\documentclass [fleqn]{article}

\setlength {\overfullrule }{1mm}

\usepackage{latexsym}

\setlength{\parindent}{0em}

\setlength{\parskip}{1ex}

\usepackage{graphicx}

\usepackage[dvipdfm=true]{hyperref}

\hypersetup{pdfpagemode=none}

\hypersetup{pdfstartpage=1}

\hypersetup{pdfstartview=FitBH}

\hypersetup{pdfpagescrop={120 130 490 730}}

\hypersetup{pdftitle=Logiweb codex of opgave}

\hypersetup{colorlinks=true}

\everymath{\rm}

\begin {document}\raggedright

\makebox [0mm][l]{\makebox [\linewidth ][r]{\includegraphics [0mm,18.5mm][16.5mm,19mm]{/home/disk07/grue/logiweb/20060417/html/logiweb/doc/logiweb.eps}}}%
{\bf {\Large Logiweb codex of $\rm 
\mbox{opgave}$}}

\vspace {12.5mm}

\href {../index.html}{Up}
\href {http://www.diku.dk/~grue/logiweb/20060417/logiweb/doc/browser/codex/index.html}{Help}


\begin {flushleft}\hyperlink {url:1808490373749049856838801749754674032079431248934152926926024270046521601:53}{$\rm 
S$},
\hyperlink {url:1808490373749049856838801749754674032079431248934152926926024270046521601:54}{$\rm 
Neg$},
\hyperlink {url:1808490373749049856838801749754674032079431248934152926926024270046521601:55}{$\rm 
MP$},
\hyperlink {url:1808490373749049856838801749754674032079431248934152926926024270046521601:56}{$\rm 
Gen$},
\hyperlink {url:1808490373749049856838801749754674032079431248934152926926024270046521601:57}{$\rm 
Ded$},
\hyperlink {url:1808490373749049856838801749754674032079431248934152926926024270046521601:58}{$\rm 
S1$},
\hyperlink {url:1808490373749049856838801749754674032079431248934152926926024270046521601:59}{$\rm 
S2$},
\hyperlink {url:1808490373749049856838801749754674032079431248934152926926024270046521601:60}{$\rm 
S3$},
\hyperlink {url:1808490373749049856838801749754674032079431248934152926926024270046521601:61}{$\rm 
S4$},
\hyperlink {url:1808490373749049856838801749754674032079431248934152926926024270046521601:62}{$\rm 
S5$},
\hyperlink {url:1808490373749049856838801749754674032079431248934152926926024270046521601:63}{$\rm 
S6$},
\hyperlink {url:1808490373749049856838801749754674032079431248934152926926024270046521601:64}{$\rm 
S7$},
\hyperlink {url:1808490373749049856838801749754674032079431248934152926926024270046521601:65}{$\rm 
S8$},
\hyperlink {url:1808490373749049856838801749754674032079431248934152926926024270046521601:66}{$\rm 
S9$},
\hyperlink {url:1808490373749049856838801749754674032079431248934152926926024270046521601:72}{$\rm 
Prop\ 3.2a$},
\hyperlink {url:1808490373749049856838801749754674032079431248934152926926024270046521601:73}{$\rm 
Prop\ 3.2b$},
\hyperlink {url:1808490373749049856838801749754674032079431248934152926926024270046521601:74}{$\rm 
Prop\ 3.2c$},
\hyperlink {url:1808490373749049856838801749754674032079431248934152926926024270046521601:75}{$\rm 
Prop\ 3.2d$},
\hyperlink {url:1808490373749049856838801749754674032079431248934152926926024270046521601:78}{$\rm 
Prop\ 3.2e$},
\hyperlink {url:1808490373749049856838801749754674032079431248934152926926024270046521601:81}{$\rm 
Prop\ 3.2f$},
\hyperlink {url:1808490373749049856838801749754674032079431248934152926926024270046521601:84}{$\rm 
Prop\ 3.2g$},
\hyperlink {url:1808490373749049856838801749754674032079431248934152926926024270046521601:87}{$\rm 
Prop\ 3.2h$},
\hyperlink {url:1808490450776494469886199066475724407610946851235271335976337380875467521:0}{$\rm 
\mbox{opgave}$},
\hyperlink {url:1808490450776494469886199066475724407610946851235271335976337380875467521:1}{$\rm 
\overline{0}$},
\hyperlink {url:1808490450776494469886199066475724407610946851235271335976337380875467521:2}{$\rm 
\overline{1}$},
\hyperlink {url:1808490450776494469886199066475724407610946851235271335976337380875467521:3}{$\rm 
\overline{2}$},
\hyperlink {url:1808490450776494469886199066475724407610946851235271335976337380875467521:4}{$\rm 
\overline{3}$},
\hyperlink {url:1808490450776494469886199066475724407610946851235271335976337380875467521:5}{$\rm 
\overline{4}$},
\hyperlink {url:1808490450776494469886199066475724407610946851235271335976337380875467521:6}{$\rm 
\overline{5}$},
\hyperlink {url:1808490450776494469886199066475724407610946851235271335976337380875467521:7}{$\rm 
\overline{6}$},
\hyperlink {url:1808490450776494469886199066475724407610946851235271335976337380875467521:8}{$\rm 
\overline{7}$},
\hyperlink {url:1808490450776494469886199066475724407610946851235271335976337380875467521:9}{$\rm 
\overline{8}$},
\hyperlink {url:1808490450776494469886199066475724407610946851235271335976337380875467521:10}{$\rm 
\overline{9}$},
\hyperlink {url:1808490450776494469886199066475724407610946851235271335976337380875467521:11}{$\rm 
\overline{n}$},
\hyperlink {url:1808490450776494469886199066475724407610946851235271335976337380875467521:12}{$\rm 
\mbox{rule div}$},
\hyperlink {url:1808490450776494469886199066475724407610946851235271335976337380875467521:13}{$\rm 
R$},
\hyperlink {url:1808490450776494469886199066475724407610946851235271335976337380875467521:14}{$\rm 
R1$},
\hyperlink {url:1808490450776494469886199066475724407610946851235271335976337380875467521:15}{$\rm 
R2$},
\hyperlink {url:1808490450776494469886199066475724407610946851235271335976337380875467521:16}{$\rm 
R3$},
\hyperlink {url:1808490450776494469886199066475724407610946851235271335976337380875467521:17}{$\rm 
R4$},
\hyperlink {url:1808490450776494469886199066475724407610946851235271335976337380875467521:18}{$\rm 
R5$},
\hyperlink {url:1808490450776494469886199066475724407610946851235271335976337380875467521:19}{$\rm 
R6$},
\hyperlink {url:1808490450776494469886199066475724407610946851235271335976337380875467521:20}{$\rm 
Con1$},
\hyperlink {url:1808490450776494469886199066475724407610946851235271335976337380875467521:21}{$\rm 
Con2$},
\hyperlink {url:1808490450776494469886199066475724407610946851235271335976337380875467521:22}{$\rm 
Con$},
\hyperlink {url:1808490450776494469886199066475724407610946851235271335976337380875467521:23}{$\rm 
Dis1$},
\hyperlink {url:1808490450776494469886199066475724407610946851235271335976337380875467521:24}{$\rm 
Dis2$},
\hyperlink {url:1808490450776494469886199066475724407610946851235271335976337380875467521:25}{$\rm 
Lem 1.11c$},
\hyperlink {url:1808490450776494469886199066475724407610946851235271335976337380875467521:26}{$\rm 
Cor 1.10a$},
\hyperlink {url:1808490450776494469886199066475724407610946851235271335976337380875467521:27}{$\rm 
Cor 1.10b$},
\hyperlink {url:1808490450776494469886199066475724407610946851235271335976337380875467521:28}{$\rm 
Lem 1.11a$},
\hyperlink {url:1808490450776494469886199066475724407610946851235271335976337380875467521:29}{$\rm 
Lem 1.11b$},
\hyperlink {url:1808490450776494469886199066475724407610946851235271335976337380875467521:30}{$\rm 
H3$},
\hyperlink {url:1808490450776494469886199066475724407610946851235271335976337380875467521:31}{$\rm 
Prop 3.2c'$},
\hyperlink {url:1808490450776494469886199066475724407610946851235271335976337380875467521:32}{$\rm 
S1''$},
\hyperlink {url:1808490450776494469886199066475724407610946851235271335976337380875467521:33}{$\rm 
Neg'$},
\hyperlink {url:1808490450776494469886199066475724407610946851235271335976337380875467521:34}{$\rm 
Repetition'$},
\hyperlink {url:1808490450776494469886199066475724407610946851235271335976337380875467521:35}{$\rm 
Lem 1.11e$},
\hyperlink {url:1808490450776494469886199066475724407610946851235271335976337380875467521:36}{$\rm 
Lem 1.11d$},
\hyperlink {url:1808490450776494469886199066475724407610946851235271335976337380875467521:37}{$\rm 
Prop 3.2b'$},
\hyperlink {url:1808490450776494469886199066475724407610946851235271335976337380875467521:38}{$\rm 
H10$},
\hyperlink {url:1808490450776494469886199066475724407610946851235271335976337380875467521:39}{$\rm 
H11$},
\hyperlink {url:1808490450776494469886199066475724407610946851235271335976337380875467521:40}{$\rm 
Lem 1.11g$},
\hyperlink {url:1808490450776494469886199066475724407610946851235271335976337380875467521:41}{$\rm 
MT$},
\hyperlink {url:1808490450776494469886199066475724407610946851235271335976337380875467521:42}{$\rm 
S10$},
\hyperlink {url:1808490450776494469886199066475724407610946851235271335976337380875467521:43}{$\rm 
Prop\ 3.2$},
\hyperlink {url:1808490450776494469886199066475724407610946851235271335976337380875467521:44}{$\rm 
Prop\ 3.2i$},
\hyperlink {url:1808490450776494469886199066475724407610946851235271335976337380875467521:45}{$\rm 
Prop\ 3.2j_1$},
\hyperlink {url:1808490450776494469886199066475724407610946851235271335976337380875467521:46}{$\rm 
Prop\ 3.2j_2$},
\hyperlink {url:1808490450776494469886199066475724407610946851235271335976337380875467521:47}{$\rm 
Prop\ 3.2j$},
\hyperlink {url:1808490450776494469886199066475724407610946851235271335976337380875467521:48}{$\rm 
Prop\ 3.2k_1$},
\hyperlink {url:1808490450776494469886199066475724407610946851235271335976337380875467521:49}{$\rm 
Prop\ 3.2k_2$},
\hyperlink {url:1808490450776494469886199066475724407610946851235271335976337380875467521:50}{$\rm 
Prop\ 3.2k$},
\hyperlink {url:1808490450776494469886199066475724407610946851235271335976337380875467521:51}{$\rm 
Prop\ 3.2l_1$},
\hyperlink {url:1808490450776494469886199066475724407610946851235271335976337380875467521:52}{$\rm 
Prop\ 3.2l_2$},
\hyperlink {url:1808490450776494469886199066475724407610946851235271335976337380875467521:53}{$\rm 
Prop\ 3.2l$},
\hyperlink {url:1808490450776494469886199066475724407610946851235271335976337380875467521:54}{$\rm 
Prop\ 3.2m_1$},
\hyperlink {url:1808490450776494469886199066475724407610946851235271335976337380875467521:55}{$\rm 
Prop\ 3.2m_2$},
\hyperlink {url:1808490450776494469886199066475724407610946851235271335976337380875467521:56}{$\rm 
Prop\ 3.2m$},
\hyperlink {url:1808490450776494469886199066475724407610946851235271335976337380875467521:57}{$\rm 
Prop\ 3.2n_1$},
\hyperlink {url:1808490450776494469886199066475724407610946851235271335976337380875467521:58}{$\rm 
Prop\ 3.2n_2$},
\hyperlink {url:1808490450776494469886199066475724407610946851235271335976337380875467521:59}{$\rm 
Prop\ 3.2n$},
\hyperlink {url:1808490450776494469886199066475724407610946851235271335976337380875467521:60}{$\rm 
Prop\ 3.2o$},
\hyperlink {url:1808490450776494469886199066475724407610946851235271335976337380875467521:61}{$\rm 
Prop\ 3.4$},
\hyperlink {url:1808490450776494469886199066475724407610946851235271335976337380875467521:62}{$\rm 
Prop\ 3.4a_1$},
\hyperlink {url:1808490450776494469886199066475724407610946851235271335976337380875467521:63}{$\rm 
Prop\ 3.4a_2$},
\hyperlink {url:1808490450776494469886199066475724407610946851235271335976337380875467521:64}{$\rm 
Prop\ 3.4a$},
\hyperlink {url:1808490450776494469886199066475724407610946851235271335976337380875467521:65}{$\rm 
Prop\ 3.4b$},
\hyperlink {url:1808490450776494469886199066475724407610946851235271335976337380875467521:66}{$\rm 
Prop\ 3.4c_1$},
\hyperlink {url:1808490450776494469886199066475724407610946851235271335976337380875467521:67}{$\rm 
Prop\ 3.4c_2$},
\hyperlink {url:1808490450776494469886199066475724407610946851235271335976337380875467521:68}{$\rm 
Prop\ 3.4c$},
\hyperlink {url:1808490450776494469886199066475724407610946851235271335976337380875467521:69}{$\rm 
Prop\ 3.4d_1$},
\hyperlink {url:1808490450776494469886199066475724407610946851235271335976337380875467521:70}{$\rm 
Prop\ 3.4d_2$},
\hyperlink {url:1808490450776494469886199066475724407610946851235271335976337380875467521:71}{$\rm 
Prop\ 3.4d$},
\hyperlink {url:1808490450776494469886199066475724407610946851235271335976337380875467521:72}{$\rm 
Prop\ 3.5$},
\hyperlink {url:1808490450776494469886199066475724407610946851235271335976337380875467521:73}{$\rm 
Prop\ 3.5a$},
\hyperlink {url:1808490450776494469886199066475724407610946851235271335976337380875467521:74}{$\rm 
Prop\ 3.5b$},
\hyperlink {url:1808490450776494469886199066475724407610946851235271335976337380875467521:75}{$\rm 
Prop\ 3.5c$},
\hyperlink {url:1808490450776494469886199066475724407610946851235271335976337380875467521:76}{$\rm 
Prop\ 3.5d_1$},
\hyperlink {url:1808490450776494469886199066475724407610946851235271335976337380875467521:77}{$\rm 
Prop\ 3.5d_2$},
\hyperlink {url:1808490450776494469886199066475724407610946851235271335976337380875467521:78}{$\rm 
Prop\ 3.5d$},
\hyperlink {url:1808490450776494469886199066475724407610946851235271335976337380875467521:79}{$\rm 
Prop\ 3.5e_1$},
\hyperlink {url:1808490450776494469886199066475724407610946851235271335976337380875467521:80}{$\rm 
Prop\ 3.5e_2$},
\hyperlink {url:1808490450776494469886199066475724407610946851235271335976337380875467521:81}{$\rm 
Prop\ 3.5e$},
\hyperlink {url:1808490450776494469886199066475724407610946851235271335976337380875467521:82}{$\rm 
Prop\ 3.5f_1$},
\hyperlink {url:1808490450776494469886199066475724407610946851235271335976337380875467521:83}{$\rm 
Prop\ 3.5f_2$},
\hyperlink {url:1808490450776494469886199066475724407610946851235271335976337380875467521:84}{$\rm 
Prop\ 3.5f$},
\hyperlink {url:1808490450776494469886199066475724407610946851235271335976337380875467521:85}{$\rm 
Prop\ 3.5g_1$},
\hyperlink {url:1808490450776494469886199066475724407610946851235271335976337380875467521:86}{$\rm 
Prop\ 3.5g_4$},
\hyperlink {url:1808490450776494469886199066475724407610946851235271335976337380875467521:87}{$\rm 
Prop\ 3.5g_2$},
\hyperlink {url:1808490450776494469886199066475724407610946851235271335976337380875467521:88}{$\rm 
Prop\ 3.5g_3$},
\hyperlink {url:1808490450776494469886199066475724407610946851235271335976337380875467521:89}{$\rm 
Prop\ 3.5g$},
\hyperlink {url:1808490450776494469886199066475724407610946851235271335976337380875467521:90}{$\rm 
Prop\ 3.5h_1$},
\hyperlink {url:1808490450776494469886199066475724407610946851235271335976337380875467521:91}{$\rm 
Prop\ 3.5h_2$},
\hyperlink {url:1808490450776494469886199066475724407610946851235271335976337380875467521:92}{$\rm 
Prop\ 3.5h$},
\hyperlink {url:1808490450776494469886199066475724407610946851235271335976337380875467521:93}{$\rm 
Prop\ 3.5i_1$},
\hyperlink {url:1808490450776494469886199066475724407610946851235271335976337380875467521:94}{$\rm 
Prop\ 3.5i_2$},
\hyperlink {url:1808490450776494469886199066475724407610946851235271335976337380875467521:95}{$\rm 
Prop\ 3.5i$},
\hyperlink {url:1808490450776494469886199066475724407610946851235271335976337380875467521:96}{$\rm 
Prop\ 3.5j_1$},
\hyperlink {url:1808490450776494469886199066475724407610946851235271335976337380875467521:97}{$\rm 
Prop\ 3.5j_2$},
\hyperlink {url:1808490450776494469886199066475724407610946851235271335976337380875467521:98}{$\rm 
Prop\ 3.5j$},
\hyperlink {url:1808490450776494469886199066475724407610946851235271335976337380875467521:99}{$\rm 
Prop\ 3.7$},
\hyperlink {url:1808490450776494469886199066475724407610946851235271335976337380875467521:100}{$\rm 
Prop\ 3.7a$},
\hyperlink {url:1808490450776494469886199066475724407610946851235271335976337380875467521:101}{$\rm 
Prop\ 3.7b$},
\hyperlink {url:1808490450776494469886199066475724407610946851235271335976337380875467521:102}{$\rm 
Prop\ 3.7c$},
\hyperlink {url:1808490450776494469886199066475724407610946851235271335976337380875467521:103}{$\rm 
Prop\ 3.7d$},
\hyperlink {url:1808490450776494469886199066475724407610946851235271335976337380875467521:104}{$\rm 
Prop\ 3.7e$},
\hyperlink {url:1808490450776494469886199066475724407610946851235271335976337380875467521:105}{$\rm 
Prop\ 3.7f$},
\hyperlink {url:1808490450776494469886199066475724407610946851235271335976337380875467521:106}{$\rm 
Prop\ 3.7g$},
\hyperlink {url:1808490450776494469886199066475724407610946851235271335976337380875467521:107}{$\rm 
Prop\ 3.7g'$},
\hyperlink {url:1808490450776494469886199066475724407610946851235271335976337380875467521:108}{$\rm 
Prop\ 3.7h$},
\hyperlink {url:1808490450776494469886199066475724407610946851235271335976337380875467521:109}{$\rm 
Prop\ 3.7i$},
\hyperlink {url:1808490450776494469886199066475724407610946851235271335976337380875467521:110}{$\rm 
Prop\ 3.7j$},
\hyperlink {url:1808490450776494469886199066475724407610946851235271335976337380875467521:111}{$\rm 
Prop\ 3.7k$},
\hyperlink {url:1808490450776494469886199066475724407610946851235271335976337380875467521:112}{$\rm 
Prop\ 3.7k'$},
\hyperlink {url:1808490450776494469886199066475724407610946851235271335976337380875467521:113}{$\rm 
Prop\ 3.7l$},
\hyperlink {url:1808490450776494469886199066475724407610946851235271335976337380875467521:114}{$\rm 
Prop\ 3.7l'$},
\hyperlink {url:1808490450776494469886199066475724407610946851235271335976337380875467521:115}{$\rm 
Prop\ 3.7m$},
\hyperlink {url:1808490450776494469886199066475724407610946851235271335976337380875467521:116}{$\rm 
Prop\ 3.7n$},
\hyperlink {url:1808490450776494469886199066475724407610946851235271335976337380875467521:117}{$\rm 
Prop\ 3.7o$},
\hyperlink {url:1808490450776494469886199066475724407610946851235271335976337380875467521:118}{$\rm 
Prop\ 3.7p$},
\hyperlink {url:1808490450776494469886199066475724407610946851235271335976337380875467521:119}{$\rm 
Prop\ 3.7q$},
\hyperlink {url:1808490450776494469886199066475724407610946851235271335976337380875467521:120}{$\rm 
Prop\ 3.7r$},
\hyperlink {url:1808490450776494469886199066475724407610946851235271335976337380875467521:121}{$\rm 
Prop\ 3.7s$},
\hyperlink {url:1808490450776494469886199066475724407610946851235271335976337380875467521:122}{$\rm 
Prop\ 3.7t$},
\hyperlink {url:1808490450776494469886199066475724407610946851235271335976337380875467521:123}{$\rm 
Prop\ 3.7u$},
\hyperlink {url:1808490450776494469886199066475724407610946851235271335976337380875467521:124}{$\rm 
Prop\ 3.7u'$},
\hyperlink {url:1808490450776494469886199066475724407610946851235271335976337380875467521:125}{$\rm 
Prop\ 3.7v$},
\hyperlink {url:1808490450776494469886199066475724407610946851235271335976337380875467521:126}{$\rm 
Prop\ 3.7w$},
\hyperlink {url:1808490450776494469886199066475724407610946851235271335976337380875467521:127}{$\rm 
Prop\ 3.7x$},
\hyperlink {url:1808490450776494469886199066475724407610946851235271335976337380875467521:128}{$\rm 
Prop\ 3.7x'$},
\hyperlink {url:1808490450776494469886199066475724407610946851235271335976337380875467521:129}{$\rm 
Prop\ 3.7y$},
\hyperlink {url:1808490450776494469886199066475724407610946851235271335976337380875467521:130}{$\rm 
Prop\ 3.7y'$},
\hyperlink {url:1808490450776494469886199066475724407610946851235271335976337380875467521:131}{$\rm 
Prop\ 3.7z$},
\hyperlink {url:1808490450776494469886199066475724407610946851235271335976337380875467521:132}{$\rm 
Prop\ 3.7z'$},
\hyperlink {url:1808490450776494469886199066475724407610946851235271335976337380875467521:133}{$\rm 
Prop\ 3.10$},
\hyperlink {url:1808490450776494469886199066475724407610946851235271335976337380875467521:134}{$\rm 
Prop\ 3.10a$},
\hyperlink {url:1808490450776494469886199066475724407610946851235271335976337380875467521:135}{$\rm 
Prop\ 3.10b$},
\hyperlink {url:1808490450776494469886199066475724407610946851235271335976337380875467521:136}{$\rm 
Prop\ 3.10c$},
\hyperlink {url:1808490450776494469886199066475724407610946851235271335976337380875467521:137}{$\rm 
Prop\ 3.10d$},
\hyperlink {url:1808490450776494469886199066475724407610946851235271335976337380875467521:138}{$\rm 
Prop\ 3.10e$},
\hyperlink {url:1808490450776494469886199066475724407610946851235271335976337380875467521:139}{$\rm 
Prop\ 3.10f$},
\hyperlink {url:1808490450776494469886199066475724407610946851235271335976337380875467521:140}{$\rm 
Prop\ 3.10g$},
\hyperlink {url:1808490450776494469886199066475724407610946851235271335976337380875467521:141}{$\rm 
Prop\ 3.10h$},
\hyperlink {url:1808490450776494469886199066475724407610946851235271335976337380875467521:142}{$\rm 
Prop\ 3.11$},
\hyperlink {url:1808490450776494469886199066475724407610946851235271335976337380875467521:143}{$\rm \ast 
< \ast$},
\hyperlink {url:1808490450776494469886199066475724407610946851235271335976337380875467521:144}{$\rm \ast 
\leq \ast$},
\hyperlink {url:1808490450776494469886199066475724407610946851235271335976337380875467521:145}{$\rm \ast 
\not <  \ast$},
\hyperlink {url:1808490450776494469886199066475724407610946851235271335976337380875467521:146}{$\rm \ast 
> \ast$},
\hyperlink {url:1808490450776494469886199066475724407610946851235271335976337380875467521:147}{$\rm \ast 
\geq \ast$},
\hyperlink {url:1808490450776494469886199066475724407610946851235271335976337380875467521:148}{$\rm \ast 
\not > \ast$},
\hyperlink {url:1808490450776494469886199066475724407610946851235271335976337380875467521:149}{$\rm \ast 
\neq \ast$},
\hyperlink {url:1808490450776494469886199066475724407610946851235271335976337380875467521:150}{$\rm \ast
\wedge \ast$},
\hyperlink {url:1808490450776494469886199066475724407610946851235271335976337380875467521:151}{$\rm \ast
\vee \ast$},
\hyperlink {url:1808490450776494469886199066475724407610946851235271335976337380875467521:152}{$\rm 
\exists \ast
\colon \ast$},
\hyperlink {url:1808490450776494469886199066475724407610946851235271335976337380875467521:153}{$\rm \ast
\mathrel{|} \ast$},
\hyperlink {url:1808490450776494469886199066475724407610946851235271335976337380875467521:154}{$\rm \ast
\ldots$},
\end {flushleft}

\hypertarget {url:1808490373749049856838801749754674032079431248934152926926024270046521601:53}{}\section* {$\rm 
S$}

$\rm
[
S
\stackrel{
stmt
}{\rightarrow}
\mathsf{x}
]$

\hypertarget {url:1808490373749049856838801749754674032079431248934152926926024270046521601:54}{}\section* {$\rm 
Neg$}

$\rm
[
Neg
\stackrel{
proof
}{\rightarrow}
Rule\ tactic
]$

$\rm
[
Neg
\stackrel{
stmt
}{\rightarrow}
S
\vdash 
\forall \underline{
\mathsf {a}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf {b}}
\colon 
{\neg }\underline{
\mathsf {b}}
\Rightarrow 
{\neg }\underline{
\mathsf {a}}
\vdash 
{\neg }\underline{
\mathsf {b}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {a}}
\vdash \underline{
\mathsf {b}}
]$

\hypertarget {url:1808490373749049856838801749754674032079431248934152926926024270046521601:55}{}\section* {$\rm 
MP$}

$\rm
[
MP
\stackrel{
proof
}{\rightarrow}
Rule\ tactic
]$

$\rm
[
MP
\stackrel{
stmt
}{\rightarrow}
S
\vdash 
\forall \underline{
\mathsf {a}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf {b}}
\colon \underline{
\mathsf {a}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {b}}
\vdash \underline{
\mathsf {a}}
\vdash \underline{
\mathsf {b}}
]$

\hypertarget {url:1808490373749049856838801749754674032079431248934152926926024270046521601:56}{}\section* {$\rm 
Gen$}

$\rm
[
Gen
\stackrel{
proof
}{\rightarrow}
Rule\ tactic
]$

$\rm
[
Gen
\stackrel{
stmt
}{\rightarrow}
S
\vdash 
\forall \underline{
\mathsf{x}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf {a}}
\colon \underline{
\mathsf {a}}
\vdash 
\forall_{obj} \underline{
\mathsf{x}}
\colon \underline{
\mathsf {a}}
]$

\hypertarget {url:1808490373749049856838801749754674032079431248934152926926024270046521601:57}{}\section* {$\rm 
Ded$}

$\rm
[
Ded
\stackrel{
proof
}{\rightarrow}
Rule\ tactic
]$

$\rm
[
Ded
\stackrel{
stmt
}{\rightarrow}
S
\vdash 
\forall \underline{
\mathsf {a}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf {b}}
\colon 
\lambda 
\mathsf{x}
.
Ded_0(
\lceil \underline{
\mathsf {a}}
\rceil 
,
\lceil \underline{
\mathsf {b}}
\rceil 
)
\mathrel {\makebox [0mm][l]{$\vdash $}\,{\vdash }} \underline{
\mathsf {a}}
\vdash \underline{
\mathsf {b}}
]$

\hypertarget {url:1808490373749049856838801749754674032079431248934152926926024270046521601:58}{}\section* {$\rm 
S1$}

$\rm
[
S1
\stackrel{
proof
}{\rightarrow}
Rule\ tactic
]$

$\rm
[
S1
\stackrel{
stmt
}{\rightarrow}
S
\vdash 
\forall \underline{
\mathsf {a}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf {b}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf {c}}
\colon \underline{
\mathsf {a}}
= \underline{
\mathsf {b}}
\vdash \underline{
\mathsf {a}}
= \underline{
\mathsf {c}}
\vdash \underline{
\mathsf {b}}
= \underline{
\mathsf {c}}
]$

\hypertarget {url:1808490373749049856838801749754674032079431248934152926926024270046521601:59}{}\section* {$\rm 
S2$}

$\rm
[
S2
\stackrel{
proof
}{\rightarrow}
Rule\ tactic
]$

$\rm
[
S2
\stackrel{
stmt
}{\rightarrow}
S
\vdash 
\forall \underline{
\mathsf {a}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf {b}}
\colon \underline{
\mathsf {a}}
= \underline{
\mathsf {b}}
\vdash \underline{
\mathsf {a}}
{}'
= \underline{
\mathsf {b}}
{}'
]$

\hypertarget {url:1808490373749049856838801749754674032079431248934152926926024270046521601:60}{}\section* {$\rm 
S3$}

$\rm
[
S3
\stackrel{
proof
}{\rightarrow}
Rule\ tactic
]$

$\rm
[
S3
\stackrel{
stmt
}{\rightarrow}
S
\vdash 
\forall \underline{
\mathsf {a}}
\colon 
{\neg }
0
= \underline{
\mathsf {a}}
{}'
]$

\hypertarget {url:1808490373749049856838801749754674032079431248934152926926024270046521601:61}{}\section* {$\rm 
S4$}

$\rm
[
S4
\stackrel{
proof
}{\rightarrow}
Rule\ tactic
]$

$\rm
[
S4
\stackrel{
stmt
}{\rightarrow}
S
\vdash 
\forall \underline{
\mathsf {a}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf {b}}
\colon \underline{
\mathsf {a}}
{}'
= \underline{
\mathsf {b}}
{}'
\vdash \underline{
\mathsf {a}}
= \underline{
\mathsf {b}}
]$

\hypertarget {url:1808490373749049856838801749754674032079431248934152926926024270046521601:62}{}\section* {$\rm 
S5$}

$\rm
[
S5
\stackrel{
proof
}{\rightarrow}
Rule\ tactic
]$

$\rm
[
S5
\stackrel{
stmt
}{\rightarrow}
S
\vdash 
\forall \underline{
\mathsf {a}}
\colon \underline{
\mathsf {a}}
+ 
0
= \underline{
\mathsf {a}}
]$

\hypertarget {url:1808490373749049856838801749754674032079431248934152926926024270046521601:63}{}\section* {$\rm 
S6$}

$\rm
[
S6
\stackrel{
proof
}{\rightarrow}
Rule\ tactic
]$

$\rm
[
S6
\stackrel{
stmt
}{\rightarrow}
S
\vdash 
\forall \underline{
\mathsf {a}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf {b}}
\colon \underline{
\mathsf {a}}
+ \underline{
\mathsf {b}}
{}'
= \underline{
\mathsf {a}}
+ \underline{
\mathsf {b}}
{}'
]$

\hypertarget {url:1808490373749049856838801749754674032079431248934152926926024270046521601:64}{}\section* {$\rm 
S7$}

$\rm
[
S7
\stackrel{
proof
}{\rightarrow}
Rule\ tactic
]$

$\rm
[
S7
\stackrel{
stmt
}{\rightarrow}
S
\vdash 
\forall \underline{
\mathsf {a}}
\colon \underline{
\mathsf {a}}
\cdot 
0
= 
0
]$

\hypertarget {url:1808490373749049856838801749754674032079431248934152926926024270046521601:65}{}\section* {$\rm 
S8$}

$\rm
[
S8
\stackrel{
proof
}{\rightarrow}
Rule\ tactic
]$

$\rm
[
S8
\stackrel{
stmt
}{\rightarrow}
S
\vdash 
\forall \underline{
\mathsf {a}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf {b}}
\colon \underline{
\mathsf {a}}
\cdot \underline{
\mathsf {b}}
{}'
= \underline{
\mathsf {a}}
\cdot \underline{
\mathsf {b}}
+ \underline{
\mathsf {a}}
]$

\hypertarget {url:1808490373749049856838801749754674032079431248934152926926024270046521601:66}{}\section* {$\rm 
S9$}

$\rm
[
S9
\stackrel{
proof
}{\rightarrow}
Rule\ tactic
]$

$\rm
[
S9
\stackrel{
stmt
}{\rightarrow}
S
\vdash 
\forall \underline{
\mathsf{x}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf {a}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf {b}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf {c}}
\colon 
\langle 
\lceil \underline{
\mathsf {b}}
\rceil 
{\equiv}^0 
\lceil \underline{
\mathsf {a}}
\rceil 
| 
\lceil \underline{
\mathsf{x}}
\rceil 
{:=} 
\lceil 
0
\rceil 
\rangle 
\mathrel {\makebox [0mm][l]{$\vdash $}\,{\vdash }} 
\langle 
\lceil \underline{
\mathsf {c}}
\rceil 
{\equiv}^0 
\lceil \underline{
\mathsf {a}}
\rceil 
| 
\lceil \underline{
\mathsf{x}}
\rceil 
{:=} 
\lceil \underline{
\mathsf{x}}
{}'
\rceil 
\rangle 
\mathrel {\makebox [0mm][l]{$\vdash $}\,{\vdash }} \underline{
\mathsf {b}}
\vdash \underline{
\mathsf {a}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {c}}
\vdash \underline{
\mathsf {a}}
]$

\hypertarget {url:1808490373749049856838801749754674032079431248934152926926024270046521601:72}{}\section* {$\rm 
Prop\ 3.2a$}

$\rm
[
Prop\ 3.2a
\stackrel{
stmt
}{\rightarrow}
S
\vdash 
\forall \underline{
\mathsf {a}}
\colon \underline{
\mathsf {a}}
= \underline{
\mathsf {a}}
]$

\hypertarget {url:1808490373749049856838801749754674032079431248934152926926024270046521601:73}{}\section* {$\rm 
Prop\ 3.2b$}

$\rm
[
Prop\ 3.2b
\stackrel{
stmt
}{\rightarrow}
S
\vdash 
\forall \underline{
\mathsf {a}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf {b}}
\colon \underline{
\mathsf {a}}
= \underline{
\mathsf {b}}
\vdash \underline{
\mathsf {b}}
= \underline{
\mathsf {a}}
]$

\hypertarget {url:1808490373749049856838801749754674032079431248934152926926024270046521601:74}{}\section* {$\rm 
Prop\ 3.2c$}

$\rm
[
Prop\ 3.2c
\stackrel{
stmt
}{\rightarrow}
S
\vdash 
\forall \underline{
\mathsf {a}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf {b}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf {c}}
\colon \underline{
\mathsf {a}}
= \underline{
\mathsf {b}}
\vdash \underline{
\mathsf {b}}
= \underline{
\mathsf {c}}
\vdash \underline{
\mathsf {a}}
= \underline{
\mathsf {c}}
]$

\hypertarget {url:1808490373749049856838801749754674032079431248934152926926024270046521601:75}{}\section* {$\rm 
Prop\ 3.2d$}

$\rm
[
Prop\ 3.2d
\stackrel{
stmt
}{\rightarrow}
S
\vdash 
\forall \underline{
\mathsf {a}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf {b}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf {c}}
\colon \underline{
\mathsf {a}}
= \underline{
\mathsf {c}}
\vdash \underline{
\mathsf {b}}
= \underline{
\mathsf {c}}
\vdash \underline{
\mathsf {a}}
= \underline{
\mathsf {b}}
]$

\hypertarget {url:1808490373749049856838801749754674032079431248934152926926024270046521601:78}{}\section* {$\rm 
Prop\ 3.2e$}

$\rm
[
Prop\ 3.2e
\stackrel{
stmt
}{\rightarrow}
S
\vdash 
\forall \underline{
\mathsf {a}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf {b}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf {c}}
\colon \underline{
\mathsf {a}}
= \underline{
\mathsf {b}}
\vdash \underline{
\mathsf {a}}
+ \underline{
\mathsf {c}}
= \underline{
\mathsf {b}}
+ \underline{
\mathsf {c}}
]$

\hypertarget {url:1808490373749049856838801749754674032079431248934152926926024270046521601:81}{}\section* {$\rm 
Prop\ 3.2f$}

$\rm
[
Prop\ 3.2f
\stackrel{
stmt
}{\rightarrow}
S
\vdash 
\forall \underline{
\mathsf {a}}
\colon \underline{
\mathsf {a}}
= 
0
+ \underline{
\mathsf {a}}
]$

\hypertarget {url:1808490373749049856838801749754674032079431248934152926926024270046521601:84}{}\section* {$\rm 
Prop\ 3.2g$}

$\rm
[
Prop\ 3.2g
\stackrel{
stmt
}{\rightarrow}
S
\vdash 
\forall \underline{
\mathsf {a}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf {b}}
\colon \underline{
\mathsf {a}}
{}'
+ \underline{
\mathsf {b}}
= \underline{
\mathsf {a}}
+ \underline{
\mathsf {b}}
{}'
]$

\hypertarget {url:1808490373749049856838801749754674032079431248934152926926024270046521601:87}{}\section* {$\rm 
Prop\ 3.2h$}

$\rm
[
Prop\ 3.2h
\stackrel{
stmt
}{\rightarrow}
S
\vdash 
\forall \underline{
\mathsf {a}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf {b}}
\colon \underline{
\mathsf {a}}
+ \underline{
\mathsf {b}}
= \underline{
\mathsf {b}}
+ \underline{
\mathsf {a}}
]$

\hypertarget {url:1808490450776494469886199066475724407610946851235271335976337380875467521:0}{}\section* {$\rm 
\mbox{opgave}$}

$\rm
[
\mbox{opgave}
\stackrel{
\mathrm{prio}
}{\rightarrow}
\newline \mathbf {Preassociative} \newline 
[
\mbox{opgave}
] , \linebreak [0] 
[
\mbox{base}
] , \linebreak [0] 
[
\mbox{bracket $
\ast $ end bracket}
] , \linebreak [0] 
[
\mbox{big bracket $
\ast $ end bracket}
] , \linebreak [0] 
[
\ \$
\ast \$\linebreak[0]\ 
] , \linebreak [0] 
[
\mathbf{flush\ left\ }[ 
\ast 
]
] , \linebreak [0] 
[
\mathsf{x}
] , \linebreak [0] 
[
\mathsf{y}
] , \linebreak [0] 
[
\mathsf{z}
] , \linebreak [0] 
[
[
\ast 
\bowtie
\ast 
]
] , \linebreak [0] 
[
[
\ast 
\stackrel{
\ast 
}{\rightarrow}
\ast 
]
] , \linebreak [0] 
[
\mathrm{pyk}
] , \linebreak [0] 
[
\mathrm{tex}
] , \linebreak [0] 
[
\mathrm{name}
] , \linebreak [0] 
[
\mathrm{prio}
] , \linebreak [0] 
[
\ast 
] , \linebreak [0] 
[
\mathsf {T}
] , \linebreak [0] 
[
\mathrm {if}(
\ast 
,\linebreak [0]
\ast 
,\linebreak [0]
\ast 
)
] , \linebreak [0] 
[
[
\ast 
\stackrel {
\ast 
}{\Rightarrow }
\ast 
]
] , \linebreak [0] 
[
\mathrm {val}
] , \linebreak [0] 
[
\mathrm {claim}
] , \linebreak [0] 
[
\bot 
] , \linebreak [0] 
[
f(
\ast 
)
] , \linebreak [0] 
[
(
\ast 
){}^{I} 
] , \linebreak [0] 
[
\mathsf {F}
] , \linebreak [0] 
[
\underline {0}
] , \linebreak [0] 
[
\underline {1}
] , \linebreak [0] 
[
\underline {2}
] , \linebreak [0] 
[
\underline {3}
] , \linebreak [0] 
[
\underline {4}
] , \linebreak [0] 
[
\underline {5}
] , \linebreak [0] 
[
\underline {6}
] , \linebreak [0] 
[
\underline {7}
] , \linebreak [0] 
[
\underline {8}
] , \linebreak [0] 
[
\underline {9}
] , \linebreak [0] 
[
0
] , \linebreak [0] 
[
1
] , \linebreak [0] 
[
2
] , \linebreak [0] 
[
3
] , \linebreak [0] 
[
4
] , \linebreak [0] 
[
5
] , \linebreak [0] 
[
6
] , \linebreak [0] 
[
7
] , \linebreak [0] 
[
8
] , \linebreak [0] 
[
9
] , \linebreak [0] 
[
\mathsf {a}
] , \linebreak [0] 
[
\mathsf {b}
] , \linebreak [0] 
[
\mathsf {c}
] , \linebreak [0] 
[
\mathsf {d}
] , \linebreak [0] 
[
\mathsf {e}
] , \linebreak [0] 
[
\mathsf {f}
] , \linebreak [0] 
[
\mathsf {g}
] , \linebreak [0] 
[
\mathsf {h}
] , \linebreak [0] 
[
\mathsf {i}
] , \linebreak [0] 
[
\mathsf {j}
] , \linebreak [0] 
[
\mathsf {k}
] , \linebreak [0] 
[
\mathsf {l}
] , \linebreak [0] 
[
\mathsf {m}
] , \linebreak [0] 
[
\mathsf {n}
] , \linebreak [0] 
[
\mathsf {o}
] , \linebreak [0] 
[
\mathsf {p}
] , \linebreak [0] 
[
\mathsf {q}
] , \linebreak [0] 
[
\mathsf {r}
] , \linebreak [0] 
[
\mathsf {s}
] , \linebreak [0] 
[
\mathsf {t}
] , \linebreak [0] 
[
\mathsf {u}
] , \linebreak [0] 
[
\mathsf {v}
] , \linebreak [0] 
[
\mathsf {w}
] , \linebreak [0] 
[
(
\ast 
)^M
] , \linebreak [0] 
[
\mathrm {If}(
\ast 
,\linebreak [0]
\ast 
,\linebreak [0]
\ast 
)
] , \linebreak [0] 
[\mathrm {array}\{
\ast 
\}
\ast 
\mathrm {end\ array}
] , \linebreak [0] 
[
l
] , \linebreak [0] 
[
c
] , \linebreak [0] 
[
r
] , \linebreak [0] 
[
\mathrm {empty}
] , \linebreak [0] 
[
\langle 
\ast 
\,{|}
\ast 
{:=}\,
\ast 
\rangle 
] , \linebreak [0] 
[
{\cal M}(
\ast 
)
] , \linebreak [0] 
[
\tilde {{\cal U}}(
\ast 
)
] , \linebreak [0] 
[
{\cal U}(
\ast 
)
] , \linebreak [0] 
[
{\cal U}^M(
\ast 
)
] , \linebreak [0] 
[
\mathbf {apply}(
\ast 
,
\ast 
)
] , \linebreak [0] 
[
\mathbf {apply}_1(
\ast 
,
\ast 
)
] , \linebreak [0] 
[
identifier( 
\ast 
)
] , \linebreak [0] 
[
identifier_{1}( 
\ast 
, 
\ast 
)
] , \linebreak [0] 
[
array\mbox{-}\linebreak[0]plus( 
\ast 
, 
\ast 
)
] , \linebreak [0] 
[
array\mbox{-}\linebreak[0]remove( 
\ast 
, 
\ast 
, 
\ast 
)
] , \linebreak [0] 
[
array\mbox{-}\linebreak[0]put( 
\ast 
, 
\ast 
, 
\ast 
, 
\ast 
)
] , \linebreak [0] 
[
array\mbox{-}\linebreak[0]add( 
\ast 
, 
\ast 
, 
\ast 
, 
\ast 
, 
\ast 
)
] , \linebreak [0] 
[
bit( 
\ast 
, 
\ast 
)
] , \linebreak [0] 
[
bit_1( 
\ast 
, 
\ast 
)
] , \linebreak [0] 
[
rack
] , \linebreak [0] 
[
\mbox {\tt \char34}\mathrm {vector}\mbox {\tt \char34}
] , \linebreak [0] 
[
\mbox {\tt \char34}\mathrm {bibliography}\mbox {\tt \char34}
] , \linebreak [0] 
[
\mbox {\tt \char34}\mathrm {dictionary}\mbox {\tt \char34}
] , \linebreak [0] 
[
\mbox {\tt \char34}\mathrm {body}\mbox {\tt \char34}
] , \linebreak [0] 
[
\mbox {\tt \char34}\mathrm {codex}\mbox {\tt \char34}
] , \linebreak [0] 
[
\mbox {\tt \char34}\mathrm {expansion}\mbox {\tt \char34}
] , \linebreak [0] 
[
\mbox {\tt \char34}\mathrm {code}\mbox {\tt \char34}
] , \linebreak [0] 
[
\mbox {\tt \char34}\mathrm {cache}\mbox {\tt \char34}
] , \linebreak [0] 
[
\mbox {\tt \char34}\mathrm {diagnose}\mbox {\tt \char34}
] , \linebreak [0] 
[
\mbox {\tt \char34}\mathrm {pyk}\mbox {\tt \char34}
] , \linebreak [0] 
[
\mbox {\tt \char34}\mathrm {tex}\mbox {\tt \char34}
] , \linebreak [0] 
[
\mbox {\tt \char34}\mathrm {texname}\mbox {\tt \char34}
] , \linebreak [0] 
[
\mbox {\tt \char34}\mathrm {value}\mbox {\tt \char34}
] , \linebreak [0] 
[
\mbox {\tt \char34}\mathrm {message}\mbox {\tt \char34}
] , \linebreak [0] 
[
\mbox {\tt \char34}\mathrm {macro}\mbox {\tt \char34}
] , \linebreak [0] 
[
\mbox {\tt \char34}\mathrm {definition}\mbox {\tt \char34}
] , \linebreak [0] 
[
\mbox {\tt \char34}\mathrm {unpack}\mbox {\tt \char34}
] , \linebreak [0] 
[
\mbox {\tt \char34}\mathrm {claim}\mbox {\tt \char34}
] , \linebreak [0] 
[
\mbox {\tt \char34}\mathrm {priority}\mbox {\tt \char34}
] , \linebreak [0] 
[
\mbox {\tt \char34}\mathrm {lambda}\mbox {\tt \char34}
] , \linebreak [0] 
[
\mbox {\tt \char34}\mathrm {apply}\mbox {\tt \char34}
] , \linebreak [0] 
[
\mbox {\tt \char34}\mathrm {true}\mbox {\tt \char34}
] , \linebreak [0] 
[
\mbox {\tt \char34}\mathrm {if}\mbox {\tt \char34}
] , \linebreak [0] 
[
\mbox {\tt \char34}\mathrm {quote}\mbox {\tt \char34}
] , \linebreak [0] 
[
\mbox {\tt \char34}\mathrm {proclaim}\mbox {\tt \char34}
] , \linebreak [0] 
[
\mbox {\tt \char34}\mathrm {define}\mbox {\tt \char34}
] , \linebreak [0] 
[
\mbox {\tt \char34}\mathrm {introduce}\mbox {\tt \char34}
] , \linebreak [0] 
[
\mbox {\tt \char34}\mathrm {hide}\mbox {\tt \char34}
] , \linebreak [0] 
[
\mbox {\tt \char34}\mathrm {pre}\mbox {\tt \char34}
] , \linebreak [0] 
[
\mbox {\tt \char34}\mathrm {post}\mbox {\tt \char34}
] , \linebreak [0] 
[
{\cal E}(
\ast 
,
\ast 
,
\ast 
)
] , \linebreak [0] 
[
{\cal E}_2(
\ast 
,
\ast 
,
\ast 
,
\ast 
,
\ast 
)
] , \linebreak [0] 
[
{\cal E}_3(
\ast 
,
\ast 
,
\ast 
,
\ast 
)
] , \linebreak [0] 
[
{\cal E}_4(
\ast 
,
\ast 
,
\ast 
,
\ast 
)
] , \linebreak [0] 
[
\mathbf {lookup}(
\ast 
,
\ast 
,
\ast 
)
] , \linebreak [0] 
[
\mathbf {abstract}(
\ast 
,
\ast 
,
\ast 
,
\ast 
)
] , \linebreak [0] 
[
\lceil 
\ast 
\rceil 
] , \linebreak [0] 
[
{\cal M}(
\ast 
,
\ast 
,
\ast 
)
] , \linebreak [0] 
[
{\cal M}_2(
\ast 
,
\ast 
,
\ast 
,
\ast 
)
] , \linebreak [0] 
[
{\cal M}^*(
\ast 
,
\ast 
,
\ast 
)
] , \linebreak [0] 
[
\mathrm {macro}
] , \linebreak [0] 
[
s_0
] , \linebreak [0] 
[
\mathbf {zip}(
\ast 
,
\ast 
)
] , \linebreak [0] 
[
\mathbf {assoc}_1(
\ast 
,
\ast 
,
\ast 
)
] , \linebreak [0] 
[(
\ast 
)^{\mathbf {p}}
] , \linebreak [0] 
[
\mbox{self}
] , \linebreak [0] 
[
[
\ast 
\mathrel {\ddot {=}}
\ast 
]
] , \linebreak [0] 
[
[
\ast 
\mathrel {\dot {=}}
\ast 
]
] , \linebreak [0] 
[
[
\ast 
\mathrel {\acute {=}}
\ast 
]
] , \linebreak [0] 
[
[
\ast 
\stackrel {\mathrm {pyk}}{=} 
\ast 
]
] , \linebreak [0] 
[
[
\ast 
\stackrel {\mathrm {tex}}{=} 
\ast 
]
] , \linebreak [0] 
[
[
\ast 
\stackrel {\mathrm {name}}{=} 
\ast 
]
] , \linebreak [0] 
[
\mathbf{Priority\ table} [ 
\ast 
]
] , \linebreak [0] 
[
\tilde {{\cal M}}_1
] , \linebreak [0] 
[
\tilde {{\cal M}}_2(
\ast 
)
] , \linebreak [0] 
[
\tilde {{\cal M}}_3(
\ast 
)
] , \linebreak [0] 
[
\tilde {{\cal M}}_4(
\ast 
,
\ast 
,
\ast 
,
\ast 
)
] , \linebreak [0] 
[
\tilde {{\cal M}}(
\ast 
,
\ast 
,
\ast 
)
] , \linebreak [0] 
[
\tilde {{\cal Q}}(
\ast 
,
\ast 
,
\ast 
)
] , \linebreak [0] 
[
\tilde {{\cal Q}}_2(
\ast 
,
\ast 
,
\ast 
)
] , \linebreak [0] 
[
\tilde {{\cal Q}}_3(
\ast 
,
\ast 
,
\ast 
,
\ast 
)
] , \linebreak [0] 
[
\tilde {{\cal Q}}^*(
\ast 
,
\ast 
,
\ast 
)
] , \linebreak [0] 
[
(
\ast 
)
] , \linebreak [0] 
[
\left( 
\ast 
\right) 
] , \linebreak [0] 
[
display(
\ast 
)
] , \linebreak [0] 
[
statement(
\ast 
)
] , \linebreak [0] 
[
[
\ast 
]^{\cdot}
] , \linebreak [0] 
[
[
\ast 
]^-
] , \linebreak [0] 
[
\mathbf{aspect}( 
\ast 
, 
\ast 
)
] , \linebreak [0] 
[
\mathbf{aspect}( 
\ast 
, 
\ast 
, 
\ast 
)
] , \linebreak [0] 
[
\langle 
\ast 
\rangle 
] , \linebreak [0] 
[
\mathbf {tuple}_1( 
\ast 
) 
] , \linebreak [0] 
[
\mathbf {tuple}_2( 
\ast 
) 
] , \linebreak [0] 
[
let_2( 
\ast 
, 
\ast 
)
] , \linebreak [0] 
[
let_1( 
\ast 
, 
\ast 
)
] , \linebreak [0] 
[
[
\ast 
\stackrel {claim}{=}
\ast 
]
] , \linebreak [0] 
[
\mbox{checker}
] , \linebreak [0] 
[
\mathbf{check}( 
\ast 
, 
\ast 
)
] , \linebreak [0] 
[
\mathbf{check}_2( 
\ast 
, 
\ast 
, 
\ast 
)
] , \linebreak [0] 
[
\mathbf{check}_3( 
\ast 
, 
\ast 
, 
\ast 
)
] , \linebreak [0] 
[
\mathbf{check}^*( 
\ast 
, 
\ast 
)
] , \linebreak [0] 
[
\mathbf{check}^*_2( 
\ast 
, 
\ast 
, 
\ast 
)
] , \linebreak [0] 
[
\relax [ 
\ast 
\relax ]^{\cdot} 
] , \linebreak [0] 
[
\relax [ 
\ast 
\relax ]^{-} 
] , \linebreak [0] 
[
\relax [ 
\ast 
\relax ]^{\circ} 
] , \linebreak [0] 
[
msg
] , \linebreak [0] 
[
[
\ast 
\stackrel {msg}{=} 
\ast 
]
] , \linebreak [0] 
[
{<}stmt{>}
] , \linebreak [0] 
[
stmt
] , \linebreak [0] 
[
[
\ast 
\stackrel {stmt}{=}
\ast 
]
] , \linebreak [0] 
[
HeadNil'
] , \linebreak [0] 
[
HeadPair'
] , \linebreak [0] 
[
Transitivity'
] , \linebreak [0] 
[
{\makebox [0mm][l]{$\bot $}\,{\bot }}
] , \linebreak [0] 
[
Contra'
] , \linebreak [0] 
[
T'_{E}
] , \linebreak [0] 
[
L_{1}
] , \linebreak [0] 
[\underline{
\ast }
] , \linebreak [0] 
[{\cal A}
] , \linebreak [0] 
[{\cal B}
] , \linebreak [0] 
[{\cal C}
] , \linebreak [0] 
[{\cal D}
] , \linebreak [0] 
[{\cal E}
] , \linebreak [0] 
[{\cal F}
] , \linebreak [0] 
[{\cal G}
] , \linebreak [0] 
[{\cal H}
] , \linebreak [0] 
[{\cal I}
] , \linebreak [0] 
[{\cal J}
] , \linebreak [0] 
[{\cal K}
] , \linebreak [0] 
[{\cal L}
] , \linebreak [0] 
[{\cal M}
] , \linebreak [0] 
[{\cal N}
] , \linebreak [0] 
[{\cal O}
] , \linebreak [0] 
[{\cal P}
] , \linebreak [0] 
[{\cal Q}
] , \linebreak [0] 
[{\cal R}
] , \linebreak [0] 
[{\cal S}
] , \linebreak [0] 
[{\cal T}
] , \linebreak [0] 
[{\cal U}
] , \linebreak [0] 
[{\cal V}
] , \linebreak [0] 
[{\cal W}
] , \linebreak [0] 
[{\cal X}
] , \linebreak [0] 
[{\cal Y}
] , \linebreak [0] 
[{\cal Z}
] , \linebreak [0] 
[
\langle 
\ast 
\,{\protect\vert}
\ast 
{:=}\,
\ast 
\rangle 
] , \linebreak [0] 
[
\langle ^ { \ast } 
\ast 
\,{\protect\vert}
\ast 
{:=}\,
\ast 
\rangle 
] , \linebreak [0] 
[
\emptyset 
] , \linebreak [0] 
[
Remainder
] , \linebreak [0] 
[
( 
\ast 
)^{\bf v}
] , \linebreak [0] 
[
intro(
\ast 
,
\ast 
,
\ast 
,
\ast 
)
] , \linebreak [0] 
[
intro(
\ast 
,
\ast 
,
\ast 
)
] , \linebreak [0] 
[
error(
\ast 
,
\ast 
)
] , \linebreak [0] 
[
error_{2}(
\ast 
,
\ast 
)
] , \linebreak [0] 
[
proof( 
\ast 
, 
\ast 
, 
\ast 
)
] , \linebreak [0] 
[
proof_{2}( 
\ast 
, 
\ast 
)
] , \linebreak [0] 
[
{\cal S}(
\ast 
, 
\ast 
)
] , \linebreak [0] 
[
{\cal S}^{I}(
\ast 
, 
\ast 
)
] , \linebreak [0] 
[
{\cal S}^{\rhd}(
\ast 
, 
\ast 
)
] , \linebreak [0] 
[
{\cal S}_{1}^{\rhd}(
\ast 
, 
\ast 
, 
\ast 
)
] , \linebreak [0] 
[
{\cal S}^{E}(
\ast 
, 
\ast 
)
] , \linebreak [0] 
[
{\cal S}_{1}^{E}(
\ast 
, 
\ast 
, 
\ast 
)
] , \linebreak [0] 
[
{\cal S}^{+}(
\ast 
, 
\ast 
)
] , \linebreak [0] 
[
{\cal S}_{1}^{+}(
\ast 
, 
\ast 
, 
\ast 
)
] , \linebreak [0] 
[
{\cal S}^{-}(
\ast 
, 
\ast 
)
] , \linebreak [0] 
[
{\cal S}_{1}^{-}(
\ast 
, 
\ast 
, 
\ast 
)
] , \linebreak [0] 
[
{\cal S}^{\ast}(
\ast 
, 
\ast 
)
] , \linebreak [0] 
[
{\cal S}_{1}^{\ast}(
\ast 
, 
\ast 
, 
\ast 
)
] , \linebreak [0] 
[
{\cal S}_{2}^{\ast}(
\ast 
, 
\ast 
, 
\ast 
, 
\ast 
)
] , \linebreak [0] 
[
{\cal S}^{\char64}(
\ast 
, 
\ast 
)
] , \linebreak [0] 
[
{\cal S}_{1}^{\char64}(
\ast 
, 
\ast 
, 
\ast 
)
] , \linebreak [0] 
[
{\cal S}^{\vdash}(
\ast 
, 
\ast 
)
] , \linebreak [0] 
[
{\cal S}_{1}^{\vdash}(
\ast 
, 
\ast 
, 
\ast 
, 
\ast 
)
] , \linebreak [0] 
[
{\cal S}^{\makebox [0mm][l]{\scriptsize $\vdash $}\,{\vdash }}(
\ast 
, 
\ast 
)
] , \linebreak [0] 
[
{\cal S}_{1}^{\makebox [0mm][l]{\scriptsize $\vdash $}\,{\vdash }}(
\ast 
, 
\ast 
, 
\ast 
, 
\ast 
)
] , \linebreak [0] 
[
{\cal S}^{i.e.}(
\ast 
, 
\ast 
)
] , \linebreak [0] 
[
{\cal S}_{1}^{i.e.}(
\ast 
, 
\ast 
, 
\ast 
, 
\ast 
)
] , \linebreak [0] 
[
{\cal S}_{2}^{i.e.}(
\ast 
, 
\ast 
, 
\ast 
, 
\ast 
, 
\ast 
)
] , \linebreak [0] 
[
{\cal S}^{\forall}(
\ast 
, 
\ast 
)
] , \linebreak [0] 
[
{\cal S}_{1}^{\forall}(
\ast 
, 
\ast 
, 
\ast 
, 
\ast 
)
] , \linebreak [0] 
[
{\cal S}^{;}(
\ast 
, 
\ast 
)
] , \linebreak [0] 
[
{\cal S}_{1}^{;}(
\ast 
, 
\ast 
, 
\ast 
)
] , \linebreak [0] 
[
{\cal S}_{2}^{;}(
\ast 
, 
\ast 
, 
\ast 
, 
\ast 
)
] , \linebreak [0] 
[
{\cal T}( 
\ast 
)
] , \linebreak [0] 
[
claims( 
\ast 
, 
\ast 
, 
\ast 
)
] , \linebreak [0] 
[
claims_2( 
\ast 
, 
\ast 
, 
\ast 
)
] , \linebreak [0] 
[
{<}proof{>}
] , \linebreak [0] 
[
proof
] , \linebreak [0] 
[
[ \mathbf{Lemma\ } 
\ast 
\colon 
\ast 
]
] , \linebreak [0] 
[
[ \mathbf{Proof\ of\ }
\ast 
\colon 
\ast 
]
] , \linebreak [0] 
[
[ 
\ast 
\mathbf{\ lemma\ } 
\ast 
\colon 
\ast 
]
] , \linebreak [0] 
[
[ 
\ast 
\mathbf{\ antilemma\ } 
\ast 
\colon 
\ast 
]
] , \linebreak [0] 
[
[ 
\ast 
\mathbf{\ rule\ } 
\ast 
\colon 
\ast 
]
] , \linebreak [0] 
[
[ 
\ast 
\mathbf{\ antirule\ } 
\ast 
\colon 
\ast 
]
] , \linebreak [0] 
[
\mbox{verifier}
] , \linebreak [0] 
[
{\cal V}_1( 
\ast 
)
] , \linebreak [0] 
[
{\cal V}_2( 
\ast 
, 
\ast 
)
] , \linebreak [0] 
[
{\cal V}_3( 
\ast 
, 
\ast 
, 
\ast 
, 
\ast 
)
] , \linebreak [0] 
[
{\cal V}_4( 
\ast 
, 
\ast 
)
] , \linebreak [0] 
[
{\cal V}_5( 
\ast 
, 
\ast 
, 
\ast 
, 
\ast 
)
] , \linebreak [0] 
[
{\cal V}_6( 
\ast 
, 
\ast 
, 
\ast 
, 
\ast 
)
] , \linebreak [0] 
[
{\cal V}_7( 
\ast 
, 
\ast 
, 
\ast 
, 
\ast 
)
] , \linebreak [0] 
[
Cut( 
\ast 
, 
\ast 
)
] , \linebreak [0] 
[
Head_{\oplus} ( 
\ast 
)
] , \linebreak [0] 
[
Tail_{\oplus} ( 
\ast 
)
] , \linebreak [0] 
[
rule_1( 
\ast 
, 
\ast 
)
] , \linebreak [0] 
[
rule( 
\ast 
, 
\ast 
)
] , \linebreak [0] 
[
Rule\ tactic
] , \linebreak [0] 
[
Plus( 
\ast 
, 
\ast 
)
] , \linebreak [0] 
[
[ \mathbf{Theory\ } 
\ast 
]
] , \linebreak [0] 
[
theory_2( 
\ast 
, 
\ast 
)
] , \linebreak [0] 
[
theory_3( 
\ast 
, 
\ast 
)
] , \linebreak [0] 
[
theory_4( 
\ast 
, 
\ast 
, 
\ast 
)
] , \linebreak [0] 
[
HeadNil''
] , \linebreak [0] 
[
HeadPair''
] , \linebreak [0] 
[
Transitivity''
] , \linebreak [0] 
[
Contra''
] , \linebreak [0] 
[
HeadNil
] , \linebreak [0] 
[
HeadPair
] , \linebreak [0] 
[
Transitivity
] , \linebreak [0] 
[
Contra
] , \linebreak [0] 
[
T_E
] , \linebreak [0] 
[
ragged\ right
] , \linebreak [0] 
[
ragged\ right\ expansion\ 
] , \linebreak [0] 
[
parm(
\ast 
,
\ast 
,
\ast 
)
] , \linebreak [0] 
[
parm^*(
\ast 
,
\ast 
,
\ast 
)
] , \linebreak [0] 
[
inst(
\ast 
,
\ast 
)
] , \linebreak [0] 
[
inst^*(
\ast 
,
\ast 
)
] , \linebreak [0] 
[
occur(
\ast 
,
\ast 
,
\ast 
)
] , \linebreak [0] 
[
occur^*(
\ast 
,
\ast 
,
\ast 
)
] , \linebreak [0] 
[
unify(
\ast 
=
\ast 
,
\ast 
)
] , \linebreak [0] 
[
unify^*(
\ast 
=
\ast 
,
\ast 
)
] , \linebreak [0] 
[
unify_2(
\ast 
=
\ast 
,
\ast 
)
] , \linebreak [0] 
[L_a
] , \linebreak [0] 
[L_b
] , \linebreak [0] 
[L_c
] , \linebreak [0] 
[L_d
] , \linebreak [0] 
[L_e
] , \linebreak [0] 
[L_f
] , \linebreak [0] 
[L_g
] , \linebreak [0] 
[L_h
] , \linebreak [0] 
[L_i
] , \linebreak [0] 
[L_j
] , \linebreak [0] 
[L_k
] , \linebreak [0] 
[L_l
] , \linebreak [0] 
[L_m
] , \linebreak [0] 
[L_n
] , \linebreak [0] 
[L_o
] , \linebreak [0] 
[L_p
] , \linebreak [0] 
[L_q
] , \linebreak [0] 
[L_r
] , \linebreak [0] 
[L_s
] , \linebreak [0] 
[L_t
] , \linebreak [0] 
[L_u
] , \linebreak [0] 
[L_v
] , \linebreak [0] 
[L_w
] , \linebreak [0] 
[L_x
] , \linebreak [0] 
[L_y
] , \linebreak [0] 
[L_z
] , \linebreak [0] 
[L_A
] , \linebreak [0] 
[L_B
] , \linebreak [0] 
[L_C
] , \linebreak [0] 
[L_D
] , \linebreak [0] 
[L_E
] , \linebreak [0] 
[L_F
] , \linebreak [0] 
[L_G
] , \linebreak [0] 
[L_H
] , \linebreak [0] 
[L_I
] , \linebreak [0] 
[L_J
] , \linebreak [0] 
[L_K
] , \linebreak [0] 
[L_L
] , \linebreak [0] 
[L_M
] , \linebreak [0] 
[L_N
] , \linebreak [0] 
[L_O
] , \linebreak [0] 
[L_P
] , \linebreak [0] 
[L_Q
] , \linebreak [0] 
[L_R
] , \linebreak [0] 
[L_S
] , \linebreak [0] 
[L_T
] , \linebreak [0] 
[L_U
] , \linebreak [0] 
[L_V
] , \linebreak [0] 
[L_W
] , \linebreak [0] 
[L_X
] , \linebreak [0] 
[L_Y
] , \linebreak [0] 
[L_Z
] , \linebreak [0] 
[L_?
] , \linebreak [0] 
[
Reflexivity
] , \linebreak [0] 
[
Reflexivity_1
] , \linebreak [0] 
[
Commutativity
] , \linebreak [0] 
[
Commutativity_1
] , \linebreak [0] 
[
{<}tactic{>}
] , \linebreak [0] 
[
tactic
] , \linebreak [0] 
[
[
\ast 
\stackrel {tactic}{=}
\ast 
]
] , \linebreak [0] 
[
{\cal P}( 
\ast 
, 
\ast 
, 
\ast 
)
] , \linebreak [0] 
[
{\cal P}^*( 
\ast 
, 
\ast 
, 
\ast 
)
] , \linebreak [0] 
[
p_0
] , \linebreak [0] 
[
conclude_1 ( 
\ast 
, 
\ast 
)
] , \linebreak [0] 
[
conclude_2 ( 
\ast 
, 
\ast 
, 
\ast 
)
] , \linebreak [0] 
[
conclude_3 ( 
\ast 
, 
\ast 
, 
\ast 
, 
\ast 
)
] , \linebreak [0] 
[
conclude_4 ( 
\ast 
, 
\ast 
)
] , \linebreak [0] 
[
\mbox{check}
] , \linebreak [0] 
[
[
\ast 
\stackrel {\circ}{=}
\ast 
]
] , \linebreak [0] 
[
RootVisible(
\ast 
)
] , \linebreak [0] 
[
A
] , \linebreak [0] 
[
R
] , \linebreak [0] 
[
C
] , \linebreak [0] 
[
T
] , \linebreak [0] 
[
L
] , \linebreak [0] 
[
\{
\ast 
\}
] , \linebreak [0] 
[\overline{
\ast }
] , \linebreak [0] 
[
\mathit{a}
] , \linebreak [0] 
[
\mathit{b}
] , \linebreak [0] 
[
\mathit{c}
] , \linebreak [0] 
[
\mathit{d}
] , \linebreak [0] 
[
\mathit{e}
] , \linebreak [0] 
[
\mathit{f}
] , \linebreak [0] 
[
\mathit{g}
] , \linebreak [0] 
[
\mathit{h}
] , \linebreak [0] 
[
\mathit{i}
] , \linebreak [0] 
[
\mathit{j}
] , \linebreak [0] 
[
\mathit{k}
] , \linebreak [0] 
[
\mathit{l}
] , \linebreak [0] 
[
\mathit{m}
] , \linebreak [0] 
[
\mathit{n}
] , \linebreak [0] 
[
\mathit{o}
] , \linebreak [0] 
[
\mathit{p}
] , \linebreak [0] 
[
\mathit{q}
] , \linebreak [0] 
[
\mathit{r}
] , \linebreak [0] 
[
\mathit{s}
] , \linebreak [0] 
[
\mathit{t}
] , \linebreak [0] 
[
\mathit{u}
] , \linebreak [0] 
[
\mathit{v}
] , \linebreak [0] 
[
\mathit{w}
] , \linebreak [0] 
[
\mathit{x}
] , \linebreak [0] 
[
\mathit{y}
] , \linebreak [0] 
[
\mathit{z}
] , \linebreak [0] 
[
\langle 
\ast 
{\equiv} 
\ast 
| 
\ast 
{:=} 
\ast 
\rangle 
] , \linebreak [0] 
[
\langle 
\ast 
{\equiv}^0 
\ast 
| 
\ast 
{:=} 
\ast 
\rangle 
] , \linebreak [0] 
[
\langle 
\ast 
{\equiv}^1 
\ast 
| 
\ast 
{:=} 
\ast 
\rangle 
] , \linebreak [0] 
[
\langle 
\ast 
{\equiv}^* 
\ast 
| 
\ast 
{:=} 
\ast 
\rangle 
] , \linebreak [0] 
[
Ded(
\ast 
,
\ast 
)
] , \linebreak [0] 
[
Ded_0(
\ast 
,
\ast 
)
] , \linebreak [0] 
[
Ded_1(
\ast 
,
\ast 
,
\ast 
)
] , \linebreak [0] 
[
Ded_2(
\ast 
,
\ast 
,
\ast 
)
] , \linebreak [0] 
[
Ded_3(
\ast 
,
\ast 
,
\ast 
,
\ast 
)
] , \linebreak [0] 
[
Ded_4(
\ast 
,
\ast 
,
\ast 
,
\ast 
)
] , \linebreak [0] 
[
Ded_4^*(
\ast 
,
\ast 
,
\ast 
,
\ast 
)
] , \linebreak [0] 
[
Ded_5(
\ast 
,
\ast 
,
\ast 
)
] , \linebreak [0] 
[
Ded_6(
\ast 
,
\ast 
,
\ast 
,
\ast 
)
] , \linebreak [0] 
[
Ded_6^*(
\ast 
,
\ast 
,
\ast 
,
\ast 
)
] , \linebreak [0] 
[
Ded_7(
\ast 
)
] , \linebreak [0] 
[
Ded_8(
\ast 
,
\ast 
)
] , \linebreak [0] 
[
Ded_8^*(
\ast 
,
\ast 
)
] , \linebreak [0] 
[
S
] , \linebreak [0] 
[
Neg
] , \linebreak [0] 
[
MP
] , \linebreak [0] 
[
Gen
] , \linebreak [0] 
[
Ded
] , \linebreak [0] 
[
S1
] , \linebreak [0] 
[
S2
] , \linebreak [0] 
[
S3
] , \linebreak [0] 
[
S4
] , \linebreak [0] 
[
S5
] , \linebreak [0] 
[
S6
] , \linebreak [0] 
[
S7
] , \linebreak [0] 
[
S8
] , \linebreak [0] 
[
S9
] , \linebreak [0] 
[
Repetition
] , \linebreak [0] 
[
A1'
] , \linebreak [0] 
[
A2'
] , \linebreak [0] 
[
A4'
] , \linebreak [0] 
[
A5'
] , \linebreak [0] 
[
Prop\ 3.2a
] , \linebreak [0] 
[
Prop\ 3.2b
] , \linebreak [0] 
[
Prop\ 3.2c
] , \linebreak [0] 
[
Prop\ 3.2d
] , \linebreak [0] 
[
Prop\ 3.2e_1
] , \linebreak [0] 
[
Prop\ 3.2e_2
] , \linebreak [0] 
[
Prop\ 3.2e
] , \linebreak [0] 
[
Prop\ 3.2f_1
] , \linebreak [0] 
[
Prop\ 3.2f_2
] , \linebreak [0] 
[
Prop\ 3.2f
] , \linebreak [0] 
[
Prop\ 3.2g_1
] , \linebreak [0] 
[
Prop\ 3.2g_2
] , \linebreak [0] 
[
Prop\ 3.2g
] , \linebreak [0] 
[
Prop\ 3.2h_1
] , \linebreak [0] 
[
Prop\ 3.2h_2
] , \linebreak [0] 
[
Prop\ 3.2h
] , \linebreak [0] 
[
Block_1(
\ast 
,
\ast 
,
\ast 
)
] , \linebreak [0] 
[
Block_2(
\ast 
)
] , \linebreak [0] 
[
\overline{0}
] , \linebreak [0] 
[
\overline{1}
] , \linebreak [0] 
[
\overline{2}
] , \linebreak [0] 
[
\overline{3}
] , \linebreak [0] 
[
\overline{4}
] , \linebreak [0] 
[
\overline{5}
] , \linebreak [0] 
[
\overline{6}
] , \linebreak [0] 
[
\overline{7}
] , \linebreak [0] 
[
\overline{8}
] , \linebreak [0] 
[
\overline{9}
] , \linebreak [0] 
[
\overline{n}
] , \linebreak [0] 
[
\mbox{rule div}
] , \linebreak [0] 
[
R
] , \linebreak [0] 
[
R1
] , \linebreak [0] 
[
R2
] , \linebreak [0] 
[
R3
] , \linebreak [0] 
[
R4
] , \linebreak [0] 
[
R5
] , \linebreak [0] 
[
R6
] , \linebreak [0] 
[
Con1
] , \linebreak [0] 
[
Con2
] , \linebreak [0] 
[
Con
] , \linebreak [0] 
[
Dis1
] , \linebreak [0] 
[
Dis2
] , \linebreak [0] 
[
Lem 1.11c
] , \linebreak [0] 
[
Cor 1.10a
] , \linebreak [0] 
[
Cor 1.10b
] , \linebreak [0] 
[
Lem 1.11a
] , \linebreak [0] 
[
Lem 1.11b
] , \linebreak [0] 
[
H3
] , \linebreak [0] 
[
Prop 3.2c'
] , \linebreak [0] 
[
S1''
] , \linebreak [0] 
[
Neg'
] , \linebreak [0] 
[
Repetition'
] , \linebreak [0] 
[
Lem 1.11e
] , \linebreak [0] 
[
Lem 1.11d
] , \linebreak [0] 
[
Prop 3.2b'
] , \linebreak [0] 
[
H10
] , \linebreak [0] 
[
H11
] , \linebreak [0] 
[
Lem 1.11g
] , \linebreak [0] 
[
MT
] , \linebreak [0] 
[
S10
] , \linebreak [0] 
[
Prop\ 3.2
] , \linebreak [0] 
[
Prop\ 3.2i
] , \linebreak [0] 
[
Prop\ 3.2j_1
] , \linebreak [0] 
[
Prop\ 3.2j_2
] , \linebreak [0] 
[
Prop\ 3.2j
] , \linebreak [0] 
[
Prop\ 3.2k_1
] , \linebreak [0] 
[
Prop\ 3.2k_2
] , \linebreak [0] 
[
Prop\ 3.2k
] , \linebreak [0] 
[
Prop\ 3.2l_1
] , \linebreak [0] 
[
Prop\ 3.2l_2
] , \linebreak [0] 
[
Prop\ 3.2l
] , \linebreak [0] 
[
Prop\ 3.2m_1
] , \linebreak [0] 
[
Prop\ 3.2m_2
] , \linebreak [0] 
[
Prop\ 3.2m
] , \linebreak [0] 
[
Prop\ 3.2n_1
] , \linebreak [0] 
[
Prop\ 3.2n_2
] , \linebreak [0] 
[
Prop\ 3.2n
] , \linebreak [0] 
[
Prop\ 3.2o
] , \linebreak [0] 
[
Prop\ 3.4
] , \linebreak [0] 
[
Prop\ 3.4a_1
] , \linebreak [0] 
[
Prop\ 3.4a_2
] , \linebreak [0] 
[
Prop\ 3.4a
] , \linebreak [0] 
[
Prop\ 3.4b
] , \linebreak [0] 
[
Prop\ 3.4c_1
] , \linebreak [0] 
[
Prop\ 3.4c_2
] , \linebreak [0] 
[
Prop\ 3.4c
] , \linebreak [0] 
[
Prop\ 3.4d_1
] , \linebreak [0] 
[
Prop\ 3.4d_2
] , \linebreak [0] 
[
Prop\ 3.4d
] , \linebreak [0] 
[
Prop\ 3.5
] , \linebreak [0] 
[
Prop\ 3.5a
] , \linebreak [0] 
[
Prop\ 3.5b
] , \linebreak [0] 
[
Prop\ 3.5c
] , \linebreak [0] 
[
Prop\ 3.5d_1
] , \linebreak [0] 
[
Prop\ 3.5d_2
] , \linebreak [0] 
[
Prop\ 3.5d
] , \linebreak [0] 
[
Prop\ 3.5e_1
] , \linebreak [0] 
[
Prop\ 3.5e_2
] , \linebreak [0] 
[
Prop\ 3.5e
] , \linebreak [0] 
[
Prop\ 3.5f_1
] , \linebreak [0] 
[
Prop\ 3.5f_2
] , \linebreak [0] 
[
Prop\ 3.5f
] , \linebreak [0] 
[
Prop\ 3.5g_1
] , \linebreak [0] 
[
Prop\ 3.5g_4
] , \linebreak [0] 
[
Prop\ 3.5g_2
] , \linebreak [0] 
[
Prop\ 3.5g_3
] , \linebreak [0] 
[
Prop\ 3.5g
] , \linebreak [0] 
[
Prop\ 3.5h_1
] , \linebreak [0] 
[
Prop\ 3.5h_2
] , \linebreak [0] 
[
Prop\ 3.5h
] , \linebreak [0] 
[
Prop\ 3.5i_1
] , \linebreak [0] 
[
Prop\ 3.5i_2
] , \linebreak [0] 
[
Prop\ 3.5i
] , \linebreak [0] 
[
Prop\ 3.5j_1
] , \linebreak [0] 
[
Prop\ 3.5j_2
] , \linebreak [0] 
[
Prop\ 3.5j
] , \linebreak [0] 
[
Prop\ 3.7
] , \linebreak [0] 
[
Prop\ 3.7a
] , \linebreak [0] 
[
Prop\ 3.7b
] , \linebreak [0] 
[
Prop\ 3.7c
] , \linebreak [0] 
[
Prop\ 3.7d
] , \linebreak [0] 
[
Prop\ 3.7e
] , \linebreak [0] 
[
Prop\ 3.7f
] , \linebreak [0] 
[
Prop\ 3.7g
] , \linebreak [0] 
[
Prop\ 3.7g'
] , \linebreak [0] 
[
Prop\ 3.7h
] , \linebreak [0] 
[
Prop\ 3.7i
] , \linebreak [0] 
[
Prop\ 3.7j
] , \linebreak [0] 
[
Prop\ 3.7k
] , \linebreak [0] 
[
Prop\ 3.7k'
] , \linebreak [0] 
[
Prop\ 3.7l
] , \linebreak [0] 
[
Prop\ 3.7l'
] , \linebreak [0] 
[
Prop\ 3.7m
] , \linebreak [0] 
[
Prop\ 3.7n
] , \linebreak [0] 
[
Prop\ 3.7o
] , \linebreak [0] 
[
Prop\ 3.7p
] , \linebreak [0] 
[
Prop\ 3.7q
] , \linebreak [0] 
[
Prop\ 3.7r
] , \linebreak [0] 
[
Prop\ 3.7s
] , \linebreak [0] 
[
Prop\ 3.7t
] , \linebreak [0] 
[
Prop\ 3.7u
] , \linebreak [0] 
[
Prop\ 3.7u'
] , \linebreak [0] 
[
Prop\ 3.7v
] , \linebreak [0] 
[
Prop\ 3.7w
] , \linebreak [0] 
[
Prop\ 3.7x
] , \linebreak [0] 
[
Prop\ 3.7x'
] , \linebreak [0] 
[
Prop\ 3.7y
] , \linebreak [0] 
[
Prop\ 3.7y'
] , \linebreak [0] 
[
Prop\ 3.7z
] , \linebreak [0] 
[
Prop\ 3.7z'
] , \linebreak [0] 
[
Prop\ 3.10
] , \linebreak [0] 
[
Prop\ 3.10a
] , \linebreak [0] 
[
Prop\ 3.10b
] , \linebreak [0] 
[
Prop\ 3.10c
] , \linebreak [0] 
[
Prop\ 3.10d
] , \linebreak [0] 
[
Prop\ 3.10e
] , \linebreak [0] 
[
Prop\ 3.10f
] , \linebreak [0] 
[
Prop\ 3.10g
] , \linebreak [0] 
[
Prop\ 3.10h
] , \linebreak [0] 
[
Prop\ 3.11
]
; 
\newline \mathbf {Preassociative} \newline 
[
\ast 
\_\{
\ast 
\}
] , \linebreak [0] 
[
\ast 
/indexintro(
\ast 
,
\ast 
,
\ast 
,
\ast 
)
] , \linebreak [0] 
[
\ast 
/intro(
\ast 
,
\ast 
,
\ast 
)
] , \linebreak [0] 
[
\ast 
/bothintro(
\ast 
,
\ast 
,
\ast 
,
\ast 
,
\ast 
)
] , \linebreak [0] 
[
\ast 
/nameintro(
\ast 
,
\ast 
,
\ast 
,
\ast 
)
] , \linebreak [0] 
[
\ast '
] , \linebreak [0] 
[
\ast 
{[}
\ast 
{]}
] , \linebreak [0] 
[
\ast 
[ 
\ast 
{\rightarrow} 
\ast 
]
] , \linebreak [0] 
[
\ast 
[ 
\ast 
{\Rightarrow} 
\ast 
]
] , \linebreak [0] 
[
\ast 
0
] , \linebreak [0] 
[
\ast 
1
] , \linebreak [0] 
[
0 \mathrm {b}
] , \linebreak [0] 
[
\ast 
\mbox {-color}( 
\ast 
)
] , \linebreak [0] 
[
\ast 
\mbox {-color}^{\ast}( 
\ast 
)
] , \linebreak [0] 
[
\ast 
{}^H
] , \linebreak [0] 
[
\ast 
{}^T
] , \linebreak [0] 
[
\ast 
{}^U
] , \linebreak [0] 
[
\ast 
{}^h
] , \linebreak [0] 
[
\ast 
{}^t
] , \linebreak [0] 
[
\ast 
{}^s
] , \linebreak [0] 
[
\ast 
{}^c
] , \linebreak [0] 
[
\ast 
{}^d
] , \linebreak [0] 
[
\ast 
{}^a
] , \linebreak [0] 
[
\ast 
{}^C
] , \linebreak [0] 
[
\ast 
{}^M
] , \linebreak [0] 
[
\ast 
{}^B
] , \linebreak [0] 
[
\ast 
{}^{r}
] , \linebreak [0] 
[
\ast 
{}^{i}
] , \linebreak [0] 
[
\ast 
{}^{d}
] , \linebreak [0] 
[
\ast 
{}^{R}
] , \linebreak [0] 
[
\ast 
{}^{0}
] , \linebreak [0] 
[
\ast 
{}^{1}
] , \linebreak [0] 
[
\ast 
{}^{2}
] , \linebreak [0] 
[
\ast 
{}^{3}
] , \linebreak [0] 
[
\ast 
{}^{4}
] , \linebreak [0] 
[
\ast 
{}^{5}
] , \linebreak [0] 
[
\ast 
{}^{6}
] , \linebreak [0] 
[
\ast 
{}^{7}
] , \linebreak [0] 
[
\ast 
{}^{8}
] , \linebreak [0] 
[
\ast 
{}^{9}
] , \linebreak [0] 
[
\ast 
{} ^ { E }
] , \linebreak [0] 
[
\ast 
{} ^ {\cal V}
] , \linebreak [0] 
[
\ast 
{} ^ {\cal C}
] , \linebreak [0] 
[
\ast 
{} ^ {{\cal C} ^ { \ast }}
] , \linebreak [0] 
[
\ast 
{}^{hide}
]
; 
\newline \mathbf {Preassociative} \newline 
[
\mbox{``}
\ast 
\mbox{''}
] , \linebreak [0] 
[
] , \linebreak [0] 
[
(
\ast 
)^{\bf t}
] , \linebreak [0] 
[
\mbox{string}(
\ast 
)+
\ast 
] , \linebreak [0] 
[\mbox{string}(
\ast 
)\mathrel{++}
\ast 
] , \linebreak [0] 
[
\newline 
\ast 
] , \linebreak [0] 
[
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}
\ast 
] , \linebreak [0] 
[!
\ast 
] , \linebreak [0] 
[
\mbox {\tt \char34}
\ast 
] , \linebreak [0] 
[
\#
\ast 
] , \linebreak [0] 
[
\$
\ast 
] , \linebreak [0] 
[
\%
\ast 
] , \linebreak [0] 
[
\&
\ast 
] , \linebreak [0] 
[
\mbox {'}
\ast 
] , \linebreak [0] 
[(
\ast 
] , \linebreak [0] 
[)
\ast 
] , \linebreak [0] 
[
{*}
\ast 
] , \linebreak [0] 
[
{+}
\ast 
] , \linebreak [0] 
[,
\ast 
] , \linebreak [0] 
[
\mbox{-}
\ast 
] , \linebreak [0] 
[.
\ast 
] , \linebreak [0] 
[/
\ast 
] , \linebreak [0] 
[0
\ast 
] , \linebreak [0] 
[1
\ast 
] , \linebreak [0] 
[2
\ast 
] , \linebreak [0] 
[3
\ast 
] , \linebreak [0] 
[4
\ast 
] , \linebreak [0] 
[5
\ast 
] , \linebreak [0] 
[6
\ast 
] , \linebreak [0] 
[7
\ast 
] , \linebreak [0] 
[8
\ast 
] , \linebreak [0] 
[9
\ast 
] , \linebreak [0] 
[
{:}
\ast 
] , \linebreak [0] 
[;
\ast 
] , \linebreak [0] 
[
{<}
\ast 
] , \linebreak [0] 
[
{=}
\ast 
] , \linebreak [0] 
[
{>}
\ast 
] , \linebreak [0] 
[?
\ast 
] , \linebreak [0] 
[@
\ast 
] , \linebreak [0] 
[A
\ast 
] , \linebreak [0] 
[B
\ast 
] , \linebreak [0] 
[C
\ast 
] , \linebreak [0] 
[D
\ast 
] , \linebreak [0] 
[E
\ast 
] , \linebreak [0] 
[F
\ast 
] , \linebreak [0] 
[G
\ast 
] , \linebreak [0] 
[H
\ast 
] , \linebreak [0] 
[I
\ast 
] , \linebreak [0] 
[J
\ast 
] , \linebreak [0] 
[K
\ast 
] , \linebreak [0] 
[L
\ast 
] , \linebreak [0] 
[M
\ast 
] , \linebreak [0] 
[N
\ast 
] , \linebreak [0] 
[O
\ast 
] , \linebreak [0] 
[P
\ast 
] , \linebreak [0] 
[Q
\ast 
] , \linebreak [0] 
[R
\ast 
] , \linebreak [0] 
[S
\ast 
] , \linebreak [0] 
[T
\ast 
] , \linebreak [0] 
[U
\ast 
] , \linebreak [0] 
[V
\ast 
] , \linebreak [0] 
[W
\ast 
] , \linebreak [0] 
[X
\ast 
] , \linebreak [0] 
[Y
\ast 
] , \linebreak [0] 
[Z
\ast 
] , \linebreak [0] 
[[
\ast 
] , \linebreak [0] 
[
\mbox {$\backslash $}
\ast 
] , \linebreak [0] 
[]
\ast 
] , \linebreak [0] 
[
{\char94}
\ast 
] , \linebreak [0] 
[
\_
\ast 
] , \linebreak [0] 
[
\mbox {`}
\ast 
] , \linebreak [0] 
[a
\ast 
] , \linebreak [0] 
[b
\ast 
] , \linebreak [0] 
[c
\ast 
] , \linebreak [0] 
[d
\ast 
] , \linebreak [0] 
[e
\ast 
] , \linebreak [0] 
[f
\ast 
] , \linebreak [0] 
[g
\ast 
] , \linebreak [0] 
[h
\ast 
] , \linebreak [0] 
[i
\ast 
] , \linebreak [0] 
[j
\ast 
] , \linebreak [0] 
[k
\ast 
] , \linebreak [0] 
[l
\ast 
] , \linebreak [0] 
[m
\ast 
] , \linebreak [0] 
[n
\ast 
] , \linebreak [0] 
[o
\ast 
] , \linebreak [0] 
[p
\ast 
] , \linebreak [0] 
[q
\ast 
] , \linebreak [0] 
[r
\ast 
] , \linebreak [0] 
[s
\ast 
] , \linebreak [0] 
[t
\ast 
] , \linebreak [0] 
[u
\ast 
] , \linebreak [0] 
[v
\ast 
] , \linebreak [0] 
[w
\ast 
] , \linebreak [0] 
[x
\ast 
] , \linebreak [0] 
[y
\ast 
] , \linebreak [0] 
[z
\ast 
] , \linebreak [0] 
[
\{
\ast 
] , \linebreak [0] 
[|
\ast 
] , \linebreak [0] 
[
\}
\ast 
] , \linebreak [0] 
[
\char126 
\ast 
] , \linebreak [0] 
[
\mathbf{Preassociative}\,
\ast 
; 
\ast 
] , \linebreak [0] 
[
\mathbf{Postassociative}\,
\ast 
; 
\ast 
] , \linebreak [0] 
[
[
\ast 
] , \linebreak [0] 
\ast 
] , \linebreak [0] 
[
\mathrm{priority} \,
\ast 
\, \mathrm{end}
] , \linebreak [0] 
[
newline\ 
\ast 
] , \linebreak [0] 
[
macro\ newline\ 
\ast 
] , \linebreak [0] 
[
MacroIndent(
\ast 
)
]
; 
\newline \mathbf {Preassociative} \newline 
[
\ast 
\mathbin {\mbox {'}}
\ast 
] , \linebreak [0] 
[
\ast 
\mathbin {\mbox {`}}
\ast 
]
; 
\newline \mathbf {Preassociative} \newline 
[
\ast 
{}'
]
; 
\newline \mathbf {Preassociative} \newline 
[
\ast 
\cdot 
\ast 
] , \linebreak [0] 
[
\ast 
\cdot_0 
\ast 
]
; 
\newline \mathbf {Preassociative} \newline 
[
\ast 
+ 
\ast 
] , \linebreak [0] 
[
\ast 
\mathop{+_0} 
\ast 
] , \linebreak [0] 
[
\ast 
\mathop{+_1} 
\ast 
] , \linebreak [0] 
[
\ast 
- 
\ast 
] , \linebreak [0] 
[
\ast 
\mathop{-_0} 
\ast 
] , \linebreak [0] 
[
\ast 
\mathop{-_1} 
\ast 
]
; 
\newline \mathbf {Preassociative} \newline 
[
\ast 
\cup \{ 
\ast 
\}
] , \linebreak [0] 
[
\ast 
\cup 
\ast 
] , \linebreak [0] 
[
\ast 
\backslash \{ 
\ast 
\}
]
; 
\newline\mathbf{Postassociative} \newline 
[
\ast 
\mathrel { \dot { . \, . } }
\ast 
] , \linebreak [0] 
[
\ast 
\mathrel { \underline { \dot { . \, . } } }
\ast 
] , \linebreak [0] 
[
\ast 
\mathrel { \underline { : \, : } }
\ast 
] , \linebreak [0] 
[
\ast 
\mathrel { \underline { {+} 2 \ast } }
\ast 
] , \linebreak [0] 
[
\ast 
\mathrel { : \, : }
\ast 
] , \linebreak [0] 
[
\ast 
\mathrel { {+} 2 \ast }
\ast 
]
; 
\newline\mathbf{Postassociative} \newline 
[
\ast 
,\linebreak [0] 
\ast 
]
; 
\newline \mathbf {Preassociative} \newline 
[
\ast 
\stackrel {B}{\approx }
\ast 
] , \linebreak [0] 
[
\ast 
\stackrel {D}{\approx }
\ast 
] , \linebreak [0] 
[
\ast 
\stackrel {C}{\approx }
\ast 
] , \linebreak [0] 
[
\ast 
\stackrel {P}{\approx }
\ast 
] , \linebreak [0] 
[
\ast 
\approx 
\ast 
] , \linebreak [0] 
[
\ast 
=
\ast 
] , \linebreak [0] 
[
\ast 
\stackrel {+}{\rightarrow }
\ast 
] , \linebreak [0] 
[
\ast 
\stackrel {t}{=}
\ast 
] , \linebreak [0] 
[
\ast 
\stackrel {t^*}{=}
\ast 
] , \linebreak [0] 
[
\ast 
\stackrel{r}{=} 
\ast 
] , \linebreak [0] 
[
\ast 
\in_t 
\ast 
] , \linebreak [0] 
[
\ast 
\subseteq_T 
\ast 
] , \linebreak [0] 
[
\ast 
\stackrel{T}{=} 
\ast 
] , \linebreak [0] 
[
\ast 
\stackrel{s}{=} 
\ast 
] , \linebreak [0] 
[
\ast 
\mathrel {free\ in} 
\ast 
] , \linebreak [0] 
[
\ast 
\mathrel {free\ in}^{\ast} 
\ast 
] , \linebreak [0] 
[
\ast 
\mathrel {free\ for} 
\ast 
\mathrel {in} 
\ast 
] , \linebreak [0] 
[
\ast 
\mathrel {free\ for}^{\ast} 
\ast 
\mathrel {in} 
\ast 
] , \linebreak [0] 
[
\ast 
\in_c 
\ast 
] , \linebreak [0] 
[
\ast 
< 
\ast 
] , \linebreak [0] 
[
\ast 
<' 
\ast 
] , \linebreak [0] 
[
\ast 
\le' 
\ast 
] , \linebreak [0] 
[
\ast 
= 
\ast 
] , \linebreak [0] 
[
\ast 
\neq 
\ast 
] , \linebreak [0] 
[
\ast 
{}^{var}
] , \linebreak [0] 
[
\ast 
\#^0
\ast 
] , \linebreak [0] 
[
\ast 
\#^1
\ast 
] , \linebreak [0] 
[
\ast 
\#^*
\ast 
] , \linebreak [0] 
[
\ast  
< 
\ast 
] , \linebreak [0] 
[
\ast  
\leq 
\ast 
] , \linebreak [0] 
[
\ast  
\not <  
\ast 
] , \linebreak [0] 
[
\ast  
> 
\ast 
] , \linebreak [0] 
[
\ast  
\geq 
\ast 
] , \linebreak [0] 
[
\ast  
\not > 
\ast 
] , \linebreak [0] 
[
\ast  
\neq 
\ast 
]
; 
\newline \mathbf {Preassociative} \newline 
[
{\neg }
\ast 
]
; 
\newline \mathbf {Preassociative} \newline 
[
\ast 
\wedge 
\ast 
] , \linebreak [0] 
[
\ast 
\mathrel{\ddot{\wedge}} 
\ast 
] , \linebreak [0] 
[
\ast 
\mathrel{\tilde{\wedge}} 
\ast 
] , \linebreak [0] 
[
\ast 
\wedge_c 
\ast 
] , \linebreak [0] 
[
\ast 
\wedge 
\ast 
]
; 
\newline \mathbf {Preassociative} \newline 
[
\ast 
\vee 
\ast 
] , \linebreak [0] 
[
\ast 
\parallel 
\ast 
] , \linebreak [0] 
[
\ast 
\mathrel{\ddot{\vee}} 
\ast 
] , \linebreak [0] 
[
\ast 
\vee 
\ast 
]
; 
\newline \mathbf {Preassociative} \newline 
[
\exists 
\ast 
\colon 
\ast 
] , \linebreak [0] 
[
\forall 
\ast 
\colon 
\ast 
] , \linebreak [0] 
[
\forall_{obj} 
\ast 
\colon 
\ast 
] , \linebreak [0] 
[
\exists 
\ast 
\colon 
\ast 
]
; 
\newline\mathbf{Postassociative} \newline 
[
\ast 
\mathrel{\ddot{\Rightarrow}} 
\ast 
] , \linebreak [0] 
[
\ast 
\Rightarrow 
\ast 
] , \linebreak [0] 
[
\ast 
\Leftrightarrow 
\ast 
]
; 
\newline\mathbf{Postassociative} \newline 
[
\ast 
:
\ast 
] , \linebreak [0] 
[
\ast 
\mathrel{spy}
\ast 
] , \linebreak [0] 
[
\ast 
!
\ast 
]
; 
\newline \mathbf {Preassociative} \newline 
[
\ast 
\left\{\protect \begin {array}{l}
\ast 
\\
\ast 
\protect \end {array}\right.
]
; 
\newline \mathbf {Preassociative} \newline 
[
\lambda 
\ast 
.
\ast 
] , \linebreak [0] 
[
\Lambda 
\ast 
. 
\ast 
] , \linebreak [0] 
[
\Lambda 
\ast 
] , \linebreak [0] 
[
{\bf if} \ 
\ast 
\ {\bf then} \ 
\ast 
\ {\bf else} \ 
\ast 
] , \linebreak [0] 
[
\mathbf{let\ } 
\ast 
= 
\ast 
\mathbf{\ in\ } 
\ast 
] , \linebreak [0] 
[
\mathbf{let\ } 
\ast 
\mathrel{\ddot{=}} 
\ast 
\mathrel{\ in\ } 
\ast 
]
; 
\newline \mathbf {Preassociative} \newline 
[
\ast 
\#
\ast 
]
; 
\newline \mathbf {Preassociative} \newline 
[
\ast 
{} ^ { I }
] , \linebreak [0] 
[
\ast 
{} ^ { \rhd }
] , \linebreak [0] 
[
\ast 
{} ^ { V } 
] , \linebreak [0] 
[
\ast 
{} ^ { + } 
] , \linebreak [0] 
[
\ast 
{} ^ { - } 
] , \linebreak [0] 
[
\ast 
{} ^ { \ast } 
]
; 
\newline \mathbf {Preassociative} \newline 
[
\ast 
\mathop {\char64} 
\ast 
] , \linebreak [0] 
[
\ast 
\rhd 
\ast 
] , \linebreak [0] 
[
\ast 
\mathrel {\makebox [0mm][l]{$\rhd $}\,{\rhd }} 
\ast 
] , \linebreak [0] 
[
\ast 
\gg 
\ast 
] , \linebreak [0] 
[
\ast 
\unrhd 
\ast 
]
; 
\newline\mathbf{Postassociative} \newline 
[
\ast 
\vdash 
\ast 
] , \linebreak [0] 
[
\ast 
\mathrel {\makebox [0mm][l]{$\vdash $}\,{\vdash }} 
\ast 
] , \linebreak [0] 
[
\ast 
\mathrel {i.e.} 
\ast 
]
; 
\newline \mathbf {Preassociative} \newline 
[
\forall 
\ast 
\colon 
\ast 
] , \linebreak [0] 
[
\Pi 
\ast 
\colon 
\ast 
]
; 
\newline\mathbf{Postassociative} \newline 
[
\ast 
\mathrel {\oplus} 
\ast 
]
; 
\newline\mathbf{Postassociative} \newline 
[
\ast 
; 
\ast 
]
; 
\newline \mathbf {Preassociative} \newline 
[
\ast 
\ proves\ 
\ast 
]
; 
\newline \mathbf {Preassociative} \newline 
[
\ast 
\mathbf{\ proof\ of\ } 
\ast 
: 
\ast 
] , \linebreak [0] 
[
Line \, 
\ast 
: 
\ast 
\gg 
\ast 
; 
\ast 
] , \linebreak [0] 
[
Last\ line \, 
\ast 
\gg 
\ast 
\,\Box
] , \linebreak [0] 
[
Line \, 
\ast 
: Premise \gg 
\ast 
;
\ast 
] , \linebreak [0] 
[
Line \, 
\ast 
: \mbox{Side-condition} \gg 
\ast 
; 
\ast 
] , \linebreak [0] 
[
Arbitrary \gg 
\ast 
;
\ast 
] , \linebreak [0] 
[
Local \gg 
\ast 
= 
\ast 
; 
\ast 
] , \linebreak [0] 
[
Begin \, 
\ast 
 ; 
\ast 
 : End ; 
\ast 
] , \linebreak [0] 
[
Last\ block\ line \, 
\ast 
\gg 
\ast 
\,;
] , \linebreak [0] 
[
Arbitrary \gg 
\ast 
;
\ast 
]
; 
\newline\mathbf{Postassociative} \newline 
[
\ast 
\mathrel{|} 
\ast 
]
; 
\newline\mathbf{Postassociative} \newline 
[
\ast 
\mathrel{\mathrm{,}}
\ast 
] , \linebreak [0] 
[
\ast 
{[}
\ast 
{]}
\ast 
]
; 
\newline \mathbf {Preassociative} \newline 
[
\ast 
\& 
\ast 
] , \linebreak [0] 
[
 \rightarrow 
]
; 
\newline \mathbf {Preassociative} \newline 
[
\ast 
\backslash \backslash 
\ast 
] , \linebreak [0] 
[
\ast 
\mathrel{linebreak[4]} 
\ast 
] , \linebreak [0] 
[
\ast 
\backslash \backslash 
\ast 
] , \linebreak [0] 
[
\ast 
\mathrel{|} 
\ast 
] , \linebreak [0] 
[
\ast 
\ldots
]
; 
]$

$\rm
[
\mbox{opgave}
\stackrel{
\mathrm{pyk}
}{\rightarrow}
\mbox{``}opgave
\mbox{''}
]$

\hypertarget {url:1808490450776494469886199066475724407610946851235271335976337380875467521:1}{}\section* {$\rm 
\overline{0}$}

$\rm
[
\overline{0}
\stackrel{
\mathrm {macro}
}{\rightarrow}
\lambda 
\mathsf {t}
.
\lambda 
\mathsf {s}
.
\lambda 
\mathsf {c}
.
\tilde {{\cal M}}_4(
\mathsf {t}
,
\mathsf {s}
,
\mathsf {c}
,
\lceil 
[
\overline{0}
\mathrel {\ddot {=}}
0
]
\rceil 
)
]$

$\rm
[
\overline{0}
\stackrel{
\mathrm{tex}
}{\rightarrow}
\mbox{``}
\newline 
\mbox {$\backslash $}overline
\{0
\}
\mbox{''}
]$

$\rm
[
\overline{0}
\stackrel{
\mathrm{pyk}
}{\rightarrow}
\mbox{``}numeral
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}zero
\mbox{''}
]$

\hypertarget {url:1808490450776494469886199066475724407610946851235271335976337380875467521:2}{}\section* {$\rm 
\overline{1}$}

$\rm
[
\overline{1}
\stackrel{
\mathrm {macro}
}{\rightarrow}
\lambda 
\mathsf {t}
.
\lambda 
\mathsf {s}
.
\lambda 
\mathsf {c}
.
\tilde {{\cal M}}_4(
\mathsf {t}
,
\mathsf {s}
,
\mathsf {c}
,
\lceil 
[
\overline{1}
\mathrel {\ddot {=}}
0
{}'
]
\rceil 
)
]$

$\rm
[
\overline{1}
\stackrel{
\mathrm{tex}
}{\rightarrow}
\mbox{``}
\newline 
\mbox {$\backslash $}overline
\{1
\}
\mbox{''}
]$

$\rm
[
\overline{1}
\stackrel{
\mathrm{pyk}
}{\rightarrow}
\mbox{``}numeral
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}one
\mbox{''}
]$

\hypertarget {url:1808490450776494469886199066475724407610946851235271335976337380875467521:3}{}\section* {$\rm 
\overline{2}$}

$\rm
[
\overline{2}
\stackrel{
\mathrm {macro}
}{\rightarrow}
\lambda 
\mathsf {t}
.
\lambda 
\mathsf {s}
.
\lambda 
\mathsf {c}
.
\tilde {{\cal M}}_4(
\mathsf {t}
,
\mathsf {s}
,
\mathsf {c}
,
\lceil 
[
\overline{2}
\mathrel {\ddot {=}}
0
{}'
{}'
]
\rceil 
)
]$

$\rm
[
\overline{2}
\stackrel{
\mathrm{tex}
}{\rightarrow}
\mbox{``}
\newline 
\mbox {$\backslash $}overline
\{2
\}
\mbox{''}
]$

$\rm
[
\overline{2}
\stackrel{
\mathrm{pyk}
}{\rightarrow}
\mbox{``}numeral
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}two
\mbox{''}
]$

\hypertarget {url:1808490450776494469886199066475724407610946851235271335976337380875467521:4}{}\section* {$\rm 
\overline{3}$}

$\rm
[
\overline{3}
\stackrel{
\mathrm {macro}
}{\rightarrow}
\lambda 
\mathsf {t}
.
\lambda 
\mathsf {s}
.
\lambda 
\mathsf {c}
.
\tilde {{\cal M}}_4(
\mathsf {t}
,
\mathsf {s}
,
\mathsf {c}
,
\lceil 
[
\overline{3}
\mathrel {\ddot {=}}
0
{}'
{}'
{}'
]
\rceil 
)
]$

$\rm
[
\overline{3}
\stackrel{
\mathrm{tex}
}{\rightarrow}
\mbox{``}
\newline 
\mbox {$\backslash $}overline
\{3
\}
\mbox{''}
]$

$\rm
[
\overline{3}
\stackrel{
\mathrm{pyk}
}{\rightarrow}
\mbox{``}numeral
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}three
\mbox{''}
]$

\hypertarget {url:1808490450776494469886199066475724407610946851235271335976337380875467521:5}{}\section* {$\rm 
\overline{4}$}

$\rm
[
\overline{4}
\stackrel{
\mathrm {macro}
}{\rightarrow}
\lambda 
\mathsf {t}
.
\lambda 
\mathsf {s}
.
\lambda 
\mathsf {c}
.
\tilde {{\cal M}}_4(
\mathsf {t}
,
\mathsf {s}
,
\mathsf {c}
,
\lceil 
[
\overline{4}
\mathrel {\ddot {=}}
0
{}'
{}'
{}'
{}'
]
\rceil 
)
]$

$\rm
[
\overline{4}
\stackrel{
\mathrm{tex}
}{\rightarrow}
\mbox{``}
\newline 
\mbox {$\backslash $}overline
\{4
\}
\mbox{''}
]$

$\rm
[
\overline{4}
\stackrel{
\mathrm{pyk}
}{\rightarrow}
\mbox{``}numeral
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}four
\mbox{''}
]$

\hypertarget {url:1808490450776494469886199066475724407610946851235271335976337380875467521:6}{}\section* {$\rm 
\overline{5}$}

$\rm
[
\overline{5}
\stackrel{
\mathrm {macro}
}{\rightarrow}
\lambda 
\mathsf {t}
.
\lambda 
\mathsf {s}
.
\lambda 
\mathsf {c}
.
\tilde {{\cal M}}_4(
\mathsf {t}
,
\mathsf {s}
,
\mathsf {c}
,
\lceil 
[
\overline{5}
\mathrel {\ddot {=}}
0
{}'
{}'
{}'
{}'
{}'
]
\rceil 
)
]$

$\rm
[
\overline{5}
\stackrel{
\mathrm{tex}
}{\rightarrow}
\mbox{``}
\newline 
\mbox {$\backslash $}overline
\{5
\}
\mbox{''}
]$

$\rm
[
\overline{5}
\stackrel{
\mathrm{pyk}
}{\rightarrow}
\mbox{``}numeral
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}five
\mbox{''}
]$

\hypertarget {url:1808490450776494469886199066475724407610946851235271335976337380875467521:7}{}\section* {$\rm 
\overline{6}$}

$\rm
[
\overline{6}
\stackrel{
\mathrm {macro}
}{\rightarrow}
\lambda 
\mathsf {t}
.
\lambda 
\mathsf {s}
.
\lambda 
\mathsf {c}
.
\tilde {{\cal M}}_4(
\mathsf {t}
,
\mathsf {s}
,
\mathsf {c}
,
\lceil 
[
\overline{6}
\mathrel {\ddot {=}}
0
{}'
{}'
{}'
{}'
{}'
{}'
]
\rceil 
)
]$

$\rm
[
\overline{6}
\stackrel{
\mathrm{tex}
}{\rightarrow}
\mbox{``}
\newline 
\mbox {$\backslash $}overline
\{6
\}
\mbox{''}
]$

$\rm
[
\overline{6}
\stackrel{
\mathrm{pyk}
}{\rightarrow}
\mbox{``}numeral
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}six
\mbox{''}
]$

\hypertarget {url:1808490450776494469886199066475724407610946851235271335976337380875467521:8}{}\section* {$\rm 
\overline{7}$}

$\rm
[
\overline{7}
\stackrel{
\mathrm {macro}
}{\rightarrow}
\lambda 
\mathsf {t}
.
\lambda 
\mathsf {s}
.
\lambda 
\mathsf {c}
.
\tilde {{\cal M}}_4(
\mathsf {t}
,
\mathsf {s}
,
\mathsf {c}
,
\lceil 
[
\overline{7}
\mathrel {\ddot {=}}
0
{}'
{}'
{}'
{}'
{}'
{}'
{}'
]
\rceil 
)
]$

$\rm
[
\overline{7}
\stackrel{
\mathrm{tex}
}{\rightarrow}
\mbox{``}
\newline 
\mbox {$\backslash $}overline
\{7
\}
\mbox{''}
]$

$\rm
[
\overline{7}
\stackrel{
\mathrm{pyk}
}{\rightarrow}
\mbox{``}numeral
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}seven
\mbox{''}
]$

\hypertarget {url:1808490450776494469886199066475724407610946851235271335976337380875467521:9}{}\section* {$\rm 
\overline{8}$}

$\rm
[
\overline{8}
\stackrel{
\mathrm {macro}
}{\rightarrow}
\lambda 
\mathsf {t}
.
\lambda 
\mathsf {s}
.
\lambda 
\mathsf {c}
.
\tilde {{\cal M}}_4(
\mathsf {t}
,
\mathsf {s}
,
\mathsf {c}
,
\lceil 
[
\overline{8}
\mathrel {\ddot {=}}
0
{}'
{}'
{}'
{}'
{}'
{}'
{}'
{}'
]
\rceil 
)
]$

$\rm
[
\overline{8}
\stackrel{
\mathrm{tex}
}{\rightarrow}
\mbox{``}
\newline 
\mbox {$\backslash $}overline
\{8
\}
\mbox{''}
]$

$\rm
[
\overline{8}
\stackrel{
\mathrm{pyk}
}{\rightarrow}
\mbox{``}numeral
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}eight
\mbox{''}
]$

\hypertarget {url:1808490450776494469886199066475724407610946851235271335976337380875467521:10}{}\section* {$\rm 
\overline{9}$}

$\rm
[
\overline{9}
\stackrel{
\mathrm {macro}
}{\rightarrow}
\lambda 
\mathsf {t}
.
\lambda 
\mathsf {s}
.
\lambda 
\mathsf {c}
.
\tilde {{\cal M}}_4(
\mathsf {t}
,
\mathsf {s}
,
\mathsf {c}
,
\lceil 
[
\overline{9}
\mathrel {\ddot {=}}
0
{}'
{}'
{}'
{}'
{}'
{}'
{}'
{}'
{}'
]
\rceil 
)
]$

$\rm
[
\overline{9}
\stackrel{
\mathrm{tex}
}{\rightarrow}
\mbox{``}
\newline 
\mbox {$\backslash $}overline
\{9
\}
\mbox{''}
]$

$\rm
[
\overline{9}
\stackrel{
\mathrm{pyk}
}{\rightarrow}
\mbox{``}numeral
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}nine
\mbox{''}
]$

\hypertarget {url:1808490450776494469886199066475724407610946851235271335976337380875467521:11}{}\section* {$\rm 
\overline{n}$}

$\rm
[
\overline{n}
\stackrel{
\mathrm{tex}
}{\rightarrow}
\mbox{``}
\newline 
\mbox {$\backslash $}overline
\{n
\}
\mbox{''}
]$

$\rm
[
\overline{n}
\stackrel{
\mathrm{pyk}
}{\rightarrow}
\mbox{``}numeral
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}n
\mbox{''}
]$

\hypertarget {url:1808490450776494469886199066475724407610946851235271335976337380875467521:12}{}\section* {$\rm 
\mbox{rule div}$}

$\rm
[
\mbox{rule div}
\stackrel{
\mathrm{pyk}
}{\rightarrow}
\mbox{``}rule
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}div
\mbox{''}
]$

\hypertarget {url:1808490450776494469886199066475724407610946851235271335976337380875467521:13}{}\section* {$\rm 
R$}

$\rm
[
R
\stackrel{
\mathrm{tex}
}{\rightarrow}
\mbox{``}
\newline R
\mbox{''}
]$

$\rm
[
R
\stackrel{
\mathrm{pyk}
}{\rightarrow}
\mbox{``}rule
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}r
\mbox{''}
]$

\hypertarget {url:1808490450776494469886199066475724407610946851235271335976337380875467521:14}{}\section* {$\rm 
R1$}

$\rm
[
R1
\stackrel{
\mathrm{tex}
}{\rightarrow}
\mbox{``}
\newline R1
\mbox{''}
]$

$\rm
[
R1
\stackrel{
\mathrm{pyk}
}{\rightarrow}
\mbox{``}rule
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}r
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}one
\mbox{''}
]$

\hypertarget {url:1808490450776494469886199066475724407610946851235271335976337380875467521:15}{}\section* {$\rm 
R2$}

$\rm
[
R2
\stackrel{
\mathrm{tex}
}{\rightarrow}
\mbox{``}
\newline R2
\mbox{''}
]$

$\rm
[
R2
\stackrel{
\mathrm{pyk}
}{\rightarrow}
\mbox{``}rule
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}r
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}two
\mbox{''}
]$

\hypertarget {url:1808490450776494469886199066475724407610946851235271335976337380875467521:16}{}\section* {$\rm 
R3$}

$\rm
[
R3
\stackrel{
\mathrm{tex}
}{\rightarrow}
\mbox{``}
\newline R3
\mbox{''}
]$

$\rm
[
R3
\stackrel{
\mathrm{pyk}
}{\rightarrow}
\mbox{``}rule
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}r
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}three
\mbox{''}
]$

\hypertarget {url:1808490450776494469886199066475724407610946851235271335976337380875467521:17}{}\section* {$\rm 
R4$}

$\rm
[
R4
\stackrel{
\mathrm{tex}
}{\rightarrow}
\mbox{``}
\newline R4
\mbox{''}
]$

$\rm
[
R4
\stackrel{
\mathrm{pyk}
}{\rightarrow}
\mbox{``}rule
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}r
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}four
\mbox{''}
]$

\hypertarget {url:1808490450776494469886199066475724407610946851235271335976337380875467521:18}{}\section* {$\rm 
R5$}

$\rm
[
R5
\stackrel{
\mathrm{tex}
}{\rightarrow}
\mbox{``}
\newline R5
\mbox{''}
]$

$\rm
[
R5
\stackrel{
\mathrm{pyk}
}{\rightarrow}
\mbox{``}rule
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}r
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}five
\mbox{''}
]$

\hypertarget {url:1808490450776494469886199066475724407610946851235271335976337380875467521:19}{}\section* {$\rm 
R6$}

$\rm
[
R6
\stackrel{
\mathrm{tex}
}{\rightarrow}
\mbox{``}
\newline R6
\mbox{''}
]$

$\rm
[
R6
\stackrel{
\mathrm{pyk}
}{\rightarrow}
\mbox{``}rule
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}r
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}six
\mbox{''}
]$

\hypertarget {url:1808490450776494469886199066475724407610946851235271335976337380875467521:20}{}\section* {$\rm 
Con1$}

$\rm
[
Con1
\stackrel{
proof
}{\rightarrow}
\lambda 
\mathsf {c}
.
\lambda 
\mathsf{x}
.
{\cal P}( 
\lceil 
S
\vdash 
\forall \underline{
\mathsf {a}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf {b}}
\colon 
{\neg }\underline{
\mathsf {a}}
\Rightarrow 
{\neg }\underline{
\mathsf {b}}
\vdash 
\forall \underline{
\mathsf {a}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf {b}}
\colon 
{\neg }\underline{
\mathsf {a}}
\vdash 
A1'
\gg 
{\neg }\underline{
\mathsf {a}}
\Rightarrow 
{\neg }
{\neg }\underline{
\mathsf {b}}
\Rightarrow 
{\neg }\underline{
\mathsf {a}}
; 
MP
\rhd 
{\neg }\underline{
\mathsf {a}}
\Rightarrow 
{\neg }
{\neg }\underline{
\mathsf {b}}
\Rightarrow 
{\neg }\underline{
\mathsf {a}}
\rhd 
{\neg }\underline{
\mathsf {a}}
\gg 
{\neg }
{\neg }\underline{
\mathsf {b}}
\Rightarrow 
{\neg }\underline{
\mathsf {a}}
; 
Lem 1.11d
\gg 
{\neg }
{\neg }\underline{
\mathsf {b}}
\Rightarrow 
{\neg }\underline{
\mathsf {a}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {a}}
\Rightarrow 
{\neg }\underline{
\mathsf {b}}
; 
MP
\rhd 
{\neg }
{\neg }\underline{
\mathsf {b}}
\Rightarrow 
{\neg }\underline{
\mathsf {a}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {a}}
\Rightarrow 
{\neg }\underline{
\mathsf {b}}
\rhd 
{\neg }
{\neg }\underline{
\mathsf {b}}
\Rightarrow 
{\neg }\underline{
\mathsf {a}}
\gg \underline{
\mathsf {a}}
\Rightarrow 
{\neg }\underline{
\mathsf {b}}
; 
Ded
\rhd 
\forall \underline{
\mathsf {a}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf {b}}
\colon 
{\neg }\underline{
\mathsf {a}}
\vdash \underline{
\mathsf {a}}
\Rightarrow 
{\neg }\underline{
\mathsf {b}}
\gg 
{\neg }\underline{
\mathsf {a}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {a}}
\Rightarrow 
{\neg }\underline{
\mathsf {b}}
; 
MT
\rhd 
{\neg }\underline{
\mathsf {a}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {a}}
\Rightarrow 
{\neg }\underline{
\mathsf {b}}
\rhd 
{\neg }\underline{
\mathsf {a}}
\Rightarrow 
{\neg }\underline{
\mathsf {b}}
\gg 
{\neg }
{\neg }\underline{
\mathsf {a}}
; 
Lem 1.11a
\gg 
{\neg }
{\neg }\underline{
\mathsf {a}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {a}}
; 
MP
\rhd 
{\neg }
{\neg }\underline{
\mathsf {a}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {a}}
\rhd 
{\neg }
{\neg }\underline{
\mathsf {a}}
\gg \underline{
\mathsf {a}}
\rceil 
, 
p_0
, 
\mathsf {c}
)
]$

$\rm
[
Con1
\stackrel{
stmt
}{\rightarrow}
S
\vdash 
\forall \underline{
\mathsf {a}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf {b}}
\colon 
{\neg }\underline{
\mathsf {a}}
\Rightarrow 
{\neg }\underline{
\mathsf {b}}
\vdash \underline{
\mathsf {a}}
]$

$\rm
[
Con1
\stackrel{
\mathrm{tex}
}{\rightarrow}
\mbox{``}
\newline Con1
\mbox{''}
]$

$\rm
[
Con1
\stackrel{
\mathrm{pyk}
}{\rightarrow}
\mbox{``}conjel1
\mbox{''}
]$

\hypertarget {url:1808490450776494469886199066475724407610946851235271335976337380875467521:21}{}\section* {$\rm 
Con2$}

$\rm
[
Con2
\stackrel{
proof
}{\rightarrow}
\lambda 
\mathsf {c}
.
\lambda 
\mathsf{x}
.
{\cal P}( 
\lceil 
S
\vdash 
\forall \underline{
\mathsf {a}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf {b}}
\colon 
{\neg }\underline{
\mathsf {a}}
\Rightarrow 
{\neg }\underline{
\mathsf {b}}
\vdash 
\forall \underline{
\mathsf {a}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf {b}}
\colon 
{\neg }\underline{
\mathsf {b}}
\vdash 
A1'
\gg 
{\neg }\underline{
\mathsf {b}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {a}}
\Rightarrow 
{\neg }\underline{
\mathsf {b}}
; 
MP
\rhd 
{\neg }\underline{
\mathsf {b}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {a}}
\Rightarrow 
{\neg }\underline{
\mathsf {b}}
\rhd 
{\neg }\underline{
\mathsf {b}}
\gg \underline{
\mathsf {a}}
\Rightarrow 
{\neg }\underline{
\mathsf {b}}
; 
Ded
\rhd 
\forall \underline{
\mathsf {a}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf {b}}
\colon 
{\neg }\underline{
\mathsf {b}}
\vdash \underline{
\mathsf {a}}
\Rightarrow 
{\neg }\underline{
\mathsf {b}}
\gg 
{\neg }\underline{
\mathsf {b}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {a}}
\Rightarrow 
{\neg }\underline{
\mathsf {b}}
; 
MT
\rhd 
{\neg }\underline{
\mathsf {b}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {a}}
\Rightarrow 
{\neg }\underline{
\mathsf {b}}
\rhd 
{\neg }\underline{
\mathsf {a}}
\Rightarrow 
{\neg }\underline{
\mathsf {b}}
\gg 
{\neg }
{\neg }\underline{
\mathsf {b}}
; 
Lem 1.11a
\gg 
{\neg }
{\neg }\underline{
\mathsf {b}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {b}}
; 
MP
\rhd 
{\neg }
{\neg }\underline{
\mathsf {b}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {b}}
\rhd 
{\neg }
{\neg }\underline{
\mathsf {b}}
\gg \underline{
\mathsf {b}}
\rceil 
, 
p_0
, 
\mathsf {c}
)
]$

$\rm
[
Con2
\stackrel{
stmt
}{\rightarrow}
S
\vdash 
\forall \underline{
\mathsf {a}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf {b}}
\colon 
{\neg }\underline{
\mathsf {a}}
\Rightarrow 
{\neg }\underline{
\mathsf {b}}
\vdash \underline{
\mathsf {b}}
]$

$\rm
[
Con2
\stackrel{
\mathrm{tex}
}{\rightarrow}
\mbox{``}
\newline Con2
\mbox{''}
]$

$\rm
[
Con2
\stackrel{
\mathrm{pyk}
}{\rightarrow}
\mbox{``}conjel2
\mbox{''}
]$

\hypertarget {url:1808490450776494469886199066475724407610946851235271335976337380875467521:22}{}\section* {$\rm 
Con$}

$\rm
[
Con
\stackrel{
proof
}{\rightarrow}
\lambda 
\mathsf {c}
.
\lambda 
\mathsf{x}
.
{\cal P}( 
\lceil 
S
\vdash 
\forall \underline{
\mathsf {a}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf {b}}
\colon \underline{
\mathsf {a}}
\vdash \underline{
\mathsf {b}}
\vdash 
\forall \underline{
\mathsf {a}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf {b}}
\colon \underline{
\mathsf {a}}
\Rightarrow 
{\neg }\underline{
\mathsf {b}}
\vdash 
Repetition
\rhd \underline{
\mathsf {a}}
\gg \underline{
\mathsf {a}}
; 
MP
\rhd \underline{
\mathsf {a}}
\Rightarrow 
{\neg }\underline{
\mathsf {b}}
\rhd \underline{
\mathsf {a}}
\gg 
{\neg }\underline{
\mathsf {b}}
; 
Ded
\rhd 
\forall \underline{
\mathsf {a}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf {b}}
\colon \underline{
\mathsf {a}}
\Rightarrow 
{\neg }\underline{
\mathsf {b}}
\vdash 
{\neg }\underline{
\mathsf {b}}
\gg \underline{
\mathsf {a}}
\Rightarrow 
{\neg }\underline{
\mathsf {b}}
\Rightarrow 
{\neg }\underline{
\mathsf {b}}
; 
Lem 1.11b
\gg \underline{
\mathsf {b}}
\Rightarrow 
{\neg }
{\neg }\underline{
\mathsf {b}}
; 
MP
\rhd \underline{
\mathsf {b}}
\Rightarrow 
{\neg }
{\neg }\underline{
\mathsf {b}}
\rhd \underline{
\mathsf {b}}
\gg 
{\neg }
{\neg }\underline{
\mathsf {b}}
; 
MT
\rhd \underline{
\mathsf {a}}
\Rightarrow 
{\neg }\underline{
\mathsf {b}}
\Rightarrow 
{\neg }\underline{
\mathsf {b}}
\rhd 
{\neg }
{\neg }\underline{
\mathsf {b}}
\gg 
{\neg }\underline{
\mathsf {a}}
\Rightarrow 
{\neg }\underline{
\mathsf {b}}
\rceil 
, 
p_0
, 
\mathsf {c}
)
]$

$\rm
[
Con
\stackrel{
stmt
}{\rightarrow}
S
\vdash 
\forall \underline{
\mathsf {a}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf {b}}
\colon \underline{
\mathsf {a}}
\vdash \underline{
\mathsf {b}}
\vdash 
{\neg }\underline{
\mathsf {a}}
\Rightarrow 
{\neg }\underline{
\mathsf {b}}
]$

$\rm
[
Con
\stackrel{
\mathrm{tex}
}{\rightarrow}
\mbox{``}
\newline Con
\mbox{''}
]$

$\rm
[
Con
\stackrel{
\mathrm{pyk}
}{\rightarrow}
\mbox{``}conjin
\mbox{''}
]$

\hypertarget {url:1808490450776494469886199066475724407610946851235271335976337380875467521:23}{}\section* {$\rm 
Dis1$}

$\rm
[
Dis1
\stackrel{
proof
}{\rightarrow}
\lambda 
\mathsf {c}
.
\lambda 
\mathsf{x}
.
{\cal P}( 
\lceil 
S
\vdash 
\forall \underline{
\mathsf {a}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf {b}}
\colon \underline{
\mathsf {a}}
\vdash 
Lem 1.11c
\gg 
{\neg }
{\neg }\underline{
\mathsf {a}}
\Rightarrow 
{\neg }\underline{
\mathsf {a}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {b}}
; 
Lem 1.11b
\gg \underline{
\mathsf {a}}
\Rightarrow 
{\neg }
{\neg }\underline{
\mathsf {a}}
; 
MP
\rhd \underline{
\mathsf {a}}
\Rightarrow 
{\neg }
{\neg }\underline{
\mathsf {a}}
\rhd \underline{
\mathsf {a}}
\gg 
{\neg }
{\neg }\underline{
\mathsf {a}}
; 
MP
\rhd 
{\neg }
{\neg }\underline{
\mathsf {a}}
\Rightarrow 
{\neg }\underline{
\mathsf {a}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {b}}
\rhd 
{\neg }
{\neg }\underline{
\mathsf {a}}
\gg 
{\neg }\underline{
\mathsf {a}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {b}}
\rceil 
, 
p_0
, 
\mathsf {c}
)
]$

$\rm
[
Dis1
\stackrel{
stmt
}{\rightarrow}
S
\vdash 
\forall \underline{
\mathsf {a}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf {b}}
\colon \underline{
\mathsf {a}}
\vdash 
{\neg }\underline{
\mathsf {a}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {b}}
]$

$\rm
[
Dis1
\stackrel{
\mathrm{tex}
}{\rightarrow}
\mbox{``}
\newline Dis1
\mbox{''}
]$

$\rm
[
Dis1
\stackrel{
\mathrm{pyk}
}{\rightarrow}
\mbox{``}disjin1
\mbox{''}
]$

\hypertarget {url:1808490450776494469886199066475724407610946851235271335976337380875467521:24}{}\section* {$\rm 
Dis2$}

$\rm
[
Dis2
\stackrel{
proof
}{\rightarrow}
\lambda 
\mathsf {c}
.
\lambda 
\mathsf{x}
.
{\cal P}( 
\lceil 
S
\vdash 
\forall \underline{
\mathsf {a}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf {b}}
\colon \underline{
\mathsf {b}}
\vdash 
A1'
\gg \underline{
\mathsf {b}}
\Rightarrow 
{\neg }\underline{
\mathsf {a}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {b}}
; 
MP
\rhd \underline{
\mathsf {b}}
\Rightarrow 
{\neg }\underline{
\mathsf {a}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {b}}
\rhd \underline{
\mathsf {b}}
\gg 
{\neg }\underline{
\mathsf {a}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {b}}
\rceil 
, 
p_0
, 
\mathsf {c}
)
]$

$\rm
[
Dis2
\stackrel{
stmt
}{\rightarrow}
S
\vdash 
\forall \underline{
\mathsf {a}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf {b}}
\colon \underline{
\mathsf {b}}
\vdash 
{\neg }\underline{
\mathsf {a}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {b}}
]$

$\rm
[
Dis2
\stackrel{
\mathrm{tex}
}{\rightarrow}
\mbox{``}
\newline Dis2
\mbox{''}
]$

$\rm
[
Dis2
\stackrel{
\mathrm{pyk}
}{\rightarrow}
\mbox{``}disjin2
\mbox{''}
]$

\hypertarget {url:1808490450776494469886199066475724407610946851235271335976337380875467521:25}{}\section* {$\rm 
Lem 1.11c$}

$\rm
[
Lem 1.11c
\stackrel{
proof
}{\rightarrow}
\lambda 
\mathsf {c}
.
\lambda 
\mathsf{x}
.
{\cal P}( 
\lceil 
S
\vdash 
\forall \underline{
\mathsf {a}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf {b}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf {a}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf {b}}
\colon 
{\neg }\underline{
\mathsf {a}}
\vdash 
\forall \underline{
\mathsf {a}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf {b}}
\colon \underline{
\mathsf {a}}
\vdash 
Repetition
\rhd 
{\neg }\underline{
\mathsf {a}}
\gg 
{\neg }\underline{
\mathsf {a}}
; 
A1'
\gg \underline{
\mathsf {a}}
\Rightarrow 
{\neg }\underline{
\mathsf {b}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {a}}
; 
MP
\rhd \underline{
\mathsf {a}}
\Rightarrow 
{\neg }\underline{
\mathsf {b}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {a}}
\rhd \underline{
\mathsf {a}}
\gg 
{\neg }\underline{
\mathsf {b}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {a}}
; 
A1'
\gg 
{\neg }\underline{
\mathsf {a}}
\Rightarrow 
{\neg }\underline{
\mathsf {b}}
\Rightarrow 
{\neg }\underline{
\mathsf {a}}
; 
MP
\rhd 
{\neg }\underline{
\mathsf {a}}
\Rightarrow 
{\neg }\underline{
\mathsf {b}}
\Rightarrow 
{\neg }\underline{
\mathsf {a}}
\rhd 
{\neg }\underline{
\mathsf {a}}
\gg 
{\neg }\underline{
\mathsf {b}}
\Rightarrow 
{\neg }\underline{
\mathsf {a}}
; 
Neg
\rhd 
{\neg }\underline{
\mathsf {b}}
\Rightarrow 
{\neg }\underline{
\mathsf {a}}
\rhd 
{\neg }\underline{
\mathsf {b}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {a}}
\gg \underline{
\mathsf {b}}
; 
Ded
\rhd 
\forall \underline{
\mathsf {a}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf {b}}
\colon \underline{
\mathsf {a}}
\vdash \underline{
\mathsf {b}}
\gg \underline{
\mathsf {a}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {b}}
; 
Ded
\rhd 
\forall \underline{
\mathsf {a}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf {b}}
\colon 
{\neg }\underline{
\mathsf {a}}
\vdash \underline{
\mathsf {a}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {b}}
\gg 
{\neg }\underline{
\mathsf {a}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {a}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {b}}
\rceil 
, 
p_0
, 
\mathsf {c}
)
]$

$\rm
[
Lem 1.11c
\stackrel{
stmt
}{\rightarrow}
S
\vdash 
\forall \underline{
\mathsf {a}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf {b}}
\colon 
{\neg }\underline{
\mathsf {a}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {a}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {b}}
]$

$\rm
[
Lem 1.11c
\stackrel{
\mathrm{tex}
}{\rightarrow}
\mbox{``}
\newline Lem
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}1.11c
\mbox{''}
]$

$\rm
[
Lem 1.11c
\stackrel{
\mathrm{pyk}
}{\rightarrow}
\mbox{``}t
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}one
\mbox{''}
]$

\hypertarget {url:1808490450776494469886199066475724407610946851235271335976337380875467521:26}{}\section* {$\rm 
Cor 1.10a$}

$\rm
[
Cor 1.10a
\stackrel{
proof
}{\rightarrow}
\lambda 
\mathsf {c}
.
\lambda 
\mathsf{x}
.
{\cal P}( 
\lceil 
S
\vdash 
\forall \underline{
\mathsf {a}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf {b}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf {c}}
\colon \underline{
\mathsf {a}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {b}}
\vdash \underline{
\mathsf {b}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {c}}
\vdash 
\forall \underline{
\mathsf {a}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf {b}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf {c}}
\colon \underline{
\mathsf {a}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {b}}
\vdash \underline{
\mathsf {b}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {c}}
\vdash \underline{
\mathsf {a}}
\vdash 
MP
\rhd \underline{
\mathsf {a}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {b}}
\rhd \underline{
\mathsf {a}}
\gg \underline{
\mathsf {b}}
; 
MP
\rhd \underline{
\mathsf {b}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {c}}
\rhd \underline{
\mathsf {b}}
\gg \underline{
\mathsf {c}}
; 
Ded
\rhd 
\forall \underline{
\mathsf {a}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf {b}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf {c}}
\colon \underline{
\mathsf {a}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {b}}
\vdash \underline{
\mathsf {b}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {c}}
\vdash \underline{
\mathsf {a}}
\vdash \underline{
\mathsf {c}}
\gg \underline{
\mathsf {a}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {b}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {b}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {c}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {a}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {c}}
; 
MP
\rhd \underline{
\mathsf {a}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {b}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {b}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {c}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {a}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {c}}
\rhd \underline{
\mathsf {a}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {b}}
\gg \underline{
\mathsf {b}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {c}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {a}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {c}}
; 
MP
\rhd \underline{
\mathsf {b}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {c}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {a}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {c}}
\rhd \underline{
\mathsf {b}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {c}}
\gg \underline{
\mathsf {a}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {c}}
\rceil 
, 
p_0
, 
\mathsf {c}
)
]$

$\rm
[
Cor 1.10a
\stackrel{
stmt
}{\rightarrow}
S
\vdash 
\forall \underline{
\mathsf {a}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf {b}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf {c}}
\colon \underline{
\mathsf {a}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {b}}
\vdash \underline{
\mathsf {b}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {c}}
\vdash \underline{
\mathsf {a}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {c}}
]$

$\rm
[
Cor 1.10a
\stackrel{
\mathrm{tex}
}{\rightarrow}
\mbox{``}
\newline Cor
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}1.10a
\mbox{''}
]$

$\rm
[
Cor 1.10a
\stackrel{
\mathrm{pyk}
}{\rightarrow}
\mbox{``}h
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}zero
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}a
\mbox{''}
]$

\hypertarget {url:1808490450776494469886199066475724407610946851235271335976337380875467521:27}{}\section* {$\rm 
Cor 1.10b$}

$\rm
[
Cor 1.10b
\stackrel{
proof
}{\rightarrow}
\lambda 
\mathsf {c}
.
\lambda 
\mathsf{x}
.
{\cal P}( 
\lceil 
S
\vdash 
\forall \underline{
\mathsf {a}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf {b}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf {c}}
\colon \underline{
\mathsf {a}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {b}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {c}}
\vdash \underline{
\mathsf {b}}
\vdash 
A2'
\gg \underline{
\mathsf {a}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {b}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {c}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {a}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {b}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {a}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {c}}
; 
MP
\rhd \underline{
\mathsf {a}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {b}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {c}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {a}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {b}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {a}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {c}}
\rhd \underline{
\mathsf {a}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {b}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {c}}
\gg \underline{
\mathsf {a}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {b}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {a}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {c}}
; 
A1'
\gg \underline{
\mathsf {b}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {a}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {b}}
; 
MP
\rhd \underline{
\mathsf {b}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {a}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {b}}
\rhd \underline{
\mathsf {b}}
\gg \underline{
\mathsf {a}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {b}}
; 
MP
\rhd \underline{
\mathsf {a}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {b}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {a}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {c}}
\rhd \underline{
\mathsf {a}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {b}}
\gg \underline{
\mathsf {a}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {c}}
\rceil 
, 
p_0
, 
\mathsf {c}
)
]$

$\rm
[
Cor 1.10b
\stackrel{
stmt
}{\rightarrow}
S
\vdash 
\forall \underline{
\mathsf {a}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf {b}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf {c}}
\colon \underline{
\mathsf {a}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {b}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {c}}
\vdash \underline{
\mathsf {b}}
\vdash \underline{
\mathsf {a}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {c}}
]$

$\rm
[
Cor 1.10b
\stackrel{
\mathrm{tex}
}{\rightarrow}
\mbox{``}
\newline Cor
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}1.10b
\mbox{''}
]$

$\rm
[
Cor 1.10b
\stackrel{
\mathrm{pyk}
}{\rightarrow}
\mbox{``}h
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}zero
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}b
\mbox{''}
]$

\hypertarget {url:1808490450776494469886199066475724407610946851235271335976337380875467521:28}{}\section* {$\rm 
Lem 1.11a$}

$\rm
[
Lem 1.11a
\stackrel{
proof
}{\rightarrow}
\lambda 
\mathsf {c}
.
\lambda 
\mathsf{x}
.
{\cal P}( 
\lceil 
S
\vdash 
\forall \underline{
\mathsf {a}}
\colon 
Neg'
\gg 
{\neg }\underline{
\mathsf {a}}
\Rightarrow 
{\neg }
{\neg }\underline{
\mathsf {a}}
\Rightarrow 
{\neg }\underline{
\mathsf {a}}
\Rightarrow 
{\neg }\underline{
\mathsf {a}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {a}}
; 
Repetition'
\gg 
{\neg }\underline{
\mathsf {a}}
\Rightarrow 
{\neg }\underline{
\mathsf {a}}
; 
Cor 1.10b
\rhd 
{\neg }\underline{
\mathsf {a}}
\Rightarrow 
{\neg }
{\neg }\underline{
\mathsf {a}}
\Rightarrow 
{\neg }\underline{
\mathsf {a}}
\Rightarrow 
{\neg }\underline{
\mathsf {a}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {a}}
\rhd 
{\neg }\underline{
\mathsf {a}}
\Rightarrow 
{\neg }\underline{
\mathsf {a}}
\gg 
{\neg }\underline{
\mathsf {a}}
\Rightarrow 
{\neg }
{\neg }\underline{
\mathsf {a}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {a}}
; 
A1'
\gg 
{\neg }
{\neg }\underline{
\mathsf {a}}
\Rightarrow 
{\neg }\underline{
\mathsf {a}}
\Rightarrow 
{\neg }
{\neg }\underline{
\mathsf {a}}
; 
Cor 1.10a
\rhd 
{\neg }
{\neg }\underline{
\mathsf {a}}
\Rightarrow 
{\neg }\underline{
\mathsf {a}}
\Rightarrow 
{\neg }
{\neg }\underline{
\mathsf {a}}
\rhd 
{\neg }\underline{
\mathsf {a}}
\Rightarrow 
{\neg }
{\neg }\underline{
\mathsf {a}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {a}}
\gg 
{\neg }
{\neg }\underline{
\mathsf {a}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {a}}
\rceil 
, 
p_0
, 
\mathsf {c}
)
]$

$\rm
[
Lem 1.11a
\stackrel{
stmt
}{\rightarrow}
S
\vdash 
\forall \underline{
\mathsf {a}}
\colon 
{\neg }
{\neg }\underline{
\mathsf {a}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {a}}
]$

$\rm
[
Lem 1.11a
\stackrel{
\mathrm{tex}
}{\rightarrow}
\mbox{``}
\newline Lem
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}1.11a
\mbox{''}
]$

$\rm
[
Lem 1.11a
\stackrel{
\mathrm{pyk}
}{\rightarrow}
\mbox{``}h
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}one
\mbox{''}
]$

\hypertarget {url:1808490450776494469886199066475724407610946851235271335976337380875467521:29}{}\section* {$\rm 
Lem 1.11b$}

$\rm
[
Lem 1.11b
\stackrel{
proof
}{\rightarrow}
\lambda 
\mathsf {c}
.
\lambda 
\mathsf{x}
.
{\cal P}( 
\lceil 
S
\vdash 
\forall \underline{
\mathsf {a}}
\colon 
Neg'
\gg 
{\neg }
{\neg }
{\neg }\underline{
\mathsf {a}}
\Rightarrow 
{\neg }\underline{
\mathsf {a}}
\Rightarrow 
{\neg }
{\neg }
{\neg }\underline{
\mathsf {a}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {a}}
\Rightarrow 
{\neg }
{\neg }\underline{
\mathsf {a}}
; 
Lem 1.11a
\gg 
{\neg }
{\neg }
{\neg }\underline{
\mathsf {a}}
\Rightarrow 
{\neg }\underline{
\mathsf {a}}
; 
MP
\rhd 
{\neg }
{\neg }
{\neg }\underline{
\mathsf {a}}
\Rightarrow 
{\neg }\underline{
\mathsf {a}}
\Rightarrow 
{\neg }
{\neg }
{\neg }\underline{
\mathsf {a}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {a}}
\Rightarrow 
{\neg }
{\neg }\underline{
\mathsf {a}}
\rhd 
{\neg }
{\neg }
{\neg }\underline{
\mathsf {a}}
\Rightarrow 
{\neg }\underline{
\mathsf {a}}
\gg 
{\neg }
{\neg }
{\neg }\underline{
\mathsf {a}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {a}}
\Rightarrow 
{\neg }
{\neg }\underline{
\mathsf {a}}
; 
A1'
\gg \underline{
\mathsf {a}}
\Rightarrow 
{\neg }
{\neg }
{\neg }\underline{
\mathsf {a}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {a}}
; 
Cor 1.10a
\rhd \underline{
\mathsf {a}}
\Rightarrow 
{\neg }
{\neg }
{\neg }\underline{
\mathsf {a}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {a}}
\rhd 
{\neg }
{\neg }
{\neg }\underline{
\mathsf {a}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {a}}
\Rightarrow 
{\neg }
{\neg }\underline{
\mathsf {a}}
\gg \underline{
\mathsf {a}}
\Rightarrow 
{\neg }
{\neg }\underline{
\mathsf {a}}
\rceil 
, 
p_0
, 
\mathsf {c}
)
]$

$\rm
[
Lem 1.11b
\stackrel{
stmt
}{\rightarrow}
S
\vdash 
\forall \underline{
\mathsf {a}}
\colon \underline{
\mathsf {a}}
\Rightarrow 
{\neg }
{\neg }\underline{
\mathsf {a}}
]$

$\rm
[
Lem 1.11b
\stackrel{
\mathrm{tex}
}{\rightarrow}
\mbox{``}
\newline Lem
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}1.11b
\mbox{''}
]$

$\rm
[
Lem 1.11b
\stackrel{
\mathrm{pyk}
}{\rightarrow}
\mbox{``}h
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}two
\mbox{''}
]$

\hypertarget {url:1808490450776494469886199066475724407610946851235271335976337380875467521:30}{}\section* {$\rm 
H3$}

$\rm
[
H3
\stackrel{
proof
}{\rightarrow}
\lambda 
\mathsf {c}
.
\lambda 
\mathsf{x}
.
{\cal P}( 
\lceil 
S
\vdash 
\forall \underline{
\mathsf {a}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf {b}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf {c}}
\colon \underline{
\mathsf {a}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {b}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {c}}
\vdash \underline{
\mathsf {a}}
\vdash 
{\neg }\underline{
\mathsf {c}}
\vdash 
MP
\rhd \underline{
\mathsf {a}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {b}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {c}}
\rhd \underline{
\mathsf {a}}
\gg \underline{
\mathsf {b}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {c}}
; 
MT
\rhd \underline{
\mathsf {b}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {c}}
\rhd 
{\neg }\underline{
\mathsf {c}}
\gg 
{\neg }\underline{
\mathsf {b}}
\rceil 
, 
p_0
, 
\mathsf {c}
)
]$

$\rm
[
H3
\stackrel{
stmt
}{\rightarrow}
S
\vdash 
\forall \underline{
\mathsf {a}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf {b}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf {c}}
\colon \underline{
\mathsf {a}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {b}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {c}}
\vdash \underline{
\mathsf {a}}
\vdash 
{\neg }\underline{
\mathsf {c}}
\vdash 
{\neg }\underline{
\mathsf {b}}
]$

$\rm
[
H3
\stackrel{
\mathrm{tex}
}{\rightarrow}
\mbox{``}
\newline H3
\mbox{''}
]$

$\rm
[
H3
\stackrel{
\mathrm{pyk}
}{\rightarrow}
\mbox{``}h
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}three
\mbox{''}
]$

\hypertarget {url:1808490450776494469886199066475724407610946851235271335976337380875467521:31}{}\section* {$\rm 
Prop 3.2c'$}

$\rm
[
Prop 3.2c'
\stackrel{
proof
}{\rightarrow}
\lambda 
\mathsf {c}
.
\lambda 
\mathsf{x}
.
{\cal P}( 
\lceil 
S
\vdash 
\forall \underline{
\mathsf {a}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf {b}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf {c}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf {a}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf {b}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf {c}}
\colon \underline{
\mathsf {a}}
= \underline{
\mathsf {b}}
\vdash 
\forall \underline{
\mathsf {a}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf {b}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf {c}}
\colon \underline{
\mathsf {b}}
= \underline{
\mathsf {c}}
\vdash 
Prop\ 3.2c
\rhd \underline{
\mathsf {a}}
= \underline{
\mathsf {b}}
\rhd \underline{
\mathsf {b}}
= \underline{
\mathsf {c}}
\gg \underline{
\mathsf {a}}
= \underline{
\mathsf {c}}
; 
Ded
\rhd 
\forall \underline{
\mathsf {a}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf {b}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf {c}}
\colon \underline{
\mathsf {b}}
= \underline{
\mathsf {c}}
\vdash \underline{
\mathsf {a}}
= \underline{
\mathsf {c}}
\gg \underline{
\mathsf {b}}
= \underline{
\mathsf {c}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {a}}
= \underline{
\mathsf {c}}
; 
Ded
\rhd 
\forall \underline{
\mathsf {a}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf {b}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf {c}}
\colon \underline{
\mathsf {a}}
= \underline{
\mathsf {b}}
\vdash \underline{
\mathsf {b}}
= \underline{
\mathsf {c}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {a}}
= \underline{
\mathsf {c}}
\gg \underline{
\mathsf {a}}
= \underline{
\mathsf {b}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {b}}
= \underline{
\mathsf {c}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {a}}
= \underline{
\mathsf {c}}
\rceil 
, 
p_0
, 
\mathsf {c}
)
]$

$\rm
[
Prop 3.2c'
\stackrel{
stmt
}{\rightarrow}
S
\vdash 
\forall \underline{
\mathsf {a}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf {b}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf {c}}
\colon \underline{
\mathsf {a}}
= \underline{
\mathsf {b}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {b}}
= \underline{
\mathsf {c}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {a}}
= \underline{
\mathsf {c}}
]$

$\rm
[
Prop 3.2c'
\stackrel{
\mathrm{tex}
}{\rightarrow}
\mbox{``}
\newline Prop
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}3.2c
\mbox {'}
\mbox{''}
]$

$\rm
[
Prop 3.2c'
\stackrel{
\mathrm{pyk}
}{\rightarrow}
\mbox{``}h
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}four
\mbox{''}
]$

\hypertarget {url:1808490450776494469886199066475724407610946851235271335976337380875467521:32}{}\section* {$\rm 
S1''$}

$\rm
[
S1''
\stackrel{
proof
}{\rightarrow}
\lambda 
\mathsf {c}
.
\lambda 
\mathsf{x}
.
{\cal P}( 
\lceil 
S
\vdash 
\forall \underline{
\mathsf {a}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf {b}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf {c}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf {a}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf {b}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf {c}}
\colon \underline{
\mathsf {a}}
= \underline{
\mathsf {b}}
\vdash 
\forall \underline{
\mathsf {a}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf {b}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf {c}}
\colon \underline{
\mathsf {a}}
= \underline{
\mathsf {c}}
\vdash 
S1
\rhd \underline{
\mathsf {a}}
= \underline{
\mathsf {b}}
\rhd \underline{
\mathsf {a}}
= \underline{
\mathsf {c}}
\gg \underline{
\mathsf {b}}
= \underline{
\mathsf {c}}
; 
Ded
\rhd 
\forall \underline{
\mathsf {a}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf {b}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf {c}}
\colon \underline{
\mathsf {a}}
= \underline{
\mathsf {c}}
\vdash \underline{
\mathsf {b}}
= \underline{
\mathsf {c}}
\gg \underline{
\mathsf {a}}
= \underline{
\mathsf {c}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {b}}
= \underline{
\mathsf {c}}
; 
Ded
\rhd 
\forall \underline{
\mathsf {a}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf {b}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf {c}}
\colon \underline{
\mathsf {a}}
= \underline{
\mathsf {b}}
\vdash \underline{
\mathsf {a}}
= \underline{
\mathsf {c}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {b}}
= \underline{
\mathsf {c}}
\gg \underline{
\mathsf {a}}
= \underline{
\mathsf {b}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {a}}
= \underline{
\mathsf {c}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {b}}
= \underline{
\mathsf {c}}
\rceil 
, 
p_0
, 
\mathsf {c}
)
]$

$\rm
[
S1''
\stackrel{
stmt
}{\rightarrow}
S
\vdash 
\forall \underline{
\mathsf {a}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf {b}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf {c}}
\colon \underline{
\mathsf {a}}
= \underline{
\mathsf {b}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {a}}
= \underline{
\mathsf {c}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {b}}
= \underline{
\mathsf {c}}
]$

$\rm
[
S1''
\stackrel{
\mathrm{tex}
}{\rightarrow}
\mbox{``}
\newline S1
\mbox {'}
\mbox {'}
\mbox{''}
]$

$\rm
[
S1''
\stackrel{
\mathrm{pyk}
}{\rightarrow}
\mbox{``}h
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}four
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}mark
\mbox{''}
]$

\hypertarget {url:1808490450776494469886199066475724407610946851235271335976337380875467521:33}{}\section* {$\rm 
Neg'$}

$\rm
[
Neg'
\stackrel{
proof
}{\rightarrow}
\lambda 
\mathsf {c}
.
\lambda 
\mathsf{x}
.
{\cal P}( 
\lceil 
S
\vdash 
\forall \underline{
\mathsf {a}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf {b}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf {a}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf {b}}
\colon 
{\neg }\underline{
\mathsf {b}}
\Rightarrow 
{\neg }\underline{
\mathsf {a}}
\vdash 
\forall \underline{
\mathsf {a}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf {b}}
\colon 
{\neg }\underline{
\mathsf {b}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {a}}
\vdash 
Neg
\rhd 
{\neg }\underline{
\mathsf {b}}
\Rightarrow 
{\neg }\underline{
\mathsf {a}}
\rhd 
{\neg }\underline{
\mathsf {b}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {a}}
\gg \underline{
\mathsf {b}}
; 
Ded
\rhd 
\forall \underline{
\mathsf {a}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf {b}}
\colon 
{\neg }\underline{
\mathsf {b}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {a}}
\vdash \underline{
\mathsf {b}}
\gg 
{\neg }\underline{
\mathsf {b}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {a}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {b}}
; 
Ded
\rhd 
\forall \underline{
\mathsf {a}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf {b}}
\colon 
{\neg }\underline{
\mathsf {b}}
\Rightarrow 
{\neg }\underline{
\mathsf {a}}
\vdash 
{\neg }\underline{
\mathsf {b}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {a}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {b}}
\gg 
{\neg }\underline{
\mathsf {b}}
\Rightarrow 
{\neg }\underline{
\mathsf {a}}
\Rightarrow 
{\neg }\underline{
\mathsf {b}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {a}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {b}}
\rceil 
, 
p_0
, 
\mathsf {c}
)
]$

$\rm
[
Neg'
\stackrel{
stmt
}{\rightarrow}
S
\vdash 
\forall \underline{
\mathsf {a}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf {b}}
\colon 
{\neg }\underline{
\mathsf {b}}
\Rightarrow 
{\neg }\underline{
\mathsf {a}}
\Rightarrow 
{\neg }\underline{
\mathsf {b}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {a}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {b}}
]$

$\rm
[
Neg'
\stackrel{
\mathrm{tex}
}{\rightarrow}
\mbox{``}
\newline Neg
\mbox {'}
\mbox{''}
]$

$\rm
[
Neg'
\stackrel{
\mathrm{pyk}
}{\rightarrow}
\mbox{``}h
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}five
\mbox{''}
]$

\hypertarget {url:1808490450776494469886199066475724407610946851235271335976337380875467521:34}{}\section* {$\rm 
Repetition'$}

$\rm
[
Repetition'
\stackrel{
proof
}{\rightarrow}
\lambda 
\mathsf {c}
.
\lambda 
\mathsf{x}
.
{\cal P}( 
\lceil 
S
\vdash 
\forall \underline{
\mathsf {a}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf {a}}
\colon \underline{
\mathsf {a}}
\vdash 
Repetition
\rhd \underline{
\mathsf {a}}
\gg \underline{
\mathsf {a}}
; 
Ded
\rhd 
\forall \underline{
\mathsf {a}}
\colon \underline{
\mathsf {a}}
\vdash \underline{
\mathsf {a}}
\gg \underline{
\mathsf {a}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {a}}
\rceil 
, 
p_0
, 
\mathsf {c}
)
]$

$\rm
[
Repetition'
\stackrel{
stmt
}{\rightarrow}
S
\vdash 
\forall \underline{
\mathsf {a}}
\colon \underline{
\mathsf {a}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {a}}
]$

$\rm
[
Repetition'
\stackrel{
\mathrm{tex}
}{\rightarrow}
\mbox{``}
\newline Repetition
\mbox {'}
\mbox{''}
]$

$\rm
[
Repetition'
\stackrel{
\mathrm{pyk}
}{\rightarrow}
\mbox{``}h
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}six
\mbox{''}
]$

\hypertarget {url:1808490450776494469886199066475724407610946851235271335976337380875467521:35}{}\section* {$\rm 
Lem 1.11e$}

$\rm
[
Lem 1.11e
\stackrel{
proof
}{\rightarrow}
\lambda 
\mathsf {c}
.
\lambda 
\mathsf{x}
.
{\cal P}( 
\lceil 
S
\vdash 
\forall \underline{
\mathsf {a}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf {b}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf {a}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf {b}}
\colon \underline{
\mathsf {a}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {b}}
\vdash 
Lem 1.11a
\gg 
{\neg }
{\neg }\underline{
\mathsf {a}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {a}}
; 
Cor 1.10a
\rhd 
{\neg }
{\neg }\underline{
\mathsf {a}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {a}}
\rhd \underline{
\mathsf {a}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {b}}
\gg 
{\neg }
{\neg }\underline{
\mathsf {a}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {b}}
; 
Lem 1.11b
\gg \underline{
\mathsf {b}}
\Rightarrow 
{\neg }
{\neg }\underline{
\mathsf {b}}
; 
Cor 1.10a
\rhd 
{\neg }
{\neg }\underline{
\mathsf {a}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {b}}
\rhd \underline{
\mathsf {b}}
\Rightarrow 
{\neg }
{\neg }\underline{
\mathsf {b}}
\gg 
{\neg }
{\neg }\underline{
\mathsf {a}}
\Rightarrow 
{\neg }
{\neg }\underline{
\mathsf {b}}
; 
Lem 1.11d
\gg 
{\neg }
{\neg }\underline{
\mathsf {a}}
\Rightarrow 
{\neg }
{\neg }\underline{
\mathsf {b}}
\Rightarrow 
{\neg }\underline{
\mathsf {b}}
\Rightarrow 
{\neg }\underline{
\mathsf {a}}
; 
MP
\rhd 
{\neg }
{\neg }\underline{
\mathsf {a}}
\Rightarrow 
{\neg }
{\neg }\underline{
\mathsf {b}}
\Rightarrow 
{\neg }\underline{
\mathsf {b}}
\Rightarrow 
{\neg }\underline{
\mathsf {a}}
\rhd 
{\neg }
{\neg }\underline{
\mathsf {a}}
\Rightarrow 
{\neg }
{\neg }\underline{
\mathsf {b}}
\gg 
{\neg }\underline{
\mathsf {b}}
\Rightarrow 
{\neg }\underline{
\mathsf {a}}
; 
Ded
\rhd 
\forall \underline{
\mathsf {a}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf {b}}
\colon \underline{
\mathsf {a}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {b}}
\vdash 
{\neg }\underline{
\mathsf {b}}
\Rightarrow 
{\neg }\underline{
\mathsf {a}}
\gg \underline{
\mathsf {a}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {b}}
\Rightarrow 
{\neg }\underline{
\mathsf {b}}
\Rightarrow 
{\neg }\underline{
\mathsf {a}}
\rceil 
, 
p_0
, 
\mathsf {c}
)
]$

$\rm
[
Lem 1.11e
\stackrel{
stmt
}{\rightarrow}
S
\vdash 
\forall \underline{
\mathsf {a}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf {b}}
\colon \underline{
\mathsf {a}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {b}}
\Rightarrow 
{\neg }\underline{
\mathsf {b}}
\Rightarrow 
{\neg }\underline{
\mathsf {a}}
]$

$\rm
[
Lem 1.11e
\stackrel{
\mathrm{tex}
}{\rightarrow}
\mbox{``}
\newline Lem
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}1.11e
\mbox{''}
]$

$\rm
[
Lem 1.11e
\stackrel{
\mathrm{pyk}
}{\rightarrow}
\mbox{``}h
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}seven
\mbox{''}
]$

\hypertarget {url:1808490450776494469886199066475724407610946851235271335976337380875467521:36}{}\section* {$\rm 
Lem 1.11d$}

$\rm
[
Lem 1.11d
\stackrel{
proof
}{\rightarrow}
\lambda 
\mathsf {c}
.
\lambda 
\mathsf{x}
.
{\cal P}( 
\lceil 
S
\vdash 
\forall \underline{
\mathsf {a}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf {b}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf {a}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf {b}}
\colon 
{\neg }\underline{
\mathsf {b}}
\Rightarrow 
{\neg }\underline{
\mathsf {a}}
\vdash 
Neg'
\gg 
{\neg }\underline{
\mathsf {b}}
\Rightarrow 
{\neg }\underline{
\mathsf {a}}
\Rightarrow 
{\neg }\underline{
\mathsf {b}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {a}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {b}}
; 
A1'
\gg \underline{
\mathsf {a}}
\Rightarrow 
{\neg }\underline{
\mathsf {b}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {a}}
; 
MP
\rhd 
{\neg }\underline{
\mathsf {b}}
\Rightarrow 
{\neg }\underline{
\mathsf {a}}
\Rightarrow 
{\neg }\underline{
\mathsf {b}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {a}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {b}}
\rhd 
{\neg }\underline{
\mathsf {b}}
\Rightarrow 
{\neg }\underline{
\mathsf {a}}
\gg 
{\neg }\underline{
\mathsf {b}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {a}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {b}}
; 
Cor 1.10a
\rhd \underline{
\mathsf {a}}
\Rightarrow 
{\neg }\underline{
\mathsf {b}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {a}}
\rhd 
{\neg }\underline{
\mathsf {b}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {a}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {b}}
\gg \underline{
\mathsf {a}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {b}}
; 
Ded
\rhd 
\forall \underline{
\mathsf {a}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf {b}}
\colon 
{\neg }\underline{
\mathsf {b}}
\Rightarrow 
{\neg }\underline{
\mathsf {a}}
\vdash \underline{
\mathsf {a}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {b}}
\gg 
{\neg }\underline{
\mathsf {b}}
\Rightarrow 
{\neg }\underline{
\mathsf {a}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {a}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {b}}
\rceil 
, 
p_0
, 
\mathsf {c}
)
]$

$\rm
[
Lem 1.11d
\stackrel{
stmt
}{\rightarrow}
S
\vdash 
\forall \underline{
\mathsf {a}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf {b}}
\colon 
{\neg }\underline{
\mathsf {b}}
\Rightarrow 
{\neg }\underline{
\mathsf {a}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {a}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {b}}
]$

$\rm
[
Lem 1.11d
\stackrel{
\mathrm{tex}
}{\rightarrow}
\mbox{``}
\newline Lem
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}1.11d
\mbox{''}
]$

$\rm
[
Lem 1.11d
\stackrel{
\mathrm{pyk}
}{\rightarrow}
\mbox{``}h
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}eight
\mbox{''}
]$

\hypertarget {url:1808490450776494469886199066475724407610946851235271335976337380875467521:37}{}\section* {$\rm 
Prop 3.2b'$}

$\rm
[
Prop 3.2b'
\stackrel{
proof
}{\rightarrow}
\lambda 
\mathsf {c}
.
\lambda 
\mathsf{x}
.
{\cal P}( 
\lceil 
S
\vdash 
\forall \underline{
\mathsf {a}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf {b}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf {a}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf {b}}
\colon \underline{
\mathsf {a}}
= \underline{
\mathsf {b}}
\vdash 
Prop\ 3.2b
\rhd \underline{
\mathsf {a}}
= \underline{
\mathsf {b}}
\gg \underline{
\mathsf {b}}
= \underline{
\mathsf {a}}
; 
Ded
\rhd 
\forall \underline{
\mathsf {a}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf {b}}
\colon \underline{
\mathsf {a}}
= \underline{
\mathsf {b}}
\vdash \underline{
\mathsf {b}}
= \underline{
\mathsf {a}}
\gg \underline{
\mathsf {a}}
= \underline{
\mathsf {b}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {b}}
= \underline{
\mathsf {a}}
\rceil 
, 
p_0
, 
\mathsf {c}
)
]$

$\rm
[
Prop 3.2b'
\stackrel{
stmt
}{\rightarrow}
S
\vdash 
\forall \underline{
\mathsf {a}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf {b}}
\colon \underline{
\mathsf {a}}
= \underline{
\mathsf {b}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {b}}
= \underline{
\mathsf {a}}
]$

$\rm
[
Prop 3.2b'
\stackrel{
\mathrm{tex}
}{\rightarrow}
\mbox{``}
\newline Prop
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}3.2b
\mbox {'}
\mbox{''}
]$

$\rm
[
Prop 3.2b'
\stackrel{
\mathrm{pyk}
}{\rightarrow}
\mbox{``}h
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}nine
\mbox{''}
]$

\hypertarget {url:1808490450776494469886199066475724407610946851235271335976337380875467521:38}{}\section* {$\rm 
H10$}

$\rm
[
H10
\stackrel{
proof
}{\rightarrow}
\lambda 
\mathsf {c}
.
\lambda 
\mathsf{x}
.
{\cal P}( 
\lceil 
S
\vdash 
\forall \underline{
\mathsf {a}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf {b}}
\colon 
{\neg }\underline{
\mathsf {b}}
= \underline{
\mathsf {a}}
\vdash 
Prop 3.2b'
\gg \underline{
\mathsf {a}}
= \underline{
\mathsf {b}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {b}}
= \underline{
\mathsf {a}}
; 
Lem 1.11e
\gg \underline{
\mathsf {a}}
= \underline{
\mathsf {b}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {b}}
= \underline{
\mathsf {a}}
\Rightarrow 
{\neg }\underline{
\mathsf {b}}
= \underline{
\mathsf {a}}
\Rightarrow 
{\neg }\underline{
\mathsf {a}}
= \underline{
\mathsf {b}}
; 
MP
\rhd \underline{
\mathsf {a}}
= \underline{
\mathsf {b}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {b}}
= \underline{
\mathsf {a}}
\Rightarrow 
{\neg }\underline{
\mathsf {b}}
= \underline{
\mathsf {a}}
\Rightarrow 
{\neg }\underline{
\mathsf {a}}
= \underline{
\mathsf {b}}
\rhd \underline{
\mathsf {a}}
= \underline{
\mathsf {b}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {b}}
= \underline{
\mathsf {a}}
\gg 
{\neg }\underline{
\mathsf {b}}
= \underline{
\mathsf {a}}
\Rightarrow 
{\neg }\underline{
\mathsf {a}}
= \underline{
\mathsf {b}}
; 
MP
\rhd 
{\neg }\underline{
\mathsf {b}}
= \underline{
\mathsf {a}}
\Rightarrow 
{\neg }\underline{
\mathsf {a}}
= \underline{
\mathsf {b}}
\rhd 
{\neg }\underline{
\mathsf {b}}
= \underline{
\mathsf {a}}
\gg 
{\neg }\underline{
\mathsf {a}}
= \underline{
\mathsf {b}}
\rceil 
, 
p_0
, 
\mathsf {c}
)
]$

$\rm
[
H10
\stackrel{
stmt
}{\rightarrow}
S
\vdash 
\forall \underline{
\mathsf {a}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf {b}}
\colon 
{\neg }\underline{
\mathsf {b}}
= \underline{
\mathsf {a}}
\vdash 
{\neg }\underline{
\mathsf {a}}
= \underline{
\mathsf {b}}
]$

$\rm
[
H10
\stackrel{
\mathrm{tex}
}{\rightarrow}
\mbox{``}
\newline H10
\mbox{''}
]$

$\rm
[
H10
\stackrel{
\mathrm{pyk}
}{\rightarrow}
\mbox{``}h
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}ten
\mbox{''}
]$

\hypertarget {url:1808490450776494469886199066475724407610946851235271335976337380875467521:39}{}\section* {$\rm 
H11$}

$\rm
[
H11
\stackrel{
proof
}{\rightarrow}
\lambda 
\mathsf {c}
.
\lambda 
\mathsf{x}
.
{\cal P}( 
\lceil 
S
\vdash 
\forall \underline{
\mathsf {a}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf {b}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf {c}}
\colon 
{\neg }\underline{
\mathsf {a}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {b}}
\vdash \underline{
\mathsf {a}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {c}}
\vdash \underline{
\mathsf {b}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {c}}
\vdash 
Cor 1.10a
\rhd 
{\neg }\underline{
\mathsf {a}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {b}}
\rhd \underline{
\mathsf {b}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {c}}
\gg 
{\neg }\underline{
\mathsf {a}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {c}}
; 
Lem 1.11g
\rhd \underline{
\mathsf {a}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {c}}
\rhd 
{\neg }\underline{
\mathsf {a}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {c}}
\gg \underline{
\mathsf {c}}
\rceil 
, 
p_0
, 
\mathsf {c}
)
]$

$\rm
[
H11
\stackrel{
stmt
}{\rightarrow}
S
\vdash 
\forall \underline{
\mathsf {a}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf {b}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf {c}}
\colon 
{\neg }\underline{
\mathsf {a}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {b}}
\vdash \underline{
\mathsf {a}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {c}}
\vdash \underline{
\mathsf {b}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {c}}
\vdash \underline{
\mathsf {c}}
]$

$\rm
[
H11
\stackrel{
\mathrm{tex}
}{\rightarrow}
\mbox{``}
\newline H11
\mbox{''}
]$

$\rm
[
H11
\stackrel{
\mathrm{pyk}
}{\rightarrow}
\mbox{``}h
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}eleven
\mbox{''}
]$

\hypertarget {url:1808490450776494469886199066475724407610946851235271335976337380875467521:40}{}\section* {$\rm 
Lem 1.11g$}

$\rm
[
Lem 1.11g
\stackrel{
proof
}{\rightarrow}
\lambda 
\mathsf {c}
.
\lambda 
\mathsf{x}
.
{\cal P}( 
\lceil 
S
\vdash 
\forall \underline{
\mathsf {a}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf {b}}
\colon \underline{
\mathsf {a}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {b}}
\vdash 
{\neg }\underline{
\mathsf {a}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {b}}
\vdash 
Lem 1.11e
\gg \underline{
\mathsf {a}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {b}}
\Rightarrow 
{\neg }\underline{
\mathsf {b}}
\Rightarrow 
{\neg }\underline{
\mathsf {a}}
; 
MP
\rhd \underline{
\mathsf {a}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {b}}
\Rightarrow 
{\neg }\underline{
\mathsf {b}}
\Rightarrow 
{\neg }\underline{
\mathsf {a}}
\rhd \underline{
\mathsf {a}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {b}}
\gg 
{\neg }\underline{
\mathsf {b}}
\Rightarrow 
{\neg }\underline{
\mathsf {a}}
; 
Lem 1.11e
\gg 
{\neg }\underline{
\mathsf {a}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {b}}
\Rightarrow 
{\neg }\underline{
\mathsf {b}}
\Rightarrow 
{\neg }
{\neg }\underline{
\mathsf {a}}
; 
MP
\rhd 
{\neg }\underline{
\mathsf {a}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {b}}
\Rightarrow 
{\neg }\underline{
\mathsf {b}}
\Rightarrow 
{\neg }
{\neg }\underline{
\mathsf {a}}
\rhd 
{\neg }\underline{
\mathsf {a}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {b}}
\gg 
{\neg }\underline{
\mathsf {b}}
\Rightarrow 
{\neg }
{\neg }\underline{
\mathsf {a}}
; 
Neg
\rhd 
{\neg }\underline{
\mathsf {b}}
\Rightarrow 
{\neg }
{\neg }\underline{
\mathsf {a}}
\rhd 
{\neg }\underline{
\mathsf {b}}
\Rightarrow 
{\neg }\underline{
\mathsf {a}}
\gg \underline{
\mathsf {b}}
\rceil 
, 
p_0
, 
\mathsf {c}
)
]$

$\rm
[
Lem 1.11g
\stackrel{
stmt
}{\rightarrow}
S
\vdash 
\forall \underline{
\mathsf {a}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf {b}}
\colon \underline{
\mathsf {a}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {b}}
\vdash 
{\neg }\underline{
\mathsf {a}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {b}}
\vdash \underline{
\mathsf {b}}
]$

$\rm
[
Lem 1.11g
\stackrel{
\mathrm{tex}
}{\rightarrow}
\mbox{``}
\newline Lem
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}1.11g
\mbox{''}
]$

$\rm
[
Lem 1.11g
\stackrel{
\mathrm{pyk}
}{\rightarrow}
\mbox{``}h
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}twelwe
\mbox{''}
]$

\hypertarget {url:1808490450776494469886199066475724407610946851235271335976337380875467521:41}{}\section* {$\rm 
MT$}

$\rm
[
MT
\stackrel{
proof
}{\rightarrow}
\lambda 
\mathsf {c}
.
\lambda 
\mathsf{x}
.
{\cal P}( 
\lceil 
S
\vdash 
\forall \underline{
\mathsf {a}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf {b}}
\colon \underline{
\mathsf {a}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {b}}
\vdash 
{\neg }\underline{
\mathsf {b}}
\vdash 
Lem 1.11a
\gg 
{\neg }
{\neg }\underline{
\mathsf {a}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {a}}
; 
Cor 1.10a
\rhd 
{\neg }
{\neg }\underline{
\mathsf {a}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {a}}
\rhd \underline{
\mathsf {a}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {b}}
\gg 
{\neg }
{\neg }\underline{
\mathsf {a}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {b}}
; 
\forall \underline{
\mathsf {a}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf {b}}
\colon 
{\neg }
{\neg }\underline{
\mathsf {a}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {b}}
\vdash 
{\neg }\underline{
\mathsf {b}}
\vdash 
A1'
\gg 
{\neg }\underline{
\mathsf {b}}
\Rightarrow 
{\neg }
{\neg }\underline{
\mathsf {a}}
\Rightarrow 
{\neg }\underline{
\mathsf {b}}
; 
MP
\rhd 
{\neg }\underline{
\mathsf {b}}
\Rightarrow 
{\neg }
{\neg }\underline{
\mathsf {a}}
\Rightarrow 
{\neg }\underline{
\mathsf {b}}
\rhd 
{\neg }\underline{
\mathsf {b}}
\gg 
{\neg }
{\neg }\underline{
\mathsf {a}}
\Rightarrow 
{\neg }\underline{
\mathsf {b}}
; 
Neg
\rhd 
{\neg }
{\neg }\underline{
\mathsf {a}}
\Rightarrow 
{\neg }\underline{
\mathsf {b}}
\rhd 
{\neg }
{\neg }\underline{
\mathsf {a}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {b}}
\gg 
{\neg }\underline{
\mathsf {a}}
; 
Ded
\rhd 
\forall \underline{
\mathsf {a}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf {b}}
\colon 
{\neg }
{\neg }\underline{
\mathsf {a}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {b}}
\vdash 
{\neg }\underline{
\mathsf {b}}
\vdash 
{\neg }\underline{
\mathsf {a}}
\gg 
{\neg }
{\neg }\underline{
\mathsf {a}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {b}}
\Rightarrow 
{\neg }\underline{
\mathsf {b}}
\Rightarrow 
{\neg }\underline{
\mathsf {a}}
; 
MP
\rhd 
{\neg }
{\neg }\underline{
\mathsf {a}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {b}}
\Rightarrow 
{\neg }\underline{
\mathsf {b}}
\Rightarrow 
{\neg }\underline{
\mathsf {a}}
\rhd 
{\neg }
{\neg }\underline{
\mathsf {a}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {b}}
\gg 
{\neg }\underline{
\mathsf {b}}
\Rightarrow 
{\neg }\underline{
\mathsf {a}}
; 
MP
\rhd 
{\neg }\underline{
\mathsf {b}}
\Rightarrow 
{\neg }\underline{
\mathsf {a}}
\rhd 
{\neg }\underline{
\mathsf {b}}
\gg 
{\neg }\underline{
\mathsf {a}}
\rceil 
, 
p_0
, 
\mathsf {c}
)
]$

$\rm
[
MT
\stackrel{
stmt
}{\rightarrow}
S
\vdash 
\forall \underline{
\mathsf {a}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf {b}}
\colon \underline{
\mathsf {a}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {b}}
\vdash 
{\neg }\underline{
\mathsf {b}}
\vdash 
{\neg }\underline{
\mathsf {a}}
]$

$\rm
[
MT
\stackrel{
\mathrm{tex}
}{\rightarrow}
\mbox{``}
\newline MT
\mbox{''}
]$

$\rm
[
MT
\stackrel{
\mathrm{pyk}
}{\rightarrow}
\mbox{``}modus
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}tollens
\mbox{''}
]$

\hypertarget {url:1808490450776494469886199066475724407610946851235271335976337380875467521:42}{}\section* {$\rm 
S10$}

$\rm
[
S10
\stackrel{
\mathrm{tex}
}{\rightarrow}
\mbox{``}
\newline S10
\mbox{''}
]$

$\rm
[
S10
\stackrel{
\mathrm{pyk}
}{\rightarrow}
\mbox{``}axiom
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}s
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}ten
\mbox{''}
]$

\hypertarget {url:1808490450776494469886199066475724407610946851235271335976337380875467521:43}{}\section* {$\rm 
Prop\ 3.2$}

$\rm
[
Prop\ 3.2
\stackrel{
\mathrm{tex}
}{\rightarrow}
\mbox{``}
\newline Prop
\mbox {$\backslash $}
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}3.2
\mbox{''}
]$

$\rm
[
Prop\ 3.2
\stackrel{
\mathrm{pyk}
}{\rightarrow}
\mbox{``}prop
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}three
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}two
\mbox{''}
]$

\hypertarget {url:1808490450776494469886199066475724407610946851235271335976337380875467521:44}{}\section* {$\rm 
Prop\ 3.2i$}

$\rm
[
Prop\ 3.2i
\stackrel{
proof
}{\rightarrow}
\lambda 
\mathsf {c}
.
\lambda 
\mathsf{x}
.
{\cal P}( 
\lceil 
S
\vdash 
\forall \underline{
\mathsf {a}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf {b}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf {c}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf {a}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf {b}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf {c}}
\colon \underline{
\mathsf {a}}
= \underline{
\mathsf {b}}
\vdash 
Prop\ 3.2e
\rhd \underline{
\mathsf {a}}
= \underline{
\mathsf {b}}
\gg \underline{
\mathsf {a}}
+ \underline{
\mathsf {c}}
= \underline{
\mathsf {b}}
+ \underline{
\mathsf {c}}
; 
Prop\ 3.2h
\gg \underline{
\mathsf {a}}
+ \underline{
\mathsf {c}}
= \underline{
\mathsf {c}}
+ \underline{
\mathsf {a}}
; 
Prop\ 3.2h
\gg \underline{
\mathsf {b}}
+ \underline{
\mathsf {c}}
= \underline{
\mathsf {c}}
+ \underline{
\mathsf {b}}
; 
S1
\rhd \underline{
\mathsf {a}}
+ \underline{
\mathsf {c}}
= \underline{
\mathsf {b}}
+ \underline{
\mathsf {c}}
\rhd \underline{
\mathsf {a}}
+ \underline{
\mathsf {c}}
= \underline{
\mathsf {c}}
+ \underline{
\mathsf {a}}
\gg \underline{
\mathsf {b}}
+ \underline{
\mathsf {c}}
= \underline{
\mathsf {c}}
+ \underline{
\mathsf {a}}
; 
Prop\ 3.2b
\rhd \underline{
\mathsf {b}}
+ \underline{
\mathsf {c}}
= \underline{
\mathsf {c}}
+ \underline{
\mathsf {a}}
\gg \underline{
\mathsf {c}}
+ \underline{
\mathsf {a}}
= \underline{
\mathsf {b}}
+ \underline{
\mathsf {c}}
; 
Prop\ 3.2c
\rhd \underline{
\mathsf {c}}
+ \underline{
\mathsf {a}}
= \underline{
\mathsf {b}}
+ \underline{
\mathsf {c}}
\rhd \underline{
\mathsf {b}}
+ \underline{
\mathsf {c}}
= \underline{
\mathsf {c}}
+ \underline{
\mathsf {b}}
\gg \underline{
\mathsf {c}}
+ \underline{
\mathsf {a}}
= \underline{
\mathsf {c}}
+ \underline{
\mathsf {b}}
; 
Ded
\rhd 
\forall \underline{
\mathsf {a}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf {b}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf {c}}
\colon \underline{
\mathsf {a}}
= \underline{
\mathsf {b}}
\vdash \underline{
\mathsf {c}}
+ \underline{
\mathsf {a}}
= \underline{
\mathsf {c}}
+ \underline{
\mathsf {b}}
\gg \underline{
\mathsf {a}}
= \underline{
\mathsf {b}}
\vdash \underline{
\mathsf {c}}
+ \underline{
\mathsf {a}}
= \underline{
\mathsf {c}}
+ \underline{
\mathsf {b}}
\rceil 
, 
p_0
, 
\mathsf {c}
)
]$

$\rm
[
Prop\ 3.2i
\stackrel{
stmt
}{\rightarrow}
S
\vdash 
\forall \underline{
\mathsf {a}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf {b}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf {c}}
\colon \underline{
\mathsf {a}}
= \underline{
\mathsf {b}}
\vdash \underline{
\mathsf {c}}
+ \underline{
\mathsf {a}}
= \underline{
\mathsf {c}}
+ \underline{
\mathsf {b}}
]$

$\rm
[
Prop\ 3.2i
\stackrel{
\mathrm{tex}
}{\rightarrow}
\mbox{``}
\newline Prop
\mbox {$\backslash $}
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}3.2i
\mbox{''}
]$

$\rm
[
Prop\ 3.2i
\stackrel{
\mathrm{pyk}
}{\rightarrow}
\mbox{``}prop
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}three
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}two
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}i
\mbox{''}
]$

\hypertarget {url:1808490450776494469886199066475724407610946851235271335976337380875467521:45}{}\section* {$\rm 
Prop\ 3.2j_1$}

$\rm
[
Prop\ 3.2j_1
\stackrel{
proof
}{\rightarrow}
\lambda 
\mathsf {c}
.
\lambda 
\mathsf{x}
.
{\cal P}( 
\lceil 
S
\vdash 
\forall \underline{
\mathsf {a}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf {b}}
\colon 
S5
\gg \underline{
\mathsf {a}}
+ \underline{
\mathsf {b}}
+ 
0
= \underline{
\mathsf {a}}
+ \underline{
\mathsf {b}}
; 
S5
\gg \underline{
\mathsf {b}}
+ 
0
= \underline{
\mathsf {b}}
; 
Prop\ 3.2i
\rhd \underline{
\mathsf {b}}
+ 
0
= \underline{
\mathsf {b}}
\gg \underline{
\mathsf {a}}
+ \underline{
\mathsf {b}}
+ 
0
= \underline{
\mathsf {a}}
+ \underline{
\mathsf {b}}
; 
Prop\ 3.2d
\rhd \underline{
\mathsf {a}}
+ \underline{
\mathsf {b}}
+ 
0
= \underline{
\mathsf {a}}
+ \underline{
\mathsf {b}}
\rhd \underline{
\mathsf {a}}
+ \underline{
\mathsf {b}}
+ 
0
= \underline{
\mathsf {a}}
+ \underline{
\mathsf {b}}
\gg \underline{
\mathsf {a}}
+ \underline{
\mathsf {b}}
+ 
0
= \underline{
\mathsf {a}}
+ \underline{
\mathsf {b}}
+ 
0
\rceil 
, 
p_0
, 
\mathsf {c}
)
]$

$\rm
[
Prop\ 3.2j_1
\stackrel{
stmt
}{\rightarrow}
S
\vdash 
\forall \underline{
\mathsf {a}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf {b}}
\colon \underline{
\mathsf {a}}
+ \underline{
\mathsf {b}}
+ 
0
= \underline{
\mathsf {a}}
+ \underline{
\mathsf {b}}
+ 
0
]$

$\rm
[
Prop\ 3.2j_1
\stackrel{
\mathrm{tex}
}{\rightarrow}
\mbox{``}
\newline Prop
\mbox {$\backslash $}
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}3.2j
\_1
\mbox{''}
]$

$\rm
[
Prop\ 3.2j_1
\stackrel{
\mathrm{pyk}
}{\rightarrow}
\mbox{``}prop
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}three
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}two
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}j
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}one
\mbox{''}
]$

\hypertarget {url:1808490450776494469886199066475724407610946851235271335976337380875467521:46}{}\section* {$\rm 
Prop\ 3.2j_2$}

$\rm
[
Prop\ 3.2j_2
\stackrel{
proof
}{\rightarrow}
\lambda 
\mathsf {c}
.
\lambda 
\mathsf{x}
.
{\cal P}( 
\lceil 
S
\vdash 
\forall \underline{
\mathsf {a}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf {b}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf {c}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf {a}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf {b}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf {c}}
\colon \underline{
\mathsf {a}}
+ \underline{
\mathsf {b}}
+ \underline{
\mathsf {c}}
= \underline{
\mathsf {a}}
+ \underline{
\mathsf {b}}
+ \underline{
\mathsf {c}}
\vdash 
S6
\gg \underline{
\mathsf {a}}
+ \underline{
\mathsf {b}}
+ \underline{
\mathsf {c}}
{}'
= \underline{
\mathsf {a}}
+ \underline{
\mathsf {b}}
+ \underline{
\mathsf {c}}
{}'
; 
S2
\rhd \underline{
\mathsf {a}}
+ \underline{
\mathsf {b}}
+ \underline{
\mathsf {c}}
= \underline{
\mathsf {a}}
+ \underline{
\mathsf {b}}
+ \underline{
\mathsf {c}}
\gg \underline{
\mathsf {a}}
+ \underline{
\mathsf {b}}
+ \underline{
\mathsf {c}}
{}'
= \underline{
\mathsf {a}}
+ \underline{
\mathsf {b}}
+ \underline{
\mathsf {c}}
{}'
; 
Prop\ 3.2c
\rhd \underline{
\mathsf {a}}
+ \underline{
\mathsf {b}}
+ \underline{
\mathsf {c}}
{}'
= \underline{
\mathsf {a}}
+ \underline{
\mathsf {b}}
+ \underline{
\mathsf {c}}
{}'
\rhd \underline{
\mathsf {a}}
+ \underline{
\mathsf {b}}
+ \underline{
\mathsf {c}}
{}'
= \underline{
\mathsf {a}}
+ \underline{
\mathsf {b}}
+ \underline{
\mathsf {c}}
{}'
\gg \underline{
\mathsf {a}}
+ \underline{
\mathsf {b}}
+ \underline{
\mathsf {c}}
{}'
= \underline{
\mathsf {a}}
+ \underline{
\mathsf {b}}
+ \underline{
\mathsf {c}}
{}'
; 
S6
\gg \underline{
\mathsf {b}}
+ \underline{
\mathsf {c}}
{}'
= \underline{
\mathsf {b}}
+ \underline{
\mathsf {c}}
{}'
; 
Prop\ 3.2i
\rhd \underline{
\mathsf {b}}
+ \underline{
\mathsf {c}}
{}'
= \underline{
\mathsf {b}}
+ \underline{
\mathsf {c}}
{}'
\gg \underline{
\mathsf {a}}
+ \underline{
\mathsf {b}}
+ \underline{
\mathsf {c}}
{}'
= \underline{
\mathsf {a}}
+ \underline{
\mathsf {b}}
+ \underline{
\mathsf {c}}
{}'
; 
S6
\gg \underline{
\mathsf {a}}
+ \underline{
\mathsf {b}}
+ \underline{
\mathsf {c}}
{}'
= \underline{
\mathsf {a}}
+ \underline{
\mathsf {b}}
+ \underline{
\mathsf {c}}
{}'
; 
Prop\ 3.2c
\rhd \underline{
\mathsf {a}}
+ \underline{
\mathsf {b}}
+ \underline{
\mathsf {c}}
{}'
= \underline{
\mathsf {a}}
+ \underline{
\mathsf {b}}
+ \underline{
\mathsf {c}}
{}'
\rhd \underline{
\mathsf {a}}
+ \underline{
\mathsf {b}}
+ \underline{
\mathsf {c}}
{}'
= \underline{
\mathsf {a}}
+ \underline{
\mathsf {b}}
+ \underline{
\mathsf {c}}
{}'
\gg \underline{
\mathsf {a}}
+ \underline{
\mathsf {b}}
+ \underline{
\mathsf {c}}
{}'
= \underline{
\mathsf {a}}
+ \underline{
\mathsf {b}}
+ \underline{
\mathsf {c}}
{}'
; 
Prop\ 3.2d
\rhd \underline{
\mathsf {a}}
+ \underline{
\mathsf {b}}
+ \underline{
\mathsf {c}}
{}'
= \underline{
\mathsf {a}}
+ \underline{
\mathsf {b}}
+ \underline{
\mathsf {c}}
{}'
\rhd \underline{
\mathsf {a}}
+ \underline{
\mathsf {b}}
+ \underline{
\mathsf {c}}
{}'
= \underline{
\mathsf {a}}
+ \underline{
\mathsf {b}}
+ \underline{
\mathsf {c}}
{}'
\gg \underline{
\mathsf {a}}
+ \underline{
\mathsf {b}}
+ \underline{
\mathsf {c}}
{}'
= \underline{
\mathsf {a}}
+ \underline{
\mathsf {b}}
+ \underline{
\mathsf {c}}
{}'
; 
Ded
\rhd 
\forall \underline{
\mathsf {a}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf {b}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf {c}}
\colon \underline{
\mathsf {a}}
+ \underline{
\mathsf {b}}
+ \underline{
\mathsf {c}}
= \underline{
\mathsf {a}}
+ \underline{
\mathsf {b}}
+ \underline{
\mathsf {c}}
\vdash \underline{
\mathsf {a}}
+ \underline{
\mathsf {b}}
+ \underline{
\mathsf {c}}
{}'
= \underline{
\mathsf {a}}
+ \underline{
\mathsf {b}}
+ \underline{
\mathsf {c}}
{}'
\gg \underline{
\mathsf {a}}
+ \underline{
\mathsf {b}}
+ \underline{
\mathsf {c}}
= \underline{
\mathsf {a}}
+ \underline{
\mathsf {b}}
+ \underline{
\mathsf {c}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {a}}
+ \underline{
\mathsf {b}}
+ \underline{
\mathsf {c}}
{}'
= \underline{
\mathsf {a}}
+ \underline{
\mathsf {b}}
+ \underline{
\mathsf {c}}
{}'
\rceil 
, 
p_0
, 
\mathsf {c}
)
]$

$\rm
[
Prop\ 3.2j_2
\stackrel{
stmt
}{\rightarrow}
S
\vdash 
\forall \underline{
\mathsf {a}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf {b}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf {c}}
\colon \underline{
\mathsf {a}}
+ \underline{
\mathsf {b}}
+ \underline{
\mathsf {c}}
= \underline{
\mathsf {a}}
+ \underline{
\mathsf {b}}
+ \underline{
\mathsf {c}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {a}}
+ \underline{
\mathsf {b}}
+ \underline{
\mathsf {c}}
{}'
= \underline{
\mathsf {a}}
+ \underline{
\mathsf {b}}
+ \underline{
\mathsf {c}}
{}'
]$

$\rm
[
Prop\ 3.2j_2
\stackrel{
\mathrm{tex}
}{\rightarrow}
\mbox{``}
\newline Prop
\mbox {$\backslash $}
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}3.2j
\_2
\mbox{''}
]$

$\rm
[
Prop\ 3.2j_2
\stackrel{
\mathrm{pyk}
}{\rightarrow}
\mbox{``}prop
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}three
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}two
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}j
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}two
\mbox{''}
]$

\hypertarget {url:1808490450776494469886199066475724407610946851235271335976337380875467521:47}{}\section* {$\rm 
Prop\ 3.2j$}

$\rm
[
Prop\ 3.2j
\stackrel{
proof
}{\rightarrow}
\lambda 
\mathsf {c}
.
\lambda 
\mathsf{x}
.
{\cal P}( 
\lceil 
S
\vdash 
\forall \underline{
\mathsf {a}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf {b}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf {c}}
\colon 
Prop\ 3.2j_1
\gg \overline{
\mathsf{x}}
+ \overline{
\mathsf{y}}
+ 
0
= \overline{
\mathsf{x}}
+ \overline{
\mathsf{y}}
+ 
0
; 
Prop\ 3.2j_2
\gg \overline{
\mathsf{x}}
+ \overline{
\mathsf{y}}
+ \overline{
\mathsf{z}}
= \overline{
\mathsf{x}}
+ \overline{
\mathsf{y}}
+ \overline{
\mathsf{z}}
\Rightarrow \overline{
\mathsf{x}}
+ \overline{
\mathsf{y}}
+ \overline{
\mathsf{z}}
{}'
= \overline{
\mathsf{x}}
+ \overline{
\mathsf{y}}
+ \overline{
\mathsf{z}}
{}'
; 
S9
\mathop {\char64} \overline{
\mathsf{z}}
\rhd \overline{
\mathsf{x}}
+ \overline{
\mathsf{y}}
+ 
0
= \overline{
\mathsf{x}}
+ \overline{
\mathsf{y}}
+ 
0
\rhd \overline{
\mathsf{x}}
+ \overline{
\mathsf{y}}
+ \overline{
\mathsf{z}}
= \overline{
\mathsf{x}}
+ \overline{
\mathsf{y}}
+ \overline{
\mathsf{z}}
\Rightarrow \overline{
\mathsf{x}}
+ \overline{
\mathsf{y}}
+ \overline{
\mathsf{z}}
{}'
= \overline{
\mathsf{x}}
+ \overline{
\mathsf{y}}
+ \overline{
\mathsf{z}}
{}'
\gg \overline{
\mathsf{x}}
+ \overline{
\mathsf{y}}
+ \overline{
\mathsf{z}}
= \overline{
\mathsf{x}}
+ \overline{
\mathsf{y}}
+ \overline{
\mathsf{z}}
; 
Ded
\rhd \overline{
\mathsf{x}}
+ \overline{
\mathsf{y}}
+ \overline{
\mathsf{z}}
= \overline{
\mathsf{x}}
+ \overline{
\mathsf{y}}
+ \overline{
\mathsf{z}}
\gg \underline{
\mathsf {a}}
+ \underline{
\mathsf {b}}
+ \underline{
\mathsf {c}}
= \underline{
\mathsf {a}}
+ \underline{
\mathsf {b}}
+ \underline{
\mathsf {c}}
\rceil 
, 
p_0
, 
\mathsf {c}
)
]$

$\rm
[
Prop\ 3.2j
\stackrel{
stmt
}{\rightarrow}
S
\vdash 
\forall \underline{
\mathsf {a}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf {b}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf {c}}
\colon \underline{
\mathsf {a}}
+ \underline{
\mathsf {b}}
+ \underline{
\mathsf {c}}
= \underline{
\mathsf {a}}
+ \underline{
\mathsf {b}}
+ \underline{
\mathsf {c}}
]$

$\rm
[
Prop\ 3.2j
\stackrel{
\mathrm{tex}
}{\rightarrow}
\mbox{``}
\newline Prop
\mbox {$\backslash $}
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}3.2j
\mbox{''}
]$

$\rm
[
Prop\ 3.2j
\stackrel{
\mathrm{pyk}
}{\rightarrow}
\mbox{``}prop
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}three
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}two
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}j
\mbox{''}
]$

\hypertarget {url:1808490450776494469886199066475724407610946851235271335976337380875467521:48}{}\section* {$\rm 
Prop\ 3.2k_1$}

$\rm
[
Prop\ 3.2k_1
\stackrel{
proof
}{\rightarrow}
\lambda 
\mathsf {c}
.
\lambda 
\mathsf{x}
.
{\cal P}( 
\lceil 
S
\vdash 
\forall \underline{
\mathsf {a}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf {b}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf {a}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf {b}}
\colon \underline{
\mathsf {a}}
= \underline{
\mathsf {b}}
\vdash 
S7
\gg \underline{
\mathsf {a}}
\cdot 
0
= 
0
; 
S7
\gg \underline{
\mathsf {b}}
\cdot 
0
= 
0
; 
Prop\ 3.2a
\gg 
0
= 
0
; 
Prop\ 3.2b
\rhd \underline{
\mathsf {b}}
\cdot 
0
= 
0
\gg 
0
= \underline{
\mathsf {b}}
\cdot 
0
; 
Prop\ 3.2c
\rhd \underline{
\mathsf {a}}
\cdot 
0
= 
0
\rhd 
0
= \underline{
\mathsf {b}}
\cdot 
0
\gg \underline{
\mathsf {a}}
\cdot 
0
= \underline{
\mathsf {b}}
\cdot 
0
; 
Ded
\rhd 
\forall \underline{
\mathsf {a}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf {b}}
\colon \underline{
\mathsf {a}}
= \underline{
\mathsf {b}}
\vdash \underline{
\mathsf {a}}
\cdot 
0
= \underline{
\mathsf {b}}
\cdot 
0
\gg \underline{
\mathsf {a}}
= \underline{
\mathsf {b}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {a}}
\cdot 
0
= \underline{
\mathsf {b}}
\cdot 
0
\rceil 
, 
p_0
, 
\mathsf {c}
)
]$

$\rm
[
Prop\ 3.2k_1
\stackrel{
stmt
}{\rightarrow}
S
\vdash 
\forall \underline{
\mathsf {a}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf {b}}
\colon \underline{
\mathsf {a}}
= \underline{
\mathsf {b}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {a}}
\cdot 
0
= \underline{
\mathsf {b}}
\cdot 
0
]$

$\rm
[
Prop\ 3.2k_1
\stackrel{
\mathrm{tex}
}{\rightarrow}
\mbox{``}
\newline Prop
\mbox {$\backslash $}
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}3.2k
\_1
\mbox{''}
]$

$\rm
[
Prop\ 3.2k_1
\stackrel{
\mathrm{pyk}
}{\rightarrow}
\mbox{``}prop
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}three
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}two
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}k
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}one
\mbox{''}
]$

\hypertarget {url:1808490450776494469886199066475724407610946851235271335976337380875467521:49}{}\section* {$\rm 
Prop\ 3.2k_2$}

$\rm
[
Prop\ 3.2k_2
\stackrel{
proof
}{\rightarrow}
\lambda 
\mathsf {c}
.
\lambda 
\mathsf{x}
.
{\cal P}( 
\lceil 
S
\vdash 
\forall \underline{
\mathsf {a}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf {b}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf {c}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf {a}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf {b}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf {c}}
\colon \underline{
\mathsf {a}}
= \underline{
\mathsf {b}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {a}}
\cdot \underline{
\mathsf {c}}
= \underline{
\mathsf {b}}
\cdot \underline{
\mathsf {c}}
\vdash \underline{
\mathsf {a}}
= \underline{
\mathsf {b}}
\vdash 
MP
\rhd \underline{
\mathsf {a}}
= \underline{
\mathsf {b}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {a}}
\cdot \underline{
\mathsf {c}}
= \underline{
\mathsf {b}}
\cdot \underline{
\mathsf {c}}
\rhd \underline{
\mathsf {a}}
= \underline{
\mathsf {b}}
\gg \underline{
\mathsf {a}}
\cdot \underline{
\mathsf {c}}
= \underline{
\mathsf {b}}
\cdot \underline{
\mathsf {c}}
; 
S8
\gg \underline{
\mathsf {a}}
\cdot \underline{
\mathsf {c}}
{}'
= \underline{
\mathsf {a}}
\cdot \underline{
\mathsf {c}}
+ \underline{
\mathsf {a}}
; 
S8
\gg \underline{
\mathsf {b}}
\cdot \underline{
\mathsf {c}}
{}'
= \underline{
\mathsf {b}}
\cdot \underline{
\mathsf {c}}
+ \underline{
\mathsf {b}}
; 
Prop\ 3.2e
\rhd \underline{
\mathsf {a}}
\cdot \underline{
\mathsf {c}}
= \underline{
\mathsf {b}}
\cdot \underline{
\mathsf {c}}
\gg \underline{
\mathsf {a}}
\cdot \underline{
\mathsf {c}}
+ \underline{
\mathsf {a}}
= \underline{
\mathsf {b}}
\cdot \underline{
\mathsf {c}}
+ \underline{
\mathsf {a}}
; 
Prop\ 3.2i
\rhd \underline{
\mathsf {a}}
= \underline{
\mathsf {b}}
\gg \underline{
\mathsf {b}}
\cdot \underline{
\mathsf {c}}
+ \underline{
\mathsf {a}}
= \underline{
\mathsf {b}}
\cdot \underline{
\mathsf {c}}
+ \underline{
\mathsf {b}}
; 
Prop\ 3.2c
\rhd \underline{
\mathsf {a}}
\cdot \underline{
\mathsf {c}}
+ \underline{
\mathsf {a}}
= \underline{
\mathsf {b}}
\cdot \underline{
\mathsf {c}}
+ \underline{
\mathsf {a}}
\rhd \underline{
\mathsf {b}}
\cdot \underline{
\mathsf {c}}
+ \underline{
\mathsf {a}}
= \underline{
\mathsf {b}}
\cdot \underline{
\mathsf {c}}
+ \underline{
\mathsf {b}}
\gg \underline{
\mathsf {a}}
\cdot \underline{
\mathsf {c}}
+ \underline{
\mathsf {a}}
= \underline{
\mathsf {b}}
\cdot \underline{
\mathsf {c}}
+ \underline{
\mathsf {b}}
; 
Prop\ 3.2c
\rhd \underline{
\mathsf {a}}
\cdot \underline{
\mathsf {c}}
{}'
= \underline{
\mathsf {a}}
\cdot \underline{
\mathsf {c}}
+ \underline{
\mathsf {a}}
\rhd \underline{
\mathsf {a}}
\cdot \underline{
\mathsf {c}}
+ \underline{
\mathsf {a}}
= \underline{
\mathsf {b}}
\cdot \underline{
\mathsf {c}}
+ \underline{
\mathsf {b}}
\gg \underline{
\mathsf {a}}
\cdot \underline{
\mathsf {c}}
{}'
= \underline{
\mathsf {b}}
\cdot \underline{
\mathsf {c}}
+ \underline{
\mathsf {b}}
; 
Prop\ 3.2d
\rhd \underline{
\mathsf {a}}
\cdot \underline{
\mathsf {c}}
{}'
= \underline{
\mathsf {b}}
\cdot \underline{
\mathsf {c}}
+ \underline{
\mathsf {b}}
\rhd \underline{
\mathsf {b}}
\cdot \underline{
\mathsf {c}}
{}'
= \underline{
\mathsf {b}}
\cdot \underline{
\mathsf {c}}
+ \underline{
\mathsf {b}}
\gg \underline{
\mathsf {a}}
\cdot \underline{
\mathsf {c}}
{}'
= \underline{
\mathsf {b}}
\cdot \underline{
\mathsf {c}}
{}'
; 
Ded
\rhd 
\forall \underline{
\mathsf {a}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf {b}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf {c}}
\colon \underline{
\mathsf {a}}
= \underline{
\mathsf {b}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {a}}
\cdot \underline{
\mathsf {c}}
= \underline{
\mathsf {b}}
\cdot \underline{
\mathsf {c}}
\vdash \underline{
\mathsf {a}}
= \underline{
\mathsf {b}}
\vdash \underline{
\mathsf {a}}
\cdot \underline{
\mathsf {c}}
{}'
= \underline{
\mathsf {b}}
\cdot \underline{
\mathsf {c}}
{}'
\gg \underline{
\mathsf {a}}
= \underline{
\mathsf {b}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {a}}
\cdot \underline{
\mathsf {c}}
= \underline{
\mathsf {b}}
\cdot \underline{
\mathsf {c}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {a}}
= \underline{
\mathsf {b}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {a}}
\cdot \underline{
\mathsf {c}}
{}'
= \underline{
\mathsf {b}}
\cdot \underline{
\mathsf {c}}
{}'
\rceil 
, 
p_0
, 
\mathsf {c}
)
]$

$\rm
[
Prop\ 3.2k_2
\stackrel{
stmt
}{\rightarrow}
S
\vdash 
\forall \underline{
\mathsf {a}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf {b}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf {c}}
\colon \underline{
\mathsf {a}}
= \underline{
\mathsf {b}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {a}}
\cdot \underline{
\mathsf {c}}
= \underline{
\mathsf {b}}
\cdot \underline{
\mathsf {c}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {a}}
= \underline{
\mathsf {b}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {a}}
\cdot \underline{
\mathsf {c}}
{}'
= \underline{
\mathsf {b}}
\cdot \underline{
\mathsf {c}}
{}'
]$

$\rm
[
Prop\ 3.2k_2
\stackrel{
\mathrm{tex}
}{\rightarrow}
\mbox{``}
\newline Prop
\mbox {$\backslash $}
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}3.2k
\_2
\mbox{''}
]$

$\rm
[
Prop\ 3.2k_2
\stackrel{
\mathrm{pyk}
}{\rightarrow}
\mbox{``}prop
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}three
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}two
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}k
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}two
\mbox{''}
]$

\hypertarget {url:1808490450776494469886199066475724407610946851235271335976337380875467521:50}{}\section* {$\rm 
Prop\ 3.2k$}

$\rm
[
Prop\ 3.2k
\stackrel{
proof
}{\rightarrow}
\lambda 
\mathsf {c}
.
\lambda 
\mathsf{x}
.
{\cal P}( 
\lceil 
S
\vdash 
\forall \underline{
\mathsf {a}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf {b}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf {c}}
\colon \underline{
\mathsf {a}}
= \underline{
\mathsf {b}}
\vdash 
Prop\ 3.2k_1
\gg \overline{
\mathsf{x}}
= \overline{
\mathsf{y}}
\Rightarrow \overline{
\mathsf{x}}
\cdot 
0
= \overline{
\mathsf{y}}
\cdot 
0
; 
Prop\ 3.2k_2
\gg \overline{
\mathsf{x}}
= \overline{
\mathsf{y}}
\Rightarrow \overline{
\mathsf{x}}
\cdot \overline{
\mathsf{z}}
= \overline{
\mathsf{y}}
\cdot \overline{
\mathsf{z}}
\Rightarrow \overline{
\mathsf{x}}
= \overline{
\mathsf{y}}
\Rightarrow \overline{
\mathsf{x}}
\cdot \overline{
\mathsf{z}}
{}'
= \overline{
\mathsf{y}}
\cdot \overline{
\mathsf{z}}
{}'
; 
S9
\mathop {\char64} \overline{
\mathsf{z}}
\rhd \overline{
\mathsf{x}}
= \overline{
\mathsf{y}}
\Rightarrow \overline{
\mathsf{x}}
\cdot 
0
= \overline{
\mathsf{y}}
\cdot 
0
\rhd \overline{
\mathsf{x}}
= \overline{
\mathsf{y}}
\Rightarrow \overline{
\mathsf{x}}
\cdot \overline{
\mathsf{z}}
= \overline{
\mathsf{y}}
\cdot \overline{
\mathsf{z}}
\Rightarrow \overline{
\mathsf{x}}
= \overline{
\mathsf{y}}
\Rightarrow \overline{
\mathsf{x}}
\cdot \overline{
\mathsf{z}}
{}'
= \overline{
\mathsf{y}}
\cdot \overline{
\mathsf{z}}
{}'
\gg \overline{
\mathsf{x}}
= \overline{
\mathsf{y}}
\Rightarrow \overline{
\mathsf{x}}
\cdot \overline{
\mathsf{z}}
= \overline{
\mathsf{y}}
\cdot \overline{
\mathsf{z}}
; 
Ded
\rhd \overline{
\mathsf{x}}
= \overline{
\mathsf{y}}
\Rightarrow \overline{
\mathsf{x}}
\cdot \overline{
\mathsf{z}}
= \overline{
\mathsf{y}}
\cdot \overline{
\mathsf{z}}
\gg \underline{
\mathsf {a}}
= \underline{
\mathsf {b}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {a}}
\cdot \underline{
\mathsf {c}}
= \underline{
\mathsf {b}}
\cdot \underline{
\mathsf {c}}
; 
MP
\rhd \underline{
\mathsf {a}}
= \underline{
\mathsf {b}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {a}}
\cdot \underline{
\mathsf {c}}
= \underline{
\mathsf {b}}
\cdot \underline{
\mathsf {c}}
\rhd \underline{
\mathsf {a}}
= \underline{
\mathsf {b}}
\gg \underline{
\mathsf {a}}
\cdot \underline{
\mathsf {c}}
= \underline{
\mathsf {b}}
\cdot \underline{
\mathsf {c}}
\rceil 
, 
p_0
, 
\mathsf {c}
)
]$

$\rm
[
Prop\ 3.2k
\stackrel{
stmt
}{\rightarrow}
S
\vdash 
\forall \underline{
\mathsf {a}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf {b}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf {c}}
\colon \underline{
\mathsf {a}}
= \underline{
\mathsf {b}}
\vdash \underline{
\mathsf {a}}
\cdot \underline{
\mathsf {c}}
= \underline{
\mathsf {b}}
\cdot \underline{
\mathsf {c}}
]$

$\rm
[
Prop\ 3.2k
\stackrel{
\mathrm{tex}
}{\rightarrow}
\mbox{``}
\newline Prop
\mbox {$\backslash $}
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}3.2k
\mbox{''}
]$

$\rm
[
Prop\ 3.2k
\stackrel{
\mathrm{pyk}
}{\rightarrow}
\mbox{``}prop
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}three
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}two
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}k
\mbox{''}
]$

\hypertarget {url:1808490450776494469886199066475724407610946851235271335976337380875467521:51}{}\section* {$\rm 
Prop\ 3.2l_1$}

$\rm
[
Prop\ 3.2l_1
\stackrel{
\mathrm{tex}
}{\rightarrow}
\mbox{``}
\newline Prop
\mbox {$\backslash $}
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}3.2l
\_1
\mbox{''}
]$

$\rm
[
Prop\ 3.2l_1
\stackrel{
\mathrm{pyk}
}{\rightarrow}
\mbox{``}prop
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}three
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}two
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}l
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}one
\mbox{''}
]$

\hypertarget {url:1808490450776494469886199066475724407610946851235271335976337380875467521:52}{}\section* {$\rm 
Prop\ 3.2l_2$}

$\rm
[
Prop\ 3.2l_2
\stackrel{
proof
}{\rightarrow}
\lambda 
\mathsf {c}
.
\lambda 
\mathsf{x}
.
{\cal P}( 
\lceil 
S
\vdash 
\forall \underline{
\mathsf {a}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf {a}}
\colon 
0
\cdot \underline{
\mathsf {a}}
= 
0
\vdash 
S8
\gg 
0
\cdot \underline{
\mathsf {a}}
{}'
= 
0
\cdot \underline{
\mathsf {a}}
+ 
0
; 
S5
\gg 
0
\cdot \underline{
\mathsf {a}}
+ 
0
= 
0
\cdot \underline{
\mathsf {a}}
; 
Prop\ 3.2c
\rhd 
0
\cdot \underline{
\mathsf {a}}
{}'
= 
0
\cdot \underline{
\mathsf {a}}
+ 
0
\rhd 
0
\cdot \underline{
\mathsf {a}}
+ 
0
= 
0
\cdot \underline{
\mathsf {a}}
\gg 
0
\cdot \underline{
\mathsf {a}}
{}'
= 
0
\cdot \underline{
\mathsf {a}}
; 
Prop\ 3.2c
\rhd 
0
\cdot \underline{
\mathsf {a}}
{}'
= 
0
\cdot \underline{
\mathsf {a}}
\rhd 
0
\cdot \underline{
\mathsf {a}}
= 
0
\gg 
0
\cdot \underline{
\mathsf {a}}
{}'
= 
0
; 
Ded
\rhd 
\forall \underline{
\mathsf {a}}
\colon 
0
\cdot \underline{
\mathsf {a}}
= 
0
\vdash 
0
\cdot \underline{
\mathsf {a}}
{}'
= 
0
\gg 
0
\cdot \underline{
\mathsf {a}}
= 
0
\Rightarrow 
0
\cdot \underline{
\mathsf {a}}
{}'
= 
0
\rceil 
, 
p_0
, 
\mathsf {c}
)
]$

$\rm
[
Prop\ 3.2l_2
\stackrel{
stmt
}{\rightarrow}
S
\vdash 
\forall \underline{
\mathsf {a}}
\colon 
0
\cdot \underline{
\mathsf {a}}
= 
0
\Rightarrow 
0
\cdot \underline{
\mathsf {a}}
{}'
= 
0
]$

$\rm
[
Prop\ 3.2l_2
\stackrel{
\mathrm{tex}
}{\rightarrow}
\mbox{``}
\newline Prop
\mbox {$\backslash $}
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}3.2l
\_2
\mbox{''}
]$

$\rm
[
Prop\ 3.2l_2
\stackrel{
\mathrm{pyk}
}{\rightarrow}
\mbox{``}prop
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}three
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}two
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}l
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}two
\mbox{''}
]$

\hypertarget {url:1808490450776494469886199066475724407610946851235271335976337380875467521:53}{}\section* {$\rm 
Prop\ 3.2l$}

$\rm
[
Prop\ 3.2l
\stackrel{
proof
}{\rightarrow}
\lambda 
\mathsf {c}
.
\lambda 
\mathsf{x}
.
{\cal P}( 
\lceil 
S
\vdash 
\forall \underline{
\mathsf {a}}
\colon 
S7
\gg 
0
\cdot 
0
= 
0
; 
Prop\ 3.2l_2
\gg 
0
\cdot \overline{
\mathsf{x}}
= 
0
\Rightarrow 
0
\cdot \overline{
\mathsf{x}}
{}'
= 
0
; 
S9
\mathop {\char64} \overline{
\mathsf{x}}
\rhd 
0
\cdot 
0
= 
0
\rhd 
0
\cdot \overline{
\mathsf{x}}
= 
0
\Rightarrow 
0
\cdot \overline{
\mathsf{x}}
{}'
= 
0
\gg 
0
\cdot \overline{
\mathsf{x}}
= 
0
; 
Ded
\rhd 
0
\cdot \overline{
\mathsf{x}}
= 
0
\gg 
0
\cdot \underline{
\mathsf {a}}
= 
0
\rceil 
, 
p_0
, 
\mathsf {c}
)
]$

$\rm
[
Prop\ 3.2l
\stackrel{
stmt
}{\rightarrow}
S
\vdash 
\forall \underline{
\mathsf {a}}
\colon 
0
\cdot \underline{
\mathsf {a}}
= 
0
]$

$\rm
[
Prop\ 3.2l
\stackrel{
\mathrm{tex}
}{\rightarrow}
\mbox{``}
\newline Prop
\mbox {$\backslash $}
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}3.2l
\mbox{''}
]$

$\rm
[
Prop\ 3.2l
\stackrel{
\mathrm{pyk}
}{\rightarrow}
\mbox{``}prop
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}three
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}two
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}l
\mbox{''}
]$

\hypertarget {url:1808490450776494469886199066475724407610946851235271335976337380875467521:54}{}\section* {$\rm 
Prop\ 3.2m_1$}

$\rm
[
Prop\ 3.2m_1
\stackrel{
proof
}{\rightarrow}
\lambda 
\mathsf {c}
.
\lambda 
\mathsf{x}
.
{\cal P}( 
\lceil 
S
\vdash 
\forall \underline{
\mathsf {a}}
\colon 
S7
\gg \underline{
\mathsf {a}}
{}'
\cdot 
0
= 
0
; 
Prop\ 3.2f
\gg 
0
= 
0
+ 
0
; 
S7
\gg \underline{
\mathsf {a}}
\cdot 
0
= 
0
; 
Prop\ 3.2b
\rhd \underline{
\mathsf {a}}
\cdot 
0
= 
0
\gg 
0
= \underline{
\mathsf {a}}
\cdot 
0
; 
Prop\ 3.2e
\rhd 
0
= \underline{
\mathsf {a}}
\cdot 
0
\gg 
0
+ 
0
= \underline{
\mathsf {a}}
\cdot 
0
+ 
0
; 
Prop\ 3.2c
\rhd 
0
= 
0
+ 
0
\rhd 
0
+ 
0
= \underline{
\mathsf {a}}
\cdot 
0
+ 
0
\gg 
0
= \underline{
\mathsf {a}}
\cdot 
0
+ 
0
; 
Prop\ 3.2c
\rhd \underline{
\mathsf {a}}
{}'
\cdot 
0
= 
0
\rhd 
0
= \underline{
\mathsf {a}}
\cdot 
0
+ 
0
\gg \underline{
\mathsf {a}}
{}'
\cdot 
0
= \underline{
\mathsf {a}}
\cdot 
0
+ 
0
\rceil 
, 
p_0
, 
\mathsf {c}
)
]$

$\rm
[
Prop\ 3.2m_1
\stackrel{
stmt
}{\rightarrow}
S
\vdash 
\forall \underline{
\mathsf {a}}
\colon \underline{
\mathsf {a}}
{}'
\cdot 
0
= \underline{
\mathsf {a}}
\cdot 
0
+ 
0
]$

$\rm
[
Prop\ 3.2m_1
\stackrel{
\mathrm{tex}
}{\rightarrow}
\mbox{``}
\newline Prop
\mbox {$\backslash $}
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}3.2m
\_1
\mbox{''}
]$

$\rm
[
Prop\ 3.2m_1
\stackrel{
\mathrm{pyk}
}{\rightarrow}
\mbox{``}prop
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}three
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}two
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}m
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}one
\mbox{''}
]$

\hypertarget {url:1808490450776494469886199066475724407610946851235271335976337380875467521:55}{}\section* {$\rm 
Prop\ 3.2m_2$}

$\rm
[
Prop\ 3.2m_2
\stackrel{
proof
}{\rightarrow}
\lambda 
\mathsf {c}
.
\lambda 
\mathsf{x}
.
{\cal P}( 
\lceil 
S
\vdash 
\forall \underline{
\mathsf {a}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf {b}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf {a}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf {b}}
\colon \underline{
\mathsf {a}}
{}'
\cdot \underline{
\mathsf {b}}
= \underline{
\mathsf {a}}
\cdot \underline{
\mathsf {b}}
+ \underline{
\mathsf {b}}
\vdash 
S8
\gg \underline{
\mathsf {a}}
{}'
\cdot \underline{
\mathsf {b}}
{}'
= \underline{
\mathsf {a}}
{}'
\cdot \underline{
\mathsf {b}}
+ \underline{
\mathsf {a}}
{}'
; 
Prop\ 3.2e
\rhd \underline{
\mathsf {a}}
{}'
\cdot \underline{
\mathsf {b}}
= \underline{
\mathsf {a}}
\cdot \underline{
\mathsf {b}}
+ \underline{
\mathsf {b}}
\gg \underline{
\mathsf {a}}
{}'
\cdot \underline{
\mathsf {b}}
+ \underline{
\mathsf {a}}
{}'
= \underline{
\mathsf {a}}
\cdot \underline{
\mathsf {b}}
+ \underline{
\mathsf {b}}
+ \underline{
\mathsf {a}}
{}'
; 
S6
\gg \underline{
\mathsf {b}}
+ \underline{
\mathsf {a}}
{}'
= \underline{
\mathsf {b}}
+ \underline{
\mathsf {a}}
{}'
; 
Prop\ 3.2g
\gg \underline{
\mathsf {b}}
{}'
+ \underline{
\mathsf {a}}
= \underline{
\mathsf {b}}
+ \underline{
\mathsf {a}}
{}'
; 
Prop\ 3.2d
\rhd \underline{
\mathsf {b}}
+ \underline{
\mathsf {a}}
{}'
= \underline{
\mathsf {b}}
+ \underline{
\mathsf {a}}
{}'
\rhd \underline{
\mathsf {b}}
{}'
+ \underline{
\mathsf {a}}
= \underline{
\mathsf {b}}
+ \underline{
\mathsf {a}}
{}'
\gg \underline{
\mathsf {b}}
+ \underline{
\mathsf {a}}
{}'
= \underline{
\mathsf {b}}
{}'
+ \underline{
\mathsf {a}}
; 
Prop\ 3.2h
\gg \underline{
\mathsf {b}}
{}'
+ \underline{
\mathsf {a}}
= \underline{
\mathsf {a}}
+ \underline{
\mathsf {b}}
{}'
; 
Prop\ 3.2c
\rhd \underline{
\mathsf {b}}
+ \underline{
\mathsf {a}}
{}'
= \underline{
\mathsf {b}}
{}'
+ \underline{
\mathsf {a}}
\rhd \underline{
\mathsf {b}}
{}'
+ \underline{
\mathsf {a}}
= \underline{
\mathsf {a}}
+ \underline{
\mathsf {b}}
{}'
\gg \underline{
\mathsf {b}}
+ \underline{
\mathsf {a}}
{}'
= \underline{
\mathsf {a}}
+ \underline{
\mathsf {b}}
{}'
; 
Prop\ 3.2i
\rhd \underline{
\mathsf {b}}
+ \underline{
\mathsf {a}}
{}'
= \underline{
\mathsf {a}}
+ \underline{
\mathsf {b}}
{}'
\gg \underline{
\mathsf {a}}
\cdot \underline{
\mathsf {b}}
+ \underline{
\mathsf {b}}
+ \underline{
\mathsf {a}}
{}'
= \underline{
\mathsf {a}}
\cdot \underline{
\mathsf {b}}
+ \underline{
\mathsf {a}}
+ \underline{
\mathsf {b}}
{}'
; 
Prop\ 3.2j
\gg \underline{
\mathsf {a}}
\cdot \underline{
\mathsf {b}}
+ \underline{
\mathsf {a}}
+ \underline{
\mathsf {b}}
{}'
= \underline{
\mathsf {a}}
\cdot \underline{
\mathsf {b}}
+ \underline{
\mathsf {a}}
+ \underline{
\mathsf {b}}
{}'
; 
Prop\ 3.2d
\rhd \underline{
\mathsf {a}}
\cdot \underline{
\mathsf {b}}
+ \underline{
\mathsf {b}}
+ \underline{
\mathsf {a}}
{}'
= \underline{
\mathsf {a}}
\cdot \underline{
\mathsf {b}}
+ \underline{
\mathsf {a}}
+ \underline{
\mathsf {b}}
{}'
\rhd \underline{
\mathsf {a}}
\cdot \underline{
\mathsf {b}}
+ \underline{
\mathsf {a}}
+ \underline{
\mathsf {b}}
{}'
= \underline{
\mathsf {a}}
\cdot \underline{
\mathsf {b}}
+ \underline{
\mathsf {a}}
+ \underline{
\mathsf {b}}
{}'
\gg \underline{
\mathsf {a}}
\cdot \underline{
\mathsf {b}}
+ \underline{
\mathsf {b}}
+ \underline{
\mathsf {a}}
{}'
= \underline{
\mathsf {a}}
\cdot \underline{
\mathsf {b}}
+ \underline{
\mathsf {a}}
+ \underline{
\mathsf {b}}
{}'
; 
S8
\gg \underline{
\mathsf {a}}
\cdot \underline{
\mathsf {b}}
{}'
= \underline{
\mathsf {a}}
\cdot \underline{
\mathsf {b}}
+ \underline{
\mathsf {a}}
; 
Prop\ 3.2e
\rhd \underline{
\mathsf {a}}
\cdot \underline{
\mathsf {b}}
{}'
= \underline{
\mathsf {a}}
\cdot \underline{
\mathsf {b}}
+ \underline{
\mathsf {a}}
\gg \underline{
\mathsf {a}}
\cdot \underline{
\mathsf {b}}
{}'
+ \underline{
\mathsf {b}}
{}'
= \underline{
\mathsf {a}}
\cdot \underline{
\mathsf {b}}
+ \underline{
\mathsf {a}}
+ \underline{
\mathsf {b}}
{}'
; 
Prop\ 3.2d
\rhd \underline{
\mathsf {a}}
\cdot \underline{
\mathsf {b}}
+ \underline{
\mathsf {b}}
+ \underline{
\mathsf {a}}
{}'
= \underline{
\mathsf {a}}
\cdot \underline{
\mathsf {b}}
+ \underline{
\mathsf {a}}
+ \underline{
\mathsf {b}}
{}'
\rhd \underline{
\mathsf {a}}
\cdot \underline{
\mathsf {b}}
{}'
+ \underline{
\mathsf {b}}
{}'
= \underline{
\mathsf {a}}
\cdot \underline{
\mathsf {b}}
+ \underline{
\mathsf {a}}
+ \underline{
\mathsf {b}}
{}'
\gg \underline{
\mathsf {a}}
\cdot \underline{
\mathsf {b}}
+ \underline{
\mathsf {b}}
+ \underline{
\mathsf {a}}
{}'
= \underline{
\mathsf {a}}
\cdot \underline{
\mathsf {b}}
{}'
+ \underline{
\mathsf {b}}
{}'
; 
Prop\ 3.2j
\gg \underline{
\mathsf {a}}
\cdot \underline{
\mathsf {b}}
+ \underline{
\mathsf {b}}
+ \underline{
\mathsf {a}}
{}'
= \underline{
\mathsf {a}}
\cdot \underline{
\mathsf {b}}
+ \underline{
\mathsf {b}}
+ \underline{
\mathsf {a}}
{}'
; 
Prop\ 3.2c
\rhd \underline{
\mathsf {a}}
{}'
\cdot \underline{
\mathsf {b}}
+ \underline{
\mathsf {a}}
{}'
= \underline{
\mathsf {a}}
\cdot \underline{
\mathsf {b}}
+ \underline{
\mathsf {b}}
+ \underline{
\mathsf {a}}
{}'
\rhd \underline{
\mathsf {a}}
\cdot \underline{
\mathsf {b}}
+ \underline{
\mathsf {b}}
+ \underline{
\mathsf {a}}
{}'
= \underline{
\mathsf {a}}
\cdot \underline{
\mathsf {b}}
+ \underline{
\mathsf {b}}
+ \underline{
\mathsf {a}}
{}'
\gg \underline{
\mathsf {a}}
{}'
\cdot \underline{
\mathsf {b}}
+ \underline{
\mathsf {a}}
{}'
= \underline{
\mathsf {a}}
\cdot \underline{
\mathsf {b}}
+ \underline{
\mathsf {b}}
+ \underline{
\mathsf {a}}
{}'
; 
Prop\ 3.2c
\rhd \underline{
\mathsf {a}}
{}'
\cdot \underline{
\mathsf {b}}
+ \underline{
\mathsf {a}}
{}'
= \underline{
\mathsf {a}}
\cdot \underline{
\mathsf {b}}
+ \underline{
\mathsf {b}}
+ \underline{
\mathsf {a}}
{}'
\rhd \underline{
\mathsf {a}}
\cdot \underline{
\mathsf {b}}
+ \underline{
\mathsf {b}}
+ \underline{
\mathsf {a}}
{}'
= \underline{
\mathsf {a}}
\cdot \underline{
\mathsf {b}}
{}'
+ \underline{
\mathsf {b}}
{}'
\gg \underline{
\mathsf {a}}
{}'
\cdot \underline{
\mathsf {b}}
+ \underline{
\mathsf {a}}
{}'
= \underline{
\mathsf {a}}
\cdot \underline{
\mathsf {b}}
{}'
+ \underline{
\mathsf {b}}
{}'
; 
Prop\ 3.2c
\rhd \underline{
\mathsf {a}}
{}'
\cdot \underline{
\mathsf {b}}
{}'
= \underline{
\mathsf {a}}
{}'
\cdot \underline{
\mathsf {b}}
+ \underline{
\mathsf {a}}
{}'
\rhd \underline{
\mathsf {a}}
{}'
\cdot \underline{
\mathsf {b}}
+ \underline{
\mathsf {a}}
{}'
= \underline{
\mathsf {a}}
\cdot \underline{
\mathsf {b}}
{}'
+ \underline{
\mathsf {b}}
{}'
\gg \underline{
\mathsf {a}}
{}'
\cdot \underline{
\mathsf {b}}
{}'
= \underline{
\mathsf {a}}
\cdot \underline{
\mathsf {b}}
{}'
+ \underline{
\mathsf {b}}
{}'
; 
Ded
\rhd 
\forall \underline{
\mathsf {a}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf {b}}
\colon \underline{
\mathsf {a}}
{}'
\cdot \underline{
\mathsf {b}}
= \underline{
\mathsf {a}}
\cdot \underline{
\mathsf {b}}
+ \underline{
\mathsf {b}}
\vdash \underline{
\mathsf {a}}
{}'
\cdot \underline{
\mathsf {b}}
{}'
= \underline{
\mathsf {a}}
\cdot \underline{
\mathsf {b}}
{}'
+ \underline{
\mathsf {b}}
{}'
\gg \underline{
\mathsf {a}}
{}'
\cdot \underline{
\mathsf {b}}
= \underline{
\mathsf {a}}
\cdot \underline{
\mathsf {b}}
+ \underline{
\mathsf {b}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {a}}
{}'
\cdot \underline{
\mathsf {b}}
{}'
= \underline{
\mathsf {a}}
\cdot \underline{
\mathsf {b}}
{}'
+ \underline{
\mathsf {b}}
{}'
\rceil 
, 
p_0
, 
\mathsf {c}
)
]$

$\rm
[
Prop\ 3.2m_2
\stackrel{
stmt
}{\rightarrow}
S
\vdash 
\forall \underline{
\mathsf {a}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf {b}}
\colon \underline{
\mathsf {a}}
{}'
\cdot \underline{
\mathsf {b}}
= \underline{
\mathsf {a}}
\cdot \underline{
\mathsf {b}}
+ \underline{
\mathsf {b}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {a}}
{}'
\cdot \underline{
\mathsf {b}}
{}'
= \underline{
\mathsf {a}}
\cdot \underline{
\mathsf {b}}
{}'
+ \underline{
\mathsf {b}}
{}'
]$

$\rm
[
Prop\ 3.2m_2
\stackrel{
\mathrm{tex}
}{\rightarrow}
\mbox{``}
\newline Prop
\mbox {$\backslash $}
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}3.2m
\_2
\mbox{''}
]$

$\rm
[
Prop\ 3.2m_2
\stackrel{
\mathrm{pyk}
}{\rightarrow}
\mbox{``}prop
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}three
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}two
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}m
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}two
\mbox{''}
]$

\hypertarget {url:1808490450776494469886199066475724407610946851235271335976337380875467521:56}{}\section* {$\rm 
Prop\ 3.2m$}

$\rm
[
Prop\ 3.2m
\stackrel{
proof
}{\rightarrow}
\lambda 
\mathsf {c}
.
\lambda 
\mathsf{x}
.
{\cal P}( 
\lceil 
S
\vdash 
\forall \underline{
\mathsf {a}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf {b}}
\colon 
Prop\ 3.2m_1
\gg \overline{
\mathsf{x}}
{}'
\cdot 
0
= \overline{
\mathsf{x}}
\cdot 
0
+ 
0
; 
Prop\ 3.2m_2
\gg \overline{
\mathsf{x}}
{}'
\cdot \overline{
\mathsf{y}}
= \overline{
\mathsf{x}}
\cdot \overline{
\mathsf{y}}
+ \overline{
\mathsf{y}}
\Rightarrow \overline{
\mathsf{x}}
{}'
\cdot \overline{
\mathsf{y}}
{}'
= \overline{
\mathsf{x}}
\cdot \overline{
\mathsf{y}}
{}'
+ \overline{
\mathsf{y}}
{}'
; 
S9
\mathop {\char64} \overline{
\mathsf{y}}
\rhd \overline{
\mathsf{x}}
{}'
\cdot 
0
= \overline{
\mathsf{x}}
\cdot 
0
+ 
0
\rhd \overline{
\mathsf{x}}
{}'
\cdot \overline{
\mathsf{y}}
= \overline{
\mathsf{x}}
\cdot \overline{
\mathsf{y}}
+ \overline{
\mathsf{y}}
\Rightarrow \overline{
\mathsf{x}}
{}'
\cdot \overline{
\mathsf{y}}
{}'
= \overline{
\mathsf{x}}
\cdot \overline{
\mathsf{y}}
{}'
+ \overline{
\mathsf{y}}
{}'
\gg \overline{
\mathsf{x}}
{}'
\cdot \overline{
\mathsf{y}}
= \overline{
\mathsf{x}}
\cdot \overline{
\mathsf{y}}
+ \overline{
\mathsf{y}}
; 
Ded
\rhd \overline{
\mathsf{x}}
{}'
\cdot \overline{
\mathsf{y}}
= \overline{
\mathsf{x}}
\cdot \overline{
\mathsf{y}}
+ \overline{
\mathsf{y}}
\gg \underline{
\mathsf {a}}
{}'
\cdot \underline{
\mathsf {b}}
= \underline{
\mathsf {a}}
\cdot \underline{
\mathsf {b}}
+ \underline{
\mathsf {b}}
\rceil 
, 
p_0
, 
\mathsf {c}
)
]$

$\rm
[
Prop\ 3.2m
\stackrel{
stmt
}{\rightarrow}
S
\vdash 
\forall \underline{
\mathsf {a}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf {b}}
\colon \underline{
\mathsf {a}}
{}'
\cdot \underline{
\mathsf {b}}
= \underline{
\mathsf {a}}
\cdot \underline{
\mathsf {b}}
+ \underline{
\mathsf {b}}
]$

$\rm
[
Prop\ 3.2m
\stackrel{
\mathrm{tex}
}{\rightarrow}
\mbox{``}
\newline Prop
\mbox {$\backslash $}
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}3.2m
\mbox{''}
]$

$\rm
[
Prop\ 3.2m
\stackrel{
\mathrm{pyk}
}{\rightarrow}
\mbox{``}prop
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}three
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}two
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}m
\mbox{''}
]$

\hypertarget {url:1808490450776494469886199066475724407610946851235271335976337380875467521:57}{}\section* {$\rm 
Prop\ 3.2n_1$}

$\rm
[
Prop\ 3.2n_1
\stackrel{
proof
}{\rightarrow}
\lambda 
\mathsf {c}
.
\lambda 
\mathsf{x}
.
{\cal P}( 
\lceil 
S
\vdash 
\forall \underline{
\mathsf {a}}
\colon 
S7
\gg \underline{
\mathsf {a}}
\cdot 
0
= 
0
; 
Prop\ 3.2l
\gg 
0
\cdot \underline{
\mathsf {a}}
= 
0
; 
Prop\ 3.2d
\rhd \underline{
\mathsf {a}}
\cdot 
0
= 
0
\rhd 
0
\cdot \underline{
\mathsf {a}}
= 
0
\gg \underline{
\mathsf {a}}
\cdot 
0
= 
0
\cdot \underline{
\mathsf {a}}
\rceil 
, 
p_0
, 
\mathsf {c}
)
]$

$\rm
[
Prop\ 3.2n_1
\stackrel{
stmt
}{\rightarrow}
S
\vdash 
\forall \underline{
\mathsf {a}}
\colon \underline{
\mathsf {a}}
\cdot 
0
= 
0
\cdot \underline{
\mathsf {a}}
]$

$\rm
[
Prop\ 3.2n_1
\stackrel{
\mathrm{tex}
}{\rightarrow}
\mbox{``}
\newline Prop
\mbox {$\backslash $}
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}3.2n
\_1
\mbox{''}
]$

$\rm
[
Prop\ 3.2n_1
\stackrel{
\mathrm{pyk}
}{\rightarrow}
\mbox{``}prop
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}three
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}two
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}n
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}one
\mbox{''}
]$

\hypertarget {url:1808490450776494469886199066475724407610946851235271335976337380875467521:58}{}\section* {$\rm 
Prop\ 3.2n_2$}

$\rm
[
Prop\ 3.2n_2
\stackrel{
proof
}{\rightarrow}
\lambda 
\mathsf {c}
.
\lambda 
\mathsf{x}
.
{\cal P}( 
\lceil 
S
\vdash 
\forall \underline{
\mathsf {a}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf {b}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf {a}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf {b}}
\colon \underline{
\mathsf {a}}
\cdot \underline{
\mathsf {b}}
= \underline{
\mathsf {b}}
\cdot \underline{
\mathsf {a}}
\vdash 
S8
\gg \underline{
\mathsf {a}}
\cdot \underline{
\mathsf {b}}
{}'
= \underline{
\mathsf {a}}
\cdot \underline{
\mathsf {b}}
+ \underline{
\mathsf {a}}
; 
Prop\ 3.2e
\rhd \underline{
\mathsf {a}}
\cdot \underline{
\mathsf {b}}
= \underline{
\mathsf {b}}
\cdot \underline{
\mathsf {a}}
\gg \underline{
\mathsf {a}}
\cdot \underline{
\mathsf {b}}
+ \underline{
\mathsf {a}}
= \underline{
\mathsf {b}}
\cdot \underline{
\mathsf {a}}
+ \underline{
\mathsf {a}}
; 
Prop\ 3.2m
\gg \underline{
\mathsf {b}}
{}'
\cdot \underline{
\mathsf {a}}
= \underline{
\mathsf {b}}
\cdot \underline{
\mathsf {a}}
+ \underline{
\mathsf {a}}
; 
Prop\ 3.2b
\rhd \underline{
\mathsf {b}}
{}'
\cdot \underline{
\mathsf {a}}
= \underline{
\mathsf {b}}
\cdot \underline{
\mathsf {a}}
+ \underline{
\mathsf {a}}
\gg \underline{
\mathsf {b}}
\cdot \underline{
\mathsf {a}}
+ \underline{
\mathsf {a}}
= \underline{
\mathsf {b}}
{}'
\cdot \underline{
\mathsf {a}}
; 
Prop\ 3.2c
\rhd \underline{
\mathsf {a}}
\cdot \underline{
\mathsf {b}}
+ \underline{
\mathsf {a}}
= \underline{
\mathsf {b}}
\cdot \underline{
\mathsf {a}}
+ \underline{
\mathsf {a}}
\rhd \underline{
\mathsf {b}}
\cdot \underline{
\mathsf {a}}
+ \underline{
\mathsf {a}}
= \underline{
\mathsf {b}}
{}'
\cdot \underline{
\mathsf {a}}
\gg \underline{
\mathsf {a}}
\cdot \underline{
\mathsf {b}}
+ \underline{
\mathsf {a}}
= \underline{
\mathsf {b}}
{}'
\cdot \underline{
\mathsf {a}}
; 
Prop\ 3.2c
\rhd \underline{
\mathsf {a}}
\cdot \underline{
\mathsf {b}}
{}'
= \underline{
\mathsf {a}}
\cdot \underline{
\mathsf {b}}
+ \underline{
\mathsf {a}}
\rhd \underline{
\mathsf {a}}
\cdot \underline{
\mathsf {b}}
+ \underline{
\mathsf {a}}
= \underline{
\mathsf {b}}
{}'
\cdot \underline{
\mathsf {a}}
\gg \underline{
\mathsf {a}}
\cdot \underline{
\mathsf {b}}
{}'
= \underline{
\mathsf {b}}
{}'
\cdot \underline{
\mathsf {a}}
; 
Ded
\rhd 
\forall \underline{
\mathsf {a}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf {b}}
\colon \underline{
\mathsf {a}}
\cdot \underline{
\mathsf {b}}
= \underline{
\mathsf {b}}
\cdot \underline{
\mathsf {a}}
\vdash \underline{
\mathsf {a}}
\cdot \underline{
\mathsf {b}}
{}'
= \underline{
\mathsf {b}}
{}'
\cdot \underline{
\mathsf {a}}
\gg \underline{
\mathsf {a}}
\cdot \underline{
\mathsf {b}}
= \underline{
\mathsf {b}}
\cdot \underline{
\mathsf {a}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {a}}
\cdot \underline{
\mathsf {b}}
{}'
= \underline{
\mathsf {b}}
{}'
\cdot \underline{
\mathsf {a}}
\rceil 
, 
p_0
, 
\mathsf {c}
)
]$

$\rm
[
Prop\ 3.2n_2
\stackrel{
stmt
}{\rightarrow}
S
\vdash 
\forall \underline{
\mathsf {a}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf {b}}
\colon \underline{
\mathsf {a}}
\cdot \underline{
\mathsf {b}}
= \underline{
\mathsf {b}}
\cdot \underline{
\mathsf {a}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {a}}
\cdot \underline{
\mathsf {b}}
{}'
= \underline{
\mathsf {b}}
{}'
\cdot \underline{
\mathsf {a}}
]$

$\rm
[
Prop\ 3.2n_2
\stackrel{
\mathrm{tex}
}{\rightarrow}
\mbox{``}
\newline Prop
\mbox {$\backslash $}
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}3.2n
\_2
\mbox{''}
]$

$\rm
[
Prop\ 3.2n_2
\stackrel{
\mathrm{pyk}
}{\rightarrow}
\mbox{``}prop
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}three
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}two
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}n
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}two
\mbox{''}
]$

\hypertarget {url:1808490450776494469886199066475724407610946851235271335976337380875467521:59}{}\section* {$\rm 
Prop\ 3.2n$}

$\rm
[
Prop\ 3.2n
\stackrel{
proof
}{\rightarrow}
\lambda 
\mathsf {c}
.
\lambda 
\mathsf{x}
.
{\cal P}( 
\lceil 
S
\vdash 
\forall \underline{
\mathsf {a}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf {b}}
\colon 
Prop\ 3.2n_1
\gg \overline{
\mathsf{x}}
\cdot 
0
= 
0
\cdot \overline{
\mathsf{x}}
; 
Prop\ 3.2n_2
\gg \overline{
\mathsf{x}}
\cdot \overline{
\mathsf{y}}
= \overline{
\mathsf{y}}
\cdot \overline{
\mathsf{x}}
\Rightarrow \overline{
\mathsf{x}}
\cdot \overline{
\mathsf{y}}
{}'
= \overline{
\mathsf{y}}
{}'
\cdot \overline{
\mathsf{x}}
; 
S9
\mathop {\char64} \overline{
\mathsf{y}}
\rhd \overline{
\mathsf{x}}
\cdot 
0
= 
0
\cdot \overline{
\mathsf{x}}
\rhd \overline{
\mathsf{x}}
\cdot \overline{
\mathsf{y}}
= \overline{
\mathsf{y}}
\cdot \overline{
\mathsf{x}}
\Rightarrow \overline{
\mathsf{x}}
\cdot \overline{
\mathsf{y}}
{}'
= \overline{
\mathsf{y}}
{}'
\cdot \overline{
\mathsf{x}}
\gg \overline{
\mathsf{x}}
\cdot \overline{
\mathsf{y}}
= \overline{
\mathsf{y}}
\cdot \overline{
\mathsf{x}}
; 
Ded
\rhd \overline{
\mathsf{x}}
\cdot \overline{
\mathsf{y}}
= \overline{
\mathsf{y}}
\cdot \overline{
\mathsf{x}}
\gg \underline{
\mathsf {a}}
\cdot \underline{
\mathsf {b}}
= \underline{
\mathsf {b}}
\cdot \underline{
\mathsf {a}}
\rceil 
, 
p_0
, 
\mathsf {c}
)
]$

$\rm
[
Prop\ 3.2n
\stackrel{
stmt
}{\rightarrow}
S
\vdash 
\forall \underline{
\mathsf {a}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf {b}}
\colon \underline{
\mathsf {a}}
\cdot \underline{
\mathsf {b}}
= \underline{
\mathsf {b}}
\cdot \underline{
\mathsf {a}}
]$

$\rm
[
Prop\ 3.2n
\stackrel{
\mathrm{tex}
}{\rightarrow}
\mbox{``}
\newline Prop
\mbox {$\backslash $}
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}3.2n
\mbox{''}
]$

$\rm
[
Prop\ 3.2n
\stackrel{
\mathrm{pyk}
}{\rightarrow}
\mbox{``}prop
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}three
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}two
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}n
\mbox{''}
]$

\hypertarget {url:1808490450776494469886199066475724407610946851235271335976337380875467521:60}{}\section* {$\rm 
Prop\ 3.2o$}

$\rm
[
Prop\ 3.2o
\stackrel{
proof
}{\rightarrow}
\lambda 
\mathsf {c}
.
\lambda 
\mathsf{x}
.
{\cal P}( 
\lceil 
S
\vdash 
\forall \underline{
\mathsf {a}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf {b}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf {c}}
\colon \underline{
\mathsf {a}}
= \underline{
\mathsf {b}}
\vdash 
\forall \underline{
\mathsf {a}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf {b}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf {c}}
\colon \underline{
\mathsf {a}}
= \underline{
\mathsf {b}}
\vdash 
Prop\ 3.2k
\rhd \underline{
\mathsf {a}}
= \underline{
\mathsf {b}}
\gg \underline{
\mathsf {a}}
\cdot \underline{
\mathsf {c}}
= \underline{
\mathsf {b}}
\cdot \underline{
\mathsf {c}}
; 
Prop\ 3.2n
\gg \underline{
\mathsf {a}}
\cdot \underline{
\mathsf {c}}
= \underline{
\mathsf {c}}
\cdot \underline{
\mathsf {a}}
; 
Prop\ 3.2n
\gg \underline{
\mathsf {b}}
\cdot \underline{
\mathsf {c}}
= \underline{
\mathsf {c}}
\cdot \underline{
\mathsf {b}}
; 
Prop\ 3.2c
\rhd \underline{
\mathsf {a}}
\cdot \underline{
\mathsf {c}}
= \underline{
\mathsf {b}}
\cdot \underline{
\mathsf {c}}
\rhd \underline{
\mathsf {b}}
\cdot \underline{
\mathsf {c}}
= \underline{
\mathsf {c}}
\cdot \underline{
\mathsf {b}}
\gg \underline{
\mathsf {a}}
\cdot \underline{
\mathsf {c}}
= \underline{
\mathsf {c}}
\cdot \underline{
\mathsf {b}}
; 
S1
\rhd \underline{
\mathsf {a}}
\cdot \underline{
\mathsf {c}}
= \underline{
\mathsf {c}}
\cdot \underline{
\mathsf {a}}
\rhd \underline{
\mathsf {a}}
\cdot \underline{
\mathsf {c}}
= \underline{
\mathsf {c}}
\cdot \underline{
\mathsf {b}}
\gg \underline{
\mathsf {c}}
\cdot \underline{
\mathsf {a}}
= \underline{
\mathsf {c}}
\cdot \underline{
\mathsf {b}}
; 
Ded
\rhd 
\forall \underline{
\mathsf {a}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf {b}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf {c}}
\colon \underline{
\mathsf {a}}
= \underline{
\mathsf {b}}
\vdash \underline{
\mathsf {c}}
\cdot \underline{
\mathsf {a}}
= \underline{
\mathsf {c}}
\cdot \underline{
\mathsf {b}}
\gg \underline{
\mathsf {a}}
= \underline{
\mathsf {b}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {c}}
\cdot \underline{
\mathsf {a}}
= \underline{
\mathsf {c}}
\cdot \underline{
\mathsf {b}}
; 
MP
\rhd \underline{
\mathsf {a}}
= \underline{
\mathsf {b}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {c}}
\cdot \underline{
\mathsf {a}}
= \underline{
\mathsf {c}}
\cdot \underline{
\mathsf {b}}
\rhd \underline{
\mathsf {a}}
= \underline{
\mathsf {b}}
\gg \underline{
\mathsf {c}}
\cdot \underline{
\mathsf {a}}
= \underline{
\mathsf {c}}
\cdot \underline{
\mathsf {b}}
\rceil 
, 
p_0
, 
\mathsf {c}
)
]$

$\rm
[
Prop\ 3.2o
\stackrel{
stmt
}{\rightarrow}
S
\vdash 
\forall \underline{
\mathsf {a}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf {b}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf {c}}
\colon \underline{
\mathsf {a}}
= \underline{
\mathsf {b}}
\vdash \underline{
\mathsf {c}}
\cdot \underline{
\mathsf {a}}
= \underline{
\mathsf {c}}
\cdot \underline{
\mathsf {b}}
]$

$\rm
[
Prop\ 3.2o
\stackrel{
\mathrm{tex}
}{\rightarrow}
\mbox{``}
\newline Prop
\mbox {$\backslash $}
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}3.2o
\mbox{''}
]$

$\rm
[
Prop\ 3.2o
\stackrel{
\mathrm{pyk}
}{\rightarrow}
\mbox{``}prop
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}three
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}two
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}o
\mbox{''}
]$

\hypertarget {url:1808490450776494469886199066475724407610946851235271335976337380875467521:61}{}\section* {$\rm 
Prop\ 3.4$}

$\rm
[
Prop\ 3.4
\stackrel{
\mathrm{tex}
}{\rightarrow}
\mbox{``}
\newline Prop
\mbox {$\backslash $}
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}3.4
\mbox{''}
]$

$\rm
[
Prop\ 3.4
\stackrel{
\mathrm{pyk}
}{\rightarrow}
\mbox{``}prop
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}three
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}four
\mbox{''}
]$

\hypertarget {url:1808490450776494469886199066475724407610946851235271335976337380875467521:62}{}\section* {$\rm 
Prop\ 3.4a_1$}

$\rm
[
Prop\ 3.4a_1
\stackrel{
proof
}{\rightarrow}
\lambda 
\mathsf {c}
.
\lambda 
\mathsf{x}
.
{\cal P}( 
\lceil 
S
\vdash 
\forall \underline{
\mathsf {a}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf {b}}
\colon 
S5
\gg \underline{
\mathsf {b}}
+ 
0
= \underline{
\mathsf {b}}
; 
Prop\ 3.2o
\rhd \underline{
\mathsf {b}}
+ 
0
= \underline{
\mathsf {b}}
\gg \underline{
\mathsf {a}}
\cdot \underline{
\mathsf {b}}
+ 
0
= \underline{
\mathsf {a}}
\cdot \underline{
\mathsf {b}}
; 
S5
\gg \underline{
\mathsf {a}}
\cdot \underline{
\mathsf {b}}
+ 
0
= \underline{
\mathsf {a}}
\cdot \underline{
\mathsf {b}}
; 
Prop\ 3.2d
\rhd \underline{
\mathsf {a}}
\cdot \underline{
\mathsf {b}}
+ 
0
= \underline{
\mathsf {a}}
\cdot \underline{
\mathsf {b}}
\rhd \underline{
\mathsf {a}}
\cdot \underline{
\mathsf {b}}
+ 
0
= \underline{
\mathsf {a}}
\cdot \underline{
\mathsf {b}}
\gg \underline{
\mathsf {a}}
\cdot \underline{
\mathsf {b}}
+ 
0
= \underline{
\mathsf {a}}
\cdot \underline{
\mathsf {b}}
+ 
0
; 
S7
\gg \underline{
\mathsf {a}}
\cdot 
0
= 
0
; 
Prop\ 3.2i
\rhd \underline{
\mathsf {a}}
\cdot 
0
= 
0
\gg \underline{
\mathsf {a}}
\cdot \underline{
\mathsf {b}}
+ \underline{
\mathsf {a}}
\cdot 
0
= \underline{
\mathsf {a}}
\cdot \underline{
\mathsf {b}}
+ 
0
; 
Prop\ 3.2d
\rhd \underline{
\mathsf {a}}
\cdot \underline{
\mathsf {b}}
+ 
0
= \underline{
\mathsf {a}}
\cdot \underline{
\mathsf {b}}
+ 
0
\rhd \underline{
\mathsf {a}}
\cdot \underline{
\mathsf {b}}
+ \underline{
\mathsf {a}}
\cdot 
0
= \underline{
\mathsf {a}}
\cdot \underline{
\mathsf {b}}
+ 
0
\gg \underline{
\mathsf {a}}
\cdot \underline{
\mathsf {b}}
+ 
0
= \underline{
\mathsf {a}}
\cdot \underline{
\mathsf {b}}
+ \underline{
\mathsf {a}}
\cdot 
0
\rceil 
, 
p_0
, 
\mathsf {c}
)
]$

$\rm
[
Prop\ 3.4a_1
\stackrel{
stmt
}{\rightarrow}
S
\vdash 
\forall \underline{
\mathsf {a}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf {b}}
\colon \underline{
\mathsf {a}}
\cdot \underline{
\mathsf {b}}
+ 
0
= \underline{
\mathsf {a}}
\cdot \underline{
\mathsf {b}}
+ \underline{
\mathsf {a}}
\cdot 
0
]$

$\rm
[
Prop\ 3.4a_1
\stackrel{
\mathrm{tex}
}{\rightarrow}
\mbox{``}
\newline Prop
\mbox {$\backslash $}
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}3.4a
\_1
\mbox{''}
]$

$\rm
[
Prop\ 3.4a_1
\stackrel{
\mathrm{pyk}
}{\rightarrow}
\mbox{``}prop
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}three
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}four
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}a
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}one
\mbox{''}
]$

\hypertarget {url:1808490450776494469886199066475724407610946851235271335976337380875467521:63}{}\section* {$\rm 
Prop\ 3.4a_2$}

$\rm
[
Prop\ 3.4a_2
\stackrel{
proof
}{\rightarrow}
\lambda 
\mathsf {c}
.
\lambda 
\mathsf{x}
.
{\cal P}( 
\lceil 
S
\vdash 
\forall \underline{
\mathsf {a}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf {b}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf {c}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf {a}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf {b}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf {c}}
\colon \underline{
\mathsf {a}}
\cdot \underline{
\mathsf {b}}
+ \underline{
\mathsf {c}}
= \underline{
\mathsf {a}}
\cdot \underline{
\mathsf {b}}
+ \underline{
\mathsf {a}}
\cdot \underline{
\mathsf {c}}
\vdash 
S6
\gg \underline{
\mathsf {b}}
+ \underline{
\mathsf {c}}
{}'
= \underline{
\mathsf {b}}
+ \underline{
\mathsf {c}}
{}'
; 
Prop\ 3.2o
\rhd \underline{
\mathsf {b}}
+ \underline{
\mathsf {c}}
{}'
= \underline{
\mathsf {b}}
+ \underline{
\mathsf {c}}
{}'
\gg \underline{
\mathsf {a}}
\cdot \underline{
\mathsf {b}}
+ \underline{
\mathsf {c}}
{}'
= \underline{
\mathsf {a}}
\cdot \underline{
\mathsf {b}}
+ \underline{
\mathsf {c}}
{}'
; 
S8
\gg \underline{
\mathsf {a}}
\cdot \underline{
\mathsf {b}}
+ \underline{
\mathsf {c}}
{}'
= \underline{
\mathsf {a}}
\cdot \underline{
\mathsf {b}}
+ \underline{
\mathsf {c}}
+ \underline{
\mathsf {a}}
; 
Prop\ 3.2e
\rhd \underline{
\mathsf {a}}
\cdot \underline{
\mathsf {b}}
+ \underline{
\mathsf {c}}
= \underline{
\mathsf {a}}
\cdot \underline{
\mathsf {b}}
+ \underline{
\mathsf {a}}
\cdot \underline{
\mathsf {c}}
\gg \underline{
\mathsf {a}}
\cdot \underline{
\mathsf {b}}
+ \underline{
\mathsf {c}}
+ \underline{
\mathsf {a}}
= \underline{
\mathsf {a}}
\cdot \underline{
\mathsf {b}}
+ \underline{
\mathsf {a}}
\cdot \underline{
\mathsf {c}}
+ \underline{
\mathsf {a}}
; 
Prop\ 3.2j
\gg \underline{
\mathsf {a}}
\cdot \underline{
\mathsf {b}}
+ \underline{
\mathsf {a}}
\cdot \underline{
\mathsf {c}}
+ \underline{
\mathsf {a}}
= \underline{
\mathsf {a}}
\cdot \underline{
\mathsf {b}}
+ \underline{
\mathsf {a}}
\cdot \underline{
\mathsf {c}}
+ \underline{
\mathsf {a}}
; 
Prop\ 3.2c
\rhd \underline{
\mathsf {a}}
\cdot \underline{
\mathsf {b}}
+ \underline{
\mathsf {c}}
+ \underline{
\mathsf {a}}
= \underline{
\mathsf {a}}
\cdot \underline{
\mathsf {b}}
+ \underline{
\mathsf {a}}
\cdot \underline{
\mathsf {c}}
+ \underline{
\mathsf {a}}
\rhd \underline{
\mathsf {a}}
\cdot \underline{
\mathsf {b}}
+ \underline{
\mathsf {a}}
\cdot \underline{
\mathsf {c}}
+ \underline{
\mathsf {a}}
= \underline{
\mathsf {a}}
\cdot \underline{
\mathsf {b}}
+ \underline{
\mathsf {a}}
\cdot \underline{
\mathsf {c}}
+ \underline{
\mathsf {a}}
\gg \underline{
\mathsf {a}}
\cdot \underline{
\mathsf {b}}
+ \underline{
\mathsf {c}}
+ \underline{
\mathsf {a}}
= \underline{
\mathsf {a}}
\cdot \underline{
\mathsf {b}}
+ \underline{
\mathsf {a}}
\cdot \underline{
\mathsf {c}}
+ \underline{
\mathsf {a}}
; 
S8
\gg \underline{
\mathsf {a}}
\cdot \underline{
\mathsf {c}}
{}'
= \underline{
\mathsf {a}}
\cdot \underline{
\mathsf {c}}
+ \underline{
\mathsf {a}}
; 
Prop\ 3.2i
\rhd \underline{
\mathsf {a}}
\cdot \underline{
\mathsf {c}}
{}'
= \underline{
\mathsf {a}}
\cdot \underline{
\mathsf {c}}
+ \underline{
\mathsf {a}}
\gg \underline{
\mathsf {a}}
\cdot \underline{
\mathsf {b}}
+ \underline{
\mathsf {a}}
\cdot \underline{
\mathsf {c}}
{}'
= \underline{
\mathsf {a}}
\cdot \underline{
\mathsf {b}}
+ \underline{
\mathsf {a}}
\cdot \underline{
\mathsf {c}}
+ \underline{
\mathsf {a}}
; 
Prop\ 3.2d
\rhd \underline{
\mathsf {a}}
\cdot \underline{
\mathsf {b}}
+ \underline{
\mathsf {c}}
+ \underline{
\mathsf {a}}
= \underline{
\mathsf {a}}
\cdot \underline{
\mathsf {b}}
+ \underline{
\mathsf {a}}
\cdot \underline{
\mathsf {c}}
+ \underline{
\mathsf {a}}
\rhd \underline{
\mathsf {a}}
\cdot \underline{
\mathsf {b}}
+ \underline{
\mathsf {a}}
\cdot \underline{
\mathsf {c}}
{}'
= \underline{
\mathsf {a}}
\cdot \underline{
\mathsf {b}}
+ \underline{
\mathsf {a}}
\cdot \underline{
\mathsf {c}}
+ \underline{
\mathsf {a}}
\gg \underline{
\mathsf {a}}
\cdot \underline{
\mathsf {b}}
+ \underline{
\mathsf {c}}
+ \underline{
\mathsf {a}}
= \underline{
\mathsf {a}}
\cdot \underline{
\mathsf {b}}
+ \underline{
\mathsf {a}}
\cdot \underline{
\mathsf {c}}
{}'
; 
Prop\ 3.2c
\rhd \underline{
\mathsf {a}}
\cdot \underline{
\mathsf {b}}
+ \underline{
\mathsf {c}}
{}'
= \underline{
\mathsf {a}}
\cdot \underline{
\mathsf {b}}
+ \underline{
\mathsf {c}}
+ \underline{
\mathsf {a}}
\rhd \underline{
\mathsf {a}}
\cdot \underline{
\mathsf {b}}
+ \underline{
\mathsf {c}}
+ \underline{
\mathsf {a}}
= \underline{
\mathsf {a}}
\cdot \underline{
\mathsf {b}}
+ \underline{
\mathsf {a}}
\cdot \underline{
\mathsf {c}}
{}'
\gg \underline{
\mathsf {a}}
\cdot \underline{
\mathsf {b}}
+ \underline{
\mathsf {c}}
{}'
= \underline{
\mathsf {a}}
\cdot \underline{
\mathsf {b}}
+ \underline{
\mathsf {a}}
\cdot \underline{
\mathsf {c}}
{}'
; 
Prop\ 3.2c
\rhd \underline{
\mathsf {a}}
\cdot \underline{
\mathsf {b}}
+ \underline{
\mathsf {c}}
{}'
= \underline{
\mathsf {a}}
\cdot \underline{
\mathsf {b}}
+ \underline{
\mathsf {c}}
{}'
\rhd \underline{
\mathsf {a}}
\cdot \underline{
\mathsf {b}}
+ \underline{
\mathsf {c}}
{}'
= \underline{
\mathsf {a}}
\cdot \underline{
\mathsf {b}}
+ \underline{
\mathsf {a}}
\cdot \underline{
\mathsf {c}}
{}'
\gg \underline{
\mathsf {a}}
\cdot \underline{
\mathsf {b}}
+ \underline{
\mathsf {c}}
{}'
= \underline{
\mathsf {a}}
\cdot \underline{
\mathsf {b}}
+ \underline{
\mathsf {a}}
\cdot \underline{
\mathsf {c}}
{}'
; 
Ded
\rhd 
\forall \underline{
\mathsf {a}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf {b}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf {c}}
\colon \underline{
\mathsf {a}}
\cdot \underline{
\mathsf {b}}
+ \underline{
\mathsf {c}}
= \underline{
\mathsf {a}}
\cdot \underline{
\mathsf {b}}
+ \underline{
\mathsf {a}}
\cdot \underline{
\mathsf {c}}
\vdash \underline{
\mathsf {a}}
\cdot \underline{
\mathsf {b}}
+ \underline{
\mathsf {c}}
{}'
= \underline{
\mathsf {a}}
\cdot \underline{
\mathsf {b}}
+ \underline{
\mathsf {a}}
\cdot \underline{
\mathsf {c}}
{}'
\gg \underline{
\mathsf {a}}
\cdot \underline{
\mathsf {b}}
+ \underline{
\mathsf {c}}
= \underline{
\mathsf {a}}
\cdot \underline{
\mathsf {b}}
+ \underline{
\mathsf {a}}
\cdot \underline{
\mathsf {c}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {a}}
\cdot \underline{
\mathsf {b}}
+ \underline{
\mathsf {c}}
{}'
= \underline{
\mathsf {a}}
\cdot \underline{
\mathsf {b}}
+ \underline{
\mathsf {a}}
\cdot \underline{
\mathsf {c}}
{}'
\rceil 
, 
p_0
, 
\mathsf {c}
)
]$

$\rm
[
Prop\ 3.4a_2
\stackrel{
stmt
}{\rightarrow}
S
\vdash 
\forall \underline{
\mathsf {a}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf {b}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf {c}}
\colon \underline{
\mathsf {a}}
\cdot \underline{
\mathsf {b}}
+ \underline{
\mathsf {c}}
= \underline{
\mathsf {a}}
\cdot \underline{
\mathsf {b}}
+ \underline{
\mathsf {a}}
\cdot \underline{
\mathsf {c}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {a}}
\cdot \underline{
\mathsf {b}}
+ \underline{
\mathsf {c}}
{}'
= \underline{
\mathsf {a}}
\cdot \underline{
\mathsf {b}}
+ \underline{
\mathsf {a}}
\cdot \underline{
\mathsf {c}}
{}'
]$

$\rm
[
Prop\ 3.4a_2
\stackrel{
\mathrm{tex}
}{\rightarrow}
\mbox{``}
\newline Prop
\mbox {$\backslash $}
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}3.4a
\_2
\mbox{''}
]$

$\rm
[
Prop\ 3.4a_2
\stackrel{
\mathrm{pyk}
}{\rightarrow}
\mbox{``}prop
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}three
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}four
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}a
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}two
\mbox{''}
]$

\hypertarget {url:1808490450776494469886199066475724407610946851235271335976337380875467521:64}{}\section* {$\rm 
Prop\ 3.4a$}

$\rm
[
Prop\ 3.4a
\stackrel{
proof
}{\rightarrow}
\lambda 
\mathsf {c}
.
\lambda 
\mathsf{x}
.
{\cal P}( 
\lceil 
S
\vdash 
\forall \underline{
\mathsf {a}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf {b}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf {c}}
\colon 
Prop\ 3.4a_1
\gg \overline{
\mathsf{x}}
\cdot \overline{
\mathsf{y}}
+ 
0
= \overline{
\mathsf{x}}
\cdot \overline{
\mathsf{y}}
+ \overline{
\mathsf{x}}
\cdot 
0
; 
Prop\ 3.4a_2
\gg \overline{
\mathsf{x}}
\cdot \overline{
\mathsf{y}}
+ \overline{
\mathsf{z}}
= \overline{
\mathsf{x}}
\cdot \overline{
\mathsf{y}}
+ \overline{
\mathsf{x}}
\cdot \overline{
\mathsf{z}}
\Rightarrow \overline{
\mathsf{x}}
\cdot \overline{
\mathsf{y}}
+ \overline{
\mathsf{z}}
{}'
= \overline{
\mathsf{x}}
\cdot \overline{
\mathsf{y}}
+ \overline{
\mathsf{x}}
\cdot \overline{
\mathsf{z}}
{}'
; 
S9
\mathop {\char64} \overline{
\mathsf{z}}
\rhd \overline{
\mathsf{x}}
\cdot \overline{
\mathsf{y}}
+ 
0
= \overline{
\mathsf{x}}
\cdot \overline{
\mathsf{y}}
+ \overline{
\mathsf{x}}
\cdot 
0
\rhd \overline{
\mathsf{x}}
\cdot \overline{
\mathsf{y}}
+ \overline{
\mathsf{z}}
= \overline{
\mathsf{x}}
\cdot \overline{
\mathsf{y}}
+ \overline{
\mathsf{x}}
\cdot \overline{
\mathsf{z}}
\Rightarrow \overline{
\mathsf{x}}
\cdot \overline{
\mathsf{y}}
+ \overline{
\mathsf{z}}
{}'
= \overline{
\mathsf{x}}
\cdot \overline{
\mathsf{y}}
+ \overline{
\mathsf{x}}
\cdot \overline{
\mathsf{z}}
{}'
\gg \overline{
\mathsf{x}}
\cdot \overline{
\mathsf{y}}
+ \overline{
\mathsf{z}}
= \overline{
\mathsf{x}}
\cdot \overline{
\mathsf{y}}
+ \overline{
\mathsf{x}}
\cdot \overline{
\mathsf{z}}
; 
Ded
\rhd \overline{
\mathsf{x}}
\cdot \overline{
\mathsf{y}}
+ \overline{
\mathsf{z}}
= \overline{
\mathsf{x}}
\cdot \overline{
\mathsf{y}}
+ \overline{
\mathsf{x}}
\cdot \overline{
\mathsf{z}}
\gg \underline{
\mathsf {a}}
\cdot \underline{
\mathsf {b}}
+ \underline{
\mathsf {c}}
= \underline{
\mathsf {a}}
\cdot \underline{
\mathsf {b}}
+ \underline{
\mathsf {a}}
\cdot \underline{
\mathsf {c}}
\rceil 
, 
p_0
, 
\mathsf {c}
)
]$

$\rm
[
Prop\ 3.4a
\stackrel{
stmt
}{\rightarrow}
S
\vdash 
\forall \underline{
\mathsf {a}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf {b}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf {c}}
\colon \underline{
\mathsf {a}}
\cdot \underline{
\mathsf {b}}
+ \underline{
\mathsf {c}}
= \underline{
\mathsf {a}}
\cdot \underline{
\mathsf {b}}
+ \underline{
\mathsf {a}}
\cdot \underline{
\mathsf {c}}
]$

$\rm
[
Prop\ 3.4a
\stackrel{
\mathrm{tex}
}{\rightarrow}
\mbox{``}
\newline Prop
\mbox {$\backslash $}
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}3.4a
\mbox{''}
]$

$\rm
[
Prop\ 3.4a
\stackrel{
\mathrm{pyk}
}{\rightarrow}
\mbox{``}prop
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}three
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}four
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}a
\mbox{''}
]$

\hypertarget {url:1808490450776494469886199066475724407610946851235271335976337380875467521:65}{}\section* {$\rm 
Prop\ 3.4b$}

$\rm
[
Prop\ 3.4b
\stackrel{
proof
}{\rightarrow}
\lambda 
\mathsf {c}
.
\lambda 
\mathsf{x}
.
{\cal P}( 
\lceil 
S
\vdash 
\forall \underline{
\mathsf {a}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf {b}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf {c}}
\colon 
Prop\ 3.4a
\gg \underline{
\mathsf {a}}
\cdot \underline{
\mathsf {b}}
+ \underline{
\mathsf {c}}
= \underline{
\mathsf {a}}
\cdot \underline{
\mathsf {b}}
+ \underline{
\mathsf {a}}
\cdot \underline{
\mathsf {c}}
; 
Prop\ 3.2n
\gg \underline{
\mathsf {a}}
\cdot \underline{
\mathsf {b}}
+ \underline{
\mathsf {c}}
= \underline{
\mathsf {b}}
+ \underline{
\mathsf {c}}
\cdot \underline{
\mathsf {a}}
; 
Prop\ 3.2n
\gg \underline{
\mathsf {a}}
\cdot \underline{
\mathsf {b}}
= \underline{
\mathsf {b}}
\cdot \underline{
\mathsf {a}}
; 
Prop\ 3.2n
\gg \underline{
\mathsf {a}}
\cdot \underline{
\mathsf {c}}
= \underline{
\mathsf {c}}
\cdot \underline{
\mathsf {a}}
; 
S1
\rhd \underline{
\mathsf {a}}
\cdot \underline{
\mathsf {b}}
+ \underline{
\mathsf {c}}
= \underline{
\mathsf {b}}
+ \underline{
\mathsf {c}}
\cdot \underline{
\mathsf {a}}
\rhd \underline{
\mathsf {a}}
\cdot \underline{
\mathsf {b}}
+ \underline{
\mathsf {c}}
= \underline{
\mathsf {a}}
\cdot \underline{
\mathsf {b}}
+ \underline{
\mathsf {a}}
\cdot \underline{
\mathsf {c}}
\gg \underline{
\mathsf {b}}
+ \underline{
\mathsf {c}}
\cdot \underline{
\mathsf {a}}
= \underline{
\mathsf {a}}
\cdot \underline{
\mathsf {b}}
+ \underline{
\mathsf {a}}
\cdot \underline{
\mathsf {c}}
; 
Prop\ 3.2e
\rhd \underline{
\mathsf {a}}
\cdot \underline{
\mathsf {b}}
= \underline{
\mathsf {b}}
\cdot \underline{
\mathsf {a}}
\gg \underline{
\mathsf {a}}
\cdot \underline{
\mathsf {b}}
+ \underline{
\mathsf {a}}
\cdot \underline{
\mathsf {c}}
= \underline{
\mathsf {b}}
\cdot \underline{
\mathsf {a}}
+ \underline{
\mathsf {a}}
\cdot \underline{
\mathsf {c}}
; 
Prop\ 3.2i
\rhd \underline{
\mathsf {a}}
\cdot \underline{
\mathsf {c}}
= \underline{
\mathsf {c}}
\cdot \underline{
\mathsf {a}}
\gg \underline{
\mathsf {b}}
\cdot \underline{
\mathsf {a}}
+ \underline{
\mathsf {a}}
\cdot \underline{
\mathsf {c}}
= \underline{
\mathsf {b}}
\cdot \underline{
\mathsf {a}}
+ \underline{
\mathsf {c}}
\cdot \underline{
\mathsf {a}}
; 
Prop\ 3.2c
\rhd \underline{
\mathsf {a}}
\cdot \underline{
\mathsf {b}}
+ \underline{
\mathsf {a}}
\cdot \underline{
\mathsf {c}}
= \underline{
\mathsf {b}}
\cdot \underline{
\mathsf {a}}
+ \underline{
\mathsf {a}}
\cdot \underline{
\mathsf {c}}
\rhd \underline{
\mathsf {b}}
\cdot \underline{
\mathsf {a}}
+ \underline{
\mathsf {a}}
\cdot \underline{
\mathsf {c}}
= \underline{
\mathsf {b}}
\cdot \underline{
\mathsf {a}}
+ \underline{
\mathsf {c}}
\cdot \underline{
\mathsf {a}}
\gg \underline{
\mathsf {a}}
\cdot \underline{
\mathsf {b}}
+ \underline{
\mathsf {a}}
\cdot \underline{
\mathsf {c}}
= \underline{
\mathsf {b}}
\cdot \underline{
\mathsf {a}}
+ \underline{
\mathsf {c}}
\cdot \underline{
\mathsf {a}}
; 
Prop\ 3.2c
\rhd \underline{
\mathsf {b}}
+ \underline{
\mathsf {c}}
\cdot \underline{
\mathsf {a}}
= \underline{
\mathsf {a}}
\cdot \underline{
\mathsf {b}}
+ \underline{
\mathsf {a}}
\cdot \underline{
\mathsf {c}}
\rhd \underline{
\mathsf {a}}
\cdot \underline{
\mathsf {b}}
+ \underline{
\mathsf {a}}
\cdot \underline{
\mathsf {c}}
= \underline{
\mathsf {b}}
\cdot \underline{
\mathsf {a}}
+ \underline{
\mathsf {c}}
\cdot \underline{
\mathsf {a}}
\gg \underline{
\mathsf {b}}
+ \underline{
\mathsf {c}}
\cdot \underline{
\mathsf {a}}
= \underline{
\mathsf {b}}
\cdot \underline{
\mathsf {a}}
+ \underline{
\mathsf {c}}
\cdot \underline{
\mathsf {a}}
\rceil 
, 
p_0
, 
\mathsf {c}
)
]$

$\rm
[
Prop\ 3.4b
\stackrel{
stmt
}{\rightarrow}
S
\vdash 
\forall \underline{
\mathsf {a}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf {b}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf {c}}
\colon \underline{
\mathsf {b}}
+ \underline{
\mathsf {c}}
\cdot \underline{
\mathsf {a}}
= \underline{
\mathsf {b}}
\cdot \underline{
\mathsf {a}}
+ \underline{
\mathsf {c}}
\cdot \underline{
\mathsf {a}}
]$

$\rm
[
Prop\ 3.4b
\stackrel{
\mathrm{tex}
}{\rightarrow}
\mbox{``}
\newline Prop
\mbox {$\backslash $}
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}3.4b
\mbox{''}
]$

$\rm
[
Prop\ 3.4b
\stackrel{
\mathrm{pyk}
}{\rightarrow}
\mbox{``}prop
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}three
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}four
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}b
\mbox{''}
]$

\hypertarget {url:1808490450776494469886199066475724407610946851235271335976337380875467521:66}{}\section* {$\rm 
Prop\ 3.4c_1$}

$\rm
[
Prop\ 3.4c_1
\stackrel{
proof
}{\rightarrow}
\lambda 
\mathsf {c}
.
\lambda 
\mathsf{x}
.
{\cal P}( 
\lceil 
S
\vdash 
\forall \underline{
\mathsf {a}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf {b}}
\colon 
S7
\gg \underline{
\mathsf {a}}
\cdot \underline{
\mathsf {b}}
\cdot 
0
= 
0
; 
S7
\gg \underline{
\mathsf {b}}
\cdot 
0
= 
0
; 
Prop\ 3.2o
\rhd \underline{
\mathsf {b}}
\cdot 
0
= 
0
\gg \underline{
\mathsf {a}}
\cdot \underline{
\mathsf {b}}
\cdot 
0
= \underline{
\mathsf {a}}
\cdot 
0
; 
S7
\gg \underline{
\mathsf {a}}
\cdot 
0
= 
0
; 
Prop\ 3.2c
\rhd \underline{
\mathsf {a}}
\cdot \underline{
\mathsf {b}}
\cdot 
0
= \underline{
\mathsf {a}}
\cdot 
0
\rhd \underline{
\mathsf {a}}
\cdot 
0
= 
0
\gg \underline{
\mathsf {a}}
\cdot \underline{
\mathsf {b}}
\cdot 
0
= 
0
; 
Prop\ 3.2d
\rhd \underline{
\mathsf {a}}
\cdot \underline{
\mathsf {b}}
\cdot 
0
= 
0
\rhd \underline{
\mathsf {a}}
\cdot \underline{
\mathsf {b}}
\cdot 
0
= 
0
\gg \underline{
\mathsf {a}}
\cdot \underline{
\mathsf {b}}
\cdot 
0
= \underline{
\mathsf {a}}
\cdot \underline{
\mathsf {b}}
\cdot 
0
\rceil 
, 
p_0
, 
\mathsf {c}
)
]$

$\rm
[
Prop\ 3.4c_1
\stackrel{
stmt
}{\rightarrow}
S
\vdash 
\forall \underline{
\mathsf {a}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf {b}}
\colon \underline{
\mathsf {a}}
\cdot \underline{
\mathsf {b}}
\cdot 
0
= \underline{
\mathsf {a}}
\cdot \underline{
\mathsf {b}}
\cdot 
0
]$

$\rm
[
Prop\ 3.4c_1
\stackrel{
\mathrm{tex}
}{\rightarrow}
\mbox{``}
\newline Prop
\mbox {$\backslash $}
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}3.4c
\_1
\mbox{''}
]$

$\rm
[
Prop\ 3.4c_1
\stackrel{
\mathrm{pyk}
}{\rightarrow}
\mbox{``}prop
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}three
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}four
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}c
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}one
\mbox{''}
]$

\hypertarget {url:1808490450776494469886199066475724407610946851235271335976337380875467521:67}{}\section* {$\rm 
Prop\ 3.4c_2$}

$\rm
[
Prop\ 3.4c_2
\stackrel{
proof
}{\rightarrow}
\lambda 
\mathsf {c}
.
\lambda 
\mathsf{x}
.
{\cal P}( 
\lceil 
S
\vdash 
\forall \underline{
\mathsf {a}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf {b}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf {c}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf {a}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf {b}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf {c}}
\colon \underline{
\mathsf {a}}
\cdot \underline{
\mathsf {b}}
\cdot \underline{
\mathsf {c}}
= \underline{
\mathsf {a}}
\cdot \underline{
\mathsf {b}}
\cdot \underline{
\mathsf {c}}
\vdash 
S8
\gg \underline{
\mathsf {a}}
\cdot \underline{
\mathsf {b}}
\cdot \underline{
\mathsf {c}}
{}'
= \underline{
\mathsf {a}}
\cdot \underline{
\mathsf {b}}
\cdot \underline{
\mathsf {c}}
+ \underline{
\mathsf {a}}
\cdot \underline{
\mathsf {b}}
; 
Prop\ 3.2e
\rhd \underline{
\mathsf {a}}
\cdot \underline{
\mathsf {b}}
\cdot \underline{
\mathsf {c}}
= \underline{
\mathsf {a}}
\cdot \underline{
\mathsf {b}}
\cdot \underline{
\mathsf {c}}
\gg \underline{
\mathsf {a}}
\cdot \underline{
\mathsf {b}}
\cdot \underline{
\mathsf {c}}
+ \underline{
\mathsf {a}}
\cdot \underline{
\mathsf {b}}
= \underline{
\mathsf {a}}
\cdot \underline{
\mathsf {b}}
\cdot \underline{
\mathsf {c}}
+ \underline{
\mathsf {a}}
\cdot \underline{
\mathsf {b}}
; 
Prop\ 3.2c
\rhd \underline{
\mathsf {a}}
\cdot \underline{
\mathsf {b}}
\cdot \underline{
\mathsf {c}}
{}'
= \underline{
\mathsf {a}}
\cdot \underline{
\mathsf {b}}
\cdot \underline{
\mathsf {c}}
+ \underline{
\mathsf {a}}
\cdot \underline{
\mathsf {b}}
\rhd \underline{
\mathsf {a}}
\cdot \underline{
\mathsf {b}}
\cdot \underline{
\mathsf {c}}
+ \underline{
\mathsf {a}}
\cdot \underline{
\mathsf {b}}
= \underline{
\mathsf {a}}
\cdot \underline{
\mathsf {b}}
\cdot \underline{
\mathsf {c}}
+ \underline{
\mathsf {a}}
\cdot \underline{
\mathsf {b}}
\gg \underline{
\mathsf {a}}
\cdot \underline{
\mathsf {b}}
\cdot \underline{
\mathsf {c}}
{}'
= \underline{
\mathsf {a}}
\cdot \underline{
\mathsf {b}}
\cdot \underline{
\mathsf {c}}
+ \underline{
\mathsf {a}}
\cdot \underline{
\mathsf {b}}
; 
Prop\ 3.4a
\gg \underline{
\mathsf {a}}
\cdot \underline{
\mathsf {b}}
\cdot \underline{
\mathsf {c}}
+ \underline{
\mathsf {b}}
= \underline{
\mathsf {a}}
\cdot \underline{
\mathsf {b}}
\cdot \underline{
\mathsf {c}}
+ \underline{
\mathsf {a}}
\cdot \underline{
\mathsf {b}}
; 
Prop\ 3.2d
\rhd \underline{
\mathsf {a}}
\cdot \underline{
\mathsf {b}}
\cdot \underline{
\mathsf {c}}
{}'
= \underline{
\mathsf {a}}
\cdot \underline{
\mathsf {b}}
\cdot \underline{
\mathsf {c}}
+ \underline{
\mathsf {a}}
\cdot \underline{
\mathsf {b}}
\rhd \underline{
\mathsf {a}}
\cdot \underline{
\mathsf {b}}
\cdot \underline{
\mathsf {c}}
+ \underline{
\mathsf {b}}
= \underline{
\mathsf {a}}
\cdot \underline{
\mathsf {b}}
\cdot \underline{
\mathsf {c}}
+ \underline{
\mathsf {a}}
\cdot \underline{
\mathsf {b}}
\gg \underline{
\mathsf {a}}
\cdot \underline{
\mathsf {b}}
\cdot \underline{
\mathsf {c}}
{}'
= \underline{
\mathsf {a}}
\cdot \underline{
\mathsf {b}}
\cdot \underline{
\mathsf {c}}
+ \underline{
\mathsf {b}}
; 
S8
\gg \underline{
\mathsf {b}}
\cdot \underline{
\mathsf {c}}
{}'
= \underline{
\mathsf {b}}
\cdot \underline{
\mathsf {c}}
+ \underline{
\mathsf {b}}
; 
Prop\ 3.2o
\rhd \underline{
\mathsf {b}}
\cdot \underline{
\mathsf {c}}
{}'
= \underline{
\mathsf {b}}
\cdot \underline{
\mathsf {c}}
+ \underline{
\mathsf {b}}
\gg \underline{
\mathsf {a}}
\cdot \underline{
\mathsf {b}}
\cdot \underline{
\mathsf {c}}
{}'
= \underline{
\mathsf {a}}
\cdot \underline{
\mathsf {b}}
\cdot \underline{
\mathsf {c}}
+ \underline{
\mathsf {b}}
; 
Prop\ 3.2d
\rhd \underline{
\mathsf {a}}
\cdot \underline{
\mathsf {b}}
\cdot \underline{
\mathsf {c}}
{}'
= \underline{
\mathsf {a}}
\cdot \underline{
\mathsf {b}}
\cdot \underline{
\mathsf {c}}
+ \underline{
\mathsf {b}}
\rhd \underline{
\mathsf {a}}
\cdot \underline{
\mathsf {b}}
\cdot \underline{
\mathsf {c}}
{}'
= \underline{
\mathsf {a}}
\cdot \underline{
\mathsf {b}}
\cdot \underline{
\mathsf {c}}
+ \underline{
\mathsf {b}}
\gg \underline{
\mathsf {a}}
\cdot \underline{
\mathsf {b}}
\cdot \underline{
\mathsf {c}}
{}'
= \underline{
\mathsf {a}}
\cdot \underline{
\mathsf {b}}
\cdot \underline{
\mathsf {c}}
{}'
; 
Ded
\rhd 
\forall \underline{
\mathsf {a}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf {b}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf {c}}
\colon \underline{
\mathsf {a}}
\cdot \underline{
\mathsf {b}}
\cdot \underline{
\mathsf {c}}
= \underline{
\mathsf {a}}
\cdot \underline{
\mathsf {b}}
\cdot \underline{
\mathsf {c}}
\vdash \underline{
\mathsf {a}}
\cdot \underline{
\mathsf {b}}
\cdot \underline{
\mathsf {c}}
{}'
= \underline{
\mathsf {a}}
\cdot \underline{
\mathsf {b}}
\cdot \underline{
\mathsf {c}}
{}'
\gg \underline{
\mathsf {a}}
\cdot \underline{
\mathsf {b}}
\cdot \underline{
\mathsf {c}}
= \underline{
\mathsf {a}}
\cdot \underline{
\mathsf {b}}
\cdot \underline{
\mathsf {c}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {a}}
\cdot \underline{
\mathsf {b}}
\cdot \underline{
\mathsf {c}}
{}'
= \underline{
\mathsf {a}}
\cdot \underline{
\mathsf {b}}
\cdot \underline{
\mathsf {c}}
{}'
\rceil 
, 
p_0
, 
\mathsf {c}
)
]$

$\rm
[
Prop\ 3.4c_2
\stackrel{
stmt
}{\rightarrow}
S
\vdash 
\forall \underline{
\mathsf {a}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf {b}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf {c}}
\colon \underline{
\mathsf {a}}
\cdot \underline{
\mathsf {b}}
\cdot \underline{
\mathsf {c}}
= \underline{
\mathsf {a}}
\cdot \underline{
\mathsf {b}}
\cdot \underline{
\mathsf {c}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {a}}
\cdot \underline{
\mathsf {b}}
\cdot \underline{
\mathsf {c}}
{}'
= \underline{
\mathsf {a}}
\cdot \underline{
\mathsf {b}}
\cdot \underline{
\mathsf {c}}
{}'
]$

$\rm
[
Prop\ 3.4c_2
\stackrel{
\mathrm{tex}
}{\rightarrow}
\mbox{``}
\newline Prop
\mbox {$\backslash $}
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}3.4c
\_2
\mbox{''}
]$

$\rm
[
Prop\ 3.4c_2
\stackrel{
\mathrm{pyk}
}{\rightarrow}
\mbox{``}prop
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}three
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}four
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}c
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}two
\mbox{''}
]$

\hypertarget {url:1808490450776494469886199066475724407610946851235271335976337380875467521:68}{}\section* {$\rm 
Prop\ 3.4c$}

$\rm
[
Prop\ 3.4c
\stackrel{
proof
}{\rightarrow}
\lambda 
\mathsf {c}
.
\lambda 
\mathsf{x}
.
{\cal P}( 
\lceil 
S
\vdash 
\forall \underline{
\mathsf {a}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf {b}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf {c}}
\colon 
Prop\ 3.4c_1
\gg \overline{
\mathsf{x}}
\cdot \overline{
\mathsf{y}}
\cdot 
0
= \overline{
\mathsf{x}}
\cdot \overline{
\mathsf{y}}
\cdot 
0
; 
Prop\ 3.4c_2
\gg \overline{
\mathsf{x}}
\cdot \overline{
\mathsf{y}}
\cdot \overline{
\mathsf{z}}
= \overline{
\mathsf{x}}
\cdot \overline{
\mathsf{y}}
\cdot \overline{
\mathsf{z}}
\Rightarrow \overline{
\mathsf{x}}
\cdot \overline{
\mathsf{y}}
\cdot \overline{
\mathsf{z}}
{}'
= \overline{
\mathsf{x}}
\cdot \overline{
\mathsf{y}}
\cdot \overline{
\mathsf{z}}
{}'
; 
S9
\mathop {\char64} \overline{
\mathsf{z}}
\rhd \overline{
\mathsf{x}}
\cdot \overline{
\mathsf{y}}
\cdot 
0
= \overline{
\mathsf{x}}
\cdot \overline{
\mathsf{y}}
\cdot 
0
\rhd \overline{
\mathsf{x}}
\cdot \overline{
\mathsf{y}}
\cdot \overline{
\mathsf{z}}
= \overline{
\mathsf{x}}
\cdot \overline{
\mathsf{y}}
\cdot \overline{
\mathsf{z}}
\Rightarrow \overline{
\mathsf{x}}
\cdot \overline{
\mathsf{y}}
\cdot \overline{
\mathsf{z}}
{}'
= \overline{
\mathsf{x}}
\cdot \overline{
\mathsf{y}}
\cdot \overline{
\mathsf{z}}
{}'
\gg \overline{
\mathsf{x}}
\cdot \overline{
\mathsf{y}}
\cdot \overline{
\mathsf{z}}
= \overline{
\mathsf{x}}
\cdot \overline{
\mathsf{y}}
\cdot \overline{
\mathsf{z}}
; 
Ded
\rhd \overline{
\mathsf{x}}
\cdot \overline{
\mathsf{y}}
\cdot \overline{
\mathsf{z}}
= \overline{
\mathsf{x}}
\cdot \overline{
\mathsf{y}}
\cdot \overline{
\mathsf{z}}
\gg \underline{
\mathsf {a}}
\cdot \underline{
\mathsf {b}}
\cdot \underline{
\mathsf {c}}
= \underline{
\mathsf {a}}
\cdot \underline{
\mathsf {b}}
\cdot \underline{
\mathsf {c}}
\rceil 
, 
p_0
, 
\mathsf {c}
)
]$

$\rm
[
Prop\ 3.4c
\stackrel{
stmt
}{\rightarrow}
S
\vdash 
\forall \underline{
\mathsf {a}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf {b}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf {c}}
\colon \underline{
\mathsf {a}}
\cdot \underline{
\mathsf {b}}
\cdot \underline{
\mathsf {c}}
= \underline{
\mathsf {a}}
\cdot \underline{
\mathsf {b}}
\cdot \underline{
\mathsf {c}}
]$

$\rm
[
Prop\ 3.4c
\stackrel{
\mathrm{tex}
}{\rightarrow}
\mbox{``}
\newline Prop
\mbox {$\backslash $}
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}3.4c
\mbox{''}
]$

$\rm
[
Prop\ 3.4c
\stackrel{
\mathrm{pyk}
}{\rightarrow}
\mbox{``}prop
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}three
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}four
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}c
\mbox{''}
]$

\hypertarget {url:1808490450776494469886199066475724407610946851235271335976337380875467521:69}{}\section* {$\rm 
Prop\ 3.4d_1$}

$\rm
[
Prop\ 3.4d_1
\stackrel{
proof
}{\rightarrow}
\lambda 
\mathsf {c}
.
\lambda 
\mathsf{x}
.
{\cal P}( 
\lceil 
S
\vdash 
\forall \underline{
\mathsf {a}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf {b}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf {a}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf {b}}
\colon \underline{
\mathsf {a}}
+ 
0
= \underline{
\mathsf {b}}
+ 
0
\vdash 
S5
\gg \underline{
\mathsf {a}}
+ 
0
= \underline{
\mathsf {a}}
; 
S5
\gg \underline{
\mathsf {b}}
+ 
0
= \underline{
\mathsf {b}}
; 
S1
\rhd \underline{
\mathsf {a}}
+ 
0
= \underline{
\mathsf {a}}
\rhd \underline{
\mathsf {a}}
+ 
0
= \underline{
\mathsf {b}}
+ 
0
\gg \underline{
\mathsf {a}}
= \underline{
\mathsf {b}}
+ 
0
; 
Prop\ 3.2c
\rhd \underline{
\mathsf {a}}
= \underline{
\mathsf {b}}
+ 
0
\rhd \underline{
\mathsf {b}}
+ 
0
= \underline{
\mathsf {b}}
\gg \underline{
\mathsf {a}}
= \underline{
\mathsf {b}}
; 
Ded
\rhd 
\forall \underline{
\mathsf {a}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf {b}}
\colon \underline{
\mathsf {a}}
+ 
0
= \underline{
\mathsf {b}}
+ 
0
\vdash \underline{
\mathsf {a}}
= \underline{
\mathsf {b}}
\gg \underline{
\mathsf {a}}
+ 
0
= \underline{
\mathsf {b}}
+ 
0
\Rightarrow \underline{
\mathsf {a}}
= \underline{
\mathsf {b}}
\rceil 
, 
p_0
, 
\mathsf {c}
)
]$

$\rm
[
Prop\ 3.4d_1
\stackrel{
stmt
}{\rightarrow}
S
\vdash 
\forall \underline{
\mathsf {a}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf {b}}
\colon \underline{
\mathsf {a}}
+ 
0
= \underline{
\mathsf {b}}
+ 
0
\Rightarrow \underline{
\mathsf {a}}
= \underline{
\mathsf {b}}
]$

$\rm
[
Prop\ 3.4d_1
\stackrel{
\mathrm{tex}
}{\rightarrow}
\mbox{``}
\newline Prop
\mbox {$\backslash $}
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}3.4d
\_1
\mbox{''}
]$

$\rm
[
Prop\ 3.4d_1
\stackrel{
\mathrm{pyk}
}{\rightarrow}
\mbox{``}prop
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}three
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}four
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}d
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}one
\mbox{''}
]$

\hypertarget {url:1808490450776494469886199066475724407610946851235271335976337380875467521:70}{}\section* {$\rm 
Prop\ 3.4d_2$}

$\rm
[
Prop\ 3.4d_2
\stackrel{
proof
}{\rightarrow}
\lambda 
\mathsf {c}
.
\lambda 
\mathsf{x}
.
{\cal P}( 
\lceil 
S
\vdash 
\forall \underline{
\mathsf {a}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf {b}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf {c}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf {a}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf {b}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf {c}}
\colon \underline{
\mathsf {a}}
+ \underline{
\mathsf {c}}
= \underline{
\mathsf {b}}
+ \underline{
\mathsf {c}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {a}}
= \underline{
\mathsf {b}}
\vdash \underline{
\mathsf {a}}
+ \underline{
\mathsf {c}}
{}'
= \underline{
\mathsf {b}}
+ \underline{
\mathsf {c}}
{}'
\vdash 
S6
\gg \underline{
\mathsf {a}}
+ \underline{
\mathsf {c}}
{}'
= \underline{
\mathsf {a}}
+ \underline{
\mathsf {c}}
{}'
; 
S6
\gg \underline{
\mathsf {b}}
+ \underline{
\mathsf {c}}
{}'
= \underline{
\mathsf {b}}
+ \underline{
\mathsf {c}}
{}'
; 
S1
\rhd \underline{
\mathsf {a}}
+ \underline{
\mathsf {c}}
{}'
= \underline{
\mathsf {a}}
+ \underline{
\mathsf {c}}
{}'
\rhd \underline{
\mathsf {a}}
+ \underline{
\mathsf {c}}
{}'
= \underline{
\mathsf {b}}
+ \underline{
\mathsf {c}}
{}'
\gg \underline{
\mathsf {a}}
+ \underline{
\mathsf {c}}
{}'
= \underline{
\mathsf {b}}
+ \underline{
\mathsf {c}}
{}'
; 
Prop\ 3.2c
\rhd \underline{
\mathsf {a}}
+ \underline{
\mathsf {c}}
{}'
= \underline{
\mathsf {b}}
+ \underline{
\mathsf {c}}
{}'
\rhd \underline{
\mathsf {b}}
+ \underline{
\mathsf {c}}
{}'
= \underline{
\mathsf {b}}
+ \underline{
\mathsf {c}}
{}'
\gg \underline{
\mathsf {a}}
+ \underline{
\mathsf {c}}
{}'
= \underline{
\mathsf {b}}
+ \underline{
\mathsf {c}}
{}'
; 
S4
\rhd \underline{
\mathsf {a}}
+ \underline{
\mathsf {c}}
{}'
= \underline{
\mathsf {b}}
+ \underline{
\mathsf {c}}
{}'
\gg \underline{
\mathsf {a}}
+ \underline{
\mathsf {c}}
= \underline{
\mathsf {b}}
+ \underline{
\mathsf {c}}
; 
MP
\rhd \underline{
\mathsf {a}}
+ \underline{
\mathsf {c}}
= \underline{
\mathsf {b}}
+ \underline{
\mathsf {c}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {a}}
= \underline{
\mathsf {b}}
\rhd \underline{
\mathsf {a}}
+ \underline{
\mathsf {c}}
= \underline{
\mathsf {b}}
+ \underline{
\mathsf {c}}
\gg \underline{
\mathsf {a}}
= \underline{
\mathsf {b}}
; 
Ded
\rhd 
\forall \underline{
\mathsf {a}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf {b}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf {c}}
\colon \underline{
\mathsf {a}}
+ \underline{
\mathsf {c}}
= \underline{
\mathsf {b}}
+ \underline{
\mathsf {c}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {a}}
= \underline{
\mathsf {b}}
\vdash \underline{
\mathsf {a}}
+ \underline{
\mathsf {c}}
{}'
= \underline{
\mathsf {b}}
+ \underline{
\mathsf {c}}
{}'
\vdash \underline{
\mathsf {a}}
= \underline{
\mathsf {b}}
\gg \underline{
\mathsf {a}}
+ \underline{
\mathsf {c}}
= \underline{
\mathsf {b}}
+ \underline{
\mathsf {c}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {a}}
= \underline{
\mathsf {b}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {a}}
+ \underline{
\mathsf {c}}
{}'
= \underline{
\mathsf {b}}
+ \underline{
\mathsf {c}}
{}'
\Rightarrow \underline{
\mathsf {a}}
= \underline{
\mathsf {b}}
\rceil 
, 
p_0
, 
\mathsf {c}
)
]$

$\rm
[
Prop\ 3.4d_2
\stackrel{
stmt
}{\rightarrow}
S
\vdash 
\forall \underline{
\mathsf {a}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf {b}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf {c}}
\colon \underline{
\mathsf {a}}
+ \underline{
\mathsf {c}}
= \underline{
\mathsf {b}}
+ \underline{
\mathsf {c}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {a}}
= \underline{
\mathsf {b}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {a}}
+ \underline{
\mathsf {c}}
{}'
= \underline{
\mathsf {b}}
+ \underline{
\mathsf {c}}
{}'
\Rightarrow \underline{
\mathsf {a}}
= \underline{
\mathsf {b}}
]$

$\rm
[
Prop\ 3.4d_2
\stackrel{
\mathrm{tex}
}{\rightarrow}
\mbox{``}
\newline Prop
\mbox {$\backslash $}
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}3.4d
\_2
\mbox{''}
]$

$\rm
[
Prop\ 3.4d_2
\stackrel{
\mathrm{pyk}
}{\rightarrow}
\mbox{``}prop
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}three
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}four
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}d
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}two
\mbox{''}
]$

\hypertarget {url:1808490450776494469886199066475724407610946851235271335976337380875467521:71}{}\section* {$\rm 
Prop\ 3.4d$}

$\rm
[
Prop\ 3.4d
\stackrel{
proof
}{\rightarrow}
\lambda 
\mathsf {c}
.
\lambda 
\mathsf{x}
.
{\cal P}( 
\lceil 
S
\vdash 
\forall \underline{
\mathsf {a}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf {b}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf {c}}
\colon 
Prop\ 3.4d_1
\gg \overline{
\mathsf{x}}
+ 
0
= \overline{
\mathsf{y}}
+ 
0
\Rightarrow \overline{
\mathsf{x}}
= \overline{
\mathsf{y}}
; 
Prop\ 3.4d_2
\gg \overline{
\mathsf{x}}
+ \overline{
\mathsf{z}}
= \overline{
\mathsf{y}}
+ \overline{
\mathsf{z}}
\Rightarrow \overline{
\mathsf{x}}
= \overline{
\mathsf{y}}
\Rightarrow \overline{
\mathsf{x}}
+ \overline{
\mathsf{z}}
{}'
= \overline{
\mathsf{y}}
+ \overline{
\mathsf{z}}
{}'
\Rightarrow \overline{
\mathsf{x}}
= \overline{
\mathsf{y}}
; 
S9
\mathop {\char64} \overline{
\mathsf{z}}
\rhd \overline{
\mathsf{x}}
+ 
0
= \overline{
\mathsf{y}}
+ 
0
\Rightarrow \overline{
\mathsf{x}}
= \overline{
\mathsf{y}}
\rhd \overline{
\mathsf{x}}
+ \overline{
\mathsf{z}}
= \overline{
\mathsf{y}}
+ \overline{
\mathsf{z}}
\Rightarrow \overline{
\mathsf{x}}
= \overline{
\mathsf{y}}
\Rightarrow \overline{
\mathsf{x}}
+ \overline{
\mathsf{z}}
{}'
= \overline{
\mathsf{y}}
+ \overline{
\mathsf{z}}
{}'
\Rightarrow \overline{
\mathsf{x}}
= \overline{
\mathsf{y}}
\gg \overline{
\mathsf{x}}
+ \overline{
\mathsf{z}}
= \overline{
\mathsf{y}}
+ \overline{
\mathsf{z}}
\Rightarrow \overline{
\mathsf{x}}
= \overline{
\mathsf{y}}
; 
Ded
\rhd \overline{
\mathsf{x}}
+ \overline{
\mathsf{z}}
= \overline{
\mathsf{y}}
+ \overline{
\mathsf{z}}
\Rightarrow \overline{
\mathsf{x}}
= \overline{
\mathsf{y}}
\gg \underline{
\mathsf {a}}
+ \underline{
\mathsf {c}}
= \underline{
\mathsf {b}}
+ \underline{
\mathsf {c}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {a}}
= \underline{
\mathsf {b}}
\rceil 
, 
p_0
, 
\mathsf {c}
)
]$

$\rm
[
Prop\ 3.4d
\stackrel{
stmt
}{\rightarrow}
S
\vdash 
\forall \underline{
\mathsf {a}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf {b}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf {c}}
\colon \underline{
\mathsf {a}}
+ \underline{
\mathsf {c}}
= \underline{
\mathsf {b}}
+ \underline{
\mathsf {c}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {a}}
= \underline{
\mathsf {b}}
]$

$\rm
[
Prop\ 3.4d
\stackrel{
\mathrm{tex}
}{\rightarrow}
\mbox{``}
\newline Prop
\mbox {$\backslash $}
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}3.4d
\mbox{''}
]$

$\rm
[
Prop\ 3.4d
\stackrel{
\mathrm{pyk}
}{\rightarrow}
\mbox{``}prop
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}three
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}four
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}d
\mbox{''}
]$

\hypertarget {url:1808490450776494469886199066475724407610946851235271335976337380875467521:72}{}\section* {$\rm 
Prop\ 3.5$}

$\rm
[
Prop\ 3.5
\stackrel{
\mathrm{tex}
}{\rightarrow}
\mbox{``}
\newline Prop
\mbox {$\backslash $}
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}3.5
\mbox{''}
]$

$\rm
[
Prop\ 3.5
\stackrel{
\mathrm{pyk}
}{\rightarrow}
\mbox{``}prop
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}three
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}five
\mbox{''}
]$

\hypertarget {url:1808490450776494469886199066475724407610946851235271335976337380875467521:73}{}\section* {$\rm 
Prop\ 3.5a$}

$\rm
[
Prop\ 3.5a
\stackrel{
proof
}{\rightarrow}
\lambda 
\mathsf {c}
.
\lambda 
\mathsf{x}
.
{\cal P}( 
\lceil 
S
\vdash 
\forall \underline{
\mathsf {a}}
\colon 
S6
\gg \underline{
\mathsf {a}}
+ 
0
{}'
= \underline{
\mathsf {a}}
+ 
0
{}'
; 
S5
\gg \underline{
\mathsf {a}}
+ 
0
= \underline{
\mathsf {a}}
; 
S2
\rhd \underline{
\mathsf {a}}
+ 
0
= \underline{
\mathsf {a}}
\gg \underline{
\mathsf {a}}
+ 
0
{}'
= \underline{
\mathsf {a}}
{}'
; 
Prop\ 3.2c
\rhd \underline{
\mathsf {a}}
+ 
0
{}'
= \underline{
\mathsf {a}}
+ 
0
{}'
\rhd \underline{
\mathsf {a}}
+ 
0
{}'
= \underline{
\mathsf {a}}
{}'
\gg \underline{
\mathsf {a}}
+ 
0
{}'
= \underline{
\mathsf {a}}
{}'
; 
Prop\ 3.2a
\gg \underline{
\mathsf {a}}
+ 
0
{}'
= \underline{
\mathsf {a}}
+ 
0
{}'
; 
S1
\rhd \underline{
\mathsf {a}}
+ 
0
{}'
= \underline{
\mathsf {a}}
+ 
0
{}'
\rhd \underline{
\mathsf {a}}
+ 
0
{}'
= \underline{
\mathsf {a}}
{}'
\gg \underline{
\mathsf {a}}
+ 
0
{}'
= \underline{
\mathsf {a}}
{}'
\rceil 
, 
p_0
, 
\mathsf {c}
)
]$

$\rm
[
Prop\ 3.5a
\stackrel{
stmt
}{\rightarrow}
S
\vdash 
\forall \underline{
\mathsf {a}}
\colon \underline{
\mathsf {a}}
+ 
0
{}'
= \underline{
\mathsf {a}}
{}'
]$

$\rm
[
Prop\ 3.5a
\stackrel{
\mathrm{tex}
}{\rightarrow}
\mbox{``}
\newline Prop
\mbox {$\backslash $}
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}3.5a
\mbox{''}
]$

$\rm
[
Prop\ 3.5a
\stackrel{
\mathrm{pyk}
}{\rightarrow}
\mbox{``}prop
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}three
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}five
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}a
\mbox{''}
]$

\hypertarget {url:1808490450776494469886199066475724407610946851235271335976337380875467521:74}{}\section* {$\rm 
Prop\ 3.5b$}

$\rm
[
Prop\ 3.5b
\stackrel{
proof
}{\rightarrow}
\lambda 
\mathsf {c}
.
\lambda 
\mathsf{x}
.
{\cal P}( 
\lceil 
S
\vdash 
\forall \underline{
\mathsf {a}}
\colon 
S8
\gg \underline{
\mathsf {a}}
\cdot 
0
{}'
= \underline{
\mathsf {a}}
\cdot 
0
+ \underline{
\mathsf {a}}
; 
S7
\gg \underline{
\mathsf {a}}
\cdot 
0
= 
0
; 
Prop\ 3.2e
\rhd \underline{
\mathsf {a}}
\cdot 
0
= 
0
\gg \underline{
\mathsf {a}}
\cdot 
0
+ \underline{
\mathsf {a}}
= 
0
+ \underline{
\mathsf {a}}
; 
Prop\ 3.2c
\rhd \underline{
\mathsf {a}}
\cdot 
0
{}'
= \underline{
\mathsf {a}}
\cdot 
0
+ \underline{
\mathsf {a}}
\rhd \underline{
\mathsf {a}}
\cdot 
0
+ \underline{
\mathsf {a}}
= 
0
+ \underline{
\mathsf {a}}
\gg \underline{
\mathsf {a}}
\cdot 
0
{}'
= 
0
+ \underline{
\mathsf {a}}
; 
Prop\ 3.2f
\gg \underline{
\mathsf {a}}
= 
0
+ \underline{
\mathsf {a}}
; 
Prop\ 3.2b
\rhd \underline{
\mathsf {a}}
= 
0
+ \underline{
\mathsf {a}}
\gg 
0
+ \underline{
\mathsf {a}}
= \underline{
\mathsf {a}}
; 
Prop\ 3.2c
\rhd \underline{
\mathsf {a}}
\cdot 
0
{}'
= 
0
+ \underline{
\mathsf {a}}
\rhd 
0
+ \underline{
\mathsf {a}}
= \underline{
\mathsf {a}}
\gg \underline{
\mathsf {a}}
\cdot 
0
{}'
= \underline{
\mathsf {a}}
; 
Prop\ 3.2a
\gg \underline{
\mathsf {a}}
\cdot 
0
{}'
= \underline{
\mathsf {a}}
\cdot 
0
{}'
; 
S1
\rhd \underline{
\mathsf {a}}
\cdot 
0
{}'
= \underline{
\mathsf {a}}
\cdot 
0
{}'
\rhd \underline{
\mathsf {a}}
\cdot 
0
{}'
= \underline{
\mathsf {a}}
\gg \underline{
\mathsf {a}}
\cdot 
0
{}'
= \underline{
\mathsf {a}}
\rceil 
, 
p_0
, 
\mathsf {c}
)
]$

$\rm
[
Prop\ 3.5b
\stackrel{
stmt
}{\rightarrow}
S
\vdash 
\forall \underline{
\mathsf {a}}
\colon \underline{
\mathsf {a}}
\cdot 
0
{}'
= \underline{
\mathsf {a}}
]$

$\rm
[
Prop\ 3.5b
\stackrel{
\mathrm{tex}
}{\rightarrow}
\mbox{``}
\newline Prop
\mbox {$\backslash $}
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}3.5b
\mbox{''}
]$

$\rm
[
Prop\ 3.5b
\stackrel{
\mathrm{pyk}
}{\rightarrow}
\mbox{``}prop
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}three
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}five
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}b
\mbox{''}
]$

\hypertarget {url:1808490450776494469886199066475724407610946851235271335976337380875467521:75}{}\section* {$\rm 
Prop\ 3.5c$}

$\rm
[
Prop\ 3.5c
\stackrel{
proof
}{\rightarrow}
\lambda 
\mathsf {c}
.
\lambda 
\mathsf{x}
.
{\cal P}( 
\lceil 
S
\vdash 
\forall \underline{
\mathsf {a}}
\colon 
S8
\gg \underline{
\mathsf {a}}
\cdot 
0
{}'
{}'
= \underline{
\mathsf {a}}
\cdot 
0
{}'
+ \underline{
\mathsf {a}}
; 
Prop\ 3.5b
\gg \underline{
\mathsf {a}}
\cdot 
0
{}'
= \underline{
\mathsf {a}}
; 
Prop\ 3.2e
\rhd \underline{
\mathsf {a}}
\cdot 
0
{}'
= \underline{
\mathsf {a}}
\gg \underline{
\mathsf {a}}
\cdot 
0
{}'
+ \underline{
\mathsf {a}}
= \underline{
\mathsf {a}}
+ \underline{
\mathsf {a}}
; 
Prop\ 3.2c
\rhd \underline{
\mathsf {a}}
\cdot 
0
{}'
{}'
= \underline{
\mathsf {a}}
\cdot 
0
{}'
+ \underline{
\mathsf {a}}
\rhd \underline{
\mathsf {a}}
\cdot 
0
{}'
+ \underline{
\mathsf {a}}
= \underline{
\mathsf {a}}
+ \underline{
\mathsf {a}}
\gg \underline{
\mathsf {a}}
\cdot 
0
{}'
{}'
= \underline{
\mathsf {a}}
+ \underline{
\mathsf {a}}
; 
Prop\ 3.2a
\gg \underline{
\mathsf {a}}
\cdot 
0
{}'
{}'
= \underline{
\mathsf {a}}
\cdot 
0
{}'
{}'
; 
S1
\rhd \underline{
\mathsf {a}}
\cdot 
0
{}'
{}'
= \underline{
\mathsf {a}}
\cdot 
0
{}'
{}'
\rhd \underline{
\mathsf {a}}
\cdot 
0
{}'
{}'
= \underline{
\mathsf {a}}
+ \underline{
\mathsf {a}}
\gg \underline{
\mathsf {a}}
\cdot 
0
{}'
{}'
= \underline{
\mathsf {a}}
+ \underline{
\mathsf {a}}
\rceil 
, 
p_0
, 
\mathsf {c}
)
]$

$\rm
[
Prop\ 3.5c
\stackrel{
stmt
}{\rightarrow}
S
\vdash 
\forall \underline{
\mathsf {a}}
\colon \underline{
\mathsf {a}}
\cdot 
0
{}'
{}'
= \underline{
\mathsf {a}}
+ \underline{
\mathsf {a}}
]$

$\rm
[
Prop\ 3.5c
\stackrel{
\mathrm{tex}
}{\rightarrow}
\mbox{``}
\newline Prop
\mbox {$\backslash $}
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}3.5c
\mbox{''}
]$

$\rm
[
Prop\ 3.5c
\stackrel{
\mathrm{pyk}
}{\rightarrow}
\mbox{``}prop
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}three
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}five
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}c
\mbox{''}
]$

\hypertarget {url:1808490450776494469886199066475724407610946851235271335976337380875467521:76}{}\section* {$\rm 
Prop\ 3.5d_1$}

$\rm
[
Prop\ 3.5d_1
\stackrel{
proof
}{\rightarrow}
\lambda 
\mathsf {c}
.
\lambda 
\mathsf{x}
.
{\cal P}( 
\lceil 
S
\vdash 
\forall \underline{
\mathsf {a}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf {a}}
\colon \underline{
\mathsf {a}}
+ 
0
= 
0
\vdash 
S5
\gg \underline{
\mathsf {a}}
+ 
0
= \underline{
\mathsf {a}}
; 
S1
\rhd \underline{
\mathsf {a}}
+ 
0
= \underline{
\mathsf {a}}
\rhd \underline{
\mathsf {a}}
+ 
0
= 
0
\gg \underline{
\mathsf {a}}
= 
0
; 
Prop\ 3.2a
\gg 
0
= 
0
; 
Con
\rhd \underline{
\mathsf {a}}
= 
0
\rhd 
0
= 
0
\gg 
{\neg }\underline{
\mathsf {a}}
= 
0
\Rightarrow 
{\neg }
0
= 
0
; 
Ded
\rhd 
\forall \underline{
\mathsf {a}}
\colon \underline{
\mathsf {a}}
+ 
0
= 
0
\vdash 
{\neg }\underline{
\mathsf {a}}
= 
0
\Rightarrow 
{\neg }
0
= 
0
\gg \underline{
\mathsf {a}}
+ 
0
= 
0
\Rightarrow 
{\neg }\underline{
\mathsf {a}}
= 
0
\Rightarrow 
{\neg }
0
= 
0
\rceil 
, 
p_0
, 
\mathsf {c}
)
]$

$\rm
[
Prop\ 3.5d_1
\stackrel{
stmt
}{\rightarrow}
S
\vdash 
\forall \underline{
\mathsf {a}}
\colon \underline{
\mathsf {a}}
+ 
0
= 
0
\Rightarrow 
{\neg }\underline{
\mathsf {a}}
= 
0
\Rightarrow 
{\neg }
0
= 
0
]$

$\rm
[
Prop\ 3.5d_1
\stackrel{
\mathrm{tex}
}{\rightarrow}
\mbox{``}
\newline Prop
\mbox {$\backslash $}
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}3.5d
\_1
\mbox{''}
]$

$\rm
[
Prop\ 3.5d_1
\stackrel{
\mathrm{pyk}
}{\rightarrow}
\mbox{``}prop
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}three
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}five
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}d
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}one
\mbox{''}
]$

\hypertarget {url:1808490450776494469886199066475724407610946851235271335976337380875467521:77}{}\section* {$\rm 
Prop\ 3.5d_2$}

$\rm
[
Prop\ 3.5d_2
\stackrel{
proof
}{\rightarrow}
\lambda 
\mathsf {c}
.
\lambda 
\mathsf{x}
.
{\cal P}( 
\lceil 
S
\vdash 
\forall \underline{
\mathsf {a}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf {b}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf {a}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf {b}}
\colon \underline{
\mathsf {a}}
+ \underline{
\mathsf {b}}
= 
0
\Rightarrow 
{\neg }\underline{
\mathsf {a}}
= 
0
\Rightarrow 
{\neg }\underline{
\mathsf {b}}
= 
0
\vdash 
\forall \underline{
\mathsf {a}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf {b}}
\colon \underline{
\mathsf {a}}
+ \underline{
\mathsf {b}}
{}'
= 
0
\vdash 
S3
\gg 
{\neg }
0
= \underline{
\mathsf {a}}
+ \underline{
\mathsf {b}}
{}'
; 
Prop 3.2b'
\gg \underline{
\mathsf {a}}
+ \underline{
\mathsf {b}}
{}'
= 
0
\Rightarrow 
0
= \underline{
\mathsf {a}}
+ \underline{
\mathsf {b}}
{}'
; 
Lem 1.11e
\gg \underline{
\mathsf {a}}
+ \underline{
\mathsf {b}}
{}'
= 
0
\Rightarrow 
0
= \underline{
\mathsf {a}}
+ \underline{
\mathsf {b}}
{}'
\Rightarrow 
{\neg }
0
= \underline{
\mathsf {a}}
+ \underline{
\mathsf {b}}
{}'
\Rightarrow 
{\neg }\underline{
\mathsf {a}}
+ \underline{
\mathsf {b}}
{}'
= 
0
; 
MP
\rhd \underline{
\mathsf {a}}
+ \underline{
\mathsf {b}}
{}'
= 
0
\Rightarrow 
0
= \underline{
\mathsf {a}}
+ \underline{
\mathsf {b}}
{}'
\Rightarrow 
{\neg }
0
= \underline{
\mathsf {a}}
+ \underline{
\mathsf {b}}
{}'
\Rightarrow 
{\neg }\underline{
\mathsf {a}}
+ \underline{
\mathsf {b}}
{}'
= 
0
\rhd \underline{
\mathsf {a}}
+ \underline{
\mathsf {b}}
{}'
= 
0
\Rightarrow 
0
= \underline{
\mathsf {a}}
+ \underline{
\mathsf {b}}
{}'
\gg 
{\neg }
0
= \underline{
\mathsf {a}}
+ \underline{
\mathsf {b}}
{}'
\Rightarrow 
{\neg }\underline{
\mathsf {a}}
+ \underline{
\mathsf {b}}
{}'
= 
0
; 
MP
\rhd 
{\neg }
0
= \underline{
\mathsf {a}}
+ \underline{
\mathsf {b}}
{}'
\Rightarrow 
{\neg }\underline{
\mathsf {a}}
+ \underline{
\mathsf {b}}
{}'
= 
0
\rhd 
{\neg }
0
= \underline{
\mathsf {a}}
+ \underline{
\mathsf {b}}
{}'
\gg 
{\neg }\underline{
\mathsf {a}}
+ \underline{
\mathsf {b}}
{}'
= 
0
; 
S6
\gg \underline{
\mathsf {a}}
+ \underline{
\mathsf {b}}
{}'
= \underline{
\mathsf {a}}
+ \underline{
\mathsf {b}}
{}'
; 
S1''
\gg \underline{
\mathsf {a}}
+ \underline{
\mathsf {b}}
{}'
= \underline{
\mathsf {a}}
+ \underline{
\mathsf {b}}
{}'
\Rightarrow \underline{
\mathsf {a}}
+ \underline{
\mathsf {b}}
{}'
= 
0
\Rightarrow \underline{
\mathsf {a}}
+ \underline{
\mathsf {b}}
{}'
= 
0
; 
H3
\rhd \underline{
\mathsf {a}}
+ \underline{
\mathsf {b}}
{}'
= \underline{
\mathsf {a}}
+ \underline{
\mathsf {b}}
{}'
\Rightarrow \underline{
\mathsf {a}}
+ \underline{
\mathsf {b}}
{}'
= 
0
\Rightarrow \underline{
\mathsf {a}}
+ \underline{
\mathsf {b}}
{}'
= 
0
\rhd \underline{
\mathsf {a}}
+ \underline{
\mathsf {b}}
{}'
= \underline{
\mathsf {a}}
+ \underline{
\mathsf {b}}
{}'
\rhd 
{\neg }\underline{
\mathsf {a}}
+ \underline{
\mathsf {b}}
{}'
= 
0
\gg 
{\neg }\underline{
\mathsf {a}}
+ \underline{
\mathsf {b}}
{}'
= 
0
; 
Lem 1.11c
\gg 
{\neg }\underline{
\mathsf {a}}
+ \underline{
\mathsf {b}}
{}'
= 
0
\Rightarrow \underline{
\mathsf {a}}
+ \underline{
\mathsf {b}}
{}'
= 
0
\Rightarrow 
{\neg }\underline{
\mathsf {a}}
= 
0
\Rightarrow 
{\neg }\underline{
\mathsf {b}}
{}'
= 
0
; 
MP
\rhd 
{\neg }\underline{
\mathsf {a}}
+ \underline{
\mathsf {b}}
{}'
= 
0
\Rightarrow \underline{
\mathsf {a}}
+ \underline{
\mathsf {b}}
{}'
= 
0
\Rightarrow 
{\neg }\underline{
\mathsf {a}}
= 
0
\Rightarrow 
{\neg }\underline{
\mathsf {b}}
{}'
= 
0
\rhd 
{\neg }\underline{
\mathsf {a}}
+ \underline{
\mathsf {b}}
{}'
= 
0
\gg \underline{
\mathsf {a}}
+ \underline{
\mathsf {b}}
{}'
= 
0
\Rightarrow 
{\neg }\underline{
\mathsf {a}}
= 
0
\Rightarrow 
{\neg }\underline{
\mathsf {b}}
{}'
= 
0
; 
MP
\rhd \underline{
\mathsf {a}}
+ \underline{
\mathsf {b}}
{}'
= 
0
\Rightarrow 
{\neg }\underline{
\mathsf {a}}
= 
0
\Rightarrow 
{\neg }\underline{
\mathsf {b}}
{}'
= 
0
\rhd \underline{
\mathsf {a}}
+ \underline{
\mathsf {b}}
{}'
= 
0
\gg 
{\neg }\underline{
\mathsf {a}}
= 
0
\Rightarrow 
{\neg }\underline{
\mathsf {b}}
{}'
= 
0
; 
Ded
\rhd 
\forall \underline{
\mathsf {a}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf {b}}
\colon \underline{
\mathsf {a}}
+ \underline{
\mathsf {b}}
{}'
= 
0
\vdash 
{\neg }\underline{
\mathsf {a}}
= 
0
\Rightarrow 
{\neg }\underline{
\mathsf {b}}
{}'
= 
0
\gg \underline{
\mathsf {a}}
+ \underline{
\mathsf {b}}
{}'
= 
0
\Rightarrow 
{\neg }\underline{
\mathsf {a}}
= 
0
\Rightarrow 
{\neg }\underline{
\mathsf {b}}
{}'
= 
0
; 
Ded
\rhd 
\forall \underline{
\mathsf {a}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf {b}}
\colon \underline{
\mathsf {a}}
+ \underline{
\mathsf {b}}
= 
0
\Rightarrow 
{\neg }\underline{
\mathsf {a}}
= 
0
\Rightarrow 
{\neg }\underline{
\mathsf {b}}
= 
0
\vdash \underline{
\mathsf {a}}
+ \underline{
\mathsf {b}}
{}'
= 
0
\Rightarrow 
{\neg }\underline{
\mathsf {a}}
= 
0
\Rightarrow 
{\neg }\underline{
\mathsf {b}}
{}'
= 
0
\gg \underline{
\mathsf {a}}
+ \underline{
\mathsf {b}}
= 
0
\Rightarrow 
{\neg }\underline{
\mathsf {a}}
= 
0
\Rightarrow 
{\neg }\underline{
\mathsf {b}}
= 
0
\Rightarrow \underline{
\mathsf {a}}
+ \underline{
\mathsf {b}}
{}'
= 
0
\Rightarrow 
{\neg }\underline{
\mathsf {a}}
= 
0
\Rightarrow 
{\neg }\underline{
\mathsf {b}}
{}'
= 
0
\rceil 
, 
p_0
, 
\mathsf {c}
)
]$

$\rm
[
Prop\ 3.5d_2
\stackrel{
stmt
}{\rightarrow}
S
\vdash 
\forall \underline{
\mathsf {a}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf {b}}
\colon \underline{
\mathsf {a}}
+ \underline{
\mathsf {b}}
= 
0
\Rightarrow 
{\neg }\underline{
\mathsf {a}}
= 
0
\Rightarrow 
{\neg }\underline{
\mathsf {b}}
= 
0
\Rightarrow \underline{
\mathsf {a}}
+ \underline{
\mathsf {b}}
{}'
= 
0
\Rightarrow 
{\neg }\underline{
\mathsf {a}}
= 
0
\Rightarrow 
{\neg }\underline{
\mathsf {b}}
{}'
= 
0
]$

$\rm
[
Prop\ 3.5d_2
\stackrel{
\mathrm{tex}
}{\rightarrow}
\mbox{``}
\newline Prop
\mbox {$\backslash $}
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}3.5d
\_2
\mbox{''}
]$

$\rm
[
Prop\ 3.5d_2
\stackrel{
\mathrm{pyk}
}{\rightarrow}
\mbox{``}prop
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}three
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}five
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}d
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}two
\mbox{''}
]$

\hypertarget {url:1808490450776494469886199066475724407610946851235271335976337380875467521:78}{}\section* {$\rm 
Prop\ 3.5d$}

$\rm
[
Prop\ 3.5d
\stackrel{
proof
}{\rightarrow}
\lambda 
\mathsf {c}
.
\lambda 
\mathsf{x}
.
{\cal P}( 
\lceil 
S
\vdash 
\forall \underline{
\mathsf {a}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf {b}}
\colon 
Prop\ 3.5d_1
\gg \overline{
\mathsf{x}}
+ 
0
= 
0
\Rightarrow 
{\neg }\overline{
\mathsf{x}}
= 
0
\Rightarrow 
{\neg }
0
= 
0
; 
Prop\ 3.5d_2
\gg \overline{
\mathsf{x}}
+ \overline{
\mathsf{y}}
= 
0
\Rightarrow 
{\neg }\overline{
\mathsf{x}}
= 
0
\Rightarrow 
{\neg }\overline{
\mathsf{y}}
= 
0
\Rightarrow \overline{
\mathsf{x}}
+ \overline{
\mathsf{y}}
{}'
= 
0
\Rightarrow 
{\neg }\overline{
\mathsf{x}}
= 
0
\Rightarrow 
{\neg }\overline{
\mathsf{y}}
{}'
= 
0
; 
S9
\mathop {\char64} \overline{
\mathsf{y}}
\rhd \overline{
\mathsf{x}}
+ 
0
= 
0
\Rightarrow 
{\neg }\overline{
\mathsf{x}}
= 
0
\Rightarrow 
{\neg }
0
= 
0
\rhd \overline{
\mathsf{x}}
+ \overline{
\mathsf{y}}
= 
0
\Rightarrow 
{\neg }\overline{
\mathsf{x}}
= 
0
\Rightarrow 
{\neg }\overline{
\mathsf{y}}
= 
0
\Rightarrow \overline{
\mathsf{x}}
+ \overline{
\mathsf{y}}
{}'
= 
0
\Rightarrow 
{\neg }\overline{
\mathsf{x}}
= 
0
\Rightarrow 
{\neg }\overline{
\mathsf{y}}
{}'
= 
0
\gg \overline{
\mathsf{x}}
+ \overline{
\mathsf{y}}
= 
0
\Rightarrow 
{\neg }\overline{
\mathsf{x}}
= 
0
\Rightarrow 
{\neg }\overline{
\mathsf{y}}
= 
0
; 
Ded
\rhd \overline{
\mathsf{x}}
+ \overline{
\mathsf{y}}
= 
0
\Rightarrow 
{\neg }\overline{
\mathsf{x}}
= 
0
\Rightarrow 
{\neg }\overline{
\mathsf{y}}
= 
0
\gg \underline{
\mathsf {a}}
+ \underline{
\mathsf {b}}
= 
0
\Rightarrow 
{\neg }\underline{
\mathsf {a}}
= 
0
\Rightarrow 
{\neg }\underline{
\mathsf {b}}
= 
0
\rceil 
, 
p_0
, 
\mathsf {c}
)
]$

$\rm
[
Prop\ 3.5d
\stackrel{
stmt
}{\rightarrow}
S
\vdash 
\forall \underline{
\mathsf {a}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf {b}}
\colon \underline{
\mathsf {a}}
+ \underline{
\mathsf {b}}
= 
0
\Rightarrow 
{\neg }\underline{
\mathsf {a}}
= 
0
\Rightarrow 
{\neg }\underline{
\mathsf {b}}
= 
0
]$

$\rm
[
Prop\ 3.5d
\stackrel{
\mathrm{tex}
}{\rightarrow}
\mbox{``}
\newline Prop
\mbox {$\backslash $}
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}3.5d
\mbox{''}
]$

$\rm
[
Prop\ 3.5d
\stackrel{
\mathrm{pyk}
}{\rightarrow}
\mbox{``}prop
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}three
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}five
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}d
\mbox{''}
]$

\hypertarget {url:1808490450776494469886199066475724407610946851235271335976337380875467521:79}{}\section* {$\rm 
Prop\ 3.5e_1$}

$\rm
[
Prop\ 3.5e_1
\stackrel{
proof
}{\rightarrow}
\lambda 
\mathsf {c}
.
\lambda 
\mathsf{x}
.
{\cal P}( 
\lceil 
S
\vdash 
\forall \underline{
\mathsf {a}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf {a}}
\colon 
{\neg }
0
= 
0
\vdash 
Prop\ 3.2a
\gg 
0
= 
0
; 
Lem 1.11c
\gg 
{\neg }
0
= 
0
\Rightarrow 
0
= 
0
\Rightarrow \underline{
\mathsf {a}}
\cdot 
0
= 
0
\Rightarrow \underline{
\mathsf {a}}
= 
0
; 
MP
\rhd 
{\neg }
0
= 
0
\Rightarrow 
0
= 
0
\Rightarrow \underline{
\mathsf {a}}
\cdot 
0
= 
0
\Rightarrow \underline{
\mathsf {a}}
= 
0
\rhd 
{\neg }
0
= 
0
\gg 
0
= 
0
\Rightarrow \underline{
\mathsf {a}}
\cdot 
0
= 
0
\Rightarrow \underline{
\mathsf {a}}
= 
0
; 
MP
\rhd 
0
= 
0
\Rightarrow \underline{
\mathsf {a}}
\cdot 
0
= 
0
\Rightarrow \underline{
\mathsf {a}}
= 
0
\rhd 
0
= 
0
\gg \underline{
\mathsf {a}}
\cdot 
0
= 
0
\Rightarrow \underline{
\mathsf {a}}
= 
0
; 
Ded
\rhd 
\forall \underline{
\mathsf {a}}
\colon 
{\neg }
0
= 
0
\vdash \underline{
\mathsf {a}}
\cdot 
0
= 
0
\Rightarrow \underline{
\mathsf {a}}
= 
0
\gg 
{\neg }
0
= 
0
\Rightarrow \underline{
\mathsf {a}}
\cdot 
0
= 
0
\Rightarrow \underline{
\mathsf {a}}
= 
0
\rceil 
, 
p_0
, 
\mathsf {c}
)
]$

$\rm
[
Prop\ 3.5e_1
\stackrel{
stmt
}{\rightarrow}
S
\vdash 
\forall \underline{
\mathsf {a}}
\colon 
{\neg }
0
= 
0
\Rightarrow \underline{
\mathsf {a}}
\cdot 
0
= 
0
\Rightarrow \underline{
\mathsf {a}}
= 
0
]$

$\rm
[
Prop\ 3.5e_1
\stackrel{
\mathrm{tex}
}{\rightarrow}
\mbox{``}
\newline Prop
\mbox {$\backslash $}
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}3.5e
\_1
\mbox{''}
]$

$\rm
[
Prop\ 3.5e_1
\stackrel{
\mathrm{pyk}
}{\rightarrow}
\mbox{``}prop
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}three
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}five
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}e
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}one
\mbox{''}
]$

\hypertarget {url:1808490450776494469886199066475724407610946851235271335976337380875467521:80}{}\section* {$\rm 
Prop\ 3.5e_2$}

$\rm
[
Prop\ 3.5e_2
\stackrel{
proof
}{\rightarrow}
\lambda 
\mathsf {c}
.
\lambda 
\mathsf{x}
.
{\cal P}( 
\lceil 
S
\vdash 
\forall \underline{
\mathsf {a}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf {b}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf {a}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf {b}}
\colon 
{\neg }\underline{
\mathsf {b}}
= 
0
\Rightarrow \underline{
\mathsf {a}}
\cdot \underline{
\mathsf {b}}
= 
0
\Rightarrow \underline{
\mathsf {a}}
= 
0
\vdash 
\forall \underline{
\mathsf {a}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf {b}}
\colon 
{\neg }\underline{
\mathsf {b}}
{}'
= 
0
\vdash 
\forall \underline{
\mathsf {a}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf {b}}
\colon \underline{
\mathsf {a}}
\cdot \underline{
\mathsf {b}}
{}'
= 
0
\vdash 
S8
\gg \underline{
\mathsf {a}}
\cdot \underline{
\mathsf {b}}
{}'
= \underline{
\mathsf {a}}
\cdot \underline{
\mathsf {b}}
+ \underline{
\mathsf {a}}
; 
S1
\rhd \underline{
\mathsf {a}}
\cdot \underline{
\mathsf {b}}
{}'
= \underline{
\mathsf {a}}
\cdot \underline{
\mathsf {b}}
+ \underline{
\mathsf {a}}
\rhd \underline{
\mathsf {a}}
\cdot \underline{
\mathsf {b}}
{}'
= 
0
\gg \underline{
\mathsf {a}}
\cdot \underline{
\mathsf {b}}
+ \underline{
\mathsf {a}}
= 
0
; 
Prop\ 3.5d
\gg \underline{
\mathsf {a}}
\cdot \underline{
\mathsf {b}}
+ \underline{
\mathsf {a}}
= 
0
\Rightarrow 
{\neg }\underline{
\mathsf {a}}
\cdot \underline{
\mathsf {b}}
= 
0
\Rightarrow 
{\neg }\underline{
\mathsf {a}}
= 
0
; 
MP
\rhd \underline{
\mathsf {a}}
\cdot \underline{
\mathsf {b}}
+ \underline{
\mathsf {a}}
= 
0
\Rightarrow 
{\neg }\underline{
\mathsf {a}}
\cdot \underline{
\mathsf {b}}
= 
0
\Rightarrow 
{\neg }\underline{
\mathsf {a}}
= 
0
\rhd \underline{
\mathsf {a}}
\cdot \underline{
\mathsf {b}}
+ \underline{
\mathsf {a}}
= 
0
\gg 
{\neg }\underline{
\mathsf {a}}
\cdot \underline{
\mathsf {b}}
= 
0
\Rightarrow 
{\neg }\underline{
\mathsf {a}}
= 
0
; 
Con2
\rhd 
{\neg }\underline{
\mathsf {a}}
\cdot \underline{
\mathsf {b}}
= 
0
\Rightarrow 
{\neg }\underline{
\mathsf {a}}
= 
0
\gg \underline{
\mathsf {a}}
= 
0
; 
Ded
\rhd 
\forall \underline{
\mathsf {a}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf {b}}
\colon \underline{
\mathsf {a}}
\cdot \underline{
\mathsf {b}}
{}'
= 
0
\vdash \underline{
\mathsf {a}}
= 
0
\gg \underline{
\mathsf {a}}
\cdot \underline{
\mathsf {b}}
{}'
= 
0
\Rightarrow \underline{
\mathsf {a}}
= 
0
; 
Ded
\rhd 
\forall \underline{
\mathsf {a}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf {b}}
\colon 
{\neg }\underline{
\mathsf {b}}
{}'
= 
0
\vdash \underline{
\mathsf {a}}
\cdot \underline{
\mathsf {b}}
{}'
= 
0
\Rightarrow \underline{
\mathsf {a}}
= 
0
\gg 
{\neg }\underline{
\mathsf {b}}
{}'
= 
0
\Rightarrow \underline{
\mathsf {a}}
\cdot \underline{
\mathsf {b}}
{}'
= 
0
\Rightarrow \underline{
\mathsf {a}}
= 
0
; 
Ded
\rhd 
\forall \underline{
\mathsf {a}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf {b}}
\colon 
{\neg }\underline{
\mathsf {b}}
= 
0
\Rightarrow \underline{
\mathsf {a}}
\cdot \underline{
\mathsf {b}}
= 
0
\Rightarrow \underline{
\mathsf {a}}
= 
0
\vdash 
{\neg }\underline{
\mathsf {b}}
{}'
= 
0
\Rightarrow \underline{
\mathsf {a}}
\cdot \underline{
\mathsf {b}}
{}'
= 
0
\Rightarrow \underline{
\mathsf {a}}
= 
0
\gg 
{\neg }\underline{
\mathsf {b}}
= 
0
\Rightarrow \underline{
\mathsf {a}}
\cdot \underline{
\mathsf {b}}
= 
0
\Rightarrow \underline{
\mathsf {a}}
= 
0
\Rightarrow 
{\neg }\underline{
\mathsf {b}}
{}'
= 
0
\Rightarrow \underline{
\mathsf {a}}
\cdot \underline{
\mathsf {b}}
{}'
= 
0
\Rightarrow \underline{
\mathsf {a}}
= 
0
\rceil 
, 
p_0
, 
\mathsf {c}
)
]$

$\rm
[
Prop\ 3.5e_2
\stackrel{
stmt
}{\rightarrow}
S
\vdash 
\forall \underline{
\mathsf {a}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf {b}}
\colon 
{\neg }\underline{
\mathsf {b}}
= 
0
\Rightarrow \underline{
\mathsf {a}}
\cdot \underline{
\mathsf {b}}
= 
0
\Rightarrow \underline{
\mathsf {a}}
= 
0
\Rightarrow 
{\neg }\underline{
\mathsf {b}}
{}'
= 
0
\Rightarrow \underline{
\mathsf {a}}
\cdot \underline{
\mathsf {b}}
{}'
= 
0
\Rightarrow \underline{
\mathsf {a}}
= 
0
]$

$\rm
[
Prop\ 3.5e_2
\stackrel{
\mathrm{tex}
}{\rightarrow}
\mbox{``}
\newline Prop
\mbox {$\backslash $}
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}3.5e
\_2
\mbox{''}
]$

$\rm
[
Prop\ 3.5e_2
\stackrel{
\mathrm{pyk}
}{\rightarrow}
\mbox{``}prop
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}three
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}five
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}e
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}two
\mbox{''}
]$

\hypertarget {url:1808490450776494469886199066475724407610946851235271335976337380875467521:81}{}\section* {$\rm 
Prop\ 3.5e$}

$\rm
[
Prop\ 3.5e
\stackrel{
proof
}{\rightarrow}
\lambda 
\mathsf {c}
.
\lambda 
\mathsf{x}
.
{\cal P}( 
\lceil 
S
\vdash 
\forall \underline{
\mathsf {a}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf {b}}
\colon 
Prop\ 3.5e_1
\gg 
{\neg }
0
= 
0
\Rightarrow \overline{
\mathsf{x}}
\cdot 
0
= 
0
\Rightarrow \overline{
\mathsf{x}}
= 
0
; 
Prop\ 3.5e_2
\gg 
{\neg }\overline{
\mathsf{y}}
= 
0
\Rightarrow \overline{
\mathsf{x}}
\cdot \overline{
\mathsf{y}}
= 
0
\Rightarrow \overline{
\mathsf{x}}
= 
0
\Rightarrow 
{\neg }\overline{
\mathsf{y}}
{}'
= 
0
\Rightarrow \overline{
\mathsf{x}}
\cdot \overline{
\mathsf{y}}
{}'
= 
0
\Rightarrow \overline{
\mathsf{x}}
= 
0
; 
S9
\mathop {\char64} \overline{
\mathsf{y}}
\rhd 
{\neg }
0
= 
0
\Rightarrow \overline{
\mathsf{x}}
\cdot 
0
= 
0
\Rightarrow \overline{
\mathsf{x}}
= 
0
\rhd 
{\neg }\overline{
\mathsf{y}}
= 
0
\Rightarrow \overline{
\mathsf{x}}
\cdot \overline{
\mathsf{y}}
= 
0
\Rightarrow \overline{
\mathsf{x}}
= 
0
\Rightarrow 
{\neg }\overline{
\mathsf{y}}
{}'
= 
0
\Rightarrow \overline{
\mathsf{x}}
\cdot \overline{
\mathsf{y}}
{}'
= 
0
\Rightarrow \overline{
\mathsf{x}}
= 
0
\gg 
{\neg }\overline{
\mathsf{y}}
= 
0
\Rightarrow \overline{
\mathsf{x}}
\cdot \overline{
\mathsf{y}}
= 
0
\Rightarrow \overline{
\mathsf{x}}
= 
0
; 
Ded
\rhd 
{\neg }\overline{
\mathsf{y}}
= 
0
\Rightarrow \overline{
\mathsf{x}}
\cdot \overline{
\mathsf{y}}
= 
0
\Rightarrow \overline{
\mathsf{x}}
= 
0
\gg 
{\neg }\underline{
\mathsf {b}}
= 
0
\Rightarrow \underline{
\mathsf {a}}
\cdot \underline{
\mathsf {b}}
= 
0
\Rightarrow \underline{
\mathsf {a}}
= 
0
\rceil 
, 
p_0
, 
\mathsf {c}
)
]$

$\rm
[
Prop\ 3.5e
\stackrel{
stmt
}{\rightarrow}
S
\vdash 
\forall \underline{
\mathsf {a}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf {b}}
\colon 
{\neg }\underline{
\mathsf {b}}
= 
0
\Rightarrow \underline{
\mathsf {a}}
\cdot \underline{
\mathsf {b}}
= 
0
\Rightarrow \underline{
\mathsf {a}}
= 
0
]$

$\rm
[
Prop\ 3.5e
\stackrel{
\mathrm{tex}
}{\rightarrow}
\mbox{``}
\newline Prop
\mbox {$\backslash $}
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}3.5e
\mbox{''}
]$

$\rm
[
Prop\ 3.5e
\stackrel{
\mathrm{pyk}
}{\rightarrow}
\mbox{``}prop
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}three
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}five
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}e
\mbox{''}
]$

\hypertarget {url:1808490450776494469886199066475724407610946851235271335976337380875467521:82}{}\section* {$\rm 
Prop\ 3.5f_1$}

$\rm
[
Prop\ 3.5f_1
\stackrel{
proof
}{\rightarrow}
\lambda 
\mathsf {c}
.
\lambda 
\mathsf{x}
.
{\cal P}( 
\lceil 
S
\vdash 
\forall \underline{
\mathsf {a}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf {a}}
\colon \underline{
\mathsf {a}}
+ 
0
= 
0
{}'
\vdash 
S5
\gg \underline{
\mathsf {a}}
+ 
0
= \underline{
\mathsf {a}}
; 
S1
\rhd \underline{
\mathsf {a}}
+ 
0
= \underline{
\mathsf {a}}
\rhd \underline{
\mathsf {a}}
+ 
0
= 
0
{}'
\gg \underline{
\mathsf {a}}
= 
0
{}'
; 
Prop\ 3.2a
\gg 
0
= 
0
; 
Con
\rhd \underline{
\mathsf {a}}
= 
0
{}'
\rhd 
0
= 
0
\gg 
{\neg }\underline{
\mathsf {a}}
= 
0
{}'
\Rightarrow 
{\neg }
0
= 
0
; 
Dis2
\rhd 
{\neg }\underline{
\mathsf {a}}
= 
0
{}'
\Rightarrow 
{\neg }
0
= 
0
\gg 
{\neg }
{\neg }\underline{
\mathsf {a}}
= 
0
\Rightarrow 
{\neg }
0
= 
0
{}'
\Rightarrow 
{\neg }\underline{
\mathsf {a}}
= 
0
{}'
\Rightarrow 
{\neg }
0
= 
0
; 
Ded
\rhd 
\forall \underline{
\mathsf {a}}
\colon \underline{
\mathsf {a}}
+ 
0
= 
0
{}'
\vdash 
{\neg }
{\neg }\underline{
\mathsf {a}}
= 
0
\Rightarrow 
{\neg }
0
= 
0
{}'
\Rightarrow 
{\neg }\underline{
\mathsf {a}}
= 
0
{}'
\Rightarrow 
{\neg }
0
= 
0
\gg \underline{
\mathsf {a}}
+ 
0
= 
0
{}'
\Rightarrow 
{\neg }
{\neg }\underline{
\mathsf {a}}
= 
0
\Rightarrow 
{\neg }
0
= 
0
{}'
\Rightarrow 
{\neg }\underline{
\mathsf {a}}
= 
0
{}'
\Rightarrow 
{\neg }
0
= 
0
\rceil 
, 
p_0
, 
\mathsf {c}
)
]$

$\rm
[
Prop\ 3.5f_1
\stackrel{
stmt
}{\rightarrow}
S
\vdash 
\forall \underline{
\mathsf {a}}
\colon \underline{
\mathsf {a}}
+ 
0
= 
0
{}'
\Rightarrow 
{\neg }
{\neg }\underline{
\mathsf {a}}
= 
0
\Rightarrow 
{\neg }
0
= 
0
{}'
\Rightarrow 
{\neg }\underline{
\mathsf {a}}
= 
0
{}'
\Rightarrow 
{\neg }
0
= 
0
]$

$\rm
[
Prop\ 3.5f_1
\stackrel{
\mathrm{tex}
}{\rightarrow}
\mbox{``}
\newline Prop
\mbox {$\backslash $}
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}3.5f
\_1
\mbox{''}
]$

$\rm
[
Prop\ 3.5f_1
\stackrel{
\mathrm{pyk}
}{\rightarrow}
\mbox{``}prop
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}three
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}five
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}f
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}one
\mbox{''}
]$

\hypertarget {url:1808490450776494469886199066475724407610946851235271335976337380875467521:83}{}\section* {$\rm 
Prop\ 3.5f_2$}

$\rm
[
Prop\ 3.5f_2
\stackrel{
proof
}{\rightarrow}
\lambda 
\mathsf {c}
.
\lambda 
\mathsf{x}
.
{\cal P}( 
\lceil 
S
\vdash 
\forall \underline{
\mathsf {a}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf {b}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf {a}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf {b}}
\colon \underline{
\mathsf {a}}
+ \underline{
\mathsf {b}}
= 
0
{}'
\Rightarrow 
{\neg }
{\neg }\underline{
\mathsf {a}}
= 
0
\Rightarrow 
{\neg }\underline{
\mathsf {b}}
= 
0
{}'
\Rightarrow 
{\neg }\underline{
\mathsf {a}}
= 
0
{}'
\Rightarrow 
{\neg }\underline{
\mathsf {b}}
= 
0
\vdash 
\forall \underline{
\mathsf {a}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf {b}}
\colon \underline{
\mathsf {a}}
+ \underline{
\mathsf {b}}
{}'
= 
0
{}'
\vdash 
S6
\gg \underline{
\mathsf {a}}
+ \underline{
\mathsf {b}}
{}'
= \underline{
\mathsf {a}}
+ \underline{
\mathsf {b}}
{}'
; 
S1
\rhd \underline{
\mathsf {a}}
+ \underline{
\mathsf {b}}
{}'
= \underline{
\mathsf {a}}
+ \underline{
\mathsf {b}}
{}'
\rhd \underline{
\mathsf {a}}
+ \underline{
\mathsf {b}}
{}'
= 
0
{}'
\gg \underline{
\mathsf {a}}
+ \underline{
\mathsf {b}}
{}'
= 
0
{}'
; 
S4
\rhd \underline{
\mathsf {a}}
+ \underline{
\mathsf {b}}
{}'
= 
0
{}'
\gg \underline{
\mathsf {a}}
+ \underline{
\mathsf {b}}
= 
0
; 
Prop\ 3.5d
\gg \underline{
\mathsf {a}}
+ \underline{
\mathsf {b}}
= 
0
\Rightarrow 
{\neg }\underline{
\mathsf {a}}
= 
0
\Rightarrow 
{\neg }\underline{
\mathsf {b}}
= 
0
; 
MP
\rhd \underline{
\mathsf {a}}
+ \underline{
\mathsf {b}}
= 
0
\Rightarrow 
{\neg }\underline{
\mathsf {a}}
= 
0
\Rightarrow 
{\neg }\underline{
\mathsf {b}}
= 
0
\rhd \underline{
\mathsf {a}}
+ \underline{
\mathsf {b}}
= 
0
\gg 
{\neg }\underline{
\mathsf {a}}
= 
0
\Rightarrow 
{\neg }\underline{
\mathsf {b}}
= 
0
; 
Con1
\rhd 
{\neg }\underline{
\mathsf {a}}
= 
0
\Rightarrow 
{\neg }\underline{
\mathsf {b}}
= 
0
\gg \underline{
\mathsf {a}}
= 
0
; 
Con2
\rhd 
{\neg }\underline{
\mathsf {a}}
= 
0
\Rightarrow 
{\neg }\underline{
\mathsf {b}}
= 
0
\gg \underline{
\mathsf {b}}
= 
0
; 
S2
\rhd \underline{
\mathsf {b}}
= 
0
\gg \underline{
\mathsf {b}}
{}'
= 
0
{}'
; 
Con
\rhd \underline{
\mathsf {a}}
= 
0
\rhd \underline{
\mathsf {b}}
{}'
= 
0
{}'
\gg 
{\neg }\underline{
\mathsf {a}}
= 
0
\Rightarrow 
{\neg }\underline{
\mathsf {b}}
{}'
= 
0
{}'
; 
Dis1
\rhd 
{\neg }\underline{
\mathsf {a}}
= 
0
\Rightarrow 
{\neg }\underline{
\mathsf {b}}
{}'
= 
0
{}'
\gg 
{\neg }
{\neg }\underline{
\mathsf {a}}
= 
0
\Rightarrow 
{\neg }\underline{
\mathsf {b}}
{}'
= 
0
{}'
\Rightarrow 
{\neg }\underline{
\mathsf {a}}
= 
0
{}'
\Rightarrow 
{\neg }\underline{
\mathsf {b}}
{}'
= 
0
; 
Ded
\rhd 
\forall \underline{
\mathsf {a}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf {b}}
\colon \underline{
\mathsf {a}}
+ \underline{
\mathsf {b}}
{}'
= 
0
{}'
\vdash 
{\neg }
{\neg }\underline{
\mathsf {a}}
= 
0
\Rightarrow 
{\neg }\underline{
\mathsf {b}}
{}'
= 
0
{}'
\Rightarrow 
{\neg }\underline{
\mathsf {a}}
= 
0
{}'
\Rightarrow 
{\neg }\underline{
\mathsf {b}}
{}'
= 
0
\gg \underline{
\mathsf {a}}
+ \underline{
\mathsf {b}}
{}'
= 
0
{}'
\Rightarrow 
{\neg }
{\neg }\underline{
\mathsf {a}}
= 
0
\Rightarrow 
{\neg }\underline{
\mathsf {b}}
{}'
= 
0
{}'
\Rightarrow 
{\neg }\underline{
\mathsf {a}}
= 
0
{}'
\Rightarrow 
{\neg }\underline{
\mathsf {b}}
{}'
= 
0
; 
Ded
\rhd 
\forall \underline{
\mathsf {a}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf {b}}
\colon \underline{
\mathsf {a}}
+ \underline{
\mathsf {b}}
= 
0
{}'
\Rightarrow 
{\neg }
{\neg }\underline{
\mathsf {a}}
= 
0
\Rightarrow 
{\neg }\underline{
\mathsf {b}}
= 
0
{}'
\Rightarrow 
{\neg }\underline{
\mathsf {a}}
= 
0
{}'
\Rightarrow 
{\neg }\underline{
\mathsf {b}}
= 
0
\vdash \underline{
\mathsf {a}}
+ \underline{
\mathsf {b}}
{}'
= 
0
{}'
\Rightarrow 
{\neg }
{\neg }\underline{
\mathsf {a}}
= 
0
\Rightarrow 
{\neg }\underline{
\mathsf {b}}
{}'
= 
0
{}'
\Rightarrow 
{\neg }\underline{
\mathsf {a}}
= 
0
{}'
\Rightarrow 
{\neg }\underline{
\mathsf {b}}
{}'
= 
0
\gg \underline{
\mathsf {a}}
+ \underline{
\mathsf {b}}
= 
0
{}'
\Rightarrow 
{\neg }
{\neg }\underline{
\mathsf {a}}
= 
0
\Rightarrow 
{\neg }\underline{
\mathsf {b}}
= 
0
{}'
\Rightarrow 
{\neg }\underline{
\mathsf {a}}
= 
0
{}'
\Rightarrow 
{\neg }\underline{
\mathsf {b}}
= 
0
\Rightarrow \underline{
\mathsf {a}}
+ \underline{
\mathsf {b}}
{}'
= 
0
{}'
\Rightarrow 
{\neg }
{\neg }\underline{
\mathsf {a}}
= 
0
\Rightarrow 
{\neg }\underline{
\mathsf {b}}
{}'
= 
0
{}'
\Rightarrow 
{\neg }\underline{
\mathsf {a}}
= 
0
{}'
\Rightarrow 
{\neg }\underline{
\mathsf {b}}
{}'
= 
0
\rceil 
, 
p_0
, 
\mathsf {c}
)
]$

$\rm
[
Prop\ 3.5f_2
\stackrel{
stmt
}{\rightarrow}
S
\vdash 
\forall \underline{
\mathsf {a}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf {b}}
\colon \underline{
\mathsf {a}}
+ \underline{
\mathsf {b}}
= 
0
{}'
\Rightarrow 
{\neg }
{\neg }\underline{
\mathsf {a}}
= 
0
\Rightarrow 
{\neg }\underline{
\mathsf {b}}
= 
0
{}'
\Rightarrow 
{\neg }\underline{
\mathsf {a}}
= 
0
{}'
\Rightarrow 
{\neg }\underline{
\mathsf {b}}
= 
0
\Rightarrow \underline{
\mathsf {a}}
+ \underline{
\mathsf {b}}
{}'
= 
0
{}'
\Rightarrow 
{\neg }
{\neg }\underline{
\mathsf {a}}
= 
0
\Rightarrow 
{\neg }\underline{
\mathsf {b}}
{}'
= 
0
{}'
\Rightarrow 
{\neg }\underline{
\mathsf {a}}
= 
0
{}'
\Rightarrow 
{\neg }\underline{
\mathsf {b}}
{}'
= 
0
]$

$\rm
[
Prop\ 3.5f_2
\stackrel{
\mathrm{tex}
}{\rightarrow}
\mbox{``}
\newline Prop
\mbox {$\backslash $}
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}3.5f
\_2
\mbox{''}
]$

$\rm
[
Prop\ 3.5f_2
\stackrel{
\mathrm{pyk}
}{\rightarrow}
\mbox{``}prop
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}three
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}five
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}f
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}two
\mbox{''}
]$

\hypertarget {url:1808490450776494469886199066475724407610946851235271335976337380875467521:84}{}\section* {$\rm 
Prop\ 3.5f$}

$\rm
[
Prop\ 3.5f
\stackrel{
proof
}{\rightarrow}
\lambda 
\mathsf {c}
.
\lambda 
\mathsf{x}
.
{\cal P}( 
\lceil 
S
\vdash 
\forall \underline{
\mathsf {a}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf {b}}
\colon 
Prop\ 3.5f_1
\gg \overline{
\mathsf{x}}
+ 
0
= 
0
{}'
\Rightarrow 
{\neg }
{\neg }\overline{
\mathsf{x}}
= 
0
\Rightarrow 
{\neg }
0
= 
0
{}'
\Rightarrow 
{\neg }\overline{
\mathsf{x}}
= 
0
{}'
\Rightarrow 
{\neg }
0
= 
0
; 
Prop\ 3.5f_2
\gg \overline{
\mathsf{x}}
+ \overline{
\mathsf{y}}
= 
0
{}'
\Rightarrow 
{\neg }
{\neg }\overline{
\mathsf{x}}
= 
0
\Rightarrow 
{\neg }\overline{
\mathsf{y}}
= 
0
{}'
\Rightarrow 
{\neg }\overline{
\mathsf{x}}
= 
0
{}'
\Rightarrow 
{\neg }\overline{
\mathsf{y}}
= 
0
\Rightarrow \overline{
\mathsf{x}}
+ \overline{
\mathsf{y}}
{}'
= 
0
{}'
\Rightarrow 
{\neg }
{\neg }\overline{
\mathsf{x}}
= 
0
\Rightarrow 
{\neg }\overline{
\mathsf{y}}
{}'
= 
0
{}'
\Rightarrow 
{\neg }\overline{
\mathsf{x}}
= 
0
{}'
\Rightarrow 
{\neg }\overline{
\mathsf{y}}
{}'
= 
0
; 
S9
\mathop {\char64} \overline{
\mathsf{y}}
\rhd \overline{
\mathsf{x}}
+ 
0
= 
0
{}'
\Rightarrow 
{\neg }
{\neg }\overline{
\mathsf{x}}
= 
0
\Rightarrow 
{\neg }
0
= 
0
{}'
\Rightarrow 
{\neg }\overline{
\mathsf{x}}
= 
0
{}'
\Rightarrow 
{\neg }
0
= 
0
\rhd \overline{
\mathsf{x}}
+ \overline{
\mathsf{y}}
= 
0
{}'
\Rightarrow 
{\neg }
{\neg }\overline{
\mathsf{x}}
= 
0
\Rightarrow 
{\neg }\overline{
\mathsf{y}}
= 
0
{}'
\Rightarrow 
{\neg }\overline{
\mathsf{x}}
= 
0
{}'
\Rightarrow 
{\neg }\overline{
\mathsf{y}}
= 
0
\Rightarrow \overline{
\mathsf{x}}
+ \overline{
\mathsf{y}}
{}'
= 
0
{}'
\Rightarrow 
{\neg }
{\neg }\overline{
\mathsf{x}}
= 
0
\Rightarrow 
{\neg }\overline{
\mathsf{y}}
{}'
= 
0
{}'
\Rightarrow 
{\neg }\overline{
\mathsf{x}}
= 
0
{}'
\Rightarrow 
{\neg }\overline{
\mathsf{y}}
{}'
= 
0
\gg \overline{
\mathsf{x}}
+ \overline{
\mathsf{y}}
= 
0
{}'
\Rightarrow 
{\neg }
{\neg }\overline{
\mathsf{x}}
= 
0
\Rightarrow 
{\neg }\overline{
\mathsf{y}}
= 
0
{}'
\Rightarrow 
{\neg }\overline{
\mathsf{x}}
= 
0
{}'
\Rightarrow 
{\neg }\overline{
\mathsf{y}}
= 
0
; 
Ded
\rhd \overline{
\mathsf{x}}
+ \overline{
\mathsf{y}}
= 
0
{}'
\Rightarrow 
{\neg }
{\neg }\overline{
\mathsf{x}}
= 
0
\Rightarrow 
{\neg }\overline{
\mathsf{y}}
= 
0
{}'
\Rightarrow 
{\neg }\overline{
\mathsf{x}}
= 
0
{}'
\Rightarrow 
{\neg }\overline{
\mathsf{y}}
= 
0
\gg \underline{
\mathsf {a}}
+ \underline{
\mathsf {b}}
= 
0
{}'
\Rightarrow 
{\neg }
{\neg }\underline{
\mathsf {a}}
= 
0
\Rightarrow 
{\neg }\underline{
\mathsf {b}}
= 
0
{}'
\Rightarrow 
{\neg }\underline{
\mathsf {a}}
= 
0
{}'
\Rightarrow 
{\neg }\underline{
\mathsf {b}}
= 
0
\rceil 
, 
p_0
, 
\mathsf {c}
)
]$

$\rm
[
Prop\ 3.5f
\stackrel{
stmt
}{\rightarrow}
S
\vdash 
\forall \underline{
\mathsf {a}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf {b}}
\colon \underline{
\mathsf {a}}
+ \underline{
\mathsf {b}}
= 
0
{}'
\Rightarrow 
{\neg }
{\neg }\underline{
\mathsf {a}}
= 
0
\Rightarrow 
{\neg }\underline{
\mathsf {b}}
= 
0
{}'
\Rightarrow 
{\neg }\underline{
\mathsf {a}}
= 
0
{}'
\Rightarrow 
{\neg }\underline{
\mathsf {b}}
= 
0
]$

$\rm
[
Prop\ 3.5f
\stackrel{
\mathrm{tex}
}{\rightarrow}
\mbox{``}
\newline Prop
\mbox {$\backslash $}
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}3.5f
\mbox{''}
]$

$\rm
[
Prop\ 3.5f
\stackrel{
\mathrm{pyk}
}{\rightarrow}
\mbox{``}prop
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}three
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}five
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}f
\mbox{''}
]$

\hypertarget {url:1808490450776494469886199066475724407610946851235271335976337380875467521:85}{}\section* {$\rm 
Prop\ 3.5g_1$}

$\rm
[
Prop\ 3.5g_1
\stackrel{
proof
}{\rightarrow}
\lambda 
\mathsf {c}
.
\lambda 
\mathsf{x}
.
{\cal P}( 
\lceil 
S
\vdash 
\forall \underline{
\mathsf {a}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf {a}}
\colon \underline{
\mathsf {a}}
\cdot 
0
= 
0
{}'
\vdash 
S7
\gg \underline{
\mathsf {a}}
\cdot 
0
= 
0
; 
S1
\rhd \underline{
\mathsf {a}}
\cdot 
0
= 
0
\rhd \underline{
\mathsf {a}}
\cdot 
0
= 
0
{}'
\gg 
0
= 
0
{}'
; 
S3
\gg 
{\neg }
0
= 
0
{}'
; 
Lem 1.11c
\gg 
{\neg }
0
= 
0
{}'
\Rightarrow 
0
= 
0
{}'
\Rightarrow 
{\neg }\underline{
\mathsf {a}}
= 
0
{}'
\Rightarrow 
{\neg }
0
= 
0
{}'
; 
MP
\rhd 
{\neg }
0
= 
0
{}'
\Rightarrow 
0
= 
0
{}'
\Rightarrow 
{\neg }\underline{
\mathsf {a}}
= 
0
{}'
\Rightarrow 
{\neg }
0
= 
0
{}'
\rhd 
{\neg }
0
= 
0
{}'
\gg 
0
= 
0
{}'
\Rightarrow 
{\neg }\underline{
\mathsf {a}}
= 
0
{}'
\Rightarrow 
{\neg }
0
= 
0
{}'
; 
MP
\rhd 
0
= 
0
{}'
\Rightarrow 
{\neg }\underline{
\mathsf {a}}
= 
0
{}'
\Rightarrow 
{\neg }
0
= 
0
{}'
\rhd 
0
= 
0
{}'
\gg 
{\neg }\underline{
\mathsf {a}}
= 
0
{}'
\Rightarrow 
{\neg }
0
= 
0
{}'
; 
Ded
\rhd 
\forall \underline{
\mathsf {a}}
\colon \underline{
\mathsf {a}}
\cdot 
0
= 
0
{}'
\vdash 
{\neg }\underline{
\mathsf {a}}
= 
0
{}'
\Rightarrow 
{\neg }
0
= 
0
{}'
\gg \underline{
\mathsf {a}}
\cdot 
0
= 
0
{}'
\Rightarrow 
{\neg }\underline{
\mathsf {a}}
= 
0
{}'
\Rightarrow 
{\neg }
0
= 
0
{}'
\rceil 
, 
p_0
, 
\mathsf {c}
)
]$

$\rm
[
Prop\ 3.5g_1
\stackrel{
stmt
}{\rightarrow}
S
\vdash 
\forall \underline{
\mathsf {a}}
\colon \underline{
\mathsf {a}}
\cdot 
0
= 
0
{}'
\Rightarrow 
{\neg }\underline{
\mathsf {a}}
= 
0
{}'
\Rightarrow 
{\neg }
0
= 
0
{}'
]$

$\rm
[
Prop\ 3.5g_1
\stackrel{
\mathrm{tex}
}{\rightarrow}
\mbox{``}
\newline Prop
\mbox {$\backslash $}
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}3.5g
\_1
\mbox{''}
]$

$\rm
[
Prop\ 3.5g_1
\stackrel{
\mathrm{pyk}
}{\rightarrow}
\mbox{``}prop
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}three
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}five
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}g
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}one
\mbox{''}
]$

\hypertarget {url:1808490450776494469886199066475724407610946851235271335976337380875467521:86}{}\section* {$\rm 
Prop\ 3.5g_4$}

$\rm
[
Prop\ 3.5g_4
\stackrel{
proof
}{\rightarrow}
\lambda 
\mathsf {c}
.
\lambda 
\mathsf{x}
.
{\cal P}( 
\lceil 
S
\vdash 
\forall \underline{
\mathsf {a}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf {b}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf {a}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf {b}}
\colon \underline{
\mathsf {a}}
\cdot \underline{
\mathsf {b}}
= 
0
{}'
\Rightarrow 
{\neg }\underline{
\mathsf {a}}
= 
0
{}'
\Rightarrow 
{\neg }\underline{
\mathsf {b}}
= 
0
{}'
\vdash \underline{
\mathsf {a}}
\cdot \underline{
\mathsf {b}}
{}'
= 
0
{}'
\vdash 
S8
\gg \underline{
\mathsf {a}}
\cdot \underline{
\mathsf {b}}
{}'
= \underline{
\mathsf {a}}
\cdot \underline{
\mathsf {b}}
+ \underline{
\mathsf {a}}
; 
S1
\rhd \underline{
\mathsf {a}}
\cdot \underline{
\mathsf {b}}
{}'
= \underline{
\mathsf {a}}
\cdot \underline{
\mathsf {b}}
+ \underline{
\mathsf {a}}
\rhd \underline{
\mathsf {a}}
\cdot \underline{
\mathsf {b}}
{}'
= 
0
{}'
\gg \underline{
\mathsf {a}}
\cdot \underline{
\mathsf {b}}
+ \underline{
\mathsf {a}}
= 
0
{}'
; 
Prop\ 3.5f
\gg \underline{
\mathsf {a}}
\cdot \underline{
\mathsf {b}}
+ \underline{
\mathsf {a}}
= 
0
{}'
\Rightarrow 
{\neg }
{\neg }\underline{
\mathsf {a}}
\cdot \underline{
\mathsf {b}}
= 
0
\Rightarrow 
{\neg }\underline{
\mathsf {a}}
= 
0
{}'
\Rightarrow 
{\neg }\underline{
\mathsf {a}}
\cdot \underline{
\mathsf {b}}
= 
0
{}'
\Rightarrow 
{\neg }\underline{
\mathsf {a}}
= 
0
; 
MP
\rhd \underline{
\mathsf {a}}
\cdot \underline{
\mathsf {b}}
+ \underline{
\mathsf {a}}
= 
0
{}'
\Rightarrow 
{\neg }
{\neg }\underline{
\mathsf {a}}
\cdot \underline{
\mathsf {b}}
= 
0
\Rightarrow 
{\neg }\underline{
\mathsf {a}}
= 
0
{}'
\Rightarrow 
{\neg }\underline{
\mathsf {a}}
\cdot \underline{
\mathsf {b}}
= 
0
{}'
\Rightarrow 
{\neg }\underline{
\mathsf {a}}
= 
0
\rhd \underline{
\mathsf {a}}
\cdot \underline{
\mathsf {b}}
+ \underline{
\mathsf {a}}
= 
0
{}'
\gg 
{\neg }
{\neg }\underline{
\mathsf {a}}
\cdot \underline{
\mathsf {b}}
= 
0
\Rightarrow 
{\neg }\underline{
\mathsf {a}}
= 
0
{}'
\Rightarrow 
{\neg }\underline{
\mathsf {a}}
\cdot \underline{
\mathsf {b}}
= 
0
{}'
\Rightarrow 
{\neg }\underline{
\mathsf {a}}
= 
0
; 
Prop\ 3.5g_2
\gg 
{\neg }\underline{
\mathsf {a}}
\cdot \underline{
\mathsf {b}}
= 
0
\Rightarrow 
{\neg }\underline{
\mathsf {a}}
= 
0
{}'
\Rightarrow 
{\neg }\underline{
\mathsf {a}}
= 
0
{}'
\Rightarrow 
{\neg }\underline{
\mathsf {b}}
{}'
= 
0
{}'
; 
Prop\ 3.5g_3
\rhd \underline{
\mathsf {a}}
\cdot \underline{
\mathsf {b}}
= 
0
{}'
\Rightarrow 
{\neg }\underline{
\mathsf {a}}
= 
0
{}'
\Rightarrow 
{\neg }\underline{
\mathsf {b}}
= 
0
{}'
\gg 
{\neg }\underline{
\mathsf {a}}
\cdot \underline{
\mathsf {b}}
= 
0
{}'
\Rightarrow 
{\neg }\underline{
\mathsf {a}}
= 
0
\Rightarrow 
{\neg }\underline{
\mathsf {a}}
= 
0
{}'
\Rightarrow 
{\neg }\underline{
\mathsf {b}}
{}'
= 
0
{}'
; 
H11
\rhd 
{\neg }
{\neg }\underline{
\mathsf {a}}
\cdot \underline{
\mathsf {b}}
= 
0
\Rightarrow 
{\neg }\underline{
\mathsf {a}}
= 
0
{}'
\Rightarrow 
{\neg }\underline{
\mathsf {a}}
\cdot \underline{
\mathsf {b}}
= 
0
{}'
\Rightarrow 
{\neg }\underline{
\mathsf {a}}
= 
0
\rhd 
{\neg }\underline{
\mathsf {a}}
\cdot \underline{
\mathsf {b}}
= 
0
\Rightarrow 
{\neg }\underline{
\mathsf {a}}
= 
0
{}'
\Rightarrow 
{\neg }\underline{
\mathsf {a}}
= 
0
{}'
\Rightarrow 
{\neg }\underline{
\mathsf {b}}
{}'
= 
0
{}'
\rhd 
{\neg }\underline{
\mathsf {a}}
\cdot \underline{
\mathsf {b}}
= 
0
{}'
\Rightarrow 
{\neg }\underline{
\mathsf {a}}
= 
0
\Rightarrow 
{\neg }\underline{
\mathsf {a}}
= 
0
{}'
\Rightarrow 
{\neg }\underline{
\mathsf {b}}
{}'
= 
0
{}'
\gg 
{\neg }\underline{
\mathsf {a}}
= 
0
{}'
\Rightarrow 
{\neg }\underline{
\mathsf {b}}
{}'
= 
0
{}'
; 
Ded
\rhd 
\forall \underline{
\mathsf {a}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf {b}}
\colon \underline{
\mathsf {a}}
\cdot \underline{
\mathsf {b}}
= 
0
{}'
\Rightarrow 
{\neg }\underline{
\mathsf {a}}
= 
0
{}'
\Rightarrow 
{\neg }\underline{
\mathsf {b}}
= 
0
{}'
\vdash \underline{
\mathsf {a}}
\cdot \underline{
\mathsf {b}}
{}'
= 
0
{}'
\vdash 
{\neg }\underline{
\mathsf {a}}
= 
0
{}'
\Rightarrow 
{\neg }\underline{
\mathsf {b}}
{}'
= 
0
{}'
\gg \underline{
\mathsf {a}}
\cdot \underline{
\mathsf {b}}
= 
0
{}'
\Rightarrow 
{\neg }\underline{
\mathsf {a}}
= 
0
{}'
\Rightarrow 
{\neg }\underline{
\mathsf {b}}
= 
0
{}'
\Rightarrow \underline{
\mathsf {a}}
\cdot \underline{
\mathsf {b}}
{}'
= 
0
{}'
\Rightarrow 
{\neg }\underline{
\mathsf {a}}
= 
0
{}'
\Rightarrow 
{\neg }\underline{
\mathsf {b}}
{}'
= 
0
{}'
\rceil 
, 
p_0
, 
\mathsf {c}
)
]$

$\rm
[
Prop\ 3.5g_4
\stackrel{
stmt
}{\rightarrow}
S
\vdash 
\forall \underline{
\mathsf {a}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf {b}}
\colon \underline{
\mathsf {a}}
\cdot \underline{
\mathsf {b}}
= 
0
{}'
\Rightarrow 
{\neg }\underline{
\mathsf {a}}
= 
0
{}'
\Rightarrow 
{\neg }\underline{
\mathsf {b}}
= 
0
{}'
\Rightarrow \underline{
\mathsf {a}}
\cdot \underline{
\mathsf {b}}
{}'
= 
0
{}'
\Rightarrow 
{\neg }\underline{
\mathsf {a}}
= 
0
{}'
\Rightarrow 
{\neg }\underline{
\mathsf {b}}
{}'
= 
0
{}'
]$

$\rm
[
Prop\ 3.5g_4
\stackrel{
\mathrm{tex}
}{\rightarrow}
\mbox{``}
\newline Prop
\mbox {$\backslash $}
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}3.5g
\_4
\mbox{''}
]$

$\rm
[
Prop\ 3.5g_4
\stackrel{
\mathrm{pyk}
}{\rightarrow}
\mbox{``}prop
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}three
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}five
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}g
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}two
\mbox{''}
]$

\hypertarget {url:1808490450776494469886199066475724407610946851235271335976337380875467521:87}{}\section* {$\rm 
Prop\ 3.5g_2$}

$\rm
[
Prop\ 3.5g_2
\stackrel{
proof
}{\rightarrow}
\lambda 
\mathsf {c}
.
\lambda 
\mathsf{x}
.
{\cal P}( 
\lceil 
S
\vdash 
\forall \underline{
\mathsf {a}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf {b}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf {a}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf {b}}
\colon 
{\neg }\underline{
\mathsf {a}}
\cdot \underline{
\mathsf {b}}
= 
0
\Rightarrow 
{\neg }\underline{
\mathsf {a}}
= 
0
{}'
\vdash 
Con2
\rhd 
{\neg }\underline{
\mathsf {a}}
\cdot \underline{
\mathsf {b}}
= 
0
\Rightarrow 
{\neg }\underline{
\mathsf {a}}
= 
0
{}'
\gg \underline{
\mathsf {a}}
= 
0
{}'
; 
Con1
\rhd 
{\neg }\underline{
\mathsf {a}}
\cdot \underline{
\mathsf {b}}
= 
0
\Rightarrow 
{\neg }\underline{
\mathsf {a}}
= 
0
{}'
\gg \underline{
\mathsf {a}}
\cdot \underline{
\mathsf {b}}
= 
0
; 
S3
\gg 
{\neg }
0
= 
0
{}'
; 
H10
\rhd 
{\neg }
0
= 
0
{}'
\gg 
{\neg }
0
{}'
= 
0
; 
S1''
\gg \underline{
\mathsf {a}}
= 
0
{}'
\Rightarrow \underline{
\mathsf {a}}
= 
0
\Rightarrow 
0
{}'
= 
0
; 
H3
\rhd \underline{
\mathsf {a}}
= 
0
{}'
\Rightarrow \underline{
\mathsf {a}}
= 
0
\Rightarrow 
0
{}'
= 
0
\rhd \underline{
\mathsf {a}}
= 
0
{}'
\rhd 
{\neg }
0
{}'
= 
0
\gg 
{\neg }\underline{
\mathsf {a}}
= 
0
; 
Prop\ 3.2n
\gg \underline{
\mathsf {a}}
\cdot \underline{
\mathsf {b}}
= \underline{
\mathsf {b}}
\cdot \underline{
\mathsf {a}}
; 
S1
\rhd \underline{
\mathsf {a}}
\cdot \underline{
\mathsf {b}}
= \underline{
\mathsf {b}}
\cdot \underline{
\mathsf {a}}
\rhd \underline{
\mathsf {a}}
\cdot \underline{
\mathsf {b}}
= 
0
\gg \underline{
\mathsf {b}}
\cdot \underline{
\mathsf {a}}
= 
0
; 
Prop\ 3.5e
\gg 
{\neg }\underline{
\mathsf {a}}
= 
0
\Rightarrow \underline{
\mathsf {b}}
\cdot \underline{
\mathsf {a}}
= 
0
\Rightarrow \underline{
\mathsf {b}}
= 
0
; 
MP
\rhd 
{\neg }\underline{
\mathsf {a}}
= 
0
\Rightarrow \underline{
\mathsf {b}}
\cdot \underline{
\mathsf {a}}
= 
0
\Rightarrow \underline{
\mathsf {b}}
= 
0
\rhd 
{\neg }\underline{
\mathsf {a}}
= 
0
\gg \underline{
\mathsf {b}}
\cdot \underline{
\mathsf {a}}
= 
0
\Rightarrow \underline{
\mathsf {b}}
= 
0
; 
MP
\rhd \underline{
\mathsf {b}}
\cdot \underline{
\mathsf {a}}
= 
0
\Rightarrow \underline{
\mathsf {b}}
= 
0
\rhd \underline{
\mathsf {b}}
\cdot \underline{
\mathsf {a}}
= 
0
\gg \underline{
\mathsf {b}}
= 
0
; 
S2
\rhd \underline{
\mathsf {b}}
= 
0
\gg \underline{
\mathsf {b}}
{}'
= 
0
{}'
; 
Con
\rhd \underline{
\mathsf {a}}
= 
0
{}'
\rhd \underline{
\mathsf {b}}
{}'
= 
0
{}'
\gg 
{\neg }\underline{
\mathsf {a}}
= 
0
{}'
\Rightarrow 
{\neg }\underline{
\mathsf {b}}
{}'
= 
0
{}'
; 
Ded
\rhd 
\forall \underline{
\mathsf {a}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf {b}}
\colon 
{\neg }\underline{
\mathsf {a}}
\cdot \underline{
\mathsf {b}}
= 
0
\Rightarrow 
{\neg }\underline{
\mathsf {a}}
= 
0
{}'
\vdash 
{\neg }\underline{
\mathsf {a}}
= 
0
{}'
\Rightarrow 
{\neg }\underline{
\mathsf {b}}
{}'
= 
0
{}'
\gg 
{\neg }\underline{
\mathsf {a}}
\cdot \underline{
\mathsf {b}}
= 
0
\Rightarrow 
{\neg }\underline{
\mathsf {a}}
= 
0
{}'
\Rightarrow 
{\neg }\underline{
\mathsf {a}}
= 
0
{}'
\Rightarrow 
{\neg }\underline{
\mathsf {b}}
{}'
= 
0
{}'
\rceil 
, 
p_0
, 
\mathsf {c}
)
]$

$\rm
[
Prop\ 3.5g_2
\stackrel{
stmt
}{\rightarrow}
S
\vdash 
\forall \underline{
\mathsf {a}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf {b}}
\colon 
{\neg }\underline{
\mathsf {a}}
\cdot \underline{
\mathsf {b}}
= 
0
\Rightarrow 
{\neg }\underline{
\mathsf {a}}
= 
0
{}'
\Rightarrow 
{\neg }\underline{
\mathsf {a}}
= 
0
{}'
\Rightarrow 
{\neg }\underline{
\mathsf {b}}
{}'
= 
0
{}'
]$

$\rm
[
Prop\ 3.5g_2
\stackrel{
\mathrm{tex}
}{\rightarrow}
\mbox{``}
\newline Prop
\mbox {$\backslash $}
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}3.5g
\_2
\mbox{''}
]$

$\rm
[
Prop\ 3.5g_2
\stackrel{
\mathrm{pyk}
}{\rightarrow}
\mbox{``}prop
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}three
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}five
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}g
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}three
\mbox{''}
]$

\hypertarget {url:1808490450776494469886199066475724407610946851235271335976337380875467521:88}{}\section* {$\rm 
Prop\ 3.5g_3$}

$\rm
[
Prop\ 3.5g_3
\stackrel{
proof
}{\rightarrow}
\lambda 
\mathsf {c}
.
\lambda 
\mathsf{x}
.
{\cal P}( 
\lceil 
S
\vdash 
\forall \underline{
\mathsf {a}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf {b}}
\colon \underline{
\mathsf {a}}
\cdot \underline{
\mathsf {b}}
= 
0
{}'
\Rightarrow 
{\neg }\underline{
\mathsf {a}}
= 
0
{}'
\Rightarrow 
{\neg }\underline{
\mathsf {b}}
= 
0
{}'
\vdash 
\forall \underline{
\mathsf {a}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf {b}}
\colon 
{\neg }\underline{
\mathsf {a}}
\cdot \underline{
\mathsf {b}}
= 
0
{}'
\Rightarrow 
{\neg }\underline{
\mathsf {a}}
= 
0
\vdash 
Con1
\rhd 
{\neg }\underline{
\mathsf {a}}
\cdot \underline{
\mathsf {b}}
= 
0
{}'
\Rightarrow 
{\neg }\underline{
\mathsf {a}}
= 
0
\gg \underline{
\mathsf {a}}
\cdot \underline{
\mathsf {b}}
= 
0
{}'
; 
MP
\rhd \underline{
\mathsf {a}}
\cdot \underline{
\mathsf {b}}
= 
0
{}'
\Rightarrow 
{\neg }\underline{
\mathsf {a}}
= 
0
{}'
\Rightarrow 
{\neg }\underline{
\mathsf {b}}
= 
0
{}'
\rhd \underline{
\mathsf {a}}
\cdot \underline{
\mathsf {b}}
= 
0
{}'
\gg 
{\neg }\underline{
\mathsf {a}}
= 
0
{}'
\Rightarrow 
{\neg }\underline{
\mathsf {b}}
= 
0
{}'
; 
Con1
\rhd 
{\neg }\underline{
\mathsf {a}}
= 
0
{}'
\Rightarrow 
{\neg }\underline{
\mathsf {b}}
= 
0
{}'
\gg \underline{
\mathsf {a}}
= 
0
{}'
; 
Con2
\rhd 
{\neg }\underline{
\mathsf {a}}
\cdot \underline{
\mathsf {b}}
= 
0
{}'
\Rightarrow 
{\neg }\underline{
\mathsf {a}}
= 
0
\gg \underline{
\mathsf {a}}
= 
0
; 
S1
\rhd \underline{
\mathsf {a}}
= 
0
\rhd \underline{
\mathsf {a}}
= 
0
{}'
\gg 
0
= 
0
{}'
; 
S3
\gg 
{\neg }
0
= 
0
{}'
; 
Lem 1.11c
\gg 
{\neg }
0
= 
0
{}'
\Rightarrow 
0
= 
0
{}'
\Rightarrow 
{\neg }\underline{
\mathsf {a}}
= 
0
{}'
\Rightarrow 
{\neg }\underline{
\mathsf {b}}
{}'
= 
0
{}'
; 
MP
\rhd 
{\neg }
0
= 
0
{}'
\Rightarrow 
0
= 
0
{}'
\Rightarrow 
{\neg }\underline{
\mathsf {a}}
= 
0
{}'
\Rightarrow 
{\neg }\underline{
\mathsf {b}}
{}'
= 
0
{}'
\rhd 
{\neg }
0
= 
0
{}'
\gg 
0
= 
0
{}'
\Rightarrow 
{\neg }\underline{
\mathsf {a}}
= 
0
{}'
\Rightarrow 
{\neg }\underline{
\mathsf {b}}
{}'
= 
0
{}'
; 
MP
\rhd 
0
= 
0
{}'
\Rightarrow 
{\neg }\underline{
\mathsf {a}}
= 
0
{}'
\Rightarrow 
{\neg }\underline{
\mathsf {b}}
{}'
= 
0
{}'
\rhd 
0
= 
0
{}'
\gg 
{\neg }\underline{
\mathsf {a}}
= 
0
{}'
\Rightarrow 
{\neg }\underline{
\mathsf {b}}
{}'
= 
0
{}'
; 
Ded
\rhd 
\forall \underline{
\mathsf {a}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf {b}}
\colon 
{\neg }\underline{
\mathsf {a}}
\cdot \underline{
\mathsf {b}}
= 
0
{}'
\Rightarrow 
{\neg }\underline{
\mathsf {a}}
= 
0
\vdash 
{\neg }\underline{
\mathsf {a}}
= 
0
{}'
\Rightarrow 
{\neg }\underline{
\mathsf {b}}
{}'
= 
0
{}'
\gg 
{\neg }\underline{
\mathsf {a}}
\cdot \underline{
\mathsf {b}}
= 
0
{}'
\Rightarrow 
{\neg }\underline{
\mathsf {a}}
= 
0
\Rightarrow 
{\neg }\underline{
\mathsf {a}}
= 
0
{}'
\Rightarrow 
{\neg }\underline{
\mathsf {b}}
{}'
= 
0
{}'
\rceil 
, 
p_0
, 
\mathsf {c}
)
]$

$\rm
[
Prop\ 3.5g_3
\stackrel{
stmt
}{\rightarrow}
S
\vdash 
\forall \underline{
\mathsf {a}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf {b}}
\colon \underline{
\mathsf {a}}
\cdot \underline{
\mathsf {b}}
= 
0
{}'
\Rightarrow 
{\neg }\underline{
\mathsf {a}}
= 
0
{}'
\Rightarrow 
{\neg }\underline{
\mathsf {b}}
= 
0
{}'
\vdash 
{\neg }\underline{
\mathsf {a}}
\cdot \underline{
\mathsf {b}}
= 
0
{}'
\Rightarrow 
{\neg }\underline{
\mathsf {a}}
= 
0
\Rightarrow 
{\neg }\underline{
\mathsf {a}}
= 
0
{}'
\Rightarrow 
{\neg }\underline{
\mathsf {b}}
{}'
= 
0
{}'
]$

$\rm
[
Prop\ 3.5g_3
\stackrel{
\mathrm{tex}
}{\rightarrow}
\mbox{``}
\newline Prop
\mbox {$\backslash $}
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}3.5g
\_3
\mbox{''}
]$

$\rm
[
Prop\ 3.5g_3
\stackrel{
\mathrm{pyk}
}{\rightarrow}
\mbox{``}prop
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}three
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}five
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}g
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}four
\mbox{''}
]$

\hypertarget {url:1808490450776494469886199066475724407610946851235271335976337380875467521:89}{}\section* {$\rm 
Prop\ 3.5g$}

$\rm
[
Prop\ 3.5g
\stackrel{
proof
}{\rightarrow}
\lambda 
\mathsf {c}
.
\lambda 
\mathsf{x}
.
{\cal P}( 
\lceil 
S
\vdash 
\forall \underline{
\mathsf {a}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf {b}}
\colon 
Prop\ 3.5g_1
\gg \overline{
\mathsf{x}}
\cdot 
0
= 
0
{}'
\Rightarrow 
{\neg }\overline{
\mathsf{x}}
= 
0
{}'
\Rightarrow 
{\neg }
0
= 
0
{}'
; 
Prop\ 3.5g_4
\gg \overline{
\mathsf{x}}
\cdot \overline{
\mathsf{y}}
= 
0
{}'
\Rightarrow 
{\neg }\overline{
\mathsf{x}}
= 
0
{}'
\Rightarrow 
{\neg }\overline{
\mathsf{y}}
= 
0
{}'
\Rightarrow \overline{
\mathsf{x}}
\cdot \overline{
\mathsf{y}}
{}'
= 
0
{}'
\Rightarrow 
{\neg }\overline{
\mathsf{x}}
= 
0
{}'
\Rightarrow 
{\neg }\overline{
\mathsf{y}}
{}'
= 
0
{}'
; 
S9
\mathop {\char64} \overline{
\mathsf{y}}
\rhd \overline{
\mathsf{x}}
\cdot 
0
= 
0
{}'
\Rightarrow 
{\neg }\overline{
\mathsf{x}}
= 
0
{}'
\Rightarrow 
{\neg }
0
= 
0
{}'
\rhd \overline{
\mathsf{x}}
\cdot \overline{
\mathsf{y}}
= 
0
{}'
\Rightarrow 
{\neg }\overline{
\mathsf{x}}
= 
0
{}'
\Rightarrow 
{\neg }\overline{
\mathsf{y}}
= 
0
{}'
\Rightarrow \overline{
\mathsf{x}}
\cdot \overline{
\mathsf{y}}
{}'
= 
0
{}'
\Rightarrow 
{\neg }\overline{
\mathsf{x}}
= 
0
{}'
\Rightarrow 
{\neg }\overline{
\mathsf{y}}
{}'
= 
0
{}'
\gg \overline{
\mathsf{x}}
\cdot \overline{
\mathsf{y}}
= 
0
{}'
\Rightarrow 
{\neg }\overline{
\mathsf{x}}
= 
0
{}'
\Rightarrow 
{\neg }\overline{
\mathsf{y}}
= 
0
{}'
; 
Ded
\rhd \overline{
\mathsf{x}}
\cdot \overline{
\mathsf{y}}
= 
0
{}'
\Rightarrow 
{\neg }\overline{
\mathsf{x}}
= 
0
{}'
\Rightarrow 
{\neg }\overline{
\mathsf{y}}
= 
0
{}'
\gg \underline{
\mathsf {a}}
\cdot \underline{
\mathsf {b}}
= 
0
{}'
\Rightarrow 
{\neg }\underline{
\mathsf {a}}
= 
0
{}'
\Rightarrow 
{\neg }\underline{
\mathsf {b}}
= 
0
{}'
\rceil 
, 
p_0
, 
\mathsf {c}
)
]$

$\rm
[
Prop\ 3.5g
\stackrel{
stmt
}{\rightarrow}
S
\vdash 
\forall \underline{
\mathsf {a}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf {b}}
\colon \underline{
\mathsf {a}}
\cdot \underline{
\mathsf {b}}
= 
0
{}'
\Rightarrow 
{\neg }\underline{
\mathsf {a}}
= 
0
{}'
\Rightarrow 
{\neg }\underline{
\mathsf {b}}
= 
0
{}'
]$

$\rm
[
Prop\ 3.5g
\stackrel{
\mathrm{tex}
}{\rightarrow}
\mbox{``}
\newline Prop
\mbox {$\backslash $}
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}3.5g
\mbox{''}
]$

$\rm
[
Prop\ 3.5g
\stackrel{
\mathrm{pyk}
}{\rightarrow}
\mbox{``}prop
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}three
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}five
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}g
\mbox{''}
]$

\hypertarget {url:1808490450776494469886199066475724407610946851235271335976337380875467521:90}{}\section* {$\rm 
Prop\ 3.5h_1$}

$\rm
[
Prop\ 3.5h_1
\stackrel{
\mathrm{tex}
}{\rightarrow}
\mbox{``}
\newline Prop
\mbox {$\backslash $}
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}3.5h
\_1
\mbox{''}
]$

$\rm
[
Prop\ 3.5h_1
\stackrel{
\mathrm{pyk}
}{\rightarrow}
\mbox{``}prop
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}three
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}five
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}h
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}one
\mbox{''}
]$

\hypertarget {url:1808490450776494469886199066475724407610946851235271335976337380875467521:91}{}\section* {$\rm 
Prop\ 3.5h_2$}

$\rm
[
Prop\ 3.5h_2
\stackrel{
\mathrm{tex}
}{\rightarrow}
\mbox{``}
\newline Prop
\mbox {$\backslash $}
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}3.5h
\_2
\mbox{''}
]$

$\rm
[
Prop\ 3.5h_2
\stackrel{
\mathrm{pyk}
}{\rightarrow}
\mbox{``}prop
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}three
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}five
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}h
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}two
\mbox{''}
]$

\hypertarget {url:1808490450776494469886199066475724407610946851235271335976337380875467521:92}{}\section* {$\rm 
Prop\ 3.5h$}

$\rm
[
Prop\ 3.5h
\stackrel{
stmt
}{\rightarrow}
S
\vdash 
\forall \underline{
\mathsf {a}}
\colon 
{\neg }\underline{
\mathsf {a}}
= 
0
\Rightarrow 
{\neg }
\forall_{obj} \underline{
\mathsf {b}}
\colon 
{\neg }\underline{
\mathsf {a}}
= \underline{
\mathsf {b}}
{}'
]$

$\rm
[
Prop\ 3.5h
\stackrel{
\mathrm{tex}
}{\rightarrow}
\mbox{``}
\newline Prop
\mbox {$\backslash $}
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}3.5h
\mbox{''}
]$

$\rm
[
Prop\ 3.5h
\stackrel{
\mathrm{pyk}
}{\rightarrow}
\mbox{``}prop
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}three
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}five
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}h
\mbox{''}
]$

\hypertarget {url:1808490450776494469886199066475724407610946851235271335976337380875467521:93}{}\section* {$\rm 
Prop\ 3.5i_1$}

$\rm
[
Prop\ 3.5i_1
\stackrel{
\mathrm{tex}
}{\rightarrow}
\mbox{``}
\newline Prop
\mbox {$\backslash $}
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}3.5i
\_1
\mbox{''}
]$

$\rm
[
Prop\ 3.5i_1
\stackrel{
\mathrm{pyk}
}{\rightarrow}
\mbox{``}prop
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}three
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}five
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}i
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}one
\mbox{''}
]$

\hypertarget {url:1808490450776494469886199066475724407610946851235271335976337380875467521:94}{}\section* {$\rm 
Prop\ 3.5i_2$}

$\rm
[
Prop\ 3.5i_2
\stackrel{
\mathrm{tex}
}{\rightarrow}
\mbox{``}
\newline Prop
\mbox {$\backslash $}
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}3.5i
\_2
\mbox{''}
]$

$\rm
[
Prop\ 3.5i_2
\stackrel{
\mathrm{pyk}
}{\rightarrow}
\mbox{``}prop
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}three
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}five
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}i
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}two
\mbox{''}
]$

\hypertarget {url:1808490450776494469886199066475724407610946851235271335976337380875467521:95}{}\section* {$\rm 
Prop\ 3.5i$}

$\rm
[
Prop\ 3.5i
\stackrel{
stmt
}{\rightarrow}
S
\vdash 
\forall \underline{
\mathsf {a}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf {b}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf {c}}
\colon 
{\neg }\underline{
\mathsf {c}}
= 
0
\Rightarrow \underline{
\mathsf {a}}
\cdot \underline{
\mathsf {c}}
= \underline{
\mathsf {b}}
\cdot \underline{
\mathsf {c}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {a}}
= \underline{
\mathsf {b}}
]$

$\rm
[
Prop\ 3.5i
\stackrel{
\mathrm{tex}
}{\rightarrow}
\mbox{``}
\newline Prop
\mbox {$\backslash $}
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}3.5i
\mbox{''}
]$

$\rm
[
Prop\ 3.5i
\stackrel{
\mathrm{pyk}
}{\rightarrow}
\mbox{``}prop
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}three
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}five
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}i
\mbox{''}
]$

\hypertarget {url:1808490450776494469886199066475724407610946851235271335976337380875467521:96}{}\section* {$\rm 
Prop\ 3.5j_1$}

$\rm
[
Prop\ 3.5j_1
\stackrel{
\mathrm{tex}
}{\rightarrow}
\mbox{``}
\newline Prop
\mbox {$\backslash $}
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}3.5j
\_1
\mbox{''}
]$

$\rm
[
Prop\ 3.5j_1
\stackrel{
\mathrm{pyk}
}{\rightarrow}
\mbox{``}prop
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}three
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}five
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}j
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}one
\mbox{''}
]$

\hypertarget {url:1808490450776494469886199066475724407610946851235271335976337380875467521:97}{}\section* {$\rm 
Prop\ 3.5j_2$}

$\rm
[
Prop\ 3.5j_2
\stackrel{
\mathrm{tex}
}{\rightarrow}
\mbox{``}
\newline Prop
\mbox {$\backslash $}
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}3.5j
\_2
\mbox{''}
]$

$\rm
[
Prop\ 3.5j_2
\stackrel{
\mathrm{pyk}
}{\rightarrow}
\mbox{``}prop
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}three
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}five
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}j
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}two
\mbox{''}
]$

\hypertarget {url:1808490450776494469886199066475724407610946851235271335976337380875467521:98}{}\section* {$\rm 
Prop\ 3.5j$}

$\rm
[
Prop\ 3.5j
\stackrel{
stmt
}{\rightarrow}
S
\vdash 
\forall \underline{
\mathsf {a}}
\colon 
{\neg }\underline{
\mathsf {a}}
= 
0
\Rightarrow 
{\neg }\underline{
\mathsf {a}}
= 
0
{}'
\Rightarrow 
{\neg }
\forall_{obj} \underline{
\mathsf {b}}
\colon 
{\neg }\underline{
\mathsf {a}}
= \underline{
\mathsf {b}}
{}'
{}'
]$

$\rm
[
Prop\ 3.5j
\stackrel{
\mathrm{tex}
}{\rightarrow}
\mbox{``}
\newline Prop
\mbox {$\backslash $}
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}3.5j
\mbox{''}
]$

$\rm
[
Prop\ 3.5j
\stackrel{
\mathrm{pyk}
}{\rightarrow}
\mbox{``}prop
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}three
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}five
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}j
\mbox{''}
]$

\hypertarget {url:1808490450776494469886199066475724407610946851235271335976337380875467521:99}{}\section* {$\rm 
Prop\ 3.7$}

$\rm
[
Prop\ 3.7
\stackrel{
\mathrm{tex}
}{\rightarrow}
\mbox{``}
\newline Prop
\mbox {$\backslash $}
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}3.7
\mbox{''}
]$

$\rm
[
Prop\ 3.7
\stackrel{
\mathrm{pyk}
}{\rightarrow}
\mbox{``}prop
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}three
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}seven
\mbox{''}
]$

\hypertarget {url:1808490450776494469886199066475724407610946851235271335976337380875467521:100}{}\section* {$\rm 
Prop\ 3.7a$}

$\rm
[
Prop\ 3.7a
\stackrel{
stmt
}{\rightarrow}
S
\vdash 
\forall \underline{
\mathsf {a}}
\colon 
{\neg }
{\neg }
\forall_{obj} 
\mathsf{z}
\colon 
{\neg }
{\neg }
{\neg }
\mathsf{z}
= 
0
\Rightarrow 
{\neg }
\mathsf{z}
+ \underline{
\mathsf {a}}
= \underline{
\mathsf {a}}
]$

$\rm
[
Prop\ 3.7a
\stackrel{
\mathrm{tex}
}{\rightarrow}
\mbox{``}
\newline Prop
\mbox {$\backslash $}
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}3.7a
\mbox{''}
]$

$\rm
[
Prop\ 3.7a
\stackrel{
\mathrm{pyk}
}{\rightarrow}
\mbox{``}prop
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}three
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}seven
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}a
\mbox{''}
]$

\hypertarget {url:1808490450776494469886199066475724407610946851235271335976337380875467521:101}{}\section* {$\rm 
Prop\ 3.7b$}

$\rm
[
Prop\ 3.7b
\stackrel{
stmt
}{\rightarrow}
S
\vdash 
\forall \underline{
\mathsf {a}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf {b}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf {c}}
\colon 
{\neg }
\forall_{obj} 
\mathsf{z}
\colon 
{\neg }
{\neg }
{\neg }
\mathsf{z}
= 
0
\Rightarrow 
{\neg }
\mathsf{z}
+ \underline{
\mathsf {a}}
= \underline{
\mathsf {b}}
\Rightarrow 
{\neg }
\forall_{obj} 
\mathsf{z}
\colon 
{\neg }
{\neg }
{\neg }
\mathsf{z}
= 
0
\Rightarrow 
{\neg }
\mathsf{z}
+ \underline{
\mathsf {b}}
= \underline{
\mathsf {c}}
\Rightarrow 
{\neg }
\forall_{obj} 
\mathsf{z}
\colon 
{\neg }
{\neg }
{\neg }
\mathsf{z}
= 
0
\Rightarrow 
{\neg }
\mathsf{z}
+ \underline{
\mathsf {a}}
= \underline{
\mathsf {c}}
]$

$\rm
[
Prop\ 3.7b
\stackrel{
\mathrm{tex}
}{\rightarrow}
\mbox{``}
\newline Prop
\mbox {$\backslash $}
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}3.7b
\mbox{''}
]$

$\rm
[
Prop\ 3.7b
\stackrel{
\mathrm{pyk}
}{\rightarrow}
\mbox{``}prop
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}three
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}seven
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}b
\mbox{''}
]$

\hypertarget {url:1808490450776494469886199066475724407610946851235271335976337380875467521:102}{}\section* {$\rm 
Prop\ 3.7c$}

$\rm
[
Prop\ 3.7c
\stackrel{
stmt
}{\rightarrow}
S
\vdash 
\forall \underline{
\mathsf {a}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf {b}}
\colon 
{\neg }
\forall_{obj} 
\mathsf{z}
\colon 
{\neg }
{\neg }
{\neg }
\mathsf{z}
= 
0
\Rightarrow 
{\neg }
\mathsf{z}
+ \underline{
\mathsf {a}}
= \underline{
\mathsf {b}}
\Rightarrow 
{\neg }
{\neg }
\forall_{obj} 
\mathsf{z}
\colon 
{\neg }
{\neg }
{\neg }
\mathsf{z}
= 
0
\Rightarrow 
{\neg }
\mathsf{z}
+ \underline{
\mathsf {b}}
= \underline{
\mathsf {a}}
]$

$\rm
[
Prop\ 3.7c
\stackrel{
\mathrm{tex}
}{\rightarrow}
\mbox{``}
\newline Prop
\mbox {$\backslash $}
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}3.7c
\mbox{''}
]$

$\rm
[
Prop\ 3.7c
\stackrel{
\mathrm{pyk}
}{\rightarrow}
\mbox{``}prop
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}three
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}seven
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}c
\mbox{''}
]$

\hypertarget {url:1808490450776494469886199066475724407610946851235271335976337380875467521:103}{}\section* {$\rm 
Prop\ 3.7d$}

$\rm
[
Prop\ 3.7d
\stackrel{
stmt
}{\rightarrow}
S
\vdash 
\forall \underline{
\mathsf {a}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf {b}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf {c}}
\colon 
{\neg }
\forall_{obj} 
\mathsf{z}
\colon 
{\neg }
{\neg }
{\neg }
\mathsf{z}
= 
0
\Rightarrow 
{\neg }
\mathsf{z}
+ \underline{
\mathsf {a}}
= \underline{
\mathsf {b}}
\Rightarrow 
{\neg }
\forall_{obj} 
\mathsf{z}
\colon 
{\neg }
{\neg }
{\neg }
\mathsf{z}
= 
0
\Rightarrow 
{\neg }
\mathsf{z}
+ \underline{
\mathsf {a}}
+ \underline{
\mathsf {c}}
= \underline{
\mathsf {b}}
+ \underline{
\mathsf {c}}
]$

$\rm
[
Prop\ 3.7d
\stackrel{
\mathrm{tex}
}{\rightarrow}
\mbox{``}
\newline Prop
\mbox {$\backslash $}
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}3.7d
\mbox{''}
]$

$\rm
[
Prop\ 3.7d
\stackrel{
\mathrm{pyk}
}{\rightarrow}
\mbox{``}prop
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}three
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}seven
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}d
\mbox{''}
]$

\hypertarget {url:1808490450776494469886199066475724407610946851235271335976337380875467521:104}{}\section* {$\rm 
Prop\ 3.7e$}

$\rm
[
Prop\ 3.7e
\stackrel{
stmt
}{\rightarrow}
S
\vdash 
\forall \underline{
\mathsf {a}}
\colon 
{\neg }
{\neg }
\forall_{obj} 
\mathsf{z}
\colon 
{\neg }
{\neg }
{\neg }
\mathsf{z}
= 
0
\Rightarrow 
{\neg }
\mathsf{z}
+ \underline{
\mathsf {a}}
= \underline{
\mathsf {a}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {a}}
= \underline{
\mathsf {a}}
]$

$\rm
[
Prop\ 3.7e
\stackrel{
\mathrm{tex}
}{\rightarrow}
\mbox{``}
\newline Prop
\mbox {$\backslash $}
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}3.7e
\mbox{''}
]$

$\rm
[
Prop\ 3.7e
\stackrel{
\mathrm{pyk}
}{\rightarrow}
\mbox{``}prop
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}three
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}seven
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}e
\mbox{''}
]$

\hypertarget {url:1808490450776494469886199066475724407610946851235271335976337380875467521:105}{}\section* {$\rm 
Prop\ 3.7f$}

$\rm
[
Prop\ 3.7f
\stackrel{
stmt
}{\rightarrow}
S
\vdash 
\forall \underline{
\mathsf {a}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf {b}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf {c}}
\colon 
{\neg }
{\neg }
\forall_{obj} 
\mathsf{z}
\colon 
{\neg }
{\neg }
{\neg }
\mathsf{z}
= 
0
\Rightarrow 
{\neg }
\mathsf{z}
+ \underline{
\mathsf {a}}
= \underline{
\mathsf {b}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {a}}
= \underline{
\mathsf {b}}
\Rightarrow 
{\neg }
{\neg }
\forall_{obj} 
\mathsf{z}
\colon 
{\neg }
{\neg }
{\neg }
\mathsf{z}
= 
0
\Rightarrow 
{\neg }
\mathsf{z}
+ \underline{
\mathsf {b}}
= \underline{
\mathsf {c}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {b}}
= \underline{
\mathsf {c}}
\Rightarrow 
{\neg }
{\neg }
\forall_{obj} 
\mathsf{z}
\colon 
{\neg }
{\neg }
{\neg }
\mathsf{z}
= 
0
\Rightarrow 
{\neg }
\mathsf{z}
+ \underline{
\mathsf {a}}
= \underline{
\mathsf {c}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {a}}
= \underline{
\mathsf {c}}
]$

$\rm
[
Prop\ 3.7f
\stackrel{
\mathrm{tex}
}{\rightarrow}
\mbox{``}
\newline Prop
\mbox {$\backslash $}
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}3.7f
\mbox{''}
]$

$\rm
[
Prop\ 3.7f
\stackrel{
\mathrm{pyk}
}{\rightarrow}
\mbox{``}prop
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}three
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}seven
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}f
\mbox{''}
]$

\hypertarget {url:1808490450776494469886199066475724407610946851235271335976337380875467521:106}{}\section* {$\rm 
Prop\ 3.7g$}

$\rm
[
Prop\ 3.7g
\stackrel{
stmt
}{\rightarrow}
S
\vdash 
\forall \underline{
\mathsf {a}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf {b}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf {c}}
\colon 
{\neg }
{\neg }
\forall_{obj} 
\mathsf{z}
\colon 
{\neg }
{\neg }
{\neg }
\mathsf{z}
= 
0
\Rightarrow 
{\neg }
\mathsf{z}
+ \underline{
\mathsf {a}}
= \underline{
\mathsf {b}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {a}}
= \underline{
\mathsf {b}}
\Rightarrow 
{\neg }
{\neg }
\forall_{obj} 
\mathsf{z}
\colon 
{\neg }
{\neg }
{\neg }
\mathsf{z}
= 
0
\Rightarrow 
{\neg }
\mathsf{z}
+ \underline{
\mathsf {a}}
+ \underline{
\mathsf {c}}
= \underline{
\mathsf {b}}
+ \underline{
\mathsf {c}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {a}}
+ \underline{
\mathsf {c}}
= \underline{
\mathsf {b}}
+ \underline{
\mathsf {c}}
]$

$\rm
[
Prop\ 3.7g
\stackrel{
\mathrm{tex}
}{\rightarrow}
\mbox{``}
\newline Prop
\mbox {$\backslash $}
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}3.7g
\mbox{''}
]$

$\rm
[
Prop\ 3.7g
\stackrel{
\mathrm{pyk}
}{\rightarrow}
\mbox{``}prop
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}three
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}seven
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}g
\mbox{''}
]$

\hypertarget {url:1808490450776494469886199066475724407610946851235271335976337380875467521:107}{}\section* {$\rm 
Prop\ 3.7g'$}

$\rm
[
Prop\ 3.7g'
\stackrel{
stmt
}{\rightarrow}
S
\vdash 
\forall \underline{
\mathsf {a}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf {b}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf {c}}
\colon 
{\neg }
{\neg }
\forall_{obj} 
\mathsf{z}
\colon 
{\neg }
{\neg }
{\neg }
\mathsf{z}
= 
0
\Rightarrow 
{\neg }
\mathsf{z}
+ \underline{
\mathsf {a}}
+ \underline{
\mathsf {c}}
= \underline{
\mathsf {b}}
+ \underline{
\mathsf {c}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {a}}
+ \underline{
\mathsf {c}}
= \underline{
\mathsf {b}}
+ \underline{
\mathsf {c}}
\Rightarrow 
{\neg }
{\neg }
\forall_{obj} 
\mathsf{z}
\colon 
{\neg }
{\neg }
{\neg }
\mathsf{z}
= 
0
\Rightarrow 
{\neg }
\mathsf{z}
+ \underline{
\mathsf {a}}
= \underline{
\mathsf {b}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {a}}
= \underline{
\mathsf {b}}
]$

$\rm
[
Prop\ 3.7g'
\stackrel{
\mathrm{tex}
}{\rightarrow}
\mbox{``}
\newline Prop
\mbox {$\backslash $}
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}3.7g
\mbox {'}
\mbox{''}
]$

$\rm
[
Prop\ 3.7g'
\stackrel{
\mathrm{pyk}
}{\rightarrow}
\mbox{``}prop
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}three
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}seven
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}g
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}mark
\mbox{''}
]$

\hypertarget {url:1808490450776494469886199066475724407610946851235271335976337380875467521:108}{}\section* {$\rm 
Prop\ 3.7h$}

$\rm
[
Prop\ 3.7h
\stackrel{
stmt
}{\rightarrow}
S
\vdash 
\forall \underline{
\mathsf {a}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf {b}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf {c}}
\colon 
{\neg }
{\neg }
\forall_{obj} 
\mathsf{z}
\colon 
{\neg }
{\neg }
{\neg }
\mathsf{z}
= 
0
\Rightarrow 
{\neg }
\mathsf{z}
+ \underline{
\mathsf {a}}
= \underline{
\mathsf {b}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {a}}
= \underline{
\mathsf {b}}
\Rightarrow 
{\neg }
\forall_{obj} 
\mathsf{z}
\colon 
{\neg }
{\neg }
{\neg }
\mathsf{z}
= 
0
\Rightarrow 
{\neg }
\mathsf{z}
+ \underline{
\mathsf {b}}
= \underline{
\mathsf {c}}
\Rightarrow 
{\neg }
\forall_{obj} 
\mathsf{z}
\colon 
{\neg }
{\neg }
{\neg }
\mathsf{z}
= 
0
\Rightarrow 
{\neg }
\mathsf{z}
+ \underline{
\mathsf {a}}
= \underline{
\mathsf {c}}
]$

$\rm
[
Prop\ 3.7h
\stackrel{
\mathrm{tex}
}{\rightarrow}
\mbox{``}
\newline Prop
\mbox {$\backslash $}
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}3.7h
\mbox{''}
]$

$\rm
[
Prop\ 3.7h
\stackrel{
\mathrm{pyk}
}{\rightarrow}
\mbox{``}prop
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}three
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}seven
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}h
\mbox{''}
]$

\hypertarget {url:1808490450776494469886199066475724407610946851235271335976337380875467521:109}{}\section* {$\rm 
Prop\ 3.7i$}

$\rm
[
Prop\ 3.7i
\stackrel{
stmt
}{\rightarrow}
S
\vdash 
\forall \underline{
\mathsf {a}}
\colon 
{\neg }
{\neg }
\forall_{obj} 
\mathsf{z}
\colon 
{\neg }
{\neg }
{\neg }
\mathsf{z}
= 
0
\Rightarrow 
{\neg }
\mathsf{z}
+ 
0
= \underline{
\mathsf {a}}
\Rightarrow 
0
= \underline{
\mathsf {a}}
]$

$\rm
[
Prop\ 3.7i
\stackrel{
\mathrm{tex}
}{\rightarrow}
\mbox{``}
\newline Prop
\mbox {$\backslash $}
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}3.7i
\mbox{''}
]$

$\rm
[
Prop\ 3.7i
\stackrel{
\mathrm{pyk}
}{\rightarrow}
\mbox{``}prop
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}three
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}seven
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}i
\mbox{''}
]$

\hypertarget {url:1808490450776494469886199066475724407610946851235271335976337380875467521:110}{}\section* {$\rm 
Prop\ 3.7j$}

$\rm
[
Prop\ 3.7j
\stackrel{
stmt
}{\rightarrow}
S
\vdash 
\forall \underline{
\mathsf {a}}
\colon 
{\neg }
\forall_{obj} 
\mathsf{z}
\colon 
{\neg }
{\neg }
{\neg }
\mathsf{z}
= 
0
\Rightarrow 
{\neg }
\mathsf{z}
+ 
0
= \underline{
\mathsf {a}}
{}'
]$

$\rm
[
Prop\ 3.7j
\stackrel{
\mathrm{tex}
}{\rightarrow}
\mbox{``}
\newline Prop
\mbox {$\backslash $}
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}3.7j
\mbox{''}
]$

$\rm
[
Prop\ 3.7j
\stackrel{
\mathrm{pyk}
}{\rightarrow}
\mbox{``}prop
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}three
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}seven
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}j
\mbox{''}
]$

\hypertarget {url:1808490450776494469886199066475724407610946851235271335976337380875467521:111}{}\section* {$\rm 
Prop\ 3.7k$}

$\rm
[
Prop\ 3.7k
\stackrel{
stmt
}{\rightarrow}
S
\vdash 
\forall \underline{
\mathsf {a}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf {b}}
\colon 
{\neg }
\forall_{obj} 
\mathsf{z}
\colon 
{\neg }
{\neg }
{\neg }
\mathsf{z}
= 
0
\Rightarrow 
{\neg }
\mathsf{z}
+ \underline{
\mathsf {a}}
= \underline{
\mathsf {b}}
\Rightarrow 
{\neg }
{\neg }
\forall_{obj} 
\mathsf{z}
\colon 
{\neg }
{\neg }
{\neg }
\mathsf{z}
= 
0
\Rightarrow 
{\neg }
\mathsf{z}
+ \underline{
\mathsf {a}}
{}'
= \underline{
\mathsf {b}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {a}}
{}'
= \underline{
\mathsf {b}}
]$

$\rm
[
Prop\ 3.7k
\stackrel{
\mathrm{tex}
}{\rightarrow}
\mbox{``}
\newline Prop
\mbox {$\backslash $}
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}3.7k
\mbox{''}
]$

$\rm
[
Prop\ 3.7k
\stackrel{
\mathrm{pyk}
}{\rightarrow}
\mbox{``}prop
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}three
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}seven
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}k
\mbox{''}
]$

\hypertarget {url:1808490450776494469886199066475724407610946851235271335976337380875467521:112}{}\section* {$\rm 
Prop\ 3.7k'$}

$\rm
[
Prop\ 3.7k'
\stackrel{
stmt
}{\rightarrow}
S
\vdash 
\forall \underline{
\mathsf {a}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf {b}}
\colon 
{\neg }
{\neg }
\forall_{obj} 
\mathsf{z}
\colon 
{\neg }
{\neg }
{\neg }
\mathsf{z}
= 
0
\Rightarrow 
{\neg }
\mathsf{z}
+ \underline{
\mathsf {a}}
{}'
= \underline{
\mathsf {b}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {a}}
{}'
= \underline{
\mathsf {b}}
\Rightarrow 
{\neg }
\forall_{obj} 
\mathsf{z}
\colon 
{\neg }
{\neg }
{\neg }
\mathsf{z}
= 
0
\Rightarrow 
{\neg }
\mathsf{z}
+ \underline{
\mathsf {a}}
= \underline{
\mathsf {b}}
]$

$\rm
[
Prop\ 3.7k'
\stackrel{
\mathrm{tex}
}{\rightarrow}
\mbox{``}
\newline Prop
\mbox {$\backslash $}
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}3.7k
\mbox {'}
\mbox{''}
]$

$\rm
[
Prop\ 3.7k'
\stackrel{
\mathrm{pyk}
}{\rightarrow}
\mbox{``}prop
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}three
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}seven
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}k
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}mark
\mbox{''}
]$

\hypertarget {url:1808490450776494469886199066475724407610946851235271335976337380875467521:113}{}\section* {$\rm 
Prop\ 3.7l$}

$\rm
[
Prop\ 3.7l
\stackrel{
stmt
}{\rightarrow}
S
\vdash 
\forall \underline{
\mathsf {a}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf {b}}
\colon 
{\neg }
{\neg }
\forall_{obj} 
\mathsf{z}
\colon 
{\neg }
{\neg }
{\neg }
\mathsf{z}
= 
0
\Rightarrow 
{\neg }
\mathsf{z}
+ \underline{
\mathsf {a}}
= \underline{
\mathsf {b}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {a}}
= \underline{
\mathsf {b}}
\Rightarrow 
{\neg }
\forall_{obj} 
\mathsf{z}
\colon 
{\neg }
{\neg }
{\neg }
\mathsf{z}
= 
0
\Rightarrow 
{\neg }
\mathsf{z}
+ \underline{
\mathsf {a}}
= \underline{
\mathsf {b}}
{}'
]$

$\rm
[
Prop\ 3.7l
\stackrel{
\mathrm{tex}
}{\rightarrow}
\mbox{``}
\newline Prop
\mbox {$\backslash $}
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}3.7l
\mbox{''}
]$

$\rm
[
Prop\ 3.7l
\stackrel{
\mathrm{pyk}
}{\rightarrow}
\mbox{``}prop
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}three
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}seven
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}l
\mbox{''}
]$

\hypertarget {url:1808490450776494469886199066475724407610946851235271335976337380875467521:114}{}\section* {$\rm 
Prop\ 3.7l'$}

$\rm
[
Prop\ 3.7l'
\stackrel{
stmt
}{\rightarrow}
S
\vdash 
\forall \underline{
\mathsf {a}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf {b}}
\colon 
{\neg }
\forall_{obj} 
\mathsf{z}
\colon 
{\neg }
{\neg }
{\neg }
\mathsf{z}
= 
0
\Rightarrow 
{\neg }
\mathsf{z}
+ \underline{
\mathsf {a}}
= \underline{
\mathsf {b}}
{}'
\Rightarrow 
{\neg }
{\neg }
\forall_{obj} 
\mathsf{z}
\colon 
{\neg }
{\neg }
{\neg }
\mathsf{z}
= 
0
\Rightarrow 
{\neg }
\mathsf{z}
+ \underline{
\mathsf {a}}
= \underline{
\mathsf {b}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {a}}
= \underline{
\mathsf {b}}
]$

$\rm
[
Prop\ 3.7l'
\stackrel{
\mathrm{tex}
}{\rightarrow}
\mbox{``}
\newline Prop
\mbox {$\backslash $}
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}3.7l
\mbox {'}
\mbox{''}
]$

$\rm
[
Prop\ 3.7l'
\stackrel{
\mathrm{pyk}
}{\rightarrow}
\mbox{``}prop
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}three
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}seven
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}l
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}mark
\mbox{''}
]$

\hypertarget {url:1808490450776494469886199066475724407610946851235271335976337380875467521:115}{}\section* {$\rm 
Prop\ 3.7m$}

$\rm
[
Prop\ 3.7m
\stackrel{
stmt
}{\rightarrow}
S
\vdash 
\forall \underline{
\mathsf {a}}
\colon 
{\neg }
\forall_{obj} 
\mathsf{z}
\colon 
{\neg }
{\neg }
{\neg }
\mathsf{z}
= 
0
\Rightarrow 
{\neg }
\mathsf{z}
+ \underline{
\mathsf {a}}
= \underline{
\mathsf {a}}
{}'
]$

$\rm
[
Prop\ 3.7m
\stackrel{
\mathrm{tex}
}{\rightarrow}
\mbox{``}
\newline Prop
\mbox {$\backslash $}
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}3.7m
\mbox{''}
]$

$\rm
[
Prop\ 3.7m
\stackrel{
\mathrm{pyk}
}{\rightarrow}
\mbox{``}prop
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}three
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}seven
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}m
\mbox{''}
]$

\hypertarget {url:1808490450776494469886199066475724407610946851235271335976337380875467521:116}{}\section* {$\rm 
Prop\ 3.7n$}

$\rm
[
Prop\ 3.7n
\stackrel{
\mathrm{tex}
}{\rightarrow}
\mbox{``}
\newline Prop
\mbox {$\backslash $}
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}3.7n
\mbox{''}
]$

$\rm
[
Prop\ 3.7n
\stackrel{
\mathrm{pyk}
}{\rightarrow}
\mbox{``}prop
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}three
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}seven
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}n
\mbox{''}
]$

\hypertarget {url:1808490450776494469886199066475724407610946851235271335976337380875467521:117}{}\section* {$\rm 
Prop\ 3.7o$}

$\rm
[
Prop\ 3.7o
\stackrel{
stmt
}{\rightarrow}
S
\vdash 
\forall \underline{
\mathsf {a}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf {b}}
\colon 
{\neg }\underline{
\mathsf {a}}
= \underline{
\mathsf {b}}
\Rightarrow 
{\neg }
{\neg }
\forall_{obj} 
\mathsf{z}
\colon 
{\neg }
{\neg }
{\neg }
\mathsf{z}
= 
0
\Rightarrow 
{\neg }
\mathsf{z}
+ \underline{
\mathsf {a}}
= \underline{
\mathsf {b}}
\Rightarrow 
{\neg }
\forall_{obj} 
\mathsf{z}
\colon 
{\neg }
{\neg }
{\neg }
\mathsf{z}
= 
0
\Rightarrow 
{\neg }
\mathsf{z}
+ \underline{
\mathsf {b}}
= \underline{
\mathsf {a}}
]$

$\rm
[
Prop\ 3.7o
\stackrel{
\mathrm{tex}
}{\rightarrow}
\mbox{``}
\newline Prop
\mbox {$\backslash $}
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}3.7o
\mbox{''}
]$

$\rm
[
Prop\ 3.7o
\stackrel{
\mathrm{pyk}
}{\rightarrow}
\mbox{``}prop
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}three
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}seven
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}o
\mbox{''}
]$

\hypertarget {url:1808490450776494469886199066475724407610946851235271335976337380875467521:118}{}\section* {$\rm 
Prop\ 3.7p$}

$\rm
[
Prop\ 3.7p
\stackrel{
stmt
}{\rightarrow}
S
\vdash 
\forall \underline{
\mathsf {a}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf {b}}
\colon 
{\neg }
{\neg }\underline{
\mathsf {a}}
= \underline{
\mathsf {b}}
\Rightarrow 
{\neg }
\forall_{obj} 
\mathsf{z}
\colon 
{\neg }
{\neg }
{\neg }
\mathsf{z}
= 
0
\Rightarrow 
{\neg }
\mathsf{z}
+ \underline{
\mathsf {a}}
= \underline{
\mathsf {b}}
\Rightarrow 
{\neg }
\forall_{obj} 
\mathsf{z}
\colon 
{\neg }
{\neg }
{\neg }
\mathsf{z}
= 
0
\Rightarrow 
{\neg }
\mathsf{z}
+ \underline{
\mathsf {b}}
= \underline{
\mathsf {a}}
]$

$\rm
[
Prop\ 3.7p
\stackrel{
\mathrm{tex}
}{\rightarrow}
\mbox{``}
\newline Prop
\mbox {$\backslash $}
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}3.7p
\mbox{''}
]$

$\rm
[
Prop\ 3.7p
\stackrel{
\mathrm{pyk}
}{\rightarrow}
\mbox{``}prop
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}three
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}seven
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}p
\mbox{''}
]$

\hypertarget {url:1808490450776494469886199066475724407610946851235271335976337380875467521:119}{}\section* {$\rm 
Prop\ 3.7q$}

$\rm
[
Prop\ 3.7q
\stackrel{
stmt
}{\rightarrow}
S
\vdash 
\forall \underline{
\mathsf {a}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf {b}}
\colon 
{\neg }
{\neg }
{\neg }
\forall_{obj} 
\mathsf{z}
\colon 
{\neg }
{\neg }
{\neg }
\mathsf{z}
= 
0
\Rightarrow 
{\neg }
\mathsf{z}
+ \underline{
\mathsf {a}}
= \underline{
\mathsf {b}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {a}}
= \underline{
\mathsf {b}}
\Rightarrow 
{\neg }
{\neg }
\forall_{obj} 
\mathsf{z}
\colon 
{\neg }
{\neg }
{\neg }
\mathsf{z}
= 
0
\Rightarrow 
{\neg }
\mathsf{z}
+ \underline{
\mathsf {b}}
= \underline{
\mathsf {a}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {b}}
= \underline{
\mathsf {a}}
]$

$\rm
[
Prop\ 3.7q
\stackrel{
\mathrm{tex}
}{\rightarrow}
\mbox{``}
\newline Prop
\mbox {$\backslash $}
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}3.7q
\mbox{''}
]$

$\rm
[
Prop\ 3.7q
\stackrel{
\mathrm{pyk}
}{\rightarrow}
\mbox{``}prop
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}three
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}seven
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}q
\mbox{''}
]$

\hypertarget {url:1808490450776494469886199066475724407610946851235271335976337380875467521:120}{}\section* {$\rm 
Prop\ 3.7r$}

$\rm
[
Prop\ 3.7r
\stackrel{
stmt
}{\rightarrow}
S
\vdash 
\forall \underline{
\mathsf {a}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf {b}}
\colon 
{\neg }
{\neg }
\forall_{obj} 
\mathsf{z}
\colon 
{\neg }
{\neg }
{\neg }
\mathsf{z}
= 
0
\Rightarrow 
{\neg }
\mathsf{z}
+ \underline{
\mathsf {a}}
= \underline{
\mathsf {a}}
+ \underline{
\mathsf {b}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {a}}
= \underline{
\mathsf {a}}
+ \underline{
\mathsf {b}}
]$

$\rm
[
Prop\ 3.7r
\stackrel{
\mathrm{tex}
}{\rightarrow}
\mbox{``}
\newline Prop
\mbox {$\backslash $}
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}3.7r
\mbox{''}
]$

$\rm
[
Prop\ 3.7r
\stackrel{
\mathrm{pyk}
}{\rightarrow}
\mbox{``}prop
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}three
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}seven
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}r
\mbox{''}
]$

\hypertarget {url:1808490450776494469886199066475724407610946851235271335976337380875467521:121}{}\section* {$\rm 
Prop\ 3.7s$}

$\rm
[
Prop\ 3.7s
\stackrel{
stmt
}{\rightarrow}
S
\vdash 
\forall \underline{
\mathsf {a}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf {b}}
\colon 
{\neg }\underline{
\mathsf {b}}
= 
0
\Rightarrow 
{\neg }
\forall_{obj} 
\mathsf{z}
\colon 
{\neg }
{\neg }
{\neg }
\mathsf{z}
= 
0
\Rightarrow 
{\neg }
\mathsf{z}
+ \underline{
\mathsf {a}}
= \underline{
\mathsf {a}}
+ \underline{
\mathsf {b}}
]$

$\rm
[
Prop\ 3.7s
\stackrel{
\mathrm{tex}
}{\rightarrow}
\mbox{``}
\newline Prop
\mbox {$\backslash $}
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}3.7s
\mbox{''}
]$

$\rm
[
Prop\ 3.7s
\stackrel{
\mathrm{pyk}
}{\rightarrow}
\mbox{``}prop
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}three
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}seven
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}s
\mbox{''}
]$

\hypertarget {url:1808490450776494469886199066475724407610946851235271335976337380875467521:122}{}\section* {$\rm 
Prop\ 3.7t$}

$\rm
[
Prop\ 3.7t
\stackrel{
stmt
}{\rightarrow}
S
\vdash 
\forall \underline{
\mathsf {a}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf {b}}
\colon 
{\neg }\underline{
\mathsf {b}}
= 
0
\Rightarrow 
{\neg }
{\neg }
\forall_{obj} 
\mathsf{z}
\colon 
{\neg }
{\neg }
{\neg }
\mathsf{z}
= 
0
\Rightarrow 
{\neg }
\mathsf{z}
+ \underline{
\mathsf {a}}
= \underline{
\mathsf {a}}
\cdot \underline{
\mathsf {b}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {a}}
= \underline{
\mathsf {a}}
\cdot \underline{
\mathsf {b}}
]$

$\rm
[
Prop\ 3.7t
\stackrel{
\mathrm{tex}
}{\rightarrow}
\mbox{``}
\newline Prop
\mbox {$\backslash $}
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}3.7t
\mbox{''}
]$

$\rm
[
Prop\ 3.7t
\stackrel{
\mathrm{pyk}
}{\rightarrow}
\mbox{``}prop
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}three
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}seven
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}t
\mbox{''}
]$

\hypertarget {url:1808490450776494469886199066475724407610946851235271335976337380875467521:123}{}\section* {$\rm 
Prop\ 3.7u$}

$\rm
[
Prop\ 3.7u
\stackrel{
stmt
}{\rightarrow}
S
\vdash 
\forall \underline{
\mathsf {a}}
\colon 
{\neg }\underline{
\mathsf {a}}
= 
0
\Rightarrow 
{\neg }
\forall_{obj} 
\mathsf{z}
\colon 
{\neg }
{\neg }
{\neg }
\mathsf{z}
= 
0
\Rightarrow 
{\neg }
\mathsf{z}
+ 
0
= \underline{
\mathsf {a}}
]$

$\rm
[
Prop\ 3.7u
\stackrel{
\mathrm{tex}
}{\rightarrow}
\mbox{``}
\newline Prop
\mbox {$\backslash $}
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}3.7u
\mbox{''}
]$

$\rm
[
Prop\ 3.7u
\stackrel{
\mathrm{pyk}
}{\rightarrow}
\mbox{``}prop
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}three
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}seven
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}u
\mbox{''}
]$

\hypertarget {url:1808490450776494469886199066475724407610946851235271335976337380875467521:124}{}\section* {$\rm 
Prop\ 3.7u'$}

$\rm
[
Prop\ 3.7u'
\stackrel{
stmt
}{\rightarrow}
S
\vdash 
\forall \underline{
\mathsf {a}}
\colon 
{\neg }
\forall_{obj} 
\mathsf{z}
\colon 
{\neg }
{\neg }
{\neg }
\mathsf{z}
= 
0
\Rightarrow 
{\neg }
\mathsf{z}
+ 
0
= \underline{
\mathsf {a}}
\Rightarrow 
{\neg }\underline{
\mathsf {a}}
= 
0
]$

$\rm
[
Prop\ 3.7u'
\stackrel{
\mathrm{tex}
}{\rightarrow}
\mbox{``}
\newline Prop
\mbox {$\backslash $}
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}3.7u
\mbox {'}
\mbox{''}
]$

$\rm
[
Prop\ 3.7u'
\stackrel{
\mathrm{pyk}
}{\rightarrow}
\mbox{``}prop
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}three
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}seven
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}u
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}mark
\mbox{''}
]$

\hypertarget {url:1808490450776494469886199066475724407610946851235271335976337380875467521:125}{}\section* {$\rm 
Prop\ 3.7v$}

$\rm
[
Prop\ 3.7v
\stackrel{
stmt
}{\rightarrow}
S
\vdash 
\forall \underline{
\mathsf {a}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf {b}}
\colon 
{\neg }
\forall_{obj} 
\mathsf{z}
\colon 
{\neg }
{\neg }
{\neg }
\mathsf{z}
= 
0
\Rightarrow 
{\neg }
\mathsf{z}
+ 
0
= \underline{
\mathsf {a}}
\Rightarrow 
{\neg }
\forall_{obj} 
\mathsf{z}
\colon 
{\neg }
{\neg }
{\neg }
\mathsf{z}
= 
0
\Rightarrow 
{\neg }
\mathsf{z}
+ 
0
= \underline{
\mathsf {b}}
\Rightarrow 
{\neg }
\forall_{obj} 
\mathsf{z}
\colon 
{\neg }
{\neg }
{\neg }
\mathsf{z}
= 
0
\Rightarrow 
{\neg }
\mathsf{z}
+ 
0
= \underline{
\mathsf {a}}
\cdot \underline{
\mathsf {b}}
]$

$\rm
[
Prop\ 3.7v
\stackrel{
\mathrm{tex}
}{\rightarrow}
\mbox{``}
\newline Prop
\mbox {$\backslash $}
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}3.7v
\mbox{''}
]$

$\rm
[
Prop\ 3.7v
\stackrel{
\mathrm{pyk}
}{\rightarrow}
\mbox{``}prop
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}three
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}seven
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}v
\mbox{''}
]$

\hypertarget {url:1808490450776494469886199066475724407610946851235271335976337380875467521:126}{}\section* {$\rm 
Prop\ 3.7w$}

$\rm
[
Prop\ 3.7w
\stackrel{
stmt
}{\rightarrow}
S
\vdash 
\forall \underline{
\mathsf {a}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf {b}}
\colon 
{\neg }\underline{
\mathsf {a}}
= 
0
\Rightarrow 
{\neg }
\forall_{obj} 
\mathsf{z}
\colon 
{\neg }
{\neg }
{\neg }
\mathsf{z}
= 
0
\Rightarrow 
{\neg }
\mathsf{z}
+ 
0
{}'
= \underline{
\mathsf {b}}
\Rightarrow 
{\neg }
\forall_{obj} 
\mathsf{z}
\colon 
{\neg }
{\neg }
{\neg }
\mathsf{z}
= 
0
\Rightarrow 
{\neg }
\mathsf{z}
+ \underline{
\mathsf {a}}
= \underline{
\mathsf {b}}
\cdot \underline{
\mathsf {a}}
]$

$\rm
[
Prop\ 3.7w
\stackrel{
\mathrm{tex}
}{\rightarrow}
\mbox{``}
\newline Prop
\mbox {$\backslash $}
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}3.7w
\mbox{''}
]$

$\rm
[
Prop\ 3.7w
\stackrel{
\mathrm{pyk}
}{\rightarrow}
\mbox{``}prop
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}three
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}seven
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}w
\mbox{''}
]$

\hypertarget {url:1808490450776494469886199066475724407610946851235271335976337380875467521:127}{}\section* {$\rm 
Prop\ 3.7x$}

$\rm
[
Prop\ 3.7x
\stackrel{
stmt
}{\rightarrow}
S
\vdash 
\forall \underline{
\mathsf {a}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf {b}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf {c}}
\colon 
{\neg }\underline{
\mathsf {a}}
= 
0
\Rightarrow 
{\neg }
\forall_{obj} 
\mathsf{z}
\colon 
{\neg }
{\neg }
{\neg }
\mathsf{z}
= 
0
\Rightarrow 
{\neg }
\mathsf{z}
+ \underline{
\mathsf {b}}
= \underline{
\mathsf {c}}
\Rightarrow 
{\neg }
\forall_{obj} 
\mathsf{z}
\colon 
{\neg }
{\neg }
{\neg }
\mathsf{z}
= 
0
\Rightarrow 
{\neg }
\mathsf{z}
+ \underline{
\mathsf {b}}
\cdot \underline{
\mathsf {a}}
= \underline{
\mathsf {c}}
\cdot \underline{
\mathsf {a}}
]$

$\rm
[
Prop\ 3.7x
\stackrel{
\mathrm{tex}
}{\rightarrow}
\mbox{``}
\newline Prop
\mbox {$\backslash $}
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}3.7x
\mbox{''}
]$

$\rm
[
Prop\ 3.7x
\stackrel{
\mathrm{pyk}
}{\rightarrow}
\mbox{``}prop
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}three
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}seven
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}x
\mbox{''}
]$

\hypertarget {url:1808490450776494469886199066475724407610946851235271335976337380875467521:128}{}\section* {$\rm 
Prop\ 3.7x'$}

$\rm
[
Prop\ 3.7x'
\stackrel{
stmt
}{\rightarrow}
S
\vdash 
\forall \underline{
\mathsf {a}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf {b}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf {c}}
\colon 
{\neg }\underline{
\mathsf {a}}
= 
0
\Rightarrow 
{\neg }
\forall_{obj} 
\mathsf{z}
\colon 
{\neg }
{\neg }
{\neg }
\mathsf{z}
= 
0
\Rightarrow 
{\neg }
\mathsf{z}
+ \underline{
\mathsf {b}}
\cdot \underline{
\mathsf {a}}
= \underline{
\mathsf {c}}
\cdot \underline{
\mathsf {a}}
\Rightarrow 
{\neg }
\forall_{obj} 
\mathsf{z}
\colon 
{\neg }
{\neg }
{\neg }
\mathsf{z}
= 
0
\Rightarrow 
{\neg }
\mathsf{z}
+ \underline{
\mathsf {b}}
= \underline{
\mathsf {c}}
]$

$\rm
[
Prop\ 3.7x'
\stackrel{
\mathrm{tex}
}{\rightarrow}
\mbox{``}
\newline Prop
\mbox {$\backslash $}
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}3.7x
\mbox {'}
\mbox{''}
]$

$\rm
[
Prop\ 3.7x'
\stackrel{
\mathrm{pyk}
}{\rightarrow}
\mbox{``}prop
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}three
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}seven
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}x
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}mark
\mbox{''}
]$

\hypertarget {url:1808490450776494469886199066475724407610946851235271335976337380875467521:129}{}\section* {$\rm 
Prop\ 3.7y$}

$\rm
[
Prop\ 3.7y
\stackrel{
stmt
}{\rightarrow}
S
\vdash 
\forall \underline{
\mathsf {a}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf {b}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf {c}}
\colon 
{\neg }\underline{
\mathsf {a}}
= 
0
\Rightarrow 
{\neg }
{\neg }
\forall_{obj} 
\mathsf{z}
\colon 
{\neg }
{\neg }
{\neg }
\mathsf{z}
= 
0
\Rightarrow 
{\neg }
\mathsf{z}
+ \underline{
\mathsf {b}}
= \underline{
\mathsf {c}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {b}}
= \underline{
\mathsf {c}}
\Rightarrow 
{\neg }
{\neg }
\forall_{obj} 
\mathsf{z}
\colon 
{\neg }
{\neg }
{\neg }
\mathsf{z}
= 
0
\Rightarrow 
{\neg }
\mathsf{z}
+ \underline{
\mathsf {b}}
\cdot \underline{
\mathsf {a}}
= \underline{
\mathsf {c}}
\cdot \underline{
\mathsf {a}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {b}}
\cdot \underline{
\mathsf {a}}
= \underline{
\mathsf {c}}
\cdot \underline{
\mathsf {a}}
]$

$\rm
[
Prop\ 3.7y
\stackrel{
\mathrm{tex}
}{\rightarrow}
\mbox{``}
\newline Prop
\mbox {$\backslash $}
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}3.7y
\mbox{''}
]$

$\rm
[
Prop\ 3.7y
\stackrel{
\mathrm{pyk}
}{\rightarrow}
\mbox{``}prop
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}three
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}seven
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}y
\mbox{''}
]$

\hypertarget {url:1808490450776494469886199066475724407610946851235271335976337380875467521:130}{}\section* {$\rm 
Prop\ 3.7y'$}

$\rm
[
Prop\ 3.7y'
\stackrel{
stmt
}{\rightarrow}
S
\vdash 
\forall \underline{
\mathsf {a}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf {b}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf {c}}
\colon 
{\neg }\underline{
\mathsf {a}}
= 
0
\Rightarrow 
{\neg }
{\neg }
\forall_{obj} 
\mathsf{z}
\colon 
{\neg }
{\neg }
{\neg }
\mathsf{z}
= 
0
\Rightarrow 
{\neg }
\mathsf{z}
+ \underline{
\mathsf {b}}
\cdot \underline{
\mathsf {a}}
= \underline{
\mathsf {c}}
\cdot \underline{
\mathsf {a}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {b}}
\cdot \underline{
\mathsf {a}}
= \underline{
\mathsf {c}}
\cdot \underline{
\mathsf {a}}
\Rightarrow 
{\neg }
{\neg }
\forall_{obj} 
\mathsf{z}
\colon 
{\neg }
{\neg }
{\neg }
\mathsf{z}
= 
0
\Rightarrow 
{\neg }
\mathsf{z}
+ \underline{
\mathsf {b}}
= \underline{
\mathsf {c}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {b}}
= \underline{
\mathsf {c}}
]$

$\rm
[
Prop\ 3.7y'
\stackrel{
\mathrm{tex}
}{\rightarrow}
\mbox{``}
\newline Prop
\mbox {$\backslash $}
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}3.7y
\mbox {'}
\mbox{''}
]$

$\rm
[
Prop\ 3.7y'
\stackrel{
\mathrm{pyk}
}{\rightarrow}
\mbox{``}prop
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}three
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}seven
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}y
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}mark
\mbox{''}
]$

\hypertarget {url:1808490450776494469886199066475724407610946851235271335976337380875467521:131}{}\section* {$\rm 
Prop\ 3.7z$}

$\rm
[
Prop\ 3.7z
\stackrel{
stmt
}{\rightarrow}
S
\vdash 
\forall \underline{
\mathsf {a}}
\colon 
{\neg }
{\neg }
\forall_{obj} 
\mathsf{z}
\colon 
{\neg }
{\neg }
{\neg }
\mathsf{z}
= 
0
\Rightarrow 
{\neg }
\mathsf{z}
+ \underline{
\mathsf {a}}
= 
0
]$

$\rm
[
Prop\ 3.7z
\stackrel{
\mathrm{tex}
}{\rightarrow}
\mbox{``}
\newline Prop
\mbox {$\backslash $}
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}3.7z
\mbox{''}
]$

$\rm
[
Prop\ 3.7z
\stackrel{
\mathrm{pyk}
}{\rightarrow}
\mbox{``}prop
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}three
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}seven
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}z
\mbox{''}
]$

\hypertarget {url:1808490450776494469886199066475724407610946851235271335976337380875467521:132}{}\section* {$\rm 
Prop\ 3.7z'$}

$\rm
[
Prop\ 3.7z'
\stackrel{
stmt
}{\rightarrow}
S
\vdash 
\forall \underline{
\mathsf {a}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf {b}}
\colon 
{\neg }
{\neg }
{\neg }
\forall_{obj} 
\mathsf{z}
\colon 
{\neg }
{\neg }
{\neg }
\mathsf{z}
= 
0
\Rightarrow 
{\neg }
\mathsf{z}
+ \underline{
\mathsf {a}}
= \underline{
\mathsf {b}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {a}}
= \underline{
\mathsf {b}}
\Rightarrow 
{\neg }
{\neg }
{\neg }
\forall_{obj} 
\mathsf{z}
\colon 
{\neg }
{\neg }
{\neg }
\mathsf{z}
= 
0
\Rightarrow 
{\neg }
\mathsf{z}
+ \underline{
\mathsf {b}}
= \underline{
\mathsf {a}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {b}}
= \underline{
\mathsf {a}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {a}}
= \underline{
\mathsf {b}}
]$

$\rm
[
Prop\ 3.7z'
\stackrel{
\mathrm{tex}
}{\rightarrow}
\mbox{``}
\newline Prop
\mbox {$\backslash $}
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}3.7z
\mbox {'}
\mbox{''}
]$

$\rm
[
Prop\ 3.7z'
\stackrel{
\mathrm{pyk}
}{\rightarrow}
\mbox{``}prop
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}three
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}seven
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}z
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}mark
\mbox{''}
]$

\hypertarget {url:1808490450776494469886199066475724407610946851235271335976337380875467521:133}{}\section* {$\rm 
Prop\ 3.10$}

$\rm
[
Prop\ 3.10
\stackrel{
\mathrm{tex}
}{\rightarrow}
\mbox{``}
\newline Prop
\mbox {$\backslash $}
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}3.10
\mbox{''}
]$

$\rm
[
Prop\ 3.10
\stackrel{
\mathrm{pyk}
}{\rightarrow}
\mbox{``}prop
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}three
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}ten
\mbox{''}
]$

\hypertarget {url:1808490450776494469886199066475724407610946851235271335976337380875467521:134}{}\section* {$\rm 
Prop\ 3.10a$}

$\rm
[
Prop\ 3.10a
\stackrel{
stmt
}{\rightarrow}
S
\vdash 
{\neg }
\forall_{obj} 
\mathsf{z}
\colon 
{\neg }\underline{
\mathsf {a}}
= 
\forall \underline{
\mathsf {a}}
\colon \underline{
\mathsf {a}}
\cdot 
\mathsf{z}
]$

$\rm
[
Prop\ 3.10a
\stackrel{
\mathrm{tex}
}{\rightarrow}
\mbox{``}
\newline Prop
\mbox {$\backslash $}
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}3.10a
\mbox{''}
]$

$\rm
[
Prop\ 3.10a
\stackrel{
\mathrm{pyk}
}{\rightarrow}
\mbox{``}prop
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}three
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}ten
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}a
\mbox{''}
]$

\hypertarget {url:1808490450776494469886199066475724407610946851235271335976337380875467521:135}{}\section* {$\rm 
Prop\ 3.10b$}

$\rm
[
Prop\ 3.10b
\stackrel{
stmt
}{\rightarrow}
S
\vdash 
{\neg }
\forall_{obj} 
\mathsf{z}
\colon 
{\neg }\underline{
\mathsf {a}}
= 
\forall \underline{
\mathsf {a}}
\colon 
0
{}'
\cdot 
\mathsf{z}
]$

$\rm
[
Prop\ 3.10b
\stackrel{
\mathrm{tex}
}{\rightarrow}
\mbox{``}
\newline Prop
\mbox {$\backslash $}
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}3.10b
\mbox{''}
]$

$\rm
[
Prop\ 3.10b
\stackrel{
\mathrm{pyk}
}{\rightarrow}
\mbox{``}prop
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}three
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}ten
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}b
\mbox{''}
]$

\hypertarget {url:1808490450776494469886199066475724407610946851235271335976337380875467521:136}{}\section* {$\rm 
Prop\ 3.10c$}

$\rm
[
Prop\ 3.10c
\stackrel{
stmt
}{\rightarrow}
S
\vdash 
{\neg }
\forall_{obj} 
\mathsf{z}
\colon 
{\neg }
0
= 
\forall \underline{
\mathsf {a}}
\colon \underline{
\mathsf {a}}
\cdot 
\mathsf{z}
]$

$\rm
[
Prop\ 3.10c
\stackrel{
\mathrm{tex}
}{\rightarrow}
\mbox{``}
\newline Prop
\mbox {$\backslash $}
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}3.10c
\mbox{''}
]$

$\rm
[
Prop\ 3.10c
\stackrel{
\mathrm{pyk}
}{\rightarrow}
\mbox{``}prop
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}three
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}ten
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}c
\mbox{''}
]$

\hypertarget {url:1808490450776494469886199066475724407610946851235271335976337380875467521:137}{}\section* {$\rm 
Prop\ 3.10d$}

$\rm
[
Prop\ 3.10d
\stackrel{
stmt
}{\rightarrow}
S
\vdash 
{\neg }
\forall_{obj} 
\mathsf{z}
\colon 
{\neg }\underline{
\mathsf {c}}
= 
{\neg }
\forall_{obj} 
\mathsf{z}
\colon 
{\neg }\underline{
\mathsf {c}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {a}}
= 
{\neg }
\forall_{obj} 
\mathsf{z}
\colon 
{\neg }\underline{
\mathsf {b}}
\wedge \underline{
\mathsf {b}}
= 
\forall \underline{
\mathsf {a}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf {b}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf {c}}
\colon \underline{
\mathsf {a}}
\cdot 
\mathsf{z}
\cdot 
\mathsf{z}
\cdot 
\mathsf{z}
]$

$\rm
[
Prop\ 3.10d
\stackrel{
\mathrm{tex}
}{\rightarrow}
\mbox{``}
\newline Prop
\mbox {$\backslash $}
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}3.10d
\mbox{''}
]$

$\rm
[
Prop\ 3.10d
\stackrel{
\mathrm{pyk}
}{\rightarrow}
\mbox{``}prop
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}three
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}ten
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}d
\mbox{''}
]$

\hypertarget {url:1808490450776494469886199066475724407610946851235271335976337380875467521:138}{}\section* {$\rm 
Prop\ 3.10e$}

$\rm
[
Prop\ 3.10e
\stackrel{
stmt
}{\rightarrow}
S
\vdash 
{\neg }
\forall_{obj} 
\mathsf{z}
\colon 
{\neg }\underline{
\mathsf {b}}
\Rightarrow 
{\neg }
{\neg }
\forall_{obj} 
\mathsf{z}
\colon 
{\neg }
{\neg }
{\neg }
\mathsf{z}
= 
0
\Rightarrow 
{\neg }
\mathsf{z}
+ \underline{
\mathsf {a}}
= \underline{
\mathsf {a}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {a}}
= \underline{
\mathsf {a}}
= 
\forall \underline{
\mathsf {a}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf {b}}
\colon 
{\neg }
{\neg }\underline{
\mathsf {a}}
= 
0
\Rightarrow 
{\neg }\underline{
\mathsf {b}}
\cdot 
\mathsf{z}
]$

$\rm
[
Prop\ 3.10e
\stackrel{
\mathrm{tex}
}{\rightarrow}
\mbox{``}
\newline Prop
\mbox {$\backslash $}
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}3.10e
\mbox{''}
]$

$\rm
[
Prop\ 3.10e
\stackrel{
\mathrm{pyk}
}{\rightarrow}
\mbox{``}prop
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}three
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}ten
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}e
\mbox{''}
]$

\hypertarget {url:1808490450776494469886199066475724407610946851235271335976337380875467521:139}{}\section* {$\rm 
Prop\ 3.10f$}

$\rm
[
Prop\ 3.10f
\stackrel{
stmt
}{\rightarrow}
S
\vdash 
{\neg }
\forall_{obj} 
\mathsf{z}
\colon 
{\neg }\underline{
\mathsf {a}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {a}}
= \underline{
\mathsf {b}}
= 
{\neg }
\forall_{obj} 
\mathsf{z}
\colon 
{\neg }
{\neg }\underline{
\mathsf {b}}
\Rightarrow 
{\neg }\underline{
\mathsf {b}}
= 
\forall \underline{
\mathsf {a}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf {b}}
\colon \underline{
\mathsf {a}}
\cdot 
\mathsf{z}
\cdot 
\mathsf{z}
]$

$\rm
[
Prop\ 3.10f
\stackrel{
\mathrm{tex}
}{\rightarrow}
\mbox{``}
\newline Prop
\mbox {$\backslash $}
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}3.10f
\mbox{''}
]$

$\rm
[
Prop\ 3.10f
\stackrel{
\mathrm{pyk}
}{\rightarrow}
\mbox{``}prop
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}three
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}ten
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}f
\mbox{''}
]$

\hypertarget {url:1808490450776494469886199066475724407610946851235271335976337380875467521:140}{}\section* {$\rm 
Prop\ 3.10g$}

$\rm
[
Prop\ 3.10g
\stackrel{
stmt
}{\rightarrow}
S
\vdash 
{\neg }
\forall_{obj} 
\mathsf{z}
\colon 
{\neg }\underline{
\mathsf {b}}
\cdot \underline{
\mathsf {c}}
= 
{\neg }
\forall_{obj} 
\mathsf{z}
\colon 
{\neg }\underline{
\mathsf {b}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {a}}
= 
\forall \underline{
\mathsf {a}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf {b}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf {c}}
\colon \underline{
\mathsf {a}}
\cdot 
\mathsf{z}
\cdot 
\mathsf{z}
]$

$\rm
[
Prop\ 3.10g
\stackrel{
\mathrm{tex}
}{\rightarrow}
\mbox{``}
\newline Prop
\mbox {$\backslash $}
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}3.10g
\mbox{''}
]$

$\rm
[
Prop\ 3.10g
\stackrel{
\mathrm{pyk}
}{\rightarrow}
\mbox{``}prop
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}three
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}ten
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}g
\mbox{''}
]$

\hypertarget {url:1808490450776494469886199066475724407610946851235271335976337380875467521:141}{}\section* {$\rm 
Prop\ 3.10h$}

$\rm
[
Prop\ 3.10h
\stackrel{
stmt
}{\rightarrow}
S
\vdash 
{\neg }
\forall_{obj} 
\mathsf{z}
\colon 
{\neg }\underline{
\mathsf {b}}
+ \underline{
\mathsf {c}}
= 
{\neg }
\forall_{obj} 
\mathsf{z}
\colon 
{\neg }\underline{
\mathsf {c}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {a}}
= 
{\neg }
\forall_{obj} 
\mathsf{z}
\colon 
{\neg }\underline{
\mathsf {b}}
\wedge \underline{
\mathsf {a}}
= 
\forall \underline{
\mathsf {a}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf {b}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf {c}}
\colon \underline{
\mathsf {a}}
\cdot 
\mathsf{z}
\cdot 
\mathsf{z}
\cdot 
\mathsf{z}
]$

$\rm
[
Prop\ 3.10h
\stackrel{
\mathrm{tex}
}{\rightarrow}
\mbox{``}
\newline Prop
\mbox {$\backslash $}
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}3.10h
\mbox{''}
]$

$\rm
[
Prop\ 3.10h
\stackrel{
\mathrm{pyk}
}{\rightarrow}
\mbox{``}prop
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}three
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}ten
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}h
\mbox{''}
]$

\hypertarget {url:1808490450776494469886199066475724407610946851235271335976337380875467521:142}{}\section* {$\rm 
Prop\ 3.11$}

$\rm
[
Prop\ 3.11
\stackrel{
stmt
}{\rightarrow}
S
\vdash 
\forall \underline{
\mathsf {a}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf {b}}
\colon 
{\neg }\underline{
\mathsf {a}}
= 
0
\Rightarrow 
{\neg }
\forall_{obj} \underline{
\mathsf {c}}
\colon 
\forall_{obj} \underline{
\mathsf {d}}
\colon 
{\neg }
{\neg }
{\neg }\underline{
\mathsf {b}}
= \underline{
\mathsf {a}}
\cdot \underline{
\mathsf {c}}
+ \underline{
\mathsf {d}}
\Rightarrow 
{\neg }
{\neg }
\forall_{obj} 
\mathsf{z}
\colon 
{\neg }
{\neg }
{\neg }
\mathsf{z}
= 
0
\Rightarrow 
{\neg }
\mathsf{z}
+ \underline{
\mathsf {d}}
= \underline{
\mathsf {a}}
\Rightarrow 
{\neg }
\forall_{obj} \underline{
\mathsf {e}}
\colon 
\forall_{obj} \underline{
\mathsf {f}}
\colon 
{\neg }\underline{
\mathsf {b}}
= \underline{
\mathsf {a}}
\cdot \underline{
\mathsf {e}}
+ \underline{
\mathsf {f}}
\Rightarrow 
{\neg }
{\neg }
\forall_{obj} 
\mathsf{z}
\colon 
{\neg }
{\neg }
{\neg }
\mathsf{z}
= 
0
\Rightarrow 
{\neg }
\mathsf{z}
+ \underline{
\mathsf {f}}
= \underline{
\mathsf {a}}
\Rightarrow 
{\neg }\underline{
\mathsf {c}}
= \underline{
\mathsf {e}}
\Rightarrow 
{\neg }\underline{
\mathsf {d}}
= \underline{
\mathsf {f}}
]$

$\rm
[
Prop\ 3.11
\stackrel{
\mathrm{tex}
}{\rightarrow}
\mbox{``}
\newline Prop
\mbox {$\backslash $}
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}3.11
\mbox{''}
]$

$\rm
[
Prop\ 3.11
\stackrel{
\mathrm{pyk}
}{\rightarrow}
\mbox{``}prop
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}three
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}eleven
\mbox{''}
]$

\hypertarget {url:1808490450776494469886199066475724407610946851235271335976337380875467521:143}{}\section* {$\rm \ast 
< \ast$}

$\rm
[
\mathsf{x} 
< 
\mathsf{y}
\stackrel{
\mathrm {macro}
}{\rightarrow}
\lambda 
\mathsf {t}
.
\lambda 
\mathsf {s}
.
\lambda 
\mathsf {c}
.
\tilde {{\cal M}}_4(
\mathsf {t}
,
\mathsf {s}
,
\mathsf {c}
,
\lceil 
[
\mathsf{x} 
< 
\mathsf{y}
\mathrel {\ddot {=}}
\exists 
\mathsf{z}
\colon 
(
\mathsf{z} 
\neq 
0
\wedge 
\mathsf{z}
+ 
\mathsf{x}
= 
\mathsf{y}
)
]
\rceil 
)
]$

$\rm
[
\mathsf{x} 
< 
\mathsf{y}
\stackrel{
\mathrm{tex}
}{\rightarrow}
\mbox{``}
\#1.
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}
\newline 
{<}
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}
\#2.
\mbox{''}
]$

$\rm
[
\ast  
< 
\ast 
\stackrel{
\mathrm{pyk}
}{\rightarrow}
\mbox{``}
\mbox {\tt \char34}
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}ist
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}
\mbox {\tt \char34}
\mbox{''}
]$

\hypertarget {url:1808490450776494469886199066475724407610946851235271335976337380875467521:144}{}\section* {$\rm \ast 
\leq \ast$}

$\rm
[
\mathsf{x} 
\leq 
\mathsf{y}
\stackrel{
\mathrm {macro}
}{\rightarrow}
\lambda 
\mathsf {t}
.
\lambda 
\mathsf {s}
.
\lambda 
\mathsf {c}
.
\tilde {{\cal M}}_4(
\mathsf {t}
,
\mathsf {s}
,
\mathsf {c}
,
\lceil 
[
\mathsf{x} 
\leq 
\mathsf{y}
\mathrel {\ddot {=}}
\mathsf{x} 
< 
\mathsf{y}
\vee 
\mathsf{x}
= 
\mathsf{y}
]
\rceil 
)
]$

$\rm
[
\mathsf{x} 
\leq 
\mathsf{y}
\stackrel{
\mathrm{tex}
}{\rightarrow}
\mbox{``}
\#1.
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}
\newline 
\mbox {$\backslash $}leq
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}
\#2.
\mbox{''}
]$

$\rm
[
\ast  
\leq 
\ast 
\stackrel{
\mathrm{pyk}
}{\rightarrow}
\mbox{``}
\mbox {\tt \char34}
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}istq
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}
\mbox {\tt \char34}
\mbox{''}
]$

\hypertarget {url:1808490450776494469886199066475724407610946851235271335976337380875467521:145}{}\section* {$\rm \ast 
\not <  \ast$}

$\rm
[
\mathsf{x} 
\not <  
\mathsf{y}
\stackrel{
\mathrm {macro}
}{\rightarrow}
\lambda 
\mathsf {t}
.
\lambda 
\mathsf {s}
.
\lambda 
\mathsf {c}
.
\tilde {{\cal M}}_4(
\mathsf {t}
,
\mathsf {s}
,
\mathsf {c}
,
\lceil 
[
\mathsf{x} 
\not <  
\mathsf{y}
\mathrel {\ddot {=}}
{\neg }
(
\mathsf{x} 
< 
\mathsf{y}
)
]
\rceil 
)
]$

$\rm
[
\mathsf{x} 
\not <  
\mathsf{y}
\stackrel{
\mathrm{tex}
}{\rightarrow}
\mbox{``}
\#1.
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}
\newline 
\mbox {$\backslash $}not
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}
{<}
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}
\#2.
\mbox{''}
]$

$\rm
[
\ast  
\not <  
\ast 
\stackrel{
\mathrm{pyk}
}{\rightarrow}
\mbox{``}
\mbox {\tt \char34}
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}inst
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}
\mbox {\tt \char34}
\mbox{''}
]$

\hypertarget {url:1808490450776494469886199066475724407610946851235271335976337380875467521:146}{}\section* {$\rm \ast 
> \ast$}

$\rm
[
\mathsf{x} 
> 
\mathsf{y}
\stackrel{
\mathrm {macro}
}{\rightarrow}
\lambda 
\mathsf {t}
.
\lambda 
\mathsf {s}
.
\lambda 
\mathsf {c}
.
\tilde {{\cal M}}_4(
\mathsf {t}
,
\mathsf {s}
,
\mathsf {c}
,
\lceil 
[
\mathsf{x} 
> 
\mathsf{y}
\mathrel {\ddot {=}}
\mathsf{y} 
< 
\mathsf{x}
]
\rceil 
)
]$

$\rm
[
\mathsf{x} 
> 
\mathsf{y}
\stackrel{
\mathrm{tex}
}{\rightarrow}
\mbox{``}
\#1.
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}
\newline 
{>}
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}
\#2.
\mbox{''}
]$

$\rm
[
\ast  
> 
\ast 
\stackrel{
\mathrm{pyk}
}{\rightarrow}
\mbox{``}
\mbox {\tt \char34}
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}igt
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}
\mbox {\tt \char34}
\mbox{''}
]$

\hypertarget {url:1808490450776494469886199066475724407610946851235271335976337380875467521:147}{}\section* {$\rm \ast 
\geq \ast$}

$\rm
[
\mathsf{x} 
\geq 
\mathsf{y}
\stackrel{
\mathrm {macro}
}{\rightarrow}
\lambda 
\mathsf {t}
.
\lambda 
\mathsf {s}
.
\lambda 
\mathsf {c}
.
\tilde {{\cal M}}_4(
\mathsf {t}
,
\mathsf {s}
,
\mathsf {c}
,
\lceil 
[
\mathsf{x} 
\geq 
\mathsf{y}
\mathrel {\ddot {=}}
\mathsf{y} 
\leq 
\mathsf{x}
]
\rceil 
)
]$

$\rm
[
\mathsf{x} 
\geq 
\mathsf{y}
\stackrel{
\mathrm{tex}
}{\rightarrow}
\mbox{``}
\#1.
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}
\newline 
\mbox {$\backslash $}geq
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}
\#2.
\mbox{''}
]$

$\rm
[
\ast  
\geq 
\ast 
\stackrel{
\mathrm{pyk}
}{\rightarrow}
\mbox{``}
\mbox {\tt \char34}
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}igtq
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}
\mbox {\tt \char34}
\mbox{''}
]$

\hypertarget {url:1808490450776494469886199066475724407610946851235271335976337380875467521:148}{}\section* {$\rm \ast 
\not > \ast$}

$\rm
[
\mathsf{x} 
\not > 
\mathsf{y}
\stackrel{
\mathrm {macro}
}{\rightarrow}
\lambda 
\mathsf {t}
.
\lambda 
\mathsf {s}
.
\lambda 
\mathsf {c}
.
\tilde {{\cal M}}_4(
\mathsf {t}
,
\mathsf {s}
,
\mathsf {c}
,
\lceil 
[
\mathsf{x} 
\not > 
\mathsf{y}
\mathrel {\ddot {=}}
\mathsf{y} 
\not <  
\mathsf{x}
]
\rceil 
)
]$

$\rm
[
\mathsf{x} 
\not > 
\mathsf{y}
\stackrel{
\mathrm{tex}
}{\rightarrow}
\mbox{``}
\#1.
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}
\newline 
\mbox {$\backslash $}not
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}
{>}
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}
\#2.
\mbox{''}
]$

$\rm
[
\ast  
\not > 
\ast 
\stackrel{
\mathrm{pyk}
}{\rightarrow}
\mbox{``}
\mbox {\tt \char34}
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}ingt
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}
\mbox {\tt \char34}
\mbox{''}
]$

\hypertarget {url:1808490450776494469886199066475724407610946851235271335976337380875467521:149}{}\section* {$\rm \ast 
\neq \ast$}

$\rm
[
\mathsf{x} 
\neq 
\mathsf{y}
\stackrel{
\mathrm {macro}
}{\rightarrow}
\lambda 
\mathsf {t}
.
\lambda 
\mathsf {s}
.
\lambda 
\mathsf {c}
.
\tilde {{\cal M}}_4(
\mathsf {t}
,
\mathsf {s}
,
\mathsf {c}
,
\lceil 
[
\mathsf{x} 
\neq 
\mathsf{y}
\mathrel {\ddot {=}}
{\neg }
(
\mathsf{x}
= 
\mathsf{y}
)
]
\rceil 
)
]$

$\rm
[
\mathsf{x} 
\neq 
\mathsf{y}
\stackrel{
\mathrm{tex}
}{\rightarrow}
\mbox{``}
\#1.
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}
\newline 
\mbox {$\backslash $}neq
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}
\#2.
\mbox{''}
]$

$\rm
[
\ast  
\neq 
\ast 
\stackrel{
\mathrm{pyk}
}{\rightarrow}
\mbox{``}
\mbox {\tt \char34}
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}neq
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}
\mbox {\tt \char34}
\mbox{''}
]$

\hypertarget {url:1808490450776494469886199066475724407610946851235271335976337380875467521:150}{}\section* {$\rm \ast
\wedge \ast$}

$\rm
[
\mathsf{x}
\wedge 
\mathsf{y}
\stackrel{
\mathrm {macro}
}{\rightarrow}
\lambda 
\mathsf {t}
.
\lambda 
\mathsf {s}
.
\lambda 
\mathsf {c}
.
\tilde {{\cal M}}_4(
\mathsf {t}
,
\mathsf {s}
,
\mathsf {c}
,
\lceil 
[
\mathsf{x}
\wedge 
\mathsf{y}
\mathrel {\ddot {=}}
{\neg }
(
\mathsf{x}
\Rightarrow 
{\neg }
\mathsf{y}
)
]
\rceil 
)
]$

$\rm
[
\mathsf{x}
\wedge 
\mathsf{y}
\stackrel{
\mathrm{tex}
}{\rightarrow}
\mbox{``}
\#1.
\newline 
\mbox {$\backslash $}wedge
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}
\#2.
\mbox{''}
]$

$\rm
[
\ast 
\wedge 
\ast 
\stackrel{
\mathrm{pyk}
}{\rightarrow}
\mbox{``}
\mbox {\tt \char34}
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}and1
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}
\mbox {\tt \char34}
\mbox{''}
]$

\hypertarget {url:1808490450776494469886199066475724407610946851235271335976337380875467521:151}{}\section* {$\rm \ast
\vee \ast$}

$\rm
[
\mathsf{x}
\vee 
\mathsf{y}
\stackrel{
\mathrm {macro}
}{\rightarrow}
\lambda 
\mathsf {t}
.
\lambda 
\mathsf {s}
.
\lambda 
\mathsf {c}
.
\tilde {{\cal M}}_4(
\mathsf {t}
,
\mathsf {s}
,
\mathsf {c}
,
\lceil 
[
\mathsf{x}
\vee 
\mathsf{y}
\mathrel {\ddot {=}}
(
{\neg }
\mathsf{x}
)
\Rightarrow 
\mathsf{y}
]
\rceil 
)
]$

$\rm
[
\mathsf{x}
\vee 
\mathsf{y}
\stackrel{
\mathrm{tex}
}{\rightarrow}
\mbox{``}
\#1.
\newline 
\mbox {$\backslash $}vee
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}
\#2.
\mbox{''}
]$

$\rm
[
\ast 
\vee 
\ast 
\stackrel{
\mathrm{pyk}
}{\rightarrow}
\mbox{``}
\mbox {\tt \char34}
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}or1
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}
\mbox {\tt \char34}
\mbox{''}
]$

\hypertarget {url:1808490450776494469886199066475724407610946851235271335976337380875467521:152}{}\section* {$\rm 
\exists \ast
\colon \ast$}

$\rm
[
\exists 
\mathsf{x}
\colon 
\mathsf{y}
\stackrel{
\mathrm {macro}
}{\rightarrow}
\lambda 
\mathsf {t}
.
\lambda 
\mathsf {s}
.
\lambda 
\mathsf {c}
.
\tilde {{\cal M}}_4(
\mathsf {t}
,
\mathsf {s}
,
\mathsf {c}
,
\lceil 
[
\exists 
\mathsf{x}
\colon 
\mathsf{y}
\mathrel {\ddot {=}}
{\neg }
(
\forall 
\mathsf{x}
\colon 
{\neg }
\mathsf{y}
)
]
\rceil 
)
]$

$\rm
[
\exists 
\mathsf{x}
\colon 
\mathsf{y}
\stackrel{
\mathrm{tex}
}{\rightarrow}
\mbox{``}
\newline 
\mbox {$\backslash $}exists
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}
\#1.
\newline 
\mbox {$\backslash $}colon
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}
\#2.
\mbox{''}
]$

$\rm
[
\exists 
\ast 
\colon 
\ast 
\stackrel{
\mathrm{pyk}
}{\rightarrow}
\mbox{``}exists
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}
\mbox {\tt \char34}
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}indeed
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}
\mbox {\tt \char34}
\mbox{''}
]$

\hypertarget {url:1808490450776494469886199066475724407610946851235271335976337380875467521:153}{}\section* {$\rm \ast
\mathrel{|} \ast$}

$\rm
[
\mathsf{x}
\mathrel{|} 
\mathsf{y}
\stackrel{
\mathrm {macro}
}{\rightarrow}
\lambda 
\mathsf {t}
.
\lambda 
\mathsf {s}
.
\lambda 
\mathsf {c}
.
\tilde {{\cal M}}_4(
\mathsf {t}
,
\mathsf {s}
,
\mathsf {c}
,
\lceil 
[
\mathsf{x}
\mathrel{|} 
\mathsf{y}
\mathrel {\ddot {=}}
\exists 
\mathsf{z}
\colon 
\mathsf{y}
= 
\mathsf{x}
\cdot 
\mathsf{z}
]
\rceil 
)
]$

$\rm
[
\mathsf{x}
\mathrel{|} 
\mathsf{y}
\stackrel{
\mathrm{tex}
}{\rightarrow}
\mbox{``}
\#1.
\newline 
\mbox {$\backslash $}mathrel
\{|
\}
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}
\#2.
\mbox{''}
]$

$\rm
[
\ast 
\mathrel{|} 
\ast 
\stackrel{
\mathrm{pyk}
}{\rightarrow}
\mbox{``}
\mbox {\tt \char34}
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}divides
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}
\mbox {\tt \char34}
\mbox{''}
]$

\hypertarget {url:1808490450776494469886199066475724407610946851235271335976337380875467521:154}{}\section* {$\rm \ast
\ldots$}

$\rm
[
\mathsf{x}
\ldots
\stackrel{
\mathrm{tex}
}{\rightarrow}
\mbox{``}
\#1.
\newline 
\mbox {$\backslash $}ldots
\mbox{''}
]$

$\rm
[
\ast 
\ldots
\stackrel{
\mathrm{pyk}
}{\rightarrow}
\mbox{``}
\mbox {\tt \char34}
\linebreak [0]\ \hskip0em plus2.0em{}ldots
\mbox{''}
]$

\vspace{2ex}

{\em \href {http://www.diku.dk/~grue/logiweb/20060417/logiweb/doc/compiler/index.html}{The pyk compiler},
version 0.grue.20060417+
by
\href {http://www.diku.dk/~grue/index.html}{Klaus Grue}\\
\href {http://www.diku.dk/~grue/logiweb/20060417/logiweb/doc/misc/time.html}{GRD-2006-06-29.UTC:23:36:29.550910} = 
\href {http://www.diku.dk/~grue/logiweb/20060417/logiweb/doc/misc/time.html}{MJD-53915.TAI:23:37:02.550910} = 
\href {http://www.diku.dk/~grue/logiweb/20060417/logiweb/doc/misc/time.html}{LGT-4658341022550910e-6}
}

\end{document}

