\documentclass [fleqn,titlepage]{article}
\setlength {\overfullrule }{1mm}
\input{lgwinclude}

\usepackage{latexsym}

%\setlength{\parindent}{0em}
%\setlength{\parskip}{1ex}

% The font of each Logiweb construct is under tight control except that
% strings are typeset in whatever font is in effect at the time of
% typesetting. This is done to enhance the readability of strings in the
% TeX source generated by Logiweb. The default font for typesetting
% strings is \rm:
\everymath{\rm}

\usepackage{makeidx}
%\usepackage{page} - fjernet 3.5.06
%\makeindex        - fjernet 3.5.06
\newcommand{\intro}[1]{\emph{#1}}
\newcommand{\indexintro}[1]{\index{#1}\intro{#1}}
\newlength{\bracketwidth}
\settowidth{\bracketwidth}{$[{}$}
\newcommand{\back}{\protect\makebox[-1.0\bracketwidth]{}}

% tilfoejede pakker
\usepackage{lscape} 
\usepackage{multicol}
\usepackage{float}
\usepackage[latin1]{inputenc}
\usepackage[dvips]{graphicx} 
\usepackage{verbatim}
\usepackage[danish]{babel}
\usepackage{graphpap}

\usepackage[dvipdfm=true]{hyperref}
\hypersetup{pdfpagemode=none}
\hypersetup{pdfstartpage=1}
\hypersetup{pdfstartview=FitBH}
\hypersetup{pdfpagescrop={120 130 490 730}}
%\hypersetup{pdftitle=}
\hypersetup{colorlinks=false}
\bibliographystyle{plain}

% \tex{something} writes something to page.otx for later inclusion
\newwrite\outex
\newtoks\toktex
\immediate\openout\outex=page.otx
\newcommand{\tex}[1]{\toktex={\item #1}\immediate\write\outex{\the\toktex}}

% \test{something} writes something to page.tst for later inclusion
\newwrite\outest
\immediate\openout\outest=page.tst
\newcommand{\test}[1]{\toktex={\item #1}\immediate\write\outest{\the\toktex}}

% Concerning \catcode`\@=11 : See the TeXbook, Appendix B (page 344).
% \afterheading suppresses indentation once, c.f. latex.ltx.
% \display{something} displays something as a displayed equation except
% that linebreaking is possible and displaymath is not turned on by default.
% The first paragraph after \display{something} is unindented.
% Glue below formulas may be wrong. The definition of \display misses
% something like \addvspace{\belowdisplayskip}.
\catcode`\@=11
\def\afterheading{\@afterheading}
\catcode`\@=12
\newcommand{\display}[1]{\begin{list}{}{\setlength{\leftmargin}{\mathindent}}
\item #1\end{list}
\afterheading}
\newcommand{\statement}[1]{\begin{list}{}{\setlength{\leftmargin}{0mm}}
\item #1\end{list}
\afterheading}

\begin {document}

\floatplacement{figure}{h!}
\floatplacement{table}{h!}
\hyphenation{her-ud-over ek-si-stens-va-ri-ab-le an-dre dob-belt-im-pli-ka-ti-on ob-jekt-kvan-tor de-fi-ni-tions-lem-ma ens-be-tyd-en-de 
und-er-af-snit slut-ning-en inde-hol-der for-klar-ing-en si-de-be-ting-el-sen
des-uden be-vis-check-er-en}


%\title {}}
%\author {}
%\date{}
%\maketitle



\raggedright

(*** MAKROER BEGYNDER ***)

\section{Makrodefinitioner} \label{sec:makro}

Dette afsnit indeholder d\'{e} makrodefinitioner, som vi vil g\o{}re brug af i resten af rapporten. Definitionerne  drejer sig for det meste om m\ae{}ngdeteoretiske begreber, f.eks.\ ``\ae{}kvivalensklasse'' og ``partition''. Til sidst i afsnittet formulerer vi hovedresultatet --- at der til enhver \ae{}kvivalensrelation svarer en partition --- som et formelt teorem.

\subsection{Konnektiver} \label{sec:konnektiver}

Ud fra de to basale konnektiver $[\dot{\neg}\, 
\mathsf{x}]$ og $[
\mathsf{x}
\Rightarrow 
\mathsf{y}]$ definerer vi konjunktion, disjunktion og dobbeltimplikation:

\display{$
[
\mathsf{x}
\mathrel{\dot{\wedge}} 
\mathsf{y}
\stackrel{
\mathrm {macro}
}{\rightarrow}
\lambda 
\mathsf {t}
.
\lambda 
\mathsf {s}
.
\lambda 
\mathsf {c}
.
\tilde {{\cal M}}_4(
\mathsf {t}
,
\mathsf {s}
,
\mathsf {c}
,
\lceil 
[
\mathsf{x}
\mathrel{\dot{\wedge}} 
\mathsf{y}
\mathrel {\ddot {=}}\dot{\neg}\, 
(
\mathsf{x}
\Rightarrow \dot{\neg}\, 
\mathsf{y}
)
]
\rceil 
)
]$

$
[
\mathsf{x}
 \mathrel{\dot{\vee}} 
\mathsf{y}
\stackrel{
\mathrm {macro}
}{\rightarrow}
\lambda 
\mathsf {t}
.
\lambda 
\mathsf {s}
.
\lambda 
\mathsf {c}
.
\tilde {{\cal M}}_4(
\mathsf {t}
,
\mathsf {s}
,
\mathsf {c}
,
\lceil 
[
\mathsf{x}
 \mathrel{\dot{\vee}} 
\mathsf{y}
\mathrel {\ddot {=}}\dot{\neg}\, 
\mathsf{x}
\Rightarrow 
\mathsf{y}
]
\rceil 
)
]$

$
[
\mathsf{x}
\mathrel{\dot{\Leftrightarrow}} 
\mathsf{y}
\stackrel{
\mathrm {macro}
}{\rightarrow}
\lambda 
\mathsf {t}
.
\lambda 
\mathsf {s}
.
\lambda 
\mathsf {c}
.
\tilde {{\cal M}}_4(
\mathsf {t}
,
\mathsf {s}
,
\mathsf {c}
,
\lceil 
[
\mathsf{x}
\mathrel{\dot{\Leftrightarrow}} 
\mathsf{y}
\mathrel {\ddot {=}}
(
\mathsf{x}
\Rightarrow 
\mathsf{y}
)
\mathrel{\dot{\wedge}} 
(
\mathsf{y}
\Rightarrow 
\mathsf{x}
)
]
\rceil 
)
]$
}

\subsection{Negerede formler}

Det er ganske enkelt at definere negeret lighed ($\dot{\neg}\, 
\mathsf{x}
\!\mathrel{==}\! 
\mathsf{y}$) og negeret medlemskab ($\dot{\neg}\, 
\mathsf{x}
 \mathrel{\in} 
\mathsf{y}$):

\display{
$
[
\mathsf{x}
 \mathrel{\neq} 
\mathsf{y}
\stackrel{
\mathrm {macro}
}{\rightarrow}
\lambda 
\mathsf {t}
.
\lambda 
\mathsf {s}
.
\lambda 
\mathsf {c}
.
\tilde {{\cal M}}_4(
\mathsf {t}
,
\mathsf {s}
,
\mathsf {c}
,
\lceil 
[
\mathsf{x}
 \mathrel{\neq} 
\mathsf{y}
\mathrel {\ddot {=}}\dot{\neg}\, 
\mathsf{x}
\!\mathrel{==}\! 
\mathsf{y}
]
\rceil 
)
]$

$
[
\mathsf{x}
 \mathrel{\notin} 
\mathsf{y}
\stackrel{
\mathrm {macro}
}{\rightarrow}
\lambda 
\mathsf {t}
.
\lambda 
\mathsf {s}
.
\lambda 
\mathsf {c}
.
\tilde {{\cal M}}_4(
\mathsf {t}
,
\mathsf {s}
,
\mathsf {c}
,
\lceil 
[
\mathsf{x}
 \mathrel{\notin} 
\mathsf{y}
\mathrel {\ddot {=}}\dot{\neg}\, 
\mathsf{x}
 \mathrel{\in} 
\mathsf{y}
]
\rceil 
)
]$\footnote{H\o{}jresiderne i disse definitioner skal l\ae{}ses som hhv.\ $[\dot{\neg}\, 
\mathsf{x}
\!\mathrel{==}\! 
\mathsf{y}]$ og $[\dot{\neg}\, 
\mathsf{x}
 \mathrel{\in} 
\mathsf{y}]$.}
}

\subsection{Delm\ae{}ngde} \label{sec:subset}

M\ae{}ngden $
\mathsf{x}$ er en delm\ae{}ngde af $
\mathsf{y}$ hviss ethvert medlem af $
\mathsf{x}$ ogs\aa{} tilh\o{}rer $
\mathsf{y}$:

\display{
$
[
\mathsf{x}
 \mathrel{\subseteq} 
\mathsf{y}
\stackrel{
\mathrm {macro}
}{\rightarrow}
\lambda 
\mathsf {t}
.
\lambda 
\mathsf {s}
.
\lambda 
\mathsf {c}
.
\tilde {{\cal M}}_4(
\mathsf {t}
,
\mathsf {s}
,
\mathsf {c}
,
\lceil 
[
\mathsf{x}
 \mathrel{\subseteq} 
\mathsf{y}
\mathrel {\ddot {=}}
(
\mathit{s}
 \mathrel{\in} 
\mathsf{x}
\Rightarrow 
\mathit{s}
 \mathrel{\in} 
\mathsf{y}
)
]
\rceil 
)
]$ 
}

\subsection{Singleton-m\ae{}ngde} \label{sec:single}

$[\{
\mathsf{x}
,
\mathsf{x}
\}]$ er m\ae{}ngden, der indeholder $
\mathsf{x}$ som sit eneste 
element. Vi definerer $[\{
\mathsf{x}
,
\mathsf{x}
\}]$ ved at parre $
\mathsf{x}$ med sig selv: 

\display{$
[\{
\mathsf{x}
\}
\stackrel{
\mathrm {macro}
}{\rightarrow}
\lambda 
\mathsf {t}
.
\lambda 
\mathsf {s}
.
\lambda 
\mathsf {c}
.
\tilde {{\cal M}}_4(
\mathsf {t}
,
\mathsf {s}
,
\mathsf {c}
,
\lceil 
[\{
\mathsf{x}
\}
\mathrel {\ddot {=}}\{
\mathsf{x}
,
\mathsf{x}
\}
]
\rceil 
)
]$}

\subsection{Bin\ae{}r foreningsm\ae{}ngde og f\ae{}llesm\ae{}ngde}
\label{sec:makrobin}

Vi definerer foreningsm\ae{}ngden mellem to m\ae{}ngder $
\mathsf{x}$ og $
\mathsf{y}$ som f\o{}lger:

\display{
$
[
\mathsf{x}
 \mathrel{\cup} 
\mathsf{y}
\stackrel{
\mathrm {macro}
}{\rightarrow}
\lambda 
\mathsf {t}
.
\lambda 
\mathsf {s}
.
\lambda 
\mathsf {c}
.
\tilde {{\cal M}}_4(
\mathsf {t}
,
\mathsf {s}
,
\mathsf {c}
,
\lceil 
[
\mathsf{x}
 \mathrel{\cup} 
\mathsf{y}
\mathrel {\ddot {=}}\cup \{\{
\mathsf{x}
\}
,\{
\mathsf{y}
\}
\}
]
\rceil 
)
]$
}

F\ae{}llesm\ae{}ngden mellem to m\ae{}ngder $
\mathsf{x}$ og $
\mathsf{y}$ er en delm\ae{}ngde af deres foreningsm\ae{}ngde:

\verb| |

\display{
$
[
\mathsf{x}
 \cap 
\mathsf{y}
\stackrel{
\mathrm {macro}
}{\rightarrow}
\lambda 
\mathsf {t}
.
\lambda 
\mathsf {s}
.
\lambda 
\mathsf {c}
.
\tilde {{\cal M}}_4(
\mathsf {t}
,
\mathsf {s}
,
\mathsf {c}
,
\lceil 
[
\mathsf{x}
 \cap 
\mathsf{y}
\mathrel {\ddot {=}} \{ ph \mathrel{\in} 
\mathsf{x}
 \mathrel{\cup} 
\mathsf{y}
\mid ph_{3}
 \mathrel{\in} 
\mathsf{x}
\mathrel{\dot{\wedge}} ph_{3}
 \mathrel{\in} 
\mathsf{y}
\}
]
\rceil 
)
]$
}

\subsection{Relation} \label{sec:relation}

Det ordnede par $\{\{
\mathsf{x}
,
\mathsf{x}
\}
,\{
\mathsf{x}
,
\mathsf{y}
\}
\}$ indeholder $
\mathsf{x}$ som ``f\o{}rstekomponent'' og $
\mathsf{y}$ som ``andenkomponent''. Den f\o{}lgende definition af $\{\{
\mathsf{x}
,
\mathsf{x}
\}
,\{
\mathsf{x}
,
\mathsf{y}
\}
\}$ er den mest udbredte i litteraturen (se f.eks.\ afsnit 4.3 i \cite{kn:gold} og afsnit 2.1 i \cite{kn:hrba}):

\verb| |

\display{$
[\langle 
\mathsf{x}
,
\mathsf{y}
\rangle
\stackrel{
\mathrm {macro}
}{\rightarrow}
\lambda 
\mathsf {t}
.
\lambda 
\mathsf {s}
.
\lambda 
\mathsf {c}
.
\tilde {{\cal M}}_4(
\mathsf {t}
,
\mathsf {s}
,
\mathsf {c}
,
\lceil 
[\langle 
\mathsf{x}
,
\mathsf{y}
\rangle
\mathrel {\ddot {=}}\{\{
\mathsf{x}
\}
,\{
\mathsf{x}
,
\mathsf{y}
\}
\}
]
\rceil 
)
]$}

Vi kan nu definere en ``relation'' som en m\ae{}ngde af ordnede par. Vi udtrykker denne definition ved at formalisere, hvad det vil sige, at $
\mathsf{x}$ er relateret til $
\mathsf{y}$ i kraft af relationen $
\mathsf {r}$:

\verb| |

\display{$
[
\mathsf {r}
(
\mathsf{x}
,
\mathsf{y}
)
\stackrel{
\mathrm {macro}
}{\rightarrow}
\lambda 
\mathsf {t}
.
\lambda 
\mathsf {s}
.
\lambda 
\mathsf {c}
.
\tilde {{\cal M}}_4(
\mathsf {t}
,
\mathsf {s}
,
\mathsf {c}
,
\lceil 
[
\mathsf {r}
(
\mathsf{x}
,
\mathsf{y}
)
\mathrel {\ddot {=}}\langle 
\mathsf{x}
,
\mathsf{y}
\rangle
 \mathrel{\in} 
\mathsf {r}
]
\rceil 
)
]$}

Vi kommer faktisk ikke til at bruge disse to definitioner i rapporten; beviserne vil behandle $[\{\{
\mathsf{x}
,
\mathsf{x}
\}
,\{
\mathsf{x}
,
\mathsf{y}
\}
\}
 \mathrel{\in} 
\mathsf {r}]$ som en primitiv konstruktion. Men det er alligevel betryggende at have det formelle grundlag for relationsbegrebet p\aa{} plads.

\newpage 

\subsection{\AE{}kvivalensrelation} \label{sec:eqrel}

At en relation er refleksiv p\aa{} en m\ae{}ngde $
\mathsf{x}$ vil sige, at alle elementer i $
\mathsf{x}$ er relateret til sig selv:

\display{$
[ReflRel(
\mathsf {r}
,
\mathsf{x}
)
\stackrel{
\mathrm {macro}
}{\rightarrow}
\lambda 
\mathsf {t}
.
\lambda 
\mathsf {s}
.
\lambda 
\mathsf {c}
.
\tilde {{\cal M}}_4(
\mathsf {t}
,
\mathsf {s}
,
\mathsf {c}
,
\lceil 
[ReflRel(
\mathsf {r}
,
\mathsf{x}
)
\mathrel {\ddot {=}}
\forall 
\mathit{s}
\colon 
(
\mathit{s}
 \mathrel{\in} 
\mathsf{x}
\Rightarrow 
\mathsf {r}
(
\mathit{s}
,
\mathit{s}
)
)
]
\rceil 
)
]$}

At en relation er symmetrisk p\aa{} en m\ae{}ngde $
\mathsf{x}$ vil sige, at alle elementer i $
\mathsf{x}$ opfylder den f\o{}lgende implikation:

\verb| | 

\display{$
[SymRel(
\mathsf {r}
,
\mathsf{x}
)
\stackrel{
\mathrm {macro}
}{\rightarrow}
\lambda 
\mathsf {t}
.
\lambda 
\mathsf {s}
.
\lambda 
\mathsf {c}
.
\tilde {{\cal M}}_4(
\mathsf {t}
,
\mathsf {s}
,
\mathsf {c}
,
\lceil 
[SymRel(
\mathsf {r}
,
\mathsf{x}
)
\mathrel {\ddot {=}}
\forall 
\mathit{s}
,\linebreak [0] 
\mathit{t}
\colon 
(
\mathit{s}
 \mathrel{\in} 
\mathsf{x}
\Rightarrow 
\mathit{t}
 \mathrel{\in} 
\mathsf{x}
\Rightarrow 
\mathsf {r}
(
\mathit{s}
,
\mathit{t}
)
\Rightarrow 
\mathsf {r}
(
\mathit{t}
,
\mathit{s}
)
)
]
\rceil 
)
]$}

At en relation er transitiv p\aa{} en m\ae{}ngde $
\mathsf{x}$ vil sige, at alle elementer i $
\mathsf{x}$ opfylder den f\o{}lgende implikation:

\verb| | 

\display{$
[TransRel(
\mathsf {r}
,
\mathsf{x}
)
\stackrel{
\mathrm {macro}
}{\rightarrow}
\lambda 
\mathsf {t}
.
\lambda 
\mathsf {s}
.
\lambda 
\mathsf {c}
.
\tilde {{\cal M}}_4(
\mathsf {t}
,
\mathsf {s}
,
\mathsf {c}
,
\lceil 
[TransRel(
\mathsf {r}
,
\mathsf{x}
)
\mathrel {\ddot {=}}
\newline 
\forall 
\mathit{s}
,\linebreak [0] 
\mathit{t}
,\linebreak [0] 
\mathit{u}
\colon 
(
\mathit{s}
 \mathrel{\in} 
\mathsf{x}
\Rightarrow 
\mathit{t}
 \mathrel{\in} 
\mathsf{x}
\Rightarrow 
\mathit{u}
 \mathrel{\in} 
\mathsf{x}
\Rightarrow 
\mathsf {r}
(
\mathit{s}
,
\mathit{t}
)
\Rightarrow 
\mathsf {r}
(
\mathit{t}
,
\mathit{u}
)
\Rightarrow 
\mathsf {r}
(
\mathit{s}
,
\mathit{u}
)
)
]
\rceil 
)
]$}

Endelig er en \ae{}kvivalensrelation det samme som en relation, der er refleksiv, symmetrisk og transitiv:

\verb| | 

\display{$
[EqRel(
\mathsf {r}
,
\mathsf{x}
)
\stackrel{
\mathrm {macro}
}{\rightarrow}
\lambda 
\mathsf {t}
.
\lambda 
\mathsf {s}
.
\lambda 
\mathsf {c}
.
\tilde {{\cal M}}_4(
\mathsf {t}
,
\mathsf {s}
,
\mathsf {c}
,
\lceil 
[EqRel(
\mathsf {r}
,
\mathsf{x}
)
\mathrel {\ddot {=}}ReflRel(
\mathsf {r}
,
\mathsf{x}
)
\mathrel{\dot{\wedge}} SymRel(
\mathsf {r}
,
\mathsf{x}
)
\mathrel{\dot{\wedge}} TransRel(
\mathsf {r}
,
\mathsf{x}
)
]
\rceil 
)
]$}

\subsection{M\ae{}ngde-variable}

Mange af rapportens beviser sker i forhold til en uspecificeret m\ae{}ngde. Vi vil referere til denne m\ae{}ngde med metavariablen $\underline{\mathsf {bs}}$ og objektvariablen $\overline{\mathsf {bs}}$:

\display{
$
[{\cal BS}
\stackrel{
\mathrm {macro}
}{\rightarrow}
\lambda 
\mathsf {t}
.
\lambda 
\mathsf {s}
.
\lambda 
\mathsf {c}
.
\tilde {{\cal M}}_4(
\mathsf {t}
,
\mathsf {s}
,
\mathsf {c}
,
\lceil 
[{\cal BS}
\mathrel {\ddot {=}}\underline{\mathsf {bs}}
]
\rceil 
)
]$

$
[ \mathsf {OBS}
\stackrel{
\mathrm {macro}
}{\rightarrow}
\lambda 
\mathsf {t}
.
\lambda 
\mathsf {s}
.
\lambda 
\mathsf {c}
.
\tilde {{\cal M}}_4(
\mathsf {t}
,
\mathsf {s}
,
\mathsf {c}
,
\lceil 
[ \mathsf {OBS}
\mathrel {\ddot {=}}\overline{\mathsf {bs}}
]
\rceil 
)
]$\footnote{Navnene ``$\underline{\mathsf {bs}}$'' og  ``$\overline{\mathsf {bs}}$'' st\aa{}r for hhv.\ for ``big set'' og ``object big set''. Konstruktionerne $[\underline{
\mathsf{x}}]$ og $[\overline{
\mathsf{x}}]$ omdanner $
\mathsf{x}$ til hhv.\ en meta- og en objektvariabel. Variablen $[\mathsf {bs}]$ vil ogs\aa{} blive brugt i nogle af de kommende definitioner, men ikke i selve beviserne.} 
}

\noindent Vi vil s\aa{} vidt muligt bruge metavariablen, men i afsnit \ref{sec:sameinter} og senere bliver det n\o{}dvendigt at g\aa{} over til objektvariablen.

\verb| | 

\subsection{\AE{}kvivalensklasse} \label{sec:eqclass}

Lad $
\mathsf {r}$ v\ae{}re en \ae{}kvivalensrelation defineret p\aa{} $\mathsf {bs}$, og lad $
\mathsf{x}$ v\ae{}re et medlem af $\mathsf {bs}$. Vi definerer \ae{}kvivalensklassen $ \{ ph \mathrel{\in} \mathsf {bs}
\mid \{\{ph_{1}
,ph_{1}
\}
,\{ph_{1}
,
\mathsf{x}
\}
\}
 \mathrel{\in} 
\mathsf {r}
\}$ som den delm\ae{}ngde af $\mathsf {bs}$, hvis medlemmer st\aa{}r i forhold til $
\mathsf{x}$:

\display{
$
[[
\mathsf{x}
 \mathrel{\in} \mathsf {bs}
]_{
\mathsf {r}
}
\stackrel{
\mathrm {macro}
}{\rightarrow}
\lambda 
\mathsf {t}
.
\lambda 
\mathsf {s}
.
\lambda 
\mathsf {c}
.
\tilde {{\cal M}}_4(
\mathsf {t}
,
\mathsf {s}
,
\mathsf {c}
,
\lceil 
[[
\mathsf{x}
 \mathrel{\in} \mathsf {bs}
]_{
\mathsf {r}
}
\mathrel {\ddot {=}} \{ ph \mathrel{\in} \mathsf {bs}
\mid 
\mathsf {r}
(ph_{1}
,
\mathsf{x}
)
\}
]
\rceil 
)
]$
}

\AE{}kvivalenssystemet $ \{ ph \mathrel{\in} P(\mathsf {bs}
)
\mid \dot{\neg}\, 
\mathsf {t}
 _{Ex}
 \mathrel{\in} \mathsf {bs}
\Rightarrow \dot{\neg}\,  \{ ph \mathrel{\in} \mathsf {bs}
\mid \{\{ph_{1}
,ph_{1}
\}
,\{ph_{1}
,
\mathsf {t}
 _{Ex}
\}
\}
 \mathrel{\in} 
\mathsf {r}
\}
\!\mathrel{==}\! ph_{2}
\}$  er m\ae{}ngden af alle de \ae{}kvivalensklasser, som $\mathsf {bs}$ definerer p\aa{} $
\mathsf {r}$. Vi definerer $ \{ ph \mathrel{\in} P(\mathsf {bs}
)
\mid \dot{\neg}\, 
\mathsf {t}
 _{Ex}
 \mathrel{\in} \mathsf {bs}
\Rightarrow \dot{\neg}\,  \{ ph \mathrel{\in} \mathsf {bs}
\mid \{\{ph_{1}
,ph_{1}
\}
,\{ph_{1}
,
\mathsf {t}
 _{Ex}
\}
\}
 \mathrel{\in} 
\mathsf {r}
\}
\!\mathrel{==}\! ph_{2}
\}$ som en delm\ae{}ngde af potensm\ae{}ngden $P(\mathsf {bs}
)$:

\verb| | 

\display{
$
[\mathsf {bs}
 / 
\mathsf {r}
\stackrel{
\mathrm {macro}
}{\rightarrow}
\lambda 
\mathsf {t}
.
\lambda 
\mathsf {s}
.
\lambda 
\mathsf {c}
.
\tilde {{\cal M}}_4(
\mathsf {t}
,
\mathsf {s}
,
\mathsf {c}
,
\lceil 
[\mathsf {bs}
 / 
\mathsf {r}
\mathrel {\ddot {=}} \{ ph \mathrel{\in} P(\mathsf {bs}
)
\mid Ex_{20}
 \mathrel{\in} \mathsf {bs}
\mathrel{\dot{\wedge}} [Ex_{20}
 \mathrel{\in} \mathsf {bs}
]_{
\mathsf {r}
}
\!\mathrel{==}\! ph_{2}
\}
]
\rceil 
)
]$
}

\newpage
\subsection{Partition} \label{sec:partition}

En partition af en m\ae{}ngde $\mathsf {bs}$ er en m\ae{}ngde $
\mathsf {p}$, som opfylder tre krav:
%
\begin{enumerate}
\item Ingen af m\ae{}ngderne i $
\mathsf {p}$ er tomme.
\item Alle m\ae{}ngderne i $
\mathsf {p}$ er indbyrdes disjunkte.
\item Foreningsm\ae{}ngden af alle m\ae{}ngderne i $
\mathsf {p}$ er lig med $\mathsf {bs}$.
\end{enumerate}
%
Den formelle version af denne definition ser s\aa{}ledes ud:

\display{
$
[Partition(
\mathsf {p}
,\mathsf {bs}
)
\stackrel{
\mathrm {macro}
}{\rightarrow}
\lambda 
\mathsf {t}
.
\lambda 
\mathsf {s}
.
\lambda 
\mathsf {c}
.
\tilde {{\cal M}}_4(
\mathsf {t}
,
\mathsf {s}
,
\mathsf {c}
,
\lceil 
[Partition(
\mathsf {p}
,\mathsf {bs}
)
\mathrel {\ddot {=}}
(
\forall 
\mathit{s}
\colon 
(
\mathit{s}
 \mathrel{\in} 
\mathsf {p}
\Rightarrow 
\mathit{s}
 \mathrel{\neq} \mathrm{\O}
)
)
\mathrel{\dot{\wedge}} 
\newline 
(
\forall 
\mathit{s}
,\linebreak [0] 
\mathit{t}
\colon 
(
\mathit{s}
 \mathrel{\in} 
\mathsf {p}
\Rightarrow 
\mathit{t}
 \mathrel{\in} 
\mathsf {p}
\Rightarrow 
\mathit{s}
 \mathrel{\neq} 
\mathit{t}
\Rightarrow 
\mathit{s}
 \cap 
\mathit{t}
\!\mathrel{==}\! \mathrm{\O}
)
)
\mathrel{\dot{\wedge}} 
\newline \cup 
\mathsf {p}
\!\mathrel{==}\! \mathsf {bs}
]
\rceil 
)
]$
}

(*** MAKROER SLUTTER ***)


\section{Deduktionsreglen} \label{sec:deduktion}

Dette bilag pr\ae{}senterer d\'{e}n version af deduktionsreglen fra \cite{kn:check}, som jeg har gjort brug af. Underafsnit \ref{sec:motivering} forklarer, hvorfor jeg har \ae{}ndret p\aa{} den oprindelige regel, og underafsnit \ref{sec:kode} indeholder selve den \ae{}ndrede kode (som er skrevet i L). 

\subsection{Kode} \label{sec:kode}

Funktionen $[
\lambda 
\mathsf{x}
.
Dedu_0(
\lceil 
\mathsf {p}
\rceil 
,
\lceil 
\mathsf {c}
\rceil 
)]$ er en kopi af $[
\lambda 
\mathsf{x}
.
Ded_0(
\lceil 
\mathsf {p}
\rceil 
,
\lceil 
\mathsf {c}
\rceil 
)]$ fra \cite{kn:check}:

\begin{list}{}{
\setlength{\leftmargin}{0em}
\setlength{\itemindent}{0em}
\setlength{\itemsep}{1ex}}

\item $
[
Dedu(
\mathsf {p}
,
\mathsf {c}
)
\stackrel{
\mathrm {macro}
}{\rightarrow}
\lambda 
\mathsf {t}
.
\lambda 
\mathsf {s}
.
\lambda 
\mathsf {c}
.
\tilde {{\cal M}}_4(
\mathsf {t}
,
\mathsf {s}
,
\mathsf {c}
,
\lceil 
[
Dedu(
\mathsf {p}
,
\mathsf {c}
)
\mathrel {\ddot {=}}
\lambda 
\mathsf{x}
.
Dedu_0(
\lceil 
\mathsf {p}
\rceil 
,
\lceil 
\mathsf {c}
\rceil 
)
]
\rceil 
)
]$

% -- aendring begynder 

\item Jeg har \ae{}ndret funktionen $[
Ded_0(
\mathsf {p}
,
\mathsf {c}
)]$, s\aa{} den kalder $[Dedu_{s}(
Dedu_7(
\mathsf {p}
)
,
\mathsf {c}
,
\mathsf {T}
)]$ i stedet for $[
Ded_1(
Ded_7(
\mathsf {p}
)
,
\mathsf {c}
,
\mathsf {T}
)]$:

\item $
[
Dedu_0(
\mathsf {p}
,
\mathsf {c}
)
\stackrel{
\mathrm {val}
}{\rightarrow}
\mathsf {c}
!
\mathrm {If}(
Dedu_8(
\mathsf {p}
,
\mathsf {T}
)
,\linebreak [0]Dedu_{s}(
Dedu_7(
\mathsf {p}
)
,
\mathsf {c}
,
\mathsf {T}
)
,\linebreak [0]
\mathsf {F}
)
]$

\item Funktionen $[Dedu_{s}(
\mathsf {p}
,
\mathsf {c}
,
\mathsf {s}
)]$ giver straks kontrollen videre til $[
Ded_1(
\mathsf {p}
,
\mathsf {c}
,
\mathsf {s}
)]$ --- medmindre $
\mathsf {p}$ og $
\mathsf {c}$ begynder med et antal identiske sidebetingelser. I s\aa{} fald flyttes disse sidebetingelser fra $
\mathsf {p}$ og $
\mathsf {c}$ over til listen $
\mathsf {s}$, f\o{}r kontrollen g\aa{}r videre til $[
Ded_1(
\mathsf {p}
,
\mathsf {c}
,
\mathsf {s}
)]$:

\item $
[Dedu_{s}(
\mathsf {p}
,
\mathsf {c}
,
\mathsf {s}
)
\stackrel{
\mathrm {val}
}{\rightarrow}
\mathrm {If}(
\mathsf {p}
\stackrel{r}{=} 
\lceil 
\mathsf{x}
\mathrel {\makebox [0mm][l]{$\vdash $}\,{\vdash }} 
\mathsf{y}
\rceil 
,\linebreak [0]
\mathsf {c}
\stackrel{r}{=} 
\lceil 
\mathsf{x}
\mathrel {\makebox [0mm][l]{$\vdash $}\,{\vdash }} 
\mathsf{y}
\rceil 
\wedge 
\mathsf {p}
{}^{1}
\stackrel {t}{=}
\mathsf {c}
{}^{1}
\wedge Dedu_{s}(
\mathsf {p}
{}^{2}
,
\mathsf {c}
{}^{2}
,
\mathsf {c}
{}^{1}
\mathrel { : \, : }
\mathsf {s}
)
,\linebreak [0]
Dedu_1(
\mathsf {p}
,
\mathsf {c}
,
\mathsf {s}
)
)
]$
  
% -- aendring slutter 

\item Fra og med $[
Ded_1(
\mathsf {p}
,
\mathsf {c}
,
\mathsf {s}
)]$ er koden kopieret fra appendikset til \cite{kn:check}:

\item
$
[
Dedu_1(
\mathsf {p}
,
\mathsf {c}
,
\mathsf {s}
)
\stackrel{
\mathrm {val}
}{\rightarrow}
\mathrm {If}(
\mathsf {c}
\stackrel{r}{=} 
\lceil 
\mathsf{x}
\mathrel {\makebox [0mm][l]{$\vdash $}\,{\vdash }} 
\mathsf{y}
\rceil 
,\linebreak [0]
Dedu_1(
\mathsf {p}
,
\mathsf {c}
{}^{2}
,
\mathsf {c}
{}^{1}
\mathrel { : \, : }
\mathsf {s}
)
,\linebreak [0]
Dedu_2(
\mathsf {p}
,
\mathsf {c}
,
\mathsf {s}
)
)
]$

\item $
[
Dedu_2(
\mathsf {p}
,
\mathsf {c}
,
\mathsf {s}
)
\stackrel{
\mathrm {val}
}{\rightarrow}
\mathsf {s}
!
\mathsf {p}
\stackrel{r}{=} 
\lceil 
\mathsf{x}
\vdash 
\mathsf{y}
\rceil 
\wedge 
\mathsf {c}
\stackrel{r}{=} 
\lceil 
\mathsf{x}
\Rightarrow 
\mathsf{y}
\rceil 
\left\{\protect \begin {array}{l}
Dedu_3(
\mathsf {p}
{}^{1}
,
\mathsf {c}
{}^{1}
,
\mathsf {s}
,
\mathsf {T}
)
\wedge 
Dedu_2(
\mathsf {p}
{}^{2}
,
\mathsf {c}
{}^{2}
,
\mathsf {s}
)
\\
Dedu_4(
\mathsf {p}
,
\mathsf {c}
,
\mathsf {s}
,
Dedu_6(
\mathsf {p}
,
\mathsf {c}
,
\mathsf {T}
,
\mathsf {T}
)
)
\protect \end {array}\right.
]$

\item $
[
Dedu_3(
\mathsf {p}
,
\mathsf {c}
,
\mathsf {s}
,
\mathsf {b}
)
\stackrel{
\mathrm {val}
}{\rightarrow}
\mathrm {If}(
{\neg }
\mathsf {c}
\stackrel{r}{=} 
\lceil 
\forall_{obj} 
\mathsf{x}
\colon 
\mathsf{y}
\rceil 
,\linebreak [0]
Dedu_4(
\mathsf {p}
,
\mathsf {c}
,
\mathsf {s}
,
\mathsf {b}
)
,\linebreak [0]
\mathrm {If}(
\mathsf {p}
\stackrel{r}{=} 
\lceil 
\forall_{obj} 
\mathsf{x}
\colon 
\mathsf{y}
\rceil 
\wedge 
\mathsf {p}
{}^{1}
\stackrel {t}{=}
\mathsf {c}
{}^{1}
,\linebreak [0]
Dedu_4(
\mathsf {p}
,
\mathsf {c}
,
\mathsf {s}
,
\mathsf {b}
)
,\linebreak [0]
Dedu_3(
\mathsf {p}
,
\mathsf {c}
{}^{2}
,
\mathsf {s}
,
\mathsf {c}
{}^{1}
\mathrel { : \, : }
\mathsf {c}
{}^{1}
\mathrel { : \, : }
\mathsf {b}
)
)
)
]$ 

\item $
[
Dedu_4(
\mathsf {p}
,
\mathsf {c}
,
\mathsf {s}
,
\mathsf {b}
)
\stackrel{
\mathrm {val}
}{\rightarrow}
\mathsf {s}
!
\mathsf {b}
!
\mathrm {If}(
\mathsf {p}
\stackrel{r}{=} 
\lceil \overline{
\mathsf{x}}
\rceil 
,\linebreak [0]
\mathbf {lookup}(
\mathsf {p}
,
\mathsf {b}
,
\mathsf {T}
)
\stackrel {t}{=}
\mathsf {c}
,\linebreak [0]
\mathrm {If}(
{\neg }
\mathsf {p}
\stackrel{r}{=} 
\mathsf {c}
,\linebreak [0]
\mathsf {F}
,\linebreak [0]
\mathrm {If}(
\mathsf {p}
\stackrel{r}{=} 
\lceil 
\forall_{obj} 
\mathsf{x}
\colon 
\mathsf{y}
\rceil 
,\linebreak [0]
\mathsf {p}
{}^{1}
\stackrel {t}{=}
\mathsf {c}
{}^{1}
\wedge 
Dedu_4(
\mathsf {p}
{}^{2}
,
\mathsf {c}
{}^{2}
,
\mathsf {s}
,
\mathsf {p}
{}^{1}
\mathrel { : \, : }
\mathsf {p}
{}^{1}
\mathrel { : \, : }
\mathsf {b}
)
,\linebreak [0]
\mathrm {If}(
{\neg }
\mathsf {p}
\stackrel{r}{=} 
\lceil \underline{
\mathsf{x}}
\rceil 
,\linebreak [0]
Dedu_4^*(
\mathsf {p}
{}^t
,
\mathsf {c}
{}^t
,
\mathsf {s}
,
\mathsf {b}
)
,\linebreak [0]
\mathsf {p}
{}^{1}
\stackrel {t}{=}
\mathsf {c}
{}^{1}
\wedge 
Dedu_5(
\mathsf {p}
,
\mathsf {s}
,
\mathsf {b}
)
)
)
)
)
]$

\item $
[
Dedu_4^*(
\mathsf {p}
,
\mathsf {c}
,
\mathsf {s}
,
\mathsf {b}
)
\stackrel{
\mathrm {val}
}{\rightarrow}
\mathsf {c}
!
\mathsf {s}
!
\mathsf {b}
!
\mathrm {If}(
\mathsf {p}
,\linebreak [0]
\mathsf {T}
,\linebreak [0]
Dedu_4(
\mathsf {p}
{}^h
,
\mathsf {c}
{}^h
,
\mathsf {s}
,
\mathsf {b}
)
\wedge 
Dedu_4^*(
\mathsf {p}
{}^t
,
\mathsf {c}
{}^t
,
\mathsf {s}
,
\mathsf {b}
)
)
]$

\item $
[
Dedu_5(
\mathsf {p}
,
\mathsf {s}
,
\mathsf {b}
)
\stackrel{
\mathrm {val}
}{\rightarrow}
\mathsf {p}
!
\mathsf {s}
!
\mathrm {If}(
\mathsf {b}
,\linebreak [0]
\mathsf {T}
,\linebreak [0]
\lceil 
\lceil 
\mathsf{x}
\rceil 
\#^0
\lceil 
\mathsf{y}
\rceil 
\rceil 
{}^h
\mathrel { : \, : }
\lceil 
\lceil 
\ast 
\rceil 
\rceil 
{}^h
\mathrel { : \, : }
\mathsf {b}
{}^h
{}^h
\mathrel { : \, : }
\mathsf {T}
\mathrel { : \, : }
\lceil 
\lceil 
\mathsf{x}
\rceil 
\rceil 
{}^h
\mathrel { : \, : }
\mathsf {p}
\mathrel { : \, : }
\mathsf {T}
\mathrel { : \, : }
\mathsf {T}
\in_t 
\mathsf {s}
\wedge 
Dedu_5(
\mathsf {p}
,
\mathsf {s}
,
\mathsf {b}
{}^t
)
)
]$

\item $
[
Dedu_6(
\mathsf {p}
,
\mathsf {c}
,
\mathsf {e}
,
\mathsf {b}
)
\stackrel{
\mathrm {val}
}{\rightarrow}
\mathsf {p}
!
\mathsf {c}
!
\mathsf {b}
!
\mathsf {e}
!
\mathrm {If}(
\mathsf {p}
\stackrel{r}{=} 
\lceil \overline{
\mathsf{x}}
\rceil 
,\linebreak [0]
\mathsf {p}
\in_t 
\mathsf {e}
\left\{\protect \begin {array}{l}
\mathsf {b}
\\
\mathsf {p}
\mathrel { : \, : }
\mathsf {c}
\mathrel { : \, : }
\mathsf {b}
\protect \end {array}\right.
,\linebreak [0]
\mathrm {If}(
{\neg }
\mathsf {p}
\stackrel{r}{=} 
\mathsf {c}
,\linebreak [0]
\mathsf {T}
,\linebreak [0]
\mathrm {If}(
\mathsf {p}
\stackrel{r}{=} 
\lceil \underline{
\mathsf {a}}
\rceil 
,\linebreak [0]
\mathsf {b}
,\linebreak [0]
\mathrm {If}(
\mathsf {p}
\stackrel{r}{=} 
\lceil 
\forall_{obj} 
\mathsf{x}
\colon 
\mathsf{y}
\rceil 
,\linebreak [0]
Dedu_6(
\mathsf {p}
{}^{2}
,
\mathsf {c}
{}^{2}
,
\mathsf {c}
{}^{1}
\mathrel { : \, : }
\mathsf {e}
,
\mathsf {b}
)
,\linebreak [0]
Dedu_6^*(
\mathsf {p}
{}^t
,
\mathsf {c}
{}^t
,
\mathsf {e}
,
\mathsf {b}
)
)
)
)
)
]$

\item $
[
Dedu_6^*(
\mathsf {p}
,
\mathsf {c}
,
\mathsf {e}
,
\mathsf {b}
)
\stackrel{
\mathrm {val}
}{\rightarrow}
\mathsf {p}
!
\mathsf {c}
!
\mathsf {b}
!
\mathsf {e}
!
\mathrm {If}(
\mathsf {p}
,\linebreak [0]
\mathsf {b}
,\linebreak [0]
Dedu_6^*(
\mathsf {p}
{}^t
,
\mathsf {c}
{}^t
,
\mathsf {e}
,
Dedu_6(
\mathsf {p}
{}^h
,
\mathsf {c}
{}^h
,
\mathsf {e}
,
\mathsf {b}
)
)
)
]$

\item $
[
Dedu_7(
\mathsf {p}
)
\stackrel{
\mathrm {val}
}{\rightarrow}
\mathsf {p}
\stackrel{r}{=} 
\lceil 
\forall 
\mathsf{x}
\colon 
\mathsf{y}
\rceil 
\left\{\protect \begin {array}{l}
Dedu_7(
\mathsf {p}
{}^{2}
)
\\
\mathsf {p}
\protect \end {array}\right.
]$

\item $
[
Dedu_8(
\mathsf {p}
,
\mathsf {b}
)
\stackrel{
\mathrm {val}
}{\rightarrow}
\mathrm {If}(
\mathsf {p}
\stackrel{r}{=} 
\lceil 
\forall 
\mathsf{x}
\colon 
\mathsf{y}
\rceil 
,\linebreak [0]
Dedu_8(
\mathsf {p}
{}^{2}
,
\mathsf {p}
{}^{1}
\mathrel { : \, : }
\mathsf {b}
)
,\linebreak [0]
\mathrm {If}(
\mathsf {p}
\stackrel{r}{=} 
\lceil \underline{
\mathsf {a}}
\rceil 
,\linebreak [0]
\mathsf {p}
\in_t 
\mathsf {b}
,\linebreak [0]
Dedu_8^*(
\mathsf {p}
{}^t
,
\mathsf {b}
)
)
)
]$

\item $
[
Dedu_8^*(
\mathsf {p}
,
\mathsf {b}
)
\stackrel{
\mathrm {val}
}{\rightarrow}
\mathsf {b}
!
\mathrm {If}(
\mathsf {p}
,\linebreak [0]
\mathsf {T}
,\linebreak [0]
\mathrm {If}(
Dedu_8(
\mathsf {p}
{}^h
,
\mathsf {b}
)
,\linebreak [0]
Dedu_8^*(
\mathsf {p}
{}^t
,
\mathsf {b}
)
,\linebreak [0]
\mathsf {F}
)
)
]$

\end{list}

(*** EKSISTENS-VARIABLE ***)

\display{$
[
\mathsf{x}
 ^{Ex}
\stackrel{
\mathrm {val}
}{\rightarrow}
\mathsf{x}
\stackrel{r}{=} 
\lceil 
\mathsf{x}
 _{Ex}
\rceil 
]$
}

\noindent Vi kan da definere de fire eksistens-variable, som denne rapport vil g\o{}re brug af (jvf.\ bilag \ref{sec:variable}): 

\verb| | 

\display{
$
[Ex_{1}
\stackrel{
\mathrm {macro}
}{\rightarrow}
\lambda 
\mathsf {t}
.
\lambda 
\mathsf {s}
.
\lambda 
\mathsf {c}
.
\tilde {{\cal M}}_4(
\mathsf {t}
,
\mathsf {s}
,
\mathsf {c}
,
\lceil 
[Ex_{1}
\mathrel {\ddot {=}}
\mathsf {a}
 _{Ex}
]
\rceil 
)
]$
}

$
[Ex_{2}
\stackrel{
\mathrm {macro}
}{\rightarrow}
\lambda 
\mathsf {t}
.
\lambda 
\mathsf {s}
.
\lambda 
\mathsf {c}
.
\tilde {{\cal M}}_4(
\mathsf {t}
,
\mathsf {s}
,
\mathsf {c}
,
\lceil 
[Ex_{2}
\mathrel {\ddot {=}}
\mathsf {b}
 _{Ex}
]
\rceil 
)
]$

$
[Ex_{10}
\stackrel{
\mathrm {macro}
}{\rightarrow}
\lambda 
\mathsf {t}
.
\lambda 
\mathsf {s}
.
\lambda 
\mathsf {c}
.
\tilde {{\cal M}}_4(
\mathsf {t}
,
\mathsf {s}
,
\mathsf {c}
,
\lceil 
[Ex_{10}
\mathrel {\ddot {=}}
\mathsf {j}
 _{Ex}
]
\rceil 
)
]$

$
[Ex_{20}
\stackrel{
\mathrm {macro}
}{\rightarrow}
\lambda 
\mathsf {t}
.
\lambda 
\mathsf {s}
.
\lambda 
\mathsf {c}
.
\tilde {{\cal M}}_4(
\mathsf {t}
,
\mathsf {s}
,
\mathsf {c}
,
\lceil 
[Ex_{20}
\mathrel {\ddot {=}}
\mathsf {t}
 _{Ex}
]
\rceil 
)
]$

\begin{list}{}{
\setlength{\leftmargin}{0em}
\setlength{\itemindent}{0em}
\setlength{\itemsep}{1ex}}

\item  $
[\langle 
\mathsf {a}
{\equiv} 
\mathsf {b}
| 
\mathsf{x}
{:==} 
\mathsf {t}
\rangle_{Ex} 
\stackrel{
\mathrm {macro}
}{\rightarrow}
\lambda 
\mathsf {t}
.
\lambda 
\mathsf {s}
.
\lambda 
\mathsf {c}
.
\tilde {{\cal M}}_4(
\mathsf {t}
,
\mathsf {s}
,
\mathsf {c}
,
\lceil 
[\langle 
\mathsf {a}
{\equiv} 
\mathsf {b}
| 
\mathsf{x}
{:==} 
\mathsf {t}
\rangle_{Ex} 
\mathrel {\ddot {=}}\langle 
\lceil 
\mathsf {a}
\rceil 
{\equiv}^0 
\lceil 
\mathsf {b}
\rceil 
| 
\lceil 
\mathsf{x}
\rceil 
{:==} 
\lceil 
\mathsf {t}
\rceil 
\rangle_{Ex} 
]
\rceil 
)
]$

\item  $
[\langle 
\mathsf {a}
{\equiv}^0 
\mathsf {b}
| 
\mathsf{x}
{:==} 
\mathsf {t}
\rangle_{Ex} 
\stackrel{
\mathrm {val}
}{\rightarrow}
\lambda 
\mathsf {c}
.
\mathsf{x}
 ^{Ex}
\wedge \langle 
\mathsf {a}
{\equiv}^1 
\mathsf {b}
| 
\mathsf{x}
{:==} 
\mathsf {t}
\rangle_{Ex} 
]$

\item  $
[\langle 
\mathsf {a}
{\equiv}^1 
\mathsf {b}
| 
\mathsf{x}
{:==} 
\mathsf {t}
\rangle_{Ex} 
\stackrel{
\mathrm {val}
}{\rightarrow}
\mathsf {a}
!
\mathsf{x}
!
\mathsf {t}
!
\newline 
\mathrm {If}(
\mathsf {b}
\stackrel{r}{=} 
\lceil 
\forall_{obj} 
\mathsf {u}
\colon 
\mathsf {v}
\rceil 
,\linebreak [0]
\mathsf {F}
,\linebreak [0]
\newline 
\mathrm {If}(
\mathsf {b}
 ^{Ex}
\wedge 
\mathsf {b}
\stackrel {t}{=}
\mathsf{x}
,\linebreak [0]
\mathsf {a}
\stackrel {t}{=}
\mathsf {t}
,\linebreak [0]
\mathrm {If}(
\newline 
\mathsf {a}
\stackrel{r}{=} 
\mathsf {b}
,\linebreak [0]\langle 
\mathsf {a}
{}^t
{\equiv}^* 
\mathsf {b}
{}^t
| 
\mathsf{x}
{:==} 
\mathsf {t}
\rangle_{Ex} 
,\linebreak [0]
\mathsf {F}
)
)
)
]$

\item  $
[\langle 
\mathsf {a}
{\equiv}^* 
\mathsf {b}
| 
\mathsf{x}
{:==} 
\mathsf {t}
\rangle_{Ex} 
\stackrel{
\mathrm {val}
}{\rightarrow}
\mathsf {b}
!
\mathsf{x}
!
\mathsf {t}
!
\mathrm {If}(
\mathsf {a}
,\linebreak [0]
\mathsf {T}
,\linebreak [0]
\mathrm {If}(\langle 
\mathsf {a}
{}^h
{\equiv}^1 
\mathsf {b}
{}^h
| 
\mathsf{x}
{:==} 
\mathsf {t}
\rangle_{Ex} 
,\linebreak [0]\langle 
\mathsf {a}
{}^t
{\equiv}^* 
\mathsf {b}
{}^t
| 
\mathsf{x}
{:==} 
\mathsf {t}
\rangle_{Ex} 
,\linebreak [0]
\mathsf {F}
)
)
]$

\end{list}


(*** AKSIOMATISK SYSTEM ***)

$
[ZFsub
\stackrel{
stmt
}{\rightarrow}
\forall \underline{
\mathsf{x}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf{y}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf{z}}
\colon \underline{
\mathsf{x}}
*\underline{
\mathsf{y}}
*\underline{
\mathsf{z}}
 = \underline{
\mathsf{x}}
*\underline{
\mathsf{y}}
*\underline{
\mathsf{z}}
\mathrel {\oplus} 
\forall \underline{(fx)}
\colon 
\forall \underline{(fy)}
\colon R(\underline{(fx)}
)
 << R(\underline{(fy)}
)
\vdash \underline{(fx)}
<_{f}\underline{(fy)}
\mathrel {\oplus} 
\forall \underline{
\mathsf {m}}
\colon 
\forall \underline{(\epsilon)}
\colon 
\forall \underline{(fx)}
\colon 
\forall \underline{(fy)}
\colon \underline{(fx)}
<_{f}\underline{(fy)}
\vdash \dot{\neg}\, 0
 <= \underline{(\epsilon)}
\Rightarrow \dot{\neg}\, \dot{\neg}\, 0
 = \underline{(\epsilon)}
\vdash 
\mathsf {c}
 _{Ex}
 <= \underline{
\mathsf {m}}
\Rightarrow \underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
 <= \underline{(fy)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
+-\underline{(\epsilon)}
\mathrel {\oplus} 
\forall \underline{(rx)}
\colon 
\forall \underline{(ry)}
\colon 
\forall \underline{(rz)}
\colon \underline{(rx)}
 == \underline{(ry)}
\vdash \underline{(ry)}
 == \underline{(rz)}
\vdash \underline{(rx)}
 == \underline{(rz)}
\mathrel {\oplus} 
\forall \underline{
\mathsf{x}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf{y}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf{z}}
\colon \underline{
\mathsf{x}}
 <= \underline{
\mathsf{y}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf{y}}
 <= \underline{
\mathsf{z}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf{x}}
 <= \underline{
\mathsf{z}}
\mathrel {\oplus} 
\forall \underline{
\mathsf{x}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf {t}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf {a}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf {b}}
\colon \langle 
\lceil \underline{
\mathsf {a}}
\rceil 
{\equiv}^0 
\lceil \underline{
\mathsf {b}}
\rceil 
| 
\lceil \underline{
\mathsf{x}}
\rceil 
{:==} 
\lceil \underline{
\mathsf {t}}
\rceil 
\rangle_{Ex} 
\mathrel {\makebox [0mm][l]{$\vdash $}\,{\vdash }} \underline{
\mathsf {a}}
\vdash \underline{
\mathsf {b}}
\mathrel {\oplus} 
\forall \underline{
\mathsf {m}}
\colon 
\forall \underline{(\epsilon)}
\colon 
\forall \underline{(fx)}
\colon 
\forall \underline{(fy)}
\colon \dot{\neg}\, 0
 <= \underline{(\epsilon)}
\Rightarrow \dot{\neg}\, \dot{\neg}\, 0
 = \underline{(\epsilon)}
\Rightarrow 
\mathsf {c}
 _{Ex}
 <= \underline{
\mathsf {m}}
\Rightarrow \dot{\neg}\, if(0
 <= \underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
+-\underline{(fy)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
,\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
+-\underline{(fy)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
,-\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
+-\underline{(fy)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
)
 <= \underline{(\epsilon)}
\Rightarrow \dot{\neg}\, \dot{\neg}\, if(0
 <= \underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
+-\underline{(fy)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
,\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
+-\underline{(fy)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
,-\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
+-\underline{(fy)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
)
 = \underline{(\epsilon)}
\vdash SF(\underline{(fx)}
,\underline{(fy)}
)
\mathrel {\oplus} 
\forall \underline{
\mathsf{x}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf{y}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf{z}}
\colon \underline{
\mathsf{x}}
 = \underline{
\mathsf{y}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf{x}}
+\underline{
\mathsf{z}}
 = \underline{
\mathsf{y}}
+\underline{
\mathsf{z}}
\mathrel {\oplus} 
\forall \underline{
\mathsf{x}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf{y}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf{z}}
\colon \underline{
\mathsf{x}}
+\underline{
\mathsf{y}}
+\underline{
\mathsf{z}}
 = \underline{
\mathsf{x}}
+\underline{
\mathsf{y}}
+\underline{
\mathsf{z}}
\mathrel {\oplus} 
\forall \underline{
\mathsf {s}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf{x}}
\colon \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf {s}}
 \mathrel{\in} \cup \underline{
\mathsf{x}}
\Rightarrow \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf {s}}
 \mathrel{\in} 
\mathsf {j}
 _{Ex}
\Rightarrow \dot{\neg}\, 
\mathsf {j}
 _{Ex}
 \mathrel{\in} \underline{
\mathsf{x}}
\Rightarrow \dot{\neg}\, \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf {s}}
 \mathrel{\in} 
\mathsf {j}
 _{Ex}
\Rightarrow \dot{\neg}\, 
\mathsf {j}
 _{Ex}
 \mathrel{\in} \underline{
\mathsf{x}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {s}}
 \mathrel{\in} \cup \underline{
\mathsf{x}}
\mathrel {\oplus} 
\forall \underline{
\mathsf {m}}
\colon 
\forall \underline{(\epsilon)}
\colon 
\forall \underline{(fx)}
\colon 
\forall \underline{(fy)}
\colon 
\forall \underline{(rx)}
\colon 
\forall \underline{(ry)}
\colon \underline{(rx)}
 << \underline{(ry)}
\vdash \underline{(fx)}
 \mathrel{\in} \underline{(rx)}
\vdash \underline{(fy)}
 \mathrel{\in} \underline{(ry)}
\vdash \dot{\neg}\, 0
 <= \underline{(\epsilon)}
\Rightarrow \dot{\neg}\, \dot{\neg}\, 0
 = \underline{(\epsilon)}
\vdash 
\mathsf {a}
 _{Ex}
 <= \underline{
\mathsf {m}}
\Rightarrow \underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
 <= \underline{(fy)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
+-\underline{(\epsilon)}
\mathrel {\oplus} 
\forall \underline{
\mathsf {a}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf{x}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf{y}}
\colon \underline{
\mathsf {a}}
\vdash if(\underline{
\mathsf {a}}
,\underline{
\mathsf{x}}
,\underline{
\mathsf{y}}
)
 = \underline{
\mathsf{x}}
\mathrel {\oplus} 
\forall \underline{
\mathsf{x}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf {a}}
\colon \underline{
\mathsf {a}}
\vdash 
\forall_{obj} \underline{
\mathsf{x}}
\colon \underline{
\mathsf {a}}
\mathrel {\oplus} 
\forall \underline{
\mathsf {m}}
\colon 
\forall \underline{(fx)}
\colon -_{f}\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
 = -\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
\mathrel {\oplus} 
\forall \underline{(fx)}
\colon 
\forall \underline{(fy)}
\colon R(\underline{(fx)}
)
**R(\underline{(fy)}
)
 == R(\underline{(fx)}
*_{f}\underline{(fy)}
)
\mathrel {\oplus} 
\forall \underline{
\mathsf{x}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf{y}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf{z}}
\colon \underline{
\mathsf{x}}
*\underline{
\mathsf{y}}
+\underline{
\mathsf{z}}
 = \underline{
\mathsf{x}}
*\underline{
\mathsf{y}}
+\underline{
\mathsf{x}}
*\underline{
\mathsf{z}}
\mathrel {\oplus} 
\forall \underline{
\mathsf{x}}
\colon \underline{
\mathsf{x}}
+-\underline{
\mathsf{x}}
 = 0
\mathrel {\oplus} 
\forall \underline{
\mathsf {a}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf {b}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf {p}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf{x}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf{z}}
\colon \underline{
\mathsf {p}}
 ^{Ph}
\wedge \langle \underline{
\mathsf {b}}
{\equiv} \underline{
\mathsf {a}}
| \underline{
\mathsf {p}}
{:==} \underline{
\mathsf{z}}
\rangle_{Ph} 
\mathrel {\makebox [0mm][l]{$\vdash $}\,{\vdash }} \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf{z}}
 \mathrel{\in}  \{ ph \mathrel{\in} \underline{
\mathsf{x}}
\mid \underline{
\mathsf {a}}
\}
\Rightarrow \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf{z}}
 \mathrel{\in} \underline{
\mathsf{x}}
\Rightarrow \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf {b}}
\Rightarrow \dot{\neg}\, \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf{z}}
 \mathrel{\in} \underline{
\mathsf{x}}
\Rightarrow \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf {b}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf{z}}
 \mathrel{\in}  \{ ph \mathrel{\in} \underline{
\mathsf{x}}
\mid \underline{
\mathsf {a}}
\}
\mathrel {\oplus} 
\forall \underline{(rx)}
\colon 
\forall \underline{(ry)}
\colon \underline{(rx)}
 << \underline{(ry)}
\vdash 
\mathsf {t}
 _{Ex}
 \mathrel{\in} \underline{(ry)}
\mathrel {\oplus} 
\forall \underline{
\mathsf {m}}
\colon 
\forall \underline{(fx)}
\colon 
\forall \underline{(fy)}
\colon \underline{(fx)}
=_{f}\underline{(fy)}
\vdash \underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
 = \underline{(fy)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
\mathrel {\oplus} 
\forall \underline{(rx)}
\colon 
\forall \underline{(ry)}
\colon \underline{(rx)}
 == \underline{(ry)}
\vdash \underline{(ry)}
 == \underline{(rx)}
\mathrel {\oplus} 
\forall \underline{
\mathsf{x}}
\colon \underline{
\mathsf{x}}
 <= \underline{
\mathsf{x}}
\mathrel {\oplus} 
\forall \underline{
\mathsf {a}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf {b}}
\colon \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf {b}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {a}}
\vdash \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf {b}}
\Rightarrow \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf {a}}
\vdash \underline{
\mathsf {b}}
\mathrel {\oplus} 
\forall \underline{
\mathsf {m}}
\colon 
\mbox{1f}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
 = 1
\mathrel {\oplus} 
\forall \underline{
\mathsf{x}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf{y}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf{z}}
\colon \underline{
\mathsf{x}}
 = \underline{
\mathsf{y}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf{x}}
 = \underline{
\mathsf{z}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf{y}}
 = \underline{
\mathsf{z}}
\mathrel {\oplus} 
\forall \underline{
\mathsf{x}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf{y}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf{z}}
\colon \underline{
\mathsf{x}}
 <= \underline{
\mathsf{y}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf{x}}
+\underline{
\mathsf{z}}
 <= \underline{
\mathsf{y}}
+\underline{
\mathsf{z}}
\mathrel {\oplus} 
\forall \underline{
\mathsf {s}}
\colon \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf {s}}
 \mathrel{\in} \mathrm{\O}
\mathrel {\oplus} 
\forall \underline{(fx)}
\colon 
\forall \underline{(fy)}
\colon R(\underline{(fx)}
)
 == R(\underline{(fy)}
)
\vdash SF(\underline{(fx)}
,\underline{(fy)}
)
\mathrel {\oplus} 
\forall \underline{(fx)}
\colon 
\forall \underline{(rx)}
\colon 
\forall \underline{(ry)}
\colon \underline{(rx)}
 == \underline{(ry)}
\vdash \underline{(fx)}
 \mathrel{\in} \underline{(rx)}
\vdash \underline{(fx)}
 \mathrel{\in} \underline{(ry)}
\mathrel {\oplus} 
\forall \underline{
\mathsf {m}}
\colon 
\forall \underline{(fx)}
\colon 
\forall \underline{(fy)}
\colon \underline{(fx)}
+_{f}\underline{(fy)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
 = \underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
+\underline{(fy)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
\mathrel {\oplus} 
\forall \underline{(fx)}
\colon 
\forall \underline{(fy)}
\colon \underline{(fx)}
 \mathrel{\in} R(\underline{(fy)}
)
\vdash SF(\underline{(fx)}
,\underline{(fy)}
)
\mathrel {\oplus} 
\forall \underline{
\mathsf{x}}
\colon \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf{x}}
 = 0
\Rightarrow \underline{
\mathsf{x}}
*rec\underline{
\mathsf{x}}
 = 1
\mathrel {\oplus} 
\forall \underline{
\mathsf{x}}
\colon \underline{
\mathsf{x}}
+0
 = \underline{
\mathsf{x}}
\mathrel {\oplus} 
\forall \underline{
\mathsf {m}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf {n}}
\colon 
\forall \underline{(\epsilon)}
\colon 
\forall \underline{(fx)}
\colon 
\forall \underline{(fy)}
\colon 
\forall \underline{(rx)}
\colon 
\forall \underline{(ry)}
\colon \underline{(fx)}
 \mathrel{\in} \underline{(rx)}
\Rightarrow \underline{(fy)}
 \mathrel{\in} \underline{(ry)}
\Rightarrow \dot{\neg}\, 0
 <= \underline{(\epsilon)}
\Rightarrow \dot{\neg}\, \dot{\neg}\, 0
 = \underline{(\epsilon)}
\Rightarrow 
\mathsf {a}
 _{Ex}
 <= \underline{
\mathsf {m}}
\Rightarrow \underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
 <= \underline{(fy)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
+-\underline{(\epsilon)}
\vdash \underline{(rx)}
 << \underline{(ry)}
\mathrel {\oplus} 
\forall \underline{
\mathsf {m}}
\colon 
\forall \underline{(fx)}
\colon 
\forall \underline{(fy)}
\colon \underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
 = \underline{(fy)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
\vdash \underline{(fx)}
=_{f}\underline{(fy)}
\mathrel {\oplus} 
\forall \underline{
\mathsf{x}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf{y}}
\colon \underline{
\mathsf{x}}
 <= \underline{
\mathsf{y}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf{y}}
 <= \underline{
\mathsf{x}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf{x}}
 = \underline{
\mathsf{y}}
\mathrel {\oplus} 
\forall \underline{
\mathsf {a}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf {b}}
\colon 
\lambda 
\mathsf{x}
.
Dedu_0(
\lceil \underline{
\mathsf {a}}
\rceil 
,
\lceil \underline{
\mathsf {b}}
\rceil 
)
\mathrel {\makebox [0mm][l]{$\vdash $}\,{\vdash }} \underline{
\mathsf {a}}
\vdash \underline{
\mathsf {b}}
\mathrel {\oplus} 
\forall \underline{
\mathsf {m}}
\colon 
\forall \underline{(\epsilon)}
\colon 
\forall \underline{(fx)}
\colon 
\forall \underline{(fy)}
\colon SF(\underline{(fx)}
,\underline{(fy)}
)
\vdash \dot{\neg}\, 0
 <= \underline{(\epsilon)}
\Rightarrow \dot{\neg}\, \dot{\neg}\, 0
 = \underline{(\epsilon)}
\vdash 
\mathsf {c}
 _{Ex}
 <= \underline{
\mathsf {m}}
\Rightarrow \dot{\neg}\, if(0
 <= \underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
+-\underline{(fy)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
,\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
+-\underline{(fy)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
,-\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
+-\underline{(fy)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
)
 <= \underline{(\epsilon)}
\Rightarrow \dot{\neg}\, \dot{\neg}\, if(0
 <= \underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
+-\underline{(fy)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
,\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
+-\underline{(fy)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
,-\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
+-\underline{(fy)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
)
 = \underline{(\epsilon)}
\mathrel {\oplus} 
\forall \underline{
\mathsf{x}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf{y}}
\colon \underline{
\mathsf{x}}
 = \underline{
\mathsf{y}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf{x}}
 <= \underline{
\mathsf{y}}
\mathrel {\oplus} 
\forall \underline{
\mathsf{x}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf{y}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf{z}}
\colon 0
 <= \underline{
\mathsf{z}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf{x}}
 <= \underline{
\mathsf{y}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf{x}}
*\underline{
\mathsf{z}}
 <= \underline{
\mathsf{y}}
*\underline{
\mathsf{z}}
\mathrel {\oplus} 
\forall \underline{
\mathsf {s}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf{x}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf{y}}
\colon \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf {s}}
 \mathrel{\in} \{\underline{
\mathsf{x}}
,\underline{
\mathsf{y}}
\}
\Rightarrow \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf {s}}
\!\mathrel{==}\! \underline{
\mathsf{x}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {s}}
\!\mathrel{==}\! \underline{
\mathsf{y}}
\Rightarrow \dot{\neg}\, \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf {s}}
\!\mathrel{==}\! \underline{
\mathsf{x}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {s}}
\!\mathrel{==}\! \underline{
\mathsf{y}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {s}}
 \mathrel{\in} \{\underline{
\mathsf{x}}
,\underline{
\mathsf{y}}
\}
\mathrel {\oplus} 
\forall \underline{(fx)}
\colon 
\forall \underline{(fy)}
\colon SF(\underline{(fx)}
,\underline{(fy)}
)
\vdash R(\underline{(fx)}
)
 == R(\underline{(fy)}
)
\mathrel {\oplus} 
\forall \underline{(fx)}
\colon 
\forall \underline{(rx)}
\colon 
\forall \underline{(ry)}
\colon \underline{(rx)}
 == \underline{(ry)}
\vdash \underline{(fx)}
 \mathrel{\in} \underline{(ry)}
\vdash \underline{(fx)}
 \mathrel{\in} \underline{(rx)}
\mathrel {\oplus} 
\forall \underline{
\mathsf {a}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf {b}}
\colon \underline{
\mathsf {a}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {b}}
\vdash \underline{
\mathsf {a}}
\vdash \underline{
\mathsf {b}}
\mathrel {\oplus} 
\forall \underline{
\mathsf {m}}
\colon 
\forall \underline{(fx)}
\colon 
\forall \underline{(fy)}
\colon \underline{(fx)}
*_{f}\underline{(fy)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
 = \underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
*\underline{(fy)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
\mathrel {\oplus} 
\forall \underline{(fx)}
\colon 
\forall \underline{(fy)}
\colon R((fx)
+_{f}(fy)
)
 == R(\underline{(fx)}
+_{f}\underline{(fy)}
)
\mathrel {\oplus} 
\forall \underline{
\mathsf{x}}
\colon \underline{
\mathsf{x}}
*1
 = \underline{
\mathsf{x}}
\mathrel {\oplus} 
\forall \underline{
\mathsf{x}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf{y}}
\colon \underline{
\mathsf{x}}
+\underline{
\mathsf{y}}
 = \underline{
\mathsf{y}}
+\underline{
\mathsf{x}}
\mathrel {\oplus} 
\forall \underline{
\mathsf {s}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf{x}}
\colon \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf {s}}
 \mathrel{\in} P(\underline{
\mathsf{x}}
)
\Rightarrow 
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {s}}
\colon \overline{
\mathsf {s}}
 \mathrel{\in} \underline{
\mathsf {s}}
\Rightarrow \overline{
\mathsf {s}}
 \mathrel{\in} \underline{
\mathsf{x}}
\Rightarrow \dot{\neg}\, 
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {s}}
\colon \overline{
\mathsf {s}}
 \mathrel{\in} \underline{
\mathsf {s}}
\Rightarrow \overline{
\mathsf {s}}
 \mathrel{\in} \underline{
\mathsf{x}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {s}}
 \mathrel{\in} P(\underline{
\mathsf{x}}
)
\mathrel {\oplus} 
\forall \underline{(rx)}
\colon 
\forall \underline{(ry)}
\colon \underline{(rx)}
 << \underline{(ry)}
\vdash 
\mathsf {j}
 _{Ex}
 \mathrel{\in} \underline{(rx)}
\mathrel {\oplus} 
\forall \underline{
\mathsf {a}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf{x}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf{y}}
\colon \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf {a}}
\vdash if(\underline{
\mathsf {a}}
,\underline{
\mathsf{x}}
,\underline{
\mathsf{y}}
)
 = \underline{
\mathsf{y}}
\mathrel {\oplus} 
\forall \underline{(rx)}
\colon \underline{(rx)}
 == \underline{(rx)}
\mathrel {\oplus} 
\forall \underline{
\mathsf {a}}
\colon \underline{
\mathsf {a}}
\vdash \underline{
\mathsf {a}}
\mathrel {\oplus} 
\forall \underline{
\mathsf {m}}
\colon 0f
[\underline{
\mathsf {m}}
]
 = 0
\mathrel {\oplus} \dot{\neg}\, 0
 = 1
\mathrel {\oplus} 
\forall \underline{
\mathsf{x}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf{y}}
\colon \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf{x}}
 <= \underline{
\mathsf{y}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf{y}}
 <= \underline{
\mathsf{x}}
\mathrel {\oplus} 
\forall \underline{
\mathsf{x}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf{y}}
\colon \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf{x}}
\!\mathrel{==}\! \underline{
\mathsf{y}}
\Rightarrow 
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {s}}
\colon \dot{\neg}\, \overline{
\mathsf {s}}
 \mathrel{\in} \underline{
\mathsf{x}}
\Rightarrow \overline{
\mathsf {s}}
 \mathrel{\in} \underline{
\mathsf{y}}
\Rightarrow \dot{\neg}\, \overline{
\mathsf {s}}
 \mathrel{\in} \underline{
\mathsf{y}}
\Rightarrow \overline{
\mathsf {s}}
 \mathrel{\in} \underline{
\mathsf{x}}
\Rightarrow \dot{\neg}\, 
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {s}}
\colon \dot{\neg}\, \overline{
\mathsf {s}}
 \mathrel{\in} \underline{
\mathsf{x}}
\Rightarrow \overline{
\mathsf {s}}
 \mathrel{\in} \underline{
\mathsf{y}}
\Rightarrow \dot{\neg}\, \overline{
\mathsf {s}}
 \mathrel{\in} \underline{
\mathsf{y}}
\Rightarrow \overline{
\mathsf {s}}
 \mathrel{\in} \underline{
\mathsf{x}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf{x}}
\!\mathrel{==}\! \underline{
\mathsf{y}}
\mathrel {\oplus} 
\forall \underline{(fx)}
\colon 
\forall \underline{(fy)}
\colon 
\forall \underline{(rx)}
\colon 
\forall \underline{(ry)}
\colon \underline{(fx)}
 \mathrel{\in} \underline{(rx)}
\Rightarrow \underline{(fy)}
 \mathrel{\in} \underline{(ry)}
\Rightarrow SF(\underline{(fx)}
,\underline{(fy)}
)
\vdash \underline{(rx)}
 == \underline{(ry)}
\mathrel {\oplus} 
\forall \underline{
\mathsf{x}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf{y}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf{z}}
\colon \underline{
\mathsf{x}}
 = \underline{
\mathsf{y}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf{x}}
*\underline{
\mathsf{z}}
 = \underline{
\mathsf{y}}
*\underline{
\mathsf{z}}
\mathrel {\oplus} 
\forall \underline{
\mathsf {m}}
\colon 
\forall \underline{(\epsilon)}
\colon 
\forall \underline{(fx)}
\colon 
\forall \underline{(fy)}
\colon \dot{\neg}\, 0
 <= \underline{(\epsilon)}
\Rightarrow \dot{\neg}\, \dot{\neg}\, 0
 = \underline{(\epsilon)}
\Rightarrow 
\mathsf {c}
 _{Ex}
 <= \underline{
\mathsf {m}}
\Rightarrow \underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
 <= \underline{(fy)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
+-\underline{(\epsilon)}
\vdash \underline{(fx)}
<_{f}\underline{(fy)}
\mathrel {\oplus} 
\forall \underline{(fx)}
\colon 
\forall \underline{(fy)}
\colon \underline{(fx)}
<_{f}\underline{(fy)}
\vdash R(\underline{(fx)}
)
 << R(\underline{(fy)}
)
\mathrel {\oplus} 
\forall \underline{
\mathsf{x}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf{y}}
\colon \underline{
\mathsf{x}}
*\underline{
\mathsf{y}}
 = \underline{
\mathsf{y}}
*\underline{
\mathsf{x}}
]$

\begin{list}{}{
\setlength{\leftmargin}{0em}
\setlength{\itemindent}{0em}
\setlength{\itemsep}{1ex}}

\item $
[MP
\stackrel{
stmt
}{\rightarrow}ZFsub
\vdash 
\forall \underline{
\mathsf {a}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf {b}}
\colon \underline{
\mathsf {a}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {b}}
\vdash \underline{
\mathsf {a}}
\vdash \underline{
\mathsf {b}}
]
[MP
\stackrel{
proof
}{\rightarrow}
Rule\ tactic
]$

\item $
[Gen
\stackrel{
stmt
}{\rightarrow}ZFsub
\vdash 
\forall \underline{
\mathsf{x}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf {a}}
\colon \underline{
\mathsf {a}}
\vdash 
\forall_{obj} \underline{
\mathsf{x}}
\colon \underline{
\mathsf {a}}
]
[Gen
\stackrel{
proof
}{\rightarrow}
Rule\ tactic
]$

\item $
[Repetition
\stackrel{
stmt
}{\rightarrow}ZFsub
\vdash 
\forall \underline{
\mathsf {a}}
\colon \underline{
\mathsf {a}}
\vdash \underline{
\mathsf {a}}
]
[Repetition
\stackrel{
proof
}{\rightarrow}
Rule\ tactic
]$

\item $
[Neg
\stackrel{
stmt
}{\rightarrow}ZFsub
\vdash 
\forall \underline{
\mathsf {a}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf {b}}
\colon \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf {b}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {a}}
\vdash \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf {b}}
\Rightarrow \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf {a}}
\vdash \underline{
\mathsf {b}}
]
[Neg
\stackrel{
proof
}{\rightarrow}
Rule\ tactic
]$

\item $
[Ded
\stackrel{
stmt
}{\rightarrow}ZFsub
\vdash 
\forall \underline{
\mathsf {a}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf {b}}
\colon 
\lambda 
\mathsf{x}
.
Dedu_0(
\lceil \underline{
\mathsf {a}}
\rceil 
,
\lceil \underline{
\mathsf {b}}
\rceil 
)
\mathrel {\makebox [0mm][l]{$\vdash $}\,{\vdash }} \underline{
\mathsf {a}}
\vdash \underline{
\mathsf {b}}
]
[Ded
\stackrel{
proof
}{\rightarrow}
Rule\ tactic
]$

\item $
[ExistIntro
\stackrel{
stmt
}{\rightarrow}ZFsub
\vdash 
\forall \underline{
\mathsf{x}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf {t}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf {a}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf {b}}
\colon \langle 
\lceil \underline{
\mathsf {a}}
\rceil 
{\equiv}^0 
\lceil \underline{
\mathsf {b}}
\rceil 
| 
\lceil \underline{
\mathsf{x}}
\rceil 
{:==} 
\lceil \underline{
\mathsf {t}}
\rceil 
\rangle_{Ex} 
\mathrel {\makebox [0mm][l]{$\vdash $}\,{\vdash }} \underline{
\mathsf {a}}
\vdash \underline{
\mathsf {b}}
]
[ExistIntro
\stackrel{
proof
}{\rightarrow}
Rule\ tactic
]$

\item $
[Extensionality
\stackrel{
stmt
}{\rightarrow}ZFsub
\vdash 
\forall \underline{
\mathsf{x}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf{y}}
\colon \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf{x}}
\!\mathrel{==}\! \underline{
\mathsf{y}}
\Rightarrow 
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {s}}
\colon \dot{\neg}\, \overline{
\mathsf {s}}
 \mathrel{\in} \underline{
\mathsf{x}}
\Rightarrow \overline{
\mathsf {s}}
 \mathrel{\in} \underline{
\mathsf{y}}
\Rightarrow \dot{\neg}\, \overline{
\mathsf {s}}
 \mathrel{\in} \underline{
\mathsf{y}}
\Rightarrow \overline{
\mathsf {s}}
 \mathrel{\in} \underline{
\mathsf{x}}
\Rightarrow \dot{\neg}\, 
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {s}}
\colon \dot{\neg}\, \overline{
\mathsf {s}}
 \mathrel{\in} \underline{
\mathsf{x}}
\Rightarrow \overline{
\mathsf {s}}
 \mathrel{\in} \underline{
\mathsf{y}}
\Rightarrow \dot{\neg}\, \overline{
\mathsf {s}}
 \mathrel{\in} \underline{
\mathsf{y}}
\Rightarrow \overline{
\mathsf {s}}
 \mathrel{\in} \underline{
\mathsf{x}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf{x}}
\!\mathrel{==}\! \underline{
\mathsf{y}}
]
[Extensionality
\stackrel{
proof
}{\rightarrow}
Rule\ tactic
]$

\item $
[\O{}def
\stackrel{
stmt
}{\rightarrow}ZFsub
\vdash 
\forall \underline{
\mathsf {s}}
\colon \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf {s}}
 \mathrel{\in} \mathrm{\O}
]
[\O{}def
\stackrel{
proof
}{\rightarrow}
Rule\ tactic
]$

\item $
[PairDef
\stackrel{
stmt
}{\rightarrow}ZFsub
\vdash 
\forall \underline{
\mathsf {s}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf{x}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf{y}}
\colon \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf {s}}
 \mathrel{\in} \{\underline{
\mathsf{x}}
,\underline{
\mathsf{y}}
\}
\Rightarrow \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf {s}}
\!\mathrel{==}\! \underline{
\mathsf{x}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {s}}
\!\mathrel{==}\! \underline{
\mathsf{y}}
\Rightarrow \dot{\neg}\, \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf {s}}
\!\mathrel{==}\! \underline{
\mathsf{x}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {s}}
\!\mathrel{==}\! \underline{
\mathsf{y}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {s}}
 \mathrel{\in} \{\underline{
\mathsf{x}}
,\underline{
\mathsf{y}}
\}
]
[PairDef
\stackrel{
proof
}{\rightarrow}
Rule\ tactic
]$

\item $
[UnionDef
\stackrel{
stmt
}{\rightarrow}ZFsub
\vdash 
\forall \underline{
\mathsf {s}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf{x}}
\colon \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf {s}}
 \mathrel{\in} \cup \underline{
\mathsf{x}}
\Rightarrow \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf {s}}
 \mathrel{\in} 
\mathsf {j}
 _{Ex}
\Rightarrow \dot{\neg}\, 
\mathsf {j}
 _{Ex}
 \mathrel{\in} \underline{
\mathsf{x}}
\Rightarrow \dot{\neg}\, \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf {s}}
 \mathrel{\in} 
\mathsf {j}
 _{Ex}
\Rightarrow \dot{\neg}\, 
\mathsf {j}
 _{Ex}
 \mathrel{\in} \underline{
\mathsf{x}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {s}}
 \mathrel{\in} \cup \underline{
\mathsf{x}}
]
[UnionDef
\stackrel{
proof
}{\rightarrow}
Rule\ tactic
]$

\item $
[PowerDef
\stackrel{
stmt
}{\rightarrow}ZFsub
\vdash 
\forall \underline{
\mathsf {s}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf{x}}
\colon \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf {s}}
 \mathrel{\in} P(\underline{
\mathsf{x}}
)
\Rightarrow 
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {s}}
\colon \overline{
\mathsf {s}}
 \mathrel{\in} \underline{
\mathsf {s}}
\Rightarrow \overline{
\mathsf {s}}
 \mathrel{\in} \underline{
\mathsf{x}}
\Rightarrow \dot{\neg}\, 
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {s}}
\colon \overline{
\mathsf {s}}
 \mathrel{\in} \underline{
\mathsf {s}}
\Rightarrow \overline{
\mathsf {s}}
 \mathrel{\in} \underline{
\mathsf{x}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {s}}
 \mathrel{\in} P(\underline{
\mathsf{x}}
)
]
[PowerDef
\stackrel{
proof
}{\rightarrow}
Rule\ tactic
]$

\item $
[SeparationDef
\stackrel{
stmt
}{\rightarrow}ZFsub
\vdash 
\forall \underline{
\mathsf {a}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf {b}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf {p}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf{x}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf{z}}
\colon \underline{
\mathsf {p}}
 ^{Ph}
\wedge \langle \underline{
\mathsf {b}}
{\equiv} \underline{
\mathsf {a}}
| \underline{
\mathsf {p}}
{:==} \underline{
\mathsf{z}}
\rangle_{Ph} 
\mathrel {\makebox [0mm][l]{$\vdash $}\,{\vdash }} \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf{z}}
 \mathrel{\in}  \{ ph \mathrel{\in} \underline{
\mathsf{x}}
\mid \underline{
\mathsf {a}}
\}
\Rightarrow \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf{z}}
 \mathrel{\in} \underline{
\mathsf{x}}
\Rightarrow \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf {b}}
\Rightarrow \dot{\neg}\, \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf{z}}
 \mathrel{\in} \underline{
\mathsf{x}}
\Rightarrow \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf {b}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf{z}}
 \mathrel{\in}  \{ ph \mathrel{\in} \underline{
\mathsf{x}}
\mid \underline{
\mathsf {a}}
\}
]
[SeparationDef
\stackrel{
proof
}{\rightarrow}
Rule\ tactic
]$

\end{list}

\section{Udsagnslogisk bibliotek} \label{sec:udsagn}

I dette afsnit vil jeg bevise en samling af udsagnslogiske sandheder ( eller ``tautologier''), som vil blive brugt i de f\o{}lgende afsnit. De fleste af disse tautologier har mange andre anvendelser end lige netop m\ae{}ngdel\ae{}re. Beviserne er fordelt p\aa{} syv underafsnit; figur 1 giver et overblik over, hvordan beviserne forholder sig til hinanden. Jeg vil kommentere de fleste af beviserne; dog er nogle af dem s\aa{} tekniske,  at jeg har ladet dem st\aa{} alene.


\subsection{MP-lemmaer} \label{sec:mplemmaer}

Man f\aa{}r ofte brug for at anvende slutningsreglen $MP$ flere gange i tr\ae{}k. Derfor vil jeg begynde med at vise fire lemmaer, der kan klare mellem 2 og 5 anvendelser af $MP$\footnote{I afsnit \ref{sec:transdef} f\aa{}r vi faktisk brug for at anvende $MP$ 6 gange i tr\ae{}k; men et eller andet sted skal man jo stoppe.}:

\begin{list}{}{
\setlength{\leftmargin}{0em}
\setlength{\itemindent}{0em}
\setlength{\itemsep}{1ex}}

\item $
[MP2
\stackrel{
stmt
}{\rightarrow}ZFsub
\vdash 
\forall \underline{
\mathsf {a}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf {b}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf {c}}
\colon \underline{
\mathsf {a}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {b}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {c}}
\vdash \underline{
\mathsf {a}}
\vdash \underline{
\mathsf {b}}
\vdash \underline{
\mathsf {c}}
]$

\item $
[MP3
\stackrel{
stmt
}{\rightarrow}ZFsub
\vdash 
\forall \underline{
\mathsf {a}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf {b}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf {c}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf {d}}
\colon \underline{
\mathsf {a}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {b}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {c}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {d}}
\vdash \underline{
\mathsf {a}}
\vdash \underline{
\mathsf {b}}
\vdash \underline{
\mathsf {c}}
\vdash \underline{
\mathsf {d}}
]$

\item $
[MP4
\stackrel{
stmt
}{\rightarrow}ZFsub
\vdash 
\forall \underline{
\mathsf {a}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf {b}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf {c}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf {d}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf {e}}
\colon \underline{
\mathsf {a}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {b}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {c}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {d}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {e}}
\vdash \underline{
\mathsf {a}}
\vdash \underline{
\mathsf {b}}
\vdash \underline{
\mathsf {c}}
\vdash \underline{
\mathsf {d}}
\vdash \underline{
\mathsf {e}}
]$

\item $
[MP5
\stackrel{
stmt
}{\rightarrow}ZFsub
\vdash 
\forall \underline{
\mathsf {a}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf {b}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf {c}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf {d}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf {e}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf {f}}
\colon \underline{
\mathsf {a}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {b}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {c}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {d}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {e}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {f}}
\vdash \underline{
\mathsf {a}}
\vdash \underline{
\mathsf {b}}
\vdash \underline{
\mathsf {c}}
\vdash \underline{
\mathsf {d}}
\vdash \underline{
\mathsf {e}}
\vdash \underline{
\mathsf {f}}
]$

\end{list}

\subsubsection{Det f\o{}rste bevis}

Vi begynder med at bevise $MP2$:

\begin{list}{}{
\setlength{\leftmargin}{0em}
\setlength{\itemindent}{0em}
\setlength{\itemsep}{1ex}}

\item $
[MP2
\stackrel{
stmt
}{\rightarrow}ZFsub
\vdash 
\forall \underline{
\mathsf {a}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf {b}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf {c}}
\colon \underline{
\mathsf {a}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {b}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {c}}
\vdash \underline{
\mathsf {a}}
\vdash \underline{
\mathsf {b}}
\vdash \underline{
\mathsf {c}}
]$

\item $
[MP2
\stackrel{
proof
}{\rightarrow}
\lambda 
\mathsf {c}
.
\lambda 
\mathsf{x}
.
{\cal P}( 
\lceil ZFsub
\vdash 
\forall \underline{
\mathsf {a}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf {b}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf {c}}
\colon \underline{
\mathsf {a}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {b}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {c}}
\vdash \underline{
\mathsf {a}}
\vdash \underline{
\mathsf {b}}
\vdash MP
\rhd \underline{
\mathsf {a}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {b}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {c}}
\rhd \underline{
\mathsf {a}}
\gg \underline{
\mathsf {b}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {c}}
; MP
\rhd \underline{
\mathsf {b}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {c}}
\rhd \underline{
\mathsf {b}}
\gg \underline{
\mathsf {c}}
\rceil 
, 
p_0
, 
\mathsf {c}
)
]$

\end{list}

\noindent Da dette er rapportens f\o{}rste bevis, vil jeg bringe nogle ekstra kommentarer\footnote{Denne beskrivelse er en revideret udgave af afsnit 5.1 i \cite{kn:peano}.}. Oven over beviset har jeg gentaget definitionen af det, der skal bevises; dette er kun for overblikkets skyld --- det er ikke en formel n\o{}dvendighed. Selve beviset for $MP2$ best\aa{}r af seks linier, nummereret fra 1 til 6. En bevislinie kan have to former. Den f\o{}rste form er:
%
\begin{eqnarray*}
\texttt{Argumentation} & \gg & \texttt{Konklusion} %\label{eq:linie}
\end{eqnarray*}
%
hvor \texttt{Konklusion} er det som linien beviser, mens teksten i \texttt{Argumentation} udg\o{}r en begrundelse for, at \texttt{Konklusion} g\ae{}lder. F.eks.\ siger linie 5, at meta-formlen \mbox{$[\underline{
\mathsf {b}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {c}}]$} g\ae{}lder, fordi den kan udledes fra slutningsreglen $MP$ ved substitution. Argumentationen skal l\ae{}ses p\aa{} den m\aa{}de, at konklusionerne fra linie 2 og 3 bliver brugt som pr\ae{}misser til $MP$. Den generelle betydning af konstruktionen $[
\mathsf{x}
\rhd 
\mathsf{y}]$ er, at konklusionen fra linie $
\mathsf{y}$  bliver brugt som pr\ae{}mis i forhold til $
\mathsf{x}$.

Den anden form, en bevislinie kan have, er:
%
\begin{eqnarray*}
\texttt{N\o{}gleord} & \gg & \texttt{Konklusion} %\label{eq:linie2}
\end{eqnarray*}
%
hvor \texttt{N\o{}gleord} er et af de tre ord ``Arbitrary'', ``Premise'' eller ``Side-condition''. Betydningen af ordene ``Premise'' og ``Side-condition'' er \aa{}benlys: De angiver, at liniens konklusion indg\aa{}r som en pr\ae{}mis (hhv.\ sidebetingelse) i den s\ae{}tning, der skal bevises. F.eks.\ siger bevisets linie 2, at $MP2$ bruger meta-formlen \\ \mbox{$[\underline{
\mathsf {a}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {b}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {c}}]$} 
som pr\ae{}mis. N\aa{}r ordet ``Arbitrary'' bruges, best\aa{}r konklusionen af en liste af meta-variable (f.eks. $[\underline{
\mathsf {a}}
,\linebreak [0] \underline{
\mathsf {b}}
,\linebreak [0] \underline{
\mathsf {c}}]$ i linie 1). Ideen hermed er at udtrykke, at vi ikke antager noget om de p\aa{}g\ae{}ldende meta-variable, og at vi derfor har ret til at binde dem med en meta-alkvantor i den s\ae{}tning, der skal bevises. I det forh\aa{}ndenv\ae{}rende bevis berettiger linien med ``Arbitrary'' alts\aa{}, at $MP2$ er kvantificeret med $[
\forall \underline{
\mathsf {a}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf {b}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf {c}}
\colon (\cdots{})]$.

Alt dette har drejet sig om den formelle syntaks for et Logiweb bevis. Der er ikke s\aa{} meget at sige om selve beviset for $MP2$; vi indkapsler simpelthen to p\aa{} hinanden f\o{}lgende anvendelser af $MP$. 

\subsubsection{Beviser for de andre MP-lemmaer}

Beviserne for de \o{}vrige MP-lemmaer er lige ud ad landevejen:

\begin{list}{}{
\setlength{\leftmargin}{0em}
\setlength{\itemindent}{0em}
\setlength{\itemsep}{1ex}}

\item $
[MP3
\stackrel{
stmt
}{\rightarrow}ZFsub
\vdash 
\forall \underline{
\mathsf {a}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf {b}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf {c}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf {d}}
\colon \underline{
\mathsf {a}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {b}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {c}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {d}}
\vdash \underline{
\mathsf {a}}
\vdash \underline{
\mathsf {b}}
\vdash \underline{
\mathsf {c}}
\vdash \underline{
\mathsf {d}}
]$

\item
$
[MP3
\stackrel{
proof
}{\rightarrow}
\lambda 
\mathsf {c}
.
\lambda 
\mathsf{x}
.
{\cal P}( 
\lceil ZFsub
\vdash 
\forall \underline{
\mathsf {a}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf {b}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf {c}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf {d}}
\colon \underline{
\mathsf {a}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {b}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {c}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {d}}
\vdash \underline{
\mathsf {a}}
\vdash \underline{
\mathsf {b}}
\vdash \underline{
\mathsf {c}}
\vdash MP2
\rhd \underline{
\mathsf {a}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {b}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {c}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {d}}
\rhd \underline{
\mathsf {a}}
\rhd \underline{
\mathsf {b}}
\gg \underline{
\mathsf {c}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {d}}
; MP
\rhd \underline{
\mathsf {c}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {d}}
\rhd \underline{
\mathsf {c}}
\gg \underline{
\mathsf {d}}
\rceil 
, 
p_0
, 
\mathsf {c}
)
]$

$
[MP4
\stackrel{
stmt
}{\rightarrow}ZFsub
\vdash 
\forall \underline{
\mathsf {a}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf {b}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf {c}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf {d}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf {e}}
\colon \underline{
\mathsf {a}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {b}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {c}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {d}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {e}}
\vdash \underline{
\mathsf {a}}
\vdash \underline{
\mathsf {b}}
\vdash \underline{
\mathsf {c}}
\vdash \underline{
\mathsf {d}}
\vdash \underline{
\mathsf {e}}
]$

$
[MP4
\stackrel{
proof
}{\rightarrow}
\lambda 
\mathsf {c}
.
\lambda 
\mathsf{x}
.
{\cal P}( 
\lceil ZFsub
\vdash 
\forall \underline{
\mathsf {a}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf {b}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf {c}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf {d}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf {e}}
\colon \underline{
\mathsf {a}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {b}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {c}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {d}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {e}}
\vdash \underline{
\mathsf {a}}
\vdash \underline{
\mathsf {b}}
\vdash \underline{
\mathsf {c}}
\vdash \underline{
\mathsf {d}}
\vdash MP2
\rhd \underline{
\mathsf {a}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {b}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {c}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {d}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {e}}
\rhd \underline{
\mathsf {a}}
\rhd \underline{
\mathsf {b}}
\gg \underline{
\mathsf {c}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {d}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {e}}
; MP2
\rhd \underline{
\mathsf {c}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {d}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {e}}
\rhd \underline{
\mathsf {c}}
\rhd \underline{
\mathsf {d}}
\gg \underline{
\mathsf {e}}
\rceil 
, 
p_0
, 
\mathsf {c}
)
]$

$
[MP5
\stackrel{
stmt
}{\rightarrow}ZFsub
\vdash 
\forall \underline{
\mathsf {a}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf {b}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf {c}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf {d}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf {e}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf {f}}
\colon \underline{
\mathsf {a}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {b}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {c}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {d}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {e}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {f}}
\vdash \underline{
\mathsf {a}}
\vdash \underline{
\mathsf {b}}
\vdash \underline{
\mathsf {c}}
\vdash \underline{
\mathsf {d}}
\vdash \underline{
\mathsf {e}}
\vdash \underline{
\mathsf {f}}
]$

$
[MP5
\stackrel{
proof
}{\rightarrow}
\lambda 
\mathsf {c}
.
\lambda 
\mathsf{x}
.
{\cal P}( 
\lceil ZFsub
\vdash 
\forall \underline{
\mathsf {a}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf {b}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf {c}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf {d}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf {e}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf {f}}
\colon \underline{
\mathsf {a}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {b}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {c}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {d}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {e}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {f}}
\vdash \underline{
\mathsf {a}}
\vdash \underline{
\mathsf {b}}
\vdash \underline{
\mathsf {c}}
\vdash \underline{
\mathsf {d}}
\vdash \underline{
\mathsf {e}}
\vdash MP3
\rhd \underline{
\mathsf {a}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {b}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {c}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {d}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {e}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {f}}
\rhd \underline{
\mathsf {a}}
\rhd \underline{
\mathsf {b}}
\rhd \underline{
\mathsf {c}}
\gg \underline{
\mathsf {d}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {e}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {f}}
; MP2
\rhd \underline{
\mathsf {d}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {e}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {f}}
\rhd \underline{
\mathsf {d}}
\rhd \underline{
\mathsf {e}}
\gg \underline{
\mathsf {f}}
\rceil 
, 
p_0
, 
\mathsf {c}
)
]$

\end{list}

\subsection{ Implikation }

Dette afsnit indeholder en r\ae{}kke lemmaer vedr.\ implikation, grupperet i fire under-underafsnit.

\subsubsection{Refleksivitet; blok-konstruktionen}

Lemmaet $AutoImply$ udsiger, at implikations-relationen er refleksiv:

\begin{list}{}{
\setlength{\leftmargin}{0em}
\setlength{\itemindent}{0em}
\setlength{\itemsep}{1ex}}

\item $
[AutoImply
\stackrel{
stmt
}{\rightarrow}ZFsub
\vdash 
\forall \underline{
\mathsf {a}}
\colon \underline{
\mathsf {a}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {a}}
]$

\item $
[AutoImply
\stackrel{
proof
}{\rightarrow}
\lambda 
\mathsf {c}
.
\lambda 
\mathsf{x}
.
{\cal P}( 
\lceil ZFsub
\vdash 
\forall \underline{
\mathsf {a}}
\colon \underline{
\mathsf {a}}
\vdash Repetition
\rhd \underline{
\mathsf {a}}
\gg \underline{
\mathsf {a}}
; 
\forall \underline{
\mathsf {a}}
\colon Ded
\rhd 
\forall \underline{
\mathsf {a}}
\colon \underline{
\mathsf {a}}
\vdash \underline{
\mathsf {a}}
\gg \underline{
\mathsf {a}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {a}}
\rceil 
, 
p_0
, 
\mathsf {c}
)
]$


\item Beviset for $AutoImply$ indeholder to nye ting i forhold til de hidtidige beviser: En bevisblok, og en anvendelse af deduktions-reglen. En bevisblok er selvst\ae{}ndig enhed i et bevis; den afh\ae{}nger ikke af den \o{}vrige del af beviset. Den ovenst\aa{}ende bevisblok indeholder et bevis for lemmaet $[
\forall \underline{
\mathsf {a}}
\colon \underline{
\mathsf {a}}
\vdash \underline{
\mathsf {a}}]$. Pointen er nu, at blokkens sidste linie (linie 5) fungerer som en forkortelse for dette lemma. Vi kan da anvende deduktionsreglen p\aa{} denne linie til at omdanne inferensen $[
\forall \underline{
\mathsf {a}}
\colon \underline{
\mathsf {a}}
\vdash \underline{
\mathsf {a}}]$ til implikationen $[\underline{
\mathsf {a}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {a}}]$. Det vigtigste form\aa{}l med deduktionsreglen er netop, at vi let kan skifte fra inferens til implikation.

\end{list}

\subsubsection{Transitivitet}

Lemmaet $ImplyTransitivity$ udsiger, at implikations-relationen er transitiv:

\begin{list}{}{
\setlength{\leftmargin}{0em}
\setlength{\itemindent}{0em}
\setlength{\itemsep}{1ex}}

\item $
[ImplyTransitivity
\stackrel{
stmt
}{\rightarrow}ZFsub
\vdash 
\forall \underline{
\mathsf {a}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf {b}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf {c}}
\colon \underline{
\mathsf {a}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {b}}
\vdash \underline{
\mathsf {b}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {c}}
\vdash \underline{
\mathsf {a}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {c}}
]$

\item Vi viser $ImplyTransitivity$ ved hj\ae{}lp af $MP$ og deduktionsreglen:

\item $
[ImplyTransitivity
\stackrel{
proof
}{\rightarrow}
\lambda 
\mathsf {c}
.
\lambda 
\mathsf{x}
.
{\cal P}( 
\lceil ZFsub
\vdash 
\forall \underline{
\mathsf {a}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf {b}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf {c}}
\colon \underline{
\mathsf {a}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {b}}
\vdash \underline{
\mathsf {b}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {c}}
\vdash \underline{
\mathsf {a}}
\vdash MP
\rhd \underline{
\mathsf {a}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {b}}
\rhd \underline{
\mathsf {a}}
\gg \underline{
\mathsf {b}}
; MP
\rhd \underline{
\mathsf {b}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {c}}
\rhd \underline{
\mathsf {b}}
\gg \underline{
\mathsf {c}}
; 
\forall \underline{
\mathsf {a}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf {b}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf {c}}
\colon \underline{
\mathsf {a}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {b}}
\vdash \underline{
\mathsf {b}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {c}}
\vdash Ded
\rhd 
\forall \underline{
\mathsf {a}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf {b}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf {c}}
\colon \underline{
\mathsf {a}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {b}}
\vdash \underline{
\mathsf {b}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {c}}
\vdash \underline{
\mathsf {a}}
\vdash \underline{
\mathsf {c}}
\gg \underline{
\mathsf {a}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {b}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {b}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {c}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {a}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {c}}
; MP2
\rhd \underline{
\mathsf {a}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {b}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {b}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {c}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {a}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {c}}
\rhd \underline{
\mathsf {a}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {b}}
\rhd \underline{
\mathsf {b}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {c}}
\gg \underline{
\mathsf {a}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {c}}
\rceil 
, 
p_0
, 
\mathsf {c}
)
]$

\end{list}

\subsubsection{Sv\ae{}kkelse}

Vi f\aa{}r ofte brug for det f\o{}lgende r\ae{}sonnement: Hvis formlen $\underline{
\mathsf {a}}$ g\ae{}lder ubetinget, s\aa{} g\ae{}lder den ogs\aa{} under antagelse af en vilk\aa{}rlig anden formel $\underline{
\mathsf {b}}$. Lemmaet $Weakening$ udtrykker dette r\ae{}sonnement som f\o{}lger:

\begin{list}{}{
\setlength{\leftmargin}{0em}
\setlength{\itemindent}{0em}
\setlength{\itemsep}{1ex}}

\item $
[Weakening
\stackrel{
stmt
}{\rightarrow}ZFsub
\vdash 
\forall \underline{
\mathsf {a}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf {b}}
\colon \underline{
\mathsf {b}}
\vdash \underline{
\mathsf {a}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {b}}
]$

\item Vi beviser $Weakening$ ved hj\ae{}lp af deduktionsreglen:

\item $
[Weakening
\stackrel{
proof
}{\rightarrow}
\lambda 
\mathsf {c}
.
\lambda 
\mathsf{x}
.
{\cal P}( 
\lceil ZFsub
\vdash 
\forall \underline{
\mathsf {a}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf {b}}
\colon \underline{
\mathsf {b}}
\vdash \underline{
\mathsf {a}}
\vdash Repetition
\rhd \underline{
\mathsf {b}}
\gg \underline{
\mathsf {b}}
; 
\forall \underline{
\mathsf {a}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf {b}}
\colon Ded
\rhd 
\forall \underline{
\mathsf {a}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf {b}}
\colon \underline{
\mathsf {b}}
\vdash \underline{
\mathsf {a}}
\vdash \underline{
\mathsf {b}}
\gg \underline{
\mathsf {b}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {a}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {b}}
; \underline{
\mathsf {b}}
\vdash MP
\rhd \underline{
\mathsf {b}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {a}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {b}}
\rhd \underline{
\mathsf {b}}
\gg \underline{
\mathsf {a}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {b}}
\rceil 
, 
p_0
, 
\mathsf {c}
)
]$

\end{list}

\subsubsection{Modsigelse}

Det sidste lemma i dette afsnit vedr\o{}rer strengt taget ikke implikation, men derimod inferens  ($
\mathsf{x}
\vdash 
\mathsf{y}$). Lemmaet $FromContradiction$ udsiger, at vi kan bevise hvad som helst, hvis vi har bevist to formler, der modsiger hinanden:

\begin{list}{}{
\setlength{\leftmargin}{0em}
\setlength{\itemindent}{0em}
\setlength{\itemsep}{1ex}}

\item $
[FromContradiction
\stackrel{
stmt
}{\rightarrow}ZFsub
\vdash 
\forall \underline{
\mathsf {a}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf {b}}
\colon \underline{
\mathsf {a}}
\vdash \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf {a}}
\vdash \underline{
\mathsf {b}}
]$

\item Beviset bruger $Weakening$ og slutningsreglen $Neg$:

\item $
[FromContradiction
\stackrel{
proof
}{\rightarrow}
\lambda 
\mathsf {c}
.
\lambda 
\mathsf{x}
.
{\cal P}( 
\lceil ZFsub
\vdash 
\forall \underline{
\mathsf {a}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf {b}}
\colon \underline{
\mathsf {a}}
\vdash \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf {a}}
\vdash Weakening
\rhd \underline{
\mathsf {a}}
\gg \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf {b}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {a}}
; Weakening
\rhd \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf {a}}
\gg \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf {b}}
\Rightarrow \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf {a}}
; Neg
\rhd \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf {b}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {a}}
\rhd \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf {b}}
\Rightarrow \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf {a}}
\gg \underline{
\mathsf {b}}
\rceil 
, 
p_0
, 
\mathsf {c}
)
]$

\end{list}

\subsection{H\aa{}ndtering af dobbeltnegationer}

De to lemmaer $RemoveDoubleNeg$ og $AddDoubleNeg$ tillader os hhv.\ at fjerne og tilf\o{}je dobbeltnegationer. Jeg vil ikke kommentere beviserne:

\begin{list}{}{
\setlength{\leftmargin}{0em}
\setlength{\itemindent}{0em}
\setlength{\itemsep}{1ex}}

\item $
[RemoveDoubleNeg
\stackrel{
stmt
}{\rightarrow}ZFsub
\vdash 
\forall \underline{
\mathsf {a}}
\colon \dot{\neg}\, \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf {a}}
\vdash \underline{
\mathsf {a}}
]$

\item $
[RemoveDoubleNeg
\stackrel{
proof
}{\rightarrow}
\lambda 
\mathsf {c}
.
\lambda 
\mathsf{x}
.
{\cal P}( 
\lceil ZFsub
\vdash 
\forall \underline{
\mathsf {a}}
\colon \dot{\neg}\, \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf {a}}
\vdash Weakening
\rhd \dot{\neg}\, \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf {a}}
\gg \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf {a}}
\Rightarrow \dot{\neg}\, \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf {a}}
; AutoImply
\gg \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf {a}}
\Rightarrow \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf {a}}
; Neg
\rhd \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf {a}}
\Rightarrow \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf {a}}
\rhd \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf {a}}
\Rightarrow \dot{\neg}\, \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf {a}}
\gg \underline{
\mathsf {a}}
\rceil 
, 
p_0
, 
\mathsf {c}
)
]$

\item $
[AddDoubleNeg
\stackrel{
stmt
}{\rightarrow}ZFsub
\vdash 
\forall \underline{
\mathsf {a}}
\colon \underline{
\mathsf {a}}
\vdash \dot{\neg}\, \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf {a}}
]$

\item $
[AddDoubleNeg
\stackrel{
proof
}{\rightarrow}
\lambda 
\mathsf {c}
.
\lambda 
\mathsf{x}
.
{\cal P}( 
\lceil ZFsub
\vdash 
\forall \underline{
\mathsf {a}}
\colon \dot{\neg}\, \dot{\neg}\, \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf {a}}
\vdash RemoveDoubleNeg
\rhd \dot{\neg}\, \dot{\neg}\, \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf {a}}
\gg \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf {a}}
; 
\forall \underline{
\mathsf {a}}
\colon Ded
\rhd 
\forall \underline{
\mathsf {a}}
\colon \dot{\neg}\, \dot{\neg}\, \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf {a}}
\vdash \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf {a}}
\gg \dot{\neg}\, \dot{\neg}\, \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf {a}}
\Rightarrow \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf {a}}
; \underline{
\mathsf {a}}
\vdash Weakening
\rhd \underline{
\mathsf {a}}
\gg \dot{\neg}\, \dot{\neg}\, \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf {a}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {a}}
; Neg
\rhd \dot{\neg}\, \dot{\neg}\, \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf {a}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {a}}
\rhd \dot{\neg}\, \dot{\neg}\, \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf {a}}
\Rightarrow \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf {a}}
\gg \dot{\neg}\, \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf {a}}
\rceil 
, 
p_0
, 
\mathsf {c}
)
]$

\end{list}

\subsection{Modus tollens og besl\ae{}gtede lemmaer}

Hovedresultatet fra dette afsnit er slutningsreglen modus tollens, bevist som et lemma:

\begin{list}{}{
\setlength{\leftmargin}{0em}
\setlength{\itemindent}{0em}
\setlength{\itemsep}{1ex}}

\item $
[MT
\stackrel{
stmt
}{\rightarrow}ZFsub
\vdash 
\forall \underline{
\mathsf {a}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf {b}}
\colon \underline{
\mathsf {a}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {b}}
\vdash \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf {b}}
\vdash \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf {a}}
]$

\item For at vise $MT$ begynder vi med et teknisk lemma, der ikke har den store v\ae{}rdi i sig selv: 

\item $
[Technicality
\stackrel{
stmt
}{\rightarrow}ZFsub
\vdash 
\forall \underline{
\mathsf {a}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf {b}}
\colon \underline{
\mathsf {a}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {b}}
\vdash \dot{\neg}\, \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf {a}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {b}}
]$

\item $
[Technicality
\stackrel{
proof
}{\rightarrow}
\lambda 
\mathsf {c}
.
\lambda 
\mathsf{x}
.
{\cal P}( 
\lceil ZFsub
\vdash 
\forall \underline{
\mathsf {a}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf {b}}
\colon \underline{
\mathsf {a}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {b}}
\vdash \dot{\neg}\, \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf {a}}
\vdash RemoveDoubleNeg
\rhd \dot{\neg}\, \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf {a}}
\gg \underline{
\mathsf {a}}
; MP
\rhd \underline{
\mathsf {a}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {b}}
\rhd \underline{
\mathsf {a}}
\gg \underline{
\mathsf {b}}
; 
\forall \underline{
\mathsf {a}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf {b}}
\colon Ded
\rhd 
\forall \underline{
\mathsf {a}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf {b}}
\colon \underline{
\mathsf {a}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {b}}
\vdash \dot{\neg}\, \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf {a}}
\vdash \underline{
\mathsf {b}}
\gg \underline{
\mathsf {a}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {b}}
\Rightarrow \dot{\neg}\, \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf {a}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {b}}
; \underline{
\mathsf {a}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {b}}
\vdash MP
\rhd \underline{
\mathsf {a}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {b}}
\Rightarrow \dot{\neg}\, \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf {a}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {b}}
\rhd \underline{
\mathsf {a}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {b}}
\gg \dot{\neg}\, \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf {a}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {b}}
\rceil 
, 
p_0
, 
\mathsf {c}
)
]$

\item Uafh\ae{}ngigt af $Technicality$ kan vi vise en version af $MT$, hvor $\underline{
\mathsf {a}}$ optr\ae{}der i negeret form:

\item $
[NegativeMT
\stackrel{
stmt
}{\rightarrow}ZFsub
\vdash 
\forall \underline{
\mathsf {a}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf {b}}
\colon \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf {a}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {b}}
\vdash \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf {b}}
\vdash \underline{
\mathsf {a}}
]$

\item $
[NegativeMT
\stackrel{
proof
}{\rightarrow}
\lambda 
\mathsf {c}
.
\lambda 
\mathsf{x}
.
{\cal P}( 
\lceil ZFsub
\vdash 
\forall \underline{
\mathsf {a}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf {b}}
\colon \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf {a}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {b}}
\vdash \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf {b}}
\vdash Weakening
\rhd \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf {b}}
\gg \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf {a}}
\Rightarrow \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf {b}}
; Neg
\rhd \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf {a}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {b}}
\rhd \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf {a}}
\Rightarrow \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf {b}}
\gg \underline{
\mathsf {a}}
\rceil 
, 
p_0
, 
\mathsf {c}
)
]$

\item Ud fra $Technicality$ og $NegativeMT$ kan vi nu vise $MT$:

\item $
[MT
\stackrel{
stmt
}{\rightarrow}ZFsub
\vdash 
\forall \underline{
\mathsf {a}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf {b}}
\colon \underline{
\mathsf {a}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {b}}
\vdash \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf {b}}
\vdash \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf {a}}
]$

\item $
[MT
\stackrel{
proof
}{\rightarrow}
\lambda 
\mathsf {c}
.
\lambda 
\mathsf{x}
.
{\cal P}( 
\lceil ZFsub
\vdash 
\forall \underline{
\mathsf {a}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf {b}}
\colon \underline{
\mathsf {a}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {b}}
\vdash \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf {b}}
\vdash Technicality
\gg \dot{\neg}\, \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf {a}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {b}}
; NegativeMT
\rhd \dot{\neg}\, \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf {a}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {b}}
\rhd \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf {b}}
\gg \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf {a}}
\rceil 
, 
p_0
, 
\mathsf {c}
)
]$

\item Vi slutter dette underafsnit med en variant af $MT$, som erstatter en inferens med en implikation:

\item $
[Contrapositive
\stackrel{
stmt
}{\rightarrow}ZFsub
\vdash 
\forall \underline{
\mathsf {a}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf {b}}
\colon \underline{
\mathsf {a}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {b}}
\vdash \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf {b}}
\Rightarrow \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf {a}}
]$

\item N\aa{}r en inferens skal erstattes med en implikation, er det altid deduktionsreglen, der skal i spil:

\item $
[Contrapositive
\stackrel{
proof
}{\rightarrow}
\lambda 
\mathsf {c}
.
\lambda 
\mathsf{x}
.
{\cal P}( 
\lceil ZFsub
\vdash 
\forall \underline{
\mathsf {a}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf {b}}
\colon \underline{
\mathsf {a}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {b}}
\vdash \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf {b}}
\vdash MT
\rhd \underline{
\mathsf {a}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {b}}
\rhd \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf {b}}
\gg \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf {a}}
; 
\forall \underline{
\mathsf {a}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf {b}}
\colon \underline{
\mathsf {a}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {b}}
\vdash Ded
\rhd 
\forall \underline{
\mathsf {a}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf {b}}
\colon \underline{
\mathsf {a}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {b}}
\vdash \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf {b}}
\vdash \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf {a}}
\gg \underline{
\mathsf {a}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {b}}
\Rightarrow \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf {b}}
\Rightarrow \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf {a}}
; MP
\rhd \underline{
\mathsf {a}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {b}}
\Rightarrow \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf {b}}
\Rightarrow \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf {a}}
\rhd \underline{
\mathsf {a}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {b}}
\gg \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf {b}}
\Rightarrow \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf {a}}
\rceil 
, 
p_0
, 
\mathsf {c}
)
]$

\end{list}

\subsection{Konjunktion}

Hovedm\aa{}let med dette underafsnit er at konvertere mellem formlerne $\underline{
\mathsf {a}}$ og $\underline{
\mathsf {b}}$ og deres konjunktion $[\dot{\neg}\, \underline{
\mathsf {a}}
\Rightarrow \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf {b}}]$.

\subsubsection{Forening af konjunkter}

Vi begynder med at sl\aa{} $\underline{
\mathsf {a}}$ og $\underline{
\mathsf {b}}$ sammen til $[\dot{\neg}\, \underline{
\mathsf {a}}
\Rightarrow \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf {b}}]$:

\begin{list}{}{
\setlength{\leftmargin}{0em}
\setlength{\itemindent}{0em}
\setlength{\itemsep}{1ex}}

\item $
[JoinConjuncts
\stackrel{
stmt
}{\rightarrow}ZFsub
\vdash 
\forall \underline{
\mathsf {a}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf {b}}
\colon \underline{
\mathsf {a}}
\vdash \underline{
\mathsf {b}}
\vdash \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf {a}}
\Rightarrow \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf {b}}
]$

\item Beviset for $JoinConjuncts$ er af teknisk karakter. Vi viser den makroekspanderede form $[\dot{\neg}\, \underline{
\mathsf {a}}
\Rightarrow \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf {b}}]$, som vi i bevisets sidste linie konverterer til $[\dot{\neg}\, \underline{
\mathsf {a}}
\Rightarrow \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf {b}}]$. Denne sidste linie er ikke n\o{}dvendig for bevischeckeren, men den g\o{}r beviset lidt nemmere at l\ae{}se:

\item $
[JoinConjuncts
\stackrel{
proof
}{\rightarrow}
\lambda 
\mathsf {c}
.
\lambda 
\mathsf{x}
.
{\cal P}( 
\lceil ZFsub
\vdash 
\forall \underline{
\mathsf {a}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf {b}}
\colon \underline{
\mathsf {a}}
\vdash \underline{
\mathsf {a}}
\Rightarrow \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf {b}}
\vdash MP
\rhd \underline{
\mathsf {a}}
\Rightarrow \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf {b}}
\rhd \underline{
\mathsf {a}}
\gg \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf {b}}
; 
\forall \underline{
\mathsf {a}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf {b}}
\colon Ded
\rhd 
\forall \underline{
\mathsf {a}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf {b}}
\colon \underline{
\mathsf {a}}
\vdash \underline{
\mathsf {a}}
\Rightarrow \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf {b}}
\vdash \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf {b}}
\gg \underline{
\mathsf {a}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {a}}
\Rightarrow \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf {b}}
\Rightarrow \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf {b}}
; \underline{
\mathsf {a}}
\vdash \underline{
\mathsf {b}}
\vdash MP
\rhd \underline{
\mathsf {a}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {a}}
\Rightarrow \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf {b}}
\Rightarrow \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf {b}}
\rhd \underline{
\mathsf {a}}
\gg \underline{
\mathsf {a}}
\Rightarrow \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf {b}}
\Rightarrow \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf {b}}
; AddDoubleNeg
\rhd \underline{
\mathsf {b}}
\gg \dot{\neg}\, \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf {b}}
; MT
\rhd \underline{
\mathsf {a}}
\Rightarrow \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf {b}}
\Rightarrow \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf {b}}
\rhd \dot{\neg}\, \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf {b}}
\gg \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf {a}}
\Rightarrow \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf {b}}
; Repetition
\rhd \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf {a}}
\Rightarrow \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf {b}}
\gg \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf {a}}
\Rightarrow \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf {b}}
\rceil 
, 
p_0
, 
\mathsf {c}
)
]$

\end{list}

\subsubsection{Udskilning af anden konjunkt}

Tautologien $SecondConjunct$ lader os udskille den anden konjunkt fra $[\dot{\neg}\, \underline{
\mathsf {a}}
\Rightarrow \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf {b}}]$. Jeg vil ikke kommentere beviset:

\begin{list}{}{
\setlength{\leftmargin}{0em}
\setlength{\itemindent}{0em}
\setlength{\itemsep}{1ex}}

\item $
[SecondConjunct
\stackrel{
stmt
}{\rightarrow}ZFsub
\vdash 
\forall \underline{
\mathsf {a}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf {b}}
\colon \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf {a}}
\Rightarrow \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf {b}}
\vdash \underline{
\mathsf {b}}
]$

\item $
[SecondConjunct
\stackrel{
proof
}{\rightarrow}
\lambda 
\mathsf {c}
.
\lambda 
\mathsf{x}
.
{\cal P}( 
\lceil ZFsub
\vdash 
\forall \underline{
\mathsf {a}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf {b}}
\colon \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf {b}}
\vdash Weakening
\rhd \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf {b}}
\gg \underline{
\mathsf {a}}
\Rightarrow \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf {b}}
; 
\forall \underline{
\mathsf {a}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf {b}}
\colon Ded
\rhd 
\forall \underline{
\mathsf {a}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf {b}}
\colon \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf {b}}
\vdash \underline{
\mathsf {a}}
\Rightarrow \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf {b}}
\gg \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf {b}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {a}}
\Rightarrow \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf {b}}
; \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf {a}}
\Rightarrow \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf {b}}
\vdash Repetition
\rhd \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf {a}}
\Rightarrow \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf {b}}
\gg \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf {a}}
\Rightarrow \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf {b}}
; NegativeMT
\rhd \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf {b}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {a}}
\Rightarrow \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf {b}}
\rhd \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf {a}}
\Rightarrow \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf {b}}
\gg \underline{
\mathsf {b}}
\rceil 
, 
p_0
, 
\mathsf {c}
)
]$

\end{list}

\subsubsection{Udskilning af f\o{}rste konjunkt}

For at udskille $\underline{
\mathsf {a}}$ fra $[\dot{\neg}\, \underline{
\mathsf {a}}
\Rightarrow \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf {b}}]$ viser vi f\o{}rst, at $[\dot{\neg}\, \underline{
\mathsf {a}}
\Rightarrow \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf {b}}]$ er kommutativ. Jeg vil ikke kommentere beviset:

\begin{list}{}{
\setlength{\leftmargin}{0em}
\setlength{\itemindent}{0em}
\setlength{\itemsep}{1ex}}

\item $
[AndCommutativity
\stackrel{
stmt
}{\rightarrow}ZFsub
\vdash 
\forall \underline{
\mathsf {a}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf {b}}
\colon \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf {a}}
\Rightarrow \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf {b}}
\vdash \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf {b}}
\Rightarrow \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf {a}}
]$

\item $
[AndCommutativity
\stackrel{
proof
}{\rightarrow}
\lambda 
\mathsf {c}
.
\lambda 
\mathsf{x}
.
{\cal P}( 
\lceil ZFsub
\vdash 
\forall \underline{
\mathsf {a}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf {b}}
\colon \underline{
\mathsf {b}}
\Rightarrow \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf {a}}
\vdash \underline{
\mathsf {a}}
\vdash AddDoubleNeg
\rhd \underline{
\mathsf {a}}
\gg \dot{\neg}\, \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf {a}}
; MT
\rhd \underline{
\mathsf {b}}
\Rightarrow \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf {a}}
\rhd \dot{\neg}\, \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf {a}}
\gg \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf {b}}
; 
\forall \underline{
\mathsf {a}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf {b}}
\colon Ded
\rhd 
\forall \underline{
\mathsf {a}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf {b}}
\colon \underline{
\mathsf {b}}
\Rightarrow \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf {a}}
\vdash \underline{
\mathsf {a}}
\vdash \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf {b}}
\gg \underline{
\mathsf {b}}
\Rightarrow \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf {a}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {a}}
\Rightarrow \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf {b}}
; \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf {a}}
\Rightarrow \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf {b}}
\vdash Repetition
\gg \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf {a}}
\Rightarrow \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf {b}}
; MT
\rhd \underline{
\mathsf {b}}
\Rightarrow \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf {a}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {a}}
\Rightarrow \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf {b}}
\rhd \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf {a}}
\Rightarrow \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf {b}}
\gg \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf {b}}
\Rightarrow \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf {a}}
; Repetition
\rhd \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf {b}}
\Rightarrow \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf {a}}
\gg \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf {b}}
\Rightarrow \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf {a}}
\rceil 
, 
p_0
, 
\mathsf {c}
)
]$

\item Nu er det let at udskille den f\o{}rste konjunkt fra $[\dot{\neg}\, \underline{
\mathsf {a}}
\Rightarrow \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf {b}}]$: F\o{}rst vender vi konjunktionen om til $[\dot{\neg}\, \underline{
\mathsf {b}}
\Rightarrow \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf {a}}]$ ved hj\ae{}lp af $AndCommutativity$, og s\aa{} udskiller vi $\underline{
\mathsf {a}}$ ved hj\ae{}lp af $SecondConjunct$:

\item $
[FirstConjunct
\stackrel{
stmt
}{\rightarrow}ZFsub
\vdash 
\forall \underline{
\mathsf {a}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf {b}}
\colon \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf {a}}
\Rightarrow \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf {b}}
\vdash \underline{
\mathsf {a}}
]$

\item $
[FirstConjunct
\stackrel{
proof
}{\rightarrow}
\lambda 
\mathsf {c}
.
\lambda 
\mathsf{x}
.
{\cal P}( 
\lceil ZFsub
\vdash 
\forall \underline{
\mathsf {a}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf {b}}
\colon \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf {a}}
\Rightarrow \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf {b}}
\vdash AndCommutativity
\rhd \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf {a}}
\Rightarrow \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf {b}}
\gg \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf {b}}
\Rightarrow \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf {a}}
; SecondConjunct
\rhd \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf {b}}
\Rightarrow \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf {a}}
\gg \underline{
\mathsf {a}}
\rceil 
, 
p_0
, 
\mathsf {c}
)
]$

\end{list}

\subsection{Dobbeltimplikation}

I dette underafsnit viser vi tre enkle resultater vedr.\ dobbeltimplikation.

\subsubsection{Brug sammen med modus ponens}

De f\o{}lgende to tautologier g\o{}r det let at bruge anvende slutningsreglen $MP$ p\aa{} dobbeltimplikationer. Beviserne er enkle og kr\ae{}ver ingen kommentarer:

\begin{list}{}{
\setlength{\leftmargin}{0em}
\setlength{\itemindent}{0em}
\setlength{\itemsep}{1ex}}

\item $
[IffFirst
\stackrel{
stmt
}{\rightarrow}ZFsub
\vdash 
\forall \underline{
\mathsf {a}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf {b}}
\colon \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf {a}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {b}}
\Rightarrow \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf {b}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {a}}
\vdash \underline{
\mathsf {b}}
\vdash \underline{
\mathsf {a}}
]$

\item $
[IffFirst
\stackrel{
proof
}{\rightarrow}
\lambda 
\mathsf {c}
.
\lambda 
\mathsf{x}
.
{\cal P}( 
\lceil ZFsub
\vdash 
\forall \underline{
\mathsf {a}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf {b}}
\colon \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf {a}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {b}}
\Rightarrow \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf {b}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {a}}
\vdash \underline{
\mathsf {b}}
\vdash SecondConjunct
\rhd \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf {a}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {b}}
\Rightarrow \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf {b}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {a}}
\gg \underline{
\mathsf {b}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {a}}
; MP
\rhd \underline{
\mathsf {b}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {a}}
\rhd \underline{
\mathsf {b}}
\gg \underline{
\mathsf {a}}
\rceil 
, 
p_0
, 
\mathsf {c}
)
]$

\item$
[IffSecond
\stackrel{
stmt
}{\rightarrow}ZFsub
\vdash 
\forall \underline{
\mathsf {a}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf {b}}
\colon \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf {a}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {b}}
\Rightarrow \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf {b}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {a}}
\vdash \underline{
\mathsf {a}}
\vdash \underline{
\mathsf {b}}
]$

\item $
[IffSecond
\stackrel{
proof
}{\rightarrow}
\lambda 
\mathsf {c}
.
\lambda 
\mathsf{x}
.
{\cal P}( 
\lceil ZFsub
\vdash 
\forall \underline{
\mathsf {a}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf {b}}
\colon \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf {a}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {b}}
\Rightarrow \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf {b}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {a}}
\vdash \underline{
\mathsf {a}}
\vdash FirstConjunct
\rhd \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf {a}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {b}}
\Rightarrow \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf {b}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {a}}
\gg \underline{
\mathsf {a}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {b}}
; MP
\rhd \underline{
\mathsf {a}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {b}}
\rhd \underline{
\mathsf {a}}
\gg \underline{
\mathsf {b}}
\rceil 
, 
p_0
, 
\mathsf {c}
)
]$

\end{list}

\subsubsection{Kommutativitet}

Lemmaet $IffCommutativity$ f\o{}lger direkte af, at operatoren $[\dot{\neg}\, 
\mathsf{x}
\Rightarrow \dot{\neg}\, 
\mathsf{y}]$
er kommutativ:

\begin{list}{}{
\setlength{\leftmargin}{0em}
\setlength{\itemindent}{0em}
\setlength{\itemsep}{1ex}}

\item $
[IffCommutativity
\stackrel{
stmt
}{\rightarrow}ZFsub
\vdash 
\forall \underline{
\mathsf {a}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf {b}}
\colon \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf {a}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {b}}
\Rightarrow \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf {b}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {a}}
\vdash \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf {b}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {a}}
\Rightarrow \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf {a}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {b}}
]$

\item $
[IffCommutativity
\stackrel{
proof
}{\rightarrow}
\lambda 
\mathsf {c}
.
\lambda 
\mathsf{x}
.
{\cal P}( 
\lceil ZFsub
\vdash 
\forall \underline{
\mathsf {a}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf {b}}
\colon \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf {a}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {b}}
\Rightarrow \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf {b}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {a}}
\vdash Repetition
\rhd \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf {a}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {b}}
\Rightarrow \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf {b}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {a}}
\gg \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf {a}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {b}}
\Rightarrow \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf {b}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {a}}
; AndCommutativity
\rhd \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf {a}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {b}}
\Rightarrow \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf {b}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {a}}
\gg \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf {b}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {a}}
\Rightarrow \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf {a}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {b}}
; Repetition
\rhd \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf {b}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {a}}
\Rightarrow \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf {a}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {b}}
\gg \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf {b}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {a}}
\Rightarrow \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf {a}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {b}}
\rceil 
, 
p_0
, 
\mathsf {c}
)
]$

\end{list}

\subsection{Disjunktion}

Dette underafsnit indeholder tre lemmaer vedr.\ disjunktion, som vi fordeler p\aa{} to under-underafsnit.

\subsubsection{Sv\ae{}kkelse}

Givet en p\aa{}stand $\underline{
\mathsf {b}}$ vil vi gerne udlede de svagere p\aa{}stande $[\dot{\neg}\, \underline{
\mathsf {a}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {b}}]$ og $[\dot{\neg}\, \underline{
\mathsf {b}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {a}}]$. Den f\o{}rste slutning varetages af lemmaet $WeakenOr1$:

\begin{list}{}{
\setlength{\leftmargin}{0em}
\setlength{\itemindent}{0em}
\setlength{\itemsep}{1ex}}

\item $
[WeakenOr1
\stackrel{
stmt
}{\rightarrow}ZFsub
\vdash 
\forall \underline{
\mathsf {a}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf {b}}
\colon \underline{
\mathsf {b}}
\vdash \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf {a}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {b}}
]$

\item Beviset best\aa{}r af en simpel anvendelse af $Weakening$:

\item $
[WeakenOr1
\stackrel{
proof
}{\rightarrow}
\lambda 
\mathsf {c}
.
\lambda 
\mathsf{x}
.
{\cal P}( 
\lceil ZFsub
\vdash 
\forall \underline{
\mathsf {a}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf {b}}
\colon \underline{
\mathsf {b}}
\vdash Weakening
\rhd \underline{
\mathsf {b}}
\gg \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf {a}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {b}}
; Repetition
\rhd \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf {a}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {b}}
\gg \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf {a}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {b}}
\rceil 
, 
p_0
, 
\mathsf {c}
)
]$

\item Slutningen fra $\underline{
\mathsf {a}}$ til $[\dot{\neg}\, \underline{
\mathsf {a}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {b}}]$ varetages af lemmaet $WeakenOr2$:

\item $
[WeakenOr2
\stackrel{
stmt
}{\rightarrow}ZFsub
\vdash 
\forall \underline{
\mathsf {a}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf {b}}
\colon \underline{
\mathsf {a}}
\vdash \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf {a}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {b}}
]$

\item Kernen i beviset for $WeakenOr2$ er en anvendelse af $FromContradiction$:

\item $
[WeakenOr2
\stackrel{
proof
}{\rightarrow}
\lambda 
\mathsf {c}
.
\lambda 
\mathsf{x}
.
{\cal P}( 
\lceil ZFsub
\vdash 
\forall \underline{
\mathsf {a}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf {b}}
\colon \underline{
\mathsf {a}}
\vdash \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf {a}}
\vdash FromContradiction
\rhd \underline{
\mathsf {a}}
\rhd \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf {a}}
\gg \underline{
\mathsf {b}}
; 
\forall \underline{
\mathsf {a}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf {b}}
\colon Ded
\rhd 
\forall \underline{
\mathsf {a}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf {b}}
\colon \underline{
\mathsf {a}}
\vdash \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf {a}}
\vdash \underline{
\mathsf {b}}
\gg \underline{
\mathsf {a}}
\Rightarrow \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf {a}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {b}}
; \underline{
\mathsf {a}}
\vdash MP
\rhd \underline{
\mathsf {a}}
\Rightarrow \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf {a}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {b}}
\rhd \underline{
\mathsf {a}}
\gg \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf {a}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {b}}
; Repetition
\rhd \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf {a}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {b}}
\gg \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf {a}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {b}}
\rceil 
, 
p_0
, 
\mathsf {c}
)
]$

\end{list}

\subsubsection{Slutning ud fra disjunktion}

Lemmaet $FromDisjuncts$ lader os drage slutninger ud fra en disjunktion:

\begin{list}{}{
\setlength{\leftmargin}{0em}
\setlength{\itemindent}{0em}
\setlength{\itemsep}{1ex}}

\item $
[FromDisjuncts
\stackrel{
stmt
}{\rightarrow}ZFsub
\vdash 
\forall \underline{
\mathsf {a}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf {b}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf {c}}
\colon \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf {a}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {b}}
\vdash \underline{
\mathsf {a}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {c}}
\vdash \underline{
\mathsf {b}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {c}}
\vdash \underline{
\mathsf {c}}
]$

\item Om beviset vil jeg kun sige, at det er en ret elegant \o{}velse i bevisteknik:

\item $
[FromDisjuncts
\stackrel{
proof
}{\rightarrow}
\lambda 
\mathsf {c}
.
\lambda 
\mathsf{x}
.
{\cal P}( 
\lceil ZFsub
\vdash 
\forall \underline{
\mathsf {a}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf {b}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf {c}}
\colon \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf {a}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {b}}
\vdash \underline{
\mathsf {a}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {c}}
\vdash \underline{
\mathsf {b}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {c}}
\vdash Repetition
\rhd \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf {a}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {b}}
\gg \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf {a}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {b}}
; Contrapositive
\rhd \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf {a}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {b}}
\gg \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf {b}}
\Rightarrow \dot{\neg}\, \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf {a}}
; Technicality
\rhd \underline{
\mathsf {a}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {c}}
\gg \dot{\neg}\, \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf {a}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {c}}
; ImplyTransitivity
\rhd \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf {b}}
\Rightarrow \dot{\neg}\, \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf {a}}
\rhd \dot{\neg}\, \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf {a}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {c}}
\gg \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf {b}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {c}}
; Contrapositive
\rhd \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf {b}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {c}}
\gg \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf {c}}
\Rightarrow \dot{\neg}\, \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf {b}}
; Contrapositive
\rhd \underline{
\mathsf {b}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {c}}
\gg \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf {c}}
\Rightarrow \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf {b}}
; Neg
\rhd \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf {c}}
\Rightarrow \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf {b}}
\rhd \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf {c}}
\Rightarrow \dot{\neg}\, \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf {b}}
\gg \underline{
\mathsf {c}}
\rceil 
, 
p_0
, 
\mathsf {c}
)
]$

\end{list}

(********************)





\appendix


\begin {flushleft}$
[am
\stackrel{
\mathrm{prio}
}{\rightarrow}
\newline \mathbf {Preassociative} \newline 
[am
] , \linebreak [0] 
[
\mbox{base}
] , \linebreak [0] 
[
\mbox{bracket $
\ast $ end bracket}
] , \linebreak [0] 
[
\mbox{big bracket $
\ast $ end bracket}
] , \linebreak [0] 
[
\ \$
\ast \$\linebreak[0]\ 
] , \linebreak [0] 
[
\mathbf{flush\ left\ }[ 
\ast 
]
] , \linebreak [0] 
[
\mathsf{x}
] , \linebreak [0] 
[
\mathsf{y}
] , \linebreak [0] 
[
\mathsf{z}
] , \linebreak [0] 
[
[
\ast 
\bowtie
\ast 
]
] , \linebreak [0] 
[
[
\ast 
\stackrel{
\ast 
}{\rightarrow}
\ast 
]
] , \linebreak [0] 
[
\mathrm{pyk}
] , \linebreak [0] 
[
\mathrm{tex}
] , \linebreak [0] 
[
\mathrm{name}
] , \linebreak [0] 
[
\mathrm{prio}
] , \linebreak [0] 
[
\ast 
] , \linebreak [0] 
[
\mathsf {T}
] , \linebreak [0] 
[
\mathrm {if}(
\ast 
,\linebreak [0]
\ast 
,\linebreak [0]
\ast 
)
] , \linebreak [0] 
[
[
\ast 
\stackrel {
\ast 
}{\Rightarrow }
\ast 
]
] , \linebreak [0] 
[
\mathrm {val}
] , \linebreak [0] 
[
\mathrm {claim}
] , \linebreak [0] 
[
\bot 
] , \linebreak [0] 
[
f(
\ast 
)
] , \linebreak [0] 
[
(
\ast 
){}^{I} 
] , \linebreak [0] 
[
\mathsf {F}
] , \linebreak [0] 
[
\underline {0}
] , \linebreak [0] 
[
\underline {1}
] , \linebreak [0] 
[
\underline {2}
] , \linebreak [0] 
[
\underline {3}
] , \linebreak [0] 
[
\underline {4}
] , \linebreak [0] 
[
\underline {5}
] , \linebreak [0] 
[
\underline {6}
] , \linebreak [0] 
[
\underline {7}
] , \linebreak [0] 
[
\underline {8}
] , \linebreak [0] 
[
\underline {9}
] , \linebreak [0] 
[
0
] , \linebreak [0] 
[
1
] , \linebreak [0] 
[
2
] , \linebreak [0] 
[
3
] , \linebreak [0] 
[
4
] , \linebreak [0] 
[
5
] , \linebreak [0] 
[
6
] , \linebreak [0] 
[
7
] , \linebreak [0] 
[
8
] , \linebreak [0] 
[
9
] , \linebreak [0] 
[
\mathsf {a}
] , \linebreak [0] 
[
\mathsf {b}
] , \linebreak [0] 
[
\mathsf {c}
] , \linebreak [0] 
[
\mathsf {d}
] , \linebreak [0] 
[
\mathsf {e}
] , \linebreak [0] 
[
\mathsf {f}
] , \linebreak [0] 
[
\mathsf {g}
] , \linebreak [0] 
[
\mathsf {h}
] , \linebreak [0] 
[
\mathsf {i}
] , \linebreak [0] 
[
\mathsf {j}
] , \linebreak [0] 
[
\mathsf {k}
] , \linebreak [0] 
[
\mathsf {l}
] , \linebreak [0] 
[
\mathsf {m}
] , \linebreak [0] 
[
\mathsf {n}
] , \linebreak [0] 
[
\mathsf {o}
] , \linebreak [0] 
[
\mathsf {p}
] , \linebreak [0] 
[
\mathsf {q}
] , \linebreak [0] 
[
\mathsf {r}
] , \linebreak [0] 
[
\mathsf {s}
] , \linebreak [0] 
[
\mathsf {t}
] , \linebreak [0] 
[
\mathsf {u}
] , \linebreak [0] 
[
\mathsf {v}
] , \linebreak [0] 
[
\mathsf {w}
] , \linebreak [0] 
[
(
\ast 
)^M
] , \linebreak [0] 
[
\mathrm {If}(
\ast 
,\linebreak [0]
\ast 
,\linebreak [0]
\ast 
)
] , \linebreak [0] 
[\mathrm {array}\{
\ast 
\}
\ast 
\mathrm {end\ array}
] , \linebreak [0] 
[
l
] , \linebreak [0] 
[
c
] , \linebreak [0] 
[
r
] , \linebreak [0] 
[
\mathrm {empty}
] , \linebreak [0] 
[
\langle 
\ast 
\,{|}
\ast 
{:=}\,
\ast 
\rangle 
] , \linebreak [0] 
[
{\cal M}(
\ast 
)
] , \linebreak [0] 
[
\tilde {{\cal U}}(
\ast 
)
] , \linebreak [0] 
[
{\cal U}(
\ast 
)
] , \linebreak [0] 
[
{\cal U}^M(
\ast 
)
] , \linebreak [0] 
[
\mathbf {apply}(
\ast 
,
\ast 
)
] , \linebreak [0] 
[
\mathbf {apply}_1(
\ast 
,
\ast 
)
] , \linebreak [0] 
[
identifier( 
\ast 
)
] , \linebreak [0] 
[
identifier_{1}( 
\ast 
, 
\ast 
)
] , \linebreak [0] 
[
array\mbox{-}\linebreak[0]plus( 
\ast 
, 
\ast 
)
] , \linebreak [0] 
[
array\mbox{-}\linebreak[0]remove( 
\ast 
, 
\ast 
, 
\ast 
)
] , \linebreak [0] 
[
array\mbox{-}\linebreak[0]put( 
\ast 
, 
\ast 
, 
\ast 
, 
\ast 
)
] , \linebreak [0] 
[
array\mbox{-}\linebreak[0]add( 
\ast 
, 
\ast 
, 
\ast 
, 
\ast 
, 
\ast 
)
] , \linebreak [0] 
[
bit( 
\ast 
, 
\ast 
)
] , \linebreak [0] 
[
bit_1( 
\ast 
, 
\ast 
)
] , \linebreak [0] 
[
rack
] , \linebreak [0] 
[
\mbox {\tt \char34}\mathrm {vector}\mbox {\tt \char34}
] , \linebreak [0] 
[
\mbox {\tt \char34}\mathrm {bibliography}\mbox {\tt \char34}
] , \linebreak [0] 
[
\mbox {\tt \char34}\mathrm {dictionary}\mbox {\tt \char34}
] , \linebreak [0] 
[
\mbox {\tt \char34}\mathrm {body}\mbox {\tt \char34}
] , \linebreak [0] 
[
\mbox {\tt \char34}\mathrm {codex}\mbox {\tt \char34}
] , \linebreak [0] 
[
\mbox {\tt \char34}\mathrm {expansion}\mbox {\tt \char34}
] , \linebreak [0] 
[
\mbox {\tt \char34}\mathrm {code}\mbox {\tt \char34}
] , \linebreak [0] 
[
\mbox {\tt \char34}\mathrm {cache}\mbox {\tt \char34}
] , \linebreak [0] 
[
\mbox {\tt \char34}\mathrm {diagnose}\mbox {\tt \char34}
] , \linebreak [0] 
[
\mbox {\tt \char34}\mathrm {pyk}\mbox {\tt \char34}
] , \linebreak [0] 
[
\mbox {\tt \char34}\mathrm {tex}\mbox {\tt \char34}
] , \linebreak [0] 
[
\mbox {\tt \char34}\mathrm {texname}\mbox {\tt \char34}
] , \linebreak [0] 
[
\mbox {\tt \char34}\mathrm {value}\mbox {\tt \char34}
] , \linebreak [0] 
[
\mbox {\tt \char34}\mathrm {message}\mbox {\tt \char34}
] , \linebreak [0] 
[
\mbox {\tt \char34}\mathrm {macro}\mbox {\tt \char34}
] , \linebreak [0] 
[
\mbox {\tt \char34}\mathrm {definition}\mbox {\tt \char34}
] , \linebreak [0] 
[
\mbox {\tt \char34}\mathrm {unpack}\mbox {\tt \char34}
] , \linebreak [0] 
[
\mbox {\tt \char34}\mathrm {claim}\mbox {\tt \char34}
] , \linebreak [0] 
[
\mbox {\tt \char34}\mathrm {priority}\mbox {\tt \char34}
] , \linebreak [0] 
[
\mbox {\tt \char34}\mathrm {lambda}\mbox {\tt \char34}
] , \linebreak [0] 
[
\mbox {\tt \char34}\mathrm {apply}\mbox {\tt \char34}
] , \linebreak [0] 
[
\mbox {\tt \char34}\mathrm {true}\mbox {\tt \char34}
] , \linebreak [0] 
[
\mbox {\tt \char34}\mathrm {if}\mbox {\tt \char34}
] , \linebreak [0] 
[
\mbox {\tt \char34}\mathrm {quote}\mbox {\tt \char34}
] , \linebreak [0] 
[
\mbox {\tt \char34}\mathrm {proclaim}\mbox {\tt \char34}
] , \linebreak [0] 
[
\mbox {\tt \char34}\mathrm {define}\mbox {\tt \char34}
] , \linebreak [0] 
[
\mbox {\tt \char34}\mathrm {introduce}\mbox {\tt \char34}
] , \linebreak [0] 
[
\mbox {\tt \char34}\mathrm {hide}\mbox {\tt \char34}
] , \linebreak [0] 
[
\mbox {\tt \char34}\mathrm {pre}\mbox {\tt \char34}
] , \linebreak [0] 
[
\mbox {\tt \char34}\mathrm {post}\mbox {\tt \char34}
] , \linebreak [0] 
[
{\cal E}(
\ast 
,
\ast 
,
\ast 
)
] , \linebreak [0] 
[
{\cal E}_2(
\ast 
,
\ast 
,
\ast 
,
\ast 
,
\ast 
)
] , \linebreak [0] 
[
{\cal E}_3(
\ast 
,
\ast 
,
\ast 
,
\ast 
)
] , \linebreak [0] 
[
{\cal E}_4(
\ast 
,
\ast 
,
\ast 
,
\ast 
)
] , \linebreak [0] 
[
\mathbf {lookup}(
\ast 
,
\ast 
,
\ast 
)
] , \linebreak [0] 
[
\mathbf {abstract}(
\ast 
,
\ast 
,
\ast 
,
\ast 
)
] , \linebreak [0] 
[
\lceil 
\ast 
\rceil 
] , \linebreak [0] 
[
{\cal M}(
\ast 
,
\ast 
,
\ast 
)
] , \linebreak [0] 
[
{\cal M}_2(
\ast 
,
\ast 
,
\ast 
,
\ast 
)
] , \linebreak [0] 
[
{\cal M}^*(
\ast 
,
\ast 
,
\ast 
)
] , \linebreak [0] 
[
\mathrm {macro}
] , \linebreak [0] 
[
s_0
] , \linebreak [0] 
[
\mathbf {zip}(
\ast 
,
\ast 
)
] , \linebreak [0] 
[
\mathbf {assoc}_1(
\ast 
,
\ast 
,
\ast 
)
] , \linebreak [0] 
[(
\ast 
)^{\mathbf {p}}
] , \linebreak [0] 
[
\mbox{self}
] , \linebreak [0] 
[
[
\ast 
\mathrel {\ddot {=}}
\ast 
]
] , \linebreak [0] 
[
[
\ast 
\mathrel {\dot {=}}
\ast 
]
] , \linebreak [0] 
[
[
\ast 
\mathrel {\acute {=}}
\ast 
]
] , \linebreak [0] 
[
[
\ast 
\stackrel {\mathrm {pyk}}{=} 
\ast 
]
] , \linebreak [0] 
[
[
\ast 
\stackrel {\mathrm {tex}}{=} 
\ast 
]
] , \linebreak [0] 
[
[
\ast 
\stackrel {\mathrm {name}}{=} 
\ast 
]
] , \linebreak [0] 
[
\mathbf{Priority\ table} [ 
\ast 
]
] , \linebreak [0] 
[
\tilde {{\cal M}}_1
] , \linebreak [0] 
[
\tilde {{\cal M}}_2(
\ast 
)
] , \linebreak [0] 
[
\tilde {{\cal M}}_3(
\ast 
)
] , \linebreak [0] 
[
\tilde {{\cal M}}_4(
\ast 
,
\ast 
,
\ast 
,
\ast 
)
] , \linebreak [0] 
[
\tilde {{\cal M}}(
\ast 
,
\ast 
,
\ast 
)
] , \linebreak [0] 
[
\tilde {{\cal Q}}(
\ast 
,
\ast 
,
\ast 
)
] , \linebreak [0] 
[
\tilde {{\cal Q}}_2(
\ast 
,
\ast 
,
\ast 
)
] , \linebreak [0] 
[
\tilde {{\cal Q}}_3(
\ast 
,
\ast 
,
\ast 
,
\ast 
)
] , \linebreak [0] 
[
\tilde {{\cal Q}}^*(
\ast 
,
\ast 
,
\ast 
)
] , \linebreak [0] 
[
(
\ast 
)
] , \linebreak [0] 
[
\left( 
\ast 
\right) 
] , \linebreak [0] 
[
display(
\ast 
)
] , \linebreak [0] 
[
statement(
\ast 
)
] , \linebreak [0] 
[
[
\ast 
]^{\cdot}
] , \linebreak [0] 
[
[
\ast 
]^-
] , \linebreak [0] 
[
\mathbf{aspect}( 
\ast 
, 
\ast 
)
] , \linebreak [0] 
[
\mathbf{aspect}( 
\ast 
, 
\ast 
, 
\ast 
)
] , \linebreak [0] 
[
\langle 
\ast 
\rangle 
] , \linebreak [0] 
[
\mathbf {tuple}_1( 
\ast 
) 
] , \linebreak [0] 
[
\mathbf {tuple}_2( 
\ast 
) 
] , \linebreak [0] 
[
let_2( 
\ast 
, 
\ast 
)
] , \linebreak [0] 
[
let_1( 
\ast 
, 
\ast 
)
] , \linebreak [0] 
[
[
\ast 
\stackrel {claim}{=}
\ast 
]
] , \linebreak [0] 
[
\mbox{checker}
] , \linebreak [0] 
[
\mathbf{check}( 
\ast 
, 
\ast 
)
] , \linebreak [0] 
[
\mathbf{check}_2( 
\ast 
, 
\ast 
, 
\ast 
)
] , \linebreak [0] 
[
\mathbf{check}_3( 
\ast 
, 
\ast 
, 
\ast 
)
] , \linebreak [0] 
[
\mathbf{check}^*( 
\ast 
, 
\ast 
)
] , \linebreak [0] 
[
\mathbf{check}^*_2( 
\ast 
, 
\ast 
, 
\ast 
)
] , \linebreak [0] 
[
\relax [ 
\ast 
\relax ]^{\cdot} 
] , \linebreak [0] 
[
\relax [ 
\ast 
\relax ]^{-} 
] , \linebreak [0] 
[
\relax [ 
\ast 
\relax ]^{\circ} 
] , \linebreak [0] 
[
msg
] , \linebreak [0] 
[
[
\ast 
\stackrel {msg}{=} 
\ast 
]
] , \linebreak [0] 
[
{<}stmt{>}
] , \linebreak [0] 
[
stmt
] , \linebreak [0] 
[
[
\ast 
\stackrel {stmt}{=}
\ast 
]
] , \linebreak [0] 
[
HeadNil'
] , \linebreak [0] 
[
HeadPair'
] , \linebreak [0] 
[
Transitivity'
] , \linebreak [0] 
[
{\makebox [0mm][l]{$\bot $}\,{\bot }}
] , \linebreak [0] 
[
Contra'
] , \linebreak [0] 
[
T'_{E}
] , \linebreak [0] 
[
L_{1}
] , \linebreak [0] 
[\underline{
\ast }
] , \linebreak [0] 
[{\cal A}
] , \linebreak [0] 
[{\cal B}
] , \linebreak [0] 
[{\cal C}
] , \linebreak [0] 
[{\cal D}
] , \linebreak [0] 
[{\cal E}
] , \linebreak [0] 
[{\cal F}
] , \linebreak [0] 
[{\cal G}
] , \linebreak [0] 
[{\cal H}
] , \linebreak [0] 
[{\cal I}
] , \linebreak [0] 
[{\cal J}
] , \linebreak [0] 
[{\cal K}
] , \linebreak [0] 
[{\cal L}
] , \linebreak [0] 
[{\cal M}
] , \linebreak [0] 
[{\cal N}
] , \linebreak [0] 
[{\cal O}
] , \linebreak [0] 
[{\cal P}
] , \linebreak [0] 
[{\cal Q}
] , \linebreak [0] 
[{\cal R}
] , \linebreak [0] 
[{\cal S}
] , \linebreak [0] 
[{\cal T}
] , \linebreak [0] 
[{\cal U}
] , \linebreak [0] 
[{\cal V}
] , \linebreak [0] 
[{\cal W}
] , \linebreak [0] 
[{\cal X}
] , \linebreak [0] 
[{\cal Y}
] , \linebreak [0] 
[{\cal Z}
] , \linebreak [0] 
[
\langle 
\ast 
\,{\protect\vert}
\ast 
{:=}\,
\ast 
\rangle 
] , \linebreak [0] 
[
\langle ^ { \ast } 
\ast 
\,{\protect\vert}
\ast 
{:=}\,
\ast 
\rangle 
] , \linebreak [0] 
[
\emptyset 
] , \linebreak [0] 
[
Remainder
] , \linebreak [0] 
[
( 
\ast 
)^{\bf v}
] , \linebreak [0] 
[
intro(
\ast 
,
\ast 
,
\ast 
,
\ast 
)
] , \linebreak [0] 
[
intro(
\ast 
,
\ast 
,
\ast 
)
] , \linebreak [0] 
[
error(
\ast 
,
\ast 
)
] , \linebreak [0] 
[
error_{2}(
\ast 
,
\ast 
)
] , \linebreak [0] 
[
proof( 
\ast 
, 
\ast 
, 
\ast 
)
] , \linebreak [0] 
[
proof_{2}( 
\ast 
, 
\ast 
)
] , \linebreak [0] 
[
{\cal S}(
\ast 
, 
\ast 
)
] , \linebreak [0] 
[
{\cal S}^{I}(
\ast 
, 
\ast 
)
] , \linebreak [0] 
[
{\cal S}^{\rhd}(
\ast 
, 
\ast 
)
] , \linebreak [0] 
[
{\cal S}_{1}^{\rhd}(
\ast 
, 
\ast 
, 
\ast 
)
] , \linebreak [0] 
[
{\cal S}^{E}(
\ast 
, 
\ast 
)
] , \linebreak [0] 
[
{\cal S}_{1}^{E}(
\ast 
, 
\ast 
, 
\ast 
)
] , \linebreak [0] 
[
{\cal S}^{+}(
\ast 
, 
\ast 
)
] , \linebreak [0] 
[
{\cal S}_{1}^{+}(
\ast 
, 
\ast 
, 
\ast 
)
] , \linebreak [0] 
[
{\cal S}^{-}(
\ast 
, 
\ast 
)
] , \linebreak [0] 
[
{\cal S}_{1}^{-}(
\ast 
, 
\ast 
, 
\ast 
)
] , \linebreak [0] 
[
{\cal S}^{\ast}(
\ast 
, 
\ast 
)
] , \linebreak [0] 
[
{\cal S}_{1}^{\ast}(
\ast 
, 
\ast 
, 
\ast 
)
] , \linebreak [0] 
[
{\cal S}_{2}^{\ast}(
\ast 
, 
\ast 
, 
\ast 
, 
\ast 
)
] , \linebreak [0] 
[
{\cal S}^{\char64}(
\ast 
, 
\ast 
)
] , \linebreak [0] 
[
{\cal S}_{1}^{\char64}(
\ast 
, 
\ast 
, 
\ast 
)
] , \linebreak [0] 
[
{\cal S}^{\vdash}(
\ast 
, 
\ast 
)
] , \linebreak [0] 
[
{\cal S}_{1}^{\vdash}(
\ast 
, 
\ast 
, 
\ast 
, 
\ast 
)
] , \linebreak [0] 
[
{\cal S}^{\makebox [0mm][l]{\scriptsize $\vdash $}\,{\vdash }}(
\ast 
, 
\ast 
)
] , \linebreak [0] 
[
{\cal S}_{1}^{\makebox [0mm][l]{\scriptsize $\vdash $}\,{\vdash }}(
\ast 
, 
\ast 
, 
\ast 
, 
\ast 
)
] , \linebreak [0] 
[
{\cal S}^{i.e.}(
\ast 
, 
\ast 
)
] , \linebreak [0] 
[
{\cal S}_{1}^{i.e.}(
\ast 
, 
\ast 
, 
\ast 
, 
\ast 
)
] , \linebreak [0] 
[
{\cal S}_{2}^{i.e.}(
\ast 
, 
\ast 
, 
\ast 
, 
\ast 
, 
\ast 
)
] , \linebreak [0] 
[
{\cal S}^{\forall}(
\ast 
, 
\ast 
)
] , \linebreak [0] 
[
{\cal S}_{1}^{\forall}(
\ast 
, 
\ast 
, 
\ast 
, 
\ast 
)
] , \linebreak [0] 
[
{\cal S}^{;}(
\ast 
, 
\ast 
)
] , \linebreak [0] 
[
{\cal S}_{1}^{;}(
\ast 
, 
\ast 
, 
\ast 
)
] , \linebreak [0] 
[
{\cal S}_{2}^{;}(
\ast 
, 
\ast 
, 
\ast 
, 
\ast 
)
] , \linebreak [0] 
[
{\cal T}( 
\ast 
)
] , \linebreak [0] 
[
claims( 
\ast 
, 
\ast 
, 
\ast 
)
] , \linebreak [0] 
[
claims_2( 
\ast 
, 
\ast 
, 
\ast 
)
] , \linebreak [0] 
[
{<}proof{>}
] , \linebreak [0] 
[
proof
] , \linebreak [0] 
[
[ \mathbf{Lemma\ } 
\ast 
\colon 
\ast 
]
] , \linebreak [0] 
[
[ \mathbf{Proof\ of\ }
\ast 
\colon 
\ast 
]
] , \linebreak [0] 
[
[ 
\ast 
\mathbf{\ lemma\ } 
\ast 
\colon 
\ast 
]
] , \linebreak [0] 
[
[ 
\ast 
\mathbf{\ antilemma\ } 
\ast 
\colon 
\ast 
]
] , \linebreak [0] 
[
[ 
\ast 
\mathbf{\ rule\ } 
\ast 
\colon 
\ast 
]
] , \linebreak [0] 
[
[ 
\ast 
\mathbf{\ antirule\ } 
\ast 
\colon 
\ast 
]
] , \linebreak [0] 
[
\mbox{verifier}
] , \linebreak [0] 
[
{\cal V}_1( 
\ast 
)
] , \linebreak [0] 
[
{\cal V}_2( 
\ast 
, 
\ast 
)
] , \linebreak [0] 
[
{\cal V}_3( 
\ast 
, 
\ast 
, 
\ast 
, 
\ast 
)
] , \linebreak [0] 
[
{\cal V}_4( 
\ast 
, 
\ast 
)
] , \linebreak [0] 
[
{\cal V}_5( 
\ast 
, 
\ast 
, 
\ast 
, 
\ast 
)
] , \linebreak [0] 
[
{\cal V}_6( 
\ast 
, 
\ast 
, 
\ast 
, 
\ast 
)
] , \linebreak [0] 
[
{\cal V}_7( 
\ast 
, 
\ast 
, 
\ast 
, 
\ast 
)
] , \linebreak [0] 
[
Cut( 
\ast 
, 
\ast 
)
] , \linebreak [0] 
[
Head_{\oplus} ( 
\ast 
)
] , \linebreak [0] 
[
Tail_{\oplus} ( 
\ast 
)
] , \linebreak [0] 
[
rule_1( 
\ast 
, 
\ast 
)
] , \linebreak [0] 
[
rule( 
\ast 
, 
\ast 
)
] , \linebreak [0] 
[
Rule\ tactic
] , \linebreak [0] 
[
Plus( 
\ast 
, 
\ast 
)
] , \linebreak [0] 
[
[ \mathbf{Theory\ } 
\ast 
]
] , \linebreak [0] 
[
theory_2( 
\ast 
, 
\ast 
)
] , \linebreak [0] 
[
theory_3( 
\ast 
, 
\ast 
)
] , \linebreak [0] 
[
theory_4( 
\ast 
, 
\ast 
, 
\ast 
)
] , \linebreak [0] 
[
HeadNil''
] , \linebreak [0] 
[
HeadPair''
] , \linebreak [0] 
[
Transitivity''
] , \linebreak [0] 
[
Contra''
] , \linebreak [0] 
[
HeadNil
] , \linebreak [0] 
[
HeadPair
] , \linebreak [0] 
[
Transitivity
] , \linebreak [0] 
[
Contra
] , \linebreak [0] 
[
T_E
] , \linebreak [0] 
[
ragged\ right
] , \linebreak [0] 
[
ragged\ right\ expansion\ 
] , \linebreak [0] 
[
parm(
\ast 
,
\ast 
,
\ast 
)
] , \linebreak [0] 
[
parm^*(
\ast 
,
\ast 
,
\ast 
)
] , \linebreak [0] 
[
inst(
\ast 
,
\ast 
)
] , \linebreak [0] 
[
inst^*(
\ast 
,
\ast 
)
] , \linebreak [0] 
[
occur(
\ast 
,
\ast 
,
\ast 
)
] , \linebreak [0] 
[
occur^*(
\ast 
,
\ast 
,
\ast 
)
] , \linebreak [0] 
[
unify(
\ast 
=
\ast 
,
\ast 
)
] , \linebreak [0] 
[
unify^*(
\ast 
=
\ast 
,
\ast 
)
] , \linebreak [0] 
[
unify_2(
\ast 
=
\ast 
,
\ast 
)
] , \linebreak [0] 
[L_a
] , \linebreak [0] 
[L_b
] , \linebreak [0] 
[L_c
] , \linebreak [0] 
[L_d
] , \linebreak [0] 
[L_e
] , \linebreak [0] 
[L_f
] , \linebreak [0] 
[L_g
] , \linebreak [0] 
[L_h
] , \linebreak [0] 
[L_i
] , \linebreak [0] 
[L_j
] , \linebreak [0] 
[L_k
] , \linebreak [0] 
[L_l
] , \linebreak [0] 
[L_m
] , \linebreak [0] 
[L_n
] , \linebreak [0] 
[L_o
] , \linebreak [0] 
[L_p
] , \linebreak [0] 
[L_q
] , \linebreak [0] 
[L_r
] , \linebreak [0] 
[L_s
] , \linebreak [0] 
[L_t
] , \linebreak [0] 
[L_u
] , \linebreak [0] 
[L_v
] , \linebreak [0] 
[L_w
] , \linebreak [0] 
[L_x
] , \linebreak [0] 
[L_y
] , \linebreak [0] 
[L_z
] , \linebreak [0] 
[L_A
] , \linebreak [0] 
[L_B
] , \linebreak [0] 
[L_C
] , \linebreak [0] 
[L_D
] , \linebreak [0] 
[L_E
] , \linebreak [0] 
[L_F
] , \linebreak [0] 
[L_G
] , \linebreak [0] 
[L_H
] , \linebreak [0] 
[L_I
] , \linebreak [0] 
[L_J
] , \linebreak [0] 
[L_K
] , \linebreak [0] 
[L_L
] , \linebreak [0] 
[L_M
] , \linebreak [0] 
[L_N
] , \linebreak [0] 
[L_O
] , \linebreak [0] 
[L_P
] , \linebreak [0] 
[L_Q
] , \linebreak [0] 
[L_R
] , \linebreak [0] 
[L_S
] , \linebreak [0] 
[L_T
] , \linebreak [0] 
[L_U
] , \linebreak [0] 
[L_V
] , \linebreak [0] 
[L_W
] , \linebreak [0] 
[L_X
] , \linebreak [0] 
[L_Y
] , \linebreak [0] 
[L_Z
] , \linebreak [0] 
[L_?
] , \linebreak [0] 
[
Reflexivity
] , \linebreak [0] 
[
Reflexivity_1
] , \linebreak [0] 
[
Commutativity
] , \linebreak [0] 
[
Commutativity_1
] , \linebreak [0] 
[
{<}tactic{>}
] , \linebreak [0] 
[
tactic
] , \linebreak [0] 
[
[
\ast 
\stackrel {tactic}{=}
\ast 
]
] , \linebreak [0] 
[
{\cal P}( 
\ast 
, 
\ast 
, 
\ast 
)
] , \linebreak [0] 
[
{\cal P}^*( 
\ast 
, 
\ast 
, 
\ast 
)
] , \linebreak [0] 
[
p_0
] , \linebreak [0] 
[
conclude_1 ( 
\ast 
, 
\ast 
)
] , \linebreak [0] 
[
conclude_2 ( 
\ast 
, 
\ast 
, 
\ast 
)
] , \linebreak [0] 
[
conclude_3 ( 
\ast 
, 
\ast 
, 
\ast 
, 
\ast 
)
] , \linebreak [0] 
[
conclude_4 ( 
\ast 
, 
\ast 
)
] , \linebreak [0] 
[
\mbox{check}
] , \linebreak [0] 
[
[
\ast 
\stackrel {\circ}{=}
\ast 
]
] , \linebreak [0] 
[
RootVisible(
\ast 
)
] , \linebreak [0] 
[
A
] , \linebreak [0] 
[
R
] , \linebreak [0] 
[
C
] , \linebreak [0] 
[
T
] , \linebreak [0] 
[
L
] , \linebreak [0] 
[
\{
\ast 
\}
] , \linebreak [0] 
[\overline{
\ast }
] , \linebreak [0] 
[
\mathit{a}
] , \linebreak [0] 
[
\mathit{b}
] , \linebreak [0] 
[
\mathit{c}
] , \linebreak [0] 
[
\mathit{d}
] , \linebreak [0] 
[
\mathit{e}
] , \linebreak [0] 
[
\mathit{f}
] , \linebreak [0] 
[
\mathit{g}
] , \linebreak [0] 
[
\mathit{h}
] , \linebreak [0] 
[
\mathit{i}
] , \linebreak [0] 
[
\mathit{j}
] , \linebreak [0] 
[
\mathit{k}
] , \linebreak [0] 
[
\mathit{l}
] , \linebreak [0] 
[
\mathit{m}
] , \linebreak [0] 
[
\mathit{n}
] , \linebreak [0] 
[
\mathit{o}
] , \linebreak [0] 
[
\mathit{p}
] , \linebreak [0] 
[
\mathit{q}
] , \linebreak [0] 
[
\mathit{r}
] , \linebreak [0] 
[
\mathit{s}
] , \linebreak [0] 
[
\mathit{t}
] , \linebreak [0] 
[
\mathit{u}
] , \linebreak [0] 
[
\mathit{v}
] , \linebreak [0] 
[
\mathit{w}
] , \linebreak [0] 
[
\mathit{x}
] , \linebreak [0] 
[
\mathit{y}
] , \linebreak [0] 
[
\mathit{z}
] , \linebreak [0] 
[
\langle 
\ast 
{\equiv} 
\ast 
| 
\ast 
{:=} 
\ast 
\rangle 
] , \linebreak [0] 
[
\langle 
\ast 
{\equiv}^0 
\ast 
| 
\ast 
{:=} 
\ast 
\rangle 
] , \linebreak [0] 
[
\langle 
\ast 
{\equiv}^1 
\ast 
| 
\ast 
{:=} 
\ast 
\rangle 
] , \linebreak [0] 
[
\langle 
\ast 
{\equiv}^* 
\ast 
| 
\ast 
{:=} 
\ast 
\rangle 
] , \linebreak [0] 
[
Ded(
\ast 
,
\ast 
)
] , \linebreak [0] 
[
Ded_0(
\ast 
,
\ast 
)
] , \linebreak [0] 
[
Ded_1(
\ast 
,
\ast 
,
\ast 
)
] , \linebreak [0] 
[
Ded_2(
\ast 
,
\ast 
,
\ast 
)
] , \linebreak [0] 
[
Ded_3(
\ast 
,
\ast 
,
\ast 
,
\ast 
)
] , \linebreak [0] 
[
Ded_4(
\ast 
,
\ast 
,
\ast 
,
\ast 
)
] , \linebreak [0] 
[
Ded_4^*(
\ast 
,
\ast 
,
\ast 
,
\ast 
)
] , \linebreak [0] 
[
Ded_5(
\ast 
,
\ast 
,
\ast 
)
] , \linebreak [0] 
[
Ded_6(
\ast 
,
\ast 
,
\ast 
,
\ast 
)
] , \linebreak [0] 
[
Ded_6^*(
\ast 
,
\ast 
,
\ast 
,
\ast 
)
] , \linebreak [0] 
[
Ded_7(
\ast 
)
] , \linebreak [0] 
[
Ded_8(
\ast 
,
\ast 
)
] , \linebreak [0] 
[
Ded_8^*(
\ast 
,
\ast 
)
] , \linebreak [0] 
[
S
] , \linebreak [0] 
[
Neg
] , \linebreak [0] 
[
MP
] , \linebreak [0] 
[
Gen
] , \linebreak [0] 
[
Ded
] , \linebreak [0] 
[
S1
] , \linebreak [0] 
[
S2
] , \linebreak [0] 
[
S3
] , \linebreak [0] 
[
S4
] , \linebreak [0] 
[
S5
] , \linebreak [0] 
[
S6
] , \linebreak [0] 
[
S7
] , \linebreak [0] 
[
S8
] , \linebreak [0] 
[
S9
] , \linebreak [0] 
[
Repetition
] , \linebreak [0] 
[
A1'
] , \linebreak [0] 
[
A2'
] , \linebreak [0] 
[
A4'
] , \linebreak [0] 
[
A5'
] , \linebreak [0] 
[
Prop\ 3.2a
] , \linebreak [0] 
[
Prop\ 3.2b
] , \linebreak [0] 
[
Prop\ 3.2c
] , \linebreak [0] 
[
Prop\ 3.2d
] , \linebreak [0] 
[
Prop\ 3.2e_1
] , \linebreak [0] 
[
Prop\ 3.2e_2
] , \linebreak [0] 
[
Prop\ 3.2e
] , \linebreak [0] 
[
Prop\ 3.2f_1
] , \linebreak [0] 
[
Prop\ 3.2f_2
] , \linebreak [0] 
[
Prop\ 3.2f
] , \linebreak [0] 
[
Prop\ 3.2g_1
] , \linebreak [0] 
[
Prop\ 3.2g_2
] , \linebreak [0] 
[
Prop\ 3.2g
] , \linebreak [0] 
[
Prop\ 3.2h_1
] , \linebreak [0] 
[
Prop\ 3.2h_2
] , \linebreak [0] 
[
Prop\ 3.2h
] , \linebreak [0] 
[
Block_1(
\ast 
,
\ast 
,
\ast 
)
] , \linebreak [0] 
[
Block_2(
\ast 
)
] , \linebreak [0] 
[(\cdots{})
] , \linebreak [0] 
[\texttt{Objekt-var}
] , \linebreak [0] 
[\texttt{Ex-var}
] , \linebreak [0] 
[\texttt{Ph-var}
] , \linebreak [0] 
[\texttt{V\ae{}rdi}
] , \linebreak [0] 
[\texttt{Variabel}
] , \linebreak [0] 
[Op(
\ast 
)
] , \linebreak [0] 
[Op(
\ast 
,
\ast 
)
] , \linebreak [0] 
[
\ast 
 \mathrel {\ddot {==}} 
\ast 
] , \linebreak [0] 
[ContainsEmpty(
\ast 
)
] , \linebreak [0] 
[
Dedu(
\ast 
,
\ast 
)
] , \linebreak [0] 
[
Dedu_0(
\ast 
,
\ast 
)
] , \linebreak [0] 
[Dedu_{s}(
\ast 
,
\ast 
,
\ast 
)
] , \linebreak [0] 
[
Dedu_1(
\ast 
,
\ast 
,
\ast 
)
] , \linebreak [0] 
[
Dedu_2(
\ast 
,
\ast 
,
\ast 
)
] , \linebreak [0] 
[
Dedu_3(
\ast 
,
\ast 
,
\ast 
,
\ast 
)
] , \linebreak [0] 
[
Dedu_4(
\ast 
,
\ast 
,
\ast 
,
\ast 
)
] , \linebreak [0] 
[
Dedu_4^*(
\ast 
,
\ast 
,
\ast 
,
\ast 
)
] , \linebreak [0] 
[
Dedu_5(
\ast 
,
\ast 
,
\ast 
)
] , \linebreak [0] 
[
Dedu_6(
\ast 
,
\ast 
,
\ast 
,
\ast 
)
] , \linebreak [0] 
[
Dedu_6^*(
\ast 
,
\ast 
,
\ast 
,
\ast 
)
] , \linebreak [0] 
[
Dedu_7(
\ast 
)
] , \linebreak [0] 
[
Dedu_8(
\ast 
,
\ast 
)
] , \linebreak [0] 
[
Dedu_8^*(
\ast 
,
\ast 
)
] , \linebreak [0] 
[Ex_{1}
] , \linebreak [0] 
[Ex_{2}
] , \linebreak [0] 
[Ex3
] , \linebreak [0] 
[Ex_{10}
] , \linebreak [0] 
[Ex_{20}
] , \linebreak [0] 
[
\ast 
 _{Ex}
] , \linebreak [0] 
[
\ast 
 ^{Ex}
] , \linebreak [0] 
[\langle 
\ast 
{\equiv} 
\ast 
| 
\ast 
{:==} 
\ast 
\rangle_{Ex} 
] , \linebreak [0] 
[\langle 
\ast 
{\equiv}^0 
\ast 
| 
\ast 
{:==} 
\ast 
\rangle_{Ex} 
] , \linebreak [0] 
[\langle 
\ast 
{\equiv}^1 
\ast 
| 
\ast 
{:==} 
\ast 
\rangle_{Ex} 
] , \linebreak [0] 
[\langle 
\ast 
{\equiv}^* 
\ast 
| 
\ast 
{:==} 
\ast 
\rangle_{Ex} 
] , \linebreak [0] 
[ph_{1}
] , \linebreak [0] 
[ph_{2}
] , \linebreak [0] 
[ph_{3}
] , \linebreak [0] 
[
\ast 
 _{Ph} 
] , \linebreak [0] 
[
\ast 
 ^{Ph}
] , \linebreak [0] 
[\langle 
\ast 
{\equiv} 
\ast 
| 
\ast 
{:==} 
\ast 
\rangle_{Ph} 
] , \linebreak [0] 
[\langle 
\ast 
{\equiv}^0 
\ast 
| 
\ast 
{:==} 
\ast 
\rangle_{Ph} 
] , \linebreak [0] 
[\langle 
\ast 
{\equiv}^1 
\ast 
| 
\ast 
{:==} 
\ast 
\rangle_{Ph} 
] , \linebreak [0] 
[\langle 
\ast 
{\equiv}^* 
\ast 
| 
\ast 
{:==} 
\ast 
\rangle_{Ph} 
] , \linebreak [0] 
[\mathsf {bs}
] , \linebreak [0] 
[ \mathsf {OBS}
] , \linebreak [0] 
[{\cal BS}
] , \linebreak [0] 
[\mathrm{\O}
] , \linebreak [0] 
[ZFsub
] , \linebreak [0] 
[MP
] , \linebreak [0] 
[Gen
] , \linebreak [0] 
[Repetition
] , \linebreak [0] 
[Neg
] , \linebreak [0] 
[Ded
] , \linebreak [0] 
[ExistIntro
] , \linebreak [0] 
[Extensionality
] , \linebreak [0] 
[\O{}def
] , \linebreak [0] 
[PairDef
] , \linebreak [0] 
[UnionDef
] , \linebreak [0] 
[PowerDef
] , \linebreak [0] 
[SeparationDef
] , \linebreak [0] 
[AddDoubleNeg
] , \linebreak [0] 
[RemoveDoubleNeg
] , \linebreak [0] 
[AndCommutativity
] , \linebreak [0] 
[AutoImply
] , \linebreak [0] 
[Contrapositive
] , \linebreak [0] 
[FirstConjunct
] , \linebreak [0] 
[SecondConjunct
] , \linebreak [0] 
[FromContradiction
] , \linebreak [0] 
[FromDisjuncts
] , \linebreak [0] 
[IffCommutativity
] , \linebreak [0] 
[IffFirst
] , \linebreak [0] 
[IffSecond
] , \linebreak [0] 
[ImplyTransitivity
] , \linebreak [0] 
[JoinConjuncts
] , \linebreak [0] 
[MP2
] , \linebreak [0] 
[MP3
] , \linebreak [0] 
[MP4
] , \linebreak [0] 
[MP5
] , \linebreak [0] 
[MT
] , \linebreak [0] 
[NegativeMT
] , \linebreak [0] 
[Technicality
] , \linebreak [0] 
[Weakening
] , \linebreak [0] 
[WeakenOr1
] , \linebreak [0] 
[WeakenOr2
] , \linebreak [0] 
[Formula2Pair
] , \linebreak [0] 
[Pair2Formula
] , \linebreak [0] 
[Formula2Union
] , \linebreak [0] 
[Union2Formula
] , \linebreak [0] 
[Formula2Sep
] , \linebreak [0] 
[Sep2Formula
] , \linebreak [0] 
[SubsetInPower
] , \linebreak [0] 
[HelperPowerIsSub
] , \linebreak [0] 
[PowerIsSub
] , \linebreak [0] 
[(Switch)HelperPowerIsSub
] , \linebreak [0] 
[(Switch)PowerIsSub
] , \linebreak [0] 
[ToSetEquality
] , \linebreak [0] 
[HelperToSetEquality(t)
] , \linebreak [0] 
[ToSetEquality(t)
] , \linebreak [0] 
[HelperFromSetEquality
] , \linebreak [0] 
[FromSetEquality
] , \linebreak [0] 
[HelperReflexivity
] , \linebreak [0] 
[Reflexivity
] , \linebreak [0] 
[HelperSymmetry
] , \linebreak [0] 
[Symmetry
] , \linebreak [0] 
[HelperTransitivity
] , \linebreak [0] 
[Transitivity
] , \linebreak [0] 
[ERisReflexive
] , \linebreak [0] 
[ERisSymmetric
] , \linebreak [0] 
[ERisTransitive
] , \linebreak [0] 
[\O{}isSubset
] , \linebreak [0] 
[HelperMemberNot\O{}
] , \linebreak [0] 
[MemberNot\O{}
] , \linebreak [0] 
[HelperUnique\O{}
] , \linebreak [0] 
[Unique\O{}
] , \linebreak [0] 
[==\!{}Reflexivity
] , \linebreak [0] 
[==\!{}Symmetry
] , \linebreak [0] 
[Helper\!{}==\!{}Transitivity
] , \linebreak [0] 
[\!{}==\!{}Transitivity
] , \linebreak [0] 
[HelperTransferNotEq
] , \linebreak [0] 
[TransferNotEq
] , \linebreak [0] 
[HelperPairSubset
] , \linebreak [0] 
[Helper(2)PairSubset
] , \linebreak [0] 
[PairSubset
] , \linebreak [0] 
[SamePair
] , \linebreak [0] 
[SameSingleton
] , \linebreak [0] 
[UnionSubset
] , \linebreak [0] 
[SameUnion
] , \linebreak [0] 
[SeparationSubset
] , \linebreak [0] 
[SameSeparation
] , \linebreak [0] 
[SameBinaryUnion
] , \linebreak [0] 
[IntersectionSubset
] , \linebreak [0] 
[SameIntersection
] , \linebreak [0] 
[AutoMember
] , \linebreak [0] 
[HelperEqSysNot\O{}
] , \linebreak [0] 
[EqSysNot\O{}
] , \linebreak [0] 
[HelperEqSubset
] , \linebreak [0] 
[EqSubset
] , \linebreak [0] 
[HelperEqNecessary
] , \linebreak [0] 
[EqNecessary
] , \linebreak [0] 
[HelperNoneEqNecessary
] , \linebreak [0] 
[Helper(2)NoneEqNecessary
] , \linebreak [0] 
[NoneEqNecessary
] , \linebreak [0] 
[EqClassIsSubset
] , \linebreak [0] 
[EqClassesAreDisjoint
] , \linebreak [0] 
[AllDisjoint
] , \linebreak [0] 
[AllDisjointImply
] , \linebreak [0] 
[BSsubset
] , \linebreak [0] 
[Union(BS/R)subset
] , \linebreak [0] 
[UnionIdentity
] , \linebreak [0] 
[EqSysIsPartition
] , \linebreak [0] 
[(\epsilon)
] , \linebreak [0] 
[(fx)
] , \linebreak [0] 
[(fy)
] , \linebreak [0] 
[(fz)
] , \linebreak [0] 
[(fv)
] , \linebreak [0] 
[
\mbox{var fv}
] , \linebreak [0] 
[(rx)
] , \linebreak [0] 
[(ry)
] , \linebreak [0] 
[(rz)
] , \linebreak [0] 
[(ru)
] , \linebreak [0] 
[\epsilon
] , \linebreak [0] 
[FX
] , \linebreak [0] 
[FY
] , \linebreak [0] 
[FZ
] , \linebreak [0] 
[FU
] , \linebreak [0] 
[FV
] , \linebreak [0] 
[RX
] , \linebreak [0] 
[RY
] , \linebreak [0] 
[RZ
] , \linebreak [0] 
[RU
] , \linebreak [0] 
[0
] , \linebreak [0] 
[1
] , \linebreak [0] 
[(-1)
] , \linebreak [0] 
[2
] , \linebreak [0] 
[1/2
] , \linebreak [0] 
[0f
] , \linebreak [0] 
[
\mbox{1f}
] , \linebreak [0] 
[00
] , \linebreak [0] 
[
\mbox{01}
] , \linebreak [0] 
[leqReflexivity
] , \linebreak [0] 
[leqAntisymmetryAxiom
] , \linebreak [0] 
[leqTransitivityAxiom
] , \linebreak [0] 
[leqTotality
] , \linebreak [0] 
[leqAdditionAxiom
] , \linebreak [0] 
[leqMultiplicationAxiom
] , \linebreak [0] 
[plusAssociativity
] , \linebreak [0] 
[plusCommutativity
] , \linebreak [0] 
[Negative
] , \linebreak [0] 
[plus0
] , \linebreak [0] 
[timesAssociativity
] , \linebreak [0] 
[timesCommutativity
] , \linebreak [0] 
[ReciprocalAxiom
] , \linebreak [0] 
[times1
] , \linebreak [0] 
[Distribution
] , \linebreak [0] 
[0not1
] , \linebreak [0] 
[equalityAxiom
] , \linebreak [0] 
[eqLeqAxiom
] , \linebreak [0] 
[eqAdditionAxiom
] , \linebreak [0] 
[eqMultiplicationAxiom
] , \linebreak [0] 
[SENC1
] , \linebreak [0] 
[SENC2
] , \linebreak [0] 
[IfThenElse(T)
] , \linebreak [0] 
[IfThenElse(F)
] , \linebreak [0] 
[From=f
] , \linebreak [0] 
[To=f
] , \linebreak [0] 
[From<f
] , \linebreak [0] 
[To<f
] , \linebreak [0] 
[PlusF
] , \linebreak [0] 
[TimesF
] , \linebreak [0] 
[MinusF
] , \linebreak [0] 
[0f
] , \linebreak [0] 
[1f
] , \linebreak [0] 
[FromSF
] , \linebreak [0] 
[ToSF
] , \linebreak [0] 
[To==XX
] , \linebreak [0] 
[From==
] , \linebreak [0] 
[To==
] , \linebreak [0] 
[From<<XX
] , \linebreak [0] 
[From<<(1)
] , \linebreak [0] 
[From<<(2)
] , \linebreak [0] 
[to<<XX
] , \linebreak [0] 
[From<<
] , \linebreak [0] 
[To<<
] , \linebreak [0] 
[FromInR
] , \linebreak [0] 
[PlusR
] , \linebreak [0] 
[TimesR
] , \linebreak [0] 
[leqAntisymmetry
] , \linebreak [0] 
[leqTransitivity
] , \linebreak [0] 
[leqAddition
] , \linebreak [0] 
[leqMultiplication
] , \linebreak [0] 
[Reciprocal
] , \linebreak [0] 
[Equality
] , \linebreak [0] 
[eqLeq
] , \linebreak [0] 
[eqAddition
] , \linebreak [0] 
[eqMultiplication
] , \linebreak [0] 
[ToNegatedImply
] , \linebreak [0] 
[TND
] , \linebreak [0] 
[ImplyNegation
] , \linebreak [0] 
[FromNegations
] , \linebreak [0] 
[From3Disjuncts
] , \linebreak [0] 
[From2*2Disjuncts
] , \linebreak [0] 
[NegateDisjunct1
] , \linebreak [0] 
[NegateDisjunct2
] , \linebreak [0] 
[ExpandDisjuncts
] , \linebreak [0] 
[eqReflexivity
] , \linebreak [0] 
[eqSymmetry
] , \linebreak [0] 
[eqTransitivity
] , \linebreak [0] 
[eqTransitivity4
] , \linebreak [0] 
[eqTransitivity5
] , \linebreak [0] 
[eqTransitivity6
] , \linebreak [0] 
[plus0Left
] , \linebreak [0] 
[times1Left
] , \linebreak [0] 
[
\mbox{lemma eqAdditionLeft}
] , \linebreak [0] 
[EqMultiplicationLeft
] , \linebreak [0] 
[DistributionOut
] , \linebreak [0] 
[Three2twoTerms
] , \linebreak [0] 
[Three2threeTerms
] , \linebreak [0] 
[Three2threeFactors
] , \linebreak [0] 
[AddEquations
] , \linebreak [0] 
[SubtractEquations
] , \linebreak [0] 
[SubtractEquationsLeft
] , \linebreak [0] 
[EqNegated
] , \linebreak [0] 
[PositiveToRight(Eq)
] , \linebreak [0] 
[PositiveToLeft(Eq)(1 term)
] , \linebreak [0] 
[NegativeToLeft(Eq)
] , \linebreak [0] 
[LessNeq
] , \linebreak [0] 
[NeqSymmetry
] , \linebreak [0] 
[NeqNegated
] , \linebreak [0] 
[SubNeqRight
] , \linebreak [0] 
[SubNeqLeft
] , \linebreak [0] 
[NeqAddition
] , \linebreak [0] 
[NeqMultiplication
] , \linebreak [0] 
[UniqueNegative
] , \linebreak [0] 
[DoubleMinus
] , \linebreak [0] 
[LeqLessEq
] , \linebreak [0] 
[LessLeq
] , \linebreak [0] 
[FromLeqGeq
] , \linebreak [0] 
[subLeqRight
] , \linebreak [0] 
[subLeqLeft
] , \linebreak [0] 
[Leq+1
] , \linebreak [0] 
[PositiveToRight(Leq)
] , \linebreak [0] 
[PositiveToRight(Leq)(1 term)
] , \linebreak [0] 
[negativeToLeft(Leq)
] , \linebreak [0] 
[LeqAdditionLeft
] , \linebreak [0] 
[leqSubtraction
] , \linebreak [0] 
[leqSubtractionLeft
] , \linebreak [0] 
[thirdGeq
] , \linebreak [0] 
[LeqNegated
] , \linebreak [0] 
[AddEquations(Leq)
] , \linebreak [0] 
[ThirdGeqSeries
] , \linebreak [0] 
[LeqNeqLess
] , \linebreak [0] 
[FromLess
] , \linebreak [0] 
[ToLess
] , \linebreak [0] 
[fromNotLess
] , \linebreak [0] 
[toNotLess
] , \linebreak [0] 
[NegativeLessPositive
] , \linebreak [0] 
[leqLessTransitivity
] , \linebreak [0] 
[LessLeqTransitivity
] , \linebreak [0] 
[LessTransitivity
] , \linebreak [0] 
[LessTotality
] , \linebreak [0] 
[SubLessRight
] , \linebreak [0] 
[SubLessLeft
] , \linebreak [0] 
[LessAddition
] , \linebreak [0] 
[LessAdditionLeft
] , \linebreak [0] 
[LessMultiplication
] , \linebreak [0] 
[LessMultiplicationLeft
] , \linebreak [0] 
[LessDivision
] , \linebreak [0] 
[AddEquations(Less)
] , \linebreak [0] 
[LessNegated
] , \linebreak [0] 
[PositiveNegated
] , \linebreak [0] 
[NonpositiveNegated
] , \linebreak [0] 
[NegativeNegated
] , \linebreak [0] 
[NonnegativeNegated
] , \linebreak [0] 
[PositiveHalved
] , \linebreak [0] 
[NonnegativeNumerical
] , \linebreak [0] 
[NegativeNumerical
] , \linebreak [0] 
[PositiveNumerical
] , \linebreak [0] 
[
\mbox{lemma nonpositiveNumerical}
] , \linebreak [0] 
[|0|=0
] , \linebreak [0] 
[0<=|x|
] , \linebreak [0] 
[SameNumerical
] , \linebreak [0] 
[SignNumerical(+)
] , \linebreak [0] 
[SignNumerical
] , \linebreak [0] 
[NumericalDifference
] , \linebreak [0] 
[SplitNumericalSumHelper
] , \linebreak [0] 
[splitNumericalSum(++)
] , \linebreak [0] 
[splitNumericalSum(--)
] , \linebreak [0] 
[splitNumericalSum(+-small)
] , \linebreak [0] 
[splitNumericalSum(+-big)
] , \linebreak [0] 
[splitNumericalSum(+-)
] , \linebreak [0] 
[splitNumericalSum(-+)
] , \linebreak [0] 
[splitNumericalSum
] , \linebreak [0] 
[insertMiddleTerm(Numerical)
] , \linebreak [0] 
[x+y=zBackwards
] , \linebreak [0] 
[x*y=zBackwards
] , \linebreak [0] 
[x=x+(y-y)
] , \linebreak [0] 
[x=x+y-y
] , \linebreak [0] 
[ 
] , \linebreak [0] 
[insertMiddleTerm(Sum)
] , \linebreak [0] 
[insertMiddleTerm(Difference)
] , \linebreak [0] 
[x*0+x=x
] , \linebreak [0] 
[x*0=0
] , \linebreak [0] 
[(-1)*(-1)+(-1)*1=0
] , \linebreak [0] 
[(-1)*(-1)=1
] , \linebreak [0] 
[0<1Helper
] , \linebreak [0] 
[0<1
] , \linebreak [0] 
[0<2
] , \linebreak [0] 
[0<1/2
] , \linebreak [0] 
[TwoWholes
] , \linebreak [0] 
[TwoHalves
] , \linebreak [0] 
[-x-y=-(x+y)
] , \linebreak [0] 
[MinusNegated
] , \linebreak [0] 
[Times(-1)
] , \linebreak [0] 
[Times(-1)Left
] , \linebreak [0] 
[-0=0
] , \linebreak [0] 
[SFsymmetry
] , \linebreak [0] 
[SFtransitivity
] , \linebreak [0] 
[=fToSameF 
] , \linebreak [0] 
[PlusF(Sym)
] , \linebreak [0] 
[TimesF(Sym)
] , \linebreak [0] 
[f2R(Plus)
] , \linebreak [0] 
[f2R(Times)
] , \linebreak [0] 
[PlusR(Sym)
] , \linebreak [0] 
[TimesR(Sym)
] , \linebreak [0] 
[LessLeq(R)
] , \linebreak [0] 
[eqLeq(R)
] , \linebreak [0] 
[SubLessRight(R)
] , \linebreak [0] 
[SubLessLeft(R)
] , \linebreak [0] 
[<<TransitivityHelper(Q)
] , \linebreak [0] 
[<<Transitivity
] , \linebreak [0] 
[<<==Reflexivity
] , \linebreak [0] 
[<<==AntisymmetryHelper(Q)
] , \linebreak [0] 
[<<==Antisymmetry
] , \linebreak [0] 
[<<==Transitivity
] , \linebreak [0] 
[Plus0f
] , \linebreak [0] 
[Plus00
] , \linebreak [0] 
[==Addition
] , \linebreak [0] 
[==AdditionLeft
] , \linebreak [0] 
[<<Addition
] , \linebreak [0] 
[<<==Addition
] , \linebreak [0] 
[PlusAssociativity(F)
] , \linebreak [0] 
[PlusAssociativity(R)
] , \linebreak [0] 
[Negative(R)
] , \linebreak [0] 
[PlusCommutativity(F)
] , \linebreak [0] 
[PlusCommutativity(R)
] , \linebreak [0] 
[TimesAssociativity(F)
] , \linebreak [0] 
[TimesAssociativity(R)
] , \linebreak [0] 
[Times1f
] , \linebreak [0] 
[Times01
] , \linebreak [0] 
[TimesCommutativity(F)
] , \linebreak [0] 
[TimesCommutativity(R)
] , \linebreak [0] 
[Distribution(F)
] , \linebreak [0] 
[Distribution(R)
]
; 
\newline \mathbf {Preassociative} \newline 
[
\ast 
\_\{
\ast 
\}
] , \linebreak [0] 
[
\ast 
/indexintro(
\ast 
,
\ast 
,
\ast 
,
\ast 
)
] , \linebreak [0] 
[
\ast 
/intro(
\ast 
,
\ast 
,
\ast 
)
] , \linebreak [0] 
[
\ast 
/bothintro(
\ast 
,
\ast 
,
\ast 
,
\ast 
,
\ast 
)
] , \linebreak [0] 
[
\ast 
/nameintro(
\ast 
,
\ast 
,
\ast 
,
\ast 
)
] , \linebreak [0] 
[
\ast '
] , \linebreak [0] 
[
\ast 
{[}
\ast 
{]}
] , \linebreak [0] 
[
\ast 
[ 
\ast 
{\rightarrow} 
\ast 
]
] , \linebreak [0] 
[
\ast 
[ 
\ast 
{\Rightarrow} 
\ast 
]
] , \linebreak [0] 
[
\ast 
0
] , \linebreak [0] 
[
\ast 
1
] , \linebreak [0] 
[
0 \mathrm {b}
] , \linebreak [0] 
[
\ast 
\mbox {-color}( 
\ast 
)
] , \linebreak [0] 
[
\ast 
\mbox {-color}^{\ast}( 
\ast 
)
] , \linebreak [0] 
[
\ast 
{}^H
] , \linebreak [0] 
[
\ast 
{}^T
] , \linebreak [0] 
[
\ast 
{}^U
] , \linebreak [0] 
[
\ast 
{}^h
] , \linebreak [0] 
[
\ast 
{}^t
] , \linebreak [0] 
[
\ast 
{}^s
] , \linebreak [0] 
[
\ast 
{}^c
] , \linebreak [0] 
[
\ast 
{}^d
] , \linebreak [0] 
[
\ast 
{}^a
] , \linebreak [0] 
[
\ast 
{}^C
] , \linebreak [0] 
[
\ast 
{}^M
] , \linebreak [0] 
[
\ast 
{}^B
] , \linebreak [0] 
[
\ast 
{}^{r}
] , \linebreak [0] 
[
\ast 
{}^{i}
] , \linebreak [0] 
[
\ast 
{}^{d}
] , \linebreak [0] 
[
\ast 
{}^{R}
] , \linebreak [0] 
[
\ast 
{}^{0}
] , \linebreak [0] 
[
\ast 
{}^{1}
] , \linebreak [0] 
[
\ast 
{}^{2}
] , \linebreak [0] 
[
\ast 
{}^{3}
] , \linebreak [0] 
[
\ast 
{}^{4}
] , \linebreak [0] 
[
\ast 
{}^{5}
] , \linebreak [0] 
[
\ast 
{}^{6}
] , \linebreak [0] 
[
\ast 
{}^{7}
] , \linebreak [0] 
[
\ast 
{}^{8}
] , \linebreak [0] 
[
\ast 
{}^{9}
] , \linebreak [0] 
[
\ast 
{} ^ { E }
] , \linebreak [0] 
[
\ast 
{} ^ {\cal V}
] , \linebreak [0] 
[
\ast 
{} ^ {\cal C}
] , \linebreak [0] 
[
\ast 
{} ^ {{\cal C} ^ { \ast }}
] , \linebreak [0] 
[
\ast 
{}^{hide}
]
; 
\newline \mathbf {Preassociative} \newline 
[
\mbox{``}
\ast 
\mbox{''}
] , \linebreak [0] 
[
] , \linebreak [0] 
[
(
\ast 
)^{\bf t}
] , \linebreak [0] 
[
\mbox{string}(
\ast 
)+
\ast 
] , \linebreak [0] 
[\mbox{string}(
\ast 
)\mathrel{++}
\ast 
] , \linebreak [0] 
[
\newline 
\ast 
] , \linebreak [0] 
[
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}
\ast 
] , \linebreak [0] 
[!
\ast 
] , \linebreak [0] 
[
\mbox {\tt \char34}
\ast 
] , \linebreak [0] 
[
\#
\ast 
] , \linebreak [0] 
[
\$
\ast 
] , \linebreak [0] 
[
\%
\ast 
] , \linebreak [0] 
[
\&
\ast 
] , \linebreak [0] 
[
\mbox {'}
\ast 
] , \linebreak [0] 
[(
\ast 
] , \linebreak [0] 
[)
\ast 
] , \linebreak [0] 
[
{*}
\ast 
] , \linebreak [0] 
[
{+}
\ast 
] , \linebreak [0] 
[,
\ast 
] , \linebreak [0] 
[
\mbox{-}
\ast 
] , \linebreak [0] 
[.
\ast 
] , \linebreak [0] 
[/
\ast 
] , \linebreak [0] 
[0
\ast 
] , \linebreak [0] 
[1
\ast 
] , \linebreak [0] 
[2
\ast 
] , \linebreak [0] 
[3
\ast 
] , \linebreak [0] 
[4
\ast 
] , \linebreak [0] 
[5
\ast 
] , \linebreak [0] 
[6
\ast 
] , \linebreak [0] 
[7
\ast 
] , \linebreak [0] 
[8
\ast 
] , \linebreak [0] 
[9
\ast 
] , \linebreak [0] 
[
{:}
\ast 
] , \linebreak [0] 
[;
\ast 
] , \linebreak [0] 
[
{<}
\ast 
] , \linebreak [0] 
[
{=}
\ast 
] , \linebreak [0] 
[
{>}
\ast 
] , \linebreak [0] 
[?
\ast 
] , \linebreak [0] 
[@
\ast 
] , \linebreak [0] 
[A
\ast 
] , \linebreak [0] 
[B
\ast 
] , \linebreak [0] 
[C
\ast 
] , \linebreak [0] 
[D
\ast 
] , \linebreak [0] 
[E
\ast 
] , \linebreak [0] 
[F
\ast 
] , \linebreak [0] 
[G
\ast 
] , \linebreak [0] 
[H
\ast 
] , \linebreak [0] 
[I
\ast 
] , \linebreak [0] 
[J
\ast 
] , \linebreak [0] 
[K
\ast 
] , \linebreak [0] 
[L
\ast 
] , \linebreak [0] 
[M
\ast 
] , \linebreak [0] 
[N
\ast 
] , \linebreak [0] 
[O
\ast 
] , \linebreak [0] 
[P
\ast 
] , \linebreak [0] 
[Q
\ast 
] , \linebreak [0] 
[R
\ast 
] , \linebreak [0] 
[S
\ast 
] , \linebreak [0] 
[T
\ast 
] , \linebreak [0] 
[U
\ast 
] , \linebreak [0] 
[V
\ast 
] , \linebreak [0] 
[W
\ast 
] , \linebreak [0] 
[X
\ast 
] , \linebreak [0] 
[Y
\ast 
] , \linebreak [0] 
[Z
\ast 
] , \linebreak [0] 
[[
\ast 
] , \linebreak [0] 
[
\mbox {$\backslash $}
\ast 
] , \linebreak [0] 
[]
\ast 
] , \linebreak [0] 
[
{\char94}
\ast 
] , \linebreak [0] 
[
\_
\ast 
] , \linebreak [0] 
[
\mbox {`}
\ast 
] , \linebreak [0] 
[a
\ast 
] , \linebreak [0] 
[b
\ast 
] , \linebreak [0] 
[c
\ast 
] , \linebreak [0] 
[d
\ast 
] , \linebreak [0] 
[e
\ast 
] , \linebreak [0] 
[f
\ast 
] , \linebreak [0] 
[g
\ast 
] , \linebreak [0] 
[h
\ast 
] , \linebreak [0] 
[i
\ast 
] , \linebreak [0] 
[j
\ast 
] , \linebreak [0] 
[k
\ast 
] , \linebreak [0] 
[l
\ast 
] , \linebreak [0] 
[m
\ast 
] , \linebreak [0] 
[n
\ast 
] , \linebreak [0] 
[o
\ast 
] , \linebreak [0] 
[p
\ast 
] , \linebreak [0] 
[q
\ast 
] , \linebreak [0] 
[r
\ast 
] , \linebreak [0] 
[s
\ast 
] , \linebreak [0] 
[t
\ast 
] , \linebreak [0] 
[u
\ast 
] , \linebreak [0] 
[v
\ast 
] , \linebreak [0] 
[w
\ast 
] , \linebreak [0] 
[x
\ast 
] , \linebreak [0] 
[y
\ast 
] , \linebreak [0] 
[z
\ast 
] , \linebreak [0] 
[
\{
\ast 
] , \linebreak [0] 
[|
\ast 
] , \linebreak [0] 
[
\}
\ast 
] , \linebreak [0] 
[
\char126 
\ast 
] , \linebreak [0] 
[
\mathbf{Preassociative}\,
\ast 
; 
\ast 
] , \linebreak [0] 
[
\mathbf{Postassociative}\,
\ast 
; 
\ast 
] , \linebreak [0] 
[
[
\ast 
] , \linebreak [0] 
\ast 
] , \linebreak [0] 
[
\mathrm{priority} \,
\ast 
\, \mathrm{end}
] , \linebreak [0] 
[
newline\ 
\ast 
] , \linebreak [0] 
[
macro\ newline\ 
\ast 
] , \linebreak [0] 
[
MacroIndent(
\ast 
)
]
; 
\newline \mathbf {Preassociative} \newline 
[
\ast 
\mathbin {\mbox {'}}
\ast 
] , \linebreak [0] 
[
\ast 
\mathbin {\mbox {`}}
\ast 
]
; 
\newline \mathbf {Preassociative} \newline 
[
\ast 
{}'
] , \linebreak [0] 
[R(
\ast 
)
] , \linebreak [0] 
[--R(
\ast 
)
] , \linebreak [0] 
[rec
\ast 
]
; 
\newline \mathbf {Preassociative} \newline 
[
\ast 
 / 
\ast 
] , \linebreak [0] 
[
\ast 
 \cap 
\ast 
] , \linebreak [0] 
[
\ast 
[
\ast 
]
]
; 
\newline \mathbf {Preassociative} \newline 
[\cup 
\ast 
] , \linebreak [0] 
[
\ast 
 \mathrel{\cup} 
\ast 
] , \linebreak [0] 
[P(
\ast 
)
]
; 
\newline \mathbf {Preassociative} \newline 
[\{
\ast 
\}
]
; 
\newline \mathbf {Preassociative} \newline 
[\{
\ast 
,
\ast 
\}
] , \linebreak [0] 
[\langle 
\ast 
,
\ast 
\rangle
] , \linebreak [0] 
[-
\ast 
] , \linebreak [0] 
[-_{f}
\ast 
]
; 
\newline \mathbf {Preassociative} \newline 
[
\ast 
 \mathrel{\in} 
\ast 
] , \linebreak [0] 
[
\ast 
(
\ast 
,
\ast 
)
] , \linebreak [0] 
[ReflRel(
\ast 
,
\ast 
)
] , \linebreak [0] 
[SymRel(
\ast 
,
\ast 
)
] , \linebreak [0] 
[TransRel(
\ast 
,
\ast 
)
] , \linebreak [0] 
[EqRel(
\ast 
,
\ast 
)
] , \linebreak [0] 
[[
\ast 
 \mathrel{\in} 
\ast 
]_{
\ast 
}
] , \linebreak [0] 
[Partition(
\ast 
,
\ast 
)
]
; 
\newline \mathbf {Preassociative} \newline 
[
\ast 
\cdot 
\ast 
] , \linebreak [0] 
[
\ast 
\cdot_0 
\ast 
] , \linebreak [0] 
[
\ast 
*
\ast 
] , \linebreak [0] 
[
\ast 
*_{f}
\ast 
] , \linebreak [0] 
[
\ast 
**
\ast 
]
; 
\newline \mathbf {Preassociative} \newline 
[
\ast 
+ 
\ast 
] , \linebreak [0] 
[
\ast 
\mathop{+_0} 
\ast 
] , \linebreak [0] 
[
\ast 
\mathop{+_1} 
\ast 
] , \linebreak [0] 
[
\ast 
- 
\ast 
] , \linebreak [0] 
[
\ast 
\mathop{-_0} 
\ast 
] , \linebreak [0] 
[
\ast 
\mathop{-_1} 
\ast 
] , \linebreak [0] 
[
\ast 
+
\ast 
] , \linebreak [0] 
[
\ast 
-
\ast 
] , \linebreak [0] 
[
\ast 
+_{f}
\ast 
] , \linebreak [0] 
[
\ast 
-_{f}
\ast 
] , \linebreak [0] 
[
\ast 
++
\ast 
] , \linebreak [0] 
[R(
\ast 
) -- R(
\ast 
)
]
; 
\newline \mathbf {Preassociative} \newline 
[|
\ast |
] , \linebreak [0] 
[if(
\ast 
,
\ast 
,
\ast 
)
]
; 
\newline \mathbf {Preassociative} \newline 
[
\ast 
 = 
\ast 
] , \linebreak [0] 
[
\ast 
 \neq 
\ast 
] , \linebreak [0] 
[
\ast 
 <= 
\ast 
] , \linebreak [0] 
[
\ast 
 < 
\ast 
] , \linebreak [0] 
[
\ast 
=_{f}
\ast 
] , \linebreak [0] 
[
\ast 
<_{f}
\ast 
] , \linebreak [0] 
[SF(
\ast 
,
\ast 
)
] , \linebreak [0] 
[
\ast 
 == 
\ast 
] , \linebreak [0] 
[
\ast 
 << 
\ast 
] , \linebreak [0] 
[
\ast 
 <<== 
\ast 
]
; 
\newline \mathbf {Preassociative} \newline 
[
\ast 
\cup \{ 
\ast 
\}
] , \linebreak [0] 
[
\ast 
\cup 
\ast 
] , \linebreak [0] 
[
\ast 
\backslash \{ 
\ast 
\}
]
; 
\newline\mathbf{Postassociative} \newline 
[
\ast 
\mathrel { \dot { . \, . } }
\ast 
] , \linebreak [0] 
[
\ast 
\mathrel { \underline { \dot { . \, . } } }
\ast 
] , \linebreak [0] 
[
\ast 
\mathrel { \underline { : \, : } }
\ast 
] , \linebreak [0] 
[
\ast 
\mathrel { \underline { {+} 2 \ast } }
\ast 
] , \linebreak [0] 
[
\ast 
\mathrel { : \, : }
\ast 
] , \linebreak [0] 
[
\ast 
\mathrel { {+} 2 \ast }
\ast 
]
; 
\newline\mathbf{Postassociative} \newline 
[
\ast 
,\linebreak [0] 
\ast 
]
; 
\newline \mathbf {Preassociative} \newline 
[
\ast 
\stackrel {B}{\approx }
\ast 
] , \linebreak [0] 
[
\ast 
\stackrel {D}{\approx }
\ast 
] , \linebreak [0] 
[
\ast 
\stackrel {C}{\approx }
\ast 
] , \linebreak [0] 
[
\ast 
\stackrel {P}{\approx }
\ast 
] , \linebreak [0] 
[
\ast 
\approx 
\ast 
] , \linebreak [0] 
[
\ast 
=
\ast 
] , \linebreak [0] 
[
\ast 
\stackrel {+}{\rightarrow }
\ast 
] , \linebreak [0] 
[
\ast 
\stackrel {t}{=}
\ast 
] , \linebreak [0] 
[
\ast 
\stackrel {t^*}{=}
\ast 
] , \linebreak [0] 
[
\ast 
\stackrel{r}{=} 
\ast 
] , \linebreak [0] 
[
\ast 
\in_t 
\ast 
] , \linebreak [0] 
[
\ast 
\subseteq_T 
\ast 
] , \linebreak [0] 
[
\ast 
\stackrel{T}{=} 
\ast 
] , \linebreak [0] 
[
\ast 
\stackrel{s}{=} 
\ast 
] , \linebreak [0] 
[
\ast 
\mathrel {free\ in} 
\ast 
] , \linebreak [0] 
[
\ast 
\mathrel {free\ in}^{\ast} 
\ast 
] , \linebreak [0] 
[
\ast 
\mathrel {free\ for} 
\ast 
\mathrel {in} 
\ast 
] , \linebreak [0] 
[
\ast 
\mathrel {free\ for}^{\ast} 
\ast 
\mathrel {in} 
\ast 
] , \linebreak [0] 
[
\ast 
\in_c 
\ast 
] , \linebreak [0] 
[
\ast 
< 
\ast 
] , \linebreak [0] 
[
\ast 
<' 
\ast 
] , \linebreak [0] 
[
\ast 
\le' 
\ast 
] , \linebreak [0] 
[
\ast 
= 
\ast 
] , \linebreak [0] 
[
\ast 
\neq 
\ast 
] , \linebreak [0] 
[
\ast 
{}^{var}
] , \linebreak [0] 
[
\ast 
\#^0
\ast 
] , \linebreak [0] 
[
\ast 
\#^1
\ast 
] , \linebreak [0] 
[
\ast 
\#^*
\ast 
] , \linebreak [0] 
[
\ast 
\!\mathrel{==}\! 
\ast 
] , \linebreak [0] 
[
\ast 
 \mathrel{\subseteq} 
\ast 
]
; 
\newline \mathbf {Preassociative} \newline 
[
{\neg }
\ast 
] , \linebreak [0] 
[\dot{\neg}\, 
\ast 
] , \linebreak [0] 
[
\ast 
 \mathrel{\notin} 
\ast 
] , \linebreak [0] 
[
\ast 
 \mathrel{\neq} 
\ast 
]
; 
\newline \mathbf {Preassociative} \newline 
[
\ast 
\wedge 
\ast 
] , \linebreak [0] 
[
\ast 
\mathrel{\ddot{\wedge}} 
\ast 
] , \linebreak [0] 
[
\ast 
\mathrel{\tilde{\wedge}} 
\ast 
] , \linebreak [0] 
[
\ast 
\wedge_c 
\ast 
] , \linebreak [0] 
[
\ast 
\mathrel{\dot{\wedge}} 
\ast 
]
; 
\newline \mathbf {Preassociative} \newline 
[
\ast 
\vee 
\ast 
] , \linebreak [0] 
[
\ast 
\parallel 
\ast 
] , \linebreak [0] 
[
\ast 
\mathrel{\ddot{\vee}} 
\ast 
]
; 
\newline\mathbf{Postassociative} \newline 
[
\ast 
 \mathrel{\dot{\vee}} 
\ast 
]
; 
\newline \mathbf {Preassociative} \newline 
[
\exists 
\ast 
\colon 
\ast 
] , \linebreak [0] 
[
\forall 
\ast 
\colon 
\ast 
] , \linebreak [0] 
[
\forall_{obj} 
\ast 
\colon 
\ast 
]
; 
\newline\mathbf{Postassociative} \newline 
[
\ast 
\mathrel{\ddot{\Rightarrow}} 
\ast 
] , \linebreak [0] 
[
\ast 
\Rightarrow 
\ast 
] , \linebreak [0] 
[
\ast 
\Leftrightarrow 
\ast 
] , \linebreak [0] 
[
\ast 
\mathrel{\dot{\Leftrightarrow}} 
\ast 
]
; 
\newline \mathbf {Preassociative} \newline 
[ \{ ph \mathrel{\in} 
\ast 
\mid 
\ast 
\}
]
; 
\newline\mathbf{Postassociative} \newline 
[
\ast 
:
\ast 
] , \linebreak [0] 
[
\ast 
\mathrel{spy}
\ast 
] , \linebreak [0] 
[
\ast 
!
\ast 
]
; 
\newline \mathbf {Preassociative} \newline 
[
\ast 
\left\{\protect \begin {array}{l}
\ast 
\\
\ast 
\protect \end {array}\right.
]
; 
\newline \mathbf {Preassociative} \newline 
[
\lambda 
\ast 
.
\ast 
] , \linebreak [0] 
[
\Lambda 
\ast 
. 
\ast 
] , \linebreak [0] 
[
\Lambda 
\ast 
] , \linebreak [0] 
[
{\bf if} \ 
\ast 
\ {\bf then} \ 
\ast 
\ {\bf else} \ 
\ast 
] , \linebreak [0] 
[
\mathbf{let\ } 
\ast 
= 
\ast 
\mathbf{\ in\ } 
\ast 
] , \linebreak [0] 
[
\mathbf{let\ } 
\ast 
\mathrel{\ddot{=}} 
\ast 
\mathrel{\ in\ } 
\ast 
]
; 
\newline \mathbf {Preassociative} \newline 
[
\ast 
\#
\ast 
]
; 
\newline \mathbf {Preassociative} \newline 
[
\ast 
{} ^ { I }
] , \linebreak [0] 
[
\ast 
{} ^ { \rhd }
] , \linebreak [0] 
[
\ast 
{} ^ { V } 
] , \linebreak [0] 
[
\ast 
{} ^ { + } 
] , \linebreak [0] 
[
\ast 
{} ^ { - } 
] , \linebreak [0] 
[
\ast 
{} ^ { \ast } 
]
; 
\newline \mathbf {Preassociative} \newline 
[
\ast 
\mathop {\char64} 
\ast 
] , \linebreak [0] 
[
\ast 
\rhd 
\ast 
] , \linebreak [0] 
[
\ast 
\mathrel {\makebox [0mm][l]{$\rhd $}\,{\rhd }} 
\ast 
] , \linebreak [0] 
[
\ast 
\gg 
\ast 
] , \linebreak [0] 
[
\ast 
\unrhd 
\ast 
]
; 
\newline\mathbf{Postassociative} \newline 
[
\ast 
\vdash 
\ast 
] , \linebreak [0] 
[
\ast 
\mathrel {\makebox [0mm][l]{$\vdash $}\,{\vdash }} 
\ast 
] , \linebreak [0] 
[
\ast 
\mathrel {i.e.} 
\ast 
]
; 
\newline \mathbf {Preassociative} \newline 
[
\forall 
\ast 
\colon 
\ast 
] , \linebreak [0] 
[
\Pi 
\ast 
\colon 
\ast 
]
; 
\newline\mathbf{Postassociative} \newline 
[
\ast 
\mathrel {\oplus} 
\ast 
]
; 
\newline\mathbf{Postassociative} \newline 
[
\ast 
; 
\ast 
]
; 
\newline \mathbf {Preassociative} \newline 
[
\ast 
\ proves\ 
\ast 
]
; 
\newline \mathbf {Preassociative} \newline 
[
\ast 
\mathbf{\ proof\ of\ } 
\ast 
: 
\ast 
] , \linebreak [0] 
[
Line \, 
\ast 
: 
\ast 
\gg 
\ast 
; 
\ast 
] , \linebreak [0] 
[
Last\ line \, 
\ast 
\gg 
\ast 
\,\Box
] , \linebreak [0] 
[
Line \, 
\ast 
: Premise \gg 
\ast 
;
\ast 
] , \linebreak [0] 
[
Line \, 
\ast 
: \mbox{Side-condition} \gg 
\ast 
; 
\ast 
] , \linebreak [0] 
[
Arbitrary \gg 
\ast 
;
\ast 
] , \linebreak [0] 
[
Local \gg 
\ast 
= 
\ast 
; 
\ast 
] , \linebreak [0] 
[
Begin \, 
\ast 
 ; 
\ast 
 : End ; 
\ast 
] , \linebreak [0] 
[
Last\ block\ line \, 
\ast 
\gg 
\ast 
\,;
] , \linebreak [0] 
[
Arbitrary \gg 
\ast 
;
\ast 
]
; 
\newline\mathbf{Postassociative} \newline 
[
\ast 
\mathrel{|} 
\ast 
]
; 
\newline\mathbf{Postassociative} \newline 
[
\ast 
\mathrel{\mathrm{,}}
\ast 
] , \linebreak [0] 
[
\ast 
{[}
\ast 
{]}
\ast 
]
; 
\newline \mathbf {Preassociative} \newline 
[
\ast 
\& 
\ast 
]
; 
\newline \mathbf {Preassociative} \newline 
[
\ast 
\backslash \backslash 
\ast 
] , \linebreak [0] 
[
\ast 
\mathrel{linebreak[4]} 
\ast 
] , \linebreak [0] 
[
\ast 
\backslash \backslash 
\ast 
]
; 
]$
\end {flushleft}

\section{Pyk definitioner} \label{sec:pyk}

\begin{flushleft}
$
[(\cdots{})
\stackrel{
\mathrm{pyk}
}{\rightarrow}
\mbox{``}cdots
\mbox{''}
]
\linebreak[4] 
[\texttt{Objekt-var}
\stackrel{
\mathrm{pyk}
}{\rightarrow}
\mbox{``}object
\mbox{-}var
\mbox{''}
]
\linebreak[4] 
[\texttt{Ex-var}
\stackrel{
\mathrm{pyk}
}{\rightarrow}
\mbox{``}ex
\mbox{-}var
\mbox{''}
]
\linebreak[4] 
[\texttt{Ph-var}
\stackrel{
\mathrm{pyk}
}{\rightarrow}
\mbox{``}ph
\mbox{-}var
\mbox{''}
]
\linebreak[4] 
[\texttt{V\ae{}rdi}
\stackrel{
\mathrm{pyk}
}{\rightarrow}
\mbox{``}vaerdi
\mbox{''}
]
\linebreak[4] 
[\texttt{Variabel}
\stackrel{
\mathrm{pyk}
}{\rightarrow}
\mbox{``}variabel
\mbox{''}
]
\linebreak[4] 
[Op(
\ast 
)
\stackrel{
\mathrm{pyk}
}{\rightarrow}
\mbox{``}op
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}
\mbox {\tt \char34}
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}end
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}op
\mbox{''}
]
\linebreak[4] 
[Op(
\ast 
,
\ast 
)
\stackrel{
\mathrm{pyk}
}{\rightarrow}
\mbox{``}op2
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}
\mbox {\tt \char34}
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}comma
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}
\mbox {\tt \char34}
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}end
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}op2
\mbox{''}
]
\linebreak[4] 
[
\ast 
 \mathrel {\ddot {==}} 
\ast 
\stackrel{
\mathrm{pyk}
}{\rightarrow}
\mbox{``}define
\mbox{-}equal
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}
\mbox {\tt \char34}
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}comma
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}
\mbox {\tt \char34}
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}end
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}equal
\mbox{''}
]
\linebreak[4] 
[ContainsEmpty(
\ast 
)
\stackrel{
\mathrm{pyk}
}{\rightarrow}
\mbox{``}contains
\mbox{-}empty
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}
\mbox {\tt \char34}
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}end
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}empty
\mbox{''}
]
\linebreak[4] 
[
Dedu(
\ast 
,
\ast 
)
\stackrel{
\mathrm{pyk}
}{\rightarrow}
\mbox{``}1deduction
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}
\mbox {\tt \char34}
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}conclude
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}
\mbox {\tt \char34}
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}end
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}1deduction
\mbox{''}
]
\linebreak[4] 
[
Dedu_0(
\ast 
,
\ast 
)
\stackrel{
\mathrm{pyk}
}{\rightarrow}
\mbox{``}1deduction
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}zero
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}
\mbox {\tt \char34}
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}conclude
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}
\mbox {\tt \char34}
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}end
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}1deduction
\mbox{''}
]
\linebreak[4] 
[Dedu_{s}(
\ast 
,
\ast 
,
\ast 
)
\stackrel{
\mathrm{pyk}
}{\rightarrow}
\mbox{``}1deduction
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}side
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}
\mbox {\tt \char34}
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}conclude
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}
\mbox {\tt \char34}
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}condition
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}
\mbox {\tt \char34}
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}end
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}1deduction
\mbox{''}
]
\linebreak[4] 
[
Dedu_1(
\ast 
,
\ast 
,
\ast 
)
\stackrel{
\mathrm{pyk}
}{\rightarrow}
\mbox{``}1deduction
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}one
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}
\mbox {\tt \char34}
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}conclude
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}
\mbox {\tt \char34}
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}condition
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}
\mbox {\tt \char34}
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}end
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}1deduction
\mbox{''}
]
\linebreak[4] 
[
Dedu_2(
\ast 
,
\ast 
,
\ast 
)
\stackrel{
\mathrm{pyk}
}{\rightarrow}
\mbox{``}1deduction
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}two
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}
\mbox {\tt \char34}
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}conclude
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}
\mbox {\tt \char34}
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}condition
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}
\mbox {\tt \char34}
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}end
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}1deduction
\mbox{''}
]
\linebreak[4] 
[
Dedu_3(
\ast 
,
\ast 
,
\ast 
,
\ast 
)
\stackrel{
\mathrm{pyk}
}{\rightarrow}
\mbox{``}1deduction
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}three
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}
\mbox {\tt \char34}
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}conclude
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}
\mbox {\tt \char34}
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}condition
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}
\mbox {\tt \char34}
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}bound
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}
\mbox {\tt \char34}
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}end
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}1deduction
\mbox{''}
]
\linebreak[4] 
[
Dedu_4(
\ast 
,
\ast 
,
\ast 
,
\ast 
)
\stackrel{
\mathrm{pyk}
}{\rightarrow}
\mbox{``}1deduction
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}four
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}
\mbox {\tt \char34}
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}conclude
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}
\mbox {\tt \char34}
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}condition
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}
\mbox {\tt \char34}
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}bound
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}
\mbox {\tt \char34}
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}end
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}1deduction
\mbox{''}
]
\linebreak[4] 
[
Dedu_4^*(
\ast 
,
\ast 
,
\ast 
,
\ast 
)
\stackrel{
\mathrm{pyk}
}{\rightarrow}
\mbox{``}1deduction
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}four
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}star
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}
\mbox {\tt \char34}
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}conclude
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}
\mbox {\tt \char34}
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}condition
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}
\mbox {\tt \char34}
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}bound
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}
\mbox {\tt \char34}
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}end
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}1deduction
\mbox{''}
]
\linebreak[4] 
[
Dedu_5(
\ast 
,
\ast 
,
\ast 
)
\stackrel{
\mathrm{pyk}
}{\rightarrow}
\mbox{``}1deduction
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}five
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}
\mbox {\tt \char34}
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}condition
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}
\mbox {\tt \char34}
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}bound
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}
\mbox {\tt \char34}
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}end
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}1deduction
\mbox{''}
]
\linebreak[4] 
[
Dedu_6(
\ast 
,
\ast 
,
\ast 
,
\ast 
)
\stackrel{
\mathrm{pyk}
}{\rightarrow}
\mbox{``}1deduction
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}six
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}
\mbox {\tt \char34}
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}conclude
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}
\mbox {\tt \char34}
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}exception
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}
\mbox {\tt \char34}
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}bound
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}
\mbox {\tt \char34}
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}end
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}1deduction
\mbox{''}
]
\linebreak[4] 
[
Dedu_6^*(
\ast 
,
\ast 
,
\ast 
,
\ast 
)
\stackrel{
\mathrm{pyk}
}{\rightarrow}
\mbox{``}1deduction
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}six
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}star
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}
\mbox {\tt \char34}
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}conclude
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}
\mbox {\tt \char34}
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}exception
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}
\mbox {\tt \char34}
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}bound
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}
\mbox {\tt \char34}
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}end
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}1deduction
\mbox{''}
]
\linebreak[4] 
[
Dedu_7(
\ast 
)
\stackrel{
\mathrm{pyk}
}{\rightarrow}
\mbox{``}1deduction
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}seven
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}
\mbox {\tt \char34}
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}end
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}1deduction
\mbox{''}
]
\linebreak[4] 
[
Dedu_8(
\ast 
,
\ast 
)
\stackrel{
\mathrm{pyk}
}{\rightarrow}
\mbox{``}1deduction
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}eight
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}
\mbox {\tt \char34}
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}bound
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}
\mbox {\tt \char34}
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}end
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}1deduction
\mbox{''}
]
\linebreak[4] 
[
Dedu_8^*(
\ast 
,
\ast 
)
\stackrel{
\mathrm{pyk}
}{\rightarrow}
\mbox{``}1deduction
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}eight
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}star
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}
\mbox {\tt \char34}
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}bound
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}
\mbox {\tt \char34}
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}end
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}1deduction
\mbox{''}
]
\linebreak[4] 
[Ex_{1}
\stackrel{
\mathrm{pyk}
}{\rightarrow}
\mbox{``}ex1
\mbox{''}
]
\linebreak[4] 
[Ex_{2}
\stackrel{
\mathrm{pyk}
}{\rightarrow}
\mbox{``}ex2
\mbox{''}
]
\linebreak[4] 
[Ex3
\stackrel{
\mathrm{pyk}
}{\rightarrow}
\mbox{``}ex3
\mbox{''}
]
\linebreak[4] 
[Ex_{10}
\stackrel{
\mathrm{pyk}
}{\rightarrow}
\mbox{``}ex10
\mbox{''}
]
\linebreak[4] 
[Ex_{20}
\stackrel{
\mathrm{pyk}
}{\rightarrow}
\mbox{``}ex20
\mbox{''}
]
\linebreak[4] 
[
\ast 
 _{Ex}
\stackrel{
\mathrm{pyk}
}{\rightarrow}
\mbox{``}existential
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}var
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}
\mbox {\tt \char34}
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}end
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}var
\mbox{''}
]
\linebreak[4] 
[
\ast 
 ^{Ex}
\stackrel{
\mathrm{pyk}
}{\rightarrow}
\mbox{``}
\mbox {\tt \char34}
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}is
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}existential
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}var
\mbox{''}
]
\linebreak[4] 
[\langle 
\ast 
{\equiv} 
\ast 
| 
\ast 
{:==} 
\ast 
\rangle_{Ex} 
\stackrel{
\mathrm{pyk}
}{\rightarrow}
\mbox{``}exist
\mbox{-}sub
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}
\mbox {\tt \char34}
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}is
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}
\mbox {\tt \char34}
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}where
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}
\mbox {\tt \char34}
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}is
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}
\mbox {\tt \char34}
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}end
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}sub
\mbox{''}
]
\linebreak[4] 
[\langle 
\ast 
{\equiv}^0 
\ast 
| 
\ast 
{:==} 
\ast 
\rangle_{Ex} 
\stackrel{
\mathrm{pyk}
}{\rightarrow}
\mbox{``}exist
\mbox{-}sub0
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}
\mbox {\tt \char34}
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}is
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}
\mbox {\tt \char34}
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}where
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}
\mbox {\tt \char34}
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}is
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}
\mbox {\tt \char34}
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}end
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}sub
\mbox{''}
]
\linebreak[4] 
[\langle 
\ast 
{\equiv}^1 
\ast 
| 
\ast 
{:==} 
\ast 
\rangle_{Ex} 
\stackrel{
\mathrm{pyk}
}{\rightarrow}
\mbox{``}exist
\mbox{-}sub1
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}
\mbox {\tt \char34}
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}is
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}
\mbox {\tt \char34}
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}where
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}
\mbox {\tt \char34}
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}is
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}
\mbox {\tt \char34}
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}end
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}sub
\mbox{''}
]
\linebreak[4] 
[\langle 
\ast 
{\equiv}^* 
\ast 
| 
\ast 
{:==} 
\ast 
\rangle_{Ex} 
\stackrel{
\mathrm{pyk}
}{\rightarrow}
\mbox{``}exist
\mbox{-}sub
{*}
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}
\mbox {\tt \char34}
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}is
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}
\mbox {\tt \char34}
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}where
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}
\mbox {\tt \char34}
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}is
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}
\mbox {\tt \char34}
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}end
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}sub
\mbox{''}
]
\linebreak[4] 
[ph_{1}
\stackrel{
\mathrm{pyk}
}{\rightarrow}
\mbox{``}placeholder
\mbox{-}var1
\mbox{''}
]
\linebreak[4] 
[ph_{2}
\stackrel{
\mathrm{pyk}
}{\rightarrow}
\mbox{``}placeholder
\mbox{-}var2
\mbox{''}
]
\linebreak[4] 
[ph_{3}
\stackrel{
\mathrm{pyk}
}{\rightarrow}
\mbox{``}placeholder
\mbox{-}var3
\mbox{''}
]
\linebreak[4] 
[
\ast 
 _{Ph} 
\stackrel{
\mathrm{pyk}
}{\rightarrow}
\mbox{``}placeholder
\mbox{-}var
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}
\mbox {\tt \char34}
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}end
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}var
\mbox{''}
]
\linebreak[4] 
[
\ast 
 ^{Ph}
\stackrel{
\mathrm{pyk}
}{\rightarrow}
\mbox{``}
\mbox {\tt \char34}
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}is
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}placeholder
\mbox{-}var
\mbox{''}
]
\linebreak[4] 
[\langle 
\ast 
{\equiv} 
\ast 
| 
\ast 
{:==} 
\ast 
\rangle_{Ph} 
\stackrel{
\mathrm{pyk}
}{\rightarrow}
\mbox{``}ph
\mbox{-}sub
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}
\mbox {\tt \char34}
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}is
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}
\mbox {\tt \char34}
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}where
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}
\mbox {\tt \char34}
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}is
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}
\mbox {\tt \char34}
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}end
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}sub
\mbox{''}
]
\linebreak[4] 
[\langle 
\ast 
{\equiv}^0 
\ast 
| 
\ast 
{:==} 
\ast 
\rangle_{Ph} 
\stackrel{
\mathrm{pyk}
}{\rightarrow}
\mbox{``}ph
\mbox{-}sub0
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}
\mbox {\tt \char34}
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}is
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}
\mbox {\tt \char34}
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}where
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}
\mbox {\tt \char34}
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}is
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}
\mbox {\tt \char34}
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}end
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}sub
\mbox{''}
]
\linebreak[4] 
[\langle 
\ast 
{\equiv}^1 
\ast 
| 
\ast 
{:==} 
\ast 
\rangle_{Ph} 
\stackrel{
\mathrm{pyk}
}{\rightarrow}
\mbox{``}ph
\mbox{-}sub1
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}
\mbox {\tt \char34}
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}is
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}
\mbox {\tt \char34}
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}where
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}
\mbox {\tt \char34}
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}is
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}
\mbox {\tt \char34}
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}end
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}sub
\mbox{''}
]
\linebreak[4] 
[\langle 
\ast 
{\equiv}^* 
\ast 
| 
\ast 
{:==} 
\ast 
\rangle_{Ph} 
\stackrel{
\mathrm{pyk}
}{\rightarrow}
\mbox{``}ph
\mbox{-}sub
{*}
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}
\mbox {\tt \char34}
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}is
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}
\mbox {\tt \char34}
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}where
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}
\mbox {\tt \char34}
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}is
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}
\mbox {\tt \char34}
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}end
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}sub
\mbox{''}
]
\linebreak[4] 
[\mathsf {bs}
\stackrel{
\mathrm{pyk}
}{\rightarrow}
\mbox{``}var
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}big
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}set
\mbox{''}
]
\linebreak[4] 
[ \mathsf {OBS}
\stackrel{
\mathrm{pyk}
}{\rightarrow}
\mbox{``}object
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}big
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}set
\mbox{''}
]
\linebreak[4] 
[{\cal BS}
\stackrel{
\mathrm{pyk}
}{\rightarrow}
\mbox{``}meta
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}big
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}set
\mbox{''}
]
\linebreak[4] 
[\mathrm{\O}
\stackrel{
\mathrm{pyk}
}{\rightarrow}
\mbox{``}zermelo
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}empty
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}set
\mbox{''}
]
\linebreak[4] 
[ZFsub
\stackrel{
\mathrm{pyk}
}{\rightarrow}
\mbox{``}system
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}Q
\mbox{''}
]
\linebreak[4] 
[MP
\stackrel{
\mathrm{pyk}
}{\rightarrow}
\mbox{``}1rule
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}mp
\mbox{''}
]
\linebreak[4] 
[Gen
\stackrel{
\mathrm{pyk}
}{\rightarrow}
\mbox{``}1rule
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}gen
\mbox{''}
]
\linebreak[4] 
[Repetition
\stackrel{
\mathrm{pyk}
}{\rightarrow}
\mbox{``}1rule
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}repetition
\mbox{''}
]
\linebreak[4] 
[Neg
\stackrel{
\mathrm{pyk}
}{\rightarrow}
\mbox{``}1rule
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}ad
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}absurdum
\mbox{''}
]
\linebreak[4] 
[Ded
\stackrel{
\mathrm{pyk}
}{\rightarrow}
\mbox{``}1rule
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}deduction
\mbox{''}
]
\linebreak[4] 
[ExistIntro
\stackrel{
\mathrm{pyk}
}{\rightarrow}
\mbox{``}1rule
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}exist
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}intro
\mbox{''}
]
\linebreak[4] 
[Extensionality
\stackrel{
\mathrm{pyk}
}{\rightarrow}
\mbox{``}axiom
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}extensionality
\mbox{''}
]
\linebreak[4] 
[\O{}def
\stackrel{
\mathrm{pyk}
}{\rightarrow}
\mbox{``}axiom
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}empty
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}set
\mbox{''}
]
\linebreak[4] 
[PairDef
\stackrel{
\mathrm{pyk}
}{\rightarrow}
\mbox{``}axiom
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}pair
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}definition
\mbox{''}
]
\linebreak[4] 
[UnionDef
\stackrel{
\mathrm{pyk}
}{\rightarrow}
\mbox{``}axiom
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}union
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}definition
\mbox{''}
]
\linebreak[4] 
[PowerDef
\stackrel{
\mathrm{pyk}
}{\rightarrow}
\mbox{``}axiom
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}power
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}definition
\mbox{''}
]
\linebreak[4] 
[SeparationDef
\stackrel{
\mathrm{pyk}
}{\rightarrow}
\mbox{``}axiom
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}separation
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}definition
\mbox{''}
]
\linebreak[4] 
[AddDoubleNeg
\stackrel{
\mathrm{pyk}
}{\rightarrow}
\mbox{``}prop
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}lemma
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}add
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}double
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}neg
\mbox{''}
]
\linebreak[4] 
[RemoveDoubleNeg
\stackrel{
\mathrm{pyk}
}{\rightarrow}
\mbox{``}prop
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}lemma
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}remove
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}double
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}neg
\mbox{''}
]
\linebreak[4] 
[AndCommutativity
\stackrel{
\mathrm{pyk}
}{\rightarrow}
\mbox{``}prop
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}lemma
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}and
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}commutativity
\mbox{''}
]
\linebreak[4] 
[AutoImply
\stackrel{
\mathrm{pyk}
}{\rightarrow}
\mbox{``}prop
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}lemma
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}auto
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}imply
\mbox{''}
]
\linebreak[4] 
[Contrapositive
\stackrel{
\mathrm{pyk}
}{\rightarrow}
\mbox{``}prop
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}lemma
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}contrapositive
\mbox{''}
]
\linebreak[4] 
[FirstConjunct
\stackrel{
\mathrm{pyk}
}{\rightarrow}
\mbox{``}prop
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}lemma
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}first
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}conjunct
\mbox{''}
]
\linebreak[4] 
[SecondConjunct
\stackrel{
\mathrm{pyk}
}{\rightarrow}
\mbox{``}prop
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}lemma
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}second
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}conjunct
\mbox{''}
]
\linebreak[4] 
[FromContradiction
\stackrel{
\mathrm{pyk}
}{\rightarrow}
\mbox{``}prop
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}lemma
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}from
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}contradiction
\mbox{''}
]
\linebreak[4] 
[FromDisjuncts
\stackrel{
\mathrm{pyk}
}{\rightarrow}
\mbox{``}prop
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}lemma
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}from
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}disjuncts
\mbox{''}
]
\linebreak[4] 
[IffCommutativity
\stackrel{
\mathrm{pyk}
}{\rightarrow}
\mbox{``}prop
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}lemma
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}iff
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}commutativity
\mbox{''}
]
\linebreak[4] 
[IffFirst
\stackrel{
\mathrm{pyk}
}{\rightarrow}
\mbox{``}prop
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}lemma
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}iff
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}first
\mbox{''}
]
\linebreak[4] 
[IffSecond
\stackrel{
\mathrm{pyk}
}{\rightarrow}
\mbox{``}prop
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}lemma
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}iff
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}second
\mbox{''}
]
\linebreak[4] 
[ImplyTransitivity
\stackrel{
\mathrm{pyk}
}{\rightarrow}
\mbox{``}prop
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}lemma
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}imply
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}transitivity
\mbox{''}
]
\linebreak[4] 
[JoinConjuncts
\stackrel{
\mathrm{pyk}
}{\rightarrow}
\mbox{``}prop
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}lemma
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}join
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}conjuncts
\mbox{''}
]
\linebreak[4] 
[MP2
\stackrel{
\mathrm{pyk}
}{\rightarrow}
\mbox{``}prop
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}lemma
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}mp2
\mbox{''}
]
\linebreak[4] 
[MP3
\stackrel{
\mathrm{pyk}
}{\rightarrow}
\mbox{``}prop
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}lemma
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}mp3
\mbox{''}
]
\linebreak[4] 
[MP4
\stackrel{
\mathrm{pyk}
}{\rightarrow}
\mbox{``}prop
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}lemma
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}mp4
\mbox{''}
]
\linebreak[4] 
[MP5
\stackrel{
\mathrm{pyk}
}{\rightarrow}
\mbox{``}prop
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}lemma
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}mp5
\mbox{''}
]
\linebreak[4] 
[MT
\stackrel{
\mathrm{pyk}
}{\rightarrow}
\mbox{``}prop
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}lemma
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}mt
\mbox{''}
]
\linebreak[4] 
[NegativeMT
\stackrel{
\mathrm{pyk}
}{\rightarrow}
\mbox{``}prop
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}lemma
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}negative
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}mt
\mbox{''}
]
\linebreak[4] 
[Technicality
\stackrel{
\mathrm{pyk}
}{\rightarrow}
\mbox{``}prop
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}lemma
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}technicality
\mbox{''}
]
\linebreak[4] 
[Weakening
\stackrel{
\mathrm{pyk}
}{\rightarrow}
\mbox{``}prop
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}lemma
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}weakening
\mbox{''}
]
\linebreak[4] 
[WeakenOr1
\stackrel{
\mathrm{pyk}
}{\rightarrow}
\mbox{``}prop
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}lemma
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}weaken
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}or
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}first
\mbox{''}
]
\linebreak[4] 
[WeakenOr2
\stackrel{
\mathrm{pyk}
}{\rightarrow}
\mbox{``}prop
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}lemma
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}weaken
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}or
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}second
\mbox{''}
]
\linebreak[4] 
[Formula2Pair
\stackrel{
\mathrm{pyk}
}{\rightarrow}
\mbox{``}lemma
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}formula2pair
\mbox{''}
]
\linebreak[4] 
[Pair2Formula
\stackrel{
\mathrm{pyk}
}{\rightarrow}
\mbox{``}lemma
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}pair2formula
\mbox{''}
]
\linebreak[4] 
[Formula2Union
\stackrel{
\mathrm{pyk}
}{\rightarrow}
\mbox{``}lemma
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}formula2union
\mbox{''}
]
\linebreak[4] 
[Union2Formula
\stackrel{
\mathrm{pyk}
}{\rightarrow}
\mbox{``}lemma
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}union2formula
\mbox{''}
]
\linebreak[4] 
[Formula2Sep
\stackrel{
\mathrm{pyk}
}{\rightarrow}
\mbox{``}lemma
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}formula2separation
\mbox{''}
]
\linebreak[4] 
[Sep2Formula
\stackrel{
\mathrm{pyk}
}{\rightarrow}
\mbox{``}lemma
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}separation2formula
\mbox{''}
]
\linebreak[4] 
[SubsetInPower
\stackrel{
\mathrm{pyk}
}{\rightarrow}
\mbox{``}lemma
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}subset
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}in
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}power
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}set
\mbox{''}
]
\linebreak[4] 
[HelperPowerIsSub
\stackrel{
\mathrm{pyk}
}{\rightarrow}
\mbox{``}lemma
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}power
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}set
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}is
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}subset0
\mbox{''}
]
\linebreak[4] 
[PowerIsSub
\stackrel{
\mathrm{pyk}
}{\rightarrow}
\mbox{``}lemma
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}power
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}set
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}is
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}subset
\mbox{''}
]
\linebreak[4] 
[(Switch)HelperPowerIsSub
\stackrel{
\mathrm{pyk}
}{\rightarrow}
\mbox{``}lemma
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}power
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}set
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}is
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}subset0
\mbox{-}switch
\mbox{''}
]
\linebreak[4] 
[(Switch)PowerIsSub
\stackrel{
\mathrm{pyk}
}{\rightarrow}
\mbox{``}lemma
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}power
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}set
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}is
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}subset
\mbox{-}switch
\mbox{''}
]
\linebreak[4] 
[ToSetEquality
\stackrel{
\mathrm{pyk}
}{\rightarrow}
\mbox{``}lemma
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}set
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}equality
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}suff
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}condition
\mbox{''}
]
\linebreak[4] 
[HelperToSetEquality(t)
\stackrel{
\mathrm{pyk}
}{\rightarrow}
\mbox{``}lemma
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}set
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}equality
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}suff
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}condition(t)0
\mbox{''}
]
\linebreak[4] 
[ToSetEquality(t)
\stackrel{
\mathrm{pyk}
}{\rightarrow}
\mbox{``}lemma
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}set
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}equality
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}suff
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}condition(t)
\mbox{''}
]
\linebreak[4] 
[HelperFromSetEquality
\stackrel{
\mathrm{pyk}
}{\rightarrow}
\mbox{``}lemma
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}set
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}equality
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}skip
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}quantifier
\mbox{''}
]
\linebreak[4] 
[FromSetEquality
\stackrel{
\mathrm{pyk}
}{\rightarrow}
\mbox{``}lemma
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}set
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}equality
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}nec
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}condition
\mbox{''}
]
\linebreak[4] 
[HelperReflexivity
\stackrel{
\mathrm{pyk}
}{\rightarrow}
\mbox{``}lemma
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}reflexivity0
\mbox{''}
]
\linebreak[4] 
[Reflexivity
\stackrel{
\mathrm{pyk}
}{\rightarrow}
\mbox{``}lemma
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}reflexivity
\mbox{''}
]
\linebreak[4] 
[HelperSymmetry
\stackrel{
\mathrm{pyk}
}{\rightarrow}
\mbox{``}lemma
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}symmetry0
\mbox{''}
]
\linebreak[4] 
[Symmetry
\stackrel{
\mathrm{pyk}
}{\rightarrow}
\mbox{``}lemma
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}symmetry
\mbox{''}
]
\linebreak[4] 
[HelperTransitivity
\stackrel{
\mathrm{pyk}
}{\rightarrow}
\mbox{``}lemma
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}transitivity0
\mbox{''}
]
\linebreak[4] 
[Transitivity
\stackrel{
\mathrm{pyk}
}{\rightarrow}
\mbox{``}lemma
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}transitivity
\mbox{''}
]
\linebreak[4] 
[ERisReflexive
\stackrel{
\mathrm{pyk}
}{\rightarrow}
\mbox{``}lemma
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}er
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}is
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}reflexive
\mbox{''}
]
\linebreak[4] 
[ERisSymmetric
\stackrel{
\mathrm{pyk}
}{\rightarrow}
\mbox{``}lemma
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}er
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}is
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}symmetric
\mbox{''}
]
\linebreak[4] 
[ERisTransitive
\stackrel{
\mathrm{pyk}
}{\rightarrow}
\mbox{``}lemma
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}er
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}is
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}transitive
\mbox{''}
]
\linebreak[4] 
[\O{}isSubset
\stackrel{
\mathrm{pyk}
}{\rightarrow}
\mbox{``}lemma
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}empty
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}set
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}is
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}subset
\mbox{''}
]
\linebreak[4] 
[HelperMemberNot\O{}
\stackrel{
\mathrm{pyk}
}{\rightarrow}
\mbox{``}lemma
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}member
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}not
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}empty0
\mbox{''}
]
\linebreak[4] 
[MemberNot\O{}
\stackrel{
\mathrm{pyk}
}{\rightarrow}
\mbox{``}lemma
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}member
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}not
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}empty
\mbox{''}
]
\linebreak[4] 
[HelperUnique\O{}
\stackrel{
\mathrm{pyk}
}{\rightarrow}
\mbox{``}lemma
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}unique
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}empty
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}set0
\mbox{''}
]
\linebreak[4] 
[Unique\O{}
\stackrel{
\mathrm{pyk}
}{\rightarrow}
\mbox{``}lemma
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}unique
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}empty
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}set
\mbox{''}
]
\linebreak[4] 
[==\!{}Reflexivity
\stackrel{
\mathrm{pyk}
}{\rightarrow}
\mbox{``}lemma
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}
{=}
{=}Reflexivity
\mbox{''}
]
\linebreak[4] 
[==\!{}Symmetry
\stackrel{
\mathrm{pyk}
}{\rightarrow}
\mbox{``}lemma
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}
{=}
{=}Symmetry
\mbox{''}
]
\linebreak[4] 
[Helper\!{}==\!{}Transitivity
\stackrel{
\mathrm{pyk}
}{\rightarrow}
\mbox{``}lemma
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}
{=}
{=}Transitivity0
\mbox{''}
]
\linebreak[4] 
[\!{}==\!{}Transitivity
\stackrel{
\mathrm{pyk}
}{\rightarrow}
\mbox{``}lemma
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}
{=}
{=}Transitivity
\mbox{''}
]
\linebreak[4] 
[HelperTransferNotEq
\stackrel{
\mathrm{pyk}
}{\rightarrow}
\mbox{``}lemma
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}transfer
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}
\char126 is0
\mbox{''}
]
\linebreak[4] 
[TransferNotEq
\stackrel{
\mathrm{pyk}
}{\rightarrow}
\mbox{``}lemma
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}transfer
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}
\char126 is
\mbox{''}
]
\linebreak[4] 
[HelperPairSubset
\stackrel{
\mathrm{pyk}
}{\rightarrow}
\mbox{``}lemma
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}pair
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}subset0
\mbox{''}
]
\linebreak[4] 
[Helper(2)PairSubset
\stackrel{
\mathrm{pyk}
}{\rightarrow}
\mbox{``}lemma
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}pair
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}subset1
\mbox{''}
]
\linebreak[4] 
[PairSubset
\stackrel{
\mathrm{pyk}
}{\rightarrow}
\mbox{``}lemma
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}pair
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}subset
\mbox{''}
]
\linebreak[4] 
[SamePair
\stackrel{
\mathrm{pyk}
}{\rightarrow}
\mbox{``}lemma
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}same
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}pair
\mbox{''}
]
\linebreak[4] 
[SameSingleton
\stackrel{
\mathrm{pyk}
}{\rightarrow}
\mbox{``}lemma
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}same
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}singleton
\mbox{''}
]
\linebreak[4] 
[UnionSubset
\stackrel{
\mathrm{pyk}
}{\rightarrow}
\mbox{``}lemma
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}union
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}subset
\mbox{''}
]
\linebreak[4] 
[SameUnion
\stackrel{
\mathrm{pyk}
}{\rightarrow}
\mbox{``}lemma
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}same
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}union
\mbox{''}
]
\linebreak[4] 
[SeparationSubset
\stackrel{
\mathrm{pyk}
}{\rightarrow}
\mbox{``}lemma
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}separation
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}subset
\mbox{''}
]
\linebreak[4] 
[SameSeparation
\stackrel{
\mathrm{pyk}
}{\rightarrow}
\mbox{``}lemma
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}same
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}separation
\mbox{''}
]
\linebreak[4] 
[SameBinaryUnion
\stackrel{
\mathrm{pyk}
}{\rightarrow}
\mbox{``}lemma
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}same
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}binary
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}union
\mbox{''}
]
\linebreak[4] 
[IntersectionSubset
\stackrel{
\mathrm{pyk}
}{\rightarrow}
\mbox{``}lemma
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}intersection
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}subset
\mbox{''}
]
\linebreak[4] 
[SameIntersection
\stackrel{
\mathrm{pyk}
}{\rightarrow}
\mbox{``}lemma
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}same
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}intersection
\mbox{''}
]
\linebreak[4] 
[AutoMember
\stackrel{
\mathrm{pyk}
}{\rightarrow}
\mbox{``}lemma
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}auto
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}member
\mbox{''}
]
\linebreak[4] 
[HelperEqSysNot\O{}
\stackrel{
\mathrm{pyk}
}{\rightarrow}
\mbox{``}lemma
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}eq
\mbox{-}system
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}not
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}empty0
\mbox{''}
]
\linebreak[4] 
[EqSysNot\O{}
\stackrel{
\mathrm{pyk}
}{\rightarrow}
\mbox{``}lemma
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}eq
\mbox{-}system
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}not
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}empty
\mbox{''}
]
\linebreak[4] 
[HelperEqSubset
\stackrel{
\mathrm{pyk}
}{\rightarrow}
\mbox{``}lemma
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}eq
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}subset0
\mbox{''}
]
\linebreak[4] 
[EqSubset
\stackrel{
\mathrm{pyk}
}{\rightarrow}
\mbox{``}lemma
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}eq
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}subset
\mbox{''}
]
\linebreak[4] 
[HelperEqNecessary
\stackrel{
\mathrm{pyk}
}{\rightarrow}
\mbox{``}lemma
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}equivalence
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}nec
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}condition0
\mbox{''}
]
\linebreak[4] 
[EqNecessary
\stackrel{
\mathrm{pyk}
}{\rightarrow}
\mbox{``}lemma
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}equivalence
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}nec
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}condition
\mbox{''}
]
\linebreak[4] 
[HelperNoneEqNecessary
\stackrel{
\mathrm{pyk}
}{\rightarrow}
\mbox{``}lemma
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}none
\mbox{-}equivalence
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}nec
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}condition0
\mbox{''}
]
\linebreak[4] 
[Helper(2)NoneEqNecessary
\stackrel{
\mathrm{pyk}
}{\rightarrow}
\mbox{``}lemma
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}none
\mbox{-}equivalence
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}nec
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}condition1
\mbox{''}
]
\linebreak[4] 
[NoneEqNecessary
\stackrel{
\mathrm{pyk}
}{\rightarrow}
\mbox{``}lemma
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}none
\mbox{-}equivalence
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}nec
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}condition
\mbox{''}
]
\linebreak[4] 
[EqClassIsSubset
\stackrel{
\mathrm{pyk}
}{\rightarrow}
\mbox{``}lemma
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}equivalence
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}class
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}is
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}subset
\mbox{''}
]
\linebreak[4] 
[EqClassesAreDisjoint
\stackrel{
\mathrm{pyk}
}{\rightarrow}
\mbox{``}lemma
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}equivalence
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}classes
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}are
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}disjoint
\mbox{''}
]
\linebreak[4] 
[AllDisjoint
\stackrel{
\mathrm{pyk}
}{\rightarrow}
\mbox{``}lemma
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}all
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}disjoint
\mbox{''}
]
\linebreak[4] 
[AllDisjointImply
\stackrel{
\mathrm{pyk}
}{\rightarrow}
\mbox{``}lemma
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}all
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}disjoint
\mbox{-}imply
\mbox{''}
]
\linebreak[4] 
[BSsubset
\stackrel{
\mathrm{pyk}
}{\rightarrow}
\mbox{``}lemma
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}bs
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}subset
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}union(bs/r)
\mbox{''}
]
\linebreak[4] 
[Union(BS/R)subset
\stackrel{
\mathrm{pyk}
}{\rightarrow}
\mbox{``}lemma
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}union(bs/r)
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}subset
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}bs
\mbox{''}
]
\linebreak[4] 
[UnionIdentity
\stackrel{
\mathrm{pyk}
}{\rightarrow}
\mbox{``}lemma
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}union(bs/r)
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}is
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}bs
\mbox{''}
]
\linebreak[4] 
[EqSysIsPartition
\stackrel{
\mathrm{pyk}
}{\rightarrow}
\mbox{``}theorem
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}eq
\mbox{-}system
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}is
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}partition
\mbox{''}
]
\linebreak[4] 
[(\epsilon)
\stackrel{
\mathrm{pyk}
}{\rightarrow}
\mbox{``}var
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}ep
\mbox{''}
]
\linebreak[4] 
[(fx)
\stackrel{
\mathrm{pyk}
}{\rightarrow}
\mbox{``}var
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}fx
\mbox{''}
]
\linebreak[4] 
[(fy)
\stackrel{
\mathrm{pyk}
}{\rightarrow}
\mbox{``}var
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}fy
\mbox{''}
]
\linebreak[4] 
[(fz)
\stackrel{
\mathrm{pyk}
}{\rightarrow}
\mbox{``}var
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}fz
\mbox{''}
]
\linebreak[4] 
[(fv)
\stackrel{
\mathrm{pyk}
}{\rightarrow}
\mbox{``}var
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}fu
\mbox{''}
]
\linebreak[4] 
[
\mbox{var fv}
\stackrel{
\mathrm{pyk}
}{\rightarrow}
\mbox{``}var
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}fv
\mbox{''}
]
\linebreak[4] 
[(rx)
\stackrel{
\mathrm{pyk}
}{\rightarrow}
\mbox{``}var
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}rx
\mbox{''}
]
\linebreak[4] 
[(ry)
\stackrel{
\mathrm{pyk}
}{\rightarrow}
\mbox{``}var
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}ry
\mbox{''}
]
\linebreak[4] 
[(rz)
\stackrel{
\mathrm{pyk}
}{\rightarrow}
\mbox{``}var
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}rz
\mbox{''}
]
\linebreak[4] 
[(ru)
\stackrel{
\mathrm{pyk}
}{\rightarrow}
\mbox{``}var
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}ru
\mbox{''}
]
\linebreak[4] 
[\epsilon
\stackrel{
\mathrm{pyk}
}{\rightarrow}
\mbox{``}meta
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}ep
\mbox{''}
]
\linebreak[4] 
[FX
\stackrel{
\mathrm{pyk}
}{\rightarrow}
\mbox{``}meta
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}fx
\mbox{''}
]
\linebreak[4] 
[FY
\stackrel{
\mathrm{pyk}
}{\rightarrow}
\mbox{``}meta
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}fy
\mbox{''}
]
\linebreak[4] 
[FZ
\stackrel{
\mathrm{pyk}
}{\rightarrow}
\mbox{``}meta
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}fz
\mbox{''}
]
\linebreak[4] 
[FU
\stackrel{
\mathrm{pyk}
}{\rightarrow}
\mbox{``}meta
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}fu
\mbox{''}
]
\linebreak[4] 
[FV
\stackrel{
\mathrm{pyk}
}{\rightarrow}
\mbox{``}meta
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}fv
\mbox{''}
]
\linebreak[4] 
[RX
\stackrel{
\mathrm{pyk}
}{\rightarrow}
\mbox{``}meta
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}rx
\mbox{''}
]
\linebreak[4] 
[RY
\stackrel{
\mathrm{pyk}
}{\rightarrow}
\mbox{``}meta
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}ry
\mbox{''}
]
\linebreak[4] 
[RZ
\stackrel{
\mathrm{pyk}
}{\rightarrow}
\mbox{``}meta
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}rz
\mbox{''}
]
\linebreak[4] 
[RU
\stackrel{
\mathrm{pyk}
}{\rightarrow}
\mbox{``}meta
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}ru
\mbox{''}
]
\linebreak[4] 
[0
\stackrel{
\mathrm{pyk}
}{\rightarrow}
\mbox{``}0
\mbox{''}
]
\linebreak[4] 
[1
\stackrel{
\mathrm{pyk}
}{\rightarrow}
\mbox{``}1
\mbox{''}
]
\linebreak[4] 
[(-1)
\stackrel{
\mathrm{pyk}
}{\rightarrow}
\mbox{``}(
\mbox{-}1)
\mbox{''}
]
\linebreak[4] 
[2
\stackrel{
\mathrm{pyk}
}{\rightarrow}
\mbox{``}2
\mbox{''}
]
\linebreak[4] 
[1/2
\stackrel{
\mathrm{pyk}
}{\rightarrow}
\mbox{``}1/2
\mbox{''}
]
\linebreak[4] 
[0f
\stackrel{
\mathrm{pyk}
}{\rightarrow}
\mbox{``}0f
\mbox{''}
]
\linebreak[4] 
[
\mbox{1f}
\stackrel{
\mathrm{pyk}
}{\rightarrow}
\mbox{``}1f
\mbox{''}
]
\linebreak[4] 
[00
\stackrel{
\mathrm{pyk}
}{\rightarrow}
\mbox{``}00
\mbox{''}
]
\linebreak[4] 
[
\mbox{01}
\stackrel{
\mathrm{pyk}
}{\rightarrow}
\mbox{``}01
\mbox{''}
]
\linebreak[4] 
[leqReflexivity
\stackrel{
\mathrm{pyk}
}{\rightarrow}
\mbox{``}axiom
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}leqReflexivity
\mbox{''}
]
\linebreak[4] 
[leqAntisymmetryAxiom
\stackrel{
\mathrm{pyk}
}{\rightarrow}
\mbox{``}axiom
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}leqAntisymmetry
\mbox{''}
]
\linebreak[4] 
[leqTransitivityAxiom
\stackrel{
\mathrm{pyk}
}{\rightarrow}
\mbox{``}axiom
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}leqTransitivity
\mbox{''}
]
\linebreak[4] 
[leqTotality
\stackrel{
\mathrm{pyk}
}{\rightarrow}
\mbox{``}axiom
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}leqTotality
\mbox{''}
]
\linebreak[4] 
[leqAdditionAxiom
\stackrel{
\mathrm{pyk}
}{\rightarrow}
\mbox{``}axiom
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}leqAddition
\mbox{''}
]
\linebreak[4] 
[leqMultiplicationAxiom
\stackrel{
\mathrm{pyk}
}{\rightarrow}
\mbox{``}axiom
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}leqMultiplication
\mbox{''}
]
\linebreak[4] 
[plusAssociativity
\stackrel{
\mathrm{pyk}
}{\rightarrow}
\mbox{``}axiom
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}plusAssociativity
\mbox{''}
]
\linebreak[4] 
[plusCommutativity
\stackrel{
\mathrm{pyk}
}{\rightarrow}
\mbox{``}axiom
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}plusCommutativity
\mbox{''}
]
\linebreak[4] 
[Negative
\stackrel{
\mathrm{pyk}
}{\rightarrow}
\mbox{``}axiom
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}negative
\mbox{''}
]
\linebreak[4] 
[plus0
\stackrel{
\mathrm{pyk}
}{\rightarrow}
\mbox{``}axiom
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}plus0
\mbox{''}
]
\linebreak[4] 
[timesAssociativity
\stackrel{
\mathrm{pyk}
}{\rightarrow}
\mbox{``}axiom
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}timesAssociativity
\mbox{''}
]
\linebreak[4] 
[timesCommutativity
\stackrel{
\mathrm{pyk}
}{\rightarrow}
\mbox{``}axiom
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}timesCommutativity
\mbox{''}
]
\linebreak[4] 
[ReciprocalAxiom
\stackrel{
\mathrm{pyk}
}{\rightarrow}
\mbox{``}axiom
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}reciprocal
\mbox{''}
]
\linebreak[4] 
[times1
\stackrel{
\mathrm{pyk}
}{\rightarrow}
\mbox{``}axiom
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}times1
\mbox{''}
]
\linebreak[4] 
[Distribution
\stackrel{
\mathrm{pyk}
}{\rightarrow}
\mbox{``}axiom
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}distribution
\mbox{''}
]
\linebreak[4] 
[0not1
\stackrel{
\mathrm{pyk}
}{\rightarrow}
\mbox{``}axiom
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}0not1
\mbox{''}
]
\linebreak[4] 
[equalityAxiom
\stackrel{
\mathrm{pyk}
}{\rightarrow}
\mbox{``}axiom
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}equality
\mbox{''}
]
\linebreak[4] 
[eqLeqAxiom
\stackrel{
\mathrm{pyk}
}{\rightarrow}
\mbox{``}axiom
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}eqLeq
\mbox{''}
]
\linebreak[4] 
[eqAdditionAxiom
\stackrel{
\mathrm{pyk}
}{\rightarrow}
\mbox{``}axiom
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}eqAddition
\mbox{''}
]
\linebreak[4] 
[eqMultiplicationAxiom
\stackrel{
\mathrm{pyk}
}{\rightarrow}
\mbox{``}axiom
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}eqMultiplication
\mbox{''}
]
\linebreak[4] 
[SENC1
\stackrel{
\mathrm{pyk}
}{\rightarrow}
\mbox{``}lemma
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}set
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}equality
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}nec
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}condition(1)
\mbox{''}
]
\linebreak[4] 
[SENC2
\stackrel{
\mathrm{pyk}
}{\rightarrow}
\mbox{``}lemma
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}set
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}equality
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}nec
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}condition(2)
\mbox{''}
]
\linebreak[4] 
[IfThenElse(T)
\stackrel{
\mathrm{pyk}
}{\rightarrow}
\mbox{``}1rule
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}ifThenElse
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}true
\mbox{''}
]
\linebreak[4] 
[IfThenElse(F)
\stackrel{
\mathrm{pyk}
}{\rightarrow}
\mbox{``}1rule
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}ifThenElse
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}false
\mbox{''}
]
\linebreak[4] 
[From=f
\stackrel{
\mathrm{pyk}
}{\rightarrow}
\mbox{``}1rule
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}from
{=}f
\mbox{''}
]
\linebreak[4] 
[To=f
\stackrel{
\mathrm{pyk}
}{\rightarrow}
\mbox{``}1rule
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}to
{=}f
\mbox{''}
]
\linebreak[4] 
[From<f
\stackrel{
\mathrm{pyk}
}{\rightarrow}
\mbox{``}1rule
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}from
{<}f
\mbox{''}
]
\linebreak[4] 
[To<f
\stackrel{
\mathrm{pyk}
}{\rightarrow}
\mbox{``}1rule
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}to
{<}f
\mbox{''}
]
\linebreak[4] 
[PlusF
\stackrel{
\mathrm{pyk}
}{\rightarrow}
\mbox{``}axiom
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}plusF
\mbox{''}
]
\linebreak[4] 
[TimesF
\stackrel{
\mathrm{pyk}
}{\rightarrow}
\mbox{``}axiom
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}timesF
\mbox{''}
]
\linebreak[4] 
[MinusF
\stackrel{
\mathrm{pyk}
}{\rightarrow}
\mbox{``}axiom
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}minusF
\mbox{''}
]
\linebreak[4] 
[0f
\stackrel{
\mathrm{pyk}
}{\rightarrow}
\mbox{``}axiom
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}0f
\mbox{''}
]
\linebreak[4] 
[1f
\stackrel{
\mathrm{pyk}
}{\rightarrow}
\mbox{``}axiom
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}1f
\mbox{''}
]
\linebreak[4] 
[FromSF
\stackrel{
\mathrm{pyk}
}{\rightarrow}
\mbox{``}1rule
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}fromSameF
\mbox{''}
]
\linebreak[4] 
[ToSF
\stackrel{
\mathrm{pyk}
}{\rightarrow}
\mbox{``}1rule
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}toSameF
\mbox{''}
]
\linebreak[4] 
[To==XX
\stackrel{
\mathrm{pyk}
}{\rightarrow}
\mbox{``}1rule
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}to
{=}
{=}XX
\mbox{''}
]
\linebreak[4] 
[From==
\stackrel{
\mathrm{pyk}
}{\rightarrow}
\mbox{``}1rule
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}from
{=}
{=}
\mbox{''}
]
\linebreak[4] 
[To==
\stackrel{
\mathrm{pyk}
}{\rightarrow}
\mbox{``}1rule
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}to
{=}
{=}
\mbox{''}
]
\linebreak[4] 
[From<<XX
\stackrel{
\mathrm{pyk}
}{\rightarrow}
\mbox{``}1rule
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}from
{<}
{<}XX
\mbox{''}
]
\linebreak[4] 
[From<<(1)
\stackrel{
\mathrm{pyk}
}{\rightarrow}
\mbox{``}1rule
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}from
{<}
{<}XX(1)
\mbox{''}
]
\linebreak[4] 
[From<<(2)
\stackrel{
\mathrm{pyk}
}{\rightarrow}
\mbox{``}1rule
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}from
{<}
{<}XX(2)
\mbox{''}
]
\linebreak[4] 
[to<<XX
\stackrel{
\mathrm{pyk}
}{\rightarrow}
\mbox{``}1rule
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}to
{<}
{<}XX
\mbox{''}
]
\linebreak[4] 
[From<<
\stackrel{
\mathrm{pyk}
}{\rightarrow}
\mbox{``}1rule
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}from
{<}
{<}
\mbox{''}
]
\linebreak[4] 
[To<<
\stackrel{
\mathrm{pyk}
}{\rightarrow}
\mbox{``}1rule
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}to
{<}
{<}
\mbox{''}
]
\linebreak[4] 
[FromInR
\stackrel{
\mathrm{pyk}
}{\rightarrow}
\mbox{``}1rule
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}fromInR
\mbox{''}
]
\linebreak[4] 
[PlusR
\stackrel{
\mathrm{pyk}
}{\rightarrow}
\mbox{``}axiom
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}plusR
\mbox{''}
]
\linebreak[4] 
[TimesR
\stackrel{
\mathrm{pyk}
}{\rightarrow}
\mbox{``}axiom
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}timesR
\mbox{''}
]
\linebreak[4] 
[leqAntisymmetry
\stackrel{
\mathrm{pyk}
}{\rightarrow}
\mbox{``}lemma
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}leqAntisymmetry
\mbox{''}
]
\linebreak[4] 
[leqTransitivity
\stackrel{
\mathrm{pyk}
}{\rightarrow}
\mbox{``}lemma
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}leqTransitivity
\mbox{''}
]
\linebreak[4] 
[leqAddition
\stackrel{
\mathrm{pyk}
}{\rightarrow}
\mbox{``}lemma
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}leqAddition
\mbox{''}
]
\linebreak[4] 
[leqMultiplication
\stackrel{
\mathrm{pyk}
}{\rightarrow}
\mbox{``}lemma
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}leqMultiplication
\mbox{''}
]
\linebreak[4] 
[Reciprocal
\stackrel{
\mathrm{pyk}
}{\rightarrow}
\mbox{``}lemma
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}reciprocal
\mbox{''}
]
\linebreak[4] 
[Equality
\stackrel{
\mathrm{pyk}
}{\rightarrow}
\mbox{``}lemma
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}equality
\mbox{''}
]
\linebreak[4] 
[eqLeq
\stackrel{
\mathrm{pyk}
}{\rightarrow}
\mbox{``}lemma
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}eqLeq
\mbox{''}
]
\linebreak[4] 
[eqAddition
\stackrel{
\mathrm{pyk}
}{\rightarrow}
\mbox{``}lemma
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}eqAddition
\mbox{''}
]
\linebreak[4] 
[eqMultiplication
\stackrel{
\mathrm{pyk}
}{\rightarrow}
\mbox{``}lemma
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}eqMultiplication
\mbox{''}
]
\linebreak[4] 
[ToNegatedImply
\stackrel{
\mathrm{pyk}
}{\rightarrow}
\mbox{``}prop
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}lemma
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}to
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}negated
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}imply
\mbox{''}
]
\linebreak[4] 
[TND
\stackrel{
\mathrm{pyk}
}{\rightarrow}
\mbox{``}prop
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}lemma
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}tertium
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}non
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}datur
\mbox{''}
]
\linebreak[4] 
[ImplyNegation
\stackrel{
\mathrm{pyk}
}{\rightarrow}
\mbox{``}prop
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}lemma
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}imply
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}negation
\mbox{''}
]
\linebreak[4] 
[FromNegations
\stackrel{
\mathrm{pyk}
}{\rightarrow}
\mbox{``}prop
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}lemma
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}from
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}negations
\mbox{''}
]
\linebreak[4] 
[From3Disjuncts
\stackrel{
\mathrm{pyk}
}{\rightarrow}
\mbox{``}prop
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}lemma
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}from
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}three
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}disjuncts
\mbox{''}
]
\linebreak[4] 
[From2*2Disjuncts
\stackrel{
\mathrm{pyk}
}{\rightarrow}
\mbox{``}prop
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}lemma
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}from
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}two
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}times
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}two
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}disjuncts
\mbox{''}
]
\linebreak[4] 
[NegateDisjunct1
\stackrel{
\mathrm{pyk}
}{\rightarrow}
\mbox{``}prop
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}lemma
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}negate
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}first
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}disjunct
\mbox{''}
]
\linebreak[4] 
[NegateDisjunct2
\stackrel{
\mathrm{pyk}
}{\rightarrow}
\mbox{``}prop
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}lemma
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}negate
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}second
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}disjunct
\mbox{''}
]
\linebreak[4] 
[ExpandDisjuncts
\stackrel{
\mathrm{pyk}
}{\rightarrow}
\mbox{``}prop
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}lemma
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}expand
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}disjuncts
\mbox{''}
]
\linebreak[4] 
[eqReflexivity
\stackrel{
\mathrm{pyk}
}{\rightarrow}
\mbox{``}lemma
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}eqReflexivity
\mbox{''}
]
\linebreak[4] 
[eqSymmetry
\stackrel{
\mathrm{pyk}
}{\rightarrow}
\mbox{``}lemma
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}eqSymmetry
\mbox{''}
]
\linebreak[4] 
[eqTransitivity
\stackrel{
\mathrm{pyk}
}{\rightarrow}
\mbox{``}lemma
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}eqTransitivity
\mbox{''}
]
\linebreak[4] 
[eqTransitivity4
\stackrel{
\mathrm{pyk}
}{\rightarrow}
\mbox{``}lemma
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}eqTransitivity4
\mbox{''}
]
\linebreak[4] 
[eqTransitivity5
\stackrel{
\mathrm{pyk}
}{\rightarrow}
\mbox{``}lemma
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}eqTransitivity5
\mbox{''}
]
\linebreak[4] 
[eqTransitivity6
\stackrel{
\mathrm{pyk}
}{\rightarrow}
\mbox{``}lemma
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}eqTransitivity6
\mbox{''}
]
\linebreak[4] 
[plus0Left
\stackrel{
\mathrm{pyk}
}{\rightarrow}
\mbox{``}lemma
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}plus0Left
\mbox{''}
]
\linebreak[4] 
[times1Left
\stackrel{
\mathrm{pyk}
}{\rightarrow}
\mbox{``}lemma
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}times1Left
\mbox{''}
]
\linebreak[4] 
[
\mbox{lemma eqAdditionLeft}
\stackrel{
\mathrm{pyk}
}{\rightarrow}
\mbox{``}lemma
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}eqAdditionLeft
\mbox{''}
]
\linebreak[4] 
[EqMultiplicationLeft
\stackrel{
\mathrm{pyk}
}{\rightarrow}
\mbox{``}lemma
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}eqMultiplicationLeft
\mbox{''}
]
\linebreak[4] 
[DistributionOut
\stackrel{
\mathrm{pyk}
}{\rightarrow}
\mbox{``}lemma
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}distributionOut
\mbox{''}
]
\linebreak[4] 
[Three2twoTerms
\stackrel{
\mathrm{pyk}
}{\rightarrow}
\mbox{``}lemma
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}three2twoTerms
\mbox{''}
]
\linebreak[4] 
[Three2threeTerms
\stackrel{
\mathrm{pyk}
}{\rightarrow}
\mbox{``}lemma
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}three2threeTerms
\mbox{''}
]
\linebreak[4] 
[Three2threeFactors
\stackrel{
\mathrm{pyk}
}{\rightarrow}
\mbox{``}lemma
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}three2twoFactors
\mbox{''}
]
\linebreak[4] 
[AddEquations
\stackrel{
\mathrm{pyk}
}{\rightarrow}
\mbox{``}lemma
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}addEquations
\mbox{''}
]
\linebreak[4] 
[SubtractEquations
\stackrel{
\mathrm{pyk}
}{\rightarrow}
\mbox{``}lemma
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}subtractEquations
\mbox{''}
]
\linebreak[4] 
[SubtractEquationsLeft
\stackrel{
\mathrm{pyk}
}{\rightarrow}
\mbox{``}lemma
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}subtractEquationsLeft
\mbox{''}
]
\linebreak[4] 
[EqNegated
\stackrel{
\mathrm{pyk}
}{\rightarrow}
\mbox{``}lemma
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}eqNegated
\mbox{''}
]
\linebreak[4] 
[PositiveToRight(Eq)
\stackrel{
\mathrm{pyk}
}{\rightarrow}
\mbox{``}lemma
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}positiveToRight(Eq)
\mbox{''}
]
\linebreak[4] 
[PositiveToLeft(Eq)(1 term)
\stackrel{
\mathrm{pyk}
}{\rightarrow}
\mbox{``}lemma
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}positiveToLeft(Eq)(1
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}term)
\mbox{''}
]
\linebreak[4] 
[NegativeToLeft(Eq)
\stackrel{
\mathrm{pyk}
}{\rightarrow}
\mbox{``}lemma
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}negativeToLeft(Eq)
\mbox{''}
]
\linebreak[4] 
[LessNeq
\stackrel{
\mathrm{pyk}
}{\rightarrow}
\mbox{``}lemma
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}lessNeq
\mbox{''}
]
\linebreak[4] 
[NeqSymmetry
\stackrel{
\mathrm{pyk}
}{\rightarrow}
\mbox{``}lemma
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}neqSymmetry
\mbox{''}
]
\linebreak[4] 
[NeqNegated
\stackrel{
\mathrm{pyk}
}{\rightarrow}
\mbox{``}lemma
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}neqNegated
\mbox{''}
]
\linebreak[4] 
[SubNeqRight
\stackrel{
\mathrm{pyk}
}{\rightarrow}
\mbox{``}lemma
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}subNeqRight
\mbox{''}
]
\linebreak[4] 
[SubNeqLeft
\stackrel{
\mathrm{pyk}
}{\rightarrow}
\mbox{``}lemma
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}subNeqLeft
\mbox{''}
]
\linebreak[4] 
[NeqAddition
\stackrel{
\mathrm{pyk}
}{\rightarrow}
\mbox{``}lemma
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}neqAddition
\mbox{''}
]
\linebreak[4] 
[NeqMultiplication
\stackrel{
\mathrm{pyk}
}{\rightarrow}
\mbox{``}lemma
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}neqMultiplication
\mbox{''}
]
\linebreak[4] 
[UniqueNegative
\stackrel{
\mathrm{pyk}
}{\rightarrow}
\mbox{``}lemma
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}uniqueNegative
\mbox{''}
]
\linebreak[4] 
[DoubleMinus
\stackrel{
\mathrm{pyk}
}{\rightarrow}
\mbox{``}lemma
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}doubleMinus
\mbox{''}
]
\linebreak[4] 
[LeqLessEq
\stackrel{
\mathrm{pyk}
}{\rightarrow}
\mbox{``}lemma
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}leqLessEq
\mbox{''}
]
\linebreak[4] 
[LessLeq
\stackrel{
\mathrm{pyk}
}{\rightarrow}
\mbox{``}lemma
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}lessLeq
\mbox{''}
]
\linebreak[4] 
[FromLeqGeq
\stackrel{
\mathrm{pyk}
}{\rightarrow}
\mbox{``}lemma
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}from
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}leqGeq
\mbox{''}
]
\linebreak[4] 
[subLeqRight
\stackrel{
\mathrm{pyk}
}{\rightarrow}
\mbox{``}lemma
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}subLeqRight
\mbox{''}
]
\linebreak[4] 
[subLeqLeft
\stackrel{
\mathrm{pyk}
}{\rightarrow}
\mbox{``}lemma
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}subLeqLeft
\mbox{''}
]
\linebreak[4] 
[Leq+1
\stackrel{
\mathrm{pyk}
}{\rightarrow}
\mbox{``}lemma
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}leqPlus1
\mbox{''}
]
\linebreak[4] 
[PositiveToRight(Leq)
\stackrel{
\mathrm{pyk}
}{\rightarrow}
\mbox{``}lemma
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}positiveToRight(Leq)
\mbox{''}
]
\linebreak[4] 
[PositiveToRight(Leq)(1 term)
\stackrel{
\mathrm{pyk}
}{\rightarrow}
\mbox{``}lemma
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}positiveToRight(Leq)(1
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}term)
\mbox{''}
]
\linebreak[4] 
[negativeToLeft(Leq)
\stackrel{
\mathrm{pyk}
}{\rightarrow}
\mbox{``}lemma
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}negativeToLeft(Leq)
\mbox{''}
]
\linebreak[4] 
[LeqAdditionLeft
\stackrel{
\mathrm{pyk}
}{\rightarrow}
\mbox{``}lemma
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}leqAdditionLeft
\mbox{''}
]
\linebreak[4] 
[leqSubtraction
\stackrel{
\mathrm{pyk}
}{\rightarrow}
\mbox{``}lemma
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}leqSubtraction
\mbox{''}
]
\linebreak[4] 
[leqSubtractionLeft
\stackrel{
\mathrm{pyk}
}{\rightarrow}
\mbox{``}lemma
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}leqSubtractionLeft
\mbox{''}
]
\linebreak[4] 
[thirdGeq
\stackrel{
\mathrm{pyk}
}{\rightarrow}
\mbox{``}lemma
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}thirdGeq
\mbox{''}
]
\linebreak[4] 
[LeqNegated
\stackrel{
\mathrm{pyk}
}{\rightarrow}
\mbox{``}lemma
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}leqNegated
\mbox{''}
]
\linebreak[4] 
[AddEquations(Leq)
\stackrel{
\mathrm{pyk}
}{\rightarrow}
\mbox{``}lemma
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}addEquations(Leq)
\mbox{''}
]
\linebreak[4] 
[ThirdGeqSeries
\stackrel{
\mathrm{pyk}
}{\rightarrow}
\mbox{``}lemma
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}thirdGeqSeries
\mbox{''}
]
\linebreak[4] 
[LeqNeqLess
\stackrel{
\mathrm{pyk}
}{\rightarrow}
\mbox{``}lemma
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}leqNeqLess
\mbox{''}
]
\linebreak[4] 
[FromLess
\stackrel{
\mathrm{pyk}
}{\rightarrow}
\mbox{``}lemma
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}fromLess
\mbox{''}
]
\linebreak[4] 
[ToLess
\stackrel{
\mathrm{pyk}
}{\rightarrow}
\mbox{``}lemma
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}toLess
\mbox{''}
]
\linebreak[4] 
[fromNotLess
\stackrel{
\mathrm{pyk}
}{\rightarrow}
\mbox{``}lemma
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}fromNotLess
\mbox{''}
]
\linebreak[4] 
[toNotLess
\stackrel{
\mathrm{pyk}
}{\rightarrow}
\mbox{``}lemma
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}toNotLess
\mbox{''}
]
\linebreak[4] 
[NegativeLessPositive
\stackrel{
\mathrm{pyk}
}{\rightarrow}
\mbox{``}lemma
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}negativeLessPositive
\mbox{''}
]
\linebreak[4] 
[leqLessTransitivity
\stackrel{
\mathrm{pyk}
}{\rightarrow}
\mbox{``}lemma
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}leqLessTransitivity
\mbox{''}
]
\linebreak[4] 
[LessLeqTransitivity
\stackrel{
\mathrm{pyk}
}{\rightarrow}
\mbox{``}lemma
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}lessLeqTransitivity
\mbox{''}
]
\linebreak[4] 
[LessTransitivity
\stackrel{
\mathrm{pyk}
}{\rightarrow}
\mbox{``}lemma
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}lessTransitivity
\mbox{''}
]
\linebreak[4] 
[LessTotality
\stackrel{
\mathrm{pyk}
}{\rightarrow}
\mbox{``}lemma
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}lessTotality
\mbox{''}
]
\linebreak[4] 
[SubLessRight
\stackrel{
\mathrm{pyk}
}{\rightarrow}
\mbox{``}lemma
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}subLessRight
\mbox{''}
]
\linebreak[4] 
[SubLessLeft
\stackrel{
\mathrm{pyk}
}{\rightarrow}
\mbox{``}lemma
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}subLessLeft
\mbox{''}
]
\linebreak[4] 
[LessAddition
\stackrel{
\mathrm{pyk}
}{\rightarrow}
\mbox{``}lemma
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}lessAddition
\mbox{''}
]
\linebreak[4] 
[LessAdditionLeft
\stackrel{
\mathrm{pyk}
}{\rightarrow}
\mbox{``}lemma
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}lessAdditionLeft
\mbox{''}
]
\linebreak[4] 
[LessMultiplication
\stackrel{
\mathrm{pyk}
}{\rightarrow}
\mbox{``}lemma
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}lessMultiplication
\mbox{''}
]
\linebreak[4] 
[LessMultiplicationLeft
\stackrel{
\mathrm{pyk}
}{\rightarrow}
\mbox{``}lemma
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}lessMultiplicationLeft
\mbox{''}
]
\linebreak[4] 
[LessDivision
\stackrel{
\mathrm{pyk}
}{\rightarrow}
\mbox{``}lemma
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}lessDivision
\mbox{''}
]
\linebreak[4] 
[AddEquations(Less)
\stackrel{
\mathrm{pyk}
}{\rightarrow}
\mbox{``}lemma
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}addEquations(Less)
\mbox{''}
]
\linebreak[4] 
[LessNegated
\stackrel{
\mathrm{pyk}
}{\rightarrow}
\mbox{``}lemma
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}lessNegated
\mbox{''}
]
\linebreak[4] 
[PositiveNegated
\stackrel{
\mathrm{pyk}
}{\rightarrow}
\mbox{``}lemma
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}positiveNegated
\mbox{''}
]
\linebreak[4] 
[NonpositiveNegated
\stackrel{
\mathrm{pyk}
}{\rightarrow}
\mbox{``}lemma
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}nonpositiveNegated
\mbox{''}
]
\linebreak[4] 
[NegativeNegated
\stackrel{
\mathrm{pyk}
}{\rightarrow}
\mbox{``}lemma
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}negativeNegated
\mbox{''}
]
\linebreak[4] 
[NonnegativeNegated
\stackrel{
\mathrm{pyk}
}{\rightarrow}
\mbox{``}lemma
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}nonnegativeNegated
\mbox{''}
]
\linebreak[4] 
[PositiveHalved
\stackrel{
\mathrm{pyk}
}{\rightarrow}
\mbox{``}lemma
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}positiveHalved
\mbox{''}
]
\linebreak[4] 
[NonnegativeNumerical
\stackrel{
\mathrm{pyk}
}{\rightarrow}
\mbox{``}lemma
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}nonnegativeNumerical
\mbox{''}
]
\linebreak[4] 
[NegativeNumerical
\stackrel{
\mathrm{pyk}
}{\rightarrow}
\mbox{``}lemma
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}negativeNumerical
\mbox{''}
]
\linebreak[4] 
[PositiveNumerical
\stackrel{
\mathrm{pyk}
}{\rightarrow}
\mbox{``}lemma
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}positiveNumerical
\mbox{''}
]
\linebreak[4] 
[
\mbox{lemma nonpositiveNumerical}
\stackrel{
\mathrm{pyk}
}{\rightarrow}
\mbox{``}lemma
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}nonpositiveNumerical
\mbox{''}
]
\linebreak[4] 
[|0|=0
\stackrel{
\mathrm{pyk}
}{\rightarrow}
\mbox{``}lemma
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}|0|
{=}0
\mbox{''}
]
\linebreak[4] 
[0<=|x|
\stackrel{
\mathrm{pyk}
}{\rightarrow}
\mbox{``}lemma
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}0
{<}
{=}|x|
\mbox{''}
]
\linebreak[4] 
[SameNumerical
\stackrel{
\mathrm{pyk}
}{\rightarrow}
\mbox{``}lemma
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}sameNumerical
\mbox{''}
]
\linebreak[4] 
[SignNumerical(+)
\stackrel{
\mathrm{pyk}
}{\rightarrow}
\mbox{``}lemma
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}signNumerical(
{+})
\mbox{''}
]
\linebreak[4] 
[SignNumerical
\stackrel{
\mathrm{pyk}
}{\rightarrow}
\mbox{``}lemma
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}signNumerical
\mbox{''}
]
\linebreak[4] 
[NumericalDifference
\stackrel{
\mathrm{pyk}
}{\rightarrow}
\mbox{``}lemma
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}numericalDifference
\mbox{''}
]
\linebreak[4] 
[SplitNumericalSumHelper
\stackrel{
\mathrm{pyk}
}{\rightarrow}
\mbox{``}lemma
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}splitNumericalSumHelper
\mbox{''}
]
\linebreak[4] 
[splitNumericalSum(++)
\stackrel{
\mathrm{pyk}
}{\rightarrow}
\mbox{``}lemma
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}splitNumericalSum(
{+}
{+})
\mbox{''}
]
\linebreak[4] 
[splitNumericalSum(--)
\stackrel{
\mathrm{pyk}
}{\rightarrow}
\mbox{``}lemma
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}splitNumericalSum(
\mbox{-}
\mbox{-})
\mbox{''}
]
\linebreak[4] 
[splitNumericalSum(+-small)
\stackrel{
\mathrm{pyk}
}{\rightarrow}
\mbox{``}lemma
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}splitNumericalSum(
{+}
\mbox{-},
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}smallNegative)
\mbox{''}
]
\linebreak[4] 
[splitNumericalSum(+-big)
\stackrel{
\mathrm{pyk}
}{\rightarrow}
\mbox{``}lemma
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}splitNumericalSum(
{+}
\mbox{-},
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}bigNegative)
\mbox{''}
]
\linebreak[4] 
[splitNumericalSum(+-)
\stackrel{
\mathrm{pyk}
}{\rightarrow}
\mbox{``}lemma
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}splitNumericalSum(
{+}
\mbox{-})
\mbox{''}
]
\linebreak[4] 
[splitNumericalSum(-+)
\stackrel{
\mathrm{pyk}
}{\rightarrow}
\mbox{``}lemma
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}splitNumericalSum(
\mbox{-}
{+})
\mbox{''}
]
\linebreak[4] 
[splitNumericalSum
\stackrel{
\mathrm{pyk}
}{\rightarrow}
\mbox{``}lemma
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}splitNumericalSum
\mbox{''}
]
\linebreak[4] 
[insertMiddleTerm(Numerical)
\stackrel{
\mathrm{pyk}
}{\rightarrow}
\mbox{``}lemma
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}insertMiddleTerm(Numerical)
\mbox{''}
]
\linebreak[4] 
[x+y=zBackwards
\stackrel{
\mathrm{pyk}
}{\rightarrow}
\mbox{``}lemma
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}x
{+}y
{=}zBackwards
\mbox{''}
]
\linebreak[4] 
[x*y=zBackwards
\stackrel{
\mathrm{pyk}
}{\rightarrow}
\mbox{``}lemma
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}x
{*}y
{=}zBackwards
\mbox{''}
]
\linebreak[4] 
[x=x+(y-y)
\stackrel{
\mathrm{pyk}
}{\rightarrow}
\mbox{``}lemma
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}x
{=}x
{+}(y
\mbox{-}y)
\mbox{''}
]
\linebreak[4] 
[x=x+y-y
\stackrel{
\mathrm{pyk}
}{\rightarrow}
\mbox{``}lemma
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}x
{=}x
{+}y
\mbox{-}y
\mbox{''}
]
\linebreak[4] 
[ 
\stackrel{
\mathrm{pyk}
}{\rightarrow}
\mbox{``}lemma
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}x
{=}x
{*}y
{*}(1/y)
\mbox{''}
]
\linebreak[4] 
[insertMiddleTerm(Sum)
\stackrel{
\mathrm{pyk}
}{\rightarrow}
\mbox{``}lemma
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}insertMiddleTerm(Sum)
\mbox{''}
]
\linebreak[4] 
[insertMiddleTerm(Difference)
\stackrel{
\mathrm{pyk}
}{\rightarrow}
\mbox{``}lemma
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}insertMiddleTerm(Difference)
\mbox{''}
]
\linebreak[4] 
[x*0+x=x
\stackrel{
\mathrm{pyk}
}{\rightarrow}
\mbox{``}lemma
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}x
{*}0
{+}x
{=}x
\mbox{''}
]
\linebreak[4] 
[x*0=0
\stackrel{
\mathrm{pyk}
}{\rightarrow}
\mbox{``}lemma
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}x
{*}0
{=}0
\mbox{''}
]
\linebreak[4] 
[(-1)*(-1)+(-1)*1=0
\stackrel{
\mathrm{pyk}
}{\rightarrow}
\mbox{``}lemma
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}(
\mbox{-}1)
{*}(
\mbox{-}1)
{+}(
\mbox{-}1)
{*}1
{=}0
\mbox{''}
]
\linebreak[4] 
[(-1)*(-1)=1
\stackrel{
\mathrm{pyk}
}{\rightarrow}
\mbox{``}lemma
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}(
\mbox{-}1)
{*}(
\mbox{-}1)
{=}1
\mbox{''}
]
\linebreak[4] 
[0<1Helper
\stackrel{
\mathrm{pyk}
}{\rightarrow}
\mbox{``}lemma
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}0
{<}1Helper
\mbox{''}
]
\linebreak[4] 
[0<1
\stackrel{
\mathrm{pyk}
}{\rightarrow}
\mbox{``}lemma
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}0
{<}1
\mbox{''}
]
\linebreak[4] 
[0<2
\stackrel{
\mathrm{pyk}
}{\rightarrow}
\mbox{``}lemma
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}0
{<}2
\mbox{''}
]
\linebreak[4] 
[0<1/2
\stackrel{
\mathrm{pyk}
}{\rightarrow}
\mbox{``}lemma
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}0
{<}1/2
\mbox{''}
]
\linebreak[4] 
[TwoWholes
\stackrel{
\mathrm{pyk}
}{\rightarrow}
\mbox{``}lemma
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}x
{+}x
{=}2
{*}x
\mbox{''}
]
\linebreak[4] 
[TwoHalves
\stackrel{
\mathrm{pyk}
}{\rightarrow}
\mbox{``}lemma
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}(1/2)x
{+}(1/2)x
{=}x
\mbox{''}
]
\linebreak[4] 
[-x-y=-(x+y)
\stackrel{
\mathrm{pyk}
}{\rightarrow}
\mbox{``}lemma
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}
\mbox{-}x
\mbox{-}y
{=}
\mbox{-}(x
{+}y)
\mbox{''}
]
\linebreak[4] 
[MinusNegated
\stackrel{
\mathrm{pyk}
}{\rightarrow}
\mbox{``}lemma
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}minusNegated
\mbox{''}
]
\linebreak[4] 
[Times(-1)
\stackrel{
\mathrm{pyk}
}{\rightarrow}
\mbox{``}lemma
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}times(
\mbox{-}1)
\mbox{''}
]
\linebreak[4] 
[Times(-1)Left
\stackrel{
\mathrm{pyk}
}{\rightarrow}
\mbox{``}lemma
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}times(
\mbox{-}1)Left
\mbox{''}
]
\linebreak[4] 
[-0=0
\stackrel{
\mathrm{pyk}
}{\rightarrow}
\mbox{``}lemma
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}
\mbox{-}0
{=}0
\mbox{''}
]
\linebreak[4] 
[SFsymmetry
\stackrel{
\mathrm{pyk}
}{\rightarrow}
\mbox{``}lemma
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}sameFsymmetry
\mbox{''}
]
\linebreak[4] 
[SFtransitivity
\stackrel{
\mathrm{pyk}
}{\rightarrow}
\mbox{``}lemma
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}sameFtransitivity
\mbox{''}
]
\linebreak[4] 
[=fToSameF 
\stackrel{
\mathrm{pyk}
}{\rightarrow}
\mbox{``}lemma
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}
{=}f
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}to
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}sameF
\mbox{''}
]
\linebreak[4] 
[PlusF(Sym)
\stackrel{
\mathrm{pyk}
}{\rightarrow}
\mbox{``}lemma
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}plusF(Sym)
\mbox{''}
]
\linebreak[4] 
[TimesF(Sym)
\stackrel{
\mathrm{pyk}
}{\rightarrow}
\mbox{``}lemma
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}timesF(Sym)
\mbox{''}
]
\linebreak[4] 
[f2R(Plus)
\stackrel{
\mathrm{pyk}
}{\rightarrow}
\mbox{``}lemma
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}f2R(Plus)
\mbox{''}
]
\linebreak[4] 
[f2R(Times)
\stackrel{
\mathrm{pyk}
}{\rightarrow}
\mbox{``}lemma
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}f2R(Times)
\mbox{''}
]
\linebreak[4] 
[PlusR(Sym)
\stackrel{
\mathrm{pyk}
}{\rightarrow}
\mbox{``}lemma
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}plusR(Sym)
\mbox{''}
]
\linebreak[4] 
[TimesR(Sym)
\stackrel{
\mathrm{pyk}
}{\rightarrow}
\mbox{``}lemma
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}timesR(Sym)
\mbox{''}
]
\linebreak[4] 
[LessLeq(R)
\stackrel{
\mathrm{pyk}
}{\rightarrow}
\mbox{``}lemma
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}lessLeq(R)
\mbox{''}
]
\linebreak[4] 
[eqLeq(R)
\stackrel{
\mathrm{pyk}
}{\rightarrow}
\mbox{``}lemma
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}eqLeq(R)
\mbox{''}
]
\linebreak[4] 
[SubLessRight(R)
\stackrel{
\mathrm{pyk}
}{\rightarrow}
\mbox{``}lemma
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}subLessRight(R)
\mbox{''}
]
\linebreak[4] 
[SubLessLeft(R)
\stackrel{
\mathrm{pyk}
}{\rightarrow}
\mbox{``}lemma
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}subLessLeft(R)
\mbox{''}
]
\linebreak[4] 
[<<TransitivityHelper(Q)
\stackrel{
\mathrm{pyk}
}{\rightarrow}
\mbox{``}lemma
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}
{<}
{<}TransitivityHelper(Q)
\mbox{''}
]
\linebreak[4] 
[<<Transitivity
\stackrel{
\mathrm{pyk}
}{\rightarrow}
\mbox{``}lemma
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}
{<}
{<}Transitivity
\mbox{''}
]
\linebreak[4] 
[<<==Reflexivity
\stackrel{
\mathrm{pyk}
}{\rightarrow}
\mbox{``}lemma
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}
{<}
{<}
{=}
{=}Reflexivity
\mbox{''}
]
\linebreak[4] 
[<<==AntisymmetryHelper(Q)
\stackrel{
\mathrm{pyk}
}{\rightarrow}
\mbox{``}lemma
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}
{<}
{<}
{=}
{=}AntisymmetryHelper(Q)
\mbox{''}
]
\linebreak[4] 
[<<==Antisymmetry
\stackrel{
\mathrm{pyk}
}{\rightarrow}
\mbox{``}lemma
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}
{<}
{<}
{=}
{=}Antisymmetry
\mbox{''}
]
\linebreak[4] 
[<<==Transitivity
\stackrel{
\mathrm{pyk}
}{\rightarrow}
\mbox{``}lemma
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}
{<}
{<}
{=}
{=}Transitivity
\mbox{''}
]
\linebreak[4] 
[Plus0f
\stackrel{
\mathrm{pyk}
}{\rightarrow}
\mbox{``}lemma
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}plus0f
\mbox{''}
]
\linebreak[4] 
[Plus00
\stackrel{
\mathrm{pyk}
}{\rightarrow}
\mbox{``}lemma
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}plus00
\mbox{''}
]
\linebreak[4] 
[==Addition
\stackrel{
\mathrm{pyk}
}{\rightarrow}
\mbox{``}lemma
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}
{=}
{=}Addition
\mbox{''}
]
\linebreak[4] 
[==AdditionLeft
\stackrel{
\mathrm{pyk}
}{\rightarrow}
\mbox{``}lemma
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}
{=}
{=}AdditionLeft
\mbox{''}
]
\linebreak[4] 
[<<Addition
\stackrel{
\mathrm{pyk}
}{\rightarrow}
\mbox{``}lemma
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}
{<}
{<}Addition
\mbox{''}
]
\linebreak[4] 
[<<==Addition
\stackrel{
\mathrm{pyk}
}{\rightarrow}
\mbox{``}lemma
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}
{<}
{<}
{=}
{=}Addition
\mbox{''}
]
\linebreak[4] 
[PlusAssociativity(F)
\stackrel{
\mathrm{pyk}
}{\rightarrow}
\mbox{``}lemma
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}plusAssociativity(F)
\mbox{''}
]
\linebreak[4] 
[PlusAssociativity(R)
\stackrel{
\mathrm{pyk}
}{\rightarrow}
\mbox{``}lemma
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}plusAssociativity(R)
\mbox{''}
]
\linebreak[4] 
[Negative(R)
\stackrel{
\mathrm{pyk}
}{\rightarrow}
\mbox{``}lemma
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}negative(R)
\mbox{''}
]
\linebreak[4] 
[PlusCommutativity(F)
\stackrel{
\mathrm{pyk}
}{\rightarrow}
\mbox{``}lemma
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}plusCommutativity(F)
\mbox{''}
]
\linebreak[4] 
[PlusCommutativity(R)
\stackrel{
\mathrm{pyk}
}{\rightarrow}
\mbox{``}lemma
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}plusCommutativity(R)
\mbox{''}
]
\linebreak[4] 
[TimesAssociativity(F)
\stackrel{
\mathrm{pyk}
}{\rightarrow}
\mbox{``}lemma
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}timesAssociativity(F)
\mbox{''}
]
\linebreak[4] 
[TimesAssociativity(R)
\stackrel{
\mathrm{pyk}
}{\rightarrow}
\mbox{``}lemma
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}timesAssociativity(R)
\mbox{''}
]
\linebreak[4] 
[Times1f
\stackrel{
\mathrm{pyk}
}{\rightarrow}
\mbox{``}lemma
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}times1f
\mbox{''}
]
\linebreak[4] 
[Times01
\stackrel{
\mathrm{pyk}
}{\rightarrow}
\mbox{``}lemma
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}times01
\mbox{''}
]
\linebreak[4] 
[TimesCommutativity(F)
\stackrel{
\mathrm{pyk}
}{\rightarrow}
\mbox{``}lemma
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}timesCommutativity(F)
\mbox{''}
]
\linebreak[4] 
[TimesCommutativity(R)
\stackrel{
\mathrm{pyk}
}{\rightarrow}
\mbox{``}lemma
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}timesCommutativity(R)
\mbox{''}
]
\linebreak[4] 
[Distribution(F)
\stackrel{
\mathrm{pyk}
}{\rightarrow}
\mbox{``}lemma
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}distribution(F)
\mbox{''}
]
\linebreak[4] 
[Distribution(R)
\stackrel{
\mathrm{pyk}
}{\rightarrow}
\mbox{``}lemma
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}distribution(R)
\mbox{''}
]
\linebreak[4] 
[R(
\ast 
)
\stackrel{
\mathrm{pyk}
}{\rightarrow}
\mbox{``}R(
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}
\mbox {\tt \char34}
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{})
\mbox{''}
]
\linebreak[4] 
[--R(
\ast 
)
\stackrel{
\mathrm{pyk}
}{\rightarrow}
\mbox{``}
\mbox{-}
\mbox{-}R(
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}
\mbox {\tt \char34}
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{})
\mbox{''}
]
\linebreak[4] 
[rec
\ast 
\stackrel{
\mathrm{pyk}
}{\rightarrow}
\mbox{``}1/
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}
\mbox {\tt \char34}
\mbox{''}
]
\linebreak[4] 
[
\ast 
 / 
\ast 
\stackrel{
\mathrm{pyk}
}{\rightarrow}
\mbox{``}eq
\mbox{-}system
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}of
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}
\mbox {\tt \char34}
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}modulo
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}
\mbox {\tt \char34}
\mbox{''}
]
\linebreak[4] 
[
\ast 
 \cap 
\ast 
\stackrel{
\mathrm{pyk}
}{\rightarrow}
\mbox{``}intersection
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}
\mbox {\tt \char34}
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}comma
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}
\mbox {\tt \char34}
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}end
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}intersection
\mbox{''}
]
\linebreak[4] 
[
\ast 
[
\ast 
]
\stackrel{
\mathrm{pyk}
}{\rightarrow}
\mbox{``}[
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}
\mbox {\tt \char34}
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{};
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}
\mbox {\tt \char34}
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}]
\mbox{''}
]
\linebreak[4] 
[\cup 
\ast 
\stackrel{
\mathrm{pyk}
}{\rightarrow}
\mbox{``}union
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}
\mbox {\tt \char34}
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}end
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}union
\mbox{''}
]
\linebreak[4] 
[
\ast 
 \mathrel{\cup} 
\ast 
\stackrel{
\mathrm{pyk}
}{\rightarrow}
\mbox{``}binary
\mbox{-}union
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}
\mbox {\tt \char34}
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}comma
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}
\mbox {\tt \char34}
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}end
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}union
\mbox{''}
]
\linebreak[4] 
[P(
\ast 
)
\stackrel{
\mathrm{pyk}
}{\rightarrow}
\mbox{``}power
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}
\mbox {\tt \char34}
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}end
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}power
\mbox{''}
]
\linebreak[4] 
[\{
\ast 
\}
\stackrel{
\mathrm{pyk}
}{\rightarrow}
\mbox{``}zermelo
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}singleton
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}
\mbox {\tt \char34}
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}end
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}singleton
\mbox{''}
]
\linebreak[4] 
[\{
\ast 
,
\ast 
\}
\stackrel{
\mathrm{pyk}
}{\rightarrow}
\mbox{``}zermelo
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}pair
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}
\mbox {\tt \char34}
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}comma
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}
\mbox {\tt \char34}
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}end
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}pair
\mbox{''}
]
\linebreak[4] 
[\langle 
\ast 
,
\ast 
\rangle
\stackrel{
\mathrm{pyk}
}{\rightarrow}
\mbox{``}zermelo
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}ordered
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}pair
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}
\mbox {\tt \char34}
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}comma
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}
\mbox {\tt \char34}
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}end
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}pair
\mbox{''}
]
\linebreak[4] 
[-
\ast 
\stackrel{
\mathrm{pyk}
}{\rightarrow}
\mbox{``}
\mbox{-}
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}
\mbox {\tt \char34}
\mbox{''}
]
\linebreak[4] 
[-_{f}
\ast 
\stackrel{
\mathrm{pyk}
}{\rightarrow}
\mbox{``}
\mbox{-}f
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}
\mbox {\tt \char34}
\mbox{''}
]
\linebreak[4] 
[
\ast 
 \mathrel{\in} 
\ast 
\stackrel{
\mathrm{pyk}
}{\rightarrow}
\mbox{``}
\mbox {\tt \char34}
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}in0
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}
\mbox {\tt \char34}
\mbox{''}
]
\linebreak[4] 
[
\ast 
(
\ast 
,
\ast 
)
\stackrel{
\mathrm{pyk}
}{\rightarrow}
\mbox{``}
\mbox {\tt \char34}
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}is
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}related
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}to
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}
\mbox {\tt \char34}
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}under
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}
\mbox {\tt \char34}
\mbox{''}
]
\linebreak[4] 
[ReflRel(
\ast 
,
\ast 
)
\stackrel{
\mathrm{pyk}
}{\rightarrow}
\mbox{``}
\mbox {\tt \char34}
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}is
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}reflexive
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}relation
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}in
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}
\mbox {\tt \char34}
\mbox{''}
]
\linebreak[4] 
[SymRel(
\ast 
,
\ast 
)
\stackrel{
\mathrm{pyk}
}{\rightarrow}
\mbox{``}
\mbox {\tt \char34}
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}is
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}symmetric
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}relation
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}in
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}
\mbox {\tt \char34}
\mbox{''}
]
\linebreak[4] 
[TransRel(
\ast 
,
\ast 
)
\stackrel{
\mathrm{pyk}
}{\rightarrow}
\mbox{``}
\mbox {\tt \char34}
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}is
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}transitive
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}relation
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}in
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}
\mbox {\tt \char34}
\mbox{''}
]
\linebreak[4] 
[EqRel(
\ast 
,
\ast 
)
\stackrel{
\mathrm{pyk}
}{\rightarrow}
\mbox{``}
\mbox {\tt \char34}
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}is
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}equivalence
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}relation
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}in
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}
\mbox {\tt \char34}
\mbox{''}
]
\linebreak[4] 
[[
\ast 
 \mathrel{\in} 
\ast 
]_{
\ast 
}
\stackrel{
\mathrm{pyk}
}{\rightarrow}
\mbox{``}equivalence
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}class
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}of
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}
\mbox {\tt \char34}
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}in
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}
\mbox {\tt \char34}
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}modulo
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}
\mbox {\tt \char34}
\mbox{''}
]
\linebreak[4] 
[Partition(
\ast 
,
\ast 
)
\stackrel{
\mathrm{pyk}
}{\rightarrow}
\mbox{``}
\mbox {\tt \char34}
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}is
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}partition
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}of
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}
\mbox {\tt \char34}
\mbox{''}
]
\linebreak[4] 
[
\ast 
*
\ast 
\stackrel{
\mathrm{pyk}
}{\rightarrow}
\mbox{``}
\mbox {\tt \char34}
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}
{*}
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}
\mbox {\tt \char34}
\mbox{''}
]
\linebreak[4] 
[
\ast 
*_{f}
\ast 
\stackrel{
\mathrm{pyk}
}{\rightarrow}
\mbox{``}
\mbox {\tt \char34}
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}
{*}f
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}
\mbox {\tt \char34}
\mbox{''}
]
\linebreak[4] 
[
\ast 
**
\ast 
\stackrel{
\mathrm{pyk}
}{\rightarrow}
\mbox{``}
\mbox {\tt \char34}
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}
{*}
{*}
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}
\mbox {\tt \char34}
\mbox{''}
]
\linebreak[4] 
[
\ast 
+
\ast 
\stackrel{
\mathrm{pyk}
}{\rightarrow}
\mbox{``}
\mbox {\tt \char34}
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}
{+}
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}
\mbox {\tt \char34}
\mbox{''}
]
\linebreak[4] 
[
\ast 
-
\ast 
\stackrel{
\mathrm{pyk}
}{\rightarrow}
\mbox{``}
\mbox {\tt \char34}
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}
\mbox{-}
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}
\mbox {\tt \char34}
\mbox{''}
]
\linebreak[4] 
[
\ast 
+_{f}
\ast 
\stackrel{
\mathrm{pyk}
}{\rightarrow}
\mbox{``}
\mbox {\tt \char34}
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}
{+}f
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}
\mbox {\tt \char34}
\mbox{''}
]
\linebreak[4] 
[
\ast 
-_{f}
\ast 
\stackrel{
\mathrm{pyk}
}{\rightarrow}
\mbox{``}
\mbox {\tt \char34}
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}
\mbox{-}f
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}
\mbox {\tt \char34}
\mbox{''}
]
\linebreak[4] 
[
\ast 
++
\ast 
\stackrel{
\mathrm{pyk}
}{\rightarrow}
\mbox{``}
\mbox {\tt \char34}
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}
{+}
{+}
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}
\mbox {\tt \char34}
\mbox{''}
]
\linebreak[4] 
[R(
\ast 
) -- R(
\ast 
)
\stackrel{
\mathrm{pyk}
}{\rightarrow}
\mbox{``}R(
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}
\mbox {\tt \char34}
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{})
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}
\mbox{-}
\mbox{-}
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}R(
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}
\mbox {\tt \char34}
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{})
\mbox{''}
]
\linebreak[4] 
[|
\ast |
\stackrel{
\mathrm{pyk}
}{\rightarrow}
\mbox{``}|
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}
\mbox {\tt \char34}
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}|
\mbox{''}
]
\linebreak[4] 
[if(
\ast 
,
\ast 
,
\ast 
)
\stackrel{
\mathrm{pyk}
}{\rightarrow}
\mbox{``}if(
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}
\mbox {\tt \char34}
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{},
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}
\mbox {\tt \char34}
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{},
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}
\mbox {\tt \char34}
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{})
\mbox{''}
]
\linebreak[4] 
[
\ast 
 = 
\ast 
\stackrel{
\mathrm{pyk}
}{\rightarrow}
\mbox{``}
\mbox {\tt \char34}
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}
{=}
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}
\mbox {\tt \char34}
\mbox{''}
]
\linebreak[4] 
[
\ast 
 \neq 
\ast 
\stackrel{
\mathrm{pyk}
}{\rightarrow}
\mbox{``}
\mbox {\tt \char34}
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}!
{=}
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}
\mbox {\tt \char34}
\mbox{''}
]
\linebreak[4] 
[
\ast 
 <= 
\ast 
\stackrel{
\mathrm{pyk}
}{\rightarrow}
\mbox{``}
\mbox {\tt \char34}
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}
{<}
{=}
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}
\mbox {\tt \char34}
\mbox{''}
]
\linebreak[4] 
[
\ast 
 < 
\ast 
\stackrel{
\mathrm{pyk}
}{\rightarrow}
\mbox{``}
\mbox {\tt \char34}
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}
{<}
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}
\mbox {\tt \char34}
\mbox{''}
]
\linebreak[4] 
[
\ast 
=_{f}
\ast 
\stackrel{
\mathrm{pyk}
}{\rightarrow}
\mbox{``}
\mbox {\tt \char34}
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}
{=}f
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}
\mbox {\tt \char34}
\mbox{''}
]
\linebreak[4] 
[
\ast 
<_{f}
\ast 
\stackrel{
\mathrm{pyk}
}{\rightarrow}
\mbox{``}
\mbox {\tt \char34}
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}
{<}f
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}
\mbox {\tt \char34}
\mbox{''}
]
\linebreak[4] 
[SF(
\ast 
,
\ast 
)
\stackrel{
\mathrm{pyk}
}{\rightarrow}
\mbox{``}
\mbox {\tt \char34}
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}sameF
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}
\mbox {\tt \char34}
\mbox{''}
]
\linebreak[4] 
[
\ast 
 == 
\ast 
\stackrel{
\mathrm{pyk}
}{\rightarrow}
\mbox{``}
\mbox {\tt \char34}
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}
{=}
{=}
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}
\mbox {\tt \char34}
\mbox{''}
]
\linebreak[4] 
[
\ast 
 << 
\ast 
\stackrel{
\mathrm{pyk}
}{\rightarrow}
\mbox{``}
\mbox {\tt \char34}
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}
{<}
{<}
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}
\mbox {\tt \char34}
\mbox{''}
]
\linebreak[4] 
[
\ast 
 <<== 
\ast 
\stackrel{
\mathrm{pyk}
}{\rightarrow}
\mbox{``}
\mbox {\tt \char34}
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}
{<}
{<}
{=}
{=}
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}
\mbox {\tt \char34}
\mbox{''}
]
\linebreak[4] 
[
\ast 
\!\mathrel{==}\! 
\ast 
\stackrel{
\mathrm{pyk}
}{\rightarrow}
\mbox{``}
\mbox {\tt \char34}
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}zermelo
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}is
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}
\mbox {\tt \char34}
\mbox{''}
]
\linebreak[4] 
[
\ast 
 \mathrel{\subseteq} 
\ast 
\stackrel{
\mathrm{pyk}
}{\rightarrow}
\mbox{``}
\mbox {\tt \char34}
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}is
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}subset
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}of
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}
\mbox {\tt \char34}
\mbox{''}
]
\linebreak[4] 
[\dot{\neg}\, 
\ast 
\stackrel{
\mathrm{pyk}
}{\rightarrow}
\mbox{``}not0
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}
\mbox {\tt \char34}
\mbox{''}
]
\linebreak[4] 
[
\ast 
 \mathrel{\notin} 
\ast 
\stackrel{
\mathrm{pyk}
}{\rightarrow}
\mbox{``}
\mbox {\tt \char34}
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}zermelo
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}
\char126 in
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}
\mbox {\tt \char34}
\mbox{''}
]
\linebreak[4] 
[
\ast 
 \mathrel{\neq} 
\ast 
\stackrel{
\mathrm{pyk}
}{\rightarrow}
\mbox{``}
\mbox {\tt \char34}
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}zermelo
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}
\char126 is
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}
\mbox {\tt \char34}
\mbox{''}
]
\linebreak[4] 
[
\ast 
\mathrel{\dot{\wedge}} 
\ast 
\stackrel{
\mathrm{pyk}
}{\rightarrow}
\mbox{``}
\mbox {\tt \char34}
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}and0
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}
\mbox {\tt \char34}
\mbox{''}
]
\linebreak[4] 
[
\ast 
 \mathrel{\dot{\vee}} 
\ast 
\stackrel{
\mathrm{pyk}
}{\rightarrow}
\mbox{``}
\mbox {\tt \char34}
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}or0
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}
\mbox {\tt \char34}
\mbox{''}
]
\linebreak[4] 
[
\ast 
\mathrel{\dot{\Leftrightarrow}} 
\ast 
\stackrel{
\mathrm{pyk}
}{\rightarrow}
\mbox{``}
\mbox {\tt \char34}
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}iff
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}
\mbox {\tt \char34}
\mbox{''}
]
\linebreak[4] 
[ \{ ph \mathrel{\in} 
\ast 
\mid 
\ast 
\}
\stackrel{
\mathrm{pyk}
}{\rightarrow}
\mbox{``}the
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}set
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}of
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}ph
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}in
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}
\mbox {\tt \char34}
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}such
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}that
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}
\mbox {\tt \char34}
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}end
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}set
\mbox{''}
]
\linebreak[4] 
[am
\stackrel{
\mathrm{pyk}
}{\rightarrow}
\mbox{``}am
\mbox{''}
]
\linebreak[4] $
\end{flushleft}

\newpage


\section{\TeX{} definitioner} \label{sec:tex}

\begin{list}{}{
\setlength{\leftmargin}{0em}
\setlength{\itemindent}{0em}
\setlength{\itemsep}{1ex}}

\item $
[am
\stackrel{
\mathrm{tex}
}{\rightarrow}
\mbox{``}am
\mbox{''}
]$ 

\item $
[(\cdots{})
\stackrel{
\mathrm{tex}
}{\rightarrow}
\mbox{``}(
\mbox {$\backslash $}cdots
\{
\})
\mbox{''}
]$ 

\item $
[\texttt{Objekt-var}
\stackrel{
\mathrm{tex}
}{\rightarrow}
\mbox{``}
\mbox {$\backslash $}texttt
\{Objekt
\mbox{-}var
\}
\mbox{''}
]$ 

\item $
[\texttt{Ex-var}
\stackrel{
\mathrm{tex}
}{\rightarrow}
\mbox{``}
\mbox {$\backslash $}texttt
\{Ex
\mbox{-}var
\}
\mbox{''}
]$ 

\item $
[\texttt{Ph-var}
\stackrel{
\mathrm{tex}
}{\rightarrow}
\mbox{``}
\mbox {$\backslash $}texttt
\{Ph
\mbox{-}var
\}
\mbox{''}
]$ 

\item $
[\texttt{V\ae{}rdi}
\stackrel{
\mathrm{tex}
}{\rightarrow}
\mbox{``}
\mbox {$\backslash $}texttt
\{V
\mbox {$\backslash $}ae
\{
\}rdi
\}
\mbox{''}
]$ 

\item $
[\texttt{Variabel}
\stackrel{
\mathrm{tex}
}{\rightarrow}
\mbox{``}
\mbox {$\backslash $}texttt
\{Variabel
\}
\mbox{''}
]$

\item $
[Op(
\mathsf{x}
)
\stackrel{
\mathrm{tex}
}{\rightarrow}
\mbox{``}Op(
\#1.
\newline )
\mbox{''}
]$ 

\item $
[Op(
\mathsf{x}
,
\mathsf{y}
)
\stackrel{
\mathrm{tex}
}{\rightarrow}
\mbox{``}Op(
\#1.
\newline ,
\#2.
\newline )
\mbox{''}
]$ 

\item $
[
\mathsf{x}
 \mathrel {\ddot {==}} 
\mathsf{y}
\stackrel{
\mathrm{tex}
}{\rightarrow}
\mbox{``}
\#1.
\newline 
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}
\mbox {$\backslash $}mathrel
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}
\{
\mbox {$\backslash $}ddot
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}
\{
{=}
{=}
\}
\}
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}
\#2.
\mbox{''}
]$

\item $
[ContainsEmpty(
\mathsf{x}
)
\stackrel{
\mathrm{tex}
}{\rightarrow}
\mbox{``}ContainsEmpty(
\#1.
\newline )
\mbox{''}
]$ 

$
[
Dedu(
\mathsf{x}
,
\mathsf{y}
)
\stackrel{
\mathrm{tex}
}{\rightarrow}
\mbox{``}
\newline Dedu(
\#1.
\newline ,
\#2.
\newline )
\mbox{''}
]$

 $
[
Dedu_0(
\mathsf{x}
,
\mathsf{y}
)
\stackrel{
\mathrm{tex}
}{\rightarrow}
\mbox{``}
\newline Dedu
\_0(
\#1.
\newline ,
\#2.
\newline )
\mbox{''}
]$

 $
[Dedu_{s}(
\mathsf{x}
,
\mathsf{y}
,
\mathsf{z}
)
\stackrel{
\mathrm{tex}
}{\rightarrow}
\mbox{``}Dedu
\_
\{s
\}(
\#1.
\newline ,
\#2.
\newline ,
\#3.
\newline )
\mbox{''}
]$

 $
[
Dedu_1(
\mathsf{x}
,
\mathsf{y}
,
\mathsf{z}
)
\stackrel{
\mathrm{tex}
}{\rightarrow}
\mbox{``}
\newline Dedu
\_1(
\#1.
\newline ,
\#2.
\newline ,
\#3.
\newline )
\mbox{''}
]$

 $
[
Dedu_2(
\mathsf{x}
,
\mathsf{y}
,
\mathsf{z}
)
\stackrel{
\mathrm{tex}
}{\rightarrow}
\mbox{``}
\newline Dedu
\_2(
\#1.
\newline ,
\#2.
\newline ,
\#3.
\newline )
\mbox{''}
]$

 $
[
Dedu_3(
\mathsf{x}
,
\mathsf{y}
,
\mathsf{z}
,
\mathsf {u}
)
\stackrel{
\mathrm{tex}
}{\rightarrow}
\mbox{``}
\newline Dedu
\_3(
\#1.
\newline ,
\#2.
\newline ,
\#3.
\newline ,
\#4.
\newline )
\mbox{''}
]$

 $
[
Dedu_4(
\mathsf{x}
,
\mathsf{y}
,
\mathsf{z}
,
\mathsf {u}
)
\stackrel{
\mathrm{tex}
}{\rightarrow}
\mbox{``}
\newline Dedu
\_4(
\#1.
\newline ,
\#2.
\newline ,
\#3.
\newline ,
\#4.
\newline )
\mbox{''}
]$

 $
[
Dedu_4^*(
\mathsf{x}
,
\mathsf{y}
,
\mathsf{z}
,
\mathsf {u}
)
\stackrel{
\mathrm{tex}
}{\rightarrow}
\mbox{``}
\newline Dedu
\_4
{\char94}
{*}(
\#1.
\newline ,
\#2.
\newline ,
\#3.
\newline ,
\#4.
\newline )
\mbox{''}
]$

 $
[
Dedu_5(
\mathsf{x}
,
\mathsf{y}
,
\mathsf{z}
)
\stackrel{
\mathrm{tex}
}{\rightarrow}
\mbox{``}
\newline Dedu
\_5(
\#1.
\newline ,
\#2.
\newline ,
\#3.
\newline )
\mbox{''}
]$

 $
[
Dedu_6(
\mathsf {p}
,
\mathsf {c}
,
\mathsf {e}
,
\mathsf {b}
)
\stackrel{
\mathrm{tex}
}{\rightarrow}
\mbox{``}
\newline Dedu
\_6(
\#1.
\newline ,
\#2.
\newline ,
\#3.
\newline ,
\#4.
\newline )
\mbox{''}
]$

 $
[
Dedu_6^*(
\mathsf {p}
,
\mathsf {c}
,
\mathsf {e}
,
\mathsf {b}
)
\stackrel{
\mathrm{tex}
}{\rightarrow}
\mbox{``}
\newline Dedu
\_6
{\char94}
{*}(
\#1.
\newline ,
\#2.
\newline ,
\#3.
\newline ,
\#4.
\newline )
\mbox{''}
]$

 $
[
Dedu_7(
\mathsf {p}
)
\stackrel{
\mathrm{tex}
}{\rightarrow}
\mbox{``}
\newline Dedu
\_7(
\#1.
\newline )
\mbox{''}
]$

 $
[
Dedu_8(
\mathsf {p}
,
\mathsf {b}
)
\stackrel{
\mathrm{tex}
}{\rightarrow}
\mbox{``}
\newline Dedu
\_8(
\#1.
\newline ,
\#2.
\newline )
\mbox{''}
]$

 $
[
Dedu_8^*(
\mathsf {p}
,
\mathsf {b}
)
\stackrel{
\mathrm{tex}
}{\rightarrow}
\mbox{``}
\newline Dedu
\_8
{\char94}
{*}(
\#1.
\newline ,
\#2.
\newline )
\mbox{''}
]$

\item $
[Ex_{1}
\stackrel{
\mathrm{tex}
}{\rightarrow}
\mbox{``}Ex
\_
\{1
\}
\mbox{''}
]$ 

\item $
[Ex_{2}
\stackrel{
\mathrm{tex}
}{\rightarrow}
\mbox{``}Ex
\_
\{2
\}
\mbox{''}
]$ 

\item $
[Ex_{10}
\stackrel{
\mathrm{tex}
}{\rightarrow}
\mbox{``}Ex
\_
\{10
\}
\mbox{''}
]$ 

\item $
[Ex_{20}
\stackrel{
\mathrm{tex}
}{\rightarrow}
\mbox{``}Ex
\_
\{20
\}
\mbox{''}
]$ 

\item $
[
\mathsf{x}
 _{Ex}
\stackrel{
\mathrm{tex}
}{\rightarrow}
\mbox{``}
\#1.
\newline 
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}
\_
\{Ex
\}
\mbox{''}
]$ 

\item $
[
\mathsf{x}
 ^{Ex}
\stackrel{
\mathrm{tex}
}{\rightarrow}
\mbox{``}
\#1.
\newline 
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}
{\char94}
\{Ex
\}
\mbox{''}
]$ 

$
[\langle 
\mathsf{x}
{\equiv} 
\mathsf{y}
| 
\mathsf{z}
{:==} 
\mathsf {u}
\rangle_{Ex} 
\stackrel{
\mathrm{tex}
}{\rightarrow}
\mbox{``}
\mbox {$\backslash $}langle
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}
\#1.
\newline 
\{
\mbox {$\backslash $}equiv
\}
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}
\#2.
\newline |
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}
\#3.
\newline 
\{
{:}
{=}
{=}
\}
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}
\#4.
\newline 
\mbox {$\backslash $}rangle
\_
\{Ex
\}
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}
\mbox{''}
]$

$
[\langle 
\mathsf{x}
{\equiv}^0 
\mathsf{y}
| 
\mathsf{z}
{:==} 
\mathsf {u}
\rangle_{Ex} 
\stackrel{
\mathrm{tex}
}{\rightarrow}
\mbox{``}
\mbox {$\backslash $}langle
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}
\#1.
\newline 
\{
\mbox {$\backslash $}equiv
\}
{\char94}0
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}
\#2.
\newline |
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}
\#3.
\newline 
\{
{:}
{=}
{=}
\}
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}
\#4.
\newline 
\mbox {$\backslash $}rangle
\_
\{Ex
\}
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}
\mbox{''}
]$

$
[\langle 
\mathsf{x}
{\equiv}^1 
\mathsf{y}
| 
\mathsf{z}
{:==} 
\mathsf {u}
\rangle_{Ex} 
\stackrel{
\mathrm{tex}
}{\rightarrow}
\mbox{``}
\mbox {$\backslash $}langle
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}
\#1.
\newline 
\{
\mbox {$\backslash $}equiv
\}
{\char94}1
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}
\#2.
\newline |
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}
\#3.
\newline 
\{
{:}
{=}
{=}
\}
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}
\#4.
\newline 
\mbox {$\backslash $}rangle
\_
\{Ex
\}
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}
\mbox{''}
]$

$
[\langle 
\mathsf{x}
{\equiv}^* 
\mathsf{y}
| 
\mathsf{z}
{:==} 
\mathsf {u}
\rangle_{Ex} 
\stackrel{
\mathrm{tex}
}{\rightarrow}
\mbox{``}
\mbox {$\backslash $}langle
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}
\#1.
\newline 
\{
\mbox {$\backslash $}equiv
\}
{\char94}
{*}
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}
\#2.
\newline |
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}
\#3.
\newline 
\{
{:}
{=}
{=}
\}
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}
\#4.
\newline 
\mbox {$\backslash $}rangle
\_
\{Ex
\}
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}
\mbox{''}
]$

\item $
[ph_{1}
\stackrel{
\mathrm{tex}
}{\rightarrow}
\mbox{``}ph
\_
\{1
\}
\mbox{''}
]$ 

\item $
[ph_{2}
\stackrel{
\mathrm{tex}
}{\rightarrow}
\mbox{``}ph
\_
\{2
\}
\mbox{''}
]$ 

\item $
[ph_{3}
\stackrel{
\mathrm{tex}
}{\rightarrow}
\mbox{``}ph
\_
\{3
\}
\mbox{''}
]$ 

\item $
[
\mathsf{x}
 _{Ph} 
\stackrel{
\mathrm{tex}
}{\rightarrow}
\mbox{``}
\#1.
\newline 
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}
\_
\{Ph
\}
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}
\mbox{''}
]$ 

\item $
[
\mathsf{x}
 ^{Ph}
\stackrel{
\mathrm{tex}
}{\rightarrow}
\mbox{``}
\#1.
\newline 
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}
{\char94}
\{Ph
\}
\mbox{''}
]$ 

$
[\langle 
\mathsf{x}
{\equiv} 
\mathsf{y}
| 
\mathsf{z}
{:==} 
\mathsf {u}
\rangle_{Ph} 
\stackrel{
\mathrm{tex}
}{\rightarrow}
\mbox{``}
\mbox {$\backslash $}langle
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}
\#1.
\newline 
\{
\mbox {$\backslash $}equiv
\}
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}
\#2.
\newline |
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}
\#3.
\newline 
\{
{:}
{=}
{=}
\}
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}
\#4.
\newline 
\mbox {$\backslash $}rangle
\_
\{Ph
\}
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}
\mbox{''}
]$

$
[\langle 
\mathsf{x}
{\equiv}^0 
\mathsf{y}
| 
\mathsf{z}
{:==} 
\mathsf {u}
\rangle_{Ph} 
\stackrel{
\mathrm{tex}
}{\rightarrow}
\mbox{``}
\mbox {$\backslash $}langle
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}
\#1.
\newline 
\{
\mbox {$\backslash $}equiv
\}
{\char94}0
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}
\#2.
\newline |
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}
\#3.
\newline 
\{
{:}
{=}
{=}
\}
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}
\#4.
\newline 
\mbox {$\backslash $}rangle
\_
\{Ph
\}
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}
\mbox{''}
]$

$
[\langle 
\mathsf{x}
{\equiv}^1 
\mathsf{y}
| 
\mathsf{z}
{:==} 
\mathsf {u}
\rangle_{Ph} 
\stackrel{
\mathrm{tex}
}{\rightarrow}
\mbox{``}
\mbox {$\backslash $}langle
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}
\#1.
\newline 
\{
\mbox {$\backslash $}equiv
\}
{\char94}1
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}
\#2.
\newline |
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}
\#3.
\newline 
\{
{:}
{=}
{=}
\}
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}
\#4.
\newline 
\mbox {$\backslash $}rangle
\_
\{Ph
\}
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}
\mbox{''}
]$

$
[\langle 
\mathsf{x}
{\equiv}^* 
\mathsf{y}
| 
\mathsf{z}
{:==} 
\mathsf {u}
\rangle_{Ph} 
\stackrel{
\mathrm{tex}
}{\rightarrow}
\mbox{``}
\mbox {$\backslash $}langle
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}
\#1.
\newline 
\{
\mbox {$\backslash $}equiv
\}
{\char94}
{*}
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}
\#2.
\newline |
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}
\#3.
\newline 
\{
{:}
{=}
{=}
\}
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}
\#4.
\newline 
\mbox {$\backslash $}rangle
\_
\{Ph
\}
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}
\mbox{''}
]$

\item $
[\mathsf {bs}
\stackrel{
\mathrm{tex}
}{\rightarrow}
\mbox{``}
\mbox {$\backslash $}mathsf
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}
\{bs
\}
\mbox{''}
]$ 
\item $
[ \mathsf {OBS}
\stackrel{
\mathrm{tex}
}{\rightarrow}
\mbox{``}
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}
\mbox {$\backslash $}mathsf
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}
\{OBS
\}
\mbox{''}
]$ 


 $
[{\cal BS}
\stackrel{
\mathrm{tex}
}{\rightarrow}
\mbox{``}
\{
\mbox {$\backslash $}cal
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}BS
\}
\mbox{''}
]$

\item $
[\mathrm{\O}
\stackrel{
\mathrm{tex}
}{\rightarrow}
\mbox{``}
\mbox {$\backslash $}mathrm
\{
\mbox {$\backslash $}O
\}
\mbox{''}
]$

\item $
[ZFsub
\stackrel{
\mathrm{tex}
}{\rightarrow}
\mbox{``}ZFsub
\mbox{''}
]$

\item $
[MP
\stackrel{
\mathrm{tex}
}{\rightarrow}
\mbox{``}MP
\mbox{''}
]$
\item $
[Gen
\stackrel{
\mathrm{tex}
}{\rightarrow}
\mbox{``}Gen
\mbox{''}
]$
\item $
[Repetition
\stackrel{
\mathrm{tex}
}{\rightarrow}
\mbox{``}Repetition
\mbox{''}
]$ 
\item $
[Neg
\stackrel{
\mathrm{tex}
}{\rightarrow}
\mbox{``}Neg
\mbox{''}
]$
\item $
[Ded
\stackrel{
\mathrm{tex}
}{\rightarrow}
\mbox{``}Ded
\mbox{''}
]$
\item $
[ExistIntro
\stackrel{
\mathrm{tex}
}{\rightarrow}
\mbox{``}ExistIntro
\mbox{''}
]$ 



\item $
[Extensionality
\stackrel{
\mathrm{tex}
}{\rightarrow}
\mbox{``}Extensionality
\mbox{''}
]$
\item $
[\O{}def
\stackrel{
\mathrm{tex}
}{\rightarrow}
\mbox{``}
\mbox {$\backslash $}O
\{
\}def
\mbox{''}
]$ 
\item $
[PairDef
\stackrel{
\mathrm{tex}
}{\rightarrow}
\mbox{``}PairDef
\mbox{''}
]$ 
\item $
[UnionDef
\stackrel{
\mathrm{tex}
}{\rightarrow}
\mbox{``}UnionDef
\mbox{''}
]$
\item $
[PowerDef
\stackrel{
\mathrm{tex}
}{\rightarrow}
\mbox{``}PowerDef
\mbox{''}
]$ 
\item $
[SeparationDef
\stackrel{
\mathrm{tex}
}{\rightarrow}
\mbox{``}SeparationDef
\mbox{''}
]$
\item $
[AddDoubleNeg
\stackrel{
\mathrm{tex}
}{\rightarrow}
\mbox{``}AddDoubleNeg
\mbox{''}
]$ 
\item $
[RemoveDoubleNeg
\stackrel{
\mathrm{tex}
}{\rightarrow}
\mbox{``}RemoveDoubleNeg
\mbox{''}
]$ 
\item $
[AndCommutativity
\stackrel{
\mathrm{tex}
}{\rightarrow}
\mbox{``}AndCommutativity
\mbox{''}
]$ 
\item $
[AutoImply
\stackrel{
\mathrm{tex}
}{\rightarrow}
\mbox{``}AutoImply
\mbox{''}
]$ 
\item $
[Contrapositive
\stackrel{
\mathrm{tex}
}{\rightarrow}
\mbox{``}Contrapositive
\mbox{''}
]$ 
\item $
[FirstConjunct
\stackrel{
\mathrm{tex}
}{\rightarrow}
\mbox{``}FirstConjunct
\mbox{''}
]$ 
\item $
[SecondConjunct
\stackrel{
\mathrm{tex}
}{\rightarrow}
\mbox{``}SecondConjunct
\mbox{''}
]$ 
\item $
[FromContradiction
\stackrel{
\mathrm{tex}
}{\rightarrow}
\mbox{``}FromContradiction
\mbox{''}
]$ 
\item $
[FromDisjuncts
\stackrel{
\mathrm{tex}
}{\rightarrow}
\mbox{``}FromDisjuncts
\mbox{''}
]$ 
\item $
[IffCommutativity
\stackrel{
\mathrm{tex}
}{\rightarrow}
\mbox{``}IffCommutativity
\mbox{''}
]$ 
\item $
[IffFirst
\stackrel{
\mathrm{tex}
}{\rightarrow}
\mbox{``}IffFirst
\mbox{''}
]$ 

\item $
[IffSecond
\stackrel{
\mathrm{tex}
}{\rightarrow}
\mbox{``}IffSecond
\mbox{''}
]$ 
\item $
[ImplyTransitivity
\stackrel{
\mathrm{tex}
}{\rightarrow}
\mbox{``}ImplyTransitivity
\mbox{''}
]$ 



\item $
[JoinConjuncts
\stackrel{
\mathrm{tex}
}{\rightarrow}
\mbox{``}JoinConjuncts
\mbox{''}
]$ 

\item $
[MP2
\stackrel{
\mathrm{tex}
}{\rightarrow}
\mbox{``}MP2
\mbox{''}
]$ 

\item $
[MP3
\stackrel{
\mathrm{tex}
}{\rightarrow}
\mbox{``}MP3
\mbox{''}
]$ 

\item $
[MP4
\stackrel{
\mathrm{tex}
}{\rightarrow}
\mbox{``}MP4
\mbox{''}
]$ 

\item $
[MP5
\stackrel{
\mathrm{tex}
}{\rightarrow}
\mbox{``}MP5
\mbox{''}
]$ 
\item $
[MT
\stackrel{
\mathrm{tex}
}{\rightarrow}
\mbox{``}MT
\mbox{''}
]$ 

\item $
[NegativeMT
\stackrel{
\mathrm{tex}
}{\rightarrow}
\mbox{``}NegativeMT
\mbox{''}
]$ 
\item $
[Technicality
\stackrel{
\mathrm{tex}
}{\rightarrow}
\mbox{``}Technicality
\mbox{''}
]$ 


\item $
[Weakening
\stackrel{
\mathrm{tex}
}{\rightarrow}
\mbox{``}Weakening
\mbox{''}
]$ 

\item $
[WeakenOr1
\stackrel{
\mathrm{tex}
}{\rightarrow}
\mbox{``}WeakenOr1
\mbox{''}
]$ 

\item $
[WeakenOr2
\stackrel{
\mathrm{tex}
}{\rightarrow}
\mbox{``}WeakenOr2
\mbox{''}
]$ 

\item $
[Pair2Formula
\stackrel{
\mathrm{tex}
}{\rightarrow}
\mbox{``}Pair2Formula
\mbox{''}
]$ 

\item $
[Formula2Pair
\stackrel{
\mathrm{tex}
}{\rightarrow}
\mbox{``}Formula2Pair
\mbox{''}
]$ 

\item $
[Union2Formula
\stackrel{
\mathrm{tex}
}{\rightarrow}
\mbox{``}Union2Formula
\mbox{''}
]$ 

\item $
[Formula2Union
\stackrel{
\mathrm{tex}
}{\rightarrow}
\mbox{``}Formula2Union
\mbox{''}
]$ 

\item $
[Sep2Formula
\stackrel{
\mathrm{tex}
}{\rightarrow}
\mbox{``}Sep2Formula
\mbox{''}
]$ 

\item $
[Formula2Sep
\stackrel{
\mathrm{tex}
}{\rightarrow}
\mbox{``}Formula2Sep
\mbox{''}
]$ 

\item $
[SubsetInPower
\stackrel{
\mathrm{tex}
}{\rightarrow}
\mbox{``}SubsetInPower
\mbox{''}
]$ 

\item $
[HelperPowerIsSub
\stackrel{
\mathrm{tex}
}{\rightarrow}
\mbox{``}HelperPowerIsSub
\mbox{''}
]$ 

\item $
[PowerIsSub
\stackrel{
\mathrm{tex}
}{\rightarrow}
\mbox{``}PowerIsSub
\mbox{''}
]$ 

\item $
[(Switch)HelperPowerIsSub
\stackrel{
\mathrm{tex}
}{\rightarrow}
\mbox{``}(Switch)HelperPowerIsSub
\mbox{''}
]$ 

\item $
[(Switch)PowerIsSub
\stackrel{
\mathrm{tex}
}{\rightarrow}
\mbox{``}(Switch)PowerIsSub
\mbox{''}
]$ 

\item $
[ToSetEquality
\stackrel{
\mathrm{tex}
}{\rightarrow}
\mbox{``}ToSetEquality
\mbox{''}
]$ 

\item $
[HelperToSetEquality(t)
\stackrel{
\mathrm{tex}
}{\rightarrow}
\mbox{``}HelperToSetEquality(t)
\mbox{''}
]$ 

\item $
[ToSetEquality(t)
\stackrel{
\mathrm{tex}
}{\rightarrow}
\mbox{``}ToSetEquality(t)
\mbox{''}
]$ 

\item $
[HelperFromSetEquality
\stackrel{
\mathrm{tex}
}{\rightarrow}
\mbox{``}HelperFromSetEquality
\mbox{''}
]$ 

\item $
[FromSetEquality
\stackrel{
\mathrm{tex}
}{\rightarrow}
\mbox{``}FromSetEquality
\mbox{''}
]$ 

\item $
[HelperReflexivity
\stackrel{
\mathrm{tex}
}{\rightarrow}
\mbox{``}HelperReflexivity
\mbox{''}
]$ 

\item $
[Reflexivity
\stackrel{
\mathrm{tex}
}{\rightarrow}
\mbox{``}Reflexivity
\mbox{''}
]$ 

\item $
[HelperSymmetry
\stackrel{
\mathrm{tex}
}{\rightarrow}
\mbox{``}HelperSymmetry
\mbox{''}
]$ 

\item $
[Symmetry
\stackrel{
\mathrm{tex}
}{\rightarrow}
\mbox{``}Symmetry
\mbox{''}
]$ 

\item $
[HelperTransitivity
\stackrel{
\mathrm{tex}
}{\rightarrow}
\mbox{``}HelperTransitivity
\mbox{''}
]$

\item $
[Transitivity
\stackrel{
\mathrm{tex}
}{\rightarrow}
\mbox{``}Transitivity
\mbox{''}
]$,

\item $
[ERisReflexive
\stackrel{
\mathrm{tex}
}{\rightarrow}
\mbox{``}ERisReflexive
\mbox{''}
]$ 

\item $
[ERisSymmetric
\stackrel{
\mathrm{tex}
}{\rightarrow}
\mbox{``}ERisSymmetric
\mbox{''}
]$ 

\item $
[ERisTransitive
\stackrel{
\mathrm{tex}
}{\rightarrow}
\mbox{``}ERisTransitive
\mbox{''}
]$ 

\item $
[\O{}isSubset
\stackrel{
\mathrm{tex}
}{\rightarrow}
\mbox{``}
\mbox {$\backslash $}O
\{
\}isSubset
\mbox{''}
]$ 

\item $
[HelperMemberNot\O{}
\stackrel{
\mathrm{tex}
}{\rightarrow}
\mbox{``}HelperMemberNot
\mbox {$\backslash $}O
\{
\}
\mbox{''}
]$ 

\item $
[MemberNot\O{}
\stackrel{
\mathrm{tex}
}{\rightarrow}
\mbox{``}MemberNot
\mbox {$\backslash $}O
\{
\}
\mbox{''}
]$ 

\item $
[HelperUnique\O{}
\stackrel{
\mathrm{tex}
}{\rightarrow}
\mbox{``}HelperUnique
\mbox {$\backslash $}O
\{
\}
\mbox{''}
]$ 

\item $
[Unique\O{}
\stackrel{
\mathrm{tex}
}{\rightarrow}
\mbox{``}Unique
\mbox {$\backslash $}O
\{
\}
\mbox{''}
]$ 

\item $
[==\!{}Reflexivity
\stackrel{
\mathrm{tex}
}{\rightarrow}
\mbox{``}
{=}
{=}
\mbox {$\backslash $}!
\{
\}Reflexivity
\mbox{''}
]$ 

\item $
[==\!{}Symmetry
\stackrel{
\mathrm{tex}
}{\rightarrow}
\mbox{``}
{=}
{=}
\mbox {$\backslash $}!
\{
\}Symmetry
\mbox{''}
]$ 

\item $
[Helper\!{}==\!{}Transitivity
\stackrel{
\mathrm{tex}
}{\rightarrow}
\mbox{``}Helper
\mbox {$\backslash $}!
\{
\}
{=}
{=}
\mbox {$\backslash $}!
\{
\}Transitivity
\mbox{''}
]$ 

\item $
[\!{}==\!{}Transitivity
\stackrel{
\mathrm{tex}
}{\rightarrow}
\mbox{``}
\mbox {$\backslash $}!
\{
\}
{=}
{=}
\mbox {$\backslash $}!
\{
\}Transitivity
\mbox{''}
]$ 

\item $
[HelperTransferNotEq
\stackrel{
\mathrm{tex}
}{\rightarrow}
\mbox{``}HelperTransferNotEq
\mbox{''}
]$ 

\item $
[TransferNotEq
\stackrel{
\mathrm{tex}
}{\rightarrow}
\mbox{``}TransferNotEq
\mbox{''}
]$ 

\item $
[HelperPairSubset
\stackrel{
\mathrm{tex}
}{\rightarrow}
\mbox{``}HelperPairSubset
\mbox{''}
]$ 

\item $
[Helper(2)PairSubset
\stackrel{
\mathrm{tex}
}{\rightarrow}
\mbox{``}Helper(2)PairSubset
\mbox{''}
]$ 

\item $
[PairSubset
\stackrel{
\mathrm{tex}
}{\rightarrow}
\mbox{``}PairSubset
\mbox{''}
]$ 

\item $
[SamePair
\stackrel{
\mathrm{tex}
}{\rightarrow}
\mbox{``}SamePair
\mbox{''}
]$ 

\item $
[SameSingleton
\stackrel{
\mathrm{tex}
}{\rightarrow}
\mbox{``}SameSingleton
\mbox{''}
]$ 


\item $
[UnionSubset
\stackrel{
\mathrm{tex}
}{\rightarrow}
\mbox{``}UnionSubset
\mbox{''}
]$ 

\item $
[SameUnion
\stackrel{
\mathrm{tex}
}{\rightarrow}
\mbox{``}SameUnion
\mbox{''}
]$ 



\item $
[SeparationSubset
\stackrel{
\mathrm{tex}
}{\rightarrow}
\mbox{``}SeparationSubset
\mbox{''}
]$

\item $
[SameSeparation
\stackrel{
\mathrm{tex}
}{\rightarrow}
\mbox{``}SameSeparation
\mbox{''}
]$ 

\item $
[SameBinaryUnion
\stackrel{
\mathrm{tex}
}{\rightarrow}
\mbox{``}SameBinaryUnion
\mbox{''}
]$ 

\item $
[IntersectionSubset
\stackrel{
\mathrm{tex}
}{\rightarrow}
\mbox{``}IntersectionSubset
\mbox{''}
]$ 

\item $
[SameIntersection
\stackrel{
\mathrm{tex}
}{\rightarrow}
\mbox{``}SameIntersection
\mbox{''}
]$ 

\item $
[AutoMember
\stackrel{
\mathrm{tex}
}{\rightarrow}
\mbox{``}AutoMember
\mbox{''}
]$ 

\item $
[HelperEqSysNot\O{}
\stackrel{
\mathrm{tex}
}{\rightarrow}
\mbox{``}HelperEqSysNot
\mbox {$\backslash $}O
\{
\}
\mbox{''}
]$ 

\item $
[EqSysNot\O{}
\stackrel{
\mathrm{tex}
}{\rightarrow}
\mbox{``}EqSysNot
\mbox {$\backslash $}O
\{
\}
\mbox{''}
]$ 

\item $
[HelperEqSubset
\stackrel{
\mathrm{tex}
}{\rightarrow}
\mbox{``}HelperEqSubset
\mbox{''}
]$ 

\item $
[EqSubset
\stackrel{
\mathrm{tex}
}{\rightarrow}
\mbox{``}EqSubset
\mbox{''}
]$ 

\item $
[EqNecessary
\stackrel{
\mathrm{tex}
}{\rightarrow}
\mbox{``}EqNecessary
\mbox{''}
]$ 

\item $
[HelperEqNecessary
\stackrel{
\mathrm{tex}
}{\rightarrow}
\mbox{``}HelperEqNecessary
\mbox{''}
]$ 

\item $
[HelperNoneEqNecessary
\stackrel{
\mathrm{tex}
}{\rightarrow}
\mbox{``}HelperNoneEqNecessary
\mbox{''}
]$ 

\item $
[Helper(2)NoneEqNecessary
\stackrel{
\mathrm{tex}
}{\rightarrow}
\mbox{``}Helper(2)NoneEqNecessary
\mbox{''}
]$ 

\item $
[NoneEqNecessary
\stackrel{
\mathrm{tex}
}{\rightarrow}
\mbox{``}NoneEqNecessary
\mbox{''}
]$ 

\item $
[EqClassIsSubset
\stackrel{
\mathrm{tex}
}{\rightarrow}
\mbox{``}EqClassIsSubset
\mbox{''}
]$ 

\item $
[EqClassesAreDisjoint
\stackrel{
\mathrm{tex}
}{\rightarrow}
\mbox{``}EqClassesAreDisjoint
\mbox{''}
]$ 


\item $
[AllDisjoint
\stackrel{
\mathrm{tex}
}{\rightarrow}
\mbox{``}AllDisjoint
\mbox{''}
]$ 

\item $
[AllDisjointImply
\stackrel{
\mathrm{tex}
}{\rightarrow}
\mbox{``}AllDisjointImply
\mbox{''}
]$ 

\item $
[BSsubset
\stackrel{
\mathrm{tex}
}{\rightarrow}
\mbox{``}BSsubset
\mbox{''}
]$ 

\item $
[Union(BS/R)subset
\stackrel{
\mathrm{tex}
}{\rightarrow}
\mbox{``}Union(BS/R)subset
\mbox{''}
]$ 

\item $
[UnionIdentity
\stackrel{
\mathrm{tex}
}{\rightarrow}
\mbox{``}UnionIdentity
\mbox{''}
]$ 

\item $
[EqSysIsPartition
\stackrel{
\mathrm{tex}
}{\rightarrow}
\mbox{``}EqSysIsPartition
\mbox{''}
]$

\item $
[
\mathsf{x}
 / 
\mathsf{y}
\stackrel{
\mathrm{tex}
}{\rightarrow}
\mbox{``}
\#1.
\newline 
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}/
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}
\#2.
\mbox{''}
]$ 

\item $
[
\mathsf{x}
 \cap 
\mathsf{y}
\stackrel{
\mathrm{tex}
}{\rightarrow}
\mbox{``}
\#1.
\newline 
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}
\mbox {$\backslash $}cap
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}
\#2.
\mbox{''}
]$

\item $
[\cup 
\mathsf{x}
\stackrel{
\mathrm{tex}
}{\rightarrow}
\mbox{``}
\mbox {$\backslash $}cup
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}
\#1.
\mbox{''}
]$

\item $
[
\mathsf{x}
 \mathrel{\cup} 
\mathsf{y}
\stackrel{
\mathrm{tex}
}{\rightarrow}
\mbox{``}
\#1.
\newline 
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}
\mbox {$\backslash $}mathrel
\{
\mbox {$\backslash $}cup
\}
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}
\#2.
\mbox{''}
]$ 

\item $
[P(
\mathsf{x}
)
\stackrel{
\mathrm{tex}
}{\rightarrow}
\mbox{``}P(
\#1.
\newline )
\mbox{''}
]$ 

\item $
[\{
\mathsf{x}
\}
\stackrel{
\mathrm{tex}
}{\rightarrow}
\mbox{``}
\mbox {$\backslash $}
\{
\#1.
\newline 
\mbox {$\backslash $}
\}
\mbox{''}
]$

\item $
[\{
\mathsf{x}
,
\mathsf{y}
\}
\stackrel{
\mathrm{tex}
}{\rightarrow}
\mbox{``}
\mbox {$\backslash $}
\{
\#1.
\newline ,
\#2.
\newline 
\mbox {$\backslash $}
\}
\mbox{''}
]$

\item $
[\langle 
\mathsf{x}
,
\mathsf{y}
\rangle
\stackrel{
\mathrm{tex}
}{\rightarrow}
\mbox{``}
\mbox {$\backslash $}langle
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}
\#1.
\newline ,
\#2.
\newline 
\mbox {$\backslash $}rangle
\mbox{''}
]$,

\item $
[
\mathsf{x}
 \mathrel{\in} 
\mathsf{y}
\stackrel{
\mathrm{tex}
}{\rightarrow}
\mbox{``}
\#1.
\newline 
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}
\mbox {$\backslash $}mathrel
\{
\mbox {$\backslash $}in
\}
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}
\#2.
\mbox{''}
]$

\item $
[
\mathsf{z}
(
\mathsf{x}
,
\mathsf{y}
)
\stackrel{
\mathrm{tex}
}{\rightarrow}
\mbox{``}
\#3.
\newline (
\#1.
\newline ,
\#2.
\newline )
\mbox{''}
]$

\item $
[ReflRel(
\mathsf {r}
,
\mathsf{x}
)
\stackrel{
\mathrm{tex}
}{\rightarrow}
\mbox{``}ReflRel(
\#1.
\newline ,
\#2.
\newline )
\mbox{''}
]$

\item $
[SymRel(
\mathsf {r}
,
\mathsf{x}
)
\stackrel{
\mathrm{tex}
}{\rightarrow}
\mbox{``}SymRel(
\#1.
\newline ,
\#2.
\newline )
\mbox{''}
]$

\item $
[TransRel(
\mathsf {r}
,
\mathsf{x}
)
\stackrel{
\mathrm{tex}
}{\rightarrow}
\mbox{``}TransRel(
\#1.
\newline ,
\#2.
\newline )
\mbox{''}
]$


\item $
[EqRel(
\mathsf {r}
,
\mathsf{x}
)
\stackrel{
\mathrm{tex}
}{\rightarrow}
\mbox{``}EqRel(
\#1.
\newline ,
\#2.
\newline )
\mbox{''}
]$


\item $
[[
\mathsf{x}
 \mathrel{\in} \mathsf {bs}
]_{
\mathsf {r}
}
\stackrel{
\mathrm{tex}
}{\rightarrow}
\mbox{``}[
\#1.
\newline 
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}
\mbox {$\backslash $}mathrel
\{
\mbox {$\backslash $}in
\}
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}
\#2.
\newline ]
\_
\{
\#3.
\newline 
\}
\mbox{''}
]$ 

\item $
[Partition(
\mathsf{x}
,
\mathsf{y}
)
\stackrel{
\mathrm{tex}
}{\rightarrow}
\mbox{``}Partition(
\#1.
\newline ,
\#2.
\newline )
\mbox{''}
]$ 

\item $
[
\mathsf{x}
\!\mathrel{==}\! 
\mathsf{y}
\stackrel{
\mathrm{tex}
}{\rightarrow}
\mbox{``}
\#1.
\newline 
\mbox {$\backslash $}!
\mbox {$\backslash $}mathrel
\{
{=}
{=}
\}
\mbox {$\backslash $}!
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}
\#2.
\mbox{''}
]$

\item $
[
\mathsf{x}
 \mathrel{\subseteq} 
\mathsf{y}
\stackrel{
\mathrm{tex}
}{\rightarrow}
\mbox{``}
\#1.
\newline 
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}
\mbox {$\backslash $}mathrel
\{
\mbox {$\backslash $}subseteq
\}
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}
\#2.
\mbox{''}
]$ 

\item $
[\dot{\neg}\, 
\mathsf{x}
\stackrel{
\mathrm{tex}
}{\rightarrow}
\mbox{``}
\mbox {$\backslash $}dot
\{
\mbox {$\backslash $}neg
\}
\mbox {$\backslash $},
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}
\#1.
\mbox{''}
]$

\item $
[
\mathsf{x}
 \mathrel{\notin} 
\mathsf{y}
\stackrel{
\mathrm{tex}
}{\rightarrow}
\mbox{``}
\#1.
\newline 
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}
\mbox {$\backslash $}mathrel
\{
\mbox {$\backslash $}notin
\}
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}
\#2.
\mbox{''}
]$ 

\item $
[
\mathsf{x}
 \mathrel{\neq} 
\mathsf{y}
\stackrel{
\mathrm{tex}
}{\rightarrow}
\mbox{``}
\#1.
\newline 
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}
\mbox {$\backslash $}mathrel
\{
\mbox {$\backslash $}neq
\}
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}
\#2.
\mbox{''}
]$ 

\item $
[
\mathsf{x}
\mathrel{\dot{\wedge}} 
\mathsf{y}
\stackrel{
\mathrm{tex}
}{\rightarrow}
\mbox{``}
\#1.
\newline 
\mbox {$\backslash $}mathrel
\{
\mbox {$\backslash $}dot
\{
\mbox {$\backslash $}wedge
\}
\}
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}
\#2.
\mbox{''}
]$

\item $
[
\mathsf{x}
 \mathrel{\dot{\vee}} 
\mathsf{y}
\stackrel{
\mathrm{tex}
}{\rightarrow}
\mbox{``}
\#1.
\newline 
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}
\mbox {$\backslash $}mathrel
\{
\mbox {$\backslash $}dot
\{
\mbox {$\backslash $}vee
\}
\}
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}
\#2.
\mbox{''}
]$ 

$
[
\mathsf{x}
\mathrel{\dot{\Leftrightarrow}} 
\mathsf{y}
\stackrel{
\mathrm{tex}
}{\rightarrow}
\mbox{``}
\#1.
\newline 
\mbox {$\backslash $}mathrel
\{
\mbox {$\backslash $}dot
\{
\mbox {$\backslash $}Leftrightarrow
\}
\}
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}
\#2.
\mbox{''}
]$

\item $
[ \{ ph \mathrel{\in} 
\mathsf{x}
\mid 
\mathsf {a}
\}
\stackrel{
\mathrm{tex}
}{\rightarrow}
\mbox{``}
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}
\mbox {$\backslash $}
\{
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}ph
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}
\mbox {$\backslash $}mathrel
\{
\mbox {$\backslash $}in
\}
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}
\#1.
\newline 
\mbox {$\backslash $}mid
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}
\#2.
\newline 
\mbox {$\backslash $}
\}
\mbox{''}
]$

\end{list}

------------- RRRRRRRRRRRRRRR  -------------

(*** aksiomer ***)

$
[leqReflexivity
\stackrel{
stmt
}{\rightarrow}ZFsub
\vdash 
\forall \underline{
\mathsf{x}}
\colon \underline{
\mathsf{x}}
 <= \underline{
\mathsf{x}}
]
[leqReflexivity
\stackrel{
proof
}{\rightarrow}
Rule\ tactic
]$

$
[leqAntisymmetryAxiom
\stackrel{
stmt
}{\rightarrow}ZFsub
\vdash 
\forall \underline{
\mathsf{x}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf{y}}
\colon \underline{
\mathsf{x}}
 <= \underline{
\mathsf{y}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf{y}}
 <= \underline{
\mathsf{x}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf{x}}
 = \underline{
\mathsf{y}}
]
[leqAntisymmetryAxiom
\stackrel{
proof
}{\rightarrow}
Rule\ tactic
]$

$
[leqTransitivityAxiom
\stackrel{
stmt
}{\rightarrow}ZFsub
\vdash 
\forall \underline{
\mathsf{x}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf{y}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf{z}}
\colon \underline{
\mathsf{x}}
 <= \underline{
\mathsf{y}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf{y}}
 <= \underline{
\mathsf{z}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf{x}}
 <= \underline{
\mathsf{z}}
]
[leqTransitivityAxiom
\stackrel{
proof
}{\rightarrow}
Rule\ tactic
]$

$
[leqTotality
\stackrel{
stmt
}{\rightarrow}ZFsub
\vdash 
\forall \underline{
\mathsf{x}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf{y}}
\colon \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf{x}}
 <= \underline{
\mathsf{y}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf{y}}
 <= \underline{
\mathsf{x}}
]
[leqTotality
\stackrel{
proof
}{\rightarrow}
Rule\ tactic
]$

$
[leqAdditionAxiom
\stackrel{
stmt
}{\rightarrow}ZFsub
\vdash 
\forall \underline{
\mathsf{x}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf{y}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf{z}}
\colon \underline{
\mathsf{x}}
 <= \underline{
\mathsf{y}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf{x}}
+\underline{
\mathsf{z}}
 <= \underline{
\mathsf{y}}
+\underline{
\mathsf{z}}
]
[leqAdditionAxiom
\stackrel{
proof
}{\rightarrow}
Rule\ tactic
]$

$
[leqMultiplicationAxiom
\stackrel{
stmt
}{\rightarrow}ZFsub
\vdash 
\forall \underline{
\mathsf{x}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf{y}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf{z}}
\colon 0
 <= \underline{
\mathsf{z}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf{x}}
 <= \underline{
\mathsf{y}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf{x}}
*\underline{
\mathsf{z}}
 <= \underline{
\mathsf{y}}
*\underline{
\mathsf{z}}
]
[leqMultiplicationAxiom
\stackrel{
proof
}{\rightarrow}
Rule\ tactic
]$

$
[plusAssociativity
\stackrel{
stmt
}{\rightarrow}ZFsub
\vdash 
\forall \underline{
\mathsf{x}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf{y}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf{z}}
\colon \underline{
\mathsf{x}}
+\underline{
\mathsf{y}}
+\underline{
\mathsf{z}}
 = \underline{
\mathsf{x}}
+\underline{
\mathsf{y}}
+\underline{
\mathsf{z}}
]
[plusAssociativity
\stackrel{
proof
}{\rightarrow}
Rule\ tactic
]$

$
[plusCommutativity
\stackrel{
stmt
}{\rightarrow}ZFsub
\vdash 
\forall \underline{
\mathsf{x}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf{y}}
\colon \underline{
\mathsf{x}}
+\underline{
\mathsf{y}}
 = \underline{
\mathsf{y}}
+\underline{
\mathsf{x}}
]
[plusCommutativity
\stackrel{
proof
}{\rightarrow}
Rule\ tactic
]$

$
[Negative
\stackrel{
stmt
}{\rightarrow}ZFsub
\vdash 
\forall \underline{
\mathsf{x}}
\colon \underline{
\mathsf{x}}
+-\underline{
\mathsf{x}}
 = 0
]
[Negative
\stackrel{
proof
}{\rightarrow}
Rule\ tactic
]$

$
[plus0
\stackrel{
stmt
}{\rightarrow}ZFsub
\vdash 
\forall \underline{
\mathsf{x}}
\colon \underline{
\mathsf{x}}
+0
 = \underline{
\mathsf{x}}
]
[plus0
\stackrel{
proof
}{\rightarrow}
Rule\ tactic
]$

$
[timesAssociativity
\stackrel{
stmt
}{\rightarrow}ZFsub
\vdash 
\forall \underline{
\mathsf{x}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf{y}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf{z}}
\colon \underline{
\mathsf{x}}
*\underline{
\mathsf{y}}
*\underline{
\mathsf{z}}
 = \underline{
\mathsf{x}}
*\underline{
\mathsf{y}}
*\underline{
\mathsf{z}}
]
[timesAssociativity
\stackrel{
proof
}{\rightarrow}
Rule\ tactic
]$

$
[timesCommutativity
\stackrel{
stmt
}{\rightarrow}ZFsub
\vdash 
\forall \underline{
\mathsf{x}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf{y}}
\colon \underline{
\mathsf{x}}
*\underline{
\mathsf{y}}
 = \underline{
\mathsf{y}}
*\underline{
\mathsf{x}}
]
[timesCommutativity
\stackrel{
proof
}{\rightarrow}
Rule\ tactic
]$

$
[ReciprocalAxiom
\stackrel{
stmt
}{\rightarrow}ZFsub
\vdash 
\forall \underline{
\mathsf{x}}
\colon \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf{x}}
 = 0
\Rightarrow \underline{
\mathsf{x}}
*rec\underline{
\mathsf{x}}
 = 1
]
[ReciprocalAxiom
\stackrel{
proof
}{\rightarrow}
Rule\ tactic
]$

$
[times1
\stackrel{
stmt
}{\rightarrow}ZFsub
\vdash 
\forall \underline{
\mathsf{x}}
\colon \underline{
\mathsf{x}}
*1
 = \underline{
\mathsf{x}}
]
[times1
\stackrel{
proof
}{\rightarrow}
Rule\ tactic
]$

$
[Distribution
\stackrel{
stmt
}{\rightarrow}ZFsub
\vdash 
\forall \underline{
\mathsf{x}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf{y}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf{z}}
\colon \underline{
\mathsf{x}}
*\underline{
\mathsf{y}}
+\underline{
\mathsf{z}}
 = \underline{
\mathsf{x}}
*\underline{
\mathsf{y}}
+\underline{
\mathsf{x}}
*\underline{
\mathsf{z}}
]
[Distribution
\stackrel{
proof
}{\rightarrow}
Rule\ tactic
]$

$
[0not1
\stackrel{
stmt
}{\rightarrow}ZFsub
\vdash \dot{\neg}\, 0
 = 1
]
[0not1
\stackrel{
proof
}{\rightarrow}
Rule\ tactic
]$

$
[equalityAxiom
\stackrel{
stmt
}{\rightarrow}ZFsub
\vdash 
\forall \underline{
\mathsf{x}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf{y}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf{z}}
\colon \underline{
\mathsf{x}}
 = \underline{
\mathsf{y}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf{x}}
 = \underline{
\mathsf{z}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf{y}}
 = \underline{
\mathsf{z}}
]
[equalityAxiom
\stackrel{
proof
}{\rightarrow}
Rule\ tactic
]$

$
[eqLeqAxiom
\stackrel{
stmt
}{\rightarrow}ZFsub
\vdash 
\forall \underline{
\mathsf{x}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf{y}}
\colon \underline{
\mathsf{x}}
 = \underline{
\mathsf{y}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf{x}}
 <= \underline{
\mathsf{y}}
]
[eqLeqAxiom
\stackrel{
proof
}{\rightarrow}
Rule\ tactic
]$

$
[eqAdditionAxiom
\stackrel{
stmt
}{\rightarrow}ZFsub
\vdash 
\forall \underline{
\mathsf{x}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf{y}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf{z}}
\colon \underline{
\mathsf{x}}
 = \underline{
\mathsf{y}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf{x}}
+\underline{
\mathsf{z}}
 = \underline{
\mathsf{y}}
+\underline{
\mathsf{z}}
]
[eqAdditionAxiom
\stackrel{
proof
}{\rightarrow}
Rule\ tactic
]$

$
[eqMultiplicationAxiom
\stackrel{
stmt
}{\rightarrow}ZFsub
\vdash 
\forall \underline{
\mathsf{x}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf{y}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf{z}}
\colon \underline{
\mathsf{x}}
 = \underline{
\mathsf{y}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf{x}}
*\underline{
\mathsf{z}}
 = \underline{
\mathsf{y}}
*\underline{
\mathsf{z}}
]
[eqMultiplicationAxiom
\stackrel{
proof
}{\rightarrow}
Rule\ tactic
]$

(*** XX snydeaksiomer ***)

$
[==\!{}Reflexivity
\stackrel{
stmt
}{\rightarrow}ZFsub
\vdash 
\forall \underline{(rx)}
\colon \underline{(rx)}
 == \underline{(rx)}
]
[==\!{}Reflexivity
\stackrel{
proof
}{\rightarrow}
Rule\ tactic
]$

$
[==\!{}Symmetry
\stackrel{
stmt
}{\rightarrow}ZFsub
\vdash 
\forall \underline{(rx)}
\colon 
\forall \underline{(ry)}
\colon \underline{(rx)}
 == \underline{(ry)}
\vdash \underline{(ry)}
 == \underline{(rx)}
]
[==\!{}Symmetry
\stackrel{
proof
}{\rightarrow}
Rule\ tactic
]$

$
[\!{}==\!{}Transitivity
\stackrel{
stmt
}{\rightarrow}ZFsub
\vdash 
\forall \underline{(rx)}
\colon 
\forall \underline{(ry)}
\colon 
\forall \underline{(rz)}
\colon \underline{(rx)}
 == \underline{(ry)}
\vdash \underline{(ry)}
 == \underline{(rz)}
\vdash \underline{(rx)}
 == \underline{(rz)}
]
[\!{}==\!{}Transitivity
\stackrel{
proof
}{\rightarrow}
Rule\ tactic
]$


XX ikke 100procent identisk med originalen fra equivalence-relations
$
[SENC1
\stackrel{
stmt
}{\rightarrow}ZFsub
\vdash 
\forall \underline{(fx)}
\colon 
\forall \underline{(rx)}
\colon 
\forall \underline{(ry)}
\colon \underline{(rx)}
 == \underline{(ry)}
\vdash \underline{(fx)}
 \mathrel{\in} \underline{(rx)}
\vdash \underline{(fx)}
 \mathrel{\in} \underline{(ry)}
]
[SENC1
\stackrel{
proof
}{\rightarrow}
Rule\ tactic
]$


XX boer bevises ud fra nummer 1
$
[SENC2
\stackrel{
stmt
}{\rightarrow}ZFsub
\vdash 
\forall \underline{(fx)}
\colon 
\forall \underline{(rx)}
\colon 
\forall \underline{(ry)}
\colon \underline{(rx)}
 == \underline{(ry)}
\vdash \underline{(fx)}
 \mathrel{\in} \underline{(ry)}
\vdash \underline{(fx)}
 \mathrel{\in} \underline{(rx)}
]
[SENC2
\stackrel{
proof
}{\rightarrow}
Rule\ tactic
]$

$
[IfThenElse(T)
\stackrel{
stmt
}{\rightarrow}ZFsub
\vdash 
\forall \underline{
\mathsf {a}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf{x}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf{y}}
\colon \underline{
\mathsf {a}}
\vdash if(\underline{
\mathsf {a}}
,\underline{
\mathsf{x}}
,\underline{
\mathsf{y}}
)
 = \underline{
\mathsf{x}}
]
[IfThenElse(T)
\stackrel{
proof
}{\rightarrow}
Rule\ tactic
]$

$
[IfThenElse(F)
\stackrel{
stmt
}{\rightarrow}ZFsub
\vdash 
\forall \underline{
\mathsf {a}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf{x}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf{y}}
\colon \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf {a}}
\vdash if(\underline{
\mathsf {a}}
,\underline{
\mathsf{x}}
,\underline{
\mathsf{y}}
)
 = \underline{
\mathsf{y}}
]
[IfThenElse(F)
\stackrel{
proof
}{\rightarrow}
Rule\ tactic
]$

$
[FromSF
\stackrel{
stmt
}{\rightarrow}ZFsub
\vdash 
\forall \underline{
\mathsf {m}}
\colon 
\forall \underline{(\epsilon)}
\colon 
\forall \underline{(fx)}
\colon 
\forall \underline{(fy)}
\colon SF(\underline{(fx)}
,\underline{(fy)}
)
\vdash \dot{\neg}\, 0
 <= \underline{(\epsilon)}
\Rightarrow \dot{\neg}\, \dot{\neg}\, 0
 = \underline{(\epsilon)}
\vdash 
\mathsf {c}
 _{Ex}
 <= \underline{
\mathsf {m}}
\Rightarrow \dot{\neg}\, if(0
 <= \underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
+-\underline{(fy)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
,\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
+-\underline{(fy)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
,-\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
+-\underline{(fy)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
)
 <= \underline{(\epsilon)}
\Rightarrow \dot{\neg}\, \dot{\neg}\, if(0
 <= \underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
+-\underline{(fy)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
,\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
+-\underline{(fy)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
,-\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
+-\underline{(fy)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
)
 = \underline{(\epsilon)}
]
[FromSF
\stackrel{
proof
}{\rightarrow}
Rule\ tactic
]$

$
[ToSF
\stackrel{
stmt
}{\rightarrow}ZFsub
\vdash 
\forall \underline{
\mathsf {m}}
\colon 
\forall \underline{(\epsilon)}
\colon 
\forall \underline{(fx)}
\colon 
\forall \underline{(fy)}
\colon \dot{\neg}\, 0
 <= \underline{(\epsilon)}
\Rightarrow \dot{\neg}\, \dot{\neg}\, 0
 = \underline{(\epsilon)}
\Rightarrow 
\mathsf {c}
 _{Ex}
 <= \underline{
\mathsf {m}}
\Rightarrow \dot{\neg}\, if(0
 <= \underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
+-\underline{(fy)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
,\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
+-\underline{(fy)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
,-\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
+-\underline{(fy)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
)
 <= \underline{(\epsilon)}
\Rightarrow \dot{\neg}\, \dot{\neg}\, if(0
 <= \underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
+-\underline{(fy)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
,\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
+-\underline{(fy)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
,-\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
+-\underline{(fy)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
)
 = \underline{(\epsilon)}
\vdash SF(\underline{(fx)}
,\underline{(fy)}
)
]
[ToSF
\stackrel{
proof
}{\rightarrow}
Rule\ tactic
]$

$
[From=f
\stackrel{
stmt
}{\rightarrow}ZFsub
\vdash 
\forall \underline{
\mathsf {m}}
\colon 
\forall \underline{(fx)}
\colon 
\forall \underline{(fy)}
\colon \underline{(fx)}
=_{f}\underline{(fy)}
\vdash \underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
 = \underline{(fy)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
]
[From=f
\stackrel{
proof
}{\rightarrow}
Rule\ tactic
]$


XX hm... det er nok med bare 1 meta m
XX loesning: objektkvantor
$
[To=f
\stackrel{
stmt
}{\rightarrow}ZFsub
\vdash 
\forall \underline{
\mathsf {m}}
\colon 
\forall \underline{(fx)}
\colon 
\forall \underline{(fy)}
\colon \underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
 = \underline{(fy)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
\vdash \underline{(fx)}
=_{f}\underline{(fy)}
]
[To=f
\stackrel{
proof
}{\rightarrow}
Rule\ tactic
]$

$
[From<f
\stackrel{
stmt
}{\rightarrow}ZFsub
\vdash 
\forall \underline{
\mathsf {m}}
\colon 
\forall \underline{(\epsilon)}
\colon 
\forall \underline{(fx)}
\colon 
\forall \underline{(fy)}
\colon \underline{(fx)}
<_{f}\underline{(fy)}
\vdash \dot{\neg}\, 0
 <= \underline{(\epsilon)}
\Rightarrow \dot{\neg}\, \dot{\neg}\, 0
 = \underline{(\epsilon)}
\vdash 
\mathsf {c}
 _{Ex}
 <= \underline{
\mathsf {m}}
\Rightarrow \underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
 <= \underline{(fy)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
+-\underline{(\epsilon)}
]
[From<f
\stackrel{
proof
}{\rightarrow}
Rule\ tactic
]$

$
[To<f
\stackrel{
stmt
}{\rightarrow}ZFsub
\vdash 
\forall \underline{
\mathsf {m}}
\colon 
\forall \underline{(\epsilon)}
\colon 
\forall \underline{(fx)}
\colon 
\forall \underline{(fy)}
\colon \dot{\neg}\, 0
 <= \underline{(\epsilon)}
\Rightarrow \dot{\neg}\, \dot{\neg}\, 0
 = \underline{(\epsilon)}
\Rightarrow 
\mathsf {c}
 _{Ex}
 <= \underline{
\mathsf {m}}
\Rightarrow \underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
 <= \underline{(fy)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
+-\underline{(\epsilon)}
\vdash \underline{(fx)}
<_{f}\underline{(fy)}
]
[To<f
\stackrel{
proof
}{\rightarrow}
Rule\ tactic
]$

$
[PlusF
\stackrel{
stmt
}{\rightarrow}ZFsub
\vdash 
\forall \underline{
\mathsf {m}}
\colon 
\forall \underline{(fx)}
\colon 
\forall \underline{(fy)}
\colon \underline{(fx)}
+_{f}\underline{(fy)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
 = \underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
+\underline{(fy)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
]
[PlusF
\stackrel{
proof
}{\rightarrow}
Rule\ tactic
]$

$
[MinusF
\stackrel{
stmt
}{\rightarrow}ZFsub
\vdash 
\forall \underline{
\mathsf {m}}
\colon 
\forall \underline{(fx)}
\colon -_{f}\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
 = -\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
]
[MinusF
\stackrel{
proof
}{\rightarrow}
Rule\ tactic
]$

$
[TimesF
\stackrel{
stmt
}{\rightarrow}ZFsub
\vdash 
\forall \underline{
\mathsf {m}}
\colon 
\forall \underline{(fx)}
\colon 
\forall \underline{(fy)}
\colon \underline{(fx)}
*_{f}\underline{(fy)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
 = \underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
*\underline{(fy)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
]
[TimesF
\stackrel{
proof
}{\rightarrow}
Rule\ tactic
]$

$
[0f
\stackrel{
stmt
}{\rightarrow}ZFsub
\vdash 
\forall \underline{
\mathsf {m}}
\colon 0f
[\underline{
\mathsf {m}}
]
 = 0
]
[0f
\stackrel{
proof
}{\rightarrow}
Rule\ tactic
]$

$
[1f
\stackrel{
stmt
}{\rightarrow}ZFsub
\vdash 
\forall \underline{
\mathsf {m}}
\colon 
\mbox{1f}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
 = 1
]
[1f
\stackrel{
proof
}{\rightarrow}
Rule\ tactic
]$

$
[To==XX
\stackrel{
stmt
}{\rightarrow}ZFsub
\vdash 
\forall \underline{(fx)}
\colon 
\forall \underline{(fy)}
\colon 
\forall \underline{(rx)}
\colon 
\forall \underline{(ry)}
\colon \underline{(fx)}
 \mathrel{\in} \underline{(rx)}
\Rightarrow \underline{(fy)}
 \mathrel{\in} \underline{(ry)}
\Rightarrow SF(\underline{(fx)}
,\underline{(fy)}
)
\vdash \underline{(rx)}
 == \underline{(ry)}
]
[To==XX
\stackrel{
proof
}{\rightarrow}
Rule\ tactic
]$

$
[From==
\stackrel{
stmt
}{\rightarrow}ZFsub
\vdash 
\forall \underline{(fx)}
\colon 
\forall \underline{(fy)}
\colon R(\underline{(fx)}
)
 == R(\underline{(fy)}
)
\vdash SF(\underline{(fx)}
,\underline{(fy)}
)
]
[From==
\stackrel{
proof
}{\rightarrow}
Rule\ tactic
]$

$
[To==
\stackrel{
stmt
}{\rightarrow}ZFsub
\vdash 
\forall \underline{(fx)}
\colon 
\forall \underline{(fy)}
\colon SF(\underline{(fx)}
,\underline{(fy)}
)
\vdash R(\underline{(fx)}
)
 == R(\underline{(fy)}
)
]
[To==
\stackrel{
proof
}{\rightarrow}
Rule\ tactic
]$

$
[From<<XX
\stackrel{
stmt
}{\rightarrow}ZFsub
\vdash 
\forall \underline{
\mathsf {m}}
\colon 
\forall \underline{(\epsilon)}
\colon 
\forall \underline{(fx)}
\colon 
\forall \underline{(fy)}
\colon 
\forall \underline{(rx)}
\colon 
\forall \underline{(ry)}
\colon \underline{(rx)}
 << \underline{(ry)}
\vdash \underline{(fx)}
 \mathrel{\in} \underline{(rx)}
\vdash \underline{(fy)}
 \mathrel{\in} \underline{(ry)}
\vdash \dot{\neg}\, 0
 <= \underline{(\epsilon)}
\Rightarrow \dot{\neg}\, \dot{\neg}\, 0
 = \underline{(\epsilon)}
\vdash 
\mathsf {a}
 _{Ex}
 <= \underline{
\mathsf {m}}
\Rightarrow \underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
 <= \underline{(fy)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
+-\underline{(\epsilon)}
]
[From<<XX
\stackrel{
proof
}{\rightarrow}
Rule\ tactic
]$

$
[From<<(1)
\stackrel{
stmt
}{\rightarrow}ZFsub
\vdash 
\forall \underline{(rx)}
\colon 
\forall \underline{(ry)}
\colon \underline{(rx)}
 << \underline{(ry)}
\vdash 
\mathsf {j}
 _{Ex}
 \mathrel{\in} \underline{(rx)}
]
[From<<(1)
\stackrel{
proof
}{\rightarrow}
Rule\ tactic
]$

$
[From<<(2)
\stackrel{
stmt
}{\rightarrow}ZFsub
\vdash 
\forall \underline{(rx)}
\colon 
\forall \underline{(ry)}
\colon \underline{(rx)}
 << \underline{(ry)}
\vdash 
\mathsf {t}
 _{Ex}
 \mathrel{\in} \underline{(ry)}
]
[From<<(2)
\stackrel{
proof
}{\rightarrow}
Rule\ tactic
]$

$
[to<<XX
\stackrel{
stmt
}{\rightarrow}ZFsub
\vdash 
\forall \underline{
\mathsf {m}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf {n}}
\colon 
\forall \underline{(\epsilon)}
\colon 
\forall \underline{(fx)}
\colon 
\forall \underline{(fy)}
\colon 
\forall \underline{(rx)}
\colon 
\forall \underline{(ry)}
\colon \underline{(fx)}
 \mathrel{\in} \underline{(rx)}
\Rightarrow \underline{(fy)}
 \mathrel{\in} \underline{(ry)}
\Rightarrow \dot{\neg}\, 0
 <= \underline{(\epsilon)}
\Rightarrow \dot{\neg}\, \dot{\neg}\, 0
 = \underline{(\epsilon)}
\Rightarrow 
\mathsf {a}
 _{Ex}
 <= \underline{
\mathsf {m}}
\Rightarrow \underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
 <= \underline{(fy)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
+-\underline{(\epsilon)}
\vdash \underline{(rx)}
 << \underline{(ry)}
]
[to<<XX
\stackrel{
proof
}{\rightarrow}
Rule\ tactic
]$

$
[From<<
\stackrel{
stmt
}{\rightarrow}ZFsub
\vdash 
\forall \underline{(fx)}
\colon 
\forall \underline{(fy)}
\colon R(\underline{(fx)}
)
 << R(\underline{(fy)}
)
\vdash \underline{(fx)}
<_{f}\underline{(fy)}
]
[From<<
\stackrel{
proof
}{\rightarrow}
Rule\ tactic
]$

$
[To<<
\stackrel{
stmt
}{\rightarrow}ZFsub
\vdash 
\forall \underline{(fx)}
\colon 
\forall \underline{(fy)}
\colon \underline{(fx)}
<_{f}\underline{(fy)}
\vdash R(\underline{(fx)}
)
 << R(\underline{(fy)}
)
]
[To<<
\stackrel{
proof
}{\rightarrow}
Rule\ tactic
]$


$
[FromInR
\stackrel{
stmt
}{\rightarrow}ZFsub
\vdash 
\forall \underline{(fx)}
\colon 
\forall \underline{(fy)}
\colon \underline{(fx)}
 \mathrel{\in} R(\underline{(fy)}
)
\vdash SF(\underline{(fx)}
,\underline{(fy)}
)
]
[FromInR
\stackrel{
proof
}{\rightarrow}
Rule\ tactic
]$

$
[PlusR
\stackrel{
stmt
}{\rightarrow}ZFsub
\vdash 
\forall \underline{(fx)}
\colon 
\forall \underline{(fy)}
\colon R((fx)
+_{f}(fy)
)
 == R(\underline{(fx)}
+_{f}\underline{(fy)}
)
]
[PlusR
\stackrel{
proof
}{\rightarrow}
Rule\ tactic
]$

$
[TimesR
\stackrel{
stmt
}{\rightarrow}ZFsub
\vdash 
\forall \underline{(fx)}
\colon 
\forall \underline{(fy)}
\colon R(\underline{(fx)}
)
**R(\underline{(fy)}
)
 == R(\underline{(fx)}
*_{f}\underline{(fy)}
)
]
[TimesR
\stackrel{
proof
}{\rightarrow}
Rule\ tactic
]$


(*** makroer ***)

$
[\epsilon
\stackrel{
\mathrm {macro}
}{\rightarrow}
\lambda 
\mathsf {t}
.
\lambda 
\mathsf {s}
.
\lambda 
\mathsf {c}
.
\tilde {{\cal M}}_4(
\mathsf {t}
,
\mathsf {s}
,
\mathsf {c}
,
\lceil 
[\epsilon
\mathrel {\ddot {=}}\underline{(\epsilon)}
]
\rceil 
)
]$
$
[FX
\stackrel{
\mathrm {macro}
}{\rightarrow}
\lambda 
\mathsf {t}
.
\lambda 
\mathsf {s}
.
\lambda 
\mathsf {c}
.
\tilde {{\cal M}}_4(
\mathsf {t}
,
\mathsf {s}
,
\mathsf {c}
,
\lceil 
[FX
\mathrel {\ddot {=}}\underline{(fx)}
]
\rceil 
)
]$
$
[FY
\stackrel{
\mathrm {macro}
}{\rightarrow}
\lambda 
\mathsf {t}
.
\lambda 
\mathsf {s}
.
\lambda 
\mathsf {c}
.
\tilde {{\cal M}}_4(
\mathsf {t}
,
\mathsf {s}
,
\mathsf {c}
,
\lceil 
[FY
\mathrel {\ddot {=}}\underline{(fy)}
]
\rceil 
)
]$
$
[FZ
\stackrel{
\mathrm {macro}
}{\rightarrow}
\lambda 
\mathsf {t}
.
\lambda 
\mathsf {s}
.
\lambda 
\mathsf {c}
.
\tilde {{\cal M}}_4(
\mathsf {t}
,
\mathsf {s}
,
\mathsf {c}
,
\lceil 
[FZ
\mathrel {\ddot {=}}\underline{(fz)}
]
\rceil 
)
]$
$
[FU
\stackrel{
\mathrm {macro}
}{\rightarrow}
\lambda 
\mathsf {t}
.
\lambda 
\mathsf {s}
.
\lambda 
\mathsf {c}
.
\tilde {{\cal M}}_4(
\mathsf {t}
,
\mathsf {s}
,
\mathsf {c}
,
\lceil 
[FU
\mathrel {\ddot {=}}\underline{(fv)}
]
\rceil 
)
]$
$
[FV
\stackrel{
\mathrm {macro}
}{\rightarrow}
\lambda 
\mathsf {t}
.
\lambda 
\mathsf {s}
.
\lambda 
\mathsf {c}
.
\tilde {{\cal M}}_4(
\mathsf {t}
,
\mathsf {s}
,
\mathsf {c}
,
\lceil 
[FV
\mathrel {\ddot {=}}\underline{
\mbox{var fv}}
]
\rceil 
)
]$
$
[RX
\stackrel{
\mathrm {macro}
}{\rightarrow}
\lambda 
\mathsf {t}
.
\lambda 
\mathsf {s}
.
\lambda 
\mathsf {c}
.
\tilde {{\cal M}}_4(
\mathsf {t}
,
\mathsf {s}
,
\mathsf {c}
,
\lceil 
[RX
\mathrel {\ddot {=}}\underline{(rx)}
]
\rceil 
)
]$
$
[RY
\stackrel{
\mathrm {macro}
}{\rightarrow}
\lambda 
\mathsf {t}
.
\lambda 
\mathsf {s}
.
\lambda 
\mathsf {c}
.
\tilde {{\cal M}}_4(
\mathsf {t}
,
\mathsf {s}
,
\mathsf {c}
,
\lceil 
[RY
\mathrel {\ddot {=}}\underline{(ry)}
]
\rceil 
)
]$
$
[RZ
\stackrel{
\mathrm {macro}
}{\rightarrow}
\lambda 
\mathsf {t}
.
\lambda 
\mathsf {s}
.
\lambda 
\mathsf {c}
.
\tilde {{\cal M}}_4(
\mathsf {t}
,
\mathsf {s}
,
\mathsf {c}
,
\lceil 
[RZ
\mathrel {\ddot {=}}\underline{(rz)}
]
\rceil 
)
]$
$
[RU
\stackrel{
\mathrm {macro}
}{\rightarrow}
\lambda 
\mathsf {t}
.
\lambda 
\mathsf {s}
.
\lambda 
\mathsf {c}
.
\tilde {{\cal M}}_4(
\mathsf {t}
,
\mathsf {s}
,
\mathsf {c}
,
\lceil 
[RU
\mathrel {\ddot {=}}\underline{(ru)}
]
\rceil 
)
]$


$
[Ex3
\stackrel{
\mathrm {macro}
}{\rightarrow}
\lambda 
\mathsf {t}
.
\lambda 
\mathsf {s}
.
\lambda 
\mathsf {c}
.
\tilde {{\cal M}}_4(
\mathsf {t}
,
\mathsf {s}
,
\mathsf {c}
,
\lceil 
[Ex3
\mathrel {\ddot {=}}
\mathsf {c}
 _{Ex}
]
\rceil 
)
]$

$
[
\mathsf{x}
 <<== 
\mathsf{y}
\stackrel{
\mathrm {macro}
}{\rightarrow}
\lambda 
\mathsf {t}
.
\lambda 
\mathsf {s}
.
\lambda 
\mathsf {c}
.
\tilde {{\cal M}}_4(
\mathsf {t}
,
\mathsf {s}
,
\mathsf {c}
,
\lceil 
[
\mathsf{x}
 <<== 
\mathsf{y}
\mathrel {\ddot {=}}
\mathsf{x}
 << 
\mathsf{y}
 \mathrel{\dot{\vee}} 
\mathsf{x}
 == 
\mathsf{y}
]
\rceil 
)
]$

$
[(-1)
\stackrel{
\mathrm {macro}
}{\rightarrow}
\lambda 
\mathsf {t}
.
\lambda 
\mathsf {s}
.
\lambda 
\mathsf {c}
.
\tilde {{\cal M}}_4(
\mathsf {t}
,
\mathsf {s}
,
\mathsf {c}
,
\lceil 
[(-1)
\mathrel {\ddot {=}}-1
]
\rceil 
)
]$

$
[2
\stackrel{
\mathrm {macro}
}{\rightarrow}
\lambda 
\mathsf {t}
.
\lambda 
\mathsf {s}
.
\lambda 
\mathsf {c}
.
\tilde {{\cal M}}_4(
\mathsf {t}
,
\mathsf {s}
,
\mathsf {c}
,
\lceil 
[2
\mathrel {\ddot {=}}
(1
+1
)
]
\rceil 
)
]$

$
[1/2
\stackrel{
\mathrm {macro}
}{\rightarrow}
\lambda 
\mathsf {t}
.
\lambda 
\mathsf {s}
.
\lambda 
\mathsf {c}
.
\tilde {{\cal M}}_4(
\mathsf {t}
,
\mathsf {s}
,
\mathsf {c}
,
\lceil 
[1/2
\mathrel {\ddot {=}}rec2
]
\rceil 
)
]$

$
[
\mathsf{x}
 < 
\mathsf{y}
\stackrel{
\mathrm {macro}
}{\rightarrow}
\lambda 
\mathsf {t}
.
\lambda 
\mathsf {s}
.
\lambda 
\mathsf {c}
.
\tilde {{\cal M}}_4(
\mathsf {t}
,
\mathsf {s}
,
\mathsf {c}
,
\lceil 
[
\mathsf{x}
 < 
\mathsf{y}
\mathrel {\ddot {=}}
\mathsf{x}
 <= 
\mathsf{y}
\mathrel{\dot{\wedge}} 
\mathsf{x}
 \neq 
\mathsf{y}
]
\rceil 
)
]$

$
[
\mathsf{x}
 \neq 
\mathsf{y}
\stackrel{
\mathrm {macro}
}{\rightarrow}
\lambda 
\mathsf {t}
.
\lambda 
\mathsf {s}
.
\lambda 
\mathsf {c}
.
\tilde {{\cal M}}_4(
\mathsf {t}
,
\mathsf {s}
,
\mathsf {c}
,
\lceil 
[
\mathsf{x}
 \neq 
\mathsf{y}
\mathrel {\ddot {=}}\dot{\neg}\, 
\mathsf{x}
 = 
\mathsf{y}
]
\rceil 
)
]$


$
[
\mathsf{x}
-
\mathsf{y}
\stackrel{
\mathrm {macro}
}{\rightarrow}
\lambda 
\mathsf {t}
.
\lambda 
\mathsf {s}
.
\lambda 
\mathsf {c}
.
\tilde {{\cal M}}_4(
\mathsf {t}
,
\mathsf {s}
,
\mathsf {c}
,
\lceil 
[
\mathsf{x}
-
\mathsf{y}
\mathrel {\ddot {=}}
\mathsf{x}
+
(-
\mathsf{y}
)
]
\rceil 
)
]$

$
[|
\mathsf{x}|
\stackrel{
\mathrm {macro}
}{\rightarrow}
\lambda 
\mathsf {t}
.
\lambda 
\mathsf {s}
.
\lambda 
\mathsf {c}
.
\tilde {{\cal M}}_4(
\mathsf {t}
,
\mathsf {s}
,
\mathsf {c}
,
\lceil 
[|
\mathsf{x}|
\mathrel {\ddot {=}}if(0
 <= 
\mathsf{x}
,
\mathsf{x}
,-
\mathsf{x}
)
]
\rceil 
)
]$

$
[00
\stackrel{
\mathrm {macro}
}{\rightarrow}
\lambda 
\mathsf {t}
.
\lambda 
\mathsf {s}
.
\lambda 
\mathsf {c}
.
\tilde {{\cal M}}_4(
\mathsf {t}
,
\mathsf {s}
,
\mathsf {c}
,
\lceil 
[00
\mathrel {\ddot {=}}R(0f
)
]
\rceil 
)
]$

$
[
\mbox{01}
\stackrel{
\mathrm {macro}
}{\rightarrow}
\lambda 
\mathsf {t}
.
\lambda 
\mathsf {s}
.
\lambda 
\mathsf {c}
.
\tilde {{\cal M}}_4(
\mathsf {t}
,
\mathsf {s}
,
\mathsf {c}
,
\lceil 
[
\mbox{01}
\mathrel {\ddot {=}}R(
\mbox{1f}
)
]
\rceil 
)
]$



$
[R((fx)
)
++R((fy)
)
\stackrel{
\mathrm {macro}
}{\rightarrow}
\lambda 
\mathsf {t}
.
\lambda 
\mathsf {s}
.
\lambda 
\mathsf {c}
.
\tilde {{\cal M}}_4(
\mathsf {t}
,
\mathsf {s}
,
\mathsf {c}
,
\lceil 
[R((fx)
)
++R((fy)
)
\mathrel {\ddot {=}}R((fx)
+_{f}(fy)
)
]
\rceil 
)
]$

$
[--R((fx)
)
\stackrel{
\mathrm {macro}
}{\rightarrow}
\lambda 
\mathsf {t}
.
\lambda 
\mathsf {s}
.
\lambda 
\mathsf {c}
.
\tilde {{\cal M}}_4(
\mathsf {t}
,
\mathsf {s}
,
\mathsf {c}
,
\lceil 
[--R((fx)
)
\mathrel {\ddot {=}}R(-_{f}(fx)
)
]
\rceil 
)
]$  XX noedvendig?

$
[R((fx)
) -- R((fy)
)
\stackrel{
\mathrm {macro}
}{\rightarrow}
\lambda 
\mathsf {t}
.
\lambda 
\mathsf {s}
.
\lambda 
\mathsf {c}
.
\tilde {{\cal M}}_4(
\mathsf {t}
,
\mathsf {s}
,
\mathsf {c}
,
\lceil 
[R((fx)
) -- R((fy)
)
\mathrel {\ddot {=}}R((fx)
)
++R(-_{f}(fy)
)
]
\rceil 
)
]$
XX noedvendigt med [R( ) -- R( )] konstruktionen?

(*** REGELLEMMAER ***)

$
[leqTransitivity
\stackrel{
stmt
}{\rightarrow}ZFsub
\vdash 
\forall \underline{
\mathsf{x}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf{y}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf{z}}
\colon \underline{
\mathsf{x}}
 <= \underline{
\mathsf{y}}
\vdash \underline{
\mathsf{y}}
 <= \underline{
\mathsf{z}}
\vdash \underline{
\mathsf{x}}
 <= \underline{
\mathsf{z}}
]$

$
[leqTransitivity
\stackrel{
proof
}{\rightarrow}
\lambda 
\mathsf {c}
.
\lambda 
\mathsf{x}
.
{\cal P}( 
\lceil ZFsub
\vdash 
\forall \underline{
\mathsf{x}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf{y}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf{z}}
\colon \underline{
\mathsf{x}}
 <= \underline{
\mathsf{y}}
\vdash \underline{
\mathsf{y}}
 <= \underline{
\mathsf{z}}
\vdash leqTransitivityAxiom
\gg \underline{
\mathsf{x}}
 <= \underline{
\mathsf{y}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf{y}}
 <= \underline{
\mathsf{z}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf{x}}
 <= \underline{
\mathsf{z}}
; MP2
\rhd \underline{
\mathsf{x}}
 <= \underline{
\mathsf{y}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf{y}}
 <= \underline{
\mathsf{z}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf{x}}
 <= \underline{
\mathsf{z}}
\rhd \underline{
\mathsf{x}}
 <= \underline{
\mathsf{y}}
\rhd \underline{
\mathsf{y}}
 <= \underline{
\mathsf{z}}
\gg \underline{
\mathsf{x}}
 <= \underline{
\mathsf{z}}
\rceil 
, 
p_0
, 
\mathsf {c}
)
]$


$
[leqAntisymmetry
\stackrel{
stmt
}{\rightarrow}ZFsub
\vdash 
\forall \underline{
\mathsf{x}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf{y}}
\colon \underline{
\mathsf{x}}
 <= \underline{
\mathsf{y}}
\vdash \underline{
\mathsf{y}}
 <= \underline{
\mathsf{x}}
\vdash \underline{
\mathsf{x}}
 = \underline{
\mathsf{y}}
]$

$
[leqAntisymmetry
\stackrel{
proof
}{\rightarrow}
\lambda 
\mathsf {c}
.
\lambda 
\mathsf{x}
.
{\cal P}( 
\lceil ZFsub
\vdash 
\forall \underline{
\mathsf{x}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf{y}}
\colon \underline{
\mathsf{x}}
 <= \underline{
\mathsf{y}}
\vdash \underline{
\mathsf{y}}
 <= \underline{
\mathsf{x}}
\vdash leqAntisymmetryAxiom
\gg \underline{
\mathsf{x}}
 <= \underline{
\mathsf{y}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf{y}}
 <= \underline{
\mathsf{x}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf{x}}
 = \underline{
\mathsf{y}}
; MP2
\rhd \underline{
\mathsf{x}}
 <= \underline{
\mathsf{y}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf{y}}
 <= \underline{
\mathsf{x}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf{x}}
 = \underline{
\mathsf{y}}
\rhd \underline{
\mathsf{x}}
 <= \underline{
\mathsf{y}}
\rhd \underline{
\mathsf{y}}
 <= \underline{
\mathsf{x}}
\gg \underline{
\mathsf{x}}
 = \underline{
\mathsf{y}}
\rceil 
, 
p_0
, 
\mathsf {c}
)
]$

$
[leqAddition
\stackrel{
stmt
}{\rightarrow}ZFsub
\vdash 
\forall \underline{
\mathsf{x}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf{y}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf{z}}
\colon \underline{
\mathsf{x}}
 <= \underline{
\mathsf{y}}
\vdash \underline{
\mathsf{x}}
+\underline{
\mathsf{z}}
 <= \underline{
\mathsf{y}}
+\underline{
\mathsf{z}}
]$

$
[leqAddition
\stackrel{
proof
}{\rightarrow}
\lambda 
\mathsf {c}
.
\lambda 
\mathsf{x}
.
{\cal P}( 
\lceil ZFsub
\vdash 
\forall \underline{
\mathsf{x}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf{y}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf{z}}
\colon \underline{
\mathsf{x}}
 <= \underline{
\mathsf{y}}
\vdash leqAdditionAxiom
\gg \underline{
\mathsf{x}}
 <= \underline{
\mathsf{y}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf{x}}
+\underline{
\mathsf{z}}
 <= \underline{
\mathsf{y}}
+\underline{
\mathsf{z}}
; MP
\rhd \underline{
\mathsf{x}}
 <= \underline{
\mathsf{y}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf{x}}
+\underline{
\mathsf{z}}
 <= \underline{
\mathsf{y}}
+\underline{
\mathsf{z}}
\rhd \underline{
\mathsf{x}}
 <= \underline{
\mathsf{y}}
\gg \underline{
\mathsf{x}}
+\underline{
\mathsf{z}}
 <= \underline{
\mathsf{y}}
+\underline{
\mathsf{z}}
\rceil 
, 
p_0
, 
\mathsf {c}
)
]$

$
[leqMultiplication
\stackrel{
stmt
}{\rightarrow}ZFsub
\vdash 
\forall \underline{
\mathsf{x}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf{y}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf{z}}
\colon 0
 <= \underline{
\mathsf{z}}
\vdash \underline{
\mathsf{x}}
 <= \underline{
\mathsf{y}}
\vdash \underline{
\mathsf{x}}
*\underline{
\mathsf{z}}
 <= \underline{
\mathsf{y}}
*\underline{
\mathsf{z}}
]$

$
[leqMultiplication
\stackrel{
proof
}{\rightarrow}
\lambda 
\mathsf {c}
.
\lambda 
\mathsf{x}
.
{\cal P}( 
\lceil ZFsub
\vdash 
\forall \underline{
\mathsf{x}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf{y}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf{z}}
\colon 0
 <= \underline{
\mathsf{z}}
\vdash \underline{
\mathsf{x}}
 <= \underline{
\mathsf{y}}
\vdash leqMultiplicationAxiom
\gg 0
 <= \underline{
\mathsf{z}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf{x}}
 <= \underline{
\mathsf{y}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf{x}}
*\underline{
\mathsf{z}}
 <= \underline{
\mathsf{y}}
*\underline{
\mathsf{z}}
; MP2
\rhd 0
 <= \underline{
\mathsf{z}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf{x}}
 <= \underline{
\mathsf{y}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf{x}}
*\underline{
\mathsf{z}}
 <= \underline{
\mathsf{y}}
*\underline{
\mathsf{z}}
\rhd 0
 <= \underline{
\mathsf{z}}
\rhd \underline{
\mathsf{x}}
 <= \underline{
\mathsf{y}}
\gg \underline{
\mathsf{x}}
*\underline{
\mathsf{z}}
 <= \underline{
\mathsf{y}}
*\underline{
\mathsf{z}}
\rceil 
, 
p_0
, 
\mathsf {c}
)
]$

$
[Reciprocal
\stackrel{
stmt
}{\rightarrow}ZFsub
\vdash 
\forall \underline{
\mathsf{x}}
\colon \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf{x}}
 = 0
\vdash \underline{
\mathsf{x}}
*rec\underline{
\mathsf{x}}
 = 1
]$

$
[Reciprocal
\stackrel{
proof
}{\rightarrow}
\lambda 
\mathsf {c}
.
\lambda 
\mathsf{x}
.
{\cal P}( 
\lceil ZFsub
\vdash 
\forall \underline{
\mathsf{x}}
\colon \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf{x}}
 = 0
\vdash ReciprocalAxiom
\gg \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf{x}}
 = 0
\Rightarrow \underline{
\mathsf{x}}
*rec\underline{
\mathsf{x}}
 = 1
; MP
\rhd \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf{x}}
 = 0
\Rightarrow \underline{
\mathsf{x}}
*rec\underline{
\mathsf{x}}
 = 1
\rhd \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf{x}}
 = 0
\gg \underline{
\mathsf{x}}
*rec\underline{
\mathsf{x}}
 = 1
\rceil 
, 
p_0
, 
\mathsf {c}
)
]$

$
[Equality
\stackrel{
stmt
}{\rightarrow}ZFsub
\vdash 
\forall \underline{
\mathsf{x}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf{y}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf{z}}
\colon \underline{
\mathsf{x}}
 = \underline{
\mathsf{y}}
\vdash \underline{
\mathsf{x}}
 = \underline{
\mathsf{z}}
\vdash \underline{
\mathsf{y}}
 = \underline{
\mathsf{z}}
]$

$
[Equality
\stackrel{
proof
}{\rightarrow}
\lambda 
\mathsf {c}
.
\lambda 
\mathsf{x}
.
{\cal P}( 
\lceil ZFsub
\vdash 
\forall \underline{
\mathsf{x}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf{y}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf{z}}
\colon \underline{
\mathsf{x}}
 = \underline{
\mathsf{y}}
\vdash \underline{
\mathsf{x}}
 = \underline{
\mathsf{z}}
\vdash equalityAxiom
\gg \underline{
\mathsf{x}}
 = \underline{
\mathsf{y}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf{x}}
 = \underline{
\mathsf{z}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf{y}}
 = \underline{
\mathsf{z}}
; MP2
\rhd \underline{
\mathsf{x}}
 = \underline{
\mathsf{y}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf{x}}
 = \underline{
\mathsf{z}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf{y}}
 = \underline{
\mathsf{z}}
\rhd \underline{
\mathsf{x}}
 = \underline{
\mathsf{y}}
\rhd \underline{
\mathsf{x}}
 = \underline{
\mathsf{z}}
\gg \underline{
\mathsf{y}}
 = \underline{
\mathsf{z}}
\rceil 
, 
p_0
, 
\mathsf {c}
)
]$

$
[eqLeq
\stackrel{
stmt
}{\rightarrow}ZFsub
\vdash 
\forall \underline{
\mathsf{x}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf{y}}
\colon \underline{
\mathsf{x}}
 = \underline{
\mathsf{y}}
\vdash \underline{
\mathsf{x}}
 <= \underline{
\mathsf{y}}
]$

$
[eqLeq
\stackrel{
proof
}{\rightarrow}
\lambda 
\mathsf {c}
.
\lambda 
\mathsf{x}
.
{\cal P}( 
\lceil ZFsub
\vdash 
\forall \underline{
\mathsf{x}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf{y}}
\colon \underline{
\mathsf{x}}
 = \underline{
\mathsf{y}}
\vdash eqLeqAxiom
\gg \underline{
\mathsf{x}}
 = \underline{
\mathsf{y}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf{x}}
 <= \underline{
\mathsf{y}}
; MP
\rhd \underline{
\mathsf{x}}
 = \underline{
\mathsf{y}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf{x}}
 <= \underline{
\mathsf{y}}
\rhd \underline{
\mathsf{x}}
 = \underline{
\mathsf{y}}
\gg \underline{
\mathsf{x}}
 <= \underline{
\mathsf{y}}
\rceil 
, 
p_0
, 
\mathsf {c}
)
]$

$
[eqAddition
\stackrel{
stmt
}{\rightarrow}ZFsub
\vdash 
\forall \underline{
\mathsf{x}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf{y}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf{z}}
\colon \underline{
\mathsf{x}}
 = \underline{
\mathsf{y}}
\vdash \underline{
\mathsf{x}}
+\underline{
\mathsf{z}}
 = \underline{
\mathsf{y}}
+\underline{
\mathsf{z}}
]$

$
[eqAddition
\stackrel{
proof
}{\rightarrow}
\lambda 
\mathsf {c}
.
\lambda 
\mathsf{x}
.
{\cal P}( 
\lceil ZFsub
\vdash 
\forall \underline{
\mathsf{x}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf{y}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf{z}}
\colon \underline{
\mathsf{x}}
 = \underline{
\mathsf{y}}
\vdash eqAdditionAxiom
\gg \underline{
\mathsf{x}}
 = \underline{
\mathsf{y}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf{x}}
+\underline{
\mathsf{z}}
 = \underline{
\mathsf{y}}
+\underline{
\mathsf{z}}
; MP
\rhd \underline{
\mathsf{x}}
 = \underline{
\mathsf{y}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf{x}}
+\underline{
\mathsf{z}}
 = \underline{
\mathsf{y}}
+\underline{
\mathsf{z}}
\rhd \underline{
\mathsf{x}}
 = \underline{
\mathsf{y}}
\gg \underline{
\mathsf{x}}
+\underline{
\mathsf{z}}
 = \underline{
\mathsf{y}}
+\underline{
\mathsf{z}}
\rceil 
, 
p_0
, 
\mathsf {c}
)
]$

$
[eqMultiplication
\stackrel{
stmt
}{\rightarrow}ZFsub
\vdash 
\forall \underline{
\mathsf{x}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf{y}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf{z}}
\colon \underline{
\mathsf{x}}
 = \underline{
\mathsf{y}}
\vdash \underline{
\mathsf{x}}
*\underline{
\mathsf{z}}
 = \underline{
\mathsf{y}}
*\underline{
\mathsf{z}}
]$

$
[eqMultiplication
\stackrel{
proof
}{\rightarrow}
\lambda 
\mathsf {c}
.
\lambda 
\mathsf{x}
.
{\cal P}( 
\lceil ZFsub
\vdash 
\forall \underline{
\mathsf{x}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf{y}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf{z}}
\colon \underline{
\mathsf{x}}
 = \underline{
\mathsf{y}}
\vdash eqMultiplicationAxiom
\gg \underline{
\mathsf{x}}
 = \underline{
\mathsf{y}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf{x}}
*\underline{
\mathsf{z}}
 = \underline{
\mathsf{y}}
*\underline{
\mathsf{z}}
; MP
\rhd \underline{
\mathsf{x}}
 = \underline{
\mathsf{y}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf{x}}
*\underline{
\mathsf{z}}
 = \underline{
\mathsf{y}}
*\underline{
\mathsf{z}}
\rhd \underline{
\mathsf{x}}
 = \underline{
\mathsf{y}}
\gg \underline{
\mathsf{x}}
*\underline{
\mathsf{z}}
 = \underline{
\mathsf{y}}
*\underline{
\mathsf{z}}
\rceil 
, 
p_0
, 
\mathsf {c}
)
]$


(*** UDSAGNSLOGIK ***)


$
[ToNegatedImply
\stackrel{
stmt
}{\rightarrow}ZFsub
\vdash 
\forall \underline{
\mathsf {a}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf {b}}
\colon \underline{
\mathsf {a}}
\vdash \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf {b}}
\vdash \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf {a}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {b}}
]$

$
[ToNegatedImply
\stackrel{
proof
}{\rightarrow}
\lambda 
\mathsf {c}
.
\lambda 
\mathsf{x}
.
{\cal P}( 
\lceil ZFsub
\vdash 
\forall \underline{
\mathsf {a}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf {b}}
\colon \underline{
\mathsf {a}}
\vdash \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf {b}}
\vdash \dot{\neg}\, \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf {a}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {b}}
\vdash RemoveDoubleNeg
\rhd \dot{\neg}\, \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf {a}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {b}}
\gg \underline{
\mathsf {a}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {b}}
; MP
\rhd \underline{
\mathsf {a}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {b}}
\rhd \underline{
\mathsf {a}}
\gg \underline{
\mathsf {b}}
; FromContradiction
\rhd \underline{
\mathsf {b}}
\rhd \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf {b}}
\gg \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf {a}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {b}}
; 
\forall \underline{
\mathsf {a}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf {b}}
\colon Ded
\rhd 
\forall \underline{
\mathsf {a}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf {b}}
\colon \underline{
\mathsf {a}}
\vdash \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf {b}}
\vdash \dot{\neg}\, \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf {a}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {b}}
\vdash \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf {a}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {b}}
\gg \underline{
\mathsf {a}}
\Rightarrow \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf {b}}
\Rightarrow \dot{\neg}\, \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf {a}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {b}}
\Rightarrow \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf {a}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {b}}
; \underline{
\mathsf {a}}
\vdash \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf {b}}
\vdash MP2
\rhd \underline{
\mathsf {a}}
\Rightarrow \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf {b}}
\Rightarrow \dot{\neg}\, \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf {a}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {b}}
\Rightarrow \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf {a}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {b}}
\rhd \underline{
\mathsf {a}}
\rhd \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf {b}}
\gg \dot{\neg}\, \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf {a}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {b}}
\Rightarrow \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf {a}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {b}}
; AutoImply
\gg \dot{\neg}\, \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf {a}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {b}}
\Rightarrow \dot{\neg}\, \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf {a}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {b}}
; Neg
\rhd \dot{\neg}\, \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf {a}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {b}}
\Rightarrow \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf {a}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {b}}
\rhd \dot{\neg}\, \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf {a}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {b}}
\Rightarrow \dot{\neg}\, \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf {a}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {b}}
\gg \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf {a}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {b}}
\rceil 
, 
p_0
, 
\mathsf {c}
)
]$


$
[TND
\stackrel{
stmt
}{\rightarrow}ZFsub
\vdash 
\forall \underline{
\mathsf {a}}
\colon \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf {a}}
\Rightarrow \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf {a}}
]$

$
[TND
\stackrel{
proof
}{\rightarrow}
\lambda 
\mathsf {c}
.
\lambda 
\mathsf{x}
.
{\cal P}( 
\lceil ZFsub
\vdash 
\forall \underline{
\mathsf {a}}
\colon AutoImply
\gg \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf {a}}
\Rightarrow \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf {a}}
; Repetition
\rhd \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf {a}}
\Rightarrow \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf {a}}
\gg \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf {a}}
\Rightarrow \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf {a}}
\rceil 
, 
p_0
, 
\mathsf {c}
)
]$

$
[FromNegations
\stackrel{
stmt
}{\rightarrow}ZFsub
\vdash 
\forall \underline{
\mathsf {a}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf {b}}
\colon \underline{
\mathsf {a}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {b}}
\vdash \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf {a}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {b}}
\vdash \underline{
\mathsf {b}}
]$

$
[FromNegations
\stackrel{
proof
}{\rightarrow}
\lambda 
\mathsf {c}
.
\lambda 
\mathsf{x}
.
{\cal P}( 
\lceil ZFsub
\vdash 
\forall \underline{
\mathsf {a}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf {b}}
\colon \underline{
\mathsf {a}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {b}}
\vdash \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf {a}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {b}}
\vdash TND
\gg \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf {a}}
\Rightarrow \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf {a}}
; FromDisjuncts
\rhd \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf {a}}
\Rightarrow \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf {a}}
\rhd \underline{
\mathsf {a}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {b}}
\rhd \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf {a}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {b}}
\gg \underline{
\mathsf {b}}
\rceil 
, 
p_0
, 
\mathsf {c}
)
]$

$
[ImplyNegation
\stackrel{
stmt
}{\rightarrow}ZFsub
\vdash 
\forall \underline{
\mathsf {a}}
\colon \underline{
\mathsf {a}}
\Rightarrow \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf {a}}
\vdash \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf {a}}
]$

$
[ImplyNegation
\stackrel{
proof
}{\rightarrow}
\lambda 
\mathsf {c}
.
\lambda 
\mathsf{x}
.
{\cal P}( 
\lceil ZFsub
\vdash 
\forall \underline{
\mathsf {a}}
\colon \underline{
\mathsf {a}}
\Rightarrow \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf {a}}
\vdash AutoImply
\gg \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf {a}}
\Rightarrow \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf {a}}
; TND
\gg \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf {a}}
\Rightarrow \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf {a}}
; FromDisjuncts
\rhd \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf {a}}
\Rightarrow \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf {a}}
\rhd \underline{
\mathsf {a}}
\Rightarrow \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf {a}}
\rhd \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf {a}}
\Rightarrow \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf {a}}
\gg \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf {a}}
\rceil 
, 
p_0
, 
\mathsf {c}
)
]$

$
[From3Disjuncts
\stackrel{
stmt
}{\rightarrow}ZFsub
\vdash 
\forall \underline{
\mathsf {a}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf {b}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf {c}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf {d}}
\colon \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf {a}}
\Rightarrow \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf {b}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {c}}
\vdash \underline{
\mathsf {a}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {d}}
\vdash \underline{
\mathsf {b}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {d}}
\vdash \underline{
\mathsf {c}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {d}}
\vdash \underline{
\mathsf {d}}
]$

$
[From3Disjuncts
\stackrel{
proof
}{\rightarrow}
\lambda 
\mathsf {c}
.
\lambda 
\mathsf{x}
.
{\cal P}( 
\lceil ZFsub
\vdash 
\forall \underline{
\mathsf {a}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf {b}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf {c}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf {d}}
\colon \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf {a}}
\Rightarrow \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf {b}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {c}}
\vdash \underline{
\mathsf {b}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {d}}
\vdash \underline{
\mathsf {c}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {d}}
\vdash \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf {a}}
\vdash Repetition
\rhd \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf {a}}
\Rightarrow \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf {b}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {c}}
\gg \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf {a}}
\Rightarrow \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf {b}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {c}}
; MP
\rhd \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf {a}}
\Rightarrow \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf {b}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {c}}
\rhd \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf {a}}
\gg \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf {b}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {c}}
; FromDisjuncts
\rhd \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf {b}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {c}}
\rhd \underline{
\mathsf {b}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {d}}
\rhd \underline{
\mathsf {c}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {d}}
\gg \underline{
\mathsf {d}}
; 
\forall \underline{
\mathsf {a}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf {b}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf {c}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf {d}}
\colon Ded
\rhd 
\forall \underline{
\mathsf {a}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf {b}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf {c}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf {d}}
\colon \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf {a}}
\Rightarrow \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf {b}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {c}}
\vdash \underline{
\mathsf {b}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {d}}
\vdash \underline{
\mathsf {c}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {d}}
\vdash \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf {a}}
\vdash \underline{
\mathsf {d}}
\gg \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf {a}}
\Rightarrow \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf {b}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {c}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {b}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {d}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {c}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {d}}
\Rightarrow \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf {a}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {d}}
; AutoImply
\gg \underline{
\mathsf {a}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {d}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {a}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {d}}
; \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf {a}}
\Rightarrow \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf {b}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {c}}
\vdash \underline{
\mathsf {a}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {d}}
\vdash \underline{
\mathsf {b}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {d}}
\vdash \underline{
\mathsf {c}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {d}}
\vdash MP3
\rhd \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf {a}}
\Rightarrow \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf {b}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {c}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {b}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {d}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {c}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {d}}
\Rightarrow \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf {a}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {d}}
\rhd \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf {a}}
\Rightarrow \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf {b}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {c}}
\rhd \underline{
\mathsf {b}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {d}}
\rhd \underline{
\mathsf {c}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {d}}
\gg \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf {a}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {d}}
; MP
\rhd \underline{
\mathsf {a}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {d}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {a}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {d}}
\rhd \underline{
\mathsf {a}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {d}}
\gg \underline{
\mathsf {a}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {d}}
; FromNegations
\rhd \underline{
\mathsf {a}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {d}}
\rhd \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf {a}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {d}}
\gg \underline{
\mathsf {d}}
\rceil 
, 
p_0
, 
\mathsf {c}
)
]$

$
[NegateDisjunct1
\stackrel{
stmt
}{\rightarrow}ZFsub
\vdash 
\forall \underline{
\mathsf {a}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf {b}}
\colon \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf {a}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {b}}
\vdash \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf {a}}
\vdash \underline{
\mathsf {b}}
]$

$
[NegateDisjunct1
\stackrel{
proof
}{\rightarrow}
\lambda 
\mathsf {c}
.
\lambda 
\mathsf{x}
.
{\cal P}( 
\lceil ZFsub
\vdash 
\forall \underline{
\mathsf {a}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf {b}}
\colon \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf {a}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {b}}
\vdash \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf {a}}
\vdash Repetition
\rhd \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf {a}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {b}}
\gg \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf {a}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {b}}
; MP
\rhd \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf {a}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {b}}
\rhd \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf {a}}
\gg \underline{
\mathsf {b}}
\rceil 
, 
p_0
, 
\mathsf {c}
)
]$


$
[NegateDisjunct2
\stackrel{
stmt
}{\rightarrow}ZFsub
\vdash 
\forall \underline{
\mathsf {a}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf {b}}
\colon \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf {a}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {b}}
\vdash \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf {b}}
\vdash \underline{
\mathsf {a}}
]$

$
[NegateDisjunct2
\stackrel{
proof
}{\rightarrow}
\lambda 
\mathsf {c}
.
\lambda 
\mathsf{x}
.
{\cal P}( 
\lceil ZFsub
\vdash 
\forall \underline{
\mathsf {a}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf {b}}
\colon \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf {a}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {b}}
\vdash \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf {b}}
\vdash Repetition
\rhd \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf {a}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {b}}
\gg \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf {a}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {b}}
; NegativeMT
\rhd \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf {a}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {b}}
\rhd \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf {b}}
\gg \underline{
\mathsf {a}}
\rceil 
, 
p_0
, 
\mathsf {c}
)
]$

(***)

$
[ExpandDisjuncts
\stackrel{
stmt
}{\rightarrow}ZFsub
\vdash 
\forall \underline{
\mathsf {a}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf {b}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf {c}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf {d}}
\colon \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf {a}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {b}}
\vdash \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf {c}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {d}}
\vdash \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf {b}}
\Rightarrow \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf {d}}
\Rightarrow \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf {a}}
\Rightarrow \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf {c}}
]$

$
[ExpandDisjuncts
\stackrel{
proof
}{\rightarrow}
\lambda 
\mathsf {c}
.
\lambda 
\mathsf{x}
.
{\cal P}( 
\lceil ZFsub
\vdash 
\forall \underline{
\mathsf {a}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf {b}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf {c}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf {d}}
\colon \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf {a}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {b}}
\vdash \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf {c}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {d}}
\vdash \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf {b}}
\vdash \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf {d}}
\vdash NegateDisjunct2
\rhd \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf {a}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {b}}
\rhd \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf {b}}
\gg \underline{
\mathsf {a}}
; NegateDisjunct2
\rhd \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf {c}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {d}}
\rhd \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf {d}}
\gg \underline{
\mathsf {c}}
; JoinConjuncts
\rhd \underline{
\mathsf {a}}
\rhd \underline{
\mathsf {c}}
\gg \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf {a}}
\Rightarrow \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf {c}}
; 
\forall \underline{
\mathsf {a}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf {b}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf {c}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf {d}}
\colon Ded
\rhd 
\forall \underline{
\mathsf {a}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf {b}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf {c}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf {d}}
\colon \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf {a}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {b}}
\vdash \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf {c}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {d}}
\vdash \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf {b}}
\vdash \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf {d}}
\vdash \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf {a}}
\Rightarrow \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf {c}}
\gg \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf {a}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {b}}
\Rightarrow \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf {c}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {d}}
\Rightarrow \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf {b}}
\Rightarrow \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf {d}}
\Rightarrow \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf {a}}
\Rightarrow \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf {c}}
; \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf {a}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {b}}
\vdash \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf {c}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {d}}
\vdash MP2
\rhd \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf {a}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {b}}
\Rightarrow \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf {c}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {d}}
\Rightarrow \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf {b}}
\Rightarrow \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf {d}}
\Rightarrow \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf {a}}
\Rightarrow \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf {c}}
\rhd \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf {a}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {b}}
\rhd \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf {c}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {d}}
\gg \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf {b}}
\Rightarrow \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf {d}}
\Rightarrow \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf {a}}
\Rightarrow \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf {c}}
; Repetition
\rhd \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf {b}}
\Rightarrow \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf {d}}
\Rightarrow \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf {a}}
\Rightarrow \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf {c}}
\gg \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf {b}}
\Rightarrow \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf {d}}
\Rightarrow \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf {a}}
\Rightarrow \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf {c}}
\rceil 
, 
p_0
, 
\mathsf {c}
)
]$

$
[From2*2Disjuncts
\stackrel{
stmt
}{\rightarrow}ZFsub
\vdash 
\forall \underline{
\mathsf {a}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf {b}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf {c}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf {d}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf {e}}
\colon \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf {a}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {b}}
\vdash \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf {c}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {d}}
\vdash \underline{
\mathsf {a}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {c}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {e}}
\vdash \underline{
\mathsf {a}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {d}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {e}}
\vdash \underline{
\mathsf {b}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {c}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {e}}
\vdash \underline{
\mathsf {b}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {d}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {e}}
\vdash \underline{
\mathsf {e}}
]$

$
[From2*2Disjuncts
\stackrel{
proof
}{\rightarrow}
\lambda 
\mathsf {c}
.
\lambda 
\mathsf{x}
.
{\cal P}( 
\lceil ZFsub
\vdash 
\forall \underline{
\mathsf {a}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf {b}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf {c}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf {d}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf {e}}
\colon \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf {c}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {d}}
\vdash \underline{
\mathsf {a}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {c}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {e}}
\vdash \underline{
\mathsf {a}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {d}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {e}}
\vdash \underline{
\mathsf {a}}
\vdash MP
\rhd \underline{
\mathsf {a}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {c}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {e}}
\rhd \underline{
\mathsf {a}}
\gg \underline{
\mathsf {c}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {e}}
; MP
\rhd \underline{
\mathsf {a}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {d}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {e}}
\rhd \underline{
\mathsf {a}}
\gg \underline{
\mathsf {d}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {e}}
; FromDisjuncts
\rhd \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf {c}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {d}}
\rhd \underline{
\mathsf {c}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {e}}
\rhd \underline{
\mathsf {d}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {e}}
\gg \underline{
\mathsf {e}}
; 
\forall \underline{
\mathsf {a}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf {b}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf {c}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf {d}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf {e}}
\colon \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf {a}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {b}}
\vdash \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf {c}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {d}}
\vdash \underline{
\mathsf {b}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {c}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {e}}
\vdash \underline{
\mathsf {b}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {d}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {e}}
\vdash \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf {a}}
\vdash NegateDisjunct1
\rhd \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf {a}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {b}}
\rhd \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf {a}}
\gg \underline{
\mathsf {b}}
; MP
\rhd \underline{
\mathsf {b}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {c}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {e}}
\rhd \underline{
\mathsf {b}}
\gg \underline{
\mathsf {c}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {e}}
; MP
\rhd \underline{
\mathsf {b}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {d}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {e}}
\rhd \underline{
\mathsf {b}}
\gg \underline{
\mathsf {d}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {e}}
; FromDisjuncts
\rhd \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf {c}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {d}}
\rhd \underline{
\mathsf {c}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {e}}
\rhd \underline{
\mathsf {d}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {e}}
\gg \underline{
\mathsf {e}}
; 
\forall \underline{
\mathsf {a}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf {b}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf {c}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf {d}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf {e}}
\colon Ded
\rhd 
\forall \underline{
\mathsf {a}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf {b}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf {c}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf {d}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf {e}}
\colon \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf {c}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {d}}
\vdash \underline{
\mathsf {a}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {c}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {e}}
\vdash \underline{
\mathsf {a}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {d}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {e}}
\vdash \underline{
\mathsf {a}}
\vdash \underline{
\mathsf {e}}
\gg \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf {c}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {d}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {a}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {c}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {e}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {a}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {d}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {e}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {a}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {e}}
; Ded
\rhd 
\forall \underline{
\mathsf {a}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf {b}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf {c}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf {d}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf {e}}
\colon \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf {a}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {b}}
\vdash \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf {c}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {d}}
\vdash \underline{
\mathsf {b}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {c}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {e}}
\vdash \underline{
\mathsf {b}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {d}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {e}}
\vdash \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf {a}}
\vdash \underline{
\mathsf {e}}
\gg \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf {a}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {b}}
\Rightarrow \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf {c}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {d}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {b}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {c}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {e}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {b}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {d}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {e}}
\Rightarrow \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf {a}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {e}}
; \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf {a}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {b}}
\vdash \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf {c}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {d}}
\vdash \underline{
\mathsf {a}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {c}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {e}}
\vdash \underline{
\mathsf {a}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {d}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {e}}
\vdash \underline{
\mathsf {b}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {c}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {e}}
\vdash \underline{
\mathsf {b}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {d}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {e}}
\vdash MP3
\rhd \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf {c}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {d}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {a}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {c}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {e}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {a}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {d}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {e}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {a}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {e}}
\rhd \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf {c}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {d}}
\rhd \underline{
\mathsf {a}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {c}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {e}}
\rhd \underline{
\mathsf {a}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {d}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {e}}
\gg \underline{
\mathsf {a}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {e}}
; MP4
\rhd \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf {a}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {b}}
\Rightarrow \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf {c}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {d}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {b}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {c}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {e}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {b}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {d}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {e}}
\Rightarrow \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf {a}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {e}}
\rhd \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf {a}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {b}}
\rhd \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf {c}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {d}}
\rhd \underline{
\mathsf {b}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {c}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {e}}
\rhd \underline{
\mathsf {b}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {d}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {e}}
\gg \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf {a}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {e}}
; FromNegations
\rhd \underline{
\mathsf {a}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {e}}
\rhd \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf {a}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {e}}
\gg \underline{
\mathsf {e}}
\rceil 
, 
p_0
, 
\mathsf {c}
)
]$


(*** EQUALITY ***)

$
[eqReflexivity
\stackrel{
stmt
}{\rightarrow}ZFsub
\vdash 
\forall \underline{
\mathsf{x}}
\colon \underline{
\mathsf{x}}
 = \underline{
\mathsf{x}}
]$

$
[eqReflexivity
\stackrel{
proof
}{\rightarrow}
\lambda 
\mathsf {c}
.
\lambda 
\mathsf{x}
.
{\cal P}( 
\lceil ZFsub
\vdash 
\forall \underline{
\mathsf{x}}
\colon leqReflexivity
\gg \underline{
\mathsf{x}}
 <= \underline{
\mathsf{x}}
; leqAntisymmetry
\rhd \underline{
\mathsf{x}}
 <= \underline{
\mathsf{x}}
\rhd \underline{
\mathsf{x}}
 <= \underline{
\mathsf{x}}
\gg \underline{
\mathsf{x}}
 = \underline{
\mathsf{x}}
\rceil 
, 
p_0
, 
\mathsf {c}
)
]$

$
[eqSymmetry
\stackrel{
stmt
}{\rightarrow}ZFsub
\vdash 
\forall \underline{
\mathsf{x}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf{y}}
\colon \underline{
\mathsf{x}}
 = \underline{
\mathsf{y}}
\vdash \underline{
\mathsf{y}}
 = \underline{
\mathsf{x}}
]$

$
[eqSymmetry
\stackrel{
proof
}{\rightarrow}
\lambda 
\mathsf {c}
.
\lambda 
\mathsf{x}
.
{\cal P}( 
\lceil ZFsub
\vdash 
\forall \underline{
\mathsf{x}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf{y}}
\colon \underline{
\mathsf{x}}
 = \underline{
\mathsf{y}}
\vdash eqReflexivity
\gg \underline{
\mathsf{x}}
 = \underline{
\mathsf{x}}
; Equality
\rhd \underline{
\mathsf{x}}
 = \underline{
\mathsf{y}}
\rhd \underline{
\mathsf{x}}
 = \underline{
\mathsf{x}}
\gg \underline{
\mathsf{y}}
 = \underline{
\mathsf{x}}
\rceil 
, 
p_0
, 
\mathsf {c}
)
]$

$
[eqTransitivity
\stackrel{
stmt
}{\rightarrow}ZFsub
\vdash 
\forall \underline{
\mathsf{x}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf{y}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf{z}}
\colon \underline{
\mathsf{x}}
 = \underline{
\mathsf{y}}
\vdash \underline{
\mathsf{y}}
 = \underline{
\mathsf{z}}
\vdash \underline{
\mathsf{x}}
 = \underline{
\mathsf{z}}
]$

$
[eqTransitivity
\stackrel{
proof
}{\rightarrow}
\lambda 
\mathsf {c}
.
\lambda 
\mathsf{x}
.
{\cal P}( 
\lceil ZFsub
\vdash 
\forall \underline{
\mathsf{x}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf{y}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf{z}}
\colon \underline{
\mathsf{x}}
 = \underline{
\mathsf{y}}
\vdash \underline{
\mathsf{y}}
 = \underline{
\mathsf{z}}
\vdash eqSymmetry
\rhd \underline{
\mathsf{x}}
 = \underline{
\mathsf{y}}
\gg \underline{
\mathsf{y}}
 = \underline{
\mathsf{x}}
; Equality
\rhd \underline{
\mathsf{y}}
 = \underline{
\mathsf{x}}
\rhd \underline{
\mathsf{y}}
 = \underline{
\mathsf{z}}
\gg \underline{
\mathsf{x}}
 = \underline{
\mathsf{z}}
\rceil 
, 
p_0
, 
\mathsf {c}
)
]$

$
[eqTransitivity4
\stackrel{
stmt
}{\rightarrow}ZFsub
\vdash 
\forall \underline{
\mathsf{x}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf{y}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf{z}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf {u}}
\colon \underline{
\mathsf{x}}
 = \underline{
\mathsf{y}}
\vdash \underline{
\mathsf{y}}
 = \underline{
\mathsf{z}}
\vdash \underline{
\mathsf{z}}
 = \underline{
\mathsf {u}}
\vdash \underline{
\mathsf{x}}
 = \underline{
\mathsf {u}}
]$

$
[eqTransitivity4
\stackrel{
proof
}{\rightarrow}
\lambda 
\mathsf {c}
.
\lambda 
\mathsf{x}
.
{\cal P}( 
\lceil ZFsub
\vdash 
\forall \underline{
\mathsf{x}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf{y}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf{z}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf {u}}
\colon \underline{
\mathsf{x}}
 = \underline{
\mathsf{y}}
\vdash \underline{
\mathsf{y}}
 = \underline{
\mathsf{z}}
\vdash \underline{
\mathsf{z}}
 = \underline{
\mathsf {u}}
\vdash eqTransitivity
\rhd \underline{
\mathsf{x}}
 = \underline{
\mathsf{y}}
\rhd \underline{
\mathsf{y}}
 = \underline{
\mathsf{z}}
\gg \underline{
\mathsf{x}}
 = \underline{
\mathsf{z}}
; eqTransitivity
\rhd \underline{
\mathsf{x}}
 = \underline{
\mathsf{z}}
\rhd \underline{
\mathsf{z}}
 = \underline{
\mathsf {u}}
\gg \underline{
\mathsf{x}}
 = \underline{
\mathsf {u}}
\rceil 
, 
p_0
, 
\mathsf {c}
)
]$


$
[eqTransitivity5
\stackrel{
stmt
}{\rightarrow}ZFsub
\vdash 
\forall \underline{
\mathsf{x}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf{y}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf{z}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf {u}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf {v}}
\colon \underline{
\mathsf{x}}
 = \underline{
\mathsf{y}}
\vdash \underline{
\mathsf{y}}
 = \underline{
\mathsf{z}}
\vdash \underline{
\mathsf{z}}
 = \underline{
\mathsf {u}}
\vdash \underline{
\mathsf {u}}
 = \underline{
\mathsf {v}}
\vdash \underline{
\mathsf{x}}
 = \underline{
\mathsf {v}}
]$

$
[eqTransitivity5
\stackrel{
proof
}{\rightarrow}
\lambda 
\mathsf {c}
.
\lambda 
\mathsf{x}
.
{\cal P}( 
\lceil ZFsub
\vdash 
\forall \underline{
\mathsf{x}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf{y}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf{z}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf {u}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf {v}}
\colon \underline{
\mathsf{x}}
 = \underline{
\mathsf{y}}
\vdash \underline{
\mathsf{y}}
 = \underline{
\mathsf{z}}
\vdash \underline{
\mathsf{z}}
 = \underline{
\mathsf {u}}
\vdash \underline{
\mathsf {u}}
 = \underline{
\mathsf {v}}
\vdash eqTransitivity4
\rhd \underline{
\mathsf{x}}
 = \underline{
\mathsf{y}}
\rhd \underline{
\mathsf{y}}
 = \underline{
\mathsf{z}}
\rhd \underline{
\mathsf{z}}
 = \underline{
\mathsf {u}}
\gg \underline{
\mathsf{x}}
 = \underline{
\mathsf {u}}
; eqTransitivity
\rhd \underline{
\mathsf{x}}
 = \underline{
\mathsf {u}}
\rhd \underline{
\mathsf {u}}
 = \underline{
\mathsf {v}}
\gg \underline{
\mathsf{x}}
 = \underline{
\mathsf {v}}
\rceil 
, 
p_0
, 
\mathsf {c}
)
]$

$
[eqTransitivity6
\stackrel{
stmt
}{\rightarrow}ZFsub
\vdash 
\forall \underline{
\mathsf{x}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf{y}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf{z}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf {u}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf {v}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf {w}}
\colon \underline{
\mathsf{x}}
 = \underline{
\mathsf{y}}
\vdash \underline{
\mathsf{y}}
 = \underline{
\mathsf{z}}
\vdash \underline{
\mathsf{z}}
 = \underline{
\mathsf {u}}
\vdash \underline{
\mathsf {u}}
 = \underline{
\mathsf {v}}
\vdash \underline{
\mathsf {v}}
 = \underline{
\mathsf {w}}
\vdash \underline{
\mathsf{x}}
 = \underline{
\mathsf {w}}
]$

$
[eqTransitivity6
\stackrel{
proof
}{\rightarrow}
\lambda 
\mathsf {c}
.
\lambda 
\mathsf{x}
.
{\cal P}( 
\lceil ZFsub
\vdash 
\forall \underline{
\mathsf{x}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf{y}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf{z}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf {u}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf {v}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf {w}}
\colon \underline{
\mathsf{x}}
 = \underline{
\mathsf{y}}
\vdash \underline{
\mathsf{y}}
 = \underline{
\mathsf{z}}
\vdash \underline{
\mathsf{z}}
 = \underline{
\mathsf {u}}
\vdash \underline{
\mathsf {u}}
 = \underline{
\mathsf {v}}
\vdash \underline{
\mathsf {v}}
 = \underline{
\mathsf {w}}
\vdash eqTransitivity5
\rhd \underline{
\mathsf{x}}
 = \underline{
\mathsf{y}}
\rhd \underline{
\mathsf{y}}
 = \underline{
\mathsf{z}}
\rhd \underline{
\mathsf{z}}
 = \underline{
\mathsf {u}}
\rhd \underline{
\mathsf {u}}
 = \underline{
\mathsf {v}}
\gg \underline{
\mathsf{x}}
 = \underline{
\mathsf {v}}
; eqTransitivity
\rhd \underline{
\mathsf{x}}
 = \underline{
\mathsf {v}}
\rhd \underline{
\mathsf {v}}
 = \underline{
\mathsf {w}}
\gg \underline{
\mathsf{x}}
 = \underline{
\mathsf {w}}
\rceil 
, 
p_0
, 
\mathsf {c}
)
]$

$
[plus0Left
\stackrel{
stmt
}{\rightarrow}ZFsub
\vdash 
\forall \underline{
\mathsf{x}}
\colon 0
+\underline{
\mathsf{x}}
 = \underline{
\mathsf{x}}
]$

$
[plus0Left
\stackrel{
proof
}{\rightarrow}
\lambda 
\mathsf {c}
.
\lambda 
\mathsf{x}
.
{\cal P}( 
\lceil ZFsub
\vdash 
\forall \underline{
\mathsf{x}}
\colon plus0
\gg \underline{
\mathsf{x}}
+0
 = \underline{
\mathsf{x}}
; plusCommutativity
\gg 0
+\underline{
\mathsf{x}}
 = \underline{
\mathsf{x}}
+0
; eqTransitivity
\rhd 0
+\underline{
\mathsf{x}}
 = \underline{
\mathsf{x}}
+0
\rhd \underline{
\mathsf{x}}
+0
 = \underline{
\mathsf{x}}
\gg 0
+\underline{
\mathsf{x}}
 = \underline{
\mathsf{x}}
\rceil 
, 
p_0
, 
\mathsf {c}
)
]$

$
[times1Left
\stackrel{
stmt
}{\rightarrow}ZFsub
\vdash 
\forall \underline{
\mathsf{x}}
\colon 1
*\underline{
\mathsf{x}}
 = \underline{
\mathsf{x}}
]$

$
[times1Left
\stackrel{
proof
}{\rightarrow}
\lambda 
\mathsf {c}
.
\lambda 
\mathsf{x}
.
{\cal P}( 
\lceil ZFsub
\vdash 
\forall \underline{
\mathsf{x}}
\colon times1
\gg \underline{
\mathsf{x}}
*1
 = \underline{
\mathsf{x}}
; timesCommutativity
\gg 1
*\underline{
\mathsf{x}}
 = \underline{
\mathsf{x}}
*1
; eqTransitivity
\rhd 1
*\underline{
\mathsf{x}}
 = \underline{
\mathsf{x}}
*1
\rhd \underline{
\mathsf{x}}
*1
 = \underline{
\mathsf{x}}
\gg 1
*\underline{
\mathsf{x}}
 = \underline{
\mathsf{x}}
\rceil 
, 
p_0
, 
\mathsf {c}
)
]$




$
[
\mbox{lemma eqAdditionLeft}
\stackrel{
stmt
}{\rightarrow}ZFsub
\vdash 
\forall \underline{
\mathsf{x}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf{y}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf{z}}
\colon \underline{
\mathsf{x}}
 = \underline{
\mathsf{y}}
\vdash \underline{
\mathsf{z}}
+\underline{
\mathsf{x}}
 = \underline{
\mathsf{z}}
+\underline{
\mathsf{y}}
]$

$
[
\mbox{lemma eqAdditionLeft}
\stackrel{
proof
}{\rightarrow}
\lambda 
\mathsf {c}
.
\lambda 
\mathsf{x}
.
{\cal P}( 
\lceil ZFsub
\vdash 
\forall \underline{
\mathsf{x}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf{y}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf{z}}
\colon \underline{
\mathsf{x}}
 = \underline{
\mathsf{y}}
\vdash eqAddition
\rhd \underline{
\mathsf{x}}
 = \underline{
\mathsf{y}}
\gg \underline{
\mathsf{x}}
+\underline{
\mathsf{z}}
 = \underline{
\mathsf{y}}
+\underline{
\mathsf{z}}
; plusCommutativity
\gg \underline{
\mathsf{z}}
+\underline{
\mathsf{x}}
 = \underline{
\mathsf{x}}
+\underline{
\mathsf{z}}
; plusCommutativity
\gg \underline{
\mathsf{y}}
+\underline{
\mathsf{z}}
 = \underline{
\mathsf{z}}
+\underline{
\mathsf{y}}
; eqTransitivity4
\rhd \underline{
\mathsf{z}}
+\underline{
\mathsf{x}}
 = \underline{
\mathsf{x}}
+\underline{
\mathsf{z}}
\rhd \underline{
\mathsf{x}}
+\underline{
\mathsf{z}}
 = \underline{
\mathsf{y}}
+\underline{
\mathsf{z}}
\rhd \underline{
\mathsf{y}}
+\underline{
\mathsf{z}}
 = \underline{
\mathsf{z}}
+\underline{
\mathsf{y}}
\gg \underline{
\mathsf{z}}
+\underline{
\mathsf{x}}
 = \underline{
\mathsf{z}}
+\underline{
\mathsf{y}}
\rceil 
, 
p_0
, 
\mathsf {c}
)
]$


$
[EqMultiplicationLeft
\stackrel{
stmt
}{\rightarrow}ZFsub
\vdash 
\forall \underline{
\mathsf{x}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf{y}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf{z}}
\colon \underline{
\mathsf{x}}
 = \underline{
\mathsf{y}}
\vdash \underline{
\mathsf{z}}
*\underline{
\mathsf{x}}
 = \underline{
\mathsf{z}}
*\underline{
\mathsf{y}}
]$

$
[EqMultiplicationLeft
\stackrel{
proof
}{\rightarrow}
\lambda 
\mathsf {c}
.
\lambda 
\mathsf{x}
.
{\cal P}( 
\lceil ZFsub
\vdash 
\forall \underline{
\mathsf{x}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf{y}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf{z}}
\colon \underline{
\mathsf{x}}
 = \underline{
\mathsf{y}}
\vdash eqMultiplication
\rhd \underline{
\mathsf{x}}
 = \underline{
\mathsf{y}}
\gg \underline{
\mathsf{x}}
*\underline{
\mathsf{z}}
 = \underline{
\mathsf{y}}
*\underline{
\mathsf{z}}
; timesCommutativity
\gg \underline{
\mathsf{z}}
*\underline{
\mathsf{x}}
 = \underline{
\mathsf{x}}
*\underline{
\mathsf{z}}
; timesCommutativity
\gg \underline{
\mathsf{y}}
*\underline{
\mathsf{z}}
 = \underline{
\mathsf{z}}
*\underline{
\mathsf{y}}
; eqTransitivity4
\rhd \underline{
\mathsf{z}}
*\underline{
\mathsf{x}}
 = \underline{
\mathsf{x}}
*\underline{
\mathsf{z}}
\rhd \underline{
\mathsf{x}}
*\underline{
\mathsf{z}}
 = \underline{
\mathsf{y}}
*\underline{
\mathsf{z}}
\rhd \underline{
\mathsf{y}}
*\underline{
\mathsf{z}}
 = \underline{
\mathsf{z}}
*\underline{
\mathsf{y}}
\gg \underline{
\mathsf{z}}
*\underline{
\mathsf{x}}
 = \underline{
\mathsf{z}}
*\underline{
\mathsf{y}}
\rceil 
, 
p_0
, 
\mathsf {c}
)
]$



$
[DistributionOut
\stackrel{
stmt
}{\rightarrow}ZFsub
\vdash 
\forall \underline{
\mathsf{x}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf{y}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf{z}}
\colon \underline{
\mathsf{x}}
*\underline{
\mathsf{y}}
+\underline{
\mathsf{x}}
*\underline{
\mathsf{z}}
 = \underline{
\mathsf{x}}
*\underline{
\mathsf{y}}
+\underline{
\mathsf{z}}
]$

$
[DistributionOut
\stackrel{
proof
}{\rightarrow}
\lambda 
\mathsf {c}
.
\lambda 
\mathsf{x}
.
{\cal P}( 
\lceil ZFsub
\vdash 
\forall \underline{
\mathsf{x}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf{y}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf{z}}
\colon Distribution
\gg \underline{
\mathsf{x}}
*\underline{
\mathsf{y}}
+\underline{
\mathsf{z}}
 = \underline{
\mathsf{x}}
*\underline{
\mathsf{y}}
+\underline{
\mathsf{x}}
*\underline{
\mathsf{z}}
; eqSymmetry
\rhd \underline{
\mathsf{x}}
*\underline{
\mathsf{y}}
+\underline{
\mathsf{z}}
 = \underline{
\mathsf{x}}
*\underline{
\mathsf{y}}
+\underline{
\mathsf{x}}
*\underline{
\mathsf{z}}
\gg \underline{
\mathsf{x}}
*\underline{
\mathsf{y}}
+\underline{
\mathsf{x}}
*\underline{
\mathsf{z}}
 = \underline{
\mathsf{x}}
*\underline{
\mathsf{y}}
+\underline{
\mathsf{z}}
\rceil 
, 
p_0
, 
\mathsf {c}
)
]$

$
[Three2twoTerms
\stackrel{
stmt
}{\rightarrow}ZFsub
\vdash 
\forall \underline{
\mathsf{x}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf{y}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf{z}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf {u}}
\colon \underline{
\mathsf{y}}
+\underline{
\mathsf{z}}
 = \underline{
\mathsf {u}}
\vdash \underline{
\mathsf{x}}
+\underline{
\mathsf{y}}
+\underline{
\mathsf{z}}
 = \underline{
\mathsf{x}}
+\underline{
\mathsf {u}}
]$

$
[Three2twoTerms
\stackrel{
proof
}{\rightarrow}
\lambda 
\mathsf {c}
.
\lambda 
\mathsf{x}
.
{\cal P}( 
\lceil ZFsub
\vdash 
\forall \underline{
\mathsf{x}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf{y}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf{z}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf {u}}
\colon \underline{
\mathsf{y}}
+\underline{
\mathsf{z}}
 = \underline{
\mathsf {u}}
\vdash 
\mbox{lemma eqAdditionLeft}
\rhd \underline{
\mathsf{y}}
+\underline{
\mathsf{z}}
 = \underline{
\mathsf {u}}
\gg \underline{
\mathsf{x}}
+\underline{
\mathsf{y}}
+\underline{
\mathsf{z}}
 = \underline{
\mathsf{x}}
+\underline{
\mathsf {u}}
; plusAssociativity
\gg \underline{
\mathsf{x}}
+\underline{
\mathsf{y}}
+\underline{
\mathsf{z}}
 = \underline{
\mathsf{x}}
+\underline{
\mathsf{y}}
+\underline{
\mathsf{z}}
; eqTransitivity
\rhd \underline{
\mathsf{x}}
+\underline{
\mathsf{y}}
+\underline{
\mathsf{z}}
 = \underline{
\mathsf{x}}
+\underline{
\mathsf{y}}
+\underline{
\mathsf{z}}
\rhd \underline{
\mathsf{x}}
+\underline{
\mathsf{y}}
+\underline{
\mathsf{z}}
 = \underline{
\mathsf{x}}
+\underline{
\mathsf {u}}
\gg \underline{
\mathsf{x}}
+\underline{
\mathsf{y}}
+\underline{
\mathsf{z}}
 = \underline{
\mathsf{x}}
+\underline{
\mathsf {u}}
\rceil 
, 
p_0
, 
\mathsf {c}
)
]$

$
[Three2threeTerms
\stackrel{
stmt
}{\rightarrow}ZFsub
\vdash 
\forall \underline{
\mathsf{x}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf{y}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf{z}}
\colon \underline{
\mathsf{x}}
+\underline{
\mathsf{y}}
+\underline{
\mathsf{z}}
 = \underline{
\mathsf{x}}
+\underline{
\mathsf{z}}
+\underline{
\mathsf{y}}
]$

$
[Three2threeTerms
\stackrel{
proof
}{\rightarrow}
\lambda 
\mathsf {c}
.
\lambda 
\mathsf{x}
.
{\cal P}( 
\lceil ZFsub
\vdash 
\forall \underline{
\mathsf{x}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf{y}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf{z}}
\colon plusCommutativity
\gg \underline{
\mathsf{y}}
+\underline{
\mathsf{z}}
 = \underline{
\mathsf{z}}
+\underline{
\mathsf{y}}
; Three2twoTerms
\rhd \underline{
\mathsf{y}}
+\underline{
\mathsf{z}}
 = \underline{
\mathsf{z}}
+\underline{
\mathsf{y}}
\gg \underline{
\mathsf{x}}
+\underline{
\mathsf{y}}
+\underline{
\mathsf{z}}
 = \underline{
\mathsf{x}}
+\underline{
\mathsf{z}}
+\underline{
\mathsf{y}}
; plusAssociativity
\gg \underline{
\mathsf{x}}
+\underline{
\mathsf{z}}
+\underline{
\mathsf{y}}
 = \underline{
\mathsf{x}}
+\underline{
\mathsf{z}}
+\underline{
\mathsf{y}}
; eqSymmetry
\rhd \underline{
\mathsf{x}}
+\underline{
\mathsf{z}}
+\underline{
\mathsf{y}}
 = \underline{
\mathsf{x}}
+\underline{
\mathsf{z}}
+\underline{
\mathsf{y}}
\gg \underline{
\mathsf{x}}
+\underline{
\mathsf{z}}
+\underline{
\mathsf{y}}
 = \underline{
\mathsf{x}}
+\underline{
\mathsf{z}}
+\underline{
\mathsf{y}}
; eqTransitivity
\rhd \underline{
\mathsf{x}}
+\underline{
\mathsf{y}}
+\underline{
\mathsf{z}}
 = \underline{
\mathsf{x}}
+\underline{
\mathsf{z}}
+\underline{
\mathsf{y}}
\rhd \underline{
\mathsf{x}}
+\underline{
\mathsf{z}}
+\underline{
\mathsf{y}}
 = \underline{
\mathsf{x}}
+\underline{
\mathsf{z}}
+\underline{
\mathsf{y}}
\gg \underline{
\mathsf{x}}
+\underline{
\mathsf{y}}
+\underline{
\mathsf{z}}
 = \underline{
\mathsf{x}}
+\underline{
\mathsf{z}}
+\underline{
\mathsf{y}}
\rceil 
, 
p_0
, 
\mathsf {c}
)
]$

$
[Three2threeFactors
\stackrel{
stmt
}{\rightarrow}ZFsub
\vdash 
\forall \underline{
\mathsf{x}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf{y}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf{z}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf {u}}
\colon \underline{
\mathsf{y}}
*\underline{
\mathsf{z}}
 = \underline{
\mathsf {u}}
\vdash \underline{
\mathsf{x}}
*\underline{
\mathsf{y}}
*\underline{
\mathsf{z}}
 = \underline{
\mathsf{x}}
*\underline{
\mathsf {u}}
]$

$
[Three2threeFactors
\stackrel{
proof
}{\rightarrow}
\lambda 
\mathsf {c}
.
\lambda 
\mathsf{x}
.
{\cal P}( 
\lceil ZFsub
\vdash 
\forall \underline{
\mathsf{x}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf{y}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf{z}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf {u}}
\colon \underline{
\mathsf{y}}
*\underline{
\mathsf{z}}
 = \underline{
\mathsf {u}}
\vdash EqMultiplicationLeft
\rhd \underline{
\mathsf{y}}
*\underline{
\mathsf{z}}
 = \underline{
\mathsf {u}}
\gg \underline{
\mathsf{x}}
*\underline{
\mathsf{y}}
*\underline{
\mathsf{z}}
 = \underline{
\mathsf{x}}
*\underline{
\mathsf {u}}
; timesAssociativity
\gg \underline{
\mathsf{x}}
*\underline{
\mathsf{y}}
*\underline{
\mathsf{z}}
 = \underline{
\mathsf{x}}
*\underline{
\mathsf{y}}
*\underline{
\mathsf{z}}
; eqTransitivity
\rhd \underline{
\mathsf{x}}
*\underline{
\mathsf{y}}
*\underline{
\mathsf{z}}
 = \underline{
\mathsf{x}}
*\underline{
\mathsf{y}}
*\underline{
\mathsf{z}}
\rhd \underline{
\mathsf{x}}
*\underline{
\mathsf{y}}
*\underline{
\mathsf{z}}
 = \underline{
\mathsf{x}}
*\underline{
\mathsf {u}}
\gg \underline{
\mathsf{x}}
*\underline{
\mathsf{y}}
*\underline{
\mathsf{z}}
 = \underline{
\mathsf{x}}
*\underline{
\mathsf {u}}
\rceil 
, 
p_0
, 
\mathsf {c}
)
]$


$
[AddEquations
\stackrel{
stmt
}{\rightarrow}ZFsub
\vdash 
\forall \underline{
\mathsf{x}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf{y}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf{z}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf {u}}
\colon \underline{
\mathsf{x}}
 = \underline{
\mathsf{y}}
\vdash \underline{
\mathsf{z}}
 = \underline{
\mathsf {u}}
\vdash \underline{
\mathsf{x}}
+\underline{
\mathsf{z}}
 = \underline{
\mathsf{y}}
+\underline{
\mathsf {u}}
]$

$
[AddEquations
\stackrel{
proof
}{\rightarrow}
\lambda 
\mathsf {c}
.
\lambda 
\mathsf{x}
.
{\cal P}( 
\lceil ZFsub
\vdash 
\forall \underline{
\mathsf{x}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf{y}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf{z}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf {u}}
\colon \underline{
\mathsf{x}}
 = \underline{
\mathsf{y}}
\vdash \underline{
\mathsf{z}}
 = \underline{
\mathsf {u}}
\vdash eqAddition
\rhd \underline{
\mathsf{x}}
 = \underline{
\mathsf{y}}
\gg \underline{
\mathsf{x}}
+\underline{
\mathsf{z}}
 = \underline{
\mathsf{y}}
+\underline{
\mathsf{z}}
; 
\mbox{lemma eqAdditionLeft}
\rhd \underline{
\mathsf{z}}
 = \underline{
\mathsf {u}}
\gg \underline{
\mathsf{y}}
+\underline{
\mathsf{z}}
 = \underline{
\mathsf{y}}
+\underline{
\mathsf {u}}
; eqTransitivity
\rhd \underline{
\mathsf{x}}
+\underline{
\mathsf{z}}
 = \underline{
\mathsf{y}}
+\underline{
\mathsf{z}}
\rhd \underline{
\mathsf{y}}
+\underline{
\mathsf{z}}
 = \underline{
\mathsf{y}}
+\underline{
\mathsf {u}}
\gg \underline{
\mathsf{x}}
+\underline{
\mathsf{z}}
 = \underline{
\mathsf{y}}
+\underline{
\mathsf {u}}
\rceil 
, 
p_0
, 
\mathsf {c}
)
]$

$
[SubtractEquations
\stackrel{
stmt
}{\rightarrow}ZFsub
\vdash 
\forall \underline{
\mathsf{x}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf{y}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf{z}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf {u}}
\colon \underline{
\mathsf{x}}
+\underline{
\mathsf{z}}
 = \underline{
\mathsf{y}}
+\underline{
\mathsf {u}}
\vdash \underline{
\mathsf{z}}
 = \underline{
\mathsf {u}}
\vdash \underline{
\mathsf{x}}
 = \underline{
\mathsf{y}}
]$

$
[SubtractEquations
\stackrel{
proof
}{\rightarrow}
\lambda 
\mathsf {c}
.
\lambda 
\mathsf{x}
.
{\cal P}( 
\lceil ZFsub
\vdash 
\forall \underline{
\mathsf{x}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf{y}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf{z}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf {u}}
\colon \underline{
\mathsf{x}}
+\underline{
\mathsf{z}}
 = \underline{
\mathsf{y}}
+\underline{
\mathsf {u}}
\vdash \underline{
\mathsf{z}}
 = \underline{
\mathsf {u}}
\vdash eqAddition
\rhd \underline{
\mathsf{x}}
+\underline{
\mathsf{z}}
 = \underline{
\mathsf{y}}
+\underline{
\mathsf {u}}
\gg \underline{
\mathsf{x}}
+\underline{
\mathsf{z}}
+-\underline{
\mathsf{z}}
 = \underline{
\mathsf{y}}
+\underline{
\mathsf {u}}
+-\underline{
\mathsf{z}}
; plus0Left
\gg 0
+\underline{
\mathsf{z}}
 = \underline{
\mathsf{z}}
; eqTransitivity
\rhd 0
+\underline{
\mathsf{z}}
 = \underline{
\mathsf{z}}
\rhd \underline{
\mathsf{z}}
 = \underline{
\mathsf {u}}
\gg 0
+\underline{
\mathsf{z}}
 = \underline{
\mathsf {u}}
; PositiveToRight(Eq)
\rhd 0
+\underline{
\mathsf{z}}
 = \underline{
\mathsf {u}}
\gg 0
 = \underline{
\mathsf {u}}
+-\underline{
\mathsf{z}}
; eqSymmetry
\rhd 0
 = \underline{
\mathsf {u}}
+-\underline{
\mathsf{z}}
\gg \underline{
\mathsf {u}}
+-\underline{
\mathsf{z}}
 = 0
; 
\mbox{lemma eqAdditionLeft}
\rhd \underline{
\mathsf {u}}
+-\underline{
\mathsf{z}}
 = 0
\gg \underline{
\mathsf{y}}
+\underline{
\mathsf {u}}
+-\underline{
\mathsf{z}}
 = \underline{
\mathsf{y}}
+0
; plusAssociativity
\gg \underline{
\mathsf{y}}
+\underline{
\mathsf {u}}
+-\underline{
\mathsf{z}}
 = \underline{
\mathsf{y}}
+\underline{
\mathsf {u}}
+-\underline{
\mathsf{z}}
; plus0
\gg \underline{
\mathsf{y}}
+0
 = \underline{
\mathsf{y}}
; eqTransitivity4
\rhd \underline{
\mathsf{y}}
+\underline{
\mathsf {u}}
+-\underline{
\mathsf{z}}
 = \underline{
\mathsf{y}}
+\underline{
\mathsf {u}}
+-\underline{
\mathsf{z}}
\rhd \underline{
\mathsf{y}}
+\underline{
\mathsf {u}}
+-\underline{
\mathsf{z}}
 = \underline{
\mathsf{y}}
+0
\rhd \underline{
\mathsf{y}}
+0
 = \underline{
\mathsf{y}}
\gg \underline{
\mathsf{y}}
+\underline{
\mathsf {u}}
+-\underline{
\mathsf{z}}
 = \underline{
\mathsf{y}}
; x=x+y-y
\gg \underline{
\mathsf{x}}
 = \underline{
\mathsf{x}}
+\underline{
\mathsf{z}}
+-\underline{
\mathsf{z}}
; eqTransitivity4
\rhd \underline{
\mathsf{x}}
 = \underline{
\mathsf{x}}
+\underline{
\mathsf{z}}
+-\underline{
\mathsf{z}}
\rhd \underline{
\mathsf{x}}
+\underline{
\mathsf{z}}
+-\underline{
\mathsf{z}}
 = \underline{
\mathsf{y}}
+\underline{
\mathsf {u}}
+-\underline{
\mathsf{z}}
\rhd \underline{
\mathsf{y}}
+\underline{
\mathsf {u}}
+-\underline{
\mathsf{z}}
 = \underline{
\mathsf{y}}
\gg \underline{
\mathsf{x}}
 = \underline{
\mathsf{y}}
\rceil 
, 
p_0
, 
\mathsf {c}
)
]$

$
[SubtractEquationsLeft
\stackrel{
stmt
}{\rightarrow}ZFsub
\vdash 
\forall \underline{
\mathsf{x}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf{y}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf{z}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf {u}}
\colon \underline{
\mathsf{x}}
+\underline{
\mathsf{z}}
 = \underline{
\mathsf{y}}
+\underline{
\mathsf {u}}
\vdash \underline{
\mathsf{x}}
 = \underline{
\mathsf{y}}
\vdash \underline{
\mathsf{z}}
 = \underline{
\mathsf {u}}
]$

$
[SubtractEquationsLeft
\stackrel{
proof
}{\rightarrow}
\lambda 
\mathsf {c}
.
\lambda 
\mathsf{x}
.
{\cal P}( 
\lceil ZFsub
\vdash 
\forall \underline{
\mathsf{x}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf{y}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf{z}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf {u}}
\colon \underline{
\mathsf{x}}
+\underline{
\mathsf{z}}
 = \underline{
\mathsf{y}}
+\underline{
\mathsf {u}}
\vdash \underline{
\mathsf{x}}
 = \underline{
\mathsf{y}}
\vdash plusCommutativity
\gg \underline{
\mathsf{z}}
+\underline{
\mathsf{x}}
 = \underline{
\mathsf{x}}
+\underline{
\mathsf{z}}
; plusCommutativity
\gg \underline{
\mathsf{y}}
+\underline{
\mathsf {u}}
 = \underline{
\mathsf {u}}
+\underline{
\mathsf{y}}
; eqTransitivity4
\rhd \underline{
\mathsf{z}}
+\underline{
\mathsf{x}}
 = \underline{
\mathsf{x}}
+\underline{
\mathsf{z}}
\rhd \underline{
\mathsf{x}}
+\underline{
\mathsf{z}}
 = \underline{
\mathsf{y}}
+\underline{
\mathsf {u}}
\rhd \underline{
\mathsf{y}}
+\underline{
\mathsf {u}}
 = \underline{
\mathsf {u}}
+\underline{
\mathsf{y}}
\gg \underline{
\mathsf{z}}
+\underline{
\mathsf{x}}
 = \underline{
\mathsf {u}}
+\underline{
\mathsf{y}}
; SubtractEquations
\rhd \underline{
\mathsf{z}}
+\underline{
\mathsf{x}}
 = \underline{
\mathsf {u}}
+\underline{
\mathsf{y}}
\rhd \underline{
\mathsf{x}}
 = \underline{
\mathsf{y}}
\gg \underline{
\mathsf{z}}
 = \underline{
\mathsf {u}}
\rceil 
, 
p_0
, 
\mathsf {c}
)
]$

$
[EqNegated
\stackrel{
stmt
}{\rightarrow}ZFsub
\vdash 
\forall \underline{
\mathsf{x}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf{y}}
\colon \underline{
\mathsf{x}}
 = \underline{
\mathsf{y}}
\vdash -\underline{
\mathsf{x}}
 = -\underline{
\mathsf{y}}
]$

$
[EqNegated
\stackrel{
proof
}{\rightarrow}
\lambda 
\mathsf {c}
.
\lambda 
\mathsf{x}
.
{\cal P}( 
\lceil ZFsub
\vdash 
\forall \underline{
\mathsf{x}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf{y}}
\colon \underline{
\mathsf{x}}
 = \underline{
\mathsf{y}}
\vdash Negative
\gg \underline{
\mathsf{x}}
+-\underline{
\mathsf{x}}
 = 0
; Negative
\gg \underline{
\mathsf{y}}
+-\underline{
\mathsf{y}}
 = 0
; eqSymmetry
\rhd \underline{
\mathsf{y}}
+-\underline{
\mathsf{y}}
 = 0
\gg 0
 = \underline{
\mathsf{y}}
+-\underline{
\mathsf{y}}
; eqTransitivity
\rhd \underline{
\mathsf{x}}
+-\underline{
\mathsf{x}}
 = 0
\rhd 0
 = \underline{
\mathsf{y}}
+-\underline{
\mathsf{y}}
\gg \underline{
\mathsf{x}}
+-\underline{
\mathsf{x}}
 = \underline{
\mathsf{y}}
+-\underline{
\mathsf{y}}
; SubtractEquationsLeft
\rhd \underline{
\mathsf{x}}
+-\underline{
\mathsf{x}}
 = \underline{
\mathsf{y}}
+-\underline{
\mathsf{y}}
\rhd \underline{
\mathsf{x}}
 = \underline{
\mathsf{y}}
\gg -\underline{
\mathsf{x}}
 = -\underline{
\mathsf{y}}
\rceil 
, 
p_0
, 
\mathsf {c}
)
]$

$
[PositiveToRight(Eq)
\stackrel{
stmt
}{\rightarrow}ZFsub
\vdash 
\forall \underline{
\mathsf{x}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf{y}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf{z}}
\colon \underline{
\mathsf{x}}
+\underline{
\mathsf{y}}
 = \underline{
\mathsf{z}}
\vdash \underline{
\mathsf{x}}
 = \underline{
\mathsf{z}}
+-\underline{
\mathsf{y}}
]$

$
[PositiveToRight(Eq)
\stackrel{
proof
}{\rightarrow}
\lambda 
\mathsf {c}
.
\lambda 
\mathsf{x}
.
{\cal P}( 
\lceil ZFsub
\vdash 
\forall \underline{
\mathsf{x}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf{y}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf{z}}
\colon \underline{
\mathsf{x}}
+\underline{
\mathsf{y}}
 = \underline{
\mathsf{z}}
\vdash eqAddition
\rhd \underline{
\mathsf{x}}
+\underline{
\mathsf{y}}
 = \underline{
\mathsf{z}}
\gg \underline{
\mathsf{x}}
+\underline{
\mathsf{y}}
+-\underline{
\mathsf{y}}
 = \underline{
\mathsf{z}}
+-\underline{
\mathsf{y}}
; x=x+y-y
\gg \underline{
\mathsf{x}}
 = \underline{
\mathsf{x}}
+\underline{
\mathsf{y}}
+-\underline{
\mathsf{y}}
; eqTransitivity
\rhd \underline{
\mathsf{x}}
 = \underline{
\mathsf{x}}
+\underline{
\mathsf{y}}
+-\underline{
\mathsf{y}}
\rhd \underline{
\mathsf{x}}
+\underline{
\mathsf{y}}
+-\underline{
\mathsf{y}}
 = \underline{
\mathsf{z}}
+-\underline{
\mathsf{y}}
\gg \underline{
\mathsf{x}}
 = \underline{
\mathsf{z}}
+-\underline{
\mathsf{y}}
\rceil 
, 
p_0
, 
\mathsf {c}
)
]$

$
[PositiveToLeft(Eq)(1 term)
\stackrel{
stmt
}{\rightarrow}ZFsub
\vdash 
\forall \underline{
\mathsf{x}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf{y}}
\colon \underline{
\mathsf{x}}
 = \underline{
\mathsf{y}}
\vdash \underline{
\mathsf{x}}
+-\underline{
\mathsf{y}}
 = 0
]$

$
[PositiveToLeft(Eq)(1 term)
\stackrel{
proof
}{\rightarrow}
\lambda 
\mathsf {c}
.
\lambda 
\mathsf{x}
.
{\cal P}( 
\lceil ZFsub
\vdash 
\forall \underline{
\mathsf{x}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf{y}}
\colon \underline{
\mathsf{x}}
 = \underline{
\mathsf{y}}
\vdash eqAddition
\rhd \underline{
\mathsf{x}}
 = \underline{
\mathsf{y}}
\gg \underline{
\mathsf{x}}
+-\underline{
\mathsf{y}}
 = \underline{
\mathsf{y}}
+-\underline{
\mathsf{y}}
; Negative
\gg \underline{
\mathsf{y}}
+-\underline{
\mathsf{y}}
 = 0
; eqTransitivity
\rhd \underline{
\mathsf{x}}
+-\underline{
\mathsf{y}}
 = \underline{
\mathsf{y}}
+-\underline{
\mathsf{y}}
\rhd \underline{
\mathsf{y}}
+-\underline{
\mathsf{y}}
 = 0
\gg \underline{
\mathsf{x}}
+-\underline{
\mathsf{y}}
 = 0
\rceil 
, 
p_0
, 
\mathsf {c}
)
]$


$
[PositiveToRight(Leq)(1 term)
\stackrel{
stmt
}{\rightarrow}ZFsub
\vdash 
\forall \underline{
\mathsf{y}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf{z}}
\colon \underline{
\mathsf{y}}
 <= \underline{
\mathsf{z}}
\vdash 0
 <= \underline{
\mathsf{z}}
+-\underline{
\mathsf{y}}
]$

$
[PositiveToRight(Leq)(1 term)
\stackrel{
proof
}{\rightarrow}
\lambda 
\mathsf {c}
.
\lambda 
\mathsf{x}
.
{\cal P}( 
\lceil ZFsub
\vdash 
\forall \underline{
\mathsf{y}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf{z}}
\colon \underline{
\mathsf{y}}
 <= \underline{
\mathsf{z}}
\vdash plus0Left
\gg 0
+\underline{
\mathsf{y}}
 = \underline{
\mathsf{y}}
; eqSymmetry
\rhd 0
+\underline{
\mathsf{y}}
 = \underline{
\mathsf{y}}
\gg \underline{
\mathsf{y}}
 = 0
+\underline{
\mathsf{y}}
; subLeqLeft
\rhd \underline{
\mathsf{y}}
 = 0
+\underline{
\mathsf{y}}
\rhd \underline{
\mathsf{y}}
 <= \underline{
\mathsf{z}}
\gg 0
+\underline{
\mathsf{y}}
 <= \underline{
\mathsf{z}}
; PositiveToRight(Leq)
\rhd 0
+\underline{
\mathsf{y}}
 <= \underline{
\mathsf{z}}
\gg 0
 <= \underline{
\mathsf{z}}
+-\underline{
\mathsf{y}}
\rceil 
, 
p_0
, 
\mathsf {c}
)
]$


$
[NegativeToLeft(Eq)
\stackrel{
stmt
}{\rightarrow}ZFsub
\vdash 
\forall \underline{
\mathsf{x}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf{y}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf{z}}
\colon \underline{
\mathsf{x}}
 = \underline{
\mathsf{y}}
+-\underline{
\mathsf{z}}
\vdash \underline{
\mathsf{x}}
+\underline{
\mathsf{z}}
 = \underline{
\mathsf{y}}
]$

$
[NegativeToLeft(Eq)
\stackrel{
proof
}{\rightarrow}
\lambda 
\mathsf {c}
.
\lambda 
\mathsf{x}
.
{\cal P}( 
\lceil ZFsub
\vdash 
\forall \underline{
\mathsf{x}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf{y}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf{z}}
\colon \underline{
\mathsf{x}}
 = \underline{
\mathsf{y}}
+-\underline{
\mathsf{z}}
\vdash eqAddition
\rhd \underline{
\mathsf{x}}
 = \underline{
\mathsf{y}}
+-\underline{
\mathsf{z}}
\gg \underline{
\mathsf{x}}
+\underline{
\mathsf{z}}
 = \underline{
\mathsf{y}}
+-\underline{
\mathsf{z}}
+\underline{
\mathsf{z}}
; Three2threeTerms
\gg \underline{
\mathsf{y}}
+-\underline{
\mathsf{z}}
+\underline{
\mathsf{z}}
 = \underline{
\mathsf{y}}
+\underline{
\mathsf{z}}
+-\underline{
\mathsf{z}}
; x=x+y-y
\gg \underline{
\mathsf{y}}
 = \underline{
\mathsf{y}}
+\underline{
\mathsf{z}}
+-\underline{
\mathsf{z}}
; eqSymmetry
\rhd \underline{
\mathsf{y}}
 = \underline{
\mathsf{y}}
+\underline{
\mathsf{z}}
+-\underline{
\mathsf{z}}
\gg \underline{
\mathsf{y}}
+\underline{
\mathsf{z}}
+-\underline{
\mathsf{z}}
 = \underline{
\mathsf{y}}
; eqTransitivity4
\rhd \underline{
\mathsf{x}}
+\underline{
\mathsf{z}}
 = \underline{
\mathsf{y}}
+-\underline{
\mathsf{z}}
+\underline{
\mathsf{z}}
\rhd \underline{
\mathsf{y}}
+-\underline{
\mathsf{z}}
+\underline{
\mathsf{z}}
 = \underline{
\mathsf{y}}
+\underline{
\mathsf{z}}
+-\underline{
\mathsf{z}}
\rhd \underline{
\mathsf{y}}
+\underline{
\mathsf{z}}
+-\underline{
\mathsf{z}}
 = \underline{
\mathsf{y}}
\gg \underline{
\mathsf{x}}
+\underline{
\mathsf{z}}
 = \underline{
\mathsf{y}}
\rceil 
, 
p_0
, 
\mathsf {c}
)
]$

(*** NO EQUALITY ***)

$
[LessNeq
\stackrel{
stmt
}{\rightarrow}ZFsub
\vdash 
\forall \underline{
\mathsf{x}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf{y}}
\colon \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf{x}}
 <= \underline{
\mathsf{y}}
\Rightarrow \dot{\neg}\, \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf{x}}
 = \underline{
\mathsf{y}}
\vdash \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf{x}}
 = \underline{
\mathsf{y}}
]$

$
[LessNeq
\stackrel{
proof
}{\rightarrow}
\lambda 
\mathsf {c}
.
\lambda 
\mathsf{x}
.
{\cal P}( 
\lceil ZFsub
\vdash 
\forall \underline{
\mathsf{x}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf{y}}
\colon \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf{x}}
 <= \underline{
\mathsf{y}}
\Rightarrow \dot{\neg}\, \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf{x}}
 = \underline{
\mathsf{y}}
\vdash Repetition
\rhd \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf{x}}
 <= \underline{
\mathsf{y}}
\Rightarrow \dot{\neg}\, \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf{x}}
 = \underline{
\mathsf{y}}
\gg \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf{x}}
 <= \underline{
\mathsf{y}}
\Rightarrow \dot{\neg}\, \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf{x}}
 = \underline{
\mathsf{y}}
; SecondConjunct
\rhd \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf{x}}
 <= \underline{
\mathsf{y}}
\Rightarrow \dot{\neg}\, \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf{x}}
 = \underline{
\mathsf{y}}
\gg \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf{x}}
 = \underline{
\mathsf{y}}
\rceil 
, 
p_0
, 
\mathsf {c}
)
]$

$
[NeqSymmetry
\stackrel{
stmt
}{\rightarrow}ZFsub
\vdash 
\forall \underline{
\mathsf{x}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf{y}}
\colon \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf{x}}
 = \underline{
\mathsf{y}}
\vdash \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf{y}}
 = \underline{
\mathsf{x}}
]$

$
[NeqSymmetry
\stackrel{
proof
}{\rightarrow}
\lambda 
\mathsf {c}
.
\lambda 
\mathsf{x}
.
{\cal P}( 
\lceil ZFsub
\vdash 
\forall \underline{
\mathsf{x}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf{y}}
\colon \underline{
\mathsf{y}}
 = \underline{
\mathsf{x}}
\vdash eqSymmetry
\rhd \underline{
\mathsf{y}}
 = \underline{
\mathsf{x}}
\gg \underline{
\mathsf{x}}
 = \underline{
\mathsf{y}}
; 
\forall \underline{
\mathsf{x}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf{y}}
\colon Ded
\rhd 
\forall \underline{
\mathsf{x}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf{y}}
\colon \underline{
\mathsf{y}}
 = \underline{
\mathsf{x}}
\vdash \underline{
\mathsf{x}}
 = \underline{
\mathsf{y}}
\gg \underline{
\mathsf{y}}
 = \underline{
\mathsf{x}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf{x}}
 = \underline{
\mathsf{y}}
; \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf{x}}
 = \underline{
\mathsf{y}}
\vdash MT
\rhd \underline{
\mathsf{y}}
 = \underline{
\mathsf{x}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf{x}}
 = \underline{
\mathsf{y}}
\rhd \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf{x}}
 = \underline{
\mathsf{y}}
\gg \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf{y}}
 = \underline{
\mathsf{x}}
\rceil 
, 
p_0
, 
\mathsf {c}
)
]$

$
[NeqNegated
\stackrel{
stmt
}{\rightarrow}ZFsub
\vdash 
\forall \underline{
\mathsf{x}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf{y}}
\colon \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf{x}}
 = \underline{
\mathsf{y}}
\vdash \dot{\neg}\, -\underline{
\mathsf{x}}
 = -\underline{
\mathsf{y}}
]$

$
[NeqNegated
\stackrel{
proof
}{\rightarrow}
\lambda 
\mathsf {c}
.
\lambda 
\mathsf{x}
.
{\cal P}( 
\lceil ZFsub
\vdash 
\forall \underline{
\mathsf{x}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf{y}}
\colon \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf{x}}
 = \underline{
\mathsf{y}}
\vdash -\underline{
\mathsf{x}}
 = -\underline{
\mathsf{y}}
\vdash EqNegated
\rhd -\underline{
\mathsf{x}}
 = -\underline{
\mathsf{y}}
\gg --\underline{
\mathsf{x}}
 = --\underline{
\mathsf{y}}
; DoubleMinus
\gg --\underline{
\mathsf{x}}
 = \underline{
\mathsf{x}}
; eqSymmetry
\rhd --\underline{
\mathsf{x}}
 = \underline{
\mathsf{x}}
\gg \underline{
\mathsf{x}}
 = --\underline{
\mathsf{x}}
; DoubleMinus
\gg --\underline{
\mathsf{y}}
 = \underline{
\mathsf{y}}
; eqTransitivity4
\rhd \underline{
\mathsf{x}}
 = --\underline{
\mathsf{x}}
\rhd --\underline{
\mathsf{x}}
 = --\underline{
\mathsf{y}}
\rhd --\underline{
\mathsf{y}}
 = \underline{
\mathsf{y}}
\gg \underline{
\mathsf{x}}
 = \underline{
\mathsf{y}}
; FromContradiction
\rhd \underline{
\mathsf{x}}
 = \underline{
\mathsf{y}}
\rhd \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf{x}}
 = \underline{
\mathsf{y}}
\gg \dot{\neg}\, -\underline{
\mathsf{x}}
 = -\underline{
\mathsf{y}}
; 
\forall \underline{
\mathsf{x}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf{y}}
\colon Ded
\rhd 
\forall \underline{
\mathsf{x}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf{y}}
\colon \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf{x}}
 = \underline{
\mathsf{y}}
\vdash -\underline{
\mathsf{x}}
 = -\underline{
\mathsf{y}}
\vdash \dot{\neg}\, -\underline{
\mathsf{x}}
 = -\underline{
\mathsf{y}}
\gg \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf{x}}
 = \underline{
\mathsf{y}}
\Rightarrow -\underline{
\mathsf{x}}
 = -\underline{
\mathsf{y}}
\Rightarrow \dot{\neg}\, -\underline{
\mathsf{x}}
 = -\underline{
\mathsf{y}}
; \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf{x}}
 = \underline{
\mathsf{y}}
\vdash MP
\rhd \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf{x}}
 = \underline{
\mathsf{y}}
\Rightarrow -\underline{
\mathsf{x}}
 = -\underline{
\mathsf{y}}
\Rightarrow \dot{\neg}\, -\underline{
\mathsf{x}}
 = -\underline{
\mathsf{y}}
\rhd \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf{x}}
 = \underline{
\mathsf{y}}
\gg -\underline{
\mathsf{x}}
 = -\underline{
\mathsf{y}}
\Rightarrow \dot{\neg}\, -\underline{
\mathsf{x}}
 = -\underline{
\mathsf{y}}
; ImplyNegation
\rhd -\underline{
\mathsf{x}}
 = -\underline{
\mathsf{y}}
\Rightarrow \dot{\neg}\, -\underline{
\mathsf{x}}
 = -\underline{
\mathsf{y}}
\gg \dot{\neg}\, -\underline{
\mathsf{x}}
 = -\underline{
\mathsf{y}}
\rceil 
, 
p_0
, 
\mathsf {c}
)
]$

$
[SubNeqRight
\stackrel{
stmt
}{\rightarrow}ZFsub
\vdash 
\forall \underline{
\mathsf{x}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf{y}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf{z}}
\colon \underline{
\mathsf{x}}
 = \underline{
\mathsf{y}}
\vdash \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf{z}}
 = \underline{
\mathsf{x}}
\vdash \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf{z}}
 = \underline{
\mathsf{y}}
]$

$
[SubNeqRight
\stackrel{
proof
}{\rightarrow}
\lambda 
\mathsf {c}
.
\lambda 
\mathsf{x}
.
{\cal P}( 
\lceil ZFsub
\vdash 
\forall \underline{
\mathsf{x}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf{y}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf{z}}
\colon \underline{
\mathsf{x}}
 = \underline{
\mathsf{y}}
\vdash \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf{z}}
 = \underline{
\mathsf{x}}
\vdash NeqSymmetry
\rhd \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf{z}}
 = \underline{
\mathsf{x}}
\gg \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf{x}}
 = \underline{
\mathsf{z}}
; SubNeqLeft
\rhd \underline{
\mathsf{x}}
 = \underline{
\mathsf{y}}
\rhd \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf{x}}
 = \underline{
\mathsf{z}}
\gg \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf{y}}
 = \underline{
\mathsf{z}}
; NeqSymmetry
\rhd \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf{y}}
 = \underline{
\mathsf{z}}
\gg \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf{z}}
 = \underline{
\mathsf{y}}
\rceil 
, 
p_0
, 
\mathsf {c}
)
]$

$
[SubNeqLeft
\stackrel{
stmt
}{\rightarrow}ZFsub
\vdash 
\forall \underline{
\mathsf{x}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf{y}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf{z}}
\colon \underline{
\mathsf{x}}
 = \underline{
\mathsf{y}}
\vdash \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf{x}}
 = \underline{
\mathsf{z}}
\vdash \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf{y}}
 = \underline{
\mathsf{z}}
]$

$
[SubNeqLeft
\stackrel{
proof
}{\rightarrow}
\lambda 
\mathsf {c}
.
\lambda 
\mathsf{x}
.
{\cal P}( 
\lceil ZFsub
\vdash 
\forall \underline{
\mathsf{x}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf{y}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf{z}}
\colon \underline{
\mathsf{x}}
 = \underline{
\mathsf{y}}
\vdash \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf{x}}
 = \underline{
\mathsf{z}}
\vdash equalityAxiom
\gg \underline{
\mathsf{y}}
 = \underline{
\mathsf{x}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf{y}}
 = \underline{
\mathsf{z}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf{x}}
 = \underline{
\mathsf{z}}
; eqSymmetry
\rhd \underline{
\mathsf{x}}
 = \underline{
\mathsf{y}}
\gg \underline{
\mathsf{y}}
 = \underline{
\mathsf{x}}
; MP
\rhd \underline{
\mathsf{y}}
 = \underline{
\mathsf{x}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf{y}}
 = \underline{
\mathsf{z}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf{x}}
 = \underline{
\mathsf{z}}
\rhd \underline{
\mathsf{y}}
 = \underline{
\mathsf{x}}
\gg \underline{
\mathsf{y}}
 = \underline{
\mathsf{z}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf{x}}
 = \underline{
\mathsf{z}}
; Contrapositive
\rhd \underline{
\mathsf{y}}
 = \underline{
\mathsf{z}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf{x}}
 = \underline{
\mathsf{z}}
\gg \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf{x}}
 = \underline{
\mathsf{z}}
\Rightarrow \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf{y}}
 = \underline{
\mathsf{z}}
; MP
\rhd \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf{x}}
 = \underline{
\mathsf{z}}
\Rightarrow \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf{y}}
 = \underline{
\mathsf{z}}
\rhd \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf{x}}
 = \underline{
\mathsf{z}}
\gg \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf{y}}
 = \underline{
\mathsf{z}}
\rceil 
, 
p_0
, 
\mathsf {c}
)
]$

$
[NeqAddition
\stackrel{
stmt
}{\rightarrow}ZFsub
\vdash 
\forall \underline{
\mathsf{x}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf{y}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf{z}}
\colon \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf{x}}
 = \underline{
\mathsf{y}}
\vdash \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf{x}}
+\underline{
\mathsf{z}}
 = \underline{
\mathsf{y}}
+\underline{
\mathsf{z}}
]$

$
[NeqAddition
\stackrel{
proof
}{\rightarrow}
\lambda 
\mathsf {c}
.
\lambda 
\mathsf{x}
.
{\cal P}( 
\lceil ZFsub
\vdash 
\forall \underline{
\mathsf{x}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf{y}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf{z}}
\colon \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf{x}}
 = \underline{
\mathsf{y}}
\vdash \underline{
\mathsf{x}}
+\underline{
\mathsf{z}}
 = \underline{
\mathsf{y}}
+\underline{
\mathsf{z}}
\vdash eqReflexivity
\gg \underline{
\mathsf{z}}
 = \underline{
\mathsf{z}}
; SubtractEquations
\rhd \underline{
\mathsf{x}}
+\underline{
\mathsf{z}}
 = \underline{
\mathsf{y}}
+\underline{
\mathsf{z}}
\rhd \underline{
\mathsf{z}}
 = \underline{
\mathsf{z}}
\gg \underline{
\mathsf{x}}
 = \underline{
\mathsf{y}}
; FromContradiction
\rhd \underline{
\mathsf{x}}
 = \underline{
\mathsf{y}}
\rhd \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf{x}}
 = \underline{
\mathsf{y}}
\gg \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf{x}}
+\underline{
\mathsf{z}}
 = \underline{
\mathsf{y}}
+\underline{
\mathsf{z}}
; 
\forall \underline{
\mathsf{x}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf{y}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf{z}}
\colon Ded
\rhd 
\forall \underline{
\mathsf{x}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf{y}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf{z}}
\colon \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf{x}}
 = \underline{
\mathsf{y}}
\vdash \underline{
\mathsf{x}}
+\underline{
\mathsf{z}}
 = \underline{
\mathsf{y}}
+\underline{
\mathsf{z}}
\vdash \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf{x}}
+\underline{
\mathsf{z}}
 = \underline{
\mathsf{y}}
+\underline{
\mathsf{z}}
\gg \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf{x}}
 = \underline{
\mathsf{y}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf{x}}
+\underline{
\mathsf{z}}
 = \underline{
\mathsf{y}}
+\underline{
\mathsf{z}}
\Rightarrow \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf{x}}
+\underline{
\mathsf{z}}
 = \underline{
\mathsf{y}}
+\underline{
\mathsf{z}}
; \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf{x}}
 = \underline{
\mathsf{y}}
\vdash MP
\rhd \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf{x}}
 = \underline{
\mathsf{y}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf{x}}
+\underline{
\mathsf{z}}
 = \underline{
\mathsf{y}}
+\underline{
\mathsf{z}}
\Rightarrow \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf{x}}
+\underline{
\mathsf{z}}
 = \underline{
\mathsf{y}}
+\underline{
\mathsf{z}}
\rhd \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf{x}}
 = \underline{
\mathsf{y}}
\gg \underline{
\mathsf{x}}
+\underline{
\mathsf{z}}
 = \underline{
\mathsf{y}}
+\underline{
\mathsf{z}}
\Rightarrow \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf{x}}
+\underline{
\mathsf{z}}
 = \underline{
\mathsf{y}}
+\underline{
\mathsf{z}}
; ImplyNegation
\rhd \underline{
\mathsf{x}}
+\underline{
\mathsf{z}}
 = \underline{
\mathsf{y}}
+\underline{
\mathsf{z}}
\Rightarrow \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf{x}}
+\underline{
\mathsf{z}}
 = \underline{
\mathsf{y}}
+\underline{
\mathsf{z}}
\gg \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf{x}}
+\underline{
\mathsf{z}}
 = \underline{
\mathsf{y}}
+\underline{
\mathsf{z}}
\rceil 
, 
p_0
, 
\mathsf {c}
)
]$


$
[NeqMultiplication
\stackrel{
stmt
}{\rightarrow}ZFsub
\vdash 
\forall \underline{
\mathsf{x}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf{y}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf{z}}
\colon \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf{z}}
 = 0
\vdash \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf{x}}
 = \underline{
\mathsf{y}}
\vdash \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf{x}}
*\underline{
\mathsf{z}}
 = \underline{
\mathsf{y}}
*\underline{
\mathsf{z}}
]$

$
[NeqMultiplication
\stackrel{
proof
}{\rightarrow}
\lambda 
\mathsf {c}
.
\lambda 
\mathsf{x}
.
{\cal P}( 
\lceil ZFsub
\vdash 
\forall \underline{
\mathsf{x}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf{y}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf{z}}
\colon \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf{z}}
 = 0
\vdash \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf{x}}
 = \underline{
\mathsf{y}}
\vdash \underline{
\mathsf{x}}
*\underline{
\mathsf{z}}
 = \underline{
\mathsf{y}}
*\underline{
\mathsf{z}}
\vdash  
\rhd \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf{z}}
 = 0
\gg \underline{
\mathsf{x}}
 = \underline{
\mathsf{x}}
*\underline{
\mathsf{z}}
*rec\underline{
\mathsf{z}}
; eqMultiplication
\rhd \underline{
\mathsf{x}}
*\underline{
\mathsf{z}}
 = \underline{
\mathsf{y}}
*\underline{
\mathsf{z}}
\gg \underline{
\mathsf{x}}
*\underline{
\mathsf{z}}
*rec\underline{
\mathsf{z}}
 = \underline{
\mathsf{y}}
*\underline{
\mathsf{z}}
*rec\underline{
\mathsf{z}}
;  
\rhd \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf{z}}
 = 0
\gg \underline{
\mathsf{y}}
 = \underline{
\mathsf{y}}
*\underline{
\mathsf{z}}
*rec\underline{
\mathsf{z}}
; eqSymmetry
\rhd \underline{
\mathsf{y}}
 = \underline{
\mathsf{y}}
*\underline{
\mathsf{z}}
*rec\underline{
\mathsf{z}}
\gg \underline{
\mathsf{y}}
*\underline{
\mathsf{z}}
*rec\underline{
\mathsf{z}}
 = \underline{
\mathsf{y}}
; eqTransitivity4
\rhd \underline{
\mathsf{x}}
 = \underline{
\mathsf{x}}
*\underline{
\mathsf{z}}
*rec\underline{
\mathsf{z}}
\rhd \underline{
\mathsf{x}}
*\underline{
\mathsf{z}}
*rec\underline{
\mathsf{z}}
 = \underline{
\mathsf{y}}
*\underline{
\mathsf{z}}
*rec\underline{
\mathsf{z}}
\rhd \underline{
\mathsf{y}}
*\underline{
\mathsf{z}}
*rec\underline{
\mathsf{z}}
 = \underline{
\mathsf{y}}
\gg \underline{
\mathsf{x}}
 = \underline{
\mathsf{y}}
; FromContradiction
\rhd \underline{
\mathsf{x}}
 = \underline{
\mathsf{y}}
\rhd \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf{x}}
 = \underline{
\mathsf{y}}
\gg \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf{x}}
*\underline{
\mathsf{z}}
 = \underline{
\mathsf{y}}
*\underline{
\mathsf{z}}
; 
\forall \underline{
\mathsf{x}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf{y}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf{z}}
\colon Ded
\rhd 
\forall \underline{
\mathsf{x}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf{y}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf{z}}
\colon \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf{z}}
 = 0
\vdash \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf{x}}
 = \underline{
\mathsf{y}}
\vdash \underline{
\mathsf{x}}
*\underline{
\mathsf{z}}
 = \underline{
\mathsf{y}}
*\underline{
\mathsf{z}}
\vdash \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf{x}}
*\underline{
\mathsf{z}}
 = \underline{
\mathsf{y}}
*\underline{
\mathsf{z}}
\gg \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf{z}}
 = 0
\Rightarrow \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf{x}}
 = \underline{
\mathsf{y}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf{x}}
*\underline{
\mathsf{z}}
 = \underline{
\mathsf{y}}
*\underline{
\mathsf{z}}
\Rightarrow \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf{x}}
*\underline{
\mathsf{z}}
 = \underline{
\mathsf{y}}
*\underline{
\mathsf{z}}
; \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf{z}}
 = 0
\vdash \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf{x}}
 = \underline{
\mathsf{y}}
\vdash MP2
\rhd \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf{z}}
 = 0
\Rightarrow \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf{x}}
 = \underline{
\mathsf{y}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf{x}}
*\underline{
\mathsf{z}}
 = \underline{
\mathsf{y}}
*\underline{
\mathsf{z}}
\Rightarrow \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf{x}}
*\underline{
\mathsf{z}}
 = \underline{
\mathsf{y}}
*\underline{
\mathsf{z}}
\rhd \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf{z}}
 = 0
\rhd \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf{x}}
 = \underline{
\mathsf{y}}
\gg \underline{
\mathsf{x}}
*\underline{
\mathsf{z}}
 = \underline{
\mathsf{y}}
*\underline{
\mathsf{z}}
\Rightarrow \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf{x}}
*\underline{
\mathsf{z}}
 = \underline{
\mathsf{y}}
*\underline{
\mathsf{z}}
; ImplyNegation
\rhd \underline{
\mathsf{x}}
*\underline{
\mathsf{z}}
 = \underline{
\mathsf{y}}
*\underline{
\mathsf{z}}
\Rightarrow \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf{x}}
*\underline{
\mathsf{z}}
 = \underline{
\mathsf{y}}
*\underline{
\mathsf{z}}
\gg \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf{x}}
*\underline{
\mathsf{z}}
 = \underline{
\mathsf{y}}
*\underline{
\mathsf{z}}
\rceil 
, 
p_0
, 
\mathsf {c}
)
]$



(*** NEGATIVE ***)

$
[UniqueNegative
\stackrel{
stmt
}{\rightarrow}ZFsub
\vdash 
\forall \underline{
\mathsf{x}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf{y}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf{z}}
\colon \underline{
\mathsf{x}}
+\underline{
\mathsf{y}}
 = 0
\vdash \underline{
\mathsf{x}}
+\underline{
\mathsf{z}}
 = 0
\vdash \underline{
\mathsf{y}}
 = \underline{
\mathsf{z}}
]$

$
[UniqueNegative
\stackrel{
proof
}{\rightarrow}
\lambda 
\mathsf {c}
.
\lambda 
\mathsf{x}
.
{\cal P}( 
\lceil ZFsub
\vdash 
\forall \underline{
\mathsf{x}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf{y}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf{z}}
\colon \underline{
\mathsf{x}}
+\underline{
\mathsf{y}}
 = 0
\vdash \underline{
\mathsf{x}}
+\underline{
\mathsf{z}}
 = 0
\vdash plusCommutativity
\gg \underline{
\mathsf{y}}
+\underline{
\mathsf{x}}
 = \underline{
\mathsf{x}}
+\underline{
\mathsf{y}}
; eqTransitivity
\rhd \underline{
\mathsf{y}}
+\underline{
\mathsf{x}}
 = \underline{
\mathsf{x}}
+\underline{
\mathsf{y}}
\rhd \underline{
\mathsf{x}}
+\underline{
\mathsf{y}}
 = 0
\gg \underline{
\mathsf{y}}
+\underline{
\mathsf{x}}
 = 0
; PositiveToRight(Eq)
\rhd \underline{
\mathsf{y}}
+\underline{
\mathsf{x}}
 = 0
\gg \underline{
\mathsf{y}}
 = 0
+-\underline{
\mathsf{x}}
; plusCommutativity
\gg \underline{
\mathsf{z}}
+\underline{
\mathsf{x}}
 = \underline{
\mathsf{x}}
+\underline{
\mathsf{z}}
; eqTransitivity
\rhd \underline{
\mathsf{z}}
+\underline{
\mathsf{x}}
 = \underline{
\mathsf{x}}
+\underline{
\mathsf{z}}
\rhd \underline{
\mathsf{x}}
+\underline{
\mathsf{z}}
 = 0
\gg \underline{
\mathsf{z}}
+\underline{
\mathsf{x}}
 = 0
; PositiveToRight(Eq)
\rhd \underline{
\mathsf{z}}
+\underline{
\mathsf{x}}
 = 0
\gg \underline{
\mathsf{z}}
 = 0
+-\underline{
\mathsf{x}}
; eqSymmetry
\rhd \underline{
\mathsf{z}}
 = 0
+-\underline{
\mathsf{x}}
\gg 0
+-\underline{
\mathsf{x}}
 = \underline{
\mathsf{z}}
; eqTransitivity
\rhd \underline{
\mathsf{y}}
 = 0
+-\underline{
\mathsf{x}}
\rhd 0
+-\underline{
\mathsf{x}}
 = \underline{
\mathsf{z}}
\gg \underline{
\mathsf{y}}
 = \underline{
\mathsf{z}}
\rceil 
, 
p_0
, 
\mathsf {c}
)
]$

$
[DoubleMinus
\stackrel{
stmt
}{\rightarrow}ZFsub
\vdash 
\forall \underline{
\mathsf{x}}
\colon --\underline{
\mathsf{x}}
 = \underline{
\mathsf{x}}
]$

$
[DoubleMinus
\stackrel{
proof
}{\rightarrow}
\lambda 
\mathsf {c}
.
\lambda 
\mathsf{x}
.
{\cal P}( 
\lceil ZFsub
\vdash 
\forall \underline{
\mathsf{x}}
\colon Negative
\gg -\underline{
\mathsf{x}}
+--\underline{
\mathsf{x}}
 = 0
; x+y=zBackwards
\rhd -\underline{
\mathsf{x}}
+--\underline{
\mathsf{x}}
 = 0
\gg 0
 = --\underline{
\mathsf{x}}
+-\underline{
\mathsf{x}}
; NegativeToLeft(Eq)
\rhd 0
 = --\underline{
\mathsf{x}}
+-\underline{
\mathsf{x}}
\gg 0
+\underline{
\mathsf{x}}
 = --\underline{
\mathsf{x}}
; plus0Left
\gg 0
+\underline{
\mathsf{x}}
 = \underline{
\mathsf{x}}
; Equality
\rhd 0
+\underline{
\mathsf{x}}
 = --\underline{
\mathsf{x}}
\rhd 0
+\underline{
\mathsf{x}}
 = \underline{
\mathsf{x}}
\gg --\underline{
\mathsf{x}}
 = \underline{
\mathsf{x}}
\rceil 
, 
p_0
, 
\mathsf {c}
)
]$



(*** LEQ, nummer 1 af 2 ***)

$
[LeqLessEq
\stackrel{
stmt
}{\rightarrow}ZFsub
\vdash 
\forall \underline{
\mathsf{x}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf{y}}
\colon \underline{
\mathsf{x}}
 <= \underline{
\mathsf{y}}
\vdash \dot{\neg}\, \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf{x}}
 <= \underline{
\mathsf{y}}
\Rightarrow \dot{\neg}\, \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf{x}}
 = \underline{
\mathsf{y}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf{x}}
 = \underline{
\mathsf{y}}
]$

$
[LeqLessEq
\stackrel{
proof
}{\rightarrow}
\lambda 
\mathsf {c}
.
\lambda 
\mathsf{x}
.
{\cal P}( 
\lceil ZFsub
\vdash 
\forall \underline{
\mathsf{x}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf{y}}
\colon \underline{
\mathsf{x}}
 <= \underline{
\mathsf{y}}
\vdash \dot{\neg}\, \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf{x}}
 <= \underline{
\mathsf{y}}
\Rightarrow \dot{\neg}\, \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf{x}}
 = \underline{
\mathsf{y}}
\vdash fromNotLess
\rhd \dot{\neg}\, \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf{x}}
 <= \underline{
\mathsf{y}}
\Rightarrow \dot{\neg}\, \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf{x}}
 = \underline{
\mathsf{y}}
\gg \underline{
\mathsf{y}}
 <= \underline{
\mathsf{x}}
; leqAntisymmetry
\rhd \underline{
\mathsf{x}}
 <= \underline{
\mathsf{y}}
\rhd \underline{
\mathsf{y}}
 <= \underline{
\mathsf{x}}
\gg \underline{
\mathsf{x}}
 = \underline{
\mathsf{y}}
; 
\forall \underline{
\mathsf{x}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf{y}}
\colon Ded
\rhd 
\forall \underline{
\mathsf{x}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf{y}}
\colon \underline{
\mathsf{x}}
 <= \underline{
\mathsf{y}}
\vdash \dot{\neg}\, \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf{x}}
 <= \underline{
\mathsf{y}}
\Rightarrow \dot{\neg}\, \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf{x}}
 = \underline{
\mathsf{y}}
\vdash \underline{
\mathsf{x}}
 = \underline{
\mathsf{y}}
\gg \underline{
\mathsf{x}}
 <= \underline{
\mathsf{y}}
\Rightarrow \dot{\neg}\, \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf{x}}
 <= \underline{
\mathsf{y}}
\Rightarrow \dot{\neg}\, \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf{x}}
 = \underline{
\mathsf{y}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf{x}}
 = \underline{
\mathsf{y}}
; \underline{
\mathsf{x}}
 <= \underline{
\mathsf{y}}
\vdash MP
\rhd \underline{
\mathsf{x}}
 <= \underline{
\mathsf{y}}
\Rightarrow \dot{\neg}\, \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf{x}}
 <= \underline{
\mathsf{y}}
\Rightarrow \dot{\neg}\, \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf{x}}
 = \underline{
\mathsf{y}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf{x}}
 = \underline{
\mathsf{y}}
\rhd \underline{
\mathsf{x}}
 <= \underline{
\mathsf{y}}
\gg \dot{\neg}\, \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf{x}}
 <= \underline{
\mathsf{y}}
\Rightarrow \dot{\neg}\, \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf{x}}
 = \underline{
\mathsf{y}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf{x}}
 = \underline{
\mathsf{y}}
; Repetition
\rhd \dot{\neg}\, \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf{x}}
 <= \underline{
\mathsf{y}}
\Rightarrow \dot{\neg}\, \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf{x}}
 = \underline{
\mathsf{y}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf{x}}
 = \underline{
\mathsf{y}}
\gg \dot{\neg}\, \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf{x}}
 <= \underline{
\mathsf{y}}
\Rightarrow \dot{\neg}\, \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf{x}}
 = \underline{
\mathsf{y}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf{x}}
 = \underline{
\mathsf{y}}
\rceil 
, 
p_0
, 
\mathsf {c}
)
]$



$
[LessLeq
\stackrel{
stmt
}{\rightarrow}ZFsub
\vdash 
\forall \underline{
\mathsf{x}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf{y}}
\colon \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf{x}}
 <= \underline{
\mathsf{y}}
\Rightarrow \dot{\neg}\, \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf{x}}
 = \underline{
\mathsf{y}}
\vdash \underline{
\mathsf{x}}
 <= \underline{
\mathsf{y}}
]$

$
[LessLeq
\stackrel{
proof
}{\rightarrow}
\lambda 
\mathsf {c}
.
\lambda 
\mathsf{x}
.
{\cal P}( 
\lceil ZFsub
\vdash 
\forall \underline{
\mathsf{x}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf{y}}
\colon \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf{x}}
 <= \underline{
\mathsf{y}}
\Rightarrow \dot{\neg}\, \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf{x}}
 = \underline{
\mathsf{y}}
\vdash Repetition
\rhd \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf{x}}
 <= \underline{
\mathsf{y}}
\Rightarrow \dot{\neg}\, \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf{x}}
 = \underline{
\mathsf{y}}
\gg \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf{x}}
 <= \underline{
\mathsf{y}}
\Rightarrow \dot{\neg}\, \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf{x}}
 = \underline{
\mathsf{y}}
; FirstConjunct
\rhd \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf{x}}
 <= \underline{
\mathsf{y}}
\Rightarrow \dot{\neg}\, \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf{x}}
 = \underline{
\mathsf{y}}
\gg \underline{
\mathsf{x}}
 <= \underline{
\mathsf{y}}
\rceil 
, 
p_0
, 
\mathsf {c}
)
]$

$
[FromLeqGeq
\stackrel{
stmt
}{\rightarrow}ZFsub
\vdash 
\forall \underline{
\mathsf {a}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf{x}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf{y}}
\colon \underline{
\mathsf{x}}
 <= \underline{
\mathsf{y}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {a}}
\vdash \underline{
\mathsf{y}}
 <= \underline{
\mathsf{x}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {a}}
\vdash \underline{
\mathsf {a}}
]$

$
[FromLeqGeq
\stackrel{
proof
}{\rightarrow}
\lambda 
\mathsf {c}
.
\lambda 
\mathsf{x}
.
{\cal P}( 
\lceil ZFsub
\vdash 
\forall \underline{
\mathsf {a}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf{x}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf{y}}
\colon \underline{
\mathsf{x}}
 <= \underline{
\mathsf{y}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {a}}
\vdash \underline{
\mathsf{y}}
 <= \underline{
\mathsf{x}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {a}}
\vdash leqTotality
\gg \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf{x}}
 <= \underline{
\mathsf{y}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf{y}}
 <= \underline{
\mathsf{x}}
; FromDisjuncts
\rhd \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf{x}}
 <= \underline{
\mathsf{y}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf{y}}
 <= \underline{
\mathsf{x}}
\rhd \underline{
\mathsf{x}}
 <= \underline{
\mathsf{y}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {a}}
\rhd \underline{
\mathsf{y}}
 <= \underline{
\mathsf{x}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {a}}
\gg \underline{
\mathsf {a}}
\rceil 
, 
p_0
, 
\mathsf {c}
)
]$


$
[subLeqRight
\stackrel{
stmt
}{\rightarrow}ZFsub
\vdash 
\forall \underline{
\mathsf{x}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf{y}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf{z}}
\colon \underline{
\mathsf{x}}
 = \underline{
\mathsf{y}}
\vdash \underline{
\mathsf{z}}
 <= \underline{
\mathsf{x}}
\vdash \underline{
\mathsf{z}}
 <= \underline{
\mathsf{y}}
]$

$
[subLeqRight
\stackrel{
proof
}{\rightarrow}
\lambda 
\mathsf {c}
.
\lambda 
\mathsf{x}
.
{\cal P}( 
\lceil ZFsub
\vdash 
\forall \underline{
\mathsf{x}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf{y}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf{z}}
\colon \underline{
\mathsf{x}}
 = \underline{
\mathsf{y}}
\vdash \underline{
\mathsf{z}}
 <= \underline{
\mathsf{x}}
\vdash eqLeq
\rhd \underline{
\mathsf{x}}
 = \underline{
\mathsf{y}}
\gg \underline{
\mathsf{x}}
 <= \underline{
\mathsf{y}}
; leqTransitivity
\rhd \underline{
\mathsf{z}}
 <= \underline{
\mathsf{x}}
\rhd \underline{
\mathsf{x}}
 <= \underline{
\mathsf{y}}
\gg \underline{
\mathsf{z}}
 <= \underline{
\mathsf{y}}
\rceil 
, 
p_0
, 
\mathsf {c}
)
]$

$
[subLeqLeft
\stackrel{
stmt
}{\rightarrow}ZFsub
\vdash 
\forall \underline{
\mathsf{x}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf{y}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf{z}}
\colon \underline{
\mathsf{x}}
 = \underline{
\mathsf{y}}
\vdash \underline{
\mathsf{x}}
 <= \underline{
\mathsf{z}}
\vdash \underline{
\mathsf{y}}
 <= \underline{
\mathsf{z}}
]$

$
[subLeqLeft
\stackrel{
proof
}{\rightarrow}
\lambda 
\mathsf {c}
.
\lambda 
\mathsf{x}
.
{\cal P}( 
\lceil ZFsub
\vdash 
\forall \underline{
\mathsf{x}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf{y}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf{z}}
\colon \underline{
\mathsf{x}}
 = \underline{
\mathsf{y}}
\vdash \underline{
\mathsf{x}}
 <= \underline{
\mathsf{z}}
\vdash eqSymmetry
\rhd \underline{
\mathsf{x}}
 = \underline{
\mathsf{y}}
\gg \underline{
\mathsf{y}}
 = \underline{
\mathsf{x}}
; eqLeq
\rhd \underline{
\mathsf{y}}
 = \underline{
\mathsf{x}}
\gg \underline{
\mathsf{y}}
 <= \underline{
\mathsf{x}}
; leqTransitivity
\rhd \underline{
\mathsf{y}}
 <= \underline{
\mathsf{x}}
\rhd \underline{
\mathsf{x}}
 <= \underline{
\mathsf{z}}
\gg \underline{
\mathsf{y}}
 <= \underline{
\mathsf{z}}
\rceil 
, 
p_0
, 
\mathsf {c}
)
]$

$
[Leq+1
\stackrel{
stmt
}{\rightarrow}ZFsub
\vdash 
\forall \underline{
\mathsf{x}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf{y}}
\colon \underline{
\mathsf{x}}
 <= \underline{
\mathsf{y}}
\vdash \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf{x}}
 <= \underline{
\mathsf{y}}
+1
\Rightarrow \dot{\neg}\, \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf{x}}
 = \underline{
\mathsf{y}}
+1
]$

$
[Leq+1
\stackrel{
proof
}{\rightarrow}
\lambda 
\mathsf {c}
.
\lambda 
\mathsf{x}
.
{\cal P}( 
\lceil ZFsub
\vdash 
\forall \underline{
\mathsf{x}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf{y}}
\colon \underline{
\mathsf{x}}
 <= \underline{
\mathsf{y}}
\vdash 0<1
\gg \dot{\neg}\, 0
 <= 1
\Rightarrow \dot{\neg}\, \dot{\neg}\, 0
 = 1
; LessAdditionLeft
\rhd \dot{\neg}\, 0
 <= 1
\Rightarrow \dot{\neg}\, \dot{\neg}\, 0
 = 1
\gg \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf{y}}
+0
 <= \underline{
\mathsf{y}}
+1
\Rightarrow \dot{\neg}\, \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf{y}}
+0
 = \underline{
\mathsf{y}}
+1
; plus0
\gg \underline{
\mathsf{y}}
+0
 = \underline{
\mathsf{y}}
; SubLessLeft
\rhd \underline{
\mathsf{y}}
+0
 = \underline{
\mathsf{y}}
\rhd \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf{y}}
+0
 <= \underline{
\mathsf{y}}
+1
\Rightarrow \dot{\neg}\, \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf{y}}
+0
 = \underline{
\mathsf{y}}
+1
\gg \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf{y}}
 <= \underline{
\mathsf{y}}
+1
\Rightarrow \dot{\neg}\, \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf{y}}
 = \underline{
\mathsf{y}}
+1
; leqLessTransitivity
\rhd \underline{
\mathsf{x}}
 <= \underline{
\mathsf{y}}
\rhd \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf{y}}
 <= \underline{
\mathsf{y}}
+1
\Rightarrow \dot{\neg}\, \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf{y}}
 = \underline{
\mathsf{y}}
+1
\gg \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf{x}}
 <= \underline{
\mathsf{y}}
+1
\Rightarrow \dot{\neg}\, \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf{x}}
 = \underline{
\mathsf{y}}
+1
\rceil 
, 
p_0
, 
\mathsf {c}
)
]$

$
[PositiveToRight(Leq)
\stackrel{
stmt
}{\rightarrow}ZFsub
\vdash 
\forall \underline{
\mathsf{x}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf{y}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf{z}}
\colon \underline{
\mathsf{x}}
+\underline{
\mathsf{y}}
 <= \underline{
\mathsf{z}}
\vdash \underline{
\mathsf{x}}
 <= \underline{
\mathsf{z}}
+-\underline{
\mathsf{y}}
]$

$
[PositiveToRight(Leq)
\stackrel{
proof
}{\rightarrow}
\lambda 
\mathsf {c}
.
\lambda 
\mathsf{x}
.
{\cal P}( 
\lceil ZFsub
\vdash 
\forall \underline{
\mathsf{x}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf{y}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf{z}}
\colon \underline{
\mathsf{x}}
+\underline{
\mathsf{y}}
 <= \underline{
\mathsf{z}}
\vdash leqAddition
\rhd \underline{
\mathsf{x}}
+\underline{
\mathsf{y}}
 <= \underline{
\mathsf{z}}
\gg \underline{
\mathsf{x}}
+\underline{
\mathsf{y}}
+-\underline{
\mathsf{y}}
 <= \underline{
\mathsf{z}}
+-\underline{
\mathsf{y}}
; x=x+y-y
\gg \underline{
\mathsf{x}}
 = \underline{
\mathsf{x}}
+\underline{
\mathsf{y}}
+-\underline{
\mathsf{y}}
; eqSymmetry
\rhd \underline{
\mathsf{x}}
 = \underline{
\mathsf{x}}
+\underline{
\mathsf{y}}
+-\underline{
\mathsf{y}}
\gg \underline{
\mathsf{x}}
+\underline{
\mathsf{y}}
+-\underline{
\mathsf{y}}
 = \underline{
\mathsf{x}}
; subLeqLeft
\rhd \underline{
\mathsf{x}}
+\underline{
\mathsf{y}}
+-\underline{
\mathsf{y}}
 = \underline{
\mathsf{x}}
\rhd \underline{
\mathsf{x}}
+\underline{
\mathsf{y}}
+-\underline{
\mathsf{y}}
 <= \underline{
\mathsf{z}}
+-\underline{
\mathsf{y}}
\gg \underline{
\mathsf{x}}
 <= \underline{
\mathsf{z}}
+-\underline{
\mathsf{y}}
\rceil 
, 
p_0
, 
\mathsf {c}
)
]$


$
[LeqAdditionLeft
\stackrel{
stmt
}{\rightarrow}ZFsub
\vdash 
\forall \underline{
\mathsf{x}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf{y}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf{z}}
\colon \underline{
\mathsf{x}}
 <= \underline{
\mathsf{y}}
\vdash \underline{
\mathsf{z}}
+\underline{
\mathsf{x}}
 <= \underline{
\mathsf{z}}
+\underline{
\mathsf{y}}
]$

$
[LeqAdditionLeft
\stackrel{
proof
}{\rightarrow}
\lambda 
\mathsf {c}
.
\lambda 
\mathsf{x}
.
{\cal P}( 
\lceil ZFsub
\vdash 
\forall \underline{
\mathsf{x}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf{y}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf{z}}
\colon \underline{
\mathsf{x}}
 <= \underline{
\mathsf{y}}
\vdash leqAddition
\rhd \underline{
\mathsf{x}}
 <= \underline{
\mathsf{y}}
\gg \underline{
\mathsf{x}}
+\underline{
\mathsf{z}}
 <= \underline{
\mathsf{y}}
+\underline{
\mathsf{z}}
; plusCommutativity
\gg \underline{
\mathsf{x}}
+\underline{
\mathsf{z}}
 = \underline{
\mathsf{z}}
+\underline{
\mathsf{x}}
; plusCommutativity
\gg \underline{
\mathsf{y}}
+\underline{
\mathsf{z}}
 = \underline{
\mathsf{z}}
+\underline{
\mathsf{y}}
; subLeqLeft
\rhd \underline{
\mathsf{x}}
+\underline{
\mathsf{z}}
 = \underline{
\mathsf{z}}
+\underline{
\mathsf{x}}
\rhd \underline{
\mathsf{x}}
+\underline{
\mathsf{z}}
 <= \underline{
\mathsf{y}}
+\underline{
\mathsf{z}}
\gg \underline{
\mathsf{z}}
+\underline{
\mathsf{x}}
 <= \underline{
\mathsf{y}}
+\underline{
\mathsf{z}}
; subLeqRight
\rhd \underline{
\mathsf{y}}
+\underline{
\mathsf{z}}
 = \underline{
\mathsf{z}}
+\underline{
\mathsf{y}}
\rhd \underline{
\mathsf{z}}
+\underline{
\mathsf{x}}
 <= \underline{
\mathsf{y}}
+\underline{
\mathsf{z}}
\gg \underline{
\mathsf{z}}
+\underline{
\mathsf{x}}
 <= \underline{
\mathsf{z}}
+\underline{
\mathsf{y}}
\rceil 
, 
p_0
, 
\mathsf {c}
)
]$




$
[leqSubtraction
\stackrel{
stmt
}{\rightarrow}ZFsub
\vdash 
\forall \underline{
\mathsf{x}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf{y}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf{z}}
\colon \underline{
\mathsf{x}}
+\underline{
\mathsf{z}}
 <= \underline{
\mathsf{y}}
+\underline{
\mathsf{z}}
\vdash \underline{
\mathsf{x}}
 <= \underline{
\mathsf{y}}
]$

$
[leqSubtraction
\stackrel{
proof
}{\rightarrow}
\lambda 
\mathsf {c}
.
\lambda 
\mathsf{x}
.
{\cal P}( 
\lceil ZFsub
\vdash 
\forall \underline{
\mathsf{x}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf{y}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf{z}}
\colon \underline{
\mathsf{x}}
+\underline{
\mathsf{z}}
 <= \underline{
\mathsf{y}}
+\underline{
\mathsf{z}}
\vdash leqAddition
\rhd \underline{
\mathsf{x}}
+\underline{
\mathsf{z}}
 <= \underline{
\mathsf{y}}
+\underline{
\mathsf{z}}
\gg \underline{
\mathsf{x}}
+\underline{
\mathsf{z}}
+-\underline{
\mathsf{z}}
 <= \underline{
\mathsf{y}}
+\underline{
\mathsf{z}}
+-\underline{
\mathsf{z}}
; x=x+y-y
\gg \underline{
\mathsf{x}}
 = \underline{
\mathsf{x}}
+\underline{
\mathsf{z}}
+-\underline{
\mathsf{z}}
; eqSymmetry
\rhd \underline{
\mathsf{x}}
 = \underline{
\mathsf{x}}
+\underline{
\mathsf{z}}
+-\underline{
\mathsf{z}}
\gg \underline{
\mathsf{x}}
+\underline{
\mathsf{z}}
+-\underline{
\mathsf{z}}
 = \underline{
\mathsf{x}}
; x=x+y-y
\gg \underline{
\mathsf{y}}
 = \underline{
\mathsf{y}}
+\underline{
\mathsf{z}}
+-\underline{
\mathsf{z}}
; eqSymmetry
\rhd \underline{
\mathsf{y}}
 = \underline{
\mathsf{y}}
+\underline{
\mathsf{z}}
+-\underline{
\mathsf{z}}
\gg \underline{
\mathsf{y}}
+\underline{
\mathsf{z}}
+-\underline{
\mathsf{z}}
 = \underline{
\mathsf{y}}
; subLeqLeft
\rhd \underline{
\mathsf{x}}
+\underline{
\mathsf{z}}
+-\underline{
\mathsf{z}}
 = \underline{
\mathsf{x}}
\rhd \underline{
\mathsf{x}}
+\underline{
\mathsf{z}}
+-\underline{
\mathsf{z}}
 <= \underline{
\mathsf{y}}
+\underline{
\mathsf{z}}
+-\underline{
\mathsf{z}}
\gg \underline{
\mathsf{x}}
 <= \underline{
\mathsf{y}}
+\underline{
\mathsf{z}}
+-\underline{
\mathsf{z}}
; subLeqRight
\rhd \underline{
\mathsf{y}}
+\underline{
\mathsf{z}}
+-\underline{
\mathsf{z}}
 = \underline{
\mathsf{y}}
\rhd \underline{
\mathsf{x}}
 <= \underline{
\mathsf{y}}
+\underline{
\mathsf{z}}
+-\underline{
\mathsf{z}}
\gg \underline{
\mathsf{x}}
 <= \underline{
\mathsf{y}}
\rceil 
, 
p_0
, 
\mathsf {c}
)
]$

$
[leqSubtractionLeft
\stackrel{
stmt
}{\rightarrow}ZFsub
\vdash 
\forall \underline{
\mathsf{x}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf{y}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf{z}}
\colon \underline{
\mathsf{z}}
+\underline{
\mathsf{x}}
 <= \underline{
\mathsf{z}}
+\underline{
\mathsf{y}}
\vdash \underline{
\mathsf{x}}
 <= \underline{
\mathsf{y}}
]$

$
[leqSubtractionLeft
\stackrel{
proof
}{\rightarrow}
\lambda 
\mathsf {c}
.
\lambda 
\mathsf{x}
.
{\cal P}( 
\lceil ZFsub
\vdash 
\forall \underline{
\mathsf{x}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf{y}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf{z}}
\colon \underline{
\mathsf{z}}
+\underline{
\mathsf{x}}
 <= \underline{
\mathsf{z}}
+\underline{
\mathsf{y}}
\vdash plusCommutativity
\gg \underline{
\mathsf{z}}
+\underline{
\mathsf{x}}
 = \underline{
\mathsf{x}}
+\underline{
\mathsf{z}}
; plusCommutativity
\gg \underline{
\mathsf{z}}
+\underline{
\mathsf{y}}
 = \underline{
\mathsf{y}}
+\underline{
\mathsf{z}}
; subLeqLeft
\rhd \underline{
\mathsf{z}}
+\underline{
\mathsf{x}}
 = \underline{
\mathsf{x}}
+\underline{
\mathsf{z}}
\rhd \underline{
\mathsf{z}}
+\underline{
\mathsf{x}}
 <= \underline{
\mathsf{z}}
+\underline{
\mathsf{y}}
\gg \underline{
\mathsf{x}}
+\underline{
\mathsf{z}}
 <= \underline{
\mathsf{z}}
+\underline{
\mathsf{y}}
; subLeqRight
\rhd \underline{
\mathsf{z}}
+\underline{
\mathsf{y}}
 = \underline{
\mathsf{y}}
+\underline{
\mathsf{z}}
\rhd \underline{
\mathsf{x}}
+\underline{
\mathsf{z}}
 <= \underline{
\mathsf{z}}
+\underline{
\mathsf{y}}
\gg \underline{
\mathsf{x}}
+\underline{
\mathsf{z}}
 <= \underline{
\mathsf{y}}
+\underline{
\mathsf{z}}
; leqSubtraction
\rhd \underline{
\mathsf{x}}
+\underline{
\mathsf{z}}
 <= \underline{
\mathsf{y}}
+\underline{
\mathsf{z}}
\gg \underline{
\mathsf{x}}
 <= \underline{
\mathsf{y}}
\rceil 
, 
p_0
, 
\mathsf {c}
)
]$


$
[thirdGeq
\stackrel{
stmt
}{\rightarrow}ZFsub
\vdash 
\forall \underline{
\mathsf{x}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf{y}}
\colon \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf{x}}
 <= 
\mathsf {c}
 _{Ex}
\Rightarrow \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf{y}}
 <= 
\mathsf {c}
 _{Ex}
]$

$
[thirdGeq
\stackrel{
proof
}{\rightarrow}
\lambda 
\mathsf {c}
.
\lambda 
\mathsf{x}
.
{\cal P}( 
\lceil ZFsub
\vdash 
\forall \underline{
\mathsf{x}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf{y}}
\colon \underline{
\mathsf{x}}
 <= \underline{
\mathsf{y}}
\vdash leqReflexivity
\gg \underline{
\mathsf{y}}
 <= \underline{
\mathsf{y}}
; JoinConjuncts
\rhd \underline{
\mathsf{x}}
 <= \underline{
\mathsf{y}}
\rhd \underline{
\mathsf{y}}
 <= \underline{
\mathsf{y}}
\gg \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf{x}}
 <= \underline{
\mathsf{y}}
\Rightarrow \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf{y}}
 <= \underline{
\mathsf{y}}
; ExistIntro
\mathop {\char64} 
\mathsf {c}
 _{Ex}
\mathop {\char64} \underline{
\mathsf{y}}
\rhd \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf{x}}
 <= \underline{
\mathsf{y}}
\Rightarrow \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf{y}}
 <= \underline{
\mathsf{y}}
\gg \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf{x}}
 <= 
\mathsf {c}
 _{Ex}
\Rightarrow \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf{y}}
 <= 
\mathsf {c}
 _{Ex}
; 
\forall \underline{
\mathsf{x}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf{y}}
\colon \underline{
\mathsf{y}}
 <= \underline{
\mathsf{x}}
\vdash leqReflexivity
\gg \underline{
\mathsf{x}}
 <= \underline{
\mathsf{x}}
; JoinConjuncts
\rhd \underline{
\mathsf{x}}
 <= \underline{
\mathsf{x}}
\rhd \underline{
\mathsf{y}}
 <= \underline{
\mathsf{x}}
\gg \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf{x}}
 <= \underline{
\mathsf{x}}
\Rightarrow \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf{y}}
 <= \underline{
\mathsf{x}}
; ExistIntro
\mathop {\char64} 
\mathsf {c}
 _{Ex}
\mathop {\char64} \underline{
\mathsf{x}}
\rhd \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf{x}}
 <= \underline{
\mathsf{x}}
\Rightarrow \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf{y}}
 <= \underline{
\mathsf{x}}
\gg \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf{x}}
 <= 
\mathsf {c}
 _{Ex}
\Rightarrow \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf{y}}
 <= 
\mathsf {c}
 _{Ex}
; 
\forall \underline{
\mathsf{x}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf{y}}
\colon Ded
\rhd 
\forall \underline{
\mathsf{x}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf{y}}
\colon \underline{
\mathsf{x}}
 <= \underline{
\mathsf{y}}
\vdash \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf{x}}
 <= 
\mathsf {c}
 _{Ex}
\Rightarrow \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf{y}}
 <= 
\mathsf {c}
 _{Ex}
\gg \underline{
\mathsf{x}}
 <= \underline{
\mathsf{y}}
\Rightarrow \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf{x}}
 <= 
\mathsf {c}
 _{Ex}
\Rightarrow \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf{y}}
 <= 
\mathsf {c}
 _{Ex}
; Ded
\rhd 
\forall \underline{
\mathsf{x}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf{y}}
\colon \underline{
\mathsf{y}}
 <= \underline{
\mathsf{x}}
\vdash \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf{x}}
 <= 
\mathsf {c}
 _{Ex}
\Rightarrow \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf{y}}
 <= 
\mathsf {c}
 _{Ex}
\gg \underline{
\mathsf{y}}
 <= \underline{
\mathsf{x}}
\Rightarrow \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf{x}}
 <= 
\mathsf {c}
 _{Ex}
\Rightarrow \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf{y}}
 <= 
\mathsf {c}
 _{Ex}
; leqTotality
\gg \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf{x}}
 <= \underline{
\mathsf{y}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf{y}}
 <= \underline{
\mathsf{x}}
; FromDisjuncts
\rhd \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf{x}}
 <= \underline{
\mathsf{y}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf{y}}
 <= \underline{
\mathsf{x}}
\rhd \underline{
\mathsf{x}}
 <= \underline{
\mathsf{y}}
\Rightarrow \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf{x}}
 <= 
\mathsf {c}
 _{Ex}
\Rightarrow \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf{y}}
 <= 
\mathsf {c}
 _{Ex}
\rhd \underline{
\mathsf{y}}
 <= \underline{
\mathsf{x}}
\Rightarrow \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf{x}}
 <= 
\mathsf {c}
 _{Ex}
\Rightarrow \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf{y}}
 <= 
\mathsf {c}
 _{Ex}
\gg \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf{x}}
 <= 
\mathsf {c}
 _{Ex}
\Rightarrow \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf{y}}
 <= 
\mathsf {c}
 _{Ex}
\rceil 
, 
p_0
, 
\mathsf {c}
)
]$

$
[LeqNegated
\stackrel{
stmt
}{\rightarrow}ZFsub
\vdash 
\forall \underline{
\mathsf{x}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf{y}}
\colon \underline{
\mathsf{x}}
 <= \underline{
\mathsf{y}}
\vdash -\underline{
\mathsf{y}}
 <= -\underline{
\mathsf{x}}
]$

$
[LeqNegated
\stackrel{
proof
}{\rightarrow}
\lambda 
\mathsf {c}
.
\lambda 
\mathsf{x}
.
{\cal P}( 
\lceil ZFsub
\vdash 
\forall \underline{
\mathsf{x}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf{y}}
\colon \underline{
\mathsf{x}}
 <= \underline{
\mathsf{y}}
\vdash leqAddition
\rhd \underline{
\mathsf{x}}
 <= \underline{
\mathsf{y}}
\gg \underline{
\mathsf{x}}
+-\underline{
\mathsf{x}}
 <= \underline{
\mathsf{y}}
+-\underline{
\mathsf{x}}
; Negative
\gg \underline{
\mathsf{x}}
+-\underline{
\mathsf{x}}
 = 0
; subLeqLeft
\rhd \underline{
\mathsf{x}}
+-\underline{
\mathsf{x}}
 = 0
\rhd \underline{
\mathsf{x}}
+-\underline{
\mathsf{x}}
 <= \underline{
\mathsf{y}}
+-\underline{
\mathsf{x}}
\gg 0
 <= \underline{
\mathsf{y}}
+-\underline{
\mathsf{x}}
; plusCommutativity
\gg \underline{
\mathsf{y}}
+-\underline{
\mathsf{x}}
 = -\underline{
\mathsf{x}}
+\underline{
\mathsf{y}}
; subLeqRight
\rhd \underline{
\mathsf{y}}
+-\underline{
\mathsf{x}}
 = -\underline{
\mathsf{x}}
+\underline{
\mathsf{y}}
\rhd 0
 <= \underline{
\mathsf{y}}
+-\underline{
\mathsf{x}}
\gg 0
 <= -\underline{
\mathsf{x}}
+\underline{
\mathsf{y}}
; leqAddition
\rhd 0
 <= -\underline{
\mathsf{x}}
+\underline{
\mathsf{y}}
\gg 0
+-\underline{
\mathsf{y}}
 <= -\underline{
\mathsf{x}}
+\underline{
\mathsf{y}}
+-\underline{
\mathsf{y}}
; plus0Left
\gg 0
+-\underline{
\mathsf{y}}
 = -\underline{
\mathsf{y}}
; x=x+y-y
\gg -\underline{
\mathsf{x}}
 = -\underline{
\mathsf{x}}
+\underline{
\mathsf{y}}
+-\underline{
\mathsf{y}}
; eqSymmetry
\rhd -\underline{
\mathsf{x}}
 = -\underline{
\mathsf{x}}
+\underline{
\mathsf{y}}
+-\underline{
\mathsf{y}}
\gg -\underline{
\mathsf{x}}
+\underline{
\mathsf{y}}
+-\underline{
\mathsf{y}}
 = -\underline{
\mathsf{x}}
; subLeqLeft
\rhd 0
+-\underline{
\mathsf{y}}
 = -\underline{
\mathsf{y}}
\rhd 0
+-\underline{
\mathsf{y}}
 <= -\underline{
\mathsf{x}}
+\underline{
\mathsf{y}}
+-\underline{
\mathsf{y}}
\gg -\underline{
\mathsf{y}}
 <= -\underline{
\mathsf{x}}
+\underline{
\mathsf{y}}
+-\underline{
\mathsf{y}}
; subLeqRight
\rhd -\underline{
\mathsf{x}}
+\underline{
\mathsf{y}}
+-\underline{
\mathsf{y}}
 = -\underline{
\mathsf{x}}
\rhd -\underline{
\mathsf{y}}
 <= -\underline{
\mathsf{x}}
+\underline{
\mathsf{y}}
+-\underline{
\mathsf{y}}
\gg -\underline{
\mathsf{y}}
 <= -\underline{
\mathsf{x}}
\rceil 
, 
p_0
, 
\mathsf {c}
)
]$

$
[AddEquations(Leq)
\stackrel{
stmt
}{\rightarrow}ZFsub
\vdash 
\forall \underline{
\mathsf{x}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf{y}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf{z}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf {u}}
\colon \underline{
\mathsf{x}}
 <= \underline{
\mathsf{y}}
\vdash \underline{
\mathsf{z}}
 <= \underline{
\mathsf {u}}
\vdash \underline{
\mathsf{x}}
+\underline{
\mathsf{z}}
 <= \underline{
\mathsf{y}}
+\underline{
\mathsf {u}}
]$

$
[AddEquations(Leq)
\stackrel{
proof
}{\rightarrow}
\lambda 
\mathsf {c}
.
\lambda 
\mathsf{x}
.
{\cal P}( 
\lceil ZFsub
\vdash 
\forall \underline{
\mathsf{x}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf{y}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf{z}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf {u}}
\colon \underline{
\mathsf{x}}
 <= \underline{
\mathsf{y}}
\vdash \underline{
\mathsf{z}}
 <= \underline{
\mathsf {u}}
\vdash leqAddition
\rhd \underline{
\mathsf{x}}
 <= \underline{
\mathsf{y}}
\gg \underline{
\mathsf{x}}
+\underline{
\mathsf{z}}
 <= \underline{
\mathsf{y}}
+\underline{
\mathsf{z}}
; LeqAdditionLeft
\rhd \underline{
\mathsf{z}}
 <= \underline{
\mathsf {u}}
\gg \underline{
\mathsf{y}}
+\underline{
\mathsf{z}}
 <= \underline{
\mathsf{y}}
+\underline{
\mathsf {u}}
; leqTransitivity
\rhd \underline{
\mathsf{x}}
+\underline{
\mathsf{z}}
 <= \underline{
\mathsf{y}}
+\underline{
\mathsf{z}}
\rhd \underline{
\mathsf{y}}
+\underline{
\mathsf{z}}
 <= \underline{
\mathsf{y}}
+\underline{
\mathsf {u}}
\gg \underline{
\mathsf{x}}
+\underline{
\mathsf{z}}
 <= \underline{
\mathsf{y}}
+\underline{
\mathsf {u}}
\rceil 
, 
p_0
, 
\mathsf {c}
)
]$



(*** LESS ***)

$
[LeqNeqLess
\stackrel{
stmt
}{\rightarrow}ZFsub
\vdash 
\forall \underline{
\mathsf{x}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf{y}}
\colon \underline{
\mathsf{x}}
 <= \underline{
\mathsf{y}}
\vdash \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf{x}}
 = \underline{
\mathsf{y}}
\vdash \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf{x}}
 <= \underline{
\mathsf{y}}
\Rightarrow \dot{\neg}\, \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf{x}}
 = \underline{
\mathsf{y}}
]$

$
[LeqNeqLess
\stackrel{
proof
}{\rightarrow}
\lambda 
\mathsf {c}
.
\lambda 
\mathsf{x}
.
{\cal P}( 
\lceil ZFsub
\vdash 
\forall \underline{
\mathsf{x}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf{y}}
\colon \underline{
\mathsf{x}}
 <= \underline{
\mathsf{y}}
\vdash \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf{x}}
 = \underline{
\mathsf{y}}
\vdash JoinConjuncts
\rhd \underline{
\mathsf{x}}
 <= \underline{
\mathsf{y}}
\rhd \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf{x}}
 = \underline{
\mathsf{y}}
\gg \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf{x}}
 <= \underline{
\mathsf{y}}
\Rightarrow \dot{\neg}\, \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf{x}}
 = \underline{
\mathsf{y}}
; Repetition
\rhd \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf{x}}
 <= \underline{
\mathsf{y}}
\Rightarrow \dot{\neg}\, \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf{x}}
 = \underline{
\mathsf{y}}
\gg \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf{x}}
 <= \underline{
\mathsf{y}}
\Rightarrow \dot{\neg}\, \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf{x}}
 = \underline{
\mathsf{y}}
\rceil 
, 
p_0
, 
\mathsf {c}
)
]$

$
[FromLess
\stackrel{
stmt
}{\rightarrow}ZFsub
\vdash 
\forall \underline{
\mathsf{x}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf{y}}
\colon \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf{x}}
 <= \underline{
\mathsf{y}}
\Rightarrow \dot{\neg}\, \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf{x}}
 = \underline{
\mathsf{y}}
\vdash \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf{y}}
 <= \underline{
\mathsf{x}}
]$

$
[FromLess
\stackrel{
proof
}{\rightarrow}
\lambda 
\mathsf {c}
.
\lambda 
\mathsf{x}
.
{\cal P}( 
\lceil ZFsub
\vdash 
\forall \underline{
\mathsf{x}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf{y}}
\colon \underline{
\mathsf{y}}
 <= \underline{
\mathsf{x}}
\vdash toNotLess
\rhd \underline{
\mathsf{y}}
 <= \underline{
\mathsf{x}}
\gg \dot{\neg}\, \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf{x}}
 <= \underline{
\mathsf{y}}
\Rightarrow \dot{\neg}\, \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf{x}}
 = \underline{
\mathsf{y}}
; 
\forall \underline{
\mathsf{x}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf{y}}
\colon Ded
\rhd 
\forall \underline{
\mathsf{x}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf{y}}
\colon \underline{
\mathsf{y}}
 <= \underline{
\mathsf{x}}
\vdash \dot{\neg}\, \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf{x}}
 <= \underline{
\mathsf{y}}
\Rightarrow \dot{\neg}\, \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf{x}}
 = \underline{
\mathsf{y}}
\gg \underline{
\mathsf{y}}
 <= \underline{
\mathsf{x}}
\Rightarrow \dot{\neg}\, \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf{x}}
 <= \underline{
\mathsf{y}}
\Rightarrow \dot{\neg}\, \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf{x}}
 = \underline{
\mathsf{y}}
; \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf{x}}
 <= \underline{
\mathsf{y}}
\Rightarrow \dot{\neg}\, \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf{x}}
 = \underline{
\mathsf{y}}
\vdash AddDoubleNeg
\rhd \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf{x}}
 <= \underline{
\mathsf{y}}
\Rightarrow \dot{\neg}\, \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf{x}}
 = \underline{
\mathsf{y}}
\gg \dot{\neg}\, \dot{\neg}\, \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf{x}}
 <= \underline{
\mathsf{y}}
\Rightarrow \dot{\neg}\, \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf{x}}
 = \underline{
\mathsf{y}}
; MT
\rhd \underline{
\mathsf{y}}
 <= \underline{
\mathsf{x}}
\Rightarrow \dot{\neg}\, \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf{x}}
 <= \underline{
\mathsf{y}}
\Rightarrow \dot{\neg}\, \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf{x}}
 = \underline{
\mathsf{y}}
\rhd \dot{\neg}\, \dot{\neg}\, \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf{x}}
 <= \underline{
\mathsf{y}}
\Rightarrow \dot{\neg}\, \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf{x}}
 = \underline{
\mathsf{y}}
\gg \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf{y}}
 <= \underline{
\mathsf{x}}
\rceil 
, 
p_0
, 
\mathsf {c}
)
]$

$
[ToLess
\stackrel{
stmt
}{\rightarrow}ZFsub
\vdash 
\forall \underline{
\mathsf{x}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf{y}}
\colon \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf{x}}
 <= \underline{
\mathsf{y}}
\vdash \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf{y}}
 <= \underline{
\mathsf{x}}
\Rightarrow \dot{\neg}\, \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf{y}}
 = \underline{
\mathsf{x}}
]$

$
[ToLess
\stackrel{
proof
}{\rightarrow}
\lambda 
\mathsf {c}
.
\lambda 
\mathsf{x}
.
{\cal P}( 
\lceil ZFsub
\vdash 
\forall \underline{
\mathsf{x}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf{y}}
\colon \dot{\neg}\, \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf{y}}
 <= \underline{
\mathsf{x}}
\Rightarrow \dot{\neg}\, \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf{y}}
 = \underline{
\mathsf{x}}
\vdash fromNotLess
\rhd \dot{\neg}\, \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf{y}}
 <= \underline{
\mathsf{x}}
\Rightarrow \dot{\neg}\, \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf{y}}
 = \underline{
\mathsf{x}}
\gg \underline{
\mathsf{x}}
 <= \underline{
\mathsf{y}}
; 
\forall \underline{
\mathsf{x}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf{y}}
\colon Ded
\rhd 
\forall \underline{
\mathsf{x}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf{y}}
\colon \dot{\neg}\, \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf{y}}
 <= \underline{
\mathsf{x}}
\Rightarrow \dot{\neg}\, \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf{y}}
 = \underline{
\mathsf{x}}
\vdash \underline{
\mathsf{x}}
 <= \underline{
\mathsf{y}}
\gg \dot{\neg}\, \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf{y}}
 <= \underline{
\mathsf{x}}
\Rightarrow \dot{\neg}\, \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf{y}}
 = \underline{
\mathsf{x}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf{x}}
 <= \underline{
\mathsf{y}}
; \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf{x}}
 <= \underline{
\mathsf{y}}
\vdash NegativeMT
\rhd \dot{\neg}\, \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf{y}}
 <= \underline{
\mathsf{x}}
\Rightarrow \dot{\neg}\, \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf{y}}
 = \underline{
\mathsf{x}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf{x}}
 <= \underline{
\mathsf{y}}
\rhd \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf{x}}
 <= \underline{
\mathsf{y}}
\gg \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf{y}}
 <= \underline{
\mathsf{x}}
\Rightarrow \dot{\neg}\, \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf{y}}
 = \underline{
\mathsf{x}}
\rceil 
, 
p_0
, 
\mathsf {c}
)
]$



$
[fromNotLess
\stackrel{
stmt
}{\rightarrow}ZFsub
\vdash 
\forall \underline{
\mathsf{x}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf{y}}
\colon \dot{\neg}\, \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf{x}}
 <= \underline{
\mathsf{y}}
\Rightarrow \dot{\neg}\, \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf{x}}
 = \underline{
\mathsf{y}}
\vdash \underline{
\mathsf{y}}
 <= \underline{
\mathsf{x}}
]$

$
[fromNotLess
\stackrel{
proof
}{\rightarrow}
\lambda 
\mathsf {c}
.
\lambda 
\mathsf{x}
.
{\cal P}( 
\lceil ZFsub
\vdash 
\forall \underline{
\mathsf{x}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf{y}}
\colon \dot{\neg}\, \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf{x}}
 <= \underline{
\mathsf{y}}
\Rightarrow \dot{\neg}\, \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf{x}}
 = \underline{
\mathsf{y}}
\vdash \underline{
\mathsf{x}}
 <= \underline{
\mathsf{y}}
\vdash Repetition
\rhd \dot{\neg}\, \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf{x}}
 <= \underline{
\mathsf{y}}
\Rightarrow \dot{\neg}\, \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf{x}}
 = \underline{
\mathsf{y}}
\gg \dot{\neg}\, \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf{x}}
 <= \underline{
\mathsf{y}}
\Rightarrow \dot{\neg}\, \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf{x}}
 = \underline{
\mathsf{y}}
; RemoveDoubleNeg
\rhd \dot{\neg}\, \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf{x}}
 <= \underline{
\mathsf{y}}
\Rightarrow \dot{\neg}\, \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf{x}}
 = \underline{
\mathsf{y}}
\gg \underline{
\mathsf{x}}
 <= \underline{
\mathsf{y}}
\Rightarrow \dot{\neg}\, \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf{x}}
 = \underline{
\mathsf{y}}
; MP
\rhd \underline{
\mathsf{x}}
 <= \underline{
\mathsf{y}}
\Rightarrow \dot{\neg}\, \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf{x}}
 = \underline{
\mathsf{y}}
\rhd \underline{
\mathsf{x}}
 <= \underline{
\mathsf{y}}
\gg \dot{\neg}\, \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf{x}}
 = \underline{
\mathsf{y}}
; RemoveDoubleNeg
\rhd \dot{\neg}\, \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf{x}}
 = \underline{
\mathsf{y}}
\gg \underline{
\mathsf{x}}
 = \underline{
\mathsf{y}}
; eqSymmetry
\rhd \underline{
\mathsf{x}}
 = \underline{
\mathsf{y}}
\gg \underline{
\mathsf{y}}
 = \underline{
\mathsf{x}}
; eqLeq
\rhd \underline{
\mathsf{y}}
 = \underline{
\mathsf{x}}
\gg \underline{
\mathsf{y}}
 <= \underline{
\mathsf{x}}
; 
\forall \underline{
\mathsf{x}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf{y}}
\colon Ded
\rhd 
\forall \underline{
\mathsf{x}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf{y}}
\colon \dot{\neg}\, \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf{x}}
 <= \underline{
\mathsf{y}}
\Rightarrow \dot{\neg}\, \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf{x}}
 = \underline{
\mathsf{y}}
\vdash \underline{
\mathsf{x}}
 <= \underline{
\mathsf{y}}
\vdash \underline{
\mathsf{y}}
 <= \underline{
\mathsf{x}}
\gg \dot{\neg}\, \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf{x}}
 <= \underline{
\mathsf{y}}
\Rightarrow \dot{\neg}\, \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf{x}}
 = \underline{
\mathsf{y}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf{x}}
 <= \underline{
\mathsf{y}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf{y}}
 <= \underline{
\mathsf{x}}
; \dot{\neg}\, \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf{x}}
 <= \underline{
\mathsf{y}}
\Rightarrow \dot{\neg}\, \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf{x}}
 = \underline{
\mathsf{y}}
\vdash MP
\rhd \dot{\neg}\, \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf{x}}
 <= \underline{
\mathsf{y}}
\Rightarrow \dot{\neg}\, \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf{x}}
 = \underline{
\mathsf{y}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf{x}}
 <= \underline{
\mathsf{y}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf{y}}
 <= \underline{
\mathsf{x}}
\rhd \dot{\neg}\, \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf{x}}
 <= \underline{
\mathsf{y}}
\Rightarrow \dot{\neg}\, \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf{x}}
 = \underline{
\mathsf{y}}
\gg \underline{
\mathsf{x}}
 <= \underline{
\mathsf{y}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf{y}}
 <= \underline{
\mathsf{x}}
; AutoImply
\gg \underline{
\mathsf{y}}
 <= \underline{
\mathsf{x}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf{y}}
 <= \underline{
\mathsf{x}}
; leqTotality
\gg \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf{x}}
 <= \underline{
\mathsf{y}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf{y}}
 <= \underline{
\mathsf{x}}
; FromDisjuncts
\rhd \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf{x}}
 <= \underline{
\mathsf{y}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf{y}}
 <= \underline{
\mathsf{x}}
\rhd \underline{
\mathsf{x}}
 <= \underline{
\mathsf{y}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf{y}}
 <= \underline{
\mathsf{x}}
\rhd \underline{
\mathsf{y}}
 <= \underline{
\mathsf{x}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf{y}}
 <= \underline{
\mathsf{x}}
\gg \underline{
\mathsf{y}}
 <= \underline{
\mathsf{x}}
\rceil 
, 
p_0
, 
\mathsf {c}
)
]$


$
[toNotLess
\stackrel{
stmt
}{\rightarrow}ZFsub
\vdash 
\forall \underline{
\mathsf{x}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf{y}}
\colon \underline{
\mathsf{x}}
 <= \underline{
\mathsf{y}}
\vdash \dot{\neg}\, \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf{y}}
 <= \underline{
\mathsf{x}}
\Rightarrow \dot{\neg}\, \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf{y}}
 = \underline{
\mathsf{x}}
]$

$
[toNotLess
\stackrel{
proof
}{\rightarrow}
\lambda 
\mathsf {c}
.
\lambda 
\mathsf{x}
.
{\cal P}( 
\lceil ZFsub
\vdash 
\forall \underline{
\mathsf{x}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf{y}}
\colon \underline{
\mathsf{x}}
 <= \underline{
\mathsf{y}}
\vdash \underline{
\mathsf{y}}
 <= \underline{
\mathsf{x}}
\vdash leqAntisymmetry
\rhd \underline{
\mathsf{y}}
 <= \underline{
\mathsf{x}}
\rhd \underline{
\mathsf{x}}
 <= \underline{
\mathsf{y}}
\gg \underline{
\mathsf{y}}
 = \underline{
\mathsf{x}}
; AddDoubleNeg
\rhd \underline{
\mathsf{y}}
 = \underline{
\mathsf{x}}
\gg \dot{\neg}\, \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf{y}}
 = \underline{
\mathsf{x}}
; 
\forall \underline{
\mathsf{x}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf{y}}
\colon Ded
\rhd 
\forall \underline{
\mathsf{x}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf{y}}
\colon \underline{
\mathsf{x}}
 <= \underline{
\mathsf{y}}
\vdash \underline{
\mathsf{y}}
 <= \underline{
\mathsf{x}}
\vdash \dot{\neg}\, \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf{y}}
 = \underline{
\mathsf{x}}
\gg \underline{
\mathsf{x}}
 <= \underline{
\mathsf{y}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf{y}}
 <= \underline{
\mathsf{x}}
\Rightarrow \dot{\neg}\, \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf{y}}
 = \underline{
\mathsf{x}}
; \underline{
\mathsf{x}}
 <= \underline{
\mathsf{y}}
\vdash MP
\rhd \underline{
\mathsf{x}}
 <= \underline{
\mathsf{y}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf{y}}
 <= \underline{
\mathsf{x}}
\Rightarrow \dot{\neg}\, \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf{y}}
 = \underline{
\mathsf{x}}
\rhd \underline{
\mathsf{x}}
 <= \underline{
\mathsf{y}}
\gg \underline{
\mathsf{y}}
 <= \underline{
\mathsf{x}}
\Rightarrow \dot{\neg}\, \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf{y}}
 = \underline{
\mathsf{x}}
; AddDoubleNeg
\rhd \underline{
\mathsf{y}}
 <= \underline{
\mathsf{x}}
\Rightarrow \dot{\neg}\, \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf{y}}
 = \underline{
\mathsf{x}}
\gg \dot{\neg}\, \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf{y}}
 <= \underline{
\mathsf{x}}
\Rightarrow \dot{\neg}\, \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf{y}}
 = \underline{
\mathsf{x}}
; Repetition
\rhd \dot{\neg}\, \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf{y}}
 <= \underline{
\mathsf{x}}
\Rightarrow \dot{\neg}\, \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf{y}}
 = \underline{
\mathsf{x}}
\gg \dot{\neg}\, \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf{y}}
 <= \underline{
\mathsf{x}}
\Rightarrow \dot{\neg}\, \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf{y}}
 = \underline{
\mathsf{x}}
; Repetition
\rhd \dot{\neg}\, \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf{y}}
 <= \underline{
\mathsf{x}}
\Rightarrow \dot{\neg}\, \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf{y}}
 = \underline{
\mathsf{x}}
\gg \dot{\neg}\, \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf{y}}
 <= \underline{
\mathsf{x}}
\Rightarrow \dot{\neg}\, \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf{y}}
 = \underline{
\mathsf{x}}
\rceil 
, 
p_0
, 
\mathsf {c}
)
]$

$
[LessAddition
\stackrel{
stmt
}{\rightarrow}ZFsub
\vdash 
\forall \underline{
\mathsf{x}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf{y}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf{z}}
\colon \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf{x}}
 <= \underline{
\mathsf{y}}
\Rightarrow \dot{\neg}\, \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf{x}}
 = \underline{
\mathsf{y}}
\vdash \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf{x}}
+\underline{
\mathsf{z}}
 <= \underline{
\mathsf{y}}
+\underline{
\mathsf{z}}
\Rightarrow \dot{\neg}\, \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf{x}}
+\underline{
\mathsf{z}}
 = \underline{
\mathsf{y}}
+\underline{
\mathsf{z}}
]$

$
[LessAddition
\stackrel{
proof
}{\rightarrow}
\lambda 
\mathsf {c}
.
\lambda 
\mathsf{x}
.
{\cal P}( 
\lceil ZFsub
\vdash 
\forall \underline{
\mathsf{x}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf{y}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf{z}}
\colon \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf{x}}
 <= \underline{
\mathsf{y}}
\Rightarrow \dot{\neg}\, \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf{x}}
 = \underline{
\mathsf{y}}
\vdash LessLeq
\rhd \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf{x}}
 <= \underline{
\mathsf{y}}
\Rightarrow \dot{\neg}\, \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf{x}}
 = \underline{
\mathsf{y}}
\gg \underline{
\mathsf{x}}
 <= \underline{
\mathsf{y}}
; leqAddition
\rhd \underline{
\mathsf{x}}
 <= \underline{
\mathsf{y}}
\gg \underline{
\mathsf{x}}
+\underline{
\mathsf{z}}
 <= \underline{
\mathsf{y}}
+\underline{
\mathsf{z}}
; LessNeq
\rhd \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf{x}}
 <= \underline{
\mathsf{y}}
\Rightarrow \dot{\neg}\, \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf{x}}
 = \underline{
\mathsf{y}}
\gg \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf{x}}
 = \underline{
\mathsf{y}}
; NeqAddition
\rhd \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf{x}}
 = \underline{
\mathsf{y}}
\gg \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf{x}}
+\underline{
\mathsf{z}}
 = \underline{
\mathsf{y}}
+\underline{
\mathsf{z}}
; JoinConjuncts
\rhd \underline{
\mathsf{x}}
+\underline{
\mathsf{z}}
 <= \underline{
\mathsf{y}}
+\underline{
\mathsf{z}}
\rhd \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf{x}}
+\underline{
\mathsf{z}}
 = \underline{
\mathsf{y}}
+\underline{
\mathsf{z}}
\gg \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf{x}}
+\underline{
\mathsf{z}}
 <= \underline{
\mathsf{y}}
+\underline{
\mathsf{z}}
\Rightarrow \dot{\neg}\, \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf{x}}
+\underline{
\mathsf{z}}
 = \underline{
\mathsf{y}}
+\underline{
\mathsf{z}}
\rceil 
, 
p_0
, 
\mathsf {c}
)
]$

$
[LessAdditionLeft
\stackrel{
stmt
}{\rightarrow}ZFsub
\vdash 
\forall \underline{
\mathsf{x}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf{y}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf{z}}
\colon \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf{x}}
 <= \underline{
\mathsf{y}}
\Rightarrow \dot{\neg}\, \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf{x}}
 = \underline{
\mathsf{y}}
\vdash \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf{z}}
+\underline{
\mathsf{x}}
 <= \underline{
\mathsf{z}}
+\underline{
\mathsf{y}}
\Rightarrow \dot{\neg}\, \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf{z}}
+\underline{
\mathsf{x}}
 = \underline{
\mathsf{z}}
+\underline{
\mathsf{y}}
]$

$
[LessAdditionLeft
\stackrel{
proof
}{\rightarrow}
\lambda 
\mathsf {c}
.
\lambda 
\mathsf{x}
.
{\cal P}( 
\lceil ZFsub
\vdash 
\forall \underline{
\mathsf{x}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf{y}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf{z}}
\colon \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf{x}}
 <= \underline{
\mathsf{y}}
\Rightarrow \dot{\neg}\, \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf{x}}
 = \underline{
\mathsf{y}}
\vdash LessAddition
\rhd \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf{x}}
 <= \underline{
\mathsf{y}}
\Rightarrow \dot{\neg}\, \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf{x}}
 = \underline{
\mathsf{y}}
\gg \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf{x}}
+\underline{
\mathsf{z}}
 <= \underline{
\mathsf{y}}
+\underline{
\mathsf{z}}
\Rightarrow \dot{\neg}\, \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf{x}}
+\underline{
\mathsf{z}}
 = \underline{
\mathsf{y}}
+\underline{
\mathsf{z}}
; plusCommutativity
\gg \underline{
\mathsf{x}}
+\underline{
\mathsf{z}}
 = \underline{
\mathsf{z}}
+\underline{
\mathsf{x}}
; SubLessLeft
\rhd \underline{
\mathsf{x}}
+\underline{
\mathsf{z}}
 = \underline{
\mathsf{z}}
+\underline{
\mathsf{x}}
\rhd \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf{x}}
+\underline{
\mathsf{z}}
 <= \underline{
\mathsf{y}}
+\underline{
\mathsf{z}}
\Rightarrow \dot{\neg}\, \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf{x}}
+\underline{
\mathsf{z}}
 = \underline{
\mathsf{y}}
+\underline{
\mathsf{z}}
\gg \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf{z}}
+\underline{
\mathsf{x}}
 <= \underline{
\mathsf{y}}
+\underline{
\mathsf{z}}
\Rightarrow \dot{\neg}\, \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf{z}}
+\underline{
\mathsf{x}}
 = \underline{
\mathsf{y}}
+\underline{
\mathsf{z}}
; plusCommutativity
\gg \underline{
\mathsf{y}}
+\underline{
\mathsf{z}}
 = \underline{
\mathsf{z}}
+\underline{
\mathsf{y}}
; SubLessRight
\rhd \underline{
\mathsf{y}}
+\underline{
\mathsf{z}}
 = \underline{
\mathsf{z}}
+\underline{
\mathsf{y}}
\rhd \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf{z}}
+\underline{
\mathsf{x}}
 <= \underline{
\mathsf{y}}
+\underline{
\mathsf{z}}
\Rightarrow \dot{\neg}\, \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf{z}}
+\underline{
\mathsf{x}}
 = \underline{
\mathsf{y}}
+\underline{
\mathsf{z}}
\gg \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf{z}}
+\underline{
\mathsf{x}}
 <= \underline{
\mathsf{z}}
+\underline{
\mathsf{y}}
\Rightarrow \dot{\neg}\, \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf{z}}
+\underline{
\mathsf{x}}
 = \underline{
\mathsf{z}}
+\underline{
\mathsf{y}}
\rceil 
, 
p_0
, 
\mathsf {c}
)
]$

$
[LessMultiplication
\stackrel{
stmt
}{\rightarrow}ZFsub
\vdash 
\forall \underline{
\mathsf{x}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf{y}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf{z}}
\colon \dot{\neg}\, 0
 <= \underline{
\mathsf{z}}
\Rightarrow \dot{\neg}\, \dot{\neg}\, 0
 = \underline{
\mathsf{z}}
\vdash \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf{x}}
 <= \underline{
\mathsf{y}}
\Rightarrow \dot{\neg}\, \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf{x}}
 = \underline{
\mathsf{y}}
\vdash \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf{x}}
*\underline{
\mathsf{z}}
 <= \underline{
\mathsf{y}}
*\underline{
\mathsf{z}}
\Rightarrow \dot{\neg}\, \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf{x}}
*\underline{
\mathsf{z}}
 = \underline{
\mathsf{y}}
*\underline{
\mathsf{z}}
]$

$
[LessMultiplication
\stackrel{
proof
}{\rightarrow}
\lambda 
\mathsf {c}
.
\lambda 
\mathsf{x}
.
{\cal P}( 
\lceil ZFsub
\vdash 
\forall \underline{
\mathsf{x}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf{y}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf{z}}
\colon \dot{\neg}\, 0
 <= \underline{
\mathsf{z}}
\Rightarrow \dot{\neg}\, \dot{\neg}\, 0
 = \underline{
\mathsf{z}}
\vdash \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf{x}}
 <= \underline{
\mathsf{y}}
\Rightarrow \dot{\neg}\, \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf{x}}
 = \underline{
\mathsf{y}}
\vdash LessLeq
\rhd \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf{x}}
 <= \underline{
\mathsf{y}}
\Rightarrow \dot{\neg}\, \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf{x}}
 = \underline{
\mathsf{y}}
\gg \underline{
\mathsf{x}}
 <= \underline{
\mathsf{y}}
; LessLeq
\rhd \dot{\neg}\, 0
 <= \underline{
\mathsf{z}}
\Rightarrow \dot{\neg}\, \dot{\neg}\, 0
 = \underline{
\mathsf{z}}
\gg 0
 <= \underline{
\mathsf{z}}
; leqMultiplication
\rhd 0
 <= \underline{
\mathsf{z}}
\rhd \underline{
\mathsf{x}}
 <= \underline{
\mathsf{y}}
\gg \underline{
\mathsf{x}}
*\underline{
\mathsf{z}}
 <= \underline{
\mathsf{y}}
*\underline{
\mathsf{z}}
; LessNeq
\rhd \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf{x}}
 <= \underline{
\mathsf{y}}
\Rightarrow \dot{\neg}\, \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf{x}}
 = \underline{
\mathsf{y}}
\gg \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf{x}}
 = \underline{
\mathsf{y}}
; LessNeq
\rhd \dot{\neg}\, 0
 <= \underline{
\mathsf{z}}
\Rightarrow \dot{\neg}\, \dot{\neg}\, 0
 = \underline{
\mathsf{z}}
\gg \dot{\neg}\, 0
 = \underline{
\mathsf{z}}
; NeqSymmetry
\rhd \dot{\neg}\, 0
 = \underline{
\mathsf{z}}
\gg \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf{z}}
 = 0
; NeqMultiplication
\rhd \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf{z}}
 = 0
\rhd \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf{x}}
 = \underline{
\mathsf{y}}
\gg \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf{x}}
*\underline{
\mathsf{z}}
 = \underline{
\mathsf{y}}
*\underline{
\mathsf{z}}
; LeqNeqLess
\rhd \underline{
\mathsf{x}}
*\underline{
\mathsf{z}}
 <= \underline{
\mathsf{y}}
*\underline{
\mathsf{z}}
\rhd \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf{x}}
*\underline{
\mathsf{z}}
 = \underline{
\mathsf{y}}
*\underline{
\mathsf{z}}
\gg \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf{x}}
*\underline{
\mathsf{z}}
 <= \underline{
\mathsf{y}}
*\underline{
\mathsf{z}}
\Rightarrow \dot{\neg}\, \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf{x}}
*\underline{
\mathsf{z}}
 = \underline{
\mathsf{y}}
*\underline{
\mathsf{z}}
\rceil 
, 
p_0
, 
\mathsf {c}
)
]$

$
[LessMultiplicationLeft
\stackrel{
stmt
}{\rightarrow}ZFsub
\vdash 
\forall \underline{
\mathsf{x}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf{y}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf{z}}
\colon \dot{\neg}\, 0
 <= \underline{
\mathsf{z}}
\Rightarrow \dot{\neg}\, \dot{\neg}\, 0
 = \underline{
\mathsf{z}}
\vdash \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf{x}}
 <= \underline{
\mathsf{y}}
\Rightarrow \dot{\neg}\, \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf{x}}
 = \underline{
\mathsf{y}}
\vdash \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf{z}}
*\underline{
\mathsf{x}}
 <= \underline{
\mathsf{z}}
*\underline{
\mathsf{y}}
\Rightarrow \dot{\neg}\, \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf{z}}
*\underline{
\mathsf{x}}
 = \underline{
\mathsf{z}}
*\underline{
\mathsf{y}}
]$

$
[LessMultiplicationLeft
\stackrel{
proof
}{\rightarrow}
\lambda 
\mathsf {c}
.
\lambda 
\mathsf{x}
.
{\cal P}( 
\lceil ZFsub
\vdash 
\forall \underline{
\mathsf{x}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf{y}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf{z}}
\colon \dot{\neg}\, 0
 <= \underline{
\mathsf{z}}
\Rightarrow \dot{\neg}\, \dot{\neg}\, 0
 = \underline{
\mathsf{z}}
\vdash \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf{x}}
 <= \underline{
\mathsf{y}}
\Rightarrow \dot{\neg}\, \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf{x}}
 = \underline{
\mathsf{y}}
\vdash LessMultiplication
\rhd \dot{\neg}\, 0
 <= \underline{
\mathsf{z}}
\Rightarrow \dot{\neg}\, \dot{\neg}\, 0
 = \underline{
\mathsf{z}}
\rhd \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf{x}}
 <= \underline{
\mathsf{y}}
\Rightarrow \dot{\neg}\, \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf{x}}
 = \underline{
\mathsf{y}}
\gg \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf{x}}
*\underline{
\mathsf{z}}
 <= \underline{
\mathsf{y}}
*\underline{
\mathsf{z}}
\Rightarrow \dot{\neg}\, \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf{x}}
*\underline{
\mathsf{z}}
 = \underline{
\mathsf{y}}
*\underline{
\mathsf{z}}
; timesCommutativity
\gg \underline{
\mathsf{x}}
*\underline{
\mathsf{z}}
 = \underline{
\mathsf{z}}
*\underline{
\mathsf{x}}
; timesCommutativity
\gg \underline{
\mathsf{y}}
*\underline{
\mathsf{z}}
 = \underline{
\mathsf{z}}
*\underline{
\mathsf{y}}
; SubLessLeft
\rhd \underline{
\mathsf{x}}
*\underline{
\mathsf{z}}
 = \underline{
\mathsf{z}}
*\underline{
\mathsf{x}}
\rhd \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf{x}}
*\underline{
\mathsf{z}}
 <= \underline{
\mathsf{y}}
*\underline{
\mathsf{z}}
\Rightarrow \dot{\neg}\, \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf{x}}
*\underline{
\mathsf{z}}
 = \underline{
\mathsf{y}}
*\underline{
\mathsf{z}}
\gg \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf{z}}
*\underline{
\mathsf{x}}
 <= \underline{
\mathsf{y}}
*\underline{
\mathsf{z}}
\Rightarrow \dot{\neg}\, \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf{z}}
*\underline{
\mathsf{x}}
 = \underline{
\mathsf{y}}
*\underline{
\mathsf{z}}
; SubLessRight
\rhd \underline{
\mathsf{y}}
*\underline{
\mathsf{z}}
 = \underline{
\mathsf{z}}
*\underline{
\mathsf{y}}
\rhd \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf{z}}
*\underline{
\mathsf{x}}
 <= \underline{
\mathsf{y}}
*\underline{
\mathsf{z}}
\Rightarrow \dot{\neg}\, \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf{z}}
*\underline{
\mathsf{x}}
 = \underline{
\mathsf{y}}
*\underline{
\mathsf{z}}
\gg \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf{z}}
*\underline{
\mathsf{x}}
 <= \underline{
\mathsf{z}}
*\underline{
\mathsf{y}}
\Rightarrow \dot{\neg}\, \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf{z}}
*\underline{
\mathsf{x}}
 = \underline{
\mathsf{z}}
*\underline{
\mathsf{y}}
\rceil 
, 
p_0
, 
\mathsf {c}
)
]$

$
[LessDivision
\stackrel{
stmt
}{\rightarrow}ZFsub
\vdash 
\forall \underline{
\mathsf{x}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf{y}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf{z}}
\colon 0
 <= \underline{
\mathsf{z}}
\vdash \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf{x}}
*\underline{
\mathsf{z}}
 <= \underline{
\mathsf{y}}
*\underline{
\mathsf{z}}
\Rightarrow \dot{\neg}\, \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf{x}}
*\underline{
\mathsf{z}}
 = \underline{
\mathsf{y}}
*\underline{
\mathsf{z}}
\vdash \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf{x}}
 <= \underline{
\mathsf{y}}
\Rightarrow \dot{\neg}\, \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf{x}}
 = \underline{
\mathsf{y}}
]$



$
[LessDivision
\stackrel{
proof
}{\rightarrow}
\lambda 
\mathsf {c}
.
\lambda 
\mathsf{x}
.
{\cal P}( 
\lceil ZFsub
\vdash 
\forall \underline{
\mathsf{x}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf{y}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf{z}}
\colon 0
 <= \underline{
\mathsf{z}}
\vdash \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf{x}}
*\underline{
\mathsf{z}}
 <= \underline{
\mathsf{y}}
*\underline{
\mathsf{z}}
\Rightarrow \dot{\neg}\, \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf{x}}
*\underline{
\mathsf{z}}
 = \underline{
\mathsf{y}}
*\underline{
\mathsf{z}}
\vdash FromLess
\rhd \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf{x}}
*\underline{
\mathsf{z}}
 <= \underline{
\mathsf{y}}
*\underline{
\mathsf{z}}
\Rightarrow \dot{\neg}\, \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf{x}}
*\underline{
\mathsf{z}}
 = \underline{
\mathsf{y}}
*\underline{
\mathsf{z}}
\gg \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf{y}}
*\underline{
\mathsf{z}}
 <= \underline{
\mathsf{x}}
*\underline{
\mathsf{z}}
; leqMultiplicationAxiom
\gg 0
 <= \underline{
\mathsf{z}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf{y}}
 <= \underline{
\mathsf{x}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf{y}}
*\underline{
\mathsf{z}}
 <= \underline{
\mathsf{x}}
*\underline{
\mathsf{z}}
; MP
\rhd 0
 <= \underline{
\mathsf{z}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf{y}}
 <= \underline{
\mathsf{x}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf{y}}
*\underline{
\mathsf{z}}
 <= \underline{
\mathsf{x}}
*\underline{
\mathsf{z}}
\rhd 0
 <= \underline{
\mathsf{z}}
\gg \underline{
\mathsf{y}}
 <= \underline{
\mathsf{x}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf{y}}
*\underline{
\mathsf{z}}
 <= \underline{
\mathsf{x}}
*\underline{
\mathsf{z}}
; Contrapositive
\rhd \underline{
\mathsf{y}}
 <= \underline{
\mathsf{x}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf{y}}
*\underline{
\mathsf{z}}
 <= \underline{
\mathsf{x}}
*\underline{
\mathsf{z}}
\gg \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf{y}}
*\underline{
\mathsf{z}}
 <= \underline{
\mathsf{x}}
*\underline{
\mathsf{z}}
\Rightarrow \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf{y}}
 <= \underline{
\mathsf{x}}
; MP
\rhd \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf{y}}
*\underline{
\mathsf{z}}
 <= \underline{
\mathsf{x}}
*\underline{
\mathsf{z}}
\Rightarrow \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf{y}}
 <= \underline{
\mathsf{x}}
\rhd \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf{y}}
*\underline{
\mathsf{z}}
 <= \underline{
\mathsf{x}}
*\underline{
\mathsf{z}}
\gg \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf{y}}
 <= \underline{
\mathsf{x}}
; ToLess
\rhd \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf{y}}
 <= \underline{
\mathsf{x}}
\gg \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf{x}}
 <= \underline{
\mathsf{y}}
\Rightarrow \dot{\neg}\, \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf{x}}
 = \underline{
\mathsf{y}}
\rceil 
, 
p_0
, 
\mathsf {c}
)
]$


$
[AddEquations(Less)
\stackrel{
stmt
}{\rightarrow}ZFsub
\vdash 
\forall \underline{
\mathsf{x}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf{y}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf{z}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf {u}}
\colon \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf{x}}
 <= \underline{
\mathsf{y}}
\Rightarrow \dot{\neg}\, \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf{x}}
 = \underline{
\mathsf{y}}
\vdash \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf{z}}
 <= \underline{
\mathsf {u}}
\Rightarrow \dot{\neg}\, \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf{z}}
 = \underline{
\mathsf {u}}
\vdash \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf{x}}
+\underline{
\mathsf{z}}
 <= \underline{
\mathsf{y}}
+\underline{
\mathsf {u}}
\Rightarrow \dot{\neg}\, \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf{x}}
+\underline{
\mathsf{z}}
 = \underline{
\mathsf{y}}
+\underline{
\mathsf {u}}
]$

$
[AddEquations(Less)
\stackrel{
proof
}{\rightarrow}
\lambda 
\mathsf {c}
.
\lambda 
\mathsf{x}
.
{\cal P}( 
\lceil ZFsub
\vdash 
\forall \underline{
\mathsf{x}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf{y}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf{z}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf {u}}
\colon \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf{x}}
 <= \underline{
\mathsf{y}}
\Rightarrow \dot{\neg}\, \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf{x}}
 = \underline{
\mathsf{y}}
\vdash \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf{z}}
 <= \underline{
\mathsf {u}}
\Rightarrow \dot{\neg}\, \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf{z}}
 = \underline{
\mathsf {u}}
\vdash LessAddition
\rhd \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf{x}}
 <= \underline{
\mathsf{y}}
\Rightarrow \dot{\neg}\, \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf{x}}
 = \underline{
\mathsf{y}}
\gg \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf{x}}
+\underline{
\mathsf{z}}
 <= \underline{
\mathsf{y}}
+\underline{
\mathsf{z}}
\Rightarrow \dot{\neg}\, \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf{x}}
+\underline{
\mathsf{z}}
 = \underline{
\mathsf{y}}
+\underline{
\mathsf{z}}
; LessAdditionLeft
\rhd \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf{z}}
 <= \underline{
\mathsf {u}}
\Rightarrow \dot{\neg}\, \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf{z}}
 = \underline{
\mathsf {u}}
\gg \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf{y}}
+\underline{
\mathsf{z}}
 <= \underline{
\mathsf{y}}
+\underline{
\mathsf {u}}
\Rightarrow \dot{\neg}\, \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf{y}}
+\underline{
\mathsf{z}}
 = \underline{
\mathsf{y}}
+\underline{
\mathsf {u}}
; LessTransitivity
\rhd \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf{x}}
+\underline{
\mathsf{z}}
 <= \underline{
\mathsf{y}}
+\underline{
\mathsf{z}}
\Rightarrow \dot{\neg}\, \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf{x}}
+\underline{
\mathsf{z}}
 = \underline{
\mathsf{y}}
+\underline{
\mathsf{z}}
\rhd \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf{y}}
+\underline{
\mathsf{z}}
 <= \underline{
\mathsf{y}}
+\underline{
\mathsf {u}}
\Rightarrow \dot{\neg}\, \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf{y}}
+\underline{
\mathsf{z}}
 = \underline{
\mathsf{y}}
+\underline{
\mathsf {u}}
\gg \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf{x}}
+\underline{
\mathsf{z}}
 <= \underline{
\mathsf{y}}
+\underline{
\mathsf {u}}
\Rightarrow \dot{\neg}\, \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf{x}}
+\underline{
\mathsf{z}}
 = \underline{
\mathsf{y}}
+\underline{
\mathsf {u}}
\rceil 
, 
p_0
, 
\mathsf {c}
)
]$


$
[leqLessTransitivity
\stackrel{
stmt
}{\rightarrow}ZFsub
\vdash 
\forall \underline{
\mathsf{x}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf{y}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf{z}}
\colon \underline{
\mathsf{x}}
 <= \underline{
\mathsf{y}}
\vdash \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf{y}}
 <= \underline{
\mathsf{z}}
\Rightarrow \dot{\neg}\, \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf{y}}
 = \underline{
\mathsf{z}}
\vdash \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf{x}}
 <= \underline{
\mathsf{z}}
\Rightarrow \dot{\neg}\, \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf{x}}
 = \underline{
\mathsf{z}}
]$

$
[leqLessTransitivity
\stackrel{
proof
}{\rightarrow}
\lambda 
\mathsf {c}
.
\lambda 
\mathsf{x}
.
{\cal P}( 
\lceil ZFsub
\vdash 
\forall \underline{
\mathsf{x}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf{y}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf{z}}
\colon \underline{
\mathsf{x}}
 <= \underline{
\mathsf{y}}
\vdash \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf{y}}
 <= \underline{
\mathsf{z}}
\Rightarrow \dot{\neg}\, \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf{y}}
 = \underline{
\mathsf{z}}
\vdash \underline{
\mathsf{x}}
 = \underline{
\mathsf{z}}
\vdash FirstConjunct
\rhd \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf{y}}
 <= \underline{
\mathsf{z}}
\Rightarrow \dot{\neg}\, \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf{y}}
 = \underline{
\mathsf{z}}
\gg \underline{
\mathsf{y}}
 <= \underline{
\mathsf{z}}
; SecondConjunct
\rhd \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf{y}}
 <= \underline{
\mathsf{z}}
\Rightarrow \dot{\neg}\, \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf{y}}
 = \underline{
\mathsf{z}}
\gg \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf{y}}
 = \underline{
\mathsf{z}}
; subLeqLeft
\rhd \underline{
\mathsf{x}}
 = \underline{
\mathsf{z}}
\rhd \underline{
\mathsf{x}}
 <= \underline{
\mathsf{y}}
\gg \underline{
\mathsf{z}}
 <= \underline{
\mathsf{y}}
; leqAntisymmetry
\rhd \underline{
\mathsf{y}}
 <= \underline{
\mathsf{z}}
\rhd \underline{
\mathsf{z}}
 <= \underline{
\mathsf{y}}
\gg \underline{
\mathsf{y}}
 = \underline{
\mathsf{z}}
; FromContradiction
\rhd \underline{
\mathsf{y}}
 = \underline{
\mathsf{z}}
\rhd \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf{y}}
 = \underline{
\mathsf{z}}
\gg \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf{x}}
 = \underline{
\mathsf{z}}
; 
\forall \underline{
\mathsf{x}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf{y}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf{z}}
\colon Ded
\rhd 
\forall \underline{
\mathsf{x}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf{y}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf{z}}
\colon \underline{
\mathsf{x}}
 <= \underline{
\mathsf{y}}
\vdash \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf{y}}
 <= \underline{
\mathsf{z}}
\Rightarrow \dot{\neg}\, \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf{y}}
 = \underline{
\mathsf{z}}
\vdash \underline{
\mathsf{x}}
 = \underline{
\mathsf{z}}
\vdash \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf{x}}
 = \underline{
\mathsf{z}}
\gg \underline{
\mathsf{x}}
 <= \underline{
\mathsf{y}}
\Rightarrow \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf{y}}
 <= \underline{
\mathsf{z}}
\Rightarrow \dot{\neg}\, \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf{y}}
 = \underline{
\mathsf{z}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf{x}}
 = \underline{
\mathsf{z}}
\Rightarrow \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf{x}}
 = \underline{
\mathsf{z}}
; \underline{
\mathsf{x}}
 <= \underline{
\mathsf{y}}
\vdash \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf{y}}
 <= \underline{
\mathsf{z}}
\Rightarrow \dot{\neg}\, \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf{y}}
 = \underline{
\mathsf{z}}
\vdash MP2
\rhd \underline{
\mathsf{x}}
 <= \underline{
\mathsf{y}}
\Rightarrow \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf{y}}
 <= \underline{
\mathsf{z}}
\Rightarrow \dot{\neg}\, \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf{y}}
 = \underline{
\mathsf{z}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf{x}}
 = \underline{
\mathsf{z}}
\Rightarrow \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf{x}}
 = \underline{
\mathsf{z}}
\rhd \underline{
\mathsf{x}}
 <= \underline{
\mathsf{y}}
\rhd \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf{y}}
 <= \underline{
\mathsf{z}}
\Rightarrow \dot{\neg}\, \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf{y}}
 = \underline{
\mathsf{z}}
\gg \underline{
\mathsf{x}}
 = \underline{
\mathsf{z}}
\Rightarrow \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf{x}}
 = \underline{
\mathsf{z}}
; ImplyNegation
\rhd \underline{
\mathsf{x}}
 = \underline{
\mathsf{z}}
\Rightarrow \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf{x}}
 = \underline{
\mathsf{z}}
\gg \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf{x}}
 = \underline{
\mathsf{z}}
; FirstConjunct
\rhd \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf{y}}
 <= \underline{
\mathsf{z}}
\Rightarrow \dot{\neg}\, \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf{y}}
 = \underline{
\mathsf{z}}
\gg \underline{
\mathsf{y}}
 <= \underline{
\mathsf{z}}
; leqTransitivity
\rhd \underline{
\mathsf{x}}
 <= \underline{
\mathsf{y}}
\rhd \underline{
\mathsf{y}}
 <= \underline{
\mathsf{z}}
\gg \underline{
\mathsf{x}}
 <= \underline{
\mathsf{z}}
; JoinConjuncts
\rhd \underline{
\mathsf{x}}
 <= \underline{
\mathsf{z}}
\rhd \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf{x}}
 = \underline{
\mathsf{z}}
\gg \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf{x}}
 <= \underline{
\mathsf{z}}
\Rightarrow \dot{\neg}\, \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf{x}}
 = \underline{
\mathsf{z}}
\rceil 
, 
p_0
, 
\mathsf {c}
)
]$

$
[LessLeqTransitivity
\stackrel{
stmt
}{\rightarrow}ZFsub
\vdash 
\forall \underline{
\mathsf{x}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf{y}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf{z}}
\colon \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf{x}}
 <= \underline{
\mathsf{y}}
\Rightarrow \dot{\neg}\, \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf{x}}
 = \underline{
\mathsf{y}}
\vdash \underline{
\mathsf{y}}
 <= \underline{
\mathsf{z}}
\vdash \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf{x}}
 <= \underline{
\mathsf{z}}
\Rightarrow \dot{\neg}\, \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf{x}}
 = \underline{
\mathsf{z}}
]$

$
[LessLeqTransitivity
\stackrel{
proof
}{\rightarrow}
\lambda 
\mathsf {c}
.
\lambda 
\mathsf{x}
.
{\cal P}( 
\lceil ZFsub
\vdash 
\forall \underline{
\mathsf{x}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf{y}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf{z}}
\colon \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf{x}}
 <= \underline{
\mathsf{y}}
\Rightarrow \dot{\neg}\, \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf{x}}
 = \underline{
\mathsf{y}}
\vdash \underline{
\mathsf{y}}
 <= \underline{
\mathsf{z}}
\vdash \underline{
\mathsf{z}}
 = \underline{
\mathsf{x}}
\vdash FirstConjunct
\rhd \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf{x}}
 <= \underline{
\mathsf{y}}
\Rightarrow \dot{\neg}\, \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf{x}}
 = \underline{
\mathsf{y}}
\gg \underline{
\mathsf{x}}
 <= \underline{
\mathsf{y}}
; SecondConjunct
\rhd \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf{x}}
 <= \underline{
\mathsf{y}}
\Rightarrow \dot{\neg}\, \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf{x}}
 = \underline{
\mathsf{y}}
\gg \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf{x}}
 = \underline{
\mathsf{y}}
; subLeqRight
\rhd \underline{
\mathsf{z}}
 = \underline{
\mathsf{x}}
\rhd \underline{
\mathsf{y}}
 <= \underline{
\mathsf{z}}
\gg \underline{
\mathsf{y}}
 <= \underline{
\mathsf{x}}
; leqAntisymmetry
\rhd \underline{
\mathsf{x}}
 <= \underline{
\mathsf{y}}
\rhd \underline{
\mathsf{y}}
 <= \underline{
\mathsf{x}}
\gg \underline{
\mathsf{x}}
 = \underline{
\mathsf{y}}
; FromContradiction
\rhd \underline{
\mathsf{x}}
 = \underline{
\mathsf{y}}
\rhd \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf{x}}
 = \underline{
\mathsf{y}}
\gg \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf{z}}
 = \underline{
\mathsf{x}}
; 
\forall \underline{
\mathsf{x}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf{y}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf{z}}
\colon Ded
\rhd 
\forall \underline{
\mathsf{x}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf{y}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf{z}}
\colon \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf{x}}
 <= \underline{
\mathsf{y}}
\Rightarrow \dot{\neg}\, \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf{x}}
 = \underline{
\mathsf{y}}
\vdash \underline{
\mathsf{y}}
 <= \underline{
\mathsf{z}}
\vdash \underline{
\mathsf{z}}
 = \underline{
\mathsf{x}}
\vdash \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf{z}}
 = \underline{
\mathsf{x}}
\gg \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf{x}}
 <= \underline{
\mathsf{y}}
\Rightarrow \dot{\neg}\, \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf{x}}
 = \underline{
\mathsf{y}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf{y}}
 <= \underline{
\mathsf{z}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf{z}}
 = \underline{
\mathsf{x}}
\Rightarrow \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf{z}}
 = \underline{
\mathsf{x}}
; \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf{x}}
 <= \underline{
\mathsf{y}}
\Rightarrow \dot{\neg}\, \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf{x}}
 = \underline{
\mathsf{y}}
\vdash \underline{
\mathsf{y}}
 <= \underline{
\mathsf{z}}
\vdash MP2
\rhd \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf{x}}
 <= \underline{
\mathsf{y}}
\Rightarrow \dot{\neg}\, \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf{x}}
 = \underline{
\mathsf{y}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf{y}}
 <= \underline{
\mathsf{z}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf{z}}
 = \underline{
\mathsf{x}}
\Rightarrow \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf{z}}
 = \underline{
\mathsf{x}}
\rhd \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf{x}}
 <= \underline{
\mathsf{y}}
\Rightarrow \dot{\neg}\, \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf{x}}
 = \underline{
\mathsf{y}}
\rhd \underline{
\mathsf{y}}
 <= \underline{
\mathsf{z}}
\gg \underline{
\mathsf{z}}
 = \underline{
\mathsf{x}}
\Rightarrow \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf{z}}
 = \underline{
\mathsf{x}}
; ImplyNegation
\rhd \underline{
\mathsf{z}}
 = \underline{
\mathsf{x}}
\Rightarrow \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf{z}}
 = \underline{
\mathsf{x}}
\gg \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf{z}}
 = \underline{
\mathsf{x}}
; NeqSymmetry
\rhd \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf{z}}
 = \underline{
\mathsf{x}}
\gg \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf{x}}
 = \underline{
\mathsf{z}}
; FirstConjunct
\rhd \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf{x}}
 <= \underline{
\mathsf{y}}
\Rightarrow \dot{\neg}\, \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf{x}}
 = \underline{
\mathsf{y}}
\gg \underline{
\mathsf{x}}
 <= \underline{
\mathsf{y}}
; leqTransitivity
\rhd \underline{
\mathsf{x}}
 <= \underline{
\mathsf{y}}
\rhd \underline{
\mathsf{y}}
 <= \underline{
\mathsf{z}}
\gg \underline{
\mathsf{x}}
 <= \underline{
\mathsf{z}}
; JoinConjuncts
\rhd \underline{
\mathsf{x}}
 <= \underline{
\mathsf{z}}
\rhd \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf{x}}
 = \underline{
\mathsf{z}}
\gg \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf{x}}
 <= \underline{
\mathsf{z}}
\Rightarrow \dot{\neg}\, \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf{x}}
 = \underline{
\mathsf{z}}
\rceil 
, 
p_0
, 
\mathsf {c}
)
]$

$
[LessTransitivity
\stackrel{
stmt
}{\rightarrow}ZFsub
\vdash 
\forall \underline{
\mathsf{x}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf{y}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf{z}}
\colon \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf{x}}
 <= \underline{
\mathsf{y}}
\Rightarrow \dot{\neg}\, \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf{x}}
 = \underline{
\mathsf{y}}
\vdash \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf{y}}
 <= \underline{
\mathsf{z}}
\Rightarrow \dot{\neg}\, \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf{y}}
 = \underline{
\mathsf{z}}
\vdash \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf{x}}
 <= \underline{
\mathsf{z}}
\Rightarrow \dot{\neg}\, \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf{x}}
 = \underline{
\mathsf{z}}
]$

$
[LessTransitivity
\stackrel{
proof
}{\rightarrow}
\lambda 
\mathsf {c}
.
\lambda 
\mathsf{x}
.
{\cal P}( 
\lceil ZFsub
\vdash 
\forall \underline{
\mathsf{x}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf{y}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf{z}}
\colon \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf{x}}
 <= \underline{
\mathsf{y}}
\Rightarrow \dot{\neg}\, \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf{x}}
 = \underline{
\mathsf{y}}
\vdash \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf{y}}
 <= \underline{
\mathsf{z}}
\Rightarrow \dot{\neg}\, \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf{y}}
 = \underline{
\mathsf{z}}
\vdash FirstConjunct
\rhd \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf{y}}
 <= \underline{
\mathsf{z}}
\Rightarrow \dot{\neg}\, \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf{y}}
 = \underline{
\mathsf{z}}
\gg \underline{
\mathsf{y}}
 <= \underline{
\mathsf{z}}
; LessLeqTransitivity
\rhd \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf{x}}
 <= \underline{
\mathsf{y}}
\Rightarrow \dot{\neg}\, \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf{x}}
 = \underline{
\mathsf{y}}
\rhd \underline{
\mathsf{y}}
 <= \underline{
\mathsf{z}}
\gg \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf{x}}
 <= \underline{
\mathsf{z}}
\Rightarrow \dot{\neg}\, \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf{x}}
 = \underline{
\mathsf{z}}
\rceil 
, 
p_0
, 
\mathsf {c}
)
]$


$
[LessTotality
\stackrel{
stmt
}{\rightarrow}ZFsub
\vdash 
\forall \underline{
\mathsf{x}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf{y}}
\colon \dot{\neg}\, \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf{x}}
 <= \underline{
\mathsf{y}}
\Rightarrow \dot{\neg}\, \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf{x}}
 = \underline{
\mathsf{y}}
\Rightarrow \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf{x}}
 = \underline{
\mathsf{y}}
\Rightarrow \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf{y}}
 <= \underline{
\mathsf{x}}
\Rightarrow \dot{\neg}\, \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf{y}}
 = \underline{
\mathsf{x}}
]$

$
[LessTotality
\stackrel{
proof
}{\rightarrow}
\lambda 
\mathsf {c}
.
\lambda 
\mathsf{x}
.
{\cal P}( 
\lceil ZFsub
\vdash 
\forall \underline{
\mathsf{x}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf{y}}
\colon \dot{\neg}\, \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf{x}}
 <= \underline{
\mathsf{y}}
\Rightarrow \dot{\neg}\, \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf{x}}
 = \underline{
\mathsf{y}}
\vdash \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf{x}}
 = \underline{
\mathsf{y}}
\vdash fromNotLess
\rhd \dot{\neg}\, \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf{x}}
 <= \underline{
\mathsf{y}}
\Rightarrow \dot{\neg}\, \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf{x}}
 = \underline{
\mathsf{y}}
\gg \underline{
\mathsf{y}}
 <= \underline{
\mathsf{x}}
; NeqSymmetry
\rhd \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf{x}}
 = \underline{
\mathsf{y}}
\gg \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf{y}}
 = \underline{
\mathsf{x}}
; LeqNeqLess
\rhd \underline{
\mathsf{y}}
 <= \underline{
\mathsf{x}}
\rhd \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf{y}}
 = \underline{
\mathsf{x}}
\gg \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf{y}}
 <= \underline{
\mathsf{x}}
\Rightarrow \dot{\neg}\, \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf{y}}
 = \underline{
\mathsf{x}}
; 
\forall \underline{
\mathsf{x}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf{y}}
\colon Ded
\rhd 
\forall \underline{
\mathsf{x}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf{y}}
\colon \dot{\neg}\, \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf{x}}
 <= \underline{
\mathsf{y}}
\Rightarrow \dot{\neg}\, \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf{x}}
 = \underline{
\mathsf{y}}
\vdash \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf{x}}
 = \underline{
\mathsf{y}}
\vdash \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf{y}}
 <= \underline{
\mathsf{x}}
\Rightarrow \dot{\neg}\, \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf{y}}
 = \underline{
\mathsf{x}}
\gg \dot{\neg}\, \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf{x}}
 <= \underline{
\mathsf{y}}
\Rightarrow \dot{\neg}\, \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf{x}}
 = \underline{
\mathsf{y}}
\Rightarrow \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf{x}}
 = \underline{
\mathsf{y}}
\Rightarrow \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf{y}}
 <= \underline{
\mathsf{x}}
\Rightarrow \dot{\neg}\, \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf{y}}
 = \underline{
\mathsf{x}}
; Repetition
\rhd \dot{\neg}\, \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf{x}}
 <= \underline{
\mathsf{y}}
\Rightarrow \dot{\neg}\, \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf{x}}
 = \underline{
\mathsf{y}}
\Rightarrow \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf{x}}
 = \underline{
\mathsf{y}}
\Rightarrow \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf{y}}
 <= \underline{
\mathsf{x}}
\Rightarrow \dot{\neg}\, \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf{y}}
 = \underline{
\mathsf{x}}
\gg \dot{\neg}\, \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf{x}}
 <= \underline{
\mathsf{y}}
\Rightarrow \dot{\neg}\, \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf{x}}
 = \underline{
\mathsf{y}}
\Rightarrow \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf{x}}
 = \underline{
\mathsf{y}}
\Rightarrow \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf{y}}
 <= \underline{
\mathsf{x}}
\Rightarrow \dot{\neg}\, \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf{y}}
 = \underline{
\mathsf{x}}
\rceil 
, 
p_0
, 
\mathsf {c}
)
]$



$
[SubLessRight
\stackrel{
stmt
}{\rightarrow}ZFsub
\vdash 
\forall \underline{
\mathsf{x}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf{y}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf{z}}
\colon \underline{
\mathsf{x}}
 = \underline{
\mathsf{y}}
\vdash \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf{z}}
 <= \underline{
\mathsf{x}}
\Rightarrow \dot{\neg}\, \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf{z}}
 = \underline{
\mathsf{x}}
\vdash \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf{z}}
 <= \underline{
\mathsf{y}}
\Rightarrow \dot{\neg}\, \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf{z}}
 = \underline{
\mathsf{y}}
]$

$
[SubLessRight
\stackrel{
proof
}{\rightarrow}
\lambda 
\mathsf {c}
.
\lambda 
\mathsf{x}
.
{\cal P}( 
\lceil ZFsub
\vdash 
\forall \underline{
\mathsf{x}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf{y}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf{z}}
\colon \underline{
\mathsf{x}}
 = \underline{
\mathsf{y}}
\vdash \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf{z}}
 <= \underline{
\mathsf{x}}
\Rightarrow \dot{\neg}\, \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf{z}}
 = \underline{
\mathsf{x}}
\vdash Repetition
\rhd \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf{z}}
 <= \underline{
\mathsf{x}}
\Rightarrow \dot{\neg}\, \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf{z}}
 = \underline{
\mathsf{x}}
\gg \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf{z}}
 <= \underline{
\mathsf{x}}
\Rightarrow \dot{\neg}\, \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf{z}}
 = \underline{
\mathsf{x}}
; FirstConjunct
\rhd \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf{z}}
 <= \underline{
\mathsf{x}}
\Rightarrow \dot{\neg}\, \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf{z}}
 = \underline{
\mathsf{x}}
\gg \underline{
\mathsf{z}}
 <= \underline{
\mathsf{x}}
; subLeqRight
\rhd \underline{
\mathsf{x}}
 = \underline{
\mathsf{y}}
\rhd \underline{
\mathsf{z}}
 <= \underline{
\mathsf{x}}
\gg \underline{
\mathsf{z}}
 <= \underline{
\mathsf{y}}
; SecondConjunct
\rhd \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf{z}}
 <= \underline{
\mathsf{x}}
\Rightarrow \dot{\neg}\, \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf{z}}
 = \underline{
\mathsf{x}}
\gg \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf{z}}
 = \underline{
\mathsf{x}}
; SubNeqRight
\rhd \underline{
\mathsf{x}}
 = \underline{
\mathsf{y}}
\rhd \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf{z}}
 = \underline{
\mathsf{x}}
\gg \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf{z}}
 = \underline{
\mathsf{y}}
; JoinConjuncts
\rhd \underline{
\mathsf{z}}
 <= \underline{
\mathsf{y}}
\rhd \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf{z}}
 = \underline{
\mathsf{y}}
\gg \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf{z}}
 <= \underline{
\mathsf{y}}
\Rightarrow \dot{\neg}\, \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf{z}}
 = \underline{
\mathsf{y}}
\rceil 
, 
p_0
, 
\mathsf {c}
)
]$

$
[SubLessLeft
\stackrel{
stmt
}{\rightarrow}ZFsub
\vdash 
\forall \underline{
\mathsf{x}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf{y}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf{z}}
\colon \underline{
\mathsf{x}}
 = \underline{
\mathsf{y}}
\vdash \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf{x}}
 <= \underline{
\mathsf{z}}
\Rightarrow \dot{\neg}\, \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf{x}}
 = \underline{
\mathsf{z}}
\vdash \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf{y}}
 <= \underline{
\mathsf{z}}
\Rightarrow \dot{\neg}\, \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf{y}}
 = \underline{
\mathsf{z}}
]$

$
[SubLessLeft
\stackrel{
proof
}{\rightarrow}
\lambda 
\mathsf {c}
.
\lambda 
\mathsf{x}
.
{\cal P}( 
\lceil ZFsub
\vdash 
\forall \underline{
\mathsf{x}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf{y}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf{z}}
\colon \underline{
\mathsf{x}}
 = \underline{
\mathsf{y}}
\vdash \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf{x}}
 <= \underline{
\mathsf{z}}
\Rightarrow \dot{\neg}\, \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf{x}}
 = \underline{
\mathsf{z}}
\vdash Repetition
\rhd \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf{x}}
 <= \underline{
\mathsf{z}}
\Rightarrow \dot{\neg}\, \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf{x}}
 = \underline{
\mathsf{z}}
\gg \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf{x}}
 <= \underline{
\mathsf{z}}
\Rightarrow \dot{\neg}\, \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf{x}}
 = \underline{
\mathsf{z}}
; FirstConjunct
\rhd \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf{x}}
 <= \underline{
\mathsf{z}}
\Rightarrow \dot{\neg}\, \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf{x}}
 = \underline{
\mathsf{z}}
\gg \underline{
\mathsf{x}}
 <= \underline{
\mathsf{z}}
; subLeqLeft
\rhd \underline{
\mathsf{x}}
 = \underline{
\mathsf{y}}
\rhd \underline{
\mathsf{x}}
 <= \underline{
\mathsf{z}}
\gg \underline{
\mathsf{y}}
 <= \underline{
\mathsf{z}}
; SecondConjunct
\rhd \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf{x}}
 <= \underline{
\mathsf{z}}
\Rightarrow \dot{\neg}\, \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf{x}}
 = \underline{
\mathsf{z}}
\gg \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf{x}}
 = \underline{
\mathsf{z}}
; SubNeqLeft
\rhd \underline{
\mathsf{x}}
 = \underline{
\mathsf{y}}
\rhd \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf{x}}
 = \underline{
\mathsf{z}}
\gg \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf{y}}
 = \underline{
\mathsf{z}}
; JoinConjuncts
\rhd \underline{
\mathsf{y}}
 <= \underline{
\mathsf{z}}
\rhd \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf{y}}
 = \underline{
\mathsf{z}}
\gg \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf{y}}
 <= \underline{
\mathsf{z}}
\Rightarrow \dot{\neg}\, \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf{y}}
 = \underline{
\mathsf{z}}
\rceil 
, 
p_0
, 
\mathsf {c}
)
]$



$
[NegativeLessPositive
\stackrel{
stmt
}{\rightarrow}ZFsub
\vdash 
\forall \underline{
\mathsf{x}}
\colon \dot{\neg}\, 0
 <= \underline{
\mathsf{x}}
\Rightarrow \dot{\neg}\, \dot{\neg}\, 0
 = \underline{
\mathsf{x}}
\vdash \dot{\neg}\, -\underline{
\mathsf{x}}
 <= \underline{
\mathsf{x}}
\Rightarrow \dot{\neg}\, \dot{\neg}\, -\underline{
\mathsf{x}}
 = \underline{
\mathsf{x}}
]$

$
[NegativeLessPositive
\stackrel{
proof
}{\rightarrow}
\lambda 
\mathsf {c}
.
\lambda 
\mathsf{x}
.
{\cal P}( 
\lceil ZFsub
\vdash 
\forall \underline{
\mathsf{x}}
\colon \dot{\neg}\, 0
 <= \underline{
\mathsf{x}}
\Rightarrow \dot{\neg}\, \dot{\neg}\, 0
 = \underline{
\mathsf{x}}
\vdash FirstConjunct
\rhd \dot{\neg}\, 0
 <= \underline{
\mathsf{x}}
\Rightarrow \dot{\neg}\, \dot{\neg}\, 0
 = \underline{
\mathsf{x}}
\gg 0
 <= \underline{
\mathsf{x}}
; leqAddition
\rhd 0
 <= \underline{
\mathsf{x}}
\gg 0
+-\underline{
\mathsf{x}}
 <= \underline{
\mathsf{x}}
+-\underline{
\mathsf{x}}
; plus0Left
\gg 0
+-\underline{
\mathsf{x}}
 = -\underline{
\mathsf{x}}
; Negative
\gg \underline{
\mathsf{x}}
+-\underline{
\mathsf{x}}
 = 0
; subLeqLeft
\rhd 0
+-\underline{
\mathsf{x}}
 = -\underline{
\mathsf{x}}
\rhd 0
+-\underline{
\mathsf{x}}
 <= \underline{
\mathsf{x}}
+-\underline{
\mathsf{x}}
\gg -\underline{
\mathsf{x}}
 <= \underline{
\mathsf{x}}
+-\underline{
\mathsf{x}}
; subLeqRight
\rhd \underline{
\mathsf{x}}
+-\underline{
\mathsf{x}}
 = 0
\rhd -\underline{
\mathsf{x}}
 <= \underline{
\mathsf{x}}
+-\underline{
\mathsf{x}}
\gg -\underline{
\mathsf{x}}
 <= 0
; leqLessTransitivity
\rhd -\underline{
\mathsf{x}}
 <= 0
\rhd \dot{\neg}\, 0
 <= \underline{
\mathsf{x}}
\Rightarrow \dot{\neg}\, \dot{\neg}\, 0
 = \underline{
\mathsf{x}}
\gg \dot{\neg}\, -\underline{
\mathsf{x}}
 <= \underline{
\mathsf{x}}
\Rightarrow \dot{\neg}\, \dot{\neg}\, -\underline{
\mathsf{x}}
 = \underline{
\mathsf{x}}
\rceil 
, 
p_0
, 
\mathsf {c}
)
]$


$
[LessNegated
\stackrel{
stmt
}{\rightarrow}ZFsub
\vdash 
\forall \underline{
\mathsf{x}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf{y}}
\colon \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf{x}}
 <= \underline{
\mathsf{y}}
\Rightarrow \dot{\neg}\, \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf{x}}
 = \underline{
\mathsf{y}}
\vdash \dot{\neg}\, -\underline{
\mathsf{y}}
 <= -\underline{
\mathsf{x}}
\Rightarrow \dot{\neg}\, \dot{\neg}\, -\underline{
\mathsf{y}}
 = -\underline{
\mathsf{x}}
]$


$
[LessNegated
\stackrel{
proof
}{\rightarrow}
\lambda 
\mathsf {c}
.
\lambda 
\mathsf{x}
.
{\cal P}( 
\lceil ZFsub
\vdash 
\forall \underline{
\mathsf{x}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf{y}}
\colon \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf{x}}
 <= \underline{
\mathsf{y}}
\Rightarrow \dot{\neg}\, \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf{x}}
 = \underline{
\mathsf{y}}
\vdash LessLeq
\rhd \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf{x}}
 <= \underline{
\mathsf{y}}
\Rightarrow \dot{\neg}\, \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf{x}}
 = \underline{
\mathsf{y}}
\gg \underline{
\mathsf{x}}
 <= \underline{
\mathsf{y}}
; LeqNegated
\rhd \underline{
\mathsf{x}}
 <= \underline{
\mathsf{y}}
\gg -\underline{
\mathsf{y}}
 <= -\underline{
\mathsf{x}}
; LessNeq
\rhd \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf{x}}
 <= \underline{
\mathsf{y}}
\Rightarrow \dot{\neg}\, \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf{x}}
 = \underline{
\mathsf{y}}
\gg \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf{x}}
 = \underline{
\mathsf{y}}
; NeqNegated
\rhd \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf{x}}
 = \underline{
\mathsf{y}}
\gg \dot{\neg}\, -\underline{
\mathsf{x}}
 = -\underline{
\mathsf{y}}
; NeqSymmetry
\rhd \dot{\neg}\, -\underline{
\mathsf{x}}
 = -\underline{
\mathsf{y}}
\gg \dot{\neg}\, -\underline{
\mathsf{y}}
 = -\underline{
\mathsf{x}}
; LeqNeqLess
\rhd -\underline{
\mathsf{y}}
 <= -\underline{
\mathsf{x}}
\rhd \dot{\neg}\, -\underline{
\mathsf{y}}
 = -\underline{
\mathsf{x}}
\gg \dot{\neg}\, -\underline{
\mathsf{y}}
 <= -\underline{
\mathsf{x}}
\Rightarrow \dot{\neg}\, \dot{\neg}\, -\underline{
\mathsf{y}}
 = -\underline{
\mathsf{x}}
\rceil 
, 
p_0
, 
\mathsf {c}
)
]$

$
[PositiveNegated
\stackrel{
stmt
}{\rightarrow}ZFsub
\vdash 
\forall \underline{
\mathsf{x}}
\colon \dot{\neg}\, 0
 <= \underline{
\mathsf{x}}
\Rightarrow \dot{\neg}\, \dot{\neg}\, 0
 = \underline{
\mathsf{x}}
\vdash \dot{\neg}\, -\underline{
\mathsf{x}}
 <= 0
\Rightarrow \dot{\neg}\, \dot{\neg}\, -\underline{
\mathsf{x}}
 = 0
]$

$
[PositiveNegated
\stackrel{
proof
}{\rightarrow}
\lambda 
\mathsf {c}
.
\lambda 
\mathsf{x}
.
{\cal P}( 
\lceil ZFsub
\vdash 
\forall \underline{
\mathsf{x}}
\colon \dot{\neg}\, 0
 <= \underline{
\mathsf{x}}
\Rightarrow \dot{\neg}\, \dot{\neg}\, 0
 = \underline{
\mathsf{x}}
\vdash LessNegated
\rhd \dot{\neg}\, 0
 <= \underline{
\mathsf{x}}
\Rightarrow \dot{\neg}\, \dot{\neg}\, 0
 = \underline{
\mathsf{x}}
\gg \dot{\neg}\, -\underline{
\mathsf{x}}
 <= -0
\Rightarrow \dot{\neg}\, \dot{\neg}\, -\underline{
\mathsf{x}}
 = -0
; -0=0
\gg -0
 = 0
; SubLessRight
\rhd -0
 = 0
\rhd \dot{\neg}\, -\underline{
\mathsf{x}}
 <= -0
\Rightarrow \dot{\neg}\, \dot{\neg}\, -\underline{
\mathsf{x}}
 = -0
\gg \dot{\neg}\, -\underline{
\mathsf{x}}
 <= 0
\Rightarrow \dot{\neg}\, \dot{\neg}\, -\underline{
\mathsf{x}}
 = 0
\rceil 
, 
p_0
, 
\mathsf {c}
)
]$

$
[NonpositiveNegated
\stackrel{
stmt
}{\rightarrow}ZFsub
\vdash 
\forall \underline{
\mathsf{x}}
\colon \underline{
\mathsf{x}}
 <= 0
\vdash 0
 <= -\underline{
\mathsf{x}}
]$

$
[NonpositiveNegated
\stackrel{
proof
}{\rightarrow}
\lambda 
\mathsf {c}
.
\lambda 
\mathsf{x}
.
{\cal P}( 
\lceil ZFsub
\vdash 
\forall \underline{
\mathsf{x}}
\colon \underline{
\mathsf{x}}
 <= 0
\vdash LeqNegated
\rhd \underline{
\mathsf{x}}
 <= 0
\gg -0
 <= -\underline{
\mathsf{x}}
; -0=0
\gg -0
 = 0
; subLeqLeft
\rhd -0
 = 0
\rhd -0
 <= -\underline{
\mathsf{x}}
\gg 0
 <= -\underline{
\mathsf{x}}
\rceil 
, 
p_0
, 
\mathsf {c}
)
]$

$
[NegativeNegated
\stackrel{
stmt
}{\rightarrow}ZFsub
\vdash 
\forall \underline{
\mathsf{x}}
\colon \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf{x}}
 <= 0
\Rightarrow \dot{\neg}\, \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf{x}}
 = 0
\vdash \dot{\neg}\, 0
 <= -\underline{
\mathsf{x}}
\Rightarrow \dot{\neg}\, \dot{\neg}\, 0
 = -\underline{
\mathsf{x}}
]$

$
[NegativeNegated
\stackrel{
proof
}{\rightarrow}
\lambda 
\mathsf {c}
.
\lambda 
\mathsf{x}
.
{\cal P}( 
\lceil ZFsub
\vdash 
\forall \underline{
\mathsf{x}}
\colon \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf{x}}
 <= 0
\Rightarrow \dot{\neg}\, \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf{x}}
 = 0
\vdash LessNegated
\rhd \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf{x}}
 <= 0
\Rightarrow \dot{\neg}\, \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf{x}}
 = 0
\gg \dot{\neg}\, -0
 <= -\underline{
\mathsf{x}}
\Rightarrow \dot{\neg}\, \dot{\neg}\, -0
 = -\underline{
\mathsf{x}}
; -0=0
\gg -0
 = 0
; SubLessLeft
\rhd -0
 = 0
\rhd \dot{\neg}\, -0
 <= -\underline{
\mathsf{x}}
\Rightarrow \dot{\neg}\, \dot{\neg}\, -0
 = -\underline{
\mathsf{x}}
\gg \dot{\neg}\, 0
 <= -\underline{
\mathsf{x}}
\Rightarrow \dot{\neg}\, \dot{\neg}\, 0
 = -\underline{
\mathsf{x}}
\rceil 
, 
p_0
, 
\mathsf {c}
)
]$

$
[NonnegativeNegated
\stackrel{
stmt
}{\rightarrow}ZFsub
\vdash 
\forall \underline{
\mathsf{x}}
\colon 0
 <= \underline{
\mathsf{x}}
\vdash -\underline{
\mathsf{x}}
 <= 0
]$

$
[NonnegativeNegated
\stackrel{
proof
}{\rightarrow}
\lambda 
\mathsf {c}
.
\lambda 
\mathsf{x}
.
{\cal P}( 
\lceil ZFsub
\vdash 
\forall \underline{
\mathsf{x}}
\colon 0
 <= \underline{
\mathsf{x}}
\vdash LeqNegated
\rhd 0
 <= \underline{
\mathsf{x}}
\gg -\underline{
\mathsf{x}}
 <= -0
; -0=0
\gg -0
 = 0
; subLeqRight
\rhd -0
 = 0
\rhd -\underline{
\mathsf{x}}
 <= -0
\gg -\underline{
\mathsf{x}}
 <= 0
\rceil 
, 
p_0
, 
\mathsf {c}
)
]$


$
[PositiveHalved
\stackrel{
stmt
}{\rightarrow}ZFsub
\vdash 
\forall \underline{
\mathsf{x}}
\colon \dot{\neg}\, 0
 <= \underline{
\mathsf{x}}
\Rightarrow \dot{\neg}\, \dot{\neg}\, 0
 = \underline{
\mathsf{x}}
\vdash \dot{\neg}\, 0
 <= rec1
+1
*\underline{
\mathsf{x}}
\Rightarrow \dot{\neg}\, \dot{\neg}\, 0
 = rec1
+1
*\underline{
\mathsf{x}}
]$

$
[PositiveHalved
\stackrel{
proof
}{\rightarrow}
\lambda 
\mathsf {c}
.
\lambda 
\mathsf{x}
.
{\cal P}( 
\lceil ZFsub
\vdash 
\forall \underline{
\mathsf{x}}
\colon \dot{\neg}\, 0
 <= \underline{
\mathsf{x}}
\Rightarrow \dot{\neg}\, \dot{\neg}\, 0
 = \underline{
\mathsf{x}}
\vdash 0<1/2
\gg \dot{\neg}\, 0
 <= rec1
+1
\Rightarrow \dot{\neg}\, \dot{\neg}\, 0
 = rec1
+1
; LessMultiplicationLeft
\rhd \dot{\neg}\, 0
 <= rec1
+1
\Rightarrow \dot{\neg}\, \dot{\neg}\, 0
 = rec1
+1
\rhd \dot{\neg}\, 0
 <= \underline{
\mathsf{x}}
\Rightarrow \dot{\neg}\, \dot{\neg}\, 0
 = \underline{
\mathsf{x}}
\gg \dot{\neg}\, rec1
+1
*0
 <= rec1
+1
*\underline{
\mathsf{x}}
\Rightarrow \dot{\neg}\, \dot{\neg}\, rec1
+1
*0
 = rec1
+1
*\underline{
\mathsf{x}}
; x*0=0
\gg rec1
+1
*0
 = 0
; SubLessLeft
\rhd rec1
+1
*0
 = 0
\rhd \dot{\neg}\, rec1
+1
*0
 <= rec1
+1
*\underline{
\mathsf{x}}
\Rightarrow \dot{\neg}\, \dot{\neg}\, rec1
+1
*0
 = rec1
+1
*\underline{
\mathsf{x}}
\gg \dot{\neg}\, 0
 <= rec1
+1
*\underline{
\mathsf{x}}
\Rightarrow \dot{\neg}\, \dot{\neg}\, 0
 = rec1
+1
*\underline{
\mathsf{x}}
\rceil 
, 
p_0
, 
\mathsf {c}
)
]$


(*** NUMERISK ***)

$
[NonnegativeNumerical
\stackrel{
stmt
}{\rightarrow}ZFsub
\vdash 
\forall \underline{
\mathsf{x}}
\colon 0
 <= \underline{
\mathsf{x}}
\vdash if(0
 <= \underline{
\mathsf{x}}
,\underline{
\mathsf{x}}
,-\underline{
\mathsf{x}}
)
 = \underline{
\mathsf{x}}
]$

$
[NonnegativeNumerical
\stackrel{
proof
}{\rightarrow}
\lambda 
\mathsf {c}
.
\lambda 
\mathsf{x}
.
{\cal P}( 
\lceil ZFsub
\vdash 
\forall \underline{
\mathsf{x}}
\colon 0
 <= \underline{
\mathsf{x}}
\vdash IfThenElse(T)
\rhd 0
 <= \underline{
\mathsf{x}}
\gg if(0
 <= \underline{
\mathsf{x}}
,\underline{
\mathsf{x}}
,-\underline{
\mathsf{x}}
)
 = \underline{
\mathsf{x}}
; Repetition
\rhd if(0
 <= \underline{
\mathsf{x}}
,\underline{
\mathsf{x}}
,-\underline{
\mathsf{x}}
)
 = \underline{
\mathsf{x}}
\gg if(0
 <= \underline{
\mathsf{x}}
,\underline{
\mathsf{x}}
,-\underline{
\mathsf{x}}
)
 = \underline{
\mathsf{x}}
\rceil 
, 
p_0
, 
\mathsf {c}
)
]$

$
[PositiveNumerical
\stackrel{
stmt
}{\rightarrow}ZFsub
\vdash 
\forall \underline{
\mathsf{x}}
\colon \dot{\neg}\, 0
 <= \underline{
\mathsf{x}}
\Rightarrow \dot{\neg}\, \dot{\neg}\, 0
 = \underline{
\mathsf{x}}
\vdash if(0
 <= \underline{
\mathsf{x}}
,\underline{
\mathsf{x}}
,-\underline{
\mathsf{x}}
)
 = \underline{
\mathsf{x}}
]$

$
[PositiveNumerical
\stackrel{
proof
}{\rightarrow}
\lambda 
\mathsf {c}
.
\lambda 
\mathsf{x}
.
{\cal P}( 
\lceil ZFsub
\vdash 
\forall \underline{
\mathsf{x}}
\colon \dot{\neg}\, 0
 <= \underline{
\mathsf{x}}
\Rightarrow \dot{\neg}\, \dot{\neg}\, 0
 = \underline{
\mathsf{x}}
\vdash LessLeq
\rhd \dot{\neg}\, 0
 <= \underline{
\mathsf{x}}
\Rightarrow \dot{\neg}\, \dot{\neg}\, 0
 = \underline{
\mathsf{x}}
\gg 0
 <= \underline{
\mathsf{x}}
; NonnegativeNumerical
\rhd 0
 <= \underline{
\mathsf{x}}
\gg if(0
 <= \underline{
\mathsf{x}}
,\underline{
\mathsf{x}}
,-\underline{
\mathsf{x}}
)
 = \underline{
\mathsf{x}}
\rceil 
, 
p_0
, 
\mathsf {c}
)
]$

$
[NegativeNumerical
\stackrel{
stmt
}{\rightarrow}ZFsub
\vdash 
\forall \underline{
\mathsf{x}}
\colon \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf{x}}
 <= 0
\Rightarrow \dot{\neg}\, \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf{x}}
 = 0
\vdash if(0
 <= \underline{
\mathsf{x}}
,\underline{
\mathsf{x}}
,-\underline{
\mathsf{x}}
)
 = -\underline{
\mathsf{x}}
]$

$
[NegativeNumerical
\stackrel{
proof
}{\rightarrow}
\lambda 
\mathsf {c}
.
\lambda 
\mathsf{x}
.
{\cal P}( 
\lceil ZFsub
\vdash 
\forall \underline{
\mathsf{x}}
\colon \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf{x}}
 <= 0
\Rightarrow \dot{\neg}\, \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf{x}}
 = 0
\vdash FromLess
\rhd \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf{x}}
 <= 0
\Rightarrow \dot{\neg}\, \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf{x}}
 = 0
\gg \dot{\neg}\, 0
 <= \underline{
\mathsf{x}}
; IfThenElse(F)
\rhd \dot{\neg}\, 0
 <= \underline{
\mathsf{x}}
\gg if(0
 <= \underline{
\mathsf{x}}
,\underline{
\mathsf{x}}
,-\underline{
\mathsf{x}}
)
 = -\underline{
\mathsf{x}}
; Repetition
\rhd if(0
 <= \underline{
\mathsf{x}}
,\underline{
\mathsf{x}}
,-\underline{
\mathsf{x}}
)
 = -\underline{
\mathsf{x}}
\gg if(0
 <= \underline{
\mathsf{x}}
,\underline{
\mathsf{x}}
,-\underline{
\mathsf{x}}
)
 = -\underline{
\mathsf{x}}
\rceil 
, 
p_0
, 
\mathsf {c}
)
]$

$
[
\mbox{lemma nonpositiveNumerical}
\stackrel{
stmt
}{\rightarrow}ZFsub
\vdash 
\forall \underline{
\mathsf{x}}
\colon \underline{
\mathsf{x}}
 <= 0
\vdash if(0
 <= \underline{
\mathsf{x}}
,\underline{
\mathsf{x}}
,-\underline{
\mathsf{x}}
)
 = -\underline{
\mathsf{x}}
]$

$
[
\mbox{lemma nonpositiveNumerical}
\stackrel{
proof
}{\rightarrow}
\lambda 
\mathsf {c}
.
\lambda 
\mathsf{x}
.
{\cal P}( 
\lceil ZFsub
\vdash 
\forall \underline{
\mathsf{x}}
\colon \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf{x}}
 <= 0
\Rightarrow \dot{\neg}\, \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf{x}}
 = 0
\vdash NegativeNumerical
\rhd \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf{x}}
 <= 0
\Rightarrow \dot{\neg}\, \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf{x}}
 = 0
\gg if(0
 <= \underline{
\mathsf{x}}
,\underline{
\mathsf{x}}
,-\underline{
\mathsf{x}}
)
 = -\underline{
\mathsf{x}}
; 
\forall \underline{
\mathsf{x}}
\colon \underline{
\mathsf{x}}
 = 0
\vdash eqSymmetry
\rhd \underline{
\mathsf{x}}
 = 0
\gg 0
 = \underline{
\mathsf{x}}
; eqLeq
\rhd 0
 = \underline{
\mathsf{x}}
\gg 0
 <= \underline{
\mathsf{x}}
; NonnegativeNumerical
\rhd 0
 <= \underline{
\mathsf{x}}
\gg if(0
 <= \underline{
\mathsf{x}}
,\underline{
\mathsf{x}}
,-\underline{
\mathsf{x}}
)
 = \underline{
\mathsf{x}}
; -0=0
\gg -0
 = 0
; eqSymmetry
\rhd -0
 = 0
\gg 0
 = -0
; EqNegated
\rhd 0
 = \underline{
\mathsf{x}}
\gg -0
 = -\underline{
\mathsf{x}}
; eqTransitivity5
\rhd if(0
 <= \underline{
\mathsf{x}}
,\underline{
\mathsf{x}}
,-\underline{
\mathsf{x}}
)
 = \underline{
\mathsf{x}}
\rhd \underline{
\mathsf{x}}
 = 0
\rhd 0
 = -0
\rhd -0
 = -\underline{
\mathsf{x}}
\gg if(0
 <= \underline{
\mathsf{x}}
,\underline{
\mathsf{x}}
,-\underline{
\mathsf{x}}
)
 = -\underline{
\mathsf{x}}
; 
\forall \underline{
\mathsf{x}}
\colon Ded
\rhd 
\forall \underline{
\mathsf{x}}
\colon \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf{x}}
 <= 0
\Rightarrow \dot{\neg}\, \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf{x}}
 = 0
\vdash if(0
 <= \underline{
\mathsf{x}}
,\underline{
\mathsf{x}}
,-\underline{
\mathsf{x}}
)
 = -\underline{
\mathsf{x}}
\gg \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf{x}}
 <= 0
\Rightarrow \dot{\neg}\, \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf{x}}
 = 0
\Rightarrow if(0
 <= \underline{
\mathsf{x}}
,\underline{
\mathsf{x}}
,-\underline{
\mathsf{x}}
)
 = -\underline{
\mathsf{x}}
; Ded
\rhd 
\forall \underline{
\mathsf{x}}
\colon \underline{
\mathsf{x}}
 = 0
\vdash if(0
 <= \underline{
\mathsf{x}}
,\underline{
\mathsf{x}}
,-\underline{
\mathsf{x}}
)
 = -\underline{
\mathsf{x}}
\gg \underline{
\mathsf{x}}
 = 0
\Rightarrow if(0
 <= \underline{
\mathsf{x}}
,\underline{
\mathsf{x}}
,-\underline{
\mathsf{x}}
)
 = -\underline{
\mathsf{x}}
; \underline{
\mathsf{x}}
 <= 0
\vdash LeqLessEq
\rhd \underline{
\mathsf{x}}
 <= 0
\gg \dot{\neg}\, \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf{x}}
 <= 0
\Rightarrow \dot{\neg}\, \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf{x}}
 = 0
\Rightarrow \underline{
\mathsf{x}}
 = 0
; FromDisjuncts
\rhd \dot{\neg}\, \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf{x}}
 <= 0
\Rightarrow \dot{\neg}\, \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf{x}}
 = 0
\Rightarrow \underline{
\mathsf{x}}
 = 0
\rhd \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf{x}}
 <= 0
\Rightarrow \dot{\neg}\, \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf{x}}
 = 0
\Rightarrow if(0
 <= \underline{
\mathsf{x}}
,\underline{
\mathsf{x}}
,-\underline{
\mathsf{x}}
)
 = -\underline{
\mathsf{x}}
\rhd \underline{
\mathsf{x}}
 = 0
\Rightarrow if(0
 <= \underline{
\mathsf{x}}
,\underline{
\mathsf{x}}
,-\underline{
\mathsf{x}}
)
 = -\underline{
\mathsf{x}}
\gg if(0
 <= \underline{
\mathsf{x}}
,\underline{
\mathsf{x}}
,-\underline{
\mathsf{x}}
)
 = -\underline{
\mathsf{x}}
\rceil 
, 
p_0
, 
\mathsf {c}
)
]$

$
[|0|=0
\stackrel{
stmt
}{\rightarrow}ZFsub
\vdash if(0
 <= 0
,0
,-0
)
 = 0
]$

$
[|0|=0
\stackrel{
proof
}{\rightarrow}
\lambda 
\mathsf {c}
.
\lambda 
\mathsf{x}
.
{\cal P}( 
\lceil ZFsub
\vdash leqReflexivity
\gg 0
 <= 0
; NonnegativeNumerical
\rhd 0
 <= 0
\gg if(0
 <= 0
,0
,-0
)
 = 0
\rceil 
, 
p_0
, 
\mathsf {c}
)
]$



$
[0<=|x|
\stackrel{
stmt
}{\rightarrow}ZFsub
\vdash 
\forall \underline{
\mathsf{x}}
\colon 0
 <= if(0
 <= \underline{
\mathsf{x}}
,\underline{
\mathsf{x}}
,-\underline{
\mathsf{x}}
)
]$

$
[0<=|x|
\stackrel{
proof
}{\rightarrow}
\lambda 
\mathsf {c}
.
\lambda 
\mathsf{x}
.
{\cal P}( 
\lceil ZFsub
\vdash 
\forall \underline{
\mathsf{x}}
\colon 0
 <= \underline{
\mathsf{x}}
\vdash NonnegativeNumerical
\rhd 0
 <= \underline{
\mathsf{x}}
\gg if(0
 <= \underline{
\mathsf{x}}
,\underline{
\mathsf{x}}
,-\underline{
\mathsf{x}}
)
 = \underline{
\mathsf{x}}
; eqSymmetry
\rhd if(0
 <= \underline{
\mathsf{x}}
,\underline{
\mathsf{x}}
,-\underline{
\mathsf{x}}
)
 = \underline{
\mathsf{x}}
\gg \underline{
\mathsf{x}}
 = if(0
 <= \underline{
\mathsf{x}}
,\underline{
\mathsf{x}}
,-\underline{
\mathsf{x}}
)
; subLeqRight
\rhd \underline{
\mathsf{x}}
 = if(0
 <= \underline{
\mathsf{x}}
,\underline{
\mathsf{x}}
,-\underline{
\mathsf{x}}
)
\rhd 0
 <= \underline{
\mathsf{x}}
\gg 0
 <= if(0
 <= \underline{
\mathsf{x}}
,\underline{
\mathsf{x}}
,-\underline{
\mathsf{x}}
)
; 
\forall \underline{
\mathsf{x}}
\colon \dot{\neg}\, 0
 <= \underline{
\mathsf{x}}
\vdash ToLess
\rhd \dot{\neg}\, 0
 <= \underline{
\mathsf{x}}
\gg \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf{x}}
 <= 0
\Rightarrow \dot{\neg}\, \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf{x}}
 = 0
; NegativeNumerical
\rhd \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf{x}}
 <= 0
\Rightarrow \dot{\neg}\, \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf{x}}
 = 0
\gg if(0
 <= \underline{
\mathsf{x}}
,\underline{
\mathsf{x}}
,-\underline{
\mathsf{x}}
)
 = -\underline{
\mathsf{x}}
; eqSymmetry
\rhd if(0
 <= \underline{
\mathsf{x}}
,\underline{
\mathsf{x}}
,-\underline{
\mathsf{x}}
)
 = -\underline{
\mathsf{x}}
\gg -\underline{
\mathsf{x}}
 = if(0
 <= \underline{
\mathsf{x}}
,\underline{
\mathsf{x}}
,-\underline{
\mathsf{x}}
)
; NegativeNegated
\rhd \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf{x}}
 <= 0
\Rightarrow \dot{\neg}\, \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf{x}}
 = 0
\gg \dot{\neg}\, 0
 <= -\underline{
\mathsf{x}}
\Rightarrow \dot{\neg}\, \dot{\neg}\, 0
 = -\underline{
\mathsf{x}}
; LessLeq
\rhd \dot{\neg}\, 0
 <= -\underline{
\mathsf{x}}
\Rightarrow \dot{\neg}\, \dot{\neg}\, 0
 = -\underline{
\mathsf{x}}
\gg 0
 <= -\underline{
\mathsf{x}}
; subLeqRight
\rhd -\underline{
\mathsf{x}}
 = if(0
 <= \underline{
\mathsf{x}}
,\underline{
\mathsf{x}}
,-\underline{
\mathsf{x}}
)
\rhd 0
 <= -\underline{
\mathsf{x}}
\gg 0
 <= if(0
 <= \underline{
\mathsf{x}}
,\underline{
\mathsf{x}}
,-\underline{
\mathsf{x}}
)
; 
\forall \underline{
\mathsf{x}}
\colon Ded
\rhd 
\forall \underline{
\mathsf{x}}
\colon 0
 <= \underline{
\mathsf{x}}
\vdash 0
 <= if(0
 <= \underline{
\mathsf{x}}
,\underline{
\mathsf{x}}
,-\underline{
\mathsf{x}}
)
\gg 0
 <= \underline{
\mathsf{x}}
\Rightarrow 0
 <= if(0
 <= \underline{
\mathsf{x}}
,\underline{
\mathsf{x}}
,-\underline{
\mathsf{x}}
)
; Ded
\rhd 
\forall \underline{
\mathsf{x}}
\colon \dot{\neg}\, 0
 <= \underline{
\mathsf{x}}
\vdash 0
 <= if(0
 <= \underline{
\mathsf{x}}
,\underline{
\mathsf{x}}
,-\underline{
\mathsf{x}}
)
\gg \dot{\neg}\, 0
 <= \underline{
\mathsf{x}}
\Rightarrow 0
 <= if(0
 <= \underline{
\mathsf{x}}
,\underline{
\mathsf{x}}
,-\underline{
\mathsf{x}}
)
; FromNegations
\rhd 0
 <= \underline{
\mathsf{x}}
\Rightarrow 0
 <= if(0
 <= \underline{
\mathsf{x}}
,\underline{
\mathsf{x}}
,-\underline{
\mathsf{x}}
)
\rhd \dot{\neg}\, 0
 <= \underline{
\mathsf{x}}
\Rightarrow 0
 <= if(0
 <= \underline{
\mathsf{x}}
,\underline{
\mathsf{x}}
,-\underline{
\mathsf{x}}
)
\gg 0
 <= if(0
 <= \underline{
\mathsf{x}}
,\underline{
\mathsf{x}}
,-\underline{
\mathsf{x}}
)
\rceil 
, 
p_0
, 
\mathsf {c}
)
]$


$
[SameNumerical
\stackrel{
stmt
}{\rightarrow}ZFsub
\vdash 
\forall \underline{
\mathsf{x}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf{y}}
\colon \underline{
\mathsf{x}}
 = \underline{
\mathsf{y}}
\vdash if(0
 <= \underline{
\mathsf{x}}
,\underline{
\mathsf{x}}
,-\underline{
\mathsf{x}}
)
 = if(0
 <= \underline{
\mathsf{y}}
,\underline{
\mathsf{y}}
,-\underline{
\mathsf{y}}
)
]$

$
[SameNumerical
\stackrel{
proof
}{\rightarrow}
\lambda 
\mathsf {c}
.
\lambda 
\mathsf{x}
.
{\cal P}( 
\lceil ZFsub
\vdash 
\forall \underline{
\mathsf{x}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf{y}}
\colon 0
 <= \underline{
\mathsf{x}}
\vdash \underline{
\mathsf{x}}
 = \underline{
\mathsf{y}}
\vdash NonnegativeNumerical
\rhd 0
 <= \underline{
\mathsf{x}}
\gg if(0
 <= \underline{
\mathsf{x}}
,\underline{
\mathsf{x}}
,-\underline{
\mathsf{x}}
)
 = \underline{
\mathsf{x}}
; subLeqRight
\rhd \underline{
\mathsf{x}}
 = \underline{
\mathsf{y}}
\rhd 0
 <= \underline{
\mathsf{x}}
\gg 0
 <= \underline{
\mathsf{y}}
; NonnegativeNumerical
\rhd 0
 <= \underline{
\mathsf{y}}
\gg if(0
 <= \underline{
\mathsf{y}}
,\underline{
\mathsf{y}}
,-\underline{
\mathsf{y}}
)
 = \underline{
\mathsf{y}}
; eqSymmetry
\rhd if(0
 <= \underline{
\mathsf{y}}
,\underline{
\mathsf{y}}
,-\underline{
\mathsf{y}}
)
 = \underline{
\mathsf{y}}
\gg \underline{
\mathsf{y}}
 = if(0
 <= \underline{
\mathsf{y}}
,\underline{
\mathsf{y}}
,-\underline{
\mathsf{y}}
)
; eqTransitivity4
\rhd if(0
 <= \underline{
\mathsf{x}}
,\underline{
\mathsf{x}}
,-\underline{
\mathsf{x}}
)
 = \underline{
\mathsf{x}}
\rhd \underline{
\mathsf{x}}
 = \underline{
\mathsf{y}}
\rhd \underline{
\mathsf{y}}
 = if(0
 <= \underline{
\mathsf{y}}
,\underline{
\mathsf{y}}
,-\underline{
\mathsf{y}}
)
\gg if(0
 <= \underline{
\mathsf{x}}
,\underline{
\mathsf{x}}
,-\underline{
\mathsf{x}}
)
 = if(0
 <= \underline{
\mathsf{y}}
,\underline{
\mathsf{y}}
,-\underline{
\mathsf{y}}
)
; 
\forall \underline{
\mathsf{x}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf{y}}
\colon \dot{\neg}\, 0
 <= \underline{
\mathsf{x}}
\vdash \underline{
\mathsf{x}}
 = \underline{
\mathsf{y}}
\vdash ToLess
\rhd \dot{\neg}\, 0
 <= \underline{
\mathsf{x}}
\gg \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf{x}}
 <= 0
\Rightarrow \dot{\neg}\, \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf{x}}
 = 0
; NegativeNumerical
\rhd \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf{x}}
 <= 0
\Rightarrow \dot{\neg}\, \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf{x}}
 = 0
\gg if(0
 <= \underline{
\mathsf{x}}
,\underline{
\mathsf{x}}
,-\underline{
\mathsf{x}}
)
 = -\underline{
\mathsf{x}}
; SubLessLeft
\rhd \underline{
\mathsf{x}}
 = \underline{
\mathsf{y}}
\rhd \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf{x}}
 <= 0
\Rightarrow \dot{\neg}\, \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf{x}}
 = 0
\gg \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf{y}}
 <= 0
\Rightarrow \dot{\neg}\, \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf{y}}
 = 0
; NegativeNumerical
\rhd \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf{y}}
 <= 0
\Rightarrow \dot{\neg}\, \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf{y}}
 = 0
\gg if(0
 <= \underline{
\mathsf{y}}
,\underline{
\mathsf{y}}
,-\underline{
\mathsf{y}}
)
 = -\underline{
\mathsf{y}}
; eqSymmetry
\rhd if(0
 <= \underline{
\mathsf{y}}
,\underline{
\mathsf{y}}
,-\underline{
\mathsf{y}}
)
 = -\underline{
\mathsf{y}}
\gg -\underline{
\mathsf{y}}
 = if(0
 <= \underline{
\mathsf{y}}
,\underline{
\mathsf{y}}
,-\underline{
\mathsf{y}}
)
; EqNegated
\rhd \underline{
\mathsf{x}}
 = \underline{
\mathsf{y}}
\gg -\underline{
\mathsf{x}}
 = -\underline{
\mathsf{y}}
; eqTransitivity4
\rhd if(0
 <= \underline{
\mathsf{x}}
,\underline{
\mathsf{x}}
,-\underline{
\mathsf{x}}
)
 = -\underline{
\mathsf{x}}
\rhd -\underline{
\mathsf{x}}
 = -\underline{
\mathsf{y}}
\rhd -\underline{
\mathsf{y}}
 = if(0
 <= \underline{
\mathsf{y}}
,\underline{
\mathsf{y}}
,-\underline{
\mathsf{y}}
)
\gg if(0
 <= \underline{
\mathsf{x}}
,\underline{
\mathsf{x}}
,-\underline{
\mathsf{x}}
)
 = if(0
 <= \underline{
\mathsf{y}}
,\underline{
\mathsf{y}}
,-\underline{
\mathsf{y}}
)
; 
\forall \underline{
\mathsf{x}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf{y}}
\colon \underline{
\mathsf{x}}
 = \underline{
\mathsf{y}}
\vdash Ded
\rhd 
\forall \underline{
\mathsf{x}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf{y}}
\colon 0
 <= \underline{
\mathsf{x}}
\vdash \underline{
\mathsf{x}}
 = \underline{
\mathsf{y}}
\vdash if(0
 <= \underline{
\mathsf{x}}
,\underline{
\mathsf{x}}
,-\underline{
\mathsf{x}}
)
 = if(0
 <= \underline{
\mathsf{y}}
,\underline{
\mathsf{y}}
,-\underline{
\mathsf{y}}
)
\gg 0
 <= \underline{
\mathsf{x}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf{x}}
 = \underline{
\mathsf{y}}
\Rightarrow if(0
 <= \underline{
\mathsf{x}}
,\underline{
\mathsf{x}}
,-\underline{
\mathsf{x}}
)
 = if(0
 <= \underline{
\mathsf{y}}
,\underline{
\mathsf{y}}
,-\underline{
\mathsf{y}}
)
; Ded
\rhd 
\forall \underline{
\mathsf{x}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf{y}}
\colon \dot{\neg}\, 0
 <= \underline{
\mathsf{x}}
\vdash \underline{
\mathsf{x}}
 = \underline{
\mathsf{y}}
\vdash if(0
 <= \underline{
\mathsf{x}}
,\underline{
\mathsf{x}}
,-\underline{
\mathsf{x}}
)
 = if(0
 <= \underline{
\mathsf{y}}
,\underline{
\mathsf{y}}
,-\underline{
\mathsf{y}}
)
\gg \dot{\neg}\, 0
 <= \underline{
\mathsf{x}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf{x}}
 = \underline{
\mathsf{y}}
\Rightarrow if(0
 <= \underline{
\mathsf{x}}
,\underline{
\mathsf{x}}
,-\underline{
\mathsf{x}}
)
 = if(0
 <= \underline{
\mathsf{y}}
,\underline{
\mathsf{y}}
,-\underline{
\mathsf{y}}
)
; FromNegations
\rhd 0
 <= \underline{
\mathsf{x}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf{x}}
 = \underline{
\mathsf{y}}
\Rightarrow if(0
 <= \underline{
\mathsf{x}}
,\underline{
\mathsf{x}}
,-\underline{
\mathsf{x}}
)
 = if(0
 <= \underline{
\mathsf{y}}
,\underline{
\mathsf{y}}
,-\underline{
\mathsf{y}}
)
\rhd \dot{\neg}\, 0
 <= \underline{
\mathsf{x}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf{x}}
 = \underline{
\mathsf{y}}
\Rightarrow if(0
 <= \underline{
\mathsf{x}}
,\underline{
\mathsf{x}}
,-\underline{
\mathsf{x}}
)
 = if(0
 <= \underline{
\mathsf{y}}
,\underline{
\mathsf{y}}
,-\underline{
\mathsf{y}}
)
\gg \underline{
\mathsf{x}}
 = \underline{
\mathsf{y}}
\Rightarrow if(0
 <= \underline{
\mathsf{x}}
,\underline{
\mathsf{x}}
,-\underline{
\mathsf{x}}
)
 = if(0
 <= \underline{
\mathsf{y}}
,\underline{
\mathsf{y}}
,-\underline{
\mathsf{y}}
)
; MP
\rhd \underline{
\mathsf{x}}
 = \underline{
\mathsf{y}}
\Rightarrow if(0
 <= \underline{
\mathsf{x}}
,\underline{
\mathsf{x}}
,-\underline{
\mathsf{x}}
)
 = if(0
 <= \underline{
\mathsf{y}}
,\underline{
\mathsf{y}}
,-\underline{
\mathsf{y}}
)
\rhd \underline{
\mathsf{x}}
 = \underline{
\mathsf{y}}
\gg if(0
 <= \underline{
\mathsf{x}}
,\underline{
\mathsf{x}}
,-\underline{
\mathsf{x}}
)
 = if(0
 <= \underline{
\mathsf{y}}
,\underline{
\mathsf{y}}
,-\underline{
\mathsf{y}}
)
\rceil 
, 
p_0
, 
\mathsf {c}
)
]$

$
[SignNumerical(+)
\stackrel{
stmt
}{\rightarrow}ZFsub
\vdash 
\forall \underline{
\mathsf{x}}
\colon \dot{\neg}\, 0
 <= \underline{
\mathsf{x}}
\Rightarrow \dot{\neg}\, \dot{\neg}\, 0
 = \underline{
\mathsf{x}}
\vdash if(0
 <= \underline{
\mathsf{x}}
,\underline{
\mathsf{x}}
,-\underline{
\mathsf{x}}
)
 = if(0
 <= -\underline{
\mathsf{x}}
,-\underline{
\mathsf{x}}
,--\underline{
\mathsf{x}}
)
]$

$
[SignNumerical(+)
\stackrel{
proof
}{\rightarrow}
\lambda 
\mathsf {c}
.
\lambda 
\mathsf{x}
.
{\cal P}( 
\lceil ZFsub
\vdash 
\forall \underline{
\mathsf{x}}
\colon \dot{\neg}\, 0
 <= \underline{
\mathsf{x}}
\Rightarrow \dot{\neg}\, \dot{\neg}\, 0
 = \underline{
\mathsf{x}}
\vdash PositiveNumerical
\rhd \dot{\neg}\, 0
 <= \underline{
\mathsf{x}}
\Rightarrow \dot{\neg}\, \dot{\neg}\, 0
 = \underline{
\mathsf{x}}
\gg if(0
 <= \underline{
\mathsf{x}}
,\underline{
\mathsf{x}}
,-\underline{
\mathsf{x}}
)
 = \underline{
\mathsf{x}}
; PositiveNegated
\rhd \dot{\neg}\, 0
 <= \underline{
\mathsf{x}}
\Rightarrow \dot{\neg}\, \dot{\neg}\, 0
 = \underline{
\mathsf{x}}
\gg \dot{\neg}\, -\underline{
\mathsf{x}}
 <= 0
\Rightarrow \dot{\neg}\, \dot{\neg}\, -\underline{
\mathsf{x}}
 = 0
; NegativeNumerical
\rhd \dot{\neg}\, -\underline{
\mathsf{x}}
 <= 0
\Rightarrow \dot{\neg}\, \dot{\neg}\, -\underline{
\mathsf{x}}
 = 0
\gg if(0
 <= -\underline{
\mathsf{x}}
,-\underline{
\mathsf{x}}
,--\underline{
\mathsf{x}}
)
 = --\underline{
\mathsf{x}}
; DoubleMinus
\gg --\underline{
\mathsf{x}}
 = \underline{
\mathsf{x}}
; eqTransitivity
\rhd if(0
 <= -\underline{
\mathsf{x}}
,-\underline{
\mathsf{x}}
,--\underline{
\mathsf{x}}
)
 = --\underline{
\mathsf{x}}
\rhd --\underline{
\mathsf{x}}
 = \underline{
\mathsf{x}}
\gg if(0
 <= -\underline{
\mathsf{x}}
,-\underline{
\mathsf{x}}
,--\underline{
\mathsf{x}}
)
 = \underline{
\mathsf{x}}
; eqSymmetry
\rhd if(0
 <= -\underline{
\mathsf{x}}
,-\underline{
\mathsf{x}}
,--\underline{
\mathsf{x}}
)
 = \underline{
\mathsf{x}}
\gg \underline{
\mathsf{x}}
 = if(0
 <= -\underline{
\mathsf{x}}
,-\underline{
\mathsf{x}}
,--\underline{
\mathsf{x}}
)
; eqTransitivity
\rhd if(0
 <= \underline{
\mathsf{x}}
,\underline{
\mathsf{x}}
,-\underline{
\mathsf{x}}
)
 = \underline{
\mathsf{x}}
\rhd \underline{
\mathsf{x}}
 = if(0
 <= -\underline{
\mathsf{x}}
,-\underline{
\mathsf{x}}
,--\underline{
\mathsf{x}}
)
\gg if(0
 <= \underline{
\mathsf{x}}
,\underline{
\mathsf{x}}
,-\underline{
\mathsf{x}}
)
 = if(0
 <= -\underline{
\mathsf{x}}
,-\underline{
\mathsf{x}}
,--\underline{
\mathsf{x}}
)
\rceil 
, 
p_0
, 
\mathsf {c}
)
]$


$
[SignNumerical
\stackrel{
stmt
}{\rightarrow}ZFsub
\vdash 
\forall \underline{
\mathsf{x}}
\colon if(0
 <= \underline{
\mathsf{x}}
,\underline{
\mathsf{x}}
,-\underline{
\mathsf{x}}
)
 = if(0
 <= -\underline{
\mathsf{x}}
,-\underline{
\mathsf{x}}
,--\underline{
\mathsf{x}}
)
]$

$
[SignNumerical
\stackrel{
proof
}{\rightarrow}
\lambda 
\mathsf {c}
.
\lambda 
\mathsf{x}
.
{\cal P}( 
\lceil ZFsub
\vdash 
\forall \underline{
\mathsf{x}}
\colon \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf{x}}
 <= 0
\Rightarrow \dot{\neg}\, \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf{x}}
 = 0
\vdash NegativeNegated
\rhd \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf{x}}
 <= 0
\Rightarrow \dot{\neg}\, \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf{x}}
 = 0
\gg \dot{\neg}\, 0
 <= -\underline{
\mathsf{x}}
\Rightarrow \dot{\neg}\, \dot{\neg}\, 0
 = -\underline{
\mathsf{x}}
; SignNumerical(+)
\rhd \dot{\neg}\, 0
 <= -\underline{
\mathsf{x}}
\Rightarrow \dot{\neg}\, \dot{\neg}\, 0
 = -\underline{
\mathsf{x}}
\gg if(0
 <= -\underline{
\mathsf{x}}
,-\underline{
\mathsf{x}}
,--\underline{
\mathsf{x}}
)
 = if(0
 <= --\underline{
\mathsf{x}}
,--\underline{
\mathsf{x}}
,---\underline{
\mathsf{x}}
)
; DoubleMinus
\gg --\underline{
\mathsf{x}}
 = \underline{
\mathsf{x}}
; SameNumerical
\rhd --\underline{
\mathsf{x}}
 = \underline{
\mathsf{x}}
\gg if(0
 <= --\underline{
\mathsf{x}}
,--\underline{
\mathsf{x}}
,---\underline{
\mathsf{x}}
)
 = if(0
 <= \underline{
\mathsf{x}}
,\underline{
\mathsf{x}}
,-\underline{
\mathsf{x}}
)
; eqTransitivity
\rhd if(0
 <= -\underline{
\mathsf{x}}
,-\underline{
\mathsf{x}}
,--\underline{
\mathsf{x}}
)
 = if(0
 <= --\underline{
\mathsf{x}}
,--\underline{
\mathsf{x}}
,---\underline{
\mathsf{x}}
)
\rhd if(0
 <= --\underline{
\mathsf{x}}
,--\underline{
\mathsf{x}}
,---\underline{
\mathsf{x}}
)
 = if(0
 <= \underline{
\mathsf{x}}
,\underline{
\mathsf{x}}
,-\underline{
\mathsf{x}}
)
\gg if(0
 <= -\underline{
\mathsf{x}}
,-\underline{
\mathsf{x}}
,--\underline{
\mathsf{x}}
)
 = if(0
 <= \underline{
\mathsf{x}}
,\underline{
\mathsf{x}}
,-\underline{
\mathsf{x}}
)
; eqSymmetry
\rhd if(0
 <= -\underline{
\mathsf{x}}
,-\underline{
\mathsf{x}}
,--\underline{
\mathsf{x}}
)
 = if(0
 <= \underline{
\mathsf{x}}
,\underline{
\mathsf{x}}
,-\underline{
\mathsf{x}}
)
\gg if(0
 <= \underline{
\mathsf{x}}
,\underline{
\mathsf{x}}
,-\underline{
\mathsf{x}}
)
 = if(0
 <= -\underline{
\mathsf{x}}
,-\underline{
\mathsf{x}}
,--\underline{
\mathsf{x}}
)
; 
\forall \underline{
\mathsf{x}}
\colon \underline{
\mathsf{x}}
 = 0
\vdash EqNegated
\rhd \underline{
\mathsf{x}}
 = 0
\gg -\underline{
\mathsf{x}}
 = -0
; -0=0
\gg -0
 = 0
; eqSymmetry
\rhd \underline{
\mathsf{x}}
 = 0
\gg 0
 = \underline{
\mathsf{x}}
; eqTransitivity4
\rhd -\underline{
\mathsf{x}}
 = -0
\rhd -0
 = 0
\rhd 0
 = \underline{
\mathsf{x}}
\gg -\underline{
\mathsf{x}}
 = \underline{
\mathsf{x}}
; eqSymmetry
\rhd -\underline{
\mathsf{x}}
 = \underline{
\mathsf{x}}
\gg \underline{
\mathsf{x}}
 = -\underline{
\mathsf{x}}
; SameNumerical
\rhd \underline{
\mathsf{x}}
 = -\underline{
\mathsf{x}}
\gg if(0
 <= \underline{
\mathsf{x}}
,\underline{
\mathsf{x}}
,-\underline{
\mathsf{x}}
)
 = if(0
 <= -\underline{
\mathsf{x}}
,-\underline{
\mathsf{x}}
,--\underline{
\mathsf{x}}
)
; 
\forall \underline{
\mathsf{x}}
\colon \dot{\neg}\, 0
 <= \underline{
\mathsf{x}}
\Rightarrow \dot{\neg}\, \dot{\neg}\, 0
 = \underline{
\mathsf{x}}
\vdash SignNumerical(+)
\rhd \dot{\neg}\, 0
 <= \underline{
\mathsf{x}}
\Rightarrow \dot{\neg}\, \dot{\neg}\, 0
 = \underline{
\mathsf{x}}
\gg if(0
 <= \underline{
\mathsf{x}}
,\underline{
\mathsf{x}}
,-\underline{
\mathsf{x}}
)
 = if(0
 <= -\underline{
\mathsf{x}}
,-\underline{
\mathsf{x}}
,--\underline{
\mathsf{x}}
)
; 
\forall \underline{
\mathsf{x}}
\colon Ded
\rhd 
\forall \underline{
\mathsf{x}}
\colon \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf{x}}
 <= 0
\Rightarrow \dot{\neg}\, \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf{x}}
 = 0
\vdash if(0
 <= \underline{
\mathsf{x}}
,\underline{
\mathsf{x}}
,-\underline{
\mathsf{x}}
)
 = if(0
 <= -\underline{
\mathsf{x}}
,-\underline{
\mathsf{x}}
,--\underline{
\mathsf{x}}
)
\gg \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf{x}}
 <= 0
\Rightarrow \dot{\neg}\, \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf{x}}
 = 0
\Rightarrow if(0
 <= \underline{
\mathsf{x}}
,\underline{
\mathsf{x}}
,-\underline{
\mathsf{x}}
)
 = if(0
 <= -\underline{
\mathsf{x}}
,-\underline{
\mathsf{x}}
,--\underline{
\mathsf{x}}
)
; Ded
\rhd 
\forall \underline{
\mathsf{x}}
\colon \underline{
\mathsf{x}}
 = 0
\vdash if(0
 <= \underline{
\mathsf{x}}
,\underline{
\mathsf{x}}
,-\underline{
\mathsf{x}}
)
 = if(0
 <= -\underline{
\mathsf{x}}
,-\underline{
\mathsf{x}}
,--\underline{
\mathsf{x}}
)
\gg \underline{
\mathsf{x}}
 = 0
\Rightarrow if(0
 <= \underline{
\mathsf{x}}
,\underline{
\mathsf{x}}
,-\underline{
\mathsf{x}}
)
 = if(0
 <= -\underline{
\mathsf{x}}
,-\underline{
\mathsf{x}}
,--\underline{
\mathsf{x}}
)
; Ded
\rhd 
\forall \underline{
\mathsf{x}}
\colon \dot{\neg}\, 0
 <= \underline{
\mathsf{x}}
\Rightarrow \dot{\neg}\, \dot{\neg}\, 0
 = \underline{
\mathsf{x}}
\vdash if(0
 <= \underline{
\mathsf{x}}
,\underline{
\mathsf{x}}
,-\underline{
\mathsf{x}}
)
 = if(0
 <= -\underline{
\mathsf{x}}
,-\underline{
\mathsf{x}}
,--\underline{
\mathsf{x}}
)
\gg \dot{\neg}\, 0
 <= \underline{
\mathsf{x}}
\Rightarrow \dot{\neg}\, \dot{\neg}\, 0
 = \underline{
\mathsf{x}}
\Rightarrow if(0
 <= \underline{
\mathsf{x}}
,\underline{
\mathsf{x}}
,-\underline{
\mathsf{x}}
)
 = if(0
 <= -\underline{
\mathsf{x}}
,-\underline{
\mathsf{x}}
,--\underline{
\mathsf{x}}
)
; LessTotality
\gg \dot{\neg}\, \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf{x}}
 <= 0
\Rightarrow \dot{\neg}\, \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf{x}}
 = 0
\Rightarrow \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf{x}}
 = 0
\Rightarrow \dot{\neg}\, 0
 <= \underline{
\mathsf{x}}
\Rightarrow \dot{\neg}\, \dot{\neg}\, 0
 = \underline{
\mathsf{x}}
; From3Disjuncts
\rhd \dot{\neg}\, \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf{x}}
 <= 0
\Rightarrow \dot{\neg}\, \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf{x}}
 = 0
\Rightarrow \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf{x}}
 = 0
\Rightarrow \dot{\neg}\, 0
 <= \underline{
\mathsf{x}}
\Rightarrow \dot{\neg}\, \dot{\neg}\, 0
 = \underline{
\mathsf{x}}
\rhd \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf{x}}
 <= 0
\Rightarrow \dot{\neg}\, \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf{x}}
 = 0
\Rightarrow if(0
 <= \underline{
\mathsf{x}}
,\underline{
\mathsf{x}}
,-\underline{
\mathsf{x}}
)
 = if(0
 <= -\underline{
\mathsf{x}}
,-\underline{
\mathsf{x}}
,--\underline{
\mathsf{x}}
)
\rhd \underline{
\mathsf{x}}
 = 0
\Rightarrow if(0
 <= \underline{
\mathsf{x}}
,\underline{
\mathsf{x}}
,-\underline{
\mathsf{x}}
)
 = if(0
 <= -\underline{
\mathsf{x}}
,-\underline{
\mathsf{x}}
,--\underline{
\mathsf{x}}
)
\rhd \dot{\neg}\, 0
 <= \underline{
\mathsf{x}}
\Rightarrow \dot{\neg}\, \dot{\neg}\, 0
 = \underline{
\mathsf{x}}
\Rightarrow if(0
 <= \underline{
\mathsf{x}}
,\underline{
\mathsf{x}}
,-\underline{
\mathsf{x}}
)
 = if(0
 <= -\underline{
\mathsf{x}}
,-\underline{
\mathsf{x}}
,--\underline{
\mathsf{x}}
)
\gg if(0
 <= \underline{
\mathsf{x}}
,\underline{
\mathsf{x}}
,-\underline{
\mathsf{x}}
)
 = if(0
 <= -\underline{
\mathsf{x}}
,-\underline{
\mathsf{x}}
,--\underline{
\mathsf{x}}
)
\rceil 
, 
p_0
, 
\mathsf {c}
)
]$

$
[NumericalDifference
\stackrel{
stmt
}{\rightarrow}ZFsub
\vdash 
\forall \underline{
\mathsf{x}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf{y}}
\colon if(0
 <= \underline{
\mathsf{x}}
+-\underline{
\mathsf{y}}
,\underline{
\mathsf{x}}
+-\underline{
\mathsf{y}}
,-\underline{
\mathsf{x}}
+-\underline{
\mathsf{y}}
)
 = if(0
 <= \underline{
\mathsf{y}}
+-\underline{
\mathsf{x}}
,\underline{
\mathsf{y}}
+-\underline{
\mathsf{x}}
,-\underline{
\mathsf{y}}
+-\underline{
\mathsf{x}}
)
]$

$
[NumericalDifference
\stackrel{
proof
}{\rightarrow}
\lambda 
\mathsf {c}
.
\lambda 
\mathsf{x}
.
{\cal P}( 
\lceil ZFsub
\vdash 
\forall \underline{
\mathsf{x}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf{y}}
\colon SignNumerical
\gg if(0
 <= \underline{
\mathsf{x}}
+-\underline{
\mathsf{y}}
,\underline{
\mathsf{x}}
+-\underline{
\mathsf{y}}
,-\underline{
\mathsf{x}}
+-\underline{
\mathsf{y}}
)
 = if(0
 <= -\underline{
\mathsf{x}}
+-\underline{
\mathsf{y}}
,-\underline{
\mathsf{x}}
+-\underline{
\mathsf{y}}
,--\underline{
\mathsf{x}}
+-\underline{
\mathsf{y}}
)
; MinusNegated
\gg -\underline{
\mathsf{x}}
+-\underline{
\mathsf{y}}
 = \underline{
\mathsf{y}}
+-\underline{
\mathsf{x}}
; SameNumerical
\rhd -\underline{
\mathsf{x}}
+-\underline{
\mathsf{y}}
 = \underline{
\mathsf{y}}
+-\underline{
\mathsf{x}}
\gg if(0
 <= -\underline{
\mathsf{x}}
+-\underline{
\mathsf{y}}
,-\underline{
\mathsf{x}}
+-\underline{
\mathsf{y}}
,--\underline{
\mathsf{x}}
+-\underline{
\mathsf{y}}
)
 = if(0
 <= \underline{
\mathsf{y}}
+-\underline{
\mathsf{x}}
,\underline{
\mathsf{y}}
+-\underline{
\mathsf{x}}
,-\underline{
\mathsf{y}}
+-\underline{
\mathsf{x}}
)
; eqTransitivity
\rhd if(0
 <= \underline{
\mathsf{x}}
+-\underline{
\mathsf{y}}
,\underline{
\mathsf{x}}
+-\underline{
\mathsf{y}}
,-\underline{
\mathsf{x}}
+-\underline{
\mathsf{y}}
)
 = if(0
 <= -\underline{
\mathsf{x}}
+-\underline{
\mathsf{y}}
,-\underline{
\mathsf{x}}
+-\underline{
\mathsf{y}}
,--\underline{
\mathsf{x}}
+-\underline{
\mathsf{y}}
)
\rhd if(0
 <= -\underline{
\mathsf{x}}
+-\underline{
\mathsf{y}}
,-\underline{
\mathsf{x}}
+-\underline{
\mathsf{y}}
,--\underline{
\mathsf{x}}
+-\underline{
\mathsf{y}}
)
 = if(0
 <= \underline{
\mathsf{y}}
+-\underline{
\mathsf{x}}
,\underline{
\mathsf{y}}
+-\underline{
\mathsf{x}}
,-\underline{
\mathsf{y}}
+-\underline{
\mathsf{x}}
)
\gg if(0
 <= \underline{
\mathsf{x}}
+-\underline{
\mathsf{y}}
,\underline{
\mathsf{x}}
+-\underline{
\mathsf{y}}
,-\underline{
\mathsf{x}}
+-\underline{
\mathsf{y}}
)
 = if(0
 <= \underline{
\mathsf{y}}
+-\underline{
\mathsf{x}}
,\underline{
\mathsf{y}}
+-\underline{
\mathsf{x}}
,-\underline{
\mathsf{y}}
+-\underline{
\mathsf{x}}
)
\rceil 
, 
p_0
, 
\mathsf {c}
)
]$



$
[SplitNumericalSumHelper
\stackrel{
stmt
}{\rightarrow}ZFsub
\vdash 
\forall \underline{
\mathsf{x}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf{y}}
\colon if(0
 <= -\underline{
\mathsf{x}}
+-\underline{
\mathsf{y}}
,-\underline{
\mathsf{x}}
+-\underline{
\mathsf{y}}
,--\underline{
\mathsf{x}}
+-\underline{
\mathsf{y}}
)
 <= if(0
 <= -\underline{
\mathsf{x}}
,-\underline{
\mathsf{x}}
,--\underline{
\mathsf{x}}
)
+if(0
 <= -\underline{
\mathsf{y}}
,-\underline{
\mathsf{y}}
,--\underline{
\mathsf{y}}
)
\vdash if(0
 <= \underline{
\mathsf{x}}
+\underline{
\mathsf{y}}
,\underline{
\mathsf{x}}
+\underline{
\mathsf{y}}
,-\underline{
\mathsf{x}}
+\underline{
\mathsf{y}}
)
 <= if(0
 <= \underline{
\mathsf{x}}
,\underline{
\mathsf{x}}
,-\underline{
\mathsf{x}}
)
+if(0
 <= \underline{
\mathsf{y}}
,\underline{
\mathsf{y}}
,-\underline{
\mathsf{y}}
)
]$

$
[SplitNumericalSumHelper
\stackrel{
proof
}{\rightarrow}
\lambda 
\mathsf {c}
.
\lambda 
\mathsf{x}
.
{\cal P}( 
\lceil ZFsub
\vdash 
\forall \underline{
\mathsf{x}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf{y}}
\colon if(0
 <= -\underline{
\mathsf{x}}
+-\underline{
\mathsf{y}}
,-\underline{
\mathsf{x}}
+-\underline{
\mathsf{y}}
,--\underline{
\mathsf{x}}
+-\underline{
\mathsf{y}}
)
 <= if(0
 <= -\underline{
\mathsf{x}}
,-\underline{
\mathsf{x}}
,--\underline{
\mathsf{x}}
)
+if(0
 <= -\underline{
\mathsf{y}}
,-\underline{
\mathsf{y}}
,--\underline{
\mathsf{y}}
)
\vdash SignNumerical
\gg if(0
 <= \underline{
\mathsf{x}}
,\underline{
\mathsf{x}}
,-\underline{
\mathsf{x}}
)
 = if(0
 <= -\underline{
\mathsf{x}}
,-\underline{
\mathsf{x}}
,--\underline{
\mathsf{x}}
)
; SignNumerical
\gg if(0
 <= \underline{
\mathsf{y}}
,\underline{
\mathsf{y}}
,-\underline{
\mathsf{y}}
)
 = if(0
 <= -\underline{
\mathsf{y}}
,-\underline{
\mathsf{y}}
,--\underline{
\mathsf{y}}
)
; AddEquations
\rhd if(0
 <= \underline{
\mathsf{x}}
,\underline{
\mathsf{x}}
,-\underline{
\mathsf{x}}
)
 = if(0
 <= -\underline{
\mathsf{x}}
,-\underline{
\mathsf{x}}
,--\underline{
\mathsf{x}}
)
\rhd if(0
 <= \underline{
\mathsf{y}}
,\underline{
\mathsf{y}}
,-\underline{
\mathsf{y}}
)
 = if(0
 <= -\underline{
\mathsf{y}}
,-\underline{
\mathsf{y}}
,--\underline{
\mathsf{y}}
)
\gg if(0
 <= \underline{
\mathsf{x}}
,\underline{
\mathsf{x}}
,-\underline{
\mathsf{x}}
)
+if(0
 <= \underline{
\mathsf{y}}
,\underline{
\mathsf{y}}
,-\underline{
\mathsf{y}}
)
 = if(0
 <= -\underline{
\mathsf{x}}
,-\underline{
\mathsf{x}}
,--\underline{
\mathsf{x}}
)
+if(0
 <= -\underline{
\mathsf{y}}
,-\underline{
\mathsf{y}}
,--\underline{
\mathsf{y}}
)
; eqSymmetry
\rhd if(0
 <= \underline{
\mathsf{x}}
,\underline{
\mathsf{x}}
,-\underline{
\mathsf{x}}
)
+if(0
 <= \underline{
\mathsf{y}}
,\underline{
\mathsf{y}}
,-\underline{
\mathsf{y}}
)
 = if(0
 <= -\underline{
\mathsf{x}}
,-\underline{
\mathsf{x}}
,--\underline{
\mathsf{x}}
)
+if(0
 <= -\underline{
\mathsf{y}}
,-\underline{
\mathsf{y}}
,--\underline{
\mathsf{y}}
)
\gg if(0
 <= -\underline{
\mathsf{x}}
,-\underline{
\mathsf{x}}
,--\underline{
\mathsf{x}}
)
+if(0
 <= -\underline{
\mathsf{y}}
,-\underline{
\mathsf{y}}
,--\underline{
\mathsf{y}}
)
 = if(0
 <= \underline{
\mathsf{x}}
,\underline{
\mathsf{x}}
,-\underline{
\mathsf{x}}
)
+if(0
 <= \underline{
\mathsf{y}}
,\underline{
\mathsf{y}}
,-\underline{
\mathsf{y}}
)
; -x-y=-(x+y)
\gg -\underline{
\mathsf{x}}
+-\underline{
\mathsf{y}}
 = -\underline{
\mathsf{x}}
+\underline{
\mathsf{y}}
; SameNumerical
\rhd -\underline{
\mathsf{x}}
+-\underline{
\mathsf{y}}
 = -\underline{
\mathsf{x}}
+\underline{
\mathsf{y}}
\gg if(0
 <= -\underline{
\mathsf{x}}
+-\underline{
\mathsf{y}}
,-\underline{
\mathsf{x}}
+-\underline{
\mathsf{y}}
,--\underline{
\mathsf{x}}
+-\underline{
\mathsf{y}}
)
 = if(0
 <= -\underline{
\mathsf{x}}
+\underline{
\mathsf{y}}
,-\underline{
\mathsf{x}}
+\underline{
\mathsf{y}}
,--\underline{
\mathsf{x}}
+\underline{
\mathsf{y}}
)
; SignNumerical
\gg if(0
 <= \underline{
\mathsf{x}}
+\underline{
\mathsf{y}}
,\underline{
\mathsf{x}}
+\underline{
\mathsf{y}}
,-\underline{
\mathsf{x}}
+\underline{
\mathsf{y}}
)
 = if(0
 <= -\underline{
\mathsf{x}}
+\underline{
\mathsf{y}}
,-\underline{
\mathsf{x}}
+\underline{
\mathsf{y}}
,--\underline{
\mathsf{x}}
+\underline{
\mathsf{y}}
)
; eqSymmetry
\rhd if(0
 <= \underline{
\mathsf{x}}
+\underline{
\mathsf{y}}
,\underline{
\mathsf{x}}
+\underline{
\mathsf{y}}
,-\underline{
\mathsf{x}}
+\underline{
\mathsf{y}}
)
 = if(0
 <= -\underline{
\mathsf{x}}
+\underline{
\mathsf{y}}
,-\underline{
\mathsf{x}}
+\underline{
\mathsf{y}}
,--\underline{
\mathsf{x}}
+\underline{
\mathsf{y}}
)
\gg if(0
 <= -\underline{
\mathsf{x}}
+\underline{
\mathsf{y}}
,-\underline{
\mathsf{x}}
+\underline{
\mathsf{y}}
,--\underline{
\mathsf{x}}
+\underline{
\mathsf{y}}
)
 = if(0
 <= \underline{
\mathsf{x}}
+\underline{
\mathsf{y}}
,\underline{
\mathsf{x}}
+\underline{
\mathsf{y}}
,-\underline{
\mathsf{x}}
+\underline{
\mathsf{y}}
)
; eqTransitivity
\rhd if(0
 <= -\underline{
\mathsf{x}}
+-\underline{
\mathsf{y}}
,-\underline{
\mathsf{x}}
+-\underline{
\mathsf{y}}
,--\underline{
\mathsf{x}}
+-\underline{
\mathsf{y}}
)
 = if(0
 <= -\underline{
\mathsf{x}}
+\underline{
\mathsf{y}}
,-\underline{
\mathsf{x}}
+\underline{
\mathsf{y}}
,--\underline{
\mathsf{x}}
+\underline{
\mathsf{y}}
)
\rhd if(0
 <= -\underline{
\mathsf{x}}
+\underline{
\mathsf{y}}
,-\underline{
\mathsf{x}}
+\underline{
\mathsf{y}}
,--\underline{
\mathsf{x}}
+\underline{
\mathsf{y}}
)
 = if(0
 <= \underline{
\mathsf{x}}
+\underline{
\mathsf{y}}
,\underline{
\mathsf{x}}
+\underline{
\mathsf{y}}
,-\underline{
\mathsf{x}}
+\underline{
\mathsf{y}}
)
\gg if(0
 <= -\underline{
\mathsf{x}}
+-\underline{
\mathsf{y}}
,-\underline{
\mathsf{x}}
+-\underline{
\mathsf{y}}
,--\underline{
\mathsf{x}}
+-\underline{
\mathsf{y}}
)
 = if(0
 <= \underline{
\mathsf{x}}
+\underline{
\mathsf{y}}
,\underline{
\mathsf{x}}
+\underline{
\mathsf{y}}
,-\underline{
\mathsf{x}}
+\underline{
\mathsf{y}}
)
; subLeqRight
\rhd if(0
 <= -\underline{
\mathsf{x}}
,-\underline{
\mathsf{x}}
,--\underline{
\mathsf{x}}
)
+if(0
 <= -\underline{
\mathsf{y}}
,-\underline{
\mathsf{y}}
,--\underline{
\mathsf{y}}
)
 = if(0
 <= \underline{
\mathsf{x}}
,\underline{
\mathsf{x}}
,-\underline{
\mathsf{x}}
)
+if(0
 <= \underline{
\mathsf{y}}
,\underline{
\mathsf{y}}
,-\underline{
\mathsf{y}}
)
\rhd if(0
 <= -\underline{
\mathsf{x}}
+-\underline{
\mathsf{y}}
,-\underline{
\mathsf{x}}
+-\underline{
\mathsf{y}}
,--\underline{
\mathsf{x}}
+-\underline{
\mathsf{y}}
)
 <= if(0
 <= -\underline{
\mathsf{x}}
,-\underline{
\mathsf{x}}
,--\underline{
\mathsf{x}}
)
+if(0
 <= -\underline{
\mathsf{y}}
,-\underline{
\mathsf{y}}
,--\underline{
\mathsf{y}}
)
\gg if(0
 <= -\underline{
\mathsf{x}}
+-\underline{
\mathsf{y}}
,-\underline{
\mathsf{x}}
+-\underline{
\mathsf{y}}
,--\underline{
\mathsf{x}}
+-\underline{
\mathsf{y}}
)
 <= if(0
 <= \underline{
\mathsf{x}}
,\underline{
\mathsf{x}}
,-\underline{
\mathsf{x}}
)
+if(0
 <= \underline{
\mathsf{y}}
,\underline{
\mathsf{y}}
,-\underline{
\mathsf{y}}
)
; subLeqLeft
\rhd if(0
 <= -\underline{
\mathsf{x}}
+-\underline{
\mathsf{y}}
,-\underline{
\mathsf{x}}
+-\underline{
\mathsf{y}}
,--\underline{
\mathsf{x}}
+-\underline{
\mathsf{y}}
)
 = if(0
 <= \underline{
\mathsf{x}}
+\underline{
\mathsf{y}}
,\underline{
\mathsf{x}}
+\underline{
\mathsf{y}}
,-\underline{
\mathsf{x}}
+\underline{
\mathsf{y}}
)
\rhd if(0
 <= -\underline{
\mathsf{x}}
+-\underline{
\mathsf{y}}
,-\underline{
\mathsf{x}}
+-\underline{
\mathsf{y}}
,--\underline{
\mathsf{x}}
+-\underline{
\mathsf{y}}
)
 <= if(0
 <= \underline{
\mathsf{x}}
,\underline{
\mathsf{x}}
,-\underline{
\mathsf{x}}
)
+if(0
 <= \underline{
\mathsf{y}}
,\underline{
\mathsf{y}}
,-\underline{
\mathsf{y}}
)
\gg if(0
 <= \underline{
\mathsf{x}}
+\underline{
\mathsf{y}}
,\underline{
\mathsf{x}}
+\underline{
\mathsf{y}}
,-\underline{
\mathsf{x}}
+\underline{
\mathsf{y}}
)
 <= if(0
 <= \underline{
\mathsf{x}}
,\underline{
\mathsf{x}}
,-\underline{
\mathsf{x}}
)
+if(0
 <= \underline{
\mathsf{y}}
,\underline{
\mathsf{y}}
,-\underline{
\mathsf{y}}
)
\rceil 
, 
p_0
, 
\mathsf {c}
)
]$


$
[splitNumericalSum(++)
\stackrel{
stmt
}{\rightarrow}ZFsub
\vdash 
\forall \underline{
\mathsf{x}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf{y}}
\colon 0
 <= \underline{
\mathsf{x}}
\vdash 0
 <= \underline{
\mathsf{y}}
\vdash if(0
 <= \underline{
\mathsf{x}}
+\underline{
\mathsf{y}}
,\underline{
\mathsf{x}}
+\underline{
\mathsf{y}}
,-\underline{
\mathsf{x}}
+\underline{
\mathsf{y}}
)
 <= if(0
 <= \underline{
\mathsf{x}}
,\underline{
\mathsf{x}}
,-\underline{
\mathsf{x}}
)
+if(0
 <= \underline{
\mathsf{y}}
,\underline{
\mathsf{y}}
,-\underline{
\mathsf{y}}
)
]$

$
[splitNumericalSum(++)
\stackrel{
proof
}{\rightarrow}
\lambda 
\mathsf {c}
.
\lambda 
\mathsf{x}
.
{\cal P}( 
\lceil ZFsub
\vdash 
\forall \underline{
\mathsf{x}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf{y}}
\colon 0
 <= \underline{
\mathsf{x}}
\vdash 0
 <= \underline{
\mathsf{y}}
\vdash AddEquations(Leq)
\rhd 0
 <= \underline{
\mathsf{x}}
\rhd 0
 <= \underline{
\mathsf{y}}
\gg 0
+0
 <= \underline{
\mathsf{x}}
+\underline{
\mathsf{y}}
; plus0
\gg 0
+0
 = 0
; subLeqLeft
\rhd 0
+0
 = 0
\rhd 0
+0
 <= \underline{
\mathsf{x}}
+\underline{
\mathsf{y}}
\gg 0
 <= \underline{
\mathsf{x}}
+\underline{
\mathsf{y}}
; NonnegativeNumerical
\rhd 0
 <= \underline{
\mathsf{x}}
+\underline{
\mathsf{y}}
\gg if(0
 <= \underline{
\mathsf{x}}
+\underline{
\mathsf{y}}
,\underline{
\mathsf{x}}
+\underline{
\mathsf{y}}
,-\underline{
\mathsf{x}}
+\underline{
\mathsf{y}}
)
 = \underline{
\mathsf{x}}
+\underline{
\mathsf{y}}
; NonnegativeNumerical
\rhd 0
 <= \underline{
\mathsf{x}}
\gg if(0
 <= \underline{
\mathsf{x}}
,\underline{
\mathsf{x}}
,-\underline{
\mathsf{x}}
)
 = \underline{
\mathsf{x}}
; NonnegativeNumerical
\rhd 0
 <= \underline{
\mathsf{y}}
\gg if(0
 <= \underline{
\mathsf{y}}
,\underline{
\mathsf{y}}
,-\underline{
\mathsf{y}}
)
 = \underline{
\mathsf{y}}
; AddEquations
\rhd if(0
 <= \underline{
\mathsf{x}}
,\underline{
\mathsf{x}}
,-\underline{
\mathsf{x}}
)
 = \underline{
\mathsf{x}}
\rhd if(0
 <= \underline{
\mathsf{y}}
,\underline{
\mathsf{y}}
,-\underline{
\mathsf{y}}
)
 = \underline{
\mathsf{y}}
\gg if(0
 <= \underline{
\mathsf{x}}
,\underline{
\mathsf{x}}
,-\underline{
\mathsf{x}}
)
+if(0
 <= \underline{
\mathsf{y}}
,\underline{
\mathsf{y}}
,-\underline{
\mathsf{y}}
)
 = \underline{
\mathsf{x}}
+\underline{
\mathsf{y}}
; eqSymmetry
\rhd if(0
 <= \underline{
\mathsf{x}}
,\underline{
\mathsf{x}}
,-\underline{
\mathsf{x}}
)
+if(0
 <= \underline{
\mathsf{y}}
,\underline{
\mathsf{y}}
,-\underline{
\mathsf{y}}
)
 = \underline{
\mathsf{x}}
+\underline{
\mathsf{y}}
\gg \underline{
\mathsf{x}}
+\underline{
\mathsf{y}}
 = if(0
 <= \underline{
\mathsf{x}}
,\underline{
\mathsf{x}}
,-\underline{
\mathsf{x}}
)
+if(0
 <= \underline{
\mathsf{y}}
,\underline{
\mathsf{y}}
,-\underline{
\mathsf{y}}
)
; eqTransitivity
\rhd if(0
 <= \underline{
\mathsf{x}}
+\underline{
\mathsf{y}}
,\underline{
\mathsf{x}}
+\underline{
\mathsf{y}}
,-\underline{
\mathsf{x}}
+\underline{
\mathsf{y}}
)
 = \underline{
\mathsf{x}}
+\underline{
\mathsf{y}}
\rhd \underline{
\mathsf{x}}
+\underline{
\mathsf{y}}
 = if(0
 <= \underline{
\mathsf{x}}
,\underline{
\mathsf{x}}
,-\underline{
\mathsf{x}}
)
+if(0
 <= \underline{
\mathsf{y}}
,\underline{
\mathsf{y}}
,-\underline{
\mathsf{y}}
)
\gg if(0
 <= \underline{
\mathsf{x}}
+\underline{
\mathsf{y}}
,\underline{
\mathsf{x}}
+\underline{
\mathsf{y}}
,-\underline{
\mathsf{x}}
+\underline{
\mathsf{y}}
)
 = if(0
 <= \underline{
\mathsf{x}}
,\underline{
\mathsf{x}}
,-\underline{
\mathsf{x}}
)
+if(0
 <= \underline{
\mathsf{y}}
,\underline{
\mathsf{y}}
,-\underline{
\mathsf{y}}
)
; eqLeq
\rhd if(0
 <= \underline{
\mathsf{x}}
+\underline{
\mathsf{y}}
,\underline{
\mathsf{x}}
+\underline{
\mathsf{y}}
,-\underline{
\mathsf{x}}
+\underline{
\mathsf{y}}
)
 = if(0
 <= \underline{
\mathsf{x}}
,\underline{
\mathsf{x}}
,-\underline{
\mathsf{x}}
)
+if(0
 <= \underline{
\mathsf{y}}
,\underline{
\mathsf{y}}
,-\underline{
\mathsf{y}}
)
\gg if(0
 <= \underline{
\mathsf{x}}
+\underline{
\mathsf{y}}
,\underline{
\mathsf{x}}
+\underline{
\mathsf{y}}
,-\underline{
\mathsf{x}}
+\underline{
\mathsf{y}}
)
 <= if(0
 <= \underline{
\mathsf{x}}
,\underline{
\mathsf{x}}
,-\underline{
\mathsf{x}}
)
+if(0
 <= \underline{
\mathsf{y}}
,\underline{
\mathsf{y}}
,-\underline{
\mathsf{y}}
)
\rceil 
, 
p_0
, 
\mathsf {c}
)
]$

$
[splitNumericalSum(--)
\stackrel{
stmt
}{\rightarrow}ZFsub
\vdash 
\forall \underline{
\mathsf{x}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf{y}}
\colon \underline{
\mathsf{x}}
 <= 0
\vdash \underline{
\mathsf{y}}
 <= 0
\vdash if(0
 <= \underline{
\mathsf{x}}
+\underline{
\mathsf{y}}
,\underline{
\mathsf{x}}
+\underline{
\mathsf{y}}
,-\underline{
\mathsf{x}}
+\underline{
\mathsf{y}}
)
 <= if(0
 <= \underline{
\mathsf{x}}
,\underline{
\mathsf{x}}
,-\underline{
\mathsf{x}}
)
+if(0
 <= \underline{
\mathsf{y}}
,\underline{
\mathsf{y}}
,-\underline{
\mathsf{y}}
)
]$

$
[splitNumericalSum(--)
\stackrel{
proof
}{\rightarrow}
\lambda 
\mathsf {c}
.
\lambda 
\mathsf{x}
.
{\cal P}( 
\lceil ZFsub
\vdash 
\forall \underline{
\mathsf{x}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf{y}}
\colon \underline{
\mathsf{x}}
 <= 0
\vdash \underline{
\mathsf{y}}
 <= 0
\vdash NonpositiveNegated
\rhd \underline{
\mathsf{x}}
 <= 0
\gg 0
 <= -\underline{
\mathsf{x}}
; NonpositiveNegated
\rhd \underline{
\mathsf{y}}
 <= 0
\gg 0
 <= -\underline{
\mathsf{y}}
; splitNumericalSum(++)
\rhd 0
 <= -\underline{
\mathsf{x}}
\rhd 0
 <= -\underline{
\mathsf{y}}
\gg if(0
 <= -\underline{
\mathsf{x}}
+-\underline{
\mathsf{y}}
,-\underline{
\mathsf{x}}
+-\underline{
\mathsf{y}}
,--\underline{
\mathsf{x}}
+-\underline{
\mathsf{y}}
)
 <= if(0
 <= -\underline{
\mathsf{x}}
,-\underline{
\mathsf{x}}
,--\underline{
\mathsf{x}}
)
+if(0
 <= -\underline{
\mathsf{y}}
,-\underline{
\mathsf{y}}
,--\underline{
\mathsf{y}}
)
; SplitNumericalSumHelper
\rhd if(0
 <= -\underline{
\mathsf{x}}
+-\underline{
\mathsf{y}}
,-\underline{
\mathsf{x}}
+-\underline{
\mathsf{y}}
,--\underline{
\mathsf{x}}
+-\underline{
\mathsf{y}}
)
 <= if(0
 <= -\underline{
\mathsf{x}}
,-\underline{
\mathsf{x}}
,--\underline{
\mathsf{x}}
)
+if(0
 <= -\underline{
\mathsf{y}}
,-\underline{
\mathsf{y}}
,--\underline{
\mathsf{y}}
)
\gg if(0
 <= \underline{
\mathsf{x}}
+\underline{
\mathsf{y}}
,\underline{
\mathsf{x}}
+\underline{
\mathsf{y}}
,-\underline{
\mathsf{x}}
+\underline{
\mathsf{y}}
)
 <= if(0
 <= \underline{
\mathsf{x}}
,\underline{
\mathsf{x}}
,-\underline{
\mathsf{x}}
)
+if(0
 <= \underline{
\mathsf{y}}
,\underline{
\mathsf{y}}
,-\underline{
\mathsf{y}}
)
\rceil 
, 
p_0
, 
\mathsf {c}
)
]$

$
[splitNumericalSum(+-small)
\stackrel{
stmt
}{\rightarrow}ZFsub
\vdash 
\forall \underline{
\mathsf{x}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf{y}}
\colon 0
 <= \underline{
\mathsf{x}}
\vdash \underline{
\mathsf{y}}
 <= 0
\vdash if(0
 <= \underline{
\mathsf{y}}
,\underline{
\mathsf{y}}
,-\underline{
\mathsf{y}}
)
 <= if(0
 <= \underline{
\mathsf{x}}
,\underline{
\mathsf{x}}
,-\underline{
\mathsf{x}}
)
\vdash if(0
 <= \underline{
\mathsf{x}}
+\underline{
\mathsf{y}}
,\underline{
\mathsf{x}}
+\underline{
\mathsf{y}}
,-\underline{
\mathsf{x}}
+\underline{
\mathsf{y}}
)
 <= if(0
 <= \underline{
\mathsf{x}}
,\underline{
\mathsf{x}}
,-\underline{
\mathsf{x}}
)
]$

$
[splitNumericalSum(+-small)
\stackrel{
proof
}{\rightarrow}
\lambda 
\mathsf {c}
.
\lambda 
\mathsf{x}
.
{\cal P}( 
\lceil ZFsub
\vdash 
\forall \underline{
\mathsf{x}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf{y}}
\colon 0
 <= \underline{
\mathsf{x}}
\vdash \underline{
\mathsf{y}}
 <= 0
\vdash if(0
 <= \underline{
\mathsf{y}}
,\underline{
\mathsf{y}}
,-\underline{
\mathsf{y}}
)
 <= if(0
 <= \underline{
\mathsf{x}}
,\underline{
\mathsf{x}}
,-\underline{
\mathsf{x}}
)
\vdash LeqAdditionLeft
\rhd \underline{
\mathsf{y}}
 <= 0
\gg \underline{
\mathsf{x}}
+\underline{
\mathsf{y}}
 <= \underline{
\mathsf{x}}
+0
; plus0
\gg \underline{
\mathsf{x}}
+0
 = \underline{
\mathsf{x}}
; subLeqRight
\rhd \underline{
\mathsf{x}}
+0
 = \underline{
\mathsf{x}}
\rhd \underline{
\mathsf{x}}
+\underline{
\mathsf{y}}
 <= \underline{
\mathsf{x}}
+0
\gg \underline{
\mathsf{x}}
+\underline{
\mathsf{y}}
 <= \underline{
\mathsf{x}}
; PositiveToRight(Leq)(1 term)
\rhd if(0
 <= \underline{
\mathsf{y}}
,\underline{
\mathsf{y}}
,-\underline{
\mathsf{y}}
)
 <= if(0
 <= \underline{
\mathsf{x}}
,\underline{
\mathsf{x}}
,-\underline{
\mathsf{x}}
)
\gg 0
 <= if(0
 <= \underline{
\mathsf{x}}
,\underline{
\mathsf{x}}
,-\underline{
\mathsf{x}}
)
+-if(0
 <= \underline{
\mathsf{y}}
,\underline{
\mathsf{y}}
,-\underline{
\mathsf{y}}
)
; 
\mbox{lemma nonpositiveNumerical}
\rhd \underline{
\mathsf{y}}
 <= 0
\gg if(0
 <= \underline{
\mathsf{y}}
,\underline{
\mathsf{y}}
,-\underline{
\mathsf{y}}
)
 = -\underline{
\mathsf{y}}
; EqNegated
\rhd if(0
 <= \underline{
\mathsf{y}}
,\underline{
\mathsf{y}}
,-\underline{
\mathsf{y}}
)
 = -\underline{
\mathsf{y}}
\gg -if(0
 <= \underline{
\mathsf{y}}
,\underline{
\mathsf{y}}
,-\underline{
\mathsf{y}}
)
 = --\underline{
\mathsf{y}}
; DoubleMinus
\gg --\underline{
\mathsf{y}}
 = \underline{
\mathsf{y}}
; eqTransitivity
\rhd -if(0
 <= \underline{
\mathsf{y}}
,\underline{
\mathsf{y}}
,-\underline{
\mathsf{y}}
)
 = --\underline{
\mathsf{y}}
\rhd --\underline{
\mathsf{y}}
 = \underline{
\mathsf{y}}
\gg -if(0
 <= \underline{
\mathsf{y}}
,\underline{
\mathsf{y}}
,-\underline{
\mathsf{y}}
)
 = \underline{
\mathsf{y}}
; NonnegativeNumerical
\rhd 0
 <= \underline{
\mathsf{x}}
\gg if(0
 <= \underline{
\mathsf{x}}
,\underline{
\mathsf{x}}
,-\underline{
\mathsf{x}}
)
 = \underline{
\mathsf{x}}
; AddEquations
\rhd if(0
 <= \underline{
\mathsf{x}}
,\underline{
\mathsf{x}}
,-\underline{
\mathsf{x}}
)
 = \underline{
\mathsf{x}}
\rhd -if(0
 <= \underline{
\mathsf{y}}
,\underline{
\mathsf{y}}
,-\underline{
\mathsf{y}}
)
 = \underline{
\mathsf{y}}
\gg if(0
 <= \underline{
\mathsf{x}}
,\underline{
\mathsf{x}}
,-\underline{
\mathsf{x}}
)
+-if(0
 <= \underline{
\mathsf{y}}
,\underline{
\mathsf{y}}
,-\underline{
\mathsf{y}}
)
 = \underline{
\mathsf{x}}
+\underline{
\mathsf{y}}
; subLeqRight
\rhd if(0
 <= \underline{
\mathsf{x}}
,\underline{
\mathsf{x}}
,-\underline{
\mathsf{x}}
)
+-if(0
 <= \underline{
\mathsf{y}}
,\underline{
\mathsf{y}}
,-\underline{
\mathsf{y}}
)
 = \underline{
\mathsf{x}}
+\underline{
\mathsf{y}}
\rhd 0
 <= if(0
 <= \underline{
\mathsf{x}}
,\underline{
\mathsf{x}}
,-\underline{
\mathsf{x}}
)
+-if(0
 <= \underline{
\mathsf{y}}
,\underline{
\mathsf{y}}
,-\underline{
\mathsf{y}}
)
\gg 0
 <= \underline{
\mathsf{x}}
+\underline{
\mathsf{y}}
; NonnegativeNumerical
\rhd 0
 <= \underline{
\mathsf{x}}
+\underline{
\mathsf{y}}
\gg if(0
 <= \underline{
\mathsf{x}}
+\underline{
\mathsf{y}}
,\underline{
\mathsf{x}}
+\underline{
\mathsf{y}}
,-\underline{
\mathsf{x}}
+\underline{
\mathsf{y}}
)
 = \underline{
\mathsf{x}}
+\underline{
\mathsf{y}}
; eqSymmetry
\rhd if(0
 <= \underline{
\mathsf{x}}
+\underline{
\mathsf{y}}
,\underline{
\mathsf{x}}
+\underline{
\mathsf{y}}
,-\underline{
\mathsf{x}}
+\underline{
\mathsf{y}}
)
 = \underline{
\mathsf{x}}
+\underline{
\mathsf{y}}
\gg \underline{
\mathsf{x}}
+\underline{
\mathsf{y}}
 = if(0
 <= \underline{
\mathsf{x}}
+\underline{
\mathsf{y}}
,\underline{
\mathsf{x}}
+\underline{
\mathsf{y}}
,-\underline{
\mathsf{x}}
+\underline{
\mathsf{y}}
)
; eqSymmetry
\rhd if(0
 <= \underline{
\mathsf{x}}
,\underline{
\mathsf{x}}
,-\underline{
\mathsf{x}}
)
 = \underline{
\mathsf{x}}
\gg \underline{
\mathsf{x}}
 = if(0
 <= \underline{
\mathsf{x}}
,\underline{
\mathsf{x}}
,-\underline{
\mathsf{x}}
)
; subLeqLeft
\rhd \underline{
\mathsf{x}}
+\underline{
\mathsf{y}}
 = if(0
 <= \underline{
\mathsf{x}}
+\underline{
\mathsf{y}}
,\underline{
\mathsf{x}}
+\underline{
\mathsf{y}}
,-\underline{
\mathsf{x}}
+\underline{
\mathsf{y}}
)
\rhd \underline{
\mathsf{x}}
+\underline{
\mathsf{y}}
 <= \underline{
\mathsf{x}}
\gg if(0
 <= \underline{
\mathsf{x}}
+\underline{
\mathsf{y}}
,\underline{
\mathsf{x}}
+\underline{
\mathsf{y}}
,-\underline{
\mathsf{x}}
+\underline{
\mathsf{y}}
)
 <= \underline{
\mathsf{x}}
; subLeqRight
\rhd \underline{
\mathsf{x}}
 = if(0
 <= \underline{
\mathsf{x}}
,\underline{
\mathsf{x}}
,-\underline{
\mathsf{x}}
)
\rhd if(0
 <= \underline{
\mathsf{x}}
+\underline{
\mathsf{y}}
,\underline{
\mathsf{x}}
+\underline{
\mathsf{y}}
,-\underline{
\mathsf{x}}
+\underline{
\mathsf{y}}
)
 <= \underline{
\mathsf{x}}
\gg if(0
 <= \underline{
\mathsf{x}}
+\underline{
\mathsf{y}}
,\underline{
\mathsf{x}}
+\underline{
\mathsf{y}}
,-\underline{
\mathsf{x}}
+\underline{
\mathsf{y}}
)
 <= if(0
 <= \underline{
\mathsf{x}}
,\underline{
\mathsf{x}}
,-\underline{
\mathsf{x}}
)
\rceil 
, 
p_0
, 
\mathsf {c}
)
]$

$
[splitNumericalSum(+-big)
\stackrel{
stmt
}{\rightarrow}ZFsub
\vdash 
\forall \underline{
\mathsf{x}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf{y}}
\colon 0
 <= \underline{
\mathsf{x}}
\vdash \underline{
\mathsf{y}}
 <= 0
\vdash \dot{\neg}\, if(0
 <= \underline{
\mathsf{x}}
,\underline{
\mathsf{x}}
,-\underline{
\mathsf{x}}
)
 <= if(0
 <= \underline{
\mathsf{y}}
,\underline{
\mathsf{y}}
,-\underline{
\mathsf{y}}
)
\Rightarrow \dot{\neg}\, \dot{\neg}\, if(0
 <= \underline{
\mathsf{x}}
,\underline{
\mathsf{x}}
,-\underline{
\mathsf{x}}
)
 = if(0
 <= \underline{
\mathsf{y}}
,\underline{
\mathsf{y}}
,-\underline{
\mathsf{y}}
)
\vdash if(0
 <= \underline{
\mathsf{x}}
+\underline{
\mathsf{y}}
,\underline{
\mathsf{x}}
+\underline{
\mathsf{y}}
,-\underline{
\mathsf{x}}
+\underline{
\mathsf{y}}
)
 <= if(0
 <= \underline{
\mathsf{y}}
,\underline{
\mathsf{y}}
,-\underline{
\mathsf{y}}
)
]$

$
[splitNumericalSum(+-big)
\stackrel{
proof
}{\rightarrow}
\lambda 
\mathsf {c}
.
\lambda 
\mathsf{x}
.
{\cal P}( 
\lceil ZFsub
\vdash 
\forall \underline{
\mathsf{x}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf{y}}
\colon 0
 <= \underline{
\mathsf{x}}
\vdash \underline{
\mathsf{y}}
 <= 0
\vdash \dot{\neg}\, if(0
 <= \underline{
\mathsf{x}}
,\underline{
\mathsf{x}}
,-\underline{
\mathsf{x}}
)
 <= if(0
 <= \underline{
\mathsf{y}}
,\underline{
\mathsf{y}}
,-\underline{
\mathsf{y}}
)
\Rightarrow \dot{\neg}\, \dot{\neg}\, if(0
 <= \underline{
\mathsf{x}}
,\underline{
\mathsf{x}}
,-\underline{
\mathsf{x}}
)
 = if(0
 <= \underline{
\mathsf{y}}
,\underline{
\mathsf{y}}
,-\underline{
\mathsf{y}}
)
\vdash NonnegativeNegated
\rhd 0
 <= \underline{
\mathsf{x}}
\gg -\underline{
\mathsf{x}}
 <= 0
; NonpositiveNegated
\rhd \underline{
\mathsf{y}}
 <= 0
\gg 0
 <= -\underline{
\mathsf{y}}
; SignNumerical
\gg if(0
 <= \underline{
\mathsf{x}}
,\underline{
\mathsf{x}}
,-\underline{
\mathsf{x}}
)
 = if(0
 <= -\underline{
\mathsf{x}}
,-\underline{
\mathsf{x}}
,--\underline{
\mathsf{x}}
)
; SubLessLeft
\rhd if(0
 <= \underline{
\mathsf{x}}
,\underline{
\mathsf{x}}
,-\underline{
\mathsf{x}}
)
 = if(0
 <= -\underline{
\mathsf{x}}
,-\underline{
\mathsf{x}}
,--\underline{
\mathsf{x}}
)
\rhd \dot{\neg}\, if(0
 <= \underline{
\mathsf{x}}
,\underline{
\mathsf{x}}
,-\underline{
\mathsf{x}}
)
 <= if(0
 <= \underline{
\mathsf{y}}
,\underline{
\mathsf{y}}
,-\underline{
\mathsf{y}}
)
\Rightarrow \dot{\neg}\, \dot{\neg}\, if(0
 <= \underline{
\mathsf{x}}
,\underline{
\mathsf{x}}
,-\underline{
\mathsf{x}}
)
 = if(0
 <= \underline{
\mathsf{y}}
,\underline{
\mathsf{y}}
,-\underline{
\mathsf{y}}
)
\gg \dot{\neg}\, if(0
 <= -\underline{
\mathsf{x}}
,-\underline{
\mathsf{x}}
,--\underline{
\mathsf{x}}
)
 <= if(0
 <= \underline{
\mathsf{y}}
,\underline{
\mathsf{y}}
,-\underline{
\mathsf{y}}
)
\Rightarrow \dot{\neg}\, \dot{\neg}\, if(0
 <= -\underline{
\mathsf{x}}
,-\underline{
\mathsf{x}}
,--\underline{
\mathsf{x}}
)
 = if(0
 <= \underline{
\mathsf{y}}
,\underline{
\mathsf{y}}
,-\underline{
\mathsf{y}}
)
; SignNumerical
\gg if(0
 <= \underline{
\mathsf{y}}
,\underline{
\mathsf{y}}
,-\underline{
\mathsf{y}}
)
 = if(0
 <= -\underline{
\mathsf{y}}
,-\underline{
\mathsf{y}}
,--\underline{
\mathsf{y}}
)
; SubLessRight
\rhd if(0
 <= \underline{
\mathsf{y}}
,\underline{
\mathsf{y}}
,-\underline{
\mathsf{y}}
)
 = if(0
 <= -\underline{
\mathsf{y}}
,-\underline{
\mathsf{y}}
,--\underline{
\mathsf{y}}
)
\rhd \dot{\neg}\, if(0
 <= -\underline{
\mathsf{x}}
,-\underline{
\mathsf{x}}
,--\underline{
\mathsf{x}}
)
 <= if(0
 <= \underline{
\mathsf{y}}
,\underline{
\mathsf{y}}
,-\underline{
\mathsf{y}}
)
\Rightarrow \dot{\neg}\, \dot{\neg}\, if(0
 <= -\underline{
\mathsf{x}}
,-\underline{
\mathsf{x}}
,--\underline{
\mathsf{x}}
)
 = if(0
 <= \underline{
\mathsf{y}}
,\underline{
\mathsf{y}}
,-\underline{
\mathsf{y}}
)
\gg \dot{\neg}\, if(0
 <= -\underline{
\mathsf{x}}
,-\underline{
\mathsf{x}}
,--\underline{
\mathsf{x}}
)
 <= if(0
 <= -\underline{
\mathsf{y}}
,-\underline{
\mathsf{y}}
,--\underline{
\mathsf{y}}
)
\Rightarrow \dot{\neg}\, \dot{\neg}\, if(0
 <= -\underline{
\mathsf{x}}
,-\underline{
\mathsf{x}}
,--\underline{
\mathsf{x}}
)
 = if(0
 <= -\underline{
\mathsf{y}}
,-\underline{
\mathsf{y}}
,--\underline{
\mathsf{y}}
)
; LessLeq
\rhd \dot{\neg}\, if(0
 <= -\underline{
\mathsf{x}}
,-\underline{
\mathsf{x}}
,--\underline{
\mathsf{x}}
)
 <= if(0
 <= -\underline{
\mathsf{y}}
,-\underline{
\mathsf{y}}
,--\underline{
\mathsf{y}}
)
\Rightarrow \dot{\neg}\, \dot{\neg}\, if(0
 <= -\underline{
\mathsf{x}}
,-\underline{
\mathsf{x}}
,--\underline{
\mathsf{x}}
)
 = if(0
 <= -\underline{
\mathsf{y}}
,-\underline{
\mathsf{y}}
,--\underline{
\mathsf{y}}
)
\gg if(0
 <= -\underline{
\mathsf{x}}
,-\underline{
\mathsf{x}}
,--\underline{
\mathsf{x}}
)
 <= if(0
 <= -\underline{
\mathsf{y}}
,-\underline{
\mathsf{y}}
,--\underline{
\mathsf{y}}
)
; splitNumericalSum(+-small)
\rhd 0
 <= -\underline{
\mathsf{y}}
\rhd -\underline{
\mathsf{x}}
 <= 0
\rhd if(0
 <= -\underline{
\mathsf{x}}
,-\underline{
\mathsf{x}}
,--\underline{
\mathsf{x}}
)
 <= if(0
 <= -\underline{
\mathsf{y}}
,-\underline{
\mathsf{y}}
,--\underline{
\mathsf{y}}
)
\gg if(0
 <= -\underline{
\mathsf{y}}
+-\underline{
\mathsf{x}}
,-\underline{
\mathsf{y}}
+-\underline{
\mathsf{x}}
,--\underline{
\mathsf{y}}
+-\underline{
\mathsf{x}}
)
 <= if(0
 <= -\underline{
\mathsf{y}}
,-\underline{
\mathsf{y}}
,--\underline{
\mathsf{y}}
)
; SignNumerical
\gg if(0
 <= \underline{
\mathsf{x}}
+\underline{
\mathsf{y}}
,\underline{
\mathsf{x}}
+\underline{
\mathsf{y}}
,-\underline{
\mathsf{x}}
+\underline{
\mathsf{y}}
)
 = if(0
 <= -\underline{
\mathsf{x}}
+\underline{
\mathsf{y}}
,-\underline{
\mathsf{x}}
+\underline{
\mathsf{y}}
,--\underline{
\mathsf{x}}
+\underline{
\mathsf{y}}
)
; -x-y=-(x+y)
\gg -\underline{
\mathsf{x}}
+-\underline{
\mathsf{y}}
 = -\underline{
\mathsf{x}}
+\underline{
\mathsf{y}}
; plusCommutativity
\gg -\underline{
\mathsf{x}}
+-\underline{
\mathsf{y}}
 = -\underline{
\mathsf{y}}
+-\underline{
\mathsf{x}}
; Equality
\rhd -\underline{
\mathsf{x}}
+-\underline{
\mathsf{y}}
 = -\underline{
\mathsf{x}}
+\underline{
\mathsf{y}}
\rhd -\underline{
\mathsf{x}}
+-\underline{
\mathsf{y}}
 = -\underline{
\mathsf{y}}
+-\underline{
\mathsf{x}}
\gg -\underline{
\mathsf{x}}
+\underline{
\mathsf{y}}
 = -\underline{
\mathsf{y}}
+-\underline{
\mathsf{x}}
; SameNumerical
\rhd -\underline{
\mathsf{x}}
+\underline{
\mathsf{y}}
 = -\underline{
\mathsf{y}}
+-\underline{
\mathsf{x}}
\gg if(0
 <= -\underline{
\mathsf{x}}
+\underline{
\mathsf{y}}
,-\underline{
\mathsf{x}}
+\underline{
\mathsf{y}}
,--\underline{
\mathsf{x}}
+\underline{
\mathsf{y}}
)
 = if(0
 <= -\underline{
\mathsf{y}}
+-\underline{
\mathsf{x}}
,-\underline{
\mathsf{y}}
+-\underline{
\mathsf{x}}
,--\underline{
\mathsf{y}}
+-\underline{
\mathsf{x}}
)
; eqTransitivity
\rhd if(0
 <= \underline{
\mathsf{x}}
+\underline{
\mathsf{y}}
,\underline{
\mathsf{x}}
+\underline{
\mathsf{y}}
,-\underline{
\mathsf{x}}
+\underline{
\mathsf{y}}
)
 = if(0
 <= -\underline{
\mathsf{x}}
+\underline{
\mathsf{y}}
,-\underline{
\mathsf{x}}
+\underline{
\mathsf{y}}
,--\underline{
\mathsf{x}}
+\underline{
\mathsf{y}}
)
\rhd if(0
 <= -\underline{
\mathsf{x}}
+\underline{
\mathsf{y}}
,-\underline{
\mathsf{x}}
+\underline{
\mathsf{y}}
,--\underline{
\mathsf{x}}
+\underline{
\mathsf{y}}
)
 = if(0
 <= -\underline{
\mathsf{y}}
+-\underline{
\mathsf{x}}
,-\underline{
\mathsf{y}}
+-\underline{
\mathsf{x}}
,--\underline{
\mathsf{y}}
+-\underline{
\mathsf{x}}
)
\gg if(0
 <= \underline{
\mathsf{x}}
+\underline{
\mathsf{y}}
,\underline{
\mathsf{x}}
+\underline{
\mathsf{y}}
,-\underline{
\mathsf{x}}
+\underline{
\mathsf{y}}
)
 = if(0
 <= -\underline{
\mathsf{y}}
+-\underline{
\mathsf{x}}
,-\underline{
\mathsf{y}}
+-\underline{
\mathsf{x}}
,--\underline{
\mathsf{y}}
+-\underline{
\mathsf{x}}
)
; eqSymmetry
\rhd if(0
 <= \underline{
\mathsf{x}}
+\underline{
\mathsf{y}}
,\underline{
\mathsf{x}}
+\underline{
\mathsf{y}}
,-\underline{
\mathsf{x}}
+\underline{
\mathsf{y}}
)
 = if(0
 <= -\underline{
\mathsf{y}}
+-\underline{
\mathsf{x}}
,-\underline{
\mathsf{y}}
+-\underline{
\mathsf{x}}
,--\underline{
\mathsf{y}}
+-\underline{
\mathsf{x}}
)
\gg if(0
 <= -\underline{
\mathsf{y}}
+-\underline{
\mathsf{x}}
,-\underline{
\mathsf{y}}
+-\underline{
\mathsf{x}}
,--\underline{
\mathsf{y}}
+-\underline{
\mathsf{x}}
)
 = if(0
 <= \underline{
\mathsf{x}}
+\underline{
\mathsf{y}}
,\underline{
\mathsf{x}}
+\underline{
\mathsf{y}}
,-\underline{
\mathsf{x}}
+\underline{
\mathsf{y}}
)
; eqSymmetry
\rhd if(0
 <= \underline{
\mathsf{y}}
,\underline{
\mathsf{y}}
,-\underline{
\mathsf{y}}
)
 = if(0
 <= -\underline{
\mathsf{y}}
,-\underline{
\mathsf{y}}
,--\underline{
\mathsf{y}}
)
\gg if(0
 <= -\underline{
\mathsf{y}}
,-\underline{
\mathsf{y}}
,--\underline{
\mathsf{y}}
)
 = if(0
 <= \underline{
\mathsf{y}}
,\underline{
\mathsf{y}}
,-\underline{
\mathsf{y}}
)
; subLeqLeft
\rhd if(0
 <= -\underline{
\mathsf{y}}
+-\underline{
\mathsf{x}}
,-\underline{
\mathsf{y}}
+-\underline{
\mathsf{x}}
,--\underline{
\mathsf{y}}
+-\underline{
\mathsf{x}}
)
 = if(0
 <= \underline{
\mathsf{x}}
+\underline{
\mathsf{y}}
,\underline{
\mathsf{x}}
+\underline{
\mathsf{y}}
,-\underline{
\mathsf{x}}
+\underline{
\mathsf{y}}
)
\rhd if(0
 <= -\underline{
\mathsf{y}}
+-\underline{
\mathsf{x}}
,-\underline{
\mathsf{y}}
+-\underline{
\mathsf{x}}
,--\underline{
\mathsf{y}}
+-\underline{
\mathsf{x}}
)
 <= if(0
 <= -\underline{
\mathsf{y}}
,-\underline{
\mathsf{y}}
,--\underline{
\mathsf{y}}
)
\gg if(0
 <= \underline{
\mathsf{x}}
+\underline{
\mathsf{y}}
,\underline{
\mathsf{x}}
+\underline{
\mathsf{y}}
,-\underline{
\mathsf{x}}
+\underline{
\mathsf{y}}
)
 <= if(0
 <= -\underline{
\mathsf{y}}
,-\underline{
\mathsf{y}}
,--\underline{
\mathsf{y}}
)
; subLeqRight
\rhd if(0
 <= -\underline{
\mathsf{y}}
,-\underline{
\mathsf{y}}
,--\underline{
\mathsf{y}}
)
 = if(0
 <= \underline{
\mathsf{y}}
,\underline{
\mathsf{y}}
,-\underline{
\mathsf{y}}
)
\rhd if(0
 <= \underline{
\mathsf{x}}
+\underline{
\mathsf{y}}
,\underline{
\mathsf{x}}
+\underline{
\mathsf{y}}
,-\underline{
\mathsf{x}}
+\underline{
\mathsf{y}}
)
 <= if(0
 <= -\underline{
\mathsf{y}}
,-\underline{
\mathsf{y}}
,--\underline{
\mathsf{y}}
)
\gg if(0
 <= \underline{
\mathsf{x}}
+\underline{
\mathsf{y}}
,\underline{
\mathsf{x}}
+\underline{
\mathsf{y}}
,-\underline{
\mathsf{x}}
+\underline{
\mathsf{y}}
)
 <= if(0
 <= \underline{
\mathsf{y}}
,\underline{
\mathsf{y}}
,-\underline{
\mathsf{y}}
)
\rceil 
, 
p_0
, 
\mathsf {c}
)
]$

$
[splitNumericalSum(+-)
\stackrel{
stmt
}{\rightarrow}ZFsub
\vdash 
\forall \underline{
\mathsf{x}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf{y}}
\colon 0
 <= \underline{
\mathsf{x}}
\vdash \underline{
\mathsf{y}}
 <= 0
\vdash if(0
 <= \underline{
\mathsf{x}}
+\underline{
\mathsf{y}}
,\underline{
\mathsf{x}}
+\underline{
\mathsf{y}}
,-\underline{
\mathsf{x}}
+\underline{
\mathsf{y}}
)
 <= if(0
 <= \underline{
\mathsf{x}}
,\underline{
\mathsf{x}}
,-\underline{
\mathsf{x}}
)
+if(0
 <= \underline{
\mathsf{y}}
,\underline{
\mathsf{y}}
,-\underline{
\mathsf{y}}
)
]$

$
[splitNumericalSum(+-)
\stackrel{
proof
}{\rightarrow}
\lambda 
\mathsf {c}
.
\lambda 
\mathsf{x}
.
{\cal P}( 
\lceil ZFsub
\vdash 
\forall \underline{
\mathsf{x}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf{y}}
\colon if(0
 <= \underline{
\mathsf{y}}
,\underline{
\mathsf{y}}
,-\underline{
\mathsf{y}}
)
 <= if(0
 <= \underline{
\mathsf{x}}
,\underline{
\mathsf{x}}
,-\underline{
\mathsf{x}}
)
\vdash 0
 <= \underline{
\mathsf{x}}
\vdash \underline{
\mathsf{y}}
 <= 0
\vdash splitNumericalSum(+-small)
\rhd 0
 <= \underline{
\mathsf{x}}
\rhd \underline{
\mathsf{y}}
 <= 0
\rhd if(0
 <= \underline{
\mathsf{y}}
,\underline{
\mathsf{y}}
,-\underline{
\mathsf{y}}
)
 <= if(0
 <= \underline{
\mathsf{x}}
,\underline{
\mathsf{x}}
,-\underline{
\mathsf{x}}
)
\gg if(0
 <= \underline{
\mathsf{x}}
+\underline{
\mathsf{y}}
,\underline{
\mathsf{x}}
+\underline{
\mathsf{y}}
,-\underline{
\mathsf{x}}
+\underline{
\mathsf{y}}
)
 <= if(0
 <= \underline{
\mathsf{x}}
,\underline{
\mathsf{x}}
,-\underline{
\mathsf{x}}
)
; 0<=|x|
\gg 0
 <= if(0
 <= \underline{
\mathsf{y}}
,\underline{
\mathsf{y}}
,-\underline{
\mathsf{y}}
)
; LeqAdditionLeft
\rhd 0
 <= if(0
 <= \underline{
\mathsf{y}}
,\underline{
\mathsf{y}}
,-\underline{
\mathsf{y}}
)
\gg if(0
 <= \underline{
\mathsf{x}}
,\underline{
\mathsf{x}}
,-\underline{
\mathsf{x}}
)
+0
 <= if(0
 <= \underline{
\mathsf{x}}
,\underline{
\mathsf{x}}
,-\underline{
\mathsf{x}}
)
+if(0
 <= \underline{
\mathsf{y}}
,\underline{
\mathsf{y}}
,-\underline{
\mathsf{y}}
)
; plus0
\gg if(0
 <= \underline{
\mathsf{x}}
,\underline{
\mathsf{x}}
,-\underline{
\mathsf{x}}
)
+0
 = if(0
 <= \underline{
\mathsf{x}}
,\underline{
\mathsf{x}}
,-\underline{
\mathsf{x}}
)
; subLeqLeft
\rhd if(0
 <= \underline{
\mathsf{x}}
,\underline{
\mathsf{x}}
,-\underline{
\mathsf{x}}
)
+0
 = if(0
 <= \underline{
\mathsf{x}}
,\underline{
\mathsf{x}}
,-\underline{
\mathsf{x}}
)
\rhd if(0
 <= \underline{
\mathsf{x}}
,\underline{
\mathsf{x}}
,-\underline{
\mathsf{x}}
)
+0
 <= if(0
 <= \underline{
\mathsf{x}}
,\underline{
\mathsf{x}}
,-\underline{
\mathsf{x}}
)
+if(0
 <= \underline{
\mathsf{y}}
,\underline{
\mathsf{y}}
,-\underline{
\mathsf{y}}
)
\gg if(0
 <= \underline{
\mathsf{x}}
,\underline{
\mathsf{x}}
,-\underline{
\mathsf{x}}
)
 <= if(0
 <= \underline{
\mathsf{x}}
,\underline{
\mathsf{x}}
,-\underline{
\mathsf{x}}
)
+if(0
 <= \underline{
\mathsf{y}}
,\underline{
\mathsf{y}}
,-\underline{
\mathsf{y}}
)
; leqTransitivity
\rhd if(0
 <= \underline{
\mathsf{x}}
+\underline{
\mathsf{y}}
,\underline{
\mathsf{x}}
+\underline{
\mathsf{y}}
,-\underline{
\mathsf{x}}
+\underline{
\mathsf{y}}
)
 <= if(0
 <= \underline{
\mathsf{x}}
,\underline{
\mathsf{x}}
,-\underline{
\mathsf{x}}
)
\rhd if(0
 <= \underline{
\mathsf{x}}
,\underline{
\mathsf{x}}
,-\underline{
\mathsf{x}}
)
 <= if(0
 <= \underline{
\mathsf{x}}
,\underline{
\mathsf{x}}
,-\underline{
\mathsf{x}}
)
+if(0
 <= \underline{
\mathsf{y}}
,\underline{
\mathsf{y}}
,-\underline{
\mathsf{y}}
)
\gg if(0
 <= \underline{
\mathsf{x}}
+\underline{
\mathsf{y}}
,\underline{
\mathsf{x}}
+\underline{
\mathsf{y}}
,-\underline{
\mathsf{x}}
+\underline{
\mathsf{y}}
)
 <= if(0
 <= \underline{
\mathsf{x}}
,\underline{
\mathsf{x}}
,-\underline{
\mathsf{x}}
)
+if(0
 <= \underline{
\mathsf{y}}
,\underline{
\mathsf{y}}
,-\underline{
\mathsf{y}}
)
; 
\forall \underline{
\mathsf{x}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf{y}}
\colon \dot{\neg}\, if(0
 <= \underline{
\mathsf{y}}
,\underline{
\mathsf{y}}
,-\underline{
\mathsf{y}}
)
 <= if(0
 <= \underline{
\mathsf{x}}
,\underline{
\mathsf{x}}
,-\underline{
\mathsf{x}}
)
\vdash 0
 <= \underline{
\mathsf{x}}
\vdash \underline{
\mathsf{y}}
 <= 0
\vdash ToLess
\rhd \dot{\neg}\, if(0
 <= \underline{
\mathsf{y}}
,\underline{
\mathsf{y}}
,-\underline{
\mathsf{y}}
)
 <= if(0
 <= \underline{
\mathsf{x}}
,\underline{
\mathsf{x}}
,-\underline{
\mathsf{x}}
)
\gg \dot{\neg}\, if(0
 <= \underline{
\mathsf{x}}
,\underline{
\mathsf{x}}
,-\underline{
\mathsf{x}}
)
 <= if(0
 <= \underline{
\mathsf{y}}
,\underline{
\mathsf{y}}
,-\underline{
\mathsf{y}}
)
\Rightarrow \dot{\neg}\, \dot{\neg}\, if(0
 <= \underline{
\mathsf{x}}
,\underline{
\mathsf{x}}
,-\underline{
\mathsf{x}}
)
 = if(0
 <= \underline{
\mathsf{y}}
,\underline{
\mathsf{y}}
,-\underline{
\mathsf{y}}
)
; splitNumericalSum(+-big)
\rhd 0
 <= \underline{
\mathsf{x}}
\rhd \underline{
\mathsf{y}}
 <= 0
\rhd \dot{\neg}\, if(0
 <= \underline{
\mathsf{x}}
,\underline{
\mathsf{x}}
,-\underline{
\mathsf{x}}
)
 <= if(0
 <= \underline{
\mathsf{y}}
,\underline{
\mathsf{y}}
,-\underline{
\mathsf{y}}
)
\Rightarrow \dot{\neg}\, \dot{\neg}\, if(0
 <= \underline{
\mathsf{x}}
,\underline{
\mathsf{x}}
,-\underline{
\mathsf{x}}
)
 = if(0
 <= \underline{
\mathsf{y}}
,\underline{
\mathsf{y}}
,-\underline{
\mathsf{y}}
)
\gg if(0
 <= \underline{
\mathsf{x}}
+\underline{
\mathsf{y}}
,\underline{
\mathsf{x}}
+\underline{
\mathsf{y}}
,-\underline{
\mathsf{x}}
+\underline{
\mathsf{y}}
)
 <= if(0
 <= \underline{
\mathsf{y}}
,\underline{
\mathsf{y}}
,-\underline{
\mathsf{y}}
)
; 0<=|x|
\gg 0
 <= if(0
 <= \underline{
\mathsf{x}}
,\underline{
\mathsf{x}}
,-\underline{
\mathsf{x}}
)
; leqAddition
\rhd 0
 <= if(0
 <= \underline{
\mathsf{x}}
,\underline{
\mathsf{x}}
,-\underline{
\mathsf{x}}
)
\gg 0
+if(0
 <= \underline{
\mathsf{y}}
,\underline{
\mathsf{y}}
,-\underline{
\mathsf{y}}
)
 <= if(0
 <= \underline{
\mathsf{x}}
,\underline{
\mathsf{x}}
,-\underline{
\mathsf{x}}
)
+if(0
 <= \underline{
\mathsf{y}}
,\underline{
\mathsf{y}}
,-\underline{
\mathsf{y}}
)
; plus0Left
\gg 0
+if(0
 <= \underline{
\mathsf{y}}
,\underline{
\mathsf{y}}
,-\underline{
\mathsf{y}}
)
 = if(0
 <= \underline{
\mathsf{y}}
,\underline{
\mathsf{y}}
,-\underline{
\mathsf{y}}
)
; subLeqLeft
\rhd 0
+if(0
 <= \underline{
\mathsf{y}}
,\underline{
\mathsf{y}}
,-\underline{
\mathsf{y}}
)
 = if(0
 <= \underline{
\mathsf{y}}
,\underline{
\mathsf{y}}
,-\underline{
\mathsf{y}}
)
\rhd 0
+if(0
 <= \underline{
\mathsf{y}}
,\underline{
\mathsf{y}}
,-\underline{
\mathsf{y}}
)
 <= if(0
 <= \underline{
\mathsf{x}}
,\underline{
\mathsf{x}}
,-\underline{
\mathsf{x}}
)
+if(0
 <= \underline{
\mathsf{y}}
,\underline{
\mathsf{y}}
,-\underline{
\mathsf{y}}
)
\gg if(0
 <= \underline{
\mathsf{y}}
,\underline{
\mathsf{y}}
,-\underline{
\mathsf{y}}
)
 <= if(0
 <= \underline{
\mathsf{x}}
,\underline{
\mathsf{x}}
,-\underline{
\mathsf{x}}
)
+if(0
 <= \underline{
\mathsf{y}}
,\underline{
\mathsf{y}}
,-\underline{
\mathsf{y}}
)
; leqTransitivity
\rhd if(0
 <= \underline{
\mathsf{x}}
+\underline{
\mathsf{y}}
,\underline{
\mathsf{x}}
+\underline{
\mathsf{y}}
,-\underline{
\mathsf{x}}
+\underline{
\mathsf{y}}
)
 <= if(0
 <= \underline{
\mathsf{y}}
,\underline{
\mathsf{y}}
,-\underline{
\mathsf{y}}
)
\rhd if(0
 <= \underline{
\mathsf{y}}
,\underline{
\mathsf{y}}
,-\underline{
\mathsf{y}}
)
 <= if(0
 <= \underline{
\mathsf{x}}
,\underline{
\mathsf{x}}
,-\underline{
\mathsf{x}}
)
+if(0
 <= \underline{
\mathsf{y}}
,\underline{
\mathsf{y}}
,-\underline{
\mathsf{y}}
)
\gg if(0
 <= \underline{
\mathsf{x}}
+\underline{
\mathsf{y}}
,\underline{
\mathsf{x}}
+\underline{
\mathsf{y}}
,-\underline{
\mathsf{x}}
+\underline{
\mathsf{y}}
)
 <= if(0
 <= \underline{
\mathsf{x}}
,\underline{
\mathsf{x}}
,-\underline{
\mathsf{x}}
)
+if(0
 <= \underline{
\mathsf{y}}
,\underline{
\mathsf{y}}
,-\underline{
\mathsf{y}}
)
; 
\forall \underline{
\mathsf{x}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf{y}}
\colon Ded
\rhd 
\forall \underline{
\mathsf{x}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf{y}}
\colon if(0
 <= \underline{
\mathsf{y}}
,\underline{
\mathsf{y}}
,-\underline{
\mathsf{y}}
)
 <= if(0
 <= \underline{
\mathsf{x}}
,\underline{
\mathsf{x}}
,-\underline{
\mathsf{x}}
)
\vdash 0
 <= \underline{
\mathsf{x}}
\vdash \underline{
\mathsf{y}}
 <= 0
\vdash if(0
 <= \underline{
\mathsf{x}}
+\underline{
\mathsf{y}}
,\underline{
\mathsf{x}}
+\underline{
\mathsf{y}}
,-\underline{
\mathsf{x}}
+\underline{
\mathsf{y}}
)
 <= if(0
 <= \underline{
\mathsf{x}}
,\underline{
\mathsf{x}}
,-\underline{
\mathsf{x}}
)
+if(0
 <= \underline{
\mathsf{y}}
,\underline{
\mathsf{y}}
,-\underline{
\mathsf{y}}
)
\gg if(0
 <= \underline{
\mathsf{y}}
,\underline{
\mathsf{y}}
,-\underline{
\mathsf{y}}
)
 <= if(0
 <= \underline{
\mathsf{x}}
,\underline{
\mathsf{x}}
,-\underline{
\mathsf{x}}
)
\Rightarrow 0
 <= \underline{
\mathsf{x}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf{y}}
 <= 0
\Rightarrow if(0
 <= \underline{
\mathsf{x}}
+\underline{
\mathsf{y}}
,\underline{
\mathsf{x}}
+\underline{
\mathsf{y}}
,-\underline{
\mathsf{x}}
+\underline{
\mathsf{y}}
)
 <= if(0
 <= \underline{
\mathsf{x}}
,\underline{
\mathsf{x}}
,-\underline{
\mathsf{x}}
)
+if(0
 <= \underline{
\mathsf{y}}
,\underline{
\mathsf{y}}
,-\underline{
\mathsf{y}}
)
; Ded
\rhd 
\forall \underline{
\mathsf{x}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf{y}}
\colon \dot{\neg}\, if(0
 <= \underline{
\mathsf{y}}
,\underline{
\mathsf{y}}
,-\underline{
\mathsf{y}}
)
 <= if(0
 <= \underline{
\mathsf{x}}
,\underline{
\mathsf{x}}
,-\underline{
\mathsf{x}}
)
\vdash 0
 <= \underline{
\mathsf{x}}
\vdash \underline{
\mathsf{y}}
 <= 0
\vdash if(0
 <= \underline{
\mathsf{x}}
+\underline{
\mathsf{y}}
,\underline{
\mathsf{x}}
+\underline{
\mathsf{y}}
,-\underline{
\mathsf{x}}
+\underline{
\mathsf{y}}
)
 <= if(0
 <= \underline{
\mathsf{x}}
,\underline{
\mathsf{x}}
,-\underline{
\mathsf{x}}
)
+if(0
 <= \underline{
\mathsf{y}}
,\underline{
\mathsf{y}}
,-\underline{
\mathsf{y}}
)
\gg \dot{\neg}\, if(0
 <= \underline{
\mathsf{y}}
,\underline{
\mathsf{y}}
,-\underline{
\mathsf{y}}
)
 <= if(0
 <= \underline{
\mathsf{x}}
,\underline{
\mathsf{x}}
,-\underline{
\mathsf{x}}
)
\Rightarrow 0
 <= \underline{
\mathsf{x}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf{y}}
 <= 0
\Rightarrow if(0
 <= \underline{
\mathsf{x}}
+\underline{
\mathsf{y}}
,\underline{
\mathsf{x}}
+\underline{
\mathsf{y}}
,-\underline{
\mathsf{x}}
+\underline{
\mathsf{y}}
)
 <= if(0
 <= \underline{
\mathsf{x}}
,\underline{
\mathsf{x}}
,-\underline{
\mathsf{x}}
)
+if(0
 <= \underline{
\mathsf{y}}
,\underline{
\mathsf{y}}
,-\underline{
\mathsf{y}}
)
; 0
 <= \underline{
\mathsf{x}}
\vdash \underline{
\mathsf{y}}
 <= 0
\vdash FromNegations
\rhd if(0
 <= \underline{
\mathsf{y}}
,\underline{
\mathsf{y}}
,-\underline{
\mathsf{y}}
)
 <= if(0
 <= \underline{
\mathsf{x}}
,\underline{
\mathsf{x}}
,-\underline{
\mathsf{x}}
)
\Rightarrow 0
 <= \underline{
\mathsf{x}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf{y}}
 <= 0
\Rightarrow if(0
 <= \underline{
\mathsf{x}}
+\underline{
\mathsf{y}}
,\underline{
\mathsf{x}}
+\underline{
\mathsf{y}}
,-\underline{
\mathsf{x}}
+\underline{
\mathsf{y}}
)
 <= if(0
 <= \underline{
\mathsf{x}}
,\underline{
\mathsf{x}}
,-\underline{
\mathsf{x}}
)
+if(0
 <= \underline{
\mathsf{y}}
,\underline{
\mathsf{y}}
,-\underline{
\mathsf{y}}
)
\rhd \dot{\neg}\, if(0
 <= \underline{
\mathsf{y}}
,\underline{
\mathsf{y}}
,-\underline{
\mathsf{y}}
)
 <= if(0
 <= \underline{
\mathsf{x}}
,\underline{
\mathsf{x}}
,-\underline{
\mathsf{x}}
)
\Rightarrow 0
 <= \underline{
\mathsf{x}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf{y}}
 <= 0
\Rightarrow if(0
 <= \underline{
\mathsf{x}}
+\underline{
\mathsf{y}}
,\underline{
\mathsf{x}}
+\underline{
\mathsf{y}}
,-\underline{
\mathsf{x}}
+\underline{
\mathsf{y}}
)
 <= if(0
 <= \underline{
\mathsf{x}}
,\underline{
\mathsf{x}}
,-\underline{
\mathsf{x}}
)
+if(0
 <= \underline{
\mathsf{y}}
,\underline{
\mathsf{y}}
,-\underline{
\mathsf{y}}
)
\gg 0
 <= \underline{
\mathsf{x}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf{y}}
 <= 0
\Rightarrow if(0
 <= \underline{
\mathsf{x}}
+\underline{
\mathsf{y}}
,\underline{
\mathsf{x}}
+\underline{
\mathsf{y}}
,-\underline{
\mathsf{x}}
+\underline{
\mathsf{y}}
)
 <= if(0
 <= \underline{
\mathsf{x}}
,\underline{
\mathsf{x}}
,-\underline{
\mathsf{x}}
)
+if(0
 <= \underline{
\mathsf{y}}
,\underline{
\mathsf{y}}
,-\underline{
\mathsf{y}}
)
; MP2
\rhd 0
 <= \underline{
\mathsf{x}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf{y}}
 <= 0
\Rightarrow if(0
 <= \underline{
\mathsf{x}}
+\underline{
\mathsf{y}}
,\underline{
\mathsf{x}}
+\underline{
\mathsf{y}}
,-\underline{
\mathsf{x}}
+\underline{
\mathsf{y}}
)
 <= if(0
 <= \underline{
\mathsf{x}}
,\underline{
\mathsf{x}}
,-\underline{
\mathsf{x}}
)
+if(0
 <= \underline{
\mathsf{y}}
,\underline{
\mathsf{y}}
,-\underline{
\mathsf{y}}
)
\rhd 0
 <= \underline{
\mathsf{x}}
\rhd \underline{
\mathsf{y}}
 <= 0
\gg if(0
 <= \underline{
\mathsf{x}}
+\underline{
\mathsf{y}}
,\underline{
\mathsf{x}}
+\underline{
\mathsf{y}}
,-\underline{
\mathsf{x}}
+\underline{
\mathsf{y}}
)
 <= if(0
 <= \underline{
\mathsf{x}}
,\underline{
\mathsf{x}}
,-\underline{
\mathsf{x}}
)
+if(0
 <= \underline{
\mathsf{y}}
,\underline{
\mathsf{y}}
,-\underline{
\mathsf{y}}
)
\rceil 
, 
p_0
, 
\mathsf {c}
)
]$

$
[splitNumericalSum(-+)
\stackrel{
stmt
}{\rightarrow}ZFsub
\vdash 
\forall \underline{
\mathsf{x}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf{y}}
\colon \underline{
\mathsf{x}}
 <= 0
\vdash 0
 <= \underline{
\mathsf{y}}
\vdash if(0
 <= \underline{
\mathsf{x}}
+\underline{
\mathsf{y}}
,\underline{
\mathsf{x}}
+\underline{
\mathsf{y}}
,-\underline{
\mathsf{x}}
+\underline{
\mathsf{y}}
)
 <= if(0
 <= \underline{
\mathsf{x}}
,\underline{
\mathsf{x}}
,-\underline{
\mathsf{x}}
)
+if(0
 <= \underline{
\mathsf{y}}
,\underline{
\mathsf{y}}
,-\underline{
\mathsf{y}}
)
]$

$
[splitNumericalSum(-+)
\stackrel{
proof
}{\rightarrow}
\lambda 
\mathsf {c}
.
\lambda 
\mathsf{x}
.
{\cal P}( 
\lceil ZFsub
\vdash 
\forall \underline{
\mathsf{x}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf{y}}
\colon \underline{
\mathsf{x}}
 <= 0
\vdash 0
 <= \underline{
\mathsf{y}}
\vdash NonpositiveNegated
\rhd \underline{
\mathsf{x}}
 <= 0
\gg 0
 <= -\underline{
\mathsf{x}}
; NonnegativeNegated
\rhd 0
 <= \underline{
\mathsf{y}}
\gg -\underline{
\mathsf{y}}
 <= 0
; splitNumericalSum(+-)
\rhd 0
 <= -\underline{
\mathsf{x}}
\rhd -\underline{
\mathsf{y}}
 <= 0
\gg if(0
 <= -\underline{
\mathsf{x}}
+-\underline{
\mathsf{y}}
,-\underline{
\mathsf{x}}
+-\underline{
\mathsf{y}}
,--\underline{
\mathsf{x}}
+-\underline{
\mathsf{y}}
)
 <= if(0
 <= -\underline{
\mathsf{x}}
,-\underline{
\mathsf{x}}
,--\underline{
\mathsf{x}}
)
+if(0
 <= -\underline{
\mathsf{y}}
,-\underline{
\mathsf{y}}
,--\underline{
\mathsf{y}}
)
; SplitNumericalSumHelper
\rhd if(0
 <= -\underline{
\mathsf{x}}
+-\underline{
\mathsf{y}}
,-\underline{
\mathsf{x}}
+-\underline{
\mathsf{y}}
,--\underline{
\mathsf{x}}
+-\underline{
\mathsf{y}}
)
 <= if(0
 <= -\underline{
\mathsf{x}}
,-\underline{
\mathsf{x}}
,--\underline{
\mathsf{x}}
)
+if(0
 <= -\underline{
\mathsf{y}}
,-\underline{
\mathsf{y}}
,--\underline{
\mathsf{y}}
)
\gg if(0
 <= \underline{
\mathsf{x}}
+\underline{
\mathsf{y}}
,\underline{
\mathsf{x}}
+\underline{
\mathsf{y}}
,-\underline{
\mathsf{x}}
+\underline{
\mathsf{y}}
)
 <= if(0
 <= \underline{
\mathsf{x}}
,\underline{
\mathsf{x}}
,-\underline{
\mathsf{x}}
)
+if(0
 <= \underline{
\mathsf{y}}
,\underline{
\mathsf{y}}
,-\underline{
\mathsf{y}}
)
\rceil 
, 
p_0
, 
\mathsf {c}
)
]$

$
[splitNumericalSum
\stackrel{
stmt
}{\rightarrow}ZFsub
\vdash 
\forall \underline{
\mathsf{x}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf{y}}
\colon if(0
 <= \underline{
\mathsf{x}}
+\underline{
\mathsf{y}}
,\underline{
\mathsf{x}}
+\underline{
\mathsf{y}}
,-\underline{
\mathsf{x}}
+\underline{
\mathsf{y}}
)
 <= if(0
 <= \underline{
\mathsf{x}}
,\underline{
\mathsf{x}}
,-\underline{
\mathsf{x}}
)
+if(0
 <= \underline{
\mathsf{y}}
,\underline{
\mathsf{y}}
,-\underline{
\mathsf{y}}
)
]$

$
[splitNumericalSum
\stackrel{
proof
}{\rightarrow}
\lambda 
\mathsf {c}
.
\lambda 
\mathsf{x}
.
{\cal P}( 
\lceil ZFsub
\vdash 
\forall \underline{
\mathsf{x}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf{y}}
\colon 0
 <= \underline{
\mathsf{x}}
\vdash 0
 <= \underline{
\mathsf{y}}
\vdash splitNumericalSum(++)
\rhd 0
 <= \underline{
\mathsf{x}}
\rhd 0
 <= \underline{
\mathsf{y}}
\gg if(0
 <= \underline{
\mathsf{x}}
+\underline{
\mathsf{y}}
,\underline{
\mathsf{x}}
+\underline{
\mathsf{y}}
,-\underline{
\mathsf{x}}
+\underline{
\mathsf{y}}
)
 <= if(0
 <= \underline{
\mathsf{x}}
,\underline{
\mathsf{x}}
,-\underline{
\mathsf{x}}
)
+if(0
 <= \underline{
\mathsf{y}}
,\underline{
\mathsf{y}}
,-\underline{
\mathsf{y}}
)
; 
\forall \underline{
\mathsf{x}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf{y}}
\colon 0
 <= \underline{
\mathsf{x}}
\vdash \underline{
\mathsf{y}}
 <= 0
\vdash splitNumericalSum(+-)
\rhd 0
 <= \underline{
\mathsf{x}}
\rhd \underline{
\mathsf{y}}
 <= 0
\gg if(0
 <= \underline{
\mathsf{x}}
+\underline{
\mathsf{y}}
,\underline{
\mathsf{x}}
+\underline{
\mathsf{y}}
,-\underline{
\mathsf{x}}
+\underline{
\mathsf{y}}
)
 <= if(0
 <= \underline{
\mathsf{x}}
,\underline{
\mathsf{x}}
,-\underline{
\mathsf{x}}
)
+if(0
 <= \underline{
\mathsf{y}}
,\underline{
\mathsf{y}}
,-\underline{
\mathsf{y}}
)
; 
\forall \underline{
\mathsf{x}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf{y}}
\colon \underline{
\mathsf{x}}
 <= 0
\vdash 0
 <= \underline{
\mathsf{y}}
\vdash splitNumericalSum(-+)
\rhd \underline{
\mathsf{x}}
 <= 0
\rhd 0
 <= \underline{
\mathsf{y}}
\gg if(0
 <= \underline{
\mathsf{x}}
+\underline{
\mathsf{y}}
,\underline{
\mathsf{x}}
+\underline{
\mathsf{y}}
,-\underline{
\mathsf{x}}
+\underline{
\mathsf{y}}
)
 <= if(0
 <= \underline{
\mathsf{x}}
,\underline{
\mathsf{x}}
,-\underline{
\mathsf{x}}
)
+if(0
 <= \underline{
\mathsf{y}}
,\underline{
\mathsf{y}}
,-\underline{
\mathsf{y}}
)
; 
\forall \underline{
\mathsf{x}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf{y}}
\colon \underline{
\mathsf{x}}
 <= 0
\vdash \underline{
\mathsf{y}}
 <= 0
\vdash splitNumericalSum(--)
\rhd \underline{
\mathsf{x}}
 <= 0
\rhd \underline{
\mathsf{y}}
 <= 0
\gg if(0
 <= \underline{
\mathsf{x}}
+\underline{
\mathsf{y}}
,\underline{
\mathsf{x}}
+\underline{
\mathsf{y}}
,-\underline{
\mathsf{x}}
+\underline{
\mathsf{y}}
)
 <= if(0
 <= \underline{
\mathsf{x}}
,\underline{
\mathsf{x}}
,-\underline{
\mathsf{x}}
)
+if(0
 <= \underline{
\mathsf{y}}
,\underline{
\mathsf{y}}
,-\underline{
\mathsf{y}}
)
; 
\forall \underline{
\mathsf{x}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf{y}}
\colon Ded
\rhd 
\forall \underline{
\mathsf{x}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf{y}}
\colon 0
 <= \underline{
\mathsf{x}}
\vdash 0
 <= \underline{
\mathsf{y}}
\vdash if(0
 <= \underline{
\mathsf{x}}
+\underline{
\mathsf{y}}
,\underline{
\mathsf{x}}
+\underline{
\mathsf{y}}
,-\underline{
\mathsf{x}}
+\underline{
\mathsf{y}}
)
 <= if(0
 <= \underline{
\mathsf{x}}
,\underline{
\mathsf{x}}
,-\underline{
\mathsf{x}}
)
+if(0
 <= \underline{
\mathsf{y}}
,\underline{
\mathsf{y}}
,-\underline{
\mathsf{y}}
)
\gg 0
 <= \underline{
\mathsf{x}}
\Rightarrow 0
 <= \underline{
\mathsf{y}}
\Rightarrow if(0
 <= \underline{
\mathsf{x}}
+\underline{
\mathsf{y}}
,\underline{
\mathsf{x}}
+\underline{
\mathsf{y}}
,-\underline{
\mathsf{x}}
+\underline{
\mathsf{y}}
)
 <= if(0
 <= \underline{
\mathsf{x}}
,\underline{
\mathsf{x}}
,-\underline{
\mathsf{x}}
)
+if(0
 <= \underline{
\mathsf{y}}
,\underline{
\mathsf{y}}
,-\underline{
\mathsf{y}}
)
; Ded
\rhd 
\forall \underline{
\mathsf{x}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf{y}}
\colon 0
 <= \underline{
\mathsf{x}}
\vdash \underline{
\mathsf{y}}
 <= 0
\vdash if(0
 <= \underline{
\mathsf{x}}
+\underline{
\mathsf{y}}
,\underline{
\mathsf{x}}
+\underline{
\mathsf{y}}
,-\underline{
\mathsf{x}}
+\underline{
\mathsf{y}}
)
 <= if(0
 <= \underline{
\mathsf{x}}
,\underline{
\mathsf{x}}
,-\underline{
\mathsf{x}}
)
+if(0
 <= \underline{
\mathsf{y}}
,\underline{
\mathsf{y}}
,-\underline{
\mathsf{y}}
)
\gg 0
 <= \underline{
\mathsf{x}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf{y}}
 <= 0
\Rightarrow if(0
 <= \underline{
\mathsf{x}}
+\underline{
\mathsf{y}}
,\underline{
\mathsf{x}}
+\underline{
\mathsf{y}}
,-\underline{
\mathsf{x}}
+\underline{
\mathsf{y}}
)
 <= if(0
 <= \underline{
\mathsf{x}}
,\underline{
\mathsf{x}}
,-\underline{
\mathsf{x}}
)
+if(0
 <= \underline{
\mathsf{y}}
,\underline{
\mathsf{y}}
,-\underline{
\mathsf{y}}
)
; Ded
\rhd 
\forall \underline{
\mathsf{x}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf{y}}
\colon \underline{
\mathsf{x}}
 <= 0
\vdash 0
 <= \underline{
\mathsf{y}}
\vdash if(0
 <= \underline{
\mathsf{x}}
+\underline{
\mathsf{y}}
,\underline{
\mathsf{x}}
+\underline{
\mathsf{y}}
,-\underline{
\mathsf{x}}
+\underline{
\mathsf{y}}
)
 <= if(0
 <= \underline{
\mathsf{x}}
,\underline{
\mathsf{x}}
,-\underline{
\mathsf{x}}
)
+if(0
 <= \underline{
\mathsf{y}}
,\underline{
\mathsf{y}}
,-\underline{
\mathsf{y}}
)
\gg \underline{
\mathsf{x}}
 <= 0
\Rightarrow 0
 <= \underline{
\mathsf{y}}
\Rightarrow if(0
 <= \underline{
\mathsf{x}}
+\underline{
\mathsf{y}}
,\underline{
\mathsf{x}}
+\underline{
\mathsf{y}}
,-\underline{
\mathsf{x}}
+\underline{
\mathsf{y}}
)
 <= if(0
 <= \underline{
\mathsf{x}}
,\underline{
\mathsf{x}}
,-\underline{
\mathsf{x}}
)
+if(0
 <= \underline{
\mathsf{y}}
,\underline{
\mathsf{y}}
,-\underline{
\mathsf{y}}
)
; Ded
\rhd 
\forall \underline{
\mathsf{x}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf{y}}
\colon \underline{
\mathsf{x}}
 <= 0
\vdash \underline{
\mathsf{y}}
 <= 0
\vdash if(0
 <= \underline{
\mathsf{x}}
+\underline{
\mathsf{y}}
,\underline{
\mathsf{x}}
+\underline{
\mathsf{y}}
,-\underline{
\mathsf{x}}
+\underline{
\mathsf{y}}
)
 <= if(0
 <= \underline{
\mathsf{x}}
,\underline{
\mathsf{x}}
,-\underline{
\mathsf{x}}
)
+if(0
 <= \underline{
\mathsf{y}}
,\underline{
\mathsf{y}}
,-\underline{
\mathsf{y}}
)
\gg \underline{
\mathsf{x}}
 <= 0
\Rightarrow \underline{
\mathsf{y}}
 <= 0
\Rightarrow if(0
 <= \underline{
\mathsf{x}}
+\underline{
\mathsf{y}}
,\underline{
\mathsf{x}}
+\underline{
\mathsf{y}}
,-\underline{
\mathsf{x}}
+\underline{
\mathsf{y}}
)
 <= if(0
 <= \underline{
\mathsf{x}}
,\underline{
\mathsf{x}}
,-\underline{
\mathsf{x}}
)
+if(0
 <= \underline{
\mathsf{y}}
,\underline{
\mathsf{y}}
,-\underline{
\mathsf{y}}
)
; FromLeqGeq
\rhd 0
 <= \underline{
\mathsf{x}}
\Rightarrow 0
 <= \underline{
\mathsf{y}}
\Rightarrow if(0
 <= \underline{
\mathsf{x}}
+\underline{
\mathsf{y}}
,\underline{
\mathsf{x}}
+\underline{
\mathsf{y}}
,-\underline{
\mathsf{x}}
+\underline{
\mathsf{y}}
)
 <= if(0
 <= \underline{
\mathsf{x}}
,\underline{
\mathsf{x}}
,-\underline{
\mathsf{x}}
)
+if(0
 <= \underline{
\mathsf{y}}
,\underline{
\mathsf{y}}
,-\underline{
\mathsf{y}}
)
\rhd \underline{
\mathsf{x}}
 <= 0
\Rightarrow 0
 <= \underline{
\mathsf{y}}
\Rightarrow if(0
 <= \underline{
\mathsf{x}}
+\underline{
\mathsf{y}}
,\underline{
\mathsf{x}}
+\underline{
\mathsf{y}}
,-\underline{
\mathsf{x}}
+\underline{
\mathsf{y}}
)
 <= if(0
 <= \underline{
\mathsf{x}}
,\underline{
\mathsf{x}}
,-\underline{
\mathsf{x}}
)
+if(0
 <= \underline{
\mathsf{y}}
,\underline{
\mathsf{y}}
,-\underline{
\mathsf{y}}
)
\gg 0
 <= \underline{
\mathsf{y}}
\Rightarrow if(0
 <= \underline{
\mathsf{x}}
+\underline{
\mathsf{y}}
,\underline{
\mathsf{x}}
+\underline{
\mathsf{y}}
,-\underline{
\mathsf{x}}
+\underline{
\mathsf{y}}
)
 <= if(0
 <= \underline{
\mathsf{x}}
,\underline{
\mathsf{x}}
,-\underline{
\mathsf{x}}
)
+if(0
 <= \underline{
\mathsf{y}}
,\underline{
\mathsf{y}}
,-\underline{
\mathsf{y}}
)
; FromLeqGeq
\rhd 0
 <= \underline{
\mathsf{x}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf{y}}
 <= 0
\Rightarrow if(0
 <= \underline{
\mathsf{x}}
+\underline{
\mathsf{y}}
,\underline{
\mathsf{x}}
+\underline{
\mathsf{y}}
,-\underline{
\mathsf{x}}
+\underline{
\mathsf{y}}
)
 <= if(0
 <= \underline{
\mathsf{x}}
,\underline{
\mathsf{x}}
,-\underline{
\mathsf{x}}
)
+if(0
 <= \underline{
\mathsf{y}}
,\underline{
\mathsf{y}}
,-\underline{
\mathsf{y}}
)
\rhd \underline{
\mathsf{x}}
 <= 0
\Rightarrow \underline{
\mathsf{y}}
 <= 0
\Rightarrow if(0
 <= \underline{
\mathsf{x}}
+\underline{
\mathsf{y}}
,\underline{
\mathsf{x}}
+\underline{
\mathsf{y}}
,-\underline{
\mathsf{x}}
+\underline{
\mathsf{y}}
)
 <= if(0
 <= \underline{
\mathsf{x}}
,\underline{
\mathsf{x}}
,-\underline{
\mathsf{x}}
)
+if(0
 <= \underline{
\mathsf{y}}
,\underline{
\mathsf{y}}
,-\underline{
\mathsf{y}}
)
\gg \underline{
\mathsf{y}}
 <= 0
\Rightarrow if(0
 <= \underline{
\mathsf{x}}
+\underline{
\mathsf{y}}
,\underline{
\mathsf{x}}
+\underline{
\mathsf{y}}
,-\underline{
\mathsf{x}}
+\underline{
\mathsf{y}}
)
 <= if(0
 <= \underline{
\mathsf{x}}
,\underline{
\mathsf{x}}
,-\underline{
\mathsf{x}}
)
+if(0
 <= \underline{
\mathsf{y}}
,\underline{
\mathsf{y}}
,-\underline{
\mathsf{y}}
)
; FromLeqGeq
\rhd 0
 <= \underline{
\mathsf{y}}
\Rightarrow if(0
 <= \underline{
\mathsf{x}}
+\underline{
\mathsf{y}}
,\underline{
\mathsf{x}}
+\underline{
\mathsf{y}}
,-\underline{
\mathsf{x}}
+\underline{
\mathsf{y}}
)
 <= if(0
 <= \underline{
\mathsf{x}}
,\underline{
\mathsf{x}}
,-\underline{
\mathsf{x}}
)
+if(0
 <= \underline{
\mathsf{y}}
,\underline{
\mathsf{y}}
,-\underline{
\mathsf{y}}
)
\rhd \underline{
\mathsf{y}}
 <= 0
\Rightarrow if(0
 <= \underline{
\mathsf{x}}
+\underline{
\mathsf{y}}
,\underline{
\mathsf{x}}
+\underline{
\mathsf{y}}
,-\underline{
\mathsf{x}}
+\underline{
\mathsf{y}}
)
 <= if(0
 <= \underline{
\mathsf{x}}
,\underline{
\mathsf{x}}
,-\underline{
\mathsf{x}}
)
+if(0
 <= \underline{
\mathsf{y}}
,\underline{
\mathsf{y}}
,-\underline{
\mathsf{y}}
)
\gg if(0
 <= \underline{
\mathsf{x}}
+\underline{
\mathsf{y}}
,\underline{
\mathsf{x}}
+\underline{
\mathsf{y}}
,-\underline{
\mathsf{x}}
+\underline{
\mathsf{y}}
)
 <= if(0
 <= \underline{
\mathsf{x}}
,\underline{
\mathsf{x}}
,-\underline{
\mathsf{x}}
)
+if(0
 <= \underline{
\mathsf{y}}
,\underline{
\mathsf{y}}
,-\underline{
\mathsf{y}}
)
\rceil 
, 
p_0
, 
\mathsf {c}
)
]$

$
[insertMiddleTerm(Numerical)
\stackrel{
stmt
}{\rightarrow}ZFsub
\vdash 
\forall \underline{
\mathsf{x}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf{y}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf{z}}
\colon if(0
 <= \underline{
\mathsf{x}}
+\underline{
\mathsf{y}}
,\underline{
\mathsf{x}}
+\underline{
\mathsf{y}}
,-\underline{
\mathsf{x}}
+\underline{
\mathsf{y}}
)
 <= if(0
 <= \underline{
\mathsf{x}}
+-\underline{
\mathsf{z}}
,\underline{
\mathsf{x}}
+-\underline{
\mathsf{z}}
,-\underline{
\mathsf{x}}
+-\underline{
\mathsf{z}}
)
+if(0
 <= \underline{
\mathsf{z}}
+\underline{
\mathsf{y}}
,\underline{
\mathsf{z}}
+\underline{
\mathsf{y}}
,-\underline{
\mathsf{z}}
+\underline{
\mathsf{y}}
)
]$

$
[insertMiddleTerm(Numerical)
\stackrel{
proof
}{\rightarrow}
\lambda 
\mathsf {c}
.
\lambda 
\mathsf{x}
.
{\cal P}( 
\lceil ZFsub
\vdash 
\forall \underline{
\mathsf{x}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf{y}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf{z}}
\colon splitNumericalSum
\gg if(0
 <= \underline{
\mathsf{x}}
+-\underline{
\mathsf{z}}
+\underline{
\mathsf{z}}
+\underline{
\mathsf{y}}
,\underline{
\mathsf{x}}
+-\underline{
\mathsf{z}}
+\underline{
\mathsf{z}}
+\underline{
\mathsf{y}}
,-\underline{
\mathsf{x}}
+-\underline{
\mathsf{z}}
+\underline{
\mathsf{z}}
+\underline{
\mathsf{y}}
)
 <= if(0
 <= \underline{
\mathsf{x}}
+-\underline{
\mathsf{z}}
,\underline{
\mathsf{x}}
+-\underline{
\mathsf{z}}
,-\underline{
\mathsf{x}}
+-\underline{
\mathsf{z}}
)
+if(0
 <= \underline{
\mathsf{z}}
+\underline{
\mathsf{y}}
,\underline{
\mathsf{z}}
+\underline{
\mathsf{y}}
,-\underline{
\mathsf{z}}
+\underline{
\mathsf{y}}
)
; insertMiddleTerm(Sum)
\gg \underline{
\mathsf{x}}
+\underline{
\mathsf{y}}
 = \underline{
\mathsf{x}}
+-\underline{
\mathsf{z}}
+\underline{
\mathsf{z}}
+\underline{
\mathsf{y}}
; SameNumerical
\rhd \underline{
\mathsf{x}}
+\underline{
\mathsf{y}}
 = \underline{
\mathsf{x}}
+-\underline{
\mathsf{z}}
+\underline{
\mathsf{z}}
+\underline{
\mathsf{y}}
\gg if(0
 <= \underline{
\mathsf{x}}
+\underline{
\mathsf{y}}
,\underline{
\mathsf{x}}
+\underline{
\mathsf{y}}
,-\underline{
\mathsf{x}}
+\underline{
\mathsf{y}}
)
 = if(0
 <= \underline{
\mathsf{x}}
+-\underline{
\mathsf{z}}
+\underline{
\mathsf{z}}
+\underline{
\mathsf{y}}
,\underline{
\mathsf{x}}
+-\underline{
\mathsf{z}}
+\underline{
\mathsf{z}}
+\underline{
\mathsf{y}}
,-\underline{
\mathsf{x}}
+-\underline{
\mathsf{z}}
+\underline{
\mathsf{z}}
+\underline{
\mathsf{y}}
)
; eqSymmetry
\rhd if(0
 <= \underline{
\mathsf{x}}
+\underline{
\mathsf{y}}
,\underline{
\mathsf{x}}
+\underline{
\mathsf{y}}
,-\underline{
\mathsf{x}}
+\underline{
\mathsf{y}}
)
 = if(0
 <= \underline{
\mathsf{x}}
+-\underline{
\mathsf{z}}
+\underline{
\mathsf{z}}
+\underline{
\mathsf{y}}
,\underline{
\mathsf{x}}
+-\underline{
\mathsf{z}}
+\underline{
\mathsf{z}}
+\underline{
\mathsf{y}}
,-\underline{
\mathsf{x}}
+-\underline{
\mathsf{z}}
+\underline{
\mathsf{z}}
+\underline{
\mathsf{y}}
)
\gg if(0
 <= \underline{
\mathsf{x}}
+-\underline{
\mathsf{z}}
+\underline{
\mathsf{z}}
+\underline{
\mathsf{y}}
,\underline{
\mathsf{x}}
+-\underline{
\mathsf{z}}
+\underline{
\mathsf{z}}
+\underline{
\mathsf{y}}
,-\underline{
\mathsf{x}}
+-\underline{
\mathsf{z}}
+\underline{
\mathsf{z}}
+\underline{
\mathsf{y}}
)
 = if(0
 <= \underline{
\mathsf{x}}
+\underline{
\mathsf{y}}
,\underline{
\mathsf{x}}
+\underline{
\mathsf{y}}
,-\underline{
\mathsf{x}}
+\underline{
\mathsf{y}}
)
; subLeqLeft
\rhd if(0
 <= \underline{
\mathsf{x}}
+-\underline{
\mathsf{z}}
+\underline{
\mathsf{z}}
+\underline{
\mathsf{y}}
,\underline{
\mathsf{x}}
+-\underline{
\mathsf{z}}
+\underline{
\mathsf{z}}
+\underline{
\mathsf{y}}
,-\underline{
\mathsf{x}}
+-\underline{
\mathsf{z}}
+\underline{
\mathsf{z}}
+\underline{
\mathsf{y}}
)
 = if(0
 <= \underline{
\mathsf{x}}
+\underline{
\mathsf{y}}
,\underline{
\mathsf{x}}
+\underline{
\mathsf{y}}
,-\underline{
\mathsf{x}}
+\underline{
\mathsf{y}}
)
\rhd if(0
 <= \underline{
\mathsf{x}}
+-\underline{
\mathsf{z}}
+\underline{
\mathsf{z}}
+\underline{
\mathsf{y}}
,\underline{
\mathsf{x}}
+-\underline{
\mathsf{z}}
+\underline{
\mathsf{z}}
+\underline{
\mathsf{y}}
,-\underline{
\mathsf{x}}
+-\underline{
\mathsf{z}}
+\underline{
\mathsf{z}}
+\underline{
\mathsf{y}}
)
 <= if(0
 <= \underline{
\mathsf{x}}
+-\underline{
\mathsf{z}}
,\underline{
\mathsf{x}}
+-\underline{
\mathsf{z}}
,-\underline{
\mathsf{x}}
+-\underline{
\mathsf{z}}
)
+if(0
 <= \underline{
\mathsf{z}}
+\underline{
\mathsf{y}}
,\underline{
\mathsf{z}}
+\underline{
\mathsf{y}}
,-\underline{
\mathsf{z}}
+\underline{
\mathsf{y}}
)
\gg if(0
 <= \underline{
\mathsf{x}}
+\underline{
\mathsf{y}}
,\underline{
\mathsf{x}}
+\underline{
\mathsf{y}}
,-\underline{
\mathsf{x}}
+\underline{
\mathsf{y}}
)
 <= if(0
 <= \underline{
\mathsf{x}}
+-\underline{
\mathsf{z}}
,\underline{
\mathsf{x}}
+-\underline{
\mathsf{z}}
,-\underline{
\mathsf{x}}
+-\underline{
\mathsf{z}}
)
+if(0
 <= \underline{
\mathsf{z}}
+\underline{
\mathsf{y}}
,\underline{
\mathsf{z}}
+\underline{
\mathsf{y}}
,-\underline{
\mathsf{z}}
+\underline{
\mathsf{y}}
)
\rceil 
, 
p_0
, 
\mathsf {c}
)
]$


(*** REGNESTYKKER ***)

$
[x+y=zBackwards
\stackrel{
stmt
}{\rightarrow}ZFsub
\vdash 
\forall \underline{
\mathsf{x}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf{y}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf{z}}
\colon \underline{
\mathsf{x}}
+\underline{
\mathsf{y}}
 = \underline{
\mathsf{z}}
\vdash \underline{
\mathsf{z}}
 = \underline{
\mathsf{y}}
+\underline{
\mathsf{x}}
]$

$
[x+y=zBackwards
\stackrel{
proof
}{\rightarrow}
\lambda 
\mathsf {c}
.
\lambda 
\mathsf{x}
.
{\cal P}( 
\lceil ZFsub
\vdash 
\forall \underline{
\mathsf{x}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf{y}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf{z}}
\colon \underline{
\mathsf{x}}
+\underline{
\mathsf{y}}
 = \underline{
\mathsf{z}}
\vdash plusCommutativity
\gg \underline{
\mathsf{x}}
+\underline{
\mathsf{y}}
 = \underline{
\mathsf{y}}
+\underline{
\mathsf{x}}
; Equality
\rhd \underline{
\mathsf{x}}
+\underline{
\mathsf{y}}
 = \underline{
\mathsf{z}}
\gg \underline{
\mathsf{z}}
 = \underline{
\mathsf{y}}
+\underline{
\mathsf{x}}
\rceil 
, 
p_0
, 
\mathsf {c}
)
]$

$
[x*y=zBackwards
\stackrel{
stmt
}{\rightarrow}ZFsub
\vdash 
\forall \underline{
\mathsf{x}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf{y}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf{z}}
\colon \underline{
\mathsf{x}}
*\underline{
\mathsf{y}}
 = \underline{
\mathsf{z}}
\vdash \underline{
\mathsf{z}}
 = \underline{
\mathsf{y}}
*\underline{
\mathsf{x}}
]$

$
[x*y=zBackwards
\stackrel{
proof
}{\rightarrow}
\lambda 
\mathsf {c}
.
\lambda 
\mathsf{x}
.
{\cal P}( 
\lceil ZFsub
\vdash 
\forall \underline{
\mathsf{x}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf{y}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf{z}}
\colon \underline{
\mathsf{x}}
*\underline{
\mathsf{y}}
 = \underline{
\mathsf{z}}
\vdash timesCommutativity
\gg \underline{
\mathsf{x}}
*\underline{
\mathsf{y}}
 = \underline{
\mathsf{y}}
*\underline{
\mathsf{x}}
; Equality
\rhd \underline{
\mathsf{x}}
*\underline{
\mathsf{y}}
 = \underline{
\mathsf{z}}
\gg \underline{
\mathsf{z}}
 = \underline{
\mathsf{y}}
*\underline{
\mathsf{x}}
\rceil 
, 
p_0
, 
\mathsf {c}
)
]$


$
[x=x+(y-y)
\stackrel{
stmt
}{\rightarrow}ZFsub
\vdash 
\forall \underline{
\mathsf{x}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf{y}}
\colon \underline{
\mathsf{x}}
 = \underline{
\mathsf{x}}
+\underline{
\mathsf{y}}
+-\underline{
\mathsf{y}}
]$

$
[x=x+(y-y)
\stackrel{
proof
}{\rightarrow}
\lambda 
\mathsf {c}
.
\lambda 
\mathsf{x}
.
{\cal P}( 
\lceil ZFsub
\vdash 
\forall \underline{
\mathsf{x}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf{y}}
\colon plus0
\gg \underline{
\mathsf{x}}
+0
 = \underline{
\mathsf{x}}
; Negative
\gg \underline{
\mathsf{y}}
+-\underline{
\mathsf{y}}
 = 0
; eqSymmetry
\rhd \underline{
\mathsf{y}}
+-\underline{
\mathsf{y}}
 = 0
\gg 0
 = \underline{
\mathsf{y}}
+-\underline{
\mathsf{y}}
; 
\mbox{lemma eqAdditionLeft}
\rhd 0
 = \underline{
\mathsf{y}}
+-\underline{
\mathsf{y}}
\gg \underline{
\mathsf{x}}
+0
 = \underline{
\mathsf{x}}
+\underline{
\mathsf{y}}
+-\underline{
\mathsf{y}}
; Equality
\rhd \underline{
\mathsf{x}}
+0
 = \underline{
\mathsf{x}}
\rhd \underline{
\mathsf{x}}
+0
 = \underline{
\mathsf{x}}
+\underline{
\mathsf{y}}
+-\underline{
\mathsf{y}}
\gg \underline{
\mathsf{x}}
 = \underline{
\mathsf{x}}
+\underline{
\mathsf{y}}
+-\underline{
\mathsf{y}}
\rceil 
, 
p_0
, 
\mathsf {c}
)
]$

$
[x=x+y-y
\stackrel{
stmt
}{\rightarrow}ZFsub
\vdash 
\forall \underline{
\mathsf{x}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf{y}}
\colon \underline{
\mathsf{x}}
 = \underline{
\mathsf{x}}
+\underline{
\mathsf{y}}
+-\underline{
\mathsf{y}}
]$

$
[x=x+y-y
\stackrel{
proof
}{\rightarrow}
\lambda 
\mathsf {c}
.
\lambda 
\mathsf{x}
.
{\cal P}( 
\lceil ZFsub
\vdash 
\forall \underline{
\mathsf{x}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf{y}}
\colon x=x+(y-y)
\gg \underline{
\mathsf{x}}
 = \underline{
\mathsf{x}}
+\underline{
\mathsf{y}}
+-\underline{
\mathsf{y}}
; plusAssociativity
\gg \underline{
\mathsf{x}}
+\underline{
\mathsf{y}}
+-\underline{
\mathsf{y}}
 = \underline{
\mathsf{x}}
+\underline{
\mathsf{y}}
+-\underline{
\mathsf{y}}
; eqSymmetry
\rhd \underline{
\mathsf{x}}
+\underline{
\mathsf{y}}
+-\underline{
\mathsf{y}}
 = \underline{
\mathsf{x}}
+\underline{
\mathsf{y}}
+-\underline{
\mathsf{y}}
\gg \underline{
\mathsf{x}}
+\underline{
\mathsf{y}}
+-\underline{
\mathsf{y}}
 = \underline{
\mathsf{x}}
+\underline{
\mathsf{y}}
+-\underline{
\mathsf{y}}
; eqTransitivity
\rhd \underline{
\mathsf{x}}
 = \underline{
\mathsf{x}}
+\underline{
\mathsf{y}}
+-\underline{
\mathsf{y}}
\rhd \underline{
\mathsf{x}}
+\underline{
\mathsf{y}}
+-\underline{
\mathsf{y}}
 = \underline{
\mathsf{x}}
+\underline{
\mathsf{y}}
+-\underline{
\mathsf{y}}
\gg \underline{
\mathsf{x}}
 = \underline{
\mathsf{x}}
+\underline{
\mathsf{y}}
+-\underline{
\mathsf{y}}
\rceil 
, 
p_0
, 
\mathsf {c}
)
]$

$
[ 
\stackrel{
stmt
}{\rightarrow}ZFsub
\vdash 
\forall \underline{
\mathsf{x}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf{y}}
\colon \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf{y}}
 = 0
\vdash \underline{
\mathsf{x}}
 = \underline{
\mathsf{x}}
*\underline{
\mathsf{y}}
*rec\underline{
\mathsf{y}}
]$

$
[ 
\stackrel{
proof
}{\rightarrow}
\lambda 
\mathsf {c}
.
\lambda 
\mathsf{x}
.
{\cal P}( 
\lceil ZFsub
\vdash 
\forall \underline{
\mathsf{x}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf{y}}
\colon \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf{y}}
 = 0
\vdash times1
\gg \underline{
\mathsf{x}}
*1
 = \underline{
\mathsf{x}}
; Reciprocal
\rhd \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf{y}}
 = 0
\gg \underline{
\mathsf{y}}
*rec\underline{
\mathsf{y}}
 = 1
; Three2threeFactors
\rhd \underline{
\mathsf{y}}
*rec\underline{
\mathsf{y}}
 = 1
\gg \underline{
\mathsf{x}}
*\underline{
\mathsf{y}}
*rec\underline{
\mathsf{y}}
 = \underline{
\mathsf{x}}
*1
; eqTransitivity
\rhd \underline{
\mathsf{x}}
*\underline{
\mathsf{y}}
*rec\underline{
\mathsf{y}}
 = \underline{
\mathsf{x}}
*1
\rhd \underline{
\mathsf{x}}
*1
 = \underline{
\mathsf{x}}
\gg \underline{
\mathsf{x}}
*\underline{
\mathsf{y}}
*rec\underline{
\mathsf{y}}
 = \underline{
\mathsf{x}}
; eqSymmetry
\rhd \underline{
\mathsf{x}}
*\underline{
\mathsf{y}}
*rec\underline{
\mathsf{y}}
 = \underline{
\mathsf{x}}
\gg \underline{
\mathsf{x}}
 = \underline{
\mathsf{x}}
*\underline{
\mathsf{y}}
*rec\underline{
\mathsf{y}}
\rceil 
, 
p_0
, 
\mathsf {c}
)
]$

$
[insertMiddleTerm(Sum)
\stackrel{
stmt
}{\rightarrow}ZFsub
\vdash 
\forall \underline{
\mathsf{x}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf{y}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf{z}}
\colon \underline{
\mathsf{x}}
+\underline{
\mathsf{y}}
 = \underline{
\mathsf{x}}
+-\underline{
\mathsf{z}}
+\underline{
\mathsf{z}}
+\underline{
\mathsf{y}}
]$

$
[insertMiddleTerm(Sum)
\stackrel{
proof
}{\rightarrow}
\lambda 
\mathsf {c}
.
\lambda 
\mathsf{x}
.
{\cal P}( 
\lceil ZFsub
\vdash 
\forall \underline{
\mathsf{x}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf{y}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf{z}}
\colon x=x+y-y
\gg \underline{
\mathsf{x}}
 = \underline{
\mathsf{x}}
+\underline{
\mathsf{z}}
+-\underline{
\mathsf{z}}
; Three2threeTerms
\gg \underline{
\mathsf{x}}
+\underline{
\mathsf{z}}
+-\underline{
\mathsf{z}}
 = \underline{
\mathsf{x}}
+-\underline{
\mathsf{z}}
+\underline{
\mathsf{z}}
; eqTransitivity
\rhd \underline{
\mathsf{x}}
 = \underline{
\mathsf{x}}
+\underline{
\mathsf{z}}
+-\underline{
\mathsf{z}}
\rhd \underline{
\mathsf{x}}
+\underline{
\mathsf{z}}
+-\underline{
\mathsf{z}}
 = \underline{
\mathsf{x}}
+-\underline{
\mathsf{z}}
+\underline{
\mathsf{z}}
\gg \underline{
\mathsf{x}}
 = \underline{
\mathsf{x}}
+-\underline{
\mathsf{z}}
+\underline{
\mathsf{z}}
; eqAddition
\rhd \underline{
\mathsf{x}}
 = \underline{
\mathsf{x}}
+-\underline{
\mathsf{z}}
+\underline{
\mathsf{z}}
\gg \underline{
\mathsf{x}}
+\underline{
\mathsf{y}}
 = \underline{
\mathsf{x}}
+-\underline{
\mathsf{z}}
+\underline{
\mathsf{z}}
+\underline{
\mathsf{y}}
; plusAssociativity
\gg \underline{
\mathsf{x}}
+-\underline{
\mathsf{z}}
+\underline{
\mathsf{z}}
+\underline{
\mathsf{y}}
 = \underline{
\mathsf{x}}
+-\underline{
\mathsf{z}}
+\underline{
\mathsf{z}}
+\underline{
\mathsf{y}}
; eqTransitivity
\rhd \underline{
\mathsf{x}}
+\underline{
\mathsf{y}}
 = \underline{
\mathsf{x}}
+-\underline{
\mathsf{z}}
+\underline{
\mathsf{z}}
+\underline{
\mathsf{y}}
\rhd \underline{
\mathsf{x}}
+-\underline{
\mathsf{z}}
+\underline{
\mathsf{z}}
+\underline{
\mathsf{y}}
 = \underline{
\mathsf{x}}
+-\underline{
\mathsf{z}}
+\underline{
\mathsf{z}}
+\underline{
\mathsf{y}}
\gg \underline{
\mathsf{x}}
+\underline{
\mathsf{y}}
 = \underline{
\mathsf{x}}
+-\underline{
\mathsf{z}}
+\underline{
\mathsf{z}}
+\underline{
\mathsf{y}}
\rceil 
, 
p_0
, 
\mathsf {c}
)
]$

$
[insertMiddleTerm(Difference)
\stackrel{
stmt
}{\rightarrow}ZFsub
\vdash 
\forall \underline{
\mathsf{x}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf{y}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf{z}}
\colon \underline{
\mathsf{x}}
+-\underline{
\mathsf{y}}
 = \underline{
\mathsf{x}}
+\underline{
\mathsf{z}}
+-\underline{
\mathsf{y}}
+\underline{
\mathsf{z}}
]$

$
[insertMiddleTerm(Difference)
\stackrel{
proof
}{\rightarrow}
\lambda 
\mathsf {c}
.
\lambda 
\mathsf{x}
.
{\cal P}( 
\lceil ZFsub
\vdash 
\forall \underline{
\mathsf{x}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf{y}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf{z}}
\colon insertMiddleTerm(Sum)
\gg \underline{
\mathsf{x}}
+-\underline{
\mathsf{y}}
 = \underline{
\mathsf{x}}
+--\underline{
\mathsf{z}}
+-\underline{
\mathsf{z}}
+-\underline{
\mathsf{y}}
; DoubleMinus
\gg --\underline{
\mathsf{z}}
 = \underline{
\mathsf{z}}
; 
\mbox{lemma eqAdditionLeft}
\rhd --\underline{
\mathsf{z}}
 = \underline{
\mathsf{z}}
\gg \underline{
\mathsf{x}}
+--\underline{
\mathsf{z}}
 = \underline{
\mathsf{x}}
+\underline{
\mathsf{z}}
; plusCommutativity
\gg -\underline{
\mathsf{z}}
+-\underline{
\mathsf{y}}
 = -\underline{
\mathsf{y}}
+-\underline{
\mathsf{z}}
; -x-y=-(x+y)
\gg -\underline{
\mathsf{y}}
+-\underline{
\mathsf{z}}
 = -\underline{
\mathsf{y}}
+\underline{
\mathsf{z}}
; eqTransitivity
\rhd -\underline{
\mathsf{z}}
+-\underline{
\mathsf{y}}
 = -\underline{
\mathsf{y}}
+-\underline{
\mathsf{z}}
\rhd -\underline{
\mathsf{y}}
+-\underline{
\mathsf{z}}
 = -\underline{
\mathsf{y}}
+\underline{
\mathsf{z}}
\gg -\underline{
\mathsf{z}}
+-\underline{
\mathsf{y}}
 = -\underline{
\mathsf{y}}
+\underline{
\mathsf{z}}
; AddEquations
\rhd \underline{
\mathsf{x}}
+--\underline{
\mathsf{z}}
 = \underline{
\mathsf{x}}
+\underline{
\mathsf{z}}
\rhd -\underline{
\mathsf{z}}
+-\underline{
\mathsf{y}}
 = -\underline{
\mathsf{y}}
+\underline{
\mathsf{z}}
\gg \underline{
\mathsf{x}}
+--\underline{
\mathsf{z}}
+-\underline{
\mathsf{z}}
+-\underline{
\mathsf{y}}
 = \underline{
\mathsf{x}}
+\underline{
\mathsf{z}}
+-\underline{
\mathsf{y}}
+\underline{
\mathsf{z}}
; eqTransitivity
\rhd \underline{
\mathsf{x}}
+-\underline{
\mathsf{y}}
 = \underline{
\mathsf{x}}
+--\underline{
\mathsf{z}}
+-\underline{
\mathsf{z}}
+-\underline{
\mathsf{y}}
\rhd \underline{
\mathsf{x}}
+--\underline{
\mathsf{z}}
+-\underline{
\mathsf{z}}
+-\underline{
\mathsf{y}}
 = \underline{
\mathsf{x}}
+\underline{
\mathsf{z}}
+-\underline{
\mathsf{y}}
+\underline{
\mathsf{z}}
\gg \underline{
\mathsf{x}}
+-\underline{
\mathsf{y}}
 = \underline{
\mathsf{x}}
+\underline{
\mathsf{z}}
+-\underline{
\mathsf{y}}
+\underline{
\mathsf{z}}
\rceil 
, 
p_0
, 
\mathsf {c}
)
]$







$
[x*0+x=x
\stackrel{
stmt
}{\rightarrow}ZFsub
\vdash 
\forall \underline{
\mathsf{x}}
\colon \underline{
\mathsf{x}}
*0
+\underline{
\mathsf{x}}
 = \underline{
\mathsf{x}}
]$

$
[x*0+x=x
\stackrel{
proof
}{\rightarrow}
\lambda 
\mathsf {c}
.
\lambda 
\mathsf{x}
.
{\cal P}( 
\lceil ZFsub
\vdash 
\forall \underline{
\mathsf{x}}
\colon times1
\gg \underline{
\mathsf{x}}
*1
 = \underline{
\mathsf{x}}
; eqSymmetry
\rhd \underline{
\mathsf{x}}
*1
 = \underline{
\mathsf{x}}
\gg \underline{
\mathsf{x}}
 = \underline{
\mathsf{x}}
*1
; 
\mbox{lemma eqAdditionLeft}
\rhd \underline{
\mathsf{x}}
 = \underline{
\mathsf{x}}
*1
\gg \underline{
\mathsf{x}}
*0
+\underline{
\mathsf{x}}
 = \underline{
\mathsf{x}}
*0
+\underline{
\mathsf{x}}
*1
; Distribution
\gg \underline{
\mathsf{x}}
*0
+1
 = \underline{
\mathsf{x}}
*0
+\underline{
\mathsf{x}}
*1
; eqSymmetry
\rhd \underline{
\mathsf{x}}
*0
+1
 = \underline{
\mathsf{x}}
*0
+\underline{
\mathsf{x}}
*1
\gg \underline{
\mathsf{x}}
*0
+\underline{
\mathsf{x}}
*1
 = \underline{
\mathsf{x}}
*0
+1
; plus0Left
\gg 0
+1
 = 1
; EqMultiplicationLeft
\rhd 0
+1
 = 1
\gg \underline{
\mathsf{x}}
*0
+1
 = \underline{
\mathsf{x}}
*1
; eqTransitivity5
\rhd \underline{
\mathsf{x}}
*0
+\underline{
\mathsf{x}}
 = \underline{
\mathsf{x}}
*0
+\underline{
\mathsf{x}}
*1
\rhd \underline{
\mathsf{x}}
*0
+\underline{
\mathsf{x}}
*1
 = \underline{
\mathsf{x}}
*0
+1
\rhd \underline{
\mathsf{x}}
*0
+1
 = \underline{
\mathsf{x}}
*1
\rhd \underline{
\mathsf{x}}
*1
 = \underline{
\mathsf{x}}
\gg \underline{
\mathsf{x}}
*0
+\underline{
\mathsf{x}}
 = \underline{
\mathsf{x}}
\rceil 
, 
p_0
, 
\mathsf {c}
)
]$

$
[x*0=0
\stackrel{
stmt
}{\rightarrow}ZFsub
\vdash 
\forall \underline{
\mathsf{x}}
\colon \underline{
\mathsf{x}}
*0
 = 0
]$

$
[x*0=0
\stackrel{
proof
}{\rightarrow}
\lambda 
\mathsf {c}
.
\lambda 
\mathsf{x}
.
{\cal P}( 
\lceil ZFsub
\vdash 
\forall \underline{
\mathsf{x}}
\colon x=x+(y-y)
\gg \underline{
\mathsf{x}}
*0
 = \underline{
\mathsf{x}}
*0
+\underline{
\mathsf{x}}
+-\underline{
\mathsf{x}}
; plusAssociativity
\gg \underline{
\mathsf{x}}
*0
+\underline{
\mathsf{x}}
+-\underline{
\mathsf{x}}
 = \underline{
\mathsf{x}}
*0
+\underline{
\mathsf{x}}
+-\underline{
\mathsf{x}}
; eqSymmetry
\rhd \underline{
\mathsf{x}}
*0
+\underline{
\mathsf{x}}
+-\underline{
\mathsf{x}}
 = \underline{
\mathsf{x}}
*0
+\underline{
\mathsf{x}}
+-\underline{
\mathsf{x}}
\gg \underline{
\mathsf{x}}
*0
+\underline{
\mathsf{x}}
+-\underline{
\mathsf{x}}
 = \underline{
\mathsf{x}}
*0
+\underline{
\mathsf{x}}
+-\underline{
\mathsf{x}}
; x*0+x=x
\gg \underline{
\mathsf{x}}
*0
+\underline{
\mathsf{x}}
 = \underline{
\mathsf{x}}
; eqAddition
\rhd \underline{
\mathsf{x}}
*0
+\underline{
\mathsf{x}}
 = \underline{
\mathsf{x}}
\gg \underline{
\mathsf{x}}
*0
+\underline{
\mathsf{x}}
+-\underline{
\mathsf{x}}
 = \underline{
\mathsf{x}}
+-\underline{
\mathsf{x}}
; Negative
\gg \underline{
\mathsf{x}}
+-\underline{
\mathsf{x}}
 = 0
; eqTransitivity5
\rhd \underline{
\mathsf{x}}
*0
 = \underline{
\mathsf{x}}
*0
+\underline{
\mathsf{x}}
+-\underline{
\mathsf{x}}
\rhd \underline{
\mathsf{x}}
*0
+\underline{
\mathsf{x}}
+-\underline{
\mathsf{x}}
 = \underline{
\mathsf{x}}
*0
+\underline{
\mathsf{x}}
+-\underline{
\mathsf{x}}
\rhd \underline{
\mathsf{x}}
*0
+\underline{
\mathsf{x}}
+-\underline{
\mathsf{x}}
 = \underline{
\mathsf{x}}
+-\underline{
\mathsf{x}}
\rhd \underline{
\mathsf{x}}
+-\underline{
\mathsf{x}}
 = 0
\gg \underline{
\mathsf{x}}
*0
 = 0
\rceil 
, 
p_0
, 
\mathsf {c}
)
]$

$
[(-1)*(-1)+(-1)*1=0
\stackrel{
stmt
}{\rightarrow}ZFsub
\vdash -1
*-1
+-1
*1
 = 0
]$

$
[(-1)*(-1)+(-1)*1=0
\stackrel{
proof
}{\rightarrow}
\lambda 
\mathsf {c}
.
\lambda 
\mathsf{x}
.
{\cal P}( 
\lceil ZFsub
\vdash DistributionOut
\gg -1
*-1
+-1
*1
 = -1
*-1
+1
; Negative
\gg 1
+-1
 = 0
; plusCommutativity
\gg -1
+1
 = 1
+-1
; eqTransitivity
\rhd -1
+1
 = 1
+-1
\rhd 1
+-1
 = 0
\gg -1
+1
 = 0
; EqMultiplicationLeft
\rhd -1
+1
 = 0
\gg -1
*-1
+1
 = -1
*0
; x*0=0
\gg -1
*0
 = 0
; eqTransitivity4
\rhd -1
*-1
+-1
*1
 = -1
*-1
+1
\rhd -1
*-1
+1
 = -1
*0
\rhd -1
*0
 = 0
\gg -1
*-1
+-1
*1
 = 0
\rceil 
, 
p_0
, 
\mathsf {c}
)
]$

$
[(-1)*(-1)=1
\stackrel{
stmt
}{\rightarrow}ZFsub
\vdash -1
*-1
 = 1
]$

$
[(-1)*(-1)=1
\stackrel{
proof
}{\rightarrow}
\lambda 
\mathsf {c}
.
\lambda 
\mathsf{x}
.
{\cal P}( 
\lceil ZFsub
\vdash x=x+(y-y)
\gg -1
*-1
 = -1
*-1
+1
+-1
; times1
\gg -1
*1
 = -1
; eqSymmetry
\rhd -1
*1
 = -1
\gg -1
 = -1
*1
; 
\mbox{lemma eqAdditionLeft}
\rhd -1
 = -1
*1
\gg 1
+-1
 = 1
+-1
*1
; 
\mbox{lemma eqAdditionLeft}
\rhd 1
+-1
 = 1
+-1
*1
\gg -1
*-1
+1
+-1
 = -1
*-1
+1
+-1
*1
; plusCommutativity
\gg 1
+-1
*1
 = -1
*1
+1
; 
\mbox{lemma eqAdditionLeft}
\rhd 1
+-1
*1
 = -1
*1
+1
\gg -1
*-1
+1
+-1
*1
 = -1
*-1
+-1
*1
+1
; plusAssociativity
\gg -1
*-1
+-1
*1
+1
 = -1
*-1
+-1
*1
+1
; eqSymmetry
\rhd -1
*-1
+-1
*1
+1
 = -1
*-1
+-1
*1
+1
\gg -1
*-1
+-1
*1
+1
 = -1
*-1
+-1
*1
+1
; (-1)*(-1)+(-1)*1=0
\gg -1
*-1
+-1
*1
 = 0
; eqAddition
\rhd -1
*-1
+-1
*1
 = 0
\gg -1
*-1
+-1
*1
+1
 = 0
+1
; plus0Left
\gg 0
+1
 = 1
; eqTransitivity5
\rhd -1
*-1
 = -1
*-1
+1
+-1
\rhd -1
*-1
+1
+-1
 = -1
*-1
+1
+-1
*1
\rhd -1
*-1
+1
+-1
*1
 = -1
*-1
+-1
*1
+1
\rhd -1
*-1
+-1
*1
+1
 = -1
*-1
+-1
*1
+1
\gg -1
*-1
 = -1
*-1
+-1
*1
+1
; eqTransitivity4
\rhd -1
*-1
 = -1
*-1
+-1
*1
+1
\rhd -1
*-1
+-1
*1
+1
 = 0
+1
\rhd 0
+1
 = 1
\gg -1
*-1
 = 1
\rceil 
, 
p_0
, 
\mathsf {c}
)
]$

$
[0<1Helper
\stackrel{
stmt
}{\rightarrow}ZFsub
\vdash 1
 <= 0
\Rightarrow 0
 <= 1
]$

$
[0<1Helper
\stackrel{
proof
}{\rightarrow}
\lambda 
\mathsf {c}
.
\lambda 
\mathsf{x}
.
{\cal P}( 
\lceil ZFsub
\vdash 1
 <= 0
\vdash leqAddition
\rhd 1
 <= 0
\gg 1
+-1
 <= 0
+-1
; Negative
\gg 1
+-1
 = 0
; subLeqLeft
\rhd 1
+-1
 = 0
\rhd 1
+-1
 <= 0
+-1
\gg 0
 <= 0
+-1
; plus0Left
\gg 0
+-1
 = -1
; subLeqRight
\rhd 0
+-1
 = -1
\rhd 0
 <= 0
+-1
\gg 0
 <= -1
; leqMultiplication
\rhd 0
 <= -1
\rhd 0
 <= -1
\gg 0
*-1
 <= -1
*-1
; x*0=0
\gg -1
*0
 = 0
; timesCommutativity
\gg 0
*-1
 = -1
*0
; eqTransitivity
\rhd 0
*-1
 = -1
*0
\rhd -1
*0
 = 0
\gg 0
*-1
 = 0
; subLeqLeft
\rhd 0
*-1
 = 0
\rhd 0
*-1
 <= -1
*-1
\gg 0
 <= -1
*-1
; (-1)*(-1)=1
\gg -1
*-1
 = 1
; subLeqRight
\rhd -1
*-1
 = 1
\rhd 0
 <= -1
*-1
\gg 0
 <= 1
; Ded
\rhd 1
 <= 0
\vdash 0
 <= 1
\gg 1
 <= 0
\Rightarrow 0
 <= 1
\rceil 
, 
p_0
, 
\mathsf {c}
)
]$

$
[0<1
\stackrel{
stmt
}{\rightarrow}ZFsub
\vdash \dot{\neg}\, 0
 <= 1
\Rightarrow \dot{\neg}\, \dot{\neg}\, 0
 = 1
]$

$
[0<1
\stackrel{
proof
}{\rightarrow}
\lambda 
\mathsf {c}
.
\lambda 
\mathsf{x}
.
{\cal P}( 
\lceil ZFsub
\vdash leqTotality
\gg \dot{\neg}\, 0
 <= 1
\Rightarrow 1
 <= 0
; AutoImply
\gg 0
 <= 1
\Rightarrow 0
 <= 1
; 0<1Helper
\gg 1
 <= 0
\Rightarrow 0
 <= 1
; FromDisjuncts
\rhd \dot{\neg}\, 0
 <= 1
\Rightarrow 1
 <= 0
\rhd 0
 <= 1
\Rightarrow 0
 <= 1
\rhd 1
 <= 0
\Rightarrow 0
 <= 1
\gg 0
 <= 1
; 0not1
\gg \dot{\neg}\, 0
 = 1
; JoinConjuncts
\rhd 0
 <= 1
\rhd \dot{\neg}\, 0
 = 1
\gg \dot{\neg}\, 0
 <= 1
\Rightarrow \dot{\neg}\, \dot{\neg}\, 0
 = 1
\rceil 
, 
p_0
, 
\mathsf {c}
)
]$

$
[0<2
\stackrel{
stmt
}{\rightarrow}ZFsub
\vdash \dot{\neg}\, 0
 <= 1
+1
\Rightarrow \dot{\neg}\, \dot{\neg}\, 0
 = 1
+1
]$

$
[0<2
\stackrel{
proof
}{\rightarrow}
\lambda 
\mathsf {c}
.
\lambda 
\mathsf{x}
.
{\cal P}( 
\lceil ZFsub
\vdash 0<1
\gg \dot{\neg}\, 0
 <= 1
\Rightarrow \dot{\neg}\, \dot{\neg}\, 0
 = 1
; LessAddition
\rhd \dot{\neg}\, 0
 <= 1
\Rightarrow \dot{\neg}\, \dot{\neg}\, 0
 = 1
\gg \dot{\neg}\, 0
+1
 <= 1
+1
\Rightarrow \dot{\neg}\, \dot{\neg}\, 0
+1
 = 1
+1
; plus0Left
\gg 0
+1
 = 1
; SubLessLeft
\rhd 0
+1
 = 1
\rhd \dot{\neg}\, 0
+1
 <= 1
+1
\Rightarrow \dot{\neg}\, \dot{\neg}\, 0
+1
 = 1
+1
\gg \dot{\neg}\, 1
 <= 1
+1
\Rightarrow \dot{\neg}\, \dot{\neg}\, 1
 = 1
+1
; LessTransitivity
\rhd \dot{\neg}\, 0
 <= 1
\Rightarrow \dot{\neg}\, \dot{\neg}\, 0
 = 1
\rhd \dot{\neg}\, 1
 <= 1
+1
\Rightarrow \dot{\neg}\, \dot{\neg}\, 1
 = 1
+1
\gg \dot{\neg}\, 0
 <= 1
+1
\Rightarrow \dot{\neg}\, \dot{\neg}\, 0
 = 1
+1
\rceil 
, 
p_0
, 
\mathsf {c}
)
]$



$
[0<1/2
\stackrel{
stmt
}{\rightarrow}ZFsub
\vdash \dot{\neg}\, 0
 <= rec1
+1
\Rightarrow \dot{\neg}\, \dot{\neg}\, 0
 = rec1
+1
]$

$
[0<1/2
\stackrel{
proof
}{\rightarrow}
\lambda 
\mathsf {c}
.
\lambda 
\mathsf{x}
.
{\cal P}( 
\lceil ZFsub
\vdash 0<2
\gg \dot{\neg}\, 0
 <= 1
+1
\Rightarrow \dot{\neg}\, \dot{\neg}\, 0
 = 1
+1
; FirstConjunct
\rhd \dot{\neg}\, 0
 <= 1
+1
\Rightarrow \dot{\neg}\, \dot{\neg}\, 0
 = 1
+1
\gg 0
 <= 1
+1
; SecondConjunct
\rhd \dot{\neg}\, 0
 <= 1
+1
\Rightarrow \dot{\neg}\, \dot{\neg}\, 0
 = 1
+1
\gg \dot{\neg}\, 0
 = 1
+1
; NeqSymmetry
\rhd \dot{\neg}\, 0
 = 1
+1
\gg \dot{\neg}\, 1
+1
 = 0
; 0<1
\gg \dot{\neg}\, 0
 <= 1
\Rightarrow \dot{\neg}\, \dot{\neg}\, 0
 = 1
; x*0=0
\gg 1
+1
*0
 = 0
; x*y=zBackwards
\rhd 1
+1
*0
 = 0
\gg 0
 = 0
*1
+1
; SubLessLeft
\rhd 0
 = 0
*1
+1
\rhd \dot{\neg}\, 0
 <= 1
\Rightarrow \dot{\neg}\, \dot{\neg}\, 0
 = 1
\gg \dot{\neg}\, 0
*1
+1
 <= 1
\Rightarrow \dot{\neg}\, \dot{\neg}\, 0
*1
+1
 = 1
; Reciprocal
\rhd \dot{\neg}\, 1
+1
 = 0
\gg 1
+1
*rec1
+1
 = 1
; x*y=zBackwards
\rhd 1
+1
*rec1
+1
 = 1
\gg 1
 = rec1
+1
*1
+1
; SubLessRight
\rhd 1
 = rec1
+1
*1
+1
\rhd \dot{\neg}\, 0
*1
+1
 <= 1
\Rightarrow \dot{\neg}\, \dot{\neg}\, 0
*1
+1
 = 1
\gg \dot{\neg}\, 0
*1
+1
 <= rec1
+1
*1
+1
\Rightarrow \dot{\neg}\, \dot{\neg}\, 0
*1
+1
 = rec1
+1
*1
+1
; LessDivision
\rhd 0
 <= 1
+1
\rhd \dot{\neg}\, 0
*1
+1
 <= rec1
+1
*1
+1
\Rightarrow \dot{\neg}\, \dot{\neg}\, 0
*1
+1
 = rec1
+1
*1
+1
\gg \dot{\neg}\, 0
 <= rec1
+1
\Rightarrow \dot{\neg}\, \dot{\neg}\, 0
 = rec1
+1
\rceil 
, 
p_0
, 
\mathsf {c}
)
]$

$
[TwoWholes
\stackrel{
stmt
}{\rightarrow}ZFsub
\vdash 
\forall \underline{
\mathsf{x}}
\colon \underline{
\mathsf{x}}
+\underline{
\mathsf{x}}
 = 1
+1
*\underline{
\mathsf{x}}
]$


$
[TwoWholes
\stackrel{
proof
}{\rightarrow}
\lambda 
\mathsf {c}
.
\lambda 
\mathsf{x}
.
{\cal P}( 
\lceil ZFsub
\vdash 
\forall \underline{
\mathsf{x}}
\colon times1
\gg \underline{
\mathsf{x}}
*1
 = \underline{
\mathsf{x}}
; eqSymmetry
\gg \underline{
\mathsf{x}}
 = \underline{
\mathsf{x}}
*1
; 
\mbox{lemma eqAdditionLeft}
\rhd \underline{
\mathsf{x}}
 = \underline{
\mathsf{x}}
*1
\gg \underline{
\mathsf{x}}
+\underline{
\mathsf{x}}
 = \underline{
\mathsf{x}}
+\underline{
\mathsf{x}}
*1
; eqAddition
\rhd \underline{
\mathsf{x}}
 = \underline{
\mathsf{x}}
*1
\gg \underline{
\mathsf{x}}
+\underline{
\mathsf{x}}
*1
 = \underline{
\mathsf{x}}
*1
+\underline{
\mathsf{x}}
*1
; eqTransitivity
\rhd \underline{
\mathsf{x}}
+\underline{
\mathsf{x}}
 = \underline{
\mathsf{x}}
+\underline{
\mathsf{x}}
*1
\rhd \underline{
\mathsf{x}}
+\underline{
\mathsf{x}}
*1
 = \underline{
\mathsf{x}}
*1
+\underline{
\mathsf{x}}
*1
\gg \underline{
\mathsf{x}}
+\underline{
\mathsf{x}}
 = \underline{
\mathsf{x}}
*1
+\underline{
\mathsf{x}}
*1
; DistributionOut
\gg \underline{
\mathsf{x}}
*1
+\underline{
\mathsf{x}}
*1
 = \underline{
\mathsf{x}}
*1
+1
; Repetition
\rhd \underline{
\mathsf{x}}
*1
+\underline{
\mathsf{x}}
*1
 = \underline{
\mathsf{x}}
*1
+1
\gg \underline{
\mathsf{x}}
*1
+\underline{
\mathsf{x}}
*1
 = \underline{
\mathsf{x}}
*1
+1
; timesCommutativity
\gg \underline{
\mathsf{x}}
*1
+1
 = 1
+1
*\underline{
\mathsf{x}}
; eqTransitivity4
\rhd \underline{
\mathsf{x}}
+\underline{
\mathsf{x}}
 = \underline{
\mathsf{x}}
*1
+\underline{
\mathsf{x}}
*1
\rhd \underline{
\mathsf{x}}
*1
+\underline{
\mathsf{x}}
*1
 = \underline{
\mathsf{x}}
*1
+1
\rhd \underline{
\mathsf{x}}
*1
+1
 = 1
+1
*\underline{
\mathsf{x}}
\gg \underline{
\mathsf{x}}
+\underline{
\mathsf{x}}
 = 1
+1
*\underline{
\mathsf{x}}
\rceil 
, 
p_0
, 
\mathsf {c}
)
]$


$
[TwoHalves
\stackrel{
stmt
}{\rightarrow}ZFsub
\vdash 
\forall \underline{
\mathsf{x}}
\colon rec1
+1
*\underline{
\mathsf{x}}
+rec1
+1
*\underline{
\mathsf{x}}
 = \underline{
\mathsf{x}}
]$

$
[TwoHalves
\stackrel{
proof
}{\rightarrow}
\lambda 
\mathsf {c}
.
\lambda 
\mathsf{x}
.
{\cal P}( 
\lceil ZFsub
\vdash 
\forall \underline{
\mathsf{x}}
\colon 0<2
\gg \dot{\neg}\, 0
 <= 1
+1
\Rightarrow \dot{\neg}\, \dot{\neg}\, 0
 = 1
+1
; LessNeq
\rhd \dot{\neg}\, 0
 <= 1
+1
\Rightarrow \dot{\neg}\, \dot{\neg}\, 0
 = 1
+1
\gg \dot{\neg}\, 0
 = 1
+1
; NeqSymmetry
\rhd \dot{\neg}\, 0
 = 1
+1
\gg \dot{\neg}\, 1
+1
 = 0
; TwoWholes
\gg rec1
+1
*\underline{
\mathsf{x}}
+rec1
+1
*\underline{
\mathsf{x}}
 = 1
+1
*rec1
+1
*\underline{
\mathsf{x}}
; timesAssociativity
\gg 1
+1
*rec1
+1
*\underline{
\mathsf{x}}
 = 1
+1
*rec1
+1
*\underline{
\mathsf{x}}
; eqSymmetry
\rhd 1
+1
*rec1
+1
*\underline{
\mathsf{x}}
 = 1
+1
*rec1
+1
*\underline{
\mathsf{x}}
\gg 1
+1
*rec1
+1
*\underline{
\mathsf{x}}
 = 1
+1
*rec1
+1
*\underline{
\mathsf{x}}
; Reciprocal
\rhd \dot{\neg}\, 1
+1
 = 0
\gg 1
+1
*rec1
+1
 = 1
; eqMultiplication
\rhd 1
+1
*rec1
+1
 = 1
\gg 1
+1
*rec1
+1
*\underline{
\mathsf{x}}
 = 1
*\underline{
\mathsf{x}}
; times1Left
\gg 1
*\underline{
\mathsf{x}}
 = \underline{
\mathsf{x}}
; eqTransitivity5
\rhd rec1
+1
*\underline{
\mathsf{x}}
+rec1
+1
*\underline{
\mathsf{x}}
 = 1
+1
*rec1
+1
*\underline{
\mathsf{x}}
\rhd 1
+1
*rec1
+1
*\underline{
\mathsf{x}}
 = 1
+1
*rec1
+1
*\underline{
\mathsf{x}}
\rhd 1
+1
*rec1
+1
*\underline{
\mathsf{x}}
 = 1
*\underline{
\mathsf{x}}
\rhd 1
*\underline{
\mathsf{x}}
 = \underline{
\mathsf{x}}
\gg rec1
+1
*\underline{
\mathsf{x}}
+rec1
+1
*\underline{
\mathsf{x}}
 = \underline{
\mathsf{x}}
\rceil 
, 
p_0
, 
\mathsf {c}
)
]$


$
[Times(-1)
\stackrel{
stmt
}{\rightarrow}ZFsub
\vdash 
\forall \underline{
\mathsf{x}}
\colon \underline{
\mathsf{x}}
*-1
 = -\underline{
\mathsf{x}}
]
[Times(-1)
\stackrel{
proof
}{\rightarrow}
Rule\ tactic
]$

$
[Times(-1)
\stackrel{
proof
}{\rightarrow}
\lambda 
\mathsf {c}
.
\lambda 
\mathsf{x}
.
{\cal P}( 
\lceil ZFsub
\vdash 
\forall \underline{
\mathsf{x}}
\colon Negative
\gg 1
+-1
 = 0
; plusCommutativity
\gg -1
+1
 = 1
+-1
; eqTransitivity
\rhd -1
+1
 = 1
+-1
\rhd 1
+-1
 = 0
\gg -1
+1
 = 0
; EqMultiplicationLeft
\rhd -1
+1
 = 0
\gg \underline{
\mathsf{x}}
*-1
+1
 = \underline{
\mathsf{x}}
*0
; x*0=0
\gg \underline{
\mathsf{x}}
*0
 = 0
; eqTransitivity
\rhd \underline{
\mathsf{x}}
*-1
+1
 = \underline{
\mathsf{x}}
*0
\rhd \underline{
\mathsf{x}}
*0
 = 0
\gg \underline{
\mathsf{x}}
*-1
+1
 = 0
; Distribution
\gg \underline{
\mathsf{x}}
*-1
+1
 = \underline{
\mathsf{x}}
*-1
+\underline{
\mathsf{x}}
*1
; eqSymmetry
\rhd \underline{
\mathsf{x}}
*-1
+1
 = \underline{
\mathsf{x}}
*-1
+\underline{
\mathsf{x}}
*1
\gg \underline{
\mathsf{x}}
*-1
+\underline{
\mathsf{x}}
*1
 = \underline{
\mathsf{x}}
*-1
+1
; eqTransitivity
\rhd \underline{
\mathsf{x}}
*-1
+\underline{
\mathsf{x}}
*1
 = \underline{
\mathsf{x}}
*-1
+1
\rhd \underline{
\mathsf{x}}
*-1
+1
 = 0
\gg \underline{
\mathsf{x}}
*-1
+\underline{
\mathsf{x}}
*1
 = 0
; PositiveToRight(Eq)
\rhd \underline{
\mathsf{x}}
*-1
+\underline{
\mathsf{x}}
*1
 = 0
\gg \underline{
\mathsf{x}}
*-1
 = 0
+-\underline{
\mathsf{x}}
*1
; plus0Left
\gg 0
+-\underline{
\mathsf{x}}
*1
 = -\underline{
\mathsf{x}}
*1
; eqTransitivity
\rhd \underline{
\mathsf{x}}
*-1
 = 0
+-\underline{
\mathsf{x}}
*1
\rhd 0
+-\underline{
\mathsf{x}}
*1
 = -\underline{
\mathsf{x}}
*1
\gg \underline{
\mathsf{x}}
*-1
 = -\underline{
\mathsf{x}}
*1
; times1
\gg \underline{
\mathsf{x}}
*1
 = \underline{
\mathsf{x}}
; EqNegated
\rhd \underline{
\mathsf{x}}
*1
 = \underline{
\mathsf{x}}
\gg -\underline{
\mathsf{x}}
*1
 = -\underline{
\mathsf{x}}
; eqTransitivity
\rhd \underline{
\mathsf{x}}
*-1
 = -\underline{
\mathsf{x}}
*1
\rhd -\underline{
\mathsf{x}}
*1
 = -\underline{
\mathsf{x}}
\gg \underline{
\mathsf{x}}
*-1
 = -\underline{
\mathsf{x}}
\rceil 
, 
p_0
, 
\mathsf {c}
)
]$

$
[Times(-1)Left
\stackrel{
stmt
}{\rightarrow}ZFsub
\vdash 
\forall \underline{
\mathsf{x}}
\colon -1
*\underline{
\mathsf{x}}
 = -\underline{
\mathsf{x}}
]$

$
[Times(-1)Left
\stackrel{
proof
}{\rightarrow}
\lambda 
\mathsf {c}
.
\lambda 
\mathsf{x}
.
{\cal P}( 
\lceil ZFsub
\vdash 
\forall \underline{
\mathsf{x}}
\colon Times(-1)
\gg \underline{
\mathsf{x}}
*-1
 = -\underline{
\mathsf{x}}
; timesCommutativity
\gg -1
*\underline{
\mathsf{x}}
 = \underline{
\mathsf{x}}
*-1
; eqTransitivity
\rhd -1
*\underline{
\mathsf{x}}
 = \underline{
\mathsf{x}}
*-1
\rhd \underline{
\mathsf{x}}
*-1
 = -\underline{
\mathsf{x}}
\gg -1
*\underline{
\mathsf{x}}
 = -\underline{
\mathsf{x}}
\rceil 
, 
p_0
, 
\mathsf {c}
)
]$

$
[-x-y=-(x+y)
\stackrel{
stmt
}{\rightarrow}ZFsub
\vdash 
\forall \underline{
\mathsf{x}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf{y}}
\colon -\underline{
\mathsf{x}}
+-\underline{
\mathsf{y}}
 = -\underline{
\mathsf{x}}
+\underline{
\mathsf{y}}
]$

$
[-x-y=-(x+y)
\stackrel{
proof
}{\rightarrow}
\lambda 
\mathsf {c}
.
\lambda 
\mathsf{x}
.
{\cal P}( 
\lceil ZFsub
\vdash 
\forall \underline{
\mathsf{x}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf{y}}
\colon Times(-1)Left
\gg -1
*\underline{
\mathsf{x}}
 = -\underline{
\mathsf{x}}
; Times(-1)Left
\gg -1
*\underline{
\mathsf{y}}
 = -\underline{
\mathsf{y}}
; AddEquations
\rhd -1
*\underline{
\mathsf{x}}
 = -\underline{
\mathsf{x}}
\rhd -1
*\underline{
\mathsf{y}}
 = -\underline{
\mathsf{y}}
\gg -1
*\underline{
\mathsf{x}}
+-1
*\underline{
\mathsf{y}}
 = -\underline{
\mathsf{x}}
+-\underline{
\mathsf{y}}
; eqSymmetry
\rhd -1
*\underline{
\mathsf{x}}
+-1
*\underline{
\mathsf{y}}
 = -\underline{
\mathsf{x}}
+-\underline{
\mathsf{y}}
\gg -\underline{
\mathsf{x}}
+-\underline{
\mathsf{y}}
 = -1
*\underline{
\mathsf{x}}
+-1
*\underline{
\mathsf{y}}
; DistributionOut
\gg -1
*\underline{
\mathsf{x}}
+-1
*\underline{
\mathsf{y}}
 = -1
*\underline{
\mathsf{x}}
+\underline{
\mathsf{y}}
; Times(-1)Left
\gg -1
*\underline{
\mathsf{x}}
+\underline{
\mathsf{y}}
 = -\underline{
\mathsf{x}}
+\underline{
\mathsf{y}}
; eqTransitivity4
\rhd -\underline{
\mathsf{x}}
+-\underline{
\mathsf{y}}
 = -1
*\underline{
\mathsf{x}}
+-1
*\underline{
\mathsf{y}}
\rhd -1
*\underline{
\mathsf{x}}
+-1
*\underline{
\mathsf{y}}
 = -1
*\underline{
\mathsf{x}}
+\underline{
\mathsf{y}}
\rhd -1
*\underline{
\mathsf{x}}
+\underline{
\mathsf{y}}
 = -\underline{
\mathsf{x}}
+\underline{
\mathsf{y}}
\gg -\underline{
\mathsf{x}}
+-\underline{
\mathsf{y}}
 = -\underline{
\mathsf{x}}
+\underline{
\mathsf{y}}
\rceil 
, 
p_0
, 
\mathsf {c}
)
]$

$
[MinusNegated
\stackrel{
stmt
}{\rightarrow}ZFsub
\vdash 
\forall \underline{
\mathsf{x}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf{y}}
\colon -\underline{
\mathsf{x}}
+-\underline{
\mathsf{y}}
 = \underline{
\mathsf{y}}
+-\underline{
\mathsf{x}}
]$

$
[MinusNegated
\stackrel{
proof
}{\rightarrow}
\lambda 
\mathsf {c}
.
\lambda 
\mathsf{x}
.
{\cal P}( 
\lceil ZFsub
\vdash 
\forall \underline{
\mathsf{x}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf{y}}
\colon DoubleMinus
\gg --\underline{
\mathsf{y}}
 = \underline{
\mathsf{y}}
; eqAddition
\rhd --\underline{
\mathsf{y}}
 = \underline{
\mathsf{y}}
\gg --\underline{
\mathsf{y}}
+-\underline{
\mathsf{x}}
 = \underline{
\mathsf{y}}
+-\underline{
\mathsf{x}}
; eqSymmetry
\rhd --\underline{
\mathsf{y}}
+-\underline{
\mathsf{x}}
 = \underline{
\mathsf{y}}
+-\underline{
\mathsf{x}}
\gg \underline{
\mathsf{y}}
+-\underline{
\mathsf{x}}
 = --\underline{
\mathsf{y}}
+-\underline{
\mathsf{x}}
; -x-y=-(x+y)
\gg --\underline{
\mathsf{y}}
+-\underline{
\mathsf{x}}
 = --\underline{
\mathsf{y}}
+\underline{
\mathsf{x}}
; plusCommutativity
\gg -\underline{
\mathsf{y}}
+\underline{
\mathsf{x}}
 = \underline{
\mathsf{x}}
+-\underline{
\mathsf{y}}
; EqNegated
\rhd -\underline{
\mathsf{y}}
+\underline{
\mathsf{x}}
 = \underline{
\mathsf{x}}
+-\underline{
\mathsf{y}}
\gg --\underline{
\mathsf{y}}
+\underline{
\mathsf{x}}
 = -\underline{
\mathsf{x}}
+-\underline{
\mathsf{y}}
; eqTransitivity4
\rhd \underline{
\mathsf{y}}
+-\underline{
\mathsf{x}}
 = --\underline{
\mathsf{y}}
+-\underline{
\mathsf{x}}
\rhd --\underline{
\mathsf{y}}
+-\underline{
\mathsf{x}}
 = --\underline{
\mathsf{y}}
+\underline{
\mathsf{x}}
\rhd --\underline{
\mathsf{y}}
+\underline{
\mathsf{x}}
 = -\underline{
\mathsf{x}}
+-\underline{
\mathsf{y}}
\gg \underline{
\mathsf{y}}
+-\underline{
\mathsf{x}}
 = -\underline{
\mathsf{x}}
+-\underline{
\mathsf{y}}
; eqSymmetry
\rhd \underline{
\mathsf{y}}
+-\underline{
\mathsf{x}}
 = -\underline{
\mathsf{x}}
+-\underline{
\mathsf{y}}
\gg -\underline{
\mathsf{x}}
+-\underline{
\mathsf{y}}
 = \underline{
\mathsf{y}}
+-\underline{
\mathsf{x}}
\rceil 
, 
p_0
, 
\mathsf {c}
)
]$



$
[-0=0
\stackrel{
stmt
}{\rightarrow}ZFsub
\vdash -0
 = 0
]$

$
[-0=0
\stackrel{
proof
}{\rightarrow}
\lambda 
\mathsf {c}
.
\lambda 
\mathsf{x}
.
{\cal P}( 
\lceil ZFsub
\vdash Negative
\gg 0
+-0
 = 0
; plus0
\gg 0
+0
 = 0
; UniqueNegative
\rhd 0
+-0
 = 0
\rhd 0
+0
 = 0
\gg -0
 = 0
\rceil 
, 
p_0
, 
\mathsf {c}
)
]$

(*** LEQ, nummer 2 af 2 ***)

$
[negativeToLeft(Leq)
\stackrel{
stmt
}{\rightarrow}ZFsub
\vdash 
\forall \underline{
\mathsf{x}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf{y}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf{z}}
\colon \underline{
\mathsf{x}}
 <= \underline{
\mathsf{y}}
+-\underline{
\mathsf{z}}
\vdash \underline{
\mathsf{x}}
+\underline{
\mathsf{z}}
 <= \underline{
\mathsf{y}}
]$

$
[negativeToLeft(Leq)
\stackrel{
proof
}{\rightarrow}
\lambda 
\mathsf {c}
.
\lambda 
\mathsf{x}
.
{\cal P}( 
\lceil ZFsub
\vdash 
\forall \underline{
\mathsf{x}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf{y}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf{z}}
\colon \underline{
\mathsf{x}}
 <= \underline{
\mathsf{y}}
+-\underline{
\mathsf{z}}
\vdash leqAddition
\rhd \underline{
\mathsf{x}}
 <= \underline{
\mathsf{y}}
+-\underline{
\mathsf{z}}
\gg \underline{
\mathsf{x}}
+\underline{
\mathsf{z}}
 <= \underline{
\mathsf{y}}
+-\underline{
\mathsf{z}}
+\underline{
\mathsf{z}}
; x=x+y-y
\gg \underline{
\mathsf{y}}
 = \underline{
\mathsf{y}}
+\underline{
\mathsf{z}}
+-\underline{
\mathsf{z}}
; Three2threeTerms
\gg \underline{
\mathsf{y}}
+\underline{
\mathsf{z}}
+-\underline{
\mathsf{z}}
 = \underline{
\mathsf{y}}
+-\underline{
\mathsf{z}}
+\underline{
\mathsf{z}}
; eqTransitivity
\rhd \underline{
\mathsf{y}}
 = \underline{
\mathsf{y}}
+\underline{
\mathsf{z}}
+-\underline{
\mathsf{z}}
\rhd \underline{
\mathsf{y}}
+\underline{
\mathsf{z}}
+-\underline{
\mathsf{z}}
 = \underline{
\mathsf{y}}
+-\underline{
\mathsf{z}}
+\underline{
\mathsf{z}}
\gg \underline{
\mathsf{y}}
 = \underline{
\mathsf{y}}
+-\underline{
\mathsf{z}}
+\underline{
\mathsf{z}}
; eqSymmetry
\rhd \underline{
\mathsf{y}}
 = \underline{
\mathsf{y}}
+-\underline{
\mathsf{z}}
+\underline{
\mathsf{z}}
\gg \underline{
\mathsf{y}}
+-\underline{
\mathsf{z}}
+\underline{
\mathsf{z}}
 = \underline{
\mathsf{y}}
; subLeqRight
\rhd \underline{
\mathsf{y}}
+-\underline{
\mathsf{z}}
+\underline{
\mathsf{z}}
 = \underline{
\mathsf{y}}
\rhd \underline{
\mathsf{x}}
+\underline{
\mathsf{z}}
 <= \underline{
\mathsf{y}}
+-\underline{
\mathsf{z}}
+\underline{
\mathsf{z}}
\gg \underline{
\mathsf{x}}
+\underline{
\mathsf{z}}
 <= \underline{
\mathsf{y}}
\rceil 
, 
p_0
, 
\mathsf {c}
)
]$

(*** SAME-F ***)

$
[SFsymmetry
\stackrel{
stmt
}{\rightarrow}ZFsub
\vdash 
\forall \underline{(\epsilon)}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf {m}}
\colon 
\forall \underline{(fx)}
\colon 
\forall \underline{(fy)}
\colon SF(\underline{(fx)}
,\underline{(fy)}
)
\vdash SF(\underline{(fy)}
,\underline{(fx)}
)
]$

$
[SFsymmetry
\stackrel{
proof
}{\rightarrow}
\lambda 
\mathsf {c}
.
\lambda 
\mathsf{x}
.
{\cal P}( 
\lceil ZFsub
\vdash 
\forall \underline{(\epsilon)}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf {m}}
\colon 
\forall \underline{(fx)}
\colon 
\forall \underline{(fy)}
\colon SF(\underline{(fx)}
,\underline{(fy)}
)
\vdash \dot{\neg}\, 0
 <= \underline{(\epsilon)}
\Rightarrow \dot{\neg}\, \dot{\neg}\, 0
 = \underline{(\epsilon)}
\vdash 
\mathsf {c}
 _{Ex}
 <= \underline{
\mathsf {m}}
\vdash FromSF
\rhd SF(\underline{(fx)}
,\underline{(fy)}
)
\rhd \dot{\neg}\, 0
 <= \underline{(\epsilon)}
\Rightarrow \dot{\neg}\, \dot{\neg}\, 0
 = \underline{(\epsilon)}
\gg 
\mathsf {c}
 _{Ex}
 <= \underline{
\mathsf {m}}
\Rightarrow \dot{\neg}\, if(0
 <= \underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
+-\underline{(fy)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
,\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
+-\underline{(fy)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
,-\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
+-\underline{(fy)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
)
 <= \underline{(\epsilon)}
\Rightarrow \dot{\neg}\, \dot{\neg}\, if(0
 <= \underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
+-\underline{(fy)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
,\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
+-\underline{(fy)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
,-\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
+-\underline{(fy)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
)
 = \underline{(\epsilon)}
; MP
\rhd 
\mathsf {c}
 _{Ex}
 <= \underline{
\mathsf {m}}
\Rightarrow \dot{\neg}\, if(0
 <= \underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
+-\underline{(fy)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
,\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
+-\underline{(fy)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
,-\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
+-\underline{(fy)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
)
 <= \underline{(\epsilon)}
\Rightarrow \dot{\neg}\, \dot{\neg}\, if(0
 <= \underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
+-\underline{(fy)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
,\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
+-\underline{(fy)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
,-\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
+-\underline{(fy)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
)
 = \underline{(\epsilon)}
\rhd 
\mathsf {c}
 _{Ex}
 <= \underline{
\mathsf {m}}
\gg \dot{\neg}\, if(0
 <= \underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
+-\underline{(fy)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
,\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
+-\underline{(fy)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
,-\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
+-\underline{(fy)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
)
 <= \underline{(\epsilon)}
\Rightarrow \dot{\neg}\, \dot{\neg}\, if(0
 <= \underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
+-\underline{(fy)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
,\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
+-\underline{(fy)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
,-\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
+-\underline{(fy)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
)
 = \underline{(\epsilon)}
; NumericalDifference
\gg if(0
 <= \underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
+-\underline{(fy)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
,\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
+-\underline{(fy)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
,-\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
+-\underline{(fy)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
)
 = if(0
 <= \underline{(fy)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
+-\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
,\underline{(fy)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
+-\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
,-\underline{(fy)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
+-\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
)
; SubLessLeft
\rhd if(0
 <= \underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
+-\underline{(fy)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
,\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
+-\underline{(fy)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
,-\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
+-\underline{(fy)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
)
 = if(0
 <= \underline{(fy)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
+-\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
,\underline{(fy)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
+-\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
,-\underline{(fy)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
+-\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
)
\rhd \dot{\neg}\, if(0
 <= \underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
+-\underline{(fy)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
,\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
+-\underline{(fy)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
,-\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
+-\underline{(fy)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
)
 <= \underline{(\epsilon)}
\Rightarrow \dot{\neg}\, \dot{\neg}\, if(0
 <= \underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
+-\underline{(fy)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
,\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
+-\underline{(fy)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
,-\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
+-\underline{(fy)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
)
 = \underline{(\epsilon)}
\gg \dot{\neg}\, if(0
 <= \underline{(fy)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
+-\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
,\underline{(fy)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
+-\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
,-\underline{(fy)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
+-\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
)
 <= \underline{(\epsilon)}
\Rightarrow \dot{\neg}\, \dot{\neg}\, if(0
 <= \underline{(fy)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
+-\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
,\underline{(fy)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
+-\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
,-\underline{(fy)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
+-\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
)
 = \underline{(\epsilon)}
; 
\forall \underline{(\epsilon)}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf {m}}
\colon 
\forall \underline{(fx)}
\colon 
\forall \underline{(fy)}
\colon Ded
\rhd 
\forall \underline{(\epsilon)}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf {m}}
\colon 
\forall \underline{(fx)}
\colon 
\forall \underline{(fy)}
\colon SF(\underline{(fx)}
,\underline{(fy)}
)
\vdash \dot{\neg}\, 0
 <= \underline{(\epsilon)}
\Rightarrow \dot{\neg}\, \dot{\neg}\, 0
 = \underline{(\epsilon)}
\vdash 
\mathsf {c}
 _{Ex}
 <= \underline{
\mathsf {m}}
\vdash \dot{\neg}\, if(0
 <= \underline{(fy)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
+-\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
,\underline{(fy)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
+-\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
,-\underline{(fy)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
+-\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
)
 <= \underline{(\epsilon)}
\Rightarrow \dot{\neg}\, \dot{\neg}\, if(0
 <= \underline{(fy)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
+-\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
,\underline{(fy)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
+-\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
,-\underline{(fy)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
+-\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
)
 = \underline{(\epsilon)}
\gg SF(\underline{(fx)}
,\underline{(fy)}
)
\Rightarrow \dot{\neg}\, 0
 <= \underline{(\epsilon)}
\Rightarrow \dot{\neg}\, \dot{\neg}\, 0
 = \underline{(\epsilon)}
\Rightarrow 
\mathsf {c}
 _{Ex}
 <= \underline{
\mathsf {m}}
\Rightarrow \dot{\neg}\, if(0
 <= \underline{(fy)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
+-\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
,\underline{(fy)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
+-\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
,-\underline{(fy)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
+-\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
)
 <= \underline{(\epsilon)}
\Rightarrow \dot{\neg}\, \dot{\neg}\, if(0
 <= \underline{(fy)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
+-\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
,\underline{(fy)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
+-\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
,-\underline{(fy)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
+-\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
)
 = \underline{(\epsilon)}
; SF(\underline{(fx)}
,\underline{(fy)}
)
\vdash MP
\rhd SF(\underline{(fx)}
,\underline{(fy)}
)
\Rightarrow \dot{\neg}\, 0
 <= \underline{(\epsilon)}
\Rightarrow \dot{\neg}\, \dot{\neg}\, 0
 = \underline{(\epsilon)}
\Rightarrow 
\mathsf {c}
 _{Ex}
 <= \underline{
\mathsf {m}}
\Rightarrow \dot{\neg}\, if(0
 <= \underline{(fy)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
+-\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
,\underline{(fy)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
+-\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
,-\underline{(fy)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
+-\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
)
 <= \underline{(\epsilon)}
\Rightarrow \dot{\neg}\, \dot{\neg}\, if(0
 <= \underline{(fy)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
+-\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
,\underline{(fy)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
+-\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
,-\underline{(fy)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
+-\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
)
 = \underline{(\epsilon)}
\rhd SF(\underline{(fx)}
,\underline{(fy)}
)
\gg \dot{\neg}\, 0
 <= \underline{(\epsilon)}
\Rightarrow \dot{\neg}\, \dot{\neg}\, 0
 = \underline{(\epsilon)}
\Rightarrow 
\mathsf {c}
 _{Ex}
 <= \underline{
\mathsf {m}}
\Rightarrow \dot{\neg}\, if(0
 <= \underline{(fy)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
+-\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
,\underline{(fy)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
+-\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
,-\underline{(fy)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
+-\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
)
 <= \underline{(\epsilon)}
\Rightarrow \dot{\neg}\, \dot{\neg}\, if(0
 <= \underline{(fy)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
+-\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
,\underline{(fy)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
+-\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
,-\underline{(fy)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
+-\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
)
 = \underline{(\epsilon)}
; ToSF
\rhd \dot{\neg}\, 0
 <= \underline{(\epsilon)}
\Rightarrow \dot{\neg}\, \dot{\neg}\, 0
 = \underline{(\epsilon)}
\Rightarrow 
\mathsf {c}
 _{Ex}
 <= \underline{
\mathsf {m}}
\Rightarrow \dot{\neg}\, if(0
 <= \underline{(fy)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
+-\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
,\underline{(fy)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
+-\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
,-\underline{(fy)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
+-\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
)
 <= \underline{(\epsilon)}
\Rightarrow \dot{\neg}\, \dot{\neg}\, if(0
 <= \underline{(fy)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
+-\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
,\underline{(fy)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
+-\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
,-\underline{(fy)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
+-\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
)
 = \underline{(\epsilon)}
\gg SF(\underline{(fy)}
,\underline{(fx)}
)
\rceil 
, 
p_0
, 
\mathsf {c}
)
]$


$
[PlusF(Sym)
\stackrel{
stmt
}{\rightarrow}ZFsub
\vdash 
\forall \underline{
\mathsf {m}}
\colon 
\forall \underline{(fx)}
\colon 
\forall \underline{(fy)}
\colon \underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
+\underline{(fy)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
 = \underline{(fx)}
+_{f}\underline{(fy)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
]$

$
[PlusF(Sym)
\stackrel{
proof
}{\rightarrow}
\lambda 
\mathsf {c}
.
\lambda 
\mathsf{x}
.
{\cal P}( 
\lceil ZFsub
\vdash 
\forall \underline{
\mathsf {m}}
\colon 
\forall \underline{(fx)}
\colon 
\forall \underline{(fy)}
\colon PlusF
\gg \underline{(fx)}
+_{f}\underline{(fy)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
 = \underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
+\underline{(fy)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
; eqSymmetry
\rhd \underline{(fx)}
+_{f}\underline{(fy)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
 = \underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
+\underline{(fy)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
\gg \underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
+\underline{(fy)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
 = \underline{(fx)}
+_{f}\underline{(fy)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
\rceil 
, 
p_0
, 
\mathsf {c}
)
]$

$
[TimesF(Sym)
\stackrel{
stmt
}{\rightarrow}ZFsub
\vdash 
\forall \underline{
\mathsf {m}}
\colon 
\forall \underline{(fx)}
\colon 
\forall \underline{(fy)}
\colon \underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
*\underline{(fy)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
 = \underline{(fx)}
*_{f}\underline{(fy)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
]$

$
[TimesF(Sym)
\stackrel{
proof
}{\rightarrow}
\lambda 
\mathsf {c}
.
\lambda 
\mathsf{x}
.
{\cal P}( 
\lceil ZFsub
\vdash 
\forall \underline{
\mathsf {m}}
\colon 
\forall \underline{(fx)}
\colon 
\forall \underline{(fy)}
\colon TimesF
\gg \underline{(fx)}
*_{f}\underline{(fy)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
 = \underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
*\underline{(fy)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
; eqSymmetry
\rhd \underline{(fx)}
*_{f}\underline{(fy)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
 = \underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
*\underline{(fy)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
\gg \underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
*\underline{(fy)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
 = \underline{(fx)}
*_{f}\underline{(fy)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
\rceil 
, 
p_0
, 
\mathsf {c}
)
]$



$
[Plus0f
\stackrel{
stmt
}{\rightarrow}ZFsub
\vdash 
\forall \underline{
\mathsf {m}}
\colon 
\forall \underline{(fx)}
\colon \underline{(fx)}
+_{f}0f
=_{f}\underline{(fx)}
]$

$
[Plus0f
\stackrel{
proof
}{\rightarrow}
\lambda 
\mathsf {c}
.
\lambda 
\mathsf{x}
.
{\cal P}( 
\lceil ZFsub
\vdash 
\forall \underline{
\mathsf {m}}
\colon 
\forall \underline{(fx)}
\colon PlusF
\gg \underline{(fx)}
+_{f}0f
[\underline{
\mathsf {m}}
]
 = \underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
+0f
[\underline{
\mathsf {m}}
]
; 0f
\gg 0f
[\underline{
\mathsf {m}}
]
 = 0
; 
\mbox{lemma eqAdditionLeft}
\rhd 0f
[\underline{
\mathsf {m}}
]
 = 0
\gg \underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
+0f
[\underline{
\mathsf {m}}
]
 = \underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
+0
; plus0
\gg \underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
+0
 = \underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
; eqTransitivity4
\rhd \underline{(fx)}
+_{f}0f
[\underline{
\mathsf {m}}
]
 = \underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
+0f
[\underline{
\mathsf {m}}
]
\rhd \underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
+0f
[\underline{
\mathsf {m}}
]
 = \underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
+0
\rhd \underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
+0
 = \underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
\gg \underline{(fx)}
+_{f}0f
[\underline{
\mathsf {m}}
]
 = \underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
; To=f
\rhd \underline{(fx)}
+_{f}0f
[\underline{
\mathsf {m}}
]
 = \underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
\gg \underline{(fx)}
+_{f}0f
=_{f}\underline{(fx)}
\rceil 
, 
p_0
, 
\mathsf {c}
)
]$


$
[SFtransitivity
\stackrel{
stmt
}{\rightarrow}ZFsub
\vdash 
\forall \underline{
\mathsf {m}}
\colon 
\forall \underline{(\epsilon)}
\colon 
\forall \underline{(fx)}
\colon 
\forall \underline{(fy)}
\colon 
\forall \underline{(fz)}
\colon SF(\underline{(fx)}
,\underline{(fy)}
)
\vdash SF(\underline{(fy)}
,\underline{(fz)}
)
\vdash SF(\underline{(fx)}
,\underline{(fz)}
)
]$

$
[SFtransitivity
\stackrel{
proof
}{\rightarrow}
\lambda 
\mathsf {c}
.
\lambda 
\mathsf{x}
.
{\cal P}( 
\lceil ZFsub
\vdash 
\forall \underline{
\mathsf {m}}
\colon 
\forall \underline{(\epsilon)}
\colon 
\forall \underline{(fx)}
\colon 
\forall \underline{(fy)}
\colon 
\forall \underline{(fz)}
\colon SF(\underline{(fx)}
,\underline{(fy)}
)
\vdash SF(\underline{(fy)}
,\underline{(fz)}
)
\vdash \dot{\neg}\, 0
 <= \underline{(\epsilon)}
\Rightarrow \dot{\neg}\, \dot{\neg}\, 0
 = \underline{(\epsilon)}
\vdash 
\mathsf {c}
 _{Ex}
 <= \underline{
\mathsf {m}}
\vdash PositiveHalved
\rhd \dot{\neg}\, 0
 <= \underline{(\epsilon)}
\Rightarrow \dot{\neg}\, \dot{\neg}\, 0
 = \underline{(\epsilon)}
\gg \dot{\neg}\, 0
 <= rec1
+1
*\underline{(\epsilon)}
\Rightarrow \dot{\neg}\, \dot{\neg}\, 0
 = rec1
+1
*\underline{(\epsilon)}
; FromSF
\rhd SF(\underline{(fx)}
,\underline{(fy)}
)
\rhd \dot{\neg}\, 0
 <= rec1
+1
*\underline{(\epsilon)}
\Rightarrow \dot{\neg}\, \dot{\neg}\, 0
 = rec1
+1
*\underline{(\epsilon)}
\gg 
\mathsf {c}
 _{Ex}
 <= \underline{
\mathsf {m}}
\Rightarrow \dot{\neg}\, if(0
 <= \underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
+-\underline{(fy)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
,\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
+-\underline{(fy)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
,-\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
+-\underline{(fy)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
)
 <= rec1
+1
*\underline{(\epsilon)}
\Rightarrow \dot{\neg}\, \dot{\neg}\, if(0
 <= \underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
+-\underline{(fy)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
,\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
+-\underline{(fy)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
,-\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
+-\underline{(fy)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
)
 = rec1
+1
*\underline{(\epsilon)}
; MP
\rhd 
\mathsf {c}
 _{Ex}
 <= \underline{
\mathsf {m}}
\Rightarrow \dot{\neg}\, if(0
 <= \underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
+-\underline{(fy)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
,\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
+-\underline{(fy)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
,-\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
+-\underline{(fy)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
)
 <= rec1
+1
*\underline{(\epsilon)}
\Rightarrow \dot{\neg}\, \dot{\neg}\, if(0
 <= \underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
+-\underline{(fy)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
,\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
+-\underline{(fy)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
,-\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
+-\underline{(fy)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
)
 = rec1
+1
*\underline{(\epsilon)}
\rhd 
\mathsf {c}
 _{Ex}
 <= \underline{
\mathsf {m}}
\gg \dot{\neg}\, if(0
 <= \underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
+-\underline{(fy)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
,\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
+-\underline{(fy)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
,-\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
+-\underline{(fy)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
)
 <= rec1
+1
*\underline{(\epsilon)}
\Rightarrow \dot{\neg}\, \dot{\neg}\, if(0
 <= \underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
+-\underline{(fy)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
,\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
+-\underline{(fy)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
,-\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
+-\underline{(fy)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
)
 = rec1
+1
*\underline{(\epsilon)}
; FromSF
\rhd SF(\underline{(fy)}
,\underline{(fz)}
)
\rhd \dot{\neg}\, 0
 <= rec1
+1
*\underline{(\epsilon)}
\Rightarrow \dot{\neg}\, \dot{\neg}\, 0
 = rec1
+1
*\underline{(\epsilon)}
\gg 
\mathsf {c}
 _{Ex}
 <= \underline{
\mathsf {m}}
\Rightarrow \dot{\neg}\, if(0
 <= \underline{(fy)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
+-\underline{(fz)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
,\underline{(fy)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
+-\underline{(fz)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
,-\underline{(fy)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
+-\underline{(fz)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
)
 <= rec1
+1
*\underline{(\epsilon)}
\Rightarrow \dot{\neg}\, \dot{\neg}\, if(0
 <= \underline{(fy)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
+-\underline{(fz)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
,\underline{(fy)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
+-\underline{(fz)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
,-\underline{(fy)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
+-\underline{(fz)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
)
 = rec1
+1
*\underline{(\epsilon)}
; MP
\rhd 
\mathsf {c}
 _{Ex}
 <= \underline{
\mathsf {m}}
\Rightarrow \dot{\neg}\, if(0
 <= \underline{(fy)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
+-\underline{(fz)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
,\underline{(fy)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
+-\underline{(fz)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
,-\underline{(fy)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
+-\underline{(fz)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
)
 <= rec1
+1
*\underline{(\epsilon)}
\Rightarrow \dot{\neg}\, \dot{\neg}\, if(0
 <= \underline{(fy)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
+-\underline{(fz)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
,\underline{(fy)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
+-\underline{(fz)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
,-\underline{(fy)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
+-\underline{(fz)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
)
 = rec1
+1
*\underline{(\epsilon)}
\rhd 
\mathsf {c}
 _{Ex}
 <= \underline{
\mathsf {m}}
\gg \dot{\neg}\, if(0
 <= \underline{(fy)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
+-\underline{(fz)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
,\underline{(fy)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
+-\underline{(fz)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
,-\underline{(fy)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
+-\underline{(fz)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
)
 <= rec1
+1
*\underline{(\epsilon)}
\Rightarrow \dot{\neg}\, \dot{\neg}\, if(0
 <= \underline{(fy)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
+-\underline{(fz)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
,\underline{(fy)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
+-\underline{(fz)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
,-\underline{(fy)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
+-\underline{(fz)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
)
 = rec1
+1
*\underline{(\epsilon)}
; AddEquations(Less)
\rhd \dot{\neg}\, if(0
 <= \underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
+-\underline{(fy)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
,\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
+-\underline{(fy)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
,-\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
+-\underline{(fy)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
)
 <= rec1
+1
*\underline{(\epsilon)}
\Rightarrow \dot{\neg}\, \dot{\neg}\, if(0
 <= \underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
+-\underline{(fy)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
,\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
+-\underline{(fy)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
,-\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
+-\underline{(fy)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
)
 = rec1
+1
*\underline{(\epsilon)}
\rhd \dot{\neg}\, if(0
 <= \underline{(fy)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
+-\underline{(fz)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
,\underline{(fy)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
+-\underline{(fz)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
,-\underline{(fy)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
+-\underline{(fz)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
)
 <= rec1
+1
*\underline{(\epsilon)}
\Rightarrow \dot{\neg}\, \dot{\neg}\, if(0
 <= \underline{(fy)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
+-\underline{(fz)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
,\underline{(fy)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
+-\underline{(fz)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
,-\underline{(fy)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
+-\underline{(fz)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
)
 = rec1
+1
*\underline{(\epsilon)}
\gg \dot{\neg}\, if(0
 <= \underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
+-\underline{(fy)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
,\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
+-\underline{(fy)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
,-\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
+-\underline{(fy)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
)
+if(0
 <= \underline{(fy)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
+-\underline{(fz)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
,\underline{(fy)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
+-\underline{(fz)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
,-\underline{(fy)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
+-\underline{(fz)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
)
 <= rec1
+1
*\underline{(\epsilon)}
+rec1
+1
*\underline{(\epsilon)}
\Rightarrow \dot{\neg}\, \dot{\neg}\, if(0
 <= \underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
+-\underline{(fy)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
,\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
+-\underline{(fy)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
,-\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
+-\underline{(fy)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
)
+if(0
 <= \underline{(fy)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
+-\underline{(fz)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
,\underline{(fy)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
+-\underline{(fz)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
,-\underline{(fy)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
+-\underline{(fz)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
)
 = rec1
+1
*\underline{(\epsilon)}
+rec1
+1
*\underline{(\epsilon)}
; TwoHalves
\gg rec1
+1
*\underline{(\epsilon)}
+rec1
+1
*\underline{(\epsilon)}
 = \underline{(\epsilon)}
; SubLessRight
\rhd rec1
+1
*\underline{(\epsilon)}
+rec1
+1
*\underline{(\epsilon)}
 = \underline{(\epsilon)}
\rhd \dot{\neg}\, if(0
 <= \underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
+-\underline{(fy)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
,\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
+-\underline{(fy)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
,-\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
+-\underline{(fy)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
)
+if(0
 <= \underline{(fy)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
+-\underline{(fz)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
,\underline{(fy)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
+-\underline{(fz)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
,-\underline{(fy)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
+-\underline{(fz)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
)
 <= rec1
+1
*\underline{(\epsilon)}
+rec1
+1
*\underline{(\epsilon)}
\Rightarrow \dot{\neg}\, \dot{\neg}\, if(0
 <= \underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
+-\underline{(fy)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
,\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
+-\underline{(fy)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
,-\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
+-\underline{(fy)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
)
+if(0
 <= \underline{(fy)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
+-\underline{(fz)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
,\underline{(fy)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
+-\underline{(fz)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
,-\underline{(fy)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
+-\underline{(fz)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
)
 = rec1
+1
*\underline{(\epsilon)}
+rec1
+1
*\underline{(\epsilon)}
\gg \dot{\neg}\, if(0
 <= \underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
+-\underline{(fy)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
,\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
+-\underline{(fy)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
,-\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
+-\underline{(fy)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
)
+if(0
 <= \underline{(fy)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
+-\underline{(fz)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
,\underline{(fy)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
+-\underline{(fz)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
,-\underline{(fy)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
+-\underline{(fz)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
)
 <= \underline{(\epsilon)}
\Rightarrow \dot{\neg}\, \dot{\neg}\, if(0
 <= \underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
+-\underline{(fy)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
,\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
+-\underline{(fy)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
,-\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
+-\underline{(fy)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
)
+if(0
 <= \underline{(fy)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
+-\underline{(fz)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
,\underline{(fy)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
+-\underline{(fz)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
,-\underline{(fy)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
+-\underline{(fz)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
)
 = \underline{(\epsilon)}
; insertMiddleTerm(Numerical)
\gg if(0
 <= \underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
+-\underline{(fz)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
,\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
+-\underline{(fz)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
,-\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
+-\underline{(fz)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
)
 <= if(0
 <= \underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
+-\underline{(fy)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
,\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
+-\underline{(fy)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
,-\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
+-\underline{(fy)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
)
+if(0
 <= \underline{(fy)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
+-\underline{(fz)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
,\underline{(fy)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
+-\underline{(fz)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
,-\underline{(fy)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
+-\underline{(fz)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
)
; leqLessTransitivity
\rhd if(0
 <= \underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
+-\underline{(fz)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
,\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
+-\underline{(fz)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
,-\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
+-\underline{(fz)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
)
 <= if(0
 <= \underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
+-\underline{(fy)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
,\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
+-\underline{(fy)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
,-\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
+-\underline{(fy)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
)
+if(0
 <= \underline{(fy)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
+-\underline{(fz)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
,\underline{(fy)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
+-\underline{(fz)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
,-\underline{(fy)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
+-\underline{(fz)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
)
\rhd \dot{\neg}\, if(0
 <= \underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
+-\underline{(fy)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
,\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
+-\underline{(fy)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
,-\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
+-\underline{(fy)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
)
+if(0
 <= \underline{(fy)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
+-\underline{(fz)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
,\underline{(fy)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
+-\underline{(fz)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
,-\underline{(fy)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
+-\underline{(fz)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
)
 <= \underline{(\epsilon)}
\Rightarrow \dot{\neg}\, \dot{\neg}\, if(0
 <= \underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
+-\underline{(fy)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
,\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
+-\underline{(fy)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
,-\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
+-\underline{(fy)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
)
+if(0
 <= \underline{(fy)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
+-\underline{(fz)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
,\underline{(fy)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
+-\underline{(fz)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
,-\underline{(fy)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
+-\underline{(fz)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
)
 = \underline{(\epsilon)}
\gg \dot{\neg}\, if(0
 <= \underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
+-\underline{(fz)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
,\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
+-\underline{(fz)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
,-\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
+-\underline{(fz)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
)
 <= \underline{(\epsilon)}
\Rightarrow \dot{\neg}\, \dot{\neg}\, if(0
 <= \underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
+-\underline{(fz)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
,\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
+-\underline{(fz)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
,-\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
+-\underline{(fz)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
)
 = \underline{(\epsilon)}
; 
\forall \underline{
\mathsf {m}}
\colon 
\forall \underline{(\epsilon)}
\colon 
\forall \underline{(fx)}
\colon 
\forall \underline{(fy)}
\colon 
\forall \underline{(fz)}
\colon Ded
\rhd 
\forall \underline{
\mathsf {m}}
\colon 
\forall \underline{(\epsilon)}
\colon 
\forall \underline{(fx)}
\colon 
\forall \underline{(fy)}
\colon 
\forall \underline{(fz)}
\colon SF(\underline{(fx)}
,\underline{(fy)}
)
\vdash SF(\underline{(fy)}
,\underline{(fz)}
)
\vdash \dot{\neg}\, 0
 <= \underline{(\epsilon)}
\Rightarrow \dot{\neg}\, \dot{\neg}\, 0
 = \underline{(\epsilon)}
\vdash 
\mathsf {c}
 _{Ex}
 <= \underline{
\mathsf {m}}
\vdash \dot{\neg}\, if(0
 <= \underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
+-\underline{(fz)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
,\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
+-\underline{(fz)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
,-\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
+-\underline{(fz)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
)
 <= \underline{(\epsilon)}
\Rightarrow \dot{\neg}\, \dot{\neg}\, if(0
 <= \underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
+-\underline{(fz)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
,\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
+-\underline{(fz)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
,-\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
+-\underline{(fz)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
)
 = \underline{(\epsilon)}
\gg SF(\underline{(fx)}
,\underline{(fy)}
)
\Rightarrow SF(\underline{(fy)}
,\underline{(fz)}
)
\Rightarrow \dot{\neg}\, 0
 <= \underline{(\epsilon)}
\Rightarrow \dot{\neg}\, \dot{\neg}\, 0
 = \underline{(\epsilon)}
\Rightarrow 
\mathsf {c}
 _{Ex}
 <= \underline{
\mathsf {m}}
\Rightarrow \dot{\neg}\, if(0
 <= \underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
+-\underline{(fz)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
,\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
+-\underline{(fz)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
,-\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
+-\underline{(fz)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
)
 <= \underline{(\epsilon)}
\Rightarrow \dot{\neg}\, \dot{\neg}\, if(0
 <= \underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
+-\underline{(fz)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
,\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
+-\underline{(fz)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
,-\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
+-\underline{(fz)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
)
 = \underline{(\epsilon)}
; SF(\underline{(fx)}
,\underline{(fy)}
)
\vdash SF(\underline{(fy)}
,\underline{(fz)}
)
\vdash MP2
\rhd SF(\underline{(fx)}
,\underline{(fy)}
)
\Rightarrow SF(\underline{(fy)}
,\underline{(fz)}
)
\Rightarrow \dot{\neg}\, 0
 <= \underline{(\epsilon)}
\Rightarrow \dot{\neg}\, \dot{\neg}\, 0
 = \underline{(\epsilon)}
\Rightarrow 
\mathsf {c}
 _{Ex}
 <= \underline{
\mathsf {m}}
\Rightarrow \dot{\neg}\, if(0
 <= \underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
+-\underline{(fz)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
,\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
+-\underline{(fz)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
,-\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
+-\underline{(fz)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
)
 <= \underline{(\epsilon)}
\Rightarrow \dot{\neg}\, \dot{\neg}\, if(0
 <= \underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
+-\underline{(fz)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
,\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
+-\underline{(fz)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
,-\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
+-\underline{(fz)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
)
 = \underline{(\epsilon)}
\rhd SF(\underline{(fx)}
,\underline{(fy)}
)
\rhd SF(\underline{(fy)}
,\underline{(fz)}
)
\gg \dot{\neg}\, 0
 <= \underline{(\epsilon)}
\Rightarrow \dot{\neg}\, \dot{\neg}\, 0
 = \underline{(\epsilon)}
\Rightarrow 
\mathsf {c}
 _{Ex}
 <= \underline{
\mathsf {m}}
\Rightarrow \dot{\neg}\, if(0
 <= \underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
+-\underline{(fz)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
,\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
+-\underline{(fz)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
,-\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
+-\underline{(fz)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
)
 <= \underline{(\epsilon)}
\Rightarrow \dot{\neg}\, \dot{\neg}\, if(0
 <= \underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
+-\underline{(fz)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
,\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
+-\underline{(fz)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
,-\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
+-\underline{(fz)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
)
 = \underline{(\epsilon)}
; ToSF
\rhd \dot{\neg}\, 0
 <= \underline{(\epsilon)}
\Rightarrow \dot{\neg}\, \dot{\neg}\, 0
 = \underline{(\epsilon)}
\Rightarrow 
\mathsf {c}
 _{Ex}
 <= \underline{
\mathsf {m}}
\Rightarrow \dot{\neg}\, if(0
 <= \underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
+-\underline{(fz)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
,\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
+-\underline{(fz)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
,-\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
+-\underline{(fz)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
)
 <= \underline{(\epsilon)}
\Rightarrow \dot{\neg}\, \dot{\neg}\, if(0
 <= \underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
+-\underline{(fz)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
,\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
+-\underline{(fz)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
,-\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
+-\underline{(fz)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
)
 = \underline{(\epsilon)}
\gg SF(\underline{(fx)}
,\underline{(fz)}
)
\rceil 
, 
p_0
, 
\mathsf {c}
)
]$

$
[=fToSameF 
\stackrel{
stmt
}{\rightarrow}ZFsub
\vdash 
\forall \underline{(\epsilon)}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf {m}}
\colon 
\forall \underline{(fx)}
\colon 
\forall \underline{(fy)}
\colon \underline{(fx)}
=_{f}\underline{(fy)}
\vdash SF(\underline{(fx)}
,\underline{(fy)}
)
]$

$
[=fToSameF 
\stackrel{
proof
}{\rightarrow}
\lambda 
\mathsf {c}
.
\lambda 
\mathsf{x}
.
{\cal P}( 
\lceil ZFsub
\vdash 
\forall \underline{(\epsilon)}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf {m}}
\colon 
\forall \underline{(fx)}
\colon 
\forall \underline{(fy)}
\colon \underline{(fx)}
=_{f}\underline{(fy)}
\vdash \dot{\neg}\, 0
 <= \underline{(\epsilon)}
\Rightarrow \dot{\neg}\, \dot{\neg}\, 0
 = \underline{(\epsilon)}
\vdash From=f
\rhd \underline{(fx)}
=_{f}\underline{(fy)}
\gg \underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
 = \underline{(fy)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
; PositiveToLeft(Eq)(1 term)
\rhd \underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
 = \underline{(fy)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
\gg \underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
+-\underline{(fy)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
 = 0
; SameNumerical
\rhd \underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
+-\underline{(fy)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
 = 0
\gg if(0
 <= \underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
+-\underline{(fy)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
,\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
+-\underline{(fy)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
,-\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
+-\underline{(fy)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
)
 = if(0
 <= 0
,0
,-0
)
; |0|=0
\gg if(0
 <= 0
,0
,-0
)
 = 0
; eqTransitivity
\rhd if(0
 <= \underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
+-\underline{(fy)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
,\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
+-\underline{(fy)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
,-\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
+-\underline{(fy)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
)
 = if(0
 <= 0
,0
,-0
)
\rhd if(0
 <= 0
,0
,-0
)
 = 0
\gg if(0
 <= \underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
+-\underline{(fy)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
,\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
+-\underline{(fy)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
,-\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
+-\underline{(fy)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
)
 = 0
; eqSymmetry
\rhd if(0
 <= \underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
+-\underline{(fy)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
,\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
+-\underline{(fy)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
,-\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
+-\underline{(fy)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
)
 = 0
\gg 0
 = if(0
 <= \underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
+-\underline{(fy)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
,\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
+-\underline{(fy)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
,-\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
+-\underline{(fy)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
)
; SubLessLeft
\rhd 0
 = if(0
 <= \underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
+-\underline{(fy)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
,\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
+-\underline{(fy)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
,-\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
+-\underline{(fy)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
)
\rhd \dot{\neg}\, 0
 <= \underline{(\epsilon)}
\Rightarrow \dot{\neg}\, \dot{\neg}\, 0
 = \underline{(\epsilon)}
\gg \dot{\neg}\, if(0
 <= \underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
+-\underline{(fy)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
,\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
+-\underline{(fy)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
,-\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
+-\underline{(fy)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
)
 <= \underline{(\epsilon)}
\Rightarrow \dot{\neg}\, \dot{\neg}\, if(0
 <= \underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
+-\underline{(fy)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
,\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
+-\underline{(fy)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
,-\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
+-\underline{(fy)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
)
 = \underline{(\epsilon)}
; Weakening
\rhd \dot{\neg}\, if(0
 <= \underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
+-\underline{(fy)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
,\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
+-\underline{(fy)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
,-\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
+-\underline{(fy)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
)
 <= \underline{(\epsilon)}
\Rightarrow \dot{\neg}\, \dot{\neg}\, if(0
 <= \underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
+-\underline{(fy)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
,\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
+-\underline{(fy)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
,-\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
+-\underline{(fy)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
)
 = \underline{(\epsilon)}
\gg 0
 <= \underline{
\mathsf {m}}
\Rightarrow \dot{\neg}\, if(0
 <= \underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
+-\underline{(fy)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
,\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
+-\underline{(fy)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
,-\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
+-\underline{(fy)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
)
 <= \underline{(\epsilon)}
\Rightarrow \dot{\neg}\, \dot{\neg}\, if(0
 <= \underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
+-\underline{(fy)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
,\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
+-\underline{(fy)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
,-\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
+-\underline{(fy)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
)
 = \underline{(\epsilon)}
; ExistIntro
\mathop {\char64} 
\mathsf {c}
 _{Ex}
\mathop {\char64} 0
\rhd 0
 <= \underline{
\mathsf {m}}
\Rightarrow \dot{\neg}\, if(0
 <= \underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
+-\underline{(fy)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
,\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
+-\underline{(fy)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
,-\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
+-\underline{(fy)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
)
 <= \underline{(\epsilon)}
\Rightarrow \dot{\neg}\, \dot{\neg}\, if(0
 <= \underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
+-\underline{(fy)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
,\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
+-\underline{(fy)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
,-\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
+-\underline{(fy)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
)
 = \underline{(\epsilon)}
\gg 
\mathsf {c}
 _{Ex}
 <= \underline{
\mathsf {m}}
\Rightarrow \dot{\neg}\, if(0
 <= \underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
+-\underline{(fy)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
,\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
+-\underline{(fy)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
,-\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
+-\underline{(fy)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
)
 <= \underline{(\epsilon)}
\Rightarrow \dot{\neg}\, \dot{\neg}\, if(0
 <= \underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
+-\underline{(fy)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
,\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
+-\underline{(fy)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
,-\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
+-\underline{(fy)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
)
 = \underline{(\epsilon)}
; 
\forall \underline{(\epsilon)}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf {m}}
\colon 
\forall \underline{(fx)}
\colon 
\forall \underline{(fy)}
\colon Ded
\rhd 
\forall \underline{(\epsilon)}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf {m}}
\colon 
\forall \underline{(fx)}
\colon 
\forall \underline{(fy)}
\colon \underline{(fx)}
=_{f}\underline{(fy)}
\vdash \dot{\neg}\, 0
 <= \underline{(\epsilon)}
\Rightarrow \dot{\neg}\, \dot{\neg}\, 0
 = \underline{(\epsilon)}
\vdash 
\mathsf {c}
 _{Ex}
 <= \underline{
\mathsf {m}}
\Rightarrow \dot{\neg}\, if(0
 <= \underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
+-\underline{(fy)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
,\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
+-\underline{(fy)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
,-\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
+-\underline{(fy)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
)
 <= \underline{(\epsilon)}
\Rightarrow \dot{\neg}\, \dot{\neg}\, if(0
 <= \underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
+-\underline{(fy)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
,\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
+-\underline{(fy)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
,-\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
+-\underline{(fy)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
)
 = \underline{(\epsilon)}
\gg \underline{(fx)}
=_{f}\underline{(fy)}
\Rightarrow \dot{\neg}\, 0
 <= \underline{(\epsilon)}
\Rightarrow \dot{\neg}\, \dot{\neg}\, 0
 = \underline{(\epsilon)}
\Rightarrow 
\mathsf {c}
 _{Ex}
 <= \underline{
\mathsf {m}}
\Rightarrow \dot{\neg}\, if(0
 <= \underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
+-\underline{(fy)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
,\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
+-\underline{(fy)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
,-\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
+-\underline{(fy)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
)
 <= \underline{(\epsilon)}
\Rightarrow \dot{\neg}\, \dot{\neg}\, if(0
 <= \underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
+-\underline{(fy)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
,\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
+-\underline{(fy)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
,-\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
+-\underline{(fy)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
)
 = \underline{(\epsilon)}
; \underline{(fx)}
=_{f}\underline{(fy)}
\vdash MP
\rhd \underline{(fx)}
=_{f}\underline{(fy)}
\Rightarrow \dot{\neg}\, 0
 <= \underline{(\epsilon)}
\Rightarrow \dot{\neg}\, \dot{\neg}\, 0
 = \underline{(\epsilon)}
\Rightarrow 
\mathsf {c}
 _{Ex}
 <= \underline{
\mathsf {m}}
\Rightarrow \dot{\neg}\, if(0
 <= \underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
+-\underline{(fy)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
,\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
+-\underline{(fy)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
,-\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
+-\underline{(fy)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
)
 <= \underline{(\epsilon)}
\Rightarrow \dot{\neg}\, \dot{\neg}\, if(0
 <= \underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
+-\underline{(fy)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
,\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
+-\underline{(fy)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
,-\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
+-\underline{(fy)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
)
 = \underline{(\epsilon)}
\rhd \underline{(fx)}
=_{f}\underline{(fy)}
\gg \dot{\neg}\, 0
 <= \underline{(\epsilon)}
\Rightarrow \dot{\neg}\, \dot{\neg}\, 0
 = \underline{(\epsilon)}
\Rightarrow 
\mathsf {c}
 _{Ex}
 <= \underline{
\mathsf {m}}
\Rightarrow \dot{\neg}\, if(0
 <= \underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
+-\underline{(fy)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
,\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
+-\underline{(fy)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
,-\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
+-\underline{(fy)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
)
 <= \underline{(\epsilon)}
\Rightarrow \dot{\neg}\, \dot{\neg}\, if(0
 <= \underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
+-\underline{(fy)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
,\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
+-\underline{(fy)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
,-\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
+-\underline{(fy)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
)
 = \underline{(\epsilon)}
; ToSF
\rhd \dot{\neg}\, 0
 <= \underline{(\epsilon)}
\Rightarrow \dot{\neg}\, \dot{\neg}\, 0
 = \underline{(\epsilon)}
\Rightarrow 
\mathsf {c}
 _{Ex}
 <= \underline{
\mathsf {m}}
\Rightarrow \dot{\neg}\, if(0
 <= \underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
+-\underline{(fy)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
,\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
+-\underline{(fy)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
,-\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
+-\underline{(fy)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
)
 <= \underline{(\epsilon)}
\Rightarrow \dot{\neg}\, \dot{\neg}\, if(0
 <= \underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
+-\underline{(fy)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
,\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
+-\underline{(fy)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
,-\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
+-\underline{(fy)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
)
 = \underline{(\epsilon)}
\gg SF(\underline{(fx)}
,\underline{(fy)}
)
\rceil 
, 
p_0
, 
\mathsf {c}
)
]$

$
[f2R(Plus)
\stackrel{
stmt
}{\rightarrow}ZFsub
\vdash 
\forall \underline{(fx)}
\colon 
\forall \underline{(fy)}
\colon 
\forall \underline{(fz)}
\colon 
\forall \underline{(fv)}
\colon 
\forall \underline{
\mbox{var fv}}
\colon SF(\underline{(fx)}
+_{f}\underline{(fy)}
,\underline{(fz)}
)
\vdash R((fx)
+_{f}(fy)
)
 == R(\underline{(fz)}
)
]$

$
[f2R(Plus)
\stackrel{
proof
}{\rightarrow}
\lambda 
\mathsf {c}
.
\lambda 
\mathsf{x}
.
{\cal P}( 
\lceil ZFsub
\vdash 
\forall \underline{(fx)}
\colon 
\forall \underline{(fy)}
\colon 
\forall \underline{(fz)}
\colon 
\forall \underline{(fv)}
\colon 
\forall \underline{
\mbox{var fv}}
\colon SF(\underline{(fx)}
+_{f}\underline{(fy)}
,\underline{(fz)}
)
\vdash \underline{(fv)}
 \mathrel{\in} R(\underline{(fx)}
+_{f}\underline{(fy)}
)
\vdash \underline{
\mbox{var fv}}
 \mathrel{\in} R(\underline{(fz)}
)
\vdash FromInR
\rhd \underline{(fv)}
 \mathrel{\in} R(\underline{(fx)}
+_{f}\underline{(fy)}
)
\gg SF(\underline{(fv)}
,\underline{(fx)}
+_{f}\underline{(fy)}
)
; FromInR
\rhd \underline{
\mbox{var fv}}
 \mathrel{\in} R(\underline{(fz)}
)
\gg SF(\underline{
\mbox{var fv}}
,\underline{(fz)}
)
; SFsymmetry
\rhd SF(\underline{
\mbox{var fv}}
,\underline{(fz)}
)
\gg SF(\underline{(fz)}
,\underline{
\mbox{var fv}}
)
; SFtransitivity
\rhd SF(\underline{(fv)}
,\underline{(fx)}
+_{f}\underline{(fy)}
)
\rhd SF(\underline{(fx)}
+_{f}\underline{(fy)}
,\underline{(fz)}
)
\gg SF(\underline{(fv)}
,\underline{(fz)}
)
; SFtransitivity
\rhd SF(\underline{(fv)}
,\underline{(fz)}
)
\rhd SF(\underline{(fz)}
,\underline{
\mbox{var fv}}
)
\gg SF(\underline{(fv)}
,\underline{
\mbox{var fv}}
)
; 
\forall \underline{(fx)}
\colon 
\forall \underline{(fy)}
\colon 
\forall \underline{(fz)}
\colon 
\forall \underline{(fv)}
\colon 
\forall \underline{
\mbox{var fv}}
\colon Ded
\rhd 
\forall \underline{(fx)}
\colon 
\forall \underline{(fy)}
\colon 
\forall \underline{(fz)}
\colon 
\forall \underline{(fv)}
\colon 
\forall \underline{
\mbox{var fv}}
\colon SF(\underline{(fx)}
+_{f}\underline{(fy)}
,\underline{(fz)}
)
\vdash \underline{(fv)}
 \mathrel{\in} R(\underline{(fx)}
+_{f}\underline{(fy)}
)
\vdash \underline{
\mbox{var fv}}
 \mathrel{\in} R(\underline{(fz)}
)
\vdash SF(\underline{(fv)}
,\underline{
\mbox{var fv}}
)
\gg SF(\underline{(fx)}
+_{f}\underline{(fy)}
,\underline{(fz)}
)
\Rightarrow \underline{(fv)}
 \mathrel{\in} R(\underline{(fx)}
+_{f}\underline{(fy)}
)
\Rightarrow \underline{
\mbox{var fv}}
 \mathrel{\in} R(\underline{(fz)}
)
\Rightarrow SF(\underline{(fv)}
,\underline{
\mbox{var fv}}
)
; SF(\underline{(fx)}
+_{f}\underline{(fy)}
,\underline{(fz)}
)
\vdash MP
\rhd SF(\underline{(fx)}
+_{f}\underline{(fy)}
,\underline{(fz)}
)
\Rightarrow \underline{(fv)}
 \mathrel{\in} R(\underline{(fx)}
+_{f}\underline{(fy)}
)
\Rightarrow \underline{
\mbox{var fv}}
 \mathrel{\in} R(\underline{(fz)}
)
\Rightarrow SF(\underline{(fv)}
,\underline{
\mbox{var fv}}
)
\rhd SF(\underline{(fx)}
+_{f}\underline{(fy)}
,\underline{(fz)}
)
\gg \underline{(fv)}
 \mathrel{\in} R(\underline{(fx)}
+_{f}\underline{(fy)}
)
\Rightarrow \underline{
\mbox{var fv}}
 \mathrel{\in} R(\underline{(fz)}
)
\Rightarrow SF(\underline{(fv)}
,\underline{
\mbox{var fv}}
)
; To==XX
\rhd \underline{(fv)}
 \mathrel{\in} R(\underline{(fx)}
+_{f}\underline{(fy)}
)
\Rightarrow \underline{
\mbox{var fv}}
 \mathrel{\in} R(\underline{(fz)}
)
\Rightarrow SF(\underline{(fv)}
,\underline{
\mbox{var fv}}
)
\gg R(\underline{(fx)}
+_{f}\underline{(fy)}
)
 == R(\underline{(fz)}
)
; PlusR
\gg R((fx)
+_{f}(fy)
)
 == R(\underline{(fx)}
+_{f}\underline{(fy)}
)
; \!{}==\!{}Transitivity
\rhd R((fx)
+_{f}(fy)
)
 == R(\underline{(fx)}
+_{f}\underline{(fy)}
)
\rhd R(\underline{(fx)}
+_{f}\underline{(fy)}
)
 == R(\underline{(fz)}
)
\gg R((fx)
+_{f}(fy)
)
 == R(\underline{(fz)}
)
\rceil 
, 
p_0
, 
\mathsf {c}
)
]$

$
[f2R(Times)
\stackrel{
stmt
}{\rightarrow}ZFsub
\vdash 
\forall \underline{(fx)}
\colon 
\forall \underline{(fy)}
\colon 
\forall \underline{(fz)}
\colon SF(\underline{(fx)}
*_{f}\underline{(fy)}
,\underline{(fz)}
)
\vdash R(\underline{(fx)}
)
**R(\underline{(fy)}
)
 == R(\underline{(fz)}
)
]$

$
[f2R(Times)
\stackrel{
proof
}{\rightarrow}
\lambda 
\mathsf {c}
.
\lambda 
\mathsf{x}
.
{\cal P}( 
\lceil ZFsub
\vdash 
\forall \underline{(fx)}
\colon 
\forall \underline{(fy)}
\colon 
\forall \underline{(fz)}
\colon SF(\underline{(fx)}
*_{f}\underline{(fy)}
,\underline{(fz)}
)
\vdash To==
\rhd SF(\underline{(fx)}
*_{f}\underline{(fy)}
,\underline{(fz)}
)
\gg R(\underline{(fx)}
*_{f}\underline{(fy)}
)
 == R(\underline{(fz)}
)
; TimesR
\gg R(\underline{(fx)}
)
**R(\underline{(fy)}
)
 == R(\underline{(fx)}
*_{f}\underline{(fy)}
)
; \!{}==\!{}Transitivity
\rhd R(\underline{(fx)}
)
**R(\underline{(fy)}
)
 == R(\underline{(fx)}
*_{f}\underline{(fy)}
)
\rhd R(\underline{(fx)}
*_{f}\underline{(fy)}
)
 == R(\underline{(fz)}
)
\gg R(\underline{(fx)}
)
**R(\underline{(fy)}
)
 == R(\underline{(fz)}
)
\rceil 
, 
p_0
, 
\mathsf {c}
)
]$



(*** R-AFDELINGEN ***)


$
[PlusR(Sym)
\stackrel{
stmt
}{\rightarrow}ZFsub
\vdash 
\forall \underline{(fx)}
\colon 
\forall \underline{(fy)}
\colon R(\underline{(fx)}
+_{f}\underline{(fy)}
)
 == R((fx)
+_{f}(fy)
)
]$

$
[PlusR(Sym)
\stackrel{
proof
}{\rightarrow}
\lambda 
\mathsf {c}
.
\lambda 
\mathsf{x}
.
{\cal P}( 
\lceil ZFsub
\vdash 
\forall \underline{(fx)}
\colon 
\forall \underline{(fy)}
\colon PlusR
\gg R((fx)
+_{f}(fy)
)
 == R(\underline{(fx)}
+_{f}\underline{(fy)}
)
; ==\!{}Symmetry
\rhd R((fx)
+_{f}(fy)
)
 == R(\underline{(fx)}
+_{f}\underline{(fy)}
)
\gg R(\underline{(fx)}
+_{f}\underline{(fy)}
)
 == R((fx)
+_{f}(fy)
)
\rceil 
, 
p_0
, 
\mathsf {c}
)
]$


$
[TimesR(Sym)
\stackrel{
stmt
}{\rightarrow}ZFsub
\vdash 
\forall \underline{(fx)}
\colon 
\forall \underline{(fy)}
\colon R(\underline{(fx)}
*_{f}\underline{(fy)}
)
 == R(\underline{(fx)}
)
**R(\underline{(fy)}
)
]$

$
[TimesR(Sym)
\stackrel{
proof
}{\rightarrow}
\lambda 
\mathsf {c}
.
\lambda 
\mathsf{x}
.
{\cal P}( 
\lceil ZFsub
\vdash 
\forall \underline{(fx)}
\colon 
\forall \underline{(fy)}
\colon TimesR
\gg R(\underline{(fx)}
)
**R(\underline{(fy)}
)
 == R(\underline{(fx)}
*_{f}\underline{(fy)}
)
; ==\!{}Symmetry
\rhd R(\underline{(fx)}
)
**R(\underline{(fy)}
)
 == R(\underline{(fx)}
*_{f}\underline{(fy)}
)
\gg R(\underline{(fx)}
*_{f}\underline{(fy)}
)
 == R(\underline{(fx)}
)
**R(\underline{(fy)}
)
\rceil 
, 
p_0
, 
\mathsf {c}
)
]$


(*** LEQ-R ***)

$
[eqLeq(R)
\stackrel{
stmt
}{\rightarrow}ZFsub
\vdash 
\forall \underline{(rx)}
\colon 
\forall \underline{(ry)}
\colon \underline{(rx)}
 == \underline{(ry)}
\vdash \dot{\neg}\, \underline{(rx)}
 << \underline{(ry)}
\Rightarrow \underline{(rx)}
 == \underline{(ry)}
]$

$
[eqLeq(R)
\stackrel{
proof
}{\rightarrow}
\lambda 
\mathsf {c}
.
\lambda 
\mathsf{x}
.
{\cal P}( 
\lceil ZFsub
\vdash 
\forall \underline{(rx)}
\colon 
\forall \underline{(ry)}
\colon \underline{(rx)}
 == \underline{(ry)}
\vdash WeakenOr1
\rhd \underline{(rx)}
 == \underline{(ry)}
\gg \dot{\neg}\, \underline{(rx)}
 << \underline{(ry)}
\Rightarrow \underline{(rx)}
 == \underline{(ry)}
; Repetition
\rhd \dot{\neg}\, \underline{(rx)}
 << \underline{(ry)}
\Rightarrow \underline{(rx)}
 == \underline{(ry)}
\gg \dot{\neg}\, \underline{(rx)}
 << \underline{(ry)}
\Rightarrow \underline{(rx)}
 == \underline{(ry)}
\rceil 
, 
p_0
, 
\mathsf {c}
)
]$

$
[ThirdGeqSeries
\stackrel{
stmt
}{\rightarrow}ZFsub
\vdash 
\forall \underline{
\mathsf {m}}
\colon 
\forall \underline{(\epsilon)}
\colon 
\forall \underline{(fx)}
\colon 
\forall \underline{(fy)}
\colon 
\forall \underline{(fz)}
\colon 
\forall \underline{(fv)}
\colon 
\forall \underline{(rx)}
\colon 
\forall \underline{(ry)}
\colon 
\forall \underline{(rz)}
\colon 
\forall \underline{(ru)}
\colon \underline{(rx)}
 << \underline{(ry)}
\vdash \underline{(rz)}
 << \underline{(ru)}
\vdash \underline{(fx)}
 \mathrel{\in} \underline{(rx)}
\vdash \underline{(fy)}
 \mathrel{\in} \underline{(ry)}
\vdash \underline{(fz)}
 \mathrel{\in} \underline{(rz)}
\vdash \underline{(fv)}
 \mathrel{\in} \underline{(ru)}
\vdash \dot{\neg}\, 0
 <= \underline{(\epsilon)}
\Rightarrow \dot{\neg}\, \dot{\neg}\, 0
 = \underline{(\epsilon)}
\vdash 
\mathsf {c}
 _{Ex}
 <= \underline{
\mathsf {m}}
\vdash \dot{\neg}\, \underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
 <= \underline{(fy)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
+-\underline{(\epsilon)}
\Rightarrow \dot{\neg}\, \underline{(fz)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
 <= \underline{(fv)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
+-\underline{(\epsilon)}
]$

$
[ThirdGeqSeries
\stackrel{
proof
}{\rightarrow}
\lambda 
\mathsf {c}
.
\lambda 
\mathsf{x}
.
{\cal P}( 
\lceil ZFsub
\vdash 
\forall \underline{
\mathsf {m}}
\colon 
\forall \underline{(\epsilon)}
\colon 
\forall \underline{(fx)}
\colon 
\forall \underline{(fy)}
\colon 
\forall \underline{(fz)}
\colon 
\forall \underline{(fv)}
\colon 
\forall \underline{(rx)}
\colon 
\forall \underline{(ry)}
\colon 
\forall \underline{(rz)}
\colon 
\forall \underline{(ru)}
\colon \underline{(rx)}
 << \underline{(ry)}
\vdash \underline{(rz)}
 << \underline{(ru)}
\vdash \underline{(fx)}
 \mathrel{\in} \underline{(rx)}
\vdash \underline{(fy)}
 \mathrel{\in} \underline{(ry)}
\vdash \underline{(fz)}
 \mathrel{\in} \underline{(rz)}
\vdash \underline{(fv)}
 \mathrel{\in} \underline{(ru)}
\vdash \dot{\neg}\, 0
 <= \underline{(\epsilon)}
\Rightarrow \dot{\neg}\, \dot{\neg}\, 0
 = \underline{(\epsilon)}
\vdash 
\mathsf {c}
 _{Ex}
 <= \underline{
\mathsf {m}}
\vdash From<<XX
\rhd \underline{(rx)}
 << \underline{(ry)}
\rhd \underline{(fx)}
 \mathrel{\in} \underline{(rx)}
\rhd \underline{(fy)}
 \mathrel{\in} \underline{(ry)}
\rhd \dot{\neg}\, 0
 <= \underline{(\epsilon)}
\Rightarrow \dot{\neg}\, \dot{\neg}\, 0
 = \underline{(\epsilon)}
\gg 
\mathsf {a}
 _{Ex}
 <= \underline{
\mathsf {m}}
\Rightarrow \underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
 <= \underline{(fy)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
+-\underline{(\epsilon)}
; From<<XX
\rhd \underline{(rz)}
 << \underline{(ru)}
\rhd \underline{(fz)}
 \mathrel{\in} \underline{(rz)}
\rhd \underline{(fv)}
 \mathrel{\in} \underline{(ru)}
\rhd \dot{\neg}\, 0
 <= \underline{(\epsilon)}
\Rightarrow \dot{\neg}\, \dot{\neg}\, 0
 = \underline{(\epsilon)}
\gg 
\mathsf {a}
 _{Ex}
 <= \underline{
\mathsf {m}}
\Rightarrow \underline{(fz)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
 <= \underline{(fv)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
+-\underline{(\epsilon)}
; ExistIntro
\mathop {\char64} 
\mathsf {b}
 _{Ex}
\mathop {\char64} 
\mathsf {a}
 _{Ex}
\rhd 
\mathsf {a}
 _{Ex}
 <= \underline{
\mathsf {m}}
\Rightarrow \underline{(fz)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
 <= \underline{(fv)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
+-\underline{(\epsilon)}
\gg 
\mathsf {b}
 _{Ex}
 <= \underline{
\mathsf {m}}
\Rightarrow \underline{(fz)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
 <= \underline{(fv)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
+-\underline{(\epsilon)}
; thirdGeq
\gg \dot{\neg}\, 
\mathsf {a}
 _{Ex}
 <= 
\mathsf {c}
 _{Ex}
\Rightarrow \dot{\neg}\, 
\mathsf {b}
 _{Ex}
 <= 
\mathsf {c}
 _{Ex}
; FirstConjunct
\rhd \dot{\neg}\, 
\mathsf {a}
 _{Ex}
 <= 
\mathsf {c}
 _{Ex}
\Rightarrow \dot{\neg}\, 
\mathsf {b}
 _{Ex}
 <= 
\mathsf {c}
 _{Ex}
\gg 
\mathsf {a}
 _{Ex}
 <= 
\mathsf {c}
 _{Ex}
; leqTransitivity
\rhd 
\mathsf {a}
 _{Ex}
 <= 
\mathsf {c}
 _{Ex}
\rhd 
\mathsf {c}
 _{Ex}
 <= \underline{
\mathsf {m}}
\gg 
\mathsf {a}
 _{Ex}
 <= \underline{
\mathsf {m}}
; MP
\rhd 
\mathsf {a}
 _{Ex}
 <= \underline{
\mathsf {m}}
\Rightarrow \underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
 <= \underline{(fy)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
+-\underline{(\epsilon)}
\rhd 
\mathsf {a}
 _{Ex}
 <= \underline{
\mathsf {m}}
\gg \underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
 <= \underline{(fy)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
+-\underline{(\epsilon)}
; SecondConjunct
\rhd \dot{\neg}\, 
\mathsf {a}
 _{Ex}
 <= 
\mathsf {c}
 _{Ex}
\Rightarrow \dot{\neg}\, 
\mathsf {b}
 _{Ex}
 <= 
\mathsf {c}
 _{Ex}
\gg 
\mathsf {b}
 _{Ex}
 <= 
\mathsf {c}
 _{Ex}
; leqTransitivity
\rhd 
\mathsf {b}
 _{Ex}
 <= 
\mathsf {c}
 _{Ex}
\rhd 
\mathsf {c}
 _{Ex}
 <= \underline{
\mathsf {m}}
\gg 
\mathsf {b}
 _{Ex}
 <= \underline{
\mathsf {m}}
; MP
\rhd 
\mathsf {b}
 _{Ex}
 <= \underline{
\mathsf {m}}
\Rightarrow \underline{(fz)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
 <= \underline{(fv)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
+-\underline{(\epsilon)}
\rhd 
\mathsf {b}
 _{Ex}
 <= \underline{
\mathsf {m}}
\gg \underline{(fz)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
 <= \underline{(fv)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
+-\underline{(\epsilon)}
; JoinConjuncts
\rhd \underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
 <= \underline{(fy)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
+-\underline{(\epsilon)}
\rhd \underline{(fz)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
 <= \underline{(fv)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
+-\underline{(\epsilon)}
\gg \dot{\neg}\, \underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
 <= \underline{(fy)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
+-\underline{(\epsilon)}
\Rightarrow \dot{\neg}\, \underline{(fz)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
 <= \underline{(fv)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
+-\underline{(\epsilon)}
\rceil 
, 
p_0
, 
\mathsf {c}
)
]$


(*** LESS-R ***)

XX lidt grimt med de ekstra variable
$
[SubLessLeft(R)
\stackrel{
stmt
}{\rightarrow}ZFsub
\vdash 
\forall \underline{(\epsilon)}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf {m}}
\colon 
\forall \underline{(fy)}
\colon 
\forall \underline{(fz)}
\colon 
\forall \underline{(rx)}
\colon 
\forall \underline{(ry)}
\colon 
\forall \underline{(rz)}
\colon \underline{(rx)}
 == \underline{(ry)}
\vdash \underline{(rx)}
 << \underline{(rz)}
\vdash \underline{(ry)}
 << \underline{(rz)}
]$

$
[SubLessLeft(R)
\stackrel{
proof
}{\rightarrow}
\lambda 
\mathsf {c}
.
\lambda 
\mathsf{x}
.
{\cal P}( 
\lceil ZFsub
\vdash 
\forall \underline{(\epsilon)}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf {m}}
\colon 
\forall \underline{(fy)}
\colon 
\forall \underline{(fz)}
\colon 
\forall \underline{(rx)}
\colon 
\forall \underline{(ry)}
\colon 
\forall \underline{(rz)}
\colon \underline{(rx)}
 == \underline{(ry)}
\vdash \underline{(rx)}
 << \underline{(rz)}
\vdash \underline{(fy)}
 \mathrel{\in} \underline{(ry)}
\vdash \underline{(fz)}
 \mathrel{\in} \underline{(rz)}
\vdash \dot{\neg}\, 0
 <= \underline{(\epsilon)}
\Rightarrow \dot{\neg}\, \dot{\neg}\, 0
 = \underline{(\epsilon)}
\vdash SENC2
\rhd \underline{(rx)}
 == \underline{(ry)}
\rhd \underline{(fy)}
 \mathrel{\in} \underline{(ry)}
\gg \underline{(fy)}
 \mathrel{\in} \underline{(rx)}
; From<<XX
\rhd \underline{(rx)}
 << \underline{(rz)}
\rhd \underline{(fy)}
 \mathrel{\in} \underline{(rx)}
\rhd \underline{(fz)}
 \mathrel{\in} \underline{(rz)}
\rhd \dot{\neg}\, 0
 <= \underline{(\epsilon)}
\Rightarrow \dot{\neg}\, \dot{\neg}\, 0
 = \underline{(\epsilon)}
\gg 
\mathsf {a}
 _{Ex}
 <= \underline{
\mathsf {m}}
\Rightarrow \underline{(fy)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
 <= \underline{(fz)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
+-\underline{(\epsilon)}
; 
\forall \underline{(\epsilon)}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf {m}}
\colon 
\forall \underline{(fy)}
\colon 
\forall \underline{(fz)}
\colon 
\forall \underline{(rx)}
\colon 
\forall \underline{(ry)}
\colon 
\forall \underline{(rz)}
\colon Ded
\rhd 
\forall \underline{(\epsilon)}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf {m}}
\colon 
\forall \underline{(fy)}
\colon 
\forall \underline{(fz)}
\colon 
\forall \underline{(rx)}
\colon 
\forall \underline{(ry)}
\colon 
\forall \underline{(rz)}
\colon \underline{(rx)}
 == \underline{(ry)}
\vdash \underline{(rx)}
 << \underline{(rz)}
\vdash \underline{(fy)}
 \mathrel{\in} \underline{(ry)}
\vdash \underline{(fz)}
 \mathrel{\in} \underline{(rz)}
\vdash \dot{\neg}\, 0
 <= \underline{(\epsilon)}
\Rightarrow \dot{\neg}\, \dot{\neg}\, 0
 = \underline{(\epsilon)}
\vdash 
\mathsf {a}
 _{Ex}
 <= \underline{
\mathsf {m}}
\Rightarrow \underline{(fy)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
 <= \underline{(fz)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
+-\underline{(\epsilon)}
\gg \underline{(rx)}
 == \underline{(ry)}
\Rightarrow \underline{(rx)}
 << \underline{(rz)}
\Rightarrow \underline{(fy)}
 \mathrel{\in} \underline{(ry)}
\Rightarrow \underline{(fz)}
 \mathrel{\in} \underline{(rz)}
\Rightarrow \dot{\neg}\, 0
 <= \underline{(\epsilon)}
\Rightarrow \dot{\neg}\, \dot{\neg}\, 0
 = \underline{(\epsilon)}
\Rightarrow 
\mathsf {a}
 _{Ex}
 <= \underline{
\mathsf {m}}
\Rightarrow \underline{(fy)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
 <= \underline{(fz)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
+-\underline{(\epsilon)}
; \underline{(rx)}
 == \underline{(ry)}
\vdash \underline{(rx)}
 << \underline{(rz)}
\vdash MP2
\rhd \underline{(rx)}
 == \underline{(ry)}
\Rightarrow \underline{(rx)}
 << \underline{(rz)}
\Rightarrow \underline{(fy)}
 \mathrel{\in} \underline{(ry)}
\Rightarrow \underline{(fz)}
 \mathrel{\in} \underline{(rz)}
\Rightarrow \dot{\neg}\, 0
 <= \underline{(\epsilon)}
\Rightarrow \dot{\neg}\, \dot{\neg}\, 0
 = \underline{(\epsilon)}
\Rightarrow 
\mathsf {a}
 _{Ex}
 <= \underline{
\mathsf {m}}
\Rightarrow \underline{(fy)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
 <= \underline{(fz)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
+-\underline{(\epsilon)}
\rhd \underline{(rx)}
 == \underline{(ry)}
\rhd \underline{(rx)}
 << \underline{(rz)}
\gg \underline{(fy)}
 \mathrel{\in} \underline{(ry)}
\Rightarrow \underline{(fz)}
 \mathrel{\in} \underline{(rz)}
\Rightarrow \dot{\neg}\, 0
 <= \underline{(\epsilon)}
\Rightarrow \dot{\neg}\, \dot{\neg}\, 0
 = \underline{(\epsilon)}
\Rightarrow 
\mathsf {a}
 _{Ex}
 <= \underline{
\mathsf {m}}
\Rightarrow \underline{(fy)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
 <= \underline{(fz)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
+-\underline{(\epsilon)}
; to<<XX
\rhd \underline{(fy)}
 \mathrel{\in} \underline{(ry)}
\Rightarrow \underline{(fz)}
 \mathrel{\in} \underline{(rz)}
\Rightarrow \dot{\neg}\, 0
 <= \underline{(\epsilon)}
\Rightarrow \dot{\neg}\, \dot{\neg}\, 0
 = \underline{(\epsilon)}
\Rightarrow 
\mathsf {a}
 _{Ex}
 <= \underline{
\mathsf {m}}
\Rightarrow \underline{(fy)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
 <= \underline{(fz)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
+-\underline{(\epsilon)}
\gg \underline{(ry)}
 << \underline{(rz)}
\rceil 
, 
p_0
, 
\mathsf {c}
)
]$

$
[SubLessRight(R)
\stackrel{
stmt
}{\rightarrow}ZFsub
\vdash 
\forall \underline{(\epsilon)}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf {m}}
\colon 
\forall \underline{(fy)}
\colon 
\forall \underline{(fz)}
\colon 
\forall \underline{(rx)}
\colon 
\forall \underline{(ry)}
\colon 
\forall \underline{(rz)}
\colon \underline{(rx)}
 == \underline{(ry)}
\vdash \underline{(rz)}
 << \underline{(rx)}
\vdash \underline{(rz)}
 << \underline{(ry)}
]$

$
[SubLessRight(R)
\stackrel{
proof
}{\rightarrow}
\lambda 
\mathsf {c}
.
\lambda 
\mathsf{x}
.
{\cal P}( 
\lceil ZFsub
\vdash 
\forall \underline{(\epsilon)}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf {m}}
\colon 
\forall \underline{(fy)}
\colon 
\forall \underline{(fz)}
\colon 
\forall \underline{(rx)}
\colon 
\forall \underline{(ry)}
\colon 
\forall \underline{(rz)}
\colon \underline{(rx)}
 == \underline{(ry)}
\vdash \underline{(rz)}
 << \underline{(rx)}
\vdash \underline{(fz)}
 \mathrel{\in} \underline{(rz)}
\vdash \underline{(fy)}
 \mathrel{\in} \underline{(ry)}
\vdash \dot{\neg}\, 0
 <= \underline{(\epsilon)}
\Rightarrow \dot{\neg}\, \dot{\neg}\, 0
 = \underline{(\epsilon)}
\vdash SENC2
\rhd \underline{(rx)}
 == \underline{(ry)}
\gg \underline{(fy)}
 \mathrel{\in} \underline{(rx)}
; From<<XX
\rhd \underline{(rz)}
 << \underline{(rx)}
\rhd \underline{(fz)}
 \mathrel{\in} \underline{(rz)}
\rhd \underline{(fy)}
 \mathrel{\in} \underline{(rx)}
\rhd \dot{\neg}\, 0
 <= \underline{(\epsilon)}
\Rightarrow \dot{\neg}\, \dot{\neg}\, 0
 = \underline{(\epsilon)}
\gg 
\mathsf {a}
 _{Ex}
 <= \underline{
\mathsf {m}}
\Rightarrow \underline{(fz)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
 <= \underline{(fy)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
+-\underline{(\epsilon)}
; 
\forall \underline{(\epsilon)}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf {m}}
\colon 
\forall \underline{(fy)}
\colon 
\forall \underline{(fz)}
\colon 
\forall \underline{(rx)}
\colon 
\forall \underline{(ry)}
\colon 
\forall \underline{(rz)}
\colon Ded
\rhd 
\forall \underline{(\epsilon)}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf {m}}
\colon 
\forall \underline{(fy)}
\colon 
\forall \underline{(fz)}
\colon 
\forall \underline{(rx)}
\colon 
\forall \underline{(ry)}
\colon 
\forall \underline{(rz)}
\colon \underline{(rx)}
 == \underline{(ry)}
\vdash \underline{(rz)}
 << \underline{(rx)}
\vdash \underline{(fz)}
 \mathrel{\in} \underline{(rz)}
\vdash \underline{(fy)}
 \mathrel{\in} \underline{(ry)}
\vdash \dot{\neg}\, 0
 <= \underline{(\epsilon)}
\Rightarrow \dot{\neg}\, \dot{\neg}\, 0
 = \underline{(\epsilon)}
\vdash 
\mathsf {a}
 _{Ex}
 <= \underline{
\mathsf {m}}
\Rightarrow \underline{(fz)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
 <= \underline{(fy)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
+-\underline{(\epsilon)}
\gg \underline{(rx)}
 == \underline{(ry)}
\Rightarrow \underline{(rz)}
 << \underline{(rx)}
\Rightarrow \underline{(fz)}
 \mathrel{\in} \underline{(rz)}
\Rightarrow \underline{(fy)}
 \mathrel{\in} \underline{(ry)}
\Rightarrow \dot{\neg}\, 0
 <= \underline{(\epsilon)}
\Rightarrow \dot{\neg}\, \dot{\neg}\, 0
 = \underline{(\epsilon)}
\Rightarrow 
\mathsf {a}
 _{Ex}
 <= \underline{
\mathsf {m}}
\Rightarrow \underline{(fz)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
 <= \underline{(fy)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
+-\underline{(\epsilon)}
; \underline{(rx)}
 == \underline{(ry)}
\vdash \underline{(rz)}
 << \underline{(rx)}
\vdash MP2
\rhd \underline{(rx)}
 == \underline{(ry)}
\Rightarrow \underline{(rz)}
 << \underline{(rx)}
\Rightarrow \underline{(fz)}
 \mathrel{\in} \underline{(rz)}
\Rightarrow \underline{(fy)}
 \mathrel{\in} \underline{(ry)}
\Rightarrow \dot{\neg}\, 0
 <= \underline{(\epsilon)}
\Rightarrow \dot{\neg}\, \dot{\neg}\, 0
 = \underline{(\epsilon)}
\Rightarrow 
\mathsf {a}
 _{Ex}
 <= \underline{
\mathsf {m}}
\Rightarrow \underline{(fz)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
 <= \underline{(fy)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
+-\underline{(\epsilon)}
\rhd \underline{(rx)}
 == \underline{(ry)}
\rhd \underline{(rz)}
 << \underline{(rx)}
\gg \underline{(fz)}
 \mathrel{\in} \underline{(rz)}
\Rightarrow \underline{(fy)}
 \mathrel{\in} \underline{(ry)}
\Rightarrow \dot{\neg}\, 0
 <= \underline{(\epsilon)}
\Rightarrow \dot{\neg}\, \dot{\neg}\, 0
 = \underline{(\epsilon)}
\Rightarrow 
\mathsf {a}
 _{Ex}
 <= \underline{
\mathsf {m}}
\Rightarrow \underline{(fz)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
 <= \underline{(fy)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
+-\underline{(\epsilon)}
; to<<XX
\rhd \underline{(fz)}
 \mathrel{\in} \underline{(rz)}
\Rightarrow \underline{(fy)}
 \mathrel{\in} \underline{(ry)}
\Rightarrow \dot{\neg}\, 0
 <= \underline{(\epsilon)}
\Rightarrow \dot{\neg}\, \dot{\neg}\, 0
 = \underline{(\epsilon)}
\Rightarrow 
\mathsf {a}
 _{Ex}
 <= \underline{
\mathsf {m}}
\Rightarrow \underline{(fz)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
 <= \underline{(fy)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
+-\underline{(\epsilon)}
\gg \underline{(rz)}
 << \underline{(ry)}
\rceil 
, 
p_0
, 
\mathsf {c}
)
]$

$
[LessLeq(R)
\stackrel{
stmt
}{\rightarrow}ZFsub
\vdash 
\forall \underline{(rx)}
\colon 
\forall \underline{(ry)}
\colon \underline{(rx)}
 << \underline{(ry)}
\vdash \dot{\neg}\, \underline{(rx)}
 << \underline{(ry)}
\Rightarrow \underline{(rx)}
 == \underline{(ry)}
]$

$
[LessLeq(R)
\stackrel{
proof
}{\rightarrow}
\lambda 
\mathsf {c}
.
\lambda 
\mathsf{x}
.
{\cal P}( 
\lceil ZFsub
\vdash 
\forall \underline{(rx)}
\colon 
\forall \underline{(ry)}
\colon \underline{(rx)}
 << \underline{(ry)}
\vdash WeakenOr2
\rhd \underline{(rx)}
 << \underline{(ry)}
\gg \dot{\neg}\, \underline{(rx)}
 << \underline{(ry)}
\Rightarrow \underline{(rx)}
 == \underline{(ry)}
; Repetition
\rhd \dot{\neg}\, \underline{(rx)}
 << \underline{(ry)}
\Rightarrow \underline{(rx)}
 == \underline{(ry)}
\gg \dot{\neg}\, \underline{(rx)}
 << \underline{(ry)}
\Rightarrow \underline{(rx)}
 == \underline{(ry)}
\rceil 
, 
p_0
, 
\mathsf {c}
)
]$

$
[<<Transitivity
\stackrel{
stmt
}{\rightarrow}ZFsub
\vdash 
\forall \underline{
\mathsf {m}}
\colon 
\forall \underline{(\epsilon)}
\colon 
\forall \underline{(fx)}
\colon 
\forall \underline{(fz)}
\colon 
\forall \underline{(rx)}
\colon 
\forall \underline{(ry)}
\colon 
\forall \underline{(rz)}
\colon \underline{(rx)}
 << \underline{(ry)}
\vdash \underline{(ry)}
 << \underline{(rz)}
\vdash \underline{(rx)}
 << \underline{(rz)}
]$

$
[<<Transitivity
\stackrel{
proof
}{\rightarrow}
\lambda 
\mathsf {c}
.
\lambda 
\mathsf{x}
.
{\cal P}( 
\lceil ZFsub
\vdash 
\forall \underline{
\mathsf {m}}
\colon 
\forall \underline{(\epsilon)}
\colon 
\forall \underline{(fx)}
\colon 
\forall \underline{(fz)}
\colon 
\forall \underline{(rx)}
\colon 
\forall \underline{(ry)}
\colon 
\forall \underline{(rz)}
\colon \underline{(rx)}
 << \underline{(ry)}
\vdash \underline{(ry)}
 << \underline{(rz)}
\vdash \underline{(fx)}
 \mathrel{\in} \underline{(rx)}
\vdash \underline{(fz)}
 \mathrel{\in} \underline{(rz)}
\vdash \dot{\neg}\, 0
 <= \underline{(\epsilon)}
\Rightarrow \dot{\neg}\, \dot{\neg}\, 0
 = \underline{(\epsilon)}
\vdash 
\mathsf {c}
 _{Ex}
 <= \underline{
\mathsf {m}}
\vdash From<<(2)
\rhd \underline{(rx)}
 << \underline{(ry)}
\gg 
\mathsf {t}
 _{Ex}
 \mathrel{\in} \underline{(ry)}
; ThirdGeqSeries
\rhd \underline{(rx)}
 << \underline{(ry)}
\rhd \underline{(ry)}
 << \underline{(rz)}
\rhd \underline{(fx)}
 \mathrel{\in} \underline{(rx)}
\rhd 
\mathsf {t}
 _{Ex}
 \mathrel{\in} \underline{(ry)}
\rhd 
\mathsf {t}
 _{Ex}
 \mathrel{\in} \underline{(ry)}
\rhd \underline{(fz)}
 \mathrel{\in} \underline{(rz)}
\rhd \dot{\neg}\, 0
 <= \underline{(\epsilon)}
\Rightarrow \dot{\neg}\, \dot{\neg}\, 0
 = \underline{(\epsilon)}
\rhd 
\mathsf {c}
 _{Ex}
 <= \underline{
\mathsf {m}}
\gg \dot{\neg}\, \underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
 <= 
\mathsf {t}
 _{Ex}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
+-\underline{(\epsilon)}
\Rightarrow \dot{\neg}\, 
\mathsf {t}
 _{Ex}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
 <= \underline{(fz)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
+-\underline{(\epsilon)}
; FirstConjunct
\rhd \dot{\neg}\, \underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
 <= 
\mathsf {t}
 _{Ex}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
+-\underline{(\epsilon)}
\Rightarrow \dot{\neg}\, 
\mathsf {t}
 _{Ex}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
 <= \underline{(fz)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
+-\underline{(\epsilon)}
\gg \underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
 <= 
\mathsf {t}
 _{Ex}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
+-\underline{(\epsilon)}
; SecondConjunct
\rhd \dot{\neg}\, \underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
 <= 
\mathsf {t}
 _{Ex}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
+-\underline{(\epsilon)}
\Rightarrow \dot{\neg}\, 
\mathsf {t}
 _{Ex}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
 <= \underline{(fz)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
+-\underline{(\epsilon)}
\gg 
\mathsf {t}
 _{Ex}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
 <= \underline{(fz)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
+-\underline{(\epsilon)}
; <<TransitivityHelper(Q)
\rhd \underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
 <= 
\mathsf {t}
 _{Ex}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
+-\underline{(\epsilon)}
\rhd 
\mathsf {t}
 _{Ex}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
 <= \underline{(fz)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
+-\underline{(\epsilon)}
\rhd \dot{\neg}\, 0
 <= \underline{(\epsilon)}
\Rightarrow \dot{\neg}\, \dot{\neg}\, 0
 = \underline{(\epsilon)}
\gg \underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
 <= \underline{(fz)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
+-\underline{(\epsilon)}
; 
\forall \underline{
\mathsf {m}}
\colon 
\forall \underline{(\epsilon)}
\colon 
\forall \underline{(fx)}
\colon 
\forall \underline{(fz)}
\colon 
\forall \underline{(rx)}
\colon 
\forall \underline{(ry)}
\colon 
\forall \underline{(rz)}
\colon Ded
\rhd 
\forall \underline{
\mathsf {m}}
\colon 
\forall \underline{(\epsilon)}
\colon 
\forall \underline{(fx)}
\colon 
\forall \underline{(fz)}
\colon 
\forall \underline{(rx)}
\colon 
\forall \underline{(ry)}
\colon 
\forall \underline{(rz)}
\colon \underline{(rx)}
 << \underline{(ry)}
\vdash \underline{(ry)}
 << \underline{(rz)}
\vdash \underline{(fx)}
 \mathrel{\in} \underline{(rx)}
\vdash \underline{(fz)}
 \mathrel{\in} \underline{(rz)}
\vdash \dot{\neg}\, 0
 <= \underline{(\epsilon)}
\Rightarrow \dot{\neg}\, \dot{\neg}\, 0
 = \underline{(\epsilon)}
\vdash 
\mathsf {c}
 _{Ex}
 <= \underline{
\mathsf {m}}
\vdash \underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
 <= \underline{(fz)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
+-\underline{(\epsilon)}
\gg \underline{(rx)}
 << \underline{(ry)}
\Rightarrow \underline{(ry)}
 << \underline{(rz)}
\Rightarrow \underline{(fx)}
 \mathrel{\in} \underline{(rx)}
\Rightarrow \underline{(fz)}
 \mathrel{\in} \underline{(rz)}
\Rightarrow \dot{\neg}\, 0
 <= \underline{(\epsilon)}
\Rightarrow \dot{\neg}\, \dot{\neg}\, 0
 = \underline{(\epsilon)}
\Rightarrow 
\mathsf {c}
 _{Ex}
 <= \underline{
\mathsf {m}}
\Rightarrow \underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
 <= \underline{(fz)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
+-\underline{(\epsilon)}
; \underline{(rx)}
 << \underline{(ry)}
\vdash \underline{(ry)}
 << \underline{(rz)}
\vdash MP2
\rhd \underline{(rx)}
 << \underline{(ry)}
\Rightarrow \underline{(ry)}
 << \underline{(rz)}
\Rightarrow \underline{(fx)}
 \mathrel{\in} \underline{(rx)}
\Rightarrow \underline{(fz)}
 \mathrel{\in} \underline{(rz)}
\Rightarrow \dot{\neg}\, 0
 <= \underline{(\epsilon)}
\Rightarrow \dot{\neg}\, \dot{\neg}\, 0
 = \underline{(\epsilon)}
\Rightarrow 
\mathsf {c}
 _{Ex}
 <= \underline{
\mathsf {m}}
\Rightarrow \underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
 <= \underline{(fz)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
+-\underline{(\epsilon)}
\rhd \underline{(rx)}
 << \underline{(ry)}
\rhd \underline{(ry)}
 << \underline{(rz)}
\gg \underline{(fx)}
 \mathrel{\in} \underline{(rx)}
\Rightarrow \underline{(fz)}
 \mathrel{\in} \underline{(rz)}
\Rightarrow \dot{\neg}\, 0
 <= \underline{(\epsilon)}
\Rightarrow \dot{\neg}\, \dot{\neg}\, 0
 = \underline{(\epsilon)}
\Rightarrow 
\mathsf {c}
 _{Ex}
 <= \underline{
\mathsf {m}}
\Rightarrow \underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
 <= \underline{(fz)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
+-\underline{(\epsilon)}
; ExistIntro
\mathop {\char64} 
\mathsf {a}
 _{Ex}
\mathop {\char64} 
\mathsf {c}
 _{Ex}
\rhd \underline{(fx)}
 \mathrel{\in} \underline{(rx)}
\Rightarrow \underline{(fz)}
 \mathrel{\in} \underline{(rz)}
\Rightarrow \dot{\neg}\, 0
 <= \underline{(\epsilon)}
\Rightarrow \dot{\neg}\, \dot{\neg}\, 0
 = \underline{(\epsilon)}
\Rightarrow 
\mathsf {c}
 _{Ex}
 <= \underline{
\mathsf {m}}
\Rightarrow \underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
 <= \underline{(fz)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
+-\underline{(\epsilon)}
\gg \underline{(fx)}
 \mathrel{\in} \underline{(rx)}
\Rightarrow \underline{(fz)}
 \mathrel{\in} \underline{(rz)}
\Rightarrow \dot{\neg}\, 0
 <= \underline{(\epsilon)}
\Rightarrow \dot{\neg}\, \dot{\neg}\, 0
 = \underline{(\epsilon)}
\Rightarrow 
\mathsf {a}
 _{Ex}
 <= \underline{
\mathsf {m}}
\Rightarrow \underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
 <= \underline{(fz)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
+-\underline{(\epsilon)}
; to<<XX
\rhd \underline{(fx)}
 \mathrel{\in} \underline{(rx)}
\Rightarrow \underline{(fz)}
 \mathrel{\in} \underline{(rz)}
\Rightarrow \dot{\neg}\, 0
 <= \underline{(\epsilon)}
\Rightarrow \dot{\neg}\, \dot{\neg}\, 0
 = \underline{(\epsilon)}
\Rightarrow 
\mathsf {a}
 _{Ex}
 <= \underline{
\mathsf {m}}
\Rightarrow \underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
 <= \underline{(fz)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
+-\underline{(\epsilon)}
\gg \underline{(rx)}
 << \underline{(rz)}
\rceil 
, 
p_0
, 
\mathsf {c}
)
]$



(*** NUMMER 1 ***)


$
[<<==Reflexivity
\stackrel{
stmt
}{\rightarrow}ZFsub
\vdash 
\forall \underline{(rx)}
\colon \dot{\neg}\, \underline{(rx)}
 << \underline{(rx)}
\Rightarrow \underline{(rx)}
 == \underline{(rx)}
]$

$
[<<==Reflexivity
\stackrel{
proof
}{\rightarrow}
\lambda 
\mathsf {c}
.
\lambda 
\mathsf{x}
.
{\cal P}( 
\lceil ZFsub
\vdash 
\forall \underline{(rx)}
\colon ==\!{}Reflexivity
\gg \underline{(rx)}
 == \underline{(rx)}
; eqLeq(R)
\rhd \underline{(rx)}
 == \underline{(rx)}
\gg \dot{\neg}\, \underline{(rx)}
 << \underline{(rx)}
\Rightarrow \underline{(rx)}
 == \underline{(rx)}
\rceil 
, 
p_0
, 
\mathsf {c}
)
]$

(*** NUMMER 2 ***)


$
[<<==AntisymmetryHelper(Q)
\stackrel{
stmt
}{\rightarrow}ZFsub
\vdash 
\forall \underline{
\mathsf {a}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf{x}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf{y}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf{z}}
\colon \dot{\neg}\, 0
 <= \underline{
\mathsf{z}}
\Rightarrow \dot{\neg}\, \dot{\neg}\, 0
 = \underline{
\mathsf{z}}
\vdash \underline{
\mathsf{x}}
 <= \underline{
\mathsf{y}}
+-\underline{
\mathsf{z}}
\vdash \underline{
\mathsf{y}}
 <= \underline{
\mathsf{x}}
+-\underline{
\mathsf{z}}
\vdash \underline{
\mathsf {a}}
]$

$
[<<==AntisymmetryHelper(Q)
\stackrel{
proof
}{\rightarrow}
\lambda 
\mathsf {c}
.
\lambda 
\mathsf{x}
.
{\cal P}( 
\lceil ZFsub
\vdash 
\forall \underline{
\mathsf {a}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf{x}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf{y}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf{z}}
\colon \dot{\neg}\, 0
 <= \underline{
\mathsf{z}}
\Rightarrow \dot{\neg}\, \dot{\neg}\, 0
 = \underline{
\mathsf{z}}
\vdash \underline{
\mathsf{x}}
 <= \underline{
\mathsf{y}}
+-\underline{
\mathsf{z}}
\vdash \underline{
\mathsf{y}}
 <= \underline{
\mathsf{x}}
+-\underline{
\mathsf{z}}
\vdash leqAddition
\rhd \underline{
\mathsf{x}}
 <= \underline{
\mathsf{y}}
+-\underline{
\mathsf{z}}
\gg \underline{
\mathsf{x}}
+\underline{
\mathsf{z}}
 <= \underline{
\mathsf{y}}
+-\underline{
\mathsf{z}}
+\underline{
\mathsf{z}}
; plusAssociativity
\gg \underline{
\mathsf{y}}
+-\underline{
\mathsf{z}}
+\underline{
\mathsf{z}}
 = \underline{
\mathsf{y}}
+-\underline{
\mathsf{z}}
+\underline{
\mathsf{z}}
; plusCommutativity
\gg -\underline{
\mathsf{z}}
+\underline{
\mathsf{z}}
 = \underline{
\mathsf{z}}
+-\underline{
\mathsf{z}}
; 
\mbox{lemma eqAdditionLeft}
\rhd -\underline{
\mathsf{z}}
+\underline{
\mathsf{z}}
 = \underline{
\mathsf{z}}
+-\underline{
\mathsf{z}}
\gg \underline{
\mathsf{y}}
+-\underline{
\mathsf{z}}
+\underline{
\mathsf{z}}
 = \underline{
\mathsf{y}}
+\underline{
\mathsf{z}}
+-\underline{
\mathsf{z}}
; x=x+(y-y)
\gg \underline{
\mathsf{y}}
 = \underline{
\mathsf{y}}
+\underline{
\mathsf{z}}
+-\underline{
\mathsf{z}}
; eqSymmetry
\rhd \underline{
\mathsf{y}}
 = \underline{
\mathsf{y}}
+\underline{
\mathsf{z}}
+-\underline{
\mathsf{z}}
\gg \underline{
\mathsf{y}}
+\underline{
\mathsf{z}}
+-\underline{
\mathsf{z}}
 = \underline{
\mathsf{y}}
; eqTransitivity4
\rhd \underline{
\mathsf{y}}
+-\underline{
\mathsf{z}}
+\underline{
\mathsf{z}}
 = \underline{
\mathsf{y}}
+-\underline{
\mathsf{z}}
+\underline{
\mathsf{z}}
\rhd \underline{
\mathsf{y}}
+-\underline{
\mathsf{z}}
+\underline{
\mathsf{z}}
 = \underline{
\mathsf{y}}
+\underline{
\mathsf{z}}
+-\underline{
\mathsf{z}}
\rhd \underline{
\mathsf{y}}
+\underline{
\mathsf{z}}
+-\underline{
\mathsf{z}}
 = \underline{
\mathsf{y}}
\gg \underline{
\mathsf{y}}
+-\underline{
\mathsf{z}}
+\underline{
\mathsf{z}}
 = \underline{
\mathsf{y}}
; subLeqRight
\rhd \underline{
\mathsf{y}}
+-\underline{
\mathsf{z}}
+\underline{
\mathsf{z}}
 = \underline{
\mathsf{y}}
\rhd \underline{
\mathsf{x}}
+\underline{
\mathsf{z}}
 <= \underline{
\mathsf{y}}
+-\underline{
\mathsf{z}}
+\underline{
\mathsf{z}}
\gg \underline{
\mathsf{x}}
+\underline{
\mathsf{z}}
 <= \underline{
\mathsf{y}}
; leqTransitivity
\rhd \underline{
\mathsf{x}}
+\underline{
\mathsf{z}}
 <= \underline{
\mathsf{y}}
\rhd \underline{
\mathsf{y}}
 <= \underline{
\mathsf{x}}
+-\underline{
\mathsf{z}}
\gg \underline{
\mathsf{x}}
+\underline{
\mathsf{z}}
 <= \underline{
\mathsf{x}}
+-\underline{
\mathsf{z}}
; leqSubtractionLeft
\rhd \underline{
\mathsf{x}}
+\underline{
\mathsf{z}}
 <= \underline{
\mathsf{x}}
+-\underline{
\mathsf{z}}
\gg \underline{
\mathsf{z}}
 <= -\underline{
\mathsf{z}}
; toNotLess
\rhd \underline{
\mathsf{z}}
 <= -\underline{
\mathsf{z}}
\gg \dot{\neg}\, \dot{\neg}\, -\underline{
\mathsf{z}}
 <= \underline{
\mathsf{z}}
\Rightarrow \dot{\neg}\, \dot{\neg}\, -\underline{
\mathsf{z}}
 = \underline{
\mathsf{z}}
; NegativeLessPositive
\rhd \dot{\neg}\, 0
 <= \underline{
\mathsf{z}}
\Rightarrow \dot{\neg}\, \dot{\neg}\, 0
 = \underline{
\mathsf{z}}
\gg \dot{\neg}\, -\underline{
\mathsf{z}}
 <= \underline{
\mathsf{z}}
\Rightarrow \dot{\neg}\, \dot{\neg}\, -\underline{
\mathsf{z}}
 = \underline{
\mathsf{z}}
; FromContradiction
\rhd \dot{\neg}\, -\underline{
\mathsf{z}}
 <= \underline{
\mathsf{z}}
\Rightarrow \dot{\neg}\, \dot{\neg}\, -\underline{
\mathsf{z}}
 = \underline{
\mathsf{z}}
\rhd \dot{\neg}\, \dot{\neg}\, -\underline{
\mathsf{z}}
 <= \underline{
\mathsf{z}}
\Rightarrow \dot{\neg}\, \dot{\neg}\, -\underline{
\mathsf{z}}
 = \underline{
\mathsf{z}}
\gg \underline{
\mathsf {a}}
\rceil 
, 
p_0
, 
\mathsf {c}
)
]$

$
[<<==Antisymmetry
\stackrel{
stmt
}{\rightarrow}ZFsub
\vdash 
\forall \underline{(rx)}
\colon 
\forall \underline{(ry)}
\colon \dot{\neg}\, \underline{(rx)}
 << \underline{(ry)}
\Rightarrow \underline{(rx)}
 == \underline{(ry)}
\vdash \dot{\neg}\, \underline{(ry)}
 << \underline{(rx)}
\Rightarrow \underline{(ry)}
 == \underline{(rx)}
\vdash \underline{(rx)}
 == \underline{(ry)}
]$

$
[<<==Antisymmetry
\stackrel{
proof
}{\rightarrow}
\lambda 
\mathsf {c}
.
\lambda 
\mathsf{x}
.
{\cal P}( 
\lceil ZFsub
\vdash 
\forall \underline{(rx)}
\colon 
\forall \underline{(ry)}
\colon \dot{\neg}\, \underline{(rx)}
 << \underline{(ry)}
\Rightarrow \underline{(rx)}
 == \underline{(ry)}
\vdash \dot{\neg}\, \underline{(ry)}
 << \underline{(rx)}
\Rightarrow \underline{(ry)}
 == \underline{(rx)}
\vdash Repetition
\rhd \dot{\neg}\, \underline{(rx)}
 << \underline{(ry)}
\Rightarrow \underline{(rx)}
 == \underline{(ry)}
\gg \dot{\neg}\, \underline{(rx)}
 << \underline{(ry)}
\Rightarrow \underline{(rx)}
 == \underline{(ry)}
; Repetition
\rhd \dot{\neg}\, \underline{(ry)}
 << \underline{(rx)}
\Rightarrow \underline{(ry)}
 == \underline{(rx)}
\gg \dot{\neg}\, \underline{(ry)}
 << \underline{(rx)}
\Rightarrow \underline{(ry)}
 == \underline{(rx)}
; ExpandDisjuncts
\rhd \dot{\neg}\, \underline{(rx)}
 << \underline{(ry)}
\Rightarrow \underline{(rx)}
 == \underline{(ry)}
\rhd \dot{\neg}\, \underline{(ry)}
 << \underline{(rx)}
\Rightarrow \underline{(ry)}
 == \underline{(rx)}
\gg \dot{\neg}\, \underline{(rx)}
 == \underline{(ry)}
\Rightarrow \dot{\neg}\, \underline{(ry)}
 == \underline{(rx)}
\Rightarrow \dot{\neg}\, \underline{(rx)}
 << \underline{(ry)}
\Rightarrow \dot{\neg}\, \underline{(ry)}
 << \underline{(rx)}
; AutoImply
\gg \underline{(rx)}
 == \underline{(ry)}
\Rightarrow \underline{(rx)}
 == \underline{(ry)}
; 
\forall \underline{(rx)}
\colon 
\forall \underline{(ry)}
\colon \underline{(ry)}
 == \underline{(rx)}
\vdash ==\!{}Symmetry
\rhd \underline{(ry)}
 == \underline{(rx)}
\gg \underline{(rx)}
 == \underline{(ry)}
; Ded
\rhd 
\forall \underline{(rx)}
\colon 
\forall \underline{(ry)}
\colon \underline{(ry)}
 == \underline{(rx)}
\vdash \underline{(rx)}
 == \underline{(ry)}
\gg \underline{(ry)}
 == \underline{(rx)}
\Rightarrow \underline{(rx)}
 == \underline{(ry)}
; 
\forall \underline{(rx)}
\colon 
\forall \underline{(ry)}
\colon \dot{\neg}\, \underline{(rx)}
 << \underline{(ry)}
\Rightarrow \dot{\neg}\, \underline{(ry)}
 << \underline{(rx)}
\vdash FirstConjunct
\rhd \dot{\neg}\, \underline{(rx)}
 << \underline{(ry)}
\Rightarrow \dot{\neg}\, \underline{(ry)}
 << \underline{(rx)}
\gg \underline{(rx)}
 << \underline{(ry)}
; From<<(1)
\rhd \underline{(rx)}
 << \underline{(ry)}
\gg 
\mathsf {j}
 _{Ex}
 \mathrel{\in} \underline{(rx)}
; From<<(2)
\rhd \underline{(rx)}
 << \underline{(ry)}
\gg 
\mathsf {t}
 _{Ex}
 \mathrel{\in} \underline{(ry)}
; 0<1
\gg \dot{\neg}\, 0
 <= 1
\Rightarrow \dot{\neg}\, \dot{\neg}\, 0
 = 1
; From<<XX
\rhd \underline{(rx)}
 << \underline{(ry)}
\rhd 
\mathsf {j}
 _{Ex}
 \mathrel{\in} \underline{(rx)}
\rhd 
\mathsf {t}
 _{Ex}
 \mathrel{\in} \underline{(ry)}
\rhd \dot{\neg}\, 0
 <= 1
\Rightarrow \dot{\neg}\, \dot{\neg}\, 0
 = 1
\gg 
\mathsf {a}
 _{Ex}
 <= 
\mathsf {c}
 _{Ex}
\Rightarrow 
\mathsf {j}
 _{Ex}
[
\mathsf {c}
 _{Ex}
]
 <= 
\mathsf {t}
 _{Ex}
[
\mathsf {c}
 _{Ex}
]
+-1
; SecondConjunct
\rhd \dot{\neg}\, \underline{(rx)}
 << \underline{(ry)}
\Rightarrow \dot{\neg}\, \underline{(ry)}
 << \underline{(rx)}
\gg \underline{(ry)}
 << \underline{(rx)}
; From<<XX
\rhd \underline{(ry)}
 << \underline{(rx)}
\rhd 
\mathsf {t}
 _{Ex}
 \mathrel{\in} \underline{(ry)}
\rhd 
\mathsf {j}
 _{Ex}
 \mathrel{\in} \underline{(rx)}
\rhd \dot{\neg}\, 0
 <= 1
\Rightarrow \dot{\neg}\, \dot{\neg}\, 0
 = 1
\gg 
\mathsf {a}
 _{Ex}
 <= 
\mathsf {c}
 _{Ex}
\Rightarrow 
\mathsf {t}
 _{Ex}
[
\mathsf {c}
 _{Ex}
]
 <= 
\mathsf {j}
 _{Ex}
[
\mathsf {c}
 _{Ex}
]
+-1
; ExistIntro
\mathop {\char64} 
\mathsf {b}
 _{Ex}
\mathop {\char64} 
\mathsf {a}
 _{Ex}
\rhd 
\mathsf {a}
 _{Ex}
 <= 
\mathsf {c}
 _{Ex}
\Rightarrow 
\mathsf {t}
 _{Ex}
[
\mathsf {c}
 _{Ex}
]
 <= 
\mathsf {j}
 _{Ex}
[
\mathsf {c}
 _{Ex}
]
+-1
\gg 
\mathsf {b}
 _{Ex}
 <= 
\mathsf {c}
 _{Ex}
\Rightarrow 
\mathsf {t}
 _{Ex}
[
\mathsf {c}
 _{Ex}
]
 <= 
\mathsf {j}
 _{Ex}
[
\mathsf {c}
 _{Ex}
]
+-1
; thirdGeq
\gg \dot{\neg}\, 
\mathsf {a}
 _{Ex}
 <= 
\mathsf {c}
 _{Ex}
\Rightarrow \dot{\neg}\, 
\mathsf {b}
 _{Ex}
 <= 
\mathsf {c}
 _{Ex}
; FirstConjunct
\rhd \dot{\neg}\, 
\mathsf {a}
 _{Ex}
 <= 
\mathsf {c}
 _{Ex}
\Rightarrow \dot{\neg}\, 
\mathsf {b}
 _{Ex}
 <= 
\mathsf {c}
 _{Ex}
\gg 
\mathsf {a}
 _{Ex}
 <= 
\mathsf {c}
 _{Ex}
; MP
\rhd 
\mathsf {a}
 _{Ex}
 <= 
\mathsf {c}
 _{Ex}
\Rightarrow 
\mathsf {j}
 _{Ex}
[
\mathsf {c}
 _{Ex}
]
 <= 
\mathsf {t}
 _{Ex}
[
\mathsf {c}
 _{Ex}
]
+-1
\rhd 
\mathsf {a}
 _{Ex}
 <= 
\mathsf {c}
 _{Ex}
\gg 
\mathsf {j}
 _{Ex}
[
\mathsf {c}
 _{Ex}
]
 <= 
\mathsf {t}
 _{Ex}
[
\mathsf {c}
 _{Ex}
]
+-1
; SecondConjunct
\rhd \dot{\neg}\, 
\mathsf {a}
 _{Ex}
 <= 
\mathsf {c}
 _{Ex}
\Rightarrow \dot{\neg}\, 
\mathsf {b}
 _{Ex}
 <= 
\mathsf {c}
 _{Ex}
\gg 
\mathsf {b}
 _{Ex}
 <= 
\mathsf {c}
 _{Ex}
; MP
\rhd 
\mathsf {b}
 _{Ex}
 <= 
\mathsf {c}
 _{Ex}
\Rightarrow 
\mathsf {t}
 _{Ex}
[
\mathsf {c}
 _{Ex}
]
 <= 
\mathsf {j}
 _{Ex}
[
\mathsf {c}
 _{Ex}
]
+-1
\rhd 
\mathsf {b}
 _{Ex}
 <= 
\mathsf {c}
 _{Ex}
\gg 
\mathsf {t}
 _{Ex}
[
\mathsf {c}
 _{Ex}
]
 <= 
\mathsf {j}
 _{Ex}
[
\mathsf {c}
 _{Ex}
]
+-1
; <<==AntisymmetryHelper(Q)
\rhd \dot{\neg}\, 0
 <= 1
\Rightarrow \dot{\neg}\, \dot{\neg}\, 0
 = 1
\rhd 
\mathsf {j}
 _{Ex}
[
\mathsf {c}
 _{Ex}
]
 <= 
\mathsf {t}
 _{Ex}
[
\mathsf {c}
 _{Ex}
]
+-1
\rhd 
\mathsf {t}
 _{Ex}
[
\mathsf {c}
 _{Ex}
]
 <= 
\mathsf {j}
 _{Ex}
[
\mathsf {c}
 _{Ex}
]
+-1
\gg \underline{(rx)}
 == \underline{(ry)}
; Ded
\rhd 
\forall \underline{(rx)}
\colon 
\forall \underline{(ry)}
\colon \dot{\neg}\, \underline{(rx)}
 << \underline{(ry)}
\Rightarrow \dot{\neg}\, \underline{(ry)}
 << \underline{(rx)}
\vdash \underline{(rx)}
 == \underline{(ry)}
\gg \dot{\neg}\, \underline{(rx)}
 << \underline{(ry)}
\Rightarrow \dot{\neg}\, \underline{(ry)}
 << \underline{(rx)}
\Rightarrow \underline{(rx)}
 == \underline{(ry)}
; From3Disjuncts
\rhd \dot{\neg}\, \underline{(rx)}
 == \underline{(ry)}
\Rightarrow \dot{\neg}\, \underline{(ry)}
 == \underline{(rx)}
\Rightarrow \dot{\neg}\, \underline{(rx)}
 << \underline{(ry)}
\Rightarrow \dot{\neg}\, \underline{(ry)}
 << \underline{(rx)}
\rhd \underline{(rx)}
 == \underline{(ry)}
\Rightarrow \underline{(rx)}
 == \underline{(ry)}
\rhd \underline{(ry)}
 == \underline{(rx)}
\Rightarrow \underline{(rx)}
 == \underline{(ry)}
\rhd \dot{\neg}\, \underline{(rx)}
 << \underline{(ry)}
\Rightarrow \dot{\neg}\, \underline{(ry)}
 << \underline{(rx)}
\Rightarrow \underline{(rx)}
 == \underline{(ry)}
\gg \underline{(rx)}
 == \underline{(ry)}
\rceil 
, 
p_0
, 
\mathsf {c}
)
]$

(*** NUMMER 3 ***)

$
[<<TransitivityHelper(Q)
\stackrel{
stmt
}{\rightarrow}ZFsub
\vdash 
\forall \underline{
\mathsf{x}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf{y}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf{z}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf {u}}
\colon \underline{
\mathsf{x}}
 <= \underline{
\mathsf{y}}
+-\underline{
\mathsf {u}}
\vdash \underline{
\mathsf{y}}
 <= \underline{
\mathsf{z}}
+-\underline{
\mathsf {u}}
\vdash \dot{\neg}\, 0
 <= \underline{
\mathsf {u}}
\Rightarrow \dot{\neg}\, \dot{\neg}\, 0
 = \underline{
\mathsf {u}}
\vdash \underline{
\mathsf{x}}
 <= \underline{
\mathsf{z}}
+-\underline{
\mathsf {u}}
]$

$
[<<TransitivityHelper(Q)
\stackrel{
proof
}{\rightarrow}
\lambda 
\mathsf {c}
.
\lambda 
\mathsf{x}
.
{\cal P}( 
\lceil ZFsub
\vdash 
\forall \underline{
\mathsf{x}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf{y}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf{z}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf {u}}
\colon \underline{
\mathsf{x}}
 <= \underline{
\mathsf{y}}
+-\underline{
\mathsf {u}}
\vdash \underline{
\mathsf{y}}
 <= \underline{
\mathsf{z}}
+-\underline{
\mathsf {u}}
\vdash \dot{\neg}\, 0
 <= \underline{
\mathsf {u}}
\Rightarrow \dot{\neg}\, \dot{\neg}\, 0
 = \underline{
\mathsf {u}}
\vdash PositiveNegated
\rhd \dot{\neg}\, 0
 <= \underline{
\mathsf {u}}
\Rightarrow \dot{\neg}\, \dot{\neg}\, 0
 = \underline{
\mathsf {u}}
\gg \dot{\neg}\, -\underline{
\mathsf {u}}
 <= 0
\Rightarrow \dot{\neg}\, \dot{\neg}\, -\underline{
\mathsf {u}}
 = 0
; LessAdditionLeft
\rhd \dot{\neg}\, -\underline{
\mathsf {u}}
 <= 0
\Rightarrow \dot{\neg}\, \dot{\neg}\, -\underline{
\mathsf {u}}
 = 0
\gg \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf{y}}
+-\underline{
\mathsf {u}}
 <= \underline{
\mathsf{y}}
+0
\Rightarrow \dot{\neg}\, \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf{y}}
+-\underline{
\mathsf {u}}
 = \underline{
\mathsf{y}}
+0
; plus0
\gg \underline{
\mathsf{y}}
+0
 = \underline{
\mathsf{y}}
; SubLessRight
\rhd \underline{
\mathsf{y}}
+0
 = \underline{
\mathsf{y}}
\rhd \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf{y}}
+-\underline{
\mathsf {u}}
 <= \underline{
\mathsf{y}}
+0
\Rightarrow \dot{\neg}\, \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf{y}}
+-\underline{
\mathsf {u}}
 = \underline{
\mathsf{y}}
+0
\gg \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf{y}}
+-\underline{
\mathsf {u}}
 <= \underline{
\mathsf{y}}
\Rightarrow \dot{\neg}\, \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf{y}}
+-\underline{
\mathsf {u}}
 = \underline{
\mathsf{y}}
; leqLessTransitivity
\rhd \underline{
\mathsf{x}}
 <= \underline{
\mathsf{y}}
+-\underline{
\mathsf {u}}
\rhd \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf{y}}
+-\underline{
\mathsf {u}}
 <= \underline{
\mathsf{y}}
\Rightarrow \dot{\neg}\, \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf{y}}
+-\underline{
\mathsf {u}}
 = \underline{
\mathsf{y}}
\gg \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf{x}}
 <= \underline{
\mathsf{y}}
\Rightarrow \dot{\neg}\, \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf{x}}
 = \underline{
\mathsf{y}}
; LessLeqTransitivity
\rhd \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf{x}}
 <= \underline{
\mathsf{y}}
\Rightarrow \dot{\neg}\, \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf{x}}
 = \underline{
\mathsf{y}}
\rhd \underline{
\mathsf{y}}
 <= \underline{
\mathsf{z}}
+-\underline{
\mathsf {u}}
\gg \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf{x}}
 <= \underline{
\mathsf{z}}
+-\underline{
\mathsf {u}}
\Rightarrow \dot{\neg}\, \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf{x}}
 = \underline{
\mathsf{z}}
+-\underline{
\mathsf {u}}
; LessLeq
\rhd \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf{x}}
 <= \underline{
\mathsf{z}}
+-\underline{
\mathsf {u}}
\Rightarrow \dot{\neg}\, \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf{x}}
 = \underline{
\mathsf{z}}
+-\underline{
\mathsf {u}}
\gg \underline{
\mathsf{x}}
 <= \underline{
\mathsf{z}}
+-\underline{
\mathsf {u}}
\rceil 
, 
p_0
, 
\mathsf {c}
)
]$

$
[<<==Transitivity
\stackrel{
stmt
}{\rightarrow}ZFsub
\vdash 
\forall \underline{(rx)}
\colon 
\forall \underline{(ry)}
\colon 
\forall \underline{(rz)}
\colon \dot{\neg}\, \underline{(rx)}
 << \underline{(ry)}
\Rightarrow \underline{(rx)}
 == \underline{(ry)}
\vdash \dot{\neg}\, \underline{(ry)}
 << \underline{(rz)}
\Rightarrow \underline{(ry)}
 == \underline{(rz)}
\vdash \dot{\neg}\, \underline{(rx)}
 << \underline{(rz)}
\Rightarrow \underline{(rx)}
 == \underline{(rz)}
]$

$
[<<==Transitivity
\stackrel{
proof
}{\rightarrow}
\lambda 
\mathsf {c}
.
\lambda 
\mathsf{x}
.
{\cal P}( 
\lceil ZFsub
\vdash 
\forall \underline{(rx)}
\colon 
\forall \underline{(ry)}
\colon 
\forall \underline{(rz)}
\colon \underline{(rx)}
 << \underline{(ry)}
\vdash \underline{(ry)}
 << \underline{(rz)}
\vdash <<Transitivity
\rhd \underline{(rx)}
 << \underline{(ry)}
\rhd \underline{(ry)}
 << \underline{(rz)}
\gg \underline{(rx)}
 << \underline{(rz)}
; LessLeq(R)
\rhd \underline{(rx)}
 << \underline{(rz)}
\gg \dot{\neg}\, \underline{(rx)}
 << \underline{(rz)}
\Rightarrow \underline{(rx)}
 == \underline{(rz)}
; 
\forall \underline{(rx)}
\colon 
\forall \underline{(ry)}
\colon 
\forall \underline{(rz)}
\colon \underline{(rx)}
 << \underline{(ry)}
\vdash \underline{(ry)}
 == \underline{(rz)}
\vdash SubLessRight(R)
\rhd \underline{(ry)}
 == \underline{(rz)}
\rhd \underline{(rx)}
 << \underline{(ry)}
\gg \underline{(rx)}
 << \underline{(rz)}
; LessLeq(R)
\rhd \underline{(rx)}
 << \underline{(rz)}
\gg \dot{\neg}\, \underline{(rx)}
 << \underline{(rz)}
\Rightarrow \underline{(rx)}
 == \underline{(rz)}
; 
\forall \underline{(rx)}
\colon 
\forall \underline{(ry)}
\colon 
\forall \underline{(rz)}
\colon \underline{(rx)}
 == \underline{(ry)}
\vdash \underline{(ry)}
 << \underline{(rz)}
\vdash ==\!{}Symmetry
\rhd \underline{(rx)}
 == \underline{(ry)}
\gg \underline{(ry)}
 == \underline{(rx)}
; SubLessLeft(R)
\rhd \underline{(ry)}
 == \underline{(rx)}
\rhd \underline{(ry)}
 << \underline{(rz)}
\gg \underline{(rx)}
 << \underline{(rz)}
; LessLeq(R)
\rhd \underline{(rx)}
 << \underline{(rz)}
\gg \dot{\neg}\, \underline{(rx)}
 << \underline{(rz)}
\Rightarrow \underline{(rx)}
 == \underline{(rz)}
; 
\forall \underline{(rx)}
\colon 
\forall \underline{(ry)}
\colon 
\forall \underline{(rz)}
\colon \underline{(rx)}
 == \underline{(ry)}
\vdash \underline{(ry)}
 == \underline{(rz)}
\vdash \!{}==\!{}Transitivity
\rhd \underline{(rx)}
 == \underline{(ry)}
\rhd \underline{(ry)}
 == \underline{(rz)}
\gg \underline{(rx)}
 == \underline{(rz)}
; eqLeq(R)
\rhd \underline{(rx)}
 == \underline{(rz)}
\gg \dot{\neg}\, \underline{(rx)}
 << \underline{(rz)}
\Rightarrow \underline{(rx)}
 == \underline{(rz)}
; 
\forall \underline{(rx)}
\colon 
\forall \underline{(ry)}
\colon 
\forall \underline{(rz)}
\colon \dot{\neg}\, \underline{(rx)}
 << \underline{(ry)}
\Rightarrow \underline{(rx)}
 == \underline{(ry)}
\vdash \dot{\neg}\, \underline{(ry)}
 << \underline{(rz)}
\Rightarrow \underline{(ry)}
 == \underline{(rz)}
\vdash Repetition
\rhd \dot{\neg}\, \underline{(rx)}
 << \underline{(ry)}
\Rightarrow \underline{(rx)}
 == \underline{(ry)}
\gg \dot{\neg}\, \underline{(rx)}
 << \underline{(ry)}
\Rightarrow \underline{(rx)}
 == \underline{(ry)}
; Repetition
\rhd \dot{\neg}\, \underline{(ry)}
 << \underline{(rz)}
\Rightarrow \underline{(ry)}
 == \underline{(rz)}
\gg \dot{\neg}\, \underline{(ry)}
 << \underline{(rz)}
\Rightarrow \underline{(ry)}
 == \underline{(rz)}
; Ded
\rhd 
\forall \underline{(rx)}
\colon 
\forall \underline{(ry)}
\colon 
\forall \underline{(rz)}
\colon \underline{(rx)}
 << \underline{(ry)}
\vdash \underline{(ry)}
 << \underline{(rz)}
\vdash \dot{\neg}\, \underline{(rx)}
 << \underline{(rz)}
\Rightarrow \underline{(rx)}
 == \underline{(rz)}
\gg \underline{(rx)}
 << \underline{(ry)}
\Rightarrow \underline{(ry)}
 << \underline{(rz)}
\Rightarrow \dot{\neg}\, \underline{(rx)}
 << \underline{(rz)}
\Rightarrow \underline{(rx)}
 == \underline{(rz)}
; Ded
\rhd 
\forall \underline{(rx)}
\colon 
\forall \underline{(ry)}
\colon 
\forall \underline{(rz)}
\colon \underline{(rx)}
 << \underline{(ry)}
\vdash \underline{(ry)}
 == \underline{(rz)}
\vdash \dot{\neg}\, \underline{(rx)}
 << \underline{(rz)}
\Rightarrow \underline{(rx)}
 == \underline{(rz)}
\gg \underline{(rx)}
 << \underline{(ry)}
\Rightarrow \underline{(ry)}
 == \underline{(rz)}
\Rightarrow \dot{\neg}\, \underline{(rx)}
 << \underline{(rz)}
\Rightarrow \underline{(rx)}
 == \underline{(rz)}
; Ded
\rhd 
\forall \underline{(rx)}
\colon 
\forall \underline{(ry)}
\colon 
\forall \underline{(rz)}
\colon \underline{(rx)}
 == \underline{(ry)}
\vdash \underline{(ry)}
 << \underline{(rz)}
\vdash \dot{\neg}\, \underline{(rx)}
 << \underline{(rz)}
\Rightarrow \underline{(rx)}
 == \underline{(rz)}
\gg \underline{(rx)}
 == \underline{(ry)}
\Rightarrow \underline{(ry)}
 << \underline{(rz)}
\Rightarrow \dot{\neg}\, \underline{(rx)}
 << \underline{(rz)}
\Rightarrow \underline{(rx)}
 == \underline{(rz)}
; Ded
\rhd 
\forall \underline{(rx)}
\colon 
\forall \underline{(ry)}
\colon 
\forall \underline{(rz)}
\colon \underline{(rx)}
 == \underline{(ry)}
\vdash \underline{(ry)}
 == \underline{(rz)}
\vdash \dot{\neg}\, \underline{(rx)}
 << \underline{(rz)}
\Rightarrow \underline{(rx)}
 == \underline{(rz)}
\gg \underline{(rx)}
 == \underline{(ry)}
\Rightarrow \underline{(ry)}
 == \underline{(rz)}
\Rightarrow \dot{\neg}\, \underline{(rx)}
 << \underline{(rz)}
\Rightarrow \underline{(rx)}
 == \underline{(rz)}
; From2*2Disjuncts
\rhd \dot{\neg}\, \underline{(rx)}
 << \underline{(ry)}
\Rightarrow \underline{(rx)}
 == \underline{(ry)}
\rhd \dot{\neg}\, \underline{(ry)}
 << \underline{(rz)}
\Rightarrow \underline{(ry)}
 == \underline{(rz)}
\rhd \underline{(rx)}
 << \underline{(ry)}
\Rightarrow \underline{(ry)}
 << \underline{(rz)}
\Rightarrow \dot{\neg}\, \underline{(rx)}
 << \underline{(rz)}
\Rightarrow \underline{(rx)}
 == \underline{(rz)}
\rhd \underline{(rx)}
 << \underline{(ry)}
\Rightarrow \underline{(ry)}
 == \underline{(rz)}
\Rightarrow \dot{\neg}\, \underline{(rx)}
 << \underline{(rz)}
\Rightarrow \underline{(rx)}
 == \underline{(rz)}
\rhd \underline{(rx)}
 == \underline{(ry)}
\Rightarrow \underline{(ry)}
 << \underline{(rz)}
\Rightarrow \dot{\neg}\, \underline{(rx)}
 << \underline{(rz)}
\Rightarrow \underline{(rx)}
 == \underline{(rz)}
\rhd \underline{(rx)}
 == \underline{(ry)}
\Rightarrow \underline{(ry)}
 == \underline{(rz)}
\Rightarrow \dot{\neg}\, \underline{(rx)}
 << \underline{(rz)}
\Rightarrow \underline{(rx)}
 == \underline{(rz)}
\gg \dot{\neg}\, \underline{(rx)}
 << \underline{(rz)}
\Rightarrow \underline{(rx)}
 == \underline{(rz)}
\rceil 
, 
p_0
, 
\mathsf {c}
)
]$

(*** NUMMER 5 ***)

$
[==Addition
\stackrel{
stmt
}{\rightarrow}ZFsub
\vdash 
\forall \underline{
\mathsf {m}}
\colon 
\forall \underline{(\epsilon)}
\colon 
\forall \underline{(fx)}
\colon 
\forall \underline{(fy)}
\colon 
\forall \underline{(fz)}
\colon R(\underline{(fx)}
)
 == R(\underline{(fy)}
)
\vdash R((fx)
+_{f}(fy)
)
 == R((fx)
+_{f}(fy)
)
]$


$
[==Addition
\stackrel{
proof
}{\rightarrow}
\lambda 
\mathsf {c}
.
\lambda 
\mathsf{x}
.
{\cal P}( 
\lceil ZFsub
\vdash 
\forall \underline{
\mathsf {m}}
\colon 
\forall \underline{(\epsilon)}
\colon 
\forall \underline{(fx)}
\colon 
\forall \underline{(fy)}
\colon 
\forall \underline{(fz)}
\colon R(\underline{(fx)}
)
 == R(\underline{(fy)}
)
\vdash \dot{\neg}\, 0
 <= \underline{(\epsilon)}
\Rightarrow \dot{\neg}\, \dot{\neg}\, 0
 = \underline{(\epsilon)}
\vdash 
\mathsf {c}
 _{Ex}
 <= \underline{
\mathsf {m}}
\vdash From==
\rhd R(\underline{(fx)}
)
 == R(\underline{(fy)}
)
\gg SF(\underline{(fx)}
,\underline{(fy)}
)
; FromSF
\rhd SF(\underline{(fx)}
,\underline{(fy)}
)
\rhd \dot{\neg}\, 0
 <= \underline{(\epsilon)}
\Rightarrow \dot{\neg}\, \dot{\neg}\, 0
 = \underline{(\epsilon)}
\gg 
\mathsf {c}
 _{Ex}
 <= \underline{
\mathsf {m}}
\Rightarrow \dot{\neg}\, if(0
 <= \underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
+-\underline{(fy)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
,\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
+-\underline{(fy)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
,-\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
+-\underline{(fy)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
)
 <= \underline{(\epsilon)}
\Rightarrow \dot{\neg}\, \dot{\neg}\, if(0
 <= \underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
+-\underline{(fy)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
,\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
+-\underline{(fy)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
,-\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
+-\underline{(fy)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
)
 = \underline{(\epsilon)}
; MP
\rhd 
\mathsf {c}
 _{Ex}
 <= \underline{
\mathsf {m}}
\Rightarrow \dot{\neg}\, if(0
 <= \underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
+-\underline{(fy)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
,\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
+-\underline{(fy)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
,-\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
+-\underline{(fy)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
)
 <= \underline{(\epsilon)}
\Rightarrow \dot{\neg}\, \dot{\neg}\, if(0
 <= \underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
+-\underline{(fy)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
,\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
+-\underline{(fy)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
,-\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
+-\underline{(fy)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
)
 = \underline{(\epsilon)}
\rhd 
\mathsf {c}
 _{Ex}
 <= \underline{
\mathsf {m}}
\gg \dot{\neg}\, if(0
 <= \underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
+-\underline{(fy)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
,\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
+-\underline{(fy)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
,-\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
+-\underline{(fy)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
)
 <= \underline{(\epsilon)}
\Rightarrow \dot{\neg}\, \dot{\neg}\, if(0
 <= \underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
+-\underline{(fy)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
,\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
+-\underline{(fy)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
,-\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
+-\underline{(fy)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
)
 = \underline{(\epsilon)}
; insertMiddleTerm(Difference)
\gg \underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
+-\underline{(fy)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
 = \underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
+\underline{(fz)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
+-\underline{(fy)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
+\underline{(fz)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
; PlusF
\gg \underline{(fx)}
+_{f}\underline{(fz)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
 = \underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
+\underline{(fz)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
; PlusF
\gg \underline{(fy)}
+_{f}\underline{(fz)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
 = \underline{(fy)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
+\underline{(fz)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
; EqNegated
\rhd \underline{(fy)}
+_{f}\underline{(fz)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
 = \underline{(fy)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
+\underline{(fz)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
\gg -\underline{(fy)}
+_{f}\underline{(fz)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
 = -\underline{(fy)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
+\underline{(fz)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
; AddEquations
\rhd \underline{(fx)}
+_{f}\underline{(fz)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
 = \underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
+\underline{(fz)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
\rhd -\underline{(fy)}
+_{f}\underline{(fz)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
 = -\underline{(fy)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
+\underline{(fz)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
\gg \underline{(fx)}
+_{f}\underline{(fz)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
+-\underline{(fy)}
+_{f}\underline{(fz)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
 = \underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
+\underline{(fz)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
+-\underline{(fy)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
+\underline{(fz)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
; eqSymmetry
\rhd \underline{(fx)}
+_{f}\underline{(fz)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
+-\underline{(fy)}
+_{f}\underline{(fz)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
 = \underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
+\underline{(fz)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
+-\underline{(fy)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
+\underline{(fz)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
\gg \underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
+\underline{(fz)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
+-\underline{(fy)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
+\underline{(fz)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
 = \underline{(fx)}
+_{f}\underline{(fz)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
+-\underline{(fy)}
+_{f}\underline{(fz)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
; eqTransitivity
\rhd \underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
+-\underline{(fy)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
 = \underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
+\underline{(fz)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
+-\underline{(fy)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
+\underline{(fz)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
\rhd \underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
+\underline{(fz)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
+-\underline{(fy)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
+\underline{(fz)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
 = \underline{(fx)}
+_{f}\underline{(fz)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
+-\underline{(fy)}
+_{f}\underline{(fz)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
\gg \underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
+-\underline{(fy)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
 = \underline{(fx)}
+_{f}\underline{(fz)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
+-\underline{(fy)}
+_{f}\underline{(fz)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
; SameNumerical
\rhd \underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
+-\underline{(fy)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
 = \underline{(fx)}
+_{f}\underline{(fz)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
+-\underline{(fy)}
+_{f}\underline{(fz)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
\gg if(0
 <= \underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
+-\underline{(fy)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
,\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
+-\underline{(fy)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
,-\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
+-\underline{(fy)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
)
 = if(0
 <= \underline{(fx)}
+_{f}\underline{(fz)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
+-\underline{(fy)}
+_{f}\underline{(fz)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
,\underline{(fx)}
+_{f}\underline{(fz)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
+-\underline{(fy)}
+_{f}\underline{(fz)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
,-\underline{(fx)}
+_{f}\underline{(fz)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
+-\underline{(fy)}
+_{f}\underline{(fz)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
)
; SubLessLeft
\rhd if(0
 <= \underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
+-\underline{(fy)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
,\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
+-\underline{(fy)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
,-\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
+-\underline{(fy)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
)
 = if(0
 <= \underline{(fx)}
+_{f}\underline{(fz)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
+-\underline{(fy)}
+_{f}\underline{(fz)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
,\underline{(fx)}
+_{f}\underline{(fz)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
+-\underline{(fy)}
+_{f}\underline{(fz)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
,-\underline{(fx)}
+_{f}\underline{(fz)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
+-\underline{(fy)}
+_{f}\underline{(fz)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
)
\rhd \dot{\neg}\, if(0
 <= \underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
+-\underline{(fy)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
,\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
+-\underline{(fy)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
,-\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
+-\underline{(fy)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
)
 <= \underline{(\epsilon)}
\Rightarrow \dot{\neg}\, \dot{\neg}\, if(0
 <= \underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
+-\underline{(fy)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
,\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
+-\underline{(fy)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
,-\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
+-\underline{(fy)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
)
 = \underline{(\epsilon)}
\gg \dot{\neg}\, if(0
 <= \underline{(fx)}
+_{f}\underline{(fz)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
+-\underline{(fy)}
+_{f}\underline{(fz)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
,\underline{(fx)}
+_{f}\underline{(fz)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
+-\underline{(fy)}
+_{f}\underline{(fz)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
,-\underline{(fx)}
+_{f}\underline{(fz)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
+-\underline{(fy)}
+_{f}\underline{(fz)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
)
 <= \underline{(\epsilon)}
\Rightarrow \dot{\neg}\, \dot{\neg}\, if(0
 <= \underline{(fx)}
+_{f}\underline{(fz)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
+-\underline{(fy)}
+_{f}\underline{(fz)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
,\underline{(fx)}
+_{f}\underline{(fz)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
+-\underline{(fy)}
+_{f}\underline{(fz)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
,-\underline{(fx)}
+_{f}\underline{(fz)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
+-\underline{(fy)}
+_{f}\underline{(fz)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
)
 = \underline{(\epsilon)}
; 
\forall \underline{
\mathsf {m}}
\colon 
\forall \underline{(\epsilon)}
\colon 
\forall \underline{(fx)}
\colon 
\forall \underline{(fy)}
\colon 
\forall \underline{(fz)}
\colon Ded
\rhd 
\forall \underline{
\mathsf {m}}
\colon 
\forall \underline{(\epsilon)}
\colon 
\forall \underline{(fx)}
\colon 
\forall \underline{(fy)}
\colon 
\forall \underline{(fz)}
\colon R(\underline{(fx)}
)
 == R(\underline{(fy)}
)
\vdash \dot{\neg}\, 0
 <= \underline{(\epsilon)}
\Rightarrow \dot{\neg}\, \dot{\neg}\, 0
 = \underline{(\epsilon)}
\vdash 
\mathsf {c}
 _{Ex}
 <= \underline{
\mathsf {m}}
\vdash \dot{\neg}\, if(0
 <= \underline{(fx)}
+_{f}\underline{(fz)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
+-\underline{(fy)}
+_{f}\underline{(fz)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
,\underline{(fx)}
+_{f}\underline{(fz)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
+-\underline{(fy)}
+_{f}\underline{(fz)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
,-\underline{(fx)}
+_{f}\underline{(fz)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
+-\underline{(fy)}
+_{f}\underline{(fz)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
)
 <= \underline{(\epsilon)}
\Rightarrow \dot{\neg}\, \dot{\neg}\, if(0
 <= \underline{(fx)}
+_{f}\underline{(fz)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
+-\underline{(fy)}
+_{f}\underline{(fz)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
,\underline{(fx)}
+_{f}\underline{(fz)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
+-\underline{(fy)}
+_{f}\underline{(fz)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
,-\underline{(fx)}
+_{f}\underline{(fz)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
+-\underline{(fy)}
+_{f}\underline{(fz)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
)
 = \underline{(\epsilon)}
\gg R(\underline{(fx)}
)
 == R(\underline{(fy)}
)
\Rightarrow \dot{\neg}\, 0
 <= \underline{(\epsilon)}
\Rightarrow \dot{\neg}\, \dot{\neg}\, 0
 = \underline{(\epsilon)}
\Rightarrow 
\mathsf {c}
 _{Ex}
 <= \underline{
\mathsf {m}}
\Rightarrow \dot{\neg}\, if(0
 <= \underline{(fx)}
+_{f}\underline{(fz)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
+-\underline{(fy)}
+_{f}\underline{(fz)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
,\underline{(fx)}
+_{f}\underline{(fz)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
+-\underline{(fy)}
+_{f}\underline{(fz)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
,-\underline{(fx)}
+_{f}\underline{(fz)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
+-\underline{(fy)}
+_{f}\underline{(fz)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
)
 <= \underline{(\epsilon)}
\Rightarrow \dot{\neg}\, \dot{\neg}\, if(0
 <= \underline{(fx)}
+_{f}\underline{(fz)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
+-\underline{(fy)}
+_{f}\underline{(fz)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
,\underline{(fx)}
+_{f}\underline{(fz)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
+-\underline{(fy)}
+_{f}\underline{(fz)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
,-\underline{(fx)}
+_{f}\underline{(fz)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
+-\underline{(fy)}
+_{f}\underline{(fz)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
)
 = \underline{(\epsilon)}
; R(\underline{(fx)}
)
 == R(\underline{(fy)}
)
\vdash MP
\rhd R(\underline{(fx)}
)
 == R(\underline{(fy)}
)
\Rightarrow \dot{\neg}\, 0
 <= \underline{(\epsilon)}
\Rightarrow \dot{\neg}\, \dot{\neg}\, 0
 = \underline{(\epsilon)}
\Rightarrow 
\mathsf {c}
 _{Ex}
 <= \underline{
\mathsf {m}}
\Rightarrow \dot{\neg}\, if(0
 <= \underline{(fx)}
+_{f}\underline{(fz)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
+-\underline{(fy)}
+_{f}\underline{(fz)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
,\underline{(fx)}
+_{f}\underline{(fz)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
+-\underline{(fy)}
+_{f}\underline{(fz)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
,-\underline{(fx)}
+_{f}\underline{(fz)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
+-\underline{(fy)}
+_{f}\underline{(fz)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
)
 <= \underline{(\epsilon)}
\Rightarrow \dot{\neg}\, \dot{\neg}\, if(0
 <= \underline{(fx)}
+_{f}\underline{(fz)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
+-\underline{(fy)}
+_{f}\underline{(fz)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
,\underline{(fx)}
+_{f}\underline{(fz)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
+-\underline{(fy)}
+_{f}\underline{(fz)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
,-\underline{(fx)}
+_{f}\underline{(fz)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
+-\underline{(fy)}
+_{f}\underline{(fz)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
)
 = \underline{(\epsilon)}
\rhd R(\underline{(fx)}
)
 == R(\underline{(fy)}
)
\gg \dot{\neg}\, 0
 <= \underline{(\epsilon)}
\Rightarrow \dot{\neg}\, \dot{\neg}\, 0
 = \underline{(\epsilon)}
\Rightarrow 
\mathsf {c}
 _{Ex}
 <= \underline{
\mathsf {m}}
\Rightarrow \dot{\neg}\, if(0
 <= \underline{(fx)}
+_{f}\underline{(fz)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
+-\underline{(fy)}
+_{f}\underline{(fz)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
,\underline{(fx)}
+_{f}\underline{(fz)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
+-\underline{(fy)}
+_{f}\underline{(fz)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
,-\underline{(fx)}
+_{f}\underline{(fz)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
+-\underline{(fy)}
+_{f}\underline{(fz)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
)
 <= \underline{(\epsilon)}
\Rightarrow \dot{\neg}\, \dot{\neg}\, if(0
 <= \underline{(fx)}
+_{f}\underline{(fz)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
+-\underline{(fy)}
+_{f}\underline{(fz)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
,\underline{(fx)}
+_{f}\underline{(fz)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
+-\underline{(fy)}
+_{f}\underline{(fz)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
,-\underline{(fx)}
+_{f}\underline{(fz)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
+-\underline{(fy)}
+_{f}\underline{(fz)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
)
 = \underline{(\epsilon)}
; ToSF
\rhd \dot{\neg}\, 0
 <= \underline{(\epsilon)}
\Rightarrow \dot{\neg}\, \dot{\neg}\, 0
 = \underline{(\epsilon)}
\Rightarrow 
\mathsf {c}
 _{Ex}
 <= \underline{
\mathsf {m}}
\Rightarrow \dot{\neg}\, if(0
 <= \underline{(fx)}
+_{f}\underline{(fz)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
+-\underline{(fy)}
+_{f}\underline{(fz)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
,\underline{(fx)}
+_{f}\underline{(fz)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
+-\underline{(fy)}
+_{f}\underline{(fz)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
,-\underline{(fx)}
+_{f}\underline{(fz)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
+-\underline{(fy)}
+_{f}\underline{(fz)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
)
 <= \underline{(\epsilon)}
\Rightarrow \dot{\neg}\, \dot{\neg}\, if(0
 <= \underline{(fx)}
+_{f}\underline{(fz)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
+-\underline{(fy)}
+_{f}\underline{(fz)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
,\underline{(fx)}
+_{f}\underline{(fz)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
+-\underline{(fy)}
+_{f}\underline{(fz)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
,-\underline{(fx)}
+_{f}\underline{(fz)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
+-\underline{(fy)}
+_{f}\underline{(fz)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
)
 = \underline{(\epsilon)}
\gg SF(\underline{(fx)}
+_{f}\underline{(fz)}
,\underline{(fy)}
+_{f}\underline{(fz)}
)
; To==
\rhd SF(\underline{(fx)}
+_{f}\underline{(fz)}
,\underline{(fy)}
+_{f}\underline{(fz)}
)
\gg R(\underline{(fx)}
+_{f}\underline{(fz)}
)
 == R(\underline{(fy)}
+_{f}\underline{(fz)}
)
; PlusR
\gg R((fx)
+_{f}(fy)
)
 == R(\underline{(fx)}
+_{f}\underline{(fz)}
)
; PlusR
\gg R((fx)
+_{f}(fy)
)
 == R(\underline{(fy)}
+_{f}\underline{(fz)}
)
; ==\!{}Symmetry
\rhd R((fx)
+_{f}(fy)
)
 == R(\underline{(fy)}
+_{f}\underline{(fz)}
)
\gg R(\underline{(fy)}
+_{f}\underline{(fz)}
)
 == R((fx)
+_{f}(fy)
)
; \!{}==\!{}Transitivity
\rhd R((fx)
+_{f}(fy)
)
 == R(\underline{(fx)}
+_{f}\underline{(fz)}
)
\rhd R(\underline{(fx)}
+_{f}\underline{(fz)}
)
 == R(\underline{(fy)}
+_{f}\underline{(fz)}
)
\gg R((fx)
+_{f}(fy)
)
 == R(\underline{(fy)}
+_{f}\underline{(fz)}
)
; \!{}==\!{}Transitivity
\rhd R((fx)
+_{f}(fy)
)
 == R(\underline{(fy)}
+_{f}\underline{(fz)}
)
\rhd R(\underline{(fy)}
+_{f}\underline{(fz)}
)
 == R((fx)
+_{f}(fy)
)
\gg R((fx)
+_{f}(fy)
)
 == R((fx)
+_{f}(fy)
)
\rceil 
, 
p_0
, 
\mathsf {c}
)
]$

$
[==AdditionLeft
\stackrel{
stmt
}{\rightarrow}ZFsub
\vdash 
\forall \underline{(fx)}
\colon 
\forall \underline{(fy)}
\colon 
\forall \underline{(fz)}
\colon R(\underline{(fx)}
)
 == R(\underline{(fy)}
)
\vdash R((fx)
+_{f}(fy)
)
 == R((fx)
+_{f}(fy)
)
]$

$
[==AdditionLeft
\stackrel{
proof
}{\rightarrow}
\lambda 
\mathsf {c}
.
\lambda 
\mathsf{x}
.
{\cal P}( 
\lceil ZFsub
\vdash 
\forall \underline{(fx)}
\colon 
\forall \underline{(fy)}
\colon 
\forall \underline{(fz)}
\colon R(\underline{(fx)}
)
 == R(\underline{(fy)}
)
\vdash ==Addition
\rhd R(\underline{(fx)}
)
 == R(\underline{(fy)}
)
\gg R((fx)
+_{f}(fy)
)
 == R((fx)
+_{f}(fy)
)
; PlusCommutativity(R)
\gg R((fx)
+_{f}(fy)
)
 == R((fx)
+_{f}(fy)
)
; PlusCommutativity(R)
\gg R((fx)
+_{f}(fy)
)
 == R((fx)
+_{f}(fy)
)
; \!{}==\!{}Transitivity
\rhd R((fx)
+_{f}(fy)
)
 == R((fx)
+_{f}(fy)
)
\rhd R((fx)
+_{f}(fy)
)
 == R((fx)
+_{f}(fy)
)
\gg R((fx)
+_{f}(fy)
)
 == R((fx)
+_{f}(fy)
)
; \!{}==\!{}Transitivity
\rhd R((fx)
+_{f}(fy)
)
 == R((fx)
+_{f}(fy)
)
\rhd R((fx)
+_{f}(fy)
)
 == R((fx)
+_{f}(fy)
)
\gg R((fx)
+_{f}(fy)
)
 == R((fx)
+_{f}(fy)
)
\rceil 
, 
p_0
, 
\mathsf {c}
)
]$



(***)

$
[<<Addition
\stackrel{
stmt
}{\rightarrow}ZFsub
\vdash 
\forall \underline{
\mathsf {m}}
\colon 
\forall \underline{(\epsilon)}
\colon 
\forall \underline{(fx)}
\colon 
\forall \underline{(fy)}
\colon 
\forall \underline{(fz)}
\colon R(\underline{(fx)}
)
 << R(\underline{(fy)}
)
\vdash R((fx)
+_{f}(fy)
)
 << R((fx)
+_{f}(fy)
)
]$

$
[<<Addition
\stackrel{
proof
}{\rightarrow}
\lambda 
\mathsf {c}
.
\lambda 
\mathsf{x}
.
{\cal P}( 
\lceil ZFsub
\vdash 
\forall \underline{
\mathsf {m}}
\colon 
\forall \underline{(\epsilon)}
\colon 
\forall \underline{(fx)}
\colon 
\forall \underline{(fy)}
\colon 
\forall \underline{(fz)}
\colon R(\underline{(fx)}
)
 << R(\underline{(fy)}
)
\vdash \dot{\neg}\, 0
 <= \underline{(\epsilon)}
\Rightarrow \dot{\neg}\, \dot{\neg}\, 0
 = \underline{(\epsilon)}
\vdash 
\mathsf {c}
 _{Ex}
 <= \underline{
\mathsf {m}}
\vdash From<<
\rhd R(\underline{(fx)}
)
 << R(\underline{(fy)}
)
\gg \underline{(fx)}
<_{f}\underline{(fy)}
; From<f
\rhd \underline{(fx)}
<_{f}\underline{(fy)}
\rhd \dot{\neg}\, 0
 <= \underline{(\epsilon)}
\Rightarrow \dot{\neg}\, \dot{\neg}\, 0
 = \underline{(\epsilon)}
\gg 
\mathsf {c}
 _{Ex}
 <= \underline{
\mathsf {m}}
\Rightarrow \underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
 <= \underline{(fy)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
+-\underline{(\epsilon)}
; MP
\rhd 
\mathsf {c}
 _{Ex}
 <= \underline{
\mathsf {m}}
\Rightarrow \underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
 <= \underline{(fy)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
+-\underline{(\epsilon)}
\rhd 
\mathsf {c}
 _{Ex}
 <= \underline{
\mathsf {m}}
\gg \underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
 <= \underline{(fy)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
+-\underline{(\epsilon)}
; leqAddition
\rhd \underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
 <= \underline{(fy)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
+-\underline{(\epsilon)}
\gg \underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
+\underline{(fz)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
 <= \underline{(fy)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
+-\underline{(\epsilon)}
+\underline{(fz)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
; PlusF(Sym)
\gg \underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
+\underline{(fz)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
 = \underline{(fx)}
+_{f}\underline{(fz)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
; subLeqLeft
\rhd \underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
+\underline{(fz)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
 = \underline{(fx)}
+_{f}\underline{(fz)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
\rhd \underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
+\underline{(fz)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
 <= \underline{(fy)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
+-\underline{(\epsilon)}
+\underline{(fz)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
\gg \underline{(fx)}
+_{f}\underline{(fz)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
 <= \underline{(fy)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
+-\underline{(\epsilon)}
+\underline{(fz)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
; Three2threeTerms
\gg \underline{(fy)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
+-\underline{(\epsilon)}
+\underline{(fz)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
 = \underline{(fy)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
+\underline{(fz)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
+-\underline{(\epsilon)}
; PlusF(Sym)
\gg \underline{(fy)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
+\underline{(fz)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
 = \underline{(fy)}
+_{f}\underline{(fz)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
; eqAddition
\rhd \underline{(fy)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
+\underline{(fz)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
 = \underline{(fy)}
+_{f}\underline{(fz)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
\gg \underline{(fy)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
+\underline{(fz)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
+-\underline{(\epsilon)}
 = \underline{(fy)}
+_{f}\underline{(fz)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
+-\underline{(\epsilon)}
; eqTransitivity
\rhd \underline{(fy)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
+-\underline{(\epsilon)}
+\underline{(fz)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
 = \underline{(fy)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
+\underline{(fz)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
+-\underline{(\epsilon)}
\rhd \underline{(fy)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
+\underline{(fz)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
+-\underline{(\epsilon)}
 = \underline{(fy)}
+_{f}\underline{(fz)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
+-\underline{(\epsilon)}
\gg \underline{(fy)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
+-\underline{(\epsilon)}
+\underline{(fz)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
 = \underline{(fy)}
+_{f}\underline{(fz)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
+-\underline{(\epsilon)}
; subLeqRight
\rhd \underline{(fy)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
+-\underline{(\epsilon)}
+\underline{(fz)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
 = \underline{(fy)}
+_{f}\underline{(fz)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
+-\underline{(\epsilon)}
\rhd \underline{(fx)}
+_{f}\underline{(fz)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
 <= \underline{(fy)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
+-\underline{(\epsilon)}
+\underline{(fz)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
\gg \underline{(fx)}
+_{f}\underline{(fz)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
 <= \underline{(fy)}
+_{f}\underline{(fz)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
+-\underline{(\epsilon)}
; 
\forall \underline{
\mathsf {m}}
\colon 
\forall \underline{(\epsilon)}
\colon 
\forall \underline{(fx)}
\colon 
\forall \underline{(fy)}
\colon 
\forall \underline{(fz)}
\colon Ded
\rhd 
\forall \underline{
\mathsf {m}}
\colon 
\forall \underline{(\epsilon)}
\colon 
\forall \underline{(fx)}
\colon 
\forall \underline{(fy)}
\colon 
\forall \underline{(fz)}
\colon R(\underline{(fx)}
)
 << R(\underline{(fy)}
)
\vdash \dot{\neg}\, 0
 <= \underline{(\epsilon)}
\Rightarrow \dot{\neg}\, \dot{\neg}\, 0
 = \underline{(\epsilon)}
\vdash 
\mathsf {c}
 _{Ex}
 <= \underline{
\mathsf {m}}
\vdash \underline{(fx)}
+_{f}\underline{(fz)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
 <= \underline{(fy)}
+_{f}\underline{(fz)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
+-\underline{(\epsilon)}
\gg R(\underline{(fx)}
)
 << R(\underline{(fy)}
)
\Rightarrow \dot{\neg}\, 0
 <= \underline{(\epsilon)}
\Rightarrow \dot{\neg}\, \dot{\neg}\, 0
 = \underline{(\epsilon)}
\Rightarrow 
\mathsf {c}
 _{Ex}
 <= \underline{
\mathsf {m}}
\Rightarrow \underline{(fx)}
+_{f}\underline{(fz)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
 <= \underline{(fy)}
+_{f}\underline{(fz)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
+-\underline{(\epsilon)}
; R(\underline{(fx)}
)
 << R(\underline{(fy)}
)
\vdash MP
\rhd R(\underline{(fx)}
)
 << R(\underline{(fy)}
)
\Rightarrow \dot{\neg}\, 0
 <= \underline{(\epsilon)}
\Rightarrow \dot{\neg}\, \dot{\neg}\, 0
 = \underline{(\epsilon)}
\Rightarrow 
\mathsf {c}
 _{Ex}
 <= \underline{
\mathsf {m}}
\Rightarrow \underline{(fx)}
+_{f}\underline{(fz)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
 <= \underline{(fy)}
+_{f}\underline{(fz)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
+-\underline{(\epsilon)}
\rhd R(\underline{(fx)}
)
 << R(\underline{(fy)}
)
\gg \dot{\neg}\, 0
 <= \underline{(\epsilon)}
\Rightarrow \dot{\neg}\, \dot{\neg}\, 0
 = \underline{(\epsilon)}
\Rightarrow 
\mathsf {c}
 _{Ex}
 <= \underline{
\mathsf {m}}
\Rightarrow \underline{(fx)}
+_{f}\underline{(fz)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
 <= \underline{(fy)}
+_{f}\underline{(fz)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
+-\underline{(\epsilon)}
; To<f
\rhd \dot{\neg}\, 0
 <= \underline{(\epsilon)}
\Rightarrow \dot{\neg}\, \dot{\neg}\, 0
 = \underline{(\epsilon)}
\Rightarrow 
\mathsf {c}
 _{Ex}
 <= \underline{
\mathsf {m}}
\Rightarrow \underline{(fx)}
+_{f}\underline{(fz)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
 <= \underline{(fy)}
+_{f}\underline{(fz)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
+-\underline{(\epsilon)}
\gg \underline{(fx)}
+_{f}\underline{(fz)}
<_{f}\underline{(fy)}
+_{f}\underline{(fz)}
; To<<
\rhd \underline{(fx)}
+_{f}\underline{(fz)}
<_{f}\underline{(fy)}
+_{f}\underline{(fz)}
\gg R(\underline{(fx)}
+_{f}\underline{(fz)}
)
 << R(\underline{(fy)}
+_{f}\underline{(fz)}
)
; PlusR(Sym)
\gg R(\underline{(fx)}
+_{f}\underline{(fz)}
)
 == R((fx)
+_{f}(fy)
)
; PlusR(Sym)
\gg R(\underline{(fy)}
+_{f}\underline{(fz)}
)
 == R((fx)
+_{f}(fy)
)
; SubLessLeft(R)
\rhd R(\underline{(fx)}
+_{f}\underline{(fz)}
)
 == R((fx)
+_{f}(fy)
)
\rhd R(\underline{(fx)}
+_{f}\underline{(fz)}
)
 << R(\underline{(fy)}
+_{f}\underline{(fz)}
)
\gg R((fx)
+_{f}(fy)
)
 << R(\underline{(fy)}
+_{f}\underline{(fz)}
)
; SubLessRight(R)
\rhd R(\underline{(fy)}
+_{f}\underline{(fz)}
)
 == R((fx)
+_{f}(fy)
)
\rhd R((fx)
+_{f}(fy)
)
 << R(\underline{(fy)}
+_{f}\underline{(fz)}
)
\gg R((fx)
+_{f}(fy)
)
 << R((fx)
+_{f}(fy)
)
\rceil 
, 
p_0
, 
\mathsf {c}
)
]$

(***)

$
[<<==Addition
\stackrel{
stmt
}{\rightarrow}ZFsub
\vdash 
\forall \underline{(fx)}
\colon 
\forall \underline{(fy)}
\colon 
\forall \underline{(fz)}
\colon \dot{\neg}\, R(\underline{(fx)}
)
 << R(\underline{(fy)}
)
\Rightarrow R(\underline{(fx)}
)
 == R(\underline{(fy)}
)
\vdash \dot{\neg}\, R((fx)
+_{f}(fy)
)
 << R((fx)
+_{f}(fy)
)
\Rightarrow R((fx)
+_{f}(fy)
)
 == R((fx)
+_{f}(fy)
)
]$

$
[<<==Addition
\stackrel{
proof
}{\rightarrow}
\lambda 
\mathsf {c}
.
\lambda 
\mathsf{x}
.
{\cal P}( 
\lceil ZFsub
\vdash 
\forall \underline{(fx)}
\colon 
\forall \underline{(fy)}
\colon 
\forall \underline{(fz)}
\colon R(\underline{(fx)}
)
 << R(\underline{(fy)}
)
\vdash <<Addition
\rhd R(\underline{(fx)}
)
 << R(\underline{(fy)}
)
\gg R((fx)
+_{f}(fy)
)
 << R((fx)
+_{f}(fy)
)
; LessLeq(R)
\rhd R((fx)
+_{f}(fy)
)
 << R((fx)
+_{f}(fy)
)
\gg \dot{\neg}\, R((fx)
+_{f}(fy)
)
 << R((fx)
+_{f}(fy)
)
\Rightarrow R((fx)
+_{f}(fy)
)
 == R((fx)
+_{f}(fy)
)
; 
\forall \underline{(fx)}
\colon 
\forall \underline{(fy)}
\colon 
\forall \underline{(fz)}
\colon R(\underline{(fx)}
)
 == R(\underline{(fy)}
)
\vdash ==Addition
\rhd R(\underline{(fx)}
)
 == R(\underline{(fy)}
)
\gg R((fx)
+_{f}(fy)
)
 == R((fx)
+_{f}(fy)
)
; eqLeq(R)
\rhd R((fx)
+_{f}(fy)
)
 == R((fx)
+_{f}(fy)
)
\gg \dot{\neg}\, R((fx)
+_{f}(fy)
)
 << R((fx)
+_{f}(fy)
)
\Rightarrow R((fx)
+_{f}(fy)
)
 == R((fx)
+_{f}(fy)
)
; 
\forall \underline{(fx)}
\colon 
\forall \underline{(fy)}
\colon 
\forall \underline{(fz)}
\colon Ded
\rhd 
\forall \underline{(fx)}
\colon 
\forall \underline{(fy)}
\colon 
\forall \underline{(fz)}
\colon R(\underline{(fx)}
)
 << R(\underline{(fy)}
)
\vdash \dot{\neg}\, R((fx)
+_{f}(fy)
)
 << R((fx)
+_{f}(fy)
)
\Rightarrow R((fx)
+_{f}(fy)
)
 == R((fx)
+_{f}(fy)
)
\gg R(\underline{(fx)}
)
 << R(\underline{(fy)}
)
\Rightarrow \dot{\neg}\, R((fx)
+_{f}(fy)
)
 << R((fx)
+_{f}(fy)
)
\Rightarrow R((fx)
+_{f}(fy)
)
 == R((fx)
+_{f}(fy)
)
; Ded
\rhd 
\forall \underline{(fx)}
\colon 
\forall \underline{(fy)}
\colon 
\forall \underline{(fz)}
\colon R(\underline{(fx)}
)
 == R(\underline{(fy)}
)
\vdash \dot{\neg}\, R((fx)
+_{f}(fy)
)
 << R((fx)
+_{f}(fy)
)
\Rightarrow R((fx)
+_{f}(fy)
)
 == R((fx)
+_{f}(fy)
)
\gg R(\underline{(fx)}
)
 == R(\underline{(fy)}
)
\Rightarrow \dot{\neg}\, R((fx)
+_{f}(fy)
)
 << R((fx)
+_{f}(fy)
)
\Rightarrow R((fx)
+_{f}(fy)
)
 == R((fx)
+_{f}(fy)
)
; \dot{\neg}\, R(\underline{(fx)}
)
 << R(\underline{(fy)}
)
\Rightarrow R(\underline{(fx)}
)
 == R(\underline{(fy)}
)
\vdash Repetition
\rhd \dot{\neg}\, R(\underline{(fx)}
)
 << R(\underline{(fy)}
)
\Rightarrow R(\underline{(fx)}
)
 == R(\underline{(fy)}
)
\gg \dot{\neg}\, R(\underline{(fx)}
)
 << R(\underline{(fy)}
)
\Rightarrow R(\underline{(fx)}
)
 == R(\underline{(fy)}
)
; FromDisjuncts
\rhd \dot{\neg}\, R(\underline{(fx)}
)
 << R(\underline{(fy)}
)
\Rightarrow R(\underline{(fx)}
)
 == R(\underline{(fy)}
)
\rhd R(\underline{(fx)}
)
 << R(\underline{(fy)}
)
\Rightarrow \dot{\neg}\, R((fx)
+_{f}(fy)
)
 << R((fx)
+_{f}(fy)
)
\Rightarrow R((fx)
+_{f}(fy)
)
 == R((fx)
+_{f}(fy)
)
\rhd R(\underline{(fx)}
)
 == R(\underline{(fy)}
)
\Rightarrow \dot{\neg}\, R((fx)
+_{f}(fy)
)
 << R((fx)
+_{f}(fy)
)
\Rightarrow R((fx)
+_{f}(fy)
)
 == R((fx)
+_{f}(fy)
)
\gg \dot{\neg}\, R((fx)
+_{f}(fy)
)
 << R((fx)
+_{f}(fy)
)
\Rightarrow R((fx)
+_{f}(fy)
)
 == R((fx)
+_{f}(fy)
)
\rceil 
, 
p_0
, 
\mathsf {c}
)
]$

(*** NUMMER 7 ***)

$
[PlusAssociativity(F)
\stackrel{
stmt
}{\rightarrow}ZFsub
\vdash 
\forall \underline{
\mathsf {m}}
\colon 
\forall \underline{(fx)}
\colon 
\forall \underline{(fy)}
\colon 
\forall \underline{(fz)}
\colon \underline{(fx)}
+_{f}\underline{(fy)}
+_{f}\underline{(fz)}
=_{f}\underline{(fx)}
+_{f}\underline{(fy)}
+_{f}\underline{(fz)}
]$

$
[PlusAssociativity(F)
\stackrel{
proof
}{\rightarrow}
\lambda 
\mathsf {c}
.
\lambda 
\mathsf{x}
.
{\cal P}( 
\lceil ZFsub
\vdash 
\forall \underline{
\mathsf {m}}
\colon 
\forall \underline{(fx)}
\colon 
\forall \underline{(fy)}
\colon 
\forall \underline{(fz)}
\colon PlusF
\gg \underline{(fx)}
+_{f}\underline{(fy)}
+_{f}\underline{(fz)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
 = \underline{(fx)}
+_{f}\underline{(fy)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
+\underline{(fz)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
; PlusF
\gg \underline{(fx)}
+_{f}\underline{(fy)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
 = \underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
+\underline{(fy)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
; eqAddition
\rhd \underline{(fx)}
+_{f}\underline{(fy)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
 = \underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
+\underline{(fy)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
\gg \underline{(fx)}
+_{f}\underline{(fy)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
+\underline{(fz)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
 = \underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
+\underline{(fy)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
+\underline{(fz)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
; plusAssociativity
\gg \underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
+\underline{(fy)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
+\underline{(fz)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
 = \underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
+\underline{(fy)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
+\underline{(fz)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
; PlusF(Sym)
\gg \underline{(fy)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
+\underline{(fz)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
 = \underline{(fy)}
+_{f}\underline{(fz)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
; 
\mbox{lemma eqAdditionLeft}
\rhd \underline{(fy)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
+\underline{(fz)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
 = \underline{(fy)}
+_{f}\underline{(fz)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
\gg \underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
+\underline{(fy)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
+\underline{(fz)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
 = \underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
+\underline{(fy)}
+_{f}\underline{(fz)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
; PlusF(Sym)
\gg \underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
+\underline{(fy)}
+_{f}\underline{(fz)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
 = \underline{(fx)}
+_{f}\underline{(fy)}
+_{f}\underline{(fz)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
; eqTransitivity6
\rhd \underline{(fx)}
+_{f}\underline{(fy)}
+_{f}\underline{(fz)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
 = \underline{(fx)}
+_{f}\underline{(fy)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
+\underline{(fz)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
\rhd \underline{(fx)}
+_{f}\underline{(fy)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
+\underline{(fz)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
 = \underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
+\underline{(fy)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
+\underline{(fz)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
\rhd \underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
+\underline{(fy)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
+\underline{(fz)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
 = \underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
+\underline{(fy)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
+\underline{(fz)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
\rhd \underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
+\underline{(fy)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
+\underline{(fz)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
 = \underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
+\underline{(fy)}
+_{f}\underline{(fz)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
\rhd \underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
+\underline{(fy)}
+_{f}\underline{(fz)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
 = \underline{(fx)}
+_{f}\underline{(fy)}
+_{f}\underline{(fz)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
\gg \underline{(fx)}
+_{f}\underline{(fy)}
+_{f}\underline{(fz)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
 = \underline{(fx)}
+_{f}\underline{(fy)}
+_{f}\underline{(fz)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
; To=f
\rhd \underline{(fx)}
+_{f}\underline{(fy)}
+_{f}\underline{(fz)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
 = \underline{(fx)}
+_{f}\underline{(fy)}
+_{f}\underline{(fz)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
\gg \underline{(fx)}
+_{f}\underline{(fy)}
+_{f}\underline{(fz)}
=_{f}\underline{(fx)}
+_{f}\underline{(fy)}
+_{f}\underline{(fz)}
\rceil 
, 
p_0
, 
\mathsf {c}
)
]$

$
[PlusAssociativity(R)
\stackrel{
stmt
}{\rightarrow}ZFsub
\vdash 
\forall \underline{(fx)}
\colon 
\forall \underline{(fy)}
\colon 
\forall \underline{(fz)}
\colon R(\underline{(fx)}
+_{f}\underline{(fy)}
+_{f}\underline{(fz)}
)
 == R(\underline{(fx)}
+_{f}\underline{(fy)}
+_{f}\underline{(fz)}
)
]$

$
[PlusAssociativity(R)
\stackrel{
proof
}{\rightarrow}
\lambda 
\mathsf {c}
.
\lambda 
\mathsf{x}
.
{\cal P}( 
\lceil ZFsub
\vdash 
\forall \underline{(fx)}
\colon 
\forall \underline{(fy)}
\colon 
\forall \underline{(fz)}
\colon PlusAssociativity(F)
\gg \underline{(fx)}
+_{f}\underline{(fy)}
+_{f}\underline{(fz)}
=_{f}\underline{(fx)}
+_{f}\underline{(fy)}
+_{f}\underline{(fz)}
; =fToSameF 
\rhd \underline{(fx)}
+_{f}\underline{(fy)}
+_{f}\underline{(fz)}
=_{f}\underline{(fx)}
+_{f}\underline{(fy)}
+_{f}\underline{(fz)}
\gg SF(\underline{(fx)}
+_{f}\underline{(fy)}
+_{f}\underline{(fz)}
,\underline{(fx)}
+_{f}\underline{(fy)}
+_{f}\underline{(fz)}
)
; f2R(Plus)
\rhd SF(\underline{(fx)}
+_{f}\underline{(fy)}
+_{f}\underline{(fz)}
,\underline{(fx)}
+_{f}\underline{(fy)}
+_{f}\underline{(fz)}
)
\gg R((fx)
+_{f}(fy)
)
 == R(\underline{(fx)}
+_{f}\underline{(fy)}
+_{f}\underline{(fz)}
)
; PlusR(Sym)
\gg R(\underline{(fx)}
+_{f}\underline{(fy)}
+_{f}\underline{(fz)}
)
 == R((fx)
+_{f}(fy)
)
; \!{}==\!{}Transitivity
\rhd R(\underline{(fx)}
+_{f}\underline{(fy)}
+_{f}\underline{(fz)}
)
 == R((fx)
+_{f}(fy)
)
\rhd R((fx)
+_{f}(fy)
)
 == R(\underline{(fx)}
+_{f}\underline{(fy)}
+_{f}\underline{(fz)}
)
\gg R(\underline{(fx)}
+_{f}\underline{(fy)}
+_{f}\underline{(fz)}
)
 == R(\underline{(fx)}
+_{f}\underline{(fy)}
+_{f}\underline{(fz)}
)
\rceil 
, 
p_0
, 
\mathsf {c}
)
]$

(*** NUMMER 8 ***)

$
[Plus00
\stackrel{
stmt
}{\rightarrow}ZFsub
\vdash 
\forall \underline{(fx)}
\colon R((fx)
+_{f}(fy)
)
 == R(\underline{(fx)}
)
]$

$
[Plus00
\stackrel{
proof
}{\rightarrow}
\lambda 
\mathsf {c}
.
\lambda 
\mathsf{x}
.
{\cal P}( 
\lceil ZFsub
\vdash 
\forall \underline{(fx)}
\colon Plus0f
\gg \underline{(fx)}
+_{f}0f
=_{f}\underline{(fx)}
; =fToSameF 
\rhd \underline{(fx)}
+_{f}0f
=_{f}\underline{(fx)}
\gg SF(\underline{(fx)}
+_{f}0f
,\underline{(fx)}
)
; f2R(Plus)
\rhd SF(\underline{(fx)}
+_{f}0f
,\underline{(fx)}
)
\gg R((fx)
+_{f}(fy)
)
 == R(\underline{(fx)}
)
; Repetition
\rhd R((fx)
+_{f}(fy)
)
 == R(\underline{(fx)}
)
\gg R((fx)
+_{f}(fy)
)
 == R(\underline{(fx)}
)
\rceil 
, 
p_0
, 
\mathsf {c}
)
]$

(*** NUMMER 9 ***)

$
[Negative(R)
\stackrel{
stmt
}{\rightarrow}ZFsub
\vdash 
\forall \underline{
\mathsf {m}}
\colon 
\forall \underline{(fx)}
\colon R((fx)
+_{f}(fy)
)
 == R(0f
)
]$

$
[Negative(R)
\stackrel{
proof
}{\rightarrow}
\lambda 
\mathsf {c}
.
\lambda 
\mathsf{x}
.
{\cal P}( 
\lceil ZFsub
\vdash 
\forall \underline{
\mathsf {m}}
\colon 
\forall \underline{(fx)}
\colon PlusF
\gg \underline{(fx)}
+_{f}-_{f}\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
 = \underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
+-_{f}\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
; MinusF
\gg -_{f}\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
 = -\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
; 
\mbox{lemma eqAdditionLeft}
\rhd -_{f}\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
 = -\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
\gg \underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
+-_{f}\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
 = \underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
+-\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
; Negative
\gg \underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
+-\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
 = 0
; 0f
\gg 0f
[\underline{
\mathsf {m}}
]
 = 0
; eqSymmetry
\rhd 0f
[\underline{
\mathsf {m}}
]
 = 0
\gg 0
 = 0f
[\underline{
\mathsf {m}}
]
; eqTransitivity5
\rhd \underline{(fx)}
+_{f}-_{f}\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
 = \underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
+-_{f}\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
\rhd \underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
+-_{f}\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
 = \underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
+-\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
\rhd \underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
+-\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
 = 0
\rhd 0
 = 0f
[\underline{
\mathsf {m}}
]
\gg \underline{(fx)}
+_{f}-_{f}\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
 = 0f
[\underline{
\mathsf {m}}
]
; To=f
\rhd \underline{(fx)}
+_{f}-_{f}\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
 = 0f
[\underline{
\mathsf {m}}
]
\gg \underline{(fx)}
+_{f}-_{f}\underline{(fx)}
=_{f}0f
; =fToSameF 
\rhd \underline{(fx)}
+_{f}-_{f}\underline{(fx)}
=_{f}0f
\gg SF(\underline{(fx)}
+_{f}-_{f}\underline{(fx)}
,0f
)
; f2R(Plus)
\rhd SF(\underline{(fx)}
+_{f}-_{f}\underline{(fx)}
,0f
)
\gg R((fx)
+_{f}(fy)
)
 == R(0f
)
; Repetition
\rhd R((fx)
+_{f}(fy)
)
 == R(0f
)
\gg R((fx)
+_{f}(fy)
)
 == R(0f
)
\rceil 
, 
p_0
, 
\mathsf {c}
)
]$

(*** NUMMER 10 ***)

$
[PlusCommutativity(F)
\stackrel{
stmt
}{\rightarrow}ZFsub
\vdash 
\forall \underline{
\mathsf {m}}
\colon 
\forall \underline{(fx)}
\colon 
\forall \underline{(fy)}
\colon \underline{(fx)}
+_{f}\underline{(fy)}
=_{f}\underline{(fy)}
+_{f}\underline{(fx)}
]$

$
[PlusCommutativity(F)
\stackrel{
proof
}{\rightarrow}
\lambda 
\mathsf {c}
.
\lambda 
\mathsf{x}
.
{\cal P}( 
\lceil ZFsub
\vdash 
\forall \underline{
\mathsf {m}}
\colon 
\forall \underline{(fx)}
\colon 
\forall \underline{(fy)}
\colon PlusF
\gg \underline{(fx)}
+_{f}\underline{(fy)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
 = \underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
+\underline{(fy)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
; plusCommutativity
\gg \underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
+\underline{(fy)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
 = \underline{(fy)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
+\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
; PlusF(Sym)
\gg \underline{(fy)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
+\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
 = \underline{(fy)}
+_{f}\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
; eqTransitivity4
\rhd \underline{(fx)}
+_{f}\underline{(fy)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
 = \underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
+\underline{(fy)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
\rhd \underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
+\underline{(fy)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
 = \underline{(fy)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
+\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
\rhd \underline{(fy)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
+\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
 = \underline{(fy)}
+_{f}\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
\gg \underline{(fx)}
+_{f}\underline{(fy)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
 = \underline{(fy)}
+_{f}\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
; To=f
\rhd \underline{(fx)}
+_{f}\underline{(fy)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
 = \underline{(fy)}
+_{f}\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
\gg \underline{(fx)}
+_{f}\underline{(fy)}
=_{f}\underline{(fy)}
+_{f}\underline{(fx)}
\rceil 
, 
p_0
, 
\mathsf {c}
)
]$

$
[PlusCommutativity(R)
\stackrel{
stmt
}{\rightarrow}ZFsub
\vdash 
\forall \underline{(fx)}
\colon 
\forall \underline{(fy)}
\colon R((fx)
+_{f}(fy)
)
 == R((fx)
+_{f}(fy)
)
]$

$
[PlusCommutativity(R)
\stackrel{
proof
}{\rightarrow}
\lambda 
\mathsf {c}
.
\lambda 
\mathsf{x}
.
{\cal P}( 
\lceil ZFsub
\vdash 
\forall \underline{(fx)}
\colon 
\forall \underline{(fy)}
\colon PlusCommutativity(F)
\gg \underline{(fx)}
+_{f}\underline{(fy)}
=_{f}\underline{(fy)}
+_{f}\underline{(fx)}
; =fToSameF 
\rhd \underline{(fx)}
+_{f}\underline{(fy)}
=_{f}\underline{(fy)}
+_{f}\underline{(fx)}
\gg SF(\underline{(fx)}
+_{f}\underline{(fy)}
,\underline{(fy)}
+_{f}\underline{(fx)}
)
; f2R(Plus)
\rhd SF(\underline{(fx)}
+_{f}\underline{(fy)}
,\underline{(fy)}
+_{f}\underline{(fx)}
)
\gg R((fx)
+_{f}(fy)
)
 == R(\underline{(fy)}
+_{f}\underline{(fx)}
)
; PlusR(Sym)
\gg R(\underline{(fy)}
+_{f}\underline{(fx)}
)
 == R((fx)
+_{f}(fy)
)
; \!{}==\!{}Transitivity
\rhd R((fx)
+_{f}(fy)
)
 == R(\underline{(fy)}
+_{f}\underline{(fx)}
)
\rhd R(\underline{(fy)}
+_{f}\underline{(fx)}
)
 == R((fx)
+_{f}(fy)
)
\gg R((fx)
+_{f}(fy)
)
 == R((fx)
+_{f}(fy)
)
\rceil 
, 
p_0
, 
\mathsf {c}
)
]$

(*** NUMMER 11 ***)

$
[TimesAssociativity(F)
\stackrel{
stmt
}{\rightarrow}ZFsub
\vdash 
\forall \underline{
\mathsf {m}}
\colon 
\forall \underline{(fx)}
\colon 
\forall \underline{(fy)}
\colon 
\forall \underline{(fz)}
\colon \underline{(fx)}
*_{f}\underline{(fy)}
*_{f}\underline{(fz)}
=_{f}\underline{(fx)}
*_{f}\underline{(fy)}
*_{f}\underline{(fz)}
]$

$
[TimesAssociativity(F)
\stackrel{
proof
}{\rightarrow}
\lambda 
\mathsf {c}
.
\lambda 
\mathsf{x}
.
{\cal P}( 
\lceil ZFsub
\vdash 
\forall \underline{
\mathsf {m}}
\colon 
\forall \underline{(fx)}
\colon 
\forall \underline{(fy)}
\colon 
\forall \underline{(fz)}
\colon TimesF
\gg \underline{(fx)}
*_{f}\underline{(fy)}
*_{f}\underline{(fz)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
 = \underline{(fx)}
*_{f}\underline{(fy)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
*\underline{(fz)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
; TimesF
\gg \underline{(fx)}
*_{f}\underline{(fy)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
 = \underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
*\underline{(fy)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
; eqMultiplication
\rhd \underline{(fx)}
*_{f}\underline{(fy)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
 = \underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
*\underline{(fy)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
\gg \underline{(fx)}
*_{f}\underline{(fy)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
*\underline{(fz)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
 = \underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
*\underline{(fy)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
*\underline{(fz)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
; timesAssociativity
\gg \underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
*\underline{(fy)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
*\underline{(fz)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
 = \underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
*\underline{(fy)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
*\underline{(fz)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
; TimesF(Sym)
\gg \underline{(fy)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
*\underline{(fz)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
 = \underline{(fy)}
*_{f}\underline{(fz)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
; EqMultiplicationLeft
\rhd \underline{(fy)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
*\underline{(fz)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
 = \underline{(fy)}
*_{f}\underline{(fz)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
\gg \underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
*\underline{(fy)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
*\underline{(fz)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
 = \underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
*\underline{(fy)}
*_{f}\underline{(fz)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
; TimesF(Sym)
\gg \underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
*\underline{(fy)}
*_{f}\underline{(fz)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
 = \underline{(fx)}
*_{f}\underline{(fy)}
*_{f}\underline{(fz)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
; eqTransitivity6
\rhd \underline{(fx)}
*_{f}\underline{(fy)}
*_{f}\underline{(fz)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
 = \underline{(fx)}
*_{f}\underline{(fy)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
*\underline{(fz)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
\rhd \underline{(fx)}
*_{f}\underline{(fy)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
*\underline{(fz)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
 = \underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
*\underline{(fy)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
*\underline{(fz)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
\rhd \underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
*\underline{(fy)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
*\underline{(fz)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
 = \underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
*\underline{(fy)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
*\underline{(fz)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
\rhd \underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
*\underline{(fy)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
*\underline{(fz)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
 = \underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
*\underline{(fy)}
*_{f}\underline{(fz)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
\rhd \underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
*\underline{(fy)}
*_{f}\underline{(fz)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
 = \underline{(fx)}
*_{f}\underline{(fy)}
*_{f}\underline{(fz)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
\gg \underline{(fx)}
*_{f}\underline{(fy)}
*_{f}\underline{(fz)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
 = \underline{(fx)}
*_{f}\underline{(fy)}
*_{f}\underline{(fz)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
; To=f
\rhd \underline{(fx)}
*_{f}\underline{(fy)}
*_{f}\underline{(fz)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
 = \underline{(fx)}
*_{f}\underline{(fy)}
*_{f}\underline{(fz)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
\gg \underline{(fx)}
*_{f}\underline{(fy)}
*_{f}\underline{(fz)}
=_{f}\underline{(fx)}
*_{f}\underline{(fy)}
*_{f}\underline{(fz)}
\rceil 
, 
p_0
, 
\mathsf {c}
)
]$

$
[TimesAssociativity(R)
\stackrel{
stmt
}{\rightarrow}ZFsub
\vdash 
\forall \underline{(fx)}
\colon 
\forall \underline{(fy)}
\colon 
\forall \underline{(fz)}
\colon R(\underline{(fx)}
*_{f}\underline{(fy)}
*_{f}\underline{(fz)}
)
 == R(\underline{(fx)}
*_{f}\underline{(fy)}
*_{f}\underline{(fz)}
)
]$

$
[TimesAssociativity(R)
\stackrel{
proof
}{\rightarrow}
\lambda 
\mathsf {c}
.
\lambda 
\mathsf{x}
.
{\cal P}( 
\lceil ZFsub
\vdash 
\forall \underline{(fx)}
\colon 
\forall \underline{(fy)}
\colon 
\forall \underline{(fz)}
\colon TimesAssociativity(F)
\gg \underline{(fx)}
*_{f}\underline{(fy)}
*_{f}\underline{(fz)}
=_{f}\underline{(fx)}
*_{f}\underline{(fy)}
*_{f}\underline{(fz)}
; =fToSameF 
\rhd \underline{(fx)}
*_{f}\underline{(fy)}
*_{f}\underline{(fz)}
=_{f}\underline{(fx)}
*_{f}\underline{(fy)}
*_{f}\underline{(fz)}
\gg SF(\underline{(fx)}
*_{f}\underline{(fy)}
*_{f}\underline{(fz)}
,\underline{(fx)}
*_{f}\underline{(fy)}
*_{f}\underline{(fz)}
)
; f2R(Times)
\rhd SF(\underline{(fx)}
*_{f}\underline{(fy)}
*_{f}\underline{(fz)}
,\underline{(fx)}
*_{f}\underline{(fy)}
*_{f}\underline{(fz)}
)
\gg R(\underline{(fx)}
*_{f}\underline{(fy)}
)
**R(\underline{(fz)}
)
 == R(\underline{(fx)}
*_{f}\underline{(fy)}
*_{f}\underline{(fz)}
)
; TimesR(Sym)
\gg R(\underline{(fx)}
*_{f}\underline{(fy)}
*_{f}\underline{(fz)}
)
 == R(\underline{(fx)}
*_{f}\underline{(fy)}
)
**R(\underline{(fz)}
)
; \!{}==\!{}Transitivity
\rhd R(\underline{(fx)}
*_{f}\underline{(fy)}
*_{f}\underline{(fz)}
)
 == R(\underline{(fx)}
*_{f}\underline{(fy)}
)
**R(\underline{(fz)}
)
\rhd R(\underline{(fx)}
*_{f}\underline{(fy)}
)
**R(\underline{(fz)}
)
 == R(\underline{(fx)}
*_{f}\underline{(fy)}
*_{f}\underline{(fz)}
)
\gg R(\underline{(fx)}
*_{f}\underline{(fy)}
*_{f}\underline{(fz)}
)
 == R(\underline{(fx)}
*_{f}\underline{(fy)}
*_{f}\underline{(fz)}
)
\rceil 
, 
p_0
, 
\mathsf {c}
)
]$

(*** NUMMER 12 ***)

$
[Times1f
\stackrel{
stmt
}{\rightarrow}ZFsub
\vdash 
\forall \underline{
\mathsf {m}}
\colon 
\forall \underline{(fx)}
\colon \underline{(fx)}
*_{f}
\mbox{1f}
=_{f}\underline{(fx)}
]$

$
[Times1f
\stackrel{
proof
}{\rightarrow}
\lambda 
\mathsf {c}
.
\lambda 
\mathsf{x}
.
{\cal P}( 
\lceil ZFsub
\vdash 
\forall \underline{
\mathsf {m}}
\colon 
\forall \underline{(fx)}
\colon TimesF
\gg \underline{(fx)}
*_{f}
\mbox{1f}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
 = \underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
*
\mbox{1f}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
; 1f
\gg 
\mbox{1f}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
 = 1
; EqMultiplicationLeft
\rhd 
\mbox{1f}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
 = 1
\gg \underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
*
\mbox{1f}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
 = \underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
*1
; times1
\gg \underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
*1
 = \underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
; eqTransitivity4
\rhd \underline{(fx)}
*_{f}
\mbox{1f}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
 = \underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
*
\mbox{1f}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
\rhd \underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
*
\mbox{1f}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
 = \underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
*1
\rhd \underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
*1
 = \underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
\gg \underline{(fx)}
*_{f}
\mbox{1f}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
 = \underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
; To=f
\rhd \underline{(fx)}
*_{f}
\mbox{1f}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
 = \underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
\gg \underline{(fx)}
*_{f}
\mbox{1f}
=_{f}\underline{(fx)}
\rceil 
, 
p_0
, 
\mathsf {c}
)
]$


$
[Times01
\stackrel{
stmt
}{\rightarrow}ZFsub
\vdash 
\forall \underline{(fx)}
\colon R(\underline{(fx)}
)
**R(
\mbox{1f}
)
 == R(\underline{(fx)}
)
]$

$
[Times01
\stackrel{
proof
}{\rightarrow}
\lambda 
\mathsf {c}
.
\lambda 
\mathsf{x}
.
{\cal P}( 
\lceil ZFsub
\vdash 
\forall \underline{(fx)}
\colon Times1f
\gg \underline{(fx)}
*_{f}
\mbox{1f}
=_{f}\underline{(fx)}
; =fToSameF 
\rhd \underline{(fx)}
*_{f}
\mbox{1f}
=_{f}\underline{(fx)}
\gg SF(\underline{(fx)}
*_{f}
\mbox{1f}
,\underline{(fx)}
)
; f2R(Times)
\rhd SF(\underline{(fx)}
*_{f}
\mbox{1f}
,\underline{(fx)}
)
\gg R(\underline{(fx)}
)
**R(
\mbox{1f}
)
 == R(\underline{(fx)}
)
; Repetition
\rhd R(\underline{(fx)}
)
**R(
\mbox{1f}
)
 == R(\underline{(fx)}
)
\gg R(\underline{(fx)}
)
**R(
\mbox{1f}
)
 == R(\underline{(fx)}
)
\rceil 
, 
p_0
, 
\mathsf {c}
)
]$

(*** NUMMER 14 ***)

$
[TimesCommutativity(F)
\stackrel{
stmt
}{\rightarrow}ZFsub
\vdash 
\forall \underline{
\mathsf {m}}
\colon 
\forall \underline{(fx)}
\colon 
\forall \underline{(fy)}
\colon \underline{(fx)}
*_{f}\underline{(fy)}
=_{f}\underline{(fy)}
*_{f}\underline{(fx)}
]$

$
[TimesCommutativity(F)
\stackrel{
proof
}{\rightarrow}
\lambda 
\mathsf {c}
.
\lambda 
\mathsf{x}
.
{\cal P}( 
\lceil ZFsub
\vdash 
\forall \underline{
\mathsf {m}}
\colon 
\forall \underline{(fx)}
\colon 
\forall \underline{(fy)}
\colon TimesF
\gg \underline{(fx)}
*_{f}\underline{(fy)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
 = \underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
*\underline{(fy)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
; timesCommutativity
\gg \underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
*\underline{(fy)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
 = \underline{(fy)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
*\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
; TimesF(Sym)
\gg \underline{(fy)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
*\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
 = \underline{(fy)}
*_{f}\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
; eqTransitivity4
\rhd \underline{(fx)}
*_{f}\underline{(fy)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
 = \underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
*\underline{(fy)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
\rhd \underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
*\underline{(fy)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
 = \underline{(fy)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
*\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
\rhd \underline{(fy)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
*\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
 = \underline{(fy)}
*_{f}\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
\gg \underline{(fx)}
*_{f}\underline{(fy)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
 = \underline{(fy)}
*_{f}\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
; To=f
\rhd \underline{(fx)}
*_{f}\underline{(fy)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
 = \underline{(fy)}
*_{f}\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
\gg \underline{(fx)}
*_{f}\underline{(fy)}
=_{f}\underline{(fy)}
*_{f}\underline{(fx)}
\rceil 
, 
p_0
, 
\mathsf {c}
)
]$

$
[TimesCommutativity(R)
\stackrel{
stmt
}{\rightarrow}ZFsub
\vdash 
\forall \underline{(fx)}
\colon 
\forall \underline{(fy)}
\colon R(\underline{(fx)}
)
**R(\underline{(fy)}
)
 == R(\underline{(fy)}
)
**R(\underline{(fx)}
)
]$

$
[TimesCommutativity(R)
\stackrel{
proof
}{\rightarrow}
\lambda 
\mathsf {c}
.
\lambda 
\mathsf{x}
.
{\cal P}( 
\lceil ZFsub
\vdash 
\forall \underline{(fx)}
\colon 
\forall \underline{(fy)}
\colon TimesCommutativity(F)
\gg \underline{(fx)}
*_{f}\underline{(fy)}
=_{f}\underline{(fy)}
*_{f}\underline{(fx)}
; =fToSameF 
\rhd \underline{(fx)}
*_{f}\underline{(fy)}
=_{f}\underline{(fy)}
*_{f}\underline{(fx)}
\gg SF(\underline{(fx)}
*_{f}\underline{(fy)}
,\underline{(fy)}
*_{f}\underline{(fx)}
)
; f2R(Times)
\rhd SF(\underline{(fx)}
*_{f}\underline{(fy)}
,\underline{(fy)}
*_{f}\underline{(fx)}
)
\gg R(\underline{(fx)}
)
**R(\underline{(fy)}
)
 == R(\underline{(fy)}
*_{f}\underline{(fx)}
)
; TimesR(Sym)
\gg R(\underline{(fy)}
*_{f}\underline{(fx)}
)
 == R(\underline{(fy)}
)
**R(\underline{(fx)}
)
; \!{}==\!{}Transitivity
\rhd R(\underline{(fx)}
)
**R(\underline{(fy)}
)
 == R(\underline{(fy)}
*_{f}\underline{(fx)}
)
\rhd R(\underline{(fy)}
*_{f}\underline{(fx)}
)
 == R(\underline{(fy)}
)
**R(\underline{(fx)}
)
\gg R(\underline{(fx)}
)
**R(\underline{(fy)}
)
 == R(\underline{(fy)}
)
**R(\underline{(fx)}
)
\rceil 
, 
p_0
, 
\mathsf {c}
)
]$



(*** NUMMER 15 ***)

$
[Distribution(F)
\stackrel{
stmt
}{\rightarrow}ZFsub
\vdash 
\forall \underline{(fx)}
\colon 
\forall \underline{(fy)}
\colon 
\forall \underline{(fz)}
\colon \underline{(fx)}
*_{f}\underline{(fy)}
+_{f}\underline{(fz)}
=_{f}\underline{(fx)}
*_{f}\underline{(fy)}
+_{f}\underline{(fx)}
*_{f}\underline{(fz)}
]$

$
[Distribution(F)
\stackrel{
proof
}{\rightarrow}
\lambda 
\mathsf {c}
.
\lambda 
\mathsf{x}
.
{\cal P}( 
\lceil ZFsub
\vdash 
\forall \underline{(fx)}
\colon 
\forall \underline{(fy)}
\colon 
\forall \underline{(fz)}
\colon TimesF
\gg \underline{(fx)}
*_{f}\underline{(fy)}
+_{f}\underline{(fz)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
 = \underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
*\underline{(fy)}
+_{f}\underline{(fz)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
; PlusF
\gg \underline{(fy)}
+_{f}\underline{(fz)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
 = \underline{(fy)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
+\underline{(fz)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
; EqMultiplicationLeft
\rhd \underline{(fy)}
+_{f}\underline{(fz)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
 = \underline{(fy)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
+\underline{(fz)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
\gg \underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
*\underline{(fy)}
+_{f}\underline{(fz)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
 = \underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
*\underline{(fy)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
+\underline{(fz)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
; Distribution
\gg \underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
*\underline{(fy)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
+\underline{(fz)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
 = \underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
*\underline{(fy)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
+\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
*\underline{(fz)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
; TimesF(Sym)
\gg \underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
*\underline{(fy)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
 = \underline{(fx)}
*_{f}\underline{(fy)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
; TimesF(Sym)
\gg \underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
*\underline{(fz)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
 = \underline{(fx)}
*_{f}\underline{(fz)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
; AddEquations
\rhd \underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
*\underline{(fy)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
 = \underline{(fx)}
*_{f}\underline{(fy)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
\rhd \underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
*\underline{(fz)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
 = \underline{(fx)}
*_{f}\underline{(fz)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
\gg \underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
*\underline{(fy)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
+\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
*\underline{(fz)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
 = \underline{(fx)}
*_{f}\underline{(fy)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
+\underline{(fx)}
*_{f}\underline{(fz)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
; PlusF(Sym)
\gg \underline{(fx)}
*_{f}\underline{(fy)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
+\underline{(fx)}
*_{f}\underline{(fz)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
 = \underline{(fx)}
*_{f}\underline{(fy)}
+_{f}\underline{(fx)}
*_{f}\underline{(fz)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
; eqTransitivity6
\rhd \underline{(fx)}
*_{f}\underline{(fy)}
+_{f}\underline{(fz)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
 = \underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
*\underline{(fy)}
+_{f}\underline{(fz)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
\rhd \underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
*\underline{(fy)}
+_{f}\underline{(fz)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
 = \underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
*\underline{(fy)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
+\underline{(fz)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
\rhd \underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
*\underline{(fy)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
+\underline{(fz)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
 = \underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
*\underline{(fy)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
+\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
*\underline{(fz)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
\rhd \underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
*\underline{(fy)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
+\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
*\underline{(fz)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
 = \underline{(fx)}
*_{f}\underline{(fy)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
+\underline{(fx)}
*_{f}\underline{(fz)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
\rhd \underline{(fx)}
*_{f}\underline{(fy)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
+\underline{(fx)}
*_{f}\underline{(fz)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
 = \underline{(fx)}
*_{f}\underline{(fy)}
+_{f}\underline{(fx)}
*_{f}\underline{(fz)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
\gg \underline{(fx)}
*_{f}\underline{(fy)}
+_{f}\underline{(fz)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
 = \underline{(fx)}
*_{f}\underline{(fy)}
+_{f}\underline{(fx)}
*_{f}\underline{(fz)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
; To=f
\rhd \underline{(fx)}
*_{f}\underline{(fy)}
+_{f}\underline{(fz)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
 = \underline{(fx)}
*_{f}\underline{(fy)}
+_{f}\underline{(fx)}
*_{f}\underline{(fz)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
\gg \underline{(fx)}
*_{f}\underline{(fy)}
+_{f}\underline{(fz)}
=_{f}\underline{(fx)}
*_{f}\underline{(fy)}
+_{f}\underline{(fx)}
*_{f}\underline{(fz)}
\rceil 
, 
p_0
, 
\mathsf {c}
)
]$


$
[Distribution(R)
\stackrel{
stmt
}{\rightarrow}ZFsub
\vdash 
\forall \underline{(fx)}
\colon 
\forall \underline{(fy)}
\colon 
\forall \underline{(fz)}
\colon R(\underline{(fx)}
)
**R(\underline{(fy)}
+_{f}\underline{(fz)}
)
 == R((fx)
+_{f}(fy)
)
]$

$
[Distribution(R)
\stackrel{
proof
}{\rightarrow}
\lambda 
\mathsf {c}
.
\lambda 
\mathsf{x}
.
{\cal P}( 
\lceil ZFsub
\vdash 
\forall \underline{(fx)}
\colon 
\forall \underline{(fy)}
\colon 
\forall \underline{(fz)}
\colon Distribution(F)
\gg \underline{(fx)}
*_{f}\underline{(fy)}
+_{f}\underline{(fz)}
=_{f}\underline{(fx)}
*_{f}\underline{(fy)}
+_{f}\underline{(fx)}
*_{f}\underline{(fz)}
; =fToSameF 
\rhd \underline{(fx)}
*_{f}\underline{(fy)}
+_{f}\underline{(fz)}
=_{f}\underline{(fx)}
*_{f}\underline{(fy)}
+_{f}\underline{(fx)}
*_{f}\underline{(fz)}
\gg SF(\underline{(fx)}
*_{f}\underline{(fy)}
+_{f}\underline{(fz)}
,\underline{(fx)}
*_{f}\underline{(fy)}
+_{f}\underline{(fx)}
*_{f}\underline{(fz)}
)
; f2R(Times)
\rhd SF(\underline{(fx)}
*_{f}\underline{(fy)}
+_{f}\underline{(fz)}
,\underline{(fx)}
*_{f}\underline{(fy)}
+_{f}\underline{(fx)}
*_{f}\underline{(fz)}
)
\gg R(\underline{(fx)}
)
**R(\underline{(fy)}
+_{f}\underline{(fz)}
)
 == R(\underline{(fx)}
*_{f}\underline{(fy)}
+_{f}\underline{(fx)}
*_{f}\underline{(fz)}
)
; PlusR(Sym)
\gg R(\underline{(fx)}
*_{f}\underline{(fy)}
+_{f}\underline{(fx)}
*_{f}\underline{(fz)}
)
 == R((fx)
+_{f}(fy)
)
; \!{}==\!{}Transitivity
\rhd R(\underline{(fx)}
)
**R(\underline{(fy)}
+_{f}\underline{(fz)}
)
 == R(\underline{(fx)}
*_{f}\underline{(fy)}
+_{f}\underline{(fx)}
*_{f}\underline{(fz)}
)
\rhd R(\underline{(fx)}
*_{f}\underline{(fy)}
+_{f}\underline{(fx)}
*_{f}\underline{(fz)}
)
 == R((fx)
+_{f}(fy)
)
\gg R(\underline{(fx)}
)
**R(\underline{(fy)}
+_{f}\underline{(fz)}
)
 == R((fx)
+_{f}(fy)
)
\rceil 
, 
p_0
, 
\mathsf {c}
)
]$




(*** tex-definitioner ***)

\begin{list}{}{
\setlength{\leftmargin}{0em}
\setlength{\itemindent}{0em}
\setlength{\itemsep}{1ex}}

\item $
[(\epsilon)
\stackrel{
\mathrm{tex}
}{\rightarrow}
\mbox{``}(
\mbox {$\backslash $}epsilon)
\mbox{''}
]$ 

\item $
[(fx)
\stackrel{
\mathrm{tex}
}{\rightarrow}
\mbox{``}(fx)
\mbox{''}
]$ 

\item $
[(fy)
\stackrel{
\mathrm{tex}
}{\rightarrow}
\mbox{``}(fy)
\mbox{''}
]$ 

\item $
[(fz)
\stackrel{
\mathrm{tex}
}{\rightarrow}
\mbox{``}(fz)
\mbox{''}
]$ 

\item $
[(fv)
\stackrel{
\mathrm{tex}
}{\rightarrow}
\mbox{``}(fu)
\mbox{''}
]$ 

\item $
[(fv)
\stackrel{
\mathrm{tex}
}{\rightarrow}
\mbox{``}(fv)
\mbox{''}
]$

\item $
[(rx)
\stackrel{
\mathrm{tex}
}{\rightarrow}
\mbox{``}(rx)
\mbox{''}
]$

\item $
[(ry)
\stackrel{
\mathrm{tex}
}{\rightarrow}
\mbox{``}(ry)
\mbox{''}
]$

\item $
[(rz)
\stackrel{
\mathrm{tex}
}{\rightarrow}
\mbox{``}(rz)
\mbox{''}
]$

\item $
[(ru)
\stackrel{
\mathrm{tex}
}{\rightarrow}
\mbox{``}(ru)
\mbox{''}
]$

\item $
[\epsilon
\stackrel{
\mathrm{tex}
}{\rightarrow}
\mbox{``}
\mbox {$\backslash $}epsilon
\mbox{''}
]$ 

\item $
[FX
\stackrel{
\mathrm{tex}
}{\rightarrow}
\mbox{``}FX
\mbox{''}
]$ 

\item $
[FY
\stackrel{
\mathrm{tex}
}{\rightarrow}
\mbox{``}FY
\mbox{''}
]$ 

\item $
[FZ
\stackrel{
\mathrm{tex}
}{\rightarrow}
\mbox{``}FZ
\mbox{''}
]$

\item $
[FU
\stackrel{
\mathrm{tex}
}{\rightarrow}
\mbox{``}FU
\mbox{''}
]$

\item $
[FV
\stackrel{
\mathrm{tex}
}{\rightarrow}
\mbox{``}FV
\mbox{''}
]$

\item $
[RX
\stackrel{
\mathrm{tex}
}{\rightarrow}
\mbox{``}RX
\mbox{''}
]$

\item $
[RY
\stackrel{
\mathrm{tex}
}{\rightarrow}
\mbox{``}RY
\mbox{''}
]$ 

\item $
[RZ
\stackrel{
\mathrm{tex}
}{\rightarrow}
\mbox{``}RZ
\mbox{''}
]$

\item $
[RU
\stackrel{
\mathrm{tex}
}{\rightarrow}
\mbox{``}RU
\mbox{''}
]$

\item $
[Ex3
\stackrel{
\mathrm{tex}
}{\rightarrow}
\mbox{``}Ex3
\mbox{''}
]$ 

\item $
[0
\stackrel{
\mathrm{tex}
}{\rightarrow}
\mbox{``}0
\mbox{''}
]$ 

\item $
[1
\stackrel{
\mathrm{tex}
}{\rightarrow}
\mbox{``}1
\mbox{''}
]$

\item $
[(-1)
\stackrel{
\mathrm{tex}
}{\rightarrow}
\mbox{``}(
\mbox{-}1)
\mbox{''}
]$

\item $
[2
\stackrel{
\mathrm{tex}
}{\rightarrow}
\mbox{``}2
\mbox{''}
]$

\item $
[1/2
\stackrel{
\mathrm{tex}
}{\rightarrow}
\mbox{``}1/2
\mbox{''}
]$

\item $
[0f
\stackrel{
\mathrm{tex}
}{\rightarrow}
\mbox{``}0f
\mbox{''}
]$ 

\item $
[00
\stackrel{
\mathrm{tex}
}{\rightarrow}
\mbox{``}00
\mbox{''}
]$ 

\item $
[
\mathsf{x}
 = 
\mathsf{y}
\stackrel{
\mathrm{tex}
}{\rightarrow}
\mbox{``}
\#1.
\newline 
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}
{=}
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}
\#2.
\mbox{''}
]$ 

\item $
[
\mathsf{x}
 \neq 
\mathsf{y}
\stackrel{
\mathrm{tex}
}{\rightarrow}
\mbox{``}
\#1.
\newline 
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}
\mbox {$\backslash $}neq
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}
\#2.
\mbox{''}
]$

\item $
[
\mathsf{x}
 < 
\mathsf{y}
\stackrel{
\mathrm{tex}
}{\rightarrow}
\mbox{``}
\#1.
\newline 
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}
{<}
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}
\#2.
\mbox{''}
]$ 

\item $
[
\mathsf{x}
 <= 
\mathsf{y}
\stackrel{
\mathrm{tex}
}{\rightarrow}
\mbox{``}
\#1.
\newline 
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}
{<}
{=}
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}
\#2.
\mbox{''}
]$

\item $
[
\mathsf{x}
=_{f}
\mathsf{y}
\stackrel{
\mathrm{tex}
}{\rightarrow}
\mbox{``}
\#1.
\newline 
{=}
\_
\{f
\}
\#2.
\mbox{''}
]$ 

\item $
[
\mathsf{x}
<_{f}
\mathsf{y}
\stackrel{
\mathrm{tex}
}{\rightarrow}
\mbox{``}
\#1.
\newline 
{<}
\_
\{f
\}
\#2.
\mbox{''}
]$

\item $
[SF(
\mathsf{x}
,
\mathsf{y}
)
\stackrel{
\mathrm{tex}
}{\rightarrow}
\mbox{``}SF(
\#1.
\newline ,
\#2.
\newline )
\mbox{''}
]$ 

\item $
[
\mathsf{x}
 == 
\mathsf{y}
\stackrel{
\mathrm{tex}
}{\rightarrow}
\mbox{``}
\#1.
\newline 
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}
{=}
{=}
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}
\#2.
\mbox{''}
]$

\item $
[
\mathsf{x}
 << 
\mathsf{y}
\stackrel{
\mathrm{tex}
}{\rightarrow}
\mbox{``}
\#1.
\newline 
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}
{<}
{<}
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}
\#2.
\mbox{''}
]$ 

\item $
[
\mathsf{x}
 <<== 
\mathsf{y}
\stackrel{
\mathrm{tex}
}{\rightarrow}
\mbox{``}
\#1.
\newline 
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}
{<}
{<}
{=}
{=}
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}
\#2.
\mbox{''}
]$ 

\item $
[
\mathsf{x}
[
\mathsf{y}
]
\stackrel{
\mathrm{tex}
}{\rightarrow}
\mbox{``}
\#1.
\newline [
\#2.
\newline ]
\mbox{''}
]$ 

\item $
[-
\mathsf{x}
\stackrel{
\mathrm{tex}
}{\rightarrow}
\mbox{``}
\mbox{-}
\#1.
\mbox{''}
]$ 

\item $
[-_{f}
\mathsf{x}
\stackrel{
\mathrm{tex}
}{\rightarrow}
\mbox{``}
\mbox{-}
\_
\{f
\}
\#1.
\mbox{''}
]$

\item $
[
\mathsf{x}
+
\mathsf{y}
\stackrel{
\mathrm{tex}
}{\rightarrow}
\mbox{``}
\#1.
\newline 
{+}
\#2.
\mbox{''}
]$ 

\item $
[
\mathsf{x}
-
\mathsf{y}
\stackrel{
\mathrm{tex}
}{\rightarrow}
\mbox{``}
\#1.
\newline 
\mbox{-}
\#2.
\mbox{''}
]$ 

\item $
[(fx)
+_{f}(fy)
\stackrel{
\mathrm{tex}
}{\rightarrow}
\mbox{``}
\#1.
\newline 
{+}
\_
\{f
\}
\#2.
\mbox{''}
]$

\item $
[(fx)
-_{f}(fy)
\stackrel{
\mathrm{tex}
}{\rightarrow}
\mbox{``}
\#1.
\newline 
\mbox{-}
\_
\{f
\}
\#2.
\mbox{''}
]$

\item $
[(fx)
*_{f}(fy)
\stackrel{
\mathrm{tex}
}{\rightarrow}
\mbox{``}
\#1.
\newline 
{*}
\_
\{f
\}
\#2.
\mbox{''}
]$

\item $
[
\mathsf{x}
++
\mathsf{y}
\stackrel{
\mathrm{tex}
}{\rightarrow}
\mbox{``}
\#1.
\newline 
{+}
{+}
\#2.
\mbox{''}
]$

\item $
[R((fx)
) -- R((fy)
)
\stackrel{
\mathrm{tex}
}{\rightarrow}
\mbox{``}R(
\#1.
\newline )
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}
\mbox{-}
\mbox{-}
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}R(
\#2.
\newline )
\mbox{''}
]$ 

\item $
[
\mathsf{x}
*
\mathsf{y}
\stackrel{
\mathrm{tex}
}{\rightarrow}
\mbox{``}
\#1.
\newline 
{*}
\#2.
\mbox{''}
]$

\item $
[
\mathsf{x}
**
\mathsf{y}
\stackrel{
\mathrm{tex}
}{\rightarrow}
\mbox{``}
\#1.
\newline 
{*}
{*}
\#2.
\mbox{''}
]$

\item $
[leqReflexivity
\stackrel{
\mathrm{tex}
}{\rightarrow}
\mbox{``}leqReflexivity
\mbox{''}
]$ 

\item $
[rec
\mathsf{x}
\stackrel{
\mathrm{tex}
}{\rightarrow}
\mbox{``}rec
\#1.
\mbox{''}
]$

\item $
[|
\mathsf{x}|
\stackrel{
\mathrm{tex}
}{\rightarrow}
\mbox{``}|
\#1.|
\mbox{''}
]$ 

\item $
[if(
\mathsf{x}
,
\mathsf{y}
,
\mathsf{z}
)
\stackrel{
\mathrm{tex}
}{\rightarrow}
\mbox{``}if(
\#1.
\newline ,
\#2.
\newline ,
\#3.
\newline )
\mbox{''}
]$ 

\item $
[R(
\mathsf{x}
)
\stackrel{
\mathrm{tex}
}{\rightarrow}
\mbox{``}R(
\#1.
\newline )
\mbox{''}
]$ 

\item $
[--R(
\mathsf{x}
)
\stackrel{
\mathrm{tex}
}{\rightarrow}
\mbox{``}
\mbox{-}
\mbox{-}R(
\#1.
\newline )
\mbox{''}
]$ 

\item $
[leqAntisymmetryAxiom
\stackrel{
\mathrm{tex}
}{\rightarrow}
\mbox{``}leqAntisymmetryAxiom
\mbox{''}
]$

\item $
[leqTransitivityAxiom
\stackrel{
\mathrm{tex}
}{\rightarrow}
\mbox{``}leqTransitivityAxiom
\mbox{''}
]$

\item $
[leqTotality
\stackrel{
\mathrm{tex}
}{\rightarrow}
\mbox{``}leqTotality
\mbox{''}
]$

\item $
[leqAdditionAxiom
\stackrel{
\mathrm{tex}
}{\rightarrow}
\mbox{``}leqAdditionAxiom
\mbox{''}
]$

\item $
[leqMultiplicationAxiom
\stackrel{
\mathrm{tex}
}{\rightarrow}
\mbox{``}leqMultiplicationAxiom
\mbox{''}
]$

\item $
[plusAssociativity
\stackrel{
\mathrm{tex}
}{\rightarrow}
\mbox{``}plusAssociativity
\mbox{''}
]$ 

\item $
[plusCommutativity
\stackrel{
\mathrm{tex}
}{\rightarrow}
\mbox{``}plusCommutativity
\mbox{''}
]$

\item $
[Negative
\stackrel{
\mathrm{tex}
}{\rightarrow}
\mbox{``}Negative
\mbox{''}
]$

\item $
[plus0
\stackrel{
\mathrm{tex}
}{\rightarrow}
\mbox{``}plus0
\mbox{''}
]$

\item $
[timesAssociativity
\stackrel{
\mathrm{tex}
}{\rightarrow}
\mbox{``}timesAssociativity
\mbox{''}
]$ 

\item $
[timesCommutativity
\stackrel{
\mathrm{tex}
}{\rightarrow}
\mbox{``}timesCommutativity
\mbox{''}
]$

\item $
[ReciprocalAxiom
\stackrel{
\mathrm{tex}
}{\rightarrow}
\mbox{``}ReciprocalAxiom
\mbox{''}
]$

\item $
[times1
\stackrel{
\mathrm{tex}
}{\rightarrow}
\mbox{``}times1
\mbox{''}
]$

\item $
[plusAssociativity
\stackrel{
\mathrm{tex}
}{\rightarrow}
\mbox{``}plusAssociativity
\mbox{''}
]$ 

\item $
[plusCommutativity
\stackrel{
\mathrm{tex}
}{\rightarrow}
\mbox{``}plusCommutativity
\mbox{''}
]$

\item $
[Negative
\stackrel{
\mathrm{tex}
}{\rightarrow}
\mbox{``}Negative
\mbox{''}
]$

\item $
[Distribution
\stackrel{
\mathrm{tex}
}{\rightarrow}
\mbox{``}Distribution
\mbox{''}
]$

\item $
[0not1
\stackrel{
\mathrm{tex}
}{\rightarrow}
\mbox{``}0not1
\mbox{''}
]$

\item $
[equalityAxiom
\stackrel{
\mathrm{tex}
}{\rightarrow}
\mbox{``}equalityAxiom
\mbox{''}
]$

\item $
[eqLeqAxiom
\stackrel{
\mathrm{tex}
}{\rightarrow}
\mbox{``}eqLeqAxiom
\mbox{''}
]$

\item $
[eqAdditionAxiom
\stackrel{
\mathrm{tex}
}{\rightarrow}
\mbox{``}eqAdditionAxiom
\mbox{''}
]$

\item $
[eqMultiplicationAxiom
\stackrel{
\mathrm{tex}
}{\rightarrow}
\mbox{``}eqMultiplicationAxiom
\mbox{''}
]$
                                         
\item $
[SENC1
\stackrel{
\mathrm{tex}
}{\rightarrow}
\mbox{``}SENC1
\mbox{''}
]$ 

\item $
[SENC2
\stackrel{
\mathrm{tex}
}{\rightarrow}
\mbox{``}SENC2
\mbox{''}
]$ 

\item $
[IfThenElse(T)
\stackrel{
\mathrm{tex}
}{\rightarrow}
\mbox{``}IfThenElse(T)
\mbox{''}
]$ 

\item $
[IfThenElse(F)
\stackrel{
\mathrm{tex}
}{\rightarrow}
\mbox{``}IfThenElse(F)
\mbox{''}
]$ 

\item $
[From=f
\stackrel{
\mathrm{tex}
}{\rightarrow}
\mbox{``}From
{=}f
\mbox{''}
]$

\item $
[To=f
\stackrel{
\mathrm{tex}
}{\rightarrow}
\mbox{``}To
{=}f
\mbox{''}
]$ 

\item $
[From<f
\stackrel{
\mathrm{tex}
}{\rightarrow}
\mbox{``}From
{<}f
\mbox{''}
]$ 

\item $
[To<f
\stackrel{
\mathrm{tex}
}{\rightarrow}
\mbox{``}To
{<}f
\mbox{''}
]$ 

\item $
[PlusF
\stackrel{
\mathrm{tex}
}{\rightarrow}
\mbox{``}PlusF
\mbox{''}
]$ 

\item $
[MinusF
\stackrel{
\mathrm{tex}
}{\rightarrow}
\mbox{``}MinusF
\mbox{''}
]$

\item $
[TimesF
\stackrel{
\mathrm{tex}
}{\rightarrow}
\mbox{``}TimesF
\mbox{''}
]$

\item $
[0f
\stackrel{
\mathrm{tex}
}{\rightarrow}
\mbox{``}0f
\mbox{''}
]$ 

\item $
[1f
\stackrel{
\mathrm{tex}
}{\rightarrow}
\mbox{``}1f
\mbox{''}
]$ 

\item $
[FromSF
\stackrel{
\mathrm{tex}
}{\rightarrow}
\mbox{``}FromSF
\mbox{''}
]$ 

\item $
[ToSF
\stackrel{
\mathrm{tex}
}{\rightarrow}
\mbox{``}ToSF
\mbox{''}
]$ 

\item $
[To==XX
\stackrel{
\mathrm{tex}
}{\rightarrow}
\mbox{``}To
{=}
{=}XX
\mbox{''}
]$ 

\item $
[From==
\stackrel{
\mathrm{tex}
}{\rightarrow}
\mbox{``}From
{=}
{=}
\mbox{''}
]$ 

\item $
[To==
\stackrel{
\mathrm{tex}
}{\rightarrow}
\mbox{``}To
{=}
{=}
\mbox{''}
]$ 

\item $
[From<<XX
\stackrel{
\mathrm{tex}
}{\rightarrow}
\mbox{``}From
{<}
{<}XX
\mbox{''}
]$ 

\item $
[From<<(1)
\stackrel{
\mathrm{tex}
}{\rightarrow}
\mbox{``}From
{<}
{<}(1)
\mbox{''}
]$

\item $
[From<<(2)
\stackrel{
\mathrm{tex}
}{\rightarrow}
\mbox{``}From
{<}
{<}(2)
\mbox{''}
]$

\item $
[to<<XX
\stackrel{
\mathrm{tex}
}{\rightarrow}
\mbox{``}to
{<}
{<}XX
\mbox{''}
]$

\item $
[From<<
\stackrel{
\mathrm{tex}
}{\rightarrow}
\mbox{``}From
{<}
{<}
\mbox{''}
]$ 

\item $
[To<<
\stackrel{
\mathrm{tex}
}{\rightarrow}
\mbox{``}To
{<}
{<}
\mbox{''}
]$ 


\item $
[FromInR
\stackrel{
\mathrm{tex}
}{\rightarrow}
\mbox{``}FromInR
\mbox{''}
]$ 

\item $
[PlusR
\stackrel{
\mathrm{tex}
}{\rightarrow}
\mbox{``}PlusR
\mbox{''}
]$ 

\item $
[TimesR
\stackrel{
\mathrm{tex}
}{\rightarrow}
\mbox{``}TimesR
\mbox{''}
]$

\item $
[leqAntisymmetry
\stackrel{
\mathrm{tex}
}{\rightarrow}
\mbox{``}leqAntisymmetry
\mbox{''}
]$

\item $
[leqTransitivity
\stackrel{
\mathrm{tex}
}{\rightarrow}
\mbox{``}leqTransitivity
\mbox{''}
]$

\item $
[leqAddition
\stackrel{
\mathrm{tex}
}{\rightarrow}
\mbox{``}leqAddition
\mbox{''}
]$

\item $
[Reciprocal
\stackrel{
\mathrm{tex}
}{\rightarrow}
\mbox{``}Reciprocal
\mbox{''}
]$

\item $
[Equality
\stackrel{
\mathrm{tex}
}{\rightarrow}
\mbox{``}Equality
\mbox{''}
]$

\item $
[eqLeq
\stackrel{
\mathrm{tex}
}{\rightarrow}
\mbox{``}eqLeq
\mbox{''}
]$

\item $
[eqAddition
\stackrel{
\mathrm{tex}
}{\rightarrow}
\mbox{``}eqAddition
\mbox{''}
]$

\item $
[eqMultiplication
\stackrel{
\mathrm{tex}
}{\rightarrow}
\mbox{``}eqMultiplication
\mbox{''}
]$

\item $
[ToNegatedImply
\stackrel{
\mathrm{tex}
}{\rightarrow}
\mbox{``}ToNegatedImply
\mbox{''}
]$ 

\item $
[TND
\stackrel{
\mathrm{tex}
}{\rightarrow}
\mbox{``}TND
\mbox{''}
]$ 

\item $
[ImplyNegation
\stackrel{
\mathrm{tex}
}{\rightarrow}
\mbox{``}ImplyNegation
\mbox{''}
]$ 

\item $
[FromNegations
\stackrel{
\mathrm{tex}
}{\rightarrow}
\mbox{``}FromNegations
\mbox{''}
]$ 

\item $
[From3Disjuncts
\stackrel{
\mathrm{tex}
}{\rightarrow}
\mbox{``}From3Disjuncts
\mbox{''}
]$ 

\item $
[NegateDisjunct1
\stackrel{
\mathrm{tex}
}{\rightarrow}
\mbox{``}NegateDisjunct1
\mbox{''}
]$ 

\item $
[NegateDisjunct2
\stackrel{
\mathrm{tex}
}{\rightarrow}
\mbox{``}NegateDisjunct2
\mbox{''}
]$ 

\item $
[ExpandDisjuncts
\stackrel{
\mathrm{tex}
}{\rightarrow}
\mbox{``}ExpandDisjuncts
\mbox{''}
]$ 

\item $
[From2*2Disjuncts
\stackrel{
\mathrm{tex}
}{\rightarrow}
\mbox{``}From2
{*}2Disjuncts
\mbox{''}
]$ 

\item $
[eqReflexivity
\stackrel{
\mathrm{tex}
}{\rightarrow}
\mbox{``}eqReflexivity
\mbox{''}
]$

\item $
[eqSymmetry
\stackrel{
\mathrm{tex}
}{\rightarrow}
\mbox{``}eqSymmetry
\mbox{''}
]$

\item $
[eqTransitivity
\stackrel{
\mathrm{tex}
}{\rightarrow}
\mbox{``}eqTransitivity
\mbox{''}
]$ 

\item $
[eqTransitivity4
\stackrel{
\mathrm{tex}
}{\rightarrow}
\mbox{``}eqTransitivity4
\mbox{''}
]$

\item $
[eqTransitivity5
\stackrel{
\mathrm{tex}
}{\rightarrow}
\mbox{``}eqTransitivity5
\mbox{''}
]$

\item $
[eqTransitivity6
\stackrel{
\mathrm{tex}
}{\rightarrow}
\mbox{``}eqTransitivity6
\mbox{''}
]$

\item $
[plus0Left
\stackrel{
\mathrm{tex}
}{\rightarrow}
\mbox{``}plus0Left
\mbox{''}
]$ 

\item $
[times1Left
\stackrel{
\mathrm{tex}
}{\rightarrow}
\mbox{``}times1Left
\mbox{''}
]$ 

\item $
[EqMultiplicationLeft
\stackrel{
\mathrm{tex}
}{\rightarrow}
\mbox{``}EqMultiplicationLeft
\mbox{''}
]$ 

\item $
[DistributionOut
\stackrel{
\mathrm{tex}
}{\rightarrow}
\mbox{``}DistributionOut
\mbox{''}
]$ 

\item $
[Three2twoTerms
\stackrel{
\mathrm{tex}
}{\rightarrow}
\mbox{``}Three2twoTerms
\mbox{''}
]$ 

\item $
[Three2threeTerms
\stackrel{
\mathrm{tex}
}{\rightarrow}
\mbox{``}Three2threeTerms
\mbox{''}
]$

\item $
[Three2threeFactors
\stackrel{
\mathrm{tex}
}{\rightarrow}
\mbox{``}Three2threeFactors
\mbox{''}
]$ 

\item $
[AddEquations
\stackrel{
\mathrm{tex}
}{\rightarrow}
\mbox{``}AddEquations
\mbox{''}
]$ 

\item $
[SubtractEquations
\stackrel{
\mathrm{tex}
}{\rightarrow}
\mbox{``}SubtractEquations
\mbox{''}
]$ 

\item $
[SubtractEquationsLeft
\stackrel{
\mathrm{tex}
}{\rightarrow}
\mbox{``}SubtractEquationsLeft
\mbox{''}
]$ 

\item $
[EqNegated
\stackrel{
\mathrm{tex}
}{\rightarrow}
\mbox{``}EqNegated
\mbox{''}
]$ 

\item $
[PositiveToRight(Eq)
\stackrel{
\mathrm{tex}
}{\rightarrow}
\mbox{``}PositiveToRight(Eq)
\mbox{''}
]$ 

\item $
[PositiveToLeft(Eq)(1 term)
\stackrel{
\mathrm{tex}
}{\rightarrow}
\mbox{``}PositiveToLeft(Eq)(1
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}term)
\mbox{''}
]$ 

\item $
[NegativeToLeft(Eq)
\stackrel{
\mathrm{tex}
}{\rightarrow}
\mbox{``}NegativeToLeft(Eq)
\mbox{''}
]$

\item $
[UniqueNegative
\stackrel{
\mathrm{tex}
}{\rightarrow}
\mbox{``}UniqueNegative
\mbox{''}
]$ 

\item $
[DoubleMinus
\stackrel{
\mathrm{tex}
}{\rightarrow}
\mbox{``}DoubleMinus
\mbox{''}
]$ 

\item $
[LessNeq
\stackrel{
\mathrm{tex}
}{\rightarrow}
\mbox{``}LessNeq
\mbox{''}
]$ 

\item $
[NeqSymmetry
\stackrel{
\mathrm{tex}
}{\rightarrow}
\mbox{``}NeqSymmetry
\mbox{''}
]$ 

\item $
[NeqNegated
\stackrel{
\mathrm{tex}
}{\rightarrow}
\mbox{``}NeqNegated
\mbox{''}
]$ 

\item $
[SubNeqRight
\stackrel{
\mathrm{tex}
}{\rightarrow}
\mbox{``}SubNeqRight
\mbox{''}
]$ 

\item $
[SubNeqLeft
\stackrel{
\mathrm{tex}
}{\rightarrow}
\mbox{``}SubNeqLeft
\mbox{''}
]$ 

\item $
[NeqAddition
\stackrel{
\mathrm{tex}
}{\rightarrow}
\mbox{``}NeqAddition
\mbox{''}
]$ 

\item $
[NeqMultiplication
\stackrel{
\mathrm{tex}
}{\rightarrow}
\mbox{``}NeqMultiplication
\mbox{''}
]$ 

\item $
[LeqLessEq
\stackrel{
\mathrm{tex}
}{\rightarrow}
\mbox{``}LeqLessEq
\mbox{''}
]$ 

\item $
[LessLeq
\stackrel{
\mathrm{tex}
}{\rightarrow}
\mbox{``}LessLeq
\mbox{''}
]$ 

\item $
[FromLeqGeq
\stackrel{
\mathrm{tex}
}{\rightarrow}
\mbox{``}FromLeqGeq
\mbox{''}
]$ 

\item $
[subLeqRight
\stackrel{
\mathrm{tex}
}{\rightarrow}
\mbox{``}subLeqRight
\mbox{''}
]$ 

\item $
[subLeqLeft
\stackrel{
\mathrm{tex}
}{\rightarrow}
\mbox{``}subLeqLeft
\mbox{''}
]$

\item $
[Leq+1
\stackrel{
\mathrm{tex}
}{\rightarrow}
\mbox{``}Leq
{+}1
\mbox{''}
]$ 

\item $
[PositiveToRight(Leq)
\stackrel{
\mathrm{tex}
}{\rightarrow}
\mbox{``}PositiveToRight(Leq)
\mbox{''}
]$ 

\item $
[PositiveToRight(Leq)(1 term)
\stackrel{
\mathrm{tex}
}{\rightarrow}
\mbox{``}PositiveToRight(Leq)(1
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}term)
\mbox{''}
]$

\item $
[LeqAdditionLeft
\stackrel{
\mathrm{tex}
}{\rightarrow}
\mbox{``}LeqAdditionLeft
\mbox{''}
]$ 

\item $
[leqSubtraction
\stackrel{
\mathrm{tex}
}{\rightarrow}
\mbox{``}leqSubtraction
\mbox{''}
]$

\item $
[leqSubtractionLeft
\stackrel{
\mathrm{tex}
}{\rightarrow}
\mbox{``}leqSubtractionLeft
\mbox{''}
]$

\item $
[leqMultiplication
\stackrel{
\mathrm{tex}
}{\rightarrow}
\mbox{``}leqMultiplication
\mbox{''}
]$

\item $
[thirdGeq
\stackrel{
\mathrm{tex}
}{\rightarrow}
\mbox{``}thirdGeq
\mbox{''}
]$ 

\item $
[LeqNegated
\stackrel{
\mathrm{tex}
}{\rightarrow}
\mbox{``}LeqNegated
\mbox{''}
]$ 

\item $
[AddEquations(Leq)
\stackrel{
\mathrm{tex}
}{\rightarrow}
\mbox{``}AddEquations(Leq)
\mbox{''}
]$ 

\item $
[LeqNeqLess
\stackrel{
\mathrm{tex}
}{\rightarrow}
\mbox{``}LeqNeqLess
\mbox{''}
]$ 

\item $
[FromLess
\stackrel{
\mathrm{tex}
}{\rightarrow}
\mbox{``}FromLess
\mbox{''}
]$ 

\item $
[ToLess
\stackrel{
\mathrm{tex}
}{\rightarrow}
\mbox{``}ToLess
\mbox{''}
]$

\item $
[fromNotLess
\stackrel{
\mathrm{tex}
}{\rightarrow}
\mbox{``}fromNotLess
\mbox{''}
]$

\item $
[toNotLess
\stackrel{
\mathrm{tex}
}{\rightarrow}
\mbox{``}toNotLess
\mbox{''}
]$ 

\item $
[LessAddition
\stackrel{
\mathrm{tex}
}{\rightarrow}
\mbox{``}LessAddition
\mbox{''}
]$ 

\item $
[LessAdditionLeft
\stackrel{
\mathrm{tex}
}{\rightarrow}
\mbox{``}LessAdditionLeft
\mbox{''}
]$

\item $
[LessMultiplication
\stackrel{
\mathrm{tex}
}{\rightarrow}
\mbox{``}LessMultiplication
\mbox{''}
]$ 

\item $
[LessMultiplicationLeft
\stackrel{
\mathrm{tex}
}{\rightarrow}
\mbox{``}LessMultiplicationLeft
\mbox{''}
]$

\item $
[LessDivision
\stackrel{
\mathrm{tex}
}{\rightarrow}
\mbox{``}LessDivision
\mbox{''}
]$ 

\item $
[AddEquations(Less)
\stackrel{
\mathrm{tex}
}{\rightarrow}
\mbox{``}AddEquations(Less)
\mbox{''}
]$ 

\item $
[NegativeLessPositive
\stackrel{
\mathrm{tex}
}{\rightarrow}
\mbox{``}NegativeLessPositive
\mbox{''}
]$ 

\item $
[leqLessTransitivity
\stackrel{
\mathrm{tex}
}{\rightarrow}
\mbox{``}leqLessTransitivity
\mbox{''}
]$ 

\item $
[LessLeqTransitivity
\stackrel{
\mathrm{tex}
}{\rightarrow}
\mbox{``}LessLeqTransitivity
\mbox{''}
]$ 

\item $
[LessTransitivity
\stackrel{
\mathrm{tex}
}{\rightarrow}
\mbox{``}LessTransitivity
\mbox{''}
]$ 

\item $
[LessTotality
\stackrel{
\mathrm{tex}
}{\rightarrow}
\mbox{``}LessTotality
\mbox{''}
]$ 

\item $
[SubLessRight
\stackrel{
\mathrm{tex}
}{\rightarrow}
\mbox{``}SubLessRight
\mbox{''}
]$ 

\item $
[SubLessLeft
\stackrel{
\mathrm{tex}
}{\rightarrow}
\mbox{``}SubLessLeft
\mbox{''}
]$

\item $
[LessNegated
\stackrel{
\mathrm{tex}
}{\rightarrow}
\mbox{``}LessNegated
\mbox{''}
]$ 

\item $
[PositiveNegated
\stackrel{
\mathrm{tex}
}{\rightarrow}
\mbox{``}PositiveNegated
\mbox{''}
]$ 

\item $
[NonpositiveNegated
\stackrel{
\mathrm{tex}
}{\rightarrow}
\mbox{``}NonpositiveNegated
\mbox{''}
]$

\item $
[NegativeNegated
\stackrel{
\mathrm{tex}
}{\rightarrow}
\mbox{``}NegativeNegated
\mbox{''}
]$ 

\item $
[NonnegativeNegated
\stackrel{
\mathrm{tex}
}{\rightarrow}
\mbox{``}NonnegativeNegated
\mbox{''}
]$ 

\item $
[PositiveHalved
\stackrel{
\mathrm{tex}
}{\rightarrow}
\mbox{``}PositiveHalved
\mbox{''}
]$ 

\item $
[NonnegativeNumerical
\stackrel{
\mathrm{tex}
}{\rightarrow}
\mbox{``}NonnegativeNumerical
\mbox{''}
]$ 

\item $
[NegativeNumerical
\stackrel{
\mathrm{tex}
}{\rightarrow}
\mbox{``}NegativeNumerical
\mbox{''}
]$ 

\item $
[PositiveNumerical
\stackrel{
\mathrm{tex}
}{\rightarrow}
\mbox{``}PositiveNumerical
\mbox{''}
]$ 

\item $
[|0|=0
\stackrel{
\mathrm{tex}
}{\rightarrow}
\mbox{``}|0|
{=}0
\mbox{''}
]$ 

\item $
[0<=|x|
\stackrel{
\mathrm{tex}
}{\rightarrow}
\mbox{``}0
{<}
{=}|x|
\mbox{''}
]$ 

\item $
[SameNumerical
\stackrel{
\mathrm{tex}
}{\rightarrow}
\mbox{``}SameNumerical
\mbox{''}
]$ 

\item $
[SignNumerical(+)
\stackrel{
\mathrm{tex}
}{\rightarrow}
\mbox{``}SignNumerical(
{+})
\mbox{''}
]$ 

\item $
[SignNumerical
\stackrel{
\mathrm{tex}
}{\rightarrow}
\mbox{``}SignNumerical
\mbox{''}
]$

\item $
[NumericalDifference
\stackrel{
\mathrm{tex}
}{\rightarrow}
\mbox{``}NumericalDifference
\mbox{''}
]$ 

\item $
[SplitNumericalSumHelper
\stackrel{
\mathrm{tex}
}{\rightarrow}
\mbox{``}SplitNumericalSumHelper
\mbox{''}
]$ 

\item $
[splitNumericalSum(++)
\stackrel{
\mathrm{tex}
}{\rightarrow}
\mbox{``}splitNumericalSum(
{+}
{+})
\mbox{''}
]$ 

\item $
[splitNumericalSum(--)
\stackrel{
\mathrm{tex}
}{\rightarrow}
\mbox{``}splitNumericalSum(
\mbox{-}
\mbox{-})
\mbox{''}
]$ 

\item $
[splitNumericalSum(+-small)
\stackrel{
\mathrm{tex}
}{\rightarrow}
\mbox{``}splitNumericalSum(
{+}
\mbox{-}small)
\mbox{''}
]$ 

\item $
[splitNumericalSum(+-big)
\stackrel{
\mathrm{tex}
}{\rightarrow}
\mbox{``}splitNumericalSum(
{+}
\mbox{-}big)
\mbox{''}
]$ 

\item $
[splitNumericalSum(+-)
\stackrel{
\mathrm{tex}
}{\rightarrow}
\mbox{``}splitNumericalSum(
{+}
\mbox{-})
\mbox{''}
]$ 

\item $
[splitNumericalSum(-+)
\stackrel{
\mathrm{tex}
}{\rightarrow}
\mbox{``}splitNumericalSum(
\mbox{-}
{+})
\mbox{''}
]$ 

\item $
[splitNumericalSum
\stackrel{
\mathrm{tex}
}{\rightarrow}
\mbox{``}splitNumericalSum
\mbox{''}
]$


\item $
[insertMiddleTerm(Numerical)
\stackrel{
\mathrm{tex}
}{\rightarrow}
\mbox{``}insertMiddleTerm(Numerical)
\mbox{''}
]$ 

\item $
[x+y=zBackwards
\stackrel{
\mathrm{tex}
}{\rightarrow}
\mbox{``}x
{+}y
{=}zBackwards
\mbox{''}
]$ 

\item $
[x*y=zBackwards
\stackrel{
\mathrm{tex}
}{\rightarrow}
\mbox{``}x
{*}y
{=}zBackwards
\mbox{''}
]$ 

\item $
[x=x+(y-y)
\stackrel{
\mathrm{tex}
}{\rightarrow}
\mbox{``}x
{=}x
{+}(y
\mbox{-}y)
\mbox{''}
]$ 

\item $
[x=x+y-y
\stackrel{
\mathrm{tex}
}{\rightarrow}
\mbox{``}x
{=}x
{+}y
\mbox{-}y
\mbox{''}
]$ 

\item $
[ 
\stackrel{
\mathrm{tex}
}{\rightarrow}
\mbox{``}
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}
\mbox{''}
]$ 

\item $
[insertMiddleTerm(Sum)
\stackrel{
\mathrm{tex}
}{\rightarrow}
\mbox{``}insertMiddleTerm(Sum)
\mbox{''}
]$ 

\item $
[insertMiddleTerm(Difference)
\stackrel{
\mathrm{tex}
}{\rightarrow}
\mbox{``}insertMiddleTerm(Difference)
\mbox{''}
]$

\item $
[x*0+x=x
\stackrel{
\mathrm{tex}
}{\rightarrow}
\mbox{``}x
{*}0
{+}x
{=}x
\mbox{''}
]$ 

\item $
[x*0=0
\stackrel{
\mathrm{tex}
}{\rightarrow}
\mbox{``}x
{*}0
{=}0
\mbox{''}
]$ 

\item $
[(-1)*(-1)+(-1)*1=0
\stackrel{
\mathrm{tex}
}{\rightarrow}
\mbox{``}(
\mbox{-}1)
{*}(
\mbox{-}1)
{+}(
\mbox{-}1)
{*}1
{=}0
\mbox{''}
]$ 

\item $
[(-1)*(-1)=1
\stackrel{
\mathrm{tex}
}{\rightarrow}
\mbox{``}(
\mbox{-}1)
{*}(
\mbox{-}1)
{=}1
\mbox{''}
]$ 

\item $
[0<1Helper
\stackrel{
\mathrm{tex}
}{\rightarrow}
\mbox{``}0
{<}1Helper
\mbox{''}
]$ 

\item $
[0<1
\stackrel{
\mathrm{tex}
}{\rightarrow}
\mbox{``}0
{<}1
\mbox{''}
]$

\item $
[0<2
\stackrel{
\mathrm{tex}
}{\rightarrow}
\mbox{``}0
{<}2
\mbox{''}
]$

\item $
[0<1/2
\stackrel{
\mathrm{tex}
}{\rightarrow}
\mbox{``}0
{<}1/2
\mbox{''}
]$

\item $
[TwoWholes
\stackrel{
\mathrm{tex}
}{\rightarrow}
\mbox{``}TwoWholes
\mbox{''}
]$ 

\item $
[TwoHalves
\stackrel{
\mathrm{tex}
}{\rightarrow}
\mbox{``}TwoHalves
\mbox{''}
]$ 

\item $
[-x-y=-(x+y)
\stackrel{
\mathrm{tex}
}{\rightarrow}
\mbox{``}
\mbox{-}x
\mbox{-}y
{=}
\mbox{-}(x
{+}y)
\mbox{''}
]$ 

\item $
[MinusNegated
\stackrel{
\mathrm{tex}
}{\rightarrow}
\mbox{``}MinusNegated
\mbox{''}
]$ 

\item $
[Times(-1)
\stackrel{
\mathrm{tex}
}{\rightarrow}
\mbox{``}Times(
\mbox{-}1)
\mbox{''}
]$ 

\item $
[Times(-1)Left
\stackrel{
\mathrm{tex}
}{\rightarrow}
\mbox{``}Times(
\mbox{-}1)Left
\mbox{''}
]$ 

\item $
[-0=0
\stackrel{
\mathrm{tex}
}{\rightarrow}
\mbox{``}
\mbox{-}0
{=}0
\mbox{''}
]$ 

\item $
[negativeToLeft(Leq)
\stackrel{
\mathrm{tex}
}{\rightarrow}
\mbox{``}negativeToLeft(Leq)
\mbox{''}
]$

\item $
[SFsymmetry
\stackrel{
\mathrm{tex}
}{\rightarrow}
\mbox{``}SFsymmetry
\mbox{''}
]$

\item $
[SFtransitivity
\stackrel{
\mathrm{tex}
}{\rightarrow}
\mbox{``}SFtransitivity
\mbox{''}
]$ 

\item $
[=fToSameF 
\stackrel{
\mathrm{tex}
}{\rightarrow}
\mbox{``}
{=}fToSameF
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}
\mbox{''}
]$ 

\item $
[PlusF(Sym)
\stackrel{
\mathrm{tex}
}{\rightarrow}
\mbox{``}PlusF(Sym)
\mbox{''}
]$ 

\item $
[TimesF(Sym)
\stackrel{
\mathrm{tex}
}{\rightarrow}
\mbox{``}TimesF(Sym)
\mbox{''}
]$

\item $
[f2R(Plus)
\stackrel{
\mathrm{tex}
}{\rightarrow}
\mbox{``}f2R(Plus)
\mbox{''}
]$ 

\item $
[f2R(Times)
\stackrel{
\mathrm{tex}
}{\rightarrow}
\mbox{``}f2R(Times)
\mbox{''}
]$

\item $
[PlusR(Sym)
\stackrel{
\mathrm{tex}
}{\rightarrow}
\mbox{``}PlusR(Sym)
\mbox{''}
]$ 

\item $
[TimesR(Sym)
\stackrel{
\mathrm{tex}
}{\rightarrow}
\mbox{``}TimesR(Sym)
\mbox{''}
]$

\item $
[LessLeq(R)
\stackrel{
\mathrm{tex}
}{\rightarrow}
\mbox{``}LessLeq(R)
\mbox{''}
]$ 

\item $
[eqLeq(R)
\stackrel{
\mathrm{tex}
}{\rightarrow}
\mbox{``}eqLeq(R)
\mbox{''}
]$ 

\item $
[ThirdGeqSeries
\stackrel{
\mathrm{tex}
}{\rightarrow}
\mbox{``}ThirdGeqSeries
\mbox{''}
]$ 

\item $
[SubLessRight(R)
\stackrel{
\mathrm{tex}
}{\rightarrow}
\mbox{``}SubLessRight(R)
\mbox{''}
]$ 

\item $
[SubLessLeft(R)
\stackrel{
\mathrm{tex}
}{\rightarrow}
\mbox{``}SubLessLeft(R)
\mbox{''}
]$ 

\item $
[<<TransitivityHelper(Q)
\stackrel{
\mathrm{tex}
}{\rightarrow}
\mbox{``}
{<}
{<}TransitivityHelper(Q)
\mbox{''}
]$ 

\item $
[<<Transitivity
\stackrel{
\mathrm{tex}
}{\rightarrow}
\mbox{``}
{<}
{<}Transitivity
\mbox{''}
]$ 

\item $
[<<==Reflexivity
\stackrel{
\mathrm{tex}
}{\rightarrow}
\mbox{``}
{<}
{<}
{=}
{=}Reflexivity
\mbox{''}
]$

\item $
[<<==AntisymmetryHelper(Q)
\stackrel{
\mathrm{tex}
}{\rightarrow}
\mbox{``}
{<}
{<}
{=}
{=}AntisymmetryHelper(Q)
\mbox{''}
]$ 

\item $
[<<==Antisymmetry
\stackrel{
\mathrm{tex}
}{\rightarrow}
\mbox{``}
{<}
{<}
{=}
{=}Antisymmetry
\mbox{''}
]$ 

\item $
[<<==Transitivity
\stackrel{
\mathrm{tex}
}{\rightarrow}
\mbox{``}
{<}
{<}
{=}
{=}Transitivity
\mbox{''}
]$

\item $
[Plus0f
\stackrel{
\mathrm{tex}
}{\rightarrow}
\mbox{``}Plus0f
\mbox{''}
]$ 

\item $
[Plus00
\stackrel{
\mathrm{tex}
}{\rightarrow}
\mbox{``}Plus00
\mbox{''}
]$

\item $
[==Addition
\stackrel{
\mathrm{tex}
}{\rightarrow}
\mbox{``}
{=}
{=}Addition
\mbox{''}
]$ 

\item $
[==AdditionLeft
\stackrel{
\mathrm{tex}
}{\rightarrow}
\mbox{``}
{=}
{=}AdditionLeft
\mbox{''}
]$ 

\item $
[<<Addition
\stackrel{
\mathrm{tex}
}{\rightarrow}
\mbox{``}
{<}
{<}Addition
\mbox{''}
]$ 

\item $
[<<==Addition
\stackrel{
\mathrm{tex}
}{\rightarrow}
\mbox{``}
{<}
{<}
{=}
{=}Addition
\mbox{''}
]$ 

\item $
[PlusAssociativity(F)
\stackrel{
\mathrm{tex}
}{\rightarrow}
\mbox{``}PlusAssociativity(F)
\mbox{''}
]$ 

\item $
[PlusAssociativity(R)
\stackrel{
\mathrm{tex}
}{\rightarrow}
\mbox{``}PlusAssociativity(R)
\mbox{''}
]$

\item $
[Negative(R)
\stackrel{
\mathrm{tex}
}{\rightarrow}
\mbox{``}Negative(R)
\mbox{''}
]$ 

\item $
[PlusCommutativity(F)
\stackrel{
\mathrm{tex}
}{\rightarrow}
\mbox{``}PlusCommutativity(F)
\mbox{''}
]$ 

\item $
[PlusCommutativity(R)
\stackrel{
\mathrm{tex}
}{\rightarrow}
\mbox{``}PlusCommutativity(R)
\mbox{''}
]$

\item $
[Times1f
\stackrel{
\mathrm{tex}
}{\rightarrow}
\mbox{``}Times1f
\mbox{''}
]$ 

\item $
[Times01
\stackrel{
\mathrm{tex}
}{\rightarrow}
\mbox{``}Times01
\mbox{''}
]$

\item $
[TimesAssociativity(F)
\stackrel{
\mathrm{tex}
}{\rightarrow}
\mbox{``}TimesAssociativity(F)
\mbox{''}
]$ 

\item $
[TimesAssociativity(R)
\stackrel{
\mathrm{tex}
}{\rightarrow}
\mbox{``}TimesAssociativity(R)
\mbox{''}
]$

\item $
[TimesCommutativity(F)
\stackrel{
\mathrm{tex}
}{\rightarrow}
\mbox{``}TimesCommutativity(F)
\mbox{''}
]$ 

\item $
[TimesCommutativity(R)
\stackrel{
\mathrm{tex}
}{\rightarrow}
\mbox{``}TimesCommutativity(R)
\mbox{''}
]$

\item $
[Distribution(F)
\stackrel{
\mathrm{tex}
}{\rightarrow}
\mbox{``}Distribution(F)
\mbox{''}
]$ 

\item $
[Distribution(R)
\stackrel{
\mathrm{tex}
}{\rightarrow}
\mbox{``}Distribution(R)
\mbox{''}
]$ 

\end{list}

\end{document}

