\documentclass [fleqn]{article}

\setlength {\overfullrule }{1mm}

\usepackage{latexsym}

\setlength{\parindent}{0em}

\setlength{\parskip}{1ex}

\usepackage{graphicx}

\usepackage[dvipdfm=true]{hyperref}

\hypersetup{pdfpagemode=none}

\hypersetup{pdfstartpage=1}

\hypersetup{pdfstartview=FitBH}

\hypersetup{pdfpagescrop={120 130 490 730}}

\hypersetup{pdftitle=Logiweb codex of equivalence-relations}

\hypersetup{colorlinks=true}

\everymath{\rm}

\begin {document}\raggedright

\makebox [0mm][l]{\makebox [\linewidth ][r]{\includegraphics [0mm,18.5mm][16.5mm,19mm]{/home/disk07/grue/logiweb/20060417/html/logiweb/doc/logiweb.eps}}}%
{\bf {\Large Logiweb codex of $\rm EquivalenceRelations$}}

\vspace {12.5mm}

\href {../index.html}{Up}
\href {http://www.diku.dk/~grue/logiweb/20060417/logiweb/doc/browser/codex/index.html}{Help}


\begin {flushleft}\hyperlink {url:1808490373737845726312426323955533139748491690065847855319167193584235521:22}{$\rm 
\mathsf{x}$},
\hyperlink {url:1808490560655876194608813785663292462486349118665588524157069396079556865:0}{$\rm EquivalenceRelations$},
\hyperlink {url:1808490560655876194608813785663292462486349118665588524157069396079556865:1}{$\rm (\cdots{})$},
\hyperlink {url:1808490560655876194608813785663292462486349118665588524157069396079556865:2}{$\rm \texttt{Objekt-var}$},
\hyperlink {url:1808490560655876194608813785663292462486349118665588524157069396079556865:3}{$\rm \texttt{Ex-var}$},
\hyperlink {url:1808490560655876194608813785663292462486349118665588524157069396079556865:4}{$\rm \texttt{Ph-var}$},
\hyperlink {url:1808490560655876194608813785663292462486349118665588524157069396079556865:5}{$\rm \texttt{V\ae{}rdi}$},
\hyperlink {url:1808490560655876194608813785663292462486349118665588524157069396079556865:6}{$\rm \texttt{Variabel}$},
\hyperlink {url:1808490560655876194608813785663292462486349118665588524157069396079556865:7}{$\rm Op(\ast
)$},
\hyperlink {url:1808490560655876194608813785663292462486349118665588524157069396079556865:8}{$\rm Op(\ast
,\ast
)$},
\hyperlink {url:1808490560655876194608813785663292462486349118665588524157069396079556865:9}{$\rm \ast
 \mathrel {\ddot {=}} \ast$},
\hyperlink {url:1808490560655876194608813785663292462486349118665588524157069396079556865:10}{$\rm ContainsEmpty(\ast
)$},
\hyperlink {url:1808490560655876194608813785663292462486349118665588524157069396079556865:11}{$\rm 
Dedu(\ast
,\ast
)$},
\hyperlink {url:1808490560655876194608813785663292462486349118665588524157069396079556865:12}{$\rm 
Dedu_0(\ast
,\ast
)$},
\hyperlink {url:1808490560655876194608813785663292462486349118665588524157069396079556865:13}{$\rm Dedu_{s}(\ast
,\ast
,\ast
)$},
\hyperlink {url:1808490560655876194608813785663292462486349118665588524157069396079556865:14}{$\rm 
Dedu_1(\ast
,\ast
,\ast
)$},
\hyperlink {url:1808490560655876194608813785663292462486349118665588524157069396079556865:15}{$\rm 
Dedu_2(\ast
,\ast
,\ast
)$},
\hyperlink {url:1808490560655876194608813785663292462486349118665588524157069396079556865:16}{$\rm 
Dedu_3(\ast
,\ast
,\ast
,\ast
)$},
\hyperlink {url:1808490560655876194608813785663292462486349118665588524157069396079556865:17}{$\rm 
Dedu_4(\ast
,\ast
,\ast
,\ast
)$},
\hyperlink {url:1808490560655876194608813785663292462486349118665588524157069396079556865:18}{$\rm 
Dedu_4^*(\ast
,\ast
,\ast
,\ast
)$},
\hyperlink {url:1808490560655876194608813785663292462486349118665588524157069396079556865:19}{$\rm 
Dedu_5(\ast
,\ast
,\ast
)$},
\hyperlink {url:1808490560655876194608813785663292462486349118665588524157069396079556865:20}{$\rm 
Dedu_6(\ast
,\ast
,\ast
,\ast
)$},
\hyperlink {url:1808490560655876194608813785663292462486349118665588524157069396079556865:21}{$\rm 
Dedu_6^*(\ast
,\ast
,\ast
,\ast
)$},
\hyperlink {url:1808490560655876194608813785663292462486349118665588524157069396079556865:22}{$\rm 
Dedu_7(\ast
)$},
\hyperlink {url:1808490560655876194608813785663292462486349118665588524157069396079556865:23}{$\rm 
Dedu_8(\ast
,\ast
)$},
\hyperlink {url:1808490560655876194608813785663292462486349118665588524157069396079556865:24}{$\rm 
Dedu_8^*(\ast
,\ast
)$},
\hyperlink {url:1808490560655876194608813785663292462486349118665588524157069396079556865:25}{$\rm Ex_{1}$},
\hyperlink {url:1808490560655876194608813785663292462486349118665588524157069396079556865:26}{$\rm Ex_{2}$},
\hyperlink {url:1808490560655876194608813785663292462486349118665588524157069396079556865:27}{$\rm Ex_{10}$},
\hyperlink {url:1808490560655876194608813785663292462486349118665588524157069396079556865:28}{$\rm Ex_{20}$},
\hyperlink {url:1808490560655876194608813785663292462486349118665588524157069396079556865:29}{$\rm \ast
 _{Ex}$},
\hyperlink {url:1808490560655876194608813785663292462486349118665588524157069396079556865:30}{$\rm \ast
 ^{Ex}$},
\hyperlink {url:1808490560655876194608813785663292462486349118665588524157069396079556865:31}{$\rm \langle \ast
{\equiv} \ast
| \ast
{:=} \ast
\rangle_{Ex} $},
\hyperlink {url:1808490560655876194608813785663292462486349118665588524157069396079556865:32}{$\rm \langle \ast
{\equiv}^0 \ast
| \ast
{:=} \ast
\rangle_{Ex} $},
\hyperlink {url:1808490560655876194608813785663292462486349118665588524157069396079556865:33}{$\rm \langle \ast
{\equiv}^1 \ast
| \ast
{:=} \ast
\rangle_{Ex} $},
\hyperlink {url:1808490560655876194608813785663292462486349118665588524157069396079556865:34}{$\rm \langle \ast
{\equiv}^* \ast
| \ast
{:=} \ast
\rangle_{Ex} $},
\hyperlink {url:1808490560655876194608813785663292462486349118665588524157069396079556865:35}{$\rm ph_{1}$},
\hyperlink {url:1808490560655876194608813785663292462486349118665588524157069396079556865:36}{$\rm ph_{2}$},
\hyperlink {url:1808490560655876194608813785663292462486349118665588524157069396079556865:37}{$\rm ph_{3}$},
\hyperlink {url:1808490560655876194608813785663292462486349118665588524157069396079556865:38}{$\rm \ast
 _{Ph} $},
\hyperlink {url:1808490560655876194608813785663292462486349118665588524157069396079556865:39}{$\rm \ast
 ^{Ph}$},
\hyperlink {url:1808490560655876194608813785663292462486349118665588524157069396079556865:40}{$\rm \langle \ast
{\equiv} \ast
| \ast
{:=} \ast
\rangle_{Ph} $},
\hyperlink {url:1808490560655876194608813785663292462486349118665588524157069396079556865:41}{$\rm \langle \ast
{\equiv}^0 \ast
| \ast
{:=} \ast
\rangle_{Ph} $},
\hyperlink {url:1808490560655876194608813785663292462486349118665588524157069396079556865:42}{$\rm \langle \ast
{\equiv}^1 \ast
| \ast
{:=} \ast
\rangle_{Ph} $},
\hyperlink {url:1808490560655876194608813785663292462486349118665588524157069396079556865:43}{$\rm \langle \ast
{\equiv}^* \ast
| \ast
{:=} \ast
\rangle_{Ph} $},
\hyperlink {url:1808490560655876194608813785663292462486349118665588524157069396079556865:44}{$\rm \mathsf {bs}$},
\hyperlink {url:1808490560655876194608813785663292462486349118665588524157069396079556865:45}{$\rm  \mathsf {OBS}$},
\hyperlink {url:1808490560655876194608813785663292462486349118665588524157069396079556865:46}{$\rm {\cal BS}$},
\hyperlink {url:1808490560655876194608813785663292462486349118665588524157069396079556865:47}{$\rm \mathrm{\O}$},
\hyperlink {url:1808490560655876194608813785663292462486349118665588524157069396079556865:48}{$\rm ZFsub$},
\hyperlink {url:1808490560655876194608813785663292462486349118665588524157069396079556865:49}{$\rm MP$},
\hyperlink {url:1808490560655876194608813785663292462486349118665588524157069396079556865:50}{$\rm Gen$},
\hyperlink {url:1808490560655876194608813785663292462486349118665588524157069396079556865:51}{$\rm Repetition$},
\hyperlink {url:1808490560655876194608813785663292462486349118665588524157069396079556865:52}{$\rm Neg$},
\hyperlink {url:1808490560655876194608813785663292462486349118665588524157069396079556865:53}{$\rm Ded$},
\hyperlink {url:1808490560655876194608813785663292462486349118665588524157069396079556865:54}{$\rm ExistIntro$},
\hyperlink {url:1808490560655876194608813785663292462486349118665588524157069396079556865:55}{$\rm Extensionality$},
\hyperlink {url:1808490560655876194608813785663292462486349118665588524157069396079556865:56}{$\rm \O{}def$},
\hyperlink {url:1808490560655876194608813785663292462486349118665588524157069396079556865:57}{$\rm PairDef$},
\hyperlink {url:1808490560655876194608813785663292462486349118665588524157069396079556865:58}{$\rm UnionDef$},
\hyperlink {url:1808490560655876194608813785663292462486349118665588524157069396079556865:59}{$\rm PowerDef$},
\hyperlink {url:1808490560655876194608813785663292462486349118665588524157069396079556865:60}{$\rm SeparationDef$},
\hyperlink {url:1808490560655876194608813785663292462486349118665588524157069396079556865:61}{$\rm CheatAllDisjoint$},
\hyperlink {url:1808490560655876194608813785663292462486349118665588524157069396079556865:62}{$\rm AddDoubleNeg$},
\hyperlink {url:1808490560655876194608813785663292462486349118665588524157069396079556865:63}{$\rm RemoveDoubleNeg$},
\hyperlink {url:1808490560655876194608813785663292462486349118665588524157069396079556865:64}{$\rm AndCommutativity$},
\hyperlink {url:1808490560655876194608813785663292462486349118665588524157069396079556865:65}{$\rm AutoImply$},
\hyperlink {url:1808490560655876194608813785663292462486349118665588524157069396079556865:66}{$\rm Contrapositive$},
\hyperlink {url:1808490560655876194608813785663292462486349118665588524157069396079556865:67}{$\rm FirstConjunct$},
\hyperlink {url:1808490560655876194608813785663292462486349118665588524157069396079556865:68}{$\rm SecondConjunct$},
\hyperlink {url:1808490560655876194608813785663292462486349118665588524157069396079556865:69}{$\rm FromContradiction$},
\hyperlink {url:1808490560655876194608813785663292462486349118665588524157069396079556865:70}{$\rm FromDisjuncts$},
\hyperlink {url:1808490560655876194608813785663292462486349118665588524157069396079556865:71}{$\rm IffCommutativity$},
\hyperlink {url:1808490560655876194608813785663292462486349118665588524157069396079556865:72}{$\rm IffFirst$},
\hyperlink {url:1808490560655876194608813785663292462486349118665588524157069396079556865:73}{$\rm IffSecond$},
\hyperlink {url:1808490560655876194608813785663292462486349118665588524157069396079556865:74}{$\rm ImplyTransitivity$},
\hyperlink {url:1808490560655876194608813785663292462486349118665588524157069396079556865:75}{$\rm JoinConjuncts$},
\hyperlink {url:1808490560655876194608813785663292462486349118665588524157069396079556865:76}{$\rm MP2$},
\hyperlink {url:1808490560655876194608813785663292462486349118665588524157069396079556865:77}{$\rm MP3$},
\hyperlink {url:1808490560655876194608813785663292462486349118665588524157069396079556865:78}{$\rm MP4$},
\hyperlink {url:1808490560655876194608813785663292462486349118665588524157069396079556865:79}{$\rm MP5$},
\hyperlink {url:1808490560655876194608813785663292462486349118665588524157069396079556865:80}{$\rm MT$},
\hyperlink {url:1808490560655876194608813785663292462486349118665588524157069396079556865:81}{$\rm NegativeMT$},
\hyperlink {url:1808490560655876194608813785663292462486349118665588524157069396079556865:82}{$\rm Technicality$},
\hyperlink {url:1808490560655876194608813785663292462486349118665588524157069396079556865:83}{$\rm Weakening$},
\hyperlink {url:1808490560655876194608813785663292462486349118665588524157069396079556865:84}{$\rm WeakenOr1$},
\hyperlink {url:1808490560655876194608813785663292462486349118665588524157069396079556865:85}{$\rm WeakenOr2$},
\hyperlink {url:1808490560655876194608813785663292462486349118665588524157069396079556865:86}{$\rm Formula2Pair$},
\hyperlink {url:1808490560655876194608813785663292462486349118665588524157069396079556865:87}{$\rm Pair2Formula$},
\hyperlink {url:1808490560655876194608813785663292462486349118665588524157069396079556865:88}{$\rm Formula2Union$},
\hyperlink {url:1808490560655876194608813785663292462486349118665588524157069396079556865:89}{$\rm Union2Formula$},
\hyperlink {url:1808490560655876194608813785663292462486349118665588524157069396079556865:90}{$\rm Formula2Sep$},
\hyperlink {url:1808490560655876194608813785663292462486349118665588524157069396079556865:91}{$\rm Sep2Formula$},
\hyperlink {url:1808490560655876194608813785663292462486349118665588524157069396079556865:92}{$\rm SubsetInPower$},
\hyperlink {url:1808490560655876194608813785663292462486349118665588524157069396079556865:93}{$\rm HelperPowerIsSub$},
\hyperlink {url:1808490560655876194608813785663292462486349118665588524157069396079556865:94}{$\rm PowerIsSub$},
\hyperlink {url:1808490560655876194608813785663292462486349118665588524157069396079556865:95}{$\rm (Switch)HelperPowerIsSub$},
\hyperlink {url:1808490560655876194608813785663292462486349118665588524157069396079556865:96}{$\rm (Switch)PowerIsSub$},
\hyperlink {url:1808490560655876194608813785663292462486349118665588524157069396079556865:97}{$\rm ToSetEquality$},
\hyperlink {url:1808490560655876194608813785663292462486349118665588524157069396079556865:98}{$\rm HelperToSetEquality(t)$},
\hyperlink {url:1808490560655876194608813785663292462486349118665588524157069396079556865:99}{$\rm ToSetEquality(t)$},
\hyperlink {url:1808490560655876194608813785663292462486349118665588524157069396079556865:100}{$\rm HelperFromSetEquality$},
\hyperlink {url:1808490560655876194608813785663292462486349118665588524157069396079556865:101}{$\rm FromSetEquality$},
\hyperlink {url:1808490560655876194608813785663292462486349118665588524157069396079556865:102}{$\rm HelperReflexivity$},
\hyperlink {url:1808490560655876194608813785663292462486349118665588524157069396079556865:103}{$\rm Reflexivity$},
\hyperlink {url:1808490560655876194608813785663292462486349118665588524157069396079556865:104}{$\rm HelperSymmetry$},
\hyperlink {url:1808490560655876194608813785663292462486349118665588524157069396079556865:105}{$\rm Symmetry$},
\hyperlink {url:1808490560655876194608813785663292462486349118665588524157069396079556865:106}{$\rm HelperTransitivity$},
\hyperlink {url:1808490560655876194608813785663292462486349118665588524157069396079556865:107}{$\rm Transitivity$},
\hyperlink {url:1808490560655876194608813785663292462486349118665588524157069396079556865:108}{$\rm ERisReflexive$},
\hyperlink {url:1808490560655876194608813785663292462486349118665588524157069396079556865:109}{$\rm ERisSymmetric$},
\hyperlink {url:1808490560655876194608813785663292462486349118665588524157069396079556865:110}{$\rm ERisTransitive$},
\hyperlink {url:1808490560655876194608813785663292462486349118665588524157069396079556865:111}{$\rm \O{}isSubset$},
\hyperlink {url:1808490560655876194608813785663292462486349118665588524157069396079556865:112}{$\rm HelperMemberNot\O{}$},
\hyperlink {url:1808490560655876194608813785663292462486349118665588524157069396079556865:113}{$\rm MemberNot\O{}$},
\hyperlink {url:1808490560655876194608813785663292462486349118665588524157069396079556865:114}{$\rm HelperUnique\O{}$},
\hyperlink {url:1808490560655876194608813785663292462486349118665588524157069396079556865:115}{$\rm Unique\O{}$},
\hyperlink {url:1808490560655876194608813785663292462486349118665588524157069396079556865:116}{$\rm =\!{}Reflexivity$},
\hyperlink {url:1808490560655876194608813785663292462486349118665588524157069396079556865:117}{$\rm =\!{}Symmetry$},
\hyperlink {url:1808490560655876194608813785663292462486349118665588524157069396079556865:118}{$\rm Helper\!{}=\!{}Transitivity$},
\hyperlink {url:1808490560655876194608813785663292462486349118665588524157069396079556865:119}{$\rm \!{}=\!{}Transitivity$},
\hyperlink {url:1808490560655876194608813785663292462486349118665588524157069396079556865:120}{$\rm HelperTransferNotEq$},
\hyperlink {url:1808490560655876194608813785663292462486349118665588524157069396079556865:121}{$\rm TransferNotEq$},
\hyperlink {url:1808490560655876194608813785663292462486349118665588524157069396079556865:122}{$\rm HelperPairSubset$},
\hyperlink {url:1808490560655876194608813785663292462486349118665588524157069396079556865:123}{$\rm Helper(2)PairSubset$},
\hyperlink {url:1808490560655876194608813785663292462486349118665588524157069396079556865:124}{$\rm PairSubset$},
\hyperlink {url:1808490560655876194608813785663292462486349118665588524157069396079556865:125}{$\rm SamePair$},
\hyperlink {url:1808490560655876194608813785663292462486349118665588524157069396079556865:126}{$\rm SameSingleton$},
\hyperlink {url:1808490560655876194608813785663292462486349118665588524157069396079556865:127}{$\rm UnionSubset$},
\hyperlink {url:1808490560655876194608813785663292462486349118665588524157069396079556865:128}{$\rm SameUnion$},
\hyperlink {url:1808490560655876194608813785663292462486349118665588524157069396079556865:129}{$\rm SeparationSubset$},
\hyperlink {url:1808490560655876194608813785663292462486349118665588524157069396079556865:130}{$\rm SameSeparation$},
\hyperlink {url:1808490560655876194608813785663292462486349118665588524157069396079556865:131}{$\rm SameBinaryUnion$},
\hyperlink {url:1808490560655876194608813785663292462486349118665588524157069396079556865:132}{$\rm IntersectionSubset$},
\hyperlink {url:1808490560655876194608813785663292462486349118665588524157069396079556865:133}{$\rm SameIntersection$},
\hyperlink {url:1808490560655876194608813785663292462486349118665588524157069396079556865:134}{$\rm AutoMember$},
\hyperlink {url:1808490560655876194608813785663292462486349118665588524157069396079556865:135}{$\rm HelperEqSysNot\O{}$},
\hyperlink {url:1808490560655876194608813785663292462486349118665588524157069396079556865:136}{$\rm EqSysNot\O{}$},
\hyperlink {url:1808490560655876194608813785663292462486349118665588524157069396079556865:137}{$\rm HelperEqSubset$},
\hyperlink {url:1808490560655876194608813785663292462486349118665588524157069396079556865:138}{$\rm EqSubset$},
\hyperlink {url:1808490560655876194608813785663292462486349118665588524157069396079556865:139}{$\rm HelperEqNecessary$},
\hyperlink {url:1808490560655876194608813785663292462486349118665588524157069396079556865:140}{$\rm EqNecessary$},
\hyperlink {url:1808490560655876194608813785663292462486349118665588524157069396079556865:141}{$\rm HelperNoneEqNecessary$},
\hyperlink {url:1808490560655876194608813785663292462486349118665588524157069396079556865:142}{$\rm Helper(2)NoneEqNecessary$},
\hyperlink {url:1808490560655876194608813785663292462486349118665588524157069396079556865:143}{$\rm NoneEqNecessary$},
\hyperlink {url:1808490560655876194608813785663292462486349118665588524157069396079556865:144}{$\rm EqClassIsSubset$},
\hyperlink {url:1808490560655876194608813785663292462486349118665588524157069396079556865:145}{$\rm EqClassesAreDisjoint$},
\hyperlink {url:1808490560655876194608813785663292462486349118665588524157069396079556865:146}{$\rm AllDisjoint$},
\hyperlink {url:1808490560655876194608813785663292462486349118665588524157069396079556865:147}{$\rm AllDisjointImply$},
\hyperlink {url:1808490560655876194608813785663292462486349118665588524157069396079556865:148}{$\rm BSsubset$},
\hyperlink {url:1808490560655876194608813785663292462486349118665588524157069396079556865:149}{$\rm Union(BS/R)subset$},
\hyperlink {url:1808490560655876194608813785663292462486349118665588524157069396079556865:150}{$\rm UnionIdentity$},
\hyperlink {url:1808490560655876194608813785663292462486349118665588524157069396079556865:151}{$\rm EqSysIsPartition$},
\hyperlink {url:1808490560655876194608813785663292462486349118665588524157069396079556865:152}{$\rm \ast
 / \ast$},
\hyperlink {url:1808490560655876194608813785663292462486349118665588524157069396079556865:153}{$\rm \ast
 \cap \ast$},
\hyperlink {url:1808490560655876194608813785663292462486349118665588524157069396079556865:154}{$\rm \cup \ast$},
\hyperlink {url:1808490560655876194608813785663292462486349118665588524157069396079556865:155}{$\rm \ast
 \mathrel{\cup} \ast$},
\hyperlink {url:1808490560655876194608813785663292462486349118665588524157069396079556865:156}{$\rm P(\ast
)$},
\hyperlink {url:1808490560655876194608813785663292462486349118665588524157069396079556865:157}{$\rm \{\ast
\}$},
\hyperlink {url:1808490560655876194608813785663292462486349118665588524157069396079556865:158}{$\rm \{\ast
,\ast
\}$},
\hyperlink {url:1808490560655876194608813785663292462486349118665588524157069396079556865:159}{$\rm \langle \ast
,\ast
\rangle$},
\hyperlink {url:1808490560655876194608813785663292462486349118665588524157069396079556865:160}{$\rm \ast
 \mathrel{\in} \ast$},
\hyperlink {url:1808490560655876194608813785663292462486349118665588524157069396079556865:161}{$\rm \ast
(\ast
,\ast
)$},
\hyperlink {url:1808490560655876194608813785663292462486349118665588524157069396079556865:162}{$\rm ReflRel(\ast
,\ast
)$},
\hyperlink {url:1808490560655876194608813785663292462486349118665588524157069396079556865:163}{$\rm SymRel(\ast
,\ast
)$},
\hyperlink {url:1808490560655876194608813785663292462486349118665588524157069396079556865:164}{$\rm TransRel(\ast
,\ast
)$},
\hyperlink {url:1808490560655876194608813785663292462486349118665588524157069396079556865:165}{$\rm EqRel(\ast
,\ast
)$},
\hyperlink {url:1808490560655876194608813785663292462486349118665588524157069396079556865:166}{$\rm [\ast
 \mathrel{\in} \ast
]_{\ast
}$},
\hyperlink {url:1808490560655876194608813785663292462486349118665588524157069396079556865:167}{$\rm Partition(\ast
,\ast
)$},
\hyperlink {url:1808490560655876194608813785663292462486349118665588524157069396079556865:168}{$\rm \ast
\!\mathrel{=}\! \ast$},
\hyperlink {url:1808490560655876194608813785663292462486349118665588524157069396079556865:169}{$\rm \ast
 \mathrel{\subseteq} \ast$},
\hyperlink {url:1808490560655876194608813785663292462486349118665588524157069396079556865:170}{$\rm \dot{\neg}\, \ast$},
\hyperlink {url:1808490560655876194608813785663292462486349118665588524157069396079556865:171}{$\rm \ast
 \mathrel{\notin} \ast$},
\hyperlink {url:1808490560655876194608813785663292462486349118665588524157069396079556865:172}{$\rm \ast
 \mathrel{\neq} \ast$},
\hyperlink {url:1808490560655876194608813785663292462486349118665588524157069396079556865:173}{$\rm \ast
\mathrel{\dot{\wedge}} \ast$},
\hyperlink {url:1808490560655876194608813785663292462486349118665588524157069396079556865:174}{$\rm \ast
 \mathrel{\dot{\vee}} \ast$},
\hyperlink {url:1808490560655876194608813785663292462486349118665588524157069396079556865:175}{$\rm \ast
\mathrel{\dot{\Leftrightarrow}} \ast$},
\hyperlink {url:1808490560655876194608813785663292462486349118665588524157069396079556865:176}{$\rm  \{ ph \mathrel{\in} \ast
\mid \ast
\}$},
\end {flushleft}

\hypertarget {url:1808490373737845726312426323955533139748491690065847855319167193584235521:22}{}\section* {$\rm 
\mathsf{x}$}

$\rm
[
\mathsf{x}
\stackrel{
\mathrm {macro}
}{\rightarrow}
\lambda 
\mathsf {t}
.
\lambda 
\mathsf {s}
.
\lambda 
\mathsf {c}
.
\tilde {{\cal M}}_4(
\mathsf {t}
,
\mathsf {s}
,
\mathsf {c}
,
\lceil 
[
\mathsf{x}
\mathrel {\ddot {=}}
\mathsf{y}
]
\rceil 
)
]$

$\rm
[
\mathsf{x}
\stackrel{
\mathrm {val}
}{\rightarrow}
\mathsf{y}
]$

\hypertarget {url:1808490560655876194608813785663292462486349118665588524157069396079556865:0}{}\section* {$\rm EquivalenceRelations$}

$\rm
[EquivalenceRelations
\stackrel{
\mathrm{prio}
}{\rightarrow}
\newline \mathbf {Preassociative} \newline 
[EquivalenceRelations
] , \linebreak [0] 
[
\mbox{base}
] , \linebreak [0] 
[
\mbox{bracket $
\ast $ end bracket}
] , \linebreak [0] 
[
\mbox{big bracket $
\ast $ end bracket}
] , \linebreak [0] 
[
\ \$
\ast \$\linebreak[0]\ 
] , \linebreak [0] 
[
\mathbf{flush\ left\ }[ 
\ast 
]
] , \linebreak [0] 
[
\mathsf{x}
] , \linebreak [0] 
[
\mathsf{y}
] , \linebreak [0] 
[
\mathsf{z}
] , \linebreak [0] 
[
[
\ast 
\bowtie
\ast 
]
] , \linebreak [0] 
[
[
\ast 
\stackrel{
\ast 
}{\rightarrow}
\ast 
]
] , \linebreak [0] 
[
\mathrm{pyk}
] , \linebreak [0] 
[
\mathrm{tex}
] , \linebreak [0] 
[
\mathrm{name}
] , \linebreak [0] 
[
\mathrm{prio}
] , \linebreak [0] 
[
\ast 
] , \linebreak [0] 
[
\mathsf {T}
] , \linebreak [0] 
[
\mathrm {if}(
\ast 
,\linebreak [0]
\ast 
,\linebreak [0]
\ast 
)
] , \linebreak [0] 
[
[
\ast 
\stackrel {
\ast 
}{\Rightarrow }
\ast 
]
] , \linebreak [0] 
[
\mathrm {val}
] , \linebreak [0] 
[
\mathrm {claim}
] , \linebreak [0] 
[
\bot 
] , \linebreak [0] 
[
f(
\ast 
)
] , \linebreak [0] 
[
(
\ast 
){}^{I} 
] , \linebreak [0] 
[
\mathsf {F}
] , \linebreak [0] 
[
\underline {0}
] , \linebreak [0] 
[
\underline {1}
] , \linebreak [0] 
[
\underline {2}
] , \linebreak [0] 
[
\underline {3}
] , \linebreak [0] 
[
\underline {4}
] , \linebreak [0] 
[
\underline {5}
] , \linebreak [0] 
[
\underline {6}
] , \linebreak [0] 
[
\underline {7}
] , \linebreak [0] 
[
\underline {8}
] , \linebreak [0] 
[
\underline {9}
] , \linebreak [0] 
[
0
] , \linebreak [0] 
[
1
] , \linebreak [0] 
[
2
] , \linebreak [0] 
[
3
] , \linebreak [0] 
[
4
] , \linebreak [0] 
[
5
] , \linebreak [0] 
[
6
] , \linebreak [0] 
[
7
] , \linebreak [0] 
[
8
] , \linebreak [0] 
[
9
] , \linebreak [0] 
[
\mathsf {a}
] , \linebreak [0] 
[
\mathsf {b}
] , \linebreak [0] 
[
\mathsf {c}
] , \linebreak [0] 
[
\mathsf {d}
] , \linebreak [0] 
[
\mathsf {e}
] , \linebreak [0] 
[
\mathsf {f}
] , \linebreak [0] 
[
\mathsf {g}
] , \linebreak [0] 
[
\mathsf {h}
] , \linebreak [0] 
[
\mathsf {i}
] , \linebreak [0] 
[
\mathsf {j}
] , \linebreak [0] 
[
\mathsf {k}
] , \linebreak [0] 
[
\mathsf {l}
] , \linebreak [0] 
[
\mathsf {m}
] , \linebreak [0] 
[
\mathsf {n}
] , \linebreak [0] 
[
\mathsf {o}
] , \linebreak [0] 
[
\mathsf {p}
] , \linebreak [0] 
[
\mathsf {q}
] , \linebreak [0] 
[
\mathsf {r}
] , \linebreak [0] 
[
\mathsf {s}
] , \linebreak [0] 
[
\mathsf {t}
] , \linebreak [0] 
[
\mathsf {u}
] , \linebreak [0] 
[
\mathsf {v}
] , \linebreak [0] 
[
\mathsf {w}
] , \linebreak [0] 
[
(
\ast 
)^M
] , \linebreak [0] 
[
\mathrm {If}(
\ast 
,\linebreak [0]
\ast 
,\linebreak [0]
\ast 
)
] , \linebreak [0] 
[\mathrm {array}\{
\ast 
\}
\ast 
\mathrm {end\ array}
] , \linebreak [0] 
[
l
] , \linebreak [0] 
[
c
] , \linebreak [0] 
[
r
] , \linebreak [0] 
[
\mathrm {empty}
] , \linebreak [0] 
[
\langle 
\ast 
\,{|}
\ast 
{:=}\,
\ast 
\rangle 
] , \linebreak [0] 
[
{\cal M}(
\ast 
)
] , \linebreak [0] 
[
\tilde {{\cal U}}(
\ast 
)
] , \linebreak [0] 
[
{\cal U}(
\ast 
)
] , \linebreak [0] 
[
{\cal U}^M(
\ast 
)
] , \linebreak [0] 
[
\mathbf {apply}(
\ast 
,
\ast 
)
] , \linebreak [0] 
[
\mathbf {apply}_1(
\ast 
,
\ast 
)
] , \linebreak [0] 
[
identifier( 
\ast 
)
] , \linebreak [0] 
[
identifier_{1}( 
\ast 
, 
\ast 
)
] , \linebreak [0] 
[
array\mbox{-}\linebreak[0]plus( 
\ast 
, 
\ast 
)
] , \linebreak [0] 
[
array\mbox{-}\linebreak[0]remove( 
\ast 
, 
\ast 
, 
\ast 
)
] , \linebreak [0] 
[
array\mbox{-}\linebreak[0]put( 
\ast 
, 
\ast 
, 
\ast 
, 
\ast 
)
] , \linebreak [0] 
[
array\mbox{-}\linebreak[0]add( 
\ast 
, 
\ast 
, 
\ast 
, 
\ast 
, 
\ast 
)
] , \linebreak [0] 
[
bit( 
\ast 
, 
\ast 
)
] , \linebreak [0] 
[
bit_1( 
\ast 
, 
\ast 
)
] , \linebreak [0] 
[
rack
] , \linebreak [0] 
[
\mbox {\tt \char34}\mathrm {vector}\mbox {\tt \char34}
] , \linebreak [0] 
[
\mbox {\tt \char34}\mathrm {bibliography}\mbox {\tt \char34}
] , \linebreak [0] 
[
\mbox {\tt \char34}\mathrm {dictionary}\mbox {\tt \char34}
] , \linebreak [0] 
[
\mbox {\tt \char34}\mathrm {body}\mbox {\tt \char34}
] , \linebreak [0] 
[
\mbox {\tt \char34}\mathrm {codex}\mbox {\tt \char34}
] , \linebreak [0] 
[
\mbox {\tt \char34}\mathrm {expansion}\mbox {\tt \char34}
] , \linebreak [0] 
[
\mbox {\tt \char34}\mathrm {code}\mbox {\tt \char34}
] , \linebreak [0] 
[
\mbox {\tt \char34}\mathrm {cache}\mbox {\tt \char34}
] , \linebreak [0] 
[
\mbox {\tt \char34}\mathrm {diagnose}\mbox {\tt \char34}
] , \linebreak [0] 
[
\mbox {\tt \char34}\mathrm {pyk}\mbox {\tt \char34}
] , \linebreak [0] 
[
\mbox {\tt \char34}\mathrm {tex}\mbox {\tt \char34}
] , \linebreak [0] 
[
\mbox {\tt \char34}\mathrm {texname}\mbox {\tt \char34}
] , \linebreak [0] 
[
\mbox {\tt \char34}\mathrm {value}\mbox {\tt \char34}
] , \linebreak [0] 
[
\mbox {\tt \char34}\mathrm {message}\mbox {\tt \char34}
] , \linebreak [0] 
[
\mbox {\tt \char34}\mathrm {macro}\mbox {\tt \char34}
] , \linebreak [0] 
[
\mbox {\tt \char34}\mathrm {definition}\mbox {\tt \char34}
] , \linebreak [0] 
[
\mbox {\tt \char34}\mathrm {unpack}\mbox {\tt \char34}
] , \linebreak [0] 
[
\mbox {\tt \char34}\mathrm {claim}\mbox {\tt \char34}
] , \linebreak [0] 
[
\mbox {\tt \char34}\mathrm {priority}\mbox {\tt \char34}
] , \linebreak [0] 
[
\mbox {\tt \char34}\mathrm {lambda}\mbox {\tt \char34}
] , \linebreak [0] 
[
\mbox {\tt \char34}\mathrm {apply}\mbox {\tt \char34}
] , \linebreak [0] 
[
\mbox {\tt \char34}\mathrm {true}\mbox {\tt \char34}
] , \linebreak [0] 
[
\mbox {\tt \char34}\mathrm {if}\mbox {\tt \char34}
] , \linebreak [0] 
[
\mbox {\tt \char34}\mathrm {quote}\mbox {\tt \char34}
] , \linebreak [0] 
[
\mbox {\tt \char34}\mathrm {proclaim}\mbox {\tt \char34}
] , \linebreak [0] 
[
\mbox {\tt \char34}\mathrm {define}\mbox {\tt \char34}
] , \linebreak [0] 
[
\mbox {\tt \char34}\mathrm {introduce}\mbox {\tt \char34}
] , \linebreak [0] 
[
\mbox {\tt \char34}\mathrm {hide}\mbox {\tt \char34}
] , \linebreak [0] 
[
\mbox {\tt \char34}\mathrm {pre}\mbox {\tt \char34}
] , \linebreak [0] 
[
\mbox {\tt \char34}\mathrm {post}\mbox {\tt \char34}
] , \linebreak [0] 
[
{\cal E}(
\ast 
,
\ast 
,
\ast 
)
] , \linebreak [0] 
[
{\cal E}_2(
\ast 
,
\ast 
,
\ast 
,
\ast 
,
\ast 
)
] , \linebreak [0] 
[
{\cal E}_3(
\ast 
,
\ast 
,
\ast 
,
\ast 
)
] , \linebreak [0] 
[
{\cal E}_4(
\ast 
,
\ast 
,
\ast 
,
\ast 
)
] , \linebreak [0] 
[
\mathbf {lookup}(
\ast 
,
\ast 
,
\ast 
)
] , \linebreak [0] 
[
\mathbf {abstract}(
\ast 
,
\ast 
,
\ast 
,
\ast 
)
] , \linebreak [0] 
[
\lceil 
\ast 
\rceil 
] , \linebreak [0] 
[
{\cal M}(
\ast 
,
\ast 
,
\ast 
)
] , \linebreak [0] 
[
{\cal M}_2(
\ast 
,
\ast 
,
\ast 
,
\ast 
)
] , \linebreak [0] 
[
{\cal M}^*(
\ast 
,
\ast 
,
\ast 
)
] , \linebreak [0] 
[
\mathrm {macro}
] , \linebreak [0] 
[
s_0
] , \linebreak [0] 
[
\mathbf {zip}(
\ast 
,
\ast 
)
] , \linebreak [0] 
[
\mathbf {assoc}_1(
\ast 
,
\ast 
,
\ast 
)
] , \linebreak [0] 
[(
\ast 
)^{\mathbf {p}}
] , \linebreak [0] 
[
\mbox{self}
] , \linebreak [0] 
[
[
\ast 
\mathrel {\ddot {=}}
\ast 
]
] , \linebreak [0] 
[
[
\ast 
\mathrel {\dot {=}}
\ast 
]
] , \linebreak [0] 
[
[
\ast 
\mathrel {\acute {=}}
\ast 
]
] , \linebreak [0] 
[
[
\ast 
\stackrel {\mathrm {pyk}}{=} 
\ast 
]
] , \linebreak [0] 
[
[
\ast 
\stackrel {\mathrm {tex}}{=} 
\ast 
]
] , \linebreak [0] 
[
[
\ast 
\stackrel {\mathrm {name}}{=} 
\ast 
]
] , \linebreak [0] 
[
\mathbf{Priority\ table} [ 
\ast 
]
] , \linebreak [0] 
[
\tilde {{\cal M}}_1
] , \linebreak [0] 
[
\tilde {{\cal M}}_2(
\ast 
)
] , \linebreak [0] 
[
\tilde {{\cal M}}_3(
\ast 
)
] , \linebreak [0] 
[
\tilde {{\cal M}}_4(
\ast 
,
\ast 
,
\ast 
,
\ast 
)
] , \linebreak [0] 
[
\tilde {{\cal M}}(
\ast 
,
\ast 
,
\ast 
)
] , \linebreak [0] 
[
\tilde {{\cal Q}}(
\ast 
,
\ast 
,
\ast 
)
] , \linebreak [0] 
[
\tilde {{\cal Q}}_2(
\ast 
,
\ast 
,
\ast 
)
] , \linebreak [0] 
[
\tilde {{\cal Q}}_3(
\ast 
,
\ast 
,
\ast 
,
\ast 
)
] , \linebreak [0] 
[
\tilde {{\cal Q}}^*(
\ast 
,
\ast 
,
\ast 
)
] , \linebreak [0] 
[
(
\ast 
)
] , \linebreak [0] 
[
\left( 
\ast 
\right) 
] , \linebreak [0] 
[
display(
\ast 
)
] , \linebreak [0] 
[
statement(
\ast 
)
] , \linebreak [0] 
[
[
\ast 
]^{\cdot}
] , \linebreak [0] 
[
[
\ast 
]^-
] , \linebreak [0] 
[
\mathbf{aspect}( 
\ast 
, 
\ast 
)
] , \linebreak [0] 
[
\mathbf{aspect}( 
\ast 
, 
\ast 
, 
\ast 
)
] , \linebreak [0] 
[
\langle 
\ast 
\rangle 
] , \linebreak [0] 
[
\mathbf {tuple}_1( 
\ast 
) 
] , \linebreak [0] 
[
\mathbf {tuple}_2( 
\ast 
) 
] , \linebreak [0] 
[
let_2( 
\ast 
, 
\ast 
)
] , \linebreak [0] 
[
let_1( 
\ast 
, 
\ast 
)
] , \linebreak [0] 
[
[
\ast 
\stackrel {claim}{=}
\ast 
]
] , \linebreak [0] 
[
\mbox{checker}
] , \linebreak [0] 
[
\mathbf{check}( 
\ast 
, 
\ast 
)
] , \linebreak [0] 
[
\mathbf{check}_2( 
\ast 
, 
\ast 
, 
\ast 
)
] , \linebreak [0] 
[
\mathbf{check}_3( 
\ast 
, 
\ast 
, 
\ast 
)
] , \linebreak [0] 
[
\mathbf{check}^*( 
\ast 
, 
\ast 
)
] , \linebreak [0] 
[
\mathbf{check}^*_2( 
\ast 
, 
\ast 
, 
\ast 
)
] , \linebreak [0] 
[
\relax [ 
\ast 
\relax ]^{\cdot} 
] , \linebreak [0] 
[
\relax [ 
\ast 
\relax ]^{-} 
] , \linebreak [0] 
[
\relax [ 
\ast 
\relax ]^{\circ} 
] , \linebreak [0] 
[
msg
] , \linebreak [0] 
[
[
\ast 
\stackrel {msg}{=} 
\ast 
]
] , \linebreak [0] 
[
{<}stmt{>}
] , \linebreak [0] 
[
stmt
] , \linebreak [0] 
[
[
\ast 
\stackrel {stmt}{=}
\ast 
]
] , \linebreak [0] 
[
HeadNil'
] , \linebreak [0] 
[
HeadPair'
] , \linebreak [0] 
[
Transitivity'
] , \linebreak [0] 
[
{\makebox [0mm][l]{$\bot $}\,{\bot }}
] , \linebreak [0] 
[
Contra'
] , \linebreak [0] 
[
T'_{E}
] , \linebreak [0] 
[
L_{1}
] , \linebreak [0] 
[\underline{
\ast }
] , \linebreak [0] 
[{\cal A}
] , \linebreak [0] 
[{\cal B}
] , \linebreak [0] 
[{\cal C}
] , \linebreak [0] 
[{\cal D}
] , \linebreak [0] 
[{\cal E}
] , \linebreak [0] 
[{\cal F}
] , \linebreak [0] 
[{\cal G}
] , \linebreak [0] 
[{\cal H}
] , \linebreak [0] 
[{\cal I}
] , \linebreak [0] 
[{\cal J}
] , \linebreak [0] 
[{\cal K}
] , \linebreak [0] 
[{\cal L}
] , \linebreak [0] 
[{\cal M}
] , \linebreak [0] 
[{\cal N}
] , \linebreak [0] 
[{\cal O}
] , \linebreak [0] 
[{\cal P}
] , \linebreak [0] 
[{\cal Q}
] , \linebreak [0] 
[{\cal R}
] , \linebreak [0] 
[{\cal S}
] , \linebreak [0] 
[{\cal T}
] , \linebreak [0] 
[{\cal U}
] , \linebreak [0] 
[{\cal V}
] , \linebreak [0] 
[{\cal W}
] , \linebreak [0] 
[{\cal X}
] , \linebreak [0] 
[{\cal Y}
] , \linebreak [0] 
[{\cal Z}
] , \linebreak [0] 
[
\langle 
\ast 
\,{\protect\vert}
\ast 
{:=}\,
\ast 
\rangle 
] , \linebreak [0] 
[
\langle ^ { \ast } 
\ast 
\,{\protect\vert}
\ast 
{:=}\,
\ast 
\rangle 
] , \linebreak [0] 
[
\emptyset 
] , \linebreak [0] 
[
Remainder
] , \linebreak [0] 
[
( 
\ast 
)^{\bf v}
] , \linebreak [0] 
[
intro(
\ast 
,
\ast 
,
\ast 
,
\ast 
)
] , \linebreak [0] 
[
intro(
\ast 
,
\ast 
,
\ast 
)
] , \linebreak [0] 
[
error(
\ast 
,
\ast 
)
] , \linebreak [0] 
[
error_{2}(
\ast 
,
\ast 
)
] , \linebreak [0] 
[
proof( 
\ast 
, 
\ast 
, 
\ast 
)
] , \linebreak [0] 
[
proof_{2}( 
\ast 
, 
\ast 
)
] , \linebreak [0] 
[
{\cal S}(
\ast 
, 
\ast 
)
] , \linebreak [0] 
[
{\cal S}^{I}(
\ast 
, 
\ast 
)
] , \linebreak [0] 
[
{\cal S}^{\rhd}(
\ast 
, 
\ast 
)
] , \linebreak [0] 
[
{\cal S}_{1}^{\rhd}(
\ast 
, 
\ast 
, 
\ast 
)
] , \linebreak [0] 
[
{\cal S}^{E}(
\ast 
, 
\ast 
)
] , \linebreak [0] 
[
{\cal S}_{1}^{E}(
\ast 
, 
\ast 
, 
\ast 
)
] , \linebreak [0] 
[
{\cal S}^{+}(
\ast 
, 
\ast 
)
] , \linebreak [0] 
[
{\cal S}_{1}^{+}(
\ast 
, 
\ast 
, 
\ast 
)
] , \linebreak [0] 
[
{\cal S}^{-}(
\ast 
, 
\ast 
)
] , \linebreak [0] 
[
{\cal S}_{1}^{-}(
\ast 
, 
\ast 
, 
\ast 
)
] , \linebreak [0] 
[
{\cal S}^{\ast}(
\ast 
, 
\ast 
)
] , \linebreak [0] 
[
{\cal S}_{1}^{\ast}(
\ast 
, 
\ast 
, 
\ast 
)
] , \linebreak [0] 
[
{\cal S}_{2}^{\ast}(
\ast 
, 
\ast 
, 
\ast 
, 
\ast 
)
] , \linebreak [0] 
[
{\cal S}^{\char64}(
\ast 
, 
\ast 
)
] , \linebreak [0] 
[
{\cal S}_{1}^{\char64}(
\ast 
, 
\ast 
, 
\ast 
)
] , \linebreak [0] 
[
{\cal S}^{\vdash}(
\ast 
, 
\ast 
)
] , \linebreak [0] 
[
{\cal S}_{1}^{\vdash}(
\ast 
, 
\ast 
, 
\ast 
, 
\ast 
)
] , \linebreak [0] 
[
{\cal S}^{\makebox [0mm][l]{\scriptsize $\vdash $}\,{\vdash }}(
\ast 
, 
\ast 
)
] , \linebreak [0] 
[
{\cal S}_{1}^{\makebox [0mm][l]{\scriptsize $\vdash $}\,{\vdash }}(
\ast 
, 
\ast 
, 
\ast 
, 
\ast 
)
] , \linebreak [0] 
[
{\cal S}^{i.e.}(
\ast 
, 
\ast 
)
] , \linebreak [0] 
[
{\cal S}_{1}^{i.e.}(
\ast 
, 
\ast 
, 
\ast 
, 
\ast 
)
] , \linebreak [0] 
[
{\cal S}_{2}^{i.e.}(
\ast 
, 
\ast 
, 
\ast 
, 
\ast 
, 
\ast 
)
] , \linebreak [0] 
[
{\cal S}^{\forall}(
\ast 
, 
\ast 
)
] , \linebreak [0] 
[
{\cal S}_{1}^{\forall}(
\ast 
, 
\ast 
, 
\ast 
, 
\ast 
)
] , \linebreak [0] 
[
{\cal S}^{;}(
\ast 
, 
\ast 
)
] , \linebreak [0] 
[
{\cal S}_{1}^{;}(
\ast 
, 
\ast 
, 
\ast 
)
] , \linebreak [0] 
[
{\cal S}_{2}^{;}(
\ast 
, 
\ast 
, 
\ast 
, 
\ast 
)
] , \linebreak [0] 
[
{\cal T}( 
\ast 
)
] , \linebreak [0] 
[
claims( 
\ast 
, 
\ast 
, 
\ast 
)
] , \linebreak [0] 
[
claims_2( 
\ast 
, 
\ast 
, 
\ast 
)
] , \linebreak [0] 
[
{<}proof{>}
] , \linebreak [0] 
[
proof
] , \linebreak [0] 
[
[ \mathbf{Lemma\ } 
\ast 
\colon 
\ast 
]
] , \linebreak [0] 
[
[ \mathbf{Proof\ of\ }
\ast 
\colon 
\ast 
]
] , \linebreak [0] 
[
[ 
\ast 
\mathbf{\ lemma\ } 
\ast 
\colon 
\ast 
]
] , \linebreak [0] 
[
[ 
\ast 
\mathbf{\ antilemma\ } 
\ast 
\colon 
\ast 
]
] , \linebreak [0] 
[
[ 
\ast 
\mathbf{\ rule\ } 
\ast 
\colon 
\ast 
]
] , \linebreak [0] 
[
[ 
\ast 
\mathbf{\ antirule\ } 
\ast 
\colon 
\ast 
]
] , \linebreak [0] 
[
\mbox{verifier}
] , \linebreak [0] 
[
{\cal V}_1( 
\ast 
)
] , \linebreak [0] 
[
{\cal V}_2( 
\ast 
, 
\ast 
)
] , \linebreak [0] 
[
{\cal V}_3( 
\ast 
, 
\ast 
, 
\ast 
, 
\ast 
)
] , \linebreak [0] 
[
{\cal V}_4( 
\ast 
, 
\ast 
)
] , \linebreak [0] 
[
{\cal V}_5( 
\ast 
, 
\ast 
, 
\ast 
, 
\ast 
)
] , \linebreak [0] 
[
{\cal V}_6( 
\ast 
, 
\ast 
, 
\ast 
, 
\ast 
)
] , \linebreak [0] 
[
{\cal V}_7( 
\ast 
, 
\ast 
, 
\ast 
, 
\ast 
)
] , \linebreak [0] 
[
Cut( 
\ast 
, 
\ast 
)
] , \linebreak [0] 
[
Head_{\oplus} ( 
\ast 
)
] , \linebreak [0] 
[
Tail_{\oplus} ( 
\ast 
)
] , \linebreak [0] 
[
rule_1( 
\ast 
, 
\ast 
)
] , \linebreak [0] 
[
rule( 
\ast 
, 
\ast 
)
] , \linebreak [0] 
[
Rule\ tactic
] , \linebreak [0] 
[
Plus( 
\ast 
, 
\ast 
)
] , \linebreak [0] 
[
[ \mathbf{Theory\ } 
\ast 
]
] , \linebreak [0] 
[
theory_2( 
\ast 
, 
\ast 
)
] , \linebreak [0] 
[
theory_3( 
\ast 
, 
\ast 
)
] , \linebreak [0] 
[
theory_4( 
\ast 
, 
\ast 
, 
\ast 
)
] , \linebreak [0] 
[
HeadNil''
] , \linebreak [0] 
[
HeadPair''
] , \linebreak [0] 
[
Transitivity''
] , \linebreak [0] 
[
Contra''
] , \linebreak [0] 
[
HeadNil
] , \linebreak [0] 
[
HeadPair
] , \linebreak [0] 
[
Transitivity
] , \linebreak [0] 
[
Contra
] , \linebreak [0] 
[
T_E
] , \linebreak [0] 
[
ragged\ right
] , \linebreak [0] 
[
ragged\ right\ expansion\ 
] , \linebreak [0] 
[
parm(
\ast 
,
\ast 
,
\ast 
)
] , \linebreak [0] 
[
parm^*(
\ast 
,
\ast 
,
\ast 
)
] , \linebreak [0] 
[
inst(
\ast 
,
\ast 
)
] , \linebreak [0] 
[
inst^*(
\ast 
,
\ast 
)
] , \linebreak [0] 
[
occur(
\ast 
,
\ast 
,
\ast 
)
] , \linebreak [0] 
[
occur^*(
\ast 
,
\ast 
,
\ast 
)
] , \linebreak [0] 
[
unify(
\ast 
=
\ast 
,
\ast 
)
] , \linebreak [0] 
[
unify^*(
\ast 
=
\ast 
,
\ast 
)
] , \linebreak [0] 
[
unify_2(
\ast 
=
\ast 
,
\ast 
)
] , \linebreak [0] 
[L_a
] , \linebreak [0] 
[L_b
] , \linebreak [0] 
[L_c
] , \linebreak [0] 
[L_d
] , \linebreak [0] 
[L_e
] , \linebreak [0] 
[L_f
] , \linebreak [0] 
[L_g
] , \linebreak [0] 
[L_h
] , \linebreak [0] 
[L_i
] , \linebreak [0] 
[L_j
] , \linebreak [0] 
[L_k
] , \linebreak [0] 
[L_l
] , \linebreak [0] 
[L_m
] , \linebreak [0] 
[L_n
] , \linebreak [0] 
[L_o
] , \linebreak [0] 
[L_p
] , \linebreak [0] 
[L_q
] , \linebreak [0] 
[L_r
] , \linebreak [0] 
[L_s
] , \linebreak [0] 
[L_t
] , \linebreak [0] 
[L_u
] , \linebreak [0] 
[L_v
] , \linebreak [0] 
[L_w
] , \linebreak [0] 
[L_x
] , \linebreak [0] 
[L_y
] , \linebreak [0] 
[L_z
] , \linebreak [0] 
[L_A
] , \linebreak [0] 
[L_B
] , \linebreak [0] 
[L_C
] , \linebreak [0] 
[L_D
] , \linebreak [0] 
[L_E
] , \linebreak [0] 
[L_F
] , \linebreak [0] 
[L_G
] , \linebreak [0] 
[L_H
] , \linebreak [0] 
[L_I
] , \linebreak [0] 
[L_J
] , \linebreak [0] 
[L_K
] , \linebreak [0] 
[L_L
] , \linebreak [0] 
[L_M
] , \linebreak [0] 
[L_N
] , \linebreak [0] 
[L_O
] , \linebreak [0] 
[L_P
] , \linebreak [0] 
[L_Q
] , \linebreak [0] 
[L_R
] , \linebreak [0] 
[L_S
] , \linebreak [0] 
[L_T
] , \linebreak [0] 
[L_U
] , \linebreak [0] 
[L_V
] , \linebreak [0] 
[L_W
] , \linebreak [0] 
[L_X
] , \linebreak [0] 
[L_Y
] , \linebreak [0] 
[L_Z
] , \linebreak [0] 
[L_?
] , \linebreak [0] 
[
Reflexivity
] , \linebreak [0] 
[
Reflexivity_1
] , \linebreak [0] 
[
Commutativity
] , \linebreak [0] 
[
Commutativity_1
] , \linebreak [0] 
[
{<}tactic{>}
] , \linebreak [0] 
[
tactic
] , \linebreak [0] 
[
[
\ast 
\stackrel {tactic}{=}
\ast 
]
] , \linebreak [0] 
[
{\cal P}( 
\ast 
, 
\ast 
, 
\ast 
)
] , \linebreak [0] 
[
{\cal P}^*( 
\ast 
, 
\ast 
, 
\ast 
)
] , \linebreak [0] 
[
p_0
] , \linebreak [0] 
[
conclude_1 ( 
\ast 
, 
\ast 
)
] , \linebreak [0] 
[
conclude_2 ( 
\ast 
, 
\ast 
, 
\ast 
)
] , \linebreak [0] 
[
conclude_3 ( 
\ast 
, 
\ast 
, 
\ast 
, 
\ast 
)
] , \linebreak [0] 
[
conclude_4 ( 
\ast 
, 
\ast 
)
] , \linebreak [0] 
[
\mbox{check}
] , \linebreak [0] 
[
[
\ast 
\stackrel {\circ}{=}
\ast 
]
] , \linebreak [0] 
[
RootVisible(
\ast 
)
] , \linebreak [0] 
[
A
] , \linebreak [0] 
[
R
] , \linebreak [0] 
[
C
] , \linebreak [0] 
[
T
] , \linebreak [0] 
[
L
] , \linebreak [0] 
[
\{
\ast 
\}
] , \linebreak [0] 
[\overline{
\ast }
] , \linebreak [0] 
[
\mathit{a}
] , \linebreak [0] 
[
\mathit{b}
] , \linebreak [0] 
[
\mathit{c}
] , \linebreak [0] 
[
\mathit{d}
] , \linebreak [0] 
[
\mathit{e}
] , \linebreak [0] 
[
\mathit{f}
] , \linebreak [0] 
[
\mathit{g}
] , \linebreak [0] 
[
\mathit{h}
] , \linebreak [0] 
[
\mathit{i}
] , \linebreak [0] 
[
\mathit{j}
] , \linebreak [0] 
[
\mathit{k}
] , \linebreak [0] 
[
\mathit{l}
] , \linebreak [0] 
[
\mathit{m}
] , \linebreak [0] 
[
\mathit{n}
] , \linebreak [0] 
[
\mathit{o}
] , \linebreak [0] 
[
\mathit{p}
] , \linebreak [0] 
[
\mathit{q}
] , \linebreak [0] 
[
\mathit{r}
] , \linebreak [0] 
[
\mathit{s}
] , \linebreak [0] 
[
\mathit{t}
] , \linebreak [0] 
[
\mathit{u}
] , \linebreak [0] 
[
\mathit{v}
] , \linebreak [0] 
[
\mathit{w}
] , \linebreak [0] 
[
\mathit{x}
] , \linebreak [0] 
[
\mathit{y}
] , \linebreak [0] 
[
\mathit{z}
] , \linebreak [0] 
[
\langle 
\ast 
{\equiv} 
\ast 
| 
\ast 
{:=} 
\ast 
\rangle 
] , \linebreak [0] 
[
\langle 
\ast 
{\equiv}^0 
\ast 
| 
\ast 
{:=} 
\ast 
\rangle 
] , \linebreak [0] 
[
\langle 
\ast 
{\equiv}^1 
\ast 
| 
\ast 
{:=} 
\ast 
\rangle 
] , \linebreak [0] 
[
\langle 
\ast 
{\equiv}^* 
\ast 
| 
\ast 
{:=} 
\ast 
\rangle 
] , \linebreak [0] 
[
Ded(
\ast 
,
\ast 
)
] , \linebreak [0] 
[
Ded_0(
\ast 
,
\ast 
)
] , \linebreak [0] 
[
Ded_1(
\ast 
,
\ast 
,
\ast 
)
] , \linebreak [0] 
[
Ded_2(
\ast 
,
\ast 
,
\ast 
)
] , \linebreak [0] 
[
Ded_3(
\ast 
,
\ast 
,
\ast 
,
\ast 
)
] , \linebreak [0] 
[
Ded_4(
\ast 
,
\ast 
,
\ast 
,
\ast 
)
] , \linebreak [0] 
[
Ded_4^*(
\ast 
,
\ast 
,
\ast 
,
\ast 
)
] , \linebreak [0] 
[
Ded_5(
\ast 
,
\ast 
,
\ast 
)
] , \linebreak [0] 
[
Ded_6(
\ast 
,
\ast 
,
\ast 
,
\ast 
)
] , \linebreak [0] 
[
Ded_6^*(
\ast 
,
\ast 
,
\ast 
,
\ast 
)
] , \linebreak [0] 
[
Ded_7(
\ast 
)
] , \linebreak [0] 
[
Ded_8(
\ast 
,
\ast 
)
] , \linebreak [0] 
[
Ded_8^*(
\ast 
,
\ast 
)
] , \linebreak [0] 
[
S
] , \linebreak [0] 
[
Neg
] , \linebreak [0] 
[
MP
] , \linebreak [0] 
[
Gen
] , \linebreak [0] 
[
Ded
] , \linebreak [0] 
[
S1
] , \linebreak [0] 
[
S2
] , \linebreak [0] 
[
S3
] , \linebreak [0] 
[
S4
] , \linebreak [0] 
[
S5
] , \linebreak [0] 
[
S6
] , \linebreak [0] 
[
S7
] , \linebreak [0] 
[
S8
] , \linebreak [0] 
[
S9
] , \linebreak [0] 
[
Repetition
] , \linebreak [0] 
[
A1'
] , \linebreak [0] 
[
A2'
] , \linebreak [0] 
[
A4'
] , \linebreak [0] 
[
A5'
] , \linebreak [0] 
[
Prop\ 3.2a
] , \linebreak [0] 
[
Prop\ 3.2b
] , \linebreak [0] 
[
Prop\ 3.2c
] , \linebreak [0] 
[
Prop\ 3.2d
] , \linebreak [0] 
[
Prop\ 3.2e_1
] , \linebreak [0] 
[
Prop\ 3.2e_2
] , \linebreak [0] 
[
Prop\ 3.2e
] , \linebreak [0] 
[
Prop\ 3.2f_1
] , \linebreak [0] 
[
Prop\ 3.2f_2
] , \linebreak [0] 
[
Prop\ 3.2f
] , \linebreak [0] 
[
Prop\ 3.2g_1
] , \linebreak [0] 
[
Prop\ 3.2g_2
] , \linebreak [0] 
[
Prop\ 3.2g
] , \linebreak [0] 
[
Prop\ 3.2h_1
] , \linebreak [0] 
[
Prop\ 3.2h_2
] , \linebreak [0] 
[
Prop\ 3.2h
] , \linebreak [0] 
[
Block_1(
\ast 
,
\ast 
,
\ast 
)
] , \linebreak [0] 
[
Block_2(
\ast 
)
] , \linebreak [0] 
[(\cdots{})
] , \linebreak [0] 
[\texttt{Objekt-var}
] , \linebreak [0] 
[\texttt{Ex-var}
] , \linebreak [0] 
[\texttt{Ph-var}
] , \linebreak [0] 
[\texttt{V\ae{}rdi}
] , \linebreak [0] 
[\texttt{Variabel}
] , \linebreak [0] 
[Op(
\ast 
)
] , \linebreak [0] 
[Op(
\ast 
,
\ast 
)
] , \linebreak [0] 
[
\ast 
 \mathrel {\ddot {=}} 
\ast 
] , \linebreak [0] 
[ContainsEmpty(
\ast 
)
] , \linebreak [0] 
[
Dedu(
\ast 
,
\ast 
)
] , \linebreak [0] 
[
Dedu_0(
\ast 
,
\ast 
)
] , \linebreak [0] 
[Dedu_{s}(
\ast 
,
\ast 
,
\ast 
)
] , \linebreak [0] 
[
Dedu_1(
\ast 
,
\ast 
,
\ast 
)
] , \linebreak [0] 
[
Dedu_2(
\ast 
,
\ast 
,
\ast 
)
] , \linebreak [0] 
[
Dedu_3(
\ast 
,
\ast 
,
\ast 
,
\ast 
)
] , \linebreak [0] 
[
Dedu_4(
\ast 
,
\ast 
,
\ast 
,
\ast 
)
] , \linebreak [0] 
[
Dedu_4^*(
\ast 
,
\ast 
,
\ast 
,
\ast 
)
] , \linebreak [0] 
[
Dedu_5(
\ast 
,
\ast 
,
\ast 
)
] , \linebreak [0] 
[
Dedu_6(
\ast 
,
\ast 
,
\ast 
,
\ast 
)
] , \linebreak [0] 
[
Dedu_6^*(
\ast 
,
\ast 
,
\ast 
,
\ast 
)
] , \linebreak [0] 
[
Dedu_7(
\ast 
)
] , \linebreak [0] 
[
Dedu_8(
\ast 
,
\ast 
)
] , \linebreak [0] 
[
Dedu_8^*(
\ast 
,
\ast 
)
] , \linebreak [0] 
[Ex_{1}
] , \linebreak [0] 
[Ex_{2}
] , \linebreak [0] 
[Ex_{10}
] , \linebreak [0] 
[Ex_{20}
] , \linebreak [0] 
[
\ast 
 _{Ex}
] , \linebreak [0] 
[
\ast 
 ^{Ex}
] , \linebreak [0] 
[\langle 
\ast 
{\equiv} 
\ast 
| 
\ast 
{:=} 
\ast 
\rangle_{Ex} 
] , \linebreak [0] 
[\langle 
\ast 
{\equiv}^0 
\ast 
| 
\ast 
{:=} 
\ast 
\rangle_{Ex} 
] , \linebreak [0] 
[\langle 
\ast 
{\equiv}^1 
\ast 
| 
\ast 
{:=} 
\ast 
\rangle_{Ex} 
] , \linebreak [0] 
[\langle 
\ast 
{\equiv}^* 
\ast 
| 
\ast 
{:=} 
\ast 
\rangle_{Ex} 
] , \linebreak [0] 
[ph_{1}
] , \linebreak [0] 
[ph_{2}
] , \linebreak [0] 
[ph_{3}
] , \linebreak [0] 
[
\ast 
 _{Ph} 
] , \linebreak [0] 
[
\ast 
 ^{Ph}
] , \linebreak [0] 
[\langle 
\ast 
{\equiv} 
\ast 
| 
\ast 
{:=} 
\ast 
\rangle_{Ph} 
] , \linebreak [0] 
[\langle 
\ast 
{\equiv}^0 
\ast 
| 
\ast 
{:=} 
\ast 
\rangle_{Ph} 
] , \linebreak [0] 
[\langle 
\ast 
{\equiv}^1 
\ast 
| 
\ast 
{:=} 
\ast 
\rangle_{Ph} 
] , \linebreak [0] 
[\langle 
\ast 
{\equiv}^* 
\ast 
| 
\ast 
{:=} 
\ast 
\rangle_{Ph} 
] , \linebreak [0] 
[\mathsf {bs}
] , \linebreak [0] 
[ \mathsf {OBS}
] , \linebreak [0] 
[{\cal BS}
] , \linebreak [0] 
[\mathrm{\O}
] , \linebreak [0] 
[ZFsub
] , \linebreak [0] 
[MP
] , \linebreak [0] 
[Gen
] , \linebreak [0] 
[Repetition
] , \linebreak [0] 
[Neg
] , \linebreak [0] 
[Ded
] , \linebreak [0] 
[ExistIntro
] , \linebreak [0] 
[Extensionality
] , \linebreak [0] 
[\O{}def
] , \linebreak [0] 
[PairDef
] , \linebreak [0] 
[UnionDef
] , \linebreak [0] 
[PowerDef
] , \linebreak [0] 
[SeparationDef
] , \linebreak [0] 
[CheatAllDisjoint
] , \linebreak [0] 
[AddDoubleNeg
] , \linebreak [0] 
[RemoveDoubleNeg
] , \linebreak [0] 
[AndCommutativity
] , \linebreak [0] 
[AutoImply
] , \linebreak [0] 
[Contrapositive
] , \linebreak [0] 
[FirstConjunct
] , \linebreak [0] 
[SecondConjunct
] , \linebreak [0] 
[FromContradiction
] , \linebreak [0] 
[FromDisjuncts
] , \linebreak [0] 
[IffCommutativity
] , \linebreak [0] 
[IffFirst
] , \linebreak [0] 
[IffSecond
] , \linebreak [0] 
[ImplyTransitivity
] , \linebreak [0] 
[JoinConjuncts
] , \linebreak [0] 
[MP2
] , \linebreak [0] 
[MP3
] , \linebreak [0] 
[MP4
] , \linebreak [0] 
[MP5
] , \linebreak [0] 
[MT
] , \linebreak [0] 
[NegativeMT
] , \linebreak [0] 
[Technicality
] , \linebreak [0] 
[Weakening
] , \linebreak [0] 
[WeakenOr1
] , \linebreak [0] 
[WeakenOr2
] , \linebreak [0] 
[Formula2Pair
] , \linebreak [0] 
[Pair2Formula
] , \linebreak [0] 
[Formula2Union
] , \linebreak [0] 
[Union2Formula
] , \linebreak [0] 
[Formula2Sep
] , \linebreak [0] 
[Sep2Formula
] , \linebreak [0] 
[SubsetInPower
] , \linebreak [0] 
[HelperPowerIsSub
] , \linebreak [0] 
[PowerIsSub
] , \linebreak [0] 
[(Switch)HelperPowerIsSub
] , \linebreak [0] 
[(Switch)PowerIsSub
] , \linebreak [0] 
[ToSetEquality
] , \linebreak [0] 
[HelperToSetEquality(t)
] , \linebreak [0] 
[ToSetEquality(t)
] , \linebreak [0] 
[HelperFromSetEquality
] , \linebreak [0] 
[FromSetEquality
] , \linebreak [0] 
[HelperReflexivity
] , \linebreak [0] 
[Reflexivity
] , \linebreak [0] 
[HelperSymmetry
] , \linebreak [0] 
[Symmetry
] , \linebreak [0] 
[HelperTransitivity
] , \linebreak [0] 
[Transitivity
] , \linebreak [0] 
[ERisReflexive
] , \linebreak [0] 
[ERisSymmetric
] , \linebreak [0] 
[ERisTransitive
] , \linebreak [0] 
[\O{}isSubset
] , \linebreak [0] 
[HelperMemberNot\O{}
] , \linebreak [0] 
[MemberNot\O{}
] , \linebreak [0] 
[HelperUnique\O{}
] , \linebreak [0] 
[Unique\O{}
] , \linebreak [0] 
[=\!{}Reflexivity
] , \linebreak [0] 
[=\!{}Symmetry
] , \linebreak [0] 
[Helper\!{}=\!{}Transitivity
] , \linebreak [0] 
[\!{}=\!{}Transitivity
] , \linebreak [0] 
[HelperTransferNotEq
] , \linebreak [0] 
[TransferNotEq
] , \linebreak [0] 
[HelperPairSubset
] , \linebreak [0] 
[Helper(2)PairSubset
] , \linebreak [0] 
[PairSubset
] , \linebreak [0] 
[SamePair
] , \linebreak [0] 
[SameSingleton
] , \linebreak [0] 
[UnionSubset
] , \linebreak [0] 
[SameUnion
] , \linebreak [0] 
[SeparationSubset
] , \linebreak [0] 
[SameSeparation
] , \linebreak [0] 
[SameBinaryUnion
] , \linebreak [0] 
[IntersectionSubset
] , \linebreak [0] 
[SameIntersection
] , \linebreak [0] 
[AutoMember
] , \linebreak [0] 
[HelperEqSysNot\O{}
] , \linebreak [0] 
[EqSysNot\O{}
] , \linebreak [0] 
[HelperEqSubset
] , \linebreak [0] 
[EqSubset
] , \linebreak [0] 
[HelperEqNecessary
] , \linebreak [0] 
[EqNecessary
] , \linebreak [0] 
[HelperNoneEqNecessary
] , \linebreak [0] 
[Helper(2)NoneEqNecessary
] , \linebreak [0] 
[NoneEqNecessary
] , \linebreak [0] 
[EqClassIsSubset
] , \linebreak [0] 
[EqClassesAreDisjoint
] , \linebreak [0] 
[AllDisjoint
] , \linebreak [0] 
[AllDisjointImply
] , \linebreak [0] 
[BSsubset
] , \linebreak [0] 
[Union(BS/R)subset
] , \linebreak [0] 
[UnionIdentity
] , \linebreak [0] 
[EqSysIsPartition
]
; 
\newline \mathbf {Preassociative} \newline 
[
\ast 
\_\{
\ast 
\}
] , \linebreak [0] 
[
\ast 
/indexintro(
\ast 
,
\ast 
,
\ast 
,
\ast 
)
] , \linebreak [0] 
[
\ast 
/intro(
\ast 
,
\ast 
,
\ast 
)
] , \linebreak [0] 
[
\ast 
/bothintro(
\ast 
,
\ast 
,
\ast 
,
\ast 
,
\ast 
)
] , \linebreak [0] 
[
\ast 
/nameintro(
\ast 
,
\ast 
,
\ast 
,
\ast 
)
] , \linebreak [0] 
[
\ast '
] , \linebreak [0] 
[
\ast 
{[}
\ast 
{]}
] , \linebreak [0] 
[
\ast 
[ 
\ast 
{\rightarrow} 
\ast 
]
] , \linebreak [0] 
[
\ast 
[ 
\ast 
{\Rightarrow} 
\ast 
]
] , \linebreak [0] 
[
\ast 
0
] , \linebreak [0] 
[
\ast 
1
] , \linebreak [0] 
[
0 \mathrm {b}
] , \linebreak [0] 
[
\ast 
\mbox {-color}( 
\ast 
)
] , \linebreak [0] 
[
\ast 
\mbox {-color}^{\ast}( 
\ast 
)
] , \linebreak [0] 
[
\ast 
{}^H
] , \linebreak [0] 
[
\ast 
{}^T
] , \linebreak [0] 
[
\ast 
{}^U
] , \linebreak [0] 
[
\ast 
{}^h
] , \linebreak [0] 
[
\ast 
{}^t
] , \linebreak [0] 
[
\ast 
{}^s
] , \linebreak [0] 
[
\ast 
{}^c
] , \linebreak [0] 
[
\ast 
{}^d
] , \linebreak [0] 
[
\ast 
{}^a
] , \linebreak [0] 
[
\ast 
{}^C
] , \linebreak [0] 
[
\ast 
{}^M
] , \linebreak [0] 
[
\ast 
{}^B
] , \linebreak [0] 
[
\ast 
{}^{r}
] , \linebreak [0] 
[
\ast 
{}^{i}
] , \linebreak [0] 
[
\ast 
{}^{d}
] , \linebreak [0] 
[
\ast 
{}^{R}
] , \linebreak [0] 
[
\ast 
{}^{0}
] , \linebreak [0] 
[
\ast 
{}^{1}
] , \linebreak [0] 
[
\ast 
{}^{2}
] , \linebreak [0] 
[
\ast 
{}^{3}
] , \linebreak [0] 
[
\ast 
{}^{4}
] , \linebreak [0] 
[
\ast 
{}^{5}
] , \linebreak [0] 
[
\ast 
{}^{6}
] , \linebreak [0] 
[
\ast 
{}^{7}
] , \linebreak [0] 
[
\ast 
{}^{8}
] , \linebreak [0] 
[
\ast 
{}^{9}
] , \linebreak [0] 
[
\ast 
{} ^ { E }
] , \linebreak [0] 
[
\ast 
{} ^ {\cal V}
] , \linebreak [0] 
[
\ast 
{} ^ {\cal C}
] , \linebreak [0] 
[
\ast 
{} ^ {{\cal C} ^ { \ast }}
] , \linebreak [0] 
[
\ast 
{}^{hide}
]
; 
\newline \mathbf {Preassociative} \newline 
[
\mbox{``}
\ast 
\mbox{''}
] , \linebreak [0] 
[
] , \linebreak [0] 
[
(
\ast 
)^{\bf t}
] , \linebreak [0] 
[
\mbox{string}(
\ast 
)+
\ast 
] , \linebreak [0] 
[\mbox{string}(
\ast 
)\mathrel{++}
\ast 
] , \linebreak [0] 
[
\newline 
\ast 
] , \linebreak [0] 
[
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}
\ast 
] , \linebreak [0] 
[!
\ast 
] , \linebreak [0] 
[
\mbox {\tt \char34}
\ast 
] , \linebreak [0] 
[
\#
\ast 
] , \linebreak [0] 
[
\$
\ast 
] , \linebreak [0] 
[
\%
\ast 
] , \linebreak [0] 
[
\&
\ast 
] , \linebreak [0] 
[
\mbox {'}
\ast 
] , \linebreak [0] 
[(
\ast 
] , \linebreak [0] 
[)
\ast 
] , \linebreak [0] 
[
{*}
\ast 
] , \linebreak [0] 
[
{+}
\ast 
] , \linebreak [0] 
[,
\ast 
] , \linebreak [0] 
[
\mbox{-}
\ast 
] , \linebreak [0] 
[.
\ast 
] , \linebreak [0] 
[/
\ast 
] , \linebreak [0] 
[0
\ast 
] , \linebreak [0] 
[1
\ast 
] , \linebreak [0] 
[2
\ast 
] , \linebreak [0] 
[3
\ast 
] , \linebreak [0] 
[4
\ast 
] , \linebreak [0] 
[5
\ast 
] , \linebreak [0] 
[6
\ast 
] , \linebreak [0] 
[7
\ast 
] , \linebreak [0] 
[8
\ast 
] , \linebreak [0] 
[9
\ast 
] , \linebreak [0] 
[
{:}
\ast 
] , \linebreak [0] 
[;
\ast 
] , \linebreak [0] 
[
{<}
\ast 
] , \linebreak [0] 
[
{=}
\ast 
] , \linebreak [0] 
[
{>}
\ast 
] , \linebreak [0] 
[?
\ast 
] , \linebreak [0] 
[@
\ast 
] , \linebreak [0] 
[A
\ast 
] , \linebreak [0] 
[B
\ast 
] , \linebreak [0] 
[C
\ast 
] , \linebreak [0] 
[D
\ast 
] , \linebreak [0] 
[E
\ast 
] , \linebreak [0] 
[F
\ast 
] , \linebreak [0] 
[G
\ast 
] , \linebreak [0] 
[H
\ast 
] , \linebreak [0] 
[I
\ast 
] , \linebreak [0] 
[J
\ast 
] , \linebreak [0] 
[K
\ast 
] , \linebreak [0] 
[L
\ast 
] , \linebreak [0] 
[M
\ast 
] , \linebreak [0] 
[N
\ast 
] , \linebreak [0] 
[O
\ast 
] , \linebreak [0] 
[P
\ast 
] , \linebreak [0] 
[Q
\ast 
] , \linebreak [0] 
[R
\ast 
] , \linebreak [0] 
[S
\ast 
] , \linebreak [0] 
[T
\ast 
] , \linebreak [0] 
[U
\ast 
] , \linebreak [0] 
[V
\ast 
] , \linebreak [0] 
[W
\ast 
] , \linebreak [0] 
[X
\ast 
] , \linebreak [0] 
[Y
\ast 
] , \linebreak [0] 
[Z
\ast 
] , \linebreak [0] 
[[
\ast 
] , \linebreak [0] 
[
\mbox {$\backslash $}
\ast 
] , \linebreak [0] 
[]
\ast 
] , \linebreak [0] 
[
{\char94}
\ast 
] , \linebreak [0] 
[
\_
\ast 
] , \linebreak [0] 
[
\mbox {`}
\ast 
] , \linebreak [0] 
[a
\ast 
] , \linebreak [0] 
[b
\ast 
] , \linebreak [0] 
[c
\ast 
] , \linebreak [0] 
[d
\ast 
] , \linebreak [0] 
[e
\ast 
] , \linebreak [0] 
[f
\ast 
] , \linebreak [0] 
[g
\ast 
] , \linebreak [0] 
[h
\ast 
] , \linebreak [0] 
[i
\ast 
] , \linebreak [0] 
[j
\ast 
] , \linebreak [0] 
[k
\ast 
] , \linebreak [0] 
[l
\ast 
] , \linebreak [0] 
[m
\ast 
] , \linebreak [0] 
[n
\ast 
] , \linebreak [0] 
[o
\ast 
] , \linebreak [0] 
[p
\ast 
] , \linebreak [0] 
[q
\ast 
] , \linebreak [0] 
[r
\ast 
] , \linebreak [0] 
[s
\ast 
] , \linebreak [0] 
[t
\ast 
] , \linebreak [0] 
[u
\ast 
] , \linebreak [0] 
[v
\ast 
] , \linebreak [0] 
[w
\ast 
] , \linebreak [0] 
[x
\ast 
] , \linebreak [0] 
[y
\ast 
] , \linebreak [0] 
[z
\ast 
] , \linebreak [0] 
[
\{
\ast 
] , \linebreak [0] 
[|
\ast 
] , \linebreak [0] 
[
\}
\ast 
] , \linebreak [0] 
[
\char126 
\ast 
] , \linebreak [0] 
[
\mathbf{Preassociative}\,
\ast 
; 
\ast 
] , \linebreak [0] 
[
\mathbf{Postassociative}\,
\ast 
; 
\ast 
] , \linebreak [0] 
[
[
\ast 
] , \linebreak [0] 
\ast 
] , \linebreak [0] 
[
\mathrm{priority} \,
\ast 
\, \mathrm{end}
] , \linebreak [0] 
[
newline\ 
\ast 
] , \linebreak [0] 
[
macro\ newline\ 
\ast 
] , \linebreak [0] 
[
MacroIndent(
\ast 
)
]
; 
\newline \mathbf {Preassociative} \newline 
[
\ast 
\mathbin {\mbox {'}}
\ast 
] , \linebreak [0] 
[
\ast 
\mathbin {\mbox {`}}
\ast 
]
; 
\newline \mathbf {Preassociative} \newline 
[
\ast 
{}'
]
; 
\newline \mathbf {Preassociative} \newline 
[
\ast 
 / 
\ast 
] , \linebreak [0] 
[
\ast 
 \cap 
\ast 
]
; 
\newline \mathbf {Preassociative} \newline 
[\cup 
\ast 
] , \linebreak [0] 
[
\ast 
 \mathrel{\cup} 
\ast 
] , \linebreak [0] 
[P(
\ast 
)
]
; 
\newline \mathbf {Preassociative} \newline 
[\{
\ast 
\}
]
; 
\newline \mathbf {Preassociative} \newline 
[\{
\ast 
,
\ast 
\}
] , \linebreak [0] 
[\langle 
\ast 
,
\ast 
\rangle
]
; 
\newline \mathbf {Preassociative} \newline 
[
\ast 
 \mathrel{\in} 
\ast 
] , \linebreak [0] 
[
\ast 
(
\ast 
,
\ast 
)
] , \linebreak [0] 
[ReflRel(
\ast 
,
\ast 
)
] , \linebreak [0] 
[SymRel(
\ast 
,
\ast 
)
] , \linebreak [0] 
[TransRel(
\ast 
,
\ast 
)
] , \linebreak [0] 
[EqRel(
\ast 
,
\ast 
)
] , \linebreak [0] 
[[
\ast 
 \mathrel{\in} 
\ast 
]_{
\ast 
}
] , \linebreak [0] 
[Partition(
\ast 
,
\ast 
)
]
; 
\newline \mathbf {Preassociative} \newline 
[
\ast 
\cdot 
\ast 
] , \linebreak [0] 
[
\ast 
\cdot_0 
\ast 
]
; 
\newline \mathbf {Preassociative} \newline 
[
\ast 
+ 
\ast 
] , \linebreak [0] 
[
\ast 
\mathop{+_0} 
\ast 
] , \linebreak [0] 
[
\ast 
\mathop{+_1} 
\ast 
] , \linebreak [0] 
[
\ast 
- 
\ast 
] , \linebreak [0] 
[
\ast 
\mathop{-_0} 
\ast 
] , \linebreak [0] 
[
\ast 
\mathop{-_1} 
\ast 
]
; 
\newline \mathbf {Preassociative} \newline 
[
\ast 
\cup \{ 
\ast 
\}
] , \linebreak [0] 
[
\ast 
\cup 
\ast 
] , \linebreak [0] 
[
\ast 
\backslash \{ 
\ast 
\}
]
; 
\newline\mathbf{Postassociative} \newline 
[
\ast 
\mathrel { \dot { . \, . } }
\ast 
] , \linebreak [0] 
[
\ast 
\mathrel { \underline { \dot { . \, . } } }
\ast 
] , \linebreak [0] 
[
\ast 
\mathrel { \underline { : \, : } }
\ast 
] , \linebreak [0] 
[
\ast 
\mathrel { \underline { {+} 2 \ast } }
\ast 
] , \linebreak [0] 
[
\ast 
\mathrel { : \, : }
\ast 
] , \linebreak [0] 
[
\ast 
\mathrel { {+} 2 \ast }
\ast 
]
; 
\newline\mathbf{Postassociative} \newline 
[
\ast 
,\linebreak [0] 
\ast 
]
; 
\newline \mathbf {Preassociative} \newline 
[
\ast 
\stackrel {B}{\approx }
\ast 
] , \linebreak [0] 
[
\ast 
\stackrel {D}{\approx }
\ast 
] , \linebreak [0] 
[
\ast 
\stackrel {C}{\approx }
\ast 
] , \linebreak [0] 
[
\ast 
\stackrel {P}{\approx }
\ast 
] , \linebreak [0] 
[
\ast 
\approx 
\ast 
] , \linebreak [0] 
[
\ast 
=
\ast 
] , \linebreak [0] 
[
\ast 
\stackrel {+}{\rightarrow }
\ast 
] , \linebreak [0] 
[
\ast 
\stackrel {t}{=}
\ast 
] , \linebreak [0] 
[
\ast 
\stackrel {t^*}{=}
\ast 
] , \linebreak [0] 
[
\ast 
\stackrel{r}{=} 
\ast 
] , \linebreak [0] 
[
\ast 
\in_t 
\ast 
] , \linebreak [0] 
[
\ast 
\subseteq_T 
\ast 
] , \linebreak [0] 
[
\ast 
\stackrel{T}{=} 
\ast 
] , \linebreak [0] 
[
\ast 
\stackrel{s}{=} 
\ast 
] , \linebreak [0] 
[
\ast 
\mathrel {free\ in} 
\ast 
] , \linebreak [0] 
[
\ast 
\mathrel {free\ in}^{\ast} 
\ast 
] , \linebreak [0] 
[
\ast 
\mathrel {free\ for} 
\ast 
\mathrel {in} 
\ast 
] , \linebreak [0] 
[
\ast 
\mathrel {free\ for}^{\ast} 
\ast 
\mathrel {in} 
\ast 
] , \linebreak [0] 
[
\ast 
\in_c 
\ast 
] , \linebreak [0] 
[
\ast 
< 
\ast 
] , \linebreak [0] 
[
\ast 
<' 
\ast 
] , \linebreak [0] 
[
\ast 
\le' 
\ast 
] , \linebreak [0] 
[
\ast 
= 
\ast 
] , \linebreak [0] 
[
\ast 
\neq 
\ast 
] , \linebreak [0] 
[
\ast 
{}^{var}
] , \linebreak [0] 
[
\ast 
\#^0
\ast 
] , \linebreak [0] 
[
\ast 
\#^1
\ast 
] , \linebreak [0] 
[
\ast 
\#^*
\ast 
] , \linebreak [0] 
[
\ast 
\!\mathrel{=}\! 
\ast 
] , \linebreak [0] 
[
\ast 
 \mathrel{\subseteq} 
\ast 
]
; 
\newline \mathbf {Preassociative} \newline 
[
{\neg }
\ast 
] , \linebreak [0] 
[\dot{\neg}\, 
\ast 
] , \linebreak [0] 
[
\ast 
 \mathrel{\notin} 
\ast 
] , \linebreak [0] 
[
\ast 
 \mathrel{\neq} 
\ast 
]
; 
\newline \mathbf {Preassociative} \newline 
[
\ast 
\wedge 
\ast 
] , \linebreak [0] 
[
\ast 
\mathrel{\ddot{\wedge}} 
\ast 
] , \linebreak [0] 
[
\ast 
\mathrel{\tilde{\wedge}} 
\ast 
] , \linebreak [0] 
[
\ast 
\wedge_c 
\ast 
] , \linebreak [0] 
[
\ast 
\mathrel{\dot{\wedge}} 
\ast 
]
; 
\newline \mathbf {Preassociative} \newline 
[
\ast 
\vee 
\ast 
] , \linebreak [0] 
[
\ast 
\parallel 
\ast 
] , \linebreak [0] 
[
\ast 
\mathrel{\ddot{\vee}} 
\ast 
] , \linebreak [0] 
[
\ast 
 \mathrel{\dot{\vee}} 
\ast 
]
; 
\newline \mathbf {Preassociative} \newline 
[
\exists 
\ast 
\colon 
\ast 
] , \linebreak [0] 
[
\forall 
\ast 
\colon 
\ast 
] , \linebreak [0] 
[
\forall_{obj} 
\ast 
\colon 
\ast 
]
; 
\newline\mathbf{Postassociative} \newline 
[
\ast 
\mathrel{\ddot{\Rightarrow}} 
\ast 
] , \linebreak [0] 
[
\ast 
\Rightarrow 
\ast 
] , \linebreak [0] 
[
\ast 
\Leftrightarrow 
\ast 
] , \linebreak [0] 
[
\ast 
\mathrel{\dot{\Leftrightarrow}} 
\ast 
]
; 
\newline \mathbf {Preassociative} \newline 
[ \{ ph \mathrel{\in} 
\ast 
\mid 
\ast 
\}
]
; 
\newline\mathbf{Postassociative} \newline 
[
\ast 
:
\ast 
] , \linebreak [0] 
[
\ast 
\mathrel{spy}
\ast 
] , \linebreak [0] 
[
\ast 
!
\ast 
]
; 
\newline \mathbf {Preassociative} \newline 
[
\ast 
\left\{\protect \begin {array}{l}
\ast 
\\
\ast 
\protect \end {array}\right.
]
; 
\newline \mathbf {Preassociative} \newline 
[
\lambda 
\ast 
.
\ast 
] , \linebreak [0] 
[
\Lambda 
\ast 
. 
\ast 
] , \linebreak [0] 
[
\Lambda 
\ast 
] , \linebreak [0] 
[
{\bf if} \ 
\ast 
\ {\bf then} \ 
\ast 
\ {\bf else} \ 
\ast 
] , \linebreak [0] 
[
\mathbf{let\ } 
\ast 
= 
\ast 
\mathbf{\ in\ } 
\ast 
] , \linebreak [0] 
[
\mathbf{let\ } 
\ast 
\mathrel{\ddot{=}} 
\ast 
\mathrel{\ in\ } 
\ast 
]
; 
\newline \mathbf {Preassociative} \newline 
[
\ast 
\#
\ast 
]
; 
\newline \mathbf {Preassociative} \newline 
[
\ast 
{} ^ { I }
] , \linebreak [0] 
[
\ast 
{} ^ { \rhd }
] , \linebreak [0] 
[
\ast 
{} ^ { V } 
] , \linebreak [0] 
[
\ast 
{} ^ { + } 
] , \linebreak [0] 
[
\ast 
{} ^ { - } 
] , \linebreak [0] 
[
\ast 
{} ^ { \ast } 
]
; 
\newline \mathbf {Preassociative} \newline 
[
\ast 
\mathop {\char64} 
\ast 
] , \linebreak [0] 
[
\ast 
\rhd 
\ast 
] , \linebreak [0] 
[
\ast 
\mathrel {\makebox [0mm][l]{$\rhd $}\,{\rhd }} 
\ast 
] , \linebreak [0] 
[
\ast 
\gg 
\ast 
] , \linebreak [0] 
[
\ast 
\unrhd 
\ast 
]
; 
\newline\mathbf{Postassociative} \newline 
[
\ast 
\vdash 
\ast 
] , \linebreak [0] 
[
\ast 
\mathrel {\makebox [0mm][l]{$\vdash $}\,{\vdash }} 
\ast 
] , \linebreak [0] 
[
\ast 
\mathrel {i.e.} 
\ast 
]
; 
\newline \mathbf {Preassociative} \newline 
[
\forall 
\ast 
\colon 
\ast 
] , \linebreak [0] 
[
\Pi 
\ast 
\colon 
\ast 
]
; 
\newline\mathbf{Postassociative} \newline 
[
\ast 
\mathrel {\oplus} 
\ast 
]
; 
\newline\mathbf{Postassociative} \newline 
[
\ast 
; 
\ast 
]
; 
\newline \mathbf {Preassociative} \newline 
[
\ast 
\ proves\ 
\ast 
]
; 
\newline \mathbf {Preassociative} \newline 
[
\ast 
\mathbf{\ proof\ of\ } 
\ast 
: 
\ast 
] , \linebreak [0] 
[
Line \, 
\ast 
: 
\ast 
\gg 
\ast 
; 
\ast 
] , \linebreak [0] 
[
Last\ line \, 
\ast 
\gg 
\ast 
\,\Box
] , \linebreak [0] 
[
Line \, 
\ast 
: Premise \gg 
\ast 
;
\ast 
] , \linebreak [0] 
[
Line \, 
\ast 
: \mbox{Side-condition} \gg 
\ast 
; 
\ast 
] , \linebreak [0] 
[
Arbitrary \gg 
\ast 
;
\ast 
] , \linebreak [0] 
[
Local \gg 
\ast 
= 
\ast 
; 
\ast 
] , \linebreak [0] 
[
Begin \, 
\ast 
 ; 
\ast 
 : End ; 
\ast 
] , \linebreak [0] 
[
Last\ block\ line \, 
\ast 
\gg 
\ast 
\,;
] , \linebreak [0] 
[
Arbitrary \gg 
\ast 
;
\ast 
]
; 
\newline\mathbf{Postassociative} \newline 
[
\ast 
\mathrel{|} 
\ast 
]
; 
\newline\mathbf{Postassociative} \newline 
[
\ast 
\mathrel{\mathrm{,}}
\ast 
] , \linebreak [0] 
[
\ast 
{[}
\ast 
{]}
\ast 
]
; 
\newline \mathbf {Preassociative} \newline 
[
\ast 
\& 
\ast 
]
; 
\newline \mathbf {Preassociative} \newline 
[
\ast 
\backslash \backslash 
\ast 
] , \linebreak [0] 
[
\ast 
\mathrel{linebreak[4]} 
\ast 
] , \linebreak [0] 
[
\ast 
\backslash \backslash 
\ast 
]
; 
]$

$\rm
[EquivalenceRelations
\stackrel{
\mathrm{tex}
}{\rightarrow}
\mbox{``}EquivalenceRelations
\mbox{''}
]$

$\rm
[EquivalenceRelations
\stackrel{
\mathrm{pyk}
}{\rightarrow}
\mbox{``}equivalence
\mbox{-}relations
\mbox{''}
]$

\hypertarget {url:1808490560655876194608813785663292462486349118665588524157069396079556865:1}{}\section* {$\rm (\cdots{})$}

$\rm
[(\cdots{})
\stackrel{
\mathrm{tex}
}{\rightarrow}
\mbox{``}(
\mbox {$\backslash $}cdots
\{
\})
\mbox{''}
]$

$\rm
[(\cdots{})
\stackrel{
\mathrm{pyk}
}{\rightarrow}
\mbox{``}cdots
\mbox{''}
]$

\hypertarget {url:1808490560655876194608813785663292462486349118665588524157069396079556865:2}{}\section* {$\rm \texttt{Objekt-var}$}

$\rm
[\texttt{Objekt-var}
\stackrel{
\mathrm{tex}
}{\rightarrow}
\mbox{``}
\mbox {$\backslash $}texttt
\{Objekt
\mbox{-}var
\}
\mbox{''}
]$

$\rm
[\texttt{Objekt-var}
\stackrel{
\mathrm{pyk}
}{\rightarrow}
\mbox{``}object
\mbox{-}var
\mbox{''}
]$

\hypertarget {url:1808490560655876194608813785663292462486349118665588524157069396079556865:3}{}\section* {$\rm \texttt{Ex-var}$}

$\rm
[\texttt{Ex-var}
\stackrel{
\mathrm{tex}
}{\rightarrow}
\mbox{``}
\mbox {$\backslash $}texttt
\{Ex
\mbox{-}var
\}
\mbox{''}
]$

$\rm
[\texttt{Ex-var}
\stackrel{
\mathrm{pyk}
}{\rightarrow}
\mbox{``}ex
\mbox{-}var
\mbox{''}
]$

\hypertarget {url:1808490560655876194608813785663292462486349118665588524157069396079556865:4}{}\section* {$\rm \texttt{Ph-var}$}

$\rm
[\texttt{Ph-var}
\stackrel{
\mathrm{tex}
}{\rightarrow}
\mbox{``}
\mbox {$\backslash $}texttt
\{Ph
\mbox{-}var
\}
\mbox{''}
]$

$\rm
[\texttt{Ph-var}
\stackrel{
\mathrm{pyk}
}{\rightarrow}
\mbox{``}ph
\mbox{-}var
\mbox{''}
]$

\hypertarget {url:1808490560655876194608813785663292462486349118665588524157069396079556865:5}{}\section* {$\rm \texttt{V\ae{}rdi}$}

$\rm
[\texttt{V\ae{}rdi}
\stackrel{
\mathrm{tex}
}{\rightarrow}
\mbox{``}
\mbox {$\backslash $}texttt
\{V
\mbox {$\backslash $}ae
\{
\}rdi
\}
\mbox{''}
]$

$\rm
[\texttt{V\ae{}rdi}
\stackrel{
\mathrm{pyk}
}{\rightarrow}
\mbox{``}vaerdi
\mbox{''}
]$

\hypertarget {url:1808490560655876194608813785663292462486349118665588524157069396079556865:6}{}\section* {$\rm \texttt{Variabel}$}

$\rm
[\texttt{Variabel}
\stackrel{
\mathrm{tex}
}{\rightarrow}
\mbox{``}
\mbox {$\backslash $}texttt
\{Variabel
\}
\mbox{''}
]$

$\rm
[\texttt{Variabel}
\stackrel{
\mathrm{pyk}
}{\rightarrow}
\mbox{``}variabel
\mbox{''}
]$

\hypertarget {url:1808490560655876194608813785663292462486349118665588524157069396079556865:7}{}\section* {$\rm Op(\ast
)$}

$\rm
[Op(
\mathsf{x}
)
\stackrel{
\mathrm{tex}
}{\rightarrow}
\mbox{``}Op(
\#1.
\newline )
\mbox{''}
]$

$\rm
[Op(
\ast 
)
\stackrel{
\mathrm{pyk}
}{\rightarrow}
\mbox{``}op
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}
\mbox {\tt \char34}
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}end
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}op
\mbox{''}
]$

\hypertarget {url:1808490560655876194608813785663292462486349118665588524157069396079556865:8}{}\section* {$\rm Op(\ast
,\ast
)$}

$\rm
[Op(
\mathsf{x}
,
\mathsf{y}
)
\stackrel{
\mathrm{tex}
}{\rightarrow}
\mbox{``}Op(
\#1.
\newline ,
\#2.
\newline )
\mbox{''}
]$

$\rm
[Op(
\ast 
,
\ast 
)
\stackrel{
\mathrm{pyk}
}{\rightarrow}
\mbox{``}op2
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}
\mbox {\tt \char34}
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}comma
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}
\mbox {\tt \char34}
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}end
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}op2
\mbox{''}
]$

\hypertarget {url:1808490560655876194608813785663292462486349118665588524157069396079556865:9}{}\section* {$\rm \ast
 \mathrel {\ddot {=}} \ast$}

$\rm
[
\mathsf{x}
 \mathrel {\ddot {=}} 
\mathsf{y}
\stackrel{
\mathrm{tex}
}{\rightarrow}
\mbox{``}
\#1.
\newline 
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}
\mbox {$\backslash $}mathrel
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}
\{
\mbox {$\backslash $}ddot
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}
\{
{=}
\}
\}
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}
\#2.
\mbox{''}
]$

$\rm
[
\ast 
 \mathrel {\ddot {=}} 
\ast 
\stackrel{
\mathrm{pyk}
}{\rightarrow}
\mbox{``}define
\mbox{-}equal
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}
\mbox {\tt \char34}
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}comma
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}
\mbox {\tt \char34}
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}end
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}equal
\mbox{''}
]$

\hypertarget {url:1808490560655876194608813785663292462486349118665588524157069396079556865:10}{}\section* {$\rm ContainsEmpty(\ast
)$}

$\rm
[ContainsEmpty(
\mathsf{x}
)
\stackrel{
\mathrm {macro}
}{\rightarrow}
\lambda 
\mathsf {t}
.
\lambda 
\mathsf {s}
.
\lambda 
\mathsf {c}
.
\tilde {{\cal M}}_4(
\mathsf {t}
,
\mathsf {s}
,
\mathsf {c}
,
\lceil 
[ContainsEmpty(
\mathsf{x}
)
\mathrel {\ddot {=}} \{ ph \mathrel{\in} 
\mathsf{x}
\mid \mathrm{\O}
 \mathrel{\in} ph_{1}
\}
]
\rceil 
)
]$

$\rm
[ContainsEmpty(
\mathsf{x}
)
\stackrel{
\mathrm{tex}
}{\rightarrow}
\mbox{``}ContainsEmpty(
\#1.
\newline )
\mbox{''}
]$

$\rm
[ContainsEmpty(
\ast 
)
\stackrel{
\mathrm{pyk}
}{\rightarrow}
\mbox{``}contains
\mbox{-}empty
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}
\mbox {\tt \char34}
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}end
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}empty
\mbox{''}
]$

\hypertarget {url:1808490560655876194608813785663292462486349118665588524157069396079556865:11}{}\section* {$\rm 
Dedu(\ast
,\ast
)$}

$\rm
[
Dedu(
\mathsf {p}
,
\mathsf {c}
)
\stackrel{
\mathrm {macro}
}{\rightarrow}
\lambda 
\mathsf {t}
.
\lambda 
\mathsf {s}
.
\lambda 
\mathsf {c}
.
\tilde {{\cal M}}_4(
\mathsf {t}
,
\mathsf {s}
,
\mathsf {c}
,
\lceil 
[
Dedu(
\mathsf {p}
,
\mathsf {c}
)
\mathrel {\ddot {=}}
\lambda 
\mathsf{x}
.
Dedu_0(
\lceil 
\mathsf {p}
\rceil 
,
\lceil 
\mathsf {c}
\rceil 
)
]
\rceil 
)
]$

$\rm
[
Dedu(
\mathsf{x}
,
\mathsf{y}
)
\stackrel{
\mathrm{tex}
}{\rightarrow}
\mbox{``}
\newline Dedu(
\#1.
\newline ,
\#2.
\newline )
\mbox{''}
]$

$\rm
[
Dedu(
\ast 
,
\ast 
)
\stackrel{
\mathrm{pyk}
}{\rightarrow}
\mbox{``}1deduction
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}
\mbox {\tt \char34}
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}conclude
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}
\mbox {\tt \char34}
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}end
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}1deduction
\mbox{''}
]$

\hypertarget {url:1808490560655876194608813785663292462486349118665588524157069396079556865:12}{}\section* {$\rm 
Dedu_0(\ast
,\ast
)$}

$\rm
[
Dedu_0(
\mathsf {p}
,
\mathsf {c}
)
\stackrel{
\mathrm {val}
}{\rightarrow}
\mathsf {c}
!
\mathrm {If}(
Dedu_8(
\mathsf {p}
,
\mathsf {T}
)
,\linebreak [0]Dedu_{s}(
Dedu_7(
\mathsf {p}
)
,
\mathsf {c}
,
\mathsf {T}
)
,\linebreak [0]
\mathsf {F}
)
]$

$\rm
[
Dedu_0(
\mathsf{x}
,
\mathsf{y}
)
\stackrel{
\mathrm{tex}
}{\rightarrow}
\mbox{``}
\newline Dedu
\_0(
\#1.
\newline ,
\#2.
\newline )
\mbox{''}
]$

$\rm
[
Dedu_0(
\ast 
,
\ast 
)
\stackrel{
\mathrm{pyk}
}{\rightarrow}
\mbox{``}1deduction
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}zero
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}
\mbox {\tt \char34}
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}conclude
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}
\mbox {\tt \char34}
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}end
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}1deduction
\mbox{''}
]$

\hypertarget {url:1808490560655876194608813785663292462486349118665588524157069396079556865:13}{}\section* {$\rm Dedu_{s}(\ast
,\ast
,\ast
)$}

$\rm
[Dedu_{s}(
\mathsf {p}
,
\mathsf {c}
,
\mathsf {s}
)
\stackrel{
\mathrm {val}
}{\rightarrow}
\mathrm {If}(
\mathsf {p}
\stackrel{r}{=} 
\lceil 
\mathsf{x}
\mathrel {\makebox [0mm][l]{$\vdash $}\,{\vdash }} 
\mathsf{y}
\rceil 
,\linebreak [0]
\mathsf {c}
\stackrel{r}{=} 
\lceil 
\mathsf{x}
\mathrel {\makebox [0mm][l]{$\vdash $}\,{\vdash }} 
\mathsf{y}
\rceil 
\wedge 
\mathsf {p}
{}^{1}
\stackrel {t}{=}
\mathsf {c}
{}^{1}
\wedge Dedu_{s}(
\mathsf {p}
{}^{2}
,
\mathsf {c}
{}^{2}
,
\mathsf {c}
{}^{1}
\mathrel { : \, : }
\mathsf {s}
)
,\linebreak [0]
Dedu_1(
\mathsf {p}
,
\mathsf {c}
,
\mathsf {s}
)
)
]$

$\rm
[Dedu_{s}(
\mathsf{x}
,
\mathsf{y}
,
\mathsf{z}
)
\stackrel{
\mathrm{tex}
}{\rightarrow}
\mbox{``}Dedu
\_
\{s
\}(
\#1.
\newline ,
\#2.
\newline ,
\#3.
\newline )
\mbox{''}
]$

$\rm
[Dedu_{s}(
\ast 
,
\ast 
,
\ast 
)
\stackrel{
\mathrm{pyk}
}{\rightarrow}
\mbox{``}1deduction
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}side
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}
\mbox {\tt \char34}
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}conclude
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}
\mbox {\tt \char34}
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}condition
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}
\mbox {\tt \char34}
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}end
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}1deduction
\mbox{''}
]$

\hypertarget {url:1808490560655876194608813785663292462486349118665588524157069396079556865:14}{}\section* {$\rm 
Dedu_1(\ast
,\ast
,\ast
)$}

$\rm
[
Dedu_1(
\mathsf {p}
,
\mathsf {c}
,
\mathsf {s}
)
\stackrel{
\mathrm {val}
}{\rightarrow}
\mathrm {If}(
\mathsf {c}
\stackrel{r}{=} 
\lceil 
\mathsf{x}
\mathrel {\makebox [0mm][l]{$\vdash $}\,{\vdash }} 
\mathsf{y}
\rceil 
,\linebreak [0]
Dedu_1(
\mathsf {p}
,
\mathsf {c}
{}^{2}
,
\mathsf {c}
{}^{1}
\mathrel { : \, : }
\mathsf {s}
)
,\linebreak [0]
Dedu_2(
\mathsf {p}
,
\mathsf {c}
,
\mathsf {s}
)
)
]$

$\rm
[
Dedu_1(
\mathsf{x}
,
\mathsf{y}
,
\mathsf{z}
)
\stackrel{
\mathrm{tex}
}{\rightarrow}
\mbox{``}
\newline Dedu
\_1(
\#1.
\newline ,
\#2.
\newline ,
\#3.
\newline )
\mbox{''}
]$

$\rm
[
Dedu_1(
\ast 
,
\ast 
,
\ast 
)
\stackrel{
\mathrm{pyk}
}{\rightarrow}
\mbox{``}1deduction
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}one
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}
\mbox {\tt \char34}
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}conclude
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}
\mbox {\tt \char34}
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}condition
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}
\mbox {\tt \char34}
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}end
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}1deduction
\mbox{''}
]$

\hypertarget {url:1808490560655876194608813785663292462486349118665588524157069396079556865:15}{}\section* {$\rm 
Dedu_2(\ast
,\ast
,\ast
)$}

$\rm
[
Dedu_2(
\mathsf {p}
,
\mathsf {c}
,
\mathsf {s}
)
\stackrel{
\mathrm {val}
}{\rightarrow}
\mathsf {s}
!
\mathsf {p}
\stackrel{r}{=} 
\lceil 
\mathsf{x}
\vdash 
\mathsf{y}
\rceil 
\wedge 
\mathsf {c}
\stackrel{r}{=} 
\lceil 
\mathsf{x}
\Rightarrow 
\mathsf{y}
\rceil 
\left\{\protect \begin {array}{l}
Dedu_3(
\mathsf {p}
{}^{1}
,
\mathsf {c}
{}^{1}
,
\mathsf {s}
,
\mathsf {T}
)
\wedge 
Dedu_2(
\mathsf {p}
{}^{2}
,
\mathsf {c}
{}^{2}
,
\mathsf {s}
)
\\
Dedu_4(
\mathsf {p}
,
\mathsf {c}
,
\mathsf {s}
,
Dedu_6(
\mathsf {p}
,
\mathsf {c}
,
\mathsf {T}
,
\mathsf {T}
)
)
\protect \end {array}\right.
]$

$\rm
[
Dedu_2(
\mathsf{x}
,
\mathsf{y}
,
\mathsf{z}
)
\stackrel{
\mathrm{tex}
}{\rightarrow}
\mbox{``}
\newline Dedu
\_2(
\#1.
\newline ,
\#2.
\newline ,
\#3.
\newline )
\mbox{''}
]$

$\rm
[
Dedu_2(
\ast 
,
\ast 
,
\ast 
)
\stackrel{
\mathrm{pyk}
}{\rightarrow}
\mbox{``}1deduction
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}two
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}
\mbox {\tt \char34}
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}conclude
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}
\mbox {\tt \char34}
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}condition
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}
\mbox {\tt \char34}
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}end
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}1deduction
\mbox{''}
]$

\hypertarget {url:1808490560655876194608813785663292462486349118665588524157069396079556865:16}{}\section* {$\rm 
Dedu_3(\ast
,\ast
,\ast
,\ast
)$}

$\rm
[
Dedu_3(
\mathsf {p}
,
\mathsf {c}
,
\mathsf {s}
,
\mathsf {b}
)
\stackrel{
\mathrm {val}
}{\rightarrow}
\mathrm {If}(
{\neg }
\mathsf {c}
\stackrel{r}{=} 
\lceil 
\forall_{obj} 
\mathsf{x}
\colon 
\mathsf{y}
\rceil 
,\linebreak [0]
Dedu_4(
\mathsf {p}
,
\mathsf {c}
,
\mathsf {s}
,
\mathsf {b}
)
,\linebreak [0]
\mathrm {If}(
\mathsf {p}
\stackrel{r}{=} 
\lceil 
\forall_{obj} 
\mathsf{x}
\colon 
\mathsf{y}
\rceil 
\wedge 
\mathsf {p}
{}^{1}
\stackrel {t}{=}
\mathsf {c}
{}^{1}
,\linebreak [0]
Dedu_4(
\mathsf {p}
,
\mathsf {c}
,
\mathsf {s}
,
\mathsf {b}
)
,\linebreak [0]
Dedu_3(
\mathsf {p}
,
\mathsf {c}
{}^{2}
,
\mathsf {s}
,
\mathsf {c}
{}^{1}
\mathrel { : \, : }
\mathsf {c}
{}^{1}
\mathrel { : \, : }
\mathsf {b}
)
)
)
]$

$\rm
[
Dedu_3(
\mathsf{x}
,
\mathsf{y}
,
\mathsf{z}
,
\mathsf {u}
)
\stackrel{
\mathrm{tex}
}{\rightarrow}
\mbox{``}
\newline Dedu
\_3(
\#1.
\newline ,
\#2.
\newline ,
\#3.
\newline ,
\#4.
\newline )
\mbox{''}
]$

$\rm
[
Dedu_3(
\ast 
,
\ast 
,
\ast 
,
\ast 
)
\stackrel{
\mathrm{pyk}
}{\rightarrow}
\mbox{``}1deduction
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}three
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}
\mbox {\tt \char34}
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}conclude
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}
\mbox {\tt \char34}
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}condition
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}
\mbox {\tt \char34}
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}bound
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}
\mbox {\tt \char34}
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}end
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}1deduction
\mbox{''}
]$

\hypertarget {url:1808490560655876194608813785663292462486349118665588524157069396079556865:17}{}\section* {$\rm 
Dedu_4(\ast
,\ast
,\ast
,\ast
)$}

$\rm
[
Dedu_4(
\mathsf {p}
,
\mathsf {c}
,
\mathsf {s}
,
\mathsf {b}
)
\stackrel{
\mathrm {val}
}{\rightarrow}
\mathsf {s}
!
\mathsf {b}
!
\mathrm {If}(
\mathsf {p}
\stackrel{r}{=} 
\lceil \overline{
\mathsf{x}}
\rceil 
,\linebreak [0]
\mathbf {lookup}(
\mathsf {p}
,
\mathsf {b}
,
\mathsf {T}
)
\stackrel {t}{=}
\mathsf {c}
,\linebreak [0]
\mathrm {If}(
{\neg }
\mathsf {p}
\stackrel{r}{=} 
\mathsf {c}
,\linebreak [0]
\mathsf {F}
,\linebreak [0]
\mathrm {If}(
\mathsf {p}
\stackrel{r}{=} 
\lceil 
\forall_{obj} 
\mathsf{x}
\colon 
\mathsf{y}
\rceil 
,\linebreak [0]
\mathsf {p}
{}^{1}
\stackrel {t}{=}
\mathsf {c}
{}^{1}
\wedge 
Dedu_4(
\mathsf {p}
{}^{2}
,
\mathsf {c}
{}^{2}
,
\mathsf {s}
,
\mathsf {p}
{}^{1}
\mathrel { : \, : }
\mathsf {p}
{}^{1}
\mathrel { : \, : }
\mathsf {b}
)
,\linebreak [0]
\mathrm {If}(
{\neg }
\mathsf {p}
\stackrel{r}{=} 
\lceil \underline{
\mathsf{x}}
\rceil 
,\linebreak [0]
Dedu_4^*(
\mathsf {p}
{}^t
,
\mathsf {c}
{}^t
,
\mathsf {s}
,
\mathsf {b}
)
,\linebreak [0]
\mathsf {p}
{}^{1}
\stackrel {t}{=}
\mathsf {c}
{}^{1}
\wedge 
Dedu_5(
\mathsf {p}
,
\mathsf {s}
,
\mathsf {b}
)
)
)
)
)
]$

$\rm
[
Dedu_4(
\mathsf{x}
,
\mathsf{y}
,
\mathsf{z}
,
\mathsf {u}
)
\stackrel{
\mathrm{tex}
}{\rightarrow}
\mbox{``}
\newline Dedu
\_4(
\#1.
\newline ,
\#2.
\newline ,
\#3.
\newline ,
\#4.
\newline )
\mbox{''}
]$

$\rm
[
Dedu_4(
\ast 
,
\ast 
,
\ast 
,
\ast 
)
\stackrel{
\mathrm{pyk}
}{\rightarrow}
\mbox{``}1deduction
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}four
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}
\mbox {\tt \char34}
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}conclude
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}
\mbox {\tt \char34}
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}condition
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}
\mbox {\tt \char34}
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}bound
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}
\mbox {\tt \char34}
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}end
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}1deduction
\mbox{''}
]$

\hypertarget {url:1808490560655876194608813785663292462486349118665588524157069396079556865:18}{}\section* {$\rm 
Dedu_4^*(\ast
,\ast
,\ast
,\ast
)$}

$\rm
[
Dedu_4^*(
\mathsf {p}
,
\mathsf {c}
,
\mathsf {s}
,
\mathsf {b}
)
\stackrel{
\mathrm {val}
}{\rightarrow}
\mathsf {c}
!
\mathsf {s}
!
\mathsf {b}
!
\mathrm {If}(
\mathsf {p}
,\linebreak [0]
\mathsf {T}
,\linebreak [0]
Dedu_4(
\mathsf {p}
{}^h
,
\mathsf {c}
{}^h
,
\mathsf {s}
,
\mathsf {b}
)
\wedge 
Dedu_4^*(
\mathsf {p}
{}^t
,
\mathsf {c}
{}^t
,
\mathsf {s}
,
\mathsf {b}
)
)
]$

$\rm
[
Dedu_4^*(
\mathsf{x}
,
\mathsf{y}
,
\mathsf{z}
,
\mathsf {u}
)
\stackrel{
\mathrm{tex}
}{\rightarrow}
\mbox{``}
\newline Dedu
\_4
{\char94}
{*}(
\#1.
\newline ,
\#2.
\newline ,
\#3.
\newline ,
\#4.
\newline )
\mbox{''}
]$

$\rm
[
Dedu_4^*(
\ast 
,
\ast 
,
\ast 
,
\ast 
)
\stackrel{
\mathrm{pyk}
}{\rightarrow}
\mbox{``}1deduction
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}four
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}star
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}
\mbox {\tt \char34}
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}conclude
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}
\mbox {\tt \char34}
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}condition
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}
\mbox {\tt \char34}
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}bound
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}
\mbox {\tt \char34}
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}end
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}1deduction
\mbox{''}
]$

\hypertarget {url:1808490560655876194608813785663292462486349118665588524157069396079556865:19}{}\section* {$\rm 
Dedu_5(\ast
,\ast
,\ast
)$}

$\rm
[
Dedu_5(
\mathsf {p}
,
\mathsf {s}
,
\mathsf {b}
)
\stackrel{
\mathrm {val}
}{\rightarrow}
\mathsf {p}
!
\mathsf {s}
!
\mathrm {If}(
\mathsf {b}
,\linebreak [0]
\mathsf {T}
,\linebreak [0]
\lceil 
\lceil 
\mathsf{x}
\rceil 
\#^0
\lceil 
\mathsf{y}
\rceil 
\rceil 
{}^h
\mathrel { : \, : }
\lceil 
\lceil 
\ast 
\rceil 
\rceil 
{}^h
\mathrel { : \, : }
\mathsf {b}
{}^h
{}^h
\mathrel { : \, : }
\mathsf {T}
\mathrel { : \, : }
\lceil 
\lceil 
\mathsf{x}
\rceil 
\rceil 
{}^h
\mathrel { : \, : }
\mathsf {p}
\mathrel { : \, : }
\mathsf {T}
\mathrel { : \, : }
\mathsf {T}
\in_t 
\mathsf {s}
\wedge 
Dedu_5(
\mathsf {p}
,
\mathsf {s}
,
\mathsf {b}
{}^t
)
)
]$

$\rm
[
Dedu_5(
\mathsf{x}
,
\mathsf{y}
,
\mathsf{z}
)
\stackrel{
\mathrm{tex}
}{\rightarrow}
\mbox{``}
\newline Dedu
\_5(
\#1.
\newline ,
\#2.
\newline ,
\#3.
\newline )
\mbox{''}
]$

$\rm
[
Dedu_5(
\ast 
,
\ast 
,
\ast 
)
\stackrel{
\mathrm{pyk}
}{\rightarrow}
\mbox{``}1deduction
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}five
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}
\mbox {\tt \char34}
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}condition
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}
\mbox {\tt \char34}
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}bound
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}
\mbox {\tt \char34}
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}end
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}1deduction
\mbox{''}
]$

\hypertarget {url:1808490560655876194608813785663292462486349118665588524157069396079556865:20}{}\section* {$\rm 
Dedu_6(\ast
,\ast
,\ast
,\ast
)$}

$\rm
[
Dedu_6(
\mathsf {p}
,
\mathsf {c}
,
\mathsf {e}
,
\mathsf {b}
)
\stackrel{
\mathrm {val}
}{\rightarrow}
\mathsf {p}
!
\mathsf {c}
!
\mathsf {b}
!
\mathsf {e}
!
\mathrm {If}(
\mathsf {p}
\stackrel{r}{=} 
\lceil \overline{
\mathsf{x}}
\rceil 
,\linebreak [0]
\mathsf {p}
\in_t 
\mathsf {e}
\left\{\protect \begin {array}{l}
\mathsf {b}
\\
\mathsf {p}
\mathrel { : \, : }
\mathsf {c}
\mathrel { : \, : }
\mathsf {b}
\protect \end {array}\right.
,\linebreak [0]
\mathrm {If}(
{\neg }
\mathsf {p}
\stackrel{r}{=} 
\mathsf {c}
,\linebreak [0]
\mathsf {T}
,\linebreak [0]
\mathrm {If}(
\mathsf {p}
\stackrel{r}{=} 
\lceil \underline{
\mathsf {a}}
\rceil 
,\linebreak [0]
\mathsf {b}
,\linebreak [0]
\mathrm {If}(
\mathsf {p}
\stackrel{r}{=} 
\lceil 
\forall_{obj} 
\mathsf{x}
\colon 
\mathsf{y}
\rceil 
,\linebreak [0]
Dedu_6(
\mathsf {p}
{}^{2}
,
\mathsf {c}
{}^{2}
,
\mathsf {c}
{}^{1}
\mathrel { : \, : }
\mathsf {e}
,
\mathsf {b}
)
,\linebreak [0]
Dedu_6^*(
\mathsf {p}
{}^t
,
\mathsf {c}
{}^t
,
\mathsf {e}
,
\mathsf {b}
)
)
)
)
)
]$

$\rm
[
Dedu_6(
\mathsf {p}
,
\mathsf {c}
,
\mathsf {e}
,
\mathsf {b}
)
\stackrel{
\mathrm{tex}
}{\rightarrow}
\mbox{``}
\newline Dedu
\_6(
\#1.
\newline ,
\#2.
\newline ,
\#3.
\newline ,
\#4.
\newline )
\mbox{''}
]$

$\rm
[
Dedu_6(
\ast 
,
\ast 
,
\ast 
,
\ast 
)
\stackrel{
\mathrm{pyk}
}{\rightarrow}
\mbox{``}1deduction
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}six
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}
\mbox {\tt \char34}
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}conclude
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}
\mbox {\tt \char34}
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}exception
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}
\mbox {\tt \char34}
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}bound
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}
\mbox {\tt \char34}
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}end
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}1deduction
\mbox{''}
]$

\hypertarget {url:1808490560655876194608813785663292462486349118665588524157069396079556865:21}{}\section* {$\rm 
Dedu_6^*(\ast
,\ast
,\ast
,\ast
)$}

$\rm
[
Dedu_6^*(
\mathsf {p}
,
\mathsf {c}
,
\mathsf {e}
,
\mathsf {b}
)
\stackrel{
\mathrm {val}
}{\rightarrow}
\mathsf {p}
!
\mathsf {c}
!
\mathsf {b}
!
\mathsf {e}
!
\mathrm {If}(
\mathsf {p}
,\linebreak [0]
\mathsf {b}
,\linebreak [0]
Dedu_6^*(
\mathsf {p}
{}^t
,
\mathsf {c}
{}^t
,
\mathsf {e}
,
Dedu_6(
\mathsf {p}
{}^h
,
\mathsf {c}
{}^h
,
\mathsf {e}
,
\mathsf {b}
)
)
)
]$

$\rm
[
Dedu_6^*(
\mathsf {p}
,
\mathsf {c}
,
\mathsf {e}
,
\mathsf {b}
)
\stackrel{
\mathrm{tex}
}{\rightarrow}
\mbox{``}
\newline Dedu
\_6
{\char94}
{*}(
\#1.
\newline ,
\#2.
\newline ,
\#3.
\newline ,
\#4.
\newline )
\mbox{''}
]$

$\rm
[
Dedu_6^*(
\ast 
,
\ast 
,
\ast 
,
\ast 
)
\stackrel{
\mathrm{pyk}
}{\rightarrow}
\mbox{``}1deduction
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}six
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}star
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}
\mbox {\tt \char34}
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}conclude
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}
\mbox {\tt \char34}
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}exception
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}
\mbox {\tt \char34}
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}bound
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}
\mbox {\tt \char34}
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}end
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}1deduction
\mbox{''}
]$

\hypertarget {url:1808490560655876194608813785663292462486349118665588524157069396079556865:22}{}\section* {$\rm 
Dedu_7(\ast
)$}

$\rm
[
Dedu_7(
\mathsf {p}
)
\stackrel{
\mathrm {val}
}{\rightarrow}
\mathsf {p}
\stackrel{r}{=} 
\lceil 
\forall 
\mathsf{x}
\colon 
\mathsf{y}
\rceil 
\left\{\protect \begin {array}{l}
Dedu_7(
\mathsf {p}
{}^{2}
)
\\
\mathsf {p}
\protect \end {array}\right.
]$

$\rm
[
Dedu_7(
\mathsf {p}
)
\stackrel{
\mathrm{tex}
}{\rightarrow}
\mbox{``}
\newline Dedu
\_7(
\#1.
\newline )
\mbox{''}
]$

$\rm
[
Dedu_7(
\ast 
)
\stackrel{
\mathrm{pyk}
}{\rightarrow}
\mbox{``}1deduction
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}seven
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}
\mbox {\tt \char34}
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}end
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}1deduction
\mbox{''}
]$

\hypertarget {url:1808490560655876194608813785663292462486349118665588524157069396079556865:23}{}\section* {$\rm 
Dedu_8(\ast
,\ast
)$}

$\rm
[
Dedu_8(
\mathsf {p}
,
\mathsf {b}
)
\stackrel{
\mathrm {val}
}{\rightarrow}
\mathrm {If}(
\mathsf {p}
\stackrel{r}{=} 
\lceil 
\forall 
\mathsf{x}
\colon 
\mathsf{y}
\rceil 
,\linebreak [0]
Dedu_8(
\mathsf {p}
{}^{2}
,
\mathsf {p}
{}^{1}
\mathrel { : \, : }
\mathsf {b}
)
,\linebreak [0]
\mathrm {If}(
\mathsf {p}
\stackrel{r}{=} 
\lceil \underline{
\mathsf {a}}
\rceil 
,\linebreak [0]
\mathsf {p}
\in_t 
\mathsf {b}
,\linebreak [0]
Dedu_8^*(
\mathsf {p}
{}^t
,
\mathsf {b}
)
)
)
]$

$\rm
[
Dedu_8(
\mathsf {p}
,
\mathsf {b}
)
\stackrel{
\mathrm{tex}
}{\rightarrow}
\mbox{``}
\newline Dedu
\_8(
\#1.
\newline ,
\#2.
\newline )
\mbox{''}
]$

$\rm
[
Dedu_8(
\ast 
,
\ast 
)
\stackrel{
\mathrm{pyk}
}{\rightarrow}
\mbox{``}1deduction
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}eight
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}
\mbox {\tt \char34}
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}bound
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}
\mbox {\tt \char34}
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}end
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}1deduction
\mbox{''}
]$

\hypertarget {url:1808490560655876194608813785663292462486349118665588524157069396079556865:24}{}\section* {$\rm 
Dedu_8^*(\ast
,\ast
)$}

$\rm
[
Dedu_8^*(
\mathsf {p}
,
\mathsf {b}
)
\stackrel{
\mathrm {val}
}{\rightarrow}
\mathsf {b}
!
\mathrm {If}(
\mathsf {p}
,\linebreak [0]
\mathsf {T}
,\linebreak [0]
\mathrm {If}(
Dedu_8(
\mathsf {p}
{}^h
,
\mathsf {b}
)
,\linebreak [0]
Dedu_8^*(
\mathsf {p}
{}^t
,
\mathsf {b}
)
,\linebreak [0]
\mathsf {F}
)
)
]$

$\rm
[
Dedu_8^*(
\mathsf {p}
,
\mathsf {b}
)
\stackrel{
\mathrm{tex}
}{\rightarrow}
\mbox{``}
\newline Dedu
\_8
{\char94}
{*}(
\#1.
\newline ,
\#2.
\newline )
\mbox{''}
]$

$\rm
[
Dedu_8^*(
\ast 
,
\ast 
)
\stackrel{
\mathrm{pyk}
}{\rightarrow}
\mbox{``}1deduction
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}eight
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}star
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}
\mbox {\tt \char34}
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}bound
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}
\mbox {\tt \char34}
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}end
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}1deduction
\mbox{''}
]$

\hypertarget {url:1808490560655876194608813785663292462486349118665588524157069396079556865:25}{}\section* {$\rm Ex_{1}$}

$\rm
[Ex_{1}
\stackrel{
\mathrm {macro}
}{\rightarrow}
\lambda 
\mathsf {t}
.
\lambda 
\mathsf {s}
.
\lambda 
\mathsf {c}
.
\tilde {{\cal M}}_4(
\mathsf {t}
,
\mathsf {s}
,
\mathsf {c}
,
\lceil 
[Ex_{1}
\mathrel {\ddot {=}}
\mathsf {a}
 _{Ex}
]
\rceil 
)
]$

$\rm
[Ex_{1}
\stackrel{
\mathrm{tex}
}{\rightarrow}
\mbox{``}Ex
\_
\{1
\}
\mbox{''}
]$

$\rm
[Ex_{1}
\stackrel{
\mathrm{pyk}
}{\rightarrow}
\mbox{``}ex1
\mbox{''}
]$

\hypertarget {url:1808490560655876194608813785663292462486349118665588524157069396079556865:26}{}\section* {$\rm Ex_{2}$}

$\rm
[Ex_{2}
\stackrel{
\mathrm {macro}
}{\rightarrow}
\lambda 
\mathsf {t}
.
\lambda 
\mathsf {s}
.
\lambda 
\mathsf {c}
.
\tilde {{\cal M}}_4(
\mathsf {t}
,
\mathsf {s}
,
\mathsf {c}
,
\lceil 
[Ex_{2}
\mathrel {\ddot {=}}
\mathsf {b}
 _{Ex}
]
\rceil 
)
]$

$\rm
[Ex_{2}
\stackrel{
\mathrm{tex}
}{\rightarrow}
\mbox{``}Ex
\_
\{2
\}
\mbox{''}
]$

$\rm
[Ex_{2}
\stackrel{
\mathrm{pyk}
}{\rightarrow}
\mbox{``}ex2
\mbox{''}
]$

\hypertarget {url:1808490560655876194608813785663292462486349118665588524157069396079556865:27}{}\section* {$\rm Ex_{10}$}

$\rm
[Ex_{10}
\stackrel{
\mathrm {macro}
}{\rightarrow}
\lambda 
\mathsf {t}
.
\lambda 
\mathsf {s}
.
\lambda 
\mathsf {c}
.
\tilde {{\cal M}}_4(
\mathsf {t}
,
\mathsf {s}
,
\mathsf {c}
,
\lceil 
[Ex_{10}
\mathrel {\ddot {=}}
\mathsf {j}
 _{Ex}
]
\rceil 
)
]$

$\rm
[Ex_{10}
\stackrel{
\mathrm{tex}
}{\rightarrow}
\mbox{``}Ex
\_
\{10
\}
\mbox{''}
]$

$\rm
[Ex_{10}
\stackrel{
\mathrm{pyk}
}{\rightarrow}
\mbox{``}ex10
\mbox{''}
]$

\hypertarget {url:1808490560655876194608813785663292462486349118665588524157069396079556865:28}{}\section* {$\rm Ex_{20}$}

$\rm
[Ex_{20}
\stackrel{
\mathrm {macro}
}{\rightarrow}
\lambda 
\mathsf {t}
.
\lambda 
\mathsf {s}
.
\lambda 
\mathsf {c}
.
\tilde {{\cal M}}_4(
\mathsf {t}
,
\mathsf {s}
,
\mathsf {c}
,
\lceil 
[Ex_{20}
\mathrel {\ddot {=}}
\mathsf {t}
 _{Ex}
]
\rceil 
)
]$

$\rm
[Ex_{20}
\stackrel{
\mathrm{tex}
}{\rightarrow}
\mbox{``}Ex
\_
\{20
\}
\mbox{''}
]$

$\rm
[Ex_{20}
\stackrel{
\mathrm{pyk}
}{\rightarrow}
\mbox{``}ex20
\mbox{''}
]$

\hypertarget {url:1808490560655876194608813785663292462486349118665588524157069396079556865:29}{}\section* {$\rm \ast
 _{Ex}$}

$\rm
[
\mathsf{x}
 _{Ex}
\stackrel{
\mathrm{tex}
}{\rightarrow}
\mbox{``}
\#1.
\newline 
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}
\_
\{Ex
\}
\mbox{''}
]$

$\rm
[
\ast 
 _{Ex}
\stackrel{
\mathrm{pyk}
}{\rightarrow}
\mbox{``}existential
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}var
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}
\mbox {\tt \char34}
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}end
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}var
\mbox{''}
]$

\hypertarget {url:1808490560655876194608813785663292462486349118665588524157069396079556865:30}{}\section* {$\rm \ast
 ^{Ex}$}

$\rm
[
\mathsf{x}
 ^{Ex}
\stackrel{
\mathrm {val}
}{\rightarrow}
\mathsf{x}
\stackrel{r}{=} 
\lceil 
\mathsf{x}
 _{Ex}
\rceil 
]$

$\rm
[
\mathsf{x}
 ^{Ex}
\stackrel{
\mathrm{tex}
}{\rightarrow}
\mbox{``}
\#1.
\newline 
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}
{\char94}
\{Ex
\}
\mbox{''}
]$

$\rm
[
\ast 
 ^{Ex}
\stackrel{
\mathrm{pyk}
}{\rightarrow}
\mbox{``}
\mbox {\tt \char34}
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}is
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}existential
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}var
\mbox{''}
]$

\hypertarget {url:1808490560655876194608813785663292462486349118665588524157069396079556865:31}{}\section* {$\rm \langle \ast
{\equiv} \ast
| \ast
{:=} \ast
\rangle_{Ex} $}

$\rm
[\langle 
\mathsf {a}
{\equiv} 
\mathsf {b}
| 
\mathsf{x}
{:=} 
\mathsf {t}
\rangle_{Ex} 
\stackrel{
\mathrm {macro}
}{\rightarrow}
\lambda 
\mathsf {t}
.
\lambda 
\mathsf {s}
.
\lambda 
\mathsf {c}
.
\tilde {{\cal M}}_4(
\mathsf {t}
,
\mathsf {s}
,
\mathsf {c}
,
\lceil 
[\langle 
\mathsf {a}
{\equiv} 
\mathsf {b}
| 
\mathsf{x}
{:=} 
\mathsf {t}
\rangle_{Ex} 
\mathrel {\ddot {=}}\langle 
\lceil 
\mathsf {a}
\rceil 
{\equiv}^0 
\lceil 
\mathsf {b}
\rceil 
| 
\lceil 
\mathsf{x}
\rceil 
{:=} 
\lceil 
\mathsf {t}
\rceil 
\rangle_{Ex} 
]
\rceil 
)
]$

$\rm
[\langle 
\mathsf{x}
{\equiv} 
\mathsf{y}
| 
\mathsf{z}
{:=} 
\mathsf {u}
\rangle_{Ex} 
\stackrel{
\mathrm{tex}
}{\rightarrow}
\mbox{``}
\mbox {$\backslash $}langle
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}
\#1.
\newline 
\{
\mbox {$\backslash $}equiv
\}
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}
\#2.
\newline |
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}
\#3.
\newline 
\{
{:}
{=}
\}
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}
\#4.
\newline 
\mbox {$\backslash $}rangle
\_
\{Ex
\}
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}
\mbox{''}
]$

$\rm
[\langle 
\ast 
{\equiv} 
\ast 
| 
\ast 
{:=} 
\ast 
\rangle_{Ex} 
\stackrel{
\mathrm{pyk}
}{\rightarrow}
\mbox{``}exist
\mbox{-}sub
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}
\mbox {\tt \char34}
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}is
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}
\mbox {\tt \char34}
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}where
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}
\mbox {\tt \char34}
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}is
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}
\mbox {\tt \char34}
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}end
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}sub
\mbox{''}
]$

\hypertarget {url:1808490560655876194608813785663292462486349118665588524157069396079556865:32}{}\section* {$\rm \langle \ast
{\equiv}^0 \ast
| \ast
{:=} \ast
\rangle_{Ex} $}

$\rm
[\langle 
\mathsf {a}
{\equiv}^0 
\mathsf {b}
| 
\mathsf{x}
{:=} 
\mathsf {t}
\rangle_{Ex} 
\stackrel{
\mathrm {val}
}{\rightarrow}
\lambda 
\mathsf {c}
.
\mathsf{x}
 ^{Ex}
\wedge \langle 
\mathsf {a}
{\equiv}^1 
\mathsf {b}
| 
\mathsf{x}
{:=} 
\mathsf {t}
\rangle_{Ex} 
]$

$\rm
[\langle 
\mathsf{x}
{\equiv}^0 
\mathsf{y}
| 
\mathsf{z}
{:=} 
\mathsf {u}
\rangle_{Ex} 
\stackrel{
\mathrm{tex}
}{\rightarrow}
\mbox{``}
\mbox {$\backslash $}langle
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}
\#1.
\newline 
\{
\mbox {$\backslash $}equiv
\}
{\char94}0
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}
\#2.
\newline |
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}
\#3.
\newline 
\{
{:}
{=}
\}
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}
\#4.
\newline 
\mbox {$\backslash $}rangle
\_
\{Ex
\}
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}
\mbox{''}
]$

$\rm
[\langle 
\ast 
{\equiv}^0 
\ast 
| 
\ast 
{:=} 
\ast 
\rangle_{Ex} 
\stackrel{
\mathrm{pyk}
}{\rightarrow}
\mbox{``}exist
\mbox{-}sub0
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}
\mbox {\tt \char34}
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}is
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}
\mbox {\tt \char34}
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}where
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}
\mbox {\tt \char34}
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}is
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}
\mbox {\tt \char34}
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}end
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}sub
\mbox{''}
]$

\hypertarget {url:1808490560655876194608813785663292462486349118665588524157069396079556865:33}{}\section* {$\rm \langle \ast
{\equiv}^1 \ast
| \ast
{:=} \ast
\rangle_{Ex} $}

$\rm
[\langle 
\mathsf {a}
{\equiv}^1 
\mathsf {b}
| 
\mathsf{x}
{:=} 
\mathsf {t}
\rangle_{Ex} 
\stackrel{
\mathrm {val}
}{\rightarrow}
\mathsf {a}
!
\mathsf{x}
!
\mathsf {t}
!
\newline 
\mathrm {If}(
\mathsf {b}
\stackrel{r}{=} 
\lceil 
\forall_{obj} 
\mathsf {u}
\colon 
\mathsf {v}
\rceil 
,\linebreak [0]
\mathsf {F}
,\linebreak [0]
\newline 
\mathrm {If}(
\mathsf {b}
 ^{Ex}
\wedge 
\mathsf {b}
\stackrel {t}{=}
\mathsf{x}
,\linebreak [0]
\mathsf {a}
\stackrel {t}{=}
\mathsf {t}
,\linebreak [0]
\mathrm {If}(
\newline 
\mathsf {a}
\stackrel{r}{=} 
\mathsf {b}
,\linebreak [0]\langle 
\mathsf {a}
{}^t
{\equiv}^* 
\mathsf {b}
{}^t
| 
\mathsf{x}
{:=} 
\mathsf {t}
\rangle_{Ex} 
,\linebreak [0]
\mathsf {F}
)
)
)
]$

$\rm
[\langle 
\mathsf{x}
{\equiv}^1 
\mathsf{y}
| 
\mathsf{z}
{:=} 
\mathsf {u}
\rangle_{Ex} 
\stackrel{
\mathrm{tex}
}{\rightarrow}
\mbox{``}
\mbox {$\backslash $}langle
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}
\#1.
\newline 
\{
\mbox {$\backslash $}equiv
\}
{\char94}1
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}
\#2.
\newline |
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}
\#3.
\newline 
\{
{:}
{=}
\}
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}
\#4.
\newline 
\mbox {$\backslash $}rangle
\_
\{Ex
\}
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}
\mbox{''}
]$

$\rm
[\langle 
\ast 
{\equiv}^1 
\ast 
| 
\ast 
{:=} 
\ast 
\rangle_{Ex} 
\stackrel{
\mathrm{pyk}
}{\rightarrow}
\mbox{``}exist
\mbox{-}sub1
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}
\mbox {\tt \char34}
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}is
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}
\mbox {\tt \char34}
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}where
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}
\mbox {\tt \char34}
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}is
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}
\mbox {\tt \char34}
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}end
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}sub
\mbox{''}
]$

\hypertarget {url:1808490560655876194608813785663292462486349118665588524157069396079556865:34}{}\section* {$\rm \langle \ast
{\equiv}^* \ast
| \ast
{:=} \ast
\rangle_{Ex} $}

$\rm
[\langle 
\mathsf {a}
{\equiv}^* 
\mathsf {b}
| 
\mathsf{x}
{:=} 
\mathsf {t}
\rangle_{Ex} 
\stackrel{
\mathrm {val}
}{\rightarrow}
\mathsf {b}
!
\mathsf{x}
!
\mathsf {t}
!
\mathrm {If}(
\mathsf {a}
,\linebreak [0]
\mathsf {T}
,\linebreak [0]
\mathrm {If}(\langle 
\mathsf {a}
{}^h
{\equiv}^1 
\mathsf {b}
{}^h
| 
\mathsf{x}
{:=} 
\mathsf {t}
\rangle_{Ex} 
,\linebreak [0]\langle 
\mathsf {a}
{}^t
{\equiv}^* 
\mathsf {b}
{}^t
| 
\mathsf{x}
{:=} 
\mathsf {t}
\rangle_{Ex} 
,\linebreak [0]
\mathsf {F}
)
)
]$

$\rm
[\langle 
\mathsf{x}
{\equiv}^* 
\mathsf{y}
| 
\mathsf{z}
{:=} 
\mathsf {u}
\rangle_{Ex} 
\stackrel{
\mathrm{tex}
}{\rightarrow}
\mbox{``}
\mbox {$\backslash $}langle
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}
\#1.
\newline 
\{
\mbox {$\backslash $}equiv
\}
{\char94}
{*}
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}
\#2.
\newline |
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}
\#3.
\newline 
\{
{:}
{=}
\}
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}
\#4.
\newline 
\mbox {$\backslash $}rangle
\_
\{Ex
\}
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}
\mbox{''}
]$

$\rm
[\langle 
\ast 
{\equiv}^* 
\ast 
| 
\ast 
{:=} 
\ast 
\rangle_{Ex} 
\stackrel{
\mathrm{pyk}
}{\rightarrow}
\mbox{``}exist
\mbox{-}sub
{*}
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}
\mbox {\tt \char34}
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}is
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}
\mbox {\tt \char34}
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}where
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}
\mbox {\tt \char34}
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}is
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}
\mbox {\tt \char34}
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}end
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}sub
\mbox{''}
]$

\hypertarget {url:1808490560655876194608813785663292462486349118665588524157069396079556865:35}{}\section* {$\rm ph_{1}$}

$\rm
[ph_{1}
\stackrel{
\mathrm {macro}
}{\rightarrow}
\lambda 
\mathsf {t}
.
\lambda 
\mathsf {s}
.
\lambda 
\mathsf {c}
.
\tilde {{\cal M}}_4(
\mathsf {t}
,
\mathsf {s}
,
\mathsf {c}
,
\lceil 
[ph_{1}
\mathrel {\ddot {=}}
\mathsf {a}
 _{Ph} 
]
\rceil 
)
]$

$\rm
[ph_{1}
\stackrel{
\mathrm{tex}
}{\rightarrow}
\mbox{``}ph
\_
\{1
\}
\mbox{''}
]$

$\rm
[ph_{1}
\stackrel{
\mathrm{pyk}
}{\rightarrow}
\mbox{``}placeholder
\mbox{-}var1
\mbox{''}
]$

\hypertarget {url:1808490560655876194608813785663292462486349118665588524157069396079556865:36}{}\section* {$\rm ph_{2}$}

$\rm
[ph_{2}
\stackrel{
\mathrm {macro}
}{\rightarrow}
\lambda 
\mathsf {t}
.
\lambda 
\mathsf {s}
.
\lambda 
\mathsf {c}
.
\tilde {{\cal M}}_4(
\mathsf {t}
,
\mathsf {s}
,
\mathsf {c}
,
\lceil 
[ph_{2}
\mathrel {\ddot {=}}
\mathsf {b}
 _{Ph} 
]
\rceil 
)
]$

$\rm
[ph_{2}
\stackrel{
\mathrm{tex}
}{\rightarrow}
\mbox{``}ph
\_
\{2
\}
\mbox{''}
]$

$\rm
[ph_{2}
\stackrel{
\mathrm{pyk}
}{\rightarrow}
\mbox{``}placeholder
\mbox{-}var2
\mbox{''}
]$

\hypertarget {url:1808490560655876194608813785663292462486349118665588524157069396079556865:37}{}\section* {$\rm ph_{3}$}

$\rm
[ph_{3}
\stackrel{
\mathrm {macro}
}{\rightarrow}
\lambda 
\mathsf {t}
.
\lambda 
\mathsf {s}
.
\lambda 
\mathsf {c}
.
\tilde {{\cal M}}_4(
\mathsf {t}
,
\mathsf {s}
,
\mathsf {c}
,
\lceil 
[ph_{3}
\mathrel {\ddot {=}}
\mathsf {c}
 _{Ph} 
]
\rceil 
)
]$

$\rm
[ph_{3}
\stackrel{
\mathrm{tex}
}{\rightarrow}
\mbox{``}ph
\_
\{3
\}
\mbox{''}
]$

$\rm
[ph_{3}
\stackrel{
\mathrm{pyk}
}{\rightarrow}
\mbox{``}placeholder
\mbox{-}var3
\mbox{''}
]$

\hypertarget {url:1808490560655876194608813785663292462486349118665588524157069396079556865:38}{}\section* {$\rm \ast
 _{Ph} $}

$\rm
[
\mathsf{x}
 _{Ph} 
\stackrel{
\mathrm{tex}
}{\rightarrow}
\mbox{``}
\#1.
\newline 
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}
\_
\{Ph
\}
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}
\mbox{''}
]$

$\rm
[
\ast 
 _{Ph} 
\stackrel{
\mathrm{pyk}
}{\rightarrow}
\mbox{``}placeholder
\mbox{-}var
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}
\mbox {\tt \char34}
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}end
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}var
\mbox{''}
]$

\hypertarget {url:1808490560655876194608813785663292462486349118665588524157069396079556865:39}{}\section* {$\rm \ast
 ^{Ph}$}

$\rm
[
\mathsf{x}
 ^{Ph}
\stackrel{
\mathrm {val}
}{\rightarrow}
\mathsf{x}
\stackrel{r}{=} 
\lceil 
\mathsf{x}
 _{Ph} 
\rceil 
]$

$\rm
[
\mathsf{x}
 ^{Ph}
\stackrel{
\mathrm{tex}
}{\rightarrow}
\mbox{``}
\#1.
\newline 
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}
{\char94}
\{Ph
\}
\mbox{''}
]$

$\rm
[
\ast 
 ^{Ph}
\stackrel{
\mathrm{pyk}
}{\rightarrow}
\mbox{``}
\mbox {\tt \char34}
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}is
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}placeholder
\mbox{-}var
\mbox{''}
]$

\hypertarget {url:1808490560655876194608813785663292462486349118665588524157069396079556865:40}{}\section* {$\rm \langle \ast
{\equiv} \ast
| \ast
{:=} \ast
\rangle_{Ph} $}

$\rm
[\langle 
\mathsf {a}
{\equiv} 
\mathsf {b}
| 
\mathsf{x}
{:=} 
\mathsf {t}
\rangle_{Ph} 
\stackrel{
\mathrm {macro}
}{\rightarrow}
\lambda 
\mathsf {t}
.
\lambda 
\mathsf {s}
.
\lambda 
\mathsf {c}
.
\tilde {{\cal M}}_4(
\mathsf {t}
,
\mathsf {s}
,
\mathsf {c}
,
\lceil 
[\langle 
\mathsf {a}
{\equiv} 
\mathsf {b}
| 
\mathsf{x}
{:=} 
\mathsf {t}
\rangle_{Ph} 
\mathrel {\ddot {=}}\langle 
\lceil 
\mathsf {a}
\rceil 
{\equiv}^0 
\lceil 
\mathsf {b}
\rceil 
| 
\lceil 
\mathsf{x}
\rceil 
{:=} 
\lceil 
\mathsf {t}
\rceil 
\rangle_{Ph} 
]
\rceil 
)
]$

$\rm
[\langle 
\mathsf{x}
{\equiv} 
\mathsf{y}
| 
\mathsf{z}
{:=} 
\mathsf {u}
\rangle_{Ph} 
\stackrel{
\mathrm{tex}
}{\rightarrow}
\mbox{``}
\mbox {$\backslash $}langle
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}
\#1.
\newline 
\{
\mbox {$\backslash $}equiv
\}
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}
\#2.
\newline |
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}
\#3.
\newline 
\{
{:}
{=}
\}
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}
\#4.
\newline 
\mbox {$\backslash $}rangle
\_
\{Ph
\}
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}
\mbox{''}
]$

$\rm
[\langle 
\ast 
{\equiv} 
\ast 
| 
\ast 
{:=} 
\ast 
\rangle_{Ph} 
\stackrel{
\mathrm{pyk}
}{\rightarrow}
\mbox{``}ph
\mbox{-}sub
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}
\mbox {\tt \char34}
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}is
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}
\mbox {\tt \char34}
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}where
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}
\mbox {\tt \char34}
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}is
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}
\mbox {\tt \char34}
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}end
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}sub
\mbox{''}
]$

\hypertarget {url:1808490560655876194608813785663292462486349118665588524157069396079556865:41}{}\section* {$\rm \langle \ast
{\equiv}^0 \ast
| \ast
{:=} \ast
\rangle_{Ph} $}

$\rm
[\langle 
\mathsf {a}
{\equiv}^0 
\mathsf {b}
| 
\mathsf{x}
{:=} 
\mathsf {t}
\rangle_{Ph} 
\stackrel{
\mathrm {val}
}{\rightarrow}
\lambda 
\mathsf {c}
.
\mathsf{x}
 ^{Ph}
\wedge \langle 
\mathsf {a}
{\equiv}^1 
\mathsf {b}
| 
\mathsf{x}
{:=} 
\mathsf {t}
\rangle_{Ph} 
]$

$\rm
[\langle 
\mathsf{x}
{\equiv}^0 
\mathsf{y}
| 
\mathsf{z}
{:=} 
\mathsf {u}
\rangle_{Ph} 
\stackrel{
\mathrm{tex}
}{\rightarrow}
\mbox{``}
\mbox {$\backslash $}langle
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}
\#1.
\newline 
\{
\mbox {$\backslash $}equiv
\}
{\char94}0
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}
\#2.
\newline |
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}
\#3.
\newline 
\{
{:}
{=}
\}
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}
\#4.
\newline 
\mbox {$\backslash $}rangle
\_
\{Ph
\}
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}
\mbox{''}
]$

$\rm
[\langle 
\ast 
{\equiv}^0 
\ast 
| 
\ast 
{:=} 
\ast 
\rangle_{Ph} 
\stackrel{
\mathrm{pyk}
}{\rightarrow}
\mbox{``}ph
\mbox{-}sub0
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}
\mbox {\tt \char34}
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}is
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}
\mbox {\tt \char34}
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}where
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}
\mbox {\tt \char34}
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}is
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}
\mbox {\tt \char34}
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}end
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}sub
\mbox{''}
]$

\hypertarget {url:1808490560655876194608813785663292462486349118665588524157069396079556865:42}{}\section* {$\rm \langle \ast
{\equiv}^1 \ast
| \ast
{:=} \ast
\rangle_{Ph} $}

$\rm
[\langle 
\mathsf {a}
{\equiv}^1 
\mathsf {b}
| 
\mathsf{x}
{:=} 
\mathsf {t}
\rangle_{Ph} 
\stackrel{
\mathrm {val}
}{\rightarrow}
\mathsf {a}
!
\mathsf{x}
!
\mathsf {t}
!
\newline 
\mathrm {If}(
\mathsf {b}
\stackrel{r}{=} 
\lceil 
\forall_{obj} 
\mathsf {u}
\colon 
\mathsf {v}
\rceil 
,\linebreak [0]
\mathsf {F}
,\linebreak [0]
\newline 
\mathrm {If}(
\mathsf {b}
 ^{Ph}
\wedge 
\mathsf {b}
\stackrel {t}{=}
\mathsf{x}
,\linebreak [0]
\mathsf {a}
\stackrel {t}{=}
\mathsf {t}
,\linebreak [0]
\newline 
\mathrm {If}(
\mathsf {b}
 ^{Ex}
,\linebreak [0]
\mathsf {a}
\stackrel{r}{=} 
\mathsf {b}
,\linebreak [0]
\mathrm {If}(
\newline 
\mathsf {a}
\stackrel{r}{=} 
\mathsf {b}
,\linebreak [0]\langle 
\mathsf {a}
{}^t
{\equiv}^* 
\mathsf {b}
{}^t
| 
\mathsf{x}
{:=} 
\mathsf {t}
\rangle_{Ph} 
,\linebreak [0]
\mathsf {F}
)
)
)
)
]$

$\rm
[\langle 
\mathsf{x}
{\equiv}^1 
\mathsf{y}
| 
\mathsf{z}
{:=} 
\mathsf {u}
\rangle_{Ph} 
\stackrel{
\mathrm{tex}
}{\rightarrow}
\mbox{``}
\mbox {$\backslash $}langle
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}
\#1.
\newline 
\{
\mbox {$\backslash $}equiv
\}
{\char94}1
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}
\#2.
\newline |
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}
\#3.
\newline 
\{
{:}
{=}
\}
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}
\#4.
\newline 
\mbox {$\backslash $}rangle
\_
\{Ph
\}
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}
\mbox{''}
]$

$\rm
[\langle 
\ast 
{\equiv}^1 
\ast 
| 
\ast 
{:=} 
\ast 
\rangle_{Ph} 
\stackrel{
\mathrm{pyk}
}{\rightarrow}
\mbox{``}ph
\mbox{-}sub1
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}
\mbox {\tt \char34}
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}is
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}
\mbox {\tt \char34}
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}where
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}
\mbox {\tt \char34}
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}is
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}
\mbox {\tt \char34}
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}end
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}sub
\mbox{''}
]$

\hypertarget {url:1808490560655876194608813785663292462486349118665588524157069396079556865:43}{}\section* {$\rm \langle \ast
{\equiv}^* \ast
| \ast
{:=} \ast
\rangle_{Ph} $}

$\rm
[\langle 
\mathsf {a}
{\equiv}^* 
\mathsf {b}
| 
\mathsf{x}
{:=} 
\mathsf {t}
\rangle_{Ph} 
\stackrel{
\mathrm {val}
}{\rightarrow}
\mathsf {b}
!
\mathsf{x}
!
\mathsf {t}
!
\mathrm {If}(
\mathsf {a}
,\linebreak [0]
\mathsf {T}
,\linebreak [0]
\mathrm {If}(\langle 
\mathsf {a}
{}^h
{\equiv}^1 
\mathsf {b}
{}^h
| 
\mathsf{x}
{:=} 
\mathsf {t}
\rangle_{Ph} 
,\linebreak [0]\langle 
\mathsf {a}
{}^t
{\equiv}^* 
\mathsf {b}
{}^t
| 
\mathsf{x}
{:=} 
\mathsf {t}
\rangle_{Ph} 
,\linebreak [0]
\mathsf {F}
)
)
]$

$\rm
[\langle 
\mathsf{x}
{\equiv}^* 
\mathsf{y}
| 
\mathsf{z}
{:=} 
\mathsf {u}
\rangle_{Ph} 
\stackrel{
\mathrm{tex}
}{\rightarrow}
\mbox{``}
\mbox {$\backslash $}langle
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}
\#1.
\newline 
\{
\mbox {$\backslash $}equiv
\}
{\char94}
{*}
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}
\#2.
\newline |
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}
\#3.
\newline 
\{
{:}
{=}
\}
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}
\#4.
\newline 
\mbox {$\backslash $}rangle
\_
\{Ph
\}
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}
\mbox{''}
]$

$\rm
[\langle 
\ast 
{\equiv}^* 
\ast 
| 
\ast 
{:=} 
\ast 
\rangle_{Ph} 
\stackrel{
\mathrm{pyk}
}{\rightarrow}
\mbox{``}ph
\mbox{-}sub
{*}
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}
\mbox {\tt \char34}
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}is
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}
\mbox {\tt \char34}
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}where
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}
\mbox {\tt \char34}
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}is
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}
\mbox {\tt \char34}
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}end
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}sub
\mbox{''}
]$

\hypertarget {url:1808490560655876194608813785663292462486349118665588524157069396079556865:44}{}\section* {$\rm \mathsf {bs}$}

$\rm
[\mathsf {bs}
\stackrel{
\mathrm{tex}
}{\rightarrow}
\mbox{``}
\mbox {$\backslash $}mathsf
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}
\{bs
\}
\mbox{''}
]$

$\rm
[\mathsf {bs}
\stackrel{
\mathrm{pyk}
}{\rightarrow}
\mbox{``}var
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}big
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}set
\mbox{''}
]$

\hypertarget {url:1808490560655876194608813785663292462486349118665588524157069396079556865:45}{}\section* {$\rm  \mathsf {OBS}$}

$\rm
[ \mathsf {OBS}
\stackrel{
\mathrm {macro}
}{\rightarrow}
\lambda 
\mathsf {t}
.
\lambda 
\mathsf {s}
.
\lambda 
\mathsf {c}
.
\tilde {{\cal M}}_4(
\mathsf {t}
,
\mathsf {s}
,
\mathsf {c}
,
\lceil 
[ \mathsf {OBS}
\mathrel {\ddot {=}}\overline{\mathsf {bs}}
]
\rceil 
)
]$

$\rm
[ \mathsf {OBS}
\stackrel{
\mathrm{tex}
}{\rightarrow}
\mbox{``}
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}
\mbox {$\backslash $}mathsf
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}
\{OBS
\}
\mbox{''}
]$

$\rm
[ \mathsf {OBS}
\stackrel{
\mathrm{pyk}
}{\rightarrow}
\mbox{``}object
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}big
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}set
\mbox{''}
]$

\hypertarget {url:1808490560655876194608813785663292462486349118665588524157069396079556865:46}{}\section* {$\rm {\cal BS}$}

$\rm
[{\cal BS}
\stackrel{
\mathrm {macro}
}{\rightarrow}
\lambda 
\mathsf {t}
.
\lambda 
\mathsf {s}
.
\lambda 
\mathsf {c}
.
\tilde {{\cal M}}_4(
\mathsf {t}
,
\mathsf {s}
,
\mathsf {c}
,
\lceil 
[{\cal BS}
\mathrel {\ddot {=}}\underline{\mathsf {bs}}
]
\rceil 
)
]$

$\rm
[{\cal BS}
\stackrel{
\mathrm{tex}
}{\rightarrow}
\mbox{``}
\{
\mbox {$\backslash $}cal
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}BS
\}
\mbox{''}
]$

$\rm
[{\cal BS}
\stackrel{
\mathrm{pyk}
}{\rightarrow}
\mbox{``}meta
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}big
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}set
\mbox{''}
]$

\hypertarget {url:1808490560655876194608813785663292462486349118665588524157069396079556865:47}{}\section* {$\rm \mathrm{\O}$}

$\rm
[\mathrm{\O}
\stackrel{
\mathrm{tex}
}{\rightarrow}
\mbox{``}
\mbox {$\backslash $}mathrm
\{
\mbox {$\backslash $}O
\}
\mbox{''}
]$

$\rm
[\mathrm{\O}
\stackrel{
\mathrm{pyk}
}{\rightarrow}
\mbox{``}zermelo
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}empty
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}set
\mbox{''}
]$

\hypertarget {url:1808490560655876194608813785663292462486349118665588524157069396079556865:48}{}\section* {$\rm ZFsub$}

$\rm
[ZFsub
\stackrel{
stmt
}{\rightarrow}
\forall \underline{
\mathsf{x}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf{y}}
\colon \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf{x}}
\!\mathrel{=}\! \underline{
\mathsf{y}}
\Rightarrow 
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {s}}
\colon \dot{\neg}\, \overline{
\mathsf {s}}
 \mathrel{\in} \underline{
\mathsf{x}}
\Rightarrow \overline{
\mathsf {s}}
 \mathrel{\in} \underline{
\mathsf{y}}
\Rightarrow \dot{\neg}\, \overline{
\mathsf {s}}
 \mathrel{\in} \underline{
\mathsf{y}}
\Rightarrow \overline{
\mathsf {s}}
 \mathrel{\in} \underline{
\mathsf{x}}
\Rightarrow \dot{\neg}\, 
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {s}}
\colon \dot{\neg}\, \overline{
\mathsf {s}}
 \mathrel{\in} \underline{
\mathsf{x}}
\Rightarrow \overline{
\mathsf {s}}
 \mathrel{\in} \underline{
\mathsf{y}}
\Rightarrow \dot{\neg}\, \overline{
\mathsf {s}}
 \mathrel{\in} \underline{
\mathsf{y}}
\Rightarrow \overline{
\mathsf {s}}
 \mathrel{\in} \underline{
\mathsf{x}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf{x}}
\!\mathrel{=}\! \underline{
\mathsf{y}}
\mathrel {\oplus} 
\forall \underline{
\mathsf {s}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf{x}}
\colon \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf {s}}
 \mathrel{\in} P(\underline{
\mathsf{x}}
)
\Rightarrow 
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {s}}
\colon \overline{
\mathsf {s}}
 \mathrel{\in} \underline{
\mathsf {s}}
\Rightarrow \overline{
\mathsf {s}}
 \mathrel{\in} \underline{
\mathsf{x}}
\Rightarrow \dot{\neg}\, 
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {s}}
\colon \overline{
\mathsf {s}}
 \mathrel{\in} \underline{
\mathsf {s}}
\Rightarrow \overline{
\mathsf {s}}
 \mathrel{\in} \underline{
\mathsf{x}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {s}}
 \mathrel{\in} P(\underline{
\mathsf{x}}
)
\mathrel {\oplus} 
\forall \underline{
\mathsf {a}}
\colon \underline{
\mathsf {a}}
\vdash \underline{
\mathsf {a}}
\mathrel {\oplus} 
\forall \underline{
\mathsf {r}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf{x}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf{y}}
\colon 
\forall \underline{\mathsf {bs}}
\colon \dot{\neg}\, \dot{\neg}\, 
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {s}}
\colon \overline{
\mathsf {s}}
 \mathrel{\in} \underline{\mathsf {bs}}
\Rightarrow \{\{\overline{
\mathsf {s}}
,\overline{
\mathsf {s}}
\}
,\{\overline{
\mathsf {s}}
,\overline{
\mathsf {s}}
\}
\}
 \mathrel{\in} \underline{
\mathsf {r}}
\Rightarrow \dot{\neg}\, 
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {s}}
\colon 
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {t}}
\colon \overline{
\mathsf {s}}
 \mathrel{\in} \underline{\mathsf {bs}}
\Rightarrow \overline{
\mathsf {t}}
 \mathrel{\in} \underline{\mathsf {bs}}
\Rightarrow \{\{\overline{
\mathsf {s}}
,\overline{
\mathsf {s}}
\}
,\{\overline{
\mathsf {s}}
,\overline{
\mathsf {t}}
\}
\}
 \mathrel{\in} \underline{
\mathsf {r}}
\Rightarrow \{\{\overline{
\mathsf {t}}
,\overline{
\mathsf {t}}
\}
,\{\overline{
\mathsf {t}}
,\overline{
\mathsf {s}}
\}
\}
 \mathrel{\in} \underline{
\mathsf {r}}
\Rightarrow \dot{\neg}\, 
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {s}}
\colon 
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {t}}
\colon 
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {u}}
\colon \overline{
\mathsf {s}}
 \mathrel{\in} \underline{\mathsf {bs}}
\Rightarrow \overline{
\mathsf {t}}
 \mathrel{\in} \underline{\mathsf {bs}}
\Rightarrow \overline{
\mathsf {u}}
 \mathrel{\in} \underline{\mathsf {bs}}
\Rightarrow \{\{\overline{
\mathsf {s}}
,\overline{
\mathsf {s}}
\}
,\{\overline{
\mathsf {s}}
,\overline{
\mathsf {t}}
\}
\}
 \mathrel{\in} \underline{
\mathsf {r}}
\Rightarrow \{\{\overline{
\mathsf {t}}
,\overline{
\mathsf {t}}
\}
,\{\overline{
\mathsf {t}}
,\overline{
\mathsf {u}}
\}
\}
 \mathrel{\in} \underline{
\mathsf {r}}
\Rightarrow \{\{\overline{
\mathsf {s}}
,\overline{
\mathsf {s}}
\}
,\{\overline{
\mathsf {s}}
,\overline{
\mathsf {u}}
\}
\}
 \mathrel{\in} \underline{
\mathsf {r}}
\vdash \underline{
\mathsf{x}}
 \mathrel{\in}  \{ ph \mathrel{\in} P(\underline{\mathsf {bs}}
)
\mid \dot{\neg}\, 
\mathsf {t}
 _{Ex}
 \mathrel{\in} \underline{\mathsf {bs}}
\Rightarrow \dot{\neg}\,  \{ ph \mathrel{\in} \underline{\mathsf {bs}}
\mid \{\{
\mathsf {a}
 _{Ph} 
,
\mathsf {a}
 _{Ph} 
\}
,\{
\mathsf {a}
 _{Ph} 
,
\mathsf {t}
 _{Ex}
\}
\}
 \mathrel{\in} \underline{
\mathsf {r}}
\}
\!\mathrel{=}\! 
\mathsf {b}
 _{Ph} 
\}
\vdash \underline{
\mathsf{y}}
 \mathrel{\in}  \{ ph \mathrel{\in} P(\underline{\mathsf {bs}}
)
\mid \dot{\neg}\, 
\mathsf {t}
 _{Ex}
 \mathrel{\in} \underline{\mathsf {bs}}
\Rightarrow \dot{\neg}\,  \{ ph \mathrel{\in} \underline{\mathsf {bs}}
\mid \{\{
\mathsf {a}
 _{Ph} 
,
\mathsf {a}
 _{Ph} 
\}
,\{
\mathsf {a}
 _{Ph} 
,
\mathsf {t}
 _{Ex}
\}
\}
 \mathrel{\in} \underline{
\mathsf {r}}
\}
\!\mathrel{=}\! 
\mathsf {b}
 _{Ph} 
\}
\vdash \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf{x}}
\!\mathrel{=}\! \underline{
\mathsf{y}}
\vdash  \{ ph \mathrel{\in} \cup \{\{\underline{
\mathsf{x}}
,\underline{
\mathsf{x}}
\}
,\{\underline{
\mathsf{y}}
,\underline{
\mathsf{y}}
\}
\}
\mid \dot{\neg}\, 
\mathsf {c}
 _{Ph} 
 \mathrel{\in} \underline{
\mathsf{x}}
\Rightarrow \dot{\neg}\, 
\mathsf {c}
 _{Ph} 
 \mathrel{\in} \underline{
\mathsf{y}}
\}
\!\mathrel{=}\! \mathrm{\O}
\mathrel {\oplus} 
\forall \underline{
\mathsf {a}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf {b}}
\colon 
\lambda 
\mathsf{x}
.
Dedu_0(
\lceil \underline{
\mathsf {a}}
\rceil 
,
\lceil \underline{
\mathsf {b}}
\rceil 
)
\mathrel {\makebox [0mm][l]{$\vdash $}\,{\vdash }} \underline{
\mathsf {a}}
\vdash \underline{
\mathsf {b}}
\mathrel {\oplus} 
\forall \underline{
\mathsf {s}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf{x}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf{y}}
\colon \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf {s}}
 \mathrel{\in} \{\underline{
\mathsf{x}}
,\underline{
\mathsf{y}}
\}
\Rightarrow \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf {s}}
\!\mathrel{=}\! \underline{
\mathsf{x}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {s}}
\!\mathrel{=}\! \underline{
\mathsf{y}}
\Rightarrow \dot{\neg}\, \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf {s}}
\!\mathrel{=}\! \underline{
\mathsf{x}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {s}}
\!\mathrel{=}\! \underline{
\mathsf{y}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {s}}
 \mathrel{\in} \{\underline{
\mathsf{x}}
,\underline{
\mathsf{y}}
\}
\mathrel {\oplus} 
\forall \underline{
\mathsf {a}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf {b}}
\colon \underline{
\mathsf {a}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {b}}
\vdash \underline{
\mathsf {a}}
\vdash \underline{
\mathsf {b}}
\mathrel {\oplus} 
\forall \underline{
\mathsf{x}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf {t}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf {a}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf {b}}
\colon \langle 
\lceil \underline{
\mathsf {a}}
\rceil 
{\equiv}^0 
\lceil \underline{
\mathsf {b}}
\rceil 
| 
\lceil \underline{
\mathsf{x}}
\rceil 
{:=} 
\lceil \underline{
\mathsf {t}}
\rceil 
\rangle_{Ex} 
\mathrel {\makebox [0mm][l]{$\vdash $}\,{\vdash }} \underline{
\mathsf {a}}
\vdash \underline{
\mathsf {b}}
\mathrel {\oplus} 
\forall \underline{
\mathsf {s}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf{x}}
\colon \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf {s}}
 \mathrel{\in} \cup \underline{
\mathsf{x}}
\Rightarrow \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf {s}}
 \mathrel{\in} 
\mathsf {j}
 _{Ex}
\Rightarrow \dot{\neg}\, 
\mathsf {j}
 _{Ex}
 \mathrel{\in} \underline{
\mathsf{x}}
\Rightarrow \dot{\neg}\, \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf {s}}
 \mathrel{\in} 
\mathsf {j}
 _{Ex}
\Rightarrow \dot{\neg}\, 
\mathsf {j}
 _{Ex}
 \mathrel{\in} \underline{
\mathsf{x}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {s}}
 \mathrel{\in} \cup \underline{
\mathsf{x}}
\mathrel {\oplus} 
\forall \underline{
\mathsf{x}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf {a}}
\colon \underline{
\mathsf {a}}
\vdash 
\forall_{obj} \underline{
\mathsf{x}}
\colon \underline{
\mathsf {a}}
\mathrel {\oplus} 
\forall \underline{
\mathsf {a}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf {b}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf {p}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf{x}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf{z}}
\colon \underline{
\mathsf {p}}
 ^{Ph}
\wedge \langle 
\lceil \underline{
\mathsf {b}}
\rceil 
{\equiv}^0 
\lceil \underline{
\mathsf {a}}
\rceil 
| 
\lceil \underline{
\mathsf {p}}
\rceil 
{:=} 
\lceil \underline{
\mathsf{z}}
\rceil 
\rangle_{Ph} 
\mathrel {\makebox [0mm][l]{$\vdash $}\,{\vdash }} \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf{z}}
 \mathrel{\in}  \{ ph \mathrel{\in} \underline{
\mathsf{x}}
\mid \underline{
\mathsf {a}}
\}
\Rightarrow \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf{z}}
 \mathrel{\in} \underline{
\mathsf{x}}
\Rightarrow \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf {b}}
\Rightarrow \dot{\neg}\, \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf{z}}
 \mathrel{\in} \underline{
\mathsf{x}}
\Rightarrow \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf {b}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf{z}}
 \mathrel{\in}  \{ ph \mathrel{\in} \underline{
\mathsf{x}}
\mid \underline{
\mathsf {a}}
\}
\mathrel {\oplus} 
\forall \underline{
\mathsf {a}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf {b}}
\colon \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf {b}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {a}}
\vdash \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf {b}}
\Rightarrow \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf {a}}
\vdash \underline{
\mathsf {b}}
\mathrel {\oplus} 
\forall \underline{
\mathsf {s}}
\colon \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf {s}}
 \mathrel{\in} \mathrm{\O}
]$

$\rm
[ZFsub
\stackrel{
\mathrm{tex}
}{\rightarrow}
\mbox{``}ZFsub
\mbox{''}
]$

$\rm
[ZFsub
\stackrel{
\mathrm{pyk}
}{\rightarrow}
\mbox{``}system
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}zf
\mbox{''}
]$

\hypertarget {url:1808490560655876194608813785663292462486349118665588524157069396079556865:49}{}\section* {$\rm MP$}

$\rm
[MP
\stackrel{
proof
}{\rightarrow}
Rule\ tactic
]$

$\rm
[MP
\stackrel{
stmt
}{\rightarrow}ZFsub
\vdash 
\forall \underline{
\mathsf {a}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf {b}}
\colon \underline{
\mathsf {a}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {b}}
\vdash \underline{
\mathsf {a}}
\vdash \underline{
\mathsf {b}}
]$

$\rm
[MP
\stackrel{
\mathrm{tex}
}{\rightarrow}
\mbox{``}MP
\mbox{''}
]$

$\rm
[MP
\stackrel{
\mathrm{pyk}
}{\rightarrow}
\mbox{``}1rule
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}mp
\mbox{''}
]$

\hypertarget {url:1808490560655876194608813785663292462486349118665588524157069396079556865:50}{}\section* {$\rm Gen$}

$\rm
[Gen
\stackrel{
proof
}{\rightarrow}
Rule\ tactic
]$

$\rm
[Gen
\stackrel{
stmt
}{\rightarrow}ZFsub
\vdash 
\forall \underline{
\mathsf{x}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf {a}}
\colon \underline{
\mathsf {a}}
\vdash 
\forall_{obj} \underline{
\mathsf{x}}
\colon \underline{
\mathsf {a}}
]$

$\rm
[Gen
\stackrel{
\mathrm{tex}
}{\rightarrow}
\mbox{``}Gen
\mbox{''}
]$

$\rm
[Gen
\stackrel{
\mathrm{pyk}
}{\rightarrow}
\mbox{``}1rule
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}gen
\mbox{''}
]$

\hypertarget {url:1808490560655876194608813785663292462486349118665588524157069396079556865:51}{}\section* {$\rm Repetition$}

$\rm
[Repetition
\stackrel{
proof
}{\rightarrow}
Rule\ tactic
]$

$\rm
[Repetition
\stackrel{
stmt
}{\rightarrow}ZFsub
\vdash 
\forall \underline{
\mathsf {a}}
\colon \underline{
\mathsf {a}}
\vdash \underline{
\mathsf {a}}
]$

$\rm
[Repetition
\stackrel{
\mathrm{tex}
}{\rightarrow}
\mbox{``}Repetition
\mbox{''}
]$

$\rm
[Repetition
\stackrel{
\mathrm{pyk}
}{\rightarrow}
\mbox{``}1rule
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}repetition
\mbox{''}
]$

\hypertarget {url:1808490560655876194608813785663292462486349118665588524157069396079556865:52}{}\section* {$\rm Neg$}

$\rm
[Neg
\stackrel{
proof
}{\rightarrow}
Rule\ tactic
]$

$\rm
[Neg
\stackrel{
stmt
}{\rightarrow}ZFsub
\vdash 
\forall \underline{
\mathsf {a}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf {b}}
\colon \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf {b}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {a}}
\vdash \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf {b}}
\Rightarrow \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf {a}}
\vdash \underline{
\mathsf {b}}
]$

$\rm
[Neg
\stackrel{
\mathrm{tex}
}{\rightarrow}
\mbox{``}Neg
\mbox{''}
]$

$\rm
[Neg
\stackrel{
\mathrm{pyk}
}{\rightarrow}
\mbox{``}1rule
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}ad
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}absurdum
\mbox{''}
]$

\hypertarget {url:1808490560655876194608813785663292462486349118665588524157069396079556865:53}{}\section* {$\rm Ded$}

$\rm
[Ded
\stackrel{
proof
}{\rightarrow}
Rule\ tactic
]$

$\rm
[Ded
\stackrel{
stmt
}{\rightarrow}ZFsub
\vdash 
\forall \underline{
\mathsf {a}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf {b}}
\colon 
\lambda 
\mathsf{x}
.
Dedu_0(
\lceil \underline{
\mathsf {a}}
\rceil 
,
\lceil \underline{
\mathsf {b}}
\rceil 
)
\mathrel {\makebox [0mm][l]{$\vdash $}\,{\vdash }} \underline{
\mathsf {a}}
\vdash \underline{
\mathsf {b}}
]$

$\rm
[Ded
\stackrel{
\mathrm{tex}
}{\rightarrow}
\mbox{``}Ded
\mbox{''}
]$

$\rm
[Ded
\stackrel{
\mathrm{pyk}
}{\rightarrow}
\mbox{``}1rule
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}deduction
\mbox{''}
]$

\hypertarget {url:1808490560655876194608813785663292462486349118665588524157069396079556865:54}{}\section* {$\rm ExistIntro$}

$\rm
[ExistIntro
\stackrel{
proof
}{\rightarrow}
Rule\ tactic
]$

$\rm
[ExistIntro
\stackrel{
stmt
}{\rightarrow}ZFsub
\vdash 
\forall \underline{
\mathsf{x}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf {t}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf {a}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf {b}}
\colon \langle 
\lceil \underline{
\mathsf {a}}
\rceil 
{\equiv}^0 
\lceil \underline{
\mathsf {b}}
\rceil 
| 
\lceil \underline{
\mathsf{x}}
\rceil 
{:=} 
\lceil \underline{
\mathsf {t}}
\rceil 
\rangle_{Ex} 
\mathrel {\makebox [0mm][l]{$\vdash $}\,{\vdash }} \underline{
\mathsf {a}}
\vdash \underline{
\mathsf {b}}
]$

$\rm
[ExistIntro
\stackrel{
\mathrm{tex}
}{\rightarrow}
\mbox{``}ExistIntro
\mbox{''}
]$

$\rm
[ExistIntro
\stackrel{
\mathrm{pyk}
}{\rightarrow}
\mbox{``}1rule
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}exist
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}intro
\mbox{''}
]$

\hypertarget {url:1808490560655876194608813785663292462486349118665588524157069396079556865:55}{}\section* {$\rm Extensionality$}

$\rm
[Extensionality
\stackrel{
proof
}{\rightarrow}
Rule\ tactic
]$

$\rm
[Extensionality
\stackrel{
stmt
}{\rightarrow}ZFsub
\vdash 
\forall \underline{
\mathsf{x}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf{y}}
\colon \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf{x}}
\!\mathrel{=}\! \underline{
\mathsf{y}}
\Rightarrow 
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {s}}
\colon \dot{\neg}\, \overline{
\mathsf {s}}
 \mathrel{\in} \underline{
\mathsf{x}}
\Rightarrow \overline{
\mathsf {s}}
 \mathrel{\in} \underline{
\mathsf{y}}
\Rightarrow \dot{\neg}\, \overline{
\mathsf {s}}
 \mathrel{\in} \underline{
\mathsf{y}}
\Rightarrow \overline{
\mathsf {s}}
 \mathrel{\in} \underline{
\mathsf{x}}
\Rightarrow \dot{\neg}\, 
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {s}}
\colon \dot{\neg}\, \overline{
\mathsf {s}}
 \mathrel{\in} \underline{
\mathsf{x}}
\Rightarrow \overline{
\mathsf {s}}
 \mathrel{\in} \underline{
\mathsf{y}}
\Rightarrow \dot{\neg}\, \overline{
\mathsf {s}}
 \mathrel{\in} \underline{
\mathsf{y}}
\Rightarrow \overline{
\mathsf {s}}
 \mathrel{\in} \underline{
\mathsf{x}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf{x}}
\!\mathrel{=}\! \underline{
\mathsf{y}}
]$

$\rm
[Extensionality
\stackrel{
\mathrm{tex}
}{\rightarrow}
\mbox{``}Extensionality
\mbox{''}
]$

$\rm
[Extensionality
\stackrel{
\mathrm{pyk}
}{\rightarrow}
\mbox{``}axiom
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}extensionality
\mbox{''}
]$

\hypertarget {url:1808490560655876194608813785663292462486349118665588524157069396079556865:56}{}\section* {$\rm \O{}def$}

$\rm
[\O{}def
\stackrel{
proof
}{\rightarrow}
Rule\ tactic
]$

$\rm
[\O{}def
\stackrel{
stmt
}{\rightarrow}ZFsub
\vdash 
\forall \underline{
\mathsf {s}}
\colon \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf {s}}
 \mathrel{\in} \mathrm{\O}
]$

$\rm
[\O{}def
\stackrel{
\mathrm{tex}
}{\rightarrow}
\mbox{``}
\mbox {$\backslash $}O
\{
\}def
\mbox{''}
]$

$\rm
[\O{}def
\stackrel{
\mathrm{pyk}
}{\rightarrow}
\mbox{``}axiom
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}empty
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}set
\mbox{''}
]$

\hypertarget {url:1808490560655876194608813785663292462486349118665588524157069396079556865:57}{}\section* {$\rm PairDef$}

$\rm
[PairDef
\stackrel{
proof
}{\rightarrow}
Rule\ tactic
]$

$\rm
[PairDef
\stackrel{
stmt
}{\rightarrow}ZFsub
\vdash 
\forall \underline{
\mathsf {s}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf{x}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf{y}}
\colon \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf {s}}
 \mathrel{\in} \{\underline{
\mathsf{x}}
,\underline{
\mathsf{y}}
\}
\Rightarrow \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf {s}}
\!\mathrel{=}\! \underline{
\mathsf{x}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {s}}
\!\mathrel{=}\! \underline{
\mathsf{y}}
\Rightarrow \dot{\neg}\, \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf {s}}
\!\mathrel{=}\! \underline{
\mathsf{x}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {s}}
\!\mathrel{=}\! \underline{
\mathsf{y}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {s}}
 \mathrel{\in} \{\underline{
\mathsf{x}}
,\underline{
\mathsf{y}}
\}
]$

$\rm
[PairDef
\stackrel{
\mathrm{tex}
}{\rightarrow}
\mbox{``}PairDef
\mbox{''}
]$

$\rm
[PairDef
\stackrel{
\mathrm{pyk}
}{\rightarrow}
\mbox{``}axiom
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}pair
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}definition
\mbox{''}
]$

\hypertarget {url:1808490560655876194608813785663292462486349118665588524157069396079556865:58}{}\section* {$\rm UnionDef$}

$\rm
[UnionDef
\stackrel{
proof
}{\rightarrow}
Rule\ tactic
]$

$\rm
[UnionDef
\stackrel{
stmt
}{\rightarrow}ZFsub
\vdash 
\forall \underline{
\mathsf {s}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf{x}}
\colon \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf {s}}
 \mathrel{\in} \cup \underline{
\mathsf{x}}
\Rightarrow \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf {s}}
 \mathrel{\in} 
\mathsf {j}
 _{Ex}
\Rightarrow \dot{\neg}\, 
\mathsf {j}
 _{Ex}
 \mathrel{\in} \underline{
\mathsf{x}}
\Rightarrow \dot{\neg}\, \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf {s}}
 \mathrel{\in} 
\mathsf {j}
 _{Ex}
\Rightarrow \dot{\neg}\, 
\mathsf {j}
 _{Ex}
 \mathrel{\in} \underline{
\mathsf{x}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {s}}
 \mathrel{\in} \cup \underline{
\mathsf{x}}
]$

$\rm
[UnionDef
\stackrel{
\mathrm{tex}
}{\rightarrow}
\mbox{``}UnionDef
\mbox{''}
]$

$\rm
[UnionDef
\stackrel{
\mathrm{pyk}
}{\rightarrow}
\mbox{``}axiom
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}union
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}definition
\mbox{''}
]$

\hypertarget {url:1808490560655876194608813785663292462486349118665588524157069396079556865:59}{}\section* {$\rm PowerDef$}

$\rm
[PowerDef
\stackrel{
proof
}{\rightarrow}
Rule\ tactic
]$

$\rm
[PowerDef
\stackrel{
stmt
}{\rightarrow}ZFsub
\vdash 
\forall \underline{
\mathsf {s}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf{x}}
\colon \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf {s}}
 \mathrel{\in} P(\underline{
\mathsf{x}}
)
\Rightarrow 
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {s}}
\colon \overline{
\mathsf {s}}
 \mathrel{\in} \underline{
\mathsf {s}}
\Rightarrow \overline{
\mathsf {s}}
 \mathrel{\in} \underline{
\mathsf{x}}
\Rightarrow \dot{\neg}\, 
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {s}}
\colon \overline{
\mathsf {s}}
 \mathrel{\in} \underline{
\mathsf {s}}
\Rightarrow \overline{
\mathsf {s}}
 \mathrel{\in} \underline{
\mathsf{x}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {s}}
 \mathrel{\in} P(\underline{
\mathsf{x}}
)
]$

$\rm
[PowerDef
\stackrel{
\mathrm{tex}
}{\rightarrow}
\mbox{``}PowerDef
\mbox{''}
]$

$\rm
[PowerDef
\stackrel{
\mathrm{pyk}
}{\rightarrow}
\mbox{``}axiom
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}power
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}definition
\mbox{''}
]$

\hypertarget {url:1808490560655876194608813785663292462486349118665588524157069396079556865:60}{}\section* {$\rm SeparationDef$}

$\rm
[SeparationDef
\stackrel{
proof
}{\rightarrow}
Rule\ tactic
]$

$\rm
[SeparationDef
\stackrel{
stmt
}{\rightarrow}ZFsub
\vdash 
\forall \underline{
\mathsf {a}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf {b}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf {p}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf{x}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf{z}}
\colon \underline{
\mathsf {p}}
 ^{Ph}
\wedge \langle 
\lceil \underline{
\mathsf {b}}
\rceil 
{\equiv}^0 
\lceil \underline{
\mathsf {a}}
\rceil 
| 
\lceil \underline{
\mathsf {p}}
\rceil 
{:=} 
\lceil \underline{
\mathsf{z}}
\rceil 
\rangle_{Ph} 
\mathrel {\makebox [0mm][l]{$\vdash $}\,{\vdash }} \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf{z}}
 \mathrel{\in}  \{ ph \mathrel{\in} \underline{
\mathsf{x}}
\mid \underline{
\mathsf {a}}
\}
\Rightarrow \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf{z}}
 \mathrel{\in} \underline{
\mathsf{x}}
\Rightarrow \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf {b}}
\Rightarrow \dot{\neg}\, \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf{z}}
 \mathrel{\in} \underline{
\mathsf{x}}
\Rightarrow \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf {b}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf{z}}
 \mathrel{\in}  \{ ph \mathrel{\in} \underline{
\mathsf{x}}
\mid \underline{
\mathsf {a}}
\}
]$

$\rm
[SeparationDef
\stackrel{
\mathrm{tex}
}{\rightarrow}
\mbox{``}SeparationDef
\mbox{''}
]$

$\rm
[SeparationDef
\stackrel{
\mathrm{pyk}
}{\rightarrow}
\mbox{``}axiom
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}separation
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}definition
\mbox{''}
]$

\hypertarget {url:1808490560655876194608813785663292462486349118665588524157069396079556865:61}{}\section* {$\rm CheatAllDisjoint$}

$\rm
[CheatAllDisjoint
\stackrel{
proof
}{\rightarrow}
Rule\ tactic
]$

$\rm
[CheatAllDisjoint
\stackrel{
stmt
}{\rightarrow}ZFsub
\vdash 
\forall \underline{
\mathsf {r}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf{x}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf{y}}
\colon 
\forall \underline{\mathsf {bs}}
\colon \dot{\neg}\, \dot{\neg}\, 
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {s}}
\colon \overline{
\mathsf {s}}
 \mathrel{\in} \underline{\mathsf {bs}}
\Rightarrow \{\{\overline{
\mathsf {s}}
,\overline{
\mathsf {s}}
\}
,\{\overline{
\mathsf {s}}
,\overline{
\mathsf {s}}
\}
\}
 \mathrel{\in} \underline{
\mathsf {r}}
\Rightarrow \dot{\neg}\, 
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {s}}
\colon 
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {t}}
\colon \overline{
\mathsf {s}}
 \mathrel{\in} \underline{\mathsf {bs}}
\Rightarrow \overline{
\mathsf {t}}
 \mathrel{\in} \underline{\mathsf {bs}}
\Rightarrow \{\{\overline{
\mathsf {s}}
,\overline{
\mathsf {s}}
\}
,\{\overline{
\mathsf {s}}
,\overline{
\mathsf {t}}
\}
\}
 \mathrel{\in} \underline{
\mathsf {r}}
\Rightarrow \{\{\overline{
\mathsf {t}}
,\overline{
\mathsf {t}}
\}
,\{\overline{
\mathsf {t}}
,\overline{
\mathsf {s}}
\}
\}
 \mathrel{\in} \underline{
\mathsf {r}}
\Rightarrow \dot{\neg}\, 
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {s}}
\colon 
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {t}}
\colon 
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {u}}
\colon \overline{
\mathsf {s}}
 \mathrel{\in} \underline{\mathsf {bs}}
\Rightarrow \overline{
\mathsf {t}}
 \mathrel{\in} \underline{\mathsf {bs}}
\Rightarrow \overline{
\mathsf {u}}
 \mathrel{\in} \underline{\mathsf {bs}}
\Rightarrow \{\{\overline{
\mathsf {s}}
,\overline{
\mathsf {s}}
\}
,\{\overline{
\mathsf {s}}
,\overline{
\mathsf {t}}
\}
\}
 \mathrel{\in} \underline{
\mathsf {r}}
\Rightarrow \{\{\overline{
\mathsf {t}}
,\overline{
\mathsf {t}}
\}
,\{\overline{
\mathsf {t}}
,\overline{
\mathsf {u}}
\}
\}
 \mathrel{\in} \underline{
\mathsf {r}}
\Rightarrow \{\{\overline{
\mathsf {s}}
,\overline{
\mathsf {s}}
\}
,\{\overline{
\mathsf {s}}
,\overline{
\mathsf {u}}
\}
\}
 \mathrel{\in} \underline{
\mathsf {r}}
\vdash \underline{
\mathsf{x}}
 \mathrel{\in}  \{ ph \mathrel{\in} P(\underline{\mathsf {bs}}
)
\mid \dot{\neg}\, 
\mathsf {t}
 _{Ex}
 \mathrel{\in} \underline{\mathsf {bs}}
\Rightarrow \dot{\neg}\,  \{ ph \mathrel{\in} \underline{\mathsf {bs}}
\mid \{\{
\mathsf {a}
 _{Ph} 
,
\mathsf {a}
 _{Ph} 
\}
,\{
\mathsf {a}
 _{Ph} 
,
\mathsf {t}
 _{Ex}
\}
\}
 \mathrel{\in} \underline{
\mathsf {r}}
\}
\!\mathrel{=}\! 
\mathsf {b}
 _{Ph} 
\}
\vdash \underline{
\mathsf{y}}
 \mathrel{\in}  \{ ph \mathrel{\in} P(\underline{\mathsf {bs}}
)
\mid \dot{\neg}\, 
\mathsf {t}
 _{Ex}
 \mathrel{\in} \underline{\mathsf {bs}}
\Rightarrow \dot{\neg}\,  \{ ph \mathrel{\in} \underline{\mathsf {bs}}
\mid \{\{
\mathsf {a}
 _{Ph} 
,
\mathsf {a}
 _{Ph} 
\}
,\{
\mathsf {a}
 _{Ph} 
,
\mathsf {t}
 _{Ex}
\}
\}
 \mathrel{\in} \underline{
\mathsf {r}}
\}
\!\mathrel{=}\! 
\mathsf {b}
 _{Ph} 
\}
\vdash \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf{x}}
\!\mathrel{=}\! \underline{
\mathsf{y}}
\vdash  \{ ph \mathrel{\in} \cup \{\{\underline{
\mathsf{x}}
,\underline{
\mathsf{x}}
\}
,\{\underline{
\mathsf{y}}
,\underline{
\mathsf{y}}
\}
\}
\mid \dot{\neg}\, 
\mathsf {c}
 _{Ph} 
 \mathrel{\in} \underline{
\mathsf{x}}
\Rightarrow \dot{\neg}\, 
\mathsf {c}
 _{Ph} 
 \mathrel{\in} \underline{
\mathsf{y}}
\}
\!\mathrel{=}\! \mathrm{\O}
]$

$\rm
[CheatAllDisjoint
\stackrel{
\mathrm{tex}
}{\rightarrow}
\mbox{``}CheatAllDisjoint
\mbox{''}
]$

$\rm
[CheatAllDisjoint
\stackrel{
\mathrm{pyk}
}{\rightarrow}
\mbox{``}cheating
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}axiom
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}all
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}disjoint
\mbox{''}
]$

\hypertarget {url:1808490560655876194608813785663292462486349118665588524157069396079556865:62}{}\section* {$\rm AddDoubleNeg$}

$\rm
[AddDoubleNeg
\stackrel{
proof
}{\rightarrow}
\lambda 
\mathsf {c}
.
\lambda 
\mathsf{x}
.
{\cal P}( 
\lceil ZFsub
\vdash 
\forall \underline{
\mathsf {a}}
\colon \dot{\neg}\, \dot{\neg}\, \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf {a}}
\vdash RemoveDoubleNeg
\rhd \dot{\neg}\, \dot{\neg}\, \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf {a}}
\gg \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf {a}}
; 
\forall \underline{
\mathsf {a}}
\colon Ded
\rhd 
\forall \underline{
\mathsf {a}}
\colon \dot{\neg}\, \dot{\neg}\, \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf {a}}
\vdash \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf {a}}
\gg \dot{\neg}\, \dot{\neg}\, \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf {a}}
\Rightarrow \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf {a}}
; \underline{
\mathsf {a}}
\vdash Weakening
\rhd \underline{
\mathsf {a}}
\gg \dot{\neg}\, \dot{\neg}\, \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf {a}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {a}}
; Neg
\rhd \dot{\neg}\, \dot{\neg}\, \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf {a}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {a}}
\rhd \dot{\neg}\, \dot{\neg}\, \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf {a}}
\Rightarrow \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf {a}}
\gg \dot{\neg}\, \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf {a}}
\rceil 
, 
p_0
, 
\mathsf {c}
)
]$

$\rm
[AddDoubleNeg
\stackrel{
stmt
}{\rightarrow}ZFsub
\vdash 
\forall \underline{
\mathsf {a}}
\colon \underline{
\mathsf {a}}
\vdash \dot{\neg}\, \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf {a}}
]$

$\rm
[AddDoubleNeg
\stackrel{
\mathrm{tex}
}{\rightarrow}
\mbox{``}AddDoubleNeg
\mbox{''}
]$

$\rm
[AddDoubleNeg
\stackrel{
\mathrm{pyk}
}{\rightarrow}
\mbox{``}prop
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}lemma
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}add
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}double
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}neg
\mbox{''}
]$

\hypertarget {url:1808490560655876194608813785663292462486349118665588524157069396079556865:63}{}\section* {$\rm RemoveDoubleNeg$}

$\rm
[RemoveDoubleNeg
\stackrel{
proof
}{\rightarrow}
\lambda 
\mathsf {c}
.
\lambda 
\mathsf{x}
.
{\cal P}( 
\lceil ZFsub
\vdash 
\forall \underline{
\mathsf {a}}
\colon \dot{\neg}\, \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf {a}}
\vdash Weakening
\rhd \dot{\neg}\, \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf {a}}
\gg \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf {a}}
\Rightarrow \dot{\neg}\, \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf {a}}
; AutoImply
\gg \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf {a}}
\Rightarrow \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf {a}}
; Neg
\rhd \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf {a}}
\Rightarrow \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf {a}}
\rhd \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf {a}}
\Rightarrow \dot{\neg}\, \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf {a}}
\gg \underline{
\mathsf {a}}
\rceil 
, 
p_0
, 
\mathsf {c}
)
]$

$\rm
[RemoveDoubleNeg
\stackrel{
stmt
}{\rightarrow}ZFsub
\vdash 
\forall \underline{
\mathsf {a}}
\colon \dot{\neg}\, \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf {a}}
\vdash \underline{
\mathsf {a}}
]$

$\rm
[RemoveDoubleNeg
\stackrel{
\mathrm{tex}
}{\rightarrow}
\mbox{``}RemoveDoubleNeg
\mbox{''}
]$

$\rm
[RemoveDoubleNeg
\stackrel{
\mathrm{pyk}
}{\rightarrow}
\mbox{``}prop
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}lemma
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}remove
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}double
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}neg
\mbox{''}
]$

\hypertarget {url:1808490560655876194608813785663292462486349118665588524157069396079556865:64}{}\section* {$\rm AndCommutativity$}

$\rm
[AndCommutativity
\stackrel{
proof
}{\rightarrow}
\lambda 
\mathsf {c}
.
\lambda 
\mathsf{x}
.
{\cal P}( 
\lceil ZFsub
\vdash 
\forall \underline{
\mathsf {a}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf {b}}
\colon \underline{
\mathsf {b}}
\Rightarrow \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf {a}}
\vdash \underline{
\mathsf {a}}
\vdash AddDoubleNeg
\rhd \underline{
\mathsf {a}}
\gg \dot{\neg}\, \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf {a}}
; MT
\rhd \underline{
\mathsf {b}}
\Rightarrow \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf {a}}
\rhd \dot{\neg}\, \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf {a}}
\gg \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf {b}}
; 
\forall \underline{
\mathsf {a}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf {b}}
\colon Ded
\rhd 
\forall \underline{
\mathsf {a}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf {b}}
\colon \underline{
\mathsf {b}}
\Rightarrow \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf {a}}
\vdash \underline{
\mathsf {a}}
\vdash \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf {b}}
\gg \underline{
\mathsf {b}}
\Rightarrow \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf {a}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {a}}
\Rightarrow \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf {b}}
; \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf {a}}
\Rightarrow \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf {b}}
\vdash Repetition
\gg \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf {a}}
\Rightarrow \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf {b}}
; MT
\rhd \underline{
\mathsf {b}}
\Rightarrow \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf {a}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {a}}
\Rightarrow \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf {b}}
\rhd \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf {a}}
\Rightarrow \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf {b}}
\gg \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf {b}}
\Rightarrow \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf {a}}
; Repetition
\rhd \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf {b}}
\Rightarrow \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf {a}}
\gg \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf {b}}
\Rightarrow \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf {a}}
\rceil 
, 
p_0
, 
\mathsf {c}
)
]$

$\rm
[AndCommutativity
\stackrel{
stmt
}{\rightarrow}ZFsub
\vdash 
\forall \underline{
\mathsf {a}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf {b}}
\colon \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf {a}}
\Rightarrow \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf {b}}
\vdash \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf {b}}
\Rightarrow \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf {a}}
]$

$\rm
[AndCommutativity
\stackrel{
\mathrm{tex}
}{\rightarrow}
\mbox{``}AndCommutativity
\mbox{''}
]$

$\rm
[AndCommutativity
\stackrel{
\mathrm{pyk}
}{\rightarrow}
\mbox{``}prop
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}lemma
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}and
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}commutativity
\mbox{''}
]$

\hypertarget {url:1808490560655876194608813785663292462486349118665588524157069396079556865:65}{}\section* {$\rm AutoImply$}

$\rm
[AutoImply
\stackrel{
proof
}{\rightarrow}
\lambda 
\mathsf {c}
.
\lambda 
\mathsf{x}
.
{\cal P}( 
\lceil ZFsub
\vdash 
\forall \underline{
\mathsf {a}}
\colon \underline{
\mathsf {a}}
\vdash Repetition
\rhd \underline{
\mathsf {a}}
\gg \underline{
\mathsf {a}}
; 
\forall \underline{
\mathsf {a}}
\colon Ded
\rhd 
\forall \underline{
\mathsf {a}}
\colon \underline{
\mathsf {a}}
\vdash \underline{
\mathsf {a}}
\gg \underline{
\mathsf {a}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {a}}
\rceil 
, 
p_0
, 
\mathsf {c}
)
]$

$\rm
[AutoImply
\stackrel{
stmt
}{\rightarrow}ZFsub
\vdash 
\forall \underline{
\mathsf {a}}
\colon \underline{
\mathsf {a}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {a}}
]$

$\rm
[AutoImply
\stackrel{
\mathrm{tex}
}{\rightarrow}
\mbox{``}AutoImply
\mbox{''}
]$

$\rm
[AutoImply
\stackrel{
\mathrm{pyk}
}{\rightarrow}
\mbox{``}prop
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}lemma
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}auto
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}imply
\mbox{''}
]$

\hypertarget {url:1808490560655876194608813785663292462486349118665588524157069396079556865:66}{}\section* {$\rm Contrapositive$}

$\rm
[Contrapositive
\stackrel{
proof
}{\rightarrow}
\lambda 
\mathsf {c}
.
\lambda 
\mathsf{x}
.
{\cal P}( 
\lceil ZFsub
\vdash 
\forall \underline{
\mathsf {a}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf {b}}
\colon \underline{
\mathsf {a}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {b}}
\vdash \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf {b}}
\vdash MT
\rhd \underline{
\mathsf {a}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {b}}
\rhd \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf {b}}
\gg \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf {a}}
; 
\forall \underline{
\mathsf {a}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf {b}}
\colon \underline{
\mathsf {a}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {b}}
\vdash Ded
\rhd 
\forall \underline{
\mathsf {a}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf {b}}
\colon \underline{
\mathsf {a}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {b}}
\vdash \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf {b}}
\vdash \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf {a}}
\gg \underline{
\mathsf {a}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {b}}
\Rightarrow \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf {b}}
\Rightarrow \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf {a}}
; MP
\rhd \underline{
\mathsf {a}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {b}}
\Rightarrow \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf {b}}
\Rightarrow \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf {a}}
\rhd \underline{
\mathsf {a}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {b}}
\gg \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf {b}}
\Rightarrow \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf {a}}
\rceil 
, 
p_0
, 
\mathsf {c}
)
]$

$\rm
[Contrapositive
\stackrel{
stmt
}{\rightarrow}ZFsub
\vdash 
\forall \underline{
\mathsf {a}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf {b}}
\colon \underline{
\mathsf {a}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {b}}
\vdash \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf {b}}
\Rightarrow \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf {a}}
]$

$\rm
[Contrapositive
\stackrel{
\mathrm{tex}
}{\rightarrow}
\mbox{``}Contrapositive
\mbox{''}
]$

$\rm
[Contrapositive
\stackrel{
\mathrm{pyk}
}{\rightarrow}
\mbox{``}prop
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}lemma
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}contrapositive
\mbox{''}
]$

\hypertarget {url:1808490560655876194608813785663292462486349118665588524157069396079556865:67}{}\section* {$\rm FirstConjunct$}

$\rm
[FirstConjunct
\stackrel{
proof
}{\rightarrow}
\lambda 
\mathsf {c}
.
\lambda 
\mathsf{x}
.
{\cal P}( 
\lceil ZFsub
\vdash 
\forall \underline{
\mathsf {a}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf {b}}
\colon \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf {a}}
\Rightarrow \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf {b}}
\vdash AndCommutativity
\rhd \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf {a}}
\Rightarrow \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf {b}}
\gg \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf {b}}
\Rightarrow \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf {a}}
; SecondConjunct
\rhd \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf {b}}
\Rightarrow \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf {a}}
\gg \underline{
\mathsf {a}}
\rceil 
, 
p_0
, 
\mathsf {c}
)
]$

$\rm
[FirstConjunct
\stackrel{
stmt
}{\rightarrow}ZFsub
\vdash 
\forall \underline{
\mathsf {a}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf {b}}
\colon \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf {a}}
\Rightarrow \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf {b}}
\vdash \underline{
\mathsf {a}}
]$

$\rm
[FirstConjunct
\stackrel{
\mathrm{tex}
}{\rightarrow}
\mbox{``}FirstConjunct
\mbox{''}
]$

$\rm
[FirstConjunct
\stackrel{
\mathrm{pyk}
}{\rightarrow}
\mbox{``}prop
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}lemma
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}first
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}conjunct
\mbox{''}
]$

\hypertarget {url:1808490560655876194608813785663292462486349118665588524157069396079556865:68}{}\section* {$\rm SecondConjunct$}

$\rm
[SecondConjunct
\stackrel{
proof
}{\rightarrow}
\lambda 
\mathsf {c}
.
\lambda 
\mathsf{x}
.
{\cal P}( 
\lceil ZFsub
\vdash 
\forall \underline{
\mathsf {a}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf {b}}
\colon \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf {b}}
\vdash Weakening
\rhd \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf {b}}
\gg \underline{
\mathsf {a}}
\Rightarrow \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf {b}}
; 
\forall \underline{
\mathsf {a}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf {b}}
\colon Ded
\rhd 
\forall \underline{
\mathsf {a}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf {b}}
\colon \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf {b}}
\vdash \underline{
\mathsf {a}}
\Rightarrow \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf {b}}
\gg \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf {b}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {a}}
\Rightarrow \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf {b}}
; \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf {a}}
\Rightarrow \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf {b}}
\vdash Repetition
\rhd \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf {a}}
\Rightarrow \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf {b}}
\gg \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf {a}}
\Rightarrow \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf {b}}
; NegativeMT
\rhd \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf {b}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {a}}
\Rightarrow \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf {b}}
\rhd \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf {a}}
\Rightarrow \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf {b}}
\gg \underline{
\mathsf {b}}
\rceil 
, 
p_0
, 
\mathsf {c}
)
]$

$\rm
[SecondConjunct
\stackrel{
stmt
}{\rightarrow}ZFsub
\vdash 
\forall \underline{
\mathsf {a}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf {b}}
\colon \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf {a}}
\Rightarrow \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf {b}}
\vdash \underline{
\mathsf {b}}
]$

$\rm
[SecondConjunct
\stackrel{
\mathrm{tex}
}{\rightarrow}
\mbox{``}SecondConjunct
\mbox{''}
]$

$\rm
[SecondConjunct
\stackrel{
\mathrm{pyk}
}{\rightarrow}
\mbox{``}prop
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}lemma
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}second
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}conjunct
\mbox{''}
]$

\hypertarget {url:1808490560655876194608813785663292462486349118665588524157069396079556865:69}{}\section* {$\rm FromContradiction$}

$\rm
[FromContradiction
\stackrel{
proof
}{\rightarrow}
\lambda 
\mathsf {c}
.
\lambda 
\mathsf{x}
.
{\cal P}( 
\lceil ZFsub
\vdash 
\forall \underline{
\mathsf {a}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf {b}}
\colon \underline{
\mathsf {a}}
\vdash \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf {a}}
\vdash Weakening
\rhd \underline{
\mathsf {a}}
\gg \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf {b}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {a}}
; Weakening
\rhd \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf {a}}
\gg \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf {b}}
\Rightarrow \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf {a}}
; Neg
\rhd \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf {b}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {a}}
\rhd \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf {b}}
\Rightarrow \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf {a}}
\gg \underline{
\mathsf {b}}
\rceil 
, 
p_0
, 
\mathsf {c}
)
]$

$\rm
[FromContradiction
\stackrel{
stmt
}{\rightarrow}ZFsub
\vdash 
\forall \underline{
\mathsf {a}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf {b}}
\colon \underline{
\mathsf {a}}
\vdash \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf {a}}
\vdash \underline{
\mathsf {b}}
]$

$\rm
[FromContradiction
\stackrel{
\mathrm{tex}
}{\rightarrow}
\mbox{``}FromContradiction
\mbox{''}
]$

$\rm
[FromContradiction
\stackrel{
\mathrm{pyk}
}{\rightarrow}
\mbox{``}prop
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}lemma
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}from
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}contradiction
\mbox{''}
]$

\hypertarget {url:1808490560655876194608813785663292462486349118665588524157069396079556865:70}{}\section* {$\rm FromDisjuncts$}

$\rm
[FromDisjuncts
\stackrel{
proof
}{\rightarrow}
\lambda 
\mathsf {c}
.
\lambda 
\mathsf{x}
.
{\cal P}( 
\lceil ZFsub
\vdash 
\forall \underline{
\mathsf {a}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf {b}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf {c}}
\colon \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf {a}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {b}}
\vdash \underline{
\mathsf {a}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {c}}
\vdash \underline{
\mathsf {b}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {c}}
\vdash Repetition
\rhd \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf {a}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {b}}
\gg \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf {a}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {b}}
; Contrapositive
\rhd \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf {a}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {b}}
\gg \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf {b}}
\Rightarrow \dot{\neg}\, \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf {a}}
; Technicality
\rhd \underline{
\mathsf {a}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {c}}
\gg \dot{\neg}\, \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf {a}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {c}}
; ImplyTransitivity
\rhd \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf {b}}
\Rightarrow \dot{\neg}\, \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf {a}}
\rhd \dot{\neg}\, \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf {a}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {c}}
\gg \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf {b}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {c}}
; Contrapositive
\rhd \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf {b}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {c}}
\gg \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf {c}}
\Rightarrow \dot{\neg}\, \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf {b}}
; Contrapositive
\rhd \underline{
\mathsf {b}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {c}}
\gg \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf {c}}
\Rightarrow \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf {b}}
; Neg
\rhd \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf {c}}
\Rightarrow \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf {b}}
\rhd \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf {c}}
\Rightarrow \dot{\neg}\, \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf {b}}
\gg \underline{
\mathsf {c}}
\rceil 
, 
p_0
, 
\mathsf {c}
)
]$

$\rm
[FromDisjuncts
\stackrel{
stmt
}{\rightarrow}ZFsub
\vdash 
\forall \underline{
\mathsf {a}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf {b}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf {c}}
\colon \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf {a}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {b}}
\vdash \underline{
\mathsf {a}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {c}}
\vdash \underline{
\mathsf {b}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {c}}
\vdash \underline{
\mathsf {c}}
]$

$\rm
[FromDisjuncts
\stackrel{
\mathrm{tex}
}{\rightarrow}
\mbox{``}FromDisjuncts
\mbox{''}
]$

$\rm
[FromDisjuncts
\stackrel{
\mathrm{pyk}
}{\rightarrow}
\mbox{``}prop
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}lemma
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}from
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}disjuncts
\mbox{''}
]$

\hypertarget {url:1808490560655876194608813785663292462486349118665588524157069396079556865:71}{}\section* {$\rm IffCommutativity$}

$\rm
[IffCommutativity
\stackrel{
proof
}{\rightarrow}
\lambda 
\mathsf {c}
.
\lambda 
\mathsf{x}
.
{\cal P}( 
\lceil ZFsub
\vdash 
\forall \underline{
\mathsf {a}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf {b}}
\colon \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf {a}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {b}}
\Rightarrow \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf {b}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {a}}
\vdash Repetition
\rhd \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf {a}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {b}}
\Rightarrow \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf {b}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {a}}
\gg \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf {a}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {b}}
\Rightarrow \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf {b}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {a}}
; AndCommutativity
\rhd \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf {a}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {b}}
\Rightarrow \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf {b}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {a}}
\gg \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf {b}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {a}}
\Rightarrow \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf {a}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {b}}
; Repetition
\rhd \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf {b}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {a}}
\Rightarrow \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf {a}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {b}}
\gg \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf {b}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {a}}
\Rightarrow \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf {a}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {b}}
\rceil 
, 
p_0
, 
\mathsf {c}
)
]$

$\rm
[IffCommutativity
\stackrel{
stmt
}{\rightarrow}ZFsub
\vdash 
\forall \underline{
\mathsf {a}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf {b}}
\colon \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf {a}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {b}}
\Rightarrow \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf {b}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {a}}
\vdash \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf {b}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {a}}
\Rightarrow \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf {a}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {b}}
]$

$\rm
[IffCommutativity
\stackrel{
\mathrm{tex}
}{\rightarrow}
\mbox{``}IffCommutativity
\mbox{''}
]$

$\rm
[IffCommutativity
\stackrel{
\mathrm{pyk}
}{\rightarrow}
\mbox{``}prop
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}lemma
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}iff
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}commutativity
\mbox{''}
]$

\hypertarget {url:1808490560655876194608813785663292462486349118665588524157069396079556865:72}{}\section* {$\rm IffFirst$}

$\rm
[IffFirst
\stackrel{
proof
}{\rightarrow}
\lambda 
\mathsf {c}
.
\lambda 
\mathsf{x}
.
{\cal P}( 
\lceil ZFsub
\vdash 
\forall \underline{
\mathsf {a}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf {b}}
\colon \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf {a}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {b}}
\Rightarrow \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf {b}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {a}}
\vdash \underline{
\mathsf {b}}
\vdash SecondConjunct
\rhd \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf {a}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {b}}
\Rightarrow \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf {b}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {a}}
\gg \underline{
\mathsf {b}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {a}}
; MP
\rhd \underline{
\mathsf {b}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {a}}
\rhd \underline{
\mathsf {b}}
\gg \underline{
\mathsf {a}}
\rceil 
, 
p_0
, 
\mathsf {c}
)
]$

$\rm
[IffFirst
\stackrel{
stmt
}{\rightarrow}ZFsub
\vdash 
\forall \underline{
\mathsf {a}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf {b}}
\colon \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf {a}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {b}}
\Rightarrow \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf {b}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {a}}
\vdash \underline{
\mathsf {b}}
\vdash \underline{
\mathsf {a}}
]$

$\rm
[IffFirst
\stackrel{
\mathrm{tex}
}{\rightarrow}
\mbox{``}IffFirst
\mbox{''}
]$

$\rm
[IffFirst
\stackrel{
\mathrm{pyk}
}{\rightarrow}
\mbox{``}prop
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}lemma
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}iff
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}first
\mbox{''}
]$

\hypertarget {url:1808490560655876194608813785663292462486349118665588524157069396079556865:73}{}\section* {$\rm IffSecond$}

$\rm
[IffSecond
\stackrel{
proof
}{\rightarrow}
\lambda 
\mathsf {c}
.
\lambda 
\mathsf{x}
.
{\cal P}( 
\lceil ZFsub
\vdash 
\forall \underline{
\mathsf {a}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf {b}}
\colon \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf {a}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {b}}
\Rightarrow \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf {b}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {a}}
\vdash \underline{
\mathsf {a}}
\vdash FirstConjunct
\rhd \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf {a}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {b}}
\Rightarrow \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf {b}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {a}}
\gg \underline{
\mathsf {a}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {b}}
; MP
\rhd \underline{
\mathsf {a}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {b}}
\rhd \underline{
\mathsf {a}}
\gg \underline{
\mathsf {b}}
\rceil 
, 
p_0
, 
\mathsf {c}
)
]$

$\rm
[IffSecond
\stackrel{
stmt
}{\rightarrow}ZFsub
\vdash 
\forall \underline{
\mathsf {a}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf {b}}
\colon \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf {a}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {b}}
\Rightarrow \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf {b}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {a}}
\vdash \underline{
\mathsf {a}}
\vdash \underline{
\mathsf {b}}
]$

$\rm
[IffSecond
\stackrel{
\mathrm{tex}
}{\rightarrow}
\mbox{``}IffSecond
\mbox{''}
]$

$\rm
[IffSecond
\stackrel{
\mathrm{pyk}
}{\rightarrow}
\mbox{``}prop
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}lemma
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}iff
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}second
\mbox{''}
]$

\hypertarget {url:1808490560655876194608813785663292462486349118665588524157069396079556865:74}{}\section* {$\rm ImplyTransitivity$}

$\rm
[ImplyTransitivity
\stackrel{
proof
}{\rightarrow}
\lambda 
\mathsf {c}
.
\lambda 
\mathsf{x}
.
{\cal P}( 
\lceil ZFsub
\vdash 
\forall \underline{
\mathsf {a}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf {b}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf {c}}
\colon \underline{
\mathsf {a}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {b}}
\vdash \underline{
\mathsf {b}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {c}}
\vdash \underline{
\mathsf {a}}
\vdash MP
\rhd \underline{
\mathsf {a}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {b}}
\rhd \underline{
\mathsf {a}}
\gg \underline{
\mathsf {b}}
; MP
\rhd \underline{
\mathsf {b}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {c}}
\rhd \underline{
\mathsf {b}}
\gg \underline{
\mathsf {c}}
; 
\forall \underline{
\mathsf {a}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf {b}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf {c}}
\colon \underline{
\mathsf {a}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {b}}
\vdash \underline{
\mathsf {b}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {c}}
\vdash Ded
\rhd 
\forall \underline{
\mathsf {a}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf {b}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf {c}}
\colon \underline{
\mathsf {a}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {b}}
\vdash \underline{
\mathsf {b}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {c}}
\vdash \underline{
\mathsf {a}}
\vdash \underline{
\mathsf {c}}
\gg \underline{
\mathsf {a}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {b}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {b}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {c}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {a}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {c}}
; MP2
\rhd \underline{
\mathsf {a}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {b}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {b}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {c}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {a}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {c}}
\rhd \underline{
\mathsf {a}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {b}}
\rhd \underline{
\mathsf {b}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {c}}
\gg \underline{
\mathsf {a}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {c}}
\rceil 
, 
p_0
, 
\mathsf {c}
)
]$

$\rm
[ImplyTransitivity
\stackrel{
stmt
}{\rightarrow}ZFsub
\vdash 
\forall \underline{
\mathsf {a}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf {b}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf {c}}
\colon \underline{
\mathsf {a}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {b}}
\vdash \underline{
\mathsf {b}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {c}}
\vdash \underline{
\mathsf {a}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {c}}
]$

$\rm
[ImplyTransitivity
\stackrel{
\mathrm{tex}
}{\rightarrow}
\mbox{``}ImplyTransitivity
\mbox{''}
]$

$\rm
[ImplyTransitivity
\stackrel{
\mathrm{pyk}
}{\rightarrow}
\mbox{``}prop
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}lemma
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}imply
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}transitivity
\mbox{''}
]$

\hypertarget {url:1808490560655876194608813785663292462486349118665588524157069396079556865:75}{}\section* {$\rm JoinConjuncts$}

$\rm
[JoinConjuncts
\stackrel{
proof
}{\rightarrow}
\lambda 
\mathsf {c}
.
\lambda 
\mathsf{x}
.
{\cal P}( 
\lceil ZFsub
\vdash 
\forall \underline{
\mathsf {a}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf {b}}
\colon \underline{
\mathsf {a}}
\vdash \underline{
\mathsf {a}}
\Rightarrow \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf {b}}
\vdash MP
\rhd \underline{
\mathsf {a}}
\Rightarrow \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf {b}}
\rhd \underline{
\mathsf {a}}
\gg \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf {b}}
; 
\forall \underline{
\mathsf {a}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf {b}}
\colon Ded
\rhd 
\forall \underline{
\mathsf {a}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf {b}}
\colon \underline{
\mathsf {a}}
\vdash \underline{
\mathsf {a}}
\Rightarrow \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf {b}}
\vdash \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf {b}}
\gg \underline{
\mathsf {a}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {a}}
\Rightarrow \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf {b}}
\Rightarrow \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf {b}}
; \underline{
\mathsf {a}}
\vdash \underline{
\mathsf {b}}
\vdash MP
\rhd \underline{
\mathsf {a}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {a}}
\Rightarrow \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf {b}}
\Rightarrow \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf {b}}
\rhd \underline{
\mathsf {a}}
\gg \underline{
\mathsf {a}}
\Rightarrow \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf {b}}
\Rightarrow \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf {b}}
; AddDoubleNeg
\rhd \underline{
\mathsf {b}}
\gg \dot{\neg}\, \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf {b}}
; MT
\rhd \underline{
\mathsf {a}}
\Rightarrow \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf {b}}
\Rightarrow \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf {b}}
\rhd \dot{\neg}\, \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf {b}}
\gg \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf {a}}
\Rightarrow \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf {b}}
; Repetition
\rhd \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf {a}}
\Rightarrow \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf {b}}
\gg \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf {a}}
\Rightarrow \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf {b}}
\rceil 
, 
p_0
, 
\mathsf {c}
)
]$

$\rm
[JoinConjuncts
\stackrel{
stmt
}{\rightarrow}ZFsub
\vdash 
\forall \underline{
\mathsf {a}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf {b}}
\colon \underline{
\mathsf {a}}
\vdash \underline{
\mathsf {b}}
\vdash \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf {a}}
\Rightarrow \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf {b}}
]$

$\rm
[JoinConjuncts
\stackrel{
\mathrm{tex}
}{\rightarrow}
\mbox{``}JoinConjuncts
\mbox{''}
]$

$\rm
[JoinConjuncts
\stackrel{
\mathrm{pyk}
}{\rightarrow}
\mbox{``}prop
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}lemma
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}join
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}conjuncts
\mbox{''}
]$

\hypertarget {url:1808490560655876194608813785663292462486349118665588524157069396079556865:76}{}\section* {$\rm MP2$}

$\rm
[MP2
\stackrel{
proof
}{\rightarrow}
\lambda 
\mathsf {c}
.
\lambda 
\mathsf{x}
.
{\cal P}( 
\lceil ZFsub
\vdash 
\forall \underline{
\mathsf {a}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf {b}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf {c}}
\colon \underline{
\mathsf {a}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {b}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {c}}
\vdash \underline{
\mathsf {a}}
\vdash \underline{
\mathsf {b}}
\vdash MP
\rhd \underline{
\mathsf {a}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {b}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {c}}
\rhd \underline{
\mathsf {a}}
\gg \underline{
\mathsf {b}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {c}}
; MP
\rhd \underline{
\mathsf {b}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {c}}
\rhd \underline{
\mathsf {b}}
\gg \underline{
\mathsf {c}}
\rceil 
, 
p_0
, 
\mathsf {c}
)
]$

$\rm
[MP2
\stackrel{
stmt
}{\rightarrow}ZFsub
\vdash 
\forall \underline{
\mathsf {a}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf {b}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf {c}}
\colon \underline{
\mathsf {a}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {b}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {c}}
\vdash \underline{
\mathsf {a}}
\vdash \underline{
\mathsf {b}}
\vdash \underline{
\mathsf {c}}
]$

$\rm
[MP2
\stackrel{
\mathrm{tex}
}{\rightarrow}
\mbox{``}MP2
\mbox{''}
]$

$\rm
[MP2
\stackrel{
\mathrm{pyk}
}{\rightarrow}
\mbox{``}prop
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}lemma
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}mp2
\mbox{''}
]$

\hypertarget {url:1808490560655876194608813785663292462486349118665588524157069396079556865:77}{}\section* {$\rm MP3$}

$\rm
[MP3
\stackrel{
proof
}{\rightarrow}
\lambda 
\mathsf {c}
.
\lambda 
\mathsf{x}
.
{\cal P}( 
\lceil ZFsub
\vdash 
\forall \underline{
\mathsf {a}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf {b}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf {c}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf {d}}
\colon \underline{
\mathsf {a}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {b}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {c}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {d}}
\vdash \underline{
\mathsf {a}}
\vdash \underline{
\mathsf {b}}
\vdash \underline{
\mathsf {c}}
\vdash MP2
\rhd \underline{
\mathsf {a}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {b}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {c}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {d}}
\rhd \underline{
\mathsf {a}}
\rhd \underline{
\mathsf {b}}
\gg \underline{
\mathsf {c}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {d}}
; MP
\rhd \underline{
\mathsf {c}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {d}}
\rhd \underline{
\mathsf {c}}
\gg \underline{
\mathsf {d}}
\rceil 
, 
p_0
, 
\mathsf {c}
)
]$

$\rm
[MP3
\stackrel{
stmt
}{\rightarrow}ZFsub
\vdash 
\forall \underline{
\mathsf {a}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf {b}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf {c}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf {d}}
\colon \underline{
\mathsf {a}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {b}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {c}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {d}}
\vdash \underline{
\mathsf {a}}
\vdash \underline{
\mathsf {b}}
\vdash \underline{
\mathsf {c}}
\vdash \underline{
\mathsf {d}}
]$

$\rm
[MP3
\stackrel{
\mathrm{tex}
}{\rightarrow}
\mbox{``}MP3
\mbox{''}
]$

$\rm
[MP3
\stackrel{
\mathrm{pyk}
}{\rightarrow}
\mbox{``}prop
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}lemma
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}mp3
\mbox{''}
]$

\hypertarget {url:1808490560655876194608813785663292462486349118665588524157069396079556865:78}{}\section* {$\rm MP4$}

$\rm
[MP4
\stackrel{
proof
}{\rightarrow}
\lambda 
\mathsf {c}
.
\lambda 
\mathsf{x}
.
{\cal P}( 
\lceil ZFsub
\vdash 
\forall \underline{
\mathsf {a}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf {b}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf {c}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf {d}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf {e}}
\colon \underline{
\mathsf {a}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {b}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {c}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {d}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {e}}
\vdash \underline{
\mathsf {a}}
\vdash \underline{
\mathsf {b}}
\vdash \underline{
\mathsf {c}}
\vdash \underline{
\mathsf {d}}
\vdash MP2
\rhd \underline{
\mathsf {a}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {b}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {c}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {d}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {e}}
\rhd \underline{
\mathsf {a}}
\rhd \underline{
\mathsf {b}}
\gg \underline{
\mathsf {c}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {d}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {e}}
; MP2
\rhd \underline{
\mathsf {c}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {d}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {e}}
\rhd \underline{
\mathsf {c}}
\rhd \underline{
\mathsf {d}}
\gg \underline{
\mathsf {e}}
\rceil 
, 
p_0
, 
\mathsf {c}
)
]$

$\rm
[MP4
\stackrel{
stmt
}{\rightarrow}ZFsub
\vdash 
\forall \underline{
\mathsf {a}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf {b}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf {c}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf {d}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf {e}}
\colon \underline{
\mathsf {a}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {b}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {c}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {d}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {e}}
\vdash \underline{
\mathsf {a}}
\vdash \underline{
\mathsf {b}}
\vdash \underline{
\mathsf {c}}
\vdash \underline{
\mathsf {d}}
\vdash \underline{
\mathsf {e}}
]$

$\rm
[MP4
\stackrel{
\mathrm{tex}
}{\rightarrow}
\mbox{``}MP4
\mbox{''}
]$

$\rm
[MP4
\stackrel{
\mathrm{pyk}
}{\rightarrow}
\mbox{``}prop
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}lemma
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}mp4
\mbox{''}
]$

\hypertarget {url:1808490560655876194608813785663292462486349118665588524157069396079556865:79}{}\section* {$\rm MP5$}

$\rm
[MP5
\stackrel{
proof
}{\rightarrow}
\lambda 
\mathsf {c}
.
\lambda 
\mathsf{x}
.
{\cal P}( 
\lceil ZFsub
\vdash 
\forall \underline{
\mathsf {a}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf {b}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf {c}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf {d}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf {e}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf {f}}
\colon \underline{
\mathsf {a}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {b}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {c}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {d}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {e}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {f}}
\vdash \underline{
\mathsf {a}}
\vdash \underline{
\mathsf {b}}
\vdash \underline{
\mathsf {c}}
\vdash \underline{
\mathsf {d}}
\vdash \underline{
\mathsf {e}}
\vdash MP3
\rhd \underline{
\mathsf {a}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {b}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {c}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {d}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {e}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {f}}
\rhd \underline{
\mathsf {a}}
\rhd \underline{
\mathsf {b}}
\rhd \underline{
\mathsf {c}}
\gg \underline{
\mathsf {d}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {e}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {f}}
; MP2
\rhd \underline{
\mathsf {d}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {e}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {f}}
\rhd \underline{
\mathsf {d}}
\rhd \underline{
\mathsf {e}}
\gg \underline{
\mathsf {f}}
\rceil 
, 
p_0
, 
\mathsf {c}
)
]$

$\rm
[MP5
\stackrel{
stmt
}{\rightarrow}ZFsub
\vdash 
\forall \underline{
\mathsf {a}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf {b}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf {c}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf {d}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf {e}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf {f}}
\colon \underline{
\mathsf {a}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {b}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {c}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {d}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {e}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {f}}
\vdash \underline{
\mathsf {a}}
\vdash \underline{
\mathsf {b}}
\vdash \underline{
\mathsf {c}}
\vdash \underline{
\mathsf {d}}
\vdash \underline{
\mathsf {e}}
\vdash \underline{
\mathsf {f}}
]$

$\rm
[MP5
\stackrel{
\mathrm{tex}
}{\rightarrow}
\mbox{``}MP5
\mbox{''}
]$

$\rm
[MP5
\stackrel{
\mathrm{pyk}
}{\rightarrow}
\mbox{``}prop
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}lemma
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}mp5
\mbox{''}
]$

\hypertarget {url:1808490560655876194608813785663292462486349118665588524157069396079556865:80}{}\section* {$\rm MT$}

$\rm
[MT
\stackrel{
proof
}{\rightarrow}
\lambda 
\mathsf {c}
.
\lambda 
\mathsf{x}
.
{\cal P}( 
\lceil ZFsub
\vdash 
\forall \underline{
\mathsf {a}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf {b}}
\colon \underline{
\mathsf {a}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {b}}
\vdash \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf {b}}
\vdash Technicality
\gg \dot{\neg}\, \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf {a}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {b}}
; NegativeMT
\rhd \dot{\neg}\, \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf {a}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {b}}
\rhd \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf {b}}
\gg \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf {a}}
\rceil 
, 
p_0
, 
\mathsf {c}
)
]$

$\rm
[MT
\stackrel{
stmt
}{\rightarrow}ZFsub
\vdash 
\forall \underline{
\mathsf {a}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf {b}}
\colon \underline{
\mathsf {a}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {b}}
\vdash \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf {b}}
\vdash \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf {a}}
]$

$\rm
[MT
\stackrel{
\mathrm{tex}
}{\rightarrow}
\mbox{``}MT
\mbox{''}
]$

$\rm
[MT
\stackrel{
\mathrm{pyk}
}{\rightarrow}
\mbox{``}prop
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}lemma
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}mt
\mbox{''}
]$

\hypertarget {url:1808490560655876194608813785663292462486349118665588524157069396079556865:81}{}\section* {$\rm NegativeMT$}

$\rm
[NegativeMT
\stackrel{
proof
}{\rightarrow}
\lambda 
\mathsf {c}
.
\lambda 
\mathsf{x}
.
{\cal P}( 
\lceil ZFsub
\vdash 
\forall \underline{
\mathsf {a}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf {b}}
\colon \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf {a}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {b}}
\vdash \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf {b}}
\vdash Weakening
\rhd \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf {b}}
\gg \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf {a}}
\Rightarrow \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf {b}}
; Neg
\rhd \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf {a}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {b}}
\rhd \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf {a}}
\Rightarrow \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf {b}}
\gg \underline{
\mathsf {a}}
\rceil 
, 
p_0
, 
\mathsf {c}
)
]$

$\rm
[NegativeMT
\stackrel{
stmt
}{\rightarrow}ZFsub
\vdash 
\forall \underline{
\mathsf {a}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf {b}}
\colon \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf {a}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {b}}
\vdash \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf {b}}
\vdash \underline{
\mathsf {a}}
]$

$\rm
[NegativeMT
\stackrel{
\mathrm{tex}
}{\rightarrow}
\mbox{``}NegativeMT
\mbox{''}
]$

$\rm
[NegativeMT
\stackrel{
\mathrm{pyk}
}{\rightarrow}
\mbox{``}prop
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}lemma
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}negative
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}mt
\mbox{''}
]$

\hypertarget {url:1808490560655876194608813785663292462486349118665588524157069396079556865:82}{}\section* {$\rm Technicality$}

$\rm
[Technicality
\stackrel{
proof
}{\rightarrow}
\lambda 
\mathsf {c}
.
\lambda 
\mathsf{x}
.
{\cal P}( 
\lceil ZFsub
\vdash 
\forall \underline{
\mathsf {a}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf {b}}
\colon \underline{
\mathsf {a}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {b}}
\vdash \dot{\neg}\, \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf {a}}
\vdash RemoveDoubleNeg
\rhd \dot{\neg}\, \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf {a}}
\gg \underline{
\mathsf {a}}
; MP
\rhd \underline{
\mathsf {a}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {b}}
\rhd \underline{
\mathsf {a}}
\gg \underline{
\mathsf {b}}
; 
\forall \underline{
\mathsf {a}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf {b}}
\colon Ded
\rhd 
\forall \underline{
\mathsf {a}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf {b}}
\colon \underline{
\mathsf {a}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {b}}
\vdash \dot{\neg}\, \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf {a}}
\vdash \underline{
\mathsf {b}}
\gg \underline{
\mathsf {a}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {b}}
\Rightarrow \dot{\neg}\, \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf {a}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {b}}
; \underline{
\mathsf {a}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {b}}
\vdash MP
\rhd \underline{
\mathsf {a}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {b}}
\Rightarrow \dot{\neg}\, \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf {a}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {b}}
\rhd \underline{
\mathsf {a}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {b}}
\gg \dot{\neg}\, \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf {a}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {b}}
\rceil 
, 
p_0
, 
\mathsf {c}
)
]$

$\rm
[Technicality
\stackrel{
stmt
}{\rightarrow}ZFsub
\vdash 
\forall \underline{
\mathsf {a}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf {b}}
\colon \underline{
\mathsf {a}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {b}}
\vdash \dot{\neg}\, \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf {a}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {b}}
]$

$\rm
[Technicality
\stackrel{
\mathrm{tex}
}{\rightarrow}
\mbox{``}Technicality
\mbox{''}
]$

$\rm
[Technicality
\stackrel{
\mathrm{pyk}
}{\rightarrow}
\mbox{``}prop
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}lemma
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}technicality
\mbox{''}
]$

\hypertarget {url:1808490560655876194608813785663292462486349118665588524157069396079556865:83}{}\section* {$\rm Weakening$}

$\rm
[Weakening
\stackrel{
proof
}{\rightarrow}
\lambda 
\mathsf {c}
.
\lambda 
\mathsf{x}
.
{\cal P}( 
\lceil ZFsub
\vdash 
\forall \underline{
\mathsf {a}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf {b}}
\colon \underline{
\mathsf {b}}
\vdash \underline{
\mathsf {a}}
\vdash Repetition
\rhd \underline{
\mathsf {b}}
\gg \underline{
\mathsf {b}}
; 
\forall \underline{
\mathsf {a}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf {b}}
\colon Ded
\rhd 
\forall \underline{
\mathsf {a}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf {b}}
\colon \underline{
\mathsf {b}}
\vdash \underline{
\mathsf {a}}
\vdash \underline{
\mathsf {b}}
\gg \underline{
\mathsf {b}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {a}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {b}}
; \underline{
\mathsf {b}}
\vdash MP
\rhd \underline{
\mathsf {b}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {a}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {b}}
\rhd \underline{
\mathsf {b}}
\gg \underline{
\mathsf {a}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {b}}
\rceil 
, 
p_0
, 
\mathsf {c}
)
]$

$\rm
[Weakening
\stackrel{
stmt
}{\rightarrow}ZFsub
\vdash 
\forall \underline{
\mathsf {a}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf {b}}
\colon \underline{
\mathsf {b}}
\vdash \underline{
\mathsf {a}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {b}}
]$

$\rm
[Weakening
\stackrel{
\mathrm{tex}
}{\rightarrow}
\mbox{``}Weakening
\mbox{''}
]$

$\rm
[Weakening
\stackrel{
\mathrm{pyk}
}{\rightarrow}
\mbox{``}prop
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}lemma
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}weakening
\mbox{''}
]$

\hypertarget {url:1808490560655876194608813785663292462486349118665588524157069396079556865:84}{}\section* {$\rm WeakenOr1$}

$\rm
[WeakenOr1
\stackrel{
proof
}{\rightarrow}
\lambda 
\mathsf {c}
.
\lambda 
\mathsf{x}
.
{\cal P}( 
\lceil ZFsub
\vdash 
\forall \underline{
\mathsf {a}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf {b}}
\colon \underline{
\mathsf {b}}
\vdash Weakening
\rhd \underline{
\mathsf {b}}
\gg \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf {a}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {b}}
; Repetition
\rhd \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf {a}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {b}}
\gg \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf {a}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {b}}
\rceil 
, 
p_0
, 
\mathsf {c}
)
]$

$\rm
[WeakenOr1
\stackrel{
stmt
}{\rightarrow}ZFsub
\vdash 
\forall \underline{
\mathsf {a}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf {b}}
\colon \underline{
\mathsf {b}}
\vdash \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf {a}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {b}}
]$

$\rm
[WeakenOr1
\stackrel{
\mathrm{tex}
}{\rightarrow}
\mbox{``}WeakenOr1
\mbox{''}
]$

$\rm
[WeakenOr1
\stackrel{
\mathrm{pyk}
}{\rightarrow}
\mbox{``}prop
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}lemma
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}weaken
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}or
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}first
\mbox{''}
]$

\hypertarget {url:1808490560655876194608813785663292462486349118665588524157069396079556865:85}{}\section* {$\rm WeakenOr2$}

$\rm
[WeakenOr2
\stackrel{
proof
}{\rightarrow}
\lambda 
\mathsf {c}
.
\lambda 
\mathsf{x}
.
{\cal P}( 
\lceil ZFsub
\vdash 
\forall \underline{
\mathsf {a}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf {b}}
\colon \underline{
\mathsf {a}}
\vdash \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf {a}}
\vdash FromContradiction
\rhd \underline{
\mathsf {a}}
\rhd \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf {a}}
\gg \underline{
\mathsf {b}}
; 
\forall \underline{
\mathsf {a}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf {b}}
\colon Ded
\rhd 
\forall \underline{
\mathsf {a}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf {b}}
\colon \underline{
\mathsf {a}}
\vdash \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf {a}}
\vdash \underline{
\mathsf {b}}
\gg \underline{
\mathsf {a}}
\Rightarrow \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf {a}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {b}}
; \underline{
\mathsf {a}}
\vdash MP
\rhd \underline{
\mathsf {a}}
\Rightarrow \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf {a}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {b}}
\rhd \underline{
\mathsf {a}}
\gg \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf {a}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {b}}
; Repetition
\rhd \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf {a}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {b}}
\gg \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf {a}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {b}}
\rceil 
, 
p_0
, 
\mathsf {c}
)
]$

$\rm
[WeakenOr2
\stackrel{
stmt
}{\rightarrow}ZFsub
\vdash 
\forall \underline{
\mathsf {a}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf {b}}
\colon \underline{
\mathsf {a}}
\vdash \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf {a}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {b}}
]$

$\rm
[WeakenOr2
\stackrel{
\mathrm{tex}
}{\rightarrow}
\mbox{``}WeakenOr2
\mbox{''}
]$

$\rm
[WeakenOr2
\stackrel{
\mathrm{pyk}
}{\rightarrow}
\mbox{``}prop
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}lemma
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}weaken
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}or
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}second
\mbox{''}
]$

\hypertarget {url:1808490560655876194608813785663292462486349118665588524157069396079556865:86}{}\section* {$\rm Formula2Pair$}

$\rm
[Formula2Pair
\stackrel{
proof
}{\rightarrow}
\lambda 
\mathsf {c}
.
\lambda 
\mathsf{x}
.
{\cal P}( 
\lceil ZFsub
\vdash 
\forall \underline{
\mathsf {s}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf{x}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf{y}}
\colon \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf {s}}
\!\mathrel{=}\! \underline{
\mathsf{x}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {s}}
\!\mathrel{=}\! \underline{
\mathsf{y}}
\vdash PairDef
\gg \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf {s}}
 \mathrel{\in} \{\underline{
\mathsf{x}}
,\underline{
\mathsf{y}}
\}
\Rightarrow \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf {s}}
\!\mathrel{=}\! \underline{
\mathsf{x}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {s}}
\!\mathrel{=}\! \underline{
\mathsf{y}}
\Rightarrow \dot{\neg}\, \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf {s}}
\!\mathrel{=}\! \underline{
\mathsf{x}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {s}}
\!\mathrel{=}\! \underline{
\mathsf{y}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {s}}
 \mathrel{\in} \{\underline{
\mathsf{x}}
,\underline{
\mathsf{y}}
\}
; IffFirst
\rhd \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf {s}}
 \mathrel{\in} \{\underline{
\mathsf{x}}
,\underline{
\mathsf{y}}
\}
\Rightarrow \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf {s}}
\!\mathrel{=}\! \underline{
\mathsf{x}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {s}}
\!\mathrel{=}\! \underline{
\mathsf{y}}
\Rightarrow \dot{\neg}\, \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf {s}}
\!\mathrel{=}\! \underline{
\mathsf{x}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {s}}
\!\mathrel{=}\! \underline{
\mathsf{y}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {s}}
 \mathrel{\in} \{\underline{
\mathsf{x}}
,\underline{
\mathsf{y}}
\}
\rhd \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf {s}}
\!\mathrel{=}\! \underline{
\mathsf{x}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {s}}
\!\mathrel{=}\! \underline{
\mathsf{y}}
\gg \underline{
\mathsf {s}}
 \mathrel{\in} \{\underline{
\mathsf{x}}
,\underline{
\mathsf{y}}
\}
\rceil 
, 
p_0
, 
\mathsf {c}
)
]$

$\rm
[Formula2Pair
\stackrel{
stmt
}{\rightarrow}ZFsub
\vdash 
\forall \underline{
\mathsf {s}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf{x}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf{y}}
\colon \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf {s}}
\!\mathrel{=}\! \underline{
\mathsf{x}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {s}}
\!\mathrel{=}\! \underline{
\mathsf{y}}
\vdash \underline{
\mathsf {s}}
 \mathrel{\in} \{\underline{
\mathsf{x}}
,\underline{
\mathsf{y}}
\}
]$

$\rm
[Formula2Pair
\stackrel{
\mathrm{tex}
}{\rightarrow}
\mbox{``}Formula2Pair
\mbox{''}
]$

$\rm
[Formula2Pair
\stackrel{
\mathrm{pyk}
}{\rightarrow}
\mbox{``}lemma
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}formula2pair
\mbox{''}
]$

\hypertarget {url:1808490560655876194608813785663292462486349118665588524157069396079556865:87}{}\section* {$\rm Pair2Formula$}

$\rm
[Pair2Formula
\stackrel{
proof
}{\rightarrow}
\lambda 
\mathsf {c}
.
\lambda 
\mathsf{x}
.
{\cal P}( 
\lceil ZFsub
\vdash 
\forall \underline{
\mathsf {s}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf{x}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf{y}}
\colon \underline{
\mathsf {s}}
 \mathrel{\in} \{\underline{
\mathsf{x}}
,\underline{
\mathsf{y}}
\}
\vdash PairDef
\gg \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf {s}}
 \mathrel{\in} \{\underline{
\mathsf{x}}
,\underline{
\mathsf{y}}
\}
\Rightarrow \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf {s}}
\!\mathrel{=}\! \underline{
\mathsf{x}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {s}}
\!\mathrel{=}\! \underline{
\mathsf{y}}
\Rightarrow \dot{\neg}\, \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf {s}}
\!\mathrel{=}\! \underline{
\mathsf{x}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {s}}
\!\mathrel{=}\! \underline{
\mathsf{y}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {s}}
 \mathrel{\in} \{\underline{
\mathsf{x}}
,\underline{
\mathsf{y}}
\}
; IffSecond
\rhd \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf {s}}
 \mathrel{\in} \{\underline{
\mathsf{x}}
,\underline{
\mathsf{y}}
\}
\Rightarrow \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf {s}}
\!\mathrel{=}\! \underline{
\mathsf{x}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {s}}
\!\mathrel{=}\! \underline{
\mathsf{y}}
\Rightarrow \dot{\neg}\, \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf {s}}
\!\mathrel{=}\! \underline{
\mathsf{x}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {s}}
\!\mathrel{=}\! \underline{
\mathsf{y}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {s}}
 \mathrel{\in} \{\underline{
\mathsf{x}}
,\underline{
\mathsf{y}}
\}
\rhd \underline{
\mathsf {s}}
 \mathrel{\in} \{\underline{
\mathsf{x}}
,\underline{
\mathsf{y}}
\}
\gg \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf {s}}
\!\mathrel{=}\! \underline{
\mathsf{x}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {s}}
\!\mathrel{=}\! \underline{
\mathsf{y}}
\rceil 
, 
p_0
, 
\mathsf {c}
)
]$

$\rm
[Pair2Formula
\stackrel{
stmt
}{\rightarrow}ZFsub
\vdash 
\forall \underline{
\mathsf {s}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf{x}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf{y}}
\colon \underline{
\mathsf {s}}
 \mathrel{\in} \{\underline{
\mathsf{x}}
,\underline{
\mathsf{y}}
\}
\vdash \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf {s}}
\!\mathrel{=}\! \underline{
\mathsf{x}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {s}}
\!\mathrel{=}\! \underline{
\mathsf{y}}
]$

$\rm
[Pair2Formula
\stackrel{
\mathrm{tex}
}{\rightarrow}
\mbox{``}Pair2Formula
\mbox{''}
]$

$\rm
[Pair2Formula
\stackrel{
\mathrm{pyk}
}{\rightarrow}
\mbox{``}lemma
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}pair2formula
\mbox{''}
]$

\hypertarget {url:1808490560655876194608813785663292462486349118665588524157069396079556865:88}{}\section* {$\rm Formula2Union$}

$\rm
[Formula2Union
\stackrel{
proof
}{\rightarrow}
\lambda 
\mathsf {c}
.
\lambda 
\mathsf{x}
.
{\cal P}( 
\lceil ZFsub
\vdash 
\forall \underline{
\mathsf {s}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf{x}}
\colon \underline{
\mathsf {s}}
 \mathrel{\in} 
\mathsf {j}
 _{Ex}
\vdash 
\mathsf {j}
 _{Ex}
 \mathrel{\in} \underline{
\mathsf{x}}
\vdash JoinConjuncts
\rhd \underline{
\mathsf {s}}
 \mathrel{\in} 
\mathsf {j}
 _{Ex}
\rhd 
\mathsf {j}
 _{Ex}
 \mathrel{\in} \underline{
\mathsf{x}}
\gg \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf {s}}
 \mathrel{\in} 
\mathsf {j}
 _{Ex}
\Rightarrow \dot{\neg}\, 
\mathsf {j}
 _{Ex}
 \mathrel{\in} \underline{
\mathsf{x}}
; UnionDef
\gg \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf {s}}
 \mathrel{\in} \cup \underline{
\mathsf{x}}
\Rightarrow \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf {s}}
 \mathrel{\in} 
\mathsf {j}
 _{Ex}
\Rightarrow \dot{\neg}\, 
\mathsf {j}
 _{Ex}
 \mathrel{\in} \underline{
\mathsf{x}}
\Rightarrow \dot{\neg}\, \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf {s}}
 \mathrel{\in} 
\mathsf {j}
 _{Ex}
\Rightarrow \dot{\neg}\, 
\mathsf {j}
 _{Ex}
 \mathrel{\in} \underline{
\mathsf{x}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {s}}
 \mathrel{\in} \cup \underline{
\mathsf{x}}
; IffFirst
\rhd \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf {s}}
 \mathrel{\in} \cup \underline{
\mathsf{x}}
\Rightarrow \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf {s}}
 \mathrel{\in} 
\mathsf {j}
 _{Ex}
\Rightarrow \dot{\neg}\, 
\mathsf {j}
 _{Ex}
 \mathrel{\in} \underline{
\mathsf{x}}
\Rightarrow \dot{\neg}\, \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf {s}}
 \mathrel{\in} 
\mathsf {j}
 _{Ex}
\Rightarrow \dot{\neg}\, 
\mathsf {j}
 _{Ex}
 \mathrel{\in} \underline{
\mathsf{x}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {s}}
 \mathrel{\in} \cup \underline{
\mathsf{x}}
\rhd \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf {s}}
 \mathrel{\in} 
\mathsf {j}
 _{Ex}
\Rightarrow \dot{\neg}\, 
\mathsf {j}
 _{Ex}
 \mathrel{\in} \underline{
\mathsf{x}}
\gg \underline{
\mathsf {s}}
 \mathrel{\in} \cup \underline{
\mathsf{x}}
\rceil 
, 
p_0
, 
\mathsf {c}
)
]$

$\rm
[Formula2Union
\stackrel{
stmt
}{\rightarrow}ZFsub
\vdash 
\forall \underline{
\mathsf {s}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf{x}}
\colon \underline{
\mathsf {s}}
 \mathrel{\in} 
\mathsf {j}
 _{Ex}
\vdash 
\mathsf {j}
 _{Ex}
 \mathrel{\in} \underline{
\mathsf{x}}
\vdash \underline{
\mathsf {s}}
 \mathrel{\in} \cup \underline{
\mathsf{x}}
]$

$\rm
[Formula2Union
\stackrel{
\mathrm{tex}
}{\rightarrow}
\mbox{``}Formula2Union
\mbox{''}
]$

$\rm
[Formula2Union
\stackrel{
\mathrm{pyk}
}{\rightarrow}
\mbox{``}lemma
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}formula2union
\mbox{''}
]$

\hypertarget {url:1808490560655876194608813785663292462486349118665588524157069396079556865:89}{}\section* {$\rm Union2Formula$}

$\rm
[Union2Formula
\stackrel{
proof
}{\rightarrow}
\lambda 
\mathsf {c}
.
\lambda 
\mathsf{x}
.
{\cal P}( 
\lceil ZFsub
\vdash 
\forall \underline{
\mathsf {s}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf{x}}
\colon \underline{
\mathsf {s}}
 \mathrel{\in} \cup \underline{
\mathsf{x}}
\vdash UnionDef
\gg \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf {s}}
 \mathrel{\in} \cup \underline{
\mathsf{x}}
\Rightarrow \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf {s}}
 \mathrel{\in} 
\mathsf {j}
 _{Ex}
\Rightarrow \dot{\neg}\, 
\mathsf {j}
 _{Ex}
 \mathrel{\in} \underline{
\mathsf{x}}
\Rightarrow \dot{\neg}\, \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf {s}}
 \mathrel{\in} 
\mathsf {j}
 _{Ex}
\Rightarrow \dot{\neg}\, 
\mathsf {j}
 _{Ex}
 \mathrel{\in} \underline{
\mathsf{x}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {s}}
 \mathrel{\in} \cup \underline{
\mathsf{x}}
; IffSecond
\rhd \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf {s}}
 \mathrel{\in} \cup \underline{
\mathsf{x}}
\Rightarrow \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf {s}}
 \mathrel{\in} 
\mathsf {j}
 _{Ex}
\Rightarrow \dot{\neg}\, 
\mathsf {j}
 _{Ex}
 \mathrel{\in} \underline{
\mathsf{x}}
\Rightarrow \dot{\neg}\, \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf {s}}
 \mathrel{\in} 
\mathsf {j}
 _{Ex}
\Rightarrow \dot{\neg}\, 
\mathsf {j}
 _{Ex}
 \mathrel{\in} \underline{
\mathsf{x}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {s}}
 \mathrel{\in} \cup \underline{
\mathsf{x}}
\rhd \underline{
\mathsf {s}}
 \mathrel{\in} \cup \underline{
\mathsf{x}}
\gg \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf {s}}
 \mathrel{\in} 
\mathsf {j}
 _{Ex}
\Rightarrow \dot{\neg}\, 
\mathsf {j}
 _{Ex}
 \mathrel{\in} \underline{
\mathsf{x}}
\rceil 
, 
p_0
, 
\mathsf {c}
)
]$

$\rm
[Union2Formula
\stackrel{
stmt
}{\rightarrow}ZFsub
\vdash 
\forall \underline{
\mathsf {s}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf{x}}
\colon \underline{
\mathsf {s}}
 \mathrel{\in} \cup \underline{
\mathsf{x}}
\vdash \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf {s}}
 \mathrel{\in} 
\mathsf {j}
 _{Ex}
\Rightarrow \dot{\neg}\, 
\mathsf {j}
 _{Ex}
 \mathrel{\in} \underline{
\mathsf{x}}
]$

$\rm
[Union2Formula
\stackrel{
\mathrm{tex}
}{\rightarrow}
\mbox{``}Union2Formula
\mbox{''}
]$

$\rm
[Union2Formula
\stackrel{
\mathrm{pyk}
}{\rightarrow}
\mbox{``}lemma
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}union2formula
\mbox{''}
]$

\hypertarget {url:1808490560655876194608813785663292462486349118665588524157069396079556865:90}{}\section* {$\rm Formula2Sep$}

$\rm
[Formula2Sep
\stackrel{
proof
}{\rightarrow}
\lambda 
\mathsf {c}
.
\lambda 
\mathsf{x}
.
{\cal P}( 
\lceil ZFsub
\vdash 
\forall \underline{
\mathsf {a}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf {b}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf {p}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf{x}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf{y}}
\colon \underline{
\mathsf {p}}
 ^{Ph}
\wedge \langle 
\lceil \underline{
\mathsf {b}}
\rceil 
{\equiv}^0 
\lceil \underline{
\mathsf {a}}
\rceil 
| 
\lceil \underline{
\mathsf {p}}
\rceil 
{:=} 
\lceil \underline{
\mathsf{y}}
\rceil 
\rangle_{Ph} 
\mathrel {\makebox [0mm][l]{$\vdash $}\,{\vdash }} \underline{
\mathsf{y}}
 \mathrel{\in} \underline{
\mathsf{x}}
\vdash \underline{
\mathsf {b}}
\vdash JoinConjuncts
\rhd \underline{
\mathsf{y}}
 \mathrel{\in} \underline{
\mathsf{x}}
\rhd \underline{
\mathsf {b}}
\gg \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf{y}}
 \mathrel{\in} \underline{
\mathsf{x}}
\Rightarrow \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf {b}}
; SeparationDef
\mathrel {\makebox [0mm][l]{$\rhd $}\,{\rhd }} \underline{
\mathsf {p}}
 ^{Ph}
\wedge \langle 
\lceil \underline{
\mathsf {b}}
\rceil 
{\equiv}^0 
\lceil \underline{
\mathsf {a}}
\rceil 
| 
\lceil \underline{
\mathsf {p}}
\rceil 
{:=} 
\lceil \underline{
\mathsf{y}}
\rceil 
\rangle_{Ph} 
\gg \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf{y}}
 \mathrel{\in}  \{ ph \mathrel{\in} \underline{
\mathsf{x}}
\mid \underline{
\mathsf {a}}
\}
\Rightarrow \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf{y}}
 \mathrel{\in} \underline{
\mathsf{x}}
\Rightarrow \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf {b}}
\Rightarrow \dot{\neg}\, \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf{y}}
 \mathrel{\in} \underline{
\mathsf{x}}
\Rightarrow \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf {b}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf{y}}
 \mathrel{\in}  \{ ph \mathrel{\in} \underline{
\mathsf{x}}
\mid \underline{
\mathsf {a}}
\}
; SecondConjunct
\rhd \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf{y}}
 \mathrel{\in}  \{ ph \mathrel{\in} \underline{
\mathsf{x}}
\mid \underline{
\mathsf {a}}
\}
\Rightarrow \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf{y}}
 \mathrel{\in} \underline{
\mathsf{x}}
\Rightarrow \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf {b}}
\Rightarrow \dot{\neg}\, \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf{y}}
 \mathrel{\in} \underline{
\mathsf{x}}
\Rightarrow \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf {b}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf{y}}
 \mathrel{\in}  \{ ph \mathrel{\in} \underline{
\mathsf{x}}
\mid \underline{
\mathsf {a}}
\}
\gg \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf{y}}
 \mathrel{\in} \underline{
\mathsf{x}}
\Rightarrow \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf {b}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf{y}}
 \mathrel{\in}  \{ ph \mathrel{\in} \underline{
\mathsf{x}}
\mid \underline{
\mathsf {a}}
\}
; MP
\rhd \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf{y}}
 \mathrel{\in} \underline{
\mathsf{x}}
\Rightarrow \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf {b}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf{y}}
 \mathrel{\in}  \{ ph \mathrel{\in} \underline{
\mathsf{x}}
\mid \underline{
\mathsf {a}}
\}
\rhd \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf{y}}
 \mathrel{\in} \underline{
\mathsf{x}}
\Rightarrow \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf {b}}
\gg \underline{
\mathsf{y}}
 \mathrel{\in}  \{ ph \mathrel{\in} \underline{
\mathsf{x}}
\mid \underline{
\mathsf {a}}
\}
\rceil 
, 
p_0
, 
\mathsf {c}
)
]$

$\rm
[Formula2Sep
\stackrel{
stmt
}{\rightarrow}ZFsub
\vdash 
\forall \underline{
\mathsf {a}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf {b}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf {p}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf{x}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf{y}}
\colon \underline{
\mathsf {p}}
 ^{Ph}
\wedge \langle 
\lceil \underline{
\mathsf {b}}
\rceil 
{\equiv}^0 
\lceil \underline{
\mathsf {a}}
\rceil 
| 
\lceil \underline{
\mathsf {p}}
\rceil 
{:=} 
\lceil \underline{
\mathsf{y}}
\rceil 
\rangle_{Ph} 
\mathrel {\makebox [0mm][l]{$\vdash $}\,{\vdash }} \underline{
\mathsf{y}}
 \mathrel{\in} \underline{
\mathsf{x}}
\vdash \underline{
\mathsf {b}}
\vdash \underline{
\mathsf{y}}
 \mathrel{\in}  \{ ph \mathrel{\in} \underline{
\mathsf{x}}
\mid \underline{
\mathsf {a}}
\}
]$

$\rm
[Formula2Sep
\stackrel{
\mathrm{tex}
}{\rightarrow}
\mbox{``}Formula2Sep
\mbox{''}
]$

$\rm
[Formula2Sep
\stackrel{
\mathrm{pyk}
}{\rightarrow}
\mbox{``}lemma
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}formula2separation
\mbox{''}
]$

\hypertarget {url:1808490560655876194608813785663292462486349118665588524157069396079556865:91}{}\section* {$\rm Sep2Formula$}

$\rm
[Sep2Formula
\stackrel{
proof
}{\rightarrow}
\lambda 
\mathsf {c}
.
\lambda 
\mathsf{x}
.
{\cal P}( 
\lceil ZFsub
\vdash 
\forall \underline{
\mathsf {a}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf {b}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf {p}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf{x}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf{y}}
\colon \underline{
\mathsf {p}}
 ^{Ph}
\wedge \langle 
\lceil \underline{
\mathsf {b}}
\rceil 
{\equiv}^0 
\lceil \underline{
\mathsf {a}}
\rceil 
| 
\lceil \underline{
\mathsf {p}}
\rceil 
{:=} 
\lceil \underline{
\mathsf{y}}
\rceil 
\rangle_{Ph} 
\mathrel {\makebox [0mm][l]{$\vdash $}\,{\vdash }} \underline{
\mathsf{y}}
 \mathrel{\in}  \{ ph \mathrel{\in} \underline{
\mathsf{x}}
\mid \underline{
\mathsf {a}}
\}
\vdash SeparationDef
\mathrel {\makebox [0mm][l]{$\rhd $}\,{\rhd }} \underline{
\mathsf {p}}
 ^{Ph}
\wedge \langle 
\lceil \underline{
\mathsf {b}}
\rceil 
{\equiv}^0 
\lceil \underline{
\mathsf {a}}
\rceil 
| 
\lceil \underline{
\mathsf {p}}
\rceil 
{:=} 
\lceil \underline{
\mathsf{y}}
\rceil 
\rangle_{Ph} 
\gg \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf{y}}
 \mathrel{\in}  \{ ph \mathrel{\in} \underline{
\mathsf{x}}
\mid \underline{
\mathsf {a}}
\}
\Rightarrow \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf{y}}
 \mathrel{\in} \underline{
\mathsf{x}}
\Rightarrow \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf {b}}
\Rightarrow \dot{\neg}\, \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf{y}}
 \mathrel{\in} \underline{
\mathsf{x}}
\Rightarrow \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf {b}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf{y}}
 \mathrel{\in}  \{ ph \mathrel{\in} \underline{
\mathsf{x}}
\mid \underline{
\mathsf {a}}
\}
; FirstConjunct
\rhd \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf{y}}
 \mathrel{\in}  \{ ph \mathrel{\in} \underline{
\mathsf{x}}
\mid \underline{
\mathsf {a}}
\}
\Rightarrow \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf{y}}
 \mathrel{\in} \underline{
\mathsf{x}}
\Rightarrow \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf {b}}
\Rightarrow \dot{\neg}\, \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf{y}}
 \mathrel{\in} \underline{
\mathsf{x}}
\Rightarrow \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf {b}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf{y}}
 \mathrel{\in}  \{ ph \mathrel{\in} \underline{
\mathsf{x}}
\mid \underline{
\mathsf {a}}
\}
\gg \underline{
\mathsf{y}}
 \mathrel{\in}  \{ ph \mathrel{\in} \underline{
\mathsf{x}}
\mid \underline{
\mathsf {a}}
\}
\Rightarrow \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf{y}}
 \mathrel{\in} \underline{
\mathsf{x}}
\Rightarrow \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf {b}}
; MP
\rhd \underline{
\mathsf{y}}
 \mathrel{\in}  \{ ph \mathrel{\in} \underline{
\mathsf{x}}
\mid \underline{
\mathsf {a}}
\}
\Rightarrow \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf{y}}
 \mathrel{\in} \underline{
\mathsf{x}}
\Rightarrow \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf {b}}
\rhd \underline{
\mathsf{y}}
 \mathrel{\in}  \{ ph \mathrel{\in} \underline{
\mathsf{x}}
\mid \underline{
\mathsf {a}}
\}
\gg \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf{y}}
 \mathrel{\in} \underline{
\mathsf{x}}
\Rightarrow \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf {b}}
\rceil 
, 
p_0
, 
\mathsf {c}
)
]$

$\rm
[Sep2Formula
\stackrel{
stmt
}{\rightarrow}ZFsub
\vdash 
\forall \underline{
\mathsf {a}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf {b}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf {p}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf{x}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf{y}}
\colon \underline{
\mathsf {p}}
 ^{Ph}
\wedge \langle 
\lceil \underline{
\mathsf {b}}
\rceil 
{\equiv}^0 
\lceil \underline{
\mathsf {a}}
\rceil 
| 
\lceil \underline{
\mathsf {p}}
\rceil 
{:=} 
\lceil \underline{
\mathsf{y}}
\rceil 
\rangle_{Ph} 
\mathrel {\makebox [0mm][l]{$\vdash $}\,{\vdash }} \underline{
\mathsf{y}}
 \mathrel{\in}  \{ ph \mathrel{\in} \underline{
\mathsf{x}}
\mid \underline{
\mathsf {a}}
\}
\vdash \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf{y}}
 \mathrel{\in} \underline{
\mathsf{x}}
\Rightarrow \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf {b}}
]$

$\rm
[Sep2Formula
\stackrel{
\mathrm{tex}
}{\rightarrow}
\mbox{``}Sep2Formula
\mbox{''}
]$

$\rm
[Sep2Formula
\stackrel{
\mathrm{pyk}
}{\rightarrow}
\mbox{``}lemma
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}separation2formula
\mbox{''}
]$

\hypertarget {url:1808490560655876194608813785663292462486349118665588524157069396079556865:92}{}\section* {$\rm SubsetInPower$}

$\rm
[SubsetInPower
\stackrel{
proof
}{\rightarrow}
\lambda 
\mathsf {c}
.
\lambda 
\mathsf{x}
.
{\cal P}( 
\lceil ZFsub
\vdash 
\forall \underline{
\mathsf {s}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf{x}}
\colon \overline{
\mathsf {s}}
 \mathrel{\in} \underline{
\mathsf {s}}
\Rightarrow \overline{
\mathsf {s}}
 \mathrel{\in} \underline{
\mathsf{x}}
\vdash Gen
\rhd \overline{
\mathsf {s}}
 \mathrel{\in} \underline{
\mathsf {s}}
\Rightarrow \overline{
\mathsf {s}}
 \mathrel{\in} \underline{
\mathsf{x}}
\gg 
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {s}}
\colon \overline{
\mathsf {s}}
 \mathrel{\in} \underline{
\mathsf {s}}
\Rightarrow \overline{
\mathsf {s}}
 \mathrel{\in} \underline{
\mathsf{x}}
; PowerDef
\gg \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf {s}}
 \mathrel{\in} P(\underline{
\mathsf{x}}
)
\Rightarrow 
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {s}}
\colon \overline{
\mathsf {s}}
 \mathrel{\in} \underline{
\mathsf {s}}
\Rightarrow \overline{
\mathsf {s}}
 \mathrel{\in} \underline{
\mathsf{x}}
\Rightarrow \dot{\neg}\, 
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {s}}
\colon \overline{
\mathsf {s}}
 \mathrel{\in} \underline{
\mathsf {s}}
\Rightarrow \overline{
\mathsf {s}}
 \mathrel{\in} \underline{
\mathsf{x}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {s}}
 \mathrel{\in} P(\underline{
\mathsf{x}}
)
; IffFirst
\rhd \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf {s}}
 \mathrel{\in} P(\underline{
\mathsf{x}}
)
\Rightarrow 
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {s}}
\colon \overline{
\mathsf {s}}
 \mathrel{\in} \underline{
\mathsf {s}}
\Rightarrow \overline{
\mathsf {s}}
 \mathrel{\in} \underline{
\mathsf{x}}
\Rightarrow \dot{\neg}\, 
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {s}}
\colon \overline{
\mathsf {s}}
 \mathrel{\in} \underline{
\mathsf {s}}
\Rightarrow \overline{
\mathsf {s}}
 \mathrel{\in} \underline{
\mathsf{x}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {s}}
 \mathrel{\in} P(\underline{
\mathsf{x}}
)
\rhd 
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {s}}
\colon \overline{
\mathsf {s}}
 \mathrel{\in} \underline{
\mathsf {s}}
\Rightarrow \overline{
\mathsf {s}}
 \mathrel{\in} \underline{
\mathsf{x}}
\gg \underline{
\mathsf {s}}
 \mathrel{\in} P(\underline{
\mathsf{x}}
)
\rceil 
, 
p_0
, 
\mathsf {c}
)
]$

$\rm
[SubsetInPower
\stackrel{
stmt
}{\rightarrow}ZFsub
\vdash 
\forall \underline{
\mathsf {s}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf{x}}
\colon \overline{
\mathsf {s}}
 \mathrel{\in} \underline{
\mathsf {s}}
\Rightarrow \overline{
\mathsf {s}}
 \mathrel{\in} \underline{
\mathsf{x}}
\vdash \underline{
\mathsf {s}}
 \mathrel{\in} P(\underline{
\mathsf{x}}
)
]$

$\rm
[SubsetInPower
\stackrel{
\mathrm{tex}
}{\rightarrow}
\mbox{``}SubsetInPower
\mbox{''}
]$

$\rm
[SubsetInPower
\stackrel{
\mathrm{pyk}
}{\rightarrow}
\mbox{``}lemma
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}subset
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}in
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}power
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}set
\mbox{''}
]$

\hypertarget {url:1808490560655876194608813785663292462486349118665588524157069396079556865:93}{}\section* {$\rm HelperPowerIsSub$}

$\rm
[HelperPowerIsSub
\stackrel{
proof
}{\rightarrow}
\lambda 
\mathsf {c}
.
\lambda 
\mathsf{x}
.
{\cal P}( 
\lceil ZFsub
\vdash 
\forall \underline{
\mathsf{x}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf{y}}
\colon \overline{
\mathsf {s}}
 \mathrel{\in} \underline{
\mathsf{x}}
\Rightarrow \overline{
\mathsf {s}}
 \mathrel{\in} \underline{
\mathsf{y}}
\vdash Repetition
\rhd \overline{
\mathsf {s}}
 \mathrel{\in} \underline{
\mathsf{x}}
\Rightarrow \overline{
\mathsf {s}}
 \mathrel{\in} \underline{
\mathsf{y}}
\gg \overline{
\mathsf {s}}
 \mathrel{\in} \underline{
\mathsf{x}}
\Rightarrow \overline{
\mathsf {s}}
 \mathrel{\in} \underline{
\mathsf{y}}
; 
\forall \underline{
\mathsf {s}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf{x}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf{y}}
\colon Ded
\rhd 
\forall \underline{
\mathsf{x}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf{y}}
\colon \overline{
\mathsf {s}}
 \mathrel{\in} \underline{
\mathsf{x}}
\Rightarrow \overline{
\mathsf {s}}
 \mathrel{\in} \underline{
\mathsf{y}}
\vdash \overline{
\mathsf {s}}
 \mathrel{\in} \underline{
\mathsf{x}}
\Rightarrow \overline{
\mathsf {s}}
 \mathrel{\in} \underline{
\mathsf{y}}
\gg 
\lceil \overline{
\mathsf {s}}
\rceil 
\#^0
\lceil \underline{
\mathsf{x}}
\rceil 
\mathrel {\makebox [0mm][l]{$\vdash $}\,{\vdash }} 
\lceil \overline{
\mathsf {s}}
\rceil 
\#^0
\lceil \underline{
\mathsf{y}}
\rceil 
\mathrel {\makebox [0mm][l]{$\vdash $}\,{\vdash }} 
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {s}}
\colon \overline{
\mathsf {s}}
 \mathrel{\in} \underline{
\mathsf{x}}
\Rightarrow \overline{
\mathsf {s}}
 \mathrel{\in} \underline{
\mathsf{y}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {s}}
 \mathrel{\in} \underline{
\mathsf{x}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {s}}
 \mathrel{\in} \underline{
\mathsf{y}}
\rceil 
, 
p_0
, 
\mathsf {c}
)
]$

$\rm
[HelperPowerIsSub
\stackrel{
stmt
}{\rightarrow}ZFsub
\vdash 
\forall \underline{
\mathsf {s}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf{x}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf{y}}
\colon 
\lceil \overline{
\mathsf {s}}
\rceil 
\#^0
\lceil \underline{
\mathsf{x}}
\rceil 
\mathrel {\makebox [0mm][l]{$\vdash $}\,{\vdash }} 
\lceil \overline{
\mathsf {s}}
\rceil 
\#^0
\lceil \underline{
\mathsf{y}}
\rceil 
\mathrel {\makebox [0mm][l]{$\vdash $}\,{\vdash }} 
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {s}}
\colon \overline{
\mathsf {s}}
 \mathrel{\in} \underline{
\mathsf{x}}
\Rightarrow \overline{
\mathsf {s}}
 \mathrel{\in} \underline{
\mathsf{y}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {s}}
 \mathrel{\in} \underline{
\mathsf{x}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {s}}
 \mathrel{\in} \underline{
\mathsf{y}}
]$

$\rm
[HelperPowerIsSub
\stackrel{
\mathrm{tex}
}{\rightarrow}
\mbox{``}HelperPowerIsSub
\mbox{''}
]$

$\rm
[HelperPowerIsSub
\stackrel{
\mathrm{pyk}
}{\rightarrow}
\mbox{``}lemma
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}power
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}set
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}is
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}subset0
\mbox{''}
]$

\hypertarget {url:1808490560655876194608813785663292462486349118665588524157069396079556865:94}{}\section* {$\rm PowerIsSub$}

$\rm
[PowerIsSub
\stackrel{
proof
}{\rightarrow}
\lambda 
\mathsf {c}
.
\lambda 
\mathsf{x}
.
{\cal P}( 
\lceil ZFsub
\vdash 
\forall \underline{
\mathsf {s}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf{x}}
\colon 
\lceil \overline{
\mathsf {s}}
\rceil 
\#^0
\lceil \underline{
\mathsf {s}}
\rceil 
\mathrel {\makebox [0mm][l]{$\vdash $}\,{\vdash }} 
\lceil \overline{
\mathsf {s}}
\rceil 
\#^0
\lceil \underline{
\mathsf{x}}
\rceil 
\mathrel {\makebox [0mm][l]{$\vdash $}\,{\vdash }} \underline{
\mathsf {s}}
 \mathrel{\in} P(\underline{
\mathsf{x}}
)
\vdash PowerDef
\gg \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf {s}}
 \mathrel{\in} P(\underline{
\mathsf{x}}
)
\Rightarrow 
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {s}}
\colon \overline{
\mathsf {s}}
 \mathrel{\in} \underline{
\mathsf {s}}
\Rightarrow \overline{
\mathsf {s}}
 \mathrel{\in} \underline{
\mathsf{x}}
\Rightarrow \dot{\neg}\, 
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {s}}
\colon \overline{
\mathsf {s}}
 \mathrel{\in} \underline{
\mathsf {s}}
\Rightarrow \overline{
\mathsf {s}}
 \mathrel{\in} \underline{
\mathsf{x}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {s}}
 \mathrel{\in} P(\underline{
\mathsf{x}}
)
; IffSecond
\rhd \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf {s}}
 \mathrel{\in} P(\underline{
\mathsf{x}}
)
\Rightarrow 
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {s}}
\colon \overline{
\mathsf {s}}
 \mathrel{\in} \underline{
\mathsf {s}}
\Rightarrow \overline{
\mathsf {s}}
 \mathrel{\in} \underline{
\mathsf{x}}
\Rightarrow \dot{\neg}\, 
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {s}}
\colon \overline{
\mathsf {s}}
 \mathrel{\in} \underline{
\mathsf {s}}
\Rightarrow \overline{
\mathsf {s}}
 \mathrel{\in} \underline{
\mathsf{x}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {s}}
 \mathrel{\in} P(\underline{
\mathsf{x}}
)
\rhd \underline{
\mathsf {s}}
 \mathrel{\in} P(\underline{
\mathsf{x}}
)
\gg 
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {s}}
\colon \overline{
\mathsf {s}}
 \mathrel{\in} \underline{
\mathsf {s}}
\Rightarrow \overline{
\mathsf {s}}
 \mathrel{\in} \underline{
\mathsf{x}}
; HelperPowerIsSub
\mathrel {\makebox [0mm][l]{$\rhd $}\,{\rhd }} 
\lceil \overline{
\mathsf {s}}
\rceil 
\#^0
\lceil \underline{
\mathsf {s}}
\rceil 
\mathrel {\makebox [0mm][l]{$\rhd $}\,{\rhd }} 
\lceil \overline{
\mathsf {s}}
\rceil 
\#^0
\lceil \underline{
\mathsf{x}}
\rceil 
\gg 
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {s}}
\colon \overline{
\mathsf {s}}
 \mathrel{\in} \underline{
\mathsf {s}}
\Rightarrow \overline{
\mathsf {s}}
 \mathrel{\in} \underline{
\mathsf{x}}
\Rightarrow \overline{
\mathsf {s}}
 \mathrel{\in} \underline{
\mathsf {s}}
\Rightarrow \overline{
\mathsf {s}}
 \mathrel{\in} \underline{
\mathsf{x}}
; MP
\rhd 
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {s}}
\colon \overline{
\mathsf {s}}
 \mathrel{\in} \underline{
\mathsf {s}}
\Rightarrow \overline{
\mathsf {s}}
 \mathrel{\in} \underline{
\mathsf{x}}
\Rightarrow \overline{
\mathsf {s}}
 \mathrel{\in} \underline{
\mathsf {s}}
\Rightarrow \overline{
\mathsf {s}}
 \mathrel{\in} \underline{
\mathsf{x}}
\rhd 
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {s}}
\colon \overline{
\mathsf {s}}
 \mathrel{\in} \underline{
\mathsf {s}}
\Rightarrow \overline{
\mathsf {s}}
 \mathrel{\in} \underline{
\mathsf{x}}
\gg \overline{
\mathsf {s}}
 \mathrel{\in} \underline{
\mathsf {s}}
\Rightarrow \overline{
\mathsf {s}}
 \mathrel{\in} \underline{
\mathsf{x}}
; Repetition
\rhd \overline{
\mathsf {s}}
 \mathrel{\in} \underline{
\mathsf {s}}
\Rightarrow \overline{
\mathsf {s}}
 \mathrel{\in} \underline{
\mathsf{x}}
\gg \overline{
\mathsf {s}}
 \mathrel{\in} \underline{
\mathsf {s}}
\Rightarrow \overline{
\mathsf {s}}
 \mathrel{\in} \underline{
\mathsf{x}}
\rceil 
, 
p_0
, 
\mathsf {c}
)
]$

$\rm
[PowerIsSub
\stackrel{
stmt
}{\rightarrow}ZFsub
\vdash 
\forall \underline{
\mathsf {s}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf{x}}
\colon 
\lceil \overline{
\mathsf {s}}
\rceil 
\#^0
\lceil \underline{
\mathsf {s}}
\rceil 
\mathrel {\makebox [0mm][l]{$\vdash $}\,{\vdash }} 
\lceil \overline{
\mathsf {s}}
\rceil 
\#^0
\lceil \underline{
\mathsf{x}}
\rceil 
\mathrel {\makebox [0mm][l]{$\vdash $}\,{\vdash }} \underline{
\mathsf {s}}
 \mathrel{\in} P(\underline{
\mathsf{x}}
)
\vdash \overline{
\mathsf {s}}
 \mathrel{\in} \underline{
\mathsf {s}}
\Rightarrow \overline{
\mathsf {s}}
 \mathrel{\in} \underline{
\mathsf{x}}
]$

$\rm
[PowerIsSub
\stackrel{
\mathrm{tex}
}{\rightarrow}
\mbox{``}PowerIsSub
\mbox{''}
]$

$\rm
[PowerIsSub
\stackrel{
\mathrm{pyk}
}{\rightarrow}
\mbox{``}lemma
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}power
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}set
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}is
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}subset
\mbox{''}
]$

\hypertarget {url:1808490560655876194608813785663292462486349118665588524157069396079556865:95}{}\section* {$\rm (Switch)HelperPowerIsSub$}

$\rm
[(Switch)HelperPowerIsSub
\stackrel{
proof
}{\rightarrow}
\lambda 
\mathsf {c}
.
\lambda 
\mathsf{x}
.
{\cal P}( 
\lceil ZFsub
\vdash 
\forall \underline{
\mathsf {s}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf{x}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf{y}}
\colon 
\lceil \overline{
\mathsf {s}}
\rceil 
\#^0
\lceil \underline{
\mathsf{y}}
\rceil 
\mathrel {\makebox [0mm][l]{$\vdash $}\,{\vdash }} 
\lceil \overline{
\mathsf {s}}
\rceil 
\#^0
\lceil \underline{
\mathsf{x}}
\rceil 
\mathrel {\makebox [0mm][l]{$\vdash $}\,{\vdash }} HelperPowerIsSub
\mathrel {\makebox [0mm][l]{$\rhd $}\,{\rhd }} 
\lceil \overline{
\mathsf {s}}
\rceil 
\#^0
\lceil \underline{
\mathsf{x}}
\rceil 
\mathrel {\makebox [0mm][l]{$\rhd $}\,{\rhd }} 
\lceil \overline{
\mathsf {s}}
\rceil 
\#^0
\lceil \underline{
\mathsf{y}}
\rceil 
\gg 
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {s}}
\colon \overline{
\mathsf {s}}
 \mathrel{\in} \underline{
\mathsf{x}}
\Rightarrow \overline{
\mathsf {s}}
 \mathrel{\in} \underline{
\mathsf{y}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {s}}
 \mathrel{\in} \underline{
\mathsf{x}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {s}}
 \mathrel{\in} \underline{
\mathsf{y}}
\rceil 
, 
p_0
, 
\mathsf {c}
)
]$

$\rm
[(Switch)HelperPowerIsSub
\stackrel{
stmt
}{\rightarrow}ZFsub
\vdash 
\forall \underline{
\mathsf {s}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf{x}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf{y}}
\colon 
\lceil \overline{
\mathsf {s}}
\rceil 
\#^0
\lceil \underline{
\mathsf{y}}
\rceil 
\mathrel {\makebox [0mm][l]{$\vdash $}\,{\vdash }} 
\lceil \overline{
\mathsf {s}}
\rceil 
\#^0
\lceil \underline{
\mathsf{x}}
\rceil 
\mathrel {\makebox [0mm][l]{$\vdash $}\,{\vdash }} 
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {s}}
\colon \overline{
\mathsf {s}}
 \mathrel{\in} \underline{
\mathsf{x}}
\Rightarrow \overline{
\mathsf {s}}
 \mathrel{\in} \underline{
\mathsf{y}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {s}}
 \mathrel{\in} \underline{
\mathsf{x}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {s}}
 \mathrel{\in} \underline{
\mathsf{y}}
]$

$\rm
[(Switch)HelperPowerIsSub
\stackrel{
\mathrm{tex}
}{\rightarrow}
\mbox{``}(Switch)HelperPowerIsSub
\mbox{''}
]$

$\rm
[(Switch)HelperPowerIsSub
\stackrel{
\mathrm{pyk}
}{\rightarrow}
\mbox{``}lemma
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}power
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}set
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}is
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}subset0
\mbox{-}switch
\mbox{''}
]$

\hypertarget {url:1808490560655876194608813785663292462486349118665588524157069396079556865:96}{}\section* {$\rm (Switch)PowerIsSub$}

$\rm
[(Switch)PowerIsSub
\stackrel{
proof
}{\rightarrow}
\lambda 
\mathsf {c}
.
\lambda 
\mathsf{x}
.
{\cal P}( 
\lceil ZFsub
\vdash 
\forall \underline{
\mathsf {s}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf{x}}
\colon 
\lceil \overline{
\mathsf {s}}
\rceil 
\#^0
\lceil \underline{
\mathsf{x}}
\rceil 
\mathrel {\makebox [0mm][l]{$\vdash $}\,{\vdash }} 
\lceil \overline{
\mathsf {s}}
\rceil 
\#^0
\lceil \underline{
\mathsf {s}}
\rceil 
\mathrel {\makebox [0mm][l]{$\vdash $}\,{\vdash }} \underline{
\mathsf {s}}
 \mathrel{\in} P(\underline{
\mathsf{x}}
)
\vdash PowerIsSub
\mathrel {\makebox [0mm][l]{$\rhd $}\,{\rhd }} 
\lceil \overline{
\mathsf {s}}
\rceil 
\#^0
\lceil \underline{
\mathsf {s}}
\rceil 
\mathrel {\makebox [0mm][l]{$\rhd $}\,{\rhd }} 
\lceil \overline{
\mathsf {s}}
\rceil 
\#^0
\lceil \underline{
\mathsf{x}}
\rceil 
\rhd \underline{
\mathsf {s}}
 \mathrel{\in} P(\underline{
\mathsf{x}}
)
\gg \overline{
\mathsf {s}}
 \mathrel{\in} \underline{
\mathsf {s}}
\Rightarrow \overline{
\mathsf {s}}
 \mathrel{\in} \underline{
\mathsf{x}}
\rceil 
, 
p_0
, 
\mathsf {c}
)
]$

$\rm
[(Switch)PowerIsSub
\stackrel{
stmt
}{\rightarrow}ZFsub
\vdash 
\forall \underline{
\mathsf {s}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf{x}}
\colon 
\lceil \overline{
\mathsf {s}}
\rceil 
\#^0
\lceil \underline{
\mathsf{x}}
\rceil 
\mathrel {\makebox [0mm][l]{$\vdash $}\,{\vdash }} 
\lceil \overline{
\mathsf {s}}
\rceil 
\#^0
\lceil \underline{
\mathsf {s}}
\rceil 
\mathrel {\makebox [0mm][l]{$\vdash $}\,{\vdash }} \underline{
\mathsf {s}}
 \mathrel{\in} P(\underline{
\mathsf{x}}
)
\vdash \overline{
\mathsf {s}}
 \mathrel{\in} \underline{
\mathsf {s}}
\Rightarrow \overline{
\mathsf {s}}
 \mathrel{\in} \underline{
\mathsf{x}}
]$

$\rm
[(Switch)PowerIsSub
\stackrel{
\mathrm{tex}
}{\rightarrow}
\mbox{``}(Switch)PowerIsSub
\mbox{''}
]$

$\rm
[(Switch)PowerIsSub
\stackrel{
\mathrm{pyk}
}{\rightarrow}
\mbox{``}lemma
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}power
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}set
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}is
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}subset
\mbox{-}switch
\mbox{''}
]$

\hypertarget {url:1808490560655876194608813785663292462486349118665588524157069396079556865:97}{}\section* {$\rm ToSetEquality$}

$\rm
[ToSetEquality
\stackrel{
proof
}{\rightarrow}
\lambda 
\mathsf {c}
.
\lambda 
\mathsf{x}
.
{\cal P}( 
\lceil ZFsub
\vdash 
\forall \underline{
\mathsf{x}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf{y}}
\colon \overline{
\mathsf {s}}
 \mathrel{\in} \underline{
\mathsf{x}}
\Rightarrow \overline{
\mathsf {s}}
 \mathrel{\in} \underline{
\mathsf{y}}
\vdash \overline{
\mathsf {s}}
 \mathrel{\in} \underline{
\mathsf{y}}
\Rightarrow \overline{
\mathsf {s}}
 \mathrel{\in} \underline{
\mathsf{x}}
\vdash JoinConjuncts
\rhd \overline{
\mathsf {s}}
 \mathrel{\in} \underline{
\mathsf{x}}
\Rightarrow \overline{
\mathsf {s}}
 \mathrel{\in} \underline{
\mathsf{y}}
\rhd \overline{
\mathsf {s}}
 \mathrel{\in} \underline{
\mathsf{y}}
\Rightarrow \overline{
\mathsf {s}}
 \mathrel{\in} \underline{
\mathsf{x}}
\gg \dot{\neg}\, \overline{
\mathsf {s}}
 \mathrel{\in} \underline{
\mathsf{x}}
\Rightarrow \overline{
\mathsf {s}}
 \mathrel{\in} \underline{
\mathsf{y}}
\Rightarrow \dot{\neg}\, \overline{
\mathsf {s}}
 \mathrel{\in} \underline{
\mathsf{y}}
\Rightarrow \overline{
\mathsf {s}}
 \mathrel{\in} \underline{
\mathsf{x}}
; Gen
\rhd \dot{\neg}\, \overline{
\mathsf {s}}
 \mathrel{\in} \underline{
\mathsf{x}}
\Rightarrow \overline{
\mathsf {s}}
 \mathrel{\in} \underline{
\mathsf{y}}
\Rightarrow \dot{\neg}\, \overline{
\mathsf {s}}
 \mathrel{\in} \underline{
\mathsf{y}}
\Rightarrow \overline{
\mathsf {s}}
 \mathrel{\in} \underline{
\mathsf{x}}
\gg 
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {s}}
\colon \dot{\neg}\, \overline{
\mathsf {s}}
 \mathrel{\in} \underline{
\mathsf{x}}
\Rightarrow \overline{
\mathsf {s}}
 \mathrel{\in} \underline{
\mathsf{y}}
\Rightarrow \dot{\neg}\, \overline{
\mathsf {s}}
 \mathrel{\in} \underline{
\mathsf{y}}
\Rightarrow \overline{
\mathsf {s}}
 \mathrel{\in} \underline{
\mathsf{x}}
; Extensionality
\gg \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf{x}}
\!\mathrel{=}\! \underline{
\mathsf{y}}
\Rightarrow 
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {s}}
\colon \dot{\neg}\, \overline{
\mathsf {s}}
 \mathrel{\in} \underline{
\mathsf{x}}
\Rightarrow \overline{
\mathsf {s}}
 \mathrel{\in} \underline{
\mathsf{y}}
\Rightarrow \dot{\neg}\, \overline{
\mathsf {s}}
 \mathrel{\in} \underline{
\mathsf{y}}
\Rightarrow \overline{
\mathsf {s}}
 \mathrel{\in} \underline{
\mathsf{x}}
\Rightarrow \dot{\neg}\, 
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {s}}
\colon \dot{\neg}\, \overline{
\mathsf {s}}
 \mathrel{\in} \underline{
\mathsf{x}}
\Rightarrow \overline{
\mathsf {s}}
 \mathrel{\in} \underline{
\mathsf{y}}
\Rightarrow \dot{\neg}\, \overline{
\mathsf {s}}
 \mathrel{\in} \underline{
\mathsf{y}}
\Rightarrow \overline{
\mathsf {s}}
 \mathrel{\in} \underline{
\mathsf{x}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf{x}}
\!\mathrel{=}\! \underline{
\mathsf{y}}
; SecondConjunct
\rhd \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf{x}}
\!\mathrel{=}\! \underline{
\mathsf{y}}
\Rightarrow 
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {s}}
\colon \dot{\neg}\, \overline{
\mathsf {s}}
 \mathrel{\in} \underline{
\mathsf{x}}
\Rightarrow \overline{
\mathsf {s}}
 \mathrel{\in} \underline{
\mathsf{y}}
\Rightarrow \dot{\neg}\, \overline{
\mathsf {s}}
 \mathrel{\in} \underline{
\mathsf{y}}
\Rightarrow \overline{
\mathsf {s}}
 \mathrel{\in} \underline{
\mathsf{x}}
\Rightarrow \dot{\neg}\, 
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {s}}
\colon \dot{\neg}\, \overline{
\mathsf {s}}
 \mathrel{\in} \underline{
\mathsf{x}}
\Rightarrow \overline{
\mathsf {s}}
 \mathrel{\in} \underline{
\mathsf{y}}
\Rightarrow \dot{\neg}\, \overline{
\mathsf {s}}
 \mathrel{\in} \underline{
\mathsf{y}}
\Rightarrow \overline{
\mathsf {s}}
 \mathrel{\in} \underline{
\mathsf{x}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf{x}}
\!\mathrel{=}\! \underline{
\mathsf{y}}
\gg 
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {s}}
\colon \dot{\neg}\, \overline{
\mathsf {s}}
 \mathrel{\in} \underline{
\mathsf{x}}
\Rightarrow \overline{
\mathsf {s}}
 \mathrel{\in} \underline{
\mathsf{y}}
\Rightarrow \dot{\neg}\, \overline{
\mathsf {s}}
 \mathrel{\in} \underline{
\mathsf{y}}
\Rightarrow \overline{
\mathsf {s}}
 \mathrel{\in} \underline{
\mathsf{x}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf{x}}
\!\mathrel{=}\! \underline{
\mathsf{y}}
; MP
\rhd 
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {s}}
\colon \dot{\neg}\, \overline{
\mathsf {s}}
 \mathrel{\in} \underline{
\mathsf{x}}
\Rightarrow \overline{
\mathsf {s}}
 \mathrel{\in} \underline{
\mathsf{y}}
\Rightarrow \dot{\neg}\, \overline{
\mathsf {s}}
 \mathrel{\in} \underline{
\mathsf{y}}
\Rightarrow \overline{
\mathsf {s}}
 \mathrel{\in} \underline{
\mathsf{x}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf{x}}
\!\mathrel{=}\! \underline{
\mathsf{y}}
\rhd 
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {s}}
\colon \dot{\neg}\, \overline{
\mathsf {s}}
 \mathrel{\in} \underline{
\mathsf{x}}
\Rightarrow \overline{
\mathsf {s}}
 \mathrel{\in} \underline{
\mathsf{y}}
\Rightarrow \dot{\neg}\, \overline{
\mathsf {s}}
 \mathrel{\in} \underline{
\mathsf{y}}
\Rightarrow \overline{
\mathsf {s}}
 \mathrel{\in} \underline{
\mathsf{x}}
\gg \underline{
\mathsf{x}}
\!\mathrel{=}\! \underline{
\mathsf{y}}
\rceil 
, 
p_0
, 
\mathsf {c}
)
]$

$\rm
[ToSetEquality
\stackrel{
stmt
}{\rightarrow}ZFsub
\vdash 
\forall \underline{
\mathsf{x}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf{y}}
\colon \overline{
\mathsf {s}}
 \mathrel{\in} \underline{
\mathsf{x}}
\Rightarrow \overline{
\mathsf {s}}
 \mathrel{\in} \underline{
\mathsf{y}}
\vdash \overline{
\mathsf {s}}
 \mathrel{\in} \underline{
\mathsf{y}}
\Rightarrow \overline{
\mathsf {s}}
 \mathrel{\in} \underline{
\mathsf{x}}
\vdash \underline{
\mathsf{x}}
\!\mathrel{=}\! \underline{
\mathsf{y}}
]$

$\rm
[ToSetEquality
\stackrel{
\mathrm{tex}
}{\rightarrow}
\mbox{``}ToSetEquality
\mbox{''}
]$

$\rm
[ToSetEquality
\stackrel{
\mathrm{pyk}
}{\rightarrow}
\mbox{``}lemma
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}set
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}equality
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}suff
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}condition
\mbox{''}
]$

\hypertarget {url:1808490560655876194608813785663292462486349118665588524157069396079556865:98}{}\section* {$\rm HelperToSetEquality(t)$}

$\rm
[HelperToSetEquality(t)
\stackrel{
proof
}{\rightarrow}
\lambda 
\mathsf {c}
.
\lambda 
\mathsf{x}
.
{\cal P}( 
\lceil ZFsub
\vdash 
\forall \underline{
\mathsf{x}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf{y}}
\colon \overline{
\mathsf {t}}
 \mathrel{\in} \underline{
\mathsf{x}}
\Rightarrow \overline{
\mathsf {t}}
 \mathrel{\in} \underline{
\mathsf{y}}
\vdash Repetition
\rhd \overline{
\mathsf {t}}
 \mathrel{\in} \underline{
\mathsf{x}}
\Rightarrow \overline{
\mathsf {t}}
 \mathrel{\in} \underline{
\mathsf{y}}
\gg \overline{
\mathsf {t}}
 \mathrel{\in} \underline{
\mathsf{x}}
\Rightarrow \overline{
\mathsf {t}}
 \mathrel{\in} \underline{
\mathsf{y}}
; 
\forall \underline{
\mathsf{x}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf{y}}
\colon Ded
\rhd 
\forall \underline{
\mathsf{x}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf{y}}
\colon \overline{
\mathsf {t}}
 \mathrel{\in} \underline{
\mathsf{x}}
\Rightarrow \overline{
\mathsf {t}}
 \mathrel{\in} \underline{
\mathsf{y}}
\vdash \overline{
\mathsf {t}}
 \mathrel{\in} \underline{
\mathsf{x}}
\Rightarrow \overline{
\mathsf {t}}
 \mathrel{\in} \underline{
\mathsf{y}}
\gg 
\lceil \overline{
\mathsf {t}}
\rceil 
\#^0
\lceil \underline{
\mathsf{x}}
\rceil 
\mathrel {\makebox [0mm][l]{$\vdash $}\,{\vdash }} 
\lceil \overline{
\mathsf {t}}
\rceil 
\#^0
\lceil \underline{
\mathsf{y}}
\rceil 
\mathrel {\makebox [0mm][l]{$\vdash $}\,{\vdash }} 
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {t}}
\colon \overline{
\mathsf {t}}
 \mathrel{\in} \underline{
\mathsf{x}}
\Rightarrow \overline{
\mathsf {t}}
 \mathrel{\in} \underline{
\mathsf{y}}
\Rightarrow \overline{
\mathsf {s}}
 \mathrel{\in} \underline{
\mathsf{x}}
\Rightarrow \overline{
\mathsf {s}}
 \mathrel{\in} \underline{
\mathsf{y}}
\rceil 
, 
p_0
, 
\mathsf {c}
)
]$

$\rm
[HelperToSetEquality(t)
\stackrel{
stmt
}{\rightarrow}ZFsub
\vdash 
\forall \underline{
\mathsf{x}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf{y}}
\colon 
\lceil \overline{
\mathsf {t}}
\rceil 
\#^0
\lceil \underline{
\mathsf{x}}
\rceil 
\mathrel {\makebox [0mm][l]{$\vdash $}\,{\vdash }} 
\lceil \overline{
\mathsf {t}}
\rceil 
\#^0
\lceil \underline{
\mathsf{y}}
\rceil 
\mathrel {\makebox [0mm][l]{$\vdash $}\,{\vdash }} 
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {t}}
\colon \overline{
\mathsf {t}}
 \mathrel{\in} \underline{
\mathsf{x}}
\Rightarrow \overline{
\mathsf {t}}
 \mathrel{\in} \underline{
\mathsf{y}}
\Rightarrow \overline{
\mathsf {s}}
 \mathrel{\in} \underline{
\mathsf{x}}
\Rightarrow \overline{
\mathsf {s}}
 \mathrel{\in} \underline{
\mathsf{y}}
]$

$\rm
[HelperToSetEquality(t)
\stackrel{
\mathrm{tex}
}{\rightarrow}
\mbox{``}HelperToSetEquality(t)
\mbox{''}
]$

$\rm
[HelperToSetEquality(t)
\stackrel{
\mathrm{pyk}
}{\rightarrow}
\mbox{``}lemma
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}set
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}equality
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}suff
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}condition(t)0
\mbox{''}
]$

\hypertarget {url:1808490560655876194608813785663292462486349118665588524157069396079556865:99}{}\section* {$\rm ToSetEquality(t)$}

$\rm
[ToSetEquality(t)
\stackrel{
proof
}{\rightarrow}
\lambda 
\mathsf {c}
.
\lambda 
\mathsf{x}
.
{\cal P}( 
\lceil ZFsub
\vdash 
\forall \underline{
\mathsf{x}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf{y}}
\colon 
\lceil \overline{
\mathsf {t}}
\rceil 
\#^0
\lceil \underline{
\mathsf{x}}
\rceil 
\mathrel {\makebox [0mm][l]{$\vdash $}\,{\vdash }} 
\lceil \overline{
\mathsf {t}}
\rceil 
\#^0
\lceil \underline{
\mathsf{y}}
\rceil 
\mathrel {\makebox [0mm][l]{$\vdash $}\,{\vdash }} \overline{
\mathsf {t}}
 \mathrel{\in} \underline{
\mathsf{x}}
\Rightarrow \overline{
\mathsf {t}}
 \mathrel{\in} \underline{
\mathsf{y}}
\vdash \overline{
\mathsf {t}}
 \mathrel{\in} \underline{
\mathsf{y}}
\Rightarrow \overline{
\mathsf {t}}
 \mathrel{\in} \underline{
\mathsf{x}}
\vdash Gen
\rhd \overline{
\mathsf {t}}
 \mathrel{\in} \underline{
\mathsf{x}}
\Rightarrow \overline{
\mathsf {t}}
 \mathrel{\in} \underline{
\mathsf{y}}
\gg 
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {t}}
\colon \overline{
\mathsf {t}}
 \mathrel{\in} \underline{
\mathsf{x}}
\Rightarrow \overline{
\mathsf {t}}
 \mathrel{\in} \underline{
\mathsf{y}}
; HelperToSetEquality(t)
\mathrel {\makebox [0mm][l]{$\rhd $}\,{\rhd }} 
\lceil \overline{
\mathsf {t}}
\rceil 
\#^0
\lceil \underline{
\mathsf{x}}
\rceil 
\mathrel {\makebox [0mm][l]{$\rhd $}\,{\rhd }} 
\lceil \overline{
\mathsf {t}}
\rceil 
\#^0
\lceil \underline{
\mathsf{y}}
\rceil 
\gg 
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {t}}
\colon \overline{
\mathsf {t}}
 \mathrel{\in} \underline{
\mathsf{x}}
\Rightarrow \overline{
\mathsf {t}}
 \mathrel{\in} \underline{
\mathsf{y}}
\Rightarrow \overline{
\mathsf {s}}
 \mathrel{\in} \underline{
\mathsf{x}}
\Rightarrow \overline{
\mathsf {s}}
 \mathrel{\in} \underline{
\mathsf{y}}
; MP
\rhd 
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {t}}
\colon \overline{
\mathsf {t}}
 \mathrel{\in} \underline{
\mathsf{x}}
\Rightarrow \overline{
\mathsf {t}}
 \mathrel{\in} \underline{
\mathsf{y}}
\Rightarrow \overline{
\mathsf {s}}
 \mathrel{\in} \underline{
\mathsf{x}}
\Rightarrow \overline{
\mathsf {s}}
 \mathrel{\in} \underline{
\mathsf{y}}
\rhd 
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {t}}
\colon \overline{
\mathsf {t}}
 \mathrel{\in} \underline{
\mathsf{x}}
\Rightarrow \overline{
\mathsf {t}}
 \mathrel{\in} \underline{
\mathsf{y}}
\gg \overline{
\mathsf {s}}
 \mathrel{\in} \underline{
\mathsf{x}}
\Rightarrow \overline{
\mathsf {s}}
 \mathrel{\in} \underline{
\mathsf{y}}
; Gen
\rhd \overline{
\mathsf {t}}
 \mathrel{\in} \underline{
\mathsf{y}}
\Rightarrow \overline{
\mathsf {t}}
 \mathrel{\in} \underline{
\mathsf{x}}
\gg 
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {t}}
\colon \overline{
\mathsf {t}}
 \mathrel{\in} \underline{
\mathsf{y}}
\Rightarrow \overline{
\mathsf {t}}
 \mathrel{\in} \underline{
\mathsf{x}}
; HelperToSetEquality(t)
\mathrel {\makebox [0mm][l]{$\rhd $}\,{\rhd }} 
\lceil \overline{
\mathsf {t}}
\rceil 
\#^0
\lceil \underline{
\mathsf{y}}
\rceil 
\mathrel {\makebox [0mm][l]{$\rhd $}\,{\rhd }} 
\lceil \overline{
\mathsf {t}}
\rceil 
\#^0
\lceil \underline{
\mathsf{x}}
\rceil 
\gg 
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {t}}
\colon \overline{
\mathsf {t}}
 \mathrel{\in} \underline{
\mathsf{y}}
\Rightarrow \overline{
\mathsf {t}}
 \mathrel{\in} \underline{
\mathsf{x}}
\Rightarrow \overline{
\mathsf {s}}
 \mathrel{\in} \underline{
\mathsf{y}}
\Rightarrow \overline{
\mathsf {s}}
 \mathrel{\in} \underline{
\mathsf{x}}
; MP
\rhd 
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {t}}
\colon \overline{
\mathsf {t}}
 \mathrel{\in} \underline{
\mathsf{y}}
\Rightarrow \overline{
\mathsf {t}}
 \mathrel{\in} \underline{
\mathsf{x}}
\Rightarrow \overline{
\mathsf {s}}
 \mathrel{\in} \underline{
\mathsf{y}}
\Rightarrow \overline{
\mathsf {s}}
 \mathrel{\in} \underline{
\mathsf{x}}
\rhd 
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {t}}
\colon \overline{
\mathsf {t}}
 \mathrel{\in} \underline{
\mathsf{y}}
\Rightarrow \overline{
\mathsf {t}}
 \mathrel{\in} \underline{
\mathsf{x}}
\gg \overline{
\mathsf {s}}
 \mathrel{\in} \underline{
\mathsf{y}}
\Rightarrow \overline{
\mathsf {s}}
 \mathrel{\in} \underline{
\mathsf{x}}
; ToSetEquality
\rhd \overline{
\mathsf {s}}
 \mathrel{\in} \underline{
\mathsf{x}}
\Rightarrow \overline{
\mathsf {s}}
 \mathrel{\in} \underline{
\mathsf{y}}
\rhd \overline{
\mathsf {s}}
 \mathrel{\in} \underline{
\mathsf{y}}
\Rightarrow \overline{
\mathsf {s}}
 \mathrel{\in} \underline{
\mathsf{x}}
\gg \underline{
\mathsf{x}}
\!\mathrel{=}\! \underline{
\mathsf{y}}
\rceil 
, 
p_0
, 
\mathsf {c}
)
]$

$\rm
[ToSetEquality(t)
\stackrel{
stmt
}{\rightarrow}ZFsub
\vdash 
\forall \underline{
\mathsf{x}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf{y}}
\colon 
\lceil \overline{
\mathsf {t}}
\rceil 
\#^0
\lceil \underline{
\mathsf{x}}
\rceil 
\mathrel {\makebox [0mm][l]{$\vdash $}\,{\vdash }} 
\lceil \overline{
\mathsf {t}}
\rceil 
\#^0
\lceil \underline{
\mathsf{y}}
\rceil 
\mathrel {\makebox [0mm][l]{$\vdash $}\,{\vdash }} \overline{
\mathsf {t}}
 \mathrel{\in} \underline{
\mathsf{x}}
\Rightarrow \overline{
\mathsf {t}}
 \mathrel{\in} \underline{
\mathsf{y}}
\vdash \overline{
\mathsf {t}}
 \mathrel{\in} \underline{
\mathsf{y}}
\Rightarrow \overline{
\mathsf {t}}
 \mathrel{\in} \underline{
\mathsf{x}}
\vdash \underline{
\mathsf{x}}
\!\mathrel{=}\! \underline{
\mathsf{y}}
]$

$\rm
[ToSetEquality(t)
\stackrel{
\mathrm{tex}
}{\rightarrow}
\mbox{``}ToSetEquality(t)
\mbox{''}
]$

$\rm
[ToSetEquality(t)
\stackrel{
\mathrm{pyk}
}{\rightarrow}
\mbox{``}lemma
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}set
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}equality
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}suff
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}condition(t)
\mbox{''}
]$

\hypertarget {url:1808490560655876194608813785663292462486349118665588524157069396079556865:100}{}\section* {$\rm HelperFromSetEquality$}

$\rm
[HelperFromSetEquality
\stackrel{
proof
}{\rightarrow}
\lambda 
\mathsf {c}
.
\lambda 
\mathsf{x}
.
{\cal P}( 
\lceil ZFsub
\vdash 
\forall \underline{
\mathsf{x}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf{y}}
\colon \dot{\neg}\, \overline{
\mathsf {s}}
 \mathrel{\in} \underline{
\mathsf{x}}
\Rightarrow \overline{
\mathsf {s}}
 \mathrel{\in} \underline{
\mathsf{y}}
\Rightarrow \dot{\neg}\, \overline{
\mathsf {s}}
 \mathrel{\in} \underline{
\mathsf{y}}
\Rightarrow \overline{
\mathsf {s}}
 \mathrel{\in} \underline{
\mathsf{x}}
\vdash Repetition
\rhd \dot{\neg}\, \overline{
\mathsf {s}}
 \mathrel{\in} \underline{
\mathsf{x}}
\Rightarrow \overline{
\mathsf {s}}
 \mathrel{\in} \underline{
\mathsf{y}}
\Rightarrow \dot{\neg}\, \overline{
\mathsf {s}}
 \mathrel{\in} \underline{
\mathsf{y}}
\Rightarrow \overline{
\mathsf {s}}
 \mathrel{\in} \underline{
\mathsf{x}}
\gg \dot{\neg}\, \overline{
\mathsf {s}}
 \mathrel{\in} \underline{
\mathsf{x}}
\Rightarrow \overline{
\mathsf {s}}
 \mathrel{\in} \underline{
\mathsf{y}}
\Rightarrow \dot{\neg}\, \overline{
\mathsf {s}}
 \mathrel{\in} \underline{
\mathsf{y}}
\Rightarrow \overline{
\mathsf {s}}
 \mathrel{\in} \underline{
\mathsf{x}}
; 
\forall \underline{
\mathsf {s}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf{x}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf{y}}
\colon Ded
\rhd 
\forall \underline{
\mathsf{x}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf{y}}
\colon \dot{\neg}\, \overline{
\mathsf {s}}
 \mathrel{\in} \underline{
\mathsf{x}}
\Rightarrow \overline{
\mathsf {s}}
 \mathrel{\in} \underline{
\mathsf{y}}
\Rightarrow \dot{\neg}\, \overline{
\mathsf {s}}
 \mathrel{\in} \underline{
\mathsf{y}}
\Rightarrow \overline{
\mathsf {s}}
 \mathrel{\in} \underline{
\mathsf{x}}
\vdash \dot{\neg}\, \overline{
\mathsf {s}}
 \mathrel{\in} \underline{
\mathsf{x}}
\Rightarrow \overline{
\mathsf {s}}
 \mathrel{\in} \underline{
\mathsf{y}}
\Rightarrow \dot{\neg}\, \overline{
\mathsf {s}}
 \mathrel{\in} \underline{
\mathsf{y}}
\Rightarrow \overline{
\mathsf {s}}
 \mathrel{\in} \underline{
\mathsf{x}}
\gg 
\lceil \overline{
\mathsf {s}}
\rceil 
\#^0
\lceil \underline{
\mathsf{x}}
\rceil 
\mathrel {\makebox [0mm][l]{$\vdash $}\,{\vdash }} 
\lceil \overline{
\mathsf {s}}
\rceil 
\#^0
\lceil \underline{
\mathsf{y}}
\rceil 
\mathrel {\makebox [0mm][l]{$\vdash $}\,{\vdash }} 
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {s}}
\colon \dot{\neg}\, \overline{
\mathsf {s}}
 \mathrel{\in} \underline{
\mathsf{x}}
\Rightarrow \overline{
\mathsf {s}}
 \mathrel{\in} \underline{
\mathsf{y}}
\Rightarrow \dot{\neg}\, \overline{
\mathsf {s}}
 \mathrel{\in} \underline{
\mathsf{y}}
\Rightarrow \overline{
\mathsf {s}}
 \mathrel{\in} \underline{
\mathsf{x}}
\Rightarrow \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf {s}}
 \mathrel{\in} \underline{
\mathsf{x}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {s}}
 \mathrel{\in} \underline{
\mathsf{y}}
\Rightarrow \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf {s}}
 \mathrel{\in} \underline{
\mathsf{y}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {s}}
 \mathrel{\in} \underline{
\mathsf{x}}
\rceil 
, 
p_0
, 
\mathsf {c}
)
]$

$\rm
[HelperFromSetEquality
\stackrel{
stmt
}{\rightarrow}ZFsub
\vdash 
\forall \underline{
\mathsf {s}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf{x}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf{y}}
\colon 
\lceil \overline{
\mathsf {s}}
\rceil 
\#^0
\lceil \underline{
\mathsf{x}}
\rceil 
\mathrel {\makebox [0mm][l]{$\vdash $}\,{\vdash }} 
\lceil \overline{
\mathsf {s}}
\rceil 
\#^0
\lceil \underline{
\mathsf{y}}
\rceil 
\mathrel {\makebox [0mm][l]{$\vdash $}\,{\vdash }} 
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {s}}
\colon \dot{\neg}\, \overline{
\mathsf {s}}
 \mathrel{\in} \underline{
\mathsf{x}}
\Rightarrow \overline{
\mathsf {s}}
 \mathrel{\in} \underline{
\mathsf{y}}
\Rightarrow \dot{\neg}\, \overline{
\mathsf {s}}
 \mathrel{\in} \underline{
\mathsf{y}}
\Rightarrow \overline{
\mathsf {s}}
 \mathrel{\in} \underline{
\mathsf{x}}
\Rightarrow \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf {s}}
 \mathrel{\in} \underline{
\mathsf{x}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {s}}
 \mathrel{\in} \underline{
\mathsf{y}}
\Rightarrow \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf {s}}
 \mathrel{\in} \underline{
\mathsf{y}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {s}}
 \mathrel{\in} \underline{
\mathsf{x}}
]$

$\rm
[HelperFromSetEquality
\stackrel{
\mathrm{tex}
}{\rightarrow}
\mbox{``}HelperFromSetEquality
\mbox{''}
]$

$\rm
[HelperFromSetEquality
\stackrel{
\mathrm{pyk}
}{\rightarrow}
\mbox{``}lemma
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}set
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}equality
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}skip
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}quantifier
\mbox{''}
]$

\hypertarget {url:1808490560655876194608813785663292462486349118665588524157069396079556865:101}{}\section* {$\rm FromSetEquality$}

$\rm
[FromSetEquality
\stackrel{
proof
}{\rightarrow}
\lambda 
\mathsf {c}
.
\lambda 
\mathsf{x}
.
{\cal P}( 
\lceil ZFsub
\vdash 
\forall \underline{
\mathsf {s}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf{x}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf{y}}
\colon 
\lceil \overline{
\mathsf {s}}
\rceil 
\#^0
\lceil \underline{
\mathsf{x}}
\rceil 
\mathrel {\makebox [0mm][l]{$\vdash $}\,{\vdash }} 
\lceil \overline{
\mathsf {s}}
\rceil 
\#^0
\lceil \underline{
\mathsf{y}}
\rceil 
\mathrel {\makebox [0mm][l]{$\vdash $}\,{\vdash }} \underline{
\mathsf{x}}
\!\mathrel{=}\! \underline{
\mathsf{y}}
\vdash \underline{
\mathsf {s}}
 \mathrel{\in} \underline{
\mathsf{x}}
\vdash Extensionality
\gg \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf{x}}
\!\mathrel{=}\! \underline{
\mathsf{y}}
\Rightarrow 
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {s}}
\colon \dot{\neg}\, \overline{
\mathsf {s}}
 \mathrel{\in} \underline{
\mathsf{x}}
\Rightarrow \overline{
\mathsf {s}}
 \mathrel{\in} \underline{
\mathsf{y}}
\Rightarrow \dot{\neg}\, \overline{
\mathsf {s}}
 \mathrel{\in} \underline{
\mathsf{y}}
\Rightarrow \overline{
\mathsf {s}}
 \mathrel{\in} \underline{
\mathsf{x}}
\Rightarrow \dot{\neg}\, 
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {s}}
\colon \dot{\neg}\, \overline{
\mathsf {s}}
 \mathrel{\in} \underline{
\mathsf{x}}
\Rightarrow \overline{
\mathsf {s}}
 \mathrel{\in} \underline{
\mathsf{y}}
\Rightarrow \dot{\neg}\, \overline{
\mathsf {s}}
 \mathrel{\in} \underline{
\mathsf{y}}
\Rightarrow \overline{
\mathsf {s}}
 \mathrel{\in} \underline{
\mathsf{x}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf{x}}
\!\mathrel{=}\! \underline{
\mathsf{y}}
; IffSecond
\rhd \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf{x}}
\!\mathrel{=}\! \underline{
\mathsf{y}}
\Rightarrow 
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {s}}
\colon \dot{\neg}\, \overline{
\mathsf {s}}
 \mathrel{\in} \underline{
\mathsf{x}}
\Rightarrow \overline{
\mathsf {s}}
 \mathrel{\in} \underline{
\mathsf{y}}
\Rightarrow \dot{\neg}\, \overline{
\mathsf {s}}
 \mathrel{\in} \underline{
\mathsf{y}}
\Rightarrow \overline{
\mathsf {s}}
 \mathrel{\in} \underline{
\mathsf{x}}
\Rightarrow \dot{\neg}\, 
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {s}}
\colon \dot{\neg}\, \overline{
\mathsf {s}}
 \mathrel{\in} \underline{
\mathsf{x}}
\Rightarrow \overline{
\mathsf {s}}
 \mathrel{\in} \underline{
\mathsf{y}}
\Rightarrow \dot{\neg}\, \overline{
\mathsf {s}}
 \mathrel{\in} \underline{
\mathsf{y}}
\Rightarrow \overline{
\mathsf {s}}
 \mathrel{\in} \underline{
\mathsf{x}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf{x}}
\!\mathrel{=}\! \underline{
\mathsf{y}}
\rhd \underline{
\mathsf{x}}
\!\mathrel{=}\! \underline{
\mathsf{y}}
\gg 
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {s}}
\colon \dot{\neg}\, \overline{
\mathsf {s}}
 \mathrel{\in} \underline{
\mathsf{x}}
\Rightarrow \overline{
\mathsf {s}}
 \mathrel{\in} \underline{
\mathsf{y}}
\Rightarrow \dot{\neg}\, \overline{
\mathsf {s}}
 \mathrel{\in} \underline{
\mathsf{y}}
\Rightarrow \overline{
\mathsf {s}}
 \mathrel{\in} \underline{
\mathsf{x}}
; HelperFromSetEquality
\mathrel {\makebox [0mm][l]{$\rhd $}\,{\rhd }} 
\lceil \overline{
\mathsf {s}}
\rceil 
\#^0
\lceil \underline{
\mathsf{x}}
\rceil 
\mathrel {\makebox [0mm][l]{$\rhd $}\,{\rhd }} 
\lceil \overline{
\mathsf {s}}
\rceil 
\#^0
\lceil \underline{
\mathsf{y}}
\rceil 
\gg 
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {s}}
\colon \dot{\neg}\, \overline{
\mathsf {s}}
 \mathrel{\in} \underline{
\mathsf{x}}
\Rightarrow \overline{
\mathsf {s}}
 \mathrel{\in} \underline{
\mathsf{y}}
\Rightarrow \dot{\neg}\, \overline{
\mathsf {s}}
 \mathrel{\in} \underline{
\mathsf{y}}
\Rightarrow \overline{
\mathsf {s}}
 \mathrel{\in} \underline{
\mathsf{x}}
\Rightarrow \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf {s}}
 \mathrel{\in} \underline{
\mathsf{x}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {s}}
 \mathrel{\in} \underline{
\mathsf{y}}
\Rightarrow \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf {s}}
 \mathrel{\in} \underline{
\mathsf{y}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {s}}
 \mathrel{\in} \underline{
\mathsf{x}}
; MP
\rhd 
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {s}}
\colon \dot{\neg}\, \overline{
\mathsf {s}}
 \mathrel{\in} \underline{
\mathsf{x}}
\Rightarrow \overline{
\mathsf {s}}
 \mathrel{\in} \underline{
\mathsf{y}}
\Rightarrow \dot{\neg}\, \overline{
\mathsf {s}}
 \mathrel{\in} \underline{
\mathsf{y}}
\Rightarrow \overline{
\mathsf {s}}
 \mathrel{\in} \underline{
\mathsf{x}}
\Rightarrow \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf {s}}
 \mathrel{\in} \underline{
\mathsf{x}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {s}}
 \mathrel{\in} \underline{
\mathsf{y}}
\Rightarrow \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf {s}}
 \mathrel{\in} \underline{
\mathsf{y}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {s}}
 \mathrel{\in} \underline{
\mathsf{x}}
\rhd 
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {s}}
\colon \dot{\neg}\, \overline{
\mathsf {s}}
 \mathrel{\in} \underline{
\mathsf{x}}
\Rightarrow \overline{
\mathsf {s}}
 \mathrel{\in} \underline{
\mathsf{y}}
\Rightarrow \dot{\neg}\, \overline{
\mathsf {s}}
 \mathrel{\in} \underline{
\mathsf{y}}
\Rightarrow \overline{
\mathsf {s}}
 \mathrel{\in} \underline{
\mathsf{x}}
\gg \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf {s}}
 \mathrel{\in} \underline{
\mathsf{x}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {s}}
 \mathrel{\in} \underline{
\mathsf{y}}
\Rightarrow \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf {s}}
 \mathrel{\in} \underline{
\mathsf{y}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {s}}
 \mathrel{\in} \underline{
\mathsf{x}}
; IffSecond
\rhd \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf {s}}
 \mathrel{\in} \underline{
\mathsf{x}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {s}}
 \mathrel{\in} \underline{
\mathsf{y}}
\Rightarrow \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf {s}}
 \mathrel{\in} \underline{
\mathsf{y}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {s}}
 \mathrel{\in} \underline{
\mathsf{x}}
\rhd \underline{
\mathsf {s}}
 \mathrel{\in} \underline{
\mathsf{x}}
\gg \underline{
\mathsf {s}}
 \mathrel{\in} \underline{
\mathsf{y}}
\rceil 
, 
p_0
, 
\mathsf {c}
)
]$

$\rm
[FromSetEquality
\stackrel{
stmt
}{\rightarrow}ZFsub
\vdash 
\forall \underline{
\mathsf {s}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf{x}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf{y}}
\colon 
\lceil \overline{
\mathsf {s}}
\rceil 
\#^0
\lceil \underline{
\mathsf{x}}
\rceil 
\mathrel {\makebox [0mm][l]{$\vdash $}\,{\vdash }} 
\lceil \overline{
\mathsf {s}}
\rceil 
\#^0
\lceil \underline{
\mathsf{y}}
\rceil 
\mathrel {\makebox [0mm][l]{$\vdash $}\,{\vdash }} \underline{
\mathsf{x}}
\!\mathrel{=}\! \underline{
\mathsf{y}}
\vdash \underline{
\mathsf {s}}
 \mathrel{\in} \underline{
\mathsf{x}}
\vdash \underline{
\mathsf {s}}
 \mathrel{\in} \underline{
\mathsf{y}}
]$

$\rm
[FromSetEquality
\stackrel{
\mathrm{tex}
}{\rightarrow}
\mbox{``}FromSetEquality
\mbox{''}
]$

$\rm
[FromSetEquality
\stackrel{
\mathrm{pyk}
}{\rightarrow}
\mbox{``}lemma
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}set
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}equality
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}nec
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}condition
\mbox{''}
]$

\hypertarget {url:1808490560655876194608813785663292462486349118665588524157069396079556865:102}{}\section* {$\rm HelperReflexivity$}

$\rm
[HelperReflexivity
\stackrel{
proof
}{\rightarrow}
\lambda 
\mathsf {c}
.
\lambda 
\mathsf{x}
.
{\cal P}( 
\lceil ZFsub
\vdash 
\forall \underline{
\mathsf {r}}
\colon 
\forall \underline{\mathsf {bs}}
\colon \overline{
\mathsf {s}}
 \mathrel{\in} \underline{\mathsf {bs}}
\Rightarrow \{\{\overline{
\mathsf {s}}
,\overline{
\mathsf {s}}
\}
,\{\overline{
\mathsf {s}}
,\overline{
\mathsf {s}}
\}
\}
 \mathrel{\in} \underline{
\mathsf {r}}
\vdash Repetition
\rhd \overline{
\mathsf {s}}
 \mathrel{\in} \underline{\mathsf {bs}}
\Rightarrow \{\{\overline{
\mathsf {s}}
,\overline{
\mathsf {s}}
\}
,\{\overline{
\mathsf {s}}
,\overline{
\mathsf {s}}
\}
\}
 \mathrel{\in} \underline{
\mathsf {r}}
\gg \overline{
\mathsf {s}}
 \mathrel{\in} \underline{\mathsf {bs}}
\Rightarrow \{\{\overline{
\mathsf {s}}
,\overline{
\mathsf {s}}
\}
,\{\overline{
\mathsf {s}}
,\overline{
\mathsf {s}}
\}
\}
 \mathrel{\in} \underline{
\mathsf {r}}
; 
\forall \underline{
\mathsf {r}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf {s}}
\colon 
\forall \underline{\mathsf {bs}}
\colon Ded
\rhd 
\forall \underline{
\mathsf {r}}
\colon 
\forall \underline{\mathsf {bs}}
\colon \overline{
\mathsf {s}}
 \mathrel{\in} \underline{\mathsf {bs}}
\Rightarrow \{\{\overline{
\mathsf {s}}
,\overline{
\mathsf {s}}
\}
,\{\overline{
\mathsf {s}}
,\overline{
\mathsf {s}}
\}
\}
 \mathrel{\in} \underline{
\mathsf {r}}
\vdash \overline{
\mathsf {s}}
 \mathrel{\in} \underline{\mathsf {bs}}
\Rightarrow \{\{\overline{
\mathsf {s}}
,\overline{
\mathsf {s}}
\}
,\{\overline{
\mathsf {s}}
,\overline{
\mathsf {s}}
\}
\}
 \mathrel{\in} \underline{
\mathsf {r}}
\gg 
\lceil \overline{
\mathsf {s}}
\rceil 
\#^0
\lceil \underline{
\mathsf {r}}
\rceil 
\mathrel {\makebox [0mm][l]{$\vdash $}\,{\vdash }} 
\lceil \overline{
\mathsf {s}}
\rceil 
\#^0
\lceil \underline{\mathsf {bs}}
\rceil 
\mathrel {\makebox [0mm][l]{$\vdash $}\,{\vdash }} 
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {s}}
\colon \overline{
\mathsf {s}}
 \mathrel{\in} \underline{\mathsf {bs}}
\Rightarrow \{\{\overline{
\mathsf {s}}
,\overline{
\mathsf {s}}
\}
,\{\overline{
\mathsf {s}}
,\overline{
\mathsf {s}}
\}
\}
 \mathrel{\in} \underline{
\mathsf {r}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {s}}
 \mathrel{\in} \underline{\mathsf {bs}}
\Rightarrow \{\{\underline{
\mathsf {s}}
,\underline{
\mathsf {s}}
\}
,\{\underline{
\mathsf {s}}
,\underline{
\mathsf {s}}
\}
\}
 \mathrel{\in} \underline{
\mathsf {r}}
\rceil 
, 
p_0
, 
\mathsf {c}
)
]$

$\rm
[HelperReflexivity
\stackrel{
stmt
}{\rightarrow}ZFsub
\vdash 
\forall \underline{
\mathsf {r}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf {s}}
\colon 
\forall \underline{\mathsf {bs}}
\colon 
\lceil \overline{
\mathsf {s}}
\rceil 
\#^0
\lceil \underline{
\mathsf {r}}
\rceil 
\mathrel {\makebox [0mm][l]{$\vdash $}\,{\vdash }} 
\lceil \overline{
\mathsf {s}}
\rceil 
\#^0
\lceil \underline{\mathsf {bs}}
\rceil 
\mathrel {\makebox [0mm][l]{$\vdash $}\,{\vdash }} 
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {s}}
\colon \overline{
\mathsf {s}}
 \mathrel{\in} \underline{\mathsf {bs}}
\Rightarrow \{\{\overline{
\mathsf {s}}
,\overline{
\mathsf {s}}
\}
,\{\overline{
\mathsf {s}}
,\overline{
\mathsf {s}}
\}
\}
 \mathrel{\in} \underline{
\mathsf {r}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {s}}
 \mathrel{\in} \underline{\mathsf {bs}}
\Rightarrow \{\{\underline{
\mathsf {s}}
,\underline{
\mathsf {s}}
\}
,\{\underline{
\mathsf {s}}
,\underline{
\mathsf {s}}
\}
\}
 \mathrel{\in} \underline{
\mathsf {r}}
]$

$\rm
[HelperReflexivity
\stackrel{
\mathrm{tex}
}{\rightarrow}
\mbox{``}HelperReflexivity
\mbox{''}
]$

$\rm
[HelperReflexivity
\stackrel{
\mathrm{pyk}
}{\rightarrow}
\mbox{``}lemma
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}reflexivity0
\mbox{''}
]$

\hypertarget {url:1808490560655876194608813785663292462486349118665588524157069396079556865:103}{}\section* {$\rm Reflexivity$}

$\rm
[Reflexivity
\stackrel{
proof
}{\rightarrow}
\lambda 
\mathsf {c}
.
\lambda 
\mathsf{x}
.
{\cal P}( 
\lceil ZFsub
\vdash 
\forall \underline{
\mathsf {r}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf {s}}
\colon 
\forall \underline{\mathsf {bs}}
\colon 
\lceil \overline{
\mathsf {s}}
\rceil 
\#^0
\lceil \underline{
\mathsf {r}}
\rceil 
\mathrel {\makebox [0mm][l]{$\vdash $}\,{\vdash }} 
\lceil \overline{
\mathsf {s}}
\rceil 
\#^0
\lceil \underline{\mathsf {bs}}
\rceil 
\mathrel {\makebox [0mm][l]{$\vdash $}\,{\vdash }} 
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {s}}
\colon \overline{
\mathsf {s}}
 \mathrel{\in} \underline{\mathsf {bs}}
\Rightarrow \{\{\overline{
\mathsf {s}}
,\overline{
\mathsf {s}}
\}
,\{\overline{
\mathsf {s}}
,\overline{
\mathsf {s}}
\}
\}
 \mathrel{\in} \underline{
\mathsf {r}}
\vdash \underline{
\mathsf {s}}
 \mathrel{\in} \underline{\mathsf {bs}}
\vdash HelperReflexivity
\mathrel {\makebox [0mm][l]{$\rhd $}\,{\rhd }} 
\lceil \overline{
\mathsf {s}}
\rceil 
\#^0
\lceil \underline{
\mathsf {r}}
\rceil 
\mathrel {\makebox [0mm][l]{$\rhd $}\,{\rhd }} 
\lceil \overline{
\mathsf {s}}
\rceil 
\#^0
\lceil \underline{\mathsf {bs}}
\rceil 
\gg 
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {s}}
\colon \overline{
\mathsf {s}}
 \mathrel{\in} \underline{\mathsf {bs}}
\Rightarrow \{\{\overline{
\mathsf {s}}
,\overline{
\mathsf {s}}
\}
,\{\overline{
\mathsf {s}}
,\overline{
\mathsf {s}}
\}
\}
 \mathrel{\in} \underline{
\mathsf {r}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {s}}
 \mathrel{\in} \underline{\mathsf {bs}}
\Rightarrow \{\{\underline{
\mathsf {s}}
,\underline{
\mathsf {s}}
\}
,\{\underline{
\mathsf {s}}
,\underline{
\mathsf {s}}
\}
\}
 \mathrel{\in} \underline{
\mathsf {r}}
; MP2
\rhd 
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {s}}
\colon \overline{
\mathsf {s}}
 \mathrel{\in} \underline{\mathsf {bs}}
\Rightarrow \{\{\overline{
\mathsf {s}}
,\overline{
\mathsf {s}}
\}
,\{\overline{
\mathsf {s}}
,\overline{
\mathsf {s}}
\}
\}
 \mathrel{\in} \underline{
\mathsf {r}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {s}}
 \mathrel{\in} \underline{\mathsf {bs}}
\Rightarrow \{\{\underline{
\mathsf {s}}
,\underline{
\mathsf {s}}
\}
,\{\underline{
\mathsf {s}}
,\underline{
\mathsf {s}}
\}
\}
 \mathrel{\in} \underline{
\mathsf {r}}
\rhd 
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {s}}
\colon \overline{
\mathsf {s}}
 \mathrel{\in} \underline{\mathsf {bs}}
\Rightarrow \{\{\overline{
\mathsf {s}}
,\overline{
\mathsf {s}}
\}
,\{\overline{
\mathsf {s}}
,\overline{
\mathsf {s}}
\}
\}
 \mathrel{\in} \underline{
\mathsf {r}}
\rhd \underline{
\mathsf {s}}
 \mathrel{\in} \underline{\mathsf {bs}}
\gg \{\{\underline{
\mathsf {s}}
,\underline{
\mathsf {s}}
\}
,\{\underline{
\mathsf {s}}
,\underline{
\mathsf {s}}
\}
\}
 \mathrel{\in} \underline{
\mathsf {r}}
\rceil 
, 
p_0
, 
\mathsf {c}
)
]$

$\rm
[Reflexivity
\stackrel{
stmt
}{\rightarrow}ZFsub
\vdash 
\forall \underline{
\mathsf {r}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf {s}}
\colon 
\forall \underline{\mathsf {bs}}
\colon 
\lceil \overline{
\mathsf {s}}
\rceil 
\#^0
\lceil \underline{
\mathsf {r}}
\rceil 
\mathrel {\makebox [0mm][l]{$\vdash $}\,{\vdash }} 
\lceil \overline{
\mathsf {s}}
\rceil 
\#^0
\lceil \underline{\mathsf {bs}}
\rceil 
\mathrel {\makebox [0mm][l]{$\vdash $}\,{\vdash }} 
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {s}}
\colon \overline{
\mathsf {s}}
 \mathrel{\in} \underline{\mathsf {bs}}
\Rightarrow \{\{\overline{
\mathsf {s}}
,\overline{
\mathsf {s}}
\}
,\{\overline{
\mathsf {s}}
,\overline{
\mathsf {s}}
\}
\}
 \mathrel{\in} \underline{
\mathsf {r}}
\vdash \underline{
\mathsf {s}}
 \mathrel{\in} \underline{\mathsf {bs}}
\vdash \{\{\underline{
\mathsf {s}}
,\underline{
\mathsf {s}}
\}
,\{\underline{
\mathsf {s}}
,\underline{
\mathsf {s}}
\}
\}
 \mathrel{\in} \underline{
\mathsf {r}}
]$

$\rm
[Reflexivity
\stackrel{
\mathrm{tex}
}{\rightarrow}
\mbox{``}Reflexivity
\mbox{''}
]$

$\rm
[Reflexivity
\stackrel{
\mathrm{pyk}
}{\rightarrow}
\mbox{``}lemma
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}reflexivity
\mbox{''}
]$

\hypertarget {url:1808490560655876194608813785663292462486349118665588524157069396079556865:104}{}\section* {$\rm HelperSymmetry$}

$\rm
[HelperSymmetry
\stackrel{
proof
}{\rightarrow}
\lambda 
\mathsf {c}
.
\lambda 
\mathsf{x}
.
{\cal P}( 
\lceil ZFsub
\vdash 
\forall \underline{
\mathsf {r}}
\colon 
\forall \underline{\mathsf {bs}}
\colon \overline{
\mathsf {s}}
 \mathrel{\in} \underline{\mathsf {bs}}
\Rightarrow \overline{
\mathsf {t}}
 \mathrel{\in} \underline{\mathsf {bs}}
\Rightarrow \{\{\overline{
\mathsf {s}}
,\overline{
\mathsf {s}}
\}
,\{\overline{
\mathsf {s}}
,\overline{
\mathsf {t}}
\}
\}
 \mathrel{\in} \underline{
\mathsf {r}}
\Rightarrow \{\{\overline{
\mathsf {t}}
,\overline{
\mathsf {t}}
\}
,\{\overline{
\mathsf {t}}
,\overline{
\mathsf {s}}
\}
\}
 \mathrel{\in} \underline{
\mathsf {r}}
\vdash Repetition
\rhd \overline{
\mathsf {s}}
 \mathrel{\in} \underline{\mathsf {bs}}
\Rightarrow \overline{
\mathsf {t}}
 \mathrel{\in} \underline{\mathsf {bs}}
\Rightarrow \{\{\overline{
\mathsf {s}}
,\overline{
\mathsf {s}}
\}
,\{\overline{
\mathsf {s}}
,\overline{
\mathsf {t}}
\}
\}
 \mathrel{\in} \underline{
\mathsf {r}}
\Rightarrow \{\{\overline{
\mathsf {t}}
,\overline{
\mathsf {t}}
\}
,\{\overline{
\mathsf {t}}
,\overline{
\mathsf {s}}
\}
\}
 \mathrel{\in} \underline{
\mathsf {r}}
\gg \overline{
\mathsf {s}}
 \mathrel{\in} \underline{\mathsf {bs}}
\Rightarrow \overline{
\mathsf {t}}
 \mathrel{\in} \underline{\mathsf {bs}}
\Rightarrow \{\{\overline{
\mathsf {s}}
,\overline{
\mathsf {s}}
\}
,\{\overline{
\mathsf {s}}
,\overline{
\mathsf {t}}
\}
\}
 \mathrel{\in} \underline{
\mathsf {r}}
\Rightarrow \{\{\overline{
\mathsf {t}}
,\overline{
\mathsf {t}}
\}
,\{\overline{
\mathsf {t}}
,\overline{
\mathsf {s}}
\}
\}
 \mathrel{\in} \underline{
\mathsf {r}}
; 
\forall \underline{
\mathsf {r}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf {s}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf {t}}
\colon 
\forall \underline{\mathsf {bs}}
\colon Ded
\rhd 
\forall \underline{
\mathsf {r}}
\colon 
\forall \underline{\mathsf {bs}}
\colon \overline{
\mathsf {s}}
 \mathrel{\in} \underline{\mathsf {bs}}
\Rightarrow \overline{
\mathsf {t}}
 \mathrel{\in} \underline{\mathsf {bs}}
\Rightarrow \{\{\overline{
\mathsf {s}}
,\overline{
\mathsf {s}}
\}
,\{\overline{
\mathsf {s}}
,\overline{
\mathsf {t}}
\}
\}
 \mathrel{\in} \underline{
\mathsf {r}}
\Rightarrow \{\{\overline{
\mathsf {t}}
,\overline{
\mathsf {t}}
\}
,\{\overline{
\mathsf {t}}
,\overline{
\mathsf {s}}
\}
\}
 \mathrel{\in} \underline{
\mathsf {r}}
\vdash \overline{
\mathsf {s}}
 \mathrel{\in} \underline{\mathsf {bs}}
\Rightarrow \overline{
\mathsf {t}}
 \mathrel{\in} \underline{\mathsf {bs}}
\Rightarrow \{\{\overline{
\mathsf {s}}
,\overline{
\mathsf {s}}
\}
,\{\overline{
\mathsf {s}}
,\overline{
\mathsf {t}}
\}
\}
 \mathrel{\in} \underline{
\mathsf {r}}
\Rightarrow \{\{\overline{
\mathsf {t}}
,\overline{
\mathsf {t}}
\}
,\{\overline{
\mathsf {t}}
,\overline{
\mathsf {s}}
\}
\}
 \mathrel{\in} \underline{
\mathsf {r}}
\gg 
\lceil \overline{
\mathsf {s}}
\rceil 
\#^0
\lceil \underline{
\mathsf {r}}
\rceil 
\mathrel {\makebox [0mm][l]{$\vdash $}\,{\vdash }} 
\lceil \overline{
\mathsf {s}}
\rceil 
\#^0
\lceil \underline{\mathsf {bs}}
\rceil 
\mathrel {\makebox [0mm][l]{$\vdash $}\,{\vdash }} 
\lceil \overline{
\mathsf {t}}
\rceil 
\#^0
\lceil \underline{
\mathsf {r}}
\rceil 
\mathrel {\makebox [0mm][l]{$\vdash $}\,{\vdash }} 
\lceil \overline{
\mathsf {t}}
\rceil 
\#^0
\lceil \underline{\mathsf {bs}}
\rceil 
\mathrel {\makebox [0mm][l]{$\vdash $}\,{\vdash }} 
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {s}}
\colon 
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {t}}
\colon \overline{
\mathsf {s}}
 \mathrel{\in} \underline{\mathsf {bs}}
\Rightarrow \overline{
\mathsf {t}}
 \mathrel{\in} \underline{\mathsf {bs}}
\Rightarrow \{\{\overline{
\mathsf {s}}
,\overline{
\mathsf {s}}
\}
,\{\overline{
\mathsf {s}}
,\overline{
\mathsf {t}}
\}
\}
 \mathrel{\in} \underline{
\mathsf {r}}
\Rightarrow \{\{\overline{
\mathsf {t}}
,\overline{
\mathsf {t}}
\}
,\{\overline{
\mathsf {t}}
,\overline{
\mathsf {s}}
\}
\}
 \mathrel{\in} \underline{
\mathsf {r}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {s}}
 \mathrel{\in} \underline{\mathsf {bs}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {t}}
 \mathrel{\in} \underline{\mathsf {bs}}
\Rightarrow \{\{\underline{
\mathsf {s}}
,\underline{
\mathsf {s}}
\}
,\{\underline{
\mathsf {s}}
,\underline{
\mathsf {t}}
\}
\}
 \mathrel{\in} \underline{
\mathsf {r}}
\Rightarrow \{\{\underline{
\mathsf {t}}
,\underline{
\mathsf {t}}
\}
,\{\underline{
\mathsf {t}}
,\underline{
\mathsf {s}}
\}
\}
 \mathrel{\in} \underline{
\mathsf {r}}
\rceil 
, 
p_0
, 
\mathsf {c}
)
]$

$\rm
[HelperSymmetry
\stackrel{
stmt
}{\rightarrow}ZFsub
\vdash 
\forall \underline{
\mathsf {r}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf {s}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf {t}}
\colon 
\forall \underline{\mathsf {bs}}
\colon 
\lceil \overline{
\mathsf {s}}
\rceil 
\#^0
\lceil \underline{
\mathsf {r}}
\rceil 
\mathrel {\makebox [0mm][l]{$\vdash $}\,{\vdash }} 
\lceil \overline{
\mathsf {s}}
\rceil 
\#^0
\lceil \underline{\mathsf {bs}}
\rceil 
\mathrel {\makebox [0mm][l]{$\vdash $}\,{\vdash }} 
\lceil \overline{
\mathsf {t}}
\rceil 
\#^0
\lceil \underline{
\mathsf {r}}
\rceil 
\mathrel {\makebox [0mm][l]{$\vdash $}\,{\vdash }} 
\lceil \overline{
\mathsf {t}}
\rceil 
\#^0
\lceil \underline{\mathsf {bs}}
\rceil 
\mathrel {\makebox [0mm][l]{$\vdash $}\,{\vdash }} 
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {s}}
\colon 
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {t}}
\colon \overline{
\mathsf {s}}
 \mathrel{\in} \underline{\mathsf {bs}}
\Rightarrow \overline{
\mathsf {t}}
 \mathrel{\in} \underline{\mathsf {bs}}
\Rightarrow \{\{\overline{
\mathsf {s}}
,\overline{
\mathsf {s}}
\}
,\{\overline{
\mathsf {s}}
,\overline{
\mathsf {t}}
\}
\}
 \mathrel{\in} \underline{
\mathsf {r}}
\Rightarrow \{\{\overline{
\mathsf {t}}
,\overline{
\mathsf {t}}
\}
,\{\overline{
\mathsf {t}}
,\overline{
\mathsf {s}}
\}
\}
 \mathrel{\in} \underline{
\mathsf {r}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {s}}
 \mathrel{\in} \underline{\mathsf {bs}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {t}}
 \mathrel{\in} \underline{\mathsf {bs}}
\Rightarrow \{\{\underline{
\mathsf {s}}
,\underline{
\mathsf {s}}
\}
,\{\underline{
\mathsf {s}}
,\underline{
\mathsf {t}}
\}
\}
 \mathrel{\in} \underline{
\mathsf {r}}
\Rightarrow \{\{\underline{
\mathsf {t}}
,\underline{
\mathsf {t}}
\}
,\{\underline{
\mathsf {t}}
,\underline{
\mathsf {s}}
\}
\}
 \mathrel{\in} \underline{
\mathsf {r}}
]$

$\rm
[HelperSymmetry
\stackrel{
\mathrm{tex}
}{\rightarrow}
\mbox{``}HelperSymmetry
\mbox{''}
]$

$\rm
[HelperSymmetry
\stackrel{
\mathrm{pyk}
}{\rightarrow}
\mbox{``}lemma
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}symmetry0
\mbox{''}
]$

\hypertarget {url:1808490560655876194608813785663292462486349118665588524157069396079556865:105}{}\section* {$\rm Symmetry$}

$\rm
[Symmetry
\stackrel{
proof
}{\rightarrow}
\lambda 
\mathsf {c}
.
\lambda 
\mathsf{x}
.
{\cal P}( 
\lceil ZFsub
\vdash 
\forall \underline{
\mathsf {r}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf {s}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf {t}}
\colon 
\forall \underline{\mathsf {bs}}
\colon 
\lceil \overline{
\mathsf {s}}
\rceil 
\#^0
\lceil \underline{
\mathsf {r}}
\rceil 
\mathrel {\makebox [0mm][l]{$\vdash $}\,{\vdash }} 
\lceil \overline{
\mathsf {s}}
\rceil 
\#^0
\lceil \underline{\mathsf {bs}}
\rceil 
\mathrel {\makebox [0mm][l]{$\vdash $}\,{\vdash }} 
\lceil \overline{
\mathsf {t}}
\rceil 
\#^0
\lceil \underline{
\mathsf {r}}
\rceil 
\mathrel {\makebox [0mm][l]{$\vdash $}\,{\vdash }} 
\lceil \overline{
\mathsf {t}}
\rceil 
\#^0
\lceil \underline{\mathsf {bs}}
\rceil 
\mathrel {\makebox [0mm][l]{$\vdash $}\,{\vdash }} 
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {s}}
\colon 
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {t}}
\colon \overline{
\mathsf {s}}
 \mathrel{\in} \underline{\mathsf {bs}}
\Rightarrow \overline{
\mathsf {t}}
 \mathrel{\in} \underline{\mathsf {bs}}
\Rightarrow \{\{\overline{
\mathsf {s}}
,\overline{
\mathsf {s}}
\}
,\{\overline{
\mathsf {s}}
,\overline{
\mathsf {t}}
\}
\}
 \mathrel{\in} \underline{
\mathsf {r}}
\Rightarrow \{\{\overline{
\mathsf {t}}
,\overline{
\mathsf {t}}
\}
,\{\overline{
\mathsf {t}}
,\overline{
\mathsf {s}}
\}
\}
 \mathrel{\in} \underline{
\mathsf {r}}
\vdash \underline{
\mathsf {s}}
 \mathrel{\in} \underline{\mathsf {bs}}
\vdash \underline{
\mathsf {t}}
 \mathrel{\in} \underline{\mathsf {bs}}
\vdash \{\{\underline{
\mathsf {s}}
,\underline{
\mathsf {s}}
\}
,\{\underline{
\mathsf {s}}
,\underline{
\mathsf {t}}
\}
\}
 \mathrel{\in} \underline{
\mathsf {r}}
\vdash HelperSymmetry
\mathrel {\makebox [0mm][l]{$\rhd $}\,{\rhd }} 
\lceil \overline{
\mathsf {s}}
\rceil 
\#^0
\lceil \underline{
\mathsf {r}}
\rceil 
\mathrel {\makebox [0mm][l]{$\rhd $}\,{\rhd }} 
\lceil \overline{
\mathsf {s}}
\rceil 
\#^0
\lceil \underline{\mathsf {bs}}
\rceil 
\mathrel {\makebox [0mm][l]{$\rhd $}\,{\rhd }} 
\lceil \overline{
\mathsf {t}}
\rceil 
\#^0
\lceil \underline{
\mathsf {r}}
\rceil 
\mathrel {\makebox [0mm][l]{$\rhd $}\,{\rhd }} 
\lceil \overline{
\mathsf {t}}
\rceil 
\#^0
\lceil \underline{\mathsf {bs}}
\rceil 
\gg 
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {s}}
\colon 
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {t}}
\colon \overline{
\mathsf {s}}
 \mathrel{\in} \underline{\mathsf {bs}}
\Rightarrow \overline{
\mathsf {t}}
 \mathrel{\in} \underline{\mathsf {bs}}
\Rightarrow \{\{\overline{
\mathsf {s}}
,\overline{
\mathsf {s}}
\}
,\{\overline{
\mathsf {s}}
,\overline{
\mathsf {t}}
\}
\}
 \mathrel{\in} \underline{
\mathsf {r}}
\Rightarrow \{\{\overline{
\mathsf {t}}
,\overline{
\mathsf {t}}
\}
,\{\overline{
\mathsf {t}}
,\overline{
\mathsf {s}}
\}
\}
 \mathrel{\in} \underline{
\mathsf {r}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {s}}
 \mathrel{\in} \underline{\mathsf {bs}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {t}}
 \mathrel{\in} \underline{\mathsf {bs}}
\Rightarrow \{\{\underline{
\mathsf {s}}
,\underline{
\mathsf {s}}
\}
,\{\underline{
\mathsf {s}}
,\underline{
\mathsf {t}}
\}
\}
 \mathrel{\in} \underline{
\mathsf {r}}
\Rightarrow \{\{\underline{
\mathsf {t}}
,\underline{
\mathsf {t}}
\}
,\{\underline{
\mathsf {t}}
,\underline{
\mathsf {s}}
\}
\}
 \mathrel{\in} \underline{
\mathsf {r}}
; MP4
\rhd 
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {s}}
\colon 
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {t}}
\colon \overline{
\mathsf {s}}
 \mathrel{\in} \underline{\mathsf {bs}}
\Rightarrow \overline{
\mathsf {t}}
 \mathrel{\in} \underline{\mathsf {bs}}
\Rightarrow \{\{\overline{
\mathsf {s}}
,\overline{
\mathsf {s}}
\}
,\{\overline{
\mathsf {s}}
,\overline{
\mathsf {t}}
\}
\}
 \mathrel{\in} \underline{
\mathsf {r}}
\Rightarrow \{\{\overline{
\mathsf {t}}
,\overline{
\mathsf {t}}
\}
,\{\overline{
\mathsf {t}}
,\overline{
\mathsf {s}}
\}
\}
 \mathrel{\in} \underline{
\mathsf {r}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {s}}
 \mathrel{\in} \underline{\mathsf {bs}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {t}}
 \mathrel{\in} \underline{\mathsf {bs}}
\Rightarrow \{\{\underline{
\mathsf {s}}
,\underline{
\mathsf {s}}
\}
,\{\underline{
\mathsf {s}}
,\underline{
\mathsf {t}}
\}
\}
 \mathrel{\in} \underline{
\mathsf {r}}
\Rightarrow \{\{\underline{
\mathsf {t}}
,\underline{
\mathsf {t}}
\}
,\{\underline{
\mathsf {t}}
,\underline{
\mathsf {s}}
\}
\}
 \mathrel{\in} \underline{
\mathsf {r}}
\rhd 
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {s}}
\colon 
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {t}}
\colon \overline{
\mathsf {s}}
 \mathrel{\in} \underline{\mathsf {bs}}
\Rightarrow \overline{
\mathsf {t}}
 \mathrel{\in} \underline{\mathsf {bs}}
\Rightarrow \{\{\overline{
\mathsf {s}}
,\overline{
\mathsf {s}}
\}
,\{\overline{
\mathsf {s}}
,\overline{
\mathsf {t}}
\}
\}
 \mathrel{\in} \underline{
\mathsf {r}}
\Rightarrow \{\{\overline{
\mathsf {t}}
,\overline{
\mathsf {t}}
\}
,\{\overline{
\mathsf {t}}
,\overline{
\mathsf {s}}
\}
\}
 \mathrel{\in} \underline{
\mathsf {r}}
\rhd \underline{
\mathsf {s}}
 \mathrel{\in} \underline{\mathsf {bs}}
\rhd \underline{
\mathsf {t}}
 \mathrel{\in} \underline{\mathsf {bs}}
\rhd \{\{\underline{
\mathsf {s}}
,\underline{
\mathsf {s}}
\}
,\{\underline{
\mathsf {s}}
,\underline{
\mathsf {t}}
\}
\}
 \mathrel{\in} \underline{
\mathsf {r}}
\gg \{\{\underline{
\mathsf {t}}
,\underline{
\mathsf {t}}
\}
,\{\underline{
\mathsf {t}}
,\underline{
\mathsf {s}}
\}
\}
 \mathrel{\in} \underline{
\mathsf {r}}
\rceil 
, 
p_0
, 
\mathsf {c}
)
]$

$\rm
[Symmetry
\stackrel{
stmt
}{\rightarrow}ZFsub
\vdash 
\forall \underline{
\mathsf {r}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf {s}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf {t}}
\colon 
\forall \underline{\mathsf {bs}}
\colon 
\lceil \overline{
\mathsf {s}}
\rceil 
\#^0
\lceil \underline{
\mathsf {r}}
\rceil 
\mathrel {\makebox [0mm][l]{$\vdash $}\,{\vdash }} 
\lceil \overline{
\mathsf {s}}
\rceil 
\#^0
\lceil \underline{\mathsf {bs}}
\rceil 
\mathrel {\makebox [0mm][l]{$\vdash $}\,{\vdash }} 
\lceil \overline{
\mathsf {t}}
\rceil 
\#^0
\lceil \underline{
\mathsf {r}}
\rceil 
\mathrel {\makebox [0mm][l]{$\vdash $}\,{\vdash }} 
\lceil \overline{
\mathsf {t}}
\rceil 
\#^0
\lceil \underline{\mathsf {bs}}
\rceil 
\mathrel {\makebox [0mm][l]{$\vdash $}\,{\vdash }} 
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {s}}
\colon 
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {t}}
\colon \overline{
\mathsf {s}}
 \mathrel{\in} \underline{\mathsf {bs}}
\Rightarrow \overline{
\mathsf {t}}
 \mathrel{\in} \underline{\mathsf {bs}}
\Rightarrow \{\{\overline{
\mathsf {s}}
,\overline{
\mathsf {s}}
\}
,\{\overline{
\mathsf {s}}
,\overline{
\mathsf {t}}
\}
\}
 \mathrel{\in} \underline{
\mathsf {r}}
\Rightarrow \{\{\overline{
\mathsf {t}}
,\overline{
\mathsf {t}}
\}
,\{\overline{
\mathsf {t}}
,\overline{
\mathsf {s}}
\}
\}
 \mathrel{\in} \underline{
\mathsf {r}}
\vdash \underline{
\mathsf {s}}
 \mathrel{\in} \underline{\mathsf {bs}}
\vdash \underline{
\mathsf {t}}
 \mathrel{\in} \underline{\mathsf {bs}}
\vdash \{\{\underline{
\mathsf {s}}
,\underline{
\mathsf {s}}
\}
,\{\underline{
\mathsf {s}}
,\underline{
\mathsf {t}}
\}
\}
 \mathrel{\in} \underline{
\mathsf {r}}
\vdash \{\{\underline{
\mathsf {t}}
,\underline{
\mathsf {t}}
\}
,\{\underline{
\mathsf {t}}
,\underline{
\mathsf {s}}
\}
\}
 \mathrel{\in} \underline{
\mathsf {r}}
]$

$\rm
[Symmetry
\stackrel{
\mathrm{tex}
}{\rightarrow}
\mbox{``}Symmetry
\mbox{''}
]$

$\rm
[Symmetry
\stackrel{
\mathrm{pyk}
}{\rightarrow}
\mbox{``}lemma
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}symmetry
\mbox{''}
]$

\hypertarget {url:1808490560655876194608813785663292462486349118665588524157069396079556865:106}{}\section* {$\rm HelperTransitivity$}

$\rm
[HelperTransitivity
\stackrel{
proof
}{\rightarrow}
\lambda 
\mathsf {c}
.
\lambda 
\mathsf{x}
.
{\cal P}( 
\lceil ZFsub
\vdash 
\forall \underline{
\mathsf {r}}
\colon 
\forall \underline{\mathsf {bs}}
\colon \overline{
\mathsf {s}}
 \mathrel{\in} \underline{\mathsf {bs}}
\Rightarrow \overline{
\mathsf {t}}
 \mathrel{\in} \underline{\mathsf {bs}}
\Rightarrow \overline{
\mathsf {u}}
 \mathrel{\in} \underline{\mathsf {bs}}
\Rightarrow \{\{\overline{
\mathsf {s}}
,\overline{
\mathsf {s}}
\}
,\{\overline{
\mathsf {s}}
,\overline{
\mathsf {t}}
\}
\}
 \mathrel{\in} \underline{
\mathsf {r}}
\Rightarrow \{\{\overline{
\mathsf {t}}
,\overline{
\mathsf {t}}
\}
,\{\overline{
\mathsf {t}}
,\overline{
\mathsf {u}}
\}
\}
 \mathrel{\in} \underline{
\mathsf {r}}
\Rightarrow \{\{\overline{
\mathsf {s}}
,\overline{
\mathsf {s}}
\}
,\{\overline{
\mathsf {s}}
,\overline{
\mathsf {u}}
\}
\}
 \mathrel{\in} \underline{
\mathsf {r}}
\vdash Repetition
\rhd \overline{
\mathsf {s}}
 \mathrel{\in} \underline{\mathsf {bs}}
\Rightarrow \overline{
\mathsf {t}}
 \mathrel{\in} \underline{\mathsf {bs}}
\Rightarrow \overline{
\mathsf {u}}
 \mathrel{\in} \underline{\mathsf {bs}}
\Rightarrow \{\{\overline{
\mathsf {s}}
,\overline{
\mathsf {s}}
\}
,\{\overline{
\mathsf {s}}
,\overline{
\mathsf {t}}
\}
\}
 \mathrel{\in} \underline{
\mathsf {r}}
\Rightarrow \{\{\overline{
\mathsf {t}}
,\overline{
\mathsf {t}}
\}
,\{\overline{
\mathsf {t}}
,\overline{
\mathsf {u}}
\}
\}
 \mathrel{\in} \underline{
\mathsf {r}}
\Rightarrow \{\{\overline{
\mathsf {s}}
,\overline{
\mathsf {s}}
\}
,\{\overline{
\mathsf {s}}
,\overline{
\mathsf {u}}
\}
\}
 \mathrel{\in} \underline{
\mathsf {r}}
\gg \overline{
\mathsf {s}}
 \mathrel{\in} \underline{\mathsf {bs}}
\Rightarrow \overline{
\mathsf {t}}
 \mathrel{\in} \underline{\mathsf {bs}}
\Rightarrow \overline{
\mathsf {u}}
 \mathrel{\in} \underline{\mathsf {bs}}
\Rightarrow \{\{\overline{
\mathsf {s}}
,\overline{
\mathsf {s}}
\}
,\{\overline{
\mathsf {s}}
,\overline{
\mathsf {t}}
\}
\}
 \mathrel{\in} \underline{
\mathsf {r}}
\Rightarrow \{\{\overline{
\mathsf {t}}
,\overline{
\mathsf {t}}
\}
,\{\overline{
\mathsf {t}}
,\overline{
\mathsf {u}}
\}
\}
 \mathrel{\in} \underline{
\mathsf {r}}
\Rightarrow \{\{\overline{
\mathsf {s}}
,\overline{
\mathsf {s}}
\}
,\{\overline{
\mathsf {s}}
,\overline{
\mathsf {u}}
\}
\}
 \mathrel{\in} \underline{
\mathsf {r}}
; 
\forall \underline{
\mathsf {r}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf {s}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf {t}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf {u}}
\colon 
\forall \underline{\mathsf {bs}}
\colon Ded
\rhd 
\forall \underline{
\mathsf {r}}
\colon 
\forall \underline{\mathsf {bs}}
\colon \overline{
\mathsf {s}}
 \mathrel{\in} \underline{\mathsf {bs}}
\Rightarrow \overline{
\mathsf {t}}
 \mathrel{\in} \underline{\mathsf {bs}}
\Rightarrow \overline{
\mathsf {u}}
 \mathrel{\in} \underline{\mathsf {bs}}
\Rightarrow \{\{\overline{
\mathsf {s}}
,\overline{
\mathsf {s}}
\}
,\{\overline{
\mathsf {s}}
,\overline{
\mathsf {t}}
\}
\}
 \mathrel{\in} \underline{
\mathsf {r}}
\Rightarrow \{\{\overline{
\mathsf {t}}
,\overline{
\mathsf {t}}
\}
,\{\overline{
\mathsf {t}}
,\overline{
\mathsf {u}}
\}
\}
 \mathrel{\in} \underline{
\mathsf {r}}
\Rightarrow \{\{\overline{
\mathsf {s}}
,\overline{
\mathsf {s}}
\}
,\{\overline{
\mathsf {s}}
,\overline{
\mathsf {u}}
\}
\}
 \mathrel{\in} \underline{
\mathsf {r}}
\vdash \overline{
\mathsf {s}}
 \mathrel{\in} \underline{\mathsf {bs}}
\Rightarrow \overline{
\mathsf {t}}
 \mathrel{\in} \underline{\mathsf {bs}}
\Rightarrow \overline{
\mathsf {u}}
 \mathrel{\in} \underline{\mathsf {bs}}
\Rightarrow \{\{\overline{
\mathsf {s}}
,\overline{
\mathsf {s}}
\}
,\{\overline{
\mathsf {s}}
,\overline{
\mathsf {t}}
\}
\}
 \mathrel{\in} \underline{
\mathsf {r}}
\Rightarrow \{\{\overline{
\mathsf {t}}
,\overline{
\mathsf {t}}
\}
,\{\overline{
\mathsf {t}}
,\overline{
\mathsf {u}}
\}
\}
 \mathrel{\in} \underline{
\mathsf {r}}
\Rightarrow \{\{\overline{
\mathsf {s}}
,\overline{
\mathsf {s}}
\}
,\{\overline{
\mathsf {s}}
,\overline{
\mathsf {u}}
\}
\}
 \mathrel{\in} \underline{
\mathsf {r}}
\gg 
\lceil \overline{
\mathsf {s}}
\rceil 
\#^0
\lceil \underline{
\mathsf {r}}
\rceil 
\mathrel {\makebox [0mm][l]{$\vdash $}\,{\vdash }} 
\lceil \overline{
\mathsf {s}}
\rceil 
\#^0
\lceil \underline{\mathsf {bs}}
\rceil 
\mathrel {\makebox [0mm][l]{$\vdash $}\,{\vdash }} 
\lceil \overline{
\mathsf {t}}
\rceil 
\#^0
\lceil \underline{
\mathsf {r}}
\rceil 
\mathrel {\makebox [0mm][l]{$\vdash $}\,{\vdash }} 
\lceil \overline{
\mathsf {t}}
\rceil 
\#^0
\lceil \underline{\mathsf {bs}}
\rceil 
\mathrel {\makebox [0mm][l]{$\vdash $}\,{\vdash }} 
\lceil \overline{
\mathsf {u}}
\rceil 
\#^0
\lceil \underline{
\mathsf {r}}
\rceil 
\mathrel {\makebox [0mm][l]{$\vdash $}\,{\vdash }} 
\lceil \overline{
\mathsf {u}}
\rceil 
\#^0
\lceil \underline{\mathsf {bs}}
\rceil 
\mathrel {\makebox [0mm][l]{$\vdash $}\,{\vdash }} 
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {s}}
\colon 
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {t}}
\colon 
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {u}}
\colon \overline{
\mathsf {s}}
 \mathrel{\in} \underline{\mathsf {bs}}
\Rightarrow \overline{
\mathsf {t}}
 \mathrel{\in} \underline{\mathsf {bs}}
\Rightarrow \overline{
\mathsf {u}}
 \mathrel{\in} \underline{\mathsf {bs}}
\Rightarrow \{\{\overline{
\mathsf {s}}
,\overline{
\mathsf {s}}
\}
,\{\overline{
\mathsf {s}}
,\overline{
\mathsf {t}}
\}
\}
 \mathrel{\in} \underline{
\mathsf {r}}
\Rightarrow \{\{\overline{
\mathsf {t}}
,\overline{
\mathsf {t}}
\}
,\{\overline{
\mathsf {t}}
,\overline{
\mathsf {u}}
\}
\}
 \mathrel{\in} \underline{
\mathsf {r}}
\Rightarrow \{\{\overline{
\mathsf {s}}
,\overline{
\mathsf {s}}
\}
,\{\overline{
\mathsf {s}}
,\overline{
\mathsf {u}}
\}
\}
 \mathrel{\in} \underline{
\mathsf {r}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {s}}
 \mathrel{\in} \underline{\mathsf {bs}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {t}}
 \mathrel{\in} \underline{\mathsf {bs}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {u}}
 \mathrel{\in} \underline{\mathsf {bs}}
\Rightarrow \{\{\underline{
\mathsf {s}}
,\underline{
\mathsf {s}}
\}
,\{\underline{
\mathsf {s}}
,\underline{
\mathsf {t}}
\}
\}
 \mathrel{\in} \underline{
\mathsf {r}}
\Rightarrow \{\{\underline{
\mathsf {t}}
,\underline{
\mathsf {t}}
\}
,\{\underline{
\mathsf {t}}
,\underline{
\mathsf {u}}
\}
\}
 \mathrel{\in} \underline{
\mathsf {r}}
\Rightarrow \{\{\underline{
\mathsf {s}}
,\underline{
\mathsf {s}}
\}
,\{\underline{
\mathsf {s}}
,\underline{
\mathsf {u}}
\}
\}
 \mathrel{\in} \underline{
\mathsf {r}}
\rceil 
, 
p_0
, 
\mathsf {c}
)
]$

$\rm
[HelperTransitivity
\stackrel{
stmt
}{\rightarrow}ZFsub
\vdash 
\forall \underline{
\mathsf {r}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf {s}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf {t}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf {u}}
\colon 
\forall \underline{\mathsf {bs}}
\colon 
\lceil \overline{
\mathsf {s}}
\rceil 
\#^0
\lceil \underline{
\mathsf {r}}
\rceil 
\mathrel {\makebox [0mm][l]{$\vdash $}\,{\vdash }} 
\lceil \overline{
\mathsf {s}}
\rceil 
\#^0
\lceil \underline{\mathsf {bs}}
\rceil 
\mathrel {\makebox [0mm][l]{$\vdash $}\,{\vdash }} 
\lceil \overline{
\mathsf {t}}
\rceil 
\#^0
\lceil \underline{
\mathsf {r}}
\rceil 
\mathrel {\makebox [0mm][l]{$\vdash $}\,{\vdash }} 
\lceil \overline{
\mathsf {t}}
\rceil 
\#^0
\lceil \underline{\mathsf {bs}}
\rceil 
\mathrel {\makebox [0mm][l]{$\vdash $}\,{\vdash }} 
\lceil \overline{
\mathsf {u}}
\rceil 
\#^0
\lceil \underline{
\mathsf {r}}
\rceil 
\mathrel {\makebox [0mm][l]{$\vdash $}\,{\vdash }} 
\lceil \overline{
\mathsf {u}}
\rceil 
\#^0
\lceil \underline{\mathsf {bs}}
\rceil 
\mathrel {\makebox [0mm][l]{$\vdash $}\,{\vdash }} 
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {s}}
\colon 
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {t}}
\colon 
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {u}}
\colon \overline{
\mathsf {s}}
 \mathrel{\in} \underline{\mathsf {bs}}
\Rightarrow \overline{
\mathsf {t}}
 \mathrel{\in} \underline{\mathsf {bs}}
\Rightarrow \overline{
\mathsf {u}}
 \mathrel{\in} \underline{\mathsf {bs}}
\Rightarrow \{\{\overline{
\mathsf {s}}
,\overline{
\mathsf {s}}
\}
,\{\overline{
\mathsf {s}}
,\overline{
\mathsf {t}}
\}
\}
 \mathrel{\in} \underline{
\mathsf {r}}
\Rightarrow \{\{\overline{
\mathsf {t}}
,\overline{
\mathsf {t}}
\}
,\{\overline{
\mathsf {t}}
,\overline{
\mathsf {u}}
\}
\}
 \mathrel{\in} \underline{
\mathsf {r}}
\Rightarrow \{\{\overline{
\mathsf {s}}
,\overline{
\mathsf {s}}
\}
,\{\overline{
\mathsf {s}}
,\overline{
\mathsf {u}}
\}
\}
 \mathrel{\in} \underline{
\mathsf {r}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {s}}
 \mathrel{\in} \underline{\mathsf {bs}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {t}}
 \mathrel{\in} \underline{\mathsf {bs}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {u}}
 \mathrel{\in} \underline{\mathsf {bs}}
\Rightarrow \{\{\underline{
\mathsf {s}}
,\underline{
\mathsf {s}}
\}
,\{\underline{
\mathsf {s}}
,\underline{
\mathsf {t}}
\}
\}
 \mathrel{\in} \underline{
\mathsf {r}}
\Rightarrow \{\{\underline{
\mathsf {t}}
,\underline{
\mathsf {t}}
\}
,\{\underline{
\mathsf {t}}
,\underline{
\mathsf {u}}
\}
\}
 \mathrel{\in} \underline{
\mathsf {r}}
\Rightarrow \{\{\underline{
\mathsf {s}}
,\underline{
\mathsf {s}}
\}
,\{\underline{
\mathsf {s}}
,\underline{
\mathsf {u}}
\}
\}
 \mathrel{\in} \underline{
\mathsf {r}}
]$

$\rm
[HelperTransitivity
\stackrel{
\mathrm{tex}
}{\rightarrow}
\mbox{``}HelperTransitivity
\mbox{''}
]$

$\rm
[HelperTransitivity
\stackrel{
\mathrm{pyk}
}{\rightarrow}
\mbox{``}lemma
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}transitivity0
\mbox{''}
]$

\hypertarget {url:1808490560655876194608813785663292462486349118665588524157069396079556865:107}{}\section* {$\rm Transitivity$}

$\rm
[Transitivity
\stackrel{
proof
}{\rightarrow}
\lambda 
\mathsf {c}
.
\lambda 
\mathsf{x}
.
{\cal P}( 
\lceil ZFsub
\vdash 
\forall \underline{
\mathsf {r}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf {s}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf {t}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf {u}}
\colon 
\forall \underline{\mathsf {bs}}
\colon 
\lceil \overline{
\mathsf {s}}
\rceil 
\#^0
\lceil \underline{
\mathsf {r}}
\rceil 
\mathrel {\makebox [0mm][l]{$\vdash $}\,{\vdash }} 
\lceil \overline{
\mathsf {s}}
\rceil 
\#^0
\lceil \underline{\mathsf {bs}}
\rceil 
\mathrel {\makebox [0mm][l]{$\vdash $}\,{\vdash }} 
\lceil \overline{
\mathsf {t}}
\rceil 
\#^0
\lceil \underline{
\mathsf {r}}
\rceil 
\mathrel {\makebox [0mm][l]{$\vdash $}\,{\vdash }} 
\lceil \overline{
\mathsf {t}}
\rceil 
\#^0
\lceil \underline{\mathsf {bs}}
\rceil 
\mathrel {\makebox [0mm][l]{$\vdash $}\,{\vdash }} 
\lceil \overline{
\mathsf {u}}
\rceil 
\#^0
\lceil \underline{
\mathsf {r}}
\rceil 
\mathrel {\makebox [0mm][l]{$\vdash $}\,{\vdash }} 
\lceil \overline{
\mathsf {u}}
\rceil 
\#^0
\lceil \underline{\mathsf {bs}}
\rceil 
\mathrel {\makebox [0mm][l]{$\vdash $}\,{\vdash }} 
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {s}}
\colon 
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {t}}
\colon 
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {u}}
\colon \overline{
\mathsf {s}}
 \mathrel{\in} \underline{\mathsf {bs}}
\Rightarrow \overline{
\mathsf {t}}
 \mathrel{\in} \underline{\mathsf {bs}}
\Rightarrow \overline{
\mathsf {u}}
 \mathrel{\in} \underline{\mathsf {bs}}
\Rightarrow \{\{\overline{
\mathsf {s}}
,\overline{
\mathsf {s}}
\}
,\{\overline{
\mathsf {s}}
,\overline{
\mathsf {t}}
\}
\}
 \mathrel{\in} \underline{
\mathsf {r}}
\Rightarrow \{\{\overline{
\mathsf {t}}
,\overline{
\mathsf {t}}
\}
,\{\overline{
\mathsf {t}}
,\overline{
\mathsf {u}}
\}
\}
 \mathrel{\in} \underline{
\mathsf {r}}
\Rightarrow \{\{\overline{
\mathsf {s}}
,\overline{
\mathsf {s}}
\}
,\{\overline{
\mathsf {s}}
,\overline{
\mathsf {u}}
\}
\}
 \mathrel{\in} \underline{
\mathsf {r}}
\vdash \underline{
\mathsf {s}}
 \mathrel{\in} \underline{\mathsf {bs}}
\vdash \underline{
\mathsf {t}}
 \mathrel{\in} \underline{\mathsf {bs}}
\vdash \underline{
\mathsf {u}}
 \mathrel{\in} \underline{\mathsf {bs}}
\vdash \{\{\underline{
\mathsf {s}}
,\underline{
\mathsf {s}}
\}
,\{\underline{
\mathsf {s}}
,\underline{
\mathsf {t}}
\}
\}
 \mathrel{\in} \underline{
\mathsf {r}}
\vdash \{\{\underline{
\mathsf {t}}
,\underline{
\mathsf {t}}
\}
,\{\underline{
\mathsf {t}}
,\underline{
\mathsf {u}}
\}
\}
 \mathrel{\in} \underline{
\mathsf {r}}
\vdash HelperTransitivity
\mathrel {\makebox [0mm][l]{$\rhd $}\,{\rhd }} 
\lceil \overline{
\mathsf {s}}
\rceil 
\#^0
\lceil \underline{
\mathsf {r}}
\rceil 
\mathrel {\makebox [0mm][l]{$\rhd $}\,{\rhd }} 
\lceil \overline{
\mathsf {s}}
\rceil 
\#^0
\lceil \underline{\mathsf {bs}}
\rceil 
\mathrel {\makebox [0mm][l]{$\rhd $}\,{\rhd }} 
\lceil \overline{
\mathsf {t}}
\rceil 
\#^0
\lceil \underline{
\mathsf {r}}
\rceil 
\mathrel {\makebox [0mm][l]{$\rhd $}\,{\rhd }} 
\lceil \overline{
\mathsf {t}}
\rceil 
\#^0
\lceil \underline{\mathsf {bs}}
\rceil 
\mathrel {\makebox [0mm][l]{$\rhd $}\,{\rhd }} 
\lceil \overline{
\mathsf {u}}
\rceil 
\#^0
\lceil \underline{
\mathsf {r}}
\rceil 
\mathrel {\makebox [0mm][l]{$\rhd $}\,{\rhd }} 
\lceil \overline{
\mathsf {u}}
\rceil 
\#^0
\lceil \underline{\mathsf {bs}}
\rceil 
\gg 
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {s}}
\colon 
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {t}}
\colon 
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {u}}
\colon \overline{
\mathsf {s}}
 \mathrel{\in} \underline{\mathsf {bs}}
\Rightarrow \overline{
\mathsf {t}}
 \mathrel{\in} \underline{\mathsf {bs}}
\Rightarrow \overline{
\mathsf {u}}
 \mathrel{\in} \underline{\mathsf {bs}}
\Rightarrow \{\{\overline{
\mathsf {s}}
,\overline{
\mathsf {s}}
\}
,\{\overline{
\mathsf {s}}
,\overline{
\mathsf {t}}
\}
\}
 \mathrel{\in} \underline{
\mathsf {r}}
\Rightarrow \{\{\overline{
\mathsf {t}}
,\overline{
\mathsf {t}}
\}
,\{\overline{
\mathsf {t}}
,\overline{
\mathsf {u}}
\}
\}
 \mathrel{\in} \underline{
\mathsf {r}}
\Rightarrow \{\{\overline{
\mathsf {s}}
,\overline{
\mathsf {s}}
\}
,\{\overline{
\mathsf {s}}
,\overline{
\mathsf {u}}
\}
\}
 \mathrel{\in} \underline{
\mathsf {r}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {s}}
 \mathrel{\in} \underline{\mathsf {bs}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {t}}
 \mathrel{\in} \underline{\mathsf {bs}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {u}}
 \mathrel{\in} \underline{\mathsf {bs}}
\Rightarrow \{\{\underline{
\mathsf {s}}
,\underline{
\mathsf {s}}
\}
,\{\underline{
\mathsf {s}}
,\underline{
\mathsf {t}}
\}
\}
 \mathrel{\in} \underline{
\mathsf {r}}
\Rightarrow \{\{\underline{
\mathsf {t}}
,\underline{
\mathsf {t}}
\}
,\{\underline{
\mathsf {t}}
,\underline{
\mathsf {u}}
\}
\}
 \mathrel{\in} \underline{
\mathsf {r}}
\Rightarrow \{\{\underline{
\mathsf {s}}
,\underline{
\mathsf {s}}
\}
,\{\underline{
\mathsf {s}}
,\underline{
\mathsf {u}}
\}
\}
 \mathrel{\in} \underline{
\mathsf {r}}
; MP5
\rhd 
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {s}}
\colon 
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {t}}
\colon 
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {u}}
\colon \overline{
\mathsf {s}}
 \mathrel{\in} \underline{\mathsf {bs}}
\Rightarrow \overline{
\mathsf {t}}
 \mathrel{\in} \underline{\mathsf {bs}}
\Rightarrow \overline{
\mathsf {u}}
 \mathrel{\in} \underline{\mathsf {bs}}
\Rightarrow \{\{\overline{
\mathsf {s}}
,\overline{
\mathsf {s}}
\}
,\{\overline{
\mathsf {s}}
,\overline{
\mathsf {t}}
\}
\}
 \mathrel{\in} \underline{
\mathsf {r}}
\Rightarrow \{\{\overline{
\mathsf {t}}
,\overline{
\mathsf {t}}
\}
,\{\overline{
\mathsf {t}}
,\overline{
\mathsf {u}}
\}
\}
 \mathrel{\in} \underline{
\mathsf {r}}
\Rightarrow \{\{\overline{
\mathsf {s}}
,\overline{
\mathsf {s}}
\}
,\{\overline{
\mathsf {s}}
,\overline{
\mathsf {u}}
\}
\}
 \mathrel{\in} \underline{
\mathsf {r}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {s}}
 \mathrel{\in} \underline{\mathsf {bs}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {t}}
 \mathrel{\in} \underline{\mathsf {bs}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {u}}
 \mathrel{\in} \underline{\mathsf {bs}}
\Rightarrow \{\{\underline{
\mathsf {s}}
,\underline{
\mathsf {s}}
\}
,\{\underline{
\mathsf {s}}
,\underline{
\mathsf {t}}
\}
\}
 \mathrel{\in} \underline{
\mathsf {r}}
\Rightarrow \{\{\underline{
\mathsf {t}}
,\underline{
\mathsf {t}}
\}
,\{\underline{
\mathsf {t}}
,\underline{
\mathsf {u}}
\}
\}
 \mathrel{\in} \underline{
\mathsf {r}}
\Rightarrow \{\{\underline{
\mathsf {s}}
,\underline{
\mathsf {s}}
\}
,\{\underline{
\mathsf {s}}
,\underline{
\mathsf {u}}
\}
\}
 \mathrel{\in} \underline{
\mathsf {r}}
\rhd 
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {s}}
\colon 
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {t}}
\colon 
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {u}}
\colon \overline{
\mathsf {s}}
 \mathrel{\in} \underline{\mathsf {bs}}
\Rightarrow \overline{
\mathsf {t}}
 \mathrel{\in} \underline{\mathsf {bs}}
\Rightarrow \overline{
\mathsf {u}}
 \mathrel{\in} \underline{\mathsf {bs}}
\Rightarrow \{\{\overline{
\mathsf {s}}
,\overline{
\mathsf {s}}
\}
,\{\overline{
\mathsf {s}}
,\overline{
\mathsf {t}}
\}
\}
 \mathrel{\in} \underline{
\mathsf {r}}
\Rightarrow \{\{\overline{
\mathsf {t}}
,\overline{
\mathsf {t}}
\}
,\{\overline{
\mathsf {t}}
,\overline{
\mathsf {u}}
\}
\}
 \mathrel{\in} \underline{
\mathsf {r}}
\Rightarrow \{\{\overline{
\mathsf {s}}
,\overline{
\mathsf {s}}
\}
,\{\overline{
\mathsf {s}}
,\overline{
\mathsf {u}}
\}
\}
 \mathrel{\in} \underline{
\mathsf {r}}
\rhd \underline{
\mathsf {s}}
 \mathrel{\in} \underline{\mathsf {bs}}
\rhd \underline{
\mathsf {t}}
 \mathrel{\in} \underline{\mathsf {bs}}
\rhd \underline{
\mathsf {u}}
 \mathrel{\in} \underline{\mathsf {bs}}
\rhd \{\{\underline{
\mathsf {s}}
,\underline{
\mathsf {s}}
\}
,\{\underline{
\mathsf {s}}
,\underline{
\mathsf {t}}
\}
\}
 \mathrel{\in} \underline{
\mathsf {r}}
\gg \{\{\underline{
\mathsf {t}}
,\underline{
\mathsf {t}}
\}
,\{\underline{
\mathsf {t}}
,\underline{
\mathsf {u}}
\}
\}
 \mathrel{\in} \underline{
\mathsf {r}}
\Rightarrow \{\{\underline{
\mathsf {s}}
,\underline{
\mathsf {s}}
\}
,\{\underline{
\mathsf {s}}
,\underline{
\mathsf {u}}
\}
\}
 \mathrel{\in} \underline{
\mathsf {r}}
; MP
\rhd \{\{\underline{
\mathsf {t}}
,\underline{
\mathsf {t}}
\}
,\{\underline{
\mathsf {t}}
,\underline{
\mathsf {u}}
\}
\}
 \mathrel{\in} \underline{
\mathsf {r}}
\Rightarrow \{\{\underline{
\mathsf {s}}
,\underline{
\mathsf {s}}
\}
,\{\underline{
\mathsf {s}}
,\underline{
\mathsf {u}}
\}
\}
 \mathrel{\in} \underline{
\mathsf {r}}
\rhd \{\{\underline{
\mathsf {t}}
,\underline{
\mathsf {t}}
\}
,\{\underline{
\mathsf {t}}
,\underline{
\mathsf {u}}
\}
\}
 \mathrel{\in} \underline{
\mathsf {r}}
\gg \{\{\underline{
\mathsf {s}}
,\underline{
\mathsf {s}}
\}
,\{\underline{
\mathsf {s}}
,\underline{
\mathsf {u}}
\}
\}
 \mathrel{\in} \underline{
\mathsf {r}}
\rceil 
, 
p_0
, 
\mathsf {c}
)
]$

$\rm
[Transitivity
\stackrel{
stmt
}{\rightarrow}ZFsub
\vdash 
\forall \underline{
\mathsf {r}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf {s}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf {t}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf {u}}
\colon 
\forall \underline{\mathsf {bs}}
\colon 
\lceil \overline{
\mathsf {s}}
\rceil 
\#^0
\lceil \underline{
\mathsf {r}}
\rceil 
\mathrel {\makebox [0mm][l]{$\vdash $}\,{\vdash }} 
\lceil \overline{
\mathsf {s}}
\rceil 
\#^0
\lceil \underline{\mathsf {bs}}
\rceil 
\mathrel {\makebox [0mm][l]{$\vdash $}\,{\vdash }} 
\lceil \overline{
\mathsf {t}}
\rceil 
\#^0
\lceil \underline{
\mathsf {r}}
\rceil 
\mathrel {\makebox [0mm][l]{$\vdash $}\,{\vdash }} 
\lceil \overline{
\mathsf {t}}
\rceil 
\#^0
\lceil \underline{\mathsf {bs}}
\rceil 
\mathrel {\makebox [0mm][l]{$\vdash $}\,{\vdash }} 
\lceil \overline{
\mathsf {u}}
\rceil 
\#^0
\lceil \underline{
\mathsf {r}}
\rceil 
\mathrel {\makebox [0mm][l]{$\vdash $}\,{\vdash }} 
\lceil \overline{
\mathsf {u}}
\rceil 
\#^0
\lceil \underline{\mathsf {bs}}
\rceil 
\mathrel {\makebox [0mm][l]{$\vdash $}\,{\vdash }} 
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {s}}
\colon 
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {t}}
\colon 
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {u}}
\colon \overline{
\mathsf {s}}
 \mathrel{\in} \underline{\mathsf {bs}}
\Rightarrow \overline{
\mathsf {t}}
 \mathrel{\in} \underline{\mathsf {bs}}
\Rightarrow \overline{
\mathsf {u}}
 \mathrel{\in} \underline{\mathsf {bs}}
\Rightarrow \{\{\overline{
\mathsf {s}}
,\overline{
\mathsf {s}}
\}
,\{\overline{
\mathsf {s}}
,\overline{
\mathsf {t}}
\}
\}
 \mathrel{\in} \underline{
\mathsf {r}}
\Rightarrow \{\{\overline{
\mathsf {t}}
,\overline{
\mathsf {t}}
\}
,\{\overline{
\mathsf {t}}
,\overline{
\mathsf {u}}
\}
\}
 \mathrel{\in} \underline{
\mathsf {r}}
\Rightarrow \{\{\overline{
\mathsf {s}}
,\overline{
\mathsf {s}}
\}
,\{\overline{
\mathsf {s}}
,\overline{
\mathsf {u}}
\}
\}
 \mathrel{\in} \underline{
\mathsf {r}}
\vdash \underline{
\mathsf {s}}
 \mathrel{\in} \underline{\mathsf {bs}}
\vdash \underline{
\mathsf {t}}
 \mathrel{\in} \underline{\mathsf {bs}}
\vdash \underline{
\mathsf {u}}
 \mathrel{\in} \underline{\mathsf {bs}}
\vdash \{\{\underline{
\mathsf {s}}
,\underline{
\mathsf {s}}
\}
,\{\underline{
\mathsf {s}}
,\underline{
\mathsf {t}}
\}
\}
 \mathrel{\in} \underline{
\mathsf {r}}
\vdash \{\{\underline{
\mathsf {t}}
,\underline{
\mathsf {t}}
\}
,\{\underline{
\mathsf {t}}
,\underline{
\mathsf {u}}
\}
\}
 \mathrel{\in} \underline{
\mathsf {r}}
\vdash \{\{\underline{
\mathsf {s}}
,\underline{
\mathsf {s}}
\}
,\{\underline{
\mathsf {s}}
,\underline{
\mathsf {u}}
\}
\}
 \mathrel{\in} \underline{
\mathsf {r}}
]$

$\rm
[Transitivity
\stackrel{
\mathrm{tex}
}{\rightarrow}
\mbox{``}Transitivity
\mbox{''}
]$

$\rm
[Transitivity
\stackrel{
\mathrm{pyk}
}{\rightarrow}
\mbox{``}lemma
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}transitivity
\mbox{''}
]$

\hypertarget {url:1808490560655876194608813785663292462486349118665588524157069396079556865:108}{}\section* {$\rm ERisReflexive$}

$\rm
[ERisReflexive
\stackrel{
proof
}{\rightarrow}
\lambda 
\mathsf {c}
.
\lambda 
\mathsf{x}
.
{\cal P}( 
\lceil ZFsub
\vdash 
\forall \underline{
\mathsf {r}}
\colon \dot{\neg}\, \dot{\neg}\, 
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {s}}
\colon \overline{
\mathsf {s}}
 \mathrel{\in} \underline{\mathsf {bs}}
\Rightarrow \{\{\overline{
\mathsf {s}}
,\overline{
\mathsf {s}}
\}
,\{\overline{
\mathsf {s}}
,\overline{
\mathsf {s}}
\}
\}
 \mathrel{\in} \underline{
\mathsf {r}}
\Rightarrow \dot{\neg}\, 
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {s}}
\colon 
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {t}}
\colon \overline{
\mathsf {s}}
 \mathrel{\in} \underline{\mathsf {bs}}
\Rightarrow \overline{
\mathsf {t}}
 \mathrel{\in} \underline{\mathsf {bs}}
\Rightarrow \{\{\overline{
\mathsf {s}}
,\overline{
\mathsf {s}}
\}
,\{\overline{
\mathsf {s}}
,\overline{
\mathsf {t}}
\}
\}
 \mathrel{\in} \underline{
\mathsf {r}}
\Rightarrow \{\{\overline{
\mathsf {t}}
,\overline{
\mathsf {t}}
\}
,\{\overline{
\mathsf {t}}
,\overline{
\mathsf {s}}
\}
\}
 \mathrel{\in} \underline{
\mathsf {r}}
\Rightarrow \dot{\neg}\, 
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {s}}
\colon 
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {t}}
\colon 
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {u}}
\colon \overline{
\mathsf {s}}
 \mathrel{\in} \underline{\mathsf {bs}}
\Rightarrow \overline{
\mathsf {t}}
 \mathrel{\in} \underline{\mathsf {bs}}
\Rightarrow \overline{
\mathsf {u}}
 \mathrel{\in} \underline{\mathsf {bs}}
\Rightarrow \{\{\overline{
\mathsf {s}}
,\overline{
\mathsf {s}}
\}
,\{\overline{
\mathsf {s}}
,\overline{
\mathsf {t}}
\}
\}
 \mathrel{\in} \underline{
\mathsf {r}}
\Rightarrow \{\{\overline{
\mathsf {t}}
,\overline{
\mathsf {t}}
\}
,\{\overline{
\mathsf {t}}
,\overline{
\mathsf {u}}
\}
\}
 \mathrel{\in} \underline{
\mathsf {r}}
\Rightarrow \{\{\overline{
\mathsf {s}}
,\overline{
\mathsf {s}}
\}
,\{\overline{
\mathsf {s}}
,\overline{
\mathsf {u}}
\}
\}
 \mathrel{\in} \underline{
\mathsf {r}}
\vdash Repetition
\rhd \dot{\neg}\, \dot{\neg}\, 
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {s}}
\colon \overline{
\mathsf {s}}
 \mathrel{\in} \underline{\mathsf {bs}}
\Rightarrow \{\{\overline{
\mathsf {s}}
,\overline{
\mathsf {s}}
\}
,\{\overline{
\mathsf {s}}
,\overline{
\mathsf {s}}
\}
\}
 \mathrel{\in} \underline{
\mathsf {r}}
\Rightarrow \dot{\neg}\, 
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {s}}
\colon 
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {t}}
\colon \overline{
\mathsf {s}}
 \mathrel{\in} \underline{\mathsf {bs}}
\Rightarrow \overline{
\mathsf {t}}
 \mathrel{\in} \underline{\mathsf {bs}}
\Rightarrow \{\{\overline{
\mathsf {s}}
,\overline{
\mathsf {s}}
\}
,\{\overline{
\mathsf {s}}
,\overline{
\mathsf {t}}
\}
\}
 \mathrel{\in} \underline{
\mathsf {r}}
\Rightarrow \{\{\overline{
\mathsf {t}}
,\overline{
\mathsf {t}}
\}
,\{\overline{
\mathsf {t}}
,\overline{
\mathsf {s}}
\}
\}
 \mathrel{\in} \underline{
\mathsf {r}}
\Rightarrow \dot{\neg}\, 
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {s}}
\colon 
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {t}}
\colon 
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {u}}
\colon \overline{
\mathsf {s}}
 \mathrel{\in} \underline{\mathsf {bs}}
\Rightarrow \overline{
\mathsf {t}}
 \mathrel{\in} \underline{\mathsf {bs}}
\Rightarrow \overline{
\mathsf {u}}
 \mathrel{\in} \underline{\mathsf {bs}}
\Rightarrow \{\{\overline{
\mathsf {s}}
,\overline{
\mathsf {s}}
\}
,\{\overline{
\mathsf {s}}
,\overline{
\mathsf {t}}
\}
\}
 \mathrel{\in} \underline{
\mathsf {r}}
\Rightarrow \{\{\overline{
\mathsf {t}}
,\overline{
\mathsf {t}}
\}
,\{\overline{
\mathsf {t}}
,\overline{
\mathsf {u}}
\}
\}
 \mathrel{\in} \underline{
\mathsf {r}}
\Rightarrow \{\{\overline{
\mathsf {s}}
,\overline{
\mathsf {s}}
\}
,\{\overline{
\mathsf {s}}
,\overline{
\mathsf {u}}
\}
\}
 \mathrel{\in} \underline{
\mathsf {r}}
\gg \dot{\neg}\, \dot{\neg}\, 
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {s}}
\colon \overline{
\mathsf {s}}
 \mathrel{\in} \underline{\mathsf {bs}}
\Rightarrow \{\{\overline{
\mathsf {s}}
,\overline{
\mathsf {s}}
\}
,\{\overline{
\mathsf {s}}
,\overline{
\mathsf {s}}
\}
\}
 \mathrel{\in} \underline{
\mathsf {r}}
\Rightarrow \dot{\neg}\, 
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {s}}
\colon 
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {t}}
\colon \overline{
\mathsf {s}}
 \mathrel{\in} \underline{\mathsf {bs}}
\Rightarrow \overline{
\mathsf {t}}
 \mathrel{\in} \underline{\mathsf {bs}}
\Rightarrow \{\{\overline{
\mathsf {s}}
,\overline{
\mathsf {s}}
\}
,\{\overline{
\mathsf {s}}
,\overline{
\mathsf {t}}
\}
\}
 \mathrel{\in} \underline{
\mathsf {r}}
\Rightarrow \{\{\overline{
\mathsf {t}}
,\overline{
\mathsf {t}}
\}
,\{\overline{
\mathsf {t}}
,\overline{
\mathsf {s}}
\}
\}
 \mathrel{\in} \underline{
\mathsf {r}}
\Rightarrow \dot{\neg}\, 
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {s}}
\colon 
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {t}}
\colon 
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {u}}
\colon \overline{
\mathsf {s}}
 \mathrel{\in} \underline{\mathsf {bs}}
\Rightarrow \overline{
\mathsf {t}}
 \mathrel{\in} \underline{\mathsf {bs}}
\Rightarrow \overline{
\mathsf {u}}
 \mathrel{\in} \underline{\mathsf {bs}}
\Rightarrow \{\{\overline{
\mathsf {s}}
,\overline{
\mathsf {s}}
\}
,\{\overline{
\mathsf {s}}
,\overline{
\mathsf {t}}
\}
\}
 \mathrel{\in} \underline{
\mathsf {r}}
\Rightarrow \{\{\overline{
\mathsf {t}}
,\overline{
\mathsf {t}}
\}
,\{\overline{
\mathsf {t}}
,\overline{
\mathsf {u}}
\}
\}
 \mathrel{\in} \underline{
\mathsf {r}}
\Rightarrow \{\{\overline{
\mathsf {s}}
,\overline{
\mathsf {s}}
\}
,\{\overline{
\mathsf {s}}
,\overline{
\mathsf {u}}
\}
\}
 \mathrel{\in} \underline{
\mathsf {r}}
; FirstConjunct
\rhd \dot{\neg}\, \dot{\neg}\, 
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {s}}
\colon \overline{
\mathsf {s}}
 \mathrel{\in} \underline{\mathsf {bs}}
\Rightarrow \{\{\overline{
\mathsf {s}}
,\overline{
\mathsf {s}}
\}
,\{\overline{
\mathsf {s}}
,\overline{
\mathsf {s}}
\}
\}
 \mathrel{\in} \underline{
\mathsf {r}}
\Rightarrow \dot{\neg}\, 
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {s}}
\colon 
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {t}}
\colon \overline{
\mathsf {s}}
 \mathrel{\in} \underline{\mathsf {bs}}
\Rightarrow \overline{
\mathsf {t}}
 \mathrel{\in} \underline{\mathsf {bs}}
\Rightarrow \{\{\overline{
\mathsf {s}}
,\overline{
\mathsf {s}}
\}
,\{\overline{
\mathsf {s}}
,\overline{
\mathsf {t}}
\}
\}
 \mathrel{\in} \underline{
\mathsf {r}}
\Rightarrow \{\{\overline{
\mathsf {t}}
,\overline{
\mathsf {t}}
\}
,\{\overline{
\mathsf {t}}
,\overline{
\mathsf {s}}
\}
\}
 \mathrel{\in} \underline{
\mathsf {r}}
\Rightarrow \dot{\neg}\, 
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {s}}
\colon 
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {t}}
\colon 
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {u}}
\colon \overline{
\mathsf {s}}
 \mathrel{\in} \underline{\mathsf {bs}}
\Rightarrow \overline{
\mathsf {t}}
 \mathrel{\in} \underline{\mathsf {bs}}
\Rightarrow \overline{
\mathsf {u}}
 \mathrel{\in} \underline{\mathsf {bs}}
\Rightarrow \{\{\overline{
\mathsf {s}}
,\overline{
\mathsf {s}}
\}
,\{\overline{
\mathsf {s}}
,\overline{
\mathsf {t}}
\}
\}
 \mathrel{\in} \underline{
\mathsf {r}}
\Rightarrow \{\{\overline{
\mathsf {t}}
,\overline{
\mathsf {t}}
\}
,\{\overline{
\mathsf {t}}
,\overline{
\mathsf {u}}
\}
\}
 \mathrel{\in} \underline{
\mathsf {r}}
\Rightarrow \{\{\overline{
\mathsf {s}}
,\overline{
\mathsf {s}}
\}
,\{\overline{
\mathsf {s}}
,\overline{
\mathsf {u}}
\}
\}
 \mathrel{\in} \underline{
\mathsf {r}}
\gg \dot{\neg}\, 
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {s}}
\colon \overline{
\mathsf {s}}
 \mathrel{\in} \underline{\mathsf {bs}}
\Rightarrow \{\{\overline{
\mathsf {s}}
,\overline{
\mathsf {s}}
\}
,\{\overline{
\mathsf {s}}
,\overline{
\mathsf {s}}
\}
\}
 \mathrel{\in} \underline{
\mathsf {r}}
\Rightarrow \dot{\neg}\, 
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {s}}
\colon 
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {t}}
\colon \overline{
\mathsf {s}}
 \mathrel{\in} \underline{\mathsf {bs}}
\Rightarrow \overline{
\mathsf {t}}
 \mathrel{\in} \underline{\mathsf {bs}}
\Rightarrow \{\{\overline{
\mathsf {s}}
,\overline{
\mathsf {s}}
\}
,\{\overline{
\mathsf {s}}
,\overline{
\mathsf {t}}
\}
\}
 \mathrel{\in} \underline{
\mathsf {r}}
\Rightarrow \{\{\overline{
\mathsf {t}}
,\overline{
\mathsf {t}}
\}
,\{\overline{
\mathsf {t}}
,\overline{
\mathsf {s}}
\}
\}
 \mathrel{\in} \underline{
\mathsf {r}}
; FirstConjunct
\rhd \dot{\neg}\, 
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {s}}
\colon \overline{
\mathsf {s}}
 \mathrel{\in} \underline{\mathsf {bs}}
\Rightarrow \{\{\overline{
\mathsf {s}}
,\overline{
\mathsf {s}}
\}
,\{\overline{
\mathsf {s}}
,\overline{
\mathsf {s}}
\}
\}
 \mathrel{\in} \underline{
\mathsf {r}}
\Rightarrow \dot{\neg}\, 
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {s}}
\colon 
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {t}}
\colon \overline{
\mathsf {s}}
 \mathrel{\in} \underline{\mathsf {bs}}
\Rightarrow \overline{
\mathsf {t}}
 \mathrel{\in} \underline{\mathsf {bs}}
\Rightarrow \{\{\overline{
\mathsf {s}}
,\overline{
\mathsf {s}}
\}
,\{\overline{
\mathsf {s}}
,\overline{
\mathsf {t}}
\}
\}
 \mathrel{\in} \underline{
\mathsf {r}}
\Rightarrow \{\{\overline{
\mathsf {t}}
,\overline{
\mathsf {t}}
\}
,\{\overline{
\mathsf {t}}
,\overline{
\mathsf {s}}
\}
\}
 \mathrel{\in} \underline{
\mathsf {r}}
\gg 
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {s}}
\colon \overline{
\mathsf {s}}
 \mathrel{\in} \underline{\mathsf {bs}}
\Rightarrow \{\{\overline{
\mathsf {s}}
,\overline{
\mathsf {s}}
\}
,\{\overline{
\mathsf {s}}
,\overline{
\mathsf {s}}
\}
\}
 \mathrel{\in} \underline{
\mathsf {r}}
\rceil 
, 
p_0
, 
\mathsf {c}
)
]$

$\rm
[ERisReflexive
\stackrel{
stmt
}{\rightarrow}ZFsub
\vdash 
\forall \underline{
\mathsf {r}}
\colon \dot{\neg}\, \dot{\neg}\, 
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {s}}
\colon \overline{
\mathsf {s}}
 \mathrel{\in} \underline{\mathsf {bs}}
\Rightarrow \{\{\overline{
\mathsf {s}}
,\overline{
\mathsf {s}}
\}
,\{\overline{
\mathsf {s}}
,\overline{
\mathsf {s}}
\}
\}
 \mathrel{\in} \underline{
\mathsf {r}}
\Rightarrow \dot{\neg}\, 
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {s}}
\colon 
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {t}}
\colon \overline{
\mathsf {s}}
 \mathrel{\in} \underline{\mathsf {bs}}
\Rightarrow \overline{
\mathsf {t}}
 \mathrel{\in} \underline{\mathsf {bs}}
\Rightarrow \{\{\overline{
\mathsf {s}}
,\overline{
\mathsf {s}}
\}
,\{\overline{
\mathsf {s}}
,\overline{
\mathsf {t}}
\}
\}
 \mathrel{\in} \underline{
\mathsf {r}}
\Rightarrow \{\{\overline{
\mathsf {t}}
,\overline{
\mathsf {t}}
\}
,\{\overline{
\mathsf {t}}
,\overline{
\mathsf {s}}
\}
\}
 \mathrel{\in} \underline{
\mathsf {r}}
\Rightarrow \dot{\neg}\, 
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {s}}
\colon 
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {t}}
\colon 
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {u}}
\colon \overline{
\mathsf {s}}
 \mathrel{\in} \underline{\mathsf {bs}}
\Rightarrow \overline{
\mathsf {t}}
 \mathrel{\in} \underline{\mathsf {bs}}
\Rightarrow \overline{
\mathsf {u}}
 \mathrel{\in} \underline{\mathsf {bs}}
\Rightarrow \{\{\overline{
\mathsf {s}}
,\overline{
\mathsf {s}}
\}
,\{\overline{
\mathsf {s}}
,\overline{
\mathsf {t}}
\}
\}
 \mathrel{\in} \underline{
\mathsf {r}}
\Rightarrow \{\{\overline{
\mathsf {t}}
,\overline{
\mathsf {t}}
\}
,\{\overline{
\mathsf {t}}
,\overline{
\mathsf {u}}
\}
\}
 \mathrel{\in} \underline{
\mathsf {r}}
\Rightarrow \{\{\overline{
\mathsf {s}}
,\overline{
\mathsf {s}}
\}
,\{\overline{
\mathsf {s}}
,\overline{
\mathsf {u}}
\}
\}
 \mathrel{\in} \underline{
\mathsf {r}}
\vdash 
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {s}}
\colon \overline{
\mathsf {s}}
 \mathrel{\in} \underline{\mathsf {bs}}
\Rightarrow \{\{\overline{
\mathsf {s}}
,\overline{
\mathsf {s}}
\}
,\{\overline{
\mathsf {s}}
,\overline{
\mathsf {s}}
\}
\}
 \mathrel{\in} \underline{
\mathsf {r}}
]$

$\rm
[ERisReflexive
\stackrel{
\mathrm{tex}
}{\rightarrow}
\mbox{``}ERisReflexive
\mbox{''}
]$

$\rm
[ERisReflexive
\stackrel{
\mathrm{pyk}
}{\rightarrow}
\mbox{``}lemma
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}er
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}is
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}reflexive
\mbox{''}
]$

\hypertarget {url:1808490560655876194608813785663292462486349118665588524157069396079556865:109}{}\section* {$\rm ERisSymmetric$}

$\rm
[ERisSymmetric
\stackrel{
proof
}{\rightarrow}
\lambda 
\mathsf {c}
.
\lambda 
\mathsf{x}
.
{\cal P}( 
\lceil ZFsub
\vdash 
\forall \underline{
\mathsf {r}}
\colon \dot{\neg}\, \dot{\neg}\, 
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {s}}
\colon \overline{
\mathsf {s}}
 \mathrel{\in} \underline{\mathsf {bs}}
\Rightarrow \{\{\overline{
\mathsf {s}}
,\overline{
\mathsf {s}}
\}
,\{\overline{
\mathsf {s}}
,\overline{
\mathsf {s}}
\}
\}
 \mathrel{\in} \underline{
\mathsf {r}}
\Rightarrow \dot{\neg}\, 
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {s}}
\colon 
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {t}}
\colon \overline{
\mathsf {s}}
 \mathrel{\in} \underline{\mathsf {bs}}
\Rightarrow \overline{
\mathsf {t}}
 \mathrel{\in} \underline{\mathsf {bs}}
\Rightarrow \{\{\overline{
\mathsf {s}}
,\overline{
\mathsf {s}}
\}
,\{\overline{
\mathsf {s}}
,\overline{
\mathsf {t}}
\}
\}
 \mathrel{\in} \underline{
\mathsf {r}}
\Rightarrow \{\{\overline{
\mathsf {t}}
,\overline{
\mathsf {t}}
\}
,\{\overline{
\mathsf {t}}
,\overline{
\mathsf {s}}
\}
\}
 \mathrel{\in} \underline{
\mathsf {r}}
\Rightarrow \dot{\neg}\, 
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {s}}
\colon 
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {t}}
\colon 
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {u}}
\colon \overline{
\mathsf {s}}
 \mathrel{\in} \underline{\mathsf {bs}}
\Rightarrow \overline{
\mathsf {t}}
 \mathrel{\in} \underline{\mathsf {bs}}
\Rightarrow \overline{
\mathsf {u}}
 \mathrel{\in} \underline{\mathsf {bs}}
\Rightarrow \{\{\overline{
\mathsf {s}}
,\overline{
\mathsf {s}}
\}
,\{\overline{
\mathsf {s}}
,\overline{
\mathsf {t}}
\}
\}
 \mathrel{\in} \underline{
\mathsf {r}}
\Rightarrow \{\{\overline{
\mathsf {t}}
,\overline{
\mathsf {t}}
\}
,\{\overline{
\mathsf {t}}
,\overline{
\mathsf {u}}
\}
\}
 \mathrel{\in} \underline{
\mathsf {r}}
\Rightarrow \{\{\overline{
\mathsf {s}}
,\overline{
\mathsf {s}}
\}
,\{\overline{
\mathsf {s}}
,\overline{
\mathsf {u}}
\}
\}
 \mathrel{\in} \underline{
\mathsf {r}}
\vdash Repetition
\rhd \dot{\neg}\, \dot{\neg}\, 
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {s}}
\colon \overline{
\mathsf {s}}
 \mathrel{\in} \underline{\mathsf {bs}}
\Rightarrow \{\{\overline{
\mathsf {s}}
,\overline{
\mathsf {s}}
\}
,\{\overline{
\mathsf {s}}
,\overline{
\mathsf {s}}
\}
\}
 \mathrel{\in} \underline{
\mathsf {r}}
\Rightarrow \dot{\neg}\, 
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {s}}
\colon 
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {t}}
\colon \overline{
\mathsf {s}}
 \mathrel{\in} \underline{\mathsf {bs}}
\Rightarrow \overline{
\mathsf {t}}
 \mathrel{\in} \underline{\mathsf {bs}}
\Rightarrow \{\{\overline{
\mathsf {s}}
,\overline{
\mathsf {s}}
\}
,\{\overline{
\mathsf {s}}
,\overline{
\mathsf {t}}
\}
\}
 \mathrel{\in} \underline{
\mathsf {r}}
\Rightarrow \{\{\overline{
\mathsf {t}}
,\overline{
\mathsf {t}}
\}
,\{\overline{
\mathsf {t}}
,\overline{
\mathsf {s}}
\}
\}
 \mathrel{\in} \underline{
\mathsf {r}}
\Rightarrow \dot{\neg}\, 
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {s}}
\colon 
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {t}}
\colon 
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {u}}
\colon \overline{
\mathsf {s}}
 \mathrel{\in} \underline{\mathsf {bs}}
\Rightarrow \overline{
\mathsf {t}}
 \mathrel{\in} \underline{\mathsf {bs}}
\Rightarrow \overline{
\mathsf {u}}
 \mathrel{\in} \underline{\mathsf {bs}}
\Rightarrow \{\{\overline{
\mathsf {s}}
,\overline{
\mathsf {s}}
\}
,\{\overline{
\mathsf {s}}
,\overline{
\mathsf {t}}
\}
\}
 \mathrel{\in} \underline{
\mathsf {r}}
\Rightarrow \{\{\overline{
\mathsf {t}}
,\overline{
\mathsf {t}}
\}
,\{\overline{
\mathsf {t}}
,\overline{
\mathsf {u}}
\}
\}
 \mathrel{\in} \underline{
\mathsf {r}}
\Rightarrow \{\{\overline{
\mathsf {s}}
,\overline{
\mathsf {s}}
\}
,\{\overline{
\mathsf {s}}
,\overline{
\mathsf {u}}
\}
\}
 \mathrel{\in} \underline{
\mathsf {r}}
\gg \dot{\neg}\, \dot{\neg}\, 
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {s}}
\colon \overline{
\mathsf {s}}
 \mathrel{\in} \underline{\mathsf {bs}}
\Rightarrow \{\{\overline{
\mathsf {s}}
,\overline{
\mathsf {s}}
\}
,\{\overline{
\mathsf {s}}
,\overline{
\mathsf {s}}
\}
\}
 \mathrel{\in} \underline{
\mathsf {r}}
\Rightarrow \dot{\neg}\, 
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {s}}
\colon 
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {t}}
\colon \overline{
\mathsf {s}}
 \mathrel{\in} \underline{\mathsf {bs}}
\Rightarrow \overline{
\mathsf {t}}
 \mathrel{\in} \underline{\mathsf {bs}}
\Rightarrow \{\{\overline{
\mathsf {s}}
,\overline{
\mathsf {s}}
\}
,\{\overline{
\mathsf {s}}
,\overline{
\mathsf {t}}
\}
\}
 \mathrel{\in} \underline{
\mathsf {r}}
\Rightarrow \{\{\overline{
\mathsf {t}}
,\overline{
\mathsf {t}}
\}
,\{\overline{
\mathsf {t}}
,\overline{
\mathsf {s}}
\}
\}
 \mathrel{\in} \underline{
\mathsf {r}}
\Rightarrow \dot{\neg}\, 
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {s}}
\colon 
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {t}}
\colon 
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {u}}
\colon \overline{
\mathsf {s}}
 \mathrel{\in} \underline{\mathsf {bs}}
\Rightarrow \overline{
\mathsf {t}}
 \mathrel{\in} \underline{\mathsf {bs}}
\Rightarrow \overline{
\mathsf {u}}
 \mathrel{\in} \underline{\mathsf {bs}}
\Rightarrow \{\{\overline{
\mathsf {s}}
,\overline{
\mathsf {s}}
\}
,\{\overline{
\mathsf {s}}
,\overline{
\mathsf {t}}
\}
\}
 \mathrel{\in} \underline{
\mathsf {r}}
\Rightarrow \{\{\overline{
\mathsf {t}}
,\overline{
\mathsf {t}}
\}
,\{\overline{
\mathsf {t}}
,\overline{
\mathsf {u}}
\}
\}
 \mathrel{\in} \underline{
\mathsf {r}}
\Rightarrow \{\{\overline{
\mathsf {s}}
,\overline{
\mathsf {s}}
\}
,\{\overline{
\mathsf {s}}
,\overline{
\mathsf {u}}
\}
\}
 \mathrel{\in} \underline{
\mathsf {r}}
; FirstConjunct
\rhd \dot{\neg}\, \dot{\neg}\, 
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {s}}
\colon \overline{
\mathsf {s}}
 \mathrel{\in} \underline{\mathsf {bs}}
\Rightarrow \{\{\overline{
\mathsf {s}}
,\overline{
\mathsf {s}}
\}
,\{\overline{
\mathsf {s}}
,\overline{
\mathsf {s}}
\}
\}
 \mathrel{\in} \underline{
\mathsf {r}}
\Rightarrow \dot{\neg}\, 
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {s}}
\colon 
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {t}}
\colon \overline{
\mathsf {s}}
 \mathrel{\in} \underline{\mathsf {bs}}
\Rightarrow \overline{
\mathsf {t}}
 \mathrel{\in} \underline{\mathsf {bs}}
\Rightarrow \{\{\overline{
\mathsf {s}}
,\overline{
\mathsf {s}}
\}
,\{\overline{
\mathsf {s}}
,\overline{
\mathsf {t}}
\}
\}
 \mathrel{\in} \underline{
\mathsf {r}}
\Rightarrow \{\{\overline{
\mathsf {t}}
,\overline{
\mathsf {t}}
\}
,\{\overline{
\mathsf {t}}
,\overline{
\mathsf {s}}
\}
\}
 \mathrel{\in} \underline{
\mathsf {r}}
\Rightarrow \dot{\neg}\, 
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {s}}
\colon 
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {t}}
\colon 
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {u}}
\colon \overline{
\mathsf {s}}
 \mathrel{\in} \underline{\mathsf {bs}}
\Rightarrow \overline{
\mathsf {t}}
 \mathrel{\in} \underline{\mathsf {bs}}
\Rightarrow \overline{
\mathsf {u}}
 \mathrel{\in} \underline{\mathsf {bs}}
\Rightarrow \{\{\overline{
\mathsf {s}}
,\overline{
\mathsf {s}}
\}
,\{\overline{
\mathsf {s}}
,\overline{
\mathsf {t}}
\}
\}
 \mathrel{\in} \underline{
\mathsf {r}}
\Rightarrow \{\{\overline{
\mathsf {t}}
,\overline{
\mathsf {t}}
\}
,\{\overline{
\mathsf {t}}
,\overline{
\mathsf {u}}
\}
\}
 \mathrel{\in} \underline{
\mathsf {r}}
\Rightarrow \{\{\overline{
\mathsf {s}}
,\overline{
\mathsf {s}}
\}
,\{\overline{
\mathsf {s}}
,\overline{
\mathsf {u}}
\}
\}
 \mathrel{\in} \underline{
\mathsf {r}}
\gg \dot{\neg}\, 
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {s}}
\colon \overline{
\mathsf {s}}
 \mathrel{\in} \underline{\mathsf {bs}}
\Rightarrow \{\{\overline{
\mathsf {s}}
,\overline{
\mathsf {s}}
\}
,\{\overline{
\mathsf {s}}
,\overline{
\mathsf {s}}
\}
\}
 \mathrel{\in} \underline{
\mathsf {r}}
\Rightarrow \dot{\neg}\, 
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {s}}
\colon 
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {t}}
\colon \overline{
\mathsf {s}}
 \mathrel{\in} \underline{\mathsf {bs}}
\Rightarrow \overline{
\mathsf {t}}
 \mathrel{\in} \underline{\mathsf {bs}}
\Rightarrow \{\{\overline{
\mathsf {s}}
,\overline{
\mathsf {s}}
\}
,\{\overline{
\mathsf {s}}
,\overline{
\mathsf {t}}
\}
\}
 \mathrel{\in} \underline{
\mathsf {r}}
\Rightarrow \{\{\overline{
\mathsf {t}}
,\overline{
\mathsf {t}}
\}
,\{\overline{
\mathsf {t}}
,\overline{
\mathsf {s}}
\}
\}
 \mathrel{\in} \underline{
\mathsf {r}}
; SecondConjunct
\rhd \dot{\neg}\, 
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {s}}
\colon \overline{
\mathsf {s}}
 \mathrel{\in} \underline{\mathsf {bs}}
\Rightarrow \{\{\overline{
\mathsf {s}}
,\overline{
\mathsf {s}}
\}
,\{\overline{
\mathsf {s}}
,\overline{
\mathsf {s}}
\}
\}
 \mathrel{\in} \underline{
\mathsf {r}}
\Rightarrow \dot{\neg}\, 
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {s}}
\colon 
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {t}}
\colon \overline{
\mathsf {s}}
 \mathrel{\in} \underline{\mathsf {bs}}
\Rightarrow \overline{
\mathsf {t}}
 \mathrel{\in} \underline{\mathsf {bs}}
\Rightarrow \{\{\overline{
\mathsf {s}}
,\overline{
\mathsf {s}}
\}
,\{\overline{
\mathsf {s}}
,\overline{
\mathsf {t}}
\}
\}
 \mathrel{\in} \underline{
\mathsf {r}}
\Rightarrow \{\{\overline{
\mathsf {t}}
,\overline{
\mathsf {t}}
\}
,\{\overline{
\mathsf {t}}
,\overline{
\mathsf {s}}
\}
\}
 \mathrel{\in} \underline{
\mathsf {r}}
\gg 
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {s}}
\colon 
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {t}}
\colon \overline{
\mathsf {s}}
 \mathrel{\in} \underline{\mathsf {bs}}
\Rightarrow \overline{
\mathsf {t}}
 \mathrel{\in} \underline{\mathsf {bs}}
\Rightarrow \{\{\overline{
\mathsf {s}}
,\overline{
\mathsf {s}}
\}
,\{\overline{
\mathsf {s}}
,\overline{
\mathsf {t}}
\}
\}
 \mathrel{\in} \underline{
\mathsf {r}}
\Rightarrow \{\{\overline{
\mathsf {t}}
,\overline{
\mathsf {t}}
\}
,\{\overline{
\mathsf {t}}
,\overline{
\mathsf {s}}
\}
\}
 \mathrel{\in} \underline{
\mathsf {r}}
\rceil 
, 
p_0
, 
\mathsf {c}
)
]$

$\rm
[ERisSymmetric
\stackrel{
stmt
}{\rightarrow}ZFsub
\vdash 
\forall \underline{
\mathsf {r}}
\colon \dot{\neg}\, \dot{\neg}\, 
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {s}}
\colon \overline{
\mathsf {s}}
 \mathrel{\in} \underline{\mathsf {bs}}
\Rightarrow \{\{\overline{
\mathsf {s}}
,\overline{
\mathsf {s}}
\}
,\{\overline{
\mathsf {s}}
,\overline{
\mathsf {s}}
\}
\}
 \mathrel{\in} \underline{
\mathsf {r}}
\Rightarrow \dot{\neg}\, 
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {s}}
\colon 
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {t}}
\colon \overline{
\mathsf {s}}
 \mathrel{\in} \underline{\mathsf {bs}}
\Rightarrow \overline{
\mathsf {t}}
 \mathrel{\in} \underline{\mathsf {bs}}
\Rightarrow \{\{\overline{
\mathsf {s}}
,\overline{
\mathsf {s}}
\}
,\{\overline{
\mathsf {s}}
,\overline{
\mathsf {t}}
\}
\}
 \mathrel{\in} \underline{
\mathsf {r}}
\Rightarrow \{\{\overline{
\mathsf {t}}
,\overline{
\mathsf {t}}
\}
,\{\overline{
\mathsf {t}}
,\overline{
\mathsf {s}}
\}
\}
 \mathrel{\in} \underline{
\mathsf {r}}
\Rightarrow \dot{\neg}\, 
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {s}}
\colon 
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {t}}
\colon 
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {u}}
\colon \overline{
\mathsf {s}}
 \mathrel{\in} \underline{\mathsf {bs}}
\Rightarrow \overline{
\mathsf {t}}
 \mathrel{\in} \underline{\mathsf {bs}}
\Rightarrow \overline{
\mathsf {u}}
 \mathrel{\in} \underline{\mathsf {bs}}
\Rightarrow \{\{\overline{
\mathsf {s}}
,\overline{
\mathsf {s}}
\}
,\{\overline{
\mathsf {s}}
,\overline{
\mathsf {t}}
\}
\}
 \mathrel{\in} \underline{
\mathsf {r}}
\Rightarrow \{\{\overline{
\mathsf {t}}
,\overline{
\mathsf {t}}
\}
,\{\overline{
\mathsf {t}}
,\overline{
\mathsf {u}}
\}
\}
 \mathrel{\in} \underline{
\mathsf {r}}
\Rightarrow \{\{\overline{
\mathsf {s}}
,\overline{
\mathsf {s}}
\}
,\{\overline{
\mathsf {s}}
,\overline{
\mathsf {u}}
\}
\}
 \mathrel{\in} \underline{
\mathsf {r}}
\vdash 
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {s}}
\colon 
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {t}}
\colon \overline{
\mathsf {s}}
 \mathrel{\in} \underline{\mathsf {bs}}
\Rightarrow \overline{
\mathsf {t}}
 \mathrel{\in} \underline{\mathsf {bs}}
\Rightarrow \{\{\overline{
\mathsf {s}}
,\overline{
\mathsf {s}}
\}
,\{\overline{
\mathsf {s}}
,\overline{
\mathsf {t}}
\}
\}
 \mathrel{\in} \underline{
\mathsf {r}}
\Rightarrow \{\{\overline{
\mathsf {t}}
,\overline{
\mathsf {t}}
\}
,\{\overline{
\mathsf {t}}
,\overline{
\mathsf {s}}
\}
\}
 \mathrel{\in} \underline{
\mathsf {r}}
]$

$\rm
[ERisSymmetric
\stackrel{
\mathrm{tex}
}{\rightarrow}
\mbox{``}ERisSymmetric
\mbox{''}
]$

$\rm
[ERisSymmetric
\stackrel{
\mathrm{pyk}
}{\rightarrow}
\mbox{``}lemma
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}er
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}is
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}symmetric
\mbox{''}
]$

\hypertarget {url:1808490560655876194608813785663292462486349118665588524157069396079556865:110}{}\section* {$\rm ERisTransitive$}

$\rm
[ERisTransitive
\stackrel{
proof
}{\rightarrow}
\lambda 
\mathsf {c}
.
\lambda 
\mathsf{x}
.
{\cal P}( 
\lceil ZFsub
\vdash 
\forall \underline{
\mathsf {r}}
\colon \dot{\neg}\, \dot{\neg}\, 
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {s}}
\colon \overline{
\mathsf {s}}
 \mathrel{\in} \underline{\mathsf {bs}}
\Rightarrow \{\{\overline{
\mathsf {s}}
,\overline{
\mathsf {s}}
\}
,\{\overline{
\mathsf {s}}
,\overline{
\mathsf {s}}
\}
\}
 \mathrel{\in} \underline{
\mathsf {r}}
\Rightarrow \dot{\neg}\, 
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {s}}
\colon 
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {t}}
\colon \overline{
\mathsf {s}}
 \mathrel{\in} \underline{\mathsf {bs}}
\Rightarrow \overline{
\mathsf {t}}
 \mathrel{\in} \underline{\mathsf {bs}}
\Rightarrow \{\{\overline{
\mathsf {s}}
,\overline{
\mathsf {s}}
\}
,\{\overline{
\mathsf {s}}
,\overline{
\mathsf {t}}
\}
\}
 \mathrel{\in} \underline{
\mathsf {r}}
\Rightarrow \{\{\overline{
\mathsf {t}}
,\overline{
\mathsf {t}}
\}
,\{\overline{
\mathsf {t}}
,\overline{
\mathsf {s}}
\}
\}
 \mathrel{\in} \underline{
\mathsf {r}}
\Rightarrow \dot{\neg}\, 
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {s}}
\colon 
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {t}}
\colon 
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {u}}
\colon \overline{
\mathsf {s}}
 \mathrel{\in} \underline{\mathsf {bs}}
\Rightarrow \overline{
\mathsf {t}}
 \mathrel{\in} \underline{\mathsf {bs}}
\Rightarrow \overline{
\mathsf {u}}
 \mathrel{\in} \underline{\mathsf {bs}}
\Rightarrow \{\{\overline{
\mathsf {s}}
,\overline{
\mathsf {s}}
\}
,\{\overline{
\mathsf {s}}
,\overline{
\mathsf {t}}
\}
\}
 \mathrel{\in} \underline{
\mathsf {r}}
\Rightarrow \{\{\overline{
\mathsf {t}}
,\overline{
\mathsf {t}}
\}
,\{\overline{
\mathsf {t}}
,\overline{
\mathsf {u}}
\}
\}
 \mathrel{\in} \underline{
\mathsf {r}}
\Rightarrow \{\{\overline{
\mathsf {s}}
,\overline{
\mathsf {s}}
\}
,\{\overline{
\mathsf {s}}
,\overline{
\mathsf {u}}
\}
\}
 \mathrel{\in} \underline{
\mathsf {r}}
\vdash Repetition
\rhd \dot{\neg}\, \dot{\neg}\, 
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {s}}
\colon \overline{
\mathsf {s}}
 \mathrel{\in} \underline{\mathsf {bs}}
\Rightarrow \{\{\overline{
\mathsf {s}}
,\overline{
\mathsf {s}}
\}
,\{\overline{
\mathsf {s}}
,\overline{
\mathsf {s}}
\}
\}
 \mathrel{\in} \underline{
\mathsf {r}}
\Rightarrow \dot{\neg}\, 
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {s}}
\colon 
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {t}}
\colon \overline{
\mathsf {s}}
 \mathrel{\in} \underline{\mathsf {bs}}
\Rightarrow \overline{
\mathsf {t}}
 \mathrel{\in} \underline{\mathsf {bs}}
\Rightarrow \{\{\overline{
\mathsf {s}}
,\overline{
\mathsf {s}}
\}
,\{\overline{
\mathsf {s}}
,\overline{
\mathsf {t}}
\}
\}
 \mathrel{\in} \underline{
\mathsf {r}}
\Rightarrow \{\{\overline{
\mathsf {t}}
,\overline{
\mathsf {t}}
\}
,\{\overline{
\mathsf {t}}
,\overline{
\mathsf {s}}
\}
\}
 \mathrel{\in} \underline{
\mathsf {r}}
\Rightarrow \dot{\neg}\, 
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {s}}
\colon 
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {t}}
\colon 
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {u}}
\colon \overline{
\mathsf {s}}
 \mathrel{\in} \underline{\mathsf {bs}}
\Rightarrow \overline{
\mathsf {t}}
 \mathrel{\in} \underline{\mathsf {bs}}
\Rightarrow \overline{
\mathsf {u}}
 \mathrel{\in} \underline{\mathsf {bs}}
\Rightarrow \{\{\overline{
\mathsf {s}}
,\overline{
\mathsf {s}}
\}
,\{\overline{
\mathsf {s}}
,\overline{
\mathsf {t}}
\}
\}
 \mathrel{\in} \underline{
\mathsf {r}}
\Rightarrow \{\{\overline{
\mathsf {t}}
,\overline{
\mathsf {t}}
\}
,\{\overline{
\mathsf {t}}
,\overline{
\mathsf {u}}
\}
\}
 \mathrel{\in} \underline{
\mathsf {r}}
\Rightarrow \{\{\overline{
\mathsf {s}}
,\overline{
\mathsf {s}}
\}
,\{\overline{
\mathsf {s}}
,\overline{
\mathsf {u}}
\}
\}
 \mathrel{\in} \underline{
\mathsf {r}}
\gg \dot{\neg}\, \dot{\neg}\, 
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {s}}
\colon \overline{
\mathsf {s}}
 \mathrel{\in} \underline{\mathsf {bs}}
\Rightarrow \{\{\overline{
\mathsf {s}}
,\overline{
\mathsf {s}}
\}
,\{\overline{
\mathsf {s}}
,\overline{
\mathsf {s}}
\}
\}
 \mathrel{\in} \underline{
\mathsf {r}}
\Rightarrow \dot{\neg}\, 
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {s}}
\colon 
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {t}}
\colon \overline{
\mathsf {s}}
 \mathrel{\in} \underline{\mathsf {bs}}
\Rightarrow \overline{
\mathsf {t}}
 \mathrel{\in} \underline{\mathsf {bs}}
\Rightarrow \{\{\overline{
\mathsf {s}}
,\overline{
\mathsf {s}}
\}
,\{\overline{
\mathsf {s}}
,\overline{
\mathsf {t}}
\}
\}
 \mathrel{\in} \underline{
\mathsf {r}}
\Rightarrow \{\{\overline{
\mathsf {t}}
,\overline{
\mathsf {t}}
\}
,\{\overline{
\mathsf {t}}
,\overline{
\mathsf {s}}
\}
\}
 \mathrel{\in} \underline{
\mathsf {r}}
\Rightarrow \dot{\neg}\, 
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {s}}
\colon 
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {t}}
\colon 
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {u}}
\colon \overline{
\mathsf {s}}
 \mathrel{\in} \underline{\mathsf {bs}}
\Rightarrow \overline{
\mathsf {t}}
 \mathrel{\in} \underline{\mathsf {bs}}
\Rightarrow \overline{
\mathsf {u}}
 \mathrel{\in} \underline{\mathsf {bs}}
\Rightarrow \{\{\overline{
\mathsf {s}}
,\overline{
\mathsf {s}}
\}
,\{\overline{
\mathsf {s}}
,\overline{
\mathsf {t}}
\}
\}
 \mathrel{\in} \underline{
\mathsf {r}}
\Rightarrow \{\{\overline{
\mathsf {t}}
,\overline{
\mathsf {t}}
\}
,\{\overline{
\mathsf {t}}
,\overline{
\mathsf {u}}
\}
\}
 \mathrel{\in} \underline{
\mathsf {r}}
\Rightarrow \{\{\overline{
\mathsf {s}}
,\overline{
\mathsf {s}}
\}
,\{\overline{
\mathsf {s}}
,\overline{
\mathsf {u}}
\}
\}
 \mathrel{\in} \underline{
\mathsf {r}}
; SecondConjunct
\rhd \dot{\neg}\, \dot{\neg}\, 
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {s}}
\colon \overline{
\mathsf {s}}
 \mathrel{\in} \underline{\mathsf {bs}}
\Rightarrow \{\{\overline{
\mathsf {s}}
,\overline{
\mathsf {s}}
\}
,\{\overline{
\mathsf {s}}
,\overline{
\mathsf {s}}
\}
\}
 \mathrel{\in} \underline{
\mathsf {r}}
\Rightarrow \dot{\neg}\, 
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {s}}
\colon 
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {t}}
\colon \overline{
\mathsf {s}}
 \mathrel{\in} \underline{\mathsf {bs}}
\Rightarrow \overline{
\mathsf {t}}
 \mathrel{\in} \underline{\mathsf {bs}}
\Rightarrow \{\{\overline{
\mathsf {s}}
,\overline{
\mathsf {s}}
\}
,\{\overline{
\mathsf {s}}
,\overline{
\mathsf {t}}
\}
\}
 \mathrel{\in} \underline{
\mathsf {r}}
\Rightarrow \{\{\overline{
\mathsf {t}}
,\overline{
\mathsf {t}}
\}
,\{\overline{
\mathsf {t}}
,\overline{
\mathsf {s}}
\}
\}
 \mathrel{\in} \underline{
\mathsf {r}}
\Rightarrow \dot{\neg}\, 
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {s}}
\colon 
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {t}}
\colon 
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {u}}
\colon \overline{
\mathsf {s}}
 \mathrel{\in} \underline{\mathsf {bs}}
\Rightarrow \overline{
\mathsf {t}}
 \mathrel{\in} \underline{\mathsf {bs}}
\Rightarrow \overline{
\mathsf {u}}
 \mathrel{\in} \underline{\mathsf {bs}}
\Rightarrow \{\{\overline{
\mathsf {s}}
,\overline{
\mathsf {s}}
\}
,\{\overline{
\mathsf {s}}
,\overline{
\mathsf {t}}
\}
\}
 \mathrel{\in} \underline{
\mathsf {r}}
\Rightarrow \{\{\overline{
\mathsf {t}}
,\overline{
\mathsf {t}}
\}
,\{\overline{
\mathsf {t}}
,\overline{
\mathsf {u}}
\}
\}
 \mathrel{\in} \underline{
\mathsf {r}}
\Rightarrow \{\{\overline{
\mathsf {s}}
,\overline{
\mathsf {s}}
\}
,\{\overline{
\mathsf {s}}
,\overline{
\mathsf {u}}
\}
\}
 \mathrel{\in} \underline{
\mathsf {r}}
\gg 
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {s}}
\colon 
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {t}}
\colon 
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {u}}
\colon \overline{
\mathsf {s}}
 \mathrel{\in} \underline{\mathsf {bs}}
\Rightarrow \overline{
\mathsf {t}}
 \mathrel{\in} \underline{\mathsf {bs}}
\Rightarrow \overline{
\mathsf {u}}
 \mathrel{\in} \underline{\mathsf {bs}}
\Rightarrow \{\{\overline{
\mathsf {s}}
,\overline{
\mathsf {s}}
\}
,\{\overline{
\mathsf {s}}
,\overline{
\mathsf {t}}
\}
\}
 \mathrel{\in} \underline{
\mathsf {r}}
\Rightarrow \{\{\overline{
\mathsf {t}}
,\overline{
\mathsf {t}}
\}
,\{\overline{
\mathsf {t}}
,\overline{
\mathsf {u}}
\}
\}
 \mathrel{\in} \underline{
\mathsf {r}}
\Rightarrow \{\{\overline{
\mathsf {s}}
,\overline{
\mathsf {s}}
\}
,\{\overline{
\mathsf {s}}
,\overline{
\mathsf {u}}
\}
\}
 \mathrel{\in} \underline{
\mathsf {r}}
\rceil 
, 
p_0
, 
\mathsf {c}
)
]$

$\rm
[ERisTransitive
\stackrel{
stmt
}{\rightarrow}ZFsub
\vdash 
\forall \underline{
\mathsf {r}}
\colon \dot{\neg}\, \dot{\neg}\, 
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {s}}
\colon \overline{
\mathsf {s}}
 \mathrel{\in} \underline{\mathsf {bs}}
\Rightarrow \{\{\overline{
\mathsf {s}}
,\overline{
\mathsf {s}}
\}
,\{\overline{
\mathsf {s}}
,\overline{
\mathsf {s}}
\}
\}
 \mathrel{\in} \underline{
\mathsf {r}}
\Rightarrow \dot{\neg}\, 
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {s}}
\colon 
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {t}}
\colon \overline{
\mathsf {s}}
 \mathrel{\in} \underline{\mathsf {bs}}
\Rightarrow \overline{
\mathsf {t}}
 \mathrel{\in} \underline{\mathsf {bs}}
\Rightarrow \{\{\overline{
\mathsf {s}}
,\overline{
\mathsf {s}}
\}
,\{\overline{
\mathsf {s}}
,\overline{
\mathsf {t}}
\}
\}
 \mathrel{\in} \underline{
\mathsf {r}}
\Rightarrow \{\{\overline{
\mathsf {t}}
,\overline{
\mathsf {t}}
\}
,\{\overline{
\mathsf {t}}
,\overline{
\mathsf {s}}
\}
\}
 \mathrel{\in} \underline{
\mathsf {r}}
\Rightarrow \dot{\neg}\, 
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {s}}
\colon 
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {t}}
\colon 
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {u}}
\colon \overline{
\mathsf {s}}
 \mathrel{\in} \underline{\mathsf {bs}}
\Rightarrow \overline{
\mathsf {t}}
 \mathrel{\in} \underline{\mathsf {bs}}
\Rightarrow \overline{
\mathsf {u}}
 \mathrel{\in} \underline{\mathsf {bs}}
\Rightarrow \{\{\overline{
\mathsf {s}}
,\overline{
\mathsf {s}}
\}
,\{\overline{
\mathsf {s}}
,\overline{
\mathsf {t}}
\}
\}
 \mathrel{\in} \underline{
\mathsf {r}}
\Rightarrow \{\{\overline{
\mathsf {t}}
,\overline{
\mathsf {t}}
\}
,\{\overline{
\mathsf {t}}
,\overline{
\mathsf {u}}
\}
\}
 \mathrel{\in} \underline{
\mathsf {r}}
\Rightarrow \{\{\overline{
\mathsf {s}}
,\overline{
\mathsf {s}}
\}
,\{\overline{
\mathsf {s}}
,\overline{
\mathsf {u}}
\}
\}
 \mathrel{\in} \underline{
\mathsf {r}}
\vdash 
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {s}}
\colon 
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {t}}
\colon 
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {u}}
\colon \overline{
\mathsf {s}}
 \mathrel{\in} \underline{\mathsf {bs}}
\Rightarrow \overline{
\mathsf {t}}
 \mathrel{\in} \underline{\mathsf {bs}}
\Rightarrow \overline{
\mathsf {u}}
 \mathrel{\in} \underline{\mathsf {bs}}
\Rightarrow \{\{\overline{
\mathsf {s}}
,\overline{
\mathsf {s}}
\}
,\{\overline{
\mathsf {s}}
,\overline{
\mathsf {t}}
\}
\}
 \mathrel{\in} \underline{
\mathsf {r}}
\Rightarrow \{\{\overline{
\mathsf {t}}
,\overline{
\mathsf {t}}
\}
,\{\overline{
\mathsf {t}}
,\overline{
\mathsf {u}}
\}
\}
 \mathrel{\in} \underline{
\mathsf {r}}
\Rightarrow \{\{\overline{
\mathsf {s}}
,\overline{
\mathsf {s}}
\}
,\{\overline{
\mathsf {s}}
,\overline{
\mathsf {u}}
\}
\}
 \mathrel{\in} \underline{
\mathsf {r}}
]$

$\rm
[ERisTransitive
\stackrel{
\mathrm{tex}
}{\rightarrow}
\mbox{``}ERisTransitive
\mbox{''}
]$

$\rm
[ERisTransitive
\stackrel{
\mathrm{pyk}
}{\rightarrow}
\mbox{``}lemma
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}er
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}is
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}transitive
\mbox{''}
]$

\hypertarget {url:1808490560655876194608813785663292462486349118665588524157069396079556865:111}{}\section* {$\rm \O{}isSubset$}

$\rm
[\O{}isSubset
\stackrel{
proof
}{\rightarrow}
\lambda 
\mathsf {c}
.
\lambda 
\mathsf{x}
.
{\cal P}( 
\lceil ZFsub
\vdash 
\forall \underline{
\mathsf {s}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf{x}}
\colon \underline{
\mathsf {s}}
 \mathrel{\in} \mathrm{\O}
\vdash \O{}def
\gg \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf {s}}
 \mathrel{\in} \mathrm{\O}
; FromContradiction
\rhd \underline{
\mathsf {s}}
 \mathrel{\in} \mathrm{\O}
\rhd \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf {s}}
 \mathrel{\in} \mathrm{\O}
\gg \underline{
\mathsf {s}}
 \mathrel{\in} \underline{
\mathsf{x}}
; 
\forall \underline{
\mathsf {s}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf{x}}
\colon Ded
\rhd 
\forall \underline{
\mathsf {s}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf{x}}
\colon \underline{
\mathsf {s}}
 \mathrel{\in} \mathrm{\O}
\vdash \underline{
\mathsf {s}}
 \mathrel{\in} \underline{
\mathsf{x}}
\gg \underline{
\mathsf {s}}
 \mathrel{\in} \mathrm{\O}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {s}}
 \mathrel{\in} \underline{
\mathsf{x}}
\rceil 
, 
p_0
, 
\mathsf {c}
)
]$

$\rm
[\O{}isSubset
\stackrel{
stmt
}{\rightarrow}ZFsub
\vdash 
\forall \underline{
\mathsf {s}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf{x}}
\colon \underline{
\mathsf {s}}
 \mathrel{\in} \mathrm{\O}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {s}}
 \mathrel{\in} \underline{
\mathsf{x}}
]$

$\rm
[\O{}isSubset
\stackrel{
\mathrm{tex}
}{\rightarrow}
\mbox{``}
\mbox {$\backslash $}O
\{
\}isSubset
\mbox{''}
]$

$\rm
[\O{}isSubset
\stackrel{
\mathrm{pyk}
}{\rightarrow}
\mbox{``}lemma
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}empty
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}set
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}is
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}subset
\mbox{''}
]$

\hypertarget {url:1808490560655876194608813785663292462486349118665588524157069396079556865:112}{}\section* {$\rm HelperMemberNot\O{}$}

$\rm
[HelperMemberNot\O{}
\stackrel{
proof
}{\rightarrow}
\lambda 
\mathsf {c}
.
\lambda 
\mathsf{x}
.
{\cal P}( 
\lceil ZFsub
\vdash 
\forall \underline{
\mathsf {s}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf{x}}
\colon 
\lceil \overline{
\mathsf {s}}
\rceil 
\#^0
\lceil \underline{
\mathsf{x}}
\rceil 
\mathrel {\makebox [0mm][l]{$\vdash $}\,{\vdash }} \underline{
\mathsf {s}}
 \mathrel{\in} \underline{
\mathsf{x}}
\vdash \underline{
\mathsf{x}}
\!\mathrel{=}\! \mathrm{\O}
\vdash FromSetEquality
\mathrel {\makebox [0mm][l]{$\rhd $}\,{\rhd }} 
\lceil \overline{
\mathsf {s}}
\rceil 
\#^0
\lceil \underline{
\mathsf{x}}
\rceil 
\rhd \underline{
\mathsf{x}}
\!\mathrel{=}\! \mathrm{\O}
\rhd \underline{
\mathsf {s}}
 \mathrel{\in} \underline{
\mathsf{x}}
\gg \underline{
\mathsf {s}}
 \mathrel{\in} \mathrm{\O}
; 
\forall \underline{
\mathsf {s}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf{x}}
\colon Ded
\rhd 
\forall \underline{
\mathsf {s}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf{x}}
\colon 
\lceil \overline{
\mathsf {s}}
\rceil 
\#^0
\lceil \underline{
\mathsf{x}}
\rceil 
\mathrel {\makebox [0mm][l]{$\vdash $}\,{\vdash }} \underline{
\mathsf {s}}
 \mathrel{\in} \underline{
\mathsf{x}}
\vdash \underline{
\mathsf{x}}
\!\mathrel{=}\! \mathrm{\O}
\vdash \underline{
\mathsf {s}}
 \mathrel{\in} \mathrm{\O}
\gg 
\lceil \overline{
\mathsf {s}}
\rceil 
\#^0
\lceil \underline{
\mathsf{x}}
\rceil 
\mathrel {\makebox [0mm][l]{$\vdash $}\,{\vdash }} \underline{
\mathsf {s}}
 \mathrel{\in} \underline{
\mathsf{x}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf{x}}
\!\mathrel{=}\! \mathrm{\O}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {s}}
 \mathrel{\in} \mathrm{\O}
\rceil 
, 
p_0
, 
\mathsf {c}
)
]$

$\rm
[HelperMemberNot\O{}
\stackrel{
stmt
}{\rightarrow}ZFsub
\vdash 
\forall \underline{
\mathsf {s}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf{x}}
\colon 
\lceil \overline{
\mathsf {s}}
\rceil 
\#^0
\lceil \underline{
\mathsf{x}}
\rceil 
\mathrel {\makebox [0mm][l]{$\vdash $}\,{\vdash }} \underline{
\mathsf {s}}
 \mathrel{\in} \underline{
\mathsf{x}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf{x}}
\!\mathrel{=}\! \mathrm{\O}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {s}}
 \mathrel{\in} \mathrm{\O}
]$

$\rm
[HelperMemberNot\O{}
\stackrel{
\mathrm{tex}
}{\rightarrow}
\mbox{``}HelperMemberNot
\mbox {$\backslash $}O
\{
\}
\mbox{''}
]$

$\rm
[HelperMemberNot\O{}
\stackrel{
\mathrm{pyk}
}{\rightarrow}
\mbox{``}lemma
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}member
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}not
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}empty0
\mbox{''}
]$

\hypertarget {url:1808490560655876194608813785663292462486349118665588524157069396079556865:113}{}\section* {$\rm MemberNot\O{}$}

$\rm
[MemberNot\O{}
\stackrel{
proof
}{\rightarrow}
\lambda 
\mathsf {c}
.
\lambda 
\mathsf{x}
.
{\cal P}( 
\lceil ZFsub
\vdash 
\forall \underline{
\mathsf {s}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf{x}}
\colon 
\lceil \overline{
\mathsf {s}}
\rceil 
\#^0
\lceil \underline{
\mathsf{x}}
\rceil 
\mathrel {\makebox [0mm][l]{$\vdash $}\,{\vdash }} \underline{
\mathsf {s}}
 \mathrel{\in} \underline{
\mathsf{x}}
\vdash HelperMemberNot\O{}
\mathrel {\makebox [0mm][l]{$\rhd $}\,{\rhd }} 
\lceil \overline{
\mathsf {s}}
\rceil 
\#^0
\lceil \underline{
\mathsf{x}}
\rceil 
\gg \underline{
\mathsf {s}}
 \mathrel{\in} \underline{
\mathsf{x}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf{x}}
\!\mathrel{=}\! \mathrm{\O}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {s}}
 \mathrel{\in} \mathrm{\O}
; MP
\rhd \underline{
\mathsf {s}}
 \mathrel{\in} \underline{
\mathsf{x}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf{x}}
\!\mathrel{=}\! \mathrm{\O}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {s}}
 \mathrel{\in} \mathrm{\O}
\rhd \underline{
\mathsf {s}}
 \mathrel{\in} \underline{
\mathsf{x}}
\gg \underline{
\mathsf{x}}
\!\mathrel{=}\! \mathrm{\O}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {s}}
 \mathrel{\in} \mathrm{\O}
; \O{}def
\gg \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf {s}}
 \mathrel{\in} \mathrm{\O}
; MT
\rhd \underline{
\mathsf{x}}
\!\mathrel{=}\! \mathrm{\O}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {s}}
 \mathrel{\in} \mathrm{\O}
\rhd \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf {s}}
 \mathrel{\in} \mathrm{\O}
\gg \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf{x}}
\!\mathrel{=}\! \mathrm{\O}
\rceil 
, 
p_0
, 
\mathsf {c}
)
]$

$\rm
[MemberNot\O{}
\stackrel{
stmt
}{\rightarrow}ZFsub
\vdash 
\forall \underline{
\mathsf {s}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf{x}}
\colon 
\lceil \overline{
\mathsf {s}}
\rceil 
\#^0
\lceil \underline{
\mathsf{x}}
\rceil 
\mathrel {\makebox [0mm][l]{$\vdash $}\,{\vdash }} \underline{
\mathsf {s}}
 \mathrel{\in} \underline{
\mathsf{x}}
\vdash \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf{x}}
\!\mathrel{=}\! \mathrm{\O}
]$

$\rm
[MemberNot\O{}
\stackrel{
\mathrm{tex}
}{\rightarrow}
\mbox{``}MemberNot
\mbox {$\backslash $}O
\{
\}
\mbox{''}
]$

$\rm
[MemberNot\O{}
\stackrel{
\mathrm{pyk}
}{\rightarrow}
\mbox{``}lemma
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}member
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}not
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}empty
\mbox{''}
]$

\hypertarget {url:1808490560655876194608813785663292462486349118665588524157069396079556865:114}{}\section* {$\rm HelperUnique\O{}$}

$\rm
[HelperUnique\O{}
\stackrel{
proof
}{\rightarrow}
\lambda 
\mathsf {c}
.
\lambda 
\mathsf{x}
.
{\cal P}( 
\lceil ZFsub
\vdash 
\forall \underline{
\mathsf {s}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf{x}}
\colon \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf {s}}
 \mathrel{\in} \underline{
\mathsf{x}}
\vdash \underline{
\mathsf {s}}
 \mathrel{\in} \underline{
\mathsf{x}}
\vdash FromContradiction
\rhd \underline{
\mathsf {s}}
 \mathrel{\in} \underline{
\mathsf{x}}
\rhd \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf {s}}
 \mathrel{\in} \underline{
\mathsf{x}}
\gg \underline{
\mathsf {s}}
 \mathrel{\in} \mathrm{\O}
; 
\forall \underline{
\mathsf {s}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf{x}}
\colon Ded
\rhd 
\forall \underline{
\mathsf {s}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf{x}}
\colon \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf {s}}
 \mathrel{\in} \underline{
\mathsf{x}}
\vdash \underline{
\mathsf {s}}
 \mathrel{\in} \underline{
\mathsf{x}}
\vdash \underline{
\mathsf {s}}
 \mathrel{\in} \mathrm{\O}
\gg \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf {s}}
 \mathrel{\in} \underline{
\mathsf{x}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {s}}
 \mathrel{\in} \underline{
\mathsf{x}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {s}}
 \mathrel{\in} \mathrm{\O}
; \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf {s}}
 \mathrel{\in} \underline{
\mathsf{x}}
\vdash MP
\rhd \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf {s}}
 \mathrel{\in} \underline{
\mathsf{x}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {s}}
 \mathrel{\in} \underline{
\mathsf{x}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {s}}
 \mathrel{\in} \mathrm{\O}
\rhd \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf {s}}
 \mathrel{\in} \underline{
\mathsf{x}}
\gg \underline{
\mathsf {s}}
 \mathrel{\in} \underline{
\mathsf{x}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {s}}
 \mathrel{\in} \mathrm{\O}
\rceil 
, 
p_0
, 
\mathsf {c}
)
]$

$\rm
[HelperUnique\O{}
\stackrel{
stmt
}{\rightarrow}ZFsub
\vdash 
\forall \underline{
\mathsf {s}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf{x}}
\colon \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf {s}}
 \mathrel{\in} \underline{
\mathsf{x}}
\vdash \underline{
\mathsf {s}}
 \mathrel{\in} \underline{
\mathsf{x}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {s}}
 \mathrel{\in} \mathrm{\O}
]$

$\rm
[HelperUnique\O{}
\stackrel{
\mathrm{tex}
}{\rightarrow}
\mbox{``}HelperUnique
\mbox {$\backslash $}O
\{
\}
\mbox{''}
]$

$\rm
[HelperUnique\O{}
\stackrel{
\mathrm{pyk}
}{\rightarrow}
\mbox{``}lemma
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}unique
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}empty
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}set0
\mbox{''}
]$

\hypertarget {url:1808490560655876194608813785663292462486349118665588524157069396079556865:115}{}\section* {$\rm Unique\O{}$}

$\rm
[Unique\O{}
\stackrel{
proof
}{\rightarrow}
\lambda 
\mathsf {c}
.
\lambda 
\mathsf{x}
.
{\cal P}( 
\lceil ZFsub
\vdash 
\forall \underline{
\mathsf{x}}
\colon \dot{\neg}\, \overline{
\mathsf {s}}
 \mathrel{\in} \underline{
\mathsf{x}}
\vdash HelperUnique\O{}
\rhd \dot{\neg}\, \overline{
\mathsf {s}}
 \mathrel{\in} \underline{
\mathsf{x}}
\gg \overline{
\mathsf {s}}
 \mathrel{\in} \underline{
\mathsf{x}}
\Rightarrow \overline{
\mathsf {s}}
 \mathrel{\in} \mathrm{\O}
; \O{}isSubset
\gg \overline{
\mathsf {s}}
 \mathrel{\in} \mathrm{\O}
\Rightarrow \overline{
\mathsf {s}}
 \mathrel{\in} \underline{
\mathsf{x}}
; ToSetEquality
\rhd \overline{
\mathsf {s}}
 \mathrel{\in} \underline{
\mathsf{x}}
\Rightarrow \overline{
\mathsf {s}}
 \mathrel{\in} \mathrm{\O}
\rhd \overline{
\mathsf {s}}
 \mathrel{\in} \mathrm{\O}
\Rightarrow \overline{
\mathsf {s}}
 \mathrel{\in} \underline{
\mathsf{x}}
\gg \underline{
\mathsf{x}}
\!\mathrel{=}\! \mathrm{\O}
\rceil 
, 
p_0
, 
\mathsf {c}
)
]$

$\rm
[Unique\O{}
\stackrel{
stmt
}{\rightarrow}ZFsub
\vdash 
\forall \underline{
\mathsf{x}}
\colon \dot{\neg}\, \overline{
\mathsf {s}}
 \mathrel{\in} \underline{
\mathsf{x}}
\vdash \underline{
\mathsf{x}}
\!\mathrel{=}\! \mathrm{\O}
]$

$\rm
[Unique\O{}
\stackrel{
\mathrm{tex}
}{\rightarrow}
\mbox{``}Unique
\mbox {$\backslash $}O
\{
\}
\mbox{''}
]$

$\rm
[Unique\O{}
\stackrel{
\mathrm{pyk}
}{\rightarrow}
\mbox{``}lemma
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}unique
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}empty
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}set
\mbox{''}
]$

\hypertarget {url:1808490560655876194608813785663292462486349118665588524157069396079556865:116}{}\section* {$\rm =\!{}Reflexivity$}

$\rm
[=\!{}Reflexivity
\stackrel{
proof
}{\rightarrow}
\lambda 
\mathsf {c}
.
\lambda 
\mathsf{x}
.
{\cal P}( 
\lceil ZFsub
\vdash 
\forall \underline{
\mathsf {s}}
\colon AutoImply
\gg \overline{
\mathsf {s}}
 \mathrel{\in} \underline{
\mathsf {s}}
\Rightarrow \overline{
\mathsf {s}}
 \mathrel{\in} \underline{
\mathsf {s}}
; ToSetEquality
\rhd \overline{
\mathsf {s}}
 \mathrel{\in} \underline{
\mathsf {s}}
\Rightarrow \overline{
\mathsf {s}}
 \mathrel{\in} \underline{
\mathsf {s}}
\rhd \overline{
\mathsf {s}}
 \mathrel{\in} \underline{
\mathsf {s}}
\Rightarrow \overline{
\mathsf {s}}
 \mathrel{\in} \underline{
\mathsf {s}}
\gg \underline{
\mathsf {s}}
\!\mathrel{=}\! \underline{
\mathsf {s}}
\rceil 
, 
p_0
, 
\mathsf {c}
)
]$

$\rm
[=\!{}Reflexivity
\stackrel{
stmt
}{\rightarrow}ZFsub
\vdash 
\forall \underline{
\mathsf {s}}
\colon \underline{
\mathsf {s}}
\!\mathrel{=}\! \underline{
\mathsf {s}}
]$

$\rm
[=\!{}Reflexivity
\stackrel{
\mathrm{tex}
}{\rightarrow}
\mbox{``}
{=}
\mbox {$\backslash $}!
\{
\}Reflexivity
\mbox{''}
]$

$\rm
[=\!{}Reflexivity
\stackrel{
\mathrm{pyk}
}{\rightarrow}
\mbox{``}lemma
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}
{=}reflexivity
\mbox{''}
]$

\hypertarget {url:1808490560655876194608813785663292462486349118665588524157069396079556865:117}{}\section* {$\rm =\!{}Symmetry$}

$\rm
[=\!{}Symmetry
\stackrel{
proof
}{\rightarrow}
\lambda 
\mathsf {c}
.
\lambda 
\mathsf{x}
.
{\cal P}( 
\lceil ZFsub
\vdash 
\forall \underline{
\mathsf{x}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf{y}}
\colon 
\lceil \overline{
\mathsf {s}}
\rceil 
\#^0
\lceil \underline{
\mathsf{x}}
\rceil 
\mathrel {\makebox [0mm][l]{$\vdash $}\,{\vdash }} 
\lceil \overline{
\mathsf {s}}
\rceil 
\#^0
\lceil \underline{
\mathsf{y}}
\rceil 
\mathrel {\makebox [0mm][l]{$\vdash $}\,{\vdash }} \underline{
\mathsf{x}}
\!\mathrel{=}\! \underline{
\mathsf{y}}
\vdash Extensionality
\gg \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf{x}}
\!\mathrel{=}\! \underline{
\mathsf{y}}
\Rightarrow 
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {s}}
\colon \dot{\neg}\, \overline{
\mathsf {s}}
 \mathrel{\in} \underline{
\mathsf{x}}
\Rightarrow \overline{
\mathsf {s}}
 \mathrel{\in} \underline{
\mathsf{y}}
\Rightarrow \dot{\neg}\, \overline{
\mathsf {s}}
 \mathrel{\in} \underline{
\mathsf{y}}
\Rightarrow \overline{
\mathsf {s}}
 \mathrel{\in} \underline{
\mathsf{x}}
\Rightarrow \dot{\neg}\, 
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {s}}
\colon \dot{\neg}\, \overline{
\mathsf {s}}
 \mathrel{\in} \underline{
\mathsf{x}}
\Rightarrow \overline{
\mathsf {s}}
 \mathrel{\in} \underline{
\mathsf{y}}
\Rightarrow \dot{\neg}\, \overline{
\mathsf {s}}
 \mathrel{\in} \underline{
\mathsf{y}}
\Rightarrow \overline{
\mathsf {s}}
 \mathrel{\in} \underline{
\mathsf{x}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf{x}}
\!\mathrel{=}\! \underline{
\mathsf{y}}
; IffSecond
\rhd \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf{x}}
\!\mathrel{=}\! \underline{
\mathsf{y}}
\Rightarrow 
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {s}}
\colon \dot{\neg}\, \overline{
\mathsf {s}}
 \mathrel{\in} \underline{
\mathsf{x}}
\Rightarrow \overline{
\mathsf {s}}
 \mathrel{\in} \underline{
\mathsf{y}}
\Rightarrow \dot{\neg}\, \overline{
\mathsf {s}}
 \mathrel{\in} \underline{
\mathsf{y}}
\Rightarrow \overline{
\mathsf {s}}
 \mathrel{\in} \underline{
\mathsf{x}}
\Rightarrow \dot{\neg}\, 
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {s}}
\colon \dot{\neg}\, \overline{
\mathsf {s}}
 \mathrel{\in} \underline{
\mathsf{x}}
\Rightarrow \overline{
\mathsf {s}}
 \mathrel{\in} \underline{
\mathsf{y}}
\Rightarrow \dot{\neg}\, \overline{
\mathsf {s}}
 \mathrel{\in} \underline{
\mathsf{y}}
\Rightarrow \overline{
\mathsf {s}}
 \mathrel{\in} \underline{
\mathsf{x}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf{x}}
\!\mathrel{=}\! \underline{
\mathsf{y}}
\rhd \underline{
\mathsf{x}}
\!\mathrel{=}\! \underline{
\mathsf{y}}
\gg 
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {s}}
\colon \dot{\neg}\, \overline{
\mathsf {s}}
 \mathrel{\in} \underline{
\mathsf{x}}
\Rightarrow \overline{
\mathsf {s}}
 \mathrel{\in} \underline{
\mathsf{y}}
\Rightarrow \dot{\neg}\, \overline{
\mathsf {s}}
 \mathrel{\in} \underline{
\mathsf{y}}
\Rightarrow \overline{
\mathsf {s}}
 \mathrel{\in} \underline{
\mathsf{x}}
; HelperFromSetEquality
\mathrel {\makebox [0mm][l]{$\rhd $}\,{\rhd }} 
\lceil \overline{
\mathsf {s}}
\rceil 
\#^0
\lceil \underline{
\mathsf{x}}
\rceil 
\mathrel {\makebox [0mm][l]{$\rhd $}\,{\rhd }} 
\lceil \overline{
\mathsf {s}}
\rceil 
\#^0
\lceil \underline{
\mathsf{y}}
\rceil 
\gg 
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {s}}
\colon \dot{\neg}\, \overline{
\mathsf {s}}
 \mathrel{\in} \underline{
\mathsf{x}}
\Rightarrow \overline{
\mathsf {s}}
 \mathrel{\in} \underline{
\mathsf{y}}
\Rightarrow \dot{\neg}\, \overline{
\mathsf {s}}
 \mathrel{\in} \underline{
\mathsf{y}}
\Rightarrow \overline{
\mathsf {s}}
 \mathrel{\in} \underline{
\mathsf{x}}
\Rightarrow \dot{\neg}\, \overline{
\mathsf {s}}
 \mathrel{\in} \underline{
\mathsf{x}}
\Rightarrow \overline{
\mathsf {s}}
 \mathrel{\in} \underline{
\mathsf{y}}
\Rightarrow \dot{\neg}\, \overline{
\mathsf {s}}
 \mathrel{\in} \underline{
\mathsf{y}}
\Rightarrow \overline{
\mathsf {s}}
 \mathrel{\in} \underline{
\mathsf{x}}
; MP
\rhd 
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {s}}
\colon \dot{\neg}\, \overline{
\mathsf {s}}
 \mathrel{\in} \underline{
\mathsf{x}}
\Rightarrow \overline{
\mathsf {s}}
 \mathrel{\in} \underline{
\mathsf{y}}
\Rightarrow \dot{\neg}\, \overline{
\mathsf {s}}
 \mathrel{\in} \underline{
\mathsf{y}}
\Rightarrow \overline{
\mathsf {s}}
 \mathrel{\in} \underline{
\mathsf{x}}
\Rightarrow \dot{\neg}\, \overline{
\mathsf {s}}
 \mathrel{\in} \underline{
\mathsf{x}}
\Rightarrow \overline{
\mathsf {s}}
 \mathrel{\in} \underline{
\mathsf{y}}
\Rightarrow \dot{\neg}\, \overline{
\mathsf {s}}
 \mathrel{\in} \underline{
\mathsf{y}}
\Rightarrow \overline{
\mathsf {s}}
 \mathrel{\in} \underline{
\mathsf{x}}
\rhd 
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {s}}
\colon \dot{\neg}\, \overline{
\mathsf {s}}
 \mathrel{\in} \underline{
\mathsf{x}}
\Rightarrow \overline{
\mathsf {s}}
 \mathrel{\in} \underline{
\mathsf{y}}
\Rightarrow \dot{\neg}\, \overline{
\mathsf {s}}
 \mathrel{\in} \underline{
\mathsf{y}}
\Rightarrow \overline{
\mathsf {s}}
 \mathrel{\in} \underline{
\mathsf{x}}
\gg \dot{\neg}\, \overline{
\mathsf {s}}
 \mathrel{\in} \underline{
\mathsf{x}}
\Rightarrow \overline{
\mathsf {s}}
 \mathrel{\in} \underline{
\mathsf{y}}
\Rightarrow \dot{\neg}\, \overline{
\mathsf {s}}
 \mathrel{\in} \underline{
\mathsf{y}}
\Rightarrow \overline{
\mathsf {s}}
 \mathrel{\in} \underline{
\mathsf{x}}
; FirstConjunct
\rhd \dot{\neg}\, \overline{
\mathsf {s}}
 \mathrel{\in} \underline{
\mathsf{x}}
\Rightarrow \overline{
\mathsf {s}}
 \mathrel{\in} \underline{
\mathsf{y}}
\Rightarrow \dot{\neg}\, \overline{
\mathsf {s}}
 \mathrel{\in} \underline{
\mathsf{y}}
\Rightarrow \overline{
\mathsf {s}}
 \mathrel{\in} \underline{
\mathsf{x}}
\gg \overline{
\mathsf {s}}
 \mathrel{\in} \underline{
\mathsf{x}}
\Rightarrow \overline{
\mathsf {s}}
 \mathrel{\in} \underline{
\mathsf{y}}
; SecondConjunct
\rhd \dot{\neg}\, \overline{
\mathsf {s}}
 \mathrel{\in} \underline{
\mathsf{x}}
\Rightarrow \overline{
\mathsf {s}}
 \mathrel{\in} \underline{
\mathsf{y}}
\Rightarrow \dot{\neg}\, \overline{
\mathsf {s}}
 \mathrel{\in} \underline{
\mathsf{y}}
\Rightarrow \overline{
\mathsf {s}}
 \mathrel{\in} \underline{
\mathsf{x}}
\gg \overline{
\mathsf {s}}
 \mathrel{\in} \underline{
\mathsf{y}}
\Rightarrow \overline{
\mathsf {s}}
 \mathrel{\in} \underline{
\mathsf{x}}
; ToSetEquality
\rhd \overline{
\mathsf {s}}
 \mathrel{\in} \underline{
\mathsf{y}}
\Rightarrow \overline{
\mathsf {s}}
 \mathrel{\in} \underline{
\mathsf{x}}
\rhd \overline{
\mathsf {s}}
 \mathrel{\in} \underline{
\mathsf{x}}
\Rightarrow \overline{
\mathsf {s}}
 \mathrel{\in} \underline{
\mathsf{y}}
\gg \underline{
\mathsf{y}}
\!\mathrel{=}\! \underline{
\mathsf{x}}
\rceil 
, 
p_0
, 
\mathsf {c}
)
]$

$\rm
[=\!{}Symmetry
\stackrel{
stmt
}{\rightarrow}ZFsub
\vdash 
\forall \underline{
\mathsf{x}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf{y}}
\colon 
\lceil \overline{
\mathsf {s}}
\rceil 
\#^0
\lceil \underline{
\mathsf{x}}
\rceil 
\mathrel {\makebox [0mm][l]{$\vdash $}\,{\vdash }} 
\lceil \overline{
\mathsf {s}}
\rceil 
\#^0
\lceil \underline{
\mathsf{y}}
\rceil 
\mathrel {\makebox [0mm][l]{$\vdash $}\,{\vdash }} \underline{
\mathsf{x}}
\!\mathrel{=}\! \underline{
\mathsf{y}}
\vdash \underline{
\mathsf{y}}
\!\mathrel{=}\! \underline{
\mathsf{x}}
]$

$\rm
[=\!{}Symmetry
\stackrel{
\mathrm{tex}
}{\rightarrow}
\mbox{``}
{=}
\mbox {$\backslash $}!
\{
\}Symmetry
\mbox{''}
]$

$\rm
[=\!{}Symmetry
\stackrel{
\mathrm{pyk}
}{\rightarrow}
\mbox{``}lemma
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}
{=}symmetry
\mbox{''}
]$

\hypertarget {url:1808490560655876194608813785663292462486349118665588524157069396079556865:118}{}\section* {$\rm Helper\!{}=\!{}Transitivity$}

$\rm
[Helper\!{}=\!{}Transitivity
\stackrel{
proof
}{\rightarrow}
\lambda 
\mathsf {c}
.
\lambda 
\mathsf{x}
.
{\cal P}( 
\lceil ZFsub
\vdash 
\forall \underline{
\mathsf {s}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf{x}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf{y}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf{z}}
\colon 
\lceil \overline{
\mathsf {s}}
\rceil 
\#^0
\lceil \underline{
\mathsf{x}}
\rceil 
\mathrel {\makebox [0mm][l]{$\vdash $}\,{\vdash }} 
\lceil \overline{
\mathsf {s}}
\rceil 
\#^0
\lceil \underline{
\mathsf{y}}
\rceil 
\mathrel {\makebox [0mm][l]{$\vdash $}\,{\vdash }} 
\lceil \overline{
\mathsf {s}}
\rceil 
\#^0
\lceil \underline{
\mathsf{z}}
\rceil 
\mathrel {\makebox [0mm][l]{$\vdash $}\,{\vdash }} \underline{
\mathsf{x}}
\!\mathrel{=}\! \underline{
\mathsf{y}}
\vdash \underline{
\mathsf{y}}
\!\mathrel{=}\! \underline{
\mathsf{z}}
\vdash \underline{
\mathsf {s}}
 \mathrel{\in} \underline{
\mathsf{x}}
\vdash FromSetEquality
\mathrel {\makebox [0mm][l]{$\rhd $}\,{\rhd }} 
\lceil \overline{
\mathsf {s}}
\rceil 
\#^0
\lceil \underline{
\mathsf{x}}
\rceil 
\mathrel {\makebox [0mm][l]{$\rhd $}\,{\rhd }} 
\lceil \overline{
\mathsf {s}}
\rceil 
\#^0
\lceil \underline{
\mathsf{y}}
\rceil 
\rhd \underline{
\mathsf{x}}
\!\mathrel{=}\! \underline{
\mathsf{y}}
\rhd \underline{
\mathsf {s}}
 \mathrel{\in} \underline{
\mathsf{x}}
\gg \underline{
\mathsf {s}}
 \mathrel{\in} \underline{
\mathsf{y}}
; FromSetEquality
\mathrel {\makebox [0mm][l]{$\rhd $}\,{\rhd }} 
\lceil \overline{
\mathsf {s}}
\rceil 
\#^0
\lceil \underline{
\mathsf{y}}
\rceil 
\mathrel {\makebox [0mm][l]{$\rhd $}\,{\rhd }} 
\lceil \overline{
\mathsf {s}}
\rceil 
\#^0
\lceil \underline{
\mathsf{z}}
\rceil 
\rhd \underline{
\mathsf{y}}
\!\mathrel{=}\! \underline{
\mathsf{z}}
\rhd \underline{
\mathsf {s}}
 \mathrel{\in} \underline{
\mathsf{y}}
\gg \underline{
\mathsf {s}}
 \mathrel{\in} \underline{
\mathsf{z}}
; 
\forall \underline{
\mathsf {s}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf{x}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf{y}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf{z}}
\colon Ded
\rhd 
\forall \underline{
\mathsf {s}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf{x}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf{y}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf{z}}
\colon 
\lceil \overline{
\mathsf {s}}
\rceil 
\#^0
\lceil \underline{
\mathsf{x}}
\rceil 
\mathrel {\makebox [0mm][l]{$\vdash $}\,{\vdash }} 
\lceil \overline{
\mathsf {s}}
\rceil 
\#^0
\lceil \underline{
\mathsf{y}}
\rceil 
\mathrel {\makebox [0mm][l]{$\vdash $}\,{\vdash }} 
\lceil \overline{
\mathsf {s}}
\rceil 
\#^0
\lceil \underline{
\mathsf{z}}
\rceil 
\mathrel {\makebox [0mm][l]{$\vdash $}\,{\vdash }} \underline{
\mathsf{x}}
\!\mathrel{=}\! \underline{
\mathsf{y}}
\vdash \underline{
\mathsf{y}}
\!\mathrel{=}\! \underline{
\mathsf{z}}
\vdash \underline{
\mathsf {s}}
 \mathrel{\in} \underline{
\mathsf{x}}
\vdash \underline{
\mathsf {s}}
 \mathrel{\in} \underline{
\mathsf{z}}
\gg 
\lceil \overline{
\mathsf {s}}
\rceil 
\#^0
\lceil \underline{
\mathsf{x}}
\rceil 
\mathrel {\makebox [0mm][l]{$\vdash $}\,{\vdash }} 
\lceil \overline{
\mathsf {s}}
\rceil 
\#^0
\lceil \underline{
\mathsf{y}}
\rceil 
\mathrel {\makebox [0mm][l]{$\vdash $}\,{\vdash }} 
\lceil \overline{
\mathsf {s}}
\rceil 
\#^0
\lceil \underline{
\mathsf{z}}
\rceil 
\mathrel {\makebox [0mm][l]{$\vdash $}\,{\vdash }} \underline{
\mathsf{x}}
\!\mathrel{=}\! \underline{
\mathsf{y}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf{y}}
\!\mathrel{=}\! \underline{
\mathsf{z}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {s}}
 \mathrel{\in} \underline{
\mathsf{x}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {s}}
 \mathrel{\in} \underline{
\mathsf{z}}
\rceil 
, 
p_0
, 
\mathsf {c}
)
]$

$\rm
[Helper\!{}=\!{}Transitivity
\stackrel{
stmt
}{\rightarrow}ZFsub
\vdash 
\forall \underline{
\mathsf {s}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf{x}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf{y}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf{z}}
\colon 
\lceil \overline{
\mathsf {s}}
\rceil 
\#^0
\lceil \underline{
\mathsf{x}}
\rceil 
\mathrel {\makebox [0mm][l]{$\vdash $}\,{\vdash }} 
\lceil \overline{
\mathsf {s}}
\rceil 
\#^0
\lceil \underline{
\mathsf{y}}
\rceil 
\mathrel {\makebox [0mm][l]{$\vdash $}\,{\vdash }} 
\lceil \overline{
\mathsf {s}}
\rceil 
\#^0
\lceil \underline{
\mathsf{z}}
\rceil 
\mathrel {\makebox [0mm][l]{$\vdash $}\,{\vdash }} \underline{
\mathsf{x}}
\!\mathrel{=}\! \underline{
\mathsf{y}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf{y}}
\!\mathrel{=}\! \underline{
\mathsf{z}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {s}}
 \mathrel{\in} \underline{
\mathsf{x}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {s}}
 \mathrel{\in} \underline{
\mathsf{z}}
]$

$\rm
[Helper\!{}=\!{}Transitivity
\stackrel{
\mathrm{tex}
}{\rightarrow}
\mbox{``}Helper
\mbox {$\backslash $}!
\{
\}
{=}
\mbox {$\backslash $}!
\{
\}Transitivity
\mbox{''}
]$

$\rm
[Helper\!{}=\!{}Transitivity
\stackrel{
\mathrm{pyk}
}{\rightarrow}
\mbox{``}lemma
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}
{=}transitivity0
\mbox{''}
]$

\hypertarget {url:1808490560655876194608813785663292462486349118665588524157069396079556865:119}{}\section* {$\rm \!{}=\!{}Transitivity$}

$\rm
[\!{}=\!{}Transitivity
\stackrel{
proof
}{\rightarrow}
\lambda 
\mathsf {c}
.
\lambda 
\mathsf{x}
.
{\cal P}( 
\lceil ZFsub
\vdash 
\forall \underline{
\mathsf{x}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf{y}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf{z}}
\colon 
\lceil \overline{
\mathsf {s}}
\rceil 
\#^0
\lceil \underline{
\mathsf{x}}
\rceil 
\mathrel {\makebox [0mm][l]{$\vdash $}\,{\vdash }} 
\lceil \overline{
\mathsf {s}}
\rceil 
\#^0
\lceil \underline{
\mathsf{y}}
\rceil 
\mathrel {\makebox [0mm][l]{$\vdash $}\,{\vdash }} 
\lceil \overline{
\mathsf {s}}
\rceil 
\#^0
\lceil \underline{
\mathsf{z}}
\rceil 
\mathrel {\makebox [0mm][l]{$\vdash $}\,{\vdash }} \underline{
\mathsf{x}}
\!\mathrel{=}\! \underline{
\mathsf{y}}
\vdash \underline{
\mathsf{y}}
\!\mathrel{=}\! \underline{
\mathsf{z}}
\vdash Helper\!{}=\!{}Transitivity
\mathrel {\makebox [0mm][l]{$\rhd $}\,{\rhd }} 
\lceil \overline{
\mathsf {s}}
\rceil 
\#^0
\lceil \underline{
\mathsf{x}}
\rceil 
\mathrel {\makebox [0mm][l]{$\rhd $}\,{\rhd }} 
\lceil \overline{
\mathsf {s}}
\rceil 
\#^0
\lceil \underline{
\mathsf{y}}
\rceil 
\mathrel {\makebox [0mm][l]{$\rhd $}\,{\rhd }} 
\lceil \overline{
\mathsf {s}}
\rceil 
\#^0
\lceil \underline{
\mathsf{z}}
\rceil 
\gg \underline{
\mathsf{x}}
\!\mathrel{=}\! \underline{
\mathsf{y}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf{y}}
\!\mathrel{=}\! \underline{
\mathsf{z}}
\Rightarrow \overline{
\mathsf {s}}
 \mathrel{\in} \underline{
\mathsf{x}}
\Rightarrow \overline{
\mathsf {s}}
 \mathrel{\in} \underline{
\mathsf{z}}
; MP2
\rhd \underline{
\mathsf{x}}
\!\mathrel{=}\! \underline{
\mathsf{y}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf{y}}
\!\mathrel{=}\! \underline{
\mathsf{z}}
\Rightarrow \overline{
\mathsf {s}}
 \mathrel{\in} \underline{
\mathsf{x}}
\Rightarrow \overline{
\mathsf {s}}
 \mathrel{\in} \underline{
\mathsf{z}}
\rhd \underline{
\mathsf{x}}
\!\mathrel{=}\! \underline{
\mathsf{y}}
\rhd \underline{
\mathsf{y}}
\!\mathrel{=}\! \underline{
\mathsf{z}}
\gg \overline{
\mathsf {s}}
 \mathrel{\in} \underline{
\mathsf{x}}
\Rightarrow \overline{
\mathsf {s}}
 \mathrel{\in} \underline{
\mathsf{z}}
; =\!{}Symmetry
\mathrel {\makebox [0mm][l]{$\rhd $}\,{\rhd }} 
\lceil \overline{
\mathsf {s}}
\rceil 
\#^0
\lceil \underline{
\mathsf{x}}
\rceil 
\mathrel {\makebox [0mm][l]{$\rhd $}\,{\rhd }} 
\lceil \overline{
\mathsf {s}}
\rceil 
\#^0
\lceil \underline{
\mathsf{y}}
\rceil 
\rhd \underline{
\mathsf{x}}
\!\mathrel{=}\! \underline{
\mathsf{y}}
\gg \underline{
\mathsf{y}}
\!\mathrel{=}\! \underline{
\mathsf{x}}
; =\!{}Symmetry
\mathrel {\makebox [0mm][l]{$\rhd $}\,{\rhd }} 
\lceil \overline{
\mathsf {s}}
\rceil 
\#^0
\lceil \underline{
\mathsf{y}}
\rceil 
\mathrel {\makebox [0mm][l]{$\rhd $}\,{\rhd }} 
\lceil \overline{
\mathsf {s}}
\rceil 
\#^0
\lceil \underline{
\mathsf{z}}
\rceil 
\rhd \underline{
\mathsf{y}}
\!\mathrel{=}\! \underline{
\mathsf{z}}
\gg \underline{
\mathsf{z}}
\!\mathrel{=}\! \underline{
\mathsf{y}}
; Helper\!{}=\!{}Transitivity
\mathrel {\makebox [0mm][l]{$\rhd $}\,{\rhd }} 
\lceil \overline{
\mathsf {s}}
\rceil 
\#^0
\lceil \underline{
\mathsf{z}}
\rceil 
\mathrel {\makebox [0mm][l]{$\rhd $}\,{\rhd }} 
\lceil \overline{
\mathsf {s}}
\rceil 
\#^0
\lceil \underline{
\mathsf{y}}
\rceil 
\mathrel {\makebox [0mm][l]{$\rhd $}\,{\rhd }} 
\lceil \overline{
\mathsf {s}}
\rceil 
\#^0
\lceil \underline{
\mathsf{x}}
\rceil 
\gg \underline{
\mathsf{z}}
\!\mathrel{=}\! \underline{
\mathsf{y}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf{y}}
\!\mathrel{=}\! \underline{
\mathsf{x}}
\Rightarrow \overline{
\mathsf {s}}
 \mathrel{\in} \underline{
\mathsf{z}}
\Rightarrow \overline{
\mathsf {s}}
 \mathrel{\in} \underline{
\mathsf{x}}
; MP2
\rhd \underline{
\mathsf{z}}
\!\mathrel{=}\! \underline{
\mathsf{y}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf{y}}
\!\mathrel{=}\! \underline{
\mathsf{x}}
\Rightarrow \overline{
\mathsf {s}}
 \mathrel{\in} \underline{
\mathsf{z}}
\Rightarrow \overline{
\mathsf {s}}
 \mathrel{\in} \underline{
\mathsf{x}}
\rhd \underline{
\mathsf{z}}
\!\mathrel{=}\! \underline{
\mathsf{y}}
\rhd \underline{
\mathsf{y}}
\!\mathrel{=}\! \underline{
\mathsf{x}}
\gg \overline{
\mathsf {s}}
 \mathrel{\in} \underline{
\mathsf{z}}
\Rightarrow \overline{
\mathsf {s}}
 \mathrel{\in} \underline{
\mathsf{x}}
; ToSetEquality
\rhd \overline{
\mathsf {s}}
 \mathrel{\in} \underline{
\mathsf{x}}
\Rightarrow \overline{
\mathsf {s}}
 \mathrel{\in} \underline{
\mathsf{z}}
\rhd \overline{
\mathsf {s}}
 \mathrel{\in} \underline{
\mathsf{z}}
\Rightarrow \overline{
\mathsf {s}}
 \mathrel{\in} \underline{
\mathsf{x}}
\gg \underline{
\mathsf{x}}
\!\mathrel{=}\! \underline{
\mathsf{z}}
\rceil 
, 
p_0
, 
\mathsf {c}
)
]$

$\rm
[\!{}=\!{}Transitivity
\stackrel{
stmt
}{\rightarrow}ZFsub
\vdash 
\forall \underline{
\mathsf{x}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf{y}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf{z}}
\colon 
\lceil \overline{
\mathsf {s}}
\rceil 
\#^0
\lceil \underline{
\mathsf{x}}
\rceil 
\mathrel {\makebox [0mm][l]{$\vdash $}\,{\vdash }} 
\lceil \overline{
\mathsf {s}}
\rceil 
\#^0
\lceil \underline{
\mathsf{y}}
\rceil 
\mathrel {\makebox [0mm][l]{$\vdash $}\,{\vdash }} 
\lceil \overline{
\mathsf {s}}
\rceil 
\#^0
\lceil \underline{
\mathsf{z}}
\rceil 
\mathrel {\makebox [0mm][l]{$\vdash $}\,{\vdash }} \underline{
\mathsf{x}}
\!\mathrel{=}\! \underline{
\mathsf{y}}
\vdash \underline{
\mathsf{y}}
\!\mathrel{=}\! \underline{
\mathsf{z}}
\vdash \underline{
\mathsf{x}}
\!\mathrel{=}\! \underline{
\mathsf{z}}
]$

$\rm
[\!{}=\!{}Transitivity
\stackrel{
\mathrm{tex}
}{\rightarrow}
\mbox{``}
\mbox {$\backslash $}!
\{
\}
{=}
\mbox {$\backslash $}!
\{
\}Transitivity
\mbox{''}
]$

$\rm
[\!{}=\!{}Transitivity
\stackrel{
\mathrm{pyk}
}{\rightarrow}
\mbox{``}lemma
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}
{=}transitivity
\mbox{''}
]$

\hypertarget {url:1808490560655876194608813785663292462486349118665588524157069396079556865:120}{}\section* {$\rm HelperTransferNotEq$}

$\rm
[HelperTransferNotEq
\stackrel{
proof
}{\rightarrow}
\lambda 
\mathsf {c}
.
\lambda 
\mathsf{x}
.
{\cal P}( 
\lceil ZFsub
\vdash 
\forall \underline{
\mathsf{x}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf{y}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf {v}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf {w}}
\colon 
\lceil \overline{
\mathsf {s}}
\rceil 
\#^0
\lceil \underline{
\mathsf{x}}
\rceil 
\mathrel {\makebox [0mm][l]{$\vdash $}\,{\vdash }} 
\lceil \overline{
\mathsf {s}}
\rceil 
\#^0
\lceil \underline{
\mathsf{y}}
\rceil 
\mathrel {\makebox [0mm][l]{$\vdash $}\,{\vdash }} 
\lceil \overline{
\mathsf {s}}
\rceil 
\#^0
\lceil \underline{
\mathsf {v}}
\rceil 
\mathrel {\makebox [0mm][l]{$\vdash $}\,{\vdash }} 
\lceil \overline{
\mathsf {s}}
\rceil 
\#^0
\lceil \underline{
\mathsf {w}}
\rceil 
\mathrel {\makebox [0mm][l]{$\vdash $}\,{\vdash }} \underline{
\mathsf{x}}
\!\mathrel{=}\! \underline{
\mathsf {v}}
\vdash \underline{
\mathsf{y}}
\!\mathrel{=}\! \underline{
\mathsf {w}}
\vdash \underline{
\mathsf {v}}
\!\mathrel{=}\! \underline{
\mathsf {w}}
\vdash \!{}=\!{}Transitivity
\mathrel {\makebox [0mm][l]{$\rhd $}\,{\rhd }} 
\lceil \overline{
\mathsf {s}}
\rceil 
\#^0
\lceil \underline{
\mathsf{x}}
\rceil 
\mathrel {\makebox [0mm][l]{$\rhd $}\,{\rhd }} 
\lceil \overline{
\mathsf {s}}
\rceil 
\#^0
\lceil \underline{
\mathsf {v}}
\rceil 
\mathrel {\makebox [0mm][l]{$\rhd $}\,{\rhd }} 
\lceil \overline{
\mathsf {s}}
\rceil 
\#^0
\lceil \underline{
\mathsf {w}}
\rceil 
\rhd \underline{
\mathsf{x}}
\!\mathrel{=}\! \underline{
\mathsf {v}}
\rhd \underline{
\mathsf {v}}
\!\mathrel{=}\! \underline{
\mathsf {w}}
\gg \underline{
\mathsf{x}}
\!\mathrel{=}\! \underline{
\mathsf {w}}
; =\!{}Symmetry
\mathrel {\makebox [0mm][l]{$\rhd $}\,{\rhd }} 
\lceil \overline{
\mathsf {s}}
\rceil 
\#^0
\lceil \underline{
\mathsf{y}}
\rceil 
\mathrel {\makebox [0mm][l]{$\rhd $}\,{\rhd }} 
\lceil \overline{
\mathsf {s}}
\rceil 
\#^0
\lceil \underline{
\mathsf {w}}
\rceil 
\rhd \underline{
\mathsf{y}}
\!\mathrel{=}\! \underline{
\mathsf {w}}
\gg \underline{
\mathsf {w}}
\!\mathrel{=}\! \underline{
\mathsf{y}}
; \!{}=\!{}Transitivity
\mathrel {\makebox [0mm][l]{$\rhd $}\,{\rhd }} 
\lceil \overline{
\mathsf {s}}
\rceil 
\#^0
\lceil \underline{
\mathsf{x}}
\rceil 
\mathrel {\makebox [0mm][l]{$\rhd $}\,{\rhd }} 
\lceil \overline{
\mathsf {s}}
\rceil 
\#^0
\lceil \underline{
\mathsf {w}}
\rceil 
\mathrel {\makebox [0mm][l]{$\rhd $}\,{\rhd }} 
\lceil \overline{
\mathsf {s}}
\rceil 
\#^0
\lceil \underline{
\mathsf{y}}
\rceil 
\rhd \underline{
\mathsf{x}}
\!\mathrel{=}\! \underline{
\mathsf {w}}
\rhd \underline{
\mathsf {w}}
\!\mathrel{=}\! \underline{
\mathsf{y}}
\gg \underline{
\mathsf{x}}
\!\mathrel{=}\! \underline{
\mathsf{y}}
; 
\forall \underline{
\mathsf{x}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf{y}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf {v}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf {w}}
\colon Ded
\rhd 
\forall \underline{
\mathsf{x}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf{y}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf {v}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf {w}}
\colon 
\lceil \overline{
\mathsf {s}}
\rceil 
\#^0
\lceil \underline{
\mathsf{x}}
\rceil 
\mathrel {\makebox [0mm][l]{$\vdash $}\,{\vdash }} 
\lceil \overline{
\mathsf {s}}
\rceil 
\#^0
\lceil \underline{
\mathsf{y}}
\rceil 
\mathrel {\makebox [0mm][l]{$\vdash $}\,{\vdash }} 
\lceil \overline{
\mathsf {s}}
\rceil 
\#^0
\lceil \underline{
\mathsf {v}}
\rceil 
\mathrel {\makebox [0mm][l]{$\vdash $}\,{\vdash }} 
\lceil \overline{
\mathsf {s}}
\rceil 
\#^0
\lceil \underline{
\mathsf {w}}
\rceil 
\mathrel {\makebox [0mm][l]{$\vdash $}\,{\vdash }} \underline{
\mathsf{x}}
\!\mathrel{=}\! \underline{
\mathsf {v}}
\vdash \underline{
\mathsf{y}}
\!\mathrel{=}\! \underline{
\mathsf {w}}
\vdash \underline{
\mathsf {v}}
\!\mathrel{=}\! \underline{
\mathsf {w}}
\vdash \underline{
\mathsf{x}}
\!\mathrel{=}\! \underline{
\mathsf{y}}
\gg 
\lceil \overline{
\mathsf {s}}
\rceil 
\#^0
\lceil \underline{
\mathsf{x}}
\rceil 
\mathrel {\makebox [0mm][l]{$\vdash $}\,{\vdash }} 
\lceil \overline{
\mathsf {s}}
\rceil 
\#^0
\lceil \underline{
\mathsf{y}}
\rceil 
\mathrel {\makebox [0mm][l]{$\vdash $}\,{\vdash }} 
\lceil \overline{
\mathsf {s}}
\rceil 
\#^0
\lceil \underline{
\mathsf {v}}
\rceil 
\mathrel {\makebox [0mm][l]{$\vdash $}\,{\vdash }} 
\lceil \overline{
\mathsf {s}}
\rceil 
\#^0
\lceil \underline{
\mathsf {w}}
\rceil 
\mathrel {\makebox [0mm][l]{$\vdash $}\,{\vdash }} \underline{
\mathsf{x}}
\!\mathrel{=}\! \underline{
\mathsf {v}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf{y}}
\!\mathrel{=}\! \underline{
\mathsf {w}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {v}}
\!\mathrel{=}\! \underline{
\mathsf {w}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf{x}}
\!\mathrel{=}\! \underline{
\mathsf{y}}
\rceil 
, 
p_0
, 
\mathsf {c}
)
]$

$\rm
[HelperTransferNotEq
\stackrel{
stmt
}{\rightarrow}ZFsub
\vdash 
\forall \underline{
\mathsf{x}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf{y}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf {v}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf {w}}
\colon 
\lceil \overline{
\mathsf {s}}
\rceil 
\#^0
\lceil \underline{
\mathsf{x}}
\rceil 
\mathrel {\makebox [0mm][l]{$\vdash $}\,{\vdash }} 
\lceil \overline{
\mathsf {s}}
\rceil 
\#^0
\lceil \underline{
\mathsf{y}}
\rceil 
\mathrel {\makebox [0mm][l]{$\vdash $}\,{\vdash }} 
\lceil \overline{
\mathsf {s}}
\rceil 
\#^0
\lceil \underline{
\mathsf {v}}
\rceil 
\mathrel {\makebox [0mm][l]{$\vdash $}\,{\vdash }} 
\lceil \overline{
\mathsf {s}}
\rceil 
\#^0
\lceil \underline{
\mathsf {w}}
\rceil 
\mathrel {\makebox [0mm][l]{$\vdash $}\,{\vdash }} \underline{
\mathsf{x}}
\!\mathrel{=}\! \underline{
\mathsf {v}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf{y}}
\!\mathrel{=}\! \underline{
\mathsf {w}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {v}}
\!\mathrel{=}\! \underline{
\mathsf {w}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf{x}}
\!\mathrel{=}\! \underline{
\mathsf{y}}
]$

$\rm
[HelperTransferNotEq
\stackrel{
\mathrm{tex}
}{\rightarrow}
\mbox{``}HelperTransferNotEq
\mbox{''}
]$

$\rm
[HelperTransferNotEq
\stackrel{
\mathrm{pyk}
}{\rightarrow}
\mbox{``}lemma
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}transfer
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}
\char126 is0
\mbox{''}
]$

\hypertarget {url:1808490560655876194608813785663292462486349118665588524157069396079556865:121}{}\section* {$\rm TransferNotEq$}

$\rm
[TransferNotEq
\stackrel{
proof
}{\rightarrow}
\lambda 
\mathsf {c}
.
\lambda 
\mathsf{x}
.
{\cal P}( 
\lceil ZFsub
\vdash 
\forall \underline{
\mathsf{x}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf{y}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf {v}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf {w}}
\colon 
\lceil \overline{
\mathsf {s}}
\rceil 
\#^0
\lceil \underline{
\mathsf{x}}
\rceil 
\mathrel {\makebox [0mm][l]{$\vdash $}\,{\vdash }} 
\lceil \overline{
\mathsf {s}}
\rceil 
\#^0
\lceil \underline{
\mathsf{y}}
\rceil 
\mathrel {\makebox [0mm][l]{$\vdash $}\,{\vdash }} 
\lceil \overline{
\mathsf {s}}
\rceil 
\#^0
\lceil \underline{
\mathsf {v}}
\rceil 
\mathrel {\makebox [0mm][l]{$\vdash $}\,{\vdash }} 
\lceil \overline{
\mathsf {s}}
\rceil 
\#^0
\lceil \underline{
\mathsf {w}}
\rceil 
\mathrel {\makebox [0mm][l]{$\vdash $}\,{\vdash }} \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf{x}}
\!\mathrel{=}\! \underline{
\mathsf{y}}
\vdash \underline{
\mathsf{x}}
\!\mathrel{=}\! \underline{
\mathsf {v}}
\vdash \underline{
\mathsf{y}}
\!\mathrel{=}\! \underline{
\mathsf {w}}
\vdash HelperTransferNotEq
\mathrel {\makebox [0mm][l]{$\rhd $}\,{\rhd }} 
\lceil \overline{
\mathsf {s}}
\rceil 
\#^0
\lceil \underline{
\mathsf{x}}
\rceil 
\mathrel {\makebox [0mm][l]{$\rhd $}\,{\rhd }} 
\lceil \overline{
\mathsf {s}}
\rceil 
\#^0
\lceil \underline{
\mathsf{y}}
\rceil 
\mathrel {\makebox [0mm][l]{$\rhd $}\,{\rhd }} 
\lceil \overline{
\mathsf {s}}
\rceil 
\#^0
\lceil \underline{
\mathsf {v}}
\rceil 
\mathrel {\makebox [0mm][l]{$\rhd $}\,{\rhd }} 
\lceil \overline{
\mathsf {s}}
\rceil 
\#^0
\lceil \underline{
\mathsf {w}}
\rceil 
\gg \underline{
\mathsf{x}}
\!\mathrel{=}\! \underline{
\mathsf {v}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf{y}}
\!\mathrel{=}\! \underline{
\mathsf {w}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {v}}
\!\mathrel{=}\! \underline{
\mathsf {w}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf{x}}
\!\mathrel{=}\! \underline{
\mathsf{y}}
; MP2
\rhd \underline{
\mathsf{x}}
\!\mathrel{=}\! \underline{
\mathsf {v}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf{y}}
\!\mathrel{=}\! \underline{
\mathsf {w}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {v}}
\!\mathrel{=}\! \underline{
\mathsf {w}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf{x}}
\!\mathrel{=}\! \underline{
\mathsf{y}}
\rhd \underline{
\mathsf{x}}
\!\mathrel{=}\! \underline{
\mathsf {v}}
\rhd \underline{
\mathsf{y}}
\!\mathrel{=}\! \underline{
\mathsf {w}}
\gg \underline{
\mathsf {v}}
\!\mathrel{=}\! \underline{
\mathsf {w}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf{x}}
\!\mathrel{=}\! \underline{
\mathsf{y}}
; MT
\rhd \underline{
\mathsf {v}}
\!\mathrel{=}\! \underline{
\mathsf {w}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf{x}}
\!\mathrel{=}\! \underline{
\mathsf{y}}
\rhd \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf{x}}
\!\mathrel{=}\! \underline{
\mathsf{y}}
\gg \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf {v}}
\!\mathrel{=}\! \underline{
\mathsf {w}}
\rceil 
, 
p_0
, 
\mathsf {c}
)
]$

$\rm
[TransferNotEq
\stackrel{
stmt
}{\rightarrow}ZFsub
\vdash 
\forall \underline{
\mathsf{x}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf{y}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf {v}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf {w}}
\colon 
\lceil \overline{
\mathsf {s}}
\rceil 
\#^0
\lceil \underline{
\mathsf{x}}
\rceil 
\mathrel {\makebox [0mm][l]{$\vdash $}\,{\vdash }} 
\lceil \overline{
\mathsf {s}}
\rceil 
\#^0
\lceil \underline{
\mathsf{y}}
\rceil 
\mathrel {\makebox [0mm][l]{$\vdash $}\,{\vdash }} 
\lceil \overline{
\mathsf {s}}
\rceil 
\#^0
\lceil \underline{
\mathsf {v}}
\rceil 
\mathrel {\makebox [0mm][l]{$\vdash $}\,{\vdash }} 
\lceil \overline{
\mathsf {s}}
\rceil 
\#^0
\lceil \underline{
\mathsf {w}}
\rceil 
\mathrel {\makebox [0mm][l]{$\vdash $}\,{\vdash }} \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf{x}}
\!\mathrel{=}\! \underline{
\mathsf{y}}
\vdash \underline{
\mathsf{x}}
\!\mathrel{=}\! \underline{
\mathsf {v}}
\vdash \underline{
\mathsf{y}}
\!\mathrel{=}\! \underline{
\mathsf {w}}
\vdash \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf {v}}
\!\mathrel{=}\! \underline{
\mathsf {w}}
]$

$\rm
[TransferNotEq
\stackrel{
\mathrm{tex}
}{\rightarrow}
\mbox{``}TransferNotEq
\mbox{''}
]$

$\rm
[TransferNotEq
\stackrel{
\mathrm{pyk}
}{\rightarrow}
\mbox{``}lemma
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}transfer
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}
\char126 is
\mbox{''}
]$

\hypertarget {url:1808490560655876194608813785663292462486349118665588524157069396079556865:122}{}\section* {$\rm HelperPairSubset$}

$\rm
[HelperPairSubset
\stackrel{
proof
}{\rightarrow}
\lambda 
\mathsf {c}
.
\lambda 
\mathsf{x}
.
{\cal P}( 
\lceil ZFsub
\vdash 
\forall \underline{
\mathsf {s}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf{x}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf{y}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf {w}}
\colon 
\lceil \overline{
\mathsf {s}}
\rceil 
\#^0
\lceil \underline{
\mathsf {s}}
\rceil 
\mathrel {\makebox [0mm][l]{$\vdash $}\,{\vdash }} 
\lceil \overline{
\mathsf {s}}
\rceil 
\#^0
\lceil \underline{
\mathsf{x}}
\rceil 
\mathrel {\makebox [0mm][l]{$\vdash $}\,{\vdash }} 
\lceil \overline{
\mathsf {s}}
\rceil 
\#^0
\lceil \underline{
\mathsf{y}}
\rceil 
\mathrel {\makebox [0mm][l]{$\vdash $}\,{\vdash }} 
\lceil \overline{
\mathsf {s}}
\rceil 
\#^0
\lceil \underline{
\mathsf {w}}
\rceil 
\mathrel {\makebox [0mm][l]{$\vdash $}\,{\vdash }} \underline{
\mathsf{x}}
\!\mathrel{=}\! \underline{
\mathsf{y}}
\vdash \underline{
\mathsf {s}}
\!\mathrel{=}\! \underline{
\mathsf{x}}
\vdash \!{}=\!{}Transitivity
\mathrel {\makebox [0mm][l]{$\rhd $}\,{\rhd }} 
\lceil \overline{
\mathsf {s}}
\rceil 
\#^0
\lceil \underline{
\mathsf {s}}
\rceil 
\mathrel {\makebox [0mm][l]{$\rhd $}\,{\rhd }} 
\lceil \overline{
\mathsf {s}}
\rceil 
\#^0
\lceil \underline{
\mathsf{x}}
\rceil 
\mathrel {\makebox [0mm][l]{$\rhd $}\,{\rhd }} 
\lceil \overline{
\mathsf {s}}
\rceil 
\#^0
\lceil \underline{
\mathsf{y}}
\rceil 
\rhd \underline{
\mathsf {s}}
\!\mathrel{=}\! \underline{
\mathsf{x}}
\rhd \underline{
\mathsf{x}}
\!\mathrel{=}\! \underline{
\mathsf{y}}
\gg \underline{
\mathsf {s}}
\!\mathrel{=}\! \underline{
\mathsf{y}}
; WeakenOr2
\rhd \underline{
\mathsf {s}}
\!\mathrel{=}\! \underline{
\mathsf{y}}
\gg \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf {s}}
\!\mathrel{=}\! \underline{
\mathsf{y}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {s}}
\!\mathrel{=}\! \underline{
\mathsf {w}}
; 
\forall \underline{
\mathsf {s}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf{x}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf{y}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf {w}}
\colon Ded
\rhd 
\forall \underline{
\mathsf {s}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf{x}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf{y}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf {w}}
\colon 
\lceil \overline{
\mathsf {s}}
\rceil 
\#^0
\lceil \underline{
\mathsf {s}}
\rceil 
\mathrel {\makebox [0mm][l]{$\vdash $}\,{\vdash }} 
\lceil \overline{
\mathsf {s}}
\rceil 
\#^0
\lceil \underline{
\mathsf{x}}
\rceil 
\mathrel {\makebox [0mm][l]{$\vdash $}\,{\vdash }} 
\lceil \overline{
\mathsf {s}}
\rceil 
\#^0
\lceil \underline{
\mathsf{y}}
\rceil 
\mathrel {\makebox [0mm][l]{$\vdash $}\,{\vdash }} 
\lceil \overline{
\mathsf {s}}
\rceil 
\#^0
\lceil \underline{
\mathsf {w}}
\rceil 
\mathrel {\makebox [0mm][l]{$\vdash $}\,{\vdash }} \underline{
\mathsf{x}}
\!\mathrel{=}\! \underline{
\mathsf{y}}
\vdash \underline{
\mathsf {s}}
\!\mathrel{=}\! \underline{
\mathsf{x}}
\vdash \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf {s}}
\!\mathrel{=}\! \underline{
\mathsf{y}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {s}}
\!\mathrel{=}\! \underline{
\mathsf {w}}
\gg 
\lceil \overline{
\mathsf {s}}
\rceil 
\#^0
\lceil \underline{
\mathsf {s}}
\rceil 
\mathrel {\makebox [0mm][l]{$\vdash $}\,{\vdash }} 
\lceil \overline{
\mathsf {s}}
\rceil 
\#^0
\lceil \underline{
\mathsf{x}}
\rceil 
\mathrel {\makebox [0mm][l]{$\vdash $}\,{\vdash }} 
\lceil \overline{
\mathsf {s}}
\rceil 
\#^0
\lceil \underline{
\mathsf{y}}
\rceil 
\mathrel {\makebox [0mm][l]{$\vdash $}\,{\vdash }} 
\lceil \overline{
\mathsf {s}}
\rceil 
\#^0
\lceil \underline{
\mathsf {w}}
\rceil 
\mathrel {\makebox [0mm][l]{$\vdash $}\,{\vdash }} \underline{
\mathsf{x}}
\!\mathrel{=}\! \underline{
\mathsf{y}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {s}}
\!\mathrel{=}\! \underline{
\mathsf{x}}
\Rightarrow \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf {s}}
\!\mathrel{=}\! \underline{
\mathsf{y}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {s}}
\!\mathrel{=}\! \underline{
\mathsf {w}}
\rceil 
, 
p_0
, 
\mathsf {c}
)
]$

$\rm
[HelperPairSubset
\stackrel{
stmt
}{\rightarrow}ZFsub
\vdash 
\forall \underline{
\mathsf {s}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf{x}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf{y}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf {w}}
\colon 
\lceil \overline{
\mathsf {s}}
\rceil 
\#^0
\lceil \underline{
\mathsf {s}}
\rceil 
\mathrel {\makebox [0mm][l]{$\vdash $}\,{\vdash }} 
\lceil \overline{
\mathsf {s}}
\rceil 
\#^0
\lceil \underline{
\mathsf{x}}
\rceil 
\mathrel {\makebox [0mm][l]{$\vdash $}\,{\vdash }} 
\lceil \overline{
\mathsf {s}}
\rceil 
\#^0
\lceil \underline{
\mathsf{y}}
\rceil 
\mathrel {\makebox [0mm][l]{$\vdash $}\,{\vdash }} 
\lceil \overline{
\mathsf {s}}
\rceil 
\#^0
\lceil \underline{
\mathsf {w}}
\rceil 
\mathrel {\makebox [0mm][l]{$\vdash $}\,{\vdash }} \underline{
\mathsf{x}}
\!\mathrel{=}\! \underline{
\mathsf{y}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {s}}
\!\mathrel{=}\! \underline{
\mathsf{x}}
\Rightarrow \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf {s}}
\!\mathrel{=}\! \underline{
\mathsf{y}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {s}}
\!\mathrel{=}\! \underline{
\mathsf {w}}
]$

$\rm
[HelperPairSubset
\stackrel{
\mathrm{tex}
}{\rightarrow}
\mbox{``}HelperPairSubset
\mbox{''}
]$

$\rm
[HelperPairSubset
\stackrel{
\mathrm{pyk}
}{\rightarrow}
\mbox{``}lemma
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}pair
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}subset0
\mbox{''}
]$

\hypertarget {url:1808490560655876194608813785663292462486349118665588524157069396079556865:123}{}\section* {$\rm Helper(2)PairSubset$}

$\rm
[Helper(2)PairSubset
\stackrel{
proof
}{\rightarrow}
\lambda 
\mathsf {c}
.
\lambda 
\mathsf{x}
.
{\cal P}( 
\lceil ZFsub
\vdash 
\forall \underline{
\mathsf {s}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf{y}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf {v}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf {w}}
\colon 
\lceil \overline{
\mathsf {s}}
\rceil 
\#^0
\lceil \underline{
\mathsf {s}}
\rceil 
\mathrel {\makebox [0mm][l]{$\vdash $}\,{\vdash }} 
\lceil \overline{
\mathsf {s}}
\rceil 
\#^0
\lceil \underline{
\mathsf{y}}
\rceil 
\mathrel {\makebox [0mm][l]{$\vdash $}\,{\vdash }} 
\lceil \overline{
\mathsf {s}}
\rceil 
\#^0
\lceil \underline{
\mathsf {v}}
\rceil 
\mathrel {\makebox [0mm][l]{$\vdash $}\,{\vdash }} 
\lceil \overline{
\mathsf {s}}
\rceil 
\#^0
\lceil \underline{
\mathsf {w}}
\rceil 
\mathrel {\makebox [0mm][l]{$\vdash $}\,{\vdash }} \underline{
\mathsf {v}}
\!\mathrel{=}\! \underline{
\mathsf {w}}
\vdash \underline{
\mathsf {s}}
\!\mathrel{=}\! \underline{
\mathsf {v}}
\vdash \!{}=\!{}Transitivity
\mathrel {\makebox [0mm][l]{$\rhd $}\,{\rhd }} 
\lceil \overline{
\mathsf {s}}
\rceil 
\#^0
\lceil \underline{
\mathsf {s}}
\rceil 
\mathrel {\makebox [0mm][l]{$\rhd $}\,{\rhd }} 
\lceil \overline{
\mathsf {s}}
\rceil 
\#^0
\lceil \underline{
\mathsf {v}}
\rceil 
\mathrel {\makebox [0mm][l]{$\rhd $}\,{\rhd }} 
\lceil \overline{
\mathsf {s}}
\rceil 
\#^0
\lceil \underline{
\mathsf {w}}
\rceil 
\rhd \underline{
\mathsf {s}}
\!\mathrel{=}\! \underline{
\mathsf {v}}
\rhd \underline{
\mathsf {v}}
\!\mathrel{=}\! \underline{
\mathsf {w}}
\gg \underline{
\mathsf {s}}
\!\mathrel{=}\! \underline{
\mathsf {w}}
; WeakenOr1
\rhd \underline{
\mathsf {s}}
\!\mathrel{=}\! \underline{
\mathsf {w}}
\gg \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf {s}}
\!\mathrel{=}\! \underline{
\mathsf{y}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {s}}
\!\mathrel{=}\! \underline{
\mathsf {w}}
; 
\forall \underline{
\mathsf {s}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf{y}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf {v}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf {w}}
\colon Ded
\rhd 
\forall \underline{
\mathsf {s}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf{y}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf {v}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf {w}}
\colon 
\lceil \overline{
\mathsf {s}}
\rceil 
\#^0
\lceil \underline{
\mathsf {s}}
\rceil 
\mathrel {\makebox [0mm][l]{$\vdash $}\,{\vdash }} 
\lceil \overline{
\mathsf {s}}
\rceil 
\#^0
\lceil \underline{
\mathsf{y}}
\rceil 
\mathrel {\makebox [0mm][l]{$\vdash $}\,{\vdash }} 
\lceil \overline{
\mathsf {s}}
\rceil 
\#^0
\lceil \underline{
\mathsf {v}}
\rceil 
\mathrel {\makebox [0mm][l]{$\vdash $}\,{\vdash }} 
\lceil \overline{
\mathsf {s}}
\rceil 
\#^0
\lceil \underline{
\mathsf {w}}
\rceil 
\mathrel {\makebox [0mm][l]{$\vdash $}\,{\vdash }} \underline{
\mathsf {v}}
\!\mathrel{=}\! \underline{
\mathsf {w}}
\vdash \underline{
\mathsf {s}}
\!\mathrel{=}\! \underline{
\mathsf {v}}
\vdash \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf {s}}
\!\mathrel{=}\! \underline{
\mathsf{y}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {s}}
\!\mathrel{=}\! \underline{
\mathsf {w}}
\gg 
\lceil \overline{
\mathsf {s}}
\rceil 
\#^0
\lceil \underline{
\mathsf {s}}
\rceil 
\mathrel {\makebox [0mm][l]{$\vdash $}\,{\vdash }} 
\lceil \overline{
\mathsf {s}}
\rceil 
\#^0
\lceil \underline{
\mathsf{y}}
\rceil 
\mathrel {\makebox [0mm][l]{$\vdash $}\,{\vdash }} 
\lceil \overline{
\mathsf {s}}
\rceil 
\#^0
\lceil \underline{
\mathsf {v}}
\rceil 
\mathrel {\makebox [0mm][l]{$\vdash $}\,{\vdash }} 
\lceil \overline{
\mathsf {s}}
\rceil 
\#^0
\lceil \underline{
\mathsf {w}}
\rceil 
\mathrel {\makebox [0mm][l]{$\vdash $}\,{\vdash }} \underline{
\mathsf {v}}
\!\mathrel{=}\! \underline{
\mathsf {w}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {s}}
\!\mathrel{=}\! \underline{
\mathsf {v}}
\Rightarrow \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf {s}}
\!\mathrel{=}\! \underline{
\mathsf{y}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {s}}
\!\mathrel{=}\! \underline{
\mathsf {w}}
\rceil 
, 
p_0
, 
\mathsf {c}
)
]$

$\rm
[Helper(2)PairSubset
\stackrel{
stmt
}{\rightarrow}ZFsub
\vdash 
\forall \underline{
\mathsf {s}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf{y}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf {v}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf {w}}
\colon 
\lceil \overline{
\mathsf {s}}
\rceil 
\#^0
\lceil \underline{
\mathsf {s}}
\rceil 
\mathrel {\makebox [0mm][l]{$\vdash $}\,{\vdash }} 
\lceil \overline{
\mathsf {s}}
\rceil 
\#^0
\lceil \underline{
\mathsf{y}}
\rceil 
\mathrel {\makebox [0mm][l]{$\vdash $}\,{\vdash }} 
\lceil \overline{
\mathsf {s}}
\rceil 
\#^0
\lceil \underline{
\mathsf {v}}
\rceil 
\mathrel {\makebox [0mm][l]{$\vdash $}\,{\vdash }} 
\lceil \overline{
\mathsf {s}}
\rceil 
\#^0
\lceil \underline{
\mathsf {w}}
\rceil 
\mathrel {\makebox [0mm][l]{$\vdash $}\,{\vdash }} \underline{
\mathsf {v}}
\!\mathrel{=}\! \underline{
\mathsf {w}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {s}}
\!\mathrel{=}\! \underline{
\mathsf {v}}
\Rightarrow \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf {s}}
\!\mathrel{=}\! \underline{
\mathsf{y}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {s}}
\!\mathrel{=}\! \underline{
\mathsf {w}}
]$

$\rm
[Helper(2)PairSubset
\stackrel{
\mathrm{tex}
}{\rightarrow}
\mbox{``}Helper(2)PairSubset
\mbox{''}
]$

$\rm
[Helper(2)PairSubset
\stackrel{
\mathrm{pyk}
}{\rightarrow}
\mbox{``}lemma
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}pair
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}subset1
\mbox{''}
]$

\hypertarget {url:1808490560655876194608813785663292462486349118665588524157069396079556865:124}{}\section* {$\rm PairSubset$}

$\rm
[PairSubset
\stackrel{
proof
}{\rightarrow}
\lambda 
\mathsf {c}
.
\lambda 
\mathsf{x}
.
{\cal P}( 
\lceil ZFsub
\vdash 
\forall \underline{
\mathsf {s}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf{x}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf{y}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf {v}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf {w}}
\colon 
\lceil \overline{
\mathsf {s}}
\rceil 
\#^0
\lceil \underline{
\mathsf{x}}
\rceil 
\mathrel {\makebox [0mm][l]{$\vdash $}\,{\vdash }} 
\lceil \overline{
\mathsf {s}}
\rceil 
\#^0
\lceil \underline{
\mathsf{y}}
\rceil 
\mathrel {\makebox [0mm][l]{$\vdash $}\,{\vdash }} 
\lceil \overline{
\mathsf {s}}
\rceil 
\#^0
\lceil \underline{
\mathsf {v}}
\rceil 
\mathrel {\makebox [0mm][l]{$\vdash $}\,{\vdash }} 
\lceil \overline{
\mathsf {s}}
\rceil 
\#^0
\lceil \underline{
\mathsf {w}}
\rceil 
\mathrel {\makebox [0mm][l]{$\vdash $}\,{\vdash }} 
\lceil \overline{
\mathsf {s}}
\rceil 
\#^0
\lceil \underline{
\mathsf {s}}
\rceil 
\mathrel {\makebox [0mm][l]{$\vdash $}\,{\vdash }} \underline{
\mathsf{x}}
\!\mathrel{=}\! \underline{
\mathsf{y}}
\vdash \underline{
\mathsf {v}}
\!\mathrel{=}\! \underline{
\mathsf {w}}
\vdash \underline{
\mathsf {s}}
 \mathrel{\in} \{\underline{
\mathsf{x}}
,\underline{
\mathsf {v}}
\}
\vdash Pair2Formula
\rhd \underline{
\mathsf {s}}
 \mathrel{\in} \{\underline{
\mathsf{x}}
,\underline{
\mathsf {v}}
\}
\gg \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf {s}}
\!\mathrel{=}\! \underline{
\mathsf{x}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {s}}
\!\mathrel{=}\! \underline{
\mathsf {v}}
; HelperPairSubset
\mathrel {\makebox [0mm][l]{$\rhd $}\,{\rhd }} 
\lceil \overline{
\mathsf {s}}
\rceil 
\#^0
\lceil \underline{
\mathsf {s}}
\rceil 
\mathrel {\makebox [0mm][l]{$\rhd $}\,{\rhd }} 
\lceil \overline{
\mathsf {s}}
\rceil 
\#^0
\lceil \underline{
\mathsf{x}}
\rceil 
\mathrel {\makebox [0mm][l]{$\rhd $}\,{\rhd }} 
\lceil \overline{
\mathsf {s}}
\rceil 
\#^0
\lceil \underline{
\mathsf{y}}
\rceil 
\mathrel {\makebox [0mm][l]{$\rhd $}\,{\rhd }} 
\lceil \overline{
\mathsf {s}}
\rceil 
\#^0
\lceil \underline{
\mathsf {w}}
\rceil 
\gg \underline{
\mathsf{x}}
\!\mathrel{=}\! \underline{
\mathsf{y}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {s}}
\!\mathrel{=}\! \underline{
\mathsf{x}}
\Rightarrow \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf {s}}
\!\mathrel{=}\! \underline{
\mathsf{y}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {s}}
\!\mathrel{=}\! \underline{
\mathsf {w}}
; MP
\rhd \underline{
\mathsf{x}}
\!\mathrel{=}\! \underline{
\mathsf{y}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {s}}
\!\mathrel{=}\! \underline{
\mathsf{x}}
\Rightarrow \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf {s}}
\!\mathrel{=}\! \underline{
\mathsf{y}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {s}}
\!\mathrel{=}\! \underline{
\mathsf {w}}
\rhd \underline{
\mathsf{x}}
\!\mathrel{=}\! \underline{
\mathsf{y}}
\gg \underline{
\mathsf {s}}
\!\mathrel{=}\! \underline{
\mathsf{x}}
\Rightarrow \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf {s}}
\!\mathrel{=}\! \underline{
\mathsf{y}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {s}}
\!\mathrel{=}\! \underline{
\mathsf {w}}
; Helper(2)PairSubset
\mathrel {\makebox [0mm][l]{$\rhd $}\,{\rhd }} 
\lceil \overline{
\mathsf {s}}
\rceil 
\#^0
\lceil \underline{
\mathsf {s}}
\rceil 
\mathrel {\makebox [0mm][l]{$\rhd $}\,{\rhd }} 
\lceil \overline{
\mathsf {s}}
\rceil 
\#^0
\lceil \underline{
\mathsf{y}}
\rceil 
\mathrel {\makebox [0mm][l]{$\rhd $}\,{\rhd }} 
\lceil \overline{
\mathsf {s}}
\rceil 
\#^0
\lceil \underline{
\mathsf {v}}
\rceil 
\mathrel {\makebox [0mm][l]{$\rhd $}\,{\rhd }} 
\lceil \overline{
\mathsf {s}}
\rceil 
\#^0
\lceil \underline{
\mathsf {w}}
\rceil 
\gg \underline{
\mathsf {v}}
\!\mathrel{=}\! \underline{
\mathsf {w}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {s}}
\!\mathrel{=}\! \underline{
\mathsf {v}}
\Rightarrow \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf {s}}
\!\mathrel{=}\! \underline{
\mathsf{y}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {s}}
\!\mathrel{=}\! \underline{
\mathsf {w}}
; MP
\rhd \underline{
\mathsf {v}}
\!\mathrel{=}\! \underline{
\mathsf {w}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {s}}
\!\mathrel{=}\! \underline{
\mathsf {v}}
\Rightarrow \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf {s}}
\!\mathrel{=}\! \underline{
\mathsf{y}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {s}}
\!\mathrel{=}\! \underline{
\mathsf {w}}
\rhd \underline{
\mathsf {v}}
\!\mathrel{=}\! \underline{
\mathsf {w}}
\gg \underline{
\mathsf {s}}
\!\mathrel{=}\! \underline{
\mathsf {v}}
\Rightarrow \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf {s}}
\!\mathrel{=}\! \underline{
\mathsf{y}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {s}}
\!\mathrel{=}\! \underline{
\mathsf {w}}
; FromDisjuncts
\rhd \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf {s}}
\!\mathrel{=}\! \underline{
\mathsf{x}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {s}}
\!\mathrel{=}\! \underline{
\mathsf {v}}
\rhd \underline{
\mathsf {s}}
\!\mathrel{=}\! \underline{
\mathsf{x}}
\Rightarrow \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf {s}}
\!\mathrel{=}\! \underline{
\mathsf{y}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {s}}
\!\mathrel{=}\! \underline{
\mathsf {w}}
\rhd \underline{
\mathsf {s}}
\!\mathrel{=}\! \underline{
\mathsf {v}}
\Rightarrow \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf {s}}
\!\mathrel{=}\! \underline{
\mathsf{y}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {s}}
\!\mathrel{=}\! \underline{
\mathsf {w}}
\gg \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf {s}}
\!\mathrel{=}\! \underline{
\mathsf{y}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {s}}
\!\mathrel{=}\! \underline{
\mathsf {w}}
; Formula2Pair
\rhd \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf {s}}
\!\mathrel{=}\! \underline{
\mathsf{y}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {s}}
\!\mathrel{=}\! \underline{
\mathsf {w}}
\gg \underline{
\mathsf {s}}
 \mathrel{\in} \{\underline{
\mathsf{y}}
,\underline{
\mathsf {w}}
\}
; 
\forall \underline{
\mathsf {s}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf{x}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf{y}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf {v}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf {w}}
\colon Ded
\rhd 
\forall \underline{
\mathsf {s}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf{x}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf{y}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf {v}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf {w}}
\colon 
\lceil \overline{
\mathsf {s}}
\rceil 
\#^0
\lceil \underline{
\mathsf{x}}
\rceil 
\mathrel {\makebox [0mm][l]{$\vdash $}\,{\vdash }} 
\lceil \overline{
\mathsf {s}}
\rceil 
\#^0
\lceil \underline{
\mathsf{y}}
\rceil 
\mathrel {\makebox [0mm][l]{$\vdash $}\,{\vdash }} 
\lceil \overline{
\mathsf {s}}
\rceil 
\#^0
\lceil \underline{
\mathsf {v}}
\rceil 
\mathrel {\makebox [0mm][l]{$\vdash $}\,{\vdash }} 
\lceil \overline{
\mathsf {s}}
\rceil 
\#^0
\lceil \underline{
\mathsf {w}}
\rceil 
\mathrel {\makebox [0mm][l]{$\vdash $}\,{\vdash }} 
\lceil \overline{
\mathsf {s}}
\rceil 
\#^0
\lceil \underline{
\mathsf {s}}
\rceil 
\mathrel {\makebox [0mm][l]{$\vdash $}\,{\vdash }} \underline{
\mathsf{x}}
\!\mathrel{=}\! \underline{
\mathsf{y}}
\vdash \underline{
\mathsf {v}}
\!\mathrel{=}\! \underline{
\mathsf {w}}
\vdash \underline{
\mathsf {s}}
 \mathrel{\in} \{\underline{
\mathsf{x}}
,\underline{
\mathsf {v}}
\}
\vdash \underline{
\mathsf {s}}
 \mathrel{\in} \{\underline{
\mathsf{y}}
,\underline{
\mathsf {w}}
\}
\gg 
\lceil \overline{
\mathsf {s}}
\rceil 
\#^0
\lceil \underline{
\mathsf{x}}
\rceil 
\mathrel {\makebox [0mm][l]{$\vdash $}\,{\vdash }} 
\lceil \overline{
\mathsf {s}}
\rceil 
\#^0
\lceil \underline{
\mathsf{y}}
\rceil 
\mathrel {\makebox [0mm][l]{$\vdash $}\,{\vdash }} 
\lceil \overline{
\mathsf {s}}
\rceil 
\#^0
\lceil \underline{
\mathsf {v}}
\rceil 
\mathrel {\makebox [0mm][l]{$\vdash $}\,{\vdash }} 
\lceil \overline{
\mathsf {s}}
\rceil 
\#^0
\lceil \underline{
\mathsf {w}}
\rceil 
\mathrel {\makebox [0mm][l]{$\vdash $}\,{\vdash }} 
\lceil \overline{
\mathsf {s}}
\rceil 
\#^0
\lceil \underline{
\mathsf {s}}
\rceil 
\mathrel {\makebox [0mm][l]{$\vdash $}\,{\vdash }} \underline{
\mathsf{x}}
\!\mathrel{=}\! \underline{
\mathsf{y}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {v}}
\!\mathrel{=}\! \underline{
\mathsf {w}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {s}}
 \mathrel{\in} \{\underline{
\mathsf{x}}
,\underline{
\mathsf {v}}
\}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {s}}
 \mathrel{\in} \{\underline{
\mathsf{y}}
,\underline{
\mathsf {w}}
\}
\rceil 
, 
p_0
, 
\mathsf {c}
)
]$

$\rm
[PairSubset
\stackrel{
stmt
}{\rightarrow}ZFsub
\vdash 
\forall \underline{
\mathsf {s}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf{x}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf{y}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf {v}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf {w}}
\colon 
\lceil \overline{
\mathsf {s}}
\rceil 
\#^0
\lceil \underline{
\mathsf{x}}
\rceil 
\mathrel {\makebox [0mm][l]{$\vdash $}\,{\vdash }} 
\lceil \overline{
\mathsf {s}}
\rceil 
\#^0
\lceil \underline{
\mathsf{y}}
\rceil 
\mathrel {\makebox [0mm][l]{$\vdash $}\,{\vdash }} 
\lceil \overline{
\mathsf {s}}
\rceil 
\#^0
\lceil \underline{
\mathsf {v}}
\rceil 
\mathrel {\makebox [0mm][l]{$\vdash $}\,{\vdash }} 
\lceil \overline{
\mathsf {s}}
\rceil 
\#^0
\lceil \underline{
\mathsf {w}}
\rceil 
\mathrel {\makebox [0mm][l]{$\vdash $}\,{\vdash }} 
\lceil \overline{
\mathsf {s}}
\rceil 
\#^0
\lceil \underline{
\mathsf {s}}
\rceil 
\mathrel {\makebox [0mm][l]{$\vdash $}\,{\vdash }} \underline{
\mathsf{x}}
\!\mathrel{=}\! \underline{
\mathsf{y}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {v}}
\!\mathrel{=}\! \underline{
\mathsf {w}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {s}}
 \mathrel{\in} \{\underline{
\mathsf{x}}
,\underline{
\mathsf {v}}
\}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {s}}
 \mathrel{\in} \{\underline{
\mathsf{y}}
,\underline{
\mathsf {w}}
\}
]$

$\rm
[PairSubset
\stackrel{
\mathrm{tex}
}{\rightarrow}
\mbox{``}PairSubset
\mbox{''}
]$

$\rm
[PairSubset
\stackrel{
\mathrm{pyk}
}{\rightarrow}
\mbox{``}lemma
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}pair
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}subset
\mbox{''}
]$

\hypertarget {url:1808490560655876194608813785663292462486349118665588524157069396079556865:125}{}\section* {$\rm SamePair$}

$\rm
[SamePair
\stackrel{
proof
}{\rightarrow}
\lambda 
\mathsf {c}
.
\lambda 
\mathsf{x}
.
{\cal P}( 
\lceil ZFsub
\vdash 
\forall \underline{
\mathsf{x}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf{y}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf {v}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf {w}}
\colon 
\lceil \overline{
\mathsf {s}}
\rceil 
\#^0
\lceil \underline{
\mathsf{x}}
\rceil 
\mathrel {\makebox [0mm][l]{$\vdash $}\,{\vdash }} 
\lceil \overline{
\mathsf {s}}
\rceil 
\#^0
\lceil \underline{
\mathsf{y}}
\rceil 
\mathrel {\makebox [0mm][l]{$\vdash $}\,{\vdash }} 
\lceil \overline{
\mathsf {s}}
\rceil 
\#^0
\lceil \underline{
\mathsf {v}}
\rceil 
\mathrel {\makebox [0mm][l]{$\vdash $}\,{\vdash }} 
\lceil \overline{
\mathsf {s}}
\rceil 
\#^0
\lceil \underline{
\mathsf {w}}
\rceil 
\mathrel {\makebox [0mm][l]{$\vdash $}\,{\vdash }} 
\lceil \overline{
\mathsf {t}}
\rceil 
\#^0
\lceil \{\underline{
\mathsf{x}}
,\underline{
\mathsf {v}}
\}
\rceil 
\mathrel {\makebox [0mm][l]{$\vdash $}\,{\vdash }} 
\lceil \overline{
\mathsf {t}}
\rceil 
\#^0
\lceil \{\underline{
\mathsf{y}}
,\underline{
\mathsf {w}}
\}
\rceil 
\mathrel {\makebox [0mm][l]{$\vdash $}\,{\vdash }} \underline{
\mathsf{x}}
\!\mathrel{=}\! \underline{
\mathsf{y}}
\vdash \underline{
\mathsf {v}}
\!\mathrel{=}\! \underline{
\mathsf {w}}
\vdash PairSubset
\mathrel {\makebox [0mm][l]{$\rhd $}\,{\rhd }} 
\lceil \overline{
\mathsf {s}}
\rceil 
\#^0
\lceil \underline{
\mathsf{x}}
\rceil 
\mathrel {\makebox [0mm][l]{$\rhd $}\,{\rhd }} 
\lceil \overline{
\mathsf {s}}
\rceil 
\#^0
\lceil \underline{
\mathsf{y}}
\rceil 
\mathrel {\makebox [0mm][l]{$\rhd $}\,{\rhd }} 
\lceil \overline{
\mathsf {s}}
\rceil 
\#^0
\lceil \underline{
\mathsf {v}}
\rceil 
\mathrel {\makebox [0mm][l]{$\rhd $}\,{\rhd }} 
\lceil \overline{
\mathsf {s}}
\rceil 
\#^0
\lceil \underline{
\mathsf {w}}
\rceil 
\gg \underline{
\mathsf{x}}
\!\mathrel{=}\! \underline{
\mathsf{y}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {v}}
\!\mathrel{=}\! \underline{
\mathsf {w}}
\Rightarrow \overline{
\mathsf {t}}
 \mathrel{\in} \{\underline{
\mathsf{x}}
,\underline{
\mathsf {v}}
\}
\Rightarrow \overline{
\mathsf {t}}
 \mathrel{\in} \{\underline{
\mathsf{y}}
,\underline{
\mathsf {w}}
\}
; MP2
\rhd \underline{
\mathsf{x}}
\!\mathrel{=}\! \underline{
\mathsf{y}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {v}}
\!\mathrel{=}\! \underline{
\mathsf {w}}
\Rightarrow \overline{
\mathsf {t}}
 \mathrel{\in} \{\underline{
\mathsf{x}}
,\underline{
\mathsf {v}}
\}
\Rightarrow \overline{
\mathsf {t}}
 \mathrel{\in} \{\underline{
\mathsf{y}}
,\underline{
\mathsf {w}}
\}
\rhd \underline{
\mathsf{x}}
\!\mathrel{=}\! \underline{
\mathsf{y}}
\rhd \underline{
\mathsf {v}}
\!\mathrel{=}\! \underline{
\mathsf {w}}
\gg \overline{
\mathsf {t}}
 \mathrel{\in} \{\underline{
\mathsf{x}}
,\underline{
\mathsf {v}}
\}
\Rightarrow \overline{
\mathsf {t}}
 \mathrel{\in} \{\underline{
\mathsf{y}}
,\underline{
\mathsf {w}}
\}
; =\!{}Symmetry
\mathrel {\makebox [0mm][l]{$\rhd $}\,{\rhd }} 
\lceil \overline{
\mathsf {s}}
\rceil 
\#^0
\lceil \underline{
\mathsf{x}}
\rceil 
\mathrel {\makebox [0mm][l]{$\rhd $}\,{\rhd }} 
\lceil \overline{
\mathsf {s}}
\rceil 
\#^0
\lceil \underline{
\mathsf{y}}
\rceil 
\rhd \underline{
\mathsf{x}}
\!\mathrel{=}\! \underline{
\mathsf{y}}
\gg \underline{
\mathsf{y}}
\!\mathrel{=}\! \underline{
\mathsf{x}}
; =\!{}Symmetry
\mathrel {\makebox [0mm][l]{$\rhd $}\,{\rhd }} 
\lceil \overline{
\mathsf {s}}
\rceil 
\#^0
\lceil \underline{
\mathsf {v}}
\rceil 
\mathrel {\makebox [0mm][l]{$\rhd $}\,{\rhd }} 
\lceil \overline{
\mathsf {s}}
\rceil 
\#^0
\lceil \underline{
\mathsf {w}}
\rceil 
\rhd \underline{
\mathsf {v}}
\!\mathrel{=}\! \underline{
\mathsf {w}}
\gg \underline{
\mathsf {w}}
\!\mathrel{=}\! \underline{
\mathsf {v}}
; PairSubset
\mathrel {\makebox [0mm][l]{$\rhd $}\,{\rhd }} 
\lceil \overline{
\mathsf {s}}
\rceil 
\#^0
\lceil \underline{
\mathsf{y}}
\rceil 
\mathrel {\makebox [0mm][l]{$\rhd $}\,{\rhd }} 
\lceil \overline{
\mathsf {s}}
\rceil 
\#^0
\lceil \underline{
\mathsf{x}}
\rceil 
\mathrel {\makebox [0mm][l]{$\rhd $}\,{\rhd }} 
\lceil \overline{
\mathsf {s}}
\rceil 
\#^0
\lceil \underline{
\mathsf {w}}
\rceil 
\mathrel {\makebox [0mm][l]{$\rhd $}\,{\rhd }} 
\lceil \overline{
\mathsf {s}}
\rceil 
\#^0
\lceil \underline{
\mathsf {v}}
\rceil 
\gg \underline{
\mathsf{y}}
\!\mathrel{=}\! \underline{
\mathsf{x}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {w}}
\!\mathrel{=}\! \underline{
\mathsf {v}}
\Rightarrow \overline{
\mathsf {t}}
 \mathrel{\in} \{\underline{
\mathsf{y}}
,\underline{
\mathsf {w}}
\}
\Rightarrow \overline{
\mathsf {t}}
 \mathrel{\in} \{\underline{
\mathsf{x}}
,\underline{
\mathsf {v}}
\}
; MP2
\rhd \underline{
\mathsf{y}}
\!\mathrel{=}\! \underline{
\mathsf{x}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {w}}
\!\mathrel{=}\! \underline{
\mathsf {v}}
\Rightarrow \overline{
\mathsf {t}}
 \mathrel{\in} \{\underline{
\mathsf{y}}
,\underline{
\mathsf {w}}
\}
\Rightarrow \overline{
\mathsf {t}}
 \mathrel{\in} \{\underline{
\mathsf{x}}
,\underline{
\mathsf {v}}
\}
\rhd \underline{
\mathsf{y}}
\!\mathrel{=}\! \underline{
\mathsf{x}}
\rhd \underline{
\mathsf {w}}
\!\mathrel{=}\! \underline{
\mathsf {v}}
\gg \overline{
\mathsf {t}}
 \mathrel{\in} \{\underline{
\mathsf{y}}
,\underline{
\mathsf {w}}
\}
\Rightarrow \overline{
\mathsf {t}}
 \mathrel{\in} \{\underline{
\mathsf{x}}
,\underline{
\mathsf {v}}
\}
; ToSetEquality(t)
\mathrel {\makebox [0mm][l]{$\rhd $}\,{\rhd }} 
\lceil \overline{
\mathsf {t}}
\rceil 
\#^0
\lceil \{\underline{
\mathsf{x}}
,\underline{
\mathsf {v}}
\}
\rceil 
\mathrel {\makebox [0mm][l]{$\rhd $}\,{\rhd }} 
\lceil \overline{
\mathsf {t}}
\rceil 
\#^0
\lceil \{\underline{
\mathsf{y}}
,\underline{
\mathsf {w}}
\}
\rceil 
\rhd \overline{
\mathsf {t}}
 \mathrel{\in} \{\underline{
\mathsf{x}}
,\underline{
\mathsf {v}}
\}
\Rightarrow \overline{
\mathsf {t}}
 \mathrel{\in} \{\underline{
\mathsf{y}}
,\underline{
\mathsf {w}}
\}
\rhd \overline{
\mathsf {t}}
 \mathrel{\in} \{\underline{
\mathsf{y}}
,\underline{
\mathsf {w}}
\}
\Rightarrow \overline{
\mathsf {t}}
 \mathrel{\in} \{\underline{
\mathsf{x}}
,\underline{
\mathsf {v}}
\}
\gg \{\underline{
\mathsf{x}}
,\underline{
\mathsf {v}}
\}
\!\mathrel{=}\! \{\underline{
\mathsf{y}}
,\underline{
\mathsf {w}}
\}
\rceil 
, 
p_0
, 
\mathsf {c}
)
]$

$\rm
[SamePair
\stackrel{
stmt
}{\rightarrow}ZFsub
\vdash 
\forall \underline{
\mathsf{x}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf{y}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf {v}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf {w}}
\colon 
\lceil \overline{
\mathsf {s}}
\rceil 
\#^0
\lceil \underline{
\mathsf{x}}
\rceil 
\mathrel {\makebox [0mm][l]{$\vdash $}\,{\vdash }} 
\lceil \overline{
\mathsf {s}}
\rceil 
\#^0
\lceil \underline{
\mathsf{y}}
\rceil 
\mathrel {\makebox [0mm][l]{$\vdash $}\,{\vdash }} 
\lceil \overline{
\mathsf {s}}
\rceil 
\#^0
\lceil \underline{
\mathsf {v}}
\rceil 
\mathrel {\makebox [0mm][l]{$\vdash $}\,{\vdash }} 
\lceil \overline{
\mathsf {s}}
\rceil 
\#^0
\lceil \underline{
\mathsf {w}}
\rceil 
\mathrel {\makebox [0mm][l]{$\vdash $}\,{\vdash }} 
\lceil \overline{
\mathsf {t}}
\rceil 
\#^0
\lceil \{\underline{
\mathsf{x}}
,\underline{
\mathsf {v}}
\}
\rceil 
\mathrel {\makebox [0mm][l]{$\vdash $}\,{\vdash }} 
\lceil \overline{
\mathsf {t}}
\rceil 
\#^0
\lceil \{\underline{
\mathsf{y}}
,\underline{
\mathsf {w}}
\}
\rceil 
\mathrel {\makebox [0mm][l]{$\vdash $}\,{\vdash }} \underline{
\mathsf{x}}
\!\mathrel{=}\! \underline{
\mathsf{y}}
\vdash \underline{
\mathsf {v}}
\!\mathrel{=}\! \underline{
\mathsf {w}}
\vdash \{\underline{
\mathsf{x}}
,\underline{
\mathsf {v}}
\}
\!\mathrel{=}\! \{\underline{
\mathsf{y}}
,\underline{
\mathsf {w}}
\}
]$

$\rm
[SamePair
\stackrel{
\mathrm{tex}
}{\rightarrow}
\mbox{``}SamePair
\mbox{''}
]$

$\rm
[SamePair
\stackrel{
\mathrm{pyk}
}{\rightarrow}
\mbox{``}lemma
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}same
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}pair
\mbox{''}
]$

\hypertarget {url:1808490560655876194608813785663292462486349118665588524157069396079556865:126}{}\section* {$\rm SameSingleton$}

$\rm
[SameSingleton
\stackrel{
proof
}{\rightarrow}
\lambda 
\mathsf {c}
.
\lambda 
\mathsf{x}
.
{\cal P}( 
\lceil ZFsub
\vdash 
\forall \underline{
\mathsf{x}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf{y}}
\colon 
\lceil \overline{
\mathsf {s}}
\rceil 
\#^0
\lceil \underline{
\mathsf{x}}
\rceil 
\mathrel {\makebox [0mm][l]{$\vdash $}\,{\vdash }} 
\lceil \overline{
\mathsf {s}}
\rceil 
\#^0
\lceil \underline{
\mathsf{y}}
\rceil 
\mathrel {\makebox [0mm][l]{$\vdash $}\,{\vdash }} 
\lceil \overline{
\mathsf {t}}
\rceil 
\#^0
\lceil \{\underline{
\mathsf{x}}
,\underline{
\mathsf{x}}
\}
\rceil 
\mathrel {\makebox [0mm][l]{$\vdash $}\,{\vdash }} 
\lceil \overline{
\mathsf {t}}
\rceil 
\#^0
\lceil \{\underline{
\mathsf{y}}
,\underline{
\mathsf{y}}
\}
\rceil 
\mathrel {\makebox [0mm][l]{$\vdash $}\,{\vdash }} \underline{
\mathsf{x}}
\!\mathrel{=}\! \underline{
\mathsf{y}}
\vdash SamePair
\mathrel {\makebox [0mm][l]{$\rhd $}\,{\rhd }} 
\lceil \overline{
\mathsf {s}}
\rceil 
\#^0
\lceil \underline{
\mathsf{x}}
\rceil 
\mathrel {\makebox [0mm][l]{$\rhd $}\,{\rhd }} 
\lceil \overline{
\mathsf {s}}
\rceil 
\#^0
\lceil \underline{
\mathsf{y}}
\rceil 
\mathrel {\makebox [0mm][l]{$\rhd $}\,{\rhd }} 
\lceil \overline{
\mathsf {s}}
\rceil 
\#^0
\lceil \underline{
\mathsf{x}}
\rceil 
\mathrel {\makebox [0mm][l]{$\rhd $}\,{\rhd }} 
\lceil \overline{
\mathsf {s}}
\rceil 
\#^0
\lceil \underline{
\mathsf{y}}
\rceil 
\mathrel {\makebox [0mm][l]{$\rhd $}\,{\rhd }} 
\lceil \overline{
\mathsf {t}}
\rceil 
\#^0
\lceil \{\underline{
\mathsf{x}}
,\underline{
\mathsf{x}}
\}
\rceil 
\mathrel {\makebox [0mm][l]{$\rhd $}\,{\rhd }} 
\lceil \overline{
\mathsf {t}}
\rceil 
\#^0
\lceil \{\underline{
\mathsf{y}}
,\underline{
\mathsf{y}}
\}
\rceil 
\rhd \underline{
\mathsf{x}}
\!\mathrel{=}\! \underline{
\mathsf{y}}
\rhd \underline{
\mathsf{x}}
\!\mathrel{=}\! \underline{
\mathsf{y}}
\gg \{\underline{
\mathsf{x}}
,\underline{
\mathsf{x}}
\}
\!\mathrel{=}\! \{\underline{
\mathsf{y}}
,\underline{
\mathsf{y}}
\}
; Repetition
\rhd \{\underline{
\mathsf{x}}
,\underline{
\mathsf{x}}
\}
\!\mathrel{=}\! \{\underline{
\mathsf{y}}
,\underline{
\mathsf{y}}
\}
\gg \{\underline{
\mathsf{x}}
,\underline{
\mathsf{x}}
\}
\!\mathrel{=}\! \{\underline{
\mathsf{y}}
,\underline{
\mathsf{y}}
\}
\rceil 
, 
p_0
, 
\mathsf {c}
)
]$

$\rm
[SameSingleton
\stackrel{
stmt
}{\rightarrow}ZFsub
\vdash 
\forall \underline{
\mathsf{x}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf{y}}
\colon 
\lceil \overline{
\mathsf {s}}
\rceil 
\#^0
\lceil \underline{
\mathsf{x}}
\rceil 
\mathrel {\makebox [0mm][l]{$\vdash $}\,{\vdash }} 
\lceil \overline{
\mathsf {s}}
\rceil 
\#^0
\lceil \underline{
\mathsf{y}}
\rceil 
\mathrel {\makebox [0mm][l]{$\vdash $}\,{\vdash }} 
\lceil \overline{
\mathsf {t}}
\rceil 
\#^0
\lceil \{\underline{
\mathsf{x}}
,\underline{
\mathsf{x}}
\}
\rceil 
\mathrel {\makebox [0mm][l]{$\vdash $}\,{\vdash }} 
\lceil \overline{
\mathsf {t}}
\rceil 
\#^0
\lceil \{\underline{
\mathsf{y}}
,\underline{
\mathsf{y}}
\}
\rceil 
\mathrel {\makebox [0mm][l]{$\vdash $}\,{\vdash }} \underline{
\mathsf{x}}
\!\mathrel{=}\! \underline{
\mathsf{y}}
\vdash \{\underline{
\mathsf{x}}
,\underline{
\mathsf{x}}
\}
\!\mathrel{=}\! \{\underline{
\mathsf{y}}
,\underline{
\mathsf{y}}
\}
]$

$\rm
[SameSingleton
\stackrel{
\mathrm{tex}
}{\rightarrow}
\mbox{``}SameSingleton
\mbox{''}
]$

$\rm
[SameSingleton
\stackrel{
\mathrm{pyk}
}{\rightarrow}
\mbox{``}lemma
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}same
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}singleton
\mbox{''}
]$

\hypertarget {url:1808490560655876194608813785663292462486349118665588524157069396079556865:127}{}\section* {$\rm UnionSubset$}

$\rm
[UnionSubset
\stackrel{
proof
}{\rightarrow}
\lambda 
\mathsf {c}
.
\lambda 
\mathsf{x}
.
{\cal P}( 
\lceil ZFsub
\vdash 
\forall \underline{
\mathsf {s}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf{x}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf{y}}
\colon 
\lceil \overline{
\mathsf {s}}
\rceil 
\#^0
\lceil \underline{
\mathsf{x}}
\rceil 
\mathrel {\makebox [0mm][l]{$\vdash $}\,{\vdash }} 
\lceil \overline{
\mathsf {s}}
\rceil 
\#^0
\lceil \underline{
\mathsf{y}}
\rceil 
\mathrel {\makebox [0mm][l]{$\vdash $}\,{\vdash }} \underline{
\mathsf{x}}
\!\mathrel{=}\! \underline{
\mathsf{y}}
\vdash \underline{
\mathsf {s}}
 \mathrel{\in} \cup \underline{
\mathsf{x}}
\vdash Union2Formula
\rhd \underline{
\mathsf {s}}
 \mathrel{\in} \cup \underline{
\mathsf{x}}
\gg \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf {s}}
 \mathrel{\in} 
\mathsf {j}
 _{Ex}
\Rightarrow \dot{\neg}\, 
\mathsf {j}
 _{Ex}
 \mathrel{\in} \underline{
\mathsf{x}}
; FirstConjunct
\rhd \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf {s}}
 \mathrel{\in} 
\mathsf {j}
 _{Ex}
\Rightarrow \dot{\neg}\, 
\mathsf {j}
 _{Ex}
 \mathrel{\in} \underline{
\mathsf{x}}
\gg \underline{
\mathsf {s}}
 \mathrel{\in} 
\mathsf {j}
 _{Ex}
; SecondConjunct
\rhd \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf {s}}
 \mathrel{\in} 
\mathsf {j}
 _{Ex}
\Rightarrow \dot{\neg}\, 
\mathsf {j}
 _{Ex}
 \mathrel{\in} \underline{
\mathsf{x}}
\gg 
\mathsf {j}
 _{Ex}
 \mathrel{\in} \underline{
\mathsf{x}}
; FromSetEquality
\mathrel {\makebox [0mm][l]{$\rhd $}\,{\rhd }} 
\lceil \overline{
\mathsf {s}}
\rceil 
\#^0
\lceil \underline{
\mathsf{x}}
\rceil 
\mathrel {\makebox [0mm][l]{$\rhd $}\,{\rhd }} 
\lceil \overline{
\mathsf {s}}
\rceil 
\#^0
\lceil \underline{
\mathsf{y}}
\rceil 
\rhd \underline{
\mathsf{x}}
\!\mathrel{=}\! \underline{
\mathsf{y}}
\rhd 
\mathsf {j}
 _{Ex}
 \mathrel{\in} \underline{
\mathsf{x}}
\gg 
\mathsf {j}
 _{Ex}
 \mathrel{\in} \underline{
\mathsf{y}}
; Formula2Union
\rhd \underline{
\mathsf {s}}
 \mathrel{\in} 
\mathsf {j}
 _{Ex}
\rhd 
\mathsf {j}
 _{Ex}
 \mathrel{\in} \underline{
\mathsf{y}}
\gg \underline{
\mathsf {s}}
 \mathrel{\in} \cup \underline{
\mathsf{y}}
; 
\forall \underline{
\mathsf {s}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf{x}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf{y}}
\colon Ded
\rhd 
\forall \underline{
\mathsf {s}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf{x}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf{y}}
\colon 
\lceil \overline{
\mathsf {s}}
\rceil 
\#^0
\lceil \underline{
\mathsf{x}}
\rceil 
\mathrel {\makebox [0mm][l]{$\vdash $}\,{\vdash }} 
\lceil \overline{
\mathsf {s}}
\rceil 
\#^0
\lceil \underline{
\mathsf{y}}
\rceil 
\mathrel {\makebox [0mm][l]{$\vdash $}\,{\vdash }} \underline{
\mathsf{x}}
\!\mathrel{=}\! \underline{
\mathsf{y}}
\vdash \underline{
\mathsf {s}}
 \mathrel{\in} \cup \underline{
\mathsf{x}}
\vdash \underline{
\mathsf {s}}
 \mathrel{\in} \cup \underline{
\mathsf{y}}
\gg 
\lceil \overline{
\mathsf {s}}
\rceil 
\#^0
\lceil \underline{
\mathsf{x}}
\rceil 
\mathrel {\makebox [0mm][l]{$\vdash $}\,{\vdash }} 
\lceil \overline{
\mathsf {s}}
\rceil 
\#^0
\lceil \underline{
\mathsf{y}}
\rceil 
\mathrel {\makebox [0mm][l]{$\vdash $}\,{\vdash }} \underline{
\mathsf{x}}
\!\mathrel{=}\! \underline{
\mathsf{y}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {s}}
 \mathrel{\in} \cup \underline{
\mathsf{x}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {s}}
 \mathrel{\in} \cup \underline{
\mathsf{y}}
\rceil 
, 
p_0
, 
\mathsf {c}
)
]$

$\rm
[UnionSubset
\stackrel{
stmt
}{\rightarrow}ZFsub
\vdash 
\forall \underline{
\mathsf {s}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf{x}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf{y}}
\colon 
\lceil \overline{
\mathsf {s}}
\rceil 
\#^0
\lceil \underline{
\mathsf{x}}
\rceil 
\mathrel {\makebox [0mm][l]{$\vdash $}\,{\vdash }} 
\lceil \overline{
\mathsf {s}}
\rceil 
\#^0
\lceil \underline{
\mathsf{y}}
\rceil 
\mathrel {\makebox [0mm][l]{$\vdash $}\,{\vdash }} \underline{
\mathsf{x}}
\!\mathrel{=}\! \underline{
\mathsf{y}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {s}}
 \mathrel{\in} \cup \underline{
\mathsf{x}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {s}}
 \mathrel{\in} \cup \underline{
\mathsf{y}}
]$

$\rm
[UnionSubset
\stackrel{
\mathrm{tex}
}{\rightarrow}
\mbox{``}UnionSubset
\mbox{''}
]$

$\rm
[UnionSubset
\stackrel{
\mathrm{pyk}
}{\rightarrow}
\mbox{``}lemma
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}union
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}subset
\mbox{''}
]$

\hypertarget {url:1808490560655876194608813785663292462486349118665588524157069396079556865:128}{}\section* {$\rm SameUnion$}

$\rm
[SameUnion
\stackrel{
proof
}{\rightarrow}
\lambda 
\mathsf {c}
.
\lambda 
\mathsf{x}
.
{\cal P}( 
\lceil ZFsub
\vdash 
\forall \underline{
\mathsf{x}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf{y}}
\colon 
\lceil \overline{
\mathsf {s}}
\rceil 
\#^0
\lceil \underline{
\mathsf{x}}
\rceil 
\mathrel {\makebox [0mm][l]{$\vdash $}\,{\vdash }} 
\lceil \overline{
\mathsf {s}}
\rceil 
\#^0
\lceil \underline{
\mathsf{y}}
\rceil 
\mathrel {\makebox [0mm][l]{$\vdash $}\,{\vdash }} \underline{
\mathsf{x}}
\!\mathrel{=}\! \underline{
\mathsf{y}}
\vdash UnionSubset
\mathrel {\makebox [0mm][l]{$\rhd $}\,{\rhd }} 
\lceil \overline{
\mathsf {s}}
\rceil 
\#^0
\lceil \underline{
\mathsf{x}}
\rceil 
\mathrel {\makebox [0mm][l]{$\rhd $}\,{\rhd }} 
\lceil \overline{
\mathsf {s}}
\rceil 
\#^0
\lceil \underline{
\mathsf{y}}
\rceil 
\gg \underline{
\mathsf{x}}
\!\mathrel{=}\! \underline{
\mathsf{y}}
\Rightarrow \overline{
\mathsf {s}}
 \mathrel{\in} \cup \underline{
\mathsf{x}}
\Rightarrow \overline{
\mathsf {s}}
 \mathrel{\in} \cup \underline{
\mathsf{y}}
; MP
\rhd \underline{
\mathsf{x}}
\!\mathrel{=}\! \underline{
\mathsf{y}}
\Rightarrow \overline{
\mathsf {s}}
 \mathrel{\in} \cup \underline{
\mathsf{x}}
\Rightarrow \overline{
\mathsf {s}}
 \mathrel{\in} \cup \underline{
\mathsf{y}}
\rhd \underline{
\mathsf{x}}
\!\mathrel{=}\! \underline{
\mathsf{y}}
\gg \overline{
\mathsf {s}}
 \mathrel{\in} \cup \underline{
\mathsf{x}}
\Rightarrow \overline{
\mathsf {s}}
 \mathrel{\in} \cup \underline{
\mathsf{y}}
; =\!{}Symmetry
\mathrel {\makebox [0mm][l]{$\rhd $}\,{\rhd }} 
\lceil \overline{
\mathsf {s}}
\rceil 
\#^0
\lceil \underline{
\mathsf{x}}
\rceil 
\mathrel {\makebox [0mm][l]{$\rhd $}\,{\rhd }} 
\lceil \overline{
\mathsf {s}}
\rceil 
\#^0
\lceil \underline{
\mathsf{y}}
\rceil 
\rhd \underline{
\mathsf{x}}
\!\mathrel{=}\! \underline{
\mathsf{y}}
\gg \underline{
\mathsf{y}}
\!\mathrel{=}\! \underline{
\mathsf{x}}
; UnionSubset
\mathrel {\makebox [0mm][l]{$\rhd $}\,{\rhd }} 
\lceil \overline{
\mathsf {s}}
\rceil 
\#^0
\lceil \underline{
\mathsf{y}}
\rceil 
\mathrel {\makebox [0mm][l]{$\rhd $}\,{\rhd }} 
\lceil \overline{
\mathsf {s}}
\rceil 
\#^0
\lceil \underline{
\mathsf{x}}
\rceil 
\gg \underline{
\mathsf{y}}
\!\mathrel{=}\! \underline{
\mathsf{x}}
\Rightarrow \overline{
\mathsf {s}}
 \mathrel{\in} \cup \underline{
\mathsf{y}}
\Rightarrow \overline{
\mathsf {s}}
 \mathrel{\in} \cup \underline{
\mathsf{x}}
; MP
\rhd \underline{
\mathsf{y}}
\!\mathrel{=}\! \underline{
\mathsf{x}}
\Rightarrow \overline{
\mathsf {s}}
 \mathrel{\in} \cup \underline{
\mathsf{y}}
\Rightarrow \overline{
\mathsf {s}}
 \mathrel{\in} \cup \underline{
\mathsf{x}}
\rhd \underline{
\mathsf{y}}
\!\mathrel{=}\! \underline{
\mathsf{x}}
\gg \overline{
\mathsf {s}}
 \mathrel{\in} \cup \underline{
\mathsf{y}}
\Rightarrow \overline{
\mathsf {s}}
 \mathrel{\in} \cup \underline{
\mathsf{x}}
; ToSetEquality
\rhd \overline{
\mathsf {s}}
 \mathrel{\in} \cup \underline{
\mathsf{x}}
\Rightarrow \overline{
\mathsf {s}}
 \mathrel{\in} \cup \underline{
\mathsf{y}}
\rhd \overline{
\mathsf {s}}
 \mathrel{\in} \cup \underline{
\mathsf{y}}
\Rightarrow \overline{
\mathsf {s}}
 \mathrel{\in} \cup \underline{
\mathsf{x}}
\gg \cup \underline{
\mathsf{x}}
\!\mathrel{=}\! \cup \underline{
\mathsf{y}}
\rceil 
, 
p_0
, 
\mathsf {c}
)
]$

$\rm
[SameUnion
\stackrel{
stmt
}{\rightarrow}ZFsub
\vdash 
\forall \underline{
\mathsf{x}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf{y}}
\colon 
\lceil \overline{
\mathsf {s}}
\rceil 
\#^0
\lceil \underline{
\mathsf{x}}
\rceil 
\mathrel {\makebox [0mm][l]{$\vdash $}\,{\vdash }} 
\lceil \overline{
\mathsf {s}}
\rceil 
\#^0
\lceil \underline{
\mathsf{y}}
\rceil 
\mathrel {\makebox [0mm][l]{$\vdash $}\,{\vdash }} \underline{
\mathsf{x}}
\!\mathrel{=}\! \underline{
\mathsf{y}}
\vdash \cup \underline{
\mathsf{x}}
\!\mathrel{=}\! \cup \underline{
\mathsf{y}}
]$

$\rm
[SameUnion
\stackrel{
\mathrm{tex}
}{\rightarrow}
\mbox{``}SameUnion
\mbox{''}
]$

$\rm
[SameUnion
\stackrel{
\mathrm{pyk}
}{\rightarrow}
\mbox{``}lemma
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}same
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}union
\mbox{''}
]$

\hypertarget {url:1808490560655876194608813785663292462486349118665588524157069396079556865:129}{}\section* {$\rm SeparationSubset$}

$\rm
[SeparationSubset
\stackrel{
proof
}{\rightarrow}
\lambda 
\mathsf {c}
.
\lambda 
\mathsf{x}
.
{\cal P}( 
\lceil ZFsub
\vdash 
\forall \underline{
\mathsf {a}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf {b}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf {s}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf{x}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf{y}}
\colon 
\lceil \overline{
\mathsf {s}}
\rceil 
\#^0
\lceil \underline{
\mathsf{x}}
\rceil 
\mathrel {\makebox [0mm][l]{$\vdash $}\,{\vdash }} 
\lceil \overline{
\mathsf {s}}
\rceil 
\#^0
\lceil \underline{
\mathsf{y}}
\rceil 
\mathrel {\makebox [0mm][l]{$\vdash $}\,{\vdash }} \underline{
\mathsf{x}}
\!\mathrel{=}\! \underline{
\mathsf{y}}
\vdash \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf {a}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {b}}
\Rightarrow \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf {b}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {a}}
\vdash \underline{
\mathsf {s}}
 \mathrel{\in}  \{ ph \mathrel{\in} \underline{
\mathsf{x}}
\mid \underline{
\mathsf {a}}
\}
\vdash Sep2Formula
\rhd \underline{
\mathsf {s}}
 \mathrel{\in}  \{ ph \mathrel{\in} \underline{
\mathsf{x}}
\mid \underline{
\mathsf {a}}
\}
\gg \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf {s}}
 \mathrel{\in} \underline{
\mathsf{x}}
\Rightarrow \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf {a}}
; FirstConjunct
\rhd \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf {s}}
 \mathrel{\in} \underline{
\mathsf{x}}
\Rightarrow \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf {a}}
\gg \underline{
\mathsf {s}}
 \mathrel{\in} \underline{
\mathsf{x}}
; FromSetEquality
\mathrel {\makebox [0mm][l]{$\rhd $}\,{\rhd }} 
\lceil \overline{
\mathsf {s}}
\rceil 
\#^0
\lceil \underline{
\mathsf{x}}
\rceil 
\mathrel {\makebox [0mm][l]{$\rhd $}\,{\rhd }} 
\lceil \overline{
\mathsf {s}}
\rceil 
\#^0
\lceil \underline{
\mathsf{y}}
\rceil 
\rhd \underline{
\mathsf{x}}
\!\mathrel{=}\! \underline{
\mathsf{y}}
\rhd \underline{
\mathsf {s}}
 \mathrel{\in} \underline{
\mathsf{x}}
\gg \underline{
\mathsf {s}}
 \mathrel{\in} \underline{
\mathsf{y}}
; SecondConjunct
\rhd \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf {s}}
 \mathrel{\in} \underline{
\mathsf{x}}
\Rightarrow \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf {a}}
\gg \underline{
\mathsf {a}}
; IffSecond
\rhd \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf {a}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {b}}
\Rightarrow \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf {b}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {a}}
\rhd \underline{
\mathsf {a}}
\gg \underline{
\mathsf {b}}
; Formula2Sep
\rhd \underline{
\mathsf {s}}
 \mathrel{\in} \underline{
\mathsf{y}}
\rhd \underline{
\mathsf {b}}
\gg \underline{
\mathsf {s}}
 \mathrel{\in}  \{ ph \mathrel{\in} \underline{
\mathsf{y}}
\mid \underline{
\mathsf {b}}
\}
; 
\forall \underline{
\mathsf {a}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf {b}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf {s}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf{x}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf{y}}
\colon Ded
\rhd 
\forall \underline{
\mathsf {a}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf {b}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf {s}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf{x}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf{y}}
\colon 
\lceil \overline{
\mathsf {s}}
\rceil 
\#^0
\lceil \underline{
\mathsf{x}}
\rceil 
\mathrel {\makebox [0mm][l]{$\vdash $}\,{\vdash }} 
\lceil \overline{
\mathsf {s}}
\rceil 
\#^0
\lceil \underline{
\mathsf{y}}
\rceil 
\mathrel {\makebox [0mm][l]{$\vdash $}\,{\vdash }} \underline{
\mathsf{x}}
\!\mathrel{=}\! \underline{
\mathsf{y}}
\vdash \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf {a}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {b}}
\Rightarrow \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf {b}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {a}}
\vdash \underline{
\mathsf {s}}
 \mathrel{\in}  \{ ph \mathrel{\in} \underline{
\mathsf{x}}
\mid \underline{
\mathsf {a}}
\}
\vdash \underline{
\mathsf {s}}
 \mathrel{\in}  \{ ph \mathrel{\in} \underline{
\mathsf{y}}
\mid \underline{
\mathsf {b}}
\}
\gg 
\lceil \overline{
\mathsf {s}}
\rceil 
\#^0
\lceil \underline{
\mathsf{x}}
\rceil 
\mathrel {\makebox [0mm][l]{$\vdash $}\,{\vdash }} 
\lceil \overline{
\mathsf {s}}
\rceil 
\#^0
\lceil \underline{
\mathsf{y}}
\rceil 
\mathrel {\makebox [0mm][l]{$\vdash $}\,{\vdash }} \underline{
\mathsf{x}}
\!\mathrel{=}\! \underline{
\mathsf{y}}
\Rightarrow \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf {a}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {b}}
\Rightarrow \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf {b}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {a}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {s}}
 \mathrel{\in}  \{ ph \mathrel{\in} \underline{
\mathsf{x}}
\mid \underline{
\mathsf {a}}
\}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {s}}
 \mathrel{\in}  \{ ph \mathrel{\in} \underline{
\mathsf{y}}
\mid \underline{
\mathsf {b}}
\}
\rceil 
, 
p_0
, 
\mathsf {c}
)
]$

$\rm
[SeparationSubset
\stackrel{
stmt
}{\rightarrow}ZFsub
\vdash 
\forall \underline{
\mathsf {a}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf {b}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf {s}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf{x}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf{y}}
\colon 
\lceil \overline{
\mathsf {s}}
\rceil 
\#^0
\lceil \underline{
\mathsf{x}}
\rceil 
\mathrel {\makebox [0mm][l]{$\vdash $}\,{\vdash }} 
\lceil \overline{
\mathsf {s}}
\rceil 
\#^0
\lceil \underline{
\mathsf{y}}
\rceil 
\mathrel {\makebox [0mm][l]{$\vdash $}\,{\vdash }} \underline{
\mathsf{x}}
\!\mathrel{=}\! \underline{
\mathsf{y}}
\Rightarrow \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf {a}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {b}}
\Rightarrow \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf {b}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {a}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {s}}
 \mathrel{\in}  \{ ph \mathrel{\in} \underline{
\mathsf{x}}
\mid \underline{
\mathsf {a}}
\}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {s}}
 \mathrel{\in}  \{ ph \mathrel{\in} \underline{
\mathsf{y}}
\mid \underline{
\mathsf {b}}
\}
]$

$\rm
[SeparationSubset
\stackrel{
\mathrm{tex}
}{\rightarrow}
\mbox{``}SeparationSubset
\mbox{''}
]$

$\rm
[SeparationSubset
\stackrel{
\mathrm{pyk}
}{\rightarrow}
\mbox{``}lemma
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}separation
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}subset
\mbox{''}
]$

\hypertarget {url:1808490560655876194608813785663292462486349118665588524157069396079556865:130}{}\section* {$\rm SameSeparation$}

$\rm
[SameSeparation
\stackrel{
proof
}{\rightarrow}
\lambda 
\mathsf {c}
.
\lambda 
\mathsf{x}
.
{\cal P}( 
\lceil ZFsub
\vdash 
\forall \underline{
\mathsf {a}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf {b}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf{x}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf{y}}
\colon 
\lceil \overline{
\mathsf {s}}
\rceil 
\#^0
\lceil \underline{
\mathsf{x}}
\rceil 
\mathrel {\makebox [0mm][l]{$\vdash $}\,{\vdash }} 
\lceil \overline{
\mathsf {s}}
\rceil 
\#^0
\lceil \underline{
\mathsf{y}}
\rceil 
\mathrel {\makebox [0mm][l]{$\vdash $}\,{\vdash }} \underline{
\mathsf{x}}
\!\mathrel{=}\! \underline{
\mathsf{y}}
\vdash \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf {a}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {b}}
\Rightarrow \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf {b}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {a}}
\vdash SeparationSubset
\mathrel {\makebox [0mm][l]{$\rhd $}\,{\rhd }} 
\lceil \overline{
\mathsf {s}}
\rceil 
\#^0
\lceil \underline{
\mathsf{x}}
\rceil 
\mathrel {\makebox [0mm][l]{$\rhd $}\,{\rhd }} 
\lceil \overline{
\mathsf {s}}
\rceil 
\#^0
\lceil \underline{
\mathsf{y}}
\rceil 
\gg \underline{
\mathsf{x}}
\!\mathrel{=}\! \underline{
\mathsf{y}}
\Rightarrow \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf {a}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {b}}
\Rightarrow \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf {b}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {a}}
\Rightarrow \overline{
\mathsf {s}}
 \mathrel{\in}  \{ ph \mathrel{\in} \underline{
\mathsf{x}}
\mid \underline{
\mathsf {a}}
\}
\Rightarrow \overline{
\mathsf {s}}
 \mathrel{\in}  \{ ph \mathrel{\in} \underline{
\mathsf{y}}
\mid \underline{
\mathsf {b}}
\}
; MP2
\rhd \underline{
\mathsf{x}}
\!\mathrel{=}\! \underline{
\mathsf{y}}
\Rightarrow \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf {a}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {b}}
\Rightarrow \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf {b}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {a}}
\Rightarrow \overline{
\mathsf {s}}
 \mathrel{\in}  \{ ph \mathrel{\in} \underline{
\mathsf{x}}
\mid \underline{
\mathsf {a}}
\}
\Rightarrow \overline{
\mathsf {s}}
 \mathrel{\in}  \{ ph \mathrel{\in} \underline{
\mathsf{y}}
\mid \underline{
\mathsf {b}}
\}
\rhd \underline{
\mathsf{x}}
\!\mathrel{=}\! \underline{
\mathsf{y}}
\rhd \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf {a}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {b}}
\Rightarrow \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf {b}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {a}}
\gg \overline{
\mathsf {s}}
 \mathrel{\in}  \{ ph \mathrel{\in} \underline{
\mathsf{x}}
\mid \underline{
\mathsf {a}}
\}
\Rightarrow \overline{
\mathsf {s}}
 \mathrel{\in}  \{ ph \mathrel{\in} \underline{
\mathsf{y}}
\mid \underline{
\mathsf {b}}
\}
; =\!{}Symmetry
\mathrel {\makebox [0mm][l]{$\rhd $}\,{\rhd }} 
\lceil \overline{
\mathsf {s}}
\rceil 
\#^0
\lceil \underline{
\mathsf{x}}
\rceil 
\mathrel {\makebox [0mm][l]{$\rhd $}\,{\rhd }} 
\lceil \overline{
\mathsf {s}}
\rceil 
\#^0
\lceil \underline{
\mathsf{y}}
\rceil 
\rhd \underline{
\mathsf{x}}
\!\mathrel{=}\! \underline{
\mathsf{y}}
\gg \underline{
\mathsf{y}}
\!\mathrel{=}\! \underline{
\mathsf{x}}
; IffCommutativity
\rhd \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf {a}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {b}}
\Rightarrow \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf {b}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {a}}
\gg \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf {b}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {a}}
\Rightarrow \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf {a}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {b}}
; SeparationSubset
\mathrel {\makebox [0mm][l]{$\rhd $}\,{\rhd }} 
\lceil \overline{
\mathsf {s}}
\rceil 
\#^0
\lceil \underline{
\mathsf{y}}
\rceil 
\mathrel {\makebox [0mm][l]{$\rhd $}\,{\rhd }} 
\lceil \overline{
\mathsf {s}}
\rceil 
\#^0
\lceil \underline{
\mathsf{x}}
\rceil 
\gg \underline{
\mathsf{y}}
\!\mathrel{=}\! \underline{
\mathsf{x}}
\Rightarrow \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf {b}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {a}}
\Rightarrow \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf {a}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {b}}
\Rightarrow \overline{
\mathsf {s}}
 \mathrel{\in}  \{ ph \mathrel{\in} \underline{
\mathsf{y}}
\mid \underline{
\mathsf {b}}
\}
\Rightarrow \overline{
\mathsf {s}}
 \mathrel{\in}  \{ ph \mathrel{\in} \underline{
\mathsf{x}}
\mid \underline{
\mathsf {a}}
\}
; MP2
\rhd \underline{
\mathsf{y}}
\!\mathrel{=}\! \underline{
\mathsf{x}}
\Rightarrow \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf {b}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {a}}
\Rightarrow \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf {a}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {b}}
\Rightarrow \overline{
\mathsf {s}}
 \mathrel{\in}  \{ ph \mathrel{\in} \underline{
\mathsf{y}}
\mid \underline{
\mathsf {b}}
\}
\Rightarrow \overline{
\mathsf {s}}
 \mathrel{\in}  \{ ph \mathrel{\in} \underline{
\mathsf{x}}
\mid \underline{
\mathsf {a}}
\}
\rhd \underline{
\mathsf{y}}
\!\mathrel{=}\! \underline{
\mathsf{x}}
\rhd \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf {b}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {a}}
\Rightarrow \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf {a}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {b}}
\gg \overline{
\mathsf {s}}
 \mathrel{\in}  \{ ph \mathrel{\in} \underline{
\mathsf{y}}
\mid \underline{
\mathsf {b}}
\}
\Rightarrow \overline{
\mathsf {s}}
 \mathrel{\in}  \{ ph \mathrel{\in} \underline{
\mathsf{x}}
\mid \underline{
\mathsf {a}}
\}
; ToSetEquality
\rhd \overline{
\mathsf {s}}
 \mathrel{\in}  \{ ph \mathrel{\in} \underline{
\mathsf{x}}
\mid \underline{
\mathsf {a}}
\}
\Rightarrow \overline{
\mathsf {s}}
 \mathrel{\in}  \{ ph \mathrel{\in} \underline{
\mathsf{y}}
\mid \underline{
\mathsf {b}}
\}
\rhd \overline{
\mathsf {s}}
 \mathrel{\in}  \{ ph \mathrel{\in} \underline{
\mathsf{y}}
\mid \underline{
\mathsf {b}}
\}
\Rightarrow \overline{
\mathsf {s}}
 \mathrel{\in}  \{ ph \mathrel{\in} \underline{
\mathsf{x}}
\mid \underline{
\mathsf {a}}
\}
\gg  \{ ph \mathrel{\in} \underline{
\mathsf{x}}
\mid \underline{
\mathsf {a}}
\}
\!\mathrel{=}\!  \{ ph \mathrel{\in} \underline{
\mathsf{y}}
\mid \underline{
\mathsf {b}}
\}
\rceil 
, 
p_0
, 
\mathsf {c}
)
]$

$\rm
[SameSeparation
\stackrel{
stmt
}{\rightarrow}ZFsub
\vdash 
\forall \underline{
\mathsf {a}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf {b}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf{x}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf{y}}
\colon 
\lceil \overline{
\mathsf {s}}
\rceil 
\#^0
\lceil \underline{
\mathsf{x}}
\rceil 
\mathrel {\makebox [0mm][l]{$\vdash $}\,{\vdash }} 
\lceil \overline{
\mathsf {s}}
\rceil 
\#^0
\lceil \underline{
\mathsf{y}}
\rceil 
\mathrel {\makebox [0mm][l]{$\vdash $}\,{\vdash }} \underline{
\mathsf{x}}
\!\mathrel{=}\! \underline{
\mathsf{y}}
\vdash \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf {a}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {b}}
\Rightarrow \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf {b}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {a}}
\vdash  \{ ph \mathrel{\in} \underline{
\mathsf{x}}
\mid \underline{
\mathsf {a}}
\}
\!\mathrel{=}\!  \{ ph \mathrel{\in} \underline{
\mathsf{y}}
\mid \underline{
\mathsf {b}}
\}
]$

$\rm
[SameSeparation
\stackrel{
\mathrm{tex}
}{\rightarrow}
\mbox{``}SameSeparation
\mbox{''}
]$

$\rm
[SameSeparation
\stackrel{
\mathrm{pyk}
}{\rightarrow}
\mbox{``}lemma
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}same
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}separation
\mbox{''}
]$

\hypertarget {url:1808490560655876194608813785663292462486349118665588524157069396079556865:131}{}\section* {$\rm SameBinaryUnion$}

$\rm
[SameBinaryUnion
\stackrel{
proof
}{\rightarrow}
\lambda 
\mathsf {c}
.
\lambda 
\mathsf{x}
.
{\cal P}( 
\lceil ZFsub
\vdash 
\forall \underline{
\mathsf{x}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf{y}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf {v}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf {w}}
\colon 
\lceil \overline{
\mathsf {s}}
\rceil 
\#^0
\lceil \underline{
\mathsf{x}}
\rceil 
\mathrel {\makebox [0mm][l]{$\vdash $}\,{\vdash }} 
\lceil \overline{
\mathsf {s}}
\rceil 
\#^0
\lceil \underline{
\mathsf{y}}
\rceil 
\mathrel {\makebox [0mm][l]{$\vdash $}\,{\vdash }} 
\lceil \overline{
\mathsf {t}}
\rceil 
\#^0
\lceil \{\underline{
\mathsf{x}}
,\underline{
\mathsf{x}}
\}
\rceil 
\mathrel {\makebox [0mm][l]{$\vdash $}\,{\vdash }} 
\lceil \overline{
\mathsf {t}}
\rceil 
\#^0
\lceil \{\underline{
\mathsf{y}}
,\underline{
\mathsf{y}}
\}
\rceil 
\mathrel {\makebox [0mm][l]{$\vdash $}\,{\vdash }} 
\lceil \overline{
\mathsf {s}}
\rceil 
\#^0
\lceil \underline{
\mathsf {v}}
\rceil 
\mathrel {\makebox [0mm][l]{$\vdash $}\,{\vdash }} 
\lceil \overline{
\mathsf {s}}
\rceil 
\#^0
\lceil \underline{
\mathsf {w}}
\rceil 
\mathrel {\makebox [0mm][l]{$\vdash $}\,{\vdash }} 
\lceil \overline{
\mathsf {t}}
\rceil 
\#^0
\lceil \{\underline{
\mathsf {v}}
,\underline{
\mathsf {v}}
\}
\rceil 
\mathrel {\makebox [0mm][l]{$\vdash $}\,{\vdash }} 
\lceil \overline{
\mathsf {t}}
\rceil 
\#^0
\lceil \{\underline{
\mathsf {w}}
,\underline{
\mathsf {w}}
\}
\rceil 
\mathrel {\makebox [0mm][l]{$\vdash $}\,{\vdash }} 
\lceil \overline{
\mathsf {s}}
\rceil 
\#^0
\lceil \{\underline{
\mathsf{x}}
,\underline{
\mathsf{x}}
\}
\rceil 
\mathrel {\makebox [0mm][l]{$\vdash $}\,{\vdash }} 
\lceil \overline{
\mathsf {s}}
\rceil 
\#^0
\lceil \{\underline{
\mathsf{y}}
,\underline{
\mathsf{y}}
\}
\rceil 
\mathrel {\makebox [0mm][l]{$\vdash $}\,{\vdash }} 
\lceil \overline{
\mathsf {s}}
\rceil 
\#^0
\lceil \{\underline{
\mathsf {v}}
,\underline{
\mathsf {v}}
\}
\rceil 
\mathrel {\makebox [0mm][l]{$\vdash $}\,{\vdash }} 
\lceil \overline{
\mathsf {s}}
\rceil 
\#^0
\lceil \{\underline{
\mathsf {w}}
,\underline{
\mathsf {w}}
\}
\rceil 
\mathrel {\makebox [0mm][l]{$\vdash $}\,{\vdash }} 
\lceil \overline{
\mathsf {s}}
\rceil 
\#^0
\lceil \{\{\underline{
\mathsf{x}}
,\underline{
\mathsf{x}}
\}
,\{\underline{
\mathsf {v}}
,\underline{
\mathsf {v}}
\}
\}
\rceil 
\mathrel {\makebox [0mm][l]{$\vdash $}\,{\vdash }} 
\lceil \overline{
\mathsf {s}}
\rceil 
\#^0
\lceil \{\{\underline{
\mathsf{y}}
,\underline{
\mathsf{y}}
\}
,\{\underline{
\mathsf {w}}
,\underline{
\mathsf {w}}
\}
\}
\rceil 
\mathrel {\makebox [0mm][l]{$\vdash $}\,{\vdash }} 
\lceil \overline{
\mathsf {t}}
\rceil 
\#^0
\lceil \{\{\underline{
\mathsf{x}}
,\underline{
\mathsf{x}}
\}
,\{\underline{
\mathsf {v}}
,\underline{
\mathsf {v}}
\}
\}
\rceil 
\mathrel {\makebox [0mm][l]{$\vdash $}\,{\vdash }} 
\lceil \overline{
\mathsf {t}}
\rceil 
\#^0
\lceil \{\{\underline{
\mathsf{y}}
,\underline{
\mathsf{y}}
\}
,\{\underline{
\mathsf {w}}
,\underline{
\mathsf {w}}
\}
\}
\rceil 
\mathrel {\makebox [0mm][l]{$\vdash $}\,{\vdash }} \underline{
\mathsf{x}}
\!\mathrel{=}\! \underline{
\mathsf{y}}
\vdash \underline{
\mathsf {v}}
\!\mathrel{=}\! \underline{
\mathsf {w}}
\vdash SameSingleton
\mathrel {\makebox [0mm][l]{$\rhd $}\,{\rhd }} 
\lceil \overline{
\mathsf {s}}
\rceil 
\#^0
\lceil \underline{
\mathsf{x}}
\rceil 
\mathrel {\makebox [0mm][l]{$\rhd $}\,{\rhd }} 
\lceil \overline{
\mathsf {s}}
\rceil 
\#^0
\lceil \underline{
\mathsf{y}}
\rceil 
\mathrel {\makebox [0mm][l]{$\rhd $}\,{\rhd }} 
\lceil \overline{
\mathsf {t}}
\rceil 
\#^0
\lceil \{\underline{
\mathsf{x}}
,\underline{
\mathsf{x}}
\}
\rceil 
\mathrel {\makebox [0mm][l]{$\rhd $}\,{\rhd }} 
\lceil \overline{
\mathsf {t}}
\rceil 
\#^0
\lceil \{\underline{
\mathsf{y}}
,\underline{
\mathsf{y}}
\}
\rceil 
\rhd \underline{
\mathsf{x}}
\!\mathrel{=}\! \underline{
\mathsf{y}}
\gg \{\underline{
\mathsf{x}}
,\underline{
\mathsf{x}}
\}
\!\mathrel{=}\! \{\underline{
\mathsf{y}}
,\underline{
\mathsf{y}}
\}
; SameSingleton
\mathrel {\makebox [0mm][l]{$\rhd $}\,{\rhd }} 
\lceil \overline{
\mathsf {s}}
\rceil 
\#^0
\lceil \underline{
\mathsf {v}}
\rceil 
\mathrel {\makebox [0mm][l]{$\rhd $}\,{\rhd }} 
\lceil \overline{
\mathsf {s}}
\rceil 
\#^0
\lceil \underline{
\mathsf {w}}
\rceil 
\mathrel {\makebox [0mm][l]{$\rhd $}\,{\rhd }} 
\lceil \overline{
\mathsf {t}}
\rceil 
\#^0
\lceil \{\underline{
\mathsf {v}}
,\underline{
\mathsf {v}}
\}
\rceil 
\mathrel {\makebox [0mm][l]{$\rhd $}\,{\rhd }} 
\lceil \overline{
\mathsf {t}}
\rceil 
\#^0
\lceil \{\underline{
\mathsf {w}}
,\underline{
\mathsf {w}}
\}
\rceil 
\rhd \underline{
\mathsf {v}}
\!\mathrel{=}\! \underline{
\mathsf {w}}
\gg \{\underline{
\mathsf {v}}
,\underline{
\mathsf {v}}
\}
\!\mathrel{=}\! \{\underline{
\mathsf {w}}
,\underline{
\mathsf {w}}
\}
; SamePair
\mathrel {\makebox [0mm][l]{$\rhd $}\,{\rhd }} 
\lceil \overline{
\mathsf {s}}
\rceil 
\#^0
\lceil \{\underline{
\mathsf{x}}
,\underline{
\mathsf{x}}
\}
\rceil 
\mathrel {\makebox [0mm][l]{$\rhd $}\,{\rhd }} 
\lceil \overline{
\mathsf {s}}
\rceil 
\#^0
\lceil \{\underline{
\mathsf{y}}
,\underline{
\mathsf{y}}
\}
\rceil 
\mathrel {\makebox [0mm][l]{$\rhd $}\,{\rhd }} 
\lceil \overline{
\mathsf {s}}
\rceil 
\#^0
\lceil \{\underline{
\mathsf {v}}
,\underline{
\mathsf {v}}
\}
\rceil 
\mathrel {\makebox [0mm][l]{$\rhd $}\,{\rhd }} 
\lceil \overline{
\mathsf {s}}
\rceil 
\#^0
\lceil \{\underline{
\mathsf {w}}
,\underline{
\mathsf {w}}
\}
\rceil 
\mathrel {\makebox [0mm][l]{$\rhd $}\,{\rhd }} 
\lceil \overline{
\mathsf {t}}
\rceil 
\#^0
\lceil \{\{\underline{
\mathsf{x}}
,\underline{
\mathsf{x}}
\}
,\{\underline{
\mathsf {v}}
,\underline{
\mathsf {v}}
\}
\}
\rceil 
\mathrel {\makebox [0mm][l]{$\rhd $}\,{\rhd }} 
\lceil \overline{
\mathsf {t}}
\rceil 
\#^0
\lceil \{\{\underline{
\mathsf{y}}
,\underline{
\mathsf{y}}
\}
,\{\underline{
\mathsf {w}}
,\underline{
\mathsf {w}}
\}
\}
\rceil 
\rhd \{\underline{
\mathsf{x}}
,\underline{
\mathsf{x}}
\}
\!\mathrel{=}\! \{\underline{
\mathsf{y}}
,\underline{
\mathsf{y}}
\}
\rhd \{\underline{
\mathsf {v}}
,\underline{
\mathsf {v}}
\}
\!\mathrel{=}\! \{\underline{
\mathsf {w}}
,\underline{
\mathsf {w}}
\}
\gg \{\{\underline{
\mathsf{x}}
,\underline{
\mathsf{x}}
\}
,\{\underline{
\mathsf {v}}
,\underline{
\mathsf {v}}
\}
\}
\!\mathrel{=}\! \{\{\underline{
\mathsf{y}}
,\underline{
\mathsf{y}}
\}
,\{\underline{
\mathsf {w}}
,\underline{
\mathsf {w}}
\}
\}
; SameUnion
\mathrel {\makebox [0mm][l]{$\rhd $}\,{\rhd }} 
\lceil \overline{
\mathsf {s}}
\rceil 
\#^0
\lceil \{\{\underline{
\mathsf{x}}
,\underline{
\mathsf{x}}
\}
,\{\underline{
\mathsf {v}}
,\underline{
\mathsf {v}}
\}
\}
\rceil 
\mathrel {\makebox [0mm][l]{$\rhd $}\,{\rhd }} 
\lceil \overline{
\mathsf {s}}
\rceil 
\#^0
\lceil \{\{\underline{
\mathsf{y}}
,\underline{
\mathsf{y}}
\}
,\{\underline{
\mathsf {w}}
,\underline{
\mathsf {w}}
\}
\}
\rceil 
\rhd \{\{\underline{
\mathsf{x}}
,\underline{
\mathsf{x}}
\}
,\{\underline{
\mathsf {v}}
,\underline{
\mathsf {v}}
\}
\}
\!\mathrel{=}\! \{\{\underline{
\mathsf{y}}
,\underline{
\mathsf{y}}
\}
,\{\underline{
\mathsf {w}}
,\underline{
\mathsf {w}}
\}
\}
\gg \cup \{\{\underline{
\mathsf{x}}
,\underline{
\mathsf{x}}
\}
,\{\underline{
\mathsf {v}}
,\underline{
\mathsf {v}}
\}
\}
\!\mathrel{=}\! \cup \{\{\underline{
\mathsf{y}}
,\underline{
\mathsf{y}}
\}
,\{\underline{
\mathsf {w}}
,\underline{
\mathsf {w}}
\}
\}
; Repetition
\rhd \cup \{\{\underline{
\mathsf{x}}
,\underline{
\mathsf{x}}
\}
,\{\underline{
\mathsf {v}}
,\underline{
\mathsf {v}}
\}
\}
\!\mathrel{=}\! \cup \{\{\underline{
\mathsf{y}}
,\underline{
\mathsf{y}}
\}
,\{\underline{
\mathsf {w}}
,\underline{
\mathsf {w}}
\}
\}
\gg \cup \{\{\underline{
\mathsf{x}}
,\underline{
\mathsf{x}}
\}
,\{\underline{
\mathsf {v}}
,\underline{
\mathsf {v}}
\}
\}
\!\mathrel{=}\! \cup \{\{\underline{
\mathsf{y}}
,\underline{
\mathsf{y}}
\}
,\{\underline{
\mathsf {w}}
,\underline{
\mathsf {w}}
\}
\}
\rceil 
, 
p_0
, 
\mathsf {c}
)
]$

$\rm
[SameBinaryUnion
\stackrel{
stmt
}{\rightarrow}ZFsub
\vdash 
\forall \underline{
\mathsf{x}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf{y}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf {v}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf {w}}
\colon 
\lceil \overline{
\mathsf {s}}
\rceil 
\#^0
\lceil \underline{
\mathsf{x}}
\rceil 
\mathrel {\makebox [0mm][l]{$\vdash $}\,{\vdash }} 
\lceil \overline{
\mathsf {s}}
\rceil 
\#^0
\lceil \underline{
\mathsf{y}}
\rceil 
\mathrel {\makebox [0mm][l]{$\vdash $}\,{\vdash }} 
\lceil \overline{
\mathsf {t}}
\rceil 
\#^0
\lceil \{\underline{
\mathsf{x}}
,\underline{
\mathsf{x}}
\}
\rceil 
\mathrel {\makebox [0mm][l]{$\vdash $}\,{\vdash }} 
\lceil \overline{
\mathsf {t}}
\rceil 
\#^0
\lceil \{\underline{
\mathsf{y}}
,\underline{
\mathsf{y}}
\}
\rceil 
\mathrel {\makebox [0mm][l]{$\vdash $}\,{\vdash }} 
\lceil \overline{
\mathsf {s}}
\rceil 
\#^0
\lceil \underline{
\mathsf {v}}
\rceil 
\mathrel {\makebox [0mm][l]{$\vdash $}\,{\vdash }} 
\lceil \overline{
\mathsf {s}}
\rceil 
\#^0
\lceil \underline{
\mathsf {w}}
\rceil 
\mathrel {\makebox [0mm][l]{$\vdash $}\,{\vdash }} 
\lceil \overline{
\mathsf {t}}
\rceil 
\#^0
\lceil \{\underline{
\mathsf {v}}
,\underline{
\mathsf {v}}
\}
\rceil 
\mathrel {\makebox [0mm][l]{$\vdash $}\,{\vdash }} 
\lceil \overline{
\mathsf {t}}
\rceil 
\#^0
\lceil \{\underline{
\mathsf {w}}
,\underline{
\mathsf {w}}
\}
\rceil 
\mathrel {\makebox [0mm][l]{$\vdash $}\,{\vdash }} 
\lceil \overline{
\mathsf {s}}
\rceil 
\#^0
\lceil \{\underline{
\mathsf{x}}
,\underline{
\mathsf{x}}
\}
\rceil 
\mathrel {\makebox [0mm][l]{$\vdash $}\,{\vdash }} 
\lceil \overline{
\mathsf {s}}
\rceil 
\#^0
\lceil \{\underline{
\mathsf{y}}
,\underline{
\mathsf{y}}
\}
\rceil 
\mathrel {\makebox [0mm][l]{$\vdash $}\,{\vdash }} 
\lceil \overline{
\mathsf {s}}
\rceil 
\#^0
\lceil \{\underline{
\mathsf {v}}
,\underline{
\mathsf {v}}
\}
\rceil 
\mathrel {\makebox [0mm][l]{$\vdash $}\,{\vdash }} 
\lceil \overline{
\mathsf {s}}
\rceil 
\#^0
\lceil \{\underline{
\mathsf {w}}
,\underline{
\mathsf {w}}
\}
\rceil 
\mathrel {\makebox [0mm][l]{$\vdash $}\,{\vdash }} 
\lceil \overline{
\mathsf {s}}
\rceil 
\#^0
\lceil \{\{\underline{
\mathsf{x}}
,\underline{
\mathsf{x}}
\}
,\{\underline{
\mathsf {v}}
,\underline{
\mathsf {v}}
\}
\}
\rceil 
\mathrel {\makebox [0mm][l]{$\vdash $}\,{\vdash }} 
\lceil \overline{
\mathsf {s}}
\rceil 
\#^0
\lceil \{\{\underline{
\mathsf{y}}
,\underline{
\mathsf{y}}
\}
,\{\underline{
\mathsf {w}}
,\underline{
\mathsf {w}}
\}
\}
\rceil 
\mathrel {\makebox [0mm][l]{$\vdash $}\,{\vdash }} 
\lceil \overline{
\mathsf {t}}
\rceil 
\#^0
\lceil \{\{\underline{
\mathsf{x}}
,\underline{
\mathsf{x}}
\}
,\{\underline{
\mathsf {v}}
,\underline{
\mathsf {v}}
\}
\}
\rceil 
\mathrel {\makebox [0mm][l]{$\vdash $}\,{\vdash }} 
\lceil \overline{
\mathsf {t}}
\rceil 
\#^0
\lceil \{\{\underline{
\mathsf{y}}
,\underline{
\mathsf{y}}
\}
,\{\underline{
\mathsf {w}}
,\underline{
\mathsf {w}}
\}
\}
\rceil 
\mathrel {\makebox [0mm][l]{$\vdash $}\,{\vdash }} \underline{
\mathsf{x}}
\!\mathrel{=}\! \underline{
\mathsf{y}}
\vdash \underline{
\mathsf {v}}
\!\mathrel{=}\! \underline{
\mathsf {w}}
\vdash \cup \{\{\underline{
\mathsf{x}}
,\underline{
\mathsf{x}}
\}
,\{\underline{
\mathsf {v}}
,\underline{
\mathsf {v}}
\}
\}
\!\mathrel{=}\! \cup \{\{\underline{
\mathsf{y}}
,\underline{
\mathsf{y}}
\}
,\{\underline{
\mathsf {w}}
,\underline{
\mathsf {w}}
\}
\}
]$

$\rm
[SameBinaryUnion
\stackrel{
\mathrm{tex}
}{\rightarrow}
\mbox{``}SameBinaryUnion
\mbox{''}
]$

$\rm
[SameBinaryUnion
\stackrel{
\mathrm{pyk}
}{\rightarrow}
\mbox{``}lemma
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}same
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}binary
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}union
\mbox{''}
]$

\hypertarget {url:1808490560655876194608813785663292462486349118665588524157069396079556865:132}{}\section* {$\rm IntersectionSubset$}

$\rm
[IntersectionSubset
\stackrel{
proof
}{\rightarrow}
\lambda 
\mathsf {c}
.
\lambda 
\mathsf{x}
.
{\cal P}( 
\lceil ZFsub
\vdash 
\forall \underline{
\mathsf {s}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf{x}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf{y}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf {v}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf {w}}
\colon 
\lceil \overline{
\mathsf {s}}
\rceil 
\#^0
\lceil \underline{
\mathsf{x}}
\rceil 
\mathrel {\makebox [0mm][l]{$\vdash $}\,{\vdash }} 
\lceil \overline{
\mathsf {s}}
\rceil 
\#^0
\lceil \underline{
\mathsf{y}}
\rceil 
\mathrel {\makebox [0mm][l]{$\vdash $}\,{\vdash }} 
\lceil \overline{
\mathsf {s}}
\rceil 
\#^0
\lceil \underline{
\mathsf {v}}
\rceil 
\mathrel {\makebox [0mm][l]{$\vdash $}\,{\vdash }} 
\lceil \overline{
\mathsf {s}}
\rceil 
\#^0
\lceil \underline{
\mathsf {w}}
\rceil 
\mathrel {\makebox [0mm][l]{$\vdash $}\,{\vdash }} \underline{
\mathsf{x}}
\!\mathrel{=}\! \underline{
\mathsf{y}}
\vdash \underline{
\mathsf {v}}
\!\mathrel{=}\! \underline{
\mathsf {w}}
\vdash \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf {s}}
 \mathrel{\in} \underline{
\mathsf{x}}
\Rightarrow \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf {s}}
 \mathrel{\in} \underline{
\mathsf {v}}
\vdash FirstConjunct
\rhd \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf {s}}
 \mathrel{\in} \underline{
\mathsf{x}}
\Rightarrow \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf {s}}
 \mathrel{\in} \underline{
\mathsf {v}}
\gg \underline{
\mathsf {s}}
 \mathrel{\in} \underline{
\mathsf{x}}
; FromSetEquality
\mathrel {\makebox [0mm][l]{$\rhd $}\,{\rhd }} 
\lceil \overline{
\mathsf {s}}
\rceil 
\#^0
\lceil \underline{
\mathsf{x}}
\rceil 
\mathrel {\makebox [0mm][l]{$\rhd $}\,{\rhd }} 
\lceil \overline{
\mathsf {s}}
\rceil 
\#^0
\lceil \underline{
\mathsf{y}}
\rceil 
\rhd \underline{
\mathsf{x}}
\!\mathrel{=}\! \underline{
\mathsf{y}}
\rhd \underline{
\mathsf {s}}
 \mathrel{\in} \underline{
\mathsf{x}}
\gg \underline{
\mathsf {s}}
 \mathrel{\in} \underline{
\mathsf{y}}
; SecondConjunct
\rhd \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf {s}}
 \mathrel{\in} \underline{
\mathsf{x}}
\Rightarrow \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf {s}}
 \mathrel{\in} \underline{
\mathsf {v}}
\gg \underline{
\mathsf {s}}
 \mathrel{\in} \underline{
\mathsf {v}}
; FromSetEquality
\mathrel {\makebox [0mm][l]{$\rhd $}\,{\rhd }} 
\lceil \overline{
\mathsf {s}}
\rceil 
\#^0
\lceil \underline{
\mathsf {v}}
\rceil 
\mathrel {\makebox [0mm][l]{$\rhd $}\,{\rhd }} 
\lceil \overline{
\mathsf {s}}
\rceil 
\#^0
\lceil \underline{
\mathsf {w}}
\rceil 
\rhd \underline{
\mathsf {v}}
\!\mathrel{=}\! \underline{
\mathsf {w}}
\rhd \underline{
\mathsf {s}}
 \mathrel{\in} \underline{
\mathsf {v}}
\gg \underline{
\mathsf {s}}
 \mathrel{\in} \underline{
\mathsf {w}}
; JoinConjuncts
\rhd \underline{
\mathsf {s}}
 \mathrel{\in} \underline{
\mathsf{y}}
\rhd \underline{
\mathsf {s}}
 \mathrel{\in} \underline{
\mathsf {w}}
\gg \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf {s}}
 \mathrel{\in} \underline{
\mathsf{y}}
\Rightarrow \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf {s}}
 \mathrel{\in} \underline{
\mathsf {w}}
; 
\forall \underline{
\mathsf {s}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf{x}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf{y}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf {v}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf {w}}
\colon Ded
\rhd 
\forall \underline{
\mathsf {s}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf{x}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf{y}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf {v}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf {w}}
\colon 
\lceil \overline{
\mathsf {s}}
\rceil 
\#^0
\lceil \underline{
\mathsf{x}}
\rceil 
\mathrel {\makebox [0mm][l]{$\vdash $}\,{\vdash }} 
\lceil \overline{
\mathsf {s}}
\rceil 
\#^0
\lceil \underline{
\mathsf{y}}
\rceil 
\mathrel {\makebox [0mm][l]{$\vdash $}\,{\vdash }} 
\lceil \overline{
\mathsf {s}}
\rceil 
\#^0
\lceil \underline{
\mathsf {v}}
\rceil 
\mathrel {\makebox [0mm][l]{$\vdash $}\,{\vdash }} 
\lceil \overline{
\mathsf {s}}
\rceil 
\#^0
\lceil \underline{
\mathsf {w}}
\rceil 
\mathrel {\makebox [0mm][l]{$\vdash $}\,{\vdash }} \underline{
\mathsf{x}}
\!\mathrel{=}\! \underline{
\mathsf{y}}
\vdash \underline{
\mathsf {v}}
\!\mathrel{=}\! \underline{
\mathsf {w}}
\vdash \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf {s}}
 \mathrel{\in} \underline{
\mathsf{x}}
\Rightarrow \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf {s}}
 \mathrel{\in} \underline{
\mathsf {v}}
\vdash \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf {s}}
 \mathrel{\in} \underline{
\mathsf{y}}
\Rightarrow \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf {s}}
 \mathrel{\in} \underline{
\mathsf {w}}
\gg 
\lceil \overline{
\mathsf {s}}
\rceil 
\#^0
\lceil \underline{
\mathsf{x}}
\rceil 
\mathrel {\makebox [0mm][l]{$\vdash $}\,{\vdash }} 
\lceil \overline{
\mathsf {s}}
\rceil 
\#^0
\lceil \underline{
\mathsf{y}}
\rceil 
\mathrel {\makebox [0mm][l]{$\vdash $}\,{\vdash }} 
\lceil \overline{
\mathsf {s}}
\rceil 
\#^0
\lceil \underline{
\mathsf {v}}
\rceil 
\mathrel {\makebox [0mm][l]{$\vdash $}\,{\vdash }} 
\lceil \overline{
\mathsf {s}}
\rceil 
\#^0
\lceil \underline{
\mathsf {w}}
\rceil 
\mathrel {\makebox [0mm][l]{$\vdash $}\,{\vdash }} \underline{
\mathsf{x}}
\!\mathrel{=}\! \underline{
\mathsf{y}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {v}}
\!\mathrel{=}\! \underline{
\mathsf {w}}
\Rightarrow \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf {s}}
 \mathrel{\in} \underline{
\mathsf{x}}
\Rightarrow \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf {s}}
 \mathrel{\in} \underline{
\mathsf {v}}
\Rightarrow \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf {s}}
 \mathrel{\in} \underline{
\mathsf{y}}
\Rightarrow \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf {s}}
 \mathrel{\in} \underline{
\mathsf {w}}
\rceil 
, 
p_0
, 
\mathsf {c}
)
]$

$\rm
[IntersectionSubset
\stackrel{
stmt
}{\rightarrow}ZFsub
\vdash 
\forall \underline{
\mathsf {s}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf{x}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf{y}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf {v}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf {w}}
\colon 
\lceil \overline{
\mathsf {s}}
\rceil 
\#^0
\lceil \underline{
\mathsf{x}}
\rceil 
\mathrel {\makebox [0mm][l]{$\vdash $}\,{\vdash }} 
\lceil \overline{
\mathsf {s}}
\rceil 
\#^0
\lceil \underline{
\mathsf{y}}
\rceil 
\mathrel {\makebox [0mm][l]{$\vdash $}\,{\vdash }} 
\lceil \overline{
\mathsf {s}}
\rceil 
\#^0
\lceil \underline{
\mathsf {v}}
\rceil 
\mathrel {\makebox [0mm][l]{$\vdash $}\,{\vdash }} 
\lceil \overline{
\mathsf {s}}
\rceil 
\#^0
\lceil \underline{
\mathsf {w}}
\rceil 
\mathrel {\makebox [0mm][l]{$\vdash $}\,{\vdash }} \underline{
\mathsf{x}}
\!\mathrel{=}\! \underline{
\mathsf{y}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {v}}
\!\mathrel{=}\! \underline{
\mathsf {w}}
\Rightarrow \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf {s}}
 \mathrel{\in} \underline{
\mathsf{x}}
\Rightarrow \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf {s}}
 \mathrel{\in} \underline{
\mathsf {v}}
\Rightarrow \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf {s}}
 \mathrel{\in} \underline{
\mathsf{y}}
\Rightarrow \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf {s}}
 \mathrel{\in} \underline{
\mathsf {w}}
]$

$\rm
[IntersectionSubset
\stackrel{
\mathrm{tex}
}{\rightarrow}
\mbox{``}IntersectionSubset
\mbox{''}
]$

$\rm
[IntersectionSubset
\stackrel{
\mathrm{pyk}
}{\rightarrow}
\mbox{``}lemma
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}intersection
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}subset
\mbox{''}
]$

\hypertarget {url:1808490560655876194608813785663292462486349118665588524157069396079556865:133}{}\section* {$\rm SameIntersection$}

$\rm
[SameIntersection
\stackrel{
proof
}{\rightarrow}
\lambda 
\mathsf {c}
.
\lambda 
\mathsf{x}
.
{\cal P}( 
\lceil ZFsub
\vdash \overline{
\mathsf{x}}
\!\mathrel{=}\!  \{ ph \mathrel{\in} \overline{\mathsf {bs}}
\mid \{\{
\mathsf {a}
 _{Ph} 
,
\mathsf {a}
 _{Ph} 
\}
,\{
\mathsf {a}
 _{Ph} 
,
\mathsf {a}
 _{Ex}
\}
\}
 \mathrel{\in} \overline{
\mathsf {r}}
\}
\vdash \overline{
\mathsf{y}}
\!\mathrel{=}\!  \{ ph \mathrel{\in} \overline{\mathsf {bs}}
\mid \{\{
\mathsf {a}
 _{Ph} 
,
\mathsf {a}
 _{Ph} 
\}
,\{
\mathsf {a}
 _{Ph} 
,
\mathsf {b}
 _{Ex}
\}
\}
 \mathrel{\in} \overline{
\mathsf {r}}
\}
\vdash SameBinaryUnion
\rhd \overline{
\mathsf{x}}
\!\mathrel{=}\!  \{ ph \mathrel{\in} \overline{\mathsf {bs}}
\mid \{\{
\mathsf {a}
 _{Ph} 
,
\mathsf {a}
 _{Ph} 
\}
,\{
\mathsf {a}
 _{Ph} 
,
\mathsf {a}
 _{Ex}
\}
\}
 \mathrel{\in} \overline{
\mathsf {r}}
\}
\rhd \overline{
\mathsf{y}}
\!\mathrel{=}\!  \{ ph \mathrel{\in} \overline{\mathsf {bs}}
\mid \{\{
\mathsf {a}
 _{Ph} 
,
\mathsf {a}
 _{Ph} 
\}
,\{
\mathsf {a}
 _{Ph} 
,
\mathsf {b}
 _{Ex}
\}
\}
 \mathrel{\in} \overline{
\mathsf {r}}
\}
\gg \cup \{\{\overline{
\mathsf{x}}
,\overline{
\mathsf{x}}
\}
,\{\overline{
\mathsf{y}}
,\overline{
\mathsf{y}}
\}
\}
\!\mathrel{=}\! \cup \{\{ \{ ph \mathrel{\in} \overline{\mathsf {bs}}
\mid \{\{
\mathsf {a}
 _{Ph} 
,
\mathsf {a}
 _{Ph} 
\}
,\{
\mathsf {a}
 _{Ph} 
,
\mathsf {a}
 _{Ex}
\}
\}
 \mathrel{\in} \overline{
\mathsf {r}}
\}
, \{ ph \mathrel{\in} \overline{\mathsf {bs}}
\mid \{\{
\mathsf {a}
 _{Ph} 
,
\mathsf {a}
 _{Ph} 
\}
,\{
\mathsf {a}
 _{Ph} 
,
\mathsf {a}
 _{Ex}
\}
\}
 \mathrel{\in} \overline{
\mathsf {r}}
\}
\}
,\{ \{ ph \mathrel{\in} \overline{\mathsf {bs}}
\mid \{\{
\mathsf {a}
 _{Ph} 
,
\mathsf {a}
 _{Ph} 
\}
,\{
\mathsf {a}
 _{Ph} 
,
\mathsf {b}
 _{Ex}
\}
\}
 \mathrel{\in} \overline{
\mathsf {r}}
\}
, \{ ph \mathrel{\in} \overline{\mathsf {bs}}
\mid \{\{
\mathsf {a}
 _{Ph} 
,
\mathsf {a}
 _{Ph} 
\}
,\{
\mathsf {a}
 _{Ph} 
,
\mathsf {b}
 _{Ex}
\}
\}
 \mathrel{\in} \overline{
\mathsf {r}}
\}
\}
\}
; IntersectionSubset
\gg \overline{
\mathsf{x}}
\!\mathrel{=}\!  \{ ph \mathrel{\in} \overline{\mathsf {bs}}
\mid \{\{
\mathsf {a}
 _{Ph} 
,
\mathsf {a}
 _{Ph} 
\}
,\{
\mathsf {a}
 _{Ph} 
,
\mathsf {a}
 _{Ex}
\}
\}
 \mathrel{\in} \overline{
\mathsf {r}}
\}
\Rightarrow \overline{
\mathsf{y}}
\!\mathrel{=}\!  \{ ph \mathrel{\in} \overline{\mathsf {bs}}
\mid \{\{
\mathsf {a}
 _{Ph} 
,
\mathsf {a}
 _{Ph} 
\}
,\{
\mathsf {a}
 _{Ph} 
,
\mathsf {b}
 _{Ex}
\}
\}
 \mathrel{\in} \overline{
\mathsf {r}}
\}
\Rightarrow \dot{\neg}\, 
\mathsf {c}
 _{Ph} 
 \mathrel{\in} \overline{
\mathsf{x}}
\Rightarrow \dot{\neg}\, 
\mathsf {c}
 _{Ph} 
 \mathrel{\in} \overline{
\mathsf{y}}
\Rightarrow \dot{\neg}\, 
\mathsf {c}
 _{Ph} 
 \mathrel{\in}  \{ ph \mathrel{\in} \overline{\mathsf {bs}}
\mid \{\{
\mathsf {a}
 _{Ph} 
,
\mathsf {a}
 _{Ph} 
\}
,\{
\mathsf {a}
 _{Ph} 
,
\mathsf {a}
 _{Ex}
\}
\}
 \mathrel{\in} \overline{
\mathsf {r}}
\}
\Rightarrow \dot{\neg}\, 
\mathsf {c}
 _{Ph} 
 \mathrel{\in}  \{ ph \mathrel{\in} \overline{\mathsf {bs}}
\mid \{\{
\mathsf {a}
 _{Ph} 
,
\mathsf {a}
 _{Ph} 
\}
,\{
\mathsf {a}
 _{Ph} 
,
\mathsf {b}
 _{Ex}
\}
\}
 \mathrel{\in} \overline{
\mathsf {r}}
\}
; MP2
\rhd \overline{
\mathsf{x}}
\!\mathrel{=}\!  \{ ph \mathrel{\in} \overline{\mathsf {bs}}
\mid \{\{
\mathsf {a}
 _{Ph} 
,
\mathsf {a}
 _{Ph} 
\}
,\{
\mathsf {a}
 _{Ph} 
,
\mathsf {a}
 _{Ex}
\}
\}
 \mathrel{\in} \overline{
\mathsf {r}}
\}
\Rightarrow \overline{
\mathsf{y}}
\!\mathrel{=}\!  \{ ph \mathrel{\in} \overline{\mathsf {bs}}
\mid \{\{
\mathsf {a}
 _{Ph} 
,
\mathsf {a}
 _{Ph} 
\}
,\{
\mathsf {a}
 _{Ph} 
,
\mathsf {b}
 _{Ex}
\}
\}
 \mathrel{\in} \overline{
\mathsf {r}}
\}
\Rightarrow \dot{\neg}\, 
\mathsf {c}
 _{Ph} 
 \mathrel{\in} \overline{
\mathsf{x}}
\Rightarrow \dot{\neg}\, 
\mathsf {c}
 _{Ph} 
 \mathrel{\in} \overline{
\mathsf{y}}
\Rightarrow \dot{\neg}\, 
\mathsf {c}
 _{Ph} 
 \mathrel{\in}  \{ ph \mathrel{\in} \overline{\mathsf {bs}}
\mid \{\{
\mathsf {a}
 _{Ph} 
,
\mathsf {a}
 _{Ph} 
\}
,\{
\mathsf {a}
 _{Ph} 
,
\mathsf {a}
 _{Ex}
\}
\}
 \mathrel{\in} \overline{
\mathsf {r}}
\}
\Rightarrow \dot{\neg}\, 
\mathsf {c}
 _{Ph} 
 \mathrel{\in}  \{ ph \mathrel{\in} \overline{\mathsf {bs}}
\mid \{\{
\mathsf {a}
 _{Ph} 
,
\mathsf {a}
 _{Ph} 
\}
,\{
\mathsf {a}
 _{Ph} 
,
\mathsf {b}
 _{Ex}
\}
\}
 \mathrel{\in} \overline{
\mathsf {r}}
\}
\rhd \overline{
\mathsf{x}}
\!\mathrel{=}\!  \{ ph \mathrel{\in} \overline{\mathsf {bs}}
\mid \{\{
\mathsf {a}
 _{Ph} 
,
\mathsf {a}
 _{Ph} 
\}
,\{
\mathsf {a}
 _{Ph} 
,
\mathsf {a}
 _{Ex}
\}
\}
 \mathrel{\in} \overline{
\mathsf {r}}
\}
\rhd \overline{
\mathsf{y}}
\!\mathrel{=}\!  \{ ph \mathrel{\in} \overline{\mathsf {bs}}
\mid \{\{
\mathsf {a}
 _{Ph} 
,
\mathsf {a}
 _{Ph} 
\}
,\{
\mathsf {a}
 _{Ph} 
,
\mathsf {b}
 _{Ex}
\}
\}
 \mathrel{\in} \overline{
\mathsf {r}}
\}
\gg \dot{\neg}\, 
\mathsf {c}
 _{Ph} 
 \mathrel{\in} \overline{
\mathsf{x}}
\Rightarrow \dot{\neg}\, 
\mathsf {c}
 _{Ph} 
 \mathrel{\in} \overline{
\mathsf{y}}
\Rightarrow \dot{\neg}\, 
\mathsf {c}
 _{Ph} 
 \mathrel{\in}  \{ ph \mathrel{\in} \overline{\mathsf {bs}}
\mid \{\{
\mathsf {a}
 _{Ph} 
,
\mathsf {a}
 _{Ph} 
\}
,\{
\mathsf {a}
 _{Ph} 
,
\mathsf {a}
 _{Ex}
\}
\}
 \mathrel{\in} \overline{
\mathsf {r}}
\}
\Rightarrow \dot{\neg}\, 
\mathsf {c}
 _{Ph} 
 \mathrel{\in}  \{ ph \mathrel{\in} \overline{\mathsf {bs}}
\mid \{\{
\mathsf {a}
 _{Ph} 
,
\mathsf {a}
 _{Ph} 
\}
,\{
\mathsf {a}
 _{Ph} 
,
\mathsf {b}
 _{Ex}
\}
\}
 \mathrel{\in} \overline{
\mathsf {r}}
\}
; =\!{}Symmetry
\rhd \overline{
\mathsf{x}}
\!\mathrel{=}\!  \{ ph \mathrel{\in} \overline{\mathsf {bs}}
\mid \{\{
\mathsf {a}
 _{Ph} 
,
\mathsf {a}
 _{Ph} 
\}
,\{
\mathsf {a}
 _{Ph} 
,
\mathsf {a}
 _{Ex}
\}
\}
 \mathrel{\in} \overline{
\mathsf {r}}
\}
\gg  \{ ph \mathrel{\in} \overline{\mathsf {bs}}
\mid \{\{
\mathsf {a}
 _{Ph} 
,
\mathsf {a}
 _{Ph} 
\}
,\{
\mathsf {a}
 _{Ph} 
,
\mathsf {a}
 _{Ex}
\}
\}
 \mathrel{\in} \overline{
\mathsf {r}}
\}
\!\mathrel{=}\! \overline{
\mathsf{x}}
; =\!{}Symmetry
\rhd \overline{
\mathsf{y}}
\!\mathrel{=}\!  \{ ph \mathrel{\in} \overline{\mathsf {bs}}
\mid \{\{
\mathsf {a}
 _{Ph} 
,
\mathsf {a}
 _{Ph} 
\}
,\{
\mathsf {a}
 _{Ph} 
,
\mathsf {b}
 _{Ex}
\}
\}
 \mathrel{\in} \overline{
\mathsf {r}}
\}
\gg  \{ ph \mathrel{\in} \overline{\mathsf {bs}}
\mid \{\{
\mathsf {a}
 _{Ph} 
,
\mathsf {a}
 _{Ph} 
\}
,\{
\mathsf {a}
 _{Ph} 
,
\mathsf {b}
 _{Ex}
\}
\}
 \mathrel{\in} \overline{
\mathsf {r}}
\}
\!\mathrel{=}\! \overline{
\mathsf{y}}
; IntersectionSubset
\gg  \{ ph \mathrel{\in} \overline{\mathsf {bs}}
\mid \{\{
\mathsf {a}
 _{Ph} 
,
\mathsf {a}
 _{Ph} 
\}
,\{
\mathsf {a}
 _{Ph} 
,
\mathsf {a}
 _{Ex}
\}
\}
 \mathrel{\in} \overline{
\mathsf {r}}
\}
\!\mathrel{=}\! \overline{
\mathsf{x}}
\Rightarrow  \{ ph \mathrel{\in} \overline{\mathsf {bs}}
\mid \{\{
\mathsf {a}
 _{Ph} 
,
\mathsf {a}
 _{Ph} 
\}
,\{
\mathsf {a}
 _{Ph} 
,
\mathsf {b}
 _{Ex}
\}
\}
 \mathrel{\in} \overline{
\mathsf {r}}
\}
\!\mathrel{=}\! \overline{
\mathsf{y}}
\Rightarrow \dot{\neg}\, 
\mathsf {c}
 _{Ph} 
 \mathrel{\in}  \{ ph \mathrel{\in} \overline{\mathsf {bs}}
\mid \{\{
\mathsf {a}
 _{Ph} 
,
\mathsf {a}
 _{Ph} 
\}
,\{
\mathsf {a}
 _{Ph} 
,
\mathsf {a}
 _{Ex}
\}
\}
 \mathrel{\in} \overline{
\mathsf {r}}
\}
\Rightarrow \dot{\neg}\, 
\mathsf {c}
 _{Ph} 
 \mathrel{\in}  \{ ph \mathrel{\in} \overline{\mathsf {bs}}
\mid \{\{
\mathsf {a}
 _{Ph} 
,
\mathsf {a}
 _{Ph} 
\}
,\{
\mathsf {a}
 _{Ph} 
,
\mathsf {b}
 _{Ex}
\}
\}
 \mathrel{\in} \overline{
\mathsf {r}}
\}
\Rightarrow \dot{\neg}\, 
\mathsf {c}
 _{Ph} 
 \mathrel{\in} \overline{
\mathsf{x}}
\Rightarrow \dot{\neg}\, 
\mathsf {c}
 _{Ph} 
 \mathrel{\in} \overline{
\mathsf{y}}
; MP2
\rhd  \{ ph \mathrel{\in} \overline{\mathsf {bs}}
\mid \{\{
\mathsf {a}
 _{Ph} 
,
\mathsf {a}
 _{Ph} 
\}
,\{
\mathsf {a}
 _{Ph} 
,
\mathsf {a}
 _{Ex}
\}
\}
 \mathrel{\in} \overline{
\mathsf {r}}
\}
\!\mathrel{=}\! \overline{
\mathsf{x}}
\Rightarrow  \{ ph \mathrel{\in} \overline{\mathsf {bs}}
\mid \{\{
\mathsf {a}
 _{Ph} 
,
\mathsf {a}
 _{Ph} 
\}
,\{
\mathsf {a}
 _{Ph} 
,
\mathsf {b}
 _{Ex}
\}
\}
 \mathrel{\in} \overline{
\mathsf {r}}
\}
\!\mathrel{=}\! \overline{
\mathsf{y}}
\Rightarrow \dot{\neg}\, 
\mathsf {c}
 _{Ph} 
 \mathrel{\in}  \{ ph \mathrel{\in} \overline{\mathsf {bs}}
\mid \{\{
\mathsf {a}
 _{Ph} 
,
\mathsf {a}
 _{Ph} 
\}
,\{
\mathsf {a}
 _{Ph} 
,
\mathsf {a}
 _{Ex}
\}
\}
 \mathrel{\in} \overline{
\mathsf {r}}
\}
\Rightarrow \dot{\neg}\, 
\mathsf {c}
 _{Ph} 
 \mathrel{\in}  \{ ph \mathrel{\in} \overline{\mathsf {bs}}
\mid \{\{
\mathsf {a}
 _{Ph} 
,
\mathsf {a}
 _{Ph} 
\}
,\{
\mathsf {a}
 _{Ph} 
,
\mathsf {b}
 _{Ex}
\}
\}
 \mathrel{\in} \overline{
\mathsf {r}}
\}
\Rightarrow \dot{\neg}\, 
\mathsf {c}
 _{Ph} 
 \mathrel{\in} \overline{
\mathsf{x}}
\Rightarrow \dot{\neg}\, 
\mathsf {c}
 _{Ph} 
 \mathrel{\in} \overline{
\mathsf{y}}
\rhd  \{ ph \mathrel{\in} \overline{\mathsf {bs}}
\mid \{\{
\mathsf {a}
 _{Ph} 
,
\mathsf {a}
 _{Ph} 
\}
,\{
\mathsf {a}
 _{Ph} 
,
\mathsf {a}
 _{Ex}
\}
\}
 \mathrel{\in} \overline{
\mathsf {r}}
\}
\!\mathrel{=}\! \overline{
\mathsf{x}}
\rhd  \{ ph \mathrel{\in} \overline{\mathsf {bs}}
\mid \{\{
\mathsf {a}
 _{Ph} 
,
\mathsf {a}
 _{Ph} 
\}
,\{
\mathsf {a}
 _{Ph} 
,
\mathsf {b}
 _{Ex}
\}
\}
 \mathrel{\in} \overline{
\mathsf {r}}
\}
\!\mathrel{=}\! \overline{
\mathsf{y}}
\gg \dot{\neg}\, 
\mathsf {c}
 _{Ph} 
 \mathrel{\in}  \{ ph \mathrel{\in} \overline{\mathsf {bs}}
\mid \{\{
\mathsf {a}
 _{Ph} 
,
\mathsf {a}
 _{Ph} 
\}
,\{
\mathsf {a}
 _{Ph} 
,
\mathsf {a}
 _{Ex}
\}
\}
 \mathrel{\in} \overline{
\mathsf {r}}
\}
\Rightarrow \dot{\neg}\, 
\mathsf {c}
 _{Ph} 
 \mathrel{\in}  \{ ph \mathrel{\in} \overline{\mathsf {bs}}
\mid \{\{
\mathsf {a}
 _{Ph} 
,
\mathsf {a}
 _{Ph} 
\}
,\{
\mathsf {a}
 _{Ph} 
,
\mathsf {b}
 _{Ex}
\}
\}
 \mathrel{\in} \overline{
\mathsf {r}}
\}
\Rightarrow \dot{\neg}\, 
\mathsf {c}
 _{Ph} 
 \mathrel{\in} \overline{
\mathsf{x}}
\Rightarrow \dot{\neg}\, 
\mathsf {c}
 _{Ph} 
 \mathrel{\in} \overline{
\mathsf{y}}
; JoinConjuncts
\rhd \dot{\neg}\, 
\mathsf {c}
 _{Ph} 
 \mathrel{\in} \overline{
\mathsf{x}}
\Rightarrow \dot{\neg}\, 
\mathsf {c}
 _{Ph} 
 \mathrel{\in} \overline{
\mathsf{y}}
\Rightarrow \dot{\neg}\, 
\mathsf {c}
 _{Ph} 
 \mathrel{\in}  \{ ph \mathrel{\in} \overline{\mathsf {bs}}
\mid \{\{
\mathsf {a}
 _{Ph} 
,
\mathsf {a}
 _{Ph} 
\}
,\{
\mathsf {a}
 _{Ph} 
,
\mathsf {a}
 _{Ex}
\}
\}
 \mathrel{\in} \overline{
\mathsf {r}}
\}
\Rightarrow \dot{\neg}\, 
\mathsf {c}
 _{Ph} 
 \mathrel{\in}  \{ ph \mathrel{\in} \overline{\mathsf {bs}}
\mid \{\{
\mathsf {a}
 _{Ph} 
,
\mathsf {a}
 _{Ph} 
\}
,\{
\mathsf {a}
 _{Ph} 
,
\mathsf {b}
 _{Ex}
\}
\}
 \mathrel{\in} \overline{
\mathsf {r}}
\}
\rhd \dot{\neg}\, 
\mathsf {c}
 _{Ph} 
 \mathrel{\in}  \{ ph \mathrel{\in} \overline{\mathsf {bs}}
\mid \{\{
\mathsf {a}
 _{Ph} 
,
\mathsf {a}
 _{Ph} 
\}
,\{
\mathsf {a}
 _{Ph} 
,
\mathsf {a}
 _{Ex}
\}
\}
 \mathrel{\in} \overline{
\mathsf {r}}
\}
\Rightarrow \dot{\neg}\, 
\mathsf {c}
 _{Ph} 
 \mathrel{\in}  \{ ph \mathrel{\in} \overline{\mathsf {bs}}
\mid \{\{
\mathsf {a}
 _{Ph} 
,
\mathsf {a}
 _{Ph} 
\}
,\{
\mathsf {a}
 _{Ph} 
,
\mathsf {b}
 _{Ex}
\}
\}
 \mathrel{\in} \overline{
\mathsf {r}}
\}
\Rightarrow \dot{\neg}\, 
\mathsf {c}
 _{Ph} 
 \mathrel{\in} \overline{
\mathsf{x}}
\Rightarrow \dot{\neg}\, 
\mathsf {c}
 _{Ph} 
 \mathrel{\in} \overline{
\mathsf{y}}
\gg \dot{\neg}\, \dot{\neg}\, 
\mathsf {c}
 _{Ph} 
 \mathrel{\in} \overline{
\mathsf{x}}
\Rightarrow \dot{\neg}\, 
\mathsf {c}
 _{Ph} 
 \mathrel{\in} \overline{
\mathsf{y}}
\Rightarrow \dot{\neg}\, 
\mathsf {c}
 _{Ph} 
 \mathrel{\in}  \{ ph \mathrel{\in} \overline{\mathsf {bs}}
\mid \{\{
\mathsf {a}
 _{Ph} 
,
\mathsf {a}
 _{Ph} 
\}
,\{
\mathsf {a}
 _{Ph} 
,
\mathsf {a}
 _{Ex}
\}
\}
 \mathrel{\in} \overline{
\mathsf {r}}
\}
\Rightarrow \dot{\neg}\, 
\mathsf {c}
 _{Ph} 
 \mathrel{\in}  \{ ph \mathrel{\in} \overline{\mathsf {bs}}
\mid \{\{
\mathsf {a}
 _{Ph} 
,
\mathsf {a}
 _{Ph} 
\}
,\{
\mathsf {a}
 _{Ph} 
,
\mathsf {b}
 _{Ex}
\}
\}
 \mathrel{\in} \overline{
\mathsf {r}}
\}
\Rightarrow \dot{\neg}\, \dot{\neg}\, 
\mathsf {c}
 _{Ph} 
 \mathrel{\in}  \{ ph \mathrel{\in} \overline{\mathsf {bs}}
\mid \{\{
\mathsf {a}
 _{Ph} 
,
\mathsf {a}
 _{Ph} 
\}
,\{
\mathsf {a}
 _{Ph} 
,
\mathsf {a}
 _{Ex}
\}
\}
 \mathrel{\in} \overline{
\mathsf {r}}
\}
\Rightarrow \dot{\neg}\, 
\mathsf {c}
 _{Ph} 
 \mathrel{\in}  \{ ph \mathrel{\in} \overline{\mathsf {bs}}
\mid \{\{
\mathsf {a}
 _{Ph} 
,
\mathsf {a}
 _{Ph} 
\}
,\{
\mathsf {a}
 _{Ph} 
,
\mathsf {b}
 _{Ex}
\}
\}
 \mathrel{\in} \overline{
\mathsf {r}}
\}
\Rightarrow \dot{\neg}\, 
\mathsf {c}
 _{Ph} 
 \mathrel{\in} \overline{
\mathsf{x}}
\Rightarrow \dot{\neg}\, 
\mathsf {c}
 _{Ph} 
 \mathrel{\in} \overline{
\mathsf{y}}
; SameSeparation
\rhd \cup \{\{\overline{
\mathsf{x}}
,\overline{
\mathsf{x}}
\}
,\{\overline{
\mathsf{y}}
,\overline{
\mathsf{y}}
\}
\}
\!\mathrel{=}\! \cup \{\{ \{ ph \mathrel{\in} \overline{\mathsf {bs}}
\mid \{\{
\mathsf {a}
 _{Ph} 
,
\mathsf {a}
 _{Ph} 
\}
,\{
\mathsf {a}
 _{Ph} 
,
\mathsf {a}
 _{Ex}
\}
\}
 \mathrel{\in} \overline{
\mathsf {r}}
\}
, \{ ph \mathrel{\in} \overline{\mathsf {bs}}
\mid \{\{
\mathsf {a}
 _{Ph} 
,
\mathsf {a}
 _{Ph} 
\}
,\{
\mathsf {a}
 _{Ph} 
,
\mathsf {a}
 _{Ex}
\}
\}
 \mathrel{\in} \overline{
\mathsf {r}}
\}
\}
,\{ \{ ph \mathrel{\in} \overline{\mathsf {bs}}
\mid \{\{
\mathsf {a}
 _{Ph} 
,
\mathsf {a}
 _{Ph} 
\}
,\{
\mathsf {a}
 _{Ph} 
,
\mathsf {b}
 _{Ex}
\}
\}
 \mathrel{\in} \overline{
\mathsf {r}}
\}
, \{ ph \mathrel{\in} \overline{\mathsf {bs}}
\mid \{\{
\mathsf {a}
 _{Ph} 
,
\mathsf {a}
 _{Ph} 
\}
,\{
\mathsf {a}
 _{Ph} 
,
\mathsf {b}
 _{Ex}
\}
\}
 \mathrel{\in} \overline{
\mathsf {r}}
\}
\}
\}
\rhd \dot{\neg}\, \dot{\neg}\, 
\mathsf {c}
 _{Ph} 
 \mathrel{\in} \overline{
\mathsf{x}}
\Rightarrow \dot{\neg}\, 
\mathsf {c}
 _{Ph} 
 \mathrel{\in} \overline{
\mathsf{y}}
\Rightarrow \dot{\neg}\, 
\mathsf {c}
 _{Ph} 
 \mathrel{\in}  \{ ph \mathrel{\in} \overline{\mathsf {bs}}
\mid \{\{
\mathsf {a}
 _{Ph} 
,
\mathsf {a}
 _{Ph} 
\}
,\{
\mathsf {a}
 _{Ph} 
,
\mathsf {a}
 _{Ex}
\}
\}
 \mathrel{\in} \overline{
\mathsf {r}}
\}
\Rightarrow \dot{\neg}\, 
\mathsf {c}
 _{Ph} 
 \mathrel{\in}  \{ ph \mathrel{\in} \overline{\mathsf {bs}}
\mid \{\{
\mathsf {a}
 _{Ph} 
,
\mathsf {a}
 _{Ph} 
\}
,\{
\mathsf {a}
 _{Ph} 
,
\mathsf {b}
 _{Ex}
\}
\}
 \mathrel{\in} \overline{
\mathsf {r}}
\}
\Rightarrow \dot{\neg}\, \dot{\neg}\, 
\mathsf {c}
 _{Ph} 
 \mathrel{\in}  \{ ph \mathrel{\in} \overline{\mathsf {bs}}
\mid \{\{
\mathsf {a}
 _{Ph} 
,
\mathsf {a}
 _{Ph} 
\}
,\{
\mathsf {a}
 _{Ph} 
,
\mathsf {a}
 _{Ex}
\}
\}
 \mathrel{\in} \overline{
\mathsf {r}}
\}
\Rightarrow \dot{\neg}\, 
\mathsf {c}
 _{Ph} 
 \mathrel{\in}  \{ ph \mathrel{\in} \overline{\mathsf {bs}}
\mid \{\{
\mathsf {a}
 _{Ph} 
,
\mathsf {a}
 _{Ph} 
\}
,\{
\mathsf {a}
 _{Ph} 
,
\mathsf {b}
 _{Ex}
\}
\}
 \mathrel{\in} \overline{
\mathsf {r}}
\}
\Rightarrow \dot{\neg}\, 
\mathsf {c}
 _{Ph} 
 \mathrel{\in} \overline{
\mathsf{x}}
\Rightarrow \dot{\neg}\, 
\mathsf {c}
 _{Ph} 
 \mathrel{\in} \overline{
\mathsf{y}}
\gg  \{ ph \mathrel{\in} \cup \{\{\overline{
\mathsf{x}}
,\overline{
\mathsf{x}}
\}
,\{\overline{
\mathsf{y}}
,\overline{
\mathsf{y}}
\}
\}
\mid \dot{\neg}\, 
\mathsf {c}
 _{Ph} 
 \mathrel{\in} \overline{
\mathsf{x}}
\Rightarrow \dot{\neg}\, 
\mathsf {c}
 _{Ph} 
 \mathrel{\in} \overline{
\mathsf{y}}
\}
\!\mathrel{=}\!  \{ ph \mathrel{\in} \cup \{\{ \{ ph \mathrel{\in} \overline{\mathsf {bs}}
\mid \{\{
\mathsf {a}
 _{Ph} 
,
\mathsf {a}
 _{Ph} 
\}
,\{
\mathsf {a}
 _{Ph} 
,
\mathsf {a}
 _{Ex}
\}
\}
 \mathrel{\in} \overline{
\mathsf {r}}
\}
, \{ ph \mathrel{\in} \overline{\mathsf {bs}}
\mid \{\{
\mathsf {a}
 _{Ph} 
,
\mathsf {a}
 _{Ph} 
\}
,\{
\mathsf {a}
 _{Ph} 
,
\mathsf {a}
 _{Ex}
\}
\}
 \mathrel{\in} \overline{
\mathsf {r}}
\}
\}
,\{ \{ ph \mathrel{\in} \overline{\mathsf {bs}}
\mid \{\{
\mathsf {a}
 _{Ph} 
,
\mathsf {a}
 _{Ph} 
\}
,\{
\mathsf {a}
 _{Ph} 
,
\mathsf {b}
 _{Ex}
\}
\}
 \mathrel{\in} \overline{
\mathsf {r}}
\}
, \{ ph \mathrel{\in} \overline{\mathsf {bs}}
\mid \{\{
\mathsf {a}
 _{Ph} 
,
\mathsf {a}
 _{Ph} 
\}
,\{
\mathsf {a}
 _{Ph} 
,
\mathsf {b}
 _{Ex}
\}
\}
 \mathrel{\in} \overline{
\mathsf {r}}
\}
\}
\}
\mid \dot{\neg}\, 
\mathsf {c}
 _{Ph} 
 \mathrel{\in}  \{ ph \mathrel{\in} \overline{\mathsf {bs}}
\mid \{\{
\mathsf {a}
 _{Ph} 
,
\mathsf {a}
 _{Ph} 
\}
,\{
\mathsf {a}
 _{Ph} 
,
\mathsf {a}
 _{Ex}
\}
\}
 \mathrel{\in} \overline{
\mathsf {r}}
\}
\Rightarrow \dot{\neg}\, 
\mathsf {c}
 _{Ph} 
 \mathrel{\in}  \{ ph \mathrel{\in} \overline{\mathsf {bs}}
\mid \{\{
\mathsf {a}
 _{Ph} 
,
\mathsf {a}
 _{Ph} 
\}
,\{
\mathsf {a}
 _{Ph} 
,
\mathsf {b}
 _{Ex}
\}
\}
 \mathrel{\in} \overline{
\mathsf {r}}
\}
\}
; Repetition
\rhd  \{ ph \mathrel{\in} \cup \{\{\overline{
\mathsf{x}}
,\overline{
\mathsf{x}}
\}
,\{\overline{
\mathsf{y}}
,\overline{
\mathsf{y}}
\}
\}
\mid \dot{\neg}\, 
\mathsf {c}
 _{Ph} 
 \mathrel{\in} \overline{
\mathsf{x}}
\Rightarrow \dot{\neg}\, 
\mathsf {c}
 _{Ph} 
 \mathrel{\in} \overline{
\mathsf{y}}
\}
\!\mathrel{=}\!  \{ ph \mathrel{\in} \cup \{\{ \{ ph \mathrel{\in} \overline{\mathsf {bs}}
\mid \{\{
\mathsf {a}
 _{Ph} 
,
\mathsf {a}
 _{Ph} 
\}
,\{
\mathsf {a}
 _{Ph} 
,
\mathsf {a}
 _{Ex}
\}
\}
 \mathrel{\in} \overline{
\mathsf {r}}
\}
, \{ ph \mathrel{\in} \overline{\mathsf {bs}}
\mid \{\{
\mathsf {a}
 _{Ph} 
,
\mathsf {a}
 _{Ph} 
\}
,\{
\mathsf {a}
 _{Ph} 
,
\mathsf {a}
 _{Ex}
\}
\}
 \mathrel{\in} \overline{
\mathsf {r}}
\}
\}
,\{ \{ ph \mathrel{\in} \overline{\mathsf {bs}}
\mid \{\{
\mathsf {a}
 _{Ph} 
,
\mathsf {a}
 _{Ph} 
\}
,\{
\mathsf {a}
 _{Ph} 
,
\mathsf {b}
 _{Ex}
\}
\}
 \mathrel{\in} \overline{
\mathsf {r}}
\}
, \{ ph \mathrel{\in} \overline{\mathsf {bs}}
\mid \{\{
\mathsf {a}
 _{Ph} 
,
\mathsf {a}
 _{Ph} 
\}
,\{
\mathsf {a}
 _{Ph} 
,
\mathsf {b}
 _{Ex}
\}
\}
 \mathrel{\in} \overline{
\mathsf {r}}
\}
\}
\}
\mid \dot{\neg}\, 
\mathsf {c}
 _{Ph} 
 \mathrel{\in}  \{ ph \mathrel{\in} \overline{\mathsf {bs}}
\mid \{\{
\mathsf {a}
 _{Ph} 
,
\mathsf {a}
 _{Ph} 
\}
,\{
\mathsf {a}
 _{Ph} 
,
\mathsf {a}
 _{Ex}
\}
\}
 \mathrel{\in} \overline{
\mathsf {r}}
\}
\Rightarrow \dot{\neg}\, 
\mathsf {c}
 _{Ph} 
 \mathrel{\in}  \{ ph \mathrel{\in} \overline{\mathsf {bs}}
\mid \{\{
\mathsf {a}
 _{Ph} 
,
\mathsf {a}
 _{Ph} 
\}
,\{
\mathsf {a}
 _{Ph} 
,
\mathsf {b}
 _{Ex}
\}
\}
 \mathrel{\in} \overline{
\mathsf {r}}
\}
\}
\gg  \{ ph \mathrel{\in} \cup \{\{\overline{
\mathsf{x}}
,\overline{
\mathsf{x}}
\}
,\{\overline{
\mathsf{y}}
,\overline{
\mathsf{y}}
\}
\}
\mid \dot{\neg}\, 
\mathsf {c}
 _{Ph} 
 \mathrel{\in} \overline{
\mathsf{x}}
\Rightarrow \dot{\neg}\, 
\mathsf {c}
 _{Ph} 
 \mathrel{\in} \overline{
\mathsf{y}}
\}
\!\mathrel{=}\!  \{ ph \mathrel{\in} \cup \{\{ \{ ph \mathrel{\in} \overline{\mathsf {bs}}
\mid \{\{
\mathsf {a}
 _{Ph} 
,
\mathsf {a}
 _{Ph} 
\}
,\{
\mathsf {a}
 _{Ph} 
,
\mathsf {a}
 _{Ex}
\}
\}
 \mathrel{\in} \overline{
\mathsf {r}}
\}
, \{ ph \mathrel{\in} \overline{\mathsf {bs}}
\mid \{\{
\mathsf {a}
 _{Ph} 
,
\mathsf {a}
 _{Ph} 
\}
,\{
\mathsf {a}
 _{Ph} 
,
\mathsf {a}
 _{Ex}
\}
\}
 \mathrel{\in} \overline{
\mathsf {r}}
\}
\}
,\{ \{ ph \mathrel{\in} \overline{\mathsf {bs}}
\mid \{\{
\mathsf {a}
 _{Ph} 
,
\mathsf {a}
 _{Ph} 
\}
,\{
\mathsf {a}
 _{Ph} 
,
\mathsf {b}
 _{Ex}
\}
\}
 \mathrel{\in} \overline{
\mathsf {r}}
\}
, \{ ph \mathrel{\in} \overline{\mathsf {bs}}
\mid \{\{
\mathsf {a}
 _{Ph} 
,
\mathsf {a}
 _{Ph} 
\}
,\{
\mathsf {a}
 _{Ph} 
,
\mathsf {b}
 _{Ex}
\}
\}
 \mathrel{\in} \overline{
\mathsf {r}}
\}
\}
\}
\mid \dot{\neg}\, 
\mathsf {c}
 _{Ph} 
 \mathrel{\in}  \{ ph \mathrel{\in} \overline{\mathsf {bs}}
\mid \{\{
\mathsf {a}
 _{Ph} 
,
\mathsf {a}
 _{Ph} 
\}
,\{
\mathsf {a}
 _{Ph} 
,
\mathsf {a}
 _{Ex}
\}
\}
 \mathrel{\in} \overline{
\mathsf {r}}
\}
\Rightarrow \dot{\neg}\, 
\mathsf {c}
 _{Ph} 
 \mathrel{\in}  \{ ph \mathrel{\in} \overline{\mathsf {bs}}
\mid \{\{
\mathsf {a}
 _{Ph} 
,
\mathsf {a}
 _{Ph} 
\}
,\{
\mathsf {a}
 _{Ph} 
,
\mathsf {b}
 _{Ex}
\}
\}
 \mathrel{\in} \overline{
\mathsf {r}}
\}
\}
\rceil 
, 
p_0
, 
\mathsf {c}
)
]$

$\rm
[SameIntersection
\stackrel{
stmt
}{\rightarrow}ZFsub
\vdash \overline{
\mathsf{x}}
\!\mathrel{=}\!  \{ ph \mathrel{\in} \overline{\mathsf {bs}}
\mid \{\{
\mathsf {a}
 _{Ph} 
,
\mathsf {a}
 _{Ph} 
\}
,\{
\mathsf {a}
 _{Ph} 
,
\mathsf {a}
 _{Ex}
\}
\}
 \mathrel{\in} \overline{
\mathsf {r}}
\}
\vdash \overline{
\mathsf{y}}
\!\mathrel{=}\!  \{ ph \mathrel{\in} \overline{\mathsf {bs}}
\mid \{\{
\mathsf {a}
 _{Ph} 
,
\mathsf {a}
 _{Ph} 
\}
,\{
\mathsf {a}
 _{Ph} 
,
\mathsf {b}
 _{Ex}
\}
\}
 \mathrel{\in} \overline{
\mathsf {r}}
\}
\vdash  \{ ph \mathrel{\in} \cup \{\{\overline{
\mathsf{x}}
,\overline{
\mathsf{x}}
\}
,\{\overline{
\mathsf{y}}
,\overline{
\mathsf{y}}
\}
\}
\mid \dot{\neg}\, 
\mathsf {c}
 _{Ph} 
 \mathrel{\in} \overline{
\mathsf{x}}
\Rightarrow \dot{\neg}\, 
\mathsf {c}
 _{Ph} 
 \mathrel{\in} \overline{
\mathsf{y}}
\}
\!\mathrel{=}\!  \{ ph \mathrel{\in} \cup \{\{ \{ ph \mathrel{\in} \overline{\mathsf {bs}}
\mid \{\{
\mathsf {a}
 _{Ph} 
,
\mathsf {a}
 _{Ph} 
\}
,\{
\mathsf {a}
 _{Ph} 
,
\mathsf {a}
 _{Ex}
\}
\}
 \mathrel{\in} \overline{
\mathsf {r}}
\}
, \{ ph \mathrel{\in} \overline{\mathsf {bs}}
\mid \{\{
\mathsf {a}
 _{Ph} 
,
\mathsf {a}
 _{Ph} 
\}
,\{
\mathsf {a}
 _{Ph} 
,
\mathsf {a}
 _{Ex}
\}
\}
 \mathrel{\in} \overline{
\mathsf {r}}
\}
\}
,\{ \{ ph \mathrel{\in} \overline{\mathsf {bs}}
\mid \{\{
\mathsf {a}
 _{Ph} 
,
\mathsf {a}
 _{Ph} 
\}
,\{
\mathsf {a}
 _{Ph} 
,
\mathsf {b}
 _{Ex}
\}
\}
 \mathrel{\in} \overline{
\mathsf {r}}
\}
, \{ ph \mathrel{\in} \overline{\mathsf {bs}}
\mid \{\{
\mathsf {a}
 _{Ph} 
,
\mathsf {a}
 _{Ph} 
\}
,\{
\mathsf {a}
 _{Ph} 
,
\mathsf {b}
 _{Ex}
\}
\}
 \mathrel{\in} \overline{
\mathsf {r}}
\}
\}
\}
\mid \dot{\neg}\, 
\mathsf {c}
 _{Ph} 
 \mathrel{\in}  \{ ph \mathrel{\in} \overline{\mathsf {bs}}
\mid \{\{
\mathsf {a}
 _{Ph} 
,
\mathsf {a}
 _{Ph} 
\}
,\{
\mathsf {a}
 _{Ph} 
,
\mathsf {a}
 _{Ex}
\}
\}
 \mathrel{\in} \overline{
\mathsf {r}}
\}
\Rightarrow \dot{\neg}\, 
\mathsf {c}
 _{Ph} 
 \mathrel{\in}  \{ ph \mathrel{\in} \overline{\mathsf {bs}}
\mid \{\{
\mathsf {a}
 _{Ph} 
,
\mathsf {a}
 _{Ph} 
\}
,\{
\mathsf {a}
 _{Ph} 
,
\mathsf {b}
 _{Ex}
\}
\}
 \mathrel{\in} \overline{
\mathsf {r}}
\}
\}
]$

$\rm
[SameIntersection
\stackrel{
\mathrm{tex}
}{\rightarrow}
\mbox{``}SameIntersection
\mbox{''}
]$

$\rm
[SameIntersection
\stackrel{
\mathrm{pyk}
}{\rightarrow}
\mbox{``}lemma
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}same
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}intersection
\mbox{''}
]$

\hypertarget {url:1808490560655876194608813785663292462486349118665588524157069396079556865:134}{}\section* {$\rm AutoMember$}

$\rm
[AutoMember
\stackrel{
proof
}{\rightarrow}
\lambda 
\mathsf {c}
.
\lambda 
\mathsf{x}
.
{\cal P}( 
\lceil ZFsub
\vdash 
\forall \underline{
\mathsf {r}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf {s}}
\colon 
\forall \underline{\mathsf {bs}}
\colon 
\lceil \overline{
\mathsf {s}}
\rceil 
\#^0
\lceil \underline{
\mathsf {r}}
\rceil 
\mathrel {\makebox [0mm][l]{$\vdash $}\,{\vdash }} 
\lceil \overline{
\mathsf {s}}
\rceil 
\#^0
\lceil \underline{\mathsf {bs}}
\rceil 
\mathrel {\makebox [0mm][l]{$\vdash $}\,{\vdash }} \dot{\neg}\, \dot{\neg}\, 
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {s}}
\colon \overline{
\mathsf {s}}
 \mathrel{\in} \underline{\mathsf {bs}}
\Rightarrow \{\{\overline{
\mathsf {s}}
,\overline{
\mathsf {s}}
\}
,\{\overline{
\mathsf {s}}
,\overline{
\mathsf {s}}
\}
\}
 \mathrel{\in} \underline{
\mathsf {r}}
\Rightarrow \dot{\neg}\, 
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {s}}
\colon 
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {t}}
\colon \overline{
\mathsf {s}}
 \mathrel{\in} \underline{\mathsf {bs}}
\Rightarrow \overline{
\mathsf {t}}
 \mathrel{\in} \underline{\mathsf {bs}}
\Rightarrow \{\{\overline{
\mathsf {s}}
,\overline{
\mathsf {s}}
\}
,\{\overline{
\mathsf {s}}
,\overline{
\mathsf {t}}
\}
\}
 \mathrel{\in} \underline{
\mathsf {r}}
\Rightarrow \{\{\overline{
\mathsf {t}}
,\overline{
\mathsf {t}}
\}
,\{\overline{
\mathsf {t}}
,\overline{
\mathsf {s}}
\}
\}
 \mathrel{\in} \underline{
\mathsf {r}}
\Rightarrow \dot{\neg}\, 
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {s}}
\colon 
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {t}}
\colon 
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {u}}
\colon \overline{
\mathsf {s}}
 \mathrel{\in} \underline{\mathsf {bs}}
\Rightarrow \overline{
\mathsf {t}}
 \mathrel{\in} \underline{\mathsf {bs}}
\Rightarrow \overline{
\mathsf {u}}
 \mathrel{\in} \underline{\mathsf {bs}}
\Rightarrow \{\{\overline{
\mathsf {s}}
,\overline{
\mathsf {s}}
\}
,\{\overline{
\mathsf {s}}
,\overline{
\mathsf {t}}
\}
\}
 \mathrel{\in} \underline{
\mathsf {r}}
\Rightarrow \{\{\overline{
\mathsf {t}}
,\overline{
\mathsf {t}}
\}
,\{\overline{
\mathsf {t}}
,\overline{
\mathsf {u}}
\}
\}
 \mathrel{\in} \underline{
\mathsf {r}}
\Rightarrow \{\{\overline{
\mathsf {s}}
,\overline{
\mathsf {s}}
\}
,\{\overline{
\mathsf {s}}
,\overline{
\mathsf {u}}
\}
\}
 \mathrel{\in} \underline{
\mathsf {r}}
\vdash \underline{
\mathsf {s}}
 \mathrel{\in} \underline{\mathsf {bs}}
\vdash ERisReflexive
\rhd \dot{\neg}\, \dot{\neg}\, 
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {s}}
\colon \overline{
\mathsf {s}}
 \mathrel{\in} \underline{\mathsf {bs}}
\Rightarrow \{\{\overline{
\mathsf {s}}
,\overline{
\mathsf {s}}
\}
,\{\overline{
\mathsf {s}}
,\overline{
\mathsf {s}}
\}
\}
 \mathrel{\in} \underline{
\mathsf {r}}
\Rightarrow \dot{\neg}\, 
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {s}}
\colon 
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {t}}
\colon \overline{
\mathsf {s}}
 \mathrel{\in} \underline{\mathsf {bs}}
\Rightarrow \overline{
\mathsf {t}}
 \mathrel{\in} \underline{\mathsf {bs}}
\Rightarrow \{\{\overline{
\mathsf {s}}
,\overline{
\mathsf {s}}
\}
,\{\overline{
\mathsf {s}}
,\overline{
\mathsf {t}}
\}
\}
 \mathrel{\in} \underline{
\mathsf {r}}
\Rightarrow \{\{\overline{
\mathsf {t}}
,\overline{
\mathsf {t}}
\}
,\{\overline{
\mathsf {t}}
,\overline{
\mathsf {s}}
\}
\}
 \mathrel{\in} \underline{
\mathsf {r}}
\Rightarrow \dot{\neg}\, 
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {s}}
\colon 
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {t}}
\colon 
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {u}}
\colon \overline{
\mathsf {s}}
 \mathrel{\in} \underline{\mathsf {bs}}
\Rightarrow \overline{
\mathsf {t}}
 \mathrel{\in} \underline{\mathsf {bs}}
\Rightarrow \overline{
\mathsf {u}}
 \mathrel{\in} \underline{\mathsf {bs}}
\Rightarrow \{\{\overline{
\mathsf {s}}
,\overline{
\mathsf {s}}
\}
,\{\overline{
\mathsf {s}}
,\overline{
\mathsf {t}}
\}
\}
 \mathrel{\in} \underline{
\mathsf {r}}
\Rightarrow \{\{\overline{
\mathsf {t}}
,\overline{
\mathsf {t}}
\}
,\{\overline{
\mathsf {t}}
,\overline{
\mathsf {u}}
\}
\}
 \mathrel{\in} \underline{
\mathsf {r}}
\Rightarrow \{\{\overline{
\mathsf {s}}
,\overline{
\mathsf {s}}
\}
,\{\overline{
\mathsf {s}}
,\overline{
\mathsf {u}}
\}
\}
 \mathrel{\in} \underline{
\mathsf {r}}
\gg 
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {s}}
\colon \overline{
\mathsf {s}}
 \mathrel{\in} \underline{\mathsf {bs}}
\Rightarrow \{\{\overline{
\mathsf {s}}
,\overline{
\mathsf {s}}
\}
,\{\overline{
\mathsf {s}}
,\overline{
\mathsf {s}}
\}
\}
 \mathrel{\in} \underline{
\mathsf {r}}
; Reflexivity
\mathrel {\makebox [0mm][l]{$\rhd $}\,{\rhd }} 
\lceil \overline{
\mathsf {s}}
\rceil 
\#^0
\lceil \underline{
\mathsf {r}}
\rceil 
\mathrel {\makebox [0mm][l]{$\rhd $}\,{\rhd }} 
\lceil \overline{
\mathsf {s}}
\rceil 
\#^0
\lceil \underline{\mathsf {bs}}
\rceil 
\rhd 
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {s}}
\colon \overline{
\mathsf {s}}
 \mathrel{\in} \underline{\mathsf {bs}}
\Rightarrow \{\{\overline{
\mathsf {s}}
,\overline{
\mathsf {s}}
\}
,\{\overline{
\mathsf {s}}
,\overline{
\mathsf {s}}
\}
\}
 \mathrel{\in} \underline{
\mathsf {r}}
\rhd \underline{
\mathsf {s}}
 \mathrel{\in} \underline{\mathsf {bs}}
\gg \{\{\underline{
\mathsf {s}}
,\underline{
\mathsf {s}}
\}
,\{\underline{
\mathsf {s}}
,\underline{
\mathsf {s}}
\}
\}
 \mathrel{\in} \underline{
\mathsf {r}}
; Formula2Sep
\rhd \underline{
\mathsf {s}}
 \mathrel{\in} \underline{\mathsf {bs}}
\rhd \{\{\underline{
\mathsf {s}}
,\underline{
\mathsf {s}}
\}
,\{\underline{
\mathsf {s}}
,\underline{
\mathsf {s}}
\}
\}
 \mathrel{\in} \underline{
\mathsf {r}}
\gg \underline{
\mathsf {s}}
 \mathrel{\in}  \{ ph \mathrel{\in} \underline{\mathsf {bs}}
\mid \{\{
\mathsf {a}
 _{Ph} 
,
\mathsf {a}
 _{Ph} 
\}
,\{
\mathsf {a}
 _{Ph} 
,\underline{
\mathsf {s}}
\}
\}
 \mathrel{\in} \underline{
\mathsf {r}}
\}
\rceil 
, 
p_0
, 
\mathsf {c}
)
]$

$\rm
[AutoMember
\stackrel{
stmt
}{\rightarrow}ZFsub
\vdash 
\forall \underline{
\mathsf {r}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf {s}}
\colon 
\forall \underline{\mathsf {bs}}
\colon 
\lceil \overline{
\mathsf {s}}
\rceil 
\#^0
\lceil \underline{
\mathsf {r}}
\rceil 
\mathrel {\makebox [0mm][l]{$\vdash $}\,{\vdash }} 
\lceil \overline{
\mathsf {s}}
\rceil 
\#^0
\lceil \underline{\mathsf {bs}}
\rceil 
\mathrel {\makebox [0mm][l]{$\vdash $}\,{\vdash }} \dot{\neg}\, \dot{\neg}\, 
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {s}}
\colon \overline{
\mathsf {s}}
 \mathrel{\in} \underline{\mathsf {bs}}
\Rightarrow \{\{\overline{
\mathsf {s}}
,\overline{
\mathsf {s}}
\}
,\{\overline{
\mathsf {s}}
,\overline{
\mathsf {s}}
\}
\}
 \mathrel{\in} \underline{
\mathsf {r}}
\Rightarrow \dot{\neg}\, 
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {s}}
\colon 
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {t}}
\colon \overline{
\mathsf {s}}
 \mathrel{\in} \underline{\mathsf {bs}}
\Rightarrow \overline{
\mathsf {t}}
 \mathrel{\in} \underline{\mathsf {bs}}
\Rightarrow \{\{\overline{
\mathsf {s}}
,\overline{
\mathsf {s}}
\}
,\{\overline{
\mathsf {s}}
,\overline{
\mathsf {t}}
\}
\}
 \mathrel{\in} \underline{
\mathsf {r}}
\Rightarrow \{\{\overline{
\mathsf {t}}
,\overline{
\mathsf {t}}
\}
,\{\overline{
\mathsf {t}}
,\overline{
\mathsf {s}}
\}
\}
 \mathrel{\in} \underline{
\mathsf {r}}
\Rightarrow \dot{\neg}\, 
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {s}}
\colon 
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {t}}
\colon 
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {u}}
\colon \overline{
\mathsf {s}}
 \mathrel{\in} \underline{\mathsf {bs}}
\Rightarrow \overline{
\mathsf {t}}
 \mathrel{\in} \underline{\mathsf {bs}}
\Rightarrow \overline{
\mathsf {u}}
 \mathrel{\in} \underline{\mathsf {bs}}
\Rightarrow \{\{\overline{
\mathsf {s}}
,\overline{
\mathsf {s}}
\}
,\{\overline{
\mathsf {s}}
,\overline{
\mathsf {t}}
\}
\}
 \mathrel{\in} \underline{
\mathsf {r}}
\Rightarrow \{\{\overline{
\mathsf {t}}
,\overline{
\mathsf {t}}
\}
,\{\overline{
\mathsf {t}}
,\overline{
\mathsf {u}}
\}
\}
 \mathrel{\in} \underline{
\mathsf {r}}
\Rightarrow \{\{\overline{
\mathsf {s}}
,\overline{
\mathsf {s}}
\}
,\{\overline{
\mathsf {s}}
,\overline{
\mathsf {u}}
\}
\}
 \mathrel{\in} \underline{
\mathsf {r}}
\vdash \underline{
\mathsf {s}}
 \mathrel{\in} \underline{\mathsf {bs}}
\vdash \underline{
\mathsf {s}}
 \mathrel{\in}  \{ ph \mathrel{\in} \underline{\mathsf {bs}}
\mid \{\{
\mathsf {a}
 _{Ph} 
,
\mathsf {a}
 _{Ph} 
\}
,\{
\mathsf {a}
 _{Ph} 
,\underline{
\mathsf {s}}
\}
\}
 \mathrel{\in} \underline{
\mathsf {r}}
\}
]$

$\rm
[AutoMember
\stackrel{
\mathrm{tex}
}{\rightarrow}
\mbox{``}AutoMember
\mbox{''}
]$

$\rm
[AutoMember
\stackrel{
\mathrm{pyk}
}{\rightarrow}
\mbox{``}lemma
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}auto
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}member
\mbox{''}
]$

\hypertarget {url:1808490560655876194608813785663292462486349118665588524157069396079556865:135}{}\section* {$\rm HelperEqSysNot\O{}$}

$\rm
[HelperEqSysNot\O{}
\stackrel{
proof
}{\rightarrow}
\lambda 
\mathsf {c}
.
\lambda 
\mathsf{x}
.
{\cal P}( 
\lceil ZFsub
\vdash 
\forall \underline{
\mathsf {r}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf {s}}
\colon 
\forall \underline{\mathsf {bs}}
\colon 
\lceil \overline{
\mathsf {s}}
\rceil 
\#^0
\lceil \underline{
\mathsf {r}}
\rceil 
\mathrel {\makebox [0mm][l]{$\vdash $}\,{\vdash }} 
\lceil \overline{
\mathsf {s}}
\rceil 
\#^0
\lceil \underline{
\mathsf {s}}
\rceil 
\mathrel {\makebox [0mm][l]{$\vdash $}\,{\vdash }} 
\lceil \overline{
\mathsf {s}}
\rceil 
\#^0
\lceil \underline{\mathsf {bs}}
\rceil 
\mathrel {\makebox [0mm][l]{$\vdash $}\,{\vdash }} 
\lceil \overline{
\mathsf {s}}
\rceil 
\#^0
\lceil  \{ ph \mathrel{\in} \underline{\mathsf {bs}}
\mid \{\{
\mathsf {a}
 _{Ph} 
,
\mathsf {a}
 _{Ph} 
\}
,\{
\mathsf {a}
 _{Ph} 
,
\mathsf {a}
 _{Ex}
\}
\}
 \mathrel{\in} \underline{
\mathsf {r}}
\}
\rceil 
\mathrel {\makebox [0mm][l]{$\vdash $}\,{\vdash }} \dot{\neg}\, \dot{\neg}\, 
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {s}}
\colon \overline{
\mathsf {s}}
 \mathrel{\in} \underline{\mathsf {bs}}
\Rightarrow \{\{\overline{
\mathsf {s}}
,\overline{
\mathsf {s}}
\}
,\{\overline{
\mathsf {s}}
,\overline{
\mathsf {s}}
\}
\}
 \mathrel{\in} \underline{
\mathsf {r}}
\Rightarrow \dot{\neg}\, 
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {s}}
\colon 
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {t}}
\colon \overline{
\mathsf {s}}
 \mathrel{\in} \underline{\mathsf {bs}}
\Rightarrow \overline{
\mathsf {t}}
 \mathrel{\in} \underline{\mathsf {bs}}
\Rightarrow \{\{\overline{
\mathsf {s}}
,\overline{
\mathsf {s}}
\}
,\{\overline{
\mathsf {s}}
,\overline{
\mathsf {t}}
\}
\}
 \mathrel{\in} \underline{
\mathsf {r}}
\Rightarrow \{\{\overline{
\mathsf {t}}
,\overline{
\mathsf {t}}
\}
,\{\overline{
\mathsf {t}}
,\overline{
\mathsf {s}}
\}
\}
 \mathrel{\in} \underline{
\mathsf {r}}
\Rightarrow \dot{\neg}\, 
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {s}}
\colon 
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {t}}
\colon 
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {u}}
\colon \overline{
\mathsf {s}}
 \mathrel{\in} \underline{\mathsf {bs}}
\Rightarrow \overline{
\mathsf {t}}
 \mathrel{\in} \underline{\mathsf {bs}}
\Rightarrow \overline{
\mathsf {u}}
 \mathrel{\in} \underline{\mathsf {bs}}
\Rightarrow \{\{\overline{
\mathsf {s}}
,\overline{
\mathsf {s}}
\}
,\{\overline{
\mathsf {s}}
,\overline{
\mathsf {t}}
\}
\}
 \mathrel{\in} \underline{
\mathsf {r}}
\Rightarrow \{\{\overline{
\mathsf {t}}
,\overline{
\mathsf {t}}
\}
,\{\overline{
\mathsf {t}}
,\overline{
\mathsf {u}}
\}
\}
 \mathrel{\in} \underline{
\mathsf {r}}
\Rightarrow \{\{\overline{
\mathsf {s}}
,\overline{
\mathsf {s}}
\}
,\{\overline{
\mathsf {s}}
,\overline{
\mathsf {u}}
\}
\}
 \mathrel{\in} \underline{
\mathsf {r}}
\vdash \underline{
\mathsf {s}}
 \mathrel{\in}  \{ ph \mathrel{\in} P(\underline{\mathsf {bs}}
)
\mid \dot{\neg}\, 
\mathsf {t}
 _{Ex}
 \mathrel{\in} \underline{\mathsf {bs}}
\Rightarrow \dot{\neg}\,  \{ ph \mathrel{\in} \underline{\mathsf {bs}}
\mid \{\{
\mathsf {a}
 _{Ph} 
,
\mathsf {a}
 _{Ph} 
\}
,\{
\mathsf {a}
 _{Ph} 
,
\mathsf {t}
 _{Ex}
\}
\}
 \mathrel{\in} \underline{
\mathsf {r}}
\}
\!\mathrel{=}\! 
\mathsf {b}
 _{Ph} 
\}
\vdash Sep2Formula
\rhd \underline{
\mathsf {s}}
 \mathrel{\in}  \{ ph \mathrel{\in} P(\underline{\mathsf {bs}}
)
\mid \dot{\neg}\, 
\mathsf {t}
 _{Ex}
 \mathrel{\in} \underline{\mathsf {bs}}
\Rightarrow \dot{\neg}\,  \{ ph \mathrel{\in} \underline{\mathsf {bs}}
\mid \{\{
\mathsf {a}
 _{Ph} 
,
\mathsf {a}
 _{Ph} 
\}
,\{
\mathsf {a}
 _{Ph} 
,
\mathsf {t}
 _{Ex}
\}
\}
 \mathrel{\in} \underline{
\mathsf {r}}
\}
\!\mathrel{=}\! 
\mathsf {b}
 _{Ph} 
\}
\gg \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf {s}}
 \mathrel{\in} P(\underline{\mathsf {bs}}
)
\Rightarrow \dot{\neg}\, \dot{\neg}\, 
\mathsf {a}
 _{Ex}
 \mathrel{\in} \underline{\mathsf {bs}}
\Rightarrow \dot{\neg}\,  \{ ph \mathrel{\in} \underline{\mathsf {bs}}
\mid \{\{
\mathsf {a}
 _{Ph} 
,
\mathsf {a}
 _{Ph} 
\}
,\{
\mathsf {a}
 _{Ph} 
,
\mathsf {a}
 _{Ex}
\}
\}
 \mathrel{\in} \underline{
\mathsf {r}}
\}
\!\mathrel{=}\! \underline{
\mathsf {s}}
; SecondConjunct
\rhd \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf {s}}
 \mathrel{\in} P(\underline{\mathsf {bs}}
)
\Rightarrow \dot{\neg}\, \dot{\neg}\, 
\mathsf {a}
 _{Ex}
 \mathrel{\in} \underline{\mathsf {bs}}
\Rightarrow \dot{\neg}\,  \{ ph \mathrel{\in} \underline{\mathsf {bs}}
\mid \{\{
\mathsf {a}
 _{Ph} 
,
\mathsf {a}
 _{Ph} 
\}
,\{
\mathsf {a}
 _{Ph} 
,
\mathsf {a}
 _{Ex}
\}
\}
 \mathrel{\in} \underline{
\mathsf {r}}
\}
\!\mathrel{=}\! \underline{
\mathsf {s}}
\gg \dot{\neg}\, 
\mathsf {a}
 _{Ex}
 \mathrel{\in} \underline{\mathsf {bs}}
\Rightarrow \dot{\neg}\,  \{ ph \mathrel{\in} \underline{\mathsf {bs}}
\mid \{\{
\mathsf {a}
 _{Ph} 
,
\mathsf {a}
 _{Ph} 
\}
,\{
\mathsf {a}
 _{Ph} 
,
\mathsf {a}
 _{Ex}
\}
\}
 \mathrel{\in} \underline{
\mathsf {r}}
\}
\!\mathrel{=}\! \underline{
\mathsf {s}}
; FirstConjunct
\rhd \dot{\neg}\, 
\mathsf {a}
 _{Ex}
 \mathrel{\in} \underline{\mathsf {bs}}
\Rightarrow \dot{\neg}\,  \{ ph \mathrel{\in} \underline{\mathsf {bs}}
\mid \{\{
\mathsf {a}
 _{Ph} 
,
\mathsf {a}
 _{Ph} 
\}
,\{
\mathsf {a}
 _{Ph} 
,
\mathsf {a}
 _{Ex}
\}
\}
 \mathrel{\in} \underline{
\mathsf {r}}
\}
\!\mathrel{=}\! \underline{
\mathsf {s}}
\gg 
\mathsf {a}
 _{Ex}
 \mathrel{\in} \underline{\mathsf {bs}}
; SecondConjunct
\rhd \dot{\neg}\, 
\mathsf {a}
 _{Ex}
 \mathrel{\in} \underline{\mathsf {bs}}
\Rightarrow \dot{\neg}\,  \{ ph \mathrel{\in} \underline{\mathsf {bs}}
\mid \{\{
\mathsf {a}
 _{Ph} 
,
\mathsf {a}
 _{Ph} 
\}
,\{
\mathsf {a}
 _{Ph} 
,
\mathsf {a}
 _{Ex}
\}
\}
 \mathrel{\in} \underline{
\mathsf {r}}
\}
\!\mathrel{=}\! \underline{
\mathsf {s}}
\gg  \{ ph \mathrel{\in} \underline{\mathsf {bs}}
\mid \{\{
\mathsf {a}
 _{Ph} 
,
\mathsf {a}
 _{Ph} 
\}
,\{
\mathsf {a}
 _{Ph} 
,
\mathsf {a}
 _{Ex}
\}
\}
 \mathrel{\in} \underline{
\mathsf {r}}
\}
\!\mathrel{=}\! \underline{
\mathsf {s}}
; AutoMember
\mathrel {\makebox [0mm][l]{$\rhd $}\,{\rhd }} 
\lceil \overline{
\mathsf {s}}
\rceil 
\#^0
\lceil \underline{
\mathsf {r}}
\rceil 
\mathrel {\makebox [0mm][l]{$\rhd $}\,{\rhd }} 
\lceil \overline{
\mathsf {s}}
\rceil 
\#^0
\lceil \underline{\mathsf {bs}}
\rceil 
\rhd \dot{\neg}\, \dot{\neg}\, 
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {s}}
\colon \overline{
\mathsf {s}}
 \mathrel{\in} \underline{\mathsf {bs}}
\Rightarrow \{\{\overline{
\mathsf {s}}
,\overline{
\mathsf {s}}
\}
,\{\overline{
\mathsf {s}}
,\overline{
\mathsf {s}}
\}
\}
 \mathrel{\in} \underline{
\mathsf {r}}
\Rightarrow \dot{\neg}\, 
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {s}}
\colon 
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {t}}
\colon \overline{
\mathsf {s}}
 \mathrel{\in} \underline{\mathsf {bs}}
\Rightarrow \overline{
\mathsf {t}}
 \mathrel{\in} \underline{\mathsf {bs}}
\Rightarrow \{\{\overline{
\mathsf {s}}
,\overline{
\mathsf {s}}
\}
,\{\overline{
\mathsf {s}}
,\overline{
\mathsf {t}}
\}
\}
 \mathrel{\in} \underline{
\mathsf {r}}
\Rightarrow \{\{\overline{
\mathsf {t}}
,\overline{
\mathsf {t}}
\}
,\{\overline{
\mathsf {t}}
,\overline{
\mathsf {s}}
\}
\}
 \mathrel{\in} \underline{
\mathsf {r}}
\Rightarrow \dot{\neg}\, 
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {s}}
\colon 
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {t}}
\colon 
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {u}}
\colon \overline{
\mathsf {s}}
 \mathrel{\in} \underline{\mathsf {bs}}
\Rightarrow \overline{
\mathsf {t}}
 \mathrel{\in} \underline{\mathsf {bs}}
\Rightarrow \overline{
\mathsf {u}}
 \mathrel{\in} \underline{\mathsf {bs}}
\Rightarrow \{\{\overline{
\mathsf {s}}
,\overline{
\mathsf {s}}
\}
,\{\overline{
\mathsf {s}}
,\overline{
\mathsf {t}}
\}
\}
 \mathrel{\in} \underline{
\mathsf {r}}
\Rightarrow \{\{\overline{
\mathsf {t}}
,\overline{
\mathsf {t}}
\}
,\{\overline{
\mathsf {t}}
,\overline{
\mathsf {u}}
\}
\}
 \mathrel{\in} \underline{
\mathsf {r}}
\Rightarrow \{\{\overline{
\mathsf {s}}
,\overline{
\mathsf {s}}
\}
,\{\overline{
\mathsf {s}}
,\overline{
\mathsf {u}}
\}
\}
 \mathrel{\in} \underline{
\mathsf {r}}
\rhd 
\mathsf {a}
 _{Ex}
 \mathrel{\in} \underline{\mathsf {bs}}
\gg 
\mathsf {a}
 _{Ex}
 \mathrel{\in}  \{ ph \mathrel{\in} \underline{\mathsf {bs}}
\mid \{\{
\mathsf {a}
 _{Ph} 
,
\mathsf {a}
 _{Ph} 
\}
,\{
\mathsf {a}
 _{Ph} 
,
\mathsf {a}
 _{Ex}
\}
\}
 \mathrel{\in} \underline{
\mathsf {r}}
\}
; FromSetEquality
\mathrel {\makebox [0mm][l]{$\rhd $}\,{\rhd }} 
\lceil \overline{
\mathsf {s}}
\rceil 
\#^0
\lceil  \{ ph \mathrel{\in} \underline{\mathsf {bs}}
\mid \{\{
\mathsf {a}
 _{Ph} 
,
\mathsf {a}
 _{Ph} 
\}
,\{
\mathsf {a}
 _{Ph} 
,
\mathsf {a}
 _{Ex}
\}
\}
 \mathrel{\in} \underline{
\mathsf {r}}
\}
\rceil 
\mathrel {\makebox [0mm][l]{$\rhd $}\,{\rhd }} 
\lceil \overline{
\mathsf {s}}
\rceil 
\#^0
\lceil \underline{
\mathsf {s}}
\rceil 
\rhd  \{ ph \mathrel{\in} \underline{\mathsf {bs}}
\mid \{\{
\mathsf {a}
 _{Ph} 
,
\mathsf {a}
 _{Ph} 
\}
,\{
\mathsf {a}
 _{Ph} 
,
\mathsf {a}
 _{Ex}
\}
\}
 \mathrel{\in} \underline{
\mathsf {r}}
\}
\!\mathrel{=}\! \underline{
\mathsf {s}}
\rhd 
\mathsf {a}
 _{Ex}
 \mathrel{\in}  \{ ph \mathrel{\in} \underline{\mathsf {bs}}
\mid \{\{
\mathsf {a}
 _{Ph} 
,
\mathsf {a}
 _{Ph} 
\}
,\{
\mathsf {a}
 _{Ph} 
,
\mathsf {a}
 _{Ex}
\}
\}
 \mathrel{\in} \underline{
\mathsf {r}}
\}
\gg 
\mathsf {a}
 _{Ex}
 \mathrel{\in} \underline{
\mathsf {s}}
; MemberNot\O{}
\mathrel {\makebox [0mm][l]{$\rhd $}\,{\rhd }} 
\lceil \overline{
\mathsf {s}}
\rceil 
\#^0
\lceil \underline{
\mathsf {s}}
\rceil 
\rhd 
\mathsf {a}
 _{Ex}
 \mathrel{\in} \underline{
\mathsf {s}}
\gg \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf {s}}
\!\mathrel{=}\! \mathrm{\O}
; 
\forall \underline{
\mathsf {r}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf {s}}
\colon 
\forall \underline{\mathsf {bs}}
\colon Ded
\rhd 
\forall \underline{
\mathsf {r}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf {s}}
\colon 
\forall \underline{\mathsf {bs}}
\colon 
\lceil \overline{
\mathsf {s}}
\rceil 
\#^0
\lceil \underline{
\mathsf {r}}
\rceil 
\mathrel {\makebox [0mm][l]{$\vdash $}\,{\vdash }} 
\lceil \overline{
\mathsf {s}}
\rceil 
\#^0
\lceil \underline{
\mathsf {s}}
\rceil 
\mathrel {\makebox [0mm][l]{$\vdash $}\,{\vdash }} 
\lceil \overline{
\mathsf {s}}
\rceil 
\#^0
\lceil \underline{\mathsf {bs}}
\rceil 
\mathrel {\makebox [0mm][l]{$\vdash $}\,{\vdash }} 
\lceil \overline{
\mathsf {s}}
\rceil 
\#^0
\lceil  \{ ph \mathrel{\in} \underline{\mathsf {bs}}
\mid \{\{
\mathsf {a}
 _{Ph} 
,
\mathsf {a}
 _{Ph} 
\}
,\{
\mathsf {a}
 _{Ph} 
,
\mathsf {a}
 _{Ex}
\}
\}
 \mathrel{\in} \underline{
\mathsf {r}}
\}
\rceil 
\mathrel {\makebox [0mm][l]{$\vdash $}\,{\vdash }} \dot{\neg}\, \dot{\neg}\, 
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {s}}
\colon \overline{
\mathsf {s}}
 \mathrel{\in} \underline{\mathsf {bs}}
\Rightarrow \{\{\overline{
\mathsf {s}}
,\overline{
\mathsf {s}}
\}
,\{\overline{
\mathsf {s}}
,\overline{
\mathsf {s}}
\}
\}
 \mathrel{\in} \underline{
\mathsf {r}}
\Rightarrow \dot{\neg}\, 
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {s}}
\colon 
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {t}}
\colon \overline{
\mathsf {s}}
 \mathrel{\in} \underline{\mathsf {bs}}
\Rightarrow \overline{
\mathsf {t}}
 \mathrel{\in} \underline{\mathsf {bs}}
\Rightarrow \{\{\overline{
\mathsf {s}}
,\overline{
\mathsf {s}}
\}
,\{\overline{
\mathsf {s}}
,\overline{
\mathsf {t}}
\}
\}
 \mathrel{\in} \underline{
\mathsf {r}}
\Rightarrow \{\{\overline{
\mathsf {t}}
,\overline{
\mathsf {t}}
\}
,\{\overline{
\mathsf {t}}
,\overline{
\mathsf {s}}
\}
\}
 \mathrel{\in} \underline{
\mathsf {r}}
\Rightarrow \dot{\neg}\, 
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {s}}
\colon 
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {t}}
\colon 
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {u}}
\colon \overline{
\mathsf {s}}
 \mathrel{\in} \underline{\mathsf {bs}}
\Rightarrow \overline{
\mathsf {t}}
 \mathrel{\in} \underline{\mathsf {bs}}
\Rightarrow \overline{
\mathsf {u}}
 \mathrel{\in} \underline{\mathsf {bs}}
\Rightarrow \{\{\overline{
\mathsf {s}}
,\overline{
\mathsf {s}}
\}
,\{\overline{
\mathsf {s}}
,\overline{
\mathsf {t}}
\}
\}
 \mathrel{\in} \underline{
\mathsf {r}}
\Rightarrow \{\{\overline{
\mathsf {t}}
,\overline{
\mathsf {t}}
\}
,\{\overline{
\mathsf {t}}
,\overline{
\mathsf {u}}
\}
\}
 \mathrel{\in} \underline{
\mathsf {r}}
\Rightarrow \{\{\overline{
\mathsf {s}}
,\overline{
\mathsf {s}}
\}
,\{\overline{
\mathsf {s}}
,\overline{
\mathsf {u}}
\}
\}
 \mathrel{\in} \underline{
\mathsf {r}}
\vdash \underline{
\mathsf {s}}
 \mathrel{\in}  \{ ph \mathrel{\in} P(\underline{\mathsf {bs}}
)
\mid \dot{\neg}\, 
\mathsf {t}
 _{Ex}
 \mathrel{\in} \underline{\mathsf {bs}}
\Rightarrow \dot{\neg}\,  \{ ph \mathrel{\in} \underline{\mathsf {bs}}
\mid \{\{
\mathsf {a}
 _{Ph} 
,
\mathsf {a}
 _{Ph} 
\}
,\{
\mathsf {a}
 _{Ph} 
,
\mathsf {t}
 _{Ex}
\}
\}
 \mathrel{\in} \underline{
\mathsf {r}}
\}
\!\mathrel{=}\! 
\mathsf {b}
 _{Ph} 
\}
\vdash \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf {s}}
\!\mathrel{=}\! \mathrm{\O}
\gg 
\lceil \overline{
\mathsf {s}}
\rceil 
\#^0
\lceil \underline{
\mathsf {r}}
\rceil 
\mathrel {\makebox [0mm][l]{$\vdash $}\,{\vdash }} 
\lceil \overline{
\mathsf {s}}
\rceil 
\#^0
\lceil \underline{
\mathsf {s}}
\rceil 
\mathrel {\makebox [0mm][l]{$\vdash $}\,{\vdash }} 
\lceil \overline{
\mathsf {s}}
\rceil 
\#^0
\lceil \underline{\mathsf {bs}}
\rceil 
\mathrel {\makebox [0mm][l]{$\vdash $}\,{\vdash }} 
\lceil \overline{
\mathsf {s}}
\rceil 
\#^0
\lceil  \{ ph \mathrel{\in} \underline{\mathsf {bs}}
\mid \{\{
\mathsf {a}
 _{Ph} 
,
\mathsf {a}
 _{Ph} 
\}
,\{
\mathsf {a}
 _{Ph} 
,
\mathsf {a}
 _{Ex}
\}
\}
 \mathrel{\in} \underline{
\mathsf {r}}
\}
\rceil 
\mathrel {\makebox [0mm][l]{$\vdash $}\,{\vdash }} 
\lceil \overline{
\mathsf {t}}
\rceil 
\#^0
\lceil \underline{
\mathsf {r}}
\rceil 
\mathrel {\makebox [0mm][l]{$\vdash $}\,{\vdash }} 
\lceil \overline{
\mathsf {t}}
\rceil 
\#^0
\lceil \underline{\mathsf {bs}}
\rceil 
\mathrel {\makebox [0mm][l]{$\vdash $}\,{\vdash }} 
\lceil \overline{
\mathsf {u}}
\rceil 
\#^0
\lceil \underline{
\mathsf {r}}
\rceil 
\mathrel {\makebox [0mm][l]{$\vdash $}\,{\vdash }} 
\lceil \overline{
\mathsf {u}}
\rceil 
\#^0
\lceil \underline{\mathsf {bs}}
\rceil 
\mathrel {\makebox [0mm][l]{$\vdash $}\,{\vdash }} \dot{\neg}\, \dot{\neg}\, 
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {s}}
\colon \overline{
\mathsf {s}}
 \mathrel{\in} \underline{\mathsf {bs}}
\Rightarrow \{\{\overline{
\mathsf {s}}
,\overline{
\mathsf {s}}
\}
,\{\overline{
\mathsf {s}}
,\overline{
\mathsf {s}}
\}
\}
 \mathrel{\in} \underline{
\mathsf {r}}
\Rightarrow \dot{\neg}\, 
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {s}}
\colon 
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {t}}
\colon \overline{
\mathsf {s}}
 \mathrel{\in} \underline{\mathsf {bs}}
\Rightarrow \overline{
\mathsf {t}}
 \mathrel{\in} \underline{\mathsf {bs}}
\Rightarrow \{\{\overline{
\mathsf {s}}
,\overline{
\mathsf {s}}
\}
,\{\overline{
\mathsf {s}}
,\overline{
\mathsf {t}}
\}
\}
 \mathrel{\in} \underline{
\mathsf {r}}
\Rightarrow \{\{\overline{
\mathsf {t}}
,\overline{
\mathsf {t}}
\}
,\{\overline{
\mathsf {t}}
,\overline{
\mathsf {s}}
\}
\}
 \mathrel{\in} \underline{
\mathsf {r}}
\Rightarrow \dot{\neg}\, 
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {s}}
\colon 
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {t}}
\colon 
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {u}}
\colon \overline{
\mathsf {s}}
 \mathrel{\in} \underline{\mathsf {bs}}
\Rightarrow \overline{
\mathsf {t}}
 \mathrel{\in} \underline{\mathsf {bs}}
\Rightarrow \overline{
\mathsf {u}}
 \mathrel{\in} \underline{\mathsf {bs}}
\Rightarrow \{\{\overline{
\mathsf {s}}
,\overline{
\mathsf {s}}
\}
,\{\overline{
\mathsf {s}}
,\overline{
\mathsf {t}}
\}
\}
 \mathrel{\in} \underline{
\mathsf {r}}
\Rightarrow \{\{\overline{
\mathsf {t}}
,\overline{
\mathsf {t}}
\}
,\{\overline{
\mathsf {t}}
,\overline{
\mathsf {u}}
\}
\}
 \mathrel{\in} \underline{
\mathsf {r}}
\Rightarrow \{\{\overline{
\mathsf {s}}
,\overline{
\mathsf {s}}
\}
,\{\overline{
\mathsf {s}}
,\overline{
\mathsf {u}}
\}
\}
 \mathrel{\in} \underline{
\mathsf {r}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {s}}
 \mathrel{\in}  \{ ph \mathrel{\in} P(\underline{\mathsf {bs}}
)
\mid \dot{\neg}\, 
\mathsf {t}
 _{Ex}
 \mathrel{\in} \underline{\mathsf {bs}}
\Rightarrow \dot{\neg}\,  \{ ph \mathrel{\in} \underline{\mathsf {bs}}
\mid \{\{
\mathsf {a}
 _{Ph} 
,
\mathsf {a}
 _{Ph} 
\}
,\{
\mathsf {a}
 _{Ph} 
,
\mathsf {t}
 _{Ex}
\}
\}
 \mathrel{\in} \underline{
\mathsf {r}}
\}
\!\mathrel{=}\! 
\mathsf {b}
 _{Ph} 
\}
\Rightarrow \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf {s}}
\!\mathrel{=}\! \mathrm{\O}
\rceil 
, 
p_0
, 
\mathsf {c}
)
]$

$\rm
[HelperEqSysNot\O{}
\stackrel{
stmt
}{\rightarrow}ZFsub
\vdash 
\forall \underline{
\mathsf {r}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf {s}}
\colon 
\forall \underline{\mathsf {bs}}
\colon 
\lceil \overline{
\mathsf {s}}
\rceil 
\#^0
\lceil \underline{
\mathsf {r}}
\rceil 
\mathrel {\makebox [0mm][l]{$\vdash $}\,{\vdash }} 
\lceil \overline{
\mathsf {s}}
\rceil 
\#^0
\lceil \underline{
\mathsf {s}}
\rceil 
\mathrel {\makebox [0mm][l]{$\vdash $}\,{\vdash }} 
\lceil \overline{
\mathsf {s}}
\rceil 
\#^0
\lceil \underline{\mathsf {bs}}
\rceil 
\mathrel {\makebox [0mm][l]{$\vdash $}\,{\vdash }} 
\lceil \overline{
\mathsf {s}}
\rceil 
\#^0
\lceil  \{ ph \mathrel{\in} \underline{\mathsf {bs}}
\mid \{\{
\mathsf {a}
 _{Ph} 
,
\mathsf {a}
 _{Ph} 
\}
,\{
\mathsf {a}
 _{Ph} 
,
\mathsf {a}
 _{Ex}
\}
\}
 \mathrel{\in} \underline{
\mathsf {r}}
\}
\rceil 
\mathrel {\makebox [0mm][l]{$\vdash $}\,{\vdash }} 
\lceil \overline{
\mathsf {t}}
\rceil 
\#^0
\lceil \underline{
\mathsf {r}}
\rceil 
\mathrel {\makebox [0mm][l]{$\vdash $}\,{\vdash }} 
\lceil \overline{
\mathsf {t}}
\rceil 
\#^0
\lceil \underline{\mathsf {bs}}
\rceil 
\mathrel {\makebox [0mm][l]{$\vdash $}\,{\vdash }} 
\lceil \overline{
\mathsf {u}}
\rceil 
\#^0
\lceil \underline{
\mathsf {r}}
\rceil 
\mathrel {\makebox [0mm][l]{$\vdash $}\,{\vdash }} 
\lceil \overline{
\mathsf {u}}
\rceil 
\#^0
\lceil \underline{\mathsf {bs}}
\rceil 
\mathrel {\makebox [0mm][l]{$\vdash $}\,{\vdash }} \dot{\neg}\, \dot{\neg}\, 
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {s}}
\colon \overline{
\mathsf {s}}
 \mathrel{\in} \underline{\mathsf {bs}}
\Rightarrow \{\{\overline{
\mathsf {s}}
,\overline{
\mathsf {s}}
\}
,\{\overline{
\mathsf {s}}
,\overline{
\mathsf {s}}
\}
\}
 \mathrel{\in} \underline{
\mathsf {r}}
\Rightarrow \dot{\neg}\, 
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {s}}
\colon 
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {t}}
\colon \overline{
\mathsf {s}}
 \mathrel{\in} \underline{\mathsf {bs}}
\Rightarrow \overline{
\mathsf {t}}
 \mathrel{\in} \underline{\mathsf {bs}}
\Rightarrow \{\{\overline{
\mathsf {s}}
,\overline{
\mathsf {s}}
\}
,\{\overline{
\mathsf {s}}
,\overline{
\mathsf {t}}
\}
\}
 \mathrel{\in} \underline{
\mathsf {r}}
\Rightarrow \{\{\overline{
\mathsf {t}}
,\overline{
\mathsf {t}}
\}
,\{\overline{
\mathsf {t}}
,\overline{
\mathsf {s}}
\}
\}
 \mathrel{\in} \underline{
\mathsf {r}}
\Rightarrow \dot{\neg}\, 
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {s}}
\colon 
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {t}}
\colon 
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {u}}
\colon \overline{
\mathsf {s}}
 \mathrel{\in} \underline{\mathsf {bs}}
\Rightarrow \overline{
\mathsf {t}}
 \mathrel{\in} \underline{\mathsf {bs}}
\Rightarrow \overline{
\mathsf {u}}
 \mathrel{\in} \underline{\mathsf {bs}}
\Rightarrow \{\{\overline{
\mathsf {s}}
,\overline{
\mathsf {s}}
\}
,\{\overline{
\mathsf {s}}
,\overline{
\mathsf {t}}
\}
\}
 \mathrel{\in} \underline{
\mathsf {r}}
\Rightarrow \{\{\overline{
\mathsf {t}}
,\overline{
\mathsf {t}}
\}
,\{\overline{
\mathsf {t}}
,\overline{
\mathsf {u}}
\}
\}
 \mathrel{\in} \underline{
\mathsf {r}}
\Rightarrow \{\{\overline{
\mathsf {s}}
,\overline{
\mathsf {s}}
\}
,\{\overline{
\mathsf {s}}
,\overline{
\mathsf {u}}
\}
\}
 \mathrel{\in} \underline{
\mathsf {r}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {s}}
 \mathrel{\in}  \{ ph \mathrel{\in} P(\underline{\mathsf {bs}}
)
\mid \dot{\neg}\, 
\mathsf {t}
 _{Ex}
 \mathrel{\in} \underline{\mathsf {bs}}
\Rightarrow \dot{\neg}\,  \{ ph \mathrel{\in} \underline{\mathsf {bs}}
\mid \{\{
\mathsf {a}
 _{Ph} 
,
\mathsf {a}
 _{Ph} 
\}
,\{
\mathsf {a}
 _{Ph} 
,
\mathsf {t}
 _{Ex}
\}
\}
 \mathrel{\in} \underline{
\mathsf {r}}
\}
\!\mathrel{=}\! 
\mathsf {b}
 _{Ph} 
\}
\Rightarrow \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf {s}}
\!\mathrel{=}\! \mathrm{\O}
]$

$\rm
[HelperEqSysNot\O{}
\stackrel{
\mathrm{tex}
}{\rightarrow}
\mbox{``}HelperEqSysNot
\mbox {$\backslash $}O
\{
\}
\mbox{''}
]$

$\rm
[HelperEqSysNot\O{}
\stackrel{
\mathrm{pyk}
}{\rightarrow}
\mbox{``}lemma
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}eq
\mbox{-}system
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}not
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}empty0
\mbox{''}
]$

\hypertarget {url:1808490560655876194608813785663292462486349118665588524157069396079556865:136}{}\section* {$\rm EqSysNot\O{}$}

$\rm
[EqSysNot\O{}
\stackrel{
proof
}{\rightarrow}
\lambda 
\mathsf {c}
.
\lambda 
\mathsf{x}
.
{\cal P}( 
\lceil ZFsub
\vdash 
\forall \underline{
\mathsf {r}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf {s}}
\colon 
\forall \underline{\mathsf {bs}}
\colon 
\lceil \overline{
\mathsf {s}}
\rceil 
\#^0
\lceil \underline{
\mathsf {r}}
\rceil 
\mathrel {\makebox [0mm][l]{$\vdash $}\,{\vdash }} 
\lceil \overline{
\mathsf {s}}
\rceil 
\#^0
\lceil \underline{
\mathsf {s}}
\rceil 
\mathrel {\makebox [0mm][l]{$\vdash $}\,{\vdash }} 
\lceil \overline{
\mathsf {s}}
\rceil 
\#^0
\lceil \underline{\mathsf {bs}}
\rceil 
\mathrel {\makebox [0mm][l]{$\vdash $}\,{\vdash }} 
\lceil \overline{
\mathsf {s}}
\rceil 
\#^0
\lceil  \{ ph \mathrel{\in} \underline{\mathsf {bs}}
\mid \{\{
\mathsf {a}
 _{Ph} 
,
\mathsf {a}
 _{Ph} 
\}
,\{
\mathsf {a}
 _{Ph} 
,
\mathsf {a}
 _{Ex}
\}
\}
 \mathrel{\in} \underline{
\mathsf {r}}
\}
\rceil 
\mathrel {\makebox [0mm][l]{$\vdash $}\,{\vdash }} 
\lceil \overline{
\mathsf {t}}
\rceil 
\#^0
\lceil \underline{
\mathsf {r}}
\rceil 
\mathrel {\makebox [0mm][l]{$\vdash $}\,{\vdash }} 
\lceil \overline{
\mathsf {t}}
\rceil 
\#^0
\lceil \underline{\mathsf {bs}}
\rceil 
\mathrel {\makebox [0mm][l]{$\vdash $}\,{\vdash }} 
\lceil \overline{
\mathsf {u}}
\rceil 
\#^0
\lceil \underline{
\mathsf {r}}
\rceil 
\mathrel {\makebox [0mm][l]{$\vdash $}\,{\vdash }} 
\lceil \overline{
\mathsf {u}}
\rceil 
\#^0
\lceil \underline{\mathsf {bs}}
\rceil 
\mathrel {\makebox [0mm][l]{$\vdash $}\,{\vdash }} \dot{\neg}\, \dot{\neg}\, 
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {s}}
\colon \overline{
\mathsf {s}}
 \mathrel{\in} \underline{\mathsf {bs}}
\Rightarrow \{\{\overline{
\mathsf {s}}
,\overline{
\mathsf {s}}
\}
,\{\overline{
\mathsf {s}}
,\overline{
\mathsf {s}}
\}
\}
 \mathrel{\in} \underline{
\mathsf {r}}
\Rightarrow \dot{\neg}\, 
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {s}}
\colon 
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {t}}
\colon \overline{
\mathsf {s}}
 \mathrel{\in} \underline{\mathsf {bs}}
\Rightarrow \overline{
\mathsf {t}}
 \mathrel{\in} \underline{\mathsf {bs}}
\Rightarrow \{\{\overline{
\mathsf {s}}
,\overline{
\mathsf {s}}
\}
,\{\overline{
\mathsf {s}}
,\overline{
\mathsf {t}}
\}
\}
 \mathrel{\in} \underline{
\mathsf {r}}
\Rightarrow \{\{\overline{
\mathsf {t}}
,\overline{
\mathsf {t}}
\}
,\{\overline{
\mathsf {t}}
,\overline{
\mathsf {s}}
\}
\}
 \mathrel{\in} \underline{
\mathsf {r}}
\Rightarrow \dot{\neg}\, 
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {s}}
\colon 
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {t}}
\colon 
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {u}}
\colon \overline{
\mathsf {s}}
 \mathrel{\in} \underline{\mathsf {bs}}
\Rightarrow \overline{
\mathsf {t}}
 \mathrel{\in} \underline{\mathsf {bs}}
\Rightarrow \overline{
\mathsf {u}}
 \mathrel{\in} \underline{\mathsf {bs}}
\Rightarrow \{\{\overline{
\mathsf {s}}
,\overline{
\mathsf {s}}
\}
,\{\overline{
\mathsf {s}}
,\overline{
\mathsf {t}}
\}
\}
 \mathrel{\in} \underline{
\mathsf {r}}
\Rightarrow \{\{\overline{
\mathsf {t}}
,\overline{
\mathsf {t}}
\}
,\{\overline{
\mathsf {t}}
,\overline{
\mathsf {u}}
\}
\}
 \mathrel{\in} \underline{
\mathsf {r}}
\Rightarrow \{\{\overline{
\mathsf {s}}
,\overline{
\mathsf {s}}
\}
,\{\overline{
\mathsf {s}}
,\overline{
\mathsf {u}}
\}
\}
 \mathrel{\in} \underline{
\mathsf {r}}
\vdash HelperEqSysNot\O{}
\mathrel {\makebox [0mm][l]{$\rhd $}\,{\rhd }} 
\lceil \overline{
\mathsf {s}}
\rceil 
\#^0
\lceil \underline{
\mathsf {r}}
\rceil 
\mathrel {\makebox [0mm][l]{$\rhd $}\,{\rhd }} 
\lceil \overline{
\mathsf {s}}
\rceil 
\#^0
\lceil \underline{
\mathsf {s}}
\rceil 
\mathrel {\makebox [0mm][l]{$\rhd $}\,{\rhd }} 
\lceil \overline{
\mathsf {s}}
\rceil 
\#^0
\lceil \underline{\mathsf {bs}}
\rceil 
\mathrel {\makebox [0mm][l]{$\rhd $}\,{\rhd }} 
\lceil \overline{
\mathsf {s}}
\rceil 
\#^0
\lceil  \{ ph \mathrel{\in} \underline{\mathsf {bs}}
\mid \{\{
\mathsf {a}
 _{Ph} 
,
\mathsf {a}
 _{Ph} 
\}
,\{
\mathsf {a}
 _{Ph} 
,
\mathsf {a}
 _{Ex}
\}
\}
 \mathrel{\in} \underline{
\mathsf {r}}
\}
\rceil 
\mathrel {\makebox [0mm][l]{$\rhd $}\,{\rhd }} 
\lceil \overline{
\mathsf {t}}
\rceil 
\#^0
\lceil \underline{
\mathsf {r}}
\rceil 
\mathrel {\makebox [0mm][l]{$\rhd $}\,{\rhd }} 
\lceil \overline{
\mathsf {t}}
\rceil 
\#^0
\lceil \underline{\mathsf {bs}}
\rceil 
\mathrel {\makebox [0mm][l]{$\rhd $}\,{\rhd }} 
\lceil \overline{
\mathsf {u}}
\rceil 
\#^0
\lceil \underline{
\mathsf {r}}
\rceil 
\mathrel {\makebox [0mm][l]{$\rhd $}\,{\rhd }} 
\lceil \overline{
\mathsf {u}}
\rceil 
\#^0
\lceil \underline{\mathsf {bs}}
\rceil 
\gg \dot{\neg}\, \dot{\neg}\, 
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {s}}
\colon \overline{
\mathsf {s}}
 \mathrel{\in} \underline{\mathsf {bs}}
\Rightarrow \{\{\overline{
\mathsf {s}}
,\overline{
\mathsf {s}}
\}
,\{\overline{
\mathsf {s}}
,\overline{
\mathsf {s}}
\}
\}
 \mathrel{\in} \underline{
\mathsf {r}}
\Rightarrow \dot{\neg}\, 
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {s}}
\colon 
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {t}}
\colon \overline{
\mathsf {s}}
 \mathrel{\in} \underline{\mathsf {bs}}
\Rightarrow \overline{
\mathsf {t}}
 \mathrel{\in} \underline{\mathsf {bs}}
\Rightarrow \{\{\overline{
\mathsf {s}}
,\overline{
\mathsf {s}}
\}
,\{\overline{
\mathsf {s}}
,\overline{
\mathsf {t}}
\}
\}
 \mathrel{\in} \underline{
\mathsf {r}}
\Rightarrow \{\{\overline{
\mathsf {t}}
,\overline{
\mathsf {t}}
\}
,\{\overline{
\mathsf {t}}
,\overline{
\mathsf {s}}
\}
\}
 \mathrel{\in} \underline{
\mathsf {r}}
\Rightarrow \dot{\neg}\, 
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {s}}
\colon 
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {t}}
\colon 
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {u}}
\colon \overline{
\mathsf {s}}
 \mathrel{\in} \underline{\mathsf {bs}}
\Rightarrow \overline{
\mathsf {t}}
 \mathrel{\in} \underline{\mathsf {bs}}
\Rightarrow \overline{
\mathsf {u}}
 \mathrel{\in} \underline{\mathsf {bs}}
\Rightarrow \{\{\overline{
\mathsf {s}}
,\overline{
\mathsf {s}}
\}
,\{\overline{
\mathsf {s}}
,\overline{
\mathsf {t}}
\}
\}
 \mathrel{\in} \underline{
\mathsf {r}}
\Rightarrow \{\{\overline{
\mathsf {t}}
,\overline{
\mathsf {t}}
\}
,\{\overline{
\mathsf {t}}
,\overline{
\mathsf {u}}
\}
\}
 \mathrel{\in} \underline{
\mathsf {r}}
\Rightarrow \{\{\overline{
\mathsf {s}}
,\overline{
\mathsf {s}}
\}
,\{\overline{
\mathsf {s}}
,\overline{
\mathsf {u}}
\}
\}
 \mathrel{\in} \underline{
\mathsf {r}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {s}}
 \mathrel{\in}  \{ ph \mathrel{\in} P(\underline{\mathsf {bs}}
)
\mid \dot{\neg}\, 
\mathsf {t}
 _{Ex}
 \mathrel{\in} \underline{\mathsf {bs}}
\Rightarrow \dot{\neg}\,  \{ ph \mathrel{\in} \underline{\mathsf {bs}}
\mid \{\{
\mathsf {a}
 _{Ph} 
,
\mathsf {a}
 _{Ph} 
\}
,\{
\mathsf {a}
 _{Ph} 
,
\mathsf {t}
 _{Ex}
\}
\}
 \mathrel{\in} \underline{
\mathsf {r}}
\}
\!\mathrel{=}\! 
\mathsf {b}
 _{Ph} 
\}
\Rightarrow \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf {s}}
\!\mathrel{=}\! \mathrm{\O}
; MP
\rhd \dot{\neg}\, \dot{\neg}\, 
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {s}}
\colon \overline{
\mathsf {s}}
 \mathrel{\in} \underline{\mathsf {bs}}
\Rightarrow \{\{\overline{
\mathsf {s}}
,\overline{
\mathsf {s}}
\}
,\{\overline{
\mathsf {s}}
,\overline{
\mathsf {s}}
\}
\}
 \mathrel{\in} \underline{
\mathsf {r}}
\Rightarrow \dot{\neg}\, 
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {s}}
\colon 
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {t}}
\colon \overline{
\mathsf {s}}
 \mathrel{\in} \underline{\mathsf {bs}}
\Rightarrow \overline{
\mathsf {t}}
 \mathrel{\in} \underline{\mathsf {bs}}
\Rightarrow \{\{\overline{
\mathsf {s}}
,\overline{
\mathsf {s}}
\}
,\{\overline{
\mathsf {s}}
,\overline{
\mathsf {t}}
\}
\}
 \mathrel{\in} \underline{
\mathsf {r}}
\Rightarrow \{\{\overline{
\mathsf {t}}
,\overline{
\mathsf {t}}
\}
,\{\overline{
\mathsf {t}}
,\overline{
\mathsf {s}}
\}
\}
 \mathrel{\in} \underline{
\mathsf {r}}
\Rightarrow \dot{\neg}\, 
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {s}}
\colon 
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {t}}
\colon 
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {u}}
\colon \overline{
\mathsf {s}}
 \mathrel{\in} \underline{\mathsf {bs}}
\Rightarrow \overline{
\mathsf {t}}
 \mathrel{\in} \underline{\mathsf {bs}}
\Rightarrow \overline{
\mathsf {u}}
 \mathrel{\in} \underline{\mathsf {bs}}
\Rightarrow \{\{\overline{
\mathsf {s}}
,\overline{
\mathsf {s}}
\}
,\{\overline{
\mathsf {s}}
,\overline{
\mathsf {t}}
\}
\}
 \mathrel{\in} \underline{
\mathsf {r}}
\Rightarrow \{\{\overline{
\mathsf {t}}
,\overline{
\mathsf {t}}
\}
,\{\overline{
\mathsf {t}}
,\overline{
\mathsf {u}}
\}
\}
 \mathrel{\in} \underline{
\mathsf {r}}
\Rightarrow \{\{\overline{
\mathsf {s}}
,\overline{
\mathsf {s}}
\}
,\{\overline{
\mathsf {s}}
,\overline{
\mathsf {u}}
\}
\}
 \mathrel{\in} \underline{
\mathsf {r}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {s}}
 \mathrel{\in}  \{ ph \mathrel{\in} P(\underline{\mathsf {bs}}
)
\mid \dot{\neg}\, 
\mathsf {t}
 _{Ex}
 \mathrel{\in} \underline{\mathsf {bs}}
\Rightarrow \dot{\neg}\,  \{ ph \mathrel{\in} \underline{\mathsf {bs}}
\mid \{\{
\mathsf {a}
 _{Ph} 
,
\mathsf {a}
 _{Ph} 
\}
,\{
\mathsf {a}
 _{Ph} 
,
\mathsf {t}
 _{Ex}
\}
\}
 \mathrel{\in} \underline{
\mathsf {r}}
\}
\!\mathrel{=}\! 
\mathsf {b}
 _{Ph} 
\}
\Rightarrow \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf {s}}
\!\mathrel{=}\! \mathrm{\O}
\rhd \dot{\neg}\, \dot{\neg}\, 
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {s}}
\colon \overline{
\mathsf {s}}
 \mathrel{\in} \underline{\mathsf {bs}}
\Rightarrow \{\{\overline{
\mathsf {s}}
,\overline{
\mathsf {s}}
\}
,\{\overline{
\mathsf {s}}
,\overline{
\mathsf {s}}
\}
\}
 \mathrel{\in} \underline{
\mathsf {r}}
\Rightarrow \dot{\neg}\, 
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {s}}
\colon 
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {t}}
\colon \overline{
\mathsf {s}}
 \mathrel{\in} \underline{\mathsf {bs}}
\Rightarrow \overline{
\mathsf {t}}
 \mathrel{\in} \underline{\mathsf {bs}}
\Rightarrow \{\{\overline{
\mathsf {s}}
,\overline{
\mathsf {s}}
\}
,\{\overline{
\mathsf {s}}
,\overline{
\mathsf {t}}
\}
\}
 \mathrel{\in} \underline{
\mathsf {r}}
\Rightarrow \{\{\overline{
\mathsf {t}}
,\overline{
\mathsf {t}}
\}
,\{\overline{
\mathsf {t}}
,\overline{
\mathsf {s}}
\}
\}
 \mathrel{\in} \underline{
\mathsf {r}}
\Rightarrow \dot{\neg}\, 
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {s}}
\colon 
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {t}}
\colon 
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {u}}
\colon \overline{
\mathsf {s}}
 \mathrel{\in} \underline{\mathsf {bs}}
\Rightarrow \overline{
\mathsf {t}}
 \mathrel{\in} \underline{\mathsf {bs}}
\Rightarrow \overline{
\mathsf {u}}
 \mathrel{\in} \underline{\mathsf {bs}}
\Rightarrow \{\{\overline{
\mathsf {s}}
,\overline{
\mathsf {s}}
\}
,\{\overline{
\mathsf {s}}
,\overline{
\mathsf {t}}
\}
\}
 \mathrel{\in} \underline{
\mathsf {r}}
\Rightarrow \{\{\overline{
\mathsf {t}}
,\overline{
\mathsf {t}}
\}
,\{\overline{
\mathsf {t}}
,\overline{
\mathsf {u}}
\}
\}
 \mathrel{\in} \underline{
\mathsf {r}}
\Rightarrow \{\{\overline{
\mathsf {s}}
,\overline{
\mathsf {s}}
\}
,\{\overline{
\mathsf {s}}
,\overline{
\mathsf {u}}
\}
\}
 \mathrel{\in} \underline{
\mathsf {r}}
\gg \underline{
\mathsf {s}}
 \mathrel{\in}  \{ ph \mathrel{\in} P(\underline{\mathsf {bs}}
)
\mid \dot{\neg}\, 
\mathsf {t}
 _{Ex}
 \mathrel{\in} \underline{\mathsf {bs}}
\Rightarrow \dot{\neg}\,  \{ ph \mathrel{\in} \underline{\mathsf {bs}}
\mid \{\{
\mathsf {a}
 _{Ph} 
,
\mathsf {a}
 _{Ph} 
\}
,\{
\mathsf {a}
 _{Ph} 
,
\mathsf {t}
 _{Ex}
\}
\}
 \mathrel{\in} \underline{
\mathsf {r}}
\}
\!\mathrel{=}\! 
\mathsf {b}
 _{Ph} 
\}
\Rightarrow \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf {s}}
\!\mathrel{=}\! \mathrm{\O}
\rceil 
, 
p_0
, 
\mathsf {c}
)
]$

$\rm
[EqSysNot\O{}
\stackrel{
stmt
}{\rightarrow}ZFsub
\vdash 
\forall \underline{
\mathsf {r}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf {s}}
\colon 
\forall \underline{\mathsf {bs}}
\colon 
\lceil \overline{
\mathsf {s}}
\rceil 
\#^0
\lceil \underline{
\mathsf {r}}
\rceil 
\mathrel {\makebox [0mm][l]{$\vdash $}\,{\vdash }} 
\lceil \overline{
\mathsf {s}}
\rceil 
\#^0
\lceil \underline{
\mathsf {s}}
\rceil 
\mathrel {\makebox [0mm][l]{$\vdash $}\,{\vdash }} 
\lceil \overline{
\mathsf {s}}
\rceil 
\#^0
\lceil \underline{\mathsf {bs}}
\rceil 
\mathrel {\makebox [0mm][l]{$\vdash $}\,{\vdash }} 
\lceil \overline{
\mathsf {s}}
\rceil 
\#^0
\lceil  \{ ph \mathrel{\in} \underline{\mathsf {bs}}
\mid \{\{
\mathsf {a}
 _{Ph} 
,
\mathsf {a}
 _{Ph} 
\}
,\{
\mathsf {a}
 _{Ph} 
,
\mathsf {a}
 _{Ex}
\}
\}
 \mathrel{\in} \underline{
\mathsf {r}}
\}
\rceil 
\mathrel {\makebox [0mm][l]{$\vdash $}\,{\vdash }} 
\lceil \overline{
\mathsf {t}}
\rceil 
\#^0
\lceil \underline{
\mathsf {r}}
\rceil 
\mathrel {\makebox [0mm][l]{$\vdash $}\,{\vdash }} 
\lceil \overline{
\mathsf {t}}
\rceil 
\#^0
\lceil \underline{\mathsf {bs}}
\rceil 
\mathrel {\makebox [0mm][l]{$\vdash $}\,{\vdash }} 
\lceil \overline{
\mathsf {u}}
\rceil 
\#^0
\lceil \underline{
\mathsf {r}}
\rceil 
\mathrel {\makebox [0mm][l]{$\vdash $}\,{\vdash }} 
\lceil \overline{
\mathsf {u}}
\rceil 
\#^0
\lceil \underline{\mathsf {bs}}
\rceil 
\mathrel {\makebox [0mm][l]{$\vdash $}\,{\vdash }} \dot{\neg}\, \dot{\neg}\, 
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {s}}
\colon \overline{
\mathsf {s}}
 \mathrel{\in} \underline{\mathsf {bs}}
\Rightarrow \{\{\overline{
\mathsf {s}}
,\overline{
\mathsf {s}}
\}
,\{\overline{
\mathsf {s}}
,\overline{
\mathsf {s}}
\}
\}
 \mathrel{\in} \underline{
\mathsf {r}}
\Rightarrow \dot{\neg}\, 
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {s}}
\colon 
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {t}}
\colon \overline{
\mathsf {s}}
 \mathrel{\in} \underline{\mathsf {bs}}
\Rightarrow \overline{
\mathsf {t}}
 \mathrel{\in} \underline{\mathsf {bs}}
\Rightarrow \{\{\overline{
\mathsf {s}}
,\overline{
\mathsf {s}}
\}
,\{\overline{
\mathsf {s}}
,\overline{
\mathsf {t}}
\}
\}
 \mathrel{\in} \underline{
\mathsf {r}}
\Rightarrow \{\{\overline{
\mathsf {t}}
,\overline{
\mathsf {t}}
\}
,\{\overline{
\mathsf {t}}
,\overline{
\mathsf {s}}
\}
\}
 \mathrel{\in} \underline{
\mathsf {r}}
\Rightarrow \dot{\neg}\, 
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {s}}
\colon 
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {t}}
\colon 
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {u}}
\colon \overline{
\mathsf {s}}
 \mathrel{\in} \underline{\mathsf {bs}}
\Rightarrow \overline{
\mathsf {t}}
 \mathrel{\in} \underline{\mathsf {bs}}
\Rightarrow \overline{
\mathsf {u}}
 \mathrel{\in} \underline{\mathsf {bs}}
\Rightarrow \{\{\overline{
\mathsf {s}}
,\overline{
\mathsf {s}}
\}
,\{\overline{
\mathsf {s}}
,\overline{
\mathsf {t}}
\}
\}
 \mathrel{\in} \underline{
\mathsf {r}}
\Rightarrow \{\{\overline{
\mathsf {t}}
,\overline{
\mathsf {t}}
\}
,\{\overline{
\mathsf {t}}
,\overline{
\mathsf {u}}
\}
\}
 \mathrel{\in} \underline{
\mathsf {r}}
\Rightarrow \{\{\overline{
\mathsf {s}}
,\overline{
\mathsf {s}}
\}
,\{\overline{
\mathsf {s}}
,\overline{
\mathsf {u}}
\}
\}
 \mathrel{\in} \underline{
\mathsf {r}}
\vdash \underline{
\mathsf {s}}
 \mathrel{\in}  \{ ph \mathrel{\in} P(\underline{\mathsf {bs}}
)
\mid \dot{\neg}\, 
\mathsf {t}
 _{Ex}
 \mathrel{\in} \underline{\mathsf {bs}}
\Rightarrow \dot{\neg}\,  \{ ph \mathrel{\in} \underline{\mathsf {bs}}
\mid \{\{
\mathsf {a}
 _{Ph} 
,
\mathsf {a}
 _{Ph} 
\}
,\{
\mathsf {a}
 _{Ph} 
,
\mathsf {t}
 _{Ex}
\}
\}
 \mathrel{\in} \underline{
\mathsf {r}}
\}
\!\mathrel{=}\! 
\mathsf {b}
 _{Ph} 
\}
\Rightarrow \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf {s}}
\!\mathrel{=}\! \mathrm{\O}
]$

$\rm
[EqSysNot\O{}
\stackrel{
\mathrm{tex}
}{\rightarrow}
\mbox{``}EqSysNot
\mbox {$\backslash $}O
\{
\}
\mbox{''}
]$

$\rm
[EqSysNot\O{}
\stackrel{
\mathrm{pyk}
}{\rightarrow}
\mbox{``}lemma
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}eq
\mbox{-}system
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}not
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}empty
\mbox{''}
]$

\hypertarget {url:1808490560655876194608813785663292462486349118665588524157069396079556865:137}{}\section* {$\rm HelperEqSubset$}

$\rm
[HelperEqSubset
\stackrel{
proof
}{\rightarrow}
\lambda 
\mathsf {c}
.
\lambda 
\mathsf{x}
.
{\cal P}( 
\lceil ZFsub
\vdash 
\forall \underline{
\mathsf {r}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf {s}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf{x}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf{y}}
\colon 
\forall \underline{\mathsf {bs}}
\colon 
\lceil \overline{
\mathsf {s}}
\rceil 
\#^0
\lceil \underline{
\mathsf {r}}
\rceil 
\mathrel {\makebox [0mm][l]{$\vdash $}\,{\vdash }} 
\lceil \overline{
\mathsf {s}}
\rceil 
\#^0
\lceil \underline{\mathsf {bs}}
\rceil 
\mathrel {\makebox [0mm][l]{$\vdash $}\,{\vdash }} 
\lceil \overline{
\mathsf {t}}
\rceil 
\#^0
\lceil \underline{
\mathsf {r}}
\rceil 
\mathrel {\makebox [0mm][l]{$\vdash $}\,{\vdash }} 
\lceil \overline{
\mathsf {t}}
\rceil 
\#^0
\lceil \underline{\mathsf {bs}}
\rceil 
\mathrel {\makebox [0mm][l]{$\vdash $}\,{\vdash }} 
\lceil \overline{
\mathsf {u}}
\rceil 
\#^0
\lceil \underline{
\mathsf {r}}
\rceil 
\mathrel {\makebox [0mm][l]{$\vdash $}\,{\vdash }} 
\lceil \overline{
\mathsf {u}}
\rceil 
\#^0
\lceil \underline{\mathsf {bs}}
\rceil 
\mathrel {\makebox [0mm][l]{$\vdash $}\,{\vdash }} \underline{
\mathsf{x}}
 \mathrel{\in} \underline{\mathsf {bs}}
\vdash \underline{
\mathsf{y}}
 \mathrel{\in} \underline{\mathsf {bs}}
\vdash \dot{\neg}\, \dot{\neg}\, 
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {s}}
\colon \overline{
\mathsf {s}}
 \mathrel{\in} \underline{\mathsf {bs}}
\Rightarrow \{\{\overline{
\mathsf {s}}
,\overline{
\mathsf {s}}
\}
,\{\overline{
\mathsf {s}}
,\overline{
\mathsf {s}}
\}
\}
 \mathrel{\in} \underline{
\mathsf {r}}
\Rightarrow \dot{\neg}\, 
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {s}}
\colon 
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {t}}
\colon \overline{
\mathsf {s}}
 \mathrel{\in} \underline{\mathsf {bs}}
\Rightarrow \overline{
\mathsf {t}}
 \mathrel{\in} \underline{\mathsf {bs}}
\Rightarrow \{\{\overline{
\mathsf {s}}
,\overline{
\mathsf {s}}
\}
,\{\overline{
\mathsf {s}}
,\overline{
\mathsf {t}}
\}
\}
 \mathrel{\in} \underline{
\mathsf {r}}
\Rightarrow \{\{\overline{
\mathsf {t}}
,\overline{
\mathsf {t}}
\}
,\{\overline{
\mathsf {t}}
,\overline{
\mathsf {s}}
\}
\}
 \mathrel{\in} \underline{
\mathsf {r}}
\Rightarrow \dot{\neg}\, 
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {s}}
\colon 
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {t}}
\colon 
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {u}}
\colon \overline{
\mathsf {s}}
 \mathrel{\in} \underline{\mathsf {bs}}
\Rightarrow \overline{
\mathsf {t}}
 \mathrel{\in} \underline{\mathsf {bs}}
\Rightarrow \overline{
\mathsf {u}}
 \mathrel{\in} \underline{\mathsf {bs}}
\Rightarrow \{\{\overline{
\mathsf {s}}
,\overline{
\mathsf {s}}
\}
,\{\overline{
\mathsf {s}}
,\overline{
\mathsf {t}}
\}
\}
 \mathrel{\in} \underline{
\mathsf {r}}
\Rightarrow \{\{\overline{
\mathsf {t}}
,\overline{
\mathsf {t}}
\}
,\{\overline{
\mathsf {t}}
,\overline{
\mathsf {u}}
\}
\}
 \mathrel{\in} \underline{
\mathsf {r}}
\Rightarrow \{\{\overline{
\mathsf {s}}
,\overline{
\mathsf {s}}
\}
,\{\overline{
\mathsf {s}}
,\overline{
\mathsf {u}}
\}
\}
 \mathrel{\in} \underline{
\mathsf {r}}
\vdash \{\{\underline{
\mathsf{x}}
,\underline{
\mathsf{x}}
\}
,\{\underline{
\mathsf{x}}
,\underline{
\mathsf{y}}
\}
\}
 \mathrel{\in} \underline{
\mathsf {r}}
\vdash \underline{
\mathsf {s}}
 \mathrel{\in}  \{ ph \mathrel{\in} \underline{\mathsf {bs}}
\mid \{\{
\mathsf {a}
 _{Ph} 
,
\mathsf {a}
 _{Ph} 
\}
,\{
\mathsf {a}
 _{Ph} 
,\underline{
\mathsf{x}}
\}
\}
 \mathrel{\in} \underline{
\mathsf {r}}
\}
\vdash Repetition
\rhd \underline{
\mathsf {s}}
 \mathrel{\in}  \{ ph \mathrel{\in} \underline{\mathsf {bs}}
\mid \{\{
\mathsf {a}
 _{Ph} 
,
\mathsf {a}
 _{Ph} 
\}
,\{
\mathsf {a}
 _{Ph} 
,\underline{
\mathsf{x}}
\}
\}
 \mathrel{\in} \underline{
\mathsf {r}}
\}
\gg \underline{
\mathsf {s}}
 \mathrel{\in}  \{ ph \mathrel{\in} \underline{\mathsf {bs}}
\mid \{\{
\mathsf {a}
 _{Ph} 
,
\mathsf {a}
 _{Ph} 
\}
,\{
\mathsf {a}
 _{Ph} 
,\underline{
\mathsf{x}}
\}
\}
 \mathrel{\in} \underline{
\mathsf {r}}
\}
; Sep2Formula
\rhd \underline{
\mathsf {s}}
 \mathrel{\in}  \{ ph \mathrel{\in} \underline{\mathsf {bs}}
\mid \{\{
\mathsf {a}
 _{Ph} 
,
\mathsf {a}
 _{Ph} 
\}
,\{
\mathsf {a}
 _{Ph} 
,\underline{
\mathsf{x}}
\}
\}
 \mathrel{\in} \underline{
\mathsf {r}}
\}
\gg \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf {s}}
 \mathrel{\in} \underline{\mathsf {bs}}
\Rightarrow \dot{\neg}\, \{\{\underline{
\mathsf {s}}
,\underline{
\mathsf {s}}
\}
,\{\underline{
\mathsf {s}}
,\underline{
\mathsf{x}}
\}
\}
 \mathrel{\in} \underline{
\mathsf {r}}
; SecondConjunct
\rhd \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf {s}}
 \mathrel{\in} \underline{\mathsf {bs}}
\Rightarrow \dot{\neg}\, \{\{\underline{
\mathsf {s}}
,\underline{
\mathsf {s}}
\}
,\{\underline{
\mathsf {s}}
,\underline{
\mathsf{x}}
\}
\}
 \mathrel{\in} \underline{
\mathsf {r}}
\gg \{\{\underline{
\mathsf {s}}
,\underline{
\mathsf {s}}
\}
,\{\underline{
\mathsf {s}}
,\underline{
\mathsf{x}}
\}
\}
 \mathrel{\in} \underline{
\mathsf {r}}
; ERisTransitive
\rhd \dot{\neg}\, \dot{\neg}\, 
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {s}}
\colon \overline{
\mathsf {s}}
 \mathrel{\in} \underline{\mathsf {bs}}
\Rightarrow \{\{\overline{
\mathsf {s}}
,\overline{
\mathsf {s}}
\}
,\{\overline{
\mathsf {s}}
,\overline{
\mathsf {s}}
\}
\}
 \mathrel{\in} \underline{
\mathsf {r}}
\Rightarrow \dot{\neg}\, 
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {s}}
\colon 
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {t}}
\colon \overline{
\mathsf {s}}
 \mathrel{\in} \underline{\mathsf {bs}}
\Rightarrow \overline{
\mathsf {t}}
 \mathrel{\in} \underline{\mathsf {bs}}
\Rightarrow \{\{\overline{
\mathsf {s}}
,\overline{
\mathsf {s}}
\}
,\{\overline{
\mathsf {s}}
,\overline{
\mathsf {t}}
\}
\}
 \mathrel{\in} \underline{
\mathsf {r}}
\Rightarrow \{\{\overline{
\mathsf {t}}
,\overline{
\mathsf {t}}
\}
,\{\overline{
\mathsf {t}}
,\overline{
\mathsf {s}}
\}
\}
 \mathrel{\in} \underline{
\mathsf {r}}
\Rightarrow \dot{\neg}\, 
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {s}}
\colon 
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {t}}
\colon 
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {u}}
\colon \overline{
\mathsf {s}}
 \mathrel{\in} \underline{\mathsf {bs}}
\Rightarrow \overline{
\mathsf {t}}
 \mathrel{\in} \underline{\mathsf {bs}}
\Rightarrow \overline{
\mathsf {u}}
 \mathrel{\in} \underline{\mathsf {bs}}
\Rightarrow \{\{\overline{
\mathsf {s}}
,\overline{
\mathsf {s}}
\}
,\{\overline{
\mathsf {s}}
,\overline{
\mathsf {t}}
\}
\}
 \mathrel{\in} \underline{
\mathsf {r}}
\Rightarrow \{\{\overline{
\mathsf {t}}
,\overline{
\mathsf {t}}
\}
,\{\overline{
\mathsf {t}}
,\overline{
\mathsf {u}}
\}
\}
 \mathrel{\in} \underline{
\mathsf {r}}
\Rightarrow \{\{\overline{
\mathsf {s}}
,\overline{
\mathsf {s}}
\}
,\{\overline{
\mathsf {s}}
,\overline{
\mathsf {u}}
\}
\}
 \mathrel{\in} \underline{
\mathsf {r}}
\gg 
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {s}}
\colon 
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {t}}
\colon 
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {u}}
\colon \overline{
\mathsf {s}}
 \mathrel{\in} \underline{\mathsf {bs}}
\Rightarrow \overline{
\mathsf {t}}
 \mathrel{\in} \underline{\mathsf {bs}}
\Rightarrow \overline{
\mathsf {u}}
 \mathrel{\in} \underline{\mathsf {bs}}
\Rightarrow \{\{\overline{
\mathsf {s}}
,\overline{
\mathsf {s}}
\}
,\{\overline{
\mathsf {s}}
,\overline{
\mathsf {t}}
\}
\}
 \mathrel{\in} \underline{
\mathsf {r}}
\Rightarrow \{\{\overline{
\mathsf {t}}
,\overline{
\mathsf {t}}
\}
,\{\overline{
\mathsf {t}}
,\overline{
\mathsf {u}}
\}
\}
 \mathrel{\in} \underline{
\mathsf {r}}
\Rightarrow \{\{\overline{
\mathsf {s}}
,\overline{
\mathsf {s}}
\}
,\{\overline{
\mathsf {s}}
,\overline{
\mathsf {u}}
\}
\}
 \mathrel{\in} \underline{
\mathsf {r}}
; FirstConjunct
\rhd \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf {s}}
 \mathrel{\in} \underline{\mathsf {bs}}
\Rightarrow \dot{\neg}\, \{\{\underline{
\mathsf {s}}
,\underline{
\mathsf {s}}
\}
,\{\underline{
\mathsf {s}}
,\underline{
\mathsf{x}}
\}
\}
 \mathrel{\in} \underline{
\mathsf {r}}
\gg \underline{
\mathsf {s}}
 \mathrel{\in} \underline{\mathsf {bs}}
; Transitivity
\mathrel {\makebox [0mm][l]{$\rhd $}\,{\rhd }} 
\lceil \overline{
\mathsf {s}}
\rceil 
\#^0
\lceil \underline{
\mathsf {r}}
\rceil 
\mathrel {\makebox [0mm][l]{$\rhd $}\,{\rhd }} 
\lceil \overline{
\mathsf {s}}
\rceil 
\#^0
\lceil \underline{\mathsf {bs}}
\rceil 
\mathrel {\makebox [0mm][l]{$\rhd $}\,{\rhd }} 
\lceil \overline{
\mathsf {t}}
\rceil 
\#^0
\lceil \underline{
\mathsf {r}}
\rceil 
\mathrel {\makebox [0mm][l]{$\rhd $}\,{\rhd }} 
\lceil \overline{
\mathsf {t}}
\rceil 
\#^0
\lceil \underline{\mathsf {bs}}
\rceil 
\mathrel {\makebox [0mm][l]{$\rhd $}\,{\rhd }} 
\lceil \overline{
\mathsf {u}}
\rceil 
\#^0
\lceil \underline{
\mathsf {r}}
\rceil 
\mathrel {\makebox [0mm][l]{$\rhd $}\,{\rhd }} 
\lceil \overline{
\mathsf {u}}
\rceil 
\#^0
\lceil \underline{\mathsf {bs}}
\rceil 
\rhd 
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {s}}
\colon 
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {t}}
\colon 
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {u}}
\colon \overline{
\mathsf {s}}
 \mathrel{\in} \underline{\mathsf {bs}}
\Rightarrow \overline{
\mathsf {t}}
 \mathrel{\in} \underline{\mathsf {bs}}
\Rightarrow \overline{
\mathsf {u}}
 \mathrel{\in} \underline{\mathsf {bs}}
\Rightarrow \{\{\overline{
\mathsf {s}}
,\overline{
\mathsf {s}}
\}
,\{\overline{
\mathsf {s}}
,\overline{
\mathsf {t}}
\}
\}
 \mathrel{\in} \underline{
\mathsf {r}}
\Rightarrow \{\{\overline{
\mathsf {t}}
,\overline{
\mathsf {t}}
\}
,\{\overline{
\mathsf {t}}
,\overline{
\mathsf {u}}
\}
\}
 \mathrel{\in} \underline{
\mathsf {r}}
\Rightarrow \{\{\overline{
\mathsf {s}}
,\overline{
\mathsf {s}}
\}
,\{\overline{
\mathsf {s}}
,\overline{
\mathsf {u}}
\}
\}
 \mathrel{\in} \underline{
\mathsf {r}}
\rhd \underline{
\mathsf {s}}
 \mathrel{\in} \underline{\mathsf {bs}}
\rhd \underline{
\mathsf{x}}
 \mathrel{\in} \underline{\mathsf {bs}}
\rhd \underline{
\mathsf{y}}
 \mathrel{\in} \underline{\mathsf {bs}}
\rhd \{\{\underline{
\mathsf {s}}
,\underline{
\mathsf {s}}
\}
,\{\underline{
\mathsf {s}}
,\underline{
\mathsf{x}}
\}
\}
 \mathrel{\in} \underline{
\mathsf {r}}
\rhd \{\{\underline{
\mathsf{x}}
,\underline{
\mathsf{x}}
\}
,\{\underline{
\mathsf{x}}
,\underline{
\mathsf{y}}
\}
\}
 \mathrel{\in} \underline{
\mathsf {r}}
\gg \{\{\underline{
\mathsf {s}}
,\underline{
\mathsf {s}}
\}
,\{\underline{
\mathsf {s}}
,\underline{
\mathsf{y}}
\}
\}
 \mathrel{\in} \underline{
\mathsf {r}}
; Formula2Sep
\rhd \underline{
\mathsf {s}}
 \mathrel{\in} \underline{\mathsf {bs}}
\rhd \{\{\underline{
\mathsf {s}}
,\underline{
\mathsf {s}}
\}
,\{\underline{
\mathsf {s}}
,\underline{
\mathsf{y}}
\}
\}
 \mathrel{\in} \underline{
\mathsf {r}}
\gg \underline{
\mathsf {s}}
 \mathrel{\in}  \{ ph \mathrel{\in} \underline{\mathsf {bs}}
\mid \{\{
\mathsf {a}
 _{Ph} 
,
\mathsf {a}
 _{Ph} 
\}
,\{
\mathsf {a}
 _{Ph} 
,\underline{
\mathsf{y}}
\}
\}
 \mathrel{\in} \underline{
\mathsf {r}}
\}
; 
\forall \underline{
\mathsf {r}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf {s}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf{x}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf{y}}
\colon 
\forall \underline{\mathsf {bs}}
\colon Ded
\rhd 
\forall \underline{
\mathsf {r}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf {s}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf{x}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf{y}}
\colon 
\forall \underline{\mathsf {bs}}
\colon 
\lceil \overline{
\mathsf {s}}
\rceil 
\#^0
\lceil \underline{
\mathsf {r}}
\rceil 
\mathrel {\makebox [0mm][l]{$\vdash $}\,{\vdash }} 
\lceil \overline{
\mathsf {s}}
\rceil 
\#^0
\lceil \underline{\mathsf {bs}}
\rceil 
\mathrel {\makebox [0mm][l]{$\vdash $}\,{\vdash }} 
\lceil \overline{
\mathsf {t}}
\rceil 
\#^0
\lceil \underline{
\mathsf {r}}
\rceil 
\mathrel {\makebox [0mm][l]{$\vdash $}\,{\vdash }} 
\lceil \overline{
\mathsf {t}}
\rceil 
\#^0
\lceil \underline{\mathsf {bs}}
\rceil 
\mathrel {\makebox [0mm][l]{$\vdash $}\,{\vdash }} 
\lceil \overline{
\mathsf {u}}
\rceil 
\#^0
\lceil \underline{
\mathsf {r}}
\rceil 
\mathrel {\makebox [0mm][l]{$\vdash $}\,{\vdash }} 
\lceil \overline{
\mathsf {u}}
\rceil 
\#^0
\lceil \underline{\mathsf {bs}}
\rceil 
\mathrel {\makebox [0mm][l]{$\vdash $}\,{\vdash }} \underline{
\mathsf{x}}
 \mathrel{\in} \underline{\mathsf {bs}}
\vdash \underline{
\mathsf{y}}
 \mathrel{\in} \underline{\mathsf {bs}}
\vdash \dot{\neg}\, \dot{\neg}\, 
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {s}}
\colon \overline{
\mathsf {s}}
 \mathrel{\in} \underline{\mathsf {bs}}
\Rightarrow \{\{\overline{
\mathsf {s}}
,\overline{
\mathsf {s}}
\}
,\{\overline{
\mathsf {s}}
,\overline{
\mathsf {s}}
\}
\}
 \mathrel{\in} \underline{
\mathsf {r}}
\Rightarrow \dot{\neg}\, 
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {s}}
\colon 
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {t}}
\colon \overline{
\mathsf {s}}
 \mathrel{\in} \underline{\mathsf {bs}}
\Rightarrow \overline{
\mathsf {t}}
 \mathrel{\in} \underline{\mathsf {bs}}
\Rightarrow \{\{\overline{
\mathsf {s}}
,\overline{
\mathsf {s}}
\}
,\{\overline{
\mathsf {s}}
,\overline{
\mathsf {t}}
\}
\}
 \mathrel{\in} \underline{
\mathsf {r}}
\Rightarrow \{\{\overline{
\mathsf {t}}
,\overline{
\mathsf {t}}
\}
,\{\overline{
\mathsf {t}}
,\overline{
\mathsf {s}}
\}
\}
 \mathrel{\in} \underline{
\mathsf {r}}
\Rightarrow \dot{\neg}\, 
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {s}}
\colon 
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {t}}
\colon 
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {u}}
\colon \overline{
\mathsf {s}}
 \mathrel{\in} \underline{\mathsf {bs}}
\Rightarrow \overline{
\mathsf {t}}
 \mathrel{\in} \underline{\mathsf {bs}}
\Rightarrow \overline{
\mathsf {u}}
 \mathrel{\in} \underline{\mathsf {bs}}
\Rightarrow \{\{\overline{
\mathsf {s}}
,\overline{
\mathsf {s}}
\}
,\{\overline{
\mathsf {s}}
,\overline{
\mathsf {t}}
\}
\}
 \mathrel{\in} \underline{
\mathsf {r}}
\Rightarrow \{\{\overline{
\mathsf {t}}
,\overline{
\mathsf {t}}
\}
,\{\overline{
\mathsf {t}}
,\overline{
\mathsf {u}}
\}
\}
 \mathrel{\in} \underline{
\mathsf {r}}
\Rightarrow \{\{\overline{
\mathsf {s}}
,\overline{
\mathsf {s}}
\}
,\{\overline{
\mathsf {s}}
,\overline{
\mathsf {u}}
\}
\}
 \mathrel{\in} \underline{
\mathsf {r}}
\vdash \{\{\underline{
\mathsf{x}}
,\underline{
\mathsf{x}}
\}
,\{\underline{
\mathsf{x}}
,\underline{
\mathsf{y}}
\}
\}
 \mathrel{\in} \underline{
\mathsf {r}}
\vdash \underline{
\mathsf {s}}
 \mathrel{\in}  \{ ph \mathrel{\in} \underline{\mathsf {bs}}
\mid \{\{
\mathsf {a}
 _{Ph} 
,
\mathsf {a}
 _{Ph} 
\}
,\{
\mathsf {a}
 _{Ph} 
,\underline{
\mathsf{x}}
\}
\}
 \mathrel{\in} \underline{
\mathsf {r}}
\}
\vdash \underline{
\mathsf {s}}
 \mathrel{\in}  \{ ph \mathrel{\in} \underline{\mathsf {bs}}
\mid \{\{
\mathsf {a}
 _{Ph} 
,
\mathsf {a}
 _{Ph} 
\}
,\{
\mathsf {a}
 _{Ph} 
,\underline{
\mathsf{y}}
\}
\}
 \mathrel{\in} \underline{
\mathsf {r}}
\}
\gg 
\lceil \overline{
\mathsf {s}}
\rceil 
\#^0
\lceil \underline{
\mathsf {r}}
\rceil 
\mathrel {\makebox [0mm][l]{$\vdash $}\,{\vdash }} 
\lceil \overline{
\mathsf {s}}
\rceil 
\#^0
\lceil \underline{\mathsf {bs}}
\rceil 
\mathrel {\makebox [0mm][l]{$\vdash $}\,{\vdash }} 
\lceil \overline{
\mathsf {t}}
\rceil 
\#^0
\lceil \underline{
\mathsf {r}}
\rceil 
\mathrel {\makebox [0mm][l]{$\vdash $}\,{\vdash }} 
\lceil \overline{
\mathsf {t}}
\rceil 
\#^0
\lceil \underline{\mathsf {bs}}
\rceil 
\mathrel {\makebox [0mm][l]{$\vdash $}\,{\vdash }} 
\lceil \overline{
\mathsf {u}}
\rceil 
\#^0
\lceil \underline{
\mathsf {r}}
\rceil 
\mathrel {\makebox [0mm][l]{$\vdash $}\,{\vdash }} 
\lceil \overline{
\mathsf {u}}
\rceil 
\#^0
\lceil \underline{\mathsf {bs}}
\rceil 
\mathrel {\makebox [0mm][l]{$\vdash $}\,{\vdash }} \underline{
\mathsf{x}}
 \mathrel{\in} \underline{\mathsf {bs}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf{y}}
 \mathrel{\in} \underline{\mathsf {bs}}
\Rightarrow \dot{\neg}\, \dot{\neg}\, 
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {s}}
\colon \overline{
\mathsf {s}}
 \mathrel{\in} \underline{\mathsf {bs}}
\Rightarrow \{\{\overline{
\mathsf {s}}
,\overline{
\mathsf {s}}
\}
,\{\overline{
\mathsf {s}}
,\overline{
\mathsf {s}}
\}
\}
 \mathrel{\in} \underline{
\mathsf {r}}
\Rightarrow \dot{\neg}\, 
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {s}}
\colon 
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {t}}
\colon \overline{
\mathsf {s}}
 \mathrel{\in} \underline{\mathsf {bs}}
\Rightarrow \overline{
\mathsf {t}}
 \mathrel{\in} \underline{\mathsf {bs}}
\Rightarrow \{\{\overline{
\mathsf {s}}
,\overline{
\mathsf {s}}
\}
,\{\overline{
\mathsf {s}}
,\overline{
\mathsf {t}}
\}
\}
 \mathrel{\in} \underline{
\mathsf {r}}
\Rightarrow \{\{\overline{
\mathsf {t}}
,\overline{
\mathsf {t}}
\}
,\{\overline{
\mathsf {t}}
,\overline{
\mathsf {s}}
\}
\}
 \mathrel{\in} \underline{
\mathsf {r}}
\Rightarrow \dot{\neg}\, 
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {s}}
\colon 
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {t}}
\colon 
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {u}}
\colon \overline{
\mathsf {s}}
 \mathrel{\in} \underline{\mathsf {bs}}
\Rightarrow \overline{
\mathsf {t}}
 \mathrel{\in} \underline{\mathsf {bs}}
\Rightarrow \overline{
\mathsf {u}}
 \mathrel{\in} \underline{\mathsf {bs}}
\Rightarrow \{\{\overline{
\mathsf {s}}
,\overline{
\mathsf {s}}
\}
,\{\overline{
\mathsf {s}}
,\overline{
\mathsf {t}}
\}
\}
 \mathrel{\in} \underline{
\mathsf {r}}
\Rightarrow \{\{\overline{
\mathsf {t}}
,\overline{
\mathsf {t}}
\}
,\{\overline{
\mathsf {t}}
,\overline{
\mathsf {u}}
\}
\}
 \mathrel{\in} \underline{
\mathsf {r}}
\Rightarrow \{\{\overline{
\mathsf {s}}
,\overline{
\mathsf {s}}
\}
,\{\overline{
\mathsf {s}}
,\overline{
\mathsf {u}}
\}
\}
 \mathrel{\in} \underline{
\mathsf {r}}
\Rightarrow \{\{\underline{
\mathsf{x}}
,\underline{
\mathsf{x}}
\}
,\{\underline{
\mathsf{x}}
,\underline{
\mathsf{y}}
\}
\}
 \mathrel{\in} \underline{
\mathsf {r}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {s}}
 \mathrel{\in}  \{ ph \mathrel{\in} \underline{\mathsf {bs}}
\mid \{\{
\mathsf {a}
 _{Ph} 
,
\mathsf {a}
 _{Ph} 
\}
,\{
\mathsf {a}
 _{Ph} 
,\underline{
\mathsf{x}}
\}
\}
 \mathrel{\in} \underline{
\mathsf {r}}
\}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {s}}
 \mathrel{\in}  \{ ph \mathrel{\in} \underline{\mathsf {bs}}
\mid \{\{
\mathsf {a}
 _{Ph} 
,
\mathsf {a}
 _{Ph} 
\}
,\{
\mathsf {a}
 _{Ph} 
,\underline{
\mathsf{y}}
\}
\}
 \mathrel{\in} \underline{
\mathsf {r}}
\}
\rceil 
, 
p_0
, 
\mathsf {c}
)
]$

$\rm
[HelperEqSubset
\stackrel{
stmt
}{\rightarrow}ZFsub
\vdash 
\forall \underline{
\mathsf {r}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf {s}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf{x}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf{y}}
\colon 
\forall \underline{\mathsf {bs}}
\colon 
\lceil \overline{
\mathsf {s}}
\rceil 
\#^0
\lceil \underline{
\mathsf {r}}
\rceil 
\mathrel {\makebox [0mm][l]{$\vdash $}\,{\vdash }} 
\lceil \overline{
\mathsf {s}}
\rceil 
\#^0
\lceil \underline{\mathsf {bs}}
\rceil 
\mathrel {\makebox [0mm][l]{$\vdash $}\,{\vdash }} 
\lceil \overline{
\mathsf {t}}
\rceil 
\#^0
\lceil \underline{
\mathsf {r}}
\rceil 
\mathrel {\makebox [0mm][l]{$\vdash $}\,{\vdash }} 
\lceil \overline{
\mathsf {t}}
\rceil 
\#^0
\lceil \underline{\mathsf {bs}}
\rceil 
\mathrel {\makebox [0mm][l]{$\vdash $}\,{\vdash }} 
\lceil \overline{
\mathsf {u}}
\rceil 
\#^0
\lceil \underline{
\mathsf {r}}
\rceil 
\mathrel {\makebox [0mm][l]{$\vdash $}\,{\vdash }} 
\lceil \overline{
\mathsf {u}}
\rceil 
\#^0
\lceil \underline{\mathsf {bs}}
\rceil 
\mathrel {\makebox [0mm][l]{$\vdash $}\,{\vdash }} \underline{
\mathsf{x}}
 \mathrel{\in} \underline{\mathsf {bs}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf{y}}
 \mathrel{\in} \underline{\mathsf {bs}}
\Rightarrow \dot{\neg}\, \dot{\neg}\, 
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {s}}
\colon \overline{
\mathsf {s}}
 \mathrel{\in} \underline{\mathsf {bs}}
\Rightarrow \{\{\overline{
\mathsf {s}}
,\overline{
\mathsf {s}}
\}
,\{\overline{
\mathsf {s}}
,\overline{
\mathsf {s}}
\}
\}
 \mathrel{\in} \underline{
\mathsf {r}}
\Rightarrow \dot{\neg}\, 
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {s}}
\colon 
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {t}}
\colon \overline{
\mathsf {s}}
 \mathrel{\in} \underline{\mathsf {bs}}
\Rightarrow \overline{
\mathsf {t}}
 \mathrel{\in} \underline{\mathsf {bs}}
\Rightarrow \{\{\overline{
\mathsf {s}}
,\overline{
\mathsf {s}}
\}
,\{\overline{
\mathsf {s}}
,\overline{
\mathsf {t}}
\}
\}
 \mathrel{\in} \underline{
\mathsf {r}}
\Rightarrow \{\{\overline{
\mathsf {t}}
,\overline{
\mathsf {t}}
\}
,\{\overline{
\mathsf {t}}
,\overline{
\mathsf {s}}
\}
\}
 \mathrel{\in} \underline{
\mathsf {r}}
\Rightarrow \dot{\neg}\, 
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {s}}
\colon 
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {t}}
\colon 
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {u}}
\colon \overline{
\mathsf {s}}
 \mathrel{\in} \underline{\mathsf {bs}}
\Rightarrow \overline{
\mathsf {t}}
 \mathrel{\in} \underline{\mathsf {bs}}
\Rightarrow \overline{
\mathsf {u}}
 \mathrel{\in} \underline{\mathsf {bs}}
\Rightarrow \{\{\overline{
\mathsf {s}}
,\overline{
\mathsf {s}}
\}
,\{\overline{
\mathsf {s}}
,\overline{
\mathsf {t}}
\}
\}
 \mathrel{\in} \underline{
\mathsf {r}}
\Rightarrow \{\{\overline{
\mathsf {t}}
,\overline{
\mathsf {t}}
\}
,\{\overline{
\mathsf {t}}
,\overline{
\mathsf {u}}
\}
\}
 \mathrel{\in} \underline{
\mathsf {r}}
\Rightarrow \{\{\overline{
\mathsf {s}}
,\overline{
\mathsf {s}}
\}
,\{\overline{
\mathsf {s}}
,\overline{
\mathsf {u}}
\}
\}
 \mathrel{\in} \underline{
\mathsf {r}}
\Rightarrow \{\{\underline{
\mathsf{x}}
,\underline{
\mathsf{x}}
\}
,\{\underline{
\mathsf{x}}
,\underline{
\mathsf{y}}
\}
\}
 \mathrel{\in} \underline{
\mathsf {r}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {s}}
 \mathrel{\in}  \{ ph \mathrel{\in} \underline{\mathsf {bs}}
\mid \{\{
\mathsf {a}
 _{Ph} 
,
\mathsf {a}
 _{Ph} 
\}
,\{
\mathsf {a}
 _{Ph} 
,\underline{
\mathsf{x}}
\}
\}
 \mathrel{\in} \underline{
\mathsf {r}}
\}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {s}}
 \mathrel{\in}  \{ ph \mathrel{\in} \underline{\mathsf {bs}}
\mid \{\{
\mathsf {a}
 _{Ph} 
,
\mathsf {a}
 _{Ph} 
\}
,\{
\mathsf {a}
 _{Ph} 
,\underline{
\mathsf{y}}
\}
\}
 \mathrel{\in} \underline{
\mathsf {r}}
\}
]$

$\rm
[HelperEqSubset
\stackrel{
\mathrm{tex}
}{\rightarrow}
\mbox{``}HelperEqSubset
\mbox{''}
]$

$\rm
[HelperEqSubset
\stackrel{
\mathrm{pyk}
}{\rightarrow}
\mbox{``}lemma
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}eq
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}subset0
\mbox{''}
]$

\hypertarget {url:1808490560655876194608813785663292462486349118665588524157069396079556865:138}{}\section* {$\rm EqSubset$}

$\rm
[EqSubset
\stackrel{
proof
}{\rightarrow}
\lambda 
\mathsf {c}
.
\lambda 
\mathsf{x}
.
{\cal P}( 
\lceil ZFsub
\vdash 
\forall \underline{
\mathsf {r}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf {s}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf{x}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf{y}}
\colon 
\forall \underline{\mathsf {bs}}
\colon 
\lceil \overline{
\mathsf {s}}
\rceil 
\#^0
\lceil \underline{
\mathsf {r}}
\rceil 
\mathrel {\makebox [0mm][l]{$\vdash $}\,{\vdash }} 
\lceil \overline{
\mathsf {s}}
\rceil 
\#^0
\lceil \underline{\mathsf {bs}}
\rceil 
\mathrel {\makebox [0mm][l]{$\vdash $}\,{\vdash }} 
\lceil \overline{
\mathsf {t}}
\rceil 
\#^0
\lceil \underline{
\mathsf {r}}
\rceil 
\mathrel {\makebox [0mm][l]{$\vdash $}\,{\vdash }} 
\lceil \overline{
\mathsf {t}}
\rceil 
\#^0
\lceil \underline{\mathsf {bs}}
\rceil 
\mathrel {\makebox [0mm][l]{$\vdash $}\,{\vdash }} 
\lceil \overline{
\mathsf {u}}
\rceil 
\#^0
\lceil \underline{
\mathsf {r}}
\rceil 
\mathrel {\makebox [0mm][l]{$\vdash $}\,{\vdash }} 
\lceil \overline{
\mathsf {u}}
\rceil 
\#^0
\lceil \underline{\mathsf {bs}}
\rceil 
\mathrel {\makebox [0mm][l]{$\vdash $}\,{\vdash }} \underline{
\mathsf{x}}
 \mathrel{\in} \underline{\mathsf {bs}}
\vdash \underline{
\mathsf{y}}
 \mathrel{\in} \underline{\mathsf {bs}}
\vdash \dot{\neg}\, \dot{\neg}\, 
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {s}}
\colon \overline{
\mathsf {s}}
 \mathrel{\in} \underline{\mathsf {bs}}
\Rightarrow \{\{\overline{
\mathsf {s}}
,\overline{
\mathsf {s}}
\}
,\{\overline{
\mathsf {s}}
,\overline{
\mathsf {s}}
\}
\}
 \mathrel{\in} \underline{
\mathsf {r}}
\Rightarrow \dot{\neg}\, 
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {s}}
\colon 
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {t}}
\colon \overline{
\mathsf {s}}
 \mathrel{\in} \underline{\mathsf {bs}}
\Rightarrow \overline{
\mathsf {t}}
 \mathrel{\in} \underline{\mathsf {bs}}
\Rightarrow \{\{\overline{
\mathsf {s}}
,\overline{
\mathsf {s}}
\}
,\{\overline{
\mathsf {s}}
,\overline{
\mathsf {t}}
\}
\}
 \mathrel{\in} \underline{
\mathsf {r}}
\Rightarrow \{\{\overline{
\mathsf {t}}
,\overline{
\mathsf {t}}
\}
,\{\overline{
\mathsf {t}}
,\overline{
\mathsf {s}}
\}
\}
 \mathrel{\in} \underline{
\mathsf {r}}
\Rightarrow \dot{\neg}\, 
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {s}}
\colon 
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {t}}
\colon 
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {u}}
\colon \overline{
\mathsf {s}}
 \mathrel{\in} \underline{\mathsf {bs}}
\Rightarrow \overline{
\mathsf {t}}
 \mathrel{\in} \underline{\mathsf {bs}}
\Rightarrow \overline{
\mathsf {u}}
 \mathrel{\in} \underline{\mathsf {bs}}
\Rightarrow \{\{\overline{
\mathsf {s}}
,\overline{
\mathsf {s}}
\}
,\{\overline{
\mathsf {s}}
,\overline{
\mathsf {t}}
\}
\}
 \mathrel{\in} \underline{
\mathsf {r}}
\Rightarrow \{\{\overline{
\mathsf {t}}
,\overline{
\mathsf {t}}
\}
,\{\overline{
\mathsf {t}}
,\overline{
\mathsf {u}}
\}
\}
 \mathrel{\in} \underline{
\mathsf {r}}
\Rightarrow \{\{\overline{
\mathsf {s}}
,\overline{
\mathsf {s}}
\}
,\{\overline{
\mathsf {s}}
,\overline{
\mathsf {u}}
\}
\}
 \mathrel{\in} \underline{
\mathsf {r}}
\vdash \{\{\underline{
\mathsf{x}}
,\underline{
\mathsf{x}}
\}
,\{\underline{
\mathsf{x}}
,\underline{
\mathsf{y}}
\}
\}
 \mathrel{\in} \underline{
\mathsf {r}}
\vdash HelperEqSubset
\mathrel {\makebox [0mm][l]{$\rhd $}\,{\rhd }} 
\lceil \overline{
\mathsf {s}}
\rceil 
\#^0
\lceil \underline{
\mathsf {r}}
\rceil 
\mathrel {\makebox [0mm][l]{$\rhd $}\,{\rhd }} 
\lceil \overline{
\mathsf {s}}
\rceil 
\#^0
\lceil \underline{\mathsf {bs}}
\rceil 
\mathrel {\makebox [0mm][l]{$\rhd $}\,{\rhd }} 
\lceil \overline{
\mathsf {t}}
\rceil 
\#^0
\lceil \underline{
\mathsf {r}}
\rceil 
\mathrel {\makebox [0mm][l]{$\rhd $}\,{\rhd }} 
\lceil \overline{
\mathsf {t}}
\rceil 
\#^0
\lceil \underline{\mathsf {bs}}
\rceil 
\mathrel {\makebox [0mm][l]{$\rhd $}\,{\rhd }} 
\lceil \overline{
\mathsf {u}}
\rceil 
\#^0
\lceil \underline{
\mathsf {r}}
\rceil 
\mathrel {\makebox [0mm][l]{$\rhd $}\,{\rhd }} 
\lceil \overline{
\mathsf {u}}
\rceil 
\#^0
\lceil \underline{\mathsf {bs}}
\rceil 
\gg \underline{
\mathsf{x}}
 \mathrel{\in} \underline{\mathsf {bs}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf{y}}
 \mathrel{\in} \underline{\mathsf {bs}}
\Rightarrow \dot{\neg}\, \dot{\neg}\, 
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {s}}
\colon \overline{
\mathsf {s}}
 \mathrel{\in} \underline{\mathsf {bs}}
\Rightarrow \{\{\overline{
\mathsf {s}}
,\overline{
\mathsf {s}}
\}
,\{\overline{
\mathsf {s}}
,\overline{
\mathsf {s}}
\}
\}
 \mathrel{\in} \underline{
\mathsf {r}}
\Rightarrow \dot{\neg}\, 
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {s}}
\colon 
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {t}}
\colon \overline{
\mathsf {s}}
 \mathrel{\in} \underline{\mathsf {bs}}
\Rightarrow \overline{
\mathsf {t}}
 \mathrel{\in} \underline{\mathsf {bs}}
\Rightarrow \{\{\overline{
\mathsf {s}}
,\overline{
\mathsf {s}}
\}
,\{\overline{
\mathsf {s}}
,\overline{
\mathsf {t}}
\}
\}
 \mathrel{\in} \underline{
\mathsf {r}}
\Rightarrow \{\{\overline{
\mathsf {t}}
,\overline{
\mathsf {t}}
\}
,\{\overline{
\mathsf {t}}
,\overline{
\mathsf {s}}
\}
\}
 \mathrel{\in} \underline{
\mathsf {r}}
\Rightarrow \dot{\neg}\, 
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {s}}
\colon 
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {t}}
\colon 
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {u}}
\colon \overline{
\mathsf {s}}
 \mathrel{\in} \underline{\mathsf {bs}}
\Rightarrow \overline{
\mathsf {t}}
 \mathrel{\in} \underline{\mathsf {bs}}
\Rightarrow \overline{
\mathsf {u}}
 \mathrel{\in} \underline{\mathsf {bs}}
\Rightarrow \{\{\overline{
\mathsf {s}}
,\overline{
\mathsf {s}}
\}
,\{\overline{
\mathsf {s}}
,\overline{
\mathsf {t}}
\}
\}
 \mathrel{\in} \underline{
\mathsf {r}}
\Rightarrow \{\{\overline{
\mathsf {t}}
,\overline{
\mathsf {t}}
\}
,\{\overline{
\mathsf {t}}
,\overline{
\mathsf {u}}
\}
\}
 \mathrel{\in} \underline{
\mathsf {r}}
\Rightarrow \{\{\overline{
\mathsf {s}}
,\overline{
\mathsf {s}}
\}
,\{\overline{
\mathsf {s}}
,\overline{
\mathsf {u}}
\}
\}
 \mathrel{\in} \underline{
\mathsf {r}}
\Rightarrow \{\{\underline{
\mathsf{x}}
,\underline{
\mathsf{x}}
\}
,\{\underline{
\mathsf{x}}
,\underline{
\mathsf{y}}
\}
\}
 \mathrel{\in} \underline{
\mathsf {r}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {s}}
 \mathrel{\in}  \{ ph \mathrel{\in} \underline{\mathsf {bs}}
\mid \{\{
\mathsf {a}
 _{Ph} 
,
\mathsf {a}
 _{Ph} 
\}
,\{
\mathsf {a}
 _{Ph} 
,\underline{
\mathsf{x}}
\}
\}
 \mathrel{\in} \underline{
\mathsf {r}}
\}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {s}}
 \mathrel{\in}  \{ ph \mathrel{\in} \underline{\mathsf {bs}}
\mid \{\{
\mathsf {a}
 _{Ph} 
,
\mathsf {a}
 _{Ph} 
\}
,\{
\mathsf {a}
 _{Ph} 
,\underline{
\mathsf{y}}
\}
\}
 \mathrel{\in} \underline{
\mathsf {r}}
\}
; MP4
\rhd \underline{
\mathsf{x}}
 \mathrel{\in} \underline{\mathsf {bs}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf{y}}
 \mathrel{\in} \underline{\mathsf {bs}}
\Rightarrow \dot{\neg}\, \dot{\neg}\, 
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {s}}
\colon \overline{
\mathsf {s}}
 \mathrel{\in} \underline{\mathsf {bs}}
\Rightarrow \{\{\overline{
\mathsf {s}}
,\overline{
\mathsf {s}}
\}
,\{\overline{
\mathsf {s}}
,\overline{
\mathsf {s}}
\}
\}
 \mathrel{\in} \underline{
\mathsf {r}}
\Rightarrow \dot{\neg}\, 
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {s}}
\colon 
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {t}}
\colon \overline{
\mathsf {s}}
 \mathrel{\in} \underline{\mathsf {bs}}
\Rightarrow \overline{
\mathsf {t}}
 \mathrel{\in} \underline{\mathsf {bs}}
\Rightarrow \{\{\overline{
\mathsf {s}}
,\overline{
\mathsf {s}}
\}
,\{\overline{
\mathsf {s}}
,\overline{
\mathsf {t}}
\}
\}
 \mathrel{\in} \underline{
\mathsf {r}}
\Rightarrow \{\{\overline{
\mathsf {t}}
,\overline{
\mathsf {t}}
\}
,\{\overline{
\mathsf {t}}
,\overline{
\mathsf {s}}
\}
\}
 \mathrel{\in} \underline{
\mathsf {r}}
\Rightarrow \dot{\neg}\, 
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {s}}
\colon 
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {t}}
\colon 
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {u}}
\colon \overline{
\mathsf {s}}
 \mathrel{\in} \underline{\mathsf {bs}}
\Rightarrow \overline{
\mathsf {t}}
 \mathrel{\in} \underline{\mathsf {bs}}
\Rightarrow \overline{
\mathsf {u}}
 \mathrel{\in} \underline{\mathsf {bs}}
\Rightarrow \{\{\overline{
\mathsf {s}}
,\overline{
\mathsf {s}}
\}
,\{\overline{
\mathsf {s}}
,\overline{
\mathsf {t}}
\}
\}
 \mathrel{\in} \underline{
\mathsf {r}}
\Rightarrow \{\{\overline{
\mathsf {t}}
,\overline{
\mathsf {t}}
\}
,\{\overline{
\mathsf {t}}
,\overline{
\mathsf {u}}
\}
\}
 \mathrel{\in} \underline{
\mathsf {r}}
\Rightarrow \{\{\overline{
\mathsf {s}}
,\overline{
\mathsf {s}}
\}
,\{\overline{
\mathsf {s}}
,\overline{
\mathsf {u}}
\}
\}
 \mathrel{\in} \underline{
\mathsf {r}}
\Rightarrow \{\{\underline{
\mathsf{x}}
,\underline{
\mathsf{x}}
\}
,\{\underline{
\mathsf{x}}
,\underline{
\mathsf{y}}
\}
\}
 \mathrel{\in} \underline{
\mathsf {r}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {s}}
 \mathrel{\in}  \{ ph \mathrel{\in} \underline{\mathsf {bs}}
\mid \{\{
\mathsf {a}
 _{Ph} 
,
\mathsf {a}
 _{Ph} 
\}
,\{
\mathsf {a}
 _{Ph} 
,\underline{
\mathsf{x}}
\}
\}
 \mathrel{\in} \underline{
\mathsf {r}}
\}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {s}}
 \mathrel{\in}  \{ ph \mathrel{\in} \underline{\mathsf {bs}}
\mid \{\{
\mathsf {a}
 _{Ph} 
,
\mathsf {a}
 _{Ph} 
\}
,\{
\mathsf {a}
 _{Ph} 
,\underline{
\mathsf{y}}
\}
\}
 \mathrel{\in} \underline{
\mathsf {r}}
\}
\rhd \underline{
\mathsf{x}}
 \mathrel{\in} \underline{\mathsf {bs}}
\rhd \underline{
\mathsf{y}}
 \mathrel{\in} \underline{\mathsf {bs}}
\rhd \dot{\neg}\, \dot{\neg}\, 
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {s}}
\colon \overline{
\mathsf {s}}
 \mathrel{\in} \underline{\mathsf {bs}}
\Rightarrow \{\{\overline{
\mathsf {s}}
,\overline{
\mathsf {s}}
\}
,\{\overline{
\mathsf {s}}
,\overline{
\mathsf {s}}
\}
\}
 \mathrel{\in} \underline{
\mathsf {r}}
\Rightarrow \dot{\neg}\, 
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {s}}
\colon 
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {t}}
\colon \overline{
\mathsf {s}}
 \mathrel{\in} \underline{\mathsf {bs}}
\Rightarrow \overline{
\mathsf {t}}
 \mathrel{\in} \underline{\mathsf {bs}}
\Rightarrow \{\{\overline{
\mathsf {s}}
,\overline{
\mathsf {s}}
\}
,\{\overline{
\mathsf {s}}
,\overline{
\mathsf {t}}
\}
\}
 \mathrel{\in} \underline{
\mathsf {r}}
\Rightarrow \{\{\overline{
\mathsf {t}}
,\overline{
\mathsf {t}}
\}
,\{\overline{
\mathsf {t}}
,\overline{
\mathsf {s}}
\}
\}
 \mathrel{\in} \underline{
\mathsf {r}}
\Rightarrow \dot{\neg}\, 
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {s}}
\colon 
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {t}}
\colon 
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {u}}
\colon \overline{
\mathsf {s}}
 \mathrel{\in} \underline{\mathsf {bs}}
\Rightarrow \overline{
\mathsf {t}}
 \mathrel{\in} \underline{\mathsf {bs}}
\Rightarrow \overline{
\mathsf {u}}
 \mathrel{\in} \underline{\mathsf {bs}}
\Rightarrow \{\{\overline{
\mathsf {s}}
,\overline{
\mathsf {s}}
\}
,\{\overline{
\mathsf {s}}
,\overline{
\mathsf {t}}
\}
\}
 \mathrel{\in} \underline{
\mathsf {r}}
\Rightarrow \{\{\overline{
\mathsf {t}}
,\overline{
\mathsf {t}}
\}
,\{\overline{
\mathsf {t}}
,\overline{
\mathsf {u}}
\}
\}
 \mathrel{\in} \underline{
\mathsf {r}}
\Rightarrow \{\{\overline{
\mathsf {s}}
,\overline{
\mathsf {s}}
\}
,\{\overline{
\mathsf {s}}
,\overline{
\mathsf {u}}
\}
\}
 \mathrel{\in} \underline{
\mathsf {r}}
\rhd \{\{\underline{
\mathsf{x}}
,\underline{
\mathsf{x}}
\}
,\{\underline{
\mathsf{x}}
,\underline{
\mathsf{y}}
\}
\}
 \mathrel{\in} \underline{
\mathsf {r}}
\gg \underline{
\mathsf {s}}
 \mathrel{\in}  \{ ph \mathrel{\in} \underline{\mathsf {bs}}
\mid \{\{
\mathsf {a}
 _{Ph} 
,
\mathsf {a}
 _{Ph} 
\}
,\{
\mathsf {a}
 _{Ph} 
,\underline{
\mathsf{x}}
\}
\}
 \mathrel{\in} \underline{
\mathsf {r}}
\}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {s}}
 \mathrel{\in}  \{ ph \mathrel{\in} \underline{\mathsf {bs}}
\mid \{\{
\mathsf {a}
 _{Ph} 
,
\mathsf {a}
 _{Ph} 
\}
,\{
\mathsf {a}
 _{Ph} 
,\underline{
\mathsf{y}}
\}
\}
 \mathrel{\in} \underline{
\mathsf {r}}
\}
\rceil 
, 
p_0
, 
\mathsf {c}
)
]$

$\rm
[EqSubset
\stackrel{
stmt
}{\rightarrow}ZFsub
\vdash 
\forall \underline{
\mathsf {r}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf {s}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf{x}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf{y}}
\colon 
\forall \underline{\mathsf {bs}}
\colon 
\lceil \overline{
\mathsf {s}}
\rceil 
\#^0
\lceil \underline{
\mathsf {r}}
\rceil 
\mathrel {\makebox [0mm][l]{$\vdash $}\,{\vdash }} 
\lceil \overline{
\mathsf {s}}
\rceil 
\#^0
\lceil \underline{\mathsf {bs}}
\rceil 
\mathrel {\makebox [0mm][l]{$\vdash $}\,{\vdash }} 
\lceil \overline{
\mathsf {t}}
\rceil 
\#^0
\lceil \underline{
\mathsf {r}}
\rceil 
\mathrel {\makebox [0mm][l]{$\vdash $}\,{\vdash }} 
\lceil \overline{
\mathsf {t}}
\rceil 
\#^0
\lceil \underline{\mathsf {bs}}
\rceil 
\mathrel {\makebox [0mm][l]{$\vdash $}\,{\vdash }} 
\lceil \overline{
\mathsf {u}}
\rceil 
\#^0
\lceil \underline{
\mathsf {r}}
\rceil 
\mathrel {\makebox [0mm][l]{$\vdash $}\,{\vdash }} 
\lceil \overline{
\mathsf {u}}
\rceil 
\#^0
\lceil \underline{\mathsf {bs}}
\rceil 
\mathrel {\makebox [0mm][l]{$\vdash $}\,{\vdash }} \underline{
\mathsf{x}}
 \mathrel{\in} \underline{\mathsf {bs}}
\vdash \underline{
\mathsf{y}}
 \mathrel{\in} \underline{\mathsf {bs}}
\vdash \dot{\neg}\, \dot{\neg}\, 
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {s}}
\colon \overline{
\mathsf {s}}
 \mathrel{\in} \underline{\mathsf {bs}}
\Rightarrow \{\{\overline{
\mathsf {s}}
,\overline{
\mathsf {s}}
\}
,\{\overline{
\mathsf {s}}
,\overline{
\mathsf {s}}
\}
\}
 \mathrel{\in} \underline{
\mathsf {r}}
\Rightarrow \dot{\neg}\, 
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {s}}
\colon 
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {t}}
\colon \overline{
\mathsf {s}}
 \mathrel{\in} \underline{\mathsf {bs}}
\Rightarrow \overline{
\mathsf {t}}
 \mathrel{\in} \underline{\mathsf {bs}}
\Rightarrow \{\{\overline{
\mathsf {s}}
,\overline{
\mathsf {s}}
\}
,\{\overline{
\mathsf {s}}
,\overline{
\mathsf {t}}
\}
\}
 \mathrel{\in} \underline{
\mathsf {r}}
\Rightarrow \{\{\overline{
\mathsf {t}}
,\overline{
\mathsf {t}}
\}
,\{\overline{
\mathsf {t}}
,\overline{
\mathsf {s}}
\}
\}
 \mathrel{\in} \underline{
\mathsf {r}}
\Rightarrow \dot{\neg}\, 
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {s}}
\colon 
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {t}}
\colon 
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {u}}
\colon \overline{
\mathsf {s}}
 \mathrel{\in} \underline{\mathsf {bs}}
\Rightarrow \overline{
\mathsf {t}}
 \mathrel{\in} \underline{\mathsf {bs}}
\Rightarrow \overline{
\mathsf {u}}
 \mathrel{\in} \underline{\mathsf {bs}}
\Rightarrow \{\{\overline{
\mathsf {s}}
,\overline{
\mathsf {s}}
\}
,\{\overline{
\mathsf {s}}
,\overline{
\mathsf {t}}
\}
\}
 \mathrel{\in} \underline{
\mathsf {r}}
\Rightarrow \{\{\overline{
\mathsf {t}}
,\overline{
\mathsf {t}}
\}
,\{\overline{
\mathsf {t}}
,\overline{
\mathsf {u}}
\}
\}
 \mathrel{\in} \underline{
\mathsf {r}}
\Rightarrow \{\{\overline{
\mathsf {s}}
,\overline{
\mathsf {s}}
\}
,\{\overline{
\mathsf {s}}
,\overline{
\mathsf {u}}
\}
\}
 \mathrel{\in} \underline{
\mathsf {r}}
\vdash \{\{\underline{
\mathsf{x}}
,\underline{
\mathsf{x}}
\}
,\{\underline{
\mathsf{x}}
,\underline{
\mathsf{y}}
\}
\}
 \mathrel{\in} \underline{
\mathsf {r}}
\vdash \underline{
\mathsf {s}}
 \mathrel{\in}  \{ ph \mathrel{\in} \underline{\mathsf {bs}}
\mid \{\{
\mathsf {a}
 _{Ph} 
,
\mathsf {a}
 _{Ph} 
\}
,\{
\mathsf {a}
 _{Ph} 
,\underline{
\mathsf{x}}
\}
\}
 \mathrel{\in} \underline{
\mathsf {r}}
\}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {s}}
 \mathrel{\in}  \{ ph \mathrel{\in} \underline{\mathsf {bs}}
\mid \{\{
\mathsf {a}
 _{Ph} 
,
\mathsf {a}
 _{Ph} 
\}
,\{
\mathsf {a}
 _{Ph} 
,\underline{
\mathsf{y}}
\}
\}
 \mathrel{\in} \underline{
\mathsf {r}}
\}
]$

$\rm
[EqSubset
\stackrel{
\mathrm{tex}
}{\rightarrow}
\mbox{``}EqSubset
\mbox{''}
]$

$\rm
[EqSubset
\stackrel{
\mathrm{pyk}
}{\rightarrow}
\mbox{``}lemma
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}eq
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}subset
\mbox{''}
]$

\hypertarget {url:1808490560655876194608813785663292462486349118665588524157069396079556865:139}{}\section* {$\rm HelperEqNecessary$}

$\rm
[HelperEqNecessary
\stackrel{
proof
}{\rightarrow}
\lambda 
\mathsf {c}
.
\lambda 
\mathsf{x}
.
{\cal P}( 
\lceil ZFsub
\vdash 
\forall \underline{
\mathsf {r}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf{x}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf{y}}
\colon 
\forall \underline{\mathsf {bs}}
\colon 
\lceil \overline{
\mathsf {s}}
\rceil 
\#^0
\lceil \underline{
\mathsf {r}}
\rceil 
\mathrel {\makebox [0mm][l]{$\vdash $}\,{\vdash }} 
\lceil \overline{
\mathsf {s}}
\rceil 
\#^0
\lceil \underline{\mathsf {bs}}
\rceil 
\mathrel {\makebox [0mm][l]{$\vdash $}\,{\vdash }} 
\lceil \overline{
\mathsf {t}}
\rceil 
\#^0
\lceil \underline{
\mathsf {r}}
\rceil 
\mathrel {\makebox [0mm][l]{$\vdash $}\,{\vdash }} 
\lceil \overline{
\mathsf {t}}
\rceil 
\#^0
\lceil \underline{\mathsf {bs}}
\rceil 
\mathrel {\makebox [0mm][l]{$\vdash $}\,{\vdash }} 
\lceil \overline{
\mathsf {u}}
\rceil 
\#^0
\lceil \underline{
\mathsf {r}}
\rceil 
\mathrel {\makebox [0mm][l]{$\vdash $}\,{\vdash }} 
\lceil \overline{
\mathsf {u}}
\rceil 
\#^0
\lceil \underline{\mathsf {bs}}
\rceil 
\mathrel {\makebox [0mm][l]{$\vdash $}\,{\vdash }} \underline{
\mathsf{x}}
 \mathrel{\in} \underline{\mathsf {bs}}
\vdash \underline{
\mathsf{y}}
 \mathrel{\in} \underline{\mathsf {bs}}
\vdash \dot{\neg}\, \dot{\neg}\, 
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {s}}
\colon \overline{
\mathsf {s}}
 \mathrel{\in} \underline{\mathsf {bs}}
\Rightarrow \{\{\overline{
\mathsf {s}}
,\overline{
\mathsf {s}}
\}
,\{\overline{
\mathsf {s}}
,\overline{
\mathsf {s}}
\}
\}
 \mathrel{\in} \underline{
\mathsf {r}}
\Rightarrow \dot{\neg}\, 
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {s}}
\colon 
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {t}}
\colon \overline{
\mathsf {s}}
 \mathrel{\in} \underline{\mathsf {bs}}
\Rightarrow \overline{
\mathsf {t}}
 \mathrel{\in} \underline{\mathsf {bs}}
\Rightarrow \{\{\overline{
\mathsf {s}}
,\overline{
\mathsf {s}}
\}
,\{\overline{
\mathsf {s}}
,\overline{
\mathsf {t}}
\}
\}
 \mathrel{\in} \underline{
\mathsf {r}}
\Rightarrow \{\{\overline{
\mathsf {t}}
,\overline{
\mathsf {t}}
\}
,\{\overline{
\mathsf {t}}
,\overline{
\mathsf {s}}
\}
\}
 \mathrel{\in} \underline{
\mathsf {r}}
\Rightarrow \dot{\neg}\, 
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {s}}
\colon 
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {t}}
\colon 
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {u}}
\colon \overline{
\mathsf {s}}
 \mathrel{\in} \underline{\mathsf {bs}}
\Rightarrow \overline{
\mathsf {t}}
 \mathrel{\in} \underline{\mathsf {bs}}
\Rightarrow \overline{
\mathsf {u}}
 \mathrel{\in} \underline{\mathsf {bs}}
\Rightarrow \{\{\overline{
\mathsf {s}}
,\overline{
\mathsf {s}}
\}
,\{\overline{
\mathsf {s}}
,\overline{
\mathsf {t}}
\}
\}
 \mathrel{\in} \underline{
\mathsf {r}}
\Rightarrow \{\{\overline{
\mathsf {t}}
,\overline{
\mathsf {t}}
\}
,\{\overline{
\mathsf {t}}
,\overline{
\mathsf {u}}
\}
\}
 \mathrel{\in} \underline{
\mathsf {r}}
\Rightarrow \{\{\overline{
\mathsf {s}}
,\overline{
\mathsf {s}}
\}
,\{\overline{
\mathsf {s}}
,\overline{
\mathsf {u}}
\}
\}
 \mathrel{\in} \underline{
\mathsf {r}}
\vdash \{\{\underline{
\mathsf{x}}
,\underline{
\mathsf{x}}
\}
,\{\underline{
\mathsf{x}}
,\underline{
\mathsf{y}}
\}
\}
 \mathrel{\in} \underline{
\mathsf {r}}
\vdash EqSubset
\mathrel {\makebox [0mm][l]{$\rhd $}\,{\rhd }} 
\lceil \overline{
\mathsf {s}}
\rceil 
\#^0
\lceil \underline{
\mathsf {r}}
\rceil 
\mathrel {\makebox [0mm][l]{$\rhd $}\,{\rhd }} 
\lceil \overline{
\mathsf {s}}
\rceil 
\#^0
\lceil \underline{\mathsf {bs}}
\rceil 
\mathrel {\makebox [0mm][l]{$\rhd $}\,{\rhd }} 
\lceil \overline{
\mathsf {t}}
\rceil 
\#^0
\lceil \underline{
\mathsf {r}}
\rceil 
\mathrel {\makebox [0mm][l]{$\rhd $}\,{\rhd }} 
\lceil \overline{
\mathsf {t}}
\rceil 
\#^0
\lceil \underline{\mathsf {bs}}
\rceil 
\mathrel {\makebox [0mm][l]{$\rhd $}\,{\rhd }} 
\lceil \overline{
\mathsf {u}}
\rceil 
\#^0
\lceil \underline{
\mathsf {r}}
\rceil 
\mathrel {\makebox [0mm][l]{$\rhd $}\,{\rhd }} 
\lceil \overline{
\mathsf {u}}
\rceil 
\#^0
\lceil \underline{\mathsf {bs}}
\rceil 
\rhd \underline{
\mathsf{x}}
 \mathrel{\in} \underline{\mathsf {bs}}
\rhd \underline{
\mathsf{y}}
 \mathrel{\in} \underline{\mathsf {bs}}
\rhd \dot{\neg}\, \dot{\neg}\, 
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {s}}
\colon \overline{
\mathsf {s}}
 \mathrel{\in} \underline{\mathsf {bs}}
\Rightarrow \{\{\overline{
\mathsf {s}}
,\overline{
\mathsf {s}}
\}
,\{\overline{
\mathsf {s}}
,\overline{
\mathsf {s}}
\}
\}
 \mathrel{\in} \underline{
\mathsf {r}}
\Rightarrow \dot{\neg}\, 
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {s}}
\colon 
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {t}}
\colon \overline{
\mathsf {s}}
 \mathrel{\in} \underline{\mathsf {bs}}
\Rightarrow \overline{
\mathsf {t}}
 \mathrel{\in} \underline{\mathsf {bs}}
\Rightarrow \{\{\overline{
\mathsf {s}}
,\overline{
\mathsf {s}}
\}
,\{\overline{
\mathsf {s}}
,\overline{
\mathsf {t}}
\}
\}
 \mathrel{\in} \underline{
\mathsf {r}}
\Rightarrow \{\{\overline{
\mathsf {t}}
,\overline{
\mathsf {t}}
\}
,\{\overline{
\mathsf {t}}
,\overline{
\mathsf {s}}
\}
\}
 \mathrel{\in} \underline{
\mathsf {r}}
\Rightarrow \dot{\neg}\, 
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {s}}
\colon 
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {t}}
\colon 
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {u}}
\colon \overline{
\mathsf {s}}
 \mathrel{\in} \underline{\mathsf {bs}}
\Rightarrow \overline{
\mathsf {t}}
 \mathrel{\in} \underline{\mathsf {bs}}
\Rightarrow \overline{
\mathsf {u}}
 \mathrel{\in} \underline{\mathsf {bs}}
\Rightarrow \{\{\overline{
\mathsf {s}}
,\overline{
\mathsf {s}}
\}
,\{\overline{
\mathsf {s}}
,\overline{
\mathsf {t}}
\}
\}
 \mathrel{\in} \underline{
\mathsf {r}}
\Rightarrow \{\{\overline{
\mathsf {t}}
,\overline{
\mathsf {t}}
\}
,\{\overline{
\mathsf {t}}
,\overline{
\mathsf {u}}
\}
\}
 \mathrel{\in} \underline{
\mathsf {r}}
\Rightarrow \{\{\overline{
\mathsf {s}}
,\overline{
\mathsf {s}}
\}
,\{\overline{
\mathsf {s}}
,\overline{
\mathsf {u}}
\}
\}
 \mathrel{\in} \underline{
\mathsf {r}}
\rhd \{\{\underline{
\mathsf{x}}
,\underline{
\mathsf{x}}
\}
,\{\underline{
\mathsf{x}}
,\underline{
\mathsf{y}}
\}
\}
 \mathrel{\in} \underline{
\mathsf {r}}
\gg \overline{
\mathsf {s}}
 \mathrel{\in}  \{ ph \mathrel{\in} \underline{\mathsf {bs}}
\mid \{\{
\mathsf {a}
 _{Ph} 
,
\mathsf {a}
 _{Ph} 
\}
,\{
\mathsf {a}
 _{Ph} 
,\underline{
\mathsf{x}}
\}
\}
 \mathrel{\in} \underline{
\mathsf {r}}
\}
\Rightarrow \overline{
\mathsf {s}}
 \mathrel{\in}  \{ ph \mathrel{\in} \underline{\mathsf {bs}}
\mid \{\{
\mathsf {a}
 _{Ph} 
,
\mathsf {a}
 _{Ph} 
\}
,\{
\mathsf {a}
 _{Ph} 
,\underline{
\mathsf{y}}
\}
\}
 \mathrel{\in} \underline{
\mathsf {r}}
\}
; ERisSymmetric
\rhd \dot{\neg}\, \dot{\neg}\, 
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {s}}
\colon \overline{
\mathsf {s}}
 \mathrel{\in} \underline{\mathsf {bs}}
\Rightarrow \{\{\overline{
\mathsf {s}}
,\overline{
\mathsf {s}}
\}
,\{\overline{
\mathsf {s}}
,\overline{
\mathsf {s}}
\}
\}
 \mathrel{\in} \underline{
\mathsf {r}}
\Rightarrow \dot{\neg}\, 
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {s}}
\colon 
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {t}}
\colon \overline{
\mathsf {s}}
 \mathrel{\in} \underline{\mathsf {bs}}
\Rightarrow \overline{
\mathsf {t}}
 \mathrel{\in} \underline{\mathsf {bs}}
\Rightarrow \{\{\overline{
\mathsf {s}}
,\overline{
\mathsf {s}}
\}
,\{\overline{
\mathsf {s}}
,\overline{
\mathsf {t}}
\}
\}
 \mathrel{\in} \underline{
\mathsf {r}}
\Rightarrow \{\{\overline{
\mathsf {t}}
,\overline{
\mathsf {t}}
\}
,\{\overline{
\mathsf {t}}
,\overline{
\mathsf {s}}
\}
\}
 \mathrel{\in} \underline{
\mathsf {r}}
\Rightarrow \dot{\neg}\, 
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {s}}
\colon 
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {t}}
\colon 
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {u}}
\colon \overline{
\mathsf {s}}
 \mathrel{\in} \underline{\mathsf {bs}}
\Rightarrow \overline{
\mathsf {t}}
 \mathrel{\in} \underline{\mathsf {bs}}
\Rightarrow \overline{
\mathsf {u}}
 \mathrel{\in} \underline{\mathsf {bs}}
\Rightarrow \{\{\overline{
\mathsf {s}}
,\overline{
\mathsf {s}}
\}
,\{\overline{
\mathsf {s}}
,\overline{
\mathsf {t}}
\}
\}
 \mathrel{\in} \underline{
\mathsf {r}}
\Rightarrow \{\{\overline{
\mathsf {t}}
,\overline{
\mathsf {t}}
\}
,\{\overline{
\mathsf {t}}
,\overline{
\mathsf {u}}
\}
\}
 \mathrel{\in} \underline{
\mathsf {r}}
\Rightarrow \{\{\overline{
\mathsf {s}}
,\overline{
\mathsf {s}}
\}
,\{\overline{
\mathsf {s}}
,\overline{
\mathsf {u}}
\}
\}
 \mathrel{\in} \underline{
\mathsf {r}}
\gg 
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {s}}
\colon 
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {t}}
\colon \overline{
\mathsf {s}}
 \mathrel{\in} \underline{\mathsf {bs}}
\Rightarrow \overline{
\mathsf {t}}
 \mathrel{\in} \underline{\mathsf {bs}}
\Rightarrow \{\{\overline{
\mathsf {s}}
,\overline{
\mathsf {s}}
\}
,\{\overline{
\mathsf {s}}
,\overline{
\mathsf {t}}
\}
\}
 \mathrel{\in} \underline{
\mathsf {r}}
\Rightarrow \{\{\overline{
\mathsf {t}}
,\overline{
\mathsf {t}}
\}
,\{\overline{
\mathsf {t}}
,\overline{
\mathsf {s}}
\}
\}
 \mathrel{\in} \underline{
\mathsf {r}}
; Symmetry
\mathrel {\makebox [0mm][l]{$\rhd $}\,{\rhd }} 
\lceil \overline{
\mathsf {s}}
\rceil 
\#^0
\lceil \underline{
\mathsf {r}}
\rceil 
\mathrel {\makebox [0mm][l]{$\rhd $}\,{\rhd }} 
\lceil \overline{
\mathsf {s}}
\rceil 
\#^0
\lceil \underline{\mathsf {bs}}
\rceil 
\mathrel {\makebox [0mm][l]{$\rhd $}\,{\rhd }} 
\lceil \overline{
\mathsf {t}}
\rceil 
\#^0
\lceil \underline{
\mathsf {r}}
\rceil 
\mathrel {\makebox [0mm][l]{$\rhd $}\,{\rhd }} 
\lceil \overline{
\mathsf {t}}
\rceil 
\#^0
\lceil \underline{\mathsf {bs}}
\rceil 
\rhd 
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {s}}
\colon 
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {t}}
\colon \overline{
\mathsf {s}}
 \mathrel{\in} \underline{\mathsf {bs}}
\Rightarrow \overline{
\mathsf {t}}
 \mathrel{\in} \underline{\mathsf {bs}}
\Rightarrow \{\{\overline{
\mathsf {s}}
,\overline{
\mathsf {s}}
\}
,\{\overline{
\mathsf {s}}
,\overline{
\mathsf {t}}
\}
\}
 \mathrel{\in} \underline{
\mathsf {r}}
\Rightarrow \{\{\overline{
\mathsf {t}}
,\overline{
\mathsf {t}}
\}
,\{\overline{
\mathsf {t}}
,\overline{
\mathsf {s}}
\}
\}
 \mathrel{\in} \underline{
\mathsf {r}}
\rhd \underline{
\mathsf{x}}
 \mathrel{\in} \underline{\mathsf {bs}}
\rhd \underline{
\mathsf{y}}
 \mathrel{\in} \underline{\mathsf {bs}}
\rhd \{\{\underline{
\mathsf{x}}
,\underline{
\mathsf{x}}
\}
,\{\underline{
\mathsf{x}}
,\underline{
\mathsf{y}}
\}
\}
 \mathrel{\in} \underline{
\mathsf {r}}
\gg \{\{\underline{
\mathsf{y}}
,\underline{
\mathsf{y}}
\}
,\{\underline{
\mathsf{y}}
,\underline{
\mathsf{x}}
\}
\}
 \mathrel{\in} \underline{
\mathsf {r}}
; EqSubset
\mathrel {\makebox [0mm][l]{$\rhd $}\,{\rhd }} 
\lceil \overline{
\mathsf {s}}
\rceil 
\#^0
\lceil \underline{
\mathsf {r}}
\rceil 
\mathrel {\makebox [0mm][l]{$\rhd $}\,{\rhd }} 
\lceil \overline{
\mathsf {s}}
\rceil 
\#^0
\lceil \underline{\mathsf {bs}}
\rceil 
\mathrel {\makebox [0mm][l]{$\rhd $}\,{\rhd }} 
\lceil \overline{
\mathsf {t}}
\rceil 
\#^0
\lceil \underline{
\mathsf {r}}
\rceil 
\mathrel {\makebox [0mm][l]{$\rhd $}\,{\rhd }} 
\lceil \overline{
\mathsf {t}}
\rceil 
\#^0
\lceil \underline{\mathsf {bs}}
\rceil 
\mathrel {\makebox [0mm][l]{$\rhd $}\,{\rhd }} 
\lceil \overline{
\mathsf {u}}
\rceil 
\#^0
\lceil \underline{
\mathsf {r}}
\rceil 
\mathrel {\makebox [0mm][l]{$\rhd $}\,{\rhd }} 
\lceil \overline{
\mathsf {u}}
\rceil 
\#^0
\lceil \underline{\mathsf {bs}}
\rceil 
\rhd \underline{
\mathsf{y}}
 \mathrel{\in} \underline{\mathsf {bs}}
\rhd \underline{
\mathsf{x}}
 \mathrel{\in} \underline{\mathsf {bs}}
\rhd \dot{\neg}\, \dot{\neg}\, 
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {s}}
\colon \overline{
\mathsf {s}}
 \mathrel{\in} \underline{\mathsf {bs}}
\Rightarrow \{\{\overline{
\mathsf {s}}
,\overline{
\mathsf {s}}
\}
,\{\overline{
\mathsf {s}}
,\overline{
\mathsf {s}}
\}
\}
 \mathrel{\in} \underline{
\mathsf {r}}
\Rightarrow \dot{\neg}\, 
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {s}}
\colon 
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {t}}
\colon \overline{
\mathsf {s}}
 \mathrel{\in} \underline{\mathsf {bs}}
\Rightarrow \overline{
\mathsf {t}}
 \mathrel{\in} \underline{\mathsf {bs}}
\Rightarrow \{\{\overline{
\mathsf {s}}
,\overline{
\mathsf {s}}
\}
,\{\overline{
\mathsf {s}}
,\overline{
\mathsf {t}}
\}
\}
 \mathrel{\in} \underline{
\mathsf {r}}
\Rightarrow \{\{\overline{
\mathsf {t}}
,\overline{
\mathsf {t}}
\}
,\{\overline{
\mathsf {t}}
,\overline{
\mathsf {s}}
\}
\}
 \mathrel{\in} \underline{
\mathsf {r}}
\Rightarrow \dot{\neg}\, 
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {s}}
\colon 
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {t}}
\colon 
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {u}}
\colon \overline{
\mathsf {s}}
 \mathrel{\in} \underline{\mathsf {bs}}
\Rightarrow \overline{
\mathsf {t}}
 \mathrel{\in} \underline{\mathsf {bs}}
\Rightarrow \overline{
\mathsf {u}}
 \mathrel{\in} \underline{\mathsf {bs}}
\Rightarrow \{\{\overline{
\mathsf {s}}
,\overline{
\mathsf {s}}
\}
,\{\overline{
\mathsf {s}}
,\overline{
\mathsf {t}}
\}
\}
 \mathrel{\in} \underline{
\mathsf {r}}
\Rightarrow \{\{\overline{
\mathsf {t}}
,\overline{
\mathsf {t}}
\}
,\{\overline{
\mathsf {t}}
,\overline{
\mathsf {u}}
\}
\}
 \mathrel{\in} \underline{
\mathsf {r}}
\Rightarrow \{\{\overline{
\mathsf {s}}
,\overline{
\mathsf {s}}
\}
,\{\overline{
\mathsf {s}}
,\overline{
\mathsf {u}}
\}
\}
 \mathrel{\in} \underline{
\mathsf {r}}
\rhd \{\{\underline{
\mathsf{y}}
,\underline{
\mathsf{y}}
\}
,\{\underline{
\mathsf{y}}
,\underline{
\mathsf{x}}
\}
\}
 \mathrel{\in} \underline{
\mathsf {r}}
\gg \overline{
\mathsf {s}}
 \mathrel{\in}  \{ ph \mathrel{\in} \underline{\mathsf {bs}}
\mid \{\{
\mathsf {a}
 _{Ph} 
,
\mathsf {a}
 _{Ph} 
\}
,\{
\mathsf {a}
 _{Ph} 
,\underline{
\mathsf{y}}
\}
\}
 \mathrel{\in} \underline{
\mathsf {r}}
\}
\Rightarrow \overline{
\mathsf {s}}
 \mathrel{\in}  \{ ph \mathrel{\in} \underline{\mathsf {bs}}
\mid \{\{
\mathsf {a}
 _{Ph} 
,
\mathsf {a}
 _{Ph} 
\}
,\{
\mathsf {a}
 _{Ph} 
,\underline{
\mathsf{x}}
\}
\}
 \mathrel{\in} \underline{
\mathsf {r}}
\}
; ToSetEquality
\rhd \overline{
\mathsf {s}}
 \mathrel{\in}  \{ ph \mathrel{\in} \underline{\mathsf {bs}}
\mid \{\{
\mathsf {a}
 _{Ph} 
,
\mathsf {a}
 _{Ph} 
\}
,\{
\mathsf {a}
 _{Ph} 
,\underline{
\mathsf{x}}
\}
\}
 \mathrel{\in} \underline{
\mathsf {r}}
\}
\Rightarrow \overline{
\mathsf {s}}
 \mathrel{\in}  \{ ph \mathrel{\in} \underline{\mathsf {bs}}
\mid \{\{
\mathsf {a}
 _{Ph} 
,
\mathsf {a}
 _{Ph} 
\}
,\{
\mathsf {a}
 _{Ph} 
,\underline{
\mathsf{y}}
\}
\}
 \mathrel{\in} \underline{
\mathsf {r}}
\}
\rhd \overline{
\mathsf {s}}
 \mathrel{\in}  \{ ph \mathrel{\in} \underline{\mathsf {bs}}
\mid \{\{
\mathsf {a}
 _{Ph} 
,
\mathsf {a}
 _{Ph} 
\}
,\{
\mathsf {a}
 _{Ph} 
,\underline{
\mathsf{y}}
\}
\}
 \mathrel{\in} \underline{
\mathsf {r}}
\}
\Rightarrow \overline{
\mathsf {s}}
 \mathrel{\in}  \{ ph \mathrel{\in} \underline{\mathsf {bs}}
\mid \{\{
\mathsf {a}
 _{Ph} 
,
\mathsf {a}
 _{Ph} 
\}
,\{
\mathsf {a}
 _{Ph} 
,\underline{
\mathsf{x}}
\}
\}
 \mathrel{\in} \underline{
\mathsf {r}}
\}
\gg  \{ ph \mathrel{\in} \underline{\mathsf {bs}}
\mid \{\{
\mathsf {a}
 _{Ph} 
,
\mathsf {a}
 _{Ph} 
\}
,\{
\mathsf {a}
 _{Ph} 
,\underline{
\mathsf{x}}
\}
\}
 \mathrel{\in} \underline{
\mathsf {r}}
\}
\!\mathrel{=}\!  \{ ph \mathrel{\in} \underline{\mathsf {bs}}
\mid \{\{
\mathsf {a}
 _{Ph} 
,
\mathsf {a}
 _{Ph} 
\}
,\{
\mathsf {a}
 _{Ph} 
,\underline{
\mathsf{y}}
\}
\}
 \mathrel{\in} \underline{
\mathsf {r}}
\}
; 
\forall \underline{
\mathsf {r}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf{x}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf{y}}
\colon 
\forall \underline{\mathsf {bs}}
\colon Ded
\rhd 
\forall \underline{
\mathsf {r}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf{x}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf{y}}
\colon 
\forall \underline{\mathsf {bs}}
\colon 
\lceil \overline{
\mathsf {s}}
\rceil 
\#^0
\lceil \underline{
\mathsf {r}}
\rceil 
\mathrel {\makebox [0mm][l]{$\vdash $}\,{\vdash }} 
\lceil \overline{
\mathsf {s}}
\rceil 
\#^0
\lceil \underline{\mathsf {bs}}
\rceil 
\mathrel {\makebox [0mm][l]{$\vdash $}\,{\vdash }} 
\lceil \overline{
\mathsf {t}}
\rceil 
\#^0
\lceil \underline{
\mathsf {r}}
\rceil 
\mathrel {\makebox [0mm][l]{$\vdash $}\,{\vdash }} 
\lceil \overline{
\mathsf {t}}
\rceil 
\#^0
\lceil \underline{\mathsf {bs}}
\rceil 
\mathrel {\makebox [0mm][l]{$\vdash $}\,{\vdash }} 
\lceil \overline{
\mathsf {u}}
\rceil 
\#^0
\lceil \underline{
\mathsf {r}}
\rceil 
\mathrel {\makebox [0mm][l]{$\vdash $}\,{\vdash }} 
\lceil \overline{
\mathsf {u}}
\rceil 
\#^0
\lceil \underline{\mathsf {bs}}
\rceil 
\mathrel {\makebox [0mm][l]{$\vdash $}\,{\vdash }} \underline{
\mathsf{x}}
 \mathrel{\in} \underline{\mathsf {bs}}
\vdash \underline{
\mathsf{y}}
 \mathrel{\in} \underline{\mathsf {bs}}
\vdash \dot{\neg}\, \dot{\neg}\, 
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {s}}
\colon \overline{
\mathsf {s}}
 \mathrel{\in} \underline{\mathsf {bs}}
\Rightarrow \{\{\overline{
\mathsf {s}}
,\overline{
\mathsf {s}}
\}
,\{\overline{
\mathsf {s}}
,\overline{
\mathsf {s}}
\}
\}
 \mathrel{\in} \underline{
\mathsf {r}}
\Rightarrow \dot{\neg}\, 
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {s}}
\colon 
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {t}}
\colon \overline{
\mathsf {s}}
 \mathrel{\in} \underline{\mathsf {bs}}
\Rightarrow \overline{
\mathsf {t}}
 \mathrel{\in} \underline{\mathsf {bs}}
\Rightarrow \{\{\overline{
\mathsf {s}}
,\overline{
\mathsf {s}}
\}
,\{\overline{
\mathsf {s}}
,\overline{
\mathsf {t}}
\}
\}
 \mathrel{\in} \underline{
\mathsf {r}}
\Rightarrow \{\{\overline{
\mathsf {t}}
,\overline{
\mathsf {t}}
\}
,\{\overline{
\mathsf {t}}
,\overline{
\mathsf {s}}
\}
\}
 \mathrel{\in} \underline{
\mathsf {r}}
\Rightarrow \dot{\neg}\, 
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {s}}
\colon 
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {t}}
\colon 
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {u}}
\colon \overline{
\mathsf {s}}
 \mathrel{\in} \underline{\mathsf {bs}}
\Rightarrow \overline{
\mathsf {t}}
 \mathrel{\in} \underline{\mathsf {bs}}
\Rightarrow \overline{
\mathsf {u}}
 \mathrel{\in} \underline{\mathsf {bs}}
\Rightarrow \{\{\overline{
\mathsf {s}}
,\overline{
\mathsf {s}}
\}
,\{\overline{
\mathsf {s}}
,\overline{
\mathsf {t}}
\}
\}
 \mathrel{\in} \underline{
\mathsf {r}}
\Rightarrow \{\{\overline{
\mathsf {t}}
,\overline{
\mathsf {t}}
\}
,\{\overline{
\mathsf {t}}
,\overline{
\mathsf {u}}
\}
\}
 \mathrel{\in} \underline{
\mathsf {r}}
\Rightarrow \{\{\overline{
\mathsf {s}}
,\overline{
\mathsf {s}}
\}
,\{\overline{
\mathsf {s}}
,\overline{
\mathsf {u}}
\}
\}
 \mathrel{\in} \underline{
\mathsf {r}}
\vdash \{\{\underline{
\mathsf{x}}
,\underline{
\mathsf{x}}
\}
,\{\underline{
\mathsf{x}}
,\underline{
\mathsf{y}}
\}
\}
 \mathrel{\in} \underline{
\mathsf {r}}
\vdash  \{ ph \mathrel{\in} \underline{\mathsf {bs}}
\mid \{\{
\mathsf {a}
 _{Ph} 
,
\mathsf {a}
 _{Ph} 
\}
,\{
\mathsf {a}
 _{Ph} 
,\underline{
\mathsf{x}}
\}
\}
 \mathrel{\in} \underline{
\mathsf {r}}
\}
\!\mathrel{=}\!  \{ ph \mathrel{\in} \underline{\mathsf {bs}}
\mid \{\{
\mathsf {a}
 _{Ph} 
,
\mathsf {a}
 _{Ph} 
\}
,\{
\mathsf {a}
 _{Ph} 
,\underline{
\mathsf{y}}
\}
\}
 \mathrel{\in} \underline{
\mathsf {r}}
\}
\gg 
\lceil \overline{
\mathsf {s}}
\rceil 
\#^0
\lceil \underline{
\mathsf {r}}
\rceil 
\mathrel {\makebox [0mm][l]{$\vdash $}\,{\vdash }} 
\lceil \overline{
\mathsf {s}}
\rceil 
\#^0
\lceil \underline{\mathsf {bs}}
\rceil 
\mathrel {\makebox [0mm][l]{$\vdash $}\,{\vdash }} 
\lceil \overline{
\mathsf {t}}
\rceil 
\#^0
\lceil \underline{
\mathsf {r}}
\rceil 
\mathrel {\makebox [0mm][l]{$\vdash $}\,{\vdash }} 
\lceil \overline{
\mathsf {t}}
\rceil 
\#^0
\lceil \underline{\mathsf {bs}}
\rceil 
\mathrel {\makebox [0mm][l]{$\vdash $}\,{\vdash }} 
\lceil \overline{
\mathsf {u}}
\rceil 
\#^0
\lceil \underline{
\mathsf {r}}
\rceil 
\mathrel {\makebox [0mm][l]{$\vdash $}\,{\vdash }} 
\lceil \overline{
\mathsf {u}}
\rceil 
\#^0
\lceil \underline{\mathsf {bs}}
\rceil 
\mathrel {\makebox [0mm][l]{$\vdash $}\,{\vdash }} \underline{
\mathsf{x}}
 \mathrel{\in} \underline{\mathsf {bs}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf{y}}
 \mathrel{\in} \underline{\mathsf {bs}}
\Rightarrow \dot{\neg}\, \dot{\neg}\, 
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {s}}
\colon \overline{
\mathsf {s}}
 \mathrel{\in} \underline{\mathsf {bs}}
\Rightarrow \{\{\overline{
\mathsf {s}}
,\overline{
\mathsf {s}}
\}
,\{\overline{
\mathsf {s}}
,\overline{
\mathsf {s}}
\}
\}
 \mathrel{\in} \underline{
\mathsf {r}}
\Rightarrow \dot{\neg}\, 
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {s}}
\colon 
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {t}}
\colon \overline{
\mathsf {s}}
 \mathrel{\in} \underline{\mathsf {bs}}
\Rightarrow \overline{
\mathsf {t}}
 \mathrel{\in} \underline{\mathsf {bs}}
\Rightarrow \{\{\overline{
\mathsf {s}}
,\overline{
\mathsf {s}}
\}
,\{\overline{
\mathsf {s}}
,\overline{
\mathsf {t}}
\}
\}
 \mathrel{\in} \underline{
\mathsf {r}}
\Rightarrow \{\{\overline{
\mathsf {t}}
,\overline{
\mathsf {t}}
\}
,\{\overline{
\mathsf {t}}
,\overline{
\mathsf {s}}
\}
\}
 \mathrel{\in} \underline{
\mathsf {r}}
\Rightarrow \dot{\neg}\, 
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {s}}
\colon 
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {t}}
\colon 
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {u}}
\colon \overline{
\mathsf {s}}
 \mathrel{\in} \underline{\mathsf {bs}}
\Rightarrow \overline{
\mathsf {t}}
 \mathrel{\in} \underline{\mathsf {bs}}
\Rightarrow \overline{
\mathsf {u}}
 \mathrel{\in} \underline{\mathsf {bs}}
\Rightarrow \{\{\overline{
\mathsf {s}}
,\overline{
\mathsf {s}}
\}
,\{\overline{
\mathsf {s}}
,\overline{
\mathsf {t}}
\}
\}
 \mathrel{\in} \underline{
\mathsf {r}}
\Rightarrow \{\{\overline{
\mathsf {t}}
,\overline{
\mathsf {t}}
\}
,\{\overline{
\mathsf {t}}
,\overline{
\mathsf {u}}
\}
\}
 \mathrel{\in} \underline{
\mathsf {r}}
\Rightarrow \{\{\overline{
\mathsf {s}}
,\overline{
\mathsf {s}}
\}
,\{\overline{
\mathsf {s}}
,\overline{
\mathsf {u}}
\}
\}
 \mathrel{\in} \underline{
\mathsf {r}}
\Rightarrow \{\{\underline{
\mathsf{x}}
,\underline{
\mathsf{x}}
\}
,\{\underline{
\mathsf{x}}
,\underline{
\mathsf{y}}
\}
\}
 \mathrel{\in} \underline{
\mathsf {r}}
\Rightarrow  \{ ph \mathrel{\in} \underline{\mathsf {bs}}
\mid \{\{
\mathsf {a}
 _{Ph} 
,
\mathsf {a}
 _{Ph} 
\}
,\{
\mathsf {a}
 _{Ph} 
,\underline{
\mathsf{x}}
\}
\}
 \mathrel{\in} \underline{
\mathsf {r}}
\}
\!\mathrel{=}\!  \{ ph \mathrel{\in} \underline{\mathsf {bs}}
\mid \{\{
\mathsf {a}
 _{Ph} 
,
\mathsf {a}
 _{Ph} 
\}
,\{
\mathsf {a}
 _{Ph} 
,\underline{
\mathsf{y}}
\}
\}
 \mathrel{\in} \underline{
\mathsf {r}}
\}
\rceil 
, 
p_0
, 
\mathsf {c}
)
]$

$\rm
[HelperEqNecessary
\stackrel{
stmt
}{\rightarrow}ZFsub
\vdash 
\forall \underline{
\mathsf {r}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf{x}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf{y}}
\colon 
\forall \underline{\mathsf {bs}}
\colon 
\lceil \overline{
\mathsf {s}}
\rceil 
\#^0
\lceil \underline{
\mathsf {r}}
\rceil 
\mathrel {\makebox [0mm][l]{$\vdash $}\,{\vdash }} 
\lceil \overline{
\mathsf {s}}
\rceil 
\#^0
\lceil \underline{\mathsf {bs}}
\rceil 
\mathrel {\makebox [0mm][l]{$\vdash $}\,{\vdash }} 
\lceil \overline{
\mathsf {t}}
\rceil 
\#^0
\lceil \underline{
\mathsf {r}}
\rceil 
\mathrel {\makebox [0mm][l]{$\vdash $}\,{\vdash }} 
\lceil \overline{
\mathsf {t}}
\rceil 
\#^0
\lceil \underline{\mathsf {bs}}
\rceil 
\mathrel {\makebox [0mm][l]{$\vdash $}\,{\vdash }} 
\lceil \overline{
\mathsf {u}}
\rceil 
\#^0
\lceil \underline{
\mathsf {r}}
\rceil 
\mathrel {\makebox [0mm][l]{$\vdash $}\,{\vdash }} 
\lceil \overline{
\mathsf {u}}
\rceil 
\#^0
\lceil \underline{\mathsf {bs}}
\rceil 
\mathrel {\makebox [0mm][l]{$\vdash $}\,{\vdash }} \underline{
\mathsf{x}}
 \mathrel{\in} \underline{\mathsf {bs}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf{y}}
 \mathrel{\in} \underline{\mathsf {bs}}
\Rightarrow \dot{\neg}\, \dot{\neg}\, 
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {s}}
\colon \overline{
\mathsf {s}}
 \mathrel{\in} \underline{\mathsf {bs}}
\Rightarrow \{\{\overline{
\mathsf {s}}
,\overline{
\mathsf {s}}
\}
,\{\overline{
\mathsf {s}}
,\overline{
\mathsf {s}}
\}
\}
 \mathrel{\in} \underline{
\mathsf {r}}
\Rightarrow \dot{\neg}\, 
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {s}}
\colon 
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {t}}
\colon \overline{
\mathsf {s}}
 \mathrel{\in} \underline{\mathsf {bs}}
\Rightarrow \overline{
\mathsf {t}}
 \mathrel{\in} \underline{\mathsf {bs}}
\Rightarrow \{\{\overline{
\mathsf {s}}
,\overline{
\mathsf {s}}
\}
,\{\overline{
\mathsf {s}}
,\overline{
\mathsf {t}}
\}
\}
 \mathrel{\in} \underline{
\mathsf {r}}
\Rightarrow \{\{\overline{
\mathsf {t}}
,\overline{
\mathsf {t}}
\}
,\{\overline{
\mathsf {t}}
,\overline{
\mathsf {s}}
\}
\}
 \mathrel{\in} \underline{
\mathsf {r}}
\Rightarrow \dot{\neg}\, 
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {s}}
\colon 
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {t}}
\colon 
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {u}}
\colon \overline{
\mathsf {s}}
 \mathrel{\in} \underline{\mathsf {bs}}
\Rightarrow \overline{
\mathsf {t}}
 \mathrel{\in} \underline{\mathsf {bs}}
\Rightarrow \overline{
\mathsf {u}}
 \mathrel{\in} \underline{\mathsf {bs}}
\Rightarrow \{\{\overline{
\mathsf {s}}
,\overline{
\mathsf {s}}
\}
,\{\overline{
\mathsf {s}}
,\overline{
\mathsf {t}}
\}
\}
 \mathrel{\in} \underline{
\mathsf {r}}
\Rightarrow \{\{\overline{
\mathsf {t}}
,\overline{
\mathsf {t}}
\}
,\{\overline{
\mathsf {t}}
,\overline{
\mathsf {u}}
\}
\}
 \mathrel{\in} \underline{
\mathsf {r}}
\Rightarrow \{\{\overline{
\mathsf {s}}
,\overline{
\mathsf {s}}
\}
,\{\overline{
\mathsf {s}}
,\overline{
\mathsf {u}}
\}
\}
 \mathrel{\in} \underline{
\mathsf {r}}
\Rightarrow \{\{\underline{
\mathsf{x}}
,\underline{
\mathsf{x}}
\}
,\{\underline{
\mathsf{x}}
,\underline{
\mathsf{y}}
\}
\}
 \mathrel{\in} \underline{
\mathsf {r}}
\Rightarrow  \{ ph \mathrel{\in} \underline{\mathsf {bs}}
\mid \{\{
\mathsf {a}
 _{Ph} 
,
\mathsf {a}
 _{Ph} 
\}
,\{
\mathsf {a}
 _{Ph} 
,\underline{
\mathsf{x}}
\}
\}
 \mathrel{\in} \underline{
\mathsf {r}}
\}
\!\mathrel{=}\!  \{ ph \mathrel{\in} \underline{\mathsf {bs}}
\mid \{\{
\mathsf {a}
 _{Ph} 
,
\mathsf {a}
 _{Ph} 
\}
,\{
\mathsf {a}
 _{Ph} 
,\underline{
\mathsf{y}}
\}
\}
 \mathrel{\in} \underline{
\mathsf {r}}
\}
]$

$\rm
[HelperEqNecessary
\stackrel{
\mathrm{tex}
}{\rightarrow}
\mbox{``}HelperEqNecessary
\mbox{''}
]$

$\rm
[HelperEqNecessary
\stackrel{
\mathrm{pyk}
}{\rightarrow}
\mbox{``}lemma
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}equivalence
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}nec
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}condition0
\mbox{''}
]$

\hypertarget {url:1808490560655876194608813785663292462486349118665588524157069396079556865:140}{}\section* {$\rm EqNecessary$}

$\rm
[EqNecessary
\stackrel{
proof
}{\rightarrow}
\lambda 
\mathsf {c}
.
\lambda 
\mathsf{x}
.
{\cal P}( 
\lceil ZFsub
\vdash 
\forall \underline{
\mathsf {r}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf{x}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf{y}}
\colon 
\forall \underline{\mathsf {bs}}
\colon 
\lceil \overline{
\mathsf {s}}
\rceil 
\#^0
\lceil \underline{
\mathsf {r}}
\rceil 
\mathrel {\makebox [0mm][l]{$\vdash $}\,{\vdash }} 
\lceil \overline{
\mathsf {s}}
\rceil 
\#^0
\lceil \underline{\mathsf {bs}}
\rceil 
\mathrel {\makebox [0mm][l]{$\vdash $}\,{\vdash }} 
\lceil \overline{
\mathsf {t}}
\rceil 
\#^0
\lceil \underline{
\mathsf {r}}
\rceil 
\mathrel {\makebox [0mm][l]{$\vdash $}\,{\vdash }} 
\lceil \overline{
\mathsf {t}}
\rceil 
\#^0
\lceil \underline{\mathsf {bs}}
\rceil 
\mathrel {\makebox [0mm][l]{$\vdash $}\,{\vdash }} 
\lceil \overline{
\mathsf {u}}
\rceil 
\#^0
\lceil \underline{
\mathsf {r}}
\rceil 
\mathrel {\makebox [0mm][l]{$\vdash $}\,{\vdash }} 
\lceil \overline{
\mathsf {u}}
\rceil 
\#^0
\lceil \underline{\mathsf {bs}}
\rceil 
\mathrel {\makebox [0mm][l]{$\vdash $}\,{\vdash }} \underline{
\mathsf{x}}
 \mathrel{\in} \underline{\mathsf {bs}}
\vdash \underline{
\mathsf{y}}
 \mathrel{\in} \underline{\mathsf {bs}}
\vdash \dot{\neg}\, \dot{\neg}\, 
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {s}}
\colon \overline{
\mathsf {s}}
 \mathrel{\in} \underline{\mathsf {bs}}
\Rightarrow \{\{\overline{
\mathsf {s}}
,\overline{
\mathsf {s}}
\}
,\{\overline{
\mathsf {s}}
,\overline{
\mathsf {s}}
\}
\}
 \mathrel{\in} \underline{
\mathsf {r}}
\Rightarrow \dot{\neg}\, 
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {s}}
\colon 
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {t}}
\colon \overline{
\mathsf {s}}
 \mathrel{\in} \underline{\mathsf {bs}}
\Rightarrow \overline{
\mathsf {t}}
 \mathrel{\in} \underline{\mathsf {bs}}
\Rightarrow \{\{\overline{
\mathsf {s}}
,\overline{
\mathsf {s}}
\}
,\{\overline{
\mathsf {s}}
,\overline{
\mathsf {t}}
\}
\}
 \mathrel{\in} \underline{
\mathsf {r}}
\Rightarrow \{\{\overline{
\mathsf {t}}
,\overline{
\mathsf {t}}
\}
,\{\overline{
\mathsf {t}}
,\overline{
\mathsf {s}}
\}
\}
 \mathrel{\in} \underline{
\mathsf {r}}
\Rightarrow \dot{\neg}\, 
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {s}}
\colon 
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {t}}
\colon 
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {u}}
\colon \overline{
\mathsf {s}}
 \mathrel{\in} \underline{\mathsf {bs}}
\Rightarrow \overline{
\mathsf {t}}
 \mathrel{\in} \underline{\mathsf {bs}}
\Rightarrow \overline{
\mathsf {u}}
 \mathrel{\in} \underline{\mathsf {bs}}
\Rightarrow \{\{\overline{
\mathsf {s}}
,\overline{
\mathsf {s}}
\}
,\{\overline{
\mathsf {s}}
,\overline{
\mathsf {t}}
\}
\}
 \mathrel{\in} \underline{
\mathsf {r}}
\Rightarrow \{\{\overline{
\mathsf {t}}
,\overline{
\mathsf {t}}
\}
,\{\overline{
\mathsf {t}}
,\overline{
\mathsf {u}}
\}
\}
 \mathrel{\in} \underline{
\mathsf {r}}
\Rightarrow \{\{\overline{
\mathsf {s}}
,\overline{
\mathsf {s}}
\}
,\{\overline{
\mathsf {s}}
,\overline{
\mathsf {u}}
\}
\}
 \mathrel{\in} \underline{
\mathsf {r}}
\vdash HelperEqNecessary
\mathrel {\makebox [0mm][l]{$\rhd $}\,{\rhd }} 
\lceil \overline{
\mathsf {s}}
\rceil 
\#^0
\lceil \underline{
\mathsf {r}}
\rceil 
\mathrel {\makebox [0mm][l]{$\rhd $}\,{\rhd }} 
\lceil \overline{
\mathsf {s}}
\rceil 
\#^0
\lceil \underline{\mathsf {bs}}
\rceil 
\mathrel {\makebox [0mm][l]{$\rhd $}\,{\rhd }} 
\lceil \overline{
\mathsf {t}}
\rceil 
\#^0
\lceil \underline{
\mathsf {r}}
\rceil 
\mathrel {\makebox [0mm][l]{$\rhd $}\,{\rhd }} 
\lceil \overline{
\mathsf {t}}
\rceil 
\#^0
\lceil \underline{\mathsf {bs}}
\rceil 
\mathrel {\makebox [0mm][l]{$\rhd $}\,{\rhd }} 
\lceil \overline{
\mathsf {u}}
\rceil 
\#^0
\lceil \underline{
\mathsf {r}}
\rceil 
\mathrel {\makebox [0mm][l]{$\rhd $}\,{\rhd }} 
\lceil \overline{
\mathsf {u}}
\rceil 
\#^0
\lceil \underline{\mathsf {bs}}
\rceil 
\gg \underline{
\mathsf{x}}
 \mathrel{\in} \underline{\mathsf {bs}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf{y}}
 \mathrel{\in} \underline{\mathsf {bs}}
\Rightarrow \dot{\neg}\, \dot{\neg}\, 
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {s}}
\colon \overline{
\mathsf {s}}
 \mathrel{\in} \underline{\mathsf {bs}}
\Rightarrow \{\{\overline{
\mathsf {s}}
,\overline{
\mathsf {s}}
\}
,\{\overline{
\mathsf {s}}
,\overline{
\mathsf {s}}
\}
\}
 \mathrel{\in} \underline{
\mathsf {r}}
\Rightarrow \dot{\neg}\, 
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {s}}
\colon 
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {t}}
\colon \overline{
\mathsf {s}}
 \mathrel{\in} \underline{\mathsf {bs}}
\Rightarrow \overline{
\mathsf {t}}
 \mathrel{\in} \underline{\mathsf {bs}}
\Rightarrow \{\{\overline{
\mathsf {s}}
,\overline{
\mathsf {s}}
\}
,\{\overline{
\mathsf {s}}
,\overline{
\mathsf {t}}
\}
\}
 \mathrel{\in} \underline{
\mathsf {r}}
\Rightarrow \{\{\overline{
\mathsf {t}}
,\overline{
\mathsf {t}}
\}
,\{\overline{
\mathsf {t}}
,\overline{
\mathsf {s}}
\}
\}
 \mathrel{\in} \underline{
\mathsf {r}}
\Rightarrow \dot{\neg}\, 
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {s}}
\colon 
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {t}}
\colon 
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {u}}
\colon \overline{
\mathsf {s}}
 \mathrel{\in} \underline{\mathsf {bs}}
\Rightarrow \overline{
\mathsf {t}}
 \mathrel{\in} \underline{\mathsf {bs}}
\Rightarrow \overline{
\mathsf {u}}
 \mathrel{\in} \underline{\mathsf {bs}}
\Rightarrow \{\{\overline{
\mathsf {s}}
,\overline{
\mathsf {s}}
\}
,\{\overline{
\mathsf {s}}
,\overline{
\mathsf {t}}
\}
\}
 \mathrel{\in} \underline{
\mathsf {r}}
\Rightarrow \{\{\overline{
\mathsf {t}}
,\overline{
\mathsf {t}}
\}
,\{\overline{
\mathsf {t}}
,\overline{
\mathsf {u}}
\}
\}
 \mathrel{\in} \underline{
\mathsf {r}}
\Rightarrow \{\{\overline{
\mathsf {s}}
,\overline{
\mathsf {s}}
\}
,\{\overline{
\mathsf {s}}
,\overline{
\mathsf {u}}
\}
\}
 \mathrel{\in} \underline{
\mathsf {r}}
\Rightarrow \{\{\underline{
\mathsf{x}}
,\underline{
\mathsf{x}}
\}
,\{\underline{
\mathsf{x}}
,\underline{
\mathsf{y}}
\}
\}
 \mathrel{\in} \underline{
\mathsf {r}}
\Rightarrow  \{ ph \mathrel{\in} \underline{\mathsf {bs}}
\mid \{\{
\mathsf {a}
 _{Ph} 
,
\mathsf {a}
 _{Ph} 
\}
,\{
\mathsf {a}
 _{Ph} 
,\underline{
\mathsf{x}}
\}
\}
 \mathrel{\in} \underline{
\mathsf {r}}
\}
\!\mathrel{=}\!  \{ ph \mathrel{\in} \underline{\mathsf {bs}}
\mid \{\{
\mathsf {a}
 _{Ph} 
,
\mathsf {a}
 _{Ph} 
\}
,\{
\mathsf {a}
 _{Ph} 
,\underline{
\mathsf{y}}
\}
\}
 \mathrel{\in} \underline{
\mathsf {r}}
\}
; MP3
\rhd \underline{
\mathsf{x}}
 \mathrel{\in} \underline{\mathsf {bs}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf{y}}
 \mathrel{\in} \underline{\mathsf {bs}}
\Rightarrow \dot{\neg}\, \dot{\neg}\, 
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {s}}
\colon \overline{
\mathsf {s}}
 \mathrel{\in} \underline{\mathsf {bs}}
\Rightarrow \{\{\overline{
\mathsf {s}}
,\overline{
\mathsf {s}}
\}
,\{\overline{
\mathsf {s}}
,\overline{
\mathsf {s}}
\}
\}
 \mathrel{\in} \underline{
\mathsf {r}}
\Rightarrow \dot{\neg}\, 
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {s}}
\colon 
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {t}}
\colon \overline{
\mathsf {s}}
 \mathrel{\in} \underline{\mathsf {bs}}
\Rightarrow \overline{
\mathsf {t}}
 \mathrel{\in} \underline{\mathsf {bs}}
\Rightarrow \{\{\overline{
\mathsf {s}}
,\overline{
\mathsf {s}}
\}
,\{\overline{
\mathsf {s}}
,\overline{
\mathsf {t}}
\}
\}
 \mathrel{\in} \underline{
\mathsf {r}}
\Rightarrow \{\{\overline{
\mathsf {t}}
,\overline{
\mathsf {t}}
\}
,\{\overline{
\mathsf {t}}
,\overline{
\mathsf {s}}
\}
\}
 \mathrel{\in} \underline{
\mathsf {r}}
\Rightarrow \dot{\neg}\, 
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {s}}
\colon 
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {t}}
\colon 
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {u}}
\colon \overline{
\mathsf {s}}
 \mathrel{\in} \underline{\mathsf {bs}}
\Rightarrow \overline{
\mathsf {t}}
 \mathrel{\in} \underline{\mathsf {bs}}
\Rightarrow \overline{
\mathsf {u}}
 \mathrel{\in} \underline{\mathsf {bs}}
\Rightarrow \{\{\overline{
\mathsf {s}}
,\overline{
\mathsf {s}}
\}
,\{\overline{
\mathsf {s}}
,\overline{
\mathsf {t}}
\}
\}
 \mathrel{\in} \underline{
\mathsf {r}}
\Rightarrow \{\{\overline{
\mathsf {t}}
,\overline{
\mathsf {t}}
\}
,\{\overline{
\mathsf {t}}
,\overline{
\mathsf {u}}
\}
\}
 \mathrel{\in} \underline{
\mathsf {r}}
\Rightarrow \{\{\overline{
\mathsf {s}}
,\overline{
\mathsf {s}}
\}
,\{\overline{
\mathsf {s}}
,\overline{
\mathsf {u}}
\}
\}
 \mathrel{\in} \underline{
\mathsf {r}}
\Rightarrow \{\{\underline{
\mathsf{x}}
,\underline{
\mathsf{x}}
\}
,\{\underline{
\mathsf{x}}
,\underline{
\mathsf{y}}
\}
\}
 \mathrel{\in} \underline{
\mathsf {r}}
\Rightarrow  \{ ph \mathrel{\in} \underline{\mathsf {bs}}
\mid \{\{
\mathsf {a}
 _{Ph} 
,
\mathsf {a}
 _{Ph} 
\}
,\{
\mathsf {a}
 _{Ph} 
,\underline{
\mathsf{x}}
\}
\}
 \mathrel{\in} \underline{
\mathsf {r}}
\}
\!\mathrel{=}\!  \{ ph \mathrel{\in} \underline{\mathsf {bs}}
\mid \{\{
\mathsf {a}
 _{Ph} 
,
\mathsf {a}
 _{Ph} 
\}
,\{
\mathsf {a}
 _{Ph} 
,\underline{
\mathsf{y}}
\}
\}
 \mathrel{\in} \underline{
\mathsf {r}}
\}
\rhd \underline{
\mathsf{x}}
 \mathrel{\in} \underline{\mathsf {bs}}
\rhd \underline{
\mathsf{y}}
 \mathrel{\in} \underline{\mathsf {bs}}
\rhd \dot{\neg}\, \dot{\neg}\, 
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {s}}
\colon \overline{
\mathsf {s}}
 \mathrel{\in} \underline{\mathsf {bs}}
\Rightarrow \{\{\overline{
\mathsf {s}}
,\overline{
\mathsf {s}}
\}
,\{\overline{
\mathsf {s}}
,\overline{
\mathsf {s}}
\}
\}
 \mathrel{\in} \underline{
\mathsf {r}}
\Rightarrow \dot{\neg}\, 
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {s}}
\colon 
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {t}}
\colon \overline{
\mathsf {s}}
 \mathrel{\in} \underline{\mathsf {bs}}
\Rightarrow \overline{
\mathsf {t}}
 \mathrel{\in} \underline{\mathsf {bs}}
\Rightarrow \{\{\overline{
\mathsf {s}}
,\overline{
\mathsf {s}}
\}
,\{\overline{
\mathsf {s}}
,\overline{
\mathsf {t}}
\}
\}
 \mathrel{\in} \underline{
\mathsf {r}}
\Rightarrow \{\{\overline{
\mathsf {t}}
,\overline{
\mathsf {t}}
\}
,\{\overline{
\mathsf {t}}
,\overline{
\mathsf {s}}
\}
\}
 \mathrel{\in} \underline{
\mathsf {r}}
\Rightarrow \dot{\neg}\, 
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {s}}
\colon 
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {t}}
\colon 
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {u}}
\colon \overline{
\mathsf {s}}
 \mathrel{\in} \underline{\mathsf {bs}}
\Rightarrow \overline{
\mathsf {t}}
 \mathrel{\in} \underline{\mathsf {bs}}
\Rightarrow \overline{
\mathsf {u}}
 \mathrel{\in} \underline{\mathsf {bs}}
\Rightarrow \{\{\overline{
\mathsf {s}}
,\overline{
\mathsf {s}}
\}
,\{\overline{
\mathsf {s}}
,\overline{
\mathsf {t}}
\}
\}
 \mathrel{\in} \underline{
\mathsf {r}}
\Rightarrow \{\{\overline{
\mathsf {t}}
,\overline{
\mathsf {t}}
\}
,\{\overline{
\mathsf {t}}
,\overline{
\mathsf {u}}
\}
\}
 \mathrel{\in} \underline{
\mathsf {r}}
\Rightarrow \{\{\overline{
\mathsf {s}}
,\overline{
\mathsf {s}}
\}
,\{\overline{
\mathsf {s}}
,\overline{
\mathsf {u}}
\}
\}
 \mathrel{\in} \underline{
\mathsf {r}}
\gg \{\{\underline{
\mathsf{x}}
,\underline{
\mathsf{x}}
\}
,\{\underline{
\mathsf{x}}
,\underline{
\mathsf{y}}
\}
\}
 \mathrel{\in} \underline{
\mathsf {r}}
\Rightarrow  \{ ph \mathrel{\in} \underline{\mathsf {bs}}
\mid \{\{
\mathsf {a}
 _{Ph} 
,
\mathsf {a}
 _{Ph} 
\}
,\{
\mathsf {a}
 _{Ph} 
,\underline{
\mathsf{x}}
\}
\}
 \mathrel{\in} \underline{
\mathsf {r}}
\}
\!\mathrel{=}\!  \{ ph \mathrel{\in} \underline{\mathsf {bs}}
\mid \{\{
\mathsf {a}
 _{Ph} 
,
\mathsf {a}
 _{Ph} 
\}
,\{
\mathsf {a}
 _{Ph} 
,\underline{
\mathsf{y}}
\}
\}
 \mathrel{\in} \underline{
\mathsf {r}}
\}
\rceil 
, 
p_0
, 
\mathsf {c}
)
]$

$\rm
[EqNecessary
\stackrel{
stmt
}{\rightarrow}ZFsub
\vdash 
\forall \underline{
\mathsf {r}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf{x}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf{y}}
\colon 
\forall \underline{\mathsf {bs}}
\colon 
\lceil \overline{
\mathsf {s}}
\rceil 
\#^0
\lceil \underline{
\mathsf {r}}
\rceil 
\mathrel {\makebox [0mm][l]{$\vdash $}\,{\vdash }} 
\lceil \overline{
\mathsf {s}}
\rceil 
\#^0
\lceil \underline{\mathsf {bs}}
\rceil 
\mathrel {\makebox [0mm][l]{$\vdash $}\,{\vdash }} 
\lceil \overline{
\mathsf {t}}
\rceil 
\#^0
\lceil \underline{
\mathsf {r}}
\rceil 
\mathrel {\makebox [0mm][l]{$\vdash $}\,{\vdash }} 
\lceil \overline{
\mathsf {t}}
\rceil 
\#^0
\lceil \underline{\mathsf {bs}}
\rceil 
\mathrel {\makebox [0mm][l]{$\vdash $}\,{\vdash }} 
\lceil \overline{
\mathsf {u}}
\rceil 
\#^0
\lceil \underline{
\mathsf {r}}
\rceil 
\mathrel {\makebox [0mm][l]{$\vdash $}\,{\vdash }} 
\lceil \overline{
\mathsf {u}}
\rceil 
\#^0
\lceil \underline{\mathsf {bs}}
\rceil 
\mathrel {\makebox [0mm][l]{$\vdash $}\,{\vdash }} \underline{
\mathsf{x}}
 \mathrel{\in} \underline{\mathsf {bs}}
\vdash \underline{
\mathsf{y}}
 \mathrel{\in} \underline{\mathsf {bs}}
\vdash \dot{\neg}\, \dot{\neg}\, 
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {s}}
\colon \overline{
\mathsf {s}}
 \mathrel{\in} \underline{\mathsf {bs}}
\Rightarrow \{\{\overline{
\mathsf {s}}
,\overline{
\mathsf {s}}
\}
,\{\overline{
\mathsf {s}}
,\overline{
\mathsf {s}}
\}
\}
 \mathrel{\in} \underline{
\mathsf {r}}
\Rightarrow \dot{\neg}\, 
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {s}}
\colon 
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {t}}
\colon \overline{
\mathsf {s}}
 \mathrel{\in} \underline{\mathsf {bs}}
\Rightarrow \overline{
\mathsf {t}}
 \mathrel{\in} \underline{\mathsf {bs}}
\Rightarrow \{\{\overline{
\mathsf {s}}
,\overline{
\mathsf {s}}
\}
,\{\overline{
\mathsf {s}}
,\overline{
\mathsf {t}}
\}
\}
 \mathrel{\in} \underline{
\mathsf {r}}
\Rightarrow \{\{\overline{
\mathsf {t}}
,\overline{
\mathsf {t}}
\}
,\{\overline{
\mathsf {t}}
,\overline{
\mathsf {s}}
\}
\}
 \mathrel{\in} \underline{
\mathsf {r}}
\Rightarrow \dot{\neg}\, 
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {s}}
\colon 
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {t}}
\colon 
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {u}}
\colon \overline{
\mathsf {s}}
 \mathrel{\in} \underline{\mathsf {bs}}
\Rightarrow \overline{
\mathsf {t}}
 \mathrel{\in} \underline{\mathsf {bs}}
\Rightarrow \overline{
\mathsf {u}}
 \mathrel{\in} \underline{\mathsf {bs}}
\Rightarrow \{\{\overline{
\mathsf {s}}
,\overline{
\mathsf {s}}
\}
,\{\overline{
\mathsf {s}}
,\overline{
\mathsf {t}}
\}
\}
 \mathrel{\in} \underline{
\mathsf {r}}
\Rightarrow \{\{\overline{
\mathsf {t}}
,\overline{
\mathsf {t}}
\}
,\{\overline{
\mathsf {t}}
,\overline{
\mathsf {u}}
\}
\}
 \mathrel{\in} \underline{
\mathsf {r}}
\Rightarrow \{\{\overline{
\mathsf {s}}
,\overline{
\mathsf {s}}
\}
,\{\overline{
\mathsf {s}}
,\overline{
\mathsf {u}}
\}
\}
 \mathrel{\in} \underline{
\mathsf {r}}
\vdash \{\{\underline{
\mathsf{x}}
,\underline{
\mathsf{x}}
\}
,\{\underline{
\mathsf{x}}
,\underline{
\mathsf{y}}
\}
\}
 \mathrel{\in} \underline{
\mathsf {r}}
\Rightarrow  \{ ph \mathrel{\in} \underline{\mathsf {bs}}
\mid \{\{
\mathsf {a}
 _{Ph} 
,
\mathsf {a}
 _{Ph} 
\}
,\{
\mathsf {a}
 _{Ph} 
,\underline{
\mathsf{x}}
\}
\}
 \mathrel{\in} \underline{
\mathsf {r}}
\}
\!\mathrel{=}\!  \{ ph \mathrel{\in} \underline{\mathsf {bs}}
\mid \{\{
\mathsf {a}
 _{Ph} 
,
\mathsf {a}
 _{Ph} 
\}
,\{
\mathsf {a}
 _{Ph} 
,\underline{
\mathsf{y}}
\}
\}
 \mathrel{\in} \underline{
\mathsf {r}}
\}
]$

$\rm
[EqNecessary
\stackrel{
\mathrm{tex}
}{\rightarrow}
\mbox{``}EqNecessary
\mbox{''}
]$

$\rm
[EqNecessary
\stackrel{
\mathrm{pyk}
}{\rightarrow}
\mbox{``}lemma
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}equivalence
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}nec
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}condition
\mbox{''}
]$

\hypertarget {url:1808490560655876194608813785663292462486349118665588524157069396079556865:141}{}\section* {$\rm HelperNoneEqNecessary$}

$\rm
[HelperNoneEqNecessary
\stackrel{
proof
}{\rightarrow}
\lambda 
\mathsf {c}
.
\lambda 
\mathsf{x}
.
{\cal P}( 
\lceil ZFsub
\vdash 
\forall \underline{
\mathsf {r}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf {s}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf{x}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf{y}}
\colon 
\forall \underline{\mathsf {bs}}
\colon 
\lceil \overline{
\mathsf {s}}
\rceil 
\#^0
\lceil \underline{
\mathsf {r}}
\rceil 
\mathrel {\makebox [0mm][l]{$\vdash $}\,{\vdash }} 
\lceil \overline{
\mathsf {s}}
\rceil 
\#^0
\lceil \underline{\mathsf {bs}}
\rceil 
\mathrel {\makebox [0mm][l]{$\vdash $}\,{\vdash }} 
\lceil \overline{
\mathsf {t}}
\rceil 
\#^0
\lceil \underline{
\mathsf {r}}
\rceil 
\mathrel {\makebox [0mm][l]{$\vdash $}\,{\vdash }} 
\lceil \overline{
\mathsf {t}}
\rceil 
\#^0
\lceil \underline{\mathsf {bs}}
\rceil 
\mathrel {\makebox [0mm][l]{$\vdash $}\,{\vdash }} 
\lceil \overline{
\mathsf {u}}
\rceil 
\#^0
\lceil \underline{
\mathsf {r}}
\rceil 
\mathrel {\makebox [0mm][l]{$\vdash $}\,{\vdash }} 
\lceil \overline{
\mathsf {u}}
\rceil 
\#^0
\lceil \underline{\mathsf {bs}}
\rceil 
\mathrel {\makebox [0mm][l]{$\vdash $}\,{\vdash }} \underline{
\mathsf{x}}
 \mathrel{\in} \underline{\mathsf {bs}}
\vdash \underline{
\mathsf{y}}
 \mathrel{\in} \underline{\mathsf {bs}}
\vdash \dot{\neg}\, \dot{\neg}\, 
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {s}}
\colon \overline{
\mathsf {s}}
 \mathrel{\in} \underline{\mathsf {bs}}
\Rightarrow \{\{\overline{
\mathsf {s}}
,\overline{
\mathsf {s}}
\}
,\{\overline{
\mathsf {s}}
,\overline{
\mathsf {s}}
\}
\}
 \mathrel{\in} \underline{
\mathsf {r}}
\Rightarrow \dot{\neg}\, 
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {s}}
\colon 
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {t}}
\colon \overline{
\mathsf {s}}
 \mathrel{\in} \underline{\mathsf {bs}}
\Rightarrow \overline{
\mathsf {t}}
 \mathrel{\in} \underline{\mathsf {bs}}
\Rightarrow \{\{\overline{
\mathsf {s}}
,\overline{
\mathsf {s}}
\}
,\{\overline{
\mathsf {s}}
,\overline{
\mathsf {t}}
\}
\}
 \mathrel{\in} \underline{
\mathsf {r}}
\Rightarrow \{\{\overline{
\mathsf {t}}
,\overline{
\mathsf {t}}
\}
,\{\overline{
\mathsf {t}}
,\overline{
\mathsf {s}}
\}
\}
 \mathrel{\in} \underline{
\mathsf {r}}
\Rightarrow \dot{\neg}\, 
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {s}}
\colon 
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {t}}
\colon 
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {u}}
\colon \overline{
\mathsf {s}}
 \mathrel{\in} \underline{\mathsf {bs}}
\Rightarrow \overline{
\mathsf {t}}
 \mathrel{\in} \underline{\mathsf {bs}}
\Rightarrow \overline{
\mathsf {u}}
 \mathrel{\in} \underline{\mathsf {bs}}
\Rightarrow \{\{\overline{
\mathsf {s}}
,\overline{
\mathsf {s}}
\}
,\{\overline{
\mathsf {s}}
,\overline{
\mathsf {t}}
\}
\}
 \mathrel{\in} \underline{
\mathsf {r}}
\Rightarrow \{\{\overline{
\mathsf {t}}
,\overline{
\mathsf {t}}
\}
,\{\overline{
\mathsf {t}}
,\overline{
\mathsf {u}}
\}
\}
 \mathrel{\in} \underline{
\mathsf {r}}
\Rightarrow \{\{\overline{
\mathsf {s}}
,\overline{
\mathsf {s}}
\}
,\{\overline{
\mathsf {s}}
,\overline{
\mathsf {u}}
\}
\}
 \mathrel{\in} \underline{
\mathsf {r}}
\vdash \underline{
\mathsf {s}}
 \mathrel{\in}  \{ ph \mathrel{\in} \cup \{\{ \{ ph \mathrel{\in} \underline{\mathsf {bs}}
\mid \{\{
\mathsf {a}
 _{Ph} 
,
\mathsf {a}
 _{Ph} 
\}
,\{
\mathsf {a}
 _{Ph} 
,\underline{
\mathsf{x}}
\}
\}
 \mathrel{\in} \underline{
\mathsf {r}}
\}
, \{ ph \mathrel{\in} \underline{\mathsf {bs}}
\mid \{\{
\mathsf {a}
 _{Ph} 
,
\mathsf {a}
 _{Ph} 
\}
,\{
\mathsf {a}
 _{Ph} 
,\underline{
\mathsf{x}}
\}
\}
 \mathrel{\in} \underline{
\mathsf {r}}
\}
\}
,\{ \{ ph \mathrel{\in} \underline{\mathsf {bs}}
\mid \{\{
\mathsf {a}
 _{Ph} 
,
\mathsf {a}
 _{Ph} 
\}
,\{
\mathsf {a}
 _{Ph} 
,\underline{
\mathsf{y}}
\}
\}
 \mathrel{\in} \underline{
\mathsf {r}}
\}
, \{ ph \mathrel{\in} \underline{\mathsf {bs}}
\mid \{\{
\mathsf {a}
 _{Ph} 
,
\mathsf {a}
 _{Ph} 
\}
,\{
\mathsf {a}
 _{Ph} 
,\underline{
\mathsf{y}}
\}
\}
 \mathrel{\in} \underline{
\mathsf {r}}
\}
\}
\}
\mid \dot{\neg}\, 
\mathsf {c}
 _{Ph} 
 \mathrel{\in}  \{ ph \mathrel{\in} \underline{\mathsf {bs}}
\mid \{\{
\mathsf {a}
 _{Ph} 
,
\mathsf {a}
 _{Ph} 
\}
,\{
\mathsf {a}
 _{Ph} 
,\underline{
\mathsf{x}}
\}
\}
 \mathrel{\in} \underline{
\mathsf {r}}
\}
\Rightarrow \dot{\neg}\, 
\mathsf {c}
 _{Ph} 
 \mathrel{\in}  \{ ph \mathrel{\in} \underline{\mathsf {bs}}
\mid \{\{
\mathsf {a}
 _{Ph} 
,
\mathsf {a}
 _{Ph} 
\}
,\{
\mathsf {a}
 _{Ph} 
,\underline{
\mathsf{y}}
\}
\}
 \mathrel{\in} \underline{
\mathsf {r}}
\}
\}
\vdash ERisSymmetric
\rhd \dot{\neg}\, \dot{\neg}\, 
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {s}}
\colon \overline{
\mathsf {s}}
 \mathrel{\in} \underline{\mathsf {bs}}
\Rightarrow \{\{\overline{
\mathsf {s}}
,\overline{
\mathsf {s}}
\}
,\{\overline{
\mathsf {s}}
,\overline{
\mathsf {s}}
\}
\}
 \mathrel{\in} \underline{
\mathsf {r}}
\Rightarrow \dot{\neg}\, 
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {s}}
\colon 
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {t}}
\colon \overline{
\mathsf {s}}
 \mathrel{\in} \underline{\mathsf {bs}}
\Rightarrow \overline{
\mathsf {t}}
 \mathrel{\in} \underline{\mathsf {bs}}
\Rightarrow \{\{\overline{
\mathsf {s}}
,\overline{
\mathsf {s}}
\}
,\{\overline{
\mathsf {s}}
,\overline{
\mathsf {t}}
\}
\}
 \mathrel{\in} \underline{
\mathsf {r}}
\Rightarrow \{\{\overline{
\mathsf {t}}
,\overline{
\mathsf {t}}
\}
,\{\overline{
\mathsf {t}}
,\overline{
\mathsf {s}}
\}
\}
 \mathrel{\in} \underline{
\mathsf {r}}
\Rightarrow \dot{\neg}\, 
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {s}}
\colon 
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {t}}
\colon 
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {u}}
\colon \overline{
\mathsf {s}}
 \mathrel{\in} \underline{\mathsf {bs}}
\Rightarrow \overline{
\mathsf {t}}
 \mathrel{\in} \underline{\mathsf {bs}}
\Rightarrow \overline{
\mathsf {u}}
 \mathrel{\in} \underline{\mathsf {bs}}
\Rightarrow \{\{\overline{
\mathsf {s}}
,\overline{
\mathsf {s}}
\}
,\{\overline{
\mathsf {s}}
,\overline{
\mathsf {t}}
\}
\}
 \mathrel{\in} \underline{
\mathsf {r}}
\Rightarrow \{\{\overline{
\mathsf {t}}
,\overline{
\mathsf {t}}
\}
,\{\overline{
\mathsf {t}}
,\overline{
\mathsf {u}}
\}
\}
 \mathrel{\in} \underline{
\mathsf {r}}
\Rightarrow \{\{\overline{
\mathsf {s}}
,\overline{
\mathsf {s}}
\}
,\{\overline{
\mathsf {s}}
,\overline{
\mathsf {u}}
\}
\}
 \mathrel{\in} \underline{
\mathsf {r}}
\gg 
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {s}}
\colon 
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {t}}
\colon \overline{
\mathsf {s}}
 \mathrel{\in} \underline{\mathsf {bs}}
\Rightarrow \overline{
\mathsf {t}}
 \mathrel{\in} \underline{\mathsf {bs}}
\Rightarrow \{\{\overline{
\mathsf {s}}
,\overline{
\mathsf {s}}
\}
,\{\overline{
\mathsf {s}}
,\overline{
\mathsf {t}}
\}
\}
 \mathrel{\in} \underline{
\mathsf {r}}
\Rightarrow \{\{\overline{
\mathsf {t}}
,\overline{
\mathsf {t}}
\}
,\{\overline{
\mathsf {t}}
,\overline{
\mathsf {s}}
\}
\}
 \mathrel{\in} \underline{
\mathsf {r}}
; ERisTransitive
\rhd \dot{\neg}\, \dot{\neg}\, 
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {s}}
\colon \overline{
\mathsf {s}}
 \mathrel{\in} \underline{\mathsf {bs}}
\Rightarrow \{\{\overline{
\mathsf {s}}
,\overline{
\mathsf {s}}
\}
,\{\overline{
\mathsf {s}}
,\overline{
\mathsf {s}}
\}
\}
 \mathrel{\in} \underline{
\mathsf {r}}
\Rightarrow \dot{\neg}\, 
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {s}}
\colon 
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {t}}
\colon \overline{
\mathsf {s}}
 \mathrel{\in} \underline{\mathsf {bs}}
\Rightarrow \overline{
\mathsf {t}}
 \mathrel{\in} \underline{\mathsf {bs}}
\Rightarrow \{\{\overline{
\mathsf {s}}
,\overline{
\mathsf {s}}
\}
,\{\overline{
\mathsf {s}}
,\overline{
\mathsf {t}}
\}
\}
 \mathrel{\in} \underline{
\mathsf {r}}
\Rightarrow \{\{\overline{
\mathsf {t}}
,\overline{
\mathsf {t}}
\}
,\{\overline{
\mathsf {t}}
,\overline{
\mathsf {s}}
\}
\}
 \mathrel{\in} \underline{
\mathsf {r}}
\Rightarrow \dot{\neg}\, 
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {s}}
\colon 
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {t}}
\colon 
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {u}}
\colon \overline{
\mathsf {s}}
 \mathrel{\in} \underline{\mathsf {bs}}
\Rightarrow \overline{
\mathsf {t}}
 \mathrel{\in} \underline{\mathsf {bs}}
\Rightarrow \overline{
\mathsf {u}}
 \mathrel{\in} \underline{\mathsf {bs}}
\Rightarrow \{\{\overline{
\mathsf {s}}
,\overline{
\mathsf {s}}
\}
,\{\overline{
\mathsf {s}}
,\overline{
\mathsf {t}}
\}
\}
 \mathrel{\in} \underline{
\mathsf {r}}
\Rightarrow \{\{\overline{
\mathsf {t}}
,\overline{
\mathsf {t}}
\}
,\{\overline{
\mathsf {t}}
,\overline{
\mathsf {u}}
\}
\}
 \mathrel{\in} \underline{
\mathsf {r}}
\Rightarrow \{\{\overline{
\mathsf {s}}
,\overline{
\mathsf {s}}
\}
,\{\overline{
\mathsf {s}}
,\overline{
\mathsf {u}}
\}
\}
 \mathrel{\in} \underline{
\mathsf {r}}
\gg 
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {s}}
\colon 
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {t}}
\colon 
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {u}}
\colon \overline{
\mathsf {s}}
 \mathrel{\in} \underline{\mathsf {bs}}
\Rightarrow \overline{
\mathsf {t}}
 \mathrel{\in} \underline{\mathsf {bs}}
\Rightarrow \overline{
\mathsf {u}}
 \mathrel{\in} \underline{\mathsf {bs}}
\Rightarrow \{\{\overline{
\mathsf {s}}
,\overline{
\mathsf {s}}
\}
,\{\overline{
\mathsf {s}}
,\overline{
\mathsf {t}}
\}
\}
 \mathrel{\in} \underline{
\mathsf {r}}
\Rightarrow \{\{\overline{
\mathsf {t}}
,\overline{
\mathsf {t}}
\}
,\{\overline{
\mathsf {t}}
,\overline{
\mathsf {u}}
\}
\}
 \mathrel{\in} \underline{
\mathsf {r}}
\Rightarrow \{\{\overline{
\mathsf {s}}
,\overline{
\mathsf {s}}
\}
,\{\overline{
\mathsf {s}}
,\overline{
\mathsf {u}}
\}
\}
 \mathrel{\in} \underline{
\mathsf {r}}
; Sep2Formula
\rhd \underline{
\mathsf {s}}
 \mathrel{\in}  \{ ph \mathrel{\in} \cup \{\{ \{ ph \mathrel{\in} \underline{\mathsf {bs}}
\mid \{\{
\mathsf {a}
 _{Ph} 
,
\mathsf {a}
 _{Ph} 
\}
,\{
\mathsf {a}
 _{Ph} 
,\underline{
\mathsf{x}}
\}
\}
 \mathrel{\in} \underline{
\mathsf {r}}
\}
, \{ ph \mathrel{\in} \underline{\mathsf {bs}}
\mid \{\{
\mathsf {a}
 _{Ph} 
,
\mathsf {a}
 _{Ph} 
\}
,\{
\mathsf {a}
 _{Ph} 
,\underline{
\mathsf{x}}
\}
\}
 \mathrel{\in} \underline{
\mathsf {r}}
\}
\}
,\{ \{ ph \mathrel{\in} \underline{\mathsf {bs}}
\mid \{\{
\mathsf {a}
 _{Ph} 
,
\mathsf {a}
 _{Ph} 
\}
,\{
\mathsf {a}
 _{Ph} 
,\underline{
\mathsf{y}}
\}
\}
 \mathrel{\in} \underline{
\mathsf {r}}
\}
, \{ ph \mathrel{\in} \underline{\mathsf {bs}}
\mid \{\{
\mathsf {a}
 _{Ph} 
,
\mathsf {a}
 _{Ph} 
\}
,\{
\mathsf {a}
 _{Ph} 
,\underline{
\mathsf{y}}
\}
\}
 \mathrel{\in} \underline{
\mathsf {r}}
\}
\}
\}
\mid \dot{\neg}\, 
\mathsf {c}
 _{Ph} 
 \mathrel{\in}  \{ ph \mathrel{\in} \underline{\mathsf {bs}}
\mid \{\{
\mathsf {a}
 _{Ph} 
,
\mathsf {a}
 _{Ph} 
\}
,\{
\mathsf {a}
 _{Ph} 
,\underline{
\mathsf{x}}
\}
\}
 \mathrel{\in} \underline{
\mathsf {r}}
\}
\Rightarrow \dot{\neg}\, 
\mathsf {c}
 _{Ph} 
 \mathrel{\in}  \{ ph \mathrel{\in} \underline{\mathsf {bs}}
\mid \{\{
\mathsf {a}
 _{Ph} 
,
\mathsf {a}
 _{Ph} 
\}
,\{
\mathsf {a}
 _{Ph} 
,\underline{
\mathsf{y}}
\}
\}
 \mathrel{\in} \underline{
\mathsf {r}}
\}
\}
\gg \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf {s}}
 \mathrel{\in} \cup \{\{ \{ ph \mathrel{\in} \underline{\mathsf {bs}}
\mid \{\{
\mathsf {a}
 _{Ph} 
,
\mathsf {a}
 _{Ph} 
\}
,\{
\mathsf {a}
 _{Ph} 
,\underline{
\mathsf{x}}
\}
\}
 \mathrel{\in} \underline{
\mathsf {r}}
\}
, \{ ph \mathrel{\in} \underline{\mathsf {bs}}
\mid \{\{
\mathsf {a}
 _{Ph} 
,
\mathsf {a}
 _{Ph} 
\}
,\{
\mathsf {a}
 _{Ph} 
,\underline{
\mathsf{x}}
\}
\}
 \mathrel{\in} \underline{
\mathsf {r}}
\}
\}
,\{ \{ ph \mathrel{\in} \underline{\mathsf {bs}}
\mid \{\{
\mathsf {a}
 _{Ph} 
,
\mathsf {a}
 _{Ph} 
\}
,\{
\mathsf {a}
 _{Ph} 
,\underline{
\mathsf{y}}
\}
\}
 \mathrel{\in} \underline{
\mathsf {r}}
\}
, \{ ph \mathrel{\in} \underline{\mathsf {bs}}
\mid \{\{
\mathsf {a}
 _{Ph} 
,
\mathsf {a}
 _{Ph} 
\}
,\{
\mathsf {a}
 _{Ph} 
,\underline{
\mathsf{y}}
\}
\}
 \mathrel{\in} \underline{
\mathsf {r}}
\}
\}
\}
\Rightarrow \dot{\neg}\, \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf {s}}
 \mathrel{\in}  \{ ph \mathrel{\in} \underline{\mathsf {bs}}
\mid \{\{
\mathsf {a}
 _{Ph} 
,
\mathsf {a}
 _{Ph} 
\}
,\{
\mathsf {a}
 _{Ph} 
,\underline{
\mathsf{x}}
\}
\}
 \mathrel{\in} \underline{
\mathsf {r}}
\}
\Rightarrow \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf {s}}
 \mathrel{\in}  \{ ph \mathrel{\in} \underline{\mathsf {bs}}
\mid \{\{
\mathsf {a}
 _{Ph} 
,
\mathsf {a}
 _{Ph} 
\}
,\{
\mathsf {a}
 _{Ph} 
,\underline{
\mathsf{y}}
\}
\}
 \mathrel{\in} \underline{
\mathsf {r}}
\}
; SecondConjunct
\rhd \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf {s}}
 \mathrel{\in} \cup \{\{ \{ ph \mathrel{\in} \underline{\mathsf {bs}}
\mid \{\{
\mathsf {a}
 _{Ph} 
,
\mathsf {a}
 _{Ph} 
\}
,\{
\mathsf {a}
 _{Ph} 
,\underline{
\mathsf{x}}
\}
\}
 \mathrel{\in} \underline{
\mathsf {r}}
\}
, \{ ph \mathrel{\in} \underline{\mathsf {bs}}
\mid \{\{
\mathsf {a}
 _{Ph} 
,
\mathsf {a}
 _{Ph} 
\}
,\{
\mathsf {a}
 _{Ph} 
,\underline{
\mathsf{x}}
\}
\}
 \mathrel{\in} \underline{
\mathsf {r}}
\}
\}
,\{ \{ ph \mathrel{\in} \underline{\mathsf {bs}}
\mid \{\{
\mathsf {a}
 _{Ph} 
,
\mathsf {a}
 _{Ph} 
\}
,\{
\mathsf {a}
 _{Ph} 
,\underline{
\mathsf{y}}
\}
\}
 \mathrel{\in} \underline{
\mathsf {r}}
\}
, \{ ph \mathrel{\in} \underline{\mathsf {bs}}
\mid \{\{
\mathsf {a}
 _{Ph} 
,
\mathsf {a}
 _{Ph} 
\}
,\{
\mathsf {a}
 _{Ph} 
,\underline{
\mathsf{y}}
\}
\}
 \mathrel{\in} \underline{
\mathsf {r}}
\}
\}
\}
\Rightarrow \dot{\neg}\, \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf {s}}
 \mathrel{\in}  \{ ph \mathrel{\in} \underline{\mathsf {bs}}
\mid \{\{
\mathsf {a}
 _{Ph} 
,
\mathsf {a}
 _{Ph} 
\}
,\{
\mathsf {a}
 _{Ph} 
,\underline{
\mathsf{x}}
\}
\}
 \mathrel{\in} \underline{
\mathsf {r}}
\}
\Rightarrow \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf {s}}
 \mathrel{\in}  \{ ph \mathrel{\in} \underline{\mathsf {bs}}
\mid \{\{
\mathsf {a}
 _{Ph} 
,
\mathsf {a}
 _{Ph} 
\}
,\{
\mathsf {a}
 _{Ph} 
,\underline{
\mathsf{y}}
\}
\}
 \mathrel{\in} \underline{
\mathsf {r}}
\}
\gg \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf {s}}
 \mathrel{\in}  \{ ph \mathrel{\in} \underline{\mathsf {bs}}
\mid \{\{
\mathsf {a}
 _{Ph} 
,
\mathsf {a}
 _{Ph} 
\}
,\{
\mathsf {a}
 _{Ph} 
,\underline{
\mathsf{x}}
\}
\}
 \mathrel{\in} \underline{
\mathsf {r}}
\}
\Rightarrow \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf {s}}
 \mathrel{\in}  \{ ph \mathrel{\in} \underline{\mathsf {bs}}
\mid \{\{
\mathsf {a}
 _{Ph} 
,
\mathsf {a}
 _{Ph} 
\}
,\{
\mathsf {a}
 _{Ph} 
,\underline{
\mathsf{y}}
\}
\}
 \mathrel{\in} \underline{
\mathsf {r}}
\}
; FirstConjunct
\rhd \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf {s}}
 \mathrel{\in}  \{ ph \mathrel{\in} \underline{\mathsf {bs}}
\mid \{\{
\mathsf {a}
 _{Ph} 
,
\mathsf {a}
 _{Ph} 
\}
,\{
\mathsf {a}
 _{Ph} 
,\underline{
\mathsf{x}}
\}
\}
 \mathrel{\in} \underline{
\mathsf {r}}
\}
\Rightarrow \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf {s}}
 \mathrel{\in}  \{ ph \mathrel{\in} \underline{\mathsf {bs}}
\mid \{\{
\mathsf {a}
 _{Ph} 
,
\mathsf {a}
 _{Ph} 
\}
,\{
\mathsf {a}
 _{Ph} 
,\underline{
\mathsf{y}}
\}
\}
 \mathrel{\in} \underline{
\mathsf {r}}
\}
\gg \underline{
\mathsf {s}}
 \mathrel{\in}  \{ ph \mathrel{\in} \underline{\mathsf {bs}}
\mid \{\{
\mathsf {a}
 _{Ph} 
,
\mathsf {a}
 _{Ph} 
\}
,\{
\mathsf {a}
 _{Ph} 
,\underline{
\mathsf{x}}
\}
\}
 \mathrel{\in} \underline{
\mathsf {r}}
\}
; Sep2Formula
\rhd \underline{
\mathsf {s}}
 \mathrel{\in}  \{ ph \mathrel{\in} \underline{\mathsf {bs}}
\mid \{\{
\mathsf {a}
 _{Ph} 
,
\mathsf {a}
 _{Ph} 
\}
,\{
\mathsf {a}
 _{Ph} 
,\underline{
\mathsf{x}}
\}
\}
 \mathrel{\in} \underline{
\mathsf {r}}
\}
\gg \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf {s}}
 \mathrel{\in} \underline{\mathsf {bs}}
\Rightarrow \dot{\neg}\, \{\{\underline{
\mathsf {s}}
,\underline{
\mathsf {s}}
\}
,\{\underline{
\mathsf {s}}
,\underline{
\mathsf{x}}
\}
\}
 \mathrel{\in} \underline{
\mathsf {r}}
; SecondConjunct
\rhd \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf {s}}
 \mathrel{\in} \underline{\mathsf {bs}}
\Rightarrow \dot{\neg}\, \{\{\underline{
\mathsf {s}}
,\underline{
\mathsf {s}}
\}
,\{\underline{
\mathsf {s}}
,\underline{
\mathsf{x}}
\}
\}
 \mathrel{\in} \underline{
\mathsf {r}}
\gg \{\{\underline{
\mathsf {s}}
,\underline{
\mathsf {s}}
\}
,\{\underline{
\mathsf {s}}
,\underline{
\mathsf{x}}
\}
\}
 \mathrel{\in} \underline{
\mathsf {r}}
; SecondConjunct
\rhd \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf {s}}
 \mathrel{\in}  \{ ph \mathrel{\in} \underline{\mathsf {bs}}
\mid \{\{
\mathsf {a}
 _{Ph} 
,
\mathsf {a}
 _{Ph} 
\}
,\{
\mathsf {a}
 _{Ph} 
,\underline{
\mathsf{x}}
\}
\}
 \mathrel{\in} \underline{
\mathsf {r}}
\}
\Rightarrow \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf {s}}
 \mathrel{\in}  \{ ph \mathrel{\in} \underline{\mathsf {bs}}
\mid \{\{
\mathsf {a}
 _{Ph} 
,
\mathsf {a}
 _{Ph} 
\}
,\{
\mathsf {a}
 _{Ph} 
,\underline{
\mathsf{y}}
\}
\}
 \mathrel{\in} \underline{
\mathsf {r}}
\}
\gg \underline{
\mathsf {s}}
 \mathrel{\in}  \{ ph \mathrel{\in} \underline{\mathsf {bs}}
\mid \{\{
\mathsf {a}
 _{Ph} 
,
\mathsf {a}
 _{Ph} 
\}
,\{
\mathsf {a}
 _{Ph} 
,\underline{
\mathsf{y}}
\}
\}
 \mathrel{\in} \underline{
\mathsf {r}}
\}
; Sep2Formula
\rhd \underline{
\mathsf {s}}
 \mathrel{\in}  \{ ph \mathrel{\in} \underline{\mathsf {bs}}
\mid \{\{
\mathsf {a}
 _{Ph} 
,
\mathsf {a}
 _{Ph} 
\}
,\{
\mathsf {a}
 _{Ph} 
,\underline{
\mathsf{y}}
\}
\}
 \mathrel{\in} \underline{
\mathsf {r}}
\}
\gg \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf {s}}
 \mathrel{\in} \underline{\mathsf {bs}}
\Rightarrow \dot{\neg}\, \{\{\underline{
\mathsf {s}}
,\underline{
\mathsf {s}}
\}
,\{\underline{
\mathsf {s}}
,\underline{
\mathsf{y}}
\}
\}
 \mathrel{\in} \underline{
\mathsf {r}}
; SecondConjunct
\rhd \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf {s}}
 \mathrel{\in} \underline{\mathsf {bs}}
\Rightarrow \dot{\neg}\, \{\{\underline{
\mathsf {s}}
,\underline{
\mathsf {s}}
\}
,\{\underline{
\mathsf {s}}
,\underline{
\mathsf{y}}
\}
\}
 \mathrel{\in} \underline{
\mathsf {r}}
\gg \{\{\underline{
\mathsf {s}}
,\underline{
\mathsf {s}}
\}
,\{\underline{
\mathsf {s}}
,\underline{
\mathsf{y}}
\}
\}
 \mathrel{\in} \underline{
\mathsf {r}}
; FirstConjunct
\rhd \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf {s}}
 \mathrel{\in} \underline{\mathsf {bs}}
\Rightarrow \dot{\neg}\, \{\{\underline{
\mathsf {s}}
,\underline{
\mathsf {s}}
\}
,\{\underline{
\mathsf {s}}
,\underline{
\mathsf{x}}
\}
\}
 \mathrel{\in} \underline{
\mathsf {r}}
\gg \underline{
\mathsf {s}}
 \mathrel{\in} \underline{\mathsf {bs}}
; Symmetry
\mathrel {\makebox [0mm][l]{$\rhd $}\,{\rhd }} 
\lceil \overline{
\mathsf {s}}
\rceil 
\#^0
\lceil \underline{
\mathsf {r}}
\rceil 
\mathrel {\makebox [0mm][l]{$\rhd $}\,{\rhd }} 
\lceil \overline{
\mathsf {s}}
\rceil 
\#^0
\lceil \underline{\mathsf {bs}}
\rceil 
\mathrel {\makebox [0mm][l]{$\rhd $}\,{\rhd }} 
\lceil \overline{
\mathsf {t}}
\rceil 
\#^0
\lceil \underline{
\mathsf {r}}
\rceil 
\mathrel {\makebox [0mm][l]{$\rhd $}\,{\rhd }} 
\lceil \overline{
\mathsf {t}}
\rceil 
\#^0
\lceil \underline{\mathsf {bs}}
\rceil 
\rhd 
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {s}}
\colon 
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {t}}
\colon \overline{
\mathsf {s}}
 \mathrel{\in} \underline{\mathsf {bs}}
\Rightarrow \overline{
\mathsf {t}}
 \mathrel{\in} \underline{\mathsf {bs}}
\Rightarrow \{\{\overline{
\mathsf {s}}
,\overline{
\mathsf {s}}
\}
,\{\overline{
\mathsf {s}}
,\overline{
\mathsf {t}}
\}
\}
 \mathrel{\in} \underline{
\mathsf {r}}
\Rightarrow \{\{\overline{
\mathsf {t}}
,\overline{
\mathsf {t}}
\}
,\{\overline{
\mathsf {t}}
,\overline{
\mathsf {s}}
\}
\}
 \mathrel{\in} \underline{
\mathsf {r}}
\rhd \underline{
\mathsf {s}}
 \mathrel{\in} \underline{\mathsf {bs}}
\rhd \underline{
\mathsf{x}}
 \mathrel{\in} \underline{\mathsf {bs}}
\rhd \{\{\underline{
\mathsf {s}}
,\underline{
\mathsf {s}}
\}
,\{\underline{
\mathsf {s}}
,\underline{
\mathsf{x}}
\}
\}
 \mathrel{\in} \underline{
\mathsf {r}}
\gg \{\{\underline{
\mathsf{x}}
,\underline{
\mathsf{x}}
\}
,\{\underline{
\mathsf{x}}
,\underline{
\mathsf {s}}
\}
\}
 \mathrel{\in} \underline{
\mathsf {r}}
; Transitivity
\mathrel {\makebox [0mm][l]{$\rhd $}\,{\rhd }} 
\lceil \overline{
\mathsf {s}}
\rceil 
\#^0
\lceil \underline{
\mathsf {r}}
\rceil 
\mathrel {\makebox [0mm][l]{$\rhd $}\,{\rhd }} 
\lceil \overline{
\mathsf {s}}
\rceil 
\#^0
\lceil \underline{\mathsf {bs}}
\rceil 
\mathrel {\makebox [0mm][l]{$\rhd $}\,{\rhd }} 
\lceil \overline{
\mathsf {t}}
\rceil 
\#^0
\lceil \underline{
\mathsf {r}}
\rceil 
\mathrel {\makebox [0mm][l]{$\rhd $}\,{\rhd }} 
\lceil \overline{
\mathsf {t}}
\rceil 
\#^0
\lceil \underline{\mathsf {bs}}
\rceil 
\mathrel {\makebox [0mm][l]{$\rhd $}\,{\rhd }} 
\lceil \overline{
\mathsf {u}}
\rceil 
\#^0
\lceil \underline{
\mathsf {r}}
\rceil 
\mathrel {\makebox [0mm][l]{$\rhd $}\,{\rhd }} 
\lceil \overline{
\mathsf {u}}
\rceil 
\#^0
\lceil \underline{\mathsf {bs}}
\rceil 
\rhd 
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {s}}
\colon 
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {t}}
\colon 
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {u}}
\colon \overline{
\mathsf {s}}
 \mathrel{\in} \underline{\mathsf {bs}}
\Rightarrow \overline{
\mathsf {t}}
 \mathrel{\in} \underline{\mathsf {bs}}
\Rightarrow \overline{
\mathsf {u}}
 \mathrel{\in} \underline{\mathsf {bs}}
\Rightarrow \{\{\overline{
\mathsf {s}}
,\overline{
\mathsf {s}}
\}
,\{\overline{
\mathsf {s}}
,\overline{
\mathsf {t}}
\}
\}
 \mathrel{\in} \underline{
\mathsf {r}}
\Rightarrow \{\{\overline{
\mathsf {t}}
,\overline{
\mathsf {t}}
\}
,\{\overline{
\mathsf {t}}
,\overline{
\mathsf {u}}
\}
\}
 \mathrel{\in} \underline{
\mathsf {r}}
\Rightarrow \{\{\overline{
\mathsf {s}}
,\overline{
\mathsf {s}}
\}
,\{\overline{
\mathsf {s}}
,\overline{
\mathsf {u}}
\}
\}
 \mathrel{\in} \underline{
\mathsf {r}}
\rhd \underline{
\mathsf{x}}
 \mathrel{\in} \underline{\mathsf {bs}}
\rhd \underline{
\mathsf {s}}
 \mathrel{\in} \underline{\mathsf {bs}}
\rhd \underline{
\mathsf{y}}
 \mathrel{\in} \underline{\mathsf {bs}}
\rhd \{\{\underline{
\mathsf{x}}
,\underline{
\mathsf{x}}
\}
,\{\underline{
\mathsf{x}}
,\underline{
\mathsf {s}}
\}
\}
 \mathrel{\in} \underline{
\mathsf {r}}
\rhd \{\{\underline{
\mathsf {s}}
,\underline{
\mathsf {s}}
\}
,\{\underline{
\mathsf {s}}
,\underline{
\mathsf{y}}
\}
\}
 \mathrel{\in} \underline{
\mathsf {r}}
\gg \{\{\underline{
\mathsf{x}}
,\underline{
\mathsf{x}}
\}
,\{\underline{
\mathsf{x}}
,\underline{
\mathsf{y}}
\}
\}
 \mathrel{\in} \underline{
\mathsf {r}}
; 
\forall \underline{
\mathsf {r}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf {s}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf{x}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf{y}}
\colon 
\forall \underline{\mathsf {bs}}
\colon Ded
\rhd 
\forall \underline{
\mathsf {r}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf {s}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf{x}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf{y}}
\colon 
\forall \underline{\mathsf {bs}}
\colon 
\lceil \overline{
\mathsf {s}}
\rceil 
\#^0
\lceil \underline{
\mathsf {r}}
\rceil 
\mathrel {\makebox [0mm][l]{$\vdash $}\,{\vdash }} 
\lceil \overline{
\mathsf {s}}
\rceil 
\#^0
\lceil \underline{\mathsf {bs}}
\rceil 
\mathrel {\makebox [0mm][l]{$\vdash $}\,{\vdash }} 
\lceil \overline{
\mathsf {t}}
\rceil 
\#^0
\lceil \underline{
\mathsf {r}}
\rceil 
\mathrel {\makebox [0mm][l]{$\vdash $}\,{\vdash }} 
\lceil \overline{
\mathsf {t}}
\rceil 
\#^0
\lceil \underline{\mathsf {bs}}
\rceil 
\mathrel {\makebox [0mm][l]{$\vdash $}\,{\vdash }} 
\lceil \overline{
\mathsf {u}}
\rceil 
\#^0
\lceil \underline{
\mathsf {r}}
\rceil 
\mathrel {\makebox [0mm][l]{$\vdash $}\,{\vdash }} 
\lceil \overline{
\mathsf {u}}
\rceil 
\#^0
\lceil \underline{\mathsf {bs}}
\rceil 
\mathrel {\makebox [0mm][l]{$\vdash $}\,{\vdash }} \underline{
\mathsf{x}}
 \mathrel{\in} \underline{\mathsf {bs}}
\vdash \underline{
\mathsf{y}}
 \mathrel{\in} \underline{\mathsf {bs}}
\vdash \dot{\neg}\, \dot{\neg}\, 
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {s}}
\colon \overline{
\mathsf {s}}
 \mathrel{\in} \underline{\mathsf {bs}}
\Rightarrow \{\{\overline{
\mathsf {s}}
,\overline{
\mathsf {s}}
\}
,\{\overline{
\mathsf {s}}
,\overline{
\mathsf {s}}
\}
\}
 \mathrel{\in} \underline{
\mathsf {r}}
\Rightarrow \dot{\neg}\, 
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {s}}
\colon 
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {t}}
\colon \overline{
\mathsf {s}}
 \mathrel{\in} \underline{\mathsf {bs}}
\Rightarrow \overline{
\mathsf {t}}
 \mathrel{\in} \underline{\mathsf {bs}}
\Rightarrow \{\{\overline{
\mathsf {s}}
,\overline{
\mathsf {s}}
\}
,\{\overline{
\mathsf {s}}
,\overline{
\mathsf {t}}
\}
\}
 \mathrel{\in} \underline{
\mathsf {r}}
\Rightarrow \{\{\overline{
\mathsf {t}}
,\overline{
\mathsf {t}}
\}
,\{\overline{
\mathsf {t}}
,\overline{
\mathsf {s}}
\}
\}
 \mathrel{\in} \underline{
\mathsf {r}}
\Rightarrow \dot{\neg}\, 
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {s}}
\colon 
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {t}}
\colon 
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {u}}
\colon \overline{
\mathsf {s}}
 \mathrel{\in} \underline{\mathsf {bs}}
\Rightarrow \overline{
\mathsf {t}}
 \mathrel{\in} \underline{\mathsf {bs}}
\Rightarrow \overline{
\mathsf {u}}
 \mathrel{\in} \underline{\mathsf {bs}}
\Rightarrow \{\{\overline{
\mathsf {s}}
,\overline{
\mathsf {s}}
\}
,\{\overline{
\mathsf {s}}
,\overline{
\mathsf {t}}
\}
\}
 \mathrel{\in} \underline{
\mathsf {r}}
\Rightarrow \{\{\overline{
\mathsf {t}}
,\overline{
\mathsf {t}}
\}
,\{\overline{
\mathsf {t}}
,\overline{
\mathsf {u}}
\}
\}
 \mathrel{\in} \underline{
\mathsf {r}}
\Rightarrow \{\{\overline{
\mathsf {s}}
,\overline{
\mathsf {s}}
\}
,\{\overline{
\mathsf {s}}
,\overline{
\mathsf {u}}
\}
\}
 \mathrel{\in} \underline{
\mathsf {r}}
\vdash \underline{
\mathsf {s}}
 \mathrel{\in}  \{ ph \mathrel{\in} \cup \{\{ \{ ph \mathrel{\in} \underline{\mathsf {bs}}
\mid \{\{
\mathsf {a}
 _{Ph} 
,
\mathsf {a}
 _{Ph} 
\}
,\{
\mathsf {a}
 _{Ph} 
,\underline{
\mathsf{x}}
\}
\}
 \mathrel{\in} \underline{
\mathsf {r}}
\}
, \{ ph \mathrel{\in} \underline{\mathsf {bs}}
\mid \{\{
\mathsf {a}
 _{Ph} 
,
\mathsf {a}
 _{Ph} 
\}
,\{
\mathsf {a}
 _{Ph} 
,\underline{
\mathsf{x}}
\}
\}
 \mathrel{\in} \underline{
\mathsf {r}}
\}
\}
,\{ \{ ph \mathrel{\in} \underline{\mathsf {bs}}
\mid \{\{
\mathsf {a}
 _{Ph} 
,
\mathsf {a}
 _{Ph} 
\}
,\{
\mathsf {a}
 _{Ph} 
,\underline{
\mathsf{y}}
\}
\}
 \mathrel{\in} \underline{
\mathsf {r}}
\}
, \{ ph \mathrel{\in} \underline{\mathsf {bs}}
\mid \{\{
\mathsf {a}
 _{Ph} 
,
\mathsf {a}
 _{Ph} 
\}
,\{
\mathsf {a}
 _{Ph} 
,\underline{
\mathsf{y}}
\}
\}
 \mathrel{\in} \underline{
\mathsf {r}}
\}
\}
\}
\mid \dot{\neg}\, 
\mathsf {c}
 _{Ph} 
 \mathrel{\in}  \{ ph \mathrel{\in} \underline{\mathsf {bs}}
\mid \{\{
\mathsf {a}
 _{Ph} 
,
\mathsf {a}
 _{Ph} 
\}
,\{
\mathsf {a}
 _{Ph} 
,\underline{
\mathsf{x}}
\}
\}
 \mathrel{\in} \underline{
\mathsf {r}}
\}
\Rightarrow \dot{\neg}\, 
\mathsf {c}
 _{Ph} 
 \mathrel{\in}  \{ ph \mathrel{\in} \underline{\mathsf {bs}}
\mid \{\{
\mathsf {a}
 _{Ph} 
,
\mathsf {a}
 _{Ph} 
\}
,\{
\mathsf {a}
 _{Ph} 
,\underline{
\mathsf{y}}
\}
\}
 \mathrel{\in} \underline{
\mathsf {r}}
\}
\}
\vdash \{\{\underline{
\mathsf{x}}
,\underline{
\mathsf{x}}
\}
,\{\underline{
\mathsf{x}}
,\underline{
\mathsf{y}}
\}
\}
 \mathrel{\in} \underline{
\mathsf {r}}
\gg 
\lceil \overline{
\mathsf {s}}
\rceil 
\#^0
\lceil \underline{
\mathsf {r}}
\rceil 
\mathrel {\makebox [0mm][l]{$\vdash $}\,{\vdash }} 
\lceil \overline{
\mathsf {s}}
\rceil 
\#^0
\lceil \underline{\mathsf {bs}}
\rceil 
\mathrel {\makebox [0mm][l]{$\vdash $}\,{\vdash }} 
\lceil \overline{
\mathsf {t}}
\rceil 
\#^0
\lceil \underline{
\mathsf {r}}
\rceil 
\mathrel {\makebox [0mm][l]{$\vdash $}\,{\vdash }} 
\lceil \overline{
\mathsf {t}}
\rceil 
\#^0
\lceil \underline{\mathsf {bs}}
\rceil 
\mathrel {\makebox [0mm][l]{$\vdash $}\,{\vdash }} 
\lceil \overline{
\mathsf {u}}
\rceil 
\#^0
\lceil \underline{
\mathsf {r}}
\rceil 
\mathrel {\makebox [0mm][l]{$\vdash $}\,{\vdash }} 
\lceil \overline{
\mathsf {u}}
\rceil 
\#^0
\lceil \underline{\mathsf {bs}}
\rceil 
\mathrel {\makebox [0mm][l]{$\vdash $}\,{\vdash }} \underline{
\mathsf{x}}
 \mathrel{\in} \underline{\mathsf {bs}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf{y}}
 \mathrel{\in} \underline{\mathsf {bs}}
\Rightarrow \dot{\neg}\, \dot{\neg}\, 
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {s}}
\colon \overline{
\mathsf {s}}
 \mathrel{\in} \underline{\mathsf {bs}}
\Rightarrow \{\{\overline{
\mathsf {s}}
,\overline{
\mathsf {s}}
\}
,\{\overline{
\mathsf {s}}
,\overline{
\mathsf {s}}
\}
\}
 \mathrel{\in} \underline{
\mathsf {r}}
\Rightarrow \dot{\neg}\, 
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {s}}
\colon 
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {t}}
\colon \overline{
\mathsf {s}}
 \mathrel{\in} \underline{\mathsf {bs}}
\Rightarrow \overline{
\mathsf {t}}
 \mathrel{\in} \underline{\mathsf {bs}}
\Rightarrow \{\{\overline{
\mathsf {s}}
,\overline{
\mathsf {s}}
\}
,\{\overline{
\mathsf {s}}
,\overline{
\mathsf {t}}
\}
\}
 \mathrel{\in} \underline{
\mathsf {r}}
\Rightarrow \{\{\overline{
\mathsf {t}}
,\overline{
\mathsf {t}}
\}
,\{\overline{
\mathsf {t}}
,\overline{
\mathsf {s}}
\}
\}
 \mathrel{\in} \underline{
\mathsf {r}}
\Rightarrow \dot{\neg}\, 
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {s}}
\colon 
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {t}}
\colon 
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {u}}
\colon \overline{
\mathsf {s}}
 \mathrel{\in} \underline{\mathsf {bs}}
\Rightarrow \overline{
\mathsf {t}}
 \mathrel{\in} \underline{\mathsf {bs}}
\Rightarrow \overline{
\mathsf {u}}
 \mathrel{\in} \underline{\mathsf {bs}}
\Rightarrow \{\{\overline{
\mathsf {s}}
,\overline{
\mathsf {s}}
\}
,\{\overline{
\mathsf {s}}
,\overline{
\mathsf {t}}
\}
\}
 \mathrel{\in} \underline{
\mathsf {r}}
\Rightarrow \{\{\overline{
\mathsf {t}}
,\overline{
\mathsf {t}}
\}
,\{\overline{
\mathsf {t}}
,\overline{
\mathsf {u}}
\}
\}
 \mathrel{\in} \underline{
\mathsf {r}}
\Rightarrow \{\{\overline{
\mathsf {s}}
,\overline{
\mathsf {s}}
\}
,\{\overline{
\mathsf {s}}
,\overline{
\mathsf {u}}
\}
\}
 \mathrel{\in} \underline{
\mathsf {r}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {s}}
 \mathrel{\in}  \{ ph \mathrel{\in} \cup \{\{ \{ ph \mathrel{\in} \underline{\mathsf {bs}}
\mid \{\{
\mathsf {a}
 _{Ph} 
,
\mathsf {a}
 _{Ph} 
\}
,\{
\mathsf {a}
 _{Ph} 
,\underline{
\mathsf{x}}
\}
\}
 \mathrel{\in} \underline{
\mathsf {r}}
\}
, \{ ph \mathrel{\in} \underline{\mathsf {bs}}
\mid \{\{
\mathsf {a}
 _{Ph} 
,
\mathsf {a}
 _{Ph} 
\}
,\{
\mathsf {a}
 _{Ph} 
,\underline{
\mathsf{x}}
\}
\}
 \mathrel{\in} \underline{
\mathsf {r}}
\}
\}
,\{ \{ ph \mathrel{\in} \underline{\mathsf {bs}}
\mid \{\{
\mathsf {a}
 _{Ph} 
,
\mathsf {a}
 _{Ph} 
\}
,\{
\mathsf {a}
 _{Ph} 
,\underline{
\mathsf{y}}
\}
\}
 \mathrel{\in} \underline{
\mathsf {r}}
\}
, \{ ph \mathrel{\in} \underline{\mathsf {bs}}
\mid \{\{
\mathsf {a}
 _{Ph} 
,
\mathsf {a}
 _{Ph} 
\}
,\{
\mathsf {a}
 _{Ph} 
,\underline{
\mathsf{y}}
\}
\}
 \mathrel{\in} \underline{
\mathsf {r}}
\}
\}
\}
\mid \dot{\neg}\, 
\mathsf {c}
 _{Ph} 
 \mathrel{\in}  \{ ph \mathrel{\in} \underline{\mathsf {bs}}
\mid \{\{
\mathsf {a}
 _{Ph} 
,
\mathsf {a}
 _{Ph} 
\}
,\{
\mathsf {a}
 _{Ph} 
,\underline{
\mathsf{x}}
\}
\}
 \mathrel{\in} \underline{
\mathsf {r}}
\}
\Rightarrow \dot{\neg}\, 
\mathsf {c}
 _{Ph} 
 \mathrel{\in}  \{ ph \mathrel{\in} \underline{\mathsf {bs}}
\mid \{\{
\mathsf {a}
 _{Ph} 
,
\mathsf {a}
 _{Ph} 
\}
,\{
\mathsf {a}
 _{Ph} 
,\underline{
\mathsf{y}}
\}
\}
 \mathrel{\in} \underline{
\mathsf {r}}
\}
\}
\Rightarrow \{\{\underline{
\mathsf{x}}
,\underline{
\mathsf{x}}
\}
,\{\underline{
\mathsf{x}}
,\underline{
\mathsf{y}}
\}
\}
 \mathrel{\in} \underline{
\mathsf {r}}
\rceil 
, 
p_0
, 
\mathsf {c}
)
]$

$\rm
[HelperNoneEqNecessary
\stackrel{
stmt
}{\rightarrow}ZFsub
\vdash 
\forall \underline{
\mathsf {r}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf {s}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf{x}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf{y}}
\colon 
\forall \underline{\mathsf {bs}}
\colon 
\lceil \overline{
\mathsf {s}}
\rceil 
\#^0
\lceil \underline{
\mathsf {r}}
\rceil 
\mathrel {\makebox [0mm][l]{$\vdash $}\,{\vdash }} 
\lceil \overline{
\mathsf {s}}
\rceil 
\#^0
\lceil \underline{\mathsf {bs}}
\rceil 
\mathrel {\makebox [0mm][l]{$\vdash $}\,{\vdash }} 
\lceil \overline{
\mathsf {t}}
\rceil 
\#^0
\lceil \underline{
\mathsf {r}}
\rceil 
\mathrel {\makebox [0mm][l]{$\vdash $}\,{\vdash }} 
\lceil \overline{
\mathsf {t}}
\rceil 
\#^0
\lceil \underline{\mathsf {bs}}
\rceil 
\mathrel {\makebox [0mm][l]{$\vdash $}\,{\vdash }} 
\lceil \overline{
\mathsf {u}}
\rceil 
\#^0
\lceil \underline{
\mathsf {r}}
\rceil 
\mathrel {\makebox [0mm][l]{$\vdash $}\,{\vdash }} 
\lceil \overline{
\mathsf {u}}
\rceil 
\#^0
\lceil \underline{\mathsf {bs}}
\rceil 
\mathrel {\makebox [0mm][l]{$\vdash $}\,{\vdash }} \underline{
\mathsf{x}}
 \mathrel{\in} \underline{\mathsf {bs}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf{y}}
 \mathrel{\in} \underline{\mathsf {bs}}
\Rightarrow \dot{\neg}\, \dot{\neg}\, 
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {s}}
\colon \overline{
\mathsf {s}}
 \mathrel{\in} \underline{\mathsf {bs}}
\Rightarrow \{\{\overline{
\mathsf {s}}
,\overline{
\mathsf {s}}
\}
,\{\overline{
\mathsf {s}}
,\overline{
\mathsf {s}}
\}
\}
 \mathrel{\in} \underline{
\mathsf {r}}
\Rightarrow \dot{\neg}\, 
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {s}}
\colon 
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {t}}
\colon \overline{
\mathsf {s}}
 \mathrel{\in} \underline{\mathsf {bs}}
\Rightarrow \overline{
\mathsf {t}}
 \mathrel{\in} \underline{\mathsf {bs}}
\Rightarrow \{\{\overline{
\mathsf {s}}
,\overline{
\mathsf {s}}
\}
,\{\overline{
\mathsf {s}}
,\overline{
\mathsf {t}}
\}
\}
 \mathrel{\in} \underline{
\mathsf {r}}
\Rightarrow \{\{\overline{
\mathsf {t}}
,\overline{
\mathsf {t}}
\}
,\{\overline{
\mathsf {t}}
,\overline{
\mathsf {s}}
\}
\}
 \mathrel{\in} \underline{
\mathsf {r}}
\Rightarrow \dot{\neg}\, 
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {s}}
\colon 
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {t}}
\colon 
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {u}}
\colon \overline{
\mathsf {s}}
 \mathrel{\in} \underline{\mathsf {bs}}
\Rightarrow \overline{
\mathsf {t}}
 \mathrel{\in} \underline{\mathsf {bs}}
\Rightarrow \overline{
\mathsf {u}}
 \mathrel{\in} \underline{\mathsf {bs}}
\Rightarrow \{\{\overline{
\mathsf {s}}
,\overline{
\mathsf {s}}
\}
,\{\overline{
\mathsf {s}}
,\overline{
\mathsf {t}}
\}
\}
 \mathrel{\in} \underline{
\mathsf {r}}
\Rightarrow \{\{\overline{
\mathsf {t}}
,\overline{
\mathsf {t}}
\}
,\{\overline{
\mathsf {t}}
,\overline{
\mathsf {u}}
\}
\}
 \mathrel{\in} \underline{
\mathsf {r}}
\Rightarrow \{\{\overline{
\mathsf {s}}
,\overline{
\mathsf {s}}
\}
,\{\overline{
\mathsf {s}}
,\overline{
\mathsf {u}}
\}
\}
 \mathrel{\in} \underline{
\mathsf {r}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {s}}
 \mathrel{\in}  \{ ph \mathrel{\in} \cup \{\{ \{ ph \mathrel{\in} \underline{\mathsf {bs}}
\mid \{\{
\mathsf {a}
 _{Ph} 
,
\mathsf {a}
 _{Ph} 
\}
,\{
\mathsf {a}
 _{Ph} 
,\underline{
\mathsf{x}}
\}
\}
 \mathrel{\in} \underline{
\mathsf {r}}
\}
, \{ ph \mathrel{\in} \underline{\mathsf {bs}}
\mid \{\{
\mathsf {a}
 _{Ph} 
,
\mathsf {a}
 _{Ph} 
\}
,\{
\mathsf {a}
 _{Ph} 
,\underline{
\mathsf{x}}
\}
\}
 \mathrel{\in} \underline{
\mathsf {r}}
\}
\}
,\{ \{ ph \mathrel{\in} \underline{\mathsf {bs}}
\mid \{\{
\mathsf {a}
 _{Ph} 
,
\mathsf {a}
 _{Ph} 
\}
,\{
\mathsf {a}
 _{Ph} 
,\underline{
\mathsf{y}}
\}
\}
 \mathrel{\in} \underline{
\mathsf {r}}
\}
, \{ ph \mathrel{\in} \underline{\mathsf {bs}}
\mid \{\{
\mathsf {a}
 _{Ph} 
,
\mathsf {a}
 _{Ph} 
\}
,\{
\mathsf {a}
 _{Ph} 
,\underline{
\mathsf{y}}
\}
\}
 \mathrel{\in} \underline{
\mathsf {r}}
\}
\}
\}
\mid \dot{\neg}\, 
\mathsf {c}
 _{Ph} 
 \mathrel{\in}  \{ ph \mathrel{\in} \underline{\mathsf {bs}}
\mid \{\{
\mathsf {a}
 _{Ph} 
,
\mathsf {a}
 _{Ph} 
\}
,\{
\mathsf {a}
 _{Ph} 
,\underline{
\mathsf{x}}
\}
\}
 \mathrel{\in} \underline{
\mathsf {r}}
\}
\Rightarrow \dot{\neg}\, 
\mathsf {c}
 _{Ph} 
 \mathrel{\in}  \{ ph \mathrel{\in} \underline{\mathsf {bs}}
\mid \{\{
\mathsf {a}
 _{Ph} 
,
\mathsf {a}
 _{Ph} 
\}
,\{
\mathsf {a}
 _{Ph} 
,\underline{
\mathsf{y}}
\}
\}
 \mathrel{\in} \underline{
\mathsf {r}}
\}
\}
\Rightarrow \{\{\underline{
\mathsf{x}}
,\underline{
\mathsf{x}}
\}
,\{\underline{
\mathsf{x}}
,\underline{
\mathsf{y}}
\}
\}
 \mathrel{\in} \underline{
\mathsf {r}}
]$

$\rm
[HelperNoneEqNecessary
\stackrel{
\mathrm{tex}
}{\rightarrow}
\mbox{``}HelperNoneEqNecessary
\mbox{''}
]$

$\rm
[HelperNoneEqNecessary
\stackrel{
\mathrm{pyk}
}{\rightarrow}
\mbox{``}lemma
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}none
\mbox{-}equivalence
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}nec
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}condition0
\mbox{''}
]$

\hypertarget {url:1808490560655876194608813785663292462486349118665588524157069396079556865:142}{}\section* {$\rm Helper(2)NoneEqNecessary$}

$\rm
[Helper(2)NoneEqNecessary
\stackrel{
proof
}{\rightarrow}
\lambda 
\mathsf {c}
.
\lambda 
\mathsf{x}
.
{\cal P}( 
\lceil ZFsub
\vdash 
\forall \underline{
\mathsf {r}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf{x}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf{y}}
\colon 
\forall \underline{\mathsf {bs}}
\colon 
\lceil \overline{
\mathsf {s}}
\rceil 
\#^0
\lceil \underline{
\mathsf {r}}
\rceil 
\mathrel {\makebox [0mm][l]{$\vdash $}\,{\vdash }} 
\lceil \overline{
\mathsf {s}}
\rceil 
\#^0
\lceil \underline{\mathsf {bs}}
\rceil 
\mathrel {\makebox [0mm][l]{$\vdash $}\,{\vdash }} 
\lceil \overline{
\mathsf {t}}
\rceil 
\#^0
\lceil \underline{
\mathsf {r}}
\rceil 
\mathrel {\makebox [0mm][l]{$\vdash $}\,{\vdash }} 
\lceil \overline{
\mathsf {t}}
\rceil 
\#^0
\lceil \underline{\mathsf {bs}}
\rceil 
\mathrel {\makebox [0mm][l]{$\vdash $}\,{\vdash }} 
\lceil \overline{
\mathsf {u}}
\rceil 
\#^0
\lceil \underline{
\mathsf {r}}
\rceil 
\mathrel {\makebox [0mm][l]{$\vdash $}\,{\vdash }} 
\lceil \overline{
\mathsf {u}}
\rceil 
\#^0
\lceil \underline{\mathsf {bs}}
\rceil 
\mathrel {\makebox [0mm][l]{$\vdash $}\,{\vdash }} \underline{
\mathsf{x}}
 \mathrel{\in} \underline{\mathsf {bs}}
\vdash \underline{
\mathsf{y}}
 \mathrel{\in} \underline{\mathsf {bs}}
\vdash \dot{\neg}\, \dot{\neg}\, 
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {s}}
\colon \overline{
\mathsf {s}}
 \mathrel{\in} \underline{\mathsf {bs}}
\Rightarrow \{\{\overline{
\mathsf {s}}
,\overline{
\mathsf {s}}
\}
,\{\overline{
\mathsf {s}}
,\overline{
\mathsf {s}}
\}
\}
 \mathrel{\in} \underline{
\mathsf {r}}
\Rightarrow \dot{\neg}\, 
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {s}}
\colon 
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {t}}
\colon \overline{
\mathsf {s}}
 \mathrel{\in} \underline{\mathsf {bs}}
\Rightarrow \overline{
\mathsf {t}}
 \mathrel{\in} \underline{\mathsf {bs}}
\Rightarrow \{\{\overline{
\mathsf {s}}
,\overline{
\mathsf {s}}
\}
,\{\overline{
\mathsf {s}}
,\overline{
\mathsf {t}}
\}
\}
 \mathrel{\in} \underline{
\mathsf {r}}
\Rightarrow \{\{\overline{
\mathsf {t}}
,\overline{
\mathsf {t}}
\}
,\{\overline{
\mathsf {t}}
,\overline{
\mathsf {s}}
\}
\}
 \mathrel{\in} \underline{
\mathsf {r}}
\Rightarrow \dot{\neg}\, 
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {s}}
\colon 
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {t}}
\colon 
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {u}}
\colon \overline{
\mathsf {s}}
 \mathrel{\in} \underline{\mathsf {bs}}
\Rightarrow \overline{
\mathsf {t}}
 \mathrel{\in} \underline{\mathsf {bs}}
\Rightarrow \overline{
\mathsf {u}}
 \mathrel{\in} \underline{\mathsf {bs}}
\Rightarrow \{\{\overline{
\mathsf {s}}
,\overline{
\mathsf {s}}
\}
,\{\overline{
\mathsf {s}}
,\overline{
\mathsf {t}}
\}
\}
 \mathrel{\in} \underline{
\mathsf {r}}
\Rightarrow \{\{\overline{
\mathsf {t}}
,\overline{
\mathsf {t}}
\}
,\{\overline{
\mathsf {t}}
,\overline{
\mathsf {u}}
\}
\}
 \mathrel{\in} \underline{
\mathsf {r}}
\Rightarrow \{\{\overline{
\mathsf {s}}
,\overline{
\mathsf {s}}
\}
,\{\overline{
\mathsf {s}}
,\overline{
\mathsf {u}}
\}
\}
 \mathrel{\in} \underline{
\mathsf {r}}
\vdash \dot{\neg}\, \{\{\underline{
\mathsf{x}}
,\underline{
\mathsf{x}}
\}
,\{\underline{
\mathsf{x}}
,\underline{
\mathsf{y}}
\}
\}
 \mathrel{\in} \underline{
\mathsf {r}}
\vdash HelperNoneEqNecessary
\mathrel {\makebox [0mm][l]{$\rhd $}\,{\rhd }} 
\lceil \overline{
\mathsf {s}}
\rceil 
\#^0
\lceil \underline{
\mathsf {r}}
\rceil 
\mathrel {\makebox [0mm][l]{$\rhd $}\,{\rhd }} 
\lceil \overline{
\mathsf {s}}
\rceil 
\#^0
\lceil \underline{\mathsf {bs}}
\rceil 
\mathrel {\makebox [0mm][l]{$\rhd $}\,{\rhd }} 
\lceil \overline{
\mathsf {t}}
\rceil 
\#^0
\lceil \underline{
\mathsf {r}}
\rceil 
\mathrel {\makebox [0mm][l]{$\rhd $}\,{\rhd }} 
\lceil \overline{
\mathsf {t}}
\rceil 
\#^0
\lceil \underline{\mathsf {bs}}
\rceil 
\mathrel {\makebox [0mm][l]{$\rhd $}\,{\rhd }} 
\lceil \overline{
\mathsf {u}}
\rceil 
\#^0
\lceil \underline{
\mathsf {r}}
\rceil 
\mathrel {\makebox [0mm][l]{$\rhd $}\,{\rhd }} 
\lceil \overline{
\mathsf {u}}
\rceil 
\#^0
\lceil \underline{\mathsf {bs}}
\rceil 
\gg \underline{
\mathsf{x}}
 \mathrel{\in} \underline{\mathsf {bs}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf{y}}
 \mathrel{\in} \underline{\mathsf {bs}}
\Rightarrow \dot{\neg}\, \dot{\neg}\, 
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {s}}
\colon \overline{
\mathsf {s}}
 \mathrel{\in} \underline{\mathsf {bs}}
\Rightarrow \{\{\overline{
\mathsf {s}}
,\overline{
\mathsf {s}}
\}
,\{\overline{
\mathsf {s}}
,\overline{
\mathsf {s}}
\}
\}
 \mathrel{\in} \underline{
\mathsf {r}}
\Rightarrow \dot{\neg}\, 
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {s}}
\colon 
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {t}}
\colon \overline{
\mathsf {s}}
 \mathrel{\in} \underline{\mathsf {bs}}
\Rightarrow \overline{
\mathsf {t}}
 \mathrel{\in} \underline{\mathsf {bs}}
\Rightarrow \{\{\overline{
\mathsf {s}}
,\overline{
\mathsf {s}}
\}
,\{\overline{
\mathsf {s}}
,\overline{
\mathsf {t}}
\}
\}
 \mathrel{\in} \underline{
\mathsf {r}}
\Rightarrow \{\{\overline{
\mathsf {t}}
,\overline{
\mathsf {t}}
\}
,\{\overline{
\mathsf {t}}
,\overline{
\mathsf {s}}
\}
\}
 \mathrel{\in} \underline{
\mathsf {r}}
\Rightarrow \dot{\neg}\, 
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {s}}
\colon 
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {t}}
\colon 
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {u}}
\colon \overline{
\mathsf {s}}
 \mathrel{\in} \underline{\mathsf {bs}}
\Rightarrow \overline{
\mathsf {t}}
 \mathrel{\in} \underline{\mathsf {bs}}
\Rightarrow \overline{
\mathsf {u}}
 \mathrel{\in} \underline{\mathsf {bs}}
\Rightarrow \{\{\overline{
\mathsf {s}}
,\overline{
\mathsf {s}}
\}
,\{\overline{
\mathsf {s}}
,\overline{
\mathsf {t}}
\}
\}
 \mathrel{\in} \underline{
\mathsf {r}}
\Rightarrow \{\{\overline{
\mathsf {t}}
,\overline{
\mathsf {t}}
\}
,\{\overline{
\mathsf {t}}
,\overline{
\mathsf {u}}
\}
\}
 \mathrel{\in} \underline{
\mathsf {r}}
\Rightarrow \{\{\overline{
\mathsf {s}}
,\overline{
\mathsf {s}}
\}
,\{\overline{
\mathsf {s}}
,\overline{
\mathsf {u}}
\}
\}
 \mathrel{\in} \underline{
\mathsf {r}}
\Rightarrow \overline{
\mathsf {s}}
 \mathrel{\in}  \{ ph \mathrel{\in} \cup \{\{ \{ ph \mathrel{\in} \underline{\mathsf {bs}}
\mid \{\{
\mathsf {a}
 _{Ph} 
,
\mathsf {a}
 _{Ph} 
\}
,\{
\mathsf {a}
 _{Ph} 
,\underline{
\mathsf{x}}
\}
\}
 \mathrel{\in} \underline{
\mathsf {r}}
\}
, \{ ph \mathrel{\in} \underline{\mathsf {bs}}
\mid \{\{
\mathsf {a}
 _{Ph} 
,
\mathsf {a}
 _{Ph} 
\}
,\{
\mathsf {a}
 _{Ph} 
,\underline{
\mathsf{x}}
\}
\}
 \mathrel{\in} \underline{
\mathsf {r}}
\}
\}
,\{ \{ ph \mathrel{\in} \underline{\mathsf {bs}}
\mid \{\{
\mathsf {a}
 _{Ph} 
,
\mathsf {a}
 _{Ph} 
\}
,\{
\mathsf {a}
 _{Ph} 
,\underline{
\mathsf{y}}
\}
\}
 \mathrel{\in} \underline{
\mathsf {r}}
\}
, \{ ph \mathrel{\in} \underline{\mathsf {bs}}
\mid \{\{
\mathsf {a}
 _{Ph} 
,
\mathsf {a}
 _{Ph} 
\}
,\{
\mathsf {a}
 _{Ph} 
,\underline{
\mathsf{y}}
\}
\}
 \mathrel{\in} \underline{
\mathsf {r}}
\}
\}
\}
\mid \dot{\neg}\, 
\mathsf {c}
 _{Ph} 
 \mathrel{\in}  \{ ph \mathrel{\in} \underline{\mathsf {bs}}
\mid \{\{
\mathsf {a}
 _{Ph} 
,
\mathsf {a}
 _{Ph} 
\}
,\{
\mathsf {a}
 _{Ph} 
,\underline{
\mathsf{x}}
\}
\}
 \mathrel{\in} \underline{
\mathsf {r}}
\}
\Rightarrow \dot{\neg}\, 
\mathsf {c}
 _{Ph} 
 \mathrel{\in}  \{ ph \mathrel{\in} \underline{\mathsf {bs}}
\mid \{\{
\mathsf {a}
 _{Ph} 
,
\mathsf {a}
 _{Ph} 
\}
,\{
\mathsf {a}
 _{Ph} 
,\underline{
\mathsf{y}}
\}
\}
 \mathrel{\in} \underline{
\mathsf {r}}
\}
\}
\Rightarrow \{\{\underline{
\mathsf{x}}
,\underline{
\mathsf{x}}
\}
,\{\underline{
\mathsf{x}}
,\underline{
\mathsf{y}}
\}
\}
 \mathrel{\in} \underline{
\mathsf {r}}
; MP3
\rhd \underline{
\mathsf{x}}
 \mathrel{\in} \underline{\mathsf {bs}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf{y}}
 \mathrel{\in} \underline{\mathsf {bs}}
\Rightarrow \dot{\neg}\, \dot{\neg}\, 
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {s}}
\colon \overline{
\mathsf {s}}
 \mathrel{\in} \underline{\mathsf {bs}}
\Rightarrow \{\{\overline{
\mathsf {s}}
,\overline{
\mathsf {s}}
\}
,\{\overline{
\mathsf {s}}
,\overline{
\mathsf {s}}
\}
\}
 \mathrel{\in} \underline{
\mathsf {r}}
\Rightarrow \dot{\neg}\, 
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {s}}
\colon 
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {t}}
\colon \overline{
\mathsf {s}}
 \mathrel{\in} \underline{\mathsf {bs}}
\Rightarrow \overline{
\mathsf {t}}
 \mathrel{\in} \underline{\mathsf {bs}}
\Rightarrow \{\{\overline{
\mathsf {s}}
,\overline{
\mathsf {s}}
\}
,\{\overline{
\mathsf {s}}
,\overline{
\mathsf {t}}
\}
\}
 \mathrel{\in} \underline{
\mathsf {r}}
\Rightarrow \{\{\overline{
\mathsf {t}}
,\overline{
\mathsf {t}}
\}
,\{\overline{
\mathsf {t}}
,\overline{
\mathsf {s}}
\}
\}
 \mathrel{\in} \underline{
\mathsf {r}}
\Rightarrow \dot{\neg}\, 
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {s}}
\colon 
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {t}}
\colon 
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {u}}
\colon \overline{
\mathsf {s}}
 \mathrel{\in} \underline{\mathsf {bs}}
\Rightarrow \overline{
\mathsf {t}}
 \mathrel{\in} \underline{\mathsf {bs}}
\Rightarrow \overline{
\mathsf {u}}
 \mathrel{\in} \underline{\mathsf {bs}}
\Rightarrow \{\{\overline{
\mathsf {s}}
,\overline{
\mathsf {s}}
\}
,\{\overline{
\mathsf {s}}
,\overline{
\mathsf {t}}
\}
\}
 \mathrel{\in} \underline{
\mathsf {r}}
\Rightarrow \{\{\overline{
\mathsf {t}}
,\overline{
\mathsf {t}}
\}
,\{\overline{
\mathsf {t}}
,\overline{
\mathsf {u}}
\}
\}
 \mathrel{\in} \underline{
\mathsf {r}}
\Rightarrow \{\{\overline{
\mathsf {s}}
,\overline{
\mathsf {s}}
\}
,\{\overline{
\mathsf {s}}
,\overline{
\mathsf {u}}
\}
\}
 \mathrel{\in} \underline{
\mathsf {r}}
\Rightarrow \overline{
\mathsf {s}}
 \mathrel{\in}  \{ ph \mathrel{\in} \cup \{\{ \{ ph \mathrel{\in} \underline{\mathsf {bs}}
\mid \{\{
\mathsf {a}
 _{Ph} 
,
\mathsf {a}
 _{Ph} 
\}
,\{
\mathsf {a}
 _{Ph} 
,\underline{
\mathsf{x}}
\}
\}
 \mathrel{\in} \underline{
\mathsf {r}}
\}
, \{ ph \mathrel{\in} \underline{\mathsf {bs}}
\mid \{\{
\mathsf {a}
 _{Ph} 
,
\mathsf {a}
 _{Ph} 
\}
,\{
\mathsf {a}
 _{Ph} 
,\underline{
\mathsf{x}}
\}
\}
 \mathrel{\in} \underline{
\mathsf {r}}
\}
\}
,\{ \{ ph \mathrel{\in} \underline{\mathsf {bs}}
\mid \{\{
\mathsf {a}
 _{Ph} 
,
\mathsf {a}
 _{Ph} 
\}
,\{
\mathsf {a}
 _{Ph} 
,\underline{
\mathsf{y}}
\}
\}
 \mathrel{\in} \underline{
\mathsf {r}}
\}
, \{ ph \mathrel{\in} \underline{\mathsf {bs}}
\mid \{\{
\mathsf {a}
 _{Ph} 
,
\mathsf {a}
 _{Ph} 
\}
,\{
\mathsf {a}
 _{Ph} 
,\underline{
\mathsf{y}}
\}
\}
 \mathrel{\in} \underline{
\mathsf {r}}
\}
\}
\}
\mid \dot{\neg}\, 
\mathsf {c}
 _{Ph} 
 \mathrel{\in}  \{ ph \mathrel{\in} \underline{\mathsf {bs}}
\mid \{\{
\mathsf {a}
 _{Ph} 
,
\mathsf {a}
 _{Ph} 
\}
,\{
\mathsf {a}
 _{Ph} 
,\underline{
\mathsf{x}}
\}
\}
 \mathrel{\in} \underline{
\mathsf {r}}
\}
\Rightarrow \dot{\neg}\, 
\mathsf {c}
 _{Ph} 
 \mathrel{\in}  \{ ph \mathrel{\in} \underline{\mathsf {bs}}
\mid \{\{
\mathsf {a}
 _{Ph} 
,
\mathsf {a}
 _{Ph} 
\}
,\{
\mathsf {a}
 _{Ph} 
,\underline{
\mathsf{y}}
\}
\}
 \mathrel{\in} \underline{
\mathsf {r}}
\}
\}
\Rightarrow \{\{\underline{
\mathsf{x}}
,\underline{
\mathsf{x}}
\}
,\{\underline{
\mathsf{x}}
,\underline{
\mathsf{y}}
\}
\}
 \mathrel{\in} \underline{
\mathsf {r}}
\rhd \underline{
\mathsf{x}}
 \mathrel{\in} \underline{\mathsf {bs}}
\rhd \underline{
\mathsf{y}}
 \mathrel{\in} \underline{\mathsf {bs}}
\rhd \dot{\neg}\, \dot{\neg}\, 
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {s}}
\colon \overline{
\mathsf {s}}
 \mathrel{\in} \underline{\mathsf {bs}}
\Rightarrow \{\{\overline{
\mathsf {s}}
,\overline{
\mathsf {s}}
\}
,\{\overline{
\mathsf {s}}
,\overline{
\mathsf {s}}
\}
\}
 \mathrel{\in} \underline{
\mathsf {r}}
\Rightarrow \dot{\neg}\, 
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {s}}
\colon 
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {t}}
\colon \overline{
\mathsf {s}}
 \mathrel{\in} \underline{\mathsf {bs}}
\Rightarrow \overline{
\mathsf {t}}
 \mathrel{\in} \underline{\mathsf {bs}}
\Rightarrow \{\{\overline{
\mathsf {s}}
,\overline{
\mathsf {s}}
\}
,\{\overline{
\mathsf {s}}
,\overline{
\mathsf {t}}
\}
\}
 \mathrel{\in} \underline{
\mathsf {r}}
\Rightarrow \{\{\overline{
\mathsf {t}}
,\overline{
\mathsf {t}}
\}
,\{\overline{
\mathsf {t}}
,\overline{
\mathsf {s}}
\}
\}
 \mathrel{\in} \underline{
\mathsf {r}}
\Rightarrow \dot{\neg}\, 
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {s}}
\colon 
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {t}}
\colon 
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {u}}
\colon \overline{
\mathsf {s}}
 \mathrel{\in} \underline{\mathsf {bs}}
\Rightarrow \overline{
\mathsf {t}}
 \mathrel{\in} \underline{\mathsf {bs}}
\Rightarrow \overline{
\mathsf {u}}
 \mathrel{\in} \underline{\mathsf {bs}}
\Rightarrow \{\{\overline{
\mathsf {s}}
,\overline{
\mathsf {s}}
\}
,\{\overline{
\mathsf {s}}
,\overline{
\mathsf {t}}
\}
\}
 \mathrel{\in} \underline{
\mathsf {r}}
\Rightarrow \{\{\overline{
\mathsf {t}}
,\overline{
\mathsf {t}}
\}
,\{\overline{
\mathsf {t}}
,\overline{
\mathsf {u}}
\}
\}
 \mathrel{\in} \underline{
\mathsf {r}}
\Rightarrow \{\{\overline{
\mathsf {s}}
,\overline{
\mathsf {s}}
\}
,\{\overline{
\mathsf {s}}
,\overline{
\mathsf {u}}
\}
\}
 \mathrel{\in} \underline{
\mathsf {r}}
\gg \overline{
\mathsf {s}}
 \mathrel{\in}  \{ ph \mathrel{\in} \cup \{\{ \{ ph \mathrel{\in} \underline{\mathsf {bs}}
\mid \{\{
\mathsf {a}
 _{Ph} 
,
\mathsf {a}
 _{Ph} 
\}
,\{
\mathsf {a}
 _{Ph} 
,\underline{
\mathsf{x}}
\}
\}
 \mathrel{\in} \underline{
\mathsf {r}}
\}
, \{ ph \mathrel{\in} \underline{\mathsf {bs}}
\mid \{\{
\mathsf {a}
 _{Ph} 
,
\mathsf {a}
 _{Ph} 
\}
,\{
\mathsf {a}
 _{Ph} 
,\underline{
\mathsf{x}}
\}
\}
 \mathrel{\in} \underline{
\mathsf {r}}
\}
\}
,\{ \{ ph \mathrel{\in} \underline{\mathsf {bs}}
\mid \{\{
\mathsf {a}
 _{Ph} 
,
\mathsf {a}
 _{Ph} 
\}
,\{
\mathsf {a}
 _{Ph} 
,\underline{
\mathsf{y}}
\}
\}
 \mathrel{\in} \underline{
\mathsf {r}}
\}
, \{ ph \mathrel{\in} \underline{\mathsf {bs}}
\mid \{\{
\mathsf {a}
 _{Ph} 
,
\mathsf {a}
 _{Ph} 
\}
,\{
\mathsf {a}
 _{Ph} 
,\underline{
\mathsf{y}}
\}
\}
 \mathrel{\in} \underline{
\mathsf {r}}
\}
\}
\}
\mid \dot{\neg}\, 
\mathsf {c}
 _{Ph} 
 \mathrel{\in}  \{ ph \mathrel{\in} \underline{\mathsf {bs}}
\mid \{\{
\mathsf {a}
 _{Ph} 
,
\mathsf {a}
 _{Ph} 
\}
,\{
\mathsf {a}
 _{Ph} 
,\underline{
\mathsf{x}}
\}
\}
 \mathrel{\in} \underline{
\mathsf {r}}
\}
\Rightarrow \dot{\neg}\, 
\mathsf {c}
 _{Ph} 
 \mathrel{\in}  \{ ph \mathrel{\in} \underline{\mathsf {bs}}
\mid \{\{
\mathsf {a}
 _{Ph} 
,
\mathsf {a}
 _{Ph} 
\}
,\{
\mathsf {a}
 _{Ph} 
,\underline{
\mathsf{y}}
\}
\}
 \mathrel{\in} \underline{
\mathsf {r}}
\}
\}
\Rightarrow \{\{\underline{
\mathsf{x}}
,\underline{
\mathsf{x}}
\}
,\{\underline{
\mathsf{x}}
,\underline{
\mathsf{y}}
\}
\}
 \mathrel{\in} \underline{
\mathsf {r}}
; MT
\rhd \overline{
\mathsf {s}}
 \mathrel{\in}  \{ ph \mathrel{\in} \cup \{\{ \{ ph \mathrel{\in} \underline{\mathsf {bs}}
\mid \{\{
\mathsf {a}
 _{Ph} 
,
\mathsf {a}
 _{Ph} 
\}
,\{
\mathsf {a}
 _{Ph} 
,\underline{
\mathsf{x}}
\}
\}
 \mathrel{\in} \underline{
\mathsf {r}}
\}
, \{ ph \mathrel{\in} \underline{\mathsf {bs}}
\mid \{\{
\mathsf {a}
 _{Ph} 
,
\mathsf {a}
 _{Ph} 
\}
,\{
\mathsf {a}
 _{Ph} 
,\underline{
\mathsf{x}}
\}
\}
 \mathrel{\in} \underline{
\mathsf {r}}
\}
\}
,\{ \{ ph \mathrel{\in} \underline{\mathsf {bs}}
\mid \{\{
\mathsf {a}
 _{Ph} 
,
\mathsf {a}
 _{Ph} 
\}
,\{
\mathsf {a}
 _{Ph} 
,\underline{
\mathsf{y}}
\}
\}
 \mathrel{\in} \underline{
\mathsf {r}}
\}
, \{ ph \mathrel{\in} \underline{\mathsf {bs}}
\mid \{\{
\mathsf {a}
 _{Ph} 
,
\mathsf {a}
 _{Ph} 
\}
,\{
\mathsf {a}
 _{Ph} 
,\underline{
\mathsf{y}}
\}
\}
 \mathrel{\in} \underline{
\mathsf {r}}
\}
\}
\}
\mid \dot{\neg}\, 
\mathsf {c}
 _{Ph} 
 \mathrel{\in}  \{ ph \mathrel{\in} \underline{\mathsf {bs}}
\mid \{\{
\mathsf {a}
 _{Ph} 
,
\mathsf {a}
 _{Ph} 
\}
,\{
\mathsf {a}
 _{Ph} 
,\underline{
\mathsf{x}}
\}
\}
 \mathrel{\in} \underline{
\mathsf {r}}
\}
\Rightarrow \dot{\neg}\, 
\mathsf {c}
 _{Ph} 
 \mathrel{\in}  \{ ph \mathrel{\in} \underline{\mathsf {bs}}
\mid \{\{
\mathsf {a}
 _{Ph} 
,
\mathsf {a}
 _{Ph} 
\}
,\{
\mathsf {a}
 _{Ph} 
,\underline{
\mathsf{y}}
\}
\}
 \mathrel{\in} \underline{
\mathsf {r}}
\}
\}
\Rightarrow \{\{\underline{
\mathsf{x}}
,\underline{
\mathsf{x}}
\}
,\{\underline{
\mathsf{x}}
,\underline{
\mathsf{y}}
\}
\}
 \mathrel{\in} \underline{
\mathsf {r}}
\rhd \dot{\neg}\, \{\{\underline{
\mathsf{x}}
,\underline{
\mathsf{x}}
\}
,\{\underline{
\mathsf{x}}
,\underline{
\mathsf{y}}
\}
\}
 \mathrel{\in} \underline{
\mathsf {r}}
\gg \dot{\neg}\, \overline{
\mathsf {s}}
 \mathrel{\in}  \{ ph \mathrel{\in} \cup \{\{ \{ ph \mathrel{\in} \underline{\mathsf {bs}}
\mid \{\{
\mathsf {a}
 _{Ph} 
,
\mathsf {a}
 _{Ph} 
\}
,\{
\mathsf {a}
 _{Ph} 
,\underline{
\mathsf{x}}
\}
\}
 \mathrel{\in} \underline{
\mathsf {r}}
\}
, \{ ph \mathrel{\in} \underline{\mathsf {bs}}
\mid \{\{
\mathsf {a}
 _{Ph} 
,
\mathsf {a}
 _{Ph} 
\}
,\{
\mathsf {a}
 _{Ph} 
,\underline{
\mathsf{x}}
\}
\}
 \mathrel{\in} \underline{
\mathsf {r}}
\}
\}
,\{ \{ ph \mathrel{\in} \underline{\mathsf {bs}}
\mid \{\{
\mathsf {a}
 _{Ph} 
,
\mathsf {a}
 _{Ph} 
\}
,\{
\mathsf {a}
 _{Ph} 
,\underline{
\mathsf{y}}
\}
\}
 \mathrel{\in} \underline{
\mathsf {r}}
\}
, \{ ph \mathrel{\in} \underline{\mathsf {bs}}
\mid \{\{
\mathsf {a}
 _{Ph} 
,
\mathsf {a}
 _{Ph} 
\}
,\{
\mathsf {a}
 _{Ph} 
,\underline{
\mathsf{y}}
\}
\}
 \mathrel{\in} \underline{
\mathsf {r}}
\}
\}
\}
\mid \dot{\neg}\, 
\mathsf {c}
 _{Ph} 
 \mathrel{\in}  \{ ph \mathrel{\in} \underline{\mathsf {bs}}
\mid \{\{
\mathsf {a}
 _{Ph} 
,
\mathsf {a}
 _{Ph} 
\}
,\{
\mathsf {a}
 _{Ph} 
,\underline{
\mathsf{x}}
\}
\}
 \mathrel{\in} \underline{
\mathsf {r}}
\}
\Rightarrow \dot{\neg}\, 
\mathsf {c}
 _{Ph} 
 \mathrel{\in}  \{ ph \mathrel{\in} \underline{\mathsf {bs}}
\mid \{\{
\mathsf {a}
 _{Ph} 
,
\mathsf {a}
 _{Ph} 
\}
,\{
\mathsf {a}
 _{Ph} 
,\underline{
\mathsf{y}}
\}
\}
 \mathrel{\in} \underline{
\mathsf {r}}
\}
\}
; Unique\O{}
\rhd \dot{\neg}\, \overline{
\mathsf {s}}
 \mathrel{\in}  \{ ph \mathrel{\in} \cup \{\{ \{ ph \mathrel{\in} \underline{\mathsf {bs}}
\mid \{\{
\mathsf {a}
 _{Ph} 
,
\mathsf {a}
 _{Ph} 
\}
,\{
\mathsf {a}
 _{Ph} 
,\underline{
\mathsf{x}}
\}
\}
 \mathrel{\in} \underline{
\mathsf {r}}
\}
, \{ ph \mathrel{\in} \underline{\mathsf {bs}}
\mid \{\{
\mathsf {a}
 _{Ph} 
,
\mathsf {a}
 _{Ph} 
\}
,\{
\mathsf {a}
 _{Ph} 
,\underline{
\mathsf{x}}
\}
\}
 \mathrel{\in} \underline{
\mathsf {r}}
\}
\}
,\{ \{ ph \mathrel{\in} \underline{\mathsf {bs}}
\mid \{\{
\mathsf {a}
 _{Ph} 
,
\mathsf {a}
 _{Ph} 
\}
,\{
\mathsf {a}
 _{Ph} 
,\underline{
\mathsf{y}}
\}
\}
 \mathrel{\in} \underline{
\mathsf {r}}
\}
, \{ ph \mathrel{\in} \underline{\mathsf {bs}}
\mid \{\{
\mathsf {a}
 _{Ph} 
,
\mathsf {a}
 _{Ph} 
\}
,\{
\mathsf {a}
 _{Ph} 
,\underline{
\mathsf{y}}
\}
\}
 \mathrel{\in} \underline{
\mathsf {r}}
\}
\}
\}
\mid \dot{\neg}\, 
\mathsf {c}
 _{Ph} 
 \mathrel{\in}  \{ ph \mathrel{\in} \underline{\mathsf {bs}}
\mid \{\{
\mathsf {a}
 _{Ph} 
,
\mathsf {a}
 _{Ph} 
\}
,\{
\mathsf {a}
 _{Ph} 
,\underline{
\mathsf{x}}
\}
\}
 \mathrel{\in} \underline{
\mathsf {r}}
\}
\Rightarrow \dot{\neg}\, 
\mathsf {c}
 _{Ph} 
 \mathrel{\in}  \{ ph \mathrel{\in} \underline{\mathsf {bs}}
\mid \{\{
\mathsf {a}
 _{Ph} 
,
\mathsf {a}
 _{Ph} 
\}
,\{
\mathsf {a}
 _{Ph} 
,\underline{
\mathsf{y}}
\}
\}
 \mathrel{\in} \underline{
\mathsf {r}}
\}
\}
\gg  \{ ph \mathrel{\in} \cup \{\{ \{ ph \mathrel{\in} \underline{\mathsf {bs}}
\mid \{\{
\mathsf {a}
 _{Ph} 
,
\mathsf {a}
 _{Ph} 
\}
,\{
\mathsf {a}
 _{Ph} 
,\underline{
\mathsf{x}}
\}
\}
 \mathrel{\in} \underline{
\mathsf {r}}
\}
, \{ ph \mathrel{\in} \underline{\mathsf {bs}}
\mid \{\{
\mathsf {a}
 _{Ph} 
,
\mathsf {a}
 _{Ph} 
\}
,\{
\mathsf {a}
 _{Ph} 
,\underline{
\mathsf{x}}
\}
\}
 \mathrel{\in} \underline{
\mathsf {r}}
\}
\}
,\{ \{ ph \mathrel{\in} \underline{\mathsf {bs}}
\mid \{\{
\mathsf {a}
 _{Ph} 
,
\mathsf {a}
 _{Ph} 
\}
,\{
\mathsf {a}
 _{Ph} 
,\underline{
\mathsf{y}}
\}
\}
 \mathrel{\in} \underline{
\mathsf {r}}
\}
, \{ ph \mathrel{\in} \underline{\mathsf {bs}}
\mid \{\{
\mathsf {a}
 _{Ph} 
,
\mathsf {a}
 _{Ph} 
\}
,\{
\mathsf {a}
 _{Ph} 
,\underline{
\mathsf{y}}
\}
\}
 \mathrel{\in} \underline{
\mathsf {r}}
\}
\}
\}
\mid \dot{\neg}\, 
\mathsf {c}
 _{Ph} 
 \mathrel{\in}  \{ ph \mathrel{\in} \underline{\mathsf {bs}}
\mid \{\{
\mathsf {a}
 _{Ph} 
,
\mathsf {a}
 _{Ph} 
\}
,\{
\mathsf {a}
 _{Ph} 
,\underline{
\mathsf{x}}
\}
\}
 \mathrel{\in} \underline{
\mathsf {r}}
\}
\Rightarrow \dot{\neg}\, 
\mathsf {c}
 _{Ph} 
 \mathrel{\in}  \{ ph \mathrel{\in} \underline{\mathsf {bs}}
\mid \{\{
\mathsf {a}
 _{Ph} 
,
\mathsf {a}
 _{Ph} 
\}
,\{
\mathsf {a}
 _{Ph} 
,\underline{
\mathsf{y}}
\}
\}
 \mathrel{\in} \underline{
\mathsf {r}}
\}
\}
\!\mathrel{=}\! \mathrm{\O}
; 
\forall \underline{
\mathsf {r}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf{x}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf{y}}
\colon 
\forall \underline{\mathsf {bs}}
\colon Ded
\rhd 
\forall \underline{
\mathsf {r}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf{x}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf{y}}
\colon 
\forall \underline{\mathsf {bs}}
\colon 
\lceil \overline{
\mathsf {s}}
\rceil 
\#^0
\lceil \underline{
\mathsf {r}}
\rceil 
\mathrel {\makebox [0mm][l]{$\vdash $}\,{\vdash }} 
\lceil \overline{
\mathsf {s}}
\rceil 
\#^0
\lceil \underline{\mathsf {bs}}
\rceil 
\mathrel {\makebox [0mm][l]{$\vdash $}\,{\vdash }} 
\lceil \overline{
\mathsf {t}}
\rceil 
\#^0
\lceil \underline{
\mathsf {r}}
\rceil 
\mathrel {\makebox [0mm][l]{$\vdash $}\,{\vdash }} 
\lceil \overline{
\mathsf {t}}
\rceil 
\#^0
\lceil \underline{\mathsf {bs}}
\rceil 
\mathrel {\makebox [0mm][l]{$\vdash $}\,{\vdash }} 
\lceil \overline{
\mathsf {u}}
\rceil 
\#^0
\lceil \underline{
\mathsf {r}}
\rceil 
\mathrel {\makebox [0mm][l]{$\vdash $}\,{\vdash }} 
\lceil \overline{
\mathsf {u}}
\rceil 
\#^0
\lceil \underline{\mathsf {bs}}
\rceil 
\mathrel {\makebox [0mm][l]{$\vdash $}\,{\vdash }} \underline{
\mathsf{x}}
 \mathrel{\in} \underline{\mathsf {bs}}
\vdash \underline{
\mathsf{y}}
 \mathrel{\in} \underline{\mathsf {bs}}
\vdash \dot{\neg}\, \dot{\neg}\, 
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {s}}
\colon \overline{
\mathsf {s}}
 \mathrel{\in} \underline{\mathsf {bs}}
\Rightarrow \{\{\overline{
\mathsf {s}}
,\overline{
\mathsf {s}}
\}
,\{\overline{
\mathsf {s}}
,\overline{
\mathsf {s}}
\}
\}
 \mathrel{\in} \underline{
\mathsf {r}}
\Rightarrow \dot{\neg}\, 
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {s}}
\colon 
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {t}}
\colon \overline{
\mathsf {s}}
 \mathrel{\in} \underline{\mathsf {bs}}
\Rightarrow \overline{
\mathsf {t}}
 \mathrel{\in} \underline{\mathsf {bs}}
\Rightarrow \{\{\overline{
\mathsf {s}}
,\overline{
\mathsf {s}}
\}
,\{\overline{
\mathsf {s}}
,\overline{
\mathsf {t}}
\}
\}
 \mathrel{\in} \underline{
\mathsf {r}}
\Rightarrow \{\{\overline{
\mathsf {t}}
,\overline{
\mathsf {t}}
\}
,\{\overline{
\mathsf {t}}
,\overline{
\mathsf {s}}
\}
\}
 \mathrel{\in} \underline{
\mathsf {r}}
\Rightarrow \dot{\neg}\, 
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {s}}
\colon 
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {t}}
\colon 
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {u}}
\colon \overline{
\mathsf {s}}
 \mathrel{\in} \underline{\mathsf {bs}}
\Rightarrow \overline{
\mathsf {t}}
 \mathrel{\in} \underline{\mathsf {bs}}
\Rightarrow \overline{
\mathsf {u}}
 \mathrel{\in} \underline{\mathsf {bs}}
\Rightarrow \{\{\overline{
\mathsf {s}}
,\overline{
\mathsf {s}}
\}
,\{\overline{
\mathsf {s}}
,\overline{
\mathsf {t}}
\}
\}
 \mathrel{\in} \underline{
\mathsf {r}}
\Rightarrow \{\{\overline{
\mathsf {t}}
,\overline{
\mathsf {t}}
\}
,\{\overline{
\mathsf {t}}
,\overline{
\mathsf {u}}
\}
\}
 \mathrel{\in} \underline{
\mathsf {r}}
\Rightarrow \{\{\overline{
\mathsf {s}}
,\overline{
\mathsf {s}}
\}
,\{\overline{
\mathsf {s}}
,\overline{
\mathsf {u}}
\}
\}
 \mathrel{\in} \underline{
\mathsf {r}}
\vdash \dot{\neg}\, \{\{\underline{
\mathsf{x}}
,\underline{
\mathsf{x}}
\}
,\{\underline{
\mathsf{x}}
,\underline{
\mathsf{y}}
\}
\}
 \mathrel{\in} \underline{
\mathsf {r}}
\vdash  \{ ph \mathrel{\in} \cup \{\{ \{ ph \mathrel{\in} \underline{\mathsf {bs}}
\mid \{\{
\mathsf {a}
 _{Ph} 
,
\mathsf {a}
 _{Ph} 
\}
,\{
\mathsf {a}
 _{Ph} 
,\underline{
\mathsf{x}}
\}
\}
 \mathrel{\in} \underline{
\mathsf {r}}
\}
, \{ ph \mathrel{\in} \underline{\mathsf {bs}}
\mid \{\{
\mathsf {a}
 _{Ph} 
,
\mathsf {a}
 _{Ph} 
\}
,\{
\mathsf {a}
 _{Ph} 
,\underline{
\mathsf{x}}
\}
\}
 \mathrel{\in} \underline{
\mathsf {r}}
\}
\}
,\{ \{ ph \mathrel{\in} \underline{\mathsf {bs}}
\mid \{\{
\mathsf {a}
 _{Ph} 
,
\mathsf {a}
 _{Ph} 
\}
,\{
\mathsf {a}
 _{Ph} 
,\underline{
\mathsf{y}}
\}
\}
 \mathrel{\in} \underline{
\mathsf {r}}
\}
, \{ ph \mathrel{\in} \underline{\mathsf {bs}}
\mid \{\{
\mathsf {a}
 _{Ph} 
,
\mathsf {a}
 _{Ph} 
\}
,\{
\mathsf {a}
 _{Ph} 
,\underline{
\mathsf{y}}
\}
\}
 \mathrel{\in} \underline{
\mathsf {r}}
\}
\}
\}
\mid \dot{\neg}\, 
\mathsf {c}
 _{Ph} 
 \mathrel{\in}  \{ ph \mathrel{\in} \underline{\mathsf {bs}}
\mid \{\{
\mathsf {a}
 _{Ph} 
,
\mathsf {a}
 _{Ph} 
\}
,\{
\mathsf {a}
 _{Ph} 
,\underline{
\mathsf{x}}
\}
\}
 \mathrel{\in} \underline{
\mathsf {r}}
\}
\Rightarrow \dot{\neg}\, 
\mathsf {c}
 _{Ph} 
 \mathrel{\in}  \{ ph \mathrel{\in} \underline{\mathsf {bs}}
\mid \{\{
\mathsf {a}
 _{Ph} 
,
\mathsf {a}
 _{Ph} 
\}
,\{
\mathsf {a}
 _{Ph} 
,\underline{
\mathsf{y}}
\}
\}
 \mathrel{\in} \underline{
\mathsf {r}}
\}
\}
\!\mathrel{=}\! \mathrm{\O}
\gg 
\lceil \overline{
\mathsf {s}}
\rceil 
\#^0
\lceil \underline{
\mathsf {r}}
\rceil 
\mathrel {\makebox [0mm][l]{$\vdash $}\,{\vdash }} 
\lceil \overline{
\mathsf {s}}
\rceil 
\#^0
\lceil \underline{\mathsf {bs}}
\rceil 
\mathrel {\makebox [0mm][l]{$\vdash $}\,{\vdash }} 
\lceil \overline{
\mathsf {t}}
\rceil 
\#^0
\lceil \underline{
\mathsf {r}}
\rceil 
\mathrel {\makebox [0mm][l]{$\vdash $}\,{\vdash }} 
\lceil \overline{
\mathsf {t}}
\rceil 
\#^0
\lceil \underline{\mathsf {bs}}
\rceil 
\mathrel {\makebox [0mm][l]{$\vdash $}\,{\vdash }} 
\lceil \overline{
\mathsf {u}}
\rceil 
\#^0
\lceil \underline{
\mathsf {r}}
\rceil 
\mathrel {\makebox [0mm][l]{$\vdash $}\,{\vdash }} 
\lceil \overline{
\mathsf {u}}
\rceil 
\#^0
\lceil \underline{\mathsf {bs}}
\rceil 
\mathrel {\makebox [0mm][l]{$\vdash $}\,{\vdash }} \underline{
\mathsf{x}}
 \mathrel{\in} \underline{\mathsf {bs}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf{y}}
 \mathrel{\in} \underline{\mathsf {bs}}
\Rightarrow \dot{\neg}\, \dot{\neg}\, 
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {s}}
\colon \overline{
\mathsf {s}}
 \mathrel{\in} \underline{\mathsf {bs}}
\Rightarrow \{\{\overline{
\mathsf {s}}
,\overline{
\mathsf {s}}
\}
,\{\overline{
\mathsf {s}}
,\overline{
\mathsf {s}}
\}
\}
 \mathrel{\in} \underline{
\mathsf {r}}
\Rightarrow \dot{\neg}\, 
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {s}}
\colon 
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {t}}
\colon \overline{
\mathsf {s}}
 \mathrel{\in} \underline{\mathsf {bs}}
\Rightarrow \overline{
\mathsf {t}}
 \mathrel{\in} \underline{\mathsf {bs}}
\Rightarrow \{\{\overline{
\mathsf {s}}
,\overline{
\mathsf {s}}
\}
,\{\overline{
\mathsf {s}}
,\overline{
\mathsf {t}}
\}
\}
 \mathrel{\in} \underline{
\mathsf {r}}
\Rightarrow \{\{\overline{
\mathsf {t}}
,\overline{
\mathsf {t}}
\}
,\{\overline{
\mathsf {t}}
,\overline{
\mathsf {s}}
\}
\}
 \mathrel{\in} \underline{
\mathsf {r}}
\Rightarrow \dot{\neg}\, 
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {s}}
\colon 
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {t}}
\colon 
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {u}}
\colon \overline{
\mathsf {s}}
 \mathrel{\in} \underline{\mathsf {bs}}
\Rightarrow \overline{
\mathsf {t}}
 \mathrel{\in} \underline{\mathsf {bs}}
\Rightarrow \overline{
\mathsf {u}}
 \mathrel{\in} \underline{\mathsf {bs}}
\Rightarrow \{\{\overline{
\mathsf {s}}
,\overline{
\mathsf {s}}
\}
,\{\overline{
\mathsf {s}}
,\overline{
\mathsf {t}}
\}
\}
 \mathrel{\in} \underline{
\mathsf {r}}
\Rightarrow \{\{\overline{
\mathsf {t}}
,\overline{
\mathsf {t}}
\}
,\{\overline{
\mathsf {t}}
,\overline{
\mathsf {u}}
\}
\}
 \mathrel{\in} \underline{
\mathsf {r}}
\Rightarrow \{\{\overline{
\mathsf {s}}
,\overline{
\mathsf {s}}
\}
,\{\overline{
\mathsf {s}}
,\overline{
\mathsf {u}}
\}
\}
 \mathrel{\in} \underline{
\mathsf {r}}
\Rightarrow \dot{\neg}\, \{\{\underline{
\mathsf{x}}
,\underline{
\mathsf{x}}
\}
,\{\underline{
\mathsf{x}}
,\underline{
\mathsf{y}}
\}
\}
 \mathrel{\in} \underline{
\mathsf {r}}
\Rightarrow  \{ ph \mathrel{\in} \cup \{\{ \{ ph \mathrel{\in} \underline{\mathsf {bs}}
\mid \{\{
\mathsf {a}
 _{Ph} 
,
\mathsf {a}
 _{Ph} 
\}
,\{
\mathsf {a}
 _{Ph} 
,\underline{
\mathsf{x}}
\}
\}
 \mathrel{\in} \underline{
\mathsf {r}}
\}
, \{ ph \mathrel{\in} \underline{\mathsf {bs}}
\mid \{\{
\mathsf {a}
 _{Ph} 
,
\mathsf {a}
 _{Ph} 
\}
,\{
\mathsf {a}
 _{Ph} 
,\underline{
\mathsf{x}}
\}
\}
 \mathrel{\in} \underline{
\mathsf {r}}
\}
\}
,\{ \{ ph \mathrel{\in} \underline{\mathsf {bs}}
\mid \{\{
\mathsf {a}
 _{Ph} 
,
\mathsf {a}
 _{Ph} 
\}
,\{
\mathsf {a}
 _{Ph} 
,\underline{
\mathsf{y}}
\}
\}
 \mathrel{\in} \underline{
\mathsf {r}}
\}
, \{ ph \mathrel{\in} \underline{\mathsf {bs}}
\mid \{\{
\mathsf {a}
 _{Ph} 
,
\mathsf {a}
 _{Ph} 
\}
,\{
\mathsf {a}
 _{Ph} 
,\underline{
\mathsf{y}}
\}
\}
 \mathrel{\in} \underline{
\mathsf {r}}
\}
\}
\}
\mid \dot{\neg}\, 
\mathsf {c}
 _{Ph} 
 \mathrel{\in}  \{ ph \mathrel{\in} \underline{\mathsf {bs}}
\mid \{\{
\mathsf {a}
 _{Ph} 
,
\mathsf {a}
 _{Ph} 
\}
,\{
\mathsf {a}
 _{Ph} 
,\underline{
\mathsf{x}}
\}
\}
 \mathrel{\in} \underline{
\mathsf {r}}
\}
\Rightarrow \dot{\neg}\, 
\mathsf {c}
 _{Ph} 
 \mathrel{\in}  \{ ph \mathrel{\in} \underline{\mathsf {bs}}
\mid \{\{
\mathsf {a}
 _{Ph} 
,
\mathsf {a}
 _{Ph} 
\}
,\{
\mathsf {a}
 _{Ph} 
,\underline{
\mathsf{y}}
\}
\}
 \mathrel{\in} \underline{
\mathsf {r}}
\}
\}
\!\mathrel{=}\! \mathrm{\O}
\rceil 
, 
p_0
, 
\mathsf {c}
)
]$

$\rm
[Helper(2)NoneEqNecessary
\stackrel{
stmt
}{\rightarrow}ZFsub
\vdash 
\forall \underline{
\mathsf {r}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf{x}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf{y}}
\colon 
\forall \underline{\mathsf {bs}}
\colon 
\lceil \overline{
\mathsf {s}}
\rceil 
\#^0
\lceil \underline{
\mathsf {r}}
\rceil 
\mathrel {\makebox [0mm][l]{$\vdash $}\,{\vdash }} 
\lceil \overline{
\mathsf {s}}
\rceil 
\#^0
\lceil \underline{\mathsf {bs}}
\rceil 
\mathrel {\makebox [0mm][l]{$\vdash $}\,{\vdash }} 
\lceil \overline{
\mathsf {t}}
\rceil 
\#^0
\lceil \underline{
\mathsf {r}}
\rceil 
\mathrel {\makebox [0mm][l]{$\vdash $}\,{\vdash }} 
\lceil \overline{
\mathsf {t}}
\rceil 
\#^0
\lceil \underline{\mathsf {bs}}
\rceil 
\mathrel {\makebox [0mm][l]{$\vdash $}\,{\vdash }} 
\lceil \overline{
\mathsf {u}}
\rceil 
\#^0
\lceil \underline{
\mathsf {r}}
\rceil 
\mathrel {\makebox [0mm][l]{$\vdash $}\,{\vdash }} 
\lceil \overline{
\mathsf {u}}
\rceil 
\#^0
\lceil \underline{\mathsf {bs}}
\rceil 
\mathrel {\makebox [0mm][l]{$\vdash $}\,{\vdash }} \underline{
\mathsf{x}}
 \mathrel{\in} \underline{\mathsf {bs}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf{y}}
 \mathrel{\in} \underline{\mathsf {bs}}
\Rightarrow \dot{\neg}\, \dot{\neg}\, 
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {s}}
\colon \overline{
\mathsf {s}}
 \mathrel{\in} \underline{\mathsf {bs}}
\Rightarrow \{\{\overline{
\mathsf {s}}
,\overline{
\mathsf {s}}
\}
,\{\overline{
\mathsf {s}}
,\overline{
\mathsf {s}}
\}
\}
 \mathrel{\in} \underline{
\mathsf {r}}
\Rightarrow \dot{\neg}\, 
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {s}}
\colon 
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {t}}
\colon \overline{
\mathsf {s}}
 \mathrel{\in} \underline{\mathsf {bs}}
\Rightarrow \overline{
\mathsf {t}}
 \mathrel{\in} \underline{\mathsf {bs}}
\Rightarrow \{\{\overline{
\mathsf {s}}
,\overline{
\mathsf {s}}
\}
,\{\overline{
\mathsf {s}}
,\overline{
\mathsf {t}}
\}
\}
 \mathrel{\in} \underline{
\mathsf {r}}
\Rightarrow \{\{\overline{
\mathsf {t}}
,\overline{
\mathsf {t}}
\}
,\{\overline{
\mathsf {t}}
,\overline{
\mathsf {s}}
\}
\}
 \mathrel{\in} \underline{
\mathsf {r}}
\Rightarrow \dot{\neg}\, 
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {s}}
\colon 
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {t}}
\colon 
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {u}}
\colon \overline{
\mathsf {s}}
 \mathrel{\in} \underline{\mathsf {bs}}
\Rightarrow \overline{
\mathsf {t}}
 \mathrel{\in} \underline{\mathsf {bs}}
\Rightarrow \overline{
\mathsf {u}}
 \mathrel{\in} \underline{\mathsf {bs}}
\Rightarrow \{\{\overline{
\mathsf {s}}
,\overline{
\mathsf {s}}
\}
,\{\overline{
\mathsf {s}}
,\overline{
\mathsf {t}}
\}
\}
 \mathrel{\in} \underline{
\mathsf {r}}
\Rightarrow \{\{\overline{
\mathsf {t}}
,\overline{
\mathsf {t}}
\}
,\{\overline{
\mathsf {t}}
,\overline{
\mathsf {u}}
\}
\}
 \mathrel{\in} \underline{
\mathsf {r}}
\Rightarrow \{\{\overline{
\mathsf {s}}
,\overline{
\mathsf {s}}
\}
,\{\overline{
\mathsf {s}}
,\overline{
\mathsf {u}}
\}
\}
 \mathrel{\in} \underline{
\mathsf {r}}
\Rightarrow \dot{\neg}\, \{\{\underline{
\mathsf{x}}
,\underline{
\mathsf{x}}
\}
,\{\underline{
\mathsf{x}}
,\underline{
\mathsf{y}}
\}
\}
 \mathrel{\in} \underline{
\mathsf {r}}
\Rightarrow  \{ ph \mathrel{\in} \cup \{\{ \{ ph \mathrel{\in} \underline{\mathsf {bs}}
\mid \{\{
\mathsf {a}
 _{Ph} 
,
\mathsf {a}
 _{Ph} 
\}
,\{
\mathsf {a}
 _{Ph} 
,\underline{
\mathsf{x}}
\}
\}
 \mathrel{\in} \underline{
\mathsf {r}}
\}
, \{ ph \mathrel{\in} \underline{\mathsf {bs}}
\mid \{\{
\mathsf {a}
 _{Ph} 
,
\mathsf {a}
 _{Ph} 
\}
,\{
\mathsf {a}
 _{Ph} 
,\underline{
\mathsf{x}}
\}
\}
 \mathrel{\in} \underline{
\mathsf {r}}
\}
\}
,\{ \{ ph \mathrel{\in} \underline{\mathsf {bs}}
\mid \{\{
\mathsf {a}
 _{Ph} 
,
\mathsf {a}
 _{Ph} 
\}
,\{
\mathsf {a}
 _{Ph} 
,\underline{
\mathsf{y}}
\}
\}
 \mathrel{\in} \underline{
\mathsf {r}}
\}
, \{ ph \mathrel{\in} \underline{\mathsf {bs}}
\mid \{\{
\mathsf {a}
 _{Ph} 
,
\mathsf {a}
 _{Ph} 
\}
,\{
\mathsf {a}
 _{Ph} 
,\underline{
\mathsf{y}}
\}
\}
 \mathrel{\in} \underline{
\mathsf {r}}
\}
\}
\}
\mid \dot{\neg}\, 
\mathsf {c}
 _{Ph} 
 \mathrel{\in}  \{ ph \mathrel{\in} \underline{\mathsf {bs}}
\mid \{\{
\mathsf {a}
 _{Ph} 
,
\mathsf {a}
 _{Ph} 
\}
,\{
\mathsf {a}
 _{Ph} 
,\underline{
\mathsf{x}}
\}
\}
 \mathrel{\in} \underline{
\mathsf {r}}
\}
\Rightarrow \dot{\neg}\, 
\mathsf {c}
 _{Ph} 
 \mathrel{\in}  \{ ph \mathrel{\in} \underline{\mathsf {bs}}
\mid \{\{
\mathsf {a}
 _{Ph} 
,
\mathsf {a}
 _{Ph} 
\}
,\{
\mathsf {a}
 _{Ph} 
,\underline{
\mathsf{y}}
\}
\}
 \mathrel{\in} \underline{
\mathsf {r}}
\}
\}
\!\mathrel{=}\! \mathrm{\O}
]$

$\rm
[Helper(2)NoneEqNecessary
\stackrel{
\mathrm{tex}
}{\rightarrow}
\mbox{``}Helper(2)NoneEqNecessary
\mbox{''}
]$

$\rm
[Helper(2)NoneEqNecessary
\stackrel{
\mathrm{pyk}
}{\rightarrow}
\mbox{``}lemma
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}none
\mbox{-}equivalence
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}nec
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}condition1
\mbox{''}
]$

\hypertarget {url:1808490560655876194608813785663292462486349118665588524157069396079556865:143}{}\section* {$\rm NoneEqNecessary$}

$\rm
[NoneEqNecessary
\stackrel{
proof
}{\rightarrow}
\lambda 
\mathsf {c}
.
\lambda 
\mathsf{x}
.
{\cal P}( 
\lceil ZFsub
\vdash 
\forall \underline{
\mathsf {r}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf{x}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf{y}}
\colon 
\forall \underline{\mathsf {bs}}
\colon 
\lceil \overline{
\mathsf {s}}
\rceil 
\#^0
\lceil \underline{
\mathsf {r}}
\rceil 
\mathrel {\makebox [0mm][l]{$\vdash $}\,{\vdash }} 
\lceil \overline{
\mathsf {s}}
\rceil 
\#^0
\lceil \underline{\mathsf {bs}}
\rceil 
\mathrel {\makebox [0mm][l]{$\vdash $}\,{\vdash }} 
\lceil \overline{
\mathsf {t}}
\rceil 
\#^0
\lceil \underline{
\mathsf {r}}
\rceil 
\mathrel {\makebox [0mm][l]{$\vdash $}\,{\vdash }} 
\lceil \overline{
\mathsf {t}}
\rceil 
\#^0
\lceil \underline{\mathsf {bs}}
\rceil 
\mathrel {\makebox [0mm][l]{$\vdash $}\,{\vdash }} 
\lceil \overline{
\mathsf {u}}
\rceil 
\#^0
\lceil \underline{
\mathsf {r}}
\rceil 
\mathrel {\makebox [0mm][l]{$\vdash $}\,{\vdash }} 
\lceil \overline{
\mathsf {u}}
\rceil 
\#^0
\lceil \underline{\mathsf {bs}}
\rceil 
\mathrel {\makebox [0mm][l]{$\vdash $}\,{\vdash }} \underline{
\mathsf{x}}
 \mathrel{\in} \underline{\mathsf {bs}}
\vdash \underline{
\mathsf{y}}
 \mathrel{\in} \underline{\mathsf {bs}}
\vdash \dot{\neg}\, \dot{\neg}\, 
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {s}}
\colon \overline{
\mathsf {s}}
 \mathrel{\in} \underline{\mathsf {bs}}
\Rightarrow \{\{\overline{
\mathsf {s}}
,\overline{
\mathsf {s}}
\}
,\{\overline{
\mathsf {s}}
,\overline{
\mathsf {s}}
\}
\}
 \mathrel{\in} \underline{
\mathsf {r}}
\Rightarrow \dot{\neg}\, 
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {s}}
\colon 
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {t}}
\colon \overline{
\mathsf {s}}
 \mathrel{\in} \underline{\mathsf {bs}}
\Rightarrow \overline{
\mathsf {t}}
 \mathrel{\in} \underline{\mathsf {bs}}
\Rightarrow \{\{\overline{
\mathsf {s}}
,\overline{
\mathsf {s}}
\}
,\{\overline{
\mathsf {s}}
,\overline{
\mathsf {t}}
\}
\}
 \mathrel{\in} \underline{
\mathsf {r}}
\Rightarrow \{\{\overline{
\mathsf {t}}
,\overline{
\mathsf {t}}
\}
,\{\overline{
\mathsf {t}}
,\overline{
\mathsf {s}}
\}
\}
 \mathrel{\in} \underline{
\mathsf {r}}
\Rightarrow \dot{\neg}\, 
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {s}}
\colon 
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {t}}
\colon 
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {u}}
\colon \overline{
\mathsf {s}}
 \mathrel{\in} \underline{\mathsf {bs}}
\Rightarrow \overline{
\mathsf {t}}
 \mathrel{\in} \underline{\mathsf {bs}}
\Rightarrow \overline{
\mathsf {u}}
 \mathrel{\in} \underline{\mathsf {bs}}
\Rightarrow \{\{\overline{
\mathsf {s}}
,\overline{
\mathsf {s}}
\}
,\{\overline{
\mathsf {s}}
,\overline{
\mathsf {t}}
\}
\}
 \mathrel{\in} \underline{
\mathsf {r}}
\Rightarrow \{\{\overline{
\mathsf {t}}
,\overline{
\mathsf {t}}
\}
,\{\overline{
\mathsf {t}}
,\overline{
\mathsf {u}}
\}
\}
 \mathrel{\in} \underline{
\mathsf {r}}
\Rightarrow \{\{\overline{
\mathsf {s}}
,\overline{
\mathsf {s}}
\}
,\{\overline{
\mathsf {s}}
,\overline{
\mathsf {u}}
\}
\}
 \mathrel{\in} \underline{
\mathsf {r}}
\vdash Helper(2)NoneEqNecessary
\mathrel {\makebox [0mm][l]{$\rhd $}\,{\rhd }} 
\lceil \overline{
\mathsf {s}}
\rceil 
\#^0
\lceil \underline{
\mathsf {r}}
\rceil 
\mathrel {\makebox [0mm][l]{$\rhd $}\,{\rhd }} 
\lceil \overline{
\mathsf {s}}
\rceil 
\#^0
\lceil \underline{\mathsf {bs}}
\rceil 
\mathrel {\makebox [0mm][l]{$\rhd $}\,{\rhd }} 
\lceil \overline{
\mathsf {t}}
\rceil 
\#^0
\lceil \underline{
\mathsf {r}}
\rceil 
\mathrel {\makebox [0mm][l]{$\rhd $}\,{\rhd }} 
\lceil \overline{
\mathsf {t}}
\rceil 
\#^0
\lceil \underline{\mathsf {bs}}
\rceil 
\mathrel {\makebox [0mm][l]{$\rhd $}\,{\rhd }} 
\lceil \overline{
\mathsf {u}}
\rceil 
\#^0
\lceil \underline{
\mathsf {r}}
\rceil 
\mathrel {\makebox [0mm][l]{$\rhd $}\,{\rhd }} 
\lceil \overline{
\mathsf {u}}
\rceil 
\#^0
\lceil \underline{\mathsf {bs}}
\rceil 
\gg \underline{
\mathsf{x}}
 \mathrel{\in} \underline{\mathsf {bs}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf{y}}
 \mathrel{\in} \underline{\mathsf {bs}}
\Rightarrow \dot{\neg}\, \dot{\neg}\, 
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {s}}
\colon \overline{
\mathsf {s}}
 \mathrel{\in} \underline{\mathsf {bs}}
\Rightarrow \{\{\overline{
\mathsf {s}}
,\overline{
\mathsf {s}}
\}
,\{\overline{
\mathsf {s}}
,\overline{
\mathsf {s}}
\}
\}
 \mathrel{\in} \underline{
\mathsf {r}}
\Rightarrow \dot{\neg}\, 
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {s}}
\colon 
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {t}}
\colon \overline{
\mathsf {s}}
 \mathrel{\in} \underline{\mathsf {bs}}
\Rightarrow \overline{
\mathsf {t}}
 \mathrel{\in} \underline{\mathsf {bs}}
\Rightarrow \{\{\overline{
\mathsf {s}}
,\overline{
\mathsf {s}}
\}
,\{\overline{
\mathsf {s}}
,\overline{
\mathsf {t}}
\}
\}
 \mathrel{\in} \underline{
\mathsf {r}}
\Rightarrow \{\{\overline{
\mathsf {t}}
,\overline{
\mathsf {t}}
\}
,\{\overline{
\mathsf {t}}
,\overline{
\mathsf {s}}
\}
\}
 \mathrel{\in} \underline{
\mathsf {r}}
\Rightarrow \dot{\neg}\, 
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {s}}
\colon 
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {t}}
\colon 
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {u}}
\colon \overline{
\mathsf {s}}
 \mathrel{\in} \underline{\mathsf {bs}}
\Rightarrow \overline{
\mathsf {t}}
 \mathrel{\in} \underline{\mathsf {bs}}
\Rightarrow \overline{
\mathsf {u}}
 \mathrel{\in} \underline{\mathsf {bs}}
\Rightarrow \{\{\overline{
\mathsf {s}}
,\overline{
\mathsf {s}}
\}
,\{\overline{
\mathsf {s}}
,\overline{
\mathsf {t}}
\}
\}
 \mathrel{\in} \underline{
\mathsf {r}}
\Rightarrow \{\{\overline{
\mathsf {t}}
,\overline{
\mathsf {t}}
\}
,\{\overline{
\mathsf {t}}
,\overline{
\mathsf {u}}
\}
\}
 \mathrel{\in} \underline{
\mathsf {r}}
\Rightarrow \{\{\overline{
\mathsf {s}}
,\overline{
\mathsf {s}}
\}
,\{\overline{
\mathsf {s}}
,\overline{
\mathsf {u}}
\}
\}
 \mathrel{\in} \underline{
\mathsf {r}}
\Rightarrow \dot{\neg}\, \{\{\underline{
\mathsf{x}}
,\underline{
\mathsf{x}}
\}
,\{\underline{
\mathsf{x}}
,\underline{
\mathsf{y}}
\}
\}
 \mathrel{\in} \underline{
\mathsf {r}}
\Rightarrow  \{ ph \mathrel{\in} \cup \{\{ \{ ph \mathrel{\in} \underline{\mathsf {bs}}
\mid \{\{
\mathsf {a}
 _{Ph} 
,
\mathsf {a}
 _{Ph} 
\}
,\{
\mathsf {a}
 _{Ph} 
,\underline{
\mathsf{x}}
\}
\}
 \mathrel{\in} \underline{
\mathsf {r}}
\}
, \{ ph \mathrel{\in} \underline{\mathsf {bs}}
\mid \{\{
\mathsf {a}
 _{Ph} 
,
\mathsf {a}
 _{Ph} 
\}
,\{
\mathsf {a}
 _{Ph} 
,\underline{
\mathsf{x}}
\}
\}
 \mathrel{\in} \underline{
\mathsf {r}}
\}
\}
,\{ \{ ph \mathrel{\in} \underline{\mathsf {bs}}
\mid \{\{
\mathsf {a}
 _{Ph} 
,
\mathsf {a}
 _{Ph} 
\}
,\{
\mathsf {a}
 _{Ph} 
,\underline{
\mathsf{y}}
\}
\}
 \mathrel{\in} \underline{
\mathsf {r}}
\}
, \{ ph \mathrel{\in} \underline{\mathsf {bs}}
\mid \{\{
\mathsf {a}
 _{Ph} 
,
\mathsf {a}
 _{Ph} 
\}
,\{
\mathsf {a}
 _{Ph} 
,\underline{
\mathsf{y}}
\}
\}
 \mathrel{\in} \underline{
\mathsf {r}}
\}
\}
\}
\mid \dot{\neg}\, 
\mathsf {c}
 _{Ph} 
 \mathrel{\in}  \{ ph \mathrel{\in} \underline{\mathsf {bs}}
\mid \{\{
\mathsf {a}
 _{Ph} 
,
\mathsf {a}
 _{Ph} 
\}
,\{
\mathsf {a}
 _{Ph} 
,\underline{
\mathsf{x}}
\}
\}
 \mathrel{\in} \underline{
\mathsf {r}}
\}
\Rightarrow \dot{\neg}\, 
\mathsf {c}
 _{Ph} 
 \mathrel{\in}  \{ ph \mathrel{\in} \underline{\mathsf {bs}}
\mid \{\{
\mathsf {a}
 _{Ph} 
,
\mathsf {a}
 _{Ph} 
\}
,\{
\mathsf {a}
 _{Ph} 
,\underline{
\mathsf{y}}
\}
\}
 \mathrel{\in} \underline{
\mathsf {r}}
\}
\}
\!\mathrel{=}\! \mathrm{\O}
; MP3
\rhd \underline{
\mathsf{x}}
 \mathrel{\in} \underline{\mathsf {bs}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf{y}}
 \mathrel{\in} \underline{\mathsf {bs}}
\Rightarrow \dot{\neg}\, \dot{\neg}\, 
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {s}}
\colon \overline{
\mathsf {s}}
 \mathrel{\in} \underline{\mathsf {bs}}
\Rightarrow \{\{\overline{
\mathsf {s}}
,\overline{
\mathsf {s}}
\}
,\{\overline{
\mathsf {s}}
,\overline{
\mathsf {s}}
\}
\}
 \mathrel{\in} \underline{
\mathsf {r}}
\Rightarrow \dot{\neg}\, 
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {s}}
\colon 
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {t}}
\colon \overline{
\mathsf {s}}
 \mathrel{\in} \underline{\mathsf {bs}}
\Rightarrow \overline{
\mathsf {t}}
 \mathrel{\in} \underline{\mathsf {bs}}
\Rightarrow \{\{\overline{
\mathsf {s}}
,\overline{
\mathsf {s}}
\}
,\{\overline{
\mathsf {s}}
,\overline{
\mathsf {t}}
\}
\}
 \mathrel{\in} \underline{
\mathsf {r}}
\Rightarrow \{\{\overline{
\mathsf {t}}
,\overline{
\mathsf {t}}
\}
,\{\overline{
\mathsf {t}}
,\overline{
\mathsf {s}}
\}
\}
 \mathrel{\in} \underline{
\mathsf {r}}
\Rightarrow \dot{\neg}\, 
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {s}}
\colon 
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {t}}
\colon 
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {u}}
\colon \overline{
\mathsf {s}}
 \mathrel{\in} \underline{\mathsf {bs}}
\Rightarrow \overline{
\mathsf {t}}
 \mathrel{\in} \underline{\mathsf {bs}}
\Rightarrow \overline{
\mathsf {u}}
 \mathrel{\in} \underline{\mathsf {bs}}
\Rightarrow \{\{\overline{
\mathsf {s}}
,\overline{
\mathsf {s}}
\}
,\{\overline{
\mathsf {s}}
,\overline{
\mathsf {t}}
\}
\}
 \mathrel{\in} \underline{
\mathsf {r}}
\Rightarrow \{\{\overline{
\mathsf {t}}
,\overline{
\mathsf {t}}
\}
,\{\overline{
\mathsf {t}}
,\overline{
\mathsf {u}}
\}
\}
 \mathrel{\in} \underline{
\mathsf {r}}
\Rightarrow \{\{\overline{
\mathsf {s}}
,\overline{
\mathsf {s}}
\}
,\{\overline{
\mathsf {s}}
,\overline{
\mathsf {u}}
\}
\}
 \mathrel{\in} \underline{
\mathsf {r}}
\Rightarrow \dot{\neg}\, \{\{\underline{
\mathsf{x}}
,\underline{
\mathsf{x}}
\}
,\{\underline{
\mathsf{x}}
,\underline{
\mathsf{y}}
\}
\}
 \mathrel{\in} \underline{
\mathsf {r}}
\Rightarrow  \{ ph \mathrel{\in} \cup \{\{ \{ ph \mathrel{\in} \underline{\mathsf {bs}}
\mid \{\{
\mathsf {a}
 _{Ph} 
,
\mathsf {a}
 _{Ph} 
\}
,\{
\mathsf {a}
 _{Ph} 
,\underline{
\mathsf{x}}
\}
\}
 \mathrel{\in} \underline{
\mathsf {r}}
\}
, \{ ph \mathrel{\in} \underline{\mathsf {bs}}
\mid \{\{
\mathsf {a}
 _{Ph} 
,
\mathsf {a}
 _{Ph} 
\}
,\{
\mathsf {a}
 _{Ph} 
,\underline{
\mathsf{x}}
\}
\}
 \mathrel{\in} \underline{
\mathsf {r}}
\}
\}
,\{ \{ ph \mathrel{\in} \underline{\mathsf {bs}}
\mid \{\{
\mathsf {a}
 _{Ph} 
,
\mathsf {a}
 _{Ph} 
\}
,\{
\mathsf {a}
 _{Ph} 
,\underline{
\mathsf{y}}
\}
\}
 \mathrel{\in} \underline{
\mathsf {r}}
\}
, \{ ph \mathrel{\in} \underline{\mathsf {bs}}
\mid \{\{
\mathsf {a}
 _{Ph} 
,
\mathsf {a}
 _{Ph} 
\}
,\{
\mathsf {a}
 _{Ph} 
,\underline{
\mathsf{y}}
\}
\}
 \mathrel{\in} \underline{
\mathsf {r}}
\}
\}
\}
\mid \dot{\neg}\, 
\mathsf {c}
 _{Ph} 
 \mathrel{\in}  \{ ph \mathrel{\in} \underline{\mathsf {bs}}
\mid \{\{
\mathsf {a}
 _{Ph} 
,
\mathsf {a}
 _{Ph} 
\}
,\{
\mathsf {a}
 _{Ph} 
,\underline{
\mathsf{x}}
\}
\}
 \mathrel{\in} \underline{
\mathsf {r}}
\}
\Rightarrow \dot{\neg}\, 
\mathsf {c}
 _{Ph} 
 \mathrel{\in}  \{ ph \mathrel{\in} \underline{\mathsf {bs}}
\mid \{\{
\mathsf {a}
 _{Ph} 
,
\mathsf {a}
 _{Ph} 
\}
,\{
\mathsf {a}
 _{Ph} 
,\underline{
\mathsf{y}}
\}
\}
 \mathrel{\in} \underline{
\mathsf {r}}
\}
\}
\!\mathrel{=}\! \mathrm{\O}
\rhd \underline{
\mathsf{x}}
 \mathrel{\in} \underline{\mathsf {bs}}
\rhd \underline{
\mathsf{y}}
 \mathrel{\in} \underline{\mathsf {bs}}
\rhd \dot{\neg}\, \dot{\neg}\, 
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {s}}
\colon \overline{
\mathsf {s}}
 \mathrel{\in} \underline{\mathsf {bs}}
\Rightarrow \{\{\overline{
\mathsf {s}}
,\overline{
\mathsf {s}}
\}
,\{\overline{
\mathsf {s}}
,\overline{
\mathsf {s}}
\}
\}
 \mathrel{\in} \underline{
\mathsf {r}}
\Rightarrow \dot{\neg}\, 
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {s}}
\colon 
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {t}}
\colon \overline{
\mathsf {s}}
 \mathrel{\in} \underline{\mathsf {bs}}
\Rightarrow \overline{
\mathsf {t}}
 \mathrel{\in} \underline{\mathsf {bs}}
\Rightarrow \{\{\overline{
\mathsf {s}}
,\overline{
\mathsf {s}}
\}
,\{\overline{
\mathsf {s}}
,\overline{
\mathsf {t}}
\}
\}
 \mathrel{\in} \underline{
\mathsf {r}}
\Rightarrow \{\{\overline{
\mathsf {t}}
,\overline{
\mathsf {t}}
\}
,\{\overline{
\mathsf {t}}
,\overline{
\mathsf {s}}
\}
\}
 \mathrel{\in} \underline{
\mathsf {r}}
\Rightarrow \dot{\neg}\, 
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {s}}
\colon 
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {t}}
\colon 
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {u}}
\colon \overline{
\mathsf {s}}
 \mathrel{\in} \underline{\mathsf {bs}}
\Rightarrow \overline{
\mathsf {t}}
 \mathrel{\in} \underline{\mathsf {bs}}
\Rightarrow \overline{
\mathsf {u}}
 \mathrel{\in} \underline{\mathsf {bs}}
\Rightarrow \{\{\overline{
\mathsf {s}}
,\overline{
\mathsf {s}}
\}
,\{\overline{
\mathsf {s}}
,\overline{
\mathsf {t}}
\}
\}
 \mathrel{\in} \underline{
\mathsf {r}}
\Rightarrow \{\{\overline{
\mathsf {t}}
,\overline{
\mathsf {t}}
\}
,\{\overline{
\mathsf {t}}
,\overline{
\mathsf {u}}
\}
\}
 \mathrel{\in} \underline{
\mathsf {r}}
\Rightarrow \{\{\overline{
\mathsf {s}}
,\overline{
\mathsf {s}}
\}
,\{\overline{
\mathsf {s}}
,\overline{
\mathsf {u}}
\}
\}
 \mathrel{\in} \underline{
\mathsf {r}}
\gg \dot{\neg}\, \{\{\underline{
\mathsf{x}}
,\underline{
\mathsf{x}}
\}
,\{\underline{
\mathsf{x}}
,\underline{
\mathsf{y}}
\}
\}
 \mathrel{\in} \underline{
\mathsf {r}}
\Rightarrow  \{ ph \mathrel{\in} \cup \{\{ \{ ph \mathrel{\in} \underline{\mathsf {bs}}
\mid \{\{
\mathsf {a}
 _{Ph} 
,
\mathsf {a}
 _{Ph} 
\}
,\{
\mathsf {a}
 _{Ph} 
,\underline{
\mathsf{x}}
\}
\}
 \mathrel{\in} \underline{
\mathsf {r}}
\}
, \{ ph \mathrel{\in} \underline{\mathsf {bs}}
\mid \{\{
\mathsf {a}
 _{Ph} 
,
\mathsf {a}
 _{Ph} 
\}
,\{
\mathsf {a}
 _{Ph} 
,\underline{
\mathsf{x}}
\}
\}
 \mathrel{\in} \underline{
\mathsf {r}}
\}
\}
,\{ \{ ph \mathrel{\in} \underline{\mathsf {bs}}
\mid \{\{
\mathsf {a}
 _{Ph} 
,
\mathsf {a}
 _{Ph} 
\}
,\{
\mathsf {a}
 _{Ph} 
,\underline{
\mathsf{y}}
\}
\}
 \mathrel{\in} \underline{
\mathsf {r}}
\}
, \{ ph \mathrel{\in} \underline{\mathsf {bs}}
\mid \{\{
\mathsf {a}
 _{Ph} 
,
\mathsf {a}
 _{Ph} 
\}
,\{
\mathsf {a}
 _{Ph} 
,\underline{
\mathsf{y}}
\}
\}
 \mathrel{\in} \underline{
\mathsf {r}}
\}
\}
\}
\mid \dot{\neg}\, 
\mathsf {c}
 _{Ph} 
 \mathrel{\in}  \{ ph \mathrel{\in} \underline{\mathsf {bs}}
\mid \{\{
\mathsf {a}
 _{Ph} 
,
\mathsf {a}
 _{Ph} 
\}
,\{
\mathsf {a}
 _{Ph} 
,\underline{
\mathsf{x}}
\}
\}
 \mathrel{\in} \underline{
\mathsf {r}}
\}
\Rightarrow \dot{\neg}\, 
\mathsf {c}
 _{Ph} 
 \mathrel{\in}  \{ ph \mathrel{\in} \underline{\mathsf {bs}}
\mid \{\{
\mathsf {a}
 _{Ph} 
,
\mathsf {a}
 _{Ph} 
\}
,\{
\mathsf {a}
 _{Ph} 
,\underline{
\mathsf{y}}
\}
\}
 \mathrel{\in} \underline{
\mathsf {r}}
\}
\}
\!\mathrel{=}\! \mathrm{\O}
\rceil 
, 
p_0
, 
\mathsf {c}
)
]$

$\rm
[NoneEqNecessary
\stackrel{
stmt
}{\rightarrow}ZFsub
\vdash 
\forall \underline{
\mathsf {r}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf{x}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf{y}}
\colon 
\forall \underline{\mathsf {bs}}
\colon 
\lceil \overline{
\mathsf {s}}
\rceil 
\#^0
\lceil \underline{
\mathsf {r}}
\rceil 
\mathrel {\makebox [0mm][l]{$\vdash $}\,{\vdash }} 
\lceil \overline{
\mathsf {s}}
\rceil 
\#^0
\lceil \underline{\mathsf {bs}}
\rceil 
\mathrel {\makebox [0mm][l]{$\vdash $}\,{\vdash }} 
\lceil \overline{
\mathsf {t}}
\rceil 
\#^0
\lceil \underline{
\mathsf {r}}
\rceil 
\mathrel {\makebox [0mm][l]{$\vdash $}\,{\vdash }} 
\lceil \overline{
\mathsf {t}}
\rceil 
\#^0
\lceil \underline{\mathsf {bs}}
\rceil 
\mathrel {\makebox [0mm][l]{$\vdash $}\,{\vdash }} 
\lceil \overline{
\mathsf {u}}
\rceil 
\#^0
\lceil \underline{
\mathsf {r}}
\rceil 
\mathrel {\makebox [0mm][l]{$\vdash $}\,{\vdash }} 
\lceil \overline{
\mathsf {u}}
\rceil 
\#^0
\lceil \underline{\mathsf {bs}}
\rceil 
\mathrel {\makebox [0mm][l]{$\vdash $}\,{\vdash }} \underline{
\mathsf{x}}
 \mathrel{\in} \underline{\mathsf {bs}}
\vdash \underline{
\mathsf{y}}
 \mathrel{\in} \underline{\mathsf {bs}}
\vdash \dot{\neg}\, \dot{\neg}\, 
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {s}}
\colon \overline{
\mathsf {s}}
 \mathrel{\in} \underline{\mathsf {bs}}
\Rightarrow \{\{\overline{
\mathsf {s}}
,\overline{
\mathsf {s}}
\}
,\{\overline{
\mathsf {s}}
,\overline{
\mathsf {s}}
\}
\}
 \mathrel{\in} \underline{
\mathsf {r}}
\Rightarrow \dot{\neg}\, 
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {s}}
\colon 
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {t}}
\colon \overline{
\mathsf {s}}
 \mathrel{\in} \underline{\mathsf {bs}}
\Rightarrow \overline{
\mathsf {t}}
 \mathrel{\in} \underline{\mathsf {bs}}
\Rightarrow \{\{\overline{
\mathsf {s}}
,\overline{
\mathsf {s}}
\}
,\{\overline{
\mathsf {s}}
,\overline{
\mathsf {t}}
\}
\}
 \mathrel{\in} \underline{
\mathsf {r}}
\Rightarrow \{\{\overline{
\mathsf {t}}
,\overline{
\mathsf {t}}
\}
,\{\overline{
\mathsf {t}}
,\overline{
\mathsf {s}}
\}
\}
 \mathrel{\in} \underline{
\mathsf {r}}
\Rightarrow \dot{\neg}\, 
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {s}}
\colon 
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {t}}
\colon 
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {u}}
\colon \overline{
\mathsf {s}}
 \mathrel{\in} \underline{\mathsf {bs}}
\Rightarrow \overline{
\mathsf {t}}
 \mathrel{\in} \underline{\mathsf {bs}}
\Rightarrow \overline{
\mathsf {u}}
 \mathrel{\in} \underline{\mathsf {bs}}
\Rightarrow \{\{\overline{
\mathsf {s}}
,\overline{
\mathsf {s}}
\}
,\{\overline{
\mathsf {s}}
,\overline{
\mathsf {t}}
\}
\}
 \mathrel{\in} \underline{
\mathsf {r}}
\Rightarrow \{\{\overline{
\mathsf {t}}
,\overline{
\mathsf {t}}
\}
,\{\overline{
\mathsf {t}}
,\overline{
\mathsf {u}}
\}
\}
 \mathrel{\in} \underline{
\mathsf {r}}
\Rightarrow \{\{\overline{
\mathsf {s}}
,\overline{
\mathsf {s}}
\}
,\{\overline{
\mathsf {s}}
,\overline{
\mathsf {u}}
\}
\}
 \mathrel{\in} \underline{
\mathsf {r}}
\vdash \dot{\neg}\, \{\{\underline{
\mathsf{x}}
,\underline{
\mathsf{x}}
\}
,\{\underline{
\mathsf{x}}
,\underline{
\mathsf{y}}
\}
\}
 \mathrel{\in} \underline{
\mathsf {r}}
\Rightarrow  \{ ph \mathrel{\in} \cup \{\{ \{ ph \mathrel{\in} \underline{\mathsf {bs}}
\mid \{\{
\mathsf {a}
 _{Ph} 
,
\mathsf {a}
 _{Ph} 
\}
,\{
\mathsf {a}
 _{Ph} 
,\underline{
\mathsf{x}}
\}
\}
 \mathrel{\in} \underline{
\mathsf {r}}
\}
, \{ ph \mathrel{\in} \underline{\mathsf {bs}}
\mid \{\{
\mathsf {a}
 _{Ph} 
,
\mathsf {a}
 _{Ph} 
\}
,\{
\mathsf {a}
 _{Ph} 
,\underline{
\mathsf{x}}
\}
\}
 \mathrel{\in} \underline{
\mathsf {r}}
\}
\}
,\{ \{ ph \mathrel{\in} \underline{\mathsf {bs}}
\mid \{\{
\mathsf {a}
 _{Ph} 
,
\mathsf {a}
 _{Ph} 
\}
,\{
\mathsf {a}
 _{Ph} 
,\underline{
\mathsf{y}}
\}
\}
 \mathrel{\in} \underline{
\mathsf {r}}
\}
, \{ ph \mathrel{\in} \underline{\mathsf {bs}}
\mid \{\{
\mathsf {a}
 _{Ph} 
,
\mathsf {a}
 _{Ph} 
\}
,\{
\mathsf {a}
 _{Ph} 
,\underline{
\mathsf{y}}
\}
\}
 \mathrel{\in} \underline{
\mathsf {r}}
\}
\}
\}
\mid \dot{\neg}\, 
\mathsf {c}
 _{Ph} 
 \mathrel{\in}  \{ ph \mathrel{\in} \underline{\mathsf {bs}}
\mid \{\{
\mathsf {a}
 _{Ph} 
,
\mathsf {a}
 _{Ph} 
\}
,\{
\mathsf {a}
 _{Ph} 
,\underline{
\mathsf{x}}
\}
\}
 \mathrel{\in} \underline{
\mathsf {r}}
\}
\Rightarrow \dot{\neg}\, 
\mathsf {c}
 _{Ph} 
 \mathrel{\in}  \{ ph \mathrel{\in} \underline{\mathsf {bs}}
\mid \{\{
\mathsf {a}
 _{Ph} 
,
\mathsf {a}
 _{Ph} 
\}
,\{
\mathsf {a}
 _{Ph} 
,\underline{
\mathsf{y}}
\}
\}
 \mathrel{\in} \underline{
\mathsf {r}}
\}
\}
\!\mathrel{=}\! \mathrm{\O}
]$

$\rm
[NoneEqNecessary
\stackrel{
\mathrm{tex}
}{\rightarrow}
\mbox{``}NoneEqNecessary
\mbox{''}
]$

$\rm
[NoneEqNecessary
\stackrel{
\mathrm{pyk}
}{\rightarrow}
\mbox{``}lemma
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}none
\mbox{-}equivalence
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}nec
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}condition
\mbox{''}
]$

\hypertarget {url:1808490560655876194608813785663292462486349118665588524157069396079556865:144}{}\section* {$\rm EqClassIsSubset$}

$\rm
[EqClassIsSubset
\stackrel{
proof
}{\rightarrow}
\lambda 
\mathsf {c}
.
\lambda 
\mathsf{x}
.
{\cal P}( 
\lceil ZFsub
\vdash 
\forall \underline{
\mathsf {r}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf {s}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf{x}}
\colon 
\forall \underline{\mathsf {bs}}
\colon \underline{
\mathsf {s}}
 \mathrel{\in}  \{ ph \mathrel{\in} \underline{\mathsf {bs}}
\mid \{\{
\mathsf {a}
 _{Ph} 
,
\mathsf {a}
 _{Ph} 
\}
,\{
\mathsf {a}
 _{Ph} 
,\underline{
\mathsf{x}}
\}
\}
 \mathrel{\in} \underline{
\mathsf {r}}
\}
\vdash Sep2Formula
\rhd \underline{
\mathsf {s}}
 \mathrel{\in}  \{ ph \mathrel{\in} \underline{\mathsf {bs}}
\mid \{\{
\mathsf {a}
 _{Ph} 
,
\mathsf {a}
 _{Ph} 
\}
,\{
\mathsf {a}
 _{Ph} 
,\underline{
\mathsf{x}}
\}
\}
 \mathrel{\in} \underline{
\mathsf {r}}
\}
\gg \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf {s}}
 \mathrel{\in} \underline{\mathsf {bs}}
\Rightarrow \dot{\neg}\, \{\{\underline{
\mathsf {s}}
,\underline{
\mathsf {s}}
\}
,\{\underline{
\mathsf {s}}
,\underline{
\mathsf{x}}
\}
\}
 \mathrel{\in} \underline{
\mathsf {r}}
; FirstConjunct
\rhd \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf {s}}
 \mathrel{\in} \underline{\mathsf {bs}}
\Rightarrow \dot{\neg}\, \{\{\underline{
\mathsf {s}}
,\underline{
\mathsf {s}}
\}
,\{\underline{
\mathsf {s}}
,\underline{
\mathsf{x}}
\}
\}
 \mathrel{\in} \underline{
\mathsf {r}}
\gg \underline{
\mathsf {s}}
 \mathrel{\in} \underline{\mathsf {bs}}
; 
\forall \underline{
\mathsf {r}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf {s}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf{x}}
\colon 
\forall \underline{\mathsf {bs}}
\colon Ded
\rhd 
\forall \underline{
\mathsf {r}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf {s}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf{x}}
\colon 
\forall \underline{\mathsf {bs}}
\colon \underline{
\mathsf {s}}
 \mathrel{\in}  \{ ph \mathrel{\in} \underline{\mathsf {bs}}
\mid \{\{
\mathsf {a}
 _{Ph} 
,
\mathsf {a}
 _{Ph} 
\}
,\{
\mathsf {a}
 _{Ph} 
,\underline{
\mathsf{x}}
\}
\}
 \mathrel{\in} \underline{
\mathsf {r}}
\}
\vdash \underline{
\mathsf {s}}
 \mathrel{\in} \underline{\mathsf {bs}}
\gg \underline{
\mathsf {s}}
 \mathrel{\in}  \{ ph \mathrel{\in} \underline{\mathsf {bs}}
\mid \{\{
\mathsf {a}
 _{Ph} 
,
\mathsf {a}
 _{Ph} 
\}
,\{
\mathsf {a}
 _{Ph} 
,\underline{
\mathsf{x}}
\}
\}
 \mathrel{\in} \underline{
\mathsf {r}}
\}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {s}}
 \mathrel{\in} \underline{\mathsf {bs}}
\rceil 
, 
p_0
, 
\mathsf {c}
)
]$

$\rm
[EqClassIsSubset
\stackrel{
stmt
}{\rightarrow}ZFsub
\vdash 
\forall \underline{
\mathsf {r}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf {s}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf{x}}
\colon 
\forall \underline{\mathsf {bs}}
\colon \underline{
\mathsf {s}}
 \mathrel{\in}  \{ ph \mathrel{\in} \underline{\mathsf {bs}}
\mid \{\{
\mathsf {a}
 _{Ph} 
,
\mathsf {a}
 _{Ph} 
\}
,\{
\mathsf {a}
 _{Ph} 
,\underline{
\mathsf{x}}
\}
\}
 \mathrel{\in} \underline{
\mathsf {r}}
\}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {s}}
 \mathrel{\in} \underline{\mathsf {bs}}
]$

$\rm
[EqClassIsSubset
\stackrel{
\mathrm{tex}
}{\rightarrow}
\mbox{``}EqClassIsSubset
\mbox{''}
]$

$\rm
[EqClassIsSubset
\stackrel{
\mathrm{pyk}
}{\rightarrow}
\mbox{``}lemma
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}equivalence
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}class
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}is
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}subset
\mbox{''}
]$

\hypertarget {url:1808490560655876194608813785663292462486349118665588524157069396079556865:145}{}\section* {$\rm EqClassesAreDisjoint$}

$\rm
[EqClassesAreDisjoint
\stackrel{
proof
}{\rightarrow}
\lambda 
\mathsf {c}
.
\lambda 
\mathsf{x}
.
{\cal P}( 
\lceil ZFsub
\vdash 
\forall \underline{
\mathsf {r}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf{x}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf{y}}
\colon 
\forall \underline{\mathsf {bs}}
\colon 
\lceil \overline{
\mathsf {s}}
\rceil 
\#^0
\lceil \underline{
\mathsf {r}}
\rceil 
\mathrel {\makebox [0mm][l]{$\vdash $}\,{\vdash }} 
\lceil \overline{
\mathsf {s}}
\rceil 
\#^0
\lceil \underline{\mathsf {bs}}
\rceil 
\mathrel {\makebox [0mm][l]{$\vdash $}\,{\vdash }} 
\lceil \overline{
\mathsf {t}}
\rceil 
\#^0
\lceil \underline{
\mathsf {r}}
\rceil 
\mathrel {\makebox [0mm][l]{$\vdash $}\,{\vdash }} 
\lceil \overline{
\mathsf {t}}
\rceil 
\#^0
\lceil \underline{\mathsf {bs}}
\rceil 
\mathrel {\makebox [0mm][l]{$\vdash $}\,{\vdash }} 
\lceil \overline{
\mathsf {u}}
\rceil 
\#^0
\lceil \underline{
\mathsf {r}}
\rceil 
\mathrel {\makebox [0mm][l]{$\vdash $}\,{\vdash }} 
\lceil \overline{
\mathsf {u}}
\rceil 
\#^0
\lceil \underline{\mathsf {bs}}
\rceil 
\mathrel {\makebox [0mm][l]{$\vdash $}\,{\vdash }} \underline{
\mathsf{x}}
 \mathrel{\in} \underline{\mathsf {bs}}
\vdash \underline{
\mathsf{y}}
 \mathrel{\in} \underline{\mathsf {bs}}
\vdash \dot{\neg}\, \dot{\neg}\, 
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {s}}
\colon \overline{
\mathsf {s}}
 \mathrel{\in} \underline{\mathsf {bs}}
\Rightarrow \{\{\overline{
\mathsf {s}}
,\overline{
\mathsf {s}}
\}
,\{\overline{
\mathsf {s}}
,\overline{
\mathsf {s}}
\}
\}
 \mathrel{\in} \underline{
\mathsf {r}}
\Rightarrow \dot{\neg}\, 
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {s}}
\colon 
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {t}}
\colon \overline{
\mathsf {s}}
 \mathrel{\in} \underline{\mathsf {bs}}
\Rightarrow \overline{
\mathsf {t}}
 \mathrel{\in} \underline{\mathsf {bs}}
\Rightarrow \{\{\overline{
\mathsf {s}}
,\overline{
\mathsf {s}}
\}
,\{\overline{
\mathsf {s}}
,\overline{
\mathsf {t}}
\}
\}
 \mathrel{\in} \underline{
\mathsf {r}}
\Rightarrow \{\{\overline{
\mathsf {t}}
,\overline{
\mathsf {t}}
\}
,\{\overline{
\mathsf {t}}
,\overline{
\mathsf {s}}
\}
\}
 \mathrel{\in} \underline{
\mathsf {r}}
\Rightarrow \dot{\neg}\, 
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {s}}
\colon 
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {t}}
\colon 
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {u}}
\colon \overline{
\mathsf {s}}
 \mathrel{\in} \underline{\mathsf {bs}}
\Rightarrow \overline{
\mathsf {t}}
 \mathrel{\in} \underline{\mathsf {bs}}
\Rightarrow \overline{
\mathsf {u}}
 \mathrel{\in} \underline{\mathsf {bs}}
\Rightarrow \{\{\overline{
\mathsf {s}}
,\overline{
\mathsf {s}}
\}
,\{\overline{
\mathsf {s}}
,\overline{
\mathsf {t}}
\}
\}
 \mathrel{\in} \underline{
\mathsf {r}}
\Rightarrow \{\{\overline{
\mathsf {t}}
,\overline{
\mathsf {t}}
\}
,\{\overline{
\mathsf {t}}
,\overline{
\mathsf {u}}
\}
\}
 \mathrel{\in} \underline{
\mathsf {r}}
\Rightarrow \{\{\overline{
\mathsf {s}}
,\overline{
\mathsf {s}}
\}
,\{\overline{
\mathsf {s}}
,\overline{
\mathsf {u}}
\}
\}
 \mathrel{\in} \underline{
\mathsf {r}}
\vdash \dot{\neg}\,  \{ ph \mathrel{\in} \underline{\mathsf {bs}}
\mid \{\{
\mathsf {a}
 _{Ph} 
,
\mathsf {a}
 _{Ph} 
\}
,\{
\mathsf {a}
 _{Ph} 
,\underline{
\mathsf{x}}
\}
\}
 \mathrel{\in} \underline{
\mathsf {r}}
\}
\!\mathrel{=}\!  \{ ph \mathrel{\in} \underline{\mathsf {bs}}
\mid \{\{
\mathsf {a}
 _{Ph} 
,
\mathsf {a}
 _{Ph} 
\}
,\{
\mathsf {a}
 _{Ph} 
,\underline{
\mathsf{y}}
\}
\}
 \mathrel{\in} \underline{
\mathsf {r}}
\}
\vdash EqNecessary
\mathrel {\makebox [0mm][l]{$\rhd $}\,{\rhd }} 
\lceil \overline{
\mathsf {s}}
\rceil 
\#^0
\lceil \underline{
\mathsf {r}}
\rceil 
\mathrel {\makebox [0mm][l]{$\rhd $}\,{\rhd }} 
\lceil \overline{
\mathsf {s}}
\rceil 
\#^0
\lceil \underline{\mathsf {bs}}
\rceil 
\mathrel {\makebox [0mm][l]{$\rhd $}\,{\rhd }} 
\lceil \overline{
\mathsf {t}}
\rceil 
\#^0
\lceil \underline{
\mathsf {r}}
\rceil 
\mathrel {\makebox [0mm][l]{$\rhd $}\,{\rhd }} 
\lceil \overline{
\mathsf {t}}
\rceil 
\#^0
\lceil \underline{\mathsf {bs}}
\rceil 
\mathrel {\makebox [0mm][l]{$\rhd $}\,{\rhd }} 
\lceil \overline{
\mathsf {u}}
\rceil 
\#^0
\lceil \underline{
\mathsf {r}}
\rceil 
\mathrel {\makebox [0mm][l]{$\rhd $}\,{\rhd }} 
\lceil \overline{
\mathsf {u}}
\rceil 
\#^0
\lceil \underline{\mathsf {bs}}
\rceil 
\rhd \underline{
\mathsf{x}}
 \mathrel{\in} \underline{\mathsf {bs}}
\rhd \underline{
\mathsf{y}}
 \mathrel{\in} \underline{\mathsf {bs}}
\rhd \dot{\neg}\, \dot{\neg}\, 
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {s}}
\colon \overline{
\mathsf {s}}
 \mathrel{\in} \underline{\mathsf {bs}}
\Rightarrow \{\{\overline{
\mathsf {s}}
,\overline{
\mathsf {s}}
\}
,\{\overline{
\mathsf {s}}
,\overline{
\mathsf {s}}
\}
\}
 \mathrel{\in} \underline{
\mathsf {r}}
\Rightarrow \dot{\neg}\, 
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {s}}
\colon 
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {t}}
\colon \overline{
\mathsf {s}}
 \mathrel{\in} \underline{\mathsf {bs}}
\Rightarrow \overline{
\mathsf {t}}
 \mathrel{\in} \underline{\mathsf {bs}}
\Rightarrow \{\{\overline{
\mathsf {s}}
,\overline{
\mathsf {s}}
\}
,\{\overline{
\mathsf {s}}
,\overline{
\mathsf {t}}
\}
\}
 \mathrel{\in} \underline{
\mathsf {r}}
\Rightarrow \{\{\overline{
\mathsf {t}}
,\overline{
\mathsf {t}}
\}
,\{\overline{
\mathsf {t}}
,\overline{
\mathsf {s}}
\}
\}
 \mathrel{\in} \underline{
\mathsf {r}}
\Rightarrow \dot{\neg}\, 
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {s}}
\colon 
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {t}}
\colon 
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {u}}
\colon \overline{
\mathsf {s}}
 \mathrel{\in} \underline{\mathsf {bs}}
\Rightarrow \overline{
\mathsf {t}}
 \mathrel{\in} \underline{\mathsf {bs}}
\Rightarrow \overline{
\mathsf {u}}
 \mathrel{\in} \underline{\mathsf {bs}}
\Rightarrow \{\{\overline{
\mathsf {s}}
,\overline{
\mathsf {s}}
\}
,\{\overline{
\mathsf {s}}
,\overline{
\mathsf {t}}
\}
\}
 \mathrel{\in} \underline{
\mathsf {r}}
\Rightarrow \{\{\overline{
\mathsf {t}}
,\overline{
\mathsf {t}}
\}
,\{\overline{
\mathsf {t}}
,\overline{
\mathsf {u}}
\}
\}
 \mathrel{\in} \underline{
\mathsf {r}}
\Rightarrow \{\{\overline{
\mathsf {s}}
,\overline{
\mathsf {s}}
\}
,\{\overline{
\mathsf {s}}
,\overline{
\mathsf {u}}
\}
\}
 \mathrel{\in} \underline{
\mathsf {r}}
\gg \{\{\underline{
\mathsf{x}}
,\underline{
\mathsf{x}}
\}
,\{\underline{
\mathsf{x}}
,\underline{
\mathsf{y}}
\}
\}
 \mathrel{\in} \underline{
\mathsf {r}}
\Rightarrow  \{ ph \mathrel{\in} \underline{\mathsf {bs}}
\mid \{\{
\mathsf {a}
 _{Ph} 
,
\mathsf {a}
 _{Ph} 
\}
,\{
\mathsf {a}
 _{Ph} 
,\underline{
\mathsf{x}}
\}
\}
 \mathrel{\in} \underline{
\mathsf {r}}
\}
\!\mathrel{=}\!  \{ ph \mathrel{\in} \underline{\mathsf {bs}}
\mid \{\{
\mathsf {a}
 _{Ph} 
,
\mathsf {a}
 _{Ph} 
\}
,\{
\mathsf {a}
 _{Ph} 
,\underline{
\mathsf{y}}
\}
\}
 \mathrel{\in} \underline{
\mathsf {r}}
\}
; MT
\rhd \{\{\underline{
\mathsf{x}}
,\underline{
\mathsf{x}}
\}
,\{\underline{
\mathsf{x}}
,\underline{
\mathsf{y}}
\}
\}
 \mathrel{\in} \underline{
\mathsf {r}}
\Rightarrow  \{ ph \mathrel{\in} \underline{\mathsf {bs}}
\mid \{\{
\mathsf {a}
 _{Ph} 
,
\mathsf {a}
 _{Ph} 
\}
,\{
\mathsf {a}
 _{Ph} 
,\underline{
\mathsf{x}}
\}
\}
 \mathrel{\in} \underline{
\mathsf {r}}
\}
\!\mathrel{=}\!  \{ ph \mathrel{\in} \underline{\mathsf {bs}}
\mid \{\{
\mathsf {a}
 _{Ph} 
,
\mathsf {a}
 _{Ph} 
\}
,\{
\mathsf {a}
 _{Ph} 
,\underline{
\mathsf{y}}
\}
\}
 \mathrel{\in} \underline{
\mathsf {r}}
\}
\rhd \dot{\neg}\,  \{ ph \mathrel{\in} \underline{\mathsf {bs}}
\mid \{\{
\mathsf {a}
 _{Ph} 
,
\mathsf {a}
 _{Ph} 
\}
,\{
\mathsf {a}
 _{Ph} 
,\underline{
\mathsf{x}}
\}
\}
 \mathrel{\in} \underline{
\mathsf {r}}
\}
\!\mathrel{=}\!  \{ ph \mathrel{\in} \underline{\mathsf {bs}}
\mid \{\{
\mathsf {a}
 _{Ph} 
,
\mathsf {a}
 _{Ph} 
\}
,\{
\mathsf {a}
 _{Ph} 
,\underline{
\mathsf{y}}
\}
\}
 \mathrel{\in} \underline{
\mathsf {r}}
\}
\gg \dot{\neg}\, \{\{\underline{
\mathsf{x}}
,\underline{
\mathsf{x}}
\}
,\{\underline{
\mathsf{x}}
,\underline{
\mathsf{y}}
\}
\}
 \mathrel{\in} \underline{
\mathsf {r}}
; NoneEqNecessary
\mathrel {\makebox [0mm][l]{$\rhd $}\,{\rhd }} 
\lceil \overline{
\mathsf {s}}
\rceil 
\#^0
\lceil \underline{
\mathsf {r}}
\rceil 
\mathrel {\makebox [0mm][l]{$\rhd $}\,{\rhd }} 
\lceil \overline{
\mathsf {s}}
\rceil 
\#^0
\lceil \underline{\mathsf {bs}}
\rceil 
\mathrel {\makebox [0mm][l]{$\rhd $}\,{\rhd }} 
\lceil \overline{
\mathsf {t}}
\rceil 
\#^0
\lceil \underline{
\mathsf {r}}
\rceil 
\mathrel {\makebox [0mm][l]{$\rhd $}\,{\rhd }} 
\lceil \overline{
\mathsf {t}}
\rceil 
\#^0
\lceil \underline{\mathsf {bs}}
\rceil 
\mathrel {\makebox [0mm][l]{$\rhd $}\,{\rhd }} 
\lceil \overline{
\mathsf {u}}
\rceil 
\#^0
\lceil \underline{
\mathsf {r}}
\rceil 
\mathrel {\makebox [0mm][l]{$\rhd $}\,{\rhd }} 
\lceil \overline{
\mathsf {u}}
\rceil 
\#^0
\lceil \underline{\mathsf {bs}}
\rceil 
\rhd \underline{
\mathsf{x}}
 \mathrel{\in} \underline{\mathsf {bs}}
\rhd \underline{
\mathsf{y}}
 \mathrel{\in} \underline{\mathsf {bs}}
\rhd \dot{\neg}\, \dot{\neg}\, 
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {s}}
\colon \overline{
\mathsf {s}}
 \mathrel{\in} \underline{\mathsf {bs}}
\Rightarrow \{\{\overline{
\mathsf {s}}
,\overline{
\mathsf {s}}
\}
,\{\overline{
\mathsf {s}}
,\overline{
\mathsf {s}}
\}
\}
 \mathrel{\in} \underline{
\mathsf {r}}
\Rightarrow \dot{\neg}\, 
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {s}}
\colon 
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {t}}
\colon \overline{
\mathsf {s}}
 \mathrel{\in} \underline{\mathsf {bs}}
\Rightarrow \overline{
\mathsf {t}}
 \mathrel{\in} \underline{\mathsf {bs}}
\Rightarrow \{\{\overline{
\mathsf {s}}
,\overline{
\mathsf {s}}
\}
,\{\overline{
\mathsf {s}}
,\overline{
\mathsf {t}}
\}
\}
 \mathrel{\in} \underline{
\mathsf {r}}
\Rightarrow \{\{\overline{
\mathsf {t}}
,\overline{
\mathsf {t}}
\}
,\{\overline{
\mathsf {t}}
,\overline{
\mathsf {s}}
\}
\}
 \mathrel{\in} \underline{
\mathsf {r}}
\Rightarrow \dot{\neg}\, 
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {s}}
\colon 
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {t}}
\colon 
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {u}}
\colon \overline{
\mathsf {s}}
 \mathrel{\in} \underline{\mathsf {bs}}
\Rightarrow \overline{
\mathsf {t}}
 \mathrel{\in} \underline{\mathsf {bs}}
\Rightarrow \overline{
\mathsf {u}}
 \mathrel{\in} \underline{\mathsf {bs}}
\Rightarrow \{\{\overline{
\mathsf {s}}
,\overline{
\mathsf {s}}
\}
,\{\overline{
\mathsf {s}}
,\overline{
\mathsf {t}}
\}
\}
 \mathrel{\in} \underline{
\mathsf {r}}
\Rightarrow \{\{\overline{
\mathsf {t}}
,\overline{
\mathsf {t}}
\}
,\{\overline{
\mathsf {t}}
,\overline{
\mathsf {u}}
\}
\}
 \mathrel{\in} \underline{
\mathsf {r}}
\Rightarrow \{\{\overline{
\mathsf {s}}
,\overline{
\mathsf {s}}
\}
,\{\overline{
\mathsf {s}}
,\overline{
\mathsf {u}}
\}
\}
 \mathrel{\in} \underline{
\mathsf {r}}
\gg \dot{\neg}\, \{\{\underline{
\mathsf{x}}
,\underline{
\mathsf{x}}
\}
,\{\underline{
\mathsf{x}}
,\underline{
\mathsf{y}}
\}
\}
 \mathrel{\in} \underline{
\mathsf {r}}
\Rightarrow  \{ ph \mathrel{\in} \cup \{\{ \{ ph \mathrel{\in} \underline{\mathsf {bs}}
\mid \{\{
\mathsf {a}
 _{Ph} 
,
\mathsf {a}
 _{Ph} 
\}
,\{
\mathsf {a}
 _{Ph} 
,\underline{
\mathsf{x}}
\}
\}
 \mathrel{\in} \underline{
\mathsf {r}}
\}
, \{ ph \mathrel{\in} \underline{\mathsf {bs}}
\mid \{\{
\mathsf {a}
 _{Ph} 
,
\mathsf {a}
 _{Ph} 
\}
,\{
\mathsf {a}
 _{Ph} 
,\underline{
\mathsf{x}}
\}
\}
 \mathrel{\in} \underline{
\mathsf {r}}
\}
\}
,\{ \{ ph \mathrel{\in} \underline{\mathsf {bs}}
\mid \{\{
\mathsf {a}
 _{Ph} 
,
\mathsf {a}
 _{Ph} 
\}
,\{
\mathsf {a}
 _{Ph} 
,\underline{
\mathsf{y}}
\}
\}
 \mathrel{\in} \underline{
\mathsf {r}}
\}
, \{ ph \mathrel{\in} \underline{\mathsf {bs}}
\mid \{\{
\mathsf {a}
 _{Ph} 
,
\mathsf {a}
 _{Ph} 
\}
,\{
\mathsf {a}
 _{Ph} 
,\underline{
\mathsf{y}}
\}
\}
 \mathrel{\in} \underline{
\mathsf {r}}
\}
\}
\}
\mid \dot{\neg}\, 
\mathsf {c}
 _{Ph} 
 \mathrel{\in}  \{ ph \mathrel{\in} \underline{\mathsf {bs}}
\mid \{\{
\mathsf {a}
 _{Ph} 
,
\mathsf {a}
 _{Ph} 
\}
,\{
\mathsf {a}
 _{Ph} 
,\underline{
\mathsf{x}}
\}
\}
 \mathrel{\in} \underline{
\mathsf {r}}
\}
\Rightarrow \dot{\neg}\, 
\mathsf {c}
 _{Ph} 
 \mathrel{\in}  \{ ph \mathrel{\in} \underline{\mathsf {bs}}
\mid \{\{
\mathsf {a}
 _{Ph} 
,
\mathsf {a}
 _{Ph} 
\}
,\{
\mathsf {a}
 _{Ph} 
,\underline{
\mathsf{y}}
\}
\}
 \mathrel{\in} \underline{
\mathsf {r}}
\}
\}
\!\mathrel{=}\! \mathrm{\O}
; MP
\rhd \dot{\neg}\, \{\{\underline{
\mathsf{x}}
,\underline{
\mathsf{x}}
\}
,\{\underline{
\mathsf{x}}
,\underline{
\mathsf{y}}
\}
\}
 \mathrel{\in} \underline{
\mathsf {r}}
\Rightarrow  \{ ph \mathrel{\in} \cup \{\{ \{ ph \mathrel{\in} \underline{\mathsf {bs}}
\mid \{\{
\mathsf {a}
 _{Ph} 
,
\mathsf {a}
 _{Ph} 
\}
,\{
\mathsf {a}
 _{Ph} 
,\underline{
\mathsf{x}}
\}
\}
 \mathrel{\in} \underline{
\mathsf {r}}
\}
, \{ ph \mathrel{\in} \underline{\mathsf {bs}}
\mid \{\{
\mathsf {a}
 _{Ph} 
,
\mathsf {a}
 _{Ph} 
\}
,\{
\mathsf {a}
 _{Ph} 
,\underline{
\mathsf{x}}
\}
\}
 \mathrel{\in} \underline{
\mathsf {r}}
\}
\}
,\{ \{ ph \mathrel{\in} \underline{\mathsf {bs}}
\mid \{\{
\mathsf {a}
 _{Ph} 
,
\mathsf {a}
 _{Ph} 
\}
,\{
\mathsf {a}
 _{Ph} 
,\underline{
\mathsf{y}}
\}
\}
 \mathrel{\in} \underline{
\mathsf {r}}
\}
, \{ ph \mathrel{\in} \underline{\mathsf {bs}}
\mid \{\{
\mathsf {a}
 _{Ph} 
,
\mathsf {a}
 _{Ph} 
\}
,\{
\mathsf {a}
 _{Ph} 
,\underline{
\mathsf{y}}
\}
\}
 \mathrel{\in} \underline{
\mathsf {r}}
\}
\}
\}
\mid \dot{\neg}\, 
\mathsf {c}
 _{Ph} 
 \mathrel{\in}  \{ ph \mathrel{\in} \underline{\mathsf {bs}}
\mid \{\{
\mathsf {a}
 _{Ph} 
,
\mathsf {a}
 _{Ph} 
\}
,\{
\mathsf {a}
 _{Ph} 
,\underline{
\mathsf{x}}
\}
\}
 \mathrel{\in} \underline{
\mathsf {r}}
\}
\Rightarrow \dot{\neg}\, 
\mathsf {c}
 _{Ph} 
 \mathrel{\in}  \{ ph \mathrel{\in} \underline{\mathsf {bs}}
\mid \{\{
\mathsf {a}
 _{Ph} 
,
\mathsf {a}
 _{Ph} 
\}
,\{
\mathsf {a}
 _{Ph} 
,\underline{
\mathsf{y}}
\}
\}
 \mathrel{\in} \underline{
\mathsf {r}}
\}
\}
\!\mathrel{=}\! \mathrm{\O}
\rhd \dot{\neg}\, \{\{\underline{
\mathsf{x}}
,\underline{
\mathsf{x}}
\}
,\{\underline{
\mathsf{x}}
,\underline{
\mathsf{y}}
\}
\}
 \mathrel{\in} \underline{
\mathsf {r}}
\gg  \{ ph \mathrel{\in} \cup \{\{ \{ ph \mathrel{\in} \underline{\mathsf {bs}}
\mid \{\{
\mathsf {a}
 _{Ph} 
,
\mathsf {a}
 _{Ph} 
\}
,\{
\mathsf {a}
 _{Ph} 
,\underline{
\mathsf{x}}
\}
\}
 \mathrel{\in} \underline{
\mathsf {r}}
\}
, \{ ph \mathrel{\in} \underline{\mathsf {bs}}
\mid \{\{
\mathsf {a}
 _{Ph} 
,
\mathsf {a}
 _{Ph} 
\}
,\{
\mathsf {a}
 _{Ph} 
,\underline{
\mathsf{x}}
\}
\}
 \mathrel{\in} \underline{
\mathsf {r}}
\}
\}
,\{ \{ ph \mathrel{\in} \underline{\mathsf {bs}}
\mid \{\{
\mathsf {a}
 _{Ph} 
,
\mathsf {a}
 _{Ph} 
\}
,\{
\mathsf {a}
 _{Ph} 
,\underline{
\mathsf{y}}
\}
\}
 \mathrel{\in} \underline{
\mathsf {r}}
\}
, \{ ph \mathrel{\in} \underline{\mathsf {bs}}
\mid \{\{
\mathsf {a}
 _{Ph} 
,
\mathsf {a}
 _{Ph} 
\}
,\{
\mathsf {a}
 _{Ph} 
,\underline{
\mathsf{y}}
\}
\}
 \mathrel{\in} \underline{
\mathsf {r}}
\}
\}
\}
\mid \dot{\neg}\, 
\mathsf {c}
 _{Ph} 
 \mathrel{\in}  \{ ph \mathrel{\in} \underline{\mathsf {bs}}
\mid \{\{
\mathsf {a}
 _{Ph} 
,
\mathsf {a}
 _{Ph} 
\}
,\{
\mathsf {a}
 _{Ph} 
,\underline{
\mathsf{x}}
\}
\}
 \mathrel{\in} \underline{
\mathsf {r}}
\}
\Rightarrow \dot{\neg}\, 
\mathsf {c}
 _{Ph} 
 \mathrel{\in}  \{ ph \mathrel{\in} \underline{\mathsf {bs}}
\mid \{\{
\mathsf {a}
 _{Ph} 
,
\mathsf {a}
 _{Ph} 
\}
,\{
\mathsf {a}
 _{Ph} 
,\underline{
\mathsf{y}}
\}
\}
 \mathrel{\in} \underline{
\mathsf {r}}
\}
\}
\!\mathrel{=}\! \mathrm{\O}
\rceil 
, 
p_0
, 
\mathsf {c}
)
]$

$\rm
[EqClassesAreDisjoint
\stackrel{
stmt
}{\rightarrow}ZFsub
\vdash 
\forall \underline{
\mathsf {r}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf{x}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf{y}}
\colon 
\forall \underline{\mathsf {bs}}
\colon 
\lceil \overline{
\mathsf {s}}
\rceil 
\#^0
\lceil \underline{
\mathsf {r}}
\rceil 
\mathrel {\makebox [0mm][l]{$\vdash $}\,{\vdash }} 
\lceil \overline{
\mathsf {s}}
\rceil 
\#^0
\lceil \underline{\mathsf {bs}}
\rceil 
\mathrel {\makebox [0mm][l]{$\vdash $}\,{\vdash }} 
\lceil \overline{
\mathsf {t}}
\rceil 
\#^0
\lceil \underline{
\mathsf {r}}
\rceil 
\mathrel {\makebox [0mm][l]{$\vdash $}\,{\vdash }} 
\lceil \overline{
\mathsf {t}}
\rceil 
\#^0
\lceil \underline{\mathsf {bs}}
\rceil 
\mathrel {\makebox [0mm][l]{$\vdash $}\,{\vdash }} 
\lceil \overline{
\mathsf {u}}
\rceil 
\#^0
\lceil \underline{
\mathsf {r}}
\rceil 
\mathrel {\makebox [0mm][l]{$\vdash $}\,{\vdash }} 
\lceil \overline{
\mathsf {u}}
\rceil 
\#^0
\lceil \underline{\mathsf {bs}}
\rceil 
\mathrel {\makebox [0mm][l]{$\vdash $}\,{\vdash }} \underline{
\mathsf{x}}
 \mathrel{\in} \underline{\mathsf {bs}}
\vdash \underline{
\mathsf{y}}
 \mathrel{\in} \underline{\mathsf {bs}}
\vdash \dot{\neg}\, \dot{\neg}\, 
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {s}}
\colon \overline{
\mathsf {s}}
 \mathrel{\in} \underline{\mathsf {bs}}
\Rightarrow \{\{\overline{
\mathsf {s}}
,\overline{
\mathsf {s}}
\}
,\{\overline{
\mathsf {s}}
,\overline{
\mathsf {s}}
\}
\}
 \mathrel{\in} \underline{
\mathsf {r}}
\Rightarrow \dot{\neg}\, 
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {s}}
\colon 
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {t}}
\colon \overline{
\mathsf {s}}
 \mathrel{\in} \underline{\mathsf {bs}}
\Rightarrow \overline{
\mathsf {t}}
 \mathrel{\in} \underline{\mathsf {bs}}
\Rightarrow \{\{\overline{
\mathsf {s}}
,\overline{
\mathsf {s}}
\}
,\{\overline{
\mathsf {s}}
,\overline{
\mathsf {t}}
\}
\}
 \mathrel{\in} \underline{
\mathsf {r}}
\Rightarrow \{\{\overline{
\mathsf {t}}
,\overline{
\mathsf {t}}
\}
,\{\overline{
\mathsf {t}}
,\overline{
\mathsf {s}}
\}
\}
 \mathrel{\in} \underline{
\mathsf {r}}
\Rightarrow \dot{\neg}\, 
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {s}}
\colon 
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {t}}
\colon 
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {u}}
\colon \overline{
\mathsf {s}}
 \mathrel{\in} \underline{\mathsf {bs}}
\Rightarrow \overline{
\mathsf {t}}
 \mathrel{\in} \underline{\mathsf {bs}}
\Rightarrow \overline{
\mathsf {u}}
 \mathrel{\in} \underline{\mathsf {bs}}
\Rightarrow \{\{\overline{
\mathsf {s}}
,\overline{
\mathsf {s}}
\}
,\{\overline{
\mathsf {s}}
,\overline{
\mathsf {t}}
\}
\}
 \mathrel{\in} \underline{
\mathsf {r}}
\Rightarrow \{\{\overline{
\mathsf {t}}
,\overline{
\mathsf {t}}
\}
,\{\overline{
\mathsf {t}}
,\overline{
\mathsf {u}}
\}
\}
 \mathrel{\in} \underline{
\mathsf {r}}
\Rightarrow \{\{\overline{
\mathsf {s}}
,\overline{
\mathsf {s}}
\}
,\{\overline{
\mathsf {s}}
,\overline{
\mathsf {u}}
\}
\}
 \mathrel{\in} \underline{
\mathsf {r}}
\vdash \dot{\neg}\,  \{ ph \mathrel{\in} \underline{\mathsf {bs}}
\mid \{\{
\mathsf {a}
 _{Ph} 
,
\mathsf {a}
 _{Ph} 
\}
,\{
\mathsf {a}
 _{Ph} 
,\underline{
\mathsf{x}}
\}
\}
 \mathrel{\in} \underline{
\mathsf {r}}
\}
\!\mathrel{=}\!  \{ ph \mathrel{\in} \underline{\mathsf {bs}}
\mid \{\{
\mathsf {a}
 _{Ph} 
,
\mathsf {a}
 _{Ph} 
\}
,\{
\mathsf {a}
 _{Ph} 
,\underline{
\mathsf{y}}
\}
\}
 \mathrel{\in} \underline{
\mathsf {r}}
\}
\vdash  \{ ph \mathrel{\in} \cup \{\{ \{ ph \mathrel{\in} \underline{\mathsf {bs}}
\mid \{\{
\mathsf {a}
 _{Ph} 
,
\mathsf {a}
 _{Ph} 
\}
,\{
\mathsf {a}
 _{Ph} 
,\underline{
\mathsf{x}}
\}
\}
 \mathrel{\in} \underline{
\mathsf {r}}
\}
, \{ ph \mathrel{\in} \underline{\mathsf {bs}}
\mid \{\{
\mathsf {a}
 _{Ph} 
,
\mathsf {a}
 _{Ph} 
\}
,\{
\mathsf {a}
 _{Ph} 
,\underline{
\mathsf{x}}
\}
\}
 \mathrel{\in} \underline{
\mathsf {r}}
\}
\}
,\{ \{ ph \mathrel{\in} \underline{\mathsf {bs}}
\mid \{\{
\mathsf {a}
 _{Ph} 
,
\mathsf {a}
 _{Ph} 
\}
,\{
\mathsf {a}
 _{Ph} 
,\underline{
\mathsf{y}}
\}
\}
 \mathrel{\in} \underline{
\mathsf {r}}
\}
, \{ ph \mathrel{\in} \underline{\mathsf {bs}}
\mid \{\{
\mathsf {a}
 _{Ph} 
,
\mathsf {a}
 _{Ph} 
\}
,\{
\mathsf {a}
 _{Ph} 
,\underline{
\mathsf{y}}
\}
\}
 \mathrel{\in} \underline{
\mathsf {r}}
\}
\}
\}
\mid \dot{\neg}\, 
\mathsf {c}
 _{Ph} 
 \mathrel{\in}  \{ ph \mathrel{\in} \underline{\mathsf {bs}}
\mid \{\{
\mathsf {a}
 _{Ph} 
,
\mathsf {a}
 _{Ph} 
\}
,\{
\mathsf {a}
 _{Ph} 
,\underline{
\mathsf{x}}
\}
\}
 \mathrel{\in} \underline{
\mathsf {r}}
\}
\Rightarrow \dot{\neg}\, 
\mathsf {c}
 _{Ph} 
 \mathrel{\in}  \{ ph \mathrel{\in} \underline{\mathsf {bs}}
\mid \{\{
\mathsf {a}
 _{Ph} 
,
\mathsf {a}
 _{Ph} 
\}
,\{
\mathsf {a}
 _{Ph} 
,\underline{
\mathsf{y}}
\}
\}
 \mathrel{\in} \underline{
\mathsf {r}}
\}
\}
\!\mathrel{=}\! \mathrm{\O}
]$

$\rm
[EqClassesAreDisjoint
\stackrel{
\mathrm{tex}
}{\rightarrow}
\mbox{``}EqClassesAreDisjoint
\mbox{''}
]$

$\rm
[EqClassesAreDisjoint
\stackrel{
\mathrm{pyk}
}{\rightarrow}
\mbox{``}lemma
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}equivalence
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}classes
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}are
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}disjoint
\mbox{''}
]$

\hypertarget {url:1808490560655876194608813785663292462486349118665588524157069396079556865:146}{}\section* {$\rm AllDisjoint$}

$\rm
[AllDisjoint
\stackrel{
proof
}{\rightarrow}
\lambda 
\mathsf {c}
.
\lambda 
\mathsf{x}
.
{\cal P}( 
\lceil ZFsub
\vdash \dot{\neg}\, \dot{\neg}\, 
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {s}}
\colon \overline{
\mathsf {s}}
 \mathrel{\in} \overline{\mathsf {bs}}
\Rightarrow \{\{\overline{
\mathsf {s}}
,\overline{
\mathsf {s}}
\}
,\{\overline{
\mathsf {s}}
,\overline{
\mathsf {s}}
\}
\}
 \mathrel{\in} \overline{
\mathsf {r}}
\Rightarrow \dot{\neg}\, 
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {s}}
\colon 
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {t}}
\colon \overline{
\mathsf {s}}
 \mathrel{\in} \overline{\mathsf {bs}}
\Rightarrow \overline{
\mathsf {t}}
 \mathrel{\in} \overline{\mathsf {bs}}
\Rightarrow \{\{\overline{
\mathsf {s}}
,\overline{
\mathsf {s}}
\}
,\{\overline{
\mathsf {s}}
,\overline{
\mathsf {t}}
\}
\}
 \mathrel{\in} \overline{
\mathsf {r}}
\Rightarrow \{\{\overline{
\mathsf {t}}
,\overline{
\mathsf {t}}
\}
,\{\overline{
\mathsf {t}}
,\overline{
\mathsf {s}}
\}
\}
 \mathrel{\in} \overline{
\mathsf {r}}
\Rightarrow \dot{\neg}\, 
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {s}}
\colon 
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {t}}
\colon 
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {u}}
\colon \overline{
\mathsf {s}}
 \mathrel{\in} \overline{\mathsf {bs}}
\Rightarrow \overline{
\mathsf {t}}
 \mathrel{\in} \overline{\mathsf {bs}}
\Rightarrow \overline{
\mathsf {u}}
 \mathrel{\in} \overline{\mathsf {bs}}
\Rightarrow \{\{\overline{
\mathsf {s}}
,\overline{
\mathsf {s}}
\}
,\{\overline{
\mathsf {s}}
,\overline{
\mathsf {t}}
\}
\}
 \mathrel{\in} \overline{
\mathsf {r}}
\Rightarrow \{\{\overline{
\mathsf {t}}
,\overline{
\mathsf {t}}
\}
,\{\overline{
\mathsf {t}}
,\overline{
\mathsf {u}}
\}
\}
 \mathrel{\in} \overline{
\mathsf {r}}
\Rightarrow \{\{\overline{
\mathsf {s}}
,\overline{
\mathsf {s}}
\}
,\{\overline{
\mathsf {s}}
,\overline{
\mathsf {u}}
\}
\}
 \mathrel{\in} \overline{
\mathsf {r}}
\vdash \overline{
\mathsf{x}}
 \mathrel{\in}  \{ ph \mathrel{\in} P(\overline{\mathsf {bs}}
)
\mid \dot{\neg}\, 
\mathsf {t}
 _{Ex}
 \mathrel{\in} \overline{\mathsf {bs}}
\Rightarrow \dot{\neg}\,  \{ ph \mathrel{\in} \overline{\mathsf {bs}}
\mid \{\{
\mathsf {a}
 _{Ph} 
,
\mathsf {a}
 _{Ph} 
\}
,\{
\mathsf {a}
 _{Ph} 
,
\mathsf {t}
 _{Ex}
\}
\}
 \mathrel{\in} \overline{
\mathsf {r}}
\}
\!\mathrel{=}\! 
\mathsf {b}
 _{Ph} 
\}
\vdash \overline{
\mathsf{y}}
 \mathrel{\in}  \{ ph \mathrel{\in} P(\overline{\mathsf {bs}}
)
\mid \dot{\neg}\, 
\mathsf {t}
 _{Ex}
 \mathrel{\in} \overline{\mathsf {bs}}
\Rightarrow \dot{\neg}\,  \{ ph \mathrel{\in} \overline{\mathsf {bs}}
\mid \{\{
\mathsf {a}
 _{Ph} 
,
\mathsf {a}
 _{Ph} 
\}
,\{
\mathsf {a}
 _{Ph} 
,
\mathsf {t}
 _{Ex}
\}
\}
 \mathrel{\in} \overline{
\mathsf {r}}
\}
\!\mathrel{=}\! 
\mathsf {b}
 _{Ph} 
\}
\vdash \dot{\neg}\, \overline{
\mathsf{x}}
\!\mathrel{=}\! \overline{
\mathsf{y}}
\vdash Sep2Formula
\rhd \overline{
\mathsf{x}}
 \mathrel{\in}  \{ ph \mathrel{\in} P(\overline{\mathsf {bs}}
)
\mid \dot{\neg}\, 
\mathsf {t}
 _{Ex}
 \mathrel{\in} \overline{\mathsf {bs}}
\Rightarrow \dot{\neg}\,  \{ ph \mathrel{\in} \overline{\mathsf {bs}}
\mid \{\{
\mathsf {a}
 _{Ph} 
,
\mathsf {a}
 _{Ph} 
\}
,\{
\mathsf {a}
 _{Ph} 
,
\mathsf {t}
 _{Ex}
\}
\}
 \mathrel{\in} \overline{
\mathsf {r}}
\}
\!\mathrel{=}\! 
\mathsf {b}
 _{Ph} 
\}
\gg \dot{\neg}\, \overline{
\mathsf{x}}
 \mathrel{\in} P(\overline{\mathsf {bs}}
)
\Rightarrow \dot{\neg}\, \dot{\neg}\, 
\mathsf {a}
 _{Ex}
 \mathrel{\in} \overline{\mathsf {bs}}
\Rightarrow \dot{\neg}\,  \{ ph \mathrel{\in} \overline{\mathsf {bs}}
\mid \{\{
\mathsf {a}
 _{Ph} 
,
\mathsf {a}
 _{Ph} 
\}
,\{
\mathsf {a}
 _{Ph} 
,
\mathsf {a}
 _{Ex}
\}
\}
 \mathrel{\in} \overline{
\mathsf {r}}
\}
\!\mathrel{=}\! \overline{
\mathsf{x}}
; SecondConjunct
\rhd \dot{\neg}\, \overline{
\mathsf{x}}
 \mathrel{\in} P(\overline{\mathsf {bs}}
)
\Rightarrow \dot{\neg}\, \dot{\neg}\, 
\mathsf {a}
 _{Ex}
 \mathrel{\in} \overline{\mathsf {bs}}
\Rightarrow \dot{\neg}\,  \{ ph \mathrel{\in} \overline{\mathsf {bs}}
\mid \{\{
\mathsf {a}
 _{Ph} 
,
\mathsf {a}
 _{Ph} 
\}
,\{
\mathsf {a}
 _{Ph} 
,
\mathsf {a}
 _{Ex}
\}
\}
 \mathrel{\in} \overline{
\mathsf {r}}
\}
\!\mathrel{=}\! \overline{
\mathsf{x}}
\gg \dot{\neg}\, 
\mathsf {a}
 _{Ex}
 \mathrel{\in} \overline{\mathsf {bs}}
\Rightarrow \dot{\neg}\,  \{ ph \mathrel{\in} \overline{\mathsf {bs}}
\mid \{\{
\mathsf {a}
 _{Ph} 
,
\mathsf {a}
 _{Ph} 
\}
,\{
\mathsf {a}
 _{Ph} 
,
\mathsf {a}
 _{Ex}
\}
\}
 \mathrel{\in} \overline{
\mathsf {r}}
\}
\!\mathrel{=}\! \overline{
\mathsf{x}}
; FirstConjunct
\rhd \dot{\neg}\, 
\mathsf {a}
 _{Ex}
 \mathrel{\in} \overline{\mathsf {bs}}
\Rightarrow \dot{\neg}\,  \{ ph \mathrel{\in} \overline{\mathsf {bs}}
\mid \{\{
\mathsf {a}
 _{Ph} 
,
\mathsf {a}
 _{Ph} 
\}
,\{
\mathsf {a}
 _{Ph} 
,
\mathsf {a}
 _{Ex}
\}
\}
 \mathrel{\in} \overline{
\mathsf {r}}
\}
\!\mathrel{=}\! \overline{
\mathsf{x}}
\gg 
\mathsf {a}
 _{Ex}
 \mathrel{\in} \overline{\mathsf {bs}}
; SecondConjunct
\rhd \dot{\neg}\, 
\mathsf {a}
 _{Ex}
 \mathrel{\in} \overline{\mathsf {bs}}
\Rightarrow \dot{\neg}\,  \{ ph \mathrel{\in} \overline{\mathsf {bs}}
\mid \{\{
\mathsf {a}
 _{Ph} 
,
\mathsf {a}
 _{Ph} 
\}
,\{
\mathsf {a}
 _{Ph} 
,
\mathsf {a}
 _{Ex}
\}
\}
 \mathrel{\in} \overline{
\mathsf {r}}
\}
\!\mathrel{=}\! \overline{
\mathsf{x}}
\gg  \{ ph \mathrel{\in} \overline{\mathsf {bs}}
\mid \{\{
\mathsf {a}
 _{Ph} 
,
\mathsf {a}
 _{Ph} 
\}
,\{
\mathsf {a}
 _{Ph} 
,
\mathsf {a}
 _{Ex}
\}
\}
 \mathrel{\in} \overline{
\mathsf {r}}
\}
\!\mathrel{=}\! \overline{
\mathsf{x}}
; =\!{}Symmetry
\rhd  \{ ph \mathrel{\in} \overline{\mathsf {bs}}
\mid \{\{
\mathsf {a}
 _{Ph} 
,
\mathsf {a}
 _{Ph} 
\}
,\{
\mathsf {a}
 _{Ph} 
,
\mathsf {a}
 _{Ex}
\}
\}
 \mathrel{\in} \overline{
\mathsf {r}}
\}
\!\mathrel{=}\! \overline{
\mathsf{x}}
\gg \overline{
\mathsf{x}}
\!\mathrel{=}\!  \{ ph \mathrel{\in} \overline{\mathsf {bs}}
\mid \{\{
\mathsf {a}
 _{Ph} 
,
\mathsf {a}
 _{Ph} 
\}
,\{
\mathsf {a}
 _{Ph} 
,
\mathsf {a}
 _{Ex}
\}
\}
 \mathrel{\in} \overline{
\mathsf {r}}
\}
; Sep2Formula
\rhd \overline{
\mathsf{y}}
 \mathrel{\in}  \{ ph \mathrel{\in} P(\overline{\mathsf {bs}}
)
\mid \dot{\neg}\, 
\mathsf {t}
 _{Ex}
 \mathrel{\in} \overline{\mathsf {bs}}
\Rightarrow \dot{\neg}\,  \{ ph \mathrel{\in} \overline{\mathsf {bs}}
\mid \{\{
\mathsf {a}
 _{Ph} 
,
\mathsf {a}
 _{Ph} 
\}
,\{
\mathsf {a}
 _{Ph} 
,
\mathsf {t}
 _{Ex}
\}
\}
 \mathrel{\in} \overline{
\mathsf {r}}
\}
\!\mathrel{=}\! 
\mathsf {b}
 _{Ph} 
\}
\gg \dot{\neg}\, \overline{
\mathsf{y}}
 \mathrel{\in} P(\overline{\mathsf {bs}}
)
\Rightarrow \dot{\neg}\, \dot{\neg}\, 
\mathsf {b}
 _{Ex}
 \mathrel{\in} \overline{\mathsf {bs}}
\Rightarrow \dot{\neg}\,  \{ ph \mathrel{\in} \overline{\mathsf {bs}}
\mid \{\{
\mathsf {a}
 _{Ph} 
,
\mathsf {a}
 _{Ph} 
\}
,\{
\mathsf {a}
 _{Ph} 
,
\mathsf {b}
 _{Ex}
\}
\}
 \mathrel{\in} \overline{
\mathsf {r}}
\}
\!\mathrel{=}\! \overline{
\mathsf{y}}
; SecondConjunct
\rhd \dot{\neg}\, \overline{
\mathsf{y}}
 \mathrel{\in} P(\overline{\mathsf {bs}}
)
\Rightarrow \dot{\neg}\, \dot{\neg}\, 
\mathsf {b}
 _{Ex}
 \mathrel{\in} \overline{\mathsf {bs}}
\Rightarrow \dot{\neg}\,  \{ ph \mathrel{\in} \overline{\mathsf {bs}}
\mid \{\{
\mathsf {a}
 _{Ph} 
,
\mathsf {a}
 _{Ph} 
\}
,\{
\mathsf {a}
 _{Ph} 
,
\mathsf {b}
 _{Ex}
\}
\}
 \mathrel{\in} \overline{
\mathsf {r}}
\}
\!\mathrel{=}\! \overline{
\mathsf{y}}
\gg \dot{\neg}\, 
\mathsf {b}
 _{Ex}
 \mathrel{\in} \overline{\mathsf {bs}}
\Rightarrow \dot{\neg}\,  \{ ph \mathrel{\in} \overline{\mathsf {bs}}
\mid \{\{
\mathsf {a}
 _{Ph} 
,
\mathsf {a}
 _{Ph} 
\}
,\{
\mathsf {a}
 _{Ph} 
,
\mathsf {b}
 _{Ex}
\}
\}
 \mathrel{\in} \overline{
\mathsf {r}}
\}
\!\mathrel{=}\! \overline{
\mathsf{y}}
; FirstConjunct
\rhd \dot{\neg}\, 
\mathsf {b}
 _{Ex}
 \mathrel{\in} \overline{\mathsf {bs}}
\Rightarrow \dot{\neg}\,  \{ ph \mathrel{\in} \overline{\mathsf {bs}}
\mid \{\{
\mathsf {a}
 _{Ph} 
,
\mathsf {a}
 _{Ph} 
\}
,\{
\mathsf {a}
 _{Ph} 
,
\mathsf {b}
 _{Ex}
\}
\}
 \mathrel{\in} \overline{
\mathsf {r}}
\}
\!\mathrel{=}\! \overline{
\mathsf{y}}
\gg 
\mathsf {b}
 _{Ex}
 \mathrel{\in} \overline{\mathsf {bs}}
; SecondConjunct
\rhd \dot{\neg}\, 
\mathsf {b}
 _{Ex}
 \mathrel{\in} \overline{\mathsf {bs}}
\Rightarrow \dot{\neg}\,  \{ ph \mathrel{\in} \overline{\mathsf {bs}}
\mid \{\{
\mathsf {a}
 _{Ph} 
,
\mathsf {a}
 _{Ph} 
\}
,\{
\mathsf {a}
 _{Ph} 
,
\mathsf {b}
 _{Ex}
\}
\}
 \mathrel{\in} \overline{
\mathsf {r}}
\}
\!\mathrel{=}\! \overline{
\mathsf{y}}
\gg  \{ ph \mathrel{\in} \overline{\mathsf {bs}}
\mid \{\{
\mathsf {a}
 _{Ph} 
,
\mathsf {a}
 _{Ph} 
\}
,\{
\mathsf {a}
 _{Ph} 
,
\mathsf {b}
 _{Ex}
\}
\}
 \mathrel{\in} \overline{
\mathsf {r}}
\}
\!\mathrel{=}\! \overline{
\mathsf{y}}
; =\!{}Symmetry
\rhd  \{ ph \mathrel{\in} \overline{\mathsf {bs}}
\mid \{\{
\mathsf {a}
 _{Ph} 
,
\mathsf {a}
 _{Ph} 
\}
,\{
\mathsf {a}
 _{Ph} 
,
\mathsf {b}
 _{Ex}
\}
\}
 \mathrel{\in} \overline{
\mathsf {r}}
\}
\!\mathrel{=}\! \overline{
\mathsf{y}}
\gg \overline{
\mathsf{y}}
\!\mathrel{=}\!  \{ ph \mathrel{\in} \overline{\mathsf {bs}}
\mid \{\{
\mathsf {a}
 _{Ph} 
,
\mathsf {a}
 _{Ph} 
\}
,\{
\mathsf {a}
 _{Ph} 
,
\mathsf {b}
 _{Ex}
\}
\}
 \mathrel{\in} \overline{
\mathsf {r}}
\}
; TransferNotEq
\rhd \dot{\neg}\, \overline{
\mathsf{x}}
\!\mathrel{=}\! \overline{
\mathsf{y}}
\rhd \overline{
\mathsf{x}}
\!\mathrel{=}\!  \{ ph \mathrel{\in} \overline{\mathsf {bs}}
\mid \{\{
\mathsf {a}
 _{Ph} 
,
\mathsf {a}
 _{Ph} 
\}
,\{
\mathsf {a}
 _{Ph} 
,
\mathsf {a}
 _{Ex}
\}
\}
 \mathrel{\in} \overline{
\mathsf {r}}
\}
\rhd \overline{
\mathsf{y}}
\!\mathrel{=}\!  \{ ph \mathrel{\in} \overline{\mathsf {bs}}
\mid \{\{
\mathsf {a}
 _{Ph} 
,
\mathsf {a}
 _{Ph} 
\}
,\{
\mathsf {a}
 _{Ph} 
,
\mathsf {b}
 _{Ex}
\}
\}
 \mathrel{\in} \overline{
\mathsf {r}}
\}
\gg \dot{\neg}\,  \{ ph \mathrel{\in} \overline{\mathsf {bs}}
\mid \{\{
\mathsf {a}
 _{Ph} 
,
\mathsf {a}
 _{Ph} 
\}
,\{
\mathsf {a}
 _{Ph} 
,
\mathsf {a}
 _{Ex}
\}
\}
 \mathrel{\in} \overline{
\mathsf {r}}
\}
\!\mathrel{=}\!  \{ ph \mathrel{\in} \overline{\mathsf {bs}}
\mid \{\{
\mathsf {a}
 _{Ph} 
,
\mathsf {a}
 _{Ph} 
\}
,\{
\mathsf {a}
 _{Ph} 
,
\mathsf {b}
 _{Ex}
\}
\}
 \mathrel{\in} \overline{
\mathsf {r}}
\}
; EqClassesAreDisjoint
\rhd 
\mathsf {a}
 _{Ex}
 \mathrel{\in} \overline{\mathsf {bs}}
\rhd 
\mathsf {b}
 _{Ex}
 \mathrel{\in} \overline{\mathsf {bs}}
\rhd \dot{\neg}\, \dot{\neg}\, 
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {s}}
\colon \overline{
\mathsf {s}}
 \mathrel{\in} \overline{\mathsf {bs}}
\Rightarrow \{\{\overline{
\mathsf {s}}
,\overline{
\mathsf {s}}
\}
,\{\overline{
\mathsf {s}}
,\overline{
\mathsf {s}}
\}
\}
 \mathrel{\in} \overline{
\mathsf {r}}
\Rightarrow \dot{\neg}\, 
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {s}}
\colon 
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {t}}
\colon \overline{
\mathsf {s}}
 \mathrel{\in} \overline{\mathsf {bs}}
\Rightarrow \overline{
\mathsf {t}}
 \mathrel{\in} \overline{\mathsf {bs}}
\Rightarrow \{\{\overline{
\mathsf {s}}
,\overline{
\mathsf {s}}
\}
,\{\overline{
\mathsf {s}}
,\overline{
\mathsf {t}}
\}
\}
 \mathrel{\in} \overline{
\mathsf {r}}
\Rightarrow \{\{\overline{
\mathsf {t}}
,\overline{
\mathsf {t}}
\}
,\{\overline{
\mathsf {t}}
,\overline{
\mathsf {s}}
\}
\}
 \mathrel{\in} \overline{
\mathsf {r}}
\Rightarrow \dot{\neg}\, 
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {s}}
\colon 
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {t}}
\colon 
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {u}}
\colon \overline{
\mathsf {s}}
 \mathrel{\in} \overline{\mathsf {bs}}
\Rightarrow \overline{
\mathsf {t}}
 \mathrel{\in} \overline{\mathsf {bs}}
\Rightarrow \overline{
\mathsf {u}}
 \mathrel{\in} \overline{\mathsf {bs}}
\Rightarrow \{\{\overline{
\mathsf {s}}
,\overline{
\mathsf {s}}
\}
,\{\overline{
\mathsf {s}}
,\overline{
\mathsf {t}}
\}
\}
 \mathrel{\in} \overline{
\mathsf {r}}
\Rightarrow \{\{\overline{
\mathsf {t}}
,\overline{
\mathsf {t}}
\}
,\{\overline{
\mathsf {t}}
,\overline{
\mathsf {u}}
\}
\}
 \mathrel{\in} \overline{
\mathsf {r}}
\Rightarrow \{\{\overline{
\mathsf {s}}
,\overline{
\mathsf {s}}
\}
,\{\overline{
\mathsf {s}}
,\overline{
\mathsf {u}}
\}
\}
 \mathrel{\in} \overline{
\mathsf {r}}
\rhd \dot{\neg}\,  \{ ph \mathrel{\in} \overline{\mathsf {bs}}
\mid \{\{
\mathsf {a}
 _{Ph} 
,
\mathsf {a}
 _{Ph} 
\}
,\{
\mathsf {a}
 _{Ph} 
,
\mathsf {a}
 _{Ex}
\}
\}
 \mathrel{\in} \overline{
\mathsf {r}}
\}
\!\mathrel{=}\!  \{ ph \mathrel{\in} \overline{\mathsf {bs}}
\mid \{\{
\mathsf {a}
 _{Ph} 
,
\mathsf {a}
 _{Ph} 
\}
,\{
\mathsf {a}
 _{Ph} 
,
\mathsf {b}
 _{Ex}
\}
\}
 \mathrel{\in} \overline{
\mathsf {r}}
\}
\gg  \{ ph \mathrel{\in} \cup \{\{ \{ ph \mathrel{\in} \overline{\mathsf {bs}}
\mid \{\{
\mathsf {a}
 _{Ph} 
,
\mathsf {a}
 _{Ph} 
\}
,\{
\mathsf {a}
 _{Ph} 
,
\mathsf {a}
 _{Ex}
\}
\}
 \mathrel{\in} \overline{
\mathsf {r}}
\}
, \{ ph \mathrel{\in} \overline{\mathsf {bs}}
\mid \{\{
\mathsf {a}
 _{Ph} 
,
\mathsf {a}
 _{Ph} 
\}
,\{
\mathsf {a}
 _{Ph} 
,
\mathsf {a}
 _{Ex}
\}
\}
 \mathrel{\in} \overline{
\mathsf {r}}
\}
\}
,\{ \{ ph \mathrel{\in} \overline{\mathsf {bs}}
\mid \{\{
\mathsf {a}
 _{Ph} 
,
\mathsf {a}
 _{Ph} 
\}
,\{
\mathsf {a}
 _{Ph} 
,
\mathsf {b}
 _{Ex}
\}
\}
 \mathrel{\in} \overline{
\mathsf {r}}
\}
, \{ ph \mathrel{\in} \overline{\mathsf {bs}}
\mid \{\{
\mathsf {a}
 _{Ph} 
,
\mathsf {a}
 _{Ph} 
\}
,\{
\mathsf {a}
 _{Ph} 
,
\mathsf {b}
 _{Ex}
\}
\}
 \mathrel{\in} \overline{
\mathsf {r}}
\}
\}
\}
\mid \dot{\neg}\, 
\mathsf {c}
 _{Ph} 
 \mathrel{\in}  \{ ph \mathrel{\in} \overline{\mathsf {bs}}
\mid \{\{
\mathsf {a}
 _{Ph} 
,
\mathsf {a}
 _{Ph} 
\}
,\{
\mathsf {a}
 _{Ph} 
,
\mathsf {a}
 _{Ex}
\}
\}
 \mathrel{\in} \overline{
\mathsf {r}}
\}
\Rightarrow \dot{\neg}\, 
\mathsf {c}
 _{Ph} 
 \mathrel{\in}  \{ ph \mathrel{\in} \overline{\mathsf {bs}}
\mid \{\{
\mathsf {a}
 _{Ph} 
,
\mathsf {a}
 _{Ph} 
\}
,\{
\mathsf {a}
 _{Ph} 
,
\mathsf {b}
 _{Ex}
\}
\}
 \mathrel{\in} \overline{
\mathsf {r}}
\}
\}
\!\mathrel{=}\! \mathrm{\O}
; SameIntersection
\rhd \overline{
\mathsf{x}}
\!\mathrel{=}\!  \{ ph \mathrel{\in} \overline{\mathsf {bs}}
\mid \{\{
\mathsf {a}
 _{Ph} 
,
\mathsf {a}
 _{Ph} 
\}
,\{
\mathsf {a}
 _{Ph} 
,
\mathsf {a}
 _{Ex}
\}
\}
 \mathrel{\in} \overline{
\mathsf {r}}
\}
\rhd \overline{
\mathsf{y}}
\!\mathrel{=}\!  \{ ph \mathrel{\in} \overline{\mathsf {bs}}
\mid \{\{
\mathsf {a}
 _{Ph} 
,
\mathsf {a}
 _{Ph} 
\}
,\{
\mathsf {a}
 _{Ph} 
,
\mathsf {b}
 _{Ex}
\}
\}
 \mathrel{\in} \overline{
\mathsf {r}}
\}
\gg  \{ ph \mathrel{\in} \cup \{\{\overline{
\mathsf{x}}
,\overline{
\mathsf{x}}
\}
,\{\overline{
\mathsf{y}}
,\overline{
\mathsf{y}}
\}
\}
\mid \dot{\neg}\, 
\mathsf {c}
 _{Ph} 
 \mathrel{\in} \overline{
\mathsf{x}}
\Rightarrow \dot{\neg}\, 
\mathsf {c}
 _{Ph} 
 \mathrel{\in} \overline{
\mathsf{y}}
\}
\!\mathrel{=}\!  \{ ph \mathrel{\in} \cup \{\{ \{ ph \mathrel{\in} \overline{\mathsf {bs}}
\mid \{\{
\mathsf {a}
 _{Ph} 
,
\mathsf {a}
 _{Ph} 
\}
,\{
\mathsf {a}
 _{Ph} 
,
\mathsf {a}
 _{Ex}
\}
\}
 \mathrel{\in} \overline{
\mathsf {r}}
\}
, \{ ph \mathrel{\in} \overline{\mathsf {bs}}
\mid \{\{
\mathsf {a}
 _{Ph} 
,
\mathsf {a}
 _{Ph} 
\}
,\{
\mathsf {a}
 _{Ph} 
,
\mathsf {a}
 _{Ex}
\}
\}
 \mathrel{\in} \overline{
\mathsf {r}}
\}
\}
,\{ \{ ph \mathrel{\in} \overline{\mathsf {bs}}
\mid \{\{
\mathsf {a}
 _{Ph} 
,
\mathsf {a}
 _{Ph} 
\}
,\{
\mathsf {a}
 _{Ph} 
,
\mathsf {b}
 _{Ex}
\}
\}
 \mathrel{\in} \overline{
\mathsf {r}}
\}
, \{ ph \mathrel{\in} \overline{\mathsf {bs}}
\mid \{\{
\mathsf {a}
 _{Ph} 
,
\mathsf {a}
 _{Ph} 
\}
,\{
\mathsf {a}
 _{Ph} 
,
\mathsf {b}
 _{Ex}
\}
\}
 \mathrel{\in} \overline{
\mathsf {r}}
\}
\}
\}
\mid \dot{\neg}\, 
\mathsf {c}
 _{Ph} 
 \mathrel{\in}  \{ ph \mathrel{\in} \overline{\mathsf {bs}}
\mid \{\{
\mathsf {a}
 _{Ph} 
,
\mathsf {a}
 _{Ph} 
\}
,\{
\mathsf {a}
 _{Ph} 
,
\mathsf {a}
 _{Ex}
\}
\}
 \mathrel{\in} \overline{
\mathsf {r}}
\}
\Rightarrow \dot{\neg}\, 
\mathsf {c}
 _{Ph} 
 \mathrel{\in}  \{ ph \mathrel{\in} \overline{\mathsf {bs}}
\mid \{\{
\mathsf {a}
 _{Ph} 
,
\mathsf {a}
 _{Ph} 
\}
,\{
\mathsf {a}
 _{Ph} 
,
\mathsf {b}
 _{Ex}
\}
\}
 \mathrel{\in} \overline{
\mathsf {r}}
\}
\}
; \!{}=\!{}Transitivity
\rhd  \{ ph \mathrel{\in} \cup \{\{\overline{
\mathsf{x}}
,\overline{
\mathsf{x}}
\}
,\{\overline{
\mathsf{y}}
,\overline{
\mathsf{y}}
\}
\}
\mid \dot{\neg}\, 
\mathsf {c}
 _{Ph} 
 \mathrel{\in} \overline{
\mathsf{x}}
\Rightarrow \dot{\neg}\, 
\mathsf {c}
 _{Ph} 
 \mathrel{\in} \overline{
\mathsf{y}}
\}
\!\mathrel{=}\!  \{ ph \mathrel{\in} \cup \{\{ \{ ph \mathrel{\in} \overline{\mathsf {bs}}
\mid \{\{
\mathsf {a}
 _{Ph} 
,
\mathsf {a}
 _{Ph} 
\}
,\{
\mathsf {a}
 _{Ph} 
,
\mathsf {a}
 _{Ex}
\}
\}
 \mathrel{\in} \overline{
\mathsf {r}}
\}
, \{ ph \mathrel{\in} \overline{\mathsf {bs}}
\mid \{\{
\mathsf {a}
 _{Ph} 
,
\mathsf {a}
 _{Ph} 
\}
,\{
\mathsf {a}
 _{Ph} 
,
\mathsf {a}
 _{Ex}
\}
\}
 \mathrel{\in} \overline{
\mathsf {r}}
\}
\}
,\{ \{ ph \mathrel{\in} \overline{\mathsf {bs}}
\mid \{\{
\mathsf {a}
 _{Ph} 
,
\mathsf {a}
 _{Ph} 
\}
,\{
\mathsf {a}
 _{Ph} 
,
\mathsf {b}
 _{Ex}
\}
\}
 \mathrel{\in} \overline{
\mathsf {r}}
\}
, \{ ph \mathrel{\in} \overline{\mathsf {bs}}
\mid \{\{
\mathsf {a}
 _{Ph} 
,
\mathsf {a}
 _{Ph} 
\}
,\{
\mathsf {a}
 _{Ph} 
,
\mathsf {b}
 _{Ex}
\}
\}
 \mathrel{\in} \overline{
\mathsf {r}}
\}
\}
\}
\mid \dot{\neg}\, 
\mathsf {c}
 _{Ph} 
 \mathrel{\in}  \{ ph \mathrel{\in} \overline{\mathsf {bs}}
\mid \{\{
\mathsf {a}
 _{Ph} 
,
\mathsf {a}
 _{Ph} 
\}
,\{
\mathsf {a}
 _{Ph} 
,
\mathsf {a}
 _{Ex}
\}
\}
 \mathrel{\in} \overline{
\mathsf {r}}
\}
\Rightarrow \dot{\neg}\, 
\mathsf {c}
 _{Ph} 
 \mathrel{\in}  \{ ph \mathrel{\in} \overline{\mathsf {bs}}
\mid \{\{
\mathsf {a}
 _{Ph} 
,
\mathsf {a}
 _{Ph} 
\}
,\{
\mathsf {a}
 _{Ph} 
,
\mathsf {b}
 _{Ex}
\}
\}
 \mathrel{\in} \overline{
\mathsf {r}}
\}
\}
\rhd  \{ ph \mathrel{\in} \cup \{\{ \{ ph \mathrel{\in} \overline{\mathsf {bs}}
\mid \{\{
\mathsf {a}
 _{Ph} 
,
\mathsf {a}
 _{Ph} 
\}
,\{
\mathsf {a}
 _{Ph} 
,
\mathsf {a}
 _{Ex}
\}
\}
 \mathrel{\in} \overline{
\mathsf {r}}
\}
, \{ ph \mathrel{\in} \overline{\mathsf {bs}}
\mid \{\{
\mathsf {a}
 _{Ph} 
,
\mathsf {a}
 _{Ph} 
\}
,\{
\mathsf {a}
 _{Ph} 
,
\mathsf {a}
 _{Ex}
\}
\}
 \mathrel{\in} \overline{
\mathsf {r}}
\}
\}
,\{ \{ ph \mathrel{\in} \overline{\mathsf {bs}}
\mid \{\{
\mathsf {a}
 _{Ph} 
,
\mathsf {a}
 _{Ph} 
\}
,\{
\mathsf {a}
 _{Ph} 
,
\mathsf {b}
 _{Ex}
\}
\}
 \mathrel{\in} \overline{
\mathsf {r}}
\}
, \{ ph \mathrel{\in} \overline{\mathsf {bs}}
\mid \{\{
\mathsf {a}
 _{Ph} 
,
\mathsf {a}
 _{Ph} 
\}
,\{
\mathsf {a}
 _{Ph} 
,
\mathsf {b}
 _{Ex}
\}
\}
 \mathrel{\in} \overline{
\mathsf {r}}
\}
\}
\}
\mid \dot{\neg}\, 
\mathsf {c}
 _{Ph} 
 \mathrel{\in}  \{ ph \mathrel{\in} \overline{\mathsf {bs}}
\mid \{\{
\mathsf {a}
 _{Ph} 
,
\mathsf {a}
 _{Ph} 
\}
,\{
\mathsf {a}
 _{Ph} 
,
\mathsf {a}
 _{Ex}
\}
\}
 \mathrel{\in} \overline{
\mathsf {r}}
\}
\Rightarrow \dot{\neg}\, 
\mathsf {c}
 _{Ph} 
 \mathrel{\in}  \{ ph \mathrel{\in} \overline{\mathsf {bs}}
\mid \{\{
\mathsf {a}
 _{Ph} 
,
\mathsf {a}
 _{Ph} 
\}
,\{
\mathsf {a}
 _{Ph} 
,
\mathsf {b}
 _{Ex}
\}
\}
 \mathrel{\in} \overline{
\mathsf {r}}
\}
\}
\!\mathrel{=}\! \mathrm{\O}
\gg  \{ ph \mathrel{\in} \cup \{\{\overline{
\mathsf{x}}
,\overline{
\mathsf{x}}
\}
,\{\overline{
\mathsf{y}}
,\overline{
\mathsf{y}}
\}
\}
\mid \dot{\neg}\, 
\mathsf {c}
 _{Ph} 
 \mathrel{\in} \overline{
\mathsf{x}}
\Rightarrow \dot{\neg}\, 
\mathsf {c}
 _{Ph} 
 \mathrel{\in} \overline{
\mathsf{y}}
\}
\!\mathrel{=}\! \mathrm{\O}
\rceil 
, 
p_0
, 
\mathsf {c}
)
]$

$\rm
[AllDisjoint
\stackrel{
stmt
}{\rightarrow}ZFsub
\vdash \dot{\neg}\, \dot{\neg}\, 
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {s}}
\colon \overline{
\mathsf {s}}
 \mathrel{\in} \overline{\mathsf {bs}}
\Rightarrow \{\{\overline{
\mathsf {s}}
,\overline{
\mathsf {s}}
\}
,\{\overline{
\mathsf {s}}
,\overline{
\mathsf {s}}
\}
\}
 \mathrel{\in} \overline{
\mathsf {r}}
\Rightarrow \dot{\neg}\, 
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {s}}
\colon 
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {t}}
\colon \overline{
\mathsf {s}}
 \mathrel{\in} \overline{\mathsf {bs}}
\Rightarrow \overline{
\mathsf {t}}
 \mathrel{\in} \overline{\mathsf {bs}}
\Rightarrow \{\{\overline{
\mathsf {s}}
,\overline{
\mathsf {s}}
\}
,\{\overline{
\mathsf {s}}
,\overline{
\mathsf {t}}
\}
\}
 \mathrel{\in} \overline{
\mathsf {r}}
\Rightarrow \{\{\overline{
\mathsf {t}}
,\overline{
\mathsf {t}}
\}
,\{\overline{
\mathsf {t}}
,\overline{
\mathsf {s}}
\}
\}
 \mathrel{\in} \overline{
\mathsf {r}}
\Rightarrow \dot{\neg}\, 
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {s}}
\colon 
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {t}}
\colon 
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {u}}
\colon \overline{
\mathsf {s}}
 \mathrel{\in} \overline{\mathsf {bs}}
\Rightarrow \overline{
\mathsf {t}}
 \mathrel{\in} \overline{\mathsf {bs}}
\Rightarrow \overline{
\mathsf {u}}
 \mathrel{\in} \overline{\mathsf {bs}}
\Rightarrow \{\{\overline{
\mathsf {s}}
,\overline{
\mathsf {s}}
\}
,\{\overline{
\mathsf {s}}
,\overline{
\mathsf {t}}
\}
\}
 \mathrel{\in} \overline{
\mathsf {r}}
\Rightarrow \{\{\overline{
\mathsf {t}}
,\overline{
\mathsf {t}}
\}
,\{\overline{
\mathsf {t}}
,\overline{
\mathsf {u}}
\}
\}
 \mathrel{\in} \overline{
\mathsf {r}}
\Rightarrow \{\{\overline{
\mathsf {s}}
,\overline{
\mathsf {s}}
\}
,\{\overline{
\mathsf {s}}
,\overline{
\mathsf {u}}
\}
\}
 \mathrel{\in} \overline{
\mathsf {r}}
\vdash \overline{
\mathsf{x}}
 \mathrel{\in}  \{ ph \mathrel{\in} P(\overline{\mathsf {bs}}
)
\mid \dot{\neg}\, 
\mathsf {t}
 _{Ex}
 \mathrel{\in} \overline{\mathsf {bs}}
\Rightarrow \dot{\neg}\,  \{ ph \mathrel{\in} \overline{\mathsf {bs}}
\mid \{\{
\mathsf {a}
 _{Ph} 
,
\mathsf {a}
 _{Ph} 
\}
,\{
\mathsf {a}
 _{Ph} 
,
\mathsf {t}
 _{Ex}
\}
\}
 \mathrel{\in} \overline{
\mathsf {r}}
\}
\!\mathrel{=}\! 
\mathsf {b}
 _{Ph} 
\}
\vdash \overline{
\mathsf{y}}
 \mathrel{\in}  \{ ph \mathrel{\in} P(\overline{\mathsf {bs}}
)
\mid \dot{\neg}\, 
\mathsf {t}
 _{Ex}
 \mathrel{\in} \overline{\mathsf {bs}}
\Rightarrow \dot{\neg}\,  \{ ph \mathrel{\in} \overline{\mathsf {bs}}
\mid \{\{
\mathsf {a}
 _{Ph} 
,
\mathsf {a}
 _{Ph} 
\}
,\{
\mathsf {a}
 _{Ph} 
,
\mathsf {t}
 _{Ex}
\}
\}
 \mathrel{\in} \overline{
\mathsf {r}}
\}
\!\mathrel{=}\! 
\mathsf {b}
 _{Ph} 
\}
\vdash \dot{\neg}\, \overline{
\mathsf{x}}
\!\mathrel{=}\! \overline{
\mathsf{y}}
\vdash  \{ ph \mathrel{\in} \cup \{\{\overline{
\mathsf{x}}
,\overline{
\mathsf{x}}
\}
,\{\overline{
\mathsf{y}}
,\overline{
\mathsf{y}}
\}
\}
\mid \dot{\neg}\, 
\mathsf {c}
 _{Ph} 
 \mathrel{\in} \overline{
\mathsf{x}}
\Rightarrow \dot{\neg}\, 
\mathsf {c}
 _{Ph} 
 \mathrel{\in} \overline{
\mathsf{y}}
\}
\!\mathrel{=}\! \mathrm{\O}
]$

$\rm
[AllDisjoint
\stackrel{
\mathrm{tex}
}{\rightarrow}
\mbox{``}AllDisjoint
\mbox{''}
]$

$\rm
[AllDisjoint
\stackrel{
\mathrm{pyk}
}{\rightarrow}
\mbox{``}lemma
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}all
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}disjoint
\mbox{''}
]$

\hypertarget {url:1808490560655876194608813785663292462486349118665588524157069396079556865:147}{}\section* {$\rm AllDisjointImply$}

$\rm
[AllDisjointImply
\stackrel{
proof
}{\rightarrow}
\lambda 
\mathsf {c}
.
\lambda 
\mathsf{x}
.
{\cal P}( 
\lceil ZFsub
\vdash 
\forall \underline{
\mathsf {r}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf{x}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf{y}}
\colon 
\forall \underline{\mathsf {bs}}
\colon \dot{\neg}\, \dot{\neg}\, 
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {s}}
\colon \overline{
\mathsf {s}}
 \mathrel{\in} \underline{\mathsf {bs}}
\Rightarrow \{\{\overline{
\mathsf {s}}
,\overline{
\mathsf {s}}
\}
,\{\overline{
\mathsf {s}}
,\overline{
\mathsf {s}}
\}
\}
 \mathrel{\in} \underline{
\mathsf {r}}
\Rightarrow \dot{\neg}\, 
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {s}}
\colon 
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {t}}
\colon \overline{
\mathsf {s}}
 \mathrel{\in} \underline{\mathsf {bs}}
\Rightarrow \overline{
\mathsf {t}}
 \mathrel{\in} \underline{\mathsf {bs}}
\Rightarrow \{\{\overline{
\mathsf {s}}
,\overline{
\mathsf {s}}
\}
,\{\overline{
\mathsf {s}}
,\overline{
\mathsf {t}}
\}
\}
 \mathrel{\in} \underline{
\mathsf {r}}
\Rightarrow \{\{\overline{
\mathsf {t}}
,\overline{
\mathsf {t}}
\}
,\{\overline{
\mathsf {t}}
,\overline{
\mathsf {s}}
\}
\}
 \mathrel{\in} \underline{
\mathsf {r}}
\Rightarrow \dot{\neg}\, 
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {s}}
\colon 
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {t}}
\colon 
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {u}}
\colon \overline{
\mathsf {s}}
 \mathrel{\in} \underline{\mathsf {bs}}
\Rightarrow \overline{
\mathsf {t}}
 \mathrel{\in} \underline{\mathsf {bs}}
\Rightarrow \overline{
\mathsf {u}}
 \mathrel{\in} \underline{\mathsf {bs}}
\Rightarrow \{\{\overline{
\mathsf {s}}
,\overline{
\mathsf {s}}
\}
,\{\overline{
\mathsf {s}}
,\overline{
\mathsf {t}}
\}
\}
 \mathrel{\in} \underline{
\mathsf {r}}
\Rightarrow \{\{\overline{
\mathsf {t}}
,\overline{
\mathsf {t}}
\}
,\{\overline{
\mathsf {t}}
,\overline{
\mathsf {u}}
\}
\}
 \mathrel{\in} \underline{
\mathsf {r}}
\Rightarrow \{\{\overline{
\mathsf {s}}
,\overline{
\mathsf {s}}
\}
,\{\overline{
\mathsf {s}}
,\overline{
\mathsf {u}}
\}
\}
 \mathrel{\in} \underline{
\mathsf {r}}
\vdash \underline{
\mathsf{x}}
 \mathrel{\in}  \{ ph \mathrel{\in} P(\underline{\mathsf {bs}}
)
\mid \dot{\neg}\, 
\mathsf {t}
 _{Ex}
 \mathrel{\in} \underline{\mathsf {bs}}
\Rightarrow \dot{\neg}\,  \{ ph \mathrel{\in} \underline{\mathsf {bs}}
\mid \{\{
\mathsf {a}
 _{Ph} 
,
\mathsf {a}
 _{Ph} 
\}
,\{
\mathsf {a}
 _{Ph} 
,
\mathsf {t}
 _{Ex}
\}
\}
 \mathrel{\in} \underline{
\mathsf {r}}
\}
\!\mathrel{=}\! 
\mathsf {b}
 _{Ph} 
\}
\vdash \underline{
\mathsf{y}}
 \mathrel{\in}  \{ ph \mathrel{\in} P(\underline{\mathsf {bs}}
)
\mid \dot{\neg}\, 
\mathsf {t}
 _{Ex}
 \mathrel{\in} \underline{\mathsf {bs}}
\Rightarrow \dot{\neg}\,  \{ ph \mathrel{\in} \underline{\mathsf {bs}}
\mid \{\{
\mathsf {a}
 _{Ph} 
,
\mathsf {a}
 _{Ph} 
\}
,\{
\mathsf {a}
 _{Ph} 
,
\mathsf {t}
 _{Ex}
\}
\}
 \mathrel{\in} \underline{
\mathsf {r}}
\}
\!\mathrel{=}\! 
\mathsf {b}
 _{Ph} 
\}
\vdash \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf{x}}
\!\mathrel{=}\! \underline{
\mathsf{y}}
\vdash CheatAllDisjoint
\rhd \dot{\neg}\, \dot{\neg}\, 
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {s}}
\colon \overline{
\mathsf {s}}
 \mathrel{\in} \underline{\mathsf {bs}}
\Rightarrow \{\{\overline{
\mathsf {s}}
,\overline{
\mathsf {s}}
\}
,\{\overline{
\mathsf {s}}
,\overline{
\mathsf {s}}
\}
\}
 \mathrel{\in} \underline{
\mathsf {r}}
\Rightarrow \dot{\neg}\, 
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {s}}
\colon 
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {t}}
\colon \overline{
\mathsf {s}}
 \mathrel{\in} \underline{\mathsf {bs}}
\Rightarrow \overline{
\mathsf {t}}
 \mathrel{\in} \underline{\mathsf {bs}}
\Rightarrow \{\{\overline{
\mathsf {s}}
,\overline{
\mathsf {s}}
\}
,\{\overline{
\mathsf {s}}
,\overline{
\mathsf {t}}
\}
\}
 \mathrel{\in} \underline{
\mathsf {r}}
\Rightarrow \{\{\overline{
\mathsf {t}}
,\overline{
\mathsf {t}}
\}
,\{\overline{
\mathsf {t}}
,\overline{
\mathsf {s}}
\}
\}
 \mathrel{\in} \underline{
\mathsf {r}}
\Rightarrow \dot{\neg}\, 
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {s}}
\colon 
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {t}}
\colon 
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {u}}
\colon \overline{
\mathsf {s}}
 \mathrel{\in} \underline{\mathsf {bs}}
\Rightarrow \overline{
\mathsf {t}}
 \mathrel{\in} \underline{\mathsf {bs}}
\Rightarrow \overline{
\mathsf {u}}
 \mathrel{\in} \underline{\mathsf {bs}}
\Rightarrow \{\{\overline{
\mathsf {s}}
,\overline{
\mathsf {s}}
\}
,\{\overline{
\mathsf {s}}
,\overline{
\mathsf {t}}
\}
\}
 \mathrel{\in} \underline{
\mathsf {r}}
\Rightarrow \{\{\overline{
\mathsf {t}}
,\overline{
\mathsf {t}}
\}
,\{\overline{
\mathsf {t}}
,\overline{
\mathsf {u}}
\}
\}
 \mathrel{\in} \underline{
\mathsf {r}}
\Rightarrow \{\{\overline{
\mathsf {s}}
,\overline{
\mathsf {s}}
\}
,\{\overline{
\mathsf {s}}
,\overline{
\mathsf {u}}
\}
\}
 \mathrel{\in} \underline{
\mathsf {r}}
\rhd \underline{
\mathsf{x}}
 \mathrel{\in}  \{ ph \mathrel{\in} P(\underline{\mathsf {bs}}
)
\mid \dot{\neg}\, 
\mathsf {t}
 _{Ex}
 \mathrel{\in} \underline{\mathsf {bs}}
\Rightarrow \dot{\neg}\,  \{ ph \mathrel{\in} \underline{\mathsf {bs}}
\mid \{\{
\mathsf {a}
 _{Ph} 
,
\mathsf {a}
 _{Ph} 
\}
,\{
\mathsf {a}
 _{Ph} 
,
\mathsf {t}
 _{Ex}
\}
\}
 \mathrel{\in} \underline{
\mathsf {r}}
\}
\!\mathrel{=}\! 
\mathsf {b}
 _{Ph} 
\}
\rhd \underline{
\mathsf{y}}
 \mathrel{\in}  \{ ph \mathrel{\in} P(\underline{\mathsf {bs}}
)
\mid \dot{\neg}\, 
\mathsf {t}
 _{Ex}
 \mathrel{\in} \underline{\mathsf {bs}}
\Rightarrow \dot{\neg}\,  \{ ph \mathrel{\in} \underline{\mathsf {bs}}
\mid \{\{
\mathsf {a}
 _{Ph} 
,
\mathsf {a}
 _{Ph} 
\}
,\{
\mathsf {a}
 _{Ph} 
,
\mathsf {t}
 _{Ex}
\}
\}
 \mathrel{\in} \underline{
\mathsf {r}}
\}
\!\mathrel{=}\! 
\mathsf {b}
 _{Ph} 
\}
\rhd \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf{x}}
\!\mathrel{=}\! \underline{
\mathsf{y}}
\gg  \{ ph \mathrel{\in} \cup \{\{\underline{
\mathsf{x}}
,\underline{
\mathsf{x}}
\}
,\{\underline{
\mathsf{y}}
,\underline{
\mathsf{y}}
\}
\}
\mid \dot{\neg}\, 
\mathsf {c}
 _{Ph} 
 \mathrel{\in} \underline{
\mathsf{x}}
\Rightarrow \dot{\neg}\, 
\mathsf {c}
 _{Ph} 
 \mathrel{\in} \underline{
\mathsf{y}}
\}
\!\mathrel{=}\! \mathrm{\O}
; 
\forall \underline{
\mathsf {r}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf{x}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf{y}}
\colon 
\forall \underline{\mathsf {bs}}
\colon Ded
\rhd 
\forall \underline{
\mathsf {r}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf{x}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf{y}}
\colon 
\forall \underline{\mathsf {bs}}
\colon \dot{\neg}\, \dot{\neg}\, 
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {s}}
\colon \overline{
\mathsf {s}}
 \mathrel{\in} \underline{\mathsf {bs}}
\Rightarrow \{\{\overline{
\mathsf {s}}
,\overline{
\mathsf {s}}
\}
,\{\overline{
\mathsf {s}}
,\overline{
\mathsf {s}}
\}
\}
 \mathrel{\in} \underline{
\mathsf {r}}
\Rightarrow \dot{\neg}\, 
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {s}}
\colon 
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {t}}
\colon \overline{
\mathsf {s}}
 \mathrel{\in} \underline{\mathsf {bs}}
\Rightarrow \overline{
\mathsf {t}}
 \mathrel{\in} \underline{\mathsf {bs}}
\Rightarrow \{\{\overline{
\mathsf {s}}
,\overline{
\mathsf {s}}
\}
,\{\overline{
\mathsf {s}}
,\overline{
\mathsf {t}}
\}
\}
 \mathrel{\in} \underline{
\mathsf {r}}
\Rightarrow \{\{\overline{
\mathsf {t}}
,\overline{
\mathsf {t}}
\}
,\{\overline{
\mathsf {t}}
,\overline{
\mathsf {s}}
\}
\}
 \mathrel{\in} \underline{
\mathsf {r}}
\Rightarrow \dot{\neg}\, 
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {s}}
\colon 
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {t}}
\colon 
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {u}}
\colon \overline{
\mathsf {s}}
 \mathrel{\in} \underline{\mathsf {bs}}
\Rightarrow \overline{
\mathsf {t}}
 \mathrel{\in} \underline{\mathsf {bs}}
\Rightarrow \overline{
\mathsf {u}}
 \mathrel{\in} \underline{\mathsf {bs}}
\Rightarrow \{\{\overline{
\mathsf {s}}
,\overline{
\mathsf {s}}
\}
,\{\overline{
\mathsf {s}}
,\overline{
\mathsf {t}}
\}
\}
 \mathrel{\in} \underline{
\mathsf {r}}
\Rightarrow \{\{\overline{
\mathsf {t}}
,\overline{
\mathsf {t}}
\}
,\{\overline{
\mathsf {t}}
,\overline{
\mathsf {u}}
\}
\}
 \mathrel{\in} \underline{
\mathsf {r}}
\Rightarrow \{\{\overline{
\mathsf {s}}
,\overline{
\mathsf {s}}
\}
,\{\overline{
\mathsf {s}}
,\overline{
\mathsf {u}}
\}
\}
 \mathrel{\in} \underline{
\mathsf {r}}
\vdash \underline{
\mathsf{x}}
 \mathrel{\in}  \{ ph \mathrel{\in} P(\underline{\mathsf {bs}}
)
\mid \dot{\neg}\, 
\mathsf {t}
 _{Ex}
 \mathrel{\in} \underline{\mathsf {bs}}
\Rightarrow \dot{\neg}\,  \{ ph \mathrel{\in} \underline{\mathsf {bs}}
\mid \{\{
\mathsf {a}
 _{Ph} 
,
\mathsf {a}
 _{Ph} 
\}
,\{
\mathsf {a}
 _{Ph} 
,
\mathsf {t}
 _{Ex}
\}
\}
 \mathrel{\in} \underline{
\mathsf {r}}
\}
\!\mathrel{=}\! 
\mathsf {b}
 _{Ph} 
\}
\vdash \underline{
\mathsf{y}}
 \mathrel{\in}  \{ ph \mathrel{\in} P(\underline{\mathsf {bs}}
)
\mid \dot{\neg}\, 
\mathsf {t}
 _{Ex}
 \mathrel{\in} \underline{\mathsf {bs}}
\Rightarrow \dot{\neg}\,  \{ ph \mathrel{\in} \underline{\mathsf {bs}}
\mid \{\{
\mathsf {a}
 _{Ph} 
,
\mathsf {a}
 _{Ph} 
\}
,\{
\mathsf {a}
 _{Ph} 
,
\mathsf {t}
 _{Ex}
\}
\}
 \mathrel{\in} \underline{
\mathsf {r}}
\}
\!\mathrel{=}\! 
\mathsf {b}
 _{Ph} 
\}
\vdash \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf{x}}
\!\mathrel{=}\! \underline{
\mathsf{y}}
\vdash  \{ ph \mathrel{\in} \cup \{\{\underline{
\mathsf{x}}
,\underline{
\mathsf{x}}
\}
,\{\underline{
\mathsf{y}}
,\underline{
\mathsf{y}}
\}
\}
\mid \dot{\neg}\, 
\mathsf {c}
 _{Ph} 
 \mathrel{\in} \underline{
\mathsf{x}}
\Rightarrow \dot{\neg}\, 
\mathsf {c}
 _{Ph} 
 \mathrel{\in} \underline{
\mathsf{y}}
\}
\!\mathrel{=}\! \mathrm{\O}
\gg 
\lceil \overline{
\mathsf {s}}
\rceil 
\#^0
\lceil \underline{
\mathsf {r}}
\rceil 
\mathrel {\makebox [0mm][l]{$\vdash $}\,{\vdash }} 
\lceil \overline{
\mathsf {s}}
\rceil 
\#^0
\lceil \underline{\mathsf {bs}}
\rceil 
\mathrel {\makebox [0mm][l]{$\vdash $}\,{\vdash }} 
\lceil \overline{
\mathsf {t}}
\rceil 
\#^0
\lceil \underline{
\mathsf {r}}
\rceil 
\mathrel {\makebox [0mm][l]{$\vdash $}\,{\vdash }} 
\lceil \overline{
\mathsf {t}}
\rceil 
\#^0
\lceil \underline{\mathsf {bs}}
\rceil 
\mathrel {\makebox [0mm][l]{$\vdash $}\,{\vdash }} 
\lceil \overline{
\mathsf {u}}
\rceil 
\#^0
\lceil \underline{
\mathsf {r}}
\rceil 
\mathrel {\makebox [0mm][l]{$\vdash $}\,{\vdash }} 
\lceil \overline{
\mathsf {u}}
\rceil 
\#^0
\lceil \underline{\mathsf {bs}}
\rceil 
\mathrel {\makebox [0mm][l]{$\vdash $}\,{\vdash }} \dot{\neg}\, \dot{\neg}\, 
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {s}}
\colon \overline{
\mathsf {s}}
 \mathrel{\in} \underline{\mathsf {bs}}
\Rightarrow \{\{\overline{
\mathsf {s}}
,\overline{
\mathsf {s}}
\}
,\{\overline{
\mathsf {s}}
,\overline{
\mathsf {s}}
\}
\}
 \mathrel{\in} \underline{
\mathsf {r}}
\Rightarrow \dot{\neg}\, 
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {s}}
\colon 
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {t}}
\colon \overline{
\mathsf {s}}
 \mathrel{\in} \underline{\mathsf {bs}}
\Rightarrow \overline{
\mathsf {t}}
 \mathrel{\in} \underline{\mathsf {bs}}
\Rightarrow \{\{\overline{
\mathsf {s}}
,\overline{
\mathsf {s}}
\}
,\{\overline{
\mathsf {s}}
,\overline{
\mathsf {t}}
\}
\}
 \mathrel{\in} \underline{
\mathsf {r}}
\Rightarrow \{\{\overline{
\mathsf {t}}
,\overline{
\mathsf {t}}
\}
,\{\overline{
\mathsf {t}}
,\overline{
\mathsf {s}}
\}
\}
 \mathrel{\in} \underline{
\mathsf {r}}
\Rightarrow \dot{\neg}\, 
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {s}}
\colon 
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {t}}
\colon 
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {u}}
\colon \overline{
\mathsf {s}}
 \mathrel{\in} \underline{\mathsf {bs}}
\Rightarrow \overline{
\mathsf {t}}
 \mathrel{\in} \underline{\mathsf {bs}}
\Rightarrow \overline{
\mathsf {u}}
 \mathrel{\in} \underline{\mathsf {bs}}
\Rightarrow \{\{\overline{
\mathsf {s}}
,\overline{
\mathsf {s}}
\}
,\{\overline{
\mathsf {s}}
,\overline{
\mathsf {t}}
\}
\}
 \mathrel{\in} \underline{
\mathsf {r}}
\Rightarrow \{\{\overline{
\mathsf {t}}
,\overline{
\mathsf {t}}
\}
,\{\overline{
\mathsf {t}}
,\overline{
\mathsf {u}}
\}
\}
 \mathrel{\in} \underline{
\mathsf {r}}
\Rightarrow \{\{\overline{
\mathsf {s}}
,\overline{
\mathsf {s}}
\}
,\{\overline{
\mathsf {s}}
,\overline{
\mathsf {u}}
\}
\}
 \mathrel{\in} \underline{
\mathsf {r}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf{x}}
 \mathrel{\in}  \{ ph \mathrel{\in} P(\underline{\mathsf {bs}}
)
\mid \dot{\neg}\, 
\mathsf {t}
 _{Ex}
 \mathrel{\in} \underline{\mathsf {bs}}
\Rightarrow \dot{\neg}\,  \{ ph \mathrel{\in} \underline{\mathsf {bs}}
\mid \{\{
\mathsf {a}
 _{Ph} 
,
\mathsf {a}
 _{Ph} 
\}
,\{
\mathsf {a}
 _{Ph} 
,
\mathsf {t}
 _{Ex}
\}
\}
 \mathrel{\in} \underline{
\mathsf {r}}
\}
\!\mathrel{=}\! 
\mathsf {b}
 _{Ph} 
\}
\Rightarrow \underline{
\mathsf{y}}
 \mathrel{\in}  \{ ph \mathrel{\in} P(\underline{\mathsf {bs}}
)
\mid \dot{\neg}\, 
\mathsf {t}
 _{Ex}
 \mathrel{\in} \underline{\mathsf {bs}}
\Rightarrow \dot{\neg}\,  \{ ph \mathrel{\in} \underline{\mathsf {bs}}
\mid \{\{
\mathsf {a}
 _{Ph} 
,
\mathsf {a}
 _{Ph} 
\}
,\{
\mathsf {a}
 _{Ph} 
,
\mathsf {t}
 _{Ex}
\}
\}
 \mathrel{\in} \underline{
\mathsf {r}}
\}
\!\mathrel{=}\! 
\mathsf {b}
 _{Ph} 
\}
\Rightarrow \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf{x}}
\!\mathrel{=}\! \underline{
\mathsf{y}}
\Rightarrow  \{ ph \mathrel{\in} \cup \{\{\underline{
\mathsf{x}}
,\underline{
\mathsf{x}}
\}
,\{\underline{
\mathsf{y}}
,\underline{
\mathsf{y}}
\}
\}
\mid \dot{\neg}\, 
\mathsf {c}
 _{Ph} 
 \mathrel{\in} \underline{
\mathsf{x}}
\Rightarrow \dot{\neg}\, 
\mathsf {c}
 _{Ph} 
 \mathrel{\in} \underline{
\mathsf{y}}
\}
\!\mathrel{=}\! \mathrm{\O}
\rceil 
, 
p_0
, 
\mathsf {c}
)
]$

$\rm
[AllDisjointImply
\stackrel{
stmt
}{\rightarrow}ZFsub
\vdash 
\forall \underline{
\mathsf {r}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf{x}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf{y}}
\colon 
\forall \underline{\mathsf {bs}}
\colon 
\lceil \overline{
\mathsf {s}}
\rceil 
\#^0
\lceil \underline{
\mathsf {r}}
\rceil 
\mathrel {\makebox [0mm][l]{$\vdash $}\,{\vdash }} 
\lceil \overline{
\mathsf {s}}
\rceil 
\#^0
\lceil \underline{\mathsf {bs}}
\rceil 
\mathrel {\makebox [0mm][l]{$\vdash $}\,{\vdash }} 
\lceil \overline{
\mathsf {t}}
\rceil 
\#^0
\lceil \underline{
\mathsf {r}}
\rceil 
\mathrel {\makebox [0mm][l]{$\vdash $}\,{\vdash }} 
\lceil \overline{
\mathsf {t}}
\rceil 
\#^0
\lceil \underline{\mathsf {bs}}
\rceil 
\mathrel {\makebox [0mm][l]{$\vdash $}\,{\vdash }} 
\lceil \overline{
\mathsf {u}}
\rceil 
\#^0
\lceil \underline{
\mathsf {r}}
\rceil 
\mathrel {\makebox [0mm][l]{$\vdash $}\,{\vdash }} 
\lceil \overline{
\mathsf {u}}
\rceil 
\#^0
\lceil \underline{\mathsf {bs}}
\rceil 
\mathrel {\makebox [0mm][l]{$\vdash $}\,{\vdash }} \dot{\neg}\, \dot{\neg}\, 
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {s}}
\colon \overline{
\mathsf {s}}
 \mathrel{\in} \underline{\mathsf {bs}}
\Rightarrow \{\{\overline{
\mathsf {s}}
,\overline{
\mathsf {s}}
\}
,\{\overline{
\mathsf {s}}
,\overline{
\mathsf {s}}
\}
\}
 \mathrel{\in} \underline{
\mathsf {r}}
\Rightarrow \dot{\neg}\, 
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {s}}
\colon 
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {t}}
\colon \overline{
\mathsf {s}}
 \mathrel{\in} \underline{\mathsf {bs}}
\Rightarrow \overline{
\mathsf {t}}
 \mathrel{\in} \underline{\mathsf {bs}}
\Rightarrow \{\{\overline{
\mathsf {s}}
,\overline{
\mathsf {s}}
\}
,\{\overline{
\mathsf {s}}
,\overline{
\mathsf {t}}
\}
\}
 \mathrel{\in} \underline{
\mathsf {r}}
\Rightarrow \{\{\overline{
\mathsf {t}}
,\overline{
\mathsf {t}}
\}
,\{\overline{
\mathsf {t}}
,\overline{
\mathsf {s}}
\}
\}
 \mathrel{\in} \underline{
\mathsf {r}}
\Rightarrow \dot{\neg}\, 
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {s}}
\colon 
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {t}}
\colon 
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {u}}
\colon \overline{
\mathsf {s}}
 \mathrel{\in} \underline{\mathsf {bs}}
\Rightarrow \overline{
\mathsf {t}}
 \mathrel{\in} \underline{\mathsf {bs}}
\Rightarrow \overline{
\mathsf {u}}
 \mathrel{\in} \underline{\mathsf {bs}}
\Rightarrow \{\{\overline{
\mathsf {s}}
,\overline{
\mathsf {s}}
\}
,\{\overline{
\mathsf {s}}
,\overline{
\mathsf {t}}
\}
\}
 \mathrel{\in} \underline{
\mathsf {r}}
\Rightarrow \{\{\overline{
\mathsf {t}}
,\overline{
\mathsf {t}}
\}
,\{\overline{
\mathsf {t}}
,\overline{
\mathsf {u}}
\}
\}
 \mathrel{\in} \underline{
\mathsf {r}}
\Rightarrow \{\{\overline{
\mathsf {s}}
,\overline{
\mathsf {s}}
\}
,\{\overline{
\mathsf {s}}
,\overline{
\mathsf {u}}
\}
\}
 \mathrel{\in} \underline{
\mathsf {r}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf{x}}
 \mathrel{\in}  \{ ph \mathrel{\in} P(\underline{\mathsf {bs}}
)
\mid \dot{\neg}\, 
\mathsf {t}
 _{Ex}
 \mathrel{\in} \underline{\mathsf {bs}}
\Rightarrow \dot{\neg}\,  \{ ph \mathrel{\in} \underline{\mathsf {bs}}
\mid \{\{
\mathsf {a}
 _{Ph} 
,
\mathsf {a}
 _{Ph} 
\}
,\{
\mathsf {a}
 _{Ph} 
,
\mathsf {t}
 _{Ex}
\}
\}
 \mathrel{\in} \underline{
\mathsf {r}}
\}
\!\mathrel{=}\! 
\mathsf {b}
 _{Ph} 
\}
\Rightarrow \underline{
\mathsf{y}}
 \mathrel{\in}  \{ ph \mathrel{\in} P(\underline{\mathsf {bs}}
)
\mid \dot{\neg}\, 
\mathsf {t}
 _{Ex}
 \mathrel{\in} \underline{\mathsf {bs}}
\Rightarrow \dot{\neg}\,  \{ ph \mathrel{\in} \underline{\mathsf {bs}}
\mid \{\{
\mathsf {a}
 _{Ph} 
,
\mathsf {a}
 _{Ph} 
\}
,\{
\mathsf {a}
 _{Ph} 
,
\mathsf {t}
 _{Ex}
\}
\}
 \mathrel{\in} \underline{
\mathsf {r}}
\}
\!\mathrel{=}\! 
\mathsf {b}
 _{Ph} 
\}
\Rightarrow \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf{x}}
\!\mathrel{=}\! \underline{
\mathsf{y}}
\Rightarrow  \{ ph \mathrel{\in} \cup \{\{\underline{
\mathsf{x}}
,\underline{
\mathsf{x}}
\}
,\{\underline{
\mathsf{y}}
,\underline{
\mathsf{y}}
\}
\}
\mid \dot{\neg}\, 
\mathsf {c}
 _{Ph} 
 \mathrel{\in} \underline{
\mathsf{x}}
\Rightarrow \dot{\neg}\, 
\mathsf {c}
 _{Ph} 
 \mathrel{\in} \underline{
\mathsf{y}}
\}
\!\mathrel{=}\! \mathrm{\O}
]$

$\rm
[AllDisjointImply
\stackrel{
\mathrm{tex}
}{\rightarrow}
\mbox{``}AllDisjointImply
\mbox{''}
]$

$\rm
[AllDisjointImply
\stackrel{
\mathrm{pyk}
}{\rightarrow}
\mbox{``}lemma
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}all
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}disjoint
\mbox{-}imply
\mbox{''}
]$

\hypertarget {url:1808490560655876194608813785663292462486349118665588524157069396079556865:148}{}\section* {$\rm BSsubset$}

$\rm
[BSsubset
\stackrel{
proof
}{\rightarrow}
\lambda 
\mathsf {c}
.
\lambda 
\mathsf{x}
.
{\cal P}( 
\lceil ZFsub
\vdash 
\forall \underline{
\mathsf {r}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf {s}}
\colon 
\forall \underline{\mathsf {bs}}
\colon 
\lceil \overline{
\mathsf {s}}
\rceil 
\#^0
\lceil \underline{
\mathsf {r}}
\rceil 
\mathrel {\makebox [0mm][l]{$\vdash $}\,{\vdash }} 
\lceil \overline{
\mathsf {s}}
\rceil 
\#^0
\lceil \underline{\mathsf {bs}}
\rceil 
\mathrel {\makebox [0mm][l]{$\vdash $}\,{\vdash }} \dot{\neg}\, \dot{\neg}\, 
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {s}}
\colon \overline{
\mathsf {s}}
 \mathrel{\in} \underline{\mathsf {bs}}
\Rightarrow \{\{\overline{
\mathsf {s}}
,\overline{
\mathsf {s}}
\}
,\{\overline{
\mathsf {s}}
,\overline{
\mathsf {s}}
\}
\}
 \mathrel{\in} \underline{
\mathsf {r}}
\Rightarrow \dot{\neg}\, 
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {s}}
\colon 
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {t}}
\colon \overline{
\mathsf {s}}
 \mathrel{\in} \underline{\mathsf {bs}}
\Rightarrow \overline{
\mathsf {t}}
 \mathrel{\in} \underline{\mathsf {bs}}
\Rightarrow \{\{\overline{
\mathsf {s}}
,\overline{
\mathsf {s}}
\}
,\{\overline{
\mathsf {s}}
,\overline{
\mathsf {t}}
\}
\}
 \mathrel{\in} \underline{
\mathsf {r}}
\Rightarrow \{\{\overline{
\mathsf {t}}
,\overline{
\mathsf {t}}
\}
,\{\overline{
\mathsf {t}}
,\overline{
\mathsf {s}}
\}
\}
 \mathrel{\in} \underline{
\mathsf {r}}
\Rightarrow \dot{\neg}\, 
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {s}}
\colon 
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {t}}
\colon 
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {u}}
\colon \overline{
\mathsf {s}}
 \mathrel{\in} \underline{\mathsf {bs}}
\Rightarrow \overline{
\mathsf {t}}
 \mathrel{\in} \underline{\mathsf {bs}}
\Rightarrow \overline{
\mathsf {u}}
 \mathrel{\in} \underline{\mathsf {bs}}
\Rightarrow \{\{\overline{
\mathsf {s}}
,\overline{
\mathsf {s}}
\}
,\{\overline{
\mathsf {s}}
,\overline{
\mathsf {t}}
\}
\}
 \mathrel{\in} \underline{
\mathsf {r}}
\Rightarrow \{\{\overline{
\mathsf {t}}
,\overline{
\mathsf {t}}
\}
,\{\overline{
\mathsf {t}}
,\overline{
\mathsf {u}}
\}
\}
 \mathrel{\in} \underline{
\mathsf {r}}
\Rightarrow \{\{\overline{
\mathsf {s}}
,\overline{
\mathsf {s}}
\}
,\{\overline{
\mathsf {s}}
,\overline{
\mathsf {u}}
\}
\}
 \mathrel{\in} \underline{
\mathsf {r}}
\vdash \underline{
\mathsf {s}}
 \mathrel{\in} \underline{\mathsf {bs}}
\vdash AutoMember
\mathrel {\makebox [0mm][l]{$\rhd $}\,{\rhd }} 
\lceil \overline{
\mathsf {s}}
\rceil 
\#^0
\lceil \underline{
\mathsf {r}}
\rceil 
\mathrel {\makebox [0mm][l]{$\rhd $}\,{\rhd }} 
\lceil \overline{
\mathsf {s}}
\rceil 
\#^0
\lceil \underline{\mathsf {bs}}
\rceil 
\rhd \dot{\neg}\, \dot{\neg}\, 
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {s}}
\colon \overline{
\mathsf {s}}
 \mathrel{\in} \underline{\mathsf {bs}}
\Rightarrow \{\{\overline{
\mathsf {s}}
,\overline{
\mathsf {s}}
\}
,\{\overline{
\mathsf {s}}
,\overline{
\mathsf {s}}
\}
\}
 \mathrel{\in} \underline{
\mathsf {r}}
\Rightarrow \dot{\neg}\, 
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {s}}
\colon 
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {t}}
\colon \overline{
\mathsf {s}}
 \mathrel{\in} \underline{\mathsf {bs}}
\Rightarrow \overline{
\mathsf {t}}
 \mathrel{\in} \underline{\mathsf {bs}}
\Rightarrow \{\{\overline{
\mathsf {s}}
,\overline{
\mathsf {s}}
\}
,\{\overline{
\mathsf {s}}
,\overline{
\mathsf {t}}
\}
\}
 \mathrel{\in} \underline{
\mathsf {r}}
\Rightarrow \{\{\overline{
\mathsf {t}}
,\overline{
\mathsf {t}}
\}
,\{\overline{
\mathsf {t}}
,\overline{
\mathsf {s}}
\}
\}
 \mathrel{\in} \underline{
\mathsf {r}}
\Rightarrow \dot{\neg}\, 
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {s}}
\colon 
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {t}}
\colon 
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {u}}
\colon \overline{
\mathsf {s}}
 \mathrel{\in} \underline{\mathsf {bs}}
\Rightarrow \overline{
\mathsf {t}}
 \mathrel{\in} \underline{\mathsf {bs}}
\Rightarrow \overline{
\mathsf {u}}
 \mathrel{\in} \underline{\mathsf {bs}}
\Rightarrow \{\{\overline{
\mathsf {s}}
,\overline{
\mathsf {s}}
\}
,\{\overline{
\mathsf {s}}
,\overline{
\mathsf {t}}
\}
\}
 \mathrel{\in} \underline{
\mathsf {r}}
\Rightarrow \{\{\overline{
\mathsf {t}}
,\overline{
\mathsf {t}}
\}
,\{\overline{
\mathsf {t}}
,\overline{
\mathsf {u}}
\}
\}
 \mathrel{\in} \underline{
\mathsf {r}}
\Rightarrow \{\{\overline{
\mathsf {s}}
,\overline{
\mathsf {s}}
\}
,\{\overline{
\mathsf {s}}
,\overline{
\mathsf {u}}
\}
\}
 \mathrel{\in} \underline{
\mathsf {r}}
\rhd \underline{
\mathsf {s}}
 \mathrel{\in} \underline{\mathsf {bs}}
\gg \underline{
\mathsf {s}}
 \mathrel{\in}  \{ ph \mathrel{\in} \underline{\mathsf {bs}}
\mid \{\{
\mathsf {a}
 _{Ph} 
,
\mathsf {a}
 _{Ph} 
\}
,\{
\mathsf {a}
 _{Ph} 
,\underline{
\mathsf {s}}
\}
\}
 \mathrel{\in} \underline{
\mathsf {r}}
\}
; EqClassIsSubset
\gg \overline{
\mathsf {s}}
 \mathrel{\in}  \{ ph \mathrel{\in} \underline{\mathsf {bs}}
\mid \{\{
\mathsf {a}
 _{Ph} 
,
\mathsf {a}
 _{Ph} 
\}
,\{
\mathsf {a}
 _{Ph} 
,\underline{
\mathsf {s}}
\}
\}
 \mathrel{\in} \underline{
\mathsf {r}}
\}
\Rightarrow \overline{
\mathsf {s}}
 \mathrel{\in} \underline{\mathsf {bs}}
; SubsetInPower
\rhd \overline{
\mathsf {s}}
 \mathrel{\in}  \{ ph \mathrel{\in} \underline{\mathsf {bs}}
\mid \{\{
\mathsf {a}
 _{Ph} 
,
\mathsf {a}
 _{Ph} 
\}
,\{
\mathsf {a}
 _{Ph} 
,\underline{
\mathsf {s}}
\}
\}
 \mathrel{\in} \underline{
\mathsf {r}}
\}
\Rightarrow \overline{
\mathsf {s}}
 \mathrel{\in} \underline{\mathsf {bs}}
\gg  \{ ph \mathrel{\in} \underline{\mathsf {bs}}
\mid \{\{
\mathsf {a}
 _{Ph} 
,
\mathsf {a}
 _{Ph} 
\}
,\{
\mathsf {a}
 _{Ph} 
,\underline{
\mathsf {s}}
\}
\}
 \mathrel{\in} \underline{
\mathsf {r}}
\}
 \mathrel{\in} P(\underline{\mathsf {bs}}
)
; =\!{}Reflexivity
\gg  \{ ph \mathrel{\in} \underline{\mathsf {bs}}
\mid \{\{
\mathsf {a}
 _{Ph} 
,
\mathsf {a}
 _{Ph} 
\}
,\{
\mathsf {a}
 _{Ph} 
,\underline{
\mathsf {s}}
\}
\}
 \mathrel{\in} \underline{
\mathsf {r}}
\}
\!\mathrel{=}\!  \{ ph \mathrel{\in} \underline{\mathsf {bs}}
\mid \{\{
\mathsf {a}
 _{Ph} 
,
\mathsf {a}
 _{Ph} 
\}
,\{
\mathsf {a}
 _{Ph} 
,\underline{
\mathsf {s}}
\}
\}
 \mathrel{\in} \underline{
\mathsf {r}}
\}
; JoinConjuncts
\rhd \underline{
\mathsf {s}}
 \mathrel{\in} \underline{\mathsf {bs}}
\rhd  \{ ph \mathrel{\in} \underline{\mathsf {bs}}
\mid \{\{
\mathsf {a}
 _{Ph} 
,
\mathsf {a}
 _{Ph} 
\}
,\{
\mathsf {a}
 _{Ph} 
,\underline{
\mathsf {s}}
\}
\}
 \mathrel{\in} \underline{
\mathsf {r}}
\}
\!\mathrel{=}\!  \{ ph \mathrel{\in} \underline{\mathsf {bs}}
\mid \{\{
\mathsf {a}
 _{Ph} 
,
\mathsf {a}
 _{Ph} 
\}
,\{
\mathsf {a}
 _{Ph} 
,\underline{
\mathsf {s}}
\}
\}
 \mathrel{\in} \underline{
\mathsf {r}}
\}
\gg \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf {s}}
 \mathrel{\in} \underline{\mathsf {bs}}
\Rightarrow \dot{\neg}\,  \{ ph \mathrel{\in} \underline{\mathsf {bs}}
\mid \{\{
\mathsf {a}
 _{Ph} 
,
\mathsf {a}
 _{Ph} 
\}
,\{
\mathsf {a}
 _{Ph} 
,\underline{
\mathsf {s}}
\}
\}
 \mathrel{\in} \underline{
\mathsf {r}}
\}
\!\mathrel{=}\!  \{ ph \mathrel{\in} \underline{\mathsf {bs}}
\mid \{\{
\mathsf {a}
 _{Ph} 
,
\mathsf {a}
 _{Ph} 
\}
,\{
\mathsf {a}
 _{Ph} 
,\underline{
\mathsf {s}}
\}
\}
 \mathrel{\in} \underline{
\mathsf {r}}
\}
; ExistIntro
\mathop {\char64} 
\mathsf {a}
 _{Ex}
\mathop {\char64} \underline{
\mathsf {s}}
\rhd \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf {s}}
 \mathrel{\in} \underline{\mathsf {bs}}
\Rightarrow \dot{\neg}\,  \{ ph \mathrel{\in} \underline{\mathsf {bs}}
\mid \{\{
\mathsf {a}
 _{Ph} 
,
\mathsf {a}
 _{Ph} 
\}
,\{
\mathsf {a}
 _{Ph} 
,\underline{
\mathsf {s}}
\}
\}
 \mathrel{\in} \underline{
\mathsf {r}}
\}
\!\mathrel{=}\!  \{ ph \mathrel{\in} \underline{\mathsf {bs}}
\mid \{\{
\mathsf {a}
 _{Ph} 
,
\mathsf {a}
 _{Ph} 
\}
,\{
\mathsf {a}
 _{Ph} 
,\underline{
\mathsf {s}}
\}
\}
 \mathrel{\in} \underline{
\mathsf {r}}
\}
\gg \dot{\neg}\, 
\mathsf {a}
 _{Ex}
 \mathrel{\in} \underline{\mathsf {bs}}
\Rightarrow \dot{\neg}\,  \{ ph \mathrel{\in} \underline{\mathsf {bs}}
\mid \{\{
\mathsf {a}
 _{Ph} 
,
\mathsf {a}
 _{Ph} 
\}
,\{
\mathsf {a}
 _{Ph} 
,
\mathsf {a}
 _{Ex}
\}
\}
 \mathrel{\in} \underline{
\mathsf {r}}
\}
\!\mathrel{=}\!  \{ ph \mathrel{\in} \underline{\mathsf {bs}}
\mid \{\{
\mathsf {a}
 _{Ph} 
,
\mathsf {a}
 _{Ph} 
\}
,\{
\mathsf {a}
 _{Ph} 
,\underline{
\mathsf {s}}
\}
\}
 \mathrel{\in} \underline{
\mathsf {r}}
\}
; Formula2Sep
\rhd  \{ ph \mathrel{\in} \underline{\mathsf {bs}}
\mid \{\{
\mathsf {a}
 _{Ph} 
,
\mathsf {a}
 _{Ph} 
\}
,\{
\mathsf {a}
 _{Ph} 
,\underline{
\mathsf {s}}
\}
\}
 \mathrel{\in} \underline{
\mathsf {r}}
\}
 \mathrel{\in} P(\underline{\mathsf {bs}}
)
\rhd \dot{\neg}\, 
\mathsf {a}
 _{Ex}
 \mathrel{\in} \underline{\mathsf {bs}}
\Rightarrow \dot{\neg}\,  \{ ph \mathrel{\in} \underline{\mathsf {bs}}
\mid \{\{
\mathsf {a}
 _{Ph} 
,
\mathsf {a}
 _{Ph} 
\}
,\{
\mathsf {a}
 _{Ph} 
,
\mathsf {a}
 _{Ex}
\}
\}
 \mathrel{\in} \underline{
\mathsf {r}}
\}
\!\mathrel{=}\!  \{ ph \mathrel{\in} \underline{\mathsf {bs}}
\mid \{\{
\mathsf {a}
 _{Ph} 
,
\mathsf {a}
 _{Ph} 
\}
,\{
\mathsf {a}
 _{Ph} 
,\underline{
\mathsf {s}}
\}
\}
 \mathrel{\in} \underline{
\mathsf {r}}
\}
\gg  \{ ph \mathrel{\in} \underline{\mathsf {bs}}
\mid \{\{
\mathsf {a}
 _{Ph} 
,
\mathsf {a}
 _{Ph} 
\}
,\{
\mathsf {a}
 _{Ph} 
,\underline{
\mathsf {s}}
\}
\}
 \mathrel{\in} \underline{
\mathsf {r}}
\}
 \mathrel{\in}  \{ ph \mathrel{\in} P(\underline{\mathsf {bs}}
)
\mid \dot{\neg}\, 
\mathsf {t}
 _{Ex}
 \mathrel{\in} \underline{\mathsf {bs}}
\Rightarrow \dot{\neg}\,  \{ ph \mathrel{\in} \underline{\mathsf {bs}}
\mid \{\{
\mathsf {a}
 _{Ph} 
,
\mathsf {a}
 _{Ph} 
\}
,\{
\mathsf {a}
 _{Ph} 
,
\mathsf {t}
 _{Ex}
\}
\}
 \mathrel{\in} \underline{
\mathsf {r}}
\}
\!\mathrel{=}\! 
\mathsf {b}
 _{Ph} 
\}
; ExistIntro
\mathop {\char64} 
\mathsf {j}
 _{Ex}
\mathop {\char64}  \{ ph \mathrel{\in} \underline{\mathsf {bs}}
\mid \{\{
\mathsf {a}
 _{Ph} 
,
\mathsf {a}
 _{Ph} 
\}
,\{
\mathsf {a}
 _{Ph} 
,\underline{
\mathsf {s}}
\}
\}
 \mathrel{\in} \underline{
\mathsf {r}}
\}
\rhd \underline{
\mathsf {s}}
 \mathrel{\in}  \{ ph \mathrel{\in} \underline{\mathsf {bs}}
\mid \{\{
\mathsf {a}
 _{Ph} 
,
\mathsf {a}
 _{Ph} 
\}
,\{
\mathsf {a}
 _{Ph} 
,\underline{
\mathsf {s}}
\}
\}
 \mathrel{\in} \underline{
\mathsf {r}}
\}
\gg \underline{
\mathsf {s}}
 \mathrel{\in} 
\mathsf {j}
 _{Ex}
; ExistIntro
\mathop {\char64} 
\mathsf {j}
 _{Ex}
\mathop {\char64}  \{ ph \mathrel{\in} \underline{\mathsf {bs}}
\mid \{\{
\mathsf {a}
 _{Ph} 
,
\mathsf {a}
 _{Ph} 
\}
,\{
\mathsf {a}
 _{Ph} 
,\underline{
\mathsf {s}}
\}
\}
 \mathrel{\in} \underline{
\mathsf {r}}
\}
\rhd  \{ ph \mathrel{\in} \underline{\mathsf {bs}}
\mid \{\{
\mathsf {a}
 _{Ph} 
,
\mathsf {a}
 _{Ph} 
\}
,\{
\mathsf {a}
 _{Ph} 
,\underline{
\mathsf {s}}
\}
\}
 \mathrel{\in} \underline{
\mathsf {r}}
\}
 \mathrel{\in}  \{ ph \mathrel{\in} P(\underline{\mathsf {bs}}
)
\mid \dot{\neg}\, 
\mathsf {t}
 _{Ex}
 \mathrel{\in} \underline{\mathsf {bs}}
\Rightarrow \dot{\neg}\,  \{ ph \mathrel{\in} \underline{\mathsf {bs}}
\mid \{\{
\mathsf {a}
 _{Ph} 
,
\mathsf {a}
 _{Ph} 
\}
,\{
\mathsf {a}
 _{Ph} 
,
\mathsf {t}
 _{Ex}
\}
\}
 \mathrel{\in} \underline{
\mathsf {r}}
\}
\!\mathrel{=}\! 
\mathsf {b}
 _{Ph} 
\}
\gg 
\mathsf {j}
 _{Ex}
 \mathrel{\in}  \{ ph \mathrel{\in} P(\underline{\mathsf {bs}}
)
\mid \dot{\neg}\, 
\mathsf {t}
 _{Ex}
 \mathrel{\in} \underline{\mathsf {bs}}
\Rightarrow \dot{\neg}\,  \{ ph \mathrel{\in} \underline{\mathsf {bs}}
\mid \{\{
\mathsf {a}
 _{Ph} 
,
\mathsf {a}
 _{Ph} 
\}
,\{
\mathsf {a}
 _{Ph} 
,
\mathsf {t}
 _{Ex}
\}
\}
 \mathrel{\in} \underline{
\mathsf {r}}
\}
\!\mathrel{=}\! 
\mathsf {b}
 _{Ph} 
\}
; Formula2Union
\rhd \underline{
\mathsf {s}}
 \mathrel{\in} 
\mathsf {j}
 _{Ex}
\rhd 
\mathsf {j}
 _{Ex}
 \mathrel{\in}  \{ ph \mathrel{\in} P(\underline{\mathsf {bs}}
)
\mid \dot{\neg}\, 
\mathsf {t}
 _{Ex}
 \mathrel{\in} \underline{\mathsf {bs}}
\Rightarrow \dot{\neg}\,  \{ ph \mathrel{\in} \underline{\mathsf {bs}}
\mid \{\{
\mathsf {a}
 _{Ph} 
,
\mathsf {a}
 _{Ph} 
\}
,\{
\mathsf {a}
 _{Ph} 
,
\mathsf {t}
 _{Ex}
\}
\}
 \mathrel{\in} \underline{
\mathsf {r}}
\}
\!\mathrel{=}\! 
\mathsf {b}
 _{Ph} 
\}
\gg \underline{
\mathsf {s}}
 \mathrel{\in} \cup  \{ ph \mathrel{\in} P(\underline{\mathsf {bs}}
)
\mid \dot{\neg}\, 
\mathsf {t}
 _{Ex}
 \mathrel{\in} \underline{\mathsf {bs}}
\Rightarrow \dot{\neg}\,  \{ ph \mathrel{\in} \underline{\mathsf {bs}}
\mid \{\{
\mathsf {a}
 _{Ph} 
,
\mathsf {a}
 _{Ph} 
\}
,\{
\mathsf {a}
 _{Ph} 
,
\mathsf {t}
 _{Ex}
\}
\}
 \mathrel{\in} \underline{
\mathsf {r}}
\}
\!\mathrel{=}\! 
\mathsf {b}
 _{Ph} 
\}
; 
\forall \underline{
\mathsf {r}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf {s}}
\colon 
\forall \underline{\mathsf {bs}}
\colon Ded
\rhd 
\forall \underline{
\mathsf {r}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf {s}}
\colon 
\forall \underline{\mathsf {bs}}
\colon 
\lceil \overline{
\mathsf {s}}
\rceil 
\#^0
\lceil \underline{
\mathsf {r}}
\rceil 
\mathrel {\makebox [0mm][l]{$\vdash $}\,{\vdash }} 
\lceil \overline{
\mathsf {s}}
\rceil 
\#^0
\lceil \underline{\mathsf {bs}}
\rceil 
\mathrel {\makebox [0mm][l]{$\vdash $}\,{\vdash }} \dot{\neg}\, \dot{\neg}\, 
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {s}}
\colon \overline{
\mathsf {s}}
 \mathrel{\in} \underline{\mathsf {bs}}
\Rightarrow \{\{\overline{
\mathsf {s}}
,\overline{
\mathsf {s}}
\}
,\{\overline{
\mathsf {s}}
,\overline{
\mathsf {s}}
\}
\}
 \mathrel{\in} \underline{
\mathsf {r}}
\Rightarrow \dot{\neg}\, 
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {s}}
\colon 
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {t}}
\colon \overline{
\mathsf {s}}
 \mathrel{\in} \underline{\mathsf {bs}}
\Rightarrow \overline{
\mathsf {t}}
 \mathrel{\in} \underline{\mathsf {bs}}
\Rightarrow \{\{\overline{
\mathsf {s}}
,\overline{
\mathsf {s}}
\}
,\{\overline{
\mathsf {s}}
,\overline{
\mathsf {t}}
\}
\}
 \mathrel{\in} \underline{
\mathsf {r}}
\Rightarrow \{\{\overline{
\mathsf {t}}
,\overline{
\mathsf {t}}
\}
,\{\overline{
\mathsf {t}}
,\overline{
\mathsf {s}}
\}
\}
 \mathrel{\in} \underline{
\mathsf {r}}
\Rightarrow \dot{\neg}\, 
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {s}}
\colon 
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {t}}
\colon 
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {u}}
\colon \overline{
\mathsf {s}}
 \mathrel{\in} \underline{\mathsf {bs}}
\Rightarrow \overline{
\mathsf {t}}
 \mathrel{\in} \underline{\mathsf {bs}}
\Rightarrow \overline{
\mathsf {u}}
 \mathrel{\in} \underline{\mathsf {bs}}
\Rightarrow \{\{\overline{
\mathsf {s}}
,\overline{
\mathsf {s}}
\}
,\{\overline{
\mathsf {s}}
,\overline{
\mathsf {t}}
\}
\}
 \mathrel{\in} \underline{
\mathsf {r}}
\Rightarrow \{\{\overline{
\mathsf {t}}
,\overline{
\mathsf {t}}
\}
,\{\overline{
\mathsf {t}}
,\overline{
\mathsf {u}}
\}
\}
 \mathrel{\in} \underline{
\mathsf {r}}
\Rightarrow \{\{\overline{
\mathsf {s}}
,\overline{
\mathsf {s}}
\}
,\{\overline{
\mathsf {s}}
,\overline{
\mathsf {u}}
\}
\}
 \mathrel{\in} \underline{
\mathsf {r}}
\vdash \underline{
\mathsf {s}}
 \mathrel{\in} \underline{\mathsf {bs}}
\vdash \underline{
\mathsf {s}}
 \mathrel{\in} \cup  \{ ph \mathrel{\in} P(\underline{\mathsf {bs}}
)
\mid \dot{\neg}\, 
\mathsf {t}
 _{Ex}
 \mathrel{\in} \underline{\mathsf {bs}}
\Rightarrow \dot{\neg}\,  \{ ph \mathrel{\in} \underline{\mathsf {bs}}
\mid \{\{
\mathsf {a}
 _{Ph} 
,
\mathsf {a}
 _{Ph} 
\}
,\{
\mathsf {a}
 _{Ph} 
,
\mathsf {t}
 _{Ex}
\}
\}
 \mathrel{\in} \underline{
\mathsf {r}}
\}
\!\mathrel{=}\! 
\mathsf {b}
 _{Ph} 
\}
\gg 
\lceil \overline{
\mathsf {s}}
\rceil 
\#^0
\lceil \underline{
\mathsf {r}}
\rceil 
\mathrel {\makebox [0mm][l]{$\vdash $}\,{\vdash }} 
\lceil \overline{
\mathsf {s}}
\rceil 
\#^0
\lceil \underline{\mathsf {bs}}
\rceil 
\mathrel {\makebox [0mm][l]{$\vdash $}\,{\vdash }} 
\lceil \overline{
\mathsf {t}}
\rceil 
\#^0
\lceil \underline{
\mathsf {r}}
\rceil 
\mathrel {\makebox [0mm][l]{$\vdash $}\,{\vdash }} 
\lceil \overline{
\mathsf {t}}
\rceil 
\#^0
\lceil \underline{\mathsf {bs}}
\rceil 
\mathrel {\makebox [0mm][l]{$\vdash $}\,{\vdash }} 
\lceil \overline{
\mathsf {u}}
\rceil 
\#^0
\lceil \underline{
\mathsf {r}}
\rceil 
\mathrel {\makebox [0mm][l]{$\vdash $}\,{\vdash }} 
\lceil \overline{
\mathsf {u}}
\rceil 
\#^0
\lceil \underline{\mathsf {bs}}
\rceil 
\mathrel {\makebox [0mm][l]{$\vdash $}\,{\vdash }} \dot{\neg}\, \dot{\neg}\, 
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {s}}
\colon \overline{
\mathsf {s}}
 \mathrel{\in} \underline{\mathsf {bs}}
\Rightarrow \{\{\overline{
\mathsf {s}}
,\overline{
\mathsf {s}}
\}
,\{\overline{
\mathsf {s}}
,\overline{
\mathsf {s}}
\}
\}
 \mathrel{\in} \underline{
\mathsf {r}}
\Rightarrow \dot{\neg}\, 
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {s}}
\colon 
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {t}}
\colon \overline{
\mathsf {s}}
 \mathrel{\in} \underline{\mathsf {bs}}
\Rightarrow \overline{
\mathsf {t}}
 \mathrel{\in} \underline{\mathsf {bs}}
\Rightarrow \{\{\overline{
\mathsf {s}}
,\overline{
\mathsf {s}}
\}
,\{\overline{
\mathsf {s}}
,\overline{
\mathsf {t}}
\}
\}
 \mathrel{\in} \underline{
\mathsf {r}}
\Rightarrow \{\{\overline{
\mathsf {t}}
,\overline{
\mathsf {t}}
\}
,\{\overline{
\mathsf {t}}
,\overline{
\mathsf {s}}
\}
\}
 \mathrel{\in} \underline{
\mathsf {r}}
\Rightarrow \dot{\neg}\, 
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {s}}
\colon 
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {t}}
\colon 
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {u}}
\colon \overline{
\mathsf {s}}
 \mathrel{\in} \underline{\mathsf {bs}}
\Rightarrow \overline{
\mathsf {t}}
 \mathrel{\in} \underline{\mathsf {bs}}
\Rightarrow \overline{
\mathsf {u}}
 \mathrel{\in} \underline{\mathsf {bs}}
\Rightarrow \{\{\overline{
\mathsf {s}}
,\overline{
\mathsf {s}}
\}
,\{\overline{
\mathsf {s}}
,\overline{
\mathsf {t}}
\}
\}
 \mathrel{\in} \underline{
\mathsf {r}}
\Rightarrow \{\{\overline{
\mathsf {t}}
,\overline{
\mathsf {t}}
\}
,\{\overline{
\mathsf {t}}
,\overline{
\mathsf {u}}
\}
\}
 \mathrel{\in} \underline{
\mathsf {r}}
\Rightarrow \{\{\overline{
\mathsf {s}}
,\overline{
\mathsf {s}}
\}
,\{\overline{
\mathsf {s}}
,\overline{
\mathsf {u}}
\}
\}
 \mathrel{\in} \underline{
\mathsf {r}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {s}}
 \mathrel{\in} \underline{\mathsf {bs}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {s}}
 \mathrel{\in} \cup  \{ ph \mathrel{\in} P(\underline{\mathsf {bs}}
)
\mid \dot{\neg}\, 
\mathsf {t}
 _{Ex}
 \mathrel{\in} \underline{\mathsf {bs}}
\Rightarrow \dot{\neg}\,  \{ ph \mathrel{\in} \underline{\mathsf {bs}}
\mid \{\{
\mathsf {a}
 _{Ph} 
,
\mathsf {a}
 _{Ph} 
\}
,\{
\mathsf {a}
 _{Ph} 
,
\mathsf {t}
 _{Ex}
\}
\}
 \mathrel{\in} \underline{
\mathsf {r}}
\}
\!\mathrel{=}\! 
\mathsf {b}
 _{Ph} 
\}
\rceil 
, 
p_0
, 
\mathsf {c}
)
]$

$\rm
[BSsubset
\stackrel{
stmt
}{\rightarrow}ZFsub
\vdash 
\forall \underline{
\mathsf {r}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf {s}}
\colon 
\forall \underline{\mathsf {bs}}
\colon 
\lceil \overline{
\mathsf {s}}
\rceil 
\#^0
\lceil \underline{
\mathsf {r}}
\rceil 
\mathrel {\makebox [0mm][l]{$\vdash $}\,{\vdash }} 
\lceil \overline{
\mathsf {s}}
\rceil 
\#^0
\lceil \underline{\mathsf {bs}}
\rceil 
\mathrel {\makebox [0mm][l]{$\vdash $}\,{\vdash }} 
\lceil \overline{
\mathsf {t}}
\rceil 
\#^0
\lceil \underline{
\mathsf {r}}
\rceil 
\mathrel {\makebox [0mm][l]{$\vdash $}\,{\vdash }} 
\lceil \overline{
\mathsf {t}}
\rceil 
\#^0
\lceil \underline{\mathsf {bs}}
\rceil 
\mathrel {\makebox [0mm][l]{$\vdash $}\,{\vdash }} 
\lceil \overline{
\mathsf {u}}
\rceil 
\#^0
\lceil \underline{
\mathsf {r}}
\rceil 
\mathrel {\makebox [0mm][l]{$\vdash $}\,{\vdash }} 
\lceil \overline{
\mathsf {u}}
\rceil 
\#^0
\lceil \underline{\mathsf {bs}}
\rceil 
\mathrel {\makebox [0mm][l]{$\vdash $}\,{\vdash }} \dot{\neg}\, \dot{\neg}\, 
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {s}}
\colon \overline{
\mathsf {s}}
 \mathrel{\in} \underline{\mathsf {bs}}
\Rightarrow \{\{\overline{
\mathsf {s}}
,\overline{
\mathsf {s}}
\}
,\{\overline{
\mathsf {s}}
,\overline{
\mathsf {s}}
\}
\}
 \mathrel{\in} \underline{
\mathsf {r}}
\Rightarrow \dot{\neg}\, 
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {s}}
\colon 
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {t}}
\colon \overline{
\mathsf {s}}
 \mathrel{\in} \underline{\mathsf {bs}}
\Rightarrow \overline{
\mathsf {t}}
 \mathrel{\in} \underline{\mathsf {bs}}
\Rightarrow \{\{\overline{
\mathsf {s}}
,\overline{
\mathsf {s}}
\}
,\{\overline{
\mathsf {s}}
,\overline{
\mathsf {t}}
\}
\}
 \mathrel{\in} \underline{
\mathsf {r}}
\Rightarrow \{\{\overline{
\mathsf {t}}
,\overline{
\mathsf {t}}
\}
,\{\overline{
\mathsf {t}}
,\overline{
\mathsf {s}}
\}
\}
 \mathrel{\in} \underline{
\mathsf {r}}
\Rightarrow \dot{\neg}\, 
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {s}}
\colon 
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {t}}
\colon 
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {u}}
\colon \overline{
\mathsf {s}}
 \mathrel{\in} \underline{\mathsf {bs}}
\Rightarrow \overline{
\mathsf {t}}
 \mathrel{\in} \underline{\mathsf {bs}}
\Rightarrow \overline{
\mathsf {u}}
 \mathrel{\in} \underline{\mathsf {bs}}
\Rightarrow \{\{\overline{
\mathsf {s}}
,\overline{
\mathsf {s}}
\}
,\{\overline{
\mathsf {s}}
,\overline{
\mathsf {t}}
\}
\}
 \mathrel{\in} \underline{
\mathsf {r}}
\Rightarrow \{\{\overline{
\mathsf {t}}
,\overline{
\mathsf {t}}
\}
,\{\overline{
\mathsf {t}}
,\overline{
\mathsf {u}}
\}
\}
 \mathrel{\in} \underline{
\mathsf {r}}
\Rightarrow \{\{\overline{
\mathsf {s}}
,\overline{
\mathsf {s}}
\}
,\{\overline{
\mathsf {s}}
,\overline{
\mathsf {u}}
\}
\}
 \mathrel{\in} \underline{
\mathsf {r}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {s}}
 \mathrel{\in} \underline{\mathsf {bs}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {s}}
 \mathrel{\in} \cup  \{ ph \mathrel{\in} P(\underline{\mathsf {bs}}
)
\mid \dot{\neg}\, 
\mathsf {t}
 _{Ex}
 \mathrel{\in} \underline{\mathsf {bs}}
\Rightarrow \dot{\neg}\,  \{ ph \mathrel{\in} \underline{\mathsf {bs}}
\mid \{\{
\mathsf {a}
 _{Ph} 
,
\mathsf {a}
 _{Ph} 
\}
,\{
\mathsf {a}
 _{Ph} 
,
\mathsf {t}
 _{Ex}
\}
\}
 \mathrel{\in} \underline{
\mathsf {r}}
\}
\!\mathrel{=}\! 
\mathsf {b}
 _{Ph} 
\}
]$

$\rm
[BSsubset
\stackrel{
\mathrm{tex}
}{\rightarrow}
\mbox{``}BSsubset
\mbox{''}
]$

$\rm
[BSsubset
\stackrel{
\mathrm{pyk}
}{\rightarrow}
\mbox{``}lemma
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}bs
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}subset
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}union(bs/r)
\mbox{''}
]$

\hypertarget {url:1808490560655876194608813785663292462486349118665588524157069396079556865:149}{}\section* {$\rm Union(BS/R)subset$}

$\rm
[Union(BS/R)subset
\stackrel{
proof
}{\rightarrow}
\lambda 
\mathsf {c}
.
\lambda 
\mathsf{x}
.
{\cal P}( 
\lceil ZFsub
\vdash 
\forall \underline{
\mathsf {r}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf {s}}
\colon 
\forall \underline{\mathsf {bs}}
\colon 
\lceil \overline{
\mathsf {s}}
\rceil 
\#^0
\lceil \underline{\mathsf {bs}}
\rceil 
\mathrel {\makebox [0mm][l]{$\vdash $}\,{\vdash }} \dot{\neg}\, \dot{\neg}\, 
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {s}}
\colon \overline{
\mathsf {s}}
 \mathrel{\in} \underline{\mathsf {bs}}
\Rightarrow \{\{\overline{
\mathsf {s}}
,\overline{
\mathsf {s}}
\}
,\{\overline{
\mathsf {s}}
,\overline{
\mathsf {s}}
\}
\}
 \mathrel{\in} \underline{
\mathsf {r}}
\Rightarrow \dot{\neg}\, 
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {s}}
\colon 
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {t}}
\colon \overline{
\mathsf {s}}
 \mathrel{\in} \underline{\mathsf {bs}}
\Rightarrow \overline{
\mathsf {t}}
 \mathrel{\in} \underline{\mathsf {bs}}
\Rightarrow \{\{\overline{
\mathsf {s}}
,\overline{
\mathsf {s}}
\}
,\{\overline{
\mathsf {s}}
,\overline{
\mathsf {t}}
\}
\}
 \mathrel{\in} \underline{
\mathsf {r}}
\Rightarrow \{\{\overline{
\mathsf {t}}
,\overline{
\mathsf {t}}
\}
,\{\overline{
\mathsf {t}}
,\overline{
\mathsf {s}}
\}
\}
 \mathrel{\in} \underline{
\mathsf {r}}
\Rightarrow \dot{\neg}\, 
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {s}}
\colon 
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {t}}
\colon 
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {u}}
\colon \overline{
\mathsf {s}}
 \mathrel{\in} \underline{\mathsf {bs}}
\Rightarrow \overline{
\mathsf {t}}
 \mathrel{\in} \underline{\mathsf {bs}}
\Rightarrow \overline{
\mathsf {u}}
 \mathrel{\in} \underline{\mathsf {bs}}
\Rightarrow \{\{\overline{
\mathsf {s}}
,\overline{
\mathsf {s}}
\}
,\{\overline{
\mathsf {s}}
,\overline{
\mathsf {t}}
\}
\}
 \mathrel{\in} \underline{
\mathsf {r}}
\Rightarrow \{\{\overline{
\mathsf {t}}
,\overline{
\mathsf {t}}
\}
,\{\overline{
\mathsf {t}}
,\overline{
\mathsf {u}}
\}
\}
 \mathrel{\in} \underline{
\mathsf {r}}
\Rightarrow \{\{\overline{
\mathsf {s}}
,\overline{
\mathsf {s}}
\}
,\{\overline{
\mathsf {s}}
,\overline{
\mathsf {u}}
\}
\}
 \mathrel{\in} \underline{
\mathsf {r}}
\vdash \underline{
\mathsf {s}}
 \mathrel{\in} \cup  \{ ph \mathrel{\in} P(\underline{\mathsf {bs}}
)
\mid \dot{\neg}\, 
\mathsf {t}
 _{Ex}
 \mathrel{\in} \underline{\mathsf {bs}}
\Rightarrow \dot{\neg}\,  \{ ph \mathrel{\in} \underline{\mathsf {bs}}
\mid \{\{
\mathsf {a}
 _{Ph} 
,
\mathsf {a}
 _{Ph} 
\}
,\{
\mathsf {a}
 _{Ph} 
,
\mathsf {t}
 _{Ex}
\}
\}
 \mathrel{\in} \underline{
\mathsf {r}}
\}
\!\mathrel{=}\! 
\mathsf {b}
 _{Ph} 
\}
\vdash Union2Formula
\rhd \underline{
\mathsf {s}}
 \mathrel{\in} \cup  \{ ph \mathrel{\in} P(\underline{\mathsf {bs}}
)
\mid \dot{\neg}\, 
\mathsf {t}
 _{Ex}
 \mathrel{\in} \underline{\mathsf {bs}}
\Rightarrow \dot{\neg}\,  \{ ph \mathrel{\in} \underline{\mathsf {bs}}
\mid \{\{
\mathsf {a}
 _{Ph} 
,
\mathsf {a}
 _{Ph} 
\}
,\{
\mathsf {a}
 _{Ph} 
,
\mathsf {t}
 _{Ex}
\}
\}
 \mathrel{\in} \underline{
\mathsf {r}}
\}
\!\mathrel{=}\! 
\mathsf {b}
 _{Ph} 
\}
\gg \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf {s}}
 \mathrel{\in} 
\mathsf {j}
 _{Ex}
\Rightarrow \dot{\neg}\, 
\mathsf {j}
 _{Ex}
 \mathrel{\in}  \{ ph \mathrel{\in} P(\underline{\mathsf {bs}}
)
\mid \dot{\neg}\, 
\mathsf {t}
 _{Ex}
 \mathrel{\in} \underline{\mathsf {bs}}
\Rightarrow \dot{\neg}\,  \{ ph \mathrel{\in} \underline{\mathsf {bs}}
\mid \{\{
\mathsf {a}
 _{Ph} 
,
\mathsf {a}
 _{Ph} 
\}
,\{
\mathsf {a}
 _{Ph} 
,
\mathsf {t}
 _{Ex}
\}
\}
 \mathrel{\in} \underline{
\mathsf {r}}
\}
\!\mathrel{=}\! 
\mathsf {b}
 _{Ph} 
\}
; FirstConjunct
\rhd \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf {s}}
 \mathrel{\in} 
\mathsf {j}
 _{Ex}
\Rightarrow \dot{\neg}\, 
\mathsf {j}
 _{Ex}
 \mathrel{\in}  \{ ph \mathrel{\in} P(\underline{\mathsf {bs}}
)
\mid \dot{\neg}\, 
\mathsf {t}
 _{Ex}
 \mathrel{\in} \underline{\mathsf {bs}}
\Rightarrow \dot{\neg}\,  \{ ph \mathrel{\in} \underline{\mathsf {bs}}
\mid \{\{
\mathsf {a}
 _{Ph} 
,
\mathsf {a}
 _{Ph} 
\}
,\{
\mathsf {a}
 _{Ph} 
,
\mathsf {t}
 _{Ex}
\}
\}
 \mathrel{\in} \underline{
\mathsf {r}}
\}
\!\mathrel{=}\! 
\mathsf {b}
 _{Ph} 
\}
\gg \underline{
\mathsf {s}}
 \mathrel{\in} 
\mathsf {j}
 _{Ex}
; SecondConjunct
\rhd \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf {s}}
 \mathrel{\in} 
\mathsf {j}
 _{Ex}
\Rightarrow \dot{\neg}\, 
\mathsf {j}
 _{Ex}
 \mathrel{\in}  \{ ph \mathrel{\in} P(\underline{\mathsf {bs}}
)
\mid \dot{\neg}\, 
\mathsf {t}
 _{Ex}
 \mathrel{\in} \underline{\mathsf {bs}}
\Rightarrow \dot{\neg}\,  \{ ph \mathrel{\in} \underline{\mathsf {bs}}
\mid \{\{
\mathsf {a}
 _{Ph} 
,
\mathsf {a}
 _{Ph} 
\}
,\{
\mathsf {a}
 _{Ph} 
,
\mathsf {t}
 _{Ex}
\}
\}
 \mathrel{\in} \underline{
\mathsf {r}}
\}
\!\mathrel{=}\! 
\mathsf {b}
 _{Ph} 
\}
\gg 
\mathsf {j}
 _{Ex}
 \mathrel{\in}  \{ ph \mathrel{\in} P(\underline{\mathsf {bs}}
)
\mid \dot{\neg}\, 
\mathsf {t}
 _{Ex}
 \mathrel{\in} \underline{\mathsf {bs}}
\Rightarrow \dot{\neg}\,  \{ ph \mathrel{\in} \underline{\mathsf {bs}}
\mid \{\{
\mathsf {a}
 _{Ph} 
,
\mathsf {a}
 _{Ph} 
\}
,\{
\mathsf {a}
 _{Ph} 
,
\mathsf {t}
 _{Ex}
\}
\}
 \mathrel{\in} \underline{
\mathsf {r}}
\}
\!\mathrel{=}\! 
\mathsf {b}
 _{Ph} 
\}
; Sep2Formula
\rhd 
\mathsf {j}
 _{Ex}
 \mathrel{\in}  \{ ph \mathrel{\in} P(\underline{\mathsf {bs}}
)
\mid \dot{\neg}\, 
\mathsf {t}
 _{Ex}
 \mathrel{\in} \underline{\mathsf {bs}}
\Rightarrow \dot{\neg}\,  \{ ph \mathrel{\in} \underline{\mathsf {bs}}
\mid \{\{
\mathsf {a}
 _{Ph} 
,
\mathsf {a}
 _{Ph} 
\}
,\{
\mathsf {a}
 _{Ph} 
,
\mathsf {t}
 _{Ex}
\}
\}
 \mathrel{\in} \underline{
\mathsf {r}}
\}
\!\mathrel{=}\! 
\mathsf {b}
 _{Ph} 
\}
\gg \dot{\neg}\, 
\mathsf {j}
 _{Ex}
 \mathrel{\in} P(\underline{\mathsf {bs}}
)
\Rightarrow \dot{\neg}\, \dot{\neg}\, 
\mathsf {a}
 _{Ex}
 \mathrel{\in} \underline{\mathsf {bs}}
\Rightarrow \dot{\neg}\,  \{ ph \mathrel{\in} \underline{\mathsf {bs}}
\mid \{\{
\mathsf {a}
 _{Ph} 
,
\mathsf {a}
 _{Ph} 
\}
,\{
\mathsf {a}
 _{Ph} 
,
\mathsf {a}
 _{Ex}
\}
\}
 \mathrel{\in} \underline{
\mathsf {r}}
\}
\!\mathrel{=}\! 
\mathsf {j}
 _{Ex}
; FirstConjunct
\rhd \dot{\neg}\, 
\mathsf {j}
 _{Ex}
 \mathrel{\in} P(\underline{\mathsf {bs}}
)
\Rightarrow \dot{\neg}\, \dot{\neg}\, 
\mathsf {a}
 _{Ex}
 \mathrel{\in} \underline{\mathsf {bs}}
\Rightarrow \dot{\neg}\,  \{ ph \mathrel{\in} \underline{\mathsf {bs}}
\mid \{\{
\mathsf {a}
 _{Ph} 
,
\mathsf {a}
 _{Ph} 
\}
,\{
\mathsf {a}
 _{Ph} 
,
\mathsf {a}
 _{Ex}
\}
\}
 \mathrel{\in} \underline{
\mathsf {r}}
\}
\!\mathrel{=}\! 
\mathsf {j}
 _{Ex}
\gg 
\mathsf {j}
 _{Ex}
 \mathrel{\in} P(\underline{\mathsf {bs}}
)
; (Switch)PowerIsSub
\mathrel {\makebox [0mm][l]{$\rhd $}\,{\rhd }} 
\lceil \overline{
\mathsf {s}}
\rceil 
\#^0
\lceil \underline{\mathsf {bs}}
\rceil 
\rhd 
\mathsf {j}
 _{Ex}
 \mathrel{\in} P(\underline{\mathsf {bs}}
)
\gg \overline{
\mathsf {s}}
 \mathrel{\in} 
\mathsf {j}
 _{Ex}
\Rightarrow \overline{
\mathsf {s}}
 \mathrel{\in} \underline{\mathsf {bs}}
; Gen
\rhd \overline{
\mathsf {s}}
 \mathrel{\in} 
\mathsf {j}
 _{Ex}
\Rightarrow \overline{
\mathsf {s}}
 \mathrel{\in} \underline{\mathsf {bs}}
\gg 
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {s}}
\colon \overline{
\mathsf {s}}
 \mathrel{\in} 
\mathsf {j}
 _{Ex}
\Rightarrow \overline{
\mathsf {s}}
 \mathrel{\in} \underline{\mathsf {bs}}
; (Switch)HelperPowerIsSub
\mathrel {\makebox [0mm][l]{$\rhd $}\,{\rhd }} 
\lceil \overline{
\mathsf {s}}
\rceil 
\#^0
\lceil \underline{\mathsf {bs}}
\rceil 
\gg 
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {s}}
\colon \overline{
\mathsf {s}}
 \mathrel{\in} 
\mathsf {j}
 _{Ex}
\Rightarrow \overline{
\mathsf {s}}
 \mathrel{\in} \underline{\mathsf {bs}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {s}}
 \mathrel{\in} 
\mathsf {j}
 _{Ex}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {s}}
 \mathrel{\in} \underline{\mathsf {bs}}
; MP2
\rhd 
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {s}}
\colon \overline{
\mathsf {s}}
 \mathrel{\in} 
\mathsf {j}
 _{Ex}
\Rightarrow \overline{
\mathsf {s}}
 \mathrel{\in} \underline{\mathsf {bs}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {s}}
 \mathrel{\in} 
\mathsf {j}
 _{Ex}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {s}}
 \mathrel{\in} \underline{\mathsf {bs}}
\rhd 
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {s}}
\colon \overline{
\mathsf {s}}
 \mathrel{\in} 
\mathsf {j}
 _{Ex}
\Rightarrow \overline{
\mathsf {s}}
 \mathrel{\in} \underline{\mathsf {bs}}
\rhd \underline{
\mathsf {s}}
 \mathrel{\in} 
\mathsf {j}
 _{Ex}
\gg \underline{
\mathsf {s}}
 \mathrel{\in} \underline{\mathsf {bs}}
; 
\forall \underline{
\mathsf {r}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf {s}}
\colon 
\forall \underline{\mathsf {bs}}
\colon Ded
\rhd 
\forall \underline{
\mathsf {r}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf {s}}
\colon 
\forall \underline{\mathsf {bs}}
\colon 
\lceil \overline{
\mathsf {s}}
\rceil 
\#^0
\lceil \underline{\mathsf {bs}}
\rceil 
\mathrel {\makebox [0mm][l]{$\vdash $}\,{\vdash }} \dot{\neg}\, \dot{\neg}\, 
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {s}}
\colon \overline{
\mathsf {s}}
 \mathrel{\in} \underline{\mathsf {bs}}
\Rightarrow \{\{\overline{
\mathsf {s}}
,\overline{
\mathsf {s}}
\}
,\{\overline{
\mathsf {s}}
,\overline{
\mathsf {s}}
\}
\}
 \mathrel{\in} \underline{
\mathsf {r}}
\Rightarrow \dot{\neg}\, 
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {s}}
\colon 
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {t}}
\colon \overline{
\mathsf {s}}
 \mathrel{\in} \underline{\mathsf {bs}}
\Rightarrow \overline{
\mathsf {t}}
 \mathrel{\in} \underline{\mathsf {bs}}
\Rightarrow \{\{\overline{
\mathsf {s}}
,\overline{
\mathsf {s}}
\}
,\{\overline{
\mathsf {s}}
,\overline{
\mathsf {t}}
\}
\}
 \mathrel{\in} \underline{
\mathsf {r}}
\Rightarrow \{\{\overline{
\mathsf {t}}
,\overline{
\mathsf {t}}
\}
,\{\overline{
\mathsf {t}}
,\overline{
\mathsf {s}}
\}
\}
 \mathrel{\in} \underline{
\mathsf {r}}
\Rightarrow \dot{\neg}\, 
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {s}}
\colon 
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {t}}
\colon 
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {u}}
\colon \overline{
\mathsf {s}}
 \mathrel{\in} \underline{\mathsf {bs}}
\Rightarrow \overline{
\mathsf {t}}
 \mathrel{\in} \underline{\mathsf {bs}}
\Rightarrow \overline{
\mathsf {u}}
 \mathrel{\in} \underline{\mathsf {bs}}
\Rightarrow \{\{\overline{
\mathsf {s}}
,\overline{
\mathsf {s}}
\}
,\{\overline{
\mathsf {s}}
,\overline{
\mathsf {t}}
\}
\}
 \mathrel{\in} \underline{
\mathsf {r}}
\Rightarrow \{\{\overline{
\mathsf {t}}
,\overline{
\mathsf {t}}
\}
,\{\overline{
\mathsf {t}}
,\overline{
\mathsf {u}}
\}
\}
 \mathrel{\in} \underline{
\mathsf {r}}
\Rightarrow \{\{\overline{
\mathsf {s}}
,\overline{
\mathsf {s}}
\}
,\{\overline{
\mathsf {s}}
,\overline{
\mathsf {u}}
\}
\}
 \mathrel{\in} \underline{
\mathsf {r}}
\vdash \underline{
\mathsf {s}}
 \mathrel{\in} \cup  \{ ph \mathrel{\in} P(\underline{\mathsf {bs}}
)
\mid \dot{\neg}\, 
\mathsf {t}
 _{Ex}
 \mathrel{\in} \underline{\mathsf {bs}}
\Rightarrow \dot{\neg}\,  \{ ph \mathrel{\in} \underline{\mathsf {bs}}
\mid \{\{
\mathsf {a}
 _{Ph} 
,
\mathsf {a}
 _{Ph} 
\}
,\{
\mathsf {a}
 _{Ph} 
,
\mathsf {t}
 _{Ex}
\}
\}
 \mathrel{\in} \underline{
\mathsf {r}}
\}
\!\mathrel{=}\! 
\mathsf {b}
 _{Ph} 
\}
\vdash \underline{
\mathsf {s}}
 \mathrel{\in} \underline{\mathsf {bs}}
\gg 
\lceil \overline{
\mathsf {s}}
\rceil 
\#^0
\lceil \underline{\mathsf {bs}}
\rceil 
\mathrel {\makebox [0mm][l]{$\vdash $}\,{\vdash }} 
\lceil \overline{
\mathsf {s}}
\rceil 
\#^0
\lceil \underline{
\mathsf {r}}
\rceil 
\mathrel {\makebox [0mm][l]{$\vdash $}\,{\vdash }} 
\lceil \overline{
\mathsf {t}}
\rceil 
\#^0
\lceil \underline{
\mathsf {r}}
\rceil 
\mathrel {\makebox [0mm][l]{$\vdash $}\,{\vdash }} 
\lceil \overline{
\mathsf {t}}
\rceil 
\#^0
\lceil \underline{\mathsf {bs}}
\rceil 
\mathrel {\makebox [0mm][l]{$\vdash $}\,{\vdash }} 
\lceil \overline{
\mathsf {u}}
\rceil 
\#^0
\lceil \underline{
\mathsf {r}}
\rceil 
\mathrel {\makebox [0mm][l]{$\vdash $}\,{\vdash }} 
\lceil \overline{
\mathsf {u}}
\rceil 
\#^0
\lceil \underline{\mathsf {bs}}
\rceil 
\mathrel {\makebox [0mm][l]{$\vdash $}\,{\vdash }} \dot{\neg}\, \dot{\neg}\, 
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {s}}
\colon \overline{
\mathsf {s}}
 \mathrel{\in} \underline{\mathsf {bs}}
\Rightarrow \{\{\overline{
\mathsf {s}}
,\overline{
\mathsf {s}}
\}
,\{\overline{
\mathsf {s}}
,\overline{
\mathsf {s}}
\}
\}
 \mathrel{\in} \underline{
\mathsf {r}}
\Rightarrow \dot{\neg}\, 
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {s}}
\colon 
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {t}}
\colon \overline{
\mathsf {s}}
 \mathrel{\in} \underline{\mathsf {bs}}
\Rightarrow \overline{
\mathsf {t}}
 \mathrel{\in} \underline{\mathsf {bs}}
\Rightarrow \{\{\overline{
\mathsf {s}}
,\overline{
\mathsf {s}}
\}
,\{\overline{
\mathsf {s}}
,\overline{
\mathsf {t}}
\}
\}
 \mathrel{\in} \underline{
\mathsf {r}}
\Rightarrow \{\{\overline{
\mathsf {t}}
,\overline{
\mathsf {t}}
\}
,\{\overline{
\mathsf {t}}
,\overline{
\mathsf {s}}
\}
\}
 \mathrel{\in} \underline{
\mathsf {r}}
\Rightarrow \dot{\neg}\, 
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {s}}
\colon 
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {t}}
\colon 
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {u}}
\colon \overline{
\mathsf {s}}
 \mathrel{\in} \underline{\mathsf {bs}}
\Rightarrow \overline{
\mathsf {t}}
 \mathrel{\in} \underline{\mathsf {bs}}
\Rightarrow \overline{
\mathsf {u}}
 \mathrel{\in} \underline{\mathsf {bs}}
\Rightarrow \{\{\overline{
\mathsf {s}}
,\overline{
\mathsf {s}}
\}
,\{\overline{
\mathsf {s}}
,\overline{
\mathsf {t}}
\}
\}
 \mathrel{\in} \underline{
\mathsf {r}}
\Rightarrow \{\{\overline{
\mathsf {t}}
,\overline{
\mathsf {t}}
\}
,\{\overline{
\mathsf {t}}
,\overline{
\mathsf {u}}
\}
\}
 \mathrel{\in} \underline{
\mathsf {r}}
\Rightarrow \{\{\overline{
\mathsf {s}}
,\overline{
\mathsf {s}}
\}
,\{\overline{
\mathsf {s}}
,\overline{
\mathsf {u}}
\}
\}
 \mathrel{\in} \underline{
\mathsf {r}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {s}}
 \mathrel{\in} \cup  \{ ph \mathrel{\in} P(\underline{\mathsf {bs}}
)
\mid \dot{\neg}\, 
\mathsf {t}
 _{Ex}
 \mathrel{\in} \underline{\mathsf {bs}}
\Rightarrow \dot{\neg}\,  \{ ph \mathrel{\in} \underline{\mathsf {bs}}
\mid \{\{
\mathsf {a}
 _{Ph} 
,
\mathsf {a}
 _{Ph} 
\}
,\{
\mathsf {a}
 _{Ph} 
,
\mathsf {t}
 _{Ex}
\}
\}
 \mathrel{\in} \underline{
\mathsf {r}}
\}
\!\mathrel{=}\! 
\mathsf {b}
 _{Ph} 
\}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {s}}
 \mathrel{\in} \underline{\mathsf {bs}}
\rceil 
, 
p_0
, 
\mathsf {c}
)
]$

$\rm
[Union(BS/R)subset
\stackrel{
stmt
}{\rightarrow}ZFsub
\vdash 
\forall \underline{
\mathsf {r}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf {s}}
\colon 
\forall \underline{\mathsf {bs}}
\colon 
\lceil \overline{
\mathsf {s}}
\rceil 
\#^0
\lceil \underline{\mathsf {bs}}
\rceil 
\mathrel {\makebox [0mm][l]{$\vdash $}\,{\vdash }} 
\lceil \overline{
\mathsf {s}}
\rceil 
\#^0
\lceil \underline{
\mathsf {r}}
\rceil 
\mathrel {\makebox [0mm][l]{$\vdash $}\,{\vdash }} 
\lceil \overline{
\mathsf {t}}
\rceil 
\#^0
\lceil \underline{
\mathsf {r}}
\rceil 
\mathrel {\makebox [0mm][l]{$\vdash $}\,{\vdash }} 
\lceil \overline{
\mathsf {t}}
\rceil 
\#^0
\lceil \underline{\mathsf {bs}}
\rceil 
\mathrel {\makebox [0mm][l]{$\vdash $}\,{\vdash }} 
\lceil \overline{
\mathsf {u}}
\rceil 
\#^0
\lceil \underline{
\mathsf {r}}
\rceil 
\mathrel {\makebox [0mm][l]{$\vdash $}\,{\vdash }} 
\lceil \overline{
\mathsf {u}}
\rceil 
\#^0
\lceil \underline{\mathsf {bs}}
\rceil 
\mathrel {\makebox [0mm][l]{$\vdash $}\,{\vdash }} \dot{\neg}\, \dot{\neg}\, 
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {s}}
\colon \overline{
\mathsf {s}}
 \mathrel{\in} \underline{\mathsf {bs}}
\Rightarrow \{\{\overline{
\mathsf {s}}
,\overline{
\mathsf {s}}
\}
,\{\overline{
\mathsf {s}}
,\overline{
\mathsf {s}}
\}
\}
 \mathrel{\in} \underline{
\mathsf {r}}
\Rightarrow \dot{\neg}\, 
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {s}}
\colon 
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {t}}
\colon \overline{
\mathsf {s}}
 \mathrel{\in} \underline{\mathsf {bs}}
\Rightarrow \overline{
\mathsf {t}}
 \mathrel{\in} \underline{\mathsf {bs}}
\Rightarrow \{\{\overline{
\mathsf {s}}
,\overline{
\mathsf {s}}
\}
,\{\overline{
\mathsf {s}}
,\overline{
\mathsf {t}}
\}
\}
 \mathrel{\in} \underline{
\mathsf {r}}
\Rightarrow \{\{\overline{
\mathsf {t}}
,\overline{
\mathsf {t}}
\}
,\{\overline{
\mathsf {t}}
,\overline{
\mathsf {s}}
\}
\}
 \mathrel{\in} \underline{
\mathsf {r}}
\Rightarrow \dot{\neg}\, 
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {s}}
\colon 
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {t}}
\colon 
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {u}}
\colon \overline{
\mathsf {s}}
 \mathrel{\in} \underline{\mathsf {bs}}
\Rightarrow \overline{
\mathsf {t}}
 \mathrel{\in} \underline{\mathsf {bs}}
\Rightarrow \overline{
\mathsf {u}}
 \mathrel{\in} \underline{\mathsf {bs}}
\Rightarrow \{\{\overline{
\mathsf {s}}
,\overline{
\mathsf {s}}
\}
,\{\overline{
\mathsf {s}}
,\overline{
\mathsf {t}}
\}
\}
 \mathrel{\in} \underline{
\mathsf {r}}
\Rightarrow \{\{\overline{
\mathsf {t}}
,\overline{
\mathsf {t}}
\}
,\{\overline{
\mathsf {t}}
,\overline{
\mathsf {u}}
\}
\}
 \mathrel{\in} \underline{
\mathsf {r}}
\Rightarrow \{\{\overline{
\mathsf {s}}
,\overline{
\mathsf {s}}
\}
,\{\overline{
\mathsf {s}}
,\overline{
\mathsf {u}}
\}
\}
 \mathrel{\in} \underline{
\mathsf {r}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {s}}
 \mathrel{\in} \cup  \{ ph \mathrel{\in} P(\underline{\mathsf {bs}}
)
\mid \dot{\neg}\, 
\mathsf {t}
 _{Ex}
 \mathrel{\in} \underline{\mathsf {bs}}
\Rightarrow \dot{\neg}\,  \{ ph \mathrel{\in} \underline{\mathsf {bs}}
\mid \{\{
\mathsf {a}
 _{Ph} 
,
\mathsf {a}
 _{Ph} 
\}
,\{
\mathsf {a}
 _{Ph} 
,
\mathsf {t}
 _{Ex}
\}
\}
 \mathrel{\in} \underline{
\mathsf {r}}
\}
\!\mathrel{=}\! 
\mathsf {b}
 _{Ph} 
\}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {s}}
 \mathrel{\in} \underline{\mathsf {bs}}
]$

$\rm
[Union(BS/R)subset
\stackrel{
\mathrm{tex}
}{\rightarrow}
\mbox{``}Union(BS/R)subset
\mbox{''}
]$

$\rm
[Union(BS/R)subset
\stackrel{
\mathrm{pyk}
}{\rightarrow}
\mbox{``}lemma
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}union(bs/r)
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}subset
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}bs
\mbox{''}
]$

\hypertarget {url:1808490560655876194608813785663292462486349118665588524157069396079556865:150}{}\section* {$\rm UnionIdentity$}

$\rm
[UnionIdentity
\stackrel{
proof
}{\rightarrow}
\lambda 
\mathsf {c}
.
\lambda 
\mathsf{x}
.
{\cal P}( 
\lceil ZFsub
\vdash 
\forall \underline{
\mathsf {r}}
\colon 
\forall \underline{\mathsf {bs}}
\colon 
\lceil \overline{
\mathsf {s}}
\rceil 
\#^0
\lceil \underline{
\mathsf {r}}
\rceil 
\mathrel {\makebox [0mm][l]{$\vdash $}\,{\vdash }} 
\lceil \overline{
\mathsf {s}}
\rceil 
\#^0
\lceil \underline{\mathsf {bs}}
\rceil 
\mathrel {\makebox [0mm][l]{$\vdash $}\,{\vdash }} 
\lceil \overline{
\mathsf {t}}
\rceil 
\#^0
\lceil \underline{
\mathsf {r}}
\rceil 
\mathrel {\makebox [0mm][l]{$\vdash $}\,{\vdash }} 
\lceil \overline{
\mathsf {t}}
\rceil 
\#^0
\lceil \underline{\mathsf {bs}}
\rceil 
\mathrel {\makebox [0mm][l]{$\vdash $}\,{\vdash }} 
\lceil \overline{
\mathsf {u}}
\rceil 
\#^0
\lceil \underline{
\mathsf {r}}
\rceil 
\mathrel {\makebox [0mm][l]{$\vdash $}\,{\vdash }} 
\lceil \overline{
\mathsf {u}}
\rceil 
\#^0
\lceil \underline{\mathsf {bs}}
\rceil 
\mathrel {\makebox [0mm][l]{$\vdash $}\,{\vdash }} \dot{\neg}\, \dot{\neg}\, 
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {s}}
\colon \overline{
\mathsf {s}}
 \mathrel{\in} \underline{\mathsf {bs}}
\Rightarrow \{\{\overline{
\mathsf {s}}
,\overline{
\mathsf {s}}
\}
,\{\overline{
\mathsf {s}}
,\overline{
\mathsf {s}}
\}
\}
 \mathrel{\in} \underline{
\mathsf {r}}
\Rightarrow \dot{\neg}\, 
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {s}}
\colon 
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {t}}
\colon \overline{
\mathsf {s}}
 \mathrel{\in} \underline{\mathsf {bs}}
\Rightarrow \overline{
\mathsf {t}}
 \mathrel{\in} \underline{\mathsf {bs}}
\Rightarrow \{\{\overline{
\mathsf {s}}
,\overline{
\mathsf {s}}
\}
,\{\overline{
\mathsf {s}}
,\overline{
\mathsf {t}}
\}
\}
 \mathrel{\in} \underline{
\mathsf {r}}
\Rightarrow \{\{\overline{
\mathsf {t}}
,\overline{
\mathsf {t}}
\}
,\{\overline{
\mathsf {t}}
,\overline{
\mathsf {s}}
\}
\}
 \mathrel{\in} \underline{
\mathsf {r}}
\Rightarrow \dot{\neg}\, 
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {s}}
\colon 
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {t}}
\colon 
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {u}}
\colon \overline{
\mathsf {s}}
 \mathrel{\in} \underline{\mathsf {bs}}
\Rightarrow \overline{
\mathsf {t}}
 \mathrel{\in} \underline{\mathsf {bs}}
\Rightarrow \overline{
\mathsf {u}}
 \mathrel{\in} \underline{\mathsf {bs}}
\Rightarrow \{\{\overline{
\mathsf {s}}
,\overline{
\mathsf {s}}
\}
,\{\overline{
\mathsf {s}}
,\overline{
\mathsf {t}}
\}
\}
 \mathrel{\in} \underline{
\mathsf {r}}
\Rightarrow \{\{\overline{
\mathsf {t}}
,\overline{
\mathsf {t}}
\}
,\{\overline{
\mathsf {t}}
,\overline{
\mathsf {u}}
\}
\}
 \mathrel{\in} \underline{
\mathsf {r}}
\Rightarrow \{\{\overline{
\mathsf {s}}
,\overline{
\mathsf {s}}
\}
,\{\overline{
\mathsf {s}}
,\overline{
\mathsf {u}}
\}
\}
 \mathrel{\in} \underline{
\mathsf {r}}
\vdash BSsubset
\mathrel {\makebox [0mm][l]{$\rhd $}\,{\rhd }} 
\lceil \overline{
\mathsf {s}}
\rceil 
\#^0
\lceil \underline{
\mathsf {r}}
\rceil 
\mathrel {\makebox [0mm][l]{$\rhd $}\,{\rhd }} 
\lceil \overline{
\mathsf {s}}
\rceil 
\#^0
\lceil \underline{\mathsf {bs}}
\rceil 
\mathrel {\makebox [0mm][l]{$\rhd $}\,{\rhd }} 
\lceil \overline{
\mathsf {t}}
\rceil 
\#^0
\lceil \underline{
\mathsf {r}}
\rceil 
\mathrel {\makebox [0mm][l]{$\rhd $}\,{\rhd }} 
\lceil \overline{
\mathsf {t}}
\rceil 
\#^0
\lceil \underline{\mathsf {bs}}
\rceil 
\mathrel {\makebox [0mm][l]{$\rhd $}\,{\rhd }} 
\lceil \overline{
\mathsf {u}}
\rceil 
\#^0
\lceil \underline{
\mathsf {r}}
\rceil 
\mathrel {\makebox [0mm][l]{$\rhd $}\,{\rhd }} 
\lceil \overline{
\mathsf {u}}
\rceil 
\#^0
\lceil \underline{\mathsf {bs}}
\rceil 
\gg \dot{\neg}\, \dot{\neg}\, 
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {s}}
\colon \overline{
\mathsf {s}}
 \mathrel{\in} \underline{\mathsf {bs}}
\Rightarrow \{\{\overline{
\mathsf {s}}
,\overline{
\mathsf {s}}
\}
,\{\overline{
\mathsf {s}}
,\overline{
\mathsf {s}}
\}
\}
 \mathrel{\in} \underline{
\mathsf {r}}
\Rightarrow \dot{\neg}\, 
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {s}}
\colon 
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {t}}
\colon \overline{
\mathsf {s}}
 \mathrel{\in} \underline{\mathsf {bs}}
\Rightarrow \overline{
\mathsf {t}}
 \mathrel{\in} \underline{\mathsf {bs}}
\Rightarrow \{\{\overline{
\mathsf {s}}
,\overline{
\mathsf {s}}
\}
,\{\overline{
\mathsf {s}}
,\overline{
\mathsf {t}}
\}
\}
 \mathrel{\in} \underline{
\mathsf {r}}
\Rightarrow \{\{\overline{
\mathsf {t}}
,\overline{
\mathsf {t}}
\}
,\{\overline{
\mathsf {t}}
,\overline{
\mathsf {s}}
\}
\}
 \mathrel{\in} \underline{
\mathsf {r}}
\Rightarrow \dot{\neg}\, 
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {s}}
\colon 
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {t}}
\colon 
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {u}}
\colon \overline{
\mathsf {s}}
 \mathrel{\in} \underline{\mathsf {bs}}
\Rightarrow \overline{
\mathsf {t}}
 \mathrel{\in} \underline{\mathsf {bs}}
\Rightarrow \overline{
\mathsf {u}}
 \mathrel{\in} \underline{\mathsf {bs}}
\Rightarrow \{\{\overline{
\mathsf {s}}
,\overline{
\mathsf {s}}
\}
,\{\overline{
\mathsf {s}}
,\overline{
\mathsf {t}}
\}
\}
 \mathrel{\in} \underline{
\mathsf {r}}
\Rightarrow \{\{\overline{
\mathsf {t}}
,\overline{
\mathsf {t}}
\}
,\{\overline{
\mathsf {t}}
,\overline{
\mathsf {u}}
\}
\}
 \mathrel{\in} \underline{
\mathsf {r}}
\Rightarrow \{\{\overline{
\mathsf {s}}
,\overline{
\mathsf {s}}
\}
,\{\overline{
\mathsf {s}}
,\overline{
\mathsf {u}}
\}
\}
 \mathrel{\in} \underline{
\mathsf {r}}
\Rightarrow \overline{
\mathsf {s}}
 \mathrel{\in} \underline{\mathsf {bs}}
\Rightarrow \overline{
\mathsf {s}}
 \mathrel{\in} \cup  \{ ph \mathrel{\in} P(\underline{\mathsf {bs}}
)
\mid \dot{\neg}\, 
\mathsf {t}
 _{Ex}
 \mathrel{\in} \underline{\mathsf {bs}}
\Rightarrow \dot{\neg}\,  \{ ph \mathrel{\in} \underline{\mathsf {bs}}
\mid \{\{
\mathsf {a}
 _{Ph} 
,
\mathsf {a}
 _{Ph} 
\}
,\{
\mathsf {a}
 _{Ph} 
,
\mathsf {t}
 _{Ex}
\}
\}
 \mathrel{\in} \underline{
\mathsf {r}}
\}
\!\mathrel{=}\! 
\mathsf {b}
 _{Ph} 
\}
; MP
\rhd \dot{\neg}\, \dot{\neg}\, 
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {s}}
\colon \overline{
\mathsf {s}}
 \mathrel{\in} \underline{\mathsf {bs}}
\Rightarrow \{\{\overline{
\mathsf {s}}
,\overline{
\mathsf {s}}
\}
,\{\overline{
\mathsf {s}}
,\overline{
\mathsf {s}}
\}
\}
 \mathrel{\in} \underline{
\mathsf {r}}
\Rightarrow \dot{\neg}\, 
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {s}}
\colon 
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {t}}
\colon \overline{
\mathsf {s}}
 \mathrel{\in} \underline{\mathsf {bs}}
\Rightarrow \overline{
\mathsf {t}}
 \mathrel{\in} \underline{\mathsf {bs}}
\Rightarrow \{\{\overline{
\mathsf {s}}
,\overline{
\mathsf {s}}
\}
,\{\overline{
\mathsf {s}}
,\overline{
\mathsf {t}}
\}
\}
 \mathrel{\in} \underline{
\mathsf {r}}
\Rightarrow \{\{\overline{
\mathsf {t}}
,\overline{
\mathsf {t}}
\}
,\{\overline{
\mathsf {t}}
,\overline{
\mathsf {s}}
\}
\}
 \mathrel{\in} \underline{
\mathsf {r}}
\Rightarrow \dot{\neg}\, 
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {s}}
\colon 
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {t}}
\colon 
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {u}}
\colon \overline{
\mathsf {s}}
 \mathrel{\in} \underline{\mathsf {bs}}
\Rightarrow \overline{
\mathsf {t}}
 \mathrel{\in} \underline{\mathsf {bs}}
\Rightarrow \overline{
\mathsf {u}}
 \mathrel{\in} \underline{\mathsf {bs}}
\Rightarrow \{\{\overline{
\mathsf {s}}
,\overline{
\mathsf {s}}
\}
,\{\overline{
\mathsf {s}}
,\overline{
\mathsf {t}}
\}
\}
 \mathrel{\in} \underline{
\mathsf {r}}
\Rightarrow \{\{\overline{
\mathsf {t}}
,\overline{
\mathsf {t}}
\}
,\{\overline{
\mathsf {t}}
,\overline{
\mathsf {u}}
\}
\}
 \mathrel{\in} \underline{
\mathsf {r}}
\Rightarrow \{\{\overline{
\mathsf {s}}
,\overline{
\mathsf {s}}
\}
,\{\overline{
\mathsf {s}}
,\overline{
\mathsf {u}}
\}
\}
 \mathrel{\in} \underline{
\mathsf {r}}
\Rightarrow \overline{
\mathsf {s}}
 \mathrel{\in} \underline{\mathsf {bs}}
\Rightarrow \overline{
\mathsf {s}}
 \mathrel{\in} \cup  \{ ph \mathrel{\in} P(\underline{\mathsf {bs}}
)
\mid \dot{\neg}\, 
\mathsf {t}
 _{Ex}
 \mathrel{\in} \underline{\mathsf {bs}}
\Rightarrow \dot{\neg}\,  \{ ph \mathrel{\in} \underline{\mathsf {bs}}
\mid \{\{
\mathsf {a}
 _{Ph} 
,
\mathsf {a}
 _{Ph} 
\}
,\{
\mathsf {a}
 _{Ph} 
,
\mathsf {t}
 _{Ex}
\}
\}
 \mathrel{\in} \underline{
\mathsf {r}}
\}
\!\mathrel{=}\! 
\mathsf {b}
 _{Ph} 
\}
\rhd \dot{\neg}\, \dot{\neg}\, 
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {s}}
\colon \overline{
\mathsf {s}}
 \mathrel{\in} \underline{\mathsf {bs}}
\Rightarrow \{\{\overline{
\mathsf {s}}
,\overline{
\mathsf {s}}
\}
,\{\overline{
\mathsf {s}}
,\overline{
\mathsf {s}}
\}
\}
 \mathrel{\in} \underline{
\mathsf {r}}
\Rightarrow \dot{\neg}\, 
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {s}}
\colon 
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {t}}
\colon \overline{
\mathsf {s}}
 \mathrel{\in} \underline{\mathsf {bs}}
\Rightarrow \overline{
\mathsf {t}}
 \mathrel{\in} \underline{\mathsf {bs}}
\Rightarrow \{\{\overline{
\mathsf {s}}
,\overline{
\mathsf {s}}
\}
,\{\overline{
\mathsf {s}}
,\overline{
\mathsf {t}}
\}
\}
 \mathrel{\in} \underline{
\mathsf {r}}
\Rightarrow \{\{\overline{
\mathsf {t}}
,\overline{
\mathsf {t}}
\}
,\{\overline{
\mathsf {t}}
,\overline{
\mathsf {s}}
\}
\}
 \mathrel{\in} \underline{
\mathsf {r}}
\Rightarrow \dot{\neg}\, 
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {s}}
\colon 
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {t}}
\colon 
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {u}}
\colon \overline{
\mathsf {s}}
 \mathrel{\in} \underline{\mathsf {bs}}
\Rightarrow \overline{
\mathsf {t}}
 \mathrel{\in} \underline{\mathsf {bs}}
\Rightarrow \overline{
\mathsf {u}}
 \mathrel{\in} \underline{\mathsf {bs}}
\Rightarrow \{\{\overline{
\mathsf {s}}
,\overline{
\mathsf {s}}
\}
,\{\overline{
\mathsf {s}}
,\overline{
\mathsf {t}}
\}
\}
 \mathrel{\in} \underline{
\mathsf {r}}
\Rightarrow \{\{\overline{
\mathsf {t}}
,\overline{
\mathsf {t}}
\}
,\{\overline{
\mathsf {t}}
,\overline{
\mathsf {u}}
\}
\}
 \mathrel{\in} \underline{
\mathsf {r}}
\Rightarrow \{\{\overline{
\mathsf {s}}
,\overline{
\mathsf {s}}
\}
,\{\overline{
\mathsf {s}}
,\overline{
\mathsf {u}}
\}
\}
 \mathrel{\in} \underline{
\mathsf {r}}
\gg \overline{
\mathsf {s}}
 \mathrel{\in} \underline{\mathsf {bs}}
\Rightarrow \overline{
\mathsf {s}}
 \mathrel{\in} \cup  \{ ph \mathrel{\in} P(\underline{\mathsf {bs}}
)
\mid \dot{\neg}\, 
\mathsf {t}
 _{Ex}
 \mathrel{\in} \underline{\mathsf {bs}}
\Rightarrow \dot{\neg}\,  \{ ph \mathrel{\in} \underline{\mathsf {bs}}
\mid \{\{
\mathsf {a}
 _{Ph} 
,
\mathsf {a}
 _{Ph} 
\}
,\{
\mathsf {a}
 _{Ph} 
,
\mathsf {t}
 _{Ex}
\}
\}
 \mathrel{\in} \underline{
\mathsf {r}}
\}
\!\mathrel{=}\! 
\mathsf {b}
 _{Ph} 
\}
; Union(BS/R)subset
\mathrel {\makebox [0mm][l]{$\rhd $}\,{\rhd }} 
\lceil \overline{
\mathsf {s}}
\rceil 
\#^0
\lceil \underline{\mathsf {bs}}
\rceil 
\mathrel {\makebox [0mm][l]{$\rhd $}\,{\rhd }} 
\lceil \overline{
\mathsf {s}}
\rceil 
\#^0
\lceil \underline{
\mathsf {r}}
\rceil 
\mathrel {\makebox [0mm][l]{$\rhd $}\,{\rhd }} 
\lceil \overline{
\mathsf {t}}
\rceil 
\#^0
\lceil \underline{
\mathsf {r}}
\rceil 
\mathrel {\makebox [0mm][l]{$\rhd $}\,{\rhd }} 
\lceil \overline{
\mathsf {t}}
\rceil 
\#^0
\lceil \underline{\mathsf {bs}}
\rceil 
\mathrel {\makebox [0mm][l]{$\rhd $}\,{\rhd }} 
\lceil \overline{
\mathsf {u}}
\rceil 
\#^0
\lceil \underline{
\mathsf {r}}
\rceil 
\mathrel {\makebox [0mm][l]{$\rhd $}\,{\rhd }} 
\lceil \overline{
\mathsf {u}}
\rceil 
\#^0
\lceil \underline{\mathsf {bs}}
\rceil 
\gg \dot{\neg}\, \dot{\neg}\, 
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {s}}
\colon \overline{
\mathsf {s}}
 \mathrel{\in} \underline{\mathsf {bs}}
\Rightarrow \{\{\overline{
\mathsf {s}}
,\overline{
\mathsf {s}}
\}
,\{\overline{
\mathsf {s}}
,\overline{
\mathsf {s}}
\}
\}
 \mathrel{\in} \underline{
\mathsf {r}}
\Rightarrow \dot{\neg}\, 
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {s}}
\colon 
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {t}}
\colon \overline{
\mathsf {s}}
 \mathrel{\in} \underline{\mathsf {bs}}
\Rightarrow \overline{
\mathsf {t}}
 \mathrel{\in} \underline{\mathsf {bs}}
\Rightarrow \{\{\overline{
\mathsf {s}}
,\overline{
\mathsf {s}}
\}
,\{\overline{
\mathsf {s}}
,\overline{
\mathsf {t}}
\}
\}
 \mathrel{\in} \underline{
\mathsf {r}}
\Rightarrow \{\{\overline{
\mathsf {t}}
,\overline{
\mathsf {t}}
\}
,\{\overline{
\mathsf {t}}
,\overline{
\mathsf {s}}
\}
\}
 \mathrel{\in} \underline{
\mathsf {r}}
\Rightarrow \dot{\neg}\, 
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {s}}
\colon 
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {t}}
\colon 
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {u}}
\colon \overline{
\mathsf {s}}
 \mathrel{\in} \underline{\mathsf {bs}}
\Rightarrow \overline{
\mathsf {t}}
 \mathrel{\in} \underline{\mathsf {bs}}
\Rightarrow \overline{
\mathsf {u}}
 \mathrel{\in} \underline{\mathsf {bs}}
\Rightarrow \{\{\overline{
\mathsf {s}}
,\overline{
\mathsf {s}}
\}
,\{\overline{
\mathsf {s}}
,\overline{
\mathsf {t}}
\}
\}
 \mathrel{\in} \underline{
\mathsf {r}}
\Rightarrow \{\{\overline{
\mathsf {t}}
,\overline{
\mathsf {t}}
\}
,\{\overline{
\mathsf {t}}
,\overline{
\mathsf {u}}
\}
\}
 \mathrel{\in} \underline{
\mathsf {r}}
\Rightarrow \{\{\overline{
\mathsf {s}}
,\overline{
\mathsf {s}}
\}
,\{\overline{
\mathsf {s}}
,\overline{
\mathsf {u}}
\}
\}
 \mathrel{\in} \underline{
\mathsf {r}}
\Rightarrow \overline{
\mathsf {s}}
 \mathrel{\in} \cup  \{ ph \mathrel{\in} P(\underline{\mathsf {bs}}
)
\mid \dot{\neg}\, 
\mathsf {t}
 _{Ex}
 \mathrel{\in} \underline{\mathsf {bs}}
\Rightarrow \dot{\neg}\,  \{ ph \mathrel{\in} \underline{\mathsf {bs}}
\mid \{\{
\mathsf {a}
 _{Ph} 
,
\mathsf {a}
 _{Ph} 
\}
,\{
\mathsf {a}
 _{Ph} 
,
\mathsf {t}
 _{Ex}
\}
\}
 \mathrel{\in} \underline{
\mathsf {r}}
\}
\!\mathrel{=}\! 
\mathsf {b}
 _{Ph} 
\}
\Rightarrow \overline{
\mathsf {s}}
 \mathrel{\in} \underline{\mathsf {bs}}
; MP
\rhd \dot{\neg}\, \dot{\neg}\, 
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {s}}
\colon \overline{
\mathsf {s}}
 \mathrel{\in} \underline{\mathsf {bs}}
\Rightarrow \{\{\overline{
\mathsf {s}}
,\overline{
\mathsf {s}}
\}
,\{\overline{
\mathsf {s}}
,\overline{
\mathsf {s}}
\}
\}
 \mathrel{\in} \underline{
\mathsf {r}}
\Rightarrow \dot{\neg}\, 
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {s}}
\colon 
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {t}}
\colon \overline{
\mathsf {s}}
 \mathrel{\in} \underline{\mathsf {bs}}
\Rightarrow \overline{
\mathsf {t}}
 \mathrel{\in} \underline{\mathsf {bs}}
\Rightarrow \{\{\overline{
\mathsf {s}}
,\overline{
\mathsf {s}}
\}
,\{\overline{
\mathsf {s}}
,\overline{
\mathsf {t}}
\}
\}
 \mathrel{\in} \underline{
\mathsf {r}}
\Rightarrow \{\{\overline{
\mathsf {t}}
,\overline{
\mathsf {t}}
\}
,\{\overline{
\mathsf {t}}
,\overline{
\mathsf {s}}
\}
\}
 \mathrel{\in} \underline{
\mathsf {r}}
\Rightarrow \dot{\neg}\, 
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {s}}
\colon 
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {t}}
\colon 
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {u}}
\colon \overline{
\mathsf {s}}
 \mathrel{\in} \underline{\mathsf {bs}}
\Rightarrow \overline{
\mathsf {t}}
 \mathrel{\in} \underline{\mathsf {bs}}
\Rightarrow \overline{
\mathsf {u}}
 \mathrel{\in} \underline{\mathsf {bs}}
\Rightarrow \{\{\overline{
\mathsf {s}}
,\overline{
\mathsf {s}}
\}
,\{\overline{
\mathsf {s}}
,\overline{
\mathsf {t}}
\}
\}
 \mathrel{\in} \underline{
\mathsf {r}}
\Rightarrow \{\{\overline{
\mathsf {t}}
,\overline{
\mathsf {t}}
\}
,\{\overline{
\mathsf {t}}
,\overline{
\mathsf {u}}
\}
\}
 \mathrel{\in} \underline{
\mathsf {r}}
\Rightarrow \{\{\overline{
\mathsf {s}}
,\overline{
\mathsf {s}}
\}
,\{\overline{
\mathsf {s}}
,\overline{
\mathsf {u}}
\}
\}
 \mathrel{\in} \underline{
\mathsf {r}}
\Rightarrow \overline{
\mathsf {s}}
 \mathrel{\in} \cup  \{ ph \mathrel{\in} P(\underline{\mathsf {bs}}
)
\mid \dot{\neg}\, 
\mathsf {t}
 _{Ex}
 \mathrel{\in} \underline{\mathsf {bs}}
\Rightarrow \dot{\neg}\,  \{ ph \mathrel{\in} \underline{\mathsf {bs}}
\mid \{\{
\mathsf {a}
 _{Ph} 
,
\mathsf {a}
 _{Ph} 
\}
,\{
\mathsf {a}
 _{Ph} 
,
\mathsf {t}
 _{Ex}
\}
\}
 \mathrel{\in} \underline{
\mathsf {r}}
\}
\!\mathrel{=}\! 
\mathsf {b}
 _{Ph} 
\}
\Rightarrow \overline{
\mathsf {s}}
 \mathrel{\in} \underline{\mathsf {bs}}
\rhd \dot{\neg}\, \dot{\neg}\, 
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {s}}
\colon \overline{
\mathsf {s}}
 \mathrel{\in} \underline{\mathsf {bs}}
\Rightarrow \{\{\overline{
\mathsf {s}}
,\overline{
\mathsf {s}}
\}
,\{\overline{
\mathsf {s}}
,\overline{
\mathsf {s}}
\}
\}
 \mathrel{\in} \underline{
\mathsf {r}}
\Rightarrow \dot{\neg}\, 
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {s}}
\colon 
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {t}}
\colon \overline{
\mathsf {s}}
 \mathrel{\in} \underline{\mathsf {bs}}
\Rightarrow \overline{
\mathsf {t}}
 \mathrel{\in} \underline{\mathsf {bs}}
\Rightarrow \{\{\overline{
\mathsf {s}}
,\overline{
\mathsf {s}}
\}
,\{\overline{
\mathsf {s}}
,\overline{
\mathsf {t}}
\}
\}
 \mathrel{\in} \underline{
\mathsf {r}}
\Rightarrow \{\{\overline{
\mathsf {t}}
,\overline{
\mathsf {t}}
\}
,\{\overline{
\mathsf {t}}
,\overline{
\mathsf {s}}
\}
\}
 \mathrel{\in} \underline{
\mathsf {r}}
\Rightarrow \dot{\neg}\, 
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {s}}
\colon 
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {t}}
\colon 
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {u}}
\colon \overline{
\mathsf {s}}
 \mathrel{\in} \underline{\mathsf {bs}}
\Rightarrow \overline{
\mathsf {t}}
 \mathrel{\in} \underline{\mathsf {bs}}
\Rightarrow \overline{
\mathsf {u}}
 \mathrel{\in} \underline{\mathsf {bs}}
\Rightarrow \{\{\overline{
\mathsf {s}}
,\overline{
\mathsf {s}}
\}
,\{\overline{
\mathsf {s}}
,\overline{
\mathsf {t}}
\}
\}
 \mathrel{\in} \underline{
\mathsf {r}}
\Rightarrow \{\{\overline{
\mathsf {t}}
,\overline{
\mathsf {t}}
\}
,\{\overline{
\mathsf {t}}
,\overline{
\mathsf {u}}
\}
\}
 \mathrel{\in} \underline{
\mathsf {r}}
\Rightarrow \{\{\overline{
\mathsf {s}}
,\overline{
\mathsf {s}}
\}
,\{\overline{
\mathsf {s}}
,\overline{
\mathsf {u}}
\}
\}
 \mathrel{\in} \underline{
\mathsf {r}}
\gg \overline{
\mathsf {s}}
 \mathrel{\in} \cup  \{ ph \mathrel{\in} P(\underline{\mathsf {bs}}
)
\mid \dot{\neg}\, 
\mathsf {t}
 _{Ex}
 \mathrel{\in} \underline{\mathsf {bs}}
\Rightarrow \dot{\neg}\,  \{ ph \mathrel{\in} \underline{\mathsf {bs}}
\mid \{\{
\mathsf {a}
 _{Ph} 
,
\mathsf {a}
 _{Ph} 
\}
,\{
\mathsf {a}
 _{Ph} 
,
\mathsf {t}
 _{Ex}
\}
\}
 \mathrel{\in} \underline{
\mathsf {r}}
\}
\!\mathrel{=}\! 
\mathsf {b}
 _{Ph} 
\}
\Rightarrow \overline{
\mathsf {s}}
 \mathrel{\in} \underline{\mathsf {bs}}
; ToSetEquality
\rhd \overline{
\mathsf {s}}
 \mathrel{\in} \cup  \{ ph \mathrel{\in} P(\underline{\mathsf {bs}}
)
\mid \dot{\neg}\, 
\mathsf {t}
 _{Ex}
 \mathrel{\in} \underline{\mathsf {bs}}
\Rightarrow \dot{\neg}\,  \{ ph \mathrel{\in} \underline{\mathsf {bs}}
\mid \{\{
\mathsf {a}
 _{Ph} 
,
\mathsf {a}
 _{Ph} 
\}
,\{
\mathsf {a}
 _{Ph} 
,
\mathsf {t}
 _{Ex}
\}
\}
 \mathrel{\in} \underline{
\mathsf {r}}
\}
\!\mathrel{=}\! 
\mathsf {b}
 _{Ph} 
\}
\Rightarrow \overline{
\mathsf {s}}
 \mathrel{\in} \underline{\mathsf {bs}}
\rhd \overline{
\mathsf {s}}
 \mathrel{\in} \underline{\mathsf {bs}}
\Rightarrow \overline{
\mathsf {s}}
 \mathrel{\in} \cup  \{ ph \mathrel{\in} P(\underline{\mathsf {bs}}
)
\mid \dot{\neg}\, 
\mathsf {t}
 _{Ex}
 \mathrel{\in} \underline{\mathsf {bs}}
\Rightarrow \dot{\neg}\,  \{ ph \mathrel{\in} \underline{\mathsf {bs}}
\mid \{\{
\mathsf {a}
 _{Ph} 
,
\mathsf {a}
 _{Ph} 
\}
,\{
\mathsf {a}
 _{Ph} 
,
\mathsf {t}
 _{Ex}
\}
\}
 \mathrel{\in} \underline{
\mathsf {r}}
\}
\!\mathrel{=}\! 
\mathsf {b}
 _{Ph} 
\}
\gg \cup  \{ ph \mathrel{\in} P(\underline{\mathsf {bs}}
)
\mid \dot{\neg}\, 
\mathsf {t}
 _{Ex}
 \mathrel{\in} \underline{\mathsf {bs}}
\Rightarrow \dot{\neg}\,  \{ ph \mathrel{\in} \underline{\mathsf {bs}}
\mid \{\{
\mathsf {a}
 _{Ph} 
,
\mathsf {a}
 _{Ph} 
\}
,\{
\mathsf {a}
 _{Ph} 
,
\mathsf {t}
 _{Ex}
\}
\}
 \mathrel{\in} \underline{
\mathsf {r}}
\}
\!\mathrel{=}\! 
\mathsf {b}
 _{Ph} 
\}
\!\mathrel{=}\! \underline{\mathsf {bs}}
\rceil 
, 
p_0
, 
\mathsf {c}
)
]$

$\rm
[UnionIdentity
\stackrel{
stmt
}{\rightarrow}ZFsub
\vdash 
\forall \underline{
\mathsf {r}}
\colon 
\forall \underline{\mathsf {bs}}
\colon 
\lceil \overline{
\mathsf {s}}
\rceil 
\#^0
\lceil \underline{
\mathsf {r}}
\rceil 
\mathrel {\makebox [0mm][l]{$\vdash $}\,{\vdash }} 
\lceil \overline{
\mathsf {s}}
\rceil 
\#^0
\lceil \underline{\mathsf {bs}}
\rceil 
\mathrel {\makebox [0mm][l]{$\vdash $}\,{\vdash }} 
\lceil \overline{
\mathsf {t}}
\rceil 
\#^0
\lceil \underline{
\mathsf {r}}
\rceil 
\mathrel {\makebox [0mm][l]{$\vdash $}\,{\vdash }} 
\lceil \overline{
\mathsf {t}}
\rceil 
\#^0
\lceil \underline{\mathsf {bs}}
\rceil 
\mathrel {\makebox [0mm][l]{$\vdash $}\,{\vdash }} 
\lceil \overline{
\mathsf {u}}
\rceil 
\#^0
\lceil \underline{
\mathsf {r}}
\rceil 
\mathrel {\makebox [0mm][l]{$\vdash $}\,{\vdash }} 
\lceil \overline{
\mathsf {u}}
\rceil 
\#^0
\lceil \underline{\mathsf {bs}}
\rceil 
\mathrel {\makebox [0mm][l]{$\vdash $}\,{\vdash }} \dot{\neg}\, \dot{\neg}\, 
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {s}}
\colon \overline{
\mathsf {s}}
 \mathrel{\in} \underline{\mathsf {bs}}
\Rightarrow \{\{\overline{
\mathsf {s}}
,\overline{
\mathsf {s}}
\}
,\{\overline{
\mathsf {s}}
,\overline{
\mathsf {s}}
\}
\}
 \mathrel{\in} \underline{
\mathsf {r}}
\Rightarrow \dot{\neg}\, 
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {s}}
\colon 
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {t}}
\colon \overline{
\mathsf {s}}
 \mathrel{\in} \underline{\mathsf {bs}}
\Rightarrow \overline{
\mathsf {t}}
 \mathrel{\in} \underline{\mathsf {bs}}
\Rightarrow \{\{\overline{
\mathsf {s}}
,\overline{
\mathsf {s}}
\}
,\{\overline{
\mathsf {s}}
,\overline{
\mathsf {t}}
\}
\}
 \mathrel{\in} \underline{
\mathsf {r}}
\Rightarrow \{\{\overline{
\mathsf {t}}
,\overline{
\mathsf {t}}
\}
,\{\overline{
\mathsf {t}}
,\overline{
\mathsf {s}}
\}
\}
 \mathrel{\in} \underline{
\mathsf {r}}
\Rightarrow \dot{\neg}\, 
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {s}}
\colon 
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {t}}
\colon 
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {u}}
\colon \overline{
\mathsf {s}}
 \mathrel{\in} \underline{\mathsf {bs}}
\Rightarrow \overline{
\mathsf {t}}
 \mathrel{\in} \underline{\mathsf {bs}}
\Rightarrow \overline{
\mathsf {u}}
 \mathrel{\in} \underline{\mathsf {bs}}
\Rightarrow \{\{\overline{
\mathsf {s}}
,\overline{
\mathsf {s}}
\}
,\{\overline{
\mathsf {s}}
,\overline{
\mathsf {t}}
\}
\}
 \mathrel{\in} \underline{
\mathsf {r}}
\Rightarrow \{\{\overline{
\mathsf {t}}
,\overline{
\mathsf {t}}
\}
,\{\overline{
\mathsf {t}}
,\overline{
\mathsf {u}}
\}
\}
 \mathrel{\in} \underline{
\mathsf {r}}
\Rightarrow \{\{\overline{
\mathsf {s}}
,\overline{
\mathsf {s}}
\}
,\{\overline{
\mathsf {s}}
,\overline{
\mathsf {u}}
\}
\}
 \mathrel{\in} \underline{
\mathsf {r}}
\vdash \cup  \{ ph \mathrel{\in} P(\underline{\mathsf {bs}}
)
\mid \dot{\neg}\, 
\mathsf {t}
 _{Ex}
 \mathrel{\in} \underline{\mathsf {bs}}
\Rightarrow \dot{\neg}\,  \{ ph \mathrel{\in} \underline{\mathsf {bs}}
\mid \{\{
\mathsf {a}
 _{Ph} 
,
\mathsf {a}
 _{Ph} 
\}
,\{
\mathsf {a}
 _{Ph} 
,
\mathsf {t}
 _{Ex}
\}
\}
 \mathrel{\in} \underline{
\mathsf {r}}
\}
\!\mathrel{=}\! 
\mathsf {b}
 _{Ph} 
\}
\!\mathrel{=}\! \underline{\mathsf {bs}}
]$

$\rm
[UnionIdentity
\stackrel{
\mathrm{tex}
}{\rightarrow}
\mbox{``}UnionIdentity
\mbox{''}
]$

$\rm
[UnionIdentity
\stackrel{
\mathrm{pyk}
}{\rightarrow}
\mbox{``}lemma
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}union(bs/r)
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}is
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}bs
\mbox{''}
]$

\hypertarget {url:1808490560655876194608813785663292462486349118665588524157069396079556865:151}{}\section* {$\rm EqSysIsPartition$}

$\rm
[EqSysIsPartition
\stackrel{
proof
}{\rightarrow}
\lambda 
\mathsf {c}
.
\lambda 
\mathsf{x}
.
{\cal P}( 
\lceil ZFsub
\vdash \dot{\neg}\, \dot{\neg}\, 
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {s}}
\colon \overline{
\mathsf {s}}
 \mathrel{\in} \overline{\mathsf {bs}}
\Rightarrow \{\{\overline{
\mathsf {s}}
,\overline{
\mathsf {s}}
\}
,\{\overline{
\mathsf {s}}
,\overline{
\mathsf {s}}
\}
\}
 \mathrel{\in} \overline{
\mathsf {r}}
\Rightarrow \dot{\neg}\, 
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {s}}
\colon 
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {t}}
\colon \overline{
\mathsf {s}}
 \mathrel{\in} \overline{\mathsf {bs}}
\Rightarrow \overline{
\mathsf {t}}
 \mathrel{\in} \overline{\mathsf {bs}}
\Rightarrow \{\{\overline{
\mathsf {s}}
,\overline{
\mathsf {s}}
\}
,\{\overline{
\mathsf {s}}
,\overline{
\mathsf {t}}
\}
\}
 \mathrel{\in} \overline{
\mathsf {r}}
\Rightarrow \{\{\overline{
\mathsf {t}}
,\overline{
\mathsf {t}}
\}
,\{\overline{
\mathsf {t}}
,\overline{
\mathsf {s}}
\}
\}
 \mathrel{\in} \overline{
\mathsf {r}}
\Rightarrow \dot{\neg}\, 
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {s}}
\colon 
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {t}}
\colon 
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {u}}
\colon \overline{
\mathsf {s}}
 \mathrel{\in} \overline{\mathsf {bs}}
\Rightarrow \overline{
\mathsf {t}}
 \mathrel{\in} \overline{\mathsf {bs}}
\Rightarrow \overline{
\mathsf {u}}
 \mathrel{\in} \overline{\mathsf {bs}}
\Rightarrow \{\{\overline{
\mathsf {s}}
,\overline{
\mathsf {s}}
\}
,\{\overline{
\mathsf {s}}
,\overline{
\mathsf {t}}
\}
\}
 \mathrel{\in} \overline{
\mathsf {r}}
\Rightarrow \{\{\overline{
\mathsf {t}}
,\overline{
\mathsf {t}}
\}
,\{\overline{
\mathsf {t}}
,\overline{
\mathsf {u}}
\}
\}
 \mathrel{\in} \overline{
\mathsf {r}}
\Rightarrow \{\{\overline{
\mathsf {s}}
,\overline{
\mathsf {s}}
\}
,\{\overline{
\mathsf {s}}
,\overline{
\mathsf {u}}
\}
\}
 \mathrel{\in} \overline{
\mathsf {r}}
\vdash EqSysNot\O{}
\rhd \dot{\neg}\, \dot{\neg}\, 
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {s}}
\colon \overline{
\mathsf {s}}
 \mathrel{\in} \overline{\mathsf {bs}}
\Rightarrow \{\{\overline{
\mathsf {s}}
,\overline{
\mathsf {s}}
\}
,\{\overline{
\mathsf {s}}
,\overline{
\mathsf {s}}
\}
\}
 \mathrel{\in} \overline{
\mathsf {r}}
\Rightarrow \dot{\neg}\, 
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {s}}
\colon 
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {t}}
\colon \overline{
\mathsf {s}}
 \mathrel{\in} \overline{\mathsf {bs}}
\Rightarrow \overline{
\mathsf {t}}
 \mathrel{\in} \overline{\mathsf {bs}}
\Rightarrow \{\{\overline{
\mathsf {s}}
,\overline{
\mathsf {s}}
\}
,\{\overline{
\mathsf {s}}
,\overline{
\mathsf {t}}
\}
\}
 \mathrel{\in} \overline{
\mathsf {r}}
\Rightarrow \{\{\overline{
\mathsf {t}}
,\overline{
\mathsf {t}}
\}
,\{\overline{
\mathsf {t}}
,\overline{
\mathsf {s}}
\}
\}
 \mathrel{\in} \overline{
\mathsf {r}}
\Rightarrow \dot{\neg}\, 
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {s}}
\colon 
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {t}}
\colon 
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {u}}
\colon \overline{
\mathsf {s}}
 \mathrel{\in} \overline{\mathsf {bs}}
\Rightarrow \overline{
\mathsf {t}}
 \mathrel{\in} \overline{\mathsf {bs}}
\Rightarrow \overline{
\mathsf {u}}
 \mathrel{\in} \overline{\mathsf {bs}}
\Rightarrow \{\{\overline{
\mathsf {s}}
,\overline{
\mathsf {s}}
\}
,\{\overline{
\mathsf {s}}
,\overline{
\mathsf {t}}
\}
\}
 \mathrel{\in} \overline{
\mathsf {r}}
\Rightarrow \{\{\overline{
\mathsf {t}}
,\overline{
\mathsf {t}}
\}
,\{\overline{
\mathsf {t}}
,\overline{
\mathsf {u}}
\}
\}
 \mathrel{\in} \overline{
\mathsf {r}}
\Rightarrow \{\{\overline{
\mathsf {s}}
,\overline{
\mathsf {s}}
\}
,\{\overline{
\mathsf {s}}
,\overline{
\mathsf {u}}
\}
\}
 \mathrel{\in} \overline{
\mathsf {r}}
\gg \overline{
\mathsf{x}}
 \mathrel{\in}  \{ ph \mathrel{\in} P(\overline{\mathsf {bs}}
)
\mid \dot{\neg}\, 
\mathsf {t}
 _{Ex}
 \mathrel{\in} \overline{\mathsf {bs}}
\Rightarrow \dot{\neg}\,  \{ ph \mathrel{\in} \overline{\mathsf {bs}}
\mid \{\{
\mathsf {a}
 _{Ph} 
,
\mathsf {a}
 _{Ph} 
\}
,\{
\mathsf {a}
 _{Ph} 
,
\mathsf {t}
 _{Ex}
\}
\}
 \mathrel{\in} \overline{
\mathsf {r}}
\}
\!\mathrel{=}\! 
\mathsf {b}
 _{Ph} 
\}
\Rightarrow \dot{\neg}\, \overline{
\mathsf{x}}
\!\mathrel{=}\! \mathrm{\O}
; Ded
\rhd \overline{
\mathsf{x}}
 \mathrel{\in}  \{ ph \mathrel{\in} P(\overline{\mathsf {bs}}
)
\mid \dot{\neg}\, 
\mathsf {t}
 _{Ex}
 \mathrel{\in} \overline{\mathsf {bs}}
\Rightarrow \dot{\neg}\,  \{ ph \mathrel{\in} \overline{\mathsf {bs}}
\mid \{\{
\mathsf {a}
 _{Ph} 
,
\mathsf {a}
 _{Ph} 
\}
,\{
\mathsf {a}
 _{Ph} 
,
\mathsf {t}
 _{Ex}
\}
\}
 \mathrel{\in} \overline{
\mathsf {r}}
\}
\!\mathrel{=}\! 
\mathsf {b}
 _{Ph} 
\}
\Rightarrow \dot{\neg}\, \overline{
\mathsf{x}}
\!\mathrel{=}\! \mathrm{\O}
\gg \overline{
\mathsf {s}}
 \mathrel{\in}  \{ ph \mathrel{\in} P(\overline{\mathsf {bs}}
)
\mid \dot{\neg}\, 
\mathsf {t}
 _{Ex}
 \mathrel{\in} \overline{\mathsf {bs}}
\Rightarrow \dot{\neg}\,  \{ ph \mathrel{\in} \overline{\mathsf {bs}}
\mid \{\{
\mathsf {a}
 _{Ph} 
,
\mathsf {a}
 _{Ph} 
\}
,\{
\mathsf {a}
 _{Ph} 
,
\mathsf {t}
 _{Ex}
\}
\}
 \mathrel{\in} \overline{
\mathsf {r}}
\}
\!\mathrel{=}\! 
\mathsf {b}
 _{Ph} 
\}
\Rightarrow \dot{\neg}\, \overline{
\mathsf {s}}
\!\mathrel{=}\! \mathrm{\O}
; Gen
\rhd \overline{
\mathsf {s}}
 \mathrel{\in}  \{ ph \mathrel{\in} P(\overline{\mathsf {bs}}
)
\mid \dot{\neg}\, 
\mathsf {t}
 _{Ex}
 \mathrel{\in} \overline{\mathsf {bs}}
\Rightarrow \dot{\neg}\,  \{ ph \mathrel{\in} \overline{\mathsf {bs}}
\mid \{\{
\mathsf {a}
 _{Ph} 
,
\mathsf {a}
 _{Ph} 
\}
,\{
\mathsf {a}
 _{Ph} 
,
\mathsf {t}
 _{Ex}
\}
\}
 \mathrel{\in} \overline{
\mathsf {r}}
\}
\!\mathrel{=}\! 
\mathsf {b}
 _{Ph} 
\}
\Rightarrow \dot{\neg}\, \overline{
\mathsf {s}}
\!\mathrel{=}\! \mathrm{\O}
\gg 
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {s}}
\colon \overline{
\mathsf {s}}
 \mathrel{\in}  \{ ph \mathrel{\in} P(\overline{\mathsf {bs}}
)
\mid \dot{\neg}\, 
\mathsf {t}
 _{Ex}
 \mathrel{\in} \overline{\mathsf {bs}}
\Rightarrow \dot{\neg}\,  \{ ph \mathrel{\in} \overline{\mathsf {bs}}
\mid \{\{
\mathsf {a}
 _{Ph} 
,
\mathsf {a}
 _{Ph} 
\}
,\{
\mathsf {a}
 _{Ph} 
,
\mathsf {t}
 _{Ex}
\}
\}
 \mathrel{\in} \overline{
\mathsf {r}}
\}
\!\mathrel{=}\! 
\mathsf {b}
 _{Ph} 
\}
\Rightarrow \dot{\neg}\, \overline{
\mathsf {s}}
\!\mathrel{=}\! \mathrm{\O}
; AllDisjointImply
\gg \dot{\neg}\, \dot{\neg}\, 
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {s}}
\colon \overline{
\mathsf {s}}
 \mathrel{\in} \overline{\mathsf {bs}}
\Rightarrow \{\{\overline{
\mathsf {s}}
,\overline{
\mathsf {s}}
\}
,\{\overline{
\mathsf {s}}
,\overline{
\mathsf {s}}
\}
\}
 \mathrel{\in} \overline{
\mathsf {r}}
\Rightarrow \dot{\neg}\, 
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {s}}
\colon 
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {t}}
\colon \overline{
\mathsf {s}}
 \mathrel{\in} \overline{\mathsf {bs}}
\Rightarrow \overline{
\mathsf {t}}
 \mathrel{\in} \overline{\mathsf {bs}}
\Rightarrow \{\{\overline{
\mathsf {s}}
,\overline{
\mathsf {s}}
\}
,\{\overline{
\mathsf {s}}
,\overline{
\mathsf {t}}
\}
\}
 \mathrel{\in} \overline{
\mathsf {r}}
\Rightarrow \{\{\overline{
\mathsf {t}}
,\overline{
\mathsf {t}}
\}
,\{\overline{
\mathsf {t}}
,\overline{
\mathsf {s}}
\}
\}
 \mathrel{\in} \overline{
\mathsf {r}}
\Rightarrow \dot{\neg}\, 
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {s}}
\colon 
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {t}}
\colon 
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {u}}
\colon \overline{
\mathsf {s}}
 \mathrel{\in} \overline{\mathsf {bs}}
\Rightarrow \overline{
\mathsf {t}}
 \mathrel{\in} \overline{\mathsf {bs}}
\Rightarrow \overline{
\mathsf {u}}
 \mathrel{\in} \overline{\mathsf {bs}}
\Rightarrow \{\{\overline{
\mathsf {s}}
,\overline{
\mathsf {s}}
\}
,\{\overline{
\mathsf {s}}
,\overline{
\mathsf {t}}
\}
\}
 \mathrel{\in} \overline{
\mathsf {r}}
\Rightarrow \{\{\overline{
\mathsf {t}}
,\overline{
\mathsf {t}}
\}
,\{\overline{
\mathsf {t}}
,\overline{
\mathsf {u}}
\}
\}
 \mathrel{\in} \overline{
\mathsf {r}}
\Rightarrow \{\{\overline{
\mathsf {s}}
,\overline{
\mathsf {s}}
\}
,\{\overline{
\mathsf {s}}
,\overline{
\mathsf {u}}
\}
\}
 \mathrel{\in} \overline{
\mathsf {r}}
\Rightarrow \overline{
\mathsf {s}}
 \mathrel{\in}  \{ ph \mathrel{\in} P(\overline{\mathsf {bs}}
)
\mid \dot{\neg}\, 
\mathsf {t}
 _{Ex}
 \mathrel{\in} \overline{\mathsf {bs}}
\Rightarrow \dot{\neg}\,  \{ ph \mathrel{\in} \overline{\mathsf {bs}}
\mid \{\{
\mathsf {a}
 _{Ph} 
,
\mathsf {a}
 _{Ph} 
\}
,\{
\mathsf {a}
 _{Ph} 
,
\mathsf {t}
 _{Ex}
\}
\}
 \mathrel{\in} \overline{
\mathsf {r}}
\}
\!\mathrel{=}\! 
\mathsf {b}
 _{Ph} 
\}
\Rightarrow \overline{
\mathsf {t}}
 \mathrel{\in}  \{ ph \mathrel{\in} P(\overline{\mathsf {bs}}
)
\mid \dot{\neg}\, 
\mathsf {t}
 _{Ex}
 \mathrel{\in} \overline{\mathsf {bs}}
\Rightarrow \dot{\neg}\,  \{ ph \mathrel{\in} \overline{\mathsf {bs}}
\mid \{\{
\mathsf {a}
 _{Ph} 
,
\mathsf {a}
 _{Ph} 
\}
,\{
\mathsf {a}
 _{Ph} 
,
\mathsf {t}
 _{Ex}
\}
\}
 \mathrel{\in} \overline{
\mathsf {r}}
\}
\!\mathrel{=}\! 
\mathsf {b}
 _{Ph} 
\}
\Rightarrow \dot{\neg}\, \overline{
\mathsf {s}}
\!\mathrel{=}\! \overline{
\mathsf {t}}
\Rightarrow  \{ ph \mathrel{\in} \cup \{\{\overline{
\mathsf {s}}
,\overline{
\mathsf {s}}
\}
,\{\overline{
\mathsf {t}}
,\overline{
\mathsf {t}}
\}
\}
\mid \dot{\neg}\, 
\mathsf {c}
 _{Ph} 
 \mathrel{\in} \overline{
\mathsf {s}}
\Rightarrow \dot{\neg}\, 
\mathsf {c}
 _{Ph} 
 \mathrel{\in} \overline{
\mathsf {t}}
\}
\!\mathrel{=}\! \mathrm{\O}
; MP
\rhd \dot{\neg}\, \dot{\neg}\, 
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {s}}
\colon \overline{
\mathsf {s}}
 \mathrel{\in} \overline{\mathsf {bs}}
\Rightarrow \{\{\overline{
\mathsf {s}}
,\overline{
\mathsf {s}}
\}
,\{\overline{
\mathsf {s}}
,\overline{
\mathsf {s}}
\}
\}
 \mathrel{\in} \overline{
\mathsf {r}}
\Rightarrow \dot{\neg}\, 
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {s}}
\colon 
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {t}}
\colon \overline{
\mathsf {s}}
 \mathrel{\in} \overline{\mathsf {bs}}
\Rightarrow \overline{
\mathsf {t}}
 \mathrel{\in} \overline{\mathsf {bs}}
\Rightarrow \{\{\overline{
\mathsf {s}}
,\overline{
\mathsf {s}}
\}
,\{\overline{
\mathsf {s}}
,\overline{
\mathsf {t}}
\}
\}
 \mathrel{\in} \overline{
\mathsf {r}}
\Rightarrow \{\{\overline{
\mathsf {t}}
,\overline{
\mathsf {t}}
\}
,\{\overline{
\mathsf {t}}
,\overline{
\mathsf {s}}
\}
\}
 \mathrel{\in} \overline{
\mathsf {r}}
\Rightarrow \dot{\neg}\, 
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {s}}
\colon 
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {t}}
\colon 
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {u}}
\colon \overline{
\mathsf {s}}
 \mathrel{\in} \overline{\mathsf {bs}}
\Rightarrow \overline{
\mathsf {t}}
 \mathrel{\in} \overline{\mathsf {bs}}
\Rightarrow \overline{
\mathsf {u}}
 \mathrel{\in} \overline{\mathsf {bs}}
\Rightarrow \{\{\overline{
\mathsf {s}}
,\overline{
\mathsf {s}}
\}
,\{\overline{
\mathsf {s}}
,\overline{
\mathsf {t}}
\}
\}
 \mathrel{\in} \overline{
\mathsf {r}}
\Rightarrow \{\{\overline{
\mathsf {t}}
,\overline{
\mathsf {t}}
\}
,\{\overline{
\mathsf {t}}
,\overline{
\mathsf {u}}
\}
\}
 \mathrel{\in} \overline{
\mathsf {r}}
\Rightarrow \{\{\overline{
\mathsf {s}}
,\overline{
\mathsf {s}}
\}
,\{\overline{
\mathsf {s}}
,\overline{
\mathsf {u}}
\}
\}
 \mathrel{\in} \overline{
\mathsf {r}}
\Rightarrow \overline{
\mathsf {s}}
 \mathrel{\in}  \{ ph \mathrel{\in} P(\overline{\mathsf {bs}}
)
\mid \dot{\neg}\, 
\mathsf {t}
 _{Ex}
 \mathrel{\in} \overline{\mathsf {bs}}
\Rightarrow \dot{\neg}\,  \{ ph \mathrel{\in} \overline{\mathsf {bs}}
\mid \{\{
\mathsf {a}
 _{Ph} 
,
\mathsf {a}
 _{Ph} 
\}
,\{
\mathsf {a}
 _{Ph} 
,
\mathsf {t}
 _{Ex}
\}
\}
 \mathrel{\in} \overline{
\mathsf {r}}
\}
\!\mathrel{=}\! 
\mathsf {b}
 _{Ph} 
\}
\Rightarrow \overline{
\mathsf {t}}
 \mathrel{\in}  \{ ph \mathrel{\in} P(\overline{\mathsf {bs}}
)
\mid \dot{\neg}\, 
\mathsf {t}
 _{Ex}
 \mathrel{\in} \overline{\mathsf {bs}}
\Rightarrow \dot{\neg}\,  \{ ph \mathrel{\in} \overline{\mathsf {bs}}
\mid \{\{
\mathsf {a}
 _{Ph} 
,
\mathsf {a}
 _{Ph} 
\}
,\{
\mathsf {a}
 _{Ph} 
,
\mathsf {t}
 _{Ex}
\}
\}
 \mathrel{\in} \overline{
\mathsf {r}}
\}
\!\mathrel{=}\! 
\mathsf {b}
 _{Ph} 
\}
\Rightarrow \dot{\neg}\, \overline{
\mathsf {s}}
\!\mathrel{=}\! \overline{
\mathsf {t}}
\Rightarrow  \{ ph \mathrel{\in} \cup \{\{\overline{
\mathsf {s}}
,\overline{
\mathsf {s}}
\}
,\{\overline{
\mathsf {t}}
,\overline{
\mathsf {t}}
\}
\}
\mid \dot{\neg}\, 
\mathsf {c}
 _{Ph} 
 \mathrel{\in} \overline{
\mathsf {s}}
\Rightarrow \dot{\neg}\, 
\mathsf {c}
 _{Ph} 
 \mathrel{\in} \overline{
\mathsf {t}}
\}
\!\mathrel{=}\! \mathrm{\O}
\rhd \dot{\neg}\, \dot{\neg}\, 
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {s}}
\colon \overline{
\mathsf {s}}
 \mathrel{\in} \overline{\mathsf {bs}}
\Rightarrow \{\{\overline{
\mathsf {s}}
,\overline{
\mathsf {s}}
\}
,\{\overline{
\mathsf {s}}
,\overline{
\mathsf {s}}
\}
\}
 \mathrel{\in} \overline{
\mathsf {r}}
\Rightarrow \dot{\neg}\, 
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {s}}
\colon 
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {t}}
\colon \overline{
\mathsf {s}}
 \mathrel{\in} \overline{\mathsf {bs}}
\Rightarrow \overline{
\mathsf {t}}
 \mathrel{\in} \overline{\mathsf {bs}}
\Rightarrow \{\{\overline{
\mathsf {s}}
,\overline{
\mathsf {s}}
\}
,\{\overline{
\mathsf {s}}
,\overline{
\mathsf {t}}
\}
\}
 \mathrel{\in} \overline{
\mathsf {r}}
\Rightarrow \{\{\overline{
\mathsf {t}}
,\overline{
\mathsf {t}}
\}
,\{\overline{
\mathsf {t}}
,\overline{
\mathsf {s}}
\}
\}
 \mathrel{\in} \overline{
\mathsf {r}}
\Rightarrow \dot{\neg}\, 
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {s}}
\colon 
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {t}}
\colon 
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {u}}
\colon \overline{
\mathsf {s}}
 \mathrel{\in} \overline{\mathsf {bs}}
\Rightarrow \overline{
\mathsf {t}}
 \mathrel{\in} \overline{\mathsf {bs}}
\Rightarrow \overline{
\mathsf {u}}
 \mathrel{\in} \overline{\mathsf {bs}}
\Rightarrow \{\{\overline{
\mathsf {s}}
,\overline{
\mathsf {s}}
\}
,\{\overline{
\mathsf {s}}
,\overline{
\mathsf {t}}
\}
\}
 \mathrel{\in} \overline{
\mathsf {r}}
\Rightarrow \{\{\overline{
\mathsf {t}}
,\overline{
\mathsf {t}}
\}
,\{\overline{
\mathsf {t}}
,\overline{
\mathsf {u}}
\}
\}
 \mathrel{\in} \overline{
\mathsf {r}}
\Rightarrow \{\{\overline{
\mathsf {s}}
,\overline{
\mathsf {s}}
\}
,\{\overline{
\mathsf {s}}
,\overline{
\mathsf {u}}
\}
\}
 \mathrel{\in} \overline{
\mathsf {r}}
\gg \overline{
\mathsf {s}}
 \mathrel{\in}  \{ ph \mathrel{\in} P(\overline{\mathsf {bs}}
)
\mid \dot{\neg}\, 
\mathsf {t}
 _{Ex}
 \mathrel{\in} \overline{\mathsf {bs}}
\Rightarrow \dot{\neg}\,  \{ ph \mathrel{\in} \overline{\mathsf {bs}}
\mid \{\{
\mathsf {a}
 _{Ph} 
,
\mathsf {a}
 _{Ph} 
\}
,\{
\mathsf {a}
 _{Ph} 
,
\mathsf {t}
 _{Ex}
\}
\}
 \mathrel{\in} \overline{
\mathsf {r}}
\}
\!\mathrel{=}\! 
\mathsf {b}
 _{Ph} 
\}
\Rightarrow \overline{
\mathsf {t}}
 \mathrel{\in}  \{ ph \mathrel{\in} P(\overline{\mathsf {bs}}
)
\mid \dot{\neg}\, 
\mathsf {t}
 _{Ex}
 \mathrel{\in} \overline{\mathsf {bs}}
\Rightarrow \dot{\neg}\,  \{ ph \mathrel{\in} \overline{\mathsf {bs}}
\mid \{\{
\mathsf {a}
 _{Ph} 
,
\mathsf {a}
 _{Ph} 
\}
,\{
\mathsf {a}
 _{Ph} 
,
\mathsf {t}
 _{Ex}
\}
\}
 \mathrel{\in} \overline{
\mathsf {r}}
\}
\!\mathrel{=}\! 
\mathsf {b}
 _{Ph} 
\}
\Rightarrow \dot{\neg}\, \overline{
\mathsf {s}}
\!\mathrel{=}\! \overline{
\mathsf {t}}
\Rightarrow  \{ ph \mathrel{\in} \cup \{\{\overline{
\mathsf {s}}
,\overline{
\mathsf {s}}
\}
,\{\overline{
\mathsf {t}}
,\overline{
\mathsf {t}}
\}
\}
\mid \dot{\neg}\, 
\mathsf {c}
 _{Ph} 
 \mathrel{\in} \overline{
\mathsf {s}}
\Rightarrow \dot{\neg}\, 
\mathsf {c}
 _{Ph} 
 \mathrel{\in} \overline{
\mathsf {t}}
\}
\!\mathrel{=}\! \mathrm{\O}
; Gen
\rhd \overline{
\mathsf {s}}
 \mathrel{\in}  \{ ph \mathrel{\in} P(\overline{\mathsf {bs}}
)
\mid \dot{\neg}\, 
\mathsf {t}
 _{Ex}
 \mathrel{\in} \overline{\mathsf {bs}}
\Rightarrow \dot{\neg}\,  \{ ph \mathrel{\in} \overline{\mathsf {bs}}
\mid \{\{
\mathsf {a}
 _{Ph} 
,
\mathsf {a}
 _{Ph} 
\}
,\{
\mathsf {a}
 _{Ph} 
,
\mathsf {t}
 _{Ex}
\}
\}
 \mathrel{\in} \overline{
\mathsf {r}}
\}
\!\mathrel{=}\! 
\mathsf {b}
 _{Ph} 
\}
\Rightarrow \overline{
\mathsf {t}}
 \mathrel{\in}  \{ ph \mathrel{\in} P(\overline{\mathsf {bs}}
)
\mid \dot{\neg}\, 
\mathsf {t}
 _{Ex}
 \mathrel{\in} \overline{\mathsf {bs}}
\Rightarrow \dot{\neg}\,  \{ ph \mathrel{\in} \overline{\mathsf {bs}}
\mid \{\{
\mathsf {a}
 _{Ph} 
,
\mathsf {a}
 _{Ph} 
\}
,\{
\mathsf {a}
 _{Ph} 
,
\mathsf {t}
 _{Ex}
\}
\}
 \mathrel{\in} \overline{
\mathsf {r}}
\}
\!\mathrel{=}\! 
\mathsf {b}
 _{Ph} 
\}
\Rightarrow \dot{\neg}\, \overline{
\mathsf {s}}
\!\mathrel{=}\! \overline{
\mathsf {t}}
\Rightarrow  \{ ph \mathrel{\in} \cup \{\{\overline{
\mathsf {s}}
,\overline{
\mathsf {s}}
\}
,\{\overline{
\mathsf {t}}
,\overline{
\mathsf {t}}
\}
\}
\mid \dot{\neg}\, 
\mathsf {c}
 _{Ph} 
 \mathrel{\in} \overline{
\mathsf {s}}
\Rightarrow \dot{\neg}\, 
\mathsf {c}
 _{Ph} 
 \mathrel{\in} \overline{
\mathsf {t}}
\}
\!\mathrel{=}\! \mathrm{\O}
\gg 
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {t}}
\colon \overline{
\mathsf {s}}
 \mathrel{\in}  \{ ph \mathrel{\in} P(\overline{\mathsf {bs}}
)
\mid \dot{\neg}\, 
\mathsf {t}
 _{Ex}
 \mathrel{\in} \overline{\mathsf {bs}}
\Rightarrow \dot{\neg}\,  \{ ph \mathrel{\in} \overline{\mathsf {bs}}
\mid \{\{
\mathsf {a}
 _{Ph} 
,
\mathsf {a}
 _{Ph} 
\}
,\{
\mathsf {a}
 _{Ph} 
,
\mathsf {t}
 _{Ex}
\}
\}
 \mathrel{\in} \overline{
\mathsf {r}}
\}
\!\mathrel{=}\! 
\mathsf {b}
 _{Ph} 
\}
\Rightarrow \overline{
\mathsf {t}}
 \mathrel{\in}  \{ ph \mathrel{\in} P(\overline{\mathsf {bs}}
)
\mid \dot{\neg}\, 
\mathsf {t}
 _{Ex}
 \mathrel{\in} \overline{\mathsf {bs}}
\Rightarrow \dot{\neg}\,  \{ ph \mathrel{\in} \overline{\mathsf {bs}}
\mid \{\{
\mathsf {a}
 _{Ph} 
,
\mathsf {a}
 _{Ph} 
\}
,\{
\mathsf {a}
 _{Ph} 
,
\mathsf {t}
 _{Ex}
\}
\}
 \mathrel{\in} \overline{
\mathsf {r}}
\}
\!\mathrel{=}\! 
\mathsf {b}
 _{Ph} 
\}
\Rightarrow \dot{\neg}\, \overline{
\mathsf {s}}
\!\mathrel{=}\! \overline{
\mathsf {t}}
\Rightarrow  \{ ph \mathrel{\in} \cup \{\{\overline{
\mathsf {s}}
,\overline{
\mathsf {s}}
\}
,\{\overline{
\mathsf {t}}
,\overline{
\mathsf {t}}
\}
\}
\mid \dot{\neg}\, 
\mathsf {c}
 _{Ph} 
 \mathrel{\in} \overline{
\mathsf {s}}
\Rightarrow \dot{\neg}\, 
\mathsf {c}
 _{Ph} 
 \mathrel{\in} \overline{
\mathsf {t}}
\}
\!\mathrel{=}\! \mathrm{\O}
; Gen
\rhd 
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {t}}
\colon \overline{
\mathsf {s}}
 \mathrel{\in}  \{ ph \mathrel{\in} P(\overline{\mathsf {bs}}
)
\mid \dot{\neg}\, 
\mathsf {t}
 _{Ex}
 \mathrel{\in} \overline{\mathsf {bs}}
\Rightarrow \dot{\neg}\,  \{ ph \mathrel{\in} \overline{\mathsf {bs}}
\mid \{\{
\mathsf {a}
 _{Ph} 
,
\mathsf {a}
 _{Ph} 
\}
,\{
\mathsf {a}
 _{Ph} 
,
\mathsf {t}
 _{Ex}
\}
\}
 \mathrel{\in} \overline{
\mathsf {r}}
\}
\!\mathrel{=}\! 
\mathsf {b}
 _{Ph} 
\}
\Rightarrow \overline{
\mathsf {t}}
 \mathrel{\in}  \{ ph \mathrel{\in} P(\overline{\mathsf {bs}}
)
\mid \dot{\neg}\, 
\mathsf {t}
 _{Ex}
 \mathrel{\in} \overline{\mathsf {bs}}
\Rightarrow \dot{\neg}\,  \{ ph \mathrel{\in} \overline{\mathsf {bs}}
\mid \{\{
\mathsf {a}
 _{Ph} 
,
\mathsf {a}
 _{Ph} 
\}
,\{
\mathsf {a}
 _{Ph} 
,
\mathsf {t}
 _{Ex}
\}
\}
 \mathrel{\in} \overline{
\mathsf {r}}
\}
\!\mathrel{=}\! 
\mathsf {b}
 _{Ph} 
\}
\Rightarrow \dot{\neg}\, \overline{
\mathsf {s}}
\!\mathrel{=}\! \overline{
\mathsf {t}}
\Rightarrow  \{ ph \mathrel{\in} \cup \{\{\overline{
\mathsf {s}}
,\overline{
\mathsf {s}}
\}
,\{\overline{
\mathsf {t}}
,\overline{
\mathsf {t}}
\}
\}
\mid \dot{\neg}\, 
\mathsf {c}
 _{Ph} 
 \mathrel{\in} \overline{
\mathsf {s}}
\Rightarrow \dot{\neg}\, 
\mathsf {c}
 _{Ph} 
 \mathrel{\in} \overline{
\mathsf {t}}
\}
\!\mathrel{=}\! \mathrm{\O}
\gg 
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {s}}
\colon 
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {t}}
\colon \overline{
\mathsf {s}}
 \mathrel{\in}  \{ ph \mathrel{\in} P(\overline{\mathsf {bs}}
)
\mid \dot{\neg}\, 
\mathsf {t}
 _{Ex}
 \mathrel{\in} \overline{\mathsf {bs}}
\Rightarrow \dot{\neg}\,  \{ ph \mathrel{\in} \overline{\mathsf {bs}}
\mid \{\{
\mathsf {a}
 _{Ph} 
,
\mathsf {a}
 _{Ph} 
\}
,\{
\mathsf {a}
 _{Ph} 
,
\mathsf {t}
 _{Ex}
\}
\}
 \mathrel{\in} \overline{
\mathsf {r}}
\}
\!\mathrel{=}\! 
\mathsf {b}
 _{Ph} 
\}
\Rightarrow \overline{
\mathsf {t}}
 \mathrel{\in}  \{ ph \mathrel{\in} P(\overline{\mathsf {bs}}
)
\mid \dot{\neg}\, 
\mathsf {t}
 _{Ex}
 \mathrel{\in} \overline{\mathsf {bs}}
\Rightarrow \dot{\neg}\,  \{ ph \mathrel{\in} \overline{\mathsf {bs}}
\mid \{\{
\mathsf {a}
 _{Ph} 
,
\mathsf {a}
 _{Ph} 
\}
,\{
\mathsf {a}
 _{Ph} 
,
\mathsf {t}
 _{Ex}
\}
\}
 \mathrel{\in} \overline{
\mathsf {r}}
\}
\!\mathrel{=}\! 
\mathsf {b}
 _{Ph} 
\}
\Rightarrow \dot{\neg}\, \overline{
\mathsf {s}}
\!\mathrel{=}\! \overline{
\mathsf {t}}
\Rightarrow  \{ ph \mathrel{\in} \cup \{\{\overline{
\mathsf {s}}
,\overline{
\mathsf {s}}
\}
,\{\overline{
\mathsf {t}}
,\overline{
\mathsf {t}}
\}
\}
\mid \dot{\neg}\, 
\mathsf {c}
 _{Ph} 
 \mathrel{\in} \overline{
\mathsf {s}}
\Rightarrow \dot{\neg}\, 
\mathsf {c}
 _{Ph} 
 \mathrel{\in} \overline{
\mathsf {t}}
\}
\!\mathrel{=}\! \mathrm{\O}
; UnionIdentity
\rhd \dot{\neg}\, \dot{\neg}\, 
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {s}}
\colon \overline{
\mathsf {s}}
 \mathrel{\in} \overline{\mathsf {bs}}
\Rightarrow \{\{\overline{
\mathsf {s}}
,\overline{
\mathsf {s}}
\}
,\{\overline{
\mathsf {s}}
,\overline{
\mathsf {s}}
\}
\}
 \mathrel{\in} \overline{
\mathsf {r}}
\Rightarrow \dot{\neg}\, 
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {s}}
\colon 
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {t}}
\colon \overline{
\mathsf {s}}
 \mathrel{\in} \overline{\mathsf {bs}}
\Rightarrow \overline{
\mathsf {t}}
 \mathrel{\in} \overline{\mathsf {bs}}
\Rightarrow \{\{\overline{
\mathsf {s}}
,\overline{
\mathsf {s}}
\}
,\{\overline{
\mathsf {s}}
,\overline{
\mathsf {t}}
\}
\}
 \mathrel{\in} \overline{
\mathsf {r}}
\Rightarrow \{\{\overline{
\mathsf {t}}
,\overline{
\mathsf {t}}
\}
,\{\overline{
\mathsf {t}}
,\overline{
\mathsf {s}}
\}
\}
 \mathrel{\in} \overline{
\mathsf {r}}
\Rightarrow \dot{\neg}\, 
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {s}}
\colon 
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {t}}
\colon 
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {u}}
\colon \overline{
\mathsf {s}}
 \mathrel{\in} \overline{\mathsf {bs}}
\Rightarrow \overline{
\mathsf {t}}
 \mathrel{\in} \overline{\mathsf {bs}}
\Rightarrow \overline{
\mathsf {u}}
 \mathrel{\in} \overline{\mathsf {bs}}
\Rightarrow \{\{\overline{
\mathsf {s}}
,\overline{
\mathsf {s}}
\}
,\{\overline{
\mathsf {s}}
,\overline{
\mathsf {t}}
\}
\}
 \mathrel{\in} \overline{
\mathsf {r}}
\Rightarrow \{\{\overline{
\mathsf {t}}
,\overline{
\mathsf {t}}
\}
,\{\overline{
\mathsf {t}}
,\overline{
\mathsf {u}}
\}
\}
 \mathrel{\in} \overline{
\mathsf {r}}
\Rightarrow \{\{\overline{
\mathsf {s}}
,\overline{
\mathsf {s}}
\}
,\{\overline{
\mathsf {s}}
,\overline{
\mathsf {u}}
\}
\}
 \mathrel{\in} \overline{
\mathsf {r}}
\gg \cup  \{ ph \mathrel{\in} P(\overline{\mathsf {bs}}
)
\mid \dot{\neg}\, 
\mathsf {t}
 _{Ex}
 \mathrel{\in} \overline{\mathsf {bs}}
\Rightarrow \dot{\neg}\,  \{ ph \mathrel{\in} \overline{\mathsf {bs}}
\mid \{\{
\mathsf {a}
 _{Ph} 
,
\mathsf {a}
 _{Ph} 
\}
,\{
\mathsf {a}
 _{Ph} 
,
\mathsf {t}
 _{Ex}
\}
\}
 \mathrel{\in} \overline{
\mathsf {r}}
\}
\!\mathrel{=}\! 
\mathsf {b}
 _{Ph} 
\}
\!\mathrel{=}\! \overline{\mathsf {bs}}
; JoinConjuncts
\rhd 
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {s}}
\colon \overline{
\mathsf {s}}
 \mathrel{\in}  \{ ph \mathrel{\in} P(\overline{\mathsf {bs}}
)
\mid \dot{\neg}\, 
\mathsf {t}
 _{Ex}
 \mathrel{\in} \overline{\mathsf {bs}}
\Rightarrow \dot{\neg}\,  \{ ph \mathrel{\in} \overline{\mathsf {bs}}
\mid \{\{
\mathsf {a}
 _{Ph} 
,
\mathsf {a}
 _{Ph} 
\}
,\{
\mathsf {a}
 _{Ph} 
,
\mathsf {t}
 _{Ex}
\}
\}
 \mathrel{\in} \overline{
\mathsf {r}}
\}
\!\mathrel{=}\! 
\mathsf {b}
 _{Ph} 
\}
\Rightarrow \dot{\neg}\, \overline{
\mathsf {s}}
\!\mathrel{=}\! \mathrm{\O}
\rhd 
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {s}}
\colon 
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {t}}
\colon \overline{
\mathsf {s}}
 \mathrel{\in}  \{ ph \mathrel{\in} P(\overline{\mathsf {bs}}
)
\mid \dot{\neg}\, 
\mathsf {t}
 _{Ex}
 \mathrel{\in} \overline{\mathsf {bs}}
\Rightarrow \dot{\neg}\,  \{ ph \mathrel{\in} \overline{\mathsf {bs}}
\mid \{\{
\mathsf {a}
 _{Ph} 
,
\mathsf {a}
 _{Ph} 
\}
,\{
\mathsf {a}
 _{Ph} 
,
\mathsf {t}
 _{Ex}
\}
\}
 \mathrel{\in} \overline{
\mathsf {r}}
\}
\!\mathrel{=}\! 
\mathsf {b}
 _{Ph} 
\}
\Rightarrow \overline{
\mathsf {t}}
 \mathrel{\in}  \{ ph \mathrel{\in} P(\overline{\mathsf {bs}}
)
\mid \dot{\neg}\, 
\mathsf {t}
 _{Ex}
 \mathrel{\in} \overline{\mathsf {bs}}
\Rightarrow \dot{\neg}\,  \{ ph \mathrel{\in} \overline{\mathsf {bs}}
\mid \{\{
\mathsf {a}
 _{Ph} 
,
\mathsf {a}
 _{Ph} 
\}
,\{
\mathsf {a}
 _{Ph} 
,
\mathsf {t}
 _{Ex}
\}
\}
 \mathrel{\in} \overline{
\mathsf {r}}
\}
\!\mathrel{=}\! 
\mathsf {b}
 _{Ph} 
\}
\Rightarrow \dot{\neg}\, \overline{
\mathsf {s}}
\!\mathrel{=}\! \overline{
\mathsf {t}}
\Rightarrow  \{ ph \mathrel{\in} \cup \{\{\overline{
\mathsf {s}}
,\overline{
\mathsf {s}}
\}
,\{\overline{
\mathsf {t}}
,\overline{
\mathsf {t}}
\}
\}
\mid \dot{\neg}\, 
\mathsf {c}
 _{Ph} 
 \mathrel{\in} \overline{
\mathsf {s}}
\Rightarrow \dot{\neg}\, 
\mathsf {c}
 _{Ph} 
 \mathrel{\in} \overline{
\mathsf {t}}
\}
\!\mathrel{=}\! \mathrm{\O}
\gg \dot{\neg}\, 
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {s}}
\colon \overline{
\mathsf {s}}
 \mathrel{\in}  \{ ph \mathrel{\in} P(\overline{\mathsf {bs}}
)
\mid \dot{\neg}\, 
\mathsf {t}
 _{Ex}
 \mathrel{\in} \overline{\mathsf {bs}}
\Rightarrow \dot{\neg}\,  \{ ph \mathrel{\in} \overline{\mathsf {bs}}
\mid \{\{
\mathsf {a}
 _{Ph} 
,
\mathsf {a}
 _{Ph} 
\}
,\{
\mathsf {a}
 _{Ph} 
,
\mathsf {t}
 _{Ex}
\}
\}
 \mathrel{\in} \overline{
\mathsf {r}}
\}
\!\mathrel{=}\! 
\mathsf {b}
 _{Ph} 
\}
\Rightarrow \dot{\neg}\, \overline{
\mathsf {s}}
\!\mathrel{=}\! \mathrm{\O}
\Rightarrow \dot{\neg}\, 
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {s}}
\colon 
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {t}}
\colon \overline{
\mathsf {s}}
 \mathrel{\in}  \{ ph \mathrel{\in} P(\overline{\mathsf {bs}}
)
\mid \dot{\neg}\, 
\mathsf {t}
 _{Ex}
 \mathrel{\in} \overline{\mathsf {bs}}
\Rightarrow \dot{\neg}\,  \{ ph \mathrel{\in} \overline{\mathsf {bs}}
\mid \{\{
\mathsf {a}
 _{Ph} 
,
\mathsf {a}
 _{Ph} 
\}
,\{
\mathsf {a}
 _{Ph} 
,
\mathsf {t}
 _{Ex}
\}
\}
 \mathrel{\in} \overline{
\mathsf {r}}
\}
\!\mathrel{=}\! 
\mathsf {b}
 _{Ph} 
\}
\Rightarrow \overline{
\mathsf {t}}
 \mathrel{\in}  \{ ph \mathrel{\in} P(\overline{\mathsf {bs}}
)
\mid \dot{\neg}\, 
\mathsf {t}
 _{Ex}
 \mathrel{\in} \overline{\mathsf {bs}}
\Rightarrow \dot{\neg}\,  \{ ph \mathrel{\in} \overline{\mathsf {bs}}
\mid \{\{
\mathsf {a}
 _{Ph} 
,
\mathsf {a}
 _{Ph} 
\}
,\{
\mathsf {a}
 _{Ph} 
,
\mathsf {t}
 _{Ex}
\}
\}
 \mathrel{\in} \overline{
\mathsf {r}}
\}
\!\mathrel{=}\! 
\mathsf {b}
 _{Ph} 
\}
\Rightarrow \dot{\neg}\, \overline{
\mathsf {s}}
\!\mathrel{=}\! \overline{
\mathsf {t}}
\Rightarrow  \{ ph \mathrel{\in} \cup \{\{\overline{
\mathsf {s}}
,\overline{
\mathsf {s}}
\}
,\{\overline{
\mathsf {t}}
,\overline{
\mathsf {t}}
\}
\}
\mid \dot{\neg}\, 
\mathsf {c}
 _{Ph} 
 \mathrel{\in} \overline{
\mathsf {s}}
\Rightarrow \dot{\neg}\, 
\mathsf {c}
 _{Ph} 
 \mathrel{\in} \overline{
\mathsf {t}}
\}
\!\mathrel{=}\! \mathrm{\O}
; JoinConjuncts
\rhd \dot{\neg}\, 
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {s}}
\colon \overline{
\mathsf {s}}
 \mathrel{\in}  \{ ph \mathrel{\in} P(\overline{\mathsf {bs}}
)
\mid \dot{\neg}\, 
\mathsf {t}
 _{Ex}
 \mathrel{\in} \overline{\mathsf {bs}}
\Rightarrow \dot{\neg}\,  \{ ph \mathrel{\in} \overline{\mathsf {bs}}
\mid \{\{
\mathsf {a}
 _{Ph} 
,
\mathsf {a}
 _{Ph} 
\}
,\{
\mathsf {a}
 _{Ph} 
,
\mathsf {t}
 _{Ex}
\}
\}
 \mathrel{\in} \overline{
\mathsf {r}}
\}
\!\mathrel{=}\! 
\mathsf {b}
 _{Ph} 
\}
\Rightarrow \dot{\neg}\, \overline{
\mathsf {s}}
\!\mathrel{=}\! \mathrm{\O}
\Rightarrow \dot{\neg}\, 
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {s}}
\colon 
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {t}}
\colon \overline{
\mathsf {s}}
 \mathrel{\in}  \{ ph \mathrel{\in} P(\overline{\mathsf {bs}}
)
\mid \dot{\neg}\, 
\mathsf {t}
 _{Ex}
 \mathrel{\in} \overline{\mathsf {bs}}
\Rightarrow \dot{\neg}\,  \{ ph \mathrel{\in} \overline{\mathsf {bs}}
\mid \{\{
\mathsf {a}
 _{Ph} 
,
\mathsf {a}
 _{Ph} 
\}
,\{
\mathsf {a}
 _{Ph} 
,
\mathsf {t}
 _{Ex}
\}
\}
 \mathrel{\in} \overline{
\mathsf {r}}
\}
\!\mathrel{=}\! 
\mathsf {b}
 _{Ph} 
\}
\Rightarrow \overline{
\mathsf {t}}
 \mathrel{\in}  \{ ph \mathrel{\in} P(\overline{\mathsf {bs}}
)
\mid \dot{\neg}\, 
\mathsf {t}
 _{Ex}
 \mathrel{\in} \overline{\mathsf {bs}}
\Rightarrow \dot{\neg}\,  \{ ph \mathrel{\in} \overline{\mathsf {bs}}
\mid \{\{
\mathsf {a}
 _{Ph} 
,
\mathsf {a}
 _{Ph} 
\}
,\{
\mathsf {a}
 _{Ph} 
,
\mathsf {t}
 _{Ex}
\}
\}
 \mathrel{\in} \overline{
\mathsf {r}}
\}
\!\mathrel{=}\! 
\mathsf {b}
 _{Ph} 
\}
\Rightarrow \dot{\neg}\, \overline{
\mathsf {s}}
\!\mathrel{=}\! \overline{
\mathsf {t}}
\Rightarrow  \{ ph \mathrel{\in} \cup \{\{\overline{
\mathsf {s}}
,\overline{
\mathsf {s}}
\}
,\{\overline{
\mathsf {t}}
,\overline{
\mathsf {t}}
\}
\}
\mid \dot{\neg}\, 
\mathsf {c}
 _{Ph} 
 \mathrel{\in} \overline{
\mathsf {s}}
\Rightarrow \dot{\neg}\, 
\mathsf {c}
 _{Ph} 
 \mathrel{\in} \overline{
\mathsf {t}}
\}
\!\mathrel{=}\! \mathrm{\O}
\rhd \cup  \{ ph \mathrel{\in} P(\overline{\mathsf {bs}}
)
\mid \dot{\neg}\, 
\mathsf {t}
 _{Ex}
 \mathrel{\in} \overline{\mathsf {bs}}
\Rightarrow \dot{\neg}\,  \{ ph \mathrel{\in} \overline{\mathsf {bs}}
\mid \{\{
\mathsf {a}
 _{Ph} 
,
\mathsf {a}
 _{Ph} 
\}
,\{
\mathsf {a}
 _{Ph} 
,
\mathsf {t}
 _{Ex}
\}
\}
 \mathrel{\in} \overline{
\mathsf {r}}
\}
\!\mathrel{=}\! 
\mathsf {b}
 _{Ph} 
\}
\!\mathrel{=}\! \overline{\mathsf {bs}}
\gg \dot{\neg}\, \dot{\neg}\, 
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {s}}
\colon \overline{
\mathsf {s}}
 \mathrel{\in}  \{ ph \mathrel{\in} P(\overline{\mathsf {bs}}
)
\mid \dot{\neg}\, 
\mathsf {t}
 _{Ex}
 \mathrel{\in} \overline{\mathsf {bs}}
\Rightarrow \dot{\neg}\,  \{ ph \mathrel{\in} \overline{\mathsf {bs}}
\mid \{\{
\mathsf {a}
 _{Ph} 
,
\mathsf {a}
 _{Ph} 
\}
,\{
\mathsf {a}
 _{Ph} 
,
\mathsf {t}
 _{Ex}
\}
\}
 \mathrel{\in} \overline{
\mathsf {r}}
\}
\!\mathrel{=}\! 
\mathsf {b}
 _{Ph} 
\}
\Rightarrow \dot{\neg}\, \overline{
\mathsf {s}}
\!\mathrel{=}\! \mathrm{\O}
\Rightarrow \dot{\neg}\, 
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {s}}
\colon 
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {t}}
\colon \overline{
\mathsf {s}}
 \mathrel{\in}  \{ ph \mathrel{\in} P(\overline{\mathsf {bs}}
)
\mid \dot{\neg}\, 
\mathsf {t}
 _{Ex}
 \mathrel{\in} \overline{\mathsf {bs}}
\Rightarrow \dot{\neg}\,  \{ ph \mathrel{\in} \overline{\mathsf {bs}}
\mid \{\{
\mathsf {a}
 _{Ph} 
,
\mathsf {a}
 _{Ph} 
\}
,\{
\mathsf {a}
 _{Ph} 
,
\mathsf {t}
 _{Ex}
\}
\}
 \mathrel{\in} \overline{
\mathsf {r}}
\}
\!\mathrel{=}\! 
\mathsf {b}
 _{Ph} 
\}
\Rightarrow \overline{
\mathsf {t}}
 \mathrel{\in}  \{ ph \mathrel{\in} P(\overline{\mathsf {bs}}
)
\mid \dot{\neg}\, 
\mathsf {t}
 _{Ex}
 \mathrel{\in} \overline{\mathsf {bs}}
\Rightarrow \dot{\neg}\,  \{ ph \mathrel{\in} \overline{\mathsf {bs}}
\mid \{\{
\mathsf {a}
 _{Ph} 
,
\mathsf {a}
 _{Ph} 
\}
,\{
\mathsf {a}
 _{Ph} 
,
\mathsf {t}
 _{Ex}
\}
\}
 \mathrel{\in} \overline{
\mathsf {r}}
\}
\!\mathrel{=}\! 
\mathsf {b}
 _{Ph} 
\}
\Rightarrow \dot{\neg}\, \overline{
\mathsf {s}}
\!\mathrel{=}\! \overline{
\mathsf {t}}
\Rightarrow  \{ ph \mathrel{\in} \cup \{\{\overline{
\mathsf {s}}
,\overline{
\mathsf {s}}
\}
,\{\overline{
\mathsf {t}}
,\overline{
\mathsf {t}}
\}
\}
\mid \dot{\neg}\, 
\mathsf {c}
 _{Ph} 
 \mathrel{\in} \overline{
\mathsf {s}}
\Rightarrow \dot{\neg}\, 
\mathsf {c}
 _{Ph} 
 \mathrel{\in} \overline{
\mathsf {t}}
\}
\!\mathrel{=}\! \mathrm{\O}
\Rightarrow \dot{\neg}\, \cup  \{ ph \mathrel{\in} P(\overline{\mathsf {bs}}
)
\mid \dot{\neg}\, 
\mathsf {t}
 _{Ex}
 \mathrel{\in} \overline{\mathsf {bs}}
\Rightarrow \dot{\neg}\,  \{ ph \mathrel{\in} \overline{\mathsf {bs}}
\mid \{\{
\mathsf {a}
 _{Ph} 
,
\mathsf {a}
 _{Ph} 
\}
,\{
\mathsf {a}
 _{Ph} 
,
\mathsf {t}
 _{Ex}
\}
\}
 \mathrel{\in} \overline{
\mathsf {r}}
\}
\!\mathrel{=}\! 
\mathsf {b}
 _{Ph} 
\}
\!\mathrel{=}\! \overline{\mathsf {bs}}
; Repetition
\rhd \dot{\neg}\, \dot{\neg}\, 
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {s}}
\colon \overline{
\mathsf {s}}
 \mathrel{\in}  \{ ph \mathrel{\in} P(\overline{\mathsf {bs}}
)
\mid \dot{\neg}\, 
\mathsf {t}
 _{Ex}
 \mathrel{\in} \overline{\mathsf {bs}}
\Rightarrow \dot{\neg}\,  \{ ph \mathrel{\in} \overline{\mathsf {bs}}
\mid \{\{
\mathsf {a}
 _{Ph} 
,
\mathsf {a}
 _{Ph} 
\}
,\{
\mathsf {a}
 _{Ph} 
,
\mathsf {t}
 _{Ex}
\}
\}
 \mathrel{\in} \overline{
\mathsf {r}}
\}
\!\mathrel{=}\! 
\mathsf {b}
 _{Ph} 
\}
\Rightarrow \dot{\neg}\, \overline{
\mathsf {s}}
\!\mathrel{=}\! \mathrm{\O}
\Rightarrow \dot{\neg}\, 
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {s}}
\colon 
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {t}}
\colon \overline{
\mathsf {s}}
 \mathrel{\in}  \{ ph \mathrel{\in} P(\overline{\mathsf {bs}}
)
\mid \dot{\neg}\, 
\mathsf {t}
 _{Ex}
 \mathrel{\in} \overline{\mathsf {bs}}
\Rightarrow \dot{\neg}\,  \{ ph \mathrel{\in} \overline{\mathsf {bs}}
\mid \{\{
\mathsf {a}
 _{Ph} 
,
\mathsf {a}
 _{Ph} 
\}
,\{
\mathsf {a}
 _{Ph} 
,
\mathsf {t}
 _{Ex}
\}
\}
 \mathrel{\in} \overline{
\mathsf {r}}
\}
\!\mathrel{=}\! 
\mathsf {b}
 _{Ph} 
\}
\Rightarrow \overline{
\mathsf {t}}
 \mathrel{\in}  \{ ph \mathrel{\in} P(\overline{\mathsf {bs}}
)
\mid \dot{\neg}\, 
\mathsf {t}
 _{Ex}
 \mathrel{\in} \overline{\mathsf {bs}}
\Rightarrow \dot{\neg}\,  \{ ph \mathrel{\in} \overline{\mathsf {bs}}
\mid \{\{
\mathsf {a}
 _{Ph} 
,
\mathsf {a}
 _{Ph} 
\}
,\{
\mathsf {a}
 _{Ph} 
,
\mathsf {t}
 _{Ex}
\}
\}
 \mathrel{\in} \overline{
\mathsf {r}}
\}
\!\mathrel{=}\! 
\mathsf {b}
 _{Ph} 
\}
\Rightarrow \dot{\neg}\, \overline{
\mathsf {s}}
\!\mathrel{=}\! \overline{
\mathsf {t}}
\Rightarrow  \{ ph \mathrel{\in} \cup \{\{\overline{
\mathsf {s}}
,\overline{
\mathsf {s}}
\}
,\{\overline{
\mathsf {t}}
,\overline{
\mathsf {t}}
\}
\}
\mid \dot{\neg}\, 
\mathsf {c}
 _{Ph} 
 \mathrel{\in} \overline{
\mathsf {s}}
\Rightarrow \dot{\neg}\, 
\mathsf {c}
 _{Ph} 
 \mathrel{\in} \overline{
\mathsf {t}}
\}
\!\mathrel{=}\! \mathrm{\O}
\Rightarrow \dot{\neg}\, \cup  \{ ph \mathrel{\in} P(\overline{\mathsf {bs}}
)
\mid \dot{\neg}\, 
\mathsf {t}
 _{Ex}
 \mathrel{\in} \overline{\mathsf {bs}}
\Rightarrow \dot{\neg}\,  \{ ph \mathrel{\in} \overline{\mathsf {bs}}
\mid \{\{
\mathsf {a}
 _{Ph} 
,
\mathsf {a}
 _{Ph} 
\}
,\{
\mathsf {a}
 _{Ph} 
,
\mathsf {t}
 _{Ex}
\}
\}
 \mathrel{\in} \overline{
\mathsf {r}}
\}
\!\mathrel{=}\! 
\mathsf {b}
 _{Ph} 
\}
\!\mathrel{=}\! \overline{\mathsf {bs}}
\gg \dot{\neg}\, \dot{\neg}\, 
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {s}}
\colon \overline{
\mathsf {s}}
 \mathrel{\in}  \{ ph \mathrel{\in} P(\overline{\mathsf {bs}}
)
\mid \dot{\neg}\, 
\mathsf {t}
 _{Ex}
 \mathrel{\in} \overline{\mathsf {bs}}
\Rightarrow \dot{\neg}\,  \{ ph \mathrel{\in} \overline{\mathsf {bs}}
\mid \{\{
\mathsf {a}
 _{Ph} 
,
\mathsf {a}
 _{Ph} 
\}
,\{
\mathsf {a}
 _{Ph} 
,
\mathsf {t}
 _{Ex}
\}
\}
 \mathrel{\in} \overline{
\mathsf {r}}
\}
\!\mathrel{=}\! 
\mathsf {b}
 _{Ph} 
\}
\Rightarrow \dot{\neg}\, \overline{
\mathsf {s}}
\!\mathrel{=}\! \mathrm{\O}
\Rightarrow \dot{\neg}\, 
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {s}}
\colon 
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {t}}
\colon \overline{
\mathsf {s}}
 \mathrel{\in}  \{ ph \mathrel{\in} P(\overline{\mathsf {bs}}
)
\mid \dot{\neg}\, 
\mathsf {t}
 _{Ex}
 \mathrel{\in} \overline{\mathsf {bs}}
\Rightarrow \dot{\neg}\,  \{ ph \mathrel{\in} \overline{\mathsf {bs}}
\mid \{\{
\mathsf {a}
 _{Ph} 
,
\mathsf {a}
 _{Ph} 
\}
,\{
\mathsf {a}
 _{Ph} 
,
\mathsf {t}
 _{Ex}
\}
\}
 \mathrel{\in} \overline{
\mathsf {r}}
\}
\!\mathrel{=}\! 
\mathsf {b}
 _{Ph} 
\}
\Rightarrow \overline{
\mathsf {t}}
 \mathrel{\in}  \{ ph \mathrel{\in} P(\overline{\mathsf {bs}}
)
\mid \dot{\neg}\, 
\mathsf {t}
 _{Ex}
 \mathrel{\in} \overline{\mathsf {bs}}
\Rightarrow \dot{\neg}\,  \{ ph \mathrel{\in} \overline{\mathsf {bs}}
\mid \{\{
\mathsf {a}
 _{Ph} 
,
\mathsf {a}
 _{Ph} 
\}
,\{
\mathsf {a}
 _{Ph} 
,
\mathsf {t}
 _{Ex}
\}
\}
 \mathrel{\in} \overline{
\mathsf {r}}
\}
\!\mathrel{=}\! 
\mathsf {b}
 _{Ph} 
\}
\Rightarrow \dot{\neg}\, \overline{
\mathsf {s}}
\!\mathrel{=}\! \overline{
\mathsf {t}}
\Rightarrow  \{ ph \mathrel{\in} \cup \{\{\overline{
\mathsf {s}}
,\overline{
\mathsf {s}}
\}
,\{\overline{
\mathsf {t}}
,\overline{
\mathsf {t}}
\}
\}
\mid \dot{\neg}\, 
\mathsf {c}
 _{Ph} 
 \mathrel{\in} \overline{
\mathsf {s}}
\Rightarrow \dot{\neg}\, 
\mathsf {c}
 _{Ph} 
 \mathrel{\in} \overline{
\mathsf {t}}
\}
\!\mathrel{=}\! \mathrm{\O}
\Rightarrow \dot{\neg}\, \cup  \{ ph \mathrel{\in} P(\overline{\mathsf {bs}}
)
\mid \dot{\neg}\, 
\mathsf {t}
 _{Ex}
 \mathrel{\in} \overline{\mathsf {bs}}
\Rightarrow \dot{\neg}\,  \{ ph \mathrel{\in} \overline{\mathsf {bs}}
\mid \{\{
\mathsf {a}
 _{Ph} 
,
\mathsf {a}
 _{Ph} 
\}
,\{
\mathsf {a}
 _{Ph} 
,
\mathsf {t}
 _{Ex}
\}
\}
 \mathrel{\in} \overline{
\mathsf {r}}
\}
\!\mathrel{=}\! 
\mathsf {b}
 _{Ph} 
\}
\!\mathrel{=}\! \overline{\mathsf {bs}}
\rceil 
, 
p_0
, 
\mathsf {c}
)
]$

$\rm
[EqSysIsPartition
\stackrel{
stmt
}{\rightarrow}ZFsub
\vdash \dot{\neg}\, \dot{\neg}\, 
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {s}}
\colon \overline{
\mathsf {s}}
 \mathrel{\in} \overline{\mathsf {bs}}
\Rightarrow \{\{\overline{
\mathsf {s}}
,\overline{
\mathsf {s}}
\}
,\{\overline{
\mathsf {s}}
,\overline{
\mathsf {s}}
\}
\}
 \mathrel{\in} \overline{
\mathsf {r}}
\Rightarrow \dot{\neg}\, 
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {s}}
\colon 
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {t}}
\colon \overline{
\mathsf {s}}
 \mathrel{\in} \overline{\mathsf {bs}}
\Rightarrow \overline{
\mathsf {t}}
 \mathrel{\in} \overline{\mathsf {bs}}
\Rightarrow \{\{\overline{
\mathsf {s}}
,\overline{
\mathsf {s}}
\}
,\{\overline{
\mathsf {s}}
,\overline{
\mathsf {t}}
\}
\}
 \mathrel{\in} \overline{
\mathsf {r}}
\Rightarrow \{\{\overline{
\mathsf {t}}
,\overline{
\mathsf {t}}
\}
,\{\overline{
\mathsf {t}}
,\overline{
\mathsf {s}}
\}
\}
 \mathrel{\in} \overline{
\mathsf {r}}
\Rightarrow \dot{\neg}\, 
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {s}}
\colon 
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {t}}
\colon 
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {u}}
\colon \overline{
\mathsf {s}}
 \mathrel{\in} \overline{\mathsf {bs}}
\Rightarrow \overline{
\mathsf {t}}
 \mathrel{\in} \overline{\mathsf {bs}}
\Rightarrow \overline{
\mathsf {u}}
 \mathrel{\in} \overline{\mathsf {bs}}
\Rightarrow \{\{\overline{
\mathsf {s}}
,\overline{
\mathsf {s}}
\}
,\{\overline{
\mathsf {s}}
,\overline{
\mathsf {t}}
\}
\}
 \mathrel{\in} \overline{
\mathsf {r}}
\Rightarrow \{\{\overline{
\mathsf {t}}
,\overline{
\mathsf {t}}
\}
,\{\overline{
\mathsf {t}}
,\overline{
\mathsf {u}}
\}
\}
 \mathrel{\in} \overline{
\mathsf {r}}
\Rightarrow \{\{\overline{
\mathsf {s}}
,\overline{
\mathsf {s}}
\}
,\{\overline{
\mathsf {s}}
,\overline{
\mathsf {u}}
\}
\}
 \mathrel{\in} \overline{
\mathsf {r}}
\vdash \dot{\neg}\, \dot{\neg}\, 
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {s}}
\colon \overline{
\mathsf {s}}
 \mathrel{\in}  \{ ph \mathrel{\in} P(\overline{\mathsf {bs}}
)
\mid \dot{\neg}\, 
\mathsf {t}
 _{Ex}
 \mathrel{\in} \overline{\mathsf {bs}}
\Rightarrow \dot{\neg}\,  \{ ph \mathrel{\in} \overline{\mathsf {bs}}
\mid \{\{
\mathsf {a}
 _{Ph} 
,
\mathsf {a}
 _{Ph} 
\}
,\{
\mathsf {a}
 _{Ph} 
,
\mathsf {t}
 _{Ex}
\}
\}
 \mathrel{\in} \overline{
\mathsf {r}}
\}
\!\mathrel{=}\! 
\mathsf {b}
 _{Ph} 
\}
\Rightarrow \dot{\neg}\, \overline{
\mathsf {s}}
\!\mathrel{=}\! \mathrm{\O}
\Rightarrow \dot{\neg}\, 
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {s}}
\colon 
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {t}}
\colon \overline{
\mathsf {s}}
 \mathrel{\in}  \{ ph \mathrel{\in} P(\overline{\mathsf {bs}}
)
\mid \dot{\neg}\, 
\mathsf {t}
 _{Ex}
 \mathrel{\in} \overline{\mathsf {bs}}
\Rightarrow \dot{\neg}\,  \{ ph \mathrel{\in} \overline{\mathsf {bs}}
\mid \{\{
\mathsf {a}
 _{Ph} 
,
\mathsf {a}
 _{Ph} 
\}
,\{
\mathsf {a}
 _{Ph} 
,
\mathsf {t}
 _{Ex}
\}
\}
 \mathrel{\in} \overline{
\mathsf {r}}
\}
\!\mathrel{=}\! 
\mathsf {b}
 _{Ph} 
\}
\Rightarrow \overline{
\mathsf {t}}
 \mathrel{\in}  \{ ph \mathrel{\in} P(\overline{\mathsf {bs}}
)
\mid \dot{\neg}\, 
\mathsf {t}
 _{Ex}
 \mathrel{\in} \overline{\mathsf {bs}}
\Rightarrow \dot{\neg}\,  \{ ph \mathrel{\in} \overline{\mathsf {bs}}
\mid \{\{
\mathsf {a}
 _{Ph} 
,
\mathsf {a}
 _{Ph} 
\}
,\{
\mathsf {a}
 _{Ph} 
,
\mathsf {t}
 _{Ex}
\}
\}
 \mathrel{\in} \overline{
\mathsf {r}}
\}
\!\mathrel{=}\! 
\mathsf {b}
 _{Ph} 
\}
\Rightarrow \dot{\neg}\, \overline{
\mathsf {s}}
\!\mathrel{=}\! \overline{
\mathsf {t}}
\Rightarrow  \{ ph \mathrel{\in} \cup \{\{\overline{
\mathsf {s}}
,\overline{
\mathsf {s}}
\}
,\{\overline{
\mathsf {t}}
,\overline{
\mathsf {t}}
\}
\}
\mid \dot{\neg}\, 
\mathsf {c}
 _{Ph} 
 \mathrel{\in} \overline{
\mathsf {s}}
\Rightarrow \dot{\neg}\, 
\mathsf {c}
 _{Ph} 
 \mathrel{\in} \overline{
\mathsf {t}}
\}
\!\mathrel{=}\! \mathrm{\O}
\Rightarrow \dot{\neg}\, \cup  \{ ph \mathrel{\in} P(\overline{\mathsf {bs}}
)
\mid \dot{\neg}\, 
\mathsf {t}
 _{Ex}
 \mathrel{\in} \overline{\mathsf {bs}}
\Rightarrow \dot{\neg}\,  \{ ph \mathrel{\in} \overline{\mathsf {bs}}
\mid \{\{
\mathsf {a}
 _{Ph} 
,
\mathsf {a}
 _{Ph} 
\}
,\{
\mathsf {a}
 _{Ph} 
,
\mathsf {t}
 _{Ex}
\}
\}
 \mathrel{\in} \overline{
\mathsf {r}}
\}
\!\mathrel{=}\! 
\mathsf {b}
 _{Ph} 
\}
\!\mathrel{=}\! \overline{\mathsf {bs}}
]$

$\rm
[EqSysIsPartition
\stackrel{
\mathrm{tex}
}{\rightarrow}
\mbox{``}EqSysIsPartition
\mbox{''}
]$

$\rm
[EqSysIsPartition
\stackrel{
\mathrm{pyk}
}{\rightarrow}
\mbox{``}theorem
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}eq
\mbox{-}system
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}is
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}partition
\mbox{''}
]$

\hypertarget {url:1808490560655876194608813785663292462486349118665588524157069396079556865:152}{}\section* {$\rm \ast
 / \ast$}

$\rm
[\mathsf {bs}
 / 
\mathsf {r}
\stackrel{
\mathrm {macro}
}{\rightarrow}
\lambda 
\mathsf {t}
.
\lambda 
\mathsf {s}
.
\lambda 
\mathsf {c}
.
\tilde {{\cal M}}_4(
\mathsf {t}
,
\mathsf {s}
,
\mathsf {c}
,
\lceil 
[\mathsf {bs}
 / 
\mathsf {r}
\mathrel {\ddot {=}} \{ ph \mathrel{\in} P(\mathsf {bs}
)
\mid Ex_{20}
 \mathrel{\in} \mathsf {bs}
\mathrel{\dot{\wedge}} [Ex_{20}
 \mathrel{\in} \mathsf {bs}
]_{
\mathsf {r}
}
\!\mathrel{=}\! ph_{2}
\}
]
\rceil 
)
]$

$\rm
[
\mathsf{x}
 / 
\mathsf{y}
\stackrel{
\mathrm{tex}
}{\rightarrow}
\mbox{``}
\#1.
\newline 
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}/
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}
\#2.
\mbox{''}
]$

$\rm
[
\ast 
 / 
\ast 
\stackrel{
\mathrm{pyk}
}{\rightarrow}
\mbox{``}eq
\mbox{-}system
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}of
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}
\mbox {\tt \char34}
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}modulo
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}
\mbox {\tt \char34}
\mbox{''}
]$

\hypertarget {url:1808490560655876194608813785663292462486349118665588524157069396079556865:153}{}\section* {$\rm \ast
 \cap \ast$}

$\rm
[
\mathsf{x}
 \cap 
\mathsf{y}
\stackrel{
\mathrm {macro}
}{\rightarrow}
\lambda 
\mathsf {t}
.
\lambda 
\mathsf {s}
.
\lambda 
\mathsf {c}
.
\tilde {{\cal M}}_4(
\mathsf {t}
,
\mathsf {s}
,
\mathsf {c}
,
\lceil 
[
\mathsf{x}
 \cap 
\mathsf{y}
\mathrel {\ddot {=}} \{ ph \mathrel{\in} 
\mathsf{x}
 \mathrel{\cup} 
\mathsf{y}
\mid ph_{3}
 \mathrel{\in} 
\mathsf{x}
\mathrel{\dot{\wedge}} ph_{3}
 \mathrel{\in} 
\mathsf{y}
\}
]
\rceil 
)
]$

$\rm
[
\mathsf{x}
 \cap 
\mathsf{y}
\stackrel{
\mathrm{tex}
}{\rightarrow}
\mbox{``}
\#1.
\newline 
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}
\mbox {$\backslash $}cap
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}
\#2.
\mbox{''}
]$

$\rm
[
\ast 
 \cap 
\ast 
\stackrel{
\mathrm{pyk}
}{\rightarrow}
\mbox{``}intersection
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}
\mbox {\tt \char34}
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}comma
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}
\mbox {\tt \char34}
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}end
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}intersection
\mbox{''}
]$

\hypertarget {url:1808490560655876194608813785663292462486349118665588524157069396079556865:154}{}\section* {$\rm \cup \ast$}

$\rm
[\cup 
\mathsf{x}
\stackrel{
\mathrm{tex}
}{\rightarrow}
\mbox{``}
\mbox {$\backslash $}cup
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}
\#1.
\mbox{''}
]$

$\rm
[\cup 
\ast 
\stackrel{
\mathrm{pyk}
}{\rightarrow}
\mbox{``}union
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}
\mbox {\tt \char34}
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}end
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}union
\mbox{''}
]$

\hypertarget {url:1808490560655876194608813785663292462486349118665588524157069396079556865:155}{}\section* {$\rm \ast
 \mathrel{\cup} \ast$}

$\rm
[
\mathsf{x}
 \mathrel{\cup} 
\mathsf{y}
\stackrel{
\mathrm {macro}
}{\rightarrow}
\lambda 
\mathsf {t}
.
\lambda 
\mathsf {s}
.
\lambda 
\mathsf {c}
.
\tilde {{\cal M}}_4(
\mathsf {t}
,
\mathsf {s}
,
\mathsf {c}
,
\lceil 
[
\mathsf{x}
 \mathrel{\cup} 
\mathsf{y}
\mathrel {\ddot {=}}\cup \{\{
\mathsf{x}
\}
,\{
\mathsf{y}
\}
\}
]
\rceil 
)
]$

$\rm
[
\mathsf{x}
 \mathrel{\cup} 
\mathsf{y}
\stackrel{
\mathrm{tex}
}{\rightarrow}
\mbox{``}
\#1.
\newline 
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}
\mbox {$\backslash $}mathrel
\{
\mbox {$\backslash $}cup
\}
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}
\#2.
\mbox{''}
]$

$\rm
[
\ast 
 \mathrel{\cup} 
\ast 
\stackrel{
\mathrm{pyk}
}{\rightarrow}
\mbox{``}binary
\mbox{-}union
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}
\mbox {\tt \char34}
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}comma
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}
\mbox {\tt \char34}
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}end
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}union
\mbox{''}
]$

\hypertarget {url:1808490560655876194608813785663292462486349118665588524157069396079556865:156}{}\section* {$\rm P(\ast
)$}

$\rm
[P(
\mathsf{x}
)
\stackrel{
\mathrm{tex}
}{\rightarrow}
\mbox{``}P(
\#1.
\newline )
\mbox{''}
]$

$\rm
[P(
\ast 
)
\stackrel{
\mathrm{pyk}
}{\rightarrow}
\mbox{``}power
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}
\mbox {\tt \char34}
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}end
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}power
\mbox{''}
]$

\hypertarget {url:1808490560655876194608813785663292462486349118665588524157069396079556865:157}{}\section* {$\rm \{\ast
\}$}

$\rm
[\{
\mathsf{x}
\}
\stackrel{
\mathrm {macro}
}{\rightarrow}
\lambda 
\mathsf {t}
.
\lambda 
\mathsf {s}
.
\lambda 
\mathsf {c}
.
\tilde {{\cal M}}_4(
\mathsf {t}
,
\mathsf {s}
,
\mathsf {c}
,
\lceil 
[\{
\mathsf{x}
\}
\mathrel {\ddot {=}}\{
\mathsf{x}
,
\mathsf{x}
\}
]
\rceil 
)
]$

$\rm
[\{
\mathsf{x}
\}
\stackrel{
\mathrm{tex}
}{\rightarrow}
\mbox{``}
\mbox {$\backslash $}
\{
\#1.
\newline 
\mbox {$\backslash $}
\}
\mbox{''}
]$

$\rm
[\{
\ast 
\}
\stackrel{
\mathrm{pyk}
}{\rightarrow}
\mbox{``}zermelo
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}singleton
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}
\mbox {\tt \char34}
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}end
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}singleton
\mbox{''}
]$

\hypertarget {url:1808490560655876194608813785663292462486349118665588524157069396079556865:158}{}\section* {$\rm \{\ast
,\ast
\}$}

$\rm
[\{
\mathsf{x}
,
\mathsf{y}
\}
\stackrel{
\mathrm{tex}
}{\rightarrow}
\mbox{``}
\mbox {$\backslash $}
\{
\#1.
\newline ,
\#2.
\newline 
\mbox {$\backslash $}
\}
\mbox{''}
]$

$\rm
[\{
\ast 
,
\ast 
\}
\stackrel{
\mathrm{pyk}
}{\rightarrow}
\mbox{``}zermelo
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}pair
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}
\mbox {\tt \char34}
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}comma
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}
\mbox {\tt \char34}
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}end
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}pair
\mbox{''}
]$

\hypertarget {url:1808490560655876194608813785663292462486349118665588524157069396079556865:159}{}\section* {$\rm \langle \ast
,\ast
\rangle$}

$\rm
[\langle 
\mathsf{x}
,
\mathsf{y}
\rangle
\stackrel{
\mathrm {macro}
}{\rightarrow}
\lambda 
\mathsf {t}
.
\lambda 
\mathsf {s}
.
\lambda 
\mathsf {c}
.
\tilde {{\cal M}}_4(
\mathsf {t}
,
\mathsf {s}
,
\mathsf {c}
,
\lceil 
[\langle 
\mathsf{x}
,
\mathsf{y}
\rangle
\mathrel {\ddot {=}}\{\{
\mathsf{x}
\}
,\{
\mathsf{x}
,
\mathsf{y}
\}
\}
]
\rceil 
)
]$

$\rm
[\langle 
\mathsf{x}
,
\mathsf{y}
\rangle
\stackrel{
\mathrm{tex}
}{\rightarrow}
\mbox{``}
\mbox {$\backslash $}langle
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}
\#1.
\newline ,
\#2.
\newline 
\mbox {$\backslash $}rangle
\mbox{''}
]$

$\rm
[\langle 
\ast 
,
\ast 
\rangle
\stackrel{
\mathrm{pyk}
}{\rightarrow}
\mbox{``}zermelo
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}ordered
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}pair
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}
\mbox {\tt \char34}
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}comma
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}
\mbox {\tt \char34}
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}end
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}pair
\mbox{''}
]$

\hypertarget {url:1808490560655876194608813785663292462486349118665588524157069396079556865:160}{}\section* {$\rm \ast
 \mathrel{\in} \ast$}

$\rm
[
\mathsf{x}
 \mathrel{\in} 
\mathsf{y}
\stackrel{
\mathrm{tex}
}{\rightarrow}
\mbox{``}
\#1.
\newline 
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}
\mbox {$\backslash $}mathrel
\{
\mbox {$\backslash $}in
\}
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}
\#2.
\mbox{''}
]$

$\rm
[
\ast 
 \mathrel{\in} 
\ast 
\stackrel{
\mathrm{pyk}
}{\rightarrow}
\mbox{``}
\mbox {\tt \char34}
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}zermelo
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}in
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}
\mbox {\tt \char34}
\mbox{''}
]$

\hypertarget {url:1808490560655876194608813785663292462486349118665588524157069396079556865:161}{}\section* {$\rm \ast
(\ast
,\ast
)$}

$\rm
[
\mathsf {r}
(
\mathsf{x}
,
\mathsf{y}
)
\stackrel{
\mathrm {macro}
}{\rightarrow}
\lambda 
\mathsf {t}
.
\lambda 
\mathsf {s}
.
\lambda 
\mathsf {c}
.
\tilde {{\cal M}}_4(
\mathsf {t}
,
\mathsf {s}
,
\mathsf {c}
,
\lceil 
[
\mathsf {r}
(
\mathsf{x}
,
\mathsf{y}
)
\mathrel {\ddot {=}}\langle 
\mathsf{x}
,
\mathsf{y}
\rangle
 \mathrel{\in} 
\mathsf {r}
]
\rceil 
)
]$

$\rm
[
\mathsf{z}
(
\mathsf{x}
,
\mathsf{y}
)
\stackrel{
\mathrm{tex}
}{\rightarrow}
\mbox{``}
\#3.
\newline (
\#1.
\newline ,
\#2.
\newline )
\mbox{''}
]$

$\rm
[
\ast 
(
\ast 
,
\ast 
)
\stackrel{
\mathrm{pyk}
}{\rightarrow}
\mbox{``}
\mbox {\tt \char34}
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}is
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}related
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}to
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}
\mbox {\tt \char34}
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}under
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}
\mbox {\tt \char34}
\mbox{''}
]$

\hypertarget {url:1808490560655876194608813785663292462486349118665588524157069396079556865:162}{}\section* {$\rm ReflRel(\ast
,\ast
)$}

$\rm
[ReflRel(
\mathsf {r}
,
\mathsf{x}
)
\stackrel{
\mathrm {macro}
}{\rightarrow}
\lambda 
\mathsf {t}
.
\lambda 
\mathsf {s}
.
\lambda 
\mathsf {c}
.
\tilde {{\cal M}}_4(
\mathsf {t}
,
\mathsf {s}
,
\mathsf {c}
,
\lceil 
[ReflRel(
\mathsf {r}
,
\mathsf{x}
)
\mathrel {\ddot {=}}
\forall 
\mathit{s}
\colon 
(
\mathit{s}
 \mathrel{\in} 
\mathsf{x}
\Rightarrow 
\mathsf {r}
(
\mathit{s}
,
\mathit{s}
)
)
]
\rceil 
)
]$

$\rm
[ReflRel(
\mathsf {r}
,
\mathsf{x}
)
\stackrel{
\mathrm{tex}
}{\rightarrow}
\mbox{``}ReflRel(
\#1.
\newline ,
\#2.
\newline )
\mbox{''}
]$

$\rm
[ReflRel(
\ast 
,
\ast 
)
\stackrel{
\mathrm{pyk}
}{\rightarrow}
\mbox{``}
\mbox {\tt \char34}
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}is
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}reflexive
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}relation
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}in
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}
\mbox {\tt \char34}
\mbox{''}
]$

\hypertarget {url:1808490560655876194608813785663292462486349118665588524157069396079556865:163}{}\section* {$\rm SymRel(\ast
,\ast
)$}

$\rm
[SymRel(
\mathsf {r}
,
\mathsf{x}
)
\stackrel{
\mathrm {macro}
}{\rightarrow}
\lambda 
\mathsf {t}
.
\lambda 
\mathsf {s}
.
\lambda 
\mathsf {c}
.
\tilde {{\cal M}}_4(
\mathsf {t}
,
\mathsf {s}
,
\mathsf {c}
,
\lceil 
[SymRel(
\mathsf {r}
,
\mathsf{x}
)
\mathrel {\ddot {=}}
\forall 
\mathit{s}
,\linebreak [0] 
\mathit{t}
\colon 
(
\mathit{s}
 \mathrel{\in} 
\mathsf{x}
\Rightarrow 
\mathit{t}
 \mathrel{\in} 
\mathsf{x}
\Rightarrow 
\mathsf {r}
(
\mathit{s}
,
\mathit{t}
)
\Rightarrow 
\mathsf {r}
(
\mathit{t}
,
\mathit{s}
)
)
]
\rceil 
)
]$

$\rm
[SymRel(
\mathsf {r}
,
\mathsf{x}
)
\stackrel{
\mathrm{tex}
}{\rightarrow}
\mbox{``}SymRel(
\#1.
\newline ,
\#2.
\newline )
\mbox{''}
]$

$\rm
[SymRel(
\ast 
,
\ast 
)
\stackrel{
\mathrm{pyk}
}{\rightarrow}
\mbox{``}
\mbox {\tt \char34}
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}is
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}symmetric
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}relation
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}in
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}
\mbox {\tt \char34}
\mbox{''}
]$

\hypertarget {url:1808490560655876194608813785663292462486349118665588524157069396079556865:164}{}\section* {$\rm TransRel(\ast
,\ast
)$}

$\rm
[TransRel(
\mathsf {r}
,
\mathsf{x}
)
\stackrel{
\mathrm {macro}
}{\rightarrow}
\lambda 
\mathsf {t}
.
\lambda 
\mathsf {s}
.
\lambda 
\mathsf {c}
.
\tilde {{\cal M}}_4(
\mathsf {t}
,
\mathsf {s}
,
\mathsf {c}
,
\lceil 
[TransRel(
\mathsf {r}
,
\mathsf{x}
)
\mathrel {\ddot {=}}
\newline 
\forall 
\mathit{s}
,\linebreak [0] 
\mathit{t}
,\linebreak [0] 
\mathit{u}
\colon 
(
\mathit{s}
 \mathrel{\in} 
\mathsf{x}
\Rightarrow 
\mathit{t}
 \mathrel{\in} 
\mathsf{x}
\Rightarrow 
\mathit{u}
 \mathrel{\in} 
\mathsf{x}
\Rightarrow 
\mathsf {r}
(
\mathit{s}
,
\mathit{t}
)
\Rightarrow 
\mathsf {r}
(
\mathit{t}
,
\mathit{u}
)
\Rightarrow 
\mathsf {r}
(
\mathit{s}
,
\mathit{u}
)
)
]
\rceil 
)
]$

$\rm
[TransRel(
\mathsf {r}
,
\mathsf{x}
)
\stackrel{
\mathrm{tex}
}{\rightarrow}
\mbox{``}TransRel(
\#1.
\newline ,
\#2.
\newline )
\mbox{''}
]$

$\rm
[TransRel(
\ast 
,
\ast 
)
\stackrel{
\mathrm{pyk}
}{\rightarrow}
\mbox{``}
\mbox {\tt \char34}
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}is
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}transitive
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}relation
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}in
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}
\mbox {\tt \char34}
\mbox{''}
]$

\hypertarget {url:1808490560655876194608813785663292462486349118665588524157069396079556865:165}{}\section* {$\rm EqRel(\ast
,\ast
)$}

$\rm
[EqRel(
\mathsf {r}
,
\mathsf{x}
)
\stackrel{
\mathrm {macro}
}{\rightarrow}
\lambda 
\mathsf {t}
.
\lambda 
\mathsf {s}
.
\lambda 
\mathsf {c}
.
\tilde {{\cal M}}_4(
\mathsf {t}
,
\mathsf {s}
,
\mathsf {c}
,
\lceil 
[EqRel(
\mathsf {r}
,
\mathsf{x}
)
\mathrel {\ddot {=}}ReflRel(
\mathsf {r}
,
\mathsf{x}
)
\mathrel{\dot{\wedge}} SymRel(
\mathsf {r}
,
\mathsf{x}
)
\mathrel{\dot{\wedge}} TransRel(
\mathsf {r}
,
\mathsf{x}
)
]
\rceil 
)
]$

$\rm
[EqRel(
\mathsf {r}
,
\mathsf{x}
)
\stackrel{
\mathrm{tex}
}{\rightarrow}
\mbox{``}EqRel(
\#1.
\newline ,
\#2.
\newline )
\mbox{''}
]$

$\rm
[EqRel(
\ast 
,
\ast 
)
\stackrel{
\mathrm{pyk}
}{\rightarrow}
\mbox{``}
\mbox {\tt \char34}
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}is
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}equivalence
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}relation
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}in
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}
\mbox {\tt \char34}
\mbox{''}
]$

\hypertarget {url:1808490560655876194608813785663292462486349118665588524157069396079556865:166}{}\section* {$\rm [\ast
 \mathrel{\in} \ast
]_{\ast
}$}

$\rm
[[
\mathsf{x}
 \mathrel{\in} \mathsf {bs}
]_{
\mathsf {r}
}
\stackrel{
\mathrm {macro}
}{\rightarrow}
\lambda 
\mathsf {t}
.
\lambda 
\mathsf {s}
.
\lambda 
\mathsf {c}
.
\tilde {{\cal M}}_4(
\mathsf {t}
,
\mathsf {s}
,
\mathsf {c}
,
\lceil 
[[
\mathsf{x}
 \mathrel{\in} \mathsf {bs}
]_{
\mathsf {r}
}
\mathrel {\ddot {=}} \{ ph \mathrel{\in} \mathsf {bs}
\mid 
\mathsf {r}
(ph_{1}
,
\mathsf{x}
)
\}
]
\rceil 
)
]$

$\rm
[[
\mathsf{x}
 \mathrel{\in} \mathsf {bs}
]_{
\mathsf {r}
}
\stackrel{
\mathrm{tex}
}{\rightarrow}
\mbox{``}[
\#1.
\newline 
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}
\mbox {$\backslash $}mathrel
\{
\mbox {$\backslash $}in
\}
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}
\#2.
\newline ]
\_
\{
\#3.
\newline 
\}
\mbox{''}
]$

$\rm
[[
\ast 
 \mathrel{\in} 
\ast 
]_{
\ast 
}
\stackrel{
\mathrm{pyk}
}{\rightarrow}
\mbox{``}equivalence
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}class
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}of
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}
\mbox {\tt \char34}
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}in
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}
\mbox {\tt \char34}
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}modulo
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}
\mbox {\tt \char34}
\mbox{''}
]$

\hypertarget {url:1808490560655876194608813785663292462486349118665588524157069396079556865:167}{}\section* {$\rm Partition(\ast
,\ast
)$}

$\rm
[Partition(
\mathsf {p}
,\mathsf {bs}
)
\stackrel{
\mathrm {macro}
}{\rightarrow}
\lambda 
\mathsf {t}
.
\lambda 
\mathsf {s}
.
\lambda 
\mathsf {c}
.
\tilde {{\cal M}}_4(
\mathsf {t}
,
\mathsf {s}
,
\mathsf {c}
,
\lceil 
[Partition(
\mathsf {p}
,\mathsf {bs}
)
\mathrel {\ddot {=}}
(
\forall 
\mathit{s}
\colon 
(
\mathit{s}
 \mathrel{\in} 
\mathsf {p}
\Rightarrow 
\mathit{s}
 \mathrel{\neq} \mathrm{\O}
)
)
\mathrel{\dot{\wedge}} 
\newline 
(
\forall 
\mathit{s}
,\linebreak [0] 
\mathit{t}
\colon 
(
\mathit{s}
 \mathrel{\in} 
\mathsf {p}
\Rightarrow 
\mathit{t}
 \mathrel{\in} 
\mathsf {p}
\Rightarrow 
\mathit{s}
 \mathrel{\neq} 
\mathit{t}
\Rightarrow 
\mathit{s}
 \cap 
\mathit{t}
\!\mathrel{=}\! \mathrm{\O}
)
)
\mathrel{\dot{\wedge}} 
\newline \cup 
\mathsf {p}
\!\mathrel{=}\! \mathsf {bs}
]
\rceil 
)
]$

$\rm
[Partition(
\mathsf{x}
,
\mathsf{y}
)
\stackrel{
\mathrm{tex}
}{\rightarrow}
\mbox{``}Partition(
\#1.
\newline ,
\#2.
\newline )
\mbox{''}
]$

$\rm
[Partition(
\ast 
,
\ast 
)
\stackrel{
\mathrm{pyk}
}{\rightarrow}
\mbox{``}
\mbox {\tt \char34}
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}is
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}partition
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}of
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}
\mbox {\tt \char34}
\mbox{''}
]$

\hypertarget {url:1808490560655876194608813785663292462486349118665588524157069396079556865:168}{}\section* {$\rm \ast
\!\mathrel{=}\! \ast$}

$\rm
[
\mathsf{x}
\!\mathrel{=}\! 
\mathsf{y}
\stackrel{
\mathrm{tex}
}{\rightarrow}
\mbox{``}
\#1.
\newline 
\mbox {$\backslash $}!
\mbox {$\backslash $}mathrel
\{
{=}
\}
\mbox {$\backslash $}!
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}
\#2.
\mbox{''}
]$

$\rm
[
\ast 
\!\mathrel{=}\! 
\ast 
\stackrel{
\mathrm{pyk}
}{\rightarrow}
\mbox{``}
\mbox {\tt \char34}
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}zermelo
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}is
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}
\mbox {\tt \char34}
\mbox{''}
]$

\hypertarget {url:1808490560655876194608813785663292462486349118665588524157069396079556865:169}{}\section* {$\rm \ast
 \mathrel{\subseteq} \ast$}

$\rm
[
\mathsf{x}
 \mathrel{\subseteq} 
\mathsf{y}
\stackrel{
\mathrm {macro}
}{\rightarrow}
\lambda 
\mathsf {t}
.
\lambda 
\mathsf {s}
.
\lambda 
\mathsf {c}
.
\tilde {{\cal M}}_4(
\mathsf {t}
,
\mathsf {s}
,
\mathsf {c}
,
\lceil 
[
\mathsf{x}
 \mathrel{\subseteq} 
\mathsf{y}
\mathrel {\ddot {=}}
(
\mathit{s}
 \mathrel{\in} 
\mathsf{x}
\Rightarrow 
\mathit{s}
 \mathrel{\in} 
\mathsf{y}
)
]
\rceil 
)
]$

$\rm
[
\mathsf{x}
 \mathrel{\subseteq} 
\mathsf{y}
\stackrel{
\mathrm{tex}
}{\rightarrow}
\mbox{``}
\#1.
\newline 
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}
\mbox {$\backslash $}mathrel
\{
\mbox {$\backslash $}subseteq
\}
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}
\#2.
\mbox{''}
]$

$\rm
[
\ast 
 \mathrel{\subseteq} 
\ast 
\stackrel{
\mathrm{pyk}
}{\rightarrow}
\mbox{``}
\mbox {\tt \char34}
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}is
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}subset
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}of
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}
\mbox {\tt \char34}
\mbox{''}
]$

\hypertarget {url:1808490560655876194608813785663292462486349118665588524157069396079556865:170}{}\section* {$\rm \dot{\neg}\, \ast$}

$\rm
[\dot{\neg}\, 
\mathsf{x}
\stackrel{
\mathrm{tex}
}{\rightarrow}
\mbox{``}
\mbox {$\backslash $}dot
\{
\mbox {$\backslash $}neg
\}
\mbox {$\backslash $},
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}
\#1.
\mbox{''}
]$

$\rm
[\dot{\neg}\, 
\ast 
\stackrel{
\mathrm{pyk}
}{\rightarrow}
\mbox{``}not0
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}
\mbox {\tt \char34}
\mbox{''}
]$

\hypertarget {url:1808490560655876194608813785663292462486349118665588524157069396079556865:171}{}\section* {$\rm \ast
 \mathrel{\notin} \ast$}

$\rm
[
\mathsf{x}
 \mathrel{\notin} 
\mathsf{y}
\stackrel{
\mathrm {macro}
}{\rightarrow}
\lambda 
\mathsf {t}
.
\lambda 
\mathsf {s}
.
\lambda 
\mathsf {c}
.
\tilde {{\cal M}}_4(
\mathsf {t}
,
\mathsf {s}
,
\mathsf {c}
,
\lceil 
[
\mathsf{x}
 \mathrel{\notin} 
\mathsf{y}
\mathrel {\ddot {=}}\dot{\neg}\, 
\mathsf{x}
 \mathrel{\in} 
\mathsf{y}
]
\rceil 
)
]$

$\rm
[
\mathsf{x}
 \mathrel{\notin} 
\mathsf{y}
\stackrel{
\mathrm{tex}
}{\rightarrow}
\mbox{``}
\#1.
\newline 
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}
\mbox {$\backslash $}mathrel
\{
\mbox {$\backslash $}notin
\}
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}
\#2.
\mbox{''}
]$

$\rm
[
\ast 
 \mathrel{\notin} 
\ast 
\stackrel{
\mathrm{pyk}
}{\rightarrow}
\mbox{``}
\mbox {\tt \char34}
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}zermelo
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}
\char126 in
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}
\mbox {\tt \char34}
\mbox{''}
]$

\hypertarget {url:1808490560655876194608813785663292462486349118665588524157069396079556865:172}{}\section* {$\rm \ast
 \mathrel{\neq} \ast$}

$\rm
[
\mathsf{x}
 \mathrel{\neq} 
\mathsf{y}
\stackrel{
\mathrm {macro}
}{\rightarrow}
\lambda 
\mathsf {t}
.
\lambda 
\mathsf {s}
.
\lambda 
\mathsf {c}
.
\tilde {{\cal M}}_4(
\mathsf {t}
,
\mathsf {s}
,
\mathsf {c}
,
\lceil 
[
\mathsf{x}
 \mathrel{\neq} 
\mathsf{y}
\mathrel {\ddot {=}}\dot{\neg}\, 
\mathsf{x}
\!\mathrel{=}\! 
\mathsf{y}
]
\rceil 
)
]$

$\rm
[
\mathsf{x}
 \mathrel{\neq} 
\mathsf{y}
\stackrel{
\mathrm{tex}
}{\rightarrow}
\mbox{``}
\#1.
\newline 
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}
\mbox {$\backslash $}mathrel
\{
\mbox {$\backslash $}neq
\}
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}
\#2.
\mbox{''}
]$

$\rm
[
\ast 
 \mathrel{\neq} 
\ast 
\stackrel{
\mathrm{pyk}
}{\rightarrow}
\mbox{``}
\mbox {\tt \char34}
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}zermelo
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}
\char126 is
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}
\mbox {\tt \char34}
\mbox{''}
]$

\hypertarget {url:1808490560655876194608813785663292462486349118665588524157069396079556865:173}{}\section* {$\rm \ast
\mathrel{\dot{\wedge}} \ast$}

$\rm
[
\mathsf{x}
\mathrel{\dot{\wedge}} 
\mathsf{y}
\stackrel{
\mathrm {macro}
}{\rightarrow}
\lambda 
\mathsf {t}
.
\lambda 
\mathsf {s}
.
\lambda 
\mathsf {c}
.
\tilde {{\cal M}}_4(
\mathsf {t}
,
\mathsf {s}
,
\mathsf {c}
,
\lceil 
[
\mathsf{x}
\mathrel{\dot{\wedge}} 
\mathsf{y}
\mathrel {\ddot {=}}\dot{\neg}\, 
(
\mathsf{x}
\Rightarrow \dot{\neg}\, 
\mathsf{y}
)
]
\rceil 
)
]$

$\rm
[
\mathsf{x}
\mathrel{\dot{\wedge}} 
\mathsf{y}
\stackrel{
\mathrm{tex}
}{\rightarrow}
\mbox{``}
\#1.
\newline 
\mbox {$\backslash $}mathrel
\{
\mbox {$\backslash $}dot
\{
\mbox {$\backslash $}wedge
\}
\}
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}
\#2.
\mbox{''}
]$

$\rm
[
\ast 
\mathrel{\dot{\wedge}} 
\ast 
\stackrel{
\mathrm{pyk}
}{\rightarrow}
\mbox{``}
\mbox {\tt \char34}
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}and0
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}
\mbox {\tt \char34}
\mbox{''}
]$

\hypertarget {url:1808490560655876194608813785663292462486349118665588524157069396079556865:174}{}\section* {$\rm \ast
 \mathrel{\dot{\vee}} \ast$}

$\rm
[
\mathsf{x}
 \mathrel{\dot{\vee}} 
\mathsf{y}
\stackrel{
\mathrm {macro}
}{\rightarrow}
\lambda 
\mathsf {t}
.
\lambda 
\mathsf {s}
.
\lambda 
\mathsf {c}
.
\tilde {{\cal M}}_4(
\mathsf {t}
,
\mathsf {s}
,
\mathsf {c}
,
\lceil 
[
\mathsf{x}
 \mathrel{\dot{\vee}} 
\mathsf{y}
\mathrel {\ddot {=}}\dot{\neg}\, 
\mathsf{x}
\Rightarrow 
\mathsf{y}
]
\rceil 
)
]$

$\rm
[
\mathsf{x}
 \mathrel{\dot{\vee}} 
\mathsf{y}
\stackrel{
\mathrm{tex}
}{\rightarrow}
\mbox{``}
\#1.
\newline 
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}
\mbox {$\backslash $}mathrel
\{
\mbox {$\backslash $}dot
\{
\mbox {$\backslash $}vee
\}
\}
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}
\#2.
\mbox{''}
]$

$\rm
[
\ast 
 \mathrel{\dot{\vee}} 
\ast 
\stackrel{
\mathrm{pyk}
}{\rightarrow}
\mbox{``}
\mbox {\tt \char34}
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}or0
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}
\mbox {\tt \char34}
\mbox{''}
]$

\hypertarget {url:1808490560655876194608813785663292462486349118665588524157069396079556865:175}{}\section* {$\rm \ast
\mathrel{\dot{\Leftrightarrow}} \ast$}

$\rm
[
\mathsf{x}
\mathrel{\dot{\Leftrightarrow}} 
\mathsf{y}
\stackrel{
\mathrm {macro}
}{\rightarrow}
\lambda 
\mathsf {t}
.
\lambda 
\mathsf {s}
.
\lambda 
\mathsf {c}
.
\tilde {{\cal M}}_4(
\mathsf {t}
,
\mathsf {s}
,
\mathsf {c}
,
\lceil 
[
\mathsf{x}
\mathrel{\dot{\Leftrightarrow}} 
\mathsf{y}
\mathrel {\ddot {=}}
(
\mathsf{x}
\Rightarrow 
\mathsf{y}
)
\mathrel{\dot{\wedge}} 
(
\mathsf{y}
\Rightarrow 
\mathsf{x}
)
]
\rceil 
)
]$

$\rm
[
\mathsf{x}
\mathrel{\dot{\Leftrightarrow}} 
\mathsf{y}
\stackrel{
\mathrm{tex}
}{\rightarrow}
\mbox{``}
\#1.
\newline 
\mbox {$\backslash $}mathrel
\{
\mbox {$\backslash $}dot
\{
\mbox {$\backslash $}Leftrightarrow
\}
\}
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}
\#2.
\mbox{''}
]$

$\rm
[
\ast 
\mathrel{\dot{\Leftrightarrow}} 
\ast 
\stackrel{
\mathrm{pyk}
}{\rightarrow}
\mbox{``}
\mbox {\tt \char34}
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}iff
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}
\mbox {\tt \char34}
\mbox{''}
]$

\hypertarget {url:1808490560655876194608813785663292462486349118665588524157069396079556865:176}{}\section* {$\rm  \{ ph \mathrel{\in} \ast
\mid \ast
\}$}

$\rm
[ \{ ph \mathrel{\in} 
\mathsf{x}
\mid 
\mathsf {a}
\}
\stackrel{
\mathrm{tex}
}{\rightarrow}
\mbox{``}
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}
\mbox {$\backslash $}
\{
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}ph
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}
\mbox {$\backslash $}mathrel
\{
\mbox {$\backslash $}in
\}
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}
\#1.
\newline 
\mbox {$\backslash $}mid
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}
\#2.
\newline 
\mbox {$\backslash $}
\}
\mbox{''}
]$

$\rm
[ \{ ph \mathrel{\in} 
\ast 
\mid 
\ast 
\}
\stackrel{
\mathrm{pyk}
}{\rightarrow}
\mbox{``}the
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}set
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}of
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}ph
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}in
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}
\mbox {\tt \char34}
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}such
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}that
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}
\mbox {\tt \char34}
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}end
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}set
\mbox{''}
]$

\vspace{2ex}

{\em \href {http://www.diku.dk/~grue/logiweb/20060417/logiweb/doc/compiler/index.html}{The pyk compiler},
version 0.grue.20060417+
by
\href {http://www.diku.dk/~grue/index.html}{Klaus Grue}\\
\href {http://www.diku.dk/~grue/logiweb/20060417/logiweb/doc/misc/time.html}{GRD-2006-08-24.UTC:08:13:50.904458} = 
\href {http://www.diku.dk/~grue/logiweb/20060417/logiweb/doc/misc/time.html}{MJD-53971.TAI:08:14:23.904458} = 
\href {http://www.diku.dk/~grue/logiweb/20060417/logiweb/doc/misc/time.html}{LGT-4663124063904458e-6}
}

\end{document}

