\documentclass [fleqn]{article}

\setlength {\overfullrule }{1mm}

\usepackage{latexsym}

\setlength{\parindent}{0em}

\setlength{\parskip}{1ex}

\usepackage{graphicx}

\usepackage[dvipdfm=true]{hyperref}

\hypersetup{pdfpagemode=none}

\hypersetup{pdfstartpage=1}

\hypersetup{pdfstartview=FitBH}

\hypersetup{pdfpagescrop={120 130 490 730}}

\hypersetup{pdftitle=Logiweb codex of am}

\hypersetup{colorlinks=true}

\everymath{\rm}

\begin {document}\raggedright

\makebox [0mm][l]{\makebox [\linewidth ][r]{\includegraphics [0mm,18.5mm][16.5mm,19mm]{/home/disk07/grue/logiweb/20060417/html/logiweb/doc/logiweb.eps}}}%
{\bf {\Large Logiweb codex of $\rm am$}}

\vspace {12.5mm}

\href {../index.html}{Up}
\href {http://www.diku.dk/~grue/logiweb/20060417/logiweb/doc/browser/codex/index.html}{Help}


\begin {flushleft}\hyperlink {url:1808490583581903168404721082347638465545342357588912671848929942716323841:0}{$\rm am$},
\hyperlink {url:1808490583581903168404721082347638465545342357588912671848929942716323841:1}{$\rm (\cdots{})$},
\hyperlink {url:1808490583581903168404721082347638465545342357588912671848929942716323841:2}{$\rm \texttt{Objekt-var}$},
\hyperlink {url:1808490583581903168404721082347638465545342357588912671848929942716323841:3}{$\rm \texttt{Ex-var}$},
\hyperlink {url:1808490583581903168404721082347638465545342357588912671848929942716323841:4}{$\rm \texttt{Ph-var}$},
\hyperlink {url:1808490583581903168404721082347638465545342357588912671848929942716323841:5}{$\rm \texttt{V\ae{}rdi}$},
\hyperlink {url:1808490583581903168404721082347638465545342357588912671848929942716323841:6}{$\rm \texttt{Variabel}$},
\hyperlink {url:1808490583581903168404721082347638465545342357588912671848929942716323841:7}{$\rm Op(\ast
)$},
\hyperlink {url:1808490583581903168404721082347638465545342357588912671848929942716323841:8}{$\rm Op(\ast
,\ast
)$},
\hyperlink {url:1808490583581903168404721082347638465545342357588912671848929942716323841:9}{$\rm \ast
 \mathrel {\ddot {==}} \ast$},
\hyperlink {url:1808490583581903168404721082347638465545342357588912671848929942716323841:10}{$\rm ContainsEmpty(\ast
)$},
\hyperlink {url:1808490583581903168404721082347638465545342357588912671848929942716323841:11}{$\rm 
Dedu(\ast
,\ast
)$},
\hyperlink {url:1808490583581903168404721082347638465545342357588912671848929942716323841:12}{$\rm 
Dedu_0(\ast
,\ast
)$},
\hyperlink {url:1808490583581903168404721082347638465545342357588912671848929942716323841:13}{$\rm Dedu_{s}(\ast
,\ast
,\ast
)$},
\hyperlink {url:1808490583581903168404721082347638465545342357588912671848929942716323841:14}{$\rm 
Dedu_1(\ast
,\ast
,\ast
)$},
\hyperlink {url:1808490583581903168404721082347638465545342357588912671848929942716323841:15}{$\rm 
Dedu_2(\ast
,\ast
,\ast
)$},
\hyperlink {url:1808490583581903168404721082347638465545342357588912671848929942716323841:16}{$\rm 
Dedu_3(\ast
,\ast
,\ast
,\ast
)$},
\hyperlink {url:1808490583581903168404721082347638465545342357588912671848929942716323841:17}{$\rm 
Dedu_4(\ast
,\ast
,\ast
,\ast
)$},
\hyperlink {url:1808490583581903168404721082347638465545342357588912671848929942716323841:18}{$\rm 
Dedu_4^*(\ast
,\ast
,\ast
,\ast
)$},
\hyperlink {url:1808490583581903168404721082347638465545342357588912671848929942716323841:19}{$\rm 
Dedu_5(\ast
,\ast
,\ast
)$},
\hyperlink {url:1808490583581903168404721082347638465545342357588912671848929942716323841:20}{$\rm 
Dedu_6(\ast
,\ast
,\ast
,\ast
)$},
\hyperlink {url:1808490583581903168404721082347638465545342357588912671848929942716323841:21}{$\rm 
Dedu_6^*(\ast
,\ast
,\ast
,\ast
)$},
\hyperlink {url:1808490583581903168404721082347638465545342357588912671848929942716323841:22}{$\rm 
Dedu_7(\ast
)$},
\hyperlink {url:1808490583581903168404721082347638465545342357588912671848929942716323841:23}{$\rm 
Dedu_8(\ast
,\ast
)$},
\hyperlink {url:1808490583581903168404721082347638465545342357588912671848929942716323841:24}{$\rm 
Dedu_8^*(\ast
,\ast
)$},
\hyperlink {url:1808490583581903168404721082347638465545342357588912671848929942716323841:25}{$\rm Ex_{1}$},
\hyperlink {url:1808490583581903168404721082347638465545342357588912671848929942716323841:26}{$\rm Ex_{2}$},
\hyperlink {url:1808490583581903168404721082347638465545342357588912671848929942716323841:27}{$\rm Ex3$},
\hyperlink {url:1808490583581903168404721082347638465545342357588912671848929942716323841:28}{$\rm Ex_{10}$},
\hyperlink {url:1808490583581903168404721082347638465545342357588912671848929942716323841:29}{$\rm Ex_{20}$},
\hyperlink {url:1808490583581903168404721082347638465545342357588912671848929942716323841:30}{$\rm \ast
 _{Ex}$},
\hyperlink {url:1808490583581903168404721082347638465545342357588912671848929942716323841:31}{$\rm \ast
 ^{Ex}$},
\hyperlink {url:1808490583581903168404721082347638465545342357588912671848929942716323841:32}{$\rm \langle \ast
{\equiv} \ast
| \ast
{:==} \ast
\rangle_{Ex} $},
\hyperlink {url:1808490583581903168404721082347638465545342357588912671848929942716323841:33}{$\rm \langle \ast
{\equiv}^0 \ast
| \ast
{:==} \ast
\rangle_{Ex} $},
\hyperlink {url:1808490583581903168404721082347638465545342357588912671848929942716323841:34}{$\rm \langle \ast
{\equiv}^1 \ast
| \ast
{:==} \ast
\rangle_{Ex} $},
\hyperlink {url:1808490583581903168404721082347638465545342357588912671848929942716323841:35}{$\rm \langle \ast
{\equiv}^* \ast
| \ast
{:==} \ast
\rangle_{Ex} $},
\hyperlink {url:1808490583581903168404721082347638465545342357588912671848929942716323841:36}{$\rm ph_{1}$},
\hyperlink {url:1808490583581903168404721082347638465545342357588912671848929942716323841:37}{$\rm ph_{2}$},
\hyperlink {url:1808490583581903168404721082347638465545342357588912671848929942716323841:38}{$\rm ph_{3}$},
\hyperlink {url:1808490583581903168404721082347638465545342357588912671848929942716323841:39}{$\rm \ast
 _{Ph} $},
\hyperlink {url:1808490583581903168404721082347638465545342357588912671848929942716323841:40}{$\rm \ast
 ^{Ph}$},
\hyperlink {url:1808490583581903168404721082347638465545342357588912671848929942716323841:41}{$\rm \langle \ast
{\equiv} \ast
| \ast
{:==} \ast
\rangle_{Ph} $},
\hyperlink {url:1808490583581903168404721082347638465545342357588912671848929942716323841:42}{$\rm \langle \ast
{\equiv}^0 \ast
| \ast
{:==} \ast
\rangle_{Ph} $},
\hyperlink {url:1808490583581903168404721082347638465545342357588912671848929942716323841:43}{$\rm \langle \ast
{\equiv}^1 \ast
| \ast
{:==} \ast
\rangle_{Ph} $},
\hyperlink {url:1808490583581903168404721082347638465545342357588912671848929942716323841:44}{$\rm \langle \ast
{\equiv}^* \ast
| \ast
{:==} \ast
\rangle_{Ph} $},
\hyperlink {url:1808490583581903168404721082347638465545342357588912671848929942716323841:45}{$\rm \mathsf {bs}$},
\hyperlink {url:1808490583581903168404721082347638465545342357588912671848929942716323841:46}{$\rm  \mathsf {OBS}$},
\hyperlink {url:1808490583581903168404721082347638465545342357588912671848929942716323841:47}{$\rm {\cal BS}$},
\hyperlink {url:1808490583581903168404721082347638465545342357588912671848929942716323841:48}{$\rm \mathrm{\O}$},
\hyperlink {url:1808490583581903168404721082347638465545342357588912671848929942716323841:49}{$\rm ZFsub$},
\hyperlink {url:1808490583581903168404721082347638465545342357588912671848929942716323841:50}{$\rm MP$},
\hyperlink {url:1808490583581903168404721082347638465545342357588912671848929942716323841:51}{$\rm Gen$},
\hyperlink {url:1808490583581903168404721082347638465545342357588912671848929942716323841:52}{$\rm Repetition$},
\hyperlink {url:1808490583581903168404721082347638465545342357588912671848929942716323841:53}{$\rm Neg$},
\hyperlink {url:1808490583581903168404721082347638465545342357588912671848929942716323841:54}{$\rm Ded$},
\hyperlink {url:1808490583581903168404721082347638465545342357588912671848929942716323841:55}{$\rm ExistIntro$},
\hyperlink {url:1808490583581903168404721082347638465545342357588912671848929942716323841:56}{$\rm Extensionality$},
\hyperlink {url:1808490583581903168404721082347638465545342357588912671848929942716323841:57}{$\rm \O{}def$},
\hyperlink {url:1808490583581903168404721082347638465545342357588912671848929942716323841:58}{$\rm PairDef$},
\hyperlink {url:1808490583581903168404721082347638465545342357588912671848929942716323841:59}{$\rm UnionDef$},
\hyperlink {url:1808490583581903168404721082347638465545342357588912671848929942716323841:60}{$\rm PowerDef$},
\hyperlink {url:1808490583581903168404721082347638465545342357588912671848929942716323841:61}{$\rm SeparationDef$},
\hyperlink {url:1808490583581903168404721082347638465545342357588912671848929942716323841:62}{$\rm AddDoubleNeg$},
\hyperlink {url:1808490583581903168404721082347638465545342357588912671848929942716323841:63}{$\rm RemoveDoubleNeg$},
\hyperlink {url:1808490583581903168404721082347638465545342357588912671848929942716323841:64}{$\rm AndCommutativity$},
\hyperlink {url:1808490583581903168404721082347638465545342357588912671848929942716323841:65}{$\rm AutoImply$},
\hyperlink {url:1808490583581903168404721082347638465545342357588912671848929942716323841:66}{$\rm Contrapositive$},
\hyperlink {url:1808490583581903168404721082347638465545342357588912671848929942716323841:67}{$\rm FirstConjunct$},
\hyperlink {url:1808490583581903168404721082347638465545342357588912671848929942716323841:68}{$\rm SecondConjunct$},
\hyperlink {url:1808490583581903168404721082347638465545342357588912671848929942716323841:69}{$\rm FromContradiction$},
\hyperlink {url:1808490583581903168404721082347638465545342357588912671848929942716323841:70}{$\rm FromDisjuncts$},
\hyperlink {url:1808490583581903168404721082347638465545342357588912671848929942716323841:71}{$\rm IffCommutativity$},
\hyperlink {url:1808490583581903168404721082347638465545342357588912671848929942716323841:72}{$\rm IffFirst$},
\hyperlink {url:1808490583581903168404721082347638465545342357588912671848929942716323841:73}{$\rm IffSecond$},
\hyperlink {url:1808490583581903168404721082347638465545342357588912671848929942716323841:74}{$\rm ImplyTransitivity$},
\hyperlink {url:1808490583581903168404721082347638465545342357588912671848929942716323841:75}{$\rm JoinConjuncts$},
\hyperlink {url:1808490583581903168404721082347638465545342357588912671848929942716323841:76}{$\rm MP2$},
\hyperlink {url:1808490583581903168404721082347638465545342357588912671848929942716323841:77}{$\rm MP3$},
\hyperlink {url:1808490583581903168404721082347638465545342357588912671848929942716323841:78}{$\rm MP4$},
\hyperlink {url:1808490583581903168404721082347638465545342357588912671848929942716323841:79}{$\rm MP5$},
\hyperlink {url:1808490583581903168404721082347638465545342357588912671848929942716323841:80}{$\rm MT$},
\hyperlink {url:1808490583581903168404721082347638465545342357588912671848929942716323841:81}{$\rm NegativeMT$},
\hyperlink {url:1808490583581903168404721082347638465545342357588912671848929942716323841:82}{$\rm Technicality$},
\hyperlink {url:1808490583581903168404721082347638465545342357588912671848929942716323841:83}{$\rm Weakening$},
\hyperlink {url:1808490583581903168404721082347638465545342357588912671848929942716323841:84}{$\rm WeakenOr1$},
\hyperlink {url:1808490583581903168404721082347638465545342357588912671848929942716323841:85}{$\rm WeakenOr2$},
\hyperlink {url:1808490583581903168404721082347638465545342357588912671848929942716323841:86}{$\rm Formula2Pair$},
\hyperlink {url:1808490583581903168404721082347638465545342357588912671848929942716323841:87}{$\rm Pair2Formula$},
\hyperlink {url:1808490583581903168404721082347638465545342357588912671848929942716323841:88}{$\rm Formula2Union$},
\hyperlink {url:1808490583581903168404721082347638465545342357588912671848929942716323841:89}{$\rm Union2Formula$},
\hyperlink {url:1808490583581903168404721082347638465545342357588912671848929942716323841:90}{$\rm Formula2Sep$},
\hyperlink {url:1808490583581903168404721082347638465545342357588912671848929942716323841:91}{$\rm Sep2Formula$},
\hyperlink {url:1808490583581903168404721082347638465545342357588912671848929942716323841:92}{$\rm SubsetInPower$},
\hyperlink {url:1808490583581903168404721082347638465545342357588912671848929942716323841:93}{$\rm HelperPowerIsSub$},
\hyperlink {url:1808490583581903168404721082347638465545342357588912671848929942716323841:94}{$\rm PowerIsSub$},
\hyperlink {url:1808490583581903168404721082347638465545342357588912671848929942716323841:95}{$\rm (Switch)HelperPowerIsSub$},
\hyperlink {url:1808490583581903168404721082347638465545342357588912671848929942716323841:96}{$\rm (Switch)PowerIsSub$},
\hyperlink {url:1808490583581903168404721082347638465545342357588912671848929942716323841:97}{$\rm ToSetEquality$},
\hyperlink {url:1808490583581903168404721082347638465545342357588912671848929942716323841:98}{$\rm HelperToSetEquality(t)$},
\hyperlink {url:1808490583581903168404721082347638465545342357588912671848929942716323841:99}{$\rm ToSetEquality(t)$},
\hyperlink {url:1808490583581903168404721082347638465545342357588912671848929942716323841:100}{$\rm HelperFromSetEquality$},
\hyperlink {url:1808490583581903168404721082347638465545342357588912671848929942716323841:101}{$\rm FromSetEquality$},
\hyperlink {url:1808490583581903168404721082347638465545342357588912671848929942716323841:102}{$\rm HelperReflexivity$},
\hyperlink {url:1808490583581903168404721082347638465545342357588912671848929942716323841:103}{$\rm Reflexivity$},
\hyperlink {url:1808490583581903168404721082347638465545342357588912671848929942716323841:104}{$\rm HelperSymmetry$},
\hyperlink {url:1808490583581903168404721082347638465545342357588912671848929942716323841:105}{$\rm Symmetry$},
\hyperlink {url:1808490583581903168404721082347638465545342357588912671848929942716323841:106}{$\rm HelperTransitivity$},
\hyperlink {url:1808490583581903168404721082347638465545342357588912671848929942716323841:107}{$\rm Transitivity$},
\hyperlink {url:1808490583581903168404721082347638465545342357588912671848929942716323841:108}{$\rm ERisReflexive$},
\hyperlink {url:1808490583581903168404721082347638465545342357588912671848929942716323841:109}{$\rm ERisSymmetric$},
\hyperlink {url:1808490583581903168404721082347638465545342357588912671848929942716323841:110}{$\rm ERisTransitive$},
\hyperlink {url:1808490583581903168404721082347638465545342357588912671848929942716323841:111}{$\rm \O{}isSubset$},
\hyperlink {url:1808490583581903168404721082347638465545342357588912671848929942716323841:112}{$\rm HelperMemberNot\O{}$},
\hyperlink {url:1808490583581903168404721082347638465545342357588912671848929942716323841:113}{$\rm MemberNot\O{}$},
\hyperlink {url:1808490583581903168404721082347638465545342357588912671848929942716323841:114}{$\rm HelperUnique\O{}$},
\hyperlink {url:1808490583581903168404721082347638465545342357588912671848929942716323841:115}{$\rm Unique\O{}$},
\hyperlink {url:1808490583581903168404721082347638465545342357588912671848929942716323841:116}{$\rm ==\!{}Reflexivity$},
\hyperlink {url:1808490583581903168404721082347638465545342357588912671848929942716323841:117}{$\rm ==\!{}Symmetry$},
\hyperlink {url:1808490583581903168404721082347638465545342357588912671848929942716323841:118}{$\rm Helper\!{}==\!{}Transitivity$},
\hyperlink {url:1808490583581903168404721082347638465545342357588912671848929942716323841:119}{$\rm \!{}==\!{}Transitivity$},
\hyperlink {url:1808490583581903168404721082347638465545342357588912671848929942716323841:120}{$\rm HelperTransferNotEq$},
\hyperlink {url:1808490583581903168404721082347638465545342357588912671848929942716323841:121}{$\rm TransferNotEq$},
\hyperlink {url:1808490583581903168404721082347638465545342357588912671848929942716323841:122}{$\rm HelperPairSubset$},
\hyperlink {url:1808490583581903168404721082347638465545342357588912671848929942716323841:123}{$\rm Helper(2)PairSubset$},
\hyperlink {url:1808490583581903168404721082347638465545342357588912671848929942716323841:124}{$\rm PairSubset$},
\hyperlink {url:1808490583581903168404721082347638465545342357588912671848929942716323841:125}{$\rm SamePair$},
\hyperlink {url:1808490583581903168404721082347638465545342357588912671848929942716323841:126}{$\rm SameSingleton$},
\hyperlink {url:1808490583581903168404721082347638465545342357588912671848929942716323841:127}{$\rm UnionSubset$},
\hyperlink {url:1808490583581903168404721082347638465545342357588912671848929942716323841:128}{$\rm SameUnion$},
\hyperlink {url:1808490583581903168404721082347638465545342357588912671848929942716323841:129}{$\rm SeparationSubset$},
\hyperlink {url:1808490583581903168404721082347638465545342357588912671848929942716323841:130}{$\rm SameSeparation$},
\hyperlink {url:1808490583581903168404721082347638465545342357588912671848929942716323841:131}{$\rm SameBinaryUnion$},
\hyperlink {url:1808490583581903168404721082347638465545342357588912671848929942716323841:132}{$\rm IntersectionSubset$},
\hyperlink {url:1808490583581903168404721082347638465545342357588912671848929942716323841:133}{$\rm SameIntersection$},
\hyperlink {url:1808490583581903168404721082347638465545342357588912671848929942716323841:134}{$\rm AutoMember$},
\hyperlink {url:1808490583581903168404721082347638465545342357588912671848929942716323841:135}{$\rm HelperEqSysNot\O{}$},
\hyperlink {url:1808490583581903168404721082347638465545342357588912671848929942716323841:136}{$\rm EqSysNot\O{}$},
\hyperlink {url:1808490583581903168404721082347638465545342357588912671848929942716323841:137}{$\rm HelperEqSubset$},
\hyperlink {url:1808490583581903168404721082347638465545342357588912671848929942716323841:138}{$\rm EqSubset$},
\hyperlink {url:1808490583581903168404721082347638465545342357588912671848929942716323841:139}{$\rm HelperEqNecessary$},
\hyperlink {url:1808490583581903168404721082347638465545342357588912671848929942716323841:140}{$\rm EqNecessary$},
\hyperlink {url:1808490583581903168404721082347638465545342357588912671848929942716323841:141}{$\rm HelperNoneEqNecessary$},
\hyperlink {url:1808490583581903168404721082347638465545342357588912671848929942716323841:142}{$\rm Helper(2)NoneEqNecessary$},
\hyperlink {url:1808490583581903168404721082347638465545342357588912671848929942716323841:143}{$\rm NoneEqNecessary$},
\hyperlink {url:1808490583581903168404721082347638465545342357588912671848929942716323841:144}{$\rm EqClassIsSubset$},
\hyperlink {url:1808490583581903168404721082347638465545342357588912671848929942716323841:145}{$\rm EqClassesAreDisjoint$},
\hyperlink {url:1808490583581903168404721082347638465545342357588912671848929942716323841:146}{$\rm AllDisjoint$},
\hyperlink {url:1808490583581903168404721082347638465545342357588912671848929942716323841:147}{$\rm AllDisjointImply$},
\hyperlink {url:1808490583581903168404721082347638465545342357588912671848929942716323841:148}{$\rm BSsubset$},
\hyperlink {url:1808490583581903168404721082347638465545342357588912671848929942716323841:149}{$\rm Union(BS/R)subset$},
\hyperlink {url:1808490583581903168404721082347638465545342357588912671848929942716323841:150}{$\rm UnionIdentity$},
\hyperlink {url:1808490583581903168404721082347638465545342357588912671848929942716323841:151}{$\rm EqSysIsPartition$},
\hyperlink {url:1808490583581903168404721082347638465545342357588912671848929942716323841:152}{$\rm (\epsilon)$},
\hyperlink {url:1808490583581903168404721082347638465545342357588912671848929942716323841:153}{$\rm (fx)$},
\hyperlink {url:1808490583581903168404721082347638465545342357588912671848929942716323841:154}{$\rm (fy)$},
\hyperlink {url:1808490583581903168404721082347638465545342357588912671848929942716323841:155}{$\rm (fz)$},
\hyperlink {url:1808490583581903168404721082347638465545342357588912671848929942716323841:156}{$\rm (fv)$},
\hyperlink {url:1808490583581903168404721082347638465545342357588912671848929942716323841:157}{$\rm 
\mbox{var fv}$},
\hyperlink {url:1808490583581903168404721082347638465545342357588912671848929942716323841:158}{$\rm (rx)$},
\hyperlink {url:1808490583581903168404721082347638465545342357588912671848929942716323841:159}{$\rm (ry)$},
\hyperlink {url:1808490583581903168404721082347638465545342357588912671848929942716323841:160}{$\rm (rz)$},
\hyperlink {url:1808490583581903168404721082347638465545342357588912671848929942716323841:161}{$\rm (ru)$},
\hyperlink {url:1808490583581903168404721082347638465545342357588912671848929942716323841:162}{$\rm \epsilon$},
\hyperlink {url:1808490583581903168404721082347638465545342357588912671848929942716323841:163}{$\rm FX$},
\hyperlink {url:1808490583581903168404721082347638465545342357588912671848929942716323841:164}{$\rm FY$},
\hyperlink {url:1808490583581903168404721082347638465545342357588912671848929942716323841:165}{$\rm FZ$},
\hyperlink {url:1808490583581903168404721082347638465545342357588912671848929942716323841:166}{$\rm FU$},
\hyperlink {url:1808490583581903168404721082347638465545342357588912671848929942716323841:167}{$\rm FV$},
\hyperlink {url:1808490583581903168404721082347638465545342357588912671848929942716323841:168}{$\rm RX$},
\hyperlink {url:1808490583581903168404721082347638465545342357588912671848929942716323841:169}{$\rm RY$},
\hyperlink {url:1808490583581903168404721082347638465545342357588912671848929942716323841:170}{$\rm RZ$},
\hyperlink {url:1808490583581903168404721082347638465545342357588912671848929942716323841:171}{$\rm RU$},
\hyperlink {url:1808490583581903168404721082347638465545342357588912671848929942716323841:172}{$\rm 0$},
\hyperlink {url:1808490583581903168404721082347638465545342357588912671848929942716323841:173}{$\rm 1$},
\hyperlink {url:1808490583581903168404721082347638465545342357588912671848929942716323841:174}{$\rm (-1)$},
\hyperlink {url:1808490583581903168404721082347638465545342357588912671848929942716323841:175}{$\rm 2$},
\hyperlink {url:1808490583581903168404721082347638465545342357588912671848929942716323841:176}{$\rm 1/2$},
\hyperlink {url:1808490583581903168404721082347638465545342357588912671848929942716323841:177}{$\rm 0f$},
\hyperlink {url:1808490583581903168404721082347638465545342357588912671848929942716323841:178}{$\rm 
\mbox{1f}$},
\hyperlink {url:1808490583581903168404721082347638465545342357588912671848929942716323841:179}{$\rm 00$},
\hyperlink {url:1808490583581903168404721082347638465545342357588912671848929942716323841:180}{$\rm 
\mbox{01}$},
\hyperlink {url:1808490583581903168404721082347638465545342357588912671848929942716323841:181}{$\rm leqReflexivity$},
\hyperlink {url:1808490583581903168404721082347638465545342357588912671848929942716323841:182}{$\rm leqAntisymmetryAxiom$},
\hyperlink {url:1808490583581903168404721082347638465545342357588912671848929942716323841:183}{$\rm leqTransitivityAxiom$},
\hyperlink {url:1808490583581903168404721082347638465545342357588912671848929942716323841:184}{$\rm leqTotality$},
\hyperlink {url:1808490583581903168404721082347638465545342357588912671848929942716323841:185}{$\rm leqAdditionAxiom$},
\hyperlink {url:1808490583581903168404721082347638465545342357588912671848929942716323841:186}{$\rm leqMultiplicationAxiom$},
\hyperlink {url:1808490583581903168404721082347638465545342357588912671848929942716323841:187}{$\rm plusAssociativity$},
\hyperlink {url:1808490583581903168404721082347638465545342357588912671848929942716323841:188}{$\rm plusCommutativity$},
\hyperlink {url:1808490583581903168404721082347638465545342357588912671848929942716323841:189}{$\rm Negative$},
\hyperlink {url:1808490583581903168404721082347638465545342357588912671848929942716323841:190}{$\rm plus0$},
\hyperlink {url:1808490583581903168404721082347638465545342357588912671848929942716323841:191}{$\rm timesAssociativity$},
\hyperlink {url:1808490583581903168404721082347638465545342357588912671848929942716323841:192}{$\rm timesCommutativity$},
\hyperlink {url:1808490583581903168404721082347638465545342357588912671848929942716323841:193}{$\rm ReciprocalAxiom$},
\hyperlink {url:1808490583581903168404721082347638465545342357588912671848929942716323841:194}{$\rm times1$},
\hyperlink {url:1808490583581903168404721082347638465545342357588912671848929942716323841:195}{$\rm Distribution$},
\hyperlink {url:1808490583581903168404721082347638465545342357588912671848929942716323841:196}{$\rm 0not1$},
\hyperlink {url:1808490583581903168404721082347638465545342357588912671848929942716323841:197}{$\rm equalityAxiom$},
\hyperlink {url:1808490583581903168404721082347638465545342357588912671848929942716323841:198}{$\rm eqLeqAxiom$},
\hyperlink {url:1808490583581903168404721082347638465545342357588912671848929942716323841:199}{$\rm eqAdditionAxiom$},
\hyperlink {url:1808490583581903168404721082347638465545342357588912671848929942716323841:200}{$\rm eqMultiplicationAxiom$},
\hyperlink {url:1808490583581903168404721082347638465545342357588912671848929942716323841:201}{$\rm SENC1$},
\hyperlink {url:1808490583581903168404721082347638465545342357588912671848929942716323841:202}{$\rm SENC2$},
\hyperlink {url:1808490583581903168404721082347638465545342357588912671848929942716323841:203}{$\rm IfThenElse(T)$},
\hyperlink {url:1808490583581903168404721082347638465545342357588912671848929942716323841:204}{$\rm IfThenElse(F)$},
\hyperlink {url:1808490583581903168404721082347638465545342357588912671848929942716323841:205}{$\rm From=f$},
\hyperlink {url:1808490583581903168404721082347638465545342357588912671848929942716323841:206}{$\rm To=f$},
\hyperlink {url:1808490583581903168404721082347638465545342357588912671848929942716323841:207}{$\rm From<f$},
\hyperlink {url:1808490583581903168404721082347638465545342357588912671848929942716323841:208}{$\rm To<f$},
\hyperlink {url:1808490583581903168404721082347638465545342357588912671848929942716323841:209}{$\rm PlusF$},
\hyperlink {url:1808490583581903168404721082347638465545342357588912671848929942716323841:210}{$\rm TimesF$},
\hyperlink {url:1808490583581903168404721082347638465545342357588912671848929942716323841:211}{$\rm MinusF$},
\hyperlink {url:1808490583581903168404721082347638465545342357588912671848929942716323841:212}{$\rm 0f$},
\hyperlink {url:1808490583581903168404721082347638465545342357588912671848929942716323841:213}{$\rm 1f$},
\hyperlink {url:1808490583581903168404721082347638465545342357588912671848929942716323841:214}{$\rm FromSF$},
\hyperlink {url:1808490583581903168404721082347638465545342357588912671848929942716323841:215}{$\rm ToSF$},
\hyperlink {url:1808490583581903168404721082347638465545342357588912671848929942716323841:216}{$\rm To==XX$},
\hyperlink {url:1808490583581903168404721082347638465545342357588912671848929942716323841:217}{$\rm From==$},
\hyperlink {url:1808490583581903168404721082347638465545342357588912671848929942716323841:218}{$\rm To==$},
\hyperlink {url:1808490583581903168404721082347638465545342357588912671848929942716323841:219}{$\rm From<<XX$},
\hyperlink {url:1808490583581903168404721082347638465545342357588912671848929942716323841:220}{$\rm From<<(1)$},
\hyperlink {url:1808490583581903168404721082347638465545342357588912671848929942716323841:221}{$\rm From<<(2)$},
\hyperlink {url:1808490583581903168404721082347638465545342357588912671848929942716323841:222}{$\rm to<<XX$},
\hyperlink {url:1808490583581903168404721082347638465545342357588912671848929942716323841:223}{$\rm From<<$},
\hyperlink {url:1808490583581903168404721082347638465545342357588912671848929942716323841:224}{$\rm To<<$},
\hyperlink {url:1808490583581903168404721082347638465545342357588912671848929942716323841:225}{$\rm FromInR$},
\hyperlink {url:1808490583581903168404721082347638465545342357588912671848929942716323841:226}{$\rm PlusR$},
\hyperlink {url:1808490583581903168404721082347638465545342357588912671848929942716323841:227}{$\rm TimesR$},
\hyperlink {url:1808490583581903168404721082347638465545342357588912671848929942716323841:228}{$\rm leqAntisymmetry$},
\hyperlink {url:1808490583581903168404721082347638465545342357588912671848929942716323841:229}{$\rm leqTransitivity$},
\hyperlink {url:1808490583581903168404721082347638465545342357588912671848929942716323841:230}{$\rm leqAddition$},
\hyperlink {url:1808490583581903168404721082347638465545342357588912671848929942716323841:231}{$\rm leqMultiplication$},
\hyperlink {url:1808490583581903168404721082347638465545342357588912671848929942716323841:232}{$\rm Reciprocal$},
\hyperlink {url:1808490583581903168404721082347638465545342357588912671848929942716323841:233}{$\rm Equality$},
\hyperlink {url:1808490583581903168404721082347638465545342357588912671848929942716323841:234}{$\rm eqLeq$},
\hyperlink {url:1808490583581903168404721082347638465545342357588912671848929942716323841:235}{$\rm eqAddition$},
\hyperlink {url:1808490583581903168404721082347638465545342357588912671848929942716323841:236}{$\rm eqMultiplication$},
\hyperlink {url:1808490583581903168404721082347638465545342357588912671848929942716323841:237}{$\rm ToNegatedImply$},
\hyperlink {url:1808490583581903168404721082347638465545342357588912671848929942716323841:238}{$\rm TND$},
\hyperlink {url:1808490583581903168404721082347638465545342357588912671848929942716323841:239}{$\rm ImplyNegation$},
\hyperlink {url:1808490583581903168404721082347638465545342357588912671848929942716323841:240}{$\rm FromNegations$},
\hyperlink {url:1808490583581903168404721082347638465545342357588912671848929942716323841:241}{$\rm From3Disjuncts$},
\hyperlink {url:1808490583581903168404721082347638465545342357588912671848929942716323841:242}{$\rm From2*2Disjuncts$},
\hyperlink {url:1808490583581903168404721082347638465545342357588912671848929942716323841:243}{$\rm NegateDisjunct1$},
\hyperlink {url:1808490583581903168404721082347638465545342357588912671848929942716323841:244}{$\rm NegateDisjunct2$},
\hyperlink {url:1808490583581903168404721082347638465545342357588912671848929942716323841:245}{$\rm ExpandDisjuncts$},
\hyperlink {url:1808490583581903168404721082347638465545342357588912671848929942716323841:246}{$\rm eqReflexivity$},
\hyperlink {url:1808490583581903168404721082347638465545342357588912671848929942716323841:247}{$\rm eqSymmetry$},
\hyperlink {url:1808490583581903168404721082347638465545342357588912671848929942716323841:248}{$\rm eqTransitivity$},
\hyperlink {url:1808490583581903168404721082347638465545342357588912671848929942716323841:249}{$\rm eqTransitivity4$},
\hyperlink {url:1808490583581903168404721082347638465545342357588912671848929942716323841:250}{$\rm eqTransitivity5$},
\hyperlink {url:1808490583581903168404721082347638465545342357588912671848929942716323841:251}{$\rm eqTransitivity6$},
\hyperlink {url:1808490583581903168404721082347638465545342357588912671848929942716323841:252}{$\rm plus0Left$},
\hyperlink {url:1808490583581903168404721082347638465545342357588912671848929942716323841:253}{$\rm times1Left$},
\hyperlink {url:1808490583581903168404721082347638465545342357588912671848929942716323841:254}{$\rm 
\mbox{lemma eqAdditionLeft}$},
\hyperlink {url:1808490583581903168404721082347638465545342357588912671848929942716323841:255}{$\rm EqMultiplicationLeft$},
\hyperlink {url:1808490583581903168404721082347638465545342357588912671848929942716323841:256}{$\rm DistributionOut$},
\hyperlink {url:1808490583581903168404721082347638465545342357588912671848929942716323841:257}{$\rm Three2twoTerms$},
\hyperlink {url:1808490583581903168404721082347638465545342357588912671848929942716323841:258}{$\rm Three2threeTerms$},
\hyperlink {url:1808490583581903168404721082347638465545342357588912671848929942716323841:259}{$\rm Three2threeFactors$},
\hyperlink {url:1808490583581903168404721082347638465545342357588912671848929942716323841:260}{$\rm AddEquations$},
\hyperlink {url:1808490583581903168404721082347638465545342357588912671848929942716323841:261}{$\rm SubtractEquations$},
\hyperlink {url:1808490583581903168404721082347638465545342357588912671848929942716323841:262}{$\rm SubtractEquationsLeft$},
\hyperlink {url:1808490583581903168404721082347638465545342357588912671848929942716323841:263}{$\rm EqNegated$},
\hyperlink {url:1808490583581903168404721082347638465545342357588912671848929942716323841:264}{$\rm PositiveToRight(Eq)$},
\hyperlink {url:1808490583581903168404721082347638465545342357588912671848929942716323841:265}{$\rm PositiveToLeft(Eq)(1 term)$},
\hyperlink {url:1808490583581903168404721082347638465545342357588912671848929942716323841:266}{$\rm NegativeToLeft(Eq)$},
\hyperlink {url:1808490583581903168404721082347638465545342357588912671848929942716323841:267}{$\rm LessNeq$},
\hyperlink {url:1808490583581903168404721082347638465545342357588912671848929942716323841:268}{$\rm NeqSymmetry$},
\hyperlink {url:1808490583581903168404721082347638465545342357588912671848929942716323841:269}{$\rm NeqNegated$},
\hyperlink {url:1808490583581903168404721082347638465545342357588912671848929942716323841:270}{$\rm SubNeqRight$},
\hyperlink {url:1808490583581903168404721082347638465545342357588912671848929942716323841:271}{$\rm SubNeqLeft$},
\hyperlink {url:1808490583581903168404721082347638465545342357588912671848929942716323841:272}{$\rm NeqAddition$},
\hyperlink {url:1808490583581903168404721082347638465545342357588912671848929942716323841:273}{$\rm NeqMultiplication$},
\hyperlink {url:1808490583581903168404721082347638465545342357588912671848929942716323841:274}{$\rm UniqueNegative$},
\hyperlink {url:1808490583581903168404721082347638465545342357588912671848929942716323841:275}{$\rm DoubleMinus$},
\hyperlink {url:1808490583581903168404721082347638465545342357588912671848929942716323841:276}{$\rm LeqLessEq$},
\hyperlink {url:1808490583581903168404721082347638465545342357588912671848929942716323841:277}{$\rm LessLeq$},
\hyperlink {url:1808490583581903168404721082347638465545342357588912671848929942716323841:278}{$\rm FromLeqGeq$},
\hyperlink {url:1808490583581903168404721082347638465545342357588912671848929942716323841:279}{$\rm subLeqRight$},
\hyperlink {url:1808490583581903168404721082347638465545342357588912671848929942716323841:280}{$\rm subLeqLeft$},
\hyperlink {url:1808490583581903168404721082347638465545342357588912671848929942716323841:281}{$\rm Leq+1$},
\hyperlink {url:1808490583581903168404721082347638465545342357588912671848929942716323841:282}{$\rm PositiveToRight(Leq)$},
\hyperlink {url:1808490583581903168404721082347638465545342357588912671848929942716323841:283}{$\rm PositiveToRight(Leq)(1 term)$},
\hyperlink {url:1808490583581903168404721082347638465545342357588912671848929942716323841:284}{$\rm negativeToLeft(Leq)$},
\hyperlink {url:1808490583581903168404721082347638465545342357588912671848929942716323841:285}{$\rm LeqAdditionLeft$},
\hyperlink {url:1808490583581903168404721082347638465545342357588912671848929942716323841:286}{$\rm leqSubtraction$},
\hyperlink {url:1808490583581903168404721082347638465545342357588912671848929942716323841:287}{$\rm leqSubtractionLeft$},
\hyperlink {url:1808490583581903168404721082347638465545342357588912671848929942716323841:288}{$\rm thirdGeq$},
\hyperlink {url:1808490583581903168404721082347638465545342357588912671848929942716323841:289}{$\rm LeqNegated$},
\hyperlink {url:1808490583581903168404721082347638465545342357588912671848929942716323841:290}{$\rm AddEquations(Leq)$},
\hyperlink {url:1808490583581903168404721082347638465545342357588912671848929942716323841:291}{$\rm ThirdGeqSeries$},
\hyperlink {url:1808490583581903168404721082347638465545342357588912671848929942716323841:292}{$\rm LeqNeqLess$},
\hyperlink {url:1808490583581903168404721082347638465545342357588912671848929942716323841:293}{$\rm FromLess$},
\hyperlink {url:1808490583581903168404721082347638465545342357588912671848929942716323841:294}{$\rm ToLess$},
\hyperlink {url:1808490583581903168404721082347638465545342357588912671848929942716323841:295}{$\rm fromNotLess$},
\hyperlink {url:1808490583581903168404721082347638465545342357588912671848929942716323841:296}{$\rm toNotLess$},
\hyperlink {url:1808490583581903168404721082347638465545342357588912671848929942716323841:297}{$\rm NegativeLessPositive$},
\hyperlink {url:1808490583581903168404721082347638465545342357588912671848929942716323841:298}{$\rm leqLessTransitivity$},
\hyperlink {url:1808490583581903168404721082347638465545342357588912671848929942716323841:299}{$\rm LessLeqTransitivity$},
\hyperlink {url:1808490583581903168404721082347638465545342357588912671848929942716323841:300}{$\rm LessTransitivity$},
\hyperlink {url:1808490583581903168404721082347638465545342357588912671848929942716323841:301}{$\rm LessTotality$},
\hyperlink {url:1808490583581903168404721082347638465545342357588912671848929942716323841:302}{$\rm SubLessRight$},
\hyperlink {url:1808490583581903168404721082347638465545342357588912671848929942716323841:303}{$\rm SubLessLeft$},
\hyperlink {url:1808490583581903168404721082347638465545342357588912671848929942716323841:304}{$\rm LessAddition$},
\hyperlink {url:1808490583581903168404721082347638465545342357588912671848929942716323841:305}{$\rm LessAdditionLeft$},
\hyperlink {url:1808490583581903168404721082347638465545342357588912671848929942716323841:306}{$\rm LessMultiplication$},
\hyperlink {url:1808490583581903168404721082347638465545342357588912671848929942716323841:307}{$\rm LessMultiplicationLeft$},
\hyperlink {url:1808490583581903168404721082347638465545342357588912671848929942716323841:308}{$\rm LessDivision$},
\hyperlink {url:1808490583581903168404721082347638465545342357588912671848929942716323841:309}{$\rm AddEquations(Less)$},
\hyperlink {url:1808490583581903168404721082347638465545342357588912671848929942716323841:310}{$\rm LessNegated$},
\hyperlink {url:1808490583581903168404721082347638465545342357588912671848929942716323841:311}{$\rm PositiveNegated$},
\hyperlink {url:1808490583581903168404721082347638465545342357588912671848929942716323841:312}{$\rm NonpositiveNegated$},
\hyperlink {url:1808490583581903168404721082347638465545342357588912671848929942716323841:313}{$\rm NegativeNegated$},
\hyperlink {url:1808490583581903168404721082347638465545342357588912671848929942716323841:314}{$\rm NonnegativeNegated$},
\hyperlink {url:1808490583581903168404721082347638465545342357588912671848929942716323841:315}{$\rm PositiveHalved$},
\hyperlink {url:1808490583581903168404721082347638465545342357588912671848929942716323841:316}{$\rm NonnegativeNumerical$},
\hyperlink {url:1808490583581903168404721082347638465545342357588912671848929942716323841:317}{$\rm NegativeNumerical$},
\hyperlink {url:1808490583581903168404721082347638465545342357588912671848929942716323841:318}{$\rm PositiveNumerical$},
\hyperlink {url:1808490583581903168404721082347638465545342357588912671848929942716323841:319}{$\rm 
\mbox{lemma nonpositiveNumerical}$},
\hyperlink {url:1808490583581903168404721082347638465545342357588912671848929942716323841:320}{$\rm |0|=0$},
\hyperlink {url:1808490583581903168404721082347638465545342357588912671848929942716323841:321}{$\rm 0<=|x|$},
\hyperlink {url:1808490583581903168404721082347638465545342357588912671848929942716323841:322}{$\rm SameNumerical$},
\hyperlink {url:1808490583581903168404721082347638465545342357588912671848929942716323841:323}{$\rm SignNumerical(+)$},
\hyperlink {url:1808490583581903168404721082347638465545342357588912671848929942716323841:324}{$\rm SignNumerical$},
\hyperlink {url:1808490583581903168404721082347638465545342357588912671848929942716323841:325}{$\rm NumericalDifference$},
\hyperlink {url:1808490583581903168404721082347638465545342357588912671848929942716323841:326}{$\rm SplitNumericalSumHelper$},
\hyperlink {url:1808490583581903168404721082347638465545342357588912671848929942716323841:327}{$\rm splitNumericalSum(++)$},
\hyperlink {url:1808490583581903168404721082347638465545342357588912671848929942716323841:328}{$\rm splitNumericalSum(--)$},
\hyperlink {url:1808490583581903168404721082347638465545342357588912671848929942716323841:329}{$\rm splitNumericalSum(+-small)$},
\hyperlink {url:1808490583581903168404721082347638465545342357588912671848929942716323841:330}{$\rm splitNumericalSum(+-big)$},
\hyperlink {url:1808490583581903168404721082347638465545342357588912671848929942716323841:331}{$\rm splitNumericalSum(+-)$},
\hyperlink {url:1808490583581903168404721082347638465545342357588912671848929942716323841:332}{$\rm splitNumericalSum(-+)$},
\hyperlink {url:1808490583581903168404721082347638465545342357588912671848929942716323841:333}{$\rm splitNumericalSum$},
\hyperlink {url:1808490583581903168404721082347638465545342357588912671848929942716323841:334}{$\rm insertMiddleTerm(Numerical)$},
\hyperlink {url:1808490583581903168404721082347638465545342357588912671848929942716323841:335}{$\rm x+y=zBackwards$},
\hyperlink {url:1808490583581903168404721082347638465545342357588912671848929942716323841:336}{$\rm x*y=zBackwards$},
\hyperlink {url:1808490583581903168404721082347638465545342357588912671848929942716323841:337}{$\rm x=x+(y-y)$},
\hyperlink {url:1808490583581903168404721082347638465545342357588912671848929942716323841:338}{$\rm x=x+y-y$},
\hyperlink {url:1808490583581903168404721082347638465545342357588912671848929942716323841:339}{$\rm  $},
\hyperlink {url:1808490583581903168404721082347638465545342357588912671848929942716323841:340}{$\rm insertMiddleTerm(Sum)$},
\hyperlink {url:1808490583581903168404721082347638465545342357588912671848929942716323841:341}{$\rm insertMiddleTerm(Difference)$},
\hyperlink {url:1808490583581903168404721082347638465545342357588912671848929942716323841:342}{$\rm x*0+x=x$},
\hyperlink {url:1808490583581903168404721082347638465545342357588912671848929942716323841:343}{$\rm x*0=0$},
\hyperlink {url:1808490583581903168404721082347638465545342357588912671848929942716323841:344}{$\rm (-1)*(-1)+(-1)*1=0$},
\hyperlink {url:1808490583581903168404721082347638465545342357588912671848929942716323841:345}{$\rm (-1)*(-1)=1$},
\hyperlink {url:1808490583581903168404721082347638465545342357588912671848929942716323841:346}{$\rm 0<1Helper$},
\hyperlink {url:1808490583581903168404721082347638465545342357588912671848929942716323841:347}{$\rm 0<1$},
\hyperlink {url:1808490583581903168404721082347638465545342357588912671848929942716323841:348}{$\rm 0<2$},
\hyperlink {url:1808490583581903168404721082347638465545342357588912671848929942716323841:349}{$\rm 0<1/2$},
\hyperlink {url:1808490583581903168404721082347638465545342357588912671848929942716323841:350}{$\rm TwoWholes$},
\hyperlink {url:1808490583581903168404721082347638465545342357588912671848929942716323841:351}{$\rm TwoHalves$},
\hyperlink {url:1808490583581903168404721082347638465545342357588912671848929942716323841:352}{$\rm -x-y=-(x+y)$},
\hyperlink {url:1808490583581903168404721082347638465545342357588912671848929942716323841:353}{$\rm MinusNegated$},
\hyperlink {url:1808490583581903168404721082347638465545342357588912671848929942716323841:354}{$\rm Times(-1)$},
\hyperlink {url:1808490583581903168404721082347638465545342357588912671848929942716323841:355}{$\rm Times(-1)Left$},
\hyperlink {url:1808490583581903168404721082347638465545342357588912671848929942716323841:356}{$\rm -0=0$},
\hyperlink {url:1808490583581903168404721082347638465545342357588912671848929942716323841:357}{$\rm SFsymmetry$},
\hyperlink {url:1808490583581903168404721082347638465545342357588912671848929942716323841:358}{$\rm SFtransitivity$},
\hyperlink {url:1808490583581903168404721082347638465545342357588912671848929942716323841:359}{$\rm =fToSameF $},
\hyperlink {url:1808490583581903168404721082347638465545342357588912671848929942716323841:360}{$\rm PlusF(Sym)$},
\hyperlink {url:1808490583581903168404721082347638465545342357588912671848929942716323841:361}{$\rm TimesF(Sym)$},
\hyperlink {url:1808490583581903168404721082347638465545342357588912671848929942716323841:362}{$\rm f2R(Plus)$},
\hyperlink {url:1808490583581903168404721082347638465545342357588912671848929942716323841:363}{$\rm f2R(Times)$},
\hyperlink {url:1808490583581903168404721082347638465545342357588912671848929942716323841:364}{$\rm PlusR(Sym)$},
\hyperlink {url:1808490583581903168404721082347638465545342357588912671848929942716323841:365}{$\rm TimesR(Sym)$},
\hyperlink {url:1808490583581903168404721082347638465545342357588912671848929942716323841:366}{$\rm LessLeq(R)$},
\hyperlink {url:1808490583581903168404721082347638465545342357588912671848929942716323841:367}{$\rm eqLeq(R)$},
\hyperlink {url:1808490583581903168404721082347638465545342357588912671848929942716323841:368}{$\rm SubLessRight(R)$},
\hyperlink {url:1808490583581903168404721082347638465545342357588912671848929942716323841:369}{$\rm SubLessLeft(R)$},
\hyperlink {url:1808490583581903168404721082347638465545342357588912671848929942716323841:370}{$\rm <<TransitivityHelper(Q)$},
\hyperlink {url:1808490583581903168404721082347638465545342357588912671848929942716323841:371}{$\rm <<Transitivity$},
\hyperlink {url:1808490583581903168404721082347638465545342357588912671848929942716323841:372}{$\rm <<==Reflexivity$},
\hyperlink {url:1808490583581903168404721082347638465545342357588912671848929942716323841:373}{$\rm <<==AntisymmetryHelper(Q)$},
\hyperlink {url:1808490583581903168404721082347638465545342357588912671848929942716323841:374}{$\rm <<==Antisymmetry$},
\hyperlink {url:1808490583581903168404721082347638465545342357588912671848929942716323841:375}{$\rm <<==Transitivity$},
\hyperlink {url:1808490583581903168404721082347638465545342357588912671848929942716323841:376}{$\rm Plus0f$},
\hyperlink {url:1808490583581903168404721082347638465545342357588912671848929942716323841:377}{$\rm Plus00$},
\hyperlink {url:1808490583581903168404721082347638465545342357588912671848929942716323841:378}{$\rm ==Addition$},
\hyperlink {url:1808490583581903168404721082347638465545342357588912671848929942716323841:379}{$\rm ==AdditionLeft$},
\hyperlink {url:1808490583581903168404721082347638465545342357588912671848929942716323841:380}{$\rm <<Addition$},
\hyperlink {url:1808490583581903168404721082347638465545342357588912671848929942716323841:381}{$\rm <<==Addition$},
\hyperlink {url:1808490583581903168404721082347638465545342357588912671848929942716323841:382}{$\rm PlusAssociativity(F)$},
\hyperlink {url:1808490583581903168404721082347638465545342357588912671848929942716323841:383}{$\rm PlusAssociativity(R)$},
\hyperlink {url:1808490583581903168404721082347638465545342357588912671848929942716323841:384}{$\rm Negative(R)$},
\hyperlink {url:1808490583581903168404721082347638465545342357588912671848929942716323841:385}{$\rm PlusCommutativity(F)$},
\hyperlink {url:1808490583581903168404721082347638465545342357588912671848929942716323841:386}{$\rm PlusCommutativity(R)$},
\hyperlink {url:1808490583581903168404721082347638465545342357588912671848929942716323841:387}{$\rm TimesAssociativity(F)$},
\hyperlink {url:1808490583581903168404721082347638465545342357588912671848929942716323841:388}{$\rm TimesAssociativity(R)$},
\hyperlink {url:1808490583581903168404721082347638465545342357588912671848929942716323841:389}{$\rm Times1f$},
\hyperlink {url:1808490583581903168404721082347638465545342357588912671848929942716323841:390}{$\rm Times01$},
\hyperlink {url:1808490583581903168404721082347638465545342357588912671848929942716323841:391}{$\rm TimesCommutativity(F)$},
\hyperlink {url:1808490583581903168404721082347638465545342357588912671848929942716323841:392}{$\rm TimesCommutativity(R)$},
\hyperlink {url:1808490583581903168404721082347638465545342357588912671848929942716323841:393}{$\rm Distribution(F)$},
\hyperlink {url:1808490583581903168404721082347638465545342357588912671848929942716323841:394}{$\rm Distribution(R)$},
\hyperlink {url:1808490583581903168404721082347638465545342357588912671848929942716323841:395}{$\rm R(\ast
)$},
\hyperlink {url:1808490583581903168404721082347638465545342357588912671848929942716323841:396}{$\rm --R(\ast
)$},
\hyperlink {url:1808490583581903168404721082347638465545342357588912671848929942716323841:397}{$\rm rec\ast$},
\hyperlink {url:1808490583581903168404721082347638465545342357588912671848929942716323841:398}{$\rm \ast
 / \ast$},
\hyperlink {url:1808490583581903168404721082347638465545342357588912671848929942716323841:399}{$\rm \ast
 \cap \ast$},
\hyperlink {url:1808490583581903168404721082347638465545342357588912671848929942716323841:400}{$\rm \ast
[\ast
]$},
\hyperlink {url:1808490583581903168404721082347638465545342357588912671848929942716323841:401}{$\rm \cup \ast$},
\hyperlink {url:1808490583581903168404721082347638465545342357588912671848929942716323841:402}{$\rm \ast
 \mathrel{\cup} \ast$},
\hyperlink {url:1808490583581903168404721082347638465545342357588912671848929942716323841:403}{$\rm P(\ast
)$},
\hyperlink {url:1808490583581903168404721082347638465545342357588912671848929942716323841:404}{$\rm \{\ast
\}$},
\hyperlink {url:1808490583581903168404721082347638465545342357588912671848929942716323841:405}{$\rm \{\ast
,\ast
\}$},
\hyperlink {url:1808490583581903168404721082347638465545342357588912671848929942716323841:406}{$\rm \langle \ast
,\ast
\rangle$},
\hyperlink {url:1808490583581903168404721082347638465545342357588912671848929942716323841:407}{$\rm -\ast$},
\hyperlink {url:1808490583581903168404721082347638465545342357588912671848929942716323841:408}{$\rm -_{f}\ast$},
\hyperlink {url:1808490583581903168404721082347638465545342357588912671848929942716323841:409}{$\rm \ast
 \mathrel{\in} \ast$},
\hyperlink {url:1808490583581903168404721082347638465545342357588912671848929942716323841:410}{$\rm \ast
(\ast
,\ast
)$},
\hyperlink {url:1808490583581903168404721082347638465545342357588912671848929942716323841:411}{$\rm ReflRel(\ast
,\ast
)$},
\hyperlink {url:1808490583581903168404721082347638465545342357588912671848929942716323841:412}{$\rm SymRel(\ast
,\ast
)$},
\hyperlink {url:1808490583581903168404721082347638465545342357588912671848929942716323841:413}{$\rm TransRel(\ast
,\ast
)$},
\hyperlink {url:1808490583581903168404721082347638465545342357588912671848929942716323841:414}{$\rm EqRel(\ast
,\ast
)$},
\hyperlink {url:1808490583581903168404721082347638465545342357588912671848929942716323841:415}{$\rm [\ast
 \mathrel{\in} \ast
]_{\ast
}$},
\hyperlink {url:1808490583581903168404721082347638465545342357588912671848929942716323841:416}{$\rm Partition(\ast
,\ast
)$},
\hyperlink {url:1808490583581903168404721082347638465545342357588912671848929942716323841:417}{$\rm \ast
*\ast$},
\hyperlink {url:1808490583581903168404721082347638465545342357588912671848929942716323841:418}{$\rm \ast
*_{f}\ast$},
\hyperlink {url:1808490583581903168404721082347638465545342357588912671848929942716323841:419}{$\rm \ast
**\ast$},
\hyperlink {url:1808490583581903168404721082347638465545342357588912671848929942716323841:420}{$\rm \ast
+\ast$},
\hyperlink {url:1808490583581903168404721082347638465545342357588912671848929942716323841:421}{$\rm \ast
-\ast$},
\hyperlink {url:1808490583581903168404721082347638465545342357588912671848929942716323841:422}{$\rm \ast
+_{f}\ast$},
\hyperlink {url:1808490583581903168404721082347638465545342357588912671848929942716323841:423}{$\rm \ast
-_{f}\ast$},
\hyperlink {url:1808490583581903168404721082347638465545342357588912671848929942716323841:424}{$\rm \ast
++\ast$},
\hyperlink {url:1808490583581903168404721082347638465545342357588912671848929942716323841:425}{$\rm R(\ast
) -- R(\ast
)$},
\hyperlink {url:1808490583581903168404721082347638465545342357588912671848929942716323841:426}{$\rm |\ast|$},
\hyperlink {url:1808490583581903168404721082347638465545342357588912671848929942716323841:427}{$\rm if(\ast
,\ast
,\ast
)$},
\hyperlink {url:1808490583581903168404721082347638465545342357588912671848929942716323841:428}{$\rm \ast
 = \ast$},
\hyperlink {url:1808490583581903168404721082347638465545342357588912671848929942716323841:429}{$\rm \ast
 \neq \ast$},
\hyperlink {url:1808490583581903168404721082347638465545342357588912671848929942716323841:430}{$\rm \ast
 <= \ast$},
\hyperlink {url:1808490583581903168404721082347638465545342357588912671848929942716323841:431}{$\rm \ast
 < \ast$},
\hyperlink {url:1808490583581903168404721082347638465545342357588912671848929942716323841:432}{$\rm \ast
=_{f}\ast$},
\hyperlink {url:1808490583581903168404721082347638465545342357588912671848929942716323841:433}{$\rm \ast
<_{f}\ast$},
\hyperlink {url:1808490583581903168404721082347638465545342357588912671848929942716323841:434}{$\rm SF(\ast
,\ast
)$},
\hyperlink {url:1808490583581903168404721082347638465545342357588912671848929942716323841:435}{$\rm \ast
 == \ast$},
\hyperlink {url:1808490583581903168404721082347638465545342357588912671848929942716323841:436}{$\rm \ast
 << \ast$},
\hyperlink {url:1808490583581903168404721082347638465545342357588912671848929942716323841:437}{$\rm \ast
 <<== \ast$},
\hyperlink {url:1808490583581903168404721082347638465545342357588912671848929942716323841:438}{$\rm \ast
\!\mathrel{==}\! \ast$},
\hyperlink {url:1808490583581903168404721082347638465545342357588912671848929942716323841:439}{$\rm \ast
 \mathrel{\subseteq} \ast$},
\hyperlink {url:1808490583581903168404721082347638465545342357588912671848929942716323841:440}{$\rm \dot{\neg}\, \ast$},
\hyperlink {url:1808490583581903168404721082347638465545342357588912671848929942716323841:441}{$\rm \ast
 \mathrel{\notin} \ast$},
\hyperlink {url:1808490583581903168404721082347638465545342357588912671848929942716323841:442}{$\rm \ast
 \mathrel{\neq} \ast$},
\hyperlink {url:1808490583581903168404721082347638465545342357588912671848929942716323841:443}{$\rm \ast
\mathrel{\dot{\wedge}} \ast$},
\hyperlink {url:1808490583581903168404721082347638465545342357588912671848929942716323841:444}{$\rm \ast
 \mathrel{\dot{\vee}} \ast$},
\hyperlink {url:1808490583581903168404721082347638465545342357588912671848929942716323841:445}{$\rm \ast
\mathrel{\dot{\Leftrightarrow}} \ast$},
\hyperlink {url:1808490583581903168404721082347638465545342357588912671848929942716323841:446}{$\rm  \{ ph \mathrel{\in} \ast
\mid \ast
\}$},
\end {flushleft}

\hypertarget {url:1808490583581903168404721082347638465545342357588912671848929942716323841:0}{}\section* {$\rm am$}

$\rm
[am
\stackrel{
\mathrm{prio}
}{\rightarrow}
\newline \mathbf {Preassociative} \newline 
[am
] , \linebreak [0] 
[
\mbox{base}
] , \linebreak [0] 
[
\mbox{bracket $
\ast $ end bracket}
] , \linebreak [0] 
[
\mbox{big bracket $
\ast $ end bracket}
] , \linebreak [0] 
[
\ \$
\ast \$\linebreak[0]\ 
] , \linebreak [0] 
[
\mathbf{flush\ left\ }[ 
\ast 
]
] , \linebreak [0] 
[
\mathsf{x}
] , \linebreak [0] 
[
\mathsf{y}
] , \linebreak [0] 
[
\mathsf{z}
] , \linebreak [0] 
[
[
\ast 
\bowtie
\ast 
]
] , \linebreak [0] 
[
[
\ast 
\stackrel{
\ast 
}{\rightarrow}
\ast 
]
] , \linebreak [0] 
[
\mathrm{pyk}
] , \linebreak [0] 
[
\mathrm{tex}
] , \linebreak [0] 
[
\mathrm{name}
] , \linebreak [0] 
[
\mathrm{prio}
] , \linebreak [0] 
[
\ast 
] , \linebreak [0] 
[
\mathsf {T}
] , \linebreak [0] 
[
\mathrm {if}(
\ast 
,\linebreak [0]
\ast 
,\linebreak [0]
\ast 
)
] , \linebreak [0] 
[
[
\ast 
\stackrel {
\ast 
}{\Rightarrow }
\ast 
]
] , \linebreak [0] 
[
\mathrm {val}
] , \linebreak [0] 
[
\mathrm {claim}
] , \linebreak [0] 
[
\bot 
] , \linebreak [0] 
[
f(
\ast 
)
] , \linebreak [0] 
[
(
\ast 
){}^{I} 
] , \linebreak [0] 
[
\mathsf {F}
] , \linebreak [0] 
[
\underline {0}
] , \linebreak [0] 
[
\underline {1}
] , \linebreak [0] 
[
\underline {2}
] , \linebreak [0] 
[
\underline {3}
] , \linebreak [0] 
[
\underline {4}
] , \linebreak [0] 
[
\underline {5}
] , \linebreak [0] 
[
\underline {6}
] , \linebreak [0] 
[
\underline {7}
] , \linebreak [0] 
[
\underline {8}
] , \linebreak [0] 
[
\underline {9}
] , \linebreak [0] 
[
0
] , \linebreak [0] 
[
1
] , \linebreak [0] 
[
2
] , \linebreak [0] 
[
3
] , \linebreak [0] 
[
4
] , \linebreak [0] 
[
5
] , \linebreak [0] 
[
6
] , \linebreak [0] 
[
7
] , \linebreak [0] 
[
8
] , \linebreak [0] 
[
9
] , \linebreak [0] 
[
\mathsf {a}
] , \linebreak [0] 
[
\mathsf {b}
] , \linebreak [0] 
[
\mathsf {c}
] , \linebreak [0] 
[
\mathsf {d}
] , \linebreak [0] 
[
\mathsf {e}
] , \linebreak [0] 
[
\mathsf {f}
] , \linebreak [0] 
[
\mathsf {g}
] , \linebreak [0] 
[
\mathsf {h}
] , \linebreak [0] 
[
\mathsf {i}
] , \linebreak [0] 
[
\mathsf {j}
] , \linebreak [0] 
[
\mathsf {k}
] , \linebreak [0] 
[
\mathsf {l}
] , \linebreak [0] 
[
\mathsf {m}
] , \linebreak [0] 
[
\mathsf {n}
] , \linebreak [0] 
[
\mathsf {o}
] , \linebreak [0] 
[
\mathsf {p}
] , \linebreak [0] 
[
\mathsf {q}
] , \linebreak [0] 
[
\mathsf {r}
] , \linebreak [0] 
[
\mathsf {s}
] , \linebreak [0] 
[
\mathsf {t}
] , \linebreak [0] 
[
\mathsf {u}
] , \linebreak [0] 
[
\mathsf {v}
] , \linebreak [0] 
[
\mathsf {w}
] , \linebreak [0] 
[
(
\ast 
)^M
] , \linebreak [0] 
[
\mathrm {If}(
\ast 
,\linebreak [0]
\ast 
,\linebreak [0]
\ast 
)
] , \linebreak [0] 
[\mathrm {array}\{
\ast 
\}
\ast 
\mathrm {end\ array}
] , \linebreak [0] 
[
l
] , \linebreak [0] 
[
c
] , \linebreak [0] 
[
r
] , \linebreak [0] 
[
\mathrm {empty}
] , \linebreak [0] 
[
\langle 
\ast 
\,{|}
\ast 
{:=}\,
\ast 
\rangle 
] , \linebreak [0] 
[
{\cal M}(
\ast 
)
] , \linebreak [0] 
[
\tilde {{\cal U}}(
\ast 
)
] , \linebreak [0] 
[
{\cal U}(
\ast 
)
] , \linebreak [0] 
[
{\cal U}^M(
\ast 
)
] , \linebreak [0] 
[
\mathbf {apply}(
\ast 
,
\ast 
)
] , \linebreak [0] 
[
\mathbf {apply}_1(
\ast 
,
\ast 
)
] , \linebreak [0] 
[
identifier( 
\ast 
)
] , \linebreak [0] 
[
identifier_{1}( 
\ast 
, 
\ast 
)
] , \linebreak [0] 
[
array\mbox{-}\linebreak[0]plus( 
\ast 
, 
\ast 
)
] , \linebreak [0] 
[
array\mbox{-}\linebreak[0]remove( 
\ast 
, 
\ast 
, 
\ast 
)
] , \linebreak [0] 
[
array\mbox{-}\linebreak[0]put( 
\ast 
, 
\ast 
, 
\ast 
, 
\ast 
)
] , \linebreak [0] 
[
array\mbox{-}\linebreak[0]add( 
\ast 
, 
\ast 
, 
\ast 
, 
\ast 
, 
\ast 
)
] , \linebreak [0] 
[
bit( 
\ast 
, 
\ast 
)
] , \linebreak [0] 
[
bit_1( 
\ast 
, 
\ast 
)
] , \linebreak [0] 
[
rack
] , \linebreak [0] 
[
\mbox {\tt \char34}\mathrm {vector}\mbox {\tt \char34}
] , \linebreak [0] 
[
\mbox {\tt \char34}\mathrm {bibliography}\mbox {\tt \char34}
] , \linebreak [0] 
[
\mbox {\tt \char34}\mathrm {dictionary}\mbox {\tt \char34}
] , \linebreak [0] 
[
\mbox {\tt \char34}\mathrm {body}\mbox {\tt \char34}
] , \linebreak [0] 
[
\mbox {\tt \char34}\mathrm {codex}\mbox {\tt \char34}
] , \linebreak [0] 
[
\mbox {\tt \char34}\mathrm {expansion}\mbox {\tt \char34}
] , \linebreak [0] 
[
\mbox {\tt \char34}\mathrm {code}\mbox {\tt \char34}
] , \linebreak [0] 
[
\mbox {\tt \char34}\mathrm {cache}\mbox {\tt \char34}
] , \linebreak [0] 
[
\mbox {\tt \char34}\mathrm {diagnose}\mbox {\tt \char34}
] , \linebreak [0] 
[
\mbox {\tt \char34}\mathrm {pyk}\mbox {\tt \char34}
] , \linebreak [0] 
[
\mbox {\tt \char34}\mathrm {tex}\mbox {\tt \char34}
] , \linebreak [0] 
[
\mbox {\tt \char34}\mathrm {texname}\mbox {\tt \char34}
] , \linebreak [0] 
[
\mbox {\tt \char34}\mathrm {value}\mbox {\tt \char34}
] , \linebreak [0] 
[
\mbox {\tt \char34}\mathrm {message}\mbox {\tt \char34}
] , \linebreak [0] 
[
\mbox {\tt \char34}\mathrm {macro}\mbox {\tt \char34}
] , \linebreak [0] 
[
\mbox {\tt \char34}\mathrm {definition}\mbox {\tt \char34}
] , \linebreak [0] 
[
\mbox {\tt \char34}\mathrm {unpack}\mbox {\tt \char34}
] , \linebreak [0] 
[
\mbox {\tt \char34}\mathrm {claim}\mbox {\tt \char34}
] , \linebreak [0] 
[
\mbox {\tt \char34}\mathrm {priority}\mbox {\tt \char34}
] , \linebreak [0] 
[
\mbox {\tt \char34}\mathrm {lambda}\mbox {\tt \char34}
] , \linebreak [0] 
[
\mbox {\tt \char34}\mathrm {apply}\mbox {\tt \char34}
] , \linebreak [0] 
[
\mbox {\tt \char34}\mathrm {true}\mbox {\tt \char34}
] , \linebreak [0] 
[
\mbox {\tt \char34}\mathrm {if}\mbox {\tt \char34}
] , \linebreak [0] 
[
\mbox {\tt \char34}\mathrm {quote}\mbox {\tt \char34}
] , \linebreak [0] 
[
\mbox {\tt \char34}\mathrm {proclaim}\mbox {\tt \char34}
] , \linebreak [0] 
[
\mbox {\tt \char34}\mathrm {define}\mbox {\tt \char34}
] , \linebreak [0] 
[
\mbox {\tt \char34}\mathrm {introduce}\mbox {\tt \char34}
] , \linebreak [0] 
[
\mbox {\tt \char34}\mathrm {hide}\mbox {\tt \char34}
] , \linebreak [0] 
[
\mbox {\tt \char34}\mathrm {pre}\mbox {\tt \char34}
] , \linebreak [0] 
[
\mbox {\tt \char34}\mathrm {post}\mbox {\tt \char34}
] , \linebreak [0] 
[
{\cal E}(
\ast 
,
\ast 
,
\ast 
)
] , \linebreak [0] 
[
{\cal E}_2(
\ast 
,
\ast 
,
\ast 
,
\ast 
,
\ast 
)
] , \linebreak [0] 
[
{\cal E}_3(
\ast 
,
\ast 
,
\ast 
,
\ast 
)
] , \linebreak [0] 
[
{\cal E}_4(
\ast 
,
\ast 
,
\ast 
,
\ast 
)
] , \linebreak [0] 
[
\mathbf {lookup}(
\ast 
,
\ast 
,
\ast 
)
] , \linebreak [0] 
[
\mathbf {abstract}(
\ast 
,
\ast 
,
\ast 
,
\ast 
)
] , \linebreak [0] 
[
\lceil 
\ast 
\rceil 
] , \linebreak [0] 
[
{\cal M}(
\ast 
,
\ast 
,
\ast 
)
] , \linebreak [0] 
[
{\cal M}_2(
\ast 
,
\ast 
,
\ast 
,
\ast 
)
] , \linebreak [0] 
[
{\cal M}^*(
\ast 
,
\ast 
,
\ast 
)
] , \linebreak [0] 
[
\mathrm {macro}
] , \linebreak [0] 
[
s_0
] , \linebreak [0] 
[
\mathbf {zip}(
\ast 
,
\ast 
)
] , \linebreak [0] 
[
\mathbf {assoc}_1(
\ast 
,
\ast 
,
\ast 
)
] , \linebreak [0] 
[(
\ast 
)^{\mathbf {p}}
] , \linebreak [0] 
[
\mbox{self}
] , \linebreak [0] 
[
[
\ast 
\mathrel {\ddot {=}}
\ast 
]
] , \linebreak [0] 
[
[
\ast 
\mathrel {\dot {=}}
\ast 
]
] , \linebreak [0] 
[
[
\ast 
\mathrel {\acute {=}}
\ast 
]
] , \linebreak [0] 
[
[
\ast 
\stackrel {\mathrm {pyk}}{=} 
\ast 
]
] , \linebreak [0] 
[
[
\ast 
\stackrel {\mathrm {tex}}{=} 
\ast 
]
] , \linebreak [0] 
[
[
\ast 
\stackrel {\mathrm {name}}{=} 
\ast 
]
] , \linebreak [0] 
[
\mathbf{Priority\ table} [ 
\ast 
]
] , \linebreak [0] 
[
\tilde {{\cal M}}_1
] , \linebreak [0] 
[
\tilde {{\cal M}}_2(
\ast 
)
] , \linebreak [0] 
[
\tilde {{\cal M}}_3(
\ast 
)
] , \linebreak [0] 
[
\tilde {{\cal M}}_4(
\ast 
,
\ast 
,
\ast 
,
\ast 
)
] , \linebreak [0] 
[
\tilde {{\cal M}}(
\ast 
,
\ast 
,
\ast 
)
] , \linebreak [0] 
[
\tilde {{\cal Q}}(
\ast 
,
\ast 
,
\ast 
)
] , \linebreak [0] 
[
\tilde {{\cal Q}}_2(
\ast 
,
\ast 
,
\ast 
)
] , \linebreak [0] 
[
\tilde {{\cal Q}}_3(
\ast 
,
\ast 
,
\ast 
,
\ast 
)
] , \linebreak [0] 
[
\tilde {{\cal Q}}^*(
\ast 
,
\ast 
,
\ast 
)
] , \linebreak [0] 
[
(
\ast 
)
] , \linebreak [0] 
[
\left( 
\ast 
\right) 
] , \linebreak [0] 
[
display(
\ast 
)
] , \linebreak [0] 
[
statement(
\ast 
)
] , \linebreak [0] 
[
[
\ast 
]^{\cdot}
] , \linebreak [0] 
[
[
\ast 
]^-
] , \linebreak [0] 
[
\mathbf{aspect}( 
\ast 
, 
\ast 
)
] , \linebreak [0] 
[
\mathbf{aspect}( 
\ast 
, 
\ast 
, 
\ast 
)
] , \linebreak [0] 
[
\langle 
\ast 
\rangle 
] , \linebreak [0] 
[
\mathbf {tuple}_1( 
\ast 
) 
] , \linebreak [0] 
[
\mathbf {tuple}_2( 
\ast 
) 
] , \linebreak [0] 
[
let_2( 
\ast 
, 
\ast 
)
] , \linebreak [0] 
[
let_1( 
\ast 
, 
\ast 
)
] , \linebreak [0] 
[
[
\ast 
\stackrel {claim}{=}
\ast 
]
] , \linebreak [0] 
[
\mbox{checker}
] , \linebreak [0] 
[
\mathbf{check}( 
\ast 
, 
\ast 
)
] , \linebreak [0] 
[
\mathbf{check}_2( 
\ast 
, 
\ast 
, 
\ast 
)
] , \linebreak [0] 
[
\mathbf{check}_3( 
\ast 
, 
\ast 
, 
\ast 
)
] , \linebreak [0] 
[
\mathbf{check}^*( 
\ast 
, 
\ast 
)
] , \linebreak [0] 
[
\mathbf{check}^*_2( 
\ast 
, 
\ast 
, 
\ast 
)
] , \linebreak [0] 
[
\relax [ 
\ast 
\relax ]^{\cdot} 
] , \linebreak [0] 
[
\relax [ 
\ast 
\relax ]^{-} 
] , \linebreak [0] 
[
\relax [ 
\ast 
\relax ]^{\circ} 
] , \linebreak [0] 
[
msg
] , \linebreak [0] 
[
[
\ast 
\stackrel {msg}{=} 
\ast 
]
] , \linebreak [0] 
[
{<}stmt{>}
] , \linebreak [0] 
[
stmt
] , \linebreak [0] 
[
[
\ast 
\stackrel {stmt}{=}
\ast 
]
] , \linebreak [0] 
[
HeadNil'
] , \linebreak [0] 
[
HeadPair'
] , \linebreak [0] 
[
Transitivity'
] , \linebreak [0] 
[
{\makebox [0mm][l]{$\bot $}\,{\bot }}
] , \linebreak [0] 
[
Contra'
] , \linebreak [0] 
[
T'_{E}
] , \linebreak [0] 
[
L_{1}
] , \linebreak [0] 
[\underline{
\ast }
] , \linebreak [0] 
[{\cal A}
] , \linebreak [0] 
[{\cal B}
] , \linebreak [0] 
[{\cal C}
] , \linebreak [0] 
[{\cal D}
] , \linebreak [0] 
[{\cal E}
] , \linebreak [0] 
[{\cal F}
] , \linebreak [0] 
[{\cal G}
] , \linebreak [0] 
[{\cal H}
] , \linebreak [0] 
[{\cal I}
] , \linebreak [0] 
[{\cal J}
] , \linebreak [0] 
[{\cal K}
] , \linebreak [0] 
[{\cal L}
] , \linebreak [0] 
[{\cal M}
] , \linebreak [0] 
[{\cal N}
] , \linebreak [0] 
[{\cal O}
] , \linebreak [0] 
[{\cal P}
] , \linebreak [0] 
[{\cal Q}
] , \linebreak [0] 
[{\cal R}
] , \linebreak [0] 
[{\cal S}
] , \linebreak [0] 
[{\cal T}
] , \linebreak [0] 
[{\cal U}
] , \linebreak [0] 
[{\cal V}
] , \linebreak [0] 
[{\cal W}
] , \linebreak [0] 
[{\cal X}
] , \linebreak [0] 
[{\cal Y}
] , \linebreak [0] 
[{\cal Z}
] , \linebreak [0] 
[
\langle 
\ast 
\,{\protect\vert}
\ast 
{:=}\,
\ast 
\rangle 
] , \linebreak [0] 
[
\langle ^ { \ast } 
\ast 
\,{\protect\vert}
\ast 
{:=}\,
\ast 
\rangle 
] , \linebreak [0] 
[
\emptyset 
] , \linebreak [0] 
[
Remainder
] , \linebreak [0] 
[
( 
\ast 
)^{\bf v}
] , \linebreak [0] 
[
intro(
\ast 
,
\ast 
,
\ast 
,
\ast 
)
] , \linebreak [0] 
[
intro(
\ast 
,
\ast 
,
\ast 
)
] , \linebreak [0] 
[
error(
\ast 
,
\ast 
)
] , \linebreak [0] 
[
error_{2}(
\ast 
,
\ast 
)
] , \linebreak [0] 
[
proof( 
\ast 
, 
\ast 
, 
\ast 
)
] , \linebreak [0] 
[
proof_{2}( 
\ast 
, 
\ast 
)
] , \linebreak [0] 
[
{\cal S}(
\ast 
, 
\ast 
)
] , \linebreak [0] 
[
{\cal S}^{I}(
\ast 
, 
\ast 
)
] , \linebreak [0] 
[
{\cal S}^{\rhd}(
\ast 
, 
\ast 
)
] , \linebreak [0] 
[
{\cal S}_{1}^{\rhd}(
\ast 
, 
\ast 
, 
\ast 
)
] , \linebreak [0] 
[
{\cal S}^{E}(
\ast 
, 
\ast 
)
] , \linebreak [0] 
[
{\cal S}_{1}^{E}(
\ast 
, 
\ast 
, 
\ast 
)
] , \linebreak [0] 
[
{\cal S}^{+}(
\ast 
, 
\ast 
)
] , \linebreak [0] 
[
{\cal S}_{1}^{+}(
\ast 
, 
\ast 
, 
\ast 
)
] , \linebreak [0] 
[
{\cal S}^{-}(
\ast 
, 
\ast 
)
] , \linebreak [0] 
[
{\cal S}_{1}^{-}(
\ast 
, 
\ast 
, 
\ast 
)
] , \linebreak [0] 
[
{\cal S}^{\ast}(
\ast 
, 
\ast 
)
] , \linebreak [0] 
[
{\cal S}_{1}^{\ast}(
\ast 
, 
\ast 
, 
\ast 
)
] , \linebreak [0] 
[
{\cal S}_{2}^{\ast}(
\ast 
, 
\ast 
, 
\ast 
, 
\ast 
)
] , \linebreak [0] 
[
{\cal S}^{\char64}(
\ast 
, 
\ast 
)
] , \linebreak [0] 
[
{\cal S}_{1}^{\char64}(
\ast 
, 
\ast 
, 
\ast 
)
] , \linebreak [0] 
[
{\cal S}^{\vdash}(
\ast 
, 
\ast 
)
] , \linebreak [0] 
[
{\cal S}_{1}^{\vdash}(
\ast 
, 
\ast 
, 
\ast 
, 
\ast 
)
] , \linebreak [0] 
[
{\cal S}^{\makebox [0mm][l]{\scriptsize $\vdash $}\,{\vdash }}(
\ast 
, 
\ast 
)
] , \linebreak [0] 
[
{\cal S}_{1}^{\makebox [0mm][l]{\scriptsize $\vdash $}\,{\vdash }}(
\ast 
, 
\ast 
, 
\ast 
, 
\ast 
)
] , \linebreak [0] 
[
{\cal S}^{i.e.}(
\ast 
, 
\ast 
)
] , \linebreak [0] 
[
{\cal S}_{1}^{i.e.}(
\ast 
, 
\ast 
, 
\ast 
, 
\ast 
)
] , \linebreak [0] 
[
{\cal S}_{2}^{i.e.}(
\ast 
, 
\ast 
, 
\ast 
, 
\ast 
, 
\ast 
)
] , \linebreak [0] 
[
{\cal S}^{\forall}(
\ast 
, 
\ast 
)
] , \linebreak [0] 
[
{\cal S}_{1}^{\forall}(
\ast 
, 
\ast 
, 
\ast 
, 
\ast 
)
] , \linebreak [0] 
[
{\cal S}^{;}(
\ast 
, 
\ast 
)
] , \linebreak [0] 
[
{\cal S}_{1}^{;}(
\ast 
, 
\ast 
, 
\ast 
)
] , \linebreak [0] 
[
{\cal S}_{2}^{;}(
\ast 
, 
\ast 
, 
\ast 
, 
\ast 
)
] , \linebreak [0] 
[
{\cal T}( 
\ast 
)
] , \linebreak [0] 
[
claims( 
\ast 
, 
\ast 
, 
\ast 
)
] , \linebreak [0] 
[
claims_2( 
\ast 
, 
\ast 
, 
\ast 
)
] , \linebreak [0] 
[
{<}proof{>}
] , \linebreak [0] 
[
proof
] , \linebreak [0] 
[
[ \mathbf{Lemma\ } 
\ast 
\colon 
\ast 
]
] , \linebreak [0] 
[
[ \mathbf{Proof\ of\ }
\ast 
\colon 
\ast 
]
] , \linebreak [0] 
[
[ 
\ast 
\mathbf{\ lemma\ } 
\ast 
\colon 
\ast 
]
] , \linebreak [0] 
[
[ 
\ast 
\mathbf{\ antilemma\ } 
\ast 
\colon 
\ast 
]
] , \linebreak [0] 
[
[ 
\ast 
\mathbf{\ rule\ } 
\ast 
\colon 
\ast 
]
] , \linebreak [0] 
[
[ 
\ast 
\mathbf{\ antirule\ } 
\ast 
\colon 
\ast 
]
] , \linebreak [0] 
[
\mbox{verifier}
] , \linebreak [0] 
[
{\cal V}_1( 
\ast 
)
] , \linebreak [0] 
[
{\cal V}_2( 
\ast 
, 
\ast 
)
] , \linebreak [0] 
[
{\cal V}_3( 
\ast 
, 
\ast 
, 
\ast 
, 
\ast 
)
] , \linebreak [0] 
[
{\cal V}_4( 
\ast 
, 
\ast 
)
] , \linebreak [0] 
[
{\cal V}_5( 
\ast 
, 
\ast 
, 
\ast 
, 
\ast 
)
] , \linebreak [0] 
[
{\cal V}_6( 
\ast 
, 
\ast 
, 
\ast 
, 
\ast 
)
] , \linebreak [0] 
[
{\cal V}_7( 
\ast 
, 
\ast 
, 
\ast 
, 
\ast 
)
] , \linebreak [0] 
[
Cut( 
\ast 
, 
\ast 
)
] , \linebreak [0] 
[
Head_{\oplus} ( 
\ast 
)
] , \linebreak [0] 
[
Tail_{\oplus} ( 
\ast 
)
] , \linebreak [0] 
[
rule_1( 
\ast 
, 
\ast 
)
] , \linebreak [0] 
[
rule( 
\ast 
, 
\ast 
)
] , \linebreak [0] 
[
Rule\ tactic
] , \linebreak [0] 
[
Plus( 
\ast 
, 
\ast 
)
] , \linebreak [0] 
[
[ \mathbf{Theory\ } 
\ast 
]
] , \linebreak [0] 
[
theory_2( 
\ast 
, 
\ast 
)
] , \linebreak [0] 
[
theory_3( 
\ast 
, 
\ast 
)
] , \linebreak [0] 
[
theory_4( 
\ast 
, 
\ast 
, 
\ast 
)
] , \linebreak [0] 
[
HeadNil''
] , \linebreak [0] 
[
HeadPair''
] , \linebreak [0] 
[
Transitivity''
] , \linebreak [0] 
[
Contra''
] , \linebreak [0] 
[
HeadNil
] , \linebreak [0] 
[
HeadPair
] , \linebreak [0] 
[
Transitivity
] , \linebreak [0] 
[
Contra
] , \linebreak [0] 
[
T_E
] , \linebreak [0] 
[
ragged\ right
] , \linebreak [0] 
[
ragged\ right\ expansion\ 
] , \linebreak [0] 
[
parm(
\ast 
,
\ast 
,
\ast 
)
] , \linebreak [0] 
[
parm^*(
\ast 
,
\ast 
,
\ast 
)
] , \linebreak [0] 
[
inst(
\ast 
,
\ast 
)
] , \linebreak [0] 
[
inst^*(
\ast 
,
\ast 
)
] , \linebreak [0] 
[
occur(
\ast 
,
\ast 
,
\ast 
)
] , \linebreak [0] 
[
occur^*(
\ast 
,
\ast 
,
\ast 
)
] , \linebreak [0] 
[
unify(
\ast 
=
\ast 
,
\ast 
)
] , \linebreak [0] 
[
unify^*(
\ast 
=
\ast 
,
\ast 
)
] , \linebreak [0] 
[
unify_2(
\ast 
=
\ast 
,
\ast 
)
] , \linebreak [0] 
[L_a
] , \linebreak [0] 
[L_b
] , \linebreak [0] 
[L_c
] , \linebreak [0] 
[L_d
] , \linebreak [0] 
[L_e
] , \linebreak [0] 
[L_f
] , \linebreak [0] 
[L_g
] , \linebreak [0] 
[L_h
] , \linebreak [0] 
[L_i
] , \linebreak [0] 
[L_j
] , \linebreak [0] 
[L_k
] , \linebreak [0] 
[L_l
] , \linebreak [0] 
[L_m
] , \linebreak [0] 
[L_n
] , \linebreak [0] 
[L_o
] , \linebreak [0] 
[L_p
] , \linebreak [0] 
[L_q
] , \linebreak [0] 
[L_r
] , \linebreak [0] 
[L_s
] , \linebreak [0] 
[L_t
] , \linebreak [0] 
[L_u
] , \linebreak [0] 
[L_v
] , \linebreak [0] 
[L_w
] , \linebreak [0] 
[L_x
] , \linebreak [0] 
[L_y
] , \linebreak [0] 
[L_z
] , \linebreak [0] 
[L_A
] , \linebreak [0] 
[L_B
] , \linebreak [0] 
[L_C
] , \linebreak [0] 
[L_D
] , \linebreak [0] 
[L_E
] , \linebreak [0] 
[L_F
] , \linebreak [0] 
[L_G
] , \linebreak [0] 
[L_H
] , \linebreak [0] 
[L_I
] , \linebreak [0] 
[L_J
] , \linebreak [0] 
[L_K
] , \linebreak [0] 
[L_L
] , \linebreak [0] 
[L_M
] , \linebreak [0] 
[L_N
] , \linebreak [0] 
[L_O
] , \linebreak [0] 
[L_P
] , \linebreak [0] 
[L_Q
] , \linebreak [0] 
[L_R
] , \linebreak [0] 
[L_S
] , \linebreak [0] 
[L_T
] , \linebreak [0] 
[L_U
] , \linebreak [0] 
[L_V
] , \linebreak [0] 
[L_W
] , \linebreak [0] 
[L_X
] , \linebreak [0] 
[L_Y
] , \linebreak [0] 
[L_Z
] , \linebreak [0] 
[L_?
] , \linebreak [0] 
[
Reflexivity
] , \linebreak [0] 
[
Reflexivity_1
] , \linebreak [0] 
[
Commutativity
] , \linebreak [0] 
[
Commutativity_1
] , \linebreak [0] 
[
{<}tactic{>}
] , \linebreak [0] 
[
tactic
] , \linebreak [0] 
[
[
\ast 
\stackrel {tactic}{=}
\ast 
]
] , \linebreak [0] 
[
{\cal P}( 
\ast 
, 
\ast 
, 
\ast 
)
] , \linebreak [0] 
[
{\cal P}^*( 
\ast 
, 
\ast 
, 
\ast 
)
] , \linebreak [0] 
[
p_0
] , \linebreak [0] 
[
conclude_1 ( 
\ast 
, 
\ast 
)
] , \linebreak [0] 
[
conclude_2 ( 
\ast 
, 
\ast 
, 
\ast 
)
] , \linebreak [0] 
[
conclude_3 ( 
\ast 
, 
\ast 
, 
\ast 
, 
\ast 
)
] , \linebreak [0] 
[
conclude_4 ( 
\ast 
, 
\ast 
)
] , \linebreak [0] 
[
\mbox{check}
] , \linebreak [0] 
[
[
\ast 
\stackrel {\circ}{=}
\ast 
]
] , \linebreak [0] 
[
RootVisible(
\ast 
)
] , \linebreak [0] 
[
A
] , \linebreak [0] 
[
R
] , \linebreak [0] 
[
C
] , \linebreak [0] 
[
T
] , \linebreak [0] 
[
L
] , \linebreak [0] 
[
\{
\ast 
\}
] , \linebreak [0] 
[\overline{
\ast }
] , \linebreak [0] 
[
\mathit{a}
] , \linebreak [0] 
[
\mathit{b}
] , \linebreak [0] 
[
\mathit{c}
] , \linebreak [0] 
[
\mathit{d}
] , \linebreak [0] 
[
\mathit{e}
] , \linebreak [0] 
[
\mathit{f}
] , \linebreak [0] 
[
\mathit{g}
] , \linebreak [0] 
[
\mathit{h}
] , \linebreak [0] 
[
\mathit{i}
] , \linebreak [0] 
[
\mathit{j}
] , \linebreak [0] 
[
\mathit{k}
] , \linebreak [0] 
[
\mathit{l}
] , \linebreak [0] 
[
\mathit{m}
] , \linebreak [0] 
[
\mathit{n}
] , \linebreak [0] 
[
\mathit{o}
] , \linebreak [0] 
[
\mathit{p}
] , \linebreak [0] 
[
\mathit{q}
] , \linebreak [0] 
[
\mathit{r}
] , \linebreak [0] 
[
\mathit{s}
] , \linebreak [0] 
[
\mathit{t}
] , \linebreak [0] 
[
\mathit{u}
] , \linebreak [0] 
[
\mathit{v}
] , \linebreak [0] 
[
\mathit{w}
] , \linebreak [0] 
[
\mathit{x}
] , \linebreak [0] 
[
\mathit{y}
] , \linebreak [0] 
[
\mathit{z}
] , \linebreak [0] 
[
\langle 
\ast 
{\equiv} 
\ast 
| 
\ast 
{:=} 
\ast 
\rangle 
] , \linebreak [0] 
[
\langle 
\ast 
{\equiv}^0 
\ast 
| 
\ast 
{:=} 
\ast 
\rangle 
] , \linebreak [0] 
[
\langle 
\ast 
{\equiv}^1 
\ast 
| 
\ast 
{:=} 
\ast 
\rangle 
] , \linebreak [0] 
[
\langle 
\ast 
{\equiv}^* 
\ast 
| 
\ast 
{:=} 
\ast 
\rangle 
] , \linebreak [0] 
[
Ded(
\ast 
,
\ast 
)
] , \linebreak [0] 
[
Ded_0(
\ast 
,
\ast 
)
] , \linebreak [0] 
[
Ded_1(
\ast 
,
\ast 
,
\ast 
)
] , \linebreak [0] 
[
Ded_2(
\ast 
,
\ast 
,
\ast 
)
] , \linebreak [0] 
[
Ded_3(
\ast 
,
\ast 
,
\ast 
,
\ast 
)
] , \linebreak [0] 
[
Ded_4(
\ast 
,
\ast 
,
\ast 
,
\ast 
)
] , \linebreak [0] 
[
Ded_4^*(
\ast 
,
\ast 
,
\ast 
,
\ast 
)
] , \linebreak [0] 
[
Ded_5(
\ast 
,
\ast 
,
\ast 
)
] , \linebreak [0] 
[
Ded_6(
\ast 
,
\ast 
,
\ast 
,
\ast 
)
] , \linebreak [0] 
[
Ded_6^*(
\ast 
,
\ast 
,
\ast 
,
\ast 
)
] , \linebreak [0] 
[
Ded_7(
\ast 
)
] , \linebreak [0] 
[
Ded_8(
\ast 
,
\ast 
)
] , \linebreak [0] 
[
Ded_8^*(
\ast 
,
\ast 
)
] , \linebreak [0] 
[
S
] , \linebreak [0] 
[
Neg
] , \linebreak [0] 
[
MP
] , \linebreak [0] 
[
Gen
] , \linebreak [0] 
[
Ded
] , \linebreak [0] 
[
S1
] , \linebreak [0] 
[
S2
] , \linebreak [0] 
[
S3
] , \linebreak [0] 
[
S4
] , \linebreak [0] 
[
S5
] , \linebreak [0] 
[
S6
] , \linebreak [0] 
[
S7
] , \linebreak [0] 
[
S8
] , \linebreak [0] 
[
S9
] , \linebreak [0] 
[
Repetition
] , \linebreak [0] 
[
A1'
] , \linebreak [0] 
[
A2'
] , \linebreak [0] 
[
A4'
] , \linebreak [0] 
[
A5'
] , \linebreak [0] 
[
Prop\ 3.2a
] , \linebreak [0] 
[
Prop\ 3.2b
] , \linebreak [0] 
[
Prop\ 3.2c
] , \linebreak [0] 
[
Prop\ 3.2d
] , \linebreak [0] 
[
Prop\ 3.2e_1
] , \linebreak [0] 
[
Prop\ 3.2e_2
] , \linebreak [0] 
[
Prop\ 3.2e
] , \linebreak [0] 
[
Prop\ 3.2f_1
] , \linebreak [0] 
[
Prop\ 3.2f_2
] , \linebreak [0] 
[
Prop\ 3.2f
] , \linebreak [0] 
[
Prop\ 3.2g_1
] , \linebreak [0] 
[
Prop\ 3.2g_2
] , \linebreak [0] 
[
Prop\ 3.2g
] , \linebreak [0] 
[
Prop\ 3.2h_1
] , \linebreak [0] 
[
Prop\ 3.2h_2
] , \linebreak [0] 
[
Prop\ 3.2h
] , \linebreak [0] 
[
Block_1(
\ast 
,
\ast 
,
\ast 
)
] , \linebreak [0] 
[
Block_2(
\ast 
)
] , \linebreak [0] 
[(\cdots{})
] , \linebreak [0] 
[\texttt{Objekt-var}
] , \linebreak [0] 
[\texttt{Ex-var}
] , \linebreak [0] 
[\texttt{Ph-var}
] , \linebreak [0] 
[\texttt{V\ae{}rdi}
] , \linebreak [0] 
[\texttt{Variabel}
] , \linebreak [0] 
[Op(
\ast 
)
] , \linebreak [0] 
[Op(
\ast 
,
\ast 
)
] , \linebreak [0] 
[
\ast 
 \mathrel {\ddot {==}} 
\ast 
] , \linebreak [0] 
[ContainsEmpty(
\ast 
)
] , \linebreak [0] 
[
Dedu(
\ast 
,
\ast 
)
] , \linebreak [0] 
[
Dedu_0(
\ast 
,
\ast 
)
] , \linebreak [0] 
[Dedu_{s}(
\ast 
,
\ast 
,
\ast 
)
] , \linebreak [0] 
[
Dedu_1(
\ast 
,
\ast 
,
\ast 
)
] , \linebreak [0] 
[
Dedu_2(
\ast 
,
\ast 
,
\ast 
)
] , \linebreak [0] 
[
Dedu_3(
\ast 
,
\ast 
,
\ast 
,
\ast 
)
] , \linebreak [0] 
[
Dedu_4(
\ast 
,
\ast 
,
\ast 
,
\ast 
)
] , \linebreak [0] 
[
Dedu_4^*(
\ast 
,
\ast 
,
\ast 
,
\ast 
)
] , \linebreak [0] 
[
Dedu_5(
\ast 
,
\ast 
,
\ast 
)
] , \linebreak [0] 
[
Dedu_6(
\ast 
,
\ast 
,
\ast 
,
\ast 
)
] , \linebreak [0] 
[
Dedu_6^*(
\ast 
,
\ast 
,
\ast 
,
\ast 
)
] , \linebreak [0] 
[
Dedu_7(
\ast 
)
] , \linebreak [0] 
[
Dedu_8(
\ast 
,
\ast 
)
] , \linebreak [0] 
[
Dedu_8^*(
\ast 
,
\ast 
)
] , \linebreak [0] 
[Ex_{1}
] , \linebreak [0] 
[Ex_{2}
] , \linebreak [0] 
[Ex3
] , \linebreak [0] 
[Ex_{10}
] , \linebreak [0] 
[Ex_{20}
] , \linebreak [0] 
[
\ast 
 _{Ex}
] , \linebreak [0] 
[
\ast 
 ^{Ex}
] , \linebreak [0] 
[\langle 
\ast 
{\equiv} 
\ast 
| 
\ast 
{:==} 
\ast 
\rangle_{Ex} 
] , \linebreak [0] 
[\langle 
\ast 
{\equiv}^0 
\ast 
| 
\ast 
{:==} 
\ast 
\rangle_{Ex} 
] , \linebreak [0] 
[\langle 
\ast 
{\equiv}^1 
\ast 
| 
\ast 
{:==} 
\ast 
\rangle_{Ex} 
] , \linebreak [0] 
[\langle 
\ast 
{\equiv}^* 
\ast 
| 
\ast 
{:==} 
\ast 
\rangle_{Ex} 
] , \linebreak [0] 
[ph_{1}
] , \linebreak [0] 
[ph_{2}
] , \linebreak [0] 
[ph_{3}
] , \linebreak [0] 
[
\ast 
 _{Ph} 
] , \linebreak [0] 
[
\ast 
 ^{Ph}
] , \linebreak [0] 
[\langle 
\ast 
{\equiv} 
\ast 
| 
\ast 
{:==} 
\ast 
\rangle_{Ph} 
] , \linebreak [0] 
[\langle 
\ast 
{\equiv}^0 
\ast 
| 
\ast 
{:==} 
\ast 
\rangle_{Ph} 
] , \linebreak [0] 
[\langle 
\ast 
{\equiv}^1 
\ast 
| 
\ast 
{:==} 
\ast 
\rangle_{Ph} 
] , \linebreak [0] 
[\langle 
\ast 
{\equiv}^* 
\ast 
| 
\ast 
{:==} 
\ast 
\rangle_{Ph} 
] , \linebreak [0] 
[\mathsf {bs}
] , \linebreak [0] 
[ \mathsf {OBS}
] , \linebreak [0] 
[{\cal BS}
] , \linebreak [0] 
[\mathrm{\O}
] , \linebreak [0] 
[ZFsub
] , \linebreak [0] 
[MP
] , \linebreak [0] 
[Gen
] , \linebreak [0] 
[Repetition
] , \linebreak [0] 
[Neg
] , \linebreak [0] 
[Ded
] , \linebreak [0] 
[ExistIntro
] , \linebreak [0] 
[Extensionality
] , \linebreak [0] 
[\O{}def
] , \linebreak [0] 
[PairDef
] , \linebreak [0] 
[UnionDef
] , \linebreak [0] 
[PowerDef
] , \linebreak [0] 
[SeparationDef
] , \linebreak [0] 
[AddDoubleNeg
] , \linebreak [0] 
[RemoveDoubleNeg
] , \linebreak [0] 
[AndCommutativity
] , \linebreak [0] 
[AutoImply
] , \linebreak [0] 
[Contrapositive
] , \linebreak [0] 
[FirstConjunct
] , \linebreak [0] 
[SecondConjunct
] , \linebreak [0] 
[FromContradiction
] , \linebreak [0] 
[FromDisjuncts
] , \linebreak [0] 
[IffCommutativity
] , \linebreak [0] 
[IffFirst
] , \linebreak [0] 
[IffSecond
] , \linebreak [0] 
[ImplyTransitivity
] , \linebreak [0] 
[JoinConjuncts
] , \linebreak [0] 
[MP2
] , \linebreak [0] 
[MP3
] , \linebreak [0] 
[MP4
] , \linebreak [0] 
[MP5
] , \linebreak [0] 
[MT
] , \linebreak [0] 
[NegativeMT
] , \linebreak [0] 
[Technicality
] , \linebreak [0] 
[Weakening
] , \linebreak [0] 
[WeakenOr1
] , \linebreak [0] 
[WeakenOr2
] , \linebreak [0] 
[Formula2Pair
] , \linebreak [0] 
[Pair2Formula
] , \linebreak [0] 
[Formula2Union
] , \linebreak [0] 
[Union2Formula
] , \linebreak [0] 
[Formula2Sep
] , \linebreak [0] 
[Sep2Formula
] , \linebreak [0] 
[SubsetInPower
] , \linebreak [0] 
[HelperPowerIsSub
] , \linebreak [0] 
[PowerIsSub
] , \linebreak [0] 
[(Switch)HelperPowerIsSub
] , \linebreak [0] 
[(Switch)PowerIsSub
] , \linebreak [0] 
[ToSetEquality
] , \linebreak [0] 
[HelperToSetEquality(t)
] , \linebreak [0] 
[ToSetEquality(t)
] , \linebreak [0] 
[HelperFromSetEquality
] , \linebreak [0] 
[FromSetEquality
] , \linebreak [0] 
[HelperReflexivity
] , \linebreak [0] 
[Reflexivity
] , \linebreak [0] 
[HelperSymmetry
] , \linebreak [0] 
[Symmetry
] , \linebreak [0] 
[HelperTransitivity
] , \linebreak [0] 
[Transitivity
] , \linebreak [0] 
[ERisReflexive
] , \linebreak [0] 
[ERisSymmetric
] , \linebreak [0] 
[ERisTransitive
] , \linebreak [0] 
[\O{}isSubset
] , \linebreak [0] 
[HelperMemberNot\O{}
] , \linebreak [0] 
[MemberNot\O{}
] , \linebreak [0] 
[HelperUnique\O{}
] , \linebreak [0] 
[Unique\O{}
] , \linebreak [0] 
[==\!{}Reflexivity
] , \linebreak [0] 
[==\!{}Symmetry
] , \linebreak [0] 
[Helper\!{}==\!{}Transitivity
] , \linebreak [0] 
[\!{}==\!{}Transitivity
] , \linebreak [0] 
[HelperTransferNotEq
] , \linebreak [0] 
[TransferNotEq
] , \linebreak [0] 
[HelperPairSubset
] , \linebreak [0] 
[Helper(2)PairSubset
] , \linebreak [0] 
[PairSubset
] , \linebreak [0] 
[SamePair
] , \linebreak [0] 
[SameSingleton
] , \linebreak [0] 
[UnionSubset
] , \linebreak [0] 
[SameUnion
] , \linebreak [0] 
[SeparationSubset
] , \linebreak [0] 
[SameSeparation
] , \linebreak [0] 
[SameBinaryUnion
] , \linebreak [0] 
[IntersectionSubset
] , \linebreak [0] 
[SameIntersection
] , \linebreak [0] 
[AutoMember
] , \linebreak [0] 
[HelperEqSysNot\O{}
] , \linebreak [0] 
[EqSysNot\O{}
] , \linebreak [0] 
[HelperEqSubset
] , \linebreak [0] 
[EqSubset
] , \linebreak [0] 
[HelperEqNecessary
] , \linebreak [0] 
[EqNecessary
] , \linebreak [0] 
[HelperNoneEqNecessary
] , \linebreak [0] 
[Helper(2)NoneEqNecessary
] , \linebreak [0] 
[NoneEqNecessary
] , \linebreak [0] 
[EqClassIsSubset
] , \linebreak [0] 
[EqClassesAreDisjoint
] , \linebreak [0] 
[AllDisjoint
] , \linebreak [0] 
[AllDisjointImply
] , \linebreak [0] 
[BSsubset
] , \linebreak [0] 
[Union(BS/R)subset
] , \linebreak [0] 
[UnionIdentity
] , \linebreak [0] 
[EqSysIsPartition
] , \linebreak [0] 
[(\epsilon)
] , \linebreak [0] 
[(fx)
] , \linebreak [0] 
[(fy)
] , \linebreak [0] 
[(fz)
] , \linebreak [0] 
[(fv)
] , \linebreak [0] 
[
\mbox{var fv}
] , \linebreak [0] 
[(rx)
] , \linebreak [0] 
[(ry)
] , \linebreak [0] 
[(rz)
] , \linebreak [0] 
[(ru)
] , \linebreak [0] 
[\epsilon
] , \linebreak [0] 
[FX
] , \linebreak [0] 
[FY
] , \linebreak [0] 
[FZ
] , \linebreak [0] 
[FU
] , \linebreak [0] 
[FV
] , \linebreak [0] 
[RX
] , \linebreak [0] 
[RY
] , \linebreak [0] 
[RZ
] , \linebreak [0] 
[RU
] , \linebreak [0] 
[0
] , \linebreak [0] 
[1
] , \linebreak [0] 
[(-1)
] , \linebreak [0] 
[2
] , \linebreak [0] 
[1/2
] , \linebreak [0] 
[0f
] , \linebreak [0] 
[
\mbox{1f}
] , \linebreak [0] 
[00
] , \linebreak [0] 
[
\mbox{01}
] , \linebreak [0] 
[leqReflexivity
] , \linebreak [0] 
[leqAntisymmetryAxiom
] , \linebreak [0] 
[leqTransitivityAxiom
] , \linebreak [0] 
[leqTotality
] , \linebreak [0] 
[leqAdditionAxiom
] , \linebreak [0] 
[leqMultiplicationAxiom
] , \linebreak [0] 
[plusAssociativity
] , \linebreak [0] 
[plusCommutativity
] , \linebreak [0] 
[Negative
] , \linebreak [0] 
[plus0
] , \linebreak [0] 
[timesAssociativity
] , \linebreak [0] 
[timesCommutativity
] , \linebreak [0] 
[ReciprocalAxiom
] , \linebreak [0] 
[times1
] , \linebreak [0] 
[Distribution
] , \linebreak [0] 
[0not1
] , \linebreak [0] 
[equalityAxiom
] , \linebreak [0] 
[eqLeqAxiom
] , \linebreak [0] 
[eqAdditionAxiom
] , \linebreak [0] 
[eqMultiplicationAxiom
] , \linebreak [0] 
[SENC1
] , \linebreak [0] 
[SENC2
] , \linebreak [0] 
[IfThenElse(T)
] , \linebreak [0] 
[IfThenElse(F)
] , \linebreak [0] 
[From=f
] , \linebreak [0] 
[To=f
] , \linebreak [0] 
[From<f
] , \linebreak [0] 
[To<f
] , \linebreak [0] 
[PlusF
] , \linebreak [0] 
[TimesF
] , \linebreak [0] 
[MinusF
] , \linebreak [0] 
[0f
] , \linebreak [0] 
[1f
] , \linebreak [0] 
[FromSF
] , \linebreak [0] 
[ToSF
] , \linebreak [0] 
[To==XX
] , \linebreak [0] 
[From==
] , \linebreak [0] 
[To==
] , \linebreak [0] 
[From<<XX
] , \linebreak [0] 
[From<<(1)
] , \linebreak [0] 
[From<<(2)
] , \linebreak [0] 
[to<<XX
] , \linebreak [0] 
[From<<
] , \linebreak [0] 
[To<<
] , \linebreak [0] 
[FromInR
] , \linebreak [0] 
[PlusR
] , \linebreak [0] 
[TimesR
] , \linebreak [0] 
[leqAntisymmetry
] , \linebreak [0] 
[leqTransitivity
] , \linebreak [0] 
[leqAddition
] , \linebreak [0] 
[leqMultiplication
] , \linebreak [0] 
[Reciprocal
] , \linebreak [0] 
[Equality
] , \linebreak [0] 
[eqLeq
] , \linebreak [0] 
[eqAddition
] , \linebreak [0] 
[eqMultiplication
] , \linebreak [0] 
[ToNegatedImply
] , \linebreak [0] 
[TND
] , \linebreak [0] 
[ImplyNegation
] , \linebreak [0] 
[FromNegations
] , \linebreak [0] 
[From3Disjuncts
] , \linebreak [0] 
[From2*2Disjuncts
] , \linebreak [0] 
[NegateDisjunct1
] , \linebreak [0] 
[NegateDisjunct2
] , \linebreak [0] 
[ExpandDisjuncts
] , \linebreak [0] 
[eqReflexivity
] , \linebreak [0] 
[eqSymmetry
] , \linebreak [0] 
[eqTransitivity
] , \linebreak [0] 
[eqTransitivity4
] , \linebreak [0] 
[eqTransitivity5
] , \linebreak [0] 
[eqTransitivity6
] , \linebreak [0] 
[plus0Left
] , \linebreak [0] 
[times1Left
] , \linebreak [0] 
[
\mbox{lemma eqAdditionLeft}
] , \linebreak [0] 
[EqMultiplicationLeft
] , \linebreak [0] 
[DistributionOut
] , \linebreak [0] 
[Three2twoTerms
] , \linebreak [0] 
[Three2threeTerms
] , \linebreak [0] 
[Three2threeFactors
] , \linebreak [0] 
[AddEquations
] , \linebreak [0] 
[SubtractEquations
] , \linebreak [0] 
[SubtractEquationsLeft
] , \linebreak [0] 
[EqNegated
] , \linebreak [0] 
[PositiveToRight(Eq)
] , \linebreak [0] 
[PositiveToLeft(Eq)(1 term)
] , \linebreak [0] 
[NegativeToLeft(Eq)
] , \linebreak [0] 
[LessNeq
] , \linebreak [0] 
[NeqSymmetry
] , \linebreak [0] 
[NeqNegated
] , \linebreak [0] 
[SubNeqRight
] , \linebreak [0] 
[SubNeqLeft
] , \linebreak [0] 
[NeqAddition
] , \linebreak [0] 
[NeqMultiplication
] , \linebreak [0] 
[UniqueNegative
] , \linebreak [0] 
[DoubleMinus
] , \linebreak [0] 
[LeqLessEq
] , \linebreak [0] 
[LessLeq
] , \linebreak [0] 
[FromLeqGeq
] , \linebreak [0] 
[subLeqRight
] , \linebreak [0] 
[subLeqLeft
] , \linebreak [0] 
[Leq+1
] , \linebreak [0] 
[PositiveToRight(Leq)
] , \linebreak [0] 
[PositiveToRight(Leq)(1 term)
] , \linebreak [0] 
[negativeToLeft(Leq)
] , \linebreak [0] 
[LeqAdditionLeft
] , \linebreak [0] 
[leqSubtraction
] , \linebreak [0] 
[leqSubtractionLeft
] , \linebreak [0] 
[thirdGeq
] , \linebreak [0] 
[LeqNegated
] , \linebreak [0] 
[AddEquations(Leq)
] , \linebreak [0] 
[ThirdGeqSeries
] , \linebreak [0] 
[LeqNeqLess
] , \linebreak [0] 
[FromLess
] , \linebreak [0] 
[ToLess
] , \linebreak [0] 
[fromNotLess
] , \linebreak [0] 
[toNotLess
] , \linebreak [0] 
[NegativeLessPositive
] , \linebreak [0] 
[leqLessTransitivity
] , \linebreak [0] 
[LessLeqTransitivity
] , \linebreak [0] 
[LessTransitivity
] , \linebreak [0] 
[LessTotality
] , \linebreak [0] 
[SubLessRight
] , \linebreak [0] 
[SubLessLeft
] , \linebreak [0] 
[LessAddition
] , \linebreak [0] 
[LessAdditionLeft
] , \linebreak [0] 
[LessMultiplication
] , \linebreak [0] 
[LessMultiplicationLeft
] , \linebreak [0] 
[LessDivision
] , \linebreak [0] 
[AddEquations(Less)
] , \linebreak [0] 
[LessNegated
] , \linebreak [0] 
[PositiveNegated
] , \linebreak [0] 
[NonpositiveNegated
] , \linebreak [0] 
[NegativeNegated
] , \linebreak [0] 
[NonnegativeNegated
] , \linebreak [0] 
[PositiveHalved
] , \linebreak [0] 
[NonnegativeNumerical
] , \linebreak [0] 
[NegativeNumerical
] , \linebreak [0] 
[PositiveNumerical
] , \linebreak [0] 
[
\mbox{lemma nonpositiveNumerical}
] , \linebreak [0] 
[|0|=0
] , \linebreak [0] 
[0<=|x|
] , \linebreak [0] 
[SameNumerical
] , \linebreak [0] 
[SignNumerical(+)
] , \linebreak [0] 
[SignNumerical
] , \linebreak [0] 
[NumericalDifference
] , \linebreak [0] 
[SplitNumericalSumHelper
] , \linebreak [0] 
[splitNumericalSum(++)
] , \linebreak [0] 
[splitNumericalSum(--)
] , \linebreak [0] 
[splitNumericalSum(+-small)
] , \linebreak [0] 
[splitNumericalSum(+-big)
] , \linebreak [0] 
[splitNumericalSum(+-)
] , \linebreak [0] 
[splitNumericalSum(-+)
] , \linebreak [0] 
[splitNumericalSum
] , \linebreak [0] 
[insertMiddleTerm(Numerical)
] , \linebreak [0] 
[x+y=zBackwards
] , \linebreak [0] 
[x*y=zBackwards
] , \linebreak [0] 
[x=x+(y-y)
] , \linebreak [0] 
[x=x+y-y
] , \linebreak [0] 
[ 
] , \linebreak [0] 
[insertMiddleTerm(Sum)
] , \linebreak [0] 
[insertMiddleTerm(Difference)
] , \linebreak [0] 
[x*0+x=x
] , \linebreak [0] 
[x*0=0
] , \linebreak [0] 
[(-1)*(-1)+(-1)*1=0
] , \linebreak [0] 
[(-1)*(-1)=1
] , \linebreak [0] 
[0<1Helper
] , \linebreak [0] 
[0<1
] , \linebreak [0] 
[0<2
] , \linebreak [0] 
[0<1/2
] , \linebreak [0] 
[TwoWholes
] , \linebreak [0] 
[TwoHalves
] , \linebreak [0] 
[-x-y=-(x+y)
] , \linebreak [0] 
[MinusNegated
] , \linebreak [0] 
[Times(-1)
] , \linebreak [0] 
[Times(-1)Left
] , \linebreak [0] 
[-0=0
] , \linebreak [0] 
[SFsymmetry
] , \linebreak [0] 
[SFtransitivity
] , \linebreak [0] 
[=fToSameF 
] , \linebreak [0] 
[PlusF(Sym)
] , \linebreak [0] 
[TimesF(Sym)
] , \linebreak [0] 
[f2R(Plus)
] , \linebreak [0] 
[f2R(Times)
] , \linebreak [0] 
[PlusR(Sym)
] , \linebreak [0] 
[TimesR(Sym)
] , \linebreak [0] 
[LessLeq(R)
] , \linebreak [0] 
[eqLeq(R)
] , \linebreak [0] 
[SubLessRight(R)
] , \linebreak [0] 
[SubLessLeft(R)
] , \linebreak [0] 
[<<TransitivityHelper(Q)
] , \linebreak [0] 
[<<Transitivity
] , \linebreak [0] 
[<<==Reflexivity
] , \linebreak [0] 
[<<==AntisymmetryHelper(Q)
] , \linebreak [0] 
[<<==Antisymmetry
] , \linebreak [0] 
[<<==Transitivity
] , \linebreak [0] 
[Plus0f
] , \linebreak [0] 
[Plus00
] , \linebreak [0] 
[==Addition
] , \linebreak [0] 
[==AdditionLeft
] , \linebreak [0] 
[<<Addition
] , \linebreak [0] 
[<<==Addition
] , \linebreak [0] 
[PlusAssociativity(F)
] , \linebreak [0] 
[PlusAssociativity(R)
] , \linebreak [0] 
[Negative(R)
] , \linebreak [0] 
[PlusCommutativity(F)
] , \linebreak [0] 
[PlusCommutativity(R)
] , \linebreak [0] 
[TimesAssociativity(F)
] , \linebreak [0] 
[TimesAssociativity(R)
] , \linebreak [0] 
[Times1f
] , \linebreak [0] 
[Times01
] , \linebreak [0] 
[TimesCommutativity(F)
] , \linebreak [0] 
[TimesCommutativity(R)
] , \linebreak [0] 
[Distribution(F)
] , \linebreak [0] 
[Distribution(R)
]
; 
\newline \mathbf {Preassociative} \newline 
[
\ast 
\_\{
\ast 
\}
] , \linebreak [0] 
[
\ast 
/indexintro(
\ast 
,
\ast 
,
\ast 
,
\ast 
)
] , \linebreak [0] 
[
\ast 
/intro(
\ast 
,
\ast 
,
\ast 
)
] , \linebreak [0] 
[
\ast 
/bothintro(
\ast 
,
\ast 
,
\ast 
,
\ast 
,
\ast 
)
] , \linebreak [0] 
[
\ast 
/nameintro(
\ast 
,
\ast 
,
\ast 
,
\ast 
)
] , \linebreak [0] 
[
\ast '
] , \linebreak [0] 
[
\ast 
{[}
\ast 
{]}
] , \linebreak [0] 
[
\ast 
[ 
\ast 
{\rightarrow} 
\ast 
]
] , \linebreak [0] 
[
\ast 
[ 
\ast 
{\Rightarrow} 
\ast 
]
] , \linebreak [0] 
[
\ast 
0
] , \linebreak [0] 
[
\ast 
1
] , \linebreak [0] 
[
0 \mathrm {b}
] , \linebreak [0] 
[
\ast 
\mbox {-color}( 
\ast 
)
] , \linebreak [0] 
[
\ast 
\mbox {-color}^{\ast}( 
\ast 
)
] , \linebreak [0] 
[
\ast 
{}^H
] , \linebreak [0] 
[
\ast 
{}^T
] , \linebreak [0] 
[
\ast 
{}^U
] , \linebreak [0] 
[
\ast 
{}^h
] , \linebreak [0] 
[
\ast 
{}^t
] , \linebreak [0] 
[
\ast 
{}^s
] , \linebreak [0] 
[
\ast 
{}^c
] , \linebreak [0] 
[
\ast 
{}^d
] , \linebreak [0] 
[
\ast 
{}^a
] , \linebreak [0] 
[
\ast 
{}^C
] , \linebreak [0] 
[
\ast 
{}^M
] , \linebreak [0] 
[
\ast 
{}^B
] , \linebreak [0] 
[
\ast 
{}^{r}
] , \linebreak [0] 
[
\ast 
{}^{i}
] , \linebreak [0] 
[
\ast 
{}^{d}
] , \linebreak [0] 
[
\ast 
{}^{R}
] , \linebreak [0] 
[
\ast 
{}^{0}
] , \linebreak [0] 
[
\ast 
{}^{1}
] , \linebreak [0] 
[
\ast 
{}^{2}
] , \linebreak [0] 
[
\ast 
{}^{3}
] , \linebreak [0] 
[
\ast 
{}^{4}
] , \linebreak [0] 
[
\ast 
{}^{5}
] , \linebreak [0] 
[
\ast 
{}^{6}
] , \linebreak [0] 
[
\ast 
{}^{7}
] , \linebreak [0] 
[
\ast 
{}^{8}
] , \linebreak [0] 
[
\ast 
{}^{9}
] , \linebreak [0] 
[
\ast 
{} ^ { E }
] , \linebreak [0] 
[
\ast 
{} ^ {\cal V}
] , \linebreak [0] 
[
\ast 
{} ^ {\cal C}
] , \linebreak [0] 
[
\ast 
{} ^ {{\cal C} ^ { \ast }}
] , \linebreak [0] 
[
\ast 
{}^{hide}
]
; 
\newline \mathbf {Preassociative} \newline 
[
\mbox{``}
\ast 
\mbox{''}
] , \linebreak [0] 
[
] , \linebreak [0] 
[
(
\ast 
)^{\bf t}
] , \linebreak [0] 
[
\mbox{string}(
\ast 
)+
\ast 
] , \linebreak [0] 
[\mbox{string}(
\ast 
)\mathrel{++}
\ast 
] , \linebreak [0] 
[
\newline 
\ast 
] , \linebreak [0] 
[
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}
\ast 
] , \linebreak [0] 
[!
\ast 
] , \linebreak [0] 
[
\mbox {\tt \char34}
\ast 
] , \linebreak [0] 
[
\#
\ast 
] , \linebreak [0] 
[
\$
\ast 
] , \linebreak [0] 
[
\%
\ast 
] , \linebreak [0] 
[
\&
\ast 
] , \linebreak [0] 
[
\mbox {'}
\ast 
] , \linebreak [0] 
[(
\ast 
] , \linebreak [0] 
[)
\ast 
] , \linebreak [0] 
[
{*}
\ast 
] , \linebreak [0] 
[
{+}
\ast 
] , \linebreak [0] 
[,
\ast 
] , \linebreak [0] 
[
\mbox{-}
\ast 
] , \linebreak [0] 
[.
\ast 
] , \linebreak [0] 
[/
\ast 
] , \linebreak [0] 
[0
\ast 
] , \linebreak [0] 
[1
\ast 
] , \linebreak [0] 
[2
\ast 
] , \linebreak [0] 
[3
\ast 
] , \linebreak [0] 
[4
\ast 
] , \linebreak [0] 
[5
\ast 
] , \linebreak [0] 
[6
\ast 
] , \linebreak [0] 
[7
\ast 
] , \linebreak [0] 
[8
\ast 
] , \linebreak [0] 
[9
\ast 
] , \linebreak [0] 
[
{:}
\ast 
] , \linebreak [0] 
[;
\ast 
] , \linebreak [0] 
[
{<}
\ast 
] , \linebreak [0] 
[
{=}
\ast 
] , \linebreak [0] 
[
{>}
\ast 
] , \linebreak [0] 
[?
\ast 
] , \linebreak [0] 
[@
\ast 
] , \linebreak [0] 
[A
\ast 
] , \linebreak [0] 
[B
\ast 
] , \linebreak [0] 
[C
\ast 
] , \linebreak [0] 
[D
\ast 
] , \linebreak [0] 
[E
\ast 
] , \linebreak [0] 
[F
\ast 
] , \linebreak [0] 
[G
\ast 
] , \linebreak [0] 
[H
\ast 
] , \linebreak [0] 
[I
\ast 
] , \linebreak [0] 
[J
\ast 
] , \linebreak [0] 
[K
\ast 
] , \linebreak [0] 
[L
\ast 
] , \linebreak [0] 
[M
\ast 
] , \linebreak [0] 
[N
\ast 
] , \linebreak [0] 
[O
\ast 
] , \linebreak [0] 
[P
\ast 
] , \linebreak [0] 
[Q
\ast 
] , \linebreak [0] 
[R
\ast 
] , \linebreak [0] 
[S
\ast 
] , \linebreak [0] 
[T
\ast 
] , \linebreak [0] 
[U
\ast 
] , \linebreak [0] 
[V
\ast 
] , \linebreak [0] 
[W
\ast 
] , \linebreak [0] 
[X
\ast 
] , \linebreak [0] 
[Y
\ast 
] , \linebreak [0] 
[Z
\ast 
] , \linebreak [0] 
[[
\ast 
] , \linebreak [0] 
[
\mbox {$\backslash $}
\ast 
] , \linebreak [0] 
[]
\ast 
] , \linebreak [0] 
[
{\char94}
\ast 
] , \linebreak [0] 
[
\_
\ast 
] , \linebreak [0] 
[
\mbox {`}
\ast 
] , \linebreak [0] 
[a
\ast 
] , \linebreak [0] 
[b
\ast 
] , \linebreak [0] 
[c
\ast 
] , \linebreak [0] 
[d
\ast 
] , \linebreak [0] 
[e
\ast 
] , \linebreak [0] 
[f
\ast 
] , \linebreak [0] 
[g
\ast 
] , \linebreak [0] 
[h
\ast 
] , \linebreak [0] 
[i
\ast 
] , \linebreak [0] 
[j
\ast 
] , \linebreak [0] 
[k
\ast 
] , \linebreak [0] 
[l
\ast 
] , \linebreak [0] 
[m
\ast 
] , \linebreak [0] 
[n
\ast 
] , \linebreak [0] 
[o
\ast 
] , \linebreak [0] 
[p
\ast 
] , \linebreak [0] 
[q
\ast 
] , \linebreak [0] 
[r
\ast 
] , \linebreak [0] 
[s
\ast 
] , \linebreak [0] 
[t
\ast 
] , \linebreak [0] 
[u
\ast 
] , \linebreak [0] 
[v
\ast 
] , \linebreak [0] 
[w
\ast 
] , \linebreak [0] 
[x
\ast 
] , \linebreak [0] 
[y
\ast 
] , \linebreak [0] 
[z
\ast 
] , \linebreak [0] 
[
\{
\ast 
] , \linebreak [0] 
[|
\ast 
] , \linebreak [0] 
[
\}
\ast 
] , \linebreak [0] 
[
\char126 
\ast 
] , \linebreak [0] 
[
\mathbf{Preassociative}\,
\ast 
; 
\ast 
] , \linebreak [0] 
[
\mathbf{Postassociative}\,
\ast 
; 
\ast 
] , \linebreak [0] 
[
[
\ast 
] , \linebreak [0] 
\ast 
] , \linebreak [0] 
[
\mathrm{priority} \,
\ast 
\, \mathrm{end}
] , \linebreak [0] 
[
newline\ 
\ast 
] , \linebreak [0] 
[
macro\ newline\ 
\ast 
] , \linebreak [0] 
[
MacroIndent(
\ast 
)
]
; 
\newline \mathbf {Preassociative} \newline 
[
\ast 
\mathbin {\mbox {'}}
\ast 
] , \linebreak [0] 
[
\ast 
\mathbin {\mbox {`}}
\ast 
]
; 
\newline \mathbf {Preassociative} \newline 
[
\ast 
{}'
] , \linebreak [0] 
[R(
\ast 
)
] , \linebreak [0] 
[--R(
\ast 
)
] , \linebreak [0] 
[rec
\ast 
]
; 
\newline \mathbf {Preassociative} \newline 
[
\ast 
 / 
\ast 
] , \linebreak [0] 
[
\ast 
 \cap 
\ast 
] , \linebreak [0] 
[
\ast 
[
\ast 
]
]
; 
\newline \mathbf {Preassociative} \newline 
[\cup 
\ast 
] , \linebreak [0] 
[
\ast 
 \mathrel{\cup} 
\ast 
] , \linebreak [0] 
[P(
\ast 
)
]
; 
\newline \mathbf {Preassociative} \newline 
[\{
\ast 
\}
]
; 
\newline \mathbf {Preassociative} \newline 
[\{
\ast 
,
\ast 
\}
] , \linebreak [0] 
[\langle 
\ast 
,
\ast 
\rangle
] , \linebreak [0] 
[-
\ast 
] , \linebreak [0] 
[-_{f}
\ast 
]
; 
\newline \mathbf {Preassociative} \newline 
[
\ast 
 \mathrel{\in} 
\ast 
] , \linebreak [0] 
[
\ast 
(
\ast 
,
\ast 
)
] , \linebreak [0] 
[ReflRel(
\ast 
,
\ast 
)
] , \linebreak [0] 
[SymRel(
\ast 
,
\ast 
)
] , \linebreak [0] 
[TransRel(
\ast 
,
\ast 
)
] , \linebreak [0] 
[EqRel(
\ast 
,
\ast 
)
] , \linebreak [0] 
[[
\ast 
 \mathrel{\in} 
\ast 
]_{
\ast 
}
] , \linebreak [0] 
[Partition(
\ast 
,
\ast 
)
]
; 
\newline \mathbf {Preassociative} \newline 
[
\ast 
\cdot 
\ast 
] , \linebreak [0] 
[
\ast 
\cdot_0 
\ast 
] , \linebreak [0] 
[
\ast 
*
\ast 
] , \linebreak [0] 
[
\ast 
*_{f}
\ast 
] , \linebreak [0] 
[
\ast 
**
\ast 
]
; 
\newline \mathbf {Preassociative} \newline 
[
\ast 
+ 
\ast 
] , \linebreak [0] 
[
\ast 
\mathop{+_0} 
\ast 
] , \linebreak [0] 
[
\ast 
\mathop{+_1} 
\ast 
] , \linebreak [0] 
[
\ast 
- 
\ast 
] , \linebreak [0] 
[
\ast 
\mathop{-_0} 
\ast 
] , \linebreak [0] 
[
\ast 
\mathop{-_1} 
\ast 
] , \linebreak [0] 
[
\ast 
+
\ast 
] , \linebreak [0] 
[
\ast 
-
\ast 
] , \linebreak [0] 
[
\ast 
+_{f}
\ast 
] , \linebreak [0] 
[
\ast 
-_{f}
\ast 
] , \linebreak [0] 
[
\ast 
++
\ast 
] , \linebreak [0] 
[R(
\ast 
) -- R(
\ast 
)
]
; 
\newline \mathbf {Preassociative} \newline 
[|
\ast |
] , \linebreak [0] 
[if(
\ast 
,
\ast 
,
\ast 
)
]
; 
\newline \mathbf {Preassociative} \newline 
[
\ast 
 = 
\ast 
] , \linebreak [0] 
[
\ast 
 \neq 
\ast 
] , \linebreak [0] 
[
\ast 
 <= 
\ast 
] , \linebreak [0] 
[
\ast 
 < 
\ast 
] , \linebreak [0] 
[
\ast 
=_{f}
\ast 
] , \linebreak [0] 
[
\ast 
<_{f}
\ast 
] , \linebreak [0] 
[SF(
\ast 
,
\ast 
)
] , \linebreak [0] 
[
\ast 
 == 
\ast 
] , \linebreak [0] 
[
\ast 
 << 
\ast 
] , \linebreak [0] 
[
\ast 
 <<== 
\ast 
]
; 
\newline \mathbf {Preassociative} \newline 
[
\ast 
\cup \{ 
\ast 
\}
] , \linebreak [0] 
[
\ast 
\cup 
\ast 
] , \linebreak [0] 
[
\ast 
\backslash \{ 
\ast 
\}
]
; 
\newline\mathbf{Postassociative} \newline 
[
\ast 
\mathrel { \dot { . \, . } }
\ast 
] , \linebreak [0] 
[
\ast 
\mathrel { \underline { \dot { . \, . } } }
\ast 
] , \linebreak [0] 
[
\ast 
\mathrel { \underline { : \, : } }
\ast 
] , \linebreak [0] 
[
\ast 
\mathrel { \underline { {+} 2 \ast } }
\ast 
] , \linebreak [0] 
[
\ast 
\mathrel { : \, : }
\ast 
] , \linebreak [0] 
[
\ast 
\mathrel { {+} 2 \ast }
\ast 
]
; 
\newline\mathbf{Postassociative} \newline 
[
\ast 
,\linebreak [0] 
\ast 
]
; 
\newline \mathbf {Preassociative} \newline 
[
\ast 
\stackrel {B}{\approx }
\ast 
] , \linebreak [0] 
[
\ast 
\stackrel {D}{\approx }
\ast 
] , \linebreak [0] 
[
\ast 
\stackrel {C}{\approx }
\ast 
] , \linebreak [0] 
[
\ast 
\stackrel {P}{\approx }
\ast 
] , \linebreak [0] 
[
\ast 
\approx 
\ast 
] , \linebreak [0] 
[
\ast 
=
\ast 
] , \linebreak [0] 
[
\ast 
\stackrel {+}{\rightarrow }
\ast 
] , \linebreak [0] 
[
\ast 
\stackrel {t}{=}
\ast 
] , \linebreak [0] 
[
\ast 
\stackrel {t^*}{=}
\ast 
] , \linebreak [0] 
[
\ast 
\stackrel{r}{=} 
\ast 
] , \linebreak [0] 
[
\ast 
\in_t 
\ast 
] , \linebreak [0] 
[
\ast 
\subseteq_T 
\ast 
] , \linebreak [0] 
[
\ast 
\stackrel{T}{=} 
\ast 
] , \linebreak [0] 
[
\ast 
\stackrel{s}{=} 
\ast 
] , \linebreak [0] 
[
\ast 
\mathrel {free\ in} 
\ast 
] , \linebreak [0] 
[
\ast 
\mathrel {free\ in}^{\ast} 
\ast 
] , \linebreak [0] 
[
\ast 
\mathrel {free\ for} 
\ast 
\mathrel {in} 
\ast 
] , \linebreak [0] 
[
\ast 
\mathrel {free\ for}^{\ast} 
\ast 
\mathrel {in} 
\ast 
] , \linebreak [0] 
[
\ast 
\in_c 
\ast 
] , \linebreak [0] 
[
\ast 
< 
\ast 
] , \linebreak [0] 
[
\ast 
<' 
\ast 
] , \linebreak [0] 
[
\ast 
\le' 
\ast 
] , \linebreak [0] 
[
\ast 
= 
\ast 
] , \linebreak [0] 
[
\ast 
\neq 
\ast 
] , \linebreak [0] 
[
\ast 
{}^{var}
] , \linebreak [0] 
[
\ast 
\#^0
\ast 
] , \linebreak [0] 
[
\ast 
\#^1
\ast 
] , \linebreak [0] 
[
\ast 
\#^*
\ast 
] , \linebreak [0] 
[
\ast 
\!\mathrel{==}\! 
\ast 
] , \linebreak [0] 
[
\ast 
 \mathrel{\subseteq} 
\ast 
]
; 
\newline \mathbf {Preassociative} \newline 
[
{\neg }
\ast 
] , \linebreak [0] 
[\dot{\neg}\, 
\ast 
] , \linebreak [0] 
[
\ast 
 \mathrel{\notin} 
\ast 
] , \linebreak [0] 
[
\ast 
 \mathrel{\neq} 
\ast 
]
; 
\newline \mathbf {Preassociative} \newline 
[
\ast 
\wedge 
\ast 
] , \linebreak [0] 
[
\ast 
\mathrel{\ddot{\wedge}} 
\ast 
] , \linebreak [0] 
[
\ast 
\mathrel{\tilde{\wedge}} 
\ast 
] , \linebreak [0] 
[
\ast 
\wedge_c 
\ast 
] , \linebreak [0] 
[
\ast 
\mathrel{\dot{\wedge}} 
\ast 
]
; 
\newline \mathbf {Preassociative} \newline 
[
\ast 
\vee 
\ast 
] , \linebreak [0] 
[
\ast 
\parallel 
\ast 
] , \linebreak [0] 
[
\ast 
\mathrel{\ddot{\vee}} 
\ast 
]
; 
\newline\mathbf{Postassociative} \newline 
[
\ast 
 \mathrel{\dot{\vee}} 
\ast 
]
; 
\newline \mathbf {Preassociative} \newline 
[
\exists 
\ast 
\colon 
\ast 
] , \linebreak [0] 
[
\forall 
\ast 
\colon 
\ast 
] , \linebreak [0] 
[
\forall_{obj} 
\ast 
\colon 
\ast 
]
; 
\newline\mathbf{Postassociative} \newline 
[
\ast 
\mathrel{\ddot{\Rightarrow}} 
\ast 
] , \linebreak [0] 
[
\ast 
\Rightarrow 
\ast 
] , \linebreak [0] 
[
\ast 
\Leftrightarrow 
\ast 
] , \linebreak [0] 
[
\ast 
\mathrel{\dot{\Leftrightarrow}} 
\ast 
]
; 
\newline \mathbf {Preassociative} \newline 
[ \{ ph \mathrel{\in} 
\ast 
\mid 
\ast 
\}
]
; 
\newline\mathbf{Postassociative} \newline 
[
\ast 
:
\ast 
] , \linebreak [0] 
[
\ast 
\mathrel{spy}
\ast 
] , \linebreak [0] 
[
\ast 
!
\ast 
]
; 
\newline \mathbf {Preassociative} \newline 
[
\ast 
\left\{\protect \begin {array}{l}
\ast 
\\
\ast 
\protect \end {array}\right.
]
; 
\newline \mathbf {Preassociative} \newline 
[
\lambda 
\ast 
.
\ast 
] , \linebreak [0] 
[
\Lambda 
\ast 
. 
\ast 
] , \linebreak [0] 
[
\Lambda 
\ast 
] , \linebreak [0] 
[
{\bf if} \ 
\ast 
\ {\bf then} \ 
\ast 
\ {\bf else} \ 
\ast 
] , \linebreak [0] 
[
\mathbf{let\ } 
\ast 
= 
\ast 
\mathbf{\ in\ } 
\ast 
] , \linebreak [0] 
[
\mathbf{let\ } 
\ast 
\mathrel{\ddot{=}} 
\ast 
\mathrel{\ in\ } 
\ast 
]
; 
\newline \mathbf {Preassociative} \newline 
[
\ast 
\#
\ast 
]
; 
\newline \mathbf {Preassociative} \newline 
[
\ast 
{} ^ { I }
] , \linebreak [0] 
[
\ast 
{} ^ { \rhd }
] , \linebreak [0] 
[
\ast 
{} ^ { V } 
] , \linebreak [0] 
[
\ast 
{} ^ { + } 
] , \linebreak [0] 
[
\ast 
{} ^ { - } 
] , \linebreak [0] 
[
\ast 
{} ^ { \ast } 
]
; 
\newline \mathbf {Preassociative} \newline 
[
\ast 
\mathop {\char64} 
\ast 
] , \linebreak [0] 
[
\ast 
\rhd 
\ast 
] , \linebreak [0] 
[
\ast 
\mathrel {\makebox [0mm][l]{$\rhd $}\,{\rhd }} 
\ast 
] , \linebreak [0] 
[
\ast 
\gg 
\ast 
] , \linebreak [0] 
[
\ast 
\unrhd 
\ast 
]
; 
\newline\mathbf{Postassociative} \newline 
[
\ast 
\vdash 
\ast 
] , \linebreak [0] 
[
\ast 
\mathrel {\makebox [0mm][l]{$\vdash $}\,{\vdash }} 
\ast 
] , \linebreak [0] 
[
\ast 
\mathrel {i.e.} 
\ast 
]
; 
\newline \mathbf {Preassociative} \newline 
[
\forall 
\ast 
\colon 
\ast 
] , \linebreak [0] 
[
\Pi 
\ast 
\colon 
\ast 
]
; 
\newline\mathbf{Postassociative} \newline 
[
\ast 
\mathrel {\oplus} 
\ast 
]
; 
\newline\mathbf{Postassociative} \newline 
[
\ast 
; 
\ast 
]
; 
\newline \mathbf {Preassociative} \newline 
[
\ast 
\ proves\ 
\ast 
]
; 
\newline \mathbf {Preassociative} \newline 
[
\ast 
\mathbf{\ proof\ of\ } 
\ast 
: 
\ast 
] , \linebreak [0] 
[
Line \, 
\ast 
: 
\ast 
\gg 
\ast 
; 
\ast 
] , \linebreak [0] 
[
Last\ line \, 
\ast 
\gg 
\ast 
\,\Box
] , \linebreak [0] 
[
Line \, 
\ast 
: Premise \gg 
\ast 
;
\ast 
] , \linebreak [0] 
[
Line \, 
\ast 
: \mbox{Side-condition} \gg 
\ast 
; 
\ast 
] , \linebreak [0] 
[
Arbitrary \gg 
\ast 
;
\ast 
] , \linebreak [0] 
[
Local \gg 
\ast 
= 
\ast 
; 
\ast 
] , \linebreak [0] 
[
Begin \, 
\ast 
 ; 
\ast 
 : End ; 
\ast 
] , \linebreak [0] 
[
Last\ block\ line \, 
\ast 
\gg 
\ast 
\,;
] , \linebreak [0] 
[
Arbitrary \gg 
\ast 
;
\ast 
]
; 
\newline\mathbf{Postassociative} \newline 
[
\ast 
\mathrel{|} 
\ast 
]
; 
\newline\mathbf{Postassociative} \newline 
[
\ast 
\mathrel{\mathrm{,}}
\ast 
] , \linebreak [0] 
[
\ast 
{[}
\ast 
{]}
\ast 
]
; 
\newline \mathbf {Preassociative} \newline 
[
\ast 
\& 
\ast 
]
; 
\newline \mathbf {Preassociative} \newline 
[
\ast 
\backslash \backslash 
\ast 
] , \linebreak [0] 
[
\ast 
\mathrel{linebreak[4]} 
\ast 
] , \linebreak [0] 
[
\ast 
\backslash \backslash 
\ast 
]
; 
]$

$\rm
[am
\stackrel{
\mathrm{tex}
}{\rightarrow}
\mbox{``}am
\mbox{''}
]$

$\rm
[am
\stackrel{
\mathrm{pyk}
}{\rightarrow}
\mbox{``}am
\mbox{''}
]$

\hypertarget {url:1808490583581903168404721082347638465545342357588912671848929942716323841:1}{}\section* {$\rm (\cdots{})$}

$\rm
[(\cdots{})
\stackrel{
\mathrm{tex}
}{\rightarrow}
\mbox{``}(
\mbox {$\backslash $}cdots
\{
\})
\mbox{''}
]$

$\rm
[(\cdots{})
\stackrel{
\mathrm{pyk}
}{\rightarrow}
\mbox{``}cdots
\mbox{''}
]$

\hypertarget {url:1808490583581903168404721082347638465545342357588912671848929942716323841:2}{}\section* {$\rm \texttt{Objekt-var}$}

$\rm
[\texttt{Objekt-var}
\stackrel{
\mathrm{tex}
}{\rightarrow}
\mbox{``}
\mbox {$\backslash $}texttt
\{Objekt
\mbox{-}var
\}
\mbox{''}
]$

$\rm
[\texttt{Objekt-var}
\stackrel{
\mathrm{pyk}
}{\rightarrow}
\mbox{``}object
\mbox{-}var
\mbox{''}
]$

\hypertarget {url:1808490583581903168404721082347638465545342357588912671848929942716323841:3}{}\section* {$\rm \texttt{Ex-var}$}

$\rm
[\texttt{Ex-var}
\stackrel{
\mathrm{tex}
}{\rightarrow}
\mbox{``}
\mbox {$\backslash $}texttt
\{Ex
\mbox{-}var
\}
\mbox{''}
]$

$\rm
[\texttt{Ex-var}
\stackrel{
\mathrm{pyk}
}{\rightarrow}
\mbox{``}ex
\mbox{-}var
\mbox{''}
]$

\hypertarget {url:1808490583581903168404721082347638465545342357588912671848929942716323841:4}{}\section* {$\rm \texttt{Ph-var}$}

$\rm
[\texttt{Ph-var}
\stackrel{
\mathrm{tex}
}{\rightarrow}
\mbox{``}
\mbox {$\backslash $}texttt
\{Ph
\mbox{-}var
\}
\mbox{''}
]$

$\rm
[\texttt{Ph-var}
\stackrel{
\mathrm{pyk}
}{\rightarrow}
\mbox{``}ph
\mbox{-}var
\mbox{''}
]$

\hypertarget {url:1808490583581903168404721082347638465545342357588912671848929942716323841:5}{}\section* {$\rm \texttt{V\ae{}rdi}$}

$\rm
[\texttt{V\ae{}rdi}
\stackrel{
\mathrm{tex}
}{\rightarrow}
\mbox{``}
\mbox {$\backslash $}texttt
\{V
\mbox {$\backslash $}ae
\{
\}rdi
\}
\mbox{''}
]$

$\rm
[\texttt{V\ae{}rdi}
\stackrel{
\mathrm{pyk}
}{\rightarrow}
\mbox{``}vaerdi
\mbox{''}
]$

\hypertarget {url:1808490583581903168404721082347638465545342357588912671848929942716323841:6}{}\section* {$\rm \texttt{Variabel}$}

$\rm
[\texttt{Variabel}
\stackrel{
\mathrm{tex}
}{\rightarrow}
\mbox{``}
\mbox {$\backslash $}texttt
\{Variabel
\}
\mbox{''}
]$

$\rm
[\texttt{Variabel}
\stackrel{
\mathrm{pyk}
}{\rightarrow}
\mbox{``}variabel
\mbox{''}
]$

\hypertarget {url:1808490583581903168404721082347638465545342357588912671848929942716323841:7}{}\section* {$\rm Op(\ast
)$}

$\rm
[Op(
\mathsf{x}
)
\stackrel{
\mathrm{tex}
}{\rightarrow}
\mbox{``}Op(
\#1.
\newline )
\mbox{''}
]$

$\rm
[Op(
\ast 
)
\stackrel{
\mathrm{pyk}
}{\rightarrow}
\mbox{``}op
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}
\mbox {\tt \char34}
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}end
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}op
\mbox{''}
]$

\hypertarget {url:1808490583581903168404721082347638465545342357588912671848929942716323841:8}{}\section* {$\rm Op(\ast
,\ast
)$}

$\rm
[Op(
\mathsf{x}
,
\mathsf{y}
)
\stackrel{
\mathrm{tex}
}{\rightarrow}
\mbox{``}Op(
\#1.
\newline ,
\#2.
\newline )
\mbox{''}
]$

$\rm
[Op(
\ast 
,
\ast 
)
\stackrel{
\mathrm{pyk}
}{\rightarrow}
\mbox{``}op2
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}
\mbox {\tt \char34}
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}comma
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}
\mbox {\tt \char34}
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}end
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}op2
\mbox{''}
]$

\hypertarget {url:1808490583581903168404721082347638465545342357588912671848929942716323841:9}{}\section* {$\rm \ast
 \mathrel {\ddot {==}} \ast$}

$\rm
[
\mathsf{x}
 \mathrel {\ddot {==}} 
\mathsf{y}
\stackrel{
\mathrm{tex}
}{\rightarrow}
\mbox{``}
\#1.
\newline 
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}
\mbox {$\backslash $}mathrel
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}
\{
\mbox {$\backslash $}ddot
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}
\{
{=}
{=}
\}
\}
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}
\#2.
\mbox{''}
]$

$\rm
[
\ast 
 \mathrel {\ddot {==}} 
\ast 
\stackrel{
\mathrm{pyk}
}{\rightarrow}
\mbox{``}define
\mbox{-}equal
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}
\mbox {\tt \char34}
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}comma
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}
\mbox {\tt \char34}
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}end
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}equal
\mbox{''}
]$

\hypertarget {url:1808490583581903168404721082347638465545342357588912671848929942716323841:10}{}\section* {$\rm ContainsEmpty(\ast
)$}

$\rm
[ContainsEmpty(
\mathsf{x}
)
\stackrel{
\mathrm{tex}
}{\rightarrow}
\mbox{``}ContainsEmpty(
\#1.
\newline )
\mbox{''}
]$

$\rm
[ContainsEmpty(
\ast 
)
\stackrel{
\mathrm{pyk}
}{\rightarrow}
\mbox{``}contains
\mbox{-}empty
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}
\mbox {\tt \char34}
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}end
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}empty
\mbox{''}
]$

\hypertarget {url:1808490583581903168404721082347638465545342357588912671848929942716323841:11}{}\section* {$\rm 
Dedu(\ast
,\ast
)$}

$\rm
[
Dedu(
\mathsf {p}
,
\mathsf {c}
)
\stackrel{
\mathrm {macro}
}{\rightarrow}
\lambda 
\mathsf {t}
.
\lambda 
\mathsf {s}
.
\lambda 
\mathsf {c}
.
\tilde {{\cal M}}_4(
\mathsf {t}
,
\mathsf {s}
,
\mathsf {c}
,
\lceil 
[
Dedu(
\mathsf {p}
,
\mathsf {c}
)
\mathrel {\ddot {=}}
\lambda 
\mathsf{x}
.
Dedu_0(
\lceil 
\mathsf {p}
\rceil 
,
\lceil 
\mathsf {c}
\rceil 
)
]
\rceil 
)
]$

$\rm
[
Dedu(
\mathsf{x}
,
\mathsf{y}
)
\stackrel{
\mathrm{tex}
}{\rightarrow}
\mbox{``}
\newline Dedu(
\#1.
\newline ,
\#2.
\newline )
\mbox{''}
]$

$\rm
[
Dedu(
\ast 
,
\ast 
)
\stackrel{
\mathrm{pyk}
}{\rightarrow}
\mbox{``}1deduction
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}
\mbox {\tt \char34}
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}conclude
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}
\mbox {\tt \char34}
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}end
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}1deduction
\mbox{''}
]$

\hypertarget {url:1808490583581903168404721082347638465545342357588912671848929942716323841:12}{}\section* {$\rm 
Dedu_0(\ast
,\ast
)$}

$\rm
[
Dedu_0(
\mathsf {p}
,
\mathsf {c}
)
\stackrel{
\mathrm {val}
}{\rightarrow}
\mathsf {c}
!
\mathrm {If}(
Dedu_8(
\mathsf {p}
,
\mathsf {T}
)
,\linebreak [0]Dedu_{s}(
Dedu_7(
\mathsf {p}
)
,
\mathsf {c}
,
\mathsf {T}
)
,\linebreak [0]
\mathsf {F}
)
]$

$\rm
[
Dedu_0(
\mathsf{x}
,
\mathsf{y}
)
\stackrel{
\mathrm{tex}
}{\rightarrow}
\mbox{``}
\newline Dedu
\_0(
\#1.
\newline ,
\#2.
\newline )
\mbox{''}
]$

$\rm
[
Dedu_0(
\ast 
,
\ast 
)
\stackrel{
\mathrm{pyk}
}{\rightarrow}
\mbox{``}1deduction
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}zero
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}
\mbox {\tt \char34}
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}conclude
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}
\mbox {\tt \char34}
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}end
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}1deduction
\mbox{''}
]$

\hypertarget {url:1808490583581903168404721082347638465545342357588912671848929942716323841:13}{}\section* {$\rm Dedu_{s}(\ast
,\ast
,\ast
)$}

$\rm
[Dedu_{s}(
\mathsf {p}
,
\mathsf {c}
,
\mathsf {s}
)
\stackrel{
\mathrm {val}
}{\rightarrow}
\mathrm {If}(
\mathsf {p}
\stackrel{r}{=} 
\lceil 
\mathsf{x}
\mathrel {\makebox [0mm][l]{$\vdash $}\,{\vdash }} 
\mathsf{y}
\rceil 
,\linebreak [0]
\mathsf {c}
\stackrel{r}{=} 
\lceil 
\mathsf{x}
\mathrel {\makebox [0mm][l]{$\vdash $}\,{\vdash }} 
\mathsf{y}
\rceil 
\wedge 
\mathsf {p}
{}^{1}
\stackrel {t}{=}
\mathsf {c}
{}^{1}
\wedge Dedu_{s}(
\mathsf {p}
{}^{2}
,
\mathsf {c}
{}^{2}
,
\mathsf {c}
{}^{1}
\mathrel { : \, : }
\mathsf {s}
)
,\linebreak [0]
Dedu_1(
\mathsf {p}
,
\mathsf {c}
,
\mathsf {s}
)
)
]$

$\rm
[Dedu_{s}(
\mathsf{x}
,
\mathsf{y}
,
\mathsf{z}
)
\stackrel{
\mathrm{tex}
}{\rightarrow}
\mbox{``}Dedu
\_
\{s
\}(
\#1.
\newline ,
\#2.
\newline ,
\#3.
\newline )
\mbox{''}
]$

$\rm
[Dedu_{s}(
\ast 
,
\ast 
,
\ast 
)
\stackrel{
\mathrm{pyk}
}{\rightarrow}
\mbox{``}1deduction
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}side
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}
\mbox {\tt \char34}
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}conclude
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}
\mbox {\tt \char34}
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}condition
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}
\mbox {\tt \char34}
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}end
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}1deduction
\mbox{''}
]$

\hypertarget {url:1808490583581903168404721082347638465545342357588912671848929942716323841:14}{}\section* {$\rm 
Dedu_1(\ast
,\ast
,\ast
)$}

$\rm
[
Dedu_1(
\mathsf {p}
,
\mathsf {c}
,
\mathsf {s}
)
\stackrel{
\mathrm {val}
}{\rightarrow}
\mathrm {If}(
\mathsf {c}
\stackrel{r}{=} 
\lceil 
\mathsf{x}
\mathrel {\makebox [0mm][l]{$\vdash $}\,{\vdash }} 
\mathsf{y}
\rceil 
,\linebreak [0]
Dedu_1(
\mathsf {p}
,
\mathsf {c}
{}^{2}
,
\mathsf {c}
{}^{1}
\mathrel { : \, : }
\mathsf {s}
)
,\linebreak [0]
Dedu_2(
\mathsf {p}
,
\mathsf {c}
,
\mathsf {s}
)
)
]$

$\rm
[
Dedu_1(
\mathsf{x}
,
\mathsf{y}
,
\mathsf{z}
)
\stackrel{
\mathrm{tex}
}{\rightarrow}
\mbox{``}
\newline Dedu
\_1(
\#1.
\newline ,
\#2.
\newline ,
\#3.
\newline )
\mbox{''}
]$

$\rm
[
Dedu_1(
\ast 
,
\ast 
,
\ast 
)
\stackrel{
\mathrm{pyk}
}{\rightarrow}
\mbox{``}1deduction
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}one
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}
\mbox {\tt \char34}
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}conclude
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}
\mbox {\tt \char34}
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}condition
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}
\mbox {\tt \char34}
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}end
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}1deduction
\mbox{''}
]$

\hypertarget {url:1808490583581903168404721082347638465545342357588912671848929942716323841:15}{}\section* {$\rm 
Dedu_2(\ast
,\ast
,\ast
)$}

$\rm
[
Dedu_2(
\mathsf {p}
,
\mathsf {c}
,
\mathsf {s}
)
\stackrel{
\mathrm {val}
}{\rightarrow}
\mathsf {s}
!
\mathsf {p}
\stackrel{r}{=} 
\lceil 
\mathsf{x}
\vdash 
\mathsf{y}
\rceil 
\wedge 
\mathsf {c}
\stackrel{r}{=} 
\lceil 
\mathsf{x}
\Rightarrow 
\mathsf{y}
\rceil 
\left\{\protect \begin {array}{l}
Dedu_3(
\mathsf {p}
{}^{1}
,
\mathsf {c}
{}^{1}
,
\mathsf {s}
,
\mathsf {T}
)
\wedge 
Dedu_2(
\mathsf {p}
{}^{2}
,
\mathsf {c}
{}^{2}
,
\mathsf {s}
)
\\
Dedu_4(
\mathsf {p}
,
\mathsf {c}
,
\mathsf {s}
,
Dedu_6(
\mathsf {p}
,
\mathsf {c}
,
\mathsf {T}
,
\mathsf {T}
)
)
\protect \end {array}\right.
]$

$\rm
[
Dedu_2(
\mathsf{x}
,
\mathsf{y}
,
\mathsf{z}
)
\stackrel{
\mathrm{tex}
}{\rightarrow}
\mbox{``}
\newline Dedu
\_2(
\#1.
\newline ,
\#2.
\newline ,
\#3.
\newline )
\mbox{''}
]$

$\rm
[
Dedu_2(
\ast 
,
\ast 
,
\ast 
)
\stackrel{
\mathrm{pyk}
}{\rightarrow}
\mbox{``}1deduction
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}two
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}
\mbox {\tt \char34}
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}conclude
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}
\mbox {\tt \char34}
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}condition
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}
\mbox {\tt \char34}
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}end
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}1deduction
\mbox{''}
]$

\hypertarget {url:1808490583581903168404721082347638465545342357588912671848929942716323841:16}{}\section* {$\rm 
Dedu_3(\ast
,\ast
,\ast
,\ast
)$}

$\rm
[
Dedu_3(
\mathsf {p}
,
\mathsf {c}
,
\mathsf {s}
,
\mathsf {b}
)
\stackrel{
\mathrm {val}
}{\rightarrow}
\mathrm {If}(
{\neg }
\mathsf {c}
\stackrel{r}{=} 
\lceil 
\forall_{obj} 
\mathsf{x}
\colon 
\mathsf{y}
\rceil 
,\linebreak [0]
Dedu_4(
\mathsf {p}
,
\mathsf {c}
,
\mathsf {s}
,
\mathsf {b}
)
,\linebreak [0]
\mathrm {If}(
\mathsf {p}
\stackrel{r}{=} 
\lceil 
\forall_{obj} 
\mathsf{x}
\colon 
\mathsf{y}
\rceil 
\wedge 
\mathsf {p}
{}^{1}
\stackrel {t}{=}
\mathsf {c}
{}^{1}
,\linebreak [0]
Dedu_4(
\mathsf {p}
,
\mathsf {c}
,
\mathsf {s}
,
\mathsf {b}
)
,\linebreak [0]
Dedu_3(
\mathsf {p}
,
\mathsf {c}
{}^{2}
,
\mathsf {s}
,
\mathsf {c}
{}^{1}
\mathrel { : \, : }
\mathsf {c}
{}^{1}
\mathrel { : \, : }
\mathsf {b}
)
)
)
]$

$\rm
[
Dedu_3(
\mathsf{x}
,
\mathsf{y}
,
\mathsf{z}
,
\mathsf {u}
)
\stackrel{
\mathrm{tex}
}{\rightarrow}
\mbox{``}
\newline Dedu
\_3(
\#1.
\newline ,
\#2.
\newline ,
\#3.
\newline ,
\#4.
\newline )
\mbox{''}
]$

$\rm
[
Dedu_3(
\ast 
,
\ast 
,
\ast 
,
\ast 
)
\stackrel{
\mathrm{pyk}
}{\rightarrow}
\mbox{``}1deduction
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}three
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}
\mbox {\tt \char34}
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}conclude
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}
\mbox {\tt \char34}
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}condition
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}
\mbox {\tt \char34}
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}bound
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}
\mbox {\tt \char34}
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}end
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}1deduction
\mbox{''}
]$

\hypertarget {url:1808490583581903168404721082347638465545342357588912671848929942716323841:17}{}\section* {$\rm 
Dedu_4(\ast
,\ast
,\ast
,\ast
)$}

$\rm
[
Dedu_4(
\mathsf {p}
,
\mathsf {c}
,
\mathsf {s}
,
\mathsf {b}
)
\stackrel{
\mathrm {val}
}{\rightarrow}
\mathsf {s}
!
\mathsf {b}
!
\mathrm {If}(
\mathsf {p}
\stackrel{r}{=} 
\lceil \overline{
\mathsf{x}}
\rceil 
,\linebreak [0]
\mathbf {lookup}(
\mathsf {p}
,
\mathsf {b}
,
\mathsf {T}
)
\stackrel {t}{=}
\mathsf {c}
,\linebreak [0]
\mathrm {If}(
{\neg }
\mathsf {p}
\stackrel{r}{=} 
\mathsf {c}
,\linebreak [0]
\mathsf {F}
,\linebreak [0]
\mathrm {If}(
\mathsf {p}
\stackrel{r}{=} 
\lceil 
\forall_{obj} 
\mathsf{x}
\colon 
\mathsf{y}
\rceil 
,\linebreak [0]
\mathsf {p}
{}^{1}
\stackrel {t}{=}
\mathsf {c}
{}^{1}
\wedge 
Dedu_4(
\mathsf {p}
{}^{2}
,
\mathsf {c}
{}^{2}
,
\mathsf {s}
,
\mathsf {p}
{}^{1}
\mathrel { : \, : }
\mathsf {p}
{}^{1}
\mathrel { : \, : }
\mathsf {b}
)
,\linebreak [0]
\mathrm {If}(
{\neg }
\mathsf {p}
\stackrel{r}{=} 
\lceil \underline{
\mathsf{x}}
\rceil 
,\linebreak [0]
Dedu_4^*(
\mathsf {p}
{}^t
,
\mathsf {c}
{}^t
,
\mathsf {s}
,
\mathsf {b}
)
,\linebreak [0]
\mathsf {p}
{}^{1}
\stackrel {t}{=}
\mathsf {c}
{}^{1}
\wedge 
Dedu_5(
\mathsf {p}
,
\mathsf {s}
,
\mathsf {b}
)
)
)
)
)
]$

$\rm
[
Dedu_4(
\mathsf{x}
,
\mathsf{y}
,
\mathsf{z}
,
\mathsf {u}
)
\stackrel{
\mathrm{tex}
}{\rightarrow}
\mbox{``}
\newline Dedu
\_4(
\#1.
\newline ,
\#2.
\newline ,
\#3.
\newline ,
\#4.
\newline )
\mbox{''}
]$

$\rm
[
Dedu_4(
\ast 
,
\ast 
,
\ast 
,
\ast 
)
\stackrel{
\mathrm{pyk}
}{\rightarrow}
\mbox{``}1deduction
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}four
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}
\mbox {\tt \char34}
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}conclude
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}
\mbox {\tt \char34}
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}condition
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}
\mbox {\tt \char34}
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}bound
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}
\mbox {\tt \char34}
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}end
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}1deduction
\mbox{''}
]$

\hypertarget {url:1808490583581903168404721082347638465545342357588912671848929942716323841:18}{}\section* {$\rm 
Dedu_4^*(\ast
,\ast
,\ast
,\ast
)$}

$\rm
[
Dedu_4^*(
\mathsf {p}
,
\mathsf {c}
,
\mathsf {s}
,
\mathsf {b}
)
\stackrel{
\mathrm {val}
}{\rightarrow}
\mathsf {c}
!
\mathsf {s}
!
\mathsf {b}
!
\mathrm {If}(
\mathsf {p}
,\linebreak [0]
\mathsf {T}
,\linebreak [0]
Dedu_4(
\mathsf {p}
{}^h
,
\mathsf {c}
{}^h
,
\mathsf {s}
,
\mathsf {b}
)
\wedge 
Dedu_4^*(
\mathsf {p}
{}^t
,
\mathsf {c}
{}^t
,
\mathsf {s}
,
\mathsf {b}
)
)
]$

$\rm
[
Dedu_4^*(
\mathsf{x}
,
\mathsf{y}
,
\mathsf{z}
,
\mathsf {u}
)
\stackrel{
\mathrm{tex}
}{\rightarrow}
\mbox{``}
\newline Dedu
\_4
{\char94}
{*}(
\#1.
\newline ,
\#2.
\newline ,
\#3.
\newline ,
\#4.
\newline )
\mbox{''}
]$

$\rm
[
Dedu_4^*(
\ast 
,
\ast 
,
\ast 
,
\ast 
)
\stackrel{
\mathrm{pyk}
}{\rightarrow}
\mbox{``}1deduction
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}four
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}star
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}
\mbox {\tt \char34}
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}conclude
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}
\mbox {\tt \char34}
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}condition
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}
\mbox {\tt \char34}
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}bound
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}
\mbox {\tt \char34}
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}end
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}1deduction
\mbox{''}
]$

\hypertarget {url:1808490583581903168404721082347638465545342357588912671848929942716323841:19}{}\section* {$\rm 
Dedu_5(\ast
,\ast
,\ast
)$}

$\rm
[
Dedu_5(
\mathsf {p}
,
\mathsf {s}
,
\mathsf {b}
)
\stackrel{
\mathrm {val}
}{\rightarrow}
\mathsf {p}
!
\mathsf {s}
!
\mathrm {If}(
\mathsf {b}
,\linebreak [0]
\mathsf {T}
,\linebreak [0]
\lceil 
\lceil 
\mathsf{x}
\rceil 
\#^0
\lceil 
\mathsf{y}
\rceil 
\rceil 
{}^h
\mathrel { : \, : }
\lceil 
\lceil 
\ast 
\rceil 
\rceil 
{}^h
\mathrel { : \, : }
\mathsf {b}
{}^h
{}^h
\mathrel { : \, : }
\mathsf {T}
\mathrel { : \, : }
\lceil 
\lceil 
\mathsf{x}
\rceil 
\rceil 
{}^h
\mathrel { : \, : }
\mathsf {p}
\mathrel { : \, : }
\mathsf {T}
\mathrel { : \, : }
\mathsf {T}
\in_t 
\mathsf {s}
\wedge 
Dedu_5(
\mathsf {p}
,
\mathsf {s}
,
\mathsf {b}
{}^t
)
)
]$

$\rm
[
Dedu_5(
\mathsf{x}
,
\mathsf{y}
,
\mathsf{z}
)
\stackrel{
\mathrm{tex}
}{\rightarrow}
\mbox{``}
\newline Dedu
\_5(
\#1.
\newline ,
\#2.
\newline ,
\#3.
\newline )
\mbox{''}
]$

$\rm
[
Dedu_5(
\ast 
,
\ast 
,
\ast 
)
\stackrel{
\mathrm{pyk}
}{\rightarrow}
\mbox{``}1deduction
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}five
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}
\mbox {\tt \char34}
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}condition
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}
\mbox {\tt \char34}
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}bound
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}
\mbox {\tt \char34}
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}end
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}1deduction
\mbox{''}
]$

\hypertarget {url:1808490583581903168404721082347638465545342357588912671848929942716323841:20}{}\section* {$\rm 
Dedu_6(\ast
,\ast
,\ast
,\ast
)$}

$\rm
[
Dedu_6(
\mathsf {p}
,
\mathsf {c}
,
\mathsf {e}
,
\mathsf {b}
)
\stackrel{
\mathrm {val}
}{\rightarrow}
\mathsf {p}
!
\mathsf {c}
!
\mathsf {b}
!
\mathsf {e}
!
\mathrm {If}(
\mathsf {p}
\stackrel{r}{=} 
\lceil \overline{
\mathsf{x}}
\rceil 
,\linebreak [0]
\mathsf {p}
\in_t 
\mathsf {e}
\left\{\protect \begin {array}{l}
\mathsf {b}
\\
\mathsf {p}
\mathrel { : \, : }
\mathsf {c}
\mathrel { : \, : }
\mathsf {b}
\protect \end {array}\right.
,\linebreak [0]
\mathrm {If}(
{\neg }
\mathsf {p}
\stackrel{r}{=} 
\mathsf {c}
,\linebreak [0]
\mathsf {T}
,\linebreak [0]
\mathrm {If}(
\mathsf {p}
\stackrel{r}{=} 
\lceil \underline{
\mathsf {a}}
\rceil 
,\linebreak [0]
\mathsf {b}
,\linebreak [0]
\mathrm {If}(
\mathsf {p}
\stackrel{r}{=} 
\lceil 
\forall_{obj} 
\mathsf{x}
\colon 
\mathsf{y}
\rceil 
,\linebreak [0]
Dedu_6(
\mathsf {p}
{}^{2}
,
\mathsf {c}
{}^{2}
,
\mathsf {c}
{}^{1}
\mathrel { : \, : }
\mathsf {e}
,
\mathsf {b}
)
,\linebreak [0]
Dedu_6^*(
\mathsf {p}
{}^t
,
\mathsf {c}
{}^t
,
\mathsf {e}
,
\mathsf {b}
)
)
)
)
)
]$

$\rm
[
Dedu_6(
\mathsf {p}
,
\mathsf {c}
,
\mathsf {e}
,
\mathsf {b}
)
\stackrel{
\mathrm{tex}
}{\rightarrow}
\mbox{``}
\newline Dedu
\_6(
\#1.
\newline ,
\#2.
\newline ,
\#3.
\newline ,
\#4.
\newline )
\mbox{''}
]$

$\rm
[
Dedu_6(
\ast 
,
\ast 
,
\ast 
,
\ast 
)
\stackrel{
\mathrm{pyk}
}{\rightarrow}
\mbox{``}1deduction
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}six
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}
\mbox {\tt \char34}
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}conclude
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}
\mbox {\tt \char34}
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}exception
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}
\mbox {\tt \char34}
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}bound
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}
\mbox {\tt \char34}
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}end
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}1deduction
\mbox{''}
]$

\hypertarget {url:1808490583581903168404721082347638465545342357588912671848929942716323841:21}{}\section* {$\rm 
Dedu_6^*(\ast
,\ast
,\ast
,\ast
)$}

$\rm
[
Dedu_6^*(
\mathsf {p}
,
\mathsf {c}
,
\mathsf {e}
,
\mathsf {b}
)
\stackrel{
\mathrm {val}
}{\rightarrow}
\mathsf {p}
!
\mathsf {c}
!
\mathsf {b}
!
\mathsf {e}
!
\mathrm {If}(
\mathsf {p}
,\linebreak [0]
\mathsf {b}
,\linebreak [0]
Dedu_6^*(
\mathsf {p}
{}^t
,
\mathsf {c}
{}^t
,
\mathsf {e}
,
Dedu_6(
\mathsf {p}
{}^h
,
\mathsf {c}
{}^h
,
\mathsf {e}
,
\mathsf {b}
)
)
)
]$

$\rm
[
Dedu_6^*(
\mathsf {p}
,
\mathsf {c}
,
\mathsf {e}
,
\mathsf {b}
)
\stackrel{
\mathrm{tex}
}{\rightarrow}
\mbox{``}
\newline Dedu
\_6
{\char94}
{*}(
\#1.
\newline ,
\#2.
\newline ,
\#3.
\newline ,
\#4.
\newline )
\mbox{''}
]$

$\rm
[
Dedu_6^*(
\ast 
,
\ast 
,
\ast 
,
\ast 
)
\stackrel{
\mathrm{pyk}
}{\rightarrow}
\mbox{``}1deduction
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}six
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}star
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}
\mbox {\tt \char34}
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}conclude
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}
\mbox {\tt \char34}
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}exception
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}
\mbox {\tt \char34}
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}bound
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}
\mbox {\tt \char34}
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}end
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}1deduction
\mbox{''}
]$

\hypertarget {url:1808490583581903168404721082347638465545342357588912671848929942716323841:22}{}\section* {$\rm 
Dedu_7(\ast
)$}

$\rm
[
Dedu_7(
\mathsf {p}
)
\stackrel{
\mathrm {val}
}{\rightarrow}
\mathsf {p}
\stackrel{r}{=} 
\lceil 
\forall 
\mathsf{x}
\colon 
\mathsf{y}
\rceil 
\left\{\protect \begin {array}{l}
Dedu_7(
\mathsf {p}
{}^{2}
)
\\
\mathsf {p}
\protect \end {array}\right.
]$

$\rm
[
Dedu_7(
\mathsf {p}
)
\stackrel{
\mathrm{tex}
}{\rightarrow}
\mbox{``}
\newline Dedu
\_7(
\#1.
\newline )
\mbox{''}
]$

$\rm
[
Dedu_7(
\ast 
)
\stackrel{
\mathrm{pyk}
}{\rightarrow}
\mbox{``}1deduction
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}seven
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}
\mbox {\tt \char34}
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}end
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}1deduction
\mbox{''}
]$

\hypertarget {url:1808490583581903168404721082347638465545342357588912671848929942716323841:23}{}\section* {$\rm 
Dedu_8(\ast
,\ast
)$}

$\rm
[
Dedu_8(
\mathsf {p}
,
\mathsf {b}
)
\stackrel{
\mathrm {val}
}{\rightarrow}
\mathrm {If}(
\mathsf {p}
\stackrel{r}{=} 
\lceil 
\forall 
\mathsf{x}
\colon 
\mathsf{y}
\rceil 
,\linebreak [0]
Dedu_8(
\mathsf {p}
{}^{2}
,
\mathsf {p}
{}^{1}
\mathrel { : \, : }
\mathsf {b}
)
,\linebreak [0]
\mathrm {If}(
\mathsf {p}
\stackrel{r}{=} 
\lceil \underline{
\mathsf {a}}
\rceil 
,\linebreak [0]
\mathsf {p}
\in_t 
\mathsf {b}
,\linebreak [0]
Dedu_8^*(
\mathsf {p}
{}^t
,
\mathsf {b}
)
)
)
]$

$\rm
[
Dedu_8(
\mathsf {p}
,
\mathsf {b}
)
\stackrel{
\mathrm{tex}
}{\rightarrow}
\mbox{``}
\newline Dedu
\_8(
\#1.
\newline ,
\#2.
\newline )
\mbox{''}
]$

$\rm
[
Dedu_8(
\ast 
,
\ast 
)
\stackrel{
\mathrm{pyk}
}{\rightarrow}
\mbox{``}1deduction
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}eight
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}
\mbox {\tt \char34}
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}bound
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}
\mbox {\tt \char34}
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}end
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}1deduction
\mbox{''}
]$

\hypertarget {url:1808490583581903168404721082347638465545342357588912671848929942716323841:24}{}\section* {$\rm 
Dedu_8^*(\ast
,\ast
)$}

$\rm
[
Dedu_8^*(
\mathsf {p}
,
\mathsf {b}
)
\stackrel{
\mathrm {val}
}{\rightarrow}
\mathsf {b}
!
\mathrm {If}(
\mathsf {p}
,\linebreak [0]
\mathsf {T}
,\linebreak [0]
\mathrm {If}(
Dedu_8(
\mathsf {p}
{}^h
,
\mathsf {b}
)
,\linebreak [0]
Dedu_8^*(
\mathsf {p}
{}^t
,
\mathsf {b}
)
,\linebreak [0]
\mathsf {F}
)
)
]$

$\rm
[
Dedu_8^*(
\mathsf {p}
,
\mathsf {b}
)
\stackrel{
\mathrm{tex}
}{\rightarrow}
\mbox{``}
\newline Dedu
\_8
{\char94}
{*}(
\#1.
\newline ,
\#2.
\newline )
\mbox{''}
]$

$\rm
[
Dedu_8^*(
\ast 
,
\ast 
)
\stackrel{
\mathrm{pyk}
}{\rightarrow}
\mbox{``}1deduction
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}eight
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}star
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}
\mbox {\tt \char34}
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}bound
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}
\mbox {\tt \char34}
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}end
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}1deduction
\mbox{''}
]$

\hypertarget {url:1808490583581903168404721082347638465545342357588912671848929942716323841:25}{}\section* {$\rm Ex_{1}$}

$\rm
[Ex_{1}
\stackrel{
\mathrm {macro}
}{\rightarrow}
\lambda 
\mathsf {t}
.
\lambda 
\mathsf {s}
.
\lambda 
\mathsf {c}
.
\tilde {{\cal M}}_4(
\mathsf {t}
,
\mathsf {s}
,
\mathsf {c}
,
\lceil 
[Ex_{1}
\mathrel {\ddot {=}}
\mathsf {a}
 _{Ex}
]
\rceil 
)
]$

$\rm
[Ex_{1}
\stackrel{
\mathrm{tex}
}{\rightarrow}
\mbox{``}Ex
\_
\{1
\}
\mbox{''}
]$

$\rm
[Ex_{1}
\stackrel{
\mathrm{pyk}
}{\rightarrow}
\mbox{``}ex1
\mbox{''}
]$

\hypertarget {url:1808490583581903168404721082347638465545342357588912671848929942716323841:26}{}\section* {$\rm Ex_{2}$}

$\rm
[Ex_{2}
\stackrel{
\mathrm {macro}
}{\rightarrow}
\lambda 
\mathsf {t}
.
\lambda 
\mathsf {s}
.
\lambda 
\mathsf {c}
.
\tilde {{\cal M}}_4(
\mathsf {t}
,
\mathsf {s}
,
\mathsf {c}
,
\lceil 
[Ex_{2}
\mathrel {\ddot {=}}
\mathsf {b}
 _{Ex}
]
\rceil 
)
]$

$\rm
[Ex_{2}
\stackrel{
\mathrm{tex}
}{\rightarrow}
\mbox{``}Ex
\_
\{2
\}
\mbox{''}
]$

$\rm
[Ex_{2}
\stackrel{
\mathrm{pyk}
}{\rightarrow}
\mbox{``}ex2
\mbox{''}
]$

\hypertarget {url:1808490583581903168404721082347638465545342357588912671848929942716323841:27}{}\section* {$\rm Ex3$}

$\rm
[Ex3
\stackrel{
\mathrm {macro}
}{\rightarrow}
\lambda 
\mathsf {t}
.
\lambda 
\mathsf {s}
.
\lambda 
\mathsf {c}
.
\tilde {{\cal M}}_4(
\mathsf {t}
,
\mathsf {s}
,
\mathsf {c}
,
\lceil 
[Ex3
\mathrel {\ddot {=}}
\mathsf {c}
 _{Ex}
]
\rceil 
)
]$

$\rm
[Ex3
\stackrel{
\mathrm{tex}
}{\rightarrow}
\mbox{``}Ex3
\mbox{''}
]$

$\rm
[Ex3
\stackrel{
\mathrm{pyk}
}{\rightarrow}
\mbox{``}ex3
\mbox{''}
]$

\hypertarget {url:1808490583581903168404721082347638465545342357588912671848929942716323841:28}{}\section* {$\rm Ex_{10}$}

$\rm
[Ex_{10}
\stackrel{
\mathrm {macro}
}{\rightarrow}
\lambda 
\mathsf {t}
.
\lambda 
\mathsf {s}
.
\lambda 
\mathsf {c}
.
\tilde {{\cal M}}_4(
\mathsf {t}
,
\mathsf {s}
,
\mathsf {c}
,
\lceil 
[Ex_{10}
\mathrel {\ddot {=}}
\mathsf {j}
 _{Ex}
]
\rceil 
)
]$

$\rm
[Ex_{10}
\stackrel{
\mathrm{tex}
}{\rightarrow}
\mbox{``}Ex
\_
\{10
\}
\mbox{''}
]$

$\rm
[Ex_{10}
\stackrel{
\mathrm{pyk}
}{\rightarrow}
\mbox{``}ex10
\mbox{''}
]$

\hypertarget {url:1808490583581903168404721082347638465545342357588912671848929942716323841:29}{}\section* {$\rm Ex_{20}$}

$\rm
[Ex_{20}
\stackrel{
\mathrm {macro}
}{\rightarrow}
\lambda 
\mathsf {t}
.
\lambda 
\mathsf {s}
.
\lambda 
\mathsf {c}
.
\tilde {{\cal M}}_4(
\mathsf {t}
,
\mathsf {s}
,
\mathsf {c}
,
\lceil 
[Ex_{20}
\mathrel {\ddot {=}}
\mathsf {t}
 _{Ex}
]
\rceil 
)
]$

$\rm
[Ex_{20}
\stackrel{
\mathrm{tex}
}{\rightarrow}
\mbox{``}Ex
\_
\{20
\}
\mbox{''}
]$

$\rm
[Ex_{20}
\stackrel{
\mathrm{pyk}
}{\rightarrow}
\mbox{``}ex20
\mbox{''}
]$

\hypertarget {url:1808490583581903168404721082347638465545342357588912671848929942716323841:30}{}\section* {$\rm \ast
 _{Ex}$}

$\rm
[
\mathsf{x}
 _{Ex}
\stackrel{
\mathrm{tex}
}{\rightarrow}
\mbox{``}
\#1.
\newline 
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}
\_
\{Ex
\}
\mbox{''}
]$

$\rm
[
\ast 
 _{Ex}
\stackrel{
\mathrm{pyk}
}{\rightarrow}
\mbox{``}existential
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}var
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}
\mbox {\tt \char34}
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}end
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}var
\mbox{''}
]$

\hypertarget {url:1808490583581903168404721082347638465545342357588912671848929942716323841:31}{}\section* {$\rm \ast
 ^{Ex}$}

$\rm
[
\mathsf{x}
 ^{Ex}
\stackrel{
\mathrm {val}
}{\rightarrow}
\mathsf{x}
\stackrel{r}{=} 
\lceil 
\mathsf{x}
 _{Ex}
\rceil 
]$

$\rm
[
\mathsf{x}
 ^{Ex}
\stackrel{
\mathrm{tex}
}{\rightarrow}
\mbox{``}
\#1.
\newline 
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}
{\char94}
\{Ex
\}
\mbox{''}
]$

$\rm
[
\ast 
 ^{Ex}
\stackrel{
\mathrm{pyk}
}{\rightarrow}
\mbox{``}
\mbox {\tt \char34}
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}is
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}existential
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}var
\mbox{''}
]$

\hypertarget {url:1808490583581903168404721082347638465545342357588912671848929942716323841:32}{}\section* {$\rm \langle \ast
{\equiv} \ast
| \ast
{:==} \ast
\rangle_{Ex} $}

$\rm
[\langle 
\mathsf {a}
{\equiv} 
\mathsf {b}
| 
\mathsf{x}
{:==} 
\mathsf {t}
\rangle_{Ex} 
\stackrel{
\mathrm {macro}
}{\rightarrow}
\lambda 
\mathsf {t}
.
\lambda 
\mathsf {s}
.
\lambda 
\mathsf {c}
.
\tilde {{\cal M}}_4(
\mathsf {t}
,
\mathsf {s}
,
\mathsf {c}
,
\lceil 
[\langle 
\mathsf {a}
{\equiv} 
\mathsf {b}
| 
\mathsf{x}
{:==} 
\mathsf {t}
\rangle_{Ex} 
\mathrel {\ddot {=}}\langle 
\lceil 
\mathsf {a}
\rceil 
{\equiv}^0 
\lceil 
\mathsf {b}
\rceil 
| 
\lceil 
\mathsf{x}
\rceil 
{:==} 
\lceil 
\mathsf {t}
\rceil 
\rangle_{Ex} 
]
\rceil 
)
]$

$\rm
[\langle 
\mathsf{x}
{\equiv} 
\mathsf{y}
| 
\mathsf{z}
{:==} 
\mathsf {u}
\rangle_{Ex} 
\stackrel{
\mathrm{tex}
}{\rightarrow}
\mbox{``}
\mbox {$\backslash $}langle
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}
\#1.
\newline 
\{
\mbox {$\backslash $}equiv
\}
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}
\#2.
\newline |
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}
\#3.
\newline 
\{
{:}
{=}
{=}
\}
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}
\#4.
\newline 
\mbox {$\backslash $}rangle
\_
\{Ex
\}
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}
\mbox{''}
]$

$\rm
[\langle 
\ast 
{\equiv} 
\ast 
| 
\ast 
{:==} 
\ast 
\rangle_{Ex} 
\stackrel{
\mathrm{pyk}
}{\rightarrow}
\mbox{``}exist
\mbox{-}sub
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}
\mbox {\tt \char34}
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}is
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}
\mbox {\tt \char34}
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}where
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}
\mbox {\tt \char34}
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}is
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}
\mbox {\tt \char34}
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}end
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}sub
\mbox{''}
]$

\hypertarget {url:1808490583581903168404721082347638465545342357588912671848929942716323841:33}{}\section* {$\rm \langle \ast
{\equiv}^0 \ast
| \ast
{:==} \ast
\rangle_{Ex} $}

$\rm
[\langle 
\mathsf {a}
{\equiv}^0 
\mathsf {b}
| 
\mathsf{x}
{:==} 
\mathsf {t}
\rangle_{Ex} 
\stackrel{
\mathrm {val}
}{\rightarrow}
\lambda 
\mathsf {c}
.
\mathsf{x}
 ^{Ex}
\wedge \langle 
\mathsf {a}
{\equiv}^1 
\mathsf {b}
| 
\mathsf{x}
{:==} 
\mathsf {t}
\rangle_{Ex} 
]$

$\rm
[\langle 
\mathsf{x}
{\equiv}^0 
\mathsf{y}
| 
\mathsf{z}
{:==} 
\mathsf {u}
\rangle_{Ex} 
\stackrel{
\mathrm{tex}
}{\rightarrow}
\mbox{``}
\mbox {$\backslash $}langle
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}
\#1.
\newline 
\{
\mbox {$\backslash $}equiv
\}
{\char94}0
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}
\#2.
\newline |
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}
\#3.
\newline 
\{
{:}
{=}
{=}
\}
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}
\#4.
\newline 
\mbox {$\backslash $}rangle
\_
\{Ex
\}
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}
\mbox{''}
]$

$\rm
[\langle 
\ast 
{\equiv}^0 
\ast 
| 
\ast 
{:==} 
\ast 
\rangle_{Ex} 
\stackrel{
\mathrm{pyk}
}{\rightarrow}
\mbox{``}exist
\mbox{-}sub0
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}
\mbox {\tt \char34}
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}is
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}
\mbox {\tt \char34}
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}where
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}
\mbox {\tt \char34}
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}is
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}
\mbox {\tt \char34}
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}end
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}sub
\mbox{''}
]$

\hypertarget {url:1808490583581903168404721082347638465545342357588912671848929942716323841:34}{}\section* {$\rm \langle \ast
{\equiv}^1 \ast
| \ast
{:==} \ast
\rangle_{Ex} $}

$\rm
[\langle 
\mathsf {a}
{\equiv}^1 
\mathsf {b}
| 
\mathsf{x}
{:==} 
\mathsf {t}
\rangle_{Ex} 
\stackrel{
\mathrm {val}
}{\rightarrow}
\mathsf {a}
!
\mathsf{x}
!
\mathsf {t}
!
\newline 
\mathrm {If}(
\mathsf {b}
\stackrel{r}{=} 
\lceil 
\forall_{obj} 
\mathsf {u}
\colon 
\mathsf {v}
\rceil 
,\linebreak [0]
\mathsf {F}
,\linebreak [0]
\newline 
\mathrm {If}(
\mathsf {b}
 ^{Ex}
\wedge 
\mathsf {b}
\stackrel {t}{=}
\mathsf{x}
,\linebreak [0]
\mathsf {a}
\stackrel {t}{=}
\mathsf {t}
,\linebreak [0]
\mathrm {If}(
\newline 
\mathsf {a}
\stackrel{r}{=} 
\mathsf {b}
,\linebreak [0]\langle 
\mathsf {a}
{}^t
{\equiv}^* 
\mathsf {b}
{}^t
| 
\mathsf{x}
{:==} 
\mathsf {t}
\rangle_{Ex} 
,\linebreak [0]
\mathsf {F}
)
)
)
]$

$\rm
[\langle 
\mathsf{x}
{\equiv}^1 
\mathsf{y}
| 
\mathsf{z}
{:==} 
\mathsf {u}
\rangle_{Ex} 
\stackrel{
\mathrm{tex}
}{\rightarrow}
\mbox{``}
\mbox {$\backslash $}langle
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}
\#1.
\newline 
\{
\mbox {$\backslash $}equiv
\}
{\char94}1
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}
\#2.
\newline |
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}
\#3.
\newline 
\{
{:}
{=}
{=}
\}
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}
\#4.
\newline 
\mbox {$\backslash $}rangle
\_
\{Ex
\}
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}
\mbox{''}
]$

$\rm
[\langle 
\ast 
{\equiv}^1 
\ast 
| 
\ast 
{:==} 
\ast 
\rangle_{Ex} 
\stackrel{
\mathrm{pyk}
}{\rightarrow}
\mbox{``}exist
\mbox{-}sub1
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}
\mbox {\tt \char34}
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}is
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}
\mbox {\tt \char34}
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}where
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}
\mbox {\tt \char34}
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}is
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}
\mbox {\tt \char34}
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}end
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}sub
\mbox{''}
]$

\hypertarget {url:1808490583581903168404721082347638465545342357588912671848929942716323841:35}{}\section* {$\rm \langle \ast
{\equiv}^* \ast
| \ast
{:==} \ast
\rangle_{Ex} $}

$\rm
[\langle 
\mathsf {a}
{\equiv}^* 
\mathsf {b}
| 
\mathsf{x}
{:==} 
\mathsf {t}
\rangle_{Ex} 
\stackrel{
\mathrm {val}
}{\rightarrow}
\mathsf {b}
!
\mathsf{x}
!
\mathsf {t}
!
\mathrm {If}(
\mathsf {a}
,\linebreak [0]
\mathsf {T}
,\linebreak [0]
\mathrm {If}(\langle 
\mathsf {a}
{}^h
{\equiv}^1 
\mathsf {b}
{}^h
| 
\mathsf{x}
{:==} 
\mathsf {t}
\rangle_{Ex} 
,\linebreak [0]\langle 
\mathsf {a}
{}^t
{\equiv}^* 
\mathsf {b}
{}^t
| 
\mathsf{x}
{:==} 
\mathsf {t}
\rangle_{Ex} 
,\linebreak [0]
\mathsf {F}
)
)
]$

$\rm
[\langle 
\mathsf{x}
{\equiv}^* 
\mathsf{y}
| 
\mathsf{z}
{:==} 
\mathsf {u}
\rangle_{Ex} 
\stackrel{
\mathrm{tex}
}{\rightarrow}
\mbox{``}
\mbox {$\backslash $}langle
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}
\#1.
\newline 
\{
\mbox {$\backslash $}equiv
\}
{\char94}
{*}
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}
\#2.
\newline |
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}
\#3.
\newline 
\{
{:}
{=}
{=}
\}
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}
\#4.
\newline 
\mbox {$\backslash $}rangle
\_
\{Ex
\}
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}
\mbox{''}
]$

$\rm
[\langle 
\ast 
{\equiv}^* 
\ast 
| 
\ast 
{:==} 
\ast 
\rangle_{Ex} 
\stackrel{
\mathrm{pyk}
}{\rightarrow}
\mbox{``}exist
\mbox{-}sub
{*}
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}
\mbox {\tt \char34}
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}is
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}
\mbox {\tt \char34}
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}where
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}
\mbox {\tt \char34}
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}is
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}
\mbox {\tt \char34}
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}end
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}sub
\mbox{''}
]$

\hypertarget {url:1808490583581903168404721082347638465545342357588912671848929942716323841:36}{}\section* {$\rm ph_{1}$}

$\rm
[ph_{1}
\stackrel{
\mathrm{tex}
}{\rightarrow}
\mbox{``}ph
\_
\{1
\}
\mbox{''}
]$

$\rm
[ph_{1}
\stackrel{
\mathrm{pyk}
}{\rightarrow}
\mbox{``}placeholder
\mbox{-}var1
\mbox{''}
]$

\hypertarget {url:1808490583581903168404721082347638465545342357588912671848929942716323841:37}{}\section* {$\rm ph_{2}$}

$\rm
[ph_{2}
\stackrel{
\mathrm{tex}
}{\rightarrow}
\mbox{``}ph
\_
\{2
\}
\mbox{''}
]$

$\rm
[ph_{2}
\stackrel{
\mathrm{pyk}
}{\rightarrow}
\mbox{``}placeholder
\mbox{-}var2
\mbox{''}
]$

\hypertarget {url:1808490583581903168404721082347638465545342357588912671848929942716323841:38}{}\section* {$\rm ph_{3}$}

$\rm
[ph_{3}
\stackrel{
\mathrm{tex}
}{\rightarrow}
\mbox{``}ph
\_
\{3
\}
\mbox{''}
]$

$\rm
[ph_{3}
\stackrel{
\mathrm{pyk}
}{\rightarrow}
\mbox{``}placeholder
\mbox{-}var3
\mbox{''}
]$

\hypertarget {url:1808490583581903168404721082347638465545342357588912671848929942716323841:39}{}\section* {$\rm \ast
 _{Ph} $}

$\rm
[
\mathsf{x}
 _{Ph} 
\stackrel{
\mathrm{tex}
}{\rightarrow}
\mbox{``}
\#1.
\newline 
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}
\_
\{Ph
\}
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}
\mbox{''}
]$

$\rm
[
\ast 
 _{Ph} 
\stackrel{
\mathrm{pyk}
}{\rightarrow}
\mbox{``}placeholder
\mbox{-}var
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}
\mbox {\tt \char34}
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}end
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}var
\mbox{''}
]$

\hypertarget {url:1808490583581903168404721082347638465545342357588912671848929942716323841:40}{}\section* {$\rm \ast
 ^{Ph}$}

$\rm
[
\mathsf{x}
 ^{Ph}
\stackrel{
\mathrm{tex}
}{\rightarrow}
\mbox{``}
\#1.
\newline 
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}
{\char94}
\{Ph
\}
\mbox{''}
]$

$\rm
[
\ast 
 ^{Ph}
\stackrel{
\mathrm{pyk}
}{\rightarrow}
\mbox{``}
\mbox {\tt \char34}
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}is
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}placeholder
\mbox{-}var
\mbox{''}
]$

\hypertarget {url:1808490583581903168404721082347638465545342357588912671848929942716323841:41}{}\section* {$\rm \langle \ast
{\equiv} \ast
| \ast
{:==} \ast
\rangle_{Ph} $}

$\rm
[\langle 
\mathsf{x}
{\equiv} 
\mathsf{y}
| 
\mathsf{z}
{:==} 
\mathsf {u}
\rangle_{Ph} 
\stackrel{
\mathrm{tex}
}{\rightarrow}
\mbox{``}
\mbox {$\backslash $}langle
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}
\#1.
\newline 
\{
\mbox {$\backslash $}equiv
\}
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}
\#2.
\newline |
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}
\#3.
\newline 
\{
{:}
{=}
{=}
\}
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}
\#4.
\newline 
\mbox {$\backslash $}rangle
\_
\{Ph
\}
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}
\mbox{''}
]$

$\rm
[\langle 
\ast 
{\equiv} 
\ast 
| 
\ast 
{:==} 
\ast 
\rangle_{Ph} 
\stackrel{
\mathrm{pyk}
}{\rightarrow}
\mbox{``}ph
\mbox{-}sub
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}
\mbox {\tt \char34}
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}is
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}
\mbox {\tt \char34}
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}where
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}
\mbox {\tt \char34}
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}is
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}
\mbox {\tt \char34}
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}end
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}sub
\mbox{''}
]$

\hypertarget {url:1808490583581903168404721082347638465545342357588912671848929942716323841:42}{}\section* {$\rm \langle \ast
{\equiv}^0 \ast
| \ast
{:==} \ast
\rangle_{Ph} $}

$\rm
[\langle 
\mathsf{x}
{\equiv}^0 
\mathsf{y}
| 
\mathsf{z}
{:==} 
\mathsf {u}
\rangle_{Ph} 
\stackrel{
\mathrm{tex}
}{\rightarrow}
\mbox{``}
\mbox {$\backslash $}langle
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}
\#1.
\newline 
\{
\mbox {$\backslash $}equiv
\}
{\char94}0
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}
\#2.
\newline |
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}
\#3.
\newline 
\{
{:}
{=}
{=}
\}
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}
\#4.
\newline 
\mbox {$\backslash $}rangle
\_
\{Ph
\}
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}
\mbox{''}
]$

$\rm
[\langle 
\ast 
{\equiv}^0 
\ast 
| 
\ast 
{:==} 
\ast 
\rangle_{Ph} 
\stackrel{
\mathrm{pyk}
}{\rightarrow}
\mbox{``}ph
\mbox{-}sub0
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}
\mbox {\tt \char34}
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}is
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}
\mbox {\tt \char34}
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}where
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}
\mbox {\tt \char34}
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}is
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}
\mbox {\tt \char34}
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}end
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}sub
\mbox{''}
]$

\hypertarget {url:1808490583581903168404721082347638465545342357588912671848929942716323841:43}{}\section* {$\rm \langle \ast
{\equiv}^1 \ast
| \ast
{:==} \ast
\rangle_{Ph} $}

$\rm
[\langle 
\mathsf{x}
{\equiv}^1 
\mathsf{y}
| 
\mathsf{z}
{:==} 
\mathsf {u}
\rangle_{Ph} 
\stackrel{
\mathrm{tex}
}{\rightarrow}
\mbox{``}
\mbox {$\backslash $}langle
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}
\#1.
\newline 
\{
\mbox {$\backslash $}equiv
\}
{\char94}1
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}
\#2.
\newline |
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}
\#3.
\newline 
\{
{:}
{=}
{=}
\}
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}
\#4.
\newline 
\mbox {$\backslash $}rangle
\_
\{Ph
\}
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}
\mbox{''}
]$

$\rm
[\langle 
\ast 
{\equiv}^1 
\ast 
| 
\ast 
{:==} 
\ast 
\rangle_{Ph} 
\stackrel{
\mathrm{pyk}
}{\rightarrow}
\mbox{``}ph
\mbox{-}sub1
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}
\mbox {\tt \char34}
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}is
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}
\mbox {\tt \char34}
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}where
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}
\mbox {\tt \char34}
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}is
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}
\mbox {\tt \char34}
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}end
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}sub
\mbox{''}
]$

\hypertarget {url:1808490583581903168404721082347638465545342357588912671848929942716323841:44}{}\section* {$\rm \langle \ast
{\equiv}^* \ast
| \ast
{:==} \ast
\rangle_{Ph} $}

$\rm
[\langle 
\mathsf{x}
{\equiv}^* 
\mathsf{y}
| 
\mathsf{z}
{:==} 
\mathsf {u}
\rangle_{Ph} 
\stackrel{
\mathrm{tex}
}{\rightarrow}
\mbox{``}
\mbox {$\backslash $}langle
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}
\#1.
\newline 
\{
\mbox {$\backslash $}equiv
\}
{\char94}
{*}
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}
\#2.
\newline |
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}
\#3.
\newline 
\{
{:}
{=}
{=}
\}
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}
\#4.
\newline 
\mbox {$\backslash $}rangle
\_
\{Ph
\}
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}
\mbox{''}
]$

$\rm
[\langle 
\ast 
{\equiv}^* 
\ast 
| 
\ast 
{:==} 
\ast 
\rangle_{Ph} 
\stackrel{
\mathrm{pyk}
}{\rightarrow}
\mbox{``}ph
\mbox{-}sub
{*}
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}
\mbox {\tt \char34}
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}is
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}
\mbox {\tt \char34}
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}where
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}
\mbox {\tt \char34}
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}is
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}
\mbox {\tt \char34}
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}end
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}sub
\mbox{''}
]$

\hypertarget {url:1808490583581903168404721082347638465545342357588912671848929942716323841:45}{}\section* {$\rm \mathsf {bs}$}

$\rm
[\mathsf {bs}
\stackrel{
\mathrm{tex}
}{\rightarrow}
\mbox{``}
\mbox {$\backslash $}mathsf
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}
\{bs
\}
\mbox{''}
]$

$\rm
[\mathsf {bs}
\stackrel{
\mathrm{pyk}
}{\rightarrow}
\mbox{``}var
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}big
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}set
\mbox{''}
]$

\hypertarget {url:1808490583581903168404721082347638465545342357588912671848929942716323841:46}{}\section* {$\rm  \mathsf {OBS}$}

$\rm
[ \mathsf {OBS}
\stackrel{
\mathrm {macro}
}{\rightarrow}
\lambda 
\mathsf {t}
.
\lambda 
\mathsf {s}
.
\lambda 
\mathsf {c}
.
\tilde {{\cal M}}_4(
\mathsf {t}
,
\mathsf {s}
,
\mathsf {c}
,
\lceil 
[ \mathsf {OBS}
\mathrel {\ddot {=}}\overline{\mathsf {bs}}
]
\rceil 
)
]$

$\rm
[ \mathsf {OBS}
\stackrel{
\mathrm{tex}
}{\rightarrow}
\mbox{``}
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}
\mbox {$\backslash $}mathsf
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}
\{OBS
\}
\mbox{''}
]$

$\rm
[ \mathsf {OBS}
\stackrel{
\mathrm{pyk}
}{\rightarrow}
\mbox{``}object
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}big
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}set
\mbox{''}
]$

\hypertarget {url:1808490583581903168404721082347638465545342357588912671848929942716323841:47}{}\section* {$\rm {\cal BS}$}

$\rm
[{\cal BS}
\stackrel{
\mathrm {macro}
}{\rightarrow}
\lambda 
\mathsf {t}
.
\lambda 
\mathsf {s}
.
\lambda 
\mathsf {c}
.
\tilde {{\cal M}}_4(
\mathsf {t}
,
\mathsf {s}
,
\mathsf {c}
,
\lceil 
[{\cal BS}
\mathrel {\ddot {=}}\underline{\mathsf {bs}}
]
\rceil 
)
]$

$\rm
[{\cal BS}
\stackrel{
\mathrm{tex}
}{\rightarrow}
\mbox{``}
\{
\mbox {$\backslash $}cal
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}BS
\}
\mbox{''}
]$

$\rm
[{\cal BS}
\stackrel{
\mathrm{pyk}
}{\rightarrow}
\mbox{``}meta
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}big
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}set
\mbox{''}
]$

\hypertarget {url:1808490583581903168404721082347638465545342357588912671848929942716323841:48}{}\section* {$\rm \mathrm{\O}$}

$\rm
[\mathrm{\O}
\stackrel{
\mathrm{tex}
}{\rightarrow}
\mbox{``}
\mbox {$\backslash $}mathrm
\{
\mbox {$\backslash $}O
\}
\mbox{''}
]$

$\rm
[\mathrm{\O}
\stackrel{
\mathrm{pyk}
}{\rightarrow}
\mbox{``}zermelo
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}empty
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}set
\mbox{''}
]$

\hypertarget {url:1808490583581903168404721082347638465545342357588912671848929942716323841:49}{}\section* {$\rm ZFsub$}

$\rm
[ZFsub
\stackrel{
stmt
}{\rightarrow}
\forall \underline{
\mathsf{x}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf{y}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf{z}}
\colon \underline{
\mathsf{x}}
*\underline{
\mathsf{y}}
*\underline{
\mathsf{z}}
 = \underline{
\mathsf{x}}
*\underline{
\mathsf{y}}
*\underline{
\mathsf{z}}
\mathrel {\oplus} 
\forall \underline{(fx)}
\colon 
\forall \underline{(fy)}
\colon R(\underline{(fx)}
)
 << R(\underline{(fy)}
)
\vdash \underline{(fx)}
<_{f}\underline{(fy)}
\mathrel {\oplus} 
\forall \underline{
\mathsf {m}}
\colon 
\forall \underline{(\epsilon)}
\colon 
\forall \underline{(fx)}
\colon 
\forall \underline{(fy)}
\colon \underline{(fx)}
<_{f}\underline{(fy)}
\vdash \dot{\neg}\, 0
 <= \underline{(\epsilon)}
\Rightarrow \dot{\neg}\, \dot{\neg}\, 0
 = \underline{(\epsilon)}
\vdash 
\mathsf {c}
 _{Ex}
 <= \underline{
\mathsf {m}}
\Rightarrow \underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
 <= \underline{(fy)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
+-\underline{(\epsilon)}
\mathrel {\oplus} 
\forall \underline{(rx)}
\colon 
\forall \underline{(ry)}
\colon 
\forall \underline{(rz)}
\colon \underline{(rx)}
 == \underline{(ry)}
\vdash \underline{(ry)}
 == \underline{(rz)}
\vdash \underline{(rx)}
 == \underline{(rz)}
\mathrel {\oplus} 
\forall \underline{
\mathsf{x}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf{y}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf{z}}
\colon \underline{
\mathsf{x}}
 <= \underline{
\mathsf{y}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf{y}}
 <= \underline{
\mathsf{z}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf{x}}
 <= \underline{
\mathsf{z}}
\mathrel {\oplus} 
\forall \underline{
\mathsf{x}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf {t}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf {a}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf {b}}
\colon \langle 
\lceil \underline{
\mathsf {a}}
\rceil 
{\equiv}^0 
\lceil \underline{
\mathsf {b}}
\rceil 
| 
\lceil \underline{
\mathsf{x}}
\rceil 
{:==} 
\lceil \underline{
\mathsf {t}}
\rceil 
\rangle_{Ex} 
\mathrel {\makebox [0mm][l]{$\vdash $}\,{\vdash }} \underline{
\mathsf {a}}
\vdash \underline{
\mathsf {b}}
\mathrel {\oplus} 
\forall \underline{
\mathsf {m}}
\colon 
\forall \underline{(\epsilon)}
\colon 
\forall \underline{(fx)}
\colon 
\forall \underline{(fy)}
\colon \dot{\neg}\, 0
 <= \underline{(\epsilon)}
\Rightarrow \dot{\neg}\, \dot{\neg}\, 0
 = \underline{(\epsilon)}
\Rightarrow 
\mathsf {c}
 _{Ex}
 <= \underline{
\mathsf {m}}
\Rightarrow \dot{\neg}\, if(0
 <= \underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
+-\underline{(fy)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
,\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
+-\underline{(fy)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
,-\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
+-\underline{(fy)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
)
 <= \underline{(\epsilon)}
\Rightarrow \dot{\neg}\, \dot{\neg}\, if(0
 <= \underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
+-\underline{(fy)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
,\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
+-\underline{(fy)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
,-\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
+-\underline{(fy)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
)
 = \underline{(\epsilon)}
\vdash SF(\underline{(fx)}
,\underline{(fy)}
)
\mathrel {\oplus} 
\forall \underline{
\mathsf{x}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf{y}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf{z}}
\colon \underline{
\mathsf{x}}
 = \underline{
\mathsf{y}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf{x}}
+\underline{
\mathsf{z}}
 = \underline{
\mathsf{y}}
+\underline{
\mathsf{z}}
\mathrel {\oplus} 
\forall \underline{
\mathsf{x}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf{y}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf{z}}
\colon \underline{
\mathsf{x}}
+\underline{
\mathsf{y}}
+\underline{
\mathsf{z}}
 = \underline{
\mathsf{x}}
+\underline{
\mathsf{y}}
+\underline{
\mathsf{z}}
\mathrel {\oplus} 
\forall \underline{
\mathsf {s}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf{x}}
\colon \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf {s}}
 \mathrel{\in} \cup \underline{
\mathsf{x}}
\Rightarrow \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf {s}}
 \mathrel{\in} 
\mathsf {j}
 _{Ex}
\Rightarrow \dot{\neg}\, 
\mathsf {j}
 _{Ex}
 \mathrel{\in} \underline{
\mathsf{x}}
\Rightarrow \dot{\neg}\, \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf {s}}
 \mathrel{\in} 
\mathsf {j}
 _{Ex}
\Rightarrow \dot{\neg}\, 
\mathsf {j}
 _{Ex}
 \mathrel{\in} \underline{
\mathsf{x}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {s}}
 \mathrel{\in} \cup \underline{
\mathsf{x}}
\mathrel {\oplus} 
\forall \underline{
\mathsf {m}}
\colon 
\forall \underline{(\epsilon)}
\colon 
\forall \underline{(fx)}
\colon 
\forall \underline{(fy)}
\colon 
\forall \underline{(rx)}
\colon 
\forall \underline{(ry)}
\colon \underline{(rx)}
 << \underline{(ry)}
\vdash \underline{(fx)}
 \mathrel{\in} \underline{(rx)}
\vdash \underline{(fy)}
 \mathrel{\in} \underline{(ry)}
\vdash \dot{\neg}\, 0
 <= \underline{(\epsilon)}
\Rightarrow \dot{\neg}\, \dot{\neg}\, 0
 = \underline{(\epsilon)}
\vdash 
\mathsf {a}
 _{Ex}
 <= \underline{
\mathsf {m}}
\Rightarrow \underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
 <= \underline{(fy)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
+-\underline{(\epsilon)}
\mathrel {\oplus} 
\forall \underline{
\mathsf {a}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf{x}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf{y}}
\colon \underline{
\mathsf {a}}
\vdash if(\underline{
\mathsf {a}}
,\underline{
\mathsf{x}}
,\underline{
\mathsf{y}}
)
 = \underline{
\mathsf{x}}
\mathrel {\oplus} 
\forall \underline{
\mathsf{x}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf {a}}
\colon \underline{
\mathsf {a}}
\vdash 
\forall_{obj} \underline{
\mathsf{x}}
\colon \underline{
\mathsf {a}}
\mathrel {\oplus} 
\forall \underline{
\mathsf {m}}
\colon 
\forall \underline{(fx)}
\colon -_{f}\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
 = -\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
\mathrel {\oplus} 
\forall \underline{(fx)}
\colon 
\forall \underline{(fy)}
\colon R(\underline{(fx)}
)
**R(\underline{(fy)}
)
 == R(\underline{(fx)}
*_{f}\underline{(fy)}
)
\mathrel {\oplus} 
\forall \underline{
\mathsf{x}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf{y}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf{z}}
\colon \underline{
\mathsf{x}}
*\underline{
\mathsf{y}}
+\underline{
\mathsf{z}}
 = \underline{
\mathsf{x}}
*\underline{
\mathsf{y}}
+\underline{
\mathsf{x}}
*\underline{
\mathsf{z}}
\mathrel {\oplus} 
\forall \underline{
\mathsf{x}}
\colon \underline{
\mathsf{x}}
+-\underline{
\mathsf{x}}
 = 0
\mathrel {\oplus} 
\forall \underline{
\mathsf {a}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf {b}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf {p}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf{x}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf{z}}
\colon \underline{
\mathsf {p}}
 ^{Ph}
\wedge \langle \underline{
\mathsf {b}}
{\equiv} \underline{
\mathsf {a}}
| \underline{
\mathsf {p}}
{:==} \underline{
\mathsf{z}}
\rangle_{Ph} 
\mathrel {\makebox [0mm][l]{$\vdash $}\,{\vdash }} \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf{z}}
 \mathrel{\in}  \{ ph \mathrel{\in} \underline{
\mathsf{x}}
\mid \underline{
\mathsf {a}}
\}
\Rightarrow \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf{z}}
 \mathrel{\in} \underline{
\mathsf{x}}
\Rightarrow \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf {b}}
\Rightarrow \dot{\neg}\, \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf{z}}
 \mathrel{\in} \underline{
\mathsf{x}}
\Rightarrow \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf {b}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf{z}}
 \mathrel{\in}  \{ ph \mathrel{\in} \underline{
\mathsf{x}}
\mid \underline{
\mathsf {a}}
\}
\mathrel {\oplus} 
\forall \underline{(rx)}
\colon 
\forall \underline{(ry)}
\colon \underline{(rx)}
 << \underline{(ry)}
\vdash 
\mathsf {t}
 _{Ex}
 \mathrel{\in} \underline{(ry)}
\mathrel {\oplus} 
\forall \underline{
\mathsf {m}}
\colon 
\forall \underline{(fx)}
\colon 
\forall \underline{(fy)}
\colon \underline{(fx)}
=_{f}\underline{(fy)}
\vdash \underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
 = \underline{(fy)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
\mathrel {\oplus} 
\forall \underline{(rx)}
\colon 
\forall \underline{(ry)}
\colon \underline{(rx)}
 == \underline{(ry)}
\vdash \underline{(ry)}
 == \underline{(rx)}
\mathrel {\oplus} 
\forall \underline{
\mathsf{x}}
\colon \underline{
\mathsf{x}}
 <= \underline{
\mathsf{x}}
\mathrel {\oplus} 
\forall \underline{
\mathsf {a}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf {b}}
\colon \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf {b}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {a}}
\vdash \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf {b}}
\Rightarrow \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf {a}}
\vdash \underline{
\mathsf {b}}
\mathrel {\oplus} 
\forall \underline{
\mathsf {m}}
\colon 
\mbox{1f}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
 = 1
\mathrel {\oplus} 
\forall \underline{
\mathsf{x}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf{y}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf{z}}
\colon \underline{
\mathsf{x}}
 = \underline{
\mathsf{y}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf{x}}
 = \underline{
\mathsf{z}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf{y}}
 = \underline{
\mathsf{z}}
\mathrel {\oplus} 
\forall \underline{
\mathsf{x}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf{y}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf{z}}
\colon \underline{
\mathsf{x}}
 <= \underline{
\mathsf{y}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf{x}}
+\underline{
\mathsf{z}}
 <= \underline{
\mathsf{y}}
+\underline{
\mathsf{z}}
\mathrel {\oplus} 
\forall \underline{
\mathsf {s}}
\colon \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf {s}}
 \mathrel{\in} \mathrm{\O}
\mathrel {\oplus} 
\forall \underline{(fx)}
\colon 
\forall \underline{(fy)}
\colon R(\underline{(fx)}
)
 == R(\underline{(fy)}
)
\vdash SF(\underline{(fx)}
,\underline{(fy)}
)
\mathrel {\oplus} 
\forall \underline{(fx)}
\colon 
\forall \underline{(rx)}
\colon 
\forall \underline{(ry)}
\colon \underline{(rx)}
 == \underline{(ry)}
\vdash \underline{(fx)}
 \mathrel{\in} \underline{(rx)}
\vdash \underline{(fx)}
 \mathrel{\in} \underline{(ry)}
\mathrel {\oplus} 
\forall \underline{
\mathsf {m}}
\colon 
\forall \underline{(fx)}
\colon 
\forall \underline{(fy)}
\colon \underline{(fx)}
+_{f}\underline{(fy)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
 = \underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
+\underline{(fy)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
\mathrel {\oplus} 
\forall \underline{(fx)}
\colon 
\forall \underline{(fy)}
\colon \underline{(fx)}
 \mathrel{\in} R(\underline{(fy)}
)
\vdash SF(\underline{(fx)}
,\underline{(fy)}
)
\mathrel {\oplus} 
\forall \underline{
\mathsf{x}}
\colon \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf{x}}
 = 0
\Rightarrow \underline{
\mathsf{x}}
*rec\underline{
\mathsf{x}}
 = 1
\mathrel {\oplus} 
\forall \underline{
\mathsf{x}}
\colon \underline{
\mathsf{x}}
+0
 = \underline{
\mathsf{x}}
\mathrel {\oplus} 
\forall \underline{
\mathsf {m}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf {n}}
\colon 
\forall \underline{(\epsilon)}
\colon 
\forall \underline{(fx)}
\colon 
\forall \underline{(fy)}
\colon 
\forall \underline{(rx)}
\colon 
\forall \underline{(ry)}
\colon \underline{(fx)}
 \mathrel{\in} \underline{(rx)}
\Rightarrow \underline{(fy)}
 \mathrel{\in} \underline{(ry)}
\Rightarrow \dot{\neg}\, 0
 <= \underline{(\epsilon)}
\Rightarrow \dot{\neg}\, \dot{\neg}\, 0
 = \underline{(\epsilon)}
\Rightarrow 
\mathsf {a}
 _{Ex}
 <= \underline{
\mathsf {m}}
\Rightarrow \underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
 <= \underline{(fy)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
+-\underline{(\epsilon)}
\vdash \underline{(rx)}
 << \underline{(ry)}
\mathrel {\oplus} 
\forall \underline{
\mathsf {m}}
\colon 
\forall \underline{(fx)}
\colon 
\forall \underline{(fy)}
\colon \underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
 = \underline{(fy)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
\vdash \underline{(fx)}
=_{f}\underline{(fy)}
\mathrel {\oplus} 
\forall \underline{
\mathsf{x}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf{y}}
\colon \underline{
\mathsf{x}}
 <= \underline{
\mathsf{y}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf{y}}
 <= \underline{
\mathsf{x}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf{x}}
 = \underline{
\mathsf{y}}
\mathrel {\oplus} 
\forall \underline{
\mathsf {a}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf {b}}
\colon 
\lambda 
\mathsf{x}
.
Dedu_0(
\lceil \underline{
\mathsf {a}}
\rceil 
,
\lceil \underline{
\mathsf {b}}
\rceil 
)
\mathrel {\makebox [0mm][l]{$\vdash $}\,{\vdash }} \underline{
\mathsf {a}}
\vdash \underline{
\mathsf {b}}
\mathrel {\oplus} 
\forall \underline{
\mathsf {m}}
\colon 
\forall \underline{(\epsilon)}
\colon 
\forall \underline{(fx)}
\colon 
\forall \underline{(fy)}
\colon SF(\underline{(fx)}
,\underline{(fy)}
)
\vdash \dot{\neg}\, 0
 <= \underline{(\epsilon)}
\Rightarrow \dot{\neg}\, \dot{\neg}\, 0
 = \underline{(\epsilon)}
\vdash 
\mathsf {c}
 _{Ex}
 <= \underline{
\mathsf {m}}
\Rightarrow \dot{\neg}\, if(0
 <= \underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
+-\underline{(fy)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
,\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
+-\underline{(fy)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
,-\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
+-\underline{(fy)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
)
 <= \underline{(\epsilon)}
\Rightarrow \dot{\neg}\, \dot{\neg}\, if(0
 <= \underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
+-\underline{(fy)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
,\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
+-\underline{(fy)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
,-\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
+-\underline{(fy)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
)
 = \underline{(\epsilon)}
\mathrel {\oplus} 
\forall \underline{
\mathsf{x}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf{y}}
\colon \underline{
\mathsf{x}}
 = \underline{
\mathsf{y}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf{x}}
 <= \underline{
\mathsf{y}}
\mathrel {\oplus} 
\forall \underline{
\mathsf{x}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf{y}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf{z}}
\colon 0
 <= \underline{
\mathsf{z}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf{x}}
 <= \underline{
\mathsf{y}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf{x}}
*\underline{
\mathsf{z}}
 <= \underline{
\mathsf{y}}
*\underline{
\mathsf{z}}
\mathrel {\oplus} 
\forall \underline{
\mathsf {s}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf{x}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf{y}}
\colon \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf {s}}
 \mathrel{\in} \{\underline{
\mathsf{x}}
,\underline{
\mathsf{y}}
\}
\Rightarrow \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf {s}}
\!\mathrel{==}\! \underline{
\mathsf{x}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {s}}
\!\mathrel{==}\! \underline{
\mathsf{y}}
\Rightarrow \dot{\neg}\, \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf {s}}
\!\mathrel{==}\! \underline{
\mathsf{x}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {s}}
\!\mathrel{==}\! \underline{
\mathsf{y}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {s}}
 \mathrel{\in} \{\underline{
\mathsf{x}}
,\underline{
\mathsf{y}}
\}
\mathrel {\oplus} 
\forall \underline{(fx)}
\colon 
\forall \underline{(fy)}
\colon SF(\underline{(fx)}
,\underline{(fy)}
)
\vdash R(\underline{(fx)}
)
 == R(\underline{(fy)}
)
\mathrel {\oplus} 
\forall \underline{(fx)}
\colon 
\forall \underline{(rx)}
\colon 
\forall \underline{(ry)}
\colon \underline{(rx)}
 == \underline{(ry)}
\vdash \underline{(fx)}
 \mathrel{\in} \underline{(ry)}
\vdash \underline{(fx)}
 \mathrel{\in} \underline{(rx)}
\mathrel {\oplus} 
\forall \underline{
\mathsf {a}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf {b}}
\colon \underline{
\mathsf {a}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {b}}
\vdash \underline{
\mathsf {a}}
\vdash \underline{
\mathsf {b}}
\mathrel {\oplus} 
\forall \underline{
\mathsf {m}}
\colon 
\forall \underline{(fx)}
\colon 
\forall \underline{(fy)}
\colon \underline{(fx)}
*_{f}\underline{(fy)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
 = \underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
*\underline{(fy)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
\mathrel {\oplus} 
\forall \underline{(fx)}
\colon 
\forall \underline{(fy)}
\colon R((fx)
+_{f}(fy)
)
 == R(\underline{(fx)}
+_{f}\underline{(fy)}
)
\mathrel {\oplus} 
\forall \underline{
\mathsf{x}}
\colon \underline{
\mathsf{x}}
*1
 = \underline{
\mathsf{x}}
\mathrel {\oplus} 
\forall \underline{
\mathsf{x}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf{y}}
\colon \underline{
\mathsf{x}}
+\underline{
\mathsf{y}}
 = \underline{
\mathsf{y}}
+\underline{
\mathsf{x}}
\mathrel {\oplus} 
\forall \underline{
\mathsf {s}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf{x}}
\colon \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf {s}}
 \mathrel{\in} P(\underline{
\mathsf{x}}
)
\Rightarrow 
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {s}}
\colon \overline{
\mathsf {s}}
 \mathrel{\in} \underline{
\mathsf {s}}
\Rightarrow \overline{
\mathsf {s}}
 \mathrel{\in} \underline{
\mathsf{x}}
\Rightarrow \dot{\neg}\, 
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {s}}
\colon \overline{
\mathsf {s}}
 \mathrel{\in} \underline{
\mathsf {s}}
\Rightarrow \overline{
\mathsf {s}}
 \mathrel{\in} \underline{
\mathsf{x}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {s}}
 \mathrel{\in} P(\underline{
\mathsf{x}}
)
\mathrel {\oplus} 
\forall \underline{(rx)}
\colon 
\forall \underline{(ry)}
\colon \underline{(rx)}
 << \underline{(ry)}
\vdash 
\mathsf {j}
 _{Ex}
 \mathrel{\in} \underline{(rx)}
\mathrel {\oplus} 
\forall \underline{
\mathsf {a}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf{x}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf{y}}
\colon \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf {a}}
\vdash if(\underline{
\mathsf {a}}
,\underline{
\mathsf{x}}
,\underline{
\mathsf{y}}
)
 = \underline{
\mathsf{y}}
\mathrel {\oplus} 
\forall \underline{(rx)}
\colon \underline{(rx)}
 == \underline{(rx)}
\mathrel {\oplus} 
\forall \underline{
\mathsf {a}}
\colon \underline{
\mathsf {a}}
\vdash \underline{
\mathsf {a}}
\mathrel {\oplus} 
\forall \underline{
\mathsf {m}}
\colon 0f
[\underline{
\mathsf {m}}
]
 = 0
\mathrel {\oplus} \dot{\neg}\, 0
 = 1
\mathrel {\oplus} 
\forall \underline{
\mathsf{x}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf{y}}
\colon \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf{x}}
 <= \underline{
\mathsf{y}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf{y}}
 <= \underline{
\mathsf{x}}
\mathrel {\oplus} 
\forall \underline{
\mathsf{x}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf{y}}
\colon \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf{x}}
\!\mathrel{==}\! \underline{
\mathsf{y}}
\Rightarrow 
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {s}}
\colon \dot{\neg}\, \overline{
\mathsf {s}}
 \mathrel{\in} \underline{
\mathsf{x}}
\Rightarrow \overline{
\mathsf {s}}
 \mathrel{\in} \underline{
\mathsf{y}}
\Rightarrow \dot{\neg}\, \overline{
\mathsf {s}}
 \mathrel{\in} \underline{
\mathsf{y}}
\Rightarrow \overline{
\mathsf {s}}
 \mathrel{\in} \underline{
\mathsf{x}}
\Rightarrow \dot{\neg}\, 
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {s}}
\colon \dot{\neg}\, \overline{
\mathsf {s}}
 \mathrel{\in} \underline{
\mathsf{x}}
\Rightarrow \overline{
\mathsf {s}}
 \mathrel{\in} \underline{
\mathsf{y}}
\Rightarrow \dot{\neg}\, \overline{
\mathsf {s}}
 \mathrel{\in} \underline{
\mathsf{y}}
\Rightarrow \overline{
\mathsf {s}}
 \mathrel{\in} \underline{
\mathsf{x}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf{x}}
\!\mathrel{==}\! \underline{
\mathsf{y}}
\mathrel {\oplus} 
\forall \underline{(fx)}
\colon 
\forall \underline{(fy)}
\colon 
\forall \underline{(rx)}
\colon 
\forall \underline{(ry)}
\colon \underline{(fx)}
 \mathrel{\in} \underline{(rx)}
\Rightarrow \underline{(fy)}
 \mathrel{\in} \underline{(ry)}
\Rightarrow SF(\underline{(fx)}
,\underline{(fy)}
)
\vdash \underline{(rx)}
 == \underline{(ry)}
\mathrel {\oplus} 
\forall \underline{
\mathsf{x}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf{y}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf{z}}
\colon \underline{
\mathsf{x}}
 = \underline{
\mathsf{y}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf{x}}
*\underline{
\mathsf{z}}
 = \underline{
\mathsf{y}}
*\underline{
\mathsf{z}}
\mathrel {\oplus} 
\forall \underline{
\mathsf {m}}
\colon 
\forall \underline{(\epsilon)}
\colon 
\forall \underline{(fx)}
\colon 
\forall \underline{(fy)}
\colon \dot{\neg}\, 0
 <= \underline{(\epsilon)}
\Rightarrow \dot{\neg}\, \dot{\neg}\, 0
 = \underline{(\epsilon)}
\Rightarrow 
\mathsf {c}
 _{Ex}
 <= \underline{
\mathsf {m}}
\Rightarrow \underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
 <= \underline{(fy)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
+-\underline{(\epsilon)}
\vdash \underline{(fx)}
<_{f}\underline{(fy)}
\mathrel {\oplus} 
\forall \underline{(fx)}
\colon 
\forall \underline{(fy)}
\colon \underline{(fx)}
<_{f}\underline{(fy)}
\vdash R(\underline{(fx)}
)
 << R(\underline{(fy)}
)
\mathrel {\oplus} 
\forall \underline{
\mathsf{x}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf{y}}
\colon \underline{
\mathsf{x}}
*\underline{
\mathsf{y}}
 = \underline{
\mathsf{y}}
*\underline{
\mathsf{x}}
]$

$\rm
[ZFsub
\stackrel{
\mathrm{tex}
}{\rightarrow}
\mbox{``}ZFsub
\mbox{''}
]$

$\rm
[ZFsub
\stackrel{
\mathrm{pyk}
}{\rightarrow}
\mbox{``}system
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}Q
\mbox{''}
]$

\hypertarget {url:1808490583581903168404721082347638465545342357588912671848929942716323841:50}{}\section* {$\rm MP$}

$\rm
[MP
\stackrel{
proof
}{\rightarrow}
Rule\ tactic
]$

$\rm
[MP
\stackrel{
stmt
}{\rightarrow}ZFsub
\vdash 
\forall \underline{
\mathsf {a}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf {b}}
\colon \underline{
\mathsf {a}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {b}}
\vdash \underline{
\mathsf {a}}
\vdash \underline{
\mathsf {b}}
]$

$\rm
[MP
\stackrel{
\mathrm{tex}
}{\rightarrow}
\mbox{``}MP
\mbox{''}
]$

$\rm
[MP
\stackrel{
\mathrm{pyk}
}{\rightarrow}
\mbox{``}1rule
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}mp
\mbox{''}
]$

\hypertarget {url:1808490583581903168404721082347638465545342357588912671848929942716323841:51}{}\section* {$\rm Gen$}

$\rm
[Gen
\stackrel{
proof
}{\rightarrow}
Rule\ tactic
]$

$\rm
[Gen
\stackrel{
stmt
}{\rightarrow}ZFsub
\vdash 
\forall \underline{
\mathsf{x}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf {a}}
\colon \underline{
\mathsf {a}}
\vdash 
\forall_{obj} \underline{
\mathsf{x}}
\colon \underline{
\mathsf {a}}
]$

$\rm
[Gen
\stackrel{
\mathrm{tex}
}{\rightarrow}
\mbox{``}Gen
\mbox{''}
]$

$\rm
[Gen
\stackrel{
\mathrm{pyk}
}{\rightarrow}
\mbox{``}1rule
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}gen
\mbox{''}
]$

\hypertarget {url:1808490583581903168404721082347638465545342357588912671848929942716323841:52}{}\section* {$\rm Repetition$}

$\rm
[Repetition
\stackrel{
proof
}{\rightarrow}
Rule\ tactic
]$

$\rm
[Repetition
\stackrel{
stmt
}{\rightarrow}ZFsub
\vdash 
\forall \underline{
\mathsf {a}}
\colon \underline{
\mathsf {a}}
\vdash \underline{
\mathsf {a}}
]$

$\rm
[Repetition
\stackrel{
\mathrm{tex}
}{\rightarrow}
\mbox{``}Repetition
\mbox{''}
]$

$\rm
[Repetition
\stackrel{
\mathrm{pyk}
}{\rightarrow}
\mbox{``}1rule
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}repetition
\mbox{''}
]$

\hypertarget {url:1808490583581903168404721082347638465545342357588912671848929942716323841:53}{}\section* {$\rm Neg$}

$\rm
[Neg
\stackrel{
proof
}{\rightarrow}
Rule\ tactic
]$

$\rm
[Neg
\stackrel{
stmt
}{\rightarrow}ZFsub
\vdash 
\forall \underline{
\mathsf {a}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf {b}}
\colon \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf {b}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {a}}
\vdash \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf {b}}
\Rightarrow \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf {a}}
\vdash \underline{
\mathsf {b}}
]$

$\rm
[Neg
\stackrel{
\mathrm{tex}
}{\rightarrow}
\mbox{``}Neg
\mbox{''}
]$

$\rm
[Neg
\stackrel{
\mathrm{pyk}
}{\rightarrow}
\mbox{``}1rule
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}ad
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}absurdum
\mbox{''}
]$

\hypertarget {url:1808490583581903168404721082347638465545342357588912671848929942716323841:54}{}\section* {$\rm Ded$}

$\rm
[Ded
\stackrel{
proof
}{\rightarrow}
Rule\ tactic
]$

$\rm
[Ded
\stackrel{
stmt
}{\rightarrow}ZFsub
\vdash 
\forall \underline{
\mathsf {a}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf {b}}
\colon 
\lambda 
\mathsf{x}
.
Dedu_0(
\lceil \underline{
\mathsf {a}}
\rceil 
,
\lceil \underline{
\mathsf {b}}
\rceil 
)
\mathrel {\makebox [0mm][l]{$\vdash $}\,{\vdash }} \underline{
\mathsf {a}}
\vdash \underline{
\mathsf {b}}
]$

$\rm
[Ded
\stackrel{
\mathrm{tex}
}{\rightarrow}
\mbox{``}Ded
\mbox{''}
]$

$\rm
[Ded
\stackrel{
\mathrm{pyk}
}{\rightarrow}
\mbox{``}1rule
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}deduction
\mbox{''}
]$

\hypertarget {url:1808490583581903168404721082347638465545342357588912671848929942716323841:55}{}\section* {$\rm ExistIntro$}

$\rm
[ExistIntro
\stackrel{
proof
}{\rightarrow}
Rule\ tactic
]$

$\rm
[ExistIntro
\stackrel{
stmt
}{\rightarrow}ZFsub
\vdash 
\forall \underline{
\mathsf{x}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf {t}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf {a}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf {b}}
\colon \langle 
\lceil \underline{
\mathsf {a}}
\rceil 
{\equiv}^0 
\lceil \underline{
\mathsf {b}}
\rceil 
| 
\lceil \underline{
\mathsf{x}}
\rceil 
{:==} 
\lceil \underline{
\mathsf {t}}
\rceil 
\rangle_{Ex} 
\mathrel {\makebox [0mm][l]{$\vdash $}\,{\vdash }} \underline{
\mathsf {a}}
\vdash \underline{
\mathsf {b}}
]$

$\rm
[ExistIntro
\stackrel{
\mathrm{tex}
}{\rightarrow}
\mbox{``}ExistIntro
\mbox{''}
]$

$\rm
[ExistIntro
\stackrel{
\mathrm{pyk}
}{\rightarrow}
\mbox{``}1rule
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}exist
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}intro
\mbox{''}
]$

\hypertarget {url:1808490583581903168404721082347638465545342357588912671848929942716323841:56}{}\section* {$\rm Extensionality$}

$\rm
[Extensionality
\stackrel{
proof
}{\rightarrow}
Rule\ tactic
]$

$\rm
[Extensionality
\stackrel{
stmt
}{\rightarrow}ZFsub
\vdash 
\forall \underline{
\mathsf{x}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf{y}}
\colon \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf{x}}
\!\mathrel{==}\! \underline{
\mathsf{y}}
\Rightarrow 
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {s}}
\colon \dot{\neg}\, \overline{
\mathsf {s}}
 \mathrel{\in} \underline{
\mathsf{x}}
\Rightarrow \overline{
\mathsf {s}}
 \mathrel{\in} \underline{
\mathsf{y}}
\Rightarrow \dot{\neg}\, \overline{
\mathsf {s}}
 \mathrel{\in} \underline{
\mathsf{y}}
\Rightarrow \overline{
\mathsf {s}}
 \mathrel{\in} \underline{
\mathsf{x}}
\Rightarrow \dot{\neg}\, 
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {s}}
\colon \dot{\neg}\, \overline{
\mathsf {s}}
 \mathrel{\in} \underline{
\mathsf{x}}
\Rightarrow \overline{
\mathsf {s}}
 \mathrel{\in} \underline{
\mathsf{y}}
\Rightarrow \dot{\neg}\, \overline{
\mathsf {s}}
 \mathrel{\in} \underline{
\mathsf{y}}
\Rightarrow \overline{
\mathsf {s}}
 \mathrel{\in} \underline{
\mathsf{x}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf{x}}
\!\mathrel{==}\! \underline{
\mathsf{y}}
]$

$\rm
[Extensionality
\stackrel{
\mathrm{tex}
}{\rightarrow}
\mbox{``}Extensionality
\mbox{''}
]$

$\rm
[Extensionality
\stackrel{
\mathrm{pyk}
}{\rightarrow}
\mbox{``}axiom
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}extensionality
\mbox{''}
]$

\hypertarget {url:1808490583581903168404721082347638465545342357588912671848929942716323841:57}{}\section* {$\rm \O{}def$}

$\rm
[\O{}def
\stackrel{
proof
}{\rightarrow}
Rule\ tactic
]$

$\rm
[\O{}def
\stackrel{
stmt
}{\rightarrow}ZFsub
\vdash 
\forall \underline{
\mathsf {s}}
\colon \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf {s}}
 \mathrel{\in} \mathrm{\O}
]$

$\rm
[\O{}def
\stackrel{
\mathrm{tex}
}{\rightarrow}
\mbox{``}
\mbox {$\backslash $}O
\{
\}def
\mbox{''}
]$

$\rm
[\O{}def
\stackrel{
\mathrm{pyk}
}{\rightarrow}
\mbox{``}axiom
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}empty
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}set
\mbox{''}
]$

\hypertarget {url:1808490583581903168404721082347638465545342357588912671848929942716323841:58}{}\section* {$\rm PairDef$}

$\rm
[PairDef
\stackrel{
proof
}{\rightarrow}
Rule\ tactic
]$

$\rm
[PairDef
\stackrel{
stmt
}{\rightarrow}ZFsub
\vdash 
\forall \underline{
\mathsf {s}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf{x}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf{y}}
\colon \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf {s}}
 \mathrel{\in} \{\underline{
\mathsf{x}}
,\underline{
\mathsf{y}}
\}
\Rightarrow \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf {s}}
\!\mathrel{==}\! \underline{
\mathsf{x}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {s}}
\!\mathrel{==}\! \underline{
\mathsf{y}}
\Rightarrow \dot{\neg}\, \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf {s}}
\!\mathrel{==}\! \underline{
\mathsf{x}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {s}}
\!\mathrel{==}\! \underline{
\mathsf{y}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {s}}
 \mathrel{\in} \{\underline{
\mathsf{x}}
,\underline{
\mathsf{y}}
\}
]$

$\rm
[PairDef
\stackrel{
\mathrm{tex}
}{\rightarrow}
\mbox{``}PairDef
\mbox{''}
]$

$\rm
[PairDef
\stackrel{
\mathrm{pyk}
}{\rightarrow}
\mbox{``}axiom
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}pair
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}definition
\mbox{''}
]$

\hypertarget {url:1808490583581903168404721082347638465545342357588912671848929942716323841:59}{}\section* {$\rm UnionDef$}

$\rm
[UnionDef
\stackrel{
proof
}{\rightarrow}
Rule\ tactic
]$

$\rm
[UnionDef
\stackrel{
stmt
}{\rightarrow}ZFsub
\vdash 
\forall \underline{
\mathsf {s}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf{x}}
\colon \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf {s}}
 \mathrel{\in} \cup \underline{
\mathsf{x}}
\Rightarrow \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf {s}}
 \mathrel{\in} 
\mathsf {j}
 _{Ex}
\Rightarrow \dot{\neg}\, 
\mathsf {j}
 _{Ex}
 \mathrel{\in} \underline{
\mathsf{x}}
\Rightarrow \dot{\neg}\, \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf {s}}
 \mathrel{\in} 
\mathsf {j}
 _{Ex}
\Rightarrow \dot{\neg}\, 
\mathsf {j}
 _{Ex}
 \mathrel{\in} \underline{
\mathsf{x}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {s}}
 \mathrel{\in} \cup \underline{
\mathsf{x}}
]$

$\rm
[UnionDef
\stackrel{
\mathrm{tex}
}{\rightarrow}
\mbox{``}UnionDef
\mbox{''}
]$

$\rm
[UnionDef
\stackrel{
\mathrm{pyk}
}{\rightarrow}
\mbox{``}axiom
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}union
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}definition
\mbox{''}
]$

\hypertarget {url:1808490583581903168404721082347638465545342357588912671848929942716323841:60}{}\section* {$\rm PowerDef$}

$\rm
[PowerDef
\stackrel{
proof
}{\rightarrow}
Rule\ tactic
]$

$\rm
[PowerDef
\stackrel{
stmt
}{\rightarrow}ZFsub
\vdash 
\forall \underline{
\mathsf {s}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf{x}}
\colon \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf {s}}
 \mathrel{\in} P(\underline{
\mathsf{x}}
)
\Rightarrow 
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {s}}
\colon \overline{
\mathsf {s}}
 \mathrel{\in} \underline{
\mathsf {s}}
\Rightarrow \overline{
\mathsf {s}}
 \mathrel{\in} \underline{
\mathsf{x}}
\Rightarrow \dot{\neg}\, 
\forall_{obj} \overline{
\mathsf {s}}
\colon \overline{
\mathsf {s}}
 \mathrel{\in} \underline{
\mathsf {s}}
\Rightarrow \overline{
\mathsf {s}}
 \mathrel{\in} \underline{
\mathsf{x}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {s}}
 \mathrel{\in} P(\underline{
\mathsf{x}}
)
]$

$\rm
[PowerDef
\stackrel{
\mathrm{tex}
}{\rightarrow}
\mbox{``}PowerDef
\mbox{''}
]$

$\rm
[PowerDef
\stackrel{
\mathrm{pyk}
}{\rightarrow}
\mbox{``}axiom
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}power
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}definition
\mbox{''}
]$

\hypertarget {url:1808490583581903168404721082347638465545342357588912671848929942716323841:61}{}\section* {$\rm SeparationDef$}

$\rm
[SeparationDef
\stackrel{
proof
}{\rightarrow}
Rule\ tactic
]$

$\rm
[SeparationDef
\stackrel{
stmt
}{\rightarrow}ZFsub
\vdash 
\forall \underline{
\mathsf {a}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf {b}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf {p}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf{x}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf{z}}
\colon \underline{
\mathsf {p}}
 ^{Ph}
\wedge \langle \underline{
\mathsf {b}}
{\equiv} \underline{
\mathsf {a}}
| \underline{
\mathsf {p}}
{:==} \underline{
\mathsf{z}}
\rangle_{Ph} 
\mathrel {\makebox [0mm][l]{$\vdash $}\,{\vdash }} \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf{z}}
 \mathrel{\in}  \{ ph \mathrel{\in} \underline{
\mathsf{x}}
\mid \underline{
\mathsf {a}}
\}
\Rightarrow \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf{z}}
 \mathrel{\in} \underline{
\mathsf{x}}
\Rightarrow \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf {b}}
\Rightarrow \dot{\neg}\, \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf{z}}
 \mathrel{\in} \underline{
\mathsf{x}}
\Rightarrow \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf {b}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf{z}}
 \mathrel{\in}  \{ ph \mathrel{\in} \underline{
\mathsf{x}}
\mid \underline{
\mathsf {a}}
\}
]$

$\rm
[SeparationDef
\stackrel{
\mathrm{tex}
}{\rightarrow}
\mbox{``}SeparationDef
\mbox{''}
]$

$\rm
[SeparationDef
\stackrel{
\mathrm{pyk}
}{\rightarrow}
\mbox{``}axiom
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}separation
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}definition
\mbox{''}
]$

\hypertarget {url:1808490583581903168404721082347638465545342357588912671848929942716323841:62}{}\section* {$\rm AddDoubleNeg$}

$\rm
[AddDoubleNeg
\stackrel{
proof
}{\rightarrow}
\lambda 
\mathsf {c}
.
\lambda 
\mathsf{x}
.
{\cal P}( 
\lceil ZFsub
\vdash 
\forall \underline{
\mathsf {a}}
\colon \dot{\neg}\, \dot{\neg}\, \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf {a}}
\vdash RemoveDoubleNeg
\rhd \dot{\neg}\, \dot{\neg}\, \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf {a}}
\gg \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf {a}}
; 
\forall \underline{
\mathsf {a}}
\colon Ded
\rhd 
\forall \underline{
\mathsf {a}}
\colon \dot{\neg}\, \dot{\neg}\, \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf {a}}
\vdash \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf {a}}
\gg \dot{\neg}\, \dot{\neg}\, \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf {a}}
\Rightarrow \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf {a}}
; \underline{
\mathsf {a}}
\vdash Weakening
\rhd \underline{
\mathsf {a}}
\gg \dot{\neg}\, \dot{\neg}\, \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf {a}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {a}}
; Neg
\rhd \dot{\neg}\, \dot{\neg}\, \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf {a}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {a}}
\rhd \dot{\neg}\, \dot{\neg}\, \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf {a}}
\Rightarrow \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf {a}}
\gg \dot{\neg}\, \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf {a}}
\rceil 
, 
p_0
, 
\mathsf {c}
)
]$

$\rm
[AddDoubleNeg
\stackrel{
stmt
}{\rightarrow}ZFsub
\vdash 
\forall \underline{
\mathsf {a}}
\colon \underline{
\mathsf {a}}
\vdash \dot{\neg}\, \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf {a}}
]$

$\rm
[AddDoubleNeg
\stackrel{
\mathrm{tex}
}{\rightarrow}
\mbox{``}AddDoubleNeg
\mbox{''}
]$

$\rm
[AddDoubleNeg
\stackrel{
\mathrm{pyk}
}{\rightarrow}
\mbox{``}prop
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}lemma
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}add
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}double
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}neg
\mbox{''}
]$

\hypertarget {url:1808490583581903168404721082347638465545342357588912671848929942716323841:63}{}\section* {$\rm RemoveDoubleNeg$}

$\rm
[RemoveDoubleNeg
\stackrel{
proof
}{\rightarrow}
\lambda 
\mathsf {c}
.
\lambda 
\mathsf{x}
.
{\cal P}( 
\lceil ZFsub
\vdash 
\forall \underline{
\mathsf {a}}
\colon \dot{\neg}\, \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf {a}}
\vdash Weakening
\rhd \dot{\neg}\, \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf {a}}
\gg \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf {a}}
\Rightarrow \dot{\neg}\, \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf {a}}
; AutoImply
\gg \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf {a}}
\Rightarrow \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf {a}}
; Neg
\rhd \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf {a}}
\Rightarrow \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf {a}}
\rhd \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf {a}}
\Rightarrow \dot{\neg}\, \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf {a}}
\gg \underline{
\mathsf {a}}
\rceil 
, 
p_0
, 
\mathsf {c}
)
]$

$\rm
[RemoveDoubleNeg
\stackrel{
stmt
}{\rightarrow}ZFsub
\vdash 
\forall \underline{
\mathsf {a}}
\colon \dot{\neg}\, \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf {a}}
\vdash \underline{
\mathsf {a}}
]$

$\rm
[RemoveDoubleNeg
\stackrel{
\mathrm{tex}
}{\rightarrow}
\mbox{``}RemoveDoubleNeg
\mbox{''}
]$

$\rm
[RemoveDoubleNeg
\stackrel{
\mathrm{pyk}
}{\rightarrow}
\mbox{``}prop
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}lemma
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}remove
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}double
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}neg
\mbox{''}
]$

\hypertarget {url:1808490583581903168404721082347638465545342357588912671848929942716323841:64}{}\section* {$\rm AndCommutativity$}

$\rm
[AndCommutativity
\stackrel{
proof
}{\rightarrow}
\lambda 
\mathsf {c}
.
\lambda 
\mathsf{x}
.
{\cal P}( 
\lceil ZFsub
\vdash 
\forall \underline{
\mathsf {a}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf {b}}
\colon \underline{
\mathsf {b}}
\Rightarrow \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf {a}}
\vdash \underline{
\mathsf {a}}
\vdash AddDoubleNeg
\rhd \underline{
\mathsf {a}}
\gg \dot{\neg}\, \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf {a}}
; MT
\rhd \underline{
\mathsf {b}}
\Rightarrow \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf {a}}
\rhd \dot{\neg}\, \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf {a}}
\gg \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf {b}}
; 
\forall \underline{
\mathsf {a}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf {b}}
\colon Ded
\rhd 
\forall \underline{
\mathsf {a}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf {b}}
\colon \underline{
\mathsf {b}}
\Rightarrow \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf {a}}
\vdash \underline{
\mathsf {a}}
\vdash \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf {b}}
\gg \underline{
\mathsf {b}}
\Rightarrow \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf {a}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {a}}
\Rightarrow \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf {b}}
; \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf {a}}
\Rightarrow \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf {b}}
\vdash Repetition
\gg \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf {a}}
\Rightarrow \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf {b}}
; MT
\rhd \underline{
\mathsf {b}}
\Rightarrow \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf {a}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {a}}
\Rightarrow \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf {b}}
\rhd \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf {a}}
\Rightarrow \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf {b}}
\gg \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf {b}}
\Rightarrow \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf {a}}
; Repetition
\rhd \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf {b}}
\Rightarrow \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf {a}}
\gg \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf {b}}
\Rightarrow \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf {a}}
\rceil 
, 
p_0
, 
\mathsf {c}
)
]$

$\rm
[AndCommutativity
\stackrel{
stmt
}{\rightarrow}ZFsub
\vdash 
\forall \underline{
\mathsf {a}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf {b}}
\colon \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf {a}}
\Rightarrow \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf {b}}
\vdash \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf {b}}
\Rightarrow \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf {a}}
]$

$\rm
[AndCommutativity
\stackrel{
\mathrm{tex}
}{\rightarrow}
\mbox{``}AndCommutativity
\mbox{''}
]$

$\rm
[AndCommutativity
\stackrel{
\mathrm{pyk}
}{\rightarrow}
\mbox{``}prop
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}lemma
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}and
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}commutativity
\mbox{''}
]$

\hypertarget {url:1808490583581903168404721082347638465545342357588912671848929942716323841:65}{}\section* {$\rm AutoImply$}

$\rm
[AutoImply
\stackrel{
proof
}{\rightarrow}
\lambda 
\mathsf {c}
.
\lambda 
\mathsf{x}
.
{\cal P}( 
\lceil ZFsub
\vdash 
\forall \underline{
\mathsf {a}}
\colon \underline{
\mathsf {a}}
\vdash Repetition
\rhd \underline{
\mathsf {a}}
\gg \underline{
\mathsf {a}}
; 
\forall \underline{
\mathsf {a}}
\colon Ded
\rhd 
\forall \underline{
\mathsf {a}}
\colon \underline{
\mathsf {a}}
\vdash \underline{
\mathsf {a}}
\gg \underline{
\mathsf {a}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {a}}
\rceil 
, 
p_0
, 
\mathsf {c}
)
]$

$\rm
[AutoImply
\stackrel{
stmt
}{\rightarrow}ZFsub
\vdash 
\forall \underline{
\mathsf {a}}
\colon \underline{
\mathsf {a}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {a}}
]$

$\rm
[AutoImply
\stackrel{
\mathrm{tex}
}{\rightarrow}
\mbox{``}AutoImply
\mbox{''}
]$

$\rm
[AutoImply
\stackrel{
\mathrm{pyk}
}{\rightarrow}
\mbox{``}prop
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}lemma
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}auto
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}imply
\mbox{''}
]$

\hypertarget {url:1808490583581903168404721082347638465545342357588912671848929942716323841:66}{}\section* {$\rm Contrapositive$}

$\rm
[Contrapositive
\stackrel{
proof
}{\rightarrow}
\lambda 
\mathsf {c}
.
\lambda 
\mathsf{x}
.
{\cal P}( 
\lceil ZFsub
\vdash 
\forall \underline{
\mathsf {a}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf {b}}
\colon \underline{
\mathsf {a}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {b}}
\vdash \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf {b}}
\vdash MT
\rhd \underline{
\mathsf {a}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {b}}
\rhd \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf {b}}
\gg \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf {a}}
; 
\forall \underline{
\mathsf {a}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf {b}}
\colon \underline{
\mathsf {a}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {b}}
\vdash Ded
\rhd 
\forall \underline{
\mathsf {a}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf {b}}
\colon \underline{
\mathsf {a}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {b}}
\vdash \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf {b}}
\vdash \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf {a}}
\gg \underline{
\mathsf {a}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {b}}
\Rightarrow \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf {b}}
\Rightarrow \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf {a}}
; MP
\rhd \underline{
\mathsf {a}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {b}}
\Rightarrow \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf {b}}
\Rightarrow \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf {a}}
\rhd \underline{
\mathsf {a}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {b}}
\gg \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf {b}}
\Rightarrow \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf {a}}
\rceil 
, 
p_0
, 
\mathsf {c}
)
]$

$\rm
[Contrapositive
\stackrel{
stmt
}{\rightarrow}ZFsub
\vdash 
\forall \underline{
\mathsf {a}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf {b}}
\colon \underline{
\mathsf {a}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {b}}
\vdash \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf {b}}
\Rightarrow \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf {a}}
]$

$\rm
[Contrapositive
\stackrel{
\mathrm{tex}
}{\rightarrow}
\mbox{``}Contrapositive
\mbox{''}
]$

$\rm
[Contrapositive
\stackrel{
\mathrm{pyk}
}{\rightarrow}
\mbox{``}prop
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}lemma
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}contrapositive
\mbox{''}
]$

\hypertarget {url:1808490583581903168404721082347638465545342357588912671848929942716323841:67}{}\section* {$\rm FirstConjunct$}

$\rm
[FirstConjunct
\stackrel{
proof
}{\rightarrow}
\lambda 
\mathsf {c}
.
\lambda 
\mathsf{x}
.
{\cal P}( 
\lceil ZFsub
\vdash 
\forall \underline{
\mathsf {a}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf {b}}
\colon \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf {a}}
\Rightarrow \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf {b}}
\vdash AndCommutativity
\rhd \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf {a}}
\Rightarrow \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf {b}}
\gg \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf {b}}
\Rightarrow \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf {a}}
; SecondConjunct
\rhd \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf {b}}
\Rightarrow \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf {a}}
\gg \underline{
\mathsf {a}}
\rceil 
, 
p_0
, 
\mathsf {c}
)
]$

$\rm
[FirstConjunct
\stackrel{
stmt
}{\rightarrow}ZFsub
\vdash 
\forall \underline{
\mathsf {a}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf {b}}
\colon \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf {a}}
\Rightarrow \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf {b}}
\vdash \underline{
\mathsf {a}}
]$

$\rm
[FirstConjunct
\stackrel{
\mathrm{tex}
}{\rightarrow}
\mbox{``}FirstConjunct
\mbox{''}
]$

$\rm
[FirstConjunct
\stackrel{
\mathrm{pyk}
}{\rightarrow}
\mbox{``}prop
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}lemma
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}first
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}conjunct
\mbox{''}
]$

\hypertarget {url:1808490583581903168404721082347638465545342357588912671848929942716323841:68}{}\section* {$\rm SecondConjunct$}

$\rm
[SecondConjunct
\stackrel{
proof
}{\rightarrow}
\lambda 
\mathsf {c}
.
\lambda 
\mathsf{x}
.
{\cal P}( 
\lceil ZFsub
\vdash 
\forall \underline{
\mathsf {a}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf {b}}
\colon \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf {b}}
\vdash Weakening
\rhd \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf {b}}
\gg \underline{
\mathsf {a}}
\Rightarrow \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf {b}}
; 
\forall \underline{
\mathsf {a}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf {b}}
\colon Ded
\rhd 
\forall \underline{
\mathsf {a}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf {b}}
\colon \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf {b}}
\vdash \underline{
\mathsf {a}}
\Rightarrow \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf {b}}
\gg \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf {b}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {a}}
\Rightarrow \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf {b}}
; \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf {a}}
\Rightarrow \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf {b}}
\vdash Repetition
\rhd \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf {a}}
\Rightarrow \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf {b}}
\gg \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf {a}}
\Rightarrow \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf {b}}
; NegativeMT
\rhd \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf {b}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {a}}
\Rightarrow \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf {b}}
\rhd \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf {a}}
\Rightarrow \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf {b}}
\gg \underline{
\mathsf {b}}
\rceil 
, 
p_0
, 
\mathsf {c}
)
]$

$\rm
[SecondConjunct
\stackrel{
stmt
}{\rightarrow}ZFsub
\vdash 
\forall \underline{
\mathsf {a}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf {b}}
\colon \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf {a}}
\Rightarrow \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf {b}}
\vdash \underline{
\mathsf {b}}
]$

$\rm
[SecondConjunct
\stackrel{
\mathrm{tex}
}{\rightarrow}
\mbox{``}SecondConjunct
\mbox{''}
]$

$\rm
[SecondConjunct
\stackrel{
\mathrm{pyk}
}{\rightarrow}
\mbox{``}prop
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}lemma
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}second
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}conjunct
\mbox{''}
]$

\hypertarget {url:1808490583581903168404721082347638465545342357588912671848929942716323841:69}{}\section* {$\rm FromContradiction$}

$\rm
[FromContradiction
\stackrel{
proof
}{\rightarrow}
\lambda 
\mathsf {c}
.
\lambda 
\mathsf{x}
.
{\cal P}( 
\lceil ZFsub
\vdash 
\forall \underline{
\mathsf {a}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf {b}}
\colon \underline{
\mathsf {a}}
\vdash \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf {a}}
\vdash Weakening
\rhd \underline{
\mathsf {a}}
\gg \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf {b}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {a}}
; Weakening
\rhd \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf {a}}
\gg \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf {b}}
\Rightarrow \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf {a}}
; Neg
\rhd \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf {b}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {a}}
\rhd \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf {b}}
\Rightarrow \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf {a}}
\gg \underline{
\mathsf {b}}
\rceil 
, 
p_0
, 
\mathsf {c}
)
]$

$\rm
[FromContradiction
\stackrel{
stmt
}{\rightarrow}ZFsub
\vdash 
\forall \underline{
\mathsf {a}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf {b}}
\colon \underline{
\mathsf {a}}
\vdash \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf {a}}
\vdash \underline{
\mathsf {b}}
]$

$\rm
[FromContradiction
\stackrel{
\mathrm{tex}
}{\rightarrow}
\mbox{``}FromContradiction
\mbox{''}
]$

$\rm
[FromContradiction
\stackrel{
\mathrm{pyk}
}{\rightarrow}
\mbox{``}prop
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}lemma
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}from
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}contradiction
\mbox{''}
]$

\hypertarget {url:1808490583581903168404721082347638465545342357588912671848929942716323841:70}{}\section* {$\rm FromDisjuncts$}

$\rm
[FromDisjuncts
\stackrel{
proof
}{\rightarrow}
\lambda 
\mathsf {c}
.
\lambda 
\mathsf{x}
.
{\cal P}( 
\lceil ZFsub
\vdash 
\forall \underline{
\mathsf {a}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf {b}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf {c}}
\colon \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf {a}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {b}}
\vdash \underline{
\mathsf {a}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {c}}
\vdash \underline{
\mathsf {b}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {c}}
\vdash Repetition
\rhd \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf {a}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {b}}
\gg \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf {a}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {b}}
; Contrapositive
\rhd \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf {a}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {b}}
\gg \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf {b}}
\Rightarrow \dot{\neg}\, \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf {a}}
; Technicality
\rhd \underline{
\mathsf {a}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {c}}
\gg \dot{\neg}\, \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf {a}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {c}}
; ImplyTransitivity
\rhd \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf {b}}
\Rightarrow \dot{\neg}\, \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf {a}}
\rhd \dot{\neg}\, \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf {a}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {c}}
\gg \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf {b}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {c}}
; Contrapositive
\rhd \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf {b}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {c}}
\gg \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf {c}}
\Rightarrow \dot{\neg}\, \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf {b}}
; Contrapositive
\rhd \underline{
\mathsf {b}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {c}}
\gg \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf {c}}
\Rightarrow \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf {b}}
; Neg
\rhd \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf {c}}
\Rightarrow \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf {b}}
\rhd \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf {c}}
\Rightarrow \dot{\neg}\, \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf {b}}
\gg \underline{
\mathsf {c}}
\rceil 
, 
p_0
, 
\mathsf {c}
)
]$

$\rm
[FromDisjuncts
\stackrel{
stmt
}{\rightarrow}ZFsub
\vdash 
\forall \underline{
\mathsf {a}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf {b}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf {c}}
\colon \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf {a}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {b}}
\vdash \underline{
\mathsf {a}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {c}}
\vdash \underline{
\mathsf {b}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {c}}
\vdash \underline{
\mathsf {c}}
]$

$\rm
[FromDisjuncts
\stackrel{
\mathrm{tex}
}{\rightarrow}
\mbox{``}FromDisjuncts
\mbox{''}
]$

$\rm
[FromDisjuncts
\stackrel{
\mathrm{pyk}
}{\rightarrow}
\mbox{``}prop
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}lemma
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}from
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}disjuncts
\mbox{''}
]$

\hypertarget {url:1808490583581903168404721082347638465545342357588912671848929942716323841:71}{}\section* {$\rm IffCommutativity$}

$\rm
[IffCommutativity
\stackrel{
proof
}{\rightarrow}
\lambda 
\mathsf {c}
.
\lambda 
\mathsf{x}
.
{\cal P}( 
\lceil ZFsub
\vdash 
\forall \underline{
\mathsf {a}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf {b}}
\colon \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf {a}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {b}}
\Rightarrow \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf {b}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {a}}
\vdash Repetition
\rhd \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf {a}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {b}}
\Rightarrow \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf {b}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {a}}
\gg \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf {a}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {b}}
\Rightarrow \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf {b}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {a}}
; AndCommutativity
\rhd \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf {a}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {b}}
\Rightarrow \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf {b}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {a}}
\gg \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf {b}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {a}}
\Rightarrow \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf {a}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {b}}
; Repetition
\rhd \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf {b}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {a}}
\Rightarrow \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf {a}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {b}}
\gg \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf {b}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {a}}
\Rightarrow \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf {a}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {b}}
\rceil 
, 
p_0
, 
\mathsf {c}
)
]$

$\rm
[IffCommutativity
\stackrel{
stmt
}{\rightarrow}ZFsub
\vdash 
\forall \underline{
\mathsf {a}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf {b}}
\colon \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf {a}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {b}}
\Rightarrow \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf {b}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {a}}
\vdash \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf {b}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {a}}
\Rightarrow \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf {a}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {b}}
]$

$\rm
[IffCommutativity
\stackrel{
\mathrm{tex}
}{\rightarrow}
\mbox{``}IffCommutativity
\mbox{''}
]$

$\rm
[IffCommutativity
\stackrel{
\mathrm{pyk}
}{\rightarrow}
\mbox{``}prop
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}lemma
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}iff
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}commutativity
\mbox{''}
]$

\hypertarget {url:1808490583581903168404721082347638465545342357588912671848929942716323841:72}{}\section* {$\rm IffFirst$}

$\rm
[IffFirst
\stackrel{
proof
}{\rightarrow}
\lambda 
\mathsf {c}
.
\lambda 
\mathsf{x}
.
{\cal P}( 
\lceil ZFsub
\vdash 
\forall \underline{
\mathsf {a}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf {b}}
\colon \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf {a}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {b}}
\Rightarrow \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf {b}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {a}}
\vdash \underline{
\mathsf {b}}
\vdash SecondConjunct
\rhd \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf {a}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {b}}
\Rightarrow \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf {b}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {a}}
\gg \underline{
\mathsf {b}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {a}}
; MP
\rhd \underline{
\mathsf {b}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {a}}
\rhd \underline{
\mathsf {b}}
\gg \underline{
\mathsf {a}}
\rceil 
, 
p_0
, 
\mathsf {c}
)
]$

$\rm
[IffFirst
\stackrel{
stmt
}{\rightarrow}ZFsub
\vdash 
\forall \underline{
\mathsf {a}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf {b}}
\colon \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf {a}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {b}}
\Rightarrow \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf {b}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {a}}
\vdash \underline{
\mathsf {b}}
\vdash \underline{
\mathsf {a}}
]$

$\rm
[IffFirst
\stackrel{
\mathrm{tex}
}{\rightarrow}
\mbox{``}IffFirst
\mbox{''}
]$

$\rm
[IffFirst
\stackrel{
\mathrm{pyk}
}{\rightarrow}
\mbox{``}prop
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}lemma
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}iff
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}first
\mbox{''}
]$

\hypertarget {url:1808490583581903168404721082347638465545342357588912671848929942716323841:73}{}\section* {$\rm IffSecond$}

$\rm
[IffSecond
\stackrel{
proof
}{\rightarrow}
\lambda 
\mathsf {c}
.
\lambda 
\mathsf{x}
.
{\cal P}( 
\lceil ZFsub
\vdash 
\forall \underline{
\mathsf {a}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf {b}}
\colon \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf {a}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {b}}
\Rightarrow \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf {b}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {a}}
\vdash \underline{
\mathsf {a}}
\vdash FirstConjunct
\rhd \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf {a}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {b}}
\Rightarrow \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf {b}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {a}}
\gg \underline{
\mathsf {a}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {b}}
; MP
\rhd \underline{
\mathsf {a}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {b}}
\rhd \underline{
\mathsf {a}}
\gg \underline{
\mathsf {b}}
\rceil 
, 
p_0
, 
\mathsf {c}
)
]$

$\rm
[IffSecond
\stackrel{
stmt
}{\rightarrow}ZFsub
\vdash 
\forall \underline{
\mathsf {a}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf {b}}
\colon \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf {a}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {b}}
\Rightarrow \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf {b}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {a}}
\vdash \underline{
\mathsf {a}}
\vdash \underline{
\mathsf {b}}
]$

$\rm
[IffSecond
\stackrel{
\mathrm{tex}
}{\rightarrow}
\mbox{``}IffSecond
\mbox{''}
]$

$\rm
[IffSecond
\stackrel{
\mathrm{pyk}
}{\rightarrow}
\mbox{``}prop
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}lemma
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}iff
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}second
\mbox{''}
]$

\hypertarget {url:1808490583581903168404721082347638465545342357588912671848929942716323841:74}{}\section* {$\rm ImplyTransitivity$}

$\rm
[ImplyTransitivity
\stackrel{
proof
}{\rightarrow}
\lambda 
\mathsf {c}
.
\lambda 
\mathsf{x}
.
{\cal P}( 
\lceil ZFsub
\vdash 
\forall \underline{
\mathsf {a}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf {b}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf {c}}
\colon \underline{
\mathsf {a}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {b}}
\vdash \underline{
\mathsf {b}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {c}}
\vdash \underline{
\mathsf {a}}
\vdash MP
\rhd \underline{
\mathsf {a}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {b}}
\rhd \underline{
\mathsf {a}}
\gg \underline{
\mathsf {b}}
; MP
\rhd \underline{
\mathsf {b}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {c}}
\rhd \underline{
\mathsf {b}}
\gg \underline{
\mathsf {c}}
; 
\forall \underline{
\mathsf {a}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf {b}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf {c}}
\colon \underline{
\mathsf {a}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {b}}
\vdash \underline{
\mathsf {b}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {c}}
\vdash Ded
\rhd 
\forall \underline{
\mathsf {a}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf {b}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf {c}}
\colon \underline{
\mathsf {a}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {b}}
\vdash \underline{
\mathsf {b}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {c}}
\vdash \underline{
\mathsf {a}}
\vdash \underline{
\mathsf {c}}
\gg \underline{
\mathsf {a}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {b}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {b}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {c}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {a}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {c}}
; MP2
\rhd \underline{
\mathsf {a}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {b}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {b}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {c}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {a}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {c}}
\rhd \underline{
\mathsf {a}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {b}}
\rhd \underline{
\mathsf {b}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {c}}
\gg \underline{
\mathsf {a}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {c}}
\rceil 
, 
p_0
, 
\mathsf {c}
)
]$

$\rm
[ImplyTransitivity
\stackrel{
stmt
}{\rightarrow}ZFsub
\vdash 
\forall \underline{
\mathsf {a}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf {b}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf {c}}
\colon \underline{
\mathsf {a}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {b}}
\vdash \underline{
\mathsf {b}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {c}}
\vdash \underline{
\mathsf {a}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {c}}
]$

$\rm
[ImplyTransitivity
\stackrel{
\mathrm{tex}
}{\rightarrow}
\mbox{``}ImplyTransitivity
\mbox{''}
]$

$\rm
[ImplyTransitivity
\stackrel{
\mathrm{pyk}
}{\rightarrow}
\mbox{``}prop
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}lemma
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}imply
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}transitivity
\mbox{''}
]$

\hypertarget {url:1808490583581903168404721082347638465545342357588912671848929942716323841:75}{}\section* {$\rm JoinConjuncts$}

$\rm
[JoinConjuncts
\stackrel{
proof
}{\rightarrow}
\lambda 
\mathsf {c}
.
\lambda 
\mathsf{x}
.
{\cal P}( 
\lceil ZFsub
\vdash 
\forall \underline{
\mathsf {a}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf {b}}
\colon \underline{
\mathsf {a}}
\vdash \underline{
\mathsf {a}}
\Rightarrow \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf {b}}
\vdash MP
\rhd \underline{
\mathsf {a}}
\Rightarrow \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf {b}}
\rhd \underline{
\mathsf {a}}
\gg \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf {b}}
; 
\forall \underline{
\mathsf {a}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf {b}}
\colon Ded
\rhd 
\forall \underline{
\mathsf {a}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf {b}}
\colon \underline{
\mathsf {a}}
\vdash \underline{
\mathsf {a}}
\Rightarrow \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf {b}}
\vdash \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf {b}}
\gg \underline{
\mathsf {a}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {a}}
\Rightarrow \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf {b}}
\Rightarrow \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf {b}}
; \underline{
\mathsf {a}}
\vdash \underline{
\mathsf {b}}
\vdash MP
\rhd \underline{
\mathsf {a}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {a}}
\Rightarrow \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf {b}}
\Rightarrow \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf {b}}
\rhd \underline{
\mathsf {a}}
\gg \underline{
\mathsf {a}}
\Rightarrow \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf {b}}
\Rightarrow \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf {b}}
; AddDoubleNeg
\rhd \underline{
\mathsf {b}}
\gg \dot{\neg}\, \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf {b}}
; MT
\rhd \underline{
\mathsf {a}}
\Rightarrow \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf {b}}
\Rightarrow \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf {b}}
\rhd \dot{\neg}\, \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf {b}}
\gg \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf {a}}
\Rightarrow \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf {b}}
; Repetition
\rhd \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf {a}}
\Rightarrow \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf {b}}
\gg \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf {a}}
\Rightarrow \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf {b}}
\rceil 
, 
p_0
, 
\mathsf {c}
)
]$

$\rm
[JoinConjuncts
\stackrel{
stmt
}{\rightarrow}ZFsub
\vdash 
\forall \underline{
\mathsf {a}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf {b}}
\colon \underline{
\mathsf {a}}
\vdash \underline{
\mathsf {b}}
\vdash \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf {a}}
\Rightarrow \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf {b}}
]$

$\rm
[JoinConjuncts
\stackrel{
\mathrm{tex}
}{\rightarrow}
\mbox{``}JoinConjuncts
\mbox{''}
]$

$\rm
[JoinConjuncts
\stackrel{
\mathrm{pyk}
}{\rightarrow}
\mbox{``}prop
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}lemma
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}join
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}conjuncts
\mbox{''}
]$

\hypertarget {url:1808490583581903168404721082347638465545342357588912671848929942716323841:76}{}\section* {$\rm MP2$}

$\rm
[MP2
\stackrel{
proof
}{\rightarrow}
\lambda 
\mathsf {c}
.
\lambda 
\mathsf{x}
.
{\cal P}( 
\lceil ZFsub
\vdash 
\forall \underline{
\mathsf {a}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf {b}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf {c}}
\colon \underline{
\mathsf {a}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {b}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {c}}
\vdash \underline{
\mathsf {a}}
\vdash \underline{
\mathsf {b}}
\vdash MP
\rhd \underline{
\mathsf {a}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {b}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {c}}
\rhd \underline{
\mathsf {a}}
\gg \underline{
\mathsf {b}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {c}}
; MP
\rhd \underline{
\mathsf {b}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {c}}
\rhd \underline{
\mathsf {b}}
\gg \underline{
\mathsf {c}}
\rceil 
, 
p_0
, 
\mathsf {c}
)
]$

$\rm
[MP2
\stackrel{
stmt
}{\rightarrow}ZFsub
\vdash 
\forall \underline{
\mathsf {a}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf {b}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf {c}}
\colon \underline{
\mathsf {a}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {b}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {c}}
\vdash \underline{
\mathsf {a}}
\vdash \underline{
\mathsf {b}}
\vdash \underline{
\mathsf {c}}
]$

$\rm
[MP2
\stackrel{
\mathrm{tex}
}{\rightarrow}
\mbox{``}MP2
\mbox{''}
]$

$\rm
[MP2
\stackrel{
\mathrm{pyk}
}{\rightarrow}
\mbox{``}prop
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}lemma
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}mp2
\mbox{''}
]$

\hypertarget {url:1808490583581903168404721082347638465545342357588912671848929942716323841:77}{}\section* {$\rm MP3$}

$\rm
[MP3
\stackrel{
proof
}{\rightarrow}
\lambda 
\mathsf {c}
.
\lambda 
\mathsf{x}
.
{\cal P}( 
\lceil ZFsub
\vdash 
\forall \underline{
\mathsf {a}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf {b}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf {c}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf {d}}
\colon \underline{
\mathsf {a}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {b}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {c}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {d}}
\vdash \underline{
\mathsf {a}}
\vdash \underline{
\mathsf {b}}
\vdash \underline{
\mathsf {c}}
\vdash MP2
\rhd \underline{
\mathsf {a}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {b}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {c}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {d}}
\rhd \underline{
\mathsf {a}}
\rhd \underline{
\mathsf {b}}
\gg \underline{
\mathsf {c}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {d}}
; MP
\rhd \underline{
\mathsf {c}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {d}}
\rhd \underline{
\mathsf {c}}
\gg \underline{
\mathsf {d}}
\rceil 
, 
p_0
, 
\mathsf {c}
)
]$

$\rm
[MP3
\stackrel{
stmt
}{\rightarrow}ZFsub
\vdash 
\forall \underline{
\mathsf {a}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf {b}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf {c}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf {d}}
\colon \underline{
\mathsf {a}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {b}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {c}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {d}}
\vdash \underline{
\mathsf {a}}
\vdash \underline{
\mathsf {b}}
\vdash \underline{
\mathsf {c}}
\vdash \underline{
\mathsf {d}}
]$

$\rm
[MP3
\stackrel{
\mathrm{tex}
}{\rightarrow}
\mbox{``}MP3
\mbox{''}
]$

$\rm
[MP3
\stackrel{
\mathrm{pyk}
}{\rightarrow}
\mbox{``}prop
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}lemma
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}mp3
\mbox{''}
]$

\hypertarget {url:1808490583581903168404721082347638465545342357588912671848929942716323841:78}{}\section* {$\rm MP4$}

$\rm
[MP4
\stackrel{
proof
}{\rightarrow}
\lambda 
\mathsf {c}
.
\lambda 
\mathsf{x}
.
{\cal P}( 
\lceil ZFsub
\vdash 
\forall \underline{
\mathsf {a}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf {b}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf {c}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf {d}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf {e}}
\colon \underline{
\mathsf {a}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {b}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {c}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {d}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {e}}
\vdash \underline{
\mathsf {a}}
\vdash \underline{
\mathsf {b}}
\vdash \underline{
\mathsf {c}}
\vdash \underline{
\mathsf {d}}
\vdash MP2
\rhd \underline{
\mathsf {a}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {b}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {c}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {d}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {e}}
\rhd \underline{
\mathsf {a}}
\rhd \underline{
\mathsf {b}}
\gg \underline{
\mathsf {c}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {d}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {e}}
; MP2
\rhd \underline{
\mathsf {c}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {d}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {e}}
\rhd \underline{
\mathsf {c}}
\rhd \underline{
\mathsf {d}}
\gg \underline{
\mathsf {e}}
\rceil 
, 
p_0
, 
\mathsf {c}
)
]$

$\rm
[MP4
\stackrel{
stmt
}{\rightarrow}ZFsub
\vdash 
\forall \underline{
\mathsf {a}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf {b}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf {c}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf {d}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf {e}}
\colon \underline{
\mathsf {a}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {b}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {c}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {d}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {e}}
\vdash \underline{
\mathsf {a}}
\vdash \underline{
\mathsf {b}}
\vdash \underline{
\mathsf {c}}
\vdash \underline{
\mathsf {d}}
\vdash \underline{
\mathsf {e}}
]$

$\rm
[MP4
\stackrel{
\mathrm{tex}
}{\rightarrow}
\mbox{``}MP4
\mbox{''}
]$

$\rm
[MP4
\stackrel{
\mathrm{pyk}
}{\rightarrow}
\mbox{``}prop
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}lemma
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}mp4
\mbox{''}
]$

\hypertarget {url:1808490583581903168404721082347638465545342357588912671848929942716323841:79}{}\section* {$\rm MP5$}

$\rm
[MP5
\stackrel{
proof
}{\rightarrow}
\lambda 
\mathsf {c}
.
\lambda 
\mathsf{x}
.
{\cal P}( 
\lceil ZFsub
\vdash 
\forall \underline{
\mathsf {a}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf {b}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf {c}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf {d}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf {e}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf {f}}
\colon \underline{
\mathsf {a}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {b}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {c}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {d}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {e}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {f}}
\vdash \underline{
\mathsf {a}}
\vdash \underline{
\mathsf {b}}
\vdash \underline{
\mathsf {c}}
\vdash \underline{
\mathsf {d}}
\vdash \underline{
\mathsf {e}}
\vdash MP3
\rhd \underline{
\mathsf {a}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {b}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {c}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {d}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {e}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {f}}
\rhd \underline{
\mathsf {a}}
\rhd \underline{
\mathsf {b}}
\rhd \underline{
\mathsf {c}}
\gg \underline{
\mathsf {d}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {e}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {f}}
; MP2
\rhd \underline{
\mathsf {d}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {e}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {f}}
\rhd \underline{
\mathsf {d}}
\rhd \underline{
\mathsf {e}}
\gg \underline{
\mathsf {f}}
\rceil 
, 
p_0
, 
\mathsf {c}
)
]$

$\rm
[MP5
\stackrel{
stmt
}{\rightarrow}ZFsub
\vdash 
\forall \underline{
\mathsf {a}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf {b}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf {c}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf {d}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf {e}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf {f}}
\colon \underline{
\mathsf {a}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {b}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {c}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {d}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {e}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {f}}
\vdash \underline{
\mathsf {a}}
\vdash \underline{
\mathsf {b}}
\vdash \underline{
\mathsf {c}}
\vdash \underline{
\mathsf {d}}
\vdash \underline{
\mathsf {e}}
\vdash \underline{
\mathsf {f}}
]$

$\rm
[MP5
\stackrel{
\mathrm{tex}
}{\rightarrow}
\mbox{``}MP5
\mbox{''}
]$

$\rm
[MP5
\stackrel{
\mathrm{pyk}
}{\rightarrow}
\mbox{``}prop
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}lemma
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}mp5
\mbox{''}
]$

\hypertarget {url:1808490583581903168404721082347638465545342357588912671848929942716323841:80}{}\section* {$\rm MT$}

$\rm
[MT
\stackrel{
proof
}{\rightarrow}
\lambda 
\mathsf {c}
.
\lambda 
\mathsf{x}
.
{\cal P}( 
\lceil ZFsub
\vdash 
\forall \underline{
\mathsf {a}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf {b}}
\colon \underline{
\mathsf {a}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {b}}
\vdash \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf {b}}
\vdash Technicality
\gg \dot{\neg}\, \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf {a}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {b}}
; NegativeMT
\rhd \dot{\neg}\, \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf {a}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {b}}
\rhd \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf {b}}
\gg \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf {a}}
\rceil 
, 
p_0
, 
\mathsf {c}
)
]$

$\rm
[MT
\stackrel{
stmt
}{\rightarrow}ZFsub
\vdash 
\forall \underline{
\mathsf {a}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf {b}}
\colon \underline{
\mathsf {a}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {b}}
\vdash \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf {b}}
\vdash \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf {a}}
]$

$\rm
[MT
\stackrel{
\mathrm{tex}
}{\rightarrow}
\mbox{``}MT
\mbox{''}
]$

$\rm
[MT
\stackrel{
\mathrm{pyk}
}{\rightarrow}
\mbox{``}prop
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}lemma
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}mt
\mbox{''}
]$

\hypertarget {url:1808490583581903168404721082347638465545342357588912671848929942716323841:81}{}\section* {$\rm NegativeMT$}

$\rm
[NegativeMT
\stackrel{
proof
}{\rightarrow}
\lambda 
\mathsf {c}
.
\lambda 
\mathsf{x}
.
{\cal P}( 
\lceil ZFsub
\vdash 
\forall \underline{
\mathsf {a}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf {b}}
\colon \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf {a}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {b}}
\vdash \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf {b}}
\vdash Weakening
\rhd \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf {b}}
\gg \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf {a}}
\Rightarrow \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf {b}}
; Neg
\rhd \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf {a}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {b}}
\rhd \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf {a}}
\Rightarrow \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf {b}}
\gg \underline{
\mathsf {a}}
\rceil 
, 
p_0
, 
\mathsf {c}
)
]$

$\rm
[NegativeMT
\stackrel{
stmt
}{\rightarrow}ZFsub
\vdash 
\forall \underline{
\mathsf {a}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf {b}}
\colon \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf {a}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {b}}
\vdash \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf {b}}
\vdash \underline{
\mathsf {a}}
]$

$\rm
[NegativeMT
\stackrel{
\mathrm{tex}
}{\rightarrow}
\mbox{``}NegativeMT
\mbox{''}
]$

$\rm
[NegativeMT
\stackrel{
\mathrm{pyk}
}{\rightarrow}
\mbox{``}prop
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}lemma
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}negative
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}mt
\mbox{''}
]$

\hypertarget {url:1808490583581903168404721082347638465545342357588912671848929942716323841:82}{}\section* {$\rm Technicality$}

$\rm
[Technicality
\stackrel{
proof
}{\rightarrow}
\lambda 
\mathsf {c}
.
\lambda 
\mathsf{x}
.
{\cal P}( 
\lceil ZFsub
\vdash 
\forall \underline{
\mathsf {a}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf {b}}
\colon \underline{
\mathsf {a}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {b}}
\vdash \dot{\neg}\, \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf {a}}
\vdash RemoveDoubleNeg
\rhd \dot{\neg}\, \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf {a}}
\gg \underline{
\mathsf {a}}
; MP
\rhd \underline{
\mathsf {a}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {b}}
\rhd \underline{
\mathsf {a}}
\gg \underline{
\mathsf {b}}
; 
\forall \underline{
\mathsf {a}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf {b}}
\colon Ded
\rhd 
\forall \underline{
\mathsf {a}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf {b}}
\colon \underline{
\mathsf {a}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {b}}
\vdash \dot{\neg}\, \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf {a}}
\vdash \underline{
\mathsf {b}}
\gg \underline{
\mathsf {a}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {b}}
\Rightarrow \dot{\neg}\, \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf {a}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {b}}
; \underline{
\mathsf {a}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {b}}
\vdash MP
\rhd \underline{
\mathsf {a}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {b}}
\Rightarrow \dot{\neg}\, \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf {a}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {b}}
\rhd \underline{
\mathsf {a}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {b}}
\gg \dot{\neg}\, \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf {a}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {b}}
\rceil 
, 
p_0
, 
\mathsf {c}
)
]$

$\rm
[Technicality
\stackrel{
stmt
}{\rightarrow}ZFsub
\vdash 
\forall \underline{
\mathsf {a}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf {b}}
\colon \underline{
\mathsf {a}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {b}}
\vdash \dot{\neg}\, \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf {a}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {b}}
]$

$\rm
[Technicality
\stackrel{
\mathrm{tex}
}{\rightarrow}
\mbox{``}Technicality
\mbox{''}
]$

$\rm
[Technicality
\stackrel{
\mathrm{pyk}
}{\rightarrow}
\mbox{``}prop
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}lemma
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}technicality
\mbox{''}
]$

\hypertarget {url:1808490583581903168404721082347638465545342357588912671848929942716323841:83}{}\section* {$\rm Weakening$}

$\rm
[Weakening
\stackrel{
proof
}{\rightarrow}
\lambda 
\mathsf {c}
.
\lambda 
\mathsf{x}
.
{\cal P}( 
\lceil ZFsub
\vdash 
\forall \underline{
\mathsf {a}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf {b}}
\colon \underline{
\mathsf {b}}
\vdash \underline{
\mathsf {a}}
\vdash Repetition
\rhd \underline{
\mathsf {b}}
\gg \underline{
\mathsf {b}}
; 
\forall \underline{
\mathsf {a}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf {b}}
\colon Ded
\rhd 
\forall \underline{
\mathsf {a}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf {b}}
\colon \underline{
\mathsf {b}}
\vdash \underline{
\mathsf {a}}
\vdash \underline{
\mathsf {b}}
\gg \underline{
\mathsf {b}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {a}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {b}}
; \underline{
\mathsf {b}}
\vdash MP
\rhd \underline{
\mathsf {b}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {a}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {b}}
\rhd \underline{
\mathsf {b}}
\gg \underline{
\mathsf {a}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {b}}
\rceil 
, 
p_0
, 
\mathsf {c}
)
]$

$\rm
[Weakening
\stackrel{
stmt
}{\rightarrow}ZFsub
\vdash 
\forall \underline{
\mathsf {a}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf {b}}
\colon \underline{
\mathsf {b}}
\vdash \underline{
\mathsf {a}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {b}}
]$

$\rm
[Weakening
\stackrel{
\mathrm{tex}
}{\rightarrow}
\mbox{``}Weakening
\mbox{''}
]$

$\rm
[Weakening
\stackrel{
\mathrm{pyk}
}{\rightarrow}
\mbox{``}prop
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}lemma
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}weakening
\mbox{''}
]$

\hypertarget {url:1808490583581903168404721082347638465545342357588912671848929942716323841:84}{}\section* {$\rm WeakenOr1$}

$\rm
[WeakenOr1
\stackrel{
proof
}{\rightarrow}
\lambda 
\mathsf {c}
.
\lambda 
\mathsf{x}
.
{\cal P}( 
\lceil ZFsub
\vdash 
\forall \underline{
\mathsf {a}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf {b}}
\colon \underline{
\mathsf {b}}
\vdash Weakening
\rhd \underline{
\mathsf {b}}
\gg \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf {a}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {b}}
; Repetition
\rhd \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf {a}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {b}}
\gg \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf {a}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {b}}
\rceil 
, 
p_0
, 
\mathsf {c}
)
]$

$\rm
[WeakenOr1
\stackrel{
stmt
}{\rightarrow}ZFsub
\vdash 
\forall \underline{
\mathsf {a}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf {b}}
\colon \underline{
\mathsf {b}}
\vdash \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf {a}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {b}}
]$

$\rm
[WeakenOr1
\stackrel{
\mathrm{tex}
}{\rightarrow}
\mbox{``}WeakenOr1
\mbox{''}
]$

$\rm
[WeakenOr1
\stackrel{
\mathrm{pyk}
}{\rightarrow}
\mbox{``}prop
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}lemma
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}weaken
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}or
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}first
\mbox{''}
]$

\hypertarget {url:1808490583581903168404721082347638465545342357588912671848929942716323841:85}{}\section* {$\rm WeakenOr2$}

$\rm
[WeakenOr2
\stackrel{
proof
}{\rightarrow}
\lambda 
\mathsf {c}
.
\lambda 
\mathsf{x}
.
{\cal P}( 
\lceil ZFsub
\vdash 
\forall \underline{
\mathsf {a}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf {b}}
\colon \underline{
\mathsf {a}}
\vdash \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf {a}}
\vdash FromContradiction
\rhd \underline{
\mathsf {a}}
\rhd \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf {a}}
\gg \underline{
\mathsf {b}}
; 
\forall \underline{
\mathsf {a}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf {b}}
\colon Ded
\rhd 
\forall \underline{
\mathsf {a}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf {b}}
\colon \underline{
\mathsf {a}}
\vdash \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf {a}}
\vdash \underline{
\mathsf {b}}
\gg \underline{
\mathsf {a}}
\Rightarrow \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf {a}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {b}}
; \underline{
\mathsf {a}}
\vdash MP
\rhd \underline{
\mathsf {a}}
\Rightarrow \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf {a}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {b}}
\rhd \underline{
\mathsf {a}}
\gg \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf {a}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {b}}
; Repetition
\rhd \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf {a}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {b}}
\gg \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf {a}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {b}}
\rceil 
, 
p_0
, 
\mathsf {c}
)
]$

$\rm
[WeakenOr2
\stackrel{
stmt
}{\rightarrow}ZFsub
\vdash 
\forall \underline{
\mathsf {a}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf {b}}
\colon \underline{
\mathsf {a}}
\vdash \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf {a}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {b}}
]$

$\rm
[WeakenOr2
\stackrel{
\mathrm{tex}
}{\rightarrow}
\mbox{``}WeakenOr2
\mbox{''}
]$

$\rm
[WeakenOr2
\stackrel{
\mathrm{pyk}
}{\rightarrow}
\mbox{``}prop
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}lemma
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}weaken
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}or
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}second
\mbox{''}
]$

\hypertarget {url:1808490583581903168404721082347638465545342357588912671848929942716323841:86}{}\section* {$\rm Formula2Pair$}

$\rm
[Formula2Pair
\stackrel{
\mathrm{tex}
}{\rightarrow}
\mbox{``}Formula2Pair
\mbox{''}
]$

$\rm
[Formula2Pair
\stackrel{
\mathrm{pyk}
}{\rightarrow}
\mbox{``}lemma
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}formula2pair
\mbox{''}
]$

\hypertarget {url:1808490583581903168404721082347638465545342357588912671848929942716323841:87}{}\section* {$\rm Pair2Formula$}

$\rm
[Pair2Formula
\stackrel{
\mathrm{tex}
}{\rightarrow}
\mbox{``}Pair2Formula
\mbox{''}
]$

$\rm
[Pair2Formula
\stackrel{
\mathrm{pyk}
}{\rightarrow}
\mbox{``}lemma
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}pair2formula
\mbox{''}
]$

\hypertarget {url:1808490583581903168404721082347638465545342357588912671848929942716323841:88}{}\section* {$\rm Formula2Union$}

$\rm
[Formula2Union
\stackrel{
\mathrm{tex}
}{\rightarrow}
\mbox{``}Formula2Union
\mbox{''}
]$

$\rm
[Formula2Union
\stackrel{
\mathrm{pyk}
}{\rightarrow}
\mbox{``}lemma
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}formula2union
\mbox{''}
]$

\hypertarget {url:1808490583581903168404721082347638465545342357588912671848929942716323841:89}{}\section* {$\rm Union2Formula$}

$\rm
[Union2Formula
\stackrel{
\mathrm{tex}
}{\rightarrow}
\mbox{``}Union2Formula
\mbox{''}
]$

$\rm
[Union2Formula
\stackrel{
\mathrm{pyk}
}{\rightarrow}
\mbox{``}lemma
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}union2formula
\mbox{''}
]$

\hypertarget {url:1808490583581903168404721082347638465545342357588912671848929942716323841:90}{}\section* {$\rm Formula2Sep$}

$\rm
[Formula2Sep
\stackrel{
\mathrm{tex}
}{\rightarrow}
\mbox{``}Formula2Sep
\mbox{''}
]$

$\rm
[Formula2Sep
\stackrel{
\mathrm{pyk}
}{\rightarrow}
\mbox{``}lemma
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}formula2separation
\mbox{''}
]$

\hypertarget {url:1808490583581903168404721082347638465545342357588912671848929942716323841:91}{}\section* {$\rm Sep2Formula$}

$\rm
[Sep2Formula
\stackrel{
\mathrm{tex}
}{\rightarrow}
\mbox{``}Sep2Formula
\mbox{''}
]$

$\rm
[Sep2Formula
\stackrel{
\mathrm{pyk}
}{\rightarrow}
\mbox{``}lemma
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}separation2formula
\mbox{''}
]$

\hypertarget {url:1808490583581903168404721082347638465545342357588912671848929942716323841:92}{}\section* {$\rm SubsetInPower$}

$\rm
[SubsetInPower
\stackrel{
\mathrm{tex}
}{\rightarrow}
\mbox{``}SubsetInPower
\mbox{''}
]$

$\rm
[SubsetInPower
\stackrel{
\mathrm{pyk}
}{\rightarrow}
\mbox{``}lemma
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}subset
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}in
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}power
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}set
\mbox{''}
]$

\hypertarget {url:1808490583581903168404721082347638465545342357588912671848929942716323841:93}{}\section* {$\rm HelperPowerIsSub$}

$\rm
[HelperPowerIsSub
\stackrel{
\mathrm{tex}
}{\rightarrow}
\mbox{``}HelperPowerIsSub
\mbox{''}
]$

$\rm
[HelperPowerIsSub
\stackrel{
\mathrm{pyk}
}{\rightarrow}
\mbox{``}lemma
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}power
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}set
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}is
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}subset0
\mbox{''}
]$

\hypertarget {url:1808490583581903168404721082347638465545342357588912671848929942716323841:94}{}\section* {$\rm PowerIsSub$}

$\rm
[PowerIsSub
\stackrel{
\mathrm{tex}
}{\rightarrow}
\mbox{``}PowerIsSub
\mbox{''}
]$

$\rm
[PowerIsSub
\stackrel{
\mathrm{pyk}
}{\rightarrow}
\mbox{``}lemma
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}power
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}set
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}is
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}subset
\mbox{''}
]$

\hypertarget {url:1808490583581903168404721082347638465545342357588912671848929942716323841:95}{}\section* {$\rm (Switch)HelperPowerIsSub$}

$\rm
[(Switch)HelperPowerIsSub
\stackrel{
\mathrm{tex}
}{\rightarrow}
\mbox{``}(Switch)HelperPowerIsSub
\mbox{''}
]$

$\rm
[(Switch)HelperPowerIsSub
\stackrel{
\mathrm{pyk}
}{\rightarrow}
\mbox{``}lemma
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}power
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}set
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}is
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}subset0
\mbox{-}switch
\mbox{''}
]$

\hypertarget {url:1808490583581903168404721082347638465545342357588912671848929942716323841:96}{}\section* {$\rm (Switch)PowerIsSub$}

$\rm
[(Switch)PowerIsSub
\stackrel{
\mathrm{tex}
}{\rightarrow}
\mbox{``}(Switch)PowerIsSub
\mbox{''}
]$

$\rm
[(Switch)PowerIsSub
\stackrel{
\mathrm{pyk}
}{\rightarrow}
\mbox{``}lemma
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}power
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}set
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}is
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}subset
\mbox{-}switch
\mbox{''}
]$

\hypertarget {url:1808490583581903168404721082347638465545342357588912671848929942716323841:97}{}\section* {$\rm ToSetEquality$}

$\rm
[ToSetEquality
\stackrel{
\mathrm{tex}
}{\rightarrow}
\mbox{``}ToSetEquality
\mbox{''}
]$

$\rm
[ToSetEquality
\stackrel{
\mathrm{pyk}
}{\rightarrow}
\mbox{``}lemma
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}set
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}equality
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}suff
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}condition
\mbox{''}
]$

\hypertarget {url:1808490583581903168404721082347638465545342357588912671848929942716323841:98}{}\section* {$\rm HelperToSetEquality(t)$}

$\rm
[HelperToSetEquality(t)
\stackrel{
\mathrm{tex}
}{\rightarrow}
\mbox{``}HelperToSetEquality(t)
\mbox{''}
]$

$\rm
[HelperToSetEquality(t)
\stackrel{
\mathrm{pyk}
}{\rightarrow}
\mbox{``}lemma
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}set
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}equality
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}suff
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}condition(t)0
\mbox{''}
]$

\hypertarget {url:1808490583581903168404721082347638465545342357588912671848929942716323841:99}{}\section* {$\rm ToSetEquality(t)$}

$\rm
[ToSetEquality(t)
\stackrel{
\mathrm{tex}
}{\rightarrow}
\mbox{``}ToSetEquality(t)
\mbox{''}
]$

$\rm
[ToSetEquality(t)
\stackrel{
\mathrm{pyk}
}{\rightarrow}
\mbox{``}lemma
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}set
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}equality
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}suff
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}condition(t)
\mbox{''}
]$

\hypertarget {url:1808490583581903168404721082347638465545342357588912671848929942716323841:100}{}\section* {$\rm HelperFromSetEquality$}

$\rm
[HelperFromSetEquality
\stackrel{
\mathrm{tex}
}{\rightarrow}
\mbox{``}HelperFromSetEquality
\mbox{''}
]$

$\rm
[HelperFromSetEquality
\stackrel{
\mathrm{pyk}
}{\rightarrow}
\mbox{``}lemma
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}set
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}equality
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}skip
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}quantifier
\mbox{''}
]$

\hypertarget {url:1808490583581903168404721082347638465545342357588912671848929942716323841:101}{}\section* {$\rm FromSetEquality$}

$\rm
[FromSetEquality
\stackrel{
\mathrm{tex}
}{\rightarrow}
\mbox{``}FromSetEquality
\mbox{''}
]$

$\rm
[FromSetEquality
\stackrel{
\mathrm{pyk}
}{\rightarrow}
\mbox{``}lemma
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}set
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}equality
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}nec
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}condition
\mbox{''}
]$

\hypertarget {url:1808490583581903168404721082347638465545342357588912671848929942716323841:102}{}\section* {$\rm HelperReflexivity$}

$\rm
[HelperReflexivity
\stackrel{
\mathrm{tex}
}{\rightarrow}
\mbox{``}HelperReflexivity
\mbox{''}
]$

$\rm
[HelperReflexivity
\stackrel{
\mathrm{pyk}
}{\rightarrow}
\mbox{``}lemma
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}reflexivity0
\mbox{''}
]$

\hypertarget {url:1808490583581903168404721082347638465545342357588912671848929942716323841:103}{}\section* {$\rm Reflexivity$}

$\rm
[Reflexivity
\stackrel{
\mathrm{tex}
}{\rightarrow}
\mbox{``}Reflexivity
\mbox{''}
]$

$\rm
[Reflexivity
\stackrel{
\mathrm{pyk}
}{\rightarrow}
\mbox{``}lemma
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}reflexivity
\mbox{''}
]$

\hypertarget {url:1808490583581903168404721082347638465545342357588912671848929942716323841:104}{}\section* {$\rm HelperSymmetry$}

$\rm
[HelperSymmetry
\stackrel{
\mathrm{tex}
}{\rightarrow}
\mbox{``}HelperSymmetry
\mbox{''}
]$

$\rm
[HelperSymmetry
\stackrel{
\mathrm{pyk}
}{\rightarrow}
\mbox{``}lemma
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}symmetry0
\mbox{''}
]$

\hypertarget {url:1808490583581903168404721082347638465545342357588912671848929942716323841:105}{}\section* {$\rm Symmetry$}

$\rm
[Symmetry
\stackrel{
\mathrm{tex}
}{\rightarrow}
\mbox{``}Symmetry
\mbox{''}
]$

$\rm
[Symmetry
\stackrel{
\mathrm{pyk}
}{\rightarrow}
\mbox{``}lemma
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}symmetry
\mbox{''}
]$

\hypertarget {url:1808490583581903168404721082347638465545342357588912671848929942716323841:106}{}\section* {$\rm HelperTransitivity$}

$\rm
[HelperTransitivity
\stackrel{
\mathrm{tex}
}{\rightarrow}
\mbox{``}HelperTransitivity
\mbox{''}
]$

$\rm
[HelperTransitivity
\stackrel{
\mathrm{pyk}
}{\rightarrow}
\mbox{``}lemma
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}transitivity0
\mbox{''}
]$

\hypertarget {url:1808490583581903168404721082347638465545342357588912671848929942716323841:107}{}\section* {$\rm Transitivity$}

$\rm
[Transitivity
\stackrel{
\mathrm{tex}
}{\rightarrow}
\mbox{``}Transitivity
\mbox{''}
]$

$\rm
[Transitivity
\stackrel{
\mathrm{pyk}
}{\rightarrow}
\mbox{``}lemma
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}transitivity
\mbox{''}
]$

\hypertarget {url:1808490583581903168404721082347638465545342357588912671848929942716323841:108}{}\section* {$\rm ERisReflexive$}

$\rm
[ERisReflexive
\stackrel{
\mathrm{tex}
}{\rightarrow}
\mbox{``}ERisReflexive
\mbox{''}
]$

$\rm
[ERisReflexive
\stackrel{
\mathrm{pyk}
}{\rightarrow}
\mbox{``}lemma
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}er
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}is
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}reflexive
\mbox{''}
]$

\hypertarget {url:1808490583581903168404721082347638465545342357588912671848929942716323841:109}{}\section* {$\rm ERisSymmetric$}

$\rm
[ERisSymmetric
\stackrel{
\mathrm{tex}
}{\rightarrow}
\mbox{``}ERisSymmetric
\mbox{''}
]$

$\rm
[ERisSymmetric
\stackrel{
\mathrm{pyk}
}{\rightarrow}
\mbox{``}lemma
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}er
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}is
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}symmetric
\mbox{''}
]$

\hypertarget {url:1808490583581903168404721082347638465545342357588912671848929942716323841:110}{}\section* {$\rm ERisTransitive$}

$\rm
[ERisTransitive
\stackrel{
\mathrm{tex}
}{\rightarrow}
\mbox{``}ERisTransitive
\mbox{''}
]$

$\rm
[ERisTransitive
\stackrel{
\mathrm{pyk}
}{\rightarrow}
\mbox{``}lemma
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}er
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}is
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}transitive
\mbox{''}
]$

\hypertarget {url:1808490583581903168404721082347638465545342357588912671848929942716323841:111}{}\section* {$\rm \O{}isSubset$}

$\rm
[\O{}isSubset
\stackrel{
\mathrm{tex}
}{\rightarrow}
\mbox{``}
\mbox {$\backslash $}O
\{
\}isSubset
\mbox{''}
]$

$\rm
[\O{}isSubset
\stackrel{
\mathrm{pyk}
}{\rightarrow}
\mbox{``}lemma
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}empty
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}set
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}is
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}subset
\mbox{''}
]$

\hypertarget {url:1808490583581903168404721082347638465545342357588912671848929942716323841:112}{}\section* {$\rm HelperMemberNot\O{}$}

$\rm
[HelperMemberNot\O{}
\stackrel{
\mathrm{tex}
}{\rightarrow}
\mbox{``}HelperMemberNot
\mbox {$\backslash $}O
\{
\}
\mbox{''}
]$

$\rm
[HelperMemberNot\O{}
\stackrel{
\mathrm{pyk}
}{\rightarrow}
\mbox{``}lemma
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}member
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}not
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}empty0
\mbox{''}
]$

\hypertarget {url:1808490583581903168404721082347638465545342357588912671848929942716323841:113}{}\section* {$\rm MemberNot\O{}$}

$\rm
[MemberNot\O{}
\stackrel{
\mathrm{tex}
}{\rightarrow}
\mbox{``}MemberNot
\mbox {$\backslash $}O
\{
\}
\mbox{''}
]$

$\rm
[MemberNot\O{}
\stackrel{
\mathrm{pyk}
}{\rightarrow}
\mbox{``}lemma
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}member
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}not
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}empty
\mbox{''}
]$

\hypertarget {url:1808490583581903168404721082347638465545342357588912671848929942716323841:114}{}\section* {$\rm HelperUnique\O{}$}

$\rm
[HelperUnique\O{}
\stackrel{
\mathrm{tex}
}{\rightarrow}
\mbox{``}HelperUnique
\mbox {$\backslash $}O
\{
\}
\mbox{''}
]$

$\rm
[HelperUnique\O{}
\stackrel{
\mathrm{pyk}
}{\rightarrow}
\mbox{``}lemma
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}unique
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}empty
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}set0
\mbox{''}
]$

\hypertarget {url:1808490583581903168404721082347638465545342357588912671848929942716323841:115}{}\section* {$\rm Unique\O{}$}

$\rm
[Unique\O{}
\stackrel{
\mathrm{tex}
}{\rightarrow}
\mbox{``}Unique
\mbox {$\backslash $}O
\{
\}
\mbox{''}
]$

$\rm
[Unique\O{}
\stackrel{
\mathrm{pyk}
}{\rightarrow}
\mbox{``}lemma
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}unique
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}empty
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}set
\mbox{''}
]$

\hypertarget {url:1808490583581903168404721082347638465545342357588912671848929942716323841:116}{}\section* {$\rm ==\!{}Reflexivity$}

$\rm
[==\!{}Reflexivity
\stackrel{
proof
}{\rightarrow}
Rule\ tactic
]$

$\rm
[==\!{}Reflexivity
\stackrel{
stmt
}{\rightarrow}ZFsub
\vdash 
\forall \underline{(rx)}
\colon \underline{(rx)}
 == \underline{(rx)}
]$

$\rm
[==\!{}Reflexivity
\stackrel{
\mathrm{tex}
}{\rightarrow}
\mbox{``}
{=}
{=}
\mbox {$\backslash $}!
\{
\}Reflexivity
\mbox{''}
]$

$\rm
[==\!{}Reflexivity
\stackrel{
\mathrm{pyk}
}{\rightarrow}
\mbox{``}lemma
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}
{=}
{=}Reflexivity
\mbox{''}
]$

\hypertarget {url:1808490583581903168404721082347638465545342357588912671848929942716323841:117}{}\section* {$\rm ==\!{}Symmetry$}

$\rm
[==\!{}Symmetry
\stackrel{
proof
}{\rightarrow}
Rule\ tactic
]$

$\rm
[==\!{}Symmetry
\stackrel{
stmt
}{\rightarrow}ZFsub
\vdash 
\forall \underline{(rx)}
\colon 
\forall \underline{(ry)}
\colon \underline{(rx)}
 == \underline{(ry)}
\vdash \underline{(ry)}
 == \underline{(rx)}
]$

$\rm
[==\!{}Symmetry
\stackrel{
\mathrm{tex}
}{\rightarrow}
\mbox{``}
{=}
{=}
\mbox {$\backslash $}!
\{
\}Symmetry
\mbox{''}
]$

$\rm
[==\!{}Symmetry
\stackrel{
\mathrm{pyk}
}{\rightarrow}
\mbox{``}lemma
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}
{=}
{=}Symmetry
\mbox{''}
]$

\hypertarget {url:1808490583581903168404721082347638465545342357588912671848929942716323841:118}{}\section* {$\rm Helper\!{}==\!{}Transitivity$}

$\rm
[Helper\!{}==\!{}Transitivity
\stackrel{
\mathrm{tex}
}{\rightarrow}
\mbox{``}Helper
\mbox {$\backslash $}!
\{
\}
{=}
{=}
\mbox {$\backslash $}!
\{
\}Transitivity
\mbox{''}
]$

$\rm
[Helper\!{}==\!{}Transitivity
\stackrel{
\mathrm{pyk}
}{\rightarrow}
\mbox{``}lemma
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}
{=}
{=}Transitivity0
\mbox{''}
]$

\hypertarget {url:1808490583581903168404721082347638465545342357588912671848929942716323841:119}{}\section* {$\rm \!{}==\!{}Transitivity$}

$\rm
[\!{}==\!{}Transitivity
\stackrel{
proof
}{\rightarrow}
Rule\ tactic
]$

$\rm
[\!{}==\!{}Transitivity
\stackrel{
stmt
}{\rightarrow}ZFsub
\vdash 
\forall \underline{(rx)}
\colon 
\forall \underline{(ry)}
\colon 
\forall \underline{(rz)}
\colon \underline{(rx)}
 == \underline{(ry)}
\vdash \underline{(ry)}
 == \underline{(rz)}
\vdash \underline{(rx)}
 == \underline{(rz)}
]$

$\rm
[\!{}==\!{}Transitivity
\stackrel{
\mathrm{tex}
}{\rightarrow}
\mbox{``}
\mbox {$\backslash $}!
\{
\}
{=}
{=}
\mbox {$\backslash $}!
\{
\}Transitivity
\mbox{''}
]$

$\rm
[\!{}==\!{}Transitivity
\stackrel{
\mathrm{pyk}
}{\rightarrow}
\mbox{``}lemma
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}
{=}
{=}Transitivity
\mbox{''}
]$

\hypertarget {url:1808490583581903168404721082347638465545342357588912671848929942716323841:120}{}\section* {$\rm HelperTransferNotEq$}

$\rm
[HelperTransferNotEq
\stackrel{
\mathrm{tex}
}{\rightarrow}
\mbox{``}HelperTransferNotEq
\mbox{''}
]$

$\rm
[HelperTransferNotEq
\stackrel{
\mathrm{pyk}
}{\rightarrow}
\mbox{``}lemma
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}transfer
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}
\char126 is0
\mbox{''}
]$

\hypertarget {url:1808490583581903168404721082347638465545342357588912671848929942716323841:121}{}\section* {$\rm TransferNotEq$}

$\rm
[TransferNotEq
\stackrel{
\mathrm{tex}
}{\rightarrow}
\mbox{``}TransferNotEq
\mbox{''}
]$

$\rm
[TransferNotEq
\stackrel{
\mathrm{pyk}
}{\rightarrow}
\mbox{``}lemma
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}transfer
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}
\char126 is
\mbox{''}
]$

\hypertarget {url:1808490583581903168404721082347638465545342357588912671848929942716323841:122}{}\section* {$\rm HelperPairSubset$}

$\rm
[HelperPairSubset
\stackrel{
\mathrm{tex}
}{\rightarrow}
\mbox{``}HelperPairSubset
\mbox{''}
]$

$\rm
[HelperPairSubset
\stackrel{
\mathrm{pyk}
}{\rightarrow}
\mbox{``}lemma
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}pair
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}subset0
\mbox{''}
]$

\hypertarget {url:1808490583581903168404721082347638465545342357588912671848929942716323841:123}{}\section* {$\rm Helper(2)PairSubset$}

$\rm
[Helper(2)PairSubset
\stackrel{
\mathrm{tex}
}{\rightarrow}
\mbox{``}Helper(2)PairSubset
\mbox{''}
]$

$\rm
[Helper(2)PairSubset
\stackrel{
\mathrm{pyk}
}{\rightarrow}
\mbox{``}lemma
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}pair
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}subset1
\mbox{''}
]$

\hypertarget {url:1808490583581903168404721082347638465545342357588912671848929942716323841:124}{}\section* {$\rm PairSubset$}

$\rm
[PairSubset
\stackrel{
\mathrm{tex}
}{\rightarrow}
\mbox{``}PairSubset
\mbox{''}
]$

$\rm
[PairSubset
\stackrel{
\mathrm{pyk}
}{\rightarrow}
\mbox{``}lemma
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}pair
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}subset
\mbox{''}
]$

\hypertarget {url:1808490583581903168404721082347638465545342357588912671848929942716323841:125}{}\section* {$\rm SamePair$}

$\rm
[SamePair
\stackrel{
\mathrm{tex}
}{\rightarrow}
\mbox{``}SamePair
\mbox{''}
]$

$\rm
[SamePair
\stackrel{
\mathrm{pyk}
}{\rightarrow}
\mbox{``}lemma
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}same
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}pair
\mbox{''}
]$

\hypertarget {url:1808490583581903168404721082347638465545342357588912671848929942716323841:126}{}\section* {$\rm SameSingleton$}

$\rm
[SameSingleton
\stackrel{
\mathrm{tex}
}{\rightarrow}
\mbox{``}SameSingleton
\mbox{''}
]$

$\rm
[SameSingleton
\stackrel{
\mathrm{pyk}
}{\rightarrow}
\mbox{``}lemma
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}same
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}singleton
\mbox{''}
]$

\hypertarget {url:1808490583581903168404721082347638465545342357588912671848929942716323841:127}{}\section* {$\rm UnionSubset$}

$\rm
[UnionSubset
\stackrel{
\mathrm{tex}
}{\rightarrow}
\mbox{``}UnionSubset
\mbox{''}
]$

$\rm
[UnionSubset
\stackrel{
\mathrm{pyk}
}{\rightarrow}
\mbox{``}lemma
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}union
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}subset
\mbox{''}
]$

\hypertarget {url:1808490583581903168404721082347638465545342357588912671848929942716323841:128}{}\section* {$\rm SameUnion$}

$\rm
[SameUnion
\stackrel{
\mathrm{tex}
}{\rightarrow}
\mbox{``}SameUnion
\mbox{''}
]$

$\rm
[SameUnion
\stackrel{
\mathrm{pyk}
}{\rightarrow}
\mbox{``}lemma
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}same
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}union
\mbox{''}
]$

\hypertarget {url:1808490583581903168404721082347638465545342357588912671848929942716323841:129}{}\section* {$\rm SeparationSubset$}

$\rm
[SeparationSubset
\stackrel{
\mathrm{tex}
}{\rightarrow}
\mbox{``}SeparationSubset
\mbox{''}
]$

$\rm
[SeparationSubset
\stackrel{
\mathrm{pyk}
}{\rightarrow}
\mbox{``}lemma
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}separation
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}subset
\mbox{''}
]$

\hypertarget {url:1808490583581903168404721082347638465545342357588912671848929942716323841:130}{}\section* {$\rm SameSeparation$}

$\rm
[SameSeparation
\stackrel{
\mathrm{tex}
}{\rightarrow}
\mbox{``}SameSeparation
\mbox{''}
]$

$\rm
[SameSeparation
\stackrel{
\mathrm{pyk}
}{\rightarrow}
\mbox{``}lemma
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}same
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}separation
\mbox{''}
]$

\hypertarget {url:1808490583581903168404721082347638465545342357588912671848929942716323841:131}{}\section* {$\rm SameBinaryUnion$}

$\rm
[SameBinaryUnion
\stackrel{
\mathrm{tex}
}{\rightarrow}
\mbox{``}SameBinaryUnion
\mbox{''}
]$

$\rm
[SameBinaryUnion
\stackrel{
\mathrm{pyk}
}{\rightarrow}
\mbox{``}lemma
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}same
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}binary
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}union
\mbox{''}
]$

\hypertarget {url:1808490583581903168404721082347638465545342357588912671848929942716323841:132}{}\section* {$\rm IntersectionSubset$}

$\rm
[IntersectionSubset
\stackrel{
\mathrm{tex}
}{\rightarrow}
\mbox{``}IntersectionSubset
\mbox{''}
]$

$\rm
[IntersectionSubset
\stackrel{
\mathrm{pyk}
}{\rightarrow}
\mbox{``}lemma
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}intersection
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}subset
\mbox{''}
]$

\hypertarget {url:1808490583581903168404721082347638465545342357588912671848929942716323841:133}{}\section* {$\rm SameIntersection$}

$\rm
[SameIntersection
\stackrel{
\mathrm{tex}
}{\rightarrow}
\mbox{``}SameIntersection
\mbox{''}
]$

$\rm
[SameIntersection
\stackrel{
\mathrm{pyk}
}{\rightarrow}
\mbox{``}lemma
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}same
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}intersection
\mbox{''}
]$

\hypertarget {url:1808490583581903168404721082347638465545342357588912671848929942716323841:134}{}\section* {$\rm AutoMember$}

$\rm
[AutoMember
\stackrel{
\mathrm{tex}
}{\rightarrow}
\mbox{``}AutoMember
\mbox{''}
]$

$\rm
[AutoMember
\stackrel{
\mathrm{pyk}
}{\rightarrow}
\mbox{``}lemma
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}auto
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}member
\mbox{''}
]$

\hypertarget {url:1808490583581903168404721082347638465545342357588912671848929942716323841:135}{}\section* {$\rm HelperEqSysNot\O{}$}

$\rm
[HelperEqSysNot\O{}
\stackrel{
\mathrm{tex}
}{\rightarrow}
\mbox{``}HelperEqSysNot
\mbox {$\backslash $}O
\{
\}
\mbox{''}
]$

$\rm
[HelperEqSysNot\O{}
\stackrel{
\mathrm{pyk}
}{\rightarrow}
\mbox{``}lemma
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}eq
\mbox{-}system
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}not
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}empty0
\mbox{''}
]$

\hypertarget {url:1808490583581903168404721082347638465545342357588912671848929942716323841:136}{}\section* {$\rm EqSysNot\O{}$}

$\rm
[EqSysNot\O{}
\stackrel{
\mathrm{tex}
}{\rightarrow}
\mbox{``}EqSysNot
\mbox {$\backslash $}O
\{
\}
\mbox{''}
]$

$\rm
[EqSysNot\O{}
\stackrel{
\mathrm{pyk}
}{\rightarrow}
\mbox{``}lemma
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}eq
\mbox{-}system
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}not
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}empty
\mbox{''}
]$

\hypertarget {url:1808490583581903168404721082347638465545342357588912671848929942716323841:137}{}\section* {$\rm HelperEqSubset$}

$\rm
[HelperEqSubset
\stackrel{
\mathrm{tex}
}{\rightarrow}
\mbox{``}HelperEqSubset
\mbox{''}
]$

$\rm
[HelperEqSubset
\stackrel{
\mathrm{pyk}
}{\rightarrow}
\mbox{``}lemma
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}eq
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}subset0
\mbox{''}
]$

\hypertarget {url:1808490583581903168404721082347638465545342357588912671848929942716323841:138}{}\section* {$\rm EqSubset$}

$\rm
[EqSubset
\stackrel{
\mathrm{tex}
}{\rightarrow}
\mbox{``}EqSubset
\mbox{''}
]$

$\rm
[EqSubset
\stackrel{
\mathrm{pyk}
}{\rightarrow}
\mbox{``}lemma
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}eq
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}subset
\mbox{''}
]$

\hypertarget {url:1808490583581903168404721082347638465545342357588912671848929942716323841:139}{}\section* {$\rm HelperEqNecessary$}

$\rm
[HelperEqNecessary
\stackrel{
\mathrm{tex}
}{\rightarrow}
\mbox{``}HelperEqNecessary
\mbox{''}
]$

$\rm
[HelperEqNecessary
\stackrel{
\mathrm{pyk}
}{\rightarrow}
\mbox{``}lemma
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}equivalence
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}nec
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}condition0
\mbox{''}
]$

\hypertarget {url:1808490583581903168404721082347638465545342357588912671848929942716323841:140}{}\section* {$\rm EqNecessary$}

$\rm
[EqNecessary
\stackrel{
\mathrm{tex}
}{\rightarrow}
\mbox{``}EqNecessary
\mbox{''}
]$

$\rm
[EqNecessary
\stackrel{
\mathrm{pyk}
}{\rightarrow}
\mbox{``}lemma
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}equivalence
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}nec
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}condition
\mbox{''}
]$

\hypertarget {url:1808490583581903168404721082347638465545342357588912671848929942716323841:141}{}\section* {$\rm HelperNoneEqNecessary$}

$\rm
[HelperNoneEqNecessary
\stackrel{
\mathrm{tex}
}{\rightarrow}
\mbox{``}HelperNoneEqNecessary
\mbox{''}
]$

$\rm
[HelperNoneEqNecessary
\stackrel{
\mathrm{pyk}
}{\rightarrow}
\mbox{``}lemma
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}none
\mbox{-}equivalence
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}nec
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}condition0
\mbox{''}
]$

\hypertarget {url:1808490583581903168404721082347638465545342357588912671848929942716323841:142}{}\section* {$\rm Helper(2)NoneEqNecessary$}

$\rm
[Helper(2)NoneEqNecessary
\stackrel{
\mathrm{tex}
}{\rightarrow}
\mbox{``}Helper(2)NoneEqNecessary
\mbox{''}
]$

$\rm
[Helper(2)NoneEqNecessary
\stackrel{
\mathrm{pyk}
}{\rightarrow}
\mbox{``}lemma
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}none
\mbox{-}equivalence
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}nec
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}condition1
\mbox{''}
]$

\hypertarget {url:1808490583581903168404721082347638465545342357588912671848929942716323841:143}{}\section* {$\rm NoneEqNecessary$}

$\rm
[NoneEqNecessary
\stackrel{
\mathrm{tex}
}{\rightarrow}
\mbox{``}NoneEqNecessary
\mbox{''}
]$

$\rm
[NoneEqNecessary
\stackrel{
\mathrm{pyk}
}{\rightarrow}
\mbox{``}lemma
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}none
\mbox{-}equivalence
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}nec
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}condition
\mbox{''}
]$

\hypertarget {url:1808490583581903168404721082347638465545342357588912671848929942716323841:144}{}\section* {$\rm EqClassIsSubset$}

$\rm
[EqClassIsSubset
\stackrel{
\mathrm{tex}
}{\rightarrow}
\mbox{``}EqClassIsSubset
\mbox{''}
]$

$\rm
[EqClassIsSubset
\stackrel{
\mathrm{pyk}
}{\rightarrow}
\mbox{``}lemma
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}equivalence
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}class
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}is
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}subset
\mbox{''}
]$

\hypertarget {url:1808490583581903168404721082347638465545342357588912671848929942716323841:145}{}\section* {$\rm EqClassesAreDisjoint$}

$\rm
[EqClassesAreDisjoint
\stackrel{
\mathrm{tex}
}{\rightarrow}
\mbox{``}EqClassesAreDisjoint
\mbox{''}
]$

$\rm
[EqClassesAreDisjoint
\stackrel{
\mathrm{pyk}
}{\rightarrow}
\mbox{``}lemma
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}equivalence
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}classes
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}are
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}disjoint
\mbox{''}
]$

\hypertarget {url:1808490583581903168404721082347638465545342357588912671848929942716323841:146}{}\section* {$\rm AllDisjoint$}

$\rm
[AllDisjoint
\stackrel{
\mathrm{tex}
}{\rightarrow}
\mbox{``}AllDisjoint
\mbox{''}
]$

$\rm
[AllDisjoint
\stackrel{
\mathrm{pyk}
}{\rightarrow}
\mbox{``}lemma
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}all
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}disjoint
\mbox{''}
]$

\hypertarget {url:1808490583581903168404721082347638465545342357588912671848929942716323841:147}{}\section* {$\rm AllDisjointImply$}

$\rm
[AllDisjointImply
\stackrel{
\mathrm{tex}
}{\rightarrow}
\mbox{``}AllDisjointImply
\mbox{''}
]$

$\rm
[AllDisjointImply
\stackrel{
\mathrm{pyk}
}{\rightarrow}
\mbox{``}lemma
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}all
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}disjoint
\mbox{-}imply
\mbox{''}
]$

\hypertarget {url:1808490583581903168404721082347638465545342357588912671848929942716323841:148}{}\section* {$\rm BSsubset$}

$\rm
[BSsubset
\stackrel{
\mathrm{tex}
}{\rightarrow}
\mbox{``}BSsubset
\mbox{''}
]$

$\rm
[BSsubset
\stackrel{
\mathrm{pyk}
}{\rightarrow}
\mbox{``}lemma
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}bs
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}subset
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}union(bs/r)
\mbox{''}
]$

\hypertarget {url:1808490583581903168404721082347638465545342357588912671848929942716323841:149}{}\section* {$\rm Union(BS/R)subset$}

$\rm
[Union(BS/R)subset
\stackrel{
\mathrm{tex}
}{\rightarrow}
\mbox{``}Union(BS/R)subset
\mbox{''}
]$

$\rm
[Union(BS/R)subset
\stackrel{
\mathrm{pyk}
}{\rightarrow}
\mbox{``}lemma
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}union(bs/r)
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}subset
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}bs
\mbox{''}
]$

\hypertarget {url:1808490583581903168404721082347638465545342357588912671848929942716323841:150}{}\section* {$\rm UnionIdentity$}

$\rm
[UnionIdentity
\stackrel{
\mathrm{tex}
}{\rightarrow}
\mbox{``}UnionIdentity
\mbox{''}
]$

$\rm
[UnionIdentity
\stackrel{
\mathrm{pyk}
}{\rightarrow}
\mbox{``}lemma
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}union(bs/r)
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}is
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}bs
\mbox{''}
]$

\hypertarget {url:1808490583581903168404721082347638465545342357588912671848929942716323841:151}{}\section* {$\rm EqSysIsPartition$}

$\rm
[EqSysIsPartition
\stackrel{
\mathrm{tex}
}{\rightarrow}
\mbox{``}EqSysIsPartition
\mbox{''}
]$

$\rm
[EqSysIsPartition
\stackrel{
\mathrm{pyk}
}{\rightarrow}
\mbox{``}theorem
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}eq
\mbox{-}system
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}is
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}partition
\mbox{''}
]$

\hypertarget {url:1808490583581903168404721082347638465545342357588912671848929942716323841:152}{}\section* {$\rm (\epsilon)$}

$\rm
[(\epsilon)
\stackrel{
\mathrm{tex}
}{\rightarrow}
\mbox{``}(
\mbox {$\backslash $}epsilon)
\mbox{''}
]$

$\rm
[(\epsilon)
\stackrel{
\mathrm{pyk}
}{\rightarrow}
\mbox{``}var
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}ep
\mbox{''}
]$

\hypertarget {url:1808490583581903168404721082347638465545342357588912671848929942716323841:153}{}\section* {$\rm (fx)$}

$\rm
[(fx)
\stackrel{
\mathrm{tex}
}{\rightarrow}
\mbox{``}(fx)
\mbox{''}
]$

$\rm
[(fx)
\stackrel{
\mathrm{pyk}
}{\rightarrow}
\mbox{``}var
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}fx
\mbox{''}
]$

\hypertarget {url:1808490583581903168404721082347638465545342357588912671848929942716323841:154}{}\section* {$\rm (fy)$}

$\rm
[(fy)
\stackrel{
\mathrm{tex}
}{\rightarrow}
\mbox{``}(fy)
\mbox{''}
]$

$\rm
[(fy)
\stackrel{
\mathrm{pyk}
}{\rightarrow}
\mbox{``}var
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}fy
\mbox{''}
]$

\hypertarget {url:1808490583581903168404721082347638465545342357588912671848929942716323841:155}{}\section* {$\rm (fz)$}

$\rm
[(fz)
\stackrel{
\mathrm{tex}
}{\rightarrow}
\mbox{``}(fz)
\mbox{''}
]$

$\rm
[(fz)
\stackrel{
\mathrm{pyk}
}{\rightarrow}
\mbox{``}var
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}fz
\mbox{''}
]$

\hypertarget {url:1808490583581903168404721082347638465545342357588912671848929942716323841:156}{}\section* {$\rm (fv)$}

$\rm
[(fv)
\stackrel{
\mathrm{tex}
}{\rightarrow}
\mbox{``}(fv)
\mbox{''}
]$

$\rm
[(fv)
\stackrel{
\mathrm{pyk}
}{\rightarrow}
\mbox{``}var
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}fu
\mbox{''}
]$

\hypertarget {url:1808490583581903168404721082347638465545342357588912671848929942716323841:157}{}\section* {$\rm 
\mbox{var fv}$}

$\rm
[
\mbox{var fv}
\stackrel{
\mathrm{pyk}
}{\rightarrow}
\mbox{``}var
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}fv
\mbox{''}
]$

\hypertarget {url:1808490583581903168404721082347638465545342357588912671848929942716323841:158}{}\section* {$\rm (rx)$}

$\rm
[(rx)
\stackrel{
\mathrm{tex}
}{\rightarrow}
\mbox{``}(rx)
\mbox{''}
]$

$\rm
[(rx)
\stackrel{
\mathrm{pyk}
}{\rightarrow}
\mbox{``}var
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}rx
\mbox{''}
]$

\hypertarget {url:1808490583581903168404721082347638465545342357588912671848929942716323841:159}{}\section* {$\rm (ry)$}

$\rm
[(ry)
\stackrel{
\mathrm{tex}
}{\rightarrow}
\mbox{``}(ry)
\mbox{''}
]$

$\rm
[(ry)
\stackrel{
\mathrm{pyk}
}{\rightarrow}
\mbox{``}var
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}ry
\mbox{''}
]$

\hypertarget {url:1808490583581903168404721082347638465545342357588912671848929942716323841:160}{}\section* {$\rm (rz)$}

$\rm
[(rz)
\stackrel{
\mathrm{tex}
}{\rightarrow}
\mbox{``}(rz)
\mbox{''}
]$

$\rm
[(rz)
\stackrel{
\mathrm{pyk}
}{\rightarrow}
\mbox{``}var
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}rz
\mbox{''}
]$

\hypertarget {url:1808490583581903168404721082347638465545342357588912671848929942716323841:161}{}\section* {$\rm (ru)$}

$\rm
[(ru)
\stackrel{
\mathrm{tex}
}{\rightarrow}
\mbox{``}(ru)
\mbox{''}
]$

$\rm
[(ru)
\stackrel{
\mathrm{pyk}
}{\rightarrow}
\mbox{``}var
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}ru
\mbox{''}
]$

\hypertarget {url:1808490583581903168404721082347638465545342357588912671848929942716323841:162}{}\section* {$\rm \epsilon$}

$\rm
[\epsilon
\stackrel{
\mathrm {macro}
}{\rightarrow}
\lambda 
\mathsf {t}
.
\lambda 
\mathsf {s}
.
\lambda 
\mathsf {c}
.
\tilde {{\cal M}}_4(
\mathsf {t}
,
\mathsf {s}
,
\mathsf {c}
,
\lceil 
[\epsilon
\mathrel {\ddot {=}}\underline{(\epsilon)}
]
\rceil 
)
]$

$\rm
[\epsilon
\stackrel{
\mathrm{tex}
}{\rightarrow}
\mbox{``}
\mbox {$\backslash $}epsilon
\mbox{''}
]$

$\rm
[\epsilon
\stackrel{
\mathrm{pyk}
}{\rightarrow}
\mbox{``}meta
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}ep
\mbox{''}
]$

\hypertarget {url:1808490583581903168404721082347638465545342357588912671848929942716323841:163}{}\section* {$\rm FX$}

$\rm
[FX
\stackrel{
\mathrm {macro}
}{\rightarrow}
\lambda 
\mathsf {t}
.
\lambda 
\mathsf {s}
.
\lambda 
\mathsf {c}
.
\tilde {{\cal M}}_4(
\mathsf {t}
,
\mathsf {s}
,
\mathsf {c}
,
\lceil 
[FX
\mathrel {\ddot {=}}\underline{(fx)}
]
\rceil 
)
]$

$\rm
[FX
\stackrel{
\mathrm{tex}
}{\rightarrow}
\mbox{``}FX
\mbox{''}
]$

$\rm
[FX
\stackrel{
\mathrm{pyk}
}{\rightarrow}
\mbox{``}meta
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}fx
\mbox{''}
]$

\hypertarget {url:1808490583581903168404721082347638465545342357588912671848929942716323841:164}{}\section* {$\rm FY$}

$\rm
[FY
\stackrel{
\mathrm {macro}
}{\rightarrow}
\lambda 
\mathsf {t}
.
\lambda 
\mathsf {s}
.
\lambda 
\mathsf {c}
.
\tilde {{\cal M}}_4(
\mathsf {t}
,
\mathsf {s}
,
\mathsf {c}
,
\lceil 
[FY
\mathrel {\ddot {=}}\underline{(fy)}
]
\rceil 
)
]$

$\rm
[FY
\stackrel{
\mathrm{tex}
}{\rightarrow}
\mbox{``}FY
\mbox{''}
]$

$\rm
[FY
\stackrel{
\mathrm{pyk}
}{\rightarrow}
\mbox{``}meta
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}fy
\mbox{''}
]$

\hypertarget {url:1808490583581903168404721082347638465545342357588912671848929942716323841:165}{}\section* {$\rm FZ$}

$\rm
[FZ
\stackrel{
\mathrm {macro}
}{\rightarrow}
\lambda 
\mathsf {t}
.
\lambda 
\mathsf {s}
.
\lambda 
\mathsf {c}
.
\tilde {{\cal M}}_4(
\mathsf {t}
,
\mathsf {s}
,
\mathsf {c}
,
\lceil 
[FZ
\mathrel {\ddot {=}}\underline{(fz)}
]
\rceil 
)
]$

$\rm
[FZ
\stackrel{
\mathrm{tex}
}{\rightarrow}
\mbox{``}FZ
\mbox{''}
]$

$\rm
[FZ
\stackrel{
\mathrm{pyk}
}{\rightarrow}
\mbox{``}meta
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}fz
\mbox{''}
]$

\hypertarget {url:1808490583581903168404721082347638465545342357588912671848929942716323841:166}{}\section* {$\rm FU$}

$\rm
[FU
\stackrel{
\mathrm {macro}
}{\rightarrow}
\lambda 
\mathsf {t}
.
\lambda 
\mathsf {s}
.
\lambda 
\mathsf {c}
.
\tilde {{\cal M}}_4(
\mathsf {t}
,
\mathsf {s}
,
\mathsf {c}
,
\lceil 
[FU
\mathrel {\ddot {=}}\underline{(fv)}
]
\rceil 
)
]$

$\rm
[FU
\stackrel{
\mathrm{tex}
}{\rightarrow}
\mbox{``}FU
\mbox{''}
]$

$\rm
[FU
\stackrel{
\mathrm{pyk}
}{\rightarrow}
\mbox{``}meta
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}fu
\mbox{''}
]$

\hypertarget {url:1808490583581903168404721082347638465545342357588912671848929942716323841:167}{}\section* {$\rm FV$}

$\rm
[FV
\stackrel{
\mathrm {macro}
}{\rightarrow}
\lambda 
\mathsf {t}
.
\lambda 
\mathsf {s}
.
\lambda 
\mathsf {c}
.
\tilde {{\cal M}}_4(
\mathsf {t}
,
\mathsf {s}
,
\mathsf {c}
,
\lceil 
[FV
\mathrel {\ddot {=}}\underline{
\mbox{var fv}}
]
\rceil 
)
]$

$\rm
[FV
\stackrel{
\mathrm{tex}
}{\rightarrow}
\mbox{``}FV
\mbox{''}
]$

$\rm
[FV
\stackrel{
\mathrm{pyk}
}{\rightarrow}
\mbox{``}meta
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}fv
\mbox{''}
]$

\hypertarget {url:1808490583581903168404721082347638465545342357588912671848929942716323841:168}{}\section* {$\rm RX$}

$\rm
[RX
\stackrel{
\mathrm {macro}
}{\rightarrow}
\lambda 
\mathsf {t}
.
\lambda 
\mathsf {s}
.
\lambda 
\mathsf {c}
.
\tilde {{\cal M}}_4(
\mathsf {t}
,
\mathsf {s}
,
\mathsf {c}
,
\lceil 
[RX
\mathrel {\ddot {=}}\underline{(rx)}
]
\rceil 
)
]$

$\rm
[RX
\stackrel{
\mathrm{tex}
}{\rightarrow}
\mbox{``}RX
\mbox{''}
]$

$\rm
[RX
\stackrel{
\mathrm{pyk}
}{\rightarrow}
\mbox{``}meta
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}rx
\mbox{''}
]$

\hypertarget {url:1808490583581903168404721082347638465545342357588912671848929942716323841:169}{}\section* {$\rm RY$}

$\rm
[RY
\stackrel{
\mathrm {macro}
}{\rightarrow}
\lambda 
\mathsf {t}
.
\lambda 
\mathsf {s}
.
\lambda 
\mathsf {c}
.
\tilde {{\cal M}}_4(
\mathsf {t}
,
\mathsf {s}
,
\mathsf {c}
,
\lceil 
[RY
\mathrel {\ddot {=}}\underline{(ry)}
]
\rceil 
)
]$

$\rm
[RY
\stackrel{
\mathrm{tex}
}{\rightarrow}
\mbox{``}RY
\mbox{''}
]$

$\rm
[RY
\stackrel{
\mathrm{pyk}
}{\rightarrow}
\mbox{``}meta
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}ry
\mbox{''}
]$

\hypertarget {url:1808490583581903168404721082347638465545342357588912671848929942716323841:170}{}\section* {$\rm RZ$}

$\rm
[RZ
\stackrel{
\mathrm {macro}
}{\rightarrow}
\lambda 
\mathsf {t}
.
\lambda 
\mathsf {s}
.
\lambda 
\mathsf {c}
.
\tilde {{\cal M}}_4(
\mathsf {t}
,
\mathsf {s}
,
\mathsf {c}
,
\lceil 
[RZ
\mathrel {\ddot {=}}\underline{(rz)}
]
\rceil 
)
]$

$\rm
[RZ
\stackrel{
\mathrm{tex}
}{\rightarrow}
\mbox{``}RZ
\mbox{''}
]$

$\rm
[RZ
\stackrel{
\mathrm{pyk}
}{\rightarrow}
\mbox{``}meta
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}rz
\mbox{''}
]$

\hypertarget {url:1808490583581903168404721082347638465545342357588912671848929942716323841:171}{}\section* {$\rm RU$}

$\rm
[RU
\stackrel{
\mathrm {macro}
}{\rightarrow}
\lambda 
\mathsf {t}
.
\lambda 
\mathsf {s}
.
\lambda 
\mathsf {c}
.
\tilde {{\cal M}}_4(
\mathsf {t}
,
\mathsf {s}
,
\mathsf {c}
,
\lceil 
[RU
\mathrel {\ddot {=}}\underline{(ru)}
]
\rceil 
)
]$

$\rm
[RU
\stackrel{
\mathrm{tex}
}{\rightarrow}
\mbox{``}RU
\mbox{''}
]$

$\rm
[RU
\stackrel{
\mathrm{pyk}
}{\rightarrow}
\mbox{``}meta
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}ru
\mbox{''}
]$

\hypertarget {url:1808490583581903168404721082347638465545342357588912671848929942716323841:172}{}\section* {$\rm 0$}

$\rm
[0
\stackrel{
\mathrm{tex}
}{\rightarrow}
\mbox{``}0
\mbox{''}
]$

$\rm
[0
\stackrel{
\mathrm{pyk}
}{\rightarrow}
\mbox{``}0
\mbox{''}
]$

\hypertarget {url:1808490583581903168404721082347638465545342357588912671848929942716323841:173}{}\section* {$\rm 1$}

$\rm
[1
\stackrel{
\mathrm{tex}
}{\rightarrow}
\mbox{``}1
\mbox{''}
]$

$\rm
[1
\stackrel{
\mathrm{pyk}
}{\rightarrow}
\mbox{``}1
\mbox{''}
]$

\hypertarget {url:1808490583581903168404721082347638465545342357588912671848929942716323841:174}{}\section* {$\rm (-1)$}

$\rm
[(-1)
\stackrel{
\mathrm {macro}
}{\rightarrow}
\lambda 
\mathsf {t}
.
\lambda 
\mathsf {s}
.
\lambda 
\mathsf {c}
.
\tilde {{\cal M}}_4(
\mathsf {t}
,
\mathsf {s}
,
\mathsf {c}
,
\lceil 
[(-1)
\mathrel {\ddot {=}}-1
]
\rceil 
)
]$

$\rm
[(-1)
\stackrel{
\mathrm{tex}
}{\rightarrow}
\mbox{``}(
\mbox{-}1)
\mbox{''}
]$

$\rm
[(-1)
\stackrel{
\mathrm{pyk}
}{\rightarrow}
\mbox{``}(
\mbox{-}1)
\mbox{''}
]$

\hypertarget {url:1808490583581903168404721082347638465545342357588912671848929942716323841:175}{}\section* {$\rm 2$}

$\rm
[2
\stackrel{
\mathrm {macro}
}{\rightarrow}
\lambda 
\mathsf {t}
.
\lambda 
\mathsf {s}
.
\lambda 
\mathsf {c}
.
\tilde {{\cal M}}_4(
\mathsf {t}
,
\mathsf {s}
,
\mathsf {c}
,
\lceil 
[2
\mathrel {\ddot {=}}
(1
+1
)
]
\rceil 
)
]$

$\rm
[2
\stackrel{
\mathrm{tex}
}{\rightarrow}
\mbox{``}2
\mbox{''}
]$

$\rm
[2
\stackrel{
\mathrm{pyk}
}{\rightarrow}
\mbox{``}2
\mbox{''}
]$

\hypertarget {url:1808490583581903168404721082347638465545342357588912671848929942716323841:176}{}\section* {$\rm 1/2$}

$\rm
[1/2
\stackrel{
\mathrm {macro}
}{\rightarrow}
\lambda 
\mathsf {t}
.
\lambda 
\mathsf {s}
.
\lambda 
\mathsf {c}
.
\tilde {{\cal M}}_4(
\mathsf {t}
,
\mathsf {s}
,
\mathsf {c}
,
\lceil 
[1/2
\mathrel {\ddot {=}}rec2
]
\rceil 
)
]$

$\rm
[1/2
\stackrel{
\mathrm{tex}
}{\rightarrow}
\mbox{``}1/2
\mbox{''}
]$

$\rm
[1/2
\stackrel{
\mathrm{pyk}
}{\rightarrow}
\mbox{``}1/2
\mbox{''}
]$

\hypertarget {url:1808490583581903168404721082347638465545342357588912671848929942716323841:177}{}\section* {$\rm 0f$}

$\rm
[0f
\stackrel{
\mathrm{tex}
}{\rightarrow}
\mbox{``}0f
\mbox{''}
]$

$\rm
[0f
\stackrel{
\mathrm{pyk}
}{\rightarrow}
\mbox{``}0f
\mbox{''}
]$

\hypertarget {url:1808490583581903168404721082347638465545342357588912671848929942716323841:178}{}\section* {$\rm 
\mbox{1f}$}

$\rm
[
\mbox{1f}
\stackrel{
\mathrm{pyk}
}{\rightarrow}
\mbox{``}1f
\mbox{''}
]$

\hypertarget {url:1808490583581903168404721082347638465545342357588912671848929942716323841:179}{}\section* {$\rm 00$}

$\rm
[00
\stackrel{
\mathrm {macro}
}{\rightarrow}
\lambda 
\mathsf {t}
.
\lambda 
\mathsf {s}
.
\lambda 
\mathsf {c}
.
\tilde {{\cal M}}_4(
\mathsf {t}
,
\mathsf {s}
,
\mathsf {c}
,
\lceil 
[00
\mathrel {\ddot {=}}R(0f
)
]
\rceil 
)
]$

$\rm
[00
\stackrel{
\mathrm{tex}
}{\rightarrow}
\mbox{``}00
\mbox{''}
]$

$\rm
[00
\stackrel{
\mathrm{pyk}
}{\rightarrow}
\mbox{``}00
\mbox{''}
]$

\hypertarget {url:1808490583581903168404721082347638465545342357588912671848929942716323841:180}{}\section* {$\rm 
\mbox{01}$}

$\rm
[
\mbox{01}
\stackrel{
\mathrm {macro}
}{\rightarrow}
\lambda 
\mathsf {t}
.
\lambda 
\mathsf {s}
.
\lambda 
\mathsf {c}
.
\tilde {{\cal M}}_4(
\mathsf {t}
,
\mathsf {s}
,
\mathsf {c}
,
\lceil 
[
\mbox{01}
\mathrel {\ddot {=}}R(
\mbox{1f}
)
]
\rceil 
)
]$

$\rm
[
\mbox{01}
\stackrel{
\mathrm{pyk}
}{\rightarrow}
\mbox{``}01
\mbox{''}
]$

\hypertarget {url:1808490583581903168404721082347638465545342357588912671848929942716323841:181}{}\section* {$\rm leqReflexivity$}

$\rm
[leqReflexivity
\stackrel{
proof
}{\rightarrow}
Rule\ tactic
]$

$\rm
[leqReflexivity
\stackrel{
stmt
}{\rightarrow}ZFsub
\vdash 
\forall \underline{
\mathsf{x}}
\colon \underline{
\mathsf{x}}
 <= \underline{
\mathsf{x}}
]$

$\rm
[leqReflexivity
\stackrel{
\mathrm{tex}
}{\rightarrow}
\mbox{``}leqReflexivity
\mbox{''}
]$

$\rm
[leqReflexivity
\stackrel{
\mathrm{pyk}
}{\rightarrow}
\mbox{``}axiom
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}leqReflexivity
\mbox{''}
]$

\hypertarget {url:1808490583581903168404721082347638465545342357588912671848929942716323841:182}{}\section* {$\rm leqAntisymmetryAxiom$}

$\rm
[leqAntisymmetryAxiom
\stackrel{
proof
}{\rightarrow}
Rule\ tactic
]$

$\rm
[leqAntisymmetryAxiom
\stackrel{
stmt
}{\rightarrow}ZFsub
\vdash 
\forall \underline{
\mathsf{x}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf{y}}
\colon \underline{
\mathsf{x}}
 <= \underline{
\mathsf{y}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf{y}}
 <= \underline{
\mathsf{x}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf{x}}
 = \underline{
\mathsf{y}}
]$

$\rm
[leqAntisymmetryAxiom
\stackrel{
\mathrm{tex}
}{\rightarrow}
\mbox{``}leqAntisymmetryAxiom
\mbox{''}
]$

$\rm
[leqAntisymmetryAxiom
\stackrel{
\mathrm{pyk}
}{\rightarrow}
\mbox{``}axiom
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}leqAntisymmetry
\mbox{''}
]$

\hypertarget {url:1808490583581903168404721082347638465545342357588912671848929942716323841:183}{}\section* {$\rm leqTransitivityAxiom$}

$\rm
[leqTransitivityAxiom
\stackrel{
proof
}{\rightarrow}
Rule\ tactic
]$

$\rm
[leqTransitivityAxiom
\stackrel{
stmt
}{\rightarrow}ZFsub
\vdash 
\forall \underline{
\mathsf{x}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf{y}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf{z}}
\colon \underline{
\mathsf{x}}
 <= \underline{
\mathsf{y}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf{y}}
 <= \underline{
\mathsf{z}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf{x}}
 <= \underline{
\mathsf{z}}
]$

$\rm
[leqTransitivityAxiom
\stackrel{
\mathrm{tex}
}{\rightarrow}
\mbox{``}leqTransitivityAxiom
\mbox{''}
]$

$\rm
[leqTransitivityAxiom
\stackrel{
\mathrm{pyk}
}{\rightarrow}
\mbox{``}axiom
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}leqTransitivity
\mbox{''}
]$

\hypertarget {url:1808490583581903168404721082347638465545342357588912671848929942716323841:184}{}\section* {$\rm leqTotality$}

$\rm
[leqTotality
\stackrel{
proof
}{\rightarrow}
Rule\ tactic
]$

$\rm
[leqTotality
\stackrel{
stmt
}{\rightarrow}ZFsub
\vdash 
\forall \underline{
\mathsf{x}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf{y}}
\colon \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf{x}}
 <= \underline{
\mathsf{y}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf{y}}
 <= \underline{
\mathsf{x}}
]$

$\rm
[leqTotality
\stackrel{
\mathrm{tex}
}{\rightarrow}
\mbox{``}leqTotality
\mbox{''}
]$

$\rm
[leqTotality
\stackrel{
\mathrm{pyk}
}{\rightarrow}
\mbox{``}axiom
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}leqTotality
\mbox{''}
]$

\hypertarget {url:1808490583581903168404721082347638465545342357588912671848929942716323841:185}{}\section* {$\rm leqAdditionAxiom$}

$\rm
[leqAdditionAxiom
\stackrel{
proof
}{\rightarrow}
Rule\ tactic
]$

$\rm
[leqAdditionAxiom
\stackrel{
stmt
}{\rightarrow}ZFsub
\vdash 
\forall \underline{
\mathsf{x}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf{y}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf{z}}
\colon \underline{
\mathsf{x}}
 <= \underline{
\mathsf{y}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf{x}}
+\underline{
\mathsf{z}}
 <= \underline{
\mathsf{y}}
+\underline{
\mathsf{z}}
]$

$\rm
[leqAdditionAxiom
\stackrel{
\mathrm{tex}
}{\rightarrow}
\mbox{``}leqAdditionAxiom
\mbox{''}
]$

$\rm
[leqAdditionAxiom
\stackrel{
\mathrm{pyk}
}{\rightarrow}
\mbox{``}axiom
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}leqAddition
\mbox{''}
]$

\hypertarget {url:1808490583581903168404721082347638465545342357588912671848929942716323841:186}{}\section* {$\rm leqMultiplicationAxiom$}

$\rm
[leqMultiplicationAxiom
\stackrel{
proof
}{\rightarrow}
Rule\ tactic
]$

$\rm
[leqMultiplicationAxiom
\stackrel{
stmt
}{\rightarrow}ZFsub
\vdash 
\forall \underline{
\mathsf{x}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf{y}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf{z}}
\colon 0
 <= \underline{
\mathsf{z}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf{x}}
 <= \underline{
\mathsf{y}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf{x}}
*\underline{
\mathsf{z}}
 <= \underline{
\mathsf{y}}
*\underline{
\mathsf{z}}
]$

$\rm
[leqMultiplicationAxiom
\stackrel{
\mathrm{tex}
}{\rightarrow}
\mbox{``}leqMultiplicationAxiom
\mbox{''}
]$

$\rm
[leqMultiplicationAxiom
\stackrel{
\mathrm{pyk}
}{\rightarrow}
\mbox{``}axiom
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}leqMultiplication
\mbox{''}
]$

\hypertarget {url:1808490583581903168404721082347638465545342357588912671848929942716323841:187}{}\section* {$\rm plusAssociativity$}

$\rm
[plusAssociativity
\stackrel{
proof
}{\rightarrow}
Rule\ tactic
]$

$\rm
[plusAssociativity
\stackrel{
stmt
}{\rightarrow}ZFsub
\vdash 
\forall \underline{
\mathsf{x}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf{y}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf{z}}
\colon \underline{
\mathsf{x}}
+\underline{
\mathsf{y}}
+\underline{
\mathsf{z}}
 = \underline{
\mathsf{x}}
+\underline{
\mathsf{y}}
+\underline{
\mathsf{z}}
]$

$\rm
[plusAssociativity
\stackrel{
\mathrm{tex}
}{\rightarrow}
\mbox{``}plusAssociativity
\mbox{''}
]$

$\rm
[plusAssociativity
\stackrel{
\mathrm{pyk}
}{\rightarrow}
\mbox{``}axiom
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}plusAssociativity
\mbox{''}
]$

\hypertarget {url:1808490583581903168404721082347638465545342357588912671848929942716323841:188}{}\section* {$\rm plusCommutativity$}

$\rm
[plusCommutativity
\stackrel{
proof
}{\rightarrow}
Rule\ tactic
]$

$\rm
[plusCommutativity
\stackrel{
stmt
}{\rightarrow}ZFsub
\vdash 
\forall \underline{
\mathsf{x}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf{y}}
\colon \underline{
\mathsf{x}}
+\underline{
\mathsf{y}}
 = \underline{
\mathsf{y}}
+\underline{
\mathsf{x}}
]$

$\rm
[plusCommutativity
\stackrel{
\mathrm{tex}
}{\rightarrow}
\mbox{``}plusCommutativity
\mbox{''}
]$

$\rm
[plusCommutativity
\stackrel{
\mathrm{pyk}
}{\rightarrow}
\mbox{``}axiom
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}plusCommutativity
\mbox{''}
]$

\hypertarget {url:1808490583581903168404721082347638465545342357588912671848929942716323841:189}{}\section* {$\rm Negative$}

$\rm
[Negative
\stackrel{
proof
}{\rightarrow}
Rule\ tactic
]$

$\rm
[Negative
\stackrel{
stmt
}{\rightarrow}ZFsub
\vdash 
\forall \underline{
\mathsf{x}}
\colon \underline{
\mathsf{x}}
+-\underline{
\mathsf{x}}
 = 0
]$

$\rm
[Negative
\stackrel{
\mathrm{tex}
}{\rightarrow}
\mbox{``}Negative
\mbox{''}
]$

$\rm
[Negative
\stackrel{
\mathrm{pyk}
}{\rightarrow}
\mbox{``}axiom
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}negative
\mbox{''}
]$

\hypertarget {url:1808490583581903168404721082347638465545342357588912671848929942716323841:190}{}\section* {$\rm plus0$}

$\rm
[plus0
\stackrel{
proof
}{\rightarrow}
Rule\ tactic
]$

$\rm
[plus0
\stackrel{
stmt
}{\rightarrow}ZFsub
\vdash 
\forall \underline{
\mathsf{x}}
\colon \underline{
\mathsf{x}}
+0
 = \underline{
\mathsf{x}}
]$

$\rm
[plus0
\stackrel{
\mathrm{tex}
}{\rightarrow}
\mbox{``}plus0
\mbox{''}
]$

$\rm
[plus0
\stackrel{
\mathrm{pyk}
}{\rightarrow}
\mbox{``}axiom
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}plus0
\mbox{''}
]$

\hypertarget {url:1808490583581903168404721082347638465545342357588912671848929942716323841:191}{}\section* {$\rm timesAssociativity$}

$\rm
[timesAssociativity
\stackrel{
proof
}{\rightarrow}
Rule\ tactic
]$

$\rm
[timesAssociativity
\stackrel{
stmt
}{\rightarrow}ZFsub
\vdash 
\forall \underline{
\mathsf{x}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf{y}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf{z}}
\colon \underline{
\mathsf{x}}
*\underline{
\mathsf{y}}
*\underline{
\mathsf{z}}
 = \underline{
\mathsf{x}}
*\underline{
\mathsf{y}}
*\underline{
\mathsf{z}}
]$

$\rm
[timesAssociativity
\stackrel{
\mathrm{tex}
}{\rightarrow}
\mbox{``}timesAssociativity
\mbox{''}
]$

$\rm
[timesAssociativity
\stackrel{
\mathrm{pyk}
}{\rightarrow}
\mbox{``}axiom
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}timesAssociativity
\mbox{''}
]$

\hypertarget {url:1808490583581903168404721082347638465545342357588912671848929942716323841:192}{}\section* {$\rm timesCommutativity$}

$\rm
[timesCommutativity
\stackrel{
proof
}{\rightarrow}
Rule\ tactic
]$

$\rm
[timesCommutativity
\stackrel{
stmt
}{\rightarrow}ZFsub
\vdash 
\forall \underline{
\mathsf{x}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf{y}}
\colon \underline{
\mathsf{x}}
*\underline{
\mathsf{y}}
 = \underline{
\mathsf{y}}
*\underline{
\mathsf{x}}
]$

$\rm
[timesCommutativity
\stackrel{
\mathrm{tex}
}{\rightarrow}
\mbox{``}timesCommutativity
\mbox{''}
]$

$\rm
[timesCommutativity
\stackrel{
\mathrm{pyk}
}{\rightarrow}
\mbox{``}axiom
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}timesCommutativity
\mbox{''}
]$

\hypertarget {url:1808490583581903168404721082347638465545342357588912671848929942716323841:193}{}\section* {$\rm ReciprocalAxiom$}

$\rm
[ReciprocalAxiom
\stackrel{
proof
}{\rightarrow}
Rule\ tactic
]$

$\rm
[ReciprocalAxiom
\stackrel{
stmt
}{\rightarrow}ZFsub
\vdash 
\forall \underline{
\mathsf{x}}
\colon \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf{x}}
 = 0
\Rightarrow \underline{
\mathsf{x}}
*rec\underline{
\mathsf{x}}
 = 1
]$

$\rm
[ReciprocalAxiom
\stackrel{
\mathrm{tex}
}{\rightarrow}
\mbox{``}ReciprocalAxiom
\mbox{''}
]$

$\rm
[ReciprocalAxiom
\stackrel{
\mathrm{pyk}
}{\rightarrow}
\mbox{``}axiom
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}reciprocal
\mbox{''}
]$

\hypertarget {url:1808490583581903168404721082347638465545342357588912671848929942716323841:194}{}\section* {$\rm times1$}

$\rm
[times1
\stackrel{
proof
}{\rightarrow}
Rule\ tactic
]$

$\rm
[times1
\stackrel{
stmt
}{\rightarrow}ZFsub
\vdash 
\forall \underline{
\mathsf{x}}
\colon \underline{
\mathsf{x}}
*1
 = \underline{
\mathsf{x}}
]$

$\rm
[times1
\stackrel{
\mathrm{tex}
}{\rightarrow}
\mbox{``}times1
\mbox{''}
]$

$\rm
[times1
\stackrel{
\mathrm{pyk}
}{\rightarrow}
\mbox{``}axiom
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}times1
\mbox{''}
]$

\hypertarget {url:1808490583581903168404721082347638465545342357588912671848929942716323841:195}{}\section* {$\rm Distribution$}

$\rm
[Distribution
\stackrel{
proof
}{\rightarrow}
Rule\ tactic
]$

$\rm
[Distribution
\stackrel{
stmt
}{\rightarrow}ZFsub
\vdash 
\forall \underline{
\mathsf{x}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf{y}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf{z}}
\colon \underline{
\mathsf{x}}
*\underline{
\mathsf{y}}
+\underline{
\mathsf{z}}
 = \underline{
\mathsf{x}}
*\underline{
\mathsf{y}}
+\underline{
\mathsf{x}}
*\underline{
\mathsf{z}}
]$

$\rm
[Distribution
\stackrel{
\mathrm{tex}
}{\rightarrow}
\mbox{``}Distribution
\mbox{''}
]$

$\rm
[Distribution
\stackrel{
\mathrm{pyk}
}{\rightarrow}
\mbox{``}axiom
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}distribution
\mbox{''}
]$

\hypertarget {url:1808490583581903168404721082347638465545342357588912671848929942716323841:196}{}\section* {$\rm 0not1$}

$\rm
[0not1
\stackrel{
proof
}{\rightarrow}
Rule\ tactic
]$

$\rm
[0not1
\stackrel{
stmt
}{\rightarrow}ZFsub
\vdash \dot{\neg}\, 0
 = 1
]$

$\rm
[0not1
\stackrel{
\mathrm{tex}
}{\rightarrow}
\mbox{``}0not1
\mbox{''}
]$

$\rm
[0not1
\stackrel{
\mathrm{pyk}
}{\rightarrow}
\mbox{``}axiom
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}0not1
\mbox{''}
]$

\hypertarget {url:1808490583581903168404721082347638465545342357588912671848929942716323841:197}{}\section* {$\rm equalityAxiom$}

$\rm
[equalityAxiom
\stackrel{
proof
}{\rightarrow}
Rule\ tactic
]$

$\rm
[equalityAxiom
\stackrel{
stmt
}{\rightarrow}ZFsub
\vdash 
\forall \underline{
\mathsf{x}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf{y}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf{z}}
\colon \underline{
\mathsf{x}}
 = \underline{
\mathsf{y}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf{x}}
 = \underline{
\mathsf{z}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf{y}}
 = \underline{
\mathsf{z}}
]$

$\rm
[equalityAxiom
\stackrel{
\mathrm{tex}
}{\rightarrow}
\mbox{``}equalityAxiom
\mbox{''}
]$

$\rm
[equalityAxiom
\stackrel{
\mathrm{pyk}
}{\rightarrow}
\mbox{``}axiom
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}equality
\mbox{''}
]$

\hypertarget {url:1808490583581903168404721082347638465545342357588912671848929942716323841:198}{}\section* {$\rm eqLeqAxiom$}

$\rm
[eqLeqAxiom
\stackrel{
proof
}{\rightarrow}
Rule\ tactic
]$

$\rm
[eqLeqAxiom
\stackrel{
stmt
}{\rightarrow}ZFsub
\vdash 
\forall \underline{
\mathsf{x}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf{y}}
\colon \underline{
\mathsf{x}}
 = \underline{
\mathsf{y}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf{x}}
 <= \underline{
\mathsf{y}}
]$

$\rm
[eqLeqAxiom
\stackrel{
\mathrm{tex}
}{\rightarrow}
\mbox{``}eqLeqAxiom
\mbox{''}
]$

$\rm
[eqLeqAxiom
\stackrel{
\mathrm{pyk}
}{\rightarrow}
\mbox{``}axiom
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}eqLeq
\mbox{''}
]$

\hypertarget {url:1808490583581903168404721082347638465545342357588912671848929942716323841:199}{}\section* {$\rm eqAdditionAxiom$}

$\rm
[eqAdditionAxiom
\stackrel{
proof
}{\rightarrow}
Rule\ tactic
]$

$\rm
[eqAdditionAxiom
\stackrel{
stmt
}{\rightarrow}ZFsub
\vdash 
\forall \underline{
\mathsf{x}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf{y}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf{z}}
\colon \underline{
\mathsf{x}}
 = \underline{
\mathsf{y}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf{x}}
+\underline{
\mathsf{z}}
 = \underline{
\mathsf{y}}
+\underline{
\mathsf{z}}
]$

$\rm
[eqAdditionAxiom
\stackrel{
\mathrm{tex}
}{\rightarrow}
\mbox{``}eqAdditionAxiom
\mbox{''}
]$

$\rm
[eqAdditionAxiom
\stackrel{
\mathrm{pyk}
}{\rightarrow}
\mbox{``}axiom
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}eqAddition
\mbox{''}
]$

\hypertarget {url:1808490583581903168404721082347638465545342357588912671848929942716323841:200}{}\section* {$\rm eqMultiplicationAxiom$}

$\rm
[eqMultiplicationAxiom
\stackrel{
proof
}{\rightarrow}
Rule\ tactic
]$

$\rm
[eqMultiplicationAxiom
\stackrel{
stmt
}{\rightarrow}ZFsub
\vdash 
\forall \underline{
\mathsf{x}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf{y}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf{z}}
\colon \underline{
\mathsf{x}}
 = \underline{
\mathsf{y}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf{x}}
*\underline{
\mathsf{z}}
 = \underline{
\mathsf{y}}
*\underline{
\mathsf{z}}
]$

$\rm
[eqMultiplicationAxiom
\stackrel{
\mathrm{tex}
}{\rightarrow}
\mbox{``}eqMultiplicationAxiom
\mbox{''}
]$

$\rm
[eqMultiplicationAxiom
\stackrel{
\mathrm{pyk}
}{\rightarrow}
\mbox{``}axiom
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}eqMultiplication
\mbox{''}
]$

\hypertarget {url:1808490583581903168404721082347638465545342357588912671848929942716323841:201}{}\section* {$\rm SENC1$}

$\rm
[SENC1
\stackrel{
proof
}{\rightarrow}
Rule\ tactic
]$

$\rm
[SENC1
\stackrel{
stmt
}{\rightarrow}ZFsub
\vdash 
\forall \underline{(fx)}
\colon 
\forall \underline{(rx)}
\colon 
\forall \underline{(ry)}
\colon \underline{(rx)}
 == \underline{(ry)}
\vdash \underline{(fx)}
 \mathrel{\in} \underline{(rx)}
\vdash \underline{(fx)}
 \mathrel{\in} \underline{(ry)}
]$

$\rm
[SENC1
\stackrel{
\mathrm{tex}
}{\rightarrow}
\mbox{``}SENC1
\mbox{''}
]$

$\rm
[SENC1
\stackrel{
\mathrm{pyk}
}{\rightarrow}
\mbox{``}lemma
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}set
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}equality
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}nec
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}condition(1)
\mbox{''}
]$

\hypertarget {url:1808490583581903168404721082347638465545342357588912671848929942716323841:202}{}\section* {$\rm SENC2$}

$\rm
[SENC2
\stackrel{
proof
}{\rightarrow}
Rule\ tactic
]$

$\rm
[SENC2
\stackrel{
stmt
}{\rightarrow}ZFsub
\vdash 
\forall \underline{(fx)}
\colon 
\forall \underline{(rx)}
\colon 
\forall \underline{(ry)}
\colon \underline{(rx)}
 == \underline{(ry)}
\vdash \underline{(fx)}
 \mathrel{\in} \underline{(ry)}
\vdash \underline{(fx)}
 \mathrel{\in} \underline{(rx)}
]$

$\rm
[SENC2
\stackrel{
\mathrm{tex}
}{\rightarrow}
\mbox{``}SENC2
\mbox{''}
]$

$\rm
[SENC2
\stackrel{
\mathrm{pyk}
}{\rightarrow}
\mbox{``}lemma
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}set
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}equality
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}nec
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}condition(2)
\mbox{''}
]$

\hypertarget {url:1808490583581903168404721082347638465545342357588912671848929942716323841:203}{}\section* {$\rm IfThenElse(T)$}

$\rm
[IfThenElse(T)
\stackrel{
proof
}{\rightarrow}
Rule\ tactic
]$

$\rm
[IfThenElse(T)
\stackrel{
stmt
}{\rightarrow}ZFsub
\vdash 
\forall \underline{
\mathsf {a}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf{x}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf{y}}
\colon \underline{
\mathsf {a}}
\vdash if(\underline{
\mathsf {a}}
,\underline{
\mathsf{x}}
,\underline{
\mathsf{y}}
)
 = \underline{
\mathsf{x}}
]$

$\rm
[IfThenElse(T)
\stackrel{
\mathrm{tex}
}{\rightarrow}
\mbox{``}IfThenElse(T)
\mbox{''}
]$

$\rm
[IfThenElse(T)
\stackrel{
\mathrm{pyk}
}{\rightarrow}
\mbox{``}1rule
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}ifThenElse
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}true
\mbox{''}
]$

\hypertarget {url:1808490583581903168404721082347638465545342357588912671848929942716323841:204}{}\section* {$\rm IfThenElse(F)$}

$\rm
[IfThenElse(F)
\stackrel{
proof
}{\rightarrow}
Rule\ tactic
]$

$\rm
[IfThenElse(F)
\stackrel{
stmt
}{\rightarrow}ZFsub
\vdash 
\forall \underline{
\mathsf {a}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf{x}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf{y}}
\colon \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf {a}}
\vdash if(\underline{
\mathsf {a}}
,\underline{
\mathsf{x}}
,\underline{
\mathsf{y}}
)
 = \underline{
\mathsf{y}}
]$

$\rm
[IfThenElse(F)
\stackrel{
\mathrm{tex}
}{\rightarrow}
\mbox{``}IfThenElse(F)
\mbox{''}
]$

$\rm
[IfThenElse(F)
\stackrel{
\mathrm{pyk}
}{\rightarrow}
\mbox{``}1rule
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}ifThenElse
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}false
\mbox{''}
]$

\hypertarget {url:1808490583581903168404721082347638465545342357588912671848929942716323841:205}{}\section* {$\rm From=f$}

$\rm
[From=f
\stackrel{
proof
}{\rightarrow}
Rule\ tactic
]$

$\rm
[From=f
\stackrel{
stmt
}{\rightarrow}ZFsub
\vdash 
\forall \underline{
\mathsf {m}}
\colon 
\forall \underline{(fx)}
\colon 
\forall \underline{(fy)}
\colon \underline{(fx)}
=_{f}\underline{(fy)}
\vdash \underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
 = \underline{(fy)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
]$

$\rm
[From=f
\stackrel{
\mathrm{tex}
}{\rightarrow}
\mbox{``}From
{=}f
\mbox{''}
]$

$\rm
[From=f
\stackrel{
\mathrm{pyk}
}{\rightarrow}
\mbox{``}1rule
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}from
{=}f
\mbox{''}
]$

\hypertarget {url:1808490583581903168404721082347638465545342357588912671848929942716323841:206}{}\section* {$\rm To=f$}

$\rm
[To=f
\stackrel{
proof
}{\rightarrow}
Rule\ tactic
]$

$\rm
[To=f
\stackrel{
stmt
}{\rightarrow}ZFsub
\vdash 
\forall \underline{
\mathsf {m}}
\colon 
\forall \underline{(fx)}
\colon 
\forall \underline{(fy)}
\colon \underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
 = \underline{(fy)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
\vdash \underline{(fx)}
=_{f}\underline{(fy)}
]$

$\rm
[To=f
\stackrel{
\mathrm{tex}
}{\rightarrow}
\mbox{``}To
{=}f
\mbox{''}
]$

$\rm
[To=f
\stackrel{
\mathrm{pyk}
}{\rightarrow}
\mbox{``}1rule
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}to
{=}f
\mbox{''}
]$

\hypertarget {url:1808490583581903168404721082347638465545342357588912671848929942716323841:207}{}\section* {$\rm From<f$}

$\rm
[From<f
\stackrel{
proof
}{\rightarrow}
Rule\ tactic
]$

$\rm
[From<f
\stackrel{
stmt
}{\rightarrow}ZFsub
\vdash 
\forall \underline{
\mathsf {m}}
\colon 
\forall \underline{(\epsilon)}
\colon 
\forall \underline{(fx)}
\colon 
\forall \underline{(fy)}
\colon \underline{(fx)}
<_{f}\underline{(fy)}
\vdash \dot{\neg}\, 0
 <= \underline{(\epsilon)}
\Rightarrow \dot{\neg}\, \dot{\neg}\, 0
 = \underline{(\epsilon)}
\vdash 
\mathsf {c}
 _{Ex}
 <= \underline{
\mathsf {m}}
\Rightarrow \underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
 <= \underline{(fy)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
+-\underline{(\epsilon)}
]$

$\rm
[From<f
\stackrel{
\mathrm{tex}
}{\rightarrow}
\mbox{``}From
{<}f
\mbox{''}
]$

$\rm
[From<f
\stackrel{
\mathrm{pyk}
}{\rightarrow}
\mbox{``}1rule
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}from
{<}f
\mbox{''}
]$

\hypertarget {url:1808490583581903168404721082347638465545342357588912671848929942716323841:208}{}\section* {$\rm To<f$}

$\rm
[To<f
\stackrel{
proof
}{\rightarrow}
Rule\ tactic
]$

$\rm
[To<f
\stackrel{
stmt
}{\rightarrow}ZFsub
\vdash 
\forall \underline{
\mathsf {m}}
\colon 
\forall \underline{(\epsilon)}
\colon 
\forall \underline{(fx)}
\colon 
\forall \underline{(fy)}
\colon \dot{\neg}\, 0
 <= \underline{(\epsilon)}
\Rightarrow \dot{\neg}\, \dot{\neg}\, 0
 = \underline{(\epsilon)}
\Rightarrow 
\mathsf {c}
 _{Ex}
 <= \underline{
\mathsf {m}}
\Rightarrow \underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
 <= \underline{(fy)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
+-\underline{(\epsilon)}
\vdash \underline{(fx)}
<_{f}\underline{(fy)}
]$

$\rm
[To<f
\stackrel{
\mathrm{tex}
}{\rightarrow}
\mbox{``}To
{<}f
\mbox{''}
]$

$\rm
[To<f
\stackrel{
\mathrm{pyk}
}{\rightarrow}
\mbox{``}1rule
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}to
{<}f
\mbox{''}
]$

\hypertarget {url:1808490583581903168404721082347638465545342357588912671848929942716323841:209}{}\section* {$\rm PlusF$}

$\rm
[PlusF
\stackrel{
proof
}{\rightarrow}
Rule\ tactic
]$

$\rm
[PlusF
\stackrel{
stmt
}{\rightarrow}ZFsub
\vdash 
\forall \underline{
\mathsf {m}}
\colon 
\forall \underline{(fx)}
\colon 
\forall \underline{(fy)}
\colon \underline{(fx)}
+_{f}\underline{(fy)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
 = \underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
+\underline{(fy)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
]$

$\rm
[PlusF
\stackrel{
\mathrm{tex}
}{\rightarrow}
\mbox{``}PlusF
\mbox{''}
]$

$\rm
[PlusF
\stackrel{
\mathrm{pyk}
}{\rightarrow}
\mbox{``}axiom
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}plusF
\mbox{''}
]$

\hypertarget {url:1808490583581903168404721082347638465545342357588912671848929942716323841:210}{}\section* {$\rm TimesF$}

$\rm
[TimesF
\stackrel{
proof
}{\rightarrow}
Rule\ tactic
]$

$\rm
[TimesF
\stackrel{
stmt
}{\rightarrow}ZFsub
\vdash 
\forall \underline{
\mathsf {m}}
\colon 
\forall \underline{(fx)}
\colon 
\forall \underline{(fy)}
\colon \underline{(fx)}
*_{f}\underline{(fy)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
 = \underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
*\underline{(fy)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
]$

$\rm
[TimesF
\stackrel{
\mathrm{tex}
}{\rightarrow}
\mbox{``}TimesF
\mbox{''}
]$

$\rm
[TimesF
\stackrel{
\mathrm{pyk}
}{\rightarrow}
\mbox{``}axiom
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}timesF
\mbox{''}
]$

\hypertarget {url:1808490583581903168404721082347638465545342357588912671848929942716323841:211}{}\section* {$\rm MinusF$}

$\rm
[MinusF
\stackrel{
proof
}{\rightarrow}
Rule\ tactic
]$

$\rm
[MinusF
\stackrel{
stmt
}{\rightarrow}ZFsub
\vdash 
\forall \underline{
\mathsf {m}}
\colon 
\forall \underline{(fx)}
\colon -_{f}\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
 = -\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
]$

$\rm
[MinusF
\stackrel{
\mathrm{tex}
}{\rightarrow}
\mbox{``}MinusF
\mbox{''}
]$

$\rm
[MinusF
\stackrel{
\mathrm{pyk}
}{\rightarrow}
\mbox{``}axiom
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}minusF
\mbox{''}
]$

\hypertarget {url:1808490583581903168404721082347638465545342357588912671848929942716323841:212}{}\section* {$\rm 0f$}

$\rm
[0f
\stackrel{
proof
}{\rightarrow}
Rule\ tactic
]$

$\rm
[0f
\stackrel{
stmt
}{\rightarrow}ZFsub
\vdash 
\forall \underline{
\mathsf {m}}
\colon 0f
[\underline{
\mathsf {m}}
]
 = 0
]$

$\rm
[0f
\stackrel{
\mathrm{tex}
}{\rightarrow}
\mbox{``}0f
\mbox{''}
]$

$\rm
[0f
\stackrel{
\mathrm{pyk}
}{\rightarrow}
\mbox{``}axiom
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}0f
\mbox{''}
]$

\hypertarget {url:1808490583581903168404721082347638465545342357588912671848929942716323841:213}{}\section* {$\rm 1f$}

$\rm
[1f
\stackrel{
proof
}{\rightarrow}
Rule\ tactic
]$

$\rm
[1f
\stackrel{
stmt
}{\rightarrow}ZFsub
\vdash 
\forall \underline{
\mathsf {m}}
\colon 
\mbox{1f}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
 = 1
]$

$\rm
[1f
\stackrel{
\mathrm{tex}
}{\rightarrow}
\mbox{``}1f
\mbox{''}
]$

$\rm
[1f
\stackrel{
\mathrm{pyk}
}{\rightarrow}
\mbox{``}axiom
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}1f
\mbox{''}
]$

\hypertarget {url:1808490583581903168404721082347638465545342357588912671848929942716323841:214}{}\section* {$\rm FromSF$}

$\rm
[FromSF
\stackrel{
proof
}{\rightarrow}
Rule\ tactic
]$

$\rm
[FromSF
\stackrel{
stmt
}{\rightarrow}ZFsub
\vdash 
\forall \underline{
\mathsf {m}}
\colon 
\forall \underline{(\epsilon)}
\colon 
\forall \underline{(fx)}
\colon 
\forall \underline{(fy)}
\colon SF(\underline{(fx)}
,\underline{(fy)}
)
\vdash \dot{\neg}\, 0
 <= \underline{(\epsilon)}
\Rightarrow \dot{\neg}\, \dot{\neg}\, 0
 = \underline{(\epsilon)}
\vdash 
\mathsf {c}
 _{Ex}
 <= \underline{
\mathsf {m}}
\Rightarrow \dot{\neg}\, if(0
 <= \underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
+-\underline{(fy)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
,\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
+-\underline{(fy)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
,-\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
+-\underline{(fy)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
)
 <= \underline{(\epsilon)}
\Rightarrow \dot{\neg}\, \dot{\neg}\, if(0
 <= \underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
+-\underline{(fy)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
,\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
+-\underline{(fy)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
,-\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
+-\underline{(fy)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
)
 = \underline{(\epsilon)}
]$

$\rm
[FromSF
\stackrel{
\mathrm{tex}
}{\rightarrow}
\mbox{``}FromSF
\mbox{''}
]$

$\rm
[FromSF
\stackrel{
\mathrm{pyk}
}{\rightarrow}
\mbox{``}1rule
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}fromSameF
\mbox{''}
]$

\hypertarget {url:1808490583581903168404721082347638465545342357588912671848929942716323841:215}{}\section* {$\rm ToSF$}

$\rm
[ToSF
\stackrel{
proof
}{\rightarrow}
Rule\ tactic
]$

$\rm
[ToSF
\stackrel{
stmt
}{\rightarrow}ZFsub
\vdash 
\forall \underline{
\mathsf {m}}
\colon 
\forall \underline{(\epsilon)}
\colon 
\forall \underline{(fx)}
\colon 
\forall \underline{(fy)}
\colon \dot{\neg}\, 0
 <= \underline{(\epsilon)}
\Rightarrow \dot{\neg}\, \dot{\neg}\, 0
 = \underline{(\epsilon)}
\Rightarrow 
\mathsf {c}
 _{Ex}
 <= \underline{
\mathsf {m}}
\Rightarrow \dot{\neg}\, if(0
 <= \underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
+-\underline{(fy)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
,\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
+-\underline{(fy)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
,-\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
+-\underline{(fy)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
)
 <= \underline{(\epsilon)}
\Rightarrow \dot{\neg}\, \dot{\neg}\, if(0
 <= \underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
+-\underline{(fy)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
,\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
+-\underline{(fy)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
,-\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
+-\underline{(fy)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
)
 = \underline{(\epsilon)}
\vdash SF(\underline{(fx)}
,\underline{(fy)}
)
]$

$\rm
[ToSF
\stackrel{
\mathrm{tex}
}{\rightarrow}
\mbox{``}ToSF
\mbox{''}
]$

$\rm
[ToSF
\stackrel{
\mathrm{pyk}
}{\rightarrow}
\mbox{``}1rule
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}toSameF
\mbox{''}
]$

\hypertarget {url:1808490583581903168404721082347638465545342357588912671848929942716323841:216}{}\section* {$\rm To==XX$}

$\rm
[To==XX
\stackrel{
proof
}{\rightarrow}
Rule\ tactic
]$

$\rm
[To==XX
\stackrel{
stmt
}{\rightarrow}ZFsub
\vdash 
\forall \underline{(fx)}
\colon 
\forall \underline{(fy)}
\colon 
\forall \underline{(rx)}
\colon 
\forall \underline{(ry)}
\colon \underline{(fx)}
 \mathrel{\in} \underline{(rx)}
\Rightarrow \underline{(fy)}
 \mathrel{\in} \underline{(ry)}
\Rightarrow SF(\underline{(fx)}
,\underline{(fy)}
)
\vdash \underline{(rx)}
 == \underline{(ry)}
]$

$\rm
[To==XX
\stackrel{
\mathrm{tex}
}{\rightarrow}
\mbox{``}To
{=}
{=}XX
\mbox{''}
]$

$\rm
[To==XX
\stackrel{
\mathrm{pyk}
}{\rightarrow}
\mbox{``}1rule
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}to
{=}
{=}XX
\mbox{''}
]$

\hypertarget {url:1808490583581903168404721082347638465545342357588912671848929942716323841:217}{}\section* {$\rm From==$}

$\rm
[From==
\stackrel{
proof
}{\rightarrow}
Rule\ tactic
]$

$\rm
[From==
\stackrel{
stmt
}{\rightarrow}ZFsub
\vdash 
\forall \underline{(fx)}
\colon 
\forall \underline{(fy)}
\colon R(\underline{(fx)}
)
 == R(\underline{(fy)}
)
\vdash SF(\underline{(fx)}
,\underline{(fy)}
)
]$

$\rm
[From==
\stackrel{
\mathrm{tex}
}{\rightarrow}
\mbox{``}From
{=}
{=}
\mbox{''}
]$

$\rm
[From==
\stackrel{
\mathrm{pyk}
}{\rightarrow}
\mbox{``}1rule
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}from
{=}
{=}
\mbox{''}
]$

\hypertarget {url:1808490583581903168404721082347638465545342357588912671848929942716323841:218}{}\section* {$\rm To==$}

$\rm
[To==
\stackrel{
proof
}{\rightarrow}
Rule\ tactic
]$

$\rm
[To==
\stackrel{
stmt
}{\rightarrow}ZFsub
\vdash 
\forall \underline{(fx)}
\colon 
\forall \underline{(fy)}
\colon SF(\underline{(fx)}
,\underline{(fy)}
)
\vdash R(\underline{(fx)}
)
 == R(\underline{(fy)}
)
]$

$\rm
[To==
\stackrel{
\mathrm{tex}
}{\rightarrow}
\mbox{``}To
{=}
{=}
\mbox{''}
]$

$\rm
[To==
\stackrel{
\mathrm{pyk}
}{\rightarrow}
\mbox{``}1rule
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}to
{=}
{=}
\mbox{''}
]$

\hypertarget {url:1808490583581903168404721082347638465545342357588912671848929942716323841:219}{}\section* {$\rm From<<XX$}

$\rm
[From<<XX
\stackrel{
proof
}{\rightarrow}
Rule\ tactic
]$

$\rm
[From<<XX
\stackrel{
stmt
}{\rightarrow}ZFsub
\vdash 
\forall \underline{
\mathsf {m}}
\colon 
\forall \underline{(\epsilon)}
\colon 
\forall \underline{(fx)}
\colon 
\forall \underline{(fy)}
\colon 
\forall \underline{(rx)}
\colon 
\forall \underline{(ry)}
\colon \underline{(rx)}
 << \underline{(ry)}
\vdash \underline{(fx)}
 \mathrel{\in} \underline{(rx)}
\vdash \underline{(fy)}
 \mathrel{\in} \underline{(ry)}
\vdash \dot{\neg}\, 0
 <= \underline{(\epsilon)}
\Rightarrow \dot{\neg}\, \dot{\neg}\, 0
 = \underline{(\epsilon)}
\vdash 
\mathsf {a}
 _{Ex}
 <= \underline{
\mathsf {m}}
\Rightarrow \underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
 <= \underline{(fy)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
+-\underline{(\epsilon)}
]$

$\rm
[From<<XX
\stackrel{
\mathrm{tex}
}{\rightarrow}
\mbox{``}From
{<}
{<}XX
\mbox{''}
]$

$\rm
[From<<XX
\stackrel{
\mathrm{pyk}
}{\rightarrow}
\mbox{``}1rule
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}from
{<}
{<}XX
\mbox{''}
]$

\hypertarget {url:1808490583581903168404721082347638465545342357588912671848929942716323841:220}{}\section* {$\rm From<<(1)$}

$\rm
[From<<(1)
\stackrel{
proof
}{\rightarrow}
Rule\ tactic
]$

$\rm
[From<<(1)
\stackrel{
stmt
}{\rightarrow}ZFsub
\vdash 
\forall \underline{(rx)}
\colon 
\forall \underline{(ry)}
\colon \underline{(rx)}
 << \underline{(ry)}
\vdash 
\mathsf {j}
 _{Ex}
 \mathrel{\in} \underline{(rx)}
]$

$\rm
[From<<(1)
\stackrel{
\mathrm{tex}
}{\rightarrow}
\mbox{``}From
{<}
{<}(1)
\mbox{''}
]$

$\rm
[From<<(1)
\stackrel{
\mathrm{pyk}
}{\rightarrow}
\mbox{``}1rule
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}from
{<}
{<}XX(1)
\mbox{''}
]$

\hypertarget {url:1808490583581903168404721082347638465545342357588912671848929942716323841:221}{}\section* {$\rm From<<(2)$}

$\rm
[From<<(2)
\stackrel{
proof
}{\rightarrow}
Rule\ tactic
]$

$\rm
[From<<(2)
\stackrel{
stmt
}{\rightarrow}ZFsub
\vdash 
\forall \underline{(rx)}
\colon 
\forall \underline{(ry)}
\colon \underline{(rx)}
 << \underline{(ry)}
\vdash 
\mathsf {t}
 _{Ex}
 \mathrel{\in} \underline{(ry)}
]$

$\rm
[From<<(2)
\stackrel{
\mathrm{tex}
}{\rightarrow}
\mbox{``}From
{<}
{<}(2)
\mbox{''}
]$

$\rm
[From<<(2)
\stackrel{
\mathrm{pyk}
}{\rightarrow}
\mbox{``}1rule
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}from
{<}
{<}XX(2)
\mbox{''}
]$

\hypertarget {url:1808490583581903168404721082347638465545342357588912671848929942716323841:222}{}\section* {$\rm to<<XX$}

$\rm
[to<<XX
\stackrel{
proof
}{\rightarrow}
Rule\ tactic
]$

$\rm
[to<<XX
\stackrel{
stmt
}{\rightarrow}ZFsub
\vdash 
\forall \underline{
\mathsf {m}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf {n}}
\colon 
\forall \underline{(\epsilon)}
\colon 
\forall \underline{(fx)}
\colon 
\forall \underline{(fy)}
\colon 
\forall \underline{(rx)}
\colon 
\forall \underline{(ry)}
\colon \underline{(fx)}
 \mathrel{\in} \underline{(rx)}
\Rightarrow \underline{(fy)}
 \mathrel{\in} \underline{(ry)}
\Rightarrow \dot{\neg}\, 0
 <= \underline{(\epsilon)}
\Rightarrow \dot{\neg}\, \dot{\neg}\, 0
 = \underline{(\epsilon)}
\Rightarrow 
\mathsf {a}
 _{Ex}
 <= \underline{
\mathsf {m}}
\Rightarrow \underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
 <= \underline{(fy)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
+-\underline{(\epsilon)}
\vdash \underline{(rx)}
 << \underline{(ry)}
]$

$\rm
[to<<XX
\stackrel{
\mathrm{tex}
}{\rightarrow}
\mbox{``}to
{<}
{<}XX
\mbox{''}
]$

$\rm
[to<<XX
\stackrel{
\mathrm{pyk}
}{\rightarrow}
\mbox{``}1rule
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}to
{<}
{<}XX
\mbox{''}
]$

\hypertarget {url:1808490583581903168404721082347638465545342357588912671848929942716323841:223}{}\section* {$\rm From<<$}

$\rm
[From<<
\stackrel{
proof
}{\rightarrow}
Rule\ tactic
]$

$\rm
[From<<
\stackrel{
stmt
}{\rightarrow}ZFsub
\vdash 
\forall \underline{(fx)}
\colon 
\forall \underline{(fy)}
\colon R(\underline{(fx)}
)
 << R(\underline{(fy)}
)
\vdash \underline{(fx)}
<_{f}\underline{(fy)}
]$

$\rm
[From<<
\stackrel{
\mathrm{tex}
}{\rightarrow}
\mbox{``}From
{<}
{<}
\mbox{''}
]$

$\rm
[From<<
\stackrel{
\mathrm{pyk}
}{\rightarrow}
\mbox{``}1rule
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}from
{<}
{<}
\mbox{''}
]$

\hypertarget {url:1808490583581903168404721082347638465545342357588912671848929942716323841:224}{}\section* {$\rm To<<$}

$\rm
[To<<
\stackrel{
proof
}{\rightarrow}
Rule\ tactic
]$

$\rm
[To<<
\stackrel{
stmt
}{\rightarrow}ZFsub
\vdash 
\forall \underline{(fx)}
\colon 
\forall \underline{(fy)}
\colon \underline{(fx)}
<_{f}\underline{(fy)}
\vdash R(\underline{(fx)}
)
 << R(\underline{(fy)}
)
]$

$\rm
[To<<
\stackrel{
\mathrm{tex}
}{\rightarrow}
\mbox{``}To
{<}
{<}
\mbox{''}
]$

$\rm
[To<<
\stackrel{
\mathrm{pyk}
}{\rightarrow}
\mbox{``}1rule
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}to
{<}
{<}
\mbox{''}
]$

\hypertarget {url:1808490583581903168404721082347638465545342357588912671848929942716323841:225}{}\section* {$\rm FromInR$}

$\rm
[FromInR
\stackrel{
proof
}{\rightarrow}
Rule\ tactic
]$

$\rm
[FromInR
\stackrel{
stmt
}{\rightarrow}ZFsub
\vdash 
\forall \underline{(fx)}
\colon 
\forall \underline{(fy)}
\colon \underline{(fx)}
 \mathrel{\in} R(\underline{(fy)}
)
\vdash SF(\underline{(fx)}
,\underline{(fy)}
)
]$

$\rm
[FromInR
\stackrel{
\mathrm{tex}
}{\rightarrow}
\mbox{``}FromInR
\mbox{''}
]$

$\rm
[FromInR
\stackrel{
\mathrm{pyk}
}{\rightarrow}
\mbox{``}1rule
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}fromInR
\mbox{''}
]$

\hypertarget {url:1808490583581903168404721082347638465545342357588912671848929942716323841:226}{}\section* {$\rm PlusR$}

$\rm
[PlusR
\stackrel{
proof
}{\rightarrow}
Rule\ tactic
]$

$\rm
[PlusR
\stackrel{
stmt
}{\rightarrow}ZFsub
\vdash 
\forall \underline{(fx)}
\colon 
\forall \underline{(fy)}
\colon R((fx)
+_{f}(fy)
)
 == R(\underline{(fx)}
+_{f}\underline{(fy)}
)
]$

$\rm
[PlusR
\stackrel{
\mathrm{tex}
}{\rightarrow}
\mbox{``}PlusR
\mbox{''}
]$

$\rm
[PlusR
\stackrel{
\mathrm{pyk}
}{\rightarrow}
\mbox{``}axiom
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}plusR
\mbox{''}
]$

\hypertarget {url:1808490583581903168404721082347638465545342357588912671848929942716323841:227}{}\section* {$\rm TimesR$}

$\rm
[TimesR
\stackrel{
proof
}{\rightarrow}
Rule\ tactic
]$

$\rm
[TimesR
\stackrel{
stmt
}{\rightarrow}ZFsub
\vdash 
\forall \underline{(fx)}
\colon 
\forall \underline{(fy)}
\colon R(\underline{(fx)}
)
**R(\underline{(fy)}
)
 == R(\underline{(fx)}
*_{f}\underline{(fy)}
)
]$

$\rm
[TimesR
\stackrel{
\mathrm{tex}
}{\rightarrow}
\mbox{``}TimesR
\mbox{''}
]$

$\rm
[TimesR
\stackrel{
\mathrm{pyk}
}{\rightarrow}
\mbox{``}axiom
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}timesR
\mbox{''}
]$

\hypertarget {url:1808490583581903168404721082347638465545342357588912671848929942716323841:228}{}\section* {$\rm leqAntisymmetry$}

$\rm
[leqAntisymmetry
\stackrel{
proof
}{\rightarrow}
\lambda 
\mathsf {c}
.
\lambda 
\mathsf{x}
.
{\cal P}( 
\lceil ZFsub
\vdash 
\forall \underline{
\mathsf{x}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf{y}}
\colon \underline{
\mathsf{x}}
 <= \underline{
\mathsf{y}}
\vdash \underline{
\mathsf{y}}
 <= \underline{
\mathsf{x}}
\vdash leqAntisymmetryAxiom
\gg \underline{
\mathsf{x}}
 <= \underline{
\mathsf{y}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf{y}}
 <= \underline{
\mathsf{x}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf{x}}
 = \underline{
\mathsf{y}}
; MP2
\rhd \underline{
\mathsf{x}}
 <= \underline{
\mathsf{y}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf{y}}
 <= \underline{
\mathsf{x}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf{x}}
 = \underline{
\mathsf{y}}
\rhd \underline{
\mathsf{x}}
 <= \underline{
\mathsf{y}}
\rhd \underline{
\mathsf{y}}
 <= \underline{
\mathsf{x}}
\gg \underline{
\mathsf{x}}
 = \underline{
\mathsf{y}}
\rceil 
, 
p_0
, 
\mathsf {c}
)
]$

$\rm
[leqAntisymmetry
\stackrel{
stmt
}{\rightarrow}ZFsub
\vdash 
\forall \underline{
\mathsf{x}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf{y}}
\colon \underline{
\mathsf{x}}
 <= \underline{
\mathsf{y}}
\vdash \underline{
\mathsf{y}}
 <= \underline{
\mathsf{x}}
\vdash \underline{
\mathsf{x}}
 = \underline{
\mathsf{y}}
]$

$\rm
[leqAntisymmetry
\stackrel{
\mathrm{tex}
}{\rightarrow}
\mbox{``}leqAntisymmetry
\mbox{''}
]$

$\rm
[leqAntisymmetry
\stackrel{
\mathrm{pyk}
}{\rightarrow}
\mbox{``}lemma
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}leqAntisymmetry
\mbox{''}
]$

\hypertarget {url:1808490583581903168404721082347638465545342357588912671848929942716323841:229}{}\section* {$\rm leqTransitivity$}

$\rm
[leqTransitivity
\stackrel{
proof
}{\rightarrow}
\lambda 
\mathsf {c}
.
\lambda 
\mathsf{x}
.
{\cal P}( 
\lceil ZFsub
\vdash 
\forall \underline{
\mathsf{x}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf{y}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf{z}}
\colon \underline{
\mathsf{x}}
 <= \underline{
\mathsf{y}}
\vdash \underline{
\mathsf{y}}
 <= \underline{
\mathsf{z}}
\vdash leqTransitivityAxiom
\gg \underline{
\mathsf{x}}
 <= \underline{
\mathsf{y}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf{y}}
 <= \underline{
\mathsf{z}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf{x}}
 <= \underline{
\mathsf{z}}
; MP2
\rhd \underline{
\mathsf{x}}
 <= \underline{
\mathsf{y}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf{y}}
 <= \underline{
\mathsf{z}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf{x}}
 <= \underline{
\mathsf{z}}
\rhd \underline{
\mathsf{x}}
 <= \underline{
\mathsf{y}}
\rhd \underline{
\mathsf{y}}
 <= \underline{
\mathsf{z}}
\gg \underline{
\mathsf{x}}
 <= \underline{
\mathsf{z}}
\rceil 
, 
p_0
, 
\mathsf {c}
)
]$

$\rm
[leqTransitivity
\stackrel{
stmt
}{\rightarrow}ZFsub
\vdash 
\forall \underline{
\mathsf{x}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf{y}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf{z}}
\colon \underline{
\mathsf{x}}
 <= \underline{
\mathsf{y}}
\vdash \underline{
\mathsf{y}}
 <= \underline{
\mathsf{z}}
\vdash \underline{
\mathsf{x}}
 <= \underline{
\mathsf{z}}
]$

$\rm
[leqTransitivity
\stackrel{
\mathrm{tex}
}{\rightarrow}
\mbox{``}leqTransitivity
\mbox{''}
]$

$\rm
[leqTransitivity
\stackrel{
\mathrm{pyk}
}{\rightarrow}
\mbox{``}lemma
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}leqTransitivity
\mbox{''}
]$

\hypertarget {url:1808490583581903168404721082347638465545342357588912671848929942716323841:230}{}\section* {$\rm leqAddition$}

$\rm
[leqAddition
\stackrel{
proof
}{\rightarrow}
\lambda 
\mathsf {c}
.
\lambda 
\mathsf{x}
.
{\cal P}( 
\lceil ZFsub
\vdash 
\forall \underline{
\mathsf{x}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf{y}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf{z}}
\colon \underline{
\mathsf{x}}
 <= \underline{
\mathsf{y}}
\vdash leqAdditionAxiom
\gg \underline{
\mathsf{x}}
 <= \underline{
\mathsf{y}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf{x}}
+\underline{
\mathsf{z}}
 <= \underline{
\mathsf{y}}
+\underline{
\mathsf{z}}
; MP
\rhd \underline{
\mathsf{x}}
 <= \underline{
\mathsf{y}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf{x}}
+\underline{
\mathsf{z}}
 <= \underline{
\mathsf{y}}
+\underline{
\mathsf{z}}
\rhd \underline{
\mathsf{x}}
 <= \underline{
\mathsf{y}}
\gg \underline{
\mathsf{x}}
+\underline{
\mathsf{z}}
 <= \underline{
\mathsf{y}}
+\underline{
\mathsf{z}}
\rceil 
, 
p_0
, 
\mathsf {c}
)
]$

$\rm
[leqAddition
\stackrel{
stmt
}{\rightarrow}ZFsub
\vdash 
\forall \underline{
\mathsf{x}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf{y}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf{z}}
\colon \underline{
\mathsf{x}}
 <= \underline{
\mathsf{y}}
\vdash \underline{
\mathsf{x}}
+\underline{
\mathsf{z}}
 <= \underline{
\mathsf{y}}
+\underline{
\mathsf{z}}
]$

$\rm
[leqAddition
\stackrel{
\mathrm{tex}
}{\rightarrow}
\mbox{``}leqAddition
\mbox{''}
]$

$\rm
[leqAddition
\stackrel{
\mathrm{pyk}
}{\rightarrow}
\mbox{``}lemma
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}leqAddition
\mbox{''}
]$

\hypertarget {url:1808490583581903168404721082347638465545342357588912671848929942716323841:231}{}\section* {$\rm leqMultiplication$}

$\rm
[leqMultiplication
\stackrel{
proof
}{\rightarrow}
\lambda 
\mathsf {c}
.
\lambda 
\mathsf{x}
.
{\cal P}( 
\lceil ZFsub
\vdash 
\forall \underline{
\mathsf{x}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf{y}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf{z}}
\colon 0
 <= \underline{
\mathsf{z}}
\vdash \underline{
\mathsf{x}}
 <= \underline{
\mathsf{y}}
\vdash leqMultiplicationAxiom
\gg 0
 <= \underline{
\mathsf{z}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf{x}}
 <= \underline{
\mathsf{y}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf{x}}
*\underline{
\mathsf{z}}
 <= \underline{
\mathsf{y}}
*\underline{
\mathsf{z}}
; MP2
\rhd 0
 <= \underline{
\mathsf{z}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf{x}}
 <= \underline{
\mathsf{y}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf{x}}
*\underline{
\mathsf{z}}
 <= \underline{
\mathsf{y}}
*\underline{
\mathsf{z}}
\rhd 0
 <= \underline{
\mathsf{z}}
\rhd \underline{
\mathsf{x}}
 <= \underline{
\mathsf{y}}
\gg \underline{
\mathsf{x}}
*\underline{
\mathsf{z}}
 <= \underline{
\mathsf{y}}
*\underline{
\mathsf{z}}
\rceil 
, 
p_0
, 
\mathsf {c}
)
]$

$\rm
[leqMultiplication
\stackrel{
stmt
}{\rightarrow}ZFsub
\vdash 
\forall \underline{
\mathsf{x}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf{y}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf{z}}
\colon 0
 <= \underline{
\mathsf{z}}
\vdash \underline{
\mathsf{x}}
 <= \underline{
\mathsf{y}}
\vdash \underline{
\mathsf{x}}
*\underline{
\mathsf{z}}
 <= \underline{
\mathsf{y}}
*\underline{
\mathsf{z}}
]$

$\rm
[leqMultiplication
\stackrel{
\mathrm{tex}
}{\rightarrow}
\mbox{``}leqMultiplication
\mbox{''}
]$

$\rm
[leqMultiplication
\stackrel{
\mathrm{pyk}
}{\rightarrow}
\mbox{``}lemma
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}leqMultiplication
\mbox{''}
]$

\hypertarget {url:1808490583581903168404721082347638465545342357588912671848929942716323841:232}{}\section* {$\rm Reciprocal$}

$\rm
[Reciprocal
\stackrel{
proof
}{\rightarrow}
\lambda 
\mathsf {c}
.
\lambda 
\mathsf{x}
.
{\cal P}( 
\lceil ZFsub
\vdash 
\forall \underline{
\mathsf{x}}
\colon \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf{x}}
 = 0
\vdash ReciprocalAxiom
\gg \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf{x}}
 = 0
\Rightarrow \underline{
\mathsf{x}}
*rec\underline{
\mathsf{x}}
 = 1
; MP
\rhd \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf{x}}
 = 0
\Rightarrow \underline{
\mathsf{x}}
*rec\underline{
\mathsf{x}}
 = 1
\rhd \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf{x}}
 = 0
\gg \underline{
\mathsf{x}}
*rec\underline{
\mathsf{x}}
 = 1
\rceil 
, 
p_0
, 
\mathsf {c}
)
]$

$\rm
[Reciprocal
\stackrel{
stmt
}{\rightarrow}ZFsub
\vdash 
\forall \underline{
\mathsf{x}}
\colon \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf{x}}
 = 0
\vdash \underline{
\mathsf{x}}
*rec\underline{
\mathsf{x}}
 = 1
]$

$\rm
[Reciprocal
\stackrel{
\mathrm{tex}
}{\rightarrow}
\mbox{``}Reciprocal
\mbox{''}
]$

$\rm
[Reciprocal
\stackrel{
\mathrm{pyk}
}{\rightarrow}
\mbox{``}lemma
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}reciprocal
\mbox{''}
]$

\hypertarget {url:1808490583581903168404721082347638465545342357588912671848929942716323841:233}{}\section* {$\rm Equality$}

$\rm
[Equality
\stackrel{
proof
}{\rightarrow}
\lambda 
\mathsf {c}
.
\lambda 
\mathsf{x}
.
{\cal P}( 
\lceil ZFsub
\vdash 
\forall \underline{
\mathsf{x}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf{y}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf{z}}
\colon \underline{
\mathsf{x}}
 = \underline{
\mathsf{y}}
\vdash \underline{
\mathsf{x}}
 = \underline{
\mathsf{z}}
\vdash equalityAxiom
\gg \underline{
\mathsf{x}}
 = \underline{
\mathsf{y}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf{x}}
 = \underline{
\mathsf{z}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf{y}}
 = \underline{
\mathsf{z}}
; MP2
\rhd \underline{
\mathsf{x}}
 = \underline{
\mathsf{y}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf{x}}
 = \underline{
\mathsf{z}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf{y}}
 = \underline{
\mathsf{z}}
\rhd \underline{
\mathsf{x}}
 = \underline{
\mathsf{y}}
\rhd \underline{
\mathsf{x}}
 = \underline{
\mathsf{z}}
\gg \underline{
\mathsf{y}}
 = \underline{
\mathsf{z}}
\rceil 
, 
p_0
, 
\mathsf {c}
)
]$

$\rm
[Equality
\stackrel{
stmt
}{\rightarrow}ZFsub
\vdash 
\forall \underline{
\mathsf{x}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf{y}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf{z}}
\colon \underline{
\mathsf{x}}
 = \underline{
\mathsf{y}}
\vdash \underline{
\mathsf{x}}
 = \underline{
\mathsf{z}}
\vdash \underline{
\mathsf{y}}
 = \underline{
\mathsf{z}}
]$

$\rm
[Equality
\stackrel{
\mathrm{tex}
}{\rightarrow}
\mbox{``}Equality
\mbox{''}
]$

$\rm
[Equality
\stackrel{
\mathrm{pyk}
}{\rightarrow}
\mbox{``}lemma
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}equality
\mbox{''}
]$

\hypertarget {url:1808490583581903168404721082347638465545342357588912671848929942716323841:234}{}\section* {$\rm eqLeq$}

$\rm
[eqLeq
\stackrel{
proof
}{\rightarrow}
\lambda 
\mathsf {c}
.
\lambda 
\mathsf{x}
.
{\cal P}( 
\lceil ZFsub
\vdash 
\forall \underline{
\mathsf{x}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf{y}}
\colon \underline{
\mathsf{x}}
 = \underline{
\mathsf{y}}
\vdash eqLeqAxiom
\gg \underline{
\mathsf{x}}
 = \underline{
\mathsf{y}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf{x}}
 <= \underline{
\mathsf{y}}
; MP
\rhd \underline{
\mathsf{x}}
 = \underline{
\mathsf{y}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf{x}}
 <= \underline{
\mathsf{y}}
\rhd \underline{
\mathsf{x}}
 = \underline{
\mathsf{y}}
\gg \underline{
\mathsf{x}}
 <= \underline{
\mathsf{y}}
\rceil 
, 
p_0
, 
\mathsf {c}
)
]$

$\rm
[eqLeq
\stackrel{
stmt
}{\rightarrow}ZFsub
\vdash 
\forall \underline{
\mathsf{x}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf{y}}
\colon \underline{
\mathsf{x}}
 = \underline{
\mathsf{y}}
\vdash \underline{
\mathsf{x}}
 <= \underline{
\mathsf{y}}
]$

$\rm
[eqLeq
\stackrel{
\mathrm{tex}
}{\rightarrow}
\mbox{``}eqLeq
\mbox{''}
]$

$\rm
[eqLeq
\stackrel{
\mathrm{pyk}
}{\rightarrow}
\mbox{``}lemma
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}eqLeq
\mbox{''}
]$

\hypertarget {url:1808490583581903168404721082347638465545342357588912671848929942716323841:235}{}\section* {$\rm eqAddition$}

$\rm
[eqAddition
\stackrel{
proof
}{\rightarrow}
\lambda 
\mathsf {c}
.
\lambda 
\mathsf{x}
.
{\cal P}( 
\lceil ZFsub
\vdash 
\forall \underline{
\mathsf{x}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf{y}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf{z}}
\colon \underline{
\mathsf{x}}
 = \underline{
\mathsf{y}}
\vdash eqAdditionAxiom
\gg \underline{
\mathsf{x}}
 = \underline{
\mathsf{y}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf{x}}
+\underline{
\mathsf{z}}
 = \underline{
\mathsf{y}}
+\underline{
\mathsf{z}}
; MP
\rhd \underline{
\mathsf{x}}
 = \underline{
\mathsf{y}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf{x}}
+\underline{
\mathsf{z}}
 = \underline{
\mathsf{y}}
+\underline{
\mathsf{z}}
\rhd \underline{
\mathsf{x}}
 = \underline{
\mathsf{y}}
\gg \underline{
\mathsf{x}}
+\underline{
\mathsf{z}}
 = \underline{
\mathsf{y}}
+\underline{
\mathsf{z}}
\rceil 
, 
p_0
, 
\mathsf {c}
)
]$

$\rm
[eqAddition
\stackrel{
stmt
}{\rightarrow}ZFsub
\vdash 
\forall \underline{
\mathsf{x}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf{y}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf{z}}
\colon \underline{
\mathsf{x}}
 = \underline{
\mathsf{y}}
\vdash \underline{
\mathsf{x}}
+\underline{
\mathsf{z}}
 = \underline{
\mathsf{y}}
+\underline{
\mathsf{z}}
]$

$\rm
[eqAddition
\stackrel{
\mathrm{tex}
}{\rightarrow}
\mbox{``}eqAddition
\mbox{''}
]$

$\rm
[eqAddition
\stackrel{
\mathrm{pyk}
}{\rightarrow}
\mbox{``}lemma
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}eqAddition
\mbox{''}
]$

\hypertarget {url:1808490583581903168404721082347638465545342357588912671848929942716323841:236}{}\section* {$\rm eqMultiplication$}

$\rm
[eqMultiplication
\stackrel{
proof
}{\rightarrow}
\lambda 
\mathsf {c}
.
\lambda 
\mathsf{x}
.
{\cal P}( 
\lceil ZFsub
\vdash 
\forall \underline{
\mathsf{x}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf{y}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf{z}}
\colon \underline{
\mathsf{x}}
 = \underline{
\mathsf{y}}
\vdash eqMultiplicationAxiom
\gg \underline{
\mathsf{x}}
 = \underline{
\mathsf{y}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf{x}}
*\underline{
\mathsf{z}}
 = \underline{
\mathsf{y}}
*\underline{
\mathsf{z}}
; MP
\rhd \underline{
\mathsf{x}}
 = \underline{
\mathsf{y}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf{x}}
*\underline{
\mathsf{z}}
 = \underline{
\mathsf{y}}
*\underline{
\mathsf{z}}
\rhd \underline{
\mathsf{x}}
 = \underline{
\mathsf{y}}
\gg \underline{
\mathsf{x}}
*\underline{
\mathsf{z}}
 = \underline{
\mathsf{y}}
*\underline{
\mathsf{z}}
\rceil 
, 
p_0
, 
\mathsf {c}
)
]$

$\rm
[eqMultiplication
\stackrel{
stmt
}{\rightarrow}ZFsub
\vdash 
\forall \underline{
\mathsf{x}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf{y}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf{z}}
\colon \underline{
\mathsf{x}}
 = \underline{
\mathsf{y}}
\vdash \underline{
\mathsf{x}}
*\underline{
\mathsf{z}}
 = \underline{
\mathsf{y}}
*\underline{
\mathsf{z}}
]$

$\rm
[eqMultiplication
\stackrel{
\mathrm{tex}
}{\rightarrow}
\mbox{``}eqMultiplication
\mbox{''}
]$

$\rm
[eqMultiplication
\stackrel{
\mathrm{pyk}
}{\rightarrow}
\mbox{``}lemma
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}eqMultiplication
\mbox{''}
]$

\hypertarget {url:1808490583581903168404721082347638465545342357588912671848929942716323841:237}{}\section* {$\rm ToNegatedImply$}

$\rm
[ToNegatedImply
\stackrel{
proof
}{\rightarrow}
\lambda 
\mathsf {c}
.
\lambda 
\mathsf{x}
.
{\cal P}( 
\lceil ZFsub
\vdash 
\forall \underline{
\mathsf {a}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf {b}}
\colon \underline{
\mathsf {a}}
\vdash \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf {b}}
\vdash \dot{\neg}\, \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf {a}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {b}}
\vdash RemoveDoubleNeg
\rhd \dot{\neg}\, \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf {a}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {b}}
\gg \underline{
\mathsf {a}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {b}}
; MP
\rhd \underline{
\mathsf {a}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {b}}
\rhd \underline{
\mathsf {a}}
\gg \underline{
\mathsf {b}}
; FromContradiction
\rhd \underline{
\mathsf {b}}
\rhd \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf {b}}
\gg \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf {a}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {b}}
; 
\forall \underline{
\mathsf {a}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf {b}}
\colon Ded
\rhd 
\forall \underline{
\mathsf {a}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf {b}}
\colon \underline{
\mathsf {a}}
\vdash \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf {b}}
\vdash \dot{\neg}\, \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf {a}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {b}}
\vdash \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf {a}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {b}}
\gg \underline{
\mathsf {a}}
\Rightarrow \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf {b}}
\Rightarrow \dot{\neg}\, \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf {a}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {b}}
\Rightarrow \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf {a}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {b}}
; \underline{
\mathsf {a}}
\vdash \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf {b}}
\vdash MP2
\rhd \underline{
\mathsf {a}}
\Rightarrow \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf {b}}
\Rightarrow \dot{\neg}\, \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf {a}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {b}}
\Rightarrow \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf {a}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {b}}
\rhd \underline{
\mathsf {a}}
\rhd \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf {b}}
\gg \dot{\neg}\, \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf {a}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {b}}
\Rightarrow \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf {a}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {b}}
; AutoImply
\gg \dot{\neg}\, \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf {a}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {b}}
\Rightarrow \dot{\neg}\, \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf {a}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {b}}
; Neg
\rhd \dot{\neg}\, \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf {a}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {b}}
\Rightarrow \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf {a}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {b}}
\rhd \dot{\neg}\, \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf {a}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {b}}
\Rightarrow \dot{\neg}\, \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf {a}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {b}}
\gg \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf {a}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {b}}
\rceil 
, 
p_0
, 
\mathsf {c}
)
]$

$\rm
[ToNegatedImply
\stackrel{
stmt
}{\rightarrow}ZFsub
\vdash 
\forall \underline{
\mathsf {a}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf {b}}
\colon \underline{
\mathsf {a}}
\vdash \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf {b}}
\vdash \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf {a}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {b}}
]$

$\rm
[ToNegatedImply
\stackrel{
\mathrm{tex}
}{\rightarrow}
\mbox{``}ToNegatedImply
\mbox{''}
]$

$\rm
[ToNegatedImply
\stackrel{
\mathrm{pyk}
}{\rightarrow}
\mbox{``}prop
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}lemma
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}to
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}negated
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}imply
\mbox{''}
]$

\hypertarget {url:1808490583581903168404721082347638465545342357588912671848929942716323841:238}{}\section* {$\rm TND$}

$\rm
[TND
\stackrel{
proof
}{\rightarrow}
\lambda 
\mathsf {c}
.
\lambda 
\mathsf{x}
.
{\cal P}( 
\lceil ZFsub
\vdash 
\forall \underline{
\mathsf {a}}
\colon AutoImply
\gg \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf {a}}
\Rightarrow \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf {a}}
; Repetition
\rhd \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf {a}}
\Rightarrow \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf {a}}
\gg \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf {a}}
\Rightarrow \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf {a}}
\rceil 
, 
p_0
, 
\mathsf {c}
)
]$

$\rm
[TND
\stackrel{
stmt
}{\rightarrow}ZFsub
\vdash 
\forall \underline{
\mathsf {a}}
\colon \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf {a}}
\Rightarrow \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf {a}}
]$

$\rm
[TND
\stackrel{
\mathrm{tex}
}{\rightarrow}
\mbox{``}TND
\mbox{''}
]$

$\rm
[TND
\stackrel{
\mathrm{pyk}
}{\rightarrow}
\mbox{``}prop
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}lemma
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}tertium
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}non
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}datur
\mbox{''}
]$

\hypertarget {url:1808490583581903168404721082347638465545342357588912671848929942716323841:239}{}\section* {$\rm ImplyNegation$}

$\rm
[ImplyNegation
\stackrel{
proof
}{\rightarrow}
\lambda 
\mathsf {c}
.
\lambda 
\mathsf{x}
.
{\cal P}( 
\lceil ZFsub
\vdash 
\forall \underline{
\mathsf {a}}
\colon \underline{
\mathsf {a}}
\Rightarrow \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf {a}}
\vdash AutoImply
\gg \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf {a}}
\Rightarrow \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf {a}}
; TND
\gg \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf {a}}
\Rightarrow \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf {a}}
; FromDisjuncts
\rhd \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf {a}}
\Rightarrow \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf {a}}
\rhd \underline{
\mathsf {a}}
\Rightarrow \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf {a}}
\rhd \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf {a}}
\Rightarrow \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf {a}}
\gg \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf {a}}
\rceil 
, 
p_0
, 
\mathsf {c}
)
]$

$\rm
[ImplyNegation
\stackrel{
stmt
}{\rightarrow}ZFsub
\vdash 
\forall \underline{
\mathsf {a}}
\colon \underline{
\mathsf {a}}
\Rightarrow \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf {a}}
\vdash \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf {a}}
]$

$\rm
[ImplyNegation
\stackrel{
\mathrm{tex}
}{\rightarrow}
\mbox{``}ImplyNegation
\mbox{''}
]$

$\rm
[ImplyNegation
\stackrel{
\mathrm{pyk}
}{\rightarrow}
\mbox{``}prop
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}lemma
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}imply
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}negation
\mbox{''}
]$

\hypertarget {url:1808490583581903168404721082347638465545342357588912671848929942716323841:240}{}\section* {$\rm FromNegations$}

$\rm
[FromNegations
\stackrel{
proof
}{\rightarrow}
\lambda 
\mathsf {c}
.
\lambda 
\mathsf{x}
.
{\cal P}( 
\lceil ZFsub
\vdash 
\forall \underline{
\mathsf {a}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf {b}}
\colon \underline{
\mathsf {a}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {b}}
\vdash \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf {a}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {b}}
\vdash TND
\gg \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf {a}}
\Rightarrow \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf {a}}
; FromDisjuncts
\rhd \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf {a}}
\Rightarrow \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf {a}}
\rhd \underline{
\mathsf {a}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {b}}
\rhd \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf {a}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {b}}
\gg \underline{
\mathsf {b}}
\rceil 
, 
p_0
, 
\mathsf {c}
)
]$

$\rm
[FromNegations
\stackrel{
stmt
}{\rightarrow}ZFsub
\vdash 
\forall \underline{
\mathsf {a}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf {b}}
\colon \underline{
\mathsf {a}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {b}}
\vdash \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf {a}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {b}}
\vdash \underline{
\mathsf {b}}
]$

$\rm
[FromNegations
\stackrel{
\mathrm{tex}
}{\rightarrow}
\mbox{``}FromNegations
\mbox{''}
]$

$\rm
[FromNegations
\stackrel{
\mathrm{pyk}
}{\rightarrow}
\mbox{``}prop
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}lemma
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}from
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}negations
\mbox{''}
]$

\hypertarget {url:1808490583581903168404721082347638465545342357588912671848929942716323841:241}{}\section* {$\rm From3Disjuncts$}

$\rm
[From3Disjuncts
\stackrel{
proof
}{\rightarrow}
\lambda 
\mathsf {c}
.
\lambda 
\mathsf{x}
.
{\cal P}( 
\lceil ZFsub
\vdash 
\forall \underline{
\mathsf {a}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf {b}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf {c}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf {d}}
\colon \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf {a}}
\Rightarrow \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf {b}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {c}}
\vdash \underline{
\mathsf {b}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {d}}
\vdash \underline{
\mathsf {c}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {d}}
\vdash \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf {a}}
\vdash Repetition
\rhd \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf {a}}
\Rightarrow \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf {b}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {c}}
\gg \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf {a}}
\Rightarrow \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf {b}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {c}}
; MP
\rhd \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf {a}}
\Rightarrow \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf {b}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {c}}
\rhd \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf {a}}
\gg \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf {b}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {c}}
; FromDisjuncts
\rhd \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf {b}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {c}}
\rhd \underline{
\mathsf {b}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {d}}
\rhd \underline{
\mathsf {c}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {d}}
\gg \underline{
\mathsf {d}}
; 
\forall \underline{
\mathsf {a}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf {b}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf {c}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf {d}}
\colon Ded
\rhd 
\forall \underline{
\mathsf {a}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf {b}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf {c}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf {d}}
\colon \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf {a}}
\Rightarrow \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf {b}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {c}}
\vdash \underline{
\mathsf {b}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {d}}
\vdash \underline{
\mathsf {c}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {d}}
\vdash \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf {a}}
\vdash \underline{
\mathsf {d}}
\gg \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf {a}}
\Rightarrow \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf {b}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {c}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {b}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {d}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {c}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {d}}
\Rightarrow \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf {a}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {d}}
; AutoImply
\gg \underline{
\mathsf {a}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {d}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {a}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {d}}
; \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf {a}}
\Rightarrow \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf {b}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {c}}
\vdash \underline{
\mathsf {a}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {d}}
\vdash \underline{
\mathsf {b}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {d}}
\vdash \underline{
\mathsf {c}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {d}}
\vdash MP3
\rhd \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf {a}}
\Rightarrow \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf {b}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {c}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {b}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {d}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {c}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {d}}
\Rightarrow \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf {a}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {d}}
\rhd \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf {a}}
\Rightarrow \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf {b}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {c}}
\rhd \underline{
\mathsf {b}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {d}}
\rhd \underline{
\mathsf {c}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {d}}
\gg \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf {a}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {d}}
; MP
\rhd \underline{
\mathsf {a}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {d}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {a}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {d}}
\rhd \underline{
\mathsf {a}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {d}}
\gg \underline{
\mathsf {a}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {d}}
; FromNegations
\rhd \underline{
\mathsf {a}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {d}}
\rhd \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf {a}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {d}}
\gg \underline{
\mathsf {d}}
\rceil 
, 
p_0
, 
\mathsf {c}
)
]$

$\rm
[From3Disjuncts
\stackrel{
stmt
}{\rightarrow}ZFsub
\vdash 
\forall \underline{
\mathsf {a}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf {b}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf {c}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf {d}}
\colon \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf {a}}
\Rightarrow \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf {b}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {c}}
\vdash \underline{
\mathsf {a}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {d}}
\vdash \underline{
\mathsf {b}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {d}}
\vdash \underline{
\mathsf {c}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {d}}
\vdash \underline{
\mathsf {d}}
]$

$\rm
[From3Disjuncts
\stackrel{
\mathrm{tex}
}{\rightarrow}
\mbox{``}From3Disjuncts
\mbox{''}
]$

$\rm
[From3Disjuncts
\stackrel{
\mathrm{pyk}
}{\rightarrow}
\mbox{``}prop
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}lemma
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}from
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}three
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}disjuncts
\mbox{''}
]$

\hypertarget {url:1808490583581903168404721082347638465545342357588912671848929942716323841:242}{}\section* {$\rm From2*2Disjuncts$}

$\rm
[From2*2Disjuncts
\stackrel{
proof
}{\rightarrow}
\lambda 
\mathsf {c}
.
\lambda 
\mathsf{x}
.
{\cal P}( 
\lceil ZFsub
\vdash 
\forall \underline{
\mathsf {a}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf {b}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf {c}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf {d}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf {e}}
\colon \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf {c}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {d}}
\vdash \underline{
\mathsf {a}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {c}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {e}}
\vdash \underline{
\mathsf {a}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {d}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {e}}
\vdash \underline{
\mathsf {a}}
\vdash MP
\rhd \underline{
\mathsf {a}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {c}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {e}}
\rhd \underline{
\mathsf {a}}
\gg \underline{
\mathsf {c}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {e}}
; MP
\rhd \underline{
\mathsf {a}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {d}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {e}}
\rhd \underline{
\mathsf {a}}
\gg \underline{
\mathsf {d}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {e}}
; FromDisjuncts
\rhd \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf {c}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {d}}
\rhd \underline{
\mathsf {c}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {e}}
\rhd \underline{
\mathsf {d}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {e}}
\gg \underline{
\mathsf {e}}
; 
\forall \underline{
\mathsf {a}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf {b}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf {c}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf {d}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf {e}}
\colon \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf {a}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {b}}
\vdash \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf {c}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {d}}
\vdash \underline{
\mathsf {b}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {c}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {e}}
\vdash \underline{
\mathsf {b}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {d}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {e}}
\vdash \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf {a}}
\vdash NegateDisjunct1
\rhd \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf {a}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {b}}
\rhd \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf {a}}
\gg \underline{
\mathsf {b}}
; MP
\rhd \underline{
\mathsf {b}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {c}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {e}}
\rhd \underline{
\mathsf {b}}
\gg \underline{
\mathsf {c}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {e}}
; MP
\rhd \underline{
\mathsf {b}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {d}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {e}}
\rhd \underline{
\mathsf {b}}
\gg \underline{
\mathsf {d}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {e}}
; FromDisjuncts
\rhd \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf {c}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {d}}
\rhd \underline{
\mathsf {c}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {e}}
\rhd \underline{
\mathsf {d}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {e}}
\gg \underline{
\mathsf {e}}
; 
\forall \underline{
\mathsf {a}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf {b}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf {c}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf {d}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf {e}}
\colon Ded
\rhd 
\forall \underline{
\mathsf {a}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf {b}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf {c}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf {d}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf {e}}
\colon \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf {c}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {d}}
\vdash \underline{
\mathsf {a}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {c}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {e}}
\vdash \underline{
\mathsf {a}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {d}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {e}}
\vdash \underline{
\mathsf {a}}
\vdash \underline{
\mathsf {e}}
\gg \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf {c}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {d}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {a}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {c}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {e}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {a}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {d}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {e}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {a}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {e}}
; Ded
\rhd 
\forall \underline{
\mathsf {a}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf {b}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf {c}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf {d}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf {e}}
\colon \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf {a}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {b}}
\vdash \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf {c}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {d}}
\vdash \underline{
\mathsf {b}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {c}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {e}}
\vdash \underline{
\mathsf {b}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {d}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {e}}
\vdash \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf {a}}
\vdash \underline{
\mathsf {e}}
\gg \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf {a}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {b}}
\Rightarrow \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf {c}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {d}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {b}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {c}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {e}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {b}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {d}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {e}}
\Rightarrow \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf {a}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {e}}
; \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf {a}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {b}}
\vdash \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf {c}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {d}}
\vdash \underline{
\mathsf {a}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {c}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {e}}
\vdash \underline{
\mathsf {a}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {d}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {e}}
\vdash \underline{
\mathsf {b}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {c}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {e}}
\vdash \underline{
\mathsf {b}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {d}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {e}}
\vdash MP3
\rhd \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf {c}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {d}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {a}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {c}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {e}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {a}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {d}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {e}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {a}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {e}}
\rhd \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf {c}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {d}}
\rhd \underline{
\mathsf {a}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {c}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {e}}
\rhd \underline{
\mathsf {a}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {d}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {e}}
\gg \underline{
\mathsf {a}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {e}}
; MP4
\rhd \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf {a}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {b}}
\Rightarrow \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf {c}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {d}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {b}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {c}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {e}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {b}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {d}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {e}}
\Rightarrow \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf {a}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {e}}
\rhd \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf {a}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {b}}
\rhd \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf {c}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {d}}
\rhd \underline{
\mathsf {b}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {c}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {e}}
\rhd \underline{
\mathsf {b}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {d}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {e}}
\gg \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf {a}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {e}}
; FromNegations
\rhd \underline{
\mathsf {a}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {e}}
\rhd \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf {a}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {e}}
\gg \underline{
\mathsf {e}}
\rceil 
, 
p_0
, 
\mathsf {c}
)
]$

$\rm
[From2*2Disjuncts
\stackrel{
stmt
}{\rightarrow}ZFsub
\vdash 
\forall \underline{
\mathsf {a}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf {b}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf {c}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf {d}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf {e}}
\colon \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf {a}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {b}}
\vdash \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf {c}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {d}}
\vdash \underline{
\mathsf {a}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {c}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {e}}
\vdash \underline{
\mathsf {a}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {d}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {e}}
\vdash \underline{
\mathsf {b}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {c}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {e}}
\vdash \underline{
\mathsf {b}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {d}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {e}}
\vdash \underline{
\mathsf {e}}
]$

$\rm
[From2*2Disjuncts
\stackrel{
\mathrm{tex}
}{\rightarrow}
\mbox{``}From2
{*}2Disjuncts
\mbox{''}
]$

$\rm
[From2*2Disjuncts
\stackrel{
\mathrm{pyk}
}{\rightarrow}
\mbox{``}prop
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}lemma
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}from
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}two
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}times
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}two
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}disjuncts
\mbox{''}
]$

\hypertarget {url:1808490583581903168404721082347638465545342357588912671848929942716323841:243}{}\section* {$\rm NegateDisjunct1$}

$\rm
[NegateDisjunct1
\stackrel{
proof
}{\rightarrow}
\lambda 
\mathsf {c}
.
\lambda 
\mathsf{x}
.
{\cal P}( 
\lceil ZFsub
\vdash 
\forall \underline{
\mathsf {a}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf {b}}
\colon \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf {a}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {b}}
\vdash \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf {a}}
\vdash Repetition
\rhd \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf {a}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {b}}
\gg \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf {a}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {b}}
; MP
\rhd \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf {a}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {b}}
\rhd \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf {a}}
\gg \underline{
\mathsf {b}}
\rceil 
, 
p_0
, 
\mathsf {c}
)
]$

$\rm
[NegateDisjunct1
\stackrel{
stmt
}{\rightarrow}ZFsub
\vdash 
\forall \underline{
\mathsf {a}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf {b}}
\colon \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf {a}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {b}}
\vdash \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf {a}}
\vdash \underline{
\mathsf {b}}
]$

$\rm
[NegateDisjunct1
\stackrel{
\mathrm{tex}
}{\rightarrow}
\mbox{``}NegateDisjunct1
\mbox{''}
]$

$\rm
[NegateDisjunct1
\stackrel{
\mathrm{pyk}
}{\rightarrow}
\mbox{``}prop
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}lemma
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}negate
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}first
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}disjunct
\mbox{''}
]$

\hypertarget {url:1808490583581903168404721082347638465545342357588912671848929942716323841:244}{}\section* {$\rm NegateDisjunct2$}

$\rm
[NegateDisjunct2
\stackrel{
proof
}{\rightarrow}
\lambda 
\mathsf {c}
.
\lambda 
\mathsf{x}
.
{\cal P}( 
\lceil ZFsub
\vdash 
\forall \underline{
\mathsf {a}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf {b}}
\colon \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf {a}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {b}}
\vdash \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf {b}}
\vdash Repetition
\rhd \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf {a}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {b}}
\gg \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf {a}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {b}}
; NegativeMT
\rhd \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf {a}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {b}}
\rhd \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf {b}}
\gg \underline{
\mathsf {a}}
\rceil 
, 
p_0
, 
\mathsf {c}
)
]$

$\rm
[NegateDisjunct2
\stackrel{
stmt
}{\rightarrow}ZFsub
\vdash 
\forall \underline{
\mathsf {a}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf {b}}
\colon \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf {a}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {b}}
\vdash \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf {b}}
\vdash \underline{
\mathsf {a}}
]$

$\rm
[NegateDisjunct2
\stackrel{
\mathrm{tex}
}{\rightarrow}
\mbox{``}NegateDisjunct2
\mbox{''}
]$

$\rm
[NegateDisjunct2
\stackrel{
\mathrm{pyk}
}{\rightarrow}
\mbox{``}prop
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}lemma
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}negate
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}second
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}disjunct
\mbox{''}
]$

\hypertarget {url:1808490583581903168404721082347638465545342357588912671848929942716323841:245}{}\section* {$\rm ExpandDisjuncts$}

$\rm
[ExpandDisjuncts
\stackrel{
proof
}{\rightarrow}
\lambda 
\mathsf {c}
.
\lambda 
\mathsf{x}
.
{\cal P}( 
\lceil ZFsub
\vdash 
\forall \underline{
\mathsf {a}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf {b}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf {c}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf {d}}
\colon \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf {a}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {b}}
\vdash \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf {c}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {d}}
\vdash \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf {b}}
\vdash \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf {d}}
\vdash NegateDisjunct2
\rhd \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf {a}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {b}}
\rhd \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf {b}}
\gg \underline{
\mathsf {a}}
; NegateDisjunct2
\rhd \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf {c}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {d}}
\rhd \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf {d}}
\gg \underline{
\mathsf {c}}
; JoinConjuncts
\rhd \underline{
\mathsf {a}}
\rhd \underline{
\mathsf {c}}
\gg \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf {a}}
\Rightarrow \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf {c}}
; 
\forall \underline{
\mathsf {a}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf {b}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf {c}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf {d}}
\colon Ded
\rhd 
\forall \underline{
\mathsf {a}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf {b}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf {c}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf {d}}
\colon \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf {a}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {b}}
\vdash \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf {c}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {d}}
\vdash \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf {b}}
\vdash \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf {d}}
\vdash \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf {a}}
\Rightarrow \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf {c}}
\gg \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf {a}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {b}}
\Rightarrow \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf {c}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {d}}
\Rightarrow \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf {b}}
\Rightarrow \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf {d}}
\Rightarrow \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf {a}}
\Rightarrow \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf {c}}
; \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf {a}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {b}}
\vdash \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf {c}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {d}}
\vdash MP2
\rhd \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf {a}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {b}}
\Rightarrow \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf {c}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {d}}
\Rightarrow \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf {b}}
\Rightarrow \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf {d}}
\Rightarrow \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf {a}}
\Rightarrow \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf {c}}
\rhd \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf {a}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {b}}
\rhd \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf {c}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {d}}
\gg \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf {b}}
\Rightarrow \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf {d}}
\Rightarrow \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf {a}}
\Rightarrow \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf {c}}
; Repetition
\rhd \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf {b}}
\Rightarrow \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf {d}}
\Rightarrow \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf {a}}
\Rightarrow \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf {c}}
\gg \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf {b}}
\Rightarrow \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf {d}}
\Rightarrow \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf {a}}
\Rightarrow \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf {c}}
\rceil 
, 
p_0
, 
\mathsf {c}
)
]$

$\rm
[ExpandDisjuncts
\stackrel{
stmt
}{\rightarrow}ZFsub
\vdash 
\forall \underline{
\mathsf {a}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf {b}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf {c}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf {d}}
\colon \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf {a}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {b}}
\vdash \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf {c}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {d}}
\vdash \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf {b}}
\Rightarrow \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf {d}}
\Rightarrow \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf {a}}
\Rightarrow \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf {c}}
]$

$\rm
[ExpandDisjuncts
\stackrel{
\mathrm{tex}
}{\rightarrow}
\mbox{``}ExpandDisjuncts
\mbox{''}
]$

$\rm
[ExpandDisjuncts
\stackrel{
\mathrm{pyk}
}{\rightarrow}
\mbox{``}prop
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}lemma
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}expand
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}disjuncts
\mbox{''}
]$

\hypertarget {url:1808490583581903168404721082347638465545342357588912671848929942716323841:246}{}\section* {$\rm eqReflexivity$}

$\rm
[eqReflexivity
\stackrel{
proof
}{\rightarrow}
\lambda 
\mathsf {c}
.
\lambda 
\mathsf{x}
.
{\cal P}( 
\lceil ZFsub
\vdash 
\forall \underline{
\mathsf{x}}
\colon leqReflexivity
\gg \underline{
\mathsf{x}}
 <= \underline{
\mathsf{x}}
; leqAntisymmetry
\rhd \underline{
\mathsf{x}}
 <= \underline{
\mathsf{x}}
\rhd \underline{
\mathsf{x}}
 <= \underline{
\mathsf{x}}
\gg \underline{
\mathsf{x}}
 = \underline{
\mathsf{x}}
\rceil 
, 
p_0
, 
\mathsf {c}
)
]$

$\rm
[eqReflexivity
\stackrel{
stmt
}{\rightarrow}ZFsub
\vdash 
\forall \underline{
\mathsf{x}}
\colon \underline{
\mathsf{x}}
 = \underline{
\mathsf{x}}
]$

$\rm
[eqReflexivity
\stackrel{
\mathrm{tex}
}{\rightarrow}
\mbox{``}eqReflexivity
\mbox{''}
]$

$\rm
[eqReflexivity
\stackrel{
\mathrm{pyk}
}{\rightarrow}
\mbox{``}lemma
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}eqReflexivity
\mbox{''}
]$

\hypertarget {url:1808490583581903168404721082347638465545342357588912671848929942716323841:247}{}\section* {$\rm eqSymmetry$}

$\rm
[eqSymmetry
\stackrel{
proof
}{\rightarrow}
\lambda 
\mathsf {c}
.
\lambda 
\mathsf{x}
.
{\cal P}( 
\lceil ZFsub
\vdash 
\forall \underline{
\mathsf{x}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf{y}}
\colon \underline{
\mathsf{x}}
 = \underline{
\mathsf{y}}
\vdash eqReflexivity
\gg \underline{
\mathsf{x}}
 = \underline{
\mathsf{x}}
; Equality
\rhd \underline{
\mathsf{x}}
 = \underline{
\mathsf{y}}
\rhd \underline{
\mathsf{x}}
 = \underline{
\mathsf{x}}
\gg \underline{
\mathsf{y}}
 = \underline{
\mathsf{x}}
\rceil 
, 
p_0
, 
\mathsf {c}
)
]$

$\rm
[eqSymmetry
\stackrel{
stmt
}{\rightarrow}ZFsub
\vdash 
\forall \underline{
\mathsf{x}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf{y}}
\colon \underline{
\mathsf{x}}
 = \underline{
\mathsf{y}}
\vdash \underline{
\mathsf{y}}
 = \underline{
\mathsf{x}}
]$

$\rm
[eqSymmetry
\stackrel{
\mathrm{tex}
}{\rightarrow}
\mbox{``}eqSymmetry
\mbox{''}
]$

$\rm
[eqSymmetry
\stackrel{
\mathrm{pyk}
}{\rightarrow}
\mbox{``}lemma
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}eqSymmetry
\mbox{''}
]$

\hypertarget {url:1808490583581903168404721082347638465545342357588912671848929942716323841:248}{}\section* {$\rm eqTransitivity$}

$\rm
[eqTransitivity
\stackrel{
proof
}{\rightarrow}
\lambda 
\mathsf {c}
.
\lambda 
\mathsf{x}
.
{\cal P}( 
\lceil ZFsub
\vdash 
\forall \underline{
\mathsf{x}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf{y}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf{z}}
\colon \underline{
\mathsf{x}}
 = \underline{
\mathsf{y}}
\vdash \underline{
\mathsf{y}}
 = \underline{
\mathsf{z}}
\vdash eqSymmetry
\rhd \underline{
\mathsf{x}}
 = \underline{
\mathsf{y}}
\gg \underline{
\mathsf{y}}
 = \underline{
\mathsf{x}}
; Equality
\rhd \underline{
\mathsf{y}}
 = \underline{
\mathsf{x}}
\rhd \underline{
\mathsf{y}}
 = \underline{
\mathsf{z}}
\gg \underline{
\mathsf{x}}
 = \underline{
\mathsf{z}}
\rceil 
, 
p_0
, 
\mathsf {c}
)
]$

$\rm
[eqTransitivity
\stackrel{
stmt
}{\rightarrow}ZFsub
\vdash 
\forall \underline{
\mathsf{x}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf{y}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf{z}}
\colon \underline{
\mathsf{x}}
 = \underline{
\mathsf{y}}
\vdash \underline{
\mathsf{y}}
 = \underline{
\mathsf{z}}
\vdash \underline{
\mathsf{x}}
 = \underline{
\mathsf{z}}
]$

$\rm
[eqTransitivity
\stackrel{
\mathrm{tex}
}{\rightarrow}
\mbox{``}eqTransitivity
\mbox{''}
]$

$\rm
[eqTransitivity
\stackrel{
\mathrm{pyk}
}{\rightarrow}
\mbox{``}lemma
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}eqTransitivity
\mbox{''}
]$

\hypertarget {url:1808490583581903168404721082347638465545342357588912671848929942716323841:249}{}\section* {$\rm eqTransitivity4$}

$\rm
[eqTransitivity4
\stackrel{
proof
}{\rightarrow}
\lambda 
\mathsf {c}
.
\lambda 
\mathsf{x}
.
{\cal P}( 
\lceil ZFsub
\vdash 
\forall \underline{
\mathsf{x}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf{y}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf{z}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf {u}}
\colon \underline{
\mathsf{x}}
 = \underline{
\mathsf{y}}
\vdash \underline{
\mathsf{y}}
 = \underline{
\mathsf{z}}
\vdash \underline{
\mathsf{z}}
 = \underline{
\mathsf {u}}
\vdash eqTransitivity
\rhd \underline{
\mathsf{x}}
 = \underline{
\mathsf{y}}
\rhd \underline{
\mathsf{y}}
 = \underline{
\mathsf{z}}
\gg \underline{
\mathsf{x}}
 = \underline{
\mathsf{z}}
; eqTransitivity
\rhd \underline{
\mathsf{x}}
 = \underline{
\mathsf{z}}
\rhd \underline{
\mathsf{z}}
 = \underline{
\mathsf {u}}
\gg \underline{
\mathsf{x}}
 = \underline{
\mathsf {u}}
\rceil 
, 
p_0
, 
\mathsf {c}
)
]$

$\rm
[eqTransitivity4
\stackrel{
stmt
}{\rightarrow}ZFsub
\vdash 
\forall \underline{
\mathsf{x}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf{y}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf{z}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf {u}}
\colon \underline{
\mathsf{x}}
 = \underline{
\mathsf{y}}
\vdash \underline{
\mathsf{y}}
 = \underline{
\mathsf{z}}
\vdash \underline{
\mathsf{z}}
 = \underline{
\mathsf {u}}
\vdash \underline{
\mathsf{x}}
 = \underline{
\mathsf {u}}
]$

$\rm
[eqTransitivity4
\stackrel{
\mathrm{tex}
}{\rightarrow}
\mbox{``}eqTransitivity4
\mbox{''}
]$

$\rm
[eqTransitivity4
\stackrel{
\mathrm{pyk}
}{\rightarrow}
\mbox{``}lemma
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}eqTransitivity4
\mbox{''}
]$

\hypertarget {url:1808490583581903168404721082347638465545342357588912671848929942716323841:250}{}\section* {$\rm eqTransitivity5$}

$\rm
[eqTransitivity5
\stackrel{
proof
}{\rightarrow}
\lambda 
\mathsf {c}
.
\lambda 
\mathsf{x}
.
{\cal P}( 
\lceil ZFsub
\vdash 
\forall \underline{
\mathsf{x}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf{y}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf{z}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf {u}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf {v}}
\colon \underline{
\mathsf{x}}
 = \underline{
\mathsf{y}}
\vdash \underline{
\mathsf{y}}
 = \underline{
\mathsf{z}}
\vdash \underline{
\mathsf{z}}
 = \underline{
\mathsf {u}}
\vdash \underline{
\mathsf {u}}
 = \underline{
\mathsf {v}}
\vdash eqTransitivity4
\rhd \underline{
\mathsf{x}}
 = \underline{
\mathsf{y}}
\rhd \underline{
\mathsf{y}}
 = \underline{
\mathsf{z}}
\rhd \underline{
\mathsf{z}}
 = \underline{
\mathsf {u}}
\gg \underline{
\mathsf{x}}
 = \underline{
\mathsf {u}}
; eqTransitivity
\rhd \underline{
\mathsf{x}}
 = \underline{
\mathsf {u}}
\rhd \underline{
\mathsf {u}}
 = \underline{
\mathsf {v}}
\gg \underline{
\mathsf{x}}
 = \underline{
\mathsf {v}}
\rceil 
, 
p_0
, 
\mathsf {c}
)
]$

$\rm
[eqTransitivity5
\stackrel{
stmt
}{\rightarrow}ZFsub
\vdash 
\forall \underline{
\mathsf{x}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf{y}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf{z}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf {u}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf {v}}
\colon \underline{
\mathsf{x}}
 = \underline{
\mathsf{y}}
\vdash \underline{
\mathsf{y}}
 = \underline{
\mathsf{z}}
\vdash \underline{
\mathsf{z}}
 = \underline{
\mathsf {u}}
\vdash \underline{
\mathsf {u}}
 = \underline{
\mathsf {v}}
\vdash \underline{
\mathsf{x}}
 = \underline{
\mathsf {v}}
]$

$\rm
[eqTransitivity5
\stackrel{
\mathrm{tex}
}{\rightarrow}
\mbox{``}eqTransitivity5
\mbox{''}
]$

$\rm
[eqTransitivity5
\stackrel{
\mathrm{pyk}
}{\rightarrow}
\mbox{``}lemma
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}eqTransitivity5
\mbox{''}
]$

\hypertarget {url:1808490583581903168404721082347638465545342357588912671848929942716323841:251}{}\section* {$\rm eqTransitivity6$}

$\rm
[eqTransitivity6
\stackrel{
proof
}{\rightarrow}
\lambda 
\mathsf {c}
.
\lambda 
\mathsf{x}
.
{\cal P}( 
\lceil ZFsub
\vdash 
\forall \underline{
\mathsf{x}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf{y}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf{z}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf {u}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf {v}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf {w}}
\colon \underline{
\mathsf{x}}
 = \underline{
\mathsf{y}}
\vdash \underline{
\mathsf{y}}
 = \underline{
\mathsf{z}}
\vdash \underline{
\mathsf{z}}
 = \underline{
\mathsf {u}}
\vdash \underline{
\mathsf {u}}
 = \underline{
\mathsf {v}}
\vdash \underline{
\mathsf {v}}
 = \underline{
\mathsf {w}}
\vdash eqTransitivity5
\rhd \underline{
\mathsf{x}}
 = \underline{
\mathsf{y}}
\rhd \underline{
\mathsf{y}}
 = \underline{
\mathsf{z}}
\rhd \underline{
\mathsf{z}}
 = \underline{
\mathsf {u}}
\rhd \underline{
\mathsf {u}}
 = \underline{
\mathsf {v}}
\gg \underline{
\mathsf{x}}
 = \underline{
\mathsf {v}}
; eqTransitivity
\rhd \underline{
\mathsf{x}}
 = \underline{
\mathsf {v}}
\rhd \underline{
\mathsf {v}}
 = \underline{
\mathsf {w}}
\gg \underline{
\mathsf{x}}
 = \underline{
\mathsf {w}}
\rceil 
, 
p_0
, 
\mathsf {c}
)
]$

$\rm
[eqTransitivity6
\stackrel{
stmt
}{\rightarrow}ZFsub
\vdash 
\forall \underline{
\mathsf{x}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf{y}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf{z}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf {u}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf {v}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf {w}}
\colon \underline{
\mathsf{x}}
 = \underline{
\mathsf{y}}
\vdash \underline{
\mathsf{y}}
 = \underline{
\mathsf{z}}
\vdash \underline{
\mathsf{z}}
 = \underline{
\mathsf {u}}
\vdash \underline{
\mathsf {u}}
 = \underline{
\mathsf {v}}
\vdash \underline{
\mathsf {v}}
 = \underline{
\mathsf {w}}
\vdash \underline{
\mathsf{x}}
 = \underline{
\mathsf {w}}
]$

$\rm
[eqTransitivity6
\stackrel{
\mathrm{tex}
}{\rightarrow}
\mbox{``}eqTransitivity6
\mbox{''}
]$

$\rm
[eqTransitivity6
\stackrel{
\mathrm{pyk}
}{\rightarrow}
\mbox{``}lemma
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}eqTransitivity6
\mbox{''}
]$

\hypertarget {url:1808490583581903168404721082347638465545342357588912671848929942716323841:252}{}\section* {$\rm plus0Left$}

$\rm
[plus0Left
\stackrel{
proof
}{\rightarrow}
\lambda 
\mathsf {c}
.
\lambda 
\mathsf{x}
.
{\cal P}( 
\lceil ZFsub
\vdash 
\forall \underline{
\mathsf{x}}
\colon plus0
\gg \underline{
\mathsf{x}}
+0
 = \underline{
\mathsf{x}}
; plusCommutativity
\gg 0
+\underline{
\mathsf{x}}
 = \underline{
\mathsf{x}}
+0
; eqTransitivity
\rhd 0
+\underline{
\mathsf{x}}
 = \underline{
\mathsf{x}}
+0
\rhd \underline{
\mathsf{x}}
+0
 = \underline{
\mathsf{x}}
\gg 0
+\underline{
\mathsf{x}}
 = \underline{
\mathsf{x}}
\rceil 
, 
p_0
, 
\mathsf {c}
)
]$

$\rm
[plus0Left
\stackrel{
stmt
}{\rightarrow}ZFsub
\vdash 
\forall \underline{
\mathsf{x}}
\colon 0
+\underline{
\mathsf{x}}
 = \underline{
\mathsf{x}}
]$

$\rm
[plus0Left
\stackrel{
\mathrm{tex}
}{\rightarrow}
\mbox{``}plus0Left
\mbox{''}
]$

$\rm
[plus0Left
\stackrel{
\mathrm{pyk}
}{\rightarrow}
\mbox{``}lemma
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}plus0Left
\mbox{''}
]$

\hypertarget {url:1808490583581903168404721082347638465545342357588912671848929942716323841:253}{}\section* {$\rm times1Left$}

$\rm
[times1Left
\stackrel{
proof
}{\rightarrow}
\lambda 
\mathsf {c}
.
\lambda 
\mathsf{x}
.
{\cal P}( 
\lceil ZFsub
\vdash 
\forall \underline{
\mathsf{x}}
\colon times1
\gg \underline{
\mathsf{x}}
*1
 = \underline{
\mathsf{x}}
; timesCommutativity
\gg 1
*\underline{
\mathsf{x}}
 = \underline{
\mathsf{x}}
*1
; eqTransitivity
\rhd 1
*\underline{
\mathsf{x}}
 = \underline{
\mathsf{x}}
*1
\rhd \underline{
\mathsf{x}}
*1
 = \underline{
\mathsf{x}}
\gg 1
*\underline{
\mathsf{x}}
 = \underline{
\mathsf{x}}
\rceil 
, 
p_0
, 
\mathsf {c}
)
]$

$\rm
[times1Left
\stackrel{
stmt
}{\rightarrow}ZFsub
\vdash 
\forall \underline{
\mathsf{x}}
\colon 1
*\underline{
\mathsf{x}}
 = \underline{
\mathsf{x}}
]$

$\rm
[times1Left
\stackrel{
\mathrm{tex}
}{\rightarrow}
\mbox{``}times1Left
\mbox{''}
]$

$\rm
[times1Left
\stackrel{
\mathrm{pyk}
}{\rightarrow}
\mbox{``}lemma
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}times1Left
\mbox{''}
]$

\hypertarget {url:1808490583581903168404721082347638465545342357588912671848929942716323841:254}{}\section* {$\rm 
\mbox{lemma eqAdditionLeft}$}

$\rm
[
\mbox{lemma eqAdditionLeft}
\stackrel{
proof
}{\rightarrow}
\lambda 
\mathsf {c}
.
\lambda 
\mathsf{x}
.
{\cal P}( 
\lceil ZFsub
\vdash 
\forall \underline{
\mathsf{x}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf{y}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf{z}}
\colon \underline{
\mathsf{x}}
 = \underline{
\mathsf{y}}
\vdash eqAddition
\rhd \underline{
\mathsf{x}}
 = \underline{
\mathsf{y}}
\gg \underline{
\mathsf{x}}
+\underline{
\mathsf{z}}
 = \underline{
\mathsf{y}}
+\underline{
\mathsf{z}}
; plusCommutativity
\gg \underline{
\mathsf{z}}
+\underline{
\mathsf{x}}
 = \underline{
\mathsf{x}}
+\underline{
\mathsf{z}}
; plusCommutativity
\gg \underline{
\mathsf{y}}
+\underline{
\mathsf{z}}
 = \underline{
\mathsf{z}}
+\underline{
\mathsf{y}}
; eqTransitivity4
\rhd \underline{
\mathsf{z}}
+\underline{
\mathsf{x}}
 = \underline{
\mathsf{x}}
+\underline{
\mathsf{z}}
\rhd \underline{
\mathsf{x}}
+\underline{
\mathsf{z}}
 = \underline{
\mathsf{y}}
+\underline{
\mathsf{z}}
\rhd \underline{
\mathsf{y}}
+\underline{
\mathsf{z}}
 = \underline{
\mathsf{z}}
+\underline{
\mathsf{y}}
\gg \underline{
\mathsf{z}}
+\underline{
\mathsf{x}}
 = \underline{
\mathsf{z}}
+\underline{
\mathsf{y}}
\rceil 
, 
p_0
, 
\mathsf {c}
)
]$

$\rm
[
\mbox{lemma eqAdditionLeft}
\stackrel{
stmt
}{\rightarrow}ZFsub
\vdash 
\forall \underline{
\mathsf{x}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf{y}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf{z}}
\colon \underline{
\mathsf{x}}
 = \underline{
\mathsf{y}}
\vdash \underline{
\mathsf{z}}
+\underline{
\mathsf{x}}
 = \underline{
\mathsf{z}}
+\underline{
\mathsf{y}}
]$

$\rm
[
\mbox{lemma eqAdditionLeft}
\stackrel{
\mathrm{pyk}
}{\rightarrow}
\mbox{``}lemma
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}eqAdditionLeft
\mbox{''}
]$

\hypertarget {url:1808490583581903168404721082347638465545342357588912671848929942716323841:255}{}\section* {$\rm EqMultiplicationLeft$}

$\rm
[EqMultiplicationLeft
\stackrel{
proof
}{\rightarrow}
\lambda 
\mathsf {c}
.
\lambda 
\mathsf{x}
.
{\cal P}( 
\lceil ZFsub
\vdash 
\forall \underline{
\mathsf{x}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf{y}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf{z}}
\colon \underline{
\mathsf{x}}
 = \underline{
\mathsf{y}}
\vdash eqMultiplication
\rhd \underline{
\mathsf{x}}
 = \underline{
\mathsf{y}}
\gg \underline{
\mathsf{x}}
*\underline{
\mathsf{z}}
 = \underline{
\mathsf{y}}
*\underline{
\mathsf{z}}
; timesCommutativity
\gg \underline{
\mathsf{z}}
*\underline{
\mathsf{x}}
 = \underline{
\mathsf{x}}
*\underline{
\mathsf{z}}
; timesCommutativity
\gg \underline{
\mathsf{y}}
*\underline{
\mathsf{z}}
 = \underline{
\mathsf{z}}
*\underline{
\mathsf{y}}
; eqTransitivity4
\rhd \underline{
\mathsf{z}}
*\underline{
\mathsf{x}}
 = \underline{
\mathsf{x}}
*\underline{
\mathsf{z}}
\rhd \underline{
\mathsf{x}}
*\underline{
\mathsf{z}}
 = \underline{
\mathsf{y}}
*\underline{
\mathsf{z}}
\rhd \underline{
\mathsf{y}}
*\underline{
\mathsf{z}}
 = \underline{
\mathsf{z}}
*\underline{
\mathsf{y}}
\gg \underline{
\mathsf{z}}
*\underline{
\mathsf{x}}
 = \underline{
\mathsf{z}}
*\underline{
\mathsf{y}}
\rceil 
, 
p_0
, 
\mathsf {c}
)
]$

$\rm
[EqMultiplicationLeft
\stackrel{
stmt
}{\rightarrow}ZFsub
\vdash 
\forall \underline{
\mathsf{x}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf{y}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf{z}}
\colon \underline{
\mathsf{x}}
 = \underline{
\mathsf{y}}
\vdash \underline{
\mathsf{z}}
*\underline{
\mathsf{x}}
 = \underline{
\mathsf{z}}
*\underline{
\mathsf{y}}
]$

$\rm
[EqMultiplicationLeft
\stackrel{
\mathrm{tex}
}{\rightarrow}
\mbox{``}EqMultiplicationLeft
\mbox{''}
]$

$\rm
[EqMultiplicationLeft
\stackrel{
\mathrm{pyk}
}{\rightarrow}
\mbox{``}lemma
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}eqMultiplicationLeft
\mbox{''}
]$

\hypertarget {url:1808490583581903168404721082347638465545342357588912671848929942716323841:256}{}\section* {$\rm DistributionOut$}

$\rm
[DistributionOut
\stackrel{
proof
}{\rightarrow}
\lambda 
\mathsf {c}
.
\lambda 
\mathsf{x}
.
{\cal P}( 
\lceil ZFsub
\vdash 
\forall \underline{
\mathsf{x}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf{y}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf{z}}
\colon Distribution
\gg \underline{
\mathsf{x}}
*\underline{
\mathsf{y}}
+\underline{
\mathsf{z}}
 = \underline{
\mathsf{x}}
*\underline{
\mathsf{y}}
+\underline{
\mathsf{x}}
*\underline{
\mathsf{z}}
; eqSymmetry
\rhd \underline{
\mathsf{x}}
*\underline{
\mathsf{y}}
+\underline{
\mathsf{z}}
 = \underline{
\mathsf{x}}
*\underline{
\mathsf{y}}
+\underline{
\mathsf{x}}
*\underline{
\mathsf{z}}
\gg \underline{
\mathsf{x}}
*\underline{
\mathsf{y}}
+\underline{
\mathsf{x}}
*\underline{
\mathsf{z}}
 = \underline{
\mathsf{x}}
*\underline{
\mathsf{y}}
+\underline{
\mathsf{z}}
\rceil 
, 
p_0
, 
\mathsf {c}
)
]$

$\rm
[DistributionOut
\stackrel{
stmt
}{\rightarrow}ZFsub
\vdash 
\forall \underline{
\mathsf{x}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf{y}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf{z}}
\colon \underline{
\mathsf{x}}
*\underline{
\mathsf{y}}
+\underline{
\mathsf{x}}
*\underline{
\mathsf{z}}
 = \underline{
\mathsf{x}}
*\underline{
\mathsf{y}}
+\underline{
\mathsf{z}}
]$

$\rm
[DistributionOut
\stackrel{
\mathrm{tex}
}{\rightarrow}
\mbox{``}DistributionOut
\mbox{''}
]$

$\rm
[DistributionOut
\stackrel{
\mathrm{pyk}
}{\rightarrow}
\mbox{``}lemma
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}distributionOut
\mbox{''}
]$

\hypertarget {url:1808490583581903168404721082347638465545342357588912671848929942716323841:257}{}\section* {$\rm Three2twoTerms$}

$\rm
[Three2twoTerms
\stackrel{
proof
}{\rightarrow}
\lambda 
\mathsf {c}
.
\lambda 
\mathsf{x}
.
{\cal P}( 
\lceil ZFsub
\vdash 
\forall \underline{
\mathsf{x}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf{y}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf{z}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf {u}}
\colon \underline{
\mathsf{y}}
+\underline{
\mathsf{z}}
 = \underline{
\mathsf {u}}
\vdash 
\mbox{lemma eqAdditionLeft}
\rhd \underline{
\mathsf{y}}
+\underline{
\mathsf{z}}
 = \underline{
\mathsf {u}}
\gg \underline{
\mathsf{x}}
+\underline{
\mathsf{y}}
+\underline{
\mathsf{z}}
 = \underline{
\mathsf{x}}
+\underline{
\mathsf {u}}
; plusAssociativity
\gg \underline{
\mathsf{x}}
+\underline{
\mathsf{y}}
+\underline{
\mathsf{z}}
 = \underline{
\mathsf{x}}
+\underline{
\mathsf{y}}
+\underline{
\mathsf{z}}
; eqTransitivity
\rhd \underline{
\mathsf{x}}
+\underline{
\mathsf{y}}
+\underline{
\mathsf{z}}
 = \underline{
\mathsf{x}}
+\underline{
\mathsf{y}}
+\underline{
\mathsf{z}}
\rhd \underline{
\mathsf{x}}
+\underline{
\mathsf{y}}
+\underline{
\mathsf{z}}
 = \underline{
\mathsf{x}}
+\underline{
\mathsf {u}}
\gg \underline{
\mathsf{x}}
+\underline{
\mathsf{y}}
+\underline{
\mathsf{z}}
 = \underline{
\mathsf{x}}
+\underline{
\mathsf {u}}
\rceil 
, 
p_0
, 
\mathsf {c}
)
]$

$\rm
[Three2twoTerms
\stackrel{
stmt
}{\rightarrow}ZFsub
\vdash 
\forall \underline{
\mathsf{x}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf{y}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf{z}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf {u}}
\colon \underline{
\mathsf{y}}
+\underline{
\mathsf{z}}
 = \underline{
\mathsf {u}}
\vdash \underline{
\mathsf{x}}
+\underline{
\mathsf{y}}
+\underline{
\mathsf{z}}
 = \underline{
\mathsf{x}}
+\underline{
\mathsf {u}}
]$

$\rm
[Three2twoTerms
\stackrel{
\mathrm{tex}
}{\rightarrow}
\mbox{``}Three2twoTerms
\mbox{''}
]$

$\rm
[Three2twoTerms
\stackrel{
\mathrm{pyk}
}{\rightarrow}
\mbox{``}lemma
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}three2twoTerms
\mbox{''}
]$

\hypertarget {url:1808490583581903168404721082347638465545342357588912671848929942716323841:258}{}\section* {$\rm Three2threeTerms$}

$\rm
[Three2threeTerms
\stackrel{
proof
}{\rightarrow}
\lambda 
\mathsf {c}
.
\lambda 
\mathsf{x}
.
{\cal P}( 
\lceil ZFsub
\vdash 
\forall \underline{
\mathsf{x}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf{y}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf{z}}
\colon plusCommutativity
\gg \underline{
\mathsf{y}}
+\underline{
\mathsf{z}}
 = \underline{
\mathsf{z}}
+\underline{
\mathsf{y}}
; Three2twoTerms
\rhd \underline{
\mathsf{y}}
+\underline{
\mathsf{z}}
 = \underline{
\mathsf{z}}
+\underline{
\mathsf{y}}
\gg \underline{
\mathsf{x}}
+\underline{
\mathsf{y}}
+\underline{
\mathsf{z}}
 = \underline{
\mathsf{x}}
+\underline{
\mathsf{z}}
+\underline{
\mathsf{y}}
; plusAssociativity
\gg \underline{
\mathsf{x}}
+\underline{
\mathsf{z}}
+\underline{
\mathsf{y}}
 = \underline{
\mathsf{x}}
+\underline{
\mathsf{z}}
+\underline{
\mathsf{y}}
; eqSymmetry
\rhd \underline{
\mathsf{x}}
+\underline{
\mathsf{z}}
+\underline{
\mathsf{y}}
 = \underline{
\mathsf{x}}
+\underline{
\mathsf{z}}
+\underline{
\mathsf{y}}
\gg \underline{
\mathsf{x}}
+\underline{
\mathsf{z}}
+\underline{
\mathsf{y}}
 = \underline{
\mathsf{x}}
+\underline{
\mathsf{z}}
+\underline{
\mathsf{y}}
; eqTransitivity
\rhd \underline{
\mathsf{x}}
+\underline{
\mathsf{y}}
+\underline{
\mathsf{z}}
 = \underline{
\mathsf{x}}
+\underline{
\mathsf{z}}
+\underline{
\mathsf{y}}
\rhd \underline{
\mathsf{x}}
+\underline{
\mathsf{z}}
+\underline{
\mathsf{y}}
 = \underline{
\mathsf{x}}
+\underline{
\mathsf{z}}
+\underline{
\mathsf{y}}
\gg \underline{
\mathsf{x}}
+\underline{
\mathsf{y}}
+\underline{
\mathsf{z}}
 = \underline{
\mathsf{x}}
+\underline{
\mathsf{z}}
+\underline{
\mathsf{y}}
\rceil 
, 
p_0
, 
\mathsf {c}
)
]$

$\rm
[Three2threeTerms
\stackrel{
stmt
}{\rightarrow}ZFsub
\vdash 
\forall \underline{
\mathsf{x}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf{y}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf{z}}
\colon \underline{
\mathsf{x}}
+\underline{
\mathsf{y}}
+\underline{
\mathsf{z}}
 = \underline{
\mathsf{x}}
+\underline{
\mathsf{z}}
+\underline{
\mathsf{y}}
]$

$\rm
[Three2threeTerms
\stackrel{
\mathrm{tex}
}{\rightarrow}
\mbox{``}Three2threeTerms
\mbox{''}
]$

$\rm
[Three2threeTerms
\stackrel{
\mathrm{pyk}
}{\rightarrow}
\mbox{``}lemma
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}three2threeTerms
\mbox{''}
]$

\hypertarget {url:1808490583581903168404721082347638465545342357588912671848929942716323841:259}{}\section* {$\rm Three2threeFactors$}

$\rm
[Three2threeFactors
\stackrel{
proof
}{\rightarrow}
\lambda 
\mathsf {c}
.
\lambda 
\mathsf{x}
.
{\cal P}( 
\lceil ZFsub
\vdash 
\forall \underline{
\mathsf{x}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf{y}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf{z}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf {u}}
\colon \underline{
\mathsf{y}}
*\underline{
\mathsf{z}}
 = \underline{
\mathsf {u}}
\vdash EqMultiplicationLeft
\rhd \underline{
\mathsf{y}}
*\underline{
\mathsf{z}}
 = \underline{
\mathsf {u}}
\gg \underline{
\mathsf{x}}
*\underline{
\mathsf{y}}
*\underline{
\mathsf{z}}
 = \underline{
\mathsf{x}}
*\underline{
\mathsf {u}}
; timesAssociativity
\gg \underline{
\mathsf{x}}
*\underline{
\mathsf{y}}
*\underline{
\mathsf{z}}
 = \underline{
\mathsf{x}}
*\underline{
\mathsf{y}}
*\underline{
\mathsf{z}}
; eqTransitivity
\rhd \underline{
\mathsf{x}}
*\underline{
\mathsf{y}}
*\underline{
\mathsf{z}}
 = \underline{
\mathsf{x}}
*\underline{
\mathsf{y}}
*\underline{
\mathsf{z}}
\rhd \underline{
\mathsf{x}}
*\underline{
\mathsf{y}}
*\underline{
\mathsf{z}}
 = \underline{
\mathsf{x}}
*\underline{
\mathsf {u}}
\gg \underline{
\mathsf{x}}
*\underline{
\mathsf{y}}
*\underline{
\mathsf{z}}
 = \underline{
\mathsf{x}}
*\underline{
\mathsf {u}}
\rceil 
, 
p_0
, 
\mathsf {c}
)
]$

$\rm
[Three2threeFactors
\stackrel{
stmt
}{\rightarrow}ZFsub
\vdash 
\forall \underline{
\mathsf{x}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf{y}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf{z}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf {u}}
\colon \underline{
\mathsf{y}}
*\underline{
\mathsf{z}}
 = \underline{
\mathsf {u}}
\vdash \underline{
\mathsf{x}}
*\underline{
\mathsf{y}}
*\underline{
\mathsf{z}}
 = \underline{
\mathsf{x}}
*\underline{
\mathsf {u}}
]$

$\rm
[Three2threeFactors
\stackrel{
\mathrm{tex}
}{\rightarrow}
\mbox{``}Three2threeFactors
\mbox{''}
]$

$\rm
[Three2threeFactors
\stackrel{
\mathrm{pyk}
}{\rightarrow}
\mbox{``}lemma
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}three2twoFactors
\mbox{''}
]$

\hypertarget {url:1808490583581903168404721082347638465545342357588912671848929942716323841:260}{}\section* {$\rm AddEquations$}

$\rm
[AddEquations
\stackrel{
proof
}{\rightarrow}
\lambda 
\mathsf {c}
.
\lambda 
\mathsf{x}
.
{\cal P}( 
\lceil ZFsub
\vdash 
\forall \underline{
\mathsf{x}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf{y}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf{z}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf {u}}
\colon \underline{
\mathsf{x}}
 = \underline{
\mathsf{y}}
\vdash \underline{
\mathsf{z}}
 = \underline{
\mathsf {u}}
\vdash eqAddition
\rhd \underline{
\mathsf{x}}
 = \underline{
\mathsf{y}}
\gg \underline{
\mathsf{x}}
+\underline{
\mathsf{z}}
 = \underline{
\mathsf{y}}
+\underline{
\mathsf{z}}
; 
\mbox{lemma eqAdditionLeft}
\rhd \underline{
\mathsf{z}}
 = \underline{
\mathsf {u}}
\gg \underline{
\mathsf{y}}
+\underline{
\mathsf{z}}
 = \underline{
\mathsf{y}}
+\underline{
\mathsf {u}}
; eqTransitivity
\rhd \underline{
\mathsf{x}}
+\underline{
\mathsf{z}}
 = \underline{
\mathsf{y}}
+\underline{
\mathsf{z}}
\rhd \underline{
\mathsf{y}}
+\underline{
\mathsf{z}}
 = \underline{
\mathsf{y}}
+\underline{
\mathsf {u}}
\gg \underline{
\mathsf{x}}
+\underline{
\mathsf{z}}
 = \underline{
\mathsf{y}}
+\underline{
\mathsf {u}}
\rceil 
, 
p_0
, 
\mathsf {c}
)
]$

$\rm
[AddEquations
\stackrel{
stmt
}{\rightarrow}ZFsub
\vdash 
\forall \underline{
\mathsf{x}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf{y}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf{z}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf {u}}
\colon \underline{
\mathsf{x}}
 = \underline{
\mathsf{y}}
\vdash \underline{
\mathsf{z}}
 = \underline{
\mathsf {u}}
\vdash \underline{
\mathsf{x}}
+\underline{
\mathsf{z}}
 = \underline{
\mathsf{y}}
+\underline{
\mathsf {u}}
]$

$\rm
[AddEquations
\stackrel{
\mathrm{tex}
}{\rightarrow}
\mbox{``}AddEquations
\mbox{''}
]$

$\rm
[AddEquations
\stackrel{
\mathrm{pyk}
}{\rightarrow}
\mbox{``}lemma
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}addEquations
\mbox{''}
]$

\hypertarget {url:1808490583581903168404721082347638465545342357588912671848929942716323841:261}{}\section* {$\rm SubtractEquations$}

$\rm
[SubtractEquations
\stackrel{
proof
}{\rightarrow}
\lambda 
\mathsf {c}
.
\lambda 
\mathsf{x}
.
{\cal P}( 
\lceil ZFsub
\vdash 
\forall \underline{
\mathsf{x}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf{y}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf{z}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf {u}}
\colon \underline{
\mathsf{x}}
+\underline{
\mathsf{z}}
 = \underline{
\mathsf{y}}
+\underline{
\mathsf {u}}
\vdash \underline{
\mathsf{z}}
 = \underline{
\mathsf {u}}
\vdash eqAddition
\rhd \underline{
\mathsf{x}}
+\underline{
\mathsf{z}}
 = \underline{
\mathsf{y}}
+\underline{
\mathsf {u}}
\gg \underline{
\mathsf{x}}
+\underline{
\mathsf{z}}
+-\underline{
\mathsf{z}}
 = \underline{
\mathsf{y}}
+\underline{
\mathsf {u}}
+-\underline{
\mathsf{z}}
; plus0Left
\gg 0
+\underline{
\mathsf{z}}
 = \underline{
\mathsf{z}}
; eqTransitivity
\rhd 0
+\underline{
\mathsf{z}}
 = \underline{
\mathsf{z}}
\rhd \underline{
\mathsf{z}}
 = \underline{
\mathsf {u}}
\gg 0
+\underline{
\mathsf{z}}
 = \underline{
\mathsf {u}}
; PositiveToRight(Eq)
\rhd 0
+\underline{
\mathsf{z}}
 = \underline{
\mathsf {u}}
\gg 0
 = \underline{
\mathsf {u}}
+-\underline{
\mathsf{z}}
; eqSymmetry
\rhd 0
 = \underline{
\mathsf {u}}
+-\underline{
\mathsf{z}}
\gg \underline{
\mathsf {u}}
+-\underline{
\mathsf{z}}
 = 0
; 
\mbox{lemma eqAdditionLeft}
\rhd \underline{
\mathsf {u}}
+-\underline{
\mathsf{z}}
 = 0
\gg \underline{
\mathsf{y}}
+\underline{
\mathsf {u}}
+-\underline{
\mathsf{z}}
 = \underline{
\mathsf{y}}
+0
; plusAssociativity
\gg \underline{
\mathsf{y}}
+\underline{
\mathsf {u}}
+-\underline{
\mathsf{z}}
 = \underline{
\mathsf{y}}
+\underline{
\mathsf {u}}
+-\underline{
\mathsf{z}}
; plus0
\gg \underline{
\mathsf{y}}
+0
 = \underline{
\mathsf{y}}
; eqTransitivity4
\rhd \underline{
\mathsf{y}}
+\underline{
\mathsf {u}}
+-\underline{
\mathsf{z}}
 = \underline{
\mathsf{y}}
+\underline{
\mathsf {u}}
+-\underline{
\mathsf{z}}
\rhd \underline{
\mathsf{y}}
+\underline{
\mathsf {u}}
+-\underline{
\mathsf{z}}
 = \underline{
\mathsf{y}}
+0
\rhd \underline{
\mathsf{y}}
+0
 = \underline{
\mathsf{y}}
\gg \underline{
\mathsf{y}}
+\underline{
\mathsf {u}}
+-\underline{
\mathsf{z}}
 = \underline{
\mathsf{y}}
; x=x+y-y
\gg \underline{
\mathsf{x}}
 = \underline{
\mathsf{x}}
+\underline{
\mathsf{z}}
+-\underline{
\mathsf{z}}
; eqTransitivity4
\rhd \underline{
\mathsf{x}}
 = \underline{
\mathsf{x}}
+\underline{
\mathsf{z}}
+-\underline{
\mathsf{z}}
\rhd \underline{
\mathsf{x}}
+\underline{
\mathsf{z}}
+-\underline{
\mathsf{z}}
 = \underline{
\mathsf{y}}
+\underline{
\mathsf {u}}
+-\underline{
\mathsf{z}}
\rhd \underline{
\mathsf{y}}
+\underline{
\mathsf {u}}
+-\underline{
\mathsf{z}}
 = \underline{
\mathsf{y}}
\gg \underline{
\mathsf{x}}
 = \underline{
\mathsf{y}}
\rceil 
, 
p_0
, 
\mathsf {c}
)
]$

$\rm
[SubtractEquations
\stackrel{
stmt
}{\rightarrow}ZFsub
\vdash 
\forall \underline{
\mathsf{x}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf{y}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf{z}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf {u}}
\colon \underline{
\mathsf{x}}
+\underline{
\mathsf{z}}
 = \underline{
\mathsf{y}}
+\underline{
\mathsf {u}}
\vdash \underline{
\mathsf{z}}
 = \underline{
\mathsf {u}}
\vdash \underline{
\mathsf{x}}
 = \underline{
\mathsf{y}}
]$

$\rm
[SubtractEquations
\stackrel{
\mathrm{tex}
}{\rightarrow}
\mbox{``}SubtractEquations
\mbox{''}
]$

$\rm
[SubtractEquations
\stackrel{
\mathrm{pyk}
}{\rightarrow}
\mbox{``}lemma
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}subtractEquations
\mbox{''}
]$

\hypertarget {url:1808490583581903168404721082347638465545342357588912671848929942716323841:262}{}\section* {$\rm SubtractEquationsLeft$}

$\rm
[SubtractEquationsLeft
\stackrel{
proof
}{\rightarrow}
\lambda 
\mathsf {c}
.
\lambda 
\mathsf{x}
.
{\cal P}( 
\lceil ZFsub
\vdash 
\forall \underline{
\mathsf{x}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf{y}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf{z}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf {u}}
\colon \underline{
\mathsf{x}}
+\underline{
\mathsf{z}}
 = \underline{
\mathsf{y}}
+\underline{
\mathsf {u}}
\vdash \underline{
\mathsf{x}}
 = \underline{
\mathsf{y}}
\vdash plusCommutativity
\gg \underline{
\mathsf{z}}
+\underline{
\mathsf{x}}
 = \underline{
\mathsf{x}}
+\underline{
\mathsf{z}}
; plusCommutativity
\gg \underline{
\mathsf{y}}
+\underline{
\mathsf {u}}
 = \underline{
\mathsf {u}}
+\underline{
\mathsf{y}}
; eqTransitivity4
\rhd \underline{
\mathsf{z}}
+\underline{
\mathsf{x}}
 = \underline{
\mathsf{x}}
+\underline{
\mathsf{z}}
\rhd \underline{
\mathsf{x}}
+\underline{
\mathsf{z}}
 = \underline{
\mathsf{y}}
+\underline{
\mathsf {u}}
\rhd \underline{
\mathsf{y}}
+\underline{
\mathsf {u}}
 = \underline{
\mathsf {u}}
+\underline{
\mathsf{y}}
\gg \underline{
\mathsf{z}}
+\underline{
\mathsf{x}}
 = \underline{
\mathsf {u}}
+\underline{
\mathsf{y}}
; SubtractEquations
\rhd \underline{
\mathsf{z}}
+\underline{
\mathsf{x}}
 = \underline{
\mathsf {u}}
+\underline{
\mathsf{y}}
\rhd \underline{
\mathsf{x}}
 = \underline{
\mathsf{y}}
\gg \underline{
\mathsf{z}}
 = \underline{
\mathsf {u}}
\rceil 
, 
p_0
, 
\mathsf {c}
)
]$

$\rm
[SubtractEquationsLeft
\stackrel{
stmt
}{\rightarrow}ZFsub
\vdash 
\forall \underline{
\mathsf{x}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf{y}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf{z}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf {u}}
\colon \underline{
\mathsf{x}}
+\underline{
\mathsf{z}}
 = \underline{
\mathsf{y}}
+\underline{
\mathsf {u}}
\vdash \underline{
\mathsf{x}}
 = \underline{
\mathsf{y}}
\vdash \underline{
\mathsf{z}}
 = \underline{
\mathsf {u}}
]$

$\rm
[SubtractEquationsLeft
\stackrel{
\mathrm{tex}
}{\rightarrow}
\mbox{``}SubtractEquationsLeft
\mbox{''}
]$

$\rm
[SubtractEquationsLeft
\stackrel{
\mathrm{pyk}
}{\rightarrow}
\mbox{``}lemma
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}subtractEquationsLeft
\mbox{''}
]$

\hypertarget {url:1808490583581903168404721082347638465545342357588912671848929942716323841:263}{}\section* {$\rm EqNegated$}

$\rm
[EqNegated
\stackrel{
proof
}{\rightarrow}
\lambda 
\mathsf {c}
.
\lambda 
\mathsf{x}
.
{\cal P}( 
\lceil ZFsub
\vdash 
\forall \underline{
\mathsf{x}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf{y}}
\colon \underline{
\mathsf{x}}
 = \underline{
\mathsf{y}}
\vdash Negative
\gg \underline{
\mathsf{x}}
+-\underline{
\mathsf{x}}
 = 0
; Negative
\gg \underline{
\mathsf{y}}
+-\underline{
\mathsf{y}}
 = 0
; eqSymmetry
\rhd \underline{
\mathsf{y}}
+-\underline{
\mathsf{y}}
 = 0
\gg 0
 = \underline{
\mathsf{y}}
+-\underline{
\mathsf{y}}
; eqTransitivity
\rhd \underline{
\mathsf{x}}
+-\underline{
\mathsf{x}}
 = 0
\rhd 0
 = \underline{
\mathsf{y}}
+-\underline{
\mathsf{y}}
\gg \underline{
\mathsf{x}}
+-\underline{
\mathsf{x}}
 = \underline{
\mathsf{y}}
+-\underline{
\mathsf{y}}
; SubtractEquationsLeft
\rhd \underline{
\mathsf{x}}
+-\underline{
\mathsf{x}}
 = \underline{
\mathsf{y}}
+-\underline{
\mathsf{y}}
\rhd \underline{
\mathsf{x}}
 = \underline{
\mathsf{y}}
\gg -\underline{
\mathsf{x}}
 = -\underline{
\mathsf{y}}
\rceil 
, 
p_0
, 
\mathsf {c}
)
]$

$\rm
[EqNegated
\stackrel{
stmt
}{\rightarrow}ZFsub
\vdash 
\forall \underline{
\mathsf{x}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf{y}}
\colon \underline{
\mathsf{x}}
 = \underline{
\mathsf{y}}
\vdash -\underline{
\mathsf{x}}
 = -\underline{
\mathsf{y}}
]$

$\rm
[EqNegated
\stackrel{
\mathrm{tex}
}{\rightarrow}
\mbox{``}EqNegated
\mbox{''}
]$

$\rm
[EqNegated
\stackrel{
\mathrm{pyk}
}{\rightarrow}
\mbox{``}lemma
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}eqNegated
\mbox{''}
]$

\hypertarget {url:1808490583581903168404721082347638465545342357588912671848929942716323841:264}{}\section* {$\rm PositiveToRight(Eq)$}

$\rm
[PositiveToRight(Eq)
\stackrel{
proof
}{\rightarrow}
\lambda 
\mathsf {c}
.
\lambda 
\mathsf{x}
.
{\cal P}( 
\lceil ZFsub
\vdash 
\forall \underline{
\mathsf{x}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf{y}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf{z}}
\colon \underline{
\mathsf{x}}
+\underline{
\mathsf{y}}
 = \underline{
\mathsf{z}}
\vdash eqAddition
\rhd \underline{
\mathsf{x}}
+\underline{
\mathsf{y}}
 = \underline{
\mathsf{z}}
\gg \underline{
\mathsf{x}}
+\underline{
\mathsf{y}}
+-\underline{
\mathsf{y}}
 = \underline{
\mathsf{z}}
+-\underline{
\mathsf{y}}
; x=x+y-y
\gg \underline{
\mathsf{x}}
 = \underline{
\mathsf{x}}
+\underline{
\mathsf{y}}
+-\underline{
\mathsf{y}}
; eqTransitivity
\rhd \underline{
\mathsf{x}}
 = \underline{
\mathsf{x}}
+\underline{
\mathsf{y}}
+-\underline{
\mathsf{y}}
\rhd \underline{
\mathsf{x}}
+\underline{
\mathsf{y}}
+-\underline{
\mathsf{y}}
 = \underline{
\mathsf{z}}
+-\underline{
\mathsf{y}}
\gg \underline{
\mathsf{x}}
 = \underline{
\mathsf{z}}
+-\underline{
\mathsf{y}}
\rceil 
, 
p_0
, 
\mathsf {c}
)
]$

$\rm
[PositiveToRight(Eq)
\stackrel{
stmt
}{\rightarrow}ZFsub
\vdash 
\forall \underline{
\mathsf{x}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf{y}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf{z}}
\colon \underline{
\mathsf{x}}
+\underline{
\mathsf{y}}
 = \underline{
\mathsf{z}}
\vdash \underline{
\mathsf{x}}
 = \underline{
\mathsf{z}}
+-\underline{
\mathsf{y}}
]$

$\rm
[PositiveToRight(Eq)
\stackrel{
\mathrm{tex}
}{\rightarrow}
\mbox{``}PositiveToRight(Eq)
\mbox{''}
]$

$\rm
[PositiveToRight(Eq)
\stackrel{
\mathrm{pyk}
}{\rightarrow}
\mbox{``}lemma
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}positiveToRight(Eq)
\mbox{''}
]$

\hypertarget {url:1808490583581903168404721082347638465545342357588912671848929942716323841:265}{}\section* {$\rm PositiveToLeft(Eq)(1 term)$}

$\rm
[PositiveToLeft(Eq)(1 term)
\stackrel{
proof
}{\rightarrow}
\lambda 
\mathsf {c}
.
\lambda 
\mathsf{x}
.
{\cal P}( 
\lceil ZFsub
\vdash 
\forall \underline{
\mathsf{x}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf{y}}
\colon \underline{
\mathsf{x}}
 = \underline{
\mathsf{y}}
\vdash eqAddition
\rhd \underline{
\mathsf{x}}
 = \underline{
\mathsf{y}}
\gg \underline{
\mathsf{x}}
+-\underline{
\mathsf{y}}
 = \underline{
\mathsf{y}}
+-\underline{
\mathsf{y}}
; Negative
\gg \underline{
\mathsf{y}}
+-\underline{
\mathsf{y}}
 = 0
; eqTransitivity
\rhd \underline{
\mathsf{x}}
+-\underline{
\mathsf{y}}
 = \underline{
\mathsf{y}}
+-\underline{
\mathsf{y}}
\rhd \underline{
\mathsf{y}}
+-\underline{
\mathsf{y}}
 = 0
\gg \underline{
\mathsf{x}}
+-\underline{
\mathsf{y}}
 = 0
\rceil 
, 
p_0
, 
\mathsf {c}
)
]$

$\rm
[PositiveToLeft(Eq)(1 term)
\stackrel{
stmt
}{\rightarrow}ZFsub
\vdash 
\forall \underline{
\mathsf{x}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf{y}}
\colon \underline{
\mathsf{x}}
 = \underline{
\mathsf{y}}
\vdash \underline{
\mathsf{x}}
+-\underline{
\mathsf{y}}
 = 0
]$

$\rm
[PositiveToLeft(Eq)(1 term)
\stackrel{
\mathrm{tex}
}{\rightarrow}
\mbox{``}PositiveToLeft(Eq)(1
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}term)
\mbox{''}
]$

$\rm
[PositiveToLeft(Eq)(1 term)
\stackrel{
\mathrm{pyk}
}{\rightarrow}
\mbox{``}lemma
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}positiveToLeft(Eq)(1
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}term)
\mbox{''}
]$

\hypertarget {url:1808490583581903168404721082347638465545342357588912671848929942716323841:266}{}\section* {$\rm NegativeToLeft(Eq)$}

$\rm
[NegativeToLeft(Eq)
\stackrel{
proof
}{\rightarrow}
\lambda 
\mathsf {c}
.
\lambda 
\mathsf{x}
.
{\cal P}( 
\lceil ZFsub
\vdash 
\forall \underline{
\mathsf{x}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf{y}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf{z}}
\colon \underline{
\mathsf{x}}
 = \underline{
\mathsf{y}}
+-\underline{
\mathsf{z}}
\vdash eqAddition
\rhd \underline{
\mathsf{x}}
 = \underline{
\mathsf{y}}
+-\underline{
\mathsf{z}}
\gg \underline{
\mathsf{x}}
+\underline{
\mathsf{z}}
 = \underline{
\mathsf{y}}
+-\underline{
\mathsf{z}}
+\underline{
\mathsf{z}}
; Three2threeTerms
\gg \underline{
\mathsf{y}}
+-\underline{
\mathsf{z}}
+\underline{
\mathsf{z}}
 = \underline{
\mathsf{y}}
+\underline{
\mathsf{z}}
+-\underline{
\mathsf{z}}
; x=x+y-y
\gg \underline{
\mathsf{y}}
 = \underline{
\mathsf{y}}
+\underline{
\mathsf{z}}
+-\underline{
\mathsf{z}}
; eqSymmetry
\rhd \underline{
\mathsf{y}}
 = \underline{
\mathsf{y}}
+\underline{
\mathsf{z}}
+-\underline{
\mathsf{z}}
\gg \underline{
\mathsf{y}}
+\underline{
\mathsf{z}}
+-\underline{
\mathsf{z}}
 = \underline{
\mathsf{y}}
; eqTransitivity4
\rhd \underline{
\mathsf{x}}
+\underline{
\mathsf{z}}
 = \underline{
\mathsf{y}}
+-\underline{
\mathsf{z}}
+\underline{
\mathsf{z}}
\rhd \underline{
\mathsf{y}}
+-\underline{
\mathsf{z}}
+\underline{
\mathsf{z}}
 = \underline{
\mathsf{y}}
+\underline{
\mathsf{z}}
+-\underline{
\mathsf{z}}
\rhd \underline{
\mathsf{y}}
+\underline{
\mathsf{z}}
+-\underline{
\mathsf{z}}
 = \underline{
\mathsf{y}}
\gg \underline{
\mathsf{x}}
+\underline{
\mathsf{z}}
 = \underline{
\mathsf{y}}
\rceil 
, 
p_0
, 
\mathsf {c}
)
]$

$\rm
[NegativeToLeft(Eq)
\stackrel{
stmt
}{\rightarrow}ZFsub
\vdash 
\forall \underline{
\mathsf{x}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf{y}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf{z}}
\colon \underline{
\mathsf{x}}
 = \underline{
\mathsf{y}}
+-\underline{
\mathsf{z}}
\vdash \underline{
\mathsf{x}}
+\underline{
\mathsf{z}}
 = \underline{
\mathsf{y}}
]$

$\rm
[NegativeToLeft(Eq)
\stackrel{
\mathrm{tex}
}{\rightarrow}
\mbox{``}NegativeToLeft(Eq)
\mbox{''}
]$

$\rm
[NegativeToLeft(Eq)
\stackrel{
\mathrm{pyk}
}{\rightarrow}
\mbox{``}lemma
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}negativeToLeft(Eq)
\mbox{''}
]$

\hypertarget {url:1808490583581903168404721082347638465545342357588912671848929942716323841:267}{}\section* {$\rm LessNeq$}

$\rm
[LessNeq
\stackrel{
proof
}{\rightarrow}
\lambda 
\mathsf {c}
.
\lambda 
\mathsf{x}
.
{\cal P}( 
\lceil ZFsub
\vdash 
\forall \underline{
\mathsf{x}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf{y}}
\colon \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf{x}}
 <= \underline{
\mathsf{y}}
\Rightarrow \dot{\neg}\, \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf{x}}
 = \underline{
\mathsf{y}}
\vdash Repetition
\rhd \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf{x}}
 <= \underline{
\mathsf{y}}
\Rightarrow \dot{\neg}\, \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf{x}}
 = \underline{
\mathsf{y}}
\gg \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf{x}}
 <= \underline{
\mathsf{y}}
\Rightarrow \dot{\neg}\, \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf{x}}
 = \underline{
\mathsf{y}}
; SecondConjunct
\rhd \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf{x}}
 <= \underline{
\mathsf{y}}
\Rightarrow \dot{\neg}\, \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf{x}}
 = \underline{
\mathsf{y}}
\gg \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf{x}}
 = \underline{
\mathsf{y}}
\rceil 
, 
p_0
, 
\mathsf {c}
)
]$

$\rm
[LessNeq
\stackrel{
stmt
}{\rightarrow}ZFsub
\vdash 
\forall \underline{
\mathsf{x}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf{y}}
\colon \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf{x}}
 <= \underline{
\mathsf{y}}
\Rightarrow \dot{\neg}\, \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf{x}}
 = \underline{
\mathsf{y}}
\vdash \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf{x}}
 = \underline{
\mathsf{y}}
]$

$\rm
[LessNeq
\stackrel{
\mathrm{tex}
}{\rightarrow}
\mbox{``}LessNeq
\mbox{''}
]$

$\rm
[LessNeq
\stackrel{
\mathrm{pyk}
}{\rightarrow}
\mbox{``}lemma
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}lessNeq
\mbox{''}
]$

\hypertarget {url:1808490583581903168404721082347638465545342357588912671848929942716323841:268}{}\section* {$\rm NeqSymmetry$}

$\rm
[NeqSymmetry
\stackrel{
proof
}{\rightarrow}
\lambda 
\mathsf {c}
.
\lambda 
\mathsf{x}
.
{\cal P}( 
\lceil ZFsub
\vdash 
\forall \underline{
\mathsf{x}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf{y}}
\colon \underline{
\mathsf{y}}
 = \underline{
\mathsf{x}}
\vdash eqSymmetry
\rhd \underline{
\mathsf{y}}
 = \underline{
\mathsf{x}}
\gg \underline{
\mathsf{x}}
 = \underline{
\mathsf{y}}
; 
\forall \underline{
\mathsf{x}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf{y}}
\colon Ded
\rhd 
\forall \underline{
\mathsf{x}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf{y}}
\colon \underline{
\mathsf{y}}
 = \underline{
\mathsf{x}}
\vdash \underline{
\mathsf{x}}
 = \underline{
\mathsf{y}}
\gg \underline{
\mathsf{y}}
 = \underline{
\mathsf{x}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf{x}}
 = \underline{
\mathsf{y}}
; \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf{x}}
 = \underline{
\mathsf{y}}
\vdash MT
\rhd \underline{
\mathsf{y}}
 = \underline{
\mathsf{x}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf{x}}
 = \underline{
\mathsf{y}}
\rhd \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf{x}}
 = \underline{
\mathsf{y}}
\gg \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf{y}}
 = \underline{
\mathsf{x}}
\rceil 
, 
p_0
, 
\mathsf {c}
)
]$

$\rm
[NeqSymmetry
\stackrel{
stmt
}{\rightarrow}ZFsub
\vdash 
\forall \underline{
\mathsf{x}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf{y}}
\colon \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf{x}}
 = \underline{
\mathsf{y}}
\vdash \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf{y}}
 = \underline{
\mathsf{x}}
]$

$\rm
[NeqSymmetry
\stackrel{
\mathrm{tex}
}{\rightarrow}
\mbox{``}NeqSymmetry
\mbox{''}
]$

$\rm
[NeqSymmetry
\stackrel{
\mathrm{pyk}
}{\rightarrow}
\mbox{``}lemma
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}neqSymmetry
\mbox{''}
]$

\hypertarget {url:1808490583581903168404721082347638465545342357588912671848929942716323841:269}{}\section* {$\rm NeqNegated$}

$\rm
[NeqNegated
\stackrel{
proof
}{\rightarrow}
\lambda 
\mathsf {c}
.
\lambda 
\mathsf{x}
.
{\cal P}( 
\lceil ZFsub
\vdash 
\forall \underline{
\mathsf{x}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf{y}}
\colon \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf{x}}
 = \underline{
\mathsf{y}}
\vdash -\underline{
\mathsf{x}}
 = -\underline{
\mathsf{y}}
\vdash EqNegated
\rhd -\underline{
\mathsf{x}}
 = -\underline{
\mathsf{y}}
\gg --\underline{
\mathsf{x}}
 = --\underline{
\mathsf{y}}
; DoubleMinus
\gg --\underline{
\mathsf{x}}
 = \underline{
\mathsf{x}}
; eqSymmetry
\rhd --\underline{
\mathsf{x}}
 = \underline{
\mathsf{x}}
\gg \underline{
\mathsf{x}}
 = --\underline{
\mathsf{x}}
; DoubleMinus
\gg --\underline{
\mathsf{y}}
 = \underline{
\mathsf{y}}
; eqTransitivity4
\rhd \underline{
\mathsf{x}}
 = --\underline{
\mathsf{x}}
\rhd --\underline{
\mathsf{x}}
 = --\underline{
\mathsf{y}}
\rhd --\underline{
\mathsf{y}}
 = \underline{
\mathsf{y}}
\gg \underline{
\mathsf{x}}
 = \underline{
\mathsf{y}}
; FromContradiction
\rhd \underline{
\mathsf{x}}
 = \underline{
\mathsf{y}}
\rhd \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf{x}}
 = \underline{
\mathsf{y}}
\gg \dot{\neg}\, -\underline{
\mathsf{x}}
 = -\underline{
\mathsf{y}}
; 
\forall \underline{
\mathsf{x}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf{y}}
\colon Ded
\rhd 
\forall \underline{
\mathsf{x}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf{y}}
\colon \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf{x}}
 = \underline{
\mathsf{y}}
\vdash -\underline{
\mathsf{x}}
 = -\underline{
\mathsf{y}}
\vdash \dot{\neg}\, -\underline{
\mathsf{x}}
 = -\underline{
\mathsf{y}}
\gg \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf{x}}
 = \underline{
\mathsf{y}}
\Rightarrow -\underline{
\mathsf{x}}
 = -\underline{
\mathsf{y}}
\Rightarrow \dot{\neg}\, -\underline{
\mathsf{x}}
 = -\underline{
\mathsf{y}}
; \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf{x}}
 = \underline{
\mathsf{y}}
\vdash MP
\rhd \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf{x}}
 = \underline{
\mathsf{y}}
\Rightarrow -\underline{
\mathsf{x}}
 = -\underline{
\mathsf{y}}
\Rightarrow \dot{\neg}\, -\underline{
\mathsf{x}}
 = -\underline{
\mathsf{y}}
\rhd \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf{x}}
 = \underline{
\mathsf{y}}
\gg -\underline{
\mathsf{x}}
 = -\underline{
\mathsf{y}}
\Rightarrow \dot{\neg}\, -\underline{
\mathsf{x}}
 = -\underline{
\mathsf{y}}
; ImplyNegation
\rhd -\underline{
\mathsf{x}}
 = -\underline{
\mathsf{y}}
\Rightarrow \dot{\neg}\, -\underline{
\mathsf{x}}
 = -\underline{
\mathsf{y}}
\gg \dot{\neg}\, -\underline{
\mathsf{x}}
 = -\underline{
\mathsf{y}}
\rceil 
, 
p_0
, 
\mathsf {c}
)
]$

$\rm
[NeqNegated
\stackrel{
stmt
}{\rightarrow}ZFsub
\vdash 
\forall \underline{
\mathsf{x}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf{y}}
\colon \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf{x}}
 = \underline{
\mathsf{y}}
\vdash \dot{\neg}\, -\underline{
\mathsf{x}}
 = -\underline{
\mathsf{y}}
]$

$\rm
[NeqNegated
\stackrel{
\mathrm{tex}
}{\rightarrow}
\mbox{``}NeqNegated
\mbox{''}
]$

$\rm
[NeqNegated
\stackrel{
\mathrm{pyk}
}{\rightarrow}
\mbox{``}lemma
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}neqNegated
\mbox{''}
]$

\hypertarget {url:1808490583581903168404721082347638465545342357588912671848929942716323841:270}{}\section* {$\rm SubNeqRight$}

$\rm
[SubNeqRight
\stackrel{
proof
}{\rightarrow}
\lambda 
\mathsf {c}
.
\lambda 
\mathsf{x}
.
{\cal P}( 
\lceil ZFsub
\vdash 
\forall \underline{
\mathsf{x}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf{y}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf{z}}
\colon \underline{
\mathsf{x}}
 = \underline{
\mathsf{y}}
\vdash \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf{z}}
 = \underline{
\mathsf{x}}
\vdash NeqSymmetry
\rhd \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf{z}}
 = \underline{
\mathsf{x}}
\gg \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf{x}}
 = \underline{
\mathsf{z}}
; SubNeqLeft
\rhd \underline{
\mathsf{x}}
 = \underline{
\mathsf{y}}
\rhd \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf{x}}
 = \underline{
\mathsf{z}}
\gg \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf{y}}
 = \underline{
\mathsf{z}}
; NeqSymmetry
\rhd \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf{y}}
 = \underline{
\mathsf{z}}
\gg \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf{z}}
 = \underline{
\mathsf{y}}
\rceil 
, 
p_0
, 
\mathsf {c}
)
]$

$\rm
[SubNeqRight
\stackrel{
stmt
}{\rightarrow}ZFsub
\vdash 
\forall \underline{
\mathsf{x}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf{y}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf{z}}
\colon \underline{
\mathsf{x}}
 = \underline{
\mathsf{y}}
\vdash \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf{z}}
 = \underline{
\mathsf{x}}
\vdash \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf{z}}
 = \underline{
\mathsf{y}}
]$

$\rm
[SubNeqRight
\stackrel{
\mathrm{tex}
}{\rightarrow}
\mbox{``}SubNeqRight
\mbox{''}
]$

$\rm
[SubNeqRight
\stackrel{
\mathrm{pyk}
}{\rightarrow}
\mbox{``}lemma
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}subNeqRight
\mbox{''}
]$

\hypertarget {url:1808490583581903168404721082347638465545342357588912671848929942716323841:271}{}\section* {$\rm SubNeqLeft$}

$\rm
[SubNeqLeft
\stackrel{
proof
}{\rightarrow}
\lambda 
\mathsf {c}
.
\lambda 
\mathsf{x}
.
{\cal P}( 
\lceil ZFsub
\vdash 
\forall \underline{
\mathsf{x}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf{y}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf{z}}
\colon \underline{
\mathsf{x}}
 = \underline{
\mathsf{y}}
\vdash \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf{x}}
 = \underline{
\mathsf{z}}
\vdash equalityAxiom
\gg \underline{
\mathsf{y}}
 = \underline{
\mathsf{x}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf{y}}
 = \underline{
\mathsf{z}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf{x}}
 = \underline{
\mathsf{z}}
; eqSymmetry
\rhd \underline{
\mathsf{x}}
 = \underline{
\mathsf{y}}
\gg \underline{
\mathsf{y}}
 = \underline{
\mathsf{x}}
; MP
\rhd \underline{
\mathsf{y}}
 = \underline{
\mathsf{x}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf{y}}
 = \underline{
\mathsf{z}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf{x}}
 = \underline{
\mathsf{z}}
\rhd \underline{
\mathsf{y}}
 = \underline{
\mathsf{x}}
\gg \underline{
\mathsf{y}}
 = \underline{
\mathsf{z}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf{x}}
 = \underline{
\mathsf{z}}
; Contrapositive
\rhd \underline{
\mathsf{y}}
 = \underline{
\mathsf{z}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf{x}}
 = \underline{
\mathsf{z}}
\gg \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf{x}}
 = \underline{
\mathsf{z}}
\Rightarrow \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf{y}}
 = \underline{
\mathsf{z}}
; MP
\rhd \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf{x}}
 = \underline{
\mathsf{z}}
\Rightarrow \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf{y}}
 = \underline{
\mathsf{z}}
\rhd \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf{x}}
 = \underline{
\mathsf{z}}
\gg \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf{y}}
 = \underline{
\mathsf{z}}
\rceil 
, 
p_0
, 
\mathsf {c}
)
]$

$\rm
[SubNeqLeft
\stackrel{
stmt
}{\rightarrow}ZFsub
\vdash 
\forall \underline{
\mathsf{x}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf{y}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf{z}}
\colon \underline{
\mathsf{x}}
 = \underline{
\mathsf{y}}
\vdash \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf{x}}
 = \underline{
\mathsf{z}}
\vdash \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf{y}}
 = \underline{
\mathsf{z}}
]$

$\rm
[SubNeqLeft
\stackrel{
\mathrm{tex}
}{\rightarrow}
\mbox{``}SubNeqLeft
\mbox{''}
]$

$\rm
[SubNeqLeft
\stackrel{
\mathrm{pyk}
}{\rightarrow}
\mbox{``}lemma
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}subNeqLeft
\mbox{''}
]$

\hypertarget {url:1808490583581903168404721082347638465545342357588912671848929942716323841:272}{}\section* {$\rm NeqAddition$}

$\rm
[NeqAddition
\stackrel{
proof
}{\rightarrow}
\lambda 
\mathsf {c}
.
\lambda 
\mathsf{x}
.
{\cal P}( 
\lceil ZFsub
\vdash 
\forall \underline{
\mathsf{x}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf{y}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf{z}}
\colon \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf{x}}
 = \underline{
\mathsf{y}}
\vdash \underline{
\mathsf{x}}
+\underline{
\mathsf{z}}
 = \underline{
\mathsf{y}}
+\underline{
\mathsf{z}}
\vdash eqReflexivity
\gg \underline{
\mathsf{z}}
 = \underline{
\mathsf{z}}
; SubtractEquations
\rhd \underline{
\mathsf{x}}
+\underline{
\mathsf{z}}
 = \underline{
\mathsf{y}}
+\underline{
\mathsf{z}}
\rhd \underline{
\mathsf{z}}
 = \underline{
\mathsf{z}}
\gg \underline{
\mathsf{x}}
 = \underline{
\mathsf{y}}
; FromContradiction
\rhd \underline{
\mathsf{x}}
 = \underline{
\mathsf{y}}
\rhd \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf{x}}
 = \underline{
\mathsf{y}}
\gg \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf{x}}
+\underline{
\mathsf{z}}
 = \underline{
\mathsf{y}}
+\underline{
\mathsf{z}}
; 
\forall \underline{
\mathsf{x}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf{y}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf{z}}
\colon Ded
\rhd 
\forall \underline{
\mathsf{x}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf{y}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf{z}}
\colon \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf{x}}
 = \underline{
\mathsf{y}}
\vdash \underline{
\mathsf{x}}
+\underline{
\mathsf{z}}
 = \underline{
\mathsf{y}}
+\underline{
\mathsf{z}}
\vdash \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf{x}}
+\underline{
\mathsf{z}}
 = \underline{
\mathsf{y}}
+\underline{
\mathsf{z}}
\gg \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf{x}}
 = \underline{
\mathsf{y}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf{x}}
+\underline{
\mathsf{z}}
 = \underline{
\mathsf{y}}
+\underline{
\mathsf{z}}
\Rightarrow \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf{x}}
+\underline{
\mathsf{z}}
 = \underline{
\mathsf{y}}
+\underline{
\mathsf{z}}
; \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf{x}}
 = \underline{
\mathsf{y}}
\vdash MP
\rhd \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf{x}}
 = \underline{
\mathsf{y}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf{x}}
+\underline{
\mathsf{z}}
 = \underline{
\mathsf{y}}
+\underline{
\mathsf{z}}
\Rightarrow \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf{x}}
+\underline{
\mathsf{z}}
 = \underline{
\mathsf{y}}
+\underline{
\mathsf{z}}
\rhd \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf{x}}
 = \underline{
\mathsf{y}}
\gg \underline{
\mathsf{x}}
+\underline{
\mathsf{z}}
 = \underline{
\mathsf{y}}
+\underline{
\mathsf{z}}
\Rightarrow \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf{x}}
+\underline{
\mathsf{z}}
 = \underline{
\mathsf{y}}
+\underline{
\mathsf{z}}
; ImplyNegation
\rhd \underline{
\mathsf{x}}
+\underline{
\mathsf{z}}
 = \underline{
\mathsf{y}}
+\underline{
\mathsf{z}}
\Rightarrow \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf{x}}
+\underline{
\mathsf{z}}
 = \underline{
\mathsf{y}}
+\underline{
\mathsf{z}}
\gg \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf{x}}
+\underline{
\mathsf{z}}
 = \underline{
\mathsf{y}}
+\underline{
\mathsf{z}}
\rceil 
, 
p_0
, 
\mathsf {c}
)
]$

$\rm
[NeqAddition
\stackrel{
stmt
}{\rightarrow}ZFsub
\vdash 
\forall \underline{
\mathsf{x}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf{y}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf{z}}
\colon \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf{x}}
 = \underline{
\mathsf{y}}
\vdash \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf{x}}
+\underline{
\mathsf{z}}
 = \underline{
\mathsf{y}}
+\underline{
\mathsf{z}}
]$

$\rm
[NeqAddition
\stackrel{
\mathrm{tex}
}{\rightarrow}
\mbox{``}NeqAddition
\mbox{''}
]$

$\rm
[NeqAddition
\stackrel{
\mathrm{pyk}
}{\rightarrow}
\mbox{``}lemma
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}neqAddition
\mbox{''}
]$

\hypertarget {url:1808490583581903168404721082347638465545342357588912671848929942716323841:273}{}\section* {$\rm NeqMultiplication$}

$\rm
[NeqMultiplication
\stackrel{
proof
}{\rightarrow}
\lambda 
\mathsf {c}
.
\lambda 
\mathsf{x}
.
{\cal P}( 
\lceil ZFsub
\vdash 
\forall \underline{
\mathsf{x}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf{y}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf{z}}
\colon \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf{z}}
 = 0
\vdash \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf{x}}
 = \underline{
\mathsf{y}}
\vdash \underline{
\mathsf{x}}
*\underline{
\mathsf{z}}
 = \underline{
\mathsf{y}}
*\underline{
\mathsf{z}}
\vdash  
\rhd \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf{z}}
 = 0
\gg \underline{
\mathsf{x}}
 = \underline{
\mathsf{x}}
*\underline{
\mathsf{z}}
*rec\underline{
\mathsf{z}}
; eqMultiplication
\rhd \underline{
\mathsf{x}}
*\underline{
\mathsf{z}}
 = \underline{
\mathsf{y}}
*\underline{
\mathsf{z}}
\gg \underline{
\mathsf{x}}
*\underline{
\mathsf{z}}
*rec\underline{
\mathsf{z}}
 = \underline{
\mathsf{y}}
*\underline{
\mathsf{z}}
*rec\underline{
\mathsf{z}}
;  
\rhd \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf{z}}
 = 0
\gg \underline{
\mathsf{y}}
 = \underline{
\mathsf{y}}
*\underline{
\mathsf{z}}
*rec\underline{
\mathsf{z}}
; eqSymmetry
\rhd \underline{
\mathsf{y}}
 = \underline{
\mathsf{y}}
*\underline{
\mathsf{z}}
*rec\underline{
\mathsf{z}}
\gg \underline{
\mathsf{y}}
*\underline{
\mathsf{z}}
*rec\underline{
\mathsf{z}}
 = \underline{
\mathsf{y}}
; eqTransitivity4
\rhd \underline{
\mathsf{x}}
 = \underline{
\mathsf{x}}
*\underline{
\mathsf{z}}
*rec\underline{
\mathsf{z}}
\rhd \underline{
\mathsf{x}}
*\underline{
\mathsf{z}}
*rec\underline{
\mathsf{z}}
 = \underline{
\mathsf{y}}
*\underline{
\mathsf{z}}
*rec\underline{
\mathsf{z}}
\rhd \underline{
\mathsf{y}}
*\underline{
\mathsf{z}}
*rec\underline{
\mathsf{z}}
 = \underline{
\mathsf{y}}
\gg \underline{
\mathsf{x}}
 = \underline{
\mathsf{y}}
; FromContradiction
\rhd \underline{
\mathsf{x}}
 = \underline{
\mathsf{y}}
\rhd \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf{x}}
 = \underline{
\mathsf{y}}
\gg \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf{x}}
*\underline{
\mathsf{z}}
 = \underline{
\mathsf{y}}
*\underline{
\mathsf{z}}
; 
\forall \underline{
\mathsf{x}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf{y}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf{z}}
\colon Ded
\rhd 
\forall \underline{
\mathsf{x}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf{y}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf{z}}
\colon \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf{z}}
 = 0
\vdash \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf{x}}
 = \underline{
\mathsf{y}}
\vdash \underline{
\mathsf{x}}
*\underline{
\mathsf{z}}
 = \underline{
\mathsf{y}}
*\underline{
\mathsf{z}}
\vdash \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf{x}}
*\underline{
\mathsf{z}}
 = \underline{
\mathsf{y}}
*\underline{
\mathsf{z}}
\gg \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf{z}}
 = 0
\Rightarrow \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf{x}}
 = \underline{
\mathsf{y}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf{x}}
*\underline{
\mathsf{z}}
 = \underline{
\mathsf{y}}
*\underline{
\mathsf{z}}
\Rightarrow \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf{x}}
*\underline{
\mathsf{z}}
 = \underline{
\mathsf{y}}
*\underline{
\mathsf{z}}
; \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf{z}}
 = 0
\vdash \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf{x}}
 = \underline{
\mathsf{y}}
\vdash MP2
\rhd \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf{z}}
 = 0
\Rightarrow \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf{x}}
 = \underline{
\mathsf{y}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf{x}}
*\underline{
\mathsf{z}}
 = \underline{
\mathsf{y}}
*\underline{
\mathsf{z}}
\Rightarrow \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf{x}}
*\underline{
\mathsf{z}}
 = \underline{
\mathsf{y}}
*\underline{
\mathsf{z}}
\rhd \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf{z}}
 = 0
\rhd \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf{x}}
 = \underline{
\mathsf{y}}
\gg \underline{
\mathsf{x}}
*\underline{
\mathsf{z}}
 = \underline{
\mathsf{y}}
*\underline{
\mathsf{z}}
\Rightarrow \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf{x}}
*\underline{
\mathsf{z}}
 = \underline{
\mathsf{y}}
*\underline{
\mathsf{z}}
; ImplyNegation
\rhd \underline{
\mathsf{x}}
*\underline{
\mathsf{z}}
 = \underline{
\mathsf{y}}
*\underline{
\mathsf{z}}
\Rightarrow \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf{x}}
*\underline{
\mathsf{z}}
 = \underline{
\mathsf{y}}
*\underline{
\mathsf{z}}
\gg \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf{x}}
*\underline{
\mathsf{z}}
 = \underline{
\mathsf{y}}
*\underline{
\mathsf{z}}
\rceil 
, 
p_0
, 
\mathsf {c}
)
]$

$\rm
[NeqMultiplication
\stackrel{
stmt
}{\rightarrow}ZFsub
\vdash 
\forall \underline{
\mathsf{x}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf{y}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf{z}}
\colon \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf{z}}
 = 0
\vdash \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf{x}}
 = \underline{
\mathsf{y}}
\vdash \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf{x}}
*\underline{
\mathsf{z}}
 = \underline{
\mathsf{y}}
*\underline{
\mathsf{z}}
]$

$\rm
[NeqMultiplication
\stackrel{
\mathrm{tex}
}{\rightarrow}
\mbox{``}NeqMultiplication
\mbox{''}
]$

$\rm
[NeqMultiplication
\stackrel{
\mathrm{pyk}
}{\rightarrow}
\mbox{``}lemma
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}neqMultiplication
\mbox{''}
]$

\hypertarget {url:1808490583581903168404721082347638465545342357588912671848929942716323841:274}{}\section* {$\rm UniqueNegative$}

$\rm
[UniqueNegative
\stackrel{
proof
}{\rightarrow}
\lambda 
\mathsf {c}
.
\lambda 
\mathsf{x}
.
{\cal P}( 
\lceil ZFsub
\vdash 
\forall \underline{
\mathsf{x}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf{y}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf{z}}
\colon \underline{
\mathsf{x}}
+\underline{
\mathsf{y}}
 = 0
\vdash \underline{
\mathsf{x}}
+\underline{
\mathsf{z}}
 = 0
\vdash plusCommutativity
\gg \underline{
\mathsf{y}}
+\underline{
\mathsf{x}}
 = \underline{
\mathsf{x}}
+\underline{
\mathsf{y}}
; eqTransitivity
\rhd \underline{
\mathsf{y}}
+\underline{
\mathsf{x}}
 = \underline{
\mathsf{x}}
+\underline{
\mathsf{y}}
\rhd \underline{
\mathsf{x}}
+\underline{
\mathsf{y}}
 = 0
\gg \underline{
\mathsf{y}}
+\underline{
\mathsf{x}}
 = 0
; PositiveToRight(Eq)
\rhd \underline{
\mathsf{y}}
+\underline{
\mathsf{x}}
 = 0
\gg \underline{
\mathsf{y}}
 = 0
+-\underline{
\mathsf{x}}
; plusCommutativity
\gg \underline{
\mathsf{z}}
+\underline{
\mathsf{x}}
 = \underline{
\mathsf{x}}
+\underline{
\mathsf{z}}
; eqTransitivity
\rhd \underline{
\mathsf{z}}
+\underline{
\mathsf{x}}
 = \underline{
\mathsf{x}}
+\underline{
\mathsf{z}}
\rhd \underline{
\mathsf{x}}
+\underline{
\mathsf{z}}
 = 0
\gg \underline{
\mathsf{z}}
+\underline{
\mathsf{x}}
 = 0
; PositiveToRight(Eq)
\rhd \underline{
\mathsf{z}}
+\underline{
\mathsf{x}}
 = 0
\gg \underline{
\mathsf{z}}
 = 0
+-\underline{
\mathsf{x}}
; eqSymmetry
\rhd \underline{
\mathsf{z}}
 = 0
+-\underline{
\mathsf{x}}
\gg 0
+-\underline{
\mathsf{x}}
 = \underline{
\mathsf{z}}
; eqTransitivity
\rhd \underline{
\mathsf{y}}
 = 0
+-\underline{
\mathsf{x}}
\rhd 0
+-\underline{
\mathsf{x}}
 = \underline{
\mathsf{z}}
\gg \underline{
\mathsf{y}}
 = \underline{
\mathsf{z}}
\rceil 
, 
p_0
, 
\mathsf {c}
)
]$

$\rm
[UniqueNegative
\stackrel{
stmt
}{\rightarrow}ZFsub
\vdash 
\forall \underline{
\mathsf{x}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf{y}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf{z}}
\colon \underline{
\mathsf{x}}
+\underline{
\mathsf{y}}
 = 0
\vdash \underline{
\mathsf{x}}
+\underline{
\mathsf{z}}
 = 0
\vdash \underline{
\mathsf{y}}
 = \underline{
\mathsf{z}}
]$

$\rm
[UniqueNegative
\stackrel{
\mathrm{tex}
}{\rightarrow}
\mbox{``}UniqueNegative
\mbox{''}
]$

$\rm
[UniqueNegative
\stackrel{
\mathrm{pyk}
}{\rightarrow}
\mbox{``}lemma
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}uniqueNegative
\mbox{''}
]$

\hypertarget {url:1808490583581903168404721082347638465545342357588912671848929942716323841:275}{}\section* {$\rm DoubleMinus$}

$\rm
[DoubleMinus
\stackrel{
proof
}{\rightarrow}
\lambda 
\mathsf {c}
.
\lambda 
\mathsf{x}
.
{\cal P}( 
\lceil ZFsub
\vdash 
\forall \underline{
\mathsf{x}}
\colon Negative
\gg -\underline{
\mathsf{x}}
+--\underline{
\mathsf{x}}
 = 0
; x+y=zBackwards
\rhd -\underline{
\mathsf{x}}
+--\underline{
\mathsf{x}}
 = 0
\gg 0
 = --\underline{
\mathsf{x}}
+-\underline{
\mathsf{x}}
; NegativeToLeft(Eq)
\rhd 0
 = --\underline{
\mathsf{x}}
+-\underline{
\mathsf{x}}
\gg 0
+\underline{
\mathsf{x}}
 = --\underline{
\mathsf{x}}
; plus0Left
\gg 0
+\underline{
\mathsf{x}}
 = \underline{
\mathsf{x}}
; Equality
\rhd 0
+\underline{
\mathsf{x}}
 = --\underline{
\mathsf{x}}
\rhd 0
+\underline{
\mathsf{x}}
 = \underline{
\mathsf{x}}
\gg --\underline{
\mathsf{x}}
 = \underline{
\mathsf{x}}
\rceil 
, 
p_0
, 
\mathsf {c}
)
]$

$\rm
[DoubleMinus
\stackrel{
stmt
}{\rightarrow}ZFsub
\vdash 
\forall \underline{
\mathsf{x}}
\colon --\underline{
\mathsf{x}}
 = \underline{
\mathsf{x}}
]$

$\rm
[DoubleMinus
\stackrel{
\mathrm{tex}
}{\rightarrow}
\mbox{``}DoubleMinus
\mbox{''}
]$

$\rm
[DoubleMinus
\stackrel{
\mathrm{pyk}
}{\rightarrow}
\mbox{``}lemma
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}doubleMinus
\mbox{''}
]$

\hypertarget {url:1808490583581903168404721082347638465545342357588912671848929942716323841:276}{}\section* {$\rm LeqLessEq$}

$\rm
[LeqLessEq
\stackrel{
proof
}{\rightarrow}
\lambda 
\mathsf {c}
.
\lambda 
\mathsf{x}
.
{\cal P}( 
\lceil ZFsub
\vdash 
\forall \underline{
\mathsf{x}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf{y}}
\colon \underline{
\mathsf{x}}
 <= \underline{
\mathsf{y}}
\vdash \dot{\neg}\, \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf{x}}
 <= \underline{
\mathsf{y}}
\Rightarrow \dot{\neg}\, \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf{x}}
 = \underline{
\mathsf{y}}
\vdash fromNotLess
\rhd \dot{\neg}\, \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf{x}}
 <= \underline{
\mathsf{y}}
\Rightarrow \dot{\neg}\, \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf{x}}
 = \underline{
\mathsf{y}}
\gg \underline{
\mathsf{y}}
 <= \underline{
\mathsf{x}}
; leqAntisymmetry
\rhd \underline{
\mathsf{x}}
 <= \underline{
\mathsf{y}}
\rhd \underline{
\mathsf{y}}
 <= \underline{
\mathsf{x}}
\gg \underline{
\mathsf{x}}
 = \underline{
\mathsf{y}}
; 
\forall \underline{
\mathsf{x}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf{y}}
\colon Ded
\rhd 
\forall \underline{
\mathsf{x}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf{y}}
\colon \underline{
\mathsf{x}}
 <= \underline{
\mathsf{y}}
\vdash \dot{\neg}\, \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf{x}}
 <= \underline{
\mathsf{y}}
\Rightarrow \dot{\neg}\, \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf{x}}
 = \underline{
\mathsf{y}}
\vdash \underline{
\mathsf{x}}
 = \underline{
\mathsf{y}}
\gg \underline{
\mathsf{x}}
 <= \underline{
\mathsf{y}}
\Rightarrow \dot{\neg}\, \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf{x}}
 <= \underline{
\mathsf{y}}
\Rightarrow \dot{\neg}\, \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf{x}}
 = \underline{
\mathsf{y}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf{x}}
 = \underline{
\mathsf{y}}
; \underline{
\mathsf{x}}
 <= \underline{
\mathsf{y}}
\vdash MP
\rhd \underline{
\mathsf{x}}
 <= \underline{
\mathsf{y}}
\Rightarrow \dot{\neg}\, \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf{x}}
 <= \underline{
\mathsf{y}}
\Rightarrow \dot{\neg}\, \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf{x}}
 = \underline{
\mathsf{y}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf{x}}
 = \underline{
\mathsf{y}}
\rhd \underline{
\mathsf{x}}
 <= \underline{
\mathsf{y}}
\gg \dot{\neg}\, \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf{x}}
 <= \underline{
\mathsf{y}}
\Rightarrow \dot{\neg}\, \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf{x}}
 = \underline{
\mathsf{y}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf{x}}
 = \underline{
\mathsf{y}}
; Repetition
\rhd \dot{\neg}\, \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf{x}}
 <= \underline{
\mathsf{y}}
\Rightarrow \dot{\neg}\, \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf{x}}
 = \underline{
\mathsf{y}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf{x}}
 = \underline{
\mathsf{y}}
\gg \dot{\neg}\, \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf{x}}
 <= \underline{
\mathsf{y}}
\Rightarrow \dot{\neg}\, \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf{x}}
 = \underline{
\mathsf{y}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf{x}}
 = \underline{
\mathsf{y}}
\rceil 
, 
p_0
, 
\mathsf {c}
)
]$

$\rm
[LeqLessEq
\stackrel{
stmt
}{\rightarrow}ZFsub
\vdash 
\forall \underline{
\mathsf{x}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf{y}}
\colon \underline{
\mathsf{x}}
 <= \underline{
\mathsf{y}}
\vdash \dot{\neg}\, \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf{x}}
 <= \underline{
\mathsf{y}}
\Rightarrow \dot{\neg}\, \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf{x}}
 = \underline{
\mathsf{y}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf{x}}
 = \underline{
\mathsf{y}}
]$

$\rm
[LeqLessEq
\stackrel{
\mathrm{tex}
}{\rightarrow}
\mbox{``}LeqLessEq
\mbox{''}
]$

$\rm
[LeqLessEq
\stackrel{
\mathrm{pyk}
}{\rightarrow}
\mbox{``}lemma
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}leqLessEq
\mbox{''}
]$

\hypertarget {url:1808490583581903168404721082347638465545342357588912671848929942716323841:277}{}\section* {$\rm LessLeq$}

$\rm
[LessLeq
\stackrel{
proof
}{\rightarrow}
\lambda 
\mathsf {c}
.
\lambda 
\mathsf{x}
.
{\cal P}( 
\lceil ZFsub
\vdash 
\forall \underline{
\mathsf{x}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf{y}}
\colon \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf{x}}
 <= \underline{
\mathsf{y}}
\Rightarrow \dot{\neg}\, \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf{x}}
 = \underline{
\mathsf{y}}
\vdash Repetition
\rhd \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf{x}}
 <= \underline{
\mathsf{y}}
\Rightarrow \dot{\neg}\, \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf{x}}
 = \underline{
\mathsf{y}}
\gg \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf{x}}
 <= \underline{
\mathsf{y}}
\Rightarrow \dot{\neg}\, \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf{x}}
 = \underline{
\mathsf{y}}
; FirstConjunct
\rhd \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf{x}}
 <= \underline{
\mathsf{y}}
\Rightarrow \dot{\neg}\, \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf{x}}
 = \underline{
\mathsf{y}}
\gg \underline{
\mathsf{x}}
 <= \underline{
\mathsf{y}}
\rceil 
, 
p_0
, 
\mathsf {c}
)
]$

$\rm
[LessLeq
\stackrel{
stmt
}{\rightarrow}ZFsub
\vdash 
\forall \underline{
\mathsf{x}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf{y}}
\colon \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf{x}}
 <= \underline{
\mathsf{y}}
\Rightarrow \dot{\neg}\, \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf{x}}
 = \underline{
\mathsf{y}}
\vdash \underline{
\mathsf{x}}
 <= \underline{
\mathsf{y}}
]$

$\rm
[LessLeq
\stackrel{
\mathrm{tex}
}{\rightarrow}
\mbox{``}LessLeq
\mbox{''}
]$

$\rm
[LessLeq
\stackrel{
\mathrm{pyk}
}{\rightarrow}
\mbox{``}lemma
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}lessLeq
\mbox{''}
]$

\hypertarget {url:1808490583581903168404721082347638465545342357588912671848929942716323841:278}{}\section* {$\rm FromLeqGeq$}

$\rm
[FromLeqGeq
\stackrel{
proof
}{\rightarrow}
\lambda 
\mathsf {c}
.
\lambda 
\mathsf{x}
.
{\cal P}( 
\lceil ZFsub
\vdash 
\forall \underline{
\mathsf {a}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf{x}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf{y}}
\colon \underline{
\mathsf{x}}
 <= \underline{
\mathsf{y}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {a}}
\vdash \underline{
\mathsf{y}}
 <= \underline{
\mathsf{x}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {a}}
\vdash leqTotality
\gg \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf{x}}
 <= \underline{
\mathsf{y}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf{y}}
 <= \underline{
\mathsf{x}}
; FromDisjuncts
\rhd \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf{x}}
 <= \underline{
\mathsf{y}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf{y}}
 <= \underline{
\mathsf{x}}
\rhd \underline{
\mathsf{x}}
 <= \underline{
\mathsf{y}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {a}}
\rhd \underline{
\mathsf{y}}
 <= \underline{
\mathsf{x}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {a}}
\gg \underline{
\mathsf {a}}
\rceil 
, 
p_0
, 
\mathsf {c}
)
]$

$\rm
[FromLeqGeq
\stackrel{
stmt
}{\rightarrow}ZFsub
\vdash 
\forall \underline{
\mathsf {a}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf{x}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf{y}}
\colon \underline{
\mathsf{x}}
 <= \underline{
\mathsf{y}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {a}}
\vdash \underline{
\mathsf{y}}
 <= \underline{
\mathsf{x}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {a}}
\vdash \underline{
\mathsf {a}}
]$

$\rm
[FromLeqGeq
\stackrel{
\mathrm{tex}
}{\rightarrow}
\mbox{``}FromLeqGeq
\mbox{''}
]$

$\rm
[FromLeqGeq
\stackrel{
\mathrm{pyk}
}{\rightarrow}
\mbox{``}lemma
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}from
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}leqGeq
\mbox{''}
]$

\hypertarget {url:1808490583581903168404721082347638465545342357588912671848929942716323841:279}{}\section* {$\rm subLeqRight$}

$\rm
[subLeqRight
\stackrel{
proof
}{\rightarrow}
\lambda 
\mathsf {c}
.
\lambda 
\mathsf{x}
.
{\cal P}( 
\lceil ZFsub
\vdash 
\forall \underline{
\mathsf{x}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf{y}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf{z}}
\colon \underline{
\mathsf{x}}
 = \underline{
\mathsf{y}}
\vdash \underline{
\mathsf{z}}
 <= \underline{
\mathsf{x}}
\vdash eqLeq
\rhd \underline{
\mathsf{x}}
 = \underline{
\mathsf{y}}
\gg \underline{
\mathsf{x}}
 <= \underline{
\mathsf{y}}
; leqTransitivity
\rhd \underline{
\mathsf{z}}
 <= \underline{
\mathsf{x}}
\rhd \underline{
\mathsf{x}}
 <= \underline{
\mathsf{y}}
\gg \underline{
\mathsf{z}}
 <= \underline{
\mathsf{y}}
\rceil 
, 
p_0
, 
\mathsf {c}
)
]$

$\rm
[subLeqRight
\stackrel{
stmt
}{\rightarrow}ZFsub
\vdash 
\forall \underline{
\mathsf{x}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf{y}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf{z}}
\colon \underline{
\mathsf{x}}
 = \underline{
\mathsf{y}}
\vdash \underline{
\mathsf{z}}
 <= \underline{
\mathsf{x}}
\vdash \underline{
\mathsf{z}}
 <= \underline{
\mathsf{y}}
]$

$\rm
[subLeqRight
\stackrel{
\mathrm{tex}
}{\rightarrow}
\mbox{``}subLeqRight
\mbox{''}
]$

$\rm
[subLeqRight
\stackrel{
\mathrm{pyk}
}{\rightarrow}
\mbox{``}lemma
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}subLeqRight
\mbox{''}
]$

\hypertarget {url:1808490583581903168404721082347638465545342357588912671848929942716323841:280}{}\section* {$\rm subLeqLeft$}

$\rm
[subLeqLeft
\stackrel{
proof
}{\rightarrow}
\lambda 
\mathsf {c}
.
\lambda 
\mathsf{x}
.
{\cal P}( 
\lceil ZFsub
\vdash 
\forall \underline{
\mathsf{x}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf{y}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf{z}}
\colon \underline{
\mathsf{x}}
 = \underline{
\mathsf{y}}
\vdash \underline{
\mathsf{x}}
 <= \underline{
\mathsf{z}}
\vdash eqSymmetry
\rhd \underline{
\mathsf{x}}
 = \underline{
\mathsf{y}}
\gg \underline{
\mathsf{y}}
 = \underline{
\mathsf{x}}
; eqLeq
\rhd \underline{
\mathsf{y}}
 = \underline{
\mathsf{x}}
\gg \underline{
\mathsf{y}}
 <= \underline{
\mathsf{x}}
; leqTransitivity
\rhd \underline{
\mathsf{y}}
 <= \underline{
\mathsf{x}}
\rhd \underline{
\mathsf{x}}
 <= \underline{
\mathsf{z}}
\gg \underline{
\mathsf{y}}
 <= \underline{
\mathsf{z}}
\rceil 
, 
p_0
, 
\mathsf {c}
)
]$

$\rm
[subLeqLeft
\stackrel{
stmt
}{\rightarrow}ZFsub
\vdash 
\forall \underline{
\mathsf{x}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf{y}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf{z}}
\colon \underline{
\mathsf{x}}
 = \underline{
\mathsf{y}}
\vdash \underline{
\mathsf{x}}
 <= \underline{
\mathsf{z}}
\vdash \underline{
\mathsf{y}}
 <= \underline{
\mathsf{z}}
]$

$\rm
[subLeqLeft
\stackrel{
\mathrm{tex}
}{\rightarrow}
\mbox{``}subLeqLeft
\mbox{''}
]$

$\rm
[subLeqLeft
\stackrel{
\mathrm{pyk}
}{\rightarrow}
\mbox{``}lemma
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}subLeqLeft
\mbox{''}
]$

\hypertarget {url:1808490583581903168404721082347638465545342357588912671848929942716323841:281}{}\section* {$\rm Leq+1$}

$\rm
[Leq+1
\stackrel{
proof
}{\rightarrow}
\lambda 
\mathsf {c}
.
\lambda 
\mathsf{x}
.
{\cal P}( 
\lceil ZFsub
\vdash 
\forall \underline{
\mathsf{x}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf{y}}
\colon \underline{
\mathsf{x}}
 <= \underline{
\mathsf{y}}
\vdash 0<1
\gg \dot{\neg}\, 0
 <= 1
\Rightarrow \dot{\neg}\, \dot{\neg}\, 0
 = 1
; LessAdditionLeft
\rhd \dot{\neg}\, 0
 <= 1
\Rightarrow \dot{\neg}\, \dot{\neg}\, 0
 = 1
\gg \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf{y}}
+0
 <= \underline{
\mathsf{y}}
+1
\Rightarrow \dot{\neg}\, \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf{y}}
+0
 = \underline{
\mathsf{y}}
+1
; plus0
\gg \underline{
\mathsf{y}}
+0
 = \underline{
\mathsf{y}}
; SubLessLeft
\rhd \underline{
\mathsf{y}}
+0
 = \underline{
\mathsf{y}}
\rhd \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf{y}}
+0
 <= \underline{
\mathsf{y}}
+1
\Rightarrow \dot{\neg}\, \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf{y}}
+0
 = \underline{
\mathsf{y}}
+1
\gg \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf{y}}
 <= \underline{
\mathsf{y}}
+1
\Rightarrow \dot{\neg}\, \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf{y}}
 = \underline{
\mathsf{y}}
+1
; leqLessTransitivity
\rhd \underline{
\mathsf{x}}
 <= \underline{
\mathsf{y}}
\rhd \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf{y}}
 <= \underline{
\mathsf{y}}
+1
\Rightarrow \dot{\neg}\, \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf{y}}
 = \underline{
\mathsf{y}}
+1
\gg \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf{x}}
 <= \underline{
\mathsf{y}}
+1
\Rightarrow \dot{\neg}\, \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf{x}}
 = \underline{
\mathsf{y}}
+1
\rceil 
, 
p_0
, 
\mathsf {c}
)
]$

$\rm
[Leq+1
\stackrel{
stmt
}{\rightarrow}ZFsub
\vdash 
\forall \underline{
\mathsf{x}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf{y}}
\colon \underline{
\mathsf{x}}
 <= \underline{
\mathsf{y}}
\vdash \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf{x}}
 <= \underline{
\mathsf{y}}
+1
\Rightarrow \dot{\neg}\, \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf{x}}
 = \underline{
\mathsf{y}}
+1
]$

$\rm
[Leq+1
\stackrel{
\mathrm{tex}
}{\rightarrow}
\mbox{``}Leq
{+}1
\mbox{''}
]$

$\rm
[Leq+1
\stackrel{
\mathrm{pyk}
}{\rightarrow}
\mbox{``}lemma
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}leqPlus1
\mbox{''}
]$

\hypertarget {url:1808490583581903168404721082347638465545342357588912671848929942716323841:282}{}\section* {$\rm PositiveToRight(Leq)$}

$\rm
[PositiveToRight(Leq)
\stackrel{
proof
}{\rightarrow}
\lambda 
\mathsf {c}
.
\lambda 
\mathsf{x}
.
{\cal P}( 
\lceil ZFsub
\vdash 
\forall \underline{
\mathsf{x}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf{y}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf{z}}
\colon \underline{
\mathsf{x}}
+\underline{
\mathsf{y}}
 <= \underline{
\mathsf{z}}
\vdash leqAddition
\rhd \underline{
\mathsf{x}}
+\underline{
\mathsf{y}}
 <= \underline{
\mathsf{z}}
\gg \underline{
\mathsf{x}}
+\underline{
\mathsf{y}}
+-\underline{
\mathsf{y}}
 <= \underline{
\mathsf{z}}
+-\underline{
\mathsf{y}}
; x=x+y-y
\gg \underline{
\mathsf{x}}
 = \underline{
\mathsf{x}}
+\underline{
\mathsf{y}}
+-\underline{
\mathsf{y}}
; eqSymmetry
\rhd \underline{
\mathsf{x}}
 = \underline{
\mathsf{x}}
+\underline{
\mathsf{y}}
+-\underline{
\mathsf{y}}
\gg \underline{
\mathsf{x}}
+\underline{
\mathsf{y}}
+-\underline{
\mathsf{y}}
 = \underline{
\mathsf{x}}
; subLeqLeft
\rhd \underline{
\mathsf{x}}
+\underline{
\mathsf{y}}
+-\underline{
\mathsf{y}}
 = \underline{
\mathsf{x}}
\rhd \underline{
\mathsf{x}}
+\underline{
\mathsf{y}}
+-\underline{
\mathsf{y}}
 <= \underline{
\mathsf{z}}
+-\underline{
\mathsf{y}}
\gg \underline{
\mathsf{x}}
 <= \underline{
\mathsf{z}}
+-\underline{
\mathsf{y}}
\rceil 
, 
p_0
, 
\mathsf {c}
)
]$

$\rm
[PositiveToRight(Leq)
\stackrel{
stmt
}{\rightarrow}ZFsub
\vdash 
\forall \underline{
\mathsf{x}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf{y}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf{z}}
\colon \underline{
\mathsf{x}}
+\underline{
\mathsf{y}}
 <= \underline{
\mathsf{z}}
\vdash \underline{
\mathsf{x}}
 <= \underline{
\mathsf{z}}
+-\underline{
\mathsf{y}}
]$

$\rm
[PositiveToRight(Leq)
\stackrel{
\mathrm{tex}
}{\rightarrow}
\mbox{``}PositiveToRight(Leq)
\mbox{''}
]$

$\rm
[PositiveToRight(Leq)
\stackrel{
\mathrm{pyk}
}{\rightarrow}
\mbox{``}lemma
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}positiveToRight(Leq)
\mbox{''}
]$

\hypertarget {url:1808490583581903168404721082347638465545342357588912671848929942716323841:283}{}\section* {$\rm PositiveToRight(Leq)(1 term)$}

$\rm
[PositiveToRight(Leq)(1 term)
\stackrel{
proof
}{\rightarrow}
\lambda 
\mathsf {c}
.
\lambda 
\mathsf{x}
.
{\cal P}( 
\lceil ZFsub
\vdash 
\forall \underline{
\mathsf{y}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf{z}}
\colon \underline{
\mathsf{y}}
 <= \underline{
\mathsf{z}}
\vdash plus0Left
\gg 0
+\underline{
\mathsf{y}}
 = \underline{
\mathsf{y}}
; eqSymmetry
\rhd 0
+\underline{
\mathsf{y}}
 = \underline{
\mathsf{y}}
\gg \underline{
\mathsf{y}}
 = 0
+\underline{
\mathsf{y}}
; subLeqLeft
\rhd \underline{
\mathsf{y}}
 = 0
+\underline{
\mathsf{y}}
\rhd \underline{
\mathsf{y}}
 <= \underline{
\mathsf{z}}
\gg 0
+\underline{
\mathsf{y}}
 <= \underline{
\mathsf{z}}
; PositiveToRight(Leq)
\rhd 0
+\underline{
\mathsf{y}}
 <= \underline{
\mathsf{z}}
\gg 0
 <= \underline{
\mathsf{z}}
+-\underline{
\mathsf{y}}
\rceil 
, 
p_0
, 
\mathsf {c}
)
]$

$\rm
[PositiveToRight(Leq)(1 term)
\stackrel{
stmt
}{\rightarrow}ZFsub
\vdash 
\forall \underline{
\mathsf{y}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf{z}}
\colon \underline{
\mathsf{y}}
 <= \underline{
\mathsf{z}}
\vdash 0
 <= \underline{
\mathsf{z}}
+-\underline{
\mathsf{y}}
]$

$\rm
[PositiveToRight(Leq)(1 term)
\stackrel{
\mathrm{tex}
}{\rightarrow}
\mbox{``}PositiveToRight(Leq)(1
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}term)
\mbox{''}
]$

$\rm
[PositiveToRight(Leq)(1 term)
\stackrel{
\mathrm{pyk}
}{\rightarrow}
\mbox{``}lemma
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}positiveToRight(Leq)(1
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}term)
\mbox{''}
]$

\hypertarget {url:1808490583581903168404721082347638465545342357588912671848929942716323841:284}{}\section* {$\rm negativeToLeft(Leq)$}

$\rm
[negativeToLeft(Leq)
\stackrel{
proof
}{\rightarrow}
\lambda 
\mathsf {c}
.
\lambda 
\mathsf{x}
.
{\cal P}( 
\lceil ZFsub
\vdash 
\forall \underline{
\mathsf{x}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf{y}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf{z}}
\colon \underline{
\mathsf{x}}
 <= \underline{
\mathsf{y}}
+-\underline{
\mathsf{z}}
\vdash leqAddition
\rhd \underline{
\mathsf{x}}
 <= \underline{
\mathsf{y}}
+-\underline{
\mathsf{z}}
\gg \underline{
\mathsf{x}}
+\underline{
\mathsf{z}}
 <= \underline{
\mathsf{y}}
+-\underline{
\mathsf{z}}
+\underline{
\mathsf{z}}
; x=x+y-y
\gg \underline{
\mathsf{y}}
 = \underline{
\mathsf{y}}
+\underline{
\mathsf{z}}
+-\underline{
\mathsf{z}}
; Three2threeTerms
\gg \underline{
\mathsf{y}}
+\underline{
\mathsf{z}}
+-\underline{
\mathsf{z}}
 = \underline{
\mathsf{y}}
+-\underline{
\mathsf{z}}
+\underline{
\mathsf{z}}
; eqTransitivity
\rhd \underline{
\mathsf{y}}
 = \underline{
\mathsf{y}}
+\underline{
\mathsf{z}}
+-\underline{
\mathsf{z}}
\rhd \underline{
\mathsf{y}}
+\underline{
\mathsf{z}}
+-\underline{
\mathsf{z}}
 = \underline{
\mathsf{y}}
+-\underline{
\mathsf{z}}
+\underline{
\mathsf{z}}
\gg \underline{
\mathsf{y}}
 = \underline{
\mathsf{y}}
+-\underline{
\mathsf{z}}
+\underline{
\mathsf{z}}
; eqSymmetry
\rhd \underline{
\mathsf{y}}
 = \underline{
\mathsf{y}}
+-\underline{
\mathsf{z}}
+\underline{
\mathsf{z}}
\gg \underline{
\mathsf{y}}
+-\underline{
\mathsf{z}}
+\underline{
\mathsf{z}}
 = \underline{
\mathsf{y}}
; subLeqRight
\rhd \underline{
\mathsf{y}}
+-\underline{
\mathsf{z}}
+\underline{
\mathsf{z}}
 = \underline{
\mathsf{y}}
\rhd \underline{
\mathsf{x}}
+\underline{
\mathsf{z}}
 <= \underline{
\mathsf{y}}
+-\underline{
\mathsf{z}}
+\underline{
\mathsf{z}}
\gg \underline{
\mathsf{x}}
+\underline{
\mathsf{z}}
 <= \underline{
\mathsf{y}}
\rceil 
, 
p_0
, 
\mathsf {c}
)
]$

$\rm
[negativeToLeft(Leq)
\stackrel{
stmt
}{\rightarrow}ZFsub
\vdash 
\forall \underline{
\mathsf{x}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf{y}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf{z}}
\colon \underline{
\mathsf{x}}
 <= \underline{
\mathsf{y}}
+-\underline{
\mathsf{z}}
\vdash \underline{
\mathsf{x}}
+\underline{
\mathsf{z}}
 <= \underline{
\mathsf{y}}
]$

$\rm
[negativeToLeft(Leq)
\stackrel{
\mathrm{tex}
}{\rightarrow}
\mbox{``}negativeToLeft(Leq)
\mbox{''}
]$

$\rm
[negativeToLeft(Leq)
\stackrel{
\mathrm{pyk}
}{\rightarrow}
\mbox{``}lemma
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}negativeToLeft(Leq)
\mbox{''}
]$

\hypertarget {url:1808490583581903168404721082347638465545342357588912671848929942716323841:285}{}\section* {$\rm LeqAdditionLeft$}

$\rm
[LeqAdditionLeft
\stackrel{
proof
}{\rightarrow}
\lambda 
\mathsf {c}
.
\lambda 
\mathsf{x}
.
{\cal P}( 
\lceil ZFsub
\vdash 
\forall \underline{
\mathsf{x}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf{y}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf{z}}
\colon \underline{
\mathsf{x}}
 <= \underline{
\mathsf{y}}
\vdash leqAddition
\rhd \underline{
\mathsf{x}}
 <= \underline{
\mathsf{y}}
\gg \underline{
\mathsf{x}}
+\underline{
\mathsf{z}}
 <= \underline{
\mathsf{y}}
+\underline{
\mathsf{z}}
; plusCommutativity
\gg \underline{
\mathsf{x}}
+\underline{
\mathsf{z}}
 = \underline{
\mathsf{z}}
+\underline{
\mathsf{x}}
; plusCommutativity
\gg \underline{
\mathsf{y}}
+\underline{
\mathsf{z}}
 = \underline{
\mathsf{z}}
+\underline{
\mathsf{y}}
; subLeqLeft
\rhd \underline{
\mathsf{x}}
+\underline{
\mathsf{z}}
 = \underline{
\mathsf{z}}
+\underline{
\mathsf{x}}
\rhd \underline{
\mathsf{x}}
+\underline{
\mathsf{z}}
 <= \underline{
\mathsf{y}}
+\underline{
\mathsf{z}}
\gg \underline{
\mathsf{z}}
+\underline{
\mathsf{x}}
 <= \underline{
\mathsf{y}}
+\underline{
\mathsf{z}}
; subLeqRight
\rhd \underline{
\mathsf{y}}
+\underline{
\mathsf{z}}
 = \underline{
\mathsf{z}}
+\underline{
\mathsf{y}}
\rhd \underline{
\mathsf{z}}
+\underline{
\mathsf{x}}
 <= \underline{
\mathsf{y}}
+\underline{
\mathsf{z}}
\gg \underline{
\mathsf{z}}
+\underline{
\mathsf{x}}
 <= \underline{
\mathsf{z}}
+\underline{
\mathsf{y}}
\rceil 
, 
p_0
, 
\mathsf {c}
)
]$

$\rm
[LeqAdditionLeft
\stackrel{
stmt
}{\rightarrow}ZFsub
\vdash 
\forall \underline{
\mathsf{x}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf{y}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf{z}}
\colon \underline{
\mathsf{x}}
 <= \underline{
\mathsf{y}}
\vdash \underline{
\mathsf{z}}
+\underline{
\mathsf{x}}
 <= \underline{
\mathsf{z}}
+\underline{
\mathsf{y}}
]$

$\rm
[LeqAdditionLeft
\stackrel{
\mathrm{tex}
}{\rightarrow}
\mbox{``}LeqAdditionLeft
\mbox{''}
]$

$\rm
[LeqAdditionLeft
\stackrel{
\mathrm{pyk}
}{\rightarrow}
\mbox{``}lemma
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}leqAdditionLeft
\mbox{''}
]$

\hypertarget {url:1808490583581903168404721082347638465545342357588912671848929942716323841:286}{}\section* {$\rm leqSubtraction$}

$\rm
[leqSubtraction
\stackrel{
proof
}{\rightarrow}
\lambda 
\mathsf {c}
.
\lambda 
\mathsf{x}
.
{\cal P}( 
\lceil ZFsub
\vdash 
\forall \underline{
\mathsf{x}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf{y}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf{z}}
\colon \underline{
\mathsf{x}}
+\underline{
\mathsf{z}}
 <= \underline{
\mathsf{y}}
+\underline{
\mathsf{z}}
\vdash leqAddition
\rhd \underline{
\mathsf{x}}
+\underline{
\mathsf{z}}
 <= \underline{
\mathsf{y}}
+\underline{
\mathsf{z}}
\gg \underline{
\mathsf{x}}
+\underline{
\mathsf{z}}
+-\underline{
\mathsf{z}}
 <= \underline{
\mathsf{y}}
+\underline{
\mathsf{z}}
+-\underline{
\mathsf{z}}
; x=x+y-y
\gg \underline{
\mathsf{x}}
 = \underline{
\mathsf{x}}
+\underline{
\mathsf{z}}
+-\underline{
\mathsf{z}}
; eqSymmetry
\rhd \underline{
\mathsf{x}}
 = \underline{
\mathsf{x}}
+\underline{
\mathsf{z}}
+-\underline{
\mathsf{z}}
\gg \underline{
\mathsf{x}}
+\underline{
\mathsf{z}}
+-\underline{
\mathsf{z}}
 = \underline{
\mathsf{x}}
; x=x+y-y
\gg \underline{
\mathsf{y}}
 = \underline{
\mathsf{y}}
+\underline{
\mathsf{z}}
+-\underline{
\mathsf{z}}
; eqSymmetry
\rhd \underline{
\mathsf{y}}
 = \underline{
\mathsf{y}}
+\underline{
\mathsf{z}}
+-\underline{
\mathsf{z}}
\gg \underline{
\mathsf{y}}
+\underline{
\mathsf{z}}
+-\underline{
\mathsf{z}}
 = \underline{
\mathsf{y}}
; subLeqLeft
\rhd \underline{
\mathsf{x}}
+\underline{
\mathsf{z}}
+-\underline{
\mathsf{z}}
 = \underline{
\mathsf{x}}
\rhd \underline{
\mathsf{x}}
+\underline{
\mathsf{z}}
+-\underline{
\mathsf{z}}
 <= \underline{
\mathsf{y}}
+\underline{
\mathsf{z}}
+-\underline{
\mathsf{z}}
\gg \underline{
\mathsf{x}}
 <= \underline{
\mathsf{y}}
+\underline{
\mathsf{z}}
+-\underline{
\mathsf{z}}
; subLeqRight
\rhd \underline{
\mathsf{y}}
+\underline{
\mathsf{z}}
+-\underline{
\mathsf{z}}
 = \underline{
\mathsf{y}}
\rhd \underline{
\mathsf{x}}
 <= \underline{
\mathsf{y}}
+\underline{
\mathsf{z}}
+-\underline{
\mathsf{z}}
\gg \underline{
\mathsf{x}}
 <= \underline{
\mathsf{y}}
\rceil 
, 
p_0
, 
\mathsf {c}
)
]$

$\rm
[leqSubtraction
\stackrel{
stmt
}{\rightarrow}ZFsub
\vdash 
\forall \underline{
\mathsf{x}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf{y}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf{z}}
\colon \underline{
\mathsf{x}}
+\underline{
\mathsf{z}}
 <= \underline{
\mathsf{y}}
+\underline{
\mathsf{z}}
\vdash \underline{
\mathsf{x}}
 <= \underline{
\mathsf{y}}
]$

$\rm
[leqSubtraction
\stackrel{
\mathrm{tex}
}{\rightarrow}
\mbox{``}leqSubtraction
\mbox{''}
]$

$\rm
[leqSubtraction
\stackrel{
\mathrm{pyk}
}{\rightarrow}
\mbox{``}lemma
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}leqSubtraction
\mbox{''}
]$

\hypertarget {url:1808490583581903168404721082347638465545342357588912671848929942716323841:287}{}\section* {$\rm leqSubtractionLeft$}

$\rm
[leqSubtractionLeft
\stackrel{
proof
}{\rightarrow}
\lambda 
\mathsf {c}
.
\lambda 
\mathsf{x}
.
{\cal P}( 
\lceil ZFsub
\vdash 
\forall \underline{
\mathsf{x}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf{y}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf{z}}
\colon \underline{
\mathsf{z}}
+\underline{
\mathsf{x}}
 <= \underline{
\mathsf{z}}
+\underline{
\mathsf{y}}
\vdash plusCommutativity
\gg \underline{
\mathsf{z}}
+\underline{
\mathsf{x}}
 = \underline{
\mathsf{x}}
+\underline{
\mathsf{z}}
; plusCommutativity
\gg \underline{
\mathsf{z}}
+\underline{
\mathsf{y}}
 = \underline{
\mathsf{y}}
+\underline{
\mathsf{z}}
; subLeqLeft
\rhd \underline{
\mathsf{z}}
+\underline{
\mathsf{x}}
 = \underline{
\mathsf{x}}
+\underline{
\mathsf{z}}
\rhd \underline{
\mathsf{z}}
+\underline{
\mathsf{x}}
 <= \underline{
\mathsf{z}}
+\underline{
\mathsf{y}}
\gg \underline{
\mathsf{x}}
+\underline{
\mathsf{z}}
 <= \underline{
\mathsf{z}}
+\underline{
\mathsf{y}}
; subLeqRight
\rhd \underline{
\mathsf{z}}
+\underline{
\mathsf{y}}
 = \underline{
\mathsf{y}}
+\underline{
\mathsf{z}}
\rhd \underline{
\mathsf{x}}
+\underline{
\mathsf{z}}
 <= \underline{
\mathsf{z}}
+\underline{
\mathsf{y}}
\gg \underline{
\mathsf{x}}
+\underline{
\mathsf{z}}
 <= \underline{
\mathsf{y}}
+\underline{
\mathsf{z}}
; leqSubtraction
\rhd \underline{
\mathsf{x}}
+\underline{
\mathsf{z}}
 <= \underline{
\mathsf{y}}
+\underline{
\mathsf{z}}
\gg \underline{
\mathsf{x}}
 <= \underline{
\mathsf{y}}
\rceil 
, 
p_0
, 
\mathsf {c}
)
]$

$\rm
[leqSubtractionLeft
\stackrel{
stmt
}{\rightarrow}ZFsub
\vdash 
\forall \underline{
\mathsf{x}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf{y}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf{z}}
\colon \underline{
\mathsf{z}}
+\underline{
\mathsf{x}}
 <= \underline{
\mathsf{z}}
+\underline{
\mathsf{y}}
\vdash \underline{
\mathsf{x}}
 <= \underline{
\mathsf{y}}
]$

$\rm
[leqSubtractionLeft
\stackrel{
\mathrm{tex}
}{\rightarrow}
\mbox{``}leqSubtractionLeft
\mbox{''}
]$

$\rm
[leqSubtractionLeft
\stackrel{
\mathrm{pyk}
}{\rightarrow}
\mbox{``}lemma
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}leqSubtractionLeft
\mbox{''}
]$

\hypertarget {url:1808490583581903168404721082347638465545342357588912671848929942716323841:288}{}\section* {$\rm thirdGeq$}

$\rm
[thirdGeq
\stackrel{
proof
}{\rightarrow}
\lambda 
\mathsf {c}
.
\lambda 
\mathsf{x}
.
{\cal P}( 
\lceil ZFsub
\vdash 
\forall \underline{
\mathsf{x}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf{y}}
\colon \underline{
\mathsf{x}}
 <= \underline{
\mathsf{y}}
\vdash leqReflexivity
\gg \underline{
\mathsf{y}}
 <= \underline{
\mathsf{y}}
; JoinConjuncts
\rhd \underline{
\mathsf{x}}
 <= \underline{
\mathsf{y}}
\rhd \underline{
\mathsf{y}}
 <= \underline{
\mathsf{y}}
\gg \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf{x}}
 <= \underline{
\mathsf{y}}
\Rightarrow \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf{y}}
 <= \underline{
\mathsf{y}}
; ExistIntro
\mathop {\char64} 
\mathsf {c}
 _{Ex}
\mathop {\char64} \underline{
\mathsf{y}}
\rhd \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf{x}}
 <= \underline{
\mathsf{y}}
\Rightarrow \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf{y}}
 <= \underline{
\mathsf{y}}
\gg \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf{x}}
 <= 
\mathsf {c}
 _{Ex}
\Rightarrow \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf{y}}
 <= 
\mathsf {c}
 _{Ex}
; 
\forall \underline{
\mathsf{x}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf{y}}
\colon \underline{
\mathsf{y}}
 <= \underline{
\mathsf{x}}
\vdash leqReflexivity
\gg \underline{
\mathsf{x}}
 <= \underline{
\mathsf{x}}
; JoinConjuncts
\rhd \underline{
\mathsf{x}}
 <= \underline{
\mathsf{x}}
\rhd \underline{
\mathsf{y}}
 <= \underline{
\mathsf{x}}
\gg \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf{x}}
 <= \underline{
\mathsf{x}}
\Rightarrow \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf{y}}
 <= \underline{
\mathsf{x}}
; ExistIntro
\mathop {\char64} 
\mathsf {c}
 _{Ex}
\mathop {\char64} \underline{
\mathsf{x}}
\rhd \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf{x}}
 <= \underline{
\mathsf{x}}
\Rightarrow \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf{y}}
 <= \underline{
\mathsf{x}}
\gg \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf{x}}
 <= 
\mathsf {c}
 _{Ex}
\Rightarrow \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf{y}}
 <= 
\mathsf {c}
 _{Ex}
; 
\forall \underline{
\mathsf{x}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf{y}}
\colon Ded
\rhd 
\forall \underline{
\mathsf{x}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf{y}}
\colon \underline{
\mathsf{x}}
 <= \underline{
\mathsf{y}}
\vdash \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf{x}}
 <= 
\mathsf {c}
 _{Ex}
\Rightarrow \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf{y}}
 <= 
\mathsf {c}
 _{Ex}
\gg \underline{
\mathsf{x}}
 <= \underline{
\mathsf{y}}
\Rightarrow \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf{x}}
 <= 
\mathsf {c}
 _{Ex}
\Rightarrow \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf{y}}
 <= 
\mathsf {c}
 _{Ex}
; Ded
\rhd 
\forall \underline{
\mathsf{x}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf{y}}
\colon \underline{
\mathsf{y}}
 <= \underline{
\mathsf{x}}
\vdash \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf{x}}
 <= 
\mathsf {c}
 _{Ex}
\Rightarrow \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf{y}}
 <= 
\mathsf {c}
 _{Ex}
\gg \underline{
\mathsf{y}}
 <= \underline{
\mathsf{x}}
\Rightarrow \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf{x}}
 <= 
\mathsf {c}
 _{Ex}
\Rightarrow \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf{y}}
 <= 
\mathsf {c}
 _{Ex}
; leqTotality
\gg \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf{x}}
 <= \underline{
\mathsf{y}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf{y}}
 <= \underline{
\mathsf{x}}
; FromDisjuncts
\rhd \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf{x}}
 <= \underline{
\mathsf{y}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf{y}}
 <= \underline{
\mathsf{x}}
\rhd \underline{
\mathsf{x}}
 <= \underline{
\mathsf{y}}
\Rightarrow \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf{x}}
 <= 
\mathsf {c}
 _{Ex}
\Rightarrow \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf{y}}
 <= 
\mathsf {c}
 _{Ex}
\rhd \underline{
\mathsf{y}}
 <= \underline{
\mathsf{x}}
\Rightarrow \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf{x}}
 <= 
\mathsf {c}
 _{Ex}
\Rightarrow \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf{y}}
 <= 
\mathsf {c}
 _{Ex}
\gg \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf{x}}
 <= 
\mathsf {c}
 _{Ex}
\Rightarrow \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf{y}}
 <= 
\mathsf {c}
 _{Ex}
\rceil 
, 
p_0
, 
\mathsf {c}
)
]$

$\rm
[thirdGeq
\stackrel{
stmt
}{\rightarrow}ZFsub
\vdash 
\forall \underline{
\mathsf{x}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf{y}}
\colon \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf{x}}
 <= 
\mathsf {c}
 _{Ex}
\Rightarrow \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf{y}}
 <= 
\mathsf {c}
 _{Ex}
]$

$\rm
[thirdGeq
\stackrel{
\mathrm{tex}
}{\rightarrow}
\mbox{``}thirdGeq
\mbox{''}
]$

$\rm
[thirdGeq
\stackrel{
\mathrm{pyk}
}{\rightarrow}
\mbox{``}lemma
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}thirdGeq
\mbox{''}
]$

\hypertarget {url:1808490583581903168404721082347638465545342357588912671848929942716323841:289}{}\section* {$\rm LeqNegated$}

$\rm
[LeqNegated
\stackrel{
proof
}{\rightarrow}
\lambda 
\mathsf {c}
.
\lambda 
\mathsf{x}
.
{\cal P}( 
\lceil ZFsub
\vdash 
\forall \underline{
\mathsf{x}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf{y}}
\colon \underline{
\mathsf{x}}
 <= \underline{
\mathsf{y}}
\vdash leqAddition
\rhd \underline{
\mathsf{x}}
 <= \underline{
\mathsf{y}}
\gg \underline{
\mathsf{x}}
+-\underline{
\mathsf{x}}
 <= \underline{
\mathsf{y}}
+-\underline{
\mathsf{x}}
; Negative
\gg \underline{
\mathsf{x}}
+-\underline{
\mathsf{x}}
 = 0
; subLeqLeft
\rhd \underline{
\mathsf{x}}
+-\underline{
\mathsf{x}}
 = 0
\rhd \underline{
\mathsf{x}}
+-\underline{
\mathsf{x}}
 <= \underline{
\mathsf{y}}
+-\underline{
\mathsf{x}}
\gg 0
 <= \underline{
\mathsf{y}}
+-\underline{
\mathsf{x}}
; plusCommutativity
\gg \underline{
\mathsf{y}}
+-\underline{
\mathsf{x}}
 = -\underline{
\mathsf{x}}
+\underline{
\mathsf{y}}
; subLeqRight
\rhd \underline{
\mathsf{y}}
+-\underline{
\mathsf{x}}
 = -\underline{
\mathsf{x}}
+\underline{
\mathsf{y}}
\rhd 0
 <= \underline{
\mathsf{y}}
+-\underline{
\mathsf{x}}
\gg 0
 <= -\underline{
\mathsf{x}}
+\underline{
\mathsf{y}}
; leqAddition
\rhd 0
 <= -\underline{
\mathsf{x}}
+\underline{
\mathsf{y}}
\gg 0
+-\underline{
\mathsf{y}}
 <= -\underline{
\mathsf{x}}
+\underline{
\mathsf{y}}
+-\underline{
\mathsf{y}}
; plus0Left
\gg 0
+-\underline{
\mathsf{y}}
 = -\underline{
\mathsf{y}}
; x=x+y-y
\gg -\underline{
\mathsf{x}}
 = -\underline{
\mathsf{x}}
+\underline{
\mathsf{y}}
+-\underline{
\mathsf{y}}
; eqSymmetry
\rhd -\underline{
\mathsf{x}}
 = -\underline{
\mathsf{x}}
+\underline{
\mathsf{y}}
+-\underline{
\mathsf{y}}
\gg -\underline{
\mathsf{x}}
+\underline{
\mathsf{y}}
+-\underline{
\mathsf{y}}
 = -\underline{
\mathsf{x}}
; subLeqLeft
\rhd 0
+-\underline{
\mathsf{y}}
 = -\underline{
\mathsf{y}}
\rhd 0
+-\underline{
\mathsf{y}}
 <= -\underline{
\mathsf{x}}
+\underline{
\mathsf{y}}
+-\underline{
\mathsf{y}}
\gg -\underline{
\mathsf{y}}
 <= -\underline{
\mathsf{x}}
+\underline{
\mathsf{y}}
+-\underline{
\mathsf{y}}
; subLeqRight
\rhd -\underline{
\mathsf{x}}
+\underline{
\mathsf{y}}
+-\underline{
\mathsf{y}}
 = -\underline{
\mathsf{x}}
\rhd -\underline{
\mathsf{y}}
 <= -\underline{
\mathsf{x}}
+\underline{
\mathsf{y}}
+-\underline{
\mathsf{y}}
\gg -\underline{
\mathsf{y}}
 <= -\underline{
\mathsf{x}}
\rceil 
, 
p_0
, 
\mathsf {c}
)
]$

$\rm
[LeqNegated
\stackrel{
stmt
}{\rightarrow}ZFsub
\vdash 
\forall \underline{
\mathsf{x}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf{y}}
\colon \underline{
\mathsf{x}}
 <= \underline{
\mathsf{y}}
\vdash -\underline{
\mathsf{y}}
 <= -\underline{
\mathsf{x}}
]$

$\rm
[LeqNegated
\stackrel{
\mathrm{tex}
}{\rightarrow}
\mbox{``}LeqNegated
\mbox{''}
]$

$\rm
[LeqNegated
\stackrel{
\mathrm{pyk}
}{\rightarrow}
\mbox{``}lemma
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}leqNegated
\mbox{''}
]$

\hypertarget {url:1808490583581903168404721082347638465545342357588912671848929942716323841:290}{}\section* {$\rm AddEquations(Leq)$}

$\rm
[AddEquations(Leq)
\stackrel{
proof
}{\rightarrow}
\lambda 
\mathsf {c}
.
\lambda 
\mathsf{x}
.
{\cal P}( 
\lceil ZFsub
\vdash 
\forall \underline{
\mathsf{x}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf{y}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf{z}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf {u}}
\colon \underline{
\mathsf{x}}
 <= \underline{
\mathsf{y}}
\vdash \underline{
\mathsf{z}}
 <= \underline{
\mathsf {u}}
\vdash leqAddition
\rhd \underline{
\mathsf{x}}
 <= \underline{
\mathsf{y}}
\gg \underline{
\mathsf{x}}
+\underline{
\mathsf{z}}
 <= \underline{
\mathsf{y}}
+\underline{
\mathsf{z}}
; LeqAdditionLeft
\rhd \underline{
\mathsf{z}}
 <= \underline{
\mathsf {u}}
\gg \underline{
\mathsf{y}}
+\underline{
\mathsf{z}}
 <= \underline{
\mathsf{y}}
+\underline{
\mathsf {u}}
; leqTransitivity
\rhd \underline{
\mathsf{x}}
+\underline{
\mathsf{z}}
 <= \underline{
\mathsf{y}}
+\underline{
\mathsf{z}}
\rhd \underline{
\mathsf{y}}
+\underline{
\mathsf{z}}
 <= \underline{
\mathsf{y}}
+\underline{
\mathsf {u}}
\gg \underline{
\mathsf{x}}
+\underline{
\mathsf{z}}
 <= \underline{
\mathsf{y}}
+\underline{
\mathsf {u}}
\rceil 
, 
p_0
, 
\mathsf {c}
)
]$

$\rm
[AddEquations(Leq)
\stackrel{
stmt
}{\rightarrow}ZFsub
\vdash 
\forall \underline{
\mathsf{x}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf{y}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf{z}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf {u}}
\colon \underline{
\mathsf{x}}
 <= \underline{
\mathsf{y}}
\vdash \underline{
\mathsf{z}}
 <= \underline{
\mathsf {u}}
\vdash \underline{
\mathsf{x}}
+\underline{
\mathsf{z}}
 <= \underline{
\mathsf{y}}
+\underline{
\mathsf {u}}
]$

$\rm
[AddEquations(Leq)
\stackrel{
\mathrm{tex}
}{\rightarrow}
\mbox{``}AddEquations(Leq)
\mbox{''}
]$

$\rm
[AddEquations(Leq)
\stackrel{
\mathrm{pyk}
}{\rightarrow}
\mbox{``}lemma
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}addEquations(Leq)
\mbox{''}
]$

\hypertarget {url:1808490583581903168404721082347638465545342357588912671848929942716323841:291}{}\section* {$\rm ThirdGeqSeries$}

$\rm
[ThirdGeqSeries
\stackrel{
proof
}{\rightarrow}
\lambda 
\mathsf {c}
.
\lambda 
\mathsf{x}
.
{\cal P}( 
\lceil ZFsub
\vdash 
\forall \underline{
\mathsf {m}}
\colon 
\forall \underline{(\epsilon)}
\colon 
\forall \underline{(fx)}
\colon 
\forall \underline{(fy)}
\colon 
\forall \underline{(fz)}
\colon 
\forall \underline{(fv)}
\colon 
\forall \underline{(rx)}
\colon 
\forall \underline{(ry)}
\colon 
\forall \underline{(rz)}
\colon 
\forall \underline{(ru)}
\colon \underline{(rx)}
 << \underline{(ry)}
\vdash \underline{(rz)}
 << \underline{(ru)}
\vdash \underline{(fx)}
 \mathrel{\in} \underline{(rx)}
\vdash \underline{(fy)}
 \mathrel{\in} \underline{(ry)}
\vdash \underline{(fz)}
 \mathrel{\in} \underline{(rz)}
\vdash \underline{(fv)}
 \mathrel{\in} \underline{(ru)}
\vdash \dot{\neg}\, 0
 <= \underline{(\epsilon)}
\Rightarrow \dot{\neg}\, \dot{\neg}\, 0
 = \underline{(\epsilon)}
\vdash 
\mathsf {c}
 _{Ex}
 <= \underline{
\mathsf {m}}
\vdash From<<XX
\rhd \underline{(rx)}
 << \underline{(ry)}
\rhd \underline{(fx)}
 \mathrel{\in} \underline{(rx)}
\rhd \underline{(fy)}
 \mathrel{\in} \underline{(ry)}
\rhd \dot{\neg}\, 0
 <= \underline{(\epsilon)}
\Rightarrow \dot{\neg}\, \dot{\neg}\, 0
 = \underline{(\epsilon)}
\gg 
\mathsf {a}
 _{Ex}
 <= \underline{
\mathsf {m}}
\Rightarrow \underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
 <= \underline{(fy)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
+-\underline{(\epsilon)}
; From<<XX
\rhd \underline{(rz)}
 << \underline{(ru)}
\rhd \underline{(fz)}
 \mathrel{\in} \underline{(rz)}
\rhd \underline{(fv)}
 \mathrel{\in} \underline{(ru)}
\rhd \dot{\neg}\, 0
 <= \underline{(\epsilon)}
\Rightarrow \dot{\neg}\, \dot{\neg}\, 0
 = \underline{(\epsilon)}
\gg 
\mathsf {a}
 _{Ex}
 <= \underline{
\mathsf {m}}
\Rightarrow \underline{(fz)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
 <= \underline{(fv)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
+-\underline{(\epsilon)}
; ExistIntro
\mathop {\char64} 
\mathsf {b}
 _{Ex}
\mathop {\char64} 
\mathsf {a}
 _{Ex}
\rhd 
\mathsf {a}
 _{Ex}
 <= \underline{
\mathsf {m}}
\Rightarrow \underline{(fz)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
 <= \underline{(fv)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
+-\underline{(\epsilon)}
\gg 
\mathsf {b}
 _{Ex}
 <= \underline{
\mathsf {m}}
\Rightarrow \underline{(fz)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
 <= \underline{(fv)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
+-\underline{(\epsilon)}
; thirdGeq
\gg \dot{\neg}\, 
\mathsf {a}
 _{Ex}
 <= 
\mathsf {c}
 _{Ex}
\Rightarrow \dot{\neg}\, 
\mathsf {b}
 _{Ex}
 <= 
\mathsf {c}
 _{Ex}
; FirstConjunct
\rhd \dot{\neg}\, 
\mathsf {a}
 _{Ex}
 <= 
\mathsf {c}
 _{Ex}
\Rightarrow \dot{\neg}\, 
\mathsf {b}
 _{Ex}
 <= 
\mathsf {c}
 _{Ex}
\gg 
\mathsf {a}
 _{Ex}
 <= 
\mathsf {c}
 _{Ex}
; leqTransitivity
\rhd 
\mathsf {a}
 _{Ex}
 <= 
\mathsf {c}
 _{Ex}
\rhd 
\mathsf {c}
 _{Ex}
 <= \underline{
\mathsf {m}}
\gg 
\mathsf {a}
 _{Ex}
 <= \underline{
\mathsf {m}}
; MP
\rhd 
\mathsf {a}
 _{Ex}
 <= \underline{
\mathsf {m}}
\Rightarrow \underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
 <= \underline{(fy)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
+-\underline{(\epsilon)}
\rhd 
\mathsf {a}
 _{Ex}
 <= \underline{
\mathsf {m}}
\gg \underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
 <= \underline{(fy)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
+-\underline{(\epsilon)}
; SecondConjunct
\rhd \dot{\neg}\, 
\mathsf {a}
 _{Ex}
 <= 
\mathsf {c}
 _{Ex}
\Rightarrow \dot{\neg}\, 
\mathsf {b}
 _{Ex}
 <= 
\mathsf {c}
 _{Ex}
\gg 
\mathsf {b}
 _{Ex}
 <= 
\mathsf {c}
 _{Ex}
; leqTransitivity
\rhd 
\mathsf {b}
 _{Ex}
 <= 
\mathsf {c}
 _{Ex}
\rhd 
\mathsf {c}
 _{Ex}
 <= \underline{
\mathsf {m}}
\gg 
\mathsf {b}
 _{Ex}
 <= \underline{
\mathsf {m}}
; MP
\rhd 
\mathsf {b}
 _{Ex}
 <= \underline{
\mathsf {m}}
\Rightarrow \underline{(fz)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
 <= \underline{(fv)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
+-\underline{(\epsilon)}
\rhd 
\mathsf {b}
 _{Ex}
 <= \underline{
\mathsf {m}}
\gg \underline{(fz)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
 <= \underline{(fv)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
+-\underline{(\epsilon)}
; JoinConjuncts
\rhd \underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
 <= \underline{(fy)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
+-\underline{(\epsilon)}
\rhd \underline{(fz)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
 <= \underline{(fv)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
+-\underline{(\epsilon)}
\gg \dot{\neg}\, \underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
 <= \underline{(fy)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
+-\underline{(\epsilon)}
\Rightarrow \dot{\neg}\, \underline{(fz)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
 <= \underline{(fv)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
+-\underline{(\epsilon)}
\rceil 
, 
p_0
, 
\mathsf {c}
)
]$

$\rm
[ThirdGeqSeries
\stackrel{
stmt
}{\rightarrow}ZFsub
\vdash 
\forall \underline{
\mathsf {m}}
\colon 
\forall \underline{(\epsilon)}
\colon 
\forall \underline{(fx)}
\colon 
\forall \underline{(fy)}
\colon 
\forall \underline{(fz)}
\colon 
\forall \underline{(fv)}
\colon 
\forall \underline{(rx)}
\colon 
\forall \underline{(ry)}
\colon 
\forall \underline{(rz)}
\colon 
\forall \underline{(ru)}
\colon \underline{(rx)}
 << \underline{(ry)}
\vdash \underline{(rz)}
 << \underline{(ru)}
\vdash \underline{(fx)}
 \mathrel{\in} \underline{(rx)}
\vdash \underline{(fy)}
 \mathrel{\in} \underline{(ry)}
\vdash \underline{(fz)}
 \mathrel{\in} \underline{(rz)}
\vdash \underline{(fv)}
 \mathrel{\in} \underline{(ru)}
\vdash \dot{\neg}\, 0
 <= \underline{(\epsilon)}
\Rightarrow \dot{\neg}\, \dot{\neg}\, 0
 = \underline{(\epsilon)}
\vdash 
\mathsf {c}
 _{Ex}
 <= \underline{
\mathsf {m}}
\vdash \dot{\neg}\, \underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
 <= \underline{(fy)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
+-\underline{(\epsilon)}
\Rightarrow \dot{\neg}\, \underline{(fz)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
 <= \underline{(fv)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
+-\underline{(\epsilon)}
]$

$\rm
[ThirdGeqSeries
\stackrel{
\mathrm{tex}
}{\rightarrow}
\mbox{``}ThirdGeqSeries
\mbox{''}
]$

$\rm
[ThirdGeqSeries
\stackrel{
\mathrm{pyk}
}{\rightarrow}
\mbox{``}lemma
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}thirdGeqSeries
\mbox{''}
]$

\hypertarget {url:1808490583581903168404721082347638465545342357588912671848929942716323841:292}{}\section* {$\rm LeqNeqLess$}

$\rm
[LeqNeqLess
\stackrel{
proof
}{\rightarrow}
\lambda 
\mathsf {c}
.
\lambda 
\mathsf{x}
.
{\cal P}( 
\lceil ZFsub
\vdash 
\forall \underline{
\mathsf{x}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf{y}}
\colon \underline{
\mathsf{x}}
 <= \underline{
\mathsf{y}}
\vdash \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf{x}}
 = \underline{
\mathsf{y}}
\vdash JoinConjuncts
\rhd \underline{
\mathsf{x}}
 <= \underline{
\mathsf{y}}
\rhd \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf{x}}
 = \underline{
\mathsf{y}}
\gg \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf{x}}
 <= \underline{
\mathsf{y}}
\Rightarrow \dot{\neg}\, \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf{x}}
 = \underline{
\mathsf{y}}
; Repetition
\rhd \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf{x}}
 <= \underline{
\mathsf{y}}
\Rightarrow \dot{\neg}\, \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf{x}}
 = \underline{
\mathsf{y}}
\gg \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf{x}}
 <= \underline{
\mathsf{y}}
\Rightarrow \dot{\neg}\, \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf{x}}
 = \underline{
\mathsf{y}}
\rceil 
, 
p_0
, 
\mathsf {c}
)
]$

$\rm
[LeqNeqLess
\stackrel{
stmt
}{\rightarrow}ZFsub
\vdash 
\forall \underline{
\mathsf{x}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf{y}}
\colon \underline{
\mathsf{x}}
 <= \underline{
\mathsf{y}}
\vdash \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf{x}}
 = \underline{
\mathsf{y}}
\vdash \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf{x}}
 <= \underline{
\mathsf{y}}
\Rightarrow \dot{\neg}\, \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf{x}}
 = \underline{
\mathsf{y}}
]$

$\rm
[LeqNeqLess
\stackrel{
\mathrm{tex}
}{\rightarrow}
\mbox{``}LeqNeqLess
\mbox{''}
]$

$\rm
[LeqNeqLess
\stackrel{
\mathrm{pyk}
}{\rightarrow}
\mbox{``}lemma
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}leqNeqLess
\mbox{''}
]$

\hypertarget {url:1808490583581903168404721082347638465545342357588912671848929942716323841:293}{}\section* {$\rm FromLess$}

$\rm
[FromLess
\stackrel{
proof
}{\rightarrow}
\lambda 
\mathsf {c}
.
\lambda 
\mathsf{x}
.
{\cal P}( 
\lceil ZFsub
\vdash 
\forall \underline{
\mathsf{x}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf{y}}
\colon \underline{
\mathsf{y}}
 <= \underline{
\mathsf{x}}
\vdash toNotLess
\rhd \underline{
\mathsf{y}}
 <= \underline{
\mathsf{x}}
\gg \dot{\neg}\, \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf{x}}
 <= \underline{
\mathsf{y}}
\Rightarrow \dot{\neg}\, \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf{x}}
 = \underline{
\mathsf{y}}
; 
\forall \underline{
\mathsf{x}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf{y}}
\colon Ded
\rhd 
\forall \underline{
\mathsf{x}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf{y}}
\colon \underline{
\mathsf{y}}
 <= \underline{
\mathsf{x}}
\vdash \dot{\neg}\, \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf{x}}
 <= \underline{
\mathsf{y}}
\Rightarrow \dot{\neg}\, \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf{x}}
 = \underline{
\mathsf{y}}
\gg \underline{
\mathsf{y}}
 <= \underline{
\mathsf{x}}
\Rightarrow \dot{\neg}\, \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf{x}}
 <= \underline{
\mathsf{y}}
\Rightarrow \dot{\neg}\, \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf{x}}
 = \underline{
\mathsf{y}}
; \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf{x}}
 <= \underline{
\mathsf{y}}
\Rightarrow \dot{\neg}\, \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf{x}}
 = \underline{
\mathsf{y}}
\vdash AddDoubleNeg
\rhd \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf{x}}
 <= \underline{
\mathsf{y}}
\Rightarrow \dot{\neg}\, \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf{x}}
 = \underline{
\mathsf{y}}
\gg \dot{\neg}\, \dot{\neg}\, \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf{x}}
 <= \underline{
\mathsf{y}}
\Rightarrow \dot{\neg}\, \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf{x}}
 = \underline{
\mathsf{y}}
; MT
\rhd \underline{
\mathsf{y}}
 <= \underline{
\mathsf{x}}
\Rightarrow \dot{\neg}\, \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf{x}}
 <= \underline{
\mathsf{y}}
\Rightarrow \dot{\neg}\, \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf{x}}
 = \underline{
\mathsf{y}}
\rhd \dot{\neg}\, \dot{\neg}\, \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf{x}}
 <= \underline{
\mathsf{y}}
\Rightarrow \dot{\neg}\, \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf{x}}
 = \underline{
\mathsf{y}}
\gg \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf{y}}
 <= \underline{
\mathsf{x}}
\rceil 
, 
p_0
, 
\mathsf {c}
)
]$

$\rm
[FromLess
\stackrel{
stmt
}{\rightarrow}ZFsub
\vdash 
\forall \underline{
\mathsf{x}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf{y}}
\colon \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf{x}}
 <= \underline{
\mathsf{y}}
\Rightarrow \dot{\neg}\, \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf{x}}
 = \underline{
\mathsf{y}}
\vdash \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf{y}}
 <= \underline{
\mathsf{x}}
]$

$\rm
[FromLess
\stackrel{
\mathrm{tex}
}{\rightarrow}
\mbox{``}FromLess
\mbox{''}
]$

$\rm
[FromLess
\stackrel{
\mathrm{pyk}
}{\rightarrow}
\mbox{``}lemma
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}fromLess
\mbox{''}
]$

\hypertarget {url:1808490583581903168404721082347638465545342357588912671848929942716323841:294}{}\section* {$\rm ToLess$}

$\rm
[ToLess
\stackrel{
proof
}{\rightarrow}
\lambda 
\mathsf {c}
.
\lambda 
\mathsf{x}
.
{\cal P}( 
\lceil ZFsub
\vdash 
\forall \underline{
\mathsf{x}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf{y}}
\colon \dot{\neg}\, \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf{y}}
 <= \underline{
\mathsf{x}}
\Rightarrow \dot{\neg}\, \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf{y}}
 = \underline{
\mathsf{x}}
\vdash fromNotLess
\rhd \dot{\neg}\, \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf{y}}
 <= \underline{
\mathsf{x}}
\Rightarrow \dot{\neg}\, \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf{y}}
 = \underline{
\mathsf{x}}
\gg \underline{
\mathsf{x}}
 <= \underline{
\mathsf{y}}
; 
\forall \underline{
\mathsf{x}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf{y}}
\colon Ded
\rhd 
\forall \underline{
\mathsf{x}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf{y}}
\colon \dot{\neg}\, \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf{y}}
 <= \underline{
\mathsf{x}}
\Rightarrow \dot{\neg}\, \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf{y}}
 = \underline{
\mathsf{x}}
\vdash \underline{
\mathsf{x}}
 <= \underline{
\mathsf{y}}
\gg \dot{\neg}\, \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf{y}}
 <= \underline{
\mathsf{x}}
\Rightarrow \dot{\neg}\, \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf{y}}
 = \underline{
\mathsf{x}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf{x}}
 <= \underline{
\mathsf{y}}
; \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf{x}}
 <= \underline{
\mathsf{y}}
\vdash NegativeMT
\rhd \dot{\neg}\, \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf{y}}
 <= \underline{
\mathsf{x}}
\Rightarrow \dot{\neg}\, \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf{y}}
 = \underline{
\mathsf{x}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf{x}}
 <= \underline{
\mathsf{y}}
\rhd \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf{x}}
 <= \underline{
\mathsf{y}}
\gg \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf{y}}
 <= \underline{
\mathsf{x}}
\Rightarrow \dot{\neg}\, \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf{y}}
 = \underline{
\mathsf{x}}
\rceil 
, 
p_0
, 
\mathsf {c}
)
]$

$\rm
[ToLess
\stackrel{
stmt
}{\rightarrow}ZFsub
\vdash 
\forall \underline{
\mathsf{x}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf{y}}
\colon \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf{x}}
 <= \underline{
\mathsf{y}}
\vdash \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf{y}}
 <= \underline{
\mathsf{x}}
\Rightarrow \dot{\neg}\, \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf{y}}
 = \underline{
\mathsf{x}}
]$

$\rm
[ToLess
\stackrel{
\mathrm{tex}
}{\rightarrow}
\mbox{``}ToLess
\mbox{''}
]$

$\rm
[ToLess
\stackrel{
\mathrm{pyk}
}{\rightarrow}
\mbox{``}lemma
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}toLess
\mbox{''}
]$

\hypertarget {url:1808490583581903168404721082347638465545342357588912671848929942716323841:295}{}\section* {$\rm fromNotLess$}

$\rm
[fromNotLess
\stackrel{
proof
}{\rightarrow}
\lambda 
\mathsf {c}
.
\lambda 
\mathsf{x}
.
{\cal P}( 
\lceil ZFsub
\vdash 
\forall \underline{
\mathsf{x}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf{y}}
\colon \dot{\neg}\, \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf{x}}
 <= \underline{
\mathsf{y}}
\Rightarrow \dot{\neg}\, \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf{x}}
 = \underline{
\mathsf{y}}
\vdash \underline{
\mathsf{x}}
 <= \underline{
\mathsf{y}}
\vdash Repetition
\rhd \dot{\neg}\, \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf{x}}
 <= \underline{
\mathsf{y}}
\Rightarrow \dot{\neg}\, \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf{x}}
 = \underline{
\mathsf{y}}
\gg \dot{\neg}\, \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf{x}}
 <= \underline{
\mathsf{y}}
\Rightarrow \dot{\neg}\, \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf{x}}
 = \underline{
\mathsf{y}}
; RemoveDoubleNeg
\rhd \dot{\neg}\, \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf{x}}
 <= \underline{
\mathsf{y}}
\Rightarrow \dot{\neg}\, \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf{x}}
 = \underline{
\mathsf{y}}
\gg \underline{
\mathsf{x}}
 <= \underline{
\mathsf{y}}
\Rightarrow \dot{\neg}\, \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf{x}}
 = \underline{
\mathsf{y}}
; MP
\rhd \underline{
\mathsf{x}}
 <= \underline{
\mathsf{y}}
\Rightarrow \dot{\neg}\, \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf{x}}
 = \underline{
\mathsf{y}}
\rhd \underline{
\mathsf{x}}
 <= \underline{
\mathsf{y}}
\gg \dot{\neg}\, \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf{x}}
 = \underline{
\mathsf{y}}
; RemoveDoubleNeg
\rhd \dot{\neg}\, \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf{x}}
 = \underline{
\mathsf{y}}
\gg \underline{
\mathsf{x}}
 = \underline{
\mathsf{y}}
; eqSymmetry
\rhd \underline{
\mathsf{x}}
 = \underline{
\mathsf{y}}
\gg \underline{
\mathsf{y}}
 = \underline{
\mathsf{x}}
; eqLeq
\rhd \underline{
\mathsf{y}}
 = \underline{
\mathsf{x}}
\gg \underline{
\mathsf{y}}
 <= \underline{
\mathsf{x}}
; 
\forall \underline{
\mathsf{x}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf{y}}
\colon Ded
\rhd 
\forall \underline{
\mathsf{x}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf{y}}
\colon \dot{\neg}\, \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf{x}}
 <= \underline{
\mathsf{y}}
\Rightarrow \dot{\neg}\, \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf{x}}
 = \underline{
\mathsf{y}}
\vdash \underline{
\mathsf{x}}
 <= \underline{
\mathsf{y}}
\vdash \underline{
\mathsf{y}}
 <= \underline{
\mathsf{x}}
\gg \dot{\neg}\, \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf{x}}
 <= \underline{
\mathsf{y}}
\Rightarrow \dot{\neg}\, \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf{x}}
 = \underline{
\mathsf{y}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf{x}}
 <= \underline{
\mathsf{y}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf{y}}
 <= \underline{
\mathsf{x}}
; \dot{\neg}\, \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf{x}}
 <= \underline{
\mathsf{y}}
\Rightarrow \dot{\neg}\, \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf{x}}
 = \underline{
\mathsf{y}}
\vdash MP
\rhd \dot{\neg}\, \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf{x}}
 <= \underline{
\mathsf{y}}
\Rightarrow \dot{\neg}\, \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf{x}}
 = \underline{
\mathsf{y}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf{x}}
 <= \underline{
\mathsf{y}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf{y}}
 <= \underline{
\mathsf{x}}
\rhd \dot{\neg}\, \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf{x}}
 <= \underline{
\mathsf{y}}
\Rightarrow \dot{\neg}\, \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf{x}}
 = \underline{
\mathsf{y}}
\gg \underline{
\mathsf{x}}
 <= \underline{
\mathsf{y}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf{y}}
 <= \underline{
\mathsf{x}}
; AutoImply
\gg \underline{
\mathsf{y}}
 <= \underline{
\mathsf{x}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf{y}}
 <= \underline{
\mathsf{x}}
; leqTotality
\gg \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf{x}}
 <= \underline{
\mathsf{y}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf{y}}
 <= \underline{
\mathsf{x}}
; FromDisjuncts
\rhd \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf{x}}
 <= \underline{
\mathsf{y}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf{y}}
 <= \underline{
\mathsf{x}}
\rhd \underline{
\mathsf{x}}
 <= \underline{
\mathsf{y}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf{y}}
 <= \underline{
\mathsf{x}}
\rhd \underline{
\mathsf{y}}
 <= \underline{
\mathsf{x}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf{y}}
 <= \underline{
\mathsf{x}}
\gg \underline{
\mathsf{y}}
 <= \underline{
\mathsf{x}}
\rceil 
, 
p_0
, 
\mathsf {c}
)
]$

$\rm
[fromNotLess
\stackrel{
stmt
}{\rightarrow}ZFsub
\vdash 
\forall \underline{
\mathsf{x}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf{y}}
\colon \dot{\neg}\, \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf{x}}
 <= \underline{
\mathsf{y}}
\Rightarrow \dot{\neg}\, \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf{x}}
 = \underline{
\mathsf{y}}
\vdash \underline{
\mathsf{y}}
 <= \underline{
\mathsf{x}}
]$

$\rm
[fromNotLess
\stackrel{
\mathrm{tex}
}{\rightarrow}
\mbox{``}fromNotLess
\mbox{''}
]$

$\rm
[fromNotLess
\stackrel{
\mathrm{pyk}
}{\rightarrow}
\mbox{``}lemma
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}fromNotLess
\mbox{''}
]$

\hypertarget {url:1808490583581903168404721082347638465545342357588912671848929942716323841:296}{}\section* {$\rm toNotLess$}

$\rm
[toNotLess
\stackrel{
proof
}{\rightarrow}
\lambda 
\mathsf {c}
.
\lambda 
\mathsf{x}
.
{\cal P}( 
\lceil ZFsub
\vdash 
\forall \underline{
\mathsf{x}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf{y}}
\colon \underline{
\mathsf{x}}
 <= \underline{
\mathsf{y}}
\vdash \underline{
\mathsf{y}}
 <= \underline{
\mathsf{x}}
\vdash leqAntisymmetry
\rhd \underline{
\mathsf{y}}
 <= \underline{
\mathsf{x}}
\rhd \underline{
\mathsf{x}}
 <= \underline{
\mathsf{y}}
\gg \underline{
\mathsf{y}}
 = \underline{
\mathsf{x}}
; AddDoubleNeg
\rhd \underline{
\mathsf{y}}
 = \underline{
\mathsf{x}}
\gg \dot{\neg}\, \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf{y}}
 = \underline{
\mathsf{x}}
; 
\forall \underline{
\mathsf{x}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf{y}}
\colon Ded
\rhd 
\forall \underline{
\mathsf{x}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf{y}}
\colon \underline{
\mathsf{x}}
 <= \underline{
\mathsf{y}}
\vdash \underline{
\mathsf{y}}
 <= \underline{
\mathsf{x}}
\vdash \dot{\neg}\, \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf{y}}
 = \underline{
\mathsf{x}}
\gg \underline{
\mathsf{x}}
 <= \underline{
\mathsf{y}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf{y}}
 <= \underline{
\mathsf{x}}
\Rightarrow \dot{\neg}\, \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf{y}}
 = \underline{
\mathsf{x}}
; \underline{
\mathsf{x}}
 <= \underline{
\mathsf{y}}
\vdash MP
\rhd \underline{
\mathsf{x}}
 <= \underline{
\mathsf{y}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf{y}}
 <= \underline{
\mathsf{x}}
\Rightarrow \dot{\neg}\, \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf{y}}
 = \underline{
\mathsf{x}}
\rhd \underline{
\mathsf{x}}
 <= \underline{
\mathsf{y}}
\gg \underline{
\mathsf{y}}
 <= \underline{
\mathsf{x}}
\Rightarrow \dot{\neg}\, \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf{y}}
 = \underline{
\mathsf{x}}
; AddDoubleNeg
\rhd \underline{
\mathsf{y}}
 <= \underline{
\mathsf{x}}
\Rightarrow \dot{\neg}\, \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf{y}}
 = \underline{
\mathsf{x}}
\gg \dot{\neg}\, \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf{y}}
 <= \underline{
\mathsf{x}}
\Rightarrow \dot{\neg}\, \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf{y}}
 = \underline{
\mathsf{x}}
; Repetition
\rhd \dot{\neg}\, \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf{y}}
 <= \underline{
\mathsf{x}}
\Rightarrow \dot{\neg}\, \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf{y}}
 = \underline{
\mathsf{x}}
\gg \dot{\neg}\, \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf{y}}
 <= \underline{
\mathsf{x}}
\Rightarrow \dot{\neg}\, \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf{y}}
 = \underline{
\mathsf{x}}
; Repetition
\rhd \dot{\neg}\, \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf{y}}
 <= \underline{
\mathsf{x}}
\Rightarrow \dot{\neg}\, \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf{y}}
 = \underline{
\mathsf{x}}
\gg \dot{\neg}\, \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf{y}}
 <= \underline{
\mathsf{x}}
\Rightarrow \dot{\neg}\, \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf{y}}
 = \underline{
\mathsf{x}}
\rceil 
, 
p_0
, 
\mathsf {c}
)
]$

$\rm
[toNotLess
\stackrel{
stmt
}{\rightarrow}ZFsub
\vdash 
\forall \underline{
\mathsf{x}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf{y}}
\colon \underline{
\mathsf{x}}
 <= \underline{
\mathsf{y}}
\vdash \dot{\neg}\, \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf{y}}
 <= \underline{
\mathsf{x}}
\Rightarrow \dot{\neg}\, \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf{y}}
 = \underline{
\mathsf{x}}
]$

$\rm
[toNotLess
\stackrel{
\mathrm{tex}
}{\rightarrow}
\mbox{``}toNotLess
\mbox{''}
]$

$\rm
[toNotLess
\stackrel{
\mathrm{pyk}
}{\rightarrow}
\mbox{``}lemma
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}toNotLess
\mbox{''}
]$

\hypertarget {url:1808490583581903168404721082347638465545342357588912671848929942716323841:297}{}\section* {$\rm NegativeLessPositive$}

$\rm
[NegativeLessPositive
\stackrel{
proof
}{\rightarrow}
\lambda 
\mathsf {c}
.
\lambda 
\mathsf{x}
.
{\cal P}( 
\lceil ZFsub
\vdash 
\forall \underline{
\mathsf{x}}
\colon \dot{\neg}\, 0
 <= \underline{
\mathsf{x}}
\Rightarrow \dot{\neg}\, \dot{\neg}\, 0
 = \underline{
\mathsf{x}}
\vdash FirstConjunct
\rhd \dot{\neg}\, 0
 <= \underline{
\mathsf{x}}
\Rightarrow \dot{\neg}\, \dot{\neg}\, 0
 = \underline{
\mathsf{x}}
\gg 0
 <= \underline{
\mathsf{x}}
; leqAddition
\rhd 0
 <= \underline{
\mathsf{x}}
\gg 0
+-\underline{
\mathsf{x}}
 <= \underline{
\mathsf{x}}
+-\underline{
\mathsf{x}}
; plus0Left
\gg 0
+-\underline{
\mathsf{x}}
 = -\underline{
\mathsf{x}}
; Negative
\gg \underline{
\mathsf{x}}
+-\underline{
\mathsf{x}}
 = 0
; subLeqLeft
\rhd 0
+-\underline{
\mathsf{x}}
 = -\underline{
\mathsf{x}}
\rhd 0
+-\underline{
\mathsf{x}}
 <= \underline{
\mathsf{x}}
+-\underline{
\mathsf{x}}
\gg -\underline{
\mathsf{x}}
 <= \underline{
\mathsf{x}}
+-\underline{
\mathsf{x}}
; subLeqRight
\rhd \underline{
\mathsf{x}}
+-\underline{
\mathsf{x}}
 = 0
\rhd -\underline{
\mathsf{x}}
 <= \underline{
\mathsf{x}}
+-\underline{
\mathsf{x}}
\gg -\underline{
\mathsf{x}}
 <= 0
; leqLessTransitivity
\rhd -\underline{
\mathsf{x}}
 <= 0
\rhd \dot{\neg}\, 0
 <= \underline{
\mathsf{x}}
\Rightarrow \dot{\neg}\, \dot{\neg}\, 0
 = \underline{
\mathsf{x}}
\gg \dot{\neg}\, -\underline{
\mathsf{x}}
 <= \underline{
\mathsf{x}}
\Rightarrow \dot{\neg}\, \dot{\neg}\, -\underline{
\mathsf{x}}
 = \underline{
\mathsf{x}}
\rceil 
, 
p_0
, 
\mathsf {c}
)
]$

$\rm
[NegativeLessPositive
\stackrel{
stmt
}{\rightarrow}ZFsub
\vdash 
\forall \underline{
\mathsf{x}}
\colon \dot{\neg}\, 0
 <= \underline{
\mathsf{x}}
\Rightarrow \dot{\neg}\, \dot{\neg}\, 0
 = \underline{
\mathsf{x}}
\vdash \dot{\neg}\, -\underline{
\mathsf{x}}
 <= \underline{
\mathsf{x}}
\Rightarrow \dot{\neg}\, \dot{\neg}\, -\underline{
\mathsf{x}}
 = \underline{
\mathsf{x}}
]$

$\rm
[NegativeLessPositive
\stackrel{
\mathrm{tex}
}{\rightarrow}
\mbox{``}NegativeLessPositive
\mbox{''}
]$

$\rm
[NegativeLessPositive
\stackrel{
\mathrm{pyk}
}{\rightarrow}
\mbox{``}lemma
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}negativeLessPositive
\mbox{''}
]$

\hypertarget {url:1808490583581903168404721082347638465545342357588912671848929942716323841:298}{}\section* {$\rm leqLessTransitivity$}

$\rm
[leqLessTransitivity
\stackrel{
proof
}{\rightarrow}
\lambda 
\mathsf {c}
.
\lambda 
\mathsf{x}
.
{\cal P}( 
\lceil ZFsub
\vdash 
\forall \underline{
\mathsf{x}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf{y}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf{z}}
\colon \underline{
\mathsf{x}}
 <= \underline{
\mathsf{y}}
\vdash \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf{y}}
 <= \underline{
\mathsf{z}}
\Rightarrow \dot{\neg}\, \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf{y}}
 = \underline{
\mathsf{z}}
\vdash \underline{
\mathsf{x}}
 = \underline{
\mathsf{z}}
\vdash FirstConjunct
\rhd \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf{y}}
 <= \underline{
\mathsf{z}}
\Rightarrow \dot{\neg}\, \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf{y}}
 = \underline{
\mathsf{z}}
\gg \underline{
\mathsf{y}}
 <= \underline{
\mathsf{z}}
; SecondConjunct
\rhd \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf{y}}
 <= \underline{
\mathsf{z}}
\Rightarrow \dot{\neg}\, \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf{y}}
 = \underline{
\mathsf{z}}
\gg \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf{y}}
 = \underline{
\mathsf{z}}
; subLeqLeft
\rhd \underline{
\mathsf{x}}
 = \underline{
\mathsf{z}}
\rhd \underline{
\mathsf{x}}
 <= \underline{
\mathsf{y}}
\gg \underline{
\mathsf{z}}
 <= \underline{
\mathsf{y}}
; leqAntisymmetry
\rhd \underline{
\mathsf{y}}
 <= \underline{
\mathsf{z}}
\rhd \underline{
\mathsf{z}}
 <= \underline{
\mathsf{y}}
\gg \underline{
\mathsf{y}}
 = \underline{
\mathsf{z}}
; FromContradiction
\rhd \underline{
\mathsf{y}}
 = \underline{
\mathsf{z}}
\rhd \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf{y}}
 = \underline{
\mathsf{z}}
\gg \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf{x}}
 = \underline{
\mathsf{z}}
; 
\forall \underline{
\mathsf{x}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf{y}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf{z}}
\colon Ded
\rhd 
\forall \underline{
\mathsf{x}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf{y}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf{z}}
\colon \underline{
\mathsf{x}}
 <= \underline{
\mathsf{y}}
\vdash \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf{y}}
 <= \underline{
\mathsf{z}}
\Rightarrow \dot{\neg}\, \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf{y}}
 = \underline{
\mathsf{z}}
\vdash \underline{
\mathsf{x}}
 = \underline{
\mathsf{z}}
\vdash \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf{x}}
 = \underline{
\mathsf{z}}
\gg \underline{
\mathsf{x}}
 <= \underline{
\mathsf{y}}
\Rightarrow \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf{y}}
 <= \underline{
\mathsf{z}}
\Rightarrow \dot{\neg}\, \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf{y}}
 = \underline{
\mathsf{z}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf{x}}
 = \underline{
\mathsf{z}}
\Rightarrow \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf{x}}
 = \underline{
\mathsf{z}}
; \underline{
\mathsf{x}}
 <= \underline{
\mathsf{y}}
\vdash \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf{y}}
 <= \underline{
\mathsf{z}}
\Rightarrow \dot{\neg}\, \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf{y}}
 = \underline{
\mathsf{z}}
\vdash MP2
\rhd \underline{
\mathsf{x}}
 <= \underline{
\mathsf{y}}
\Rightarrow \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf{y}}
 <= \underline{
\mathsf{z}}
\Rightarrow \dot{\neg}\, \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf{y}}
 = \underline{
\mathsf{z}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf{x}}
 = \underline{
\mathsf{z}}
\Rightarrow \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf{x}}
 = \underline{
\mathsf{z}}
\rhd \underline{
\mathsf{x}}
 <= \underline{
\mathsf{y}}
\rhd \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf{y}}
 <= \underline{
\mathsf{z}}
\Rightarrow \dot{\neg}\, \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf{y}}
 = \underline{
\mathsf{z}}
\gg \underline{
\mathsf{x}}
 = \underline{
\mathsf{z}}
\Rightarrow \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf{x}}
 = \underline{
\mathsf{z}}
; ImplyNegation
\rhd \underline{
\mathsf{x}}
 = \underline{
\mathsf{z}}
\Rightarrow \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf{x}}
 = \underline{
\mathsf{z}}
\gg \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf{x}}
 = \underline{
\mathsf{z}}
; FirstConjunct
\rhd \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf{y}}
 <= \underline{
\mathsf{z}}
\Rightarrow \dot{\neg}\, \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf{y}}
 = \underline{
\mathsf{z}}
\gg \underline{
\mathsf{y}}
 <= \underline{
\mathsf{z}}
; leqTransitivity
\rhd \underline{
\mathsf{x}}
 <= \underline{
\mathsf{y}}
\rhd \underline{
\mathsf{y}}
 <= \underline{
\mathsf{z}}
\gg \underline{
\mathsf{x}}
 <= \underline{
\mathsf{z}}
; JoinConjuncts
\rhd \underline{
\mathsf{x}}
 <= \underline{
\mathsf{z}}
\rhd \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf{x}}
 = \underline{
\mathsf{z}}
\gg \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf{x}}
 <= \underline{
\mathsf{z}}
\Rightarrow \dot{\neg}\, \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf{x}}
 = \underline{
\mathsf{z}}
\rceil 
, 
p_0
, 
\mathsf {c}
)
]$

$\rm
[leqLessTransitivity
\stackrel{
stmt
}{\rightarrow}ZFsub
\vdash 
\forall \underline{
\mathsf{x}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf{y}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf{z}}
\colon \underline{
\mathsf{x}}
 <= \underline{
\mathsf{y}}
\vdash \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf{y}}
 <= \underline{
\mathsf{z}}
\Rightarrow \dot{\neg}\, \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf{y}}
 = \underline{
\mathsf{z}}
\vdash \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf{x}}
 <= \underline{
\mathsf{z}}
\Rightarrow \dot{\neg}\, \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf{x}}
 = \underline{
\mathsf{z}}
]$

$\rm
[leqLessTransitivity
\stackrel{
\mathrm{tex}
}{\rightarrow}
\mbox{``}leqLessTransitivity
\mbox{''}
]$

$\rm
[leqLessTransitivity
\stackrel{
\mathrm{pyk}
}{\rightarrow}
\mbox{``}lemma
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}leqLessTransitivity
\mbox{''}
]$

\hypertarget {url:1808490583581903168404721082347638465545342357588912671848929942716323841:299}{}\section* {$\rm LessLeqTransitivity$}

$\rm
[LessLeqTransitivity
\stackrel{
proof
}{\rightarrow}
\lambda 
\mathsf {c}
.
\lambda 
\mathsf{x}
.
{\cal P}( 
\lceil ZFsub
\vdash 
\forall \underline{
\mathsf{x}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf{y}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf{z}}
\colon \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf{x}}
 <= \underline{
\mathsf{y}}
\Rightarrow \dot{\neg}\, \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf{x}}
 = \underline{
\mathsf{y}}
\vdash \underline{
\mathsf{y}}
 <= \underline{
\mathsf{z}}
\vdash \underline{
\mathsf{z}}
 = \underline{
\mathsf{x}}
\vdash FirstConjunct
\rhd \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf{x}}
 <= \underline{
\mathsf{y}}
\Rightarrow \dot{\neg}\, \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf{x}}
 = \underline{
\mathsf{y}}
\gg \underline{
\mathsf{x}}
 <= \underline{
\mathsf{y}}
; SecondConjunct
\rhd \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf{x}}
 <= \underline{
\mathsf{y}}
\Rightarrow \dot{\neg}\, \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf{x}}
 = \underline{
\mathsf{y}}
\gg \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf{x}}
 = \underline{
\mathsf{y}}
; subLeqRight
\rhd \underline{
\mathsf{z}}
 = \underline{
\mathsf{x}}
\rhd \underline{
\mathsf{y}}
 <= \underline{
\mathsf{z}}
\gg \underline{
\mathsf{y}}
 <= \underline{
\mathsf{x}}
; leqAntisymmetry
\rhd \underline{
\mathsf{x}}
 <= \underline{
\mathsf{y}}
\rhd \underline{
\mathsf{y}}
 <= \underline{
\mathsf{x}}
\gg \underline{
\mathsf{x}}
 = \underline{
\mathsf{y}}
; FromContradiction
\rhd \underline{
\mathsf{x}}
 = \underline{
\mathsf{y}}
\rhd \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf{x}}
 = \underline{
\mathsf{y}}
\gg \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf{z}}
 = \underline{
\mathsf{x}}
; 
\forall \underline{
\mathsf{x}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf{y}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf{z}}
\colon Ded
\rhd 
\forall \underline{
\mathsf{x}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf{y}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf{z}}
\colon \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf{x}}
 <= \underline{
\mathsf{y}}
\Rightarrow \dot{\neg}\, \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf{x}}
 = \underline{
\mathsf{y}}
\vdash \underline{
\mathsf{y}}
 <= \underline{
\mathsf{z}}
\vdash \underline{
\mathsf{z}}
 = \underline{
\mathsf{x}}
\vdash \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf{z}}
 = \underline{
\mathsf{x}}
\gg \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf{x}}
 <= \underline{
\mathsf{y}}
\Rightarrow \dot{\neg}\, \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf{x}}
 = \underline{
\mathsf{y}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf{y}}
 <= \underline{
\mathsf{z}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf{z}}
 = \underline{
\mathsf{x}}
\Rightarrow \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf{z}}
 = \underline{
\mathsf{x}}
; \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf{x}}
 <= \underline{
\mathsf{y}}
\Rightarrow \dot{\neg}\, \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf{x}}
 = \underline{
\mathsf{y}}
\vdash \underline{
\mathsf{y}}
 <= \underline{
\mathsf{z}}
\vdash MP2
\rhd \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf{x}}
 <= \underline{
\mathsf{y}}
\Rightarrow \dot{\neg}\, \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf{x}}
 = \underline{
\mathsf{y}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf{y}}
 <= \underline{
\mathsf{z}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf{z}}
 = \underline{
\mathsf{x}}
\Rightarrow \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf{z}}
 = \underline{
\mathsf{x}}
\rhd \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf{x}}
 <= \underline{
\mathsf{y}}
\Rightarrow \dot{\neg}\, \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf{x}}
 = \underline{
\mathsf{y}}
\rhd \underline{
\mathsf{y}}
 <= \underline{
\mathsf{z}}
\gg \underline{
\mathsf{z}}
 = \underline{
\mathsf{x}}
\Rightarrow \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf{z}}
 = \underline{
\mathsf{x}}
; ImplyNegation
\rhd \underline{
\mathsf{z}}
 = \underline{
\mathsf{x}}
\Rightarrow \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf{z}}
 = \underline{
\mathsf{x}}
\gg \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf{z}}
 = \underline{
\mathsf{x}}
; NeqSymmetry
\rhd \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf{z}}
 = \underline{
\mathsf{x}}
\gg \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf{x}}
 = \underline{
\mathsf{z}}
; FirstConjunct
\rhd \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf{x}}
 <= \underline{
\mathsf{y}}
\Rightarrow \dot{\neg}\, \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf{x}}
 = \underline{
\mathsf{y}}
\gg \underline{
\mathsf{x}}
 <= \underline{
\mathsf{y}}
; leqTransitivity
\rhd \underline{
\mathsf{x}}
 <= \underline{
\mathsf{y}}
\rhd \underline{
\mathsf{y}}
 <= \underline{
\mathsf{z}}
\gg \underline{
\mathsf{x}}
 <= \underline{
\mathsf{z}}
; JoinConjuncts
\rhd \underline{
\mathsf{x}}
 <= \underline{
\mathsf{z}}
\rhd \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf{x}}
 = \underline{
\mathsf{z}}
\gg \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf{x}}
 <= \underline{
\mathsf{z}}
\Rightarrow \dot{\neg}\, \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf{x}}
 = \underline{
\mathsf{z}}
\rceil 
, 
p_0
, 
\mathsf {c}
)
]$

$\rm
[LessLeqTransitivity
\stackrel{
stmt
}{\rightarrow}ZFsub
\vdash 
\forall \underline{
\mathsf{x}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf{y}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf{z}}
\colon \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf{x}}
 <= \underline{
\mathsf{y}}
\Rightarrow \dot{\neg}\, \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf{x}}
 = \underline{
\mathsf{y}}
\vdash \underline{
\mathsf{y}}
 <= \underline{
\mathsf{z}}
\vdash \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf{x}}
 <= \underline{
\mathsf{z}}
\Rightarrow \dot{\neg}\, \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf{x}}
 = \underline{
\mathsf{z}}
]$

$\rm
[LessLeqTransitivity
\stackrel{
\mathrm{tex}
}{\rightarrow}
\mbox{``}LessLeqTransitivity
\mbox{''}
]$

$\rm
[LessLeqTransitivity
\stackrel{
\mathrm{pyk}
}{\rightarrow}
\mbox{``}lemma
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}lessLeqTransitivity
\mbox{''}
]$

\hypertarget {url:1808490583581903168404721082347638465545342357588912671848929942716323841:300}{}\section* {$\rm LessTransitivity$}

$\rm
[LessTransitivity
\stackrel{
proof
}{\rightarrow}
\lambda 
\mathsf {c}
.
\lambda 
\mathsf{x}
.
{\cal P}( 
\lceil ZFsub
\vdash 
\forall \underline{
\mathsf{x}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf{y}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf{z}}
\colon \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf{x}}
 <= \underline{
\mathsf{y}}
\Rightarrow \dot{\neg}\, \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf{x}}
 = \underline{
\mathsf{y}}
\vdash \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf{y}}
 <= \underline{
\mathsf{z}}
\Rightarrow \dot{\neg}\, \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf{y}}
 = \underline{
\mathsf{z}}
\vdash FirstConjunct
\rhd \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf{y}}
 <= \underline{
\mathsf{z}}
\Rightarrow \dot{\neg}\, \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf{y}}
 = \underline{
\mathsf{z}}
\gg \underline{
\mathsf{y}}
 <= \underline{
\mathsf{z}}
; LessLeqTransitivity
\rhd \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf{x}}
 <= \underline{
\mathsf{y}}
\Rightarrow \dot{\neg}\, \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf{x}}
 = \underline{
\mathsf{y}}
\rhd \underline{
\mathsf{y}}
 <= \underline{
\mathsf{z}}
\gg \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf{x}}
 <= \underline{
\mathsf{z}}
\Rightarrow \dot{\neg}\, \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf{x}}
 = \underline{
\mathsf{z}}
\rceil 
, 
p_0
, 
\mathsf {c}
)
]$

$\rm
[LessTransitivity
\stackrel{
stmt
}{\rightarrow}ZFsub
\vdash 
\forall \underline{
\mathsf{x}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf{y}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf{z}}
\colon \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf{x}}
 <= \underline{
\mathsf{y}}
\Rightarrow \dot{\neg}\, \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf{x}}
 = \underline{
\mathsf{y}}
\vdash \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf{y}}
 <= \underline{
\mathsf{z}}
\Rightarrow \dot{\neg}\, \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf{y}}
 = \underline{
\mathsf{z}}
\vdash \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf{x}}
 <= \underline{
\mathsf{z}}
\Rightarrow \dot{\neg}\, \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf{x}}
 = \underline{
\mathsf{z}}
]$

$\rm
[LessTransitivity
\stackrel{
\mathrm{tex}
}{\rightarrow}
\mbox{``}LessTransitivity
\mbox{''}
]$

$\rm
[LessTransitivity
\stackrel{
\mathrm{pyk}
}{\rightarrow}
\mbox{``}lemma
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}lessTransitivity
\mbox{''}
]$

\hypertarget {url:1808490583581903168404721082347638465545342357588912671848929942716323841:301}{}\section* {$\rm LessTotality$}

$\rm
[LessTotality
\stackrel{
proof
}{\rightarrow}
\lambda 
\mathsf {c}
.
\lambda 
\mathsf{x}
.
{\cal P}( 
\lceil ZFsub
\vdash 
\forall \underline{
\mathsf{x}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf{y}}
\colon \dot{\neg}\, \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf{x}}
 <= \underline{
\mathsf{y}}
\Rightarrow \dot{\neg}\, \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf{x}}
 = \underline{
\mathsf{y}}
\vdash \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf{x}}
 = \underline{
\mathsf{y}}
\vdash fromNotLess
\rhd \dot{\neg}\, \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf{x}}
 <= \underline{
\mathsf{y}}
\Rightarrow \dot{\neg}\, \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf{x}}
 = \underline{
\mathsf{y}}
\gg \underline{
\mathsf{y}}
 <= \underline{
\mathsf{x}}
; NeqSymmetry
\rhd \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf{x}}
 = \underline{
\mathsf{y}}
\gg \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf{y}}
 = \underline{
\mathsf{x}}
; LeqNeqLess
\rhd \underline{
\mathsf{y}}
 <= \underline{
\mathsf{x}}
\rhd \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf{y}}
 = \underline{
\mathsf{x}}
\gg \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf{y}}
 <= \underline{
\mathsf{x}}
\Rightarrow \dot{\neg}\, \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf{y}}
 = \underline{
\mathsf{x}}
; 
\forall \underline{
\mathsf{x}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf{y}}
\colon Ded
\rhd 
\forall \underline{
\mathsf{x}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf{y}}
\colon \dot{\neg}\, \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf{x}}
 <= \underline{
\mathsf{y}}
\Rightarrow \dot{\neg}\, \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf{x}}
 = \underline{
\mathsf{y}}
\vdash \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf{x}}
 = \underline{
\mathsf{y}}
\vdash \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf{y}}
 <= \underline{
\mathsf{x}}
\Rightarrow \dot{\neg}\, \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf{y}}
 = \underline{
\mathsf{x}}
\gg \dot{\neg}\, \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf{x}}
 <= \underline{
\mathsf{y}}
\Rightarrow \dot{\neg}\, \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf{x}}
 = \underline{
\mathsf{y}}
\Rightarrow \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf{x}}
 = \underline{
\mathsf{y}}
\Rightarrow \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf{y}}
 <= \underline{
\mathsf{x}}
\Rightarrow \dot{\neg}\, \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf{y}}
 = \underline{
\mathsf{x}}
; Repetition
\rhd \dot{\neg}\, \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf{x}}
 <= \underline{
\mathsf{y}}
\Rightarrow \dot{\neg}\, \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf{x}}
 = \underline{
\mathsf{y}}
\Rightarrow \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf{x}}
 = \underline{
\mathsf{y}}
\Rightarrow \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf{y}}
 <= \underline{
\mathsf{x}}
\Rightarrow \dot{\neg}\, \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf{y}}
 = \underline{
\mathsf{x}}
\gg \dot{\neg}\, \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf{x}}
 <= \underline{
\mathsf{y}}
\Rightarrow \dot{\neg}\, \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf{x}}
 = \underline{
\mathsf{y}}
\Rightarrow \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf{x}}
 = \underline{
\mathsf{y}}
\Rightarrow \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf{y}}
 <= \underline{
\mathsf{x}}
\Rightarrow \dot{\neg}\, \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf{y}}
 = \underline{
\mathsf{x}}
\rceil 
, 
p_0
, 
\mathsf {c}
)
]$

$\rm
[LessTotality
\stackrel{
stmt
}{\rightarrow}ZFsub
\vdash 
\forall \underline{
\mathsf{x}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf{y}}
\colon \dot{\neg}\, \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf{x}}
 <= \underline{
\mathsf{y}}
\Rightarrow \dot{\neg}\, \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf{x}}
 = \underline{
\mathsf{y}}
\Rightarrow \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf{x}}
 = \underline{
\mathsf{y}}
\Rightarrow \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf{y}}
 <= \underline{
\mathsf{x}}
\Rightarrow \dot{\neg}\, \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf{y}}
 = \underline{
\mathsf{x}}
]$

$\rm
[LessTotality
\stackrel{
\mathrm{tex}
}{\rightarrow}
\mbox{``}LessTotality
\mbox{''}
]$

$\rm
[LessTotality
\stackrel{
\mathrm{pyk}
}{\rightarrow}
\mbox{``}lemma
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}lessTotality
\mbox{''}
]$

\hypertarget {url:1808490583581903168404721082347638465545342357588912671848929942716323841:302}{}\section* {$\rm SubLessRight$}

$\rm
[SubLessRight
\stackrel{
proof
}{\rightarrow}
\lambda 
\mathsf {c}
.
\lambda 
\mathsf{x}
.
{\cal P}( 
\lceil ZFsub
\vdash 
\forall \underline{
\mathsf{x}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf{y}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf{z}}
\colon \underline{
\mathsf{x}}
 = \underline{
\mathsf{y}}
\vdash \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf{z}}
 <= \underline{
\mathsf{x}}
\Rightarrow \dot{\neg}\, \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf{z}}
 = \underline{
\mathsf{x}}
\vdash Repetition
\rhd \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf{z}}
 <= \underline{
\mathsf{x}}
\Rightarrow \dot{\neg}\, \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf{z}}
 = \underline{
\mathsf{x}}
\gg \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf{z}}
 <= \underline{
\mathsf{x}}
\Rightarrow \dot{\neg}\, \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf{z}}
 = \underline{
\mathsf{x}}
; FirstConjunct
\rhd \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf{z}}
 <= \underline{
\mathsf{x}}
\Rightarrow \dot{\neg}\, \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf{z}}
 = \underline{
\mathsf{x}}
\gg \underline{
\mathsf{z}}
 <= \underline{
\mathsf{x}}
; subLeqRight
\rhd \underline{
\mathsf{x}}
 = \underline{
\mathsf{y}}
\rhd \underline{
\mathsf{z}}
 <= \underline{
\mathsf{x}}
\gg \underline{
\mathsf{z}}
 <= \underline{
\mathsf{y}}
; SecondConjunct
\rhd \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf{z}}
 <= \underline{
\mathsf{x}}
\Rightarrow \dot{\neg}\, \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf{z}}
 = \underline{
\mathsf{x}}
\gg \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf{z}}
 = \underline{
\mathsf{x}}
; SubNeqRight
\rhd \underline{
\mathsf{x}}
 = \underline{
\mathsf{y}}
\rhd \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf{z}}
 = \underline{
\mathsf{x}}
\gg \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf{z}}
 = \underline{
\mathsf{y}}
; JoinConjuncts
\rhd \underline{
\mathsf{z}}
 <= \underline{
\mathsf{y}}
\rhd \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf{z}}
 = \underline{
\mathsf{y}}
\gg \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf{z}}
 <= \underline{
\mathsf{y}}
\Rightarrow \dot{\neg}\, \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf{z}}
 = \underline{
\mathsf{y}}
\rceil 
, 
p_0
, 
\mathsf {c}
)
]$

$\rm
[SubLessRight
\stackrel{
stmt
}{\rightarrow}ZFsub
\vdash 
\forall \underline{
\mathsf{x}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf{y}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf{z}}
\colon \underline{
\mathsf{x}}
 = \underline{
\mathsf{y}}
\vdash \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf{z}}
 <= \underline{
\mathsf{x}}
\Rightarrow \dot{\neg}\, \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf{z}}
 = \underline{
\mathsf{x}}
\vdash \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf{z}}
 <= \underline{
\mathsf{y}}
\Rightarrow \dot{\neg}\, \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf{z}}
 = \underline{
\mathsf{y}}
]$

$\rm
[SubLessRight
\stackrel{
\mathrm{tex}
}{\rightarrow}
\mbox{``}SubLessRight
\mbox{''}
]$

$\rm
[SubLessRight
\stackrel{
\mathrm{pyk}
}{\rightarrow}
\mbox{``}lemma
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}subLessRight
\mbox{''}
]$

\hypertarget {url:1808490583581903168404721082347638465545342357588912671848929942716323841:303}{}\section* {$\rm SubLessLeft$}

$\rm
[SubLessLeft
\stackrel{
proof
}{\rightarrow}
\lambda 
\mathsf {c}
.
\lambda 
\mathsf{x}
.
{\cal P}( 
\lceil ZFsub
\vdash 
\forall \underline{
\mathsf{x}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf{y}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf{z}}
\colon \underline{
\mathsf{x}}
 = \underline{
\mathsf{y}}
\vdash \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf{x}}
 <= \underline{
\mathsf{z}}
\Rightarrow \dot{\neg}\, \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf{x}}
 = \underline{
\mathsf{z}}
\vdash Repetition
\rhd \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf{x}}
 <= \underline{
\mathsf{z}}
\Rightarrow \dot{\neg}\, \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf{x}}
 = \underline{
\mathsf{z}}
\gg \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf{x}}
 <= \underline{
\mathsf{z}}
\Rightarrow \dot{\neg}\, \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf{x}}
 = \underline{
\mathsf{z}}
; FirstConjunct
\rhd \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf{x}}
 <= \underline{
\mathsf{z}}
\Rightarrow \dot{\neg}\, \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf{x}}
 = \underline{
\mathsf{z}}
\gg \underline{
\mathsf{x}}
 <= \underline{
\mathsf{z}}
; subLeqLeft
\rhd \underline{
\mathsf{x}}
 = \underline{
\mathsf{y}}
\rhd \underline{
\mathsf{x}}
 <= \underline{
\mathsf{z}}
\gg \underline{
\mathsf{y}}
 <= \underline{
\mathsf{z}}
; SecondConjunct
\rhd \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf{x}}
 <= \underline{
\mathsf{z}}
\Rightarrow \dot{\neg}\, \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf{x}}
 = \underline{
\mathsf{z}}
\gg \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf{x}}
 = \underline{
\mathsf{z}}
; SubNeqLeft
\rhd \underline{
\mathsf{x}}
 = \underline{
\mathsf{y}}
\rhd \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf{x}}
 = \underline{
\mathsf{z}}
\gg \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf{y}}
 = \underline{
\mathsf{z}}
; JoinConjuncts
\rhd \underline{
\mathsf{y}}
 <= \underline{
\mathsf{z}}
\rhd \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf{y}}
 = \underline{
\mathsf{z}}
\gg \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf{y}}
 <= \underline{
\mathsf{z}}
\Rightarrow \dot{\neg}\, \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf{y}}
 = \underline{
\mathsf{z}}
\rceil 
, 
p_0
, 
\mathsf {c}
)
]$

$\rm
[SubLessLeft
\stackrel{
stmt
}{\rightarrow}ZFsub
\vdash 
\forall \underline{
\mathsf{x}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf{y}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf{z}}
\colon \underline{
\mathsf{x}}
 = \underline{
\mathsf{y}}
\vdash \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf{x}}
 <= \underline{
\mathsf{z}}
\Rightarrow \dot{\neg}\, \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf{x}}
 = \underline{
\mathsf{z}}
\vdash \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf{y}}
 <= \underline{
\mathsf{z}}
\Rightarrow \dot{\neg}\, \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf{y}}
 = \underline{
\mathsf{z}}
]$

$\rm
[SubLessLeft
\stackrel{
\mathrm{tex}
}{\rightarrow}
\mbox{``}SubLessLeft
\mbox{''}
]$

$\rm
[SubLessLeft
\stackrel{
\mathrm{pyk}
}{\rightarrow}
\mbox{``}lemma
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}subLessLeft
\mbox{''}
]$

\hypertarget {url:1808490583581903168404721082347638465545342357588912671848929942716323841:304}{}\section* {$\rm LessAddition$}

$\rm
[LessAddition
\stackrel{
proof
}{\rightarrow}
\lambda 
\mathsf {c}
.
\lambda 
\mathsf{x}
.
{\cal P}( 
\lceil ZFsub
\vdash 
\forall \underline{
\mathsf{x}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf{y}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf{z}}
\colon \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf{x}}
 <= \underline{
\mathsf{y}}
\Rightarrow \dot{\neg}\, \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf{x}}
 = \underline{
\mathsf{y}}
\vdash LessLeq
\rhd \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf{x}}
 <= \underline{
\mathsf{y}}
\Rightarrow \dot{\neg}\, \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf{x}}
 = \underline{
\mathsf{y}}
\gg \underline{
\mathsf{x}}
 <= \underline{
\mathsf{y}}
; leqAddition
\rhd \underline{
\mathsf{x}}
 <= \underline{
\mathsf{y}}
\gg \underline{
\mathsf{x}}
+\underline{
\mathsf{z}}
 <= \underline{
\mathsf{y}}
+\underline{
\mathsf{z}}
; LessNeq
\rhd \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf{x}}
 <= \underline{
\mathsf{y}}
\Rightarrow \dot{\neg}\, \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf{x}}
 = \underline{
\mathsf{y}}
\gg \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf{x}}
 = \underline{
\mathsf{y}}
; NeqAddition
\rhd \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf{x}}
 = \underline{
\mathsf{y}}
\gg \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf{x}}
+\underline{
\mathsf{z}}
 = \underline{
\mathsf{y}}
+\underline{
\mathsf{z}}
; JoinConjuncts
\rhd \underline{
\mathsf{x}}
+\underline{
\mathsf{z}}
 <= \underline{
\mathsf{y}}
+\underline{
\mathsf{z}}
\rhd \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf{x}}
+\underline{
\mathsf{z}}
 = \underline{
\mathsf{y}}
+\underline{
\mathsf{z}}
\gg \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf{x}}
+\underline{
\mathsf{z}}
 <= \underline{
\mathsf{y}}
+\underline{
\mathsf{z}}
\Rightarrow \dot{\neg}\, \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf{x}}
+\underline{
\mathsf{z}}
 = \underline{
\mathsf{y}}
+\underline{
\mathsf{z}}
\rceil 
, 
p_0
, 
\mathsf {c}
)
]$

$\rm
[LessAddition
\stackrel{
stmt
}{\rightarrow}ZFsub
\vdash 
\forall \underline{
\mathsf{x}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf{y}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf{z}}
\colon \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf{x}}
 <= \underline{
\mathsf{y}}
\Rightarrow \dot{\neg}\, \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf{x}}
 = \underline{
\mathsf{y}}
\vdash \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf{x}}
+\underline{
\mathsf{z}}
 <= \underline{
\mathsf{y}}
+\underline{
\mathsf{z}}
\Rightarrow \dot{\neg}\, \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf{x}}
+\underline{
\mathsf{z}}
 = \underline{
\mathsf{y}}
+\underline{
\mathsf{z}}
]$

$\rm
[LessAddition
\stackrel{
\mathrm{tex}
}{\rightarrow}
\mbox{``}LessAddition
\mbox{''}
]$

$\rm
[LessAddition
\stackrel{
\mathrm{pyk}
}{\rightarrow}
\mbox{``}lemma
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}lessAddition
\mbox{''}
]$

\hypertarget {url:1808490583581903168404721082347638465545342357588912671848929942716323841:305}{}\section* {$\rm LessAdditionLeft$}

$\rm
[LessAdditionLeft
\stackrel{
proof
}{\rightarrow}
\lambda 
\mathsf {c}
.
\lambda 
\mathsf{x}
.
{\cal P}( 
\lceil ZFsub
\vdash 
\forall \underline{
\mathsf{x}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf{y}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf{z}}
\colon \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf{x}}
 <= \underline{
\mathsf{y}}
\Rightarrow \dot{\neg}\, \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf{x}}
 = \underline{
\mathsf{y}}
\vdash LessAddition
\rhd \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf{x}}
 <= \underline{
\mathsf{y}}
\Rightarrow \dot{\neg}\, \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf{x}}
 = \underline{
\mathsf{y}}
\gg \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf{x}}
+\underline{
\mathsf{z}}
 <= \underline{
\mathsf{y}}
+\underline{
\mathsf{z}}
\Rightarrow \dot{\neg}\, \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf{x}}
+\underline{
\mathsf{z}}
 = \underline{
\mathsf{y}}
+\underline{
\mathsf{z}}
; plusCommutativity
\gg \underline{
\mathsf{x}}
+\underline{
\mathsf{z}}
 = \underline{
\mathsf{z}}
+\underline{
\mathsf{x}}
; SubLessLeft
\rhd \underline{
\mathsf{x}}
+\underline{
\mathsf{z}}
 = \underline{
\mathsf{z}}
+\underline{
\mathsf{x}}
\rhd \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf{x}}
+\underline{
\mathsf{z}}
 <= \underline{
\mathsf{y}}
+\underline{
\mathsf{z}}
\Rightarrow \dot{\neg}\, \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf{x}}
+\underline{
\mathsf{z}}
 = \underline{
\mathsf{y}}
+\underline{
\mathsf{z}}
\gg \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf{z}}
+\underline{
\mathsf{x}}
 <= \underline{
\mathsf{y}}
+\underline{
\mathsf{z}}
\Rightarrow \dot{\neg}\, \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf{z}}
+\underline{
\mathsf{x}}
 = \underline{
\mathsf{y}}
+\underline{
\mathsf{z}}
; plusCommutativity
\gg \underline{
\mathsf{y}}
+\underline{
\mathsf{z}}
 = \underline{
\mathsf{z}}
+\underline{
\mathsf{y}}
; SubLessRight
\rhd \underline{
\mathsf{y}}
+\underline{
\mathsf{z}}
 = \underline{
\mathsf{z}}
+\underline{
\mathsf{y}}
\rhd \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf{z}}
+\underline{
\mathsf{x}}
 <= \underline{
\mathsf{y}}
+\underline{
\mathsf{z}}
\Rightarrow \dot{\neg}\, \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf{z}}
+\underline{
\mathsf{x}}
 = \underline{
\mathsf{y}}
+\underline{
\mathsf{z}}
\gg \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf{z}}
+\underline{
\mathsf{x}}
 <= \underline{
\mathsf{z}}
+\underline{
\mathsf{y}}
\Rightarrow \dot{\neg}\, \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf{z}}
+\underline{
\mathsf{x}}
 = \underline{
\mathsf{z}}
+\underline{
\mathsf{y}}
\rceil 
, 
p_0
, 
\mathsf {c}
)
]$

$\rm
[LessAdditionLeft
\stackrel{
stmt
}{\rightarrow}ZFsub
\vdash 
\forall \underline{
\mathsf{x}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf{y}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf{z}}
\colon \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf{x}}
 <= \underline{
\mathsf{y}}
\Rightarrow \dot{\neg}\, \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf{x}}
 = \underline{
\mathsf{y}}
\vdash \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf{z}}
+\underline{
\mathsf{x}}
 <= \underline{
\mathsf{z}}
+\underline{
\mathsf{y}}
\Rightarrow \dot{\neg}\, \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf{z}}
+\underline{
\mathsf{x}}
 = \underline{
\mathsf{z}}
+\underline{
\mathsf{y}}
]$

$\rm
[LessAdditionLeft
\stackrel{
\mathrm{tex}
}{\rightarrow}
\mbox{``}LessAdditionLeft
\mbox{''}
]$

$\rm
[LessAdditionLeft
\stackrel{
\mathrm{pyk}
}{\rightarrow}
\mbox{``}lemma
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}lessAdditionLeft
\mbox{''}
]$

\hypertarget {url:1808490583581903168404721082347638465545342357588912671848929942716323841:306}{}\section* {$\rm LessMultiplication$}

$\rm
[LessMultiplication
\stackrel{
proof
}{\rightarrow}
\lambda 
\mathsf {c}
.
\lambda 
\mathsf{x}
.
{\cal P}( 
\lceil ZFsub
\vdash 
\forall \underline{
\mathsf{x}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf{y}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf{z}}
\colon \dot{\neg}\, 0
 <= \underline{
\mathsf{z}}
\Rightarrow \dot{\neg}\, \dot{\neg}\, 0
 = \underline{
\mathsf{z}}
\vdash \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf{x}}
 <= \underline{
\mathsf{y}}
\Rightarrow \dot{\neg}\, \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf{x}}
 = \underline{
\mathsf{y}}
\vdash LessLeq
\rhd \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf{x}}
 <= \underline{
\mathsf{y}}
\Rightarrow \dot{\neg}\, \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf{x}}
 = \underline{
\mathsf{y}}
\gg \underline{
\mathsf{x}}
 <= \underline{
\mathsf{y}}
; LessLeq
\rhd \dot{\neg}\, 0
 <= \underline{
\mathsf{z}}
\Rightarrow \dot{\neg}\, \dot{\neg}\, 0
 = \underline{
\mathsf{z}}
\gg 0
 <= \underline{
\mathsf{z}}
; leqMultiplication
\rhd 0
 <= \underline{
\mathsf{z}}
\rhd \underline{
\mathsf{x}}
 <= \underline{
\mathsf{y}}
\gg \underline{
\mathsf{x}}
*\underline{
\mathsf{z}}
 <= \underline{
\mathsf{y}}
*\underline{
\mathsf{z}}
; LessNeq
\rhd \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf{x}}
 <= \underline{
\mathsf{y}}
\Rightarrow \dot{\neg}\, \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf{x}}
 = \underline{
\mathsf{y}}
\gg \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf{x}}
 = \underline{
\mathsf{y}}
; LessNeq
\rhd \dot{\neg}\, 0
 <= \underline{
\mathsf{z}}
\Rightarrow \dot{\neg}\, \dot{\neg}\, 0
 = \underline{
\mathsf{z}}
\gg \dot{\neg}\, 0
 = \underline{
\mathsf{z}}
; NeqSymmetry
\rhd \dot{\neg}\, 0
 = \underline{
\mathsf{z}}
\gg \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf{z}}
 = 0
; NeqMultiplication
\rhd \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf{z}}
 = 0
\rhd \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf{x}}
 = \underline{
\mathsf{y}}
\gg \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf{x}}
*\underline{
\mathsf{z}}
 = \underline{
\mathsf{y}}
*\underline{
\mathsf{z}}
; LeqNeqLess
\rhd \underline{
\mathsf{x}}
*\underline{
\mathsf{z}}
 <= \underline{
\mathsf{y}}
*\underline{
\mathsf{z}}
\rhd \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf{x}}
*\underline{
\mathsf{z}}
 = \underline{
\mathsf{y}}
*\underline{
\mathsf{z}}
\gg \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf{x}}
*\underline{
\mathsf{z}}
 <= \underline{
\mathsf{y}}
*\underline{
\mathsf{z}}
\Rightarrow \dot{\neg}\, \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf{x}}
*\underline{
\mathsf{z}}
 = \underline{
\mathsf{y}}
*\underline{
\mathsf{z}}
\rceil 
, 
p_0
, 
\mathsf {c}
)
]$

$\rm
[LessMultiplication
\stackrel{
stmt
}{\rightarrow}ZFsub
\vdash 
\forall \underline{
\mathsf{x}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf{y}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf{z}}
\colon \dot{\neg}\, 0
 <= \underline{
\mathsf{z}}
\Rightarrow \dot{\neg}\, \dot{\neg}\, 0
 = \underline{
\mathsf{z}}
\vdash \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf{x}}
 <= \underline{
\mathsf{y}}
\Rightarrow \dot{\neg}\, \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf{x}}
 = \underline{
\mathsf{y}}
\vdash \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf{x}}
*\underline{
\mathsf{z}}
 <= \underline{
\mathsf{y}}
*\underline{
\mathsf{z}}
\Rightarrow \dot{\neg}\, \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf{x}}
*\underline{
\mathsf{z}}
 = \underline{
\mathsf{y}}
*\underline{
\mathsf{z}}
]$

$\rm
[LessMultiplication
\stackrel{
\mathrm{tex}
}{\rightarrow}
\mbox{``}LessMultiplication
\mbox{''}
]$

$\rm
[LessMultiplication
\stackrel{
\mathrm{pyk}
}{\rightarrow}
\mbox{``}lemma
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}lessMultiplication
\mbox{''}
]$

\hypertarget {url:1808490583581903168404721082347638465545342357588912671848929942716323841:307}{}\section* {$\rm LessMultiplicationLeft$}

$\rm
[LessMultiplicationLeft
\stackrel{
proof
}{\rightarrow}
\lambda 
\mathsf {c}
.
\lambda 
\mathsf{x}
.
{\cal P}( 
\lceil ZFsub
\vdash 
\forall \underline{
\mathsf{x}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf{y}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf{z}}
\colon \dot{\neg}\, 0
 <= \underline{
\mathsf{z}}
\Rightarrow \dot{\neg}\, \dot{\neg}\, 0
 = \underline{
\mathsf{z}}
\vdash \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf{x}}
 <= \underline{
\mathsf{y}}
\Rightarrow \dot{\neg}\, \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf{x}}
 = \underline{
\mathsf{y}}
\vdash LessMultiplication
\rhd \dot{\neg}\, 0
 <= \underline{
\mathsf{z}}
\Rightarrow \dot{\neg}\, \dot{\neg}\, 0
 = \underline{
\mathsf{z}}
\rhd \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf{x}}
 <= \underline{
\mathsf{y}}
\Rightarrow \dot{\neg}\, \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf{x}}
 = \underline{
\mathsf{y}}
\gg \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf{x}}
*\underline{
\mathsf{z}}
 <= \underline{
\mathsf{y}}
*\underline{
\mathsf{z}}
\Rightarrow \dot{\neg}\, \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf{x}}
*\underline{
\mathsf{z}}
 = \underline{
\mathsf{y}}
*\underline{
\mathsf{z}}
; timesCommutativity
\gg \underline{
\mathsf{x}}
*\underline{
\mathsf{z}}
 = \underline{
\mathsf{z}}
*\underline{
\mathsf{x}}
; timesCommutativity
\gg \underline{
\mathsf{y}}
*\underline{
\mathsf{z}}
 = \underline{
\mathsf{z}}
*\underline{
\mathsf{y}}
; SubLessLeft
\rhd \underline{
\mathsf{x}}
*\underline{
\mathsf{z}}
 = \underline{
\mathsf{z}}
*\underline{
\mathsf{x}}
\rhd \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf{x}}
*\underline{
\mathsf{z}}
 <= \underline{
\mathsf{y}}
*\underline{
\mathsf{z}}
\Rightarrow \dot{\neg}\, \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf{x}}
*\underline{
\mathsf{z}}
 = \underline{
\mathsf{y}}
*\underline{
\mathsf{z}}
\gg \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf{z}}
*\underline{
\mathsf{x}}
 <= \underline{
\mathsf{y}}
*\underline{
\mathsf{z}}
\Rightarrow \dot{\neg}\, \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf{z}}
*\underline{
\mathsf{x}}
 = \underline{
\mathsf{y}}
*\underline{
\mathsf{z}}
; SubLessRight
\rhd \underline{
\mathsf{y}}
*\underline{
\mathsf{z}}
 = \underline{
\mathsf{z}}
*\underline{
\mathsf{y}}
\rhd \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf{z}}
*\underline{
\mathsf{x}}
 <= \underline{
\mathsf{y}}
*\underline{
\mathsf{z}}
\Rightarrow \dot{\neg}\, \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf{z}}
*\underline{
\mathsf{x}}
 = \underline{
\mathsf{y}}
*\underline{
\mathsf{z}}
\gg \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf{z}}
*\underline{
\mathsf{x}}
 <= \underline{
\mathsf{z}}
*\underline{
\mathsf{y}}
\Rightarrow \dot{\neg}\, \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf{z}}
*\underline{
\mathsf{x}}
 = \underline{
\mathsf{z}}
*\underline{
\mathsf{y}}
\rceil 
, 
p_0
, 
\mathsf {c}
)
]$

$\rm
[LessMultiplicationLeft
\stackrel{
stmt
}{\rightarrow}ZFsub
\vdash 
\forall \underline{
\mathsf{x}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf{y}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf{z}}
\colon \dot{\neg}\, 0
 <= \underline{
\mathsf{z}}
\Rightarrow \dot{\neg}\, \dot{\neg}\, 0
 = \underline{
\mathsf{z}}
\vdash \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf{x}}
 <= \underline{
\mathsf{y}}
\Rightarrow \dot{\neg}\, \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf{x}}
 = \underline{
\mathsf{y}}
\vdash \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf{z}}
*\underline{
\mathsf{x}}
 <= \underline{
\mathsf{z}}
*\underline{
\mathsf{y}}
\Rightarrow \dot{\neg}\, \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf{z}}
*\underline{
\mathsf{x}}
 = \underline{
\mathsf{z}}
*\underline{
\mathsf{y}}
]$

$\rm
[LessMultiplicationLeft
\stackrel{
\mathrm{tex}
}{\rightarrow}
\mbox{``}LessMultiplicationLeft
\mbox{''}
]$

$\rm
[LessMultiplicationLeft
\stackrel{
\mathrm{pyk}
}{\rightarrow}
\mbox{``}lemma
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}lessMultiplicationLeft
\mbox{''}
]$

\hypertarget {url:1808490583581903168404721082347638465545342357588912671848929942716323841:308}{}\section* {$\rm LessDivision$}

$\rm
[LessDivision
\stackrel{
proof
}{\rightarrow}
\lambda 
\mathsf {c}
.
\lambda 
\mathsf{x}
.
{\cal P}( 
\lceil ZFsub
\vdash 
\forall \underline{
\mathsf{x}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf{y}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf{z}}
\colon 0
 <= \underline{
\mathsf{z}}
\vdash \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf{x}}
*\underline{
\mathsf{z}}
 <= \underline{
\mathsf{y}}
*\underline{
\mathsf{z}}
\Rightarrow \dot{\neg}\, \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf{x}}
*\underline{
\mathsf{z}}
 = \underline{
\mathsf{y}}
*\underline{
\mathsf{z}}
\vdash FromLess
\rhd \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf{x}}
*\underline{
\mathsf{z}}
 <= \underline{
\mathsf{y}}
*\underline{
\mathsf{z}}
\Rightarrow \dot{\neg}\, \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf{x}}
*\underline{
\mathsf{z}}
 = \underline{
\mathsf{y}}
*\underline{
\mathsf{z}}
\gg \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf{y}}
*\underline{
\mathsf{z}}
 <= \underline{
\mathsf{x}}
*\underline{
\mathsf{z}}
; leqMultiplicationAxiom
\gg 0
 <= \underline{
\mathsf{z}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf{y}}
 <= \underline{
\mathsf{x}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf{y}}
*\underline{
\mathsf{z}}
 <= \underline{
\mathsf{x}}
*\underline{
\mathsf{z}}
; MP
\rhd 0
 <= \underline{
\mathsf{z}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf{y}}
 <= \underline{
\mathsf{x}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf{y}}
*\underline{
\mathsf{z}}
 <= \underline{
\mathsf{x}}
*\underline{
\mathsf{z}}
\rhd 0
 <= \underline{
\mathsf{z}}
\gg \underline{
\mathsf{y}}
 <= \underline{
\mathsf{x}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf{y}}
*\underline{
\mathsf{z}}
 <= \underline{
\mathsf{x}}
*\underline{
\mathsf{z}}
; Contrapositive
\rhd \underline{
\mathsf{y}}
 <= \underline{
\mathsf{x}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf{y}}
*\underline{
\mathsf{z}}
 <= \underline{
\mathsf{x}}
*\underline{
\mathsf{z}}
\gg \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf{y}}
*\underline{
\mathsf{z}}
 <= \underline{
\mathsf{x}}
*\underline{
\mathsf{z}}
\Rightarrow \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf{y}}
 <= \underline{
\mathsf{x}}
; MP
\rhd \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf{y}}
*\underline{
\mathsf{z}}
 <= \underline{
\mathsf{x}}
*\underline{
\mathsf{z}}
\Rightarrow \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf{y}}
 <= \underline{
\mathsf{x}}
\rhd \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf{y}}
*\underline{
\mathsf{z}}
 <= \underline{
\mathsf{x}}
*\underline{
\mathsf{z}}
\gg \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf{y}}
 <= \underline{
\mathsf{x}}
; ToLess
\rhd \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf{y}}
 <= \underline{
\mathsf{x}}
\gg \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf{x}}
 <= \underline{
\mathsf{y}}
\Rightarrow \dot{\neg}\, \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf{x}}
 = \underline{
\mathsf{y}}
\rceil 
, 
p_0
, 
\mathsf {c}
)
]$

$\rm
[LessDivision
\stackrel{
stmt
}{\rightarrow}ZFsub
\vdash 
\forall \underline{
\mathsf{x}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf{y}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf{z}}
\colon 0
 <= \underline{
\mathsf{z}}
\vdash \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf{x}}
*\underline{
\mathsf{z}}
 <= \underline{
\mathsf{y}}
*\underline{
\mathsf{z}}
\Rightarrow \dot{\neg}\, \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf{x}}
*\underline{
\mathsf{z}}
 = \underline{
\mathsf{y}}
*\underline{
\mathsf{z}}
\vdash \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf{x}}
 <= \underline{
\mathsf{y}}
\Rightarrow \dot{\neg}\, \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf{x}}
 = \underline{
\mathsf{y}}
]$

$\rm
[LessDivision
\stackrel{
\mathrm{tex}
}{\rightarrow}
\mbox{``}LessDivision
\mbox{''}
]$

$\rm
[LessDivision
\stackrel{
\mathrm{pyk}
}{\rightarrow}
\mbox{``}lemma
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}lessDivision
\mbox{''}
]$

\hypertarget {url:1808490583581903168404721082347638465545342357588912671848929942716323841:309}{}\section* {$\rm AddEquations(Less)$}

$\rm
[AddEquations(Less)
\stackrel{
proof
}{\rightarrow}
\lambda 
\mathsf {c}
.
\lambda 
\mathsf{x}
.
{\cal P}( 
\lceil ZFsub
\vdash 
\forall \underline{
\mathsf{x}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf{y}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf{z}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf {u}}
\colon \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf{x}}
 <= \underline{
\mathsf{y}}
\Rightarrow \dot{\neg}\, \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf{x}}
 = \underline{
\mathsf{y}}
\vdash \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf{z}}
 <= \underline{
\mathsf {u}}
\Rightarrow \dot{\neg}\, \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf{z}}
 = \underline{
\mathsf {u}}
\vdash LessAddition
\rhd \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf{x}}
 <= \underline{
\mathsf{y}}
\Rightarrow \dot{\neg}\, \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf{x}}
 = \underline{
\mathsf{y}}
\gg \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf{x}}
+\underline{
\mathsf{z}}
 <= \underline{
\mathsf{y}}
+\underline{
\mathsf{z}}
\Rightarrow \dot{\neg}\, \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf{x}}
+\underline{
\mathsf{z}}
 = \underline{
\mathsf{y}}
+\underline{
\mathsf{z}}
; LessAdditionLeft
\rhd \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf{z}}
 <= \underline{
\mathsf {u}}
\Rightarrow \dot{\neg}\, \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf{z}}
 = \underline{
\mathsf {u}}
\gg \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf{y}}
+\underline{
\mathsf{z}}
 <= \underline{
\mathsf{y}}
+\underline{
\mathsf {u}}
\Rightarrow \dot{\neg}\, \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf{y}}
+\underline{
\mathsf{z}}
 = \underline{
\mathsf{y}}
+\underline{
\mathsf {u}}
; LessTransitivity
\rhd \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf{x}}
+\underline{
\mathsf{z}}
 <= \underline{
\mathsf{y}}
+\underline{
\mathsf{z}}
\Rightarrow \dot{\neg}\, \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf{x}}
+\underline{
\mathsf{z}}
 = \underline{
\mathsf{y}}
+\underline{
\mathsf{z}}
\rhd \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf{y}}
+\underline{
\mathsf{z}}
 <= \underline{
\mathsf{y}}
+\underline{
\mathsf {u}}
\Rightarrow \dot{\neg}\, \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf{y}}
+\underline{
\mathsf{z}}
 = \underline{
\mathsf{y}}
+\underline{
\mathsf {u}}
\gg \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf{x}}
+\underline{
\mathsf{z}}
 <= \underline{
\mathsf{y}}
+\underline{
\mathsf {u}}
\Rightarrow \dot{\neg}\, \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf{x}}
+\underline{
\mathsf{z}}
 = \underline{
\mathsf{y}}
+\underline{
\mathsf {u}}
\rceil 
, 
p_0
, 
\mathsf {c}
)
]$

$\rm
[AddEquations(Less)
\stackrel{
stmt
}{\rightarrow}ZFsub
\vdash 
\forall \underline{
\mathsf{x}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf{y}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf{z}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf {u}}
\colon \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf{x}}
 <= \underline{
\mathsf{y}}
\Rightarrow \dot{\neg}\, \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf{x}}
 = \underline{
\mathsf{y}}
\vdash \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf{z}}
 <= \underline{
\mathsf {u}}
\Rightarrow \dot{\neg}\, \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf{z}}
 = \underline{
\mathsf {u}}
\vdash \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf{x}}
+\underline{
\mathsf{z}}
 <= \underline{
\mathsf{y}}
+\underline{
\mathsf {u}}
\Rightarrow \dot{\neg}\, \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf{x}}
+\underline{
\mathsf{z}}
 = \underline{
\mathsf{y}}
+\underline{
\mathsf {u}}
]$

$\rm
[AddEquations(Less)
\stackrel{
\mathrm{tex}
}{\rightarrow}
\mbox{``}AddEquations(Less)
\mbox{''}
]$

$\rm
[AddEquations(Less)
\stackrel{
\mathrm{pyk}
}{\rightarrow}
\mbox{``}lemma
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}addEquations(Less)
\mbox{''}
]$

\hypertarget {url:1808490583581903168404721082347638465545342357588912671848929942716323841:310}{}\section* {$\rm LessNegated$}

$\rm
[LessNegated
\stackrel{
proof
}{\rightarrow}
\lambda 
\mathsf {c}
.
\lambda 
\mathsf{x}
.
{\cal P}( 
\lceil ZFsub
\vdash 
\forall \underline{
\mathsf{x}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf{y}}
\colon \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf{x}}
 <= \underline{
\mathsf{y}}
\Rightarrow \dot{\neg}\, \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf{x}}
 = \underline{
\mathsf{y}}
\vdash LessLeq
\rhd \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf{x}}
 <= \underline{
\mathsf{y}}
\Rightarrow \dot{\neg}\, \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf{x}}
 = \underline{
\mathsf{y}}
\gg \underline{
\mathsf{x}}
 <= \underline{
\mathsf{y}}
; LeqNegated
\rhd \underline{
\mathsf{x}}
 <= \underline{
\mathsf{y}}
\gg -\underline{
\mathsf{y}}
 <= -\underline{
\mathsf{x}}
; LessNeq
\rhd \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf{x}}
 <= \underline{
\mathsf{y}}
\Rightarrow \dot{\neg}\, \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf{x}}
 = \underline{
\mathsf{y}}
\gg \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf{x}}
 = \underline{
\mathsf{y}}
; NeqNegated
\rhd \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf{x}}
 = \underline{
\mathsf{y}}
\gg \dot{\neg}\, -\underline{
\mathsf{x}}
 = -\underline{
\mathsf{y}}
; NeqSymmetry
\rhd \dot{\neg}\, -\underline{
\mathsf{x}}
 = -\underline{
\mathsf{y}}
\gg \dot{\neg}\, -\underline{
\mathsf{y}}
 = -\underline{
\mathsf{x}}
; LeqNeqLess
\rhd -\underline{
\mathsf{y}}
 <= -\underline{
\mathsf{x}}
\rhd \dot{\neg}\, -\underline{
\mathsf{y}}
 = -\underline{
\mathsf{x}}
\gg \dot{\neg}\, -\underline{
\mathsf{y}}
 <= -\underline{
\mathsf{x}}
\Rightarrow \dot{\neg}\, \dot{\neg}\, -\underline{
\mathsf{y}}
 = -\underline{
\mathsf{x}}
\rceil 
, 
p_0
, 
\mathsf {c}
)
]$

$\rm
[LessNegated
\stackrel{
stmt
}{\rightarrow}ZFsub
\vdash 
\forall \underline{
\mathsf{x}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf{y}}
\colon \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf{x}}
 <= \underline{
\mathsf{y}}
\Rightarrow \dot{\neg}\, \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf{x}}
 = \underline{
\mathsf{y}}
\vdash \dot{\neg}\, -\underline{
\mathsf{y}}
 <= -\underline{
\mathsf{x}}
\Rightarrow \dot{\neg}\, \dot{\neg}\, -\underline{
\mathsf{y}}
 = -\underline{
\mathsf{x}}
]$

$\rm
[LessNegated
\stackrel{
\mathrm{tex}
}{\rightarrow}
\mbox{``}LessNegated
\mbox{''}
]$

$\rm
[LessNegated
\stackrel{
\mathrm{pyk}
}{\rightarrow}
\mbox{``}lemma
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}lessNegated
\mbox{''}
]$

\hypertarget {url:1808490583581903168404721082347638465545342357588912671848929942716323841:311}{}\section* {$\rm PositiveNegated$}

$\rm
[PositiveNegated
\stackrel{
proof
}{\rightarrow}
\lambda 
\mathsf {c}
.
\lambda 
\mathsf{x}
.
{\cal P}( 
\lceil ZFsub
\vdash 
\forall \underline{
\mathsf{x}}
\colon \dot{\neg}\, 0
 <= \underline{
\mathsf{x}}
\Rightarrow \dot{\neg}\, \dot{\neg}\, 0
 = \underline{
\mathsf{x}}
\vdash LessNegated
\rhd \dot{\neg}\, 0
 <= \underline{
\mathsf{x}}
\Rightarrow \dot{\neg}\, \dot{\neg}\, 0
 = \underline{
\mathsf{x}}
\gg \dot{\neg}\, -\underline{
\mathsf{x}}
 <= -0
\Rightarrow \dot{\neg}\, \dot{\neg}\, -\underline{
\mathsf{x}}
 = -0
; -0=0
\gg -0
 = 0
; SubLessRight
\rhd -0
 = 0
\rhd \dot{\neg}\, -\underline{
\mathsf{x}}
 <= -0
\Rightarrow \dot{\neg}\, \dot{\neg}\, -\underline{
\mathsf{x}}
 = -0
\gg \dot{\neg}\, -\underline{
\mathsf{x}}
 <= 0
\Rightarrow \dot{\neg}\, \dot{\neg}\, -\underline{
\mathsf{x}}
 = 0
\rceil 
, 
p_0
, 
\mathsf {c}
)
]$

$\rm
[PositiveNegated
\stackrel{
stmt
}{\rightarrow}ZFsub
\vdash 
\forall \underline{
\mathsf{x}}
\colon \dot{\neg}\, 0
 <= \underline{
\mathsf{x}}
\Rightarrow \dot{\neg}\, \dot{\neg}\, 0
 = \underline{
\mathsf{x}}
\vdash \dot{\neg}\, -\underline{
\mathsf{x}}
 <= 0
\Rightarrow \dot{\neg}\, \dot{\neg}\, -\underline{
\mathsf{x}}
 = 0
]$

$\rm
[PositiveNegated
\stackrel{
\mathrm{tex}
}{\rightarrow}
\mbox{``}PositiveNegated
\mbox{''}
]$

$\rm
[PositiveNegated
\stackrel{
\mathrm{pyk}
}{\rightarrow}
\mbox{``}lemma
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}positiveNegated
\mbox{''}
]$

\hypertarget {url:1808490583581903168404721082347638465545342357588912671848929942716323841:312}{}\section* {$\rm NonpositiveNegated$}

$\rm
[NonpositiveNegated
\stackrel{
proof
}{\rightarrow}
\lambda 
\mathsf {c}
.
\lambda 
\mathsf{x}
.
{\cal P}( 
\lceil ZFsub
\vdash 
\forall \underline{
\mathsf{x}}
\colon \underline{
\mathsf{x}}
 <= 0
\vdash LeqNegated
\rhd \underline{
\mathsf{x}}
 <= 0
\gg -0
 <= -\underline{
\mathsf{x}}
; -0=0
\gg -0
 = 0
; subLeqLeft
\rhd -0
 = 0
\rhd -0
 <= -\underline{
\mathsf{x}}
\gg 0
 <= -\underline{
\mathsf{x}}
\rceil 
, 
p_0
, 
\mathsf {c}
)
]$

$\rm
[NonpositiveNegated
\stackrel{
stmt
}{\rightarrow}ZFsub
\vdash 
\forall \underline{
\mathsf{x}}
\colon \underline{
\mathsf{x}}
 <= 0
\vdash 0
 <= -\underline{
\mathsf{x}}
]$

$\rm
[NonpositiveNegated
\stackrel{
\mathrm{tex}
}{\rightarrow}
\mbox{``}NonpositiveNegated
\mbox{''}
]$

$\rm
[NonpositiveNegated
\stackrel{
\mathrm{pyk}
}{\rightarrow}
\mbox{``}lemma
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}nonpositiveNegated
\mbox{''}
]$

\hypertarget {url:1808490583581903168404721082347638465545342357588912671848929942716323841:313}{}\section* {$\rm NegativeNegated$}

$\rm
[NegativeNegated
\stackrel{
proof
}{\rightarrow}
\lambda 
\mathsf {c}
.
\lambda 
\mathsf{x}
.
{\cal P}( 
\lceil ZFsub
\vdash 
\forall \underline{
\mathsf{x}}
\colon \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf{x}}
 <= 0
\Rightarrow \dot{\neg}\, \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf{x}}
 = 0
\vdash LessNegated
\rhd \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf{x}}
 <= 0
\Rightarrow \dot{\neg}\, \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf{x}}
 = 0
\gg \dot{\neg}\, -0
 <= -\underline{
\mathsf{x}}
\Rightarrow \dot{\neg}\, \dot{\neg}\, -0
 = -\underline{
\mathsf{x}}
; -0=0
\gg -0
 = 0
; SubLessLeft
\rhd -0
 = 0
\rhd \dot{\neg}\, -0
 <= -\underline{
\mathsf{x}}
\Rightarrow \dot{\neg}\, \dot{\neg}\, -0
 = -\underline{
\mathsf{x}}
\gg \dot{\neg}\, 0
 <= -\underline{
\mathsf{x}}
\Rightarrow \dot{\neg}\, \dot{\neg}\, 0
 = -\underline{
\mathsf{x}}
\rceil 
, 
p_0
, 
\mathsf {c}
)
]$

$\rm
[NegativeNegated
\stackrel{
stmt
}{\rightarrow}ZFsub
\vdash 
\forall \underline{
\mathsf{x}}
\colon \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf{x}}
 <= 0
\Rightarrow \dot{\neg}\, \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf{x}}
 = 0
\vdash \dot{\neg}\, 0
 <= -\underline{
\mathsf{x}}
\Rightarrow \dot{\neg}\, \dot{\neg}\, 0
 = -\underline{
\mathsf{x}}
]$

$\rm
[NegativeNegated
\stackrel{
\mathrm{tex}
}{\rightarrow}
\mbox{``}NegativeNegated
\mbox{''}
]$

$\rm
[NegativeNegated
\stackrel{
\mathrm{pyk}
}{\rightarrow}
\mbox{``}lemma
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}negativeNegated
\mbox{''}
]$

\hypertarget {url:1808490583581903168404721082347638465545342357588912671848929942716323841:314}{}\section* {$\rm NonnegativeNegated$}

$\rm
[NonnegativeNegated
\stackrel{
proof
}{\rightarrow}
\lambda 
\mathsf {c}
.
\lambda 
\mathsf{x}
.
{\cal P}( 
\lceil ZFsub
\vdash 
\forall \underline{
\mathsf{x}}
\colon 0
 <= \underline{
\mathsf{x}}
\vdash LeqNegated
\rhd 0
 <= \underline{
\mathsf{x}}
\gg -\underline{
\mathsf{x}}
 <= -0
; -0=0
\gg -0
 = 0
; subLeqRight
\rhd -0
 = 0
\rhd -\underline{
\mathsf{x}}
 <= -0
\gg -\underline{
\mathsf{x}}
 <= 0
\rceil 
, 
p_0
, 
\mathsf {c}
)
]$

$\rm
[NonnegativeNegated
\stackrel{
stmt
}{\rightarrow}ZFsub
\vdash 
\forall \underline{
\mathsf{x}}
\colon 0
 <= \underline{
\mathsf{x}}
\vdash -\underline{
\mathsf{x}}
 <= 0
]$

$\rm
[NonnegativeNegated
\stackrel{
\mathrm{tex}
}{\rightarrow}
\mbox{``}NonnegativeNegated
\mbox{''}
]$

$\rm
[NonnegativeNegated
\stackrel{
\mathrm{pyk}
}{\rightarrow}
\mbox{``}lemma
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}nonnegativeNegated
\mbox{''}
]$

\hypertarget {url:1808490583581903168404721082347638465545342357588912671848929942716323841:315}{}\section* {$\rm PositiveHalved$}

$\rm
[PositiveHalved
\stackrel{
proof
}{\rightarrow}
\lambda 
\mathsf {c}
.
\lambda 
\mathsf{x}
.
{\cal P}( 
\lceil ZFsub
\vdash 
\forall \underline{
\mathsf{x}}
\colon \dot{\neg}\, 0
 <= \underline{
\mathsf{x}}
\Rightarrow \dot{\neg}\, \dot{\neg}\, 0
 = \underline{
\mathsf{x}}
\vdash 0<1/2
\gg \dot{\neg}\, 0
 <= rec1
+1
\Rightarrow \dot{\neg}\, \dot{\neg}\, 0
 = rec1
+1
; LessMultiplicationLeft
\rhd \dot{\neg}\, 0
 <= rec1
+1
\Rightarrow \dot{\neg}\, \dot{\neg}\, 0
 = rec1
+1
\rhd \dot{\neg}\, 0
 <= \underline{
\mathsf{x}}
\Rightarrow \dot{\neg}\, \dot{\neg}\, 0
 = \underline{
\mathsf{x}}
\gg \dot{\neg}\, rec1
+1
*0
 <= rec1
+1
*\underline{
\mathsf{x}}
\Rightarrow \dot{\neg}\, \dot{\neg}\, rec1
+1
*0
 = rec1
+1
*\underline{
\mathsf{x}}
; x*0=0
\gg rec1
+1
*0
 = 0
; SubLessLeft
\rhd rec1
+1
*0
 = 0
\rhd \dot{\neg}\, rec1
+1
*0
 <= rec1
+1
*\underline{
\mathsf{x}}
\Rightarrow \dot{\neg}\, \dot{\neg}\, rec1
+1
*0
 = rec1
+1
*\underline{
\mathsf{x}}
\gg \dot{\neg}\, 0
 <= rec1
+1
*\underline{
\mathsf{x}}
\Rightarrow \dot{\neg}\, \dot{\neg}\, 0
 = rec1
+1
*\underline{
\mathsf{x}}
\rceil 
, 
p_0
, 
\mathsf {c}
)
]$

$\rm
[PositiveHalved
\stackrel{
stmt
}{\rightarrow}ZFsub
\vdash 
\forall \underline{
\mathsf{x}}
\colon \dot{\neg}\, 0
 <= \underline{
\mathsf{x}}
\Rightarrow \dot{\neg}\, \dot{\neg}\, 0
 = \underline{
\mathsf{x}}
\vdash \dot{\neg}\, 0
 <= rec1
+1
*\underline{
\mathsf{x}}
\Rightarrow \dot{\neg}\, \dot{\neg}\, 0
 = rec1
+1
*\underline{
\mathsf{x}}
]$

$\rm
[PositiveHalved
\stackrel{
\mathrm{tex}
}{\rightarrow}
\mbox{``}PositiveHalved
\mbox{''}
]$

$\rm
[PositiveHalved
\stackrel{
\mathrm{pyk}
}{\rightarrow}
\mbox{``}lemma
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}positiveHalved
\mbox{''}
]$

\hypertarget {url:1808490583581903168404721082347638465545342357588912671848929942716323841:316}{}\section* {$\rm NonnegativeNumerical$}

$\rm
[NonnegativeNumerical
\stackrel{
proof
}{\rightarrow}
\lambda 
\mathsf {c}
.
\lambda 
\mathsf{x}
.
{\cal P}( 
\lceil ZFsub
\vdash 
\forall \underline{
\mathsf{x}}
\colon 0
 <= \underline{
\mathsf{x}}
\vdash IfThenElse(T)
\rhd 0
 <= \underline{
\mathsf{x}}
\gg if(0
 <= \underline{
\mathsf{x}}
,\underline{
\mathsf{x}}
,-\underline{
\mathsf{x}}
)
 = \underline{
\mathsf{x}}
; Repetition
\rhd if(0
 <= \underline{
\mathsf{x}}
,\underline{
\mathsf{x}}
,-\underline{
\mathsf{x}}
)
 = \underline{
\mathsf{x}}
\gg if(0
 <= \underline{
\mathsf{x}}
,\underline{
\mathsf{x}}
,-\underline{
\mathsf{x}}
)
 = \underline{
\mathsf{x}}
\rceil 
, 
p_0
, 
\mathsf {c}
)
]$

$\rm
[NonnegativeNumerical
\stackrel{
stmt
}{\rightarrow}ZFsub
\vdash 
\forall \underline{
\mathsf{x}}
\colon 0
 <= \underline{
\mathsf{x}}
\vdash if(0
 <= \underline{
\mathsf{x}}
,\underline{
\mathsf{x}}
,-\underline{
\mathsf{x}}
)
 = \underline{
\mathsf{x}}
]$

$\rm
[NonnegativeNumerical
\stackrel{
\mathrm{tex}
}{\rightarrow}
\mbox{``}NonnegativeNumerical
\mbox{''}
]$

$\rm
[NonnegativeNumerical
\stackrel{
\mathrm{pyk}
}{\rightarrow}
\mbox{``}lemma
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}nonnegativeNumerical
\mbox{''}
]$

\hypertarget {url:1808490583581903168404721082347638465545342357588912671848929942716323841:317}{}\section* {$\rm NegativeNumerical$}

$\rm
[NegativeNumerical
\stackrel{
proof
}{\rightarrow}
\lambda 
\mathsf {c}
.
\lambda 
\mathsf{x}
.
{\cal P}( 
\lceil ZFsub
\vdash 
\forall \underline{
\mathsf{x}}
\colon \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf{x}}
 <= 0
\Rightarrow \dot{\neg}\, \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf{x}}
 = 0
\vdash FromLess
\rhd \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf{x}}
 <= 0
\Rightarrow \dot{\neg}\, \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf{x}}
 = 0
\gg \dot{\neg}\, 0
 <= \underline{
\mathsf{x}}
; IfThenElse(F)
\rhd \dot{\neg}\, 0
 <= \underline{
\mathsf{x}}
\gg if(0
 <= \underline{
\mathsf{x}}
,\underline{
\mathsf{x}}
,-\underline{
\mathsf{x}}
)
 = -\underline{
\mathsf{x}}
; Repetition
\rhd if(0
 <= \underline{
\mathsf{x}}
,\underline{
\mathsf{x}}
,-\underline{
\mathsf{x}}
)
 = -\underline{
\mathsf{x}}
\gg if(0
 <= \underline{
\mathsf{x}}
,\underline{
\mathsf{x}}
,-\underline{
\mathsf{x}}
)
 = -\underline{
\mathsf{x}}
\rceil 
, 
p_0
, 
\mathsf {c}
)
]$

$\rm
[NegativeNumerical
\stackrel{
stmt
}{\rightarrow}ZFsub
\vdash 
\forall \underline{
\mathsf{x}}
\colon \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf{x}}
 <= 0
\Rightarrow \dot{\neg}\, \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf{x}}
 = 0
\vdash if(0
 <= \underline{
\mathsf{x}}
,\underline{
\mathsf{x}}
,-\underline{
\mathsf{x}}
)
 = -\underline{
\mathsf{x}}
]$

$\rm
[NegativeNumerical
\stackrel{
\mathrm{tex}
}{\rightarrow}
\mbox{``}NegativeNumerical
\mbox{''}
]$

$\rm
[NegativeNumerical
\stackrel{
\mathrm{pyk}
}{\rightarrow}
\mbox{``}lemma
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}negativeNumerical
\mbox{''}
]$

\hypertarget {url:1808490583581903168404721082347638465545342357588912671848929942716323841:318}{}\section* {$\rm PositiveNumerical$}

$\rm
[PositiveNumerical
\stackrel{
proof
}{\rightarrow}
\lambda 
\mathsf {c}
.
\lambda 
\mathsf{x}
.
{\cal P}( 
\lceil ZFsub
\vdash 
\forall \underline{
\mathsf{x}}
\colon \dot{\neg}\, 0
 <= \underline{
\mathsf{x}}
\Rightarrow \dot{\neg}\, \dot{\neg}\, 0
 = \underline{
\mathsf{x}}
\vdash LessLeq
\rhd \dot{\neg}\, 0
 <= \underline{
\mathsf{x}}
\Rightarrow \dot{\neg}\, \dot{\neg}\, 0
 = \underline{
\mathsf{x}}
\gg 0
 <= \underline{
\mathsf{x}}
; NonnegativeNumerical
\rhd 0
 <= \underline{
\mathsf{x}}
\gg if(0
 <= \underline{
\mathsf{x}}
,\underline{
\mathsf{x}}
,-\underline{
\mathsf{x}}
)
 = \underline{
\mathsf{x}}
\rceil 
, 
p_0
, 
\mathsf {c}
)
]$

$\rm
[PositiveNumerical
\stackrel{
stmt
}{\rightarrow}ZFsub
\vdash 
\forall \underline{
\mathsf{x}}
\colon \dot{\neg}\, 0
 <= \underline{
\mathsf{x}}
\Rightarrow \dot{\neg}\, \dot{\neg}\, 0
 = \underline{
\mathsf{x}}
\vdash if(0
 <= \underline{
\mathsf{x}}
,\underline{
\mathsf{x}}
,-\underline{
\mathsf{x}}
)
 = \underline{
\mathsf{x}}
]$

$\rm
[PositiveNumerical
\stackrel{
\mathrm{tex}
}{\rightarrow}
\mbox{``}PositiveNumerical
\mbox{''}
]$

$\rm
[PositiveNumerical
\stackrel{
\mathrm{pyk}
}{\rightarrow}
\mbox{``}lemma
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}positiveNumerical
\mbox{''}
]$

\hypertarget {url:1808490583581903168404721082347638465545342357588912671848929942716323841:319}{}\section* {$\rm 
\mbox{lemma nonpositiveNumerical}$}

$\rm
[
\mbox{lemma nonpositiveNumerical}
\stackrel{
proof
}{\rightarrow}
\lambda 
\mathsf {c}
.
\lambda 
\mathsf{x}
.
{\cal P}( 
\lceil ZFsub
\vdash 
\forall \underline{
\mathsf{x}}
\colon \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf{x}}
 <= 0
\Rightarrow \dot{\neg}\, \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf{x}}
 = 0
\vdash NegativeNumerical
\rhd \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf{x}}
 <= 0
\Rightarrow \dot{\neg}\, \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf{x}}
 = 0
\gg if(0
 <= \underline{
\mathsf{x}}
,\underline{
\mathsf{x}}
,-\underline{
\mathsf{x}}
)
 = -\underline{
\mathsf{x}}
; 
\forall \underline{
\mathsf{x}}
\colon \underline{
\mathsf{x}}
 = 0
\vdash eqSymmetry
\rhd \underline{
\mathsf{x}}
 = 0
\gg 0
 = \underline{
\mathsf{x}}
; eqLeq
\rhd 0
 = \underline{
\mathsf{x}}
\gg 0
 <= \underline{
\mathsf{x}}
; NonnegativeNumerical
\rhd 0
 <= \underline{
\mathsf{x}}
\gg if(0
 <= \underline{
\mathsf{x}}
,\underline{
\mathsf{x}}
,-\underline{
\mathsf{x}}
)
 = \underline{
\mathsf{x}}
; -0=0
\gg -0
 = 0
; eqSymmetry
\rhd -0
 = 0
\gg 0
 = -0
; EqNegated
\rhd 0
 = \underline{
\mathsf{x}}
\gg -0
 = -\underline{
\mathsf{x}}
; eqTransitivity5
\rhd if(0
 <= \underline{
\mathsf{x}}
,\underline{
\mathsf{x}}
,-\underline{
\mathsf{x}}
)
 = \underline{
\mathsf{x}}
\rhd \underline{
\mathsf{x}}
 = 0
\rhd 0
 = -0
\rhd -0
 = -\underline{
\mathsf{x}}
\gg if(0
 <= \underline{
\mathsf{x}}
,\underline{
\mathsf{x}}
,-\underline{
\mathsf{x}}
)
 = -\underline{
\mathsf{x}}
; 
\forall \underline{
\mathsf{x}}
\colon Ded
\rhd 
\forall \underline{
\mathsf{x}}
\colon \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf{x}}
 <= 0
\Rightarrow \dot{\neg}\, \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf{x}}
 = 0
\vdash if(0
 <= \underline{
\mathsf{x}}
,\underline{
\mathsf{x}}
,-\underline{
\mathsf{x}}
)
 = -\underline{
\mathsf{x}}
\gg \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf{x}}
 <= 0
\Rightarrow \dot{\neg}\, \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf{x}}
 = 0
\Rightarrow if(0
 <= \underline{
\mathsf{x}}
,\underline{
\mathsf{x}}
,-\underline{
\mathsf{x}}
)
 = -\underline{
\mathsf{x}}
; Ded
\rhd 
\forall \underline{
\mathsf{x}}
\colon \underline{
\mathsf{x}}
 = 0
\vdash if(0
 <= \underline{
\mathsf{x}}
,\underline{
\mathsf{x}}
,-\underline{
\mathsf{x}}
)
 = -\underline{
\mathsf{x}}
\gg \underline{
\mathsf{x}}
 = 0
\Rightarrow if(0
 <= \underline{
\mathsf{x}}
,\underline{
\mathsf{x}}
,-\underline{
\mathsf{x}}
)
 = -\underline{
\mathsf{x}}
; \underline{
\mathsf{x}}
 <= 0
\vdash LeqLessEq
\rhd \underline{
\mathsf{x}}
 <= 0
\gg \dot{\neg}\, \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf{x}}
 <= 0
\Rightarrow \dot{\neg}\, \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf{x}}
 = 0
\Rightarrow \underline{
\mathsf{x}}
 = 0
; FromDisjuncts
\rhd \dot{\neg}\, \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf{x}}
 <= 0
\Rightarrow \dot{\neg}\, \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf{x}}
 = 0
\Rightarrow \underline{
\mathsf{x}}
 = 0
\rhd \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf{x}}
 <= 0
\Rightarrow \dot{\neg}\, \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf{x}}
 = 0
\Rightarrow if(0
 <= \underline{
\mathsf{x}}
,\underline{
\mathsf{x}}
,-\underline{
\mathsf{x}}
)
 = -\underline{
\mathsf{x}}
\rhd \underline{
\mathsf{x}}
 = 0
\Rightarrow if(0
 <= \underline{
\mathsf{x}}
,\underline{
\mathsf{x}}
,-\underline{
\mathsf{x}}
)
 = -\underline{
\mathsf{x}}
\gg if(0
 <= \underline{
\mathsf{x}}
,\underline{
\mathsf{x}}
,-\underline{
\mathsf{x}}
)
 = -\underline{
\mathsf{x}}
\rceil 
, 
p_0
, 
\mathsf {c}
)
]$

$\rm
[
\mbox{lemma nonpositiveNumerical}
\stackrel{
stmt
}{\rightarrow}ZFsub
\vdash 
\forall \underline{
\mathsf{x}}
\colon \underline{
\mathsf{x}}
 <= 0
\vdash if(0
 <= \underline{
\mathsf{x}}
,\underline{
\mathsf{x}}
,-\underline{
\mathsf{x}}
)
 = -\underline{
\mathsf{x}}
]$

$\rm
[
\mbox{lemma nonpositiveNumerical}
\stackrel{
\mathrm{pyk}
}{\rightarrow}
\mbox{``}lemma
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}nonpositiveNumerical
\mbox{''}
]$

\hypertarget {url:1808490583581903168404721082347638465545342357588912671848929942716323841:320}{}\section* {$\rm |0|=0$}

$\rm
[|0|=0
\stackrel{
proof
}{\rightarrow}
\lambda 
\mathsf {c}
.
\lambda 
\mathsf{x}
.
{\cal P}( 
\lceil ZFsub
\vdash leqReflexivity
\gg 0
 <= 0
; NonnegativeNumerical
\rhd 0
 <= 0
\gg if(0
 <= 0
,0
,-0
)
 = 0
\rceil 
, 
p_0
, 
\mathsf {c}
)
]$

$\rm
[|0|=0
\stackrel{
stmt
}{\rightarrow}ZFsub
\vdash if(0
 <= 0
,0
,-0
)
 = 0
]$

$\rm
[|0|=0
\stackrel{
\mathrm{tex}
}{\rightarrow}
\mbox{``}|0|
{=}0
\mbox{''}
]$

$\rm
[|0|=0
\stackrel{
\mathrm{pyk}
}{\rightarrow}
\mbox{``}lemma
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}|0|
{=}0
\mbox{''}
]$

\hypertarget {url:1808490583581903168404721082347638465545342357588912671848929942716323841:321}{}\section* {$\rm 0<=|x|$}

$\rm
[0<=|x|
\stackrel{
proof
}{\rightarrow}
\lambda 
\mathsf {c}
.
\lambda 
\mathsf{x}
.
{\cal P}( 
\lceil ZFsub
\vdash 
\forall \underline{
\mathsf{x}}
\colon 0
 <= \underline{
\mathsf{x}}
\vdash NonnegativeNumerical
\rhd 0
 <= \underline{
\mathsf{x}}
\gg if(0
 <= \underline{
\mathsf{x}}
,\underline{
\mathsf{x}}
,-\underline{
\mathsf{x}}
)
 = \underline{
\mathsf{x}}
; eqSymmetry
\rhd if(0
 <= \underline{
\mathsf{x}}
,\underline{
\mathsf{x}}
,-\underline{
\mathsf{x}}
)
 = \underline{
\mathsf{x}}
\gg \underline{
\mathsf{x}}
 = if(0
 <= \underline{
\mathsf{x}}
,\underline{
\mathsf{x}}
,-\underline{
\mathsf{x}}
)
; subLeqRight
\rhd \underline{
\mathsf{x}}
 = if(0
 <= \underline{
\mathsf{x}}
,\underline{
\mathsf{x}}
,-\underline{
\mathsf{x}}
)
\rhd 0
 <= \underline{
\mathsf{x}}
\gg 0
 <= if(0
 <= \underline{
\mathsf{x}}
,\underline{
\mathsf{x}}
,-\underline{
\mathsf{x}}
)
; 
\forall \underline{
\mathsf{x}}
\colon \dot{\neg}\, 0
 <= \underline{
\mathsf{x}}
\vdash ToLess
\rhd \dot{\neg}\, 0
 <= \underline{
\mathsf{x}}
\gg \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf{x}}
 <= 0
\Rightarrow \dot{\neg}\, \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf{x}}
 = 0
; NegativeNumerical
\rhd \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf{x}}
 <= 0
\Rightarrow \dot{\neg}\, \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf{x}}
 = 0
\gg if(0
 <= \underline{
\mathsf{x}}
,\underline{
\mathsf{x}}
,-\underline{
\mathsf{x}}
)
 = -\underline{
\mathsf{x}}
; eqSymmetry
\rhd if(0
 <= \underline{
\mathsf{x}}
,\underline{
\mathsf{x}}
,-\underline{
\mathsf{x}}
)
 = -\underline{
\mathsf{x}}
\gg -\underline{
\mathsf{x}}
 = if(0
 <= \underline{
\mathsf{x}}
,\underline{
\mathsf{x}}
,-\underline{
\mathsf{x}}
)
; NegativeNegated
\rhd \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf{x}}
 <= 0
\Rightarrow \dot{\neg}\, \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf{x}}
 = 0
\gg \dot{\neg}\, 0
 <= -\underline{
\mathsf{x}}
\Rightarrow \dot{\neg}\, \dot{\neg}\, 0
 = -\underline{
\mathsf{x}}
; LessLeq
\rhd \dot{\neg}\, 0
 <= -\underline{
\mathsf{x}}
\Rightarrow \dot{\neg}\, \dot{\neg}\, 0
 = -\underline{
\mathsf{x}}
\gg 0
 <= -\underline{
\mathsf{x}}
; subLeqRight
\rhd -\underline{
\mathsf{x}}
 = if(0
 <= \underline{
\mathsf{x}}
,\underline{
\mathsf{x}}
,-\underline{
\mathsf{x}}
)
\rhd 0
 <= -\underline{
\mathsf{x}}
\gg 0
 <= if(0
 <= \underline{
\mathsf{x}}
,\underline{
\mathsf{x}}
,-\underline{
\mathsf{x}}
)
; 
\forall \underline{
\mathsf{x}}
\colon Ded
\rhd 
\forall \underline{
\mathsf{x}}
\colon 0
 <= \underline{
\mathsf{x}}
\vdash 0
 <= if(0
 <= \underline{
\mathsf{x}}
,\underline{
\mathsf{x}}
,-\underline{
\mathsf{x}}
)
\gg 0
 <= \underline{
\mathsf{x}}
\Rightarrow 0
 <= if(0
 <= \underline{
\mathsf{x}}
,\underline{
\mathsf{x}}
,-\underline{
\mathsf{x}}
)
; Ded
\rhd 
\forall \underline{
\mathsf{x}}
\colon \dot{\neg}\, 0
 <= \underline{
\mathsf{x}}
\vdash 0
 <= if(0
 <= \underline{
\mathsf{x}}
,\underline{
\mathsf{x}}
,-\underline{
\mathsf{x}}
)
\gg \dot{\neg}\, 0
 <= \underline{
\mathsf{x}}
\Rightarrow 0
 <= if(0
 <= \underline{
\mathsf{x}}
,\underline{
\mathsf{x}}
,-\underline{
\mathsf{x}}
)
; FromNegations
\rhd 0
 <= \underline{
\mathsf{x}}
\Rightarrow 0
 <= if(0
 <= \underline{
\mathsf{x}}
,\underline{
\mathsf{x}}
,-\underline{
\mathsf{x}}
)
\rhd \dot{\neg}\, 0
 <= \underline{
\mathsf{x}}
\Rightarrow 0
 <= if(0
 <= \underline{
\mathsf{x}}
,\underline{
\mathsf{x}}
,-\underline{
\mathsf{x}}
)
\gg 0
 <= if(0
 <= \underline{
\mathsf{x}}
,\underline{
\mathsf{x}}
,-\underline{
\mathsf{x}}
)
\rceil 
, 
p_0
, 
\mathsf {c}
)
]$

$\rm
[0<=|x|
\stackrel{
stmt
}{\rightarrow}ZFsub
\vdash 
\forall \underline{
\mathsf{x}}
\colon 0
 <= if(0
 <= \underline{
\mathsf{x}}
,\underline{
\mathsf{x}}
,-\underline{
\mathsf{x}}
)
]$

$\rm
[0<=|x|
\stackrel{
\mathrm{tex}
}{\rightarrow}
\mbox{``}0
{<}
{=}|x|
\mbox{''}
]$

$\rm
[0<=|x|
\stackrel{
\mathrm{pyk}
}{\rightarrow}
\mbox{``}lemma
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}0
{<}
{=}|x|
\mbox{''}
]$

\hypertarget {url:1808490583581903168404721082347638465545342357588912671848929942716323841:322}{}\section* {$\rm SameNumerical$}

$\rm
[SameNumerical
\stackrel{
proof
}{\rightarrow}
\lambda 
\mathsf {c}
.
\lambda 
\mathsf{x}
.
{\cal P}( 
\lceil ZFsub
\vdash 
\forall \underline{
\mathsf{x}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf{y}}
\colon 0
 <= \underline{
\mathsf{x}}
\vdash \underline{
\mathsf{x}}
 = \underline{
\mathsf{y}}
\vdash NonnegativeNumerical
\rhd 0
 <= \underline{
\mathsf{x}}
\gg if(0
 <= \underline{
\mathsf{x}}
,\underline{
\mathsf{x}}
,-\underline{
\mathsf{x}}
)
 = \underline{
\mathsf{x}}
; subLeqRight
\rhd \underline{
\mathsf{x}}
 = \underline{
\mathsf{y}}
\rhd 0
 <= \underline{
\mathsf{x}}
\gg 0
 <= \underline{
\mathsf{y}}
; NonnegativeNumerical
\rhd 0
 <= \underline{
\mathsf{y}}
\gg if(0
 <= \underline{
\mathsf{y}}
,\underline{
\mathsf{y}}
,-\underline{
\mathsf{y}}
)
 = \underline{
\mathsf{y}}
; eqSymmetry
\rhd if(0
 <= \underline{
\mathsf{y}}
,\underline{
\mathsf{y}}
,-\underline{
\mathsf{y}}
)
 = \underline{
\mathsf{y}}
\gg \underline{
\mathsf{y}}
 = if(0
 <= \underline{
\mathsf{y}}
,\underline{
\mathsf{y}}
,-\underline{
\mathsf{y}}
)
; eqTransitivity4
\rhd if(0
 <= \underline{
\mathsf{x}}
,\underline{
\mathsf{x}}
,-\underline{
\mathsf{x}}
)
 = \underline{
\mathsf{x}}
\rhd \underline{
\mathsf{x}}
 = \underline{
\mathsf{y}}
\rhd \underline{
\mathsf{y}}
 = if(0
 <= \underline{
\mathsf{y}}
,\underline{
\mathsf{y}}
,-\underline{
\mathsf{y}}
)
\gg if(0
 <= \underline{
\mathsf{x}}
,\underline{
\mathsf{x}}
,-\underline{
\mathsf{x}}
)
 = if(0
 <= \underline{
\mathsf{y}}
,\underline{
\mathsf{y}}
,-\underline{
\mathsf{y}}
)
; 
\forall \underline{
\mathsf{x}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf{y}}
\colon \dot{\neg}\, 0
 <= \underline{
\mathsf{x}}
\vdash \underline{
\mathsf{x}}
 = \underline{
\mathsf{y}}
\vdash ToLess
\rhd \dot{\neg}\, 0
 <= \underline{
\mathsf{x}}
\gg \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf{x}}
 <= 0
\Rightarrow \dot{\neg}\, \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf{x}}
 = 0
; NegativeNumerical
\rhd \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf{x}}
 <= 0
\Rightarrow \dot{\neg}\, \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf{x}}
 = 0
\gg if(0
 <= \underline{
\mathsf{x}}
,\underline{
\mathsf{x}}
,-\underline{
\mathsf{x}}
)
 = -\underline{
\mathsf{x}}
; SubLessLeft
\rhd \underline{
\mathsf{x}}
 = \underline{
\mathsf{y}}
\rhd \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf{x}}
 <= 0
\Rightarrow \dot{\neg}\, \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf{x}}
 = 0
\gg \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf{y}}
 <= 0
\Rightarrow \dot{\neg}\, \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf{y}}
 = 0
; NegativeNumerical
\rhd \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf{y}}
 <= 0
\Rightarrow \dot{\neg}\, \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf{y}}
 = 0
\gg if(0
 <= \underline{
\mathsf{y}}
,\underline{
\mathsf{y}}
,-\underline{
\mathsf{y}}
)
 = -\underline{
\mathsf{y}}
; eqSymmetry
\rhd if(0
 <= \underline{
\mathsf{y}}
,\underline{
\mathsf{y}}
,-\underline{
\mathsf{y}}
)
 = -\underline{
\mathsf{y}}
\gg -\underline{
\mathsf{y}}
 = if(0
 <= \underline{
\mathsf{y}}
,\underline{
\mathsf{y}}
,-\underline{
\mathsf{y}}
)
; EqNegated
\rhd \underline{
\mathsf{x}}
 = \underline{
\mathsf{y}}
\gg -\underline{
\mathsf{x}}
 = -\underline{
\mathsf{y}}
; eqTransitivity4
\rhd if(0
 <= \underline{
\mathsf{x}}
,\underline{
\mathsf{x}}
,-\underline{
\mathsf{x}}
)
 = -\underline{
\mathsf{x}}
\rhd -\underline{
\mathsf{x}}
 = -\underline{
\mathsf{y}}
\rhd -\underline{
\mathsf{y}}
 = if(0
 <= \underline{
\mathsf{y}}
,\underline{
\mathsf{y}}
,-\underline{
\mathsf{y}}
)
\gg if(0
 <= \underline{
\mathsf{x}}
,\underline{
\mathsf{x}}
,-\underline{
\mathsf{x}}
)
 = if(0
 <= \underline{
\mathsf{y}}
,\underline{
\mathsf{y}}
,-\underline{
\mathsf{y}}
)
; 
\forall \underline{
\mathsf{x}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf{y}}
\colon \underline{
\mathsf{x}}
 = \underline{
\mathsf{y}}
\vdash Ded
\rhd 
\forall \underline{
\mathsf{x}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf{y}}
\colon 0
 <= \underline{
\mathsf{x}}
\vdash \underline{
\mathsf{x}}
 = \underline{
\mathsf{y}}
\vdash if(0
 <= \underline{
\mathsf{x}}
,\underline{
\mathsf{x}}
,-\underline{
\mathsf{x}}
)
 = if(0
 <= \underline{
\mathsf{y}}
,\underline{
\mathsf{y}}
,-\underline{
\mathsf{y}}
)
\gg 0
 <= \underline{
\mathsf{x}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf{x}}
 = \underline{
\mathsf{y}}
\Rightarrow if(0
 <= \underline{
\mathsf{x}}
,\underline{
\mathsf{x}}
,-\underline{
\mathsf{x}}
)
 = if(0
 <= \underline{
\mathsf{y}}
,\underline{
\mathsf{y}}
,-\underline{
\mathsf{y}}
)
; Ded
\rhd 
\forall \underline{
\mathsf{x}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf{y}}
\colon \dot{\neg}\, 0
 <= \underline{
\mathsf{x}}
\vdash \underline{
\mathsf{x}}
 = \underline{
\mathsf{y}}
\vdash if(0
 <= \underline{
\mathsf{x}}
,\underline{
\mathsf{x}}
,-\underline{
\mathsf{x}}
)
 = if(0
 <= \underline{
\mathsf{y}}
,\underline{
\mathsf{y}}
,-\underline{
\mathsf{y}}
)
\gg \dot{\neg}\, 0
 <= \underline{
\mathsf{x}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf{x}}
 = \underline{
\mathsf{y}}
\Rightarrow if(0
 <= \underline{
\mathsf{x}}
,\underline{
\mathsf{x}}
,-\underline{
\mathsf{x}}
)
 = if(0
 <= \underline{
\mathsf{y}}
,\underline{
\mathsf{y}}
,-\underline{
\mathsf{y}}
)
; FromNegations
\rhd 0
 <= \underline{
\mathsf{x}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf{x}}
 = \underline{
\mathsf{y}}
\Rightarrow if(0
 <= \underline{
\mathsf{x}}
,\underline{
\mathsf{x}}
,-\underline{
\mathsf{x}}
)
 = if(0
 <= \underline{
\mathsf{y}}
,\underline{
\mathsf{y}}
,-\underline{
\mathsf{y}}
)
\rhd \dot{\neg}\, 0
 <= \underline{
\mathsf{x}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf{x}}
 = \underline{
\mathsf{y}}
\Rightarrow if(0
 <= \underline{
\mathsf{x}}
,\underline{
\mathsf{x}}
,-\underline{
\mathsf{x}}
)
 = if(0
 <= \underline{
\mathsf{y}}
,\underline{
\mathsf{y}}
,-\underline{
\mathsf{y}}
)
\gg \underline{
\mathsf{x}}
 = \underline{
\mathsf{y}}
\Rightarrow if(0
 <= \underline{
\mathsf{x}}
,\underline{
\mathsf{x}}
,-\underline{
\mathsf{x}}
)
 = if(0
 <= \underline{
\mathsf{y}}
,\underline{
\mathsf{y}}
,-\underline{
\mathsf{y}}
)
; MP
\rhd \underline{
\mathsf{x}}
 = \underline{
\mathsf{y}}
\Rightarrow if(0
 <= \underline{
\mathsf{x}}
,\underline{
\mathsf{x}}
,-\underline{
\mathsf{x}}
)
 = if(0
 <= \underline{
\mathsf{y}}
,\underline{
\mathsf{y}}
,-\underline{
\mathsf{y}}
)
\rhd \underline{
\mathsf{x}}
 = \underline{
\mathsf{y}}
\gg if(0
 <= \underline{
\mathsf{x}}
,\underline{
\mathsf{x}}
,-\underline{
\mathsf{x}}
)
 = if(0
 <= \underline{
\mathsf{y}}
,\underline{
\mathsf{y}}
,-\underline{
\mathsf{y}}
)
\rceil 
, 
p_0
, 
\mathsf {c}
)
]$

$\rm
[SameNumerical
\stackrel{
stmt
}{\rightarrow}ZFsub
\vdash 
\forall \underline{
\mathsf{x}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf{y}}
\colon \underline{
\mathsf{x}}
 = \underline{
\mathsf{y}}
\vdash if(0
 <= \underline{
\mathsf{x}}
,\underline{
\mathsf{x}}
,-\underline{
\mathsf{x}}
)
 = if(0
 <= \underline{
\mathsf{y}}
,\underline{
\mathsf{y}}
,-\underline{
\mathsf{y}}
)
]$

$\rm
[SameNumerical
\stackrel{
\mathrm{tex}
}{\rightarrow}
\mbox{``}SameNumerical
\mbox{''}
]$

$\rm
[SameNumerical
\stackrel{
\mathrm{pyk}
}{\rightarrow}
\mbox{``}lemma
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}sameNumerical
\mbox{''}
]$

\hypertarget {url:1808490583581903168404721082347638465545342357588912671848929942716323841:323}{}\section* {$\rm SignNumerical(+)$}

$\rm
[SignNumerical(+)
\stackrel{
proof
}{\rightarrow}
\lambda 
\mathsf {c}
.
\lambda 
\mathsf{x}
.
{\cal P}( 
\lceil ZFsub
\vdash 
\forall \underline{
\mathsf{x}}
\colon \dot{\neg}\, 0
 <= \underline{
\mathsf{x}}
\Rightarrow \dot{\neg}\, \dot{\neg}\, 0
 = \underline{
\mathsf{x}}
\vdash PositiveNumerical
\rhd \dot{\neg}\, 0
 <= \underline{
\mathsf{x}}
\Rightarrow \dot{\neg}\, \dot{\neg}\, 0
 = \underline{
\mathsf{x}}
\gg if(0
 <= \underline{
\mathsf{x}}
,\underline{
\mathsf{x}}
,-\underline{
\mathsf{x}}
)
 = \underline{
\mathsf{x}}
; PositiveNegated
\rhd \dot{\neg}\, 0
 <= \underline{
\mathsf{x}}
\Rightarrow \dot{\neg}\, \dot{\neg}\, 0
 = \underline{
\mathsf{x}}
\gg \dot{\neg}\, -\underline{
\mathsf{x}}
 <= 0
\Rightarrow \dot{\neg}\, \dot{\neg}\, -\underline{
\mathsf{x}}
 = 0
; NegativeNumerical
\rhd \dot{\neg}\, -\underline{
\mathsf{x}}
 <= 0
\Rightarrow \dot{\neg}\, \dot{\neg}\, -\underline{
\mathsf{x}}
 = 0
\gg if(0
 <= -\underline{
\mathsf{x}}
,-\underline{
\mathsf{x}}
,--\underline{
\mathsf{x}}
)
 = --\underline{
\mathsf{x}}
; DoubleMinus
\gg --\underline{
\mathsf{x}}
 = \underline{
\mathsf{x}}
; eqTransitivity
\rhd if(0
 <= -\underline{
\mathsf{x}}
,-\underline{
\mathsf{x}}
,--\underline{
\mathsf{x}}
)
 = --\underline{
\mathsf{x}}
\rhd --\underline{
\mathsf{x}}
 = \underline{
\mathsf{x}}
\gg if(0
 <= -\underline{
\mathsf{x}}
,-\underline{
\mathsf{x}}
,--\underline{
\mathsf{x}}
)
 = \underline{
\mathsf{x}}
; eqSymmetry
\rhd if(0
 <= -\underline{
\mathsf{x}}
,-\underline{
\mathsf{x}}
,--\underline{
\mathsf{x}}
)
 = \underline{
\mathsf{x}}
\gg \underline{
\mathsf{x}}
 = if(0
 <= -\underline{
\mathsf{x}}
,-\underline{
\mathsf{x}}
,--\underline{
\mathsf{x}}
)
; eqTransitivity
\rhd if(0
 <= \underline{
\mathsf{x}}
,\underline{
\mathsf{x}}
,-\underline{
\mathsf{x}}
)
 = \underline{
\mathsf{x}}
\rhd \underline{
\mathsf{x}}
 = if(0
 <= -\underline{
\mathsf{x}}
,-\underline{
\mathsf{x}}
,--\underline{
\mathsf{x}}
)
\gg if(0
 <= \underline{
\mathsf{x}}
,\underline{
\mathsf{x}}
,-\underline{
\mathsf{x}}
)
 = if(0
 <= -\underline{
\mathsf{x}}
,-\underline{
\mathsf{x}}
,--\underline{
\mathsf{x}}
)
\rceil 
, 
p_0
, 
\mathsf {c}
)
]$

$\rm
[SignNumerical(+)
\stackrel{
stmt
}{\rightarrow}ZFsub
\vdash 
\forall \underline{
\mathsf{x}}
\colon \dot{\neg}\, 0
 <= \underline{
\mathsf{x}}
\Rightarrow \dot{\neg}\, \dot{\neg}\, 0
 = \underline{
\mathsf{x}}
\vdash if(0
 <= \underline{
\mathsf{x}}
,\underline{
\mathsf{x}}
,-\underline{
\mathsf{x}}
)
 = if(0
 <= -\underline{
\mathsf{x}}
,-\underline{
\mathsf{x}}
,--\underline{
\mathsf{x}}
)
]$

$\rm
[SignNumerical(+)
\stackrel{
\mathrm{tex}
}{\rightarrow}
\mbox{``}SignNumerical(
{+})
\mbox{''}
]$

$\rm
[SignNumerical(+)
\stackrel{
\mathrm{pyk}
}{\rightarrow}
\mbox{``}lemma
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}signNumerical(
{+})
\mbox{''}
]$

\hypertarget {url:1808490583581903168404721082347638465545342357588912671848929942716323841:324}{}\section* {$\rm SignNumerical$}

$\rm
[SignNumerical
\stackrel{
proof
}{\rightarrow}
\lambda 
\mathsf {c}
.
\lambda 
\mathsf{x}
.
{\cal P}( 
\lceil ZFsub
\vdash 
\forall \underline{
\mathsf{x}}
\colon \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf{x}}
 <= 0
\Rightarrow \dot{\neg}\, \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf{x}}
 = 0
\vdash NegativeNegated
\rhd \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf{x}}
 <= 0
\Rightarrow \dot{\neg}\, \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf{x}}
 = 0
\gg \dot{\neg}\, 0
 <= -\underline{
\mathsf{x}}
\Rightarrow \dot{\neg}\, \dot{\neg}\, 0
 = -\underline{
\mathsf{x}}
; SignNumerical(+)
\rhd \dot{\neg}\, 0
 <= -\underline{
\mathsf{x}}
\Rightarrow \dot{\neg}\, \dot{\neg}\, 0
 = -\underline{
\mathsf{x}}
\gg if(0
 <= -\underline{
\mathsf{x}}
,-\underline{
\mathsf{x}}
,--\underline{
\mathsf{x}}
)
 = if(0
 <= --\underline{
\mathsf{x}}
,--\underline{
\mathsf{x}}
,---\underline{
\mathsf{x}}
)
; DoubleMinus
\gg --\underline{
\mathsf{x}}
 = \underline{
\mathsf{x}}
; SameNumerical
\rhd --\underline{
\mathsf{x}}
 = \underline{
\mathsf{x}}
\gg if(0
 <= --\underline{
\mathsf{x}}
,--\underline{
\mathsf{x}}
,---\underline{
\mathsf{x}}
)
 = if(0
 <= \underline{
\mathsf{x}}
,\underline{
\mathsf{x}}
,-\underline{
\mathsf{x}}
)
; eqTransitivity
\rhd if(0
 <= -\underline{
\mathsf{x}}
,-\underline{
\mathsf{x}}
,--\underline{
\mathsf{x}}
)
 = if(0
 <= --\underline{
\mathsf{x}}
,--\underline{
\mathsf{x}}
,---\underline{
\mathsf{x}}
)
\rhd if(0
 <= --\underline{
\mathsf{x}}
,--\underline{
\mathsf{x}}
,---\underline{
\mathsf{x}}
)
 = if(0
 <= \underline{
\mathsf{x}}
,\underline{
\mathsf{x}}
,-\underline{
\mathsf{x}}
)
\gg if(0
 <= -\underline{
\mathsf{x}}
,-\underline{
\mathsf{x}}
,--\underline{
\mathsf{x}}
)
 = if(0
 <= \underline{
\mathsf{x}}
,\underline{
\mathsf{x}}
,-\underline{
\mathsf{x}}
)
; eqSymmetry
\rhd if(0
 <= -\underline{
\mathsf{x}}
,-\underline{
\mathsf{x}}
,--\underline{
\mathsf{x}}
)
 = if(0
 <= \underline{
\mathsf{x}}
,\underline{
\mathsf{x}}
,-\underline{
\mathsf{x}}
)
\gg if(0
 <= \underline{
\mathsf{x}}
,\underline{
\mathsf{x}}
,-\underline{
\mathsf{x}}
)
 = if(0
 <= -\underline{
\mathsf{x}}
,-\underline{
\mathsf{x}}
,--\underline{
\mathsf{x}}
)
; 
\forall \underline{
\mathsf{x}}
\colon \underline{
\mathsf{x}}
 = 0
\vdash EqNegated
\rhd \underline{
\mathsf{x}}
 = 0
\gg -\underline{
\mathsf{x}}
 = -0
; -0=0
\gg -0
 = 0
; eqSymmetry
\rhd \underline{
\mathsf{x}}
 = 0
\gg 0
 = \underline{
\mathsf{x}}
; eqTransitivity4
\rhd -\underline{
\mathsf{x}}
 = -0
\rhd -0
 = 0
\rhd 0
 = \underline{
\mathsf{x}}
\gg -\underline{
\mathsf{x}}
 = \underline{
\mathsf{x}}
; eqSymmetry
\rhd -\underline{
\mathsf{x}}
 = \underline{
\mathsf{x}}
\gg \underline{
\mathsf{x}}
 = -\underline{
\mathsf{x}}
; SameNumerical
\rhd \underline{
\mathsf{x}}
 = -\underline{
\mathsf{x}}
\gg if(0
 <= \underline{
\mathsf{x}}
,\underline{
\mathsf{x}}
,-\underline{
\mathsf{x}}
)
 = if(0
 <= -\underline{
\mathsf{x}}
,-\underline{
\mathsf{x}}
,--\underline{
\mathsf{x}}
)
; 
\forall \underline{
\mathsf{x}}
\colon \dot{\neg}\, 0
 <= \underline{
\mathsf{x}}
\Rightarrow \dot{\neg}\, \dot{\neg}\, 0
 = \underline{
\mathsf{x}}
\vdash SignNumerical(+)
\rhd \dot{\neg}\, 0
 <= \underline{
\mathsf{x}}
\Rightarrow \dot{\neg}\, \dot{\neg}\, 0
 = \underline{
\mathsf{x}}
\gg if(0
 <= \underline{
\mathsf{x}}
,\underline{
\mathsf{x}}
,-\underline{
\mathsf{x}}
)
 = if(0
 <= -\underline{
\mathsf{x}}
,-\underline{
\mathsf{x}}
,--\underline{
\mathsf{x}}
)
; 
\forall \underline{
\mathsf{x}}
\colon Ded
\rhd 
\forall \underline{
\mathsf{x}}
\colon \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf{x}}
 <= 0
\Rightarrow \dot{\neg}\, \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf{x}}
 = 0
\vdash if(0
 <= \underline{
\mathsf{x}}
,\underline{
\mathsf{x}}
,-\underline{
\mathsf{x}}
)
 = if(0
 <= -\underline{
\mathsf{x}}
,-\underline{
\mathsf{x}}
,--\underline{
\mathsf{x}}
)
\gg \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf{x}}
 <= 0
\Rightarrow \dot{\neg}\, \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf{x}}
 = 0
\Rightarrow if(0
 <= \underline{
\mathsf{x}}
,\underline{
\mathsf{x}}
,-\underline{
\mathsf{x}}
)
 = if(0
 <= -\underline{
\mathsf{x}}
,-\underline{
\mathsf{x}}
,--\underline{
\mathsf{x}}
)
; Ded
\rhd 
\forall \underline{
\mathsf{x}}
\colon \underline{
\mathsf{x}}
 = 0
\vdash if(0
 <= \underline{
\mathsf{x}}
,\underline{
\mathsf{x}}
,-\underline{
\mathsf{x}}
)
 = if(0
 <= -\underline{
\mathsf{x}}
,-\underline{
\mathsf{x}}
,--\underline{
\mathsf{x}}
)
\gg \underline{
\mathsf{x}}
 = 0
\Rightarrow if(0
 <= \underline{
\mathsf{x}}
,\underline{
\mathsf{x}}
,-\underline{
\mathsf{x}}
)
 = if(0
 <= -\underline{
\mathsf{x}}
,-\underline{
\mathsf{x}}
,--\underline{
\mathsf{x}}
)
; Ded
\rhd 
\forall \underline{
\mathsf{x}}
\colon \dot{\neg}\, 0
 <= \underline{
\mathsf{x}}
\Rightarrow \dot{\neg}\, \dot{\neg}\, 0
 = \underline{
\mathsf{x}}
\vdash if(0
 <= \underline{
\mathsf{x}}
,\underline{
\mathsf{x}}
,-\underline{
\mathsf{x}}
)
 = if(0
 <= -\underline{
\mathsf{x}}
,-\underline{
\mathsf{x}}
,--\underline{
\mathsf{x}}
)
\gg \dot{\neg}\, 0
 <= \underline{
\mathsf{x}}
\Rightarrow \dot{\neg}\, \dot{\neg}\, 0
 = \underline{
\mathsf{x}}
\Rightarrow if(0
 <= \underline{
\mathsf{x}}
,\underline{
\mathsf{x}}
,-\underline{
\mathsf{x}}
)
 = if(0
 <= -\underline{
\mathsf{x}}
,-\underline{
\mathsf{x}}
,--\underline{
\mathsf{x}}
)
; LessTotality
\gg \dot{\neg}\, \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf{x}}
 <= 0
\Rightarrow \dot{\neg}\, \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf{x}}
 = 0
\Rightarrow \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf{x}}
 = 0
\Rightarrow \dot{\neg}\, 0
 <= \underline{
\mathsf{x}}
\Rightarrow \dot{\neg}\, \dot{\neg}\, 0
 = \underline{
\mathsf{x}}
; From3Disjuncts
\rhd \dot{\neg}\, \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf{x}}
 <= 0
\Rightarrow \dot{\neg}\, \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf{x}}
 = 0
\Rightarrow \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf{x}}
 = 0
\Rightarrow \dot{\neg}\, 0
 <= \underline{
\mathsf{x}}
\Rightarrow \dot{\neg}\, \dot{\neg}\, 0
 = \underline{
\mathsf{x}}
\rhd \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf{x}}
 <= 0
\Rightarrow \dot{\neg}\, \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf{x}}
 = 0
\Rightarrow if(0
 <= \underline{
\mathsf{x}}
,\underline{
\mathsf{x}}
,-\underline{
\mathsf{x}}
)
 = if(0
 <= -\underline{
\mathsf{x}}
,-\underline{
\mathsf{x}}
,--\underline{
\mathsf{x}}
)
\rhd \underline{
\mathsf{x}}
 = 0
\Rightarrow if(0
 <= \underline{
\mathsf{x}}
,\underline{
\mathsf{x}}
,-\underline{
\mathsf{x}}
)
 = if(0
 <= -\underline{
\mathsf{x}}
,-\underline{
\mathsf{x}}
,--\underline{
\mathsf{x}}
)
\rhd \dot{\neg}\, 0
 <= \underline{
\mathsf{x}}
\Rightarrow \dot{\neg}\, \dot{\neg}\, 0
 = \underline{
\mathsf{x}}
\Rightarrow if(0
 <= \underline{
\mathsf{x}}
,\underline{
\mathsf{x}}
,-\underline{
\mathsf{x}}
)
 = if(0
 <= -\underline{
\mathsf{x}}
,-\underline{
\mathsf{x}}
,--\underline{
\mathsf{x}}
)
\gg if(0
 <= \underline{
\mathsf{x}}
,\underline{
\mathsf{x}}
,-\underline{
\mathsf{x}}
)
 = if(0
 <= -\underline{
\mathsf{x}}
,-\underline{
\mathsf{x}}
,--\underline{
\mathsf{x}}
)
\rceil 
, 
p_0
, 
\mathsf {c}
)
]$

$\rm
[SignNumerical
\stackrel{
stmt
}{\rightarrow}ZFsub
\vdash 
\forall \underline{
\mathsf{x}}
\colon if(0
 <= \underline{
\mathsf{x}}
,\underline{
\mathsf{x}}
,-\underline{
\mathsf{x}}
)
 = if(0
 <= -\underline{
\mathsf{x}}
,-\underline{
\mathsf{x}}
,--\underline{
\mathsf{x}}
)
]$

$\rm
[SignNumerical
\stackrel{
\mathrm{tex}
}{\rightarrow}
\mbox{``}SignNumerical
\mbox{''}
]$

$\rm
[SignNumerical
\stackrel{
\mathrm{pyk}
}{\rightarrow}
\mbox{``}lemma
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}signNumerical
\mbox{''}
]$

\hypertarget {url:1808490583581903168404721082347638465545342357588912671848929942716323841:325}{}\section* {$\rm NumericalDifference$}

$\rm
[NumericalDifference
\stackrel{
proof
}{\rightarrow}
\lambda 
\mathsf {c}
.
\lambda 
\mathsf{x}
.
{\cal P}( 
\lceil ZFsub
\vdash 
\forall \underline{
\mathsf{x}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf{y}}
\colon SignNumerical
\gg if(0
 <= \underline{
\mathsf{x}}
+-\underline{
\mathsf{y}}
,\underline{
\mathsf{x}}
+-\underline{
\mathsf{y}}
,-\underline{
\mathsf{x}}
+-\underline{
\mathsf{y}}
)
 = if(0
 <= -\underline{
\mathsf{x}}
+-\underline{
\mathsf{y}}
,-\underline{
\mathsf{x}}
+-\underline{
\mathsf{y}}
,--\underline{
\mathsf{x}}
+-\underline{
\mathsf{y}}
)
; MinusNegated
\gg -\underline{
\mathsf{x}}
+-\underline{
\mathsf{y}}
 = \underline{
\mathsf{y}}
+-\underline{
\mathsf{x}}
; SameNumerical
\rhd -\underline{
\mathsf{x}}
+-\underline{
\mathsf{y}}
 = \underline{
\mathsf{y}}
+-\underline{
\mathsf{x}}
\gg if(0
 <= -\underline{
\mathsf{x}}
+-\underline{
\mathsf{y}}
,-\underline{
\mathsf{x}}
+-\underline{
\mathsf{y}}
,--\underline{
\mathsf{x}}
+-\underline{
\mathsf{y}}
)
 = if(0
 <= \underline{
\mathsf{y}}
+-\underline{
\mathsf{x}}
,\underline{
\mathsf{y}}
+-\underline{
\mathsf{x}}
,-\underline{
\mathsf{y}}
+-\underline{
\mathsf{x}}
)
; eqTransitivity
\rhd if(0
 <= \underline{
\mathsf{x}}
+-\underline{
\mathsf{y}}
,\underline{
\mathsf{x}}
+-\underline{
\mathsf{y}}
,-\underline{
\mathsf{x}}
+-\underline{
\mathsf{y}}
)
 = if(0
 <= -\underline{
\mathsf{x}}
+-\underline{
\mathsf{y}}
,-\underline{
\mathsf{x}}
+-\underline{
\mathsf{y}}
,--\underline{
\mathsf{x}}
+-\underline{
\mathsf{y}}
)
\rhd if(0
 <= -\underline{
\mathsf{x}}
+-\underline{
\mathsf{y}}
,-\underline{
\mathsf{x}}
+-\underline{
\mathsf{y}}
,--\underline{
\mathsf{x}}
+-\underline{
\mathsf{y}}
)
 = if(0
 <= \underline{
\mathsf{y}}
+-\underline{
\mathsf{x}}
,\underline{
\mathsf{y}}
+-\underline{
\mathsf{x}}
,-\underline{
\mathsf{y}}
+-\underline{
\mathsf{x}}
)
\gg if(0
 <= \underline{
\mathsf{x}}
+-\underline{
\mathsf{y}}
,\underline{
\mathsf{x}}
+-\underline{
\mathsf{y}}
,-\underline{
\mathsf{x}}
+-\underline{
\mathsf{y}}
)
 = if(0
 <= \underline{
\mathsf{y}}
+-\underline{
\mathsf{x}}
,\underline{
\mathsf{y}}
+-\underline{
\mathsf{x}}
,-\underline{
\mathsf{y}}
+-\underline{
\mathsf{x}}
)
\rceil 
, 
p_0
, 
\mathsf {c}
)
]$

$\rm
[NumericalDifference
\stackrel{
stmt
}{\rightarrow}ZFsub
\vdash 
\forall \underline{
\mathsf{x}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf{y}}
\colon if(0
 <= \underline{
\mathsf{x}}
+-\underline{
\mathsf{y}}
,\underline{
\mathsf{x}}
+-\underline{
\mathsf{y}}
,-\underline{
\mathsf{x}}
+-\underline{
\mathsf{y}}
)
 = if(0
 <= \underline{
\mathsf{y}}
+-\underline{
\mathsf{x}}
,\underline{
\mathsf{y}}
+-\underline{
\mathsf{x}}
,-\underline{
\mathsf{y}}
+-\underline{
\mathsf{x}}
)
]$

$\rm
[NumericalDifference
\stackrel{
\mathrm{tex}
}{\rightarrow}
\mbox{``}NumericalDifference
\mbox{''}
]$

$\rm
[NumericalDifference
\stackrel{
\mathrm{pyk}
}{\rightarrow}
\mbox{``}lemma
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}numericalDifference
\mbox{''}
]$

\hypertarget {url:1808490583581903168404721082347638465545342357588912671848929942716323841:326}{}\section* {$\rm SplitNumericalSumHelper$}

$\rm
[SplitNumericalSumHelper
\stackrel{
proof
}{\rightarrow}
\lambda 
\mathsf {c}
.
\lambda 
\mathsf{x}
.
{\cal P}( 
\lceil ZFsub
\vdash 
\forall \underline{
\mathsf{x}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf{y}}
\colon if(0
 <= -\underline{
\mathsf{x}}
+-\underline{
\mathsf{y}}
,-\underline{
\mathsf{x}}
+-\underline{
\mathsf{y}}
,--\underline{
\mathsf{x}}
+-\underline{
\mathsf{y}}
)
 <= if(0
 <= -\underline{
\mathsf{x}}
,-\underline{
\mathsf{x}}
,--\underline{
\mathsf{x}}
)
+if(0
 <= -\underline{
\mathsf{y}}
,-\underline{
\mathsf{y}}
,--\underline{
\mathsf{y}}
)
\vdash SignNumerical
\gg if(0
 <= \underline{
\mathsf{x}}
,\underline{
\mathsf{x}}
,-\underline{
\mathsf{x}}
)
 = if(0
 <= -\underline{
\mathsf{x}}
,-\underline{
\mathsf{x}}
,--\underline{
\mathsf{x}}
)
; SignNumerical
\gg if(0
 <= \underline{
\mathsf{y}}
,\underline{
\mathsf{y}}
,-\underline{
\mathsf{y}}
)
 = if(0
 <= -\underline{
\mathsf{y}}
,-\underline{
\mathsf{y}}
,--\underline{
\mathsf{y}}
)
; AddEquations
\rhd if(0
 <= \underline{
\mathsf{x}}
,\underline{
\mathsf{x}}
,-\underline{
\mathsf{x}}
)
 = if(0
 <= -\underline{
\mathsf{x}}
,-\underline{
\mathsf{x}}
,--\underline{
\mathsf{x}}
)
\rhd if(0
 <= \underline{
\mathsf{y}}
,\underline{
\mathsf{y}}
,-\underline{
\mathsf{y}}
)
 = if(0
 <= -\underline{
\mathsf{y}}
,-\underline{
\mathsf{y}}
,--\underline{
\mathsf{y}}
)
\gg if(0
 <= \underline{
\mathsf{x}}
,\underline{
\mathsf{x}}
,-\underline{
\mathsf{x}}
)
+if(0
 <= \underline{
\mathsf{y}}
,\underline{
\mathsf{y}}
,-\underline{
\mathsf{y}}
)
 = if(0
 <= -\underline{
\mathsf{x}}
,-\underline{
\mathsf{x}}
,--\underline{
\mathsf{x}}
)
+if(0
 <= -\underline{
\mathsf{y}}
,-\underline{
\mathsf{y}}
,--\underline{
\mathsf{y}}
)
; eqSymmetry
\rhd if(0
 <= \underline{
\mathsf{x}}
,\underline{
\mathsf{x}}
,-\underline{
\mathsf{x}}
)
+if(0
 <= \underline{
\mathsf{y}}
,\underline{
\mathsf{y}}
,-\underline{
\mathsf{y}}
)
 = if(0
 <= -\underline{
\mathsf{x}}
,-\underline{
\mathsf{x}}
,--\underline{
\mathsf{x}}
)
+if(0
 <= -\underline{
\mathsf{y}}
,-\underline{
\mathsf{y}}
,--\underline{
\mathsf{y}}
)
\gg if(0
 <= -\underline{
\mathsf{x}}
,-\underline{
\mathsf{x}}
,--\underline{
\mathsf{x}}
)
+if(0
 <= -\underline{
\mathsf{y}}
,-\underline{
\mathsf{y}}
,--\underline{
\mathsf{y}}
)
 = if(0
 <= \underline{
\mathsf{x}}
,\underline{
\mathsf{x}}
,-\underline{
\mathsf{x}}
)
+if(0
 <= \underline{
\mathsf{y}}
,\underline{
\mathsf{y}}
,-\underline{
\mathsf{y}}
)
; -x-y=-(x+y)
\gg -\underline{
\mathsf{x}}
+-\underline{
\mathsf{y}}
 = -\underline{
\mathsf{x}}
+\underline{
\mathsf{y}}
; SameNumerical
\rhd -\underline{
\mathsf{x}}
+-\underline{
\mathsf{y}}
 = -\underline{
\mathsf{x}}
+\underline{
\mathsf{y}}
\gg if(0
 <= -\underline{
\mathsf{x}}
+-\underline{
\mathsf{y}}
,-\underline{
\mathsf{x}}
+-\underline{
\mathsf{y}}
,--\underline{
\mathsf{x}}
+-\underline{
\mathsf{y}}
)
 = if(0
 <= -\underline{
\mathsf{x}}
+\underline{
\mathsf{y}}
,-\underline{
\mathsf{x}}
+\underline{
\mathsf{y}}
,--\underline{
\mathsf{x}}
+\underline{
\mathsf{y}}
)
; SignNumerical
\gg if(0
 <= \underline{
\mathsf{x}}
+\underline{
\mathsf{y}}
,\underline{
\mathsf{x}}
+\underline{
\mathsf{y}}
,-\underline{
\mathsf{x}}
+\underline{
\mathsf{y}}
)
 = if(0
 <= -\underline{
\mathsf{x}}
+\underline{
\mathsf{y}}
,-\underline{
\mathsf{x}}
+\underline{
\mathsf{y}}
,--\underline{
\mathsf{x}}
+\underline{
\mathsf{y}}
)
; eqSymmetry
\rhd if(0
 <= \underline{
\mathsf{x}}
+\underline{
\mathsf{y}}
,\underline{
\mathsf{x}}
+\underline{
\mathsf{y}}
,-\underline{
\mathsf{x}}
+\underline{
\mathsf{y}}
)
 = if(0
 <= -\underline{
\mathsf{x}}
+\underline{
\mathsf{y}}
,-\underline{
\mathsf{x}}
+\underline{
\mathsf{y}}
,--\underline{
\mathsf{x}}
+\underline{
\mathsf{y}}
)
\gg if(0
 <= -\underline{
\mathsf{x}}
+\underline{
\mathsf{y}}
,-\underline{
\mathsf{x}}
+\underline{
\mathsf{y}}
,--\underline{
\mathsf{x}}
+\underline{
\mathsf{y}}
)
 = if(0
 <= \underline{
\mathsf{x}}
+\underline{
\mathsf{y}}
,\underline{
\mathsf{x}}
+\underline{
\mathsf{y}}
,-\underline{
\mathsf{x}}
+\underline{
\mathsf{y}}
)
; eqTransitivity
\rhd if(0
 <= -\underline{
\mathsf{x}}
+-\underline{
\mathsf{y}}
,-\underline{
\mathsf{x}}
+-\underline{
\mathsf{y}}
,--\underline{
\mathsf{x}}
+-\underline{
\mathsf{y}}
)
 = if(0
 <= -\underline{
\mathsf{x}}
+\underline{
\mathsf{y}}
,-\underline{
\mathsf{x}}
+\underline{
\mathsf{y}}
,--\underline{
\mathsf{x}}
+\underline{
\mathsf{y}}
)
\rhd if(0
 <= -\underline{
\mathsf{x}}
+\underline{
\mathsf{y}}
,-\underline{
\mathsf{x}}
+\underline{
\mathsf{y}}
,--\underline{
\mathsf{x}}
+\underline{
\mathsf{y}}
)
 = if(0
 <= \underline{
\mathsf{x}}
+\underline{
\mathsf{y}}
,\underline{
\mathsf{x}}
+\underline{
\mathsf{y}}
,-\underline{
\mathsf{x}}
+\underline{
\mathsf{y}}
)
\gg if(0
 <= -\underline{
\mathsf{x}}
+-\underline{
\mathsf{y}}
,-\underline{
\mathsf{x}}
+-\underline{
\mathsf{y}}
,--\underline{
\mathsf{x}}
+-\underline{
\mathsf{y}}
)
 = if(0
 <= \underline{
\mathsf{x}}
+\underline{
\mathsf{y}}
,\underline{
\mathsf{x}}
+\underline{
\mathsf{y}}
,-\underline{
\mathsf{x}}
+\underline{
\mathsf{y}}
)
; subLeqRight
\rhd if(0
 <= -\underline{
\mathsf{x}}
,-\underline{
\mathsf{x}}
,--\underline{
\mathsf{x}}
)
+if(0
 <= -\underline{
\mathsf{y}}
,-\underline{
\mathsf{y}}
,--\underline{
\mathsf{y}}
)
 = if(0
 <= \underline{
\mathsf{x}}
,\underline{
\mathsf{x}}
,-\underline{
\mathsf{x}}
)
+if(0
 <= \underline{
\mathsf{y}}
,\underline{
\mathsf{y}}
,-\underline{
\mathsf{y}}
)
\rhd if(0
 <= -\underline{
\mathsf{x}}
+-\underline{
\mathsf{y}}
,-\underline{
\mathsf{x}}
+-\underline{
\mathsf{y}}
,--\underline{
\mathsf{x}}
+-\underline{
\mathsf{y}}
)
 <= if(0
 <= -\underline{
\mathsf{x}}
,-\underline{
\mathsf{x}}
,--\underline{
\mathsf{x}}
)
+if(0
 <= -\underline{
\mathsf{y}}
,-\underline{
\mathsf{y}}
,--\underline{
\mathsf{y}}
)
\gg if(0
 <= -\underline{
\mathsf{x}}
+-\underline{
\mathsf{y}}
,-\underline{
\mathsf{x}}
+-\underline{
\mathsf{y}}
,--\underline{
\mathsf{x}}
+-\underline{
\mathsf{y}}
)
 <= if(0
 <= \underline{
\mathsf{x}}
,\underline{
\mathsf{x}}
,-\underline{
\mathsf{x}}
)
+if(0
 <= \underline{
\mathsf{y}}
,\underline{
\mathsf{y}}
,-\underline{
\mathsf{y}}
)
; subLeqLeft
\rhd if(0
 <= -\underline{
\mathsf{x}}
+-\underline{
\mathsf{y}}
,-\underline{
\mathsf{x}}
+-\underline{
\mathsf{y}}
,--\underline{
\mathsf{x}}
+-\underline{
\mathsf{y}}
)
 = if(0
 <= \underline{
\mathsf{x}}
+\underline{
\mathsf{y}}
,\underline{
\mathsf{x}}
+\underline{
\mathsf{y}}
,-\underline{
\mathsf{x}}
+\underline{
\mathsf{y}}
)
\rhd if(0
 <= -\underline{
\mathsf{x}}
+-\underline{
\mathsf{y}}
,-\underline{
\mathsf{x}}
+-\underline{
\mathsf{y}}
,--\underline{
\mathsf{x}}
+-\underline{
\mathsf{y}}
)
 <= if(0
 <= \underline{
\mathsf{x}}
,\underline{
\mathsf{x}}
,-\underline{
\mathsf{x}}
)
+if(0
 <= \underline{
\mathsf{y}}
,\underline{
\mathsf{y}}
,-\underline{
\mathsf{y}}
)
\gg if(0
 <= \underline{
\mathsf{x}}
+\underline{
\mathsf{y}}
,\underline{
\mathsf{x}}
+\underline{
\mathsf{y}}
,-\underline{
\mathsf{x}}
+\underline{
\mathsf{y}}
)
 <= if(0
 <= \underline{
\mathsf{x}}
,\underline{
\mathsf{x}}
,-\underline{
\mathsf{x}}
)
+if(0
 <= \underline{
\mathsf{y}}
,\underline{
\mathsf{y}}
,-\underline{
\mathsf{y}}
)
\rceil 
, 
p_0
, 
\mathsf {c}
)
]$

$\rm
[SplitNumericalSumHelper
\stackrel{
stmt
}{\rightarrow}ZFsub
\vdash 
\forall \underline{
\mathsf{x}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf{y}}
\colon if(0
 <= -\underline{
\mathsf{x}}
+-\underline{
\mathsf{y}}
,-\underline{
\mathsf{x}}
+-\underline{
\mathsf{y}}
,--\underline{
\mathsf{x}}
+-\underline{
\mathsf{y}}
)
 <= if(0
 <= -\underline{
\mathsf{x}}
,-\underline{
\mathsf{x}}
,--\underline{
\mathsf{x}}
)
+if(0
 <= -\underline{
\mathsf{y}}
,-\underline{
\mathsf{y}}
,--\underline{
\mathsf{y}}
)
\vdash if(0
 <= \underline{
\mathsf{x}}
+\underline{
\mathsf{y}}
,\underline{
\mathsf{x}}
+\underline{
\mathsf{y}}
,-\underline{
\mathsf{x}}
+\underline{
\mathsf{y}}
)
 <= if(0
 <= \underline{
\mathsf{x}}
,\underline{
\mathsf{x}}
,-\underline{
\mathsf{x}}
)
+if(0
 <= \underline{
\mathsf{y}}
,\underline{
\mathsf{y}}
,-\underline{
\mathsf{y}}
)
]$

$\rm
[SplitNumericalSumHelper
\stackrel{
\mathrm{tex}
}{\rightarrow}
\mbox{``}SplitNumericalSumHelper
\mbox{''}
]$

$\rm
[SplitNumericalSumHelper
\stackrel{
\mathrm{pyk}
}{\rightarrow}
\mbox{``}lemma
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}splitNumericalSumHelper
\mbox{''}
]$

\hypertarget {url:1808490583581903168404721082347638465545342357588912671848929942716323841:327}{}\section* {$\rm splitNumericalSum(++)$}

$\rm
[splitNumericalSum(++)
\stackrel{
proof
}{\rightarrow}
\lambda 
\mathsf {c}
.
\lambda 
\mathsf{x}
.
{\cal P}( 
\lceil ZFsub
\vdash 
\forall \underline{
\mathsf{x}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf{y}}
\colon 0
 <= \underline{
\mathsf{x}}
\vdash 0
 <= \underline{
\mathsf{y}}
\vdash AddEquations(Leq)
\rhd 0
 <= \underline{
\mathsf{x}}
\rhd 0
 <= \underline{
\mathsf{y}}
\gg 0
+0
 <= \underline{
\mathsf{x}}
+\underline{
\mathsf{y}}
; plus0
\gg 0
+0
 = 0
; subLeqLeft
\rhd 0
+0
 = 0
\rhd 0
+0
 <= \underline{
\mathsf{x}}
+\underline{
\mathsf{y}}
\gg 0
 <= \underline{
\mathsf{x}}
+\underline{
\mathsf{y}}
; NonnegativeNumerical
\rhd 0
 <= \underline{
\mathsf{x}}
+\underline{
\mathsf{y}}
\gg if(0
 <= \underline{
\mathsf{x}}
+\underline{
\mathsf{y}}
,\underline{
\mathsf{x}}
+\underline{
\mathsf{y}}
,-\underline{
\mathsf{x}}
+\underline{
\mathsf{y}}
)
 = \underline{
\mathsf{x}}
+\underline{
\mathsf{y}}
; NonnegativeNumerical
\rhd 0
 <= \underline{
\mathsf{x}}
\gg if(0
 <= \underline{
\mathsf{x}}
,\underline{
\mathsf{x}}
,-\underline{
\mathsf{x}}
)
 = \underline{
\mathsf{x}}
; NonnegativeNumerical
\rhd 0
 <= \underline{
\mathsf{y}}
\gg if(0
 <= \underline{
\mathsf{y}}
,\underline{
\mathsf{y}}
,-\underline{
\mathsf{y}}
)
 = \underline{
\mathsf{y}}
; AddEquations
\rhd if(0
 <= \underline{
\mathsf{x}}
,\underline{
\mathsf{x}}
,-\underline{
\mathsf{x}}
)
 = \underline{
\mathsf{x}}
\rhd if(0
 <= \underline{
\mathsf{y}}
,\underline{
\mathsf{y}}
,-\underline{
\mathsf{y}}
)
 = \underline{
\mathsf{y}}
\gg if(0
 <= \underline{
\mathsf{x}}
,\underline{
\mathsf{x}}
,-\underline{
\mathsf{x}}
)
+if(0
 <= \underline{
\mathsf{y}}
,\underline{
\mathsf{y}}
,-\underline{
\mathsf{y}}
)
 = \underline{
\mathsf{x}}
+\underline{
\mathsf{y}}
; eqSymmetry
\rhd if(0
 <= \underline{
\mathsf{x}}
,\underline{
\mathsf{x}}
,-\underline{
\mathsf{x}}
)
+if(0
 <= \underline{
\mathsf{y}}
,\underline{
\mathsf{y}}
,-\underline{
\mathsf{y}}
)
 = \underline{
\mathsf{x}}
+\underline{
\mathsf{y}}
\gg \underline{
\mathsf{x}}
+\underline{
\mathsf{y}}
 = if(0
 <= \underline{
\mathsf{x}}
,\underline{
\mathsf{x}}
,-\underline{
\mathsf{x}}
)
+if(0
 <= \underline{
\mathsf{y}}
,\underline{
\mathsf{y}}
,-\underline{
\mathsf{y}}
)
; eqTransitivity
\rhd if(0
 <= \underline{
\mathsf{x}}
+\underline{
\mathsf{y}}
,\underline{
\mathsf{x}}
+\underline{
\mathsf{y}}
,-\underline{
\mathsf{x}}
+\underline{
\mathsf{y}}
)
 = \underline{
\mathsf{x}}
+\underline{
\mathsf{y}}
\rhd \underline{
\mathsf{x}}
+\underline{
\mathsf{y}}
 = if(0
 <= \underline{
\mathsf{x}}
,\underline{
\mathsf{x}}
,-\underline{
\mathsf{x}}
)
+if(0
 <= \underline{
\mathsf{y}}
,\underline{
\mathsf{y}}
,-\underline{
\mathsf{y}}
)
\gg if(0
 <= \underline{
\mathsf{x}}
+\underline{
\mathsf{y}}
,\underline{
\mathsf{x}}
+\underline{
\mathsf{y}}
,-\underline{
\mathsf{x}}
+\underline{
\mathsf{y}}
)
 = if(0
 <= \underline{
\mathsf{x}}
,\underline{
\mathsf{x}}
,-\underline{
\mathsf{x}}
)
+if(0
 <= \underline{
\mathsf{y}}
,\underline{
\mathsf{y}}
,-\underline{
\mathsf{y}}
)
; eqLeq
\rhd if(0
 <= \underline{
\mathsf{x}}
+\underline{
\mathsf{y}}
,\underline{
\mathsf{x}}
+\underline{
\mathsf{y}}
,-\underline{
\mathsf{x}}
+\underline{
\mathsf{y}}
)
 = if(0
 <= \underline{
\mathsf{x}}
,\underline{
\mathsf{x}}
,-\underline{
\mathsf{x}}
)
+if(0
 <= \underline{
\mathsf{y}}
,\underline{
\mathsf{y}}
,-\underline{
\mathsf{y}}
)
\gg if(0
 <= \underline{
\mathsf{x}}
+\underline{
\mathsf{y}}
,\underline{
\mathsf{x}}
+\underline{
\mathsf{y}}
,-\underline{
\mathsf{x}}
+\underline{
\mathsf{y}}
)
 <= if(0
 <= \underline{
\mathsf{x}}
,\underline{
\mathsf{x}}
,-\underline{
\mathsf{x}}
)
+if(0
 <= \underline{
\mathsf{y}}
,\underline{
\mathsf{y}}
,-\underline{
\mathsf{y}}
)
\rceil 
, 
p_0
, 
\mathsf {c}
)
]$

$\rm
[splitNumericalSum(++)
\stackrel{
stmt
}{\rightarrow}ZFsub
\vdash 
\forall \underline{
\mathsf{x}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf{y}}
\colon 0
 <= \underline{
\mathsf{x}}
\vdash 0
 <= \underline{
\mathsf{y}}
\vdash if(0
 <= \underline{
\mathsf{x}}
+\underline{
\mathsf{y}}
,\underline{
\mathsf{x}}
+\underline{
\mathsf{y}}
,-\underline{
\mathsf{x}}
+\underline{
\mathsf{y}}
)
 <= if(0
 <= \underline{
\mathsf{x}}
,\underline{
\mathsf{x}}
,-\underline{
\mathsf{x}}
)
+if(0
 <= \underline{
\mathsf{y}}
,\underline{
\mathsf{y}}
,-\underline{
\mathsf{y}}
)
]$

$\rm
[splitNumericalSum(++)
\stackrel{
\mathrm{tex}
}{\rightarrow}
\mbox{``}splitNumericalSum(
{+}
{+})
\mbox{''}
]$

$\rm
[splitNumericalSum(++)
\stackrel{
\mathrm{pyk}
}{\rightarrow}
\mbox{``}lemma
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}splitNumericalSum(
{+}
{+})
\mbox{''}
]$

\hypertarget {url:1808490583581903168404721082347638465545342357588912671848929942716323841:328}{}\section* {$\rm splitNumericalSum(--)$}

$\rm
[splitNumericalSum(--)
\stackrel{
proof
}{\rightarrow}
\lambda 
\mathsf {c}
.
\lambda 
\mathsf{x}
.
{\cal P}( 
\lceil ZFsub
\vdash 
\forall \underline{
\mathsf{x}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf{y}}
\colon \underline{
\mathsf{x}}
 <= 0
\vdash \underline{
\mathsf{y}}
 <= 0
\vdash NonpositiveNegated
\rhd \underline{
\mathsf{x}}
 <= 0
\gg 0
 <= -\underline{
\mathsf{x}}
; NonpositiveNegated
\rhd \underline{
\mathsf{y}}
 <= 0
\gg 0
 <= -\underline{
\mathsf{y}}
; splitNumericalSum(++)
\rhd 0
 <= -\underline{
\mathsf{x}}
\rhd 0
 <= -\underline{
\mathsf{y}}
\gg if(0
 <= -\underline{
\mathsf{x}}
+-\underline{
\mathsf{y}}
,-\underline{
\mathsf{x}}
+-\underline{
\mathsf{y}}
,--\underline{
\mathsf{x}}
+-\underline{
\mathsf{y}}
)
 <= if(0
 <= -\underline{
\mathsf{x}}
,-\underline{
\mathsf{x}}
,--\underline{
\mathsf{x}}
)
+if(0
 <= -\underline{
\mathsf{y}}
,-\underline{
\mathsf{y}}
,--\underline{
\mathsf{y}}
)
; SplitNumericalSumHelper
\rhd if(0
 <= -\underline{
\mathsf{x}}
+-\underline{
\mathsf{y}}
,-\underline{
\mathsf{x}}
+-\underline{
\mathsf{y}}
,--\underline{
\mathsf{x}}
+-\underline{
\mathsf{y}}
)
 <= if(0
 <= -\underline{
\mathsf{x}}
,-\underline{
\mathsf{x}}
,--\underline{
\mathsf{x}}
)
+if(0
 <= -\underline{
\mathsf{y}}
,-\underline{
\mathsf{y}}
,--\underline{
\mathsf{y}}
)
\gg if(0
 <= \underline{
\mathsf{x}}
+\underline{
\mathsf{y}}
,\underline{
\mathsf{x}}
+\underline{
\mathsf{y}}
,-\underline{
\mathsf{x}}
+\underline{
\mathsf{y}}
)
 <= if(0
 <= \underline{
\mathsf{x}}
,\underline{
\mathsf{x}}
,-\underline{
\mathsf{x}}
)
+if(0
 <= \underline{
\mathsf{y}}
,\underline{
\mathsf{y}}
,-\underline{
\mathsf{y}}
)
\rceil 
, 
p_0
, 
\mathsf {c}
)
]$

$\rm
[splitNumericalSum(--)
\stackrel{
stmt
}{\rightarrow}ZFsub
\vdash 
\forall \underline{
\mathsf{x}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf{y}}
\colon \underline{
\mathsf{x}}
 <= 0
\vdash \underline{
\mathsf{y}}
 <= 0
\vdash if(0
 <= \underline{
\mathsf{x}}
+\underline{
\mathsf{y}}
,\underline{
\mathsf{x}}
+\underline{
\mathsf{y}}
,-\underline{
\mathsf{x}}
+\underline{
\mathsf{y}}
)
 <= if(0
 <= \underline{
\mathsf{x}}
,\underline{
\mathsf{x}}
,-\underline{
\mathsf{x}}
)
+if(0
 <= \underline{
\mathsf{y}}
,\underline{
\mathsf{y}}
,-\underline{
\mathsf{y}}
)
]$

$\rm
[splitNumericalSum(--)
\stackrel{
\mathrm{tex}
}{\rightarrow}
\mbox{``}splitNumericalSum(
\mbox{-}
\mbox{-})
\mbox{''}
]$

$\rm
[splitNumericalSum(--)
\stackrel{
\mathrm{pyk}
}{\rightarrow}
\mbox{``}lemma
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}splitNumericalSum(
\mbox{-}
\mbox{-})
\mbox{''}
]$

\hypertarget {url:1808490583581903168404721082347638465545342357588912671848929942716323841:329}{}\section* {$\rm splitNumericalSum(+-small)$}

$\rm
[splitNumericalSum(+-small)
\stackrel{
proof
}{\rightarrow}
\lambda 
\mathsf {c}
.
\lambda 
\mathsf{x}
.
{\cal P}( 
\lceil ZFsub
\vdash 
\forall \underline{
\mathsf{x}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf{y}}
\colon 0
 <= \underline{
\mathsf{x}}
\vdash \underline{
\mathsf{y}}
 <= 0
\vdash if(0
 <= \underline{
\mathsf{y}}
,\underline{
\mathsf{y}}
,-\underline{
\mathsf{y}}
)
 <= if(0
 <= \underline{
\mathsf{x}}
,\underline{
\mathsf{x}}
,-\underline{
\mathsf{x}}
)
\vdash LeqAdditionLeft
\rhd \underline{
\mathsf{y}}
 <= 0
\gg \underline{
\mathsf{x}}
+\underline{
\mathsf{y}}
 <= \underline{
\mathsf{x}}
+0
; plus0
\gg \underline{
\mathsf{x}}
+0
 = \underline{
\mathsf{x}}
; subLeqRight
\rhd \underline{
\mathsf{x}}
+0
 = \underline{
\mathsf{x}}
\rhd \underline{
\mathsf{x}}
+\underline{
\mathsf{y}}
 <= \underline{
\mathsf{x}}
+0
\gg \underline{
\mathsf{x}}
+\underline{
\mathsf{y}}
 <= \underline{
\mathsf{x}}
; PositiveToRight(Leq)(1 term)
\rhd if(0
 <= \underline{
\mathsf{y}}
,\underline{
\mathsf{y}}
,-\underline{
\mathsf{y}}
)
 <= if(0
 <= \underline{
\mathsf{x}}
,\underline{
\mathsf{x}}
,-\underline{
\mathsf{x}}
)
\gg 0
 <= if(0
 <= \underline{
\mathsf{x}}
,\underline{
\mathsf{x}}
,-\underline{
\mathsf{x}}
)
+-if(0
 <= \underline{
\mathsf{y}}
,\underline{
\mathsf{y}}
,-\underline{
\mathsf{y}}
)
; 
\mbox{lemma nonpositiveNumerical}
\rhd \underline{
\mathsf{y}}
 <= 0
\gg if(0
 <= \underline{
\mathsf{y}}
,\underline{
\mathsf{y}}
,-\underline{
\mathsf{y}}
)
 = -\underline{
\mathsf{y}}
; EqNegated
\rhd if(0
 <= \underline{
\mathsf{y}}
,\underline{
\mathsf{y}}
,-\underline{
\mathsf{y}}
)
 = -\underline{
\mathsf{y}}
\gg -if(0
 <= \underline{
\mathsf{y}}
,\underline{
\mathsf{y}}
,-\underline{
\mathsf{y}}
)
 = --\underline{
\mathsf{y}}
; DoubleMinus
\gg --\underline{
\mathsf{y}}
 = \underline{
\mathsf{y}}
; eqTransitivity
\rhd -if(0
 <= \underline{
\mathsf{y}}
,\underline{
\mathsf{y}}
,-\underline{
\mathsf{y}}
)
 = --\underline{
\mathsf{y}}
\rhd --\underline{
\mathsf{y}}
 = \underline{
\mathsf{y}}
\gg -if(0
 <= \underline{
\mathsf{y}}
,\underline{
\mathsf{y}}
,-\underline{
\mathsf{y}}
)
 = \underline{
\mathsf{y}}
; NonnegativeNumerical
\rhd 0
 <= \underline{
\mathsf{x}}
\gg if(0
 <= \underline{
\mathsf{x}}
,\underline{
\mathsf{x}}
,-\underline{
\mathsf{x}}
)
 = \underline{
\mathsf{x}}
; AddEquations
\rhd if(0
 <= \underline{
\mathsf{x}}
,\underline{
\mathsf{x}}
,-\underline{
\mathsf{x}}
)
 = \underline{
\mathsf{x}}
\rhd -if(0
 <= \underline{
\mathsf{y}}
,\underline{
\mathsf{y}}
,-\underline{
\mathsf{y}}
)
 = \underline{
\mathsf{y}}
\gg if(0
 <= \underline{
\mathsf{x}}
,\underline{
\mathsf{x}}
,-\underline{
\mathsf{x}}
)
+-if(0
 <= \underline{
\mathsf{y}}
,\underline{
\mathsf{y}}
,-\underline{
\mathsf{y}}
)
 = \underline{
\mathsf{x}}
+\underline{
\mathsf{y}}
; subLeqRight
\rhd if(0
 <= \underline{
\mathsf{x}}
,\underline{
\mathsf{x}}
,-\underline{
\mathsf{x}}
)
+-if(0
 <= \underline{
\mathsf{y}}
,\underline{
\mathsf{y}}
,-\underline{
\mathsf{y}}
)
 = \underline{
\mathsf{x}}
+\underline{
\mathsf{y}}
\rhd 0
 <= if(0
 <= \underline{
\mathsf{x}}
,\underline{
\mathsf{x}}
,-\underline{
\mathsf{x}}
)
+-if(0
 <= \underline{
\mathsf{y}}
,\underline{
\mathsf{y}}
,-\underline{
\mathsf{y}}
)
\gg 0
 <= \underline{
\mathsf{x}}
+\underline{
\mathsf{y}}
; NonnegativeNumerical
\rhd 0
 <= \underline{
\mathsf{x}}
+\underline{
\mathsf{y}}
\gg if(0
 <= \underline{
\mathsf{x}}
+\underline{
\mathsf{y}}
,\underline{
\mathsf{x}}
+\underline{
\mathsf{y}}
,-\underline{
\mathsf{x}}
+\underline{
\mathsf{y}}
)
 = \underline{
\mathsf{x}}
+\underline{
\mathsf{y}}
; eqSymmetry
\rhd if(0
 <= \underline{
\mathsf{x}}
+\underline{
\mathsf{y}}
,\underline{
\mathsf{x}}
+\underline{
\mathsf{y}}
,-\underline{
\mathsf{x}}
+\underline{
\mathsf{y}}
)
 = \underline{
\mathsf{x}}
+\underline{
\mathsf{y}}
\gg \underline{
\mathsf{x}}
+\underline{
\mathsf{y}}
 = if(0
 <= \underline{
\mathsf{x}}
+\underline{
\mathsf{y}}
,\underline{
\mathsf{x}}
+\underline{
\mathsf{y}}
,-\underline{
\mathsf{x}}
+\underline{
\mathsf{y}}
)
; eqSymmetry
\rhd if(0
 <= \underline{
\mathsf{x}}
,\underline{
\mathsf{x}}
,-\underline{
\mathsf{x}}
)
 = \underline{
\mathsf{x}}
\gg \underline{
\mathsf{x}}
 = if(0
 <= \underline{
\mathsf{x}}
,\underline{
\mathsf{x}}
,-\underline{
\mathsf{x}}
)
; subLeqLeft
\rhd \underline{
\mathsf{x}}
+\underline{
\mathsf{y}}
 = if(0
 <= \underline{
\mathsf{x}}
+\underline{
\mathsf{y}}
,\underline{
\mathsf{x}}
+\underline{
\mathsf{y}}
,-\underline{
\mathsf{x}}
+\underline{
\mathsf{y}}
)
\rhd \underline{
\mathsf{x}}
+\underline{
\mathsf{y}}
 <= \underline{
\mathsf{x}}
\gg if(0
 <= \underline{
\mathsf{x}}
+\underline{
\mathsf{y}}
,\underline{
\mathsf{x}}
+\underline{
\mathsf{y}}
,-\underline{
\mathsf{x}}
+\underline{
\mathsf{y}}
)
 <= \underline{
\mathsf{x}}
; subLeqRight
\rhd \underline{
\mathsf{x}}
 = if(0
 <= \underline{
\mathsf{x}}
,\underline{
\mathsf{x}}
,-\underline{
\mathsf{x}}
)
\rhd if(0
 <= \underline{
\mathsf{x}}
+\underline{
\mathsf{y}}
,\underline{
\mathsf{x}}
+\underline{
\mathsf{y}}
,-\underline{
\mathsf{x}}
+\underline{
\mathsf{y}}
)
 <= \underline{
\mathsf{x}}
\gg if(0
 <= \underline{
\mathsf{x}}
+\underline{
\mathsf{y}}
,\underline{
\mathsf{x}}
+\underline{
\mathsf{y}}
,-\underline{
\mathsf{x}}
+\underline{
\mathsf{y}}
)
 <= if(0
 <= \underline{
\mathsf{x}}
,\underline{
\mathsf{x}}
,-\underline{
\mathsf{x}}
)
\rceil 
, 
p_0
, 
\mathsf {c}
)
]$

$\rm
[splitNumericalSum(+-small)
\stackrel{
stmt
}{\rightarrow}ZFsub
\vdash 
\forall \underline{
\mathsf{x}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf{y}}
\colon 0
 <= \underline{
\mathsf{x}}
\vdash \underline{
\mathsf{y}}
 <= 0
\vdash if(0
 <= \underline{
\mathsf{y}}
,\underline{
\mathsf{y}}
,-\underline{
\mathsf{y}}
)
 <= if(0
 <= \underline{
\mathsf{x}}
,\underline{
\mathsf{x}}
,-\underline{
\mathsf{x}}
)
\vdash if(0
 <= \underline{
\mathsf{x}}
+\underline{
\mathsf{y}}
,\underline{
\mathsf{x}}
+\underline{
\mathsf{y}}
,-\underline{
\mathsf{x}}
+\underline{
\mathsf{y}}
)
 <= if(0
 <= \underline{
\mathsf{x}}
,\underline{
\mathsf{x}}
,-\underline{
\mathsf{x}}
)
]$

$\rm
[splitNumericalSum(+-small)
\stackrel{
\mathrm{tex}
}{\rightarrow}
\mbox{``}splitNumericalSum(
{+}
\mbox{-}small)
\mbox{''}
]$

$\rm
[splitNumericalSum(+-small)
\stackrel{
\mathrm{pyk}
}{\rightarrow}
\mbox{``}lemma
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}splitNumericalSum(
{+}
\mbox{-},
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}smallNegative)
\mbox{''}
]$

\hypertarget {url:1808490583581903168404721082347638465545342357588912671848929942716323841:330}{}\section* {$\rm splitNumericalSum(+-big)$}

$\rm
[splitNumericalSum(+-big)
\stackrel{
proof
}{\rightarrow}
\lambda 
\mathsf {c}
.
\lambda 
\mathsf{x}
.
{\cal P}( 
\lceil ZFsub
\vdash 
\forall \underline{
\mathsf{x}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf{y}}
\colon 0
 <= \underline{
\mathsf{x}}
\vdash \underline{
\mathsf{y}}
 <= 0
\vdash \dot{\neg}\, if(0
 <= \underline{
\mathsf{x}}
,\underline{
\mathsf{x}}
,-\underline{
\mathsf{x}}
)
 <= if(0
 <= \underline{
\mathsf{y}}
,\underline{
\mathsf{y}}
,-\underline{
\mathsf{y}}
)
\Rightarrow \dot{\neg}\, \dot{\neg}\, if(0
 <= \underline{
\mathsf{x}}
,\underline{
\mathsf{x}}
,-\underline{
\mathsf{x}}
)
 = if(0
 <= \underline{
\mathsf{y}}
,\underline{
\mathsf{y}}
,-\underline{
\mathsf{y}}
)
\vdash NonnegativeNegated
\rhd 0
 <= \underline{
\mathsf{x}}
\gg -\underline{
\mathsf{x}}
 <= 0
; NonpositiveNegated
\rhd \underline{
\mathsf{y}}
 <= 0
\gg 0
 <= -\underline{
\mathsf{y}}
; SignNumerical
\gg if(0
 <= \underline{
\mathsf{x}}
,\underline{
\mathsf{x}}
,-\underline{
\mathsf{x}}
)
 = if(0
 <= -\underline{
\mathsf{x}}
,-\underline{
\mathsf{x}}
,--\underline{
\mathsf{x}}
)
; SubLessLeft
\rhd if(0
 <= \underline{
\mathsf{x}}
,\underline{
\mathsf{x}}
,-\underline{
\mathsf{x}}
)
 = if(0
 <= -\underline{
\mathsf{x}}
,-\underline{
\mathsf{x}}
,--\underline{
\mathsf{x}}
)
\rhd \dot{\neg}\, if(0
 <= \underline{
\mathsf{x}}
,\underline{
\mathsf{x}}
,-\underline{
\mathsf{x}}
)
 <= if(0
 <= \underline{
\mathsf{y}}
,\underline{
\mathsf{y}}
,-\underline{
\mathsf{y}}
)
\Rightarrow \dot{\neg}\, \dot{\neg}\, if(0
 <= \underline{
\mathsf{x}}
,\underline{
\mathsf{x}}
,-\underline{
\mathsf{x}}
)
 = if(0
 <= \underline{
\mathsf{y}}
,\underline{
\mathsf{y}}
,-\underline{
\mathsf{y}}
)
\gg \dot{\neg}\, if(0
 <= -\underline{
\mathsf{x}}
,-\underline{
\mathsf{x}}
,--\underline{
\mathsf{x}}
)
 <= if(0
 <= \underline{
\mathsf{y}}
,\underline{
\mathsf{y}}
,-\underline{
\mathsf{y}}
)
\Rightarrow \dot{\neg}\, \dot{\neg}\, if(0
 <= -\underline{
\mathsf{x}}
,-\underline{
\mathsf{x}}
,--\underline{
\mathsf{x}}
)
 = if(0
 <= \underline{
\mathsf{y}}
,\underline{
\mathsf{y}}
,-\underline{
\mathsf{y}}
)
; SignNumerical
\gg if(0
 <= \underline{
\mathsf{y}}
,\underline{
\mathsf{y}}
,-\underline{
\mathsf{y}}
)
 = if(0
 <= -\underline{
\mathsf{y}}
,-\underline{
\mathsf{y}}
,--\underline{
\mathsf{y}}
)
; SubLessRight
\rhd if(0
 <= \underline{
\mathsf{y}}
,\underline{
\mathsf{y}}
,-\underline{
\mathsf{y}}
)
 = if(0
 <= -\underline{
\mathsf{y}}
,-\underline{
\mathsf{y}}
,--\underline{
\mathsf{y}}
)
\rhd \dot{\neg}\, if(0
 <= -\underline{
\mathsf{x}}
,-\underline{
\mathsf{x}}
,--\underline{
\mathsf{x}}
)
 <= if(0
 <= \underline{
\mathsf{y}}
,\underline{
\mathsf{y}}
,-\underline{
\mathsf{y}}
)
\Rightarrow \dot{\neg}\, \dot{\neg}\, if(0
 <= -\underline{
\mathsf{x}}
,-\underline{
\mathsf{x}}
,--\underline{
\mathsf{x}}
)
 = if(0
 <= \underline{
\mathsf{y}}
,\underline{
\mathsf{y}}
,-\underline{
\mathsf{y}}
)
\gg \dot{\neg}\, if(0
 <= -\underline{
\mathsf{x}}
,-\underline{
\mathsf{x}}
,--\underline{
\mathsf{x}}
)
 <= if(0
 <= -\underline{
\mathsf{y}}
,-\underline{
\mathsf{y}}
,--\underline{
\mathsf{y}}
)
\Rightarrow \dot{\neg}\, \dot{\neg}\, if(0
 <= -\underline{
\mathsf{x}}
,-\underline{
\mathsf{x}}
,--\underline{
\mathsf{x}}
)
 = if(0
 <= -\underline{
\mathsf{y}}
,-\underline{
\mathsf{y}}
,--\underline{
\mathsf{y}}
)
; LessLeq
\rhd \dot{\neg}\, if(0
 <= -\underline{
\mathsf{x}}
,-\underline{
\mathsf{x}}
,--\underline{
\mathsf{x}}
)
 <= if(0
 <= -\underline{
\mathsf{y}}
,-\underline{
\mathsf{y}}
,--\underline{
\mathsf{y}}
)
\Rightarrow \dot{\neg}\, \dot{\neg}\, if(0
 <= -\underline{
\mathsf{x}}
,-\underline{
\mathsf{x}}
,--\underline{
\mathsf{x}}
)
 = if(0
 <= -\underline{
\mathsf{y}}
,-\underline{
\mathsf{y}}
,--\underline{
\mathsf{y}}
)
\gg if(0
 <= -\underline{
\mathsf{x}}
,-\underline{
\mathsf{x}}
,--\underline{
\mathsf{x}}
)
 <= if(0
 <= -\underline{
\mathsf{y}}
,-\underline{
\mathsf{y}}
,--\underline{
\mathsf{y}}
)
; splitNumericalSum(+-small)
\rhd 0
 <= -\underline{
\mathsf{y}}
\rhd -\underline{
\mathsf{x}}
 <= 0
\rhd if(0
 <= -\underline{
\mathsf{x}}
,-\underline{
\mathsf{x}}
,--\underline{
\mathsf{x}}
)
 <= if(0
 <= -\underline{
\mathsf{y}}
,-\underline{
\mathsf{y}}
,--\underline{
\mathsf{y}}
)
\gg if(0
 <= -\underline{
\mathsf{y}}
+-\underline{
\mathsf{x}}
,-\underline{
\mathsf{y}}
+-\underline{
\mathsf{x}}
,--\underline{
\mathsf{y}}
+-\underline{
\mathsf{x}}
)
 <= if(0
 <= -\underline{
\mathsf{y}}
,-\underline{
\mathsf{y}}
,--\underline{
\mathsf{y}}
)
; SignNumerical
\gg if(0
 <= \underline{
\mathsf{x}}
+\underline{
\mathsf{y}}
,\underline{
\mathsf{x}}
+\underline{
\mathsf{y}}
,-\underline{
\mathsf{x}}
+\underline{
\mathsf{y}}
)
 = if(0
 <= -\underline{
\mathsf{x}}
+\underline{
\mathsf{y}}
,-\underline{
\mathsf{x}}
+\underline{
\mathsf{y}}
,--\underline{
\mathsf{x}}
+\underline{
\mathsf{y}}
)
; -x-y=-(x+y)
\gg -\underline{
\mathsf{x}}
+-\underline{
\mathsf{y}}
 = -\underline{
\mathsf{x}}
+\underline{
\mathsf{y}}
; plusCommutativity
\gg -\underline{
\mathsf{x}}
+-\underline{
\mathsf{y}}
 = -\underline{
\mathsf{y}}
+-\underline{
\mathsf{x}}
; Equality
\rhd -\underline{
\mathsf{x}}
+-\underline{
\mathsf{y}}
 = -\underline{
\mathsf{x}}
+\underline{
\mathsf{y}}
\rhd -\underline{
\mathsf{x}}
+-\underline{
\mathsf{y}}
 = -\underline{
\mathsf{y}}
+-\underline{
\mathsf{x}}
\gg -\underline{
\mathsf{x}}
+\underline{
\mathsf{y}}
 = -\underline{
\mathsf{y}}
+-\underline{
\mathsf{x}}
; SameNumerical
\rhd -\underline{
\mathsf{x}}
+\underline{
\mathsf{y}}
 = -\underline{
\mathsf{y}}
+-\underline{
\mathsf{x}}
\gg if(0
 <= -\underline{
\mathsf{x}}
+\underline{
\mathsf{y}}
,-\underline{
\mathsf{x}}
+\underline{
\mathsf{y}}
,--\underline{
\mathsf{x}}
+\underline{
\mathsf{y}}
)
 = if(0
 <= -\underline{
\mathsf{y}}
+-\underline{
\mathsf{x}}
,-\underline{
\mathsf{y}}
+-\underline{
\mathsf{x}}
,--\underline{
\mathsf{y}}
+-\underline{
\mathsf{x}}
)
; eqTransitivity
\rhd if(0
 <= \underline{
\mathsf{x}}
+\underline{
\mathsf{y}}
,\underline{
\mathsf{x}}
+\underline{
\mathsf{y}}
,-\underline{
\mathsf{x}}
+\underline{
\mathsf{y}}
)
 = if(0
 <= -\underline{
\mathsf{x}}
+\underline{
\mathsf{y}}
,-\underline{
\mathsf{x}}
+\underline{
\mathsf{y}}
,--\underline{
\mathsf{x}}
+\underline{
\mathsf{y}}
)
\rhd if(0
 <= -\underline{
\mathsf{x}}
+\underline{
\mathsf{y}}
,-\underline{
\mathsf{x}}
+\underline{
\mathsf{y}}
,--\underline{
\mathsf{x}}
+\underline{
\mathsf{y}}
)
 = if(0
 <= -\underline{
\mathsf{y}}
+-\underline{
\mathsf{x}}
,-\underline{
\mathsf{y}}
+-\underline{
\mathsf{x}}
,--\underline{
\mathsf{y}}
+-\underline{
\mathsf{x}}
)
\gg if(0
 <= \underline{
\mathsf{x}}
+\underline{
\mathsf{y}}
,\underline{
\mathsf{x}}
+\underline{
\mathsf{y}}
,-\underline{
\mathsf{x}}
+\underline{
\mathsf{y}}
)
 = if(0
 <= -\underline{
\mathsf{y}}
+-\underline{
\mathsf{x}}
,-\underline{
\mathsf{y}}
+-\underline{
\mathsf{x}}
,--\underline{
\mathsf{y}}
+-\underline{
\mathsf{x}}
)
; eqSymmetry
\rhd if(0
 <= \underline{
\mathsf{x}}
+\underline{
\mathsf{y}}
,\underline{
\mathsf{x}}
+\underline{
\mathsf{y}}
,-\underline{
\mathsf{x}}
+\underline{
\mathsf{y}}
)
 = if(0
 <= -\underline{
\mathsf{y}}
+-\underline{
\mathsf{x}}
,-\underline{
\mathsf{y}}
+-\underline{
\mathsf{x}}
,--\underline{
\mathsf{y}}
+-\underline{
\mathsf{x}}
)
\gg if(0
 <= -\underline{
\mathsf{y}}
+-\underline{
\mathsf{x}}
,-\underline{
\mathsf{y}}
+-\underline{
\mathsf{x}}
,--\underline{
\mathsf{y}}
+-\underline{
\mathsf{x}}
)
 = if(0
 <= \underline{
\mathsf{x}}
+\underline{
\mathsf{y}}
,\underline{
\mathsf{x}}
+\underline{
\mathsf{y}}
,-\underline{
\mathsf{x}}
+\underline{
\mathsf{y}}
)
; eqSymmetry
\rhd if(0
 <= \underline{
\mathsf{y}}
,\underline{
\mathsf{y}}
,-\underline{
\mathsf{y}}
)
 = if(0
 <= -\underline{
\mathsf{y}}
,-\underline{
\mathsf{y}}
,--\underline{
\mathsf{y}}
)
\gg if(0
 <= -\underline{
\mathsf{y}}
,-\underline{
\mathsf{y}}
,--\underline{
\mathsf{y}}
)
 = if(0
 <= \underline{
\mathsf{y}}
,\underline{
\mathsf{y}}
,-\underline{
\mathsf{y}}
)
; subLeqLeft
\rhd if(0
 <= -\underline{
\mathsf{y}}
+-\underline{
\mathsf{x}}
,-\underline{
\mathsf{y}}
+-\underline{
\mathsf{x}}
,--\underline{
\mathsf{y}}
+-\underline{
\mathsf{x}}
)
 = if(0
 <= \underline{
\mathsf{x}}
+\underline{
\mathsf{y}}
,\underline{
\mathsf{x}}
+\underline{
\mathsf{y}}
,-\underline{
\mathsf{x}}
+\underline{
\mathsf{y}}
)
\rhd if(0
 <= -\underline{
\mathsf{y}}
+-\underline{
\mathsf{x}}
,-\underline{
\mathsf{y}}
+-\underline{
\mathsf{x}}
,--\underline{
\mathsf{y}}
+-\underline{
\mathsf{x}}
)
 <= if(0
 <= -\underline{
\mathsf{y}}
,-\underline{
\mathsf{y}}
,--\underline{
\mathsf{y}}
)
\gg if(0
 <= \underline{
\mathsf{x}}
+\underline{
\mathsf{y}}
,\underline{
\mathsf{x}}
+\underline{
\mathsf{y}}
,-\underline{
\mathsf{x}}
+\underline{
\mathsf{y}}
)
 <= if(0
 <= -\underline{
\mathsf{y}}
,-\underline{
\mathsf{y}}
,--\underline{
\mathsf{y}}
)
; subLeqRight
\rhd if(0
 <= -\underline{
\mathsf{y}}
,-\underline{
\mathsf{y}}
,--\underline{
\mathsf{y}}
)
 = if(0
 <= \underline{
\mathsf{y}}
,\underline{
\mathsf{y}}
,-\underline{
\mathsf{y}}
)
\rhd if(0
 <= \underline{
\mathsf{x}}
+\underline{
\mathsf{y}}
,\underline{
\mathsf{x}}
+\underline{
\mathsf{y}}
,-\underline{
\mathsf{x}}
+\underline{
\mathsf{y}}
)
 <= if(0
 <= -\underline{
\mathsf{y}}
,-\underline{
\mathsf{y}}
,--\underline{
\mathsf{y}}
)
\gg if(0
 <= \underline{
\mathsf{x}}
+\underline{
\mathsf{y}}
,\underline{
\mathsf{x}}
+\underline{
\mathsf{y}}
,-\underline{
\mathsf{x}}
+\underline{
\mathsf{y}}
)
 <= if(0
 <= \underline{
\mathsf{y}}
,\underline{
\mathsf{y}}
,-\underline{
\mathsf{y}}
)
\rceil 
, 
p_0
, 
\mathsf {c}
)
]$

$\rm
[splitNumericalSum(+-big)
\stackrel{
stmt
}{\rightarrow}ZFsub
\vdash 
\forall \underline{
\mathsf{x}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf{y}}
\colon 0
 <= \underline{
\mathsf{x}}
\vdash \underline{
\mathsf{y}}
 <= 0
\vdash \dot{\neg}\, if(0
 <= \underline{
\mathsf{x}}
,\underline{
\mathsf{x}}
,-\underline{
\mathsf{x}}
)
 <= if(0
 <= \underline{
\mathsf{y}}
,\underline{
\mathsf{y}}
,-\underline{
\mathsf{y}}
)
\Rightarrow \dot{\neg}\, \dot{\neg}\, if(0
 <= \underline{
\mathsf{x}}
,\underline{
\mathsf{x}}
,-\underline{
\mathsf{x}}
)
 = if(0
 <= \underline{
\mathsf{y}}
,\underline{
\mathsf{y}}
,-\underline{
\mathsf{y}}
)
\vdash if(0
 <= \underline{
\mathsf{x}}
+\underline{
\mathsf{y}}
,\underline{
\mathsf{x}}
+\underline{
\mathsf{y}}
,-\underline{
\mathsf{x}}
+\underline{
\mathsf{y}}
)
 <= if(0
 <= \underline{
\mathsf{y}}
,\underline{
\mathsf{y}}
,-\underline{
\mathsf{y}}
)
]$

$\rm
[splitNumericalSum(+-big)
\stackrel{
\mathrm{tex}
}{\rightarrow}
\mbox{``}splitNumericalSum(
{+}
\mbox{-}big)
\mbox{''}
]$

$\rm
[splitNumericalSum(+-big)
\stackrel{
\mathrm{pyk}
}{\rightarrow}
\mbox{``}lemma
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}splitNumericalSum(
{+}
\mbox{-},
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}bigNegative)
\mbox{''}
]$

\hypertarget {url:1808490583581903168404721082347638465545342357588912671848929942716323841:331}{}\section* {$\rm splitNumericalSum(+-)$}

$\rm
[splitNumericalSum(+-)
\stackrel{
proof
}{\rightarrow}
\lambda 
\mathsf {c}
.
\lambda 
\mathsf{x}
.
{\cal P}( 
\lceil ZFsub
\vdash 
\forall \underline{
\mathsf{x}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf{y}}
\colon if(0
 <= \underline{
\mathsf{y}}
,\underline{
\mathsf{y}}
,-\underline{
\mathsf{y}}
)
 <= if(0
 <= \underline{
\mathsf{x}}
,\underline{
\mathsf{x}}
,-\underline{
\mathsf{x}}
)
\vdash 0
 <= \underline{
\mathsf{x}}
\vdash \underline{
\mathsf{y}}
 <= 0
\vdash splitNumericalSum(+-small)
\rhd 0
 <= \underline{
\mathsf{x}}
\rhd \underline{
\mathsf{y}}
 <= 0
\rhd if(0
 <= \underline{
\mathsf{y}}
,\underline{
\mathsf{y}}
,-\underline{
\mathsf{y}}
)
 <= if(0
 <= \underline{
\mathsf{x}}
,\underline{
\mathsf{x}}
,-\underline{
\mathsf{x}}
)
\gg if(0
 <= \underline{
\mathsf{x}}
+\underline{
\mathsf{y}}
,\underline{
\mathsf{x}}
+\underline{
\mathsf{y}}
,-\underline{
\mathsf{x}}
+\underline{
\mathsf{y}}
)
 <= if(0
 <= \underline{
\mathsf{x}}
,\underline{
\mathsf{x}}
,-\underline{
\mathsf{x}}
)
; 0<=|x|
\gg 0
 <= if(0
 <= \underline{
\mathsf{y}}
,\underline{
\mathsf{y}}
,-\underline{
\mathsf{y}}
)
; LeqAdditionLeft
\rhd 0
 <= if(0
 <= \underline{
\mathsf{y}}
,\underline{
\mathsf{y}}
,-\underline{
\mathsf{y}}
)
\gg if(0
 <= \underline{
\mathsf{x}}
,\underline{
\mathsf{x}}
,-\underline{
\mathsf{x}}
)
+0
 <= if(0
 <= \underline{
\mathsf{x}}
,\underline{
\mathsf{x}}
,-\underline{
\mathsf{x}}
)
+if(0
 <= \underline{
\mathsf{y}}
,\underline{
\mathsf{y}}
,-\underline{
\mathsf{y}}
)
; plus0
\gg if(0
 <= \underline{
\mathsf{x}}
,\underline{
\mathsf{x}}
,-\underline{
\mathsf{x}}
)
+0
 = if(0
 <= \underline{
\mathsf{x}}
,\underline{
\mathsf{x}}
,-\underline{
\mathsf{x}}
)
; subLeqLeft
\rhd if(0
 <= \underline{
\mathsf{x}}
,\underline{
\mathsf{x}}
,-\underline{
\mathsf{x}}
)
+0
 = if(0
 <= \underline{
\mathsf{x}}
,\underline{
\mathsf{x}}
,-\underline{
\mathsf{x}}
)
\rhd if(0
 <= \underline{
\mathsf{x}}
,\underline{
\mathsf{x}}
,-\underline{
\mathsf{x}}
)
+0
 <= if(0
 <= \underline{
\mathsf{x}}
,\underline{
\mathsf{x}}
,-\underline{
\mathsf{x}}
)
+if(0
 <= \underline{
\mathsf{y}}
,\underline{
\mathsf{y}}
,-\underline{
\mathsf{y}}
)
\gg if(0
 <= \underline{
\mathsf{x}}
,\underline{
\mathsf{x}}
,-\underline{
\mathsf{x}}
)
 <= if(0
 <= \underline{
\mathsf{x}}
,\underline{
\mathsf{x}}
,-\underline{
\mathsf{x}}
)
+if(0
 <= \underline{
\mathsf{y}}
,\underline{
\mathsf{y}}
,-\underline{
\mathsf{y}}
)
; leqTransitivity
\rhd if(0
 <= \underline{
\mathsf{x}}
+\underline{
\mathsf{y}}
,\underline{
\mathsf{x}}
+\underline{
\mathsf{y}}
,-\underline{
\mathsf{x}}
+\underline{
\mathsf{y}}
)
 <= if(0
 <= \underline{
\mathsf{x}}
,\underline{
\mathsf{x}}
,-\underline{
\mathsf{x}}
)
\rhd if(0
 <= \underline{
\mathsf{x}}
,\underline{
\mathsf{x}}
,-\underline{
\mathsf{x}}
)
 <= if(0
 <= \underline{
\mathsf{x}}
,\underline{
\mathsf{x}}
,-\underline{
\mathsf{x}}
)
+if(0
 <= \underline{
\mathsf{y}}
,\underline{
\mathsf{y}}
,-\underline{
\mathsf{y}}
)
\gg if(0
 <= \underline{
\mathsf{x}}
+\underline{
\mathsf{y}}
,\underline{
\mathsf{x}}
+\underline{
\mathsf{y}}
,-\underline{
\mathsf{x}}
+\underline{
\mathsf{y}}
)
 <= if(0
 <= \underline{
\mathsf{x}}
,\underline{
\mathsf{x}}
,-\underline{
\mathsf{x}}
)
+if(0
 <= \underline{
\mathsf{y}}
,\underline{
\mathsf{y}}
,-\underline{
\mathsf{y}}
)
; 
\forall \underline{
\mathsf{x}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf{y}}
\colon \dot{\neg}\, if(0
 <= \underline{
\mathsf{y}}
,\underline{
\mathsf{y}}
,-\underline{
\mathsf{y}}
)
 <= if(0
 <= \underline{
\mathsf{x}}
,\underline{
\mathsf{x}}
,-\underline{
\mathsf{x}}
)
\vdash 0
 <= \underline{
\mathsf{x}}
\vdash \underline{
\mathsf{y}}
 <= 0
\vdash ToLess
\rhd \dot{\neg}\, if(0
 <= \underline{
\mathsf{y}}
,\underline{
\mathsf{y}}
,-\underline{
\mathsf{y}}
)
 <= if(0
 <= \underline{
\mathsf{x}}
,\underline{
\mathsf{x}}
,-\underline{
\mathsf{x}}
)
\gg \dot{\neg}\, if(0
 <= \underline{
\mathsf{x}}
,\underline{
\mathsf{x}}
,-\underline{
\mathsf{x}}
)
 <= if(0
 <= \underline{
\mathsf{y}}
,\underline{
\mathsf{y}}
,-\underline{
\mathsf{y}}
)
\Rightarrow \dot{\neg}\, \dot{\neg}\, if(0
 <= \underline{
\mathsf{x}}
,\underline{
\mathsf{x}}
,-\underline{
\mathsf{x}}
)
 = if(0
 <= \underline{
\mathsf{y}}
,\underline{
\mathsf{y}}
,-\underline{
\mathsf{y}}
)
; splitNumericalSum(+-big)
\rhd 0
 <= \underline{
\mathsf{x}}
\rhd \underline{
\mathsf{y}}
 <= 0
\rhd \dot{\neg}\, if(0
 <= \underline{
\mathsf{x}}
,\underline{
\mathsf{x}}
,-\underline{
\mathsf{x}}
)
 <= if(0
 <= \underline{
\mathsf{y}}
,\underline{
\mathsf{y}}
,-\underline{
\mathsf{y}}
)
\Rightarrow \dot{\neg}\, \dot{\neg}\, if(0
 <= \underline{
\mathsf{x}}
,\underline{
\mathsf{x}}
,-\underline{
\mathsf{x}}
)
 = if(0
 <= \underline{
\mathsf{y}}
,\underline{
\mathsf{y}}
,-\underline{
\mathsf{y}}
)
\gg if(0
 <= \underline{
\mathsf{x}}
+\underline{
\mathsf{y}}
,\underline{
\mathsf{x}}
+\underline{
\mathsf{y}}
,-\underline{
\mathsf{x}}
+\underline{
\mathsf{y}}
)
 <= if(0
 <= \underline{
\mathsf{y}}
,\underline{
\mathsf{y}}
,-\underline{
\mathsf{y}}
)
; 0<=|x|
\gg 0
 <= if(0
 <= \underline{
\mathsf{x}}
,\underline{
\mathsf{x}}
,-\underline{
\mathsf{x}}
)
; leqAddition
\rhd 0
 <= if(0
 <= \underline{
\mathsf{x}}
,\underline{
\mathsf{x}}
,-\underline{
\mathsf{x}}
)
\gg 0
+if(0
 <= \underline{
\mathsf{y}}
,\underline{
\mathsf{y}}
,-\underline{
\mathsf{y}}
)
 <= if(0
 <= \underline{
\mathsf{x}}
,\underline{
\mathsf{x}}
,-\underline{
\mathsf{x}}
)
+if(0
 <= \underline{
\mathsf{y}}
,\underline{
\mathsf{y}}
,-\underline{
\mathsf{y}}
)
; plus0Left
\gg 0
+if(0
 <= \underline{
\mathsf{y}}
,\underline{
\mathsf{y}}
,-\underline{
\mathsf{y}}
)
 = if(0
 <= \underline{
\mathsf{y}}
,\underline{
\mathsf{y}}
,-\underline{
\mathsf{y}}
)
; subLeqLeft
\rhd 0
+if(0
 <= \underline{
\mathsf{y}}
,\underline{
\mathsf{y}}
,-\underline{
\mathsf{y}}
)
 = if(0
 <= \underline{
\mathsf{y}}
,\underline{
\mathsf{y}}
,-\underline{
\mathsf{y}}
)
\rhd 0
+if(0
 <= \underline{
\mathsf{y}}
,\underline{
\mathsf{y}}
,-\underline{
\mathsf{y}}
)
 <= if(0
 <= \underline{
\mathsf{x}}
,\underline{
\mathsf{x}}
,-\underline{
\mathsf{x}}
)
+if(0
 <= \underline{
\mathsf{y}}
,\underline{
\mathsf{y}}
,-\underline{
\mathsf{y}}
)
\gg if(0
 <= \underline{
\mathsf{y}}
,\underline{
\mathsf{y}}
,-\underline{
\mathsf{y}}
)
 <= if(0
 <= \underline{
\mathsf{x}}
,\underline{
\mathsf{x}}
,-\underline{
\mathsf{x}}
)
+if(0
 <= \underline{
\mathsf{y}}
,\underline{
\mathsf{y}}
,-\underline{
\mathsf{y}}
)
; leqTransitivity
\rhd if(0
 <= \underline{
\mathsf{x}}
+\underline{
\mathsf{y}}
,\underline{
\mathsf{x}}
+\underline{
\mathsf{y}}
,-\underline{
\mathsf{x}}
+\underline{
\mathsf{y}}
)
 <= if(0
 <= \underline{
\mathsf{y}}
,\underline{
\mathsf{y}}
,-\underline{
\mathsf{y}}
)
\rhd if(0
 <= \underline{
\mathsf{y}}
,\underline{
\mathsf{y}}
,-\underline{
\mathsf{y}}
)
 <= if(0
 <= \underline{
\mathsf{x}}
,\underline{
\mathsf{x}}
,-\underline{
\mathsf{x}}
)
+if(0
 <= \underline{
\mathsf{y}}
,\underline{
\mathsf{y}}
,-\underline{
\mathsf{y}}
)
\gg if(0
 <= \underline{
\mathsf{x}}
+\underline{
\mathsf{y}}
,\underline{
\mathsf{x}}
+\underline{
\mathsf{y}}
,-\underline{
\mathsf{x}}
+\underline{
\mathsf{y}}
)
 <= if(0
 <= \underline{
\mathsf{x}}
,\underline{
\mathsf{x}}
,-\underline{
\mathsf{x}}
)
+if(0
 <= \underline{
\mathsf{y}}
,\underline{
\mathsf{y}}
,-\underline{
\mathsf{y}}
)
; 
\forall \underline{
\mathsf{x}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf{y}}
\colon Ded
\rhd 
\forall \underline{
\mathsf{x}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf{y}}
\colon if(0
 <= \underline{
\mathsf{y}}
,\underline{
\mathsf{y}}
,-\underline{
\mathsf{y}}
)
 <= if(0
 <= \underline{
\mathsf{x}}
,\underline{
\mathsf{x}}
,-\underline{
\mathsf{x}}
)
\vdash 0
 <= \underline{
\mathsf{x}}
\vdash \underline{
\mathsf{y}}
 <= 0
\vdash if(0
 <= \underline{
\mathsf{x}}
+\underline{
\mathsf{y}}
,\underline{
\mathsf{x}}
+\underline{
\mathsf{y}}
,-\underline{
\mathsf{x}}
+\underline{
\mathsf{y}}
)
 <= if(0
 <= \underline{
\mathsf{x}}
,\underline{
\mathsf{x}}
,-\underline{
\mathsf{x}}
)
+if(0
 <= \underline{
\mathsf{y}}
,\underline{
\mathsf{y}}
,-\underline{
\mathsf{y}}
)
\gg if(0
 <= \underline{
\mathsf{y}}
,\underline{
\mathsf{y}}
,-\underline{
\mathsf{y}}
)
 <= if(0
 <= \underline{
\mathsf{x}}
,\underline{
\mathsf{x}}
,-\underline{
\mathsf{x}}
)
\Rightarrow 0
 <= \underline{
\mathsf{x}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf{y}}
 <= 0
\Rightarrow if(0
 <= \underline{
\mathsf{x}}
+\underline{
\mathsf{y}}
,\underline{
\mathsf{x}}
+\underline{
\mathsf{y}}
,-\underline{
\mathsf{x}}
+\underline{
\mathsf{y}}
)
 <= if(0
 <= \underline{
\mathsf{x}}
,\underline{
\mathsf{x}}
,-\underline{
\mathsf{x}}
)
+if(0
 <= \underline{
\mathsf{y}}
,\underline{
\mathsf{y}}
,-\underline{
\mathsf{y}}
)
; Ded
\rhd 
\forall \underline{
\mathsf{x}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf{y}}
\colon \dot{\neg}\, if(0
 <= \underline{
\mathsf{y}}
,\underline{
\mathsf{y}}
,-\underline{
\mathsf{y}}
)
 <= if(0
 <= \underline{
\mathsf{x}}
,\underline{
\mathsf{x}}
,-\underline{
\mathsf{x}}
)
\vdash 0
 <= \underline{
\mathsf{x}}
\vdash \underline{
\mathsf{y}}
 <= 0
\vdash if(0
 <= \underline{
\mathsf{x}}
+\underline{
\mathsf{y}}
,\underline{
\mathsf{x}}
+\underline{
\mathsf{y}}
,-\underline{
\mathsf{x}}
+\underline{
\mathsf{y}}
)
 <= if(0
 <= \underline{
\mathsf{x}}
,\underline{
\mathsf{x}}
,-\underline{
\mathsf{x}}
)
+if(0
 <= \underline{
\mathsf{y}}
,\underline{
\mathsf{y}}
,-\underline{
\mathsf{y}}
)
\gg \dot{\neg}\, if(0
 <= \underline{
\mathsf{y}}
,\underline{
\mathsf{y}}
,-\underline{
\mathsf{y}}
)
 <= if(0
 <= \underline{
\mathsf{x}}
,\underline{
\mathsf{x}}
,-\underline{
\mathsf{x}}
)
\Rightarrow 0
 <= \underline{
\mathsf{x}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf{y}}
 <= 0
\Rightarrow if(0
 <= \underline{
\mathsf{x}}
+\underline{
\mathsf{y}}
,\underline{
\mathsf{x}}
+\underline{
\mathsf{y}}
,-\underline{
\mathsf{x}}
+\underline{
\mathsf{y}}
)
 <= if(0
 <= \underline{
\mathsf{x}}
,\underline{
\mathsf{x}}
,-\underline{
\mathsf{x}}
)
+if(0
 <= \underline{
\mathsf{y}}
,\underline{
\mathsf{y}}
,-\underline{
\mathsf{y}}
)
; 0
 <= \underline{
\mathsf{x}}
\vdash \underline{
\mathsf{y}}
 <= 0
\vdash FromNegations
\rhd if(0
 <= \underline{
\mathsf{y}}
,\underline{
\mathsf{y}}
,-\underline{
\mathsf{y}}
)
 <= if(0
 <= \underline{
\mathsf{x}}
,\underline{
\mathsf{x}}
,-\underline{
\mathsf{x}}
)
\Rightarrow 0
 <= \underline{
\mathsf{x}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf{y}}
 <= 0
\Rightarrow if(0
 <= \underline{
\mathsf{x}}
+\underline{
\mathsf{y}}
,\underline{
\mathsf{x}}
+\underline{
\mathsf{y}}
,-\underline{
\mathsf{x}}
+\underline{
\mathsf{y}}
)
 <= if(0
 <= \underline{
\mathsf{x}}
,\underline{
\mathsf{x}}
,-\underline{
\mathsf{x}}
)
+if(0
 <= \underline{
\mathsf{y}}
,\underline{
\mathsf{y}}
,-\underline{
\mathsf{y}}
)
\rhd \dot{\neg}\, if(0
 <= \underline{
\mathsf{y}}
,\underline{
\mathsf{y}}
,-\underline{
\mathsf{y}}
)
 <= if(0
 <= \underline{
\mathsf{x}}
,\underline{
\mathsf{x}}
,-\underline{
\mathsf{x}}
)
\Rightarrow 0
 <= \underline{
\mathsf{x}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf{y}}
 <= 0
\Rightarrow if(0
 <= \underline{
\mathsf{x}}
+\underline{
\mathsf{y}}
,\underline{
\mathsf{x}}
+\underline{
\mathsf{y}}
,-\underline{
\mathsf{x}}
+\underline{
\mathsf{y}}
)
 <= if(0
 <= \underline{
\mathsf{x}}
,\underline{
\mathsf{x}}
,-\underline{
\mathsf{x}}
)
+if(0
 <= \underline{
\mathsf{y}}
,\underline{
\mathsf{y}}
,-\underline{
\mathsf{y}}
)
\gg 0
 <= \underline{
\mathsf{x}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf{y}}
 <= 0
\Rightarrow if(0
 <= \underline{
\mathsf{x}}
+\underline{
\mathsf{y}}
,\underline{
\mathsf{x}}
+\underline{
\mathsf{y}}
,-\underline{
\mathsf{x}}
+\underline{
\mathsf{y}}
)
 <= if(0
 <= \underline{
\mathsf{x}}
,\underline{
\mathsf{x}}
,-\underline{
\mathsf{x}}
)
+if(0
 <= \underline{
\mathsf{y}}
,\underline{
\mathsf{y}}
,-\underline{
\mathsf{y}}
)
; MP2
\rhd 0
 <= \underline{
\mathsf{x}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf{y}}
 <= 0
\Rightarrow if(0
 <= \underline{
\mathsf{x}}
+\underline{
\mathsf{y}}
,\underline{
\mathsf{x}}
+\underline{
\mathsf{y}}
,-\underline{
\mathsf{x}}
+\underline{
\mathsf{y}}
)
 <= if(0
 <= \underline{
\mathsf{x}}
,\underline{
\mathsf{x}}
,-\underline{
\mathsf{x}}
)
+if(0
 <= \underline{
\mathsf{y}}
,\underline{
\mathsf{y}}
,-\underline{
\mathsf{y}}
)
\rhd 0
 <= \underline{
\mathsf{x}}
\rhd \underline{
\mathsf{y}}
 <= 0
\gg if(0
 <= \underline{
\mathsf{x}}
+\underline{
\mathsf{y}}
,\underline{
\mathsf{x}}
+\underline{
\mathsf{y}}
,-\underline{
\mathsf{x}}
+\underline{
\mathsf{y}}
)
 <= if(0
 <= \underline{
\mathsf{x}}
,\underline{
\mathsf{x}}
,-\underline{
\mathsf{x}}
)
+if(0
 <= \underline{
\mathsf{y}}
,\underline{
\mathsf{y}}
,-\underline{
\mathsf{y}}
)
\rceil 
, 
p_0
, 
\mathsf {c}
)
]$

$\rm
[splitNumericalSum(+-)
\stackrel{
stmt
}{\rightarrow}ZFsub
\vdash 
\forall \underline{
\mathsf{x}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf{y}}
\colon 0
 <= \underline{
\mathsf{x}}
\vdash \underline{
\mathsf{y}}
 <= 0
\vdash if(0
 <= \underline{
\mathsf{x}}
+\underline{
\mathsf{y}}
,\underline{
\mathsf{x}}
+\underline{
\mathsf{y}}
,-\underline{
\mathsf{x}}
+\underline{
\mathsf{y}}
)
 <= if(0
 <= \underline{
\mathsf{x}}
,\underline{
\mathsf{x}}
,-\underline{
\mathsf{x}}
)
+if(0
 <= \underline{
\mathsf{y}}
,\underline{
\mathsf{y}}
,-\underline{
\mathsf{y}}
)
]$

$\rm
[splitNumericalSum(+-)
\stackrel{
\mathrm{tex}
}{\rightarrow}
\mbox{``}splitNumericalSum(
{+}
\mbox{-})
\mbox{''}
]$

$\rm
[splitNumericalSum(+-)
\stackrel{
\mathrm{pyk}
}{\rightarrow}
\mbox{``}lemma
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}splitNumericalSum(
{+}
\mbox{-})
\mbox{''}
]$

\hypertarget {url:1808490583581903168404721082347638465545342357588912671848929942716323841:332}{}\section* {$\rm splitNumericalSum(-+)$}

$\rm
[splitNumericalSum(-+)
\stackrel{
proof
}{\rightarrow}
\lambda 
\mathsf {c}
.
\lambda 
\mathsf{x}
.
{\cal P}( 
\lceil ZFsub
\vdash 
\forall \underline{
\mathsf{x}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf{y}}
\colon \underline{
\mathsf{x}}
 <= 0
\vdash 0
 <= \underline{
\mathsf{y}}
\vdash NonpositiveNegated
\rhd \underline{
\mathsf{x}}
 <= 0
\gg 0
 <= -\underline{
\mathsf{x}}
; NonnegativeNegated
\rhd 0
 <= \underline{
\mathsf{y}}
\gg -\underline{
\mathsf{y}}
 <= 0
; splitNumericalSum(+-)
\rhd 0
 <= -\underline{
\mathsf{x}}
\rhd -\underline{
\mathsf{y}}
 <= 0
\gg if(0
 <= -\underline{
\mathsf{x}}
+-\underline{
\mathsf{y}}
,-\underline{
\mathsf{x}}
+-\underline{
\mathsf{y}}
,--\underline{
\mathsf{x}}
+-\underline{
\mathsf{y}}
)
 <= if(0
 <= -\underline{
\mathsf{x}}
,-\underline{
\mathsf{x}}
,--\underline{
\mathsf{x}}
)
+if(0
 <= -\underline{
\mathsf{y}}
,-\underline{
\mathsf{y}}
,--\underline{
\mathsf{y}}
)
; SplitNumericalSumHelper
\rhd if(0
 <= -\underline{
\mathsf{x}}
+-\underline{
\mathsf{y}}
,-\underline{
\mathsf{x}}
+-\underline{
\mathsf{y}}
,--\underline{
\mathsf{x}}
+-\underline{
\mathsf{y}}
)
 <= if(0
 <= -\underline{
\mathsf{x}}
,-\underline{
\mathsf{x}}
,--\underline{
\mathsf{x}}
)
+if(0
 <= -\underline{
\mathsf{y}}
,-\underline{
\mathsf{y}}
,--\underline{
\mathsf{y}}
)
\gg if(0
 <= \underline{
\mathsf{x}}
+\underline{
\mathsf{y}}
,\underline{
\mathsf{x}}
+\underline{
\mathsf{y}}
,-\underline{
\mathsf{x}}
+\underline{
\mathsf{y}}
)
 <= if(0
 <= \underline{
\mathsf{x}}
,\underline{
\mathsf{x}}
,-\underline{
\mathsf{x}}
)
+if(0
 <= \underline{
\mathsf{y}}
,\underline{
\mathsf{y}}
,-\underline{
\mathsf{y}}
)
\rceil 
, 
p_0
, 
\mathsf {c}
)
]$

$\rm
[splitNumericalSum(-+)
\stackrel{
stmt
}{\rightarrow}ZFsub
\vdash 
\forall \underline{
\mathsf{x}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf{y}}
\colon \underline{
\mathsf{x}}
 <= 0
\vdash 0
 <= \underline{
\mathsf{y}}
\vdash if(0
 <= \underline{
\mathsf{x}}
+\underline{
\mathsf{y}}
,\underline{
\mathsf{x}}
+\underline{
\mathsf{y}}
,-\underline{
\mathsf{x}}
+\underline{
\mathsf{y}}
)
 <= if(0
 <= \underline{
\mathsf{x}}
,\underline{
\mathsf{x}}
,-\underline{
\mathsf{x}}
)
+if(0
 <= \underline{
\mathsf{y}}
,\underline{
\mathsf{y}}
,-\underline{
\mathsf{y}}
)
]$

$\rm
[splitNumericalSum(-+)
\stackrel{
\mathrm{tex}
}{\rightarrow}
\mbox{``}splitNumericalSum(
\mbox{-}
{+})
\mbox{''}
]$

$\rm
[splitNumericalSum(-+)
\stackrel{
\mathrm{pyk}
}{\rightarrow}
\mbox{``}lemma
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}splitNumericalSum(
\mbox{-}
{+})
\mbox{''}
]$

\hypertarget {url:1808490583581903168404721082347638465545342357588912671848929942716323841:333}{}\section* {$\rm splitNumericalSum$}

$\rm
[splitNumericalSum
\stackrel{
proof
}{\rightarrow}
\lambda 
\mathsf {c}
.
\lambda 
\mathsf{x}
.
{\cal P}( 
\lceil ZFsub
\vdash 
\forall \underline{
\mathsf{x}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf{y}}
\colon 0
 <= \underline{
\mathsf{x}}
\vdash 0
 <= \underline{
\mathsf{y}}
\vdash splitNumericalSum(++)
\rhd 0
 <= \underline{
\mathsf{x}}
\rhd 0
 <= \underline{
\mathsf{y}}
\gg if(0
 <= \underline{
\mathsf{x}}
+\underline{
\mathsf{y}}
,\underline{
\mathsf{x}}
+\underline{
\mathsf{y}}
,-\underline{
\mathsf{x}}
+\underline{
\mathsf{y}}
)
 <= if(0
 <= \underline{
\mathsf{x}}
,\underline{
\mathsf{x}}
,-\underline{
\mathsf{x}}
)
+if(0
 <= \underline{
\mathsf{y}}
,\underline{
\mathsf{y}}
,-\underline{
\mathsf{y}}
)
; 
\forall \underline{
\mathsf{x}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf{y}}
\colon 0
 <= \underline{
\mathsf{x}}
\vdash \underline{
\mathsf{y}}
 <= 0
\vdash splitNumericalSum(+-)
\rhd 0
 <= \underline{
\mathsf{x}}
\rhd \underline{
\mathsf{y}}
 <= 0
\gg if(0
 <= \underline{
\mathsf{x}}
+\underline{
\mathsf{y}}
,\underline{
\mathsf{x}}
+\underline{
\mathsf{y}}
,-\underline{
\mathsf{x}}
+\underline{
\mathsf{y}}
)
 <= if(0
 <= \underline{
\mathsf{x}}
,\underline{
\mathsf{x}}
,-\underline{
\mathsf{x}}
)
+if(0
 <= \underline{
\mathsf{y}}
,\underline{
\mathsf{y}}
,-\underline{
\mathsf{y}}
)
; 
\forall \underline{
\mathsf{x}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf{y}}
\colon \underline{
\mathsf{x}}
 <= 0
\vdash 0
 <= \underline{
\mathsf{y}}
\vdash splitNumericalSum(-+)
\rhd \underline{
\mathsf{x}}
 <= 0
\rhd 0
 <= \underline{
\mathsf{y}}
\gg if(0
 <= \underline{
\mathsf{x}}
+\underline{
\mathsf{y}}
,\underline{
\mathsf{x}}
+\underline{
\mathsf{y}}
,-\underline{
\mathsf{x}}
+\underline{
\mathsf{y}}
)
 <= if(0
 <= \underline{
\mathsf{x}}
,\underline{
\mathsf{x}}
,-\underline{
\mathsf{x}}
)
+if(0
 <= \underline{
\mathsf{y}}
,\underline{
\mathsf{y}}
,-\underline{
\mathsf{y}}
)
; 
\forall \underline{
\mathsf{x}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf{y}}
\colon \underline{
\mathsf{x}}
 <= 0
\vdash \underline{
\mathsf{y}}
 <= 0
\vdash splitNumericalSum(--)
\rhd \underline{
\mathsf{x}}
 <= 0
\rhd \underline{
\mathsf{y}}
 <= 0
\gg if(0
 <= \underline{
\mathsf{x}}
+\underline{
\mathsf{y}}
,\underline{
\mathsf{x}}
+\underline{
\mathsf{y}}
,-\underline{
\mathsf{x}}
+\underline{
\mathsf{y}}
)
 <= if(0
 <= \underline{
\mathsf{x}}
,\underline{
\mathsf{x}}
,-\underline{
\mathsf{x}}
)
+if(0
 <= \underline{
\mathsf{y}}
,\underline{
\mathsf{y}}
,-\underline{
\mathsf{y}}
)
; 
\forall \underline{
\mathsf{x}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf{y}}
\colon Ded
\rhd 
\forall \underline{
\mathsf{x}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf{y}}
\colon 0
 <= \underline{
\mathsf{x}}
\vdash 0
 <= \underline{
\mathsf{y}}
\vdash if(0
 <= \underline{
\mathsf{x}}
+\underline{
\mathsf{y}}
,\underline{
\mathsf{x}}
+\underline{
\mathsf{y}}
,-\underline{
\mathsf{x}}
+\underline{
\mathsf{y}}
)
 <= if(0
 <= \underline{
\mathsf{x}}
,\underline{
\mathsf{x}}
,-\underline{
\mathsf{x}}
)
+if(0
 <= \underline{
\mathsf{y}}
,\underline{
\mathsf{y}}
,-\underline{
\mathsf{y}}
)
\gg 0
 <= \underline{
\mathsf{x}}
\Rightarrow 0
 <= \underline{
\mathsf{y}}
\Rightarrow if(0
 <= \underline{
\mathsf{x}}
+\underline{
\mathsf{y}}
,\underline{
\mathsf{x}}
+\underline{
\mathsf{y}}
,-\underline{
\mathsf{x}}
+\underline{
\mathsf{y}}
)
 <= if(0
 <= \underline{
\mathsf{x}}
,\underline{
\mathsf{x}}
,-\underline{
\mathsf{x}}
)
+if(0
 <= \underline{
\mathsf{y}}
,\underline{
\mathsf{y}}
,-\underline{
\mathsf{y}}
)
; Ded
\rhd 
\forall \underline{
\mathsf{x}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf{y}}
\colon 0
 <= \underline{
\mathsf{x}}
\vdash \underline{
\mathsf{y}}
 <= 0
\vdash if(0
 <= \underline{
\mathsf{x}}
+\underline{
\mathsf{y}}
,\underline{
\mathsf{x}}
+\underline{
\mathsf{y}}
,-\underline{
\mathsf{x}}
+\underline{
\mathsf{y}}
)
 <= if(0
 <= \underline{
\mathsf{x}}
,\underline{
\mathsf{x}}
,-\underline{
\mathsf{x}}
)
+if(0
 <= \underline{
\mathsf{y}}
,\underline{
\mathsf{y}}
,-\underline{
\mathsf{y}}
)
\gg 0
 <= \underline{
\mathsf{x}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf{y}}
 <= 0
\Rightarrow if(0
 <= \underline{
\mathsf{x}}
+\underline{
\mathsf{y}}
,\underline{
\mathsf{x}}
+\underline{
\mathsf{y}}
,-\underline{
\mathsf{x}}
+\underline{
\mathsf{y}}
)
 <= if(0
 <= \underline{
\mathsf{x}}
,\underline{
\mathsf{x}}
,-\underline{
\mathsf{x}}
)
+if(0
 <= \underline{
\mathsf{y}}
,\underline{
\mathsf{y}}
,-\underline{
\mathsf{y}}
)
; Ded
\rhd 
\forall \underline{
\mathsf{x}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf{y}}
\colon \underline{
\mathsf{x}}
 <= 0
\vdash 0
 <= \underline{
\mathsf{y}}
\vdash if(0
 <= \underline{
\mathsf{x}}
+\underline{
\mathsf{y}}
,\underline{
\mathsf{x}}
+\underline{
\mathsf{y}}
,-\underline{
\mathsf{x}}
+\underline{
\mathsf{y}}
)
 <= if(0
 <= \underline{
\mathsf{x}}
,\underline{
\mathsf{x}}
,-\underline{
\mathsf{x}}
)
+if(0
 <= \underline{
\mathsf{y}}
,\underline{
\mathsf{y}}
,-\underline{
\mathsf{y}}
)
\gg \underline{
\mathsf{x}}
 <= 0
\Rightarrow 0
 <= \underline{
\mathsf{y}}
\Rightarrow if(0
 <= \underline{
\mathsf{x}}
+\underline{
\mathsf{y}}
,\underline{
\mathsf{x}}
+\underline{
\mathsf{y}}
,-\underline{
\mathsf{x}}
+\underline{
\mathsf{y}}
)
 <= if(0
 <= \underline{
\mathsf{x}}
,\underline{
\mathsf{x}}
,-\underline{
\mathsf{x}}
)
+if(0
 <= \underline{
\mathsf{y}}
,\underline{
\mathsf{y}}
,-\underline{
\mathsf{y}}
)
; Ded
\rhd 
\forall \underline{
\mathsf{x}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf{y}}
\colon \underline{
\mathsf{x}}
 <= 0
\vdash \underline{
\mathsf{y}}
 <= 0
\vdash if(0
 <= \underline{
\mathsf{x}}
+\underline{
\mathsf{y}}
,\underline{
\mathsf{x}}
+\underline{
\mathsf{y}}
,-\underline{
\mathsf{x}}
+\underline{
\mathsf{y}}
)
 <= if(0
 <= \underline{
\mathsf{x}}
,\underline{
\mathsf{x}}
,-\underline{
\mathsf{x}}
)
+if(0
 <= \underline{
\mathsf{y}}
,\underline{
\mathsf{y}}
,-\underline{
\mathsf{y}}
)
\gg \underline{
\mathsf{x}}
 <= 0
\Rightarrow \underline{
\mathsf{y}}
 <= 0
\Rightarrow if(0
 <= \underline{
\mathsf{x}}
+\underline{
\mathsf{y}}
,\underline{
\mathsf{x}}
+\underline{
\mathsf{y}}
,-\underline{
\mathsf{x}}
+\underline{
\mathsf{y}}
)
 <= if(0
 <= \underline{
\mathsf{x}}
,\underline{
\mathsf{x}}
,-\underline{
\mathsf{x}}
)
+if(0
 <= \underline{
\mathsf{y}}
,\underline{
\mathsf{y}}
,-\underline{
\mathsf{y}}
)
; FromLeqGeq
\rhd 0
 <= \underline{
\mathsf{x}}
\Rightarrow 0
 <= \underline{
\mathsf{y}}
\Rightarrow if(0
 <= \underline{
\mathsf{x}}
+\underline{
\mathsf{y}}
,\underline{
\mathsf{x}}
+\underline{
\mathsf{y}}
,-\underline{
\mathsf{x}}
+\underline{
\mathsf{y}}
)
 <= if(0
 <= \underline{
\mathsf{x}}
,\underline{
\mathsf{x}}
,-\underline{
\mathsf{x}}
)
+if(0
 <= \underline{
\mathsf{y}}
,\underline{
\mathsf{y}}
,-\underline{
\mathsf{y}}
)
\rhd \underline{
\mathsf{x}}
 <= 0
\Rightarrow 0
 <= \underline{
\mathsf{y}}
\Rightarrow if(0
 <= \underline{
\mathsf{x}}
+\underline{
\mathsf{y}}
,\underline{
\mathsf{x}}
+\underline{
\mathsf{y}}
,-\underline{
\mathsf{x}}
+\underline{
\mathsf{y}}
)
 <= if(0
 <= \underline{
\mathsf{x}}
,\underline{
\mathsf{x}}
,-\underline{
\mathsf{x}}
)
+if(0
 <= \underline{
\mathsf{y}}
,\underline{
\mathsf{y}}
,-\underline{
\mathsf{y}}
)
\gg 0
 <= \underline{
\mathsf{y}}
\Rightarrow if(0
 <= \underline{
\mathsf{x}}
+\underline{
\mathsf{y}}
,\underline{
\mathsf{x}}
+\underline{
\mathsf{y}}
,-\underline{
\mathsf{x}}
+\underline{
\mathsf{y}}
)
 <= if(0
 <= \underline{
\mathsf{x}}
,\underline{
\mathsf{x}}
,-\underline{
\mathsf{x}}
)
+if(0
 <= \underline{
\mathsf{y}}
,\underline{
\mathsf{y}}
,-\underline{
\mathsf{y}}
)
; FromLeqGeq
\rhd 0
 <= \underline{
\mathsf{x}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf{y}}
 <= 0
\Rightarrow if(0
 <= \underline{
\mathsf{x}}
+\underline{
\mathsf{y}}
,\underline{
\mathsf{x}}
+\underline{
\mathsf{y}}
,-\underline{
\mathsf{x}}
+\underline{
\mathsf{y}}
)
 <= if(0
 <= \underline{
\mathsf{x}}
,\underline{
\mathsf{x}}
,-\underline{
\mathsf{x}}
)
+if(0
 <= \underline{
\mathsf{y}}
,\underline{
\mathsf{y}}
,-\underline{
\mathsf{y}}
)
\rhd \underline{
\mathsf{x}}
 <= 0
\Rightarrow \underline{
\mathsf{y}}
 <= 0
\Rightarrow if(0
 <= \underline{
\mathsf{x}}
+\underline{
\mathsf{y}}
,\underline{
\mathsf{x}}
+\underline{
\mathsf{y}}
,-\underline{
\mathsf{x}}
+\underline{
\mathsf{y}}
)
 <= if(0
 <= \underline{
\mathsf{x}}
,\underline{
\mathsf{x}}
,-\underline{
\mathsf{x}}
)
+if(0
 <= \underline{
\mathsf{y}}
,\underline{
\mathsf{y}}
,-\underline{
\mathsf{y}}
)
\gg \underline{
\mathsf{y}}
 <= 0
\Rightarrow if(0
 <= \underline{
\mathsf{x}}
+\underline{
\mathsf{y}}
,\underline{
\mathsf{x}}
+\underline{
\mathsf{y}}
,-\underline{
\mathsf{x}}
+\underline{
\mathsf{y}}
)
 <= if(0
 <= \underline{
\mathsf{x}}
,\underline{
\mathsf{x}}
,-\underline{
\mathsf{x}}
)
+if(0
 <= \underline{
\mathsf{y}}
,\underline{
\mathsf{y}}
,-\underline{
\mathsf{y}}
)
; FromLeqGeq
\rhd 0
 <= \underline{
\mathsf{y}}
\Rightarrow if(0
 <= \underline{
\mathsf{x}}
+\underline{
\mathsf{y}}
,\underline{
\mathsf{x}}
+\underline{
\mathsf{y}}
,-\underline{
\mathsf{x}}
+\underline{
\mathsf{y}}
)
 <= if(0
 <= \underline{
\mathsf{x}}
,\underline{
\mathsf{x}}
,-\underline{
\mathsf{x}}
)
+if(0
 <= \underline{
\mathsf{y}}
,\underline{
\mathsf{y}}
,-\underline{
\mathsf{y}}
)
\rhd \underline{
\mathsf{y}}
 <= 0
\Rightarrow if(0
 <= \underline{
\mathsf{x}}
+\underline{
\mathsf{y}}
,\underline{
\mathsf{x}}
+\underline{
\mathsf{y}}
,-\underline{
\mathsf{x}}
+\underline{
\mathsf{y}}
)
 <= if(0
 <= \underline{
\mathsf{x}}
,\underline{
\mathsf{x}}
,-\underline{
\mathsf{x}}
)
+if(0
 <= \underline{
\mathsf{y}}
,\underline{
\mathsf{y}}
,-\underline{
\mathsf{y}}
)
\gg if(0
 <= \underline{
\mathsf{x}}
+\underline{
\mathsf{y}}
,\underline{
\mathsf{x}}
+\underline{
\mathsf{y}}
,-\underline{
\mathsf{x}}
+\underline{
\mathsf{y}}
)
 <= if(0
 <= \underline{
\mathsf{x}}
,\underline{
\mathsf{x}}
,-\underline{
\mathsf{x}}
)
+if(0
 <= \underline{
\mathsf{y}}
,\underline{
\mathsf{y}}
,-\underline{
\mathsf{y}}
)
\rceil 
, 
p_0
, 
\mathsf {c}
)
]$

$\rm
[splitNumericalSum
\stackrel{
stmt
}{\rightarrow}ZFsub
\vdash 
\forall \underline{
\mathsf{x}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf{y}}
\colon if(0
 <= \underline{
\mathsf{x}}
+\underline{
\mathsf{y}}
,\underline{
\mathsf{x}}
+\underline{
\mathsf{y}}
,-\underline{
\mathsf{x}}
+\underline{
\mathsf{y}}
)
 <= if(0
 <= \underline{
\mathsf{x}}
,\underline{
\mathsf{x}}
,-\underline{
\mathsf{x}}
)
+if(0
 <= \underline{
\mathsf{y}}
,\underline{
\mathsf{y}}
,-\underline{
\mathsf{y}}
)
]$

$\rm
[splitNumericalSum
\stackrel{
\mathrm{tex}
}{\rightarrow}
\mbox{``}splitNumericalSum
\mbox{''}
]$

$\rm
[splitNumericalSum
\stackrel{
\mathrm{pyk}
}{\rightarrow}
\mbox{``}lemma
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}splitNumericalSum
\mbox{''}
]$

\hypertarget {url:1808490583581903168404721082347638465545342357588912671848929942716323841:334}{}\section* {$\rm insertMiddleTerm(Numerical)$}

$\rm
[insertMiddleTerm(Numerical)
\stackrel{
proof
}{\rightarrow}
\lambda 
\mathsf {c}
.
\lambda 
\mathsf{x}
.
{\cal P}( 
\lceil ZFsub
\vdash 
\forall \underline{
\mathsf{x}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf{y}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf{z}}
\colon splitNumericalSum
\gg if(0
 <= \underline{
\mathsf{x}}
+-\underline{
\mathsf{z}}
+\underline{
\mathsf{z}}
+\underline{
\mathsf{y}}
,\underline{
\mathsf{x}}
+-\underline{
\mathsf{z}}
+\underline{
\mathsf{z}}
+\underline{
\mathsf{y}}
,-\underline{
\mathsf{x}}
+-\underline{
\mathsf{z}}
+\underline{
\mathsf{z}}
+\underline{
\mathsf{y}}
)
 <= if(0
 <= \underline{
\mathsf{x}}
+-\underline{
\mathsf{z}}
,\underline{
\mathsf{x}}
+-\underline{
\mathsf{z}}
,-\underline{
\mathsf{x}}
+-\underline{
\mathsf{z}}
)
+if(0
 <= \underline{
\mathsf{z}}
+\underline{
\mathsf{y}}
,\underline{
\mathsf{z}}
+\underline{
\mathsf{y}}
,-\underline{
\mathsf{z}}
+\underline{
\mathsf{y}}
)
; insertMiddleTerm(Sum)
\gg \underline{
\mathsf{x}}
+\underline{
\mathsf{y}}
 = \underline{
\mathsf{x}}
+-\underline{
\mathsf{z}}
+\underline{
\mathsf{z}}
+\underline{
\mathsf{y}}
; SameNumerical
\rhd \underline{
\mathsf{x}}
+\underline{
\mathsf{y}}
 = \underline{
\mathsf{x}}
+-\underline{
\mathsf{z}}
+\underline{
\mathsf{z}}
+\underline{
\mathsf{y}}
\gg if(0
 <= \underline{
\mathsf{x}}
+\underline{
\mathsf{y}}
,\underline{
\mathsf{x}}
+\underline{
\mathsf{y}}
,-\underline{
\mathsf{x}}
+\underline{
\mathsf{y}}
)
 = if(0
 <= \underline{
\mathsf{x}}
+-\underline{
\mathsf{z}}
+\underline{
\mathsf{z}}
+\underline{
\mathsf{y}}
,\underline{
\mathsf{x}}
+-\underline{
\mathsf{z}}
+\underline{
\mathsf{z}}
+\underline{
\mathsf{y}}
,-\underline{
\mathsf{x}}
+-\underline{
\mathsf{z}}
+\underline{
\mathsf{z}}
+\underline{
\mathsf{y}}
)
; eqSymmetry
\rhd if(0
 <= \underline{
\mathsf{x}}
+\underline{
\mathsf{y}}
,\underline{
\mathsf{x}}
+\underline{
\mathsf{y}}
,-\underline{
\mathsf{x}}
+\underline{
\mathsf{y}}
)
 = if(0
 <= \underline{
\mathsf{x}}
+-\underline{
\mathsf{z}}
+\underline{
\mathsf{z}}
+\underline{
\mathsf{y}}
,\underline{
\mathsf{x}}
+-\underline{
\mathsf{z}}
+\underline{
\mathsf{z}}
+\underline{
\mathsf{y}}
,-\underline{
\mathsf{x}}
+-\underline{
\mathsf{z}}
+\underline{
\mathsf{z}}
+\underline{
\mathsf{y}}
)
\gg if(0
 <= \underline{
\mathsf{x}}
+-\underline{
\mathsf{z}}
+\underline{
\mathsf{z}}
+\underline{
\mathsf{y}}
,\underline{
\mathsf{x}}
+-\underline{
\mathsf{z}}
+\underline{
\mathsf{z}}
+\underline{
\mathsf{y}}
,-\underline{
\mathsf{x}}
+-\underline{
\mathsf{z}}
+\underline{
\mathsf{z}}
+\underline{
\mathsf{y}}
)
 = if(0
 <= \underline{
\mathsf{x}}
+\underline{
\mathsf{y}}
,\underline{
\mathsf{x}}
+\underline{
\mathsf{y}}
,-\underline{
\mathsf{x}}
+\underline{
\mathsf{y}}
)
; subLeqLeft
\rhd if(0
 <= \underline{
\mathsf{x}}
+-\underline{
\mathsf{z}}
+\underline{
\mathsf{z}}
+\underline{
\mathsf{y}}
,\underline{
\mathsf{x}}
+-\underline{
\mathsf{z}}
+\underline{
\mathsf{z}}
+\underline{
\mathsf{y}}
,-\underline{
\mathsf{x}}
+-\underline{
\mathsf{z}}
+\underline{
\mathsf{z}}
+\underline{
\mathsf{y}}
)
 = if(0
 <= \underline{
\mathsf{x}}
+\underline{
\mathsf{y}}
,\underline{
\mathsf{x}}
+\underline{
\mathsf{y}}
,-\underline{
\mathsf{x}}
+\underline{
\mathsf{y}}
)
\rhd if(0
 <= \underline{
\mathsf{x}}
+-\underline{
\mathsf{z}}
+\underline{
\mathsf{z}}
+\underline{
\mathsf{y}}
,\underline{
\mathsf{x}}
+-\underline{
\mathsf{z}}
+\underline{
\mathsf{z}}
+\underline{
\mathsf{y}}
,-\underline{
\mathsf{x}}
+-\underline{
\mathsf{z}}
+\underline{
\mathsf{z}}
+\underline{
\mathsf{y}}
)
 <= if(0
 <= \underline{
\mathsf{x}}
+-\underline{
\mathsf{z}}
,\underline{
\mathsf{x}}
+-\underline{
\mathsf{z}}
,-\underline{
\mathsf{x}}
+-\underline{
\mathsf{z}}
)
+if(0
 <= \underline{
\mathsf{z}}
+\underline{
\mathsf{y}}
,\underline{
\mathsf{z}}
+\underline{
\mathsf{y}}
,-\underline{
\mathsf{z}}
+\underline{
\mathsf{y}}
)
\gg if(0
 <= \underline{
\mathsf{x}}
+\underline{
\mathsf{y}}
,\underline{
\mathsf{x}}
+\underline{
\mathsf{y}}
,-\underline{
\mathsf{x}}
+\underline{
\mathsf{y}}
)
 <= if(0
 <= \underline{
\mathsf{x}}
+-\underline{
\mathsf{z}}
,\underline{
\mathsf{x}}
+-\underline{
\mathsf{z}}
,-\underline{
\mathsf{x}}
+-\underline{
\mathsf{z}}
)
+if(0
 <= \underline{
\mathsf{z}}
+\underline{
\mathsf{y}}
,\underline{
\mathsf{z}}
+\underline{
\mathsf{y}}
,-\underline{
\mathsf{z}}
+\underline{
\mathsf{y}}
)
\rceil 
, 
p_0
, 
\mathsf {c}
)
]$

$\rm
[insertMiddleTerm(Numerical)
\stackrel{
stmt
}{\rightarrow}ZFsub
\vdash 
\forall \underline{
\mathsf{x}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf{y}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf{z}}
\colon if(0
 <= \underline{
\mathsf{x}}
+\underline{
\mathsf{y}}
,\underline{
\mathsf{x}}
+\underline{
\mathsf{y}}
,-\underline{
\mathsf{x}}
+\underline{
\mathsf{y}}
)
 <= if(0
 <= \underline{
\mathsf{x}}
+-\underline{
\mathsf{z}}
,\underline{
\mathsf{x}}
+-\underline{
\mathsf{z}}
,-\underline{
\mathsf{x}}
+-\underline{
\mathsf{z}}
)
+if(0
 <= \underline{
\mathsf{z}}
+\underline{
\mathsf{y}}
,\underline{
\mathsf{z}}
+\underline{
\mathsf{y}}
,-\underline{
\mathsf{z}}
+\underline{
\mathsf{y}}
)
]$

$\rm
[insertMiddleTerm(Numerical)
\stackrel{
\mathrm{tex}
}{\rightarrow}
\mbox{``}insertMiddleTerm(Numerical)
\mbox{''}
]$

$\rm
[insertMiddleTerm(Numerical)
\stackrel{
\mathrm{pyk}
}{\rightarrow}
\mbox{``}lemma
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}insertMiddleTerm(Numerical)
\mbox{''}
]$

\hypertarget {url:1808490583581903168404721082347638465545342357588912671848929942716323841:335}{}\section* {$\rm x+y=zBackwards$}

$\rm
[x+y=zBackwards
\stackrel{
proof
}{\rightarrow}
\lambda 
\mathsf {c}
.
\lambda 
\mathsf{x}
.
{\cal P}( 
\lceil ZFsub
\vdash 
\forall \underline{
\mathsf{x}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf{y}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf{z}}
\colon \underline{
\mathsf{x}}
+\underline{
\mathsf{y}}
 = \underline{
\mathsf{z}}
\vdash plusCommutativity
\gg \underline{
\mathsf{x}}
+\underline{
\mathsf{y}}
 = \underline{
\mathsf{y}}
+\underline{
\mathsf{x}}
; Equality
\rhd \underline{
\mathsf{x}}
+\underline{
\mathsf{y}}
 = \underline{
\mathsf{z}}
\gg \underline{
\mathsf{z}}
 = \underline{
\mathsf{y}}
+\underline{
\mathsf{x}}
\rceil 
, 
p_0
, 
\mathsf {c}
)
]$

$\rm
[x+y=zBackwards
\stackrel{
stmt
}{\rightarrow}ZFsub
\vdash 
\forall \underline{
\mathsf{x}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf{y}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf{z}}
\colon \underline{
\mathsf{x}}
+\underline{
\mathsf{y}}
 = \underline{
\mathsf{z}}
\vdash \underline{
\mathsf{z}}
 = \underline{
\mathsf{y}}
+\underline{
\mathsf{x}}
]$

$\rm
[x+y=zBackwards
\stackrel{
\mathrm{tex}
}{\rightarrow}
\mbox{``}x
{+}y
{=}zBackwards
\mbox{''}
]$

$\rm
[x+y=zBackwards
\stackrel{
\mathrm{pyk}
}{\rightarrow}
\mbox{``}lemma
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}x
{+}y
{=}zBackwards
\mbox{''}
]$

\hypertarget {url:1808490583581903168404721082347638465545342357588912671848929942716323841:336}{}\section* {$\rm x*y=zBackwards$}

$\rm
[x*y=zBackwards
\stackrel{
proof
}{\rightarrow}
\lambda 
\mathsf {c}
.
\lambda 
\mathsf{x}
.
{\cal P}( 
\lceil ZFsub
\vdash 
\forall \underline{
\mathsf{x}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf{y}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf{z}}
\colon \underline{
\mathsf{x}}
*\underline{
\mathsf{y}}
 = \underline{
\mathsf{z}}
\vdash timesCommutativity
\gg \underline{
\mathsf{x}}
*\underline{
\mathsf{y}}
 = \underline{
\mathsf{y}}
*\underline{
\mathsf{x}}
; Equality
\rhd \underline{
\mathsf{x}}
*\underline{
\mathsf{y}}
 = \underline{
\mathsf{z}}
\gg \underline{
\mathsf{z}}
 = \underline{
\mathsf{y}}
*\underline{
\mathsf{x}}
\rceil 
, 
p_0
, 
\mathsf {c}
)
]$

$\rm
[x*y=zBackwards
\stackrel{
stmt
}{\rightarrow}ZFsub
\vdash 
\forall \underline{
\mathsf{x}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf{y}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf{z}}
\colon \underline{
\mathsf{x}}
*\underline{
\mathsf{y}}
 = \underline{
\mathsf{z}}
\vdash \underline{
\mathsf{z}}
 = \underline{
\mathsf{y}}
*\underline{
\mathsf{x}}
]$

$\rm
[x*y=zBackwards
\stackrel{
\mathrm{tex}
}{\rightarrow}
\mbox{``}x
{*}y
{=}zBackwards
\mbox{''}
]$

$\rm
[x*y=zBackwards
\stackrel{
\mathrm{pyk}
}{\rightarrow}
\mbox{``}lemma
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}x
{*}y
{=}zBackwards
\mbox{''}
]$

\hypertarget {url:1808490583581903168404721082347638465545342357588912671848929942716323841:337}{}\section* {$\rm x=x+(y-y)$}

$\rm
[x=x+(y-y)
\stackrel{
proof
}{\rightarrow}
\lambda 
\mathsf {c}
.
\lambda 
\mathsf{x}
.
{\cal P}( 
\lceil ZFsub
\vdash 
\forall \underline{
\mathsf{x}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf{y}}
\colon plus0
\gg \underline{
\mathsf{x}}
+0
 = \underline{
\mathsf{x}}
; Negative
\gg \underline{
\mathsf{y}}
+-\underline{
\mathsf{y}}
 = 0
; eqSymmetry
\rhd \underline{
\mathsf{y}}
+-\underline{
\mathsf{y}}
 = 0
\gg 0
 = \underline{
\mathsf{y}}
+-\underline{
\mathsf{y}}
; 
\mbox{lemma eqAdditionLeft}
\rhd 0
 = \underline{
\mathsf{y}}
+-\underline{
\mathsf{y}}
\gg \underline{
\mathsf{x}}
+0
 = \underline{
\mathsf{x}}
+\underline{
\mathsf{y}}
+-\underline{
\mathsf{y}}
; Equality
\rhd \underline{
\mathsf{x}}
+0
 = \underline{
\mathsf{x}}
\rhd \underline{
\mathsf{x}}
+0
 = \underline{
\mathsf{x}}
+\underline{
\mathsf{y}}
+-\underline{
\mathsf{y}}
\gg \underline{
\mathsf{x}}
 = \underline{
\mathsf{x}}
+\underline{
\mathsf{y}}
+-\underline{
\mathsf{y}}
\rceil 
, 
p_0
, 
\mathsf {c}
)
]$

$\rm
[x=x+(y-y)
\stackrel{
stmt
}{\rightarrow}ZFsub
\vdash 
\forall \underline{
\mathsf{x}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf{y}}
\colon \underline{
\mathsf{x}}
 = \underline{
\mathsf{x}}
+\underline{
\mathsf{y}}
+-\underline{
\mathsf{y}}
]$

$\rm
[x=x+(y-y)
\stackrel{
\mathrm{tex}
}{\rightarrow}
\mbox{``}x
{=}x
{+}(y
\mbox{-}y)
\mbox{''}
]$

$\rm
[x=x+(y-y)
\stackrel{
\mathrm{pyk}
}{\rightarrow}
\mbox{``}lemma
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}x
{=}x
{+}(y
\mbox{-}y)
\mbox{''}
]$

\hypertarget {url:1808490583581903168404721082347638465545342357588912671848929942716323841:338}{}\section* {$\rm x=x+y-y$}

$\rm
[x=x+y-y
\stackrel{
proof
}{\rightarrow}
\lambda 
\mathsf {c}
.
\lambda 
\mathsf{x}
.
{\cal P}( 
\lceil ZFsub
\vdash 
\forall \underline{
\mathsf{x}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf{y}}
\colon x=x+(y-y)
\gg \underline{
\mathsf{x}}
 = \underline{
\mathsf{x}}
+\underline{
\mathsf{y}}
+-\underline{
\mathsf{y}}
; plusAssociativity
\gg \underline{
\mathsf{x}}
+\underline{
\mathsf{y}}
+-\underline{
\mathsf{y}}
 = \underline{
\mathsf{x}}
+\underline{
\mathsf{y}}
+-\underline{
\mathsf{y}}
; eqSymmetry
\rhd \underline{
\mathsf{x}}
+\underline{
\mathsf{y}}
+-\underline{
\mathsf{y}}
 = \underline{
\mathsf{x}}
+\underline{
\mathsf{y}}
+-\underline{
\mathsf{y}}
\gg \underline{
\mathsf{x}}
+\underline{
\mathsf{y}}
+-\underline{
\mathsf{y}}
 = \underline{
\mathsf{x}}
+\underline{
\mathsf{y}}
+-\underline{
\mathsf{y}}
; eqTransitivity
\rhd \underline{
\mathsf{x}}
 = \underline{
\mathsf{x}}
+\underline{
\mathsf{y}}
+-\underline{
\mathsf{y}}
\rhd \underline{
\mathsf{x}}
+\underline{
\mathsf{y}}
+-\underline{
\mathsf{y}}
 = \underline{
\mathsf{x}}
+\underline{
\mathsf{y}}
+-\underline{
\mathsf{y}}
\gg \underline{
\mathsf{x}}
 = \underline{
\mathsf{x}}
+\underline{
\mathsf{y}}
+-\underline{
\mathsf{y}}
\rceil 
, 
p_0
, 
\mathsf {c}
)
]$

$\rm
[x=x+y-y
\stackrel{
stmt
}{\rightarrow}ZFsub
\vdash 
\forall \underline{
\mathsf{x}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf{y}}
\colon \underline{
\mathsf{x}}
 = \underline{
\mathsf{x}}
+\underline{
\mathsf{y}}
+-\underline{
\mathsf{y}}
]$

$\rm
[x=x+y-y
\stackrel{
\mathrm{tex}
}{\rightarrow}
\mbox{``}x
{=}x
{+}y
\mbox{-}y
\mbox{''}
]$

$\rm
[x=x+y-y
\stackrel{
\mathrm{pyk}
}{\rightarrow}
\mbox{``}lemma
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}x
{=}x
{+}y
\mbox{-}y
\mbox{''}
]$

\hypertarget {url:1808490583581903168404721082347638465545342357588912671848929942716323841:339}{}\section* {$\rm  $}

$\rm
[ 
\stackrel{
proof
}{\rightarrow}
\lambda 
\mathsf {c}
.
\lambda 
\mathsf{x}
.
{\cal P}( 
\lceil ZFsub
\vdash 
\forall \underline{
\mathsf{x}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf{y}}
\colon \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf{y}}
 = 0
\vdash times1
\gg \underline{
\mathsf{x}}
*1
 = \underline{
\mathsf{x}}
; Reciprocal
\rhd \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf{y}}
 = 0
\gg \underline{
\mathsf{y}}
*rec\underline{
\mathsf{y}}
 = 1
; Three2threeFactors
\rhd \underline{
\mathsf{y}}
*rec\underline{
\mathsf{y}}
 = 1
\gg \underline{
\mathsf{x}}
*\underline{
\mathsf{y}}
*rec\underline{
\mathsf{y}}
 = \underline{
\mathsf{x}}
*1
; eqTransitivity
\rhd \underline{
\mathsf{x}}
*\underline{
\mathsf{y}}
*rec\underline{
\mathsf{y}}
 = \underline{
\mathsf{x}}
*1
\rhd \underline{
\mathsf{x}}
*1
 = \underline{
\mathsf{x}}
\gg \underline{
\mathsf{x}}
*\underline{
\mathsf{y}}
*rec\underline{
\mathsf{y}}
 = \underline{
\mathsf{x}}
; eqSymmetry
\rhd \underline{
\mathsf{x}}
*\underline{
\mathsf{y}}
*rec\underline{
\mathsf{y}}
 = \underline{
\mathsf{x}}
\gg \underline{
\mathsf{x}}
 = \underline{
\mathsf{x}}
*\underline{
\mathsf{y}}
*rec\underline{
\mathsf{y}}
\rceil 
, 
p_0
, 
\mathsf {c}
)
]$

$\rm
[ 
\stackrel{
stmt
}{\rightarrow}ZFsub
\vdash 
\forall \underline{
\mathsf{x}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf{y}}
\colon \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf{y}}
 = 0
\vdash \underline{
\mathsf{x}}
 = \underline{
\mathsf{x}}
*\underline{
\mathsf{y}}
*rec\underline{
\mathsf{y}}
]$

$\rm
[ 
\stackrel{
\mathrm{tex}
}{\rightarrow}
\mbox{``}
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}
\mbox{''}
]$

$\rm
[ 
\stackrel{
\mathrm{pyk}
}{\rightarrow}
\mbox{``}lemma
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}x
{=}x
{*}y
{*}(1/y)
\mbox{''}
]$

\hypertarget {url:1808490583581903168404721082347638465545342357588912671848929942716323841:340}{}\section* {$\rm insertMiddleTerm(Sum)$}

$\rm
[insertMiddleTerm(Sum)
\stackrel{
proof
}{\rightarrow}
\lambda 
\mathsf {c}
.
\lambda 
\mathsf{x}
.
{\cal P}( 
\lceil ZFsub
\vdash 
\forall \underline{
\mathsf{x}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf{y}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf{z}}
\colon x=x+y-y
\gg \underline{
\mathsf{x}}
 = \underline{
\mathsf{x}}
+\underline{
\mathsf{z}}
+-\underline{
\mathsf{z}}
; Three2threeTerms
\gg \underline{
\mathsf{x}}
+\underline{
\mathsf{z}}
+-\underline{
\mathsf{z}}
 = \underline{
\mathsf{x}}
+-\underline{
\mathsf{z}}
+\underline{
\mathsf{z}}
; eqTransitivity
\rhd \underline{
\mathsf{x}}
 = \underline{
\mathsf{x}}
+\underline{
\mathsf{z}}
+-\underline{
\mathsf{z}}
\rhd \underline{
\mathsf{x}}
+\underline{
\mathsf{z}}
+-\underline{
\mathsf{z}}
 = \underline{
\mathsf{x}}
+-\underline{
\mathsf{z}}
+\underline{
\mathsf{z}}
\gg \underline{
\mathsf{x}}
 = \underline{
\mathsf{x}}
+-\underline{
\mathsf{z}}
+\underline{
\mathsf{z}}
; eqAddition
\rhd \underline{
\mathsf{x}}
 = \underline{
\mathsf{x}}
+-\underline{
\mathsf{z}}
+\underline{
\mathsf{z}}
\gg \underline{
\mathsf{x}}
+\underline{
\mathsf{y}}
 = \underline{
\mathsf{x}}
+-\underline{
\mathsf{z}}
+\underline{
\mathsf{z}}
+\underline{
\mathsf{y}}
; plusAssociativity
\gg \underline{
\mathsf{x}}
+-\underline{
\mathsf{z}}
+\underline{
\mathsf{z}}
+\underline{
\mathsf{y}}
 = \underline{
\mathsf{x}}
+-\underline{
\mathsf{z}}
+\underline{
\mathsf{z}}
+\underline{
\mathsf{y}}
; eqTransitivity
\rhd \underline{
\mathsf{x}}
+\underline{
\mathsf{y}}
 = \underline{
\mathsf{x}}
+-\underline{
\mathsf{z}}
+\underline{
\mathsf{z}}
+\underline{
\mathsf{y}}
\rhd \underline{
\mathsf{x}}
+-\underline{
\mathsf{z}}
+\underline{
\mathsf{z}}
+\underline{
\mathsf{y}}
 = \underline{
\mathsf{x}}
+-\underline{
\mathsf{z}}
+\underline{
\mathsf{z}}
+\underline{
\mathsf{y}}
\gg \underline{
\mathsf{x}}
+\underline{
\mathsf{y}}
 = \underline{
\mathsf{x}}
+-\underline{
\mathsf{z}}
+\underline{
\mathsf{z}}
+\underline{
\mathsf{y}}
\rceil 
, 
p_0
, 
\mathsf {c}
)
]$

$\rm
[insertMiddleTerm(Sum)
\stackrel{
stmt
}{\rightarrow}ZFsub
\vdash 
\forall \underline{
\mathsf{x}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf{y}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf{z}}
\colon \underline{
\mathsf{x}}
+\underline{
\mathsf{y}}
 = \underline{
\mathsf{x}}
+-\underline{
\mathsf{z}}
+\underline{
\mathsf{z}}
+\underline{
\mathsf{y}}
]$

$\rm
[insertMiddleTerm(Sum)
\stackrel{
\mathrm{tex}
}{\rightarrow}
\mbox{``}insertMiddleTerm(Sum)
\mbox{''}
]$

$\rm
[insertMiddleTerm(Sum)
\stackrel{
\mathrm{pyk}
}{\rightarrow}
\mbox{``}lemma
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}insertMiddleTerm(Sum)
\mbox{''}
]$

\hypertarget {url:1808490583581903168404721082347638465545342357588912671848929942716323841:341}{}\section* {$\rm insertMiddleTerm(Difference)$}

$\rm
[insertMiddleTerm(Difference)
\stackrel{
proof
}{\rightarrow}
\lambda 
\mathsf {c}
.
\lambda 
\mathsf{x}
.
{\cal P}( 
\lceil ZFsub
\vdash 
\forall \underline{
\mathsf{x}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf{y}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf{z}}
\colon insertMiddleTerm(Sum)
\gg \underline{
\mathsf{x}}
+-\underline{
\mathsf{y}}
 = \underline{
\mathsf{x}}
+--\underline{
\mathsf{z}}
+-\underline{
\mathsf{z}}
+-\underline{
\mathsf{y}}
; DoubleMinus
\gg --\underline{
\mathsf{z}}
 = \underline{
\mathsf{z}}
; 
\mbox{lemma eqAdditionLeft}
\rhd --\underline{
\mathsf{z}}
 = \underline{
\mathsf{z}}
\gg \underline{
\mathsf{x}}
+--\underline{
\mathsf{z}}
 = \underline{
\mathsf{x}}
+\underline{
\mathsf{z}}
; plusCommutativity
\gg -\underline{
\mathsf{z}}
+-\underline{
\mathsf{y}}
 = -\underline{
\mathsf{y}}
+-\underline{
\mathsf{z}}
; -x-y=-(x+y)
\gg -\underline{
\mathsf{y}}
+-\underline{
\mathsf{z}}
 = -\underline{
\mathsf{y}}
+\underline{
\mathsf{z}}
; eqTransitivity
\rhd -\underline{
\mathsf{z}}
+-\underline{
\mathsf{y}}
 = -\underline{
\mathsf{y}}
+-\underline{
\mathsf{z}}
\rhd -\underline{
\mathsf{y}}
+-\underline{
\mathsf{z}}
 = -\underline{
\mathsf{y}}
+\underline{
\mathsf{z}}
\gg -\underline{
\mathsf{z}}
+-\underline{
\mathsf{y}}
 = -\underline{
\mathsf{y}}
+\underline{
\mathsf{z}}
; AddEquations
\rhd \underline{
\mathsf{x}}
+--\underline{
\mathsf{z}}
 = \underline{
\mathsf{x}}
+\underline{
\mathsf{z}}
\rhd -\underline{
\mathsf{z}}
+-\underline{
\mathsf{y}}
 = -\underline{
\mathsf{y}}
+\underline{
\mathsf{z}}
\gg \underline{
\mathsf{x}}
+--\underline{
\mathsf{z}}
+-\underline{
\mathsf{z}}
+-\underline{
\mathsf{y}}
 = \underline{
\mathsf{x}}
+\underline{
\mathsf{z}}
+-\underline{
\mathsf{y}}
+\underline{
\mathsf{z}}
; eqTransitivity
\rhd \underline{
\mathsf{x}}
+-\underline{
\mathsf{y}}
 = \underline{
\mathsf{x}}
+--\underline{
\mathsf{z}}
+-\underline{
\mathsf{z}}
+-\underline{
\mathsf{y}}
\rhd \underline{
\mathsf{x}}
+--\underline{
\mathsf{z}}
+-\underline{
\mathsf{z}}
+-\underline{
\mathsf{y}}
 = \underline{
\mathsf{x}}
+\underline{
\mathsf{z}}
+-\underline{
\mathsf{y}}
+\underline{
\mathsf{z}}
\gg \underline{
\mathsf{x}}
+-\underline{
\mathsf{y}}
 = \underline{
\mathsf{x}}
+\underline{
\mathsf{z}}
+-\underline{
\mathsf{y}}
+\underline{
\mathsf{z}}
\rceil 
, 
p_0
, 
\mathsf {c}
)
]$

$\rm
[insertMiddleTerm(Difference)
\stackrel{
stmt
}{\rightarrow}ZFsub
\vdash 
\forall \underline{
\mathsf{x}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf{y}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf{z}}
\colon \underline{
\mathsf{x}}
+-\underline{
\mathsf{y}}
 = \underline{
\mathsf{x}}
+\underline{
\mathsf{z}}
+-\underline{
\mathsf{y}}
+\underline{
\mathsf{z}}
]$

$\rm
[insertMiddleTerm(Difference)
\stackrel{
\mathrm{tex}
}{\rightarrow}
\mbox{``}insertMiddleTerm(Difference)
\mbox{''}
]$

$\rm
[insertMiddleTerm(Difference)
\stackrel{
\mathrm{pyk}
}{\rightarrow}
\mbox{``}lemma
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}insertMiddleTerm(Difference)
\mbox{''}
]$

\hypertarget {url:1808490583581903168404721082347638465545342357588912671848929942716323841:342}{}\section* {$\rm x*0+x=x$}

$\rm
[x*0+x=x
\stackrel{
proof
}{\rightarrow}
\lambda 
\mathsf {c}
.
\lambda 
\mathsf{x}
.
{\cal P}( 
\lceil ZFsub
\vdash 
\forall \underline{
\mathsf{x}}
\colon times1
\gg \underline{
\mathsf{x}}
*1
 = \underline{
\mathsf{x}}
; eqSymmetry
\rhd \underline{
\mathsf{x}}
*1
 = \underline{
\mathsf{x}}
\gg \underline{
\mathsf{x}}
 = \underline{
\mathsf{x}}
*1
; 
\mbox{lemma eqAdditionLeft}
\rhd \underline{
\mathsf{x}}
 = \underline{
\mathsf{x}}
*1
\gg \underline{
\mathsf{x}}
*0
+\underline{
\mathsf{x}}
 = \underline{
\mathsf{x}}
*0
+\underline{
\mathsf{x}}
*1
; Distribution
\gg \underline{
\mathsf{x}}
*0
+1
 = \underline{
\mathsf{x}}
*0
+\underline{
\mathsf{x}}
*1
; eqSymmetry
\rhd \underline{
\mathsf{x}}
*0
+1
 = \underline{
\mathsf{x}}
*0
+\underline{
\mathsf{x}}
*1
\gg \underline{
\mathsf{x}}
*0
+\underline{
\mathsf{x}}
*1
 = \underline{
\mathsf{x}}
*0
+1
; plus0Left
\gg 0
+1
 = 1
; EqMultiplicationLeft
\rhd 0
+1
 = 1
\gg \underline{
\mathsf{x}}
*0
+1
 = \underline{
\mathsf{x}}
*1
; eqTransitivity5
\rhd \underline{
\mathsf{x}}
*0
+\underline{
\mathsf{x}}
 = \underline{
\mathsf{x}}
*0
+\underline{
\mathsf{x}}
*1
\rhd \underline{
\mathsf{x}}
*0
+\underline{
\mathsf{x}}
*1
 = \underline{
\mathsf{x}}
*0
+1
\rhd \underline{
\mathsf{x}}
*0
+1
 = \underline{
\mathsf{x}}
*1
\rhd \underline{
\mathsf{x}}
*1
 = \underline{
\mathsf{x}}
\gg \underline{
\mathsf{x}}
*0
+\underline{
\mathsf{x}}
 = \underline{
\mathsf{x}}
\rceil 
, 
p_0
, 
\mathsf {c}
)
]$

$\rm
[x*0+x=x
\stackrel{
stmt
}{\rightarrow}ZFsub
\vdash 
\forall \underline{
\mathsf{x}}
\colon \underline{
\mathsf{x}}
*0
+\underline{
\mathsf{x}}
 = \underline{
\mathsf{x}}
]$

$\rm
[x*0+x=x
\stackrel{
\mathrm{tex}
}{\rightarrow}
\mbox{``}x
{*}0
{+}x
{=}x
\mbox{''}
]$

$\rm
[x*0+x=x
\stackrel{
\mathrm{pyk}
}{\rightarrow}
\mbox{``}lemma
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}x
{*}0
{+}x
{=}x
\mbox{''}
]$

\hypertarget {url:1808490583581903168404721082347638465545342357588912671848929942716323841:343}{}\section* {$\rm x*0=0$}

$\rm
[x*0=0
\stackrel{
proof
}{\rightarrow}
\lambda 
\mathsf {c}
.
\lambda 
\mathsf{x}
.
{\cal P}( 
\lceil ZFsub
\vdash 
\forall \underline{
\mathsf{x}}
\colon x=x+(y-y)
\gg \underline{
\mathsf{x}}
*0
 = \underline{
\mathsf{x}}
*0
+\underline{
\mathsf{x}}
+-\underline{
\mathsf{x}}
; plusAssociativity
\gg \underline{
\mathsf{x}}
*0
+\underline{
\mathsf{x}}
+-\underline{
\mathsf{x}}
 = \underline{
\mathsf{x}}
*0
+\underline{
\mathsf{x}}
+-\underline{
\mathsf{x}}
; eqSymmetry
\rhd \underline{
\mathsf{x}}
*0
+\underline{
\mathsf{x}}
+-\underline{
\mathsf{x}}
 = \underline{
\mathsf{x}}
*0
+\underline{
\mathsf{x}}
+-\underline{
\mathsf{x}}
\gg \underline{
\mathsf{x}}
*0
+\underline{
\mathsf{x}}
+-\underline{
\mathsf{x}}
 = \underline{
\mathsf{x}}
*0
+\underline{
\mathsf{x}}
+-\underline{
\mathsf{x}}
; x*0+x=x
\gg \underline{
\mathsf{x}}
*0
+\underline{
\mathsf{x}}
 = \underline{
\mathsf{x}}
; eqAddition
\rhd \underline{
\mathsf{x}}
*0
+\underline{
\mathsf{x}}
 = \underline{
\mathsf{x}}
\gg \underline{
\mathsf{x}}
*0
+\underline{
\mathsf{x}}
+-\underline{
\mathsf{x}}
 = \underline{
\mathsf{x}}
+-\underline{
\mathsf{x}}
; Negative
\gg \underline{
\mathsf{x}}
+-\underline{
\mathsf{x}}
 = 0
; eqTransitivity5
\rhd \underline{
\mathsf{x}}
*0
 = \underline{
\mathsf{x}}
*0
+\underline{
\mathsf{x}}
+-\underline{
\mathsf{x}}
\rhd \underline{
\mathsf{x}}
*0
+\underline{
\mathsf{x}}
+-\underline{
\mathsf{x}}
 = \underline{
\mathsf{x}}
*0
+\underline{
\mathsf{x}}
+-\underline{
\mathsf{x}}
\rhd \underline{
\mathsf{x}}
*0
+\underline{
\mathsf{x}}
+-\underline{
\mathsf{x}}
 = \underline{
\mathsf{x}}
+-\underline{
\mathsf{x}}
\rhd \underline{
\mathsf{x}}
+-\underline{
\mathsf{x}}
 = 0
\gg \underline{
\mathsf{x}}
*0
 = 0
\rceil 
, 
p_0
, 
\mathsf {c}
)
]$

$\rm
[x*0=0
\stackrel{
stmt
}{\rightarrow}ZFsub
\vdash 
\forall \underline{
\mathsf{x}}
\colon \underline{
\mathsf{x}}
*0
 = 0
]$

$\rm
[x*0=0
\stackrel{
\mathrm{tex}
}{\rightarrow}
\mbox{``}x
{*}0
{=}0
\mbox{''}
]$

$\rm
[x*0=0
\stackrel{
\mathrm{pyk}
}{\rightarrow}
\mbox{``}lemma
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}x
{*}0
{=}0
\mbox{''}
]$

\hypertarget {url:1808490583581903168404721082347638465545342357588912671848929942716323841:344}{}\section* {$\rm (-1)*(-1)+(-1)*1=0$}

$\rm
[(-1)*(-1)+(-1)*1=0
\stackrel{
proof
}{\rightarrow}
\lambda 
\mathsf {c}
.
\lambda 
\mathsf{x}
.
{\cal P}( 
\lceil ZFsub
\vdash DistributionOut
\gg -1
*-1
+-1
*1
 = -1
*-1
+1
; Negative
\gg 1
+-1
 = 0
; plusCommutativity
\gg -1
+1
 = 1
+-1
; eqTransitivity
\rhd -1
+1
 = 1
+-1
\rhd 1
+-1
 = 0
\gg -1
+1
 = 0
; EqMultiplicationLeft
\rhd -1
+1
 = 0
\gg -1
*-1
+1
 = -1
*0
; x*0=0
\gg -1
*0
 = 0
; eqTransitivity4
\rhd -1
*-1
+-1
*1
 = -1
*-1
+1
\rhd -1
*-1
+1
 = -1
*0
\rhd -1
*0
 = 0
\gg -1
*-1
+-1
*1
 = 0
\rceil 
, 
p_0
, 
\mathsf {c}
)
]$

$\rm
[(-1)*(-1)+(-1)*1=0
\stackrel{
stmt
}{\rightarrow}ZFsub
\vdash -1
*-1
+-1
*1
 = 0
]$

$\rm
[(-1)*(-1)+(-1)*1=0
\stackrel{
\mathrm{tex}
}{\rightarrow}
\mbox{``}(
\mbox{-}1)
{*}(
\mbox{-}1)
{+}(
\mbox{-}1)
{*}1
{=}0
\mbox{''}
]$

$\rm
[(-1)*(-1)+(-1)*1=0
\stackrel{
\mathrm{pyk}
}{\rightarrow}
\mbox{``}lemma
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}(
\mbox{-}1)
{*}(
\mbox{-}1)
{+}(
\mbox{-}1)
{*}1
{=}0
\mbox{''}
]$

\hypertarget {url:1808490583581903168404721082347638465545342357588912671848929942716323841:345}{}\section* {$\rm (-1)*(-1)=1$}

$\rm
[(-1)*(-1)=1
\stackrel{
proof
}{\rightarrow}
\lambda 
\mathsf {c}
.
\lambda 
\mathsf{x}
.
{\cal P}( 
\lceil ZFsub
\vdash x=x+(y-y)
\gg -1
*-1
 = -1
*-1
+1
+-1
; times1
\gg -1
*1
 = -1
; eqSymmetry
\rhd -1
*1
 = -1
\gg -1
 = -1
*1
; 
\mbox{lemma eqAdditionLeft}
\rhd -1
 = -1
*1
\gg 1
+-1
 = 1
+-1
*1
; 
\mbox{lemma eqAdditionLeft}
\rhd 1
+-1
 = 1
+-1
*1
\gg -1
*-1
+1
+-1
 = -1
*-1
+1
+-1
*1
; plusCommutativity
\gg 1
+-1
*1
 = -1
*1
+1
; 
\mbox{lemma eqAdditionLeft}
\rhd 1
+-1
*1
 = -1
*1
+1
\gg -1
*-1
+1
+-1
*1
 = -1
*-1
+-1
*1
+1
; plusAssociativity
\gg -1
*-1
+-1
*1
+1
 = -1
*-1
+-1
*1
+1
; eqSymmetry
\rhd -1
*-1
+-1
*1
+1
 = -1
*-1
+-1
*1
+1
\gg -1
*-1
+-1
*1
+1
 = -1
*-1
+-1
*1
+1
; (-1)*(-1)+(-1)*1=0
\gg -1
*-1
+-1
*1
 = 0
; eqAddition
\rhd -1
*-1
+-1
*1
 = 0
\gg -1
*-1
+-1
*1
+1
 = 0
+1
; plus0Left
\gg 0
+1
 = 1
; eqTransitivity5
\rhd -1
*-1
 = -1
*-1
+1
+-1
\rhd -1
*-1
+1
+-1
 = -1
*-1
+1
+-1
*1
\rhd -1
*-1
+1
+-1
*1
 = -1
*-1
+-1
*1
+1
\rhd -1
*-1
+-1
*1
+1
 = -1
*-1
+-1
*1
+1
\gg -1
*-1
 = -1
*-1
+-1
*1
+1
; eqTransitivity4
\rhd -1
*-1
 = -1
*-1
+-1
*1
+1
\rhd -1
*-1
+-1
*1
+1
 = 0
+1
\rhd 0
+1
 = 1
\gg -1
*-1
 = 1
\rceil 
, 
p_0
, 
\mathsf {c}
)
]$

$\rm
[(-1)*(-1)=1
\stackrel{
stmt
}{\rightarrow}ZFsub
\vdash -1
*-1
 = 1
]$

$\rm
[(-1)*(-1)=1
\stackrel{
\mathrm{tex}
}{\rightarrow}
\mbox{``}(
\mbox{-}1)
{*}(
\mbox{-}1)
{=}1
\mbox{''}
]$

$\rm
[(-1)*(-1)=1
\stackrel{
\mathrm{pyk}
}{\rightarrow}
\mbox{``}lemma
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}(
\mbox{-}1)
{*}(
\mbox{-}1)
{=}1
\mbox{''}
]$

\hypertarget {url:1808490583581903168404721082347638465545342357588912671848929942716323841:346}{}\section* {$\rm 0<1Helper$}

$\rm
[0<1Helper
\stackrel{
proof
}{\rightarrow}
\lambda 
\mathsf {c}
.
\lambda 
\mathsf{x}
.
{\cal P}( 
\lceil ZFsub
\vdash 1
 <= 0
\vdash leqAddition
\rhd 1
 <= 0
\gg 1
+-1
 <= 0
+-1
; Negative
\gg 1
+-1
 = 0
; subLeqLeft
\rhd 1
+-1
 = 0
\rhd 1
+-1
 <= 0
+-1
\gg 0
 <= 0
+-1
; plus0Left
\gg 0
+-1
 = -1
; subLeqRight
\rhd 0
+-1
 = -1
\rhd 0
 <= 0
+-1
\gg 0
 <= -1
; leqMultiplication
\rhd 0
 <= -1
\rhd 0
 <= -1
\gg 0
*-1
 <= -1
*-1
; x*0=0
\gg -1
*0
 = 0
; timesCommutativity
\gg 0
*-1
 = -1
*0
; eqTransitivity
\rhd 0
*-1
 = -1
*0
\rhd -1
*0
 = 0
\gg 0
*-1
 = 0
; subLeqLeft
\rhd 0
*-1
 = 0
\rhd 0
*-1
 <= -1
*-1
\gg 0
 <= -1
*-1
; (-1)*(-1)=1
\gg -1
*-1
 = 1
; subLeqRight
\rhd -1
*-1
 = 1
\rhd 0
 <= -1
*-1
\gg 0
 <= 1
; Ded
\rhd 1
 <= 0
\vdash 0
 <= 1
\gg 1
 <= 0
\Rightarrow 0
 <= 1
\rceil 
, 
p_0
, 
\mathsf {c}
)
]$

$\rm
[0<1Helper
\stackrel{
stmt
}{\rightarrow}ZFsub
\vdash 1
 <= 0
\Rightarrow 0
 <= 1
]$

$\rm
[0<1Helper
\stackrel{
\mathrm{tex}
}{\rightarrow}
\mbox{``}0
{<}1Helper
\mbox{''}
]$

$\rm
[0<1Helper
\stackrel{
\mathrm{pyk}
}{\rightarrow}
\mbox{``}lemma
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}0
{<}1Helper
\mbox{''}
]$

\hypertarget {url:1808490583581903168404721082347638465545342357588912671848929942716323841:347}{}\section* {$\rm 0<1$}

$\rm
[0<1
\stackrel{
proof
}{\rightarrow}
\lambda 
\mathsf {c}
.
\lambda 
\mathsf{x}
.
{\cal P}( 
\lceil ZFsub
\vdash leqTotality
\gg \dot{\neg}\, 0
 <= 1
\Rightarrow 1
 <= 0
; AutoImply
\gg 0
 <= 1
\Rightarrow 0
 <= 1
; 0<1Helper
\gg 1
 <= 0
\Rightarrow 0
 <= 1
; FromDisjuncts
\rhd \dot{\neg}\, 0
 <= 1
\Rightarrow 1
 <= 0
\rhd 0
 <= 1
\Rightarrow 0
 <= 1
\rhd 1
 <= 0
\Rightarrow 0
 <= 1
\gg 0
 <= 1
; 0not1
\gg \dot{\neg}\, 0
 = 1
; JoinConjuncts
\rhd 0
 <= 1
\rhd \dot{\neg}\, 0
 = 1
\gg \dot{\neg}\, 0
 <= 1
\Rightarrow \dot{\neg}\, \dot{\neg}\, 0
 = 1
\rceil 
, 
p_0
, 
\mathsf {c}
)
]$

$\rm
[0<1
\stackrel{
stmt
}{\rightarrow}ZFsub
\vdash \dot{\neg}\, 0
 <= 1
\Rightarrow \dot{\neg}\, \dot{\neg}\, 0
 = 1
]$

$\rm
[0<1
\stackrel{
\mathrm{tex}
}{\rightarrow}
\mbox{``}0
{<}1
\mbox{''}
]$

$\rm
[0<1
\stackrel{
\mathrm{pyk}
}{\rightarrow}
\mbox{``}lemma
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}0
{<}1
\mbox{''}
]$

\hypertarget {url:1808490583581903168404721082347638465545342357588912671848929942716323841:348}{}\section* {$\rm 0<2$}

$\rm
[0<2
\stackrel{
proof
}{\rightarrow}
\lambda 
\mathsf {c}
.
\lambda 
\mathsf{x}
.
{\cal P}( 
\lceil ZFsub
\vdash 0<1
\gg \dot{\neg}\, 0
 <= 1
\Rightarrow \dot{\neg}\, \dot{\neg}\, 0
 = 1
; LessAddition
\rhd \dot{\neg}\, 0
 <= 1
\Rightarrow \dot{\neg}\, \dot{\neg}\, 0
 = 1
\gg \dot{\neg}\, 0
+1
 <= 1
+1
\Rightarrow \dot{\neg}\, \dot{\neg}\, 0
+1
 = 1
+1
; plus0Left
\gg 0
+1
 = 1
; SubLessLeft
\rhd 0
+1
 = 1
\rhd \dot{\neg}\, 0
+1
 <= 1
+1
\Rightarrow \dot{\neg}\, \dot{\neg}\, 0
+1
 = 1
+1
\gg \dot{\neg}\, 1
 <= 1
+1
\Rightarrow \dot{\neg}\, \dot{\neg}\, 1
 = 1
+1
; LessTransitivity
\rhd \dot{\neg}\, 0
 <= 1
\Rightarrow \dot{\neg}\, \dot{\neg}\, 0
 = 1
\rhd \dot{\neg}\, 1
 <= 1
+1
\Rightarrow \dot{\neg}\, \dot{\neg}\, 1
 = 1
+1
\gg \dot{\neg}\, 0
 <= 1
+1
\Rightarrow \dot{\neg}\, \dot{\neg}\, 0
 = 1
+1
\rceil 
, 
p_0
, 
\mathsf {c}
)
]$

$\rm
[0<2
\stackrel{
stmt
}{\rightarrow}ZFsub
\vdash \dot{\neg}\, 0
 <= 1
+1
\Rightarrow \dot{\neg}\, \dot{\neg}\, 0
 = 1
+1
]$

$\rm
[0<2
\stackrel{
\mathrm{tex}
}{\rightarrow}
\mbox{``}0
{<}2
\mbox{''}
]$

$\rm
[0<2
\stackrel{
\mathrm{pyk}
}{\rightarrow}
\mbox{``}lemma
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}0
{<}2
\mbox{''}
]$

\hypertarget {url:1808490583581903168404721082347638465545342357588912671848929942716323841:349}{}\section* {$\rm 0<1/2$}

$\rm
[0<1/2
\stackrel{
proof
}{\rightarrow}
\lambda 
\mathsf {c}
.
\lambda 
\mathsf{x}
.
{\cal P}( 
\lceil ZFsub
\vdash 0<2
\gg \dot{\neg}\, 0
 <= 1
+1
\Rightarrow \dot{\neg}\, \dot{\neg}\, 0
 = 1
+1
; FirstConjunct
\rhd \dot{\neg}\, 0
 <= 1
+1
\Rightarrow \dot{\neg}\, \dot{\neg}\, 0
 = 1
+1
\gg 0
 <= 1
+1
; SecondConjunct
\rhd \dot{\neg}\, 0
 <= 1
+1
\Rightarrow \dot{\neg}\, \dot{\neg}\, 0
 = 1
+1
\gg \dot{\neg}\, 0
 = 1
+1
; NeqSymmetry
\rhd \dot{\neg}\, 0
 = 1
+1
\gg \dot{\neg}\, 1
+1
 = 0
; 0<1
\gg \dot{\neg}\, 0
 <= 1
\Rightarrow \dot{\neg}\, \dot{\neg}\, 0
 = 1
; x*0=0
\gg 1
+1
*0
 = 0
; x*y=zBackwards
\rhd 1
+1
*0
 = 0
\gg 0
 = 0
*1
+1
; SubLessLeft
\rhd 0
 = 0
*1
+1
\rhd \dot{\neg}\, 0
 <= 1
\Rightarrow \dot{\neg}\, \dot{\neg}\, 0
 = 1
\gg \dot{\neg}\, 0
*1
+1
 <= 1
\Rightarrow \dot{\neg}\, \dot{\neg}\, 0
*1
+1
 = 1
; Reciprocal
\rhd \dot{\neg}\, 1
+1
 = 0
\gg 1
+1
*rec1
+1
 = 1
; x*y=zBackwards
\rhd 1
+1
*rec1
+1
 = 1
\gg 1
 = rec1
+1
*1
+1
; SubLessRight
\rhd 1
 = rec1
+1
*1
+1
\rhd \dot{\neg}\, 0
*1
+1
 <= 1
\Rightarrow \dot{\neg}\, \dot{\neg}\, 0
*1
+1
 = 1
\gg \dot{\neg}\, 0
*1
+1
 <= rec1
+1
*1
+1
\Rightarrow \dot{\neg}\, \dot{\neg}\, 0
*1
+1
 = rec1
+1
*1
+1
; LessDivision
\rhd 0
 <= 1
+1
\rhd \dot{\neg}\, 0
*1
+1
 <= rec1
+1
*1
+1
\Rightarrow \dot{\neg}\, \dot{\neg}\, 0
*1
+1
 = rec1
+1
*1
+1
\gg \dot{\neg}\, 0
 <= rec1
+1
\Rightarrow \dot{\neg}\, \dot{\neg}\, 0
 = rec1
+1
\rceil 
, 
p_0
, 
\mathsf {c}
)
]$

$\rm
[0<1/2
\stackrel{
stmt
}{\rightarrow}ZFsub
\vdash \dot{\neg}\, 0
 <= rec1
+1
\Rightarrow \dot{\neg}\, \dot{\neg}\, 0
 = rec1
+1
]$

$\rm
[0<1/2
\stackrel{
\mathrm{tex}
}{\rightarrow}
\mbox{``}0
{<}1/2
\mbox{''}
]$

$\rm
[0<1/2
\stackrel{
\mathrm{pyk}
}{\rightarrow}
\mbox{``}lemma
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}0
{<}1/2
\mbox{''}
]$

\hypertarget {url:1808490583581903168404721082347638465545342357588912671848929942716323841:350}{}\section* {$\rm TwoWholes$}

$\rm
[TwoWholes
\stackrel{
proof
}{\rightarrow}
\lambda 
\mathsf {c}
.
\lambda 
\mathsf{x}
.
{\cal P}( 
\lceil ZFsub
\vdash 
\forall \underline{
\mathsf{x}}
\colon times1
\gg \underline{
\mathsf{x}}
*1
 = \underline{
\mathsf{x}}
; eqSymmetry
\gg \underline{
\mathsf{x}}
 = \underline{
\mathsf{x}}
*1
; 
\mbox{lemma eqAdditionLeft}
\rhd \underline{
\mathsf{x}}
 = \underline{
\mathsf{x}}
*1
\gg \underline{
\mathsf{x}}
+\underline{
\mathsf{x}}
 = \underline{
\mathsf{x}}
+\underline{
\mathsf{x}}
*1
; eqAddition
\rhd \underline{
\mathsf{x}}
 = \underline{
\mathsf{x}}
*1
\gg \underline{
\mathsf{x}}
+\underline{
\mathsf{x}}
*1
 = \underline{
\mathsf{x}}
*1
+\underline{
\mathsf{x}}
*1
; eqTransitivity
\rhd \underline{
\mathsf{x}}
+\underline{
\mathsf{x}}
 = \underline{
\mathsf{x}}
+\underline{
\mathsf{x}}
*1
\rhd \underline{
\mathsf{x}}
+\underline{
\mathsf{x}}
*1
 = \underline{
\mathsf{x}}
*1
+\underline{
\mathsf{x}}
*1
\gg \underline{
\mathsf{x}}
+\underline{
\mathsf{x}}
 = \underline{
\mathsf{x}}
*1
+\underline{
\mathsf{x}}
*1
; DistributionOut
\gg \underline{
\mathsf{x}}
*1
+\underline{
\mathsf{x}}
*1
 = \underline{
\mathsf{x}}
*1
+1
; Repetition
\rhd \underline{
\mathsf{x}}
*1
+\underline{
\mathsf{x}}
*1
 = \underline{
\mathsf{x}}
*1
+1
\gg \underline{
\mathsf{x}}
*1
+\underline{
\mathsf{x}}
*1
 = \underline{
\mathsf{x}}
*1
+1
; timesCommutativity
\gg \underline{
\mathsf{x}}
*1
+1
 = 1
+1
*\underline{
\mathsf{x}}
; eqTransitivity4
\rhd \underline{
\mathsf{x}}
+\underline{
\mathsf{x}}
 = \underline{
\mathsf{x}}
*1
+\underline{
\mathsf{x}}
*1
\rhd \underline{
\mathsf{x}}
*1
+\underline{
\mathsf{x}}
*1
 = \underline{
\mathsf{x}}
*1
+1
\rhd \underline{
\mathsf{x}}
*1
+1
 = 1
+1
*\underline{
\mathsf{x}}
\gg \underline{
\mathsf{x}}
+\underline{
\mathsf{x}}
 = 1
+1
*\underline{
\mathsf{x}}
\rceil 
, 
p_0
, 
\mathsf {c}
)
]$

$\rm
[TwoWholes
\stackrel{
stmt
}{\rightarrow}ZFsub
\vdash 
\forall \underline{
\mathsf{x}}
\colon \underline{
\mathsf{x}}
+\underline{
\mathsf{x}}
 = 1
+1
*\underline{
\mathsf{x}}
]$

$\rm
[TwoWholes
\stackrel{
\mathrm{tex}
}{\rightarrow}
\mbox{``}TwoWholes
\mbox{''}
]$

$\rm
[TwoWholes
\stackrel{
\mathrm{pyk}
}{\rightarrow}
\mbox{``}lemma
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}x
{+}x
{=}2
{*}x
\mbox{''}
]$

\hypertarget {url:1808490583581903168404721082347638465545342357588912671848929942716323841:351}{}\section* {$\rm TwoHalves$}

$\rm
[TwoHalves
\stackrel{
proof
}{\rightarrow}
\lambda 
\mathsf {c}
.
\lambda 
\mathsf{x}
.
{\cal P}( 
\lceil ZFsub
\vdash 
\forall \underline{
\mathsf{x}}
\colon 0<2
\gg \dot{\neg}\, 0
 <= 1
+1
\Rightarrow \dot{\neg}\, \dot{\neg}\, 0
 = 1
+1
; LessNeq
\rhd \dot{\neg}\, 0
 <= 1
+1
\Rightarrow \dot{\neg}\, \dot{\neg}\, 0
 = 1
+1
\gg \dot{\neg}\, 0
 = 1
+1
; NeqSymmetry
\rhd \dot{\neg}\, 0
 = 1
+1
\gg \dot{\neg}\, 1
+1
 = 0
; TwoWholes
\gg rec1
+1
*\underline{
\mathsf{x}}
+rec1
+1
*\underline{
\mathsf{x}}
 = 1
+1
*rec1
+1
*\underline{
\mathsf{x}}
; timesAssociativity
\gg 1
+1
*rec1
+1
*\underline{
\mathsf{x}}
 = 1
+1
*rec1
+1
*\underline{
\mathsf{x}}
; eqSymmetry
\rhd 1
+1
*rec1
+1
*\underline{
\mathsf{x}}
 = 1
+1
*rec1
+1
*\underline{
\mathsf{x}}
\gg 1
+1
*rec1
+1
*\underline{
\mathsf{x}}
 = 1
+1
*rec1
+1
*\underline{
\mathsf{x}}
; Reciprocal
\rhd \dot{\neg}\, 1
+1
 = 0
\gg 1
+1
*rec1
+1
 = 1
; eqMultiplication
\rhd 1
+1
*rec1
+1
 = 1
\gg 1
+1
*rec1
+1
*\underline{
\mathsf{x}}
 = 1
*\underline{
\mathsf{x}}
; times1Left
\gg 1
*\underline{
\mathsf{x}}
 = \underline{
\mathsf{x}}
; eqTransitivity5
\rhd rec1
+1
*\underline{
\mathsf{x}}
+rec1
+1
*\underline{
\mathsf{x}}
 = 1
+1
*rec1
+1
*\underline{
\mathsf{x}}
\rhd 1
+1
*rec1
+1
*\underline{
\mathsf{x}}
 = 1
+1
*rec1
+1
*\underline{
\mathsf{x}}
\rhd 1
+1
*rec1
+1
*\underline{
\mathsf{x}}
 = 1
*\underline{
\mathsf{x}}
\rhd 1
*\underline{
\mathsf{x}}
 = \underline{
\mathsf{x}}
\gg rec1
+1
*\underline{
\mathsf{x}}
+rec1
+1
*\underline{
\mathsf{x}}
 = \underline{
\mathsf{x}}
\rceil 
, 
p_0
, 
\mathsf {c}
)
]$

$\rm
[TwoHalves
\stackrel{
stmt
}{\rightarrow}ZFsub
\vdash 
\forall \underline{
\mathsf{x}}
\colon rec1
+1
*\underline{
\mathsf{x}}
+rec1
+1
*\underline{
\mathsf{x}}
 = \underline{
\mathsf{x}}
]$

$\rm
[TwoHalves
\stackrel{
\mathrm{tex}
}{\rightarrow}
\mbox{``}TwoHalves
\mbox{''}
]$

$\rm
[TwoHalves
\stackrel{
\mathrm{pyk}
}{\rightarrow}
\mbox{``}lemma
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}(1/2)x
{+}(1/2)x
{=}x
\mbox{''}
]$

\hypertarget {url:1808490583581903168404721082347638465545342357588912671848929942716323841:352}{}\section* {$\rm -x-y=-(x+y)$}

$\rm
[-x-y=-(x+y)
\stackrel{
proof
}{\rightarrow}
\lambda 
\mathsf {c}
.
\lambda 
\mathsf{x}
.
{\cal P}( 
\lceil ZFsub
\vdash 
\forall \underline{
\mathsf{x}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf{y}}
\colon Times(-1)Left
\gg -1
*\underline{
\mathsf{x}}
 = -\underline{
\mathsf{x}}
; Times(-1)Left
\gg -1
*\underline{
\mathsf{y}}
 = -\underline{
\mathsf{y}}
; AddEquations
\rhd -1
*\underline{
\mathsf{x}}
 = -\underline{
\mathsf{x}}
\rhd -1
*\underline{
\mathsf{y}}
 = -\underline{
\mathsf{y}}
\gg -1
*\underline{
\mathsf{x}}
+-1
*\underline{
\mathsf{y}}
 = -\underline{
\mathsf{x}}
+-\underline{
\mathsf{y}}
; eqSymmetry
\rhd -1
*\underline{
\mathsf{x}}
+-1
*\underline{
\mathsf{y}}
 = -\underline{
\mathsf{x}}
+-\underline{
\mathsf{y}}
\gg -\underline{
\mathsf{x}}
+-\underline{
\mathsf{y}}
 = -1
*\underline{
\mathsf{x}}
+-1
*\underline{
\mathsf{y}}
; DistributionOut
\gg -1
*\underline{
\mathsf{x}}
+-1
*\underline{
\mathsf{y}}
 = -1
*\underline{
\mathsf{x}}
+\underline{
\mathsf{y}}
; Times(-1)Left
\gg -1
*\underline{
\mathsf{x}}
+\underline{
\mathsf{y}}
 = -\underline{
\mathsf{x}}
+\underline{
\mathsf{y}}
; eqTransitivity4
\rhd -\underline{
\mathsf{x}}
+-\underline{
\mathsf{y}}
 = -1
*\underline{
\mathsf{x}}
+-1
*\underline{
\mathsf{y}}
\rhd -1
*\underline{
\mathsf{x}}
+-1
*\underline{
\mathsf{y}}
 = -1
*\underline{
\mathsf{x}}
+\underline{
\mathsf{y}}
\rhd -1
*\underline{
\mathsf{x}}
+\underline{
\mathsf{y}}
 = -\underline{
\mathsf{x}}
+\underline{
\mathsf{y}}
\gg -\underline{
\mathsf{x}}
+-\underline{
\mathsf{y}}
 = -\underline{
\mathsf{x}}
+\underline{
\mathsf{y}}
\rceil 
, 
p_0
, 
\mathsf {c}
)
]$

$\rm
[-x-y=-(x+y)
\stackrel{
stmt
}{\rightarrow}ZFsub
\vdash 
\forall \underline{
\mathsf{x}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf{y}}
\colon -\underline{
\mathsf{x}}
+-\underline{
\mathsf{y}}
 = -\underline{
\mathsf{x}}
+\underline{
\mathsf{y}}
]$

$\rm
[-x-y=-(x+y)
\stackrel{
\mathrm{tex}
}{\rightarrow}
\mbox{``}
\mbox{-}x
\mbox{-}y
{=}
\mbox{-}(x
{+}y)
\mbox{''}
]$

$\rm
[-x-y=-(x+y)
\stackrel{
\mathrm{pyk}
}{\rightarrow}
\mbox{``}lemma
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}
\mbox{-}x
\mbox{-}y
{=}
\mbox{-}(x
{+}y)
\mbox{''}
]$

\hypertarget {url:1808490583581903168404721082347638465545342357588912671848929942716323841:353}{}\section* {$\rm MinusNegated$}

$\rm
[MinusNegated
\stackrel{
proof
}{\rightarrow}
\lambda 
\mathsf {c}
.
\lambda 
\mathsf{x}
.
{\cal P}( 
\lceil ZFsub
\vdash 
\forall \underline{
\mathsf{x}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf{y}}
\colon DoubleMinus
\gg --\underline{
\mathsf{y}}
 = \underline{
\mathsf{y}}
; eqAddition
\rhd --\underline{
\mathsf{y}}
 = \underline{
\mathsf{y}}
\gg --\underline{
\mathsf{y}}
+-\underline{
\mathsf{x}}
 = \underline{
\mathsf{y}}
+-\underline{
\mathsf{x}}
; eqSymmetry
\rhd --\underline{
\mathsf{y}}
+-\underline{
\mathsf{x}}
 = \underline{
\mathsf{y}}
+-\underline{
\mathsf{x}}
\gg \underline{
\mathsf{y}}
+-\underline{
\mathsf{x}}
 = --\underline{
\mathsf{y}}
+-\underline{
\mathsf{x}}
; -x-y=-(x+y)
\gg --\underline{
\mathsf{y}}
+-\underline{
\mathsf{x}}
 = --\underline{
\mathsf{y}}
+\underline{
\mathsf{x}}
; plusCommutativity
\gg -\underline{
\mathsf{y}}
+\underline{
\mathsf{x}}
 = \underline{
\mathsf{x}}
+-\underline{
\mathsf{y}}
; EqNegated
\rhd -\underline{
\mathsf{y}}
+\underline{
\mathsf{x}}
 = \underline{
\mathsf{x}}
+-\underline{
\mathsf{y}}
\gg --\underline{
\mathsf{y}}
+\underline{
\mathsf{x}}
 = -\underline{
\mathsf{x}}
+-\underline{
\mathsf{y}}
; eqTransitivity4
\rhd \underline{
\mathsf{y}}
+-\underline{
\mathsf{x}}
 = --\underline{
\mathsf{y}}
+-\underline{
\mathsf{x}}
\rhd --\underline{
\mathsf{y}}
+-\underline{
\mathsf{x}}
 = --\underline{
\mathsf{y}}
+\underline{
\mathsf{x}}
\rhd --\underline{
\mathsf{y}}
+\underline{
\mathsf{x}}
 = -\underline{
\mathsf{x}}
+-\underline{
\mathsf{y}}
\gg \underline{
\mathsf{y}}
+-\underline{
\mathsf{x}}
 = -\underline{
\mathsf{x}}
+-\underline{
\mathsf{y}}
; eqSymmetry
\rhd \underline{
\mathsf{y}}
+-\underline{
\mathsf{x}}
 = -\underline{
\mathsf{x}}
+-\underline{
\mathsf{y}}
\gg -\underline{
\mathsf{x}}
+-\underline{
\mathsf{y}}
 = \underline{
\mathsf{y}}
+-\underline{
\mathsf{x}}
\rceil 
, 
p_0
, 
\mathsf {c}
)
]$

$\rm
[MinusNegated
\stackrel{
stmt
}{\rightarrow}ZFsub
\vdash 
\forall \underline{
\mathsf{x}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf{y}}
\colon -\underline{
\mathsf{x}}
+-\underline{
\mathsf{y}}
 = \underline{
\mathsf{y}}
+-\underline{
\mathsf{x}}
]$

$\rm
[MinusNegated
\stackrel{
\mathrm{tex}
}{\rightarrow}
\mbox{``}MinusNegated
\mbox{''}
]$

$\rm
[MinusNegated
\stackrel{
\mathrm{pyk}
}{\rightarrow}
\mbox{``}lemma
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}minusNegated
\mbox{''}
]$

\hypertarget {url:1808490583581903168404721082347638465545342357588912671848929942716323841:354}{}\section* {$\rm Times(-1)$}

$\rm
[Times(-1)
\stackrel{
proof
}{\rightarrow}
\lambda 
\mathsf {c}
.
\lambda 
\mathsf{x}
.
{\cal P}( 
\lceil ZFsub
\vdash 
\forall \underline{
\mathsf{x}}
\colon Negative
\gg 1
+-1
 = 0
; plusCommutativity
\gg -1
+1
 = 1
+-1
; eqTransitivity
\rhd -1
+1
 = 1
+-1
\rhd 1
+-1
 = 0
\gg -1
+1
 = 0
; EqMultiplicationLeft
\rhd -1
+1
 = 0
\gg \underline{
\mathsf{x}}
*-1
+1
 = \underline{
\mathsf{x}}
*0
; x*0=0
\gg \underline{
\mathsf{x}}
*0
 = 0
; eqTransitivity
\rhd \underline{
\mathsf{x}}
*-1
+1
 = \underline{
\mathsf{x}}
*0
\rhd \underline{
\mathsf{x}}
*0
 = 0
\gg \underline{
\mathsf{x}}
*-1
+1
 = 0
; Distribution
\gg \underline{
\mathsf{x}}
*-1
+1
 = \underline{
\mathsf{x}}
*-1
+\underline{
\mathsf{x}}
*1
; eqSymmetry
\rhd \underline{
\mathsf{x}}
*-1
+1
 = \underline{
\mathsf{x}}
*-1
+\underline{
\mathsf{x}}
*1
\gg \underline{
\mathsf{x}}
*-1
+\underline{
\mathsf{x}}
*1
 = \underline{
\mathsf{x}}
*-1
+1
; eqTransitivity
\rhd \underline{
\mathsf{x}}
*-1
+\underline{
\mathsf{x}}
*1
 = \underline{
\mathsf{x}}
*-1
+1
\rhd \underline{
\mathsf{x}}
*-1
+1
 = 0
\gg \underline{
\mathsf{x}}
*-1
+\underline{
\mathsf{x}}
*1
 = 0
; PositiveToRight(Eq)
\rhd \underline{
\mathsf{x}}
*-1
+\underline{
\mathsf{x}}
*1
 = 0
\gg \underline{
\mathsf{x}}
*-1
 = 0
+-\underline{
\mathsf{x}}
*1
; plus0Left
\gg 0
+-\underline{
\mathsf{x}}
*1
 = -\underline{
\mathsf{x}}
*1
; eqTransitivity
\rhd \underline{
\mathsf{x}}
*-1
 = 0
+-\underline{
\mathsf{x}}
*1
\rhd 0
+-\underline{
\mathsf{x}}
*1
 = -\underline{
\mathsf{x}}
*1
\gg \underline{
\mathsf{x}}
*-1
 = -\underline{
\mathsf{x}}
*1
; times1
\gg \underline{
\mathsf{x}}
*1
 = \underline{
\mathsf{x}}
; EqNegated
\rhd \underline{
\mathsf{x}}
*1
 = \underline{
\mathsf{x}}
\gg -\underline{
\mathsf{x}}
*1
 = -\underline{
\mathsf{x}}
; eqTransitivity
\rhd \underline{
\mathsf{x}}
*-1
 = -\underline{
\mathsf{x}}
*1
\rhd -\underline{
\mathsf{x}}
*1
 = -\underline{
\mathsf{x}}
\gg \underline{
\mathsf{x}}
*-1
 = -\underline{
\mathsf{x}}
\rceil 
, 
p_0
, 
\mathsf {c}
)
]$

$\rm
[Times(-1)
\stackrel{
stmt
}{\rightarrow}ZFsub
\vdash 
\forall \underline{
\mathsf{x}}
\colon \underline{
\mathsf{x}}
*-1
 = -\underline{
\mathsf{x}}
]$

$\rm
[Times(-1)
\stackrel{
\mathrm{tex}
}{\rightarrow}
\mbox{``}Times(
\mbox{-}1)
\mbox{''}
]$

$\rm
[Times(-1)
\stackrel{
\mathrm{pyk}
}{\rightarrow}
\mbox{``}lemma
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}times(
\mbox{-}1)
\mbox{''}
]$

\hypertarget {url:1808490583581903168404721082347638465545342357588912671848929942716323841:355}{}\section* {$\rm Times(-1)Left$}

$\rm
[Times(-1)Left
\stackrel{
proof
}{\rightarrow}
\lambda 
\mathsf {c}
.
\lambda 
\mathsf{x}
.
{\cal P}( 
\lceil ZFsub
\vdash 
\forall \underline{
\mathsf{x}}
\colon Times(-1)
\gg \underline{
\mathsf{x}}
*-1
 = -\underline{
\mathsf{x}}
; timesCommutativity
\gg -1
*\underline{
\mathsf{x}}
 = \underline{
\mathsf{x}}
*-1
; eqTransitivity
\rhd -1
*\underline{
\mathsf{x}}
 = \underline{
\mathsf{x}}
*-1
\rhd \underline{
\mathsf{x}}
*-1
 = -\underline{
\mathsf{x}}
\gg -1
*\underline{
\mathsf{x}}
 = -\underline{
\mathsf{x}}
\rceil 
, 
p_0
, 
\mathsf {c}
)
]$

$\rm
[Times(-1)Left
\stackrel{
stmt
}{\rightarrow}ZFsub
\vdash 
\forall \underline{
\mathsf{x}}
\colon -1
*\underline{
\mathsf{x}}
 = -\underline{
\mathsf{x}}
]$

$\rm
[Times(-1)Left
\stackrel{
\mathrm{tex}
}{\rightarrow}
\mbox{``}Times(
\mbox{-}1)Left
\mbox{''}
]$

$\rm
[Times(-1)Left
\stackrel{
\mathrm{pyk}
}{\rightarrow}
\mbox{``}lemma
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}times(
\mbox{-}1)Left
\mbox{''}
]$

\hypertarget {url:1808490583581903168404721082347638465545342357588912671848929942716323841:356}{}\section* {$\rm -0=0$}

$\rm
[-0=0
\stackrel{
proof
}{\rightarrow}
\lambda 
\mathsf {c}
.
\lambda 
\mathsf{x}
.
{\cal P}( 
\lceil ZFsub
\vdash Negative
\gg 0
+-0
 = 0
; plus0
\gg 0
+0
 = 0
; UniqueNegative
\rhd 0
+-0
 = 0
\rhd 0
+0
 = 0
\gg -0
 = 0
\rceil 
, 
p_0
, 
\mathsf {c}
)
]$

$\rm
[-0=0
\stackrel{
stmt
}{\rightarrow}ZFsub
\vdash -0
 = 0
]$

$\rm
[-0=0
\stackrel{
\mathrm{tex}
}{\rightarrow}
\mbox{``}
\mbox{-}0
{=}0
\mbox{''}
]$

$\rm
[-0=0
\stackrel{
\mathrm{pyk}
}{\rightarrow}
\mbox{``}lemma
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}
\mbox{-}0
{=}0
\mbox{''}
]$

\hypertarget {url:1808490583581903168404721082347638465545342357588912671848929942716323841:357}{}\section* {$\rm SFsymmetry$}

$\rm
[SFsymmetry
\stackrel{
proof
}{\rightarrow}
\lambda 
\mathsf {c}
.
\lambda 
\mathsf{x}
.
{\cal P}( 
\lceil ZFsub
\vdash 
\forall \underline{(\epsilon)}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf {m}}
\colon 
\forall \underline{(fx)}
\colon 
\forall \underline{(fy)}
\colon SF(\underline{(fx)}
,\underline{(fy)}
)
\vdash \dot{\neg}\, 0
 <= \underline{(\epsilon)}
\Rightarrow \dot{\neg}\, \dot{\neg}\, 0
 = \underline{(\epsilon)}
\vdash 
\mathsf {c}
 _{Ex}
 <= \underline{
\mathsf {m}}
\vdash FromSF
\rhd SF(\underline{(fx)}
,\underline{(fy)}
)
\rhd \dot{\neg}\, 0
 <= \underline{(\epsilon)}
\Rightarrow \dot{\neg}\, \dot{\neg}\, 0
 = \underline{(\epsilon)}
\gg 
\mathsf {c}
 _{Ex}
 <= \underline{
\mathsf {m}}
\Rightarrow \dot{\neg}\, if(0
 <= \underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
+-\underline{(fy)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
,\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
+-\underline{(fy)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
,-\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
+-\underline{(fy)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
)
 <= \underline{(\epsilon)}
\Rightarrow \dot{\neg}\, \dot{\neg}\, if(0
 <= \underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
+-\underline{(fy)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
,\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
+-\underline{(fy)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
,-\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
+-\underline{(fy)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
)
 = \underline{(\epsilon)}
; MP
\rhd 
\mathsf {c}
 _{Ex}
 <= \underline{
\mathsf {m}}
\Rightarrow \dot{\neg}\, if(0
 <= \underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
+-\underline{(fy)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
,\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
+-\underline{(fy)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
,-\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
+-\underline{(fy)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
)
 <= \underline{(\epsilon)}
\Rightarrow \dot{\neg}\, \dot{\neg}\, if(0
 <= \underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
+-\underline{(fy)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
,\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
+-\underline{(fy)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
,-\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
+-\underline{(fy)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
)
 = \underline{(\epsilon)}
\rhd 
\mathsf {c}
 _{Ex}
 <= \underline{
\mathsf {m}}
\gg \dot{\neg}\, if(0
 <= \underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
+-\underline{(fy)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
,\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
+-\underline{(fy)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
,-\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
+-\underline{(fy)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
)
 <= \underline{(\epsilon)}
\Rightarrow \dot{\neg}\, \dot{\neg}\, if(0
 <= \underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
+-\underline{(fy)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
,\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
+-\underline{(fy)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
,-\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
+-\underline{(fy)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
)
 = \underline{(\epsilon)}
; NumericalDifference
\gg if(0
 <= \underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
+-\underline{(fy)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
,\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
+-\underline{(fy)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
,-\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
+-\underline{(fy)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
)
 = if(0
 <= \underline{(fy)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
+-\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
,\underline{(fy)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
+-\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
,-\underline{(fy)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
+-\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
)
; SubLessLeft
\rhd if(0
 <= \underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
+-\underline{(fy)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
,\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
+-\underline{(fy)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
,-\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
+-\underline{(fy)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
)
 = if(0
 <= \underline{(fy)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
+-\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
,\underline{(fy)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
+-\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
,-\underline{(fy)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
+-\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
)
\rhd \dot{\neg}\, if(0
 <= \underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
+-\underline{(fy)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
,\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
+-\underline{(fy)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
,-\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
+-\underline{(fy)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
)
 <= \underline{(\epsilon)}
\Rightarrow \dot{\neg}\, \dot{\neg}\, if(0
 <= \underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
+-\underline{(fy)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
,\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
+-\underline{(fy)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
,-\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
+-\underline{(fy)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
)
 = \underline{(\epsilon)}
\gg \dot{\neg}\, if(0
 <= \underline{(fy)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
+-\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
,\underline{(fy)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
+-\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
,-\underline{(fy)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
+-\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
)
 <= \underline{(\epsilon)}
\Rightarrow \dot{\neg}\, \dot{\neg}\, if(0
 <= \underline{(fy)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
+-\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
,\underline{(fy)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
+-\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
,-\underline{(fy)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
+-\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
)
 = \underline{(\epsilon)}
; 
\forall \underline{(\epsilon)}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf {m}}
\colon 
\forall \underline{(fx)}
\colon 
\forall \underline{(fy)}
\colon Ded
\rhd 
\forall \underline{(\epsilon)}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf {m}}
\colon 
\forall \underline{(fx)}
\colon 
\forall \underline{(fy)}
\colon SF(\underline{(fx)}
,\underline{(fy)}
)
\vdash \dot{\neg}\, 0
 <= \underline{(\epsilon)}
\Rightarrow \dot{\neg}\, \dot{\neg}\, 0
 = \underline{(\epsilon)}
\vdash 
\mathsf {c}
 _{Ex}
 <= \underline{
\mathsf {m}}
\vdash \dot{\neg}\, if(0
 <= \underline{(fy)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
+-\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
,\underline{(fy)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
+-\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
,-\underline{(fy)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
+-\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
)
 <= \underline{(\epsilon)}
\Rightarrow \dot{\neg}\, \dot{\neg}\, if(0
 <= \underline{(fy)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
+-\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
,\underline{(fy)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
+-\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
,-\underline{(fy)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
+-\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
)
 = \underline{(\epsilon)}
\gg SF(\underline{(fx)}
,\underline{(fy)}
)
\Rightarrow \dot{\neg}\, 0
 <= \underline{(\epsilon)}
\Rightarrow \dot{\neg}\, \dot{\neg}\, 0
 = \underline{(\epsilon)}
\Rightarrow 
\mathsf {c}
 _{Ex}
 <= \underline{
\mathsf {m}}
\Rightarrow \dot{\neg}\, if(0
 <= \underline{(fy)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
+-\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
,\underline{(fy)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
+-\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
,-\underline{(fy)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
+-\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
)
 <= \underline{(\epsilon)}
\Rightarrow \dot{\neg}\, \dot{\neg}\, if(0
 <= \underline{(fy)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
+-\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
,\underline{(fy)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
+-\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
,-\underline{(fy)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
+-\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
)
 = \underline{(\epsilon)}
; SF(\underline{(fx)}
,\underline{(fy)}
)
\vdash MP
\rhd SF(\underline{(fx)}
,\underline{(fy)}
)
\Rightarrow \dot{\neg}\, 0
 <= \underline{(\epsilon)}
\Rightarrow \dot{\neg}\, \dot{\neg}\, 0
 = \underline{(\epsilon)}
\Rightarrow 
\mathsf {c}
 _{Ex}
 <= \underline{
\mathsf {m}}
\Rightarrow \dot{\neg}\, if(0
 <= \underline{(fy)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
+-\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
,\underline{(fy)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
+-\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
,-\underline{(fy)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
+-\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
)
 <= \underline{(\epsilon)}
\Rightarrow \dot{\neg}\, \dot{\neg}\, if(0
 <= \underline{(fy)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
+-\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
,\underline{(fy)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
+-\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
,-\underline{(fy)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
+-\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
)
 = \underline{(\epsilon)}
\rhd SF(\underline{(fx)}
,\underline{(fy)}
)
\gg \dot{\neg}\, 0
 <= \underline{(\epsilon)}
\Rightarrow \dot{\neg}\, \dot{\neg}\, 0
 = \underline{(\epsilon)}
\Rightarrow 
\mathsf {c}
 _{Ex}
 <= \underline{
\mathsf {m}}
\Rightarrow \dot{\neg}\, if(0
 <= \underline{(fy)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
+-\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
,\underline{(fy)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
+-\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
,-\underline{(fy)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
+-\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
)
 <= \underline{(\epsilon)}
\Rightarrow \dot{\neg}\, \dot{\neg}\, if(0
 <= \underline{(fy)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
+-\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
,\underline{(fy)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
+-\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
,-\underline{(fy)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
+-\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
)
 = \underline{(\epsilon)}
; ToSF
\rhd \dot{\neg}\, 0
 <= \underline{(\epsilon)}
\Rightarrow \dot{\neg}\, \dot{\neg}\, 0
 = \underline{(\epsilon)}
\Rightarrow 
\mathsf {c}
 _{Ex}
 <= \underline{
\mathsf {m}}
\Rightarrow \dot{\neg}\, if(0
 <= \underline{(fy)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
+-\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
,\underline{(fy)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
+-\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
,-\underline{(fy)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
+-\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
)
 <= \underline{(\epsilon)}
\Rightarrow \dot{\neg}\, \dot{\neg}\, if(0
 <= \underline{(fy)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
+-\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
,\underline{(fy)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
+-\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
,-\underline{(fy)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
+-\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
)
 = \underline{(\epsilon)}
\gg SF(\underline{(fy)}
,\underline{(fx)}
)
\rceil 
, 
p_0
, 
\mathsf {c}
)
]$

$\rm
[SFsymmetry
\stackrel{
stmt
}{\rightarrow}ZFsub
\vdash 
\forall \underline{(\epsilon)}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf {m}}
\colon 
\forall \underline{(fx)}
\colon 
\forall \underline{(fy)}
\colon SF(\underline{(fx)}
,\underline{(fy)}
)
\vdash SF(\underline{(fy)}
,\underline{(fx)}
)
]$

$\rm
[SFsymmetry
\stackrel{
\mathrm{tex}
}{\rightarrow}
\mbox{``}SFsymmetry
\mbox{''}
]$

$\rm
[SFsymmetry
\stackrel{
\mathrm{pyk}
}{\rightarrow}
\mbox{``}lemma
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}sameFsymmetry
\mbox{''}
]$

\hypertarget {url:1808490583581903168404721082347638465545342357588912671848929942716323841:358}{}\section* {$\rm SFtransitivity$}

$\rm
[SFtransitivity
\stackrel{
proof
}{\rightarrow}
\lambda 
\mathsf {c}
.
\lambda 
\mathsf{x}
.
{\cal P}( 
\lceil ZFsub
\vdash 
\forall \underline{
\mathsf {m}}
\colon 
\forall \underline{(\epsilon)}
\colon 
\forall \underline{(fx)}
\colon 
\forall \underline{(fy)}
\colon 
\forall \underline{(fz)}
\colon SF(\underline{(fx)}
,\underline{(fy)}
)
\vdash SF(\underline{(fy)}
,\underline{(fz)}
)
\vdash \dot{\neg}\, 0
 <= \underline{(\epsilon)}
\Rightarrow \dot{\neg}\, \dot{\neg}\, 0
 = \underline{(\epsilon)}
\vdash 
\mathsf {c}
 _{Ex}
 <= \underline{
\mathsf {m}}
\vdash PositiveHalved
\rhd \dot{\neg}\, 0
 <= \underline{(\epsilon)}
\Rightarrow \dot{\neg}\, \dot{\neg}\, 0
 = \underline{(\epsilon)}
\gg \dot{\neg}\, 0
 <= rec1
+1
*\underline{(\epsilon)}
\Rightarrow \dot{\neg}\, \dot{\neg}\, 0
 = rec1
+1
*\underline{(\epsilon)}
; FromSF
\rhd SF(\underline{(fx)}
,\underline{(fy)}
)
\rhd \dot{\neg}\, 0
 <= rec1
+1
*\underline{(\epsilon)}
\Rightarrow \dot{\neg}\, \dot{\neg}\, 0
 = rec1
+1
*\underline{(\epsilon)}
\gg 
\mathsf {c}
 _{Ex}
 <= \underline{
\mathsf {m}}
\Rightarrow \dot{\neg}\, if(0
 <= \underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
+-\underline{(fy)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
,\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
+-\underline{(fy)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
,-\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
+-\underline{(fy)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
)
 <= rec1
+1
*\underline{(\epsilon)}
\Rightarrow \dot{\neg}\, \dot{\neg}\, if(0
 <= \underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
+-\underline{(fy)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
,\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
+-\underline{(fy)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
,-\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
+-\underline{(fy)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
)
 = rec1
+1
*\underline{(\epsilon)}
; MP
\rhd 
\mathsf {c}
 _{Ex}
 <= \underline{
\mathsf {m}}
\Rightarrow \dot{\neg}\, if(0
 <= \underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
+-\underline{(fy)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
,\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
+-\underline{(fy)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
,-\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
+-\underline{(fy)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
)
 <= rec1
+1
*\underline{(\epsilon)}
\Rightarrow \dot{\neg}\, \dot{\neg}\, if(0
 <= \underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
+-\underline{(fy)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
,\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
+-\underline{(fy)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
,-\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
+-\underline{(fy)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
)
 = rec1
+1
*\underline{(\epsilon)}
\rhd 
\mathsf {c}
 _{Ex}
 <= \underline{
\mathsf {m}}
\gg \dot{\neg}\, if(0
 <= \underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
+-\underline{(fy)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
,\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
+-\underline{(fy)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
,-\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
+-\underline{(fy)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
)
 <= rec1
+1
*\underline{(\epsilon)}
\Rightarrow \dot{\neg}\, \dot{\neg}\, if(0
 <= \underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
+-\underline{(fy)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
,\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
+-\underline{(fy)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
,-\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
+-\underline{(fy)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
)
 = rec1
+1
*\underline{(\epsilon)}
; FromSF
\rhd SF(\underline{(fy)}
,\underline{(fz)}
)
\rhd \dot{\neg}\, 0
 <= rec1
+1
*\underline{(\epsilon)}
\Rightarrow \dot{\neg}\, \dot{\neg}\, 0
 = rec1
+1
*\underline{(\epsilon)}
\gg 
\mathsf {c}
 _{Ex}
 <= \underline{
\mathsf {m}}
\Rightarrow \dot{\neg}\, if(0
 <= \underline{(fy)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
+-\underline{(fz)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
,\underline{(fy)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
+-\underline{(fz)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
,-\underline{(fy)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
+-\underline{(fz)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
)
 <= rec1
+1
*\underline{(\epsilon)}
\Rightarrow \dot{\neg}\, \dot{\neg}\, if(0
 <= \underline{(fy)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
+-\underline{(fz)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
,\underline{(fy)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
+-\underline{(fz)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
,-\underline{(fy)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
+-\underline{(fz)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
)
 = rec1
+1
*\underline{(\epsilon)}
; MP
\rhd 
\mathsf {c}
 _{Ex}
 <= \underline{
\mathsf {m}}
\Rightarrow \dot{\neg}\, if(0
 <= \underline{(fy)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
+-\underline{(fz)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
,\underline{(fy)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
+-\underline{(fz)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
,-\underline{(fy)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
+-\underline{(fz)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
)
 <= rec1
+1
*\underline{(\epsilon)}
\Rightarrow \dot{\neg}\, \dot{\neg}\, if(0
 <= \underline{(fy)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
+-\underline{(fz)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
,\underline{(fy)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
+-\underline{(fz)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
,-\underline{(fy)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
+-\underline{(fz)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
)
 = rec1
+1
*\underline{(\epsilon)}
\rhd 
\mathsf {c}
 _{Ex}
 <= \underline{
\mathsf {m}}
\gg \dot{\neg}\, if(0
 <= \underline{(fy)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
+-\underline{(fz)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
,\underline{(fy)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
+-\underline{(fz)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
,-\underline{(fy)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
+-\underline{(fz)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
)
 <= rec1
+1
*\underline{(\epsilon)}
\Rightarrow \dot{\neg}\, \dot{\neg}\, if(0
 <= \underline{(fy)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
+-\underline{(fz)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
,\underline{(fy)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
+-\underline{(fz)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
,-\underline{(fy)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
+-\underline{(fz)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
)
 = rec1
+1
*\underline{(\epsilon)}
; AddEquations(Less)
\rhd \dot{\neg}\, if(0
 <= \underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
+-\underline{(fy)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
,\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
+-\underline{(fy)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
,-\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
+-\underline{(fy)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
)
 <= rec1
+1
*\underline{(\epsilon)}
\Rightarrow \dot{\neg}\, \dot{\neg}\, if(0
 <= \underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
+-\underline{(fy)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
,\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
+-\underline{(fy)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
,-\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
+-\underline{(fy)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
)
 = rec1
+1
*\underline{(\epsilon)}
\rhd \dot{\neg}\, if(0
 <= \underline{(fy)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
+-\underline{(fz)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
,\underline{(fy)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
+-\underline{(fz)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
,-\underline{(fy)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
+-\underline{(fz)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
)
 <= rec1
+1
*\underline{(\epsilon)}
\Rightarrow \dot{\neg}\, \dot{\neg}\, if(0
 <= \underline{(fy)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
+-\underline{(fz)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
,\underline{(fy)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
+-\underline{(fz)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
,-\underline{(fy)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
+-\underline{(fz)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
)
 = rec1
+1
*\underline{(\epsilon)}
\gg \dot{\neg}\, if(0
 <= \underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
+-\underline{(fy)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
,\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
+-\underline{(fy)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
,-\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
+-\underline{(fy)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
)
+if(0
 <= \underline{(fy)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
+-\underline{(fz)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
,\underline{(fy)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
+-\underline{(fz)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
,-\underline{(fy)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
+-\underline{(fz)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
)
 <= rec1
+1
*\underline{(\epsilon)}
+rec1
+1
*\underline{(\epsilon)}
\Rightarrow \dot{\neg}\, \dot{\neg}\, if(0
 <= \underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
+-\underline{(fy)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
,\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
+-\underline{(fy)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
,-\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
+-\underline{(fy)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
)
+if(0
 <= \underline{(fy)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
+-\underline{(fz)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
,\underline{(fy)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
+-\underline{(fz)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
,-\underline{(fy)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
+-\underline{(fz)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
)
 = rec1
+1
*\underline{(\epsilon)}
+rec1
+1
*\underline{(\epsilon)}
; TwoHalves
\gg rec1
+1
*\underline{(\epsilon)}
+rec1
+1
*\underline{(\epsilon)}
 = \underline{(\epsilon)}
; SubLessRight
\rhd rec1
+1
*\underline{(\epsilon)}
+rec1
+1
*\underline{(\epsilon)}
 = \underline{(\epsilon)}
\rhd \dot{\neg}\, if(0
 <= \underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
+-\underline{(fy)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
,\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
+-\underline{(fy)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
,-\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
+-\underline{(fy)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
)
+if(0
 <= \underline{(fy)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
+-\underline{(fz)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
,\underline{(fy)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
+-\underline{(fz)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
,-\underline{(fy)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
+-\underline{(fz)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
)
 <= rec1
+1
*\underline{(\epsilon)}
+rec1
+1
*\underline{(\epsilon)}
\Rightarrow \dot{\neg}\, \dot{\neg}\, if(0
 <= \underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
+-\underline{(fy)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
,\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
+-\underline{(fy)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
,-\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
+-\underline{(fy)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
)
+if(0
 <= \underline{(fy)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
+-\underline{(fz)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
,\underline{(fy)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
+-\underline{(fz)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
,-\underline{(fy)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
+-\underline{(fz)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
)
 = rec1
+1
*\underline{(\epsilon)}
+rec1
+1
*\underline{(\epsilon)}
\gg \dot{\neg}\, if(0
 <= \underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
+-\underline{(fy)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
,\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
+-\underline{(fy)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
,-\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
+-\underline{(fy)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
)
+if(0
 <= \underline{(fy)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
+-\underline{(fz)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
,\underline{(fy)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
+-\underline{(fz)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
,-\underline{(fy)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
+-\underline{(fz)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
)
 <= \underline{(\epsilon)}
\Rightarrow \dot{\neg}\, \dot{\neg}\, if(0
 <= \underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
+-\underline{(fy)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
,\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
+-\underline{(fy)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
,-\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
+-\underline{(fy)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
)
+if(0
 <= \underline{(fy)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
+-\underline{(fz)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
,\underline{(fy)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
+-\underline{(fz)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
,-\underline{(fy)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
+-\underline{(fz)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
)
 = \underline{(\epsilon)}
; insertMiddleTerm(Numerical)
\gg if(0
 <= \underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
+-\underline{(fz)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
,\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
+-\underline{(fz)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
,-\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
+-\underline{(fz)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
)
 <= if(0
 <= \underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
+-\underline{(fy)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
,\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
+-\underline{(fy)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
,-\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
+-\underline{(fy)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
)
+if(0
 <= \underline{(fy)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
+-\underline{(fz)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
,\underline{(fy)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
+-\underline{(fz)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
,-\underline{(fy)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
+-\underline{(fz)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
)
; leqLessTransitivity
\rhd if(0
 <= \underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
+-\underline{(fz)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
,\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
+-\underline{(fz)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
,-\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
+-\underline{(fz)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
)
 <= if(0
 <= \underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
+-\underline{(fy)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
,\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
+-\underline{(fy)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
,-\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
+-\underline{(fy)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
)
+if(0
 <= \underline{(fy)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
+-\underline{(fz)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
,\underline{(fy)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
+-\underline{(fz)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
,-\underline{(fy)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
+-\underline{(fz)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
)
\rhd \dot{\neg}\, if(0
 <= \underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
+-\underline{(fy)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
,\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
+-\underline{(fy)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
,-\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
+-\underline{(fy)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
)
+if(0
 <= \underline{(fy)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
+-\underline{(fz)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
,\underline{(fy)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
+-\underline{(fz)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
,-\underline{(fy)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
+-\underline{(fz)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
)
 <= \underline{(\epsilon)}
\Rightarrow \dot{\neg}\, \dot{\neg}\, if(0
 <= \underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
+-\underline{(fy)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
,\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
+-\underline{(fy)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
,-\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
+-\underline{(fy)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
)
+if(0
 <= \underline{(fy)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
+-\underline{(fz)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
,\underline{(fy)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
+-\underline{(fz)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
,-\underline{(fy)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
+-\underline{(fz)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
)
 = \underline{(\epsilon)}
\gg \dot{\neg}\, if(0
 <= \underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
+-\underline{(fz)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
,\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
+-\underline{(fz)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
,-\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
+-\underline{(fz)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
)
 <= \underline{(\epsilon)}
\Rightarrow \dot{\neg}\, \dot{\neg}\, if(0
 <= \underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
+-\underline{(fz)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
,\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
+-\underline{(fz)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
,-\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
+-\underline{(fz)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
)
 = \underline{(\epsilon)}
; 
\forall \underline{
\mathsf {m}}
\colon 
\forall \underline{(\epsilon)}
\colon 
\forall \underline{(fx)}
\colon 
\forall \underline{(fy)}
\colon 
\forall \underline{(fz)}
\colon Ded
\rhd 
\forall \underline{
\mathsf {m}}
\colon 
\forall \underline{(\epsilon)}
\colon 
\forall \underline{(fx)}
\colon 
\forall \underline{(fy)}
\colon 
\forall \underline{(fz)}
\colon SF(\underline{(fx)}
,\underline{(fy)}
)
\vdash SF(\underline{(fy)}
,\underline{(fz)}
)
\vdash \dot{\neg}\, 0
 <= \underline{(\epsilon)}
\Rightarrow \dot{\neg}\, \dot{\neg}\, 0
 = \underline{(\epsilon)}
\vdash 
\mathsf {c}
 _{Ex}
 <= \underline{
\mathsf {m}}
\vdash \dot{\neg}\, if(0
 <= \underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
+-\underline{(fz)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
,\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
+-\underline{(fz)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
,-\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
+-\underline{(fz)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
)
 <= \underline{(\epsilon)}
\Rightarrow \dot{\neg}\, \dot{\neg}\, if(0
 <= \underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
+-\underline{(fz)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
,\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
+-\underline{(fz)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
,-\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
+-\underline{(fz)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
)
 = \underline{(\epsilon)}
\gg SF(\underline{(fx)}
,\underline{(fy)}
)
\Rightarrow SF(\underline{(fy)}
,\underline{(fz)}
)
\Rightarrow \dot{\neg}\, 0
 <= \underline{(\epsilon)}
\Rightarrow \dot{\neg}\, \dot{\neg}\, 0
 = \underline{(\epsilon)}
\Rightarrow 
\mathsf {c}
 _{Ex}
 <= \underline{
\mathsf {m}}
\Rightarrow \dot{\neg}\, if(0
 <= \underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
+-\underline{(fz)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
,\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
+-\underline{(fz)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
,-\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
+-\underline{(fz)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
)
 <= \underline{(\epsilon)}
\Rightarrow \dot{\neg}\, \dot{\neg}\, if(0
 <= \underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
+-\underline{(fz)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
,\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
+-\underline{(fz)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
,-\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
+-\underline{(fz)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
)
 = \underline{(\epsilon)}
; SF(\underline{(fx)}
,\underline{(fy)}
)
\vdash SF(\underline{(fy)}
,\underline{(fz)}
)
\vdash MP2
\rhd SF(\underline{(fx)}
,\underline{(fy)}
)
\Rightarrow SF(\underline{(fy)}
,\underline{(fz)}
)
\Rightarrow \dot{\neg}\, 0
 <= \underline{(\epsilon)}
\Rightarrow \dot{\neg}\, \dot{\neg}\, 0
 = \underline{(\epsilon)}
\Rightarrow 
\mathsf {c}
 _{Ex}
 <= \underline{
\mathsf {m}}
\Rightarrow \dot{\neg}\, if(0
 <= \underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
+-\underline{(fz)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
,\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
+-\underline{(fz)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
,-\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
+-\underline{(fz)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
)
 <= \underline{(\epsilon)}
\Rightarrow \dot{\neg}\, \dot{\neg}\, if(0
 <= \underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
+-\underline{(fz)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
,\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
+-\underline{(fz)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
,-\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
+-\underline{(fz)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
)
 = \underline{(\epsilon)}
\rhd SF(\underline{(fx)}
,\underline{(fy)}
)
\rhd SF(\underline{(fy)}
,\underline{(fz)}
)
\gg \dot{\neg}\, 0
 <= \underline{(\epsilon)}
\Rightarrow \dot{\neg}\, \dot{\neg}\, 0
 = \underline{(\epsilon)}
\Rightarrow 
\mathsf {c}
 _{Ex}
 <= \underline{
\mathsf {m}}
\Rightarrow \dot{\neg}\, if(0
 <= \underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
+-\underline{(fz)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
,\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
+-\underline{(fz)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
,-\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
+-\underline{(fz)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
)
 <= \underline{(\epsilon)}
\Rightarrow \dot{\neg}\, \dot{\neg}\, if(0
 <= \underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
+-\underline{(fz)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
,\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
+-\underline{(fz)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
,-\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
+-\underline{(fz)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
)
 = \underline{(\epsilon)}
; ToSF
\rhd \dot{\neg}\, 0
 <= \underline{(\epsilon)}
\Rightarrow \dot{\neg}\, \dot{\neg}\, 0
 = \underline{(\epsilon)}
\Rightarrow 
\mathsf {c}
 _{Ex}
 <= \underline{
\mathsf {m}}
\Rightarrow \dot{\neg}\, if(0
 <= \underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
+-\underline{(fz)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
,\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
+-\underline{(fz)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
,-\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
+-\underline{(fz)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
)
 <= \underline{(\epsilon)}
\Rightarrow \dot{\neg}\, \dot{\neg}\, if(0
 <= \underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
+-\underline{(fz)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
,\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
+-\underline{(fz)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
,-\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
+-\underline{(fz)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
)
 = \underline{(\epsilon)}
\gg SF(\underline{(fx)}
,\underline{(fz)}
)
\rceil 
, 
p_0
, 
\mathsf {c}
)
]$

$\rm
[SFtransitivity
\stackrel{
stmt
}{\rightarrow}ZFsub
\vdash 
\forall \underline{
\mathsf {m}}
\colon 
\forall \underline{(\epsilon)}
\colon 
\forall \underline{(fx)}
\colon 
\forall \underline{(fy)}
\colon 
\forall \underline{(fz)}
\colon SF(\underline{(fx)}
,\underline{(fy)}
)
\vdash SF(\underline{(fy)}
,\underline{(fz)}
)
\vdash SF(\underline{(fx)}
,\underline{(fz)}
)
]$

$\rm
[SFtransitivity
\stackrel{
\mathrm{tex}
}{\rightarrow}
\mbox{``}SFtransitivity
\mbox{''}
]$

$\rm
[SFtransitivity
\stackrel{
\mathrm{pyk}
}{\rightarrow}
\mbox{``}lemma
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}sameFtransitivity
\mbox{''}
]$

\hypertarget {url:1808490583581903168404721082347638465545342357588912671848929942716323841:359}{}\section* {$\rm =fToSameF $}

$\rm
[=fToSameF 
\stackrel{
proof
}{\rightarrow}
\lambda 
\mathsf {c}
.
\lambda 
\mathsf{x}
.
{\cal P}( 
\lceil ZFsub
\vdash 
\forall \underline{(\epsilon)}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf {m}}
\colon 
\forall \underline{(fx)}
\colon 
\forall \underline{(fy)}
\colon \underline{(fx)}
=_{f}\underline{(fy)}
\vdash \dot{\neg}\, 0
 <= \underline{(\epsilon)}
\Rightarrow \dot{\neg}\, \dot{\neg}\, 0
 = \underline{(\epsilon)}
\vdash From=f
\rhd \underline{(fx)}
=_{f}\underline{(fy)}
\gg \underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
 = \underline{(fy)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
; PositiveToLeft(Eq)(1 term)
\rhd \underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
 = \underline{(fy)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
\gg \underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
+-\underline{(fy)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
 = 0
; SameNumerical
\rhd \underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
+-\underline{(fy)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
 = 0
\gg if(0
 <= \underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
+-\underline{(fy)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
,\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
+-\underline{(fy)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
,-\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
+-\underline{(fy)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
)
 = if(0
 <= 0
,0
,-0
)
; |0|=0
\gg if(0
 <= 0
,0
,-0
)
 = 0
; eqTransitivity
\rhd if(0
 <= \underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
+-\underline{(fy)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
,\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
+-\underline{(fy)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
,-\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
+-\underline{(fy)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
)
 = if(0
 <= 0
,0
,-0
)
\rhd if(0
 <= 0
,0
,-0
)
 = 0
\gg if(0
 <= \underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
+-\underline{(fy)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
,\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
+-\underline{(fy)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
,-\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
+-\underline{(fy)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
)
 = 0
; eqSymmetry
\rhd if(0
 <= \underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
+-\underline{(fy)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
,\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
+-\underline{(fy)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
,-\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
+-\underline{(fy)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
)
 = 0
\gg 0
 = if(0
 <= \underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
+-\underline{(fy)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
,\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
+-\underline{(fy)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
,-\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
+-\underline{(fy)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
)
; SubLessLeft
\rhd 0
 = if(0
 <= \underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
+-\underline{(fy)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
,\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
+-\underline{(fy)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
,-\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
+-\underline{(fy)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
)
\rhd \dot{\neg}\, 0
 <= \underline{(\epsilon)}
\Rightarrow \dot{\neg}\, \dot{\neg}\, 0
 = \underline{(\epsilon)}
\gg \dot{\neg}\, if(0
 <= \underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
+-\underline{(fy)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
,\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
+-\underline{(fy)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
,-\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
+-\underline{(fy)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
)
 <= \underline{(\epsilon)}
\Rightarrow \dot{\neg}\, \dot{\neg}\, if(0
 <= \underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
+-\underline{(fy)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
,\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
+-\underline{(fy)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
,-\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
+-\underline{(fy)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
)
 = \underline{(\epsilon)}
; Weakening
\rhd \dot{\neg}\, if(0
 <= \underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
+-\underline{(fy)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
,\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
+-\underline{(fy)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
,-\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
+-\underline{(fy)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
)
 <= \underline{(\epsilon)}
\Rightarrow \dot{\neg}\, \dot{\neg}\, if(0
 <= \underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
+-\underline{(fy)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
,\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
+-\underline{(fy)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
,-\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
+-\underline{(fy)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
)
 = \underline{(\epsilon)}
\gg 0
 <= \underline{
\mathsf {m}}
\Rightarrow \dot{\neg}\, if(0
 <= \underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
+-\underline{(fy)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
,\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
+-\underline{(fy)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
,-\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
+-\underline{(fy)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
)
 <= \underline{(\epsilon)}
\Rightarrow \dot{\neg}\, \dot{\neg}\, if(0
 <= \underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
+-\underline{(fy)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
,\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
+-\underline{(fy)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
,-\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
+-\underline{(fy)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
)
 = \underline{(\epsilon)}
; ExistIntro
\mathop {\char64} 
\mathsf {c}
 _{Ex}
\mathop {\char64} 0
\rhd 0
 <= \underline{
\mathsf {m}}
\Rightarrow \dot{\neg}\, if(0
 <= \underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
+-\underline{(fy)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
,\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
+-\underline{(fy)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
,-\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
+-\underline{(fy)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
)
 <= \underline{(\epsilon)}
\Rightarrow \dot{\neg}\, \dot{\neg}\, if(0
 <= \underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
+-\underline{(fy)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
,\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
+-\underline{(fy)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
,-\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
+-\underline{(fy)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
)
 = \underline{(\epsilon)}
\gg 
\mathsf {c}
 _{Ex}
 <= \underline{
\mathsf {m}}
\Rightarrow \dot{\neg}\, if(0
 <= \underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
+-\underline{(fy)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
,\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
+-\underline{(fy)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
,-\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
+-\underline{(fy)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
)
 <= \underline{(\epsilon)}
\Rightarrow \dot{\neg}\, \dot{\neg}\, if(0
 <= \underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
+-\underline{(fy)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
,\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
+-\underline{(fy)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
,-\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
+-\underline{(fy)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
)
 = \underline{(\epsilon)}
; 
\forall \underline{(\epsilon)}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf {m}}
\colon 
\forall \underline{(fx)}
\colon 
\forall \underline{(fy)}
\colon Ded
\rhd 
\forall \underline{(\epsilon)}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf {m}}
\colon 
\forall \underline{(fx)}
\colon 
\forall \underline{(fy)}
\colon \underline{(fx)}
=_{f}\underline{(fy)}
\vdash \dot{\neg}\, 0
 <= \underline{(\epsilon)}
\Rightarrow \dot{\neg}\, \dot{\neg}\, 0
 = \underline{(\epsilon)}
\vdash 
\mathsf {c}
 _{Ex}
 <= \underline{
\mathsf {m}}
\Rightarrow \dot{\neg}\, if(0
 <= \underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
+-\underline{(fy)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
,\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
+-\underline{(fy)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
,-\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
+-\underline{(fy)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
)
 <= \underline{(\epsilon)}
\Rightarrow \dot{\neg}\, \dot{\neg}\, if(0
 <= \underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
+-\underline{(fy)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
,\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
+-\underline{(fy)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
,-\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
+-\underline{(fy)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
)
 = \underline{(\epsilon)}
\gg \underline{(fx)}
=_{f}\underline{(fy)}
\Rightarrow \dot{\neg}\, 0
 <= \underline{(\epsilon)}
\Rightarrow \dot{\neg}\, \dot{\neg}\, 0
 = \underline{(\epsilon)}
\Rightarrow 
\mathsf {c}
 _{Ex}
 <= \underline{
\mathsf {m}}
\Rightarrow \dot{\neg}\, if(0
 <= \underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
+-\underline{(fy)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
,\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
+-\underline{(fy)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
,-\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
+-\underline{(fy)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
)
 <= \underline{(\epsilon)}
\Rightarrow \dot{\neg}\, \dot{\neg}\, if(0
 <= \underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
+-\underline{(fy)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
,\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
+-\underline{(fy)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
,-\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
+-\underline{(fy)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
)
 = \underline{(\epsilon)}
; \underline{(fx)}
=_{f}\underline{(fy)}
\vdash MP
\rhd \underline{(fx)}
=_{f}\underline{(fy)}
\Rightarrow \dot{\neg}\, 0
 <= \underline{(\epsilon)}
\Rightarrow \dot{\neg}\, \dot{\neg}\, 0
 = \underline{(\epsilon)}
\Rightarrow 
\mathsf {c}
 _{Ex}
 <= \underline{
\mathsf {m}}
\Rightarrow \dot{\neg}\, if(0
 <= \underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
+-\underline{(fy)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
,\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
+-\underline{(fy)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
,-\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
+-\underline{(fy)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
)
 <= \underline{(\epsilon)}
\Rightarrow \dot{\neg}\, \dot{\neg}\, if(0
 <= \underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
+-\underline{(fy)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
,\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
+-\underline{(fy)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
,-\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
+-\underline{(fy)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
)
 = \underline{(\epsilon)}
\rhd \underline{(fx)}
=_{f}\underline{(fy)}
\gg \dot{\neg}\, 0
 <= \underline{(\epsilon)}
\Rightarrow \dot{\neg}\, \dot{\neg}\, 0
 = \underline{(\epsilon)}
\Rightarrow 
\mathsf {c}
 _{Ex}
 <= \underline{
\mathsf {m}}
\Rightarrow \dot{\neg}\, if(0
 <= \underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
+-\underline{(fy)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
,\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
+-\underline{(fy)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
,-\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
+-\underline{(fy)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
)
 <= \underline{(\epsilon)}
\Rightarrow \dot{\neg}\, \dot{\neg}\, if(0
 <= \underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
+-\underline{(fy)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
,\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
+-\underline{(fy)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
,-\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
+-\underline{(fy)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
)
 = \underline{(\epsilon)}
; ToSF
\rhd \dot{\neg}\, 0
 <= \underline{(\epsilon)}
\Rightarrow \dot{\neg}\, \dot{\neg}\, 0
 = \underline{(\epsilon)}
\Rightarrow 
\mathsf {c}
 _{Ex}
 <= \underline{
\mathsf {m}}
\Rightarrow \dot{\neg}\, if(0
 <= \underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
+-\underline{(fy)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
,\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
+-\underline{(fy)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
,-\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
+-\underline{(fy)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
)
 <= \underline{(\epsilon)}
\Rightarrow \dot{\neg}\, \dot{\neg}\, if(0
 <= \underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
+-\underline{(fy)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
,\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
+-\underline{(fy)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
,-\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
+-\underline{(fy)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
)
 = \underline{(\epsilon)}
\gg SF(\underline{(fx)}
,\underline{(fy)}
)
\rceil 
, 
p_0
, 
\mathsf {c}
)
]$

$\rm
[=fToSameF 
\stackrel{
stmt
}{\rightarrow}ZFsub
\vdash 
\forall \underline{(\epsilon)}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf {m}}
\colon 
\forall \underline{(fx)}
\colon 
\forall \underline{(fy)}
\colon \underline{(fx)}
=_{f}\underline{(fy)}
\vdash SF(\underline{(fx)}
,\underline{(fy)}
)
]$

$\rm
[=fToSameF 
\stackrel{
\mathrm{tex}
}{\rightarrow}
\mbox{``}
{=}fToSameF
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}
\mbox{''}
]$

$\rm
[=fToSameF 
\stackrel{
\mathrm{pyk}
}{\rightarrow}
\mbox{``}lemma
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}
{=}f
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}to
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}sameF
\mbox{''}
]$

\hypertarget {url:1808490583581903168404721082347638465545342357588912671848929942716323841:360}{}\section* {$\rm PlusF(Sym)$}

$\rm
[PlusF(Sym)
\stackrel{
proof
}{\rightarrow}
\lambda 
\mathsf {c}
.
\lambda 
\mathsf{x}
.
{\cal P}( 
\lceil ZFsub
\vdash 
\forall \underline{
\mathsf {m}}
\colon 
\forall \underline{(fx)}
\colon 
\forall \underline{(fy)}
\colon PlusF
\gg \underline{(fx)}
+_{f}\underline{(fy)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
 = \underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
+\underline{(fy)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
; eqSymmetry
\rhd \underline{(fx)}
+_{f}\underline{(fy)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
 = \underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
+\underline{(fy)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
\gg \underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
+\underline{(fy)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
 = \underline{(fx)}
+_{f}\underline{(fy)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
\rceil 
, 
p_0
, 
\mathsf {c}
)
]$

$\rm
[PlusF(Sym)
\stackrel{
stmt
}{\rightarrow}ZFsub
\vdash 
\forall \underline{
\mathsf {m}}
\colon 
\forall \underline{(fx)}
\colon 
\forall \underline{(fy)}
\colon \underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
+\underline{(fy)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
 = \underline{(fx)}
+_{f}\underline{(fy)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
]$

$\rm
[PlusF(Sym)
\stackrel{
\mathrm{tex}
}{\rightarrow}
\mbox{``}PlusF(Sym)
\mbox{''}
]$

$\rm
[PlusF(Sym)
\stackrel{
\mathrm{pyk}
}{\rightarrow}
\mbox{``}lemma
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}plusF(Sym)
\mbox{''}
]$

\hypertarget {url:1808490583581903168404721082347638465545342357588912671848929942716323841:361}{}\section* {$\rm TimesF(Sym)$}

$\rm
[TimesF(Sym)
\stackrel{
proof
}{\rightarrow}
\lambda 
\mathsf {c}
.
\lambda 
\mathsf{x}
.
{\cal P}( 
\lceil ZFsub
\vdash 
\forall \underline{
\mathsf {m}}
\colon 
\forall \underline{(fx)}
\colon 
\forall \underline{(fy)}
\colon TimesF
\gg \underline{(fx)}
*_{f}\underline{(fy)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
 = \underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
*\underline{(fy)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
; eqSymmetry
\rhd \underline{(fx)}
*_{f}\underline{(fy)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
 = \underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
*\underline{(fy)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
\gg \underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
*\underline{(fy)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
 = \underline{(fx)}
*_{f}\underline{(fy)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
\rceil 
, 
p_0
, 
\mathsf {c}
)
]$

$\rm
[TimesF(Sym)
\stackrel{
stmt
}{\rightarrow}ZFsub
\vdash 
\forall \underline{
\mathsf {m}}
\colon 
\forall \underline{(fx)}
\colon 
\forall \underline{(fy)}
\colon \underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
*\underline{(fy)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
 = \underline{(fx)}
*_{f}\underline{(fy)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
]$

$\rm
[TimesF(Sym)
\stackrel{
\mathrm{tex}
}{\rightarrow}
\mbox{``}TimesF(Sym)
\mbox{''}
]$

$\rm
[TimesF(Sym)
\stackrel{
\mathrm{pyk}
}{\rightarrow}
\mbox{``}lemma
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}timesF(Sym)
\mbox{''}
]$

\hypertarget {url:1808490583581903168404721082347638465545342357588912671848929942716323841:362}{}\section* {$\rm f2R(Plus)$}

$\rm
[f2R(Plus)
\stackrel{
proof
}{\rightarrow}
\lambda 
\mathsf {c}
.
\lambda 
\mathsf{x}
.
{\cal P}( 
\lceil ZFsub
\vdash 
\forall \underline{(fx)}
\colon 
\forall \underline{(fy)}
\colon 
\forall \underline{(fz)}
\colon 
\forall \underline{(fv)}
\colon 
\forall \underline{
\mbox{var fv}}
\colon SF(\underline{(fx)}
+_{f}\underline{(fy)}
,\underline{(fz)}
)
\vdash \underline{(fv)}
 \mathrel{\in} R(\underline{(fx)}
+_{f}\underline{(fy)}
)
\vdash \underline{
\mbox{var fv}}
 \mathrel{\in} R(\underline{(fz)}
)
\vdash FromInR
\rhd \underline{(fv)}
 \mathrel{\in} R(\underline{(fx)}
+_{f}\underline{(fy)}
)
\gg SF(\underline{(fv)}
,\underline{(fx)}
+_{f}\underline{(fy)}
)
; FromInR
\rhd \underline{
\mbox{var fv}}
 \mathrel{\in} R(\underline{(fz)}
)
\gg SF(\underline{
\mbox{var fv}}
,\underline{(fz)}
)
; SFsymmetry
\rhd SF(\underline{
\mbox{var fv}}
,\underline{(fz)}
)
\gg SF(\underline{(fz)}
,\underline{
\mbox{var fv}}
)
; SFtransitivity
\rhd SF(\underline{(fv)}
,\underline{(fx)}
+_{f}\underline{(fy)}
)
\rhd SF(\underline{(fx)}
+_{f}\underline{(fy)}
,\underline{(fz)}
)
\gg SF(\underline{(fv)}
,\underline{(fz)}
)
; SFtransitivity
\rhd SF(\underline{(fv)}
,\underline{(fz)}
)
\rhd SF(\underline{(fz)}
,\underline{
\mbox{var fv}}
)
\gg SF(\underline{(fv)}
,\underline{
\mbox{var fv}}
)
; 
\forall \underline{(fx)}
\colon 
\forall \underline{(fy)}
\colon 
\forall \underline{(fz)}
\colon 
\forall \underline{(fv)}
\colon 
\forall \underline{
\mbox{var fv}}
\colon Ded
\rhd 
\forall \underline{(fx)}
\colon 
\forall \underline{(fy)}
\colon 
\forall \underline{(fz)}
\colon 
\forall \underline{(fv)}
\colon 
\forall \underline{
\mbox{var fv}}
\colon SF(\underline{(fx)}
+_{f}\underline{(fy)}
,\underline{(fz)}
)
\vdash \underline{(fv)}
 \mathrel{\in} R(\underline{(fx)}
+_{f}\underline{(fy)}
)
\vdash \underline{
\mbox{var fv}}
 \mathrel{\in} R(\underline{(fz)}
)
\vdash SF(\underline{(fv)}
,\underline{
\mbox{var fv}}
)
\gg SF(\underline{(fx)}
+_{f}\underline{(fy)}
,\underline{(fz)}
)
\Rightarrow \underline{(fv)}
 \mathrel{\in} R(\underline{(fx)}
+_{f}\underline{(fy)}
)
\Rightarrow \underline{
\mbox{var fv}}
 \mathrel{\in} R(\underline{(fz)}
)
\Rightarrow SF(\underline{(fv)}
,\underline{
\mbox{var fv}}
)
; SF(\underline{(fx)}
+_{f}\underline{(fy)}
,\underline{(fz)}
)
\vdash MP
\rhd SF(\underline{(fx)}
+_{f}\underline{(fy)}
,\underline{(fz)}
)
\Rightarrow \underline{(fv)}
 \mathrel{\in} R(\underline{(fx)}
+_{f}\underline{(fy)}
)
\Rightarrow \underline{
\mbox{var fv}}
 \mathrel{\in} R(\underline{(fz)}
)
\Rightarrow SF(\underline{(fv)}
,\underline{
\mbox{var fv}}
)
\rhd SF(\underline{(fx)}
+_{f}\underline{(fy)}
,\underline{(fz)}
)
\gg \underline{(fv)}
 \mathrel{\in} R(\underline{(fx)}
+_{f}\underline{(fy)}
)
\Rightarrow \underline{
\mbox{var fv}}
 \mathrel{\in} R(\underline{(fz)}
)
\Rightarrow SF(\underline{(fv)}
,\underline{
\mbox{var fv}}
)
; To==XX
\rhd \underline{(fv)}
 \mathrel{\in} R(\underline{(fx)}
+_{f}\underline{(fy)}
)
\Rightarrow \underline{
\mbox{var fv}}
 \mathrel{\in} R(\underline{(fz)}
)
\Rightarrow SF(\underline{(fv)}
,\underline{
\mbox{var fv}}
)
\gg R(\underline{(fx)}
+_{f}\underline{(fy)}
)
 == R(\underline{(fz)}
)
; PlusR
\gg R((fx)
+_{f}(fy)
)
 == R(\underline{(fx)}
+_{f}\underline{(fy)}
)
; \!{}==\!{}Transitivity
\rhd R((fx)
+_{f}(fy)
)
 == R(\underline{(fx)}
+_{f}\underline{(fy)}
)
\rhd R(\underline{(fx)}
+_{f}\underline{(fy)}
)
 == R(\underline{(fz)}
)
\gg R((fx)
+_{f}(fy)
)
 == R(\underline{(fz)}
)
\rceil 
, 
p_0
, 
\mathsf {c}
)
]$

$\rm
[f2R(Plus)
\stackrel{
stmt
}{\rightarrow}ZFsub
\vdash 
\forall \underline{(fx)}
\colon 
\forall \underline{(fy)}
\colon 
\forall \underline{(fz)}
\colon 
\forall \underline{(fv)}
\colon 
\forall \underline{
\mbox{var fv}}
\colon SF(\underline{(fx)}
+_{f}\underline{(fy)}
,\underline{(fz)}
)
\vdash R((fx)
+_{f}(fy)
)
 == R(\underline{(fz)}
)
]$

$\rm
[f2R(Plus)
\stackrel{
\mathrm{tex}
}{\rightarrow}
\mbox{``}f2R(Plus)
\mbox{''}
]$

$\rm
[f2R(Plus)
\stackrel{
\mathrm{pyk}
}{\rightarrow}
\mbox{``}lemma
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}f2R(Plus)
\mbox{''}
]$

\hypertarget {url:1808490583581903168404721082347638465545342357588912671848929942716323841:363}{}\section* {$\rm f2R(Times)$}

$\rm
[f2R(Times)
\stackrel{
proof
}{\rightarrow}
\lambda 
\mathsf {c}
.
\lambda 
\mathsf{x}
.
{\cal P}( 
\lceil ZFsub
\vdash 
\forall \underline{(fx)}
\colon 
\forall \underline{(fy)}
\colon 
\forall \underline{(fz)}
\colon SF(\underline{(fx)}
*_{f}\underline{(fy)}
,\underline{(fz)}
)
\vdash To==
\rhd SF(\underline{(fx)}
*_{f}\underline{(fy)}
,\underline{(fz)}
)
\gg R(\underline{(fx)}
*_{f}\underline{(fy)}
)
 == R(\underline{(fz)}
)
; TimesR
\gg R(\underline{(fx)}
)
**R(\underline{(fy)}
)
 == R(\underline{(fx)}
*_{f}\underline{(fy)}
)
; \!{}==\!{}Transitivity
\rhd R(\underline{(fx)}
)
**R(\underline{(fy)}
)
 == R(\underline{(fx)}
*_{f}\underline{(fy)}
)
\rhd R(\underline{(fx)}
*_{f}\underline{(fy)}
)
 == R(\underline{(fz)}
)
\gg R(\underline{(fx)}
)
**R(\underline{(fy)}
)
 == R(\underline{(fz)}
)
\rceil 
, 
p_0
, 
\mathsf {c}
)
]$

$\rm
[f2R(Times)
\stackrel{
stmt
}{\rightarrow}ZFsub
\vdash 
\forall \underline{(fx)}
\colon 
\forall \underline{(fy)}
\colon 
\forall \underline{(fz)}
\colon SF(\underline{(fx)}
*_{f}\underline{(fy)}
,\underline{(fz)}
)
\vdash R(\underline{(fx)}
)
**R(\underline{(fy)}
)
 == R(\underline{(fz)}
)
]$

$\rm
[f2R(Times)
\stackrel{
\mathrm{tex}
}{\rightarrow}
\mbox{``}f2R(Times)
\mbox{''}
]$

$\rm
[f2R(Times)
\stackrel{
\mathrm{pyk}
}{\rightarrow}
\mbox{``}lemma
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}f2R(Times)
\mbox{''}
]$

\hypertarget {url:1808490583581903168404721082347638465545342357588912671848929942716323841:364}{}\section* {$\rm PlusR(Sym)$}

$\rm
[PlusR(Sym)
\stackrel{
proof
}{\rightarrow}
\lambda 
\mathsf {c}
.
\lambda 
\mathsf{x}
.
{\cal P}( 
\lceil ZFsub
\vdash 
\forall \underline{(fx)}
\colon 
\forall \underline{(fy)}
\colon PlusR
\gg R((fx)
+_{f}(fy)
)
 == R(\underline{(fx)}
+_{f}\underline{(fy)}
)
; ==\!{}Symmetry
\rhd R((fx)
+_{f}(fy)
)
 == R(\underline{(fx)}
+_{f}\underline{(fy)}
)
\gg R(\underline{(fx)}
+_{f}\underline{(fy)}
)
 == R((fx)
+_{f}(fy)
)
\rceil 
, 
p_0
, 
\mathsf {c}
)
]$

$\rm
[PlusR(Sym)
\stackrel{
stmt
}{\rightarrow}ZFsub
\vdash 
\forall \underline{(fx)}
\colon 
\forall \underline{(fy)}
\colon R(\underline{(fx)}
+_{f}\underline{(fy)}
)
 == R((fx)
+_{f}(fy)
)
]$

$\rm
[PlusR(Sym)
\stackrel{
\mathrm{tex}
}{\rightarrow}
\mbox{``}PlusR(Sym)
\mbox{''}
]$

$\rm
[PlusR(Sym)
\stackrel{
\mathrm{pyk}
}{\rightarrow}
\mbox{``}lemma
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}plusR(Sym)
\mbox{''}
]$

\hypertarget {url:1808490583581903168404721082347638465545342357588912671848929942716323841:365}{}\section* {$\rm TimesR(Sym)$}

$\rm
[TimesR(Sym)
\stackrel{
proof
}{\rightarrow}
\lambda 
\mathsf {c}
.
\lambda 
\mathsf{x}
.
{\cal P}( 
\lceil ZFsub
\vdash 
\forall \underline{(fx)}
\colon 
\forall \underline{(fy)}
\colon TimesR
\gg R(\underline{(fx)}
)
**R(\underline{(fy)}
)
 == R(\underline{(fx)}
*_{f}\underline{(fy)}
)
; ==\!{}Symmetry
\rhd R(\underline{(fx)}
)
**R(\underline{(fy)}
)
 == R(\underline{(fx)}
*_{f}\underline{(fy)}
)
\gg R(\underline{(fx)}
*_{f}\underline{(fy)}
)
 == R(\underline{(fx)}
)
**R(\underline{(fy)}
)
\rceil 
, 
p_0
, 
\mathsf {c}
)
]$

$\rm
[TimesR(Sym)
\stackrel{
stmt
}{\rightarrow}ZFsub
\vdash 
\forall \underline{(fx)}
\colon 
\forall \underline{(fy)}
\colon R(\underline{(fx)}
*_{f}\underline{(fy)}
)
 == R(\underline{(fx)}
)
**R(\underline{(fy)}
)
]$

$\rm
[TimesR(Sym)
\stackrel{
\mathrm{tex}
}{\rightarrow}
\mbox{``}TimesR(Sym)
\mbox{''}
]$

$\rm
[TimesR(Sym)
\stackrel{
\mathrm{pyk}
}{\rightarrow}
\mbox{``}lemma
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}timesR(Sym)
\mbox{''}
]$

\hypertarget {url:1808490583581903168404721082347638465545342357588912671848929942716323841:366}{}\section* {$\rm LessLeq(R)$}

$\rm
[LessLeq(R)
\stackrel{
proof
}{\rightarrow}
\lambda 
\mathsf {c}
.
\lambda 
\mathsf{x}
.
{\cal P}( 
\lceil ZFsub
\vdash 
\forall \underline{(rx)}
\colon 
\forall \underline{(ry)}
\colon \underline{(rx)}
 << \underline{(ry)}
\vdash WeakenOr2
\rhd \underline{(rx)}
 << \underline{(ry)}
\gg \dot{\neg}\, \underline{(rx)}
 << \underline{(ry)}
\Rightarrow \underline{(rx)}
 == \underline{(ry)}
; Repetition
\rhd \dot{\neg}\, \underline{(rx)}
 << \underline{(ry)}
\Rightarrow \underline{(rx)}
 == \underline{(ry)}
\gg \dot{\neg}\, \underline{(rx)}
 << \underline{(ry)}
\Rightarrow \underline{(rx)}
 == \underline{(ry)}
\rceil 
, 
p_0
, 
\mathsf {c}
)
]$

$\rm
[LessLeq(R)
\stackrel{
stmt
}{\rightarrow}ZFsub
\vdash 
\forall \underline{(rx)}
\colon 
\forall \underline{(ry)}
\colon \underline{(rx)}
 << \underline{(ry)}
\vdash \dot{\neg}\, \underline{(rx)}
 << \underline{(ry)}
\Rightarrow \underline{(rx)}
 == \underline{(ry)}
]$

$\rm
[LessLeq(R)
\stackrel{
\mathrm{tex}
}{\rightarrow}
\mbox{``}LessLeq(R)
\mbox{''}
]$

$\rm
[LessLeq(R)
\stackrel{
\mathrm{pyk}
}{\rightarrow}
\mbox{``}lemma
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}lessLeq(R)
\mbox{''}
]$

\hypertarget {url:1808490583581903168404721082347638465545342357588912671848929942716323841:367}{}\section* {$\rm eqLeq(R)$}

$\rm
[eqLeq(R)
\stackrel{
proof
}{\rightarrow}
\lambda 
\mathsf {c}
.
\lambda 
\mathsf{x}
.
{\cal P}( 
\lceil ZFsub
\vdash 
\forall \underline{(rx)}
\colon 
\forall \underline{(ry)}
\colon \underline{(rx)}
 == \underline{(ry)}
\vdash WeakenOr1
\rhd \underline{(rx)}
 == \underline{(ry)}
\gg \dot{\neg}\, \underline{(rx)}
 << \underline{(ry)}
\Rightarrow \underline{(rx)}
 == \underline{(ry)}
; Repetition
\rhd \dot{\neg}\, \underline{(rx)}
 << \underline{(ry)}
\Rightarrow \underline{(rx)}
 == \underline{(ry)}
\gg \dot{\neg}\, \underline{(rx)}
 << \underline{(ry)}
\Rightarrow \underline{(rx)}
 == \underline{(ry)}
\rceil 
, 
p_0
, 
\mathsf {c}
)
]$

$\rm
[eqLeq(R)
\stackrel{
stmt
}{\rightarrow}ZFsub
\vdash 
\forall \underline{(rx)}
\colon 
\forall \underline{(ry)}
\colon \underline{(rx)}
 == \underline{(ry)}
\vdash \dot{\neg}\, \underline{(rx)}
 << \underline{(ry)}
\Rightarrow \underline{(rx)}
 == \underline{(ry)}
]$

$\rm
[eqLeq(R)
\stackrel{
\mathrm{tex}
}{\rightarrow}
\mbox{``}eqLeq(R)
\mbox{''}
]$

$\rm
[eqLeq(R)
\stackrel{
\mathrm{pyk}
}{\rightarrow}
\mbox{``}lemma
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}eqLeq(R)
\mbox{''}
]$

\hypertarget {url:1808490583581903168404721082347638465545342357588912671848929942716323841:368}{}\section* {$\rm SubLessRight(R)$}

$\rm
[SubLessRight(R)
\stackrel{
proof
}{\rightarrow}
\lambda 
\mathsf {c}
.
\lambda 
\mathsf{x}
.
{\cal P}( 
\lceil ZFsub
\vdash 
\forall \underline{(\epsilon)}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf {m}}
\colon 
\forall \underline{(fy)}
\colon 
\forall \underline{(fz)}
\colon 
\forall \underline{(rx)}
\colon 
\forall \underline{(ry)}
\colon 
\forall \underline{(rz)}
\colon \underline{(rx)}
 == \underline{(ry)}
\vdash \underline{(rz)}
 << \underline{(rx)}
\vdash \underline{(fz)}
 \mathrel{\in} \underline{(rz)}
\vdash \underline{(fy)}
 \mathrel{\in} \underline{(ry)}
\vdash \dot{\neg}\, 0
 <= \underline{(\epsilon)}
\Rightarrow \dot{\neg}\, \dot{\neg}\, 0
 = \underline{(\epsilon)}
\vdash SENC2
\rhd \underline{(rx)}
 == \underline{(ry)}
\gg \underline{(fy)}
 \mathrel{\in} \underline{(rx)}
; From<<XX
\rhd \underline{(rz)}
 << \underline{(rx)}
\rhd \underline{(fz)}
 \mathrel{\in} \underline{(rz)}
\rhd \underline{(fy)}
 \mathrel{\in} \underline{(rx)}
\rhd \dot{\neg}\, 0
 <= \underline{(\epsilon)}
\Rightarrow \dot{\neg}\, \dot{\neg}\, 0
 = \underline{(\epsilon)}
\gg 
\mathsf {a}
 _{Ex}
 <= \underline{
\mathsf {m}}
\Rightarrow \underline{(fz)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
 <= \underline{(fy)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
+-\underline{(\epsilon)}
; 
\forall \underline{(\epsilon)}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf {m}}
\colon 
\forall \underline{(fy)}
\colon 
\forall \underline{(fz)}
\colon 
\forall \underline{(rx)}
\colon 
\forall \underline{(ry)}
\colon 
\forall \underline{(rz)}
\colon Ded
\rhd 
\forall \underline{(\epsilon)}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf {m}}
\colon 
\forall \underline{(fy)}
\colon 
\forall \underline{(fz)}
\colon 
\forall \underline{(rx)}
\colon 
\forall \underline{(ry)}
\colon 
\forall \underline{(rz)}
\colon \underline{(rx)}
 == \underline{(ry)}
\vdash \underline{(rz)}
 << \underline{(rx)}
\vdash \underline{(fz)}
 \mathrel{\in} \underline{(rz)}
\vdash \underline{(fy)}
 \mathrel{\in} \underline{(ry)}
\vdash \dot{\neg}\, 0
 <= \underline{(\epsilon)}
\Rightarrow \dot{\neg}\, \dot{\neg}\, 0
 = \underline{(\epsilon)}
\vdash 
\mathsf {a}
 _{Ex}
 <= \underline{
\mathsf {m}}
\Rightarrow \underline{(fz)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
 <= \underline{(fy)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
+-\underline{(\epsilon)}
\gg \underline{(rx)}
 == \underline{(ry)}
\Rightarrow \underline{(rz)}
 << \underline{(rx)}
\Rightarrow \underline{(fz)}
 \mathrel{\in} \underline{(rz)}
\Rightarrow \underline{(fy)}
 \mathrel{\in} \underline{(ry)}
\Rightarrow \dot{\neg}\, 0
 <= \underline{(\epsilon)}
\Rightarrow \dot{\neg}\, \dot{\neg}\, 0
 = \underline{(\epsilon)}
\Rightarrow 
\mathsf {a}
 _{Ex}
 <= \underline{
\mathsf {m}}
\Rightarrow \underline{(fz)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
 <= \underline{(fy)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
+-\underline{(\epsilon)}
; \underline{(rx)}
 == \underline{(ry)}
\vdash \underline{(rz)}
 << \underline{(rx)}
\vdash MP2
\rhd \underline{(rx)}
 == \underline{(ry)}
\Rightarrow \underline{(rz)}
 << \underline{(rx)}
\Rightarrow \underline{(fz)}
 \mathrel{\in} \underline{(rz)}
\Rightarrow \underline{(fy)}
 \mathrel{\in} \underline{(ry)}
\Rightarrow \dot{\neg}\, 0
 <= \underline{(\epsilon)}
\Rightarrow \dot{\neg}\, \dot{\neg}\, 0
 = \underline{(\epsilon)}
\Rightarrow 
\mathsf {a}
 _{Ex}
 <= \underline{
\mathsf {m}}
\Rightarrow \underline{(fz)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
 <= \underline{(fy)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
+-\underline{(\epsilon)}
\rhd \underline{(rx)}
 == \underline{(ry)}
\rhd \underline{(rz)}
 << \underline{(rx)}
\gg \underline{(fz)}
 \mathrel{\in} \underline{(rz)}
\Rightarrow \underline{(fy)}
 \mathrel{\in} \underline{(ry)}
\Rightarrow \dot{\neg}\, 0
 <= \underline{(\epsilon)}
\Rightarrow \dot{\neg}\, \dot{\neg}\, 0
 = \underline{(\epsilon)}
\Rightarrow 
\mathsf {a}
 _{Ex}
 <= \underline{
\mathsf {m}}
\Rightarrow \underline{(fz)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
 <= \underline{(fy)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
+-\underline{(\epsilon)}
; to<<XX
\rhd \underline{(fz)}
 \mathrel{\in} \underline{(rz)}
\Rightarrow \underline{(fy)}
 \mathrel{\in} \underline{(ry)}
\Rightarrow \dot{\neg}\, 0
 <= \underline{(\epsilon)}
\Rightarrow \dot{\neg}\, \dot{\neg}\, 0
 = \underline{(\epsilon)}
\Rightarrow 
\mathsf {a}
 _{Ex}
 <= \underline{
\mathsf {m}}
\Rightarrow \underline{(fz)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
 <= \underline{(fy)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
+-\underline{(\epsilon)}
\gg \underline{(rz)}
 << \underline{(ry)}
\rceil 
, 
p_0
, 
\mathsf {c}
)
]$

$\rm
[SubLessRight(R)
\stackrel{
stmt
}{\rightarrow}ZFsub
\vdash 
\forall \underline{(\epsilon)}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf {m}}
\colon 
\forall \underline{(fy)}
\colon 
\forall \underline{(fz)}
\colon 
\forall \underline{(rx)}
\colon 
\forall \underline{(ry)}
\colon 
\forall \underline{(rz)}
\colon \underline{(rx)}
 == \underline{(ry)}
\vdash \underline{(rz)}
 << \underline{(rx)}
\vdash \underline{(rz)}
 << \underline{(ry)}
]$

$\rm
[SubLessRight(R)
\stackrel{
\mathrm{tex}
}{\rightarrow}
\mbox{``}SubLessRight(R)
\mbox{''}
]$

$\rm
[SubLessRight(R)
\stackrel{
\mathrm{pyk}
}{\rightarrow}
\mbox{``}lemma
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}subLessRight(R)
\mbox{''}
]$

\hypertarget {url:1808490583581903168404721082347638465545342357588912671848929942716323841:369}{}\section* {$\rm SubLessLeft(R)$}

$\rm
[SubLessLeft(R)
\stackrel{
proof
}{\rightarrow}
\lambda 
\mathsf {c}
.
\lambda 
\mathsf{x}
.
{\cal P}( 
\lceil ZFsub
\vdash 
\forall \underline{(\epsilon)}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf {m}}
\colon 
\forall \underline{(fy)}
\colon 
\forall \underline{(fz)}
\colon 
\forall \underline{(rx)}
\colon 
\forall \underline{(ry)}
\colon 
\forall \underline{(rz)}
\colon \underline{(rx)}
 == \underline{(ry)}
\vdash \underline{(rx)}
 << \underline{(rz)}
\vdash \underline{(fy)}
 \mathrel{\in} \underline{(ry)}
\vdash \underline{(fz)}
 \mathrel{\in} \underline{(rz)}
\vdash \dot{\neg}\, 0
 <= \underline{(\epsilon)}
\Rightarrow \dot{\neg}\, \dot{\neg}\, 0
 = \underline{(\epsilon)}
\vdash SENC2
\rhd \underline{(rx)}
 == \underline{(ry)}
\rhd \underline{(fy)}
 \mathrel{\in} \underline{(ry)}
\gg \underline{(fy)}
 \mathrel{\in} \underline{(rx)}
; From<<XX
\rhd \underline{(rx)}
 << \underline{(rz)}
\rhd \underline{(fy)}
 \mathrel{\in} \underline{(rx)}
\rhd \underline{(fz)}
 \mathrel{\in} \underline{(rz)}
\rhd \dot{\neg}\, 0
 <= \underline{(\epsilon)}
\Rightarrow \dot{\neg}\, \dot{\neg}\, 0
 = \underline{(\epsilon)}
\gg 
\mathsf {a}
 _{Ex}
 <= \underline{
\mathsf {m}}
\Rightarrow \underline{(fy)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
 <= \underline{(fz)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
+-\underline{(\epsilon)}
; 
\forall \underline{(\epsilon)}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf {m}}
\colon 
\forall \underline{(fy)}
\colon 
\forall \underline{(fz)}
\colon 
\forall \underline{(rx)}
\colon 
\forall \underline{(ry)}
\colon 
\forall \underline{(rz)}
\colon Ded
\rhd 
\forall \underline{(\epsilon)}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf {m}}
\colon 
\forall \underline{(fy)}
\colon 
\forall \underline{(fz)}
\colon 
\forall \underline{(rx)}
\colon 
\forall \underline{(ry)}
\colon 
\forall \underline{(rz)}
\colon \underline{(rx)}
 == \underline{(ry)}
\vdash \underline{(rx)}
 << \underline{(rz)}
\vdash \underline{(fy)}
 \mathrel{\in} \underline{(ry)}
\vdash \underline{(fz)}
 \mathrel{\in} \underline{(rz)}
\vdash \dot{\neg}\, 0
 <= \underline{(\epsilon)}
\Rightarrow \dot{\neg}\, \dot{\neg}\, 0
 = \underline{(\epsilon)}
\vdash 
\mathsf {a}
 _{Ex}
 <= \underline{
\mathsf {m}}
\Rightarrow \underline{(fy)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
 <= \underline{(fz)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
+-\underline{(\epsilon)}
\gg \underline{(rx)}
 == \underline{(ry)}
\Rightarrow \underline{(rx)}
 << \underline{(rz)}
\Rightarrow \underline{(fy)}
 \mathrel{\in} \underline{(ry)}
\Rightarrow \underline{(fz)}
 \mathrel{\in} \underline{(rz)}
\Rightarrow \dot{\neg}\, 0
 <= \underline{(\epsilon)}
\Rightarrow \dot{\neg}\, \dot{\neg}\, 0
 = \underline{(\epsilon)}
\Rightarrow 
\mathsf {a}
 _{Ex}
 <= \underline{
\mathsf {m}}
\Rightarrow \underline{(fy)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
 <= \underline{(fz)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
+-\underline{(\epsilon)}
; \underline{(rx)}
 == \underline{(ry)}
\vdash \underline{(rx)}
 << \underline{(rz)}
\vdash MP2
\rhd \underline{(rx)}
 == \underline{(ry)}
\Rightarrow \underline{(rx)}
 << \underline{(rz)}
\Rightarrow \underline{(fy)}
 \mathrel{\in} \underline{(ry)}
\Rightarrow \underline{(fz)}
 \mathrel{\in} \underline{(rz)}
\Rightarrow \dot{\neg}\, 0
 <= \underline{(\epsilon)}
\Rightarrow \dot{\neg}\, \dot{\neg}\, 0
 = \underline{(\epsilon)}
\Rightarrow 
\mathsf {a}
 _{Ex}
 <= \underline{
\mathsf {m}}
\Rightarrow \underline{(fy)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
 <= \underline{(fz)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
+-\underline{(\epsilon)}
\rhd \underline{(rx)}
 == \underline{(ry)}
\rhd \underline{(rx)}
 << \underline{(rz)}
\gg \underline{(fy)}
 \mathrel{\in} \underline{(ry)}
\Rightarrow \underline{(fz)}
 \mathrel{\in} \underline{(rz)}
\Rightarrow \dot{\neg}\, 0
 <= \underline{(\epsilon)}
\Rightarrow \dot{\neg}\, \dot{\neg}\, 0
 = \underline{(\epsilon)}
\Rightarrow 
\mathsf {a}
 _{Ex}
 <= \underline{
\mathsf {m}}
\Rightarrow \underline{(fy)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
 <= \underline{(fz)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
+-\underline{(\epsilon)}
; to<<XX
\rhd \underline{(fy)}
 \mathrel{\in} \underline{(ry)}
\Rightarrow \underline{(fz)}
 \mathrel{\in} \underline{(rz)}
\Rightarrow \dot{\neg}\, 0
 <= \underline{(\epsilon)}
\Rightarrow \dot{\neg}\, \dot{\neg}\, 0
 = \underline{(\epsilon)}
\Rightarrow 
\mathsf {a}
 _{Ex}
 <= \underline{
\mathsf {m}}
\Rightarrow \underline{(fy)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
 <= \underline{(fz)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
+-\underline{(\epsilon)}
\gg \underline{(ry)}
 << \underline{(rz)}
\rceil 
, 
p_0
, 
\mathsf {c}
)
]$

$\rm
[SubLessLeft(R)
\stackrel{
stmt
}{\rightarrow}ZFsub
\vdash 
\forall \underline{(\epsilon)}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf {m}}
\colon 
\forall \underline{(fy)}
\colon 
\forall \underline{(fz)}
\colon 
\forall \underline{(rx)}
\colon 
\forall \underline{(ry)}
\colon 
\forall \underline{(rz)}
\colon \underline{(rx)}
 == \underline{(ry)}
\vdash \underline{(rx)}
 << \underline{(rz)}
\vdash \underline{(ry)}
 << \underline{(rz)}
]$

$\rm
[SubLessLeft(R)
\stackrel{
\mathrm{tex}
}{\rightarrow}
\mbox{``}SubLessLeft(R)
\mbox{''}
]$

$\rm
[SubLessLeft(R)
\stackrel{
\mathrm{pyk}
}{\rightarrow}
\mbox{``}lemma
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}subLessLeft(R)
\mbox{''}
]$

\hypertarget {url:1808490583581903168404721082347638465545342357588912671848929942716323841:370}{}\section* {$\rm <<TransitivityHelper(Q)$}

$\rm
[<<TransitivityHelper(Q)
\stackrel{
proof
}{\rightarrow}
\lambda 
\mathsf {c}
.
\lambda 
\mathsf{x}
.
{\cal P}( 
\lceil ZFsub
\vdash 
\forall \underline{
\mathsf{x}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf{y}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf{z}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf {u}}
\colon \underline{
\mathsf{x}}
 <= \underline{
\mathsf{y}}
+-\underline{
\mathsf {u}}
\vdash \underline{
\mathsf{y}}
 <= \underline{
\mathsf{z}}
+-\underline{
\mathsf {u}}
\vdash \dot{\neg}\, 0
 <= \underline{
\mathsf {u}}
\Rightarrow \dot{\neg}\, \dot{\neg}\, 0
 = \underline{
\mathsf {u}}
\vdash PositiveNegated
\rhd \dot{\neg}\, 0
 <= \underline{
\mathsf {u}}
\Rightarrow \dot{\neg}\, \dot{\neg}\, 0
 = \underline{
\mathsf {u}}
\gg \dot{\neg}\, -\underline{
\mathsf {u}}
 <= 0
\Rightarrow \dot{\neg}\, \dot{\neg}\, -\underline{
\mathsf {u}}
 = 0
; LessAdditionLeft
\rhd \dot{\neg}\, -\underline{
\mathsf {u}}
 <= 0
\Rightarrow \dot{\neg}\, \dot{\neg}\, -\underline{
\mathsf {u}}
 = 0
\gg \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf{y}}
+-\underline{
\mathsf {u}}
 <= \underline{
\mathsf{y}}
+0
\Rightarrow \dot{\neg}\, \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf{y}}
+-\underline{
\mathsf {u}}
 = \underline{
\mathsf{y}}
+0
; plus0
\gg \underline{
\mathsf{y}}
+0
 = \underline{
\mathsf{y}}
; SubLessRight
\rhd \underline{
\mathsf{y}}
+0
 = \underline{
\mathsf{y}}
\rhd \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf{y}}
+-\underline{
\mathsf {u}}
 <= \underline{
\mathsf{y}}
+0
\Rightarrow \dot{\neg}\, \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf{y}}
+-\underline{
\mathsf {u}}
 = \underline{
\mathsf{y}}
+0
\gg \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf{y}}
+-\underline{
\mathsf {u}}
 <= \underline{
\mathsf{y}}
\Rightarrow \dot{\neg}\, \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf{y}}
+-\underline{
\mathsf {u}}
 = \underline{
\mathsf{y}}
; leqLessTransitivity
\rhd \underline{
\mathsf{x}}
 <= \underline{
\mathsf{y}}
+-\underline{
\mathsf {u}}
\rhd \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf{y}}
+-\underline{
\mathsf {u}}
 <= \underline{
\mathsf{y}}
\Rightarrow \dot{\neg}\, \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf{y}}
+-\underline{
\mathsf {u}}
 = \underline{
\mathsf{y}}
\gg \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf{x}}
 <= \underline{
\mathsf{y}}
\Rightarrow \dot{\neg}\, \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf{x}}
 = \underline{
\mathsf{y}}
; LessLeqTransitivity
\rhd \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf{x}}
 <= \underline{
\mathsf{y}}
\Rightarrow \dot{\neg}\, \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf{x}}
 = \underline{
\mathsf{y}}
\rhd \underline{
\mathsf{y}}
 <= \underline{
\mathsf{z}}
+-\underline{
\mathsf {u}}
\gg \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf{x}}
 <= \underline{
\mathsf{z}}
+-\underline{
\mathsf {u}}
\Rightarrow \dot{\neg}\, \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf{x}}
 = \underline{
\mathsf{z}}
+-\underline{
\mathsf {u}}
; LessLeq
\rhd \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf{x}}
 <= \underline{
\mathsf{z}}
+-\underline{
\mathsf {u}}
\Rightarrow \dot{\neg}\, \dot{\neg}\, \underline{
\mathsf{x}}
 = \underline{
\mathsf{z}}
+-\underline{
\mathsf {u}}
\gg \underline{
\mathsf{x}}
 <= \underline{
\mathsf{z}}
+-\underline{
\mathsf {u}}
\rceil 
, 
p_0
, 
\mathsf {c}
)
]$

$\rm
[<<TransitivityHelper(Q)
\stackrel{
stmt
}{\rightarrow}ZFsub
\vdash 
\forall \underline{
\mathsf{x}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf{y}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf{z}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf {u}}
\colon \underline{
\mathsf{x}}
 <= \underline{
\mathsf{y}}
+-\underline{
\mathsf {u}}
\vdash \underline{
\mathsf{y}}
 <= \underline{
\mathsf{z}}
+-\underline{
\mathsf {u}}
\vdash \dot{\neg}\, 0
 <= \underline{
\mathsf {u}}
\Rightarrow \dot{\neg}\, \dot{\neg}\, 0
 = \underline{
\mathsf {u}}
\vdash \underline{
\mathsf{x}}
 <= \underline{
\mathsf{z}}
+-\underline{
\mathsf {u}}
]$

$\rm
[<<TransitivityHelper(Q)
\stackrel{
\mathrm{tex}
}{\rightarrow}
\mbox{``}
{<}
{<}TransitivityHelper(Q)
\mbox{''}
]$

$\rm
[<<TransitivityHelper(Q)
\stackrel{
\mathrm{pyk}
}{\rightarrow}
\mbox{``}lemma
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}
{<}
{<}TransitivityHelper(Q)
\mbox{''}
]$

\hypertarget {url:1808490583581903168404721082347638465545342357588912671848929942716323841:371}{}\section* {$\rm <<Transitivity$}

$\rm
[<<Transitivity
\stackrel{
proof
}{\rightarrow}
\lambda 
\mathsf {c}
.
\lambda 
\mathsf{x}
.
{\cal P}( 
\lceil ZFsub
\vdash 
\forall \underline{
\mathsf {m}}
\colon 
\forall \underline{(\epsilon)}
\colon 
\forall \underline{(fx)}
\colon 
\forall \underline{(fz)}
\colon 
\forall \underline{(rx)}
\colon 
\forall \underline{(ry)}
\colon 
\forall \underline{(rz)}
\colon \underline{(rx)}
 << \underline{(ry)}
\vdash \underline{(ry)}
 << \underline{(rz)}
\vdash \underline{(fx)}
 \mathrel{\in} \underline{(rx)}
\vdash \underline{(fz)}
 \mathrel{\in} \underline{(rz)}
\vdash \dot{\neg}\, 0
 <= \underline{(\epsilon)}
\Rightarrow \dot{\neg}\, \dot{\neg}\, 0
 = \underline{(\epsilon)}
\vdash 
\mathsf {c}
 _{Ex}
 <= \underline{
\mathsf {m}}
\vdash From<<(2)
\rhd \underline{(rx)}
 << \underline{(ry)}
\gg 
\mathsf {t}
 _{Ex}
 \mathrel{\in} \underline{(ry)}
; ThirdGeqSeries
\rhd \underline{(rx)}
 << \underline{(ry)}
\rhd \underline{(ry)}
 << \underline{(rz)}
\rhd \underline{(fx)}
 \mathrel{\in} \underline{(rx)}
\rhd 
\mathsf {t}
 _{Ex}
 \mathrel{\in} \underline{(ry)}
\rhd 
\mathsf {t}
 _{Ex}
 \mathrel{\in} \underline{(ry)}
\rhd \underline{(fz)}
 \mathrel{\in} \underline{(rz)}
\rhd \dot{\neg}\, 0
 <= \underline{(\epsilon)}
\Rightarrow \dot{\neg}\, \dot{\neg}\, 0
 = \underline{(\epsilon)}
\rhd 
\mathsf {c}
 _{Ex}
 <= \underline{
\mathsf {m}}
\gg \dot{\neg}\, \underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
 <= 
\mathsf {t}
 _{Ex}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
+-\underline{(\epsilon)}
\Rightarrow \dot{\neg}\, 
\mathsf {t}
 _{Ex}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
 <= \underline{(fz)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
+-\underline{(\epsilon)}
; FirstConjunct
\rhd \dot{\neg}\, \underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
 <= 
\mathsf {t}
 _{Ex}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
+-\underline{(\epsilon)}
\Rightarrow \dot{\neg}\, 
\mathsf {t}
 _{Ex}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
 <= \underline{(fz)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
+-\underline{(\epsilon)}
\gg \underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
 <= 
\mathsf {t}
 _{Ex}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
+-\underline{(\epsilon)}
; SecondConjunct
\rhd \dot{\neg}\, \underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
 <= 
\mathsf {t}
 _{Ex}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
+-\underline{(\epsilon)}
\Rightarrow \dot{\neg}\, 
\mathsf {t}
 _{Ex}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
 <= \underline{(fz)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
+-\underline{(\epsilon)}
\gg 
\mathsf {t}
 _{Ex}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
 <= \underline{(fz)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
+-\underline{(\epsilon)}
; <<TransitivityHelper(Q)
\rhd \underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
 <= 
\mathsf {t}
 _{Ex}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
+-\underline{(\epsilon)}
\rhd 
\mathsf {t}
 _{Ex}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
 <= \underline{(fz)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
+-\underline{(\epsilon)}
\rhd \dot{\neg}\, 0
 <= \underline{(\epsilon)}
\Rightarrow \dot{\neg}\, \dot{\neg}\, 0
 = \underline{(\epsilon)}
\gg \underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
 <= \underline{(fz)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
+-\underline{(\epsilon)}
; 
\forall \underline{
\mathsf {m}}
\colon 
\forall \underline{(\epsilon)}
\colon 
\forall \underline{(fx)}
\colon 
\forall \underline{(fz)}
\colon 
\forall \underline{(rx)}
\colon 
\forall \underline{(ry)}
\colon 
\forall \underline{(rz)}
\colon Ded
\rhd 
\forall \underline{
\mathsf {m}}
\colon 
\forall \underline{(\epsilon)}
\colon 
\forall \underline{(fx)}
\colon 
\forall \underline{(fz)}
\colon 
\forall \underline{(rx)}
\colon 
\forall \underline{(ry)}
\colon 
\forall \underline{(rz)}
\colon \underline{(rx)}
 << \underline{(ry)}
\vdash \underline{(ry)}
 << \underline{(rz)}
\vdash \underline{(fx)}
 \mathrel{\in} \underline{(rx)}
\vdash \underline{(fz)}
 \mathrel{\in} \underline{(rz)}
\vdash \dot{\neg}\, 0
 <= \underline{(\epsilon)}
\Rightarrow \dot{\neg}\, \dot{\neg}\, 0
 = \underline{(\epsilon)}
\vdash 
\mathsf {c}
 _{Ex}
 <= \underline{
\mathsf {m}}
\vdash \underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
 <= \underline{(fz)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
+-\underline{(\epsilon)}
\gg \underline{(rx)}
 << \underline{(ry)}
\Rightarrow \underline{(ry)}
 << \underline{(rz)}
\Rightarrow \underline{(fx)}
 \mathrel{\in} \underline{(rx)}
\Rightarrow \underline{(fz)}
 \mathrel{\in} \underline{(rz)}
\Rightarrow \dot{\neg}\, 0
 <= \underline{(\epsilon)}
\Rightarrow \dot{\neg}\, \dot{\neg}\, 0
 = \underline{(\epsilon)}
\Rightarrow 
\mathsf {c}
 _{Ex}
 <= \underline{
\mathsf {m}}
\Rightarrow \underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
 <= \underline{(fz)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
+-\underline{(\epsilon)}
; \underline{(rx)}
 << \underline{(ry)}
\vdash \underline{(ry)}
 << \underline{(rz)}
\vdash MP2
\rhd \underline{(rx)}
 << \underline{(ry)}
\Rightarrow \underline{(ry)}
 << \underline{(rz)}
\Rightarrow \underline{(fx)}
 \mathrel{\in} \underline{(rx)}
\Rightarrow \underline{(fz)}
 \mathrel{\in} \underline{(rz)}
\Rightarrow \dot{\neg}\, 0
 <= \underline{(\epsilon)}
\Rightarrow \dot{\neg}\, \dot{\neg}\, 0
 = \underline{(\epsilon)}
\Rightarrow 
\mathsf {c}
 _{Ex}
 <= \underline{
\mathsf {m}}
\Rightarrow \underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
 <= \underline{(fz)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
+-\underline{(\epsilon)}
\rhd \underline{(rx)}
 << \underline{(ry)}
\rhd \underline{(ry)}
 << \underline{(rz)}
\gg \underline{(fx)}
 \mathrel{\in} \underline{(rx)}
\Rightarrow \underline{(fz)}
 \mathrel{\in} \underline{(rz)}
\Rightarrow \dot{\neg}\, 0
 <= \underline{(\epsilon)}
\Rightarrow \dot{\neg}\, \dot{\neg}\, 0
 = \underline{(\epsilon)}
\Rightarrow 
\mathsf {c}
 _{Ex}
 <= \underline{
\mathsf {m}}
\Rightarrow \underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
 <= \underline{(fz)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
+-\underline{(\epsilon)}
; ExistIntro
\mathop {\char64} 
\mathsf {a}
 _{Ex}
\mathop {\char64} 
\mathsf {c}
 _{Ex}
\rhd \underline{(fx)}
 \mathrel{\in} \underline{(rx)}
\Rightarrow \underline{(fz)}
 \mathrel{\in} \underline{(rz)}
\Rightarrow \dot{\neg}\, 0
 <= \underline{(\epsilon)}
\Rightarrow \dot{\neg}\, \dot{\neg}\, 0
 = \underline{(\epsilon)}
\Rightarrow 
\mathsf {c}
 _{Ex}
 <= \underline{
\mathsf {m}}
\Rightarrow \underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
 <= \underline{(fz)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
+-\underline{(\epsilon)}
\gg \underline{(fx)}
 \mathrel{\in} \underline{(rx)}
\Rightarrow \underline{(fz)}
 \mathrel{\in} \underline{(rz)}
\Rightarrow \dot{\neg}\, 0
 <= \underline{(\epsilon)}
\Rightarrow \dot{\neg}\, \dot{\neg}\, 0
 = \underline{(\epsilon)}
\Rightarrow 
\mathsf {a}
 _{Ex}
 <= \underline{
\mathsf {m}}
\Rightarrow \underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
 <= \underline{(fz)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
+-\underline{(\epsilon)}
; to<<XX
\rhd \underline{(fx)}
 \mathrel{\in} \underline{(rx)}
\Rightarrow \underline{(fz)}
 \mathrel{\in} \underline{(rz)}
\Rightarrow \dot{\neg}\, 0
 <= \underline{(\epsilon)}
\Rightarrow \dot{\neg}\, \dot{\neg}\, 0
 = \underline{(\epsilon)}
\Rightarrow 
\mathsf {a}
 _{Ex}
 <= \underline{
\mathsf {m}}
\Rightarrow \underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
 <= \underline{(fz)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
+-\underline{(\epsilon)}
\gg \underline{(rx)}
 << \underline{(rz)}
\rceil 
, 
p_0
, 
\mathsf {c}
)
]$

$\rm
[<<Transitivity
\stackrel{
stmt
}{\rightarrow}ZFsub
\vdash 
\forall \underline{
\mathsf {m}}
\colon 
\forall \underline{(\epsilon)}
\colon 
\forall \underline{(fx)}
\colon 
\forall \underline{(fz)}
\colon 
\forall \underline{(rx)}
\colon 
\forall \underline{(ry)}
\colon 
\forall \underline{(rz)}
\colon \underline{(rx)}
 << \underline{(ry)}
\vdash \underline{(ry)}
 << \underline{(rz)}
\vdash \underline{(rx)}
 << \underline{(rz)}
]$

$\rm
[<<Transitivity
\stackrel{
\mathrm{tex}
}{\rightarrow}
\mbox{``}
{<}
{<}Transitivity
\mbox{''}
]$

$\rm
[<<Transitivity
\stackrel{
\mathrm{pyk}
}{\rightarrow}
\mbox{``}lemma
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}
{<}
{<}Transitivity
\mbox{''}
]$

\hypertarget {url:1808490583581903168404721082347638465545342357588912671848929942716323841:372}{}\section* {$\rm <<==Reflexivity$}

$\rm
[<<==Reflexivity
\stackrel{
proof
}{\rightarrow}
\lambda 
\mathsf {c}
.
\lambda 
\mathsf{x}
.
{\cal P}( 
\lceil ZFsub
\vdash 
\forall \underline{(rx)}
\colon ==\!{}Reflexivity
\gg \underline{(rx)}
 == \underline{(rx)}
; eqLeq(R)
\rhd \underline{(rx)}
 == \underline{(rx)}
\gg \dot{\neg}\, \underline{(rx)}
 << \underline{(rx)}
\Rightarrow \underline{(rx)}
 == \underline{(rx)}
\rceil 
, 
p_0
, 
\mathsf {c}
)
]$

$\rm
[<<==Reflexivity
\stackrel{
stmt
}{\rightarrow}ZFsub
\vdash 
\forall \underline{(rx)}
\colon \dot{\neg}\, \underline{(rx)}
 << \underline{(rx)}
\Rightarrow \underline{(rx)}
 == \underline{(rx)}
]$

$\rm
[<<==Reflexivity
\stackrel{
\mathrm{tex}
}{\rightarrow}
\mbox{``}
{<}
{<}
{=}
{=}Reflexivity
\mbox{''}
]$

$\rm
[<<==Reflexivity
\stackrel{
\mathrm{pyk}
}{\rightarrow}
\mbox{``}lemma
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}
{<}
{<}
{=}
{=}Reflexivity
\mbox{''}
]$

\hypertarget {url:1808490583581903168404721082347638465545342357588912671848929942716323841:373}{}\section* {$\rm <<==AntisymmetryHelper(Q)$}

$\rm
[<<==AntisymmetryHelper(Q)
\stackrel{
proof
}{\rightarrow}
\lambda 
\mathsf {c}
.
\lambda 
\mathsf{x}
.
{\cal P}( 
\lceil ZFsub
\vdash 
\forall \underline{
\mathsf {a}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf{x}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf{y}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf{z}}
\colon \dot{\neg}\, 0
 <= \underline{
\mathsf{z}}
\Rightarrow \dot{\neg}\, \dot{\neg}\, 0
 = \underline{
\mathsf{z}}
\vdash \underline{
\mathsf{x}}
 <= \underline{
\mathsf{y}}
+-\underline{
\mathsf{z}}
\vdash \underline{
\mathsf{y}}
 <= \underline{
\mathsf{x}}
+-\underline{
\mathsf{z}}
\vdash leqAddition
\rhd \underline{
\mathsf{x}}
 <= \underline{
\mathsf{y}}
+-\underline{
\mathsf{z}}
\gg \underline{
\mathsf{x}}
+\underline{
\mathsf{z}}
 <= \underline{
\mathsf{y}}
+-\underline{
\mathsf{z}}
+\underline{
\mathsf{z}}
; plusAssociativity
\gg \underline{
\mathsf{y}}
+-\underline{
\mathsf{z}}
+\underline{
\mathsf{z}}
 = \underline{
\mathsf{y}}
+-\underline{
\mathsf{z}}
+\underline{
\mathsf{z}}
; plusCommutativity
\gg -\underline{
\mathsf{z}}
+\underline{
\mathsf{z}}
 = \underline{
\mathsf{z}}
+-\underline{
\mathsf{z}}
; 
\mbox{lemma eqAdditionLeft}
\rhd -\underline{
\mathsf{z}}
+\underline{
\mathsf{z}}
 = \underline{
\mathsf{z}}
+-\underline{
\mathsf{z}}
\gg \underline{
\mathsf{y}}
+-\underline{
\mathsf{z}}
+\underline{
\mathsf{z}}
 = \underline{
\mathsf{y}}
+\underline{
\mathsf{z}}
+-\underline{
\mathsf{z}}
; x=x+(y-y)
\gg \underline{
\mathsf{y}}
 = \underline{
\mathsf{y}}
+\underline{
\mathsf{z}}
+-\underline{
\mathsf{z}}
; eqSymmetry
\rhd \underline{
\mathsf{y}}
 = \underline{
\mathsf{y}}
+\underline{
\mathsf{z}}
+-\underline{
\mathsf{z}}
\gg \underline{
\mathsf{y}}
+\underline{
\mathsf{z}}
+-\underline{
\mathsf{z}}
 = \underline{
\mathsf{y}}
; eqTransitivity4
\rhd \underline{
\mathsf{y}}
+-\underline{
\mathsf{z}}
+\underline{
\mathsf{z}}
 = \underline{
\mathsf{y}}
+-\underline{
\mathsf{z}}
+\underline{
\mathsf{z}}
\rhd \underline{
\mathsf{y}}
+-\underline{
\mathsf{z}}
+\underline{
\mathsf{z}}
 = \underline{
\mathsf{y}}
+\underline{
\mathsf{z}}
+-\underline{
\mathsf{z}}
\rhd \underline{
\mathsf{y}}
+\underline{
\mathsf{z}}
+-\underline{
\mathsf{z}}
 = \underline{
\mathsf{y}}
\gg \underline{
\mathsf{y}}
+-\underline{
\mathsf{z}}
+\underline{
\mathsf{z}}
 = \underline{
\mathsf{y}}
; subLeqRight
\rhd \underline{
\mathsf{y}}
+-\underline{
\mathsf{z}}
+\underline{
\mathsf{z}}
 = \underline{
\mathsf{y}}
\rhd \underline{
\mathsf{x}}
+\underline{
\mathsf{z}}
 <= \underline{
\mathsf{y}}
+-\underline{
\mathsf{z}}
+\underline{
\mathsf{z}}
\gg \underline{
\mathsf{x}}
+\underline{
\mathsf{z}}
 <= \underline{
\mathsf{y}}
; leqTransitivity
\rhd \underline{
\mathsf{x}}
+\underline{
\mathsf{z}}
 <= \underline{
\mathsf{y}}
\rhd \underline{
\mathsf{y}}
 <= \underline{
\mathsf{x}}
+-\underline{
\mathsf{z}}
\gg \underline{
\mathsf{x}}
+\underline{
\mathsf{z}}
 <= \underline{
\mathsf{x}}
+-\underline{
\mathsf{z}}
; leqSubtractionLeft
\rhd \underline{
\mathsf{x}}
+\underline{
\mathsf{z}}
 <= \underline{
\mathsf{x}}
+-\underline{
\mathsf{z}}
\gg \underline{
\mathsf{z}}
 <= -\underline{
\mathsf{z}}
; toNotLess
\rhd \underline{
\mathsf{z}}
 <= -\underline{
\mathsf{z}}
\gg \dot{\neg}\, \dot{\neg}\, -\underline{
\mathsf{z}}
 <= \underline{
\mathsf{z}}
\Rightarrow \dot{\neg}\, \dot{\neg}\, -\underline{
\mathsf{z}}
 = \underline{
\mathsf{z}}
; NegativeLessPositive
\rhd \dot{\neg}\, 0
 <= \underline{
\mathsf{z}}
\Rightarrow \dot{\neg}\, \dot{\neg}\, 0
 = \underline{
\mathsf{z}}
\gg \dot{\neg}\, -\underline{
\mathsf{z}}
 <= \underline{
\mathsf{z}}
\Rightarrow \dot{\neg}\, \dot{\neg}\, -\underline{
\mathsf{z}}
 = \underline{
\mathsf{z}}
; FromContradiction
\rhd \dot{\neg}\, -\underline{
\mathsf{z}}
 <= \underline{
\mathsf{z}}
\Rightarrow \dot{\neg}\, \dot{\neg}\, -\underline{
\mathsf{z}}
 = \underline{
\mathsf{z}}
\rhd \dot{\neg}\, \dot{\neg}\, -\underline{
\mathsf{z}}
 <= \underline{
\mathsf{z}}
\Rightarrow \dot{\neg}\, \dot{\neg}\, -\underline{
\mathsf{z}}
 = \underline{
\mathsf{z}}
\gg \underline{
\mathsf {a}}
\rceil 
, 
p_0
, 
\mathsf {c}
)
]$

$\rm
[<<==AntisymmetryHelper(Q)
\stackrel{
stmt
}{\rightarrow}ZFsub
\vdash 
\forall \underline{
\mathsf {a}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf{x}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf{y}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf{z}}
\colon \dot{\neg}\, 0
 <= \underline{
\mathsf{z}}
\Rightarrow \dot{\neg}\, \dot{\neg}\, 0
 = \underline{
\mathsf{z}}
\vdash \underline{
\mathsf{x}}
 <= \underline{
\mathsf{y}}
+-\underline{
\mathsf{z}}
\vdash \underline{
\mathsf{y}}
 <= \underline{
\mathsf{x}}
+-\underline{
\mathsf{z}}
\vdash \underline{
\mathsf {a}}
]$

$\rm
[<<==AntisymmetryHelper(Q)
\stackrel{
\mathrm{tex}
}{\rightarrow}
\mbox{``}
{<}
{<}
{=}
{=}AntisymmetryHelper(Q)
\mbox{''}
]$

$\rm
[<<==AntisymmetryHelper(Q)
\stackrel{
\mathrm{pyk}
}{\rightarrow}
\mbox{``}lemma
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}
{<}
{<}
{=}
{=}AntisymmetryHelper(Q)
\mbox{''}
]$

\hypertarget {url:1808490583581903168404721082347638465545342357588912671848929942716323841:374}{}\section* {$\rm <<==Antisymmetry$}

$\rm
[<<==Antisymmetry
\stackrel{
proof
}{\rightarrow}
\lambda 
\mathsf {c}
.
\lambda 
\mathsf{x}
.
{\cal P}( 
\lceil ZFsub
\vdash 
\forall \underline{(rx)}
\colon 
\forall \underline{(ry)}
\colon \dot{\neg}\, \underline{(rx)}
 << \underline{(ry)}
\Rightarrow \underline{(rx)}
 == \underline{(ry)}
\vdash \dot{\neg}\, \underline{(ry)}
 << \underline{(rx)}
\Rightarrow \underline{(ry)}
 == \underline{(rx)}
\vdash Repetition
\rhd \dot{\neg}\, \underline{(rx)}
 << \underline{(ry)}
\Rightarrow \underline{(rx)}
 == \underline{(ry)}
\gg \dot{\neg}\, \underline{(rx)}
 << \underline{(ry)}
\Rightarrow \underline{(rx)}
 == \underline{(ry)}
; Repetition
\rhd \dot{\neg}\, \underline{(ry)}
 << \underline{(rx)}
\Rightarrow \underline{(ry)}
 == \underline{(rx)}
\gg \dot{\neg}\, \underline{(ry)}
 << \underline{(rx)}
\Rightarrow \underline{(ry)}
 == \underline{(rx)}
; ExpandDisjuncts
\rhd \dot{\neg}\, \underline{(rx)}
 << \underline{(ry)}
\Rightarrow \underline{(rx)}
 == \underline{(ry)}
\rhd \dot{\neg}\, \underline{(ry)}
 << \underline{(rx)}
\Rightarrow \underline{(ry)}
 == \underline{(rx)}
\gg \dot{\neg}\, \underline{(rx)}
 == \underline{(ry)}
\Rightarrow \dot{\neg}\, \underline{(ry)}
 == \underline{(rx)}
\Rightarrow \dot{\neg}\, \underline{(rx)}
 << \underline{(ry)}
\Rightarrow \dot{\neg}\, \underline{(ry)}
 << \underline{(rx)}
; AutoImply
\gg \underline{(rx)}
 == \underline{(ry)}
\Rightarrow \underline{(rx)}
 == \underline{(ry)}
; 
\forall \underline{(rx)}
\colon 
\forall \underline{(ry)}
\colon \underline{(ry)}
 == \underline{(rx)}
\vdash ==\!{}Symmetry
\rhd \underline{(ry)}
 == \underline{(rx)}
\gg \underline{(rx)}
 == \underline{(ry)}
; Ded
\rhd 
\forall \underline{(rx)}
\colon 
\forall \underline{(ry)}
\colon \underline{(ry)}
 == \underline{(rx)}
\vdash \underline{(rx)}
 == \underline{(ry)}
\gg \underline{(ry)}
 == \underline{(rx)}
\Rightarrow \underline{(rx)}
 == \underline{(ry)}
; 
\forall \underline{(rx)}
\colon 
\forall \underline{(ry)}
\colon \dot{\neg}\, \underline{(rx)}
 << \underline{(ry)}
\Rightarrow \dot{\neg}\, \underline{(ry)}
 << \underline{(rx)}
\vdash FirstConjunct
\rhd \dot{\neg}\, \underline{(rx)}
 << \underline{(ry)}
\Rightarrow \dot{\neg}\, \underline{(ry)}
 << \underline{(rx)}
\gg \underline{(rx)}
 << \underline{(ry)}
; From<<(1)
\rhd \underline{(rx)}
 << \underline{(ry)}
\gg 
\mathsf {j}
 _{Ex}
 \mathrel{\in} \underline{(rx)}
; From<<(2)
\rhd \underline{(rx)}
 << \underline{(ry)}
\gg 
\mathsf {t}
 _{Ex}
 \mathrel{\in} \underline{(ry)}
; 0<1
\gg \dot{\neg}\, 0
 <= 1
\Rightarrow \dot{\neg}\, \dot{\neg}\, 0
 = 1
; From<<XX
\rhd \underline{(rx)}
 << \underline{(ry)}
\rhd 
\mathsf {j}
 _{Ex}
 \mathrel{\in} \underline{(rx)}
\rhd 
\mathsf {t}
 _{Ex}
 \mathrel{\in} \underline{(ry)}
\rhd \dot{\neg}\, 0
 <= 1
\Rightarrow \dot{\neg}\, \dot{\neg}\, 0
 = 1
\gg 
\mathsf {a}
 _{Ex}
 <= 
\mathsf {c}
 _{Ex}
\Rightarrow 
\mathsf {j}
 _{Ex}
[
\mathsf {c}
 _{Ex}
]
 <= 
\mathsf {t}
 _{Ex}
[
\mathsf {c}
 _{Ex}
]
+-1
; SecondConjunct
\rhd \dot{\neg}\, \underline{(rx)}
 << \underline{(ry)}
\Rightarrow \dot{\neg}\, \underline{(ry)}
 << \underline{(rx)}
\gg \underline{(ry)}
 << \underline{(rx)}
; From<<XX
\rhd \underline{(ry)}
 << \underline{(rx)}
\rhd 
\mathsf {t}
 _{Ex}
 \mathrel{\in} \underline{(ry)}
\rhd 
\mathsf {j}
 _{Ex}
 \mathrel{\in} \underline{(rx)}
\rhd \dot{\neg}\, 0
 <= 1
\Rightarrow \dot{\neg}\, \dot{\neg}\, 0
 = 1
\gg 
\mathsf {a}
 _{Ex}
 <= 
\mathsf {c}
 _{Ex}
\Rightarrow 
\mathsf {t}
 _{Ex}
[
\mathsf {c}
 _{Ex}
]
 <= 
\mathsf {j}
 _{Ex}
[
\mathsf {c}
 _{Ex}
]
+-1
; ExistIntro
\mathop {\char64} 
\mathsf {b}
 _{Ex}
\mathop {\char64} 
\mathsf {a}
 _{Ex}
\rhd 
\mathsf {a}
 _{Ex}
 <= 
\mathsf {c}
 _{Ex}
\Rightarrow 
\mathsf {t}
 _{Ex}
[
\mathsf {c}
 _{Ex}
]
 <= 
\mathsf {j}
 _{Ex}
[
\mathsf {c}
 _{Ex}
]
+-1
\gg 
\mathsf {b}
 _{Ex}
 <= 
\mathsf {c}
 _{Ex}
\Rightarrow 
\mathsf {t}
 _{Ex}
[
\mathsf {c}
 _{Ex}
]
 <= 
\mathsf {j}
 _{Ex}
[
\mathsf {c}
 _{Ex}
]
+-1
; thirdGeq
\gg \dot{\neg}\, 
\mathsf {a}
 _{Ex}
 <= 
\mathsf {c}
 _{Ex}
\Rightarrow \dot{\neg}\, 
\mathsf {b}
 _{Ex}
 <= 
\mathsf {c}
 _{Ex}
; FirstConjunct
\rhd \dot{\neg}\, 
\mathsf {a}
 _{Ex}
 <= 
\mathsf {c}
 _{Ex}
\Rightarrow \dot{\neg}\, 
\mathsf {b}
 _{Ex}
 <= 
\mathsf {c}
 _{Ex}
\gg 
\mathsf {a}
 _{Ex}
 <= 
\mathsf {c}
 _{Ex}
; MP
\rhd 
\mathsf {a}
 _{Ex}
 <= 
\mathsf {c}
 _{Ex}
\Rightarrow 
\mathsf {j}
 _{Ex}
[
\mathsf {c}
 _{Ex}
]
 <= 
\mathsf {t}
 _{Ex}
[
\mathsf {c}
 _{Ex}
]
+-1
\rhd 
\mathsf {a}
 _{Ex}
 <= 
\mathsf {c}
 _{Ex}
\gg 
\mathsf {j}
 _{Ex}
[
\mathsf {c}
 _{Ex}
]
 <= 
\mathsf {t}
 _{Ex}
[
\mathsf {c}
 _{Ex}
]
+-1
; SecondConjunct
\rhd \dot{\neg}\, 
\mathsf {a}
 _{Ex}
 <= 
\mathsf {c}
 _{Ex}
\Rightarrow \dot{\neg}\, 
\mathsf {b}
 _{Ex}
 <= 
\mathsf {c}
 _{Ex}
\gg 
\mathsf {b}
 _{Ex}
 <= 
\mathsf {c}
 _{Ex}
; MP
\rhd 
\mathsf {b}
 _{Ex}
 <= 
\mathsf {c}
 _{Ex}
\Rightarrow 
\mathsf {t}
 _{Ex}
[
\mathsf {c}
 _{Ex}
]
 <= 
\mathsf {j}
 _{Ex}
[
\mathsf {c}
 _{Ex}
]
+-1
\rhd 
\mathsf {b}
 _{Ex}
 <= 
\mathsf {c}
 _{Ex}
\gg 
\mathsf {t}
 _{Ex}
[
\mathsf {c}
 _{Ex}
]
 <= 
\mathsf {j}
 _{Ex}
[
\mathsf {c}
 _{Ex}
]
+-1
; <<==AntisymmetryHelper(Q)
\rhd \dot{\neg}\, 0
 <= 1
\Rightarrow \dot{\neg}\, \dot{\neg}\, 0
 = 1
\rhd 
\mathsf {j}
 _{Ex}
[
\mathsf {c}
 _{Ex}
]
 <= 
\mathsf {t}
 _{Ex}
[
\mathsf {c}
 _{Ex}
]
+-1
\rhd 
\mathsf {t}
 _{Ex}
[
\mathsf {c}
 _{Ex}
]
 <= 
\mathsf {j}
 _{Ex}
[
\mathsf {c}
 _{Ex}
]
+-1
\gg \underline{(rx)}
 == \underline{(ry)}
; Ded
\rhd 
\forall \underline{(rx)}
\colon 
\forall \underline{(ry)}
\colon \dot{\neg}\, \underline{(rx)}
 << \underline{(ry)}
\Rightarrow \dot{\neg}\, \underline{(ry)}
 << \underline{(rx)}
\vdash \underline{(rx)}
 == \underline{(ry)}
\gg \dot{\neg}\, \underline{(rx)}
 << \underline{(ry)}
\Rightarrow \dot{\neg}\, \underline{(ry)}
 << \underline{(rx)}
\Rightarrow \underline{(rx)}
 == \underline{(ry)}
; From3Disjuncts
\rhd \dot{\neg}\, \underline{(rx)}
 == \underline{(ry)}
\Rightarrow \dot{\neg}\, \underline{(ry)}
 == \underline{(rx)}
\Rightarrow \dot{\neg}\, \underline{(rx)}
 << \underline{(ry)}
\Rightarrow \dot{\neg}\, \underline{(ry)}
 << \underline{(rx)}
\rhd \underline{(rx)}
 == \underline{(ry)}
\Rightarrow \underline{(rx)}
 == \underline{(ry)}
\rhd \underline{(ry)}
 == \underline{(rx)}
\Rightarrow \underline{(rx)}
 == \underline{(ry)}
\rhd \dot{\neg}\, \underline{(rx)}
 << \underline{(ry)}
\Rightarrow \dot{\neg}\, \underline{(ry)}
 << \underline{(rx)}
\Rightarrow \underline{(rx)}
 == \underline{(ry)}
\gg \underline{(rx)}
 == \underline{(ry)}
\rceil 
, 
p_0
, 
\mathsf {c}
)
]$

$\rm
[<<==Antisymmetry
\stackrel{
stmt
}{\rightarrow}ZFsub
\vdash 
\forall \underline{(rx)}
\colon 
\forall \underline{(ry)}
\colon \dot{\neg}\, \underline{(rx)}
 << \underline{(ry)}
\Rightarrow \underline{(rx)}
 == \underline{(ry)}
\vdash \dot{\neg}\, \underline{(ry)}
 << \underline{(rx)}
\Rightarrow \underline{(ry)}
 == \underline{(rx)}
\vdash \underline{(rx)}
 == \underline{(ry)}
]$

$\rm
[<<==Antisymmetry
\stackrel{
\mathrm{tex}
}{\rightarrow}
\mbox{``}
{<}
{<}
{=}
{=}Antisymmetry
\mbox{''}
]$

$\rm
[<<==Antisymmetry
\stackrel{
\mathrm{pyk}
}{\rightarrow}
\mbox{``}lemma
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}
{<}
{<}
{=}
{=}Antisymmetry
\mbox{''}
]$

\hypertarget {url:1808490583581903168404721082347638465545342357588912671848929942716323841:375}{}\section* {$\rm <<==Transitivity$}

$\rm
[<<==Transitivity
\stackrel{
proof
}{\rightarrow}
\lambda 
\mathsf {c}
.
\lambda 
\mathsf{x}
.
{\cal P}( 
\lceil ZFsub
\vdash 
\forall \underline{(rx)}
\colon 
\forall \underline{(ry)}
\colon 
\forall \underline{(rz)}
\colon \underline{(rx)}
 << \underline{(ry)}
\vdash \underline{(ry)}
 << \underline{(rz)}
\vdash <<Transitivity
\rhd \underline{(rx)}
 << \underline{(ry)}
\rhd \underline{(ry)}
 << \underline{(rz)}
\gg \underline{(rx)}
 << \underline{(rz)}
; LessLeq(R)
\rhd \underline{(rx)}
 << \underline{(rz)}
\gg \dot{\neg}\, \underline{(rx)}
 << \underline{(rz)}
\Rightarrow \underline{(rx)}
 == \underline{(rz)}
; 
\forall \underline{(rx)}
\colon 
\forall \underline{(ry)}
\colon 
\forall \underline{(rz)}
\colon \underline{(rx)}
 << \underline{(ry)}
\vdash \underline{(ry)}
 == \underline{(rz)}
\vdash SubLessRight(R)
\rhd \underline{(ry)}
 == \underline{(rz)}
\rhd \underline{(rx)}
 << \underline{(ry)}
\gg \underline{(rx)}
 << \underline{(rz)}
; LessLeq(R)
\rhd \underline{(rx)}
 << \underline{(rz)}
\gg \dot{\neg}\, \underline{(rx)}
 << \underline{(rz)}
\Rightarrow \underline{(rx)}
 == \underline{(rz)}
; 
\forall \underline{(rx)}
\colon 
\forall \underline{(ry)}
\colon 
\forall \underline{(rz)}
\colon \underline{(rx)}
 == \underline{(ry)}
\vdash \underline{(ry)}
 << \underline{(rz)}
\vdash ==\!{}Symmetry
\rhd \underline{(rx)}
 == \underline{(ry)}
\gg \underline{(ry)}
 == \underline{(rx)}
; SubLessLeft(R)
\rhd \underline{(ry)}
 == \underline{(rx)}
\rhd \underline{(ry)}
 << \underline{(rz)}
\gg \underline{(rx)}
 << \underline{(rz)}
; LessLeq(R)
\rhd \underline{(rx)}
 << \underline{(rz)}
\gg \dot{\neg}\, \underline{(rx)}
 << \underline{(rz)}
\Rightarrow \underline{(rx)}
 == \underline{(rz)}
; 
\forall \underline{(rx)}
\colon 
\forall \underline{(ry)}
\colon 
\forall \underline{(rz)}
\colon \underline{(rx)}
 == \underline{(ry)}
\vdash \underline{(ry)}
 == \underline{(rz)}
\vdash \!{}==\!{}Transitivity
\rhd \underline{(rx)}
 == \underline{(ry)}
\rhd \underline{(ry)}
 == \underline{(rz)}
\gg \underline{(rx)}
 == \underline{(rz)}
; eqLeq(R)
\rhd \underline{(rx)}
 == \underline{(rz)}
\gg \dot{\neg}\, \underline{(rx)}
 << \underline{(rz)}
\Rightarrow \underline{(rx)}
 == \underline{(rz)}
; 
\forall \underline{(rx)}
\colon 
\forall \underline{(ry)}
\colon 
\forall \underline{(rz)}
\colon \dot{\neg}\, \underline{(rx)}
 << \underline{(ry)}
\Rightarrow \underline{(rx)}
 == \underline{(ry)}
\vdash \dot{\neg}\, \underline{(ry)}
 << \underline{(rz)}
\Rightarrow \underline{(ry)}
 == \underline{(rz)}
\vdash Repetition
\rhd \dot{\neg}\, \underline{(rx)}
 << \underline{(ry)}
\Rightarrow \underline{(rx)}
 == \underline{(ry)}
\gg \dot{\neg}\, \underline{(rx)}
 << \underline{(ry)}
\Rightarrow \underline{(rx)}
 == \underline{(ry)}
; Repetition
\rhd \dot{\neg}\, \underline{(ry)}
 << \underline{(rz)}
\Rightarrow \underline{(ry)}
 == \underline{(rz)}
\gg \dot{\neg}\, \underline{(ry)}
 << \underline{(rz)}
\Rightarrow \underline{(ry)}
 == \underline{(rz)}
; Ded
\rhd 
\forall \underline{(rx)}
\colon 
\forall \underline{(ry)}
\colon 
\forall \underline{(rz)}
\colon \underline{(rx)}
 << \underline{(ry)}
\vdash \underline{(ry)}
 << \underline{(rz)}
\vdash \dot{\neg}\, \underline{(rx)}
 << \underline{(rz)}
\Rightarrow \underline{(rx)}
 == \underline{(rz)}
\gg \underline{(rx)}
 << \underline{(ry)}
\Rightarrow \underline{(ry)}
 << \underline{(rz)}
\Rightarrow \dot{\neg}\, \underline{(rx)}
 << \underline{(rz)}
\Rightarrow \underline{(rx)}
 == \underline{(rz)}
; Ded
\rhd 
\forall \underline{(rx)}
\colon 
\forall \underline{(ry)}
\colon 
\forall \underline{(rz)}
\colon \underline{(rx)}
 << \underline{(ry)}
\vdash \underline{(ry)}
 == \underline{(rz)}
\vdash \dot{\neg}\, \underline{(rx)}
 << \underline{(rz)}
\Rightarrow \underline{(rx)}
 == \underline{(rz)}
\gg \underline{(rx)}
 << \underline{(ry)}
\Rightarrow \underline{(ry)}
 == \underline{(rz)}
\Rightarrow \dot{\neg}\, \underline{(rx)}
 << \underline{(rz)}
\Rightarrow \underline{(rx)}
 == \underline{(rz)}
; Ded
\rhd 
\forall \underline{(rx)}
\colon 
\forall \underline{(ry)}
\colon 
\forall \underline{(rz)}
\colon \underline{(rx)}
 == \underline{(ry)}
\vdash \underline{(ry)}
 << \underline{(rz)}
\vdash \dot{\neg}\, \underline{(rx)}
 << \underline{(rz)}
\Rightarrow \underline{(rx)}
 == \underline{(rz)}
\gg \underline{(rx)}
 == \underline{(ry)}
\Rightarrow \underline{(ry)}
 << \underline{(rz)}
\Rightarrow \dot{\neg}\, \underline{(rx)}
 << \underline{(rz)}
\Rightarrow \underline{(rx)}
 == \underline{(rz)}
; Ded
\rhd 
\forall \underline{(rx)}
\colon 
\forall \underline{(ry)}
\colon 
\forall \underline{(rz)}
\colon \underline{(rx)}
 == \underline{(ry)}
\vdash \underline{(ry)}
 == \underline{(rz)}
\vdash \dot{\neg}\, \underline{(rx)}
 << \underline{(rz)}
\Rightarrow \underline{(rx)}
 == \underline{(rz)}
\gg \underline{(rx)}
 == \underline{(ry)}
\Rightarrow \underline{(ry)}
 == \underline{(rz)}
\Rightarrow \dot{\neg}\, \underline{(rx)}
 << \underline{(rz)}
\Rightarrow \underline{(rx)}
 == \underline{(rz)}
; From2*2Disjuncts
\rhd \dot{\neg}\, \underline{(rx)}
 << \underline{(ry)}
\Rightarrow \underline{(rx)}
 == \underline{(ry)}
\rhd \dot{\neg}\, \underline{(ry)}
 << \underline{(rz)}
\Rightarrow \underline{(ry)}
 == \underline{(rz)}
\rhd \underline{(rx)}
 << \underline{(ry)}
\Rightarrow \underline{(ry)}
 << \underline{(rz)}
\Rightarrow \dot{\neg}\, \underline{(rx)}
 << \underline{(rz)}
\Rightarrow \underline{(rx)}
 == \underline{(rz)}
\rhd \underline{(rx)}
 << \underline{(ry)}
\Rightarrow \underline{(ry)}
 == \underline{(rz)}
\Rightarrow \dot{\neg}\, \underline{(rx)}
 << \underline{(rz)}
\Rightarrow \underline{(rx)}
 == \underline{(rz)}
\rhd \underline{(rx)}
 == \underline{(ry)}
\Rightarrow \underline{(ry)}
 << \underline{(rz)}
\Rightarrow \dot{\neg}\, \underline{(rx)}
 << \underline{(rz)}
\Rightarrow \underline{(rx)}
 == \underline{(rz)}
\rhd \underline{(rx)}
 == \underline{(ry)}
\Rightarrow \underline{(ry)}
 == \underline{(rz)}
\Rightarrow \dot{\neg}\, \underline{(rx)}
 << \underline{(rz)}
\Rightarrow \underline{(rx)}
 == \underline{(rz)}
\gg \dot{\neg}\, \underline{(rx)}
 << \underline{(rz)}
\Rightarrow \underline{(rx)}
 == \underline{(rz)}
\rceil 
, 
p_0
, 
\mathsf {c}
)
]$

$\rm
[<<==Transitivity
\stackrel{
stmt
}{\rightarrow}ZFsub
\vdash 
\forall \underline{(rx)}
\colon 
\forall \underline{(ry)}
\colon 
\forall \underline{(rz)}
\colon \dot{\neg}\, \underline{(rx)}
 << \underline{(ry)}
\Rightarrow \underline{(rx)}
 == \underline{(ry)}
\vdash \dot{\neg}\, \underline{(ry)}
 << \underline{(rz)}
\Rightarrow \underline{(ry)}
 == \underline{(rz)}
\vdash \dot{\neg}\, \underline{(rx)}
 << \underline{(rz)}
\Rightarrow \underline{(rx)}
 == \underline{(rz)}
]$

$\rm
[<<==Transitivity
\stackrel{
\mathrm{tex}
}{\rightarrow}
\mbox{``}
{<}
{<}
{=}
{=}Transitivity
\mbox{''}
]$

$\rm
[<<==Transitivity
\stackrel{
\mathrm{pyk}
}{\rightarrow}
\mbox{``}lemma
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}
{<}
{<}
{=}
{=}Transitivity
\mbox{''}
]$

\hypertarget {url:1808490583581903168404721082347638465545342357588912671848929942716323841:376}{}\section* {$\rm Plus0f$}

$\rm
[Plus0f
\stackrel{
proof
}{\rightarrow}
\lambda 
\mathsf {c}
.
\lambda 
\mathsf{x}
.
{\cal P}( 
\lceil ZFsub
\vdash 
\forall \underline{
\mathsf {m}}
\colon 
\forall \underline{(fx)}
\colon PlusF
\gg \underline{(fx)}
+_{f}0f
[\underline{
\mathsf {m}}
]
 = \underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
+0f
[\underline{
\mathsf {m}}
]
; 0f
\gg 0f
[\underline{
\mathsf {m}}
]
 = 0
; 
\mbox{lemma eqAdditionLeft}
\rhd 0f
[\underline{
\mathsf {m}}
]
 = 0
\gg \underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
+0f
[\underline{
\mathsf {m}}
]
 = \underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
+0
; plus0
\gg \underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
+0
 = \underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
; eqTransitivity4
\rhd \underline{(fx)}
+_{f}0f
[\underline{
\mathsf {m}}
]
 = \underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
+0f
[\underline{
\mathsf {m}}
]
\rhd \underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
+0f
[\underline{
\mathsf {m}}
]
 = \underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
+0
\rhd \underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
+0
 = \underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
\gg \underline{(fx)}
+_{f}0f
[\underline{
\mathsf {m}}
]
 = \underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
; To=f
\rhd \underline{(fx)}
+_{f}0f
[\underline{
\mathsf {m}}
]
 = \underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
\gg \underline{(fx)}
+_{f}0f
=_{f}\underline{(fx)}
\rceil 
, 
p_0
, 
\mathsf {c}
)
]$

$\rm
[Plus0f
\stackrel{
stmt
}{\rightarrow}ZFsub
\vdash 
\forall \underline{
\mathsf {m}}
\colon 
\forall \underline{(fx)}
\colon \underline{(fx)}
+_{f}0f
=_{f}\underline{(fx)}
]$

$\rm
[Plus0f
\stackrel{
\mathrm{tex}
}{\rightarrow}
\mbox{``}Plus0f
\mbox{''}
]$

$\rm
[Plus0f
\stackrel{
\mathrm{pyk}
}{\rightarrow}
\mbox{``}lemma
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}plus0f
\mbox{''}
]$

\hypertarget {url:1808490583581903168404721082347638465545342357588912671848929942716323841:377}{}\section* {$\rm Plus00$}

$\rm
[Plus00
\stackrel{
proof
}{\rightarrow}
\lambda 
\mathsf {c}
.
\lambda 
\mathsf{x}
.
{\cal P}( 
\lceil ZFsub
\vdash 
\forall \underline{(fx)}
\colon Plus0f
\gg \underline{(fx)}
+_{f}0f
=_{f}\underline{(fx)}
; =fToSameF 
\rhd \underline{(fx)}
+_{f}0f
=_{f}\underline{(fx)}
\gg SF(\underline{(fx)}
+_{f}0f
,\underline{(fx)}
)
; f2R(Plus)
\rhd SF(\underline{(fx)}
+_{f}0f
,\underline{(fx)}
)
\gg R((fx)
+_{f}(fy)
)
 == R(\underline{(fx)}
)
; Repetition
\rhd R((fx)
+_{f}(fy)
)
 == R(\underline{(fx)}
)
\gg R((fx)
+_{f}(fy)
)
 == R(\underline{(fx)}
)
\rceil 
, 
p_0
, 
\mathsf {c}
)
]$

$\rm
[Plus00
\stackrel{
stmt
}{\rightarrow}ZFsub
\vdash 
\forall \underline{(fx)}
\colon R((fx)
+_{f}(fy)
)
 == R(\underline{(fx)}
)
]$

$\rm
[Plus00
\stackrel{
\mathrm{tex}
}{\rightarrow}
\mbox{``}Plus00
\mbox{''}
]$

$\rm
[Plus00
\stackrel{
\mathrm{pyk}
}{\rightarrow}
\mbox{``}lemma
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}plus00
\mbox{''}
]$

\hypertarget {url:1808490583581903168404721082347638465545342357588912671848929942716323841:378}{}\section* {$\rm ==Addition$}

$\rm
[==Addition
\stackrel{
proof
}{\rightarrow}
\lambda 
\mathsf {c}
.
\lambda 
\mathsf{x}
.
{\cal P}( 
\lceil ZFsub
\vdash 
\forall \underline{
\mathsf {m}}
\colon 
\forall \underline{(\epsilon)}
\colon 
\forall \underline{(fx)}
\colon 
\forall \underline{(fy)}
\colon 
\forall \underline{(fz)}
\colon R(\underline{(fx)}
)
 == R(\underline{(fy)}
)
\vdash \dot{\neg}\, 0
 <= \underline{(\epsilon)}
\Rightarrow \dot{\neg}\, \dot{\neg}\, 0
 = \underline{(\epsilon)}
\vdash 
\mathsf {c}
 _{Ex}
 <= \underline{
\mathsf {m}}
\vdash From==
\rhd R(\underline{(fx)}
)
 == R(\underline{(fy)}
)
\gg SF(\underline{(fx)}
,\underline{(fy)}
)
; FromSF
\rhd SF(\underline{(fx)}
,\underline{(fy)}
)
\rhd \dot{\neg}\, 0
 <= \underline{(\epsilon)}
\Rightarrow \dot{\neg}\, \dot{\neg}\, 0
 = \underline{(\epsilon)}
\gg 
\mathsf {c}
 _{Ex}
 <= \underline{
\mathsf {m}}
\Rightarrow \dot{\neg}\, if(0
 <= \underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
+-\underline{(fy)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
,\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
+-\underline{(fy)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
,-\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
+-\underline{(fy)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
)
 <= \underline{(\epsilon)}
\Rightarrow \dot{\neg}\, \dot{\neg}\, if(0
 <= \underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
+-\underline{(fy)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
,\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
+-\underline{(fy)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
,-\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
+-\underline{(fy)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
)
 = \underline{(\epsilon)}
; MP
\rhd 
\mathsf {c}
 _{Ex}
 <= \underline{
\mathsf {m}}
\Rightarrow \dot{\neg}\, if(0
 <= \underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
+-\underline{(fy)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
,\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
+-\underline{(fy)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
,-\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
+-\underline{(fy)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
)
 <= \underline{(\epsilon)}
\Rightarrow \dot{\neg}\, \dot{\neg}\, if(0
 <= \underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
+-\underline{(fy)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
,\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
+-\underline{(fy)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
,-\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
+-\underline{(fy)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
)
 = \underline{(\epsilon)}
\rhd 
\mathsf {c}
 _{Ex}
 <= \underline{
\mathsf {m}}
\gg \dot{\neg}\, if(0
 <= \underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
+-\underline{(fy)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
,\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
+-\underline{(fy)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
,-\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
+-\underline{(fy)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
)
 <= \underline{(\epsilon)}
\Rightarrow \dot{\neg}\, \dot{\neg}\, if(0
 <= \underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
+-\underline{(fy)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
,\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
+-\underline{(fy)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
,-\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
+-\underline{(fy)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
)
 = \underline{(\epsilon)}
; insertMiddleTerm(Difference)
\gg \underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
+-\underline{(fy)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
 = \underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
+\underline{(fz)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
+-\underline{(fy)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
+\underline{(fz)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
; PlusF
\gg \underline{(fx)}
+_{f}\underline{(fz)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
 = \underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
+\underline{(fz)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
; PlusF
\gg \underline{(fy)}
+_{f}\underline{(fz)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
 = \underline{(fy)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
+\underline{(fz)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
; EqNegated
\rhd \underline{(fy)}
+_{f}\underline{(fz)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
 = \underline{(fy)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
+\underline{(fz)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
\gg -\underline{(fy)}
+_{f}\underline{(fz)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
 = -\underline{(fy)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
+\underline{(fz)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
; AddEquations
\rhd \underline{(fx)}
+_{f}\underline{(fz)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
 = \underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
+\underline{(fz)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
\rhd -\underline{(fy)}
+_{f}\underline{(fz)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
 = -\underline{(fy)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
+\underline{(fz)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
\gg \underline{(fx)}
+_{f}\underline{(fz)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
+-\underline{(fy)}
+_{f}\underline{(fz)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
 = \underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
+\underline{(fz)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
+-\underline{(fy)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
+\underline{(fz)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
; eqSymmetry
\rhd \underline{(fx)}
+_{f}\underline{(fz)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
+-\underline{(fy)}
+_{f}\underline{(fz)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
 = \underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
+\underline{(fz)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
+-\underline{(fy)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
+\underline{(fz)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
\gg \underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
+\underline{(fz)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
+-\underline{(fy)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
+\underline{(fz)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
 = \underline{(fx)}
+_{f}\underline{(fz)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
+-\underline{(fy)}
+_{f}\underline{(fz)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
; eqTransitivity
\rhd \underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
+-\underline{(fy)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
 = \underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
+\underline{(fz)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
+-\underline{(fy)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
+\underline{(fz)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
\rhd \underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
+\underline{(fz)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
+-\underline{(fy)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
+\underline{(fz)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
 = \underline{(fx)}
+_{f}\underline{(fz)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
+-\underline{(fy)}
+_{f}\underline{(fz)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
\gg \underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
+-\underline{(fy)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
 = \underline{(fx)}
+_{f}\underline{(fz)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
+-\underline{(fy)}
+_{f}\underline{(fz)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
; SameNumerical
\rhd \underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
+-\underline{(fy)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
 = \underline{(fx)}
+_{f}\underline{(fz)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
+-\underline{(fy)}
+_{f}\underline{(fz)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
\gg if(0
 <= \underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
+-\underline{(fy)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
,\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
+-\underline{(fy)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
,-\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
+-\underline{(fy)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
)
 = if(0
 <= \underline{(fx)}
+_{f}\underline{(fz)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
+-\underline{(fy)}
+_{f}\underline{(fz)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
,\underline{(fx)}
+_{f}\underline{(fz)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
+-\underline{(fy)}
+_{f}\underline{(fz)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
,-\underline{(fx)}
+_{f}\underline{(fz)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
+-\underline{(fy)}
+_{f}\underline{(fz)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
)
; SubLessLeft
\rhd if(0
 <= \underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
+-\underline{(fy)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
,\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
+-\underline{(fy)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
,-\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
+-\underline{(fy)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
)
 = if(0
 <= \underline{(fx)}
+_{f}\underline{(fz)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
+-\underline{(fy)}
+_{f}\underline{(fz)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
,\underline{(fx)}
+_{f}\underline{(fz)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
+-\underline{(fy)}
+_{f}\underline{(fz)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
,-\underline{(fx)}
+_{f}\underline{(fz)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
+-\underline{(fy)}
+_{f}\underline{(fz)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
)
\rhd \dot{\neg}\, if(0
 <= \underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
+-\underline{(fy)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
,\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
+-\underline{(fy)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
,-\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
+-\underline{(fy)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
)
 <= \underline{(\epsilon)}
\Rightarrow \dot{\neg}\, \dot{\neg}\, if(0
 <= \underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
+-\underline{(fy)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
,\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
+-\underline{(fy)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
,-\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
+-\underline{(fy)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
)
 = \underline{(\epsilon)}
\gg \dot{\neg}\, if(0
 <= \underline{(fx)}
+_{f}\underline{(fz)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
+-\underline{(fy)}
+_{f}\underline{(fz)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
,\underline{(fx)}
+_{f}\underline{(fz)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
+-\underline{(fy)}
+_{f}\underline{(fz)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
,-\underline{(fx)}
+_{f}\underline{(fz)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
+-\underline{(fy)}
+_{f}\underline{(fz)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
)
 <= \underline{(\epsilon)}
\Rightarrow \dot{\neg}\, \dot{\neg}\, if(0
 <= \underline{(fx)}
+_{f}\underline{(fz)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
+-\underline{(fy)}
+_{f}\underline{(fz)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
,\underline{(fx)}
+_{f}\underline{(fz)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
+-\underline{(fy)}
+_{f}\underline{(fz)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
,-\underline{(fx)}
+_{f}\underline{(fz)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
+-\underline{(fy)}
+_{f}\underline{(fz)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
)
 = \underline{(\epsilon)}
; 
\forall \underline{
\mathsf {m}}
\colon 
\forall \underline{(\epsilon)}
\colon 
\forall \underline{(fx)}
\colon 
\forall \underline{(fy)}
\colon 
\forall \underline{(fz)}
\colon Ded
\rhd 
\forall \underline{
\mathsf {m}}
\colon 
\forall \underline{(\epsilon)}
\colon 
\forall \underline{(fx)}
\colon 
\forall \underline{(fy)}
\colon 
\forall \underline{(fz)}
\colon R(\underline{(fx)}
)
 == R(\underline{(fy)}
)
\vdash \dot{\neg}\, 0
 <= \underline{(\epsilon)}
\Rightarrow \dot{\neg}\, \dot{\neg}\, 0
 = \underline{(\epsilon)}
\vdash 
\mathsf {c}
 _{Ex}
 <= \underline{
\mathsf {m}}
\vdash \dot{\neg}\, if(0
 <= \underline{(fx)}
+_{f}\underline{(fz)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
+-\underline{(fy)}
+_{f}\underline{(fz)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
,\underline{(fx)}
+_{f}\underline{(fz)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
+-\underline{(fy)}
+_{f}\underline{(fz)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
,-\underline{(fx)}
+_{f}\underline{(fz)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
+-\underline{(fy)}
+_{f}\underline{(fz)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
)
 <= \underline{(\epsilon)}
\Rightarrow \dot{\neg}\, \dot{\neg}\, if(0
 <= \underline{(fx)}
+_{f}\underline{(fz)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
+-\underline{(fy)}
+_{f}\underline{(fz)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
,\underline{(fx)}
+_{f}\underline{(fz)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
+-\underline{(fy)}
+_{f}\underline{(fz)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
,-\underline{(fx)}
+_{f}\underline{(fz)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
+-\underline{(fy)}
+_{f}\underline{(fz)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
)
 = \underline{(\epsilon)}
\gg R(\underline{(fx)}
)
 == R(\underline{(fy)}
)
\Rightarrow \dot{\neg}\, 0
 <= \underline{(\epsilon)}
\Rightarrow \dot{\neg}\, \dot{\neg}\, 0
 = \underline{(\epsilon)}
\Rightarrow 
\mathsf {c}
 _{Ex}
 <= \underline{
\mathsf {m}}
\Rightarrow \dot{\neg}\, if(0
 <= \underline{(fx)}
+_{f}\underline{(fz)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
+-\underline{(fy)}
+_{f}\underline{(fz)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
,\underline{(fx)}
+_{f}\underline{(fz)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
+-\underline{(fy)}
+_{f}\underline{(fz)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
,-\underline{(fx)}
+_{f}\underline{(fz)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
+-\underline{(fy)}
+_{f}\underline{(fz)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
)
 <= \underline{(\epsilon)}
\Rightarrow \dot{\neg}\, \dot{\neg}\, if(0
 <= \underline{(fx)}
+_{f}\underline{(fz)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
+-\underline{(fy)}
+_{f}\underline{(fz)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
,\underline{(fx)}
+_{f}\underline{(fz)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
+-\underline{(fy)}
+_{f}\underline{(fz)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
,-\underline{(fx)}
+_{f}\underline{(fz)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
+-\underline{(fy)}
+_{f}\underline{(fz)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
)
 = \underline{(\epsilon)}
; R(\underline{(fx)}
)
 == R(\underline{(fy)}
)
\vdash MP
\rhd R(\underline{(fx)}
)
 == R(\underline{(fy)}
)
\Rightarrow \dot{\neg}\, 0
 <= \underline{(\epsilon)}
\Rightarrow \dot{\neg}\, \dot{\neg}\, 0
 = \underline{(\epsilon)}
\Rightarrow 
\mathsf {c}
 _{Ex}
 <= \underline{
\mathsf {m}}
\Rightarrow \dot{\neg}\, if(0
 <= \underline{(fx)}
+_{f}\underline{(fz)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
+-\underline{(fy)}
+_{f}\underline{(fz)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
,\underline{(fx)}
+_{f}\underline{(fz)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
+-\underline{(fy)}
+_{f}\underline{(fz)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
,-\underline{(fx)}
+_{f}\underline{(fz)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
+-\underline{(fy)}
+_{f}\underline{(fz)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
)
 <= \underline{(\epsilon)}
\Rightarrow \dot{\neg}\, \dot{\neg}\, if(0
 <= \underline{(fx)}
+_{f}\underline{(fz)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
+-\underline{(fy)}
+_{f}\underline{(fz)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
,\underline{(fx)}
+_{f}\underline{(fz)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
+-\underline{(fy)}
+_{f}\underline{(fz)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
,-\underline{(fx)}
+_{f}\underline{(fz)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
+-\underline{(fy)}
+_{f}\underline{(fz)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
)
 = \underline{(\epsilon)}
\rhd R(\underline{(fx)}
)
 == R(\underline{(fy)}
)
\gg \dot{\neg}\, 0
 <= \underline{(\epsilon)}
\Rightarrow \dot{\neg}\, \dot{\neg}\, 0
 = \underline{(\epsilon)}
\Rightarrow 
\mathsf {c}
 _{Ex}
 <= \underline{
\mathsf {m}}
\Rightarrow \dot{\neg}\, if(0
 <= \underline{(fx)}
+_{f}\underline{(fz)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
+-\underline{(fy)}
+_{f}\underline{(fz)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
,\underline{(fx)}
+_{f}\underline{(fz)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
+-\underline{(fy)}
+_{f}\underline{(fz)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
,-\underline{(fx)}
+_{f}\underline{(fz)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
+-\underline{(fy)}
+_{f}\underline{(fz)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
)
 <= \underline{(\epsilon)}
\Rightarrow \dot{\neg}\, \dot{\neg}\, if(0
 <= \underline{(fx)}
+_{f}\underline{(fz)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
+-\underline{(fy)}
+_{f}\underline{(fz)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
,\underline{(fx)}
+_{f}\underline{(fz)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
+-\underline{(fy)}
+_{f}\underline{(fz)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
,-\underline{(fx)}
+_{f}\underline{(fz)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
+-\underline{(fy)}
+_{f}\underline{(fz)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
)
 = \underline{(\epsilon)}
; ToSF
\rhd \dot{\neg}\, 0
 <= \underline{(\epsilon)}
\Rightarrow \dot{\neg}\, \dot{\neg}\, 0
 = \underline{(\epsilon)}
\Rightarrow 
\mathsf {c}
 _{Ex}
 <= \underline{
\mathsf {m}}
\Rightarrow \dot{\neg}\, if(0
 <= \underline{(fx)}
+_{f}\underline{(fz)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
+-\underline{(fy)}
+_{f}\underline{(fz)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
,\underline{(fx)}
+_{f}\underline{(fz)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
+-\underline{(fy)}
+_{f}\underline{(fz)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
,-\underline{(fx)}
+_{f}\underline{(fz)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
+-\underline{(fy)}
+_{f}\underline{(fz)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
)
 <= \underline{(\epsilon)}
\Rightarrow \dot{\neg}\, \dot{\neg}\, if(0
 <= \underline{(fx)}
+_{f}\underline{(fz)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
+-\underline{(fy)}
+_{f}\underline{(fz)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
,\underline{(fx)}
+_{f}\underline{(fz)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
+-\underline{(fy)}
+_{f}\underline{(fz)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
,-\underline{(fx)}
+_{f}\underline{(fz)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
+-\underline{(fy)}
+_{f}\underline{(fz)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
)
 = \underline{(\epsilon)}
\gg SF(\underline{(fx)}
+_{f}\underline{(fz)}
,\underline{(fy)}
+_{f}\underline{(fz)}
)
; To==
\rhd SF(\underline{(fx)}
+_{f}\underline{(fz)}
,\underline{(fy)}
+_{f}\underline{(fz)}
)
\gg R(\underline{(fx)}
+_{f}\underline{(fz)}
)
 == R(\underline{(fy)}
+_{f}\underline{(fz)}
)
; PlusR
\gg R((fx)
+_{f}(fy)
)
 == R(\underline{(fx)}
+_{f}\underline{(fz)}
)
; PlusR
\gg R((fx)
+_{f}(fy)
)
 == R(\underline{(fy)}
+_{f}\underline{(fz)}
)
; ==\!{}Symmetry
\rhd R((fx)
+_{f}(fy)
)
 == R(\underline{(fy)}
+_{f}\underline{(fz)}
)
\gg R(\underline{(fy)}
+_{f}\underline{(fz)}
)
 == R((fx)
+_{f}(fy)
)
; \!{}==\!{}Transitivity
\rhd R((fx)
+_{f}(fy)
)
 == R(\underline{(fx)}
+_{f}\underline{(fz)}
)
\rhd R(\underline{(fx)}
+_{f}\underline{(fz)}
)
 == R(\underline{(fy)}
+_{f}\underline{(fz)}
)
\gg R((fx)
+_{f}(fy)
)
 == R(\underline{(fy)}
+_{f}\underline{(fz)}
)
; \!{}==\!{}Transitivity
\rhd R((fx)
+_{f}(fy)
)
 == R(\underline{(fy)}
+_{f}\underline{(fz)}
)
\rhd R(\underline{(fy)}
+_{f}\underline{(fz)}
)
 == R((fx)
+_{f}(fy)
)
\gg R((fx)
+_{f}(fy)
)
 == R((fx)
+_{f}(fy)
)
\rceil 
, 
p_0
, 
\mathsf {c}
)
]$

$\rm
[==Addition
\stackrel{
stmt
}{\rightarrow}ZFsub
\vdash 
\forall \underline{
\mathsf {m}}
\colon 
\forall \underline{(\epsilon)}
\colon 
\forall \underline{(fx)}
\colon 
\forall \underline{(fy)}
\colon 
\forall \underline{(fz)}
\colon R(\underline{(fx)}
)
 == R(\underline{(fy)}
)
\vdash R((fx)
+_{f}(fy)
)
 == R((fx)
+_{f}(fy)
)
]$

$\rm
[==Addition
\stackrel{
\mathrm{tex}
}{\rightarrow}
\mbox{``}
{=}
{=}Addition
\mbox{''}
]$

$\rm
[==Addition
\stackrel{
\mathrm{pyk}
}{\rightarrow}
\mbox{``}lemma
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}
{=}
{=}Addition
\mbox{''}
]$

\hypertarget {url:1808490583581903168404721082347638465545342357588912671848929942716323841:379}{}\section* {$\rm ==AdditionLeft$}

$\rm
[==AdditionLeft
\stackrel{
proof
}{\rightarrow}
\lambda 
\mathsf {c}
.
\lambda 
\mathsf{x}
.
{\cal P}( 
\lceil ZFsub
\vdash 
\forall \underline{(fx)}
\colon 
\forall \underline{(fy)}
\colon 
\forall \underline{(fz)}
\colon R(\underline{(fx)}
)
 == R(\underline{(fy)}
)
\vdash ==Addition
\rhd R(\underline{(fx)}
)
 == R(\underline{(fy)}
)
\gg R((fx)
+_{f}(fy)
)
 == R((fx)
+_{f}(fy)
)
; PlusCommutativity(R)
\gg R((fx)
+_{f}(fy)
)
 == R((fx)
+_{f}(fy)
)
; PlusCommutativity(R)
\gg R((fx)
+_{f}(fy)
)
 == R((fx)
+_{f}(fy)
)
; \!{}==\!{}Transitivity
\rhd R((fx)
+_{f}(fy)
)
 == R((fx)
+_{f}(fy)
)
\rhd R((fx)
+_{f}(fy)
)
 == R((fx)
+_{f}(fy)
)
\gg R((fx)
+_{f}(fy)
)
 == R((fx)
+_{f}(fy)
)
; \!{}==\!{}Transitivity
\rhd R((fx)
+_{f}(fy)
)
 == R((fx)
+_{f}(fy)
)
\rhd R((fx)
+_{f}(fy)
)
 == R((fx)
+_{f}(fy)
)
\gg R((fx)
+_{f}(fy)
)
 == R((fx)
+_{f}(fy)
)
\rceil 
, 
p_0
, 
\mathsf {c}
)
]$

$\rm
[==AdditionLeft
\stackrel{
stmt
}{\rightarrow}ZFsub
\vdash 
\forall \underline{(fx)}
\colon 
\forall \underline{(fy)}
\colon 
\forall \underline{(fz)}
\colon R(\underline{(fx)}
)
 == R(\underline{(fy)}
)
\vdash R((fx)
+_{f}(fy)
)
 == R((fx)
+_{f}(fy)
)
]$

$\rm
[==AdditionLeft
\stackrel{
\mathrm{tex}
}{\rightarrow}
\mbox{``}
{=}
{=}AdditionLeft
\mbox{''}
]$

$\rm
[==AdditionLeft
\stackrel{
\mathrm{pyk}
}{\rightarrow}
\mbox{``}lemma
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}
{=}
{=}AdditionLeft
\mbox{''}
]$

\hypertarget {url:1808490583581903168404721082347638465545342357588912671848929942716323841:380}{}\section* {$\rm <<Addition$}

$\rm
[<<Addition
\stackrel{
proof
}{\rightarrow}
\lambda 
\mathsf {c}
.
\lambda 
\mathsf{x}
.
{\cal P}( 
\lceil ZFsub
\vdash 
\forall \underline{
\mathsf {m}}
\colon 
\forall \underline{(\epsilon)}
\colon 
\forall \underline{(fx)}
\colon 
\forall \underline{(fy)}
\colon 
\forall \underline{(fz)}
\colon R(\underline{(fx)}
)
 << R(\underline{(fy)}
)
\vdash \dot{\neg}\, 0
 <= \underline{(\epsilon)}
\Rightarrow \dot{\neg}\, \dot{\neg}\, 0
 = \underline{(\epsilon)}
\vdash 
\mathsf {c}
 _{Ex}
 <= \underline{
\mathsf {m}}
\vdash From<<
\rhd R(\underline{(fx)}
)
 << R(\underline{(fy)}
)
\gg \underline{(fx)}
<_{f}\underline{(fy)}
; From<f
\rhd \underline{(fx)}
<_{f}\underline{(fy)}
\rhd \dot{\neg}\, 0
 <= \underline{(\epsilon)}
\Rightarrow \dot{\neg}\, \dot{\neg}\, 0
 = \underline{(\epsilon)}
\gg 
\mathsf {c}
 _{Ex}
 <= \underline{
\mathsf {m}}
\Rightarrow \underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
 <= \underline{(fy)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
+-\underline{(\epsilon)}
; MP
\rhd 
\mathsf {c}
 _{Ex}
 <= \underline{
\mathsf {m}}
\Rightarrow \underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
 <= \underline{(fy)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
+-\underline{(\epsilon)}
\rhd 
\mathsf {c}
 _{Ex}
 <= \underline{
\mathsf {m}}
\gg \underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
 <= \underline{(fy)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
+-\underline{(\epsilon)}
; leqAddition
\rhd \underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
 <= \underline{(fy)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
+-\underline{(\epsilon)}
\gg \underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
+\underline{(fz)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
 <= \underline{(fy)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
+-\underline{(\epsilon)}
+\underline{(fz)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
; PlusF(Sym)
\gg \underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
+\underline{(fz)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
 = \underline{(fx)}
+_{f}\underline{(fz)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
; subLeqLeft
\rhd \underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
+\underline{(fz)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
 = \underline{(fx)}
+_{f}\underline{(fz)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
\rhd \underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
+\underline{(fz)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
 <= \underline{(fy)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
+-\underline{(\epsilon)}
+\underline{(fz)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
\gg \underline{(fx)}
+_{f}\underline{(fz)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
 <= \underline{(fy)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
+-\underline{(\epsilon)}
+\underline{(fz)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
; Three2threeTerms
\gg \underline{(fy)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
+-\underline{(\epsilon)}
+\underline{(fz)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
 = \underline{(fy)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
+\underline{(fz)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
+-\underline{(\epsilon)}
; PlusF(Sym)
\gg \underline{(fy)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
+\underline{(fz)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
 = \underline{(fy)}
+_{f}\underline{(fz)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
; eqAddition
\rhd \underline{(fy)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
+\underline{(fz)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
 = \underline{(fy)}
+_{f}\underline{(fz)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
\gg \underline{(fy)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
+\underline{(fz)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
+-\underline{(\epsilon)}
 = \underline{(fy)}
+_{f}\underline{(fz)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
+-\underline{(\epsilon)}
; eqTransitivity
\rhd \underline{(fy)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
+-\underline{(\epsilon)}
+\underline{(fz)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
 = \underline{(fy)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
+\underline{(fz)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
+-\underline{(\epsilon)}
\rhd \underline{(fy)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
+\underline{(fz)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
+-\underline{(\epsilon)}
 = \underline{(fy)}
+_{f}\underline{(fz)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
+-\underline{(\epsilon)}
\gg \underline{(fy)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
+-\underline{(\epsilon)}
+\underline{(fz)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
 = \underline{(fy)}
+_{f}\underline{(fz)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
+-\underline{(\epsilon)}
; subLeqRight
\rhd \underline{(fy)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
+-\underline{(\epsilon)}
+\underline{(fz)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
 = \underline{(fy)}
+_{f}\underline{(fz)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
+-\underline{(\epsilon)}
\rhd \underline{(fx)}
+_{f}\underline{(fz)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
 <= \underline{(fy)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
+-\underline{(\epsilon)}
+\underline{(fz)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
\gg \underline{(fx)}
+_{f}\underline{(fz)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
 <= \underline{(fy)}
+_{f}\underline{(fz)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
+-\underline{(\epsilon)}
; 
\forall \underline{
\mathsf {m}}
\colon 
\forall \underline{(\epsilon)}
\colon 
\forall \underline{(fx)}
\colon 
\forall \underline{(fy)}
\colon 
\forall \underline{(fz)}
\colon Ded
\rhd 
\forall \underline{
\mathsf {m}}
\colon 
\forall \underline{(\epsilon)}
\colon 
\forall \underline{(fx)}
\colon 
\forall \underline{(fy)}
\colon 
\forall \underline{(fz)}
\colon R(\underline{(fx)}
)
 << R(\underline{(fy)}
)
\vdash \dot{\neg}\, 0
 <= \underline{(\epsilon)}
\Rightarrow \dot{\neg}\, \dot{\neg}\, 0
 = \underline{(\epsilon)}
\vdash 
\mathsf {c}
 _{Ex}
 <= \underline{
\mathsf {m}}
\vdash \underline{(fx)}
+_{f}\underline{(fz)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
 <= \underline{(fy)}
+_{f}\underline{(fz)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
+-\underline{(\epsilon)}
\gg R(\underline{(fx)}
)
 << R(\underline{(fy)}
)
\Rightarrow \dot{\neg}\, 0
 <= \underline{(\epsilon)}
\Rightarrow \dot{\neg}\, \dot{\neg}\, 0
 = \underline{(\epsilon)}
\Rightarrow 
\mathsf {c}
 _{Ex}
 <= \underline{
\mathsf {m}}
\Rightarrow \underline{(fx)}
+_{f}\underline{(fz)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
 <= \underline{(fy)}
+_{f}\underline{(fz)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
+-\underline{(\epsilon)}
; R(\underline{(fx)}
)
 << R(\underline{(fy)}
)
\vdash MP
\rhd R(\underline{(fx)}
)
 << R(\underline{(fy)}
)
\Rightarrow \dot{\neg}\, 0
 <= \underline{(\epsilon)}
\Rightarrow \dot{\neg}\, \dot{\neg}\, 0
 = \underline{(\epsilon)}
\Rightarrow 
\mathsf {c}
 _{Ex}
 <= \underline{
\mathsf {m}}
\Rightarrow \underline{(fx)}
+_{f}\underline{(fz)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
 <= \underline{(fy)}
+_{f}\underline{(fz)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
+-\underline{(\epsilon)}
\rhd R(\underline{(fx)}
)
 << R(\underline{(fy)}
)
\gg \dot{\neg}\, 0
 <= \underline{(\epsilon)}
\Rightarrow \dot{\neg}\, \dot{\neg}\, 0
 = \underline{(\epsilon)}
\Rightarrow 
\mathsf {c}
 _{Ex}
 <= \underline{
\mathsf {m}}
\Rightarrow \underline{(fx)}
+_{f}\underline{(fz)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
 <= \underline{(fy)}
+_{f}\underline{(fz)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
+-\underline{(\epsilon)}
; To<f
\rhd \dot{\neg}\, 0
 <= \underline{(\epsilon)}
\Rightarrow \dot{\neg}\, \dot{\neg}\, 0
 = \underline{(\epsilon)}
\Rightarrow 
\mathsf {c}
 _{Ex}
 <= \underline{
\mathsf {m}}
\Rightarrow \underline{(fx)}
+_{f}\underline{(fz)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
 <= \underline{(fy)}
+_{f}\underline{(fz)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
+-\underline{(\epsilon)}
\gg \underline{(fx)}
+_{f}\underline{(fz)}
<_{f}\underline{(fy)}
+_{f}\underline{(fz)}
; To<<
\rhd \underline{(fx)}
+_{f}\underline{(fz)}
<_{f}\underline{(fy)}
+_{f}\underline{(fz)}
\gg R(\underline{(fx)}
+_{f}\underline{(fz)}
)
 << R(\underline{(fy)}
+_{f}\underline{(fz)}
)
; PlusR(Sym)
\gg R(\underline{(fx)}
+_{f}\underline{(fz)}
)
 == R((fx)
+_{f}(fy)
)
; PlusR(Sym)
\gg R(\underline{(fy)}
+_{f}\underline{(fz)}
)
 == R((fx)
+_{f}(fy)
)
; SubLessLeft(R)
\rhd R(\underline{(fx)}
+_{f}\underline{(fz)}
)
 == R((fx)
+_{f}(fy)
)
\rhd R(\underline{(fx)}
+_{f}\underline{(fz)}
)
 << R(\underline{(fy)}
+_{f}\underline{(fz)}
)
\gg R((fx)
+_{f}(fy)
)
 << R(\underline{(fy)}
+_{f}\underline{(fz)}
)
; SubLessRight(R)
\rhd R(\underline{(fy)}
+_{f}\underline{(fz)}
)
 == R((fx)
+_{f}(fy)
)
\rhd R((fx)
+_{f}(fy)
)
 << R(\underline{(fy)}
+_{f}\underline{(fz)}
)
\gg R((fx)
+_{f}(fy)
)
 << R((fx)
+_{f}(fy)
)
\rceil 
, 
p_0
, 
\mathsf {c}
)
]$

$\rm
[<<Addition
\stackrel{
stmt
}{\rightarrow}ZFsub
\vdash 
\forall \underline{
\mathsf {m}}
\colon 
\forall \underline{(\epsilon)}
\colon 
\forall \underline{(fx)}
\colon 
\forall \underline{(fy)}
\colon 
\forall \underline{(fz)}
\colon R(\underline{(fx)}
)
 << R(\underline{(fy)}
)
\vdash R((fx)
+_{f}(fy)
)
 << R((fx)
+_{f}(fy)
)
]$

$\rm
[<<Addition
\stackrel{
\mathrm{tex}
}{\rightarrow}
\mbox{``}
{<}
{<}Addition
\mbox{''}
]$

$\rm
[<<Addition
\stackrel{
\mathrm{pyk}
}{\rightarrow}
\mbox{``}lemma
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}
{<}
{<}Addition
\mbox{''}
]$

\hypertarget {url:1808490583581903168404721082347638465545342357588912671848929942716323841:381}{}\section* {$\rm <<==Addition$}

$\rm
[<<==Addition
\stackrel{
proof
}{\rightarrow}
\lambda 
\mathsf {c}
.
\lambda 
\mathsf{x}
.
{\cal P}( 
\lceil ZFsub
\vdash 
\forall \underline{(fx)}
\colon 
\forall \underline{(fy)}
\colon 
\forall \underline{(fz)}
\colon R(\underline{(fx)}
)
 << R(\underline{(fy)}
)
\vdash <<Addition
\rhd R(\underline{(fx)}
)
 << R(\underline{(fy)}
)
\gg R((fx)
+_{f}(fy)
)
 << R((fx)
+_{f}(fy)
)
; LessLeq(R)
\rhd R((fx)
+_{f}(fy)
)
 << R((fx)
+_{f}(fy)
)
\gg \dot{\neg}\, R((fx)
+_{f}(fy)
)
 << R((fx)
+_{f}(fy)
)
\Rightarrow R((fx)
+_{f}(fy)
)
 == R((fx)
+_{f}(fy)
)
; 
\forall \underline{(fx)}
\colon 
\forall \underline{(fy)}
\colon 
\forall \underline{(fz)}
\colon R(\underline{(fx)}
)
 == R(\underline{(fy)}
)
\vdash ==Addition
\rhd R(\underline{(fx)}
)
 == R(\underline{(fy)}
)
\gg R((fx)
+_{f}(fy)
)
 == R((fx)
+_{f}(fy)
)
; eqLeq(R)
\rhd R((fx)
+_{f}(fy)
)
 == R((fx)
+_{f}(fy)
)
\gg \dot{\neg}\, R((fx)
+_{f}(fy)
)
 << R((fx)
+_{f}(fy)
)
\Rightarrow R((fx)
+_{f}(fy)
)
 == R((fx)
+_{f}(fy)
)
; 
\forall \underline{(fx)}
\colon 
\forall \underline{(fy)}
\colon 
\forall \underline{(fz)}
\colon Ded
\rhd 
\forall \underline{(fx)}
\colon 
\forall \underline{(fy)}
\colon 
\forall \underline{(fz)}
\colon R(\underline{(fx)}
)
 << R(\underline{(fy)}
)
\vdash \dot{\neg}\, R((fx)
+_{f}(fy)
)
 << R((fx)
+_{f}(fy)
)
\Rightarrow R((fx)
+_{f}(fy)
)
 == R((fx)
+_{f}(fy)
)
\gg R(\underline{(fx)}
)
 << R(\underline{(fy)}
)
\Rightarrow \dot{\neg}\, R((fx)
+_{f}(fy)
)
 << R((fx)
+_{f}(fy)
)
\Rightarrow R((fx)
+_{f}(fy)
)
 == R((fx)
+_{f}(fy)
)
; Ded
\rhd 
\forall \underline{(fx)}
\colon 
\forall \underline{(fy)}
\colon 
\forall \underline{(fz)}
\colon R(\underline{(fx)}
)
 == R(\underline{(fy)}
)
\vdash \dot{\neg}\, R((fx)
+_{f}(fy)
)
 << R((fx)
+_{f}(fy)
)
\Rightarrow R((fx)
+_{f}(fy)
)
 == R((fx)
+_{f}(fy)
)
\gg R(\underline{(fx)}
)
 == R(\underline{(fy)}
)
\Rightarrow \dot{\neg}\, R((fx)
+_{f}(fy)
)
 << R((fx)
+_{f}(fy)
)
\Rightarrow R((fx)
+_{f}(fy)
)
 == R((fx)
+_{f}(fy)
)
; \dot{\neg}\, R(\underline{(fx)}
)
 << R(\underline{(fy)}
)
\Rightarrow R(\underline{(fx)}
)
 == R(\underline{(fy)}
)
\vdash Repetition
\rhd \dot{\neg}\, R(\underline{(fx)}
)
 << R(\underline{(fy)}
)
\Rightarrow R(\underline{(fx)}
)
 == R(\underline{(fy)}
)
\gg \dot{\neg}\, R(\underline{(fx)}
)
 << R(\underline{(fy)}
)
\Rightarrow R(\underline{(fx)}
)
 == R(\underline{(fy)}
)
; FromDisjuncts
\rhd \dot{\neg}\, R(\underline{(fx)}
)
 << R(\underline{(fy)}
)
\Rightarrow R(\underline{(fx)}
)
 == R(\underline{(fy)}
)
\rhd R(\underline{(fx)}
)
 << R(\underline{(fy)}
)
\Rightarrow \dot{\neg}\, R((fx)
+_{f}(fy)
)
 << R((fx)
+_{f}(fy)
)
\Rightarrow R((fx)
+_{f}(fy)
)
 == R((fx)
+_{f}(fy)
)
\rhd R(\underline{(fx)}
)
 == R(\underline{(fy)}
)
\Rightarrow \dot{\neg}\, R((fx)
+_{f}(fy)
)
 << R((fx)
+_{f}(fy)
)
\Rightarrow R((fx)
+_{f}(fy)
)
 == R((fx)
+_{f}(fy)
)
\gg \dot{\neg}\, R((fx)
+_{f}(fy)
)
 << R((fx)
+_{f}(fy)
)
\Rightarrow R((fx)
+_{f}(fy)
)
 == R((fx)
+_{f}(fy)
)
\rceil 
, 
p_0
, 
\mathsf {c}
)
]$

$\rm
[<<==Addition
\stackrel{
stmt
}{\rightarrow}ZFsub
\vdash 
\forall \underline{(fx)}
\colon 
\forall \underline{(fy)}
\colon 
\forall \underline{(fz)}
\colon \dot{\neg}\, R(\underline{(fx)}
)
 << R(\underline{(fy)}
)
\Rightarrow R(\underline{(fx)}
)
 == R(\underline{(fy)}
)
\vdash \dot{\neg}\, R((fx)
+_{f}(fy)
)
 << R((fx)
+_{f}(fy)
)
\Rightarrow R((fx)
+_{f}(fy)
)
 == R((fx)
+_{f}(fy)
)
]$

$\rm
[<<==Addition
\stackrel{
\mathrm{tex}
}{\rightarrow}
\mbox{``}
{<}
{<}
{=}
{=}Addition
\mbox{''}
]$

$\rm
[<<==Addition
\stackrel{
\mathrm{pyk}
}{\rightarrow}
\mbox{``}lemma
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}
{<}
{<}
{=}
{=}Addition
\mbox{''}
]$

\hypertarget {url:1808490583581903168404721082347638465545342357588912671848929942716323841:382}{}\section* {$\rm PlusAssociativity(F)$}

$\rm
[PlusAssociativity(F)
\stackrel{
proof
}{\rightarrow}
\lambda 
\mathsf {c}
.
\lambda 
\mathsf{x}
.
{\cal P}( 
\lceil ZFsub
\vdash 
\forall \underline{
\mathsf {m}}
\colon 
\forall \underline{(fx)}
\colon 
\forall \underline{(fy)}
\colon 
\forall \underline{(fz)}
\colon PlusF
\gg \underline{(fx)}
+_{f}\underline{(fy)}
+_{f}\underline{(fz)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
 = \underline{(fx)}
+_{f}\underline{(fy)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
+\underline{(fz)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
; PlusF
\gg \underline{(fx)}
+_{f}\underline{(fy)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
 = \underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
+\underline{(fy)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
; eqAddition
\rhd \underline{(fx)}
+_{f}\underline{(fy)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
 = \underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
+\underline{(fy)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
\gg \underline{(fx)}
+_{f}\underline{(fy)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
+\underline{(fz)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
 = \underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
+\underline{(fy)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
+\underline{(fz)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
; plusAssociativity
\gg \underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
+\underline{(fy)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
+\underline{(fz)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
 = \underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
+\underline{(fy)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
+\underline{(fz)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
; PlusF(Sym)
\gg \underline{(fy)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
+\underline{(fz)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
 = \underline{(fy)}
+_{f}\underline{(fz)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
; 
\mbox{lemma eqAdditionLeft}
\rhd \underline{(fy)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
+\underline{(fz)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
 = \underline{(fy)}
+_{f}\underline{(fz)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
\gg \underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
+\underline{(fy)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
+\underline{(fz)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
 = \underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
+\underline{(fy)}
+_{f}\underline{(fz)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
; PlusF(Sym)
\gg \underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
+\underline{(fy)}
+_{f}\underline{(fz)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
 = \underline{(fx)}
+_{f}\underline{(fy)}
+_{f}\underline{(fz)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
; eqTransitivity6
\rhd \underline{(fx)}
+_{f}\underline{(fy)}
+_{f}\underline{(fz)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
 = \underline{(fx)}
+_{f}\underline{(fy)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
+\underline{(fz)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
\rhd \underline{(fx)}
+_{f}\underline{(fy)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
+\underline{(fz)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
 = \underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
+\underline{(fy)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
+\underline{(fz)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
\rhd \underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
+\underline{(fy)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
+\underline{(fz)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
 = \underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
+\underline{(fy)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
+\underline{(fz)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
\rhd \underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
+\underline{(fy)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
+\underline{(fz)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
 = \underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
+\underline{(fy)}
+_{f}\underline{(fz)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
\rhd \underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
+\underline{(fy)}
+_{f}\underline{(fz)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
 = \underline{(fx)}
+_{f}\underline{(fy)}
+_{f}\underline{(fz)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
\gg \underline{(fx)}
+_{f}\underline{(fy)}
+_{f}\underline{(fz)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
 = \underline{(fx)}
+_{f}\underline{(fy)}
+_{f}\underline{(fz)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
; To=f
\rhd \underline{(fx)}
+_{f}\underline{(fy)}
+_{f}\underline{(fz)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
 = \underline{(fx)}
+_{f}\underline{(fy)}
+_{f}\underline{(fz)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
\gg \underline{(fx)}
+_{f}\underline{(fy)}
+_{f}\underline{(fz)}
=_{f}\underline{(fx)}
+_{f}\underline{(fy)}
+_{f}\underline{(fz)}
\rceil 
, 
p_0
, 
\mathsf {c}
)
]$

$\rm
[PlusAssociativity(F)
\stackrel{
stmt
}{\rightarrow}ZFsub
\vdash 
\forall \underline{
\mathsf {m}}
\colon 
\forall \underline{(fx)}
\colon 
\forall \underline{(fy)}
\colon 
\forall \underline{(fz)}
\colon \underline{(fx)}
+_{f}\underline{(fy)}
+_{f}\underline{(fz)}
=_{f}\underline{(fx)}
+_{f}\underline{(fy)}
+_{f}\underline{(fz)}
]$

$\rm
[PlusAssociativity(F)
\stackrel{
\mathrm{tex}
}{\rightarrow}
\mbox{``}PlusAssociativity(F)
\mbox{''}
]$

$\rm
[PlusAssociativity(F)
\stackrel{
\mathrm{pyk}
}{\rightarrow}
\mbox{``}lemma
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}plusAssociativity(F)
\mbox{''}
]$

\hypertarget {url:1808490583581903168404721082347638465545342357588912671848929942716323841:383}{}\section* {$\rm PlusAssociativity(R)$}

$\rm
[PlusAssociativity(R)
\stackrel{
proof
}{\rightarrow}
\lambda 
\mathsf {c}
.
\lambda 
\mathsf{x}
.
{\cal P}( 
\lceil ZFsub
\vdash 
\forall \underline{(fx)}
\colon 
\forall \underline{(fy)}
\colon 
\forall \underline{(fz)}
\colon PlusAssociativity(F)
\gg \underline{(fx)}
+_{f}\underline{(fy)}
+_{f}\underline{(fz)}
=_{f}\underline{(fx)}
+_{f}\underline{(fy)}
+_{f}\underline{(fz)}
; =fToSameF 
\rhd \underline{(fx)}
+_{f}\underline{(fy)}
+_{f}\underline{(fz)}
=_{f}\underline{(fx)}
+_{f}\underline{(fy)}
+_{f}\underline{(fz)}
\gg SF(\underline{(fx)}
+_{f}\underline{(fy)}
+_{f}\underline{(fz)}
,\underline{(fx)}
+_{f}\underline{(fy)}
+_{f}\underline{(fz)}
)
; f2R(Plus)
\rhd SF(\underline{(fx)}
+_{f}\underline{(fy)}
+_{f}\underline{(fz)}
,\underline{(fx)}
+_{f}\underline{(fy)}
+_{f}\underline{(fz)}
)
\gg R((fx)
+_{f}(fy)
)
 == R(\underline{(fx)}
+_{f}\underline{(fy)}
+_{f}\underline{(fz)}
)
; PlusR(Sym)
\gg R(\underline{(fx)}
+_{f}\underline{(fy)}
+_{f}\underline{(fz)}
)
 == R((fx)
+_{f}(fy)
)
; \!{}==\!{}Transitivity
\rhd R(\underline{(fx)}
+_{f}\underline{(fy)}
+_{f}\underline{(fz)}
)
 == R((fx)
+_{f}(fy)
)
\rhd R((fx)
+_{f}(fy)
)
 == R(\underline{(fx)}
+_{f}\underline{(fy)}
+_{f}\underline{(fz)}
)
\gg R(\underline{(fx)}
+_{f}\underline{(fy)}
+_{f}\underline{(fz)}
)
 == R(\underline{(fx)}
+_{f}\underline{(fy)}
+_{f}\underline{(fz)}
)
\rceil 
, 
p_0
, 
\mathsf {c}
)
]$

$\rm
[PlusAssociativity(R)
\stackrel{
stmt
}{\rightarrow}ZFsub
\vdash 
\forall \underline{(fx)}
\colon 
\forall \underline{(fy)}
\colon 
\forall \underline{(fz)}
\colon R(\underline{(fx)}
+_{f}\underline{(fy)}
+_{f}\underline{(fz)}
)
 == R(\underline{(fx)}
+_{f}\underline{(fy)}
+_{f}\underline{(fz)}
)
]$

$\rm
[PlusAssociativity(R)
\stackrel{
\mathrm{tex}
}{\rightarrow}
\mbox{``}PlusAssociativity(R)
\mbox{''}
]$

$\rm
[PlusAssociativity(R)
\stackrel{
\mathrm{pyk}
}{\rightarrow}
\mbox{``}lemma
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}plusAssociativity(R)
\mbox{''}
]$

\hypertarget {url:1808490583581903168404721082347638465545342357588912671848929942716323841:384}{}\section* {$\rm Negative(R)$}

$\rm
[Negative(R)
\stackrel{
proof
}{\rightarrow}
\lambda 
\mathsf {c}
.
\lambda 
\mathsf{x}
.
{\cal P}( 
\lceil ZFsub
\vdash 
\forall \underline{
\mathsf {m}}
\colon 
\forall \underline{(fx)}
\colon PlusF
\gg \underline{(fx)}
+_{f}-_{f}\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
 = \underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
+-_{f}\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
; MinusF
\gg -_{f}\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
 = -\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
; 
\mbox{lemma eqAdditionLeft}
\rhd -_{f}\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
 = -\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
\gg \underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
+-_{f}\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
 = \underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
+-\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
; Negative
\gg \underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
+-\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
 = 0
; 0f
\gg 0f
[\underline{
\mathsf {m}}
]
 = 0
; eqSymmetry
\rhd 0f
[\underline{
\mathsf {m}}
]
 = 0
\gg 0
 = 0f
[\underline{
\mathsf {m}}
]
; eqTransitivity5
\rhd \underline{(fx)}
+_{f}-_{f}\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
 = \underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
+-_{f}\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
\rhd \underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
+-_{f}\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
 = \underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
+-\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
\rhd \underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
+-\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
 = 0
\rhd 0
 = 0f
[\underline{
\mathsf {m}}
]
\gg \underline{(fx)}
+_{f}-_{f}\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
 = 0f
[\underline{
\mathsf {m}}
]
; To=f
\rhd \underline{(fx)}
+_{f}-_{f}\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
 = 0f
[\underline{
\mathsf {m}}
]
\gg \underline{(fx)}
+_{f}-_{f}\underline{(fx)}
=_{f}0f
; =fToSameF 
\rhd \underline{(fx)}
+_{f}-_{f}\underline{(fx)}
=_{f}0f
\gg SF(\underline{(fx)}
+_{f}-_{f}\underline{(fx)}
,0f
)
; f2R(Plus)
\rhd SF(\underline{(fx)}
+_{f}-_{f}\underline{(fx)}
,0f
)
\gg R((fx)
+_{f}(fy)
)
 == R(0f
)
; Repetition
\rhd R((fx)
+_{f}(fy)
)
 == R(0f
)
\gg R((fx)
+_{f}(fy)
)
 == R(0f
)
\rceil 
, 
p_0
, 
\mathsf {c}
)
]$

$\rm
[Negative(R)
\stackrel{
stmt
}{\rightarrow}ZFsub
\vdash 
\forall \underline{
\mathsf {m}}
\colon 
\forall \underline{(fx)}
\colon R((fx)
+_{f}(fy)
)
 == R(0f
)
]$

$\rm
[Negative(R)
\stackrel{
\mathrm{tex}
}{\rightarrow}
\mbox{``}Negative(R)
\mbox{''}
]$

$\rm
[Negative(R)
\stackrel{
\mathrm{pyk}
}{\rightarrow}
\mbox{``}lemma
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}negative(R)
\mbox{''}
]$

\hypertarget {url:1808490583581903168404721082347638465545342357588912671848929942716323841:385}{}\section* {$\rm PlusCommutativity(F)$}

$\rm
[PlusCommutativity(F)
\stackrel{
proof
}{\rightarrow}
\lambda 
\mathsf {c}
.
\lambda 
\mathsf{x}
.
{\cal P}( 
\lceil ZFsub
\vdash 
\forall \underline{
\mathsf {m}}
\colon 
\forall \underline{(fx)}
\colon 
\forall \underline{(fy)}
\colon PlusF
\gg \underline{(fx)}
+_{f}\underline{(fy)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
 = \underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
+\underline{(fy)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
; plusCommutativity
\gg \underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
+\underline{(fy)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
 = \underline{(fy)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
+\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
; PlusF(Sym)
\gg \underline{(fy)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
+\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
 = \underline{(fy)}
+_{f}\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
; eqTransitivity4
\rhd \underline{(fx)}
+_{f}\underline{(fy)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
 = \underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
+\underline{(fy)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
\rhd \underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
+\underline{(fy)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
 = \underline{(fy)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
+\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
\rhd \underline{(fy)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
+\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
 = \underline{(fy)}
+_{f}\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
\gg \underline{(fx)}
+_{f}\underline{(fy)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
 = \underline{(fy)}
+_{f}\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
; To=f
\rhd \underline{(fx)}
+_{f}\underline{(fy)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
 = \underline{(fy)}
+_{f}\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
\gg \underline{(fx)}
+_{f}\underline{(fy)}
=_{f}\underline{(fy)}
+_{f}\underline{(fx)}
\rceil 
, 
p_0
, 
\mathsf {c}
)
]$

$\rm
[PlusCommutativity(F)
\stackrel{
stmt
}{\rightarrow}ZFsub
\vdash 
\forall \underline{
\mathsf {m}}
\colon 
\forall \underline{(fx)}
\colon 
\forall \underline{(fy)}
\colon \underline{(fx)}
+_{f}\underline{(fy)}
=_{f}\underline{(fy)}
+_{f}\underline{(fx)}
]$

$\rm
[PlusCommutativity(F)
\stackrel{
\mathrm{tex}
}{\rightarrow}
\mbox{``}PlusCommutativity(F)
\mbox{''}
]$

$\rm
[PlusCommutativity(F)
\stackrel{
\mathrm{pyk}
}{\rightarrow}
\mbox{``}lemma
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}plusCommutativity(F)
\mbox{''}
]$

\hypertarget {url:1808490583581903168404721082347638465545342357588912671848929942716323841:386}{}\section* {$\rm PlusCommutativity(R)$}

$\rm
[PlusCommutativity(R)
\stackrel{
proof
}{\rightarrow}
\lambda 
\mathsf {c}
.
\lambda 
\mathsf{x}
.
{\cal P}( 
\lceil ZFsub
\vdash 
\forall \underline{(fx)}
\colon 
\forall \underline{(fy)}
\colon PlusCommutativity(F)
\gg \underline{(fx)}
+_{f}\underline{(fy)}
=_{f}\underline{(fy)}
+_{f}\underline{(fx)}
; =fToSameF 
\rhd \underline{(fx)}
+_{f}\underline{(fy)}
=_{f}\underline{(fy)}
+_{f}\underline{(fx)}
\gg SF(\underline{(fx)}
+_{f}\underline{(fy)}
,\underline{(fy)}
+_{f}\underline{(fx)}
)
; f2R(Plus)
\rhd SF(\underline{(fx)}
+_{f}\underline{(fy)}
,\underline{(fy)}
+_{f}\underline{(fx)}
)
\gg R((fx)
+_{f}(fy)
)
 == R(\underline{(fy)}
+_{f}\underline{(fx)}
)
; PlusR(Sym)
\gg R(\underline{(fy)}
+_{f}\underline{(fx)}
)
 == R((fx)
+_{f}(fy)
)
; \!{}==\!{}Transitivity
\rhd R((fx)
+_{f}(fy)
)
 == R(\underline{(fy)}
+_{f}\underline{(fx)}
)
\rhd R(\underline{(fy)}
+_{f}\underline{(fx)}
)
 == R((fx)
+_{f}(fy)
)
\gg R((fx)
+_{f}(fy)
)
 == R((fx)
+_{f}(fy)
)
\rceil 
, 
p_0
, 
\mathsf {c}
)
]$

$\rm
[PlusCommutativity(R)
\stackrel{
stmt
}{\rightarrow}ZFsub
\vdash 
\forall \underline{(fx)}
\colon 
\forall \underline{(fy)}
\colon R((fx)
+_{f}(fy)
)
 == R((fx)
+_{f}(fy)
)
]$

$\rm
[PlusCommutativity(R)
\stackrel{
\mathrm{tex}
}{\rightarrow}
\mbox{``}PlusCommutativity(R)
\mbox{''}
]$

$\rm
[PlusCommutativity(R)
\stackrel{
\mathrm{pyk}
}{\rightarrow}
\mbox{``}lemma
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}plusCommutativity(R)
\mbox{''}
]$

\hypertarget {url:1808490583581903168404721082347638465545342357588912671848929942716323841:387}{}\section* {$\rm TimesAssociativity(F)$}

$\rm
[TimesAssociativity(F)
\stackrel{
proof
}{\rightarrow}
\lambda 
\mathsf {c}
.
\lambda 
\mathsf{x}
.
{\cal P}( 
\lceil ZFsub
\vdash 
\forall \underline{
\mathsf {m}}
\colon 
\forall \underline{(fx)}
\colon 
\forall \underline{(fy)}
\colon 
\forall \underline{(fz)}
\colon TimesF
\gg \underline{(fx)}
*_{f}\underline{(fy)}
*_{f}\underline{(fz)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
 = \underline{(fx)}
*_{f}\underline{(fy)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
*\underline{(fz)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
; TimesF
\gg \underline{(fx)}
*_{f}\underline{(fy)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
 = \underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
*\underline{(fy)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
; eqMultiplication
\rhd \underline{(fx)}
*_{f}\underline{(fy)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
 = \underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
*\underline{(fy)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
\gg \underline{(fx)}
*_{f}\underline{(fy)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
*\underline{(fz)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
 = \underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
*\underline{(fy)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
*\underline{(fz)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
; timesAssociativity
\gg \underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
*\underline{(fy)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
*\underline{(fz)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
 = \underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
*\underline{(fy)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
*\underline{(fz)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
; TimesF(Sym)
\gg \underline{(fy)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
*\underline{(fz)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
 = \underline{(fy)}
*_{f}\underline{(fz)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
; EqMultiplicationLeft
\rhd \underline{(fy)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
*\underline{(fz)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
 = \underline{(fy)}
*_{f}\underline{(fz)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
\gg \underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
*\underline{(fy)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
*\underline{(fz)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
 = \underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
*\underline{(fy)}
*_{f}\underline{(fz)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
; TimesF(Sym)
\gg \underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
*\underline{(fy)}
*_{f}\underline{(fz)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
 = \underline{(fx)}
*_{f}\underline{(fy)}
*_{f}\underline{(fz)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
; eqTransitivity6
\rhd \underline{(fx)}
*_{f}\underline{(fy)}
*_{f}\underline{(fz)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
 = \underline{(fx)}
*_{f}\underline{(fy)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
*\underline{(fz)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
\rhd \underline{(fx)}
*_{f}\underline{(fy)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
*\underline{(fz)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
 = \underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
*\underline{(fy)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
*\underline{(fz)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
\rhd \underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
*\underline{(fy)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
*\underline{(fz)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
 = \underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
*\underline{(fy)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
*\underline{(fz)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
\rhd \underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
*\underline{(fy)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
*\underline{(fz)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
 = \underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
*\underline{(fy)}
*_{f}\underline{(fz)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
\rhd \underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
*\underline{(fy)}
*_{f}\underline{(fz)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
 = \underline{(fx)}
*_{f}\underline{(fy)}
*_{f}\underline{(fz)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
\gg \underline{(fx)}
*_{f}\underline{(fy)}
*_{f}\underline{(fz)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
 = \underline{(fx)}
*_{f}\underline{(fy)}
*_{f}\underline{(fz)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
; To=f
\rhd \underline{(fx)}
*_{f}\underline{(fy)}
*_{f}\underline{(fz)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
 = \underline{(fx)}
*_{f}\underline{(fy)}
*_{f}\underline{(fz)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
\gg \underline{(fx)}
*_{f}\underline{(fy)}
*_{f}\underline{(fz)}
=_{f}\underline{(fx)}
*_{f}\underline{(fy)}
*_{f}\underline{(fz)}
\rceil 
, 
p_0
, 
\mathsf {c}
)
]$

$\rm
[TimesAssociativity(F)
\stackrel{
stmt
}{\rightarrow}ZFsub
\vdash 
\forall \underline{
\mathsf {m}}
\colon 
\forall \underline{(fx)}
\colon 
\forall \underline{(fy)}
\colon 
\forall \underline{(fz)}
\colon \underline{(fx)}
*_{f}\underline{(fy)}
*_{f}\underline{(fz)}
=_{f}\underline{(fx)}
*_{f}\underline{(fy)}
*_{f}\underline{(fz)}
]$

$\rm
[TimesAssociativity(F)
\stackrel{
\mathrm{tex}
}{\rightarrow}
\mbox{``}TimesAssociativity(F)
\mbox{''}
]$

$\rm
[TimesAssociativity(F)
\stackrel{
\mathrm{pyk}
}{\rightarrow}
\mbox{``}lemma
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}timesAssociativity(F)
\mbox{''}
]$

\hypertarget {url:1808490583581903168404721082347638465545342357588912671848929942716323841:388}{}\section* {$\rm TimesAssociativity(R)$}

$\rm
[TimesAssociativity(R)
\stackrel{
proof
}{\rightarrow}
\lambda 
\mathsf {c}
.
\lambda 
\mathsf{x}
.
{\cal P}( 
\lceil ZFsub
\vdash 
\forall \underline{(fx)}
\colon 
\forall \underline{(fy)}
\colon 
\forall \underline{(fz)}
\colon TimesAssociativity(F)
\gg \underline{(fx)}
*_{f}\underline{(fy)}
*_{f}\underline{(fz)}
=_{f}\underline{(fx)}
*_{f}\underline{(fy)}
*_{f}\underline{(fz)}
; =fToSameF 
\rhd \underline{(fx)}
*_{f}\underline{(fy)}
*_{f}\underline{(fz)}
=_{f}\underline{(fx)}
*_{f}\underline{(fy)}
*_{f}\underline{(fz)}
\gg SF(\underline{(fx)}
*_{f}\underline{(fy)}
*_{f}\underline{(fz)}
,\underline{(fx)}
*_{f}\underline{(fy)}
*_{f}\underline{(fz)}
)
; f2R(Times)
\rhd SF(\underline{(fx)}
*_{f}\underline{(fy)}
*_{f}\underline{(fz)}
,\underline{(fx)}
*_{f}\underline{(fy)}
*_{f}\underline{(fz)}
)
\gg R(\underline{(fx)}
*_{f}\underline{(fy)}
)
**R(\underline{(fz)}
)
 == R(\underline{(fx)}
*_{f}\underline{(fy)}
*_{f}\underline{(fz)}
)
; TimesR(Sym)
\gg R(\underline{(fx)}
*_{f}\underline{(fy)}
*_{f}\underline{(fz)}
)
 == R(\underline{(fx)}
*_{f}\underline{(fy)}
)
**R(\underline{(fz)}
)
; \!{}==\!{}Transitivity
\rhd R(\underline{(fx)}
*_{f}\underline{(fy)}
*_{f}\underline{(fz)}
)
 == R(\underline{(fx)}
*_{f}\underline{(fy)}
)
**R(\underline{(fz)}
)
\rhd R(\underline{(fx)}
*_{f}\underline{(fy)}
)
**R(\underline{(fz)}
)
 == R(\underline{(fx)}
*_{f}\underline{(fy)}
*_{f}\underline{(fz)}
)
\gg R(\underline{(fx)}
*_{f}\underline{(fy)}
*_{f}\underline{(fz)}
)
 == R(\underline{(fx)}
*_{f}\underline{(fy)}
*_{f}\underline{(fz)}
)
\rceil 
, 
p_0
, 
\mathsf {c}
)
]$

$\rm
[TimesAssociativity(R)
\stackrel{
stmt
}{\rightarrow}ZFsub
\vdash 
\forall \underline{(fx)}
\colon 
\forall \underline{(fy)}
\colon 
\forall \underline{(fz)}
\colon R(\underline{(fx)}
*_{f}\underline{(fy)}
*_{f}\underline{(fz)}
)
 == R(\underline{(fx)}
*_{f}\underline{(fy)}
*_{f}\underline{(fz)}
)
]$

$\rm
[TimesAssociativity(R)
\stackrel{
\mathrm{tex}
}{\rightarrow}
\mbox{``}TimesAssociativity(R)
\mbox{''}
]$

$\rm
[TimesAssociativity(R)
\stackrel{
\mathrm{pyk}
}{\rightarrow}
\mbox{``}lemma
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}timesAssociativity(R)
\mbox{''}
]$

\hypertarget {url:1808490583581903168404721082347638465545342357588912671848929942716323841:389}{}\section* {$\rm Times1f$}

$\rm
[Times1f
\stackrel{
proof
}{\rightarrow}
\lambda 
\mathsf {c}
.
\lambda 
\mathsf{x}
.
{\cal P}( 
\lceil ZFsub
\vdash 
\forall \underline{
\mathsf {m}}
\colon 
\forall \underline{(fx)}
\colon TimesF
\gg \underline{(fx)}
*_{f}
\mbox{1f}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
 = \underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
*
\mbox{1f}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
; 1f
\gg 
\mbox{1f}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
 = 1
; EqMultiplicationLeft
\rhd 
\mbox{1f}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
 = 1
\gg \underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
*
\mbox{1f}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
 = \underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
*1
; times1
\gg \underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
*1
 = \underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
; eqTransitivity4
\rhd \underline{(fx)}
*_{f}
\mbox{1f}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
 = \underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
*
\mbox{1f}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
\rhd \underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
*
\mbox{1f}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
 = \underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
*1
\rhd \underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
*1
 = \underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
\gg \underline{(fx)}
*_{f}
\mbox{1f}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
 = \underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
; To=f
\rhd \underline{(fx)}
*_{f}
\mbox{1f}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
 = \underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
\gg \underline{(fx)}
*_{f}
\mbox{1f}
=_{f}\underline{(fx)}
\rceil 
, 
p_0
, 
\mathsf {c}
)
]$

$\rm
[Times1f
\stackrel{
stmt
}{\rightarrow}ZFsub
\vdash 
\forall \underline{
\mathsf {m}}
\colon 
\forall \underline{(fx)}
\colon \underline{(fx)}
*_{f}
\mbox{1f}
=_{f}\underline{(fx)}
]$

$\rm
[Times1f
\stackrel{
\mathrm{tex}
}{\rightarrow}
\mbox{``}Times1f
\mbox{''}
]$

$\rm
[Times1f
\stackrel{
\mathrm{pyk}
}{\rightarrow}
\mbox{``}lemma
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}times1f
\mbox{''}
]$

\hypertarget {url:1808490583581903168404721082347638465545342357588912671848929942716323841:390}{}\section* {$\rm Times01$}

$\rm
[Times01
\stackrel{
proof
}{\rightarrow}
\lambda 
\mathsf {c}
.
\lambda 
\mathsf{x}
.
{\cal P}( 
\lceil ZFsub
\vdash 
\forall \underline{(fx)}
\colon Times1f
\gg \underline{(fx)}
*_{f}
\mbox{1f}
=_{f}\underline{(fx)}
; =fToSameF 
\rhd \underline{(fx)}
*_{f}
\mbox{1f}
=_{f}\underline{(fx)}
\gg SF(\underline{(fx)}
*_{f}
\mbox{1f}
,\underline{(fx)}
)
; f2R(Times)
\rhd SF(\underline{(fx)}
*_{f}
\mbox{1f}
,\underline{(fx)}
)
\gg R(\underline{(fx)}
)
**R(
\mbox{1f}
)
 == R(\underline{(fx)}
)
; Repetition
\rhd R(\underline{(fx)}
)
**R(
\mbox{1f}
)
 == R(\underline{(fx)}
)
\gg R(\underline{(fx)}
)
**R(
\mbox{1f}
)
 == R(\underline{(fx)}
)
\rceil 
, 
p_0
, 
\mathsf {c}
)
]$

$\rm
[Times01
\stackrel{
stmt
}{\rightarrow}ZFsub
\vdash 
\forall \underline{(fx)}
\colon R(\underline{(fx)}
)
**R(
\mbox{1f}
)
 == R(\underline{(fx)}
)
]$

$\rm
[Times01
\stackrel{
\mathrm{tex}
}{\rightarrow}
\mbox{``}Times01
\mbox{''}
]$

$\rm
[Times01
\stackrel{
\mathrm{pyk}
}{\rightarrow}
\mbox{``}lemma
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}times01
\mbox{''}
]$

\hypertarget {url:1808490583581903168404721082347638465545342357588912671848929942716323841:391}{}\section* {$\rm TimesCommutativity(F)$}

$\rm
[TimesCommutativity(F)
\stackrel{
proof
}{\rightarrow}
\lambda 
\mathsf {c}
.
\lambda 
\mathsf{x}
.
{\cal P}( 
\lceil ZFsub
\vdash 
\forall \underline{
\mathsf {m}}
\colon 
\forall \underline{(fx)}
\colon 
\forall \underline{(fy)}
\colon TimesF
\gg \underline{(fx)}
*_{f}\underline{(fy)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
 = \underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
*\underline{(fy)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
; timesCommutativity
\gg \underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
*\underline{(fy)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
 = \underline{(fy)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
*\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
; TimesF(Sym)
\gg \underline{(fy)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
*\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
 = \underline{(fy)}
*_{f}\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
; eqTransitivity4
\rhd \underline{(fx)}
*_{f}\underline{(fy)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
 = \underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
*\underline{(fy)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
\rhd \underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
*\underline{(fy)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
 = \underline{(fy)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
*\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
\rhd \underline{(fy)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
*\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
 = \underline{(fy)}
*_{f}\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
\gg \underline{(fx)}
*_{f}\underline{(fy)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
 = \underline{(fy)}
*_{f}\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
; To=f
\rhd \underline{(fx)}
*_{f}\underline{(fy)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
 = \underline{(fy)}
*_{f}\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
\gg \underline{(fx)}
*_{f}\underline{(fy)}
=_{f}\underline{(fy)}
*_{f}\underline{(fx)}
\rceil 
, 
p_0
, 
\mathsf {c}
)
]$

$\rm
[TimesCommutativity(F)
\stackrel{
stmt
}{\rightarrow}ZFsub
\vdash 
\forall \underline{
\mathsf {m}}
\colon 
\forall \underline{(fx)}
\colon 
\forall \underline{(fy)}
\colon \underline{(fx)}
*_{f}\underline{(fy)}
=_{f}\underline{(fy)}
*_{f}\underline{(fx)}
]$

$\rm
[TimesCommutativity(F)
\stackrel{
\mathrm{tex}
}{\rightarrow}
\mbox{``}TimesCommutativity(F)
\mbox{''}
]$

$\rm
[TimesCommutativity(F)
\stackrel{
\mathrm{pyk}
}{\rightarrow}
\mbox{``}lemma
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}timesCommutativity(F)
\mbox{''}
]$

\hypertarget {url:1808490583581903168404721082347638465545342357588912671848929942716323841:392}{}\section* {$\rm TimesCommutativity(R)$}

$\rm
[TimesCommutativity(R)
\stackrel{
proof
}{\rightarrow}
\lambda 
\mathsf {c}
.
\lambda 
\mathsf{x}
.
{\cal P}( 
\lceil ZFsub
\vdash 
\forall \underline{(fx)}
\colon 
\forall \underline{(fy)}
\colon TimesCommutativity(F)
\gg \underline{(fx)}
*_{f}\underline{(fy)}
=_{f}\underline{(fy)}
*_{f}\underline{(fx)}
; =fToSameF 
\rhd \underline{(fx)}
*_{f}\underline{(fy)}
=_{f}\underline{(fy)}
*_{f}\underline{(fx)}
\gg SF(\underline{(fx)}
*_{f}\underline{(fy)}
,\underline{(fy)}
*_{f}\underline{(fx)}
)
; f2R(Times)
\rhd SF(\underline{(fx)}
*_{f}\underline{(fy)}
,\underline{(fy)}
*_{f}\underline{(fx)}
)
\gg R(\underline{(fx)}
)
**R(\underline{(fy)}
)
 == R(\underline{(fy)}
*_{f}\underline{(fx)}
)
; TimesR(Sym)
\gg R(\underline{(fy)}
*_{f}\underline{(fx)}
)
 == R(\underline{(fy)}
)
**R(\underline{(fx)}
)
; \!{}==\!{}Transitivity
\rhd R(\underline{(fx)}
)
**R(\underline{(fy)}
)
 == R(\underline{(fy)}
*_{f}\underline{(fx)}
)
\rhd R(\underline{(fy)}
*_{f}\underline{(fx)}
)
 == R(\underline{(fy)}
)
**R(\underline{(fx)}
)
\gg R(\underline{(fx)}
)
**R(\underline{(fy)}
)
 == R(\underline{(fy)}
)
**R(\underline{(fx)}
)
\rceil 
, 
p_0
, 
\mathsf {c}
)
]$

$\rm
[TimesCommutativity(R)
\stackrel{
stmt
}{\rightarrow}ZFsub
\vdash 
\forall \underline{(fx)}
\colon 
\forall \underline{(fy)}
\colon R(\underline{(fx)}
)
**R(\underline{(fy)}
)
 == R(\underline{(fy)}
)
**R(\underline{(fx)}
)
]$

$\rm
[TimesCommutativity(R)
\stackrel{
\mathrm{tex}
}{\rightarrow}
\mbox{``}TimesCommutativity(R)
\mbox{''}
]$

$\rm
[TimesCommutativity(R)
\stackrel{
\mathrm{pyk}
}{\rightarrow}
\mbox{``}lemma
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}timesCommutativity(R)
\mbox{''}
]$

\hypertarget {url:1808490583581903168404721082347638465545342357588912671848929942716323841:393}{}\section* {$\rm Distribution(F)$}

$\rm
[Distribution(F)
\stackrel{
proof
}{\rightarrow}
\lambda 
\mathsf {c}
.
\lambda 
\mathsf{x}
.
{\cal P}( 
\lceil ZFsub
\vdash 
\forall \underline{(fx)}
\colon 
\forall \underline{(fy)}
\colon 
\forall \underline{(fz)}
\colon TimesF
\gg \underline{(fx)}
*_{f}\underline{(fy)}
+_{f}\underline{(fz)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
 = \underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
*\underline{(fy)}
+_{f}\underline{(fz)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
; PlusF
\gg \underline{(fy)}
+_{f}\underline{(fz)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
 = \underline{(fy)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
+\underline{(fz)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
; EqMultiplicationLeft
\rhd \underline{(fy)}
+_{f}\underline{(fz)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
 = \underline{(fy)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
+\underline{(fz)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
\gg \underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
*\underline{(fy)}
+_{f}\underline{(fz)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
 = \underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
*\underline{(fy)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
+\underline{(fz)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
; Distribution
\gg \underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
*\underline{(fy)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
+\underline{(fz)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
 = \underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
*\underline{(fy)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
+\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
*\underline{(fz)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
; TimesF(Sym)
\gg \underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
*\underline{(fy)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
 = \underline{(fx)}
*_{f}\underline{(fy)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
; TimesF(Sym)
\gg \underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
*\underline{(fz)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
 = \underline{(fx)}
*_{f}\underline{(fz)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
; AddEquations
\rhd \underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
*\underline{(fy)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
 = \underline{(fx)}
*_{f}\underline{(fy)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
\rhd \underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
*\underline{(fz)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
 = \underline{(fx)}
*_{f}\underline{(fz)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
\gg \underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
*\underline{(fy)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
+\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
*\underline{(fz)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
 = \underline{(fx)}
*_{f}\underline{(fy)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
+\underline{(fx)}
*_{f}\underline{(fz)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
; PlusF(Sym)
\gg \underline{(fx)}
*_{f}\underline{(fy)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
+\underline{(fx)}
*_{f}\underline{(fz)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
 = \underline{(fx)}
*_{f}\underline{(fy)}
+_{f}\underline{(fx)}
*_{f}\underline{(fz)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
; eqTransitivity6
\rhd \underline{(fx)}
*_{f}\underline{(fy)}
+_{f}\underline{(fz)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
 = \underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
*\underline{(fy)}
+_{f}\underline{(fz)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
\rhd \underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
*\underline{(fy)}
+_{f}\underline{(fz)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
 = \underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
*\underline{(fy)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
+\underline{(fz)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
\rhd \underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
*\underline{(fy)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
+\underline{(fz)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
 = \underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
*\underline{(fy)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
+\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
*\underline{(fz)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
\rhd \underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
*\underline{(fy)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
+\underline{(fx)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
*\underline{(fz)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
 = \underline{(fx)}
*_{f}\underline{(fy)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
+\underline{(fx)}
*_{f}\underline{(fz)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
\rhd \underline{(fx)}
*_{f}\underline{(fy)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
+\underline{(fx)}
*_{f}\underline{(fz)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
 = \underline{(fx)}
*_{f}\underline{(fy)}
+_{f}\underline{(fx)}
*_{f}\underline{(fz)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
\gg \underline{(fx)}
*_{f}\underline{(fy)}
+_{f}\underline{(fz)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
 = \underline{(fx)}
*_{f}\underline{(fy)}
+_{f}\underline{(fx)}
*_{f}\underline{(fz)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
; To=f
\rhd \underline{(fx)}
*_{f}\underline{(fy)}
+_{f}\underline{(fz)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
 = \underline{(fx)}
*_{f}\underline{(fy)}
+_{f}\underline{(fx)}
*_{f}\underline{(fz)}
[\underline{
\mathsf {m}}
]
\gg \underline{(fx)}
*_{f}\underline{(fy)}
+_{f}\underline{(fz)}
=_{f}\underline{(fx)}
*_{f}\underline{(fy)}
+_{f}\underline{(fx)}
*_{f}\underline{(fz)}
\rceil 
, 
p_0
, 
\mathsf {c}
)
]$

$\rm
[Distribution(F)
\stackrel{
stmt
}{\rightarrow}ZFsub
\vdash 
\forall \underline{(fx)}
\colon 
\forall \underline{(fy)}
\colon 
\forall \underline{(fz)}
\colon \underline{(fx)}
*_{f}\underline{(fy)}
+_{f}\underline{(fz)}
=_{f}\underline{(fx)}
*_{f}\underline{(fy)}
+_{f}\underline{(fx)}
*_{f}\underline{(fz)}
]$

$\rm
[Distribution(F)
\stackrel{
\mathrm{tex}
}{\rightarrow}
\mbox{``}Distribution(F)
\mbox{''}
]$

$\rm
[Distribution(F)
\stackrel{
\mathrm{pyk}
}{\rightarrow}
\mbox{``}lemma
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}distribution(F)
\mbox{''}
]$

\hypertarget {url:1808490583581903168404721082347638465545342357588912671848929942716323841:394}{}\section* {$\rm Distribution(R)$}

$\rm
[Distribution(R)
\stackrel{
proof
}{\rightarrow}
\lambda 
\mathsf {c}
.
\lambda 
\mathsf{x}
.
{\cal P}( 
\lceil ZFsub
\vdash 
\forall \underline{(fx)}
\colon 
\forall \underline{(fy)}
\colon 
\forall \underline{(fz)}
\colon Distribution(F)
\gg \underline{(fx)}
*_{f}\underline{(fy)}
+_{f}\underline{(fz)}
=_{f}\underline{(fx)}
*_{f}\underline{(fy)}
+_{f}\underline{(fx)}
*_{f}\underline{(fz)}
; =fToSameF 
\rhd \underline{(fx)}
*_{f}\underline{(fy)}
+_{f}\underline{(fz)}
=_{f}\underline{(fx)}
*_{f}\underline{(fy)}
+_{f}\underline{(fx)}
*_{f}\underline{(fz)}
\gg SF(\underline{(fx)}
*_{f}\underline{(fy)}
+_{f}\underline{(fz)}
,\underline{(fx)}
*_{f}\underline{(fy)}
+_{f}\underline{(fx)}
*_{f}\underline{(fz)}
)
; f2R(Times)
\rhd SF(\underline{(fx)}
*_{f}\underline{(fy)}
+_{f}\underline{(fz)}
,\underline{(fx)}
*_{f}\underline{(fy)}
+_{f}\underline{(fx)}
*_{f}\underline{(fz)}
)
\gg R(\underline{(fx)}
)
**R(\underline{(fy)}
+_{f}\underline{(fz)}
)
 == R(\underline{(fx)}
*_{f}\underline{(fy)}
+_{f}\underline{(fx)}
*_{f}\underline{(fz)}
)
; PlusR(Sym)
\gg R(\underline{(fx)}
*_{f}\underline{(fy)}
+_{f}\underline{(fx)}
*_{f}\underline{(fz)}
)
 == R((fx)
+_{f}(fy)
)
; \!{}==\!{}Transitivity
\rhd R(\underline{(fx)}
)
**R(\underline{(fy)}
+_{f}\underline{(fz)}
)
 == R(\underline{(fx)}
*_{f}\underline{(fy)}
+_{f}\underline{(fx)}
*_{f}\underline{(fz)}
)
\rhd R(\underline{(fx)}
*_{f}\underline{(fy)}
+_{f}\underline{(fx)}
*_{f}\underline{(fz)}
)
 == R((fx)
+_{f}(fy)
)
\gg R(\underline{(fx)}
)
**R(\underline{(fy)}
+_{f}\underline{(fz)}
)
 == R((fx)
+_{f}(fy)
)
\rceil 
, 
p_0
, 
\mathsf {c}
)
]$

$\rm
[Distribution(R)
\stackrel{
stmt
}{\rightarrow}ZFsub
\vdash 
\forall \underline{(fx)}
\colon 
\forall \underline{(fy)}
\colon 
\forall \underline{(fz)}
\colon R(\underline{(fx)}
)
**R(\underline{(fy)}
+_{f}\underline{(fz)}
)
 == R((fx)
+_{f}(fy)
)
]$

$\rm
[Distribution(R)
\stackrel{
\mathrm{tex}
}{\rightarrow}
\mbox{``}Distribution(R)
\mbox{''}
]$

$\rm
[Distribution(R)
\stackrel{
\mathrm{pyk}
}{\rightarrow}
\mbox{``}lemma
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}distribution(R)
\mbox{''}
]$

\hypertarget {url:1808490583581903168404721082347638465545342357588912671848929942716323841:395}{}\section* {$\rm R(\ast
)$}

$\rm
[R(
\mathsf{x}
)
\stackrel{
\mathrm{tex}
}{\rightarrow}
\mbox{``}R(
\#1.
\newline )
\mbox{''}
]$

$\rm
[R(
\ast 
)
\stackrel{
\mathrm{pyk}
}{\rightarrow}
\mbox{``}R(
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}
\mbox {\tt \char34}
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{})
\mbox{''}
]$

\hypertarget {url:1808490583581903168404721082347638465545342357588912671848929942716323841:396}{}\section* {$\rm --R(\ast
)$}

$\rm
[--R((fx)
)
\stackrel{
\mathrm {macro}
}{\rightarrow}
\lambda 
\mathsf {t}
.
\lambda 
\mathsf {s}
.
\lambda 
\mathsf {c}
.
\tilde {{\cal M}}_4(
\mathsf {t}
,
\mathsf {s}
,
\mathsf {c}
,
\lceil 
[--R((fx)
)
\mathrel {\ddot {=}}R(-_{f}(fx)
)
]
\rceil 
)
]$

$\rm
[--R(
\mathsf{x}
)
\stackrel{
\mathrm{tex}
}{\rightarrow}
\mbox{``}
\mbox{-}
\mbox{-}R(
\#1.
\newline )
\mbox{''}
]$

$\rm
[--R(
\ast 
)
\stackrel{
\mathrm{pyk}
}{\rightarrow}
\mbox{``}
\mbox{-}
\mbox{-}R(
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}
\mbox {\tt \char34}
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{})
\mbox{''}
]$

\hypertarget {url:1808490583581903168404721082347638465545342357588912671848929942716323841:397}{}\section* {$\rm rec\ast$}

$\rm
[rec
\mathsf{x}
\stackrel{
\mathrm{tex}
}{\rightarrow}
\mbox{``}rec
\#1.
\mbox{''}
]$

$\rm
[rec
\ast 
\stackrel{
\mathrm{pyk}
}{\rightarrow}
\mbox{``}1/
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}
\mbox {\tt \char34}
\mbox{''}
]$

\hypertarget {url:1808490583581903168404721082347638465545342357588912671848929942716323841:398}{}\section* {$\rm \ast
 / \ast$}

$\rm
[\mathsf {bs}
 / 
\mathsf {r}
\stackrel{
\mathrm {macro}
}{\rightarrow}
\lambda 
\mathsf {t}
.
\lambda 
\mathsf {s}
.
\lambda 
\mathsf {c}
.
\tilde {{\cal M}}_4(
\mathsf {t}
,
\mathsf {s}
,
\mathsf {c}
,
\lceil 
[\mathsf {bs}
 / 
\mathsf {r}
\mathrel {\ddot {=}} \{ ph \mathrel{\in} P(\mathsf {bs}
)
\mid Ex_{20}
 \mathrel{\in} \mathsf {bs}
\mathrel{\dot{\wedge}} [Ex_{20}
 \mathrel{\in} \mathsf {bs}
]_{
\mathsf {r}
}
\!\mathrel{==}\! ph_{2}
\}
]
\rceil 
)
]$

$\rm
[
\mathsf{x}
 / 
\mathsf{y}
\stackrel{
\mathrm{tex}
}{\rightarrow}
\mbox{``}
\#1.
\newline 
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}/
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}
\#2.
\mbox{''}
]$

$\rm
[
\ast 
 / 
\ast 
\stackrel{
\mathrm{pyk}
}{\rightarrow}
\mbox{``}eq
\mbox{-}system
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}of
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}
\mbox {\tt \char34}
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}modulo
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}
\mbox {\tt \char34}
\mbox{''}
]$

\hypertarget {url:1808490583581903168404721082347638465545342357588912671848929942716323841:399}{}\section* {$\rm \ast
 \cap \ast$}

$\rm
[
\mathsf{x}
 \cap 
\mathsf{y}
\stackrel{
\mathrm {macro}
}{\rightarrow}
\lambda 
\mathsf {t}
.
\lambda 
\mathsf {s}
.
\lambda 
\mathsf {c}
.
\tilde {{\cal M}}_4(
\mathsf {t}
,
\mathsf {s}
,
\mathsf {c}
,
\lceil 
[
\mathsf{x}
 \cap 
\mathsf{y}
\mathrel {\ddot {=}} \{ ph \mathrel{\in} 
\mathsf{x}
 \mathrel{\cup} 
\mathsf{y}
\mid ph_{3}
 \mathrel{\in} 
\mathsf{x}
\mathrel{\dot{\wedge}} ph_{3}
 \mathrel{\in} 
\mathsf{y}
\}
]
\rceil 
)
]$

$\rm
[
\mathsf{x}
 \cap 
\mathsf{y}
\stackrel{
\mathrm{tex}
}{\rightarrow}
\mbox{``}
\#1.
\newline 
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}
\mbox {$\backslash $}cap
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}
\#2.
\mbox{''}
]$

$\rm
[
\ast 
 \cap 
\ast 
\stackrel{
\mathrm{pyk}
}{\rightarrow}
\mbox{``}intersection
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}
\mbox {\tt \char34}
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}comma
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}
\mbox {\tt \char34}
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}end
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}intersection
\mbox{''}
]$

\hypertarget {url:1808490583581903168404721082347638465545342357588912671848929942716323841:400}{}\section* {$\rm \ast
[\ast
]$}

$\rm
[
\mathsf{x}
[
\mathsf{y}
]
\stackrel{
\mathrm{tex}
}{\rightarrow}
\mbox{``}
\#1.
\newline [
\#2.
\newline ]
\mbox{''}
]$

$\rm
[
\ast 
[
\ast 
]
\stackrel{
\mathrm{pyk}
}{\rightarrow}
\mbox{``}[
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}
\mbox {\tt \char34}
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{};
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}
\mbox {\tt \char34}
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}]
\mbox{''}
]$

\hypertarget {url:1808490583581903168404721082347638465545342357588912671848929942716323841:401}{}\section* {$\rm \cup \ast$}

$\rm
[\cup 
\mathsf{x}
\stackrel{
\mathrm{tex}
}{\rightarrow}
\mbox{``}
\mbox {$\backslash $}cup
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}
\#1.
\mbox{''}
]$

$\rm
[\cup 
\ast 
\stackrel{
\mathrm{pyk}
}{\rightarrow}
\mbox{``}union
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}
\mbox {\tt \char34}
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}end
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}union
\mbox{''}
]$

\hypertarget {url:1808490583581903168404721082347638465545342357588912671848929942716323841:402}{}\section* {$\rm \ast
 \mathrel{\cup} \ast$}

$\rm
[
\mathsf{x}
 \mathrel{\cup} 
\mathsf{y}
\stackrel{
\mathrm {macro}
}{\rightarrow}
\lambda 
\mathsf {t}
.
\lambda 
\mathsf {s}
.
\lambda 
\mathsf {c}
.
\tilde {{\cal M}}_4(
\mathsf {t}
,
\mathsf {s}
,
\mathsf {c}
,
\lceil 
[
\mathsf{x}
 \mathrel{\cup} 
\mathsf{y}
\mathrel {\ddot {=}}\cup \{\{
\mathsf{x}
\}
,\{
\mathsf{y}
\}
\}
]
\rceil 
)
]$

$\rm
[
\mathsf{x}
 \mathrel{\cup} 
\mathsf{y}
\stackrel{
\mathrm{tex}
}{\rightarrow}
\mbox{``}
\#1.
\newline 
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}
\mbox {$\backslash $}mathrel
\{
\mbox {$\backslash $}cup
\}
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}
\#2.
\mbox{''}
]$

$\rm
[
\ast 
 \mathrel{\cup} 
\ast 
\stackrel{
\mathrm{pyk}
}{\rightarrow}
\mbox{``}binary
\mbox{-}union
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}
\mbox {\tt \char34}
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}comma
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}
\mbox {\tt \char34}
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}end
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}union
\mbox{''}
]$

\hypertarget {url:1808490583581903168404721082347638465545342357588912671848929942716323841:403}{}\section* {$\rm P(\ast
)$}

$\rm
[P(
\mathsf{x}
)
\stackrel{
\mathrm{tex}
}{\rightarrow}
\mbox{``}P(
\#1.
\newline )
\mbox{''}
]$

$\rm
[P(
\ast 
)
\stackrel{
\mathrm{pyk}
}{\rightarrow}
\mbox{``}power
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}
\mbox {\tt \char34}
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}end
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}power
\mbox{''}
]$

\hypertarget {url:1808490583581903168404721082347638465545342357588912671848929942716323841:404}{}\section* {$\rm \{\ast
\}$}

$\rm
[\{
\mathsf{x}
\}
\stackrel{
\mathrm {macro}
}{\rightarrow}
\lambda 
\mathsf {t}
.
\lambda 
\mathsf {s}
.
\lambda 
\mathsf {c}
.
\tilde {{\cal M}}_4(
\mathsf {t}
,
\mathsf {s}
,
\mathsf {c}
,
\lceil 
[\{
\mathsf{x}
\}
\mathrel {\ddot {=}}\{
\mathsf{x}
,
\mathsf{x}
\}
]
\rceil 
)
]$

$\rm
[\{
\mathsf{x}
\}
\stackrel{
\mathrm{tex}
}{\rightarrow}
\mbox{``}
\mbox {$\backslash $}
\{
\#1.
\newline 
\mbox {$\backslash $}
\}
\mbox{''}
]$

$\rm
[\{
\ast 
\}
\stackrel{
\mathrm{pyk}
}{\rightarrow}
\mbox{``}zermelo
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}singleton
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}
\mbox {\tt \char34}
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}end
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}singleton
\mbox{''}
]$

\hypertarget {url:1808490583581903168404721082347638465545342357588912671848929942716323841:405}{}\section* {$\rm \{\ast
,\ast
\}$}

$\rm
[\{
\mathsf{x}
,
\mathsf{y}
\}
\stackrel{
\mathrm{tex}
}{\rightarrow}
\mbox{``}
\mbox {$\backslash $}
\{
\#1.
\newline ,
\#2.
\newline 
\mbox {$\backslash $}
\}
\mbox{''}
]$

$\rm
[\{
\ast 
,
\ast 
\}
\stackrel{
\mathrm{pyk}
}{\rightarrow}
\mbox{``}zermelo
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}pair
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}
\mbox {\tt \char34}
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}comma
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}
\mbox {\tt \char34}
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}end
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}pair
\mbox{''}
]$

\hypertarget {url:1808490583581903168404721082347638465545342357588912671848929942716323841:406}{}\section* {$\rm \langle \ast
,\ast
\rangle$}

$\rm
[\langle 
\mathsf{x}
,
\mathsf{y}
\rangle
\stackrel{
\mathrm {macro}
}{\rightarrow}
\lambda 
\mathsf {t}
.
\lambda 
\mathsf {s}
.
\lambda 
\mathsf {c}
.
\tilde {{\cal M}}_4(
\mathsf {t}
,
\mathsf {s}
,
\mathsf {c}
,
\lceil 
[\langle 
\mathsf{x}
,
\mathsf{y}
\rangle
\mathrel {\ddot {=}}\{\{
\mathsf{x}
\}
,\{
\mathsf{x}
,
\mathsf{y}
\}
\}
]
\rceil 
)
]$

$\rm
[\langle 
\mathsf{x}
,
\mathsf{y}
\rangle
\stackrel{
\mathrm{tex}
}{\rightarrow}
\mbox{``}
\mbox {$\backslash $}langle
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}
\#1.
\newline ,
\#2.
\newline 
\mbox {$\backslash $}rangle
\mbox{''}
]$

$\rm
[\langle 
\ast 
,
\ast 
\rangle
\stackrel{
\mathrm{pyk}
}{\rightarrow}
\mbox{``}zermelo
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}ordered
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}pair
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}
\mbox {\tt \char34}
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}comma
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}
\mbox {\tt \char34}
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}end
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}pair
\mbox{''}
]$

\hypertarget {url:1808490583581903168404721082347638465545342357588912671848929942716323841:407}{}\section* {$\rm -\ast$}

$\rm
[-
\mathsf{x}
\stackrel{
\mathrm{tex}
}{\rightarrow}
\mbox{``}
\mbox{-}
\#1.
\mbox{''}
]$

$\rm
[-
\ast 
\stackrel{
\mathrm{pyk}
}{\rightarrow}
\mbox{``}
\mbox{-}
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}
\mbox {\tt \char34}
\mbox{''}
]$

\hypertarget {url:1808490583581903168404721082347638465545342357588912671848929942716323841:408}{}\section* {$\rm -_{f}\ast$}

$\rm
[-_{f}
\mathsf{x}
\stackrel{
\mathrm{tex}
}{\rightarrow}
\mbox{``}
\mbox{-}
\_
\{f
\}
\#1.
\mbox{''}
]$

$\rm
[-_{f}
\ast 
\stackrel{
\mathrm{pyk}
}{\rightarrow}
\mbox{``}
\mbox{-}f
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}
\mbox {\tt \char34}
\mbox{''}
]$

\hypertarget {url:1808490583581903168404721082347638465545342357588912671848929942716323841:409}{}\section* {$\rm \ast
 \mathrel{\in} \ast$}

$\rm
[
\mathsf{x}
 \mathrel{\in} 
\mathsf{y}
\stackrel{
\mathrm{tex}
}{\rightarrow}
\mbox{``}
\#1.
\newline 
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}
\mbox {$\backslash $}mathrel
\{
\mbox {$\backslash $}in
\}
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}
\#2.
\mbox{''}
]$

$\rm
[
\ast 
 \mathrel{\in} 
\ast 
\stackrel{
\mathrm{pyk}
}{\rightarrow}
\mbox{``}
\mbox {\tt \char34}
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}in0
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}
\mbox {\tt \char34}
\mbox{''}
]$

\hypertarget {url:1808490583581903168404721082347638465545342357588912671848929942716323841:410}{}\section* {$\rm \ast
(\ast
,\ast
)$}

$\rm
[
\mathsf {r}
(
\mathsf{x}
,
\mathsf{y}
)
\stackrel{
\mathrm {macro}
}{\rightarrow}
\lambda 
\mathsf {t}
.
\lambda 
\mathsf {s}
.
\lambda 
\mathsf {c}
.
\tilde {{\cal M}}_4(
\mathsf {t}
,
\mathsf {s}
,
\mathsf {c}
,
\lceil 
[
\mathsf {r}
(
\mathsf{x}
,
\mathsf{y}
)
\mathrel {\ddot {=}}\langle 
\mathsf{x}
,
\mathsf{y}
\rangle
 \mathrel{\in} 
\mathsf {r}
]
\rceil 
)
]$

$\rm
[
\mathsf{z}
(
\mathsf{x}
,
\mathsf{y}
)
\stackrel{
\mathrm{tex}
}{\rightarrow}
\mbox{``}
\#3.
\newline (
\#1.
\newline ,
\#2.
\newline )
\mbox{''}
]$

$\rm
[
\ast 
(
\ast 
,
\ast 
)
\stackrel{
\mathrm{pyk}
}{\rightarrow}
\mbox{``}
\mbox {\tt \char34}
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}is
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}related
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}to
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}
\mbox {\tt \char34}
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}under
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}
\mbox {\tt \char34}
\mbox{''}
]$

\hypertarget {url:1808490583581903168404721082347638465545342357588912671848929942716323841:411}{}\section* {$\rm ReflRel(\ast
,\ast
)$}

$\rm
[ReflRel(
\mathsf {r}
,
\mathsf{x}
)
\stackrel{
\mathrm {macro}
}{\rightarrow}
\lambda 
\mathsf {t}
.
\lambda 
\mathsf {s}
.
\lambda 
\mathsf {c}
.
\tilde {{\cal M}}_4(
\mathsf {t}
,
\mathsf {s}
,
\mathsf {c}
,
\lceil 
[ReflRel(
\mathsf {r}
,
\mathsf{x}
)
\mathrel {\ddot {=}}
\forall 
\mathit{s}
\colon 
(
\mathit{s}
 \mathrel{\in} 
\mathsf{x}
\Rightarrow 
\mathsf {r}
(
\mathit{s}
,
\mathit{s}
)
)
]
\rceil 
)
]$

$\rm
[ReflRel(
\mathsf {r}
,
\mathsf{x}
)
\stackrel{
\mathrm{tex}
}{\rightarrow}
\mbox{``}ReflRel(
\#1.
\newline ,
\#2.
\newline )
\mbox{''}
]$

$\rm
[ReflRel(
\ast 
,
\ast 
)
\stackrel{
\mathrm{pyk}
}{\rightarrow}
\mbox{``}
\mbox {\tt \char34}
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}is
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}reflexive
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}relation
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}in
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}
\mbox {\tt \char34}
\mbox{''}
]$

\hypertarget {url:1808490583581903168404721082347638465545342357588912671848929942716323841:412}{}\section* {$\rm SymRel(\ast
,\ast
)$}

$\rm
[SymRel(
\mathsf {r}
,
\mathsf{x}
)
\stackrel{
\mathrm {macro}
}{\rightarrow}
\lambda 
\mathsf {t}
.
\lambda 
\mathsf {s}
.
\lambda 
\mathsf {c}
.
\tilde {{\cal M}}_4(
\mathsf {t}
,
\mathsf {s}
,
\mathsf {c}
,
\lceil 
[SymRel(
\mathsf {r}
,
\mathsf{x}
)
\mathrel {\ddot {=}}
\forall 
\mathit{s}
,\linebreak [0] 
\mathit{t}
\colon 
(
\mathit{s}
 \mathrel{\in} 
\mathsf{x}
\Rightarrow 
\mathit{t}
 \mathrel{\in} 
\mathsf{x}
\Rightarrow 
\mathsf {r}
(
\mathit{s}
,
\mathit{t}
)
\Rightarrow 
\mathsf {r}
(
\mathit{t}
,
\mathit{s}
)
)
]
\rceil 
)
]$

$\rm
[SymRel(
\mathsf {r}
,
\mathsf{x}
)
\stackrel{
\mathrm{tex}
}{\rightarrow}
\mbox{``}SymRel(
\#1.
\newline ,
\#2.
\newline )
\mbox{''}
]$

$\rm
[SymRel(
\ast 
,
\ast 
)
\stackrel{
\mathrm{pyk}
}{\rightarrow}
\mbox{``}
\mbox {\tt \char34}
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}is
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}symmetric
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}relation
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}in
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}
\mbox {\tt \char34}
\mbox{''}
]$

\hypertarget {url:1808490583581903168404721082347638465545342357588912671848929942716323841:413}{}\section* {$\rm TransRel(\ast
,\ast
)$}

$\rm
[TransRel(
\mathsf {r}
,
\mathsf{x}
)
\stackrel{
\mathrm {macro}
}{\rightarrow}
\lambda 
\mathsf {t}
.
\lambda 
\mathsf {s}
.
\lambda 
\mathsf {c}
.
\tilde {{\cal M}}_4(
\mathsf {t}
,
\mathsf {s}
,
\mathsf {c}
,
\lceil 
[TransRel(
\mathsf {r}
,
\mathsf{x}
)
\mathrel {\ddot {=}}
\newline 
\forall 
\mathit{s}
,\linebreak [0] 
\mathit{t}
,\linebreak [0] 
\mathit{u}
\colon 
(
\mathit{s}
 \mathrel{\in} 
\mathsf{x}
\Rightarrow 
\mathit{t}
 \mathrel{\in} 
\mathsf{x}
\Rightarrow 
\mathit{u}
 \mathrel{\in} 
\mathsf{x}
\Rightarrow 
\mathsf {r}
(
\mathit{s}
,
\mathit{t}
)
\Rightarrow 
\mathsf {r}
(
\mathit{t}
,
\mathit{u}
)
\Rightarrow 
\mathsf {r}
(
\mathit{s}
,
\mathit{u}
)
)
]
\rceil 
)
]$

$\rm
[TransRel(
\mathsf {r}
,
\mathsf{x}
)
\stackrel{
\mathrm{tex}
}{\rightarrow}
\mbox{``}TransRel(
\#1.
\newline ,
\#2.
\newline )
\mbox{''}
]$

$\rm
[TransRel(
\ast 
,
\ast 
)
\stackrel{
\mathrm{pyk}
}{\rightarrow}
\mbox{``}
\mbox {\tt \char34}
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}is
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}transitive
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}relation
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}in
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}
\mbox {\tt \char34}
\mbox{''}
]$

\hypertarget {url:1808490583581903168404721082347638465545342357588912671848929942716323841:414}{}\section* {$\rm EqRel(\ast
,\ast
)$}

$\rm
[EqRel(
\mathsf {r}
,
\mathsf{x}
)
\stackrel{
\mathrm {macro}
}{\rightarrow}
\lambda 
\mathsf {t}
.
\lambda 
\mathsf {s}
.
\lambda 
\mathsf {c}
.
\tilde {{\cal M}}_4(
\mathsf {t}
,
\mathsf {s}
,
\mathsf {c}
,
\lceil 
[EqRel(
\mathsf {r}
,
\mathsf{x}
)
\mathrel {\ddot {=}}ReflRel(
\mathsf {r}
,
\mathsf{x}
)
\mathrel{\dot{\wedge}} SymRel(
\mathsf {r}
,
\mathsf{x}
)
\mathrel{\dot{\wedge}} TransRel(
\mathsf {r}
,
\mathsf{x}
)
]
\rceil 
)
]$

$\rm
[EqRel(
\mathsf {r}
,
\mathsf{x}
)
\stackrel{
\mathrm{tex}
}{\rightarrow}
\mbox{``}EqRel(
\#1.
\newline ,
\#2.
\newline )
\mbox{''}
]$

$\rm
[EqRel(
\ast 
,
\ast 
)
\stackrel{
\mathrm{pyk}
}{\rightarrow}
\mbox{``}
\mbox {\tt \char34}
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}is
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}equivalence
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}relation
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}in
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}
\mbox {\tt \char34}
\mbox{''}
]$

\hypertarget {url:1808490583581903168404721082347638465545342357588912671848929942716323841:415}{}\section* {$\rm [\ast
 \mathrel{\in} \ast
]_{\ast
}$}

$\rm
[[
\mathsf{x}
 \mathrel{\in} \mathsf {bs}
]_{
\mathsf {r}
}
\stackrel{
\mathrm {macro}
}{\rightarrow}
\lambda 
\mathsf {t}
.
\lambda 
\mathsf {s}
.
\lambda 
\mathsf {c}
.
\tilde {{\cal M}}_4(
\mathsf {t}
,
\mathsf {s}
,
\mathsf {c}
,
\lceil 
[[
\mathsf{x}
 \mathrel{\in} \mathsf {bs}
]_{
\mathsf {r}
}
\mathrel {\ddot {=}} \{ ph \mathrel{\in} \mathsf {bs}
\mid 
\mathsf {r}
(ph_{1}
,
\mathsf{x}
)
\}
]
\rceil 
)
]$

$\rm
[[
\mathsf{x}
 \mathrel{\in} \mathsf {bs}
]_{
\mathsf {r}
}
\stackrel{
\mathrm{tex}
}{\rightarrow}
\mbox{``}[
\#1.
\newline 
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}
\mbox {$\backslash $}mathrel
\{
\mbox {$\backslash $}in
\}
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}
\#2.
\newline ]
\_
\{
\#3.
\newline 
\}
\mbox{''}
]$

$\rm
[[
\ast 
 \mathrel{\in} 
\ast 
]_{
\ast 
}
\stackrel{
\mathrm{pyk}
}{\rightarrow}
\mbox{``}equivalence
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}class
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}of
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}
\mbox {\tt \char34}
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}in
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}
\mbox {\tt \char34}
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}modulo
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}
\mbox {\tt \char34}
\mbox{''}
]$

\hypertarget {url:1808490583581903168404721082347638465545342357588912671848929942716323841:416}{}\section* {$\rm Partition(\ast
,\ast
)$}

$\rm
[Partition(
\mathsf {p}
,\mathsf {bs}
)
\stackrel{
\mathrm {macro}
}{\rightarrow}
\lambda 
\mathsf {t}
.
\lambda 
\mathsf {s}
.
\lambda 
\mathsf {c}
.
\tilde {{\cal M}}_4(
\mathsf {t}
,
\mathsf {s}
,
\mathsf {c}
,
\lceil 
[Partition(
\mathsf {p}
,\mathsf {bs}
)
\mathrel {\ddot {=}}
(
\forall 
\mathit{s}
\colon 
(
\mathit{s}
 \mathrel{\in} 
\mathsf {p}
\Rightarrow 
\mathit{s}
 \mathrel{\neq} \mathrm{\O}
)
)
\mathrel{\dot{\wedge}} 
\newline 
(
\forall 
\mathit{s}
,\linebreak [0] 
\mathit{t}
\colon 
(
\mathit{s}
 \mathrel{\in} 
\mathsf {p}
\Rightarrow 
\mathit{t}
 \mathrel{\in} 
\mathsf {p}
\Rightarrow 
\mathit{s}
 \mathrel{\neq} 
\mathit{t}
\Rightarrow 
\mathit{s}
 \cap 
\mathit{t}
\!\mathrel{==}\! \mathrm{\O}
)
)
\mathrel{\dot{\wedge}} 
\newline \cup 
\mathsf {p}
\!\mathrel{==}\! \mathsf {bs}
]
\rceil 
)
]$

$\rm
[Partition(
\mathsf{x}
,
\mathsf{y}
)
\stackrel{
\mathrm{tex}
}{\rightarrow}
\mbox{``}Partition(
\#1.
\newline ,
\#2.
\newline )
\mbox{''}
]$

$\rm
[Partition(
\ast 
,
\ast 
)
\stackrel{
\mathrm{pyk}
}{\rightarrow}
\mbox{``}
\mbox {\tt \char34}
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}is
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}partition
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}of
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}
\mbox {\tt \char34}
\mbox{''}
]$

\hypertarget {url:1808490583581903168404721082347638465545342357588912671848929942716323841:417}{}\section* {$\rm \ast
*\ast$}

$\rm
[
\mathsf{x}
*
\mathsf{y}
\stackrel{
\mathrm{tex}
}{\rightarrow}
\mbox{``}
\#1.
\newline 
{*}
\#2.
\mbox{''}
]$

$\rm
[
\ast 
*
\ast 
\stackrel{
\mathrm{pyk}
}{\rightarrow}
\mbox{``}
\mbox {\tt \char34}
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}
{*}
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}
\mbox {\tt \char34}
\mbox{''}
]$

\hypertarget {url:1808490583581903168404721082347638465545342357588912671848929942716323841:418}{}\section* {$\rm \ast
*_{f}\ast$}

$\rm
[(fx)
*_{f}(fy)
\stackrel{
\mathrm{tex}
}{\rightarrow}
\mbox{``}
\#1.
\newline 
{*}
\_
\{f
\}
\#2.
\mbox{''}
]$

$\rm
[
\ast 
*_{f}
\ast 
\stackrel{
\mathrm{pyk}
}{\rightarrow}
\mbox{``}
\mbox {\tt \char34}
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}
{*}f
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}
\mbox {\tt \char34}
\mbox{''}
]$

\hypertarget {url:1808490583581903168404721082347638465545342357588912671848929942716323841:419}{}\section* {$\rm \ast
**\ast$}

$\rm
[
\mathsf{x}
**
\mathsf{y}
\stackrel{
\mathrm{tex}
}{\rightarrow}
\mbox{``}
\#1.
\newline 
{*}
{*}
\#2.
\mbox{''}
]$

$\rm
[
\ast 
**
\ast 
\stackrel{
\mathrm{pyk}
}{\rightarrow}
\mbox{``}
\mbox {\tt \char34}
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}
{*}
{*}
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}
\mbox {\tt \char34}
\mbox{''}
]$

\hypertarget {url:1808490583581903168404721082347638465545342357588912671848929942716323841:420}{}\section* {$\rm \ast
+\ast$}

$\rm
[
\mathsf{x}
+
\mathsf{y}
\stackrel{
\mathrm{tex}
}{\rightarrow}
\mbox{``}
\#1.
\newline 
{+}
\#2.
\mbox{''}
]$

$\rm
[
\ast 
+
\ast 
\stackrel{
\mathrm{pyk}
}{\rightarrow}
\mbox{``}
\mbox {\tt \char34}
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}
{+}
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}
\mbox {\tt \char34}
\mbox{''}
]$

\hypertarget {url:1808490583581903168404721082347638465545342357588912671848929942716323841:421}{}\section* {$\rm \ast
-\ast$}

$\rm
[
\mathsf{x}
-
\mathsf{y}
\stackrel{
\mathrm {macro}
}{\rightarrow}
\lambda 
\mathsf {t}
.
\lambda 
\mathsf {s}
.
\lambda 
\mathsf {c}
.
\tilde {{\cal M}}_4(
\mathsf {t}
,
\mathsf {s}
,
\mathsf {c}
,
\lceil 
[
\mathsf{x}
-
\mathsf{y}
\mathrel {\ddot {=}}
\mathsf{x}
+
(-
\mathsf{y}
)
]
\rceil 
)
]$

$\rm
[
\mathsf{x}
-
\mathsf{y}
\stackrel{
\mathrm{tex}
}{\rightarrow}
\mbox{``}
\#1.
\newline 
\mbox{-}
\#2.
\mbox{''}
]$

$\rm
[
\ast 
-
\ast 
\stackrel{
\mathrm{pyk}
}{\rightarrow}
\mbox{``}
\mbox {\tt \char34}
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}
\mbox{-}
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}
\mbox {\tt \char34}
\mbox{''}
]$

\hypertarget {url:1808490583581903168404721082347638465545342357588912671848929942716323841:422}{}\section* {$\rm \ast
+_{f}\ast$}

$\rm
[(fx)
+_{f}(fy)
\stackrel{
\mathrm{tex}
}{\rightarrow}
\mbox{``}
\#1.
\newline 
{+}
\_
\{f
\}
\#2.
\mbox{''}
]$

$\rm
[
\ast 
+_{f}
\ast 
\stackrel{
\mathrm{pyk}
}{\rightarrow}
\mbox{``}
\mbox {\tt \char34}
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}
{+}f
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}
\mbox {\tt \char34}
\mbox{''}
]$

\hypertarget {url:1808490583581903168404721082347638465545342357588912671848929942716323841:423}{}\section* {$\rm \ast
-_{f}\ast$}

$\rm
[(fx)
-_{f}(fy)
\stackrel{
\mathrm{tex}
}{\rightarrow}
\mbox{``}
\#1.
\newline 
\mbox{-}
\_
\{f
\}
\#2.
\mbox{''}
]$

$\rm
[
\ast 
-_{f}
\ast 
\stackrel{
\mathrm{pyk}
}{\rightarrow}
\mbox{``}
\mbox {\tt \char34}
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}
\mbox{-}f
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}
\mbox {\tt \char34}
\mbox{''}
]$

\hypertarget {url:1808490583581903168404721082347638465545342357588912671848929942716323841:424}{}\section* {$\rm \ast
++\ast$}

$\rm
[R((fx)
)
++R((fy)
)
\stackrel{
\mathrm {macro}
}{\rightarrow}
\lambda 
\mathsf {t}
.
\lambda 
\mathsf {s}
.
\lambda 
\mathsf {c}
.
\tilde {{\cal M}}_4(
\mathsf {t}
,
\mathsf {s}
,
\mathsf {c}
,
\lceil 
[R((fx)
)
++R((fy)
)
\mathrel {\ddot {=}}R((fx)
+_{f}(fy)
)
]
\rceil 
)
]$

$\rm
[
\mathsf{x}
++
\mathsf{y}
\stackrel{
\mathrm{tex}
}{\rightarrow}
\mbox{``}
\#1.
\newline 
{+}
{+}
\#2.
\mbox{''}
]$

$\rm
[
\ast 
++
\ast 
\stackrel{
\mathrm{pyk}
}{\rightarrow}
\mbox{``}
\mbox {\tt \char34}
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}
{+}
{+}
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}
\mbox {\tt \char34}
\mbox{''}
]$

\hypertarget {url:1808490583581903168404721082347638465545342357588912671848929942716323841:425}{}\section* {$\rm R(\ast
) -- R(\ast
)$}

$\rm
[R((fx)
) -- R((fy)
)
\stackrel{
\mathrm {macro}
}{\rightarrow}
\lambda 
\mathsf {t}
.
\lambda 
\mathsf {s}
.
\lambda 
\mathsf {c}
.
\tilde {{\cal M}}_4(
\mathsf {t}
,
\mathsf {s}
,
\mathsf {c}
,
\lceil 
[R((fx)
) -- R((fy)
)
\mathrel {\ddot {=}}R((fx)
)
++R(-_{f}(fy)
)
]
\rceil 
)
]$

$\rm
[R((fx)
) -- R((fy)
)
\stackrel{
\mathrm{tex}
}{\rightarrow}
\mbox{``}R(
\#1.
\newline )
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}
\mbox{-}
\mbox{-}
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}R(
\#2.
\newline )
\mbox{''}
]$

$\rm
[R(
\ast 
) -- R(
\ast 
)
\stackrel{
\mathrm{pyk}
}{\rightarrow}
\mbox{``}R(
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}
\mbox {\tt \char34}
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{})
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}
\mbox{-}
\mbox{-}
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}R(
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}
\mbox {\tt \char34}
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{})
\mbox{''}
]$

\hypertarget {url:1808490583581903168404721082347638465545342357588912671848929942716323841:426}{}\section* {$\rm |\ast|$}

$\rm
[|
\mathsf{x}|
\stackrel{
\mathrm {macro}
}{\rightarrow}
\lambda 
\mathsf {t}
.
\lambda 
\mathsf {s}
.
\lambda 
\mathsf {c}
.
\tilde {{\cal M}}_4(
\mathsf {t}
,
\mathsf {s}
,
\mathsf {c}
,
\lceil 
[|
\mathsf{x}|
\mathrel {\ddot {=}}if(0
 <= 
\mathsf{x}
,
\mathsf{x}
,-
\mathsf{x}
)
]
\rceil 
)
]$

$\rm
[|
\mathsf{x}|
\stackrel{
\mathrm{tex}
}{\rightarrow}
\mbox{``}|
\#1.|
\mbox{''}
]$

$\rm
[|
\ast |
\stackrel{
\mathrm{pyk}
}{\rightarrow}
\mbox{``}|
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}
\mbox {\tt \char34}
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}|
\mbox{''}
]$

\hypertarget {url:1808490583581903168404721082347638465545342357588912671848929942716323841:427}{}\section* {$\rm if(\ast
,\ast
,\ast
)$}

$\rm
[if(
\mathsf{x}
,
\mathsf{y}
,
\mathsf{z}
)
\stackrel{
\mathrm{tex}
}{\rightarrow}
\mbox{``}if(
\#1.
\newline ,
\#2.
\newline ,
\#3.
\newline )
\mbox{''}
]$

$\rm
[if(
\ast 
,
\ast 
,
\ast 
)
\stackrel{
\mathrm{pyk}
}{\rightarrow}
\mbox{``}if(
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}
\mbox {\tt \char34}
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{},
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}
\mbox {\tt \char34}
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{},
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}
\mbox {\tt \char34}
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{})
\mbox{''}
]$

\hypertarget {url:1808490583581903168404721082347638465545342357588912671848929942716323841:428}{}\section* {$\rm \ast
 = \ast$}

$\rm
[
\mathsf{x}
 = 
\mathsf{y}
\stackrel{
\mathrm{tex}
}{\rightarrow}
\mbox{``}
\#1.
\newline 
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}
{=}
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}
\#2.
\mbox{''}
]$

$\rm
[
\ast 
 = 
\ast 
\stackrel{
\mathrm{pyk}
}{\rightarrow}
\mbox{``}
\mbox {\tt \char34}
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}
{=}
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}
\mbox {\tt \char34}
\mbox{''}
]$

\hypertarget {url:1808490583581903168404721082347638465545342357588912671848929942716323841:429}{}\section* {$\rm \ast
 \neq \ast$}

$\rm
[
\mathsf{x}
 \neq 
\mathsf{y}
\stackrel{
\mathrm {macro}
}{\rightarrow}
\lambda 
\mathsf {t}
.
\lambda 
\mathsf {s}
.
\lambda 
\mathsf {c}
.
\tilde {{\cal M}}_4(
\mathsf {t}
,
\mathsf {s}
,
\mathsf {c}
,
\lceil 
[
\mathsf{x}
 \neq 
\mathsf{y}
\mathrel {\ddot {=}}\dot{\neg}\, 
\mathsf{x}
 = 
\mathsf{y}
]
\rceil 
)
]$

$\rm
[
\mathsf{x}
 \neq 
\mathsf{y}
\stackrel{
\mathrm{tex}
}{\rightarrow}
\mbox{``}
\#1.
\newline 
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}
\mbox {$\backslash $}neq
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}
\#2.
\mbox{''}
]$

$\rm
[
\ast 
 \neq 
\ast 
\stackrel{
\mathrm{pyk}
}{\rightarrow}
\mbox{``}
\mbox {\tt \char34}
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}!
{=}
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}
\mbox {\tt \char34}
\mbox{''}
]$

\hypertarget {url:1808490583581903168404721082347638465545342357588912671848929942716323841:430}{}\section* {$\rm \ast
 <= \ast$}

$\rm
[
\mathsf{x}
 <= 
\mathsf{y}
\stackrel{
\mathrm{tex}
}{\rightarrow}
\mbox{``}
\#1.
\newline 
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}
{<}
{=}
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}
\#2.
\mbox{''}
]$

$\rm
[
\ast 
 <= 
\ast 
\stackrel{
\mathrm{pyk}
}{\rightarrow}
\mbox{``}
\mbox {\tt \char34}
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}
{<}
{=}
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}
\mbox {\tt \char34}
\mbox{''}
]$

\hypertarget {url:1808490583581903168404721082347638465545342357588912671848929942716323841:431}{}\section* {$\rm \ast
 < \ast$}

$\rm
[
\mathsf{x}
 < 
\mathsf{y}
\stackrel{
\mathrm {macro}
}{\rightarrow}
\lambda 
\mathsf {t}
.
\lambda 
\mathsf {s}
.
\lambda 
\mathsf {c}
.
\tilde {{\cal M}}_4(
\mathsf {t}
,
\mathsf {s}
,
\mathsf {c}
,
\lceil 
[
\mathsf{x}
 < 
\mathsf{y}
\mathrel {\ddot {=}}
\mathsf{x}
 <= 
\mathsf{y}
\mathrel{\dot{\wedge}} 
\mathsf{x}
 \neq 
\mathsf{y}
]
\rceil 
)
]$

$\rm
[
\mathsf{x}
 < 
\mathsf{y}
\stackrel{
\mathrm{tex}
}{\rightarrow}
\mbox{``}
\#1.
\newline 
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}
{<}
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}
\#2.
\mbox{''}
]$

$\rm
[
\ast 
 < 
\ast 
\stackrel{
\mathrm{pyk}
}{\rightarrow}
\mbox{``}
\mbox {\tt \char34}
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}
{<}
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}
\mbox {\tt \char34}
\mbox{''}
]$

\hypertarget {url:1808490583581903168404721082347638465545342357588912671848929942716323841:432}{}\section* {$\rm \ast
=_{f}\ast$}

$\rm
[
\mathsf{x}
=_{f}
\mathsf{y}
\stackrel{
\mathrm{tex}
}{\rightarrow}
\mbox{``}
\#1.
\newline 
{=}
\_
\{f
\}
\#2.
\mbox{''}
]$

$\rm
[
\ast 
=_{f}
\ast 
\stackrel{
\mathrm{pyk}
}{\rightarrow}
\mbox{``}
\mbox {\tt \char34}
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}
{=}f
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}
\mbox {\tt \char34}
\mbox{''}
]$

\hypertarget {url:1808490583581903168404721082347638465545342357588912671848929942716323841:433}{}\section* {$\rm \ast
<_{f}\ast$}

$\rm
[
\mathsf{x}
<_{f}
\mathsf{y}
\stackrel{
\mathrm{tex}
}{\rightarrow}
\mbox{``}
\#1.
\newline 
{<}
\_
\{f
\}
\#2.
\mbox{''}
]$

$\rm
[
\ast 
<_{f}
\ast 
\stackrel{
\mathrm{pyk}
}{\rightarrow}
\mbox{``}
\mbox {\tt \char34}
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}
{<}f
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}
\mbox {\tt \char34}
\mbox{''}
]$

\hypertarget {url:1808490583581903168404721082347638465545342357588912671848929942716323841:434}{}\section* {$\rm SF(\ast
,\ast
)$}

$\rm
[SF(
\mathsf{x}
,
\mathsf{y}
)
\stackrel{
\mathrm{tex}
}{\rightarrow}
\mbox{``}SF(
\#1.
\newline ,
\#2.
\newline )
\mbox{''}
]$

$\rm
[SF(
\ast 
,
\ast 
)
\stackrel{
\mathrm{pyk}
}{\rightarrow}
\mbox{``}
\mbox {\tt \char34}
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}sameF
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}
\mbox {\tt \char34}
\mbox{''}
]$

\hypertarget {url:1808490583581903168404721082347638465545342357588912671848929942716323841:435}{}\section* {$\rm \ast
 == \ast$}

$\rm
[
\mathsf{x}
 == 
\mathsf{y}
\stackrel{
\mathrm{tex}
}{\rightarrow}
\mbox{``}
\#1.
\newline 
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}
{=}
{=}
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}
\#2.
\mbox{''}
]$

$\rm
[
\ast 
 == 
\ast 
\stackrel{
\mathrm{pyk}
}{\rightarrow}
\mbox{``}
\mbox {\tt \char34}
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}
{=}
{=}
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}
\mbox {\tt \char34}
\mbox{''}
]$

\hypertarget {url:1808490583581903168404721082347638465545342357588912671848929942716323841:436}{}\section* {$\rm \ast
 << \ast$}

$\rm
[
\mathsf{x}
 << 
\mathsf{y}
\stackrel{
\mathrm{tex}
}{\rightarrow}
\mbox{``}
\#1.
\newline 
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}
{<}
{<}
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}
\#2.
\mbox{''}
]$

$\rm
[
\ast 
 << 
\ast 
\stackrel{
\mathrm{pyk}
}{\rightarrow}
\mbox{``}
\mbox {\tt \char34}
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}
{<}
{<}
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}
\mbox {\tt \char34}
\mbox{''}
]$

\hypertarget {url:1808490583581903168404721082347638465545342357588912671848929942716323841:437}{}\section* {$\rm \ast
 <<== \ast$}

$\rm
[
\mathsf{x}
 <<== 
\mathsf{y}
\stackrel{
\mathrm {macro}
}{\rightarrow}
\lambda 
\mathsf {t}
.
\lambda 
\mathsf {s}
.
\lambda 
\mathsf {c}
.
\tilde {{\cal M}}_4(
\mathsf {t}
,
\mathsf {s}
,
\mathsf {c}
,
\lceil 
[
\mathsf{x}
 <<== 
\mathsf{y}
\mathrel {\ddot {=}}
\mathsf{x}
 << 
\mathsf{y}
 \mathrel{\dot{\vee}} 
\mathsf{x}
 == 
\mathsf{y}
]
\rceil 
)
]$

$\rm
[
\mathsf{x}
 <<== 
\mathsf{y}
\stackrel{
\mathrm{tex}
}{\rightarrow}
\mbox{``}
\#1.
\newline 
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}
{<}
{<}
{=}
{=}
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}
\#2.
\mbox{''}
]$

$\rm
[
\ast 
 <<== 
\ast 
\stackrel{
\mathrm{pyk}
}{\rightarrow}
\mbox{``}
\mbox {\tt \char34}
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}
{<}
{<}
{=}
{=}
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}
\mbox {\tt \char34}
\mbox{''}
]$

\hypertarget {url:1808490583581903168404721082347638465545342357588912671848929942716323841:438}{}\section* {$\rm \ast
\!\mathrel{==}\! \ast$}

$\rm
[
\mathsf{x}
\!\mathrel{==}\! 
\mathsf{y}
\stackrel{
\mathrm{tex}
}{\rightarrow}
\mbox{``}
\#1.
\newline 
\mbox {$\backslash $}!
\mbox {$\backslash $}mathrel
\{
{=}
{=}
\}
\mbox {$\backslash $}!
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}
\#2.
\mbox{''}
]$

$\rm
[
\ast 
\!\mathrel{==}\! 
\ast 
\stackrel{
\mathrm{pyk}
}{\rightarrow}
\mbox{``}
\mbox {\tt \char34}
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}zermelo
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}is
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}
\mbox {\tt \char34}
\mbox{''}
]$

\hypertarget {url:1808490583581903168404721082347638465545342357588912671848929942716323841:439}{}\section* {$\rm \ast
 \mathrel{\subseteq} \ast$}

$\rm
[
\mathsf{x}
 \mathrel{\subseteq} 
\mathsf{y}
\stackrel{
\mathrm {macro}
}{\rightarrow}
\lambda 
\mathsf {t}
.
\lambda 
\mathsf {s}
.
\lambda 
\mathsf {c}
.
\tilde {{\cal M}}_4(
\mathsf {t}
,
\mathsf {s}
,
\mathsf {c}
,
\lceil 
[
\mathsf{x}
 \mathrel{\subseteq} 
\mathsf{y}
\mathrel {\ddot {=}}
(
\mathit{s}
 \mathrel{\in} 
\mathsf{x}
\Rightarrow 
\mathit{s}
 \mathrel{\in} 
\mathsf{y}
)
]
\rceil 
)
]$

$\rm
[
\mathsf{x}
 \mathrel{\subseteq} 
\mathsf{y}
\stackrel{
\mathrm{tex}
}{\rightarrow}
\mbox{``}
\#1.
\newline 
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}
\mbox {$\backslash $}mathrel
\{
\mbox {$\backslash $}subseteq
\}
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}
\#2.
\mbox{''}
]$

$\rm
[
\ast 
 \mathrel{\subseteq} 
\ast 
\stackrel{
\mathrm{pyk}
}{\rightarrow}
\mbox{``}
\mbox {\tt \char34}
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}is
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}subset
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}of
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}
\mbox {\tt \char34}
\mbox{''}
]$

\hypertarget {url:1808490583581903168404721082347638465545342357588912671848929942716323841:440}{}\section* {$\rm \dot{\neg}\, \ast$}

$\rm
[\dot{\neg}\, 
\mathsf{x}
\stackrel{
\mathrm{tex}
}{\rightarrow}
\mbox{``}
\mbox {$\backslash $}dot
\{
\mbox {$\backslash $}neg
\}
\mbox {$\backslash $},
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}
\#1.
\mbox{''}
]$

$\rm
[\dot{\neg}\, 
\ast 
\stackrel{
\mathrm{pyk}
}{\rightarrow}
\mbox{``}not0
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}
\mbox {\tt \char34}
\mbox{''}
]$

\hypertarget {url:1808490583581903168404721082347638465545342357588912671848929942716323841:441}{}\section* {$\rm \ast
 \mathrel{\notin} \ast$}

$\rm
[
\mathsf{x}
 \mathrel{\notin} 
\mathsf{y}
\stackrel{
\mathrm {macro}
}{\rightarrow}
\lambda 
\mathsf {t}
.
\lambda 
\mathsf {s}
.
\lambda 
\mathsf {c}
.
\tilde {{\cal M}}_4(
\mathsf {t}
,
\mathsf {s}
,
\mathsf {c}
,
\lceil 
[
\mathsf{x}
 \mathrel{\notin} 
\mathsf{y}
\mathrel {\ddot {=}}\dot{\neg}\, 
\mathsf{x}
 \mathrel{\in} 
\mathsf{y}
]
\rceil 
)
]$

$\rm
[
\mathsf{x}
 \mathrel{\notin} 
\mathsf{y}
\stackrel{
\mathrm{tex}
}{\rightarrow}
\mbox{``}
\#1.
\newline 
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}
\mbox {$\backslash $}mathrel
\{
\mbox {$\backslash $}notin
\}
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}
\#2.
\mbox{''}
]$

$\rm
[
\ast 
 \mathrel{\notin} 
\ast 
\stackrel{
\mathrm{pyk}
}{\rightarrow}
\mbox{``}
\mbox {\tt \char34}
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}zermelo
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}
\char126 in
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}
\mbox {\tt \char34}
\mbox{''}
]$

\hypertarget {url:1808490583581903168404721082347638465545342357588912671848929942716323841:442}{}\section* {$\rm \ast
 \mathrel{\neq} \ast$}

$\rm
[
\mathsf{x}
 \mathrel{\neq} 
\mathsf{y}
\stackrel{
\mathrm {macro}
}{\rightarrow}
\lambda 
\mathsf {t}
.
\lambda 
\mathsf {s}
.
\lambda 
\mathsf {c}
.
\tilde {{\cal M}}_4(
\mathsf {t}
,
\mathsf {s}
,
\mathsf {c}
,
\lceil 
[
\mathsf{x}
 \mathrel{\neq} 
\mathsf{y}
\mathrel {\ddot {=}}\dot{\neg}\, 
\mathsf{x}
\!\mathrel{==}\! 
\mathsf{y}
]
\rceil 
)
]$

$\rm
[
\mathsf{x}
 \mathrel{\neq} 
\mathsf{y}
\stackrel{
\mathrm{tex}
}{\rightarrow}
\mbox{``}
\#1.
\newline 
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}
\mbox {$\backslash $}mathrel
\{
\mbox {$\backslash $}neq
\}
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}
\#2.
\mbox{''}
]$

$\rm
[
\ast 
 \mathrel{\neq} 
\ast 
\stackrel{
\mathrm{pyk}
}{\rightarrow}
\mbox{``}
\mbox {\tt \char34}
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}zermelo
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}
\char126 is
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}
\mbox {\tt \char34}
\mbox{''}
]$

\hypertarget {url:1808490583581903168404721082347638465545342357588912671848929942716323841:443}{}\section* {$\rm \ast
\mathrel{\dot{\wedge}} \ast$}

$\rm
[
\mathsf{x}
\mathrel{\dot{\wedge}} 
\mathsf{y}
\stackrel{
\mathrm {macro}
}{\rightarrow}
\lambda 
\mathsf {t}
.
\lambda 
\mathsf {s}
.
\lambda 
\mathsf {c}
.
\tilde {{\cal M}}_4(
\mathsf {t}
,
\mathsf {s}
,
\mathsf {c}
,
\lceil 
[
\mathsf{x}
\mathrel{\dot{\wedge}} 
\mathsf{y}
\mathrel {\ddot {=}}\dot{\neg}\, 
(
\mathsf{x}
\Rightarrow \dot{\neg}\, 
\mathsf{y}
)
]
\rceil 
)
]$

$\rm
[
\mathsf{x}
\mathrel{\dot{\wedge}} 
\mathsf{y}
\stackrel{
\mathrm{tex}
}{\rightarrow}
\mbox{``}
\#1.
\newline 
\mbox {$\backslash $}mathrel
\{
\mbox {$\backslash $}dot
\{
\mbox {$\backslash $}wedge
\}
\}
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}
\#2.
\mbox{''}
]$

$\rm
[
\ast 
\mathrel{\dot{\wedge}} 
\ast 
\stackrel{
\mathrm{pyk}
}{\rightarrow}
\mbox{``}
\mbox {\tt \char34}
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}and0
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}
\mbox {\tt \char34}
\mbox{''}
]$

\hypertarget {url:1808490583581903168404721082347638465545342357588912671848929942716323841:444}{}\section* {$\rm \ast
 \mathrel{\dot{\vee}} \ast$}

$\rm
[
\mathsf{x}
 \mathrel{\dot{\vee}} 
\mathsf{y}
\stackrel{
\mathrm {macro}
}{\rightarrow}
\lambda 
\mathsf {t}
.
\lambda 
\mathsf {s}
.
\lambda 
\mathsf {c}
.
\tilde {{\cal M}}_4(
\mathsf {t}
,
\mathsf {s}
,
\mathsf {c}
,
\lceil 
[
\mathsf{x}
 \mathrel{\dot{\vee}} 
\mathsf{y}
\mathrel {\ddot {=}}\dot{\neg}\, 
\mathsf{x}
\Rightarrow 
\mathsf{y}
]
\rceil 
)
]$

$\rm
[
\mathsf{x}
 \mathrel{\dot{\vee}} 
\mathsf{y}
\stackrel{
\mathrm{tex}
}{\rightarrow}
\mbox{``}
\#1.
\newline 
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}
\mbox {$\backslash $}mathrel
\{
\mbox {$\backslash $}dot
\{
\mbox {$\backslash $}vee
\}
\}
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}
\#2.
\mbox{''}
]$

$\rm
[
\ast 
 \mathrel{\dot{\vee}} 
\ast 
\stackrel{
\mathrm{pyk}
}{\rightarrow}
\mbox{``}
\mbox {\tt \char34}
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}or0
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}
\mbox {\tt \char34}
\mbox{''}
]$

\hypertarget {url:1808490583581903168404721082347638465545342357588912671848929942716323841:445}{}\section* {$\rm \ast
\mathrel{\dot{\Leftrightarrow}} \ast$}

$\rm
[
\mathsf{x}
\mathrel{\dot{\Leftrightarrow}} 
\mathsf{y}
\stackrel{
\mathrm {macro}
}{\rightarrow}
\lambda 
\mathsf {t}
.
\lambda 
\mathsf {s}
.
\lambda 
\mathsf {c}
.
\tilde {{\cal M}}_4(
\mathsf {t}
,
\mathsf {s}
,
\mathsf {c}
,
\lceil 
[
\mathsf{x}
\mathrel{\dot{\Leftrightarrow}} 
\mathsf{y}
\mathrel {\ddot {=}}
(
\mathsf{x}
\Rightarrow 
\mathsf{y}
)
\mathrel{\dot{\wedge}} 
(
\mathsf{y}
\Rightarrow 
\mathsf{x}
)
]
\rceil 
)
]$

$\rm
[
\mathsf{x}
\mathrel{\dot{\Leftrightarrow}} 
\mathsf{y}
\stackrel{
\mathrm{tex}
}{\rightarrow}
\mbox{``}
\#1.
\newline 
\mbox {$\backslash $}mathrel
\{
\mbox {$\backslash $}dot
\{
\mbox {$\backslash $}Leftrightarrow
\}
\}
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}
\#2.
\mbox{''}
]$

$\rm
[
\ast 
\mathrel{\dot{\Leftrightarrow}} 
\ast 
\stackrel{
\mathrm{pyk}
}{\rightarrow}
\mbox{``}
\mbox {\tt \char34}
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}iff
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}
\mbox {\tt \char34}
\mbox{''}
]$

\hypertarget {url:1808490583581903168404721082347638465545342357588912671848929942716323841:446}{}\section* {$\rm  \{ ph \mathrel{\in} \ast
\mid \ast
\}$}

$\rm
[ \{ ph \mathrel{\in} 
\mathsf{x}
\mid 
\mathsf {a}
\}
\stackrel{
\mathrm{tex}
}{\rightarrow}
\mbox{``}
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}
\mbox {$\backslash $}
\{
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}ph
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}
\mbox {$\backslash $}mathrel
\{
\mbox {$\backslash $}in
\}
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}
\#1.
\newline 
\mbox {$\backslash $}mid
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}
\#2.
\newline 
\mbox {$\backslash $}
\}
\mbox{''}
]$

$\rm
[ \{ ph \mathrel{\in} 
\ast 
\mid 
\ast 
\}
\stackrel{
\mathrm{pyk}
}{\rightarrow}
\mbox{``}the
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}set
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}of
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}ph
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}in
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}
\mbox {\tt \char34}
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}such
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}that
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}
\mbox {\tt \char34}
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}end
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}set
\mbox{''}
]$

\vspace{2ex}

{\em \href {http://www.diku.dk/~grue/logiweb/20060417/logiweb/doc/compiler/index.html}{The pyk compiler},
version 0.grue.20060417+
by
\href {http://www.diku.dk/~grue/index.html}{Klaus Grue}\\
\href {http://www.diku.dk/~grue/logiweb/20060417/logiweb/doc/misc/time.html}{GRD-2006-09-15.UTC:09:33:20.992497} = 
\href {http://www.diku.dk/~grue/logiweb/20060417/logiweb/doc/misc/time.html}{MJD-53993.TAI:09:33:53.992497} = 
\href {http://www.diku.dk/~grue/logiweb/20060417/logiweb/doc/misc/time.html}{LGT-4665029633992497e-6}
}

\end{document}

