}}
+(-u\underline{
\mathsf {u}}
)
)
|
)
 = (|(\underline{
\mathsf{y}}
+(-u\underline{
\mathsf{x}}
)
)
|
+(|(\underline{
\mathsf{x}}
+(-u\underline{
\mathsf{z}}
)
)
|
+|(\underline{
\mathsf{z}}
+(-u\underline{
\mathsf {u}}
)
)
|
)
)
\rhd (|(\underline{
\mathsf{y}}
+(-u\underline{
\mathsf{x}}
)
)
|
+(|(\underline{
\mathsf{x}}
+(-u\underline{
\mathsf{z}}
)
)
|
+|(\underline{
\mathsf{z}}
+(-u\underline{
\mathsf {u}}
)
)
|
)
)
 = ((|(\underline{
\mathsf{x}}
+(-u\underline{
\mathsf{z}}
)
)
|
+|(\underline{
\mathsf{z}}
+(-u\underline{
\mathsf {u}}
)
)
|
)
+|(\underline{
\mathsf{y}}
+(-u\underline{
\mathsf{x}}
)
)
|
)
\gg ((|(\underline{
\mathsf{y}}
+(-u\underline{
\mathsf{x}}
)
)
|
+|(\underline{
\mathsf{x}}
+(-u\underline{
\mathsf{z}}
)
)
|
)
+|(\underline{
\mathsf{z}}
+(-u\underline{
\mathsf {u}}
)
)
|
)
 = ((|(\underline{
\mathsf{x}}
+(-u\underline{
\mathsf{z}}
)
)
|
+|(\underline{
\mathsf{z}}
+(-u\underline{
\mathsf {u}}
)
)
|
)
+|(\underline{
\mathsf{y}}
+(-u\underline{
\mathsf{x}}
)
)
|
)
; subLeqRight
\rhd ((|(\underline{
\mathsf{y}}
+(-u\underline{
\mathsf{x}}
)
)
|
+|(\underline{
\mathsf{x}}
+(-u\underline{
\mathsf{z}}
)
)
|
)
+|(\underline{
\mathsf{z}}
+(-u\underline{
\mathsf {u}}
)
)
|
)
 = ((|(\underline{
\mathsf{x}}
+(-u\underline{
\mathsf{z}}
)
)
|
+|(\underline{
\mathsf{z}}
+(-u\underline{
\mathsf {u}}
)
)
|
)
+|(\underline{
\mathsf{y}}
+(-u\underline{
\mathsf{x}}
)
)
|
)
\rhd |(\underline{
\mathsf{y}}
+(-u\underline{
\mathsf {u}}
)
)
|
 <= ((|(\underline{
\mathsf{y}}
+(-u\underline{
\mathsf{x}}
)
)
|
+|(\underline{
\mathsf{x}}
+(-u\underline{
\mathsf{z}}
)
)
|
)
+|(\underline{
\mathsf{z}}
+(-u\underline{
\mathsf {u}}
)
)
|
)
\gg |(\underline{
\mathsf{y}}
+(-u\underline{
\mathsf {u}}
)
)
|
 <= ((|(\underline{
\mathsf{x}}
+(-u\underline{
\mathsf{z}}
)
)
|
+|(\underline{
\mathsf{z}}
+(-u\underline{
\mathsf {u}}
)
)
|
)
+|(\underline{
\mathsf{y}}
+(-u\underline{
\mathsf{x}}
)
)
|
)
; PositiveToLeft(Leq)
\rhd |(\underline{
\mathsf{y}}
+(-u\underline{
\mathsf {u}}
)
)
|
 <= ((|(\underline{
\mathsf{x}}
+(-u\underline{
\mathsf{z}}
)
)
|
+|(\underline{
\mathsf{z}}
+(-u\underline{
\mathsf {u}}
)
)
|
)
+|(\underline{
\mathsf{y}}
+(-u\underline{
\mathsf{x}}
)
)
|
)
\gg (|(\underline{
\mathsf{y}}
+(-u\underline{
\mathsf {u}}
)
)
|
+(-u|(\underline{
\mathsf{y}}
+(-u\underline{
\mathsf{x}}
)
)
|
)
)
 <= (|(\underline{
\mathsf{x}}
+(-u\underline{
\mathsf{z}}
)
)
|
+|(\underline{
\mathsf{z}}
+(-u\underline{
\mathsf {u}}
)
)
|
)
; PositiveToLeft(Leq)
\rhd (|(\underline{
\mathsf{y}}
+(-u\underline{
\mathsf {u}}
)
)
|
+(-u|(\underline{
\mathsf{y}}
+(-u\underline{
\mathsf{x}}
)
)
|
)
)
 <= (|(\underline{
\mathsf{x}}
+(-u\underline{
\mathsf{z}}
)
)
|
+|(\underline{
\mathsf{z}}
+(-u\underline{
\mathsf {u}}
)
)
|
)
\gg ((|(\underline{
\mathsf{y}}
+(-u\underline{
\mathsf {u}}
)
)
|
+(-u|(\underline{
\mathsf{y}}
+(-u\underline{
\mathsf{x}}
)
)
|
)
)
+(-u|(\underline{
\mathsf{z}}
+(-u\underline{
\mathsf {u}}
)
)
|
)
)
 <= |(\underline{
\mathsf{x}}
+(-u\underline{
\mathsf{z}}
)
)
|
; LessLeqTransitivity
\rhd \dot{\neg}\,(((\underline{
\mathsf {v}}
+(-u(rec((1
+1
)
+1
)
*\underline{
\mathsf {v}}
)
)
)
+(-u(rec((1
+1
)
+1
)
*\underline{
\mathsf {v}}
)
)
)
 <= ((|(\underline{
\mathsf{y}}
+(-u\underline{
\mathsf {u}}
)
)
|
+(-u|(\underline{
\mathsf{y}}
+(-u\underline{
\mathsf{x}}
)
)
|
)
)
+(-u|(\underline{
\mathsf{z}}
+(-u\underline{
\mathsf {u}}
)
)
|
)
)
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(((\underline{
\mathsf {v}}
+(-u(rec((1
+1
)
+1
)
*\underline{
\mathsf {v}}
)
)
)
+(-u(rec((1
+1
)
+1
)
*\underline{
\mathsf {v}}
)
)
)
 = ((|(\underline{
\mathsf{y}}
+(-u\underline{
\mathsf {u}}
)
)
|
+(-u|(\underline{
\mathsf{y}}
+(-u\underline{
\mathsf{x}}
)
)
|
)
)
+(-u|(\underline{
\mathsf{z}}
+(-u\underline{
\mathsf {u}}
)
)
|
)
)
)n
)n
)n
\rhd ((|(\underline{
\mathsf{y}}
+(-u\underline{
\mathsf {u}}
)
)
|
+(-u|(\underline{
\mathsf{y}}
+(-u\underline{
\mathsf{x}}
)
)
|
)
)
+(-u|(\underline{
\mathsf{z}}
+(-u\underline{
\mathsf {u}}
)
)
|
)
)
 <= |(\underline{
\mathsf{x}}
+(-u\underline{
\mathsf{z}}
)
)
|
\gg \dot{\neg}\,(((\underline{
\mathsf {v}}
+(-u(rec((1
+1
)
+1
)
*\underline{
\mathsf {v}}
)
)
)
+(-u(rec((1
+1
)
+1
)
*\underline{
\mathsf {v}}
)
)
)
 <= |(\underline{
\mathsf{x}}
+(-u\underline{
\mathsf{z}}
)
)
|
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(((\underline{
\mathsf {v}}
+(-u(rec((1
+1
)
+1
)
*\underline{
\mathsf {v}}
)
)
)
+(-u(rec((1
+1
)
+1
)
*\underline{
\mathsf {v}}
)
)
)
 = |(\underline{
\mathsf{x}}
+(-u\underline{
\mathsf{z}}
)
)
|
)n
)n
)n
; ThreeThirds
\gg (((rec((1
+1
)
+1
)
*\underline{
\mathsf {v}}
)
+(rec((1
+1
)
+1
)
*\underline{
\mathsf {v}}
)
)
+(rec((1
+1
)
+1
)
*\underline{
\mathsf {v}}
)
)
 = \underline{
\mathsf {v}}
; PositiveToRight(Eq)
\rhd (((rec((1
+1
)
+1
)
*\underline{
\mathsf {v}}
)
+(rec((1
+1
)
+1
)
*\underline{
\mathsf {v}}
)
)
+(rec((1
+1
)
+1
)
*\underline{
\mathsf {v}}
)
)
 = \underline{
\mathsf {v}}
\gg ((rec((1
+1
)
+1
)
*\underline{
\mathsf {v}}
)
+(rec((1
+1
)
+1
)
*\underline{
\mathsf {v}}
)
)
 = (\underline{
\mathsf {v}}
+(-u(rec((1
+1
)
+1
)
*\underline{
\mathsf {v}}
)
)
)
; PositiveToRight(Eq)
\rhd ((rec((1
+1
)
+1
)
*\underline{
\mathsf {v}}
)
+(rec((1
+1
)
+1
)
*\underline{
\mathsf {v}}
)
)
 = (\underline{
\mathsf {v}}
+(-u(rec((1
+1
)
+1
)
*\underline{
\mathsf {v}}
)
)
)
\gg (rec((1
+1
)
+1
)
*\underline{
\mathsf {v}}
)
 = ((\underline{
\mathsf {v}}
+(-u(rec((1
+1
)
+1
)
*\underline{
\mathsf {v}}
)
)
)
+(-u(rec((1
+1
)
+1
)
*\underline{
\mathsf {v}}
)
)
)
; eqSymmetry
\rhd (rec((1
+1
)
+1
)
*\underline{
\mathsf {v}}
)
 = ((\underline{
\mathsf {v}}
+(-u(rec((1
+1
)
+1
)
*\underline{
\mathsf {v}}
)
)
)
+(-u(rec((1
+1
)
+1
)
*\underline{
\mathsf {v}}
)
)
)
\gg ((\underline{
\mathsf {v}}
+(-u(rec((1
+1
)
+1
)
*\underline{
\mathsf {v}}
)
)
)
+(-u(rec((1
+1
)
+1
)
*\underline{
\mathsf {v}}
)
)
)
 = (rec((1
+1
)
+1
)
*\underline{
\mathsf {v}}
)
; SubLessLeft
\rhd ((\underline{
\mathsf {v}}
+(-u(rec((1
+1
)
+1
)
*\underline{
\mathsf {v}}
)
)
)
+(-u(rec((1
+1
)
+1
)
*\underline{
\mathsf {v}}
)
)
)
 = (rec((1
+1
)
+1
)
*\underline{
\mathsf {v}}
)
\rhd \dot{\neg}\,(((\underline{
\mathsf {v}}
+(-u(rec((1
+1
)
+1
)
*\underline{
\mathsf {v}}
)
)
)
+(-u(rec((1
+1
)
+1
)
*\underline{
\mathsf {v}}
)
)
)
 <= |(\underline{
\mathsf{x}}
+(-u\underline{
\mathsf{z}}
)
)
|
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(((\underline{
\mathsf {v}}
+(-u(rec((1
+1
)
+1
)
*\underline{
\mathsf {v}}
)
)
)
+(-u(rec((1
+1
)
+1
)
*\underline{
\mathsf {v}}
)
)
)
 = |(\underline{
\mathsf{x}}
+(-u\underline{
\mathsf{z}}
)
)
|
)n
)n
)n
\gg \dot{\neg}\,((rec((1
+1
)
+1
)
*\underline{
\mathsf {v}}
)
 <= |(\underline{
\mathsf{x}}
+(-u\underline{
\mathsf{z}}
)
)
|
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,((rec((1
+1
)
+1
)
*\underline{
\mathsf {v}}
)
 = |(\underline{
\mathsf{x}}
+(-u\underline{
\mathsf{z}}
)
)
|
)n
)n
)n
\rceil 
, 
p_0
, 
\mathsf {c}
)
]$


$
[fromNotSameF(Strongest)(Helper)
\stackrel{
stmt
}{\rightarrow}SystemQ
\vdash 
\forall \underline{(v1)}
\colon 
\forall \underline{(v2)}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf {m}}
\colon 
\forall \underline{(n1)}
\colon 
\forall \underline{(n2)}
\colon 
\forall \underline{(\epsilon)}
\colon 
\forall \underline{(fx)}
\colon 
\forall \underline{(fy)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(0
 <= \underline{(\epsilon)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(0
 = \underline{(\epsilon)}
)n
)n
)n
\Rightarrow \underline{(n1)}
 <= \underline{(n2)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(|(\underline{(fx)}
[\underline{(n2)}
]
+(-u\underline{(fy)}
[\underline{(n2)}
]
)
)
|
 <= \underline{(\epsilon)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(|(\underline{(fx)}
[\underline{(n2)}
]
+(-u\underline{(fy)}
[\underline{(n2)}
]
)
)
|
 = \underline{(\epsilon)}
)n
)n
)n
)n
\Rightarrow 
\forall_{obj} \underline{(v1)}
\colon 
\forall_{obj} \underline{(v2)}
\colon \dot{\neg}\,(0
 <= (rec((1
+1
)
+1
)
*\underline{(\epsilon)}
)
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(0
 = (rec((1
+1
)
+1
)
*\underline{(\epsilon)}
)
)n
)n
)n
\Rightarrow \underline{(n1)}
 <= \underline{(v1)}
\Rightarrow \underline{(n1)}
 <= \underline{(v2)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(|(\underline{(fx)}
[\underline{(v1)}
]
+(-u\underline{(fx)}
[\underline{(v2)}
]
)
)
|
 <= (rec((1
+1
)
+1
)
*\underline{(\epsilon)}
)
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(|(\underline{(fx)}
[\underline{(v1)}
]
+(-u\underline{(fx)}
[\underline{(v2)}
]
)
)
|
 = (rec((1
+1
)
+1
)
*\underline{(\epsilon)}
)
)n
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(|(\underline{(fy)}
[\underline{(v1)}
]
+(-u\underline{(fy)}
[\underline{(v2)}
]
)
)
|
 <= (rec((1
+1
)
+1
)
*\underline{(\epsilon)}
)
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(|(\underline{(fy)}
[\underline{(v1)}
]
+(-u\underline{(fy)}
[\underline{(v2)}
]
)
)
|
 = (rec((1
+1
)
+1
)
*\underline{(\epsilon)}
)
)n
)n
)n
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(0
 <= (rec((1
+1
)
+1
)
*\underline{(\epsilon)}
)
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(0
 = (rec((1
+1
)
+1
)
*\underline{(\epsilon)}
)
)n
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\underline{(n2)}
 <= \underline{
\mathsf {m}}
\Rightarrow \dot{\neg}\,((rec((1
+1
)
+1
)
*\underline{(\epsilon)}
)
 <= |(\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
+(-u\underline{(fy)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
)
)
|
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,((rec((1
+1
)
+1
)
*\underline{(\epsilon)}
)
 = |(\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
+(-u\underline{(fy)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
)
)
|
)n
)n
)n
)n
)n
]$



$
[fromNotSameF(Strongest)(Helper)
\stackrel{
proof
}{\rightarrow}
\lambda 
\mathsf {c}
.
\lambda 
\mathsf{x}
.
{\cal P}( 
\lceil SystemQ
\vdash 
\forall \underline{(v1)}
\colon 
\forall \underline{(v2)}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf {m}}
\colon 
\forall \underline{(n1)}
\colon 
\forall \underline{(n2)}
\colon 
\forall \underline{(\epsilon)}
\colon 
\forall \underline{(fx)}
\colon 
\forall \underline{(fy)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(0
 <= \underline{(\epsilon)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(0
 = \underline{(\epsilon)}
)n
)n
)n
\Rightarrow \underline{(n1)}
 <= \underline{(n2)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(|(\underline{(fx)}
[\underline{(n2)}
]
+(-u\underline{(fy)}
[\underline{(n2)}
]
)
)
|
 <= \underline{(\epsilon)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(|(\underline{(fx)}
[\underline{(n2)}
]
+(-u\underline{(fy)}
[\underline{(n2)}
]
)
)
|
 = \underline{(\epsilon)}
)n
)n
)n
)n
\vdash 
\forall_{obj} \underline{(v1)}
\colon 
\forall_{obj} \underline{(v2)}
\colon \dot{\neg}\,(0
 <= (rec((1
+1
)
+1
)
*\underline{(\epsilon)}
)
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(0
 = (rec((1
+1
)
+1
)
*\underline{(\epsilon)}
)
)n
)n
)n
\Rightarrow \underline{(n1)}
 <= \underline{(v1)}
\Rightarrow \underline{(n1)}
 <= \underline{(v2)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(|(\underline{(fx)}
[\underline{(v1)}
]
+(-u\underline{(fx)}
[\underline{(v2)}
]
)
)
|
 <= (rec((1
+1
)
+1
)
*\underline{(\epsilon)}
)
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(|(\underline{(fx)}
[\underline{(v1)}
]
+(-u\underline{(fx)}
[\underline{(v2)}
]
)
)
|
 = (rec((1
+1
)
+1
)
*\underline{(\epsilon)}
)
)n
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(|(\underline{(fy)}
[\underline{(v1)}
]
+(-u\underline{(fy)}
[\underline{(v2)}
]
)
)
|
 <= (rec((1
+1
)
+1
)
*\underline{(\epsilon)}
)
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(|(\underline{(fy)}
[\underline{(v1)}
]
+(-u\underline{(fy)}
[\underline{(v2)}
]
)
)
|
 = (rec((1
+1
)
+1
)
*\underline{(\epsilon)}
)
)n
)n
)n
)n
)n
\vdash \underline{(n2)}
 <= \underline{
\mathsf {m}}
\vdash FromNegated(2*Imply)
\rhd \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(0
 <= \underline{(\epsilon)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(0
 = \underline{(\epsilon)}
)n
)n
)n
\Rightarrow \underline{(n1)}
 <= \underline{(n2)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(|(\underline{(fx)}
[\underline{(n2)}
]
+(-u\underline{(fy)}
[\underline{(n2)}
]
)
)
|
 <= \underline{(\epsilon)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(|(\underline{(fx)}
[\underline{(n2)}
]
+(-u\underline{(fy)}
[\underline{(n2)}
]
)
)
|
 = \underline{(\epsilon)}
)n
)n
)n
)n
\gg \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(0
 <= \underline{(\epsilon)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(0
 = \underline{(\epsilon)}
)n
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\underline{(n1)}
 <= \underline{(n2)}
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(|(\underline{(fx)}
[\underline{(n2)}
]
+(-u\underline{(fy)}
[\underline{(n2)}
]
)
)
|
 <= \underline{(\epsilon)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(|(\underline{(fx)}
[\underline{(n2)}
]
+(-u\underline{(fy)}
[\underline{(n2)}
]
)
)
|
 = \underline{(\epsilon)}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
; FirstConjunct
\rhd \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(0
 <= \underline{(\epsilon)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(0
 = \underline{(\epsilon)}
)n
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\underline{(n1)}
 <= \underline{(n2)}
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(|(\underline{(fx)}
[\underline{(n2)}
]
+(-u\underline{(fy)}
[\underline{(n2)}
]
)
)
|
 <= \underline{(\epsilon)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(|(\underline{(fx)}
[\underline{(n2)}
]
+(-u\underline{(fy)}
[\underline{(n2)}
]
)
)
|
 = \underline{(\epsilon)}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\gg \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(0
 <= \underline{(\epsilon)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(0
 = \underline{(\epsilon)}
)n
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\underline{(n1)}
 <= \underline{(n2)}
)n
)n
; FirstConjunct
\rhd \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(0
 <= \underline{(\epsilon)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(0
 = \underline{(\epsilon)}
)n
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\underline{(n1)}
 <= \underline{(n2)}
)n
)n
\gg \dot{\neg}\,(0
 <= \underline{(\epsilon)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(0
 = \underline{(\epsilon)}
)n
)n
)n
; SecondConjunct
\rhd \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(0
 <= \underline{(\epsilon)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(0
 = \underline{(\epsilon)}
)n
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\underline{(n1)}
 <= \underline{(n2)}
)n
)n
\gg \underline{(n1)}
 <= \underline{(n2)}
; SecondConjunct
\rhd \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(0
 <= \underline{(\epsilon)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(0
 = \underline{(\epsilon)}
)n
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\underline{(n1)}
 <= \underline{(n2)}
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(|(\underline{(fx)}
[\underline{(n2)}
]
+(-u\underline{(fy)}
[\underline{(n2)}
]
)
)
|
 <= \underline{(\epsilon)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(|(\underline{(fx)}
[\underline{(n2)}
]
+(-u\underline{(fy)}
[\underline{(n2)}
]
)
)
|
 = \underline{(\epsilon)}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\gg \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(|(\underline{(fx)}
[\underline{(n2)}
]
+(-u\underline{(fy)}
[\underline{(n2)}
]
)
)
|
 <= \underline{(\epsilon)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(|(\underline{(fx)}
[\underline{(n2)}
]
+(-u\underline{(fy)}
[\underline{(n2)}
]
)
)
|
 = \underline{(\epsilon)}
)n
)n
)n
)n
; fromNotLess
\rhd \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(|(\underline{(fx)}
[\underline{(n2)}
]
+(-u\underline{(fy)}
[\underline{(n2)}
]
)
)
|
 <= \underline{(\epsilon)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(|(\underline{(fx)}
[\underline{(n2)}
]
+(-u\underline{(fy)}
[\underline{(n2)}
]
)
)
|
 = \underline{(\epsilon)}
)n
)n
)n
)n
\gg \underline{(\epsilon)}
 <= |(\underline{(fx)}
[\underline{(n2)}
]
+(-u\underline{(fy)}
[\underline{(n2)}
]
)
)
|
; A4
\mathop {\char64} \underline{
\mathsf {m}}
\rhd 
\forall_{obj} \underline{(v1)}
\colon 
\forall_{obj} \underline{(v2)}
\colon \dot{\neg}\,(0
 <= (rec((1
+1
)
+1
)
*\underline{(\epsilon)}
)
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(0
 = (rec((1
+1
)
+1
)
*\underline{(\epsilon)}
)
)n
)n
)n
\Rightarrow \underline{(n1)}
 <= \underline{(v1)}
\Rightarrow \underline{(n1)}
 <= \underline{(v2)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(|(\underline{(fx)}
[\underline{(v1)}
]
+(-u\underline{(fx)}
[\underline{(v2)}
]
)
)
|
 <= (rec((1
+1
)
+1
)
*\underline{(\epsilon)}
)
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(|(\underline{(fx)}
[\underline{(v1)}
]
+(-u\underline{(fx)}
[\underline{(v2)}
]
)
)
|
 = (rec((1
+1
)
+1
)
*\underline{(\epsilon)}
)
)n
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(|(\underline{(fy)}
[\underline{(v1)}
]
+(-u\underline{(fy)}
[\underline{(v2)}
]
)
)
|
 <= (rec((1
+1
)
+1
)
*\underline{(\epsilon)}
)
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(|(\underline{(fy)}
[\underline{(v1)}
]
+(-u\underline{(fy)}
[\underline{(v2)}
]
)
)
|
 = (rec((1
+1
)
+1
)
*\underline{(\epsilon)}
)
)n
)n
)n
)n
)n
\gg 
\forall_{obj} \underline{(v2)}
\colon \dot{\neg}\,(0
 <= (rec((1
+1
)
+1
)
*\underline{(\epsilon)}
)
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(0
 = (rec((1
+1
)
+1
)
*\underline{(\epsilon)}
)
)n
)n
)n
\Rightarrow \underline{(n1)}
 <= \underline{
\mathsf {m}}
\Rightarrow \underline{(n1)}
 <= \underline{(v2)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(|(\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
+(-u\underline{(fx)}
[\underline{(v2)}
]
)
)
|
 <= (rec((1
+1
)
+1
)
*\underline{(\epsilon)}
)
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(|(\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
+(-u\underline{(fx)}
[\underline{(v2)}
]
)
)
|
 = (rec((1
+1
)
+1
)
*\underline{(\epsilon)}
)
)n
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(|(\underline{(fy)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
+(-u\underline{(fy)}
[\underline{(v2)}
]
)
)
|
 <= (rec((1
+1
)
+1
)
*\underline{(\epsilon)}
)
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(|(\underline{(fy)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
+(-u\underline{(fy)}
[\underline{(v2)}
]
)
)
|
 = (rec((1
+1
)
+1
)
*\underline{(\epsilon)}
)
)n
)n
)n
)n
)n
; A4
\mathop {\char64} \underline{(n2)}
\rhd 
\forall_{obj} \underline{(v2)}
\colon \dot{\neg}\,(0
 <= (rec((1
+1
)
+1
)
*\underline{(\epsilon)}
)
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(0
 = (rec((1
+1
)
+1
)
*\underline{(\epsilon)}
)
)n
)n
)n
\Rightarrow \underline{(n1)}
 <= \underline{
\mathsf {m}}
\Rightarrow \underline{(n1)}
 <= \underline{(v2)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(|(\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
+(-u\underline{(fx)}
[\underline{(v2)}
]
)
)
|
 <= (rec((1
+1
)
+1
)
*\underline{(\epsilon)}
)
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(|(\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
+(-u\underline{(fx)}
[\underline{(v2)}
]
)
)
|
 = (rec((1
+1
)
+1
)
*\underline{(\epsilon)}
)
)n
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(|(\underline{(fy)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
+(-u\underline{(fy)}
[\underline{(v2)}
]
)
)
|
 <= (rec((1
+1
)
+1
)
*\underline{(\epsilon)}
)
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(|(\underline{(fy)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
+(-u\underline{(fy)}
[\underline{(v2)}
]
)
)
|
 = (rec((1
+1
)
+1
)
*\underline{(\epsilon)}
)
)n
)n
)n
)n
)n
\gg \dot{\neg}\,(0
 <= (rec((1
+1
)
+1
)
*\underline{(\epsilon)}
)
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(0
 = (rec((1
+1
)
+1
)
*\underline{(\epsilon)}
)
)n
)n
)n
\Rightarrow \underline{(n1)}
 <= \underline{
\mathsf {m}}
\Rightarrow \underline{(n1)}
 <= \underline{(n2)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(|(\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
+(-u\underline{(fx)}
[\underline{(n2)}
]
)
)
|
 <= (rec((1
+1
)
+1
)
*\underline{(\epsilon)}
)
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(|(\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
+(-u\underline{(fx)}
[\underline{(n2)}
]
)
)
|
 = (rec((1
+1
)
+1
)
*\underline{(\epsilon)}
)
)n
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(|(\underline{(fy)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
+(-u\underline{(fy)}
[\underline{(n2)}
]
)
)
|
 <= (rec((1
+1
)
+1
)
*\underline{(\epsilon)}
)
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(|(\underline{(fy)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
+(-u\underline{(fy)}
[\underline{(n2)}
]
)
)
|
 = (rec((1
+1
)
+1
)
*\underline{(\epsilon)}
)
)n
)n
)n
)n
)n
; 0<1/3
\gg \dot{\neg}\,(0
 <= rec((1
+1
)
+1
)
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(0
 = rec((1
+1
)
+1
)
)n
)n
)n
; PositiveFactors
\rhd \dot{\neg}\,(0
 <= rec((1
+1
)
+1
)
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(0
 = rec((1
+1
)
+1
)
)n
)n
)n
\rhd \dot{\neg}\,(0
 <= \underline{(\epsilon)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(0
 = \underline{(\epsilon)}
)n
)n
)n
\gg \dot{\neg}\,(0
 <= (rec((1
+1
)
+1
)
*\underline{(\epsilon)}
)
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(0
 = (rec((1
+1
)
+1
)
*\underline{(\epsilon)}
)
)n
)n
)n
; leqTransitivity
\rhd \underline{(n1)}
 <= \underline{(n2)}
\rhd \underline{(n2)}
 <= \underline{
\mathsf {m}}
\gg \underline{(n1)}
 <= \underline{
\mathsf {m}}
; MP3
\rhd \dot{\neg}\,(0
 <= (rec((1
+1
)
+1
)
*\underline{(\epsilon)}
)
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(0
 = (rec((1
+1
)
+1
)
*\underline{(\epsilon)}
)
)n
)n
)n
\Rightarrow \underline{(n1)}
 <= \underline{
\mathsf {m}}
\Rightarrow \underline{(n1)}
 <= \underline{(n2)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(|(\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
+(-u\underline{(fx)}
[\underline{(n2)}
]
)
)
|
 <= (rec((1
+1
)
+1
)
*\underline{(\epsilon)}
)
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(|(\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
+(-u\underline{(fx)}
[\underline{(n2)}
]
)
)
|
 = (rec((1
+1
)
+1
)
*\underline{(\epsilon)}
)
)n
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(|(\underline{(fy)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
+(-u\underline{(fy)}
[\underline{(n2)}
]
)
)
|
 <= (rec((1
+1
)
+1
)
*\underline{(\epsilon)}
)
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(|(\underline{(fy)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
+(-u\underline{(fy)}
[\underline{(n2)}
]
)
)
|
 = (rec((1
+1
)
+1
)
*\underline{(\epsilon)}
)
)n
)n
)n
)n
)n
\rhd \dot{\neg}\,(0
 <= (rec((1
+1
)
+1
)
*\underline{(\epsilon)}
)
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(0
 = (rec((1
+1
)
+1
)
*\underline{(\epsilon)}
)
)n
)n
)n
\rhd \underline{(n1)}
 <= \underline{
\mathsf {m}}
\rhd \underline{(n1)}
 <= \underline{(n2)}
\gg \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(|(\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
+(-u\underline{(fx)}
[\underline{(n2)}
]
)
)
|
 <= (rec((1
+1
)
+1
)
*\underline{(\epsilon)}
)
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(|(\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
+(-u\underline{(fx)}
[\underline{(n2)}
]
)
)
|
 = (rec((1
+1
)
+1
)
*\underline{(\epsilon)}
)
)n
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(|(\underline{(fy)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
+(-u\underline{(fy)}
[\underline{(n2)}
]
)
)
|
 <= (rec((1
+1
)
+1
)
*\underline{(\epsilon)}
)
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(|(\underline{(fy)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
+(-u\underline{(fy)}
[\underline{(n2)}
]
)
)
|
 = (rec((1
+1
)
+1
)
*\underline{(\epsilon)}
)
)n
)n
)n
)n
)n
; FirstConjunct
\rhd \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(|(\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
+(-u\underline{(fx)}
[\underline{(n2)}
]
)
)
|
 <= (rec((1
+1
)
+1
)
*\underline{(\epsilon)}
)
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(|(\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
+(-u\underline{(fx)}
[\underline{(n2)}
]
)
)
|
 = (rec((1
+1
)
+1
)
*\underline{(\epsilon)}
)
)n
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(|(\underline{(fy)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
+(-u\underline{(fy)}
[\underline{(n2)}
]
)
)
|
 <= (rec((1
+1
)
+1
)
*\underline{(\epsilon)}
)
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(|(\underline{(fy)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
+(-u\underline{(fy)}
[\underline{(n2)}
]
)
)
|
 = (rec((1
+1
)
+1
)
*\underline{(\epsilon)}
)
)n
)n
)n
)n
)n
\gg \dot{\neg}\,(|(\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
+(-u\underline{(fx)}
[\underline{(n2)}
]
)
)
|
 <= (rec((1
+1
)
+1
)
*\underline{(\epsilon)}
)
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(|(\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
+(-u\underline{(fx)}
[\underline{(n2)}
]
)
)
|
 = (rec((1
+1
)
+1
)
*\underline{(\epsilon)}
)
)n
)n
)n
; SecondConjunct
\rhd \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(|(\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
+(-u\underline{(fx)}
[\underline{(n2)}
]
)
)
|
 <= (rec((1
+1
)
+1
)
*\underline{(\epsilon)}
)
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(|(\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
+(-u\underline{(fx)}
[\underline{(n2)}
]
)
)
|
 = (rec((1
+1
)
+1
)
*\underline{(\epsilon)}
)
)n
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(|(\underline{(fy)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
+(-u\underline{(fy)}
[\underline{(n2)}
]
)
)
|
 <= (rec((1
+1
)
+1
)
*\underline{(\epsilon)}
)
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(|(\underline{(fy)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
+(-u\underline{(fy)}
[\underline{(n2)}
]
)
)
|
 = (rec((1
+1
)
+1
)
*\underline{(\epsilon)}
)
)n
)n
)n
)n
)n
\gg \dot{\neg}\,(|(\underline{(fy)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
+(-u\underline{(fy)}
[\underline{(n2)}
]
)
)
|
 <= (rec((1
+1
)
+1
)
*\underline{(\epsilon)}
)
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(|(\underline{(fy)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
+(-u\underline{(fy)}
[\underline{(n2)}
]
)
)
|
 = (rec((1
+1
)
+1
)
*\underline{(\epsilon)}
)
)n
)n
)n
; fromNotSameF(Strongest)(Helper2)
\rhd \dot{\neg}\,(|(\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
+(-u\underline{(fx)}
[\underline{(n2)}
]
)
)
|
 <= (rec((1
+1
)
+1
)
*\underline{(\epsilon)}
)
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(|(\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
+(-u\underline{(fx)}
[\underline{(n2)}
]
)
)
|
 = (rec((1
+1
)
+1
)
*\underline{(\epsilon)}
)
)n
)n
)n
\rhd \dot{\neg}\,(|(\underline{(fy)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
+(-u\underline{(fy)}
[\underline{(n2)}
]
)
)
|
 <= (rec((1
+1
)
+1
)
*\underline{(\epsilon)}
)
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(|(\underline{(fy)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
+(-u\underline{(fy)}
[\underline{(n2)}
]
)
)
|
 = (rec((1
+1
)
+1
)
*\underline{(\epsilon)}
)
)n
)n
)n
\rhd \underline{(\epsilon)}
 <= |(\underline{(fx)}
[\underline{(n2)}
]
+(-u\underline{(fy)}
[\underline{(n2)}
]
)
)
|
\gg \dot{\neg}\,((rec((1
+1
)
+1
)
*\underline{(\epsilon)}
)
 <= |(\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
+(-u\underline{(fy)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
)
)
|
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,((rec((1
+1
)
+1
)
*\underline{(\epsilon)}
)
 = |(\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
+(-u\underline{(fy)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
)
)
|
)n
)n
)n
; 
\forall \underline{(v1)}
\colon 
\forall \underline{(v2)}
\colon 
\forall \underline{(n1)}
\colon 
\forall \underline{(n2)}
\colon 
\forall \underline{(\epsilon)}
\colon 
\forall \underline{(fx)}
\colon 
\forall \underline{(fy)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(0
 <= \underline{(\epsilon)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(0
 = \underline{(\epsilon)}
)n
)n
)n
\Rightarrow \underline{(n1)}
 <= \underline{(n2)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(|(\underline{(fx)}
[\underline{(n2)}
]
+(-u\underline{(fy)}
[\underline{(n2)}
]
)
)
|
 <= \underline{(\epsilon)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(|(\underline{(fx)}
[\underline{(n2)}
]
+(-u\underline{(fy)}
[\underline{(n2)}
]
)
)
|
 = \underline{(\epsilon)}
)n
)n
)n
)n
\vdash 
\forall_{obj} \underline{(v1)}
\colon 
\forall_{obj} \underline{(v2)}
\colon \dot{\neg}\,(0
 <= (rec((1
+1
)
+1
)
*\underline{(\epsilon)}
)
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(0
 = (rec((1
+1
)
+1
)
*\underline{(\epsilon)}
)
)n
)n
)n
\Rightarrow \underline{(n1)}
 <= \underline{(v1)}
\Rightarrow \underline{(n1)}
 <= \underline{(v2)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(|(\underline{(fx)}
[\underline{(v1)}
]
+(-u\underline{(fx)}
[\underline{(v2)}
]
)
)
|
 <= (rec((1
+1
)
+1
)
*\underline{(\epsilon)}
)
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(|(\underline{(fx)}
[\underline{(v1)}
]
+(-u\underline{(fx)}
[\underline{(v2)}
]
)
)
|
 = (rec((1
+1
)
+1
)
*\underline{(\epsilon)}
)
)n
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(|(\underline{(fy)}
[\underline{(v1)}
]
+(-u\underline{(fy)}
[\underline{(v2)}
]
)
)
|
 <= (rec((1
+1
)
+1
)
*\underline{(\epsilon)}
)
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(|(\underline{(fy)}
[\underline{(v1)}
]
+(-u\underline{(fy)}
[\underline{(v2)}
]
)
)
|
 = (rec((1
+1
)
+1
)
*\underline{(\epsilon)}
)
)n
)n
)n
)n
)n
\vdash FromNegatedImply
\rhd \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(0
 <= \underline{(\epsilon)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(0
 = \underline{(\epsilon)}
)n
)n
)n
\Rightarrow \underline{(n1)}
 <= \underline{(n2)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(|(\underline{(fx)}
[\underline{(n2)}
]
+(-u\underline{(fy)}
[\underline{(n2)}
]
)
)
|
 <= \underline{(\epsilon)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(|(\underline{(fx)}
[\underline{(n2)}
]
+(-u\underline{(fy)}
[\underline{(n2)}
]
)
)
|
 = \underline{(\epsilon)}
)n
)n
)n
)n
\gg \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(0
 <= \underline{(\epsilon)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(0
 = \underline{(\epsilon)}
)n
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\underline{(n1)}
 <= \underline{(n2)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(|(\underline{(fx)}
[\underline{(n2)}
]
+(-u\underline{(fy)}
[\underline{(n2)}
]
)
)
|
 <= \underline{(\epsilon)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(|(\underline{(fx)}
[\underline{(n2)}
]
+(-u\underline{(fy)}
[\underline{(n2)}
]
)
)
|
 = \underline{(\epsilon)}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
; FirstConjunct
\rhd \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(0
 <= \underline{(\epsilon)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(0
 = \underline{(\epsilon)}
)n
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\underline{(n1)}
 <= \underline{(n2)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(|(\underline{(fx)}
[\underline{(n2)}
]
+(-u\underline{(fy)}
[\underline{(n2)}
]
)
)
|
 <= \underline{(\epsilon)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(|(\underline{(fx)}
[\underline{(n2)}
]
+(-u\underline{(fy)}
[\underline{(n2)}
]
)
)
|
 = \underline{(\epsilon)}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\gg \dot{\neg}\,(0
 <= \underline{(\epsilon)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(0
 = \underline{(\epsilon)}
)n
)n
)n
; 0<1/3
\gg \dot{\neg}\,(0
 <= rec((1
+1
)
+1
)
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(0
 = rec((1
+1
)
+1
)
)n
)n
)n
; PositiveFactors
\rhd \dot{\neg}\,(0
 <= rec((1
+1
)
+1
)
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(0
 = rec((1
+1
)
+1
)
)n
)n
)n
\rhd \dot{\neg}\,(0
 <= \underline{(\epsilon)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(0
 = \underline{(\epsilon)}
)n
)n
)n
\gg \dot{\neg}\,(0
 <= (rec((1
+1
)
+1
)
*\underline{(\epsilon)}
)
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(0
 = (rec((1
+1
)
+1
)
*\underline{(\epsilon)}
)
)n
)n
)n
; 
\forall \underline{(v1)}
\colon 
\forall \underline{(v2)}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf {m}}
\colon 
\forall \underline{(n1)}
\colon 
\forall \underline{(n2)}
\colon 
\forall \underline{(\epsilon)}
\colon 
\forall \underline{(fx)}
\colon 
\forall \underline{(fy)}
\colon Ded
\rhd 
\forall \underline{(v1)}
\colon 
\forall \underline{(v2)}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf {m}}
\colon 
\forall \underline{(n1)}
\colon 
\forall \underline{(n2)}
\colon 
\forall \underline{(\epsilon)}
\colon 
\forall \underline{(fx)}
\colon 
\forall \underline{(fy)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(0
 <= \underline{(\epsilon)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(0
 = \underline{(\epsilon)}
)n
)n
)n
\Rightarrow \underline{(n1)}
 <= \underline{(n2)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(|(\underline{(fx)}
[\underline{(n2)}
]
+(-u\underline{(fy)}
[\underline{(n2)}
]
)
)
|
 <= \underline{(\epsilon)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(|(\underline{(fx)}
[\underline{(n2)}
]
+(-u\underline{(fy)}
[\underline{(n2)}
]
)
)
|
 = \underline{(\epsilon)}
)n
)n
)n
)n
\vdash 
\forall_{obj} \underline{(v1)}
\colon 
\forall_{obj} \underline{(v2)}
\colon \dot{\neg}\,(0
 <= (rec((1
+1
)
+1
)
*\underline{(\epsilon)}
)
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(0
 = (rec((1
+1
)
+1
)
*\underline{(\epsilon)}
)
)n
)n
)n
\Rightarrow \underline{(n1)}
 <= \underline{(v1)}
\Rightarrow \underline{(n1)}
 <= \underline{(v2)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(|(\underline{(fx)}
[\underline{(v1)}
]
+(-u\underline{(fx)}
[\underline{(v2)}
]
)
)
|
 <= (rec((1
+1
)
+1
)
*\underline{(\epsilon)}
)
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(|(\underline{(fx)}
[\underline{(v1)}
]
+(-u\underline{(fx)}
[\underline{(v2)}
]
)
)
|
 = (rec((1
+1
)
+1
)
*\underline{(\epsilon)}
)
)n
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(|(\underline{(fy)}
[\underline{(v1)}
]
+(-u\underline{(fy)}
[\underline{(v2)}
]
)
)
|
 <= (rec((1
+1
)
+1
)
*\underline{(\epsilon)}
)
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(|(\underline{(fy)}
[\underline{(v1)}
]
+(-u\underline{(fy)}
[\underline{(v2)}
]
)
)
|
 = (rec((1
+1
)
+1
)
*\underline{(\epsilon)}
)
)n
)n
)n
)n
)n
\vdash \underline{(n2)}
 <= \underline{
\mathsf {m}}
\vdash \dot{\neg}\,((rec((1
+1
)
+1
)
*\underline{(\epsilon)}
)
 <= |(\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
+(-u\underline{(fy)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
)
)
|
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,((rec((1
+1
)
+1
)
*\underline{(\epsilon)}
)
 = |(\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
+(-u\underline{(fy)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
)
)
|
)n
)n
)n
\gg \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(0
 <= \underline{(\epsilon)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(0
 = \underline{(\epsilon)}
)n
)n
)n
\Rightarrow \underline{(n1)}
 <= \underline{(n2)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(|(\underline{(fx)}
[\underline{(n2)}
]
+(-u\underline{(fy)}
[\underline{(n2)}
]
)
)
|
 <= \underline{(\epsilon)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(|(\underline{(fx)}
[\underline{(n2)}
]
+(-u\underline{(fy)}
[\underline{(n2)}
]
)
)
|
 = \underline{(\epsilon)}
)n
)n
)n
)n
\Rightarrow 
\forall_{obj} \underline{(v1)}
\colon 
\forall_{obj} \underline{(v2)}
\colon \dot{\neg}\,(0
 <= (rec((1
+1
)
+1
)
*\underline{(\epsilon)}
)
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(0
 = (rec((1
+1
)
+1
)
*\underline{(\epsilon)}
)
)n
)n
)n
\Rightarrow \underline{(n1)}
 <= \underline{(v1)}
\Rightarrow \underline{(n1)}
 <= \underline{(v2)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(|(\underline{(fx)}
[\underline{(v1)}
]
+(-u\underline{(fx)}
[\underline{(v2)}
]
)
)
|
 <= (rec((1
+1
)
+1
)
*\underline{(\epsilon)}
)
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(|(\underline{(fx)}
[\underline{(v1)}
]
+(-u\underline{(fx)}
[\underline{(v2)}
]
)
)
|
 = (rec((1
+1
)
+1
)
*\underline{(\epsilon)}
)
)n
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(|(\underline{(fy)}
[\underline{(v1)}
]
+(-u\underline{(fy)}
[\underline{(v2)}
]
)
)
|
 <= (rec((1
+1
)
+1
)
*\underline{(\epsilon)}
)
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(|(\underline{(fy)}
[\underline{(v1)}
]
+(-u\underline{(fy)}
[\underline{(v2)}
]
)
)
|
 = (rec((1
+1
)
+1
)
*\underline{(\epsilon)}
)
)n
)n
)n
)n
)n
\Rightarrow \underline{(n2)}
 <= \underline{
\mathsf {m}}
\Rightarrow \dot{\neg}\,((rec((1
+1
)
+1
)
*\underline{(\epsilon)}
)
 <= |(\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
+(-u\underline{(fy)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
)
)
|
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,((rec((1
+1
)
+1
)
*\underline{(\epsilon)}
)
 = |(\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
+(-u\underline{(fy)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
)
)
|
)n
)n
)n
; Ded
\rhd 
\forall \underline{(v1)}
\colon 
\forall \underline{(v2)}
\colon 
\forall \underline{(n1)}
\colon 
\forall \underline{(n2)}
\colon 
\forall \underline{(\epsilon)}
\colon 
\forall \underline{(fx)}
\colon 
\forall \underline{(fy)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(0
 <= \underline{(\epsilon)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(0
 = \underline{(\epsilon)}
)n
)n
)n
\Rightarrow \underline{(n1)}
 <= \underline{(n2)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(|(\underline{(fx)}
[\underline{(n2)}
]
+(-u\underline{(fy)}
[\underline{(n2)}
]
)
)
|
 <= \underline{(\epsilon)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(|(\underline{(fx)}
[\underline{(n2)}
]
+(-u\underline{(fy)}
[\underline{(n2)}
]
)
)
|
 = \underline{(\epsilon)}
)n
)n
)n
)n
\vdash 
\forall_{obj} \underline{(v1)}
\colon 
\forall_{obj} \underline{(v2)}
\colon \dot{\neg}\,(0
 <= (rec((1
+1
)
+1
)
*\underline{(\epsilon)}
)
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(0
 = (rec((1
+1
)
+1
)
*\underline{(\epsilon)}
)
)n
)n
)n
\Rightarrow \underline{(n1)}
 <= \underline{(v1)}
\Rightarrow \underline{(n1)}
 <= \underline{(v2)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(|(\underline{(fx)}
[\underline{(v1)}
]
+(-u\underline{(fx)}
[\underline{(v2)}
]
)
)
|
 <= (rec((1
+1
)
+1
)
*\underline{(\epsilon)}
)
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(|(\underline{(fx)}
[\underline{(v1)}
]
+(-u\underline{(fx)}
[\underline{(v2)}
]
)
)
|
 = (rec((1
+1
)
+1
)
*\underline{(\epsilon)}
)
)n
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(|(\underline{(fy)}
[\underline{(v1)}
]
+(-u\underline{(fy)}
[\underline{(v2)}
]
)
)
|
 <= (rec((1
+1
)
+1
)
*\underline{(\epsilon)}
)
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(|(\underline{(fy)}
[\underline{(v1)}
]
+(-u\underline{(fy)}
[\underline{(v2)}
]
)
)
|
 = (rec((1
+1
)
+1
)
*\underline{(\epsilon)}
)
)n
)n
)n
)n
)n
\vdash \dot{\neg}\,(0
 <= (rec((1
+1
)
+1
)
*\underline{(\epsilon)}
)
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(0
 = (rec((1
+1
)
+1
)
*\underline{(\epsilon)}
)
)n
)n
)n
\gg \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(0
 <= \underline{(\epsilon)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(0
 = \underline{(\epsilon)}
)n
)n
)n
\Rightarrow \underline{(n1)}
 <= \underline{(n2)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(|(\underline{(fx)}
[\underline{(n2)}
]
+(-u\underline{(fy)}
[\underline{(n2)}
]
)
)
|
 <= \underline{(\epsilon)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(|(\underline{(fx)}
[\underline{(n2)}
]
+(-u\underline{(fy)}
[\underline{(n2)}
]
)
)
|
 = \underline{(\epsilon)}
)n
)n
)n
)n
\Rightarrow 
\forall_{obj} \underline{(v1)}
\colon 
\forall_{obj} \underline{(v2)}
\colon \dot{\neg}\,(0
 <= (rec((1
+1
)
+1
)
*\underline{(\epsilon)}
)
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(0
 = (rec((1
+1
)
+1
)
*\underline{(\epsilon)}
)
)n
)n
)n
\Rightarrow \underline{(n1)}
 <= \underline{(v1)}
\Rightarrow \underline{(n1)}
 <= \underline{(v2)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(|(\underline{(fx)}
[\underline{(v1)}
]
+(-u\underline{(fx)}
[\underline{(v2)}
]
)
)
|
 <= (rec((1
+1
)
+1
)
*\underline{(\epsilon)}
)
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(|(\underline{(fx)}
[\underline{(v1)}
]
+(-u\underline{(fx)}
[\underline{(v2)}
]
)
)
|
 = (rec((1
+1
)
+1
)
*\underline{(\epsilon)}
)
)n
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(|(\underline{(fy)}
[\underline{(v1)}
]
+(-u\underline{(fy)}
[\underline{(v2)}
]
)
)
|
 <= (rec((1
+1
)
+1
)
*\underline{(\epsilon)}
)
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(|(\underline{(fy)}
[\underline{(v1)}
]
+(-u\underline{(fy)}
[\underline{(v2)}
]
)
)
|
 = (rec((1
+1
)
+1
)
*\underline{(\epsilon)}
)
)n
)n
)n
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(0
 <= (rec((1
+1
)
+1
)
*\underline{(\epsilon)}
)
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(0
 = (rec((1
+1
)
+1
)
*\underline{(\epsilon)}
)
)n
)n
)n
; JoinConjuncts(2conditions)
\rhd \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(0
 <= \underline{(\epsilon)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(0
 = \underline{(\epsilon)}
)n
)n
)n
\Rightarrow \underline{(n1)}
 <= \underline{(n2)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(|(\underline{(fx)}
[\underline{(n2)}
]
+(-u\underline{(fy)}
[\underline{(n2)}
]
)
)
|
 <= \underline{(\epsilon)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(|(\underline{(fx)}
[\underline{(n2)}
]
+(-u\underline{(fy)}
[\underline{(n2)}
]
)
)
|
 = \underline{(\epsilon)}
)n
)n
)n
)n
\Rightarrow 
\forall_{obj} \underline{(v1)}
\colon 
\forall_{obj} \underline{(v2)}
\colon \dot{\neg}\,(0
 <= (rec((1
+1
)
+1
)
*\underline{(\epsilon)}
)
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(0
 = (rec((1
+1
)
+1
)
*\underline{(\epsilon)}
)
)n
)n
)n
\Rightarrow \underline{(n1)}
 <= \underline{(v1)}
\Rightarrow \underline{(n1)}
 <= \underline{(v2)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(|(\underline{(fx)}
[\underline{(v1)}
]
+(-u\underline{(fx)}
[\underline{(v2)}
]
)
)
|
 <= (rec((1
+1
)
+1
)
*\underline{(\epsilon)}
)
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(|(\underline{(fx)}
[\underline{(v1)}
]
+(-u\underline{(fx)}
[\underline{(v2)}
]
)
)
|
 = (rec((1
+1
)
+1
)
*\underline{(\epsilon)}
)
)n
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(|(\underline{(fy)}
[\underline{(v1)}
]
+(-u\underline{(fy)}
[\underline{(v2)}
]
)
)
|
 <= (rec((1
+1
)
+1
)
*\underline{(\epsilon)}
)
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(|(\underline{(fy)}
[\underline{(v1)}
]
+(-u\underline{(fy)}
[\underline{(v2)}
]
)
)
|
 = (rec((1
+1
)
+1
)
*\underline{(\epsilon)}
)
)n
)n
)n
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(0
 <= (rec((1
+1
)
+1
)
*\underline{(\epsilon)}
)
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(0
 = (rec((1
+1
)
+1
)
*\underline{(\epsilon)}
)
)n
)n
)n
\rhd \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(0
 <= \underline{(\epsilon)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(0
 = \underline{(\epsilon)}
)n
)n
)n
\Rightarrow \underline{(n1)}
 <= \underline{(n2)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(|(\underline{(fx)}
[\underline{(n2)}
]
+(-u\underline{(fy)}
[\underline{(n2)}
]
)
)
|
 <= \underline{(\epsilon)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(|(\underline{(fx)}
[\underline{(n2)}
]
+(-u\underline{(fy)}
[\underline{(n2)}
]
)
)
|
 = \underline{(\epsilon)}
)n
)n
)n
)n
\Rightarrow 
\forall_{obj} \underline{(v1)}
\colon 
\forall_{obj} \underline{(v2)}
\colon \dot{\neg}\,(0
 <= (rec((1
+1
)
+1
)
*\underline{(\epsilon)}
)
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(0
 = (rec((1
+1
)
+1
)
*\underline{(\epsilon)}
)
)n
)n
)n
\Rightarrow \underline{(n1)}
 <= \underline{(v1)}
\Rightarrow \underline{(n1)}
 <= \underline{(v2)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(|(\underline{(fx)}
[\underline{(v1)}
]
+(-u\underline{(fx)}
[\underline{(v2)}
]
)
)
|
 <= (rec((1
+1
)
+1
)
*\underline{(\epsilon)}
)
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(|(\underline{(fx)}
[\underline{(v1)}
]
+(-u\underline{(fx)}
[\underline{(v2)}
]
)
)
|
 = (rec((1
+1
)
+1
)
*\underline{(\epsilon)}
)
)n
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(|(\underline{(fy)}
[\underline{(v1)}
]
+(-u\underline{(fy)}
[\underline{(v2)}
]
)
)
|
 <= (rec((1
+1
)
+1
)
*\underline{(\epsilon)}
)
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(|(\underline{(fy)}
[\underline{(v1)}
]
+(-u\underline{(fy)}
[\underline{(v2)}
]
)
)
|
 = (rec((1
+1
)
+1
)
*\underline{(\epsilon)}
)
)n
)n
)n
)n
)n
\Rightarrow \underline{(n2)}
 <= \underline{
\mathsf {m}}
\Rightarrow \dot{\neg}\,((rec((1
+1
)
+1
)
*\underline{(\epsilon)}
)
 <= |(\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
+(-u\underline{(fy)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
)
)
|
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,((rec((1
+1
)
+1
)
*\underline{(\epsilon)}
)
 = |(\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
+(-u\underline{(fy)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
)
)
|
)n
)n
)n
\gg \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(0
 <= \underline{(\epsilon)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(0
 = \underline{(\epsilon)}
)n
)n
)n
\Rightarrow \underline{(n1)}
 <= \underline{(n2)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(|(\underline{(fx)}
[\underline{(n2)}
]
+(-u\underline{(fy)}
[\underline{(n2)}
]
)
)
|
 <= \underline{(\epsilon)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(|(\underline{(fx)}
[\underline{(n2)}
]
+(-u\underline{(fy)}
[\underline{(n2)}
]
)
)
|
 = \underline{(\epsilon)}
)n
)n
)n
)n
\Rightarrow 
\forall_{obj} \underline{(v1)}
\colon 
\forall_{obj} \underline{(v2)}
\colon \dot{\neg}\,(0
 <= (rec((1
+1
)
+1
)
*\underline{(\epsilon)}
)
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(0
 = (rec((1
+1
)
+1
)
*\underline{(\epsilon)}
)
)n
)n
)n
\Rightarrow \underline{(n1)}
 <= \underline{(v1)}
\Rightarrow \underline{(n1)}
 <= \underline{(v2)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(|(\underline{(fx)}
[\underline{(v1)}
]
+(-u\underline{(fx)}
[\underline{(v2)}
]
)
)
|
 <= (rec((1
+1
)
+1
)
*\underline{(\epsilon)}
)
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(|(\underline{(fx)}
[\underline{(v1)}
]
+(-u\underline{(fx)}
[\underline{(v2)}
]
)
)
|
 = (rec((1
+1
)
+1
)
*\underline{(\epsilon)}
)
)n
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(|(\underline{(fy)}
[\underline{(v1)}
]
+(-u\underline{(fy)}
[\underline{(v2)}
]
)
)
|
 <= (rec((1
+1
)
+1
)
*\underline{(\epsilon)}
)
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(|(\underline{(fy)}
[\underline{(v1)}
]
+(-u\underline{(fy)}
[\underline{(v2)}
]
)
)
|
 = (rec((1
+1
)
+1
)
*\underline{(\epsilon)}
)
)n
)n
)n
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(0
 <= (rec((1
+1
)
+1
)
*\underline{(\epsilon)}
)
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(0
 = (rec((1
+1
)
+1
)
*\underline{(\epsilon)}
)
)n
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\underline{(n2)}
 <= \underline{
\mathsf {m}}
\Rightarrow \dot{\neg}\,((rec((1
+1
)
+1
)
*\underline{(\epsilon)}
)
 <= |(\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
+(-u\underline{(fy)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
)
)
|
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,((rec((1
+1
)
+1
)
*\underline{(\epsilon)}
)
 = |(\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
+(-u\underline{(fy)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
)
)
|
)n
)n
)n
)n
)n
\rceil 
, 
p_0
, 
\mathsf {c}
)
]$






$
[fromNotSameF(Strongest)
\stackrel{
stmt
}{\rightarrow}SystemQ
\vdash 
\forall \underline{(v1)}
\colon 
\forall \underline{(v2)}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf {m}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf {n}}
\colon 
\forall \underline{(n1)}
\colon 
\forall \underline{(n2)}
\colon 
\forall \underline{(\epsilon)}
\colon 
\forall \underline{(fx)}
\colon 
\forall \underline{(fy)}
\colon \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(\epsilon)}
\colon \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {n}}
\colon \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {m}}
\colon \dot{\neg}\,(0
 <= \overline{(\epsilon)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(0
 = \overline{(\epsilon)}
)n
)n
)n
\Rightarrow \overline{
\mathsf {n}}
 <= \overline{
\mathsf {m}}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(|(\underline{(fx)}
[\overline{
\mathsf {m}}
]
+(-u\underline{(fy)}
[\overline{
\mathsf {m}}
]
)
)
|
 <= \overline{(\epsilon)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(|(\underline{(fx)}
[\overline{
\mathsf {m}}
]
+(-u\underline{(fy)}
[\overline{
\mathsf {m}}
]
)
)
|
 = \overline{(\epsilon)}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\vdash \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \underline{(\epsilon)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \underline{(n1)}
\colon \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \underline{
\mathsf {m}}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(0
 <= \underline{(\epsilon)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(0
 = \underline{(\epsilon)}
)n
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\underline{(n1)}
 <= \underline{
\mathsf {m}}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\underline{(\epsilon)}
 <= |(\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
+(-u\underline{(fy)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
)
)
|
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\underline{(\epsilon)}
 = |(\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
+(-u\underline{(fy)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
)
)
|
)n
)n
)n
)n
)n
)n
)n
)n
)n
]$

$
[fromNotSameF(Strongest)
\stackrel{
proof
}{\rightarrow}
\lambda 
\mathsf {c}
.
\lambda 
\mathsf{x}
.
{\cal P}( 
\lceil SystemQ
\vdash 
\forall \underline{(v1)}
\colon 
\forall \underline{(v2)}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf {m}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf {n}}
\colon 
\forall \underline{(n1)}
\colon 
\forall \underline{(n2)}
\colon 
\forall \underline{(\epsilon)}
\colon 
\forall \underline{(fx)}
\colon 
\forall \underline{(fy)}
\colon \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(\epsilon)}
\colon \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {n}}
\colon \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {m}}
\colon \dot{\neg}\,(0
 <= \overline{(\epsilon)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(0
 = \overline{(\epsilon)}
)n
)n
)n
\Rightarrow \overline{
\mathsf {n}}
 <= \overline{
\mathsf {m}}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(|(\underline{(fx)}
[\overline{
\mathsf {m}}
]
+(-u\underline{(fy)}
[\overline{
\mathsf {m}}
]
)
)
|
 <= \overline{(\epsilon)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(|(\underline{(fx)}
[\overline{
\mathsf {m}}
]
+(-u\underline{(fy)}
[\overline{
\mathsf {m}}
]
)
)
|
 = \overline{(\epsilon)}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\vdash Repetition
\rhd \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(\epsilon)}
\colon \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {n}}
\colon \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {m}}
\colon \dot{\neg}\,(0
 <= \overline{(\epsilon)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(0
 = \overline{(\epsilon)}
)n
)n
)n
\Rightarrow \overline{
\mathsf {n}}
 <= \overline{
\mathsf {m}}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(|(\underline{(fx)}
[\overline{
\mathsf {m}}
]
+(-u\underline{(fy)}
[\overline{
\mathsf {m}}
]
)
)
|
 <= \overline{(\epsilon)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(|(\underline{(fx)}
[\overline{
\mathsf {m}}
]
+(-u\underline{(fy)}
[\overline{
\mathsf {m}}
]
)
)
|
 = \overline{(\epsilon)}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\gg \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(\epsilon)}
\colon \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {n}}
\colon \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {m}}
\colon \dot{\neg}\,(0
 <= \overline{(\epsilon)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(0
 = \overline{(\epsilon)}
)n
)n
)n
\Rightarrow \overline{
\mathsf {n}}
 <= \overline{
\mathsf {m}}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(|(\underline{(fx)}
[\overline{
\mathsf {m}}
]
+(-u\underline{(fy)}
[\overline{
\mathsf {m}}
]
)
)
|
 <= \overline{(\epsilon)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(|(\underline{(fx)}
[\overline{
\mathsf {m}}
]
+(-u\underline{(fy)}
[\overline{
\mathsf {m}}
]
)
)
|
 = \overline{(\epsilon)}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
; Ded
\rhd \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(\epsilon)}
\colon \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {n}}
\colon \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {m}}
\colon \dot{\neg}\,(0
 <= \overline{(\epsilon)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(0
 = \overline{(\epsilon)}
)n
)n
)n
\Rightarrow \overline{
\mathsf {n}}
 <= \overline{
\mathsf {m}}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(|(\underline{(fx)}
[\overline{
\mathsf {m}}
]
+(-u\underline{(fy)}
[\overline{
\mathsf {m}}
]
)
)
|
 <= \overline{(\epsilon)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(|(\underline{(fx)}
[\overline{
\mathsf {m}}
]
+(-u\underline{(fy)}
[\overline{
\mathsf {m}}
]
)
)
|
 = \overline{(\epsilon)}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\gg \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \underline{(\epsilon)}
\colon \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \underline{(n1)}
\colon \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \underline{(n2)}
\colon \dot{\neg}\,(0
 <= \underline{(\epsilon)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(0
 = \underline{(\epsilon)}
)n
)n
)n
\Rightarrow \underline{(n1)}
 <= \underline{(n2)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(|(\underline{(fx)}
[\underline{(n2)}
]
+(-u\underline{(fy)}
[\underline{(n2)}
]
)
)
|
 <= \underline{(\epsilon)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(|(\underline{(fx)}
[\underline{(n2)}
]
+(-u\underline{(fy)}
[\underline{(n2)}
]
)
)
|
 = \underline{(\epsilon)}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
; AEA-negated
\rhd \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \underline{(\epsilon)}
\colon \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \underline{(n1)}
\colon \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \underline{(n2)}
\colon \dot{\neg}\,(0
 <= \underline{(\epsilon)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(0
 = \underline{(\epsilon)}
)n
)n
)n
\Rightarrow \underline{(n1)}
 <= \underline{(n2)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(|(\underline{(fx)}
[\underline{(n2)}
]
+(-u\underline{(fy)}
[\underline{(n2)}
]
)
)
|
 <= \underline{(\epsilon)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(|(\underline{(fx)}
[\underline{(n2)}
]
+(-u\underline{(fy)}
[\underline{(n2)}
]
)
)
|
 = \underline{(\epsilon)}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\gg \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \underline{(\epsilon)}
\colon \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \underline{(n1)}
\colon \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \underline{(n2)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(0
 <= \underline{(\epsilon)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(0
 = \underline{(\epsilon)}
)n
)n
)n
\Rightarrow \underline{(n1)}
 <= \underline{(n2)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(|(\underline{(fx)}
[\underline{(n2)}
]
+(-u\underline{(fy)}
[\underline{(n2)}
]
)
)
|
 <= \underline{(\epsilon)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(|(\underline{(fx)}
[\underline{(n2)}
]
+(-u\underline{(fy)}
[\underline{(n2)}
]
)
)
|
 = \underline{(\epsilon)}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
)n
)n
; Cauchy(2)
\gg 
\forall_{obj} \underline{(\epsilon)}
\colon \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \underline{(n1)}
\colon \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \underline{(v1)}
\colon 
\forall_{obj} \underline{(v2)}
\colon \dot{\neg}\,(0
 <= \underline{(\epsilon)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(0
 = \underline{(\epsilon)}
)n
)n
)n
\Rightarrow \underline{(n1)}
 <= \underline{(v1)}
\Rightarrow \underline{(n1)}
 <= \underline{(v2)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(|(\underline{(fx)}
[\underline{(v1)}
]
+(-u\underline{(fx)}
[\underline{(v2)}
]
)
)
|
 <= \underline{(\epsilon)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(|(\underline{(fx)}
[\underline{(v1)}
]
+(-u\underline{(fx)}
[\underline{(v2)}
]
)
)
|
 = \underline{(\epsilon)}
)n
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(|(\underline{(fy)}
[\underline{(v1)}
]
+(-u\underline{(fy)}
[\underline{(v2)}
]
)
)
|
 <= \underline{(\epsilon)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(|(\underline{(fy)}
[\underline{(v1)}
]
+(-u\underline{(fy)}
[\underline{(v2)}
]
)
)
|
 = \underline{(\epsilon)}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
)n
; A4
\mathop {\char64} (rec((1
+1
)
+1
)
*\underline{(\epsilon)}
)
\rhd 
\forall_{obj} \underline{(\epsilon)}
\colon \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \underline{(n1)}
\colon \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \underline{(v1)}
\colon 
\forall_{obj} \underline{(v2)}
\colon \dot{\neg}\,(0
 <= \underline{(\epsilon)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(0
 = \underline{(\epsilon)}
)n
)n
)n
\Rightarrow \underline{(n1)}
 <= \underline{(v1)}
\Rightarrow \underline{(n1)}
 <= \underline{(v2)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(|(\underline{(fx)}
[\underline{(v1)}
]
+(-u\underline{(fx)}
[\underline{(v2)}
]
)
)
|
 <= \underline{(\epsilon)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(|(\underline{(fx)}
[\underline{(v1)}
]
+(-u\underline{(fx)}
[\underline{(v2)}
]
)
)
|
 = \underline{(\epsilon)}
)n
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(|(\underline{(fy)}
[\underline{(v1)}
]
+(-u\underline{(fy)}
[\underline{(v2)}
]
)
)
|
 <= \underline{(\epsilon)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(|(\underline{(fy)}
[\underline{(v1)}
]
+(-u\underline{(fy)}
[\underline{(v2)}
]
)
)
|
 = \underline{(\epsilon)}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\gg \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \underline{(n1)}
\colon \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \underline{(v1)}
\colon 
\forall_{obj} \underline{(v2)}
\colon \dot{\neg}\,(0
 <= (rec((1
+1
)
+1
)
*\underline{(\epsilon)}
)
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(0
 = (rec((1
+1
)
+1
)
*\underline{(\epsilon)}
)
)n
)n
)n
\Rightarrow \underline{(n1)}
 <= \underline{(v1)}
\Rightarrow \underline{(n1)}
 <= \underline{(v2)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(|(\underline{(fx)}
[\underline{(v1)}
]
+(-u\underline{(fx)}
[\underline{(v2)}
]
)
)
|
 <= (rec((1
+1
)
+1
)
*\underline{(\epsilon)}
)
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(|(\underline{(fx)}
[\underline{(v1)}
]
+(-u\underline{(fx)}
[\underline{(v2)}
]
)
)
|
 = (rec((1
+1
)
+1
)
*\underline{(\epsilon)}
)
)n
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(|(\underline{(fy)}
[\underline{(v1)}
]
+(-u\underline{(fy)}
[\underline{(v2)}
]
)
)
|
 <= (rec((1
+1
)
+1
)
*\underline{(\epsilon)}
)
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(|(\underline{(fy)}
[\underline{(v1)}
]
+(-u\underline{(fy)}
[\underline{(v2)}
]
)
)
|
 = (rec((1
+1
)
+1
)
*\underline{(\epsilon)}
)
)n
)n
)n
)n
)n
)n
)n
; fromNotSameF(Strongest)(Helper)
\gg \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(0
 <= \underline{(\epsilon)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(0
 = \underline{(\epsilon)}
)n
)n
)n
\Rightarrow \underline{(n1)}
 <= \underline{(n2)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(|(\underline{(fx)}
[\underline{(n2)}
]
+(-u\underline{(fy)}
[\underline{(n2)}
]
)
)
|
 <= \underline{(\epsilon)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(|(\underline{(fx)}
[\underline{(n2)}
]
+(-u\underline{(fy)}
[\underline{(n2)}
]
)
)
|
 = \underline{(\epsilon)}
)n
)n
)n
)n
\Rightarrow 
\forall_{obj} \underline{(v1)}
\colon 
\forall_{obj} \underline{(v2)}
\colon \dot{\neg}\,(0
 <= (rec((1
+1
)
+1
)
*\underline{(\epsilon)}
)
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(0
 = (rec((1
+1
)
+1
)
*\underline{(\epsilon)}
)
)n
)n
)n
\Rightarrow \underline{(n1)}
 <= \underline{(v1)}
\Rightarrow \underline{(n1)}
 <= \underline{(v2)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(|(\underline{(fx)}
[\underline{(v1)}
]
+(-u\underline{(fx)}
[\underline{(v2)}
]
)
)
|
 <= (rec((1
+1
)
+1
)
*\underline{(\epsilon)}
)
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(|(\underline{(fx)}
[\underline{(v1)}
]
+(-u\underline{(fx)}
[\underline{(v2)}
]
)
)
|
 = (rec((1
+1
)
+1
)
*\underline{(\epsilon)}
)
)n
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(|(\underline{(fy)}
[\underline{(v1)}
]
+(-u\underline{(fy)}
[\underline{(v2)}
]
)
)
|
 <= (rec((1
+1
)
+1
)
*\underline{(\epsilon)}
)
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(|(\underline{(fy)}
[\underline{(v1)}
]
+(-u\underline{(fy)}
[\underline{(v2)}
]
)
)
|
 = (rec((1
+1
)
+1
)
*\underline{(\epsilon)}
)
)n
)n
)n
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(0
 <= (rec((1
+1
)
+1
)
*\underline{(\epsilon)}
)
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(0
 = (rec((1
+1
)
+1
)
*\underline{(\epsilon)}
)
)n
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\underline{(n2)}
 <= \underline{
\mathsf {m}}
\Rightarrow \dot{\neg}\,((rec((1
+1
)
+1
)
*\underline{(\epsilon)}
)
 <= |(\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
+(-u\underline{(fy)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
)
)
|
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,((rec((1
+1
)
+1
)
*\underline{(\epsilon)}
)
 = |(\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
+(-u\underline{(fy)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
)
)
|
)n
)n
)n
)n
)n
; EAE-MP
\rhd \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(0
 <= \underline{(\epsilon)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(0
 = \underline{(\epsilon)}
)n
)n
)n
\Rightarrow \underline{(n1)}
 <= \underline{(n2)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(|(\underline{(fx)}
[\underline{(n2)}
]
+(-u\underline{(fy)}
[\underline{(n2)}
]
)
)
|
 <= \underline{(\epsilon)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(|(\underline{(fx)}
[\underline{(n2)}
]
+(-u\underline{(fy)}
[\underline{(n2)}
]
)
)
|
 = \underline{(\epsilon)}
)n
)n
)n
)n
\Rightarrow 
\forall_{obj} \underline{(v1)}
\colon 
\forall_{obj} \underline{(v2)}
\colon \dot{\neg}\,(0
 <= (rec((1
+1
)
+1
)
*\underline{(\epsilon)}
)
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(0
 = (rec((1
+1
)
+1
)
*\underline{(\epsilon)}
)
)n
)n
)n
\Rightarrow \underline{(n1)}
 <= \underline{(v1)}
\Rightarrow \underline{(n1)}
 <= \underline{(v2)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(|(\underline{(fx)}
[\underline{(v1)}
]
+(-u\underline{(fx)}
[\underline{(v2)}
]
)
)
|
 <= (rec((1
+1
)
+1
)
*\underline{(\epsilon)}
)
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(|(\underline{(fx)}
[\underline{(v1)}
]
+(-u\underline{(fx)}
[\underline{(v2)}
]
)
)
|
 = (rec((1
+1
)
+1
)
*\underline{(\epsilon)}
)
)n
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(|(\underline{(fy)}
[\underline{(v1)}
]
+(-u\underline{(fy)}
[\underline{(v2)}
]
)
)
|
 <= (rec((1
+1
)
+1
)
*\underline{(\epsilon)}
)
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(|(\underline{(fy)}
[\underline{(v1)}
]
+(-u\underline{(fy)}
[\underline{(v2)}
]
)
)
|
 = (rec((1
+1
)
+1
)
*\underline{(\epsilon)}
)
)n
)n
)n
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(0
 <= (rec((1
+1
)
+1
)
*\underline{(\epsilon)}
)
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(0
 = (rec((1
+1
)
+1
)
*\underline{(\epsilon)}
)
)n
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\underline{(n2)}
 <= \underline{
\mathsf {m}}
\Rightarrow \dot{\neg}\,((rec((1
+1
)
+1
)
*\underline{(\epsilon)}
)
 <= |(\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
+(-u\underline{(fy)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
)
)
|
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,((rec((1
+1
)
+1
)
*\underline{(\epsilon)}
)
 = |(\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
+(-u\underline{(fy)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
)
)
|
)n
)n
)n
)n
)n
\rhd \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \underline{(\epsilon)}
\colon \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \underline{(n1)}
\colon \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \underline{(n2)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(0
 <= \underline{(\epsilon)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(0
 = \underline{(\epsilon)}
)n
)n
)n
\Rightarrow \underline{(n1)}
 <= \underline{(n2)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(|(\underline{(fx)}
[\underline{(n2)}
]
+(-u\underline{(fy)}
[\underline{(n2)}
]
)
)
|
 <= \underline{(\epsilon)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(|(\underline{(fx)}
[\underline{(n2)}
]
+(-u\underline{(fy)}
[\underline{(n2)}
]
)
)
|
 = \underline{(\epsilon)}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\gg 
\forall_{obj} \underline{(v1)}
\colon 
\forall_{obj} \underline{(v2)}
\colon \dot{\neg}\,(0
 <= (rec((1
+1
)
+1
)
*\underline{(\epsilon)}
)
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(0
 = (rec((1
+1
)
+1
)
*\underline{(\epsilon)}
)
)n
)n
)n
\Rightarrow \underline{(n1)}
 <= \underline{(v1)}
\Rightarrow \underline{(n1)}
 <= \underline{(v2)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(|(\underline{(fx)}
[\underline{(v1)}
]
+(-u\underline{(fx)}
[\underline{(v2)}
]
)
)
|
 <= (rec((1
+1
)
+1
)
*\underline{(\epsilon)}
)
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(|(\underline{(fx)}
[\underline{(v1)}
]
+(-u\underline{(fx)}
[\underline{(v2)}
]
)
)
|
 = (rec((1
+1
)
+1
)
*\underline{(\epsilon)}
)
)n
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(|(\underline{(fy)}
[\underline{(v1)}
]
+(-u\underline{(fy)}
[\underline{(v2)}
]
)
)
|
 <= (rec((1
+1
)
+1
)
*\underline{(\epsilon)}
)
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(|(\underline{(fy)}
[\underline{(v1)}
]
+(-u\underline{(fy)}
[\underline{(v2)}
]
)
)
|
 = (rec((1
+1
)
+1
)
*\underline{(\epsilon)}
)
)n
)n
)n
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(0
 <= (rec((1
+1
)
+1
)
*\underline{(\epsilon)}
)
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(0
 = (rec((1
+1
)
+1
)
*\underline{(\epsilon)}
)
)n
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\underline{(n2)}
 <= \underline{
\mathsf {m}}
\Rightarrow \dot{\neg}\,((rec((1
+1
)
+1
)
*\underline{(\epsilon)}
)
 <= |(\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
+(-u\underline{(fy)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
)
)
|
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,((rec((1
+1
)
+1
)
*\underline{(\epsilon)}
)
 = |(\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
+(-u\underline{(fy)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
)
)
|
)n
)n
)n
)n
)n
; ExistMP
\rhd 
\forall_{obj} \underline{(v1)}
\colon 
\forall_{obj} \underline{(v2)}
\colon \dot{\neg}\,(0
 <= (rec((1
+1
)
+1
)
*\underline{(\epsilon)}
)
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(0
 = (rec((1
+1
)
+1
)
*\underline{(\epsilon)}
)
)n
)n
)n
\Rightarrow \underline{(n1)}
 <= \underline{(v1)}
\Rightarrow \underline{(n1)}
 <= \underline{(v2)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(|(\underline{(fx)}
[\underline{(v1)}
]
+(-u\underline{(fx)}
[\underline{(v2)}
]
)
)
|
 <= (rec((1
+1
)
+1
)
*\underline{(\epsilon)}
)
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(|(\underline{(fx)}
[\underline{(v1)}
]
+(-u\underline{(fx)}
[\underline{(v2)}
]
)
)
|
 = (rec((1
+1
)
+1
)
*\underline{(\epsilon)}
)
)n
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(|(\underline{(fy)}
[\underline{(v1)}
]
+(-u\underline{(fy)}
[\underline{(v2)}
]
)
)
|
 <= (rec((1
+1
)
+1
)
*\underline{(\epsilon)}
)
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(|(\underline{(fy)}
[\underline{(v1)}
]
+(-u\underline{(fy)}
[\underline{(v2)}
]
)
)
|
 = (rec((1
+1
)
+1
)
*\underline{(\epsilon)}
)
)n
)n
)n
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(0
 <= (rec((1
+1
)
+1
)
*\underline{(\epsilon)}
)
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(0
 = (rec((1
+1
)
+1
)
*\underline{(\epsilon)}
)
)n
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\underline{(n2)}
 <= \underline{
\mathsf {m}}
\Rightarrow \dot{\neg}\,((rec((1
+1
)
+1
)
*\underline{(\epsilon)}
)
 <= |(\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
+(-u\underline{(fy)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
)
)
|
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,((rec((1
+1
)
+1
)
*\underline{(\epsilon)}
)
 = |(\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
+(-u\underline{(fy)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
)
)
|
)n
)n
)n
)n
)n
\rhd \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \underline{(n1)}
\colon \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \underline{(v1)}
\colon 
\forall_{obj} \underline{(v2)}
\colon \dot{\neg}\,(0
 <= (rec((1
+1
)
+1
)
*\underline{(\epsilon)}
)
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(0
 = (rec((1
+1
)
+1
)
*\underline{(\epsilon)}
)
)n
)n
)n
\Rightarrow \underline{(n1)}
 <= \underline{(v1)}
\Rightarrow \underline{(n1)}
 <= \underline{(v2)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(|(\underline{(fx)}
[\underline{(v1)}
]
+(-u\underline{(fx)}
[\underline{(v2)}
]
)
)
|
 <= (rec((1
+1
)
+1
)
*\underline{(\epsilon)}
)
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(|(\underline{(fx)}
[\underline{(v1)}
]
+(-u\underline{(fx)}
[\underline{(v2)}
]
)
)
|
 = (rec((1
+1
)
+1
)
*\underline{(\epsilon)}
)
)n
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(|(\underline{(fy)}
[\underline{(v1)}
]
+(-u\underline{(fy)}
[\underline{(v2)}
]
)
)
|
 <= (rec((1
+1
)
+1
)
*\underline{(\epsilon)}
)
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(|(\underline{(fy)}
[\underline{(v1)}
]
+(-u\underline{(fy)}
[\underline{(v2)}
]
)
)
|
 = (rec((1
+1
)
+1
)
*\underline{(\epsilon)}
)
)n
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\gg \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(0
 <= (rec((1
+1
)
+1
)
*\underline{(\epsilon)}
)
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(0
 = (rec((1
+1
)
+1
)
*\underline{(\epsilon)}
)
)n
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\underline{(n2)}
 <= \underline{
\mathsf {m}}
\Rightarrow \dot{\neg}\,((rec((1
+1
)
+1
)
*\underline{(\epsilon)}
)
 <= |(\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
+(-u\underline{(fy)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
)
)
|
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,((rec((1
+1
)
+1
)
*\underline{(\epsilon)}
)
 = |(\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
+(-u\underline{(fy)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
)
)
|
)n
)n
)n
)n
)n
; Gen
\rhd \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(0
 <= (rec((1
+1
)
+1
)
*\underline{(\epsilon)}
)
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(0
 = (rec((1
+1
)
+1
)
*\underline{(\epsilon)}
)
)n
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\underline{(n2)}
 <= \underline{
\mathsf {m}}
\Rightarrow \dot{\neg}\,((rec((1
+1
)
+1
)
*\underline{(\epsilon)}
)
 <= |(\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
+(-u\underline{(fy)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
)
)
|
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,((rec((1
+1
)
+1
)
*\underline{(\epsilon)}
)
 = |(\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
+(-u\underline{(fy)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
)
)
|
)n
)n
)n
)n
)n
\gg 
\forall_{obj} \underline{
\mathsf {m}}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(0
 <= (rec((1
+1
)
+1
)
*\underline{(\epsilon)}
)
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(0
 = (rec((1
+1
)
+1
)
*\underline{(\epsilon)}
)
)n
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\underline{(n2)}
 <= \underline{
\mathsf {m}}
\Rightarrow \dot{\neg}\,((rec((1
+1
)
+1
)
*\underline{(\epsilon)}
)
 <= |(\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
+(-u\underline{(fy)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
)
)
|
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,((rec((1
+1
)
+1
)
*\underline{(\epsilon)}
)
 = |(\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
+(-u\underline{(fy)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
)
)
|
)n
)n
)n
)n
)n
; IntroExist
\mathop {\char64} \underline{(n2)}
\rhd 
\forall_{obj} \underline{
\mathsf {m}}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(0
 <= (rec((1
+1
)
+1
)
*\underline{(\epsilon)}
)
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(0
 = (rec((1
+1
)
+1
)
*\underline{(\epsilon)}
)
)n
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\underline{(n2)}
 <= \underline{
\mathsf {m}}
\Rightarrow \dot{\neg}\,((rec((1
+1
)
+1
)
*\underline{(\epsilon)}
)
 <= |(\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
+(-u\underline{(fy)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
)
)
|
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,((rec((1
+1
)
+1
)
*\underline{(\epsilon)}
)
 = |(\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
+(-u\underline{(fy)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
)
)
|
)n
)n
)n
)n
)n
\gg \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \underline{
\mathsf {n}}
\colon \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \underline{
\mathsf {m}}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(0
 <= (rec((1
+1
)
+1
)
*\underline{(\epsilon)}
)
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(0
 = (rec((1
+1
)
+1
)
*\underline{(\epsilon)}
)
)n
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\underline{(n1)}
 <= \underline{
\mathsf {m}}
\Rightarrow \dot{\neg}\,((rec((1
+1
)
+1
)
*\underline{(\epsilon)}
)
 <= |(\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
+(-u\underline{(fy)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
)
)
|
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,((rec((1
+1
)
+1
)
*\underline{(\epsilon)}
)
 = |(\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
+(-u\underline{(fy)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
)
)
|
)n
)n
)n
)n
)n
)n
)n
; IntroExist
\mathop {\char64} (rec((1
+1
)
+1
)
*\underline{(\epsilon)}
)
\rhd \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \underline{
\mathsf {n}}
\colon \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \underline{
\mathsf {m}}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(0
 <= (rec((1
+1
)
+1
)
*\underline{(\epsilon)}
)
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(0
 = (rec((1
+1
)
+1
)
*\underline{(\epsilon)}
)
)n
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\underline{(n1)}
 <= \underline{
\mathsf {m}}
\Rightarrow \dot{\neg}\,((rec((1
+1
)
+1
)
*\underline{(\epsilon)}
)
 <= |(\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
+(-u\underline{(fy)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
)
)
|
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,((rec((1
+1
)
+1
)
*\underline{(\epsilon)}
)
 = |(\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
+(-u\underline{(fy)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
)
)
|
)n
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\gg \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \underline{(\epsilon)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \underline{(n1)}
\colon \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \underline{
\mathsf {m}}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(0
 <= \underline{(\epsilon)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(0
 = \underline{(\epsilon)}
)n
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\underline{(n1)}
 <= \underline{
\mathsf {m}}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\underline{(\epsilon)}
 <= |(\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
+(-u\underline{(fy)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
)
)
|
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\underline{(\epsilon)}
 = |(\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
+(-u\underline{(fy)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
)
)
|
)n
)n
)n
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\rceil 
, 
p_0
, 
\mathsf {c}
)
]$

$
[ToLess(F)(Helper)
\stackrel{
stmt
}{\rightarrow}SystemQ
\vdash 
\forall \underline{
\mathsf {m}}
\colon 
\forall \underline{(n1)}
\colon 
\forall \underline{(n2)}
\colon 
\forall \underline{(\epsilon)}
\colon 
\forall \underline{(fx)}
\colon 
\forall \underline{(fy)}
\colon 
\forall_{obj} \underline{
\mathsf {m}}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(0
 <= \underline{(\epsilon)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(0
 = \underline{(\epsilon)}
)n
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\underline{(n1)}
 <= \underline{
\mathsf {m}}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\underline{(\epsilon)}
 <= |(\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
+(-u\underline{(fy)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
)
)
|
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\underline{(\epsilon)}
 = |(\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
+(-u\underline{(fy)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
)
)
|
)n
)n
)n
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(0
 <= \underline{(\epsilon)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(0
 = \underline{(\epsilon)}
)n
)n
)n
\Rightarrow \underline{(n2)}
 <= \underline{
\mathsf {m}}
\Rightarrow \dot{\neg}\,((\underline{(fy)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
+(-u\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
)
)
 <= \underline{(\epsilon)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,((\underline{(fy)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
+(-u\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
)
)
 = \underline{(\epsilon)}
)n
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(0
 <= \underline{(\epsilon)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(0
 = \underline{(\epsilon)}
)n
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(if(\underline{(n2)}
 <= \underline{(n1)}
,\underline{(n1)}
,\underline{(n2)}
)
 <= \underline{
\mathsf {m}}
\Rightarrow \underline{(fy)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
 <= (\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
+(-u\underline{(\epsilon)}
)
)
)n
)n
]$

$
[ToLess(F)(Helper)
\stackrel{
proof
}{\rightarrow}
\lambda 
\mathsf {c}
.
\lambda 
\mathsf{x}
.
{\cal P}( 
\lceil SystemQ
\vdash 
\forall \underline{
\mathsf {m}}
\colon 
\forall \underline{(n1)}
\colon 
\forall \underline{(n2)}
\colon 
\forall \underline{(\epsilon)}
\colon 
\forall \underline{(fx)}
\colon 
\forall \underline{(fy)}
\colon 
\forall_{obj} \underline{
\mathsf {m}}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(0
 <= \underline{(\epsilon)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(0
 = \underline{(\epsilon)}
)n
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\underline{(n1)}
 <= \underline{
\mathsf {m}}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\underline{(\epsilon)}
 <= |(\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
+(-u\underline{(fy)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
)
)
|
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\underline{(\epsilon)}
 = |(\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
+(-u\underline{(fy)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
)
)
|
)n
)n
)n
)n
)n
\vdash \dot{\neg}\,(0
 <= \underline{(\epsilon)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(0
 = \underline{(\epsilon)}
)n
)n
)n
\Rightarrow \underline{(n2)}
 <= \underline{
\mathsf {m}}
\Rightarrow \dot{\neg}\,((\underline{(fy)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
+(-u\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
)
)
 <= \underline{(\epsilon)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,((\underline{(fy)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
+(-u\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
)
)
 = \underline{(\epsilon)}
)n
)n
)n
\vdash if(\underline{(n2)}
 <= \underline{(n1)}
,\underline{(n1)}
,\underline{(n2)}
)
 <= \underline{
\mathsf {m}}
\vdash MaxLeq(1)
\gg \underline{(n1)}
 <= if(\underline{(n2)}
 <= \underline{(n1)}
,\underline{(n1)}
,\underline{(n2)}
)
; leqTransitivity
\rhd \underline{(n1)}
 <= if(\underline{(n2)}
 <= \underline{(n1)}
,\underline{(n1)}
,\underline{(n2)}
)
\rhd if(\underline{(n2)}
 <= \underline{(n1)}
,\underline{(n1)}
,\underline{(n2)}
)
 <= \underline{
\mathsf {m}}
\gg \underline{(n1)}
 <= \underline{
\mathsf {m}}
; MaxLeq(2)
\gg \underline{(n2)}
 <= if(\underline{(n2)}
 <= \underline{(n1)}
,\underline{(n1)}
,\underline{(n2)}
)
; leqTransitivity
\rhd \underline{(n2)}
 <= if(\underline{(n2)}
 <= \underline{(n1)}
,\underline{(n1)}
,\underline{(n2)}
)
\rhd if(\underline{(n2)}
 <= \underline{(n1)}
,\underline{(n1)}
,\underline{(n2)}
)
 <= \underline{
\mathsf {m}}
\gg \underline{(n2)}
 <= \underline{
\mathsf {m}}
; A4
\mathop {\char64} \underline{
\mathsf {m}}
\rhd 
\forall_{obj} \underline{
\mathsf {m}}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(0
 <= \underline{(\epsilon)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(0
 = \underline{(\epsilon)}
)n
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\underline{(n1)}
 <= \underline{
\mathsf {m}}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\underline{(\epsilon)}
 <= |(\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
+(-u\underline{(fy)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
)
)
|
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\underline{(\epsilon)}
 = |(\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
+(-u\underline{(fy)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
)
)
|
)n
)n
)n
)n
)n
\gg \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(0
 <= \underline{(\epsilon)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(0
 = \underline{(\epsilon)}
)n
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\underline{(n1)}
 <= \underline{
\mathsf {m}}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\underline{(\epsilon)}
 <= |(\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
+(-u\underline{(fy)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
)
)
|
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\underline{(\epsilon)}
 = |(\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
+(-u\underline{(fy)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
)
)
|
)n
)n
)n
)n
)n
; FirstConjunct
\rhd \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(0
 <= \underline{(\epsilon)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(0
 = \underline{(\epsilon)}
)n
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\underline{(n1)}
 <= \underline{
\mathsf {m}}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\underline{(\epsilon)}
 <= |(\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
+(-u\underline{(fy)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
)
)
|
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\underline{(\epsilon)}
 = |(\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
+(-u\underline{(fy)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
)
)
|
)n
)n
)n
)n
)n
\gg \dot{\neg}\,(0
 <= \underline{(\epsilon)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(0
 = \underline{(\epsilon)}
)n
)n
)n
; SecondConjunct
\rhd \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(0
 <= \underline{(\epsilon)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(0
 = \underline{(\epsilon)}
)n
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\underline{(n1)}
 <= \underline{
\mathsf {m}}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\underline{(\epsilon)}
 <= |(\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
+(-u\underline{(fy)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
)
)
|
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\underline{(\epsilon)}
 = |(\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
+(-u\underline{(fy)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
)
)
|
)n
)n
)n
)n
)n
\gg \underline{(n1)}
 <= \underline{
\mathsf {m}}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\underline{(\epsilon)}
 <= |(\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
+(-u\underline{(fy)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
)
)
|
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\underline{(\epsilon)}
 = |(\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
+(-u\underline{(fy)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
)
)
|
)n
)n
)n
; MP
\rhd \underline{(n1)}
 <= \underline{
\mathsf {m}}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\underline{(\epsilon)}
 <= |(\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
+(-u\underline{(fy)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
)
)
|
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\underline{(\epsilon)}
 = |(\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
+(-u\underline{(fy)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
)
)
|
)n
)n
)n
\rhd \underline{(n1)}
 <= \underline{
\mathsf {m}}
\gg \dot{\neg}\,(\underline{(\epsilon)}
 <= |(\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
+(-u\underline{(fy)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
)
)
|
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\underline{(\epsilon)}
 = |(\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
+(-u\underline{(fy)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
)
)
|
)n
)n
)n
; FromNumericalGreater
\rhd \dot{\neg}\,(\underline{(\epsilon)}
 <= |(\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
+(-u\underline{(fy)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
)
)
|
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\underline{(\epsilon)}
 = |(\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
+(-u\underline{(fy)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
)
)
|
)n
)n
)n
\gg \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,((\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
+(-u\underline{(fy)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
)
)
 <= (-u\underline{(\epsilon)}
)
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,((\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
+(-u\underline{(fy)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
)
)
 = (-u\underline{(\epsilon)}
)
)n
)n
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\underline{(\epsilon)}
 <= (\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
+(-u\underline{(fy)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
)
)
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\underline{(\epsilon)}
 = (\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
+(-u\underline{(fy)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
)
)
)n
)n
)n
; MP2
\rhd \dot{\neg}\,(0
 <= \underline{(\epsilon)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(0
 = \underline{(\epsilon)}
)n
)n
)n
\Rightarrow \underline{(n2)}
 <= \underline{
\mathsf {m}}
\Rightarrow \dot{\neg}\,((\underline{(fy)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
+(-u\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
)
)
 <= \underline{(\epsilon)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,((\underline{(fy)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
+(-u\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
)
)
 = \underline{(\epsilon)}
)n
)n
)n
\rhd \dot{\neg}\,(0
 <= \underline{(\epsilon)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(0
 = \underline{(\epsilon)}
)n
)n
)n
\rhd \underline{(n2)}
 <= \underline{
\mathsf {m}}
\gg \dot{\neg}\,((\underline{(fy)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
+(-u\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
)
)
 <= \underline{(\epsilon)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,((\underline{(fy)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
+(-u\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
)
)
 = \underline{(\epsilon)}
)n
)n
)n
; LessNegated
\rhd \dot{\neg}\,((\underline{(fy)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
+(-u\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
)
)
 <= \underline{(\epsilon)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,((\underline{(fy)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
+(-u\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
)
)
 = \underline{(\epsilon)}
)n
)n
)n
\gg \dot{\neg}\,((-u\underline{(\epsilon)}
)
 <= (-u(\underline{(fy)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
+(-u\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
)
)
)
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,((-u\underline{(\epsilon)}
)
 = (-u(\underline{(fy)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
+(-u\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
)
)
)
)n
)n
)n
; MinusNegated
\gg (-u(\underline{(fy)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
+(-u\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
)
)
)
 = (\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
+(-u\underline{(fy)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
)
)
; SubLessRight
\rhd (-u(\underline{(fy)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
+(-u\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
)
)
)
 = (\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
+(-u\underline{(fy)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
)
)
\rhd \dot{\neg}\,((-u\underline{(\epsilon)}
)
 <= (-u(\underline{(fy)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
+(-u\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
)
)
)
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,((-u\underline{(\epsilon)}
)
 = (-u(\underline{(fy)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
+(-u\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
)
)
)
)n
)n
)n
\gg \dot{\neg}\,((-u\underline{(\epsilon)}
)
 <= (\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
+(-u\underline{(fy)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
)
)
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,((-u\underline{(\epsilon)}
)
 = (\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
+(-u\underline{(fy)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
)
)
)n
)n
)n
; LessLeq
\rhd \dot{\neg}\,((-u\underline{(\epsilon)}
)
 <= (\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
+(-u\underline{(fy)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
)
)
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,((-u\underline{(\epsilon)}
)
 = (\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
+(-u\underline{(fy)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
)
)
)n
)n
)n
\gg (-u\underline{(\epsilon)}
)
 <= (\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
+(-u\underline{(fy)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
)
)
; toNotLess
\rhd (-u\underline{(\epsilon)}
)
 <= (\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
+(-u\underline{(fy)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
)
)
\gg \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,((\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
+(-u\underline{(fy)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
)
)
 <= (-u\underline{(\epsilon)}
)
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,((\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
+(-u\underline{(fy)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
)
)
 = (-u\underline{(\epsilon)}
)
)n
)n
)n
)n
; NegateDisjunct1
\rhd \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,((\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
+(-u\underline{(fy)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
)
)
 <= (-u\underline{(\epsilon)}
)
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,((\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
+(-u\underline{(fy)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
)
)
 = (-u\underline{(\epsilon)}
)
)n
)n
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\underline{(\epsilon)}
 <= (\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
+(-u\underline{(fy)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
)
)
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\underline{(\epsilon)}
 = (\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
+(-u\underline{(fy)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
)
)
)n
)n
)n
\rhd \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,((\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
+(-u\underline{(fy)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
)
)
 <= (-u\underline{(\epsilon)}
)
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,((\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
+(-u\underline{(fy)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
)
)
 = (-u\underline{(\epsilon)}
)
)n
)n
)n
)n
\gg \dot{\neg}\,(\underline{(\epsilon)}
 <= (\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
+(-u\underline{(fy)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
)
)
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\underline{(\epsilon)}
 = (\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
+(-u\underline{(fy)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
)
)
)n
)n
)n
; SwitchTerms(x<y-z)
\rhd \dot{\neg}\,(\underline{(\epsilon)}
 <= (\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
+(-u\underline{(fy)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
)
)
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\underline{(\epsilon)}
 = (\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
+(-u\underline{(fy)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
)
)
)n
)n
)n
\gg \dot{\neg}\,(\underline{(fy)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
 <= (\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
+(-u\underline{(\epsilon)}
)
)
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\underline{(fy)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
 = (\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
+(-u\underline{(\epsilon)}
)
)
)n
)n
)n
; LessLeq
\rhd \dot{\neg}\,(\underline{(fy)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
 <= (\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
+(-u\underline{(\epsilon)}
)
)
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\underline{(fy)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
 = (\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
+(-u\underline{(\epsilon)}
)
)
)n
)n
)n
\gg \underline{(fy)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
 <= (\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
+(-u\underline{(\epsilon)}
)
)
; 
\forall \underline{
\mathsf {m}}
\colon 
\forall \underline{(n1)}
\colon 
\forall \underline{(n2)}
\colon 
\forall \underline{(\epsilon)}
\colon 
\forall \underline{(fx)}
\colon 
\forall \underline{(fy)}
\colon 
\forall_{obj} \underline{
\mathsf {m}}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(0
 <= \underline{(\epsilon)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(0
 = \underline{(\epsilon)}
)n
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\underline{(n1)}
 <= \underline{
\mathsf {m}}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\underline{(\epsilon)}
 <= |(\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
+(-u\underline{(fy)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
)
)
|
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\underline{(\epsilon)}
 = |(\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
+(-u\underline{(fy)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
)
)
|
)n
)n
)n
)n
)n
\vdash \dot{\neg}\,(0
 <= \underline{(\epsilon)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(0
 = \underline{(\epsilon)}
)n
)n
)n
\Rightarrow \underline{(n2)}
 <= \underline{
\mathsf {m}}
\Rightarrow \dot{\neg}\,((\underline{(fy)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
+(-u\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
)
)
 <= \underline{(\epsilon)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,((\underline{(fy)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
+(-u\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
)
)
 = \underline{(\epsilon)}
)n
)n
)n
\vdash A4
\mathop {\char64} \underline{
\mathsf {m}}
\rhd 
\forall_{obj} \underline{
\mathsf {m}}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(0
 <= \underline{(\epsilon)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(0
 = \underline{(\epsilon)}
)n
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\underline{(n1)}
 <= \underline{
\mathsf {m}}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\underline{(\epsilon)}
 <= |(\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
+(-u\underline{(fy)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
)
)
|
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\underline{(\epsilon)}
 = |(\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
+(-u\underline{(fy)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
)
)
|
)n
)n
)n
)n
)n
\gg \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(0
 <= \underline{(\epsilon)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(0
 = \underline{(\epsilon)}
)n
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\underline{(n1)}
 <= \underline{
\mathsf {m}}
\Rightarrow \underline{(\epsilon)}
 <= |(\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
+(-u\underline{(fy)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
)
)
|
)n
)n
; FirstConjunct
\rhd \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(0
 <= \underline{(\epsilon)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(0
 = \underline{(\epsilon)}
)n
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\underline{(n1)}
 <= \underline{
\mathsf {m}}
\Rightarrow \underline{(\epsilon)}
 <= |(\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
+(-u\underline{(fy)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
)
)
|
)n
)n
\gg \dot{\neg}\,(0
 <= \underline{(\epsilon)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(0
 = \underline{(\epsilon)}
)n
)n
)n
; 
\forall \underline{
\mathsf {m}}
\colon 
\forall \underline{(n1)}
\colon 
\forall \underline{(n2)}
\colon 
\forall \underline{(\epsilon)}
\colon 
\forall \underline{(fx)}
\colon 
\forall \underline{(fy)}
\colon Ded
\rhd 
\forall \underline{
\mathsf {m}}
\colon 
\forall \underline{(n1)}
\colon 
\forall \underline{(n2)}
\colon 
\forall \underline{(\epsilon)}
\colon 
\forall \underline{(fx)}
\colon 
\forall \underline{(fy)}
\colon 
\forall_{obj} \underline{
\mathsf {m}}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(0
 <= \underline{(\epsilon)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(0
 = \underline{(\epsilon)}
)n
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\underline{(n1)}
 <= \underline{
\mathsf {m}}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\underline{(\epsilon)}
 <= |(\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
+(-u\underline{(fy)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
)
)
|
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\underline{(\epsilon)}
 = |(\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
+(-u\underline{(fy)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
)
)
|
)n
)n
)n
)n
)n
\vdash \dot{\neg}\,(0
 <= \underline{(\epsilon)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(0
 = \underline{(\epsilon)}
)n
)n
)n
\Rightarrow \underline{(n2)}
 <= \underline{
\mathsf {m}}
\Rightarrow \dot{\neg}\,((\underline{(fy)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
+(-u\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
)
)
 <= \underline{(\epsilon)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,((\underline{(fy)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
+(-u\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
)
)
 = \underline{(\epsilon)}
)n
)n
)n
\vdash if(\underline{(n2)}
 <= \underline{(n1)}
,\underline{(n1)}
,\underline{(n2)}
)
 <= \underline{
\mathsf {m}}
\vdash \underline{(fy)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
 <= (\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
+(-u\underline{(\epsilon)}
)
)
\gg 
\forall_{obj} \underline{
\mathsf {m}}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(0
 <= \underline{(\epsilon)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(0
 = \underline{(\epsilon)}
)n
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\underline{(n1)}
 <= \underline{
\mathsf {m}}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\underline{(\epsilon)}
 <= |(\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
+(-u\underline{(fy)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
)
)
|
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\underline{(\epsilon)}
 = |(\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
+(-u\underline{(fy)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
)
)
|
)n
)n
)n
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(0
 <= \underline{(\epsilon)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(0
 = \underline{(\epsilon)}
)n
)n
)n
\Rightarrow \underline{(n2)}
 <= \underline{
\mathsf {m}}
\Rightarrow \dot{\neg}\,((\underline{(fy)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
+(-u\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
)
)
 <= \underline{(\epsilon)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,((\underline{(fy)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
+(-u\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
)
)
 = \underline{(\epsilon)}
)n
)n
)n
\Rightarrow if(\underline{(n2)}
 <= \underline{(n1)}
,\underline{(n1)}
,\underline{(n2)}
)
 <= \underline{
\mathsf {m}}
\Rightarrow \underline{(fy)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
 <= (\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
+(-u\underline{(\epsilon)}
)
)
; Ded
\rhd 
\forall \underline{
\mathsf {m}}
\colon 
\forall \underline{(n1)}
\colon 
\forall \underline{(n2)}
\colon 
\forall \underline{(\epsilon)}
\colon 
\forall \underline{(fx)}
\colon 
\forall \underline{(fy)}
\colon 
\forall_{obj} \underline{
\mathsf {m}}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(0
 <= \underline{(\epsilon)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(0
 = \underline{(\epsilon)}
)n
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\underline{(n1)}
 <= \underline{
\mathsf {m}}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\underline{(\epsilon)}
 <= |(\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
+(-u\underline{(fy)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
)
)
|
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\underline{(\epsilon)}
 = |(\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
+(-u\underline{(fy)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
)
)
|
)n
)n
)n
)n
)n
\vdash \dot{\neg}\,(0
 <= \underline{(\epsilon)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(0
 = \underline{(\epsilon)}
)n
)n
)n
\Rightarrow \underline{(n2)}
 <= \underline{
\mathsf {m}}
\Rightarrow \dot{\neg}\,((\underline{(fy)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
+(-u\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
)
)
 <= \underline{(\epsilon)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,((\underline{(fy)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
+(-u\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
)
)
 = \underline{(\epsilon)}
)n
)n
)n
\vdash \dot{\neg}\,(0
 <= \underline{(\epsilon)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(0
 = \underline{(\epsilon)}
)n
)n
)n
\gg 
\forall_{obj} \underline{
\mathsf {m}}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(0
 <= \underline{(\epsilon)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(0
 = \underline{(\epsilon)}
)n
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\underline{(n1)}
 <= \underline{
\mathsf {m}}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\underline{(\epsilon)}
 <= |(\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
+(-u\underline{(fy)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
)
)
|
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\underline{(\epsilon)}
 = |(\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
+(-u\underline{(fy)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
)
)
|
)n
)n
)n
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(0
 <= \underline{(\epsilon)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(0
 = \underline{(\epsilon)}
)n
)n
)n
\Rightarrow \underline{(n2)}
 <= \underline{
\mathsf {m}}
\Rightarrow \dot{\neg}\,((\underline{(fy)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
+(-u\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
)
)
 <= \underline{(\epsilon)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,((\underline{(fy)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
+(-u\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
)
)
 = \underline{(\epsilon)}
)n
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(0
 <= \underline{(\epsilon)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(0
 = \underline{(\epsilon)}
)n
)n
)n
; JoinConjuncts(2conditions)
\rhd 
\forall_{obj} \underline{
\mathsf {m}}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(0
 <= \underline{(\epsilon)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(0
 = \underline{(\epsilon)}
)n
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\underline{(n1)}
 <= \underline{
\mathsf {m}}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\underline{(\epsilon)}
 <= |(\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
+(-u\underline{(fy)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
)
)
|
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\underline{(\epsilon)}
 = |(\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
+(-u\underline{(fy)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
)
)
|
)n
)n
)n
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(0
 <= \underline{(\epsilon)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(0
 = \underline{(\epsilon)}
)n
)n
)n
\Rightarrow \underline{(n2)}
 <= \underline{
\mathsf {m}}
\Rightarrow \dot{\neg}\,((\underline{(fy)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
+(-u\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
)
)
 <= \underline{(\epsilon)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,((\underline{(fy)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
+(-u\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
)
)
 = \underline{(\epsilon)}
)n
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(0
 <= \underline{(\epsilon)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(0
 = \underline{(\epsilon)}
)n
)n
)n
\rhd 
\forall_{obj} \underline{
\mathsf {m}}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(0
 <= \underline{(\epsilon)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(0
 = \underline{(\epsilon)}
)n
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\underline{(n1)}
 <= \underline{
\mathsf {m}}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\underline{(\epsilon)}
 <= |(\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
+(-u\underline{(fy)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
)
)
|
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\underline{(\epsilon)}
 = |(\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
+(-u\underline{(fy)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
)
)
|
)n
)n
)n
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(0
 <= \underline{(\epsilon)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(0
 = \underline{(\epsilon)}
)n
)n
)n
\Rightarrow \underline{(n2)}
 <= \underline{
\mathsf {m}}
\Rightarrow \dot{\neg}\,((\underline{(fy)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
+(-u\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
)
)
 <= \underline{(\epsilon)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,((\underline{(fy)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
+(-u\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
)
)
 = \underline{(\epsilon)}
)n
)n
)n
\Rightarrow if(\underline{(n2)}
 <= \underline{(n1)}
,\underline{(n1)}
,\underline{(n2)}
)
 <= \underline{
\mathsf {m}}
\Rightarrow \underline{(fy)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
 <= (\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
+(-u\underline{(\epsilon)}
)
)
\gg 
\forall_{obj} \underline{
\mathsf {m}}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(0
 <= \underline{(\epsilon)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(0
 = \underline{(\epsilon)}
)n
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\underline{(n1)}
 <= \underline{
\mathsf {m}}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\underline{(\epsilon)}
 <= |(\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
+(-u\underline{(fy)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
)
)
|
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\underline{(\epsilon)}
 = |(\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
+(-u\underline{(fy)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
)
)
|
)n
)n
)n
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(0
 <= \underline{(\epsilon)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(0
 = \underline{(\epsilon)}
)n
)n
)n
\Rightarrow \underline{(n2)}
 <= \underline{
\mathsf {m}}
\Rightarrow \dot{\neg}\,((\underline{(fy)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
+(-u\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
)
)
 <= \underline{(\epsilon)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,((\underline{(fy)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
+(-u\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
)
)
 = \underline{(\epsilon)}
)n
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(0
 <= \underline{(\epsilon)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(0
 = \underline{(\epsilon)}
)n
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(if(\underline{(n2)}
 <= \underline{(n1)}
,\underline{(n1)}
,\underline{(n2)}
)
 <= \underline{
\mathsf {m}}
\Rightarrow \underline{(fy)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
 <= (\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
+(-u\underline{(\epsilon)}
)
)
)n
)n
\rceil 
, 
p_0
, 
\mathsf {c}
)
]$




$
[ToLess(F)
\stackrel{
stmt
}{\rightarrow}SystemQ
\vdash 
\forall \underline{
\mathsf {m}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf {n}}
\colon 
\forall \underline{(n1)}
\colon 
\forall \underline{(n2)}
\colon 
\forall \underline{(\epsilon)}
\colon 
\forall \underline{(fx)}
\colon 
\forall \underline{(fy)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(\epsilon)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {n}}
\colon \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {m}}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(0
 <= \overline{(\epsilon)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(0
 = \overline{(\epsilon)}
)n
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{
\mathsf {n}}
 <= \overline{
\mathsf {m}}
\Rightarrow \underline{(fx)}
[\overline{
\mathsf {m}}
]
 <= (\underline{(fy)}
[\overline{
\mathsf {m}}
]
+(-u\overline{(\epsilon)}
)
)
)n
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\Rightarrow 
\forall_{obj} \overline{(\epsilon)}
\colon \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {n}}
\colon \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {m}}
\colon \dot{\neg}\,(0
 <= \overline{(\epsilon)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(0
 = \overline{(\epsilon)}
)n
)n
)n
\Rightarrow \overline{
\mathsf {n}}
 <= \overline{
\mathsf {m}}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(|(\underline{(fx)}
[\overline{
\mathsf {m}}
]
+(-u\underline{(fy)}
[\overline{
\mathsf {m}}
]
)
)
|
 <= \overline{(\epsilon)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(|(\underline{(fx)}
[\overline{
\mathsf {m}}
]
+(-u\underline{(fy)}
[\overline{
\mathsf {m}}
]
)
)
|
 = \overline{(\epsilon)}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\vdash \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(\epsilon)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {n}}
\colon \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {m}}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(0
 <= \overline{(\epsilon)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(0
 = \overline{(\epsilon)}
)n
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{
\mathsf {n}}
 <= \overline{
\mathsf {m}}
\Rightarrow \underline{(fy)}
[\overline{
\mathsf {m}}
]
 <= (\underline{(fx)}
[\overline{
\mathsf {m}}
]
+(-u\overline{(\epsilon)}
)
)
)n
)n
)n
)n
)n
)n
]$

$
[ToLess(F)
\stackrel{
proof
}{\rightarrow}
\lambda 
\mathsf {c}
.
\lambda 
\mathsf{x}
.
{\cal P}( 
\lceil SystemQ
\vdash 
\forall \underline{
\mathsf {m}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf {n}}
\colon 
\forall \underline{(n1)}
\colon 
\forall \underline{(n2)}
\colon 
\forall \underline{(\epsilon)}
\colon 
\forall \underline{(fx)}
\colon 
\forall \underline{(fy)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(\epsilon)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {n}}
\colon \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {m}}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(0
 <= \overline{(\epsilon)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(0
 = \overline{(\epsilon)}
)n
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{
\mathsf {n}}
 <= \overline{
\mathsf {m}}
\Rightarrow \underline{(fx)}
[\overline{
\mathsf {m}}
]
 <= (\underline{(fy)}
[\overline{
\mathsf {m}}
]
+(-u\overline{(\epsilon)}
)
)
)n
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\Rightarrow 
\forall_{obj} \overline{(\epsilon)}
\colon \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {n}}
\colon \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {m}}
\colon \dot{\neg}\,(0
 <= \overline{(\epsilon)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(0
 = \overline{(\epsilon)}
)n
)n
)n
\Rightarrow \overline{
\mathsf {n}}
 <= \overline{
\mathsf {m}}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(|(\underline{(fx)}
[\overline{
\mathsf {m}}
]
+(-u\underline{(fy)}
[\overline{
\mathsf {m}}
]
)
)
|
 <= \overline{(\epsilon)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(|(\underline{(fx)}
[\overline{
\mathsf {m}}
]
+(-u\underline{(fy)}
[\overline{
\mathsf {m}}
]
)
)
|
 = \overline{(\epsilon)}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\vdash Repetition
\rhd \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(\epsilon)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {n}}
\colon \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {m}}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(0
 <= \overline{(\epsilon)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(0
 = \overline{(\epsilon)}
)n
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{
\mathsf {n}}
 <= \overline{
\mathsf {m}}
\Rightarrow \underline{(fx)}
[\overline{
\mathsf {m}}
]
 <= (\underline{(fy)}
[\overline{
\mathsf {m}}
]
+(-u\overline{(\epsilon)}
)
)
)n
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\Rightarrow 
\forall_{obj} \overline{(\epsilon)}
\colon \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {n}}
\colon \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {m}}
\colon \dot{\neg}\,(0
 <= \overline{(\epsilon)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(0
 = \overline{(\epsilon)}
)n
)n
)n
\Rightarrow \overline{
\mathsf {n}}
 <= \overline{
\mathsf {m}}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(|(\underline{(fx)}
[\overline{
\mathsf {m}}
]
+(-u\underline{(fy)}
[\overline{
\mathsf {m}}
]
)
)
|
 <= \overline{(\epsilon)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(|(\underline{(fx)}
[\overline{
\mathsf {m}}
]
+(-u\underline{(fy)}
[\overline{
\mathsf {m}}
]
)
)
|
 = \overline{(\epsilon)}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\gg \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(\epsilon)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {n}}
\colon \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {m}}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(0
 <= \overline{(\epsilon)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(0
 = \overline{(\epsilon)}
)n
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{
\mathsf {n}}
 <= \overline{
\mathsf {m}}
\Rightarrow \underline{(fx)}
[\overline{
\mathsf {m}}
]
 <= (\underline{(fy)}
[\overline{
\mathsf {m}}
]
+(-u\overline{(\epsilon)}
)
)
)n
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\Rightarrow 
\forall_{obj} \overline{(\epsilon)}
\colon \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {n}}
\colon \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {m}}
\colon \dot{\neg}\,(0
 <= \overline{(\epsilon)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(0
 = \overline{(\epsilon)}
)n
)n
)n
\Rightarrow \overline{
\mathsf {n}}
 <= \overline{
\mathsf {m}}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(|(\underline{(fx)}
[\overline{
\mathsf {m}}
]
+(-u\underline{(fy)}
[\overline{
\mathsf {m}}
]
)
)
|
 <= \overline{(\epsilon)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(|(\underline{(fx)}
[\overline{
\mathsf {m}}
]
+(-u\underline{(fy)}
[\overline{
\mathsf {m}}
]
)
)
|
 = \overline{(\epsilon)}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
; FromNegatedOr
\rhd \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(\epsilon)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {n}}
\colon \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {m}}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(0
 <= \overline{(\epsilon)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(0
 = \overline{(\epsilon)}
)n
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{
\mathsf {n}}
 <= \overline{
\mathsf {m}}
\Rightarrow \underline{(fx)}
[\overline{
\mathsf {m}}
]
 <= (\underline{(fy)}
[\overline{
\mathsf {m}}
]
+(-u\overline{(\epsilon)}
)
)
)n
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\Rightarrow 
\forall_{obj} \overline{(\epsilon)}
\colon \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {n}}
\colon \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {m}}
\colon \dot{\neg}\,(0
 <= \overline{(\epsilon)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(0
 = \overline{(\epsilon)}
)n
)n
)n
\Rightarrow \overline{
\mathsf {n}}
 <= \overline{
\mathsf {m}}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(|(\underline{(fx)}
[\overline{
\mathsf {m}}
]
+(-u\underline{(fy)}
[\overline{
\mathsf {m}}
]
)
)
|
 <= \overline{(\epsilon)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(|(\underline{(fx)}
[\overline{
\mathsf {m}}
]
+(-u\underline{(fy)}
[\overline{
\mathsf {m}}
]
)
)
|
 = \overline{(\epsilon)}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\gg \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(\epsilon)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {n}}
\colon \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {m}}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(0
 <= \overline{(\epsilon)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(0
 = \overline{(\epsilon)}
)n
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{
\mathsf {n}}
 <= \overline{
\mathsf {m}}
\Rightarrow \underline{(fx)}
[\overline{
\mathsf {m}}
]
 <= (\underline{(fy)}
[\overline{
\mathsf {m}}
]
+(-u\overline{(\epsilon)}
)
)
)n
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(\epsilon)}
\colon \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {n}}
\colon \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {m}}
\colon \dot{\neg}\,(0
 <= \overline{(\epsilon)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(0
 = \overline{(\epsilon)}
)n
)n
)n
\Rightarrow \overline{
\mathsf {n}}
 <= \overline{
\mathsf {m}}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(|(\underline{(fx)}
[\overline{
\mathsf {m}}
]
+(-u\underline{(fy)}
[\overline{
\mathsf {m}}
]
)
)
|
 <= \overline{(\epsilon)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(|(\underline{(fx)}
[\overline{
\mathsf {m}}
]
+(-u\underline{(fy)}
[\overline{
\mathsf {m}}
]
)
)
|
 = \overline{(\epsilon)}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
)n
)n
; FirstConjunct
\rhd \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(\epsilon)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {n}}
\colon \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {m}}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(0
 <= \overline{(\epsilon)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(0
 = \overline{(\epsilon)}
)n
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{
\mathsf {n}}
 <= \overline{
\mathsf {m}}
\Rightarrow \underline{(fx)}
[\overline{
\mathsf {m}}
]
 <= (\underline{(fy)}
[\overline{
\mathsf {m}}
]
+(-u\overline{(\epsilon)}
)
)
)n
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(\epsilon)}
\colon \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {n}}
\colon \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {m}}
\colon \dot{\neg}\,(0
 <= \overline{(\epsilon)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(0
 = \overline{(\epsilon)}
)n
)n
)n
\Rightarrow \overline{
\mathsf {n}}
 <= \overline{
\mathsf {m}}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(|(\underline{(fx)}
[\overline{
\mathsf {m}}
]
+(-u\underline{(fy)}
[\overline{
\mathsf {m}}
]
)
)
|
 <= \overline{(\epsilon)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(|(\underline{(fx)}
[\overline{
\mathsf {m}}
]
+(-u\underline{(fy)}
[\overline{
\mathsf {m}}
]
)
)
|
 = \overline{(\epsilon)}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\gg \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(\epsilon)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {n}}
\colon \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {m}}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(0
 <= \overline{(\epsilon)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(0
 = \overline{(\epsilon)}
)n
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{
\mathsf {n}}
 <= \overline{
\mathsf {m}}
\Rightarrow \underline{(fx)}
[\overline{
\mathsf {m}}
]
 <= (\underline{(fy)}
[\overline{
\mathsf {m}}
]
+(-u\overline{(\epsilon)}
)
)
)n
)n
)n
)n
)n
)n
)n
; SecondConjunct
\rhd \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(\epsilon)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {n}}
\colon \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {m}}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(0
 <= \overline{(\epsilon)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(0
 = \overline{(\epsilon)}
)n
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{
\mathsf {n}}
 <= \overline{
\mathsf {m}}
\Rightarrow \underline{(fx)}
[\overline{
\mathsf {m}}
]
 <= (\underline{(fy)}
[\overline{
\mathsf {m}}
]
+(-u\overline{(\epsilon)}
)
)
)n
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(\epsilon)}
\colon \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {n}}
\colon \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {m}}
\colon \dot{\neg}\,(0
 <= \overline{(\epsilon)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(0
 = \overline{(\epsilon)}
)n
)n
)n
\Rightarrow \overline{
\mathsf {n}}
 <= \overline{
\mathsf {m}}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(|(\underline{(fx)}
[\overline{
\mathsf {m}}
]
+(-u\underline{(fy)}
[\overline{
\mathsf {m}}
]
)
)
|
 <= \overline{(\epsilon)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(|(\underline{(fx)}
[\overline{
\mathsf {m}}
]
+(-u\underline{(fy)}
[\overline{
\mathsf {m}}
]
)
)
|
 = \overline{(\epsilon)}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\gg \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(\epsilon)}
\colon \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {n}}
\colon \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {m}}
\colon \dot{\neg}\,(0
 <= \overline{(\epsilon)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(0
 = \overline{(\epsilon)}
)n
)n
)n
\Rightarrow \overline{
\mathsf {n}}
 <= \overline{
\mathsf {m}}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(|(\underline{(fx)}
[\overline{
\mathsf {m}}
]
+(-u\underline{(fy)}
[\overline{
\mathsf {m}}
]
)
)
|
 <= \overline{(\epsilon)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(|(\underline{(fx)}
[\overline{
\mathsf {m}}
]
+(-u\underline{(fy)}
[\overline{
\mathsf {m}}
]
)
)
|
 = \overline{(\epsilon)}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
; FromNot<f(Strong)
\rhd \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(\epsilon)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {n}}
\colon \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {m}}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(0
 <= \overline{(\epsilon)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(0
 = \overline{(\epsilon)}
)n
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{
\mathsf {n}}
 <= \overline{
\mathsf {m}}
\Rightarrow \underline{(fx)}
[\overline{
\mathsf {m}}
]
 <= (\underline{(fy)}
[\overline{
\mathsf {m}}
]
+(-u\overline{(\epsilon)}
)
)
)n
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\gg \dot{\neg}\,(0
 <= \underline{(\epsilon)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(0
 = \underline{(\epsilon)}
)n
)n
)n
\Rightarrow \underline{(n2)}
 <= \underline{
\mathsf {m}}
\Rightarrow \dot{\neg}\,((\underline{(fy)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
+(-u\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
)
)
 <= \underline{(\epsilon)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,((\underline{(fy)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
+(-u\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
)
)
 = \underline{(\epsilon)}
)n
)n
)n
; fromNotSameF(Strongest)
\rhd \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(\epsilon)}
\colon \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {n}}
\colon \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {m}}
\colon \dot{\neg}\,(0
 <= \overline{(\epsilon)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(0
 = \overline{(\epsilon)}
)n
)n
)n
\Rightarrow \overline{
\mathsf {n}}
 <= \overline{
\mathsf {m}}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(|(\underline{(fx)}
[\overline{
\mathsf {m}}
]
+(-u\underline{(fy)}
[\overline{
\mathsf {m}}
]
)
)
|
 <= \overline{(\epsilon)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(|(\underline{(fx)}
[\overline{
\mathsf {m}}
]
+(-u\underline{(fy)}
[\overline{
\mathsf {m}}
]
)
)
|
 = \overline{(\epsilon)}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\gg \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \underline{(\epsilon)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \underline{(n1)}
\colon \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \underline{
\mathsf {m}}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(0
 <= \underline{(\epsilon)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(0
 = \underline{(\epsilon)}
)n
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\underline{(n1)}
 <= \underline{
\mathsf {m}}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\underline{(\epsilon)}
 <= |(\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
+(-u\underline{(fy)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
)
)
|
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\underline{(\epsilon)}
 = |(\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
+(-u\underline{(fy)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
)
)
|
)n
)n
)n
)n
)n
)n
)n
)n
)n
; ToLess(F)(Helper)
\gg 
\forall_{obj} \underline{
\mathsf {m}}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(0
 <= \underline{(\epsilon)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(0
 = \underline{(\epsilon)}
)n
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\underline{(n1)}
 <= \underline{
\mathsf {m}}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\underline{(\epsilon)}
 <= |(\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
+(-u\underline{(fy)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
)
)
|
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\underline{(\epsilon)}
 = |(\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
+(-u\underline{(fy)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
)
)
|
)n
)n
)n
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(0
 <= \underline{(\epsilon)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(0
 = \underline{(\epsilon)}
)n
)n
)n
\Rightarrow \underline{(n2)}
 <= \underline{
\mathsf {m}}
\Rightarrow \dot{\neg}\,((\underline{(fy)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
+(-u\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
)
)
 <= \underline{(\epsilon)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,((\underline{(fy)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
+(-u\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
)
)
 = \underline{(\epsilon)}
)n
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(0
 <= \underline{(\epsilon)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(0
 = \underline{(\epsilon)}
)n
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(if(\underline{(n2)}
 <= \underline{(n1)}
,\underline{(n1)}
,\underline{(n2)}
)
 <= \underline{
\mathsf {m}}
\Rightarrow \underline{(fy)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
 <= (\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
+(-u\underline{(\epsilon)}
)
)
)n
)n
; TwiceExistMP
\rhd 
\forall_{obj} \underline{
\mathsf {m}}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(0
 <= \underline{(\epsilon)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(0
 = \underline{(\epsilon)}
)n
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\underline{(n1)}
 <= \underline{
\mathsf {m}}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\underline{(\epsilon)}
 <= |(\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
+(-u\underline{(fy)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
)
)
|
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\underline{(\epsilon)}
 = |(\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
+(-u\underline{(fy)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
)
)
|
)n
)n
)n
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(0
 <= \underline{(\epsilon)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(0
 = \underline{(\epsilon)}
)n
)n
)n
\Rightarrow \underline{(n2)}
 <= \underline{
\mathsf {m}}
\Rightarrow \dot{\neg}\,((\underline{(fy)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
+(-u\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
)
)
 <= \underline{(\epsilon)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,((\underline{(fy)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
+(-u\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
)
)
 = \underline{(\epsilon)}
)n
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(0
 <= \underline{(\epsilon)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(0
 = \underline{(\epsilon)}
)n
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(if(\underline{(n2)}
 <= \underline{(n1)}
,\underline{(n1)}
,\underline{(n2)}
)
 <= \underline{
\mathsf {m}}
\Rightarrow \underline{(fy)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
 <= (\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
+(-u\underline{(\epsilon)}
)
)
)n
)n
\rhd \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \underline{(\epsilon)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \underline{(n1)}
\colon \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \underline{
\mathsf {m}}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(0
 <= \underline{(\epsilon)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(0
 = \underline{(\epsilon)}
)n
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\underline{(n1)}
 <= \underline{
\mathsf {m}}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\underline{(\epsilon)}
 <= |(\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
+(-u\underline{(fy)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
)
)
|
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\underline{(\epsilon)}
 = |(\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
+(-u\underline{(fy)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
)
)
|
)n
)n
)n
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\gg \dot{\neg}\,(0
 <= \underline{(\epsilon)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(0
 = \underline{(\epsilon)}
)n
)n
)n
\Rightarrow \underline{(n2)}
 <= \underline{
\mathsf {m}}
\Rightarrow \dot{\neg}\,((\underline{(fy)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
+(-u\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
)
)
 <= \underline{(\epsilon)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,((\underline{(fy)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
+(-u\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
)
)
 = \underline{(\epsilon)}
)n
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(0
 <= \underline{(\epsilon)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(0
 = \underline{(\epsilon)}
)n
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(if(\underline{(n2)}
 <= \underline{(n1)}
,\underline{(n1)}
,\underline{(n2)}
)
 <= \underline{
\mathsf {m}}
\Rightarrow \underline{(fy)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
 <= (\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
+(-u\underline{(\epsilon)}
)
)
)n
)n
; MP
\rhd \dot{\neg}\,(0
 <= \underline{(\epsilon)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(0
 = \underline{(\epsilon)}
)n
)n
)n
\Rightarrow \underline{(n2)}
 <= \underline{
\mathsf {m}}
\Rightarrow \dot{\neg}\,((\underline{(fy)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
+(-u\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
)
)
 <= \underline{(\epsilon)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,((\underline{(fy)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
+(-u\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
)
)
 = \underline{(\epsilon)}
)n
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(0
 <= \underline{(\epsilon)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(0
 = \underline{(\epsilon)}
)n
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(if(\underline{(n2)}
 <= \underline{(n1)}
,\underline{(n1)}
,\underline{(n2)}
)
 <= \underline{
\mathsf {m}}
\Rightarrow \underline{(fy)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
 <= (\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
+(-u\underline{(\epsilon)}
)
)
)n
)n
\rhd \dot{\neg}\,(0
 <= \underline{(\epsilon)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(0
 = \underline{(\epsilon)}
)n
)n
)n
\Rightarrow \underline{(n2)}
 <= \underline{
\mathsf {m}}
\Rightarrow \dot{\neg}\,((\underline{(fy)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
+(-u\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
)
)
 <= \underline{(\epsilon)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,((\underline{(fy)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
+(-u\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
)
)
 = \underline{(\epsilon)}
)n
)n
)n
\gg \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(0
 <= \underline{(\epsilon)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(0
 = \underline{(\epsilon)}
)n
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(if(\underline{(n2)}
 <= \underline{(n1)}
,\underline{(n1)}
,\underline{(n2)}
)
 <= \underline{
\mathsf {m}}
\Rightarrow \underline{(fy)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
 <= (\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
+(-u\underline{(\epsilon)}
)
)
)n
)n
; Gen
\rhd \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(0
 <= \underline{(\epsilon)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(0
 = \underline{(\epsilon)}
)n
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(if(\underline{(n2)}
 <= \underline{(n1)}
,\underline{(n1)}
,\underline{(n2)}
)
 <= \underline{
\mathsf {m}}
\Rightarrow \underline{(fy)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
 <= (\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
+(-u\underline{(\epsilon)}
)
)
)n
)n
\gg 
\forall_{obj} \underline{
\mathsf {m}}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(0
 <= \underline{(\epsilon)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(0
 = \underline{(\epsilon)}
)n
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(if(\underline{(n2)}
 <= \underline{(n1)}
,\underline{(n1)}
,\underline{(n2)}
)
 <= \underline{
\mathsf {m}}
\Rightarrow \underline{(fy)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
 <= (\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
+(-u\underline{(\epsilon)}
)
)
)n
)n
; IntroExist
\mathop {\char64} if(\underline{(n2)}
 <= \underline{(n1)}
,\underline{(n1)}
,\underline{(n2)}
)
\rhd 
\forall_{obj} \underline{
\mathsf {m}}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(0
 <= \underline{(\epsilon)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(0
 = \underline{(\epsilon)}
)n
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(if(\underline{(n2)}
 <= \underline{(n1)}
,\underline{(n1)}
,\underline{(n2)}
)
 <= \underline{
\mathsf {m}}
\Rightarrow \underline{(fy)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
 <= (\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
+(-u\underline{(\epsilon)}
)
)
)n
)n
\gg \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \underline{
\mathsf {n}}
\colon \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \underline{
\mathsf {m}}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(0
 <= \underline{(\epsilon)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(0
 = \underline{(\epsilon)}
)n
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\underline{
\mathsf {n}}
 <= \underline{
\mathsf {m}}
\Rightarrow \underline{(fy)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
 <= (\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
+(-u\underline{(\epsilon)}
)
)
)n
)n
)n
)n
; IntroExist
\mathop {\char64} \underline{(\epsilon)}
\rhd \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \underline{
\mathsf {n}}
\colon \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \underline{
\mathsf {m}}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(0
 <= \underline{(\epsilon)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(0
 = \underline{(\epsilon)}
)n
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\underline{
\mathsf {n}}
 <= \underline{
\mathsf {m}}
\Rightarrow \underline{(fy)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
 <= (\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
+(-u\underline{(\epsilon)}
)
)
)n
)n
)n
)n
\gg \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \underline{(\epsilon)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \underline{
\mathsf {n}}
\colon \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \underline{
\mathsf {m}}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(0
 <= \underline{(\epsilon)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(0
 = \underline{(\epsilon)}
)n
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\underline{
\mathsf {n}}
 <= \underline{
\mathsf {m}}
\Rightarrow \underline{(fy)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
 <= (\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
+(-u\underline{(\epsilon)}
)
)
)n
)n
)n
)n
)n
)n
; Ded
\rhd \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \underline{(\epsilon)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \underline{
\mathsf {n}}
\colon \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \underline{
\mathsf {m}}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(0
 <= \underline{(\epsilon)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(0
 = \underline{(\epsilon)}
)n
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\underline{
\mathsf {n}}
 <= \underline{
\mathsf {m}}
\Rightarrow \underline{(fy)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
 <= (\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
+(-u\underline{(\epsilon)}
)
)
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\gg \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(\epsilon)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {n}}
\colon \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {m}}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(0
 <= \overline{(\epsilon)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(0
 = \overline{(\epsilon)}
)n
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{
\mathsf {n}}
 <= \overline{
\mathsf {m}}
\Rightarrow \underline{(fy)}
[\overline{
\mathsf {m}}
]
 <= (\underline{(fx)}
[\overline{
\mathsf {m}}
]
+(-u\overline{(\epsilon)}
)
)
)n
)n
)n
)n
)n
)n
; Repetition
\rhd \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(\epsilon)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {n}}
\colon \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {m}}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(0
 <= \overline{(\epsilon)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(0
 = \overline{(\epsilon)}
)n
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{
\mathsf {n}}
 <= \overline{
\mathsf {m}}
\Rightarrow \underline{(fy)}
[\overline{
\mathsf {m}}
]
 <= (\underline{(fx)}
[\overline{
\mathsf {m}}
]
+(-u\overline{(\epsilon)}
)
)
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\gg \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(\epsilon)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {n}}
\colon \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {m}}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(0
 <= \overline{(\epsilon)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(0
 = \overline{(\epsilon)}
)n
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{
\mathsf {n}}
 <= \overline{
\mathsf {m}}
\Rightarrow \underline{(fy)}
[\overline{
\mathsf {m}}
]
 <= (\underline{(fx)}
[\overline{
\mathsf {m}}
]
+(-u\overline{(\epsilon)}
)
)
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\rceil 
, 
p_0
, 
\mathsf {c}
)
]$


$
[From!!==
\stackrel{
stmt
}{\rightarrow}SystemQ
\vdash 
\forall \underline{
\mathsf {m}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf {n}}
\colon 
\forall \underline{(\epsilon)}
\colon 
\forall \underline{(fx)}
\colon 
\forall \underline{(fy)}
\colon \dot{\neg}\,( \{ ph \mathrel{\in} P( \{ ph \mathrel{\in} P( \{ ph \mathrel{\in} P(P(Union(\{N
,Q
\}
)
)
)
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op1)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op2)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\overline{(op1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(op2)}
 \mathrel{\in} Q
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\mathsf {a}
 _{Ph} 
 = \{\{\overline{(op1)}
,\overline{(op1)}
\}
,\{\overline{(op1)}
,\overline{(op2)}
\}
\}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\}
)
\mid \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(r1)}
\colon \overline{(r1)}
 \mathrel{\in} 
\mathsf {f}
 _{Ph} 
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op1)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op2)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\overline{(op1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(op2)}
 \mathrel{\in} Q
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(r1)}
 = \{\{\overline{(op1)}
,\overline{(op1)}
\}
,\{\overline{(op1)}
,\overline{(op2)}
\}
\}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(f1)}
\colon 
\forall_{obj} \overline{(f2)}
\colon 
\forall_{obj} \overline{(f3)}
\colon 
\forall_{obj} \overline{(f4)}
\colon \{\{\overline{(f1)}
,\overline{(f1)}
\}
,\{\overline{(f1)}
,\overline{(f2)}
\}
\}
 \mathrel{\in} 
\mathsf {f}
 _{Ph} 
\Rightarrow \{\{\overline{(f3)}
,\overline{(f3)}
\}
,\{\overline{(f3)}
,\overline{(f4)}
\}
\}
 \mathrel{\in} 
\mathsf {f}
 _{Ph} 
\Rightarrow \overline{(f1)}
 = \overline{(f3)}
\Rightarrow \overline{(f2)}
 = \overline{(f4)}
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(s1)}
\colon \overline{(s1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(s2)}
\colon \dot{\neg}\,(\{\{\overline{(s1)}
,\overline{(s1)}
\}
,\{\overline{(s1)}
,\overline{(s2)}
\}
\}
 \mathrel{\in} 
\mathsf {f}
 _{Ph} 
)n
)n
)n
)n
\}
)
\mid 
\forall_{obj} \overline{(\epsilon)}
\colon \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {n}}
\colon \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {m}}
\colon \dot{\neg}\,(0
 <= \overline{(\epsilon)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(0
 = \overline{(\epsilon)}
)n
)n
)n
\Rightarrow \overline{
\mathsf {n}}
 <= \overline{
\mathsf {m}}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(|(\underline{(fx)}
[\overline{
\mathsf {m}}
]
+(-u
\mathsf {d}
 _{Ph} 
[\overline{
\mathsf {m}}
]
)
)
|
 <= \overline{(\epsilon)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(|(\underline{(fx)}
[\overline{
\mathsf {m}}
]
+(-u
\mathsf {d}
 _{Ph} 
[\overline{
\mathsf {m}}
]
)
)
|
 = \overline{(\epsilon)}
)n
)n
)n
)n
)n
\}
 =  \{ ph \mathrel{\in} P( \{ ph \mathrel{\in} P( \{ ph \mathrel{\in} P(P(Union(\{N
,Q
\}
)
)
)
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op1)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op2)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\overline{(op1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(op2)}
 \mathrel{\in} Q
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\mathsf {a}
 _{Ph} 
 = \{\{\overline{(op1)}
,\overline{(op1)}
\}
,\{\overline{(op1)}
,\overline{(op2)}
\}
\}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\}
)
\mid \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(r1)}
\colon \overline{(r1)}
 \mathrel{\in} 
\mathsf {f}
 _{Ph} 
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op1)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op2)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\overline{(op1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(op2)}
 \mathrel{\in} Q
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(r1)}
 = \{\{\overline{(op1)}
,\overline{(op1)}
\}
,\{\overline{(op1)}
,\overline{(op2)}
\}
\}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(f1)}
\colon 
\forall_{obj} \overline{(f2)}
\colon 
\forall_{obj} \overline{(f3)}
\colon 
\forall_{obj} \overline{(f4)}
\colon \{\{\overline{(f1)}
,\overline{(f1)}
\}
,\{\overline{(f1)}
,\overline{(f2)}
\}
\}
 \mathrel{\in} 
\mathsf {f}
 _{Ph} 
\Rightarrow \{\{\overline{(f3)}
,\overline{(f3)}
\}
,\{\overline{(f3)}
,\overline{(f4)}
\}
\}
 \mathrel{\in} 
\mathsf {f}
 _{Ph} 
\Rightarrow \overline{(f1)}
 = \overline{(f3)}
\Rightarrow \overline{(f2)}
 = \overline{(f4)}
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(s1)}
\colon \overline{(s1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(s2)}
\colon \dot{\neg}\,(\{\{\overline{(s1)}
,\overline{(s1)}
\}
,\{\overline{(s1)}
,\overline{(s2)}
\}
\}
 \mathrel{\in} 
\mathsf {f}
 _{Ph} 
)n
)n
)n
)n
\}
)
\mid 
\forall_{obj} \overline{(\epsilon)}
\colon \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {n}}
\colon \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {m}}
\colon \dot{\neg}\,(0
 <= \overline{(\epsilon)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(0
 = \overline{(\epsilon)}
)n
)n
)n
\Rightarrow \overline{
\mathsf {n}}
 <= \overline{
\mathsf {m}}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(|(\underline{(fy)}
[\overline{
\mathsf {m}}
]
+(-u
\mathsf {d}
 _{Ph} 
[\overline{
\mathsf {m}}
]
)
)
|
 <= \overline{(\epsilon)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(|(\underline{(fy)}
[\overline{
\mathsf {m}}
]
+(-u
\mathsf {d}
 _{Ph} 
[\overline{
\mathsf {m}}
]
)
)
|
 = \overline{(\epsilon)}
)n
)n
)n
)n
)n
\}
)n
\vdash \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(\epsilon)}
\colon \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {n}}
\colon \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {m}}
\colon \dot{\neg}\,(0
 <= \overline{(\epsilon)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(0
 = \overline{(\epsilon)}
)n
)n
)n
\Rightarrow \overline{
\mathsf {n}}
 <= \overline{
\mathsf {m}}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(|(\underline{(fx)}
[\overline{
\mathsf {m}}
]
+(-u\underline{(fy)}
[\overline{
\mathsf {m}}
]
)
)
|
 <= \overline{(\epsilon)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(|(\underline{(fx)}
[\overline{
\mathsf {m}}
]
+(-u\underline{(fy)}
[\overline{
\mathsf {m}}
]
)
)
|
 = \overline{(\epsilon)}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
]$

$
[From!!==
\stackrel{
proof
}{\rightarrow}
\lambda 
\mathsf {c}
.
\lambda 
\mathsf{x}
.
{\cal P}( 
\lceil SystemQ
\vdash 
\forall \underline{
\mathsf {m}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf {n}}
\colon 
\forall \underline{(\epsilon)}
\colon 
\forall \underline{(fx)}
\colon 
\forall \underline{(fy)}
\colon 
\forall_{obj} \overline{(\epsilon)}
\colon \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {n}}
\colon \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {m}}
\colon \dot{\neg}\,(0
 <= \overline{(\epsilon)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(0
 = \overline{(\epsilon)}
)n
)n
)n
\Rightarrow \overline{
\mathsf {n}}
 <= \overline{
\mathsf {m}}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(|(\underline{(fx)}
[\overline{
\mathsf {m}}
]
+(-u\underline{(fy)}
[\overline{
\mathsf {m}}
]
)
)
|
 <= \overline{(\epsilon)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(|(\underline{(fx)}
[\overline{
\mathsf {m}}
]
+(-u\underline{(fy)}
[\overline{
\mathsf {m}}
]
)
)
|
 = \overline{(\epsilon)}
)n
)n
)n
)n
)n
\vdash To==
\rhd 
\forall_{obj} \overline{(\epsilon)}
\colon \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {n}}
\colon \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {m}}
\colon \dot{\neg}\,(0
 <= \overline{(\epsilon)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(0
 = \overline{(\epsilon)}
)n
)n
)n
\Rightarrow \overline{
\mathsf {n}}
 <= \overline{
\mathsf {m}}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(|(\underline{(fx)}
[\overline{
\mathsf {m}}
]
+(-u\underline{(fy)}
[\overline{
\mathsf {m}}
]
)
)
|
 <= \overline{(\epsilon)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(|(\underline{(fx)}
[\overline{
\mathsf {m}}
]
+(-u\underline{(fy)}
[\overline{
\mathsf {m}}
]
)
)
|
 = \overline{(\epsilon)}
)n
)n
)n
)n
)n
\gg  \{ ph \mathrel{\in} P( \{ ph \mathrel{\in} P( \{ ph \mathrel{\in} P(P(Union(\{N
,Q
\}
)
)
)
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op1)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op2)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\overline{(op1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(op2)}
 \mathrel{\in} Q
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\mathsf {a}
 _{Ph} 
 = \{\{\overline{(op1)}
,\overline{(op1)}
\}
,\{\overline{(op1)}
,\overline{(op2)}
\}
\}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\}
)
\mid \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(r1)}
\colon \overline{(r1)}
 \mathrel{\in} 
\mathsf {f}
 _{Ph} 
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op1)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op2)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\overline{(op1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(op2)}
 \mathrel{\in} Q
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(r1)}
 = \{\{\overline{(op1)}
,\overline{(op1)}
\}
,\{\overline{(op1)}
,\overline{(op2)}
\}
\}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(f1)}
\colon 
\forall_{obj} \overline{(f2)}
\colon 
\forall_{obj} \overline{(f3)}
\colon 
\forall_{obj} \overline{(f4)}
\colon \{\{\overline{(f1)}
,\overline{(f1)}
\}
,\{\overline{(f1)}
,\overline{(f2)}
\}
\}
 \mathrel{\in} 
\mathsf {f}
 _{Ph} 
\Rightarrow \{\{\overline{(f3)}
,\overline{(f3)}
\}
,\{\overline{(f3)}
,\overline{(f4)}
\}
\}
 \mathrel{\in} 
\mathsf {f}
 _{Ph} 
\Rightarrow \overline{(f1)}
 = \overline{(f3)}
\Rightarrow \overline{(f2)}
 = \overline{(f4)}
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(s1)}
\colon \overline{(s1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(s2)}
\colon \dot{\neg}\,(\{\{\overline{(s1)}
,\overline{(s1)}
\}
,\{\overline{(s1)}
,\overline{(s2)}
\}
\}
 \mathrel{\in} 
\mathsf {f}
 _{Ph} 
)n
)n
)n
)n
\}
)
\mid 
\forall_{obj} \overline{(\epsilon)}
\colon \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {n}}
\colon \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {m}}
\colon \dot{\neg}\,(0
 <= \overline{(\epsilon)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(0
 = \overline{(\epsilon)}
)n
)n
)n
\Rightarrow \overline{
\mathsf {n}}
 <= \overline{
\mathsf {m}}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(|(\underline{(fx)}
[\overline{
\mathsf {m}}
]
+(-u
\mathsf {d}
 _{Ph} 
[\overline{
\mathsf {m}}
]
)
)
|
 <= \overline{(\epsilon)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(|(\underline{(fx)}
[\overline{
\mathsf {m}}
]
+(-u
\mathsf {d}
 _{Ph} 
[\overline{
\mathsf {m}}
]
)
)
|
 = \overline{(\epsilon)}
)n
)n
)n
)n
)n
\}
 =  \{ ph \mathrel{\in} P( \{ ph \mathrel{\in} P( \{ ph \mathrel{\in} P(P(Union(\{N
,Q
\}
)
)
)
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op1)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op2)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\overline{(op1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(op2)}
 \mathrel{\in} Q
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\mathsf {a}
 _{Ph} 
 = \{\{\overline{(op1)}
,\overline{(op1)}
\}
,\{\overline{(op1)}
,\overline{(op2)}
\}
\}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\}
)
\mid \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(r1)}
\colon \overline{(r1)}
 \mathrel{\in} 
\mathsf {f}
 _{Ph} 
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op1)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op2)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\overline{(op1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(op2)}
 \mathrel{\in} Q
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(r1)}
 = \{\{\overline{(op1)}
,\overline{(op1)}
\}
,\{\overline{(op1)}
,\overline{(op2)}
\}
\}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(f1)}
\colon 
\forall_{obj} \overline{(f2)}
\colon 
\forall_{obj} \overline{(f3)}
\colon 
\forall_{obj} \overline{(f4)}
\colon \{\{\overline{(f1)}
,\overline{(f1)}
\}
,\{\overline{(f1)}
,\overline{(f2)}
\}
\}
 \mathrel{\in} 
\mathsf {f}
 _{Ph} 
\Rightarrow \{\{\overline{(f3)}
,\overline{(f3)}
\}
,\{\overline{(f3)}
,\overline{(f4)}
\}
\}
 \mathrel{\in} 
\mathsf {f}
 _{Ph} 
\Rightarrow \overline{(f1)}
 = \overline{(f3)}
\Rightarrow \overline{(f2)}
 = \overline{(f4)}
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(s1)}
\colon \overline{(s1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(s2)}
\colon \dot{\neg}\,(\{\{\overline{(s1)}
,\overline{(s1)}
\}
,\{\overline{(s1)}
,\overline{(s2)}
\}
\}
 \mathrel{\in} 
\mathsf {f}
 _{Ph} 
)n
)n
)n
)n
\}
)
\mid 
\forall_{obj} \overline{(\epsilon)}
\colon \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {n}}
\colon \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {m}}
\colon \dot{\neg}\,(0
 <= \overline{(\epsilon)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(0
 = \overline{(\epsilon)}
)n
)n
)n
\Rightarrow \overline{
\mathsf {n}}
 <= \overline{
\mathsf {m}}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(|(\underline{(fy)}
[\overline{
\mathsf {m}}
]
+(-u
\mathsf {d}
 _{Ph} 
[\overline{
\mathsf {m}}
]
)
)
|
 <= \overline{(\epsilon)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(|(\underline{(fy)}
[\overline{
\mathsf {m}}
]
+(-u
\mathsf {d}
 _{Ph} 
[\overline{
\mathsf {m}}
]
)
)
|
 = \overline{(\epsilon)}
)n
)n
)n
)n
)n
\}
; 
\forall \underline{
\mathsf {m}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf {n}}
\colon 
\forall \underline{(\epsilon)}
\colon 
\forall \underline{(fx)}
\colon 
\forall \underline{(fy)}
\colon Ded
\rhd 
\forall \underline{
\mathsf {m}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf {n}}
\colon 
\forall \underline{(\epsilon)}
\colon 
\forall \underline{(fx)}
\colon 
\forall \underline{(fy)}
\colon 
\forall_{obj} \overline{(\epsilon)}
\colon \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {n}}
\colon \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {m}}
\colon \dot{\neg}\,(0
 <= \overline{(\epsilon)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(0
 = \overline{(\epsilon)}
)n
)n
)n
\Rightarrow \overline{
\mathsf {n}}
 <= \overline{
\mathsf {m}}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(|(\underline{(fx)}
[\overline{
\mathsf {m}}
]
+(-u\underline{(fy)}
[\overline{
\mathsf {m}}
]
)
)
|
 <= \overline{(\epsilon)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(|(\underline{(fx)}
[\overline{
\mathsf {m}}
]
+(-u\underline{(fy)}
[\overline{
\mathsf {m}}
]
)
)
|
 = \overline{(\epsilon)}
)n
)n
)n
)n
)n
\vdash  \{ ph \mathrel{\in} P( \{ ph \mathrel{\in} P( \{ ph \mathrel{\in} P(P(Union(\{N
,Q
\}
)
)
)
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op1)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op2)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\overline{(op1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(op2)}
 \mathrel{\in} Q
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\mathsf {a}
 _{Ph} 
 = \{\{\overline{(op1)}
,\overline{(op1)}
\}
,\{\overline{(op1)}
,\overline{(op2)}
\}
\}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\}
)
\mid \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(r1)}
\colon \overline{(r1)}
 \mathrel{\in} 
\mathsf {f}
 _{Ph} 
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op1)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op2)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\overline{(op1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(op2)}
 \mathrel{\in} Q
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(r1)}
 = \{\{\overline{(op1)}
,\overline{(op1)}
\}
,\{\overline{(op1)}
,\overline{(op2)}
\}
\}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(f1)}
\colon 
\forall_{obj} \overline{(f2)}
\colon 
\forall_{obj} \overline{(f3)}
\colon 
\forall_{obj} \overline{(f4)}
\colon \{\{\overline{(f1)}
,\overline{(f1)}
\}
,\{\overline{(f1)}
,\overline{(f2)}
\}
\}
 \mathrel{\in} 
\mathsf {f}
 _{Ph} 
\Rightarrow \{\{\overline{(f3)}
,\overline{(f3)}
\}
,\{\overline{(f3)}
,\overline{(f4)}
\}
\}
 \mathrel{\in} 
\mathsf {f}
 _{Ph} 
\Rightarrow \overline{(f1)}
 = \overline{(f3)}
\Rightarrow \overline{(f2)}
 = \overline{(f4)}
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(s1)}
\colon \overline{(s1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(s2)}
\colon \dot{\neg}\,(\{\{\overline{(s1)}
,\overline{(s1)}
\}
,\{\overline{(s1)}
,\overline{(s2)}
\}
\}
 \mathrel{\in} 
\mathsf {f}
 _{Ph} 
)n
)n
)n
)n
\}
)
\mid 
\forall_{obj} \overline{(\epsilon)}
\colon \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {n}}
\colon \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {m}}
\colon \dot{\neg}\,(0
 <= \overline{(\epsilon)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(0
 = \overline{(\epsilon)}
)n
)n
)n
\Rightarrow \overline{
\mathsf {n}}
 <= \overline{
\mathsf {m}}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(|(\underline{(fx)}
[\overline{
\mathsf {m}}
]
+(-u
\mathsf {d}
 _{Ph} 
[\overline{
\mathsf {m}}
]
)
)
|
 <= \overline{(\epsilon)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(|(\underline{(fx)}
[\overline{
\mathsf {m}}
]
+(-u
\mathsf {d}
 _{Ph} 
[\overline{
\mathsf {m}}
]
)
)
|
 = \overline{(\epsilon)}
)n
)n
)n
)n
)n
\}
 =  \{ ph \mathrel{\in} P( \{ ph \mathrel{\in} P( \{ ph \mathrel{\in} P(P(Union(\{N
,Q
\}
)
)
)
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op1)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op2)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\overline{(op1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(op2)}
 \mathrel{\in} Q
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\mathsf {a}
 _{Ph} 
 = \{\{\overline{(op1)}
,\overline{(op1)}
\}
,\{\overline{(op1)}
,\overline{(op2)}
\}
\}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\}
)
\mid \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(r1)}
\colon \overline{(r1)}
 \mathrel{\in} 
\mathsf {f}
 _{Ph} 
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op1)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op2)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\overline{(op1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(op2)}
 \mathrel{\in} Q
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(r1)}
 = \{\{\overline{(op1)}
,\overline{(op1)}
\}
,\{\overline{(op1)}
,\overline{(op2)}
\}
\}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(f1)}
\colon 
\forall_{obj} \overline{(f2)}
\colon 
\forall_{obj} \overline{(f3)}
\colon 
\forall_{obj} \overline{(f4)}
\colon \{\{\overline{(f1)}
,\overline{(f1)}
\}
,\{\overline{(f1)}
,\overline{(f2)}
\}
\}
 \mathrel{\in} 
\mathsf {f}
 _{Ph} 
\Rightarrow \{\{\overline{(f3)}
,\overline{(f3)}
\}
,\{\overline{(f3)}
,\overline{(f4)}
\}
\}
 \mathrel{\in} 
\mathsf {f}
 _{Ph} 
\Rightarrow \overline{(f1)}
 = \overline{(f3)}
\Rightarrow \overline{(f2)}
 = \overline{(f4)}
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(s1)}
\colon \overline{(s1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(s2)}
\colon \dot{\neg}\,(\{\{\overline{(s1)}
,\overline{(s1)}
\}
,\{\overline{(s1)}
,\overline{(s2)}
\}
\}
 \mathrel{\in} 
\mathsf {f}
 _{Ph} 
)n
)n
)n
)n
\}
)
\mid 
\forall_{obj} \overline{(\epsilon)}
\colon \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {n}}
\colon \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {m}}
\colon \dot{\neg}\,(0
 <= \overline{(\epsilon)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(0
 = \overline{(\epsilon)}
)n
)n
)n
\Rightarrow \overline{
\mathsf {n}}
 <= \overline{
\mathsf {m}}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(|(\underline{(fy)}
[\overline{
\mathsf {m}}
]
+(-u
\mathsf {d}
 _{Ph} 
[\overline{
\mathsf {m}}
]
)
)
|
 <= \overline{(\epsilon)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(|(\underline{(fy)}
[\overline{
\mathsf {m}}
]
+(-u
\mathsf {d}
 _{Ph} 
[\overline{
\mathsf {m}}
]
)
)
|
 = \overline{(\epsilon)}
)n
)n
)n
)n
)n
\}
\gg 
\forall_{obj} \overline{(\epsilon)}
\colon \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {n}}
\colon \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {m}}
\colon \dot{\neg}\,(0
 <= \overline{(\epsilon)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(0
 = \overline{(\epsilon)}
)n
)n
)n
\Rightarrow \overline{
\mathsf {n}}
 <= \overline{
\mathsf {m}}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(|(\underline{(fx)}
[\overline{
\mathsf {m}}
]
+(-u\underline{(fy)}
[\overline{
\mathsf {m}}
]
)
)
|
 <= \overline{(\epsilon)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(|(\underline{(fx)}
[\overline{
\mathsf {m}}
]
+(-u\underline{(fy)}
[\overline{
\mathsf {m}}
]
)
)
|
 = \overline{(\epsilon)}
)n
)n
)n
)n
)n
\Rightarrow  \{ ph \mathrel{\in} P( \{ ph \mathrel{\in} P( \{ ph \mathrel{\in} P(P(Union(\{N
,Q
\}
)
)
)
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op1)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op2)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\overline{(op1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(op2)}
 \mathrel{\in} Q
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\mathsf {a}
 _{Ph} 
 = \{\{\overline{(op1)}
,\overline{(op1)}
\}
,\{\overline{(op1)}
,\overline{(op2)}
\}
\}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\}
)
\mid \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(r1)}
\colon \overline{(r1)}
 \mathrel{\in} 
\mathsf {f}
 _{Ph} 
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op1)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op2)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\overline{(op1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(op2)}
 \mathrel{\in} Q
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(r1)}
 = \{\{\overline{(op1)}
,\overline{(op1)}
\}
,\{\overline{(op1)}
,\overline{(op2)}
\}
\}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(f1)}
\colon 
\forall_{obj} \overline{(f2)}
\colon 
\forall_{obj} \overline{(f3)}
\colon 
\forall_{obj} \overline{(f4)}
\colon \{\{\overline{(f1)}
,\overline{(f1)}
\}
,\{\overline{(f1)}
,\overline{(f2)}
\}
\}
 \mathrel{\in} 
\mathsf {f}
 _{Ph} 
\Rightarrow \{\{\overline{(f3)}
,\overline{(f3)}
\}
,\{\overline{(f3)}
,\overline{(f4)}
\}
\}
 \mathrel{\in} 
\mathsf {f}
 _{Ph} 
\Rightarrow \overline{(f1)}
 = \overline{(f3)}
\Rightarrow \overline{(f2)}
 = \overline{(f4)}
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(s1)}
\colon \overline{(s1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(s2)}
\colon \dot{\neg}\,(\{\{\overline{(s1)}
,\overline{(s1)}
\}
,\{\overline{(s1)}
,\overline{(s2)}
\}
\}
 \mathrel{\in} 
\mathsf {f}
 _{Ph} 
)n
)n
)n
)n
\}
)
\mid 
\forall_{obj} \overline{(\epsilon)}
\colon \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {n}}
\colon \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {m}}
\colon \dot{\neg}\,(0
 <= \overline{(\epsilon)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(0
 = \overline{(\epsilon)}
)n
)n
)n
\Rightarrow \overline{
\mathsf {n}}
 <= \overline{
\mathsf {m}}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(|(\underline{(fx)}
[\overline{
\mathsf {m}}
]
+(-u
\mathsf {d}
 _{Ph} 
[\overline{
\mathsf {m}}
]
)
)
|
 <= \overline{(\epsilon)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(|(\underline{(fx)}
[\overline{
\mathsf {m}}
]
+(-u
\mathsf {d}
 _{Ph} 
[\overline{
\mathsf {m}}
]
)
)
|
 = \overline{(\epsilon)}
)n
)n
)n
)n
)n
\}
 =  \{ ph \mathrel{\in} P( \{ ph \mathrel{\in} P( \{ ph \mathrel{\in} P(P(Union(\{N
,Q
\}
)
)
)
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op1)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op2)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\overline{(op1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(op2)}
 \mathrel{\in} Q
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\mathsf {a}
 _{Ph} 
 = \{\{\overline{(op1)}
,\overline{(op1)}
\}
,\{\overline{(op1)}
,\overline{(op2)}
\}
\}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\}
)
\mid \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(r1)}
\colon \overline{(r1)}
 \mathrel{\in} 
\mathsf {f}
 _{Ph} 
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op1)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op2)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\overline{(op1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(op2)}
 \mathrel{\in} Q
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(r1)}
 = \{\{\overline{(op1)}
,\overline{(op1)}
\}
,\{\overline{(op1)}
,\overline{(op2)}
\}
\}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(f1)}
\colon 
\forall_{obj} \overline{(f2)}
\colon 
\forall_{obj} \overline{(f3)}
\colon 
\forall_{obj} \overline{(f4)}
\colon \{\{\overline{(f1)}
,\overline{(f1)}
\}
,\{\overline{(f1)}
,\overline{(f2)}
\}
\}
 \mathrel{\in} 
\mathsf {f}
 _{Ph} 
\Rightarrow \{\{\overline{(f3)}
,\overline{(f3)}
\}
,\{\overline{(f3)}
,\overline{(f4)}
\}
\}
 \mathrel{\in} 
\mathsf {f}
 _{Ph} 
\Rightarrow \overline{(f1)}
 = \overline{(f3)}
\Rightarrow \overline{(f2)}
 = \overline{(f4)}
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(s1)}
\colon \overline{(s1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(s2)}
\colon \dot{\neg}\,(\{\{\overline{(s1)}
,\overline{(s1)}
\}
,\{\overline{(s1)}
,\overline{(s2)}
\}
\}
 \mathrel{\in} 
\mathsf {f}
 _{Ph} 
)n
)n
)n
)n
\}
)
\mid 
\forall_{obj} \overline{(\epsilon)}
\colon \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {n}}
\colon \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {m}}
\colon \dot{\neg}\,(0
 <= \overline{(\epsilon)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(0
 = \overline{(\epsilon)}
)n
)n
)n
\Rightarrow \overline{
\mathsf {n}}
 <= \overline{
\mathsf {m}}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(|(\underline{(fy)}
[\overline{
\mathsf {m}}
]
+(-u
\mathsf {d}
 _{Ph} 
[\overline{
\mathsf {m}}
]
)
)
|
 <= \overline{(\epsilon)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(|(\underline{(fy)}
[\overline{
\mathsf {m}}
]
+(-u
\mathsf {d}
 _{Ph} 
[\overline{
\mathsf {m}}
]
)
)
|
 = \overline{(\epsilon)}
)n
)n
)n
)n
)n
\}
; \dot{\neg}\,( \{ ph \mathrel{\in} P( \{ ph \mathrel{\in} P( \{ ph \mathrel{\in} P(P(Union(\{N
,Q
\}
)
)
)
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op1)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op2)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\overline{(op1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(op2)}
 \mathrel{\in} Q
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\mathsf {a}
 _{Ph} 
 = \{\{\overline{(op1)}
,\overline{(op1)}
\}
,\{\overline{(op1)}
,\overline{(op2)}
\}
\}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\}
)
\mid \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(r1)}
\colon \overline{(r1)}
 \mathrel{\in} 
\mathsf {f}
 _{Ph} 
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op1)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op2)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\overline{(op1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(op2)}
 \mathrel{\in} Q
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(r1)}
 = \{\{\overline{(op1)}
,\overline{(op1)}
\}
,\{\overline{(op1)}
,\overline{(op2)}
\}
\}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(f1)}
\colon 
\forall_{obj} \overline{(f2)}
\colon 
\forall_{obj} \overline{(f3)}
\colon 
\forall_{obj} \overline{(f4)}
\colon \{\{\overline{(f1)}
,\overline{(f1)}
\}
,\{\overline{(f1)}
,\overline{(f2)}
\}
\}
 \mathrel{\in} 
\mathsf {f}
 _{Ph} 
\Rightarrow \{\{\overline{(f3)}
,\overline{(f3)}
\}
,\{\overline{(f3)}
,\overline{(f4)}
\}
\}
 \mathrel{\in} 
\mathsf {f}
 _{Ph} 
\Rightarrow \overline{(f1)}
 = \overline{(f3)}
\Rightarrow \overline{(f2)}
 = \overline{(f4)}
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(s1)}
\colon \overline{(s1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(s2)}
\colon \dot{\neg}\,(\{\{\overline{(s1)}
,\overline{(s1)}
\}
,\{\overline{(s1)}
,\overline{(s2)}
\}
\}
 \mathrel{\in} 
\mathsf {f}
 _{Ph} 
)n
)n
)n
)n
\}
)
\mid 
\forall_{obj} \overline{(\epsilon)}
\colon \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {n}}
\colon \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {m}}
\colon \dot{\neg}\,(0
 <= \overline{(\epsilon)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(0
 = \overline{(\epsilon)}
)n
)n
)n
\Rightarrow \overline{
\mathsf {n}}
 <= \overline{
\mathsf {m}}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(|(\underline{(fx)}
[\overline{
\mathsf {m}}
]
+(-u
\mathsf {d}
 _{Ph} 
[\overline{
\mathsf {m}}
]
)
)
|
 <= \overline{(\epsilon)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(|(\underline{(fx)}
[\overline{
\mathsf {m}}
]
+(-u
\mathsf {d}
 _{Ph} 
[\overline{
\mathsf {m}}
]
)
)
|
 = \overline{(\epsilon)}
)n
)n
)n
)n
)n
\}
 =  \{ ph \mathrel{\in} P( \{ ph \mathrel{\in} P( \{ ph \mathrel{\in} P(P(Union(\{N
,Q
\}
)
)
)
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op1)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op2)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\overline{(op1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(op2)}
 \mathrel{\in} Q
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\mathsf {a}
 _{Ph} 
 = \{\{\overline{(op1)}
,\overline{(op1)}
\}
,\{\overline{(op1)}
,\overline{(op2)}
\}
\}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\}
)
\mid \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(r1)}
\colon \overline{(r1)}
 \mathrel{\in} 
\mathsf {f}
 _{Ph} 
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op1)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op2)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\overline{(op1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(op2)}
 \mathrel{\in} Q
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(r1)}
 = \{\{\overline{(op1)}
,\overline{(op1)}
\}
,\{\overline{(op1)}
,\overline{(op2)}
\}
\}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(f1)}
\colon 
\forall_{obj} \overline{(f2)}
\colon 
\forall_{obj} \overline{(f3)}
\colon 
\forall_{obj} \overline{(f4)}
\colon \{\{\overline{(f1)}
,\overline{(f1)}
\}
,\{\overline{(f1)}
,\overline{(f2)}
\}
\}
 \mathrel{\in} 
\mathsf {f}
 _{Ph} 
\Rightarrow \{\{\overline{(f3)}
,\overline{(f3)}
\}
,\{\overline{(f3)}
,\overline{(f4)}
\}
\}
 \mathrel{\in} 
\mathsf {f}
 _{Ph} 
\Rightarrow \overline{(f1)}
 = \overline{(f3)}
\Rightarrow \overline{(f2)}
 = \overline{(f4)}
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(s1)}
\colon \overline{(s1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(s2)}
\colon \dot{\neg}\,(\{\{\overline{(s1)}
,\overline{(s1)}
\}
,\{\overline{(s1)}
,\overline{(s2)}
\}
\}
 \mathrel{\in} 
\mathsf {f}
 _{Ph} 
)n
)n
)n
)n
\}
)
\mid 
\forall_{obj} \overline{(\epsilon)}
\colon \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {n}}
\colon \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {m}}
\colon \dot{\neg}\,(0
 <= \overline{(\epsilon)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(0
 = \overline{(\epsilon)}
)n
)n
)n
\Rightarrow \overline{
\mathsf {n}}
 <= \overline{
\mathsf {m}}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(|(\underline{(fy)}
[\overline{
\mathsf {m}}
]
+(-u
\mathsf {d}
 _{Ph} 
[\overline{
\mathsf {m}}
]
)
)
|
 <= \overline{(\epsilon)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(|(\underline{(fy)}
[\overline{
\mathsf {m}}
]
+(-u
\mathsf {d}
 _{Ph} 
[\overline{
\mathsf {m}}
]
)
)
|
 = \overline{(\epsilon)}
)n
)n
)n
)n
)n
\}
)n
\vdash MT
\rhd 
\forall_{obj} \overline{(\epsilon)}
\colon \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {n}}
\colon \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {m}}
\colon \dot{\neg}\,(0
 <= \overline{(\epsilon)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(0
 = \overline{(\epsilon)}
)n
)n
)n
\Rightarrow \overline{
\mathsf {n}}
 <= \overline{
\mathsf {m}}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(|(\underline{(fx)}
[\overline{
\mathsf {m}}
]
+(-u\underline{(fy)}
[\overline{
\mathsf {m}}
]
)
)
|
 <= \overline{(\epsilon)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(|(\underline{(fx)}
[\overline{
\mathsf {m}}
]
+(-u\underline{(fy)}
[\overline{
\mathsf {m}}
]
)
)
|
 = \overline{(\epsilon)}
)n
)n
)n
)n
)n
\Rightarrow  \{ ph \mathrel{\in} P( \{ ph \mathrel{\in} P( \{ ph \mathrel{\in} P(P(Union(\{N
,Q
\}
)
)
)
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op1)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op2)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\overline{(op1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(op2)}
 \mathrel{\in} Q
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\mathsf {a}
 _{Ph} 
 = \{\{\overline{(op1)}
,\overline{(op1)}
\}
,\{\overline{(op1)}
,\overline{(op2)}
\}
\}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\}
)
\mid \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(r1)}
\colon \overline{(r1)}
 \mathrel{\in} 
\mathsf {f}
 _{Ph} 
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op1)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op2)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\overline{(op1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(op2)}
 \mathrel{\in} Q
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(r1)}
 = \{\{\overline{(op1)}
,\overline{(op1)}
\}
,\{\overline{(op1)}
,\overline{(op2)}
\}
\}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(f1)}
\colon 
\forall_{obj} \overline{(f2)}
\colon 
\forall_{obj} \overline{(f3)}
\colon 
\forall_{obj} \overline{(f4)}
\colon \{\{\overline{(f1)}
,\overline{(f1)}
\}
,\{\overline{(f1)}
,\overline{(f2)}
\}
\}
 \mathrel{\in} 
\mathsf {f}
 _{Ph} 
\Rightarrow \{\{\overline{(f3)}
,\overline{(f3)}
\}
,\{\overline{(f3)}
,\overline{(f4)}
\}
\}
 \mathrel{\in} 
\mathsf {f}
 _{Ph} 
\Rightarrow \overline{(f1)}
 = \overline{(f3)}
\Rightarrow \overline{(f2)}
 = \overline{(f4)}
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(s1)}
\colon \overline{(s1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(s2)}
\colon \dot{\neg}\,(\{\{\overline{(s1)}
,\overline{(s1)}
\}
,\{\overline{(s1)}
,\overline{(s2)}
\}
\}
 \mathrel{\in} 
\mathsf {f}
 _{Ph} 
)n
)n
)n
)n
\}
)
\mid 
\forall_{obj} \overline{(\epsilon)}
\colon \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {n}}
\colon \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {m}}
\colon \dot{\neg}\,(0
 <= \overline{(\epsilon)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(0
 = \overline{(\epsilon)}
)n
)n
)n
\Rightarrow \overline{
\mathsf {n}}
 <= \overline{
\mathsf {m}}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(|(\underline{(fx)}
[\overline{
\mathsf {m}}
]
+(-u
\mathsf {d}
 _{Ph} 
[\overline{
\mathsf {m}}
]
)
)
|
 <= \overline{(\epsilon)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(|(\underline{(fx)}
[\overline{
\mathsf {m}}
]
+(-u
\mathsf {d}
 _{Ph} 
[\overline{
\mathsf {m}}
]
)
)
|
 = \overline{(\epsilon)}
)n
)n
)n
)n
)n
\}
 =  \{ ph \mathrel{\in} P( \{ ph \mathrel{\in} P( \{ ph \mathrel{\in} P(P(Union(\{N
,Q
\}
)
)
)
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op1)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op2)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\overline{(op1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(op2)}
 \mathrel{\in} Q
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\mathsf {a}
 _{Ph} 
 = \{\{\overline{(op1)}
,\overline{(op1)}
\}
,\{\overline{(op1)}
,\overline{(op2)}
\}
\}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\}
)
\mid \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(r1)}
\colon \overline{(r1)}
 \mathrel{\in} 
\mathsf {f}
 _{Ph} 
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op1)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op2)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\overline{(op1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(op2)}
 \mathrel{\in} Q
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(r1)}
 = \{\{\overline{(op1)}
,\overline{(op1)}
\}
,\{\overline{(op1)}
,\overline{(op2)}
\}
\}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(f1)}
\colon 
\forall_{obj} \overline{(f2)}
\colon 
\forall_{obj} \overline{(f3)}
\colon 
\forall_{obj} \overline{(f4)}
\colon \{\{\overline{(f1)}
,\overline{(f1)}
\}
,\{\overline{(f1)}
,\overline{(f2)}
\}
\}
 \mathrel{\in} 
\mathsf {f}
 _{Ph} 
\Rightarrow \{\{\overline{(f3)}
,\overline{(f3)}
\}
,\{\overline{(f3)}
,\overline{(f4)}
\}
\}
 \mathrel{\in} 
\mathsf {f}
 _{Ph} 
\Rightarrow \overline{(f1)}
 = \overline{(f3)}
\Rightarrow \overline{(f2)}
 = \overline{(f4)}
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(s1)}
\colon \overline{(s1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(s2)}
\colon \dot{\neg}\,(\{\{\overline{(s1)}
,\overline{(s1)}
\}
,\{\overline{(s1)}
,\overline{(s2)}
\}
\}
 \mathrel{\in} 
\mathsf {f}
 _{Ph} 
)n
)n
)n
)n
\}
)
\mid 
\forall_{obj} \overline{(\epsilon)}
\colon \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {n}}
\colon \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {m}}
\colon \dot{\neg}\,(0
 <= \overline{(\epsilon)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(0
 = \overline{(\epsilon)}
)n
)n
)n
\Rightarrow \overline{
\mathsf {n}}
 <= \overline{
\mathsf {m}}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(|(\underline{(fy)}
[\overline{
\mathsf {m}}
]
+(-u
\mathsf {d}
 _{Ph} 
[\overline{
\mathsf {m}}
]
)
)
|
 <= \overline{(\epsilon)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(|(\underline{(fy)}
[\overline{
\mathsf {m}}
]
+(-u
\mathsf {d}
 _{Ph} 
[\overline{
\mathsf {m}}
]
)
)
|
 = \overline{(\epsilon)}
)n
)n
)n
)n
)n
\}
\rhd \dot{\neg}\,( \{ ph \mathrel{\in} P( \{ ph \mathrel{\in} P( \{ ph \mathrel{\in} P(P(Union(\{N
,Q
\}
)
)
)
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op1)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op2)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\overline{(op1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(op2)}
 \mathrel{\in} Q
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\mathsf {a}
 _{Ph} 
 = \{\{\overline{(op1)}
,\overline{(op1)}
\}
,\{\overline{(op1)}
,\overline{(op2)}
\}
\}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\}
)
\mid \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(r1)}
\colon \overline{(r1)}
 \mathrel{\in} 
\mathsf {f}
 _{Ph} 
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op1)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op2)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\overline{(op1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(op2)}
 \mathrel{\in} Q
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(r1)}
 = \{\{\overline{(op1)}
,\overline{(op1)}
\}
,\{\overline{(op1)}
,\overline{(op2)}
\}
\}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(f1)}
\colon 
\forall_{obj} \overline{(f2)}
\colon 
\forall_{obj} \overline{(f3)}
\colon 
\forall_{obj} \overline{(f4)}
\colon \{\{\overline{(f1)}
,\overline{(f1)}
\}
,\{\overline{(f1)}
,\overline{(f2)}
\}
\}
 \mathrel{\in} 
\mathsf {f}
 _{Ph} 
\Rightarrow \{\{\overline{(f3)}
,\overline{(f3)}
\}
,\{\overline{(f3)}
,\overline{(f4)}
\}
\}
 \mathrel{\in} 
\mathsf {f}
 _{Ph} 
\Rightarrow \overline{(f1)}
 = \overline{(f3)}
\Rightarrow \overline{(f2)}
 = \overline{(f4)}
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(s1)}
\colon \overline{(s1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(s2)}
\colon \dot{\neg}\,(\{\{\overline{(s1)}
,\overline{(s1)}
\}
,\{\overline{(s1)}
,\overline{(s2)}
\}
\}
 \mathrel{\in} 
\mathsf {f}
 _{Ph} 
)n
)n
)n
)n
\}
)
\mid 
\forall_{obj} \overline{(\epsilon)}
\colon \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {n}}
\colon \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {m}}
\colon \dot{\neg}\,(0
 <= \overline{(\epsilon)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(0
 = \overline{(\epsilon)}
)n
)n
)n
\Rightarrow \overline{
\mathsf {n}}
 <= \overline{
\mathsf {m}}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(|(\underline{(fx)}
[\overline{
\mathsf {m}}
]
+(-u
\mathsf {d}
 _{Ph} 
[\overline{
\mathsf {m}}
]
)
)
|
 <= \overline{(\epsilon)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(|(\underline{(fx)}
[\overline{
\mathsf {m}}
]
+(-u
\mathsf {d}
 _{Ph} 
[\overline{
\mathsf {m}}
]
)
)
|
 = \overline{(\epsilon)}
)n
)n
)n
)n
)n
\}
 =  \{ ph \mathrel{\in} P( \{ ph \mathrel{\in} P( \{ ph \mathrel{\in} P(P(Union(\{N
,Q
\}
)
)
)
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op1)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op2)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\overline{(op1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(op2)}
 \mathrel{\in} Q
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\mathsf {a}
 _{Ph} 
 = \{\{\overline{(op1)}
,\overline{(op1)}
\}
,\{\overline{(op1)}
,\overline{(op2)}
\}
\}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\}
)
\mid \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(r1)}
\colon \overline{(r1)}
 \mathrel{\in} 
\mathsf {f}
 _{Ph} 
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op1)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op2)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\overline{(op1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(op2)}
 \mathrel{\in} Q
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(r1)}
 = \{\{\overline{(op1)}
,\overline{(op1)}
\}
,\{\overline{(op1)}
,\overline{(op2)}
\}
\}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(f1)}
\colon 
\forall_{obj} \overline{(f2)}
\colon 
\forall_{obj} \overline{(f3)}
\colon 
\forall_{obj} \overline{(f4)}
\colon \{\{\overline{(f1)}
,\overline{(f1)}
\}
,\{\overline{(f1)}
,\overline{(f2)}
\}
\}
 \mathrel{\in} 
\mathsf {f}
 _{Ph} 
\Rightarrow \{\{\overline{(f3)}
,\overline{(f3)}
\}
,\{\overline{(f3)}
,\overline{(f4)}
\}
\}
 \mathrel{\in} 
\mathsf {f}
 _{Ph} 
\Rightarrow \overline{(f1)}
 = \overline{(f3)}
\Rightarrow \overline{(f2)}
 = \overline{(f4)}
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(s1)}
\colon \overline{(s1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(s2)}
\colon \dot{\neg}\,(\{\{\overline{(s1)}
,\overline{(s1)}
\}
,\{\overline{(s1)}
,\overline{(s2)}
\}
\}
 \mathrel{\in} 
\mathsf {f}
 _{Ph} 
)n
)n
)n
)n
\}
)
\mid 
\forall_{obj} \overline{(\epsilon)}
\colon \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {n}}
\colon \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {m}}
\colon \dot{\neg}\,(0
 <= \overline{(\epsilon)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(0
 = \overline{(\epsilon)}
)n
)n
)n
\Rightarrow \overline{
\mathsf {n}}
 <= \overline{
\mathsf {m}}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(|(\underline{(fy)}
[\overline{
\mathsf {m}}
]
+(-u
\mathsf {d}
 _{Ph} 
[\overline{
\mathsf {m}}
]
)
)
|
 <= \overline{(\epsilon)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(|(\underline{(fy)}
[\overline{
\mathsf {m}}
]
+(-u
\mathsf {d}
 _{Ph} 
[\overline{
\mathsf {m}}
]
)
)
|
 = \overline{(\epsilon)}
)n
)n
)n
)n
)n
\}
)n
\gg \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(\epsilon)}
\colon \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {n}}
\colon \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {m}}
\colon \dot{\neg}\,(0
 <= \overline{(\epsilon)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(0
 = \overline{(\epsilon)}
)n
)n
)n
\Rightarrow \overline{
\mathsf {n}}
 <= \overline{
\mathsf {m}}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(|(\underline{(fx)}
[\overline{
\mathsf {m}}
]
+(-u\underline{(fy)}
[\overline{
\mathsf {m}}
]
)
)
|
 <= \overline{(\epsilon)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(|(\underline{(fx)}
[\overline{
\mathsf {m}}
]
+(-u\underline{(fy)}
[\overline{
\mathsf {m}}
]
)
)
|
 = \overline{(\epsilon)}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\rceil 
, 
p_0
, 
\mathsf {c}
)
]$

$
[ToLess(R)
\stackrel{
stmt
}{\rightarrow}SystemQ
\vdash 
\forall \underline{(fx)}
\colon 
\forall \underline{(fy)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(\epsilon)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {n}}
\colon \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {m}}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(0
 <= \overline{(\epsilon)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(0
 = \overline{(\epsilon)}
)n
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{
\mathsf {n}}
 <= \overline{
\mathsf {m}}
\Rightarrow \underline{(fx)}
[\overline{
\mathsf {m}}
]
 <= (\underline{(fy)}
[\overline{
\mathsf {m}}
]
+(-u\overline{(\epsilon)}
)
)
)n
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\Rightarrow  \{ ph \mathrel{\in} P( \{ ph \mathrel{\in} P( \{ ph \mathrel{\in} P(P(Union(\{N
,Q
\}
)
)
)
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op1)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op2)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\overline{(op1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(op2)}
 \mathrel{\in} Q
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\mathsf {a}
 _{Ph} 
 = \{\{\overline{(op1)}
,\overline{(op1)}
\}
,\{\overline{(op1)}
,\overline{(op2)}
\}
\}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\}
)
\mid \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(r1)}
\colon \overline{(r1)}
 \mathrel{\in} 
\mathsf {f}
 _{Ph} 
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op1)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op2)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\overline{(op1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(op2)}
 \mathrel{\in} Q
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(r1)}
 = \{\{\overline{(op1)}
,\overline{(op1)}
\}
,\{\overline{(op1)}
,\overline{(op2)}
\}
\}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(f1)}
\colon 
\forall_{obj} \overline{(f2)}
\colon 
\forall_{obj} \overline{(f3)}
\colon 
\forall_{obj} \overline{(f4)}
\colon \{\{\overline{(f1)}
,\overline{(f1)}
\}
,\{\overline{(f1)}
,\overline{(f2)}
\}
\}
 \mathrel{\in} 
\mathsf {f}
 _{Ph} 
\Rightarrow \{\{\overline{(f3)}
,\overline{(f3)}
\}
,\{\overline{(f3)}
,\overline{(f4)}
\}
\}
 \mathrel{\in} 
\mathsf {f}
 _{Ph} 
\Rightarrow \overline{(f1)}
 = \overline{(f3)}
\Rightarrow \overline{(f2)}
 = \overline{(f4)}
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(s1)}
\colon \overline{(s1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(s2)}
\colon \dot{\neg}\,(\{\{\overline{(s1)}
,\overline{(s1)}
\}
,\{\overline{(s1)}
,\overline{(s2)}
\}
\}
 \mathrel{\in} 
\mathsf {f}
 _{Ph} 
)n
)n
)n
)n
\}
)
\mid 
\forall_{obj} \overline{(\epsilon)}
\colon \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {n}}
\colon \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {m}}
\colon \dot{\neg}\,(0
 <= \overline{(\epsilon)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(0
 = \overline{(\epsilon)}
)n
)n
)n
\Rightarrow \overline{
\mathsf {n}}
 <= \overline{
\mathsf {m}}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(|(\underline{(fx)}
[\overline{
\mathsf {m}}
]
+(-u
\mathsf {d}
 _{Ph} 
[\overline{
\mathsf {m}}
]
)
)
|
 <= \overline{(\epsilon)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(|(\underline{(fx)}
[\overline{
\mathsf {m}}
]
+(-u
\mathsf {d}
 _{Ph} 
[\overline{
\mathsf {m}}
]
)
)
|
 = \overline{(\epsilon)}
)n
)n
)n
)n
)n
\}
 =  \{ ph \mathrel{\in} P( \{ ph \mathrel{\in} P( \{ ph \mathrel{\in} P(P(Union(\{N
,Q
\}
)
)
)
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op1)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op2)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\overline{(op1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(op2)}
 \mathrel{\in} Q
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\mathsf {a}
 _{Ph} 
 = \{\{\overline{(op1)}
,\overline{(op1)}
\}
,\{\overline{(op1)}
,\overline{(op2)}
\}
\}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\}
)
\mid \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(r1)}
\colon \overline{(r1)}
 \mathrel{\in} 
\mathsf {f}
 _{Ph} 
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op1)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op2)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\overline{(op1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(op2)}
 \mathrel{\in} Q
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(r1)}
 = \{\{\overline{(op1)}
,\overline{(op1)}
\}
,\{\overline{(op1)}
,\overline{(op2)}
\}
\}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(f1)}
\colon 
\forall_{obj} \overline{(f2)}
\colon 
\forall_{obj} \overline{(f3)}
\colon 
\forall_{obj} \overline{(f4)}
\colon \{\{\overline{(f1)}
,\overline{(f1)}
\}
,\{\overline{(f1)}
,\overline{(f2)}
\}
\}
 \mathrel{\in} 
\mathsf {f}
 _{Ph} 
\Rightarrow \{\{\overline{(f3)}
,\overline{(f3)}
\}
,\{\overline{(f3)}
,\overline{(f4)}
\}
\}
 \mathrel{\in} 
\mathsf {f}
 _{Ph} 
\Rightarrow \overline{(f1)}
 = \overline{(f3)}
\Rightarrow \overline{(f2)}
 = \overline{(f4)}
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(s1)}
\colon \overline{(s1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(s2)}
\colon \dot{\neg}\,(\{\{\overline{(s1)}
,\overline{(s1)}
\}
,\{\overline{(s1)}
,\overline{(s2)}
\}
\}
 \mathrel{\in} 
\mathsf {f}
 _{Ph} 
)n
)n
)n
)n
\}
)
\mid 
\forall_{obj} \overline{(\epsilon)}
\colon \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {n}}
\colon \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {m}}
\colon \dot{\neg}\,(0
 <= \overline{(\epsilon)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(0
 = \overline{(\epsilon)}
)n
)n
)n
\Rightarrow \overline{
\mathsf {n}}
 <= \overline{
\mathsf {m}}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(|(\underline{(fy)}
[\overline{
\mathsf {m}}
]
+(-u
\mathsf {d}
 _{Ph} 
[\overline{
\mathsf {m}}
]
)
)
|
 <= \overline{(\epsilon)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(|(\underline{(fy)}
[\overline{
\mathsf {m}}
]
+(-u
\mathsf {d}
 _{Ph} 
[\overline{
\mathsf {m}}
]
)
)
|
 = \overline{(\epsilon)}
)n
)n
)n
)n
)n
\}
)n
\vdash \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(\epsilon)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {n}}
\colon \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {m}}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(0
 <= \overline{(\epsilon)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(0
 = \overline{(\epsilon)}
)n
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{
\mathsf {n}}
 <= \overline{
\mathsf {m}}
\Rightarrow \underline{(fy)}
[\overline{
\mathsf {m}}
]
 <= (\underline{(fx)}
[\overline{
\mathsf {m}}
]
+(-u\overline{(\epsilon)}
)
)
)n
)n
)n
)n
)n
)n
]$

$
[ToLess(R)
\stackrel{
proof
}{\rightarrow}
\lambda 
\mathsf {c}
.
\lambda 
\mathsf{x}
.
{\cal P}( 
\lceil SystemQ
\vdash 
\forall \underline{(fx)}
\colon 
\forall \underline{(fy)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(\epsilon)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {n}}
\colon \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {m}}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(0
 <= \overline{(\epsilon)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(0
 = \overline{(\epsilon)}
)n
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{
\mathsf {n}}
 <= \overline{
\mathsf {m}}
\Rightarrow \underline{(fx)}
[\overline{
\mathsf {m}}
]
 <= (\underline{(fy)}
[\overline{
\mathsf {m}}
]
+(-u\overline{(\epsilon)}
)
)
)n
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\Rightarrow  \{ ph \mathrel{\in} P( \{ ph \mathrel{\in} P( \{ ph \mathrel{\in} P(P(Union(\{N
,Q
\}
)
)
)
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op1)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op2)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\overline{(op1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(op2)}
 \mathrel{\in} Q
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\mathsf {a}
 _{Ph} 
 = \{\{\overline{(op1)}
,\overline{(op1)}
\}
,\{\overline{(op1)}
,\overline{(op2)}
\}
\}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\}
)
\mid \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(r1)}
\colon \overline{(r1)}
 \mathrel{\in} 
\mathsf {f}
 _{Ph} 
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op1)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op2)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\overline{(op1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(op2)}
 \mathrel{\in} Q
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(r1)}
 = \{\{\overline{(op1)}
,\overline{(op1)}
\}
,\{\overline{(op1)}
,\overline{(op2)}
\}
\}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(f1)}
\colon 
\forall_{obj} \overline{(f2)}
\colon 
\forall_{obj} \overline{(f3)}
\colon 
\forall_{obj} \overline{(f4)}
\colon \{\{\overline{(f1)}
,\overline{(f1)}
\}
,\{\overline{(f1)}
,\overline{(f2)}
\}
\}
 \mathrel{\in} 
\mathsf {f}
 _{Ph} 
\Rightarrow \{\{\overline{(f3)}
,\overline{(f3)}
\}
,\{\overline{(f3)}
,\overline{(f4)}
\}
\}
 \mathrel{\in} 
\mathsf {f}
 _{Ph} 
\Rightarrow \overline{(f1)}
 = \overline{(f3)}
\Rightarrow \overline{(f2)}
 = \overline{(f4)}
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(s1)}
\colon \overline{(s1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(s2)}
\colon \dot{\neg}\,(\{\{\overline{(s1)}
,\overline{(s1)}
\}
,\{\overline{(s1)}
,\overline{(s2)}
\}
\}
 \mathrel{\in} 
\mathsf {f}
 _{Ph} 
)n
)n
)n
)n
\}
)
\mid 
\forall_{obj} \overline{(\epsilon)}
\colon \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {n}}
\colon \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {m}}
\colon \dot{\neg}\,(0
 <= \overline{(\epsilon)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(0
 = \overline{(\epsilon)}
)n
)n
)n
\Rightarrow \overline{
\mathsf {n}}
 <= \overline{
\mathsf {m}}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(|(\underline{(fx)}
[\overline{
\mathsf {m}}
]
+(-u
\mathsf {d}
 _{Ph} 
[\overline{
\mathsf {m}}
]
)
)
|
 <= \overline{(\epsilon)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(|(\underline{(fx)}
[\overline{
\mathsf {m}}
]
+(-u
\mathsf {d}
 _{Ph} 
[\overline{
\mathsf {m}}
]
)
)
|
 = \overline{(\epsilon)}
)n
)n
)n
)n
)n
\}
 =  \{ ph \mathrel{\in} P( \{ ph \mathrel{\in} P( \{ ph \mathrel{\in} P(P(Union(\{N
,Q
\}
)
)
)
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op1)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op2)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\overline{(op1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(op2)}
 \mathrel{\in} Q
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\mathsf {a}
 _{Ph} 
 = \{\{\overline{(op1)}
,\overline{(op1)}
\}
,\{\overline{(op1)}
,\overline{(op2)}
\}
\}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\}
)
\mid \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(r1)}
\colon \overline{(r1)}
 \mathrel{\in} 
\mathsf {f}
 _{Ph} 
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op1)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op2)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\overline{(op1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(op2)}
 \mathrel{\in} Q
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(r1)}
 = \{\{\overline{(op1)}
,\overline{(op1)}
\}
,\{\overline{(op1)}
,\overline{(op2)}
\}
\}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(f1)}
\colon 
\forall_{obj} \overline{(f2)}
\colon 
\forall_{obj} \overline{(f3)}
\colon 
\forall_{obj} \overline{(f4)}
\colon \{\{\overline{(f1)}
,\overline{(f1)}
\}
,\{\overline{(f1)}
,\overline{(f2)}
\}
\}
 \mathrel{\in} 
\mathsf {f}
 _{Ph} 
\Rightarrow \{\{\overline{(f3)}
,\overline{(f3)}
\}
,\{\overline{(f3)}
,\overline{(f4)}
\}
\}
 \mathrel{\in} 
\mathsf {f}
 _{Ph} 
\Rightarrow \overline{(f1)}
 = \overline{(f3)}
\Rightarrow \overline{(f2)}
 = \overline{(f4)}
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(s1)}
\colon \overline{(s1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(s2)}
\colon \dot{\neg}\,(\{\{\overline{(s1)}
,\overline{(s1)}
\}
,\{\overline{(s1)}
,\overline{(s2)}
\}
\}
 \mathrel{\in} 
\mathsf {f}
 _{Ph} 
)n
)n
)n
)n
\}
)
\mid 
\forall_{obj} \overline{(\epsilon)}
\colon \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {n}}
\colon \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {m}}
\colon \dot{\neg}\,(0
 <= \overline{(\epsilon)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(0
 = \overline{(\epsilon)}
)n
)n
)n
\Rightarrow \overline{
\mathsf {n}}
 <= \overline{
\mathsf {m}}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(|(\underline{(fy)}
[\overline{
\mathsf {m}}
]
+(-u
\mathsf {d}
 _{Ph} 
[\overline{
\mathsf {m}}
]
)
)
|
 <= \overline{(\epsilon)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(|(\underline{(fy)}
[\overline{
\mathsf {m}}
]
+(-u
\mathsf {d}
 _{Ph} 
[\overline{
\mathsf {m}}
]
)
)
|
 = \overline{(\epsilon)}
)n
)n
)n
)n
)n
\}
)n
\vdash Repetition
\rhd \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(\epsilon)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {n}}
\colon \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {m}}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(0
 <= \overline{(\epsilon)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(0
 = \overline{(\epsilon)}
)n
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{
\mathsf {n}}
 <= \overline{
\mathsf {m}}
\Rightarrow \underline{(fx)}
[\overline{
\mathsf {m}}
]
 <= (\underline{(fy)}
[\overline{
\mathsf {m}}
]
+(-u\overline{(\epsilon)}
)
)
)n
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\Rightarrow  \{ ph \mathrel{\in} P( \{ ph \mathrel{\in} P( \{ ph \mathrel{\in} P(P(Union(\{N
,Q
\}
)
)
)
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op1)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op2)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\overline{(op1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(op2)}
 \mathrel{\in} Q
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\mathsf {a}
 _{Ph} 
 = \{\{\overline{(op1)}
,\overline{(op1)}
\}
,\{\overline{(op1)}
,\overline{(op2)}
\}
\}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\}
)
\mid \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(r1)}
\colon \overline{(r1)}
 \mathrel{\in} 
\mathsf {f}
 _{Ph} 
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op1)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op2)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\overline{(op1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(op2)}
 \mathrel{\in} Q
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(r1)}
 = \{\{\overline{(op1)}
,\overline{(op1)}
\}
,\{\overline{(op1)}
,\overline{(op2)}
\}
\}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(f1)}
\colon 
\forall_{obj} \overline{(f2)}
\colon 
\forall_{obj} \overline{(f3)}
\colon 
\forall_{obj} \overline{(f4)}
\colon \{\{\overline{(f1)}
,\overline{(f1)}
\}
,\{\overline{(f1)}
,\overline{(f2)}
\}
\}
 \mathrel{\in} 
\mathsf {f}
 _{Ph} 
\Rightarrow \{\{\overline{(f3)}
,\overline{(f3)}
\}
,\{\overline{(f3)}
,\overline{(f4)}
\}
\}
 \mathrel{\in} 
\mathsf {f}
 _{Ph} 
\Rightarrow \overline{(f1)}
 = \overline{(f3)}
\Rightarrow \overline{(f2)}
 = \overline{(f4)}
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(s1)}
\colon \overline{(s1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(s2)}
\colon \dot{\neg}\,(\{\{\overline{(s1)}
,\overline{(s1)}
\}
,\{\overline{(s1)}
,\overline{(s2)}
\}
\}
 \mathrel{\in} 
\mathsf {f}
 _{Ph} 
)n
)n
)n
)n
\}
)
\mid 
\forall_{obj} \overline{(\epsilon)}
\colon \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {n}}
\colon \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {m}}
\colon \dot{\neg}\,(0
 <= \overline{(\epsilon)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(0
 = \overline{(\epsilon)}
)n
)n
)n
\Rightarrow \overline{
\mathsf {n}}
 <= \overline{
\mathsf {m}}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(|(\underline{(fx)}
[\overline{
\mathsf {m}}
]
+(-u
\mathsf {d}
 _{Ph} 
[\overline{
\mathsf {m}}
]
)
)
|
 <= \overline{(\epsilon)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(|(\underline{(fx)}
[\overline{
\mathsf {m}}
]
+(-u
\mathsf {d}
 _{Ph} 
[\overline{
\mathsf {m}}
]
)
)
|
 = \overline{(\epsilon)}
)n
)n
)n
)n
)n
\}
 =  \{ ph \mathrel{\in} P( \{ ph \mathrel{\in} P( \{ ph \mathrel{\in} P(P(Union(\{N
,Q
\}
)
)
)
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op1)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op2)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\overline{(op1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(op2)}
 \mathrel{\in} Q
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\mathsf {a}
 _{Ph} 
 = \{\{\overline{(op1)}
,\overline{(op1)}
\}
,\{\overline{(op1)}
,\overline{(op2)}
\}
\}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\}
)
\mid \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(r1)}
\colon \overline{(r1)}
 \mathrel{\in} 
\mathsf {f}
 _{Ph} 
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op1)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op2)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\overline{(op1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(op2)}
 \mathrel{\in} Q
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(r1)}
 = \{\{\overline{(op1)}
,\overline{(op1)}
\}
,\{\overline{(op1)}
,\overline{(op2)}
\}
\}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(f1)}
\colon 
\forall_{obj} \overline{(f2)}
\colon 
\forall_{obj} \overline{(f3)}
\colon 
\forall_{obj} \overline{(f4)}
\colon \{\{\overline{(f1)}
,\overline{(f1)}
\}
,\{\overline{(f1)}
,\overline{(f2)}
\}
\}
 \mathrel{\in} 
\mathsf {f}
 _{Ph} 
\Rightarrow \{\{\overline{(f3)}
,\overline{(f3)}
\}
,\{\overline{(f3)}
,\overline{(f4)}
\}
\}
 \mathrel{\in} 
\mathsf {f}
 _{Ph} 
\Rightarrow \overline{(f1)}
 = \overline{(f3)}
\Rightarrow \overline{(f2)}
 = \overline{(f4)}
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(s1)}
\colon \overline{(s1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(s2)}
\colon \dot{\neg}\,(\{\{\overline{(s1)}
,\overline{(s1)}
\}
,\{\overline{(s1)}
,\overline{(s2)}
\}
\}
 \mathrel{\in} 
\mathsf {f}
 _{Ph} 
)n
)n
)n
)n
\}
)
\mid 
\forall_{obj} \overline{(\epsilon)}
\colon \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {n}}
\colon \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {m}}
\colon \dot{\neg}\,(0
 <= \overline{(\epsilon)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(0
 = \overline{(\epsilon)}
)n
)n
)n
\Rightarrow \overline{
\mathsf {n}}
 <= \overline{
\mathsf {m}}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(|(\underline{(fy)}
[\overline{
\mathsf {m}}
]
+(-u
\mathsf {d}
 _{Ph} 
[\overline{
\mathsf {m}}
]
)
)
|
 <= \overline{(\epsilon)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(|(\underline{(fy)}
[\overline{
\mathsf {m}}
]
+(-u
\mathsf {d}
 _{Ph} 
[\overline{
\mathsf {m}}
]
)
)
|
 = \overline{(\epsilon)}
)n
)n
)n
)n
)n
\}
)n
\gg \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(\epsilon)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {n}}
\colon \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {m}}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(0
 <= \overline{(\epsilon)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(0
 = \overline{(\epsilon)}
)n
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{
\mathsf {n}}
 <= \overline{
\mathsf {m}}
\Rightarrow \underline{(fx)}
[\overline{
\mathsf {m}}
]
 <= (\underline{(fy)}
[\overline{
\mathsf {m}}
]
+(-u\overline{(\epsilon)}
)
)
)n
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\Rightarrow  \{ ph \mathrel{\in} P( \{ ph \mathrel{\in} P( \{ ph \mathrel{\in} P(P(Union(\{N
,Q
\}
)
)
)
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op1)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op2)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\overline{(op1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(op2)}
 \mathrel{\in} Q
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\mathsf {a}
 _{Ph} 
 = \{\{\overline{(op1)}
,\overline{(op1)}
\}
,\{\overline{(op1)}
,\overline{(op2)}
\}
\}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\}
)
\mid \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(r1)}
\colon \overline{(r1)}
 \mathrel{\in} 
\mathsf {f}
 _{Ph} 
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op1)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op2)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\overline{(op1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(op2)}
 \mathrel{\in} Q
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(r1)}
 = \{\{\overline{(op1)}
,\overline{(op1)}
\}
,\{\overline{(op1)}
,\overline{(op2)}
\}
\}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(f1)}
\colon 
\forall_{obj} \overline{(f2)}
\colon 
\forall_{obj} \overline{(f3)}
\colon 
\forall_{obj} \overline{(f4)}
\colon \{\{\overline{(f1)}
,\overline{(f1)}
\}
,\{\overline{(f1)}
,\overline{(f2)}
\}
\}
 \mathrel{\in} 
\mathsf {f}
 _{Ph} 
\Rightarrow \{\{\overline{(f3)}
,\overline{(f3)}
\}
,\{\overline{(f3)}
,\overline{(f4)}
\}
\}
 \mathrel{\in} 
\mathsf {f}
 _{Ph} 
\Rightarrow \overline{(f1)}
 = \overline{(f3)}
\Rightarrow \overline{(f2)}
 = \overline{(f4)}
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(s1)}
\colon \overline{(s1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(s2)}
\colon \dot{\neg}\,(\{\{\overline{(s1)}
,\overline{(s1)}
\}
,\{\overline{(s1)}
,\overline{(s2)}
\}
\}
 \mathrel{\in} 
\mathsf {f}
 _{Ph} 
)n
)n
)n
)n
\}
)
\mid 
\forall_{obj} \overline{(\epsilon)}
\colon \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {n}}
\colon \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {m}}
\colon \dot{\neg}\,(0
 <= \overline{(\epsilon)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(0
 = \overline{(\epsilon)}
)n
)n
)n
\Rightarrow \overline{
\mathsf {n}}
 <= \overline{
\mathsf {m}}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(|(\underline{(fx)}
[\overline{
\mathsf {m}}
]
+(-u
\mathsf {d}
 _{Ph} 
[\overline{
\mathsf {m}}
]
)
)
|
 <= \overline{(\epsilon)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(|(\underline{(fx)}
[\overline{
\mathsf {m}}
]
+(-u
\mathsf {d}
 _{Ph} 
[\overline{
\mathsf {m}}
]
)
)
|
 = \overline{(\epsilon)}
)n
)n
)n
)n
)n
\}
 =  \{ ph \mathrel{\in} P( \{ ph \mathrel{\in} P( \{ ph \mathrel{\in} P(P(Union(\{N
,Q
\}
)
)
)
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op1)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op2)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\overline{(op1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(op2)}
 \mathrel{\in} Q
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\mathsf {a}
 _{Ph} 
 = \{\{\overline{(op1)}
,\overline{(op1)}
\}
,\{\overline{(op1)}
,\overline{(op2)}
\}
\}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\}
)
\mid \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(r1)}
\colon \overline{(r1)}
 \mathrel{\in} 
\mathsf {f}
 _{Ph} 
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op1)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op2)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\overline{(op1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(op2)}
 \mathrel{\in} Q
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(r1)}
 = \{\{\overline{(op1)}
,\overline{(op1)}
\}
,\{\overline{(op1)}
,\overline{(op2)}
\}
\}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(f1)}
\colon 
\forall_{obj} \overline{(f2)}
\colon 
\forall_{obj} \overline{(f3)}
\colon 
\forall_{obj} \overline{(f4)}
\colon \{\{\overline{(f1)}
,\overline{(f1)}
\}
,\{\overline{(f1)}
,\overline{(f2)}
\}
\}
 \mathrel{\in} 
\mathsf {f}
 _{Ph} 
\Rightarrow \{\{\overline{(f3)}
,\overline{(f3)}
\}
,\{\overline{(f3)}
,\overline{(f4)}
\}
\}
 \mathrel{\in} 
\mathsf {f}
 _{Ph} 
\Rightarrow \overline{(f1)}
 = \overline{(f3)}
\Rightarrow \overline{(f2)}
 = \overline{(f4)}
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(s1)}
\colon \overline{(s1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(s2)}
\colon \dot{\neg}\,(\{\{\overline{(s1)}
,\overline{(s1)}
\}
,\{\overline{(s1)}
,\overline{(s2)}
\}
\}
 \mathrel{\in} 
\mathsf {f}
 _{Ph} 
)n
)n
)n
)n
\}
)
\mid 
\forall_{obj} \overline{(\epsilon)}
\colon \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {n}}
\colon \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {m}}
\colon \dot{\neg}\,(0
 <= \overline{(\epsilon)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(0
 = \overline{(\epsilon)}
)n
)n
)n
\Rightarrow \overline{
\mathsf {n}}
 <= \overline{
\mathsf {m}}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(|(\underline{(fy)}
[\overline{
\mathsf {m}}
]
+(-u
\mathsf {d}
 _{Ph} 
[\overline{
\mathsf {m}}
]
)
)
|
 <= \overline{(\epsilon)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(|(\underline{(fy)}
[\overline{
\mathsf {m}}
]
+(-u
\mathsf {d}
 _{Ph} 
[\overline{
\mathsf {m}}
]
)
)
|
 = \overline{(\epsilon)}
)n
)n
)n
)n
)n
\}
)n
; FromNegatedOr
\rhd \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(\epsilon)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {n}}
\colon \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {m}}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(0
 <= \overline{(\epsilon)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(0
 = \overline{(\epsilon)}
)n
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{
\mathsf {n}}
 <= \overline{
\mathsf {m}}
\Rightarrow \underline{(fx)}
[\overline{
\mathsf {m}}
]
 <= (\underline{(fy)}
[\overline{
\mathsf {m}}
]
+(-u\overline{(\epsilon)}
)
)
)n
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\Rightarrow  \{ ph \mathrel{\in} P( \{ ph \mathrel{\in} P( \{ ph \mathrel{\in} P(P(Union(\{N
,Q
\}
)
)
)
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op1)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op2)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\overline{(op1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(op2)}
 \mathrel{\in} Q
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\mathsf {a}
 _{Ph} 
 = \{\{\overline{(op1)}
,\overline{(op1)}
\}
,\{\overline{(op1)}
,\overline{(op2)}
\}
\}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\}
)
\mid \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(r1)}
\colon \overline{(r1)}
 \mathrel{\in} 
\mathsf {f}
 _{Ph} 
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op1)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op2)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\overline{(op1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(op2)}
 \mathrel{\in} Q
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(r1)}
 = \{\{\overline{(op1)}
,\overline{(op1)}
\}
,\{\overline{(op1)}
,\overline{(op2)}
\}
\}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(f1)}
\colon 
\forall_{obj} \overline{(f2)}
\colon 
\forall_{obj} \overline{(f3)}
\colon 
\forall_{obj} \overline{(f4)}
\colon \{\{\overline{(f1)}
,\overline{(f1)}
\}
,\{\overline{(f1)}
,\overline{(f2)}
\}
\}
 \mathrel{\in} 
\mathsf {f}
 _{Ph} 
\Rightarrow \{\{\overline{(f3)}
,\overline{(f3)}
\}
,\{\overline{(f3)}
,\overline{(f4)}
\}
\}
 \mathrel{\in} 
\mathsf {f}
 _{Ph} 
\Rightarrow \overline{(f1)}
 = \overline{(f3)}
\Rightarrow \overline{(f2)}
 = \overline{(f4)}
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(s1)}
\colon \overline{(s1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(s2)}
\colon \dot{\neg}\,(\{\{\overline{(s1)}
,\overline{(s1)}
\}
,\{\overline{(s1)}
,\overline{(s2)}
\}
\}
 \mathrel{\in} 
\mathsf {f}
 _{Ph} 
)n
)n
)n
)n
\}
)
\mid 
\forall_{obj} \overline{(\epsilon)}
\colon \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {n}}
\colon \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {m}}
\colon \dot{\neg}\,(0
 <= \overline{(\epsilon)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(0
 = \overline{(\epsilon)}
)n
)n
)n
\Rightarrow \overline{
\mathsf {n}}
 <= \overline{
\mathsf {m}}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(|(\underline{(fx)}
[\overline{
\mathsf {m}}
]
+(-u
\mathsf {d}
 _{Ph} 
[\overline{
\mathsf {m}}
]
)
)
|
 <= \overline{(\epsilon)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(|(\underline{(fx)}
[\overline{
\mathsf {m}}
]
+(-u
\mathsf {d}
 _{Ph} 
[\overline{
\mathsf {m}}
]
)
)
|
 = \overline{(\epsilon)}
)n
)n
)n
)n
)n
\}
 =  \{ ph \mathrel{\in} P( \{ ph \mathrel{\in} P( \{ ph \mathrel{\in} P(P(Union(\{N
,Q
\}
)
)
)
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op1)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op2)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\overline{(op1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(op2)}
 \mathrel{\in} Q
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\mathsf {a}
 _{Ph} 
 = \{\{\overline{(op1)}
,\overline{(op1)}
\}
,\{\overline{(op1)}
,\overline{(op2)}
\}
\}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\}
)
\mid \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(r1)}
\colon \overline{(r1)}
 \mathrel{\in} 
\mathsf {f}
 _{Ph} 
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op1)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op2)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\overline{(op1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(op2)}
 \mathrel{\in} Q
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(r1)}
 = \{\{\overline{(op1)}
,\overline{(op1)}
\}
,\{\overline{(op1)}
,\overline{(op2)}
\}
\}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(f1)}
\colon 
\forall_{obj} \overline{(f2)}
\colon 
\forall_{obj} \overline{(f3)}
\colon 
\forall_{obj} \overline{(f4)}
\colon \{\{\overline{(f1)}
,\overline{(f1)}
\}
,\{\overline{(f1)}
,\overline{(f2)}
\}
\}
 \mathrel{\in} 
\mathsf {f}
 _{Ph} 
\Rightarrow \{\{\overline{(f3)}
,\overline{(f3)}
\}
,\{\overline{(f3)}
,\overline{(f4)}
\}
\}
 \mathrel{\in} 
\mathsf {f}
 _{Ph} 
\Rightarrow \overline{(f1)}
 = \overline{(f3)}
\Rightarrow \overline{(f2)}
 = \overline{(f4)}
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(s1)}
\colon \overline{(s1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(s2)}
\colon \dot{\neg}\,(\{\{\overline{(s1)}
,\overline{(s1)}
\}
,\{\overline{(s1)}
,\overline{(s2)}
\}
\}
 \mathrel{\in} 
\mathsf {f}
 _{Ph} 
)n
)n
)n
)n
\}
)
\mid 
\forall_{obj} \overline{(\epsilon)}
\colon \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {n}}
\colon \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {m}}
\colon \dot{\neg}\,(0
 <= \overline{(\epsilon)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(0
 = \overline{(\epsilon)}
)n
)n
)n
\Rightarrow \overline{
\mathsf {n}}
 <= \overline{
\mathsf {m}}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(|(\underline{(fy)}
[\overline{
\mathsf {m}}
]
+(-u
\mathsf {d}
 _{Ph} 
[\overline{
\mathsf {m}}
]
)
)
|
 <= \overline{(\epsilon)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(|(\underline{(fy)}
[\overline{
\mathsf {m}}
]
+(-u
\mathsf {d}
 _{Ph} 
[\overline{
\mathsf {m}}
]
)
)
|
 = \overline{(\epsilon)}
)n
)n
)n
)n
)n
\}
)n
\gg \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(\epsilon)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {n}}
\colon \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {m}}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(0
 <= \overline{(\epsilon)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(0
 = \overline{(\epsilon)}
)n
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{
\mathsf {n}}
 <= \overline{
\mathsf {m}}
\Rightarrow \underline{(fx)}
[\overline{
\mathsf {m}}
]
 <= (\underline{(fy)}
[\overline{
\mathsf {m}}
]
+(-u\overline{(\epsilon)}
)
)
)n
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,( \{ ph \mathrel{\in} P( \{ ph \mathrel{\in} P( \{ ph \mathrel{\in} P(P(Union(\{N
,Q
\}
)
)
)
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op1)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op2)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\overline{(op1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(op2)}
 \mathrel{\in} Q
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\mathsf {a}
 _{Ph} 
 = \{\{\overline{(op1)}
,\overline{(op1)}
\}
,\{\overline{(op1)}
,\overline{(op2)}
\}
\}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\}
)
\mid \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(r1)}
\colon \overline{(r1)}
 \mathrel{\in} 
\mathsf {f}
 _{Ph} 
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op1)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op2)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\overline{(op1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(op2)}
 \mathrel{\in} Q
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(r1)}
 = \{\{\overline{(op1)}
,\overline{(op1)}
\}
,\{\overline{(op1)}
,\overline{(op2)}
\}
\}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(f1)}
\colon 
\forall_{obj} \overline{(f2)}
\colon 
\forall_{obj} \overline{(f3)}
\colon 
\forall_{obj} \overline{(f4)}
\colon \{\{\overline{(f1)}
,\overline{(f1)}
\}
,\{\overline{(f1)}
,\overline{(f2)}
\}
\}
 \mathrel{\in} 
\mathsf {f}
 _{Ph} 
\Rightarrow \{\{\overline{(f3)}
,\overline{(f3)}
\}
,\{\overline{(f3)}
,\overline{(f4)}
\}
\}
 \mathrel{\in} 
\mathsf {f}
 _{Ph} 
\Rightarrow \overline{(f1)}
 = \overline{(f3)}
\Rightarrow \overline{(f2)}
 = \overline{(f4)}
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(s1)}
\colon \overline{(s1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(s2)}
\colon \dot{\neg}\,(\{\{\overline{(s1)}
,\overline{(s1)}
\}
,\{\overline{(s1)}
,\overline{(s2)}
\}
\}
 \mathrel{\in} 
\mathsf {f}
 _{Ph} 
)n
)n
)n
)n
\}
)
\mid 
\forall_{obj} \overline{(\epsilon)}
\colon \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {n}}
\colon \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {m}}
\colon \dot{\neg}\,(0
 <= \overline{(\epsilon)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(0
 = \overline{(\epsilon)}
)n
)n
)n
\Rightarrow \overline{
\mathsf {n}}
 <= \overline{
\mathsf {m}}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(|(\underline{(fx)}
[\overline{
\mathsf {m}}
]
+(-u
\mathsf {d}
 _{Ph} 
[\overline{
\mathsf {m}}
]
)
)
|
 <= \overline{(\epsilon)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(|(\underline{(fx)}
[\overline{
\mathsf {m}}
]
+(-u
\mathsf {d}
 _{Ph} 
[\overline{
\mathsf {m}}
]
)
)
|
 = \overline{(\epsilon)}
)n
)n
)n
)n
)n
\}
 =  \{ ph \mathrel{\in} P( \{ ph \mathrel{\in} P( \{ ph \mathrel{\in} P(P(Union(\{N
,Q
\}
)
)
)
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op1)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op2)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\overline{(op1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(op2)}
 \mathrel{\in} Q
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\mathsf {a}
 _{Ph} 
 = \{\{\overline{(op1)}
,\overline{(op1)}
\}
,\{\overline{(op1)}
,\overline{(op2)}
\}
\}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\}
)
\mid \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(r1)}
\colon \overline{(r1)}
 \mathrel{\in} 
\mathsf {f}
 _{Ph} 
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op1)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op2)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\overline{(op1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(op2)}
 \mathrel{\in} Q
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(r1)}
 = \{\{\overline{(op1)}
,\overline{(op1)}
\}
,\{\overline{(op1)}
,\overline{(op2)}
\}
\}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(f1)}
\colon 
\forall_{obj} \overline{(f2)}
\colon 
\forall_{obj} \overline{(f3)}
\colon 
\forall_{obj} \overline{(f4)}
\colon \{\{\overline{(f1)}
,\overline{(f1)}
\}
,\{\overline{(f1)}
,\overline{(f2)}
\}
\}
 \mathrel{\in} 
\mathsf {f}
 _{Ph} 
\Rightarrow \{\{\overline{(f3)}
,\overline{(f3)}
\}
,\{\overline{(f3)}
,\overline{(f4)}
\}
\}
 \mathrel{\in} 
\mathsf {f}
 _{Ph} 
\Rightarrow \overline{(f1)}
 = \overline{(f3)}
\Rightarrow \overline{(f2)}
 = \overline{(f4)}
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(s1)}
\colon \overline{(s1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(s2)}
\colon \dot{\neg}\,(\{\{\overline{(s1)}
,\overline{(s1)}
\}
,\{\overline{(s1)}
,\overline{(s2)}
\}
\}
 \mathrel{\in} 
\mathsf {f}
 _{Ph} 
)n
)n
)n
)n
\}
)
\mid 
\forall_{obj} \overline{(\epsilon)}
\colon \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {n}}
\colon \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {m}}
\colon \dot{\neg}\,(0
 <= \overline{(\epsilon)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(0
 = \overline{(\epsilon)}
)n
)n
)n
\Rightarrow \overline{
\mathsf {n}}
 <= \overline{
\mathsf {m}}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(|(\underline{(fy)}
[\overline{
\mathsf {m}}
]
+(-u
\mathsf {d}
 _{Ph} 
[\overline{
\mathsf {m}}
]
)
)
|
 <= \overline{(\epsilon)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(|(\underline{(fy)}
[\overline{
\mathsf {m}}
]
+(-u
\mathsf {d}
 _{Ph} 
[\overline{
\mathsf {m}}
]
)
)
|
 = \overline{(\epsilon)}
)n
)n
)n
)n
)n
\}
)n
)n
)n
; FirstConjunct
\rhd \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(\epsilon)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {n}}
\colon \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {m}}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(0
 <= \overline{(\epsilon)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(0
 = \overline{(\epsilon)}
)n
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{
\mathsf {n}}
 <= \overline{
\mathsf {m}}
\Rightarrow \underline{(fx)}
[\overline{
\mathsf {m}}
]
 <= (\underline{(fy)}
[\overline{
\mathsf {m}}
]
+(-u\overline{(\epsilon)}
)
)
)n
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,( \{ ph \mathrel{\in} P( \{ ph \mathrel{\in} P( \{ ph \mathrel{\in} P(P(Union(\{N
,Q
\}
)
)
)
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op1)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op2)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\overline{(op1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(op2)}
 \mathrel{\in} Q
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\mathsf {a}
 _{Ph} 
 = \{\{\overline{(op1)}
,\overline{(op1)}
\}
,\{\overline{(op1)}
,\overline{(op2)}
\}
\}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\}
)
\mid \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(r1)}
\colon \overline{(r1)}
 \mathrel{\in} 
\mathsf {f}
 _{Ph} 
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op1)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op2)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\overline{(op1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(op2)}
 \mathrel{\in} Q
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(r1)}
 = \{\{\overline{(op1)}
,\overline{(op1)}
\}
,\{\overline{(op1)}
,\overline{(op2)}
\}
\}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(f1)}
\colon 
\forall_{obj} \overline{(f2)}
\colon 
\forall_{obj} \overline{(f3)}
\colon 
\forall_{obj} \overline{(f4)}
\colon \{\{\overline{(f1)}
,\overline{(f1)}
\}
,\{\overline{(f1)}
,\overline{(f2)}
\}
\}
 \mathrel{\in} 
\mathsf {f}
 _{Ph} 
\Rightarrow \{\{\overline{(f3)}
,\overline{(f3)}
\}
,\{\overline{(f3)}
,\overline{(f4)}
\}
\}
 \mathrel{\in} 
\mathsf {f}
 _{Ph} 
\Rightarrow \overline{(f1)}
 = \overline{(f3)}
\Rightarrow \overline{(f2)}
 = \overline{(f4)}
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(s1)}
\colon \overline{(s1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(s2)}
\colon \dot{\neg}\,(\{\{\overline{(s1)}
,\overline{(s1)}
\}
,\{\overline{(s1)}
,\overline{(s2)}
\}
\}
 \mathrel{\in} 
\mathsf {f}
 _{Ph} 
)n
)n
)n
)n
\}
)
\mid 
\forall_{obj} \overline{(\epsilon)}
\colon \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {n}}
\colon \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {m}}
\colon \dot{\neg}\,(0
 <= \overline{(\epsilon)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(0
 = \overline{(\epsilon)}
)n
)n
)n
\Rightarrow \overline{
\mathsf {n}}
 <= \overline{
\mathsf {m}}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(|(\underline{(fx)}
[\overline{
\mathsf {m}}
]
+(-u
\mathsf {d}
 _{Ph} 
[\overline{
\mathsf {m}}
]
)
)
|
 <= \overline{(\epsilon)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(|(\underline{(fx)}
[\overline{
\mathsf {m}}
]
+(-u
\mathsf {d}
 _{Ph} 
[\overline{
\mathsf {m}}
]
)
)
|
 = \overline{(\epsilon)}
)n
)n
)n
)n
)n
\}
 =  \{ ph \mathrel{\in} P( \{ ph \mathrel{\in} P( \{ ph \mathrel{\in} P(P(Union(\{N
,Q
\}
)
)
)
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op1)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op2)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\overline{(op1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(op2)}
 \mathrel{\in} Q
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\mathsf {a}
 _{Ph} 
 = \{\{\overline{(op1)}
,\overline{(op1)}
\}
,\{\overline{(op1)}
,\overline{(op2)}
\}
\}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\}
)
\mid \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(r1)}
\colon \overline{(r1)}
 \mathrel{\in} 
\mathsf {f}
 _{Ph} 
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op1)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op2)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\overline{(op1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(op2)}
 \mathrel{\in} Q
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(r1)}
 = \{\{\overline{(op1)}
,\overline{(op1)}
\}
,\{\overline{(op1)}
,\overline{(op2)}
\}
\}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(f1)}
\colon 
\forall_{obj} \overline{(f2)}
\colon 
\forall_{obj} \overline{(f3)}
\colon 
\forall_{obj} \overline{(f4)}
\colon \{\{\overline{(f1)}
,\overline{(f1)}
\}
,\{\overline{(f1)}
,\overline{(f2)}
\}
\}
 \mathrel{\in} 
\mathsf {f}
 _{Ph} 
\Rightarrow \{\{\overline{(f3)}
,\overline{(f3)}
\}
,\{\overline{(f3)}
,\overline{(f4)}
\}
\}
 \mathrel{\in} 
\mathsf {f}
 _{Ph} 
\Rightarrow \overline{(f1)}
 = \overline{(f3)}
\Rightarrow \overline{(f2)}
 = \overline{(f4)}
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(s1)}
\colon \overline{(s1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(s2)}
\colon \dot{\neg}\,(\{\{\overline{(s1)}
,\overline{(s1)}
\}
,\{\overline{(s1)}
,\overline{(s2)}
\}
\}
 \mathrel{\in} 
\mathsf {f}
 _{Ph} 
)n
)n
)n
)n
\}
)
\mid 
\forall_{obj} \overline{(\epsilon)}
\colon \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {n}}
\colon \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {m}}
\colon \dot{\neg}\,(0
 <= \overline{(\epsilon)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(0
 = \overline{(\epsilon)}
)n
)n
)n
\Rightarrow \overline{
\mathsf {n}}
 <= \overline{
\mathsf {m}}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(|(\underline{(fy)}
[\overline{
\mathsf {m}}
]
+(-u
\mathsf {d}
 _{Ph} 
[\overline{
\mathsf {m}}
]
)
)
|
 <= \overline{(\epsilon)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(|(\underline{(fy)}
[\overline{
\mathsf {m}}
]
+(-u
\mathsf {d}
 _{Ph} 
[\overline{
\mathsf {m}}
]
)
)
|
 = \overline{(\epsilon)}
)n
)n
)n
)n
)n
\}
)n
)n
)n
\gg \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(\epsilon)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {n}}
\colon \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {m}}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(0
 <= \overline{(\epsilon)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(0
 = \overline{(\epsilon)}
)n
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{
\mathsf {n}}
 <= \overline{
\mathsf {m}}
\Rightarrow \underline{(fx)}
[\overline{
\mathsf {m}}
]
 <= (\underline{(fy)}
[\overline{
\mathsf {m}}
]
+(-u\overline{(\epsilon)}
)
)
)n
)n
)n
)n
)n
)n
)n
; SecondConjunct
\rhd \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(\epsilon)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {n}}
\colon \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {m}}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(0
 <= \overline{(\epsilon)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(0
 = \overline{(\epsilon)}
)n
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{
\mathsf {n}}
 <= \overline{
\mathsf {m}}
\Rightarrow \underline{(fx)}
[\overline{
\mathsf {m}}
]
 <= (\underline{(fy)}
[\overline{
\mathsf {m}}
]
+(-u\overline{(\epsilon)}
)
)
)n
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,( \{ ph \mathrel{\in} P( \{ ph \mathrel{\in} P( \{ ph \mathrel{\in} P(P(Union(\{N
,Q
\}
)
)
)
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op1)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op2)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\overline{(op1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(op2)}
 \mathrel{\in} Q
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\mathsf {a}
 _{Ph} 
 = \{\{\overline{(op1)}
,\overline{(op1)}
\}
,\{\overline{(op1)}
,\overline{(op2)}
\}
\}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\}
)
\mid \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(r1)}
\colon \overline{(r1)}
 \mathrel{\in} 
\mathsf {f}
 _{Ph} 
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op1)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op2)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\overline{(op1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(op2)}
 \mathrel{\in} Q
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(r1)}
 = \{\{\overline{(op1)}
,\overline{(op1)}
\}
,\{\overline{(op1)}
,\overline{(op2)}
\}
\}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(f1)}
\colon 
\forall_{obj} \overline{(f2)}
\colon 
\forall_{obj} \overline{(f3)}
\colon 
\forall_{obj} \overline{(f4)}
\colon \{\{\overline{(f1)}
,\overline{(f1)}
\}
,\{\overline{(f1)}
,\overline{(f2)}
\}
\}
 \mathrel{\in} 
\mathsf {f}
 _{Ph} 
\Rightarrow \{\{\overline{(f3)}
,\overline{(f3)}
\}
,\{\overline{(f3)}
,\overline{(f4)}
\}
\}
 \mathrel{\in} 
\mathsf {f}
 _{Ph} 
\Rightarrow \overline{(f1)}
 = \overline{(f3)}
\Rightarrow \overline{(f2)}
 = \overline{(f4)}
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(s1)}
\colon \overline{(s1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(s2)}
\colon \dot{\neg}\,(\{\{\overline{(s1)}
,\overline{(s1)}
\}
,\{\overline{(s1)}
,\overline{(s2)}
\}
\}
 \mathrel{\in} 
\mathsf {f}
 _{Ph} 
)n
)n
)n
)n
\}
)
\mid 
\forall_{obj} \overline{(\epsilon)}
\colon \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {n}}
\colon \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {m}}
\colon \dot{\neg}\,(0
 <= \overline{(\epsilon)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(0
 = \overline{(\epsilon)}
)n
)n
)n
\Rightarrow \overline{
\mathsf {n}}
 <= \overline{
\mathsf {m}}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(|(\underline{(fx)}
[\overline{
\mathsf {m}}
]
+(-u
\mathsf {d}
 _{Ph} 
[\overline{
\mathsf {m}}
]
)
)
|
 <= \overline{(\epsilon)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(|(\underline{(fx)}
[\overline{
\mathsf {m}}
]
+(-u
\mathsf {d}
 _{Ph} 
[\overline{
\mathsf {m}}
]
)
)
|
 = \overline{(\epsilon)}
)n
)n
)n
)n
)n
\}
 =  \{ ph \mathrel{\in} P( \{ ph \mathrel{\in} P( \{ ph \mathrel{\in} P(P(Union(\{N
,Q
\}
)
)
)
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op1)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op2)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\overline{(op1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(op2)}
 \mathrel{\in} Q
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\mathsf {a}
 _{Ph} 
 = \{\{\overline{(op1)}
,\overline{(op1)}
\}
,\{\overline{(op1)}
,\overline{(op2)}
\}
\}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\}
)
\mid \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(r1)}
\colon \overline{(r1)}
 \mathrel{\in} 
\mathsf {f}
 _{Ph} 
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op1)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op2)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\overline{(op1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(op2)}
 \mathrel{\in} Q
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(r1)}
 = \{\{\overline{(op1)}
,\overline{(op1)}
\}
,\{\overline{(op1)}
,\overline{(op2)}
\}
\}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(f1)}
\colon 
\forall_{obj} \overline{(f2)}
\colon 
\forall_{obj} \overline{(f3)}
\colon 
\forall_{obj} \overline{(f4)}
\colon \{\{\overline{(f1)}
,\overline{(f1)}
\}
,\{\overline{(f1)}
,\overline{(f2)}
\}
\}
 \mathrel{\in} 
\mathsf {f}
 _{Ph} 
\Rightarrow \{\{\overline{(f3)}
,\overline{(f3)}
\}
,\{\overline{(f3)}
,\overline{(f4)}
\}
\}
 \mathrel{\in} 
\mathsf {f}
 _{Ph} 
\Rightarrow \overline{(f1)}
 = \overline{(f3)}
\Rightarrow \overline{(f2)}
 = \overline{(f4)}
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(s1)}
\colon \overline{(s1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(s2)}
\colon \dot{\neg}\,(\{\{\overline{(s1)}
,\overline{(s1)}
\}
,\{\overline{(s1)}
,\overline{(s2)}
\}
\}
 \mathrel{\in} 
\mathsf {f}
 _{Ph} 
)n
)n
)n
)n
\}
)
\mid 
\forall_{obj} \overline{(\epsilon)}
\colon \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {n}}
\colon \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {m}}
\colon \dot{\neg}\,(0
 <= \overline{(\epsilon)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(0
 = \overline{(\epsilon)}
)n
)n
)n
\Rightarrow \overline{
\mathsf {n}}
 <= \overline{
\mathsf {m}}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(|(\underline{(fy)}
[\overline{
\mathsf {m}}
]
+(-u
\mathsf {d}
 _{Ph} 
[\overline{
\mathsf {m}}
]
)
)
|
 <= \overline{(\epsilon)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(|(\underline{(fy)}
[\overline{
\mathsf {m}}
]
+(-u
\mathsf {d}
 _{Ph} 
[\overline{
\mathsf {m}}
]
)
)
|
 = \overline{(\epsilon)}
)n
)n
)n
)n
)n
\}
)n
)n
)n
\gg \dot{\neg}\,( \{ ph \mathrel{\in} P( \{ ph \mathrel{\in} P( \{ ph \mathrel{\in} P(P(Union(\{N
,Q
\}
)
)
)
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op1)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op2)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\overline{(op1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(op2)}
 \mathrel{\in} Q
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\mathsf {a}
 _{Ph} 
 = \{\{\overline{(op1)}
,\overline{(op1)}
\}
,\{\overline{(op1)}
,\overline{(op2)}
\}
\}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\}
)
\mid \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(r1)}
\colon \overline{(r1)}
 \mathrel{\in} 
\mathsf {f}
 _{Ph} 
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op1)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op2)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\overline{(op1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(op2)}
 \mathrel{\in} Q
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(r1)}
 = \{\{\overline{(op1)}
,\overline{(op1)}
\}
,\{\overline{(op1)}
,\overline{(op2)}
\}
\}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(f1)}
\colon 
\forall_{obj} \overline{(f2)}
\colon 
\forall_{obj} \overline{(f3)}
\colon 
\forall_{obj} \overline{(f4)}
\colon \{\{\overline{(f1)}
,\overline{(f1)}
\}
,\{\overline{(f1)}
,\overline{(f2)}
\}
\}
 \mathrel{\in} 
\mathsf {f}
 _{Ph} 
\Rightarrow \{\{\overline{(f3)}
,\overline{(f3)}
\}
,\{\overline{(f3)}
,\overline{(f4)}
\}
\}
 \mathrel{\in} 
\mathsf {f}
 _{Ph} 
\Rightarrow \overline{(f1)}
 = \overline{(f3)}
\Rightarrow \overline{(f2)}
 = \overline{(f4)}
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(s1)}
\colon \overline{(s1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(s2)}
\colon \dot{\neg}\,(\{\{\overline{(s1)}
,\overline{(s1)}
\}
,\{\overline{(s1)}
,\overline{(s2)}
\}
\}
 \mathrel{\in} 
\mathsf {f}
 _{Ph} 
)n
)n
)n
)n
\}
)
\mid 
\forall_{obj} \overline{(\epsilon)}
\colon \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {n}}
\colon \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {m}}
\colon \dot{\neg}\,(0
 <= \overline{(\epsilon)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(0
 = \overline{(\epsilon)}
)n
)n
)n
\Rightarrow \overline{
\mathsf {n}}
 <= \overline{
\mathsf {m}}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(|(\underline{(fx)}
[\overline{
\mathsf {m}}
]
+(-u
\mathsf {d}
 _{Ph} 
[\overline{
\mathsf {m}}
]
)
)
|
 <= \overline{(\epsilon)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(|(\underline{(fx)}
[\overline{
\mathsf {m}}
]
+(-u
\mathsf {d}
 _{Ph} 
[\overline{
\mathsf {m}}
]
)
)
|
 = \overline{(\epsilon)}
)n
)n
)n
)n
)n
\}
 =  \{ ph \mathrel{\in} P( \{ ph \mathrel{\in} P( \{ ph \mathrel{\in} P(P(Union(\{N
,Q
\}
)
)
)
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op1)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op2)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\overline{(op1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(op2)}
 \mathrel{\in} Q
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\mathsf {a}
 _{Ph} 
 = \{\{\overline{(op1)}
,\overline{(op1)}
\}
,\{\overline{(op1)}
,\overline{(op2)}
\}
\}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\}
)
\mid \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(r1)}
\colon \overline{(r1)}
 \mathrel{\in} 
\mathsf {f}
 _{Ph} 
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op1)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op2)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\overline{(op1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(op2)}
 \mathrel{\in} Q
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(r1)}
 = \{\{\overline{(op1)}
,\overline{(op1)}
\}
,\{\overline{(op1)}
,\overline{(op2)}
\}
\}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(f1)}
\colon 
\forall_{obj} \overline{(f2)}
\colon 
\forall_{obj} \overline{(f3)}
\colon 
\forall_{obj} \overline{(f4)}
\colon \{\{\overline{(f1)}
,\overline{(f1)}
\}
,\{\overline{(f1)}
,\overline{(f2)}
\}
\}
 \mathrel{\in} 
\mathsf {f}
 _{Ph} 
\Rightarrow \{\{\overline{(f3)}
,\overline{(f3)}
\}
,\{\overline{(f3)}
,\overline{(f4)}
\}
\}
 \mathrel{\in} 
\mathsf {f}
 _{Ph} 
\Rightarrow \overline{(f1)}
 = \overline{(f3)}
\Rightarrow \overline{(f2)}
 = \overline{(f4)}
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(s1)}
\colon \overline{(s1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(s2)}
\colon \dot{\neg}\,(\{\{\overline{(s1)}
,\overline{(s1)}
\}
,\{\overline{(s1)}
,\overline{(s2)}
\}
\}
 \mathrel{\in} 
\mathsf {f}
 _{Ph} 
)n
)n
)n
)n
\}
)
\mid 
\forall_{obj} \overline{(\epsilon)}
\colon \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {n}}
\colon \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {m}}
\colon \dot{\neg}\,(0
 <= \overline{(\epsilon)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(0
 = \overline{(\epsilon)}
)n
)n
)n
\Rightarrow \overline{
\mathsf {n}}
 <= \overline{
\mathsf {m}}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(|(\underline{(fy)}
[\overline{
\mathsf {m}}
]
+(-u
\mathsf {d}
 _{Ph} 
[\overline{
\mathsf {m}}
]
)
)
|
 <= \overline{(\epsilon)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(|(\underline{(fy)}
[\overline{
\mathsf {m}}
]
+(-u
\mathsf {d}
 _{Ph} 
[\overline{
\mathsf {m}}
]
)
)
|
 = \overline{(\epsilon)}
)n
)n
)n
)n
)n
\}
)n
; FromNot<<
\rhd \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(\epsilon)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {n}}
\colon \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {m}}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(0
 <= \overline{(\epsilon)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(0
 = \overline{(\epsilon)}
)n
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{
\mathsf {n}}
 <= \overline{
\mathsf {m}}
\Rightarrow \underline{(fx)}
[\overline{
\mathsf {m}}
]
 <= (\underline{(fy)}
[\overline{
\mathsf {m}}
]
+(-u\overline{(\epsilon)}
)
)
)n
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\gg \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(\epsilon)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {n}}
\colon \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {m}}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(0
 <= \overline{(\epsilon)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(0
 = \overline{(\epsilon)}
)n
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{
\mathsf {n}}
 <= \overline{
\mathsf {m}}
\Rightarrow \underline{(fx)}
[\overline{
\mathsf {m}}
]
 <= (\underline{(fy)}
[\overline{
\mathsf {m}}
]
+(-u\overline{(\epsilon)}
)
)
)n
)n
)n
)n
)n
)n
)n
; From!!==
\rhd \dot{\neg}\,( \{ ph \mathrel{\in} P( \{ ph \mathrel{\in} P( \{ ph \mathrel{\in} P(P(Union(\{N
,Q
\}
)
)
)
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op1)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op2)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\overline{(op1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(op2)}
 \mathrel{\in} Q
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\mathsf {a}
 _{Ph} 
 = \{\{\overline{(op1)}
,\overline{(op1)}
\}
,\{\overline{(op1)}
,\overline{(op2)}
\}
\}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\}
)
\mid \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(r1)}
\colon \overline{(r1)}
 \mathrel{\in} 
\mathsf {f}
 _{Ph} 
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op1)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op2)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\overline{(op1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(op2)}
 \mathrel{\in} Q
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(r1)}
 = \{\{\overline{(op1)}
,\overline{(op1)}
\}
,\{\overline{(op1)}
,\overline{(op2)}
\}
\}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(f1)}
\colon 
\forall_{obj} \overline{(f2)}
\colon 
\forall_{obj} \overline{(f3)}
\colon 
\forall_{obj} \overline{(f4)}
\colon \{\{\overline{(f1)}
,\overline{(f1)}
\}
,\{\overline{(f1)}
,\overline{(f2)}
\}
\}
 \mathrel{\in} 
\mathsf {f}
 _{Ph} 
\Rightarrow \{\{\overline{(f3)}
,\overline{(f3)}
\}
,\{\overline{(f3)}
,\overline{(f4)}
\}
\}
 \mathrel{\in} 
\mathsf {f}
 _{Ph} 
\Rightarrow \overline{(f1)}
 = \overline{(f3)}
\Rightarrow \overline{(f2)}
 = \overline{(f4)}
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(s1)}
\colon \overline{(s1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(s2)}
\colon \dot{\neg}\,(\{\{\overline{(s1)}
,\overline{(s1)}
\}
,\{\overline{(s1)}
,\overline{(s2)}
\}
\}
 \mathrel{\in} 
\mathsf {f}
 _{Ph} 
)n
)n
)n
)n
\}
)
\mid 
\forall_{obj} \overline{(\epsilon)}
\colon \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {n}}
\colon \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {m}}
\colon \dot{\neg}\,(0
 <= \overline{(\epsilon)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(0
 = \overline{(\epsilon)}
)n
)n
)n
\Rightarrow \overline{
\mathsf {n}}
 <= \overline{
\mathsf {m}}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(|(\underline{(fx)}
[\overline{
\mathsf {m}}
]
+(-u
\mathsf {d}
 _{Ph} 
[\overline{
\mathsf {m}}
]
)
)
|
 <= \overline{(\epsilon)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(|(\underline{(fx)}
[\overline{
\mathsf {m}}
]
+(-u
\mathsf {d}
 _{Ph} 
[\overline{
\mathsf {m}}
]
)
)
|
 = \overline{(\epsilon)}
)n
)n
)n
)n
)n
\}
 =  \{ ph \mathrel{\in} P( \{ ph \mathrel{\in} P( \{ ph \mathrel{\in} P(P(Union(\{N
,Q
\}
)
)
)
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op1)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op2)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\overline{(op1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(op2)}
 \mathrel{\in} Q
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\mathsf {a}
 _{Ph} 
 = \{\{\overline{(op1)}
,\overline{(op1)}
\}
,\{\overline{(op1)}
,\overline{(op2)}
\}
\}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\}
)
\mid \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(r1)}
\colon \overline{(r1)}
 \mathrel{\in} 
\mathsf {f}
 _{Ph} 
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op1)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op2)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\overline{(op1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(op2)}
 \mathrel{\in} Q
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(r1)}
 = \{\{\overline{(op1)}
,\overline{(op1)}
\}
,\{\overline{(op1)}
,\overline{(op2)}
\}
\}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(f1)}
\colon 
\forall_{obj} \overline{(f2)}
\colon 
\forall_{obj} \overline{(f3)}
\colon 
\forall_{obj} \overline{(f4)}
\colon \{\{\overline{(f1)}
,\overline{(f1)}
\}
,\{\overline{(f1)}
,\overline{(f2)}
\}
\}
 \mathrel{\in} 
\mathsf {f}
 _{Ph} 
\Rightarrow \{\{\overline{(f3)}
,\overline{(f3)}
\}
,\{\overline{(f3)}
,\overline{(f4)}
\}
\}
 \mathrel{\in} 
\mathsf {f}
 _{Ph} 
\Rightarrow \overline{(f1)}
 = \overline{(f3)}
\Rightarrow \overline{(f2)}
 = \overline{(f4)}
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(s1)}
\colon \overline{(s1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(s2)}
\colon \dot{\neg}\,(\{\{\overline{(s1)}
,\overline{(s1)}
\}
,\{\overline{(s1)}
,\overline{(s2)}
\}
\}
 \mathrel{\in} 
\mathsf {f}
 _{Ph} 
)n
)n
)n
)n
\}
)
\mid 
\forall_{obj} \overline{(\epsilon)}
\colon \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {n}}
\colon \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {m}}
\colon \dot{\neg}\,(0
 <= \overline{(\epsilon)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(0
 = \overline{(\epsilon)}
)n
)n
)n
\Rightarrow \overline{
\mathsf {n}}
 <= \overline{
\mathsf {m}}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(|(\underline{(fy)}
[\overline{
\mathsf {m}}
]
+(-u
\mathsf {d}
 _{Ph} 
[\overline{
\mathsf {m}}
]
)
)
|
 <= \overline{(\epsilon)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(|(\underline{(fy)}
[\overline{
\mathsf {m}}
]
+(-u
\mathsf {d}
 _{Ph} 
[\overline{
\mathsf {m}}
]
)
)
|
 = \overline{(\epsilon)}
)n
)n
)n
)n
)n
\}
)n
\gg \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(\epsilon)}
\colon \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {n}}
\colon \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {m}}
\colon \dot{\neg}\,(0
 <= \overline{(\epsilon)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(0
 = \overline{(\epsilon)}
)n
)n
)n
\Rightarrow \overline{
\mathsf {n}}
 <= \overline{
\mathsf {m}}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(|(\underline{(fx)}
[\overline{
\mathsf {m}}
]
+(-u\underline{(fy)}
[\overline{
\mathsf {m}}
]
)
)
|
 <= \overline{(\epsilon)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(|(\underline{(fx)}
[\overline{
\mathsf {m}}
]
+(-u\underline{(fy)}
[\overline{
\mathsf {m}}
]
)
)
|
 = \overline{(\epsilon)}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
; JoinConjuncts
\rhd \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(\epsilon)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {n}}
\colon \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {m}}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(0
 <= \overline{(\epsilon)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(0
 = \overline{(\epsilon)}
)n
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{
\mathsf {n}}
 <= \overline{
\mathsf {m}}
\Rightarrow \underline{(fx)}
[\overline{
\mathsf {m}}
]
 <= (\underline{(fy)}
[\overline{
\mathsf {m}}
]
+(-u\overline{(\epsilon)}
)
)
)n
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\rhd \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(\epsilon)}
\colon \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {n}}
\colon \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {m}}
\colon \dot{\neg}\,(0
 <= \overline{(\epsilon)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(0
 = \overline{(\epsilon)}
)n
)n
)n
\Rightarrow \overline{
\mathsf {n}}
 <= \overline{
\mathsf {m}}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(|(\underline{(fx)}
[\overline{
\mathsf {m}}
]
+(-u\underline{(fy)}
[\overline{
\mathsf {m}}
]
)
)
|
 <= \overline{(\epsilon)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(|(\underline{(fx)}
[\overline{
\mathsf {m}}
]
+(-u\underline{(fy)}
[\overline{
\mathsf {m}}
]
)
)
|
 = \overline{(\epsilon)}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\gg \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(\epsilon)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {n}}
\colon \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {m}}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(0
 <= \overline{(\epsilon)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(0
 = \overline{(\epsilon)}
)n
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{
\mathsf {n}}
 <= \overline{
\mathsf {m}}
\Rightarrow \underline{(fx)}
[\overline{
\mathsf {m}}
]
 <= (\underline{(fy)}
[\overline{
\mathsf {m}}
]
+(-u\overline{(\epsilon)}
)
)
)n
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(\epsilon)}
\colon \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {n}}
\colon \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {m}}
\colon \dot{\neg}\,(0
 <= \overline{(\epsilon)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(0
 = \overline{(\epsilon)}
)n
)n
)n
\Rightarrow \overline{
\mathsf {n}}
 <= \overline{
\mathsf {m}}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(|(\underline{(fx)}
[\overline{
\mathsf {m}}
]
+(-u\underline{(fy)}
[\overline{
\mathsf {m}}
]
)
)
|
 <= \overline{(\epsilon)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(|(\underline{(fx)}
[\overline{
\mathsf {m}}
]
+(-u\underline{(fy)}
[\overline{
\mathsf {m}}
]
)
)
|
 = \overline{(\epsilon)}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
)n
)n
; ToNegatedOr
\rhd \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(\epsilon)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {n}}
\colon \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {m}}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(0
 <= \overline{(\epsilon)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(0
 = \overline{(\epsilon)}
)n
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{
\mathsf {n}}
 <= \overline{
\mathsf {m}}
\Rightarrow \underline{(fx)}
[\overline{
\mathsf {m}}
]
 <= (\underline{(fy)}
[\overline{
\mathsf {m}}
]
+(-u\overline{(\epsilon)}
)
)
)n
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(\epsilon)}
\colon \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {n}}
\colon \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {m}}
\colon \dot{\neg}\,(0
 <= \overline{(\epsilon)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(0
 = \overline{(\epsilon)}
)n
)n
)n
\Rightarrow \overline{
\mathsf {n}}
 <= \overline{
\mathsf {m}}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(|(\underline{(fx)}
[\overline{
\mathsf {m}}
]
+(-u\underline{(fy)}
[\overline{
\mathsf {m}}
]
)
)
|
 <= \overline{(\epsilon)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(|(\underline{(fx)}
[\overline{
\mathsf {m}}
]
+(-u\underline{(fy)}
[\overline{
\mathsf {m}}
]
)
)
|
 = \overline{(\epsilon)}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\gg \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(\epsilon)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {n}}
\colon \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {m}}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(0
 <= \overline{(\epsilon)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(0
 = \overline{(\epsilon)}
)n
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{
\mathsf {n}}
 <= \overline{
\mathsf {m}}
\Rightarrow \underline{(fx)}
[\overline{
\mathsf {m}}
]
 <= (\underline{(fy)}
[\overline{
\mathsf {m}}
]
+(-u\overline{(\epsilon)}
)
)
)n
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\Rightarrow 
\forall_{obj} \overline{(\epsilon)}
\colon \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {n}}
\colon \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {m}}
\colon \dot{\neg}\,(0
 <= \overline{(\epsilon)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(0
 = \overline{(\epsilon)}
)n
)n
)n
\Rightarrow \overline{
\mathsf {n}}
 <= \overline{
\mathsf {m}}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(|(\underline{(fx)}
[\overline{
\mathsf {m}}
]
+(-u\underline{(fy)}
[\overline{
\mathsf {m}}
]
)
)
|
 <= \overline{(\epsilon)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(|(\underline{(fx)}
[\overline{
\mathsf {m}}
]
+(-u\underline{(fy)}
[\overline{
\mathsf {m}}
]
)
)
|
 = \overline{(\epsilon)}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
; Repetition
\rhd \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(\epsilon)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {n}}
\colon \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {m}}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(0
 <= \overline{(\epsilon)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(0
 = \overline{(\epsilon)}
)n
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{
\mathsf {n}}
 <= \overline{
\mathsf {m}}
\Rightarrow \underline{(fx)}
[\overline{
\mathsf {m}}
]
 <= (\underline{(fy)}
[\overline{
\mathsf {m}}
]
+(-u\overline{(\epsilon)}
)
)
)n
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\Rightarrow 
\forall_{obj} \overline{(\epsilon)}
\colon \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {n}}
\colon \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {m}}
\colon \dot{\neg}\,(0
 <= \overline{(\epsilon)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(0
 = \overline{(\epsilon)}
)n
)n
)n
\Rightarrow \overline{
\mathsf {n}}
 <= \overline{
\mathsf {m}}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(|(\underline{(fx)}
[\overline{
\mathsf {m}}
]
+(-u\underline{(fy)}
[\overline{
\mathsf {m}}
]
)
)
|
 <= \overline{(\epsilon)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(|(\underline{(fx)}
[\overline{
\mathsf {m}}
]
+(-u\underline{(fy)}
[\overline{
\mathsf {m}}
]
)
)
|
 = \overline{(\epsilon)}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\gg \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(\epsilon)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {n}}
\colon \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {m}}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(0
 <= \overline{(\epsilon)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(0
 = \overline{(\epsilon)}
)n
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{
\mathsf {n}}
 <= \overline{
\mathsf {m}}
\Rightarrow \underline{(fx)}
[\overline{
\mathsf {m}}
]
 <= (\underline{(fy)}
[\overline{
\mathsf {m}}
]
+(-u\overline{(\epsilon)}
)
)
)n
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\Rightarrow 
\forall_{obj} \overline{(\epsilon)}
\colon \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {n}}
\colon \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {m}}
\colon \dot{\neg}\,(0
 <= \overline{(\epsilon)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(0
 = \overline{(\epsilon)}
)n
)n
)n
\Rightarrow \overline{
\mathsf {n}}
 <= \overline{
\mathsf {m}}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(|(\underline{(fx)}
[\overline{
\mathsf {m}}
]
+(-u\underline{(fy)}
[\overline{
\mathsf {m}}
]
)
)
|
 <= \overline{(\epsilon)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(|(\underline{(fx)}
[\overline{
\mathsf {m}}
]
+(-u\underline{(fy)}
[\overline{
\mathsf {m}}
]
)
)
|
 = \overline{(\epsilon)}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
; ToLess(F)
\rhd \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(\epsilon)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {n}}
\colon \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {m}}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(0
 <= \overline{(\epsilon)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(0
 = \overline{(\epsilon)}
)n
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{
\mathsf {n}}
 <= \overline{
\mathsf {m}}
\Rightarrow \underline{(fx)}
[\overline{
\mathsf {m}}
]
 <= (\underline{(fy)}
[\overline{
\mathsf {m}}
]
+(-u\overline{(\epsilon)}
)
)
)n
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\Rightarrow 
\forall_{obj} \overline{(\epsilon)}
\colon \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {n}}
\colon \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {m}}
\colon \dot{\neg}\,(0
 <= \overline{(\epsilon)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(0
 = \overline{(\epsilon)}
)n
)n
)n
\Rightarrow \overline{
\mathsf {n}}
 <= \overline{
\mathsf {m}}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(|(\underline{(fx)}
[\overline{
\mathsf {m}}
]
+(-u\underline{(fy)}
[\overline{
\mathsf {m}}
]
)
)
|
 <= \overline{(\epsilon)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(|(\underline{(fx)}
[\overline{
\mathsf {m}}
]
+(-u\underline{(fy)}
[\overline{
\mathsf {m}}
]
)
)
|
 = \overline{(\epsilon)}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\gg \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(\epsilon)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {n}}
\colon \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {m}}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(0
 <= \overline{(\epsilon)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(0
 = \overline{(\epsilon)}
)n
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{
\mathsf {n}}
 <= \overline{
\mathsf {m}}
\Rightarrow \underline{(fy)}
[\overline{
\mathsf {m}}
]
 <= (\underline{(fx)}
[\overline{
\mathsf {m}}
]
+(-u\overline{(\epsilon)}
)
)
)n
)n
)n
)n
)n
)n
; Repetition
\rhd \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(\epsilon)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {n}}
\colon \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {m}}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(0
 <= \overline{(\epsilon)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(0
 = \overline{(\epsilon)}
)n
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{
\mathsf {n}}
 <= \overline{
\mathsf {m}}
\Rightarrow \underline{(fy)}
[\overline{
\mathsf {m}}
]
 <= (\underline{(fx)}
[\overline{
\mathsf {m}}
]
+(-u\overline{(\epsilon)}
)
)
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\gg \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(\epsilon)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {n}}
\colon \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {m}}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(0
 <= \overline{(\epsilon)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(0
 = \overline{(\epsilon)}
)n
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{
\mathsf {n}}
 <= \overline{
\mathsf {m}}
\Rightarrow \underline{(fy)}
[\overline{
\mathsf {m}}
]
 <= (\underline{(fx)}
[\overline{
\mathsf {m}}
]
+(-u\overline{(\epsilon)}
)
)
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\rceil 
, 
p_0
, 
\mathsf {c}
)
]$

$
[FromNotLess(R)
\stackrel{
stmt
}{\rightarrow}SystemQ
\vdash 
\forall \underline{(fx)}
\colon 
\forall \underline{(fy)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(\epsilon)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {n}}
\colon \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {m}}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(0
 <= \overline{(\epsilon)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(0
 = \overline{(\epsilon)}
)n
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{
\mathsf {n}}
 <= \overline{
\mathsf {m}}
\Rightarrow \underline{(fx)}
[\overline{
\mathsf {m}}
]
 <= (\underline{(fy)}
[\overline{
\mathsf {m}}
]
+(-u\overline{(\epsilon)}
)
)
)n
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\vdash \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(\epsilon)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {n}}
\colon \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {m}}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(0
 <= \overline{(\epsilon)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(0
 = \overline{(\epsilon)}
)n
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{
\mathsf {n}}
 <= \overline{
\mathsf {m}}
\Rightarrow \underline{(fy)}
[\overline{
\mathsf {m}}
]
 <= (\underline{(fx)}
[\overline{
\mathsf {m}}
]
+(-u\overline{(\epsilon)}
)
)
)n
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\Rightarrow  \{ ph \mathrel{\in} P( \{ ph \mathrel{\in} P( \{ ph \mathrel{\in} P(P(Union(\{N
,Q
\}
)
)
)
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op1)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op2)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\overline{(op1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(op2)}
 \mathrel{\in} Q
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\mathsf {a}
 _{Ph} 
 = \{\{\overline{(op1)}
,\overline{(op1)}
\}
,\{\overline{(op1)}
,\overline{(op2)}
\}
\}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\}
)
\mid \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(r1)}
\colon \overline{(r1)}
 \mathrel{\in} 
\mathsf {f}
 _{Ph} 
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op1)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op2)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\overline{(op1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(op2)}
 \mathrel{\in} Q
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(r1)}
 = \{\{\overline{(op1)}
,\overline{(op1)}
\}
,\{\overline{(op1)}
,\overline{(op2)}
\}
\}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(f1)}
\colon 
\forall_{obj} \overline{(f2)}
\colon 
\forall_{obj} \overline{(f3)}
\colon 
\forall_{obj} \overline{(f4)}
\colon \{\{\overline{(f1)}
,\overline{(f1)}
\}
,\{\overline{(f1)}
,\overline{(f2)}
\}
\}
 \mathrel{\in} 
\mathsf {f}
 _{Ph} 
\Rightarrow \{\{\overline{(f3)}
,\overline{(f3)}
\}
,\{\overline{(f3)}
,\overline{(f4)}
\}
\}
 \mathrel{\in} 
\mathsf {f}
 _{Ph} 
\Rightarrow \overline{(f1)}
 = \overline{(f3)}
\Rightarrow \overline{(f2)}
 = \overline{(f4)}
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(s1)}
\colon \overline{(s1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(s2)}
\colon \dot{\neg}\,(\{\{\overline{(s1)}
,\overline{(s1)}
\}
,\{\overline{(s1)}
,\overline{(s2)}
\}
\}
 \mathrel{\in} 
\mathsf {f}
 _{Ph} 
)n
)n
)n
)n
\}
)
\mid 
\forall_{obj} \overline{(\epsilon)}
\colon \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {n}}
\colon \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {m}}
\colon \dot{\neg}\,(0
 <= \overline{(\epsilon)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(0
 = \overline{(\epsilon)}
)n
)n
)n
\Rightarrow \overline{
\mathsf {n}}
 <= \overline{
\mathsf {m}}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(|(\underline{(fy)}
[\overline{
\mathsf {m}}
]
+(-u
\mathsf {d}
 _{Ph} 
[\overline{
\mathsf {m}}
]
)
)
|
 <= \overline{(\epsilon)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(|(\underline{(fy)}
[\overline{
\mathsf {m}}
]
+(-u
\mathsf {d}
 _{Ph} 
[\overline{
\mathsf {m}}
]
)
)
|
 = \overline{(\epsilon)}
)n
)n
)n
)n
)n
\}
 =  \{ ph \mathrel{\in} P( \{ ph \mathrel{\in} P( \{ ph \mathrel{\in} P(P(Union(\{N
,Q
\}
)
)
)
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op1)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op2)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\overline{(op1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(op2)}
 \mathrel{\in} Q
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\mathsf {a}
 _{Ph} 
 = \{\{\overline{(op1)}
,\overline{(op1)}
\}
,\{\overline{(op1)}
,\overline{(op2)}
\}
\}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\}
)
\mid \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(r1)}
\colon \overline{(r1)}
 \mathrel{\in} 
\mathsf {f}
 _{Ph} 
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op1)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op2)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\overline{(op1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(op2)}
 \mathrel{\in} Q
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(r1)}
 = \{\{\overline{(op1)}
,\overline{(op1)}
\}
,\{\overline{(op1)}
,\overline{(op2)}
\}
\}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(f1)}
\colon 
\forall_{obj} \overline{(f2)}
\colon 
\forall_{obj} \overline{(f3)}
\colon 
\forall_{obj} \overline{(f4)}
\colon \{\{\overline{(f1)}
,\overline{(f1)}
\}
,\{\overline{(f1)}
,\overline{(f2)}
\}
\}
 \mathrel{\in} 
\mathsf {f}
 _{Ph} 
\Rightarrow \{\{\overline{(f3)}
,\overline{(f3)}
\}
,\{\overline{(f3)}
,\overline{(f4)}
\}
\}
 \mathrel{\in} 
\mathsf {f}
 _{Ph} 
\Rightarrow \overline{(f1)}
 = \overline{(f3)}
\Rightarrow \overline{(f2)}
 = \overline{(f4)}
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(s1)}
\colon \overline{(s1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(s2)}
\colon \dot{\neg}\,(\{\{\overline{(s1)}
,\overline{(s1)}
\}
,\{\overline{(s1)}
,\overline{(s2)}
\}
\}
 \mathrel{\in} 
\mathsf {f}
 _{Ph} 
)n
)n
)n
)n
\}
)
\mid 
\forall_{obj} \overline{(\epsilon)}
\colon \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {n}}
\colon \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {m}}
\colon \dot{\neg}\,(0
 <= \overline{(\epsilon)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(0
 = \overline{(\epsilon)}
)n
)n
)n
\Rightarrow \overline{
\mathsf {n}}
 <= \overline{
\mathsf {m}}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(|(\underline{(fx)}
[\overline{
\mathsf {m}}
]
+(-u
\mathsf {d}
 _{Ph} 
[\overline{
\mathsf {m}}
]
)
)
|
 <= \overline{(\epsilon)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(|(\underline{(fx)}
[\overline{
\mathsf {m}}
]
+(-u
\mathsf {d}
 _{Ph} 
[\overline{
\mathsf {m}}
]
)
)
|
 = \overline{(\epsilon)}
)n
)n
)n
)n
)n
\}
]$

$
[FromNotLess(R)
\stackrel{
proof
}{\rightarrow}
\lambda 
\mathsf {c}
.
\lambda 
\mathsf{x}
.
{\cal P}( 
\lceil SystemQ
\vdash 
\forall \underline{(fx)}
\colon 
\forall \underline{(fy)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(\epsilon)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {n}}
\colon \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {m}}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(0
 <= \overline{(\epsilon)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(0
 = \overline{(\epsilon)}
)n
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{
\mathsf {n}}
 <= \overline{
\mathsf {m}}
\Rightarrow \underline{(fy)}
[\overline{
\mathsf {m}}
]
 <= (\underline{(fx)}
[\overline{
\mathsf {m}}
]
+(-u\overline{(\epsilon)}
)
)
)n
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\Rightarrow  \{ ph \mathrel{\in} P( \{ ph \mathrel{\in} P( \{ ph \mathrel{\in} P(P(Union(\{N
,Q
\}
)
)
)
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op1)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op2)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\overline{(op1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(op2)}
 \mathrel{\in} Q
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\mathsf {a}
 _{Ph} 
 = \{\{\overline{(op1)}
,\overline{(op1)}
\}
,\{\overline{(op1)}
,\overline{(op2)}
\}
\}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\}
)
\mid \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(r1)}
\colon \overline{(r1)}
 \mathrel{\in} 
\mathsf {f}
 _{Ph} 
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op1)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op2)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\overline{(op1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(op2)}
 \mathrel{\in} Q
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(r1)}
 = \{\{\overline{(op1)}
,\overline{(op1)}
\}
,\{\overline{(op1)}
,\overline{(op2)}
\}
\}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(f1)}
\colon 
\forall_{obj} \overline{(f2)}
\colon 
\forall_{obj} \overline{(f3)}
\colon 
\forall_{obj} \overline{(f4)}
\colon \{\{\overline{(f1)}
,\overline{(f1)}
\}
,\{\overline{(f1)}
,\overline{(f2)}
\}
\}
 \mathrel{\in} 
\mathsf {f}
 _{Ph} 
\Rightarrow \{\{\overline{(f3)}
,\overline{(f3)}
\}
,\{\overline{(f3)}
,\overline{(f4)}
\}
\}
 \mathrel{\in} 
\mathsf {f}
 _{Ph} 
\Rightarrow \overline{(f1)}
 = \overline{(f3)}
\Rightarrow \overline{(f2)}
 = \overline{(f4)}
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(s1)}
\colon \overline{(s1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(s2)}
\colon \dot{\neg}\,(\{\{\overline{(s1)}
,\overline{(s1)}
\}
,\{\overline{(s1)}
,\overline{(s2)}
\}
\}
 \mathrel{\in} 
\mathsf {f}
 _{Ph} 
)n
)n
)n
)n
\}
)
\mid 
\forall_{obj} \overline{(\epsilon)}
\colon \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {n}}
\colon \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {m}}
\colon \dot{\neg}\,(0
 <= \overline{(\epsilon)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(0
 = \overline{(\epsilon)}
)n
)n
)n
\Rightarrow \overline{
\mathsf {n}}
 <= \overline{
\mathsf {m}}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(|(\underline{(fy)}
[\overline{
\mathsf {m}}
]
+(-u
\mathsf {d}
 _{Ph} 
[\overline{
\mathsf {m}}
]
)
)
|
 <= \overline{(\epsilon)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(|(\underline{(fy)}
[\overline{
\mathsf {m}}
]
+(-u
\mathsf {d}
 _{Ph} 
[\overline{
\mathsf {m}}
]
)
)
|
 = \overline{(\epsilon)}
)n
)n
)n
)n
)n
\}
 =  \{ ph \mathrel{\in} P( \{ ph \mathrel{\in} P( \{ ph \mathrel{\in} P(P(Union(\{N
,Q
\}
)
)
)
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op1)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op2)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\overline{(op1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(op2)}
 \mathrel{\in} Q
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\mathsf {a}
 _{Ph} 
 = \{\{\overline{(op1)}
,\overline{(op1)}
\}
,\{\overline{(op1)}
,\overline{(op2)}
\}
\}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\}
)
\mid \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(r1)}
\colon \overline{(r1)}
 \mathrel{\in} 
\mathsf {f}
 _{Ph} 
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op1)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op2)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\overline{(op1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(op2)}
 \mathrel{\in} Q
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(r1)}
 = \{\{\overline{(op1)}
,\overline{(op1)}
\}
,\{\overline{(op1)}
,\overline{(op2)}
\}
\}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(f1)}
\colon 
\forall_{obj} \overline{(f2)}
\colon 
\forall_{obj} \overline{(f3)}
\colon 
\forall_{obj} \overline{(f4)}
\colon \{\{\overline{(f1)}
,\overline{(f1)}
\}
,\{\overline{(f1)}
,\overline{(f2)}
\}
\}
 \mathrel{\in} 
\mathsf {f}
 _{Ph} 
\Rightarrow \{\{\overline{(f3)}
,\overline{(f3)}
\}
,\{\overline{(f3)}
,\overline{(f4)}
\}
\}
 \mathrel{\in} 
\mathsf {f}
 _{Ph} 
\Rightarrow \overline{(f1)}
 = \overline{(f3)}
\Rightarrow \overline{(f2)}
 = \overline{(f4)}
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(s1)}
\colon \overline{(s1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(s2)}
\colon \dot{\neg}\,(\{\{\overline{(s1)}
,\overline{(s1)}
\}
,\{\overline{(s1)}
,\overline{(s2)}
\}
\}
 \mathrel{\in} 
\mathsf {f}
 _{Ph} 
)n
)n
)n
)n
\}
)
\mid 
\forall_{obj} \overline{(\epsilon)}
\colon \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {n}}
\colon \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {m}}
\colon \dot{\neg}\,(0
 <= \overline{(\epsilon)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(0
 = \overline{(\epsilon)}
)n
)n
)n
\Rightarrow \overline{
\mathsf {n}}
 <= \overline{
\mathsf {m}}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(|(\underline{(fx)}
[\overline{
\mathsf {m}}
]
+(-u
\mathsf {d}
 _{Ph} 
[\overline{
\mathsf {m}}
]
)
)
|
 <= \overline{(\epsilon)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(|(\underline{(fx)}
[\overline{
\mathsf {m}}
]
+(-u
\mathsf {d}
 _{Ph} 
[\overline{
\mathsf {m}}
]
)
)
|
 = \overline{(\epsilon)}
)n
)n
)n
)n
)n
\}
)n
\vdash ToLess(R)
\rhd \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(\epsilon)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {n}}
\colon \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {m}}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(0
 <= \overline{(\epsilon)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(0
 = \overline{(\epsilon)}
)n
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{
\mathsf {n}}
 <= \overline{
\mathsf {m}}
\Rightarrow \underline{(fy)}
[\overline{
\mathsf {m}}
]
 <= (\underline{(fx)}
[\overline{
\mathsf {m}}
]
+(-u\overline{(\epsilon)}
)
)
)n
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\Rightarrow  \{ ph \mathrel{\in} P( \{ ph \mathrel{\in} P( \{ ph \mathrel{\in} P(P(Union(\{N
,Q
\}
)
)
)
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op1)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op2)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\overline{(op1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(op2)}
 \mathrel{\in} Q
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\mathsf {a}
 _{Ph} 
 = \{\{\overline{(op1)}
,\overline{(op1)}
\}
,\{\overline{(op1)}
,\overline{(op2)}
\}
\}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\}
)
\mid \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(r1)}
\colon \overline{(r1)}
 \mathrel{\in} 
\mathsf {f}
 _{Ph} 
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op1)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op2)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\overline{(op1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(op2)}
 \mathrel{\in} Q
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(r1)}
 = \{\{\overline{(op1)}
,\overline{(op1)}
\}
,\{\overline{(op1)}
,\overline{(op2)}
\}
\}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(f1)}
\colon 
\forall_{obj} \overline{(f2)}
\colon 
\forall_{obj} \overline{(f3)}
\colon 
\forall_{obj} \overline{(f4)}
\colon \{\{\overline{(f1)}
,\overline{(f1)}
\}
,\{\overline{(f1)}
,\overline{(f2)}
\}
\}
 \mathrel{\in} 
\mathsf {f}
 _{Ph} 
\Rightarrow \{\{\overline{(f3)}
,\overline{(f3)}
\}
,\{\overline{(f3)}
,\overline{(f4)}
\}
\}
 \mathrel{\in} 
\mathsf {f}
 _{Ph} 
\Rightarrow \overline{(f1)}
 = \overline{(f3)}
\Rightarrow \overline{(f2)}
 = \overline{(f4)}
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(s1)}
\colon \overline{(s1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(s2)}
\colon \dot{\neg}\,(\{\{\overline{(s1)}
,\overline{(s1)}
\}
,\{\overline{(s1)}
,\overline{(s2)}
\}
\}
 \mathrel{\in} 
\mathsf {f}
 _{Ph} 
)n
)n
)n
)n
\}
)
\mid 
\forall_{obj} \overline{(\epsilon)}
\colon \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {n}}
\colon \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {m}}
\colon \dot{\neg}\,(0
 <= \overline{(\epsilon)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(0
 = \overline{(\epsilon)}
)n
)n
)n
\Rightarrow \overline{
\mathsf {n}}
 <= \overline{
\mathsf {m}}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(|(\underline{(fy)}
[\overline{
\mathsf {m}}
]
+(-u
\mathsf {d}
 _{Ph} 
[\overline{
\mathsf {m}}
]
)
)
|
 <= \overline{(\epsilon)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(|(\underline{(fy)}
[\overline{
\mathsf {m}}
]
+(-u
\mathsf {d}
 _{Ph} 
[\overline{
\mathsf {m}}
]
)
)
|
 = \overline{(\epsilon)}
)n
)n
)n
)n
)n
\}
 =  \{ ph \mathrel{\in} P( \{ ph \mathrel{\in} P( \{ ph \mathrel{\in} P(P(Union(\{N
,Q
\}
)
)
)
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op1)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op2)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\overline{(op1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(op2)}
 \mathrel{\in} Q
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\mathsf {a}
 _{Ph} 
 = \{\{\overline{(op1)}
,\overline{(op1)}
\}
,\{\overline{(op1)}
,\overline{(op2)}
\}
\}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\}
)
\mid \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(r1)}
\colon \overline{(r1)}
 \mathrel{\in} 
\mathsf {f}
 _{Ph} 
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op1)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op2)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\overline{(op1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(op2)}
 \mathrel{\in} Q
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(r1)}
 = \{\{\overline{(op1)}
,\overline{(op1)}
\}
,\{\overline{(op1)}
,\overline{(op2)}
\}
\}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(f1)}
\colon 
\forall_{obj} \overline{(f2)}
\colon 
\forall_{obj} \overline{(f3)}
\colon 
\forall_{obj} \overline{(f4)}
\colon \{\{\overline{(f1)}
,\overline{(f1)}
\}
,\{\overline{(f1)}
,\overline{(f2)}
\}
\}
 \mathrel{\in} 
\mathsf {f}
 _{Ph} 
\Rightarrow \{\{\overline{(f3)}
,\overline{(f3)}
\}
,\{\overline{(f3)}
,\overline{(f4)}
\}
\}
 \mathrel{\in} 
\mathsf {f}
 _{Ph} 
\Rightarrow \overline{(f1)}
 = \overline{(f3)}
\Rightarrow \overline{(f2)}
 = \overline{(f4)}
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(s1)}
\colon \overline{(s1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(s2)}
\colon \dot{\neg}\,(\{\{\overline{(s1)}
,\overline{(s1)}
\}
,\{\overline{(s1)}
,\overline{(s2)}
\}
\}
 \mathrel{\in} 
\mathsf {f}
 _{Ph} 
)n
)n
)n
)n
\}
)
\mid 
\forall_{obj} \overline{(\epsilon)}
\colon \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {n}}
\colon \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {m}}
\colon \dot{\neg}\,(0
 <= \overline{(\epsilon)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(0
 = \overline{(\epsilon)}
)n
)n
)n
\Rightarrow \overline{
\mathsf {n}}
 <= \overline{
\mathsf {m}}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(|(\underline{(fx)}
[\overline{
\mathsf {m}}
]
+(-u
\mathsf {d}
 _{Ph} 
[\overline{
\mathsf {m}}
]
)
)
|
 <= \overline{(\epsilon)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(|(\underline{(fx)}
[\overline{
\mathsf {m}}
]
+(-u
\mathsf {d}
 _{Ph} 
[\overline{
\mathsf {m}}
]
)
)
|
 = \overline{(\epsilon)}
)n
)n
)n
)n
)n
\}
)n
\gg \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(\epsilon)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {n}}
\colon \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {m}}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(0
 <= \overline{(\epsilon)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(0
 = \overline{(\epsilon)}
)n
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{
\mathsf {n}}
 <= \overline{
\mathsf {m}}
\Rightarrow \underline{(fx)}
[\overline{
\mathsf {m}}
]
 <= (\underline{(fy)}
[\overline{
\mathsf {m}}
]
+(-u\overline{(\epsilon)}
)
)
)n
)n
)n
)n
)n
)n
; 
\forall \underline{(fx)}
\colon 
\forall \underline{(fy)}
\colon Ded
\rhd 
\forall \underline{(fx)}
\colon 
\forall \underline{(fy)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(\epsilon)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {n}}
\colon \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {m}}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(0
 <= \overline{(\epsilon)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(0
 = \overline{(\epsilon)}
)n
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{
\mathsf {n}}
 <= \overline{
\mathsf {m}}
\Rightarrow \underline{(fy)}
[\overline{
\mathsf {m}}
]
 <= (\underline{(fx)}
[\overline{
\mathsf {m}}
]
+(-u\overline{(\epsilon)}
)
)
)n
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\Rightarrow  \{ ph \mathrel{\in} P( \{ ph \mathrel{\in} P( \{ ph \mathrel{\in} P(P(Union(\{N
,Q
\}
)
)
)
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op1)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op2)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\overline{(op1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(op2)}
 \mathrel{\in} Q
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\mathsf {a}
 _{Ph} 
 = \{\{\overline{(op1)}
,\overline{(op1)}
\}
,\{\overline{(op1)}
,\overline{(op2)}
\}
\}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\}
)
\mid \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(r1)}
\colon \overline{(r1)}
 \mathrel{\in} 
\mathsf {f}
 _{Ph} 
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op1)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op2)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\overline{(op1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(op2)}
 \mathrel{\in} Q
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(r1)}
 = \{\{\overline{(op1)}
,\overline{(op1)}
\}
,\{\overline{(op1)}
,\overline{(op2)}
\}
\}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(f1)}
\colon 
\forall_{obj} \overline{(f2)}
\colon 
\forall_{obj} \overline{(f3)}
\colon 
\forall_{obj} \overline{(f4)}
\colon \{\{\overline{(f1)}
,\overline{(f1)}
\}
,\{\overline{(f1)}
,\overline{(f2)}
\}
\}
 \mathrel{\in} 
\mathsf {f}
 _{Ph} 
\Rightarrow \{\{\overline{(f3)}
,\overline{(f3)}
\}
,\{\overline{(f3)}
,\overline{(f4)}
\}
\}
 \mathrel{\in} 
\mathsf {f}
 _{Ph} 
\Rightarrow \overline{(f1)}
 = \overline{(f3)}
\Rightarrow \overline{(f2)}
 = \overline{(f4)}
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(s1)}
\colon \overline{(s1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(s2)}
\colon \dot{\neg}\,(\{\{\overline{(s1)}
,\overline{(s1)}
\}
,\{\overline{(s1)}
,\overline{(s2)}
\}
\}
 \mathrel{\in} 
\mathsf {f}
 _{Ph} 
)n
)n
)n
)n
\}
)
\mid 
\forall_{obj} \overline{(\epsilon)}
\colon \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {n}}
\colon \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {m}}
\colon \dot{\neg}\,(0
 <= \overline{(\epsilon)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(0
 = \overline{(\epsilon)}
)n
)n
)n
\Rightarrow \overline{
\mathsf {n}}
 <= \overline{
\mathsf {m}}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(|(\underline{(fy)}
[\overline{
\mathsf {m}}
]
+(-u
\mathsf {d}
 _{Ph} 
[\overline{
\mathsf {m}}
]
)
)
|
 <= \overline{(\epsilon)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(|(\underline{(fy)}
[\overline{
\mathsf {m}}
]
+(-u
\mathsf {d}
 _{Ph} 
[\overline{
\mathsf {m}}
]
)
)
|
 = \overline{(\epsilon)}
)n
)n
)n
)n
)n
\}
 =  \{ ph \mathrel{\in} P( \{ ph \mathrel{\in} P( \{ ph \mathrel{\in} P(P(Union(\{N
,Q
\}
)
)
)
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op1)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op2)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\overline{(op1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(op2)}
 \mathrel{\in} Q
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\mathsf {a}
 _{Ph} 
 = \{\{\overline{(op1)}
,\overline{(op1)}
\}
,\{\overline{(op1)}
,\overline{(op2)}
\}
\}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\}
)
\mid \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(r1)}
\colon \overline{(r1)}
 \mathrel{\in} 
\mathsf {f}
 _{Ph} 
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op1)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op2)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\overline{(op1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(op2)}
 \mathrel{\in} Q
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(r1)}
 = \{\{\overline{(op1)}
,\overline{(op1)}
\}
,\{\overline{(op1)}
,\overline{(op2)}
\}
\}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(f1)}
\colon 
\forall_{obj} \overline{(f2)}
\colon 
\forall_{obj} \overline{(f3)}
\colon 
\forall_{obj} \overline{(f4)}
\colon \{\{\overline{(f1)}
,\overline{(f1)}
\}
,\{\overline{(f1)}
,\overline{(f2)}
\}
\}
 \mathrel{\in} 
\mathsf {f}
 _{Ph} 
\Rightarrow \{\{\overline{(f3)}
,\overline{(f3)}
\}
,\{\overline{(f3)}
,\overline{(f4)}
\}
\}
 \mathrel{\in} 
\mathsf {f}
 _{Ph} 
\Rightarrow \overline{(f1)}
 = \overline{(f3)}
\Rightarrow \overline{(f2)}
 = \overline{(f4)}
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(s1)}
\colon \overline{(s1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(s2)}
\colon \dot{\neg}\,(\{\{\overline{(s1)}
,\overline{(s1)}
\}
,\{\overline{(s1)}
,\overline{(s2)}
\}
\}
 \mathrel{\in} 
\mathsf {f}
 _{Ph} 
)n
)n
)n
)n
\}
)
\mid 
\forall_{obj} \overline{(\epsilon)}
\colon \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {n}}
\colon \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {m}}
\colon \dot{\neg}\,(0
 <= \overline{(\epsilon)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(0
 = \overline{(\epsilon)}
)n
)n
)n
\Rightarrow \overline{
\mathsf {n}}
 <= \overline{
\mathsf {m}}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(|(\underline{(fx)}
[\overline{
\mathsf {m}}
]
+(-u
\mathsf {d}
 _{Ph} 
[\overline{
\mathsf {m}}
]
)
)
|
 <= \overline{(\epsilon)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(|(\underline{(fx)}
[\overline{
\mathsf {m}}
]
+(-u
\mathsf {d}
 _{Ph} 
[\overline{
\mathsf {m}}
]
)
)
|
 = \overline{(\epsilon)}
)n
)n
)n
)n
)n
\}
)n
\vdash \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(\epsilon)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {n}}
\colon \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {m}}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(0
 <= \overline{(\epsilon)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(0
 = \overline{(\epsilon)}
)n
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{
\mathsf {n}}
 <= \overline{
\mathsf {m}}
\Rightarrow \underline{(fx)}
[\overline{
\mathsf {m}}
]
 <= (\underline{(fy)}
[\overline{
\mathsf {m}}
]
+(-u\overline{(\epsilon)}
)
)
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\gg \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(\epsilon)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {n}}
\colon \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {m}}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(0
 <= \overline{(\epsilon)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(0
 = \overline{(\epsilon)}
)n
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{
\mathsf {n}}
 <= \overline{
\mathsf {m}}
\Rightarrow \underline{(fy)}
[\overline{
\mathsf {m}}
]
 <= (\underline{(fx)}
[\overline{
\mathsf {m}}
]
+(-u\overline{(\epsilon)}
)
)
)n
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\Rightarrow  \{ ph \mathrel{\in} P( \{ ph \mathrel{\in} P( \{ ph \mathrel{\in} P(P(Union(\{N
,Q
\}
)
)
)
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op1)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op2)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\overline{(op1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(op2)}
 \mathrel{\in} Q
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\mathsf {a}
 _{Ph} 
 = \{\{\overline{(op1)}
,\overline{(op1)}
\}
,\{\overline{(op1)}
,\overline{(op2)}
\}
\}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\}
)
\mid \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(r1)}
\colon \overline{(r1)}
 \mathrel{\in} 
\mathsf {f}
 _{Ph} 
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op1)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op2)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\overline{(op1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(op2)}
 \mathrel{\in} Q
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(r1)}
 = \{\{\overline{(op1)}
,\overline{(op1)}
\}
,\{\overline{(op1)}
,\overline{(op2)}
\}
\}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(f1)}
\colon 
\forall_{obj} \overline{(f2)}
\colon 
\forall_{obj} \overline{(f3)}
\colon 
\forall_{obj} \overline{(f4)}
\colon \{\{\overline{(f1)}
,\overline{(f1)}
\}
,\{\overline{(f1)}
,\overline{(f2)}
\}
\}
 \mathrel{\in} 
\mathsf {f}
 _{Ph} 
\Rightarrow \{\{\overline{(f3)}
,\overline{(f3)}
\}
,\{\overline{(f3)}
,\overline{(f4)}
\}
\}
 \mathrel{\in} 
\mathsf {f}
 _{Ph} 
\Rightarrow \overline{(f1)}
 = \overline{(f3)}
\Rightarrow \overline{(f2)}
 = \overline{(f4)}
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(s1)}
\colon \overline{(s1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(s2)}
\colon \dot{\neg}\,(\{\{\overline{(s1)}
,\overline{(s1)}
\}
,\{\overline{(s1)}
,\overline{(s2)}
\}
\}
 \mathrel{\in} 
\mathsf {f}
 _{Ph} 
)n
)n
)n
)n
\}
)
\mid 
\forall_{obj} \overline{(\epsilon)}
\colon \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {n}}
\colon \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {m}}
\colon \dot{\neg}\,(0
 <= \overline{(\epsilon)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(0
 = \overline{(\epsilon)}
)n
)n
)n
\Rightarrow \overline{
\mathsf {n}}
 <= \overline{
\mathsf {m}}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(|(\underline{(fy)}
[\overline{
\mathsf {m}}
]
+(-u
\mathsf {d}
 _{Ph} 
[\overline{
\mathsf {m}}
]
)
)
|
 <= \overline{(\epsilon)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(|(\underline{(fy)}
[\overline{
\mathsf {m}}
]
+(-u
\mathsf {d}
 _{Ph} 
[\overline{
\mathsf {m}}
]
)
)
|
 = \overline{(\epsilon)}
)n
)n
)n
)n
)n
\}
 =  \{ ph \mathrel{\in} P( \{ ph \mathrel{\in} P( \{ ph \mathrel{\in} P(P(Union(\{N
,Q
\}
)
)
)
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op1)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op2)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\overline{(op1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(op2)}
 \mathrel{\in} Q
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\mathsf {a}
 _{Ph} 
 = \{\{\overline{(op1)}
,\overline{(op1)}
\}
,\{\overline{(op1)}
,\overline{(op2)}
\}
\}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\}
)
\mid \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(r1)}
\colon \overline{(r1)}
 \mathrel{\in} 
\mathsf {f}
 _{Ph} 
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op1)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op2)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\overline{(op1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(op2)}
 \mathrel{\in} Q
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(r1)}
 = \{\{\overline{(op1)}
,\overline{(op1)}
\}
,\{\overline{(op1)}
,\overline{(op2)}
\}
\}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(f1)}
\colon 
\forall_{obj} \overline{(f2)}
\colon 
\forall_{obj} \overline{(f3)}
\colon 
\forall_{obj} \overline{(f4)}
\colon \{\{\overline{(f1)}
,\overline{(f1)}
\}
,\{\overline{(f1)}
,\overline{(f2)}
\}
\}
 \mathrel{\in} 
\mathsf {f}
 _{Ph} 
\Rightarrow \{\{\overline{(f3)}
,\overline{(f3)}
\}
,\{\overline{(f3)}
,\overline{(f4)}
\}
\}
 \mathrel{\in} 
\mathsf {f}
 _{Ph} 
\Rightarrow \overline{(f1)}
 = \overline{(f3)}
\Rightarrow \overline{(f2)}
 = \overline{(f4)}
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(s1)}
\colon \overline{(s1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(s2)}
\colon \dot{\neg}\,(\{\{\overline{(s1)}
,\overline{(s1)}
\}
,\{\overline{(s1)}
,\overline{(s2)}
\}
\}
 \mathrel{\in} 
\mathsf {f}
 _{Ph} 
)n
)n
)n
)n
\}
)
\mid 
\forall_{obj} \overline{(\epsilon)}
\colon \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {n}}
\colon \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {m}}
\colon \dot{\neg}\,(0
 <= \overline{(\epsilon)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(0
 = \overline{(\epsilon)}
)n
)n
)n
\Rightarrow \overline{
\mathsf {n}}
 <= \overline{
\mathsf {m}}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(|(\underline{(fx)}
[\overline{
\mathsf {m}}
]
+(-u
\mathsf {d}
 _{Ph} 
[\overline{
\mathsf {m}}
]
)
)
|
 <= \overline{(\epsilon)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(|(\underline{(fx)}
[\overline{
\mathsf {m}}
]
+(-u
\mathsf {d}
 _{Ph} 
[\overline{
\mathsf {m}}
]
)
)
|
 = \overline{(\epsilon)}
)n
)n
)n
)n
)n
\}
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(\epsilon)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {n}}
\colon \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {m}}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(0
 <= \overline{(\epsilon)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(0
 = \overline{(\epsilon)}
)n
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{
\mathsf {n}}
 <= \overline{
\mathsf {m}}
\Rightarrow \underline{(fx)}
[\overline{
\mathsf {m}}
]
 <= (\underline{(fy)}
[\overline{
\mathsf {m}}
]
+(-u\overline{(\epsilon)}
)
)
)n
)n
)n
)n
)n
)n
; \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(\epsilon)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {n}}
\colon \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {m}}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(0
 <= \overline{(\epsilon)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(0
 = \overline{(\epsilon)}
)n
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{
\mathsf {n}}
 <= \overline{
\mathsf {m}}
\Rightarrow \underline{(fx)}
[\overline{
\mathsf {m}}
]
 <= (\underline{(fy)}
[\overline{
\mathsf {m}}
]
+(-u\overline{(\epsilon)}
)
)
)n
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\vdash NegativeMT
\rhd \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(\epsilon)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {n}}
\colon \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {m}}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(0
 <= \overline{(\epsilon)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(0
 = \overline{(\epsilon)}
)n
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{
\mathsf {n}}
 <= \overline{
\mathsf {m}}
\Rightarrow \underline{(fy)}
[\overline{
\mathsf {m}}
]
 <= (\underline{(fx)}
[\overline{
\mathsf {m}}
]
+(-u\overline{(\epsilon)}
)
)
)n
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\Rightarrow  \{ ph \mathrel{\in} P( \{ ph \mathrel{\in} P( \{ ph \mathrel{\in} P(P(Union(\{N
,Q
\}
)
)
)
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op1)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op2)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\overline{(op1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(op2)}
 \mathrel{\in} Q
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\mathsf {a}
 _{Ph} 
 = \{\{\overline{(op1)}
,\overline{(op1)}
\}
,\{\overline{(op1)}
,\overline{(op2)}
\}
\}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\}
)
\mid \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(r1)}
\colon \overline{(r1)}
 \mathrel{\in} 
\mathsf {f}
 _{Ph} 
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op1)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op2)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\overline{(op1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(op2)}
 \mathrel{\in} Q
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(r1)}
 = \{\{\overline{(op1)}
,\overline{(op1)}
\}
,\{\overline{(op1)}
,\overline{(op2)}
\}
\}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(f1)}
\colon 
\forall_{obj} \overline{(f2)}
\colon 
\forall_{obj} \overline{(f3)}
\colon 
\forall_{obj} \overline{(f4)}
\colon \{\{\overline{(f1)}
,\overline{(f1)}
\}
,\{\overline{(f1)}
,\overline{(f2)}
\}
\}
 \mathrel{\in} 
\mathsf {f}
 _{Ph} 
\Rightarrow \{\{\overline{(f3)}
,\overline{(f3)}
\}
,\{\overline{(f3)}
,\overline{(f4)}
\}
\}
 \mathrel{\in} 
\mathsf {f}
 _{Ph} 
\Rightarrow \overline{(f1)}
 = \overline{(f3)}
\Rightarrow \overline{(f2)}
 = \overline{(f4)}
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(s1)}
\colon \overline{(s1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(s2)}
\colon \dot{\neg}\,(\{\{\overline{(s1)}
,\overline{(s1)}
\}
,\{\overline{(s1)}
,\overline{(s2)}
\}
\}
 \mathrel{\in} 
\mathsf {f}
 _{Ph} 
)n
)n
)n
)n
\}
)
\mid 
\forall_{obj} \overline{(\epsilon)}
\colon \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {n}}
\colon \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {m}}
\colon \dot{\neg}\,(0
 <= \overline{(\epsilon)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(0
 = \overline{(\epsilon)}
)n
)n
)n
\Rightarrow \overline{
\mathsf {n}}
 <= \overline{
\mathsf {m}}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(|(\underline{(fy)}
[\overline{
\mathsf {m}}
]
+(-u
\mathsf {d}
 _{Ph} 
[\overline{
\mathsf {m}}
]
)
)
|
 <= \overline{(\epsilon)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(|(\underline{(fy)}
[\overline{
\mathsf {m}}
]
+(-u
\mathsf {d}
 _{Ph} 
[\overline{
\mathsf {m}}
]
)
)
|
 = \overline{(\epsilon)}
)n
)n
)n
)n
)n
\}
 =  \{ ph \mathrel{\in} P( \{ ph \mathrel{\in} P( \{ ph \mathrel{\in} P(P(Union(\{N
,Q
\}
)
)
)
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op1)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op2)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\overline{(op1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(op2)}
 \mathrel{\in} Q
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\mathsf {a}
 _{Ph} 
 = \{\{\overline{(op1)}
,\overline{(op1)}
\}
,\{\overline{(op1)}
,\overline{(op2)}
\}
\}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\}
)
\mid \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(r1)}
\colon \overline{(r1)}
 \mathrel{\in} 
\mathsf {f}
 _{Ph} 
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op1)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op2)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\overline{(op1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(op2)}
 \mathrel{\in} Q
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(r1)}
 = \{\{\overline{(op1)}
,\overline{(op1)}
\}
,\{\overline{(op1)}
,\overline{(op2)}
\}
\}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(f1)}
\colon 
\forall_{obj} \overline{(f2)}
\colon 
\forall_{obj} \overline{(f3)}
\colon 
\forall_{obj} \overline{(f4)}
\colon \{\{\overline{(f1)}
,\overline{(f1)}
\}
,\{\overline{(f1)}
,\overline{(f2)}
\}
\}
 \mathrel{\in} 
\mathsf {f}
 _{Ph} 
\Rightarrow \{\{\overline{(f3)}
,\overline{(f3)}
\}
,\{\overline{(f3)}
,\overline{(f4)}
\}
\}
 \mathrel{\in} 
\mathsf {f}
 _{Ph} 
\Rightarrow \overline{(f1)}
 = \overline{(f3)}
\Rightarrow \overline{(f2)}
 = \overline{(f4)}
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(s1)}
\colon \overline{(s1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(s2)}
\colon \dot{\neg}\,(\{\{\overline{(s1)}
,\overline{(s1)}
\}
,\{\overline{(s1)}
,\overline{(s2)}
\}
\}
 \mathrel{\in} 
\mathsf {f}
 _{Ph} 
)n
)n
)n
)n
\}
)
\mid 
\forall_{obj} \overline{(\epsilon)}
\colon \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {n}}
\colon \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {m}}
\colon \dot{\neg}\,(0
 <= \overline{(\epsilon)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(0
 = \overline{(\epsilon)}
)n
)n
)n
\Rightarrow \overline{
\mathsf {n}}
 <= \overline{
\mathsf {m}}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(|(\underline{(fx)}
[\overline{
\mathsf {m}}
]
+(-u
\mathsf {d}
 _{Ph} 
[\overline{
\mathsf {m}}
]
)
)
|
 <= \overline{(\epsilon)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(|(\underline{(fx)}
[\overline{
\mathsf {m}}
]
+(-u
\mathsf {d}
 _{Ph} 
[\overline{
\mathsf {m}}
]
)
)
|
 = \overline{(\epsilon)}
)n
)n
)n
)n
)n
\}
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(\epsilon)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {n}}
\colon \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {m}}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(0
 <= \overline{(\epsilon)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(0
 = \overline{(\epsilon)}
)n
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{
\mathsf {n}}
 <= \overline{
\mathsf {m}}
\Rightarrow \underline{(fx)}
[\overline{
\mathsf {m}}
]
 <= (\underline{(fy)}
[\overline{
\mathsf {m}}
]
+(-u\overline{(\epsilon)}
)
)
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\rhd \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(\epsilon)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {n}}
\colon \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {m}}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(0
 <= \overline{(\epsilon)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(0
 = \overline{(\epsilon)}
)n
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{
\mathsf {n}}
 <= \overline{
\mathsf {m}}
\Rightarrow \underline{(fx)}
[\overline{
\mathsf {m}}
]
 <= (\underline{(fy)}
[\overline{
\mathsf {m}}
]
+(-u\overline{(\epsilon)}
)
)
)n
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\gg \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(\epsilon)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {n}}
\colon \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {m}}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(0
 <= \overline{(\epsilon)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(0
 = \overline{(\epsilon)}
)n
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{
\mathsf {n}}
 <= \overline{
\mathsf {m}}
\Rightarrow \underline{(fy)}
[\overline{
\mathsf {m}}
]
 <= (\underline{(fx)}
[\overline{
\mathsf {m}}
]
+(-u\overline{(\epsilon)}
)
)
)n
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\Rightarrow  \{ ph \mathrel{\in} P( \{ ph \mathrel{\in} P( \{ ph \mathrel{\in} P(P(Union(\{N
,Q
\}
)
)
)
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op1)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op2)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\overline{(op1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(op2)}
 \mathrel{\in} Q
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\mathsf {a}
 _{Ph} 
 = \{\{\overline{(op1)}
,\overline{(op1)}
\}
,\{\overline{(op1)}
,\overline{(op2)}
\}
\}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\}
)
\mid \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(r1)}
\colon \overline{(r1)}
 \mathrel{\in} 
\mathsf {f}
 _{Ph} 
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op1)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op2)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\overline{(op1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(op2)}
 \mathrel{\in} Q
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(r1)}
 = \{\{\overline{(op1)}
,\overline{(op1)}
\}
,\{\overline{(op1)}
,\overline{(op2)}
\}
\}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(f1)}
\colon 
\forall_{obj} \overline{(f2)}
\colon 
\forall_{obj} \overline{(f3)}
\colon 
\forall_{obj} \overline{(f4)}
\colon \{\{\overline{(f1)}
,\overline{(f1)}
\}
,\{\overline{(f1)}
,\overline{(f2)}
\}
\}
 \mathrel{\in} 
\mathsf {f}
 _{Ph} 
\Rightarrow \{\{\overline{(f3)}
,\overline{(f3)}
\}
,\{\overline{(f3)}
,\overline{(f4)}
\}
\}
 \mathrel{\in} 
\mathsf {f}
 _{Ph} 
\Rightarrow \overline{(f1)}
 = \overline{(f3)}
\Rightarrow \overline{(f2)}
 = \overline{(f4)}
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(s1)}
\colon \overline{(s1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(s2)}
\colon \dot{\neg}\,(\{\{\overline{(s1)}
,\overline{(s1)}
\}
,\{\overline{(s1)}
,\overline{(s2)}
\}
\}
 \mathrel{\in} 
\mathsf {f}
 _{Ph} 
)n
)n
)n
)n
\}
)
\mid 
\forall_{obj} \overline{(\epsilon)}
\colon \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {n}}
\colon \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {m}}
\colon \dot{\neg}\,(0
 <= \overline{(\epsilon)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(0
 = \overline{(\epsilon)}
)n
)n
)n
\Rightarrow \overline{
\mathsf {n}}
 <= \overline{
\mathsf {m}}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(|(\underline{(fy)}
[\overline{
\mathsf {m}}
]
+(-u
\mathsf {d}
 _{Ph} 
[\overline{
\mathsf {m}}
]
)
)
|
 <= \overline{(\epsilon)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(|(\underline{(fy)}
[\overline{
\mathsf {m}}
]
+(-u
\mathsf {d}
 _{Ph} 
[\overline{
\mathsf {m}}
]
)
)
|
 = \overline{(\epsilon)}
)n
)n
)n
)n
)n
\}
 =  \{ ph \mathrel{\in} P( \{ ph \mathrel{\in} P( \{ ph \mathrel{\in} P(P(Union(\{N
,Q
\}
)
)
)
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op1)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op2)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\overline{(op1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(op2)}
 \mathrel{\in} Q
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\mathsf {a}
 _{Ph} 
 = \{\{\overline{(op1)}
,\overline{(op1)}
\}
,\{\overline{(op1)}
,\overline{(op2)}
\}
\}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\}
)
\mid \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(r1)}
\colon \overline{(r1)}
 \mathrel{\in} 
\mathsf {f}
 _{Ph} 
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op1)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op2)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\overline{(op1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(op2)}
 \mathrel{\in} Q
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(r1)}
 = \{\{\overline{(op1)}
,\overline{(op1)}
\}
,\{\overline{(op1)}
,\overline{(op2)}
\}
\}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(f1)}
\colon 
\forall_{obj} \overline{(f2)}
\colon 
\forall_{obj} \overline{(f3)}
\colon 
\forall_{obj} \overline{(f4)}
\colon \{\{\overline{(f1)}
,\overline{(f1)}
\}
,\{\overline{(f1)}
,\overline{(f2)}
\}
\}
 \mathrel{\in} 
\mathsf {f}
 _{Ph} 
\Rightarrow \{\{\overline{(f3)}
,\overline{(f3)}
\}
,\{\overline{(f3)}
,\overline{(f4)}
\}
\}
 \mathrel{\in} 
\mathsf {f}
 _{Ph} 
\Rightarrow \overline{(f1)}
 = \overline{(f3)}
\Rightarrow \overline{(f2)}
 = \overline{(f4)}
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(s1)}
\colon \overline{(s1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(s2)}
\colon \dot{\neg}\,(\{\{\overline{(s1)}
,\overline{(s1)}
\}
,\{\overline{(s1)}
,\overline{(s2)}
\}
\}
 \mathrel{\in} 
\mathsf {f}
 _{Ph} 
)n
)n
)n
)n
\}
)
\mid 
\forall_{obj} \overline{(\epsilon)}
\colon \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {n}}
\colon \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {m}}
\colon \dot{\neg}\,(0
 <= \overline{(\epsilon)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(0
 = \overline{(\epsilon)}
)n
)n
)n
\Rightarrow \overline{
\mathsf {n}}
 <= \overline{
\mathsf {m}}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(|(\underline{(fx)}
[\overline{
\mathsf {m}}
]
+(-u
\mathsf {d}
 _{Ph} 
[\overline{
\mathsf {m}}
]
)
)
|
 <= \overline{(\epsilon)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(|(\underline{(fx)}
[\overline{
\mathsf {m}}
]
+(-u
\mathsf {d}
 _{Ph} 
[\overline{
\mathsf {m}}
]
)
)
|
 = \overline{(\epsilon)}
)n
)n
)n
)n
)n
\}
\rceil 
, 
p_0
, 
\mathsf {c}
)
]$


$
[PositiveToLeft(Leq)
\stackrel{
stmt
}{\rightarrow}SystemQ
\vdash 
\forall \underline{
\mathsf{x}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf{y}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf{z}}
\colon \underline{
\mathsf{x}}
 <= (\underline{
\mathsf{y}}
+\underline{
\mathsf{z}}
)
\vdash (\underline{
\mathsf{x}}
+(-u\underline{
\mathsf{z}}
)
)
 <= \underline{
\mathsf{y}}
]$

$
[PositiveToLeft(Leq)
\stackrel{
proof
}{\rightarrow}
\lambda 
\mathsf {c}
.
\lambda 
\mathsf{x}
.
{\cal P}( 
\lceil SystemQ
\vdash 
\forall \underline{
\mathsf{x}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf{y}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf{z}}
\colon \underline{
\mathsf{x}}
 <= (\underline{
\mathsf{y}}
+\underline{
\mathsf{z}}
)
\vdash leqAddition
\rhd \underline{
\mathsf{x}}
 <= (\underline{
\mathsf{y}}
+\underline{
\mathsf{z}}
)
\gg (\underline{
\mathsf{x}}
+(-u\underline{
\mathsf{z}}
)
)
 <= ((\underline{
\mathsf{y}}
+\underline{
\mathsf{z}}
)
+(-u\underline{
\mathsf{z}}
)
)
; x=x+y-y
\gg \underline{
\mathsf{y}}
 = ((\underline{
\mathsf{y}}
+\underline{
\mathsf{z}}
)
+(-u\underline{
\mathsf{z}}
)
)
; eqSymmetry
\rhd \underline{
\mathsf{y}}
 = ((\underline{
\mathsf{y}}
+\underline{
\mathsf{z}}
)
+(-u\underline{
\mathsf{z}}
)
)
\gg ((\underline{
\mathsf{y}}
+\underline{
\mathsf{z}}
)
+(-u\underline{
\mathsf{z}}
)
)
 = \underline{
\mathsf{y}}
; subLeqRight
\rhd ((\underline{
\mathsf{y}}
+\underline{
\mathsf{z}}
)
+(-u\underline{
\mathsf{z}}
)
)
 = \underline{
\mathsf{y}}
\rhd (\underline{
\mathsf{x}}
+(-u\underline{
\mathsf{z}}
)
)
 <= ((\underline{
\mathsf{y}}
+\underline{
\mathsf{z}}
)
+(-u\underline{
\mathsf{z}}
)
)
\gg (\underline{
\mathsf{x}}
+(-u\underline{
\mathsf{z}}
)
)
 <= \underline{
\mathsf{y}}
\rceil 
, 
p_0
, 
\mathsf {c}
)
]$



$
[FromNotSameF(Strong)(Helper2)
\stackrel{
stmt
}{\rightarrow}SystemQ
\vdash 
\forall \underline{
\mathsf{x}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf{y}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf{z}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf {u}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf {v}}
\colon \underline{
\mathsf {v}}
 <= |(\underline{
\mathsf{x}}
+(-u\underline{
\mathsf{z}}
)
)
|
\vdash \dot{\neg}\,(|(\underline{
\mathsf{x}}
+(-u\underline{
\mathsf{y}}
)
)
|
 <= (rec(1
+1
)
*\underline{
\mathsf {v}}
)
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(|(\underline{
\mathsf{x}}
+(-u\underline{
\mathsf{y}}
)
)
|
 = (rec(1
+1
)
*\underline{
\mathsf {v}}
)
)n
)n
)n
\vdash \dot{\neg}\,(|(\underline{
\mathsf{z}}
+(-u\underline{
\mathsf {u}}
)
)
|
 <= (rec(1
+1
)
*\underline{
\mathsf {v}}
)
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(|(\underline{
\mathsf{z}}
+(-u\underline{
\mathsf {u}}
)
)
|
 = (rec(1
+1
)
*\underline{
\mathsf {v}}
)
)n
)n
)n
\vdash \dot{\neg}\,(\underline{
\mathsf{y}}
 = \underline{
\mathsf {u}}
)n
]$

$
[FromNotSameF(Strong)(Helper2)
\stackrel{
proof
}{\rightarrow}
\lambda 
\mathsf {c}
.
\lambda 
\mathsf{x}
.
{\cal P}( 
\lceil SystemQ
\vdash 
\forall \underline{
\mathsf{x}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf{y}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf{z}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf {u}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf {v}}
\colon \underline{
\mathsf {v}}
 <= |(\underline{
\mathsf{x}}
+(-u\underline{
\mathsf{z}}
)
)
|
\vdash \dot{\neg}\,(|(\underline{
\mathsf{x}}
+(-u\underline{
\mathsf{y}}
)
)
|
 <= (rec(1
+1
)
*\underline{
\mathsf {v}}
)
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(|(\underline{
\mathsf{x}}
+(-u\underline{
\mathsf{y}}
)
)
|
 = (rec(1
+1
)
*\underline{
\mathsf {v}}
)
)n
)n
)n
\vdash \dot{\neg}\,(|(\underline{
\mathsf{z}}
+(-u\underline{
\mathsf {u}}
)
)
|
 <= (rec(1
+1
)
*\underline{
\mathsf {v}}
)
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(|(\underline{
\mathsf{z}}
+(-u\underline{
\mathsf {u}}
)
)
|
 = (rec(1
+1
)
*\underline{
\mathsf {v}}
)
)n
)n
)n
\vdash LessNegated
\rhd \dot{\neg}\,(|(\underline{
\mathsf{x}}
+(-u\underline{
\mathsf{y}}
)
)
|
 <= (rec(1
+1
)
*\underline{
\mathsf {v}}
)
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(|(\underline{
\mathsf{x}}
+(-u\underline{
\mathsf{y}}
)
)
|
 = (rec(1
+1
)
*\underline{
\mathsf {v}}
)
)n
)n
)n
\gg \dot{\neg}\,((-u(rec(1
+1
)
*\underline{
\mathsf {v}}
)
)
 <= (-u|(\underline{
\mathsf{x}}
+(-u\underline{
\mathsf{y}}
)
)
|
)
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,((-u(rec(1
+1
)
*\underline{
\mathsf {v}}
)
)
 = (-u|(\underline{
\mathsf{x}}
+(-u\underline{
\mathsf{y}}
)
)
|
)
)n
)n
)n
; NumericalDifference
\gg |(\underline{
\mathsf{z}}
+(-u\underline{
\mathsf {u}}
)
)
|
 = |(\underline{
\mathsf {u}}
+(-u\underline{
\mathsf{z}}
)
)
|
; SubLessLeft
\rhd |(\underline{
\mathsf{z}}
+(-u\underline{
\mathsf {u}}
)
)
|
 = |(\underline{
\mathsf {u}}
+(-u\underline{
\mathsf{z}}
)
)
|
\rhd \dot{\neg}\,(|(\underline{
\mathsf{z}}
+(-u\underline{
\mathsf {u}}
)
)
|
 <= (rec(1
+1
)
*\underline{
\mathsf {v}}
)
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(|(\underline{
\mathsf{z}}
+(-u\underline{
\mathsf {u}}
)
)
|
 = (rec(1
+1
)
*\underline{
\mathsf {v}}
)
)n
)n
)n
\gg \dot{\neg}\,(|(\underline{
\mathsf {u}}
+(-u\underline{
\mathsf{z}}
)
)
|
 <= (rec(1
+1
)
*\underline{
\mathsf {v}}
)
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(|(\underline{
\mathsf {u}}
+(-u\underline{
\mathsf{z}}
)
)
|
 = (rec(1
+1
)
*\underline{
\mathsf {v}}
)
)n
)n
)n
; LessNegated
\rhd \dot{\neg}\,(|(\underline{
\mathsf {u}}
+(-u\underline{
\mathsf{z}}
)
)
|
 <= (rec(1
+1
)
*\underline{
\mathsf {v}}
)
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(|(\underline{
\mathsf {u}}
+(-u\underline{
\mathsf{z}}
)
)
|
 = (rec(1
+1
)
*\underline{
\mathsf {v}}
)
)n
)n
)n
\gg \dot{\neg}\,((-u(rec(1
+1
)
*\underline{
\mathsf {v}}
)
)
 <= (-u|(\underline{
\mathsf {u}}
+(-u\underline{
\mathsf{z}}
)
)
|
)
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,((-u(rec(1
+1
)
*\underline{
\mathsf {v}}
)
)
 = (-u|(\underline{
\mathsf {u}}
+(-u\underline{
\mathsf{z}}
)
)
|
)
)n
)n
)n
; AddEquations(Less)
\rhd \dot{\neg}\,((-u(rec(1
+1
)
*\underline{
\mathsf {v}}
)
)
 <= (-u|(\underline{
\mathsf{x}}
+(-u\underline{
\mathsf{y}}
)
)
|
)
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,((-u(rec(1
+1
)
*\underline{
\mathsf {v}}
)
)
 = (-u|(\underline{
\mathsf{x}}
+(-u\underline{
\mathsf{y}}
)
)
|
)
)n
)n
)n
\rhd \dot{\neg}\,((-u(rec(1
+1
)
*\underline{
\mathsf {v}}
)
)
 <= (-u|(\underline{
\mathsf {u}}
+(-u\underline{
\mathsf{z}}
)
)
|
)
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,((-u(rec(1
+1
)
*\underline{
\mathsf {v}}
)
)
 = (-u|(\underline{
\mathsf {u}}
+(-u\underline{
\mathsf{z}}
)
)
|
)
)n
)n
)n
\gg \dot{\neg}\,(((-u(rec(1
+1
)
*\underline{
\mathsf {v}}
)
)
+(-u(rec(1
+1
)
*\underline{
\mathsf {v}}
)
)
)
 <= ((-u|(\underline{
\mathsf{x}}
+(-u\underline{
\mathsf{y}}
)
)
|
)
+(-u|(\underline{
\mathsf {u}}
+(-u\underline{
\mathsf{z}}
)
)
|
)
)
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(((-u(rec(1
+1
)
*\underline{
\mathsf {v}}
)
)
+(-u(rec(1
+1
)
*\underline{
\mathsf {v}}
)
)
)
 = ((-u|(\underline{
\mathsf{x}}
+(-u\underline{
\mathsf{y}}
)
)
|
)
+(-u|(\underline{
\mathsf {u}}
+(-u\underline{
\mathsf{z}}
)
)
|
)
)
)n
)n
)n
; TwoHalves
\gg ((rec(1
+1
)
*\underline{
\mathsf {v}}
)
+(rec(1
+1
)
*\underline{
\mathsf {v}}
)
)
 = \underline{
\mathsf {v}}
; EqNegated
\rhd ((rec(1
+1
)
*\underline{
\mathsf {v}}
)
+(rec(1
+1
)
*\underline{
\mathsf {v}}
)
)
 = \underline{
\mathsf {v}}
\gg (-u((rec(1
+1
)
*\underline{
\mathsf {v}}
)
+(rec(1
+1
)
*\underline{
\mathsf {v}}
)
)
)
 = (-u\underline{
\mathsf {v}}
)
; -x-y=-(x+y)
\gg ((-u(rec(1
+1
)
*\underline{
\mathsf {v}}
)
)
+(-u(rec(1
+1
)
*\underline{
\mathsf {v}}
)
)
)
 = (-u((rec(1
+1
)
*\underline{
\mathsf {v}}
)
+(rec(1
+1
)
*\underline{
\mathsf {v}}
)
)
)
; eqTransitivity
\rhd ((-u(rec(1
+1
)
*\underline{
\mathsf {v}}
)
)
+(-u(rec(1
+1
)
*\underline{
\mathsf {v}}
)
)
)
 = (-u((rec(1
+1
)
*\underline{
\mathsf {v}}
)
+(rec(1
+1
)
*\underline{
\mathsf {v}}
)
)
)
\rhd (-u((rec(1
+1
)
*\underline{
\mathsf {v}}
)
+(rec(1
+1
)
*\underline{
\mathsf {v}}
)
)
)
 = (-u\underline{
\mathsf {v}}
)
\gg ((-u(rec(1
+1
)
*\underline{
\mathsf {v}}
)
)
+(-u(rec(1
+1
)
*\underline{
\mathsf {v}}
)
)
)
 = (-u\underline{
\mathsf {v}}
)
; SubLessLeft
\rhd ((-u(rec(1
+1
)
*\underline{
\mathsf {v}}
)
)
+(-u(rec(1
+1
)
*\underline{
\mathsf {v}}
)
)
)
 = (-u\underline{
\mathsf {v}}
)
\rhd \dot{\neg}\,(((-u(rec(1
+1
)
*\underline{
\mathsf {v}}
)
)
+(-u(rec(1
+1
)
*\underline{
\mathsf {v}}
)
)
)
 <= ((-u|(\underline{
\mathsf{x}}
+(-u\underline{
\mathsf{y}}
)
)
|
)
+(-u|(\underline{
\mathsf {u}}
+(-u\underline{
\mathsf{z}}
)
)
|
)
)
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(((-u(rec(1
+1
)
*\underline{
\mathsf {v}}
)
)
+(-u(rec(1
+1
)
*\underline{
\mathsf {v}}
)
)
)
 = ((-u|(\underline{
\mathsf{x}}
+(-u\underline{
\mathsf{y}}
)
)
|
)
+(-u|(\underline{
\mathsf {u}}
+(-u\underline{
\mathsf{z}}
)
)
|
)
)
)n
)n
)n
\gg \dot{\neg}\,((-u\underline{
\mathsf {v}}
)
 <= ((-u|(\underline{
\mathsf{x}}
+(-u\underline{
\mathsf{y}}
)
)
|
)
+(-u|(\underline{
\mathsf {u}}
+(-u\underline{
\mathsf{z}}
)
)
|
)
)
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,((-u\underline{
\mathsf {v}}
)
 = ((-u|(\underline{
\mathsf{x}}
+(-u\underline{
\mathsf{y}}
)
)
|
)
+(-u|(\underline{
\mathsf {u}}
+(-u\underline{
\mathsf{z}}
)
)
|
)
)
)n
)n
)n
; plusCommutativity
\gg ((-u|(\underline{
\mathsf{x}}
+(-u\underline{
\mathsf{y}}
)
)
|
)
+(-u|(\underline{
\mathsf {u}}
+(-u\underline{
\mathsf{z}}
)
)
|
)
)
 = ((-u|(\underline{
\mathsf {u}}
+(-u\underline{
\mathsf{z}}
)
)
|
)
+(-u|(\underline{
\mathsf{x}}
+(-u\underline{
\mathsf{y}}
)
)
|
)
)
; SubLessRight
\rhd ((-u|(\underline{
\mathsf{x}}
+(-u\underline{
\mathsf{y}}
)
)
|
)
+(-u|(\underline{
\mathsf {u}}
+(-u\underline{
\mathsf{z}}
)
)
|
)
)
 = ((-u|(\underline{
\mathsf {u}}
+(-u\underline{
\mathsf{z}}
)
)
|
)
+(-u|(\underline{
\mathsf{x}}
+(-u\underline{
\mathsf{y}}
)
)
|
)
)
\rhd \dot{\neg}\,((-u\underline{
\mathsf {v}}
)
 <= ((-u|(\underline{
\mathsf{x}}
+(-u\underline{
\mathsf{y}}
)
)
|
)
+(-u|(\underline{
\mathsf {u}}
+(-u\underline{
\mathsf{z}}
)
)
|
)
)
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,((-u\underline{
\mathsf {v}}
)
 = ((-u|(\underline{
\mathsf{x}}
+(-u\underline{
\mathsf{y}}
)
)
|
)
+(-u|(\underline{
\mathsf {u}}
+(-u\underline{
\mathsf{z}}
)
)
|
)
)
)n
)n
)n
\gg \dot{\neg}\,((-u\underline{
\mathsf {v}}
)
 <= ((-u|(\underline{
\mathsf {u}}
+(-u\underline{
\mathsf{z}}
)
)
|
)
+(-u|(\underline{
\mathsf{x}}
+(-u\underline{
\mathsf{y}}
)
)
|
)
)
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,((-u\underline{
\mathsf {v}}
)
 = ((-u|(\underline{
\mathsf {u}}
+(-u\underline{
\mathsf{z}}
)
)
|
)
+(-u|(\underline{
\mathsf{x}}
+(-u\underline{
\mathsf{y}}
)
)
|
)
)
)n
)n
)n
; AddEquations(LeqLess)
\rhd \underline{
\mathsf {v}}
 <= |(\underline{
\mathsf{x}}
+(-u\underline{
\mathsf{z}}
)
)
|
\rhd \dot{\neg}\,((-u\underline{
\mathsf {v}}
)
 <= ((-u|(\underline{
\mathsf {u}}
+(-u\underline{
\mathsf{z}}
)
)
|
)
+(-u|(\underline{
\mathsf{x}}
+(-u\underline{
\mathsf{y}}
)
)
|
)
)
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,((-u\underline{
\mathsf {v}}
)
 = ((-u|(\underline{
\mathsf {u}}
+(-u\underline{
\mathsf{z}}
)
)
|
)
+(-u|(\underline{
\mathsf{x}}
+(-u\underline{
\mathsf{y}}
)
)
|
)
)
)n
)n
)n
\gg \dot{\neg}\,((\underline{
\mathsf {v}}
+(-u\underline{
\mathsf {v}}
)
)
 <= (|(\underline{
\mathsf{x}}
+(-u\underline{
\mathsf{z}}
)
)
|
+((-u|(\underline{
\mathsf {u}}
+(-u\underline{
\mathsf{z}}
)
)
|
)
+(-u|(\underline{
\mathsf{x}}
+(-u\underline{
\mathsf{y}}
)
)
|
)
)
)
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,((\underline{
\mathsf {v}}
+(-u\underline{
\mathsf {v}}
)
)
 = (|(\underline{
\mathsf{x}}
+(-u\underline{
\mathsf{z}}
)
)
|
+((-u|(\underline{
\mathsf {u}}
+(-u\underline{
\mathsf{z}}
)
)
|
)
+(-u|(\underline{
\mathsf{x}}
+(-u\underline{
\mathsf{y}}
)
)
|
)
)
)
)n
)n
)n
; Negative
\gg (\underline{
\mathsf {v}}
+(-u\underline{
\mathsf {v}}
)
)
 = 0
; SubLessLeft
\rhd (\underline{
\mathsf {v}}
+(-u\underline{
\mathsf {v}}
)
)
 = 0
\rhd \dot{\neg}\,((\underline{
\mathsf {v}}
+(-u\underline{
\mathsf {v}}
)
)
 <= (|(\underline{
\mathsf{x}}
+(-u\underline{
\mathsf{z}}
)
)
|
+((-u|(\underline{
\mathsf {u}}
+(-u\underline{
\mathsf{z}}
)
)
|
)
+(-u|(\underline{
\mathsf{x}}
+(-u\underline{
\mathsf{y}}
)
)
|
)
)
)
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,((\underline{
\mathsf {v}}
+(-u\underline{
\mathsf {v}}
)
)
 = (|(\underline{
\mathsf{x}}
+(-u\underline{
\mathsf{z}}
)
)
|
+((-u|(\underline{
\mathsf {u}}
+(-u\underline{
\mathsf{z}}
)
)
|
)
+(-u|(\underline{
\mathsf{x}}
+(-u\underline{
\mathsf{y}}
)
)
|
)
)
)
)n
)n
)n
\gg \dot{\neg}\,(0
 <= (|(\underline{
\mathsf{x}}
+(-u\underline{
\mathsf{z}}
)
)
|
+((-u|(\underline{
\mathsf {u}}
+(-u\underline{
\mathsf{z}}
)
)
|
)
+(-u|(\underline{
\mathsf{x}}
+(-u\underline{
\mathsf{y}}
)
)
|
)
)
)
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(0
 = (|(\underline{
\mathsf{x}}
+(-u\underline{
\mathsf{z}}
)
)
|
+((-u|(\underline{
\mathsf {u}}
+(-u\underline{
\mathsf{z}}
)
)
|
)
+(-u|(\underline{
\mathsf{x}}
+(-u\underline{
\mathsf{y}}
)
)
|
)
)
)
)n
)n
)n
; plusAssociativity
\gg ((|(\underline{
\mathsf{x}}
+(-u\underline{
\mathsf{z}}
)
)
|
+(-u|(\underline{
\mathsf {u}}
+(-u\underline{
\mathsf{z}}
)
)
|
)
)
+(-u|(\underline{
\mathsf{x}}
+(-u\underline{
\mathsf{y}}
)
)
|
)
)
 = (|(\underline{
\mathsf{x}}
+(-u\underline{
\mathsf{z}}
)
)
|
+((-u|(\underline{
\mathsf {u}}
+(-u\underline{
\mathsf{z}}
)
)
|
)
+(-u|(\underline{
\mathsf{x}}
+(-u\underline{
\mathsf{y}}
)
)
|
)
)
)
; eqSymmetry
\rhd ((|(\underline{
\mathsf{x}}
+(-u\underline{
\mathsf{z}}
)
)
|
+(-u|(\underline{
\mathsf {u}}
+(-u\underline{
\mathsf{z}}
)
)
|
)
)
+(-u|(\underline{
\mathsf{x}}
+(-u\underline{
\mathsf{y}}
)
)
|
)
)
 = (|(\underline{
\mathsf{x}}
+(-u\underline{
\mathsf{z}}
)
)
|
+((-u|(\underline{
\mathsf {u}}
+(-u\underline{
\mathsf{z}}
)
)
|
)
+(-u|(\underline{
\mathsf{x}}
+(-u\underline{
\mathsf{y}}
)
)
|
)
)
)
\gg (|(\underline{
\mathsf{x}}
+(-u\underline{
\mathsf{z}}
)
)
|
+((-u|(\underline{
\mathsf {u}}
+(-u\underline{
\mathsf{z}}
)
)
|
)
+(-u|(\underline{
\mathsf{x}}
+(-u\underline{
\mathsf{y}}
)
)
|
)
)
)
 = ((|(\underline{
\mathsf{x}}
+(-u\underline{
\mathsf{z}}
)
)
|
+(-u|(\underline{
\mathsf {u}}
+(-u\underline{
\mathsf{z}}
)
)
|
)
)
+(-u|(\underline{
\mathsf{x}}
+(-u\underline{
\mathsf{y}}
)
)
|
)
)
; SubLessRight
\rhd (|(\underline{
\mathsf{x}}
+(-u\underline{
\mathsf{z}}
)
)
|
+((-u|(\underline{
\mathsf {u}}
+(-u\underline{
\mathsf{z}}
)
)
|
)
+(-u|(\underline{
\mathsf{x}}
+(-u\underline{
\mathsf{y}}
)
)
|
)
)
)
 = ((|(\underline{
\mathsf{x}}
+(-u\underline{
\mathsf{z}}
)
)
|
+(-u|(\underline{
\mathsf {u}}
+(-u\underline{
\mathsf{z}}
)
)
|
)
)
+(-u|(\underline{
\mathsf{x}}
+(-u\underline{
\mathsf{y}}
)
)
|
)
)
\rhd \dot{\neg}\,(0
 <= (|(\underline{
\mathsf{x}}
+(-u\underline{
\mathsf{z}}
)
)
|
+((-u|(\underline{
\mathsf {u}}
+(-u\underline{
\mathsf{z}}
)
)
|
)
+(-u|(\underline{
\mathsf{x}}
+(-u\underline{
\mathsf{y}}
)
)
|
)
)
)
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(0
 = (|(\underline{
\mathsf{x}}
+(-u\underline{
\mathsf{z}}
)
)
|
+((-u|(\underline{
\mathsf {u}}
+(-u\underline{
\mathsf{z}}
)
)
|
)
+(-u|(\underline{
\mathsf{x}}
+(-u\underline{
\mathsf{y}}
)
)
|
)
)
)
)n
)n
)n
\gg \dot{\neg}\,(0
 <= ((|(\underline{
\mathsf{x}}
+(-u\underline{
\mathsf{z}}
)
)
|
+(-u|(\underline{
\mathsf {u}}
+(-u\underline{
\mathsf{z}}
)
)
|
)
)
+(-u|(\underline{
\mathsf{x}}
+(-u\underline{
\mathsf{y}}
)
)
|
)
)
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(0
 = ((|(\underline{
\mathsf{x}}
+(-u\underline{
\mathsf{z}}
)
)
|
+(-u|(\underline{
\mathsf {u}}
+(-u\underline{
\mathsf{z}}
)
)
|
)
)
+(-u|(\underline{
\mathsf{x}}
+(-u\underline{
\mathsf{y}}
)
)
|
)
)
)n
)n
)n
; insertTwoMiddleTerms(Numerical)
\gg |(\underline{
\mathsf{x}}
+(-u\underline{
\mathsf{z}}
)
)
|
 <= ((|(\underline{
\mathsf{x}}
+(-u\underline{
\mathsf{y}}
)
)
|
+|(\underline{
\mathsf{y}}
+(-u\underline{
\mathsf {u}}
)
)
|
)
+|(\underline{
\mathsf {u}}
+(-u\underline{
\mathsf{z}}
)
)
|
)
; PositiveToLeft(Leq)
\rhd |(\underline{
\mathsf{x}}
+(-u\underline{
\mathsf{z}}
)
)
|
 <= ((|(\underline{
\mathsf{x}}
+(-u\underline{
\mathsf{y}}
)
)
|
+|(\underline{
\mathsf{y}}
+(-u\underline{
\mathsf {u}}
)
)
|
)
+|(\underline{
\mathsf {u}}
+(-u\underline{
\mathsf{z}}
)
)
|
)
\gg (|(\underline{
\mathsf{x}}
+(-u\underline{
\mathsf{z}}
)
)
|
+(-u|(\underline{
\mathsf {u}}
+(-u\underline{
\mathsf{z}}
)
)
|
)
)
 <= (|(\underline{
\mathsf{x}}
+(-u\underline{
\mathsf{y}}
)
)
|
+|(\underline{
\mathsf{y}}
+(-u\underline{
\mathsf {u}}
)
)
|
)
; plusCommutativity
\gg (|(\underline{
\mathsf{x}}
+(-u\underline{
\mathsf{y}}
)
)
|
+|(\underline{
\mathsf{y}}
+(-u\underline{
\mathsf {u}}
)
)
|
)
 = (|(\underline{
\mathsf{y}}
+(-u\underline{
\mathsf {u}}
)
)
|
+|(\underline{
\mathsf{x}}
+(-u\underline{
\mathsf{y}}
)
)
|
)
; subLeqRight
\rhd (|(\underline{
\mathsf{x}}
+(-u\underline{
\mathsf{y}}
)
)
|
+|(\underline{
\mathsf{y}}
+(-u\underline{
\mathsf {u}}
)
)
|
)
 = (|(\underline{
\mathsf{y}}
+(-u\underline{
\mathsf {u}}
)
)
|
+|(\underline{
\mathsf{x}}
+(-u\underline{
\mathsf{y}}
)
)
|
)
\rhd (|(\underline{
\mathsf{x}}
+(-u\underline{
\mathsf{z}}
)
)
|
+(-u|(\underline{
\mathsf {u}}
+(-u\underline{
\mathsf{z}}
)
)
|
)
)
 <= (|(\underline{
\mathsf{x}}
+(-u\underline{
\mathsf{y}}
)
)
|
+|(\underline{
\mathsf{y}}
+(-u\underline{
\mathsf {u}}
)
)
|
)
\gg (|(\underline{
\mathsf{x}}
+(-u\underline{
\mathsf{z}}
)
)
|
+(-u|(\underline{
\mathsf {u}}
+(-u\underline{
\mathsf{z}}
)
)
|
)
)
 <= (|(\underline{
\mathsf{y}}
+(-u\underline{
\mathsf {u}}
)
)
|
+|(\underline{
\mathsf{x}}
+(-u\underline{
\mathsf{y}}
)
)
|
)
; PositiveToLeft(Leq)
\rhd (|(\underline{
\mathsf{x}}
+(-u\underline{
\mathsf{z}}
)
)
|
+(-u|(\underline{
\mathsf {u}}
+(-u\underline{
\mathsf{z}}
)
)
|
)
)
 <= (|(\underline{
\mathsf{y}}
+(-u\underline{
\mathsf {u}}
)
)
|
+|(\underline{
\mathsf{x}}
+(-u\underline{
\mathsf{y}}
)
)
|
)
\gg ((|(\underline{
\mathsf{x}}
+(-u\underline{
\mathsf{z}}
)
)
|
+(-u|(\underline{
\mathsf {u}}
+(-u\underline{
\mathsf{z}}
)
)
|
)
)
+(-u|(\underline{
\mathsf{x}}
+(-u\underline{
\mathsf{y}}
)
)
|
)
)
 <= |(\underline{
\mathsf{y}}
+(-u\underline{
\mathsf {u}}
)
)
|
; LessLeqTransitivity
\rhd \dot{\neg}\,(0
 <= ((|(\underline{
\mathsf{x}}
+(-u\underline{
\mathsf{z}}
)
)
|
+(-u|(\underline{
\mathsf {u}}
+(-u\underline{
\mathsf{z}}
)
)
|
)
)
+(-u|(\underline{
\mathsf{x}}
+(-u\underline{
\mathsf{y}}
)
)
|
)
)
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(0
 = ((|(\underline{
\mathsf{x}}
+(-u\underline{
\mathsf{z}}
)
)
|
+(-u|(\underline{
\mathsf {u}}
+(-u\underline{
\mathsf{z}}
)
)
|
)
)
+(-u|(\underline{
\mathsf{x}}
+(-u\underline{
\mathsf{y}}
)
)
|
)
)
)n
)n
)n
\rhd ((|(\underline{
\mathsf{x}}
+(-u\underline{
\mathsf{z}}
)
)
|
+(-u|(\underline{
\mathsf {u}}
+(-u\underline{
\mathsf{z}}
)
)
|
)
)
+(-u|(\underline{
\mathsf{x}}
+(-u\underline{
\mathsf{y}}
)
)
|
)
)
 <= |(\underline{
\mathsf{y}}
+(-u\underline{
\mathsf {u}}
)
)
|
\gg \dot{\neg}\,(0
 <= |(\underline{
\mathsf{y}}
+(-u\underline{
\mathsf {u}}
)
)
|
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(0
 = |(\underline{
\mathsf{y}}
+(-u\underline{
\mathsf {u}}
)
)
|
)n
)n
)n
; FromPositiveNumerical
\rhd \dot{\neg}\,(0
 <= |(\underline{
\mathsf{y}}
+(-u\underline{
\mathsf {u}}
)
)
|
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(0
 = |(\underline{
\mathsf{y}}
+(-u\underline{
\mathsf {u}}
)
)
|
)n
)n
)n
\gg \dot{\neg}\,((\underline{
\mathsf{y}}
+(-u\underline{
\mathsf {u}}
)
)
 = 0
)n
; NegativeToRight(Neq)(1 term)
\rhd \dot{\neg}\,((\underline{
\mathsf{y}}
+(-u\underline{
\mathsf {u}}
)
)
 = 0
)n
\gg \dot{\neg}\,(\underline{
\mathsf{y}}
 = \underline{
\mathsf {u}}
)n
\rceil 
, 
p_0
, 
\mathsf {c}
)
]$


$
[FromNotSameF(Strong)(Helper)
\stackrel{
stmt
}{\rightarrow}SystemQ
\vdash 
\forall \underline{(v1)}
\colon 
\forall \underline{(v2)}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf {m}}
\colon 
\forall \underline{(n1)}
\colon 
\forall \underline{(n2)}
\colon 
\forall \underline{(\epsilon)}
\colon 
\forall \underline{(fx)}
\colon 
\forall \underline{(fy)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(0
 <= \underline{(\epsilon)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(0
 = \underline{(\epsilon)}
)n
)n
)n
\Rightarrow \underline{(n1)}
 <= \underline{(n2)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(|(\underline{(fx)}
[\underline{(n2)}
]
+(-u\underline{(fy)}
[\underline{(n2)}
]
)
)
|
 <= \underline{(\epsilon)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(|(\underline{(fx)}
[\underline{(n2)}
]
+(-u\underline{(fy)}
[\underline{(n2)}
]
)
)
|
 = \underline{(\epsilon)}
)n
)n
)n
)n
\Rightarrow 
\forall_{obj} \underline{(v1)}
\colon 
\forall_{obj} \underline{(v2)}
\colon \dot{\neg}\,(0
 <= (rec(1
+1
)
*\underline{(\epsilon)}
)
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(0
 = (rec(1
+1
)
*\underline{(\epsilon)}
)
)n
)n
)n
\Rightarrow \underline{(n1)}
 <= \underline{(v1)}
\Rightarrow \underline{(n1)}
 <= \underline{(v2)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(|(\underline{(fx)}
[\underline{(v1)}
]
+(-u\underline{(fx)}
[\underline{(v2)}
]
)
)
|
 <= (rec(1
+1
)
*\underline{(\epsilon)}
)
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(|(\underline{(fx)}
[\underline{(v1)}
]
+(-u\underline{(fx)}
[\underline{(v2)}
]
)
)
|
 = (rec(1
+1
)
*\underline{(\epsilon)}
)
)n
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(|(\underline{(fy)}
[\underline{(v1)}
]
+(-u\underline{(fy)}
[\underline{(v2)}
]
)
)
|
 <= (rec(1
+1
)
*\underline{(\epsilon)}
)
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(|(\underline{(fy)}
[\underline{(v1)}
]
+(-u\underline{(fy)}
[\underline{(v2)}
]
)
)
|
 = (rec(1
+1
)
*\underline{(\epsilon)}
)
)n
)n
)n
)n
)n
\Rightarrow \underline{(n2)}
 <= \underline{
\mathsf {m}}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
 = \underline{(fy)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
)n
]$


$
[FromNotSameF(Strong)(Helper)
\stackrel{
proof
}{\rightarrow}
\lambda 
\mathsf {c}
.
\lambda 
\mathsf{x}
.
{\cal P}( 
\lceil SystemQ
\vdash 
\forall \underline{(v1)}
\colon 
\forall \underline{(v2)}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf {m}}
\colon 
\forall \underline{(n1)}
\colon 
\forall \underline{(n2)}
\colon 
\forall \underline{(\epsilon)}
\colon 
\forall \underline{(fx)}
\colon 
\forall \underline{(fy)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(0
 <= \underline{(\epsilon)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(0
 = \underline{(\epsilon)}
)n
)n
)n
\Rightarrow \underline{(n1)}
 <= \underline{(n2)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(|(\underline{(fx)}
[\underline{(n2)}
]
+(-u\underline{(fy)}
[\underline{(n2)}
]
)
)
|
 <= \underline{(\epsilon)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(|(\underline{(fx)}
[\underline{(n2)}
]
+(-u\underline{(fy)}
[\underline{(n2)}
]
)
)
|
 = \underline{(\epsilon)}
)n
)n
)n
)n
\vdash 
\forall_{obj} \underline{(v1)}
\colon 
\forall_{obj} \underline{(v2)}
\colon \dot{\neg}\,(0
 <= (rec(1
+1
)
*\underline{(\epsilon)}
)
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(0
 = (rec(1
+1
)
*\underline{(\epsilon)}
)
)n
)n
)n
\Rightarrow \underline{(n1)}
 <= \underline{(v1)}
\Rightarrow \underline{(n1)}
 <= \underline{(v2)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(|(\underline{(fx)}
[\underline{(v1)}
]
+(-u\underline{(fx)}
[\underline{(v2)}
]
)
)
|
 <= (rec(1
+1
)
*\underline{(\epsilon)}
)
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(|(\underline{(fx)}
[\underline{(v1)}
]
+(-u\underline{(fx)}
[\underline{(v2)}
]
)
)
|
 = (rec(1
+1
)
*\underline{(\epsilon)}
)
)n
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(|(\underline{(fy)}
[\underline{(v1)}
]
+(-u\underline{(fy)}
[\underline{(v2)}
]
)
)
|
 <= (rec(1
+1
)
*\underline{(\epsilon)}
)
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(|(\underline{(fy)}
[\underline{(v1)}
]
+(-u\underline{(fy)}
[\underline{(v2)}
]
)
)
|
 = (rec(1
+1
)
*\underline{(\epsilon)}
)
)n
)n
)n
)n
)n
\vdash \underline{(n2)}
 <= \underline{
\mathsf {m}}
\vdash FromNegated(2*Imply)
\rhd \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(0
 <= \underline{(\epsilon)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(0
 = \underline{(\epsilon)}
)n
)n
)n
\Rightarrow \underline{(n1)}
 <= \underline{(n2)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(|(\underline{(fx)}
[\underline{(n2)}
]
+(-u\underline{(fy)}
[\underline{(n2)}
]
)
)
|
 <= \underline{(\epsilon)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(|(\underline{(fx)}
[\underline{(n2)}
]
+(-u\underline{(fy)}
[\underline{(n2)}
]
)
)
|
 = \underline{(\epsilon)}
)n
)n
)n
)n
\gg \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(0
 <= \underline{(\epsilon)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(0
 = \underline{(\epsilon)}
)n
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\underline{(n1)}
 <= \underline{(n2)}
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(|(\underline{(fx)}
[\underline{(n2)}
]
+(-u\underline{(fy)}
[\underline{(n2)}
]
)
)
|
 <= \underline{(\epsilon)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(|(\underline{(fx)}
[\underline{(n2)}
]
+(-u\underline{(fy)}
[\underline{(n2)}
]
)
)
|
 = \underline{(\epsilon)}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
; FirstConjunct
\rhd \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(0
 <= \underline{(\epsilon)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(0
 = \underline{(\epsilon)}
)n
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\underline{(n1)}
 <= \underline{(n2)}
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(|(\underline{(fx)}
[\underline{(n2)}
]
+(-u\underline{(fy)}
[\underline{(n2)}
]
)
)
|
 <= \underline{(\epsilon)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(|(\underline{(fx)}
[\underline{(n2)}
]
+(-u\underline{(fy)}
[\underline{(n2)}
]
)
)
|
 = \underline{(\epsilon)}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\gg \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(0
 <= \underline{(\epsilon)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(0
 = \underline{(\epsilon)}
)n
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\underline{(n1)}
 <= \underline{(n2)}
)n
)n
; FirstConjunct
\rhd \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(0
 <= \underline{(\epsilon)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(0
 = \underline{(\epsilon)}
)n
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\underline{(n1)}
 <= \underline{(n2)}
)n
)n
\gg \dot{\neg}\,(0
 <= \underline{(\epsilon)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(0
 = \underline{(\epsilon)}
)n
)n
)n
; SecondConjunct
\rhd \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(0
 <= \underline{(\epsilon)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(0
 = \underline{(\epsilon)}
)n
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\underline{(n1)}
 <= \underline{(n2)}
)n
)n
\gg \underline{(n1)}
 <= \underline{(n2)}
; SecondConjunct
\rhd \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(0
 <= \underline{(\epsilon)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(0
 = \underline{(\epsilon)}
)n
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\underline{(n1)}
 <= \underline{(n2)}
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(|(\underline{(fx)}
[\underline{(n2)}
]
+(-u\underline{(fy)}
[\underline{(n2)}
]
)
)
|
 <= \underline{(\epsilon)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(|(\underline{(fx)}
[\underline{(n2)}
]
+(-u\underline{(fy)}
[\underline{(n2)}
]
)
)
|
 = \underline{(\epsilon)}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\gg \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(|(\underline{(fx)}
[\underline{(n2)}
]
+(-u\underline{(fy)}
[\underline{(n2)}
]
)
)
|
 <= \underline{(\epsilon)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(|(\underline{(fx)}
[\underline{(n2)}
]
+(-u\underline{(fy)}
[\underline{(n2)}
]
)
)
|
 = \underline{(\epsilon)}
)n
)n
)n
)n
; fromNotLess
\rhd \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(|(\underline{(fx)}
[\underline{(n2)}
]
+(-u\underline{(fy)}
[\underline{(n2)}
]
)
)
|
 <= \underline{(\epsilon)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(|(\underline{(fx)}
[\underline{(n2)}
]
+(-u\underline{(fy)}
[\underline{(n2)}
]
)
)
|
 = \underline{(\epsilon)}
)n
)n
)n
)n
\gg \underline{(\epsilon)}
 <= |(\underline{(fx)}
[\underline{(n2)}
]
+(-u\underline{(fy)}
[\underline{(n2)}
]
)
)
|
; A4
\mathop {\char64} \underline{(n2)}
\rhd 
\forall_{obj} \underline{(v1)}
\colon 
\forall_{obj} \underline{(v2)}
\colon \dot{\neg}\,(0
 <= (rec(1
+1
)
*\underline{(\epsilon)}
)
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(0
 = (rec(1
+1
)
*\underline{(\epsilon)}
)
)n
)n
)n
\Rightarrow \underline{(n1)}
 <= \underline{(v1)}
\Rightarrow \underline{(n1)}
 <= \underline{(v2)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(|(\underline{(fx)}
[\underline{(v1)}
]
+(-u\underline{(fx)}
[\underline{(v2)}
]
)
)
|
 <= (rec(1
+1
)
*\underline{(\epsilon)}
)
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(|(\underline{(fx)}
[\underline{(v1)}
]
+(-u\underline{(fx)}
[\underline{(v2)}
]
)
)
|
 = (rec(1
+1
)
*\underline{(\epsilon)}
)
)n
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(|(\underline{(fy)}
[\underline{(v1)}
]
+(-u\underline{(fy)}
[\underline{(v2)}
]
)
)
|
 <= (rec(1
+1
)
*\underline{(\epsilon)}
)
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(|(\underline{(fy)}
[\underline{(v1)}
]
+(-u\underline{(fy)}
[\underline{(v2)}
]
)
)
|
 = (rec(1
+1
)
*\underline{(\epsilon)}
)
)n
)n
)n
)n
)n
\gg 
\forall_{obj} \underline{(v2)}
\colon \dot{\neg}\,(0
 <= (rec(1
+1
)
*\underline{(\epsilon)}
)
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(0
 = (rec(1
+1
)
*\underline{(\epsilon)}
)
)n
)n
)n
\Rightarrow \underline{(n1)}
 <= \underline{(n2)}
\Rightarrow \underline{(n1)}
 <= \underline{(v2)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(|(\underline{(fx)}
[\underline{(n2)}
]
+(-u\underline{(fx)}
[\underline{(v2)}
]
)
)
|
 <= (rec(1
+1
)
*\underline{(\epsilon)}
)
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(|(\underline{(fx)}
[\underline{(n2)}
]
+(-u\underline{(fx)}
[\underline{(v2)}
]
)
)
|
 = (rec(1
+1
)
*\underline{(\epsilon)}
)
)n
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(|(\underline{(fy)}
[\underline{(n2)}
]
+(-u\underline{(fy)}
[\underline{(v2)}
]
)
)
|
 <= (rec(1
+1
)
*\underline{(\epsilon)}
)
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(|(\underline{(fy)}
[\underline{(n2)}
]
+(-u\underline{(fy)}
[\underline{(v2)}
]
)
)
|
 = (rec(1
+1
)
*\underline{(\epsilon)}
)
)n
)n
)n
)n
)n
; A4
\mathop {\char64} \underline{
\mathsf {m}}
\rhd 
\forall_{obj} \underline{(v2)}
\colon \dot{\neg}\,(0
 <= (rec(1
+1
)
*\underline{(\epsilon)}
)
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(0
 = (rec(1
+1
)
*\underline{(\epsilon)}
)
)n
)n
)n
\Rightarrow \underline{(n1)}
 <= \underline{(n2)}
\Rightarrow \underline{(n1)}
 <= \underline{(v2)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(|(\underline{(fx)}
[\underline{(n2)}
]
+(-u\underline{(fx)}
[\underline{(v2)}
]
)
)
|
 <= (rec(1
+1
)
*\underline{(\epsilon)}
)
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(|(\underline{(fx)}
[\underline{(n2)}
]
+(-u\underline{(fx)}
[\underline{(v2)}
]
)
)
|
 = (rec(1
+1
)
*\underline{(\epsilon)}
)
)n
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(|(\underline{(fy)}
[\underline{(n2)}
]
+(-u\underline{(fy)}
[\underline{(v2)}
]
)
)
|
 <= (rec(1
+1
)
*\underline{(\epsilon)}
)
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(|(\underline{(fy)}
[\underline{(n2)}
]
+(-u\underline{(fy)}
[\underline{(v2)}
]
)
)
|
 = (rec(1
+1
)
*\underline{(\epsilon)}
)
)n
)n
)n
)n
)n
\gg \dot{\neg}\,(0
 <= (rec(1
+1
)
*\underline{(\epsilon)}
)
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(0
 = (rec(1
+1
)
*\underline{(\epsilon)}
)
)n
)n
)n
\Rightarrow \underline{(n1)}
 <= \underline{(n2)}
\Rightarrow \underline{(n1)}
 <= \underline{
\mathsf {m}}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(|(\underline{(fx)}
[\underline{(n2)}
]
+(-u\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
)
)
|
 <= (rec(1
+1
)
*\underline{(\epsilon)}
)
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(|(\underline{(fx)}
[\underline{(n2)}
]
+(-u\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
)
)
|
 = (rec(1
+1
)
*\underline{(\epsilon)}
)
)n
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(|(\underline{(fy)}
[\underline{(n2)}
]
+(-u\underline{(fy)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
)
)
|
 <= (rec(1
+1
)
*\underline{(\epsilon)}
)
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(|(\underline{(fy)}
[\underline{(n2)}
]
+(-u\underline{(fy)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
)
)
|
 = (rec(1
+1
)
*\underline{(\epsilon)}
)
)n
)n
)n
)n
)n
; PositiveHalved
\rhd \dot{\neg}\,(0
 <= \underline{(\epsilon)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(0
 = \underline{(\epsilon)}
)n
)n
)n
\gg \dot{\neg}\,(0
 <= (rec(1
+1
)
*\underline{(\epsilon)}
)
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(0
 = (rec(1
+1
)
*\underline{(\epsilon)}
)
)n
)n
)n
; leqTransitivity
\rhd \underline{(n1)}
 <= \underline{(n2)}
\rhd \underline{(n2)}
 <= \underline{
\mathsf {m}}
\gg \underline{(n1)}
 <= \underline{
\mathsf {m}}
; MP3
\rhd \dot{\neg}\,(0
 <= (rec(1
+1
)
*\underline{(\epsilon)}
)
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(0
 = (rec(1
+1
)
*\underline{(\epsilon)}
)
)n
)n
)n
\Rightarrow \underline{(n1)}
 <= \underline{(n2)}
\Rightarrow \underline{(n1)}
 <= \underline{
\mathsf {m}}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(|(\underline{(fx)}
[\underline{(n2)}
]
+(-u\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
)
)
|
 <= (rec(1
+1
)
*\underline{(\epsilon)}
)
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(|(\underline{(fx)}
[\underline{(n2)}
]
+(-u\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
)
)
|
 = (rec(1
+1
)
*\underline{(\epsilon)}
)
)n
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(|(\underline{(fy)}
[\underline{(n2)}
]
+(-u\underline{(fy)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
)
)
|
 <= (rec(1
+1
)
*\underline{(\epsilon)}
)
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(|(\underline{(fy)}
[\underline{(n2)}
]
+(-u\underline{(fy)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
)
)
|
 = (rec(1
+1
)
*\underline{(\epsilon)}
)
)n
)n
)n
)n
)n
\rhd \dot{\neg}\,(0
 <= (rec(1
+1
)
*\underline{(\epsilon)}
)
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(0
 = (rec(1
+1
)
*\underline{(\epsilon)}
)
)n
)n
)n
\rhd \underline{(n1)}
 <= \underline{(n2)}
\rhd \underline{(n1)}
 <= \underline{
\mathsf {m}}
\gg \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(|(\underline{(fx)}
[\underline{(n2)}
]
+(-u\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
)
)
|
 <= (rec(1
+1
)
*\underline{(\epsilon)}
)
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(|(\underline{(fx)}
[\underline{(n2)}
]
+(-u\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
)
)
|
 = (rec(1
+1
)
*\underline{(\epsilon)}
)
)n
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(|(\underline{(fy)}
[\underline{(n2)}
]
+(-u\underline{(fy)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
)
)
|
 <= (rec(1
+1
)
*\underline{(\epsilon)}
)
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(|(\underline{(fy)}
[\underline{(n2)}
]
+(-u\underline{(fy)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
)
)
|
 = (rec(1
+1
)
*\underline{(\epsilon)}
)
)n
)n
)n
)n
)n
; FirstConjunct
\rhd \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(|(\underline{(fx)}
[\underline{(n2)}
]
+(-u\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
)
)
|
 <= (rec(1
+1
)
*\underline{(\epsilon)}
)
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(|(\underline{(fx)}
[\underline{(n2)}
]
+(-u\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
)
)
|
 = (rec(1
+1
)
*\underline{(\epsilon)}
)
)n
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(|(\underline{(fy)}
[\underline{(n2)}
]
+(-u\underline{(fy)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
)
)
|
 <= (rec(1
+1
)
*\underline{(\epsilon)}
)
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(|(\underline{(fy)}
[\underline{(n2)}
]
+(-u\underline{(fy)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
)
)
|
 = (rec(1
+1
)
*\underline{(\epsilon)}
)
)n
)n
)n
)n
)n
\gg \dot{\neg}\,(|(\underline{(fx)}
[\underline{(n2)}
]
+(-u\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
)
)
|
 <= (rec(1
+1
)
*\underline{(\epsilon)}
)
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(|(\underline{(fx)}
[\underline{(n2)}
]
+(-u\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
)
)
|
 = (rec(1
+1
)
*\underline{(\epsilon)}
)
)n
)n
)n
; SecondConjunct
\rhd \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(|(\underline{(fx)}
[\underline{(n2)}
]
+(-u\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
)
)
|
 <= (rec(1
+1
)
*\underline{(\epsilon)}
)
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(|(\underline{(fx)}
[\underline{(n2)}
]
+(-u\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
)
)
|
 = (rec(1
+1
)
*\underline{(\epsilon)}
)
)n
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(|(\underline{(fy)}
[\underline{(n2)}
]
+(-u\underline{(fy)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
)
)
|
 <= (rec(1
+1
)
*\underline{(\epsilon)}
)
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(|(\underline{(fy)}
[\underline{(n2)}
]
+(-u\underline{(fy)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
)
)
|
 = (rec(1
+1
)
*\underline{(\epsilon)}
)
)n
)n
)n
)n
)n
\gg \dot{\neg}\,(|(\underline{(fy)}
[\underline{(n2)}
]
+(-u\underline{(fy)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
)
)
|
 <= (rec(1
+1
)
*\underline{(\epsilon)}
)
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(|(\underline{(fy)}
[\underline{(n2)}
]
+(-u\underline{(fy)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
)
)
|
 = (rec(1
+1
)
*\underline{(\epsilon)}
)
)n
)n
)n
; FromNotSameF(Strong)(Helper2)
\rhd \underline{(\epsilon)}
 <= |(\underline{(fx)}
[\underline{(n2)}
]
+(-u\underline{(fy)}
[\underline{(n2)}
]
)
)
|
\rhd \dot{\neg}\,(|(\underline{(fx)}
[\underline{(n2)}
]
+(-u\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
)
)
|
 <= (rec(1
+1
)
*\underline{(\epsilon)}
)
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(|(\underline{(fx)}
[\underline{(n2)}
]
+(-u\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
)
)
|
 = (rec(1
+1
)
*\underline{(\epsilon)}
)
)n
)n
)n
\rhd \dot{\neg}\,(|(\underline{(fy)}
[\underline{(n2)}
]
+(-u\underline{(fy)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
)
)
|
 <= (rec(1
+1
)
*\underline{(\epsilon)}
)
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(|(\underline{(fy)}
[\underline{(n2)}
]
+(-u\underline{(fy)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
)
)
|
 = (rec(1
+1
)
*\underline{(\epsilon)}
)
)n
)n
)n
\gg \dot{\neg}\,(\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
 = \underline{(fy)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
)n
; 
\forall \underline{(v1)}
\colon 
\forall \underline{(v2)}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf {m}}
\colon 
\forall \underline{(n1)}
\colon 
\forall \underline{(n2)}
\colon 
\forall \underline{(\epsilon)}
\colon 
\forall \underline{(fx)}
\colon 
\forall \underline{(fy)}
\colon Ded
\rhd 
\forall \underline{(v1)}
\colon 
\forall \underline{(v2)}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf {m}}
\colon 
\forall \underline{(n1)}
\colon 
\forall \underline{(n2)}
\colon 
\forall \underline{(\epsilon)}
\colon 
\forall \underline{(fx)}
\colon 
\forall \underline{(fy)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(0
 <= \underline{(\epsilon)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(0
 = \underline{(\epsilon)}
)n
)n
)n
\Rightarrow \underline{(n1)}
 <= \underline{(n2)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(|(\underline{(fx)}
[\underline{(n2)}
]
+(-u\underline{(fy)}
[\underline{(n2)}
]
)
)
|
 <= \underline{(\epsilon)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(|(\underline{(fx)}
[\underline{(n2)}
]
+(-u\underline{(fy)}
[\underline{(n2)}
]
)
)
|
 = \underline{(\epsilon)}
)n
)n
)n
)n
\vdash 
\forall_{obj} \underline{(v1)}
\colon 
\forall_{obj} \underline{(v2)}
\colon \dot{\neg}\,(0
 <= (rec(1
+1
)
*\underline{(\epsilon)}
)
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(0
 = (rec(1
+1
)
*\underline{(\epsilon)}
)
)n
)n
)n
\Rightarrow \underline{(n1)}
 <= \underline{(v1)}
\Rightarrow \underline{(n1)}
 <= \underline{(v2)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(|(\underline{(fx)}
[\underline{(v1)}
]
+(-u\underline{(fx)}
[\underline{(v2)}
]
)
)
|
 <= (rec(1
+1
)
*\underline{(\epsilon)}
)
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(|(\underline{(fx)}
[\underline{(v1)}
]
+(-u\underline{(fx)}
[\underline{(v2)}
]
)
)
|
 = (rec(1
+1
)
*\underline{(\epsilon)}
)
)n
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(|(\underline{(fy)}
[\underline{(v1)}
]
+(-u\underline{(fy)}
[\underline{(v2)}
]
)
)
|
 <= (rec(1
+1
)
*\underline{(\epsilon)}
)
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(|(\underline{(fy)}
[\underline{(v1)}
]
+(-u\underline{(fy)}
[\underline{(v2)}
]
)
)
|
 = (rec(1
+1
)
*\underline{(\epsilon)}
)
)n
)n
)n
)n
)n
\vdash \underline{(n2)}
 <= \underline{
\mathsf {m}}
\vdash \dot{\neg}\,(\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
 = \underline{(fy)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
)n
\gg \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(0
 <= \underline{(\epsilon)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(0
 = \underline{(\epsilon)}
)n
)n
)n
\Rightarrow \underline{(n1)}
 <= \underline{(n2)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(|(\underline{(fx)}
[\underline{(n2)}
]
+(-u\underline{(fy)}
[\underline{(n2)}
]
)
)
|
 <= \underline{(\epsilon)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(|(\underline{(fx)}
[\underline{(n2)}
]
+(-u\underline{(fy)}
[\underline{(n2)}
]
)
)
|
 = \underline{(\epsilon)}
)n
)n
)n
)n
\Rightarrow 
\forall_{obj} \underline{(v1)}
\colon 
\forall_{obj} \underline{(v2)}
\colon \dot{\neg}\,(0
 <= (rec(1
+1
)
*\underline{(\epsilon)}
)
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(0
 = (rec(1
+1
)
*\underline{(\epsilon)}
)
)n
)n
)n
\Rightarrow \underline{(n1)}
 <= \underline{(v1)}
\Rightarrow \underline{(n1)}
 <= \underline{(v2)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(|(\underline{(fx)}
[\underline{(v1)}
]
+(-u\underline{(fx)}
[\underline{(v2)}
]
)
)
|
 <= (rec(1
+1
)
*\underline{(\epsilon)}
)
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(|(\underline{(fx)}
[\underline{(v1)}
]
+(-u\underline{(fx)}
[\underline{(v2)}
]
)
)
|
 = (rec(1
+1
)
*\underline{(\epsilon)}
)
)n
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(|(\underline{(fy)}
[\underline{(v1)}
]
+(-u\underline{(fy)}
[\underline{(v2)}
]
)
)
|
 <= (rec(1
+1
)
*\underline{(\epsilon)}
)
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(|(\underline{(fy)}
[\underline{(v1)}
]
+(-u\underline{(fy)}
[\underline{(v2)}
]
)
)
|
 = (rec(1
+1
)
*\underline{(\epsilon)}
)
)n
)n
)n
)n
)n
\Rightarrow \underline{(n2)}
 <= \underline{
\mathsf {m}}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
 = \underline{(fy)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
)n
\rceil 
, 
p_0
, 
\mathsf {c}
)
]$




$
[FromNotSameF(Strong)
\stackrel{
stmt
}{\rightarrow}SystemQ
\vdash 
\forall \underline{(v1)}
\colon 
\forall \underline{(v2)}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf {m}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf {n}}
\colon 
\forall \underline{(n1)}
\colon 
\forall \underline{(n2)}
\colon 
\forall \underline{(\epsilon)}
\colon 
\forall \underline{(fx)}
\colon 
\forall \underline{(fy)}
\colon \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(\epsilon)}
\colon \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {n}}
\colon \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {m}}
\colon \dot{\neg}\,(0
 <= \overline{(\epsilon)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(0
 = \overline{(\epsilon)}
)n
)n
)n
\Rightarrow \overline{
\mathsf {n}}
 <= \overline{
\mathsf {m}}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(|(\underline{(fx)}
[\overline{
\mathsf {m}}
]
+(-u\underline{(fy)}
[\overline{
\mathsf {m}}
]
)
)
|
 <= \overline{(\epsilon)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(|(\underline{(fx)}
[\overline{
\mathsf {m}}
]
+(-u\underline{(fy)}
[\overline{
\mathsf {m}}
]
)
)
|
 = \overline{(\epsilon)}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\vdash \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \underline{
\mathsf {n}}
\colon \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \underline{
\mathsf {m}}
\colon \underline{
\mathsf {n}}
 <= \underline{
\mathsf {m}}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
 = \underline{(fy)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
)n
)n
)n
]$


$
[FromNotSameF(Strong)
\stackrel{
proof
}{\rightarrow}
\lambda 
\mathsf {c}
.
\lambda 
\mathsf{x}
.
{\cal P}( 
\lceil SystemQ
\vdash 
\forall \underline{(v1)}
\colon 
\forall \underline{(v2)}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf {m}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf {n}}
\colon 
\forall \underline{(n1)}
\colon 
\forall \underline{(n2)}
\colon 
\forall \underline{(\epsilon)}
\colon 
\forall \underline{(fx)}
\colon 
\forall \underline{(fy)}
\colon \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(\epsilon)}
\colon \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {n}}
\colon \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {m}}
\colon \dot{\neg}\,(0
 <= \overline{(\epsilon)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(0
 = \overline{(\epsilon)}
)n
)n
)n
\Rightarrow \overline{
\mathsf {n}}
 <= \overline{
\mathsf {m}}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(|(\underline{(fx)}
[\overline{
\mathsf {m}}
]
+(-u\underline{(fy)}
[\overline{
\mathsf {m}}
]
)
)
|
 <= \overline{(\epsilon)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(|(\underline{(fx)}
[\overline{
\mathsf {m}}
]
+(-u\underline{(fy)}
[\overline{
\mathsf {m}}
]
)
)
|
 = \overline{(\epsilon)}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\vdash Repetition
\rhd \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(\epsilon)}
\colon \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {n}}
\colon \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {m}}
\colon \dot{\neg}\,(0
 <= \overline{(\epsilon)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(0
 = \overline{(\epsilon)}
)n
)n
)n
\Rightarrow \overline{
\mathsf {n}}
 <= \overline{
\mathsf {m}}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(|(\underline{(fx)}
[\overline{
\mathsf {m}}
]
+(-u\underline{(fy)}
[\overline{
\mathsf {m}}
]
)
)
|
 <= \overline{(\epsilon)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(|(\underline{(fx)}
[\overline{
\mathsf {m}}
]
+(-u\underline{(fy)}
[\overline{
\mathsf {m}}
]
)
)
|
 = \overline{(\epsilon)}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\gg \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(\epsilon)}
\colon \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {n}}
\colon \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {m}}
\colon \dot{\neg}\,(0
 <= \overline{(\epsilon)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(0
 = \overline{(\epsilon)}
)n
)n
)n
\Rightarrow \overline{
\mathsf {n}}
 <= \overline{
\mathsf {m}}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(|(\underline{(fx)}
[\overline{
\mathsf {m}}
]
+(-u\underline{(fy)}
[\overline{
\mathsf {m}}
]
)
)
|
 <= \overline{(\epsilon)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(|(\underline{(fx)}
[\overline{
\mathsf {m}}
]
+(-u\underline{(fy)}
[\overline{
\mathsf {m}}
]
)
)
|
 = \overline{(\epsilon)}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
; Ded
\rhd \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(\epsilon)}
\colon \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {n}}
\colon \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {m}}
\colon \dot{\neg}\,(0
 <= \overline{(\epsilon)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(0
 = \overline{(\epsilon)}
)n
)n
)n
\Rightarrow \overline{
\mathsf {n}}
 <= \overline{
\mathsf {m}}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(|(\underline{(fx)}
[\overline{
\mathsf {m}}
]
+(-u\underline{(fy)}
[\overline{
\mathsf {m}}
]
)
)
|
 <= \overline{(\epsilon)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(|(\underline{(fx)}
[\overline{
\mathsf {m}}
]
+(-u\underline{(fy)}
[\overline{
\mathsf {m}}
]
)
)
|
 = \overline{(\epsilon)}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\gg \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \underline{(\epsilon)}
\colon \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \underline{(n1)}
\colon \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \underline{(n2)}
\colon \dot{\neg}\,(0
 <= \underline{(\epsilon)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(0
 = \underline{(\epsilon)}
)n
)n
)n
\Rightarrow \underline{(n1)}
 <= \underline{(n2)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(|(\underline{(fx)}
[\underline{(n2)}
]
+(-u\underline{(fy)}
[\underline{(n2)}
]
)
)
|
 <= \underline{(\epsilon)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(|(\underline{(fx)}
[\underline{(n2)}
]
+(-u\underline{(fy)}
[\underline{(n2)}
]
)
)
|
 = \underline{(\epsilon)}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
; AEA-negated
\rhd \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \underline{(\epsilon)}
\colon \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \underline{(n1)}
\colon \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \underline{(n2)}
\colon \dot{\neg}\,(0
 <= \underline{(\epsilon)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(0
 = \underline{(\epsilon)}
)n
)n
)n
\Rightarrow \underline{(n1)}
 <= \underline{(n2)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(|(\underline{(fx)}
[\underline{(n2)}
]
+(-u\underline{(fy)}
[\underline{(n2)}
]
)
)
|
 <= \underline{(\epsilon)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(|(\underline{(fx)}
[\underline{(n2)}
]
+(-u\underline{(fy)}
[\underline{(n2)}
]
)
)
|
 = \underline{(\epsilon)}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\gg \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \underline{(\epsilon)}
\colon \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \underline{(n1)}
\colon \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \underline{(n2)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(0
 <= \underline{(\epsilon)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(0
 = \underline{(\epsilon)}
)n
)n
)n
\Rightarrow \underline{(n1)}
 <= \underline{(n2)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(|(\underline{(fx)}
[\underline{(n2)}
]
+(-u\underline{(fy)}
[\underline{(n2)}
]
)
)
|
 <= \underline{(\epsilon)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(|(\underline{(fx)}
[\underline{(n2)}
]
+(-u\underline{(fy)}
[\underline{(n2)}
]
)
)
|
 = \underline{(\epsilon)}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
)n
)n
; Cauchy(2)
\gg 
\forall_{obj} \underline{(\epsilon)}
\colon \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \underline{(n1)}
\colon \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \underline{(v1)}
\colon 
\forall_{obj} \underline{(v2)}
\colon \dot{\neg}\,(0
 <= \underline{(\epsilon)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(0
 = \underline{(\epsilon)}
)n
)n
)n
\Rightarrow \underline{(n1)}
 <= \underline{(v1)}
\Rightarrow \underline{(n1)}
 <= \underline{(v2)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(|(\underline{(fx)}
[\underline{(v1)}
]
+(-u\underline{(fx)}
[\underline{(v2)}
]
)
)
|
 <= \underline{(\epsilon)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(|(\underline{(fx)}
[\underline{(v1)}
]
+(-u\underline{(fx)}
[\underline{(v2)}
]
)
)
|
 = \underline{(\epsilon)}
)n
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(|(\underline{(fy)}
[\underline{(v1)}
]
+(-u\underline{(fy)}
[\underline{(v2)}
]
)
)
|
 <= \underline{(\epsilon)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(|(\underline{(fy)}
[\underline{(v1)}
]
+(-u\underline{(fy)}
[\underline{(v2)}
]
)
)
|
 = \underline{(\epsilon)}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
)n
; A4
\mathop {\char64} (rec(1
+1
)
*\underline{(\epsilon)}
)
\rhd 
\forall_{obj} \underline{(\epsilon)}
\colon \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \underline{(n1)}
\colon \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \underline{(v1)}
\colon 
\forall_{obj} \underline{(v2)}
\colon \dot{\neg}\,(0
 <= \underline{(\epsilon)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(0
 = \underline{(\epsilon)}
)n
)n
)n
\Rightarrow \underline{(n1)}
 <= \underline{(v1)}
\Rightarrow \underline{(n1)}
 <= \underline{(v2)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(|(\underline{(fx)}
[\underline{(v1)}
]
+(-u\underline{(fx)}
[\underline{(v2)}
]
)
)
|
 <= \underline{(\epsilon)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(|(\underline{(fx)}
[\underline{(v1)}
]
+(-u\underline{(fx)}
[\underline{(v2)}
]
)
)
|
 = \underline{(\epsilon)}
)n
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(|(\underline{(fy)}
[\underline{(v1)}
]
+(-u\underline{(fy)}
[\underline{(v2)}
]
)
)
|
 <= \underline{(\epsilon)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(|(\underline{(fy)}
[\underline{(v1)}
]
+(-u\underline{(fy)}
[\underline{(v2)}
]
)
)
|
 = \underline{(\epsilon)}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\gg \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \underline{(n1)}
\colon \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \underline{(v1)}
\colon 
\forall_{obj} \underline{(v2)}
\colon \dot{\neg}\,(0
 <= (rec(1
+1
)
*\underline{(\epsilon)}
)
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(0
 = (rec(1
+1
)
*\underline{(\epsilon)}
)
)n
)n
)n
\Rightarrow \underline{(n1)}
 <= \underline{(v1)}
\Rightarrow \underline{(n1)}
 <= \underline{(v2)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(|(\underline{(fx)}
[\underline{(v1)}
]
+(-u\underline{(fx)}
[\underline{(v2)}
]
)
)
|
 <= (rec(1
+1
)
*\underline{(\epsilon)}
)
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(|(\underline{(fx)}
[\underline{(v1)}
]
+(-u\underline{(fx)}
[\underline{(v2)}
]
)
)
|
 = (rec(1
+1
)
*\underline{(\epsilon)}
)
)n
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(|(\underline{(fy)}
[\underline{(v1)}
]
+(-u\underline{(fy)}
[\underline{(v2)}
]
)
)
|
 <= (rec(1
+1
)
*\underline{(\epsilon)}
)
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(|(\underline{(fy)}
[\underline{(v1)}
]
+(-u\underline{(fy)}
[\underline{(v2)}
]
)
)
|
 = (rec(1
+1
)
*\underline{(\epsilon)}
)
)n
)n
)n
)n
)n
)n
)n
; FromNotSameF(Strong)(Helper)
\gg \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(0
 <= \underline{(\epsilon)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(0
 = \underline{(\epsilon)}
)n
)n
)n
\Rightarrow \underline{(n1)}
 <= \underline{(n2)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(|(\underline{(fx)}
[\underline{(n2)}
]
+(-u\underline{(fy)}
[\underline{(n2)}
]
)
)
|
 <= \underline{(\epsilon)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(|(\underline{(fx)}
[\underline{(n2)}
]
+(-u\underline{(fy)}
[\underline{(n2)}
]
)
)
|
 = \underline{(\epsilon)}
)n
)n
)n
)n
\Rightarrow 
\forall_{obj} \underline{(v1)}
\colon 
\forall_{obj} \underline{(v2)}
\colon \dot{\neg}\,(0
 <= (rec(1
+1
)
*\underline{(\epsilon)}
)
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(0
 = (rec(1
+1
)
*\underline{(\epsilon)}
)
)n
)n
)n
\Rightarrow \underline{(n1)}
 <= \underline{(v1)}
\Rightarrow \underline{(n1)}
 <= \underline{(v2)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(|(\underline{(fx)}
[\underline{(v1)}
]
+(-u\underline{(fx)}
[\underline{(v2)}
]
)
)
|
 <= (rec(1
+1
)
*\underline{(\epsilon)}
)
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(|(\underline{(fx)}
[\underline{(v1)}
]
+(-u\underline{(fx)}
[\underline{(v2)}
]
)
)
|
 = (rec(1
+1
)
*\underline{(\epsilon)}
)
)n
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(|(\underline{(fy)}
[\underline{(v1)}
]
+(-u\underline{(fy)}
[\underline{(v2)}
]
)
)
|
 <= (rec(1
+1
)
*\underline{(\epsilon)}
)
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(|(\underline{(fy)}
[\underline{(v1)}
]
+(-u\underline{(fy)}
[\underline{(v2)}
]
)
)
|
 = (rec(1
+1
)
*\underline{(\epsilon)}
)
)n
)n
)n
)n
)n
\Rightarrow \underline{(n2)}
 <= \underline{
\mathsf {m}}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
 = \underline{(fy)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
)n
; EAE-MP
\rhd \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(0
 <= \underline{(\epsilon)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(0
 = \underline{(\epsilon)}
)n
)n
)n
\Rightarrow \underline{(n1)}
 <= \underline{(n2)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(|(\underline{(fx)}
[\underline{(n2)}
]
+(-u\underline{(fy)}
[\underline{(n2)}
]
)
)
|
 <= \underline{(\epsilon)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(|(\underline{(fx)}
[\underline{(n2)}
]
+(-u\underline{(fy)}
[\underline{(n2)}
]
)
)
|
 = \underline{(\epsilon)}
)n
)n
)n
)n
\Rightarrow 
\forall_{obj} \underline{(v1)}
\colon 
\forall_{obj} \underline{(v2)}
\colon \dot{\neg}\,(0
 <= (rec(1
+1
)
*\underline{(\epsilon)}
)
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(0
 = (rec(1
+1
)
*\underline{(\epsilon)}
)
)n
)n
)n
\Rightarrow \underline{(n1)}
 <= \underline{(v1)}
\Rightarrow \underline{(n1)}
 <= \underline{(v2)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(|(\underline{(fx)}
[\underline{(v1)}
]
+(-u\underline{(fx)}
[\underline{(v2)}
]
)
)
|
 <= (rec(1
+1
)
*\underline{(\epsilon)}
)
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(|(\underline{(fx)}
[\underline{(v1)}
]
+(-u\underline{(fx)}
[\underline{(v2)}
]
)
)
|
 = (rec(1
+1
)
*\underline{(\epsilon)}
)
)n
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(|(\underline{(fy)}
[\underline{(v1)}
]
+(-u\underline{(fy)}
[\underline{(v2)}
]
)
)
|
 <= (rec(1
+1
)
*\underline{(\epsilon)}
)
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(|(\underline{(fy)}
[\underline{(v1)}
]
+(-u\underline{(fy)}
[\underline{(v2)}
]
)
)
|
 = (rec(1
+1
)
*\underline{(\epsilon)}
)
)n
)n
)n
)n
)n
\Rightarrow \underline{(n2)}
 <= \underline{
\mathsf {m}}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
 = \underline{(fy)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
)n
\rhd \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \underline{(\epsilon)}
\colon \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \underline{(n1)}
\colon \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \underline{(n2)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(0
 <= \underline{(\epsilon)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(0
 = \underline{(\epsilon)}
)n
)n
)n
\Rightarrow \underline{(n1)}
 <= \underline{(n2)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(|(\underline{(fx)}
[\underline{(n2)}
]
+(-u\underline{(fy)}
[\underline{(n2)}
]
)
)
|
 <= \underline{(\epsilon)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(|(\underline{(fx)}
[\underline{(n2)}
]
+(-u\underline{(fy)}
[\underline{(n2)}
]
)
)
|
 = \underline{(\epsilon)}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\gg 
\forall_{obj} \underline{(v1)}
\colon 
\forall_{obj} \underline{(v2)}
\colon \dot{\neg}\,(0
 <= (rec(1
+1
)
*\underline{(\epsilon)}
)
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(0
 = (rec(1
+1
)
*\underline{(\epsilon)}
)
)n
)n
)n
\Rightarrow \underline{(n1)}
 <= \underline{(v1)}
\Rightarrow \underline{(n1)}
 <= \underline{(v2)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(|(\underline{(fx)}
[\underline{(v1)}
]
+(-u\underline{(fx)}
[\underline{(v2)}
]
)
)
|
 <= (rec(1
+1
)
*\underline{(\epsilon)}
)
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(|(\underline{(fx)}
[\underline{(v1)}
]
+(-u\underline{(fx)}
[\underline{(v2)}
]
)
)
|
 = (rec(1
+1
)
*\underline{(\epsilon)}
)
)n
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(|(\underline{(fy)}
[\underline{(v1)}
]
+(-u\underline{(fy)}
[\underline{(v2)}
]
)
)
|
 <= (rec(1
+1
)
*\underline{(\epsilon)}
)
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(|(\underline{(fy)}
[\underline{(v1)}
]
+(-u\underline{(fy)}
[\underline{(v2)}
]
)
)
|
 = (rec(1
+1
)
*\underline{(\epsilon)}
)
)n
)n
)n
)n
)n
\Rightarrow \underline{(n2)}
 <= \underline{
\mathsf {m}}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
 = \underline{(fy)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
)n
; ExistMP
\rhd 
\forall_{obj} \underline{(v1)}
\colon 
\forall_{obj} \underline{(v2)}
\colon \dot{\neg}\,(0
 <= (rec(1
+1
)
*\underline{(\epsilon)}
)
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(0
 = (rec(1
+1
)
*\underline{(\epsilon)}
)
)n
)n
)n
\Rightarrow \underline{(n1)}
 <= \underline{(v1)}
\Rightarrow \underline{(n1)}
 <= \underline{(v2)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(|(\underline{(fx)}
[\underline{(v1)}
]
+(-u\underline{(fx)}
[\underline{(v2)}
]
)
)
|
 <= (rec(1
+1
)
*\underline{(\epsilon)}
)
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(|(\underline{(fx)}
[\underline{(v1)}
]
+(-u\underline{(fx)}
[\underline{(v2)}
]
)
)
|
 = (rec(1
+1
)
*\underline{(\epsilon)}
)
)n
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(|(\underline{(fy)}
[\underline{(v1)}
]
+(-u\underline{(fy)}
[\underline{(v2)}
]
)
)
|
 <= (rec(1
+1
)
*\underline{(\epsilon)}
)
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(|(\underline{(fy)}
[\underline{(v1)}
]
+(-u\underline{(fy)}
[\underline{(v2)}
]
)
)
|
 = (rec(1
+1
)
*\underline{(\epsilon)}
)
)n
)n
)n
)n
)n
\Rightarrow \underline{(n2)}
 <= \underline{
\mathsf {m}}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
 = \underline{(fy)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
)n
\rhd \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \underline{(n1)}
\colon \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \underline{(v1)}
\colon 
\forall_{obj} \underline{(v2)}
\colon \dot{\neg}\,(0
 <= (rec(1
+1
)
*\underline{(\epsilon)}
)
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(0
 = (rec(1
+1
)
*\underline{(\epsilon)}
)
)n
)n
)n
\Rightarrow \underline{(n1)}
 <= \underline{(v1)}
\Rightarrow \underline{(n1)}
 <= \underline{(v2)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(|(\underline{(fx)}
[\underline{(v1)}
]
+(-u\underline{(fx)}
[\underline{(v2)}
]
)
)
|
 <= (rec(1
+1
)
*\underline{(\epsilon)}
)
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(|(\underline{(fx)}
[\underline{(v1)}
]
+(-u\underline{(fx)}
[\underline{(v2)}
]
)
)
|
 = (rec(1
+1
)
*\underline{(\epsilon)}
)
)n
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(|(\underline{(fy)}
[\underline{(v1)}
]
+(-u\underline{(fy)}
[\underline{(v2)}
]
)
)
|
 <= (rec(1
+1
)
*\underline{(\epsilon)}
)
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(|(\underline{(fy)}
[\underline{(v1)}
]
+(-u\underline{(fy)}
[\underline{(v2)}
]
)
)
|
 = (rec(1
+1
)
*\underline{(\epsilon)}
)
)n
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\gg \underline{(n2)}
 <= \underline{
\mathsf {m}}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
 = \underline{(fy)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
)n
; Gen
\rhd \underline{(n2)}
 <= \underline{
\mathsf {m}}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
 = \underline{(fy)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
)n
\gg 
\forall_{obj} \underline{
\mathsf {m}}
\colon \underline{(n2)}
 <= \underline{
\mathsf {m}}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
 = \underline{(fy)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
)n
; IntroExist
\mathop {\char64} \underline{(n2)}
\rhd 
\forall_{obj} \underline{
\mathsf {m}}
\colon \underline{(n2)}
 <= \underline{
\mathsf {m}}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
 = \underline{(fy)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
)n
\gg \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \underline{
\mathsf {n}}
\colon \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \underline{
\mathsf {m}}
\colon \underline{
\mathsf {n}}
 <= \underline{
\mathsf {m}}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
 = \underline{(fy)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
)n
)n
)n
\rceil 
, 
p_0
, 
\mathsf {c}
)
]$





$
[SameFreciprocal(Helper)
\stackrel{
stmt
}{\rightarrow}SystemQ
\vdash 
\forall \underline{
\mathsf {m}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf {n}}
\colon 
\forall \underline{(fx)}
\colon 
\forall_{obj} \underline{
\mathsf {m}}
\colon \underline{
\mathsf {n}}
 <= \underline{
\mathsf {m}}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
 =  \{ ph \mathrel{\in}  \{ ph \mathrel{\in} P(P(Union(\{N
,Q
\}
)
)
)
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op1)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op2)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\overline{(op1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(op2)}
 \mathrel{\in} Q
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\mathsf {a}
 _{Ph} 
 = \{\{\overline{(op1)}
,\overline{(op1)}
\}
,\{\overline{(op1)}
,\overline{(op2)}
\}
\}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\}
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(crs1)}
\colon \dot{\neg}\,(
\mathsf {c}
 _{Ph} 
 = \{\{\overline{(crs1)}
,\overline{(crs1)}
\}
,\{\overline{(crs1)}
,0
\}
\}
)n
)n
\}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
)n
\Rightarrow \underline{
\mathsf {n}}
 <= \underline{
\mathsf {m}}
\Rightarrow  \{ ph \mathrel{\in}  \{ ph \mathrel{\in} P(P(Union(\{N
,Q
\}
)
)
)
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op1)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op2)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\overline{(op1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(op2)}
 \mathrel{\in} Q
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\mathsf {a}
 _{Ph} 
 = \{\{\overline{(op1)}
,\overline{(op1)}
\}
,\{\overline{(op1)}
,\overline{(op2)}
\}
\}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\}
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \underline{
\mathsf {m}}
\colon \dot{\neg}\,(
\mathsf {e}
 _{Ph} 
 = \{\{\underline{
\mathsf {m}}
,\underline{
\mathsf {m}}
\}
,\{\underline{
\mathsf {m}}
,(\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
*1f/\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
)
\}
\}
)n
)n
\}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
 =  \{ ph \mathrel{\in}  \{ ph \mathrel{\in} P(P(Union(\{N
,Q
\}
)
)
)
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op1)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op2)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\overline{(op1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(op2)}
 \mathrel{\in} Q
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\mathsf {a}
 _{Ph} 
 = \{\{\overline{(op1)}
,\overline{(op1)}
\}
,\{\overline{(op1)}
,\overline{(op2)}
\}
\}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\}
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(crs1)}
\colon \dot{\neg}\,(
\mathsf {c}
 _{Ph} 
 = \{\{\overline{(crs1)}
,\overline{(crs1)}
\}
,\{\overline{(crs1)}
,1
\}
\}
)n
)n
\}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
]$

$
[SameFreciprocal(Helper)
\stackrel{
proof
}{\rightarrow}
\lambda 
\mathsf {c}
.
\lambda 
\mathsf{x}
.
{\cal P}( 
\lceil SystemQ
\vdash 
\forall \underline{
\mathsf {m}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf {n}}
\colon 
\forall \underline{(fx)}
\colon 
\forall_{obj} \underline{
\mathsf {m}}
\colon \underline{
\mathsf {n}}
 <= \underline{
\mathsf {m}}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
 =  \{ ph \mathrel{\in}  \{ ph \mathrel{\in} P(P(Union(\{N
,Q
\}
)
)
)
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op1)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op2)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\overline{(op1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(op2)}
 \mathrel{\in} Q
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\mathsf {a}
 _{Ph} 
 = \{\{\overline{(op1)}
,\overline{(op1)}
\}
,\{\overline{(op1)}
,\overline{(op2)}
\}
\}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\}
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(crs1)}
\colon \dot{\neg}\,(
\mathsf {c}
 _{Ph} 
 = \{\{\overline{(crs1)}
,\overline{(crs1)}
\}
,\{\overline{(crs1)}
,0
\}
\}
)n
)n
\}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
)n
\vdash \underline{
\mathsf {n}}
 <= \underline{
\mathsf {m}}
\vdash A4
\mathop {\char64} \underline{
\mathsf {m}}
\rhd 
\forall_{obj} \underline{
\mathsf {m}}
\colon \underline{
\mathsf {n}}
 <= \underline{
\mathsf {m}}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
 =  \{ ph \mathrel{\in}  \{ ph \mathrel{\in} P(P(Union(\{N
,Q
\}
)
)
)
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op1)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op2)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\overline{(op1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(op2)}
 \mathrel{\in} Q
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\mathsf {a}
 _{Ph} 
 = \{\{\overline{(op1)}
,\overline{(op1)}
\}
,\{\overline{(op1)}
,\overline{(op2)}
\}
\}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\}
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(crs1)}
\colon \dot{\neg}\,(
\mathsf {c}
 _{Ph} 
 = \{\{\overline{(crs1)}
,\overline{(crs1)}
\}
,\{\overline{(crs1)}
,0
\}
\}
)n
)n
\}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
)n
\gg \underline{
\mathsf {n}}
 <= \underline{
\mathsf {m}}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
 =  \{ ph \mathrel{\in}  \{ ph \mathrel{\in} P(P(Union(\{N
,Q
\}
)
)
)
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op1)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op2)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\overline{(op1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(op2)}
 \mathrel{\in} Q
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\mathsf {a}
 _{Ph} 
 = \{\{\overline{(op1)}
,\overline{(op1)}
\}
,\{\overline{(op1)}
,\overline{(op2)}
\}
\}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\}
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(crs1)}
\colon \dot{\neg}\,(
\mathsf {c}
 _{Ph} 
 = \{\{\overline{(crs1)}
,\overline{(crs1)}
\}
,\{\overline{(crs1)}
,0
\}
\}
)n
)n
\}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
)n
; MP
\rhd \underline{
\mathsf {n}}
 <= \underline{
\mathsf {m}}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
 =  \{ ph \mathrel{\in}  \{ ph \mathrel{\in} P(P(Union(\{N
,Q
\}
)
)
)
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op1)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op2)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\overline{(op1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(op2)}
 \mathrel{\in} Q
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\mathsf {a}
 _{Ph} 
 = \{\{\overline{(op1)}
,\overline{(op1)}
\}
,\{\overline{(op1)}
,\overline{(op2)}
\}
\}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\}
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(crs1)}
\colon \dot{\neg}\,(
\mathsf {c}
 _{Ph} 
 = \{\{\overline{(crs1)}
,\overline{(crs1)}
\}
,\{\overline{(crs1)}
,0
\}
\}
)n
)n
\}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
)n
\rhd \underline{
\mathsf {n}}
 <= \underline{
\mathsf {m}}
\gg \dot{\neg}\,(\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
 =  \{ ph \mathrel{\in}  \{ ph \mathrel{\in} P(P(Union(\{N
,Q
\}
)
)
)
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op1)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op2)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\overline{(op1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(op2)}
 \mathrel{\in} Q
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\mathsf {a}
 _{Ph} 
 = \{\{\overline{(op1)}
,\overline{(op1)}
\}
,\{\overline{(op1)}
,\overline{(op2)}
\}
\}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\}
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(crs1)}
\colon \dot{\neg}\,(
\mathsf {c}
 _{Ph} 
 = \{\{\overline{(crs1)}
,\overline{(crs1)}
\}
,\{\overline{(crs1)}
,0
\}
\}
)n
)n
\}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
)n
; NatType
\gg \underline{
\mathsf {m}}
 \mathrel{\in} N
; 0f
\rhd \underline{
\mathsf {m}}
 \mathrel{\in} N
\gg  \{ ph \mathrel{\in}  \{ ph \mathrel{\in} P(P(Union(\{N
,Q
\}
)
)
)
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op1)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op2)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\overline{(op1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(op2)}
 \mathrel{\in} Q
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\mathsf {a}
 _{Ph} 
 = \{\{\overline{(op1)}
,\overline{(op1)}
\}
,\{\overline{(op1)}
,\overline{(op2)}
\}
\}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\}
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(crs1)}
\colon \dot{\neg}\,(
\mathsf {c}
 _{Ph} 
 = \{\{\overline{(crs1)}
,\overline{(crs1)}
\}
,\{\overline{(crs1)}
,0
\}
\}
)n
)n
\}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
 = 0
; SubNeqRight
\rhd  \{ ph \mathrel{\in}  \{ ph \mathrel{\in} P(P(Union(\{N
,Q
\}
)
)
)
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op1)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op2)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\overline{(op1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(op2)}
 \mathrel{\in} Q
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\mathsf {a}
 _{Ph} 
 = \{\{\overline{(op1)}
,\overline{(op1)}
\}
,\{\overline{(op1)}
,\overline{(op2)}
\}
\}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\}
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(crs1)}
\colon \dot{\neg}\,(
\mathsf {c}
 _{Ph} 
 = \{\{\overline{(crs1)}
,\overline{(crs1)}
\}
,\{\overline{(crs1)}
,0
\}
\}
)n
)n
\}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
 = 0
\rhd \dot{\neg}\,(\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
 =  \{ ph \mathrel{\in}  \{ ph \mathrel{\in} P(P(Union(\{N
,Q
\}
)
)
)
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op1)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op2)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\overline{(op1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(op2)}
 \mathrel{\in} Q
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\mathsf {a}
 _{Ph} 
 = \{\{\overline{(op1)}
,\overline{(op1)}
\}
,\{\overline{(op1)}
,\overline{(op2)}
\}
\}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\}
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(crs1)}
\colon \dot{\neg}\,(
\mathsf {c}
 _{Ph} 
 = \{\{\overline{(crs1)}
,\overline{(crs1)}
\}
,\{\overline{(crs1)}
,0
\}
\}
)n
)n
\}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
)n
\gg \dot{\neg}\,(\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
 = 0
)n
; ReciprocalFnonzero
\rhd \dot{\neg}\,(\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
 = 0
)n
\gg 1f/\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
 = rec\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
; 
\mbox{lemma eqMultiplicationLeft}
\rhd 1f/\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
 = rec\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
\gg (\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
*1f/\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
)
 = (\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
*rec\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
)
; Reciprocal
\rhd \dot{\neg}\,(\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
 = 0
)n
\gg (\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
*rec\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
)
 = 1
; 1f
\rhd \underline{
\mathsf {m}}
 \mathrel{\in} N
\gg  \{ ph \mathrel{\in}  \{ ph \mathrel{\in} P(P(Union(\{N
,Q
\}
)
)
)
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op1)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op2)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\overline{(op1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(op2)}
 \mathrel{\in} Q
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\mathsf {a}
 _{Ph} 
 = \{\{\overline{(op1)}
,\overline{(op1)}
\}
,\{\overline{(op1)}
,\overline{(op2)}
\}
\}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\}
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(crs1)}
\colon \dot{\neg}\,(
\mathsf {c}
 _{Ph} 
 = \{\{\overline{(crs1)}
,\overline{(crs1)}
\}
,\{\overline{(crs1)}
,1
\}
\}
)n
)n
\}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
 = 1
; eqSymmetry
\rhd  \{ ph \mathrel{\in}  \{ ph \mathrel{\in} P(P(Union(\{N
,Q
\}
)
)
)
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op1)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op2)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\overline{(op1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(op2)}
 \mathrel{\in} Q
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\mathsf {a}
 _{Ph} 
 = \{\{\overline{(op1)}
,\overline{(op1)}
\}
,\{\overline{(op1)}
,\overline{(op2)}
\}
\}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\}
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(crs1)}
\colon \dot{\neg}\,(
\mathsf {c}
 _{Ph} 
 = \{\{\overline{(crs1)}
,\overline{(crs1)}
\}
,\{\overline{(crs1)}
,1
\}
\}
)n
)n
\}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
 = 1
\gg 1
 =  \{ ph \mathrel{\in}  \{ ph \mathrel{\in} P(P(Union(\{N
,Q
\}
)
)
)
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op1)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op2)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\overline{(op1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(op2)}
 \mathrel{\in} Q
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\mathsf {a}
 _{Ph} 
 = \{\{\overline{(op1)}
,\overline{(op1)}
\}
,\{\overline{(op1)}
,\overline{(op2)}
\}
\}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\}
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(crs1)}
\colon \dot{\neg}\,(
\mathsf {c}
 _{Ph} 
 = \{\{\overline{(crs1)}
,\overline{(crs1)}
\}
,\{\overline{(crs1)}
,1
\}
\}
)n
)n
\}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
; eqTransitivity
\rhd (\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
*rec\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
)
 = 1
\rhd 1
 =  \{ ph \mathrel{\in}  \{ ph \mathrel{\in} P(P(Union(\{N
,Q
\}
)
)
)
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op1)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op2)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\overline{(op1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(op2)}
 \mathrel{\in} Q
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\mathsf {a}
 _{Ph} 
 = \{\{\overline{(op1)}
,\overline{(op1)}
\}
,\{\overline{(op1)}
,\overline{(op2)}
\}
\}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\}
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(crs1)}
\colon \dot{\neg}\,(
\mathsf {c}
 _{Ph} 
 = \{\{\overline{(crs1)}
,\overline{(crs1)}
\}
,\{\overline{(crs1)}
,1
\}
\}
)n
)n
\}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
\gg (\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
*rec\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
)
 =  \{ ph \mathrel{\in}  \{ ph \mathrel{\in} P(P(Union(\{N
,Q
\}
)
)
)
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op1)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op2)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\overline{(op1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(op2)}
 \mathrel{\in} Q
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\mathsf {a}
 _{Ph} 
 = \{\{\overline{(op1)}
,\overline{(op1)}
\}
,\{\overline{(op1)}
,\overline{(op2)}
\}
\}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\}
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(crs1)}
\colon \dot{\neg}\,(
\mathsf {c}
 _{Ph} 
 = \{\{\overline{(crs1)}
,\overline{(crs1)}
\}
,\{\overline{(crs1)}
,1
\}
\}
)n
)n
\}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
; TimesF
\gg  \{ ph \mathrel{\in}  \{ ph \mathrel{\in} P(P(Union(\{N
,Q
\}
)
)
)
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op1)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op2)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\overline{(op1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(op2)}
 \mathrel{\in} Q
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\mathsf {a}
 _{Ph} 
 = \{\{\overline{(op1)}
,\overline{(op1)}
\}
,\{\overline{(op1)}
,\overline{(op2)}
\}
\}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\}
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \underline{
\mathsf {m}}
\colon \dot{\neg}\,(
\mathsf {e}
 _{Ph} 
 = \{\{\underline{
\mathsf {m}}
,\underline{
\mathsf {m}}
\}
,\{\underline{
\mathsf {m}}
,(\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
*1f/\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
)
\}
\}
)n
)n
\}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
 = (\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
*1f/\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
)
; eqTransitivity4
\rhd  \{ ph \mathrel{\in}  \{ ph \mathrel{\in} P(P(Union(\{N
,Q
\}
)
)
)
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op1)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op2)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\overline{(op1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(op2)}
 \mathrel{\in} Q
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\mathsf {a}
 _{Ph} 
 = \{\{\overline{(op1)}
,\overline{(op1)}
\}
,\{\overline{(op1)}
,\overline{(op2)}
\}
\}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\}
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \underline{
\mathsf {m}}
\colon \dot{\neg}\,(
\mathsf {e}
 _{Ph} 
 = \{\{\underline{
\mathsf {m}}
,\underline{
\mathsf {m}}
\}
,\{\underline{
\mathsf {m}}
,(\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
*1f/\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
)
\}
\}
)n
)n
\}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
 = (\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
*1f/\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
)
\rhd (\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
*1f/\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
)
 = (\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
*rec\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
)
\rhd (\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
*rec\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
)
 =  \{ ph \mathrel{\in}  \{ ph \mathrel{\in} P(P(Union(\{N
,Q
\}
)
)
)
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op1)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op2)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\overline{(op1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(op2)}
 \mathrel{\in} Q
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\mathsf {a}
 _{Ph} 
 = \{\{\overline{(op1)}
,\overline{(op1)}
\}
,\{\overline{(op1)}
,\overline{(op2)}
\}
\}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\}
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(crs1)}
\colon \dot{\neg}\,(
\mathsf {c}
 _{Ph} 
 = \{\{\overline{(crs1)}
,\overline{(crs1)}
\}
,\{\overline{(crs1)}
,1
\}
\}
)n
)n
\}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
\gg  \{ ph \mathrel{\in}  \{ ph \mathrel{\in} P(P(Union(\{N
,Q
\}
)
)
)
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op1)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op2)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\overline{(op1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(op2)}
 \mathrel{\in} Q
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\mathsf {a}
 _{Ph} 
 = \{\{\overline{(op1)}
,\overline{(op1)}
\}
,\{\overline{(op1)}
,\overline{(op2)}
\}
\}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\}
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \underline{
\mathsf {m}}
\colon \dot{\neg}\,(
\mathsf {e}
 _{Ph} 
 = \{\{\underline{
\mathsf {m}}
,\underline{
\mathsf {m}}
\}
,\{\underline{
\mathsf {m}}
,(\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
*1f/\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
)
\}
\}
)n
)n
\}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
 =  \{ ph \mathrel{\in}  \{ ph \mathrel{\in} P(P(Union(\{N
,Q
\}
)
)
)
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op1)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op2)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\overline{(op1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(op2)}
 \mathrel{\in} Q
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\mathsf {a}
 _{Ph} 
 = \{\{\overline{(op1)}
,\overline{(op1)}
\}
,\{\overline{(op1)}
,\overline{(op2)}
\}
\}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\}
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(crs1)}
\colon \dot{\neg}\,(
\mathsf {c}
 _{Ph} 
 = \{\{\overline{(crs1)}
,\overline{(crs1)}
\}
,\{\overline{(crs1)}
,1
\}
\}
)n
)n
\}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
; 
\forall \underline{
\mathsf {m}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf {n}}
\colon 
\forall \underline{(fx)}
\colon Ded
\rhd 
\forall \underline{
\mathsf {m}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf {n}}
\colon 
\forall \underline{(fx)}
\colon 
\forall_{obj} \underline{
\mathsf {m}}
\colon \underline{
\mathsf {n}}
 <= \underline{
\mathsf {m}}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
 =  \{ ph \mathrel{\in}  \{ ph \mathrel{\in} P(P(Union(\{N
,Q
\}
)
)
)
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op1)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op2)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\overline{(op1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(op2)}
 \mathrel{\in} Q
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\mathsf {a}
 _{Ph} 
 = \{\{\overline{(op1)}
,\overline{(op1)}
\}
,\{\overline{(op1)}
,\overline{(op2)}
\}
\}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\}
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(crs1)}
\colon \dot{\neg}\,(
\mathsf {c}
 _{Ph} 
 = \{\{\overline{(crs1)}
,\overline{(crs1)}
\}
,\{\overline{(crs1)}
,0
\}
\}
)n
)n
\}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
)n
\vdash \underline{
\mathsf {n}}
 <= \underline{
\mathsf {m}}
\vdash  \{ ph \mathrel{\in}  \{ ph \mathrel{\in} P(P(Union(\{N
,Q
\}
)
)
)
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op1)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op2)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\overline{(op1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(op2)}
 \mathrel{\in} Q
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\mathsf {a}
 _{Ph} 
 = \{\{\overline{(op1)}
,\overline{(op1)}
\}
,\{\overline{(op1)}
,\overline{(op2)}
\}
\}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\}
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \underline{
\mathsf {m}}
\colon \dot{\neg}\,(
\mathsf {e}
 _{Ph} 
 = \{\{\underline{
\mathsf {m}}
,\underline{
\mathsf {m}}
\}
,\{\underline{
\mathsf {m}}
,(\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
*1f/\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
)
\}
\}
)n
)n
\}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
 =  \{ ph \mathrel{\in}  \{ ph \mathrel{\in} P(P(Union(\{N
,Q
\}
)
)
)
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op1)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op2)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\overline{(op1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(op2)}
 \mathrel{\in} Q
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\mathsf {a}
 _{Ph} 
 = \{\{\overline{(op1)}
,\overline{(op1)}
\}
,\{\overline{(op1)}
,\overline{(op2)}
\}
\}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\}
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(crs1)}
\colon \dot{\neg}\,(
\mathsf {c}
 _{Ph} 
 = \{\{\overline{(crs1)}
,\overline{(crs1)}
\}
,\{\overline{(crs1)}
,1
\}
\}
)n
)n
\}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
\gg 
\forall_{obj} \underline{
\mathsf {m}}
\colon \underline{
\mathsf {n}}
 <= \underline{
\mathsf {m}}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
 =  \{ ph \mathrel{\in}  \{ ph \mathrel{\in} P(P(Union(\{N
,Q
\}
)
)
)
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op1)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op2)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\overline{(op1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(op2)}
 \mathrel{\in} Q
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\mathsf {a}
 _{Ph} 
 = \{\{\overline{(op1)}
,\overline{(op1)}
\}
,\{\overline{(op1)}
,\overline{(op2)}
\}
\}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\}
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(crs1)}
\colon \dot{\neg}\,(
\mathsf {c}
 _{Ph} 
 = \{\{\overline{(crs1)}
,\overline{(crs1)}
\}
,\{\overline{(crs1)}
,0
\}
\}
)n
)n
\}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
)n
\Rightarrow \underline{
\mathsf {n}}
 <= \underline{
\mathsf {m}}
\Rightarrow  \{ ph \mathrel{\in}  \{ ph \mathrel{\in} P(P(Union(\{N
,Q
\}
)
)
)
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op1)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op2)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\overline{(op1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(op2)}
 \mathrel{\in} Q
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\mathsf {a}
 _{Ph} 
 = \{\{\overline{(op1)}
,\overline{(op1)}
\}
,\{\overline{(op1)}
,\overline{(op2)}
\}
\}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\}
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \underline{
\mathsf {m}}
\colon \dot{\neg}\,(
\mathsf {e}
 _{Ph} 
 = \{\{\underline{
\mathsf {m}}
,\underline{
\mathsf {m}}
\}
,\{\underline{
\mathsf {m}}
,(\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
*1f/\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
)
\}
\}
)n
)n
\}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
 =  \{ ph \mathrel{\in}  \{ ph \mathrel{\in} P(P(Union(\{N
,Q
\}
)
)
)
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op1)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op2)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\overline{(op1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(op2)}
 \mathrel{\in} Q
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\mathsf {a}
 _{Ph} 
 = \{\{\overline{(op1)}
,\overline{(op1)}
\}
,\{\overline{(op1)}
,\overline{(op2)}
\}
\}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\}
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(crs1)}
\colon \dot{\neg}\,(
\mathsf {c}
 _{Ph} 
 = \{\{\overline{(crs1)}
,\overline{(crs1)}
\}
,\{\overline{(crs1)}
,1
\}
\}
)n
)n
\}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
\rceil 
, 
p_0
, 
\mathsf {c}
)
]$


$
[SameFreciprocal
\stackrel{
stmt
}{\rightarrow}SystemQ
\vdash 
\forall \underline{(fx)}
\colon \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(\epsilon)}
\colon \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {n}}
\colon \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {m}}
\colon \dot{\neg}\,(0
 <= \overline{(\epsilon)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(0
 = \overline{(\epsilon)}
)n
)n
)n
\Rightarrow \overline{
\mathsf {n}}
 <= \overline{
\mathsf {m}}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(|(\underline{(fx)}
[\overline{
\mathsf {m}}
]
+(-u \{ ph \mathrel{\in}  \{ ph \mathrel{\in} P(P(Union(\{N
,Q
\}
)
)
)
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op1)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op2)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\overline{(op1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(op2)}
 \mathrel{\in} Q
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\mathsf {a}
 _{Ph} 
 = \{\{\overline{(op1)}
,\overline{(op1)}
\}
,\{\overline{(op1)}
,\overline{(op2)}
\}
\}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\}
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(crs1)}
\colon \dot{\neg}\,(
\mathsf {c}
 _{Ph} 
 = \{\{\overline{(crs1)}
,\overline{(crs1)}
\}
,\{\overline{(crs1)}
,0
\}
\}
)n
)n
\}
[\overline{
\mathsf {m}}
]
)
)
|
 <= \overline{(\epsilon)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(|(\underline{(fx)}
[\overline{
\mathsf {m}}
]
+(-u \{ ph \mathrel{\in}  \{ ph \mathrel{\in} P(P(Union(\{N
,Q
\}
)
)
)
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op1)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op2)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\overline{(op1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(op2)}
 \mathrel{\in} Q
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\mathsf {a}
 _{Ph} 
 = \{\{\overline{(op1)}
,\overline{(op1)}
\}
,\{\overline{(op1)}
,\overline{(op2)}
\}
\}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\}
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(crs1)}
\colon \dot{\neg}\,(
\mathsf {c}
 _{Ph} 
 = \{\{\overline{(crs1)}
,\overline{(crs1)}
\}
,\{\overline{(crs1)}
,0
\}
\}
)n
)n
\}
[\overline{
\mathsf {m}}
]
)
)
|
 = \overline{(\epsilon)}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\vdash 
\forall_{obj} \overline{(\epsilon)}
\colon \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {n}}
\colon \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {m}}
\colon \dot{\neg}\,(0
 <= \overline{(\epsilon)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(0
 = \overline{(\epsilon)}
)n
)n
)n
\Rightarrow \overline{
\mathsf {n}}
 <= \overline{
\mathsf {m}}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(|( \{ ph \mathrel{\in}  \{ ph \mathrel{\in} P(P(Union(\{N
,Q
\}
)
)
)
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op1)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op2)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\overline{(op1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(op2)}
 \mathrel{\in} Q
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\mathsf {a}
 _{Ph} 
 = \{\{\overline{(op1)}
,\overline{(op1)}
\}
,\{\overline{(op1)}
,\overline{(op2)}
\}
\}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\}
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \underline{
\mathsf {m}}
\colon \dot{\neg}\,(
\mathsf {e}
 _{Ph} 
 = \{\{\underline{
\mathsf {m}}
,\underline{
\mathsf {m}}
\}
,\{\underline{
\mathsf {m}}
,(\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
*1f/\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
)
\}
\}
)n
)n
\}
[\overline{
\mathsf {m}}
]
+(-u \{ ph \mathrel{\in}  \{ ph \mathrel{\in} P(P(Union(\{N
,Q
\}
)
)
)
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op1)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op2)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\overline{(op1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(op2)}
 \mathrel{\in} Q
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\mathsf {a}
 _{Ph} 
 = \{\{\overline{(op1)}
,\overline{(op1)}
\}
,\{\overline{(op1)}
,\overline{(op2)}
\}
\}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\}
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(crs1)}
\colon \dot{\neg}\,(
\mathsf {c}
 _{Ph} 
 = \{\{\overline{(crs1)}
,\overline{(crs1)}
\}
,\{\overline{(crs1)}
,1
\}
\}
)n
)n
\}
[\overline{
\mathsf {m}}
]
)
)
|
 <= \overline{(\epsilon)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(|( \{ ph \mathrel{\in}  \{ ph \mathrel{\in} P(P(Union(\{N
,Q
\}
)
)
)
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op1)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op2)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\overline{(op1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(op2)}
 \mathrel{\in} Q
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\mathsf {a}
 _{Ph} 
 = \{\{\overline{(op1)}
,\overline{(op1)}
\}
,\{\overline{(op1)}
,\overline{(op2)}
\}
\}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\}
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \underline{
\mathsf {m}}
\colon \dot{\neg}\,(
\mathsf {e}
 _{Ph} 
 = \{\{\underline{
\mathsf {m}}
,\underline{
\mathsf {m}}
\}
,\{\underline{
\mathsf {m}}
,(\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
*1f/\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
)
\}
\}
)n
)n
\}
[\overline{
\mathsf {m}}
]
+(-u \{ ph \mathrel{\in}  \{ ph \mathrel{\in} P(P(Union(\{N
,Q
\}
)
)
)
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op1)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op2)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\overline{(op1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(op2)}
 \mathrel{\in} Q
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\mathsf {a}
 _{Ph} 
 = \{\{\overline{(op1)}
,\overline{(op1)}
\}
,\{\overline{(op1)}
,\overline{(op2)}
\}
\}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\}
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(crs1)}
\colon \dot{\neg}\,(
\mathsf {c}
 _{Ph} 
 = \{\{\overline{(crs1)}
,\overline{(crs1)}
\}
,\{\overline{(crs1)}
,1
\}
\}
)n
)n
\}
[\overline{
\mathsf {m}}
]
)
)
|
 = \overline{(\epsilon)}
)n
)n
)n
)n
)n
]$

$
[SameFreciprocal
\stackrel{
proof
}{\rightarrow}
\lambda 
\mathsf {c}
.
\lambda 
\mathsf{x}
.
{\cal P}( 
\lceil SystemQ
\vdash 
\forall \underline{(fx)}
\colon \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(\epsilon)}
\colon \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {n}}
\colon \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {m}}
\colon \dot{\neg}\,(0
 <= \overline{(\epsilon)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(0
 = \overline{(\epsilon)}
)n
)n
)n
\Rightarrow \overline{
\mathsf {n}}
 <= \overline{
\mathsf {m}}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(|(\underline{(fx)}
[\overline{
\mathsf {m}}
]
+(-u \{ ph \mathrel{\in}  \{ ph \mathrel{\in} P(P(Union(\{N
,Q
\}
)
)
)
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op1)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op2)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\overline{(op1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(op2)}
 \mathrel{\in} Q
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\mathsf {a}
 _{Ph} 
 = \{\{\overline{(op1)}
,\overline{(op1)}
\}
,\{\overline{(op1)}
,\overline{(op2)}
\}
\}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\}
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(crs1)}
\colon \dot{\neg}\,(
\mathsf {c}
 _{Ph} 
 = \{\{\overline{(crs1)}
,\overline{(crs1)}
\}
,\{\overline{(crs1)}
,0
\}
\}
)n
)n
\}
[\overline{
\mathsf {m}}
]
)
)
|
 <= \overline{(\epsilon)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(|(\underline{(fx)}
[\overline{
\mathsf {m}}
]
+(-u \{ ph \mathrel{\in}  \{ ph \mathrel{\in} P(P(Union(\{N
,Q
\}
)
)
)
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op1)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op2)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\overline{(op1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(op2)}
 \mathrel{\in} Q
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\mathsf {a}
 _{Ph} 
 = \{\{\overline{(op1)}
,\overline{(op1)}
\}
,\{\overline{(op1)}
,\overline{(op2)}
\}
\}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\}
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(crs1)}
\colon \dot{\neg}\,(
\mathsf {c}
 _{Ph} 
 = \{\{\overline{(crs1)}
,\overline{(crs1)}
\}
,\{\overline{(crs1)}
,0
\}
\}
)n
)n
\}
[\overline{
\mathsf {m}}
]
)
)
|
 = \overline{(\epsilon)}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\vdash FromNotSameF(Strong)
\rhd \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(\epsilon)}
\colon \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {n}}
\colon \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {m}}
\colon \dot{\neg}\,(0
 <= \overline{(\epsilon)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(0
 = \overline{(\epsilon)}
)n
)n
)n
\Rightarrow \overline{
\mathsf {n}}
 <= \overline{
\mathsf {m}}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(|(\underline{(fx)}
[\overline{
\mathsf {m}}
]
+(-u \{ ph \mathrel{\in}  \{ ph \mathrel{\in} P(P(Union(\{N
,Q
\}
)
)
)
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op1)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op2)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\overline{(op1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(op2)}
 \mathrel{\in} Q
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\mathsf {a}
 _{Ph} 
 = \{\{\overline{(op1)}
,\overline{(op1)}
\}
,\{\overline{(op1)}
,\overline{(op2)}
\}
\}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\}
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(crs1)}
\colon \dot{\neg}\,(
\mathsf {c}
 _{Ph} 
 = \{\{\overline{(crs1)}
,\overline{(crs1)}
\}
,\{\overline{(crs1)}
,0
\}
\}
)n
)n
\}
[\overline{
\mathsf {m}}
]
)
)
|
 <= \overline{(\epsilon)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(|(\underline{(fx)}
[\overline{
\mathsf {m}}
]
+(-u \{ ph \mathrel{\in}  \{ ph \mathrel{\in} P(P(Union(\{N
,Q
\}
)
)
)
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op1)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op2)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\overline{(op1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(op2)}
 \mathrel{\in} Q
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\mathsf {a}
 _{Ph} 
 = \{\{\overline{(op1)}
,\overline{(op1)}
\}
,\{\overline{(op1)}
,\overline{(op2)}
\}
\}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\}
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(crs1)}
\colon \dot{\neg}\,(
\mathsf {c}
 _{Ph} 
 = \{\{\overline{(crs1)}
,\overline{(crs1)}
\}
,\{\overline{(crs1)}
,0
\}
\}
)n
)n
\}
[\overline{
\mathsf {m}}
]
)
)
|
 = \overline{(\epsilon)}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\gg \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \underline{
\mathsf {n}}
\colon \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \underline{
\mathsf {m}}
\colon \underline{
\mathsf {n}}
 <= \underline{
\mathsf {m}}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
 =  \{ ph \mathrel{\in}  \{ ph \mathrel{\in} P(P(Union(\{N
,Q
\}
)
)
)
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op1)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op2)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\overline{(op1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(op2)}
 \mathrel{\in} Q
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\mathsf {a}
 _{Ph} 
 = \{\{\overline{(op1)}
,\overline{(op1)}
\}
,\{\overline{(op1)}
,\overline{(op2)}
\}
\}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\}
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(crs1)}
\colon \dot{\neg}\,(
\mathsf {c}
 _{Ph} 
 = \{\{\overline{(crs1)}
,\overline{(crs1)}
\}
,\{\overline{(crs1)}
,0
\}
\}
)n
)n
\}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
)n
)n
)n
; SameFreciprocal(Helper)
\gg 
\forall_{obj} \underline{
\mathsf {m}}
\colon \underline{
\mathsf {n}}
 <= \underline{
\mathsf {m}}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
 =  \{ ph \mathrel{\in}  \{ ph \mathrel{\in} P(P(Union(\{N
,Q
\}
)
)
)
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op1)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op2)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\overline{(op1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(op2)}
 \mathrel{\in} Q
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\mathsf {a}
 _{Ph} 
 = \{\{\overline{(op1)}
,\overline{(op1)}
\}
,\{\overline{(op1)}
,\overline{(op2)}
\}
\}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\}
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(crs1)}
\colon \dot{\neg}\,(
\mathsf {c}
 _{Ph} 
 = \{\{\overline{(crs1)}
,\overline{(crs1)}
\}
,\{\overline{(crs1)}
,0
\}
\}
)n
)n
\}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
)n
\Rightarrow \underline{
\mathsf {n}}
 <= \underline{
\mathsf {m}}
\Rightarrow  \{ ph \mathrel{\in}  \{ ph \mathrel{\in} P(P(Union(\{N
,Q
\}
)
)
)
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op1)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op2)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\overline{(op1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(op2)}
 \mathrel{\in} Q
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\mathsf {a}
 _{Ph} 
 = \{\{\overline{(op1)}
,\overline{(op1)}
\}
,\{\overline{(op1)}
,\overline{(op2)}
\}
\}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\}
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \underline{
\mathsf {m}}
\colon \dot{\neg}\,(
\mathsf {e}
 _{Ph} 
 = \{\{\underline{
\mathsf {m}}
,\underline{
\mathsf {m}}
\}
,\{\underline{
\mathsf {m}}
,(\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
*1f/\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
)
\}
\}
)n
)n
\}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
 =  \{ ph \mathrel{\in}  \{ ph \mathrel{\in} P(P(Union(\{N
,Q
\}
)
)
)
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op1)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op2)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\overline{(op1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(op2)}
 \mathrel{\in} Q
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\mathsf {a}
 _{Ph} 
 = \{\{\overline{(op1)}
,\overline{(op1)}
\}
,\{\overline{(op1)}
,\overline{(op2)}
\}
\}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\}
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(crs1)}
\colon \dot{\neg}\,(
\mathsf {c}
 _{Ph} 
 = \{\{\overline{(crs1)}
,\overline{(crs1)}
\}
,\{\overline{(crs1)}
,1
\}
\}
)n
)n
\}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
; ExistMP
\rhd 
\forall_{obj} \underline{
\mathsf {m}}
\colon \underline{
\mathsf {n}}
 <= \underline{
\mathsf {m}}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
 =  \{ ph \mathrel{\in}  \{ ph \mathrel{\in} P(P(Union(\{N
,Q
\}
)
)
)
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op1)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op2)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\overline{(op1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(op2)}
 \mathrel{\in} Q
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\mathsf {a}
 _{Ph} 
 = \{\{\overline{(op1)}
,\overline{(op1)}
\}
,\{\overline{(op1)}
,\overline{(op2)}
\}
\}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\}
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(crs1)}
\colon \dot{\neg}\,(
\mathsf {c}
 _{Ph} 
 = \{\{\overline{(crs1)}
,\overline{(crs1)}
\}
,\{\overline{(crs1)}
,0
\}
\}
)n
)n
\}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
)n
\Rightarrow \underline{
\mathsf {n}}
 <= \underline{
\mathsf {m}}
\Rightarrow  \{ ph \mathrel{\in}  \{ ph \mathrel{\in} P(P(Union(\{N
,Q
\}
)
)
)
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op1)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op2)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\overline{(op1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(op2)}
 \mathrel{\in} Q
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\mathsf {a}
 _{Ph} 
 = \{\{\overline{(op1)}
,\overline{(op1)}
\}
,\{\overline{(op1)}
,\overline{(op2)}
\}
\}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\}
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \underline{
\mathsf {m}}
\colon \dot{\neg}\,(
\mathsf {e}
 _{Ph} 
 = \{\{\underline{
\mathsf {m}}
,\underline{
\mathsf {m}}
\}
,\{\underline{
\mathsf {m}}
,(\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
*1f/\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
)
\}
\}
)n
)n
\}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
 =  \{ ph \mathrel{\in}  \{ ph \mathrel{\in} P(P(Union(\{N
,Q
\}
)
)
)
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op1)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op2)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\overline{(op1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(op2)}
 \mathrel{\in} Q
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\mathsf {a}
 _{Ph} 
 = \{\{\overline{(op1)}
,\overline{(op1)}
\}
,\{\overline{(op1)}
,\overline{(op2)}
\}
\}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\}
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(crs1)}
\colon \dot{\neg}\,(
\mathsf {c}
 _{Ph} 
 = \{\{\overline{(crs1)}
,\overline{(crs1)}
\}
,\{\overline{(crs1)}
,1
\}
\}
)n
)n
\}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
\rhd \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \underline{
\mathsf {n}}
\colon \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \underline{
\mathsf {m}}
\colon \underline{
\mathsf {n}}
 <= \underline{
\mathsf {m}}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
 =  \{ ph \mathrel{\in}  \{ ph \mathrel{\in} P(P(Union(\{N
,Q
\}
)
)
)
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op1)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op2)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\overline{(op1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(op2)}
 \mathrel{\in} Q
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\mathsf {a}
 _{Ph} 
 = \{\{\overline{(op1)}
,\overline{(op1)}
\}
,\{\overline{(op1)}
,\overline{(op2)}
\}
\}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\}
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(crs1)}
\colon \dot{\neg}\,(
\mathsf {c}
 _{Ph} 
 = \{\{\overline{(crs1)}
,\overline{(crs1)}
\}
,\{\overline{(crs1)}
,0
\}
\}
)n
)n
\}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
)n
)n
)n
\gg \underline{
\mathsf {n}}
 <= \underline{
\mathsf {m}}
\Rightarrow  \{ ph \mathrel{\in}  \{ ph \mathrel{\in} P(P(Union(\{N
,Q
\}
)
)
)
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op1)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op2)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\overline{(op1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(op2)}
 \mathrel{\in} Q
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\mathsf {a}
 _{Ph} 
 = \{\{\overline{(op1)}
,\overline{(op1)}
\}
,\{\overline{(op1)}
,\overline{(op2)}
\}
\}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\}
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \underline{
\mathsf {m}}
\colon \dot{\neg}\,(
\mathsf {e}
 _{Ph} 
 = \{\{\underline{
\mathsf {m}}
,\underline{
\mathsf {m}}
\}
,\{\underline{
\mathsf {m}}
,(\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
*1f/\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
)
\}
\}
)n
)n
\}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
 =  \{ ph \mathrel{\in}  \{ ph \mathrel{\in} P(P(Union(\{N
,Q
\}
)
)
)
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op1)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op2)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\overline{(op1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(op2)}
 \mathrel{\in} Q
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\mathsf {a}
 _{Ph} 
 = \{\{\overline{(op1)}
,\overline{(op1)}
\}
,\{\overline{(op1)}
,\overline{(op2)}
\}
\}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\}
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(crs1)}
\colon \dot{\neg}\,(
\mathsf {c}
 _{Ph} 
 = \{\{\overline{(crs1)}
,\overline{(crs1)}
\}
,\{\overline{(crs1)}
,1
\}
\}
)n
)n
\}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
; Gen
\rhd \underline{
\mathsf {n}}
 <= \underline{
\mathsf {m}}
\Rightarrow  \{ ph \mathrel{\in}  \{ ph \mathrel{\in} P(P(Union(\{N
,Q
\}
)
)
)
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op1)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op2)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\overline{(op1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(op2)}
 \mathrel{\in} Q
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\mathsf {a}
 _{Ph} 
 = \{\{\overline{(op1)}
,\overline{(op1)}
\}
,\{\overline{(op1)}
,\overline{(op2)}
\}
\}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\}
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \underline{
\mathsf {m}}
\colon \dot{\neg}\,(
\mathsf {e}
 _{Ph} 
 = \{\{\underline{
\mathsf {m}}
,\underline{
\mathsf {m}}
\}
,\{\underline{
\mathsf {m}}
,(\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
*1f/\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
)
\}
\}
)n
)n
\}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
 =  \{ ph \mathrel{\in}  \{ ph \mathrel{\in} P(P(Union(\{N
,Q
\}
)
)
)
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op1)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op2)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\overline{(op1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(op2)}
 \mathrel{\in} Q
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\mathsf {a}
 _{Ph} 
 = \{\{\overline{(op1)}
,\overline{(op1)}
\}
,\{\overline{(op1)}
,\overline{(op2)}
\}
\}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\}
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(crs1)}
\colon \dot{\neg}\,(
\mathsf {c}
 _{Ph} 
 = \{\{\overline{(crs1)}
,\overline{(crs1)}
\}
,\{\overline{(crs1)}
,1
\}
\}
)n
)n
\}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
\gg 
\forall_{obj} \underline{
\mathsf {m}}
\colon \underline{
\mathsf {n}}
 <= \underline{
\mathsf {m}}
\Rightarrow  \{ ph \mathrel{\in}  \{ ph \mathrel{\in} P(P(Union(\{N
,Q
\}
)
)
)
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op1)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op2)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\overline{(op1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(op2)}
 \mathrel{\in} Q
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\mathsf {a}
 _{Ph} 
 = \{\{\overline{(op1)}
,\overline{(op1)}
\}
,\{\overline{(op1)}
,\overline{(op2)}
\}
\}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\}
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \underline{
\mathsf {m}}
\colon \dot{\neg}\,(
\mathsf {e}
 _{Ph} 
 = \{\{\underline{
\mathsf {m}}
,\underline{
\mathsf {m}}
\}
,\{\underline{
\mathsf {m}}
,(\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
*1f/\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
)
\}
\}
)n
)n
\}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
 =  \{ ph \mathrel{\in}  \{ ph \mathrel{\in} P(P(Union(\{N
,Q
\}
)
)
)
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op1)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op2)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\overline{(op1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(op2)}
 \mathrel{\in} Q
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\mathsf {a}
 _{Ph} 
 = \{\{\overline{(op1)}
,\overline{(op1)}
\}
,\{\overline{(op1)}
,\overline{(op2)}
\}
\}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\}
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(crs1)}
\colon \dot{\neg}\,(
\mathsf {c}
 _{Ph} 
 = \{\{\overline{(crs1)}
,\overline{(crs1)}
\}
,\{\overline{(crs1)}
,1
\}
\}
)n
)n
\}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
; IntroExist
\mathop {\char64} \underline{
\mathsf {n}}
\rhd \underline{
\mathsf {n}}
 <= \underline{
\mathsf {m}}
\Rightarrow  \{ ph \mathrel{\in}  \{ ph \mathrel{\in} P(P(Union(\{N
,Q
\}
)
)
)
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op1)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op2)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\overline{(op1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(op2)}
 \mathrel{\in} Q
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\mathsf {a}
 _{Ph} 
 = \{\{\overline{(op1)}
,\overline{(op1)}
\}
,\{\overline{(op1)}
,\overline{(op2)}
\}
\}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\}
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \underline{
\mathsf {m}}
\colon \dot{\neg}\,(
\mathsf {e}
 _{Ph} 
 = \{\{\underline{
\mathsf {m}}
,\underline{
\mathsf {m}}
\}
,\{\underline{
\mathsf {m}}
,(\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
*1f/\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
)
\}
\}
)n
)n
\}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
 =  \{ ph \mathrel{\in}  \{ ph \mathrel{\in} P(P(Union(\{N
,Q
\}
)
)
)
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op1)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op2)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\overline{(op1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(op2)}
 \mathrel{\in} Q
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\mathsf {a}
 _{Ph} 
 = \{\{\overline{(op1)}
,\overline{(op1)}
\}
,\{\overline{(op1)}
,\overline{(op2)}
\}
\}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\}
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(crs1)}
\colon \dot{\neg}\,(
\mathsf {c}
 _{Ph} 
 = \{\{\overline{(crs1)}
,\overline{(crs1)}
\}
,\{\overline{(crs1)}
,1
\}
\}
)n
)n
\}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
\gg \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \underline{
\mathsf {n}}
\colon \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \underline{
\mathsf {m}}
\colon \underline{
\mathsf {n}}
 <= \underline{
\mathsf {m}}
\Rightarrow  \{ ph \mathrel{\in}  \{ ph \mathrel{\in} P(P(Union(\{N
,Q
\}
)
)
)
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op1)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op2)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\overline{(op1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(op2)}
 \mathrel{\in} Q
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\mathsf {a}
 _{Ph} 
 = \{\{\overline{(op1)}
,\overline{(op1)}
\}
,\{\overline{(op1)}
,\overline{(op2)}
\}
\}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\}
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \underline{
\mathsf {m}}
\colon \dot{\neg}\,(
\mathsf {e}
 _{Ph} 
 = \{\{\underline{
\mathsf {m}}
,\underline{
\mathsf {m}}
\}
,\{\underline{
\mathsf {m}}
,(\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
*1f/\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
)
\}
\}
)n
)n
\}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
 =  \{ ph \mathrel{\in}  \{ ph \mathrel{\in} P(P(Union(\{N
,Q
\}
)
)
)
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op1)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op2)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\overline{(op1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(op2)}
 \mathrel{\in} Q
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\mathsf {a}
 _{Ph} 
 = \{\{\overline{(op1)}
,\overline{(op1)}
\}
,\{\overline{(op1)}
,\overline{(op2)}
\}
\}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\}
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(crs1)}
\colon \dot{\neg}\,(
\mathsf {c}
 _{Ph} 
 = \{\{\overline{(crs1)}
,\overline{(crs1)}
\}
,\{\overline{(crs1)}
,1
\}
\}
)n
)n
\}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
)n
)n
; (Eventually=f)2sameF
\rhd \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \underline{
\mathsf {n}}
\colon \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \underline{
\mathsf {m}}
\colon \underline{
\mathsf {n}}
 <= \underline{
\mathsf {m}}
\Rightarrow  \{ ph \mathrel{\in}  \{ ph \mathrel{\in} P(P(Union(\{N
,Q
\}
)
)
)
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op1)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op2)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\overline{(op1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(op2)}
 \mathrel{\in} Q
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\mathsf {a}
 _{Ph} 
 = \{\{\overline{(op1)}
,\overline{(op1)}
\}
,\{\overline{(op1)}
,\overline{(op2)}
\}
\}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\}
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \underline{
\mathsf {m}}
\colon \dot{\neg}\,(
\mathsf {e}
 _{Ph} 
 = \{\{\underline{
\mathsf {m}}
,\underline{
\mathsf {m}}
\}
,\{\underline{
\mathsf {m}}
,(\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
*1f/\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
)
\}
\}
)n
)n
\}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
 =  \{ ph \mathrel{\in}  \{ ph \mathrel{\in} P(P(Union(\{N
,Q
\}
)
)
)
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op1)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op2)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\overline{(op1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(op2)}
 \mathrel{\in} Q
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\mathsf {a}
 _{Ph} 
 = \{\{\overline{(op1)}
,\overline{(op1)}
\}
,\{\overline{(op1)}
,\overline{(op2)}
\}
\}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\}
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(crs1)}
\colon \dot{\neg}\,(
\mathsf {c}
 _{Ph} 
 = \{\{\overline{(crs1)}
,\overline{(crs1)}
\}
,\{\overline{(crs1)}
,1
\}
\}
)n
)n
\}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
)n
)n
\gg 
\forall_{obj} \overline{(\epsilon)}
\colon \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {n}}
\colon \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {m}}
\colon \dot{\neg}\,(0
 <= \overline{(\epsilon)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(0
 = \overline{(\epsilon)}
)n
)n
)n
\Rightarrow \overline{
\mathsf {n}}
 <= \overline{
\mathsf {m}}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(|( \{ ph \mathrel{\in}  \{ ph \mathrel{\in} P(P(Union(\{N
,Q
\}
)
)
)
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op1)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op2)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\overline{(op1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(op2)}
 \mathrel{\in} Q
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\mathsf {a}
 _{Ph} 
 = \{\{\overline{(op1)}
,\overline{(op1)}
\}
,\{\overline{(op1)}
,\overline{(op2)}
\}
\}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\}
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \underline{
\mathsf {m}}
\colon \dot{\neg}\,(
\mathsf {e}
 _{Ph} 
 = \{\{\underline{
\mathsf {m}}
,\underline{
\mathsf {m}}
\}
,\{\underline{
\mathsf {m}}
,(\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
*1f/\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
)
\}
\}
)n
)n
\}
[\overline{
\mathsf {m}}
]
+(-u \{ ph \mathrel{\in}  \{ ph \mathrel{\in} P(P(Union(\{N
,Q
\}
)
)
)
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op1)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op2)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\overline{(op1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(op2)}
 \mathrel{\in} Q
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\mathsf {a}
 _{Ph} 
 = \{\{\overline{(op1)}
,\overline{(op1)}
\}
,\{\overline{(op1)}
,\overline{(op2)}
\}
\}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\}
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(crs1)}
\colon \dot{\neg}\,(
\mathsf {c}
 _{Ph} 
 = \{\{\overline{(crs1)}
,\overline{(crs1)}
\}
,\{\overline{(crs1)}
,1
\}
\}
)n
)n
\}
[\overline{
\mathsf {m}}
]
)
)
|
 <= \overline{(\epsilon)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(|( \{ ph \mathrel{\in}  \{ ph \mathrel{\in} P(P(Union(\{N
,Q
\}
)
)
)
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op1)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op2)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\overline{(op1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(op2)}
 \mathrel{\in} Q
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\mathsf {a}
 _{Ph} 
 = \{\{\overline{(op1)}
,\overline{(op1)}
\}
,\{\overline{(op1)}
,\overline{(op2)}
\}
\}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\}
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \underline{
\mathsf {m}}
\colon \dot{\neg}\,(
\mathsf {e}
 _{Ph} 
 = \{\{\underline{
\mathsf {m}}
,\underline{
\mathsf {m}}
\}
,\{\underline{
\mathsf {m}}
,(\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
*1f/\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
)
\}
\}
)n
)n
\}
[\overline{
\mathsf {m}}
]
+(-u \{ ph \mathrel{\in}  \{ ph \mathrel{\in} P(P(Union(\{N
,Q
\}
)
)
)
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op1)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op2)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\overline{(op1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(op2)}
 \mathrel{\in} Q
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\mathsf {a}
 _{Ph} 
 = \{\{\overline{(op1)}
,\overline{(op1)}
\}
,\{\overline{(op1)}
,\overline{(op2)}
\}
\}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\}
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(crs1)}
\colon \dot{\neg}\,(
\mathsf {c}
 _{Ph} 
 = \{\{\overline{(crs1)}
,\overline{(crs1)}
\}
,\{\overline{(crs1)}
,1
\}
\}
)n
)n
\}
[\overline{
\mathsf {m}}
]
)
)
|
 = \overline{(\epsilon)}
)n
)n
)n
)n
)n
\rceil 
, 
p_0
, 
\mathsf {c}
)
]$

-------------



$
[Reciprocal(R)
\stackrel{
stmt
}{\rightarrow}SystemQ
\vdash 
\forall \underline{(fx)}
\colon \dot{\neg}\,( \{ ph \mathrel{\in} P( \{ ph \mathrel{\in} P( \{ ph \mathrel{\in} P(P(Union(\{N
,Q
\}
)
)
)
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op1)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op2)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\overline{(op1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(op2)}
 \mathrel{\in} Q
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\mathsf {a}
 _{Ph} 
 = \{\{\overline{(op1)}
,\overline{(op1)}
\}
,\{\overline{(op1)}
,\overline{(op2)}
\}
\}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\}
)
\mid \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(r1)}
\colon \overline{(r1)}
 \mathrel{\in} 
\mathsf {f}
 _{Ph} 
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op1)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op2)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\overline{(op1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(op2)}
 \mathrel{\in} Q
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(r1)}
 = \{\{\overline{(op1)}
,\overline{(op1)}
\}
,\{\overline{(op1)}
,\overline{(op2)}
\}
\}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(f1)}
\colon 
\forall_{obj} \overline{(f2)}
\colon 
\forall_{obj} \overline{(f3)}
\colon 
\forall_{obj} \overline{(f4)}
\colon \{\{\overline{(f1)}
,\overline{(f1)}
\}
,\{\overline{(f1)}
,\overline{(f2)}
\}
\}
 \mathrel{\in} 
\mathsf {f}
 _{Ph} 
\Rightarrow \{\{\overline{(f3)}
,\overline{(f3)}
\}
,\{\overline{(f3)}
,\overline{(f4)}
\}
\}
 \mathrel{\in} 
\mathsf {f}
 _{Ph} 
\Rightarrow \overline{(f1)}
 = \overline{(f3)}
\Rightarrow \overline{(f2)}
 = \overline{(f4)}
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(s1)}
\colon \overline{(s1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(s2)}
\colon \dot{\neg}\,(\{\{\overline{(s1)}
,\overline{(s1)}
\}
,\{\overline{(s1)}
,\overline{(s2)}
\}
\}
 \mathrel{\in} 
\mathsf {f}
 _{Ph} 
)n
)n
)n
)n
\}
)
\mid 
\forall_{obj} \overline{(\epsilon)}
\colon \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {n}}
\colon \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {m}}
\colon \dot{\neg}\,(0
 <= \overline{(\epsilon)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(0
 = \overline{(\epsilon)}
)n
)n
)n
\Rightarrow \overline{
\mathsf {n}}
 <= \overline{
\mathsf {m}}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(|(\underline{(fx)}
[\overline{
\mathsf {m}}
]
+(-u
\mathsf {d}
 _{Ph} 
[\overline{
\mathsf {m}}
]
)
)
|
 <= \overline{(\epsilon)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(|(\underline{(fx)}
[\overline{
\mathsf {m}}
]
+(-u
\mathsf {d}
 _{Ph} 
[\overline{
\mathsf {m}}
]
)
)
|
 = \overline{(\epsilon)}
)n
)n
)n
)n
)n
\}
 =  \{ ph \mathrel{\in} P( \{ ph \mathrel{\in} P( \{ ph \mathrel{\in} P(P(Union(\{N
,Q
\}
)
)
)
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op1)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op2)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\overline{(op1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(op2)}
 \mathrel{\in} Q
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\mathsf {a}
 _{Ph} 
 = \{\{\overline{(op1)}
,\overline{(op1)}
\}
,\{\overline{(op1)}
,\overline{(op2)}
\}
\}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\}
)
\mid \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(r1)}
\colon \overline{(r1)}
 \mathrel{\in} 
\mathsf {f}
 _{Ph} 
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op1)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op2)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\overline{(op1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(op2)}
 \mathrel{\in} Q
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(r1)}
 = \{\{\overline{(op1)}
,\overline{(op1)}
\}
,\{\overline{(op1)}
,\overline{(op2)}
\}
\}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(f1)}
\colon 
\forall_{obj} \overline{(f2)}
\colon 
\forall_{obj} \overline{(f3)}
\colon 
\forall_{obj} \overline{(f4)}
\colon \{\{\overline{(f1)}
,\overline{(f1)}
\}
,\{\overline{(f1)}
,\overline{(f2)}
\}
\}
 \mathrel{\in} 
\mathsf {f}
 _{Ph} 
\Rightarrow \{\{\overline{(f3)}
,\overline{(f3)}
\}
,\{\overline{(f3)}
,\overline{(f4)}
\}
\}
 \mathrel{\in} 
\mathsf {f}
 _{Ph} 
\Rightarrow \overline{(f1)}
 = \overline{(f3)}
\Rightarrow \overline{(f2)}
 = \overline{(f4)}
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(s1)}
\colon \overline{(s1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(s2)}
\colon \dot{\neg}\,(\{\{\overline{(s1)}
,\overline{(s1)}
\}
,\{\overline{(s1)}
,\overline{(s2)}
\}
\}
 \mathrel{\in} 
\mathsf {f}
 _{Ph} 
)n
)n
)n
)n
\}
)
\mid 
\forall_{obj} \overline{(\epsilon)}
\colon \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {n}}
\colon \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {m}}
\colon \dot{\neg}\,(0
 <= \overline{(\epsilon)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(0
 = \overline{(\epsilon)}
)n
)n
)n
\Rightarrow \overline{
\mathsf {n}}
 <= \overline{
\mathsf {m}}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(|( \{ ph \mathrel{\in}  \{ ph \mathrel{\in} P(P(Union(\{N
,Q
\}
)
)
)
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op1)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op2)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\overline{(op1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(op2)}
 \mathrel{\in} Q
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\mathsf {a}
 _{Ph} 
 = \{\{\overline{(op1)}
,\overline{(op1)}
\}
,\{\overline{(op1)}
,\overline{(op2)}
\}
\}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\}
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(crs1)}
\colon \dot{\neg}\,(
\mathsf {c}
 _{Ph} 
 = \{\{\overline{(crs1)}
,\overline{(crs1)}
\}
,\{\overline{(crs1)}
,0
\}
\}
)n
)n
\}
[\overline{
\mathsf {m}}
]
+(-u
\mathsf {d}
 _{Ph} 
[\overline{
\mathsf {m}}
]
)
)
|
 <= \overline{(\epsilon)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(|( \{ ph \mathrel{\in}  \{ ph \mathrel{\in} P(P(Union(\{N
,Q
\}
)
)
)
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op1)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op2)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\overline{(op1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(op2)}
 \mathrel{\in} Q
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\mathsf {a}
 _{Ph} 
 = \{\{\overline{(op1)}
,\overline{(op1)}
\}
,\{\overline{(op1)}
,\overline{(op2)}
\}
\}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\}
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(crs1)}
\colon \dot{\neg}\,(
\mathsf {c}
 _{Ph} 
 = \{\{\overline{(crs1)}
,\overline{(crs1)}
\}
,\{\overline{(crs1)}
,0
\}
\}
)n
)n
\}
[\overline{
\mathsf {m}}
]
+(-u
\mathsf {d}
 _{Ph} 
[\overline{
\mathsf {m}}
]
)
)
|
 = \overline{(\epsilon)}
)n
)n
)n
)n
)n
\}
)n
\vdash  \{ ph \mathrel{\in} P( \{ ph \mathrel{\in} P( \{ ph \mathrel{\in} P(P(Union(\{N
,Q
\}
)
)
)
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op1)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op2)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\overline{(op1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(op2)}
 \mathrel{\in} Q
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\mathsf {a}
 _{Ph} 
 = \{\{\overline{(op1)}
,\overline{(op1)}
\}
,\{\overline{(op1)}
,\overline{(op2)}
\}
\}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\}
)
\mid \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(r1)}
\colon \overline{(r1)}
 \mathrel{\in} 
\mathsf {f}
 _{Ph} 
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op1)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op2)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\overline{(op1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(op2)}
 \mathrel{\in} Q
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(r1)}
 = \{\{\overline{(op1)}
,\overline{(op1)}
\}
,\{\overline{(op1)}
,\overline{(op2)}
\}
\}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(f1)}
\colon 
\forall_{obj} \overline{(f2)}
\colon 
\forall_{obj} \overline{(f3)}
\colon 
\forall_{obj} \overline{(f4)}
\colon \{\{\overline{(f1)}
,\overline{(f1)}
\}
,\{\overline{(f1)}
,\overline{(f2)}
\}
\}
 \mathrel{\in} 
\mathsf {f}
 _{Ph} 
\Rightarrow \{\{\overline{(f3)}
,\overline{(f3)}
\}
,\{\overline{(f3)}
,\overline{(f4)}
\}
\}
 \mathrel{\in} 
\mathsf {f}
 _{Ph} 
\Rightarrow \overline{(f1)}
 = \overline{(f3)}
\Rightarrow \overline{(f2)}
 = \overline{(f4)}
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(s1)}
\colon \overline{(s1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(s2)}
\colon \dot{\neg}\,(\{\{\overline{(s1)}
,\overline{(s1)}
\}
,\{\overline{(s1)}
,\overline{(s2)}
\}
\}
 \mathrel{\in} 
\mathsf {f}
 _{Ph} 
)n
)n
)n
)n
\}
)
\mid 
\forall_{obj} \overline{(\epsilon)}
\colon \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {n}}
\colon \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {m}}
\colon \dot{\neg}\,(0
 <= \overline{(\epsilon)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(0
 = \overline{(\epsilon)}
)n
)n
)n
\Rightarrow \overline{
\mathsf {n}}
 <= \overline{
\mathsf {m}}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(|( \{ ph \mathrel{\in}  \{ ph \mathrel{\in} P(P(Union(\{N
,Q
\}
)
)
)
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op1)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op2)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\overline{(op1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(op2)}
 \mathrel{\in} Q
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\mathsf {a}
 _{Ph} 
 = \{\{\overline{(op1)}
,\overline{(op1)}
\}
,\{\overline{(op1)}
,\overline{(op2)}
\}
\}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\}
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \underline{
\mathsf {m}}
\colon \dot{\neg}\,(
\mathsf {e}
 _{Ph} 
 = \{\{\underline{
\mathsf {m}}
,\underline{
\mathsf {m}}
\}
,\{\underline{
\mathsf {m}}
,(\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
*1f/\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
)
\}
\}
)n
)n
\}
[\overline{
\mathsf {m}}
]
+(-u
\mathsf {d}
 _{Ph} 
[\overline{
\mathsf {m}}
]
)
)
|
 <= \overline{(\epsilon)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(|( \{ ph \mathrel{\in}  \{ ph \mathrel{\in} P(P(Union(\{N
,Q
\}
)
)
)
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op1)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op2)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\overline{(op1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(op2)}
 \mathrel{\in} Q
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\mathsf {a}
 _{Ph} 
 = \{\{\overline{(op1)}
,\overline{(op1)}
\}
,\{\overline{(op1)}
,\overline{(op2)}
\}
\}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\}
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \underline{
\mathsf {m}}
\colon \dot{\neg}\,(
\mathsf {e}
 _{Ph} 
 = \{\{\underline{
\mathsf {m}}
,\underline{
\mathsf {m}}
\}
,\{\underline{
\mathsf {m}}
,(\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
*1f/\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
)
\}
\}
)n
)n
\}
[\overline{
\mathsf {m}}
]
+(-u
\mathsf {d}
 _{Ph} 
[\overline{
\mathsf {m}}
]
)
)
|
 = \overline{(\epsilon)}
)n
)n
)n
)n
)n
\}
 =  \{ ph \mathrel{\in} P( \{ ph \mathrel{\in} P( \{ ph \mathrel{\in} P(P(Union(\{N
,Q
\}
)
)
)
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op1)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op2)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\overline{(op1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(op2)}
 \mathrel{\in} Q
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\mathsf {a}
 _{Ph} 
 = \{\{\overline{(op1)}
,\overline{(op1)}
\}
,\{\overline{(op1)}
,\overline{(op2)}
\}
\}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\}
)
\mid \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(r1)}
\colon \overline{(r1)}
 \mathrel{\in} 
\mathsf {f}
 _{Ph} 
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op1)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op2)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\overline{(op1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(op2)}
 \mathrel{\in} Q
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(r1)}
 = \{\{\overline{(op1)}
,\overline{(op1)}
\}
,\{\overline{(op1)}
,\overline{(op2)}
\}
\}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(f1)}
\colon 
\forall_{obj} \overline{(f2)}
\colon 
\forall_{obj} \overline{(f3)}
\colon 
\forall_{obj} \overline{(f4)}
\colon \{\{\overline{(f1)}
,\overline{(f1)}
\}
,\{\overline{(f1)}
,\overline{(f2)}
\}
\}
 \mathrel{\in} 
\mathsf {f}
 _{Ph} 
\Rightarrow \{\{\overline{(f3)}
,\overline{(f3)}
\}
,\{\overline{(f3)}
,\overline{(f4)}
\}
\}
 \mathrel{\in} 
\mathsf {f}
 _{Ph} 
\Rightarrow \overline{(f1)}
 = \overline{(f3)}
\Rightarrow \overline{(f2)}
 = \overline{(f4)}
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(s1)}
\colon \overline{(s1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(s2)}
\colon \dot{\neg}\,(\{\{\overline{(s1)}
,\overline{(s1)}
\}
,\{\overline{(s1)}
,\overline{(s2)}
\}
\}
 \mathrel{\in} 
\mathsf {f}
 _{Ph} 
)n
)n
)n
)n
\}
)
\mid 
\forall_{obj} \overline{(\epsilon)}
\colon \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {n}}
\colon \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {m}}
\colon \dot{\neg}\,(0
 <= \overline{(\epsilon)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(0
 = \overline{(\epsilon)}
)n
)n
)n
\Rightarrow \overline{
\mathsf {n}}
 <= \overline{
\mathsf {m}}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(|( \{ ph \mathrel{\in}  \{ ph \mathrel{\in} P(P(Union(\{N
,Q
\}
)
)
)
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op1)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op2)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\overline{(op1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(op2)}
 \mathrel{\in} Q
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\mathsf {a}
 _{Ph} 
 = \{\{\overline{(op1)}
,\overline{(op1)}
\}
,\{\overline{(op1)}
,\overline{(op2)}
\}
\}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\}
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(crs1)}
\colon \dot{\neg}\,(
\mathsf {c}
 _{Ph} 
 = \{\{\overline{(crs1)}
,\overline{(crs1)}
\}
,\{\overline{(crs1)}
,1
\}
\}
)n
)n
\}
[\overline{
\mathsf {m}}
]
+(-u
\mathsf {d}
 _{Ph} 
[\overline{
\mathsf {m}}
]
)
)
|
 <= \overline{(\epsilon)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(|( \{ ph \mathrel{\in}  \{ ph \mathrel{\in} P(P(Union(\{N
,Q
\}
)
)
)
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op1)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op2)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\overline{(op1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(op2)}
 \mathrel{\in} Q
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\mathsf {a}
 _{Ph} 
 = \{\{\overline{(op1)}
,\overline{(op1)}
\}
,\{\overline{(op1)}
,\overline{(op2)}
\}
\}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\}
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(crs1)}
\colon \dot{\neg}\,(
\mathsf {c}
 _{Ph} 
 = \{\{\overline{(crs1)}
,\overline{(crs1)}
\}
,\{\overline{(crs1)}
,1
\}
\}
)n
)n
\}
[\overline{
\mathsf {m}}
]
+(-u
\mathsf {d}
 _{Ph} 
[\overline{
\mathsf {m}}
]
)
)
|
 = \overline{(\epsilon)}
)n
)n
)n
)n
)n
\}
]$

$
[Reciprocal(R)
\stackrel{
proof
}{\rightarrow}
\lambda 
\mathsf {c}
.
\lambda 
\mathsf{x}
.
{\cal P}( 
\lceil SystemQ
\vdash 
\forall \underline{(fx)}
\colon \dot{\neg}\,( \{ ph \mathrel{\in} P( \{ ph \mathrel{\in} P( \{ ph \mathrel{\in} P(P(Union(\{N
,Q
\}
)
)
)
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op1)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op2)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\overline{(op1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(op2)}
 \mathrel{\in} Q
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\mathsf {a}
 _{Ph} 
 = \{\{\overline{(op1)}
,\overline{(op1)}
\}
,\{\overline{(op1)}
,\overline{(op2)}
\}
\}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\}
)
\mid \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(r1)}
\colon \overline{(r1)}
 \mathrel{\in} 
\mathsf {f}
 _{Ph} 
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op1)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op2)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\overline{(op1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(op2)}
 \mathrel{\in} Q
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(r1)}
 = \{\{\overline{(op1)}
,\overline{(op1)}
\}
,\{\overline{(op1)}
,\overline{(op2)}
\}
\}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(f1)}
\colon 
\forall_{obj} \overline{(f2)}
\colon 
\forall_{obj} \overline{(f3)}
\colon 
\forall_{obj} \overline{(f4)}
\colon \{\{\overline{(f1)}
,\overline{(f1)}
\}
,\{\overline{(f1)}
,\overline{(f2)}
\}
\}
 \mathrel{\in} 
\mathsf {f}
 _{Ph} 
\Rightarrow \{\{\overline{(f3)}
,\overline{(f3)}
\}
,\{\overline{(f3)}
,\overline{(f4)}
\}
\}
 \mathrel{\in} 
\mathsf {f}
 _{Ph} 
\Rightarrow \overline{(f1)}
 = \overline{(f3)}
\Rightarrow \overline{(f2)}
 = \overline{(f4)}
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(s1)}
\colon \overline{(s1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(s2)}
\colon \dot{\neg}\,(\{\{\overline{(s1)}
,\overline{(s1)}
\}
,\{\overline{(s1)}
,\overline{(s2)}
\}
\}
 \mathrel{\in} 
\mathsf {f}
 _{Ph} 
)n
)n
)n
)n
\}
)
\mid 
\forall_{obj} \overline{(\epsilon)}
\colon \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {n}}
\colon \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {m}}
\colon \dot{\neg}\,(0
 <= \overline{(\epsilon)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(0
 = \overline{(\epsilon)}
)n
)n
)n
\Rightarrow \overline{
\mathsf {n}}
 <= \overline{
\mathsf {m}}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(|(\underline{(fx)}
[\overline{
\mathsf {m}}
]
+(-u
\mathsf {d}
 _{Ph} 
[\overline{
\mathsf {m}}
]
)
)
|
 <= \overline{(\epsilon)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(|(\underline{(fx)}
[\overline{
\mathsf {m}}
]
+(-u
\mathsf {d}
 _{Ph} 
[\overline{
\mathsf {m}}
]
)
)
|
 = \overline{(\epsilon)}
)n
)n
)n
)n
)n
\}
 =  \{ ph \mathrel{\in} P( \{ ph \mathrel{\in} P( \{ ph \mathrel{\in} P(P(Union(\{N
,Q
\}
)
)
)
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op1)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op2)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\overline{(op1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(op2)}
 \mathrel{\in} Q
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\mathsf {a}
 _{Ph} 
 = \{\{\overline{(op1)}
,\overline{(op1)}
\}
,\{\overline{(op1)}
,\overline{(op2)}
\}
\}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\}
)
\mid \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(r1)}
\colon \overline{(r1)}
 \mathrel{\in} 
\mathsf {f}
 _{Ph} 
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op1)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op2)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\overline{(op1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(op2)}
 \mathrel{\in} Q
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(r1)}
 = \{\{\overline{(op1)}
,\overline{(op1)}
\}
,\{\overline{(op1)}
,\overline{(op2)}
\}
\}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(f1)}
\colon 
\forall_{obj} \overline{(f2)}
\colon 
\forall_{obj} \overline{(f3)}
\colon 
\forall_{obj} \overline{(f4)}
\colon \{\{\overline{(f1)}
,\overline{(f1)}
\}
,\{\overline{(f1)}
,\overline{(f2)}
\}
\}
 \mathrel{\in} 
\mathsf {f}
 _{Ph} 
\Rightarrow \{\{\overline{(f3)}
,\overline{(f3)}
\}
,\{\overline{(f3)}
,\overline{(f4)}
\}
\}
 \mathrel{\in} 
\mathsf {f}
 _{Ph} 
\Rightarrow \overline{(f1)}
 = \overline{(f3)}
\Rightarrow \overline{(f2)}
 = \overline{(f4)}
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(s1)}
\colon \overline{(s1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(s2)}
\colon \dot{\neg}\,(\{\{\overline{(s1)}
,\overline{(s1)}
\}
,\{\overline{(s1)}
,\overline{(s2)}
\}
\}
 \mathrel{\in} 
\mathsf {f}
 _{Ph} 
)n
)n
)n
)n
\}
)
\mid 
\forall_{obj} \overline{(\epsilon)}
\colon \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {n}}
\colon \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {m}}
\colon \dot{\neg}\,(0
 <= \overline{(\epsilon)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(0
 = \overline{(\epsilon)}
)n
)n
)n
\Rightarrow \overline{
\mathsf {n}}
 <= \overline{
\mathsf {m}}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(|( \{ ph \mathrel{\in}  \{ ph \mathrel{\in} P(P(Union(\{N
,Q
\}
)
)
)
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op1)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op2)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\overline{(op1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(op2)}
 \mathrel{\in} Q
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\mathsf {a}
 _{Ph} 
 = \{\{\overline{(op1)}
,\overline{(op1)}
\}
,\{\overline{(op1)}
,\overline{(op2)}
\}
\}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\}
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(crs1)}
\colon \dot{\neg}\,(
\mathsf {c}
 _{Ph} 
 = \{\{\overline{(crs1)}
,\overline{(crs1)}
\}
,\{\overline{(crs1)}
,0
\}
\}
)n
)n
\}
[\overline{
\mathsf {m}}
]
+(-u
\mathsf {d}
 _{Ph} 
[\overline{
\mathsf {m}}
]
)
)
|
 <= \overline{(\epsilon)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(|( \{ ph \mathrel{\in}  \{ ph \mathrel{\in} P(P(Union(\{N
,Q
\}
)
)
)
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op1)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op2)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\overline{(op1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(op2)}
 \mathrel{\in} Q
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\mathsf {a}
 _{Ph} 
 = \{\{\overline{(op1)}
,\overline{(op1)}
\}
,\{\overline{(op1)}
,\overline{(op2)}
\}
\}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\}
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(crs1)}
\colon \dot{\neg}\,(
\mathsf {c}
 _{Ph} 
 = \{\{\overline{(crs1)}
,\overline{(crs1)}
\}
,\{\overline{(crs1)}
,0
\}
\}
)n
)n
\}
[\overline{
\mathsf {m}}
]
+(-u
\mathsf {d}
 _{Ph} 
[\overline{
\mathsf {m}}
]
)
)
|
 = \overline{(\epsilon)}
)n
)n
)n
)n
)n
\}
)n
\vdash From!!==
\rhd \dot{\neg}\,( \{ ph \mathrel{\in} P( \{ ph \mathrel{\in} P( \{ ph \mathrel{\in} P(P(Union(\{N
,Q
\}
)
)
)
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op1)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op2)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\overline{(op1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(op2)}
 \mathrel{\in} Q
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\mathsf {a}
 _{Ph} 
 = \{\{\overline{(op1)}
,\overline{(op1)}
\}
,\{\overline{(op1)}
,\overline{(op2)}
\}
\}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\}
)
\mid \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(r1)}
\colon \overline{(r1)}
 \mathrel{\in} 
\mathsf {f}
 _{Ph} 
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op1)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op2)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\overline{(op1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(op2)}
 \mathrel{\in} Q
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(r1)}
 = \{\{\overline{(op1)}
,\overline{(op1)}
\}
,\{\overline{(op1)}
,\overline{(op2)}
\}
\}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(f1)}
\colon 
\forall_{obj} \overline{(f2)}
\colon 
\forall_{obj} \overline{(f3)}
\colon 
\forall_{obj} \overline{(f4)}
\colon \{\{\overline{(f1)}
,\overline{(f1)}
\}
,\{\overline{(f1)}
,\overline{(f2)}
\}
\}
 \mathrel{\in} 
\mathsf {f}
 _{Ph} 
\Rightarrow \{\{\overline{(f3)}
,\overline{(f3)}
\}
,\{\overline{(f3)}
,\overline{(f4)}
\}
\}
 \mathrel{\in} 
\mathsf {f}
 _{Ph} 
\Rightarrow \overline{(f1)}
 = \overline{(f3)}
\Rightarrow \overline{(f2)}
 = \overline{(f4)}
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(s1)}
\colon \overline{(s1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(s2)}
\colon \dot{\neg}\,(\{\{\overline{(s1)}
,\overline{(s1)}
\}
,\{\overline{(s1)}
,\overline{(s2)}
\}
\}
 \mathrel{\in} 
\mathsf {f}
 _{Ph} 
)n
)n
)n
)n
\}
)
\mid 
\forall_{obj} \overline{(\epsilon)}
\colon \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {n}}
\colon \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {m}}
\colon \dot{\neg}\,(0
 <= \overline{(\epsilon)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(0
 = \overline{(\epsilon)}
)n
)n
)n
\Rightarrow \overline{
\mathsf {n}}
 <= \overline{
\mathsf {m}}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(|(\underline{(fx)}
[\overline{
\mathsf {m}}
]
+(-u
\mathsf {d}
 _{Ph} 
[\overline{
\mathsf {m}}
]
)
)
|
 <= \overline{(\epsilon)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(|(\underline{(fx)}
[\overline{
\mathsf {m}}
]
+(-u
\mathsf {d}
 _{Ph} 
[\overline{
\mathsf {m}}
]
)
)
|
 = \overline{(\epsilon)}
)n
)n
)n
)n
)n
\}
 =  \{ ph \mathrel{\in} P( \{ ph \mathrel{\in} P( \{ ph \mathrel{\in} P(P(Union(\{N
,Q
\}
)
)
)
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op1)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op2)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\overline{(op1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(op2)}
 \mathrel{\in} Q
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\mathsf {a}
 _{Ph} 
 = \{\{\overline{(op1)}
,\overline{(op1)}
\}
,\{\overline{(op1)}
,\overline{(op2)}
\}
\}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\}
)
\mid \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(r1)}
\colon \overline{(r1)}
 \mathrel{\in} 
\mathsf {f}
 _{Ph} 
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op1)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op2)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\overline{(op1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(op2)}
 \mathrel{\in} Q
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(r1)}
 = \{\{\overline{(op1)}
,\overline{(op1)}
\}
,\{\overline{(op1)}
,\overline{(op2)}
\}
\}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(f1)}
\colon 
\forall_{obj} \overline{(f2)}
\colon 
\forall_{obj} \overline{(f3)}
\colon 
\forall_{obj} \overline{(f4)}
\colon \{\{\overline{(f1)}
,\overline{(f1)}
\}
,\{\overline{(f1)}
,\overline{(f2)}
\}
\}
 \mathrel{\in} 
\mathsf {f}
 _{Ph} 
\Rightarrow \{\{\overline{(f3)}
,\overline{(f3)}
\}
,\{\overline{(f3)}
,\overline{(f4)}
\}
\}
 \mathrel{\in} 
\mathsf {f}
 _{Ph} 
\Rightarrow \overline{(f1)}
 = \overline{(f3)}
\Rightarrow \overline{(f2)}
 = \overline{(f4)}
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(s1)}
\colon \overline{(s1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(s2)}
\colon \dot{\neg}\,(\{\{\overline{(s1)}
,\overline{(s1)}
\}
,\{\overline{(s1)}
,\overline{(s2)}
\}
\}
 \mathrel{\in} 
\mathsf {f}
 _{Ph} 
)n
)n
)n
)n
\}
)
\mid 
\forall_{obj} \overline{(\epsilon)}
\colon \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {n}}
\colon \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {m}}
\colon \dot{\neg}\,(0
 <= \overline{(\epsilon)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(0
 = \overline{(\epsilon)}
)n
)n
)n
\Rightarrow \overline{
\mathsf {n}}
 <= \overline{
\mathsf {m}}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(|( \{ ph \mathrel{\in}  \{ ph \mathrel{\in} P(P(Union(\{N
,Q
\}
)
)
)
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op1)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op2)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\overline{(op1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(op2)}
 \mathrel{\in} Q
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\mathsf {a}
 _{Ph} 
 = \{\{\overline{(op1)}
,\overline{(op1)}
\}
,\{\overline{(op1)}
,\overline{(op2)}
\}
\}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\}
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(crs1)}
\colon \dot{\neg}\,(
\mathsf {c}
 _{Ph} 
 = \{\{\overline{(crs1)}
,\overline{(crs1)}
\}
,\{\overline{(crs1)}
,0
\}
\}
)n
)n
\}
[\overline{
\mathsf {m}}
]
+(-u
\mathsf {d}
 _{Ph} 
[\overline{
\mathsf {m}}
]
)
)
|
 <= \overline{(\epsilon)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(|( \{ ph \mathrel{\in}  \{ ph \mathrel{\in} P(P(Union(\{N
,Q
\}
)
)
)
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op1)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op2)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\overline{(op1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(op2)}
 \mathrel{\in} Q
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\mathsf {a}
 _{Ph} 
 = \{\{\overline{(op1)}
,\overline{(op1)}
\}
,\{\overline{(op1)}
,\overline{(op2)}
\}
\}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\}
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(crs1)}
\colon \dot{\neg}\,(
\mathsf {c}
 _{Ph} 
 = \{\{\overline{(crs1)}
,\overline{(crs1)}
\}
,\{\overline{(crs1)}
,0
\}
\}
)n
)n
\}
[\overline{
\mathsf {m}}
]
+(-u
\mathsf {d}
 _{Ph} 
[\overline{
\mathsf {m}}
]
)
)
|
 = \overline{(\epsilon)}
)n
)n
)n
)n
)n
\}
)n
\gg \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(\epsilon)}
\colon \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {n}}
\colon \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {m}}
\colon \dot{\neg}\,(0
 <= \overline{(\epsilon)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(0
 = \overline{(\epsilon)}
)n
)n
)n
\Rightarrow \overline{
\mathsf {n}}
 <= \overline{
\mathsf {m}}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(|(\underline{(fx)}
[\overline{
\mathsf {m}}
]
+(-u \{ ph \mathrel{\in}  \{ ph \mathrel{\in} P(P(Union(\{N
,Q
\}
)
)
)
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op1)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op2)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\overline{(op1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(op2)}
 \mathrel{\in} Q
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\mathsf {a}
 _{Ph} 
 = \{\{\overline{(op1)}
,\overline{(op1)}
\}
,\{\overline{(op1)}
,\overline{(op2)}
\}
\}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\}
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(crs1)}
\colon \dot{\neg}\,(
\mathsf {c}
 _{Ph} 
 = \{\{\overline{(crs1)}
,\overline{(crs1)}
\}
,\{\overline{(crs1)}
,0
\}
\}
)n
)n
\}
[\overline{
\mathsf {m}}
]
)
)
|
 <= \overline{(\epsilon)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(|(\underline{(fx)}
[\overline{
\mathsf {m}}
]
+(-u \{ ph \mathrel{\in}  \{ ph \mathrel{\in} P(P(Union(\{N
,Q
\}
)
)
)
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op1)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op2)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\overline{(op1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(op2)}
 \mathrel{\in} Q
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\mathsf {a}
 _{Ph} 
 = \{\{\overline{(op1)}
,\overline{(op1)}
\}
,\{\overline{(op1)}
,\overline{(op2)}
\}
\}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\}
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(crs1)}
\colon \dot{\neg}\,(
\mathsf {c}
 _{Ph} 
 = \{\{\overline{(crs1)}
,\overline{(crs1)}
\}
,\{\overline{(crs1)}
,0
\}
\}
)n
)n
\}
[\overline{
\mathsf {m}}
]
)
)
|
 = \overline{(\epsilon)}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
; SameFreciprocal
\rhd \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(\epsilon)}
\colon \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {n}}
\colon \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {m}}
\colon \dot{\neg}\,(0
 <= \overline{(\epsilon)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(0
 = \overline{(\epsilon)}
)n
)n
)n
\Rightarrow \overline{
\mathsf {n}}
 <= \overline{
\mathsf {m}}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(|(\underline{(fx)}
[\overline{
\mathsf {m}}
]
+(-u \{ ph \mathrel{\in}  \{ ph \mathrel{\in} P(P(Union(\{N
,Q
\}
)
)
)
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op1)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op2)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\overline{(op1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(op2)}
 \mathrel{\in} Q
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\mathsf {a}
 _{Ph} 
 = \{\{\overline{(op1)}
,\overline{(op1)}
\}
,\{\overline{(op1)}
,\overline{(op2)}
\}
\}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\}
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(crs1)}
\colon \dot{\neg}\,(
\mathsf {c}
 _{Ph} 
 = \{\{\overline{(crs1)}
,\overline{(crs1)}
\}
,\{\overline{(crs1)}
,0
\}
\}
)n
)n
\}
[\overline{
\mathsf {m}}
]
)
)
|
 <= \overline{(\epsilon)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(|(\underline{(fx)}
[\overline{
\mathsf {m}}
]
+(-u \{ ph \mathrel{\in}  \{ ph \mathrel{\in} P(P(Union(\{N
,Q
\}
)
)
)
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op1)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op2)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\overline{(op1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(op2)}
 \mathrel{\in} Q
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\mathsf {a}
 _{Ph} 
 = \{\{\overline{(op1)}
,\overline{(op1)}
\}
,\{\overline{(op1)}
,\overline{(op2)}
\}
\}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\}
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(crs1)}
\colon \dot{\neg}\,(
\mathsf {c}
 _{Ph} 
 = \{\{\overline{(crs1)}
,\overline{(crs1)}
\}
,\{\overline{(crs1)}
,0
\}
\}
)n
)n
\}
[\overline{
\mathsf {m}}
]
)
)
|
 = \overline{(\epsilon)}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\gg 
\forall_{obj} \overline{(\epsilon)}
\colon \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {n}}
\colon \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {m}}
\colon \dot{\neg}\,(0
 <= \overline{(\epsilon)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(0
 = \overline{(\epsilon)}
)n
)n
)n
\Rightarrow \overline{
\mathsf {n}}
 <= \overline{
\mathsf {m}}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(|( \{ ph \mathrel{\in}  \{ ph \mathrel{\in} P(P(Union(\{N
,Q
\}
)
)
)
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op1)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op2)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\overline{(op1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(op2)}
 \mathrel{\in} Q
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\mathsf {a}
 _{Ph} 
 = \{\{\overline{(op1)}
,\overline{(op1)}
\}
,\{\overline{(op1)}
,\overline{(op2)}
\}
\}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\}
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \underline{
\mathsf {m}}
\colon \dot{\neg}\,(
\mathsf {e}
 _{Ph} 
 = \{\{\underline{
\mathsf {m}}
,\underline{
\mathsf {m}}
\}
,\{\underline{
\mathsf {m}}
,(\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
*1f/\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
)
\}
\}
)n
)n
\}
[\overline{
\mathsf {m}}
]
+(-u \{ ph \mathrel{\in}  \{ ph \mathrel{\in} P(P(Union(\{N
,Q
\}
)
)
)
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op1)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op2)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\overline{(op1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(op2)}
 \mathrel{\in} Q
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\mathsf {a}
 _{Ph} 
 = \{\{\overline{(op1)}
,\overline{(op1)}
\}
,\{\overline{(op1)}
,\overline{(op2)}
\}
\}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\}
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(crs1)}
\colon \dot{\neg}\,(
\mathsf {c}
 _{Ph} 
 = \{\{\overline{(crs1)}
,\overline{(crs1)}
\}
,\{\overline{(crs1)}
,1
\}
\}
)n
)n
\}
[\overline{
\mathsf {m}}
]
)
)
|
 <= \overline{(\epsilon)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(|( \{ ph \mathrel{\in}  \{ ph \mathrel{\in} P(P(Union(\{N
,Q
\}
)
)
)
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op1)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op2)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\overline{(op1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(op2)}
 \mathrel{\in} Q
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\mathsf {a}
 _{Ph} 
 = \{\{\overline{(op1)}
,\overline{(op1)}
\}
,\{\overline{(op1)}
,\overline{(op2)}
\}
\}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\}
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \underline{
\mathsf {m}}
\colon \dot{\neg}\,(
\mathsf {e}
 _{Ph} 
 = \{\{\underline{
\mathsf {m}}
,\underline{
\mathsf {m}}
\}
,\{\underline{
\mathsf {m}}
,(\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
*1f/\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
)
\}
\}
)n
)n
\}
[\overline{
\mathsf {m}}
]
+(-u \{ ph \mathrel{\in}  \{ ph \mathrel{\in} P(P(Union(\{N
,Q
\}
)
)
)
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op1)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op2)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\overline{(op1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(op2)}
 \mathrel{\in} Q
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\mathsf {a}
 _{Ph} 
 = \{\{\overline{(op1)}
,\overline{(op1)}
\}
,\{\overline{(op1)}
,\overline{(op2)}
\}
\}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\}
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(crs1)}
\colon \dot{\neg}\,(
\mathsf {c}
 _{Ph} 
 = \{\{\overline{(crs1)}
,\overline{(crs1)}
\}
,\{\overline{(crs1)}
,1
\}
\}
)n
)n
\}
[\overline{
\mathsf {m}}
]
)
)
|
 = \overline{(\epsilon)}
)n
)n
)n
)n
)n
; To==
\rhd 
\forall_{obj} \overline{(\epsilon)}
\colon \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {n}}
\colon \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {m}}
\colon \dot{\neg}\,(0
 <= \overline{(\epsilon)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(0
 = \overline{(\epsilon)}
)n
)n
)n
\Rightarrow \overline{
\mathsf {n}}
 <= \overline{
\mathsf {m}}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(|( \{ ph \mathrel{\in}  \{ ph \mathrel{\in} P(P(Union(\{N
,Q
\}
)
)
)
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op1)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op2)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\overline{(op1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(op2)}
 \mathrel{\in} Q
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\mathsf {a}
 _{Ph} 
 = \{\{\overline{(op1)}
,\overline{(op1)}
\}
,\{\overline{(op1)}
,\overline{(op2)}
\}
\}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\}
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \underline{
\mathsf {m}}
\colon \dot{\neg}\,(
\mathsf {e}
 _{Ph} 
 = \{\{\underline{
\mathsf {m}}
,\underline{
\mathsf {m}}
\}
,\{\underline{
\mathsf {m}}
,(\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
*1f/\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
)
\}
\}
)n
)n
\}
[\overline{
\mathsf {m}}
]
+(-u \{ ph \mathrel{\in}  \{ ph \mathrel{\in} P(P(Union(\{N
,Q
\}
)
)
)
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op1)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op2)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\overline{(op1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(op2)}
 \mathrel{\in} Q
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\mathsf {a}
 _{Ph} 
 = \{\{\overline{(op1)}
,\overline{(op1)}
\}
,\{\overline{(op1)}
,\overline{(op2)}
\}
\}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\}
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(crs1)}
\colon \dot{\neg}\,(
\mathsf {c}
 _{Ph} 
 = \{\{\overline{(crs1)}
,\overline{(crs1)}
\}
,\{\overline{(crs1)}
,1
\}
\}
)n
)n
\}
[\overline{
\mathsf {m}}
]
)
)
|
 <= \overline{(\epsilon)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(|( \{ ph \mathrel{\in}  \{ ph \mathrel{\in} P(P(Union(\{N
,Q
\}
)
)
)
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op1)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op2)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\overline{(op1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(op2)}
 \mathrel{\in} Q
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\mathsf {a}
 _{Ph} 
 = \{\{\overline{(op1)}
,\overline{(op1)}
\}
,\{\overline{(op1)}
,\overline{(op2)}
\}
\}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\}
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \underline{
\mathsf {m}}
\colon \dot{\neg}\,(
\mathsf {e}
 _{Ph} 
 = \{\{\underline{
\mathsf {m}}
,\underline{
\mathsf {m}}
\}
,\{\underline{
\mathsf {m}}
,(\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
*1f/\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
)
\}
\}
)n
)n
\}
[\overline{
\mathsf {m}}
]
+(-u \{ ph \mathrel{\in}  \{ ph \mathrel{\in} P(P(Union(\{N
,Q
\}
)
)
)
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op1)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op2)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\overline{(op1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(op2)}
 \mathrel{\in} Q
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\mathsf {a}
 _{Ph} 
 = \{\{\overline{(op1)}
,\overline{(op1)}
\}
,\{\overline{(op1)}
,\overline{(op2)}
\}
\}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\}
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(crs1)}
\colon \dot{\neg}\,(
\mathsf {c}
 _{Ph} 
 = \{\{\overline{(crs1)}
,\overline{(crs1)}
\}
,\{\overline{(crs1)}
,1
\}
\}
)n
)n
\}
[\overline{
\mathsf {m}}
]
)
)
|
 = \overline{(\epsilon)}
)n
)n
)n
)n
)n
\gg  \{ ph \mathrel{\in} P( \{ ph \mathrel{\in} P( \{ ph \mathrel{\in} P(P(Union(\{N
,Q
\}
)
)
)
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op1)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op2)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\overline{(op1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(op2)}
 \mathrel{\in} Q
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\mathsf {a}
 _{Ph} 
 = \{\{\overline{(op1)}
,\overline{(op1)}
\}
,\{\overline{(op1)}
,\overline{(op2)}
\}
\}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\}
)
\mid \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(r1)}
\colon \overline{(r1)}
 \mathrel{\in} 
\mathsf {f}
 _{Ph} 
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op1)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op2)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\overline{(op1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(op2)}
 \mathrel{\in} Q
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(r1)}
 = \{\{\overline{(op1)}
,\overline{(op1)}
\}
,\{\overline{(op1)}
,\overline{(op2)}
\}
\}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(f1)}
\colon 
\forall_{obj} \overline{(f2)}
\colon 
\forall_{obj} \overline{(f3)}
\colon 
\forall_{obj} \overline{(f4)}
\colon \{\{\overline{(f1)}
,\overline{(f1)}
\}
,\{\overline{(f1)}
,\overline{(f2)}
\}
\}
 \mathrel{\in} 
\mathsf {f}
 _{Ph} 
\Rightarrow \{\{\overline{(f3)}
,\overline{(f3)}
\}
,\{\overline{(f3)}
,\overline{(f4)}
\}
\}
 \mathrel{\in} 
\mathsf {f}
 _{Ph} 
\Rightarrow \overline{(f1)}
 = \overline{(f3)}
\Rightarrow \overline{(f2)}
 = \overline{(f4)}
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(s1)}
\colon \overline{(s1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(s2)}
\colon \dot{\neg}\,(\{\{\overline{(s1)}
,\overline{(s1)}
\}
,\{\overline{(s1)}
,\overline{(s2)}
\}
\}
 \mathrel{\in} 
\mathsf {f}
 _{Ph} 
)n
)n
)n
)n
\}
)
\mid 
\forall_{obj} \overline{(\epsilon)}
\colon \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {n}}
\colon \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {m}}
\colon \dot{\neg}\,(0
 <= \overline{(\epsilon)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(0
 = \overline{(\epsilon)}
)n
)n
)n
\Rightarrow \overline{
\mathsf {n}}
 <= \overline{
\mathsf {m}}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(|( \{ ph \mathrel{\in}  \{ ph \mathrel{\in} P(P(Union(\{N
,Q
\}
)
)
)
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op1)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op2)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\overline{(op1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(op2)}
 \mathrel{\in} Q
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\mathsf {a}
 _{Ph} 
 = \{\{\overline{(op1)}
,\overline{(op1)}
\}
,\{\overline{(op1)}
,\overline{(op2)}
\}
\}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\}
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \underline{
\mathsf {m}}
\colon \dot{\neg}\,(
\mathsf {e}
 _{Ph} 
 = \{\{\underline{
\mathsf {m}}
,\underline{
\mathsf {m}}
\}
,\{\underline{
\mathsf {m}}
,(\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
*1f/\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
)
\}
\}
)n
)n
\}
[\overline{
\mathsf {m}}
]
+(-u
\mathsf {d}
 _{Ph} 
[\overline{
\mathsf {m}}
]
)
)
|
 <= \overline{(\epsilon)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(|( \{ ph \mathrel{\in}  \{ ph \mathrel{\in} P(P(Union(\{N
,Q
\}
)
)
)
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op1)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op2)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\overline{(op1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(op2)}
 \mathrel{\in} Q
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\mathsf {a}
 _{Ph} 
 = \{\{\overline{(op1)}
,\overline{(op1)}
\}
,\{\overline{(op1)}
,\overline{(op2)}
\}
\}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\}
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \underline{
\mathsf {m}}
\colon \dot{\neg}\,(
\mathsf {e}
 _{Ph} 
 = \{\{\underline{
\mathsf {m}}
,\underline{
\mathsf {m}}
\}
,\{\underline{
\mathsf {m}}
,(\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
*1f/\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
)
\}
\}
)n
)n
\}
[\overline{
\mathsf {m}}
]
+(-u
\mathsf {d}
 _{Ph} 
[\overline{
\mathsf {m}}
]
)
)
|
 = \overline{(\epsilon)}
)n
)n
)n
)n
)n
\}
 =  \{ ph \mathrel{\in} P( \{ ph \mathrel{\in} P( \{ ph \mathrel{\in} P(P(Union(\{N
,Q
\}
)
)
)
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op1)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op2)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\overline{(op1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(op2)}
 \mathrel{\in} Q
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\mathsf {a}
 _{Ph} 
 = \{\{\overline{(op1)}
,\overline{(op1)}
\}
,\{\overline{(op1)}
,\overline{(op2)}
\}
\}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\}
)
\mid \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(r1)}
\colon \overline{(r1)}
 \mathrel{\in} 
\mathsf {f}
 _{Ph} 
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op1)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op2)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\overline{(op1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(op2)}
 \mathrel{\in} Q
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(r1)}
 = \{\{\overline{(op1)}
,\overline{(op1)}
\}
,\{\overline{(op1)}
,\overline{(op2)}
\}
\}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(f1)}
\colon 
\forall_{obj} \overline{(f2)}
\colon 
\forall_{obj} \overline{(f3)}
\colon 
\forall_{obj} \overline{(f4)}
\colon \{\{\overline{(f1)}
,\overline{(f1)}
\}
,\{\overline{(f1)}
,\overline{(f2)}
\}
\}
 \mathrel{\in} 
\mathsf {f}
 _{Ph} 
\Rightarrow \{\{\overline{(f3)}
,\overline{(f3)}
\}
,\{\overline{(f3)}
,\overline{(f4)}
\}
\}
 \mathrel{\in} 
\mathsf {f}
 _{Ph} 
\Rightarrow \overline{(f1)}
 = \overline{(f3)}
\Rightarrow \overline{(f2)}
 = \overline{(f4)}
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(s1)}
\colon \overline{(s1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(s2)}
\colon \dot{\neg}\,(\{\{\overline{(s1)}
,\overline{(s1)}
\}
,\{\overline{(s1)}
,\overline{(s2)}
\}
\}
 \mathrel{\in} 
\mathsf {f}
 _{Ph} 
)n
)n
)n
)n
\}
)
\mid 
\forall_{obj} \overline{(\epsilon)}
\colon \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {n}}
\colon \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {m}}
\colon \dot{\neg}\,(0
 <= \overline{(\epsilon)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(0
 = \overline{(\epsilon)}
)n
)n
)n
\Rightarrow \overline{
\mathsf {n}}
 <= \overline{
\mathsf {m}}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(|( \{ ph \mathrel{\in}  \{ ph \mathrel{\in} P(P(Union(\{N
,Q
\}
)
)
)
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op1)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op2)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\overline{(op1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(op2)}
 \mathrel{\in} Q
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\mathsf {a}
 _{Ph} 
 = \{\{\overline{(op1)}
,\overline{(op1)}
\}
,\{\overline{(op1)}
,\overline{(op2)}
\}
\}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\}
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(crs1)}
\colon \dot{\neg}\,(
\mathsf {c}
 _{Ph} 
 = \{\{\overline{(crs1)}
,\overline{(crs1)}
\}
,\{\overline{(crs1)}
,1
\}
\}
)n
)n
\}
[\overline{
\mathsf {m}}
]
+(-u
\mathsf {d}
 _{Ph} 
[\overline{
\mathsf {m}}
]
)
)
|
 <= \overline{(\epsilon)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(|( \{ ph \mathrel{\in}  \{ ph \mathrel{\in} P(P(Union(\{N
,Q
\}
)
)
)
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op1)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op2)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\overline{(op1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(op2)}
 \mathrel{\in} Q
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\mathsf {a}
 _{Ph} 
 = \{\{\overline{(op1)}
,\overline{(op1)}
\}
,\{\overline{(op1)}
,\overline{(op2)}
\}
\}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\}
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(crs1)}
\colon \dot{\neg}\,(
\mathsf {c}
 _{Ph} 
 = \{\{\overline{(crs1)}
,\overline{(crs1)}
\}
,\{\overline{(crs1)}
,1
\}
\}
)n
)n
\}
[\overline{
\mathsf {m}}
]
+(-u
\mathsf {d}
 _{Ph} 
[\overline{
\mathsf {m}}
]
)
)
|
 = \overline{(\epsilon)}
)n
)n
)n
)n
)n
\}
; eqReflexivity
\gg  \{ ph \mathrel{\in} P( \{ ph \mathrel{\in} P( \{ ph \mathrel{\in} P(P(Union(\{N
,Q
\}
)
)
)
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op1)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op2)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\overline{(op1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(op2)}
 \mathrel{\in} Q
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\mathsf {a}
 _{Ph} 
 = \{\{\overline{(op1)}
,\overline{(op1)}
\}
,\{\overline{(op1)}
,\overline{(op2)}
\}
\}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\}
)
\mid \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(r1)}
\colon \overline{(r1)}
 \mathrel{\in} 
\mathsf {f}
 _{Ph} 
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op1)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op2)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\overline{(op1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(op2)}
 \mathrel{\in} Q
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(r1)}
 = \{\{\overline{(op1)}
,\overline{(op1)}
\}
,\{\overline{(op1)}
,\overline{(op2)}
\}
\}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(f1)}
\colon 
\forall_{obj} \overline{(f2)}
\colon 
\forall_{obj} \overline{(f3)}
\colon 
\forall_{obj} \overline{(f4)}
\colon \{\{\overline{(f1)}
,\overline{(f1)}
\}
,\{\overline{(f1)}
,\overline{(f2)}
\}
\}
 \mathrel{\in} 
\mathsf {f}
 _{Ph} 
\Rightarrow \{\{\overline{(f3)}
,\overline{(f3)}
\}
,\{\overline{(f3)}
,\overline{(f4)}
\}
\}
 \mathrel{\in} 
\mathsf {f}
 _{Ph} 
\Rightarrow \overline{(f1)}
 = \overline{(f3)}
\Rightarrow \overline{(f2)}
 = \overline{(f4)}
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(s1)}
\colon \overline{(s1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(s2)}
\colon \dot{\neg}\,(\{\{\overline{(s1)}
,\overline{(s1)}
\}
,\{\overline{(s1)}
,\overline{(s2)}
\}
\}
 \mathrel{\in} 
\mathsf {f}
 _{Ph} 
)n
)n
)n
)n
\}
)
\mid 
\forall_{obj} \overline{(\epsilon)}
\colon \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {n}}
\colon \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {m}}
\colon \dot{\neg}\,(0
 <= \overline{(\epsilon)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(0
 = \overline{(\epsilon)}
)n
)n
)n
\Rightarrow \overline{
\mathsf {n}}
 <= \overline{
\mathsf {m}}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(|( \{ ph \mathrel{\in}  \{ ph \mathrel{\in} P(P(Union(\{N
,Q
\}
)
)
)
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op1)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op2)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\overline{(op1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(op2)}
 \mathrel{\in} Q
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\mathsf {a}
 _{Ph} 
 = \{\{\overline{(op1)}
,\overline{(op1)}
\}
,\{\overline{(op1)}
,\overline{(op2)}
\}
\}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\}
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \underline{
\mathsf {m}}
\colon \dot{\neg}\,(
\mathsf {e}
 _{Ph} 
 = \{\{\underline{
\mathsf {m}}
,\underline{
\mathsf {m}}
\}
,\{\underline{
\mathsf {m}}
,(\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
*1f/\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
)
\}
\}
)n
)n
\}
[\overline{
\mathsf {m}}
]
+(-u
\mathsf {d}
 _{Ph} 
[\overline{
\mathsf {m}}
]
)
)
|
 <= \overline{(\epsilon)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(|( \{ ph \mathrel{\in}  \{ ph \mathrel{\in} P(P(Union(\{N
,Q
\}
)
)
)
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op1)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op2)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\overline{(op1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(op2)}
 \mathrel{\in} Q
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\mathsf {a}
 _{Ph} 
 = \{\{\overline{(op1)}
,\overline{(op1)}
\}
,\{\overline{(op1)}
,\overline{(op2)}
\}
\}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\}
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \underline{
\mathsf {m}}
\colon \dot{\neg}\,(
\mathsf {e}
 _{Ph} 
 = \{\{\underline{
\mathsf {m}}
,\underline{
\mathsf {m}}
\}
,\{\underline{
\mathsf {m}}
,(\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
*1f/\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
)
\}
\}
)n
)n
\}
[\overline{
\mathsf {m}}
]
+(-u
\mathsf {d}
 _{Ph} 
[\overline{
\mathsf {m}}
]
)
)
|
 = \overline{(\epsilon)}
)n
)n
)n
)n
)n
\}
 =  \{ ph \mathrel{\in} P( \{ ph \mathrel{\in} P( \{ ph \mathrel{\in} P(P(Union(\{N
,Q
\}
)
)
)
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op1)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op2)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\overline{(op1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(op2)}
 \mathrel{\in} Q
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\mathsf {a}
 _{Ph} 
 = \{\{\overline{(op1)}
,\overline{(op1)}
\}
,\{\overline{(op1)}
,\overline{(op2)}
\}
\}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\}
)
\mid \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(r1)}
\colon \overline{(r1)}
 \mathrel{\in} 
\mathsf {f}
 _{Ph} 
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op1)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op2)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\overline{(op1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(op2)}
 \mathrel{\in} Q
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(r1)}
 = \{\{\overline{(op1)}
,\overline{(op1)}
\}
,\{\overline{(op1)}
,\overline{(op2)}
\}
\}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(f1)}
\colon 
\forall_{obj} \overline{(f2)}
\colon 
\forall_{obj} \overline{(f3)}
\colon 
\forall_{obj} \overline{(f4)}
\colon \{\{\overline{(f1)}
,\overline{(f1)}
\}
,\{\overline{(f1)}
,\overline{(f2)}
\}
\}
 \mathrel{\in} 
\mathsf {f}
 _{Ph} 
\Rightarrow \{\{\overline{(f3)}
,\overline{(f3)}
\}
,\{\overline{(f3)}
,\overline{(f4)}
\}
\}
 \mathrel{\in} 
\mathsf {f}
 _{Ph} 
\Rightarrow \overline{(f1)}
 = \overline{(f3)}
\Rightarrow \overline{(f2)}
 = \overline{(f4)}
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(s1)}
\colon \overline{(s1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(s2)}
\colon \dot{\neg}\,(\{\{\overline{(s1)}
,\overline{(s1)}
\}
,\{\overline{(s1)}
,\overline{(s2)}
\}
\}
 \mathrel{\in} 
\mathsf {f}
 _{Ph} 
)n
)n
)n
)n
\}
)
\mid 
\forall_{obj} \overline{(\epsilon)}
\colon \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {n}}
\colon \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {m}}
\colon \dot{\neg}\,(0
 <= \overline{(\epsilon)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(0
 = \overline{(\epsilon)}
)n
)n
)n
\Rightarrow \overline{
\mathsf {n}}
 <= \overline{
\mathsf {m}}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(|( \{ ph \mathrel{\in}  \{ ph \mathrel{\in} P(P(Union(\{N
,Q
\}
)
)
)
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op1)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op2)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\overline{(op1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(op2)}
 \mathrel{\in} Q
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\mathsf {a}
 _{Ph} 
 = \{\{\overline{(op1)}
,\overline{(op1)}
\}
,\{\overline{(op1)}
,\overline{(op2)}
\}
\}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\}
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \underline{
\mathsf {m}}
\colon \dot{\neg}\,(
\mathsf {e}
 _{Ph} 
 = \{\{\underline{
\mathsf {m}}
,\underline{
\mathsf {m}}
\}
,\{\underline{
\mathsf {m}}
,(\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
*1f/\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
)
\}
\}
)n
)n
\}
[\overline{
\mathsf {m}}
]
+(-u
\mathsf {d}
 _{Ph} 
[\overline{
\mathsf {m}}
]
)
)
|
 <= \overline{(\epsilon)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(|( \{ ph \mathrel{\in}  \{ ph \mathrel{\in} P(P(Union(\{N
,Q
\}
)
)
)
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op1)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op2)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\overline{(op1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(op2)}
 \mathrel{\in} Q
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\mathsf {a}
 _{Ph} 
 = \{\{\overline{(op1)}
,\overline{(op1)}
\}
,\{\overline{(op1)}
,\overline{(op2)}
\}
\}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\}
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \underline{
\mathsf {m}}
\colon \dot{\neg}\,(
\mathsf {e}
 _{Ph} 
 = \{\{\underline{
\mathsf {m}}
,\underline{
\mathsf {m}}
\}
,\{\underline{
\mathsf {m}}
,(\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
*1f/\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
)
\}
\}
)n
)n
\}
[\overline{
\mathsf {m}}
]
+(-u
\mathsf {d}
 _{Ph} 
[\overline{
\mathsf {m}}
]
)
)
|
 = \overline{(\epsilon)}
)n
)n
)n
)n
)n
\}
; \!{}==\!{}Transitivity
\rhd  \{ ph \mathrel{\in} P( \{ ph \mathrel{\in} P( \{ ph \mathrel{\in} P(P(Union(\{N
,Q
\}
)
)
)
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op1)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op2)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\overline{(op1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(op2)}
 \mathrel{\in} Q
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\mathsf {a}
 _{Ph} 
 = \{\{\overline{(op1)}
,\overline{(op1)}
\}
,\{\overline{(op1)}
,\overline{(op2)}
\}
\}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\}
)
\mid \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(r1)}
\colon \overline{(r1)}
 \mathrel{\in} 
\mathsf {f}
 _{Ph} 
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op1)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op2)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\overline{(op1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(op2)}
 \mathrel{\in} Q
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(r1)}
 = \{\{\overline{(op1)}
,\overline{(op1)}
\}
,\{\overline{(op1)}
,\overline{(op2)}
\}
\}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(f1)}
\colon 
\forall_{obj} \overline{(f2)}
\colon 
\forall_{obj} \overline{(f3)}
\colon 
\forall_{obj} \overline{(f4)}
\colon \{\{\overline{(f1)}
,\overline{(f1)}
\}
,\{\overline{(f1)}
,\overline{(f2)}
\}
\}
 \mathrel{\in} 
\mathsf {f}
 _{Ph} 
\Rightarrow \{\{\overline{(f3)}
,\overline{(f3)}
\}
,\{\overline{(f3)}
,\overline{(f4)}
\}
\}
 \mathrel{\in} 
\mathsf {f}
 _{Ph} 
\Rightarrow \overline{(f1)}
 = \overline{(f3)}
\Rightarrow \overline{(f2)}
 = \overline{(f4)}
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(s1)}
\colon \overline{(s1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(s2)}
\colon \dot{\neg}\,(\{\{\overline{(s1)}
,\overline{(s1)}
\}
,\{\overline{(s1)}
,\overline{(s2)}
\}
\}
 \mathrel{\in} 
\mathsf {f}
 _{Ph} 
)n
)n
)n
)n
\}
)
\mid 
\forall_{obj} \overline{(\epsilon)}
\colon \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {n}}
\colon \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {m}}
\colon \dot{\neg}\,(0
 <= \overline{(\epsilon)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(0
 = \overline{(\epsilon)}
)n
)n
)n
\Rightarrow \overline{
\mathsf {n}}
 <= \overline{
\mathsf {m}}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(|( \{ ph \mathrel{\in}  \{ ph \mathrel{\in} P(P(Union(\{N
,Q
\}
)
)
)
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op1)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op2)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\overline{(op1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(op2)}
 \mathrel{\in} Q
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\mathsf {a}
 _{Ph} 
 = \{\{\overline{(op1)}
,\overline{(op1)}
\}
,\{\overline{(op1)}
,\overline{(op2)}
\}
\}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\}
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \underline{
\mathsf {m}}
\colon \dot{\neg}\,(
\mathsf {e}
 _{Ph} 
 = \{\{\underline{
\mathsf {m}}
,\underline{
\mathsf {m}}
\}
,\{\underline{
\mathsf {m}}
,(\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
*1f/\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
)
\}
\}
)n
)n
\}
[\overline{
\mathsf {m}}
]
+(-u
\mathsf {d}
 _{Ph} 
[\overline{
\mathsf {m}}
]
)
)
|
 <= \overline{(\epsilon)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(|( \{ ph \mathrel{\in}  \{ ph \mathrel{\in} P(P(Union(\{N
,Q
\}
)
)
)
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op1)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op2)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\overline{(op1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(op2)}
 \mathrel{\in} Q
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\mathsf {a}
 _{Ph} 
 = \{\{\overline{(op1)}
,\overline{(op1)}
\}
,\{\overline{(op1)}
,\overline{(op2)}
\}
\}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\}
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \underline{
\mathsf {m}}
\colon \dot{\neg}\,(
\mathsf {e}
 _{Ph} 
 = \{\{\underline{
\mathsf {m}}
,\underline{
\mathsf {m}}
\}
,\{\underline{
\mathsf {m}}
,(\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
*1f/\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
)
\}
\}
)n
)n
\}
[\overline{
\mathsf {m}}
]
+(-u
\mathsf {d}
 _{Ph} 
[\overline{
\mathsf {m}}
]
)
)
|
 = \overline{(\epsilon)}
)n
)n
)n
)n
)n
\}
 =  \{ ph \mathrel{\in} P( \{ ph \mathrel{\in} P( \{ ph \mathrel{\in} P(P(Union(\{N
,Q
\}
)
)
)
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op1)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op2)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\overline{(op1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(op2)}
 \mathrel{\in} Q
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\mathsf {a}
 _{Ph} 
 = \{\{\overline{(op1)}
,\overline{(op1)}
\}
,\{\overline{(op1)}
,\overline{(op2)}
\}
\}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\}
)
\mid \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(r1)}
\colon \overline{(r1)}
 \mathrel{\in} 
\mathsf {f}
 _{Ph} 
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op1)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op2)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\overline{(op1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(op2)}
 \mathrel{\in} Q
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(r1)}
 = \{\{\overline{(op1)}
,\overline{(op1)}
\}
,\{\overline{(op1)}
,\overline{(op2)}
\}
\}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(f1)}
\colon 
\forall_{obj} \overline{(f2)}
\colon 
\forall_{obj} \overline{(f3)}
\colon 
\forall_{obj} \overline{(f4)}
\colon \{\{\overline{(f1)}
,\overline{(f1)}
\}
,\{\overline{(f1)}
,\overline{(f2)}
\}
\}
 \mathrel{\in} 
\mathsf {f}
 _{Ph} 
\Rightarrow \{\{\overline{(f3)}
,\overline{(f3)}
\}
,\{\overline{(f3)}
,\overline{(f4)}
\}
\}
 \mathrel{\in} 
\mathsf {f}
 _{Ph} 
\Rightarrow \overline{(f1)}
 = \overline{(f3)}
\Rightarrow \overline{(f2)}
 = \overline{(f4)}
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(s1)}
\colon \overline{(s1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(s2)}
\colon \dot{\neg}\,(\{\{\overline{(s1)}
,\overline{(s1)}
\}
,\{\overline{(s1)}
,\overline{(s2)}
\}
\}
 \mathrel{\in} 
\mathsf {f}
 _{Ph} 
)n
)n
)n
)n
\}
)
\mid 
\forall_{obj} \overline{(\epsilon)}
\colon \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {n}}
\colon \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {m}}
\colon \dot{\neg}\,(0
 <= \overline{(\epsilon)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(0
 = \overline{(\epsilon)}
)n
)n
)n
\Rightarrow \overline{
\mathsf {n}}
 <= \overline{
\mathsf {m}}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(|( \{ ph \mathrel{\in}  \{ ph \mathrel{\in} P(P(Union(\{N
,Q
\}
)
)
)
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op1)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op2)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\overline{(op1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(op2)}
 \mathrel{\in} Q
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\mathsf {a}
 _{Ph} 
 = \{\{\overline{(op1)}
,\overline{(op1)}
\}
,\{\overline{(op1)}
,\overline{(op2)}
\}
\}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\}
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \underline{
\mathsf {m}}
\colon \dot{\neg}\,(
\mathsf {e}
 _{Ph} 
 = \{\{\underline{
\mathsf {m}}
,\underline{
\mathsf {m}}
\}
,\{\underline{
\mathsf {m}}
,(\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
*1f/\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
)
\}
\}
)n
)n
\}
[\overline{
\mathsf {m}}
]
+(-u
\mathsf {d}
 _{Ph} 
[\overline{
\mathsf {m}}
]
)
)
|
 <= \overline{(\epsilon)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(|( \{ ph \mathrel{\in}  \{ ph \mathrel{\in} P(P(Union(\{N
,Q
\}
)
)
)
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op1)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op2)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\overline{(op1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(op2)}
 \mathrel{\in} Q
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\mathsf {a}
 _{Ph} 
 = \{\{\overline{(op1)}
,\overline{(op1)}
\}
,\{\overline{(op1)}
,\overline{(op2)}
\}
\}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\}
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \underline{
\mathsf {m}}
\colon \dot{\neg}\,(
\mathsf {e}
 _{Ph} 
 = \{\{\underline{
\mathsf {m}}
,\underline{
\mathsf {m}}
\}
,\{\underline{
\mathsf {m}}
,(\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
*1f/\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
)
\}
\}
)n
)n
\}
[\overline{
\mathsf {m}}
]
+(-u
\mathsf {d}
 _{Ph} 
[\overline{
\mathsf {m}}
]
)
)
|
 = \overline{(\epsilon)}
)n
)n
)n
)n
)n
\}
\rhd  \{ ph \mathrel{\in} P( \{ ph \mathrel{\in} P( \{ ph \mathrel{\in} P(P(Union(\{N
,Q
\}
)
)
)
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op1)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op2)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\overline{(op1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(op2)}
 \mathrel{\in} Q
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\mathsf {a}
 _{Ph} 
 = \{\{\overline{(op1)}
,\overline{(op1)}
\}
,\{\overline{(op1)}
,\overline{(op2)}
\}
\}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\}
)
\mid \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(r1)}
\colon \overline{(r1)}
 \mathrel{\in} 
\mathsf {f}
 _{Ph} 
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op1)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op2)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\overline{(op1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(op2)}
 \mathrel{\in} Q
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(r1)}
 = \{\{\overline{(op1)}
,\overline{(op1)}
\}
,\{\overline{(op1)}
,\overline{(op2)}
\}
\}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(f1)}
\colon 
\forall_{obj} \overline{(f2)}
\colon 
\forall_{obj} \overline{(f3)}
\colon 
\forall_{obj} \overline{(f4)}
\colon \{\{\overline{(f1)}
,\overline{(f1)}
\}
,\{\overline{(f1)}
,\overline{(f2)}
\}
\}
 \mathrel{\in} 
\mathsf {f}
 _{Ph} 
\Rightarrow \{\{\overline{(f3)}
,\overline{(f3)}
\}
,\{\overline{(f3)}
,\overline{(f4)}
\}
\}
 \mathrel{\in} 
\mathsf {f}
 _{Ph} 
\Rightarrow \overline{(f1)}
 = \overline{(f3)}
\Rightarrow \overline{(f2)}
 = \overline{(f4)}
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(s1)}
\colon \overline{(s1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(s2)}
\colon \dot{\neg}\,(\{\{\overline{(s1)}
,\overline{(s1)}
\}
,\{\overline{(s1)}
,\overline{(s2)}
\}
\}
 \mathrel{\in} 
\mathsf {f}
 _{Ph} 
)n
)n
)n
)n
\}
)
\mid 
\forall_{obj} \overline{(\epsilon)}
\colon \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {n}}
\colon \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {m}}
\colon \dot{\neg}\,(0
 <= \overline{(\epsilon)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(0
 = \overline{(\epsilon)}
)n
)n
)n
\Rightarrow \overline{
\mathsf {n}}
 <= \overline{
\mathsf {m}}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(|( \{ ph \mathrel{\in}  \{ ph \mathrel{\in} P(P(Union(\{N
,Q
\}
)
)
)
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op1)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op2)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\overline{(op1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(op2)}
 \mathrel{\in} Q
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\mathsf {a}
 _{Ph} 
 = \{\{\overline{(op1)}
,\overline{(op1)}
\}
,\{\overline{(op1)}
,\overline{(op2)}
\}
\}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\}
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \underline{
\mathsf {m}}
\colon \dot{\neg}\,(
\mathsf {e}
 _{Ph} 
 = \{\{\underline{
\mathsf {m}}
,\underline{
\mathsf {m}}
\}
,\{\underline{
\mathsf {m}}
,(\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
*1f/\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
)
\}
\}
)n
)n
\}
[\overline{
\mathsf {m}}
]
+(-u
\mathsf {d}
 _{Ph} 
[\overline{
\mathsf {m}}
]
)
)
|
 <= \overline{(\epsilon)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(|( \{ ph \mathrel{\in}  \{ ph \mathrel{\in} P(P(Union(\{N
,Q
\}
)
)
)
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op1)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op2)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\overline{(op1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(op2)}
 \mathrel{\in} Q
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\mathsf {a}
 _{Ph} 
 = \{\{\overline{(op1)}
,\overline{(op1)}
\}
,\{\overline{(op1)}
,\overline{(op2)}
\}
\}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\}
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \underline{
\mathsf {m}}
\colon \dot{\neg}\,(
\mathsf {e}
 _{Ph} 
 = \{\{\underline{
\mathsf {m}}
,\underline{
\mathsf {m}}
\}
,\{\underline{
\mathsf {m}}
,(\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
*1f/\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
)
\}
\}
)n
)n
\}
[\overline{
\mathsf {m}}
]
+(-u
\mathsf {d}
 _{Ph} 
[\overline{
\mathsf {m}}
]
)
)
|
 = \overline{(\epsilon)}
)n
)n
)n
)n
)n
\}
 =  \{ ph \mathrel{\in} P( \{ ph \mathrel{\in} P( \{ ph \mathrel{\in} P(P(Union(\{N
,Q
\}
)
)
)
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op1)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op2)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\overline{(op1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(op2)}
 \mathrel{\in} Q
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\mathsf {a}
 _{Ph} 
 = \{\{\overline{(op1)}
,\overline{(op1)}
\}
,\{\overline{(op1)}
,\overline{(op2)}
\}
\}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\}
)
\mid \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(r1)}
\colon \overline{(r1)}
 \mathrel{\in} 
\mathsf {f}
 _{Ph} 
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op1)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op2)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\overline{(op1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(op2)}
 \mathrel{\in} Q
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(r1)}
 = \{\{\overline{(op1)}
,\overline{(op1)}
\}
,\{\overline{(op1)}
,\overline{(op2)}
\}
\}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(f1)}
\colon 
\forall_{obj} \overline{(f2)}
\colon 
\forall_{obj} \overline{(f3)}
\colon 
\forall_{obj} \overline{(f4)}
\colon \{\{\overline{(f1)}
,\overline{(f1)}
\}
,\{\overline{(f1)}
,\overline{(f2)}
\}
\}
 \mathrel{\in} 
\mathsf {f}
 _{Ph} 
\Rightarrow \{\{\overline{(f3)}
,\overline{(f3)}
\}
,\{\overline{(f3)}
,\overline{(f4)}
\}
\}
 \mathrel{\in} 
\mathsf {f}
 _{Ph} 
\Rightarrow \overline{(f1)}
 = \overline{(f3)}
\Rightarrow \overline{(f2)}
 = \overline{(f4)}
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(s1)}
\colon \overline{(s1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(s2)}
\colon \dot{\neg}\,(\{\{\overline{(s1)}
,\overline{(s1)}
\}
,\{\overline{(s1)}
,\overline{(s2)}
\}
\}
 \mathrel{\in} 
\mathsf {f}
 _{Ph} 
)n
)n
)n
)n
\}
)
\mid 
\forall_{obj} \overline{(\epsilon)}
\colon \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {n}}
\colon \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {m}}
\colon \dot{\neg}\,(0
 <= \overline{(\epsilon)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(0
 = \overline{(\epsilon)}
)n
)n
)n
\Rightarrow \overline{
\mathsf {n}}
 <= \overline{
\mathsf {m}}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(|( \{ ph \mathrel{\in}  \{ ph \mathrel{\in} P(P(Union(\{N
,Q
\}
)
)
)
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op1)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op2)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\overline{(op1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(op2)}
 \mathrel{\in} Q
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\mathsf {a}
 _{Ph} 
 = \{\{\overline{(op1)}
,\overline{(op1)}
\}
,\{\overline{(op1)}
,\overline{(op2)}
\}
\}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\}
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(crs1)}
\colon \dot{\neg}\,(
\mathsf {c}
 _{Ph} 
 = \{\{\overline{(crs1)}
,\overline{(crs1)}
\}
,\{\overline{(crs1)}
,1
\}
\}
)n
)n
\}
[\overline{
\mathsf {m}}
]
+(-u
\mathsf {d}
 _{Ph} 
[\overline{
\mathsf {m}}
]
)
)
|
 <= \overline{(\epsilon)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(|( \{ ph \mathrel{\in}  \{ ph \mathrel{\in} P(P(Union(\{N
,Q
\}
)
)
)
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op1)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op2)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\overline{(op1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(op2)}
 \mathrel{\in} Q
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\mathsf {a}
 _{Ph} 
 = \{\{\overline{(op1)}
,\overline{(op1)}
\}
,\{\overline{(op1)}
,\overline{(op2)}
\}
\}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\}
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(crs1)}
\colon \dot{\neg}\,(
\mathsf {c}
 _{Ph} 
 = \{\{\overline{(crs1)}
,\overline{(crs1)}
\}
,\{\overline{(crs1)}
,1
\}
\}
)n
)n
\}
[\overline{
\mathsf {m}}
]
+(-u
\mathsf {d}
 _{Ph} 
[\overline{
\mathsf {m}}
]
)
)
|
 = \overline{(\epsilon)}
)n
)n
)n
)n
)n
\}
\gg  \{ ph \mathrel{\in} P( \{ ph \mathrel{\in} P( \{ ph \mathrel{\in} P(P(Union(\{N
,Q
\}
)
)
)
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op1)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op2)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\overline{(op1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(op2)}
 \mathrel{\in} Q
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\mathsf {a}
 _{Ph} 
 = \{\{\overline{(op1)}
,\overline{(op1)}
\}
,\{\overline{(op1)}
,\overline{(op2)}
\}
\}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\}
)
\mid \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(r1)}
\colon \overline{(r1)}
 \mathrel{\in} 
\mathsf {f}
 _{Ph} 
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op1)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op2)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\overline{(op1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(op2)}
 \mathrel{\in} Q
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(r1)}
 = \{\{\overline{(op1)}
,\overline{(op1)}
\}
,\{\overline{(op1)}
,\overline{(op2)}
\}
\}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(f1)}
\colon 
\forall_{obj} \overline{(f2)}
\colon 
\forall_{obj} \overline{(f3)}
\colon 
\forall_{obj} \overline{(f4)}
\colon \{\{\overline{(f1)}
,\overline{(f1)}
\}
,\{\overline{(f1)}
,\overline{(f2)}
\}
\}
 \mathrel{\in} 
\mathsf {f}
 _{Ph} 
\Rightarrow \{\{\overline{(f3)}
,\overline{(f3)}
\}
,\{\overline{(f3)}
,\overline{(f4)}
\}
\}
 \mathrel{\in} 
\mathsf {f}
 _{Ph} 
\Rightarrow \overline{(f1)}
 = \overline{(f3)}
\Rightarrow \overline{(f2)}
 = \overline{(f4)}
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(s1)}
\colon \overline{(s1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(s2)}
\colon \dot{\neg}\,(\{\{\overline{(s1)}
,\overline{(s1)}
\}
,\{\overline{(s1)}
,\overline{(s2)}
\}
\}
 \mathrel{\in} 
\mathsf {f}
 _{Ph} 
)n
)n
)n
)n
\}
)
\mid 
\forall_{obj} \overline{(\epsilon)}
\colon \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {n}}
\colon \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {m}}
\colon \dot{\neg}\,(0
 <= \overline{(\epsilon)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(0
 = \overline{(\epsilon)}
)n
)n
)n
\Rightarrow \overline{
\mathsf {n}}
 <= \overline{
\mathsf {m}}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(|( \{ ph \mathrel{\in}  \{ ph \mathrel{\in} P(P(Union(\{N
,Q
\}
)
)
)
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op1)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op2)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\overline{(op1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(op2)}
 \mathrel{\in} Q
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\mathsf {a}
 _{Ph} 
 = \{\{\overline{(op1)}
,\overline{(op1)}
\}
,\{\overline{(op1)}
,\overline{(op2)}
\}
\}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\}
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \underline{
\mathsf {m}}
\colon \dot{\neg}\,(
\mathsf {e}
 _{Ph} 
 = \{\{\underline{
\mathsf {m}}
,\underline{
\mathsf {m}}
\}
,\{\underline{
\mathsf {m}}
,(\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
*1f/\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
)
\}
\}
)n
)n
\}
[\overline{
\mathsf {m}}
]
+(-u
\mathsf {d}
 _{Ph} 
[\overline{
\mathsf {m}}
]
)
)
|
 <= \overline{(\epsilon)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(|( \{ ph \mathrel{\in}  \{ ph \mathrel{\in} P(P(Union(\{N
,Q
\}
)
)
)
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op1)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op2)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\overline{(op1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(op2)}
 \mathrel{\in} Q
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\mathsf {a}
 _{Ph} 
 = \{\{\overline{(op1)}
,\overline{(op1)}
\}
,\{\overline{(op1)}
,\overline{(op2)}
\}
\}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\}
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \underline{
\mathsf {m}}
\colon \dot{\neg}\,(
\mathsf {e}
 _{Ph} 
 = \{\{\underline{
\mathsf {m}}
,\underline{
\mathsf {m}}
\}
,\{\underline{
\mathsf {m}}
,(\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
*1f/\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
)
\}
\}
)n
)n
\}
[\overline{
\mathsf {m}}
]
+(-u
\mathsf {d}
 _{Ph} 
[\overline{
\mathsf {m}}
]
)
)
|
 = \overline{(\epsilon)}
)n
)n
)n
)n
)n
\}
 =  \{ ph \mathrel{\in} P( \{ ph \mathrel{\in} P( \{ ph \mathrel{\in} P(P(Union(\{N
,Q
\}
)
)
)
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op1)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op2)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\overline{(op1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(op2)}
 \mathrel{\in} Q
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\mathsf {a}
 _{Ph} 
 = \{\{\overline{(op1)}
,\overline{(op1)}
\}
,\{\overline{(op1)}
,\overline{(op2)}
\}
\}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\}
)
\mid \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(r1)}
\colon \overline{(r1)}
 \mathrel{\in} 
\mathsf {f}
 _{Ph} 
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op1)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op2)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\overline{(op1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(op2)}
 \mathrel{\in} Q
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(r1)}
 = \{\{\overline{(op1)}
,\overline{(op1)}
\}
,\{\overline{(op1)}
,\overline{(op2)}
\}
\}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(f1)}
\colon 
\forall_{obj} \overline{(f2)}
\colon 
\forall_{obj} \overline{(f3)}
\colon 
\forall_{obj} \overline{(f4)}
\colon \{\{\overline{(f1)}
,\overline{(f1)}
\}
,\{\overline{(f1)}
,\overline{(f2)}
\}
\}
 \mathrel{\in} 
\mathsf {f}
 _{Ph} 
\Rightarrow \{\{\overline{(f3)}
,\overline{(f3)}
\}
,\{\overline{(f3)}
,\overline{(f4)}
\}
\}
 \mathrel{\in} 
\mathsf {f}
 _{Ph} 
\Rightarrow \overline{(f1)}
 = \overline{(f3)}
\Rightarrow \overline{(f2)}
 = \overline{(f4)}
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(s1)}
\colon \overline{(s1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(s2)}
\colon \dot{\neg}\,(\{\{\overline{(s1)}
,\overline{(s1)}
\}
,\{\overline{(s1)}
,\overline{(s2)}
\}
\}
 \mathrel{\in} 
\mathsf {f}
 _{Ph} 
)n
)n
)n
)n
\}
)
\mid 
\forall_{obj} \overline{(\epsilon)}
\colon \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {n}}
\colon \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {m}}
\colon \dot{\neg}\,(0
 <= \overline{(\epsilon)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(0
 = \overline{(\epsilon)}
)n
)n
)n
\Rightarrow \overline{
\mathsf {n}}
 <= \overline{
\mathsf {m}}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(|( \{ ph \mathrel{\in}  \{ ph \mathrel{\in} P(P(Union(\{N
,Q
\}
)
)
)
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op1)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op2)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\overline{(op1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(op2)}
 \mathrel{\in} Q
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\mathsf {a}
 _{Ph} 
 = \{\{\overline{(op1)}
,\overline{(op1)}
\}
,\{\overline{(op1)}
,\overline{(op2)}
\}
\}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\}
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(crs1)}
\colon \dot{\neg}\,(
\mathsf {c}
 _{Ph} 
 = \{\{\overline{(crs1)}
,\overline{(crs1)}
\}
,\{\overline{(crs1)}
,1
\}
\}
)n
)n
\}
[\overline{
\mathsf {m}}
]
+(-u
\mathsf {d}
 _{Ph} 
[\overline{
\mathsf {m}}
]
)
)
|
 <= \overline{(\epsilon)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(|( \{ ph \mathrel{\in}  \{ ph \mathrel{\in} P(P(Union(\{N
,Q
\}
)
)
)
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op1)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op2)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\overline{(op1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(op2)}
 \mathrel{\in} Q
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\mathsf {a}
 _{Ph} 
 = \{\{\overline{(op1)}
,\overline{(op1)}
\}
,\{\overline{(op1)}
,\overline{(op2)}
\}
\}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\}
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(crs1)}
\colon \dot{\neg}\,(
\mathsf {c}
 _{Ph} 
 = \{\{\overline{(crs1)}
,\overline{(crs1)}
\}
,\{\overline{(crs1)}
,1
\}
\}
)n
)n
\}
[\overline{
\mathsf {m}}
]
+(-u
\mathsf {d}
 _{Ph} 
[\overline{
\mathsf {m}}
]
)
)
|
 = \overline{(\epsilon)}
)n
)n
)n
)n
)n
\}
; Repetition
\rhd  \{ ph \mathrel{\in} P( \{ ph \mathrel{\in} P( \{ ph \mathrel{\in} P(P(Union(\{N
,Q
\}
)
)
)
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op1)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op2)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\overline{(op1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(op2)}
 \mathrel{\in} Q
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\mathsf {a}
 _{Ph} 
 = \{\{\overline{(op1)}
,\overline{(op1)}
\}
,\{\overline{(op1)}
,\overline{(op2)}
\}
\}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\}
)
\mid \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(r1)}
\colon \overline{(r1)}
 \mathrel{\in} 
\mathsf {f}
 _{Ph} 
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op1)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op2)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\overline{(op1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(op2)}
 \mathrel{\in} Q
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(r1)}
 = \{\{\overline{(op1)}
,\overline{(op1)}
\}
,\{\overline{(op1)}
,\overline{(op2)}
\}
\}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(f1)}
\colon 
\forall_{obj} \overline{(f2)}
\colon 
\forall_{obj} \overline{(f3)}
\colon 
\forall_{obj} \overline{(f4)}
\colon \{\{\overline{(f1)}
,\overline{(f1)}
\}
,\{\overline{(f1)}
,\overline{(f2)}
\}
\}
 \mathrel{\in} 
\mathsf {f}
 _{Ph} 
\Rightarrow \{\{\overline{(f3)}
,\overline{(f3)}
\}
,\{\overline{(f3)}
,\overline{(f4)}
\}
\}
 \mathrel{\in} 
\mathsf {f}
 _{Ph} 
\Rightarrow \overline{(f1)}
 = \overline{(f3)}
\Rightarrow \overline{(f2)}
 = \overline{(f4)}
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(s1)}
\colon \overline{(s1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(s2)}
\colon \dot{\neg}\,(\{\{\overline{(s1)}
,\overline{(s1)}
\}
,\{\overline{(s1)}
,\overline{(s2)}
\}
\}
 \mathrel{\in} 
\mathsf {f}
 _{Ph} 
)n
)n
)n
)n
\}
)
\mid 
\forall_{obj} \overline{(\epsilon)}
\colon \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {n}}
\colon \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {m}}
\colon \dot{\neg}\,(0
 <= \overline{(\epsilon)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(0
 = \overline{(\epsilon)}
)n
)n
)n
\Rightarrow \overline{
\mathsf {n}}
 <= \overline{
\mathsf {m}}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(|( \{ ph \mathrel{\in}  \{ ph \mathrel{\in} P(P(Union(\{N
,Q
\}
)
)
)
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op1)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op2)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\overline{(op1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(op2)}
 \mathrel{\in} Q
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\mathsf {a}
 _{Ph} 
 = \{\{\overline{(op1)}
,\overline{(op1)}
\}
,\{\overline{(op1)}
,\overline{(op2)}
\}
\}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\}
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \underline{
\mathsf {m}}
\colon \dot{\neg}\,(
\mathsf {e}
 _{Ph} 
 = \{\{\underline{
\mathsf {m}}
,\underline{
\mathsf {m}}
\}
,\{\underline{
\mathsf {m}}
,(\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
*1f/\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
)
\}
\}
)n
)n
\}
[\overline{
\mathsf {m}}
]
+(-u
\mathsf {d}
 _{Ph} 
[\overline{
\mathsf {m}}
]
)
)
|
 <= \overline{(\epsilon)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(|( \{ ph \mathrel{\in}  \{ ph \mathrel{\in} P(P(Union(\{N
,Q
\}
)
)
)
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op1)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op2)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\overline{(op1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(op2)}
 \mathrel{\in} Q
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\mathsf {a}
 _{Ph} 
 = \{\{\overline{(op1)}
,\overline{(op1)}
\}
,\{\overline{(op1)}
,\overline{(op2)}
\}
\}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\}
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \underline{
\mathsf {m}}
\colon \dot{\neg}\,(
\mathsf {e}
 _{Ph} 
 = \{\{\underline{
\mathsf {m}}
,\underline{
\mathsf {m}}
\}
,\{\underline{
\mathsf {m}}
,(\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
*1f/\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
)
\}
\}
)n
)n
\}
[\overline{
\mathsf {m}}
]
+(-u
\mathsf {d}
 _{Ph} 
[\overline{
\mathsf {m}}
]
)
)
|
 = \overline{(\epsilon)}
)n
)n
)n
)n
)n
\}
 =  \{ ph \mathrel{\in} P( \{ ph \mathrel{\in} P( \{ ph \mathrel{\in} P(P(Union(\{N
,Q
\}
)
)
)
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op1)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op2)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\overline{(op1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(op2)}
 \mathrel{\in} Q
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\mathsf {a}
 _{Ph} 
 = \{\{\overline{(op1)}
,\overline{(op1)}
\}
,\{\overline{(op1)}
,\overline{(op2)}
\}
\}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\}
)
\mid \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(r1)}
\colon \overline{(r1)}
 \mathrel{\in} 
\mathsf {f}
 _{Ph} 
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op1)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op2)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\overline{(op1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(op2)}
 \mathrel{\in} Q
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(r1)}
 = \{\{\overline{(op1)}
,\overline{(op1)}
\}
,\{\overline{(op1)}
,\overline{(op2)}
\}
\}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(f1)}
\colon 
\forall_{obj} \overline{(f2)}
\colon 
\forall_{obj} \overline{(f3)}
\colon 
\forall_{obj} \overline{(f4)}
\colon \{\{\overline{(f1)}
,\overline{(f1)}
\}
,\{\overline{(f1)}
,\overline{(f2)}
\}
\}
 \mathrel{\in} 
\mathsf {f}
 _{Ph} 
\Rightarrow \{\{\overline{(f3)}
,\overline{(f3)}
\}
,\{\overline{(f3)}
,\overline{(f4)}
\}
\}
 \mathrel{\in} 
\mathsf {f}
 _{Ph} 
\Rightarrow \overline{(f1)}
 = \overline{(f3)}
\Rightarrow \overline{(f2)}
 = \overline{(f4)}
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(s1)}
\colon \overline{(s1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(s2)}
\colon \dot{\neg}\,(\{\{\overline{(s1)}
,\overline{(s1)}
\}
,\{\overline{(s1)}
,\overline{(s2)}
\}
\}
 \mathrel{\in} 
\mathsf {f}
 _{Ph} 
)n
)n
)n
)n
\}
)
\mid 
\forall_{obj} \overline{(\epsilon)}
\colon \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {n}}
\colon \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {m}}
\colon \dot{\neg}\,(0
 <= \overline{(\epsilon)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(0
 = \overline{(\epsilon)}
)n
)n
)n
\Rightarrow \overline{
\mathsf {n}}
 <= \overline{
\mathsf {m}}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(|( \{ ph \mathrel{\in}  \{ ph \mathrel{\in} P(P(Union(\{N
,Q
\}
)
)
)
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op1)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op2)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\overline{(op1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(op2)}
 \mathrel{\in} Q
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\mathsf {a}
 _{Ph} 
 = \{\{\overline{(op1)}
,\overline{(op1)}
\}
,\{\overline{(op1)}
,\overline{(op2)}
\}
\}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\}
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(crs1)}
\colon \dot{\neg}\,(
\mathsf {c}
 _{Ph} 
 = \{\{\overline{(crs1)}
,\overline{(crs1)}
\}
,\{\overline{(crs1)}
,1
\}
\}
)n
)n
\}
[\overline{
\mathsf {m}}
]
+(-u
\mathsf {d}
 _{Ph} 
[\overline{
\mathsf {m}}
]
)
)
|
 <= \overline{(\epsilon)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(|( \{ ph \mathrel{\in}  \{ ph \mathrel{\in} P(P(Union(\{N
,Q
\}
)
)
)
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op1)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op2)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\overline{(op1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(op2)}
 \mathrel{\in} Q
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\mathsf {a}
 _{Ph} 
 = \{\{\overline{(op1)}
,\overline{(op1)}
\}
,\{\overline{(op1)}
,\overline{(op2)}
\}
\}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\}
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(crs1)}
\colon \dot{\neg}\,(
\mathsf {c}
 _{Ph} 
 = \{\{\overline{(crs1)}
,\overline{(crs1)}
\}
,\{\overline{(crs1)}
,1
\}
\}
)n
)n
\}
[\overline{
\mathsf {m}}
]
+(-u
\mathsf {d}
 _{Ph} 
[\overline{
\mathsf {m}}
]
)
)
|
 = \overline{(\epsilon)}
)n
)n
)n
)n
)n
\}
\gg  \{ ph \mathrel{\in} P( \{ ph \mathrel{\in} P( \{ ph \mathrel{\in} P(P(Union(\{N
,Q
\}
)
)
)
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op1)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op2)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\overline{(op1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(op2)}
 \mathrel{\in} Q
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\mathsf {a}
 _{Ph} 
 = \{\{\overline{(op1)}
,\overline{(op1)}
\}
,\{\overline{(op1)}
,\overline{(op2)}
\}
\}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\}
)
\mid \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(r1)}
\colon \overline{(r1)}
 \mathrel{\in} 
\mathsf {f}
 _{Ph} 
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op1)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op2)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\overline{(op1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(op2)}
 \mathrel{\in} Q
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(r1)}
 = \{\{\overline{(op1)}
,\overline{(op1)}
\}
,\{\overline{(op1)}
,\overline{(op2)}
\}
\}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(f1)}
\colon 
\forall_{obj} \overline{(f2)}
\colon 
\forall_{obj} \overline{(f3)}
\colon 
\forall_{obj} \overline{(f4)}
\colon \{\{\overline{(f1)}
,\overline{(f1)}
\}
,\{\overline{(f1)}
,\overline{(f2)}
\}
\}
 \mathrel{\in} 
\mathsf {f}
 _{Ph} 
\Rightarrow \{\{\overline{(f3)}
,\overline{(f3)}
\}
,\{\overline{(f3)}
,\overline{(f4)}
\}
\}
 \mathrel{\in} 
\mathsf {f}
 _{Ph} 
\Rightarrow \overline{(f1)}
 = \overline{(f3)}
\Rightarrow \overline{(f2)}
 = \overline{(f4)}
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(s1)}
\colon \overline{(s1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(s2)}
\colon \dot{\neg}\,(\{\{\overline{(s1)}
,\overline{(s1)}
\}
,\{\overline{(s1)}
,\overline{(s2)}
\}
\}
 \mathrel{\in} 
\mathsf {f}
 _{Ph} 
)n
)n
)n
)n
\}
)
\mid 
\forall_{obj} \overline{(\epsilon)}
\colon \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {n}}
\colon \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {m}}
\colon \dot{\neg}\,(0
 <= \overline{(\epsilon)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(0
 = \overline{(\epsilon)}
)n
)n
)n
\Rightarrow \overline{
\mathsf {n}}
 <= \overline{
\mathsf {m}}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(|( \{ ph \mathrel{\in}  \{ ph \mathrel{\in} P(P(Union(\{N
,Q
\}
)
)
)
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op1)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op2)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\overline{(op1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(op2)}
 \mathrel{\in} Q
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\mathsf {a}
 _{Ph} 
 = \{\{\overline{(op1)}
,\overline{(op1)}
\}
,\{\overline{(op1)}
,\overline{(op2)}
\}
\}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\}
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \underline{
\mathsf {m}}
\colon \dot{\neg}\,(
\mathsf {e}
 _{Ph} 
 = \{\{\underline{
\mathsf {m}}
,\underline{
\mathsf {m}}
\}
,\{\underline{
\mathsf {m}}
,(\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
*1f/\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
)
\}
\}
)n
)n
\}
[\overline{
\mathsf {m}}
]
+(-u
\mathsf {d}
 _{Ph} 
[\overline{
\mathsf {m}}
]
)
)
|
 <= \overline{(\epsilon)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(|( \{ ph \mathrel{\in}  \{ ph \mathrel{\in} P(P(Union(\{N
,Q
\}
)
)
)
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op1)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op2)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\overline{(op1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(op2)}
 \mathrel{\in} Q
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\mathsf {a}
 _{Ph} 
 = \{\{\overline{(op1)}
,\overline{(op1)}
\}
,\{\overline{(op1)}
,\overline{(op2)}
\}
\}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\}
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \underline{
\mathsf {m}}
\colon \dot{\neg}\,(
\mathsf {e}
 _{Ph} 
 = \{\{\underline{
\mathsf {m}}
,\underline{
\mathsf {m}}
\}
,\{\underline{
\mathsf {m}}
,(\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
*1f/\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
)
\}
\}
)n
)n
\}
[\overline{
\mathsf {m}}
]
+(-u
\mathsf {d}
 _{Ph} 
[\overline{
\mathsf {m}}
]
)
)
|
 = \overline{(\epsilon)}
)n
)n
)n
)n
)n
\}
 =  \{ ph \mathrel{\in} P( \{ ph \mathrel{\in} P( \{ ph \mathrel{\in} P(P(Union(\{N
,Q
\}
)
)
)
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op1)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op2)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\overline{(op1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(op2)}
 \mathrel{\in} Q
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\mathsf {a}
 _{Ph} 
 = \{\{\overline{(op1)}
,\overline{(op1)}
\}
,\{\overline{(op1)}
,\overline{(op2)}
\}
\}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\}
)
\mid \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(r1)}
\colon \overline{(r1)}
 \mathrel{\in} 
\mathsf {f}
 _{Ph} 
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op1)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op2)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\overline{(op1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(op2)}
 \mathrel{\in} Q
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(r1)}
 = \{\{\overline{(op1)}
,\overline{(op1)}
\}
,\{\overline{(op1)}
,\overline{(op2)}
\}
\}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(f1)}
\colon 
\forall_{obj} \overline{(f2)}
\colon 
\forall_{obj} \overline{(f3)}
\colon 
\forall_{obj} \overline{(f4)}
\colon \{\{\overline{(f1)}
,\overline{(f1)}
\}
,\{\overline{(f1)}
,\overline{(f2)}
\}
\}
 \mathrel{\in} 
\mathsf {f}
 _{Ph} 
\Rightarrow \{\{\overline{(f3)}
,\overline{(f3)}
\}
,\{\overline{(f3)}
,\overline{(f4)}
\}
\}
 \mathrel{\in} 
\mathsf {f}
 _{Ph} 
\Rightarrow \overline{(f1)}
 = \overline{(f3)}
\Rightarrow \overline{(f2)}
 = \overline{(f4)}
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(s1)}
\colon \overline{(s1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(s2)}
\colon \dot{\neg}\,(\{\{\overline{(s1)}
,\overline{(s1)}
\}
,\{\overline{(s1)}
,\overline{(s2)}
\}
\}
 \mathrel{\in} 
\mathsf {f}
 _{Ph} 
)n
)n
)n
)n
\}
)
\mid 
\forall_{obj} \overline{(\epsilon)}
\colon \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {n}}
\colon \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {m}}
\colon \dot{\neg}\,(0
 <= \overline{(\epsilon)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(0
 = \overline{(\epsilon)}
)n
)n
)n
\Rightarrow \overline{
\mathsf {n}}
 <= \overline{
\mathsf {m}}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(|( \{ ph \mathrel{\in}  \{ ph \mathrel{\in} P(P(Union(\{N
,Q
\}
)
)
)
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op1)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op2)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\overline{(op1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(op2)}
 \mathrel{\in} Q
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\mathsf {a}
 _{Ph} 
 = \{\{\overline{(op1)}
,\overline{(op1)}
\}
,\{\overline{(op1)}
,\overline{(op2)}
\}
\}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\}
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(crs1)}
\colon \dot{\neg}\,(
\mathsf {c}
 _{Ph} 
 = \{\{\overline{(crs1)}
,\overline{(crs1)}
\}
,\{\overline{(crs1)}
,1
\}
\}
)n
)n
\}
[\overline{
\mathsf {m}}
]
+(-u
\mathsf {d}
 _{Ph} 
[\overline{
\mathsf {m}}
]
)
)
|
 <= \overline{(\epsilon)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(|( \{ ph \mathrel{\in}  \{ ph \mathrel{\in} P(P(Union(\{N
,Q
\}
)
)
)
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op1)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(op2)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\overline{(op1)}
 \mathrel{\in} N
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{(op2)}
 \mathrel{\in} Q
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\mathsf {a}
 _{Ph} 
 = \{\{\overline{(op1)}
,\overline{(op1)}
\}
,\{\overline{(op1)}
,\overline{(op2)}
\}
\}
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\}
\mid \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(crs1)}
\colon \dot{\neg}\,(
\mathsf {c}
 _{Ph} 
 = \{\{\overline{(crs1)}
,\overline{(crs1)}
\}
,\{\overline{(crs1)}
,1
\}
\}
)n
)n
\}
[\overline{
\mathsf {m}}
]
+(-u
\mathsf {d}
 _{Ph} 
[\overline{
\mathsf {m}}
]
)
)
|
 = \overline{(\epsilon)}
)n
)n
)n
)n
)n
\}
\rceil 
, 
p_0
, 
\mathsf {c}
)
]$

----------


$
[insertTwoMiddleTerms(Sum)
\stackrel{
stmt
}{\rightarrow}SystemQ
\vdash 
\forall \underline{
\mathsf{x}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf{y}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf{z}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf {u}}
\colon (\underline{
\mathsf{x}}
+\underline{
\mathsf{y}}
)
 = (((\underline{
\mathsf{x}}
+(-u\underline{
\mathsf{z}}
)
)
+(\underline{
\mathsf{z}}
+(-u\underline{
\mathsf {u}}
)
)
)
+(\underline{
\mathsf {u}}
+\underline{
\mathsf{y}}
)
)
]$

$
[insertTwoMiddleTerms(Sum)
\stackrel{
proof
}{\rightarrow}
\lambda 
\mathsf {c}
.
\lambda 
\mathsf{x}
.
{\cal P}( 
\lceil SystemQ
\vdash 
\forall \underline{
\mathsf{x}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf{y}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf{z}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf {u}}
\colon insertMiddleTerm(Sum)
\gg (\underline{
\mathsf{x}}
+\underline{
\mathsf{y}}
)
 = ((\underline{
\mathsf{x}}
+(-u\underline{
\mathsf{z}}
)
)
+(\underline{
\mathsf{z}}
+\underline{
\mathsf{y}}
)
)
; insertMiddleTerm(Sum)
\gg (\underline{
\mathsf{z}}
+\underline{
\mathsf{y}}
)
 = ((\underline{
\mathsf{z}}
+(-u\underline{
\mathsf {u}}
)
)
+(\underline{
\mathsf {u}}
+\underline{
\mathsf{y}}
)
)
; 
\mbox{lemma eqAdditionLeft}
\rhd (\underline{
\mathsf{z}}
+\underline{
\mathsf{y}}
)
 = ((\underline{
\mathsf{z}}
+(-u\underline{
\mathsf {u}}
)
)
+(\underline{
\mathsf {u}}
+\underline{
\mathsf{y}}
)
)
\gg ((\underline{
\mathsf{x}}
+(-u\underline{
\mathsf{z}}
)
)
+(\underline{
\mathsf{z}}
+\underline{
\mathsf{y}}
)
)
 = ((\underline{
\mathsf{x}}
+(-u\underline{
\mathsf{z}}
)
)
+((\underline{
\mathsf{z}}
+(-u\underline{
\mathsf {u}}
)
)
+(\underline{
\mathsf {u}}
+\underline{
\mathsf{y}}
)
)
)
; plusAssociativity
\gg (((\underline{
\mathsf{x}}
+(-u\underline{
\mathsf{z}}
)
)
+(\underline{
\mathsf{z}}
+(-u\underline{
\mathsf {u}}
)
)
)
+(\underline{
\mathsf {u}}
+\underline{
\mathsf{y}}
)
)
 = ((\underline{
\mathsf{x}}
+(-u\underline{
\mathsf{z}}
)
)
+((\underline{
\mathsf{z}}
+(-u\underline{
\mathsf {u}}
)
)
+(\underline{
\mathsf {u}}
+\underline{
\mathsf{y}}
)
)
)
; eqSymmetry
\rhd (((\underline{
\mathsf{x}}
+(-u\underline{
\mathsf{z}}
)
)
+(\underline{
\mathsf{z}}
+(-u\underline{
\mathsf {u}}
)
)
)
+(\underline{
\mathsf {u}}
+\underline{
\mathsf{y}}
)
)
 = ((\underline{
\mathsf{x}}
+(-u\underline{
\mathsf{z}}
)
)
+((\underline{
\mathsf{z}}
+(-u\underline{
\mathsf {u}}
)
)
+(\underline{
\mathsf {u}}
+\underline{
\mathsf{y}}
)
)
)
\gg ((\underline{
\mathsf{x}}
+(-u\underline{
\mathsf{z}}
)
)
+((\underline{
\mathsf{z}}
+(-u\underline{
\mathsf {u}}
)
)
+(\underline{
\mathsf {u}}
+\underline{
\mathsf{y}}
)
)
)
 = (((\underline{
\mathsf{x}}
+(-u\underline{
\mathsf{z}}
)
)
+(\underline{
\mathsf{z}}
+(-u\underline{
\mathsf {u}}
)
)
)
+(\underline{
\mathsf {u}}
+\underline{
\mathsf{y}}
)
)
; eqTransitivity4
\rhd (\underline{
\mathsf{x}}
+\underline{
\mathsf{y}}
)
 = ((\underline{
\mathsf{x}}
+(-u\underline{
\mathsf{z}}
)
)
+(\underline{
\mathsf{z}}
+\underline{
\mathsf{y}}
)
)
\rhd ((\underline{
\mathsf{x}}
+(-u\underline{
\mathsf{z}}
)
)
+(\underline{
\mathsf{z}}
+\underline{
\mathsf{y}}
)
)
 = ((\underline{
\mathsf{x}}
+(-u\underline{
\mathsf{z}}
)
)
+((\underline{
\mathsf{z}}
+(-u\underline{
\mathsf {u}}
)
)
+(\underline{
\mathsf {u}}
+\underline{
\mathsf{y}}
)
)
)
\rhd ((\underline{
\mathsf{x}}
+(-u\underline{
\mathsf{z}}
)
)
+((\underline{
\mathsf{z}}
+(-u\underline{
\mathsf {u}}
)
)
+(\underline{
\mathsf {u}}
+\underline{
\mathsf{y}}
)
)
)
 = (((\underline{
\mathsf{x}}
+(-u\underline{
\mathsf{z}}
)
)
+(\underline{
\mathsf{z}}
+(-u\underline{
\mathsf {u}}
)
)
)
+(\underline{
\mathsf {u}}
+\underline{
\mathsf{y}}
)
)
\gg (\underline{
\mathsf{x}}
+\underline{
\mathsf{y}}
)
 = (((\underline{
\mathsf{x}}
+(-u\underline{
\mathsf{z}}
)
)
+(\underline{
\mathsf{z}}
+(-u\underline{
\mathsf {u}}
)
)
)
+(\underline{
\mathsf {u}}
+\underline{
\mathsf{y}}
)
)
\rceil 
, 
p_0
, 
\mathsf {c}
)
]$

$
[EEA-negated
\stackrel{
stmt
}{\rightarrow}SystemQ
\vdash 
\forall \underline{(v1)}
\colon 
\forall \underline{(v2)}
\colon 
\forall \underline{(v3)}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf {a}}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \underline{(v1)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \underline{(v2)}
\colon \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \underline{(v3)}
\colon \underline{
\mathsf {a}}
)n
)n
)n
)n
)n
\vdash 
\forall_{obj} \underline{(v1)}
\colon 
\forall_{obj} \underline{(v2)}
\colon \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \underline{(v3)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\underline{
\mathsf {a}}
)n
)n
)n
]$

$
[EEA-negated
\stackrel{
proof
}{\rightarrow}
\lambda 
\mathsf {c}
.
\lambda 
\mathsf{x}
.
{\cal P}( 
\lceil SystemQ
\vdash 
\forall \underline{(v1)}
\colon 
\forall \underline{(v2)}
\colon 
\forall \underline{(v3)}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf {a}}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \underline{(v1)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \underline{(v2)}
\colon \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \underline{(v3)}
\colon \underline{
\mathsf {a}}
)n
)n
)n
)n
)n
\vdash AllNegated(Imply)
\gg \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \underline{(v3)}
\colon \underline{
\mathsf {a}}
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \underline{(v3)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\underline{
\mathsf {a}}
)n
)n
)n
; AddAll 
\rhd \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \underline{(v3)}
\colon \underline{
\mathsf {a}}
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \underline{(v3)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\underline{
\mathsf {a}}
)n
)n
)n
\gg 
\forall_{obj} \underline{(v2)}
\colon \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \underline{(v3)}
\colon \underline{
\mathsf {a}}
)n
\Rightarrow 
\forall_{obj} \underline{(v2)}
\colon \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \underline{(v3)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\underline{
\mathsf {a}}
)n
)n
)n
; ExistNegated(Imply)
\gg \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \underline{(v2)}
\colon \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \underline{(v3)}
\colon \underline{
\mathsf {a}}
)n
)n
)n
\Rightarrow 
\forall_{obj} \underline{(v2)}
\colon \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \underline{(v3)}
\colon \underline{
\mathsf {a}}
)n
; ImplyTransitivity
\rhd \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \underline{(v2)}
\colon \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \underline{(v3)}
\colon \underline{
\mathsf {a}}
)n
)n
)n
\Rightarrow 
\forall_{obj} \underline{(v2)}
\colon \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \underline{(v3)}
\colon \underline{
\mathsf {a}}
)n
\rhd 
\forall_{obj} \underline{(v2)}
\colon \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \underline{(v3)}
\colon \underline{
\mathsf {a}}
)n
\Rightarrow 
\forall_{obj} \underline{(v2)}
\colon \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \underline{(v3)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\underline{
\mathsf {a}}
)n
)n
)n
\gg \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \underline{(v2)}
\colon \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \underline{(v3)}
\colon \underline{
\mathsf {a}}
)n
)n
)n
\Rightarrow 
\forall_{obj} \underline{(v2)}
\colon \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \underline{(v3)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\underline{
\mathsf {a}}
)n
)n
)n
; AddAll 
\rhd \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \underline{(v2)}
\colon \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \underline{(v3)}
\colon \underline{
\mathsf {a}}
)n
)n
)n
\Rightarrow 
\forall_{obj} \underline{(v2)}
\colon \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \underline{(v3)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\underline{
\mathsf {a}}
)n
)n
)n
\gg 
\forall_{obj} \underline{(v1)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \underline{(v2)}
\colon \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \underline{(v3)}
\colon \underline{
\mathsf {a}}
)n
)n
)n
\Rightarrow 
\forall_{obj} \underline{(v1)}
\colon 
\forall_{obj} \underline{(v2)}
\colon \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \underline{(v3)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\underline{
\mathsf {a}}
)n
)n
)n
; ExistNegated(Imply)
\gg \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \underline{(v1)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \underline{(v2)}
\colon \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \underline{(v3)}
\colon \underline{
\mathsf {a}}
)n
)n
)n
)n
)n
\Rightarrow 
\forall_{obj} \underline{(v1)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \underline{(v2)}
\colon \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \underline{(v3)}
\colon \underline{
\mathsf {a}}
)n
)n
)n
; ImplyTransitivity
\rhd \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \underline{(v1)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \underline{(v2)}
\colon \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \underline{(v3)}
\colon \underline{
\mathsf {a}}
)n
)n
)n
)n
)n
\Rightarrow 
\forall_{obj} \underline{(v1)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \underline{(v2)}
\colon \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \underline{(v3)}
\colon \underline{
\mathsf {a}}
)n
)n
)n
\rhd 
\forall_{obj} \underline{(v1)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \underline{(v2)}
\colon \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \underline{(v3)}
\colon \underline{
\mathsf {a}}
)n
)n
)n
\Rightarrow 
\forall_{obj} \underline{(v1)}
\colon 
\forall_{obj} \underline{(v2)}
\colon \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \underline{(v3)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\underline{
\mathsf {a}}
)n
)n
)n
\gg \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \underline{(v1)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \underline{(v2)}
\colon \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \underline{(v3)}
\colon \underline{
\mathsf {a}}
)n
)n
)n
)n
)n
\Rightarrow 
\forall_{obj} \underline{(v1)}
\colon 
\forall_{obj} \underline{(v2)}
\colon \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \underline{(v3)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\underline{
\mathsf {a}}
)n
)n
)n
; MP
\rhd \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \underline{(v1)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \underline{(v2)}
\colon \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \underline{(v3)}
\colon \underline{
\mathsf {a}}
)n
)n
)n
)n
)n
\Rightarrow 
\forall_{obj} \underline{(v1)}
\colon 
\forall_{obj} \underline{(v2)}
\colon \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \underline{(v3)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\underline{
\mathsf {a}}
)n
)n
)n
\rhd \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \underline{(v1)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \underline{(v2)}
\colon \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \underline{(v3)}
\colon \underline{
\mathsf {a}}
)n
)n
)n
)n
)n
\gg 
\forall_{obj} \underline{(v1)}
\colon 
\forall_{obj} \underline{(v2)}
\colon \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \underline{(v3)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\underline{
\mathsf {a}}
)n
)n
)n
\rceil 
, 
p_0
, 
\mathsf {c}
)
]$

$
[FromNumericalGreater
\stackrel{
stmt
}{\rightarrow}SystemQ
\vdash 
\forall \underline{
\mathsf{x}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf{y}}
\colon \dot{\neg}\,(\underline{
\mathsf{x}}
 <= |\underline{
\mathsf{y}}
|
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\underline{
\mathsf{x}}
 = |\underline{
\mathsf{y}}
|
)n
)n
)n
\vdash \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\underline{
\mathsf{y}}
 <= (-u\underline{
\mathsf{x}}
)
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\underline{
\mathsf{y}}
 = (-u\underline{
\mathsf{x}}
)
)n
)n
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\underline{
\mathsf{x}}
 <= \underline{
\mathsf{y}}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\underline{
\mathsf{x}}
 = \underline{
\mathsf{y}}
)n
)n
)n
]$

$
[FromNumericalGreater
\stackrel{
proof
}{\rightarrow}
\lambda 
\mathsf {c}
.
\lambda 
\mathsf{x}
.
{\cal P}( 
\lceil SystemQ
\vdash 
\forall \underline{
\mathsf{x}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf{y}}
\colon \dot{\neg}\,(\underline{
\mathsf{x}}
 <= |\underline{
\mathsf{y}}
|
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\underline{
\mathsf{x}}
 = |\underline{
\mathsf{y}}
|
)n
)n
)n
\vdash 0
 <= \underline{
\mathsf{y}}
\vdash NonnegativeNumerical
\rhd 0
 <= \underline{
\mathsf{y}}
\gg |\underline{
\mathsf{y}}
|
 = \underline{
\mathsf{y}}
; SubLessRight
\rhd |\underline{
\mathsf{y}}
|
 = \underline{
\mathsf{y}}
\rhd \dot{\neg}\,(\underline{
\mathsf{x}}
 <= |\underline{
\mathsf{y}}
|
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\underline{
\mathsf{x}}
 = |\underline{
\mathsf{y}}
|
)n
)n
)n
\gg \dot{\neg}\,(\underline{
\mathsf{x}}
 <= \underline{
\mathsf{y}}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\underline{
\mathsf{x}}
 = \underline{
\mathsf{y}}
)n
)n
)n
; WeakenOr1
\rhd \dot{\neg}\,(\underline{
\mathsf{x}}
 <= \underline{
\mathsf{y}}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\underline{
\mathsf{x}}
 = \underline{
\mathsf{y}}
)n
)n
)n
\gg \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\underline{
\mathsf{y}}
 <= (-u\underline{
\mathsf{x}}
)
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\underline{
\mathsf{y}}
 = (-u\underline{
\mathsf{x}}
)
)n
)n
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\underline{
\mathsf{x}}
 <= \underline{
\mathsf{y}}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\underline{
\mathsf{x}}
 = \underline{
\mathsf{y}}
)n
)n
)n
; 
\forall \underline{
\mathsf{x}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf{y}}
\colon \dot{\neg}\,(\underline{
\mathsf{x}}
 <= |\underline{
\mathsf{y}}
|
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\underline{
\mathsf{x}}
 = |\underline{
\mathsf{y}}
|
)n
)n
)n
\vdash \underline{
\mathsf{y}}
 <= 0
\vdash 
\mbox{lemma nonpositiveNumerical}
\rhd \underline{
\mathsf{y}}
 <= 0
\gg |\underline{
\mathsf{y}}
|
 = (-u\underline{
\mathsf{y}}
)
; SubLessRight
\rhd |\underline{
\mathsf{y}}
|
 = (-u\underline{
\mathsf{y}}
)
\rhd \dot{\neg}\,(\underline{
\mathsf{x}}
 <= |\underline{
\mathsf{y}}
|
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\underline{
\mathsf{x}}
 = |\underline{
\mathsf{y}}
|
)n
)n
)n
\gg \dot{\neg}\,(\underline{
\mathsf{x}}
 <= (-u\underline{
\mathsf{y}}
)
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\underline{
\mathsf{x}}
 = (-u\underline{
\mathsf{y}}
)
)n
)n
)n
; LessNegated
\rhd \dot{\neg}\,(\underline{
\mathsf{x}}
 <= (-u\underline{
\mathsf{y}}
)
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\underline{
\mathsf{x}}
 = (-u\underline{
\mathsf{y}}
)
)n
)n
)n
\gg \dot{\neg}\,((-u(-u\underline{
\mathsf{y}}
)
)
 <= (-u\underline{
\mathsf{x}}
)
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,((-u(-u\underline{
\mathsf{y}}
)
)
 = (-u\underline{
\mathsf{x}}
)
)n
)n
)n
; DoubleMinus
\gg (-u(-u\underline{
\mathsf{y}}
)
)
 = \underline{
\mathsf{y}}
; SubLessLeft
\rhd (-u(-u\underline{
\mathsf{y}}
)
)
 = \underline{
\mathsf{y}}
\rhd \dot{\neg}\,((-u(-u\underline{
\mathsf{y}}
)
)
 <= (-u\underline{
\mathsf{x}}
)
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,((-u(-u\underline{
\mathsf{y}}
)
)
 = (-u\underline{
\mathsf{x}}
)
)n
)n
)n
\gg \dot{\neg}\,(\underline{
\mathsf{y}}
 <= (-u\underline{
\mathsf{x}}
)
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\underline{
\mathsf{y}}
 = (-u\underline{
\mathsf{x}}
)
)n
)n
)n
; WeakenOr2
\rhd \dot{\neg}\,(\underline{
\mathsf{y}}
 <= (-u\underline{
\mathsf{x}}
)
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\underline{
\mathsf{y}}
 = (-u\underline{
\mathsf{x}}
)
)n
)n
)n
\gg \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\underline{
\mathsf{y}}
 <= (-u\underline{
\mathsf{x}}
)
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\underline{
\mathsf{y}}
 = (-u\underline{
\mathsf{x}}
)
)n
)n
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\underline{
\mathsf{x}}
 <= \underline{
\mathsf{y}}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\underline{
\mathsf{x}}
 = \underline{
\mathsf{y}}
)n
)n
)n
; 
\forall \underline{
\mathsf{x}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf{y}}
\colon Ded
\rhd 
\forall \underline{
\mathsf{x}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf{y}}
\colon \dot{\neg}\,(\underline{
\mathsf{x}}
 <= |\underline{
\mathsf{y}}
|
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\underline{
\mathsf{x}}
 = |\underline{
\mathsf{y}}
|
)n
)n
)n
\vdash 0
 <= \underline{
\mathsf{y}}
\vdash \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\underline{
\mathsf{y}}
 <= (-u\underline{
\mathsf{x}}
)
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\underline{
\mathsf{y}}
 = (-u\underline{
\mathsf{x}}
)
)n
)n
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\underline{
\mathsf{x}}
 <= \underline{
\mathsf{y}}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\underline{
\mathsf{x}}
 = \underline{
\mathsf{y}}
)n
)n
)n
\gg \dot{\neg}\,(\underline{
\mathsf{x}}
 <= |\underline{
\mathsf{y}}
|
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\underline{
\mathsf{x}}
 = |\underline{
\mathsf{y}}
|
)n
)n
)n
\Rightarrow 0
 <= \underline{
\mathsf{y}}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\underline{
\mathsf{y}}
 <= (-u\underline{
\mathsf{x}}
)
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\underline{
\mathsf{y}}
 = (-u\underline{
\mathsf{x}}
)
)n
)n
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\underline{
\mathsf{x}}
 <= \underline{
\mathsf{y}}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\underline{
\mathsf{x}}
 = \underline{
\mathsf{y}}
)n
)n
)n
; Ded
\rhd 
\forall \underline{
\mathsf{x}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf{y}}
\colon \dot{\neg}\,(\underline{
\mathsf{x}}
 <= |\underline{
\mathsf{y}}
|
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\underline{
\mathsf{x}}
 = |\underline{
\mathsf{y}}
|
)n
)n
)n
\vdash \underline{
\mathsf{y}}
 <= 0
\vdash \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\underline{
\mathsf{y}}
 <= (-u\underline{
\mathsf{x}}
)
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\underline{
\mathsf{y}}
 = (-u\underline{
\mathsf{x}}
)
)n
)n
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\underline{
\mathsf{x}}
 <= \underline{
\mathsf{y}}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\underline{
\mathsf{x}}
 = \underline{
\mathsf{y}}
)n
)n
)n
\gg \dot{\neg}\,(\underline{
\mathsf{x}}
 <= |\underline{
\mathsf{y}}
|
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\underline{
\mathsf{x}}
 = |\underline{
\mathsf{y}}
|
)n
)n
)n
\Rightarrow \underline{
\mathsf{y}}
 <= 0
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\underline{
\mathsf{y}}
 <= (-u\underline{
\mathsf{x}}
)
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\underline{
\mathsf{y}}
 = (-u\underline{
\mathsf{x}}
)
)n
)n
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\underline{
\mathsf{x}}
 <= \underline{
\mathsf{y}}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\underline{
\mathsf{x}}
 = \underline{
\mathsf{y}}
)n
)n
)n
; \dot{\neg}\,(\underline{
\mathsf{x}}
 <= |\underline{
\mathsf{y}}
|
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\underline{
\mathsf{x}}
 = |\underline{
\mathsf{y}}
|
)n
)n
)n
\vdash MP
\rhd \dot{\neg}\,(\underline{
\mathsf{x}}
 <= |\underline{
\mathsf{y}}
|
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\underline{
\mathsf{x}}
 = |\underline{
\mathsf{y}}
|
)n
)n
)n
\Rightarrow 0
 <= \underline{
\mathsf{y}}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\underline{
\mathsf{y}}
 <= (-u\underline{
\mathsf{x}}
)
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\underline{
\mathsf{y}}
 = (-u\underline{
\mathsf{x}}
)
)n
)n
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\underline{
\mathsf{x}}
 <= \underline{
\mathsf{y}}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\underline{
\mathsf{x}}
 = \underline{
\mathsf{y}}
)n
)n
)n
\rhd \dot{\neg}\,(\underline{
\mathsf{x}}
 <= |\underline{
\mathsf{y}}
|
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\underline{
\mathsf{x}}
 = |\underline{
\mathsf{y}}
|
)n
)n
)n
\gg 0
 <= \underline{
\mathsf{y}}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\underline{
\mathsf{y}}
 <= (-u\underline{
\mathsf{x}}
)
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\underline{
\mathsf{y}}
 = (-u\underline{
\mathsf{x}}
)
)n
)n
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\underline{
\mathsf{x}}
 <= \underline{
\mathsf{y}}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\underline{
\mathsf{x}}
 = \underline{
\mathsf{y}}
)n
)n
)n
; MP
\rhd \dot{\neg}\,(\underline{
\mathsf{x}}
 <= |\underline{
\mathsf{y}}
|
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\underline{
\mathsf{x}}
 = |\underline{
\mathsf{y}}
|
)n
)n
)n
\Rightarrow \underline{
\mathsf{y}}
 <= 0
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\underline{
\mathsf{y}}
 <= (-u\underline{
\mathsf{x}}
)
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\underline{
\mathsf{y}}
 = (-u\underline{
\mathsf{x}}
)
)n
)n
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\underline{
\mathsf{x}}
 <= \underline{
\mathsf{y}}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\underline{
\mathsf{x}}
 = \underline{
\mathsf{y}}
)n
)n
)n
\rhd \dot{\neg}\,(\underline{
\mathsf{x}}
 <= |\underline{
\mathsf{y}}
|
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\underline{
\mathsf{x}}
 = |\underline{
\mathsf{y}}
|
)n
)n
)n
\gg \underline{
\mathsf{y}}
 <= 0
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\underline{
\mathsf{y}}
 <= (-u\underline{
\mathsf{x}}
)
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\underline{
\mathsf{y}}
 = (-u\underline{
\mathsf{x}}
)
)n
)n
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\underline{
\mathsf{x}}
 <= \underline{
\mathsf{y}}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\underline{
\mathsf{x}}
 = \underline{
\mathsf{y}}
)n
)n
)n
; FromLeqGeq
\rhd 0
 <= \underline{
\mathsf{y}}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\underline{
\mathsf{y}}
 <= (-u\underline{
\mathsf{x}}
)
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\underline{
\mathsf{y}}
 = (-u\underline{
\mathsf{x}}
)
)n
)n
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\underline{
\mathsf{x}}
 <= \underline{
\mathsf{y}}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\underline{
\mathsf{x}}
 = \underline{
\mathsf{y}}
)n
)n
)n
\rhd \underline{
\mathsf{y}}
 <= 0
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\underline{
\mathsf{y}}
 <= (-u\underline{
\mathsf{x}}
)
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\underline{
\mathsf{y}}
 = (-u\underline{
\mathsf{x}}
)
)n
)n
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\underline{
\mathsf{x}}
 <= \underline{
\mathsf{y}}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\underline{
\mathsf{x}}
 = \underline{
\mathsf{y}}
)n
)n
)n
\gg \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\underline{
\mathsf{y}}
 <= (-u\underline{
\mathsf{x}}
)
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\underline{
\mathsf{y}}
 = (-u\underline{
\mathsf{x}}
)
)n
)n
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\underline{
\mathsf{x}}
 <= \underline{
\mathsf{y}}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\underline{
\mathsf{x}}
 = \underline{
\mathsf{y}}
)n
)n
)n
\rceil 
, 
p_0
, 
\mathsf {c}
)
]$




$
[FromNot<f(Weak)(Helper)
\stackrel{
stmt
}{\rightarrow}SystemQ
\vdash 
\forall \underline{
\mathsf {m}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf {n}}
\colon 
\forall \underline{(\epsilon)}
\colon 
\forall \underline{(fx)}
\colon 
\forall \underline{(fy)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(0
 <= \underline{(\epsilon)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(0
 = \underline{(\epsilon)}
)n
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\underline{
\mathsf {n}}
 <= \underline{
\mathsf {m}}
\Rightarrow \underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
 <= (\underline{(fy)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
+(-u\underline{(\epsilon)}
)
)
)n
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(0
 <= \underline{(\epsilon)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(0
 = \underline{(\epsilon)}
)n
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\underline{
\mathsf {n}}
 <= \underline{
\mathsf {m}}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,((\underline{(fy)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
+(-u\underline{(\epsilon)}
)
)
 <= \underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,((\underline{(fy)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
+(-u\underline{(\epsilon)}
)
)
 = \underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
)n
)n
)n
)n
)n
]$

$
[FromNot<f(Weak)(Helper)
\stackrel{
proof
}{\rightarrow}
\lambda 
\mathsf {c}
.
\lambda 
\mathsf{x}
.
{\cal P}( 
\lceil SystemQ
\vdash 
\forall \underline{
\mathsf {m}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf {n}}
\colon 
\forall \underline{(\epsilon)}
\colon 
\forall \underline{(fx)}
\colon 
\forall \underline{(fy)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(0
 <= \underline{(\epsilon)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(0
 = \underline{(\epsilon)}
)n
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\underline{
\mathsf {n}}
 <= \underline{
\mathsf {m}}
\Rightarrow \underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
 <= (\underline{(fy)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
+(-u\underline{(\epsilon)}
)
)
)n
)n
)n
\vdash \dot{\neg}\,(0
 <= \underline{(\epsilon)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(0
 = \underline{(\epsilon)}
)n
)n
)n
\vdash FromNegatedAnd
\rhd \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(0
 <= \underline{(\epsilon)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(0
 = \underline{(\epsilon)}
)n
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\underline{
\mathsf {n}}
 <= \underline{
\mathsf {m}}
\Rightarrow \underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
 <= (\underline{(fy)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
+(-u\underline{(\epsilon)}
)
)
)n
)n
)n
\rhd \dot{\neg}\,(0
 <= \underline{(\epsilon)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(0
 = \underline{(\epsilon)}
)n
)n
)n
\gg \dot{\neg}\,(\underline{
\mathsf {n}}
 <= \underline{
\mathsf {m}}
\Rightarrow \underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
 <= (\underline{(fy)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
+(-u\underline{(\epsilon)}
)
)
)n
; FromNegatedImply
\rhd \dot{\neg}\,(\underline{
\mathsf {n}}
 <= \underline{
\mathsf {m}}
\Rightarrow \underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
 <= (\underline{(fy)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
+(-u\underline{(\epsilon)}
)
)
)n
\gg \dot{\neg}\,(\underline{
\mathsf {n}}
 <= \underline{
\mathsf {m}}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
 <= (\underline{(fy)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
+(-u\underline{(\epsilon)}
)
)
)n
)n
)n
; FirstConjunct
\rhd \dot{\neg}\,(\underline{
\mathsf {n}}
 <= \underline{
\mathsf {m}}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
 <= (\underline{(fy)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
+(-u\underline{(\epsilon)}
)
)
)n
)n
)n
\gg \underline{
\mathsf {n}}
 <= \underline{
\mathsf {m}}
; SecondConjunct
\rhd \dot{\neg}\,(\underline{
\mathsf {n}}
 <= \underline{
\mathsf {m}}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
 <= (\underline{(fy)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
+(-u\underline{(\epsilon)}
)
)
)n
)n
)n
\gg \dot{\neg}\,(\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
 <= (\underline{(fy)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
+(-u\underline{(\epsilon)}
)
)
)n
; ToLess
\rhd \dot{\neg}\,(\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
 <= (\underline{(fy)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
+(-u\underline{(\epsilon)}
)
)
)n
\gg \dot{\neg}\,((\underline{(fy)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
+(-u\underline{(\epsilon)}
)
)
 <= \underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,((\underline{(fy)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
+(-u\underline{(\epsilon)}
)
)
 = \underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
)n
)n
)n
; JoinConjuncts
\rhd \underline{
\mathsf {n}}
 <= \underline{
\mathsf {m}}
\rhd \dot{\neg}\,((\underline{(fy)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
+(-u\underline{(\epsilon)}
)
)
 <= \underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,((\underline{(fy)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
+(-u\underline{(\epsilon)}
)
)
 = \underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
)n
)n
)n
\gg \dot{\neg}\,(\underline{
\mathsf {n}}
 <= \underline{
\mathsf {m}}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,((\underline{(fy)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
+(-u\underline{(\epsilon)}
)
)
 <= \underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,((\underline{(fy)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
+(-u\underline{(\epsilon)}
)
)
 = \underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
)n
)n
)n
)n
)n
; 
\forall \underline{
\mathsf {m}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf {n}}
\colon 
\forall \underline{(\epsilon)}
\colon 
\forall \underline{(fx)}
\colon 
\forall \underline{(fy)}
\colon Ded
\rhd 
\forall \underline{
\mathsf {m}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf {n}}
\colon 
\forall \underline{(\epsilon)}
\colon 
\forall \underline{(fx)}
\colon 
\forall \underline{(fy)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(0
 <= \underline{(\epsilon)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(0
 = \underline{(\epsilon)}
)n
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\underline{
\mathsf {n}}
 <= \underline{
\mathsf {m}}
\Rightarrow \underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
 <= (\underline{(fy)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
+(-u\underline{(\epsilon)}
)
)
)n
)n
)n
\vdash \dot{\neg}\,(0
 <= \underline{(\epsilon)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(0
 = \underline{(\epsilon)}
)n
)n
)n
\vdash \dot{\neg}\,(\underline{
\mathsf {n}}
 <= \underline{
\mathsf {m}}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,((\underline{(fy)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
+(-u\underline{(\epsilon)}
)
)
 <= \underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,((\underline{(fy)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
+(-u\underline{(\epsilon)}
)
)
 = \underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
)n
)n
)n
)n
)n
\gg \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(0
 <= \underline{(\epsilon)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(0
 = \underline{(\epsilon)}
)n
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\underline{
\mathsf {n}}
 <= \underline{
\mathsf {m}}
\Rightarrow \underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
 <= (\underline{(fy)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
+(-u\underline{(\epsilon)}
)
)
)n
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(0
 <= \underline{(\epsilon)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(0
 = \underline{(\epsilon)}
)n
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\underline{
\mathsf {n}}
 <= \underline{
\mathsf {m}}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,((\underline{(fy)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
+(-u\underline{(\epsilon)}
)
)
 <= \underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,((\underline{(fy)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
+(-u\underline{(\epsilon)}
)
)
 = \underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
)n
)n
)n
)n
)n
\rceil 
, 
p_0
, 
\mathsf {c}
)
]$

$
[FromNot<f(Weak)
\stackrel{
stmt
}{\rightarrow}SystemQ
\vdash 
\forall \underline{
\mathsf {m}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf {n}}
\colon 
\forall \underline{(\epsilon)}
\colon 
\forall \underline{(fx)}
\colon 
\forall \underline{(fy)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(\epsilon)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {n}}
\colon \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {m}}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(0
 <= \overline{(\epsilon)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(0
 = \overline{(\epsilon)}
)n
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{
\mathsf {n}}
 <= \overline{
\mathsf {m}}
\Rightarrow \underline{(fx)}
[\overline{
\mathsf {m}}
]
 <= (\underline{(fy)}
[\overline{
\mathsf {m}}
]
+(-u\overline{(\epsilon)}
)
)
)n
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\vdash 
\forall_{obj} \underline{(\epsilon)}
\colon 
\forall_{obj} \underline{
\mathsf {n}}
\colon \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \underline{
\mathsf {m}}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(0
 <= \underline{(\epsilon)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(0
 = \underline{(\epsilon)}
)n
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\underline{
\mathsf {n}}
 <= \underline{
\mathsf {m}}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,((\underline{(fy)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
+(-u\underline{(\epsilon)}
)
)
 <= \underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,((\underline{(fy)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
+(-u\underline{(\epsilon)}
)
)
 = \underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
)n
)n
)n
)n
)n
)n
)n
]$

$
[FromNot<f(Weak)
\stackrel{
proof
}{\rightarrow}
\lambda 
\mathsf {c}
.
\lambda 
\mathsf{x}
.
{\cal P}( 
\lceil SystemQ
\vdash 
\forall \underline{
\mathsf {m}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf {n}}
\colon 
\forall \underline{(\epsilon)}
\colon 
\forall \underline{(fx)}
\colon 
\forall \underline{(fy)}
\colon \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \underline{(\epsilon)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \underline{
\mathsf {n}}
\colon \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \underline{
\mathsf {m}}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(0
 <= \underline{(\epsilon)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(0
 = \underline{(\epsilon)}
)n
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\underline{
\mathsf {n}}
 <= \underline{
\mathsf {m}}
\Rightarrow \underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
 <= (\underline{(fy)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
+(-u\underline{(\epsilon)}
)
)
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\vdash Ded
\rhd \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \underline{(\epsilon)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \underline{
\mathsf {n}}
\colon \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \underline{
\mathsf {m}}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(0
 <= \underline{(\epsilon)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(0
 = \underline{(\epsilon)}
)n
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\underline{
\mathsf {n}}
 <= \underline{
\mathsf {m}}
\Rightarrow \underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
 <= (\underline{(fy)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
+(-u\underline{(\epsilon)}
)
)
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\gg \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(\epsilon)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {n}}
\colon \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {m}}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(0
 <= \overline{(\epsilon)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(0
 = \overline{(\epsilon)}
)n
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{
\mathsf {n}}
 <= \overline{
\mathsf {m}}
\Rightarrow \underline{(fx)}
[\overline{
\mathsf {m}}
]
 <= (\underline{(fy)}
[\overline{
\mathsf {m}}
]
+(-u\overline{(\epsilon)}
)
)
)n
)n
)n
)n
)n
)n
; Repetition
\rhd \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(\epsilon)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {n}}
\colon \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {m}}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(0
 <= \overline{(\epsilon)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(0
 = \overline{(\epsilon)}
)n
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{
\mathsf {n}}
 <= \overline{
\mathsf {m}}
\Rightarrow \underline{(fx)}
[\overline{
\mathsf {m}}
]
 <= (\underline{(fy)}
[\overline{
\mathsf {m}}
]
+(-u\overline{(\epsilon)}
)
)
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\gg \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(\epsilon)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {n}}
\colon \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {m}}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(0
 <= \overline{(\epsilon)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(0
 = \overline{(\epsilon)}
)n
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{
\mathsf {n}}
 <= \overline{
\mathsf {m}}
\Rightarrow \underline{(fx)}
[\overline{
\mathsf {m}}
]
 <= (\underline{(fy)}
[\overline{
\mathsf {m}}
]
+(-u\overline{(\epsilon)}
)
)
)n
)n
)n
)n
)n
)n
; 
\forall \underline{
\mathsf {m}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf {n}}
\colon 
\forall \underline{(\epsilon)}
\colon 
\forall \underline{(fx)}
\colon 
\forall \underline{(fy)}
\colon Ded
\rhd 
\forall \underline{
\mathsf {m}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf {n}}
\colon 
\forall \underline{(\epsilon)}
\colon 
\forall \underline{(fx)}
\colon 
\forall \underline{(fy)}
\colon \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \underline{(\epsilon)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \underline{
\mathsf {n}}
\colon \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \underline{
\mathsf {m}}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(0
 <= \underline{(\epsilon)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(0
 = \underline{(\epsilon)}
)n
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\underline{
\mathsf {n}}
 <= \underline{
\mathsf {m}}
\Rightarrow \underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
 <= (\underline{(fy)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
+(-u\underline{(\epsilon)}
)
)
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\vdash \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(\epsilon)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {n}}
\colon \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {m}}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(0
 <= \overline{(\epsilon)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(0
 = \overline{(\epsilon)}
)n
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{
\mathsf {n}}
 <= \overline{
\mathsf {m}}
\Rightarrow \underline{(fx)}
[\overline{
\mathsf {m}}
]
 <= (\underline{(fy)}
[\overline{
\mathsf {m}}
]
+(-u\overline{(\epsilon)}
)
)
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\gg \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \underline{(\epsilon)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \underline{
\mathsf {n}}
\colon \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \underline{
\mathsf {m}}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(0
 <= \underline{(\epsilon)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(0
 = \underline{(\epsilon)}
)n
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\underline{
\mathsf {n}}
 <= \underline{
\mathsf {m}}
\Rightarrow \underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
 <= (\underline{(fy)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
+(-u\underline{(\epsilon)}
)
)
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(\epsilon)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {n}}
\colon \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {m}}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(0
 <= \overline{(\epsilon)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(0
 = \overline{(\epsilon)}
)n
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{
\mathsf {n}}
 <= \overline{
\mathsf {m}}
\Rightarrow \underline{(fx)}
[\overline{
\mathsf {m}}
]
 <= (\underline{(fy)}
[\overline{
\mathsf {m}}
]
+(-u\overline{(\epsilon)}
)
)
)n
)n
)n
)n
)n
)n
; \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(\epsilon)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {n}}
\colon \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {m}}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(0
 <= \overline{(\epsilon)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(0
 = \overline{(\epsilon)}
)n
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{
\mathsf {n}}
 <= \overline{
\mathsf {m}}
\Rightarrow \underline{(fx)}
[\overline{
\mathsf {m}}
]
 <= (\underline{(fy)}
[\overline{
\mathsf {m}}
]
+(-u\overline{(\epsilon)}
)
)
)n
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\vdash MT
\rhd \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \underline{(\epsilon)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \underline{
\mathsf {n}}
\colon \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \underline{
\mathsf {m}}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(0
 <= \underline{(\epsilon)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(0
 = \underline{(\epsilon)}
)n
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\underline{
\mathsf {n}}
 <= \underline{
\mathsf {m}}
\Rightarrow \underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
 <= (\underline{(fy)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
+(-u\underline{(\epsilon)}
)
)
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(\epsilon)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {n}}
\colon \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {m}}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(0
 <= \overline{(\epsilon)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(0
 = \overline{(\epsilon)}
)n
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{
\mathsf {n}}
 <= \overline{
\mathsf {m}}
\Rightarrow \underline{(fx)}
[\overline{
\mathsf {m}}
]
 <= (\underline{(fy)}
[\overline{
\mathsf {m}}
]
+(-u\overline{(\epsilon)}
)
)
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\rhd \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{(\epsilon)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {n}}
\colon \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {m}}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(0
 <= \overline{(\epsilon)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(0
 = \overline{(\epsilon)}
)n
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\overline{
\mathsf {n}}
 <= \overline{
\mathsf {m}}
\Rightarrow \underline{(fx)}
[\overline{
\mathsf {m}}
]
 <= (\underline{(fy)}
[\overline{
\mathsf {m}}
]
+(-u\overline{(\epsilon)}
)
)
)n
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\gg \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \underline{(\epsilon)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \underline{
\mathsf {n}}
\colon \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \underline{
\mathsf {m}}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(0
 <= \underline{(\epsilon)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(0
 = \underline{(\epsilon)}
)n
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\underline{
\mathsf {n}}
 <= \underline{
\mathsf {m}}
\Rightarrow \underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
 <= (\underline{(fy)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
+(-u\underline{(\epsilon)}
)
)
)n
)n
)n
)n
)n
)n
)n
; EEA-negated
\rhd \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \underline{(\epsilon)}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \underline{
\mathsf {n}}
\colon \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \underline{
\mathsf {m}}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(0
 <= \underline{(\epsilon)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(0
 = \underline{(\epsilon)}
)n
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\underline{
\mathsf {n}}
 <= \underline{
\mathsf {m}}
\Rightarrow \underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
 <= (\underline{(fy)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
+(-u\underline{(\epsilon)}
)
)
)n
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\gg 
\forall_{obj} \underline{(\epsilon)}
\colon 
\forall_{obj} \underline{
\mathsf {n}}
\colon \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \underline{
\mathsf {m}}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(0
 <= \underline{(\epsilon)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(0
 = \underline{(\epsilon)}
)n
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\underline{
\mathsf {n}}
 <= \underline{
\mathsf {m}}
\Rightarrow \underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
 <= (\underline{(fy)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
+(-u\underline{(\epsilon)}
)
)
)n
)n
)n
)n
)n
; A4
\mathop {\char64} \underline{(\epsilon)}
\rhd 
\forall_{obj} \underline{(\epsilon)}
\colon 
\forall_{obj} \underline{
\mathsf {n}}
\colon \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \underline{
\mathsf {m}}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(0
 <= \underline{(\epsilon)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(0
 = \underline{(\epsilon)}
)n
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\underline{
\mathsf {n}}
 <= \underline{
\mathsf {m}}
\Rightarrow \underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
 <= (\underline{(fy)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
+(-u\underline{(\epsilon)}
)
)
)n
)n
)n
)n
)n
\gg 
\forall_{obj} \underline{
\mathsf {n}}
\colon \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \underline{
\mathsf {m}}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(0
 <= \underline{(\epsilon)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(0
 = \underline{(\epsilon)}
)n
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\underline{
\mathsf {n}}
 <= \underline{
\mathsf {m}}
\Rightarrow \underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
 <= (\underline{(fy)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
+(-u\underline{(\epsilon)}
)
)
)n
)n
)n
)n
)n
; A4
\mathop {\char64} \underline{
\mathsf {n}}
\rhd 
\forall_{obj} \underline{
\mathsf {n}}
\colon \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \underline{
\mathsf {m}}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(0
 <= \underline{(\epsilon)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(0
 = \underline{(\epsilon)}
)n
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\underline{
\mathsf {n}}
 <= \underline{
\mathsf {m}}
\Rightarrow \underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
 <= (\underline{(fy)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
+(-u\underline{(\epsilon)}
)
)
)n
)n
)n
)n
)n
\gg \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \underline{
\mathsf {m}}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(0
 <= \underline{(\epsilon)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(0
 = \underline{(\epsilon)}
)n
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\underline{
\mathsf {n}}
 <= \underline{
\mathsf {m}}
\Rightarrow \underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
 <= (\underline{(fy)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
+(-u\underline{(\epsilon)}
)
)
)n
)n
)n
)n
)n
; FromNot<f(Weak)(Helper)
\gg \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(0
 <= \underline{(\epsilon)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(0
 = \underline{(\epsilon)}
)n
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\underline{
\mathsf {n}}
 <= \underline{
\mathsf {m}}
\Rightarrow \underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
 <= (\underline{(fy)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
+(-u\underline{(\epsilon)}
)
)
)n
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(0
 <= \underline{(\epsilon)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(0
 = \underline{(\epsilon)}
)n
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\underline{
\mathsf {n}}
 <= \underline{
\mathsf {m}}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,((\underline{(fy)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
+(-u\underline{(\epsilon)}
)
)
 <= \underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,((\underline{(fy)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
+(-u\underline{(\epsilon)}
)
)
 = \underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
)n
)n
)n
)n
)n
; ExistMP
\rhd \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(0
 <= \underline{(\epsilon)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(0
 = \underline{(\epsilon)}
)n
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\underline{
\mathsf {n}}
 <= \underline{
\mathsf {m}}
\Rightarrow \underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
 <= (\underline{(fy)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
+(-u\underline{(\epsilon)}
)
)
)n
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(0
 <= \underline{(\epsilon)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(0
 = \underline{(\epsilon)}
)n
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\underline{
\mathsf {n}}
 <= \underline{
\mathsf {m}}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,((\underline{(fy)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
+(-u\underline{(\epsilon)}
)
)
 <= \underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,((\underline{(fy)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
+(-u\underline{(\epsilon)}
)
)
 = \underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
)n
)n
)n
)n
)n
\rhd \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \underline{
\mathsf {m}}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(0
 <= \underline{(\epsilon)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(0
 = \underline{(\epsilon)}
)n
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\underline{
\mathsf {n}}
 <= \underline{
\mathsf {m}}
\Rightarrow \underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
 <= (\underline{(fy)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
+(-u\underline{(\epsilon)}
)
)
)n
)n
)n
)n
)n
\gg \dot{\neg}\,(0
 <= \underline{(\epsilon)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(0
 = \underline{(\epsilon)}
)n
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\underline{
\mathsf {n}}
 <= \underline{
\mathsf {m}}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,((\underline{(fy)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
+(-u\underline{(\epsilon)}
)
)
 <= \underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,((\underline{(fy)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
+(-u\underline{(\epsilon)}
)
)
 = \underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
)n
)n
)n
)n
)n
; IntroExist
\mathop {\char64} \underline{
\mathsf {m}}
\rhd \dot{\neg}\,(0
 <= \underline{(\epsilon)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(0
 = \underline{(\epsilon)}
)n
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\underline{
\mathsf {n}}
 <= \underline{
\mathsf {m}}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,((\underline{(fy)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
+(-u\underline{(\epsilon)}
)
)
 <= \underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,((\underline{(fy)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
+(-u\underline{(\epsilon)}
)
)
 = \underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
)n
)n
)n
)n
)n
\gg \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \underline{
\mathsf {m}}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(0
 <= \underline{(\epsilon)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(0
 = \underline{(\epsilon)}
)n
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\underline{
\mathsf {n}}
 <= \underline{
\mathsf {m}}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,((\underline{(fy)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
+(-u\underline{(\epsilon)}
)
)
 <= \underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,((\underline{(fy)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
+(-u\underline{(\epsilon)}
)
)
 = \underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
)n
)n
)n
)n
)n
)n
)n
; Gen
\rhd \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \underline{
\mathsf {m}}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(0
 <= \underline{(\epsilon)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(0
 = \underline{(\epsilon)}
)n
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\underline{
\mathsf {n}}
 <= \underline{
\mathsf {m}}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,((\underline{(fy)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
+(-u\underline{(\epsilon)}
)
)
 <= \underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,((\underline{(fy)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
+(-u\underline{(\epsilon)}
)
)
 = \underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
)n
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\gg 
\forall_{obj} \underline{
\mathsf {n}}
\colon \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \underline{
\mathsf {m}}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(0
 <= \underline{(\epsilon)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(0
 = \underline{(\epsilon)}
)n
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\underline{
\mathsf {n}}
 <= \underline{
\mathsf {m}}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,((\underline{(fy)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
+(-u\underline{(\epsilon)}
)
)
 <= \underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,((\underline{(fy)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
+(-u\underline{(\epsilon)}
)
)
 = \underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
)n
)n
)n
)n
)n
)n
)n
; Gen
\rhd 
\forall_{obj} \underline{
\mathsf {n}}
\colon \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \underline{
\mathsf {m}}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(0
 <= \underline{(\epsilon)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(0
 = \underline{(\epsilon)}
)n
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\underline{
\mathsf {n}}
 <= \underline{
\mathsf {m}}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,((\underline{(fy)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
+(-u\underline{(\epsilon)}
)
)
 <= \underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,((\underline{(fy)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
+(-u\underline{(\epsilon)}
)
)
 = \underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
)n
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\gg 
\forall_{obj} \underline{(\epsilon)}
\colon 
\forall_{obj} \underline{
\mathsf {n}}
\colon \dot{\neg}\,(
\forall_{obj} \underline{
\mathsf {m}}
\colon \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(0
 <= \underline{(\epsilon)}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,(0
 = \underline{(\epsilon)}
)n
)n
)n
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\underline{
\mathsf {n}}
 <= \underline{
\mathsf {m}}
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,((\underline{(fy)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
+(-u\underline{(\epsilon)}
)
)
 <= \underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
\Rightarrow \dot{\neg}\,(\dot{\neg}\,((\underline{(fy)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
+(-u\underline{(\epsilon)}
)
)
 = \underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
)n
)n
)n
)n
)n
)n
)n
\rceil 
, 
p_0
, 
\mathsf {c}
)
]$

(******)



---------------


$
\mathsf {a}$

venter----


\appendix


\begin {flushleft}$
[sup
\stackrel{
\mathrm{prio}
}{\rightarrow}
\newline \mathbf {Preassociative} \newline 
[sup
] , \linebreak [0] 
[
\mbox{base}
] , \linebreak [0] 
[
\mbox{bracket $
\ast $ end bracket}
] , \linebreak [0] 
[
\mbox{big bracket $
\ast $ end bracket}
] , \linebreak [0] 
[
\ \$
\ast \$\linebreak[0]\ 
] , \linebreak [0] 
[
\mathbf{flush\ left\ }[ 
\ast 
]
] , \linebreak [0] 
[
\mathsf{x}
] , \linebreak [0] 
[
\mathsf{y}
] , \linebreak [0] 
[
\mathsf{z}
] , \linebreak [0] 
[
[
\ast 
\bowtie
\ast 
]
] , \linebreak [0] 
[
[
\ast 
\stackrel{
\ast 
}{\rightarrow}
\ast 
]
] , \linebreak [0] 
[
\mathrm{pyk}
] , \linebreak [0] 
[
\mathrm{tex}
] , \linebreak [0] 
[
\mathrm{name}
] , \linebreak [0] 
[
\mathrm{prio}
] , \linebreak [0] 
[
\ast 
] , \linebreak [0] 
[
\mathsf {T}
] , \linebreak [0] 
[
\mathrm {if}(
\ast 
,\linebreak [0]
\ast 
,\linebreak [0]
\ast 
)
] , \linebreak [0] 
[
[
\ast 
\stackrel {
\ast 
}{\Rightarrow }
\ast 
]
] , \linebreak [0] 
[
\mathrm {val}
] , \linebreak [0] 
[
\mathrm {claim}
] , \linebreak [0] 
[
\bot 
] , \linebreak [0] 
[
f(
\ast 
)
] , \linebreak [0] 
[
(
\ast 
){}^{I} 
] , \linebreak [0] 
[
\mathsf {F}
] , \linebreak [0] 
[
\underline {0}
] , \linebreak [0] 
[
\underline {1}
] , \linebreak [0] 
[
\underline {2}
] , \linebreak [0] 
[
\underline {3}
] , \linebreak [0] 
[
\underline {4}
] , \linebreak [0] 
[
\underline {5}
] , \linebreak [0] 
[
\underline {6}
] , \linebreak [0] 
[
\underline {7}
] , \linebreak [0] 
[
\underline {8}
] , \linebreak [0] 
[
\underline {9}
] , \linebreak [0] 
[
0
] , \linebreak [0] 
[
1
] , \linebreak [0] 
[
2
] , \linebreak [0] 
[
3
] , \linebreak [0] 
[
4
] , \linebreak [0] 
[
5
] , \linebreak [0] 
[
6
] , \linebreak [0] 
[
7
] , \linebreak [0] 
[
8
] , \linebreak [0] 
[
9
] , \linebreak [0] 
[
\mathsf {a}
] , \linebreak [0] 
[
\mathsf {b}
] , \linebreak [0] 
[
\mathsf {c}
] , \linebreak [0] 
[
\mathsf {d}
] , \linebreak [0] 
[
\mathsf {e}
] , \linebreak [0] 
[
\mathsf {f}
] , \linebreak [0] 
[
\mathsf {g}
] , \linebreak [0] 
[
\mathsf {h}
] , \linebreak [0] 
[
\mathsf {i}
] , \linebreak [0] 
[
\mathsf {j}
] , \linebreak [0] 
[
\mathsf {k}
] , \linebreak [0] 
[
\mathsf {l}
] , \linebreak [0] 
[
\mathsf {m}
] , \linebreak [0] 
[
\mathsf {n}
] , \linebreak [0] 
[
\mathsf {o}
] , \linebreak [0] 
[
\mathsf {p}
] , \linebreak [0] 
[
\mathsf {q}
] , \linebreak [0] 
[
\mathsf {r}
] , \linebreak [0] 
[
\mathsf {s}
] , \linebreak [0] 
[
\mathsf {t}
] , \linebreak [0] 
[
\mathsf {u}
] , \linebreak [0] 
[
\mathsf {v}
] , \linebreak [0] 
[
\mathsf {w}
] , \linebreak [0] 
[
(
\ast 
)^M
] , \linebreak [0] 
[
\mathrm {If}(
\ast 
,\linebreak [0]
\ast 
,\linebreak [0]
\ast 
)
] , \linebreak [0] 
[\mathrm {array}\{
\ast 
\}
\ast 
\mathrm {end\ array}
] , \linebreak [0] 
[
l
] , \linebreak [0] 
[
c
] , \linebreak [0] 
[
r
] , \linebreak [0] 
[
\mathrm {empty}
] , \linebreak [0] 
[
\langle 
\ast 
\,{|}
\ast 
{:=}\,
\ast 
\rangle 
] , \linebreak [0] 
[
{\cal M}(
\ast 
)
] , \linebreak [0] 
[
\tilde {{\cal U}}(
\ast 
)
] , \linebreak [0] 
[
{\cal U}(
\ast 
)
] , \linebreak [0] 
[
{\cal U}^M(
\ast 
)
] , \linebreak [0] 
[
\mathbf {apply}(
\ast 
,
\ast 
)
] , \linebreak [0] 
[
\mathbf {apply}_1(
\ast 
,
\ast 
)
] , \linebreak [0] 
[
identifier( 
\ast 
)
] , \linebreak [0] 
[
identifier_{1}( 
\ast 
, 
\ast 
)
] , \linebreak [0] 
[
array\mbox{-}\linebreak[0]plus( 
\ast 
, 
\ast 
)
] , \linebreak [0] 
[
array\mbox{-}\linebreak[0]remove( 
\ast 
, 
\ast 
, 
\ast 
)
] , \linebreak [0] 
[
array\mbox{-}\linebreak[0]put( 
\ast 
, 
\ast 
, 
\ast 
, 
\ast 
)
] , \linebreak [0] 
[
array\mbox{-}\linebreak[0]add( 
\ast 
, 
\ast 
, 
\ast 
, 
\ast 
, 
\ast 
)
] , \linebreak [0] 
[
bit( 
\ast 
, 
\ast 
)
] , \linebreak [0] 
[
bit_1( 
\ast 
, 
\ast 
)
] , \linebreak [0] 
[
rack
] , \linebreak [0] 
[
\mbox {\tt \char34}\mathrm {vector}\mbox {\tt \char34}
] , \linebreak [0] 
[
\mbox {\tt \char34}\mathrm {bibliography}\mbox {\tt \char34}
] , \linebreak [0] 
[
\mbox {\tt \char34}\mathrm {dictionary}\mbox {\tt \char34}
] , \linebreak [0] 
[
\mbox {\tt \char34}\mathrm {body}\mbox {\tt \char34}
] , \linebreak [0] 
[
\mbox {\tt \char34}\mathrm {codex}\mbox {\tt \char34}
] , \linebreak [0] 
[
\mbox {\tt \char34}\mathrm {expansion}\mbox {\tt \char34}
] , \linebreak [0] 
[
\mbox {\tt \char34}\mathrm {code}\mbox {\tt \char34}
] , \linebreak [0] 
[
\mbox {\tt \char34}\mathrm {cache}\mbox {\tt \char34}
] , \linebreak [0] 
[
\mbox {\tt \char34}\mathrm {diagnose}\mbox {\tt \char34}
] , \linebreak [0] 
[
\mbox {\tt \char34}\mathrm {pyk}\mbox {\tt \char34}
] , \linebreak [0] 
[
\mbox {\tt \char34}\mathrm {tex}\mbox {\tt \char34}
] , \linebreak [0] 
[
\mbox {\tt \char34}\mathrm {texname}\mbox {\tt \char34}
] , \linebreak [0] 
[
\mbox {\tt \char34}\mathrm {value}\mbox {\tt \char34}
] , \linebreak [0] 
[
\mbox {\tt \char34}\mathrm {message}\mbox {\tt \char34}
] , \linebreak [0] 
[
\mbox {\tt \char34}\mathrm {macro}\mbox {\tt \char34}
] , \linebreak [0] 
[
\mbox {\tt \char34}\mathrm {definition}\mbox {\tt \char34}
] , \linebreak [0] 
[
\mbox {\tt \char34}\mathrm {unpack}\mbox {\tt \char34}
] , \linebreak [0] 
[
\mbox {\tt \char34}\mathrm {claim}\mbox {\tt \char34}
] , \linebreak [0] 
[
\mbox {\tt \char34}\mathrm {priority}\mbox {\tt \char34}
] , \linebreak [0] 
[
\mbox {\tt \char34}\mathrm {lambda}\mbox {\tt \char34}
] , \linebreak [0] 
[
\mbox {\tt \char34}\mathrm {apply}\mbox {\tt \char34}
] , \linebreak [0] 
[
\mbox {\tt \char34}\mathrm {true}\mbox {\tt \char34}
] , \linebreak [0] 
[
\mbox {\tt \char34}\mathrm {if}\mbox {\tt \char34}
] , \linebreak [0] 
[
\mbox {\tt \char34}\mathrm {quote}\mbox {\tt \char34}
] , \linebreak [0] 
[
\mbox {\tt \char34}\mathrm {proclaim}\mbox {\tt \char34}
] , \linebreak [0] 
[
\mbox {\tt \char34}\mathrm {define}\mbox {\tt \char34}
] , \linebreak [0] 
[
\mbox {\tt \char34}\mathrm {introduce}\mbox {\tt \char34}
] , \linebreak [0] 
[
\mbox {\tt \char34}\mathrm {hide}\mbox {\tt \char34}
] , \linebreak [0] 
[
\mbox {\tt \char34}\mathrm {pre}\mbox {\tt \char34}
] , \linebreak [0] 
[
\mbox {\tt \char34}\mathrm {post}\mbox {\tt \char34}
] , \linebreak [0] 
[
{\cal E}(
\ast 
,
\ast 
,
\ast 
)
] , \linebreak [0] 
[
{\cal E}_2(
\ast 
,
\ast 
,
\ast 
,
\ast 
,
\ast 
)
] , \linebreak [0] 
[
{\cal E}_3(
\ast 
,
\ast 
,
\ast 
,
\ast 
)
] , \linebreak [0] 
[
{\cal E}_4(
\ast 
,
\ast 
,
\ast 
,
\ast 
)
] , \linebreak [0] 
[
\mathbf {lookup}(
\ast 
,
\ast 
,
\ast 
)
] , \linebreak [0] 
[
\mathbf {abstract}(
\ast 
,
\ast 
,
\ast 
,
\ast 
)
] , \linebreak [0] 
[
\lceil 
\ast 
\rceil 
] , \linebreak [0] 
[
{\cal M}(
\ast 
,
\ast 
,
\ast 
)
] , \linebreak [0] 
[
{\cal M}_2(
\ast 
,
\ast 
,
\ast 
,
\ast 
)
] , \linebreak [0] 
[
{\cal M}^*(
\ast 
,
\ast 
,
\ast 
)
] , \linebreak [0] 
[
\mathrm {macro}
] , \linebreak [0] 
[
s_0
] , \linebreak [0] 
[
\mathbf {zip}(
\ast 
,
\ast 
)
] , \linebreak [0] 
[
\mathbf {assoc}_1(
\ast 
,
\ast 
,
\ast 
)
] , \linebreak [0] 
[(
\ast 
)^{\mathbf {p}}
] , \linebreak [0] 
[
\mbox{self}
] , \linebreak [0] 
[
[
\ast 
\mathrel {\ddot {=}}
\ast 
]
] , \linebreak [0] 
[
[
\ast 
\mathrel {\dot {=}}
\ast 
]
] , \linebreak [0] 
[
[
\ast 
\mathrel {\acute {=}}
\ast 
]
] , \linebreak [0] 
[
[
\ast 
\stackrel {\mathrm {pyk}}{=} 
\ast 
]
] , \linebreak [0] 
[
[
\ast 
\stackrel {\mathrm {tex}}{=} 
\ast 
]
] , \linebreak [0] 
[
[
\ast 
\stackrel {\mathrm {name}}{=} 
\ast 
]
] , \linebreak [0] 
[
\mathbf{Priority\ table} [ 
\ast 
]
] , \linebreak [0] 
[
\tilde {{\cal M}}_1
] , \linebreak [0] 
[
\tilde {{\cal M}}_2(
\ast 
)
] , \linebreak [0] 
[
\tilde {{\cal M}}_3(
\ast 
)
] , \linebreak [0] 
[
\tilde {{\cal M}}_4(
\ast 
,
\ast 
,
\ast 
,
\ast 
)
] , \linebreak [0] 
[
\tilde {{\cal M}}(
\ast 
,
\ast 
,
\ast 
)
] , \linebreak [0] 
[
\tilde {{\cal Q}}(
\ast 
,
\ast 
,
\ast 
)
] , \linebreak [0] 
[
\tilde {{\cal Q}}_2(
\ast 
,
\ast 
,
\ast 
)
] , \linebreak [0] 
[
\tilde {{\cal Q}}_3(
\ast 
,
\ast 
,
\ast 
,
\ast 
)
] , \linebreak [0] 
[
\tilde {{\cal Q}}^*(
\ast 
,
\ast 
,
\ast 
)
] , \linebreak [0] 
[
(
\ast 
)
] , \linebreak [0] 
[
\left( 
\ast 
\right) 
] , \linebreak [0] 
[
display(
\ast 
)
] , \linebreak [0] 
[
statement(
\ast 
)
] , \linebreak [0] 
[
[
\ast 
]^{\cdot}
] , \linebreak [0] 
[
[
\ast 
]^-
] , \linebreak [0] 
[
\mathbf{aspect}( 
\ast 
, 
\ast 
)
] , \linebreak [0] 
[
\mathbf{aspect}( 
\ast 
, 
\ast 
, 
\ast 
)
] , \linebreak [0] 
[
\langle 
\ast 
\rangle 
] , \linebreak [0] 
[
\mathbf {tuple}_1( 
\ast 
) 
] , \linebreak [0] 
[
\mathbf {tuple}_2( 
\ast 
) 
] , \linebreak [0] 
[
let_2( 
\ast 
, 
\ast 
)
] , \linebreak [0] 
[
let_1( 
\ast 
, 
\ast 
)
] , \linebreak [0] 
[
[
\ast 
\stackrel {claim}{=}
\ast 
]
] , \linebreak [0] 
[
\mbox{checker}
] , \linebreak [0] 
[
\mathbf{check}( 
\ast 
, 
\ast 
)
] , \linebreak [0] 
[
\mathbf{check}_2( 
\ast 
, 
\ast 
, 
\ast 
)
] , \linebreak [0] 
[
\mathbf{check}_3( 
\ast 
, 
\ast 
, 
\ast 
)
] , \linebreak [0] 
[
\mathbf{check}^*( 
\ast 
, 
\ast 
)
] , \linebreak [0] 
[
\mathbf{check}^*_2( 
\ast 
, 
\ast 
, 
\ast 
)
] , \linebreak [0] 
[
\relax [ 
\ast 
\relax ]^{\cdot} 
] , \linebreak [0] 
[
\relax [ 
\ast 
\relax ]^{-} 
] , \linebreak [0] 
[
\relax [ 
\ast 
\relax ]^{\circ} 
] , \linebreak [0] 
[
msg
] , \linebreak [0] 
[
[
\ast 
\stackrel {msg}{=} 
\ast 
]
] , \linebreak [0] 
[
{<}stmt{>}
] , \linebreak [0] 
[
stmt
] , \linebreak [0] 
[
[
\ast 
\stackrel {stmt}{=}
\ast 
]
] , \linebreak [0] 
[
HeadNil'
] , \linebreak [0] 
[
HeadPair'
] , \linebreak [0] 
[
Transitivity'
] , \linebreak [0] 
[
{\makebox [0mm][l]{$\bot $}\,{\bot }}
] , \linebreak [0] 
[
Contra'
] , \linebreak [0] 
[
T'_{E}
] , \linebreak [0] 
[
L_{1}
] , \linebreak [0] 
[\underline{
\ast }
] , \linebreak [0] 
[{\cal A}
] , \linebreak [0] 
[{\cal B}
] , \linebreak [0] 
[{\cal C}
] , \linebreak [0] 
[{\cal D}
] , \linebreak [0] 
[{\cal E}
] , \linebreak [0] 
[{\cal F}
] , \linebreak [0] 
[{\cal G}
] , \linebreak [0] 
[{\cal H}
] , \linebreak [0] 
[{\cal I}
] , \linebreak [0] 
[{\cal J}
] , \linebreak [0] 
[{\cal K}
] , \linebreak [0] 
[{\cal L}
] , \linebreak [0] 
[{\cal M}
] , \linebreak [0] 
[{\cal N}
] , \linebreak [0] 
[{\cal O}
] , \linebreak [0] 
[{\cal P}
] , \linebreak [0] 
[{\cal Q}
] , \linebreak [0] 
[{\cal R}
] , \linebreak [0] 
[{\cal S}
] , \linebreak [0] 
[{\cal T}
] , \linebreak [0] 
[{\cal U}
] , \linebreak [0] 
[{\cal V}
] , \linebreak [0] 
[{\cal W}
] , \linebreak [0] 
[{\cal X}
] , \linebreak [0] 
[{\cal Y}
] , \linebreak [0] 
[{\cal Z}
] , \linebreak [0] 
[
\langle 
\ast 
\,{\protect\vert}
\ast 
{:=}\,
\ast 
\rangle 
] , \linebreak [0] 
[
\langle ^ { \ast } 
\ast 
\,{\protect\vert}
\ast 
{:=}\,
\ast 
\rangle 
] , \linebreak [0] 
[
\emptyset 
] , \linebreak [0] 
[
Remainder
] , \linebreak [0] 
[
( 
\ast 
)^{\bf v}
] , \linebreak [0] 
[
intro(
\ast 
,
\ast 
,
\ast 
,
\ast 
)
] , \linebreak [0] 
[
intro(
\ast 
,
\ast 
,
\ast 
)
] , \linebreak [0] 
[
error(
\ast 
,
\ast 
)
] , \linebreak [0] 
[
error_{2}(
\ast 
,
\ast 
)
] , \linebreak [0] 
[
proof( 
\ast 
, 
\ast 
, 
\ast 
)
] , \linebreak [0] 
[
proof_{2}( 
\ast 
, 
\ast 
)
] , \linebreak [0] 
[
{\cal S}(
\ast 
, 
\ast 
)
] , \linebreak [0] 
[
{\cal S}^{I}(
\ast 
, 
\ast 
)
] , \linebreak [0] 
[
{\cal S}^{\rhd}(
\ast 
, 
\ast 
)
] , \linebreak [0] 
[
{\cal S}_{1}^{\rhd}(
\ast 
, 
\ast 
, 
\ast 
)
] , \linebreak [0] 
[
{\cal S}^{E}(
\ast 
, 
\ast 
)
] , \linebreak [0] 
[
{\cal S}_{1}^{E}(
\ast 
, 
\ast 
, 
\ast 
)
] , \linebreak [0] 
[
{\cal S}^{+}(
\ast 
, 
\ast 
)
] , \linebreak [0] 
[
{\cal S}_{1}^{+}(
\ast 
, 
\ast 
, 
\ast 
)
] , \linebreak [0] 
[
{\cal S}^{-}(
\ast 
, 
\ast 
)
] , \linebreak [0] 
[
{\cal S}_{1}^{-}(
\ast 
, 
\ast 
, 
\ast 
)
] , \linebreak [0] 
[
{\cal S}^{\ast}(
\ast 
, 
\ast 
)
] , \linebreak [0] 
[
{\cal S}_{1}^{\ast}(
\ast 
, 
\ast 
, 
\ast 
)
] , \linebreak [0] 
[
{\cal S}_{2}^{\ast}(
\ast 
, 
\ast 
, 
\ast 
, 
\ast 
)
] , \linebreak [0] 
[
{\cal S}^{\char64}(
\ast 
, 
\ast 
)
] , \linebreak [0] 
[
{\cal S}_{1}^{\char64}(
\ast 
, 
\ast 
, 
\ast 
)
] , \linebreak [0] 
[
{\cal S}^{\vdash}(
\ast 
, 
\ast 
)
] , \linebreak [0] 
[
{\cal S}_{1}^{\vdash}(
\ast 
, 
\ast 
, 
\ast 
, 
\ast 
)
] , \linebreak [0] 
[
{\cal S}^{\makebox [0mm][l]{\scriptsize $\vdash $}\,{\vdash }}(
\ast 
, 
\ast 
)
] , \linebreak [0] 
[
{\cal S}_{1}^{\makebox [0mm][l]{\scriptsize $\vdash $}\,{\vdash }}(
\ast 
, 
\ast 
, 
\ast 
, 
\ast 
)
] , \linebreak [0] 
[
{\cal S}^{i.e.}(
\ast 
, 
\ast 
)
] , \linebreak [0] 
[
{\cal S}_{1}^{i.e.}(
\ast 
, 
\ast 
, 
\ast 
, 
\ast 
)
] , \linebreak [0] 
[
{\cal S}_{2}^{i.e.}(
\ast 
, 
\ast 
, 
\ast 
, 
\ast 
, 
\ast 
)
] , \linebreak [0] 
[
{\cal S}^{\forall}(
\ast 
, 
\ast 
)
] , \linebreak [0] 
[
{\cal S}_{1}^{\forall}(
\ast 
, 
\ast 
, 
\ast 
, 
\ast 
)
] , \linebreak [0] 
[
{\cal S}^{;}(
\ast 
, 
\ast 
)
] , \linebreak [0] 
[
{\cal S}_{1}^{;}(
\ast 
, 
\ast 
, 
\ast 
)
] , \linebreak [0] 
[
{\cal S}_{2}^{;}(
\ast 
, 
\ast 
, 
\ast 
, 
\ast 
)
] , \linebreak [0] 
[
{\cal T}( 
\ast 
)
] , \linebreak [0] 
[
claims( 
\ast 
, 
\ast 
, 
\ast 
)
] , \linebreak [0] 
[
claims_2( 
\ast 
, 
\ast 
, 
\ast 
)
] , \linebreak [0] 
[
{<}proof{>}
] , \linebreak [0] 
[
proof
] , \linebreak [0] 
[
[ \mathbf{Lemma\ } 
\ast 
\colon 
\ast 
]
] , \linebreak [0] 
[
[ \mathbf{Proof\ of\ }
\ast 
\colon 
\ast 
]
] , \linebreak [0] 
[
[ 
\ast 
\mathbf{\ lemma\ } 
\ast 
\colon 
\ast 
]
] , \linebreak [0] 
[
[ 
\ast 
\mathbf{\ antilemma\ } 
\ast 
\colon 
\ast 
]
] , \linebreak [0] 
[
[ 
\ast 
\mathbf{\ rule\ } 
\ast 
\colon 
\ast 
]
] , \linebreak [0] 
[
[ 
\ast 
\mathbf{\ antirule\ } 
\ast 
\colon 
\ast 
]
] , \linebreak [0] 
[
\mbox{verifier}
] , \linebreak [0] 
[
{\cal V}_1( 
\ast 
)
] , \linebreak [0] 
[
{\cal V}_2( 
\ast 
, 
\ast 
)
] , \linebreak [0] 
[
{\cal V}_3( 
\ast 
, 
\ast 
, 
\ast 
, 
\ast 
)
] , \linebreak [0] 
[
{\cal V}_4( 
\ast 
, 
\ast 
)
] , \linebreak [0] 
[
{\cal V}_5( 
\ast 
, 
\ast 
, 
\ast 
, 
\ast 
)
] , \linebreak [0] 
[
{\cal V}_6( 
\ast 
, 
\ast 
, 
\ast 
, 
\ast 
)
] , \linebreak [0] 
[
{\cal V}_7( 
\ast 
, 
\ast 
, 
\ast 
, 
\ast 
)
] , \linebreak [0] 
[
Cut( 
\ast 
, 
\ast 
)
] , \linebreak [0] 
[
Head_{\oplus} ( 
\ast 
)
] , \linebreak [0] 
[
Tail_{\oplus} ( 
\ast 
)
] , \linebreak [0] 
[
rule_1( 
\ast 
, 
\ast 
)
] , \linebreak [0] 
[
rule( 
\ast 
, 
\ast 
)
] , \linebreak [0] 
[
Rule\ tactic
] , \linebreak [0] 
[
Plus( 
\ast 
, 
\ast 
)
] , \linebreak [0] 
[
[ \mathbf{Theory\ } 
\ast 
]
] , \linebreak [0] 
[
theory_2( 
\ast 
, 
\ast 
)
] , \linebreak [0] 
[
theory_3( 
\ast 
, 
\ast 
)
] , \linebreak [0] 
[
theory_4( 
\ast 
, 
\ast 
, 
\ast 
)
] , \linebreak [0] 
[
HeadNil''
] , \linebreak [0] 
[
HeadPair''
] , \linebreak [0] 
[
Transitivity''
] , \linebreak [0] 
[
Contra''
] , \linebreak [0] 
[
HeadNil
] , \linebreak [0] 
[
HeadPair
] , \linebreak [0] 
[
Transitivity
] , \linebreak [0] 
[
Contra
] , \linebreak [0] 
[
T_E
] , \linebreak [0] 
[
ragged\ right
] , \linebreak [0] 
[
ragged\ right\ expansion\ 
] , \linebreak [0] 
[
parm(
\ast 
,
\ast 
,
\ast 
)
] , \linebreak [0] 
[
parm^*(
\ast 
,
\ast 
,
\ast 
)
] , \linebreak [0] 
[
inst(
\ast 
,
\ast 
)
] , \linebreak [0] 
[
inst^*(
\ast 
,
\ast 
)
] , \linebreak [0] 
[
occur(
\ast 
,
\ast 
,
\ast 
)
] , \linebreak [0] 
[
occur^*(
\ast 
,
\ast 
,
\ast 
)
] , \linebreak [0] 
[
unify(
\ast 
=
\ast 
,
\ast 
)
] , \linebreak [0] 
[
unify^*(
\ast 
=
\ast 
,
\ast 
)
] , \linebreak [0] 
[
unify_2(
\ast 
=
\ast 
,
\ast 
)
] , \linebreak [0] 
[L_a
] , \linebreak [0] 
[L_b
] , \linebreak [0] 
[L_c
] , \linebreak [0] 
[L_d
] , \linebreak [0] 
[L_e
] , \linebreak [0] 
[L_f
] , \linebreak [0] 
[L_g
] , \linebreak [0] 
[L_h
] , \linebreak [0] 
[L_i
] , \linebreak [0] 
[L_j
] , \linebreak [0] 
[L_k
] , \linebreak [0] 
[L_l
] , \linebreak [0] 
[L_m
] , \linebreak [0] 
[L_n
] , \linebreak [0] 
[L_o
] , \linebreak [0] 
[L_p
] , \linebreak [0] 
[L_q
] , \linebreak [0] 
[L_r
] , \linebreak [0] 
[L_s
] , \linebreak [0] 
[L_t
] , \linebreak [0] 
[L_u
] , \linebreak [0] 
[L_v
] , \linebreak [0] 
[L_w
] , \linebreak [0] 
[L_x
] , \linebreak [0] 
[L_y
] , \linebreak [0] 
[L_z
] , \linebreak [0] 
[L_A
] , \linebreak [0] 
[L_B
] , \linebreak [0] 
[L_C
] , \linebreak [0] 
[L_D
] , \linebreak [0] 
[L_E
] , \linebreak [0] 
[L_F
] , \linebreak [0] 
[L_G
] , \linebreak [0] 
[L_H
] , \linebreak [0] 
[L_I
] , \linebreak [0] 
[L_J
] , \linebreak [0] 
[L_K
] , \linebreak [0] 
[L_L
] , \linebreak [0] 
[L_M
] , \linebreak [0] 
[L_N
] , \linebreak [0] 
[L_O
] , \linebreak [0] 
[L_P
] , \linebreak [0] 
[L_Q
] , \linebreak [0] 
[L_R
] , \linebreak [0] 
[L_S
] , \linebreak [0] 
[L_T
] , \linebreak [0] 
[L_U
] , \linebreak [0] 
[L_V
] , \linebreak [0] 
[L_W
] , \linebreak [0] 
[L_X
] , \linebreak [0] 
[L_Y
] , \linebreak [0] 
[L_Z
] , \linebreak [0] 
[L_?
] , \linebreak [0] 
[
Reflexivity
] , \linebreak [0] 
[
Reflexivity_1
] , \linebreak [0] 
[
Commutativity
] , \linebreak [0] 
[
Commutativity_1
] , \linebreak [0] 
[
{<}tactic{>}
] , \linebreak [0] 
[
tactic
] , \linebreak [0] 
[
[
\ast 
\stackrel {tactic}{=}
\ast 
]
] , \linebreak [0] 
[
{\cal P}( 
\ast 
, 
\ast 
, 
\ast 
)
] , \linebreak [0] 
[
{\cal P}^*( 
\ast 
, 
\ast 
, 
\ast 
)
] , \linebreak [0] 
[
p_0
] , \linebreak [0] 
[
conclude_1 ( 
\ast 
, 
\ast 
)
] , \linebreak [0] 
[
conclude_2 ( 
\ast 
, 
\ast 
, 
\ast 
)
] , \linebreak [0] 
[
conclude_3 ( 
\ast 
, 
\ast 
, 
\ast 
, 
\ast 
)
] , \linebreak [0] 
[
conclude_4 ( 
\ast 
, 
\ast 
)
] , \linebreak [0] 
[
\mbox{check}
] , \linebreak [0] 
[
[
\ast 
\stackrel {\circ}{=}
\ast 
]
] , \linebreak [0] 
[
RootVisible(
\ast 
)
] , \linebreak [0] 
[
A
] , \linebreak [0] 
[
R
] , \linebreak [0] 
[
C
] , \linebreak [0] 
[
T
] , \linebreak [0] 
[
L
] , \linebreak [0] 
[
\{
\ast 
\}
] , \linebreak [0] 
[\overline{
\ast }
] , \linebreak [0] 
[
\mathit{a}
] , \linebreak [0] 
[
\mathit{b}
] , \linebreak [0] 
[
\mathit{c}
] , \linebreak [0] 
[
\mathit{d}
] , \linebreak [0] 
[
\mathit{e}
] , \linebreak [0] 
[
\mathit{f}
] , \linebreak [0] 
[
\mathit{g}
] , \linebreak [0] 
[
\mathit{h}
] , \linebreak [0] 
[
\mathit{i}
] , \linebreak [0] 
[
\mathit{j}
] , \linebreak [0] 
[
\mathit{k}
] , \linebreak [0] 
[
\mathit{l}
] , \linebreak [0] 
[
\mathit{m}
] , \linebreak [0] 
[
\mathit{n}
] , \linebreak [0] 
[
\mathit{o}
] , \linebreak [0] 
[
\mathit{p}
] , \linebreak [0] 
[
\mathit{q}
] , \linebreak [0] 
[
\mathit{r}
] , \linebreak [0] 
[
\mathit{s}
] , \linebreak [0] 
[
\mathit{t}
] , \linebreak [0] 
[
\mathit{u}
] , \linebreak [0] 
[
\mathit{v}
] , \linebreak [0] 
[
\mathit{w}
] , \linebreak [0] 
[
\mathit{x}
] , \linebreak [0] 
[
\mathit{y}
] , \linebreak [0] 
[
\mathit{z}
] , \linebreak [0] 
[
\langle 
\ast 
{\equiv} 
\ast 
| 
\ast 
{:=} 
\ast 
\rangle 
] , \linebreak [0] 
[
\langle 
\ast 
{\equiv}^0 
\ast 
| 
\ast 
{:=} 
\ast 
\rangle 
] , \linebreak [0] 
[
\langle 
\ast 
{\equiv}^1 
\ast 
| 
\ast 
{:=} 
\ast 
\rangle 
] , \linebreak [0] 
[
\langle 
\ast 
{\equiv}^* 
\ast 
| 
\ast 
{:=} 
\ast 
\rangle 
] , \linebreak [0] 
[
Ded(
\ast 
,
\ast 
)
] , \linebreak [0] 
[
Ded_0(
\ast 
,
\ast 
)
] , \linebreak [0] 
[
Ded_1(
\ast 
,
\ast 
,
\ast 
)
] , \linebreak [0] 
[
Ded_2(
\ast 
,
\ast 
,
\ast 
)
] , \linebreak [0] 
[
Ded_3(
\ast 
,
\ast 
,
\ast 
,
\ast 
)
] , \linebreak [0] 
[
Ded_4(
\ast 
,
\ast 
,
\ast 
,
\ast 
)
] , \linebreak [0] 
[
Ded_4^*(
\ast 
,
\ast 
,
\ast 
,
\ast 
)
] , \linebreak [0] 
[
Ded_5(
\ast 
,
\ast 
,
\ast 
)
] , \linebreak [0] 
[
Ded_6(
\ast 
,
\ast 
,
\ast 
,
\ast 
)
] , \linebreak [0] 
[
Ded_6^*(
\ast 
,
\ast 
,
\ast 
,
\ast 
)
] , \linebreak [0] 
[
Ded_7(
\ast 
)
] , \linebreak [0] 
[
Ded_8(
\ast 
,
\ast 
)
] , \linebreak [0] 
[
Ded_8^*(
\ast 
,
\ast 
)
] , \linebreak [0] 
[
S
] , \linebreak [0] 
[
Neg
] , \linebreak [0] 
[
MP
] , \linebreak [0] 
[
Gen
] , \linebreak [0] 
[
Ded
] , \linebreak [0] 
[
S1
] , \linebreak [0] 
[
S2
] , \linebreak [0] 
[
S3
] , \linebreak [0] 
[
S4
] , \linebreak [0] 
[
S5
] , \linebreak [0] 
[
S6
] , \linebreak [0] 
[
S7
] , \linebreak [0] 
[
S8
] , \linebreak [0] 
[
S9
] , \linebreak [0] 
[
Repetition
] , \linebreak [0] 
[
A1'
] , \linebreak [0] 
[
A2'
] , \linebreak [0] 
[
A4'
] , \linebreak [0] 
[
A5'
] , \linebreak [0] 
[
Prop\ 3.2a
] , \linebreak [0] 
[
Prop\ 3.2b
] , \linebreak [0] 
[
Prop\ 3.2c
] , \linebreak [0] 
[
Prop\ 3.2d
] , \linebreak [0] 
[
Prop\ 3.2e_1
] , \linebreak [0] 
[
Prop\ 3.2e_2
] , \linebreak [0] 
[
Prop\ 3.2e
] , \linebreak [0] 
[
Prop\ 3.2f_1
] , \linebreak [0] 
[
Prop\ 3.2f_2
] , \linebreak [0] 
[
Prop\ 3.2f
] , \linebreak [0] 
[
Prop\ 3.2g_1
] , \linebreak [0] 
[
Prop\ 3.2g_2
] , \linebreak [0] 
[
Prop\ 3.2g
] , \linebreak [0] 
[
Prop\ 3.2h_1
] , \linebreak [0] 
[
Prop\ 3.2h_2
] , \linebreak [0] 
[
Prop\ 3.2h
] , \linebreak [0] 
[
Block_1(
\ast 
,
\ast 
,
\ast 
)
] , \linebreak [0] 
[
Block_2(
\ast 
)
] , \linebreak [0] 
[kvanti
] , \linebreak [0] 
[UniqueMember
] , \linebreak [0] 
[UniqueMember(Type)
] , \linebreak [0] 
[SameSeries
] , \linebreak [0] 
[A4
] , \linebreak [0] 
[SameMember
] , \linebreak [0] 
[Qclosed(Addition)
] , \linebreak [0] 
[Qclosed(Multiplication)
] , \linebreak [0] 
[FromCartProd(1)
] , \linebreak [0] 
[
\mbox{1rule fromCartProd(2)}
] , \linebreak [0] 
[constantRationalSeries(
\ast 
)
] , \linebreak [0] 
[cartProd(
\ast 
)
] , \linebreak [0] 
[Power(
\ast 
)
] , \linebreak [0] 
[binaryUnion(
\ast 
,
\ast 
)
] , \linebreak [0] 
[SetOfRationalSeries
] , \linebreak [0] 
[IsSubset(
\ast 
,
\ast 
)
] , \linebreak [0] 
[(p
\ast 
,
\ast 
)
] , \linebreak [0] 
[(s
\ast 
)
] , \linebreak [0] 
[(\cdots{})
] , \linebreak [0] 
[\texttt{Objekt-var}
] , \linebreak [0] 
[\texttt{Ex-var}
] , \linebreak [0] 
[\texttt{Ph-var}
] , \linebreak [0] 
[\texttt{V\ae{}rdi}
] , \linebreak [0] 
[\texttt{Variabel}
] , \linebreak [0] 
[Op(
\ast 
)
] , \linebreak [0] 
[Op(
\ast 
,
\ast 
)
] , \linebreak [0] 
[
\ast 
 \mathrel {\ddot {==}} 
\ast 
] , \linebreak [0] 
[ContainsEmpty(
\ast 
)
] , \linebreak [0] 
[Nat(
\ast 
)
] , \linebreak [0] 
[
Dedu(
\ast 
,
\ast 
)
] , \linebreak [0] 
[
Dedu_0(
\ast 
,
\ast 
)
] , \linebreak [0] 
[Dedu_{s}(
\ast 
,
\ast 
,
\ast 
)
] , \linebreak [0] 
[
Dedu_1(
\ast 
,
\ast 
,
\ast 
)
] , \linebreak [0] 
[
Dedu_2(
\ast 
,
\ast 
,
\ast 
)
] , \linebreak [0] 
[
Dedu_3(
\ast 
,
\ast 
,
\ast 
,
\ast 
)
] , \linebreak [0] 
[
Dedu_4(
\ast 
,
\ast 
,
\ast 
,
\ast 
)
] , \linebreak [0] 
[
Dedu_4^*(
\ast 
,
\ast 
,
\ast 
,
\ast 
)
] , \linebreak [0] 
[
Dedu_5(
\ast 
,
\ast 
,
\ast 
)
] , \linebreak [0] 
[
Dedu_6(
\ast 
,
\ast 
,
\ast 
,
\ast 
)
] , \linebreak [0] 
[
Dedu_6^*(
\ast 
,
\ast 
,
\ast 
,
\ast 
)
] , \linebreak [0] 
[
Dedu_7(
\ast 
)
] , \linebreak [0] 
[
Dedu_8(
\ast 
,
\ast 
)
] , \linebreak [0] 
[
Dedu_8^*(
\ast 
,
\ast 
)
] , \linebreak [0] 
[Ex_{1}
] , \linebreak [0] 
[Ex_{2}
] , \linebreak [0] 
[Ex3
] , \linebreak [0] 
[Ex_{10}
] , \linebreak [0] 
[Ex_{20}
] , \linebreak [0] 
[
\ast 
 _{Ex}
] , \linebreak [0] 
[
\ast 
 ^{Ex}
] , \linebreak [0] 
[\langle 
\ast 
{\equiv} 
\ast 
| 
\ast 
{:==} 
\ast 
\rangle_{Ex} 
] , \linebreak [0] 
[\langle 
\ast 
{\equiv}^0 
\ast 
| 
\ast 
{:==} 
\ast 
\rangle_{Ex} 
] , \linebreak [0] 
[\langle 
\ast 
{\equiv}^1 
\ast 
| 
\ast 
{:==} 
\ast 
\rangle_{Ex} 
] , \linebreak [0] 
[\langle 
\ast 
{\equiv}^* 
\ast 
| 
\ast 
{:==} 
\ast 
\rangle_{Ex} 
] , \linebreak [0] 
[ph_{1}
] , \linebreak [0] 
[ph_{2}
] , \linebreak [0] 
[ph_{3}
] , \linebreak [0] 
[
\ast 
 _{Ph} 
] , \linebreak [0] 
[
\ast 
 ^{Ph}
] , \linebreak [0] 
[\langle 
\ast 
{\equiv} 
\ast 
| 
\ast 
{:==} 
\ast 
\rangle_{Ph} 
] , \linebreak [0] 
[\langle 
\ast 
{\equiv}^0 
\ast 
| 
\ast 
{:==} 
\ast 
\rangle_{Ph} 
] , \linebreak [0] 
[\langle 
\ast 
{\equiv}^1 
\ast 
| 
\ast 
{:==} 
\ast 
\rangle_{Ph} 
] , \linebreak [0] 
[\langle 
\ast 
{\equiv}^* 
\ast 
| 
\ast 
{:==} 
\ast 
\rangle_{Ph} 
] , \linebreak [0] 
[\langle 
\ast 
{\equiv} 
\ast 
| 
\ast 
{:==} 
\ast 
\rangle_{Me}
] , \linebreak [0] 
[\langle 
\ast 
{\equiv}^1 
\ast 
| 
\ast 
{:==} 
\ast 
\rangle_{Me} 
] , \linebreak [0] 
[\langle 
\ast 
{\equiv}^* 
\ast 
| 
\ast 
{:==} 
\ast 
\rangle_{Me} 
] , \linebreak [0] 
[\mathsf {bs}
] , \linebreak [0] 
[ \mathsf {OBS}
] , \linebreak [0] 
[{\cal BS}
] , \linebreak [0] 
[\mathrm{\O}
] , \linebreak [0] 
[SystemQ
] , \linebreak [0] 
[MP
] , \linebreak [0] 
[Gen
] , \linebreak [0] 
[Repetition
] , \linebreak [0] 
[Neg
] , \linebreak [0] 
[Ded
] , \linebreak [0] 
[ExistIntro
] , \linebreak [0] 
[Extensionality
] , \linebreak [0] 
[\O{}def
] , \linebreak [0] 
[PairDef
] , \linebreak [0] 
[UnionDef
] , \linebreak [0] 
[PowerDef
] , \linebreak [0] 
[SeparationDef
] , \linebreak [0] 
[AddDoubleNeg
] , \linebreak [0] 
[RemoveDoubleNeg
] , \linebreak [0] 
[AndCommutativity
] , \linebreak [0] 
[AutoImply
] , \linebreak [0] 
[Contrapositive
] , \linebreak [0] 
[FirstConjunct
] , \linebreak [0] 
[SecondConjunct
] , \linebreak [0] 
[FromContradiction
] , \linebreak [0] 
[FromDisjuncts
] , \linebreak [0] 
[IffCommutativity
] , \linebreak [0] 
[IffFirst
] , \linebreak [0] 
[IffSecond
] , \linebreak [0] 
[ImplyTransitivity
] , \linebreak [0] 
[JoinConjuncts
] , \linebreak [0] 
[MP2
] , \linebreak [0] 
[MP3
] , \linebreak [0] 
[MP4
] , \linebreak [0] 
[MP5
] , \linebreak [0] 
[MT
] , \linebreak [0] 
[NegativeMT
] , \linebreak [0] 
[Technicality
] , \linebreak [0] 
[Weakening
] , \linebreak [0] 
[WeakenOr1
] , \linebreak [0] 
[WeakenOr2
] , \linebreak [0] 
[Formula2Pair
] , \linebreak [0] 
[Pair2Formula
] , \linebreak [0] 
[Formula2Union
] , \linebreak [0] 
[Union2Formula
] , \linebreak [0] 
[Formula2Sep
] , \linebreak [0] 
[Sep2Formula
] , \linebreak [0] 
[Formula2Power
] , \linebreak [0] 
[SubsetInPower
] , \linebreak [0] 
[HelperPowerIsSub
] , \linebreak [0] 
[PowerIsSub
] , \linebreak [0] 
[(Switch)HelperPowerIsSub
] , \linebreak [0] 
[(Switch)PowerIsSub
] , \linebreak [0] 
[ToSetEquality
] , \linebreak [0] 
[HelperToSetEquality(t)
] , \linebreak [0] 
[ToSetEquality(t)
] , \linebreak [0] 
[HelperFromSetEquality
] , \linebreak [0] 
[FromSetEquality
] , \linebreak [0] 
[HelperReflexivity
] , \linebreak [0] 
[Reflexivity
] , \linebreak [0] 
[HelperSymmetry
] , \linebreak [0] 
[Symmetry
] , \linebreak [0] 
[HelperTransitivity
] , \linebreak [0] 
[Transitivity
] , \linebreak [0] 
[ERisReflexive
] , \linebreak [0] 
[ERisSymmetric
] , \linebreak [0] 
[ERisTransitive
] , \linebreak [0] 
[\O{}isSubset
] , \linebreak [0] 
[HelperMemberNot\O{}
] , \linebreak [0] 
[MemberNot\O{}
] , \linebreak [0] 
[HelperUnique\O{}
] , \linebreak [0] 
[Unique\O{}
] , \linebreak [0] 
[==\!{}Reflexivity
] , \linebreak [0] 
[==\!{}Symmetry
] , \linebreak [0] 
[Helper\!{}==\!{}Transitivity
] , \linebreak [0] 
[\!{}==\!{}Transitivity
] , \linebreak [0] 
[HelperTransferNotEq
] , \linebreak [0] 
[TransferNotEq
] , \linebreak [0] 
[HelperPairSubset
] , \linebreak [0] 
[Helper(2)PairSubset
] , \linebreak [0] 
[PairSubset
] , \linebreak [0] 
[SamePair
] , \linebreak [0] 
[SameSingleton
] , \linebreak [0] 
[UnionSubset
] , \linebreak [0] 
[SameUnion
] , \linebreak [0] 
[SeparationSubset
] , \linebreak [0] 
[SameSeparation
] , \linebreak [0] 
[SameBinaryUnion
] , \linebreak [0] 
[IntersectionSubset
] , \linebreak [0] 
[SameIntersection
] , \linebreak [0] 
[AutoMember
] , \linebreak [0] 
[HelperEqSysNot\O{}
] , \linebreak [0] 
[EqSysNot\O{}
] , \linebreak [0] 
[HelperEqSubset
] , \linebreak [0] 
[EqSubset
] , \linebreak [0] 
[HelperEqNecessary
] , \linebreak [0] 
[EqNecessary
] , \linebreak [0] 
[HelperNoneEqNecessary
] , \linebreak [0] 
[Helper(2)NoneEqNecessary
] , \linebreak [0] 
[NoneEqNecessary
] , \linebreak [0] 
[EqClassIsSubset
] , \linebreak [0] 
[EqClassesAreDisjoint
] , \linebreak [0] 
[AllDisjoint
] , \linebreak [0] 
[AllDisjointImply
] , \linebreak [0] 
[BSsubset
] , \linebreak [0] 
[Union(BS/R)subset
] , \linebreak [0] 
[UnionIdentity
] , \linebreak [0] 
[EqSysIsPartition
] , \linebreak [0] 
[(x1)
] , \linebreak [0] 
[(x2)
] , \linebreak [0] 
[(y1)
] , \linebreak [0] 
[(y2)
] , \linebreak [0] 
[(v1)
] , \linebreak [0] 
[(v2)
] , \linebreak [0] 
[(v3)
] , \linebreak [0] 
[(v4)
] , \linebreak [0] 
[(v2n)
] , \linebreak [0] 
[(m1)
] , \linebreak [0] 
[(m2)
] , \linebreak [0] 
[(n1)
] , \linebreak [0] 
[(n2)
] , \linebreak [0] 
[(n3)
] , \linebreak [0] 
[(\epsilon)
] , \linebreak [0] 
[(\epsilon)_{1}
] , \linebreak [0] 
[(\epsilon 2)
] , \linebreak [0] 
[(fep)
] , \linebreak [0] 
[(fx)
] , \linebreak [0] 
[(fy)
] , \linebreak [0] 
[(fz)
] , \linebreak [0] 
[(fu)
] , \linebreak [0] 
[(fv)
] , \linebreak [0] 
[(fw)
] , \linebreak [0] 
[(rx)
] , \linebreak [0] 
[(ry)
] , \linebreak [0] 
[(rz)
] , \linebreak [0] 
[(ru)
] , \linebreak [0] 
[(sx)
] , \linebreak [0] 
[(sx1)
] , \linebreak [0] 
[(sy)
] , \linebreak [0] 
[(sy1)
] , \linebreak [0] 
[(sz)
] , \linebreak [0] 
[(sz1)
] , \linebreak [0] 
[(su)
] , \linebreak [0] 
[(su1)
] , \linebreak [0] 
[(fxs)
] , \linebreak [0] 
[(fys)
] , \linebreak [0] 
[(crs1)
] , \linebreak [0] 
[(f1)
] , \linebreak [0] 
[(f2)
] , \linebreak [0] 
[(f3)
] , \linebreak [0] 
[(f4)
] , \linebreak [0] 
[(op1)
] , \linebreak [0] 
[(op2)
] , \linebreak [0] 
[(r1)
] , \linebreak [0] 
[(s1)
] , \linebreak [0] 
[(s2)
] , \linebreak [0] 
[X_{1}
] , \linebreak [0] 
[X_{2}
] , \linebreak [0] 
[Y_{1}
] , \linebreak [0] 
[Y_{2}
] , \linebreak [0] 
[V_{1}
] , \linebreak [0] 
[V_{2}
] , \linebreak [0] 
[V_{3}
] , \linebreak [0] 
[V_{4}
] , \linebreak [0] 
[V_{2n}
] , \linebreak [0] 
[M_{1}
] , \linebreak [0] 
[M_{2}
] , \linebreak [0] 
[N_{1} 
] , \linebreak [0] 
[N_{2} 
] , \linebreak [0] 
[N_{3} 
] , \linebreak [0] 
[\epsilon
] , \linebreak [0] 
[\epsilon 1
] , \linebreak [0] 
[\epsilon 2
] , \linebreak [0] 
[FX
] , \linebreak [0] 
[FY
] , \linebreak [0] 
[FZ
] , \linebreak [0] 
[FU
] , \linebreak [0] 
[FV
] , \linebreak [0] 
[FW
] , \linebreak [0] 
[FEP
] , \linebreak [0] 
[RX
] , \linebreak [0] 
[RY
] , \linebreak [0] 
[RZ
] , \linebreak [0] 
[RU
] , \linebreak [0] 
[(SX)
] , \linebreak [0] 
[(SX1)
] , \linebreak [0] 
[(SY)
] , \linebreak [0] 
[(SY1)
] , \linebreak [0] 
[(SZ)
] , \linebreak [0] 
[(SZ1)
] , \linebreak [0] 
[(SU)
] , \linebreak [0] 
[(SU1)
] , \linebreak [0] 
[FXS
] , \linebreak [0] 
[FYS
] , \linebreak [0] 
[(F1)
] , \linebreak [0] 
[(F2)
] , \linebreak [0] 
[(F3)
] , \linebreak [0] 
[(F4)
] , \linebreak [0] 
[(OP1)
] , \linebreak [0] 
[(OP2)
] , \linebreak [0] 
[(R1)
] , \linebreak [0] 
[(S1)
] , \linebreak [0] 
[(S2)
] , \linebreak [0] 
[(EPob)
] , \linebreak [0] 
[(CRS1ob)
] , \linebreak [0] 
[(F1ob)
] , \linebreak [0] 
[(F2ob)
] , \linebreak [0] 
[(F3ob)
] , \linebreak [0] 
[(F4ob)
] , \linebreak [0] 
[(N1ob)
] , \linebreak [0] 
[(N2ob)
] , \linebreak [0] 
[(OP1ob)
] , \linebreak [0] 
[(OP2ob)
] , \linebreak [0] 
[(R1ob)
] , \linebreak [0] 
[(S1ob)
] , \linebreak [0] 
[(S2ob)
] , \linebreak [0] 
[ph_{4}
] , \linebreak [0] 
[ph_{5}
] , \linebreak [0] 
[ph_{6}
] , \linebreak [0] 
[NAT
] , \linebreak [0] 
[RATIONAL_SERIES
] , \linebreak [0] 
[SERIES
] , \linebreak [0] 
[SetOfReals
] , \linebreak [0] 
[SetOfFxs
] , \linebreak [0] 
[N
] , \linebreak [0] 
[Q
] , \linebreak [0] 
[X
] , \linebreak [0] 
[xs
] , \linebreak [0] 
[xaF
] , \linebreak [0] 
[ysF
] , \linebreak [0] 
[us
] , \linebreak [0] 
[usFoelge
] , \linebreak [0] 
[0
] , \linebreak [0] 
[1
] , \linebreak [0] 
[(-1)
] , \linebreak [0] 
[2
] , \linebreak [0] 
[3
] , \linebreak [0] 
[1/2
] , \linebreak [0] 
[1/3
] , \linebreak [0] 
[2/3
] , \linebreak [0] 
[0f
] , \linebreak [0] 
[
\mbox{1f}
] , \linebreak [0] 
[00
] , \linebreak [0] 
[
\mbox{01}
] , \linebreak [0] 
[(--01)
] , \linebreak [0] 
[02
] , \linebreak [0] 
[01//02
] , \linebreak [0] 
[
\mbox{lemma plus0Left}
] , \linebreak [0] 
[
\mbox{lemma times1Left}
] , \linebreak [0] 
[
\mbox{lemma eqAdditionLeft}
] , \linebreak [0] 
[
\mbox{lemma eqMultiplicationLeft}
] , \linebreak [0] 
[PlusAssociativity(R)
] , \linebreak [0] 
[PlusAssociativity(R)XX
] , \linebreak [0] 
[Plus0(R)
] , \linebreak [0] 
[Negative(R)
] , \linebreak [0] 
[Times1(R)
] , \linebreak [0] 
[lessAddition(R)
] , \linebreak [0] 
[PlusCommutativity(R)
] , \linebreak [0] 
[LeqAntisymmetry(R)
] , \linebreak [0] 
[LeqTransitivity(R)
] , \linebreak [0] 
[leqAddition(R)
] , \linebreak [0] 
[Distribution(R)
] , \linebreak [0] 
[A4(Axiom)
] , \linebreak [0] 
[InductionAxiom
] , \linebreak [0] 
[EqualityAxiom
] , \linebreak [0] 
[EqLeqAxiom
] , \linebreak [0] 
[EqAdditionAxiom
] , \linebreak [0] 
[EqMultiplicationAxiom
] , \linebreak [0] 
[QisClosed(Reciprocal)(Imply)
] , \linebreak [0] 
[QisClosed(Reciprocal)
] , \linebreak [0] 
[QisClosed(Negative)(Imply)
] , \linebreak [0] 
[QisClosed(Negative)
] , \linebreak [0] 
[leqReflexivity
] , \linebreak [0] 
[leqAntisymmetryAxiom
] , \linebreak [0] 
[leqTransitivityAxiom
] , \linebreak [0] 
[leqTotality
] , \linebreak [0] 
[leqAdditionAxiom
] , \linebreak [0] 
[leqMultiplicationAxiom
] , \linebreak [0] 
[plusAssociativity
] , \linebreak [0] 
[plusCommutativity
] , \linebreak [0] 
[Negative
] , \linebreak [0] 
[plus0
] , \linebreak [0] 
[timesAssociativity
] , \linebreak [0] 
[timesCommutativity
] , \linebreak [0] 
[ReciprocalAxiom
] , \linebreak [0] 
[times1
] , \linebreak [0] 
[Distribution
] , \linebreak [0] 
[0not1
] , \linebreak [0] 
[
\mbox{lemma eqLeq(R)}
] , \linebreak [0] 
[TimesAssociativity(R)
] , \linebreak [0] 
[TimesCommutativity(R)
] , \linebreak [0] 
[
\mbox{lemma =f to sameF}
] , \linebreak [0] 
[
\mbox{lemma plusF(Sym)}
] , \linebreak [0] 
[
\mbox{lemma timesF(Sym)}
] , \linebreak [0] 
[Separation2formula(1)
] , \linebreak [0] 
[Separation2formula(2)
] , \linebreak [0] 
[IfThenElse(T)
] , \linebreak [0] 
[IfThenElse(F)
] , \linebreak [0] 
[Cauchy
] , \linebreak [0] 
[PlusF
] , \linebreak [0] 
[ReciprocalF
] , \linebreak [0] 
[From==
] , \linebreak [0] 
[To==
] , \linebreak [0] 
[From<<
] , \linebreak [0] 
[to<<
] , \linebreak [0] 
[FromInR
] , \linebreak [0] 
[PlusR
] , \linebreak [0] 
[PlusR(Sym)
] , \linebreak [0] 
[TimesR
] , \linebreak [0] 
[TimesR(Sym)
] , \linebreak [0] 
[ReciprocalR(Axiom)
] , \linebreak [0] 
[LessMinus1(N)
] , \linebreak [0] 
[Nonnegative(N)
] , \linebreak [0] 
[US0
] , \linebreak [0] 
[NextXS(UpperBound)
] , \linebreak [0] 
[NextXS(NoUpperBound)
] , \linebreak [0] 
[NextUS(UpperBound)
] , \linebreak [0] 
[NextUS(NoUpperBound)
] , \linebreak [0] 
[ExpZero
] , \linebreak [0] 
[ExpPositive
] , \linebreak [0] 
[ExpZero(R)
] , \linebreak [0] 
[ExpPositive(R)
] , \linebreak [0] 
[BSzero
] , \linebreak [0] 
[BSpositive
] , \linebreak [0] 
[UStelescope(Zero)
] , \linebreak [0] 
[UStelescope(Positive)
] , \linebreak [0] 
[EqAddition(R)
] , \linebreak [0] 
[Unminus(R)
] , \linebreak [0] 
[FromLimit
] , \linebreak [0] 
[ToUpperBound
] , \linebreak [0] 
[FromUpperBound
] , \linebreak [0] 
[USisUpperBound
] , \linebreak [0] 
[0not1(R)
] , \linebreak [0] 
[ExpUnbounded(R)
] , \linebreak [0] 
[FromLeq(Advanced)(N)
] , \linebreak [0] 
[FromLeastUpperBound
] , \linebreak [0] 
[ToLeastUpperBound
] , \linebreak [0] 
[XSisNotUpperBound
] , \linebreak [0] 
[ysFGreater
] , \linebreak [0] 
[ysFLess
] , \linebreak [0] 
[SmallInverse
] , \linebreak [0] 
[NatType
] , \linebreak [0] 
[RationalType
] , \linebreak [0] 
[SeriesType
] , \linebreak [0] 
[Max
] , \linebreak [0] 
[Numerical
] , \linebreak [0] 
[MemberOfSeries(Imply)
] , \linebreak [0] 
[JoinConjuncts(2conditions)
] , \linebreak [0] 
[
\mbox{prop lemma imply negation}
] , \linebreak [0] 
[TND
] , \linebreak [0] 
[FromNegatedImply
] , \linebreak [0] 
[ToNegatedImply
] , \linebreak [0] 
[FromNegated(2*Imply)
] , \linebreak [0] 
[FromNegatedAnd
] , \linebreak [0] 
[FromNegatedOr
] , \linebreak [0] 
[ToNegatedOr
] , \linebreak [0] 
[FromNegations
] , \linebreak [0] 
[From3Disjuncts
] , \linebreak [0] 
[From2*2Disjuncts
] , \linebreak [0] 
[NegateDisjunct1
] , \linebreak [0] 
[NegateDisjunct2
] , \linebreak [0] 
[ExpandDisjuncts
] , \linebreak [0] 
[SENC1
] , \linebreak [0] 
[SENC2
] , \linebreak [0] 
[LessLeq(R)
] , \linebreak [0] 
[MemberOfSeries
] , \linebreak [0] 
[memberOfSeries(Type)
] , \linebreak [0] 
[To!!==
] , \linebreak [0] 
[ToNegatedDoubleImply
] , \linebreak [0] 
[ToNegatedAnd(1)
] , \linebreak [0] 
[AddNegatedAll
] , \linebreak [0] 
[(A)to(~E~)(Imply)
] , \linebreak [0] 
[(E)to(~A~)(Imply)
] , \linebreak [0] 
[(E~)to(~A)(Imply)
] , \linebreak [0] 
[ToNegatedAEA 
] , \linebreak [0] 
[UniqueNegative
] , \linebreak [0] 
[DoubleMinus
] , \linebreak [0] 
[MinusNegated
] , \linebreak [0] 
[eqReflexivity
] , \linebreak [0] 
[eqSymmetry
] , \linebreak [0] 
[eqTransitivity
] , \linebreak [0] 
[eqTransitivity4
] , \linebreak [0] 
[eqTransitivity5
] , \linebreak [0] 
[eqTransitivity6
] , \linebreak [0] 
[AddEquations
] , \linebreak [0] 
[SubtractEquations
] , \linebreak [0] 
[SubtractEquationsLeft
] , \linebreak [0] 
[MultiplyEquations
] , \linebreak [0] 
[EqNegated
] , \linebreak [0] 
[PositiveToRight(Eq)
] , \linebreak [0] 
[PositiveToLeft(Eq)
] , \linebreak [0] 
[PositiveToLeft(Eq)(1 term)
] , \linebreak [0] 
[NegativeToLeft(Eq)
] , \linebreak [0] 
[NonreciprocalToRight(Eq)(1 term)
] , \linebreak [0] 
[DistributionOut(Minus)
] , \linebreak [0] 
[PositiveToRight(Eq)(1 term)
] , \linebreak [0] 
[SameSeries(NumDiff)
] , \linebreak [0] 
[PlusAssociativity(4 terms)
] , \linebreak [0] 
[LessNeq
] , \linebreak [0] 
[NeqSymmetry
] , \linebreak [0] 
[NeqNegated
] , \linebreak [0] 
[SubNeqRight
] , \linebreak [0] 
[SubNeqLeft
] , \linebreak [0] 
[NegativeToRight(Neq)(1 term)
] , \linebreak [0] 
[NeqAddition
] , \linebreak [0] 
[NeqMultiplication
] , \linebreak [0] 
[NonzeroProduct(2)
] , \linebreak [0] 
[SwitchTerms(x<=y-z)
] , \linebreak [0] 
[NegativeToLeft(Less)(1 term)
] , \linebreak [0] 
[(+1)IsPositive(N)
] , \linebreak [0] 
[(1/2)(x+y)-x=(1/2)(y-x)
] , \linebreak [0] 
[y-(1/2)(x+y)=(1/2)(y-x)
] , \linebreak [0] 
[ExpZero(Exact) 
] , \linebreak [0] 
[SameExp(Base)
] , \linebreak [0] 
[SameExp(Indu)
] , \linebreak [0] 
[SameExp
] , \linebreak [0] 
[Exp(+1)
] , \linebreak [0] 
[PositiveBase(Base)
] , \linebreak [0] 
[PositiveBase(Indu)
] , \linebreak [0] 
[PositiveBase
] , \linebreak [0] 
[BSzero(Exact)
] , \linebreak [0] 
[SameBS(2)(Base)
] , \linebreak [0] 
[SameBS(2)(Indu)
] , \linebreak [0] 
[SameBS(2)
] , \linebreak [0] 
[BS(+1)
] , \linebreak [0] 
[BSbound(Exact)(Base)
] , \linebreak [0] 
[BSbound(Exact)(Indu)
] , \linebreak [0] 
[BSbound(Exact)
] , \linebreak [0] 
[BSbound
] , \linebreak [0] 
[UStelescope(Zero)(Exact)
] , \linebreak [0] 
[SameTelescope(2)(Base)
] , \linebreak [0] 
[SameTelescope(2)(Indu)
] , \linebreak [0] 
[SameTelescope(2)
] , \linebreak [0] 
[UStelescope(+1)
] , \linebreak [0] 
[TelescopeNumerical(Base)
] , \linebreak [0] 
[TelescopeNumerical(Indu)
] , \linebreak [0] 
[TelescopeNumerical
] , \linebreak [0] 
[TelescopeBound(Base)
] , \linebreak [0] 
[TelescopeBound(Indu)
] , \linebreak [0] 
[TelescopeBound
] , \linebreak [0] 
[LessNeq(F)(Helper)
] , \linebreak [0] 
[LessNeq(F)
] , \linebreak [0] 
[LessNeq(R)
] , \linebreak [0] 
[IntervalSize(Base)
] , \linebreak [0] 
[IntervalSize(Indu)
] , \linebreak [0] 
[IntervalSize
] , \linebreak [0] 
[XS<US
] , \linebreak [0] 
[
\mbox{lemma USdecreasing(+1)}
] , \linebreak [0] 
[CloseUS
] , \linebreak [0] 
[CloseUS(n+1)
] , \linebreak [0] 
[AllNegated(Imply)
] , \linebreak [0] 
[ExistNegated(Imply)
] , \linebreak [0] 
[IntroExist(Helper)
] , \linebreak [0] 
[IntroExist
] , \linebreak [0] 
[ExistMP
] , \linebreak [0] 
[ExistMP2
] , \linebreak [0] 
[TwiceExistMP
] , \linebreak [0] 
[TwiceExistMP2
] , \linebreak [0] 
[EAE-MP
] , \linebreak [0] 
[AddAll 
] , \linebreak [0] 
[AddExist(Helper1)
] , \linebreak [0] 
[AddExist(Helper2)
] , \linebreak [0] 
[AddExist
] , \linebreak [0] 
[AddExist(SimpleAnt)
] , \linebreak [0] 
[AddExist(Simple)
] , \linebreak [0] 
[AddEAE
] , \linebreak [0] 
[AEA-negated
] , \linebreak [0] 
[EEA-negated
] , \linebreak [0] 
[Induction
] , \linebreak [0] 
[leqAntisymmetry
] , \linebreak [0] 
[leqTransitivity
] , \linebreak [0] 
[leqAddition
] , \linebreak [0] 
[leqMultiplication
] , \linebreak [0] 
[Reciprocal
] , \linebreak [0] 
[Equality
] , \linebreak [0] 
[eqLeq
] , \linebreak [0] 
[eqAddition
] , \linebreak [0] 
[eqMultiplication
] , \linebreak [0] 
[LeqMultiplicationLeft 
] , \linebreak [0] 
[LeqLessEq
] , \linebreak [0] 
[LessLeq
] , \linebreak [0] 
[FromLeqGeq
] , \linebreak [0] 
[subLeqRight
] , \linebreak [0] 
[subLeqLeft
] , \linebreak [0] 
[Leq+1
] , \linebreak [0] 
[PositiveToRight(Leq)
] , \linebreak [0] 
[PositiveToRight(Leq)(1 term)
] , \linebreak [0] 
[
\mbox{lemma negativeToRight(Leq)}
] , \linebreak [0] 
[PositiveToLeft(Leq)
] , \linebreak [0] 
[negativeToLeft(Leq)
] , \linebreak [0] 
[negativeToLeft(Leq)(1 term)
] , \linebreak [0] 
[LeqAdditionLeft
] , \linebreak [0] 
[leqSubtraction
] , \linebreak [0] 
[leqSubtractionLeft
] , \linebreak [0] 
[thirdGeq
] , \linebreak [0] 
[LeqNegated
] , \linebreak [0] 
[AddEquations(Leq)
] , \linebreak [0] 
[MultiplyEquations(Leq)
] , \linebreak [0] 
[ThirdGeqSeries
] , \linebreak [0] 
[LeqNeqLess
] , \linebreak [0] 
[FromLess
] , \linebreak [0] 
[ToLess
] , \linebreak [0] 
[fromNotLess
] , \linebreak [0] 
[toNotLess
] , \linebreak [0] 
[NegativeLessPositive
] , \linebreak [0] 
[leqLessTransitivity
] , \linebreak [0] 
[LessLeqTransitivity
] , \linebreak [0] 
[LessTransitivity
] , \linebreak [0] 
[LessTotality
] , \linebreak [0] 
[SubLessRight
] , \linebreak [0] 
[SubLessLeft
] , \linebreak [0] 
[SwitchTerms(x<y-z)
] , \linebreak [0] 
[SwitchTerms(x-y<z)
] , \linebreak [0] 
[LessAddition
] , \linebreak [0] 
[LessAdditionLeft
] , \linebreak [0] 
[LessMultiplication
] , \linebreak [0] 
[LessMultiplicationLeft
] , \linebreak [0] 
[LessDivision
] , \linebreak [0] 
[PositiveToRight(Less)
] , \linebreak [0] 
[PositiveToLeft(Less)
] , \linebreak [0] 
[NegativeToLeft(Less)
] , \linebreak [0] 
[NegativeToRight(Less)
] , \linebreak [0] 
[AddEquations(Less)
] , \linebreak [0] 
[AddEquations(LeqLess)
] , \linebreak [0] 
[reciprocalToLeft(Less)
] , \linebreak [0] 
[LessNegated
] , \linebreak [0] 
[PositiveNonzero
] , \linebreak [0] 
[PositiveNegated
] , \linebreak [0] 
[NonpositiveNegated
] , \linebreak [0] 
[NegativeNegated
] , \linebreak [0] 
[NonnegativeNegated
] , \linebreak [0] 
[PositiveHalved
] , \linebreak [0] 
[PositiveInverted
] , \linebreak [0] 
[NonnegativeNumerical
] , \linebreak [0] 
[NegativeNumerical
] , \linebreak [0] 
[PositiveNumerical
] , \linebreak [0] 
[
\mbox{lemma nonpositiveNumerical}
] , \linebreak [0] 
[|0|=0
] , \linebreak [0] 
[0<=|x|
] , \linebreak [0] 
[x<=|x|
] , \linebreak [0] 
[FromPositiveNumerical
] , \linebreak [0] 
[SameNumerical
] , \linebreak [0] 
[SignNumerical(+)
] , \linebreak [0] 
[SignNumerical
] , \linebreak [0] 
[ToNumericalLess
] , \linebreak [0] 
[FromNumericalGreater
] , \linebreak [0] 
[NumericalDifference
] , \linebreak [0] 
[NumericalDifferenceLess(Helper)
] , \linebreak [0] 
[NumericalDifferenceLess
] , \linebreak [0] 
[SplitNumericalSumHelper
] , \linebreak [0] 
[splitNumericalSum(++)
] , \linebreak [0] 
[splitNumericalSum(--)
] , \linebreak [0] 
[splitNumericalSum(+-small)
] , \linebreak [0] 
[splitNumericalSum(+-big)
] , \linebreak [0] 
[splitNumericalSum(+-)
] , \linebreak [0] 
[splitNumericalSum(-+)
] , \linebreak [0] 
[splitNumericalSum
] , \linebreak [0] 
[SplitNumericalProduct(++)
] , \linebreak [0] 
[SplitNumericalProduct(+-)
] , \linebreak [0] 
[SplitNumericalProduct
] , \linebreak [0] 
[insertMiddleTerm(Numerical)
] , \linebreak [0] 
[insertTwoMiddleTerms(Numerical)
] , \linebreak [0] 
[Three2twoTerms
] , \linebreak [0] 
[Three2threeTerms
] , \linebreak [0] 
[Three2twoFactors
] , \linebreak [0] 
[Three2threeFactors
] , \linebreak [0] 
[Times(-1)
] , \linebreak [0] 
[Times(-1)Left
] , \linebreak [0] 
[MaxLeq(1)
] , \linebreak [0] 
[MaxLeq(2)
] , \linebreak [0] 
[LessThanMax
] , \linebreak [0] 
[x+y=zBackwards
] , \linebreak [0] 
[x*y=zBackwards
] , \linebreak [0] 
[x=x+(y-y)
] , \linebreak [0] 
[x=x+y-y
] , \linebreak [0] 
[x=x*y*(1/y)
] , \linebreak [0] 
[insertMiddleTerm(Sum)
] , \linebreak [0] 
[insertTwoMiddleTerms(Sum)
] , \linebreak [0] 
[insertMiddleTerm(Difference)
] , \linebreak [0] 
[x*0+x=x
] , \linebreak [0] 
[x*0=0
] , \linebreak [0] 
[NonnegativeFactors
] , \linebreak [0] 
[NonzeroFactors
] , \linebreak [0] 
[PositiveFactors
] , \linebreak [0] 
[PlusTimesMinus
] , \linebreak [0] 
[MinusTimesMinus
] , \linebreak [0] 
[(-1)*(-1)+(-1)*1=0
] , \linebreak [0] 
[(-1)*(-1)=1
] , \linebreak [0] 
[0<1Helper
] , \linebreak [0] 
[0<1
] , \linebreak [0] 
[0<2
] , \linebreak [0] 
[0<3
] , \linebreak [0] 
[0<1/2
] , \linebreak [0] 
[0<1/3
] , \linebreak [0] 
[TwoWholes
] , \linebreak [0] 
[ThreeWholes
] , \linebreak [0] 
[TwoHalves
] , \linebreak [0] 
[ThreeThirds
] , \linebreak [0] 
[-x-y=-(x+y)
] , \linebreak [0] 
[-x*y=-(x*y)
] , \linebreak [0] 
[-0=0
] , \linebreak [0] 
[SFsymmetry
] , \linebreak [0] 
[SFtransitivity
] , \linebreak [0] 
[f2R(Plus)
] , \linebreak [0] 
[f2R(Times)
] , \linebreak [0] 
[<<TransitivityHelper(Q)
] , \linebreak [0] 
[<<Transitivity
] , \linebreak [0] 
[<<==Reflexivity
] , \linebreak [0] 
[<<==AntisymmetryHelper(Q)
] , \linebreak [0] 
[FromNot<f(Weak)(Helper)
] , \linebreak [0] 
[FromNot<f(Weak)
] , \linebreak [0] 
[FromNot<f(Strong)(Helper2)
] , \linebreak [0] 
[FromNot<f(Strong)(Helper)
] , \linebreak [0] 
[FromNot<f(Strong)
] , \linebreak [0] 
[fromNotSameF(Strongest)(Helper2)
] , \linebreak [0] 
[fromNotSameF(Strongest)(Helper)
] , \linebreak [0] 
[fromNotSameF(Strongest)
] , \linebreak [0] 
[ToLess(F)(Helper)
] , \linebreak [0] 
[ToLess(F)
] , \linebreak [0] 
[FromNot<<
] , \linebreak [0] 
[ToLess(R)
] , \linebreak [0] 
[LeqTotality(R)
] , \linebreak [0] 
[FromNotSameF(Weak)(Helper)
] , \linebreak [0] 
[FromNotSameF(Weak)
] , \linebreak [0] 
[FromNotLess(F)
] , \linebreak [0] 
[==Addition
] , \linebreak [0] 
[==AdditionLeft
] , \linebreak [0] 
[Fpart-Bounded(Base)
] , \linebreak [0] 
[Fpart-Bounded(InduHelper)
] , \linebreak [0] 
[Fpart-Bounded(Indu)
] , \linebreak [0] 
[Fpart-Bounded
] , \linebreak [0] 
[F-Bounded(Helper)
] , \linebreak [0] 
[F-Bounded
] , \linebreak [0] 
[SameFmultiplication(Helper)
] , \linebreak [0] 
[SameFmultiplication
] , \linebreak [0] 
[EqMultiplication(R)
] , \linebreak [0] 
[EqMultiplicationLeft(R)
] , \linebreak [0] 
[x*0=0(F)
] , \linebreak [0] 
[x*0=0(R)
] , \linebreak [0] 
[LessMultiplication(F)(Helper2)
] , \linebreak [0] 
[LessMultiplication(F)(Helper)
] , \linebreak [0] 
[LessMultiplication(F)
] , \linebreak [0] 
[LessMultiplication(R)
] , \linebreak [0] 
[LeqMultiplication(R)
] , \linebreak [0] 
[PlusAssociativity(F)
] , \linebreak [0] 
[Plus0(F)
] , \linebreak [0] 
[PlusCommutativity(F)
] , \linebreak [0] 
[TimesAssociativity(F)
] , \linebreak [0] 
[Times1f
] , \linebreak [0] 
[Cauchy(2)(Helper)
] , \linebreak [0] 
[Cauchy(2)
] , \linebreak [0] 
[ReciprocalFnonzero
] , \linebreak [0] 
[ReciprocalFnynonzero
] , \linebreak [0] 
[(Eventually=f)2sameF(Helper)
] , \linebreak [0] 
[(Eventually=f)2sameF
] , \linebreak [0] 
[FromNotSameF(Strong)(Helper2)
] , \linebreak [0] 
[FromNotSameF(Strong)(Helper)
] , \linebreak [0] 
[FromNotSameF(Strong)
] , \linebreak [0] 
[SameFreciprocal(Helper)
] , \linebreak [0] 
[SameFreciprocal
] , \linebreak [0] 
[From!!==
] , \linebreak [0] 
[Reciprocal(R)
] , \linebreak [0] 
[TimesCommutativity(F)
] , \linebreak [0] 
[Distribution(F)
] , \linebreak [0] 
[FromMax(1)
] , \linebreak [0] 
[FromMax(2)
] , \linebreak [0] 
[ToNegatedAnd
] , \linebreak [0] 
[PositiveToRight(Less)(1 term)
] , \linebreak [0] 
[(A~)to(~E)
] , \linebreak [0] 
[
\mbox{lemma ==Transitivity4}
] , \linebreak [0] 
[Plus0Left(R)
] , \linebreak [0] 
[x=x+(y-y)(R)
] , \linebreak [0] 
[x=x+y-y(R)
] , \linebreak [0] 
[PositiveToRight(Eq)(R)
] , \linebreak [0] 
[SubtractEquations(R)
] , \linebreak [0] 
[NeqAddition(R)
] , \linebreak [0] 
[EqAdditionLeft(R)
] , \linebreak [0] 
[Three2twoTerms(R)
] , \linebreak [0] 
[PositiveToRight(Less)(R)
] , \linebreak [0] 
[Three2threeTerms(R)
] , \linebreak [0] 
[PositiveToRight(Less)(1 term)(R)
] , \linebreak [0] 
[ToLeq(Advanced)(R)
] , \linebreak [0] 
[LeqNeqLess(R)
] , \linebreak [0] 
[SubLeqLeft(R)
] , \linebreak [0] 
[LeqLessTransitivity(R)
] , \linebreak [0] 
[NegativeToLeft(Eq)(R)
] , \linebreak [0] 
[NegativeToRight(Less)(R)
] , \linebreak [0] 
[!!==Symmetry
] , \linebreak [0] 
[NegativeToRight(Eq)(R)
] , \linebreak [0] 
[NegativeToRight(Eq)(1 term)(R)
] , \linebreak [0] 
[DoubleMinus(R)
] , \linebreak [0] 
[UniqueNegative(R)
] , \linebreak [0] 
[SubtractEquationsLeft(R)
] , \linebreak [0] 
[EqNegated(R)
] , \linebreak [0] 
[NeqNegated(R)
] , \linebreak [0] 
[LeqNegated(R)
] , \linebreak [0] 
[LessNegated(R)
] , \linebreak [0] 
[-0=0(R)
] , \linebreak [0] 
[NegativeNegated(R)
] , \linebreak [0] 
[FromLeqGeq(R)
] , \linebreak [0] 
[SubLeqRight(R)
] , \linebreak [0] 
[FromLess(R)
] , \linebreak [0] 
[NonnegativeNumerical(R)
] , \linebreak [0] 
[NegativeNumerical(R)
] , \linebreak [0] 
[0<=|x|(R)
] , \linebreak [0] 
[PositiveNegated(R)
] , \linebreak [0] 
[AddEquations(R)
] , \linebreak [0] 
[DistributionOut(R)
] , \linebreak [0] 
[==Transitivity5
] , \linebreak [0] 
[x*0+x=x(R)
] , \linebreak [0] 
[x*0=0(R)(fff)
] , \linebreak [0] 
[Times(-1)(R)
] , \linebreak [0] 
[Times(-1)Left(R)
] , \linebreak [0] 
[-x-y=-(x+y)(R)
] , \linebreak [0] 
[LessTotality(R)
] , \linebreak [0] 
[PositiveNumerical(R)
] , \linebreak [0] 
[SignNumerical(+)(R)
] , \linebreak [0] 
[SameNumerical(R)
] , \linebreak [0] 
[MinusNegated(R)
] , \linebreak [0] 
[SignNumerical(R)
] , \linebreak [0] 
[NumericalDifference(R)
] , \linebreak [0] 
[x<=|x|(R)
] , \linebreak [0] 
[USlimitIsUpperBound(Helper)
] , \linebreak [0] 
[USlimitIsUpperBound
] , \linebreak [0] 
[(-1)*(-1)+(-1)*1=0(R)
] , \linebreak [0] 
[(-1)*(-1)=1(R)
] , \linebreak [0] 
[0<1Helper(R)
] , \linebreak [0] 
[0<1(R)
] , \linebreak [0] 
[ExpZero(Exact)(R)
] , \linebreak [0] 
[PositiveBase(R)(Base)
] , \linebreak [0] 
[Three2twoFactors(R)
] , \linebreak [0] 
[x=x*y*(1/y)(R)
] , \linebreak [0] 
[NeqMultiplication(R)
] , \linebreak [0] 
[LessTransitivity(R)
] , \linebreak [0] 
[0<2(R)
] , \linebreak [0] 
[SameExp(R)(Base)
] , \linebreak [0] 
[SameExp(R)(Indu)
] , \linebreak [0] 
[SameExp(R)
] , \linebreak [0] 
[SubNeqLeft(R)
] , \linebreak [0] 
[SubNeqRight(R)
] , \linebreak [0] 
[NonzeroFactors(R)
] , \linebreak [0] 
[NonnegativeFactors(R)
] , \linebreak [0] 
[PositiveFactors(R)
] , \linebreak [0] 
[LessDivision(R)
] , \linebreak [0] 
[0<1/2(R)
] , \linebreak [0] 
[PositiveToRight(Eq)(1 term)(R)
] , \linebreak [0] 
[Exp(+1)(R)
] , \linebreak [0] 
[PositiveBase(R)(Indu)
] , \linebreak [0] 
[PositiveBase(R)
] , \linebreak [0] 
[-x*y=-(x*y)(R)
] , \linebreak [0] 
[PositiveToLeft(Eq)(R)
] , \linebreak [0] 
[Times1Left(R)
] , \linebreak [0] 
[==Transitivity6
] , \linebreak [0] 
[x+x=2*x(R)
] , \linebreak [0] 
[(1/2)x+(1/2)x=x(R)
] , \linebreak [0] 
[DistributionOut(Minus)(R)
] , \linebreak [0] 
[(1/2)(x+y)-x=(1/2)(y-x)(R)
] , \linebreak [0] 
[IntervalSize(R)(Base)
] , \linebreak [0] 
[LessMultiplicationLeft(R)
] , \linebreak [0] 
[NegativeToLeft(Less)(R)
] , \linebreak [0] 
[NegativeToLeft(Less)(1 term)(R)
] , \linebreak [0] 
[y-(1/2)(x+y)=(1/2)(y-x)(R)
] , \linebreak [0] 
[IntervalSize(R)(Indu)
] , \linebreak [0] 
[IntervalSize(R)
] , \linebreak [0] 
[XSlessUS(R)
] , \linebreak [0] 
[USdecreasing(+1)(R)
] , \linebreak [0] 
[ExpUnbounded(Base)
] , \linebreak [0] 
[ExpUnbounded(Indu)
] , \linebreak [0] 
[ExpUnbounded
] , \linebreak [0] 
[1<=x+1(N)
] , \linebreak [0] 
[NonzeroProduct(2)(R)
] , \linebreak [0] 
[PositiveNonzero(R)
] , \linebreak [0] 
[NonreciprocalToRight(Eq)(1 term)(R)
] , \linebreak [0] 
[ExpNonzero(Base)
] , \linebreak [0] 
[ExpNonzero(Indu)
] , \linebreak [0] 
[ExpNonzero
] , \linebreak [0] 
[ExpNonzero(2)
] , \linebreak [0] 
[MultiplyEquations(R)
] , \linebreak [0] 
[HalfBase(Base)
] , \linebreak [0] 
[HalfBase(Indu)
] , \linebreak [0] 
[HalfBase
] , \linebreak [0] 
[Three2threeFactors(R)
] , \linebreak [0] 
[x*y=zBackwards(R)
] , \linebreak [0] 
[PositiveInverted(R)
] , \linebreak [0] 
[ReciprocalToRight(Less)(R)
] , \linebreak [0] 
[ReciprocalToRight(Less)(1 term)(R)
] , \linebreak [0] 
[NonreciprocalToLeft(Less)(R)
] , \linebreak [0] 
[1<x*y(R)
] , \linebreak [0] 
[SwitchFactors(1/x<y)(R)
] , \linebreak [0] 
[SmallHalving
] , \linebreak [0] 
[IntervalSize(anyPositive)
] , \linebreak [0] 
[USdecreasing(+n)(Base)
] , \linebreak [0] 
[USdecreasing(+n)(Indu)
] , \linebreak [0] 
[USdecreasing(+n)
] , \linebreak [0] 
[USdecreasing
] , \linebreak [0] 
[LeqAdditionLeft(R)
] , \linebreak [0] 
[ToNotLess(R)
] , \linebreak [0] 
[LimitOfUSIsLeq
] , \linebreak [0] 
[SubtractEquations(Less)(R)
] , \linebreak [0] 
[SubtractEquationsLeft(Less)(R)
] , \linebreak [0] 
[LessNegated(Negative)(R)
] , \linebreak [0] 
[FromNegatedAnd(Imply)
] , \linebreak [0] 
[RemoveDoubleNeg(Consequent)
] , \linebreak [0] 
[FromNotUpperBound
] , \linebreak [0] 
[DistributionOut
] , \linebreak [0] 
[DistributionOutLeft
] , \linebreak [0] 
[DistributionLeft
] , \linebreak [0] 
[LeqNUB
] , \linebreak [0] 
[USlimitIsLeastUpperBound(Helper)
] , \linebreak [0] 
[USlimitIsLeastUpperBound
] , \linebreak [0] 
[FromNotLess(R)
] , \linebreak [0] 
[ExistMP3
] , \linebreak [0] 
[GreaterPositive(N)
] , \linebreak [0] 
[ysFClose(Helper)
] , \linebreak [0] 
[ysFClose
] , \linebreak [0] 
[ysFCauchy(Helper)
] , \linebreak [0] 
[ysFCauchy
] , \linebreak [0] 
[CartProdIsRelation
] , \linebreak [0] 
[FromSubset
] , \linebreak [0] 
[SubsetIsRelation
] , \linebreak [0] 
[ToSeries
] , \linebreak [0] 
[FromSeries
] , \linebreak [0] 
[SeriesSubsetCP
] , \linebreak [0] 
[ValueType
] , \linebreak [0] 
[RemoveOr
] , \linebreak [0] 
[FromSingleton
] , \linebreak [0] 
[InPair(1)
] , \linebreak [0] 
[InPair(2)
] , \linebreak [0] 
[SameMember(2)
] , \linebreak [0] 
[ToBinaryUnion(1)
] , \linebreak [0] 
[ToBinaryUnion(2)
] , \linebreak [0] 
[FromOrderedPair(TwoLevels)
] , \linebreak [0] 
[ToCartProd(Helper)
] , \linebreak [0] 
[ToCartProd
] , \linebreak [0] 
[NonreciprocalToRight(Eq)
] , \linebreak [0] 
[NonreciprocalToLeft(Eq)(1 term)
] , \linebreak [0] 
[SameReciprocal
] , \linebreak [0] 
[CPseparationIsRelation
] , \linebreak [0] 
[OrderedPairEquality
] , \linebreak [0] 
[ReciprocalIsFunction
] , \linebreak [0] 
[ReciprocalIsTotal
] , \linebreak [0] 
[ReciprocalIsRationalSeries
] , \linebreak [0] 
[CrsIsRelation
] , \linebreak [0] 
[CrsIsFunction 
] , \linebreak [0] 
[CrsIsTotal
] , \linebreak [0] 
[CrsIsSeries
] , \linebreak [0] 
[CrsLookup
] , \linebreak [0] 
[0f
] , \linebreak [0] 
[1f
] , \linebreak [0] 
[ToSingleton
] , \linebreak [0] 
[FromSameSingleton
] , \linebreak [0] 
[SingletonmembersEqual
] , \linebreak [0] 
[UnequalsNotInSingleton
] , \linebreak [0] 
[NonsingletonmembersUnequal
] , \linebreak [0] 
[FromOrderedPair
] , \linebreak [0] 
[FromOrderedPair(1)
] , \linebreak [0] 
[FromOrderedPair(2)
] , \linebreak [0] 
[FromCartProd
] , \linebreak [0] 
[FromCartProd(1)
] , \linebreak [0] 
[FromCartProd(2)
] , \linebreak [0] 
[sameOrderedPair
] , \linebreak [0] 
[InSeriesHelper
] , \linebreak [0] 
[InSeries
] , \linebreak [0] 
[To=f(Subset)(Helper)
] , \linebreak [0] 
[To=f(Subset)
] , \linebreak [0] 
[To=f
] , \linebreak [0] 
[productIsFunction
] , \linebreak [0] 
[productIsTotal
] , \linebreak [0] 
[ProductIsRationalSeries
] , \linebreak [0] 
[TimesF
] , \linebreak [0] 
[-x+(1/2)x=-(1/2)x
] , \linebreak [0] 
[PositiveTripled
] , \linebreak [0] 
[PositiveDividedBy3
] , \linebreak [0] 
[|x-x|=0
] , \linebreak [0] 
[1<2
] , \linebreak [0] 
[1/3<2/3
] , \linebreak [0] 
[(1/3)x+(1/3)x=(2/3)x
] , \linebreak [0] 
[(2/3)x+(1/3)x=x
] , \linebreak [0] 
[-x+(2/3)x=-(1/3)x
] , \linebreak [0] 
[-(1/3)x-(1/3)x=-(2/3)x
] , \linebreak [0] 
[-x+(1/3)x=-(2/3)x
] , \linebreak [0] 
[PreserveLessGreater
] , \linebreak [0] 
[ClosetolessIsLess
] , \linebreak [0] 
[SubLessLeft(F)
] , \linebreak [0] 
[SubLessLeft(R)
] , \linebreak [0] 
[ClosetogreaterIsGreater
] , \linebreak [0] 
[SubLessRight(F)
] , \linebreak [0] 
[SubLessRight(R)
]
; 
\newline \mathbf {Preassociative} \newline 
[Tester1
] , \linebreak [0] 
[Tester2
] , \linebreak [0] 
[Tester3
] , \linebreak [0] 
[Tester4
] , \linebreak [0] 
[Tester5
] , \linebreak [0] 
[Tester6
]
; 
\newline \mathbf {Preassociative} \newline 
[
\ast 
\_\{
\ast 
\}
] , \linebreak [0] 
[
\ast 
/indexintro(
\ast 
,
\ast 
,
\ast 
,
\ast 
)
] , \linebreak [0] 
[
\ast 
/intro(
\ast 
,
\ast 
,
\ast 
)
] , \linebreak [0] 
[
\ast 
/bothintro(
\ast 
,
\ast 
,
\ast 
,
\ast 
,
\ast 
)
] , \linebreak [0] 
[
\ast 
/nameintro(
\ast 
,
\ast 
,
\ast 
,
\ast 
)
] , \linebreak [0] 
[
\ast '
] , \linebreak [0] 
[
\ast 
{[}
\ast 
{]}
] , \linebreak [0] 
[
\ast 
[ 
\ast 
{\rightarrow} 
\ast 
]
] , \linebreak [0] 
[
\ast 
[ 
\ast 
{\Rightarrow} 
\ast 
]
] , \linebreak [0] 
[
\ast 
0
] , \linebreak [0] 
[
\ast 
1
] , \linebreak [0] 
[
0 \mathrm {b}
] , \linebreak [0] 
[
\ast 
\mbox {-color}( 
\ast 
)
] , \linebreak [0] 
[
\ast 
\mbox {-color}^{\ast}( 
\ast 
)
] , \linebreak [0] 
[
\ast 
{}^H
] , \linebreak [0] 
[
\ast 
{}^T
] , \linebreak [0] 
[
\ast 
{}^U
] , \linebreak [0] 
[
\ast 
{}^h
] , \linebreak [0] 
[
\ast 
{}^t
] , \linebreak [0] 
[
\ast 
{}^s
] , \linebreak [0] 
[
\ast 
{}^c
] , \linebreak [0] 
[
\ast 
{}^d
] , \linebreak [0] 
[
\ast 
{}^a
] , \linebreak [0] 
[
\ast 
{}^C
] , \linebreak [0] 
[
\ast 
{}^M
] , \linebreak [0] 
[
\ast 
{}^B
] , \linebreak [0] 
[
\ast 
{}^{r}
] , \linebreak [0] 
[
\ast 
{}^{i}
] , \linebreak [0] 
[
\ast 
{}^{d}
] , \linebreak [0] 
[
\ast 
{}^{R}
] , \linebreak [0] 
[
\ast 
{}^{0}
] , \linebreak [0] 
[
\ast 
{}^{1}
] , \linebreak [0] 
[
\ast 
{}^{2}
] , \linebreak [0] 
[
\ast 
{}^{3}
] , \linebreak [0] 
[
\ast 
{}^{4}
] , \linebreak [0] 
[
\ast 
{}^{5}
] , \linebreak [0] 
[
\ast 
{}^{6}
] , \linebreak [0] 
[
\ast 
{}^{7}
] , \linebreak [0] 
[
\ast 
{}^{8}
] , \linebreak [0] 
[
\ast 
{}^{9}
] , \linebreak [0] 
[
\ast 
{} ^ { E }
] , \linebreak [0] 
[
\ast 
{} ^ {\cal V}
] , \linebreak [0] 
[
\ast 
{} ^ {\cal C}
] , \linebreak [0] 
[
\ast 
{} ^ {{\cal C} ^ { \ast }}
] , \linebreak [0] 
[
\ast 
{}^{hide}
]
; 
\newline \mathbf {Preassociative} \newline 
[
\mbox{``}
\ast 
\mbox{''}
] , \linebreak [0] 
[
] , \linebreak [0] 
[
(
\ast 
)^{\bf t}
] , \linebreak [0] 
[
\mbox{string}(
\ast 
)+
\ast 
] , \linebreak [0] 
[\mbox{string}(
\ast 
)\mathrel{++}
\ast 
] , \linebreak [0] 
[
\newline 
\ast 
] , \linebreak [0] 
[
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}
\ast 
] , \linebreak [0] 
[!
\ast 
] , \linebreak [0] 
[
\mbox {\tt \char34}
\ast 
] , \linebreak [0] 
[
\#
\ast 
] , \linebreak [0] 
[
\$
\ast 
] , \linebreak [0] 
[
\%
\ast 
] , \linebreak [0] 
[
\&
\ast 
] , \linebreak [0] 
[
\mbox {'}
\ast 
] , \linebreak [0] 
[(
\ast 
] , \linebreak [0] 
[)
\ast 
] , \linebreak [0] 
[
{*}
\ast 
] , \linebreak [0] 
[
{+}
\ast 
] , \linebreak [0] 
[,
\ast 
] , \linebreak [0] 
[
\mbox{-}
\ast 
] , \linebreak [0] 
[.
\ast 
] , \linebreak [0] 
[/
\ast 
] , \linebreak [0] 
[0
\ast 
] , \linebreak [0] 
[1
\ast 
] , \linebreak [0] 
[2
\ast 
] , \linebreak [0] 
[3
\ast 
] , \linebreak [0] 
[4
\ast 
] , \linebreak [0] 
[5
\ast 
] , \linebreak [0] 
[6
\ast 
] , \linebreak [0] 
[7
\ast 
] , \linebreak [0] 
[8
\ast 
] , \linebreak [0] 
[9
\ast 
] , \linebreak [0] 
[
{:}
\ast 
] , \linebreak [0] 
[;
\ast 
] , \linebreak [0] 
[
{<}
\ast 
] , \linebreak [0] 
[
{=}
\ast 
] , \linebreak [0] 
[
{>}
\ast 
] , \linebreak [0] 
[?
\ast 
] , \linebreak [0] 
[@
\ast 
] , \linebreak [0] 
[A
\ast 
] , \linebreak [0] 
[B
\ast 
] , \linebreak [0] 
[C
\ast 
] , \linebreak [0] 
[D
\ast 
] , \linebreak [0] 
[E
\ast 
] , \linebreak [0] 
[F
\ast 
] , \linebreak [0] 
[G
\ast 
] , \linebreak [0] 
[H
\ast 
] , \linebreak [0] 
[I
\ast 
] , \linebreak [0] 
[J
\ast 
] , \linebreak [0] 
[K
\ast 
] , \linebreak [0] 
[L
\ast 
] , \linebreak [0] 
[M
\ast 
] , \linebreak [0] 
[N
\ast 
] , \linebreak [0] 
[O
\ast 
] , \linebreak [0] 
[P
\ast 
] , \linebreak [0] 
[Q
\ast 
] , \linebreak [0] 
[R
\ast 
] , \linebreak [0] 
[S
\ast 
] , \linebreak [0] 
[T
\ast 
] , \linebreak [0] 
[U
\ast 
] , \linebreak [0] 
[V
\ast 
] , \linebreak [0] 
[W
\ast 
] , \linebreak [0] 
[X
\ast 
] , \linebreak [0] 
[Y
\ast 
] , \linebreak [0] 
[Z
\ast 
] , \linebreak [0] 
[[
\ast 
] , \linebreak [0] 
[
\mbox {$\backslash $}
\ast 
] , \linebreak [0] 
[]
\ast 
] , \linebreak [0] 
[
{\char94}
\ast 
] , \linebreak [0] 
[
\_
\ast 
] , \linebreak [0] 
[
\mbox {`}
\ast 
] , \linebreak [0] 
[a
\ast 
] , \linebreak [0] 
[b
\ast 
] , \linebreak [0] 
[c
\ast 
] , \linebreak [0] 
[d
\ast 
] , \linebreak [0] 
[e
\ast 
] , \linebreak [0] 
[f
\ast 
] , \linebreak [0] 
[g
\ast 
] , \linebreak [0] 
[h
\ast 
] , \linebreak [0] 
[i
\ast 
] , \linebreak [0] 
[j
\ast 
] , \linebreak [0] 
[k
\ast 
] , \linebreak [0] 
[l
\ast 
] , \linebreak [0] 
[m
\ast 
] , \linebreak [0] 
[n
\ast 
] , \linebreak [0] 
[o
\ast 
] , \linebreak [0] 
[p
\ast 
] , \linebreak [0] 
[q
\ast 
] , \linebreak [0] 
[r
\ast 
] , \linebreak [0] 
[s
\ast 
] , \linebreak [0] 
[t
\ast 
] , \linebreak [0] 
[u
\ast 
] , \linebreak [0] 
[v
\ast 
] , \linebreak [0] 
[w
\ast 
] , \linebreak [0] 
[x
\ast 
] , \linebreak [0] 
[y
\ast 
] , \linebreak [0] 
[z
\ast 
] , \linebreak [0] 
[
\{
\ast 
] , \linebreak [0] 
[|
\ast 
] , \linebreak [0] 
[
\}
\ast 
] , \linebreak [0] 
[
\char126 
\ast 
] , \linebreak [0] 
[
\mathbf{Preassociative}\,
\ast 
; 
\ast 
] , \linebreak [0] 
[
\mathbf{Postassociative}\,
\ast 
; 
\ast 
] , \linebreak [0] 
[
[
\ast 
] , \linebreak [0] 
\ast 
] , \linebreak [0] 
[
\mathrm{priority} \,
\ast 
\, \mathrm{end}
] , \linebreak [0] 
[
newline\ 
\ast 
] , \linebreak [0] 
[
macro\ newline\ 
\ast 
] , \linebreak [0] 
[
MacroIndent(
\ast 
)
]
; 
\newline \mathbf {Preassociative} \newline 
[
\ast 
\mathbin {\mbox {'}}
\ast 
] , \linebreak [0] 
[
\ast 
\mathbin {\mbox {`}}
\ast 
]
; 
\newline \mathbf {Preassociative} \newline 
[ 
\ast 
 (exp) 
\ast 
]
; 
\newline \mathbf {Preassociative} \newline 
[
\ast 
{}'
] , \linebreak [0] 
[R(
\ast 
)
] , \linebreak [0] 
[--R(
\ast 
)
] , \linebreak [0] 
[rec
\ast 
]
; 
\newline \mathbf {Preassociative} \newline 
[
\ast 
 / 
\ast 
] , \linebreak [0] 
[
\ast 
 \cap 
\ast 
] , \linebreak [0] 
[
\ast 
[
\ast 
]
]
; 
\newline \mathbf {Preassociative} \newline 
[\cup 
\ast 
] , \linebreak [0] 
[
\ast 
 \mathrel{\cup} 
\ast 
] , \linebreak [0] 
[P(
\ast 
)
]
; 
\newline \mathbf {Preassociative} \newline 
[\{
\ast 
\}
] , \linebreak [0] 
[StateExpand(
\ast 
,
\ast 
,
\ast 
)
] , \linebreak [0] 
[extractSeries(
\ast 
)
] , \linebreak [0] 
[SetOfSeries(
\ast 
)
] , \linebreak [0] 
[--Macro(
\ast 
)
] , \linebreak [0] 
[ExpandList(
\ast 
,
\ast 
,
\ast 
)
] , \linebreak [0] 
[**Macro(
\ast 
)
] , \linebreak [0] 
[++Macro(
\ast 
)
] , \linebreak [0] 
[<<Macro(
\ast 
)
] , \linebreak [0] 
[UB(
\ast 
, 
\ast 
)
] , \linebreak [0] 
[LUB(
\ast 
, 
\ast 
)
] , \linebreak [0] 
[BS(
\ast 
,
\ast 
)
] , \linebreak [0] 
[UStelescope(
\ast 
,
\ast 
)
] , \linebreak [0] 
[(
\ast 
)
] , \linebreak [0] 
[|r
\ast 
|
] , \linebreak [0] 
[Limit(
\ast 
,
\ast 
)
] , \linebreak [0] 
[Union(
\ast 
)
] , \linebreak [0] 
[IsOrderedPair(
\ast 
,
\ast 
,
\ast 
)
] , \linebreak [0] 
[IsRelation(
\ast 
,
\ast 
,
\ast 
)
] , \linebreak [0] 
[isFunction(
\ast 
,
\ast 
,
\ast 
)
] , \linebreak [0] 
[IsSeries(
\ast 
,
\ast 
)
] , \linebreak [0] 
[IsNatural(
\ast 
,\ast
)
] , \linebreak [0] 
[OrderedPair(
\ast 
,
\ast 
)
] , \linebreak [0] 
[TypeNat(
\ast 
)
] , \linebreak [0] 
[TypeNat0(
\ast 
)
] , \linebreak [0] 
[TypeRational(
\ast 
)
] , \linebreak [0] 
[TypeRational0(
\ast 
)
] , \linebreak [0] 
[TypeSeries(
\ast 
,
\ast 
)
] , \linebreak [0] 
[Typeseries0(
\ast 
,
\ast 
)
]
; 
\newline \mathbf {Preassociative} \newline 
[\{
\ast 
,
\ast 
\}
] , \linebreak [0] 
[\langle 
\ast 
,
\ast 
\rangle
] , \linebreak [0] 
[(-u
\ast 
)
] , \linebreak [0] 
[-_{f}
\ast 
] , \linebreak [0] 
[(--
\ast 
)
] , \linebreak [0] 
[1f/
\ast 
] , \linebreak [0] 
[1fny/
\ast 
] , \linebreak [0] 
[01//temp
\ast 
]
; 
\newline \mathbf {Preassociative} \newline 
[
\ast 
(
\ast 
,
\ast 
)
] , \linebreak [0] 
[ReflRel(
\ast 
,
\ast 
)
] , \linebreak [0] 
[SymRel(
\ast 
,
\ast 
)
] , \linebreak [0] 
[TransRel(
\ast 
,
\ast 
)
] , \linebreak [0] 
[EqRel(
\ast 
,
\ast 
)
] , \linebreak [0] 
[[
\ast 
 \mathrel{\in} 
\ast 
]_{
\ast 
}
] , \linebreak [0] 
[Partition(
\ast 
,
\ast 
)
]
; 
\newline \mathbf {Preassociative} \newline 
[
\ast 
\cdot 
\ast 
] , \linebreak [0] 
[
\ast 
\cdot_0 
\ast 
] , \linebreak [0] 
[(
\ast 
*
\ast 
)
] , \linebreak [0] 
[
\ast 
*_{f}
\ast 
] , \linebreak [0] 
[
\ast 
**
\ast 
]
; 
\newline \mathbf {Preassociative} \newline 
[
\ast 
+ 
\ast 
] , \linebreak [0] 
[
\ast 
\mathop{+_0} 
\ast 
] , \linebreak [0] 
[
\ast 
\mathop{+_1} 
\ast 
] , \linebreak [0] 
[
\ast 
- 
\ast 
] , \linebreak [0] 
[
\ast 
\mathop{-_0} 
\ast 
] , \linebreak [0] 
[
\ast 
\mathop{-_1} 
\ast 
] , \linebreak [0] 
[(
\ast 
+
\ast 
)
] , \linebreak [0] 
[(
\ast 
-
\ast 
)
] , \linebreak [0] 
[
\ast 
+_{f}
\ast 
] , \linebreak [0] 
[
\ast 
-_{f}
\ast 
] , \linebreak [0] 
[
\ast 
++
\ast 
] , \linebreak [0] 
[R(
\ast 
) -- R(
\ast 
)
]
; 
\newline \mathbf {Preassociative} \newline 
[
\ast 
 \mathrel{\in} 
\ast 
]
; 
\newline \mathbf {Preassociative} \newline 
[|
\ast 
|
] , \linebreak [0] 
[if(
\ast 
,
\ast 
,
\ast 
)
] , \linebreak [0] 
[Max(
\ast 
,
\ast 
)
] , \linebreak [0] 
[Max(
\ast 
,
\ast 
)
]
; 
\newline \mathbf {Preassociative} \newline 
[
\ast 
 = 
\ast 
] , \linebreak [0] 
[
\ast 
 \neq 
\ast 
] , \linebreak [0] 
[
\ast 
 <= 
\ast 
] , \linebreak [0] 
[
\ast 
 < 
\ast 
] , \linebreak [0] 
[
\ast 
<_{f}
\ast 
] , \linebreak [0] 
[
\ast 
\leq_{f}
\ast 
] , \linebreak [0] 
[SF(
\ast 
,
\ast 
)
] , \linebreak [0] 
[
\ast 
 == 
\ast 
] , \linebreak [0] 
[
\ast 
 !!== 
\ast 
] , \linebreak [0] 
[
\ast 
 << 
\ast 
] , \linebreak [0] 
[
\ast 
 <<== 
\ast 
]
; 
\newline \mathbf {Preassociative} \newline 
[
\ast 
\cup \{ 
\ast 
\}
] , \linebreak [0] 
[
\ast 
\cup 
\ast 
] , \linebreak [0] 
[
\ast 
\backslash \{ 
\ast 
\}
]
; 
\newline\mathbf{Postassociative} \newline 
[
\ast 
\mathrel { \dot { . \, . } }
\ast 
] , \linebreak [0] 
[
\ast 
\mathrel { \underline { \dot { . \, . } } }
\ast 
] , \linebreak [0] 
[
\ast 
\mathrel { \underline { : \, : } }
\ast 
] , \linebreak [0] 
[
\ast 
\mathrel { \underline { {+} 2 \ast } }
\ast 
] , \linebreak [0] 
[
\ast 
\mathrel { : \, : }
\ast 
] , \linebreak [0] 
[
\ast 
\mathrel { {+} 2 \ast }
\ast 
]
; 
\newline\mathbf{Postassociative} \newline 
[
\ast 
,\linebreak [0] 
\ast 
]
; 
\newline \mathbf {Preassociative} \newline 
[
\ast 
\stackrel {B}{\approx }
\ast 
] , \linebreak [0] 
[
\ast 
\stackrel {D}{\approx }
\ast 
] , \linebreak [0] 
[
\ast 
\stackrel {C}{\approx }
\ast 
] , \linebreak [0] 
[
\ast 
\stackrel {P}{\approx }
\ast 
] , \linebreak [0] 
[
\ast 
\approx 
\ast 
] , \linebreak [0] 
[
\ast 
=
\ast 
] , \linebreak [0] 
[
\ast 
\stackrel {+}{\rightarrow }
\ast 
] , \linebreak [0] 
[
\ast 
\stackrel {t}{=}
\ast 
] , \linebreak [0] 
[
\ast 
\stackrel {t^*}{=}
\ast 
] , \linebreak [0] 
[
\ast 
\stackrel{r}{=} 
\ast 
] , \linebreak [0] 
[
\ast 
\in_t 
\ast 
] , \linebreak [0] 
[
\ast 
\subseteq_T 
\ast 
] , \linebreak [0] 
[
\ast 
\stackrel{T}{=} 
\ast 
] , \linebreak [0] 
[
\ast 
\stackrel{s}{=} 
\ast 
] , \linebreak [0] 
[
\ast 
\mathrel {free\ in} 
\ast 
] , \linebreak [0] 
[
\ast 
\mathrel {free\ in}^{\ast} 
\ast 
] , \linebreak [0] 
[
\ast 
\mathrel {free\ for} 
\ast 
\mathrel {in} 
\ast 
] , \linebreak [0] 
[
\ast 
\mathrel {free\ for}^{\ast} 
\ast 
\mathrel {in} 
\ast 
] , \linebreak [0] 
[
\ast 
\in_c 
\ast 
] , \linebreak [0] 
[
\ast 
< 
\ast 
] , \linebreak [0] 
[
\ast 
<' 
\ast 
] , \linebreak [0] 
[
\ast 
\le' 
\ast 
] , \linebreak [0] 
[
\ast 
= 
\ast 
] , \linebreak [0] 
[
\ast 
\neq 
\ast 
] , \linebreak [0] 
[
\ast 
{}^{var}
] , \linebreak [0] 
[
\ast 
\#^0
\ast 
] , \linebreak [0] 
[
\ast 
\#^1
\ast 
] , \linebreak [0] 
[
\ast 
\#^*
\ast 
] , \linebreak [0] 
[
\ast 
\!\mathrel{==}\! 
\ast 
] , \linebreak [0] 
[
\ast 
 \mathrel{\subseteq} 
\ast 
]
; 
\newline \mathbf {Preassociative} \newline 
[
{\neg }
\ast 
] , \linebreak [0] 
[\dot{\neg}\,(
\ast 
)n
] , \linebreak [0] 
[
\ast 
 \mathrel{\notin} 
\ast 
] , \linebreak [0] 
[
\ast 
 \mathrel{\neq} 
\ast 
]
; 
\newline \mathbf {Preassociative} \newline 
[
\ast 
\wedge 
\ast 
] , \linebreak [0] 
[
\ast 
\mathrel{\ddot{\wedge}} 
\ast 
] , \linebreak [0] 
[
\ast 
\mathrel{\tilde{\wedge}} 
\ast 
] , \linebreak [0] 
[
\ast 
\wedge_c 
\ast 
] , \linebreak [0] 
[
\ast 
\mathrel{\dot{\wedge}} 
\ast 
]
; 
\newline \mathbf {Preassociative} \newline 
[
\ast 
\vee 
\ast 
] , \linebreak [0] 
[
\ast 
\parallel 
\ast 
] , \linebreak [0] 
[
\ast 
\mathrel{\ddot{\vee}} 
\ast 
]
; 
\newline\mathbf{Postassociative} \newline 
[
\ast 
 \mathrel{\dot{\vee}} 
\ast 
]
; 
\newline \mathbf {Preassociative} \newline 
[
\exists 
\ast 
\colon 
\ast 
] , \linebreak [0] 
[
\forall 
\ast 
\colon 
\ast 
] , \linebreak [0] 
[
\forall_{obj} 
\ast 
\colon 
\ast 
] , \linebreak [0] 
[
\exists 
\ast 
\colon 
\ast 
]
; 
\newline\mathbf{Postassociative} \newline 
[
\ast 
\mathrel{\ddot{\Rightarrow}} 
\ast 
] , \linebreak [0] 
[
\ast 
\Rightarrow 
\ast 
] , \linebreak [0] 
[
\ast 
\Leftrightarrow 
\ast 
] , \linebreak [0] 
[
\ast 
\mathrel{\dot{\Leftrightarrow}} 
\ast 
]
; 
\newline \mathbf {Preassociative} \newline 
[ \{ ph \mathrel{\in} 
\ast 
\mid 
\ast 
\}
]
; 
\newline\mathbf{Postassociative} \newline 
[
\ast 
:
\ast 
] , \linebreak [0] 
[
\ast 
\mathrel{spy}
\ast 
] , \linebreak [0] 
[
\ast 
!
\ast 
]
; 
\newline \mathbf {Preassociative} \newline 
[
\ast 
\left\{\protect \begin {array}{l}
\ast 
\\
\ast 
\protect \end {array}\right.
]
; 
\newline \mathbf {Preassociative} \newline 
[
\lambda 
\ast 
.
\ast 
] , \linebreak [0] 
[
\Lambda 
\ast 
. 
\ast 
] , \linebreak [0] 
[
\Lambda 
\ast 
] , \linebreak [0] 
[
{\bf if} \ 
\ast 
\ {\bf then} \ 
\ast 
\ {\bf else} \ 
\ast 
] , \linebreak [0] 
[
\mathbf{let\ } 
\ast 
= 
\ast 
\mathbf{\ in\ } 
\ast 
] , \linebreak [0] 
[
\mathbf{let\ } 
\ast 
\mathrel{\ddot{=}} 
\ast 
\mathrel{\ in\ } 
\ast 
]
; 
\newline \mathbf {Preassociative} \newline 
[
\ast 
\#
\ast 
]
; 
\newline \mathbf {Preassociative} \newline 
[
\ast 
{} ^ { I }
] , \linebreak [0] 
[
\ast 
{} ^ { \rhd }
] , \linebreak [0] 
[
\ast 
{} ^ { V } 
] , \linebreak [0] 
[
\ast 
{} ^ { + } 
] , \linebreak [0] 
[
\ast 
{} ^ { - } 
] , \linebreak [0] 
[
\ast 
{} ^ { \ast } 
]
; 
\newline \mathbf {Preassociative} \newline 
[
\ast 
\mathop {\char64} 
\ast 
] , \linebreak [0] 
[
\ast 
\rhd 
\ast 
] , \linebreak [0] 
[
\ast 
\mathrel {\makebox [0mm][l]{$\rhd $}\,{\rhd }} 
\ast 
] , \linebreak [0] 
[
\ast 
\gg 
\ast 
] , \linebreak [0] 
[
\ast 
\unrhd 
\ast 
]
; 
\newline\mathbf{Postassociative} \newline 
[
\ast 
\vdash 
\ast 
] , \linebreak [0] 
[
\ast 
\mathrel {\makebox [0mm][l]{$\vdash $}\,{\vdash }} 
\ast 
] , \linebreak [0] 
[
\ast 
\mathrel {i.e.} 
\ast 
]
; 
\newline \mathbf {Preassociative} \newline 
[
\forall 
\ast 
\colon 
\ast 
] , \linebreak [0] 
[
\Pi 
\ast 
\colon 
\ast 
]
; 
\newline\mathbf{Postassociative} \newline 
[
\ast 
\mathrel {\oplus} 
\ast 
]
; 
\newline\mathbf{Postassociative} \newline 
[
\ast 
; 
\ast 
]
; 
\newline \mathbf {Preassociative} \newline 
[
\ast 
\ proves\ 
\ast 
]
; 
\newline \mathbf {Preassociative} \newline 
[
\ast 
\mathbf{\ proof\ of\ } 
\ast 
: 
\ast 
] , \linebreak [0] 
[
Line \, 
\ast 
: 
\ast 
\gg 
\ast 
; 
\ast 
] , \linebreak [0] 
[
Last\ line \, 
\ast 
\gg 
\ast 
\,\Box
] , \linebreak [0] 
[
Line \, 
\ast 
: Premise \gg 
\ast 
;
\ast 
] , \linebreak [0] 
[
Line \, 
\ast 
: \mbox{Side-condition} \gg 
\ast 
; 
\ast 
] , \linebreak [0] 
[
Arbitrary \gg 
\ast 
;
\ast 
] , \linebreak [0] 
[
Local \gg 
\ast 
= 
\ast 
; 
\ast 
] , \linebreak [0] 
[
Begin \, 
\ast 
 ; 
\ast 
 : End ; 
\ast 
] , \linebreak [0] 
[
Last\ block\ line \, 
\ast 
\gg 
\ast 
\,;
] , \linebreak [0] 
[
Arbitrary \gg 
\ast 
;
\ast 
]
; 
\newline\mathbf{Postassociative} \newline 
[
\ast 
\mathrel{|} 
\ast 
]
; 
\newline\mathbf{Postassociative} \newline 
[
\ast 
\mathrel{\mathrm{,}}
\ast 
] , \linebreak [0] 
[
\ast 
{[}
\ast 
{]}
\ast 
]
; 
\newline \mathbf {Preassociative} \newline 
[
\ast 
\& 
\ast 
]
; 
\newline \mathbf {Preassociative} \newline 
[
\ast 
\backslash \backslash 
\ast 
] , \linebreak [0] 
[
\ast 
\mathrel{linebreak[4]} 
\ast 
] , \linebreak [0] 
[
\ast 
\backslash \backslash 
\ast 
]
; 
]$
\end {flushleft}

\section{Pyk definitioner} \label{sec:pyk}

\begin{flushleft}
$
[To!!==
\stackrel{
\mathrm{pyk}
}{\rightarrow}
\mbox{``}lemma
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}to!!
{=}
{=}
\mbox{''}
]
\linebreak[4] 
[ToNegatedDoubleImply
\stackrel{
\mathrm{pyk}
}{\rightarrow}
\mbox{``}prop
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}lemma
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}to
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}negated
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}double
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}imply
\mbox{''}
]
\linebreak[4] 
[ToNegatedAnd(1)
\stackrel{
\mathrm{pyk}
}{\rightarrow}
\mbox{``}prop
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}lemma
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}to
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}negated
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}and(1)
\mbox{''}
]
\linebreak[4] 
[AddNegatedAll
\stackrel{
\mathrm{pyk}
}{\rightarrow}
\mbox{``}pred
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}lemma
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}addNegatedAll
\mbox{''}
]
\linebreak[4] 
[(A)to(~E~)(Imply)
\stackrel{
\mathrm{pyk}
}{\rightarrow}
\mbox{``}pred
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}lemma
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}(A)to(
\char126 E
\char126 )(Imply)
\mbox{''}
]
\linebreak[4] 
[(E)to(~A~)(Imply)
\stackrel{
\mathrm{pyk}
}{\rightarrow}
\mbox{``}pred
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}lemma
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}(E)to(
\char126 A
\char126 )(Imply)
\mbox{''}
]
\linebreak[4] 
[(E~)to(~A)(Imply)
\stackrel{
\mathrm{pyk}
}{\rightarrow}
\mbox{``}pred
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}lemma
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}(E
\char126 )to(
\char126 A)(Imply)
\mbox{''}
]
\linebreak[4] 
[ToNegatedAEA 
\stackrel{
\mathrm{pyk}
}{\rightarrow}
\mbox{``}pred
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}lemma
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}toNegatedAEA
\mbox{''}
]
\linebreak[4] 
[UniqueNegative
\stackrel{
\mathrm{pyk}
}{\rightarrow}
\mbox{``}lemma
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}uniqueNegative
\mbox{''}
]
\linebreak[4] 
[DoubleMinus
\stackrel{
\mathrm{pyk}
}{\rightarrow}
\mbox{``}lemma
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}doubleMinus
\mbox{''}
]
\linebreak[4] 
[MinusNegated
\stackrel{
\mathrm{pyk}
}{\rightarrow}
\mbox{``}lemma
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}minusNegated
\mbox{''}
]
\linebreak[4] 
[eqReflexivity
\stackrel{
\mathrm{pyk}
}{\rightarrow}
\mbox{``}lemma
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}eqReflexivity
\mbox{''}
]
\linebreak[4] 
[eqSymmetry
\stackrel{
\mathrm{pyk}
}{\rightarrow}
\mbox{``}lemma
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}eqSymmetry
\mbox{''}
]
\linebreak[4] 
[eqTransitivity
\stackrel{
\mathrm{pyk}
}{\rightarrow}
\mbox{``}lemma
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}eqTransitivity
\mbox{''}
]
\linebreak[4] 
[eqTransitivity4
\stackrel{
\mathrm{pyk}
}{\rightarrow}
\mbox{``}lemma
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}eqTransitivity4
\mbox{''}
]
\linebreak[4] 
[eqTransitivity5
\stackrel{
\mathrm{pyk}
}{\rightarrow}
\mbox{``}lemma
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}eqTransitivity5
\mbox{''}
]
\linebreak[4] 
[eqTransitivity6
\stackrel{
\mathrm{pyk}
}{\rightarrow}
\mbox{``}lemma
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}eqTransitivity6
\mbox{''}
]
\linebreak[4] 
[AddEquations
\stackrel{
\mathrm{pyk}
}{\rightarrow}
\mbox{``}lemma
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}addEquations
\mbox{''}
]
\linebreak[4] 
[SubtractEquations
\stackrel{
\mathrm{pyk}
}{\rightarrow}
\mbox{``}lemma
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}subtractEquations
\mbox{''}
]
\linebreak[4] 
[SubtractEquationsLeft
\stackrel{
\mathrm{pyk}
}{\rightarrow}
\mbox{``}lemma
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}subtractEquationsLeft
\mbox{''}
]
\linebreak[4] 
[MultiplyEquations
\stackrel{
\mathrm{pyk}
}{\rightarrow}
\mbox{``}lemma
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}multiplyEquations
\mbox{''}
]
\linebreak[4] 
[EqNegated
\stackrel{
\mathrm{pyk}
}{\rightarrow}
\mbox{``}lemma
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}eqNegated
\mbox{''}
]
\linebreak[4] 
[PositiveToRight(Eq)
\stackrel{
\mathrm{pyk}
}{\rightarrow}
\mbox{``}lemma
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}positiveToRight(Eq)
\mbox{''}
]
\linebreak[4] 
[PositiveToLeft(Eq)
\stackrel{
\mathrm{pyk}
}{\rightarrow}
\mbox{``}lemma
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}positiveToLeft(Eq)
\mbox{''}
]
\linebreak[4] 
[PositiveToLeft(Eq)(1 term)
\stackrel{
\mathrm{pyk}
}{\rightarrow}
\mbox{``}lemma
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}positiveToLeft(Eq)(1
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}term)
\mbox{''}
]
\linebreak[4] 
[NegativeToLeft(Eq)
\stackrel{
\mathrm{pyk}
}{\rightarrow}
\mbox{``}lemma
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}negativeToLeft(Eq)
\mbox{''}
]
\linebreak[4] 
[NonreciprocalToRight(Eq)(1 term)
\stackrel{
\mathrm{pyk}
}{\rightarrow}
\mbox{``}lemma
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}nonreciprocalToRight(Eq)(1
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}term)
\mbox{''}
]
\linebreak[4] 
[DistributionOut(Minus)
\stackrel{
\mathrm{pyk}
}{\rightarrow}
\mbox{``}lemma
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}distributionOut(Minus)
\mbox{''}
]
\linebreak[4] 
[PositiveToRight(Eq)(1 term)
\stackrel{
\mathrm{pyk}
}{\rightarrow}
\mbox{``}lemma
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}positiveToRight(Eq)(1
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}term)
\mbox{''}
]
\linebreak[4] 
[SameSeries(NumDiff)
\stackrel{
\mathrm{pyk}
}{\rightarrow}
\mbox{``}lemma
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}sameSeries(NumDiff)
\mbox{''}
]
\linebreak[4] 
[PlusAssociativity(4 terms)
\stackrel{
\mathrm{pyk}
}{\rightarrow}
\mbox{``}lemma
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}plusAssociativity(4
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}terms)
\mbox{''}
]
\linebreak[4] 
[LessNeq
\stackrel{
\mathrm{pyk}
}{\rightarrow}
\mbox{``}lemma
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}lessNeq
\mbox{''}
]
\linebreak[4] 
[NeqSymmetry
\stackrel{
\mathrm{pyk}
}{\rightarrow}
\mbox{``}lemma
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}neqSymmetry
\mbox{''}
]
\linebreak[4] 
[NeqNegated
\stackrel{
\mathrm{pyk}
}{\rightarrow}
\mbox{``}lemma
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}neqNegated
\mbox{''}
]
\linebreak[4] 
[SubNeqRight
\stackrel{
\mathrm{pyk}
}{\rightarrow}
\mbox{``}lemma
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}subNeqRight
\mbox{''}
]
\linebreak[4] 
[SubNeqLeft
\stackrel{
\mathrm{pyk}
}{\rightarrow}
\mbox{``}lemma
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}subNeqLeft
\mbox{''}
]
\linebreak[4] 
[NegativeToRight(Neq)(1 term)
\stackrel{
\mathrm{pyk}
}{\rightarrow}
\mbox{``}lemma
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}negativeToRight(Neq)(1
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}term)
\mbox{''}
]
\linebreak[4] 
[NeqAddition
\stackrel{
\mathrm{pyk}
}{\rightarrow}
\mbox{``}lemma
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}neqAddition
\mbox{''}
]
\linebreak[4] 
[NeqMultiplication
\stackrel{
\mathrm{pyk}
}{\rightarrow}
\mbox{``}lemma
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}neqMultiplication
\mbox{''}
]
\linebreak[4] 
[NonzeroProduct(2)
\stackrel{
\mathrm{pyk}
}{\rightarrow}
\mbox{``}lemma
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}nonzeroProduct(2)
\mbox{''}
]
\linebreak[4] 
[SwitchTerms(x<=y-z)
\stackrel{
\mathrm{pyk}
}{\rightarrow}
\mbox{``}lemma
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}switchTerms(x
{<}
{=}y
\mbox{-}z)
\mbox{''}
]
\linebreak[4] 
[NegativeToLeft(Less)(1 term)
\stackrel{
\mathrm{pyk}
}{\rightarrow}
\mbox{``}lemma
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}negativeToLeft(Less)(1
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}term)
\mbox{''}
]
\linebreak[4] 
[(+1)IsPositive(N)
\stackrel{
\mathrm{pyk}
}{\rightarrow}
\mbox{``}lemma
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}
{+}1IsPositive(N)
\mbox{''}
]
\linebreak[4] 
[(1/2)(x+y)-x=(1/2)(y-x)
\stackrel{
\mathrm{pyk}
}{\rightarrow}
\mbox{``}lemma
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}(1/2)(x
{+}y)
\mbox{-}x
{=}(1/2)(y
\mbox{-}x)
\mbox{''}
]
\linebreak[4] 
[y-(1/2)(x+y)=(1/2)(y-x)
\stackrel{
\mathrm{pyk}
}{\rightarrow}
\mbox{``}lemma
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}y
\mbox{-}(1/2)(x
{+}y)
{=}(1/2)(y
\mbox{-}x)
\mbox{''}
]
\linebreak[4] 
[ExpZero(Exact) 
\stackrel{
\mathrm{pyk}
}{\rightarrow}
\mbox{``}lemma
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}expZero
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}exact
\mbox{''}
]
\linebreak[4] 
[SameExp(Base)
\stackrel{
\mathrm{pyk}
}{\rightarrow}
\mbox{``}lemma
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}sameExp
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}base
\mbox{''}
]
\linebreak[4] 
[SameExp(Indu)
\stackrel{
\mathrm{pyk}
}{\rightarrow}
\mbox{``}lemma
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}sameExp
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}indu
\mbox{''}
]
\linebreak[4] 
[SameExp
\stackrel{
\mathrm{pyk}
}{\rightarrow}
\mbox{``}lemma
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}sameExp
\mbox{''}
]
\linebreak[4] 
[Exp(+1)
\stackrel{
\mathrm{pyk}
}{\rightarrow}
\mbox{``}lemma
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}exp(
{+}1)
\mbox{''}
]
\linebreak[4] 
[PositiveBase(Base)
\stackrel{
\mathrm{pyk}
}{\rightarrow}
\mbox{``}lemma
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}positiveBase
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}base
\mbox{''}
]
\linebreak[4] 
[PositiveBase(Indu)
\stackrel{
\mathrm{pyk}
}{\rightarrow}
\mbox{``}lemma
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}positiveBase
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}indu
\mbox{''}
]
\linebreak[4] 
[PositiveBase
\stackrel{
\mathrm{pyk}
}{\rightarrow}
\mbox{``}lemma
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}positiveBase
\mbox{''}
]
\linebreak[4] 
[BSzero(Exact)
\stackrel{
\mathrm{pyk}
}{\rightarrow}
\mbox{``}lemma
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}base(1/2)Sum
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}zero
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}exact
\mbox{''}
]
\linebreak[4] 
[SameBS(2)(Base)
\stackrel{
\mathrm{pyk}
}{\rightarrow}
\mbox{``}lemma
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}sameBase(1/2)Sum
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}second
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}base
\mbox{''}
]
\linebreak[4] 
[SameBS(2)(Indu)
\stackrel{
\mathrm{pyk}
}{\rightarrow}
\mbox{``}lemma
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}sameBase(1/2)Sum
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}second
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}indu
\mbox{''}
]
\linebreak[4] 
[SameBS(2)
\stackrel{
\mathrm{pyk}
}{\rightarrow}
\mbox{``}lemma
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}sameBase(1/2)Sum
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}second
\mbox{''}
]
\linebreak[4] 
[BS(+1)
\stackrel{
\mathrm{pyk}
}{\rightarrow}
\mbox{``}lemma
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}base(1/2)Sum(
{+}1)
\mbox{''}
]
\linebreak[4] 
[BSbound(Exact)(Base)
\stackrel{
\mathrm{pyk}
}{\rightarrow}
\mbox{``}lemma
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}base(1/2)Sum
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}exact
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}bound
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}base
\mbox{''}
]
\linebreak[4] 
[BSbound(Exact)(Indu)
\stackrel{
\mathrm{pyk}
}{\rightarrow}
\mbox{``}lemma
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}base(1/2)Sum
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}exact
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}bound
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}indu
\mbox{''}
]
\linebreak[4] 
[BSbound(Exact)
\stackrel{
\mathrm{pyk}
}{\rightarrow}
\mbox{``}lemma
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}base(1/2)Sum
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}exact
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}bound
\mbox{''}
]
\linebreak[4] 
[BSbound
\stackrel{
\mathrm{pyk}
}{\rightarrow}
\mbox{``}lemma
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}base(1/2)Sum
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}bound
\mbox{''}
]
\linebreak[4] 
[UStelescope(Zero)(Exact)
\stackrel{
\mathrm{pyk}
}{\rightarrow}
\mbox{``}lemma
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}UStelescope
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}zero
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}exact
\mbox{''}
]
\linebreak[4] 
[SameTelescope(2)(Base)
\stackrel{
\mathrm{pyk}
}{\rightarrow}
\mbox{``}lemma
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}sameTelescope
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}second
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}base
\mbox{''}
]
\linebreak[4] 
[SameTelescope(2)(Indu)
\stackrel{
\mathrm{pyk}
}{\rightarrow}
\mbox{``}lemma
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}sameTelescope
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}second
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}indu
\mbox{''}
]
\linebreak[4] 
[SameTelescope(2)
\stackrel{
\mathrm{pyk}
}{\rightarrow}
\mbox{``}lemma
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}sameTelescope
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}second
\mbox{''}
]
\linebreak[4] 
[UStelescope(+1)
\stackrel{
\mathrm{pyk}
}{\rightarrow}
\mbox{``}lemma
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}UStelescope(
{+}1)
\mbox{''}
]
\linebreak[4] 
[TelescopeNumerical(Base)
\stackrel{
\mathrm{pyk}
}{\rightarrow}
\mbox{``}lemma
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}telescopeNumerical
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}base
\mbox{''}
]
\linebreak[4] 
[TelescopeNumerical(Indu)
\stackrel{
\mathrm{pyk}
}{\rightarrow}
\mbox{``}lemma
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}telescopeNumerical
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}indu
\mbox{''}
]
\linebreak[4] 
[TelescopeNumerical
\stackrel{
\mathrm{pyk}
}{\rightarrow}
\mbox{``}lemma
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}telescopeNumerical
\mbox{''}
]
\linebreak[4] 
[TelescopeBound(Base)
\stackrel{
\mathrm{pyk}
}{\rightarrow}
\mbox{``}lemma
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}telescopeBound
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}base
\mbox{''}
]
\linebreak[4] 
[TelescopeBound(Indu)
\stackrel{
\mathrm{pyk}
}{\rightarrow}
\mbox{``}lemma
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}telescopeBound
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}indu
\mbox{''}
]
\linebreak[4] 
[TelescopeBound
\stackrel{
\mathrm{pyk}
}{\rightarrow}
\mbox{``}lemma
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}telescopeBound
\mbox{''}
]
\linebreak[4] 
[LessNeq(F)(Helper)
\stackrel{
\mathrm{pyk}
}{\rightarrow}
\mbox{``}lemma
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}lessNeq(F)
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}helper
\mbox{''}
]
\linebreak[4] 
[LessNeq(F)
\stackrel{
\mathrm{pyk}
}{\rightarrow}
\mbox{``}lemma
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}lessNeq(F)
\mbox{''}
]
\linebreak[4] 
[LessNeq(R)
\stackrel{
\mathrm{pyk}
}{\rightarrow}
\mbox{``}lemma
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}lessNeq(R)
\mbox{''}
]
\linebreak[4] 
[IntervalSize(Base)
\stackrel{
\mathrm{pyk}
}{\rightarrow}
\mbox{``}lemma
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}intervalSize
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}base
\mbox{''}
]
\linebreak[4] 
[IntervalSize(Indu)
\stackrel{
\mathrm{pyk}
}{\rightarrow}
\mbox{``}lemma
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}intervalSize
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}indu
\mbox{''}
]
\linebreak[4] 
[IntervalSize
\stackrel{
\mathrm{pyk}
}{\rightarrow}
\mbox{``}lemma
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}intervalSize
\mbox{''}
]
\linebreak[4] 
[XS<US
\stackrel{
\mathrm{pyk}
}{\rightarrow}
\mbox{``}lemma
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}XSlessUS
\mbox{''}
]
\linebreak[4] 
[
\mbox{lemma USdecreasing(+1)}
\stackrel{
\mathrm{pyk}
}{\rightarrow}
\mbox{``}lemma
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}USdecreasing(
{+}1)
\mbox{''}
]
\linebreak[4] 
[CloseUS
\stackrel{
\mathrm{pyk}
}{\rightarrow}
\mbox{``}lemma
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}closeUS
\mbox{''}
]
\linebreak[4] 
[CloseUS(n+1)
\stackrel{
\mathrm{pyk}
}{\rightarrow}
\mbox{``}lemma
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}closeUS(n
{+}1)
\mbox{''}
]
\linebreak[4] 
[AllNegated(Imply)
\stackrel{
\mathrm{pyk}
}{\rightarrow}
\mbox{``}pred
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}lemma
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}allNegated(Imply)
\mbox{''}
]
\linebreak[4] 
[ExistNegated(Imply)
\stackrel{
\mathrm{pyk}
}{\rightarrow}
\mbox{``}pred
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}lemma
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}existNegated(Imply)
\mbox{''}
]
\linebreak[4] 
[IntroExist(Helper)
\stackrel{
\mathrm{pyk}
}{\rightarrow}
\mbox{``}pred
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}lemma
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}intro
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}exist
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}helper
\mbox{''}
]
\linebreak[4] 
[IntroExist
\stackrel{
\mathrm{pyk}
}{\rightarrow}
\mbox{``}pred
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}lemma
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}intro
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}exist
\mbox{''}
]
\linebreak[4] 
[ExistMP
\stackrel{
\mathrm{pyk}
}{\rightarrow}
\mbox{``}pred
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}lemma
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}exist
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}mp
\mbox{''}
]
\linebreak[4] 
[ExistMP2
\stackrel{
\mathrm{pyk}
}{\rightarrow}
\mbox{``}pred
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}lemma
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}exist
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}mp2
\mbox{''}
]
\linebreak[4] 
[TwiceExistMP
\stackrel{
\mathrm{pyk}
}{\rightarrow}
\mbox{``}pred
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}lemma
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}2exist
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}mp
\mbox{''}
]
\linebreak[4] 
[TwiceExistMP2
\stackrel{
\mathrm{pyk}
}{\rightarrow}
\mbox{``}pred
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}lemma
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}2exist
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}mp2
\mbox{''}
]
\linebreak[4] 
[EAE-MP
\stackrel{
\mathrm{pyk}
}{\rightarrow}
\mbox{``}pred
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}lemma
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}EAE
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}mp
\mbox{''}
]
\linebreak[4] 
[AddAll 
\stackrel{
\mathrm{pyk}
}{\rightarrow}
\mbox{``}pred
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}lemma
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}addAll
\mbox{''}
]
\linebreak[4] 
[AddExist(Helper1)
\stackrel{
\mathrm{pyk}
}{\rightarrow}
\mbox{``}pred
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}lemma
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}addExist
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}helper1
\mbox{''}
]
\linebreak[4] 
[AddExist(Helper2)
\stackrel{
\mathrm{pyk}
}{\rightarrow}
\mbox{``}pred
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}lemma
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}addExist
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}helper2
\mbox{''}
]
\linebreak[4] 
[AddExist
\stackrel{
\mathrm{pyk}
}{\rightarrow}
\mbox{``}pred
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}lemma
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}addExist
\mbox{''}
]
\linebreak[4] 
[AddExist(SimpleAnt)
\stackrel{
\mathrm{pyk}
}{\rightarrow}
\mbox{``}pred
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}lemma
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}addExist(SimpleAnt)
\mbox{''}
]
\linebreak[4] 
[AddExist(Simple)
\stackrel{
\mathrm{pyk}
}{\rightarrow}
\mbox{``}pred
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}lemma
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}addExist(Simple)
\mbox{''}
]
\linebreak[4] 
[AddEAE
\stackrel{
\mathrm{pyk}
}{\rightarrow}
\mbox{``}pred
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}lemma
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}addEAE
\mbox{''}
]
\linebreak[4] 
[AEA-negated
\stackrel{
\mathrm{pyk}
}{\rightarrow}
\mbox{``}pred
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}lemma
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}AEAnegated
\mbox{''}
]
\linebreak[4] 
[EEA-negated
\stackrel{
\mathrm{pyk}
}{\rightarrow}
\mbox{``}pred
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}lemma
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}EEAnegated
\mbox{''}
]
\linebreak[4] 
[Induction
\stackrel{
\mathrm{pyk}
}{\rightarrow}
\mbox{``}lemma
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}induction
\mbox{''}
]
\linebreak[4] 
[leqAntisymmetry
\stackrel{
\mathrm{pyk}
}{\rightarrow}
\mbox{``}lemma
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}leqAntisymmetry
\mbox{''}
]
\linebreak[4] 
[leqTransitivity
\stackrel{
\mathrm{pyk}
}{\rightarrow}
\mbox{``}lemma
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}leqTransitivity
\mbox{''}
]
\linebreak[4] 
[leqAddition
\stackrel{
\mathrm{pyk}
}{\rightarrow}
\mbox{``}lemma
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}leqAddition
\mbox{''}
]
\linebreak[4] 
[leqMultiplication
\stackrel{
\mathrm{pyk}
}{\rightarrow}
\mbox{``}lemma
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}leqMultiplication
\mbox{''}
]
\linebreak[4] 
[Reciprocal
\stackrel{
\mathrm{pyk}
}{\rightarrow}
\mbox{``}lemma
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}reciprocal
\mbox{''}
]
\linebreak[4] 
[Equality
\stackrel{
\mathrm{pyk}
}{\rightarrow}
\mbox{``}lemma
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}equality
\mbox{''}
]
\linebreak[4] 
[eqLeq
\stackrel{
\mathrm{pyk}
}{\rightarrow}
\mbox{``}lemma
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}eqLeq
\mbox{''}
]
\linebreak[4] 
[eqAddition
\stackrel{
\mathrm{pyk}
}{\rightarrow}
\mbox{``}lemma
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}eqAddition
\mbox{''}
]
\linebreak[4] 
[eqMultiplication
\stackrel{
\mathrm{pyk}
}{\rightarrow}
\mbox{``}lemma
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}eqMultiplication
\mbox{''}
]
\linebreak[4] 
[LeqMultiplicationLeft 
\stackrel{
\mathrm{pyk}
}{\rightarrow}
\mbox{``}lemma
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}leqMultiplicationLeft
\mbox{''}
]
\linebreak[4] 
[LeqLessEq
\stackrel{
\mathrm{pyk}
}{\rightarrow}
\mbox{``}lemma
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}leqLessEq
\mbox{''}
]
\linebreak[4] 
[LessLeq
\stackrel{
\mathrm{pyk}
}{\rightarrow}
\mbox{``}lemma
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}lessLeq
\mbox{''}
]
\linebreak[4] 
[FromLeqGeq
\stackrel{
\mathrm{pyk}
}{\rightarrow}
\mbox{``}lemma
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}from
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}leqGeq
\mbox{''}
]
\linebreak[4] 
[subLeqRight
\stackrel{
\mathrm{pyk}
}{\rightarrow}
\mbox{``}lemma
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}subLeqRight
\mbox{''}
]
\linebreak[4] 
[subLeqLeft
\stackrel{
\mathrm{pyk}
}{\rightarrow}
\mbox{``}lemma
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}subLeqLeft
\mbox{''}
]
\linebreak[4] 
[Leq+1
\stackrel{
\mathrm{pyk}
}{\rightarrow}
\mbox{``}lemma
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}leqPlus1
\mbox{''}
]
\linebreak[4] 
[PositiveToRight(Leq)
\stackrel{
\mathrm{pyk}
}{\rightarrow}
\mbox{``}lemma
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}positiveToRight(Leq)
\mbox{''}
]
\linebreak[4] 
[PositiveToRight(Leq)(1 term)
\stackrel{
\mathrm{pyk}
}{\rightarrow}
\mbox{``}lemma
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}positiveToRight(Leq)(1
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}term)
\mbox{''}
]
\linebreak[4] 
[
\mbox{lemma negativeToRight(Leq)}
\stackrel{
\mathrm{pyk}
}{\rightarrow}
\mbox{``}lemma
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}negativeToRight(Leq)
\mbox{''}
]
\linebreak[4] 
[PositiveToLeft(Leq)
\stackrel{
\mathrm{pyk}
}{\rightarrow}
\mbox{``}lemma
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}positiveToLeft(Leq)
\mbox{''}
]
\linebreak[4] 
[negativeToLeft(Leq)
\stackrel{
\mathrm{pyk}
}{\rightarrow}
\mbox{``}lemma
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}negativeToLeft(Leq)
\mbox{''}
]
\linebreak[4] 
[negativeToLeft(Leq)(1 term)
\stackrel{
\mathrm{pyk}
}{\rightarrow}
\mbox{``}lemma
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}negativeToLeft(Leq)(1
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}term)
\mbox{''}
]
\linebreak[4] 
[LeqAdditionLeft
\stackrel{
\mathrm{pyk}
}{\rightarrow}
\mbox{``}lemma
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}leqAdditionLeft
\mbox{''}
]
\linebreak[4] 
[leqSubtraction
\stackrel{
\mathrm{pyk}
}{\rightarrow}
\mbox{``}lemma
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}leqSubtraction
\mbox{''}
]
\linebreak[4] 
[leqSubtractionLeft
\stackrel{
\mathrm{pyk}
}{\rightarrow}
\mbox{``}lemma
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}leqSubtractionLeft
\mbox{''}
]
\linebreak[4] 
[thirdGeq
\stackrel{
\mathrm{pyk}
}{\rightarrow}
\mbox{``}lemma
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}thirdGeq
\mbox{''}
]
\linebreak[4] 
[LeqNegated
\stackrel{
\mathrm{pyk}
}{\rightarrow}
\mbox{``}lemma
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}leqNegated
\mbox{''}
]
\linebreak[4] 
[AddEquations(Leq)
\stackrel{
\mathrm{pyk}
}{\rightarrow}
\mbox{``}lemma
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}addEquations(Leq)
\mbox{''}
]
\linebreak[4] 
[MultiplyEquations(Leq)
\stackrel{
\mathrm{pyk}
}{\rightarrow}
\mbox{``}lemma
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}multiplyEquations(Leq)
\mbox{''}
]
\linebreak[4] 
[ThirdGeqSeries
\stackrel{
\mathrm{pyk}
}{\rightarrow}
\mbox{``}lemma
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}thirdGeqSeries
\mbox{''}
]
\linebreak[4] 
[LeqNeqLess
\stackrel{
\mathrm{pyk}
}{\rightarrow}
\mbox{``}lemma
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}leqNeqLess
\mbox{''}
]
\linebreak[4] 
[FromLess
\stackrel{
\mathrm{pyk}
}{\rightarrow}
\mbox{``}lemma
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}fromLess
\mbox{''}
]
\linebreak[4] 
[ToLess
\stackrel{
\mathrm{pyk}
}{\rightarrow}
\mbox{``}lemma
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}toLess
\mbox{''}
]
\linebreak[4] 
[fromNotLess
\stackrel{
\mathrm{pyk}
}{\rightarrow}
\mbox{``}lemma
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}fromNotLess
\mbox{''}
]
\linebreak[4] 
[toNotLess
\stackrel{
\mathrm{pyk}
}{\rightarrow}
\mbox{``}lemma
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}toNotLess
\mbox{''}
]
\linebreak[4] 
[NegativeLessPositive
\stackrel{
\mathrm{pyk}
}{\rightarrow}
\mbox{``}lemma
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}negativeLessPositive
\mbox{''}
]
\linebreak[4] 
[leqLessTransitivity
\stackrel{
\mathrm{pyk}
}{\rightarrow}
\mbox{``}lemma
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}leqLessTransitivity
\mbox{''}
]
\linebreak[4] 
[LessLeqTransitivity
\stackrel{
\mathrm{pyk}
}{\rightarrow}
\mbox{``}lemma
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}lessLeqTransitivity
\mbox{''}
]
\linebreak[4] 
[LessTransitivity
\stackrel{
\mathrm{pyk}
}{\rightarrow}
\mbox{``}lemma
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}lessTransitivity
\mbox{''}
]
\linebreak[4] 
[LessTotality
\stackrel{
\mathrm{pyk}
}{\rightarrow}
\mbox{``}lemma
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}lessTotality
\mbox{''}
]
\linebreak[4] 
[SubLessRight
\stackrel{
\mathrm{pyk}
}{\rightarrow}
\mbox{``}lemma
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}subLessRight
\mbox{''}
]
\linebreak[4] 
[SubLessLeft
\stackrel{
\mathrm{pyk}
}{\rightarrow}
\mbox{``}lemma
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}subLessLeft
\mbox{''}
]
\linebreak[4] 
[SwitchTerms(x<y-z)
\stackrel{
\mathrm{pyk}
}{\rightarrow}
\mbox{``}lemma
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}switchTerms(x
{<}y
\mbox{-}z)
\mbox{''}
]
\linebreak[4] 
[SwitchTerms(x-y<z)
\stackrel{
\mathrm{pyk}
}{\rightarrow}
\mbox{``}lemma
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}switchTerms(x
\mbox{-}y
{<}z)
\mbox{''}
]
\linebreak[4] 
[LessAddition
\stackrel{
\mathrm{pyk}
}{\rightarrow}
\mbox{``}lemma
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}lessAddition
\mbox{''}
]
\linebreak[4] 
[LessAdditionLeft
\stackrel{
\mathrm{pyk}
}{\rightarrow}
\mbox{``}lemma
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}lessAdditionLeft
\mbox{''}
]
\linebreak[4] 
[LessMultiplication
\stackrel{
\mathrm{pyk}
}{\rightarrow}
\mbox{``}lemma
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}lessMultiplication
\mbox{''}
]
\linebreak[4] 
[LessMultiplicationLeft
\stackrel{
\mathrm{pyk}
}{\rightarrow}
\mbox{``}lemma
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}lessMultiplicationLeft
\mbox{''}
]
\linebreak[4] 
[LessDivision
\stackrel{
\mathrm{pyk}
}{\rightarrow}
\mbox{``}lemma
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}lessDivision
\mbox{''}
]
\linebreak[4] 
[PositiveToRight(Less)
\stackrel{
\mathrm{pyk}
}{\rightarrow}
\mbox{``}lemma
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}positiveToRight(Less)
\mbox{''}
]
\linebreak[4] 
[PositiveToLeft(Less)
\stackrel{
\mathrm{pyk}
}{\rightarrow}
\mbox{``}lemma
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}positiveToLeft(Less)
\mbox{''}
]
\linebreak[4] 
[NegativeToLeft(Less)
\stackrel{
\mathrm{pyk}
}{\rightarrow}
\mbox{``}lemma
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}negativeToLeft(Less)
\mbox{''}
]
\linebreak[4] 
[NegativeToRight(Less)
\stackrel{
\mathrm{pyk}
}{\rightarrow}
\mbox{``}lemma
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}negativeToRight(Less)
\mbox{''}
]
\linebreak[4] 
[AddEquations(Less)
\stackrel{
\mathrm{pyk}
}{\rightarrow}
\mbox{``}lemma
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}addEquations(Less)
\mbox{''}
]
\linebreak[4] 
[AddEquations(LeqLess)
\stackrel{
\mathrm{pyk}
}{\rightarrow}
\mbox{``}lemma
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}addEquations(LeqLess)
\mbox{''}
]
\linebreak[4] 
[reciprocalToLeft(Less)
\stackrel{
\mathrm{pyk}
}{\rightarrow}
\mbox{``}lemma
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}reciprocalToLeft(Less)
\mbox{''}
]
\linebreak[4] 
[LessNegated
\stackrel{
\mathrm{pyk}
}{\rightarrow}
\mbox{``}lemma
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}lessNegated
\mbox{''}
]
\linebreak[4] 
[PositiveNonzero
\stackrel{
\mathrm{pyk}
}{\rightarrow}
\mbox{``}lemma
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}positiveNonzero
\mbox{''}
]
\linebreak[4] 
[PositiveNegated
\stackrel{
\mathrm{pyk}
}{\rightarrow}
\mbox{``}lemma
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}positiveNegated
\mbox{''}
]
\linebreak[4] 
[NonpositiveNegated
\stackrel{
\mathrm{pyk}
}{\rightarrow}
\mbox{``}lemma
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}nonpositiveNegated
\mbox{''}
]
\linebreak[4] 
[NegativeNegated
\stackrel{
\mathrm{pyk}
}{\rightarrow}
\mbox{``}lemma
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}negativeNegated
\mbox{''}
]
\linebreak[4] 
[NonnegativeNegated
\stackrel{
\mathrm{pyk}
}{\rightarrow}
\mbox{``}lemma
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}nonnegativeNegated
\mbox{''}
]
\linebreak[4] 
[PositiveHalved
\stackrel{
\mathrm{pyk}
}{\rightarrow}
\mbox{``}lemma
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}positiveHalved
\mbox{''}
]
\linebreak[4] 
[PositiveInverted
\stackrel{
\mathrm{pyk}
}{\rightarrow}
\mbox{``}lemma
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}positiveInverted
\mbox{''}
]
\linebreak[4] 
[NonnegativeNumerical
\stackrel{
\mathrm{pyk}
}{\rightarrow}
\mbox{``}lemma
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}nonnegativeNumerical
\mbox{''}
]
\linebreak[4] 
[NegativeNumerical
\stackrel{
\mathrm{pyk}
}{\rightarrow}
\mbox{``}lemma
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}negativeNumerical
\mbox{''}
]
\linebreak[4] 
[PositiveNumerical
\stackrel{
\mathrm{pyk}
}{\rightarrow}
\mbox{``}lemma
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}positiveNumerical
\mbox{''}
]
\linebreak[4] 
[
\mbox{lemma nonpositiveNumerical}
\stackrel{
\mathrm{pyk}
}{\rightarrow}
\mbox{``}lemma
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}nonpositiveNumerical
\mbox{''}
]
\linebreak[4] 
[|0|=0
\stackrel{
\mathrm{pyk}
}{\rightarrow}
\mbox{``}lemma
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}|0|
{=}0
\mbox{''}
]
\linebreak[4] 
[0<=|x|
\stackrel{
\mathrm{pyk}
}{\rightarrow}
\mbox{``}lemma
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}0
{<}
{=}|x|
\mbox{''}
]
\linebreak[4] 
[x<=|x|
\stackrel{
\mathrm{pyk}
}{\rightarrow}
\mbox{``}lemma
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}x
{<}
{=}|x|
\mbox{''}
]
\linebreak[4] 
[FromPositiveNumerical
\stackrel{
\mathrm{pyk}
}{\rightarrow}
\mbox{``}lemma
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}fromPositiveNumerical
\mbox{''}
]
\linebreak[4] 
[SameNumerical
\stackrel{
\mathrm{pyk}
}{\rightarrow}
\mbox{``}lemma
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}sameNumerical
\mbox{''}
]
\linebreak[4] 
[SignNumerical(+)
\stackrel{
\mathrm{pyk}
}{\rightarrow}
\mbox{``}lemma
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}signNumerical(
{+})
\mbox{''}
]
\linebreak[4] 
[SignNumerical
\stackrel{
\mathrm{pyk}
}{\rightarrow}
\mbox{``}lemma
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}signNumerical
\mbox{''}
]
\linebreak[4] 
[ToNumericalLess
\stackrel{
\mathrm{pyk}
}{\rightarrow}
\mbox{``}lemma
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}toNumericalLess
\mbox{''}
]
\linebreak[4] 
[FromNumericalGreater
\stackrel{
\mathrm{pyk}
}{\rightarrow}
\mbox{``}lemma
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}fromNumericalGreater
\mbox{''}
]
\linebreak[4] 
[NumericalDifference
\stackrel{
\mathrm{pyk}
}{\rightarrow}
\mbox{``}lemma
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}numericalDifference
\mbox{''}
]
\linebreak[4] 
[NumericalDifferenceLess(Helper)
\stackrel{
\mathrm{pyk}
}{\rightarrow}
\mbox{``}lemma
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}numericalDifferenceLess
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}helper
\mbox{''}
]
\linebreak[4] 
[NumericalDifferenceLess
\stackrel{
\mathrm{pyk}
}{\rightarrow}
\mbox{``}lemma
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}numericalDifferenceLess
\mbox{''}
]
\linebreak[4] 
[SplitNumericalSumHelper
\stackrel{
\mathrm{pyk}
}{\rightarrow}
\mbox{``}lemma
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}splitNumericalSumHelper
\mbox{''}
]
\linebreak[4] 
[splitNumericalSum(++)
\stackrel{
\mathrm{pyk}
}{\rightarrow}
\mbox{``}lemma
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}splitNumericalSum(
{+}
{+})
\mbox{''}
]
\linebreak[4] 
[splitNumericalSum(--)
\stackrel{
\mathrm{pyk}
}{\rightarrow}
\mbox{``}lemma
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}splitNumericalSum(
\mbox{-}
\mbox{-})
\mbox{''}
]
\linebreak[4] 
[splitNumericalSum(+-small)
\stackrel{
\mathrm{pyk}
}{\rightarrow}
\mbox{``}lemma
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}splitNumericalSum(
{+}
\mbox{-},
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}smallNegative)
\mbox{''}
]
\linebreak[4] 
[splitNumericalSum(+-big)
\stackrel{
\mathrm{pyk}
}{\rightarrow}
\mbox{``}lemma
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}splitNumericalSum(
{+}
\mbox{-},
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}bigNegative)
\mbox{''}
]
\linebreak[4] 
[splitNumericalSum(+-)
\stackrel{
\mathrm{pyk}
}{\rightarrow}
\mbox{``}lemma
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}splitNumericalSum(
{+}
\mbox{-})
\mbox{''}
]
\linebreak[4] 
[splitNumericalSum(-+)
\stackrel{
\mathrm{pyk}
}{\rightarrow}
\mbox{``}lemma
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}splitNumericalSum(
\mbox{-}
{+})
\mbox{''}
]
\linebreak[4] 
[splitNumericalSum
\stackrel{
\mathrm{pyk}
}{\rightarrow}
\mbox{``}lemma
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}splitNumericalSum
\mbox{''}
]
\linebreak[4] 
[SplitNumericalProduct(++)
\stackrel{
\mathrm{pyk}
}{\rightarrow}
\mbox{``}lemma
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}splitNumericalProduct(
{+}
{+})
\mbox{''}
]
\linebreak[4] 
[SplitNumericalProduct(+-)
\stackrel{
\mathrm{pyk}
}{\rightarrow}
\mbox{``}lemma
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}splitNumericalProduct(
{+}
\mbox{-})
\mbox{''}
]
\linebreak[4] 
[SplitNumericalProduct
\stackrel{
\mathrm{pyk}
}{\rightarrow}
\mbox{``}lemma
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}splitNumericalProduct
\mbox{''}
]
\linebreak[4] 
[insertMiddleTerm(Numerical)
\stackrel{
\mathrm{pyk}
}{\rightarrow}
\mbox{``}lemma
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}insertMiddleTerm(Numerical)
\mbox{''}
]
\linebreak[4] 
[insertTwoMiddleTerms(Numerical)
\stackrel{
\mathrm{pyk}
}{\rightarrow}
\mbox{``}lemma
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}insertTwoMiddleTerms(Numerical)
\mbox{''}
]
\linebreak[4] 
[Three2twoTerms
\stackrel{
\mathrm{pyk}
}{\rightarrow}
\mbox{``}lemma
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}three2twoTerms
\mbox{''}
]
\linebreak[4] 
[Three2threeTerms
\stackrel{
\mathrm{pyk}
}{\rightarrow}
\mbox{``}lemma
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}three2threeTerms
\mbox{''}
]
\linebreak[4] 
[Three2twoFactors
\stackrel{
\mathrm{pyk}
}{\rightarrow}
\mbox{``}lemma
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}three2twoFactors
\mbox{''}
]
\linebreak[4] 
[Three2threeFactors
\stackrel{
\mathrm{pyk}
}{\rightarrow}
\mbox{``}lemma
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}three2threeFactors
\mbox{''}
]
\linebreak[4] 
[Times(-1)
\stackrel{
\mathrm{pyk}
}{\rightarrow}
\mbox{``}lemma
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}times(
\mbox{-}1)
\mbox{''}
]
\linebreak[4] 
[Times(-1)Left
\stackrel{
\mathrm{pyk}
}{\rightarrow}
\mbox{``}lemma
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}times(
\mbox{-}1)Left
\mbox{''}
]
\linebreak[4] 
[MaxLeq(1)
\stackrel{
\mathrm{pyk}
}{\rightarrow}
\mbox{``}lemma
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}leqMax1
\mbox{''}
]
\linebreak[4] 
[MaxLeq(2)
\stackrel{
\mathrm{pyk}
}{\rightarrow}
\mbox{``}lemma
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}leqMax2
\mbox{''}
]
\linebreak[4] 
[LessThanMax
\stackrel{
\mathrm{pyk}
}{\rightarrow}
\mbox{``}lemma
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}lessThanMax
\mbox{''}
]
\linebreak[4] 
[x+y=zBackwards
\stackrel{
\mathrm{pyk}
}{\rightarrow}
\mbox{``}lemma
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}x
{+}y
{=}zBackwards
\mbox{''}
]
\linebreak[4] 
[x*y=zBackwards
\stackrel{
\mathrm{pyk}
}{\rightarrow}
\mbox{``}lemma
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}x
{*}y
{=}zBackwards
\mbox{''}
]
\linebreak[4] 
[x=x+(y-y)
\stackrel{
\mathrm{pyk}
}{\rightarrow}
\mbox{``}lemma
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}x
{=}x
{+}(y
\mbox{-}y)
\mbox{''}
]
\linebreak[4] 
[x=x+y-y
\stackrel{
\mathrm{pyk}
}{\rightarrow}
\mbox{``}lemma
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}x
{=}x
{+}y
\mbox{-}y
\mbox{''}
]
\linebreak[4] 
[x=x*y*(1/y)
\stackrel{
\mathrm{pyk}
}{\rightarrow}
\mbox{``}lemma
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}x
{=}x
{*}y
{*}(1/y)
\mbox{''}
]
\linebreak[4] 
[insertMiddleTerm(Sum)
\stackrel{
\mathrm{pyk}
}{\rightarrow}
\mbox{``}lemma
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}insertMiddleTerm(Sum)
\mbox{''}
]
\linebreak[4] 
[insertTwoMiddleTerms(Sum)
\stackrel{
\mathrm{pyk}
}{\rightarrow}
\mbox{``}lemma
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}insertTwoMiddleTerms(Sum)
\mbox{''}
]
\linebreak[4] 
[insertMiddleTerm(Difference)
\stackrel{
\mathrm{pyk}
}{\rightarrow}
\mbox{``}lemma
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}insertMiddleTerm(Difference)
\mbox{''}
]
\linebreak[4] 
[x*0+x=x
\stackrel{
\mathrm{pyk}
}{\rightarrow}
\mbox{``}lemma
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}x
{*}0
{+}x
{=}x
\mbox{''}
]
\linebreak[4] 
[x*0=0
\stackrel{
\mathrm{pyk}
}{\rightarrow}
\mbox{``}lemma
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}x
{*}0
{=}0
\mbox{''}
]
\linebreak[4] 
[NonnegativeFactors
\stackrel{
\mathrm{pyk}
}{\rightarrow}
\mbox{``}lemma
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}nonnegativeFactors
\mbox{''}
]
\linebreak[4] 
[NonzeroFactors
\stackrel{
\mathrm{pyk}
}{\rightarrow}
\mbox{``}lemma
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}nonzeroFactors
\mbox{''}
]
\linebreak[4] 
[PositiveFactors
\stackrel{
\mathrm{pyk}
}{\rightarrow}
\mbox{``}lemma
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}positiveFactors
\mbox{''}
]
\linebreak[4] 
[PlusTimesMinus
\stackrel{
\mathrm{pyk}
}{\rightarrow}
\mbox{``}lemma
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}plusTimesMinus
\mbox{''}
]
\linebreak[4] 
[MinusTimesMinus
\stackrel{
\mathrm{pyk}
}{\rightarrow}
\mbox{``}lemma
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}minusTimesMinus
\mbox{''}
]
\linebreak[4] 
[(-1)*(-1)+(-1)*1=0
\stackrel{
\mathrm{pyk}
}{\rightarrow}
\mbox{``}lemma
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}(
\mbox{-}1)
{*}(
\mbox{-}1)
{+}(
\mbox{-}1)
{*}1
{=}0
\mbox{''}
]
\linebreak[4] 
[(-1)*(-1)=1
\stackrel{
\mathrm{pyk}
}{\rightarrow}
\mbox{``}lemma
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}(
\mbox{-}1)
{*}(
\mbox{-}1)
{=}1
\mbox{''}
]
\linebreak[4] 
[0<1Helper
\stackrel{
\mathrm{pyk}
}{\rightarrow}
\mbox{``}lemma
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}0
{<}1Helper
\mbox{''}
]
\linebreak[4] 
[0<1
\stackrel{
\mathrm{pyk}
}{\rightarrow}
\mbox{``}lemma
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}0
{<}1
\mbox{''}
]
\linebreak[4] 
[0<2
\stackrel{
\mathrm{pyk}
}{\rightarrow}
\mbox{``}lemma
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}0
{<}2
\mbox{''}
]
\linebreak[4] 
[0<3
\stackrel{
\mathrm{pyk}
}{\rightarrow}
\mbox{``}lemma
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}0
{<}3
\mbox{''}
]
\linebreak[4] 
[0<1/2
\stackrel{
\mathrm{pyk}
}{\rightarrow}
\mbox{``}lemma
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}0
{<}1/2
\mbox{''}
]
\linebreak[4] 
[0<1/3
\stackrel{
\mathrm{pyk}
}{\rightarrow}
\mbox{``}lemma
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}0
{<}1/3
\mbox{''}
]
\linebreak[4] 
[TwoWholes
\stackrel{
\mathrm{pyk}
}{\rightarrow}
\mbox{``}lemma
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}x
{+}x
{=}2
{*}x
\mbox{''}
]
\linebreak[4] 
[ThreeWholes
\stackrel{
\mathrm{pyk}
}{\rightarrow}
\mbox{``}lemma
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}x
{+}x
{+}x
{=}3
{*}x
\mbox{''}
]
\linebreak[4] 
[TwoHalves
\stackrel{
\mathrm{pyk}
}{\rightarrow}
\mbox{``}lemma
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}(1/2)x
{+}(1/2)x
{=}x
\mbox{''}
]
\linebreak[4] 
[ThreeThirds
\stackrel{
\mathrm{pyk}
}{\rightarrow}
\mbox{``}lemma
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}(1/3)x
{+}(1/3)x
{+}(1/3)x
{=}x
\mbox{''}
]
\linebreak[4] 
[-x-y=-(x+y)
\stackrel{
\mathrm{pyk}
}{\rightarrow}
\mbox{``}lemma
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}
\mbox{-}x
\mbox{-}y
{=}
\mbox{-}(x
{+}y)
\mbox{''}
]
\linebreak[4] 
[-x*y=-(x*y)
\stackrel{
\mathrm{pyk}
}{\rightarrow}
\mbox{``}lemma
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}
\mbox{-}x
{*}y
{=}
\mbox{-}(x
{*}y)
\mbox{''}
]
\linebreak[4] 
[-0=0
\stackrel{
\mathrm{pyk}
}{\rightarrow}
\mbox{``}lemma
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}
\mbox{-}0
{=}0
\mbox{''}
]
\linebreak[4] 
[SFsymmetry
\stackrel{
\mathrm{pyk}
}{\rightarrow}
\mbox{``}lemma
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}sameFsymmetry
\mbox{''}
]
\linebreak[4] 
[SFtransitivity
\stackrel{
\mathrm{pyk}
}{\rightarrow}
\mbox{``}lemma
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}sameFtransitivity
\mbox{''}
]
\linebreak[4] 
[f2R(Plus)
\stackrel{
\mathrm{pyk}
}{\rightarrow}
\mbox{``}lemma
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}f2R(Plus)
\mbox{''}
]
\linebreak[4] 
[f2R(Times)
\stackrel{
\mathrm{pyk}
}{\rightarrow}
\mbox{``}lemma
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}f2R(Times)
\mbox{''}
]
\linebreak[4] 
[<<TransitivityHelper(Q)
\stackrel{
\mathrm{pyk}
}{\rightarrow}
\mbox{``}lemma
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}
{<}
{<}TransitivityHelper(Q)
\mbox{''}
]
\linebreak[4] 
[<<Transitivity
\stackrel{
\mathrm{pyk}
}{\rightarrow}
\mbox{``}lemma
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}
{<}
{<}Transitivity
\mbox{''}
]
\linebreak[4] 
[<<==Reflexivity
\stackrel{
\mathrm{pyk}
}{\rightarrow}
\mbox{``}lemma
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}
{<}
{<}
{=}
{=}Reflexivity
\mbox{''}
]
\linebreak[4] 
[<<==AntisymmetryHelper(Q)
\stackrel{
\mathrm{pyk}
}{\rightarrow}
\mbox{``}lemma
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}
{<}
{<}
{=}
{=}AntisymmetryHelper(Q)
\mbox{''}
]
\linebreak[4] 
[FromNot<f(Weak)(Helper)
\stackrel{
\mathrm{pyk}
}{\rightarrow}
\mbox{``}lemma
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}fromNot
{<}f(Weak)
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}helper
\mbox{''}
]
\linebreak[4] 
[FromNot<f(Weak)
\stackrel{
\mathrm{pyk}
}{\rightarrow}
\mbox{``}lemma
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}fromNot
{<}f(Weak)
\mbox{''}
]
\linebreak[4] 
[FromNot<f(Strong)(Helper2)
\stackrel{
\mathrm{pyk}
}{\rightarrow}
\mbox{``}lemma
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}fromNot
{<}f(Strong)
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}helper2
\mbox{''}
]
\linebreak[4] 
[FromNot<f(Strong)(Helper)
\stackrel{
\mathrm{pyk}
}{\rightarrow}
\mbox{``}lemma
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}fromNot
{<}f(Strong)
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}helper
\mbox{''}
]
\linebreak[4] 
[FromNot<f(Strong)
\stackrel{
\mathrm{pyk}
}{\rightarrow}
\mbox{``}lemma
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}fromNot
{<}f(Strong)
\mbox{''}
]
\linebreak[4] 
[fromNotSameF(Strongest)(Helper2)
\stackrel{
\mathrm{pyk}
}{\rightarrow}
\mbox{``}lemma
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}fromNotSameF(Strongest)
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}helper2
\mbox{''}
]
\linebreak[4] 
[fromNotSameF(Strongest)(Helper)
\stackrel{
\mathrm{pyk}
}{\rightarrow}
\mbox{``}lemma
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}fromNotSameF(Strongest)
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}helper
\mbox{''}
]
\linebreak[4] 
[fromNotSameF(Strongest)
\stackrel{
\mathrm{pyk}
}{\rightarrow}
\mbox{``}lemma
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}fromNotSameF(Strongest)
\mbox{''}
]
\linebreak[4] 
[ToLess(F)(Helper)
\stackrel{
\mathrm{pyk}
}{\rightarrow}
\mbox{``}lemma
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}toLess(F)
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}helper
\mbox{''}
]
\linebreak[4] 
[ToLess(F)
\stackrel{
\mathrm{pyk}
}{\rightarrow}
\mbox{``}lemma
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}toLess(F)
\mbox{''}
]
\linebreak[4] 
[FromNot<<
\stackrel{
\mathrm{pyk}
}{\rightarrow}
\mbox{``}lemma
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}fromNot
{<}
{<}
\mbox{''}
]
\linebreak[4] 
[ToLess(R)
\stackrel{
\mathrm{pyk}
}{\rightarrow}
\mbox{``}lemma
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}toLess(R)
\mbox{''}
]
\linebreak[4] 
[LeqTotality(R)
\stackrel{
\mathrm{pyk}
}{\rightarrow}
\mbox{``}lemma
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}leqTotality(R)
\mbox{''}
]
\linebreak[4] 
[FromNotSameF(Weak)(Helper)
\stackrel{
\mathrm{pyk}
}{\rightarrow}
\mbox{``}lemma
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}fromNotSameF(Weak)(Helper)
\mbox{''}
]
\linebreak[4] 
[FromNotSameF(Weak)
\stackrel{
\mathrm{pyk}
}{\rightarrow}
\mbox{``}lemma
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}fromNotSameF(Weak)
\mbox{''}
]
\linebreak[4] 
[FromNotLess(F)
\stackrel{
\mathrm{pyk}
}{\rightarrow}
\mbox{``}lemma
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}fromNotLess(F)
\mbox{''}
]
\linebreak[4] 
[==Addition
\stackrel{
\mathrm{pyk}
}{\rightarrow}
\mbox{``}lemma
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}
{=}
{=}Addition
\mbox{''}
]
\linebreak[4] 
[==AdditionLeft
\stackrel{
\mathrm{pyk}
}{\rightarrow}
\mbox{``}lemma
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}
{=}
{=}AdditionLeft
\mbox{''}
]
\linebreak[4] 
[Fpart-Bounded(Base)
\stackrel{
\mathrm{pyk}
}{\rightarrow}
\mbox{``}lemma
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}fpart
\mbox{-}Bounded
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}base
\mbox{''}
]
\linebreak[4] 
[Fpart-Bounded(InduHelper)
\stackrel{
\mathrm{pyk}
}{\rightarrow}
\mbox{``}lemma
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}fpart
\mbox{-}Bounded
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}indu
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}helper
\mbox{''}
]
\linebreak[4] 
[Fpart-Bounded(Indu)
\stackrel{
\mathrm{pyk}
}{\rightarrow}
\mbox{``}lemma
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}fpart
\mbox{-}Bounded
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}indu
\mbox{''}
]
\linebreak[4] 
[Fpart-Bounded
\stackrel{
\mathrm{pyk}
}{\rightarrow}
\mbox{``}lemma
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}fpart
\mbox{-}Bounded
\mbox{''}
]
\linebreak[4] 
[F-Bounded(Helper)
\stackrel{
\mathrm{pyk}
}{\rightarrow}
\mbox{``}lemma
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}f
\mbox{-}Bounded
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}helper
\mbox{''}
]
\linebreak[4] 
[F-Bounded
\stackrel{
\mathrm{pyk}
}{\rightarrow}
\mbox{``}lemma
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}f
\mbox{-}Bounded
\mbox{''}
]
\linebreak[4] 
[SameFmultiplication(Helper)
\stackrel{
\mathrm{pyk}
}{\rightarrow}
\mbox{``}lemma
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}sameFmultiplication
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}helper
\mbox{''}
]
\linebreak[4] 
[SameFmultiplication
\stackrel{
\mathrm{pyk}
}{\rightarrow}
\mbox{``}lemma
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}sameFmultiplication
\mbox{''}
]
\linebreak[4] 
[EqMultiplication(R)
\stackrel{
\mathrm{pyk}
}{\rightarrow}
\mbox{``}lemma
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}eqMultiplication(R)
\mbox{''}
]
\linebreak[4] 
[EqMultiplicationLeft(R)
\stackrel{
\mathrm{pyk}
}{\rightarrow}
\mbox{``}lemma
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}eqMultiplicationLeft(R)
\mbox{''}
]
\linebreak[4] 
[x*0=0(F)
\stackrel{
\mathrm{pyk}
}{\rightarrow}
\mbox{``}lemma
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}x
{*}0
{=}0(F)
\mbox{''}
]
\linebreak[4] 
[x*0=0(R)
\stackrel{
\mathrm{pyk}
}{\rightarrow}
\mbox{``}lemma
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}x
{*}0
{=}0(R)
\mbox{''}
]
\linebreak[4] 
[LessMultiplication(F)(Helper2)
\stackrel{
\mathrm{pyk}
}{\rightarrow}
\mbox{``}lemma
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}lessMultiplication(F)
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}helper2
\mbox{''}
]
\linebreak[4] 
[LessMultiplication(F)(Helper)
\stackrel{
\mathrm{pyk}
}{\rightarrow}
\mbox{``}lemma
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}lessMultiplication(F)
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}helper
\mbox{''}
]
\linebreak[4] 
[LessMultiplication(F)
\stackrel{
\mathrm{pyk}
}{\rightarrow}
\mbox{``}lemma
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}lessMultiplication(F)
\mbox{''}
]
\linebreak[4] 
[LessMultiplication(R)
\stackrel{
\mathrm{pyk}
}{\rightarrow}
\mbox{``}lemma
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}lessMultiplication(R)
\mbox{''}
]
\linebreak[4] 
[LeqMultiplication(R)
\stackrel{
\mathrm{pyk}
}{\rightarrow}
\mbox{``}lemma
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}leqMultiplication(R)
\mbox{''}
]
\linebreak[4] 
[PlusAssociativity(F)
\stackrel{
\mathrm{pyk}
}{\rightarrow}
\mbox{``}lemma
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}plusAssociativity(F)
\mbox{''}
]
\linebreak[4] 
[Plus0(F)
\stackrel{
\mathrm{pyk}
}{\rightarrow}
\mbox{``}lemma
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}plus0(F)
\mbox{''}
]
\linebreak[4] 
[PlusCommutativity(F)
\stackrel{
\mathrm{pyk}
}{\rightarrow}
\mbox{``}lemma
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}plusCommutativity(F)
\mbox{''}
]
\linebreak[4] 
[TimesAssociativity(F)
\stackrel{
\mathrm{pyk}
}{\rightarrow}
\mbox{``}lemma
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}timesAssociativity(F)
\mbox{''}
]
\linebreak[4] 
[Times1f
\stackrel{
\mathrm{pyk}
}{\rightarrow}
\mbox{``}lemma
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}times1f
\mbox{''}
]
\linebreak[4] 
[Cauchy(2)(Helper)
\stackrel{
\mathrm{pyk}
}{\rightarrow}
\mbox{``}lemma
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}2cauchy
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}helper
\mbox{''}
]
\linebreak[4] 
[Cauchy(2)
\stackrel{
\mathrm{pyk}
}{\rightarrow}
\mbox{``}lemma
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}2cauchy
\mbox{''}
]
\linebreak[4] 
[ReciprocalFnonzero
\stackrel{
\mathrm{pyk}
}{\rightarrow}
\mbox{``}lemma
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}reciprocalF
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}nonzero
\mbox{''}
]
\linebreak[4] 
[ReciprocalFnynonzero
\stackrel{
\mathrm{pyk}
}{\rightarrow}
\mbox{``}lemma
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}reciprocalFny
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}nonzero
\mbox{''}
]
\linebreak[4] 
[(Eventually=f)2sameF(Helper)
\stackrel{
\mathrm{pyk}
}{\rightarrow}
\mbox{``}lemma
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}eventually
{=}f
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}to
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}sameF
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}helper
\mbox{''}
]
\linebreak[4] 
[(Eventually=f)2sameF
\stackrel{
\mathrm{pyk}
}{\rightarrow}
\mbox{``}lemma
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}eventually
{=}f
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}to
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}sameF
\mbox{''}
]
\linebreak[4] 
[FromNotSameF(Strong)(Helper2)
\stackrel{
\mathrm{pyk}
}{\rightarrow}
\mbox{``}lemma
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}fromNotSameF(Strong)
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}helper2
\mbox{''}
]
\linebreak[4] 
[FromNotSameF(Strong)(Helper)
\stackrel{
\mathrm{pyk}
}{\rightarrow}
\mbox{``}lemma
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}fromNotSameF(Strong)
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}helper
\mbox{''}
]
\linebreak[4] 
[FromNotSameF(Strong)
\stackrel{
\mathrm{pyk}
}{\rightarrow}
\mbox{``}lemma
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}fromNotSameF(Strong)
\mbox{''}
]
\linebreak[4] 
[SameFreciprocal(Helper)
\stackrel{
\mathrm{pyk}
}{\rightarrow}
\mbox{``}lemma
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}sameFreciprocal
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}helper
\mbox{''}
]
\linebreak[4] 
[SameFreciprocal
\stackrel{
\mathrm{pyk}
}{\rightarrow}
\mbox{``}lemma
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}sameFreciprocal
\mbox{''}
]
\linebreak[4] 
[From!!==
\stackrel{
\mathrm{pyk}
}{\rightarrow}
\mbox{``}lemma
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}from!!
{=}
{=}
\mbox{''}
]
\linebreak[4] 
[Reciprocal(R)
\stackrel{
\mathrm{pyk}
}{\rightarrow}
\mbox{``}lemma
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}reciprocal(R)
\mbox{''}
]
\linebreak[4] 
[TimesCommutativity(F)
\stackrel{
\mathrm{pyk}
}{\rightarrow}
\mbox{``}lemma
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}timesCommutativity(F)
\mbox{''}
]
\linebreak[4] 
[Distribution(F)
\stackrel{
\mathrm{pyk}
}{\rightarrow}
\mbox{``}lemma
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}distribution(F)
\mbox{''}
]
\linebreak[4] 
[FromMax(1)
\stackrel{
\mathrm{pyk}
}{\rightarrow}
\mbox{``}lemma
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}fromMax(1)
\mbox{''}
]
\linebreak[4] 
[FromMax(2)
\stackrel{
\mathrm{pyk}
}{\rightarrow}
\mbox{``}lemma
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}fromMax(2)
\mbox{''}
]
\linebreak[4] 
[ToNegatedAnd
\stackrel{
\mathrm{pyk}
}{\rightarrow}
\mbox{``}prop
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}lemma
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}to
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}negated
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}and
\mbox{''}
]
\linebreak[4] 
[PositiveToRight(Less)(1 term)
\stackrel{
\mathrm{pyk}
}{\rightarrow}
\mbox{``}lemma
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}positiveToRight(Less)(1
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}term)
\mbox{''}
]
\linebreak[4] 
[(A~)to(~E)
\stackrel{
\mathrm{pyk}
}{\rightarrow}
\mbox{``}pred
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}lemma
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}(A
\char126 )to(
\char126 E)
\mbox{''}
]
\linebreak[4] 
[
\mbox{lemma ==Transitivity4}
\stackrel{
\mathrm{pyk}
}{\rightarrow}
\mbox{``}lemma
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}
{=}
{=}Transitivity4
\mbox{''}
]
\linebreak[4] 
[Plus0Left(R)
\stackrel{
\mathrm{pyk}
}{\rightarrow}
\mbox{``}lemma
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}plus0Left(R)
\mbox{''}
]
\linebreak[4] 
[x=x+(y-y)(R)
\stackrel{
\mathrm{pyk}
}{\rightarrow}
\mbox{``}lemma
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}x
{=}x
{+}(y
\mbox{-}y)(R)
\mbox{''}
]
\linebreak[4] 
[x=x+y-y(R)
\stackrel{
\mathrm{pyk}
}{\rightarrow}
\mbox{``}lemma
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}x
{=}x
{+}y
\mbox{-}y(R)
\mbox{''}
]
\linebreak[4] 
[PositiveToRight(Eq)(R)
\stackrel{
\mathrm{pyk}
}{\rightarrow}
\mbox{``}lemma
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}positiveToRight(Eq)(R)
\mbox{''}
]
\linebreak[4] 
[SubtractEquations(R)
\stackrel{
\mathrm{pyk}
}{\rightarrow}
\mbox{``}lemma
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}subtractEquations(R)
\mbox{''}
]
\linebreak[4] 
[NeqAddition(R)
\stackrel{
\mathrm{pyk}
}{\rightarrow}
\mbox{``}lemma
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}neqAddition(R)
\mbox{''}
]
\linebreak[4] 
[EqAdditionLeft(R)
\stackrel{
\mathrm{pyk}
}{\rightarrow}
\mbox{``}lemma
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}eqAdditionLeft(R)
\mbox{''}
]
\linebreak[4] 
[Three2twoTerms(R)
\stackrel{
\mathrm{pyk}
}{\rightarrow}
\mbox{``}lemma
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}three2twoTerms(R)
\mbox{''}
]
\linebreak[4] 
[PositiveToRight(Less)(R)
\stackrel{
\mathrm{pyk}
}{\rightarrow}
\mbox{``}lemma
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}positiveToRight(Less)(R)
\mbox{''}
]
\linebreak[4] 
[Three2threeTerms(R)
\stackrel{
\mathrm{pyk}
}{\rightarrow}
\mbox{``}lemma
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}three2threeTerms(R)
\mbox{''}
]
\linebreak[4] 
[PositiveToRight(Less)(1 term)(R)
\stackrel{
\mathrm{pyk}
}{\rightarrow}
\mbox{``}lemma
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}positiveToRight(Less)(1
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}term)(R)
\mbox{''}
]
\linebreak[4] 
[ToLeq(Advanced)(R)
\stackrel{
\mathrm{pyk}
}{\rightarrow}
\mbox{``}lemma
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}toLeq(Advanced)(R)
\mbox{''}
]
\linebreak[4] 
[LeqNeqLess(R)
\stackrel{
\mathrm{pyk}
}{\rightarrow}
\mbox{``}lemma
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}leqNeqLess(R)
\mbox{''}
]
\linebreak[4] 
[SubLeqLeft(R)
\stackrel{
\mathrm{pyk}
}{\rightarrow}
\mbox{``}lemma
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}subLeqLeft(R)
\mbox{''}
]
\linebreak[4] 
[LeqLessTransitivity(R)
\stackrel{
\mathrm{pyk}
}{\rightarrow}
\mbox{``}lemma
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}leqLessTransitivity(R)
\mbox{''}
]
\linebreak[4] 
[NegativeToLeft(Eq)(R)
\stackrel{
\mathrm{pyk}
}{\rightarrow}
\mbox{``}lemma
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}negativeToLeft(Eq)(R)
\mbox{''}
]
\linebreak[4] 
[NegativeToRight(Less)(R)
\stackrel{
\mathrm{pyk}
}{\rightarrow}
\mbox{``}lemma
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}negativeToRight(Less)(R)
\mbox{''}
]
\linebreak[4] 
[!!==Symmetry
\stackrel{
\mathrm{pyk}
}{\rightarrow}
\mbox{``}lemma
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}!!
{=}
{=}Symmetry
\mbox{''}
]
\linebreak[4] 
[NegativeToRight(Eq)(R)
\stackrel{
\mathrm{pyk}
}{\rightarrow}
\mbox{``}lemma
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}negativeToRight(Eq)(R)
\mbox{''}
]
\linebreak[4] 
[NegativeToRight(Eq)(1 term)(R)
\stackrel{
\mathrm{pyk}
}{\rightarrow}
\mbox{``}lemma
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}negativeToRight(Eq)(1
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}term)(R)
\mbox{''}
]
\linebreak[4] 
[DoubleMinus(R)
\stackrel{
\mathrm{pyk}
}{\rightarrow}
\mbox{``}lemma
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}doubleMinus(R)
\mbox{''}
]
\linebreak[4] 
[UniqueNegative(R)
\stackrel{
\mathrm{pyk}
}{\rightarrow}
\mbox{``}lemma
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}uniqueNegative(R)
\mbox{''}
]
\linebreak[4] 
[SubtractEquationsLeft(R)
\stackrel{
\mathrm{pyk}
}{\rightarrow}
\mbox{``}lemma
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}subtractEquationsLeft(R)
\mbox{''}
]
\linebreak[4] 
[EqNegated(R)
\stackrel{
\mathrm{pyk}
}{\rightarrow}
\mbox{``}lemma
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}eqNegated(R)
\mbox{''}
]
\linebreak[4] 
[NeqNegated(R)
\stackrel{
\mathrm{pyk}
}{\rightarrow}
\mbox{``}lemma
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}neqNegated(R)
\mbox{''}
]
\linebreak[4] 
[LeqNegated(R)
\stackrel{
\mathrm{pyk}
}{\rightarrow}
\mbox{``}lemma
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}leqNegated(R)
\mbox{''}
]
\linebreak[4] 
[LessNegated(R)
\stackrel{
\mathrm{pyk}
}{\rightarrow}
\mbox{``}lemma
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}lessNegated(R)
\mbox{''}
]
\linebreak[4] 
[-0=0(R)
\stackrel{
\mathrm{pyk}
}{\rightarrow}
\mbox{``}lemma
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}
\mbox{-}0
{=}0(R)
\mbox{''}
]
\linebreak[4] 
[NegativeNegated(R)
\stackrel{
\mathrm{pyk}
}{\rightarrow}
\mbox{``}lemma
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}negativeNegated(R)
\mbox{''}
]
\linebreak[4] 
[FromLeqGeq(R)
\stackrel{
\mathrm{pyk}
}{\rightarrow}
\mbox{``}lemma
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}from
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}leqGeq(R)
\mbox{''}
]
\linebreak[4] 
[SubLeqRight(R)
\stackrel{
\mathrm{pyk}
}{\rightarrow}
\mbox{``}lemma
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}subLeqRight(R)
\mbox{''}
]
\linebreak[4] 
[FromLess(R)
\stackrel{
\mathrm{pyk}
}{\rightarrow}
\mbox{``}lemma
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}fromLess(R)
\mbox{''}
]
\linebreak[4] 
[NonnegativeNumerical(R)
\stackrel{
\mathrm{pyk}
}{\rightarrow}
\mbox{``}lemma
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}nonnegativeNumerical(R)
\mbox{''}
]
\linebreak[4] 
[NegativeNumerical(R)
\stackrel{
\mathrm{pyk}
}{\rightarrow}
\mbox{``}lemma
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}negativeNumerical(R)
\mbox{''}
]
\linebreak[4] 
[0<=|x|(R)
\stackrel{
\mathrm{pyk}
}{\rightarrow}
\mbox{``}lemma
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}0
{<}
{=}|x|(R)
\mbox{''}
]
\linebreak[4] 
[PositiveNegated(R)
\stackrel{
\mathrm{pyk}
}{\rightarrow}
\mbox{``}lemma
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}positiveNegated(R)
\mbox{''}
]
\linebreak[4] 
[AddEquations(R)
\stackrel{
\mathrm{pyk}
}{\rightarrow}
\mbox{``}lemma
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}addEquations(R)
\mbox{''}
]
\linebreak[4] 
[DistributionOut(R)
\stackrel{
\mathrm{pyk}
}{\rightarrow}
\mbox{``}lemma
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}distributionOut(R)
\mbox{''}
]
\linebreak[4] 
[==Transitivity5
\stackrel{
\mathrm{pyk}
}{\rightarrow}
\mbox{``}lemma
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}
{=}
{=}Transitivity5
\mbox{''}
]
\linebreak[4] 
[x*0+x=x(R)
\stackrel{
\mathrm{pyk}
}{\rightarrow}
\mbox{``}lemma
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}x
{*}0
{+}x
{=}x(R)
\mbox{''}
]
\linebreak[4] 
[x*0=0(R)(fff)
\stackrel{
\mathrm{pyk}
}{\rightarrow}
\mbox{``}lemma
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}x
{*}0
{=}0(R)fff
\mbox{''}
]
\linebreak[4] 
[Times(-1)(R)
\stackrel{
\mathrm{pyk}
}{\rightarrow}
\mbox{``}lemma
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}times(
\mbox{-}1)(R)
\mbox{''}
]
\linebreak[4] 
[Times(-1)Left(R)
\stackrel{
\mathrm{pyk}
}{\rightarrow}
\mbox{``}lemma
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}times(
\mbox{-}1)Left(R)
\mbox{''}
]
\linebreak[4] 
[-x-y=-(x+y)(R)
\stackrel{
\mathrm{pyk}
}{\rightarrow}
\mbox{``}lemma
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}
\mbox{-}x
\mbox{-}y
{=}
\mbox{-}(x
{+}y)(R)
\mbox{''}
]
\linebreak[4] 
[LessTotality(R)
\stackrel{
\mathrm{pyk}
}{\rightarrow}
\mbox{``}lemma
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}lessTotality(R)
\mbox{''}
]
\linebreak[4] 
[PositiveNumerical(R)
\stackrel{
\mathrm{pyk}
}{\rightarrow}
\mbox{``}lemma
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}positiveNumerical(R)
\mbox{''}
]
\linebreak[4] 
[SignNumerical(+)(R)
\stackrel{
\mathrm{pyk}
}{\rightarrow}
\mbox{``}lemma
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}signNumerical(
{+})(R)
\mbox{''}
]
\linebreak[4] 
[SameNumerical(R)
\stackrel{
\mathrm{pyk}
}{\rightarrow}
\mbox{``}lemma
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}sameNumerical(R)
\mbox{''}
]
\linebreak[4] 
[MinusNegated(R)
\stackrel{
\mathrm{pyk}
}{\rightarrow}
\mbox{``}lemma
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}minusNegated(R)
\mbox{''}
]
\linebreak[4] 
[SignNumerical(R)
\stackrel{
\mathrm{pyk}
}{\rightarrow}
\mbox{``}lemma
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}signNumerical(R)
\mbox{''}
]
\linebreak[4] 
[NumericalDifference(R)
\stackrel{
\mathrm{pyk}
}{\rightarrow}
\mbox{``}lemma
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}numericalDifference(R)
\mbox{''}
]
\linebreak[4] 
[x<=|x|(R)
\stackrel{
\mathrm{pyk}
}{\rightarrow}
\mbox{``}lemma
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}x
{<}
{=}|x|(R)
\mbox{''}
]
\linebreak[4] 
[USlimitIsUpperBound(Helper)
\stackrel{
\mathrm{pyk}
}{\rightarrow}
\mbox{``}lemma
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}USlimitIsUpperBound
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}helper
\mbox{''}
]
\linebreak[4] 
[USlimitIsUpperBound
\stackrel{
\mathrm{pyk}
}{\rightarrow}
\mbox{``}lemma
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}USlimitIsUpperBound
\mbox{''}
]
\linebreak[4] 
[(-1)*(-1)+(-1)*1=0(R)
\stackrel{
\mathrm{pyk}
}{\rightarrow}
\mbox{``}lemma
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}(
\mbox{-}1)
{*}(
\mbox{-}1)
{+}(
\mbox{-}1)
{*}1
{=}0(R)
\mbox{''}
]
\linebreak[4] 
[(-1)*(-1)=1(R)
\stackrel{
\mathrm{pyk}
}{\rightarrow}
\mbox{``}lemma
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}(
\mbox{-}1)
{*}(
\mbox{-}1)
{=}1(R)
\mbox{''}
]
\linebreak[4] 
[0<1Helper(R)
\stackrel{
\mathrm{pyk}
}{\rightarrow}
\mbox{``}lemma
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}0
{<}1Helper(R)
\mbox{''}
]
\linebreak[4] 
[0<1(R)
\stackrel{
\mathrm{pyk}
}{\rightarrow}
\mbox{``}lemma
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}0
{<}1(R)
\mbox{''}
]
\linebreak[4] 
[ExpZero(Exact)(R)
\stackrel{
\mathrm{pyk}
}{\rightarrow}
\mbox{``}lemma
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}expZero
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}exact(R)
\mbox{''}
]
\linebreak[4] 
[PositiveBase(R)(Base)
\stackrel{
\mathrm{pyk}
}{\rightarrow}
\mbox{``}lemma
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}positiveBase(R)
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}base
\mbox{''}
]
\linebreak[4] 
[Three2twoFactors(R)
\stackrel{
\mathrm{pyk}
}{\rightarrow}
\mbox{``}lemma
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}three2twoFactors(R)
\mbox{''}
]
\linebreak[4] 
[x=x*y*(1/y)(R)
\stackrel{
\mathrm{pyk}
}{\rightarrow}
\mbox{``}lemma
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}x
{=}x
{*}y
{*}(1/y)(R)
\mbox{''}
]
\linebreak[4] 
[NeqMultiplication(R)
\stackrel{
\mathrm{pyk}
}{\rightarrow}
\mbox{``}lemma
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}neqMultiplication(R)
\mbox{''}
]
\linebreak[4] 
[LessTransitivity(R)
\stackrel{
\mathrm{pyk}
}{\rightarrow}
\mbox{``}lemma
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}lessTransitivity(R)
\mbox{''}
]
\linebreak[4] 
[0<2(R)
\stackrel{
\mathrm{pyk}
}{\rightarrow}
\mbox{``}lemma
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}0
{<}2(R)
\mbox{''}
]
\linebreak[4] 
[SameExp(R)(Base)
\stackrel{
\mathrm{pyk}
}{\rightarrow}
\mbox{``}lemma
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}sameExp(R)
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}base
\mbox{''}
]
\linebreak[4] 
[SameExp(R)(Indu)
\stackrel{
\mathrm{pyk}
}{\rightarrow}
\mbox{``}lemma
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}sameExp(R)
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}indu
\mbox{''}
]
\linebreak[4] 
[SameExp(R)
\stackrel{
\mathrm{pyk}
}{\rightarrow}
\mbox{``}lemma
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}sameExp(R)
\mbox{''}
]
\linebreak[4] 
[SubNeqLeft(R)
\stackrel{
\mathrm{pyk}
}{\rightarrow}
\mbox{``}lemma
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}subNeqLeft(R)
\mbox{''}
]
\linebreak[4] 
[SubNeqRight(R)
\stackrel{
\mathrm{pyk}
}{\rightarrow}
\mbox{``}lemma
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}subNeqRight(R)
\mbox{''}
]
\linebreak[4] 
[NonzeroFactors(R)
\stackrel{
\mathrm{pyk}
}{\rightarrow}
\mbox{``}lemma
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}nonzeroFactors(R)
\mbox{''}
]
\linebreak[4] 
[NonnegativeFactors(R)
\stackrel{
\mathrm{pyk}
}{\rightarrow}
\mbox{``}lemma
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}nonnegativeFactors(R)
\mbox{''}
]
\linebreak[4] 
[PositiveFactors(R)
\stackrel{
\mathrm{pyk}
}{\rightarrow}
\mbox{``}lemma
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}positiveFactors(R)
\mbox{''}
]
\linebreak[4] 
[LessDivision(R)
\stackrel{
\mathrm{pyk}
}{\rightarrow}
\mbox{``}lemma
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}lessDivision(R)
\mbox{''}
]
\linebreak[4] 
[0<1/2(R)
\stackrel{
\mathrm{pyk}
}{\rightarrow}
\mbox{``}lemma
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}0
{<}1/2(R)
\mbox{''}
]
\linebreak[4] 
[PositiveToRight(Eq)(1 term)(R)
\stackrel{
\mathrm{pyk}
}{\rightarrow}
\mbox{``}lemma
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}positiveToRight(Eq)(1
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}term)(R)
\mbox{''}
]
\linebreak[4] 
[Exp(+1)(R)
\stackrel{
\mathrm{pyk}
}{\rightarrow}
\mbox{``}lemma
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}exp(
{+}1)(R)
\mbox{''}
]
\linebreak[4] 
[PositiveBase(R)(Indu)
\stackrel{
\mathrm{pyk}
}{\rightarrow}
\mbox{``}lemma
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}positiveBase(R)
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}indu
\mbox{''}
]
\linebreak[4] 
[PositiveBase(R)
\stackrel{
\mathrm{pyk}
}{\rightarrow}
\mbox{``}lemma
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}positiveBase(R)
\mbox{''}
]
\linebreak[4] 
[-x*y=-(x*y)(R)
\stackrel{
\mathrm{pyk}
}{\rightarrow}
\mbox{``}lemma
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}
\mbox{-}x
{*}y
{=}
\mbox{-}(x
{*}y)(R)
\mbox{''}
]
\linebreak[4] 
[PositiveToLeft(Eq)(R)
\stackrel{
\mathrm{pyk}
}{\rightarrow}
\mbox{``}lemma
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}positiveToLeft(Eq)(R)
\mbox{''}
]
\linebreak[4] 
[Times1Left(R)
\stackrel{
\mathrm{pyk}
}{\rightarrow}
\mbox{``}lemma
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}times1Left(R)
\mbox{''}
]
\linebreak[4] 
[==Transitivity6
\stackrel{
\mathrm{pyk}
}{\rightarrow}
\mbox{``}lemma
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}
{=}
{=}Transitivity6
\mbox{''}
]
\linebreak[4] 
[x+x=2*x(R)
\stackrel{
\mathrm{pyk}
}{\rightarrow}
\mbox{``}lemma
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}x
{+}x
{=}2
{*}x(R)
\mbox{''}
]
\linebreak[4] 
[(1/2)x+(1/2)x=x(R)
\stackrel{
\mathrm{pyk}
}{\rightarrow}
\mbox{``}lemma
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}(1/2)x
{+}(1/2)x
{=}x(R)
\mbox{''}
]
\linebreak[4] 
[DistributionOut(Minus)(R)
\stackrel{
\mathrm{pyk}
}{\rightarrow}
\mbox{``}lemma
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}distributionOut(Minus)(R)
\mbox{''}
]
\linebreak[4] 
[(1/2)(x+y)-x=(1/2)(y-x)(R)
\stackrel{
\mathrm{pyk}
}{\rightarrow}
\mbox{``}lemma
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}(1/2)(x
{+}y)
\mbox{-}x
{=}(1/2)(y
\mbox{-}x)(R)
\mbox{''}
]
\linebreak[4] 
[IntervalSize(R)(Base)
\stackrel{
\mathrm{pyk}
}{\rightarrow}
\mbox{``}lemma
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}intervalSize(R)
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}base
\mbox{''}
]
\linebreak[4] 
[LessMultiplicationLeft(R)
\stackrel{
\mathrm{pyk}
}{\rightarrow}
\mbox{``}lemma
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}lessMultiplicationLeft(R)
\mbox{''}
]
\linebreak[4] 
[NegativeToLeft(Less)(R)
\stackrel{
\mathrm{pyk}
}{\rightarrow}
\mbox{``}lemma
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}negativeToLeft(Less)(R)
\mbox{''}
]
\linebreak[4] 
[NegativeToLeft(Less)(1 term)(R)
\stackrel{
\mathrm{pyk}
}{\rightarrow}
\mbox{``}lemma
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}negativeToLeft(Less)(1
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}term)(R)
\mbox{''}
]
\linebreak[4] 
[y-(1/2)(x+y)=(1/2)(y-x)(R)
\stackrel{
\mathrm{pyk}
}{\rightarrow}
\mbox{``}lemma
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}y
\mbox{-}(1/2)(x
{+}y)
{=}(1/2)(y
\mbox{-}x)(R)
\mbox{''}
]
\linebreak[4] 
[IntervalSize(R)(Indu)
\stackrel{
\mathrm{pyk}
}{\rightarrow}
\mbox{``}lemma
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}intervalSize(R)
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}indu
\mbox{''}
]
\linebreak[4] 
[IntervalSize(R)
\stackrel{
\mathrm{pyk}
}{\rightarrow}
\mbox{``}lemma
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}intervalSize(R)
\mbox{''}
]
\linebreak[4] 
[XSlessUS(R)
\stackrel{
\mathrm{pyk}
}{\rightarrow}
\mbox{``}lemma
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}XSlessUS(R)
\mbox{''}
]
\linebreak[4] 
[USdecreasing(+1)(R)
\stackrel{
\mathrm{pyk}
}{\rightarrow}
\mbox{``}lemma
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}USdecreasing(
{+}1)(R)
\mbox{''}
]
\linebreak[4] 
[ExpUnbounded(Base)
\stackrel{
\mathrm{pyk}
}{\rightarrow}
\mbox{``}lemma
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}expUnbounded
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}base
\mbox{''}
]
\linebreak[4] 
[ExpUnbounded(Indu)
\stackrel{
\mathrm{pyk}
}{\rightarrow}
\mbox{``}lemma
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}expUnbounded
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}indu
\mbox{''}
]
\linebreak[4] 
[ExpUnbounded
\stackrel{
\mathrm{pyk}
}{\rightarrow}
\mbox{``}lemma
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}expUnbounded
\mbox{''}
]
\linebreak[4] 
[1<=x+1(N)
\stackrel{
\mathrm{pyk}
}{\rightarrow}
\mbox{``}lemma
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}1
{<}
{=}x
{+}1(N)
\mbox{''}
]
\linebreak[4] 
[NonzeroProduct(2)(R)
\stackrel{
\mathrm{pyk}
}{\rightarrow}
\mbox{``}lemma
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}nonzeroProduct(2)(R)
\mbox{''}
]
\linebreak[4] 
[PositiveNonzero(R)
\stackrel{
\mathrm{pyk}
}{\rightarrow}
\mbox{``}lemma
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}positiveNonzero(R)
\mbox{''}
]
\linebreak[4] 
[NonreciprocalToRight(Eq)(1 term)(R)
\stackrel{
\mathrm{pyk}
}{\rightarrow}
\mbox{``}lemma
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}nonreciprocalToRight(Eq)(1
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}term)(R)
\mbox{''}
]
\linebreak[4] 
[ExpNonzero(Base)
\stackrel{
\mathrm{pyk}
}{\rightarrow}
\mbox{``}lemma
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}expNonzero
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}base
\mbox{''}
]
\linebreak[4] 
[ExpNonzero(Indu)
\stackrel{
\mathrm{pyk}
}{\rightarrow}
\mbox{``}lemma
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}expNonzero
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}indu
\mbox{''}
]
\linebreak[4] 
[ExpNonzero
\stackrel{
\mathrm{pyk}
}{\rightarrow}
\mbox{``}lemma
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}expNonzero
\mbox{''}
]
\linebreak[4] 
[ExpNonzero(2)
\stackrel{
\mathrm{pyk}
}{\rightarrow}
\mbox{``}lemma
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}expNonzero(2)
\mbox{''}
]
\linebreak[4] 
[MultiplyEquations(R)
\stackrel{
\mathrm{pyk}
}{\rightarrow}
\mbox{``}lemma
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}multiplyEquations(R)
\mbox{''}
]
\linebreak[4] 
[HalfBase(Base)
\stackrel{
\mathrm{pyk}
}{\rightarrow}
\mbox{``}lemma
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}halfBase
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}base
\mbox{''}
]
\linebreak[4] 
[HalfBase(Indu)
\stackrel{
\mathrm{pyk}
}{\rightarrow}
\mbox{``}lemma
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}halfBase
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}indu
\mbox{''}
]
\linebreak[4] 
[HalfBase
\stackrel{
\mathrm{pyk}
}{\rightarrow}
\mbox{``}lemma
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}halfBase
\mbox{''}
]
\linebreak[4] 
[Three2threeFactors(R)
\stackrel{
\mathrm{pyk}
}{\rightarrow}
\mbox{``}lemma
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}three2threeFactors(R)
\mbox{''}
]
\linebreak[4] 
[x*y=zBackwards(R)
\stackrel{
\mathrm{pyk}
}{\rightarrow}
\mbox{``}lemma
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}x
{*}y
{=}zBackwards(R)
\mbox{''}
]
\linebreak[4] 
[PositiveInverted(R)
\stackrel{
\mathrm{pyk}
}{\rightarrow}
\mbox{``}lemma
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}positiveInverted(R)
\mbox{''}
]
\linebreak[4] 
[ReciprocalToRight(Less)(R)
\stackrel{
\mathrm{pyk}
}{\rightarrow}
\mbox{``}lemma
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}reciprocalToRight(Less)(R)
\mbox{''}
]
\linebreak[4] 
[ReciprocalToRight(Less)(1 term)(R)
\stackrel{
\mathrm{pyk}
}{\rightarrow}
\mbox{``}lemma
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}reciprocalToRight(Less)(1
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}term)(R)
\mbox{''}
]
\linebreak[4] 
[NonreciprocalToLeft(Less)(R)
\stackrel{
\mathrm{pyk}
}{\rightarrow}
\mbox{``}lemma
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}nonreciprocalToLeft(Less)(R)
\mbox{''}
]
\linebreak[4] 
[1<x*y(R)
\stackrel{
\mathrm{pyk}
}{\rightarrow}
\mbox{``}lemma
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}1
{<}x
{*}y(R)
\mbox{''}
]
\linebreak[4] 
[SwitchFactors(1/x<y)(R)
\stackrel{
\mathrm{pyk}
}{\rightarrow}
\mbox{``}lemma
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}switchFactors(1/x
{<}y)(R)
\mbox{''}
]
\linebreak[4] 
[SmallHalving
\stackrel{
\mathrm{pyk}
}{\rightarrow}
\mbox{``}lemma
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}smallHalving
\mbox{''}
]
\linebreak[4] 
[IntervalSize(anyPositive)
\stackrel{
\mathrm{pyk}
}{\rightarrow}
\mbox{``}lemma
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}intervalSize(anyPositive)
\mbox{''}
]
\linebreak[4] 
[USdecreasing(+n)(Base)
\stackrel{
\mathrm{pyk}
}{\rightarrow}
\mbox{``}lemma
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}USdecreasing(
{+}n)
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}base
\mbox{''}
]
\linebreak[4] 
[USdecreasing(+n)(Indu)
\stackrel{
\mathrm{pyk}
}{\rightarrow}
\mbox{``}lemma
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}USdecreasing(
{+}n)
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}indu
\mbox{''}
]
\linebreak[4] 
[USdecreasing(+n)
\stackrel{
\mathrm{pyk}
}{\rightarrow}
\mbox{``}lemma
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}USdecreasing(
{+}n)
\mbox{''}
]
\linebreak[4] 
[USdecreasing
\stackrel{
\mathrm{pyk}
}{\rightarrow}
\mbox{``}lemma
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}USdecreasing
\mbox{''}
]
\linebreak[4] 
[LeqAdditionLeft(R)
\stackrel{
\mathrm{pyk}
}{\rightarrow}
\mbox{``}lemma
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}leqAdditionLeft(R)
\mbox{''}
]
\linebreak[4] 
[ToNotLess(R)
\stackrel{
\mathrm{pyk}
}{\rightarrow}
\mbox{``}lemma
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}toNotLess(R)
\mbox{''}
]
\linebreak[4] 
[LimitOfUSIsLeq
\stackrel{
\mathrm{pyk}
}{\rightarrow}
\mbox{``}lemma
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}limitOfUSIsLeq
\mbox{''}
]
\linebreak[4] 
[SubtractEquations(Less)(R)
\stackrel{
\mathrm{pyk}
}{\rightarrow}
\mbox{``}lemma
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}subtractEquations(Less)(R)
\mbox{''}
]
\linebreak[4] 
[SubtractEquationsLeft(Less)(R)
\stackrel{
\mathrm{pyk}
}{\rightarrow}
\mbox{``}lemma
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}subtractEquationsLeft(Less)(R)
\mbox{''}
]
\linebreak[4] 
[LessNegated(Negative)(R)
\stackrel{
\mathrm{pyk}
}{\rightarrow}
\mbox{``}lemma
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}lessNegated(Negative)(R)
\mbox{''}
]
\linebreak[4] 
[FromNegatedAnd(Imply)
\stackrel{
\mathrm{pyk}
}{\rightarrow}
\mbox{``}prop
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}lemma
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}from
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}negated
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}and
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}(imply)
\mbox{''}
]
\linebreak[4] 
[RemoveDoubleNeg(Consequent)
\stackrel{
\mathrm{pyk}
}{\rightarrow}
\mbox{``}prop
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}lemma
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}remove
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}double
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}neg
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}(consequent)
\mbox{''}
]
\linebreak[4] 
[FromNotUpperBound
\stackrel{
\mathrm{pyk}
}{\rightarrow}
\mbox{``}lemma
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}fromNotUpperBound
\mbox{''}
]
\linebreak[4] 
[DistributionOut
\stackrel{
\mathrm{pyk}
}{\rightarrow}
\mbox{``}lemma
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}distributionOut
\mbox{''}
]
\linebreak[4] 
[DistributionOutLeft
\stackrel{
\mathrm{pyk}
}{\rightarrow}
\mbox{``}lemma
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}distributionOutLeft
\mbox{''}
]
\linebreak[4] 
[DistributionLeft
\stackrel{
\mathrm{pyk}
}{\rightarrow}
\mbox{``}lemma
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}distributionLeft
\mbox{''}
]
\linebreak[4] 
[LeqNUB
\stackrel{
\mathrm{pyk}
}{\rightarrow}
\mbox{``}lemma
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}leqNUB
\mbox{''}
]
\linebreak[4] 
[USlimitIsLeastUpperBound(Helper)
\stackrel{
\mathrm{pyk}
}{\rightarrow}
\mbox{``}lemma
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}USlimitIsLeastUpperBound
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}helper
\mbox{''}
]
\linebreak[4] 
[USlimitIsLeastUpperBound
\stackrel{
\mathrm{pyk}
}{\rightarrow}
\mbox{``}lemma
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}USlimitIsLeastUpperBound
\mbox{''}
]
\linebreak[4] 
[FromNotLess(R)
\stackrel{
\mathrm{pyk}
}{\rightarrow}
\mbox{``}lemma
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}fromNotLess(R)
\mbox{''}
]
\linebreak[4] 
[ExistMP3
\stackrel{
\mathrm{pyk}
}{\rightarrow}
\mbox{``}pred
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}lemma
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}exist
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}mp3
\mbox{''}
]
\linebreak[4] 
[GreaterPositive(N)
\stackrel{
\mathrm{pyk}
}{\rightarrow}
\mbox{``}lemma
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}greaterPositive(N)
\mbox{''}
]
\linebreak[4] 
[ysFClose(Helper)
\stackrel{
\mathrm{pyk}
}{\rightarrow}
\mbox{``}lemma
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}ysFClose
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}helper
\mbox{''}
]
\linebreak[4] 
[ysFClose
\stackrel{
\mathrm{pyk}
}{\rightarrow}
\mbox{``}lemma
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}ysFClose
\mbox{''}
]
\linebreak[4] 
[ysFCauchy(Helper)
\stackrel{
\mathrm{pyk}
}{\rightarrow}
\mbox{``}lemma
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}ysFCauchy
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}helper
\mbox{''}
]
\linebreak[4] 
[ysFCauchy
\stackrel{
\mathrm{pyk}
}{\rightarrow}
\mbox{``}lemma
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}ysFCauchy
\mbox{''}
]
\linebreak[4] 
[CartProdIsRelation
\stackrel{
\mathrm{pyk}
}{\rightarrow}
\mbox{``}lemma
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}cartProdIsRelation
\mbox{''}
]
\linebreak[4] 
[FromSubset
\stackrel{
\mathrm{pyk}
}{\rightarrow}
\mbox{``}lemma
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}fromSubset
\mbox{''}
]
\linebreak[4] 
[SubsetIsRelation
\stackrel{
\mathrm{pyk}
}{\rightarrow}
\mbox{``}lemma
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}subsetIsRelation
\mbox{''}
]
\linebreak[4] 
[ToSeries
\stackrel{
\mathrm{pyk}
}{\rightarrow}
\mbox{``}lemma
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}toSeries
\mbox{''}
]
\linebreak[4] 
[FromSeries
\stackrel{
\mathrm{pyk}
}{\rightarrow}
\mbox{``}lemma
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}fromSeries
\mbox{''}
]
\linebreak[4] 
[SeriesSubsetCP
\stackrel{
\mathrm{pyk}
}{\rightarrow}
\mbox{``}lemma
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}seriesSubsetCP
\mbox{''}
]
\linebreak[4] 
[ValueType
\stackrel{
\mathrm{pyk}
}{\rightarrow}
\mbox{``}lemma
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}valueType
\mbox{''}
]
\linebreak[4] 
[RemoveOr
\stackrel{
\mathrm{pyk}
}{\rightarrow}
\mbox{``}prop
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}lemma
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}remove
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}or
\mbox{''}
]
\linebreak[4] 
[FromSingleton
\stackrel{
\mathrm{pyk}
}{\rightarrow}
\mbox{``}lemma
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}fromSingleton
\mbox{''}
]
\linebreak[4] 
[InPair(1)
\stackrel{
\mathrm{pyk}
}{\rightarrow}
\mbox{``}lemma
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}inPair(1)
\mbox{''}
]
\linebreak[4] 
[InPair(2)
\stackrel{
\mathrm{pyk}
}{\rightarrow}
\mbox{``}lemma
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}inPair(2)
\mbox{''}
]
\linebreak[4] 
[SameMember(2)
\stackrel{
\mathrm{pyk}
}{\rightarrow}
\mbox{``}lemma
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}sameMember(2)
\mbox{''}
]
\linebreak[4] 
[ToBinaryUnion(1)
\stackrel{
\mathrm{pyk}
}{\rightarrow}
\mbox{``}lemma
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}toBinaryUnion(1)
\mbox{''}
]
\linebreak[4] 
[ToBinaryUnion(2)
\stackrel{
\mathrm{pyk}
}{\rightarrow}
\mbox{``}lemma
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}toBinaryUnion(2)
\mbox{''}
]
\linebreak[4] 
[FromOrderedPair(TwoLevels)
\stackrel{
\mathrm{pyk}
}{\rightarrow}
\mbox{``}lemma
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}fromOrderedPair(twoLevels)
\mbox{''}
]
\linebreak[4] 
[ToCartProd(Helper)
\stackrel{
\mathrm{pyk}
}{\rightarrow}
\mbox{``}lemma
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}toCartProd
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}helper
\mbox{''}
]
\linebreak[4] 
[ToCartProd
\stackrel{
\mathrm{pyk}
}{\rightarrow}
\mbox{``}lemma
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}toCartProd
\mbox{''}
]
\linebreak[4] 
[NonreciprocalToRight(Eq)
\stackrel{
\mathrm{pyk}
}{\rightarrow}
\mbox{``}lemma
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}nonreciprocalToRight(Eq)
\mbox{''}
]
\linebreak[4] 
[NonreciprocalToLeft(Eq)(1 term)
\stackrel{
\mathrm{pyk}
}{\rightarrow}
\mbox{``}lemma
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}nonreciprocalToLeft(Eq)(1
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}term)
\mbox{''}
]
\linebreak[4] 
[SameReciprocal
\stackrel{
\mathrm{pyk}
}{\rightarrow}
\mbox{``}lemma
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}sameReciprocal
\mbox{''}
]
\linebreak[4] 
[CPseparationIsRelation
\stackrel{
\mathrm{pyk}
}{\rightarrow}
\mbox{``}lemma
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}CPseparationIsRelation
\mbox{''}
]
\linebreak[4] 
[OrderedPairEquality
\stackrel{
\mathrm{pyk}
}{\rightarrow}
\mbox{``}lemma
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}orderedPairEquality
\mbox{''}
]
\linebreak[4] 
[ReciprocalIsFunction
\stackrel{
\mathrm{pyk}
}{\rightarrow}
\mbox{``}lemma
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}reciprocalIsFunction
\mbox{''}
]
\linebreak[4] 
[ReciprocalIsTotal
\stackrel{
\mathrm{pyk}
}{\rightarrow}
\mbox{``}lemma
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}reciprocalIsTotal
\mbox{''}
]
\linebreak[4] 
[ReciprocalIsRationalSeries
\stackrel{
\mathrm{pyk}
}{\rightarrow}
\mbox{``}lemma
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}reciprocalIsRationalSeries
\mbox{''}
]
\linebreak[4] 
[CrsIsRelation
\stackrel{
\mathrm{pyk}
}{\rightarrow}
\mbox{``}lemma
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}crsIsRelation
\mbox{''}
]
\linebreak[4] 
[CrsIsFunction 
\stackrel{
\mathrm{pyk}
}{\rightarrow}
\mbox{``}lemma
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}crsIsFunction
\mbox{''}
]
\linebreak[4] 
[CrsIsTotal
\stackrel{
\mathrm{pyk}
}{\rightarrow}
\mbox{``}lemma
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}crsIsTotal
\mbox{''}
]
\linebreak[4] 
[CrsIsSeries
\stackrel{
\mathrm{pyk}
}{\rightarrow}
\mbox{``}lemma
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}crsIsSeries
\mbox{''}
]
\linebreak[4] 
[CrsLookup
\stackrel{
\mathrm{pyk}
}{\rightarrow}
\mbox{``}lemma
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}crsLookup
\mbox{''}
]
\linebreak[4] 
[0f
\stackrel{
\mathrm{pyk}
}{\rightarrow}
\mbox{``}lemma
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}0f
\mbox{''}
]
\linebreak[4] 
[1f
\stackrel{
\mathrm{pyk}
}{\rightarrow}
\mbox{``}lemma
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}1f
\mbox{''}
]
\linebreak[4] 
[ToSingleton
\stackrel{
\mathrm{pyk}
}{\rightarrow}
\mbox{``}lemma
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}toSingleton
\mbox{''}
]
\linebreak[4] 
[FromSameSingleton
\stackrel{
\mathrm{pyk}
}{\rightarrow}
\mbox{``}lemma
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}fromSameSingleton
\mbox{''}
]
\linebreak[4] 
[SingletonmembersEqual
\stackrel{
\mathrm{pyk}
}{\rightarrow}
\mbox{``}lemma
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}singletonmembersEqual
\mbox{''}
]
\linebreak[4] 
[UnequalsNotInSingleton
\stackrel{
\mathrm{pyk}
}{\rightarrow}
\mbox{``}lemma
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}unequalsNotInSingleton
\mbox{''}
]
\linebreak[4] 
[NonsingletonmembersUnequal
\stackrel{
\mathrm{pyk}
}{\rightarrow}
\mbox{``}lemma
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}nonsingletonmembersUnequal
\mbox{''}
]
\linebreak[4] 
[FromOrderedPair
\stackrel{
\mathrm{pyk}
}{\rightarrow}
\mbox{``}lemma
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}fromOrderedPair
\mbox{''}
]
\linebreak[4] 
[FromOrderedPair(1)
\stackrel{
\mathrm{pyk}
}{\rightarrow}
\mbox{``}lemma
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}fromOrderedPair(1)
\mbox{''}
]
\linebreak[4] 
[FromOrderedPair(2)
\stackrel{
\mathrm{pyk}
}{\rightarrow}
\mbox{``}lemma
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}fromOrderedPair(2)
\mbox{''}
]
\linebreak[4] 
[FromCartProd
\stackrel{
\mathrm{pyk}
}{\rightarrow}
\mbox{``}lemma
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}fromCartProd
\mbox{''}
]
\linebreak[4] 
[FromCartProd(1)
\stackrel{
\mathrm{pyk}
}{\rightarrow}
\mbox{``}lemma
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}fromCartProd(1)
\mbox{''}
]
\linebreak[4] 
[FromCartProd(2)
\stackrel{
\mathrm{pyk}
}{\rightarrow}
\mbox{``}lemma
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}fromCartProd(2)
\mbox{''}
]
\linebreak[4] 
[sameOrderedPair
\stackrel{
\mathrm{pyk}
}{\rightarrow}
\mbox{``}lemma
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}sameOrderedPair
\mbox{''}
]
\linebreak[4] 
[InSeriesHelper
\stackrel{
\mathrm{pyk}
}{\rightarrow}
\mbox{``}lemma
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}inSeries
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}helper
\mbox{''}
]
\linebreak[4] 
[InSeries
\stackrel{
\mathrm{pyk}
}{\rightarrow}
\mbox{``}lemma
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}inSeries
\mbox{''}
]
\linebreak[4] 
[To=f(Subset)(Helper)
\stackrel{
\mathrm{pyk}
}{\rightarrow}
\mbox{``}lemma
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}to
{=}f
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}subset
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}helper
\mbox{''}
]
\linebreak[4] 
[To=f(Subset)
\stackrel{
\mathrm{pyk}
}{\rightarrow}
\mbox{``}lemma
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}to
{=}f
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}subset
\mbox{''}
]
\linebreak[4] 
[To=f
\stackrel{
\mathrm{pyk}
}{\rightarrow}
\mbox{``}lemma
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}to
{=}f
\mbox{''}
]
\linebreak[4] 
[productIsFunction
\stackrel{
\mathrm{pyk}
}{\rightarrow}
\mbox{``}lemma
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}productIsFunction
\mbox{''}
]
\linebreak[4] 
[productIsTotal
\stackrel{
\mathrm{pyk}
}{\rightarrow}
\mbox{``}lemma
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}productIsTotal
\mbox{''}
]
\linebreak[4] 
[ProductIsRationalSeries
\stackrel{
\mathrm{pyk}
}{\rightarrow}
\mbox{``}lemma
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}productIsRationalSeries
\mbox{''}
]
\linebreak[4] 
[TimesF
\stackrel{
\mathrm{pyk}
}{\rightarrow}
\mbox{``}lemma
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}timesF
\mbox{''}
]
\linebreak[4] 
[-x+(1/2)x=-(1/2)x
\stackrel{
\mathrm{pyk}
}{\rightarrow}
\mbox{``}lemma
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}
\mbox{-}x
{+}(1/2)x
{=}
\mbox{-}(1/2)x
\mbox{''}
]
\linebreak[4] 
[PositiveTripled
\stackrel{
\mathrm{pyk}
}{\rightarrow}
\mbox{``}lemma
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}positiveTripled
\mbox{''}
]
\linebreak[4] 
[PositiveDividedBy3
\stackrel{
\mathrm{pyk}
}{\rightarrow}
\mbox{``}lemma
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}positiveDividedBy3
\mbox{''}
]
\linebreak[4] 
[|x-x|=0
\stackrel{
\mathrm{pyk}
}{\rightarrow}
\mbox{``}lemma
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}|x
\mbox{-}x|
{=}0
\mbox{''}
]
\linebreak[4] 
[1<2
\stackrel{
\mathrm{pyk}
}{\rightarrow}
\mbox{``}lemma
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}1
{<}2
\mbox{''}
]
\linebreak[4] 
[1/3<2/3
\stackrel{
\mathrm{pyk}
}{\rightarrow}
\mbox{``}lemma
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}1/3
{<}2/3
\mbox{''}
]
\linebreak[4] 
[(1/3)x+(1/3)x=(2/3)x
\stackrel{
\mathrm{pyk}
}{\rightarrow}
\mbox{``}lemma
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}(1/3)x
{+}(1/3)x
{=}(2/3)x
\mbox{''}
]
\linebreak[4] 
[(2/3)x+(1/3)x=x
\stackrel{
\mathrm{pyk}
}{\rightarrow}
\mbox{``}lemma
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}(2/3)x
{+}(1/3)x
{=}x
\mbox{''}
]
\linebreak[4] 
[-x+(2/3)x=-(1/3)x
\stackrel{
\mathrm{pyk}
}{\rightarrow}
\mbox{``}lemma
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}
\mbox{-}x
{+}(2/3)x
{=}
\mbox{-}(1/3)x
\mbox{''}
]
\linebreak[4] 
[-(1/3)x-(1/3)x=-(2/3)x
\stackrel{
\mathrm{pyk}
}{\rightarrow}
\mbox{``}lemma
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}
\mbox{-}(1/3)x
\mbox{-}(1/3)x
{=}
\mbox{-}(2/3)x
\mbox{''}
]
\linebreak[4] 
[-x+(1/3)x=-(2/3)x
\stackrel{
\mathrm{pyk}
}{\rightarrow}
\mbox{``}lemma
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}
\mbox{-}x
{+}(1/3)x
{=}
\mbox{-}(2/3)x
\mbox{''}
]
\linebreak[4] 
[PreserveLessGreater
\stackrel{
\mathrm{pyk}
}{\rightarrow}
\mbox{``}lemma
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}preserveLessGreater
\mbox{''}
]
\linebreak[4] 
[ClosetolessIsLess
\stackrel{
\mathrm{pyk}
}{\rightarrow}
\mbox{``}lemma
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}closetolessIsLess
\mbox{''}
]
\linebreak[4] 
[SubLessLeft(F)
\stackrel{
\mathrm{pyk}
}{\rightarrow}
\mbox{``}lemma
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}subLessLeft(F)
\mbox{''}
]
\linebreak[4] 
[SubLessLeft(R)
\stackrel{
\mathrm{pyk}
}{\rightarrow}
\mbox{``}lemma
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}subLessLeft(R)
\mbox{''}
]
\linebreak[4] 
[ClosetogreaterIsGreater
\stackrel{
\mathrm{pyk}
}{\rightarrow}
\mbox{``}lemma
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}closetogreaterIsGreater
\mbox{''}
]
\linebreak[4] 
[SubLessRight(F)
\stackrel{
\mathrm{pyk}
}{\rightarrow}
\mbox{``}lemma
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}subLessRight(F)
\mbox{''}
]
\linebreak[4] 
[SubLessRight(R)
\stackrel{
\mathrm{pyk}
}{\rightarrow}
\mbox{``}lemma
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}subLessRight(R)
\mbox{''}
]
\linebreak[4] 
[Tester1
\stackrel{
\mathrm{pyk}
}{\rightarrow}
\mbox{``}tester1
\mbox{''}
]
\linebreak[4] 
[Tester2
\stackrel{
\mathrm{pyk}
}{\rightarrow}
\mbox{``}tester2
\mbox{''}
]
\linebreak[4] 
[Tester3
\stackrel{
\mathrm{pyk}
}{\rightarrow}
\mbox{``}tester3
\mbox{''}
]
\linebreak[4] 
[Tester4
\stackrel{
\mathrm{pyk}
}{\rightarrow}
\mbox{``}tester4
\mbox{''}
]
\linebreak[4] 
[Tester5
\stackrel{
\mathrm{pyk}
}{\rightarrow}
\mbox{``}tester5
\mbox{''}
]
\linebreak[4] 
[Tester6
\stackrel{
\mathrm{pyk}
}{\rightarrow}
\mbox{``}tester6
\mbox{''}
]
\linebreak[4] 
[sup
\stackrel{
\mathrm{pyk}
}{\rightarrow}
\mbox{``}sup
\mbox{''}
]
\linebreak[4] $
\end{flushleft}

\newpage

\begin{list}{}{
\setlength{\leftmargin}{0em}
\setlength{\itemindent}{0em}
\setlength{\itemsep}{1ex}}

\item $
[sup
\stackrel{
\mathrm{tex}
}{\rightarrow}
\mbox{``}sup
\mbox{''}
]$ 

\item $
[ 
\mathsf{x}
 (exp) 
\mathsf{y}
\stackrel{
\mathrm{tex}
}{\rightarrow}
\mbox{``}(
\#1.
\newline 
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}(expARGH!)
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}
\#2.
\newline )
\mbox{''}
]$



\item $
[To!!==
\stackrel{
\mathrm{tex}
}{\rightarrow}
\mbox{``}To!!
{=}
{=}
\mbox{''}
]$ 

\item $
[ToNegatedDoubleImply
\stackrel{
\mathrm{tex}
}{\rightarrow}
\mbox{``}ToNegatedDoubleImply
\mbox{''}
]$ 

\item $
[AddNegatedAll
\stackrel{
\mathrm{tex}
}{\rightarrow}
\mbox{``}AddNegatedAll
\mbox{''}
]$ 

\item $
[(A)to(~E~)(Imply)
\stackrel{
\mathrm{tex}
}{\rightarrow}
\mbox{``}(A)to(
\char126 E
\char126 )(Imply)
\mbox{''}
]$ 

\item $
[(E)to(~A~)(Imply)
\stackrel{
\mathrm{tex}
}{\rightarrow}
\mbox{``}(E)to(
\char126 A
\char126 )(Imply)
\mbox{''}
]$ 

\item $
[(E~)to(~A)(Imply)
\stackrel{
\mathrm{tex}
}{\rightarrow}
\mbox{``}(E
\char126 )to(
\char126 A)(Imply)
\mbox{''}
]$ 

\item $
[ToNegatedAEA 
\stackrel{
\mathrm{tex}
}{\rightarrow}
\mbox{``}ToNegatedAEA
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}
\mbox{''}
]$ 

\item $
[NonreciprocalToRight(Eq)(1 term)
\stackrel{
\mathrm{tex}
}{\rightarrow}
\mbox{``}NonreciprocalToRight(Eq)(1
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}term)
\mbox{''}
]$ 

\item $
[DistributionOut(Minus)
\stackrel{
\mathrm{tex}
}{\rightarrow}
\mbox{``}DistributionOut(Minus)
\mbox{''}
]$ 
 
\item $
[PositiveToRight(Eq)(1 term)
\stackrel{
\mathrm{tex}
}{\rightarrow}
\mbox{``}PositiveToRight(Eq)(1
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}term)
\mbox{''}
]$ 

\item $
[SameSeries(NumDiff)
\stackrel{
\mathrm{tex}
}{\rightarrow}
\mbox{``}SameSeries(NumDiff)
\mbox{''}
]$ 

\item $
[PlusAssociativity(4 terms)
\stackrel{
\mathrm{tex}
}{\rightarrow}
\mbox{``}PlusAssociativity(4
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}terms)
\mbox{''}
]$ 

\item $
[NonzeroProduct(2)
\stackrel{
\mathrm{tex}
}{\rightarrow}
\mbox{``}NonzeroProduct(2)
\mbox{''}
]$

\item $
[SwitchTerms(x<=y-z)
\stackrel{
\mathrm{tex}
}{\rightarrow}
\mbox{``}SwitchTerms(x
{<}
{=}y
\mbox{-}z)
\mbox{''}
]$ 

\item $
[
\mbox{lemma eqLeq(R)}
\stackrel{
\mathrm{tex}
}{\rightarrow}
\mbox{``}eqLeq(R)
\mbox{''}
]$ 

\item $
[ThirdGeqSeries
\stackrel{
\mathrm{tex}
}{\rightarrow}
\mbox{``}ThirdGeqSeries
\mbox{''}
]$ 

\item $
[negativeToLeft(Leq)
\stackrel{
\mathrm{tex}
}{\rightarrow}
\mbox{``}negativeToLeft(Leq)
\mbox{''}
]$

\item $
[negativeToLeft(Leq)(1 term)
\stackrel{
\mathrm{tex}
}{\rightarrow}
\mbox{``}negativeToLeft(Leq)(1
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}term)
\mbox{''}
]$

\item $
[NegativeToLeft(Less)(1 term)
\stackrel{
\mathrm{tex}
}{\rightarrow}
\mbox{``}NegativeToLeft(Less)(1
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}term)
\mbox{''}
]$ 

\item $
[(1/2)(x+y)-x=(1/2)(y-x)
\stackrel{
\mathrm{tex}
}{\rightarrow}
\mbox{``}(1/2)(x
{+}y)
\mbox{-}x
{=}(1/2)(y
\mbox{-}x)
\mbox{''}
]$ 

\item $
[y-(1/2)(x+y)=(1/2)(y-x)
\stackrel{
\mathrm{tex}
}{\rightarrow}
\mbox{``}y
\mbox{-}(1/2)(x
{+}y)
{=}(1/2)(y
\mbox{-}x)
\mbox{''}
]$ 

\item $
[(+1)IsPositive(N)
\stackrel{
\mathrm{tex}
}{\rightarrow}
\mbox{``}(
{+}1)IsPositive(N)
\mbox{''}
]$ 

\item $
[ExpZero(Exact) 
\stackrel{
\mathrm{tex}
}{\rightarrow}
\mbox{``}ExpZero(Exact)
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}
\mbox{''}
]$ 

\item $
[SameExp(Base)
\stackrel{
\mathrm{tex}
}{\rightarrow}
\mbox{``}SameExp(Base)
\mbox{''}
]$ 

\item $
[SameExp(Indu)
\stackrel{
\mathrm{tex}
}{\rightarrow}
\mbox{``}SameExp(Indu)
\mbox{''}
]$

\item $
[SameExp
\stackrel{
\mathrm{tex}
}{\rightarrow}
\mbox{``}SameExp
\mbox{''}
]$

\item $
[Exp(+1)
\stackrel{
\mathrm{tex}
}{\rightarrow}
\mbox{``}Exp(
{+}1)
\mbox{''}
]$ 

\item $
[BSzero(Exact)
\stackrel{
\mathrm{tex}
}{\rightarrow}
\mbox{``}BSzero(Exact)
\mbox{''}
]$ 

\item $
[SameBS(2)(Base)
\stackrel{
\mathrm{tex}
}{\rightarrow}
\mbox{``}SameBS(2)(Base)
\mbox{''}
]$ 

\item $
[SameBS(2)(Indu)
\stackrel{
\mathrm{tex}
}{\rightarrow}
\mbox{``}SameBS(2)(Indu)
\mbox{''}
]$ 

\item $
[SameBS(2)
\stackrel{
\mathrm{tex}
}{\rightarrow}
\mbox{``}SameBS(2)
\mbox{''}
]$ 

\item $
[BS(+1)
\stackrel{
\mathrm{tex}
}{\rightarrow}
\mbox{``}BS(
{+}1)
\mbox{''}
]$ 

\item $
[BSbound(Exact)(Base)
\stackrel{
\mathrm{tex}
}{\rightarrow}
\mbox{``}BSbound(Exact)(Base)
\mbox{''}
]$ 

\item $
[BSbound(Exact)(Indu)
\stackrel{
\mathrm{tex}
}{\rightarrow}
\mbox{``}BSbound(Exact)(Indu)
\mbox{''}
]$

\item $
[BSbound(Exact)
\stackrel{
\mathrm{tex}
}{\rightarrow}
\mbox{``}BSbound(Exact)
\mbox{''}
]$

\item $
[BSbound
\stackrel{
\mathrm{tex}
}{\rightarrow}
\mbox{``}BSbound
\mbox{''}
]$

\item $
[UStelescope(Zero)(Exact)
\stackrel{
\mathrm{tex}
}{\rightarrow}
\mbox{``}UStelescope(Zero)(Exact)
\mbox{''}
]$ 

\item $
[SameTelescope(2)(Base)
\stackrel{
\mathrm{tex}
}{\rightarrow}
\mbox{``}SameTelescope(2)(Base)
\mbox{''}
]$ 

\item $
[SameTelescope(2)(Indu)
\stackrel{
\mathrm{tex}
}{\rightarrow}
\mbox{``}SameTelescope(2)(Indu)
\mbox{''}
]$

\item $
[SameTelescope(2)
\stackrel{
\mathrm{tex}
}{\rightarrow}
\mbox{``}SameTelescope(2)
\mbox{''}
]$

\item $
[UStelescope(+1)
\stackrel{
\mathrm{tex}
}{\rightarrow}
\mbox{``}UStelescope(
{+}1)
\mbox{''}
]$ 

\item $
[TelescopeNumerical(Base)
\stackrel{
\mathrm{tex}
}{\rightarrow}
\mbox{``}TelescopeNumerical(Base)
\mbox{''}
]$ 

\item $
[TelescopeNumerical(Indu)
\stackrel{
\mathrm{tex}
}{\rightarrow}
\mbox{``}TelescopeNumerical(Indu)
\mbox{''}
]$

\item $
[TelescopeNumerical
\stackrel{
\mathrm{tex}
}{\rightarrow}
\mbox{``}TelescopeNumerical
\mbox{''}
]$

\item $
[TelescopeBound(Base)
\stackrel{
\mathrm{tex}
}{\rightarrow}
\mbox{``}TelescopeBound(Base)
\mbox{''}
]$ 

\item $
[TelescopeBound(Indu)
\stackrel{
\mathrm{tex}
}{\rightarrow}
\mbox{``}TelescopeBound(Indu)
\mbox{''}
]$

\item $
[TelescopeBound
\stackrel{
\mathrm{tex}
}{\rightarrow}
\mbox{``}TelescopeBound
\mbox{''}
]$

\item $
[LessNeq(F)(Helper)
\stackrel{
\mathrm{tex}
}{\rightarrow}
\mbox{``}LessNeq(F)(Helper)
\mbox{''}
]$ 

\item $
[LessNeq(F)
\stackrel{
\mathrm{tex}
}{\rightarrow}
\mbox{``}LessNeq(F)
\mbox{''}
]$ 

\item $
[LessNeq(R)
\stackrel{
\mathrm{tex}
}{\rightarrow}
\mbox{``}LessNeq(R)
\mbox{''}
]$ 

\item $
[IntervalSize(Base)
\stackrel{
\mathrm{tex}
}{\rightarrow}
\mbox{``}IntervalSize(Base)
\mbox{''}
]$ 

\item $
[IntervalSize(Indu)
\stackrel{
\mathrm{tex}
}{\rightarrow}
\mbox{``}IntervalSize(Indu)
\mbox{''}
]$ 

\item $
[IntervalSize
\stackrel{
\mathrm{tex}
}{\rightarrow}
\mbox{``}IntervalSize
\mbox{''}
]$ 

\item $
[XS<US
\stackrel{
\mathrm{tex}
}{\rightarrow}
\mbox{``}XS
{<}US
\mbox{''}
]$ 

\item $
[PositiveBase(Base)
\stackrel{
\mathrm{tex}
}{\rightarrow}
\mbox{``}PositiveBase(Base)
\mbox{''}
]$ 

\item $
[PositiveBase(Indu)
\stackrel{
\mathrm{tex}
}{\rightarrow}
\mbox{``}PositiveBase(Indu)
\mbox{''}
]$ 

\item $
[PositiveBase
\stackrel{
\mathrm{tex}
}{\rightarrow}
\mbox{``}PositiveBase
\mbox{''}
]$ 

\item $
[CloseUS
\stackrel{
\mathrm{tex}
}{\rightarrow}
\mbox{``}CloseUS
\mbox{''}
]$ 

\item $
[CloseUS(n+1)
\stackrel{
\mathrm{tex}
}{\rightarrow}
\mbox{``}CloseUS(n
{+}1)
\mbox{''}
]$ 

\item $
[Induction
\stackrel{
\mathrm{tex}
}{\rightarrow}
\mbox{``}Induction
\mbox{''}
]$ 

\item $
[leqAntisymmetry
\stackrel{
\mathrm{tex}
}{\rightarrow}
\mbox{``}leqAntisymmetry
\mbox{''}
]$

\item $
[leqTransitivity
\stackrel{
\mathrm{tex}
}{\rightarrow}
\mbox{``}leqTransitivity
\mbox{''}
]$

\item $
[leqAddition
\stackrel{
\mathrm{tex}
}{\rightarrow}
\mbox{``}leqAddition
\mbox{''}
]$

\item $
[Reciprocal
\stackrel{
\mathrm{tex}
}{\rightarrow}
\mbox{``}Reciprocal
\mbox{''}
]$

\item $
[Equality
\stackrel{
\mathrm{tex}
}{\rightarrow}
\mbox{``}Equality
\mbox{''}
]$

\item $
[eqLeq
\stackrel{
\mathrm{tex}
}{\rightarrow}
\mbox{``}eqLeq
\mbox{''}
]$

\item $
[eqAddition
\stackrel{
\mathrm{tex}
}{\rightarrow}
\mbox{``}eqAddition
\mbox{''}
]$

\item $
[eqMultiplication
\stackrel{
\mathrm{tex}
}{\rightarrow}
\mbox{``}eqMultiplication
\mbox{''}
]$

\item $
[eqReflexivity
\stackrel{
\mathrm{tex}
}{\rightarrow}
\mbox{``}eqReflexivity
\mbox{''}
]$

\item $
[eqSymmetry
\stackrel{
\mathrm{tex}
}{\rightarrow}
\mbox{``}eqSymmetry
\mbox{''}
]$

\item $
[eqTransitivity
\stackrel{
\mathrm{tex}
}{\rightarrow}
\mbox{``}eqTransitivity
\mbox{''}
]$ 

\item $
[eqTransitivity4
\stackrel{
\mathrm{tex}
}{\rightarrow}
\mbox{``}eqTransitivity4
\mbox{''}
]$

\item $
[eqTransitivity5
\stackrel{
\mathrm{tex}
}{\rightarrow}
\mbox{``}eqTransitivity5
\mbox{''}
]$

\item $
[eqTransitivity6
\stackrel{
\mathrm{tex}
}{\rightarrow}
\mbox{``}eqTransitivity6
\mbox{''}
]$

\item $
[
\mbox{lemma plus0Left}
\stackrel{
\mathrm{tex}
}{\rightarrow}
\mbox{``}plus0Left
\mbox{''}
]$ 

\item $
[
\mbox{lemma times1Left}
\stackrel{
\mathrm{tex}
}{\rightarrow}
\mbox{``}times1Left
\mbox{''}
]$ 

\item $
[
\mbox{lemma eqMultiplicationLeft}
\stackrel{
\mathrm{tex}
}{\rightarrow}
\mbox{``}EqMultiplicationLeft
\mbox{''}
]$ 

\item $
[DistributionLeft
\stackrel{
\mathrm{tex}
}{\rightarrow}
\mbox{``}DistributionLeft
\mbox{''}
]$ 

\item $
[DistributionOut
\stackrel{
\mathrm{tex}
}{\rightarrow}
\mbox{``}DistributionOut
\mbox{''}
]$ 

\item $
[DistributionOutLeft
\stackrel{
\mathrm{tex}
}{\rightarrow}
\mbox{``}DistributionOutLeft
\mbox{''}
]$

\item $
[Three2twoTerms
\stackrel{
\mathrm{tex}
}{\rightarrow}
\mbox{``}Three2twoTerms
\mbox{''}
]$ 

\item $
[Three2threeTerms
\stackrel{
\mathrm{tex}
}{\rightarrow}
\mbox{``}Three2threeTerms
\mbox{''}
]$

\item $
[Three2twoFactors
\stackrel{
\mathrm{tex}
}{\rightarrow}
\mbox{``}Three2twoFactors
\mbox{''}
]$ 

\item $
[Three2threeFactors
\stackrel{
\mathrm{tex}
}{\rightarrow}
\mbox{``}Three2threeFactors
\mbox{''}
]$

\item $
[AddEquations
\stackrel{
\mathrm{tex}
}{\rightarrow}
\mbox{``}AddEquations
\mbox{''}
]$ 

\item $
[SubtractEquations
\stackrel{
\mathrm{tex}
}{\rightarrow}
\mbox{``}SubtractEquations
\mbox{''}
]$ 

\item $
[SubtractEquationsLeft
\stackrel{
\mathrm{tex}
}{\rightarrow}
\mbox{``}SubtractEquationsLeft
\mbox{''}
]$ 

\item $
[MultiplyEquations
\stackrel{
\mathrm{tex}
}{\rightarrow}
\mbox{``}MultiplyEquations
\mbox{''}
]$ 

\item $
[EqNegated
\stackrel{
\mathrm{tex}
}{\rightarrow}
\mbox{``}EqNegated
\mbox{''}
]$ 

\item $
[PositiveToRight(Eq)
\stackrel{
\mathrm{tex}
}{\rightarrow}
\mbox{``}PositiveToRight(Eq)
\mbox{''}
]$ 

\item $
[PositiveToLeft(Eq)
\stackrel{
\mathrm{tex}
}{\rightarrow}
\mbox{``}PositiveToLeft(Eq)
\mbox{''}
]$

\item $
[PositiveToLeft(Eq)(1 term)
\stackrel{
\mathrm{tex}
}{\rightarrow}
\mbox{``}PositiveToLeft(Eq)(1
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}term)
\mbox{''}
]$ 

\item $
[NegativeToLeft(Eq)
\stackrel{
\mathrm{tex}
}{\rightarrow}
\mbox{``}NegativeToLeft(Eq)
\mbox{''}
]$

\item $
[reciprocalToLeft(Less)
\stackrel{
\mathrm{tex}
}{\rightarrow}
\mbox{``}reciprocalToLeft(Less)
\mbox{''}
]$ 

\item $
[LessNeq
\stackrel{
\mathrm{tex}
}{\rightarrow}
\mbox{``}LessNeq
\mbox{''}
]$ 

\item $
[NeqSymmetry
\stackrel{
\mathrm{tex}
}{\rightarrow}
\mbox{``}NeqSymmetry
\mbox{''}
]$ 

\item $
[NeqNegated
\stackrel{
\mathrm{tex}
}{\rightarrow}
\mbox{``}NeqNegated
\mbox{''}
]$ 

\item $
[SubNeqRight
\stackrel{
\mathrm{tex}
}{\rightarrow}
\mbox{``}SubNeqRight
\mbox{''}
]$ 

\item $
[SubNeqLeft
\stackrel{
\mathrm{tex}
}{\rightarrow}
\mbox{``}SubNeqLeft
\mbox{''}
]$ 

\item $
[NegativeToRight(Neq)(1 term)
\stackrel{
\mathrm{tex}
}{\rightarrow}
\mbox{``}NegativeToRight(Neq)(1
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}term)
\mbox{''}
]$ 

\item $
[NeqAddition
\stackrel{
\mathrm{tex}
}{\rightarrow}
\mbox{``}NeqAddition
\mbox{''}
]$ 

\item $
[NeqMultiplication
\stackrel{
\mathrm{tex}
}{\rightarrow}
\mbox{``}NeqMultiplication
\mbox{''}
]$ 

\item $
[UniqueNegative
\stackrel{
\mathrm{tex}
}{\rightarrow}
\mbox{``}UniqueNegative
\mbox{''}
]$ 

\item $
[DoubleMinus
\stackrel{
\mathrm{tex}
}{\rightarrow}
\mbox{``}DoubleMinus
\mbox{''}
]$ 

\item $
[LeqMultiplicationLeft 
\stackrel{
\mathrm{tex}
}{\rightarrow}
\mbox{``}LeqMultiplicationLeft
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}
\mbox{''}
]$ 

\item $
[LeqLessEq
\stackrel{
\mathrm{tex}
}{\rightarrow}
\mbox{``}LeqLessEq
\mbox{''}
]$ 

\item $
[LessLeq
\stackrel{
\mathrm{tex}
}{\rightarrow}
\mbox{``}LessLeq
\mbox{''}
]$ 

\item $
[FromLeqGeq
\stackrel{
\mathrm{tex}
}{\rightarrow}
\mbox{``}FromLeqGeq
\mbox{''}
]$ 

\item $
[subLeqRight
\stackrel{
\mathrm{tex}
}{\rightarrow}
\mbox{``}subLeqRight
\mbox{''}
]$ 

\item $
[subLeqLeft
\stackrel{
\mathrm{tex}
}{\rightarrow}
\mbox{``}subLeqLeft
\mbox{''}
]$

\item $
[Leq+1
\stackrel{
\mathrm{tex}
}{\rightarrow}
\mbox{``}Leq
{+}1
\mbox{''}
]$ 

\item $
[PositiveToRight(Leq)
\stackrel{
\mathrm{tex}
}{\rightarrow}
\mbox{``}PositiveToRight(Leq)
\mbox{''}
]$ 

\item $
[PositiveToRight(Leq)(1 term)
\stackrel{
\mathrm{tex}
}{\rightarrow}
\mbox{``}PositiveToRight(Leq)(1
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}term)
\mbox{''}
]$

\item $
[PositiveToLeft(Leq)
\stackrel{
\mathrm{tex}
}{\rightarrow}
\mbox{``}PositiveToLeft(Leq)
\mbox{''}
]$

\item $
[LeqAdditionLeft
\stackrel{
\mathrm{tex}
}{\rightarrow}
\mbox{``}LeqAdditionLeft
\mbox{''}
]$ 

\item $
[leqSubtraction
\stackrel{
\mathrm{tex}
}{\rightarrow}
\mbox{``}leqSubtraction
\mbox{''}
]$

\item $
[leqSubtractionLeft
\stackrel{
\mathrm{tex}
}{\rightarrow}
\mbox{``}leqSubtractionLeft
\mbox{''}
]$

\item $
[leqMultiplication
\stackrel{
\mathrm{tex}
}{\rightarrow}
\mbox{``}leqMultiplication
\mbox{''}
]$

\item $
[thirdGeq
\stackrel{
\mathrm{tex}
}{\rightarrow}
\mbox{``}thirdGeq
\mbox{''}
]$ 

\item $
[LeqNegated
\stackrel{
\mathrm{tex}
}{\rightarrow}
\mbox{``}LeqNegated
\mbox{''}
]$ 

\item $
[AddEquations(Leq)
\stackrel{
\mathrm{tex}
}{\rightarrow}
\mbox{``}AddEquations(Leq)
\mbox{''}
]$ 

\item $
[MultiplyEquations(Leq)
\stackrel{
\mathrm{tex}
}{\rightarrow}
\mbox{``}MultiplyEquations(Leq)
\mbox{''}
]$

\item $
[LeqNeqLess
\stackrel{
\mathrm{tex}
}{\rightarrow}
\mbox{``}LeqNeqLess
\mbox{''}
]$ 

\item $
[FromLess
\stackrel{
\mathrm{tex}
}{\rightarrow}
\mbox{``}FromLess
\mbox{''}
]$ 

\item $
[ToLess
\stackrel{
\mathrm{tex}
}{\rightarrow}
\mbox{``}ToLess
\mbox{''}
]$

\item $
[fromNotLess
\stackrel{
\mathrm{tex}
}{\rightarrow}
\mbox{``}fromNotLess
\mbox{''}
]$

\item $
[toNotLess
\stackrel{
\mathrm{tex}
}{\rightarrow}
\mbox{``}toNotLess
\mbox{''}
]$ 

\item $
[LessAddition
\stackrel{
\mathrm{tex}
}{\rightarrow}
\mbox{``}LessAddition
\mbox{''}
]$ 

\item $
[LessAdditionLeft
\stackrel{
\mathrm{tex}
}{\rightarrow}
\mbox{``}LessAdditionLeft
\mbox{''}
]$

\item $
[LessMultiplication
\stackrel{
\mathrm{tex}
}{\rightarrow}
\mbox{``}LessMultiplication
\mbox{''}
]$ 


\item $
[LessMultiplicationLeft
\stackrel{
\mathrm{tex}
}{\rightarrow}
\mbox{``}LessMultiplicationLeft
\mbox{''}
]$

\item $
[LessDivision
\stackrel{
\mathrm{tex}
}{\rightarrow}
\mbox{``}LessDivision
\mbox{''}
]$ 

\item $
[PositiveToRight(Less)
\stackrel{
\mathrm{tex}
}{\rightarrow}
\mbox{``}PositiveToRight(Less)
\mbox{''}
]$ 

\item $
[PositiveToLeft(Less)
\stackrel{
\mathrm{tex}
}{\rightarrow}
\mbox{``}PositiveToLeft(Less)
\mbox{''}
]$ 

\item $
[NegativeToLeft(Less)
\stackrel{
\mathrm{tex}
}{\rightarrow}
\mbox{``}NegativeToLeft(Less)
\mbox{''}
]$ 

\item $
[NegativeToRight(Less)
\stackrel{
\mathrm{tex}
}{\rightarrow}
\mbox{``}NegativeToRight(Less)
\mbox{''}
]$ 

\item $
[AddEquations(Less)
\stackrel{
\mathrm{tex}
}{\rightarrow}
\mbox{``}AddEquations(Less)
\mbox{''}
]$ 

\item $
[AddEquations(LeqLess)
\stackrel{
\mathrm{tex}
}{\rightarrow}
\mbox{``}AddEquations(LeqLess)
\mbox{''}
]$

\item $
[NegativeLessPositive
\stackrel{
\mathrm{tex}
}{\rightarrow}
\mbox{``}NegativeLessPositive
\mbox{''}
]$ 

\item $
[leqLessTransitivity
\stackrel{
\mathrm{tex}
}{\rightarrow}
\mbox{``}leqLessTransitivity
\mbox{''}
]$ 

\item $
[LessLeqTransitivity
\stackrel{
\mathrm{tex}
}{\rightarrow}
\mbox{``}LessLeqTransitivity
\mbox{''}
]$ 

\item $
[LessTransitivity
\stackrel{
\mathrm{tex}
}{\rightarrow}
\mbox{``}LessTransitivity
\mbox{''}
]$ 

\item $
[LessTotality
\stackrel{
\mathrm{tex}
}{\rightarrow}
\mbox{``}LessTotality
\mbox{''}
]$ 

\item $
[SubLessRight
\stackrel{
\mathrm{tex}
}{\rightarrow}
\mbox{``}SubLessRight
\mbox{''}
]$ 

\item $
[SubLessLeft
\stackrel{
\mathrm{tex}
}{\rightarrow}
\mbox{``}SubLessLeft
\mbox{''}
]$

\item $
[SwitchTerms(x<y-z)
\stackrel{
\mathrm{tex}
}{\rightarrow}
\mbox{``}SwitchTerms(x
{<}y
\mbox{-}z)
\mbox{''}
]$

\item $
[SwitchTerms(x-y<z)
\stackrel{
\mathrm{tex}
}{\rightarrow}
\mbox{``}SwitchTerms(x
\mbox{-}y
{<}z)
\mbox{''}
]$ 

\item $
[LessNegated
\stackrel{
\mathrm{tex}
}{\rightarrow}
\mbox{``}LessNegated
\mbox{''}
]$ 

\item $
[PositiveNonzero
\stackrel{
\mathrm{tex}
}{\rightarrow}
\mbox{``}PositiveNonzero
\mbox{''}
]$ 

\item $
[PositiveNegated
\stackrel{
\mathrm{tex}
}{\rightarrow}
\mbox{``}PositiveNegated
\mbox{''}
]$ 

\item $
[NonpositiveNegated
\stackrel{
\mathrm{tex}
}{\rightarrow}
\mbox{``}NonpositiveNegated
\mbox{''}
]$

\item $
[NegativeNegated
\stackrel{
\mathrm{tex}
}{\rightarrow}
\mbox{``}NegativeNegated
\mbox{''}
]$ 

\item $
[NonnegativeNegated
\stackrel{
\mathrm{tex}
}{\rightarrow}
\mbox{``}NonnegativeNegated
\mbox{''}
]$ 

\item $
[PositiveInverted
\stackrel{
\mathrm{tex}
}{\rightarrow}
\mbox{``}PositiveInverted
\mbox{''}
]$ 

\item $
[PositiveHalved
\stackrel{
\mathrm{tex}
}{\rightarrow}
\mbox{``}PositiveHalved
\mbox{''}
]$ 

\item $
[NonnegativeNumerical
\stackrel{
\mathrm{tex}
}{\rightarrow}
\mbox{``}NonnegativeNumerical
\mbox{''}
]$ 

\item $
[NegativeNumerical
\stackrel{
\mathrm{tex}
}{\rightarrow}
\mbox{``}NegativeNumerical
\mbox{''}
]$ 

\item $
[PositiveNumerical
\stackrel{
\mathrm{tex}
}{\rightarrow}
\mbox{``}PositiveNumerical
\mbox{''}
]$ 

\item $
[|0|=0
\stackrel{
\mathrm{tex}
}{\rightarrow}
\mbox{``}|0|
{=}0
\mbox{''}
]$ 

\item $
[0<=|x|
\stackrel{
\mathrm{tex}
}{\rightarrow}
\mbox{``}0
{<}
{=}|x|
\mbox{''}
]$ 

\item $
[x<=|x|
\stackrel{
\mathrm{tex}
}{\rightarrow}
\mbox{``}x
{<}
{=}|x|
\mbox{''}
]$

\item $
[FromPositiveNumerical
\stackrel{
\mathrm{tex}
}{\rightarrow}
\mbox{``}FromPositiveNumerical
\mbox{''}
]$ 

\item $
[SameNumerical
\stackrel{
\mathrm{tex}
}{\rightarrow}
\mbox{``}SameNumerical
\mbox{''}
]$ 

\item $
[SignNumerical(+)
\stackrel{
\mathrm{tex}
}{\rightarrow}
\mbox{``}SignNumerical(
{+})
\mbox{''}
]$ 

\item $
[SignNumerical
\stackrel{
\mathrm{tex}
}{\rightarrow}
\mbox{``}SignNumerical
\mbox{''}
]$

\item $
[ToNumericalLess
\stackrel{
\mathrm{tex}
}{\rightarrow}
\mbox{``}ToNumericalLess
\mbox{''}
]$ 

\item $
[FromNumericalGreater
\stackrel{
\mathrm{tex}
}{\rightarrow}
\mbox{``}FromNumericalGreater
\mbox{''}
]$ 

\item $
[NumericalDifference
\stackrel{
\mathrm{tex}
}{\rightarrow}
\mbox{``}NumericalDifference
\mbox{''}
]$ 

\item $
[NumericalDifferenceLess(Helper)
\stackrel{
\mathrm{tex}
}{\rightarrow}
\mbox{``}NumericalDifferenceLess(Helper)
\mbox{''}
]$

\item $
[NumericalDifferenceLess
\stackrel{
\mathrm{tex}
}{\rightarrow}
\mbox{``}NumericalDifferenceLess
\mbox{''}
]$

\item $
[SplitNumericalSumHelper
\stackrel{
\mathrm{tex}
}{\rightarrow}
\mbox{``}SplitNumericalSumHelper
\mbox{''}
]$ 

\item $
[splitNumericalSum(++)
\stackrel{
\mathrm{tex}
}{\rightarrow}
\mbox{``}splitNumericalSum(
{+}
{+})
\mbox{''}
]$ 

\item $
[splitNumericalSum(--)
\stackrel{
\mathrm{tex}
}{\rightarrow}
\mbox{``}splitNumericalSum(
\mbox{-}
\mbox{-})
\mbox{''}
]$ 

\item $
[splitNumericalSum(+-small)
\stackrel{
\mathrm{tex}
}{\rightarrow}
\mbox{``}splitNumericalSum(
{+}
\mbox{-}small)
\mbox{''}
]$ 

\item $
[splitNumericalSum(+-big)
\stackrel{
\mathrm{tex}
}{\rightarrow}
\mbox{``}splitNumericalSum(
{+}
\mbox{-}big)
\mbox{''}
]$ 

\item $
[splitNumericalSum(+-)
\stackrel{
\mathrm{tex}
}{\rightarrow}
\mbox{``}splitNumericalSum(
{+}
\mbox{-})
\mbox{''}
]$ 

\item $
[splitNumericalSum(-+)
\stackrel{
\mathrm{tex}
}{\rightarrow}
\mbox{``}splitNumericalSum(
\mbox{-}
{+})
\mbox{''}
]$ 

\item $
[splitNumericalSum
\stackrel{
\mathrm{tex}
}{\rightarrow}
\mbox{``}splitNumericalSum
\mbox{''}
]$

\item $
[SplitNumericalProduct(++)
\stackrel{
\mathrm{tex}
}{\rightarrow}
\mbox{``}SplitNumericalProduct(
{+}
{+})
\mbox{''}
]$


\item $
[SplitNumericalProduct(+-)
\stackrel{
\mathrm{tex}
}{\rightarrow}
\mbox{``}SplitNumericalProduct(
{+}
\mbox{-})
\mbox{''}
]$

\item $
[SplitNumericalProduct
\stackrel{
\mathrm{tex}
}{\rightarrow}
\mbox{``}SplitNumericalProduct
\mbox{''}
]$

\item $
[insertMiddleTerm(Numerical)
\stackrel{
\mathrm{tex}
}{\rightarrow}
\mbox{``}insertMiddleTerm(Numerical)
\mbox{''}
]$ 

\item $
[insertTwoMiddleTerms(Numerical)
\stackrel{
\mathrm{tex}
}{\rightarrow}
\mbox{``}insertTwoMiddleTerms(Numerical)
\mbox{''}
]$ 

\item $
[MaxLeq(1)
\stackrel{
\mathrm{tex}
}{\rightarrow}
\mbox{``}MaxLeq(1)
\mbox{''}
]$ 

\item $
[MaxLeq(2)
\stackrel{
\mathrm{tex}
}{\rightarrow}
\mbox{``}MaxLeq(2)
\mbox{''}
]$ 

\item $
[LessThanMax
\stackrel{
\mathrm{tex}
}{\rightarrow}
\mbox{``}LessThanMax
\mbox{''}
]$ 

\item $
[x+y=zBackwards
\stackrel{
\mathrm{tex}
}{\rightarrow}
\mbox{``}x
{+}y
{=}zBackwards
\mbox{''}
]$ 

\item $
[x*y=zBackwards
\stackrel{
\mathrm{tex}
}{\rightarrow}
\mbox{``}x
{*}y
{=}zBackwards
\mbox{''}
]$ 

\item $
[x=x+(y-y)
\stackrel{
\mathrm{tex}
}{\rightarrow}
\mbox{``}x
{=}x
{+}(y
\mbox{-}y)
\mbox{''}
]$ 

\item $
[x=x+y-y
\stackrel{
\mathrm{tex}
}{\rightarrow}
\mbox{``}x
{=}x
{+}y
\mbox{-}y
\mbox{''}
]$ 

\item $
[x=x*y*(1/y)
\stackrel{
\mathrm{tex}
}{\rightarrow}
\mbox{``}x
{=}x
{*}y
{*}(1/y)
\mbox{''}
]$ 

\item $
[insertMiddleTerm(Sum)
\stackrel{
\mathrm{tex}
}{\rightarrow}
\mbox{``}insertMiddleTerm(Sum)
\mbox{''}
]$ 

\item $
[insertTwoMiddleTerms(Sum)
\stackrel{
\mathrm{tex}
}{\rightarrow}
\mbox{``}insertTwoMiddleTerms(Sum)
\mbox{''}
]$ 

\item $
[insertMiddleTerm(Difference)
\stackrel{
\mathrm{tex}
}{\rightarrow}
\mbox{``}insertMiddleTerm(Difference)
\mbox{''}
]$

\item $
[x*0+x=x
\stackrel{
\mathrm{tex}
}{\rightarrow}
\mbox{``}x
{*}0
{+}x
{=}x
\mbox{''}
]$ 

\item $
[NonnegativeFactors
\stackrel{
\mathrm{tex}
}{\rightarrow}
\mbox{``}NonnegativeFactors
\mbox{''}
]$ 

\item $
[NonzeroFactors
\stackrel{
\mathrm{tex}
}{\rightarrow}
\mbox{``}NonzeroFactors
\mbox{''}
]$

\item $
[PositiveFactors
\stackrel{
\mathrm{tex}
}{\rightarrow}
\mbox{``}PositiveFactors
\mbox{''}
]$

\item $
[PlusTimesMinus
\stackrel{
\mathrm{tex}
}{\rightarrow}
\mbox{``}PlusTimesMinus
\mbox{''}
]$ 

\item $
[MinusTimesMinus
\stackrel{
\mathrm{tex}
}{\rightarrow}
\mbox{``}MinusTimesMinus
\mbox{''}
]$

\item $
[x*0=0
\stackrel{
\mathrm{tex}
}{\rightarrow}
\mbox{``}x
{*}0
{=}0
\mbox{''}
]$ 

\item $
[(-1)*(-1)+(-1)*1=0
\stackrel{
\mathrm{tex}
}{\rightarrow}
\mbox{``}(
\mbox{-}1)
{*}(
\mbox{-}1)
{+}(
\mbox{-}1)
{*}1
{=}0
\mbox{''}
]$ 

\item $
[(-1)*(-1)=1
\stackrel{
\mathrm{tex}
}{\rightarrow}
\mbox{``}(
\mbox{-}1)
{*}(
\mbox{-}1)
{=}1
\mbox{''}
]$ 

\item $
[0<1Helper
\stackrel{
\mathrm{tex}
}{\rightarrow}
\mbox{``}0
{<}1Helper
\mbox{''}
]$ 

\item $
[0<1
\stackrel{
\mathrm{tex}
}{\rightarrow}
\mbox{``}0
{<}1
\mbox{''}
]$

\item $
[0<2
\stackrel{
\mathrm{tex}
}{\rightarrow}
\mbox{``}0
{<}2
\mbox{''}
]$

\item $
[0<3
\stackrel{
\mathrm{tex}
}{\rightarrow}
\mbox{``}0
{<}3
\mbox{''}
]$

\item $
[0<1/2
\stackrel{
\mathrm{tex}
}{\rightarrow}
\mbox{``}0
{<}1/2
\mbox{''}
]$

\item $
[0<1/3
\stackrel{
\mathrm{tex}
}{\rightarrow}
\mbox{``}0
{<}1/3
\mbox{''}
]$

\item $
[TwoWholes
\stackrel{
\mathrm{tex}
}{\rightarrow}
\mbox{``}TwoWholes
\mbox{''}
]$ 

\item $
[ThreeWholes
\stackrel{
\mathrm{tex}
}{\rightarrow}
\mbox{``}ThreeWholes
\mbox{''}
]$

\item $
[TwoHalves
\stackrel{
\mathrm{tex}
}{\rightarrow}
\mbox{``}TwoHalves
\mbox{''}
]$ 

\item $
[ThreeThirds
\stackrel{
\mathrm{tex}
}{\rightarrow}
\mbox{``}ThreeThirds
\mbox{''}
]$

\item $
[-x-y=-(x+y)
\stackrel{
\mathrm{tex}
}{\rightarrow}
\mbox{``}
\mbox{-}x
\mbox{-}y
{=}
\mbox{-}(x
{+}y)
\mbox{''}
]$ 

\item $
[-x*y=-(x*y)
\stackrel{
\mathrm{tex}
}{\rightarrow}
\mbox{``}
\mbox{-}x
{*}y
{=}
\mbox{-}(x
{*}y)
\mbox{''}
]$ 

\item $
[MinusNegated
\stackrel{
\mathrm{tex}
}{\rightarrow}
\mbox{``}MinusNegated
\mbox{''}
]$ 

\item $
[Times(-1)
\stackrel{
\mathrm{tex}
}{\rightarrow}
\mbox{``}Times(
\mbox{-}1)
\mbox{''}
]$ 

\item $
[Times(-1)Left
\stackrel{
\mathrm{tex}
}{\rightarrow}
\mbox{``}Times(
\mbox{-}1)Left
\mbox{''}
]$ 

\item $
[-0=0
\stackrel{
\mathrm{tex}
}{\rightarrow}
\mbox{``}
\mbox{-}0
{=}0
\mbox{''}
]$ 

\item $
[AllNegated(Imply)
\stackrel{
\mathrm{tex}
}{\rightarrow}
\mbox{``}AllNegated(Imply)
\mbox{''}
]$ 

\item $
[ExistNegated(Imply)
\stackrel{
\mathrm{tex}
}{\rightarrow}
\mbox{``}ExistNegated(Imply)
\mbox{''}
]$ 

\item $
[IntroExist(Helper)
\stackrel{
\mathrm{tex}
}{\rightarrow}
\mbox{``}IntroExist(Helper)
\mbox{''}
]$ 

\item $
[IntroExist
\stackrel{
\mathrm{tex}
}{\rightarrow}
\mbox{``}IntroExist
\mbox{''}
]$ 

\item $
[ExistMP
\stackrel{
\mathrm{tex}
}{\rightarrow}
\mbox{``}ExistMP
\mbox{''}
]$ 

\item $
[ExistMP2
\stackrel{
\mathrm{tex}
}{\rightarrow}
\mbox{``}ExistMP2
\mbox{''}
]$ 

\item $
[TwiceExistMP
\stackrel{
\mathrm{tex}
}{\rightarrow}
\mbox{``}TwiceExistMP
\mbox{''}
]$ 

\item $
[TwiceExistMP2
\stackrel{
\mathrm{tex}
}{\rightarrow}
\mbox{``}TwiceExistMP2
\mbox{''}
]$ 

\item $
[EAE-MP
\stackrel{
\mathrm{tex}
}{\rightarrow}
\mbox{``}EAE
\mbox{-}MP
\mbox{''}
]$ 

\item $
[AddAll 
\stackrel{
\mathrm{tex}
}{\rightarrow}
\mbox{``}AddAll
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}
\mbox{''}
]$ 

\item $
[AddExist(Helper1)
\stackrel{
\mathrm{tex}
}{\rightarrow}
\mbox{``}AddExist(Helper1)
\mbox{''}
]$ 

\item $
[AddExist(Helper2)
\stackrel{
\mathrm{tex}
}{\rightarrow}
\mbox{``}AddExist(Helper2)
\mbox{''}
]$ 

\item $
[AddExist
\stackrel{
\mathrm{tex}
}{\rightarrow}
\mbox{``}AddExist
\mbox{''}
]$ 

\item $
[AddExist(SimpleAnt)
\stackrel{
\mathrm{tex}
}{\rightarrow}
\mbox{``}AddExist(SimpleAnt)
\mbox{''}
]$ 

\item $
[AddExist(Simple)
\stackrel{
\mathrm{tex}
}{\rightarrow}
\mbox{``}AddExist(Simple)
\mbox{''}
]$

\item $
[AddEAE
\stackrel{
\mathrm{tex}
}{\rightarrow}
\mbox{``}AddEAE
\mbox{''}
]$ 

\item $
[AEA-negated
\stackrel{
\mathrm{tex}
}{\rightarrow}
\mbox{``}AEA
\mbox{-}negated
\mbox{''}
]$ 

\item $
[EEA-negated
\stackrel{
\mathrm{tex}
}{\rightarrow}
\mbox{``}EEA
\mbox{-}negated
\mbox{''}
]$ 


\item $
[ToNegatedAnd
\stackrel{
\mathrm{tex}
}{\rightarrow}
\mbox{``}ToNegatedAnd
\mbox{''}
]$ 

\item $
[PositiveToRight(Less)(1 term)
\stackrel{
\mathrm{tex}
}{\rightarrow}
\mbox{``}PositiveToRight(Less)(1
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}term)
\mbox{''}
]$ 

\item $
[(A~)to(~E)
\stackrel{
\mathrm{tex}
}{\rightarrow}
\mbox{``}(A
\char126 )to(
\char126 E)
\mbox{''}
]$ 



\item $
[eqTransitivity4
\stackrel{
\mathrm{tex}
}{\rightarrow}
\mbox{``}eqTransitivity4
\mbox{''}
]$ 

\item $
[Plus0Left(R)
\stackrel{
\mathrm{tex}
}{\rightarrow}
\mbox{``}Plus0Left(R)
\mbox{''}
]$ 

\item $
[x=x+(y-y)(R)
\stackrel{
\mathrm{tex}
}{\rightarrow}
\mbox{``}x
{=}x
{+}(y
\mbox{-}y)(R)
\mbox{''}
]$ 

\item $
[x=x+y-y(R)
\stackrel{
\mathrm{tex}
}{\rightarrow}
\mbox{``}x
{=}x
{+}y
\mbox{-}y(R)
\mbox{''}
]$ 

\item $
[PositiveToRight(Eq)(R)
\stackrel{
\mathrm{tex}
}{\rightarrow}
\mbox{``}PositiveToRight(Eq)(R)
\mbox{''}
]$ 

\item $
[SubtractEquations(R)
\stackrel{
\mathrm{tex}
}{\rightarrow}
\mbox{``}SubtractEquations(R)
\mbox{''}
]$ 

\item $
[NeqAddition(R)
\stackrel{
\mathrm{tex}
}{\rightarrow}
\mbox{``}NeqAddition(R)
\mbox{''}
]$ 

\item $
[EqAdditionLeft(R)
\stackrel{
\mathrm{tex}
}{\rightarrow}
\mbox{``}EqAdditionLeft(R)
\mbox{''}
]$ 

\item $
[Three2twoTerms(R)
\stackrel{
\mathrm{tex}
}{\rightarrow}
\mbox{``}Three2twoTerms(R)
\mbox{''}
]$ 

\item $
[PositiveToRight(Less)(R)
\stackrel{
\mathrm{tex}
}{\rightarrow}
\mbox{``}PositiveToRight(Less)(R)
\mbox{''}
]$ 

\item $
[Three2threeTerms(R)
\stackrel{
\mathrm{tex}
}{\rightarrow}
\mbox{``}Three2threeTerms(R)
\mbox{''}
]$ 

\item $
[PositiveToRight(Less)(1 term)(R)
\stackrel{
\mathrm{tex}
}{\rightarrow}
\mbox{``}PositiveToRight(Less)(1
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}term)(R)
\mbox{''}
]$

\item $
[ToLeq(Advanced)(R)
\stackrel{
\mathrm{tex}
}{\rightarrow}
\mbox{``}ToLeq(Advanced)(R)
\mbox{''}
]$ 

\item $
[LeqNeqLess(R)
\stackrel{
\mathrm{tex}
}{\rightarrow}
\mbox{``}LeqNeqLess(R)
\mbox{''}
]$ 

\item $
[SubLeqLeft(R)
\stackrel{
\mathrm{tex}
}{\rightarrow}
\mbox{``}SubLeqLeft(R)
\mbox{''}
]$ 


\item $
[LeqLessTransitivity(R)
\stackrel{
\mathrm{tex}
}{\rightarrow}
\mbox{``}LeqLessTransitivity(R)
\mbox{''}
]$ 

\item $
[NegativeToLeft(Eq)(R)
\stackrel{
\mathrm{tex}
}{\rightarrow}
\mbox{``}NegativeToLeft(Eq)(R)
\mbox{''}
]$ 

\item $
[NegativeToRight(Less)(R)
\stackrel{
\mathrm{tex}
}{\rightarrow}
\mbox{``}NegativeToRight(Less)(R)
\mbox{''}
]$ 

\item $
[!!==Symmetry
\stackrel{
\mathrm{tex}
}{\rightarrow}
\mbox{``}!!
{=}
{=}Symmetry
\mbox{''}
]$ 

\item $
[NegativeToRight(Eq)(R)
\stackrel{
\mathrm{tex}
}{\rightarrow}
\mbox{``}NegativeToRight(Eq)(R)
\mbox{''}
]$ 

\item $
[NegativeToRight(Eq)(1 term)(R)
\stackrel{
\mathrm{tex}
}{\rightarrow}
\mbox{``}NegativeToRight(Eq)(1
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}term)(R)
\mbox{''}
]$ 


\item $
[SubLeqRight(R)
\stackrel{
\mathrm{tex}
}{\rightarrow}
\mbox{``}SubLeqRight(R)
\mbox{''}
]$ 

\item $
[DoubleMinus(R)
\stackrel{
\mathrm{tex}
}{\rightarrow}
\mbox{``}DoubleMinus(R)
\mbox{''}
]$ 

\item $
[UniqueNegative(R)
\stackrel{
\mathrm{tex}
}{\rightarrow}
\mbox{``}UniqueNegative(R)
\mbox{''}
]$ 

\item $
[SubtractEquationsLeft(R)
\stackrel{
\mathrm{tex}
}{\rightarrow}
\mbox{``}SubtractEquationsLeft(R)
\mbox{''}
]$ 

\item $
[EqNegated(R)
\stackrel{
\mathrm{tex}
}{\rightarrow}
\mbox{``}EqNegated(R)
\mbox{''}
]$ 

\item $
[NeqNegated(R)
\stackrel{
\mathrm{tex}
}{\rightarrow}
\mbox{``}NeqNegated(R)
\mbox{''}
]$ 

\item $
[LeqNegated(R)
\stackrel{
\mathrm{tex}
}{\rightarrow}
\mbox{``}LeqNegated(R)
\mbox{''}
]$ 

\item $
[LessNegated(R)
\stackrel{
\mathrm{tex}
}{\rightarrow}
\mbox{``}LessNegated(R)
\mbox{''}
]$ 

\item $
[-0=0(R)
\stackrel{
\mathrm{tex}
}{\rightarrow}
\mbox{``}
\mbox{-}0
{=}0(R)
\mbox{''}
]$ 

\item $
[NegativeNegated(R)
\stackrel{
\mathrm{tex}
}{\rightarrow}
\mbox{``}NegativeNegated(R)
\mbox{''}
]$ 

\item $
[FromLeqGeq(R)
\stackrel{
\mathrm{tex}
}{\rightarrow}
\mbox{``}FromLeqGeq(R)
\mbox{''}
]$ 

\item $
[FromLess(R)
\stackrel{
\mathrm{tex}
}{\rightarrow}
\mbox{``}FromLess(R)
\mbox{''}
]$ 

\item $
[NonnegativeNumerical(R)
\stackrel{
\mathrm{tex}
}{\rightarrow}
\mbox{``}NonnegativeNumerical(R)
\mbox{''}
]$ 

\item $
[NegativeNumerical(R)
\stackrel{
\mathrm{tex}
}{\rightarrow}
\mbox{``}NegativeNumerical(R)
\mbox{''}
]$ 

\item $
[0<=|x|(R)
\stackrel{
\mathrm{tex}
}{\rightarrow}
\mbox{``}0
{<}
{=}|x|(R)
\mbox{''}
]$ 

\item $
[PositiveNegated(R)
\stackrel{
\mathrm{tex}
}{\rightarrow}
\mbox{``}PositiveNegated(R)
\mbox{''}
]$ 

\item $
[AddEquations(R)
\stackrel{
\mathrm{tex}
}{\rightarrow}
\mbox{``}AddEquations(R)
\mbox{''}
]$ 

\item $
[DistributionOut(R)
\stackrel{
\mathrm{tex}
}{\rightarrow}
\mbox{``}DistributionOut(R)
\mbox{''}
]$ 

\item $
[==Transitivity5
\stackrel{
\mathrm{tex}
}{\rightarrow}
\mbox{``}
{=}
{=}Transitivity5
\mbox{''}
]$ 


\item $
[x*0=0(R)(fff)
\stackrel{
\mathrm{tex}
}{\rightarrow}
\mbox{``}x
{*}0
{=}0(R)(fff)
\mbox{''}
]$

\item $
[x*0+x=x(R)
\stackrel{
\mathrm{tex}
}{\rightarrow}
\mbox{``}x
{*}0
{+}x
{=}x(R)
\mbox{''}
]$ 

\item $
[Times(-1)(R)
\stackrel{
\mathrm{tex}
}{\rightarrow}
\mbox{``}Times(
\mbox{-}1)(R)
\mbox{''}
]$ 
 
\item $
[Times(-1)Left(R)
\stackrel{
\mathrm{tex}
}{\rightarrow}
\mbox{``}Times(
\mbox{-}1)Left(R)
\mbox{''}
]$ 

\item $
[-x-y=-(x+y)(R)
\stackrel{
\mathrm{tex}
}{\rightarrow}
\mbox{``}
\mbox{-}x
\mbox{-}y
{=}
\mbox{-}(x
{+}y)(R)
\mbox{''}
]$ 

\item $
[LessTotality(R)
\stackrel{
\mathrm{tex}
}{\rightarrow}
\mbox{``}LessTotality(R)
\mbox{''}
]$ 
 
\item $
[SignNumerical(+)(R)
\stackrel{
\mathrm{tex}
}{\rightarrow}
\mbox{``}SignNumerical(
{+})(R)
\mbox{''}
]$ 

\item $
[PositiveNumerical(R)
\stackrel{
\mathrm{tex}
}{\rightarrow}
\mbox{``}PositiveNumerical(R)
\mbox{''}
]$ 

\item $
[SameNumerical(R)
\stackrel{
\mathrm{tex}
}{\rightarrow}
\mbox{``}SameNumerical(R)
\mbox{''}
]$ 

\item $
[MinusNegated(R)
\stackrel{
\mathrm{tex}
}{\rightarrow}
\mbox{``}MinusNegated(R)
\mbox{''}
]$ 

\item $
[SignNumerical(R)
\stackrel{
\mathrm{tex}
}{\rightarrow}
\mbox{``}SignNumerical(R)
\mbox{''}
]$ 

\item $
[NumericalDifference(R)
\stackrel{
\mathrm{tex}
}{\rightarrow}
\mbox{``}NumericalDifference(R)
\mbox{''}
]$ 

\item $
[USlimitIsUpperBound(Helper)
\stackrel{
\mathrm{tex}
}{\rightarrow}
\mbox{``}USlimitIsUpperBound(Helper)
\mbox{''}
]$ 

\item $
[USlimitIsUpperBound
\stackrel{
\mathrm{tex}
}{\rightarrow}
\mbox{``}USlimitIsUpperBound
\mbox{''}
]$

\item $
[x<=|x|(R)
\stackrel{
\mathrm{tex}
}{\rightarrow}
\mbox{``}x
{<}
{=}|x|(R)
\mbox{''}
]$ 

\item $
[(-1)*(-1)+(-1)*1=0(R)
\stackrel{
\mathrm{tex}
}{\rightarrow}
\mbox{``}(
\mbox{-}1)
{*}(
\mbox{-}1)
{+}(
\mbox{-}1)
{*}1
{=}0(R)
\mbox{''}
]$ 

\item $
[(-1)*(-1)=1(R)
\stackrel{
\mathrm{tex}
}{\rightarrow}
\mbox{``}(
\mbox{-}1)
{*}(
\mbox{-}1)
{=}1(R)
\mbox{''}
]$ 

\item $
[0<1Helper(R)
\stackrel{
\mathrm{tex}
}{\rightarrow}
\mbox{``}0
{<}1Helper(R)
\mbox{''}
]$ 

\item $
[0<1(R)
\stackrel{
\mathrm{tex}
}{\rightarrow}
\mbox{``}0
{<}1(R)
\mbox{''}
]$ 

\item $
[ExpZero(Exact)(R)
\stackrel{
\mathrm{tex}
}{\rightarrow}
\mbox{``}ExpZero(Exact)(R)
\mbox{''}
]$ 

\item $
[PositiveBase(R)(Base)
\stackrel{
\mathrm{tex}
}{\rightarrow}
\mbox{``}PositiveBase(R)(Base)
\mbox{''}
]$ 

\item $
[Three2twoFactors(R)
\stackrel{
\mathrm{tex}
}{\rightarrow}
\mbox{``}Three2twoFactors(R)
\mbox{''}
]$ 

\item $
[x=x*y*(1/y)(R)
\stackrel{
\mathrm{tex}
}{\rightarrow}
\mbox{``}x
{=}x
{*}y
{*}(1/y)(R)
\mbox{''}
]$ 

\item $
[NeqMultiplication(R)
\stackrel{
\mathrm{tex}
}{\rightarrow}
\mbox{``}NeqMultiplication(R)
\mbox{''}
]$ 

\item $
[LessTransitivity(R)
\stackrel{
\mathrm{tex}
}{\rightarrow}
\mbox{``}LessTransitivity(R)
\mbox{''}
]$

\item $
[0<2(R)
\stackrel{
\mathrm{tex}
}{\rightarrow}
\mbox{``}0
{<}2(R)
\mbox{''}
]$ 

\item $
[SameExp(R)(Base)
\stackrel{
\mathrm{tex}
}{\rightarrow}
\mbox{``}SameExp(R)(Base)
\mbox{''}
]$ 

\item $
[SameExp(R)(Indu)
\stackrel{
\mathrm{tex}
}{\rightarrow}
\mbox{``}SameExp(R)(Indu)
\mbox{''}
]$ 

\item $
[SameExp(R)
\stackrel{
\mathrm{tex}
}{\rightarrow}
\mbox{``}SameExp(R)
\mbox{''}
]$

\item $
[SubNeqLeft(R)
\stackrel{
\mathrm{tex}
}{\rightarrow}
\mbox{``}SubNeqLeft(R)
\mbox{''}
]$ 

\item $
[SubNeqRight(R)
\stackrel{
\mathrm{tex}
}{\rightarrow}
\mbox{``}SubNeqRight(R)
\mbox{''}
]$ 

\item $
[NonzeroFactors(R)
\stackrel{
\mathrm{tex}
}{\rightarrow}
\mbox{``}NonzeroFactors(R)
\mbox{''}
]$ 

\item $
[NonnegativeFactors(R)
\stackrel{
\mathrm{tex}
}{\rightarrow}
\mbox{``}NonnegativeFactors(R)
\mbox{''}
]$ 

\item $
[PositiveFactors(R)
\stackrel{
\mathrm{tex}
}{\rightarrow}
\mbox{``}PositiveFactors(R)
\mbox{''}
]$ 

\item $
[LessDivision(R)
\stackrel{
\mathrm{tex}
}{\rightarrow}
\mbox{``}LessDivision(R)
\mbox{''}
]$ 

\item $
[0<1/2(R)
\stackrel{
\mathrm{tex}
}{\rightarrow}
\mbox{``}0
{<}1/2(R)
\mbox{''}
]$ 

\item $
[PositiveToRight(Eq)(1 term)(R)
\stackrel{
\mathrm{tex}
}{\rightarrow}
\mbox{``}PositiveToRight(Eq)(1
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}term)(R)
\mbox{''}
]$ 

\item $
[Exp(+1)(R)
\stackrel{
\mathrm{tex}
}{\rightarrow}
\mbox{``}Exp(
{+}1)(R)
\mbox{''}
]$ 

\item $
[PositiveBase(R)(Indu)
\stackrel{
\mathrm{tex}
}{\rightarrow}
\mbox{``}PositiveBase(R)(Indu)
\mbox{''}
]$ 

\item $
[PositiveBase(R)
\stackrel{
\mathrm{tex}
}{\rightarrow}
\mbox{``}PositiveBase(R)
\mbox{''}
]$

\item $
[-x*y=-(x*y)(R)
\stackrel{
\mathrm{tex}
}{\rightarrow}
\mbox{``}
\mbox{-}x
{*}y
{=}
\mbox{-}(x
{*}y)(R)
\mbox{''}
]$ 

\item $
[PositiveToLeft(Eq)(R)
\stackrel{
\mathrm{tex}
}{\rightarrow}
\mbox{``}PositiveToLeft(Eq)(R)
\mbox{''}
]$ 

\item $
[Times1Left(R)
\stackrel{
\mathrm{tex}
}{\rightarrow}
\mbox{``}Times1Left(R)
\mbox{''}
]$ 

\item $
[==Transitivity6
\stackrel{
\mathrm{tex}
}{\rightarrow}
\mbox{``}
{=}
{=}Transitivity6
\mbox{''}
]$ 

\item $
[x+x=2*x(R)
\stackrel{
\mathrm{tex}
}{\rightarrow}
\mbox{``}x
{+}x
{=}2
{*}x(R)
\mbox{''}
]$ 

\item $
[(1/2)x+(1/2)x=x(R)
\stackrel{
\mathrm{tex}
}{\rightarrow}
\mbox{``}(1/2)x
{+}(1/2)x
{=}x(R)
\mbox{''}
]$ 

\item $
[DistributionOut(Minus)(R)
\stackrel{
\mathrm{tex}
}{\rightarrow}
\mbox{``}DistributionOut(Minus)(R)
\mbox{''}
]$ 

\item $
[(1/2)(x+y)-x=(1/2)(y-x)(R)
\stackrel{
\mathrm{tex}
}{\rightarrow}
\mbox{``}(1/2)(x
{+}y)
\mbox{-}x
{=}(1/2)(y
\mbox{-}x)(R)
\mbox{''}
]$ 

\item $
[IntervalSize(R)(Base)
\stackrel{
\mathrm{tex}
}{\rightarrow}
\mbox{``}IntervalSize(R)(Base)
\mbox{''}
]$

\item $
[LessMultiplicationLeft(R)
\stackrel{
\mathrm{tex}
}{\rightarrow}
\mbox{``}LessMultiplicationLeft(R)
\mbox{''}
]$ 

\item $
[NegativeToLeft(Less)(R)
\stackrel{
\mathrm{tex}
}{\rightarrow}
\mbox{``}NegativeToLeft(Less)(R)
\mbox{''}
]$ 

\item $
[NegativeToLeft(Less)(1 term)(R)
\stackrel{
\mathrm{tex}
}{\rightarrow}
\mbox{``}NegativeToLeft(Less)(1
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}term)(R)
\mbox{''}
]$ 

\item $
[y-(1/2)(x+y)=(1/2)(y-x)(R)
\stackrel{
\mathrm{tex}
}{\rightarrow}
\mbox{``}y
\mbox{-}(1/2)(x
{+}y)
{=}(1/2)(y
\mbox{-}x)(R)
\mbox{''}
]$ 

\item $
[IntervalSize(R)(Indu)
\stackrel{
\mathrm{tex}
}{\rightarrow}
\mbox{``}IntervalSize(R)(Indu)
\mbox{''}
]$ 

\item $
[IntervalSize(R)
\stackrel{
\mathrm{tex}
}{\rightarrow}
\mbox{``}IntervalSize(R)
\mbox{''}
]$ 

\item $
[XSlessUS(R)
\stackrel{
\mathrm{tex}
}{\rightarrow}
\mbox{``}XSlessUS(R)
\mbox{''}
]$ 

\item $
[USdecreasing(+1)(R)
\stackrel{
\mathrm{tex}
}{\rightarrow}
\mbox{``}USdecreasing(
{+}1)(R)
\mbox{''}
]$ 

\item $
[ExpUnbounded(Base)
\stackrel{
\mathrm{tex}
}{\rightarrow}
\mbox{``}ExpUnbounded(Base)
\mbox{''}
]$ 

\item $
[ExpUnbounded(Indu)
\stackrel{
\mathrm{tex}
}{\rightarrow}
\mbox{``}ExpUnbounded(Indu)
\mbox{''}
]$ 

\item $
[ExpUnbounded
\stackrel{
\mathrm{tex}
}{\rightarrow}
\mbox{``}ExpUnbounded
\mbox{''}
]$ 
 
\item $
[1<=x+1(N)
\stackrel{
\mathrm{tex}
}{\rightarrow}
\mbox{``}1
{<}
{=}x
{+}1(N)
\mbox{''}
]$ 

\item $
[NonzeroProduct(2)(R)
\stackrel{
\mathrm{tex}
}{\rightarrow}
\mbox{``}NonzeroProduct(2)(R)
\mbox{''}
]$ 

\item $
[PositiveNonzero(R)
\stackrel{
\mathrm{tex}
}{\rightarrow}
\mbox{``}PositiveNonzero(R)
\mbox{''}
]$ 

\item $
[NonreciprocalToRight(Eq)(1 term)(R)
\stackrel{
\mathrm{tex}
}{\rightarrow}
\mbox{``}NonreciprocalToRight(Eq)(1
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}term)(R)
\mbox{''}
]$ 

\item $
[ExpNonzero(Base)
\stackrel{
\mathrm{tex}
}{\rightarrow}
\mbox{``}ExpNonzero(Base)
\mbox{''}
]$ 

\item $
[ExpNonzero(Indu)
\stackrel{
\mathrm{tex}
}{\rightarrow}
\mbox{``}ExpNonzero(Indu)
\mbox{''}
]$ 

\item $
[ExpNonzero
\stackrel{
\mathrm{tex}
}{\rightarrow}
\mbox{``}ExpNonzero
\mbox{''}
]$

\item $
[ExpNonzero(2)
\stackrel{
\mathrm{tex}
}{\rightarrow}
\mbox{``}ExpNonzero(2)
\mbox{''}
]$ 

\item $
[MultiplyEquations(R)
\stackrel{
\mathrm{tex}
}{\rightarrow}
\mbox{``}MultiplyEquations(R)
\mbox{''}
]$ 

\item $
[HalfBase(Base)
\stackrel{
\mathrm{tex}
}{\rightarrow}
\mbox{``}HalfBase(Base)
\mbox{''}
]$ 

\item $
[HalfBase(Indu)
\stackrel{
\mathrm{tex}
}{\rightarrow}
\mbox{``}HalfBase(Indu)
\mbox{''}
]$ 

\item $
[HalfBase
\stackrel{
\mathrm{tex}
}{\rightarrow}
\mbox{``}HalfBase
\mbox{''}
]$ 


\item $
[Three2threeFactors(R)
\stackrel{
\mathrm{tex}
}{\rightarrow}
\mbox{``}Three2threeFactors(R)
\mbox{''}
]$

\item $
[x*y=zBackwards(R)
\stackrel{
\mathrm{tex}
}{\rightarrow}
\mbox{``}x
{*}y
{=}zBackwards(R)
\mbox{''}
]$ 

\item $
[PositiveInverted(R)
\stackrel{
\mathrm{tex}
}{\rightarrow}
\mbox{``}PositiveInverted(R)
\mbox{''}
]$ 

\item $
[ReciprocalToRight(Less)(R)
\stackrel{
\mathrm{tex}
}{\rightarrow}
\mbox{``}ReciprocalToRight(Less)(R)
\mbox{''}
]$ 

\item $
[ReciprocalToRight(Less)(1 term)(R)
\stackrel{
\mathrm{tex}
}{\rightarrow}
\mbox{``}ReciprocalToRight(Less)(1
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}term)(R)
\mbox{''}
]$ 

\item $
[NonreciprocalToLeft(Less)(R)
\stackrel{
\mathrm{tex}
}{\rightarrow}
\mbox{``}NonreciprocalToLeft(Less)(R)
\mbox{''}
]$ 

\item $
[1<x*y(R)
\stackrel{
\mathrm{tex}
}{\rightarrow}
\mbox{``}1
{<}x
{*}y(R)
\mbox{''}
]$ 

\item $
[SwitchFactors(1/x<y)(R)
\stackrel{
\mathrm{tex}
}{\rightarrow}
\mbox{``}SwitchFactors(1/x
{<}y)(R)
\mbox{''}
]$ 

\item $
[SmallHalving
\stackrel{
\mathrm{tex}
}{\rightarrow}
\mbox{``}SmallHalving
\mbox{''}
]$ 

\item $
[IntervalSize(anyPositive)
\stackrel{
\mathrm{tex}
}{\rightarrow}
\mbox{``}IntervalSize(anyPositive)
\mbox{''}
]$ 

\item $
[USdecreasing(+n)(Base)
\stackrel{
\mathrm{tex}
}{\rightarrow}
\mbox{``}USdecreasing(
{+}n)(Base)
\mbox{''}
]$ 

\item $
[USdecreasing(+n)(Indu)
\stackrel{
\mathrm{tex}
}{\rightarrow}
\mbox{``}USdecreasing(
{+}n)(Indu)
\mbox{''}
]$ 

\item $
[USdecreasing(+n)
\stackrel{
\mathrm{tex}
}{\rightarrow}
\mbox{``}USdecreasing(
{+}n)
\mbox{''}
]$ 

\item $
[USdecreasing
\stackrel{
\mathrm{tex}
}{\rightarrow}
\mbox{``}USdecreasing
\mbox{''}
]$

\item $
[LeqAdditionLeft(R)
\stackrel{
\mathrm{tex}
}{\rightarrow}
\mbox{``}LeqAdditionLeft(R)
\mbox{''}
]$ 

\item $
[ToNotLess(R)
\stackrel{
\mathrm{tex}
}{\rightarrow}
\mbox{``}ToNotLess(R)
\mbox{''}
]$ 

\item $
[LimitOfUSIsLeq
\stackrel{
\mathrm{tex}
}{\rightarrow}
\mbox{``}LimitOfUSIsLeq
\mbox{''}
]$

\item $
[SubtractEquations(Less)(R)
\stackrel{
\mathrm{tex}
}{\rightarrow}
\mbox{``}SubtractEquations(Less)(R)
\mbox{''}
]$ 

\item $
[SubtractEquationsLeft(Less)(R)
\stackrel{
\mathrm{tex}
}{\rightarrow}
\mbox{``}SubtractEquationsLeft(Less)(R)
\mbox{''}
]$ 

\item $
[LessNegated(Negative)(R)
\stackrel{
\mathrm{tex}
}{\rightarrow}
\mbox{``}LessNegated(Negative)(R)
\mbox{''}
]$ 

\item $
[FromNegatedAnd(Imply)
\stackrel{
\mathrm{tex}
}{\rightarrow}
\mbox{``}FromNegatedAnd(Imply)
\mbox{''}
]$ 

\item $
[RemoveDoubleNeg(Consequent)
\stackrel{
\mathrm{tex}
}{\rightarrow}
\mbox{``}RemoveDoubleNeg(Consequent)
\mbox{''}
]$ 

\item $
[FromNotUpperBound
\stackrel{
\mathrm{tex}
}{\rightarrow}
\mbox{``}FromNotUpperBound
\mbox{''}
]$ 

\item $
[LeqNUB
\stackrel{
\mathrm{tex}
}{\rightarrow}
\mbox{``}LeqNUB
\mbox{''}
]$ 

\item $
[USlimitIsLeastUpperBound(Helper)
\stackrel{
\mathrm{tex}
}{\rightarrow}
\mbox{``}USlimitIsLeastUpperBound(Helper)
\mbox{''}
]$ 

\item $
[USlimitIsLeastUpperBound
\stackrel{
\mathrm{tex}
}{\rightarrow}
\mbox{``}USlimitIsLeastUpperBound
\mbox{''}
]$


\item $
[ExistMP3
\stackrel{
\mathrm{tex}
}{\rightarrow}
\mbox{``}ExistMP3
\mbox{''}
]$ 

\item $
[GreaterPositive(N)
\stackrel{
\mathrm{tex}
}{\rightarrow}
\mbox{``}GreaterPositive(N)
\mbox{''}
]$ 

\item $
[ysFClose(Helper)
\stackrel{
\mathrm{tex}
}{\rightarrow}
\mbox{``}ysFClose(Helper)
\mbox{''}
]$ 

\item $
[ysFClose
\stackrel{
\mathrm{tex}
}{\rightarrow}
\mbox{``}ysFClose
\mbox{''}
]$ 

\item $
[ysFCauchy(Helper)
\stackrel{
\mathrm{tex}
}{\rightarrow}
\mbox{``}ysFCauchy(Helper)
\mbox{''}
]$ 

\item $
[ysFCauchy
\stackrel{
\mathrm{tex}
}{\rightarrow}
\mbox{``}ysFCauchy
\mbox{''}
]$

\item $
[SFsymmetry
\stackrel{
\mathrm{tex}
}{\rightarrow}
\mbox{``}SFsymmetry
\mbox{''}
]$

\item $
[SFtransitivity
\stackrel{
\mathrm{tex}
}{\rightarrow}
\mbox{``}SFtransitivity
\mbox{''}
]$ 

\item $
[
\mbox{lemma =f to sameF}
\stackrel{
\mathrm{tex}
}{\rightarrow}
\mbox{``}
{=}fToSameF
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}
\mbox{''}
]$ 

\item $
[
\mbox{lemma plusF(Sym)}
\stackrel{
\mathrm{tex}
}{\rightarrow}
\mbox{``}PlusF(Sym)
\mbox{''}
]$ 

\item $
[
\mbox{lemma timesF(Sym)}
\stackrel{
\mathrm{tex}
}{\rightarrow}
\mbox{``}TimesF(Sym)
\mbox{''}
]$

\item $
[f2R(Plus)
\stackrel{
\mathrm{tex}
}{\rightarrow}
\mbox{``}f2R(Plus)
\mbox{''}
]$ 

\item $
[f2R(Times)
\stackrel{
\mathrm{tex}
}{\rightarrow}
\mbox{``}f2R(Times)
\mbox{''}
]$

\item $
[<<TransitivityHelper(Q)
\stackrel{
\mathrm{tex}
}{\rightarrow}
\mbox{``}
{<}
{<}TransitivityHelper(Q)
\mbox{''}
]$ 

\item $
[<<Transitivity
\stackrel{
\mathrm{tex}
}{\rightarrow}
\mbox{``}
{<}
{<}Transitivity
\mbox{''}
]$ 

\item $
[<<==Reflexivity
\stackrel{
\mathrm{tex}
}{\rightarrow}
\mbox{``}
{<}
{<}
{=}
{=}Reflexivity
\mbox{''}
]$

\item $
[<<==AntisymmetryHelper(Q)
\stackrel{
\mathrm{tex}
}{\rightarrow}
\mbox{``}
{<}
{<}
{=}
{=}AntisymmetryHelper(Q)
\mbox{''}
]$ 

\item $
[FromNotSameF(Weak)(Helper)
\stackrel{
\mathrm{tex}
}{\rightarrow}
\mbox{``}FromNotSameF(Weak)(Helper)
\mbox{''}
]$ 

\item $
[FromNotSameF(Weak)
\stackrel{
\mathrm{tex}
}{\rightarrow}
\mbox{``}FromNotSameF(Weak)
\mbox{''}
]$

\item $
[FromNotLess(F)
\stackrel{
\mathrm{tex}
}{\rightarrow}
\mbox{``}FromNotLess(F)
\mbox{''}
]$ 

\item $
[Plus0(F)
\stackrel{
\mathrm{tex}
}{\rightarrow}
\mbox{``}Plus0(F)
\mbox{''}
]$ 
\item $
[==Addition
\stackrel{
\mathrm{tex}
}{\rightarrow}
\mbox{``}
{=}
{=}Addition
\mbox{''}
]$ 

\item $
[==AdditionLeft
\stackrel{
\mathrm{tex}
}{\rightarrow}
\mbox{``}
{=}
{=}AdditionLeft
\mbox{''}
]$ 
\item $
[Fpart-Bounded(Base)
\stackrel{
\mathrm{tex}
}{\rightarrow}
\mbox{``}Fpart
\mbox{-}Bounded(Base)
\mbox{''}
]$ 

\item $
[Fpart-Bounded(InduHelper)
\stackrel{
\mathrm{tex}
}{\rightarrow}
\mbox{``}Fpart
\mbox{-}Bounded(InduHelper)
\mbox{''}
]$ 

\item $
[Fpart-Bounded(Indu)
\stackrel{
\mathrm{tex}
}{\rightarrow}
\mbox{``}Fpart
\mbox{-}Bounded(Indu)
\mbox{''}
]$ 

\item $
[Fpart-Bounded
\stackrel{
\mathrm{tex}
}{\rightarrow}
\mbox{``}Fpart
\mbox{-}Bounded
\mbox{''}
]$ 

\item $
[F-Bounded
\stackrel{
\mathrm{tex}
}{\rightarrow}
\mbox{``}F
\mbox{-}Bounded
\mbox{''}
]$

\item $
[F-Bounded(Helper)
\stackrel{
\mathrm{tex}
}{\rightarrow}
\mbox{``}F
\mbox{-}Bounded(Helper)
\mbox{''}
]$ 

\item $
[SameFmultiplication(Helper)
\stackrel{
\mathrm{tex}
}{\rightarrow}
\mbox{``}SameFmultiplication(Helper)
\mbox{''}
]$

\item $
[SameFmultiplication
\stackrel{
\mathrm{tex}
}{\rightarrow}
\mbox{``}SameFmultiplication
\mbox{''}
]$

\item $
[FromNot<f(Weak)(Helper)
\stackrel{
\mathrm{tex}
}{\rightarrow}
\mbox{``}FromNot
{<}f(Weak)(Helper)
\mbox{''}
]$ 

\item $
[FromNot<f(Weak)
\stackrel{
\mathrm{tex}
}{\rightarrow}
\mbox{``}FromNot
{<}f(Weak)
\mbox{''}
]$

\item $
[FromNot<f(Strong)(Helper2)
\stackrel{
\mathrm{tex}
}{\rightarrow}
\mbox{``}FromNot
{<}f(Strong)(Helper2)
\mbox{''}
]$ 

\item $
[FromNot<f(Strong)(Helper)
\stackrel{
\mathrm{tex}
}{\rightarrow}
\mbox{``}FromNot
{<}f(Strong)(Helper)
\mbox{''}
]$

\item $
[FromNot<f(Strong)
\stackrel{
\mathrm{tex}
}{\rightarrow}
\mbox{``}FromNot
{<}f(Strong)
\mbox{''}
]$

\item $
[fromNotSameF(Strongest)(Helper2)
\stackrel{
\mathrm{tex}
}{\rightarrow}
\mbox{``}fromNotSameF(Strongest)(Helper2)
\mbox{''}
]$ 

\item $
[fromNotSameF(Strongest)(Helper)
\stackrel{
\mathrm{tex}
}{\rightarrow}
\mbox{``}fromNotSameF(Strongest)(Helper)
\mbox{''}
]$

\item $
[fromNotSameF(Strongest)
\stackrel{
\mathrm{tex}
}{\rightarrow}
\mbox{``}fromNotSameF(Strongest)
\mbox{''}
]$

\item $
[ToLess(F)(Helper)
\stackrel{
\mathrm{tex}
}{\rightarrow}
\mbox{``}ToLess(F)(Helper)
\mbox{''}
]$ 

\item $
[ToLess(F)
\stackrel{
\mathrm{tex}
}{\rightarrow}
\mbox{``}ToLess(F)
\mbox{''}
]$

\item $
[LessMultiplication(F)(Helper2)
\stackrel{
\mathrm{tex}
}{\rightarrow}
\mbox{``}LessMultiplication(F)(Helper2)
\mbox{''}
]$ 

\item $
[LessMultiplication(F)(Helper)
\stackrel{
\mathrm{tex}
}{\rightarrow}
\mbox{``}LessMultiplication(F)(Helper)
\mbox{''}
]$ 

\item $
[LessMultiplication(F)
\stackrel{
\mathrm{tex}
}{\rightarrow}
\mbox{``}LessMultiplication(F)
\mbox{''}
]$

\item $
[EqMultiplication(R)
\stackrel{
\mathrm{tex}
}{\rightarrow}
\mbox{``}EqMultiplication(R)
\mbox{''}
]$ 

\item $
[EqMultiplicationLeft(R)
\stackrel{
\mathrm{tex}
}{\rightarrow}
\mbox{``}EqMultiplicationLeft(R)
\mbox{''}
]$ 

\item $
[PlusAssociativity(F)
\stackrel{
\mathrm{tex}
}{\rightarrow}
\mbox{``}PlusAssociativity(F)
\mbox{''}
]$ 

\item $
[FromNot<<
\stackrel{
\mathrm{tex}
}{\rightarrow}
\mbox{``}FromNot
{<}
{<}
\mbox{''}
]$ 

\item $
[ToLess(R)
\stackrel{
\mathrm{tex}
}{\rightarrow}
\mbox{``}ToLess(R)
\mbox{''}
]$ 

\item $
[LeqTotality(R)
\stackrel{
\mathrm{tex}
}{\rightarrow}
\mbox{``}LeqTotality(R)
\mbox{''}
]$ 

\item $
[x*0=0(F)
\stackrel{
\mathrm{tex}
}{\rightarrow}
\mbox{``}x
{*}0
{=}0(F)
\mbox{''}
]$ 

\item $
[x*0=0(R)
\stackrel{
\mathrm{tex}
}{\rightarrow}
\mbox{``}x
{*}0
{=}0(R)
\mbox{''}
]$

\item $
[PlusCommutativity(F)
\stackrel{
\mathrm{tex}
}{\rightarrow}
\mbox{``}PlusCommutativity(F)
\mbox{''}
]$ 

\item $
[Cauchy(2)(Helper)
\stackrel{
\mathrm{tex}
}{\rightarrow}
\mbox{``}Cauchy(2)(Helper)
\mbox{''}
]$ 

\item $
[Cauchy(2)
\stackrel{
\mathrm{tex}
}{\rightarrow}
\mbox{``}Cauchy(2)
\mbox{''}
]$ 

\item $
[TimesAssociativity(F)
\stackrel{
\mathrm{tex}
}{\rightarrow}
\mbox{``}TimesAssociativity(F)
\mbox{''}
]$ 

\item $
[LessMultiplication(R)
\stackrel{
\mathrm{tex}
}{\rightarrow}
\mbox{``}LessMultiplication(R)
\mbox{''}
]$ 

\item $
[LeqMultiplication(R)
\stackrel{
\mathrm{tex}
}{\rightarrow}
\mbox{``}LeqMultiplication(R)
\mbox{''}
]$

\item $
[Times1f
\stackrel{
\mathrm{tex}
}{\rightarrow}
\mbox{``}Times1f
\mbox{''}
]$ 

\item $
[ReciprocalFnonzero
\stackrel{
\mathrm{tex}
}{\rightarrow}
\mbox{``}ReciprocalFnonzero
\mbox{''}
]$ 

\item $
[ReciprocalFnynonzero
\stackrel{
\mathrm{tex}
}{\rightarrow}
\mbox{``}ReciprocalFnynonzero
\mbox{''}
]$ 

\item $
[(Eventually=f)2sameF(Helper)
\stackrel{
\mathrm{tex}
}{\rightarrow}
\mbox{``}(Eventually
{=}f)2sameF(Helper)
\mbox{''}
]$ 

\item $
[(Eventually=f)2sameF
\stackrel{
\mathrm{tex}
}{\rightarrow}
\mbox{``}(Eventually
{=}f)2sameF
\mbox{''}
]$ 

\item $
[FromNotSameF(Strong)(Helper2)
\stackrel{
\mathrm{tex}
}{\rightarrow}
\mbox{``}FromNotSameF(Strong)(Helper2)
\mbox{''}
]$
\item $
[FromNotSameF(Strong)(Helper)
\stackrel{
\mathrm{tex}
}{\rightarrow}
\mbox{``}FromNotSameF(Strong)(Helper)
\mbox{''}
]$ 

\item $
[FromNotSameF(Strong)
\stackrel{
\mathrm{tex}
}{\rightarrow}
\mbox{``}FromNotSameF(Strong)
\mbox{''}
]$ 

\item $
[SameFreciprocal(Helper)
\stackrel{
\mathrm{tex}
}{\rightarrow}
\mbox{``}SameFreciprocal(Helper)
\mbox{''}
]$ 

\item $
[SameFreciprocal
\stackrel{
\mathrm{tex}
}{\rightarrow}
\mbox{``}SameFreciprocal
\mbox{''}
]$

\item $
[From!!==
\stackrel{
\mathrm{tex}
}{\rightarrow}
\mbox{``}From!!
{=}
{=}
\mbox{''}
]$ 

\item $
[Reciprocal(R)
\stackrel{
\mathrm{tex}
}{\rightarrow}
\mbox{``}Reciprocal(R)
\mbox{''}
]$ 

\item $
[TimesCommutativity(F)
\stackrel{
\mathrm{tex}
}{\rightarrow}
\mbox{``}TimesCommutativity(F)
\mbox{''}
]$ 

\item $
[Distribution(F)
\stackrel{
\mathrm{tex}
}{\rightarrow}
\mbox{``}Distribution(F)
\mbox{''}
]$ 

\item $
[FromNotLess(R)
\stackrel{
\mathrm{tex}
}{\rightarrow}
\mbox{``}FromNotLess(R)
\mbox{''}
]$ 

\item $
[ToNegatedAnd(1)
\stackrel{
\mathrm{tex}
}{\rightarrow}
\mbox{``}ToNegatedAnd(1)
\mbox{''}
]$ 

\item $
[FromMax(1)
\stackrel{
\mathrm{tex}
}{\rightarrow}
\mbox{``}FromMax(1)
\mbox{''}
]$ 

\item $
[FromMax(2)
\stackrel{
\mathrm{tex}
}{\rightarrow}
\mbox{``}FromMax(2)
\mbox{''}
]$ 


\item $
[CartProdIsRelation
\stackrel{
\mathrm{tex}
}{\rightarrow}
\mbox{``}CartProdIsRelation
\mbox{''}
]$ 


\item $
[FromSubset
\stackrel{
\mathrm{tex}
}{\rightarrow}
\mbox{``}FromSubset
\mbox{''}
]$ 

\item $
[SubsetIsRelation
\stackrel{
\mathrm{tex}
}{\rightarrow}
\mbox{``}SubsetIsRelation
\mbox{''}
]$ 

\item $
[SeriesSubsetCP
\stackrel{
\mathrm{tex}
}{\rightarrow}
\mbox{``}SeriesSubsetCP
\mbox{''}
]$ 

\item $
[ValueType
\stackrel{
\mathrm{tex}
}{\rightarrow}
\mbox{``}ValueType
\mbox{''}
]$ 

\item $
[ToSeries
\stackrel{
\mathrm{tex}
}{\rightarrow}
\mbox{``}ToSeries
\mbox{''}
]$ 

\item $
[FromSeries
\stackrel{
\mathrm{tex}
}{\rightarrow}
\mbox{``}FromSeries
\mbox{''}
]$ 

\item $
[RemoveOr
\stackrel{
\mathrm{tex}
}{\rightarrow}
\mbox{``}RemoveOr
\mbox{''}
]$ 

\item $
[FromSingleton
\stackrel{
\mathrm{tex}
}{\rightarrow}
\mbox{``}FromSingleton
\mbox{''}
]$ 

\item $
[InPair(1)
\stackrel{
\mathrm{tex}
}{\rightarrow}
\mbox{``}InPair(1)
\mbox{''}
]$ 

\item $
[InPair(2)
\stackrel{
\mathrm{tex}
}{\rightarrow}
\mbox{``}InPair(2)
\mbox{''}
]$ 

\item $
[SameMember(2)
\stackrel{
\mathrm{tex}
}{\rightarrow}
\mbox{``}SameMember(2)
\mbox{''}
]$ 

\item $
[ToBinaryUnion(1)
\stackrel{
\mathrm{tex}
}{\rightarrow}
\mbox{``}ToBinaryUnion(1)
\mbox{''}
]$ 

\item $
[ToBinaryUnion(2)
\stackrel{
\mathrm{tex}
}{\rightarrow}
\mbox{``}ToBinaryUnion(2)
\mbox{''}
]$ 

\item $
[FromOrderedPair(TwoLevels)
\stackrel{
\mathrm{tex}
}{\rightarrow}
\mbox{``}FromOrderedPair(TwoLevels)
\mbox{''}
]$ 

\item $
[ToCartProd(Helper)
\stackrel{
\mathrm{tex}
}{\rightarrow}
\mbox{``}ToCartProd(Helper)
\mbox{''}
]$ 

\item $
[ToCartProd
\stackrel{
\mathrm{tex}
}{\rightarrow}
\mbox{``}ToCartProd
\mbox{''}
]$

\item $
[NonreciprocalToRight(Eq)
\stackrel{
\mathrm{tex}
}{\rightarrow}
\mbox{``}NonreciprocalToRight(Eq)
\mbox{''}
]$ 

\item $
[NonreciprocalToLeft(Eq)(1 term)
\stackrel{
\mathrm{tex}
}{\rightarrow}
\mbox{``}NonreciprocalToLeft(Eq)(1
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}term)
\mbox{''}
]$ 

\item $
[SameReciprocal
\stackrel{
\mathrm{tex}
}{\rightarrow}
\mbox{``}SameReciprocal
\mbox{''}
]$ 


\item $
[CPseparationIsRelation
\stackrel{
\mathrm{tex}
}{\rightarrow}
\mbox{``}CPseparationIsRelation
\mbox{''}
]$ 

\item $
[OrderedPairEquality
\stackrel{
\mathrm{tex}
}{\rightarrow}
\mbox{``}OrderedPairEquality
\mbox{''}
]$ 

\item $
[ReciprocalIsFunction
\stackrel{
\mathrm{tex}
}{\rightarrow}
\mbox{``}ReciprocalIsFunction
\mbox{''}
]$

\item $
[ReciprocalIsTotal
\stackrel{
\mathrm{tex}
}{\rightarrow}
\mbox{``}ReciprocalIsTotal
\mbox{''}
]$

\item $
[ReciprocalIsRationalSeries
\stackrel{
\mathrm{tex}
}{\rightarrow}
\mbox{``}ReciprocalIsRationalSeries
\mbox{''}
]$

\item $
[CrsIsRelation
\stackrel{
\mathrm{tex}
}{\rightarrow}
\mbox{``}CrsIsRelation
\mbox{''}
]$ 

\item $
[CrsIsFunction 
\stackrel{
\mathrm{tex}
}{\rightarrow}
\mbox{``}CrsIsFunction
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}
\mbox{''}
]$ 

\item $
[CrsIsTotal
\stackrel{
\mathrm{tex}
}{\rightarrow}
\mbox{``}CrsIsTotal
\mbox{''}
]$ 

\item $
[CrsIsSeries
\stackrel{
\mathrm{tex}
}{\rightarrow}
\mbox{``}CrsIsSeries
\mbox{''}
]$ 

\item $
[CrsLookup
\stackrel{
\mathrm{tex}
}{\rightarrow}
\mbox{``}CrsLookup
\mbox{''}
]$ 

\item $
[0f
\stackrel{
\mathrm{tex}
}{\rightarrow}
\mbox{``}0f
\mbox{''}
]$

\item $
[1f
\stackrel{
\mathrm{tex}
}{\rightarrow}
\mbox{``}1f
\mbox{''}
]$ 

\item $
[ToSingleton
\stackrel{
\mathrm{tex}
}{\rightarrow}
\mbox{``}ToSingleton
\mbox{''}
]$ 

\item $
[FromSameSingleton
\stackrel{
\mathrm{tex}
}{\rightarrow}
\mbox{``}FromSameSingleton
\mbox{''}
]$ 


\item $
[SingletonmembersEqual
\stackrel{
\mathrm{tex}
}{\rightarrow}
\mbox{``}SingletonmembersEqual
\mbox{''}
]$ 

\item $
[UnequalsNotInSingleton
\stackrel{
\mathrm{tex}
}{\rightarrow}
\mbox{``}UnequalsNotInSingleton
\mbox{''}
]$ 

\item $
[NonsingletonmembersUnequal
\stackrel{
\mathrm{tex}
}{\rightarrow}
\mbox{``}NonsingletonmembersUnequal
\mbox{''}
]$ 

\item $
[FromOrderedPair
\stackrel{
\mathrm{tex}
}{\rightarrow}
\mbox{``}FromOrderedPair
\mbox{''}
]$

\item $
[FromOrderedPair(1)
\stackrel{
\mathrm{tex}
}{\rightarrow}
\mbox{``}FromOrderedPair(1)
\mbox{''}
]$

\item $
[FromOrderedPair(2)
\stackrel{
\mathrm{tex}
}{\rightarrow}
\mbox{``}FromOrderedPair(2)
\mbox{''}
]$

\item $
[FromCartProd
\stackrel{
\mathrm{tex}
}{\rightarrow}
\mbox{``}FromCartProd
\mbox{''}
]$ 

\item $
[FromCartProd(1)
\stackrel{
\mathrm{tex}
}{\rightarrow}
\mbox{``}FromCartProd(1)
\mbox{''}
]$ 

\item $
[FromCartProd(2)
\stackrel{
\mathrm{tex}
}{\rightarrow}
\mbox{``}FromCartProd(2)
\mbox{''}
]$ 

\item $
[sameOrderedPair
\stackrel{
\mathrm{tex}
}{\rightarrow}
\mbox{``}sameOrderedPair
\mbox{''}
]$ 

\item $
[InSeriesHelper
\stackrel{
\mathrm{tex}
}{\rightarrow}
\mbox{``}InSeriesHelper
\mbox{''}
]$ 

\item $
[InSeries
\stackrel{
\mathrm{tex}
}{\rightarrow}
\mbox{``}InSeries
\mbox{''}
]$ 

\item $
[To=f(Subset)(Helper)
\stackrel{
\mathrm{tex}
}{\rightarrow}
\mbox{``}To
{=}f(Subset)(Helper)
\mbox{''}
]$ 

\item $
[To=f(Subset)
\stackrel{
\mathrm{tex}
}{\rightarrow}
\mbox{``}To
{=}f(Subset)
\mbox{''}
]$ 

\item $
[To=f
\stackrel{
\mathrm{tex}
}{\rightarrow}
\mbox{``}To
{=}f
\mbox{''}
]$

\item $
[Tester1
\stackrel{
\mathrm{tex}
}{\rightarrow}
\mbox{``}Tester1
\mbox{''}
]$ 

\item $
[Tester2
\stackrel{
\mathrm{tex}
}{\rightarrow}
\mbox{``}Tester2
\mbox{''}
]$ 

\item $
[Tester3
\stackrel{
\mathrm{tex}
}{\rightarrow}
\mbox{``}Tester3
\mbox{''}
]$ 

\item $
[Tester4
\stackrel{
\mathrm{tex}
}{\rightarrow}
\mbox{``}Tester4
\mbox{''}
]$ 

\item $
[Tester5
\stackrel{
\mathrm{tex}
}{\rightarrow}
\mbox{``}Tester5
\mbox{''}
]$ 

\item $
[Tester6
\stackrel{
\mathrm{tex}
}{\rightarrow}
\mbox{``}Tester6
\mbox{''}
]$

\item $
[productIsFunction
\stackrel{
\mathrm{tex}
}{\rightarrow}
\mbox{``}productIsFunction
\mbox{''}
]$

\item $
[productIsTotal
\stackrel{
\mathrm{tex}
}{\rightarrow}
\mbox{``}productIsTotal
\mbox{''}
]$

\item $
[ProductIsRationalSeries
\stackrel{
\mathrm{tex}
}{\rightarrow}
\mbox{``}ProductIsRationalSeries
\mbox{''}
]$

\item $
[TimesF
\stackrel{
\mathrm{tex}
}{\rightarrow}
\mbox{``}TimesF
\mbox{''}
]$ 

\item $
[-x+(1/2)x=-(1/2)x
\stackrel{
\mathrm{tex}
}{\rightarrow}
\mbox{``}
\mbox{-}x
{+}(1/2)x
{=}
\mbox{-}(1/2)x
\mbox{''}
]$ 

\item $
[ClosetolessIsLess
\stackrel{
\mathrm{tex}
}{\rightarrow}
\mbox{``}ClosetolessIsLess
\mbox{''}
]$ 

\item $
[SubLessLeft(F)
\stackrel{
\mathrm{tex}
}{\rightarrow}
\mbox{``}SubLessLeft(F)
\mbox{''}
]$

\item $
[SubLessLeft(R)
\stackrel{
\mathrm{tex}
}{\rightarrow}
\mbox{``}SubLessLeft(R)
\mbox{''}
]$

\item $
[ClosetogreaterIsGreater
\stackrel{
\mathrm{tex}
}{\rightarrow}
\mbox{``}ClosetogreaterIsGreater
\mbox{''}
]$ 

\item $
[SubLessRight(F)
\stackrel{
\mathrm{tex}
}{\rightarrow}
\mbox{``}SubLessRight(F)
\mbox{''}
]$

\item $
[SubLessRight(R)
\stackrel{
\mathrm{tex}
}{\rightarrow}
\mbox{``}SubLessRight(R)
\mbox{''}
]$

\item $
[PositiveTripled
\stackrel{
\mathrm{tex}
}{\rightarrow}
\mbox{``}PositiveTripled
\mbox{''}
]$ 

\item $
[PositiveDividedBy3
\stackrel{
\mathrm{tex}
}{\rightarrow}
\mbox{``}PositiveDividedBy3
\mbox{''}
]$ 

\item $
[|x-x|=0
\stackrel{
\mathrm{tex}
}{\rightarrow}
\mbox{``}|x
\mbox{-}x|
{=}0
\mbox{''}
]$ 

\item $
[1<2
\stackrel{
\mathrm{tex}
}{\rightarrow}
\mbox{``}1
{<}2
\mbox{''}
]$ 

\item $
[1/3<2/3
\stackrel{
\mathrm{tex}
}{\rightarrow}
\mbox{``}1/3
{<}2/3
\mbox{''}
]$ 

\item $
[(1/3)x+(1/3)x=(2/3)x
\stackrel{
\mathrm{tex}
}{\rightarrow}
\mbox{``}(1/3)x
{+}(1/3)x
{=}(2/3)x
\mbox{''}
]$ 

\item $
[(2/3)x+(1/3)x=x
\stackrel{
\mathrm{tex}
}{\rightarrow}
\mbox{``}(2/3)x
{+}(1/3)x
{=}x
\mbox{''}
]$

\item $
[-x+(2/3)x=-(1/3)x
\stackrel{
\mathrm{tex}
}{\rightarrow}
\mbox{``}
\mbox{-}x
{+}(2/3)x
{=}
\mbox{-}(1/3)x
\mbox{''}
]$

\item $
[PreserveLessGreater
\stackrel{
\mathrm{tex}
}{\rightarrow}
\mbox{``}PreserveLessGreater
\mbox{''}
]$ 

\item $
[-(1/3)x-(1/3)x=-(2/3)x
\stackrel{
\mathrm{tex}
}{\rightarrow}
\mbox{``}
\mbox{-}(1/3)x
\mbox{-}(1/3)x
{=}
\mbox{-}(2/3)x
\mbox{''}
]$ 

\item $
[-x+(1/3)x=-(2/3)x
\stackrel{
\mathrm{tex}
}{\rightarrow}
\mbox{``}
\mbox{-}x
{+}(1/3)x
{=}
\mbox{-}(2/3)x
\mbox{''}
]$ 


\end{list}

\end{document}

