Logiweb aspects of lemma 2cauchy in pyk

Up Help

The predefined "pyk" aspect

define pyk of lemma 2cauchy as text unicode start of text unicode small l unicode small e unicode small m unicode small m unicode small a unicode space unicode two unicode small c unicode small a unicode small u unicode small c unicode small h unicode small y unicode end of text end unicode text end text end define

The predefined "tex" aspect

define tex of lemma 2cauchy as text unicode start of text unicode capital c unicode small a unicode small u unicode small c unicode small h unicode small y unicode left parenthesis unicode two unicode right parenthesis unicode end of text end unicode text end text end define

The user defined "the statement aspect" aspect

define statement of lemma 2cauchy as system Q infer all metavar var v1 end metavar indeed all metavar var v2 end metavar indeed all metavar var n end metavar indeed all metavar var n1 end metavar indeed all metavar var n2 end metavar indeed all metavar var ep end metavar indeed all metavar var fx end metavar indeed all metavar var fy end metavar indeed for all objects metavar var ep end metavar indeed not0 for all objects metavar var n end metavar indeed not0 for all objects metavar var v1 end metavar indeed for all objects metavar var v2 end metavar indeed not0 0 <= metavar var ep end metavar imply not0 not0 0 = metavar var ep end metavar imply metavar var n end metavar <= metavar var v1 end metavar imply metavar var n end metavar <= metavar var v2 end metavar imply not0 not0 | [ metavar var fx end metavar ; metavar var v1 end metavar ] + - [ metavar var fx end metavar ; metavar var v2 end metavar ] | <= metavar var ep end metavar imply not0 not0 | [ metavar var fx end metavar ; metavar var v1 end metavar ] + - [ metavar var fx end metavar ; metavar var v2 end metavar ] | = metavar var ep end metavar imply not0 not0 | [ metavar var fy end metavar ; metavar var v1 end metavar ] + - [ metavar var fy end metavar ; metavar var v2 end metavar ] | <= metavar var ep end metavar imply not0 not0 | [ metavar var fy end metavar ; metavar var v1 end metavar ] + - [ metavar var fy end metavar ; metavar var v2 end metavar ] | = metavar var ep end metavar end define

The user defined "the proof aspect" aspect

define proof of lemma 2cauchy as lambda var c dot lambda var x dot proof expand quote system Q infer all metavar var v1 end metavar indeed all metavar var v2 end metavar indeed all metavar var n end metavar indeed all metavar var n1 end metavar indeed all metavar var n2 end metavar indeed all metavar var ep end metavar indeed all metavar var fx end metavar indeed all metavar var fy end metavar indeed axiom cauchy conclude for all objects metavar var ep end metavar indeed not0 for all objects metavar var n1 end metavar indeed not0 for all objects metavar var v1 end metavar indeed for all objects metavar var v2 end metavar indeed not0 0 <= metavar var ep end metavar imply not0 not0 0 = metavar var ep end metavar imply metavar var n1 end metavar <= metavar var v1 end metavar imply metavar var n1 end metavar <= metavar var v2 end metavar imply not0 | [ metavar var fx end metavar ; metavar var v1 end metavar ] + - [ metavar var fx end metavar ; metavar var v2 end metavar ] | <= metavar var ep end metavar imply not0 not0 | [ metavar var fx end metavar ; metavar var v1 end metavar ] + - [ metavar var fx end metavar ; metavar var v2 end metavar ] | = metavar var ep end metavar cut lemma a4 at metavar var ep end metavar modus ponens for all objects metavar var ep end metavar indeed not0 for all objects metavar var n1 end metavar indeed not0 for all objects metavar var v1 end metavar indeed for all objects metavar var v2 end metavar indeed not0 0 <= metavar var ep end metavar imply not0 not0 0 = metavar var ep end metavar imply metavar var n1 end metavar <= metavar var v1 end metavar imply metavar var n1 end metavar <= metavar var v2 end metavar imply not0 | [ metavar var fx end metavar ; metavar var v1 end metavar ] + - [ metavar var fx end metavar ; metavar var v2 end metavar ] | <= metavar var ep end metavar imply not0 not0 | [ metavar var fx end metavar ; metavar var v1 end metavar ] + - [ metavar var fx end metavar ; metavar var v2 end metavar ] | = metavar var ep end metavar conclude not0 for all objects metavar var n1 end metavar indeed not0 for all objects metavar var v1 end metavar indeed for all objects metavar var v2 end metavar indeed not0 0 <= metavar var ep end metavar imply not0 not0 0 = metavar var ep end metavar imply metavar var n1 end metavar <= metavar var v1 end metavar imply metavar var n1 end metavar <= metavar var v2 end metavar imply not0 | [ metavar var fx end metavar ; metavar var v1 end metavar ] + - [ metavar var fx end metavar ; metavar var v2 end metavar ] | <= metavar var ep end metavar imply not0 not0 | [ metavar var fx end metavar ; metavar var v1 end metavar ] + - [ metavar var fx end metavar ; metavar var v2 end metavar ] | = metavar var ep end metavar cut axiom cauchy conclude for all objects metavar var ep end metavar indeed not0 for all objects metavar var n2 end metavar indeed not0 for all objects metavar var v1 end metavar indeed for all objects metavar var v2 end metavar indeed not0 0 <= metavar var ep end metavar imply not0 not0 0 = metavar var ep end metavar imply metavar var n2 end metavar <= metavar var v1 end metavar imply metavar var n2 end metavar <= metavar var v2 end metavar imply not0 | [ metavar var fy end metavar ; metavar var v1 end metavar ] + - [ metavar var fy end metavar ; metavar var v2 end metavar ] | <= metavar var ep end metavar imply not0 not0 | [ metavar var fy end metavar ; metavar var v1 end metavar ] + - [ metavar var fy end metavar ; metavar var v2 end metavar ] | = metavar var ep end metavar cut lemma a4 at metavar var ep end metavar modus ponens for all objects metavar var ep end metavar indeed not0 for all objects metavar var n2 end metavar indeed not0 for all objects metavar var v1 end metavar indeed for all objects metavar var v2 end metavar indeed not0 0 <= metavar var ep end metavar imply not0 not0 0 = metavar var ep end metavar imply metavar var n2 end metavar <= metavar var v1 end metavar imply metavar var n2 end metavar <= metavar var v2 end metavar imply not0 | [ metavar var fy end metavar ; metavar var v1 end metavar ] + - [ metavar var fy end metavar ; metavar var v2 end metavar ] | <= metavar var ep end metavar imply not0 not0 | [ metavar var fy end metavar ; metavar var v1 end metavar ] + - [ metavar var fy end metavar ; metavar var v2 end metavar ] | = metavar var ep end metavar conclude not0 for all objects metavar var n2 end metavar indeed not0 for all objects metavar var v1 end metavar indeed for all objects metavar var v2 end metavar indeed not0 0 <= metavar var ep end metavar imply not0 not0 0 = metavar var ep end metavar imply metavar var n2 end metavar <= metavar var v1 end metavar imply metavar var n2 end metavar <= metavar var v2 end metavar imply not0 | [ metavar var fy end metavar ; metavar var v1 end metavar ] + - [ metavar var fy end metavar ; metavar var v2 end metavar ] | <= metavar var ep end metavar imply not0 not0 | [ metavar var fy end metavar ; metavar var v1 end metavar ] + - [ metavar var fy end metavar ; metavar var v2 end metavar ] | = metavar var ep end metavar cut lemma 2cauchy helper conclude for all objects metavar var v1 end metavar indeed for all objects metavar var v2 end metavar indeed not0 0 <= metavar var ep end metavar imply not0 not0 0 = metavar var ep end metavar imply metavar var n1 end metavar <= metavar var v1 end metavar imply metavar var n1 end metavar <= metavar var v2 end metavar imply not0 | [ metavar var fx end metavar ; metavar var v1 end metavar ] + - [ metavar var fx end metavar ; metavar var v2 end metavar ] | <= metavar var ep end metavar imply not0 not0 | [ metavar var fx end metavar ; metavar var v1 end metavar ] + - [ metavar var fx end metavar ; metavar var v2 end metavar ] | = metavar var ep end metavar imply for all objects metavar var v1 end metavar indeed for all objects metavar var v2 end metavar indeed not0 0 <= metavar var ep end metavar imply not0 not0 0 = metavar var ep end metavar imply metavar var n2 end metavar <= metavar var v1 end metavar imply metavar var n2 end metavar <= metavar var v2 end metavar imply not0 | [ metavar var fy end metavar ; metavar var v1 end metavar ] + - [ metavar var fy end metavar ; metavar var v2 end metavar ] | <= metavar var ep end metavar imply not0 not0 | [ metavar var fy end metavar ; metavar var v1 end metavar ] + - [ metavar var fy end metavar ; metavar var v2 end metavar ] | = metavar var ep end metavar imply not0 0 <= metavar var ep end metavar imply not0 not0 0 = metavar var ep end metavar imply if( metavar var n2 end metavar <= metavar var n1 end metavar , metavar var n1 end metavar , metavar var n2 end metavar ) <= metavar var v1 end metavar imply if( metavar var n2 end metavar <= metavar var n1 end metavar , metavar var n1 end metavar , metavar var n2 end metavar ) <= metavar var v2 end metavar imply not0 not0 | [ metavar var fx end metavar ; metavar var v1 end metavar ] + - [ metavar var fx end metavar ; metavar var v2 end metavar ] | <= metavar var ep end metavar imply not0 not0 | [ metavar var fx end metavar ; metavar var v1 end metavar ] + - [ metavar var fx end metavar ; metavar var v2 end metavar ] | = metavar var ep end metavar imply not0 not0 | [ metavar var fy end metavar ; metavar var v1 end metavar ] + - [ metavar var fy end metavar ; metavar var v2 end metavar ] | <= metavar var ep end metavar imply not0 not0 | [ metavar var fy end metavar ; metavar var v1 end metavar ] + - [ metavar var fy end metavar ; metavar var v2 end metavar ] | = metavar var ep end metavar cut pred lemma exist mp2 modus ponens for all objects metavar var v1 end metavar indeed for all objects metavar var v2 end metavar indeed not0 0 <= metavar var ep end metavar imply not0 not0 0 = metavar var ep end metavar imply metavar var n1 end metavar <= metavar var v1 end metavar imply metavar var n1 end metavar <= metavar var v2 end metavar imply not0 | [ metavar var fx end metavar ; metavar var v1 end metavar ] + - [ metavar var fx end metavar ; metavar var v2 end metavar ] | <= metavar var ep end metavar imply not0 not0 | [ metavar var fx end metavar ; metavar var v1 end metavar ] + - [ metavar var fx end metavar ; metavar var v2 end metavar ] | = metavar var ep end metavar imply for all objects metavar var v1 end metavar indeed for all objects metavar var v2 end metavar indeed not0 0 <= metavar var ep end metavar imply not0 not0 0 = metavar var ep end metavar imply metavar var n2 end metavar <= metavar var v1 end metavar imply metavar var n2 end metavar <= metavar var v2 end metavar imply not0 | [ metavar var fy end metavar ; metavar var v1 end metavar ] + - [ metavar var fy end metavar ; metavar var v2 end metavar ] | <= metavar var ep end metavar imply not0 not0 | [ metavar var fy end metavar ; metavar var v1 end metavar ] + - [ metavar var fy end metavar ; metavar var v2 end metavar ] | = metavar var ep end metavar imply not0 0 <= metavar var ep end metavar imply not0 not0 0 = metavar var ep end metavar imply if( metavar var n2 end metavar <= metavar var n1 end metavar , metavar var n1 end metavar , metavar var n2 end metavar ) <= metavar var v1 end metavar imply if( metavar var n2 end metavar <= metavar var n1 end metavar , metavar var n1 end metavar , metavar var n2 end metavar ) <= metavar var v2 end metavar imply not0 not0 | [ metavar var fx end metavar ; metavar var v1 end metavar ] + - [ metavar var fx end metavar ; metavar var v2 end metavar ] | <= metavar var ep end metavar imply not0 not0 | [ metavar var fx end metavar ; metavar var v1 end metavar ] + - [ metavar var fx end metavar ; metavar var v2 end metavar ] | = metavar var ep end metavar imply not0 not0 | [ metavar var fy end metavar ; metavar var v1 end metavar ] + - [ metavar var fy end metavar ; metavar var v2 end metavar ] | <= metavar var ep end metavar imply not0 not0 | [ metavar var fy end metavar ; metavar var v1 end metavar ] + - [ metavar var fy end metavar ; metavar var v2 end metavar ] | = metavar var ep end metavar modus ponens not0 for all objects metavar var n1 end metavar indeed not0 for all objects metavar var v1 end metavar indeed for all objects metavar var v2 end metavar indeed not0 0 <= metavar var ep end metavar imply not0 not0 0 = metavar var ep end metavar imply metavar var n1 end metavar <= metavar var v1 end metavar imply metavar var n1 end metavar <= metavar var v2 end metavar imply not0 | [ metavar var fx end metavar ; metavar var v1 end metavar ] + - [ metavar var fx end metavar ; metavar var v2 end metavar ] | <= metavar var ep end metavar imply not0 not0 | [ metavar var fx end metavar ; metavar var v1 end metavar ] + - [ metavar var fx end metavar ; metavar var v2 end metavar ] | = metavar var ep end metavar modus ponens not0 for all objects metavar var n2 end metavar indeed not0 for all objects metavar var v1 end metavar indeed for all objects metavar var v2 end metavar indeed not0 0 <= metavar var ep end metavar imply not0 not0 0 = metavar var ep end metavar imply metavar var n2 end metavar <= metavar var v1 end metavar imply metavar var n2 end metavar <= metavar var v2 end metavar imply not0 | [ metavar var fy end metavar ; metavar var v1 end metavar ] + - [ metavar var fy end metavar ; metavar var v2 end metavar ] | <= metavar var ep end metavar imply not0 not0 | [ metavar var fy end metavar ; metavar var v1 end metavar ] + - [ metavar var fy end metavar ; metavar var v2 end metavar ] | = metavar var ep end metavar conclude not0 0 <= metavar var ep end metavar imply not0 not0 0 = metavar var ep end metavar imply if( metavar var n2 end metavar <= metavar var n1 end metavar , metavar var n1 end metavar , metavar var n2 end metavar ) <= metavar var v1 end metavar imply if( metavar var n2 end metavar <= metavar var n1 end metavar , metavar var n1 end metavar , metavar var n2 end metavar ) <= metavar var v2 end metavar imply not0 not0 | [ metavar var fx end metavar ; metavar var v1 end metavar ] + - [ metavar var fx end metavar ; metavar var v2 end metavar ] | <= metavar var ep end metavar imply not0 not0 | [ metavar var fx end metavar ; metavar var v1 end metavar ] + - [ metavar var fx end metavar ; metavar var v2 end metavar ] | = metavar var ep end metavar imply not0 not0 | [ metavar var fy end metavar ; metavar var v1 end metavar ] + - [ metavar var fy end metavar ; metavar var v2 end metavar ] | <= metavar var ep end metavar imply not0 not0 | [ metavar var fy end metavar ; metavar var v1 end metavar ] + - [ metavar var fy end metavar ; metavar var v2 end metavar ] | = metavar var ep end metavar cut 1rule gen modus ponens not0 0 <= metavar var ep end metavar imply not0 not0 0 = metavar var ep end metavar imply if( metavar var n2 end metavar <= metavar var n1 end metavar , metavar var n1 end metavar , metavar var n2 end metavar ) <= metavar var v1 end metavar imply if( metavar var n2 end metavar <= metavar var n1 end metavar , metavar var n1 end metavar , metavar var n2 end metavar ) <= metavar var v2 end metavar imply not0 not0 | [ metavar var fx end metavar ; metavar var v1 end metavar ] + - [ metavar var fx end metavar ; metavar var v2 end metavar ] | <= metavar var ep end metavar imply not0 not0 | [ metavar var fx end metavar ; metavar var v1 end metavar ] + - [ metavar var fx end metavar ; metavar var v2 end metavar ] | = metavar var ep end metavar imply not0 not0 | [ metavar var fy end metavar ; metavar var v1 end metavar ] + - [ metavar var fy end metavar ; metavar var v2 end metavar ] | <= metavar var ep end metavar imply not0 not0 | [ metavar var fy end metavar ; metavar var v1 end metavar ] + - [ metavar var fy end metavar ; metavar var v2 end metavar ] | = metavar var ep end metavar conclude for all objects metavar var v2 end metavar indeed not0 0 <= metavar var ep end metavar imply not0 not0 0 = metavar var ep end metavar imply if( metavar var n2 end metavar <= metavar var n1 end metavar , metavar var n1 end metavar , metavar var n2 end metavar ) <= metavar var v1 end metavar imply if( metavar var n2 end metavar <= metavar var n1 end metavar , metavar var n1 end metavar , metavar var n2 end metavar ) <= metavar var v2 end metavar imply not0 not0 | [ metavar var fx end metavar ; metavar var v1 end metavar ] + - [ metavar var fx end metavar ; metavar var v2 end metavar ] | <= metavar var ep end metavar imply not0 not0 | [ metavar var fx end metavar ; metavar var v1 end metavar ] + - [ metavar var fx end metavar ; metavar var v2 end metavar ] | = metavar var ep end metavar imply not0 not0 | [ metavar var fy end metavar ; metavar var v1 end metavar ] + - [ metavar var fy end metavar ; metavar var v2 end metavar ] | <= metavar var ep end metavar imply not0 not0 | [ metavar var fy end metavar ; metavar var v1 end metavar ] + - [ metavar var fy end metavar ; metavar var v2 end metavar ] | = metavar var ep end metavar cut 1rule gen modus ponens for all objects metavar var v2 end metavar indeed not0 0 <= metavar var ep end metavar imply not0 not0 0 = metavar var ep end metavar imply if( metavar var n2 end metavar <= metavar var n1 end metavar , metavar var n1 end metavar , metavar var n2 end metavar ) <= metavar var v1 end metavar imply if( metavar var n2 end metavar <= metavar var n1 end metavar , metavar var n1 end metavar , metavar var n2 end metavar ) <= metavar var v2 end metavar imply not0 not0 | [ metavar var fx end metavar ; metavar var v1 end metavar ] + - [ metavar var fx end metavar ; metavar var v2 end metavar ] | <= metavar var ep end metavar imply not0 not0 | [ metavar var fx end metavar ; metavar var v1 end metavar ] + - [ metavar var fx end metavar ; metavar var v2 end metavar ] | = metavar var ep end metavar imply not0 not0 | [ metavar var fy end metavar ; metavar var v1 end metavar ] + - [ metavar var fy end metavar ; metavar var v2 end metavar ] | <= metavar var ep end metavar imply not0 not0 | [ metavar var fy end metavar ; metavar var v1 end metavar ] + - [ metavar var fy end metavar ; metavar var v2 end metavar ] | = metavar var ep end metavar conclude for all objects metavar var v1 end metavar indeed for all objects metavar var v2 end metavar indeed not0 0 <= metavar var ep end metavar imply not0 not0 0 = metavar var ep end metavar imply if( metavar var n2 end metavar <= metavar var n1 end metavar , metavar var n1 end metavar , metavar var n2 end metavar ) <= metavar var v1 end metavar imply if( metavar var n2 end metavar <= metavar var n1 end metavar , metavar var n1 end metavar , metavar var n2 end metavar ) <= metavar var v2 end metavar imply not0 not0 | [ metavar var fx end metavar ; metavar var v1 end metavar ] + - [ metavar var fx end metavar ; metavar var v2 end metavar ] | <= metavar var ep end metavar imply not0 not0 | [ metavar var fx end metavar ; metavar var v1 end metavar ] + - [ metavar var fx end metavar ; metavar var v2 end metavar ] | = metavar var ep end metavar imply not0 not0 | [ metavar var fy end metavar ; metavar var v1 end metavar ] + - [ metavar var fy end metavar ; metavar var v2 end metavar ] | <= metavar var ep end metavar imply not0 not0 | [ metavar var fy end metavar ; metavar var v1 end metavar ] + - [ metavar var fy end metavar ; metavar var v2 end metavar ] | = metavar var ep end metavar cut pred lemma intro exist at if( metavar var n2 end metavar <= metavar var n1 end metavar , metavar var n1 end metavar , metavar var n2 end metavar ) modus ponens for all objects metavar var v1 end metavar indeed for all objects metavar var v2 end metavar indeed not0 0 <= metavar var ep end metavar imply not0 not0 0 = metavar var ep end metavar imply if( metavar var n2 end metavar <= metavar var n1 end metavar , metavar var n1 end metavar , metavar var n2 end metavar ) <= metavar var v1 end metavar imply if( metavar var n2 end metavar <= metavar var n1 end metavar , metavar var n1 end metavar , metavar var n2 end metavar ) <= metavar var v2 end metavar imply not0 not0 | [ metavar var fx end metavar ; metavar var v1 end metavar ] + - [ metavar var fx end metavar ; metavar var v2 end metavar ] | <= metavar var ep end metavar imply not0 not0 | [ metavar var fx end metavar ; metavar var v1 end metavar ] + - [ metavar var fx end metavar ; metavar var v2 end metavar ] | = metavar var ep end metavar imply not0 not0 | [ metavar var fy end metavar ; metavar var v1 end metavar ] + - [ metavar var fy end metavar ; metavar var v2 end metavar ] | <= metavar var ep end metavar imply not0 not0 | [ metavar var fy end metavar ; metavar var v1 end metavar ] + - [ metavar var fy end metavar ; metavar var v2 end metavar ] | = metavar var ep end metavar conclude not0 for all objects metavar var n end metavar indeed not0 for all objects metavar var v1 end metavar indeed for all objects metavar var v2 end metavar indeed not0 0 <= metavar var ep end metavar imply not0 not0 0 = metavar var ep end metavar imply metavar var n end metavar <= metavar var v1 end metavar imply metavar var n end metavar <= metavar var v2 end metavar imply not0 not0 | [ metavar var fx end metavar ; metavar var v1 end metavar ] + - [ metavar var fx end metavar ; metavar var v2 end metavar ] | <= metavar var ep end metavar imply not0 not0 | [ metavar var fx end metavar ; metavar var v1 end metavar ] + - [ metavar var fx end metavar ; metavar var v2 end metavar ] | = metavar var ep end metavar imply not0 not0 | [ metavar var fy end metavar ; metavar var v1 end metavar ] + - [ metavar var fy end metavar ; metavar var v2 end metavar ] | <= metavar var ep end metavar imply not0 not0 | [ metavar var fy end metavar ; metavar var v1 end metavar ] + - [ metavar var fy end metavar ; metavar var v2 end metavar ] | = metavar var ep end metavar cut 1rule gen modus ponens not0 for all objects metavar var n end metavar indeed not0 for all objects metavar var v1 end metavar indeed for all objects metavar var v2 end metavar indeed not0 0 <= metavar var ep end metavar imply not0 not0 0 = metavar var ep end metavar imply metavar var n end metavar <= metavar var v1 end metavar imply metavar var n end metavar <= metavar var v2 end metavar imply not0 not0 | [ metavar var fx end metavar ; metavar var v1 end metavar ] + - [ metavar var fx end metavar ; metavar var v2 end metavar ] | <= metavar var ep end metavar imply not0 not0 | [ metavar var fx end metavar ; metavar var v1 end metavar ] + - [ metavar var fx end metavar ; metavar var v2 end metavar ] | = metavar var ep end metavar imply not0 not0 | [ metavar var fy end metavar ; metavar var v1 end metavar ] + - [ metavar var fy end metavar ; metavar var v2 end metavar ] | <= metavar var ep end metavar imply not0 not0 | [ metavar var fy end metavar ; metavar var v1 end metavar ] + - [ metavar var fy end metavar ; metavar var v2 end metavar ] | = metavar var ep end metavar conclude for all objects metavar var ep end metavar indeed not0 for all objects metavar var n end metavar indeed not0 for all objects metavar var v1 end metavar indeed for all objects metavar var v2 end metavar indeed not0 0 <= metavar var ep end metavar imply not0 not0 0 = metavar var ep end metavar imply metavar var n end metavar <= metavar var v1 end metavar imply metavar var n end metavar <= metavar var v2 end metavar imply not0 not0 | [ metavar var fx end metavar ; metavar var v1 end metavar ] + - [ metavar var fx end metavar ; metavar var v2 end metavar ] | <= metavar var ep end metavar imply not0 not0 | [ metavar var fx end metavar ; metavar var v1 end metavar ] + - [ metavar var fx end metavar ; metavar var v2 end metavar ] | = metavar var ep end metavar imply not0 not0 | [ metavar var fy end metavar ; metavar var v1 end metavar ] + - [ metavar var fy end metavar ; metavar var v2 end metavar ] | <= metavar var ep end metavar imply not0 not0 | [ metavar var fy end metavar ; metavar var v1 end metavar ] + - [ metavar var fy end metavar ; metavar var v2 end metavar ] | = metavar var ep end metavar end quote state proof state cache var c end expand end define