\documentclass [fleqn]{article}

\everymath{\rm}
\everydisplay{\rm}
\usepackage{latexsym}
\setlength {\overfullrule }{0mm}
\input{lgwinclude}
\usepackage[danish]{babel}
\usepackage{amsmath}
\usepackage{amssymb}
\usepackage{url}
\usepackage[dvipdfm=true]{hyperref}
\hypersetup{pdfpagemode=none}
\hypersetup{pdfstartpage=1}
\hypersetup{pdfstartview=FitBH}
\hypersetup{pdfpagescrop={120 80 490 730}}
\hypersetup{pdftitle=Logiweb sequent calculus}
\hypersetup{colorlinks=true}

% Save current \parindent (used by e.g. pyk display ... end display)
\newlength{\docparindent}
\setlength{\docparindent}{\parindent}

\newcommand{\liberalUrlBreak}[1]{{%
\mathcode`\/="202F%
\mathcode`\0="2030%
\mathcode`\1="2031%
\mathcode`\2="2032%
\mathcode`\3="2033%
\mathcode`\4="2034%
\mathcode`\5="2035%
\mathcode`\6="2036%
\mathcode`\7="2037%
\mathcode`\8="2038%
\mathcode`\9="2039%
\mathcode`\:="203A%
\mathcode`\A="2041%
\mathcode`\B="2042%
\mathcode`\C="2043%
\mathcode`\D="2044%
\mathcode`\E="2045%
\mathcode`\F="2046%
%\thinmuskip=0mu%
\medmuskip=0mu plus 2mu minus 0mu%
%\thickmuskip=0mu%
%\def\thinspace{\kern 0em}%
$#1$}}

\begin {document}
\title {Udvidelse af S-reglerne}
\author {Maja Hanne T\o nnesen, Rune Christoffer Kildetoft Andresen \\ \& Niels Peter Meyn Milthers}
\date {\today}
\maketitle
\tableofcontents


\raggedright



\section{Introduktion}
Dette skriftlige projekt er lavet i forbindelse med
Logik-kurset 2006\footnote{Kursus 061004/202 Logik}. 

Vores m\aa{}l i denne opgave var at bruge Logiweb\footnote{http://logiweb.eu} til at bevise en delm\ae{}ngde af udsagnene\footnote{Eng.:
  proposition} vedr\o{}rende l\ae{}res\ae{}tningerne\footnote{Eng.: theorem} fra
S-systemet, som er beskrevet i Mendelson \cite{mendelson} i kapitel 3.1. For lethedens skyld er alle nummereringer  de samme som i Mendelson.

Mere pr\ae{}cist g\aa{}r opgaven ud p\aa{} at bevise 3.2(j-o), bevise 3.4, bevise
3.5, tilf\o{}je aksiomet $x < y \Leftrightarrow \exists z : z \neq 0
\land z + x = y$, bevise 3.7, tilf\o{}je aksiomer, der definere $
{\neg }
\forall_{obj} 
\mathsf{z}
\colon 
{\neg }\overline{
\mathsf{y}}
= \overline{
\mathsf{x}}
\cdot 
\mathsf{z}$,
bevise 3.10 og bevise 3.11.

I afsnittene 3 til 7 er beviserne for de p\aa{}viste lemmaer
gennemg\aa{}et. Alle trivielle hj\ae{}lpelemmaer er bevist i appendix \ref{help}.
  
\section{Konklusion}
Vi har ikke l\o{}st opgaven til fulde, men har dog form\aa{}et at bevise
3.2j-o, 3.4, 3.5a-g. P\aa{} grund af problemer med definitionen af
reglen svarende til ``existensial rule'' side 77 i Mendelson, har vi
som beskrevet i afsnit \ref{35} ikke v\ae{}ret i stand til at kunne bevise
lemmaerne fra 3.5h og frem.

Vi har dog som beskrevet i afsnit \ref{35h} og \ref{exist} gennemg\aa{}et hvordan
beviserne for hhv. 3.5h og ``existensial rule'' ville have set ud, hvis
problemet ikke var opst\aa{}et.

Vi har endvidere kort gennemg\aa{}et de definitioner, som ville v\ae{}re
n\o{}dvendige for at kunne p\aa{}vise Lemma 3.7

\section{S-reglerne}

S-systemet er en f\o{}rste ordens teori, som er udviklet ud fra Peanos
postulater og ved hj\ae{}lp m\ae{}ngdel\ae{}re. Det skulle v\ae{}re passende at
bruge til at bevise basis-resultaterne for tal-teori. Aksiomerne for S
er f\o{}lgende:\\

\begin{list}{}{
\setlength{\leftmargin}{5em}
\setlength{\itemindent}{-5em}}

\item \makebox[0.45\textwidth][l]{$
[
S
\stackrel{
stmt
}{\rightarrow}
\mathsf{x}
]$}$
[
MP
\stackrel{
stmt
}{\rightarrow}
S
\vdash 
\forall \underline{
\mathsf {a}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf {b}}
\colon \underline{
\mathsf {a}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {b}}
\vdash \underline{
\mathsf {a}}
\vdash \underline{
\mathsf {b}}
]
[
MP
\stackrel{
proof
}{\rightarrow}
Rule\ tactic
]$

\item \makebox[0.45\textwidth][l]{$
[
Gen
\stackrel{
stmt
}{\rightarrow}
S
\vdash 
\forall \underline{
\mathsf{x}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf {a}}
\colon \underline{
\mathsf {a}}
\vdash 
\forall_{obj} \underline{
\mathsf{x}}
\colon \underline{
\mathsf {a}}
]
[
Gen
\stackrel{
proof
}{\rightarrow}
Rule\ tactic
]$}$
[
Ded
\stackrel{
stmt
}{\rightarrow}
S
\vdash 
\forall \underline{
\mathsf {a}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf {b}}
\colon 
\lambda 
\mathsf{x}
.
Ded_0(
\lceil \underline{
\mathsf {a}}
\rceil 
,
\lceil \underline{
\mathsf {b}}
\rceil 
)
\mathrel {\makebox [0mm][l]{$\vdash $}\,{\vdash }} \underline{
\mathsf {a}}
\vdash \underline{
\mathsf {b}}
]
[
Ded
\stackrel{
proof
}{\rightarrow}
Rule\ tactic
]$

\item \makebox[0.45\textwidth][l]{}$
[
S2
\stackrel{
stmt
}{\rightarrow}
S
\vdash 
\forall \underline{
\mathsf {a}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf {b}}
\colon \underline{
\mathsf {a}}
= \underline{
\mathsf {b}}
\vdash \underline{
\mathsf {a}}
{}'
= \underline{
\mathsf {b}}
{}'
]
[
S2
\stackrel{
proof
}{\rightarrow}
Rule\ tactic
]$

\item \makebox[0.45\textwidth][l]{$
[
S3
\stackrel{
stmt
}{\rightarrow}
S
\vdash 
\forall \underline{
\mathsf {a}}
\colon 
{\neg }
0
= \underline{
\mathsf {a}}
{}'
]
[
S3
\stackrel{
proof
}{\rightarrow}
Rule\ tactic
]$}$
[
S4
\stackrel{
stmt
}{\rightarrow}
S
\vdash 
\forall \underline{
\mathsf {a}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf {b}}
\colon \underline{
\mathsf {a}}
{}'
= \underline{
\mathsf {b}}
{}'
\vdash \underline{
\mathsf {a}}
= \underline{
\mathsf {b}}
]
[
S4
\stackrel{
proof
}{\rightarrow}
Rule\ tactic
]$

\item \makebox[0.45\textwidth][l]{$
[
S5
\stackrel{
stmt
}{\rightarrow}
S
\vdash 
\forall \underline{
\mathsf {a}}
\colon \underline{
\mathsf {a}}
+ 
0
= \underline{
\mathsf {a}}
]
[
S5
\stackrel{
proof
}{\rightarrow}
Rule\ tactic
]$}$
[
S6
\stackrel{
stmt
}{\rightarrow}
S
\vdash 
\forall \underline{
\mathsf {a}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf {b}}
\colon \underline{
\mathsf {a}}
+ \underline{
\mathsf {b}}
{}'
= \underline{
\mathsf {a}}
+ \underline{
\mathsf {b}}
{}'
]
[
S6
\stackrel{
proof
}{\rightarrow}
Rule\ tactic
]$

\item \makebox[0.45\textwidth][l]{$
[
S7
\stackrel{
stmt
}{\rightarrow}
S
\vdash 
\forall \underline{
\mathsf {a}}
\colon \underline{
\mathsf {a}}
\cdot 
0
= 
0
]
[
S7
\stackrel{
proof
}{\rightarrow}
Rule\ tactic
]$}$
[
S8
\stackrel{
stmt
}{\rightarrow}
S
\vdash 
\forall \underline{
\mathsf {a}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf {b}}
\colon \underline{
\mathsf {a}}
\cdot \underline{
\mathsf {b}}
{}'
= \underline{
\mathsf {a}}
\cdot \underline{
\mathsf {b}}
+ \underline{
\mathsf {a}}
]
[
S8
\stackrel{
proof
}{\rightarrow}
Rule\ tactic
]$

\item $
[
S1
\stackrel{
stmt
}{\rightarrow}
S
\vdash 
\forall \underline{
\mathsf {a}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf {b}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf {c}}
\colon \underline{
\mathsf {a}}
= \underline{
\mathsf {b}}
\vdash \underline{
\mathsf {a}}
= \underline{
\mathsf {c}}
\vdash \underline{
\mathsf {b}}
= \underline{
\mathsf {c}}
]
[
S1
\stackrel{
proof
}{\rightarrow}
Rule\ tactic
]$
\end{list}



Endvidere er reglen \textit{S9}, som er grundl\ae{}ggende for matematisk
induktion, ogs\aa{} en del af \textit{S}-teorien. Denne regel kan p\aa{}
almindeligt sprog udtrykkes som:

\begin{quote}\textit{Hvis en egenskab holder for 0 og egenskaben holder for efterf\o{}lgeren $x'$
til et naturligt tal $x$, som egenskaben g\ae{}lder for, s\aa{} vil egenskaben
g\ae{}lde for alle naturlige tal. }
\end{quote}

I pyk er S9 defineret som:\\ 

\begin{list}{}{
\setlength{\leftmargin}{5em}
\setlength{\itemindent}{-5em}}

\item $
[
S9
\stackrel{
stmt
}{\rightarrow}
S
\vdash 
\forall \underline{
\mathsf{x}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf {a}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf {b}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf {c}}
\colon 
\langle 
\lceil \underline{
\mathsf {b}}
\rceil 
{\equiv}^0 
\lceil \underline{
\mathsf {a}}
\rceil 
| 
\lceil \underline{
\mathsf{x}}
\rceil 
{:=} 
\lceil 
0
\rceil 
\rangle 
\mathrel {\makebox [0mm][l]{$\vdash $}\,{\vdash }} 
\langle 
\lceil \underline{
\mathsf {c}}
\rceil 
{\equiv}^0 
\lceil \underline{
\mathsf {a}}
\rceil 
| 
\lceil \underline{
\mathsf{x}}
\rceil 
{:=} 
\lceil \underline{
\mathsf{x}}
{}'
\rceil 
\rangle 
\mathrel {\makebox [0mm][l]{$\vdash $}\,{\vdash }} \underline{
\mathsf {b}}
\vdash \underline{
\mathsf {a}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {c}}
\vdash \underline{
\mathsf {a}}
]
[
S9
\stackrel{
proof
}{\rightarrow}
Rule\ tactic
]$

\end{list}
Reglen for bevis ved mods\ae{}tninger er den sidste grundl\ae{}ggende regel,
der skal bruges i beviserne. Reglen kan p\aa{} almindeligt sprog udtrykkes
som f\o{}lgende:

\begin{quote} \textit{Hvis man ud fra en antagelse $A$
kan p\aa{}vise at en egenskab $B$ g\ae{}lder, og at man (n\aa{}r antagelsen stadig g\ae{}lder) kan vise at den modsatte egenskab $\lnot B$ ogs\aa{} g\ae{}lder, s\aa{}
m\aa{} det modsatte af antagelsen g\ae{}lde, dvs. $\lnot A$.}
\end{quote}

I pyk er reglen defineret som:\\

\begin{list}{}{
\setlength{\leftmargin}{5em}
\setlength{\itemindent}{-5em}}

\item $
[
Neg
\stackrel{
stmt
}{\rightarrow}
S
\vdash 
\forall \underline{
\mathsf {a}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf {b}}
\colon 
{\neg }\underline{
\mathsf {b}}
\Rightarrow 
{\neg }\underline{
\mathsf {a}}
\vdash 
{\neg }\underline{
\mathsf {b}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {a}}
\vdash \underline{
\mathsf {b}}
]
[
Neg
\stackrel{
proof
}{\rightarrow}
Rule\ tactic
]$
\end{list}

\section{Udsagn 3.2}
Dette udsagn indeholder de grundl\ae{}ggende regneregler for tal, som
opf\o{}rer sig som de naturlige tal. Hj\ae{}lpes\ae{}tningerne eller lemmaerne er
generelt set en direkte konsekvens af aksiomerne.

Alle lemmaerne i dette afsnit kan udledes ud fra de tidligere n\ae{}vnte og som
det er bevist i b\aa{}de check \cite{check} og Mendelson er der for ethvert
udtryk $\underline{
\mathsf {a}}
,\linebreak [0] \underline{
\mathsf {b}}
,\linebreak [0] \underline{
\mathsf {c}}$
f\o{}lgende velformulerede s\ae{}tninger\footnote{Eng.: Wellformed formulas} i systemet S:\\

\begin{list}{}{
\setlength{\leftmargin}{5em}
\setlength{\itemindent}{-5em}}

\item $
[
Prop\ 3.2a
\stackrel{
stmt
}{\rightarrow}
S
\vdash 
\forall \underline{
\mathsf {a}}
\colon \underline{
\mathsf {a}}
= \underline{
\mathsf {a}}
]$

\item $
[
Prop\ 3.2b
\stackrel{
stmt
}{\rightarrow}
S
\vdash 
\forall \underline{
\mathsf {a}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf {b}}
\colon \underline{
\mathsf {a}}
= \underline{
\mathsf {b}}
\vdash \underline{
\mathsf {b}}
= \underline{
\mathsf {a}}
]$

\item $
[
Prop\ 3.2c
\stackrel{
stmt
}{\rightarrow}
S
\vdash 
\forall \underline{
\mathsf {a}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf {b}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf {c}}
\colon \underline{
\mathsf {a}}
= \underline{
\mathsf {b}}
\vdash \underline{
\mathsf {b}}
= \underline{
\mathsf {c}}
\vdash \underline{
\mathsf {a}}
= \underline{
\mathsf {c}}
]$

\item $
[
Prop\ 3.2d
\stackrel{
stmt
}{\rightarrow}
S
\vdash 
\forall \underline{
\mathsf {a}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf {b}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf {c}}
\colon \underline{
\mathsf {a}}
= \underline{
\mathsf {c}}
\vdash \underline{
\mathsf {b}}
= \underline{
\mathsf {c}}
\vdash \underline{
\mathsf {a}}
= \underline{
\mathsf {b}}
]$

\item $
[
Prop\ 3.2e
\stackrel{
stmt
}{\rightarrow}
S
\vdash 
\forall \underline{
\mathsf {a}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf {b}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf {c}}
\colon \underline{
\mathsf {a}}
= \underline{
\mathsf {b}}
\vdash \underline{
\mathsf {a}}
+ \underline{
\mathsf {c}}
= \underline{
\mathsf {b}}
+ \underline{
\mathsf {c}}
]$

\item $
[
Prop\ 3.2f
\stackrel{
stmt
}{\rightarrow}
S
\vdash 
\forall \underline{
\mathsf {a}}
\colon \underline{
\mathsf {a}}
= 
0
+ \underline{
\mathsf {a}}
]$

\item $
[
Prop\ 3.2g
\stackrel{
stmt
}{\rightarrow}
S
\vdash 
\forall \underline{
\mathsf {a}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf {b}}
\colon \underline{
\mathsf {a}}
{}'
+ \underline{
\mathsf {b}}
= \underline{
\mathsf {a}}
+ \underline{
\mathsf {b}}
{}'
]$

\item $
[
Prop\ 3.2h
\stackrel{
stmt
}{\rightarrow}
S
\vdash 
\forall \underline{
\mathsf {a}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf {b}}
\colon \underline{
\mathsf {a}}
+ \underline{
\mathsf {b}}
= \underline{
\mathsf {b}}
+ \underline{
\mathsf {a}}
]$
\end{list}

Da 3.2i ikke er bevist i check,  (men er i Mendelson),
har vi valgt for \o{}velsens skyld at indskrive beviset:\\
\begin{list}{}{
\setlength{\leftmargin}{0em}
\setlength{\itemindent}{0em}
\setlength{\itemsep}{1ex}}

\item $
[
Prop\ 3.2i
\stackrel{
stmt
}{\rightarrow}
S
\vdash 
\forall \underline{
\mathsf {a}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf {b}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf {c}}
\colon \underline{
\mathsf {a}}
= \underline{
\mathsf {b}}
\vdash \underline{
\mathsf {c}}
+ \underline{
\mathsf {a}}
= \underline{
\mathsf {c}}
+ \underline{
\mathsf {b}}
]$

\item $
[
Prop\ 3.2i
\stackrel{
proof
}{\rightarrow}
\lambda 
\mathsf {c}
.
\lambda 
\mathsf{x}
.
{\cal P}( 
\lceil 
S
\vdash 
\forall \underline{
\mathsf {a}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf {b}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf {c}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf {a}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf {b}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf {c}}
\colon \underline{
\mathsf {a}}
= \underline{
\mathsf {b}}
\vdash 
Prop\ 3.2e
\rhd \underline{
\mathsf {a}}
= \underline{
\mathsf {b}}
\gg \underline{
\mathsf {a}}
+ \underline{
\mathsf {c}}
= \underline{
\mathsf {b}}
+ \underline{
\mathsf {c}}
; 
Prop\ 3.2h
\gg \underline{
\mathsf {a}}
+ \underline{
\mathsf {c}}
= \underline{
\mathsf {c}}
+ \underline{
\mathsf {a}}
; 
Prop\ 3.2h
\gg \underline{
\mathsf {b}}
+ \underline{
\mathsf {c}}
= \underline{
\mathsf {c}}
+ \underline{
\mathsf {b}}
; 
S1
\rhd \underline{
\mathsf {a}}
+ \underline{
\mathsf {c}}
= \underline{
\mathsf {b}}
+ \underline{
\mathsf {c}}
\rhd \underline{
\mathsf {a}}
+ \underline{
\mathsf {c}}
= \underline{
\mathsf {c}}
+ \underline{
\mathsf {a}}
\gg \underline{
\mathsf {b}}
+ \underline{
\mathsf {c}}
= \underline{
\mathsf {c}}
+ \underline{
\mathsf {a}}
; 
Prop\ 3.2b
\rhd \underline{
\mathsf {b}}
+ \underline{
\mathsf {c}}
= \underline{
\mathsf {c}}
+ \underline{
\mathsf {a}}
\gg \underline{
\mathsf {c}}
+ \underline{
\mathsf {a}}
= \underline{
\mathsf {b}}
+ \underline{
\mathsf {c}}
; 
Prop\ 3.2c
\rhd \underline{
\mathsf {c}}
+ \underline{
\mathsf {a}}
= \underline{
\mathsf {b}}
+ \underline{
\mathsf {c}}
\rhd \underline{
\mathsf {b}}
+ \underline{
\mathsf {c}}
= \underline{
\mathsf {c}}
+ \underline{
\mathsf {b}}
\gg \underline{
\mathsf {c}}
+ \underline{
\mathsf {a}}
= \underline{
\mathsf {c}}
+ \underline{
\mathsf {b}}
; 
Ded
\rhd 
\forall \underline{
\mathsf {a}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf {b}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf {c}}
\colon \underline{
\mathsf {a}}
= \underline{
\mathsf {b}}
\vdash \underline{
\mathsf {c}}
+ \underline{
\mathsf {a}}
= \underline{
\mathsf {c}}
+ \underline{
\mathsf {b}}
\gg \underline{
\mathsf {a}}
= \underline{
\mathsf {b}}
\vdash \underline{
\mathsf {c}}
+ \underline{
\mathsf {a}}
= \underline{
\mathsf {c}}
+ \underline{
\mathsf {b}}
\rceil 
, 
p_0
, 
\mathsf {c}
)
]$

\end{list}

De f\o{}lgende lemmaer er opskrevet, men ikke bevist i Mendelson. Disse er
blandt dem som vi \o{}nsker at bevise.


\begin{list}{}{
\setlength{\leftmargin}{0em}
\setlength{\itemindent}{0em}
\setlength{\itemsep}{1ex}}

\item $
[
Prop\ 3.2j
\stackrel{
stmt
}{\rightarrow}
S
\vdash 
\forall \underline{
\mathsf {a}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf {b}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf {c}}
\colon \underline{
\mathsf {a}}
+ \underline{
\mathsf {b}}
+ \underline{
\mathsf {c}}
= \underline{
\mathsf {a}}
+ \underline{
\mathsf {b}}
+ \underline{
\mathsf {c}}
]$

\item $
[
Prop\ 3.2k
\stackrel{
stmt
}{\rightarrow}
S
\vdash 
\forall \underline{
\mathsf {a}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf {b}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf {c}}
\colon \underline{
\mathsf {a}}
= \underline{
\mathsf {b}}
\vdash \underline{
\mathsf {a}}
\cdot \underline{
\mathsf {c}}
= \underline{
\mathsf {b}}
\cdot \underline{
\mathsf {c}}
]$

\item $
[
Prop\ 3.2l
\stackrel{
stmt
}{\rightarrow}
S
\vdash 
\forall \underline{
\mathsf {a}}
\colon 
0
\cdot \underline{
\mathsf {a}}
= 
0
]$

\item $
[
Prop\ 3.2m
\stackrel{
stmt
}{\rightarrow}
S
\vdash 
\forall \underline{
\mathsf {a}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf {b}}
\colon \underline{
\mathsf {a}}
{}'
\cdot \underline{
\mathsf {b}}
= \underline{
\mathsf {a}}
\cdot \underline{
\mathsf {b}}
+ \underline{
\mathsf {b}}
]$

\item $
[
Prop\ 3.2n
\stackrel{
stmt
}{\rightarrow}
S
\vdash 
\forall \underline{
\mathsf {a}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf {b}}
\colon \underline{
\mathsf {a}}
\cdot \underline{
\mathsf {b}}
= \underline{
\mathsf {b}}
\cdot \underline{
\mathsf {a}}
]$

\item $
[
Prop\ 3.2o
\stackrel{
stmt
}{\rightarrow}
S
\vdash 
\forall \underline{
\mathsf {a}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf {b}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf {c}}
\colon \underline{
\mathsf {a}}
= \underline{
\mathsf {b}}
\vdash \underline{
\mathsf {c}}
\cdot \underline{
\mathsf {a}}
= \underline{
\mathsf {c}}
\cdot \underline{
\mathsf {b}}
]$

\end{list}

Her efter f\o{}lger beviserne.

\subsection{3.2j}
Vi vil bevise 3.2j ved induktion efter $z$ i $B(z) : (x+y)+z = x+(y+z)$\\
Basistilf\ae{}ldet er:
\begin{list}{}{
\setlength{\leftmargin}{0em}
\setlength{\itemindent}{0em}
\setlength{\itemsep}{1ex}}

\item $
[
Prop\ 3.2j_1
\stackrel{
stmt
}{\rightarrow}
S
\vdash 
\forall \underline{
\mathsf {a}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf {b}}
\colon \underline{
\mathsf {a}}
+ \underline{
\mathsf {b}}
+ 
0
= \underline{
\mathsf {a}}
+ \underline{
\mathsf {b}}
+ 
0
]$ 

\item $
[
Prop\ 3.2j_1
\stackrel{
proof
}{\rightarrow}
\lambda 
\mathsf {c}
.
\lambda 
\mathsf{x}
.
{\cal P}( 
\lceil 
S
\vdash 
\forall \underline{
\mathsf {a}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf {b}}
\colon 
S5
\gg \underline{
\mathsf {a}}
+ \underline{
\mathsf {b}}
+ 
0
= \underline{
\mathsf {a}}
+ \underline{
\mathsf {b}}
; 
S5
\gg \underline{
\mathsf {b}}
+ 
0
= \underline{
\mathsf {b}}
; 
Prop\ 3.2i
\rhd \underline{
\mathsf {b}}
+ 
0
= \underline{
\mathsf {b}}
\gg \underline{
\mathsf {a}}
+ \underline{
\mathsf {b}}
+ 
0
= \underline{
\mathsf {a}}
+ \underline{
\mathsf {b}}
; 
Prop\ 3.2d
\rhd \underline{
\mathsf {a}}
+ \underline{
\mathsf {b}}
+ 
0
= \underline{
\mathsf {a}}
+ \underline{
\mathsf {b}}
\rhd \underline{
\mathsf {a}}
+ \underline{
\mathsf {b}}
+ 
0
= \underline{
\mathsf {a}}
+ \underline{
\mathsf {b}}
\gg \underline{
\mathsf {a}}
+ \underline{
\mathsf {b}}
+ 
0
= \underline{
\mathsf {a}}
+ \underline{
\mathsf {b}}
+ 
0
\rceil 
, 
p_0
, 
\mathsf {c}
)
]$

Det induktive trin er:

\item $
[
Prop\ 3.2j_2
\stackrel{
stmt
}{\rightarrow}
S
\vdash 
\forall \underline{
\mathsf {a}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf {b}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf {c}}
\colon \underline{
\mathsf {a}}
+ \underline{
\mathsf {b}}
+ \underline{
\mathsf {c}}
= \underline{
\mathsf {a}}
+ \underline{
\mathsf {b}}
+ \underline{
\mathsf {c}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {a}}
+ \underline{
\mathsf {b}}
+ \underline{
\mathsf {c}}
{}'
= \underline{
\mathsf {a}}
+ \underline{
\mathsf {b}}
+ \underline{
\mathsf {c}}
{}'
]$

\item $
[
Prop\ 3.2j_2
\stackrel{
proof
}{\rightarrow}
\lambda 
\mathsf {c}
.
\lambda 
\mathsf{x}
.
{\cal P}( 
\lceil 
S
\vdash 
\forall \underline{
\mathsf {a}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf {b}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf {c}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf {a}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf {b}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf {c}}
\colon \underline{
\mathsf {a}}
+ \underline{
\mathsf {b}}
+ \underline{
\mathsf {c}}
= \underline{
\mathsf {a}}
+ \underline{
\mathsf {b}}
+ \underline{
\mathsf {c}}
\vdash 
S6
\gg \underline{
\mathsf {a}}
+ \underline{
\mathsf {b}}
+ \underline{
\mathsf {c}}
{}'
= \underline{
\mathsf {a}}
+ \underline{
\mathsf {b}}
+ \underline{
\mathsf {c}}
{}'
; 
S2
\rhd \underline{
\mathsf {a}}
+ \underline{
\mathsf {b}}
+ \underline{
\mathsf {c}}
= \underline{
\mathsf {a}}
+ \underline{
\mathsf {b}}
+ \underline{
\mathsf {c}}
\gg \underline{
\mathsf {a}}
+ \underline{
\mathsf {b}}
+ \underline{
\mathsf {c}}
{}'
= \underline{
\mathsf {a}}
+ \underline{
\mathsf {b}}
+ \underline{
\mathsf {c}}
{}'
; 
Prop\ 3.2c
\rhd \underline{
\mathsf {a}}
+ \underline{
\mathsf {b}}
+ \underline{
\mathsf {c}}
{}'
= \underline{
\mathsf {a}}
+ \underline{
\mathsf {b}}
+ \underline{
\mathsf {c}}
{}'
\rhd \underline{
\mathsf {a}}
+ \underline{
\mathsf {b}}
+ \underline{
\mathsf {c}}
{}'
= \underline{
\mathsf {a}}
+ \underline{
\mathsf {b}}
+ \underline{
\mathsf {c}}
{}'
\gg \underline{
\mathsf {a}}
+ \underline{
\mathsf {b}}
+ \underline{
\mathsf {c}}
{}'
= \underline{
\mathsf {a}}
+ \underline{
\mathsf {b}}
+ \underline{
\mathsf {c}}
{}'
; 
S6
\gg \underline{
\mathsf {b}}
+ \underline{
\mathsf {c}}
{}'
= \underline{
\mathsf {b}}
+ \underline{
\mathsf {c}}
{}'
; 
Prop\ 3.2i
\rhd \underline{
\mathsf {b}}
+ \underline{
\mathsf {c}}
{}'
= \underline{
\mathsf {b}}
+ \underline{
\mathsf {c}}
{}'
\gg \underline{
\mathsf {a}}
+ \underline{
\mathsf {b}}
+ \underline{
\mathsf {c}}
{}'
= \underline{
\mathsf {a}}
+ \underline{
\mathsf {b}}
+ \underline{
\mathsf {c}}
{}'
; 
S6
\gg \underline{
\mathsf {a}}
+ \underline{
\mathsf {b}}
+ \underline{
\mathsf {c}}
{}'
= \underline{
\mathsf {a}}
+ \underline{
\mathsf {b}}
+ \underline{
\mathsf {c}}
{}'
; 
Prop\ 3.2c
\rhd \underline{
\mathsf {a}}
+ \underline{
\mathsf {b}}
+ \underline{
\mathsf {c}}
{}'
= \underline{
\mathsf {a}}
+ \underline{
\mathsf {b}}
+ \underline{
\mathsf {c}}
{}'
\rhd \underline{
\mathsf {a}}
+ \underline{
\mathsf {b}}
+ \underline{
\mathsf {c}}
{}'
= \underline{
\mathsf {a}}
+ \underline{
\mathsf {b}}
+ \underline{
\mathsf {c}}
{}'
\gg \underline{
\mathsf {a}}
+ \underline{
\mathsf {b}}
+ \underline{
\mathsf {c}}
{}'
= \underline{
\mathsf {a}}
+ \underline{
\mathsf {b}}
+ \underline{
\mathsf {c}}
{}'
; 
Prop\ 3.2d
\rhd \underline{
\mathsf {a}}
+ \underline{
\mathsf {b}}
+ \underline{
\mathsf {c}}
{}'
= \underline{
\mathsf {a}}
+ \underline{
\mathsf {b}}
+ \underline{
\mathsf {c}}
{}'
\rhd \underline{
\mathsf {a}}
+ \underline{
\mathsf {b}}
+ \underline{
\mathsf {c}}
{}'
= \underline{
\mathsf {a}}
+ \underline{
\mathsf {b}}
+ \underline{
\mathsf {c}}
{}'
\gg \underline{
\mathsf {a}}
+ \underline{
\mathsf {b}}
+ \underline{
\mathsf {c}}
{}'
= \underline{
\mathsf {a}}
+ \underline{
\mathsf {b}}
+ \underline{
\mathsf {c}}
{}'
; 
Ded
\rhd 
\forall \underline{
\mathsf {a}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf {b}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf {c}}
\colon \underline{
\mathsf {a}}
+ \underline{
\mathsf {b}}
+ \underline{
\mathsf {c}}
= \underline{
\mathsf {a}}
+ \underline{
\mathsf {b}}
+ \underline{
\mathsf {c}}
\vdash \underline{
\mathsf {a}}
+ \underline{
\mathsf {b}}
+ \underline{
\mathsf {c}}
{}'
= \underline{
\mathsf {a}}
+ \underline{
\mathsf {b}}
+ \underline{
\mathsf {c}}
{}'
\gg \underline{
\mathsf {a}}
+ \underline{
\mathsf {b}}
+ \underline{
\mathsf {c}}
= \underline{
\mathsf {a}}
+ \underline{
\mathsf {b}}
+ \underline{
\mathsf {c}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {a}}
+ \underline{
\mathsf {b}}
+ \underline{
\mathsf {c}}
{}'
= \underline{
\mathsf {a}}
+ \underline{
\mathsf {b}}
+ \underline{
\mathsf {c}}
{}'
\rceil 
, 
p_0
, 
\mathsf {c}
)
]$

\item $
[
Prop\ 3.2j
\stackrel{
stmt
}{\rightarrow}
S
\vdash 
\forall \underline{
\mathsf {a}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf {b}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf {c}}
\colon \underline{
\mathsf {a}}
+ \underline{
\mathsf {b}}
+ \underline{
\mathsf {c}}
= \underline{
\mathsf {a}}
+ \underline{
\mathsf {b}}
+ \underline{
\mathsf {c}}
]$



\item $
[
Prop\ 3.2j
\stackrel{
proof
}{\rightarrow}
\lambda 
\mathsf {c}
.
\lambda 
\mathsf{x}
.
{\cal P}( 
\lceil 
S
\vdash 
\forall \underline{
\mathsf {a}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf {b}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf {c}}
\colon 
Prop\ 3.2j_1
\gg \overline{
\mathsf{x}}
+ \overline{
\mathsf{y}}
+ 
0
= \overline{
\mathsf{x}}
+ \overline{
\mathsf{y}}
+ 
0
; 
Prop\ 3.2j_2
\gg \overline{
\mathsf{x}}
+ \overline{
\mathsf{y}}
+ \overline{
\mathsf{z}}
= \overline{
\mathsf{x}}
+ \overline{
\mathsf{y}}
+ \overline{
\mathsf{z}}
\Rightarrow \overline{
\mathsf{x}}
+ \overline{
\mathsf{y}}
+ \overline{
\mathsf{z}}
{}'
= \overline{
\mathsf{x}}
+ \overline{
\mathsf{y}}
+ \overline{
\mathsf{z}}
{}'
; 
S9
\mathop {\char64} \overline{
\mathsf{z}}
\rhd \overline{
\mathsf{x}}
+ \overline{
\mathsf{y}}
+ 
0
= \overline{
\mathsf{x}}
+ \overline{
\mathsf{y}}
+ 
0
\rhd \overline{
\mathsf{x}}
+ \overline{
\mathsf{y}}
+ \overline{
\mathsf{z}}
= \overline{
\mathsf{x}}
+ \overline{
\mathsf{y}}
+ \overline{
\mathsf{z}}
\Rightarrow \overline{
\mathsf{x}}
+ \overline{
\mathsf{y}}
+ \overline{
\mathsf{z}}
{}'
= \overline{
\mathsf{x}}
+ \overline{
\mathsf{y}}
+ \overline{
\mathsf{z}}
{}'
\gg \overline{
\mathsf{x}}
+ \overline{
\mathsf{y}}
+ \overline{
\mathsf{z}}
= \overline{
\mathsf{x}}
+ \overline{
\mathsf{y}}
+ \overline{
\mathsf{z}}
; 
Ded
\rhd \overline{
\mathsf{x}}
+ \overline{
\mathsf{y}}
+ \overline{
\mathsf{z}}
= \overline{
\mathsf{x}}
+ \overline{
\mathsf{y}}
+ \overline{
\mathsf{z}}
\gg \underline{
\mathsf {a}}
+ \underline{
\mathsf {b}}
+ \underline{
\mathsf {c}}
= \underline{
\mathsf {a}}
+ \underline{
\mathsf {b}}
+ \underline{
\mathsf {c}}
\rceil 
, 
p_0
, 
\mathsf {c}
)
]$

\end{list}


\subsection{3.2k}
Vi vil bevise 3.2k ved induktion over $z$ i $B(z) : x = y \Rightarrow x \cdot z = y \cdot z$\\
Basistilf\ae{}ldet er:
\begin{list}{}{
\setlength{\leftmargin}{0em}
\setlength{\itemindent}{0em}
\setlength{\itemsep}{1ex}}

\item $
[
Prop\ 3.2k_1
\stackrel{
stmt
}{\rightarrow}
S
\vdash 
\forall \underline{
\mathsf {a}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf {b}}
\colon \underline{
\mathsf {a}}
= \underline{
\mathsf {b}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {a}}
\cdot 
0
= \underline{
\mathsf {b}}
\cdot 
0
]$

\item $
[
Prop\ 3.2k_1
\stackrel{
proof
}{\rightarrow}
\lambda 
\mathsf {c}
.
\lambda 
\mathsf{x}
.
{\cal P}( 
\lceil 
S
\vdash 
\forall \underline{
\mathsf {a}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf {b}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf {a}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf {b}}
\colon \underline{
\mathsf {a}}
= \underline{
\mathsf {b}}
\vdash 
S7
\gg \underline{
\mathsf {a}}
\cdot 
0
= 
0
; 
S7
\gg \underline{
\mathsf {b}}
\cdot 
0
= 
0
; 
Prop\ 3.2a
\gg 
0
= 
0
; 
Prop\ 3.2b
\rhd \underline{
\mathsf {b}}
\cdot 
0
= 
0
\gg 
0
= \underline{
\mathsf {b}}
\cdot 
0
; 
Prop\ 3.2c
\rhd \underline{
\mathsf {a}}
\cdot 
0
= 
0
\rhd 
0
= \underline{
\mathsf {b}}
\cdot 
0
\gg \underline{
\mathsf {a}}
\cdot 
0
= \underline{
\mathsf {b}}
\cdot 
0
; 
Ded
\rhd 
\forall \underline{
\mathsf {a}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf {b}}
\colon \underline{
\mathsf {a}}
= \underline{
\mathsf {b}}
\vdash \underline{
\mathsf {a}}
\cdot 
0
= \underline{
\mathsf {b}}
\cdot 
0
\gg \underline{
\mathsf {a}}
= \underline{
\mathsf {b}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {a}}
\cdot 
0
= \underline{
\mathsf {b}}
\cdot 
0
\rceil 
, 
p_0
, 
\mathsf {c}
)
]$

Det induktive trin:

\item $
[
Prop\ 3.2k_2
\stackrel{
stmt
}{\rightarrow}
S
\vdash 
\forall \underline{
\mathsf {a}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf {b}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf {c}}
\colon \underline{
\mathsf {a}}
= \underline{
\mathsf {b}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {a}}
\cdot \underline{
\mathsf {c}}
= \underline{
\mathsf {b}}
\cdot \underline{
\mathsf {c}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {a}}
= \underline{
\mathsf {b}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {a}}
\cdot \underline{
\mathsf {c}}
{}'
= \underline{
\mathsf {b}}
\cdot \underline{
\mathsf {c}}
{}'
]$ 

\item $
[
Prop\ 3.2k_2
\stackrel{
proof
}{\rightarrow}
\lambda 
\mathsf {c}
.
\lambda 
\mathsf{x}
.
{\cal P}( 
\lceil 
S
\vdash 
\forall \underline{
\mathsf {a}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf {b}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf {c}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf {a}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf {b}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf {c}}
\colon \underline{
\mathsf {a}}
= \underline{
\mathsf {b}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {a}}
\cdot \underline{
\mathsf {c}}
= \underline{
\mathsf {b}}
\cdot \underline{
\mathsf {c}}
\vdash \underline{
\mathsf {a}}
= \underline{
\mathsf {b}}
\vdash 
MP
\rhd \underline{
\mathsf {a}}
= \underline{
\mathsf {b}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {a}}
\cdot \underline{
\mathsf {c}}
= \underline{
\mathsf {b}}
\cdot \underline{
\mathsf {c}}
\rhd \underline{
\mathsf {a}}
= \underline{
\mathsf {b}}
\gg \underline{
\mathsf {a}}
\cdot \underline{
\mathsf {c}}
= \underline{
\mathsf {b}}
\cdot \underline{
\mathsf {c}}
; 
S8
\gg \underline{
\mathsf {a}}
\cdot \underline{
\mathsf {c}}
{}'
= \underline{
\mathsf {a}}
\cdot \underline{
\mathsf {c}}
+ \underline{
\mathsf {a}}
; 
S8
\gg \underline{
\mathsf {b}}
\cdot \underline{
\mathsf {c}}
{}'
= \underline{
\mathsf {b}}
\cdot \underline{
\mathsf {c}}
+ \underline{
\mathsf {b}}
; 
Prop\ 3.2e
\rhd \underline{
\mathsf {a}}
\cdot \underline{
\mathsf {c}}
= \underline{
\mathsf {b}}
\cdot \underline{
\mathsf {c}}
\gg \underline{
\mathsf {a}}
\cdot \underline{
\mathsf {c}}
+ \underline{
\mathsf {a}}
= \underline{
\mathsf {b}}
\cdot \underline{
\mathsf {c}}
+ \underline{
\mathsf {a}}
; 
Prop\ 3.2i
\rhd \underline{
\mathsf {a}}
= \underline{
\mathsf {b}}
\gg \underline{
\mathsf {b}}
\cdot \underline{
\mathsf {c}}
+ \underline{
\mathsf {a}}
= \underline{
\mathsf {b}}
\cdot \underline{
\mathsf {c}}
+ \underline{
\mathsf {b}}
; 
Prop\ 3.2c
\rhd \underline{
\mathsf {a}}
\cdot \underline{
\mathsf {c}}
+ \underline{
\mathsf {a}}
= \underline{
\mathsf {b}}
\cdot \underline{
\mathsf {c}}
+ \underline{
\mathsf {a}}
\rhd \underline{
\mathsf {b}}
\cdot \underline{
\mathsf {c}}
+ \underline{
\mathsf {a}}
= \underline{
\mathsf {b}}
\cdot \underline{
\mathsf {c}}
+ \underline{
\mathsf {b}}
\gg \underline{
\mathsf {a}}
\cdot \underline{
\mathsf {c}}
+ \underline{
\mathsf {a}}
= \underline{
\mathsf {b}}
\cdot \underline{
\mathsf {c}}
+ \underline{
\mathsf {b}}
; 
Prop\ 3.2c
\rhd \underline{
\mathsf {a}}
\cdot \underline{
\mathsf {c}}
{}'
= \underline{
\mathsf {a}}
\cdot \underline{
\mathsf {c}}
+ \underline{
\mathsf {a}}
\rhd \underline{
\mathsf {a}}
\cdot \underline{
\mathsf {c}}
+ \underline{
\mathsf {a}}
= \underline{
\mathsf {b}}
\cdot \underline{
\mathsf {c}}
+ \underline{
\mathsf {b}}
\gg \underline{
\mathsf {a}}
\cdot \underline{
\mathsf {c}}
{}'
= \underline{
\mathsf {b}}
\cdot \underline{
\mathsf {c}}
+ \underline{
\mathsf {b}}
; 
Prop\ 3.2d
\rhd \underline{
\mathsf {a}}
\cdot \underline{
\mathsf {c}}
{}'
= \underline{
\mathsf {b}}
\cdot \underline{
\mathsf {c}}
+ \underline{
\mathsf {b}}
\rhd \underline{
\mathsf {b}}
\cdot \underline{
\mathsf {c}}
{}'
= \underline{
\mathsf {b}}
\cdot \underline{
\mathsf {c}}
+ \underline{
\mathsf {b}}
\gg \underline{
\mathsf {a}}
\cdot \underline{
\mathsf {c}}
{}'
= \underline{
\mathsf {b}}
\cdot \underline{
\mathsf {c}}
{}'
; 
Ded
\rhd 
\forall \underline{
\mathsf {a}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf {b}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf {c}}
\colon \underline{
\mathsf {a}}
= \underline{
\mathsf {b}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {a}}
\cdot \underline{
\mathsf {c}}
= \underline{
\mathsf {b}}
\cdot \underline{
\mathsf {c}}
\vdash \underline{
\mathsf {a}}
= \underline{
\mathsf {b}}
\vdash \underline{
\mathsf {a}}
\cdot \underline{
\mathsf {c}}
{}'
= \underline{
\mathsf {b}}
\cdot \underline{
\mathsf {c}}
{}'
\gg \underline{
\mathsf {a}}
= \underline{
\mathsf {b}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {a}}
\cdot \underline{
\mathsf {c}}
= \underline{
\mathsf {b}}
\cdot \underline{
\mathsf {c}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {a}}
= \underline{
\mathsf {b}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {a}}
\cdot \underline{
\mathsf {c}}
{}'
= \underline{
\mathsf {b}}
\cdot \underline{
\mathsf {c}}
{}'
\rceil 
, 
p_0
, 
\mathsf {c}
)
]$

\item $
[
Prop\ 3.2k
\stackrel{
stmt
}{\rightarrow}
S
\vdash 
\forall \underline{
\mathsf {a}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf {b}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf {c}}
\colon \underline{
\mathsf {a}}
= \underline{
\mathsf {b}}
\vdash \underline{
\mathsf {a}}
\cdot \underline{
\mathsf {c}}
= \underline{
\mathsf {b}}
\cdot \underline{
\mathsf {c}}
]$

\item $
[
Prop\ 3.2k
\stackrel{
proof
}{\rightarrow}
\lambda 
\mathsf {c}
.
\lambda 
\mathsf{x}
.
{\cal P}( 
\lceil 
S
\vdash 
\forall \underline{
\mathsf {a}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf {b}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf {c}}
\colon \underline{
\mathsf {a}}
= \underline{
\mathsf {b}}
\vdash 
Prop\ 3.2k_1
\gg \overline{
\mathsf{x}}
= \overline{
\mathsf{y}}
\Rightarrow \overline{
\mathsf{x}}
\cdot 
0
= \overline{
\mathsf{y}}
\cdot 
0
; 
Prop\ 3.2k_2
\gg \overline{
\mathsf{x}}
= \overline{
\mathsf{y}}
\Rightarrow \overline{
\mathsf{x}}
\cdot \overline{
\mathsf{z}}
= \overline{
\mathsf{y}}
\cdot \overline{
\mathsf{z}}
\Rightarrow \overline{
\mathsf{x}}
= \overline{
\mathsf{y}}
\Rightarrow \overline{
\mathsf{x}}
\cdot \overline{
\mathsf{z}}
{}'
= \overline{
\mathsf{y}}
\cdot \overline{
\mathsf{z}}
{}'
; 
S9
\mathop {\char64} \overline{
\mathsf{z}}
\rhd \overline{
\mathsf{x}}
= \overline{
\mathsf{y}}
\Rightarrow \overline{
\mathsf{x}}
\cdot 
0
= \overline{
\mathsf{y}}
\cdot 
0
\rhd \overline{
\mathsf{x}}
= \overline{
\mathsf{y}}
\Rightarrow \overline{
\mathsf{x}}
\cdot \overline{
\mathsf{z}}
= \overline{
\mathsf{y}}
\cdot \overline{
\mathsf{z}}
\Rightarrow \overline{
\mathsf{x}}
= \overline{
\mathsf{y}}
\Rightarrow \overline{
\mathsf{x}}
\cdot \overline{
\mathsf{z}}
{}'
= \overline{
\mathsf{y}}
\cdot \overline{
\mathsf{z}}
{}'
\gg \overline{
\mathsf{x}}
= \overline{
\mathsf{y}}
\Rightarrow \overline{
\mathsf{x}}
\cdot \overline{
\mathsf{z}}
= \overline{
\mathsf{y}}
\cdot \overline{
\mathsf{z}}
; 
Ded
\rhd \overline{
\mathsf{x}}
= \overline{
\mathsf{y}}
\Rightarrow \overline{
\mathsf{x}}
\cdot \overline{
\mathsf{z}}
= \overline{
\mathsf{y}}
\cdot \overline{
\mathsf{z}}
\gg \underline{
\mathsf {a}}
= \underline{
\mathsf {b}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {a}}
\cdot \underline{
\mathsf {c}}
= \underline{
\mathsf {b}}
\cdot \underline{
\mathsf {c}}
; 
MP
\rhd \underline{
\mathsf {a}}
= \underline{
\mathsf {b}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {a}}
\cdot \underline{
\mathsf {c}}
= \underline{
\mathsf {b}}
\cdot \underline{
\mathsf {c}}
\rhd \underline{
\mathsf {a}}
= \underline{
\mathsf {b}}
\gg \underline{
\mathsf {a}}
\cdot \underline{
\mathsf {c}}
= \underline{
\mathsf {b}}
\cdot \underline{
\mathsf {c}}
\rceil 
, 
p_0
, 
\mathsf {c}
)
]$

\end{list}


\subsection{3.2l}
Vi vil bevise 3.2l ved induktion over $x$ i $B(x) : 0 \cdot x = 0$\\
Bem\ae{}rk at basistilf\ae{}ldet blot er $
S7$.\\
Det induktive trin:
\begin{list}{}{
\setlength{\leftmargin}{0em}
\setlength{\itemindent}{0em}
\setlength{\itemsep}{1ex}}


\item $
[
Prop\ 3.2l_2
\stackrel{
stmt
}{\rightarrow}
S
\vdash 
\forall \underline{
\mathsf {a}}
\colon 
0
\cdot \underline{
\mathsf {a}}
= 
0
\Rightarrow 
0
\cdot \underline{
\mathsf {a}}
{}'
= 
0
]$

\item $
[
Prop\ 3.2l_2
\stackrel{
proof
}{\rightarrow}
\lambda 
\mathsf {c}
.
\lambda 
\mathsf{x}
.
{\cal P}( 
\lceil 
S
\vdash 
\forall \underline{
\mathsf {a}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf {a}}
\colon 
0
\cdot \underline{
\mathsf {a}}
= 
0
\vdash 
S8
\gg 
0
\cdot \underline{
\mathsf {a}}
{}'
= 
0
\cdot \underline{
\mathsf {a}}
+ 
0
; 
S5
\gg 
0
\cdot \underline{
\mathsf {a}}
+ 
0
= 
0
\cdot \underline{
\mathsf {a}}
; 
Prop\ 3.2c
\rhd 
0
\cdot \underline{
\mathsf {a}}
{}'
= 
0
\cdot \underline{
\mathsf {a}}
+ 
0
\rhd 
0
\cdot \underline{
\mathsf {a}}
+ 
0
= 
0
\cdot \underline{
\mathsf {a}}
\gg 
0
\cdot \underline{
\mathsf {a}}
{}'
= 
0
\cdot \underline{
\mathsf {a}}
; 
Prop\ 3.2c
\rhd 
0
\cdot \underline{
\mathsf {a}}
{}'
= 
0
\cdot \underline{
\mathsf {a}}
\rhd 
0
\cdot \underline{
\mathsf {a}}
= 
0
\gg 
0
\cdot \underline{
\mathsf {a}}
{}'
= 
0
; 
Ded
\rhd 
\forall \underline{
\mathsf {a}}
\colon 
0
\cdot \underline{
\mathsf {a}}
= 
0
\vdash 
0
\cdot \underline{
\mathsf {a}}
{}'
= 
0
\gg 
0
\cdot \underline{
\mathsf {a}}
= 
0
\Rightarrow 
0
\cdot \underline{
\mathsf {a}}
{}'
= 
0
\rceil 
, 
p_0
, 
\mathsf {c}
)
]$
\item $
[
Prop\ 3.2l
\stackrel{
stmt
}{\rightarrow}
S
\vdash 
\forall \underline{
\mathsf {a}}
\colon 
0
\cdot \underline{
\mathsf {a}}
= 
0
]$


\item $
[
Prop\ 3.2l
\stackrel{
proof
}{\rightarrow}
\lambda 
\mathsf {c}
.
\lambda 
\mathsf{x}
.
{\cal P}( 
\lceil 
S
\vdash 
\forall \underline{
\mathsf {a}}
\colon 
S7
\gg 
0
\cdot 
0
= 
0
; 
Prop\ 3.2l_2
\gg 
0
\cdot \overline{
\mathsf{x}}
= 
0
\Rightarrow 
0
\cdot \overline{
\mathsf{x}}
{}'
= 
0
; 
S9
\mathop {\char64} \overline{
\mathsf{x}}
\rhd 
0
\cdot 
0
= 
0
\rhd 
0
\cdot \overline{
\mathsf{x}}
= 
0
\Rightarrow 
0
\cdot \overline{
\mathsf{x}}
{}'
= 
0
\gg 
0
\cdot \overline{
\mathsf{x}}
= 
0
; 
Ded
\rhd 
0
\cdot \overline{
\mathsf{x}}
= 
0
\gg 
0
\cdot \underline{
\mathsf {a}}
= 
0
\rceil 
, 
p_0
, 
\mathsf {c}
)
]$

\end{list}


\subsection{3.2m}
Vi vil bevise 3.2m ved induktion over $y$ i $B(y) : x' \cdot y = x \cdot y + x$\\
Basistilf\ae{}ldet:

\begin{list}{}{
\setlength{\leftmargin}{0em}
\setlength{\itemindent}{0em}
\setlength{\itemsep}{1ex}}

\item $
[
Prop\ 3.2m_1
\stackrel{
stmt
}{\rightarrow}
S
\vdash 
\forall \underline{
\mathsf {a}}
\colon \underline{
\mathsf {a}}
{}'
\cdot 
0
= \underline{
\mathsf {a}}
\cdot 
0
+ 
0
]$

\item $
[
Prop\ 3.2m_1
\stackrel{
proof
}{\rightarrow}
\lambda 
\mathsf {c}
.
\lambda 
\mathsf{x}
.
{\cal P}( 
\lceil 
S
\vdash 
\forall \underline{
\mathsf {a}}
\colon 
S7
\gg \underline{
\mathsf {a}}
{}'
\cdot 
0
= 
0
; 
Prop\ 3.2f
\gg 
0
= 
0
+ 
0
; 
S7
\gg \underline{
\mathsf {a}}
\cdot 
0
= 
0
; 
Prop\ 3.2b
\rhd \underline{
\mathsf {a}}
\cdot 
0
= 
0
\gg 
0
= \underline{
\mathsf {a}}
\cdot 
0
; 
Prop\ 3.2e
\rhd 
0
= \underline{
\mathsf {a}}
\cdot 
0
\gg 
0
+ 
0
= \underline{
\mathsf {a}}
\cdot 
0
+ 
0
; 
Prop\ 3.2c
\rhd 
0
= 
0
+ 
0
\rhd 
0
+ 
0
= \underline{
\mathsf {a}}
\cdot 
0
+ 
0
\gg 
0
= \underline{
\mathsf {a}}
\cdot 
0
+ 
0
; 
Prop\ 3.2c
\rhd \underline{
\mathsf {a}}
{}'
\cdot 
0
= 
0
\rhd 
0
= \underline{
\mathsf {a}}
\cdot 
0
+ 
0
\gg \underline{
\mathsf {a}}
{}'
\cdot 
0
= \underline{
\mathsf {a}}
\cdot 
0
+ 
0
\rceil 
, 
p_0
, 
\mathsf {c}
)
]$

Det induktive trin:

\item $
[
Prop\ 3.2m_2
\stackrel{
stmt
}{\rightarrow}
S
\vdash 
\forall \underline{
\mathsf {a}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf {b}}
\colon \underline{
\mathsf {a}}
{}'
\cdot \underline{
\mathsf {b}}
= \underline{
\mathsf {a}}
\cdot \underline{
\mathsf {b}}
+ \underline{
\mathsf {b}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {a}}
{}'
\cdot \underline{
\mathsf {b}}
{}'
= \underline{
\mathsf {a}}
\cdot \underline{
\mathsf {b}}
{}'
+ \underline{
\mathsf {b}}
{}'
]$

\item $
[
Prop\ 3.2m_2
\stackrel{
proof
}{\rightarrow}
\lambda 
\mathsf {c}
.
\lambda 
\mathsf{x}
.
{\cal P}( 
\lceil 
S
\vdash 
\forall \underline{
\mathsf {a}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf {b}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf {a}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf {b}}
\colon \underline{
\mathsf {a}}
{}'
\cdot \underline{
\mathsf {b}}
= \underline{
\mathsf {a}}
\cdot \underline{
\mathsf {b}}
+ \underline{
\mathsf {b}}
\vdash 
S8
\gg \underline{
\mathsf {a}}
{}'
\cdot \underline{
\mathsf {b}}
{}'
= \underline{
\mathsf {a}}
{}'
\cdot \underline{
\mathsf {b}}
+ \underline{
\mathsf {a}}
{}'
; 
Prop\ 3.2e
\rhd \underline{
\mathsf {a}}
{}'
\cdot \underline{
\mathsf {b}}
= \underline{
\mathsf {a}}
\cdot \underline{
\mathsf {b}}
+ \underline{
\mathsf {b}}
\gg \underline{
\mathsf {a}}
{}'
\cdot \underline{
\mathsf {b}}
+ \underline{
\mathsf {a}}
{}'
= \underline{
\mathsf {a}}
\cdot \underline{
\mathsf {b}}
+ \underline{
\mathsf {b}}
+ \underline{
\mathsf {a}}
{}'
; 
S6
\gg \underline{
\mathsf {b}}
+ \underline{
\mathsf {a}}
{}'
= \underline{
\mathsf {b}}
+ \underline{
\mathsf {a}}
{}'
; 
Prop\ 3.2g
\gg \underline{
\mathsf {b}}
{}'
+ \underline{
\mathsf {a}}
= \underline{
\mathsf {b}}
+ \underline{
\mathsf {a}}
{}'
; 
Prop\ 3.2d
\rhd \underline{
\mathsf {b}}
+ \underline{
\mathsf {a}}
{}'
= \underline{
\mathsf {b}}
+ \underline{
\mathsf {a}}
{}'
\rhd \underline{
\mathsf {b}}
{}'
+ \underline{
\mathsf {a}}
= \underline{
\mathsf {b}}
+ \underline{
\mathsf {a}}
{}'
\gg \underline{
\mathsf {b}}
+ \underline{
\mathsf {a}}
{}'
= \underline{
\mathsf {b}}
{}'
+ \underline{
\mathsf {a}}
; 
Prop\ 3.2h
\gg \underline{
\mathsf {b}}
{}'
+ \underline{
\mathsf {a}}
= \underline{
\mathsf {a}}
+ \underline{
\mathsf {b}}
{}'
; 
Prop\ 3.2c
\rhd \underline{
\mathsf {b}}
+ \underline{
\mathsf {a}}
{}'
= \underline{
\mathsf {b}}
{}'
+ \underline{
\mathsf {a}}
\rhd \underline{
\mathsf {b}}
{}'
+ \underline{
\mathsf {a}}
= \underline{
\mathsf {a}}
+ \underline{
\mathsf {b}}
{}'
\gg \underline{
\mathsf {b}}
+ \underline{
\mathsf {a}}
{}'
= \underline{
\mathsf {a}}
+ \underline{
\mathsf {b}}
{}'
; 
Prop\ 3.2i
\rhd \underline{
\mathsf {b}}
+ \underline{
\mathsf {a}}
{}'
= \underline{
\mathsf {a}}
+ \underline{
\mathsf {b}}
{}'
\gg \underline{
\mathsf {a}}
\cdot \underline{
\mathsf {b}}
+ \underline{
\mathsf {b}}
+ \underline{
\mathsf {a}}
{}'
= \underline{
\mathsf {a}}
\cdot \underline{
\mathsf {b}}
+ \underline{
\mathsf {a}}
+ \underline{
\mathsf {b}}
{}'
; 
Prop\ 3.2j
\gg \underline{
\mathsf {a}}
\cdot \underline{
\mathsf {b}}
+ \underline{
\mathsf {a}}
+ \underline{
\mathsf {b}}
{}'
= \underline{
\mathsf {a}}
\cdot \underline{
\mathsf {b}}
+ \underline{
\mathsf {a}}
+ \underline{
\mathsf {b}}
{}'
; 
Prop\ 3.2d
\rhd \underline{
\mathsf {a}}
\cdot \underline{
\mathsf {b}}
+ \underline{
\mathsf {b}}
+ \underline{
\mathsf {a}}
{}'
= \underline{
\mathsf {a}}
\cdot \underline{
\mathsf {b}}
+ \underline{
\mathsf {a}}
+ \underline{
\mathsf {b}}
{}'
\rhd \underline{
\mathsf {a}}
\cdot \underline{
\mathsf {b}}
+ \underline{
\mathsf {a}}
+ \underline{
\mathsf {b}}
{}'
= \underline{
\mathsf {a}}
\cdot \underline{
\mathsf {b}}
+ \underline{
\mathsf {a}}
+ \underline{
\mathsf {b}}
{}'
\gg \underline{
\mathsf {a}}
\cdot \underline{
\mathsf {b}}
+ \underline{
\mathsf {b}}
+ \underline{
\mathsf {a}}
{}'
= \underline{
\mathsf {a}}
\cdot \underline{
\mathsf {b}}
+ \underline{
\mathsf {a}}
+ \underline{
\mathsf {b}}
{}'
; 
S8
\gg \underline{
\mathsf {a}}
\cdot \underline{
\mathsf {b}}
{}'
= \underline{
\mathsf {a}}
\cdot \underline{
\mathsf {b}}
+ \underline{
\mathsf {a}}
; 
Prop\ 3.2e
\rhd \underline{
\mathsf {a}}
\cdot \underline{
\mathsf {b}}
{}'
= \underline{
\mathsf {a}}
\cdot \underline{
\mathsf {b}}
+ \underline{
\mathsf {a}}
\gg \underline{
\mathsf {a}}
\cdot \underline{
\mathsf {b}}
{}'
+ \underline{
\mathsf {b}}
{}'
= \underline{
\mathsf {a}}
\cdot \underline{
\mathsf {b}}
+ \underline{
\mathsf {a}}
+ \underline{
\mathsf {b}}
{}'
; 
Prop\ 3.2d
\rhd \underline{
\mathsf {a}}
\cdot \underline{
\mathsf {b}}
+ \underline{
\mathsf {b}}
+ \underline{
\mathsf {a}}
{}'
= \underline{
\mathsf {a}}
\cdot \underline{
\mathsf {b}}
+ \underline{
\mathsf {a}}
+ \underline{
\mathsf {b}}
{}'
\rhd \underline{
\mathsf {a}}
\cdot \underline{
\mathsf {b}}
{}'
+ \underline{
\mathsf {b}}
{}'
= \underline{
\mathsf {a}}
\cdot \underline{
\mathsf {b}}
+ \underline{
\mathsf {a}}
+ \underline{
\mathsf {b}}
{}'
\gg \underline{
\mathsf {a}}
\cdot \underline{
\mathsf {b}}
+ \underline{
\mathsf {b}}
+ \underline{
\mathsf {a}}
{}'
= \underline{
\mathsf {a}}
\cdot \underline{
\mathsf {b}}
{}'
+ \underline{
\mathsf {b}}
{}'
; 
Prop\ 3.2j
\gg \underline{
\mathsf {a}}
\cdot \underline{
\mathsf {b}}
+ \underline{
\mathsf {b}}
+ \underline{
\mathsf {a}}
{}'
= \underline{
\mathsf {a}}
\cdot \underline{
\mathsf {b}}
+ \underline{
\mathsf {b}}
+ \underline{
\mathsf {a}}
{}'
; 
Prop\ 3.2c
\rhd \underline{
\mathsf {a}}
{}'
\cdot \underline{
\mathsf {b}}
+ \underline{
\mathsf {a}}
{}'
= \underline{
\mathsf {a}}
\cdot \underline{
\mathsf {b}}
+ \underline{
\mathsf {b}}
+ \underline{
\mathsf {a}}
{}'
\rhd \underline{
\mathsf {a}}
\cdot \underline{
\mathsf {b}}
+ \underline{
\mathsf {b}}
+ \underline{
\mathsf {a}}
{}'
= \underline{
\mathsf {a}}
\cdot \underline{
\mathsf {b}}
+ \underline{
\mathsf {b}}
+ \underline{
\mathsf {a}}
{}'
\gg \underline{
\mathsf {a}}
{}'
\cdot \underline{
\mathsf {b}}
+ \underline{
\mathsf {a}}
{}'
= \underline{
\mathsf {a}}
\cdot \underline{
\mathsf {b}}
+ \underline{
\mathsf {b}}
+ \underline{
\mathsf {a}}
{}'
; 
Prop\ 3.2c
\rhd \underline{
\mathsf {a}}
{}'
\cdot \underline{
\mathsf {b}}
+ \underline{
\mathsf {a}}
{}'
= \underline{
\mathsf {a}}
\cdot \underline{
\mathsf {b}}
+ \underline{
\mathsf {b}}
+ \underline{
\mathsf {a}}
{}'
\rhd \underline{
\mathsf {a}}
\cdot \underline{
\mathsf {b}}
+ \underline{
\mathsf {b}}
+ \underline{
\mathsf {a}}
{}'
= \underline{
\mathsf {a}}
\cdot \underline{
\mathsf {b}}
{}'
+ \underline{
\mathsf {b}}
{}'
\gg \underline{
\mathsf {a}}
{}'
\cdot \underline{
\mathsf {b}}
+ \underline{
\mathsf {a}}
{}'
= \underline{
\mathsf {a}}
\cdot \underline{
\mathsf {b}}
{}'
+ \underline{
\mathsf {b}}
{}'
; 
Prop\ 3.2c
\rhd \underline{
\mathsf {a}}
{}'
\cdot \underline{
\mathsf {b}}
{}'
= \underline{
\mathsf {a}}
{}'
\cdot \underline{
\mathsf {b}}
+ \underline{
\mathsf {a}}
{}'
\rhd \underline{
\mathsf {a}}
{}'
\cdot \underline{
\mathsf {b}}
+ \underline{
\mathsf {a}}
{}'
= \underline{
\mathsf {a}}
\cdot \underline{
\mathsf {b}}
{}'
+ \underline{
\mathsf {b}}
{}'
\gg \underline{
\mathsf {a}}
{}'
\cdot \underline{
\mathsf {b}}
{}'
= \underline{
\mathsf {a}}
\cdot \underline{
\mathsf {b}}
{}'
+ \underline{
\mathsf {b}}
{}'
; 
Ded
\rhd 
\forall \underline{
\mathsf {a}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf {b}}
\colon \underline{
\mathsf {a}}
{}'
\cdot \underline{
\mathsf {b}}
= \underline{
\mathsf {a}}
\cdot \underline{
\mathsf {b}}
+ \underline{
\mathsf {b}}
\vdash \underline{
\mathsf {a}}
{}'
\cdot \underline{
\mathsf {b}}
{}'
= \underline{
\mathsf {a}}
\cdot \underline{
\mathsf {b}}
{}'
+ \underline{
\mathsf {b}}
{}'
\gg \underline{
\mathsf {a}}
{}'
\cdot \underline{
\mathsf {b}}
= \underline{
\mathsf {a}}
\cdot \underline{
\mathsf {b}}
+ \underline{
\mathsf {b}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {a}}
{}'
\cdot \underline{
\mathsf {b}}
{}'
= \underline{
\mathsf {a}}
\cdot \underline{
\mathsf {b}}
{}'
+ \underline{
\mathsf {b}}
{}'
\rceil 
, 
p_0
, 
\mathsf {c}
)
]$

\item $
[
Prop\ 3.2m
\stackrel{
stmt
}{\rightarrow}
S
\vdash 
\forall \underline{
\mathsf {a}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf {b}}
\colon \underline{
\mathsf {a}}
{}'
\cdot \underline{
\mathsf {b}}
= \underline{
\mathsf {a}}
\cdot \underline{
\mathsf {b}}
+ \underline{
\mathsf {b}}
]$



\item $
[
Prop\ 3.2m
\stackrel{
proof
}{\rightarrow}
\lambda 
\mathsf {c}
.
\lambda 
\mathsf{x}
.
{\cal P}( 
\lceil 
S
\vdash 
\forall \underline{
\mathsf {a}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf {b}}
\colon 
Prop\ 3.2m_1
\gg \overline{
\mathsf{x}}
{}'
\cdot 
0
= \overline{
\mathsf{x}}
\cdot 
0
+ 
0
; 
Prop\ 3.2m_2
\gg \overline{
\mathsf{x}}
{}'
\cdot \overline{
\mathsf{y}}
= \overline{
\mathsf{x}}
\cdot \overline{
\mathsf{y}}
+ \overline{
\mathsf{y}}
\Rightarrow \overline{
\mathsf{x}}
{}'
\cdot \overline{
\mathsf{y}}
{}'
= \overline{
\mathsf{x}}
\cdot \overline{
\mathsf{y}}
{}'
+ \overline{
\mathsf{y}}
{}'
; 
S9
\mathop {\char64} \overline{
\mathsf{y}}
\rhd \overline{
\mathsf{x}}
{}'
\cdot 
0
= \overline{
\mathsf{x}}
\cdot 
0
+ 
0
\rhd \overline{
\mathsf{x}}
{}'
\cdot \overline{
\mathsf{y}}
= \overline{
\mathsf{x}}
\cdot \overline{
\mathsf{y}}
+ \overline{
\mathsf{y}}
\Rightarrow \overline{
\mathsf{x}}
{}'
\cdot \overline{
\mathsf{y}}
{}'
= \overline{
\mathsf{x}}
\cdot \overline{
\mathsf{y}}
{}'
+ \overline{
\mathsf{y}}
{}'
\gg \overline{
\mathsf{x}}
{}'
\cdot \overline{
\mathsf{y}}
= \overline{
\mathsf{x}}
\cdot \overline{
\mathsf{y}}
+ \overline{
\mathsf{y}}
; 
Ded
\rhd \overline{
\mathsf{x}}
{}'
\cdot \overline{
\mathsf{y}}
= \overline{
\mathsf{x}}
\cdot \overline{
\mathsf{y}}
+ \overline{
\mathsf{y}}
\gg \underline{
\mathsf {a}}
{}'
\cdot \underline{
\mathsf {b}}
= \underline{
\mathsf {a}}
\cdot \underline{
\mathsf {b}}
+ \underline{
\mathsf {b}}
\rceil 
, 
p_0
, 
\mathsf {c}
)
]$

\end{list}


\subsection{3.2n}
Vi vil bevise 3.2n ved induktion over $y$ i $B(y) : x \cdot y = y \cdot x$\\
Basistilf\ae{}ldet:

\begin{list}{}{
\setlength{\leftmargin}{0em}
\setlength{\itemindent}{0em}
\setlength{\itemsep}{1ex}}

\item $
[
Prop\ 3.2n_1
\stackrel{
stmt
}{\rightarrow}
S
\vdash 
\forall \underline{
\mathsf {a}}
\colon \underline{
\mathsf {a}}
\cdot 
0
= 
0
\cdot \underline{
\mathsf {a}}
]$

\item $
[
Prop\ 3.2n_1
\stackrel{
proof
}{\rightarrow}
\lambda 
\mathsf {c}
.
\lambda 
\mathsf{x}
.
{\cal P}( 
\lceil 
S
\vdash 
\forall \underline{
\mathsf {a}}
\colon 
S7
\gg \underline{
\mathsf {a}}
\cdot 
0
= 
0
; 
Prop\ 3.2l
\gg 
0
\cdot \underline{
\mathsf {a}}
= 
0
; 
Prop\ 3.2d
\rhd \underline{
\mathsf {a}}
\cdot 
0
= 
0
\rhd 
0
\cdot \underline{
\mathsf {a}}
= 
0
\gg \underline{
\mathsf {a}}
\cdot 
0
= 
0
\cdot \underline{
\mathsf {a}}
\rceil 
, 
p_0
, 
\mathsf {c}
)
]$

Det induktive trin:

\item $
[
Prop\ 3.2n_2
\stackrel{
stmt
}{\rightarrow}
S
\vdash 
\forall \underline{
\mathsf {a}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf {b}}
\colon \underline{
\mathsf {a}}
\cdot \underline{
\mathsf {b}}
= \underline{
\mathsf {b}}
\cdot \underline{
\mathsf {a}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {a}}
\cdot \underline{
\mathsf {b}}
{}'
= \underline{
\mathsf {b}}
{}'
\cdot \underline{
\mathsf {a}}
]$

\item $
[
Prop\ 3.2n_2
\stackrel{
proof
}{\rightarrow}
\lambda 
\mathsf {c}
.
\lambda 
\mathsf{x}
.
{\cal P}( 
\lceil 
S
\vdash 
\forall \underline{
\mathsf {a}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf {b}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf {a}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf {b}}
\colon \underline{
\mathsf {a}}
\cdot \underline{
\mathsf {b}}
= \underline{
\mathsf {b}}
\cdot \underline{
\mathsf {a}}
\vdash 
S8
\gg \underline{
\mathsf {a}}
\cdot \underline{
\mathsf {b}}
{}'
= \underline{
\mathsf {a}}
\cdot \underline{
\mathsf {b}}
+ \underline{
\mathsf {a}}
; 
Prop\ 3.2e
\rhd \underline{
\mathsf {a}}
\cdot \underline{
\mathsf {b}}
= \underline{
\mathsf {b}}
\cdot \underline{
\mathsf {a}}
\gg \underline{
\mathsf {a}}
\cdot \underline{
\mathsf {b}}
+ \underline{
\mathsf {a}}
= \underline{
\mathsf {b}}
\cdot \underline{
\mathsf {a}}
+ \underline{
\mathsf {a}}
; 
Prop\ 3.2m
\gg \underline{
\mathsf {b}}
{}'
\cdot \underline{
\mathsf {a}}
= \underline{
\mathsf {b}}
\cdot \underline{
\mathsf {a}}
+ \underline{
\mathsf {a}}
; 
Prop\ 3.2b
\rhd \underline{
\mathsf {b}}
{}'
\cdot \underline{
\mathsf {a}}
= \underline{
\mathsf {b}}
\cdot \underline{
\mathsf {a}}
+ \underline{
\mathsf {a}}
\gg \underline{
\mathsf {b}}
\cdot \underline{
\mathsf {a}}
+ \underline{
\mathsf {a}}
= \underline{
\mathsf {b}}
{}'
\cdot \underline{
\mathsf {a}}
; 
Prop\ 3.2c
\rhd \underline{
\mathsf {a}}
\cdot \underline{
\mathsf {b}}
+ \underline{
\mathsf {a}}
= \underline{
\mathsf {b}}
\cdot \underline{
\mathsf {a}}
+ \underline{
\mathsf {a}}
\rhd \underline{
\mathsf {b}}
\cdot \underline{
\mathsf {a}}
+ \underline{
\mathsf {a}}
= \underline{
\mathsf {b}}
{}'
\cdot \underline{
\mathsf {a}}
\gg \underline{
\mathsf {a}}
\cdot \underline{
\mathsf {b}}
+ \underline{
\mathsf {a}}
= \underline{
\mathsf {b}}
{}'
\cdot \underline{
\mathsf {a}}
; 
Prop\ 3.2c
\rhd \underline{
\mathsf {a}}
\cdot \underline{
\mathsf {b}}
{}'
= \underline{
\mathsf {a}}
\cdot \underline{
\mathsf {b}}
+ \underline{
\mathsf {a}}
\rhd \underline{
\mathsf {a}}
\cdot \underline{
\mathsf {b}}
+ \underline{
\mathsf {a}}
= \underline{
\mathsf {b}}
{}'
\cdot \underline{
\mathsf {a}}
\gg \underline{
\mathsf {a}}
\cdot \underline{
\mathsf {b}}
{}'
= \underline{
\mathsf {b}}
{}'
\cdot \underline{
\mathsf {a}}
; 
Ded
\rhd 
\forall \underline{
\mathsf {a}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf {b}}
\colon \underline{
\mathsf {a}}
\cdot \underline{
\mathsf {b}}
= \underline{
\mathsf {b}}
\cdot \underline{
\mathsf {a}}
\vdash \underline{
\mathsf {a}}
\cdot \underline{
\mathsf {b}}
{}'
= \underline{
\mathsf {b}}
{}'
\cdot \underline{
\mathsf {a}}
\gg \underline{
\mathsf {a}}
\cdot \underline{
\mathsf {b}}
= \underline{
\mathsf {b}}
\cdot \underline{
\mathsf {a}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {a}}
\cdot \underline{
\mathsf {b}}
{}'
= \underline{
\mathsf {b}}
{}'
\cdot \underline{
\mathsf {a}}
\rceil 
, 
p_0
, 
\mathsf {c}
)
]$
\item $
[
Prop\ 3.2n
\stackrel{
stmt
}{\rightarrow}
S
\vdash 
\forall \underline{
\mathsf {a}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf {b}}
\colon \underline{
\mathsf {a}}
\cdot \underline{
\mathsf {b}}
= \underline{
\mathsf {b}}
\cdot \underline{
\mathsf {a}}
]$


\item $
[
Prop\ 3.2n
\stackrel{
proof
}{\rightarrow}
\lambda 
\mathsf {c}
.
\lambda 
\mathsf{x}
.
{\cal P}( 
\lceil 
S
\vdash 
\forall \underline{
\mathsf {a}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf {b}}
\colon 
Prop\ 3.2n_1
\gg \overline{
\mathsf{x}}
\cdot 
0
= 
0
\cdot \overline{
\mathsf{x}}
; 
Prop\ 3.2n_2
\gg \overline{
\mathsf{x}}
\cdot \overline{
\mathsf{y}}
= \overline{
\mathsf{y}}
\cdot \overline{
\mathsf{x}}
\Rightarrow \overline{
\mathsf{x}}
\cdot \overline{
\mathsf{y}}
{}'
= \overline{
\mathsf{y}}
{}'
\cdot \overline{
\mathsf{x}}
; 
S9
\mathop {\char64} \overline{
\mathsf{y}}
\rhd \overline{
\mathsf{x}}
\cdot 
0
= 
0
\cdot \overline{
\mathsf{x}}
\rhd \overline{
\mathsf{x}}
\cdot \overline{
\mathsf{y}}
= \overline{
\mathsf{y}}
\cdot \overline{
\mathsf{x}}
\Rightarrow \overline{
\mathsf{x}}
\cdot \overline{
\mathsf{y}}
{}'
= \overline{
\mathsf{y}}
{}'
\cdot \overline{
\mathsf{x}}
\gg \overline{
\mathsf{x}}
\cdot \overline{
\mathsf{y}}
= \overline{
\mathsf{y}}
\cdot \overline{
\mathsf{x}}
; 
Ded
\rhd \overline{
\mathsf{x}}
\cdot \overline{
\mathsf{y}}
= \overline{
\mathsf{y}}
\cdot \overline{
\mathsf{x}}
\gg \underline{
\mathsf {a}}
\cdot \underline{
\mathsf {b}}
= \underline{
\mathsf {b}}
\cdot \underline{
\mathsf {a}}
\rceil 
, 
p_0
, 
\mathsf {c}
)
]$

\end{list}


\subsection{3.2o}
\begin{list}{}{
\setlength{\leftmargin}{0em}
\setlength{\itemindent}{0em}
\setlength{\itemsep}{1ex}}
\item $
[
Prop\ 3.2o
\stackrel{
stmt
}{\rightarrow}
S
\vdash 
\forall \underline{
\mathsf {a}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf {b}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf {c}}
\colon \underline{
\mathsf {a}}
= \underline{
\mathsf {b}}
\vdash \underline{
\mathsf {c}}
\cdot \underline{
\mathsf {a}}
= \underline{
\mathsf {c}}
\cdot \underline{
\mathsf {b}}
]$

\item $
[
Prop\ 3.2o
\stackrel{
proof
}{\rightarrow}
\lambda 
\mathsf {c}
.
\lambda 
\mathsf{x}
.
{\cal P}( 
\lceil 
S
\vdash 
\forall \underline{
\mathsf {a}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf {b}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf {c}}
\colon \underline{
\mathsf {a}}
= \underline{
\mathsf {b}}
\vdash 
\forall \underline{
\mathsf {a}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf {b}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf {c}}
\colon \underline{
\mathsf {a}}
= \underline{
\mathsf {b}}
\vdash 
Prop\ 3.2k
\rhd \underline{
\mathsf {a}}
= \underline{
\mathsf {b}}
\gg \underline{
\mathsf {a}}
\cdot \underline{
\mathsf {c}}
= \underline{
\mathsf {b}}
\cdot \underline{
\mathsf {c}}
; 
Prop\ 3.2n
\gg \underline{
\mathsf {a}}
\cdot \underline{
\mathsf {c}}
= \underline{
\mathsf {c}}
\cdot \underline{
\mathsf {a}}
; 
Prop\ 3.2n
\gg \underline{
\mathsf {b}}
\cdot \underline{
\mathsf {c}}
= \underline{
\mathsf {c}}
\cdot \underline{
\mathsf {b}}
; 
Prop\ 3.2c
\rhd \underline{
\mathsf {a}}
\cdot \underline{
\mathsf {c}}
= \underline{
\mathsf {b}}
\cdot \underline{
\mathsf {c}}
\rhd \underline{
\mathsf {b}}
\cdot \underline{
\mathsf {c}}
= \underline{
\mathsf {c}}
\cdot \underline{
\mathsf {b}}
\gg \underline{
\mathsf {a}}
\cdot \underline{
\mathsf {c}}
= \underline{
\mathsf {c}}
\cdot \underline{
\mathsf {b}}
; 
S1
\rhd \underline{
\mathsf {a}}
\cdot \underline{
\mathsf {c}}
= \underline{
\mathsf {c}}
\cdot \underline{
\mathsf {a}}
\rhd \underline{
\mathsf {a}}
\cdot \underline{
\mathsf {c}}
= \underline{
\mathsf {c}}
\cdot \underline{
\mathsf {b}}
\gg \underline{
\mathsf {c}}
\cdot \underline{
\mathsf {a}}
= \underline{
\mathsf {c}}
\cdot \underline{
\mathsf {b}}
; 
Ded
\rhd 
\forall \underline{
\mathsf {a}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf {b}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf {c}}
\colon \underline{
\mathsf {a}}
= \underline{
\mathsf {b}}
\vdash \underline{
\mathsf {c}}
\cdot \underline{
\mathsf {a}}
= \underline{
\mathsf {c}}
\cdot \underline{
\mathsf {b}}
\gg \underline{
\mathsf {a}}
= \underline{
\mathsf {b}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {c}}
\cdot \underline{
\mathsf {a}}
= \underline{
\mathsf {c}}
\cdot \underline{
\mathsf {b}}
; 
MP
\rhd \underline{
\mathsf {a}}
= \underline{
\mathsf {b}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {c}}
\cdot \underline{
\mathsf {a}}
= \underline{
\mathsf {c}}
\cdot \underline{
\mathsf {b}}
\rhd \underline{
\mathsf {a}}
= \underline{
\mathsf {b}}
\gg \underline{
\mathsf {c}}
\cdot \underline{
\mathsf {a}}
= \underline{
\mathsf {c}}
\cdot \underline{
\mathsf {b}}
\rceil 
, 
p_0
, 
\mathsf {c}
)
]$

\end{list}

\section{Udsagn 3.4}
De f\o{}lgende udsagn er en udvidelse af egenskaberne ved addition og
multiplikation.

\begin{list}{}{
\setlength{\leftmargin}{0em}
\setlength{\itemindent}{0em}
\setlength{\itemsep}{1ex}}

\item $
[
Prop\ 3.4a
\stackrel{
stmt
}{\rightarrow}
S
\vdash 
\forall \underline{
\mathsf {a}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf {b}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf {c}}
\colon \underline{
\mathsf {a}}
\cdot \underline{
\mathsf {b}}
+ \underline{
\mathsf {c}}
= \underline{
\mathsf {a}}
\cdot \underline{
\mathsf {b}}
+ \underline{
\mathsf {a}}
\cdot \underline{
\mathsf {c}}
]$ 

\item $
[
Prop\ 3.4b
\stackrel{
stmt
}{\rightarrow}
S
\vdash 
\forall \underline{
\mathsf {a}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf {b}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf {c}}
\colon \underline{
\mathsf {b}}
+ \underline{
\mathsf {c}}
\cdot \underline{
\mathsf {a}}
= \underline{
\mathsf {b}}
\cdot \underline{
\mathsf {a}}
+ \underline{
\mathsf {c}}
\cdot \underline{
\mathsf {a}}
]$ 

\item $
[
Prop\ 3.4c
\stackrel{
stmt
}{\rightarrow}
S
\vdash 
\forall \underline{
\mathsf {a}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf {b}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf {c}}
\colon \underline{
\mathsf {a}}
\cdot \underline{
\mathsf {b}}
\cdot \underline{
\mathsf {c}}
= \underline{
\mathsf {a}}
\cdot \underline{
\mathsf {b}}
\cdot \underline{
\mathsf {c}}
]$

\item $
[
Prop\ 3.4d
\stackrel{
stmt
}{\rightarrow}
S
\vdash 
\forall \underline{
\mathsf {a}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf {b}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf {c}}
\colon \underline{
\mathsf {a}}
+ \underline{
\mathsf {c}}
= \underline{
\mathsf {b}}
+ \underline{
\mathsf {c}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {a}}
= \underline{
\mathsf {b}}
]$

\end{list}

\subsection{3.4a}
Vi vil bevise 3.4a ved induktion over $z$ i $B(z) : x \cdot (y + z) = x \cdot y + x \cdot z$\\
Basistilf\ae{}ldet:

\begin{list}{}{
\setlength{\leftmargin}{0em}
\setlength{\itemindent}{0em}
\setlength{\itemsep}{1ex}}

\item $
[
Prop\ 3.4a_1
\stackrel{
stmt
}{\rightarrow}
S
\vdash 
\forall \underline{
\mathsf {a}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf {b}}
\colon \underline{
\mathsf {a}}
\cdot \underline{
\mathsf {b}}
+ 
0
= \underline{
\mathsf {a}}
\cdot \underline{
\mathsf {b}}
+ \underline{
\mathsf {a}}
\cdot 
0
]$

\item $
[
Prop\ 3.4a_1
\stackrel{
proof
}{\rightarrow}
\lambda 
\mathsf {c}
.
\lambda 
\mathsf{x}
.
{\cal P}( 
\lceil 
S
\vdash 
\forall \underline{
\mathsf {a}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf {b}}
\colon 
S5
\gg \underline{
\mathsf {b}}
+ 
0
= \underline{
\mathsf {b}}
; 
Prop\ 3.2o
\rhd \underline{
\mathsf {b}}
+ 
0
= \underline{
\mathsf {b}}
\gg \underline{
\mathsf {a}}
\cdot \underline{
\mathsf {b}}
+ 
0
= \underline{
\mathsf {a}}
\cdot \underline{
\mathsf {b}}
; 
S5
\gg \underline{
\mathsf {a}}
\cdot \underline{
\mathsf {b}}
+ 
0
= \underline{
\mathsf {a}}
\cdot \underline{
\mathsf {b}}
; 
Prop\ 3.2d
\rhd \underline{
\mathsf {a}}
\cdot \underline{
\mathsf {b}}
+ 
0
= \underline{
\mathsf {a}}
\cdot \underline{
\mathsf {b}}
\rhd \underline{
\mathsf {a}}
\cdot \underline{
\mathsf {b}}
+ 
0
= \underline{
\mathsf {a}}
\cdot \underline{
\mathsf {b}}
\gg \underline{
\mathsf {a}}
\cdot \underline{
\mathsf {b}}
+ 
0
= \underline{
\mathsf {a}}
\cdot \underline{
\mathsf {b}}
+ 
0
; 
S7
\gg \underline{
\mathsf {a}}
\cdot 
0
= 
0
; 
Prop\ 3.2i
\rhd \underline{
\mathsf {a}}
\cdot 
0
= 
0
\gg \underline{
\mathsf {a}}
\cdot \underline{
\mathsf {b}}
+ \underline{
\mathsf {a}}
\cdot 
0
= \underline{
\mathsf {a}}
\cdot \underline{
\mathsf {b}}
+ 
0
; 
Prop\ 3.2d
\rhd \underline{
\mathsf {a}}
\cdot \underline{
\mathsf {b}}
+ 
0
= \underline{
\mathsf {a}}
\cdot \underline{
\mathsf {b}}
+ 
0
\rhd \underline{
\mathsf {a}}
\cdot \underline{
\mathsf {b}}
+ \underline{
\mathsf {a}}
\cdot 
0
= \underline{
\mathsf {a}}
\cdot \underline{
\mathsf {b}}
+ 
0
\gg \underline{
\mathsf {a}}
\cdot \underline{
\mathsf {b}}
+ 
0
= \underline{
\mathsf {a}}
\cdot \underline{
\mathsf {b}}
+ \underline{
\mathsf {a}}
\cdot 
0
\rceil 
, 
p_0
, 
\mathsf {c}
)
]$

Det induktive trin:

\item $
[
Prop\ 3.4a_2
\stackrel{
stmt
}{\rightarrow}
S
\vdash 
\forall \underline{
\mathsf {a}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf {b}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf {c}}
\colon \underline{
\mathsf {a}}
\cdot \underline{
\mathsf {b}}
+ \underline{
\mathsf {c}}
= \underline{
\mathsf {a}}
\cdot \underline{
\mathsf {b}}
+ \underline{
\mathsf {a}}
\cdot \underline{
\mathsf {c}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {a}}
\cdot \underline{
\mathsf {b}}
+ \underline{
\mathsf {c}}
{}'
= \underline{
\mathsf {a}}
\cdot \underline{
\mathsf {b}}
+ \underline{
\mathsf {a}}
\cdot \underline{
\mathsf {c}}
{}'
]$

\item $
[
Prop\ 3.4a_2
\stackrel{
proof
}{\rightarrow}
\lambda 
\mathsf {c}
.
\lambda 
\mathsf{x}
.
{\cal P}( 
\lceil 
S
\vdash 
\forall \underline{
\mathsf {a}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf {b}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf {c}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf {a}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf {b}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf {c}}
\colon \underline{
\mathsf {a}}
\cdot \underline{
\mathsf {b}}
+ \underline{
\mathsf {c}}
= \underline{
\mathsf {a}}
\cdot \underline{
\mathsf {b}}
+ \underline{
\mathsf {a}}
\cdot \underline{
\mathsf {c}}
\vdash 
S6
\gg \underline{
\mathsf {b}}
+ \underline{
\mathsf {c}}
{}'
= \underline{
\mathsf {b}}
+ \underline{
\mathsf {c}}
{}'
; 
Prop\ 3.2o
\rhd \underline{
\mathsf {b}}
+ \underline{
\mathsf {c}}
{}'
= \underline{
\mathsf {b}}
+ \underline{
\mathsf {c}}
{}'
\gg \underline{
\mathsf {a}}
\cdot \underline{
\mathsf {b}}
+ \underline{
\mathsf {c}}
{}'
= \underline{
\mathsf {a}}
\cdot \underline{
\mathsf {b}}
+ \underline{
\mathsf {c}}
{}'
; 
S8
\gg \underline{
\mathsf {a}}
\cdot \underline{
\mathsf {b}}
+ \underline{
\mathsf {c}}
{}'
= \underline{
\mathsf {a}}
\cdot \underline{
\mathsf {b}}
+ \underline{
\mathsf {c}}
+ \underline{
\mathsf {a}}
; 
Prop\ 3.2e
\rhd \underline{
\mathsf {a}}
\cdot \underline{
\mathsf {b}}
+ \underline{
\mathsf {c}}
= \underline{
\mathsf {a}}
\cdot \underline{
\mathsf {b}}
+ \underline{
\mathsf {a}}
\cdot \underline{
\mathsf {c}}
\gg \underline{
\mathsf {a}}
\cdot \underline{
\mathsf {b}}
+ \underline{
\mathsf {c}}
+ \underline{
\mathsf {a}}
= \underline{
\mathsf {a}}
\cdot \underline{
\mathsf {b}}
+ \underline{
\mathsf {a}}
\cdot \underline{
\mathsf {c}}
+ \underline{
\mathsf {a}}
; 
Prop\ 3.2j
\gg \underline{
\mathsf {a}}
\cdot \underline{
\mathsf {b}}
+ \underline{
\mathsf {a}}
\cdot \underline{
\mathsf {c}}
+ \underline{
\mathsf {a}}
= \underline{
\mathsf {a}}
\cdot \underline{
\mathsf {b}}
+ \underline{
\mathsf {a}}
\cdot \underline{
\mathsf {c}}
+ \underline{
\mathsf {a}}
; 
Prop\ 3.2c
\rhd \underline{
\mathsf {a}}
\cdot \underline{
\mathsf {b}}
+ \underline{
\mathsf {c}}
+ \underline{
\mathsf {a}}
= \underline{
\mathsf {a}}
\cdot \underline{
\mathsf {b}}
+ \underline{
\mathsf {a}}
\cdot \underline{
\mathsf {c}}
+ \underline{
\mathsf {a}}
\rhd \underline{
\mathsf {a}}
\cdot \underline{
\mathsf {b}}
+ \underline{
\mathsf {a}}
\cdot \underline{
\mathsf {c}}
+ \underline{
\mathsf {a}}
= \underline{
\mathsf {a}}
\cdot \underline{
\mathsf {b}}
+ \underline{
\mathsf {a}}
\cdot \underline{
\mathsf {c}}
+ \underline{
\mathsf {a}}
\gg \underline{
\mathsf {a}}
\cdot \underline{
\mathsf {b}}
+ \underline{
\mathsf {c}}
+ \underline{
\mathsf {a}}
= \underline{
\mathsf {a}}
\cdot \underline{
\mathsf {b}}
+ \underline{
\mathsf {a}}
\cdot \underline{
\mathsf {c}}
+ \underline{
\mathsf {a}}
; 
S8
\gg \underline{
\mathsf {a}}
\cdot \underline{
\mathsf {c}}
{}'
= \underline{
\mathsf {a}}
\cdot \underline{
\mathsf {c}}
+ \underline{
\mathsf {a}}
; 
Prop\ 3.2i
\rhd \underline{
\mathsf {a}}
\cdot \underline{
\mathsf {c}}
{}'
= \underline{
\mathsf {a}}
\cdot \underline{
\mathsf {c}}
+ \underline{
\mathsf {a}}
\gg \underline{
\mathsf {a}}
\cdot \underline{
\mathsf {b}}
+ \underline{
\mathsf {a}}
\cdot \underline{
\mathsf {c}}
{}'
= \underline{
\mathsf {a}}
\cdot \underline{
\mathsf {b}}
+ \underline{
\mathsf {a}}
\cdot \underline{
\mathsf {c}}
+ \underline{
\mathsf {a}}
; 
Prop\ 3.2d
\rhd \underline{
\mathsf {a}}
\cdot \underline{
\mathsf {b}}
+ \underline{
\mathsf {c}}
+ \underline{
\mathsf {a}}
= \underline{
\mathsf {a}}
\cdot \underline{
\mathsf {b}}
+ \underline{
\mathsf {a}}
\cdot \underline{
\mathsf {c}}
+ \underline{
\mathsf {a}}
\rhd \underline{
\mathsf {a}}
\cdot \underline{
\mathsf {b}}
+ \underline{
\mathsf {a}}
\cdot \underline{
\mathsf {c}}
{}'
= \underline{
\mathsf {a}}
\cdot \underline{
\mathsf {b}}
+ \underline{
\mathsf {a}}
\cdot \underline{
\mathsf {c}}
+ \underline{
\mathsf {a}}
\gg \underline{
\mathsf {a}}
\cdot \underline{
\mathsf {b}}
+ \underline{
\mathsf {c}}
+ \underline{
\mathsf {a}}
= \underline{
\mathsf {a}}
\cdot \underline{
\mathsf {b}}
+ \underline{
\mathsf {a}}
\cdot \underline{
\mathsf {c}}
{}'
; 
Prop\ 3.2c
\rhd \underline{
\mathsf {a}}
\cdot \underline{
\mathsf {b}}
+ \underline{
\mathsf {c}}
{}'
= \underline{
\mathsf {a}}
\cdot \underline{
\mathsf {b}}
+ \underline{
\mathsf {c}}
+ \underline{
\mathsf {a}}
\rhd \underline{
\mathsf {a}}
\cdot \underline{
\mathsf {b}}
+ \underline{
\mathsf {c}}
+ \underline{
\mathsf {a}}
= \underline{
\mathsf {a}}
\cdot \underline{
\mathsf {b}}
+ \underline{
\mathsf {a}}
\cdot \underline{
\mathsf {c}}
{}'
\gg \underline{
\mathsf {a}}
\cdot \underline{
\mathsf {b}}
+ \underline{
\mathsf {c}}
{}'
= \underline{
\mathsf {a}}
\cdot \underline{
\mathsf {b}}
+ \underline{
\mathsf {a}}
\cdot \underline{
\mathsf {c}}
{}'
; 
Prop\ 3.2c
\rhd \underline{
\mathsf {a}}
\cdot \underline{
\mathsf {b}}
+ \underline{
\mathsf {c}}
{}'
= \underline{
\mathsf {a}}
\cdot \underline{
\mathsf {b}}
+ \underline{
\mathsf {c}}
{}'
\rhd \underline{
\mathsf {a}}
\cdot \underline{
\mathsf {b}}
+ \underline{
\mathsf {c}}
{}'
= \underline{
\mathsf {a}}
\cdot \underline{
\mathsf {b}}
+ \underline{
\mathsf {a}}
\cdot \underline{
\mathsf {c}}
{}'
\gg \underline{
\mathsf {a}}
\cdot \underline{
\mathsf {b}}
+ \underline{
\mathsf {c}}
{}'
= \underline{
\mathsf {a}}
\cdot \underline{
\mathsf {b}}
+ \underline{
\mathsf {a}}
\cdot \underline{
\mathsf {c}}
{}'
; 
Ded
\rhd 
\forall \underline{
\mathsf {a}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf {b}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf {c}}
\colon \underline{
\mathsf {a}}
\cdot \underline{
\mathsf {b}}
+ \underline{
\mathsf {c}}
= \underline{
\mathsf {a}}
\cdot \underline{
\mathsf {b}}
+ \underline{
\mathsf {a}}
\cdot \underline{
\mathsf {c}}
\vdash \underline{
\mathsf {a}}
\cdot \underline{
\mathsf {b}}
+ \underline{
\mathsf {c}}
{}'
= \underline{
\mathsf {a}}
\cdot \underline{
\mathsf {b}}
+ \underline{
\mathsf {a}}
\cdot \underline{
\mathsf {c}}
{}'
\gg \underline{
\mathsf {a}}
\cdot \underline{
\mathsf {b}}
+ \underline{
\mathsf {c}}
= \underline{
\mathsf {a}}
\cdot \underline{
\mathsf {b}}
+ \underline{
\mathsf {a}}
\cdot \underline{
\mathsf {c}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {a}}
\cdot \underline{
\mathsf {b}}
+ \underline{
\mathsf {c}}
{}'
= \underline{
\mathsf {a}}
\cdot \underline{
\mathsf {b}}
+ \underline{
\mathsf {a}}
\cdot \underline{
\mathsf {c}}
{}'
\rceil 
, 
p_0
, 
\mathsf {c}
)
]$
\item $
[
Prop\ 3.4a
\stackrel{
stmt
}{\rightarrow}
S
\vdash 
\forall \underline{
\mathsf {a}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf {b}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf {c}}
\colon \underline{
\mathsf {a}}
\cdot \underline{
\mathsf {b}}
+ \underline{
\mathsf {c}}
= \underline{
\mathsf {a}}
\cdot \underline{
\mathsf {b}}
+ \underline{
\mathsf {a}}
\cdot \underline{
\mathsf {c}}
]$ 

\item $
[
Prop\ 3.4a
\stackrel{
proof
}{\rightarrow}
\lambda 
\mathsf {c}
.
\lambda 
\mathsf{x}
.
{\cal P}( 
\lceil 
S
\vdash 
\forall \underline{
\mathsf {a}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf {b}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf {c}}
\colon 
Prop\ 3.4a_1
\gg \overline{
\mathsf{x}}
\cdot \overline{
\mathsf{y}}
+ 
0
= \overline{
\mathsf{x}}
\cdot \overline{
\mathsf{y}}
+ \overline{
\mathsf{x}}
\cdot 
0
; 
Prop\ 3.4a_2
\gg \overline{
\mathsf{x}}
\cdot \overline{
\mathsf{y}}
+ \overline{
\mathsf{z}}
= \overline{
\mathsf{x}}
\cdot \overline{
\mathsf{y}}
+ \overline{
\mathsf{x}}
\cdot \overline{
\mathsf{z}}
\Rightarrow \overline{
\mathsf{x}}
\cdot \overline{
\mathsf{y}}
+ \overline{
\mathsf{z}}
{}'
= \overline{
\mathsf{x}}
\cdot \overline{
\mathsf{y}}
+ \overline{
\mathsf{x}}
\cdot \overline{
\mathsf{z}}
{}'
; 
S9
\mathop {\char64} \overline{
\mathsf{z}}
\rhd \overline{
\mathsf{x}}
\cdot \overline{
\mathsf{y}}
+ 
0
= \overline{
\mathsf{x}}
\cdot \overline{
\mathsf{y}}
+ \overline{
\mathsf{x}}
\cdot 
0
\rhd \overline{
\mathsf{x}}
\cdot \overline{
\mathsf{y}}
+ \overline{
\mathsf{z}}
= \overline{
\mathsf{x}}
\cdot \overline{
\mathsf{y}}
+ \overline{
\mathsf{x}}
\cdot \overline{
\mathsf{z}}
\Rightarrow \overline{
\mathsf{x}}
\cdot \overline{
\mathsf{y}}
+ \overline{
\mathsf{z}}
{}'
= \overline{
\mathsf{x}}
\cdot \overline{
\mathsf{y}}
+ \overline{
\mathsf{x}}
\cdot \overline{
\mathsf{z}}
{}'
\gg \overline{
\mathsf{x}}
\cdot \overline{
\mathsf{y}}
+ \overline{
\mathsf{z}}
= \overline{
\mathsf{x}}
\cdot \overline{
\mathsf{y}}
+ \overline{
\mathsf{x}}
\cdot \overline{
\mathsf{z}}
; 
Ded
\rhd \overline{
\mathsf{x}}
\cdot \overline{
\mathsf{y}}
+ \overline{
\mathsf{z}}
= \overline{
\mathsf{x}}
\cdot \overline{
\mathsf{y}}
+ \overline{
\mathsf{x}}
\cdot \overline{
\mathsf{z}}
\gg \underline{
\mathsf {a}}
\cdot \underline{
\mathsf {b}}
+ \underline{
\mathsf {c}}
= \underline{
\mathsf {a}}
\cdot \underline{
\mathsf {b}}
+ \underline{
\mathsf {a}}
\cdot \underline{
\mathsf {c}}
\rceil 
, 
p_0
, 
\mathsf {c}
)
]$

\end{list}

\subsection{3.4b}

\begin{list}{}{
\setlength{\leftmargin}{0em}
\setlength{\itemindent}{0em}
\setlength{\itemsep}{1ex}}

\item $
[
Prop\ 3.4b
\stackrel{
stmt
}{\rightarrow}
S
\vdash 
\forall \underline{
\mathsf {a}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf {b}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf {c}}
\colon \underline{
\mathsf {b}}
+ \underline{
\mathsf {c}}
\cdot \underline{
\mathsf {a}}
= \underline{
\mathsf {b}}
\cdot \underline{
\mathsf {a}}
+ \underline{
\mathsf {c}}
\cdot \underline{
\mathsf {a}}
]$ 

\item $
[
Prop\ 3.4b
\stackrel{
proof
}{\rightarrow}
\lambda 
\mathsf {c}
.
\lambda 
\mathsf{x}
.
{\cal P}( 
\lceil 
S
\vdash 
\forall \underline{
\mathsf {a}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf {b}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf {c}}
\colon 
Prop\ 3.4a
\gg \underline{
\mathsf {a}}
\cdot \underline{
\mathsf {b}}
+ \underline{
\mathsf {c}}
= \underline{
\mathsf {a}}
\cdot \underline{
\mathsf {b}}
+ \underline{
\mathsf {a}}
\cdot \underline{
\mathsf {c}}
; 
Prop\ 3.2n
\gg \underline{
\mathsf {a}}
\cdot \underline{
\mathsf {b}}
+ \underline{
\mathsf {c}}
= \underline{
\mathsf {b}}
+ \underline{
\mathsf {c}}
\cdot \underline{
\mathsf {a}}
; 
Prop\ 3.2n
\gg \underline{
\mathsf {a}}
\cdot \underline{
\mathsf {b}}
= \underline{
\mathsf {b}}
\cdot \underline{
\mathsf {a}}
; 
Prop\ 3.2n
\gg \underline{
\mathsf {a}}
\cdot \underline{
\mathsf {c}}
= \underline{
\mathsf {c}}
\cdot \underline{
\mathsf {a}}
; 
S1
\rhd \underline{
\mathsf {a}}
\cdot \underline{
\mathsf {b}}
+ \underline{
\mathsf {c}}
= \underline{
\mathsf {b}}
+ \underline{
\mathsf {c}}
\cdot \underline{
\mathsf {a}}
\rhd \underline{
\mathsf {a}}
\cdot \underline{
\mathsf {b}}
+ \underline{
\mathsf {c}}
= \underline{
\mathsf {a}}
\cdot \underline{
\mathsf {b}}
+ \underline{
\mathsf {a}}
\cdot \underline{
\mathsf {c}}
\gg \underline{
\mathsf {b}}
+ \underline{
\mathsf {c}}
\cdot \underline{
\mathsf {a}}
= \underline{
\mathsf {a}}
\cdot \underline{
\mathsf {b}}
+ \underline{
\mathsf {a}}
\cdot \underline{
\mathsf {c}}
; 
Prop\ 3.2e
\rhd \underline{
\mathsf {a}}
\cdot \underline{
\mathsf {b}}
= \underline{
\mathsf {b}}
\cdot \underline{
\mathsf {a}}
\gg \underline{
\mathsf {a}}
\cdot \underline{
\mathsf {b}}
+ \underline{
\mathsf {a}}
\cdot \underline{
\mathsf {c}}
= \underline{
\mathsf {b}}
\cdot \underline{
\mathsf {a}}
+ \underline{
\mathsf {a}}
\cdot \underline{
\mathsf {c}}
; 
Prop\ 3.2i
\rhd \underline{
\mathsf {a}}
\cdot \underline{
\mathsf {c}}
= \underline{
\mathsf {c}}
\cdot \underline{
\mathsf {a}}
\gg \underline{
\mathsf {b}}
\cdot \underline{
\mathsf {a}}
+ \underline{
\mathsf {a}}
\cdot \underline{
\mathsf {c}}
= \underline{
\mathsf {b}}
\cdot \underline{
\mathsf {a}}
+ \underline{
\mathsf {c}}
\cdot \underline{
\mathsf {a}}
; 
Prop\ 3.2c
\rhd \underline{
\mathsf {a}}
\cdot \underline{
\mathsf {b}}
+ \underline{
\mathsf {a}}
\cdot \underline{
\mathsf {c}}
= \underline{
\mathsf {b}}
\cdot \underline{
\mathsf {a}}
+ \underline{
\mathsf {a}}
\cdot \underline{
\mathsf {c}}
\rhd \underline{
\mathsf {b}}
\cdot \underline{
\mathsf {a}}
+ \underline{
\mathsf {a}}
\cdot \underline{
\mathsf {c}}
= \underline{
\mathsf {b}}
\cdot \underline{
\mathsf {a}}
+ \underline{
\mathsf {c}}
\cdot \underline{
\mathsf {a}}
\gg \underline{
\mathsf {a}}
\cdot \underline{
\mathsf {b}}
+ \underline{
\mathsf {a}}
\cdot \underline{
\mathsf {c}}
= \underline{
\mathsf {b}}
\cdot \underline{
\mathsf {a}}
+ \underline{
\mathsf {c}}
\cdot \underline{
\mathsf {a}}
; 
Prop\ 3.2c
\rhd \underline{
\mathsf {b}}
+ \underline{
\mathsf {c}}
\cdot \underline{
\mathsf {a}}
= \underline{
\mathsf {a}}
\cdot \underline{
\mathsf {b}}
+ \underline{
\mathsf {a}}
\cdot \underline{
\mathsf {c}}
\rhd \underline{
\mathsf {a}}
\cdot \underline{
\mathsf {b}}
+ \underline{
\mathsf {a}}
\cdot \underline{
\mathsf {c}}
= \underline{
\mathsf {b}}
\cdot \underline{
\mathsf {a}}
+ \underline{
\mathsf {c}}
\cdot \underline{
\mathsf {a}}
\gg \underline{
\mathsf {b}}
+ \underline{
\mathsf {c}}
\cdot \underline{
\mathsf {a}}
= \underline{
\mathsf {b}}
\cdot \underline{
\mathsf {a}}
+ \underline{
\mathsf {c}}
\cdot \underline{
\mathsf {a}}
\rceil 
, 
p_0
, 
\mathsf {c}
)
]$


\end{list}

\subsection{3.4c}
Vi vil bevise 3.4c ved induktion over $z$ i $B(z) : (x \cdot y) \cdot z = x \cdot (y \cdot z)$\\
Basistilf\ae{}ldet:

\begin{list}{}{
\setlength{\leftmargin}{0em}
\setlength{\itemindent}{0em}
\setlength{\itemsep}{1ex}}

\item $
[
Prop\ 3.4c_1
\stackrel{
stmt
}{\rightarrow}
S
\vdash 
\forall \underline{
\mathsf {a}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf {b}}
\colon \underline{
\mathsf {a}}
\cdot \underline{
\mathsf {b}}
\cdot 
0
= \underline{
\mathsf {a}}
\cdot \underline{
\mathsf {b}}
\cdot 
0
]$

\item $
[
Prop\ 3.4c_1
\stackrel{
proof
}{\rightarrow}
\lambda 
\mathsf {c}
.
\lambda 
\mathsf{x}
.
{\cal P}( 
\lceil 
S
\vdash 
\forall \underline{
\mathsf {a}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf {b}}
\colon 
S7
\gg \underline{
\mathsf {a}}
\cdot \underline{
\mathsf {b}}
\cdot 
0
= 
0
; 
S7
\gg \underline{
\mathsf {b}}
\cdot 
0
= 
0
; 
Prop\ 3.2o
\rhd \underline{
\mathsf {b}}
\cdot 
0
= 
0
\gg \underline{
\mathsf {a}}
\cdot \underline{
\mathsf {b}}
\cdot 
0
= \underline{
\mathsf {a}}
\cdot 
0
; 
S7
\gg \underline{
\mathsf {a}}
\cdot 
0
= 
0
; 
Prop\ 3.2c
\rhd \underline{
\mathsf {a}}
\cdot \underline{
\mathsf {b}}
\cdot 
0
= \underline{
\mathsf {a}}
\cdot 
0
\rhd \underline{
\mathsf {a}}
\cdot 
0
= 
0
\gg \underline{
\mathsf {a}}
\cdot \underline{
\mathsf {b}}
\cdot 
0
= 
0
; 
Prop\ 3.2d
\rhd \underline{
\mathsf {a}}
\cdot \underline{
\mathsf {b}}
\cdot 
0
= 
0
\rhd \underline{
\mathsf {a}}
\cdot \underline{
\mathsf {b}}
\cdot 
0
= 
0
\gg \underline{
\mathsf {a}}
\cdot \underline{
\mathsf {b}}
\cdot 
0
= \underline{
\mathsf {a}}
\cdot \underline{
\mathsf {b}}
\cdot 
0
\rceil 
, 
p_0
, 
\mathsf {c}
)
]$

Det induktive trin:

\item $
[
Prop\ 3.4c_2
\stackrel{
stmt
}{\rightarrow}
S
\vdash 
\forall \underline{
\mathsf {a}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf {b}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf {c}}
\colon \underline{
\mathsf {a}}
\cdot \underline{
\mathsf {b}}
\cdot \underline{
\mathsf {c}}
= \underline{
\mathsf {a}}
\cdot \underline{
\mathsf {b}}
\cdot \underline{
\mathsf {c}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {a}}
\cdot \underline{
\mathsf {b}}
\cdot \underline{
\mathsf {c}}
{}'
= \underline{
\mathsf {a}}
\cdot \underline{
\mathsf {b}}
\cdot \underline{
\mathsf {c}}
{}'
]$

\item $
[
Prop\ 3.4c_2
\stackrel{
proof
}{\rightarrow}
\lambda 
\mathsf {c}
.
\lambda 
\mathsf{x}
.
{\cal P}( 
\lceil 
S
\vdash 
\forall \underline{
\mathsf {a}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf {b}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf {c}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf {a}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf {b}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf {c}}
\colon \underline{
\mathsf {a}}
\cdot \underline{
\mathsf {b}}
\cdot \underline{
\mathsf {c}}
= \underline{
\mathsf {a}}
\cdot \underline{
\mathsf {b}}
\cdot \underline{
\mathsf {c}}
\vdash 
S8
\gg \underline{
\mathsf {a}}
\cdot \underline{
\mathsf {b}}
\cdot \underline{
\mathsf {c}}
{}'
= \underline{
\mathsf {a}}
\cdot \underline{
\mathsf {b}}
\cdot \underline{
\mathsf {c}}
+ \underline{
\mathsf {a}}
\cdot \underline{
\mathsf {b}}
; 
Prop\ 3.2e
\rhd \underline{
\mathsf {a}}
\cdot \underline{
\mathsf {b}}
\cdot \underline{
\mathsf {c}}
= \underline{
\mathsf {a}}
\cdot \underline{
\mathsf {b}}
\cdot \underline{
\mathsf {c}}
\gg \underline{
\mathsf {a}}
\cdot \underline{
\mathsf {b}}
\cdot \underline{
\mathsf {c}}
+ \underline{
\mathsf {a}}
\cdot \underline{
\mathsf {b}}
= \underline{
\mathsf {a}}
\cdot \underline{
\mathsf {b}}
\cdot \underline{
\mathsf {c}}
+ \underline{
\mathsf {a}}
\cdot \underline{
\mathsf {b}}
; 
Prop\ 3.2c
\rhd \underline{
\mathsf {a}}
\cdot \underline{
\mathsf {b}}
\cdot \underline{
\mathsf {c}}
{}'
= \underline{
\mathsf {a}}
\cdot \underline{
\mathsf {b}}
\cdot \underline{
\mathsf {c}}
+ \underline{
\mathsf {a}}
\cdot \underline{
\mathsf {b}}
\rhd \underline{
\mathsf {a}}
\cdot \underline{
\mathsf {b}}
\cdot \underline{
\mathsf {c}}
+ \underline{
\mathsf {a}}
\cdot \underline{
\mathsf {b}}
= \underline{
\mathsf {a}}
\cdot \underline{
\mathsf {b}}
\cdot \underline{
\mathsf {c}}
+ \underline{
\mathsf {a}}
\cdot \underline{
\mathsf {b}}
\gg \underline{
\mathsf {a}}
\cdot \underline{
\mathsf {b}}
\cdot \underline{
\mathsf {c}}
{}'
= \underline{
\mathsf {a}}
\cdot \underline{
\mathsf {b}}
\cdot \underline{
\mathsf {c}}
+ \underline{
\mathsf {a}}
\cdot \underline{
\mathsf {b}}
; 
Prop\ 3.4a
\gg \underline{
\mathsf {a}}
\cdot \underline{
\mathsf {b}}
\cdot \underline{
\mathsf {c}}
+ \underline{
\mathsf {b}}
= \underline{
\mathsf {a}}
\cdot \underline{
\mathsf {b}}
\cdot \underline{
\mathsf {c}}
+ \underline{
\mathsf {a}}
\cdot \underline{
\mathsf {b}}
; 
Prop\ 3.2d
\rhd \underline{
\mathsf {a}}
\cdot \underline{
\mathsf {b}}
\cdot \underline{
\mathsf {c}}
{}'
= \underline{
\mathsf {a}}
\cdot \underline{
\mathsf {b}}
\cdot \underline{
\mathsf {c}}
+ \underline{
\mathsf {a}}
\cdot \underline{
\mathsf {b}}
\rhd \underline{
\mathsf {a}}
\cdot \underline{
\mathsf {b}}
\cdot \underline{
\mathsf {c}}
+ \underline{
\mathsf {b}}
= \underline{
\mathsf {a}}
\cdot \underline{
\mathsf {b}}
\cdot \underline{
\mathsf {c}}
+ \underline{
\mathsf {a}}
\cdot \underline{
\mathsf {b}}
\gg \underline{
\mathsf {a}}
\cdot \underline{
\mathsf {b}}
\cdot \underline{
\mathsf {c}}
{}'
= \underline{
\mathsf {a}}
\cdot \underline{
\mathsf {b}}
\cdot \underline{
\mathsf {c}}
+ \underline{
\mathsf {b}}
; 
S8
\gg \underline{
\mathsf {b}}
\cdot \underline{
\mathsf {c}}
{}'
= \underline{
\mathsf {b}}
\cdot \underline{
\mathsf {c}}
+ \underline{
\mathsf {b}}
; 
Prop\ 3.2o
\rhd \underline{
\mathsf {b}}
\cdot \underline{
\mathsf {c}}
{}'
= \underline{
\mathsf {b}}
\cdot \underline{
\mathsf {c}}
+ \underline{
\mathsf {b}}
\gg \underline{
\mathsf {a}}
\cdot \underline{
\mathsf {b}}
\cdot \underline{
\mathsf {c}}
{}'
= \underline{
\mathsf {a}}
\cdot \underline{
\mathsf {b}}
\cdot \underline{
\mathsf {c}}
+ \underline{
\mathsf {b}}
; 
Prop\ 3.2d
\rhd \underline{
\mathsf {a}}
\cdot \underline{
\mathsf {b}}
\cdot \underline{
\mathsf {c}}
{}'
= \underline{
\mathsf {a}}
\cdot \underline{
\mathsf {b}}
\cdot \underline{
\mathsf {c}}
+ \underline{
\mathsf {b}}
\rhd \underline{
\mathsf {a}}
\cdot \underline{
\mathsf {b}}
\cdot \underline{
\mathsf {c}}
{}'
= \underline{
\mathsf {a}}
\cdot \underline{
\mathsf {b}}
\cdot \underline{
\mathsf {c}}
+ \underline{
\mathsf {b}}
\gg \underline{
\mathsf {a}}
\cdot \underline{
\mathsf {b}}
\cdot \underline{
\mathsf {c}}
{}'
= \underline{
\mathsf {a}}
\cdot \underline{
\mathsf {b}}
\cdot \underline{
\mathsf {c}}
{}'
; 
Ded
\rhd 
\forall \underline{
\mathsf {a}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf {b}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf {c}}
\colon \underline{
\mathsf {a}}
\cdot \underline{
\mathsf {b}}
\cdot \underline{
\mathsf {c}}
= \underline{
\mathsf {a}}
\cdot \underline{
\mathsf {b}}
\cdot \underline{
\mathsf {c}}
\vdash \underline{
\mathsf {a}}
\cdot \underline{
\mathsf {b}}
\cdot \underline{
\mathsf {c}}
{}'
= \underline{
\mathsf {a}}
\cdot \underline{
\mathsf {b}}
\cdot \underline{
\mathsf {c}}
{}'
\gg \underline{
\mathsf {a}}
\cdot \underline{
\mathsf {b}}
\cdot \underline{
\mathsf {c}}
= \underline{
\mathsf {a}}
\cdot \underline{
\mathsf {b}}
\cdot \underline{
\mathsf {c}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {a}}
\cdot \underline{
\mathsf {b}}
\cdot \underline{
\mathsf {c}}
{}'
= \underline{
\mathsf {a}}
\cdot \underline{
\mathsf {b}}
\cdot \underline{
\mathsf {c}}
{}'
\rceil 
, 
p_0
, 
\mathsf {c}
)
]$

\item $
[
Prop\ 3.4c
\stackrel{
stmt
}{\rightarrow}
S
\vdash 
\forall \underline{
\mathsf {a}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf {b}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf {c}}
\colon \underline{
\mathsf {a}}
\cdot \underline{
\mathsf {b}}
\cdot \underline{
\mathsf {c}}
= \underline{
\mathsf {a}}
\cdot \underline{
\mathsf {b}}
\cdot \underline{
\mathsf {c}}
]$

\item $
[
Prop\ 3.4c
\stackrel{
proof
}{\rightarrow}
\lambda 
\mathsf {c}
.
\lambda 
\mathsf{x}
.
{\cal P}( 
\lceil 
S
\vdash 
\forall \underline{
\mathsf {a}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf {b}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf {c}}
\colon 
Prop\ 3.4c_1
\gg \overline{
\mathsf{x}}
\cdot \overline{
\mathsf{y}}
\cdot 
0
= \overline{
\mathsf{x}}
\cdot \overline{
\mathsf{y}}
\cdot 
0
; 
Prop\ 3.4c_2
\gg \overline{
\mathsf{x}}
\cdot \overline{
\mathsf{y}}
\cdot \overline{
\mathsf{z}}
= \overline{
\mathsf{x}}
\cdot \overline{
\mathsf{y}}
\cdot \overline{
\mathsf{z}}
\Rightarrow \overline{
\mathsf{x}}
\cdot \overline{
\mathsf{y}}
\cdot \overline{
\mathsf{z}}
{}'
= \overline{
\mathsf{x}}
\cdot \overline{
\mathsf{y}}
\cdot \overline{
\mathsf{z}}
{}'
; 
S9
\mathop {\char64} \overline{
\mathsf{z}}
\rhd \overline{
\mathsf{x}}
\cdot \overline{
\mathsf{y}}
\cdot 
0
= \overline{
\mathsf{x}}
\cdot \overline{
\mathsf{y}}
\cdot 
0
\rhd \overline{
\mathsf{x}}
\cdot \overline{
\mathsf{y}}
\cdot \overline{
\mathsf{z}}
= \overline{
\mathsf{x}}
\cdot \overline{
\mathsf{y}}
\cdot \overline{
\mathsf{z}}
\Rightarrow \overline{
\mathsf{x}}
\cdot \overline{
\mathsf{y}}
\cdot \overline{
\mathsf{z}}
{}'
= \overline{
\mathsf{x}}
\cdot \overline{
\mathsf{y}}
\cdot \overline{
\mathsf{z}}
{}'
\gg \overline{
\mathsf{x}}
\cdot \overline{
\mathsf{y}}
\cdot \overline{
\mathsf{z}}
= \overline{
\mathsf{x}}
\cdot \overline{
\mathsf{y}}
\cdot \overline{
\mathsf{z}}
; 
Ded
\rhd \overline{
\mathsf{x}}
\cdot \overline{
\mathsf{y}}
\cdot \overline{
\mathsf{z}}
= \overline{
\mathsf{x}}
\cdot \overline{
\mathsf{y}}
\cdot \overline{
\mathsf{z}}
\gg \underline{
\mathsf {a}}
\cdot \underline{
\mathsf {b}}
\cdot \underline{
\mathsf {c}}
= \underline{
\mathsf {a}}
\cdot \underline{
\mathsf {b}}
\cdot \underline{
\mathsf {c}}
\rceil 
, 
p_0
, 
\mathsf {c}
)
]$

\end{list}

\subsection{3.4d}
Vi vil bevise 3.4d ved induktion over $z$ i $B(z) : x + z = y + z \Rightarrow x = y$\\
Basistilf\ae{}ldet er:
\begin{list}{}{
\setlength{\leftmargin}{0em}
\setlength{\itemindent}{0em}
\setlength{\itemsep}{1ex}}

\item $
[
Prop\ 3.4d_1
\stackrel{
stmt
}{\rightarrow}
S
\vdash 
\forall \underline{
\mathsf {a}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf {b}}
\colon \underline{
\mathsf {a}}
+ 
0
= \underline{
\mathsf {b}}
+ 
0
\Rightarrow \underline{
\mathsf {a}}
= \underline{
\mathsf {b}}
]$

\item $
[
Prop\ 3.4d_1
\stackrel{
proof
}{\rightarrow}
\lambda 
\mathsf {c}
.
\lambda 
\mathsf{x}
.
{\cal P}( 
\lceil 
S
\vdash 
\forall \underline{
\mathsf {a}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf {b}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf {a}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf {b}}
\colon \underline{
\mathsf {a}}
+ 
0
= \underline{
\mathsf {b}}
+ 
0
\vdash 
S5
\gg \underline{
\mathsf {a}}
+ 
0
= \underline{
\mathsf {a}}
; 
S5
\gg \underline{
\mathsf {b}}
+ 
0
= \underline{
\mathsf {b}}
; 
S1
\rhd \underline{
\mathsf {a}}
+ 
0
= \underline{
\mathsf {a}}
\rhd \underline{
\mathsf {a}}
+ 
0
= \underline{
\mathsf {b}}
+ 
0
\gg \underline{
\mathsf {a}}
= \underline{
\mathsf {b}}
+ 
0
; 
Prop\ 3.2c
\rhd \underline{
\mathsf {a}}
= \underline{
\mathsf {b}}
+ 
0
\rhd \underline{
\mathsf {b}}
+ 
0
= \underline{
\mathsf {b}}
\gg \underline{
\mathsf {a}}
= \underline{
\mathsf {b}}
; 
Ded
\rhd 
\forall \underline{
\mathsf {a}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf {b}}
\colon \underline{
\mathsf {a}}
+ 
0
= \underline{
\mathsf {b}}
+ 
0
\vdash \underline{
\mathsf {a}}
= \underline{
\mathsf {b}}
\gg \underline{
\mathsf {a}}
+ 
0
= \underline{
\mathsf {b}}
+ 
0
\Rightarrow \underline{
\mathsf {a}}
= \underline{
\mathsf {b}}
\rceil 
, 
p_0
, 
\mathsf {c}
)
]$

Det induktive trin:

\item $
[
Prop\ 3.4d_2
\stackrel{
stmt
}{\rightarrow}
S
\vdash 
\forall \underline{
\mathsf {a}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf {b}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf {c}}
\colon \underline{
\mathsf {a}}
+ \underline{
\mathsf {c}}
= \underline{
\mathsf {b}}
+ \underline{
\mathsf {c}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {a}}
= \underline{
\mathsf {b}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {a}}
+ \underline{
\mathsf {c}}
{}'
= \underline{
\mathsf {b}}
+ \underline{
\mathsf {c}}
{}'
\Rightarrow \underline{
\mathsf {a}}
= \underline{
\mathsf {b}}
]$


\item $
[
Prop\ 3.4d_2
\stackrel{
proof
}{\rightarrow}
\lambda 
\mathsf {c}
.
\lambda 
\mathsf{x}
.
{\cal P}( 
\lceil 
S
\vdash 
\forall \underline{
\mathsf {a}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf {b}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf {c}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf {a}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf {b}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf {c}}
\colon \underline{
\mathsf {a}}
+ \underline{
\mathsf {c}}
= \underline{
\mathsf {b}}
+ \underline{
\mathsf {c}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {a}}
= \underline{
\mathsf {b}}
\vdash \underline{
\mathsf {a}}
+ \underline{
\mathsf {c}}
{}'
= \underline{
\mathsf {b}}
+ \underline{
\mathsf {c}}
{}'
\vdash 
S6
\gg \underline{
\mathsf {a}}
+ \underline{
\mathsf {c}}
{}'
= \underline{
\mathsf {a}}
+ \underline{
\mathsf {c}}
{}'
; 
S6
\gg \underline{
\mathsf {b}}
+ \underline{
\mathsf {c}}
{}'
= \underline{
\mathsf {b}}
+ \underline{
\mathsf {c}}
{}'
; 
S1
\rhd \underline{
\mathsf {a}}
+ \underline{
\mathsf {c}}
{}'
= \underline{
\mathsf {a}}
+ \underline{
\mathsf {c}}
{}'
\rhd \underline{
\mathsf {a}}
+ \underline{
\mathsf {c}}
{}'
= \underline{
\mathsf {b}}
+ \underline{
\mathsf {c}}
{}'
\gg \underline{
\mathsf {a}}
+ \underline{
\mathsf {c}}
{}'
= \underline{
\mathsf {b}}
+ \underline{
\mathsf {c}}
{}'
; 
Prop\ 3.2c
\rhd \underline{
\mathsf {a}}
+ \underline{
\mathsf {c}}
{}'
= \underline{
\mathsf {b}}
+ \underline{
\mathsf {c}}
{}'
\rhd \underline{
\mathsf {b}}
+ \underline{
\mathsf {c}}
{}'
= \underline{
\mathsf {b}}
+ \underline{
\mathsf {c}}
{}'
\gg \underline{
\mathsf {a}}
+ \underline{
\mathsf {c}}
{}'
= \underline{
\mathsf {b}}
+ \underline{
\mathsf {c}}
{}'
; 
S4
\rhd \underline{
\mathsf {a}}
+ \underline{
\mathsf {c}}
{}'
= \underline{
\mathsf {b}}
+ \underline{
\mathsf {c}}
{}'
\gg \underline{
\mathsf {a}}
+ \underline{
\mathsf {c}}
= \underline{
\mathsf {b}}
+ \underline{
\mathsf {c}}
; 
MP
\rhd \underline{
\mathsf {a}}
+ \underline{
\mathsf {c}}
= \underline{
\mathsf {b}}
+ \underline{
\mathsf {c}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {a}}
= \underline{
\mathsf {b}}
\rhd \underline{
\mathsf {a}}
+ \underline{
\mathsf {c}}
= \underline{
\mathsf {b}}
+ \underline{
\mathsf {c}}
\gg \underline{
\mathsf {a}}
= \underline{
\mathsf {b}}
; 
Ded
\rhd 
\forall \underline{
\mathsf {a}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf {b}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf {c}}
\colon \underline{
\mathsf {a}}
+ \underline{
\mathsf {c}}
= \underline{
\mathsf {b}}
+ \underline{
\mathsf {c}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {a}}
= \underline{
\mathsf {b}}
\vdash \underline{
\mathsf {a}}
+ \underline{
\mathsf {c}}
{}'
= \underline{
\mathsf {b}}
+ \underline{
\mathsf {c}}
{}'
\vdash \underline{
\mathsf {a}}
= \underline{
\mathsf {b}}
\gg \underline{
\mathsf {a}}
+ \underline{
\mathsf {c}}
= \underline{
\mathsf {b}}
+ \underline{
\mathsf {c}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {a}}
= \underline{
\mathsf {b}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {a}}
+ \underline{
\mathsf {c}}
{}'
= \underline{
\mathsf {b}}
+ \underline{
\mathsf {c}}
{}'
\Rightarrow \underline{
\mathsf {a}}
= \underline{
\mathsf {b}}
\rceil 
, 
p_0
, 
\mathsf {c}
)
]$

\item $
[
Prop\ 3.4d
\stackrel{
stmt
}{\rightarrow}
S
\vdash 
\forall \underline{
\mathsf {a}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf {b}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf {c}}
\colon \underline{
\mathsf {a}}
+ \underline{
\mathsf {c}}
= \underline{
\mathsf {b}}
+ \underline{
\mathsf {c}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {a}}
= \underline{
\mathsf {b}}
]$

\item $
[
Prop\ 3.4d
\stackrel{
proof
}{\rightarrow}
\lambda 
\mathsf {c}
.
\lambda 
\mathsf{x}
.
{\cal P}( 
\lceil 
S
\vdash 
\forall \underline{
\mathsf {a}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf {b}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf {c}}
\colon 
Prop\ 3.4d_1
\gg \overline{
\mathsf{x}}
+ 
0
= \overline{
\mathsf{y}}
+ 
0
\Rightarrow \overline{
\mathsf{x}}
= \overline{
\mathsf{y}}
; 
Prop\ 3.4d_2
\gg \overline{
\mathsf{x}}
+ \overline{
\mathsf{z}}
= \overline{
\mathsf{y}}
+ \overline{
\mathsf{z}}
\Rightarrow \overline{
\mathsf{x}}
= \overline{
\mathsf{y}}
\Rightarrow \overline{
\mathsf{x}}
+ \overline{
\mathsf{z}}
{}'
= \overline{
\mathsf{y}}
+ \overline{
\mathsf{z}}
{}'
\Rightarrow \overline{
\mathsf{x}}
= \overline{
\mathsf{y}}
; 
S9
\mathop {\char64} \overline{
\mathsf{z}}
\rhd \overline{
\mathsf{x}}
+ 
0
= \overline{
\mathsf{y}}
+ 
0
\Rightarrow \overline{
\mathsf{x}}
= \overline{
\mathsf{y}}
\rhd \overline{
\mathsf{x}}
+ \overline{
\mathsf{z}}
= \overline{
\mathsf{y}}
+ \overline{
\mathsf{z}}
\Rightarrow \overline{
\mathsf{x}}
= \overline{
\mathsf{y}}
\Rightarrow \overline{
\mathsf{x}}
+ \overline{
\mathsf{z}}
{}'
= \overline{
\mathsf{y}}
+ \overline{
\mathsf{z}}
{}'
\Rightarrow \overline{
\mathsf{x}}
= \overline{
\mathsf{y}}
\gg \overline{
\mathsf{x}}
+ \overline{
\mathsf{z}}
= \overline{
\mathsf{y}}
+ \overline{
\mathsf{z}}
\Rightarrow \overline{
\mathsf{x}}
= \overline{
\mathsf{y}}
; 
Ded
\rhd \overline{
\mathsf{x}}
+ \overline{
\mathsf{z}}
= \overline{
\mathsf{y}}
+ \overline{
\mathsf{z}}
\Rightarrow \overline{
\mathsf{x}}
= \overline{
\mathsf{y}}
\gg \underline{
\mathsf {a}}
+ \underline{
\mathsf {c}}
= \underline{
\mathsf {b}}
+ \underline{
\mathsf {c}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {a}}
= \underline{
\mathsf {b}}
\rceil 
, 
p_0
, 
\mathsf {c}
)
]$

\end{list}

\section{Udsagn 3.5}\label{35}
I denne del har vi kun kunne l\o{}se indtil h, da denne  og de efterf\o{}lgende
kr\ae{}ver reglen ``existensial rule''. Dog er der i afsnit \ref{exist} genemg\aa{}et hvilket problem, der forhindrer os i at bevise '' existencial rule'', og hvordan vi
ville have bevist reglen, hvis problemet ikke var opst\aa{}et. Endvidere er der i \ref{35h} genemg\aa{}et hvordan vi ville have l\o{}st 3.5h.

I de f\o{}lgende udsagn indg\aa{}r numeraler, der opf\o{}rer sig som de naturlige
tal og er defineret i forhold til 0 p\aa{} f\o{}lgende m\aa{}de:

\[
\begin{array}{lcr}
0 &=& \overline{0} \\
0' &=& \overline{1} \\
0'' & = & \overline{2} \\
\vdots & & \vdots \\
0^{n*'} & = & \overline{n}  \\
\end{array}
\]

Dvs. hvis $\overline{0}$ er et numeral, og hvis $\overline{n}$ er et numeral, s\aa{} er $\overline{n}'$ ogs\aa{}.\\


I afsnit \ref{35a} til \ref{35h} er beviserne for f\o{}lgende lemmaer (indtil h).
\begin{list}{}{
\setlength{\leftmargin}{0em}
\setlength{\itemindent}{0em}
\setlength{\itemsep}{1ex}}

\item $
[
Prop\ 3.5a
\stackrel{
stmt
}{\rightarrow}
S
\vdash 
\forall \underline{
\mathsf {a}}
\colon \underline{
\mathsf {a}}
+ 
0
{}'
= \underline{
\mathsf {a}}
{}'
]$

\item $
[
Prop\ 3.5b
\stackrel{
stmt
}{\rightarrow}
S
\vdash 
\forall \underline{
\mathsf {a}}
\colon \underline{
\mathsf {a}}
\cdot 
0
{}'
= \underline{
\mathsf {a}}
]$

\item $
[
Prop\ 3.5c
\stackrel{
stmt
}{\rightarrow}
S
\vdash 
\forall \underline{
\mathsf {a}}
\colon \underline{
\mathsf {a}}
\cdot 
0
{}'
{}'
= \underline{
\mathsf {a}}
+ \underline{
\mathsf {a}}
]$

\item $
[
Prop\ 3.5d
\stackrel{
stmt
}{\rightarrow}
S
\vdash 
\forall \underline{
\mathsf {a}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf {b}}
\colon \underline{
\mathsf {a}}
+ \underline{
\mathsf {b}}
= 
0
\Rightarrow 
{\neg }\underline{
\mathsf {a}}
= 
0
\Rightarrow 
{\neg }\underline{
\mathsf {b}}
= 
0
]$

\item $
[
Prop\ 3.5e
\stackrel{
stmt
}{\rightarrow}
S
\vdash 
\forall \underline{
\mathsf {a}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf {b}}
\colon 
{\neg }\underline{
\mathsf {b}}
= 
0
\Rightarrow \underline{
\mathsf {a}}
\cdot \underline{
\mathsf {b}}
= 
0
\Rightarrow \underline{
\mathsf {a}}
= 
0
]$

\item $
[
Prop\ 3.5f
\stackrel{
stmt
}{\rightarrow}
S
\vdash 
\forall \underline{
\mathsf {a}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf {b}}
\colon \underline{
\mathsf {a}}
+ \underline{
\mathsf {b}}
= 
0
{}'
\Rightarrow 
{\neg }
{\neg }\underline{
\mathsf {a}}
= 
0
\Rightarrow 
{\neg }\underline{
\mathsf {b}}
= 
0
{}'
\Rightarrow 
{\neg }\underline{
\mathsf {a}}
= 
0
{}'
\Rightarrow 
{\neg }\underline{
\mathsf {b}}
= 
0
]$

\item $
[
Prop\ 3.5g
\stackrel{
stmt
}{\rightarrow}
S
\vdash 
\forall \underline{
\mathsf {a}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf {b}}
\colon \underline{
\mathsf {a}}
\cdot \underline{
\mathsf {b}}
= 
0
{}'
\Rightarrow 
{\neg }\underline{
\mathsf {a}}
= 
0
{}'
\Rightarrow 
{\neg }\underline{
\mathsf {b}}
= 
0
{}'
]$

\item $
[
Prop\ 3.5h
\stackrel{
stmt
}{\rightarrow}
S
\vdash 
\forall \underline{
\mathsf {a}}
\colon 
{\neg }\underline{
\mathsf {a}}
= 
0
\Rightarrow 
{\neg }
\forall_{obj} \underline{
\mathsf {b}}
\colon 
{\neg }\underline{
\mathsf {a}}
= \underline{
\mathsf {b}}
{}'
]$

\item $
[
Prop\ 3.5i
\stackrel{
stmt
}{\rightarrow}
S
\vdash 
\forall \underline{
\mathsf {a}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf {b}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf {c}}
\colon 
{\neg }\underline{
\mathsf {c}}
= 
0
\Rightarrow \underline{
\mathsf {a}}
\cdot \underline{
\mathsf {c}}
= \underline{
\mathsf {b}}
\cdot \underline{
\mathsf {c}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {a}}
= \underline{
\mathsf {b}}
]$

\item $
[
Prop\ 3.5j
\stackrel{
stmt
}{\rightarrow}
S
\vdash 
\forall \underline{
\mathsf {a}}
\colon 
{\neg }\underline{
\mathsf {a}}
= 
0
\Rightarrow 
{\neg }\underline{
\mathsf {a}}
= 
0
{}'
\Rightarrow 
{\neg }
\forall_{obj} \underline{
\mathsf {b}}
\colon 
{\neg }\underline{
\mathsf {a}}
= \underline{
\mathsf {b}}
{}'
{}'
]$

\end{list}

Efterf\o{}lgende vil vi gennemg\aa{}de n\o{}dvendige hj\ae{}lpes\ae{}tninger og definitioner for at kunne bevise 3.5a-3.5g.

\subsection{Definitioner i forbindelse med $\land$ og $\lor$}

Fra 3.5d bruges $\land$ og $\lor$, som begge er makrodefinerede udtryk:

\begin{list}{}{
\setlength{\leftmargin}{0em}
\setlength{\itemindent}{0em}
\setlength{\itemsep}{1ex}}
\item $
[
\mathsf{x}
\wedge 
\mathsf{y}
\stackrel{
\mathrm {macro}
}{\rightarrow}
\lambda 
\mathsf {t}
.
\lambda 
\mathsf {s}
.
\lambda 
\mathsf {c}
.
\tilde {{\cal M}}_4(
\mathsf {t}
,
\mathsf {s}
,
\mathsf {c}
,
\lceil 
[
\mathsf{x}
\wedge 
\mathsf{y}
\mathrel {\ddot {=}}
{\neg }
(
\mathsf{x}
\Rightarrow 
{\neg }
\mathsf{y}
)
]
\rceil 
)
]$
\item $
[
\mathsf{x}
\vee 
\mathsf{y}
\stackrel{
\mathrm {macro}
}{\rightarrow}
\lambda 
\mathsf {t}
.
\lambda 
\mathsf {s}
.
\lambda 
\mathsf {c}
.
\tilde {{\cal M}}_4(
\mathsf {t}
,
\mathsf {s}
,
\mathsf {c}
,
\lceil 
[
\mathsf{x}
\vee 
\mathsf{y}
\mathrel {\ddot {=}}
(
{\neg }
\mathsf{x}
)
\Rightarrow 
\mathsf{y}
]
\rceil 
)
]$
\end{list}

Endvidere er det klart at reglerne for introduktion og eliminering af hhv. $\land$ og
$\lor$ dermed ogs\aa{} skal bruges. Alle disse er bevist i de f\o{}lgende afsnit.

\subsubsection{Introduktion af $\land$}

\begin{list}{}{
\setlength{\leftmargin}{0em}
\setlength{\itemindent}{0em}
\setlength{\itemsep}{1ex}}

\item $
[
Con
\stackrel{
stmt
}{\rightarrow}
S
\vdash 
\forall \underline{
\mathsf {a}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf {b}}
\colon \underline{
\mathsf {a}}
\vdash \underline{
\mathsf {b}}
\vdash 
{\neg }\underline{
\mathsf {a}}
\Rightarrow 
{\neg }\underline{
\mathsf {b}}
]$

\item $
[
Con
\stackrel{
proof
}{\rightarrow}
\lambda 
\mathsf {c}
.
\lambda 
\mathsf{x}
.
{\cal P}( 
\lceil 
S
\vdash 
\forall \underline{
\mathsf {a}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf {b}}
\colon \underline{
\mathsf {a}}
\vdash \underline{
\mathsf {b}}
\vdash 
\forall \underline{
\mathsf {a}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf {b}}
\colon \underline{
\mathsf {a}}
\Rightarrow 
{\neg }\underline{
\mathsf {b}}
\vdash 
Repetition
\rhd \underline{
\mathsf {a}}
\gg \underline{
\mathsf {a}}
; 
MP
\rhd \underline{
\mathsf {a}}
\Rightarrow 
{\neg }\underline{
\mathsf {b}}
\rhd \underline{
\mathsf {a}}
\gg 
{\neg }\underline{
\mathsf {b}}
; 
Ded
\rhd 
\forall \underline{
\mathsf {a}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf {b}}
\colon \underline{
\mathsf {a}}
\Rightarrow 
{\neg }\underline{
\mathsf {b}}
\vdash 
{\neg }\underline{
\mathsf {b}}
\gg \underline{
\mathsf {a}}
\Rightarrow 
{\neg }\underline{
\mathsf {b}}
\Rightarrow 
{\neg }\underline{
\mathsf {b}}
; 
Lem 1.11b
\gg \underline{
\mathsf {b}}
\Rightarrow 
{\neg }
{\neg }\underline{
\mathsf {b}}
; 
MP
\rhd \underline{
\mathsf {b}}
\Rightarrow 
{\neg }
{\neg }\underline{
\mathsf {b}}
\rhd \underline{
\mathsf {b}}
\gg 
{\neg }
{\neg }\underline{
\mathsf {b}}
; 
MT
\rhd \underline{
\mathsf {a}}
\Rightarrow 
{\neg }\underline{
\mathsf {b}}
\Rightarrow 
{\neg }\underline{
\mathsf {b}}
\rhd 
{\neg }
{\neg }\underline{
\mathsf {b}}
\gg 
{\neg }\underline{
\mathsf {a}}
\Rightarrow 
{\neg }\underline{
\mathsf {b}}
\rceil 
, 
p_0
, 
\mathsf {c}
)
]$

\end{list}

\subsubsection{Elimination af $\land$ 1}
\begin{list}{}{
\setlength{\leftmargin}{0em}
\setlength{\itemindent}{0em}
\setlength{\itemsep}{1ex}}

\item $
[
Con1
\stackrel{
stmt
}{\rightarrow}
S
\vdash 
\forall \underline{
\mathsf {a}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf {b}}
\colon 
{\neg }\underline{
\mathsf {a}}
\Rightarrow 
{\neg }\underline{
\mathsf {b}}
\vdash \underline{
\mathsf {a}}
]$
\item $
[
Con1
\stackrel{
proof
}{\rightarrow}
\lambda 
\mathsf {c}
.
\lambda 
\mathsf{x}
.
{\cal P}( 
\lceil 
S
\vdash 
\forall \underline{
\mathsf {a}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf {b}}
\colon 
{\neg }\underline{
\mathsf {a}}
\Rightarrow 
{\neg }\underline{
\mathsf {b}}
\vdash 
\forall \underline{
\mathsf {a}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf {b}}
\colon 
{\neg }\underline{
\mathsf {a}}
\vdash 
A1'
\gg 
{\neg }\underline{
\mathsf {a}}
\Rightarrow 
{\neg }
{\neg }\underline{
\mathsf {b}}
\Rightarrow 
{\neg }\underline{
\mathsf {a}}
; 
MP
\rhd 
{\neg }\underline{
\mathsf {a}}
\Rightarrow 
{\neg }
{\neg }\underline{
\mathsf {b}}
\Rightarrow 
{\neg }\underline{
\mathsf {a}}
\rhd 
{\neg }\underline{
\mathsf {a}}
\gg 
{\neg }
{\neg }\underline{
\mathsf {b}}
\Rightarrow 
{\neg }\underline{
\mathsf {a}}
; 
Lem 1.11d
\gg 
{\neg }
{\neg }\underline{
\mathsf {b}}
\Rightarrow 
{\neg }\underline{
\mathsf {a}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {a}}
\Rightarrow 
{\neg }\underline{
\mathsf {b}}
; 
MP
\rhd 
{\neg }
{\neg }\underline{
\mathsf {b}}
\Rightarrow 
{\neg }\underline{
\mathsf {a}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {a}}
\Rightarrow 
{\neg }\underline{
\mathsf {b}}
\rhd 
{\neg }
{\neg }\underline{
\mathsf {b}}
\Rightarrow 
{\neg }\underline{
\mathsf {a}}
\gg \underline{
\mathsf {a}}
\Rightarrow 
{\neg }\underline{
\mathsf {b}}
; 
Ded
\rhd 
\forall \underline{
\mathsf {a}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf {b}}
\colon 
{\neg }\underline{
\mathsf {a}}
\vdash \underline{
\mathsf {a}}
\Rightarrow 
{\neg }\underline{
\mathsf {b}}
\gg 
{\neg }\underline{
\mathsf {a}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {a}}
\Rightarrow 
{\neg }\underline{
\mathsf {b}}
; 
MT
\rhd 
{\neg }\underline{
\mathsf {a}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {a}}
\Rightarrow 
{\neg }\underline{
\mathsf {b}}
\rhd 
{\neg }\underline{
\mathsf {a}}
\Rightarrow 
{\neg }\underline{
\mathsf {b}}
\gg 
{\neg }
{\neg }\underline{
\mathsf {a}}
; 
Lem 1.11a
\gg 
{\neg }
{\neg }\underline{
\mathsf {a}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {a}}
; 
MP
\rhd 
{\neg }
{\neg }\underline{
\mathsf {a}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {a}}
\rhd 
{\neg }
{\neg }\underline{
\mathsf {a}}
\gg \underline{
\mathsf {a}}
\rceil 
, 
p_0
, 
\mathsf {c}
)
]$


\end{list}

\subsubsection{Elimination af $\land$ 2}
\begin{list}{}{
\setlength{\leftmargin}{0em}
\setlength{\itemindent}{0em}
\setlength{\itemsep}{1ex}}

\item $
[
Con2
\stackrel{
stmt
}{\rightarrow}
S
\vdash 
\forall \underline{
\mathsf {a}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf {b}}
\colon 
{\neg }\underline{
\mathsf {a}}
\Rightarrow 
{\neg }\underline{
\mathsf {b}}
\vdash \underline{
\mathsf {b}}
]$

\item $
[
Con2
\stackrel{
proof
}{\rightarrow}
\lambda 
\mathsf {c}
.
\lambda 
\mathsf{x}
.
{\cal P}( 
\lceil 
S
\vdash 
\forall \underline{
\mathsf {a}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf {b}}
\colon 
{\neg }\underline{
\mathsf {a}}
\Rightarrow 
{\neg }\underline{
\mathsf {b}}
\vdash 
\forall \underline{
\mathsf {a}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf {b}}
\colon 
{\neg }\underline{
\mathsf {b}}
\vdash 
A1'
\gg 
{\neg }\underline{
\mathsf {b}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {a}}
\Rightarrow 
{\neg }\underline{
\mathsf {b}}
; 
MP
\rhd 
{\neg }\underline{
\mathsf {b}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {a}}
\Rightarrow 
{\neg }\underline{
\mathsf {b}}
\rhd 
{\neg }\underline{
\mathsf {b}}
\gg \underline{
\mathsf {a}}
\Rightarrow 
{\neg }\underline{
\mathsf {b}}
; 
Ded
\rhd 
\forall \underline{
\mathsf {a}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf {b}}
\colon 
{\neg }\underline{
\mathsf {b}}
\vdash \underline{
\mathsf {a}}
\Rightarrow 
{\neg }\underline{
\mathsf {b}}
\gg 
{\neg }\underline{
\mathsf {b}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {a}}
\Rightarrow 
{\neg }\underline{
\mathsf {b}}
; 
MT
\rhd 
{\neg }\underline{
\mathsf {b}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {a}}
\Rightarrow 
{\neg }\underline{
\mathsf {b}}
\rhd 
{\neg }\underline{
\mathsf {a}}
\Rightarrow 
{\neg }\underline{
\mathsf {b}}
\gg 
{\neg }
{\neg }\underline{
\mathsf {b}}
; 
Lem 1.11a
\gg 
{\neg }
{\neg }\underline{
\mathsf {b}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {b}}
; 
MP
\rhd 
{\neg }
{\neg }\underline{
\mathsf {b}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {b}}
\rhd 
{\neg }
{\neg }\underline{
\mathsf {b}}
\gg \underline{
\mathsf {b}}
\rceil 
, 
p_0
, 
\mathsf {c}
)
]$

\end{list}

\subsubsection{Introduktion af $\lor$ 1}
\begin{list}{}{
\setlength{\leftmargin}{0em}
\setlength{\itemindent}{0em}
\setlength{\itemsep}{1ex}}

\item $
[
Dis1
\stackrel{
stmt
}{\rightarrow}
S
\vdash 
\forall \underline{
\mathsf {a}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf {b}}
\colon \underline{
\mathsf {a}}
\vdash 
{\neg }\underline{
\mathsf {a}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {b}}
]$
\item $
[
Dis1
\stackrel{
proof
}{\rightarrow}
\lambda 
\mathsf {c}
.
\lambda 
\mathsf{x}
.
{\cal P}( 
\lceil 
S
\vdash 
\forall \underline{
\mathsf {a}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf {b}}
\colon \underline{
\mathsf {a}}
\vdash 
Lem 1.11c
\gg 
{\neg }
{\neg }\underline{
\mathsf {a}}
\Rightarrow 
{\neg }\underline{
\mathsf {a}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {b}}
; 
Lem 1.11b
\gg \underline{
\mathsf {a}}
\Rightarrow 
{\neg }
{\neg }\underline{
\mathsf {a}}
; 
MP
\rhd \underline{
\mathsf {a}}
\Rightarrow 
{\neg }
{\neg }\underline{
\mathsf {a}}
\rhd \underline{
\mathsf {a}}
\gg 
{\neg }
{\neg }\underline{
\mathsf {a}}
; 
MP
\rhd 
{\neg }
{\neg }\underline{
\mathsf {a}}
\Rightarrow 
{\neg }\underline{
\mathsf {a}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {b}}
\rhd 
{\neg }
{\neg }\underline{
\mathsf {a}}
\gg 
{\neg }\underline{
\mathsf {a}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {b}}
\rceil 
, 
p_0
, 
\mathsf {c}
)
]$


\end{list}

\subsubsection{Introduktion af $\lor$ 2}

\begin{list}{}{
\setlength{\leftmargin}{0em}
\setlength{\itemindent}{0em}
\setlength{\itemsep}{1ex}}

\item $
[
Dis2
\stackrel{
stmt
}{\rightarrow}
S
\vdash 
\forall \underline{
\mathsf {a}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf {b}}
\colon \underline{
\mathsf {b}}
\vdash 
{\neg }\underline{
\mathsf {a}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {b}}
]$

\item $
[
Dis2
\stackrel{
proof
}{\rightarrow}
\lambda 
\mathsf {c}
.
\lambda 
\mathsf{x}
.
{\cal P}( 
\lceil 
S
\vdash 
\forall \underline{
\mathsf {a}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf {b}}
\colon \underline{
\mathsf {b}}
\vdash 
A1'
\gg \underline{
\mathsf {b}}
\Rightarrow 
{\neg }\underline{
\mathsf {a}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {b}}
; 
MP
\rhd \underline{
\mathsf {b}}
\Rightarrow 
{\neg }\underline{
\mathsf {a}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {b}}
\rhd \underline{
\mathsf {b}}
\gg 
{\neg }\underline{
\mathsf {a}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {b}}
\rceil 
, 
p_0
, 
\mathsf {c}
)
]$
\end{list}

\subsubsection{Elimination af $\lor$ }

Da vi ikke har haft brug for at fjerne $\lor$, har vi ikke bevist denne regel.


\subsection{Andre hj\ae{}lpes\ae{}tninger}
Vi har til beviset af 3.5a-3.5g haft brug for nogle af reglerne fra 
\cite{check}, dog med \texttt{imply} istedet for
\texttt{infer}. S\aa{}danne regler er navngivet med $<$oprindelige
navn$>$' og beviserne for disse kan ses i Appendix \ref{help}.  \\

\subsubsection{ $\mathcal{A} \neq \mathcal{B}$}
En ny hj\ae{}lperegel er \textbf{regel $
H3$}, som skal bruges i forbindelse med
$\mathcal{A} \neq \mathcal{B}$ for at kunne konkludere sammenh\ae{}nge i
mellem $(x = y)$ $\land$ $(x \neq 3)$ $\Rightarrow$ $(y \neq 3)$.\\

\begin{list}{}{
\setlength{\leftmargin}{0em}
\setlength{\itemindent}{0em}
\setlength{\itemsep}{1ex}}

\item $
[
H3
\stackrel{
stmt
}{\rightarrow}
S
\vdash 
\forall \underline{
\mathsf {a}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf {b}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf {c}}
\colon \underline{
\mathsf {a}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {b}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {c}}
\vdash \underline{
\mathsf {a}}
\vdash 
{\neg }\underline{
\mathsf {c}}
\vdash 
{\neg }\underline{
\mathsf {b}}
]$

\item $
[
H3
\stackrel{
proof
}{\rightarrow}
\lambda 
\mathsf {c}
.
\lambda 
\mathsf{x}
.
{\cal P}( 
\lceil 
S
\vdash 
\forall \underline{
\mathsf {a}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf {b}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf {c}}
\colon \underline{
\mathsf {a}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {b}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {c}}
\vdash \underline{
\mathsf {a}}
\vdash 
{\neg }\underline{
\mathsf {c}}
\vdash 
MP
\rhd \underline{
\mathsf {a}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {b}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {c}}
\rhd \underline{
\mathsf {a}}
\gg \underline{
\mathsf {b}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {c}}
; 
MT
\rhd \underline{
\mathsf {b}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {c}}
\rhd 
{\neg }\underline{
\mathsf {c}}
\gg 
{\neg }\underline{
\mathsf {b}}
\rceil 
, 
p_0
, 
\mathsf {c}
)
]$
\end{list}

\subsubsection{$\exists$ x}\label{exist}
Selv om vi ikke har n\aa{}et at implementere fra opgave 3.5h, hvor der
g\o{}res brug af $\exists$, har vi alligevel makrodefineret kvantoren som
f\o{}lger.


$
[
\exists 
\mathsf{x}
\colon 
\mathsf{y}
\stackrel{
\mathrm {macro}
}{\rightarrow}
\lambda 
\mathsf {t}
.
\lambda 
\mathsf {s}
.
\lambda 
\mathsf {c}
.
\tilde {{\cal M}}_4(
\mathsf {t}
,
\mathsf {s}
,
\mathsf {c}
,
\lceil 
[
\exists 
\mathsf{x}
\colon 
\mathsf{y}
\mathrel {\ddot {=}}
{\neg }
(
\forall 
\mathsf{x}
\colon 
{\neg }
\mathsf{y}
)
]
\rceil 
)
]$

 
Vores problem har v\ae{}ret, at vi ikke har kunne udtrykke
\emph{``$\mathcal{B}(x,t)$, hvor $t$ kan inds\ae{}ttes i stedet for $x$'erne uden at
blive bundet til en alkvantor''}, i pyk.

Beviset for hj\ae{}lpes\ae{}tningen, der indf\o{}rer eksistenskvantoren, ville dog have v\ae{}ret opbygget
nogenlunde som f\o{}lger.\\

F\o{}lgende tautologi, 
\[( \mathcal{A} \Rightarrow \lnot \mathcal{B})
\Rightarrow (\mathcal{B} \Rightarrow \lnot \mathcal{A})\] 

antages vist nogenlunde som Modus Tollens, dog med variation.


Ved axiom $
A4'$ kan vi f\aa{} instansen: \[(\forall x) \lnot
\mathcal{A}(x,t) \Rightarrow \lnot A(t,t) \]

Idet man kan f\aa{} f\o{}lgende instans af tautologien:
\[
\big( (\forall x) \lnot \mathcal{A}(x,t) \Rightarrow \lnot A(t,t) \big)
\Rightarrow
\big(A(t,t) \Rightarrow \lnot  (\forall x) \lnot \mathcal{A}(x,t)\big)
 \] 

kan man vha. MP p\aa{} tautologi-instansen og aksiom-instansen f\aa{}:
\[\big(A(t,t) \Rightarrow \lnot  (\forall x) \lnot \mathcal{A}(x,t)\big)
\]

og pga. af makrodefinitionen er denne nu vist.

Herefter vises Lemmaerne 3.5a-3.5g
\subsection{3.5a}\label{35a}
Dette lemma beviser, at hvis man l\ae{}gger $
0
{}'$ til et tal, f\aa{}r man efter\o{}lgeren til tallet.

\begin{list}{}{
\setlength{\leftmargin}{0em}
\setlength{\itemindent}{0em}
\setlength{\itemsep}{1ex}}
\item $
[
Prop\ 3.5a
\stackrel{
stmt
}{\rightarrow}
S
\vdash 
\forall \underline{
\mathsf {a}}
\colon \underline{
\mathsf {a}}
+ 
0
{}'
= \underline{
\mathsf {a}}
{}'
]$


\item $
[
Prop\ 3.5a
\stackrel{
proof
}{\rightarrow}
\lambda 
\mathsf {c}
.
\lambda 
\mathsf{x}
.
{\cal P}( 
\lceil 
S
\vdash 
\forall \underline{
\mathsf {a}}
\colon 
S6
\gg \underline{
\mathsf {a}}
+ 
0
{}'
= \underline{
\mathsf {a}}
+ 
0
{}'
; 
S5
\gg \underline{
\mathsf {a}}
+ 
0
= \underline{
\mathsf {a}}
; 
S2
\rhd \underline{
\mathsf {a}}
+ 
0
= \underline{
\mathsf {a}}
\gg \underline{
\mathsf {a}}
+ 
0
{}'
= \underline{
\mathsf {a}}
{}'
; 
Prop\ 3.2c
\rhd \underline{
\mathsf {a}}
+ 
0
{}'
= \underline{
\mathsf {a}}
+ 
0
{}'
\rhd \underline{
\mathsf {a}}
+ 
0
{}'
= \underline{
\mathsf {a}}
{}'
\gg \underline{
\mathsf {a}}
+ 
0
{}'
= \underline{
\mathsf {a}}
{}'
; 
Prop\ 3.2a
\gg \underline{
\mathsf {a}}
+ 
0
{}'
= \underline{
\mathsf {a}}
+ 
0
{}'
; 
S1
\rhd \underline{
\mathsf {a}}
+ 
0
{}'
= \underline{
\mathsf {a}}
+ 
0
{}'
\rhd \underline{
\mathsf {a}}
+ 
0
{}'
= \underline{
\mathsf {a}}
{}'
\gg \underline{
\mathsf {a}}
+ 
0
{}'
= \underline{
\mathsf {a}}
{}'
\rceil 
, 
p_0
, 
\mathsf {c}
)
]$
\end{list}
\subsection{3.5b}
Her beviser vi at $
0
{}'$ er neutralt element med hensyn til multiplikation.
\begin{list}{}{
\setlength{\leftmargin}{0em}
\setlength{\itemindent}{0em}
\setlength{\itemsep}{1ex}}
\item $
[
Prop\ 3.5b
\stackrel{
stmt
}{\rightarrow}
S
\vdash 
\forall \underline{
\mathsf {a}}
\colon \underline{
\mathsf {a}}
\cdot 
0
{}'
= \underline{
\mathsf {a}}
]$



\item $
[
Prop\ 3.5b
\stackrel{
proof
}{\rightarrow}
\lambda 
\mathsf {c}
.
\lambda 
\mathsf{x}
.
{\cal P}( 
\lceil 
S
\vdash 
\forall \underline{
\mathsf {a}}
\colon 
S8
\gg \underline{
\mathsf {a}}
\cdot 
0
{}'
= \underline{
\mathsf {a}}
\cdot 
0
+ \underline{
\mathsf {a}}
; 
S7
\gg \underline{
\mathsf {a}}
\cdot 
0
= 
0
; 
Prop\ 3.2e
\rhd \underline{
\mathsf {a}}
\cdot 
0
= 
0
\gg \underline{
\mathsf {a}}
\cdot 
0
+ \underline{
\mathsf {a}}
= 
0
+ \underline{
\mathsf {a}}
; 
Prop\ 3.2c
\rhd \underline{
\mathsf {a}}
\cdot 
0
{}'
= \underline{
\mathsf {a}}
\cdot 
0
+ \underline{
\mathsf {a}}
\rhd \underline{
\mathsf {a}}
\cdot 
0
+ \underline{
\mathsf {a}}
= 
0
+ \underline{
\mathsf {a}}
\gg \underline{
\mathsf {a}}
\cdot 
0
{}'
= 
0
+ \underline{
\mathsf {a}}
; 
Prop\ 3.2f
\gg \underline{
\mathsf {a}}
= 
0
+ \underline{
\mathsf {a}}
; 
Prop\ 3.2b
\rhd \underline{
\mathsf {a}}
= 
0
+ \underline{
\mathsf {a}}
\gg 
0
+ \underline{
\mathsf {a}}
= \underline{
\mathsf {a}}
; 
Prop\ 3.2c
\rhd \underline{
\mathsf {a}}
\cdot 
0
{}'
= 
0
+ \underline{
\mathsf {a}}
\rhd 
0
+ \underline{
\mathsf {a}}
= \underline{
\mathsf {a}}
\gg \underline{
\mathsf {a}}
\cdot 
0
{}'
= \underline{
\mathsf {a}}
; 
Prop\ 3.2a
\gg \underline{
\mathsf {a}}
\cdot 
0
{}'
= \underline{
\mathsf {a}}
\cdot 
0
{}'
; 
S1
\rhd \underline{
\mathsf {a}}
\cdot 
0
{}'
= \underline{
\mathsf {a}}
\cdot 
0
{}'
\rhd \underline{
\mathsf {a}}
\cdot 
0
{}'
= \underline{
\mathsf {a}}
\gg \underline{
\mathsf {a}}
\cdot 
0
{}'
= \underline{
\mathsf {a}}
\rceil 
, 
p_0
, 
\mathsf {c}
)
]$
\end{list}
\subsection{3.5c}

\begin{list}{}{
\setlength{\leftmargin}{0em}
\setlength{\itemindent}{0em}
\setlength{\itemsep}{1ex}}

\item $
[
Prop\ 3.5c
\stackrel{
stmt
}{\rightarrow}
S
\vdash 
\forall \underline{
\mathsf {a}}
\colon \underline{
\mathsf {a}}
\cdot 
0
{}'
{}'
= \underline{
\mathsf {a}}
+ \underline{
\mathsf {a}}
]$


\item $
[
Prop\ 3.5c
\stackrel{
proof
}{\rightarrow}
\lambda 
\mathsf {c}
.
\lambda 
\mathsf{x}
.
{\cal P}( 
\lceil 
S
\vdash 
\forall \underline{
\mathsf {a}}
\colon 
S8
\gg \underline{
\mathsf {a}}
\cdot 
0
{}'
{}'
= \underline{
\mathsf {a}}
\cdot 
0
{}'
+ \underline{
\mathsf {a}}
; 
Prop\ 3.5b
\gg \underline{
\mathsf {a}}
\cdot 
0
{}'
= \underline{
\mathsf {a}}
; 
Prop\ 3.2e
\rhd \underline{
\mathsf {a}}
\cdot 
0
{}'
= \underline{
\mathsf {a}}
\gg \underline{
\mathsf {a}}
\cdot 
0
{}'
+ \underline{
\mathsf {a}}
= \underline{
\mathsf {a}}
+ \underline{
\mathsf {a}}
; 
Prop\ 3.2c
\rhd \underline{
\mathsf {a}}
\cdot 
0
{}'
{}'
= \underline{
\mathsf {a}}
\cdot 
0
{}'
+ \underline{
\mathsf {a}}
\rhd \underline{
\mathsf {a}}
\cdot 
0
{}'
+ \underline{
\mathsf {a}}
= \underline{
\mathsf {a}}
+ \underline{
\mathsf {a}}
\gg \underline{
\mathsf {a}}
\cdot 
0
{}'
{}'
= \underline{
\mathsf {a}}
+ \underline{
\mathsf {a}}
; 
Prop\ 3.2a
\gg \underline{
\mathsf {a}}
\cdot 
0
{}'
{}'
= \underline{
\mathsf {a}}
\cdot 
0
{}'
{}'
; 
S1
\rhd \underline{
\mathsf {a}}
\cdot 
0
{}'
{}'
= \underline{
\mathsf {a}}
\cdot 
0
{}'
{}'
\rhd \underline{
\mathsf {a}}
\cdot 
0
{}'
{}'
= \underline{
\mathsf {a}}
+ \underline{
\mathsf {a}}
\gg \underline{
\mathsf {a}}
\cdot 
0
{}'
{}'
= \underline{
\mathsf {a}}
+ \underline{
\mathsf {a}}
\rceil 
, 
p_0
, 
\mathsf {c}
)
]$
\end{list}
\subsection{3.5d}

Her beviser vi, at hvis en sum er $0$, er begge
addender i summen $0$, da der ikke findes
negative tal i systemet.\\
Beviset er ved induktion over $y$ i $B(y) : x + y \Rightarrow  ( x = 0) \land (y = 0) $\\
Basistilf\ae{}ldet:

\begin{list}{}{
\setlength{\leftmargin}{0em}
\setlength{\itemindent}{0em}
\setlength{\itemsep}{1ex}}


\item $
[
Prop\ 3.5d_1
\stackrel{
stmt
}{\rightarrow}
S
\vdash 
\forall \underline{
\mathsf {a}}
\colon \underline{
\mathsf {a}}
+ 
0
= 
0
\Rightarrow 
{\neg }\underline{
\mathsf {a}}
= 
0
\Rightarrow 
{\neg }
0
= 
0
]$


\item $
[
Prop\ 3.5d_1
\stackrel{
proof
}{\rightarrow}
\lambda 
\mathsf {c}
.
\lambda 
\mathsf{x}
.
{\cal P}( 
\lceil 
S
\vdash 
\forall \underline{
\mathsf {a}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf {a}}
\colon \underline{
\mathsf {a}}
+ 
0
= 
0
\vdash 
S5
\gg \underline{
\mathsf {a}}
+ 
0
= \underline{
\mathsf {a}}
; 
S1
\rhd \underline{
\mathsf {a}}
+ 
0
= \underline{
\mathsf {a}}
\rhd \underline{
\mathsf {a}}
+ 
0
= 
0
\gg \underline{
\mathsf {a}}
= 
0
; 
Prop\ 3.2a
\gg 
0
= 
0
; 
Con
\rhd \underline{
\mathsf {a}}
= 
0
\rhd 
0
= 
0
\gg 
{\neg }\underline{
\mathsf {a}}
= 
0
\Rightarrow 
{\neg }
0
= 
0
; 
Ded
\rhd 
\forall \underline{
\mathsf {a}}
\colon \underline{
\mathsf {a}}
+ 
0
= 
0
\vdash 
{\neg }\underline{
\mathsf {a}}
= 
0
\Rightarrow 
{\neg }
0
= 
0
\gg \underline{
\mathsf {a}}
+ 
0
= 
0
\Rightarrow 
{\neg }\underline{
\mathsf {a}}
= 
0
\Rightarrow 
{\neg }
0
= 
0
\rceil 
, 
p_0
, 
\mathsf {c}
)
]$

Det induktive trin:

\item $
[
Prop\ 3.5d_2
\stackrel{
stmt
}{\rightarrow}
S
\vdash 
\forall \underline{
\mathsf {a}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf {b}}
\colon \underline{
\mathsf {a}}
+ \underline{
\mathsf {b}}
= 
0
\Rightarrow 
{\neg }\underline{
\mathsf {a}}
= 
0
\Rightarrow 
{\neg }\underline{
\mathsf {b}}
= 
0
\Rightarrow \underline{
\mathsf {a}}
+ \underline{
\mathsf {b}}
{}'
= 
0
\Rightarrow 
{\neg }\underline{
\mathsf {a}}
= 
0
\Rightarrow 
{\neg }\underline{
\mathsf {b}}
{}'
= 
0
]$

\item $
[
Prop\ 3.5d_2
\stackrel{
proof
}{\rightarrow}
\lambda 
\mathsf {c}
.
\lambda 
\mathsf{x}
.
{\cal P}( 
\lceil 
S
\vdash 
\forall \underline{
\mathsf {a}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf {b}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf {a}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf {b}}
\colon \underline{
\mathsf {a}}
+ \underline{
\mathsf {b}}
= 
0
\Rightarrow 
{\neg }\underline{
\mathsf {a}}
= 
0
\Rightarrow 
{\neg }\underline{
\mathsf {b}}
= 
0
\vdash 
\forall \underline{
\mathsf {a}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf {b}}
\colon \underline{
\mathsf {a}}
+ \underline{
\mathsf {b}}
{}'
= 
0
\vdash 
S3
\gg 
{\neg }
0
= \underline{
\mathsf {a}}
+ \underline{
\mathsf {b}}
{}'
; 
Prop 3.2b'
\gg \underline{
\mathsf {a}}
+ \underline{
\mathsf {b}}
{}'
= 
0
\Rightarrow 
0
= \underline{
\mathsf {a}}
+ \underline{
\mathsf {b}}
{}'
; 
Lem 1.11e
\gg \underline{
\mathsf {a}}
+ \underline{
\mathsf {b}}
{}'
= 
0
\Rightarrow 
0
= \underline{
\mathsf {a}}
+ \underline{
\mathsf {b}}
{}'
\Rightarrow 
{\neg }
0
= \underline{
\mathsf {a}}
+ \underline{
\mathsf {b}}
{}'
\Rightarrow 
{\neg }\underline{
\mathsf {a}}
+ \underline{
\mathsf {b}}
{}'
= 
0
; 
MP
\rhd \underline{
\mathsf {a}}
+ \underline{
\mathsf {b}}
{}'
= 
0
\Rightarrow 
0
= \underline{
\mathsf {a}}
+ \underline{
\mathsf {b}}
{}'
\Rightarrow 
{\neg }
0
= \underline{
\mathsf {a}}
+ \underline{
\mathsf {b}}
{}'
\Rightarrow 
{\neg }\underline{
\mathsf {a}}
+ \underline{
\mathsf {b}}
{}'
= 
0
\rhd \underline{
\mathsf {a}}
+ \underline{
\mathsf {b}}
{}'
= 
0
\Rightarrow 
0
= \underline{
\mathsf {a}}
+ \underline{
\mathsf {b}}
{}'
\gg 
{\neg }
0
= \underline{
\mathsf {a}}
+ \underline{
\mathsf {b}}
{}'
\Rightarrow 
{\neg }\underline{
\mathsf {a}}
+ \underline{
\mathsf {b}}
{}'
= 
0
; 
MP
\rhd 
{\neg }
0
= \underline{
\mathsf {a}}
+ \underline{
\mathsf {b}}
{}'
\Rightarrow 
{\neg }\underline{
\mathsf {a}}
+ \underline{
\mathsf {b}}
{}'
= 
0
\rhd 
{\neg }
0
= \underline{
\mathsf {a}}
+ \underline{
\mathsf {b}}
{}'
\gg 
{\neg }\underline{
\mathsf {a}}
+ \underline{
\mathsf {b}}
{}'
= 
0
; 
S6
\gg \underline{
\mathsf {a}}
+ \underline{
\mathsf {b}}
{}'
= \underline{
\mathsf {a}}
+ \underline{
\mathsf {b}}
{}'
; 
S1''
\gg \underline{
\mathsf {a}}
+ \underline{
\mathsf {b}}
{}'
= \underline{
\mathsf {a}}
+ \underline{
\mathsf {b}}
{}'
\Rightarrow \underline{
\mathsf {a}}
+ \underline{
\mathsf {b}}
{}'
= 
0
\Rightarrow \underline{
\mathsf {a}}
+ \underline{
\mathsf {b}}
{}'
= 
0
; 
H3
\rhd \underline{
\mathsf {a}}
+ \underline{
\mathsf {b}}
{}'
= \underline{
\mathsf {a}}
+ \underline{
\mathsf {b}}
{}'
\Rightarrow \underline{
\mathsf {a}}
+ \underline{
\mathsf {b}}
{}'
= 
0
\Rightarrow \underline{
\mathsf {a}}
+ \underline{
\mathsf {b}}
{}'
= 
0
\rhd \underline{
\mathsf {a}}
+ \underline{
\mathsf {b}}
{}'
= \underline{
\mathsf {a}}
+ \underline{
\mathsf {b}}
{}'
\rhd 
{\neg }\underline{
\mathsf {a}}
+ \underline{
\mathsf {b}}
{}'
= 
0
\gg 
{\neg }\underline{
\mathsf {a}}
+ \underline{
\mathsf {b}}
{}'
= 
0
; 
Lem 1.11c
\gg 
{\neg }\underline{
\mathsf {a}}
+ \underline{
\mathsf {b}}
{}'
= 
0
\Rightarrow \underline{
\mathsf {a}}
+ \underline{
\mathsf {b}}
{}'
= 
0
\Rightarrow 
{\neg }\underline{
\mathsf {a}}
= 
0
\Rightarrow 
{\neg }\underline{
\mathsf {b}}
{}'
= 
0
; 
MP
\rhd 
{\neg }\underline{
\mathsf {a}}
+ \underline{
\mathsf {b}}
{}'
= 
0
\Rightarrow \underline{
\mathsf {a}}
+ \underline{
\mathsf {b}}
{}'
= 
0
\Rightarrow 
{\neg }\underline{
\mathsf {a}}
= 
0
\Rightarrow 
{\neg }\underline{
\mathsf {b}}
{}'
= 
0
\rhd 
{\neg }\underline{
\mathsf {a}}
+ \underline{
\mathsf {b}}
{}'
= 
0
\gg \underline{
\mathsf {a}}
+ \underline{
\mathsf {b}}
{}'
= 
0
\Rightarrow 
{\neg }\underline{
\mathsf {a}}
= 
0
\Rightarrow 
{\neg }\underline{
\mathsf {b}}
{}'
= 
0
; 
MP
\rhd \underline{
\mathsf {a}}
+ \underline{
\mathsf {b}}
{}'
= 
0
\Rightarrow 
{\neg }\underline{
\mathsf {a}}
= 
0
\Rightarrow 
{\neg }\underline{
\mathsf {b}}
{}'
= 
0
\rhd \underline{
\mathsf {a}}
+ \underline{
\mathsf {b}}
{}'
= 
0
\gg 
{\neg }\underline{
\mathsf {a}}
= 
0
\Rightarrow 
{\neg }\underline{
\mathsf {b}}
{}'
= 
0
; 
Ded
\rhd 
\forall \underline{
\mathsf {a}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf {b}}
\colon \underline{
\mathsf {a}}
+ \underline{
\mathsf {b}}
{}'
= 
0
\vdash 
{\neg }\underline{
\mathsf {a}}
= 
0
\Rightarrow 
{\neg }\underline{
\mathsf {b}}
{}'
= 
0
\gg \underline{
\mathsf {a}}
+ \underline{
\mathsf {b}}
{}'
= 
0
\Rightarrow 
{\neg }\underline{
\mathsf {a}}
= 
0
\Rightarrow 
{\neg }\underline{
\mathsf {b}}
{}'
= 
0
; 
Ded
\rhd 
\forall \underline{
\mathsf {a}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf {b}}
\colon \underline{
\mathsf {a}}
+ \underline{
\mathsf {b}}
= 
0
\Rightarrow 
{\neg }\underline{
\mathsf {a}}
= 
0
\Rightarrow 
{\neg }\underline{
\mathsf {b}}
= 
0
\vdash \underline{
\mathsf {a}}
+ \underline{
\mathsf {b}}
{}'
= 
0
\Rightarrow 
{\neg }\underline{
\mathsf {a}}
= 
0
\Rightarrow 
{\neg }\underline{
\mathsf {b}}
{}'
= 
0
\gg \underline{
\mathsf {a}}
+ \underline{
\mathsf {b}}
= 
0
\Rightarrow 
{\neg }\underline{
\mathsf {a}}
= 
0
\Rightarrow 
{\neg }\underline{
\mathsf {b}}
= 
0
\Rightarrow \underline{
\mathsf {a}}
+ \underline{
\mathsf {b}}
{}'
= 
0
\Rightarrow 
{\neg }\underline{
\mathsf {a}}
= 
0
\Rightarrow 
{\neg }\underline{
\mathsf {b}}
{}'
= 
0
\rceil 
, 
p_0
, 
\mathsf {c}
)
]$


\item $
[
Prop\ 3.5d
\stackrel{
stmt
}{\rightarrow}
S
\vdash 
\forall \underline{
\mathsf {a}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf {b}}
\colon \underline{
\mathsf {a}}
+ \underline{
\mathsf {b}}
= 
0
\Rightarrow 
{\neg }\underline{
\mathsf {a}}
= 
0
\Rightarrow 
{\neg }\underline{
\mathsf {b}}
= 
0
]$


\item $
[
Prop\ 3.5d
\stackrel{
proof
}{\rightarrow}
\lambda 
\mathsf {c}
.
\lambda 
\mathsf{x}
.
{\cal P}( 
\lceil 
S
\vdash 
\forall \underline{
\mathsf {a}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf {b}}
\colon 
Prop\ 3.5d_1
\gg \overline{
\mathsf{x}}
+ 
0
= 
0
\Rightarrow 
{\neg }\overline{
\mathsf{x}}
= 
0
\Rightarrow 
{\neg }
0
= 
0
; 
Prop\ 3.5d_2
\gg \overline{
\mathsf{x}}
+ \overline{
\mathsf{y}}
= 
0
\Rightarrow 
{\neg }\overline{
\mathsf{x}}
= 
0
\Rightarrow 
{\neg }\overline{
\mathsf{y}}
= 
0
\Rightarrow \overline{
\mathsf{x}}
+ \overline{
\mathsf{y}}
{}'
= 
0
\Rightarrow 
{\neg }\overline{
\mathsf{x}}
= 
0
\Rightarrow 
{\neg }\overline{
\mathsf{y}}
{}'
= 
0
; 
S9
\mathop {\char64} \overline{
\mathsf{y}}
\rhd \overline{
\mathsf{x}}
+ 
0
= 
0
\Rightarrow 
{\neg }\overline{
\mathsf{x}}
= 
0
\Rightarrow 
{\neg }
0
= 
0
\rhd \overline{
\mathsf{x}}
+ \overline{
\mathsf{y}}
= 
0
\Rightarrow 
{\neg }\overline{
\mathsf{x}}
= 
0
\Rightarrow 
{\neg }\overline{
\mathsf{y}}
= 
0
\Rightarrow \overline{
\mathsf{x}}
+ \overline{
\mathsf{y}}
{}'
= 
0
\Rightarrow 
{\neg }\overline{
\mathsf{x}}
= 
0
\Rightarrow 
{\neg }\overline{
\mathsf{y}}
{}'
= 
0
\gg \overline{
\mathsf{x}}
+ \overline{
\mathsf{y}}
= 
0
\Rightarrow 
{\neg }\overline{
\mathsf{x}}
= 
0
\Rightarrow 
{\neg }\overline{
\mathsf{y}}
= 
0
; 
Ded
\rhd \overline{
\mathsf{x}}
+ \overline{
\mathsf{y}}
= 
0
\Rightarrow 
{\neg }\overline{
\mathsf{x}}
= 
0
\Rightarrow 
{\neg }\overline{
\mathsf{y}}
= 
0
\gg \underline{
\mathsf {a}}
+ \underline{
\mathsf {b}}
= 
0
\Rightarrow 
{\neg }\underline{
\mathsf {a}}
= 
0
\Rightarrow 
{\neg }\underline{
\mathsf {b}}
= 
0
\rceil 
, 
p_0
, 
\mathsf {c}
)
]$

\end{list}
\subsection{3.5e}
Her beviser vi at hvis en faktor i et produkt ikke er $0$ og produktet er $0$, s\aa{} er den anden faktor $0$. Beviset er ved induktion over $x$ i $B{x} : x \neq 0 \Rightarrow (y \cdot x = 0 \Rightarrow y = 0)$.\\
Basistilf\ae{}ldet:

\begin{list}{}{
\setlength{\leftmargin}{0em}
\setlength{\itemindent}{0em}
\setlength{\itemsep}{1ex}}


\item $
[
Prop\ 3.5e_1
\stackrel{
stmt
}{\rightarrow}
S
\vdash 
\forall \underline{
\mathsf {a}}
\colon 
{\neg }
0
= 
0
\Rightarrow \underline{
\mathsf {a}}
\cdot 
0
= 
0
\Rightarrow \underline{
\mathsf {a}}
= 
0
]$

\item $
[
Prop\ 3.5e_1
\stackrel{
proof
}{\rightarrow}
\lambda 
\mathsf {c}
.
\lambda 
\mathsf{x}
.
{\cal P}( 
\lceil 
S
\vdash 
\forall \underline{
\mathsf {a}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf {a}}
\colon 
{\neg }
0
= 
0
\vdash 
Prop\ 3.2a
\gg 
0
= 
0
; 
Lem 1.11c
\gg 
{\neg }
0
= 
0
\Rightarrow 
0
= 
0
\Rightarrow \underline{
\mathsf {a}}
\cdot 
0
= 
0
\Rightarrow \underline{
\mathsf {a}}
= 
0
; 
MP
\rhd 
{\neg }
0
= 
0
\Rightarrow 
0
= 
0
\Rightarrow \underline{
\mathsf {a}}
\cdot 
0
= 
0
\Rightarrow \underline{
\mathsf {a}}
= 
0
\rhd 
{\neg }
0
= 
0
\gg 
0
= 
0
\Rightarrow \underline{
\mathsf {a}}
\cdot 
0
= 
0
\Rightarrow \underline{
\mathsf {a}}
= 
0
; 
MP
\rhd 
0
= 
0
\Rightarrow \underline{
\mathsf {a}}
\cdot 
0
= 
0
\Rightarrow \underline{
\mathsf {a}}
= 
0
\rhd 
0
= 
0
\gg \underline{
\mathsf {a}}
\cdot 
0
= 
0
\Rightarrow \underline{
\mathsf {a}}
= 
0
; 
Ded
\rhd 
\forall \underline{
\mathsf {a}}
\colon 
{\neg }
0
= 
0
\vdash \underline{
\mathsf {a}}
\cdot 
0
= 
0
\Rightarrow \underline{
\mathsf {a}}
= 
0
\gg 
{\neg }
0
= 
0
\Rightarrow \underline{
\mathsf {a}}
\cdot 
0
= 
0
\Rightarrow \underline{
\mathsf {a}}
= 
0
\rceil 
, 
p_0
, 
\mathsf {c}
)
]$

Det induktive trin:

\item $
[
Prop\ 3.5e_2
\stackrel{
stmt
}{\rightarrow}
S
\vdash 
\forall \underline{
\mathsf {a}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf {b}}
\colon 
{\neg }\underline{
\mathsf {b}}
= 
0
\Rightarrow \underline{
\mathsf {a}}
\cdot \underline{
\mathsf {b}}
= 
0
\Rightarrow \underline{
\mathsf {a}}
= 
0
\Rightarrow 
{\neg }\underline{
\mathsf {b}}
{}'
= 
0
\Rightarrow \underline{
\mathsf {a}}
\cdot \underline{
\mathsf {b}}
{}'
= 
0
\Rightarrow \underline{
\mathsf {a}}
= 
0
]$


\item $
[
Prop\ 3.5e_2
\stackrel{
proof
}{\rightarrow}
\lambda 
\mathsf {c}
.
\lambda 
\mathsf{x}
.
{\cal P}( 
\lceil 
S
\vdash 
\forall \underline{
\mathsf {a}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf {b}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf {a}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf {b}}
\colon 
{\neg }\underline{
\mathsf {b}}
= 
0
\Rightarrow \underline{
\mathsf {a}}
\cdot \underline{
\mathsf {b}}
= 
0
\Rightarrow \underline{
\mathsf {a}}
= 
0
\vdash 
\forall \underline{
\mathsf {a}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf {b}}
\colon 
{\neg }\underline{
\mathsf {b}}
{}'
= 
0
\vdash 
\forall \underline{
\mathsf {a}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf {b}}
\colon \underline{
\mathsf {a}}
\cdot \underline{
\mathsf {b}}
{}'
= 
0
\vdash 
S8
\gg \underline{
\mathsf {a}}
\cdot \underline{
\mathsf {b}}
{}'
= \underline{
\mathsf {a}}
\cdot \underline{
\mathsf {b}}
+ \underline{
\mathsf {a}}
; 
S1
\rhd \underline{
\mathsf {a}}
\cdot \underline{
\mathsf {b}}
{}'
= \underline{
\mathsf {a}}
\cdot \underline{
\mathsf {b}}
+ \underline{
\mathsf {a}}
\rhd \underline{
\mathsf {a}}
\cdot \underline{
\mathsf {b}}
{}'
= 
0
\gg \underline{
\mathsf {a}}
\cdot \underline{
\mathsf {b}}
+ \underline{
\mathsf {a}}
= 
0
; 
Prop\ 3.5d
\gg \underline{
\mathsf {a}}
\cdot \underline{
\mathsf {b}}
+ \underline{
\mathsf {a}}
= 
0
\Rightarrow 
{\neg }\underline{
\mathsf {a}}
\cdot \underline{
\mathsf {b}}
= 
0
\Rightarrow 
{\neg }\underline{
\mathsf {a}}
= 
0
; 
MP
\rhd \underline{
\mathsf {a}}
\cdot \underline{
\mathsf {b}}
+ \underline{
\mathsf {a}}
= 
0
\Rightarrow 
{\neg }\underline{
\mathsf {a}}
\cdot \underline{
\mathsf {b}}
= 
0
\Rightarrow 
{\neg }\underline{
\mathsf {a}}
= 
0
\rhd \underline{
\mathsf {a}}
\cdot \underline{
\mathsf {b}}
+ \underline{
\mathsf {a}}
= 
0
\gg 
{\neg }\underline{
\mathsf {a}}
\cdot \underline{
\mathsf {b}}
= 
0
\Rightarrow 
{\neg }\underline{
\mathsf {a}}
= 
0
; 
Con2
\rhd 
{\neg }\underline{
\mathsf {a}}
\cdot \underline{
\mathsf {b}}
= 
0
\Rightarrow 
{\neg }\underline{
\mathsf {a}}
= 
0
\gg \underline{
\mathsf {a}}
= 
0
; 
Ded
\rhd 
\forall \underline{
\mathsf {a}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf {b}}
\colon \underline{
\mathsf {a}}
\cdot \underline{
\mathsf {b}}
{}'
= 
0
\vdash \underline{
\mathsf {a}}
= 
0
\gg \underline{
\mathsf {a}}
\cdot \underline{
\mathsf {b}}
{}'
= 
0
\Rightarrow \underline{
\mathsf {a}}
= 
0
; 
Ded
\rhd 
\forall \underline{
\mathsf {a}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf {b}}
\colon 
{\neg }\underline{
\mathsf {b}}
{}'
= 
0
\vdash \underline{
\mathsf {a}}
\cdot \underline{
\mathsf {b}}
{}'
= 
0
\Rightarrow \underline{
\mathsf {a}}
= 
0
\gg 
{\neg }\underline{
\mathsf {b}}
{}'
= 
0
\Rightarrow \underline{
\mathsf {a}}
\cdot \underline{
\mathsf {b}}
{}'
= 
0
\Rightarrow \underline{
\mathsf {a}}
= 
0
; 
Ded
\rhd 
\forall \underline{
\mathsf {a}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf {b}}
\colon 
{\neg }\underline{
\mathsf {b}}
= 
0
\Rightarrow \underline{
\mathsf {a}}
\cdot \underline{
\mathsf {b}}
= 
0
\Rightarrow \underline{
\mathsf {a}}
= 
0
\vdash 
{\neg }\underline{
\mathsf {b}}
{}'
= 
0
\Rightarrow \underline{
\mathsf {a}}
\cdot \underline{
\mathsf {b}}
{}'
= 
0
\Rightarrow \underline{
\mathsf {a}}
= 
0
\gg 
{\neg }\underline{
\mathsf {b}}
= 
0
\Rightarrow \underline{
\mathsf {a}}
\cdot \underline{
\mathsf {b}}
= 
0
\Rightarrow \underline{
\mathsf {a}}
= 
0
\Rightarrow 
{\neg }\underline{
\mathsf {b}}
{}'
= 
0
\Rightarrow \underline{
\mathsf {a}}
\cdot \underline{
\mathsf {b}}
{}'
= 
0
\Rightarrow \underline{
\mathsf {a}}
= 
0
\rceil 
, 
p_0
, 
\mathsf {c}
)
]$

\item $
[
Prop\ 3.5e
\stackrel{
stmt
}{\rightarrow}
S
\vdash 
\forall \underline{
\mathsf {a}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf {b}}
\colon 
{\neg }\underline{
\mathsf {b}}
= 
0
\Rightarrow \underline{
\mathsf {a}}
\cdot \underline{
\mathsf {b}}
= 
0
\Rightarrow \underline{
\mathsf {a}}
= 
0
]$


\item $
[
Prop\ 3.5e
\stackrel{
proof
}{\rightarrow}
\lambda 
\mathsf {c}
.
\lambda 
\mathsf{x}
.
{\cal P}( 
\lceil 
S
\vdash 
\forall \underline{
\mathsf {a}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf {b}}
\colon 
Prop\ 3.5e_1
\gg 
{\neg }
0
= 
0
\Rightarrow \overline{
\mathsf{x}}
\cdot 
0
= 
0
\Rightarrow \overline{
\mathsf{x}}
= 
0
; 
Prop\ 3.5e_2
\gg 
{\neg }\overline{
\mathsf{y}}
= 
0
\Rightarrow \overline{
\mathsf{x}}
\cdot \overline{
\mathsf{y}}
= 
0
\Rightarrow \overline{
\mathsf{x}}
= 
0
\Rightarrow 
{\neg }\overline{
\mathsf{y}}
{}'
= 
0
\Rightarrow \overline{
\mathsf{x}}
\cdot \overline{
\mathsf{y}}
{}'
= 
0
\Rightarrow \overline{
\mathsf{x}}
= 
0
; 
S9
\mathop {\char64} \overline{
\mathsf{y}}
\rhd 
{\neg }
0
= 
0
\Rightarrow \overline{
\mathsf{x}}
\cdot 
0
= 
0
\Rightarrow \overline{
\mathsf{x}}
= 
0
\rhd 
{\neg }\overline{
\mathsf{y}}
= 
0
\Rightarrow \overline{
\mathsf{x}}
\cdot \overline{
\mathsf{y}}
= 
0
\Rightarrow \overline{
\mathsf{x}}
= 
0
\Rightarrow 
{\neg }\overline{
\mathsf{y}}
{}'
= 
0
\Rightarrow \overline{
\mathsf{x}}
\cdot \overline{
\mathsf{y}}
{}'
= 
0
\Rightarrow \overline{
\mathsf{x}}
= 
0
\gg 
{\neg }\overline{
\mathsf{y}}
= 
0
\Rightarrow \overline{
\mathsf{x}}
\cdot \overline{
\mathsf{y}}
= 
0
\Rightarrow \overline{
\mathsf{x}}
= 
0
; 
Ded
\rhd 
{\neg }\overline{
\mathsf{y}}
= 
0
\Rightarrow \overline{
\mathsf{x}}
\cdot \overline{
\mathsf{y}}
= 
0
\Rightarrow \overline{
\mathsf{x}}
= 
0
\gg 
{\neg }\underline{
\mathsf {b}}
= 
0
\Rightarrow \underline{
\mathsf {a}}
\cdot \underline{
\mathsf {b}}
= 
0
\Rightarrow \underline{
\mathsf {a}}
= 
0
\rceil 
, 
p_0
, 
\mathsf {c}
)
]$
\end{list}

\subsection{3.5f}
Her beviser vi, at hvis en sum er $
0
{}'$, er netop 1 af addenderne $
0
{}'$ og den anden er $
0$. Bevist er ved induktion over $y$ i $B(y) : x + y = 1 \Rightarrow (x = 0 \land y = 1 ) \lor (x = 1 \land y = 0)$ \\
Basistilf\ae{}ldet.

\begin{list}{}{
\setlength{\leftmargin}{0em}
\setlength{\itemindent}{0em}
\setlength{\itemsep}{1ex}}


\item $
[
Prop\ 3.5f_1
\stackrel{
stmt
}{\rightarrow}
S
\vdash 
\forall \underline{
\mathsf {a}}
\colon \underline{
\mathsf {a}}
+ 
0
= 
0
{}'
\Rightarrow 
{\neg }
{\neg }\underline{
\mathsf {a}}
= 
0
\Rightarrow 
{\neg }
0
= 
0
{}'
\Rightarrow 
{\neg }\underline{
\mathsf {a}}
= 
0
{}'
\Rightarrow 
{\neg }
0
= 
0
]$

\item $
[
Prop\ 3.5f_1
\stackrel{
proof
}{\rightarrow}
\lambda 
\mathsf {c}
.
\lambda 
\mathsf{x}
.
{\cal P}( 
\lceil 
S
\vdash 
\forall \underline{
\mathsf {a}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf {a}}
\colon \underline{
\mathsf {a}}
+ 
0
= 
0
{}'
\vdash 
S5
\gg \underline{
\mathsf {a}}
+ 
0
= \underline{
\mathsf {a}}
; 
S1
\rhd \underline{
\mathsf {a}}
+ 
0
= \underline{
\mathsf {a}}
\rhd \underline{
\mathsf {a}}
+ 
0
= 
0
{}'
\gg \underline{
\mathsf {a}}
= 
0
{}'
; 
Prop\ 3.2a
\gg 
0
= 
0
; 
Con
\rhd \underline{
\mathsf {a}}
= 
0
{}'
\rhd 
0
= 
0
\gg 
{\neg }\underline{
\mathsf {a}}
= 
0
{}'
\Rightarrow 
{\neg }
0
= 
0
; 
Dis2
\rhd 
{\neg }\underline{
\mathsf {a}}
= 
0
{}'
\Rightarrow 
{\neg }
0
= 
0
\gg 
{\neg }
{\neg }\underline{
\mathsf {a}}
= 
0
\Rightarrow 
{\neg }
0
= 
0
{}'
\Rightarrow 
{\neg }\underline{
\mathsf {a}}
= 
0
{}'
\Rightarrow 
{\neg }
0
= 
0
; 
Ded
\rhd 
\forall \underline{
\mathsf {a}}
\colon \underline{
\mathsf {a}}
+ 
0
= 
0
{}'
\vdash 
{\neg }
{\neg }\underline{
\mathsf {a}}
= 
0
\Rightarrow 
{\neg }
0
= 
0
{}'
\Rightarrow 
{\neg }\underline{
\mathsf {a}}
= 
0
{}'
\Rightarrow 
{\neg }
0
= 
0
\gg \underline{
\mathsf {a}}
+ 
0
= 
0
{}'
\Rightarrow 
{\neg }
{\neg }\underline{
\mathsf {a}}
= 
0
\Rightarrow 
{\neg }
0
= 
0
{}'
\Rightarrow 
{\neg }\underline{
\mathsf {a}}
= 
0
{}'
\Rightarrow 
{\neg }
0
= 
0
\rceil 
, 
p_0
, 
\mathsf {c}
)
]$

Det induktive trin:

\item  $
[
Prop\ 3.5f_2
\stackrel{
stmt
}{\rightarrow}
S
\vdash 
\forall \underline{
\mathsf {a}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf {b}}
\colon \underline{
\mathsf {a}}
+ \underline{
\mathsf {b}}
= 
0
{}'
\Rightarrow 
{\neg }
{\neg }\underline{
\mathsf {a}}
= 
0
\Rightarrow 
{\neg }\underline{
\mathsf {b}}
= 
0
{}'
\Rightarrow 
{\neg }\underline{
\mathsf {a}}
= 
0
{}'
\Rightarrow 
{\neg }\underline{
\mathsf {b}}
= 
0
\Rightarrow \underline{
\mathsf {a}}
+ \underline{
\mathsf {b}}
{}'
= 
0
{}'
\Rightarrow 
{\neg }
{\neg }\underline{
\mathsf {a}}
= 
0
\Rightarrow 
{\neg }\underline{
\mathsf {b}}
{}'
= 
0
{}'
\Rightarrow 
{\neg }\underline{
\mathsf {a}}
= 
0
{}'
\Rightarrow 
{\neg }\underline{
\mathsf {b}}
{}'
= 
0
]$

\item $
[
Prop\ 3.5f_2
\stackrel{
proof
}{\rightarrow}
\lambda 
\mathsf {c}
.
\lambda 
\mathsf{x}
.
{\cal P}( 
\lceil 
S
\vdash 
\forall \underline{
\mathsf {a}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf {b}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf {a}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf {b}}
\colon \underline{
\mathsf {a}}
+ \underline{
\mathsf {b}}
= 
0
{}'
\Rightarrow 
{\neg }
{\neg }\underline{
\mathsf {a}}
= 
0
\Rightarrow 
{\neg }\underline{
\mathsf {b}}
= 
0
{}'
\Rightarrow 
{\neg }\underline{
\mathsf {a}}
= 
0
{}'
\Rightarrow 
{\neg }\underline{
\mathsf {b}}
= 
0
\vdash 
\forall \underline{
\mathsf {a}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf {b}}
\colon \underline{
\mathsf {a}}
+ \underline{
\mathsf {b}}
{}'
= 
0
{}'
\vdash 
S6
\gg \underline{
\mathsf {a}}
+ \underline{
\mathsf {b}}
{}'
= \underline{
\mathsf {a}}
+ \underline{
\mathsf {b}}
{}'
; 
S1
\rhd \underline{
\mathsf {a}}
+ \underline{
\mathsf {b}}
{}'
= \underline{
\mathsf {a}}
+ \underline{
\mathsf {b}}
{}'
\rhd \underline{
\mathsf {a}}
+ \underline{
\mathsf {b}}
{}'
= 
0
{}'
\gg \underline{
\mathsf {a}}
+ \underline{
\mathsf {b}}
{}'
= 
0
{}'
; 
S4
\rhd \underline{
\mathsf {a}}
+ \underline{
\mathsf {b}}
{}'
= 
0
{}'
\gg \underline{
\mathsf {a}}
+ \underline{
\mathsf {b}}
= 
0
; 
Prop\ 3.5d
\gg \underline{
\mathsf {a}}
+ \underline{
\mathsf {b}}
= 
0
\Rightarrow 
{\neg }\underline{
\mathsf {a}}
= 
0
\Rightarrow 
{\neg }\underline{
\mathsf {b}}
= 
0
; 
MP
\rhd \underline{
\mathsf {a}}
+ \underline{
\mathsf {b}}
= 
0
\Rightarrow 
{\neg }\underline{
\mathsf {a}}
= 
0
\Rightarrow 
{\neg }\underline{
\mathsf {b}}
= 
0
\rhd \underline{
\mathsf {a}}
+ \underline{
\mathsf {b}}
= 
0
\gg 
{\neg }\underline{
\mathsf {a}}
= 
0
\Rightarrow 
{\neg }\underline{
\mathsf {b}}
= 
0
; 
Con1
\rhd 
{\neg }\underline{
\mathsf {a}}
= 
0
\Rightarrow 
{\neg }\underline{
\mathsf {b}}
= 
0
\gg \underline{
\mathsf {a}}
= 
0
; 
Con2
\rhd 
{\neg }\underline{
\mathsf {a}}
= 
0
\Rightarrow 
{\neg }\underline{
\mathsf {b}}
= 
0
\gg \underline{
\mathsf {b}}
= 
0
; 
S2
\rhd \underline{
\mathsf {b}}
= 
0
\gg \underline{
\mathsf {b}}
{}'
= 
0
{}'
; 
Con
\rhd \underline{
\mathsf {a}}
= 
0
\rhd \underline{
\mathsf {b}}
{}'
= 
0
{}'
\gg 
{\neg }\underline{
\mathsf {a}}
= 
0
\Rightarrow 
{\neg }\underline{
\mathsf {b}}
{}'
= 
0
{}'
; 
Dis1
\rhd 
{\neg }\underline{
\mathsf {a}}
= 
0
\Rightarrow 
{\neg }\underline{
\mathsf {b}}
{}'
= 
0
{}'
\gg 
{\neg }
{\neg }\underline{
\mathsf {a}}
= 
0
\Rightarrow 
{\neg }\underline{
\mathsf {b}}
{}'
= 
0
{}'
\Rightarrow 
{\neg }\underline{
\mathsf {a}}
= 
0
{}'
\Rightarrow 
{\neg }\underline{
\mathsf {b}}
{}'
= 
0
; 
Ded
\rhd 
\forall \underline{
\mathsf {a}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf {b}}
\colon \underline{
\mathsf {a}}
+ \underline{
\mathsf {b}}
{}'
= 
0
{}'
\vdash 
{\neg }
{\neg }\underline{
\mathsf {a}}
= 
0
\Rightarrow 
{\neg }\underline{
\mathsf {b}}
{}'
= 
0
{}'
\Rightarrow 
{\neg }\underline{
\mathsf {a}}
= 
0
{}'
\Rightarrow 
{\neg }\underline{
\mathsf {b}}
{}'
= 
0
\gg \underline{
\mathsf {a}}
+ \underline{
\mathsf {b}}
{}'
= 
0
{}'
\Rightarrow 
{\neg }
{\neg }\underline{
\mathsf {a}}
= 
0
\Rightarrow 
{\neg }\underline{
\mathsf {b}}
{}'
= 
0
{}'
\Rightarrow 
{\neg }\underline{
\mathsf {a}}
= 
0
{}'
\Rightarrow 
{\neg }\underline{
\mathsf {b}}
{}'
= 
0
; 
Ded
\rhd 
\forall \underline{
\mathsf {a}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf {b}}
\colon \underline{
\mathsf {a}}
+ \underline{
\mathsf {b}}
= 
0
{}'
\Rightarrow 
{\neg }
{\neg }\underline{
\mathsf {a}}
= 
0
\Rightarrow 
{\neg }\underline{
\mathsf {b}}
= 
0
{}'
\Rightarrow 
{\neg }\underline{
\mathsf {a}}
= 
0
{}'
\Rightarrow 
{\neg }\underline{
\mathsf {b}}
= 
0
\vdash \underline{
\mathsf {a}}
+ \underline{
\mathsf {b}}
{}'
= 
0
{}'
\Rightarrow 
{\neg }
{\neg }\underline{
\mathsf {a}}
= 
0
\Rightarrow 
{\neg }\underline{
\mathsf {b}}
{}'
= 
0
{}'
\Rightarrow 
{\neg }\underline{
\mathsf {a}}
= 
0
{}'
\Rightarrow 
{\neg }\underline{
\mathsf {b}}
{}'
= 
0
\gg \underline{
\mathsf {a}}
+ \underline{
\mathsf {b}}
= 
0
{}'
\Rightarrow 
{\neg }
{\neg }\underline{
\mathsf {a}}
= 
0
\Rightarrow 
{\neg }\underline{
\mathsf {b}}
= 
0
{}'
\Rightarrow 
{\neg }\underline{
\mathsf {a}}
= 
0
{}'
\Rightarrow 
{\neg }\underline{
\mathsf {b}}
= 
0
\Rightarrow \underline{
\mathsf {a}}
+ \underline{
\mathsf {b}}
{}'
= 
0
{}'
\Rightarrow 
{\neg }
{\neg }\underline{
\mathsf {a}}
= 
0
\Rightarrow 
{\neg }\underline{
\mathsf {b}}
{}'
= 
0
{}'
\Rightarrow 
{\neg }\underline{
\mathsf {a}}
= 
0
{}'
\Rightarrow 
{\neg }\underline{
\mathsf {b}}
{}'
= 
0
\rceil 
, 
p_0
, 
\mathsf {c}
)
]$
\item $
[
Prop\ 3.5f
\stackrel{
stmt
}{\rightarrow}
S
\vdash 
\forall \underline{
\mathsf {a}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf {b}}
\colon \underline{
\mathsf {a}}
+ \underline{
\mathsf {b}}
= 
0
{}'
\Rightarrow 
{\neg }
{\neg }\underline{
\mathsf {a}}
= 
0
\Rightarrow 
{\neg }\underline{
\mathsf {b}}
= 
0
{}'
\Rightarrow 
{\neg }\underline{
\mathsf {a}}
= 
0
{}'
\Rightarrow 
{\neg }\underline{
\mathsf {b}}
= 
0
]$


\item $
[
Prop\ 3.5f
\stackrel{
proof
}{\rightarrow}
\lambda 
\mathsf {c}
.
\lambda 
\mathsf{x}
.
{\cal P}( 
\lceil 
S
\vdash 
\forall \underline{
\mathsf {a}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf {b}}
\colon 
Prop\ 3.5f_1
\gg \overline{
\mathsf{x}}
+ 
0
= 
0
{}'
\Rightarrow 
{\neg }
{\neg }\overline{
\mathsf{x}}
= 
0
\Rightarrow 
{\neg }
0
= 
0
{}'
\Rightarrow 
{\neg }\overline{
\mathsf{x}}
= 
0
{}'
\Rightarrow 
{\neg }
0
= 
0
; 
Prop\ 3.5f_2
\gg \overline{
\mathsf{x}}
+ \overline{
\mathsf{y}}
= 
0
{}'
\Rightarrow 
{\neg }
{\neg }\overline{
\mathsf{x}}
= 
0
\Rightarrow 
{\neg }\overline{
\mathsf{y}}
= 
0
{}'
\Rightarrow 
{\neg }\overline{
\mathsf{x}}
= 
0
{}'
\Rightarrow 
{\neg }\overline{
\mathsf{y}}
= 
0
\Rightarrow \overline{
\mathsf{x}}
+ \overline{
\mathsf{y}}
{}'
= 
0
{}'
\Rightarrow 
{\neg }
{\neg }\overline{
\mathsf{x}}
= 
0
\Rightarrow 
{\neg }\overline{
\mathsf{y}}
{}'
= 
0
{}'
\Rightarrow 
{\neg }\overline{
\mathsf{x}}
= 
0
{}'
\Rightarrow 
{\neg }\overline{
\mathsf{y}}
{}'
= 
0
; 
S9
\mathop {\char64} \overline{
\mathsf{y}}
\rhd \overline{
\mathsf{x}}
+ 
0
= 
0
{}'
\Rightarrow 
{\neg }
{\neg }\overline{
\mathsf{x}}
= 
0
\Rightarrow 
{\neg }
0
= 
0
{}'
\Rightarrow 
{\neg }\overline{
\mathsf{x}}
= 
0
{}'
\Rightarrow 
{\neg }
0
= 
0
\rhd \overline{
\mathsf{x}}
+ \overline{
\mathsf{y}}
= 
0
{}'
\Rightarrow 
{\neg }
{\neg }\overline{
\mathsf{x}}
= 
0
\Rightarrow 
{\neg }\overline{
\mathsf{y}}
= 
0
{}'
\Rightarrow 
{\neg }\overline{
\mathsf{x}}
= 
0
{}'
\Rightarrow 
{\neg }\overline{
\mathsf{y}}
= 
0
\Rightarrow \overline{
\mathsf{x}}
+ \overline{
\mathsf{y}}
{}'
= 
0
{}'
\Rightarrow 
{\neg }
{\neg }\overline{
\mathsf{x}}
= 
0
\Rightarrow 
{\neg }\overline{
\mathsf{y}}
{}'
= 
0
{}'
\Rightarrow 
{\neg }\overline{
\mathsf{x}}
= 
0
{}'
\Rightarrow 
{\neg }\overline{
\mathsf{y}}
{}'
= 
0
\gg \overline{
\mathsf{x}}
+ \overline{
\mathsf{y}}
= 
0
{}'
\Rightarrow 
{\neg }
{\neg }\overline{
\mathsf{x}}
= 
0
\Rightarrow 
{\neg }\overline{
\mathsf{y}}
= 
0
{}'
\Rightarrow 
{\neg }\overline{
\mathsf{x}}
= 
0
{}'
\Rightarrow 
{\neg }\overline{
\mathsf{y}}
= 
0
; 
Ded
\rhd \overline{
\mathsf{x}}
+ \overline{
\mathsf{y}}
= 
0
{}'
\Rightarrow 
{\neg }
{\neg }\overline{
\mathsf{x}}
= 
0
\Rightarrow 
{\neg }\overline{
\mathsf{y}}
= 
0
{}'
\Rightarrow 
{\neg }\overline{
\mathsf{x}}
= 
0
{}'
\Rightarrow 
{\neg }\overline{
\mathsf{y}}
= 
0
\gg \underline{
\mathsf {a}}
+ \underline{
\mathsf {b}}
= 
0
{}'
\Rightarrow 
{\neg }
{\neg }\underline{
\mathsf {a}}
= 
0
\Rightarrow 
{\neg }\underline{
\mathsf {b}}
= 
0
{}'
\Rightarrow 
{\neg }\underline{
\mathsf {a}}
= 
0
{}'
\Rightarrow 
{\neg }\underline{
\mathsf {b}}
= 
0
\rceil 
, 
p_0
, 
\mathsf {c}
)
]$
\end{list}

\subsection{3.5g}
Her viser vi, at hvis et produkt er $
0
{}'$ er begge faktore $
0
{}'$. Beviset er ved induktion over $y$ i $B(y) : x \cdot y = \bar{1} \Rightarrow (x = \bar{1}) \land (y = \bar{1})$.\\
Basistilf\ae{}ldet:

\begin{list}{}{
\setlength{\leftmargin}{0em}
\setlength{\itemindent}{0em}
\setlength{\itemsep}{1ex}}


\item $
[
Prop\ 3.5g_1
\stackrel{
stmt
}{\rightarrow}
S
\vdash 
\forall \underline{
\mathsf {a}}
\colon \underline{
\mathsf {a}}
\cdot 
0
= 
0
{}'
\Rightarrow 
{\neg }\underline{
\mathsf {a}}
= 
0
{}'
\Rightarrow 
{\neg }
0
= 
0
{}'
]$

\item $
[
Prop\ 3.5g_1
\stackrel{
proof
}{\rightarrow}
\lambda 
\mathsf {c}
.
\lambda 
\mathsf{x}
.
{\cal P}( 
\lceil 
S
\vdash 
\forall \underline{
\mathsf {a}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf {a}}
\colon \underline{
\mathsf {a}}
\cdot 
0
= 
0
{}'
\vdash 
S7
\gg \underline{
\mathsf {a}}
\cdot 
0
= 
0
; 
S1
\rhd \underline{
\mathsf {a}}
\cdot 
0
= 
0
\rhd \underline{
\mathsf {a}}
\cdot 
0
= 
0
{}'
\gg 
0
= 
0
{}'
; 
S3
\gg 
{\neg }
0
= 
0
{}'
; 
Lem 1.11c
\gg 
{\neg }
0
= 
0
{}'
\Rightarrow 
0
= 
0
{}'
\Rightarrow 
{\neg }\underline{
\mathsf {a}}
= 
0
{}'
\Rightarrow 
{\neg }
0
= 
0
{}'
; 
MP
\rhd 
{\neg }
0
= 
0
{}'
\Rightarrow 
0
= 
0
{}'
\Rightarrow 
{\neg }\underline{
\mathsf {a}}
= 
0
{}'
\Rightarrow 
{\neg }
0
= 
0
{}'
\rhd 
{\neg }
0
= 
0
{}'
\gg 
0
= 
0
{}'
\Rightarrow 
{\neg }\underline{
\mathsf {a}}
= 
0
{}'
\Rightarrow 
{\neg }
0
= 
0
{}'
; 
MP
\rhd 
0
= 
0
{}'
\Rightarrow 
{\neg }\underline{
\mathsf {a}}
= 
0
{}'
\Rightarrow 
{\neg }
0
= 
0
{}'
\rhd 
0
= 
0
{}'
\gg 
{\neg }\underline{
\mathsf {a}}
= 
0
{}'
\Rightarrow 
{\neg }
0
= 
0
{}'
; 
Ded
\rhd 
\forall \underline{
\mathsf {a}}
\colon \underline{
\mathsf {a}}
\cdot 
0
= 
0
{}'
\vdash 
{\neg }\underline{
\mathsf {a}}
= 
0
{}'
\Rightarrow 
{\neg }
0
= 
0
{}'
\gg \underline{
\mathsf {a}}
\cdot 
0
= 
0
{}'
\Rightarrow 
{\neg }\underline{
\mathsf {a}}
= 
0
{}'
\Rightarrow 
{\neg }
0
= 
0
{}'
\rceil 
, 
p_0
, 
\mathsf {c}
)
]$

\item $
[
Prop\ 3.5g_2
\stackrel{
stmt
}{\rightarrow}
S
\vdash 
\forall \underline{
\mathsf {a}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf {b}}
\colon 
{\neg }\underline{
\mathsf {a}}
\cdot \underline{
\mathsf {b}}
= 
0
\Rightarrow 
{\neg }\underline{
\mathsf {a}}
= 
0
{}'
\Rightarrow 
{\neg }\underline{
\mathsf {a}}
= 
0
{}'
\Rightarrow 
{\neg }\underline{
\mathsf {b}}
{}'
= 
0
{}'
]$

\item $
[
Prop\ 3.5g_2
\stackrel{
proof
}{\rightarrow}
\lambda 
\mathsf {c}
.
\lambda 
\mathsf{x}
.
{\cal P}( 
\lceil 
S
\vdash 
\forall \underline{
\mathsf {a}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf {b}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf {a}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf {b}}
\colon 
{\neg }\underline{
\mathsf {a}}
\cdot \underline{
\mathsf {b}}
= 
0
\Rightarrow 
{\neg }\underline{
\mathsf {a}}
= 
0
{}'
\vdash 
Con2
\rhd 
{\neg }\underline{
\mathsf {a}}
\cdot \underline{
\mathsf {b}}
= 
0
\Rightarrow 
{\neg }\underline{
\mathsf {a}}
= 
0
{}'
\gg \underline{
\mathsf {a}}
= 
0
{}'
; 
Con1
\rhd 
{\neg }\underline{
\mathsf {a}}
\cdot \underline{
\mathsf {b}}
= 
0
\Rightarrow 
{\neg }\underline{
\mathsf {a}}
= 
0
{}'
\gg \underline{
\mathsf {a}}
\cdot \underline{
\mathsf {b}}
= 
0
; 
S3
\gg 
{\neg }
0
= 
0
{}'
; 
H10
\rhd 
{\neg }
0
= 
0
{}'
\gg 
{\neg }
0
{}'
= 
0
; 
S1''
\gg \underline{
\mathsf {a}}
= 
0
{}'
\Rightarrow \underline{
\mathsf {a}}
= 
0
\Rightarrow 
0
{}'
= 
0
; 
H3
\rhd \underline{
\mathsf {a}}
= 
0
{}'
\Rightarrow \underline{
\mathsf {a}}
= 
0
\Rightarrow 
0
{}'
= 
0
\rhd \underline{
\mathsf {a}}
= 
0
{}'
\rhd 
{\neg }
0
{}'
= 
0
\gg 
{\neg }\underline{
\mathsf {a}}
= 
0
; 
Prop\ 3.2n
\gg \underline{
\mathsf {a}}
\cdot \underline{
\mathsf {b}}
= \underline{
\mathsf {b}}
\cdot \underline{
\mathsf {a}}
; 
S1
\rhd \underline{
\mathsf {a}}
\cdot \underline{
\mathsf {b}}
= \underline{
\mathsf {b}}
\cdot \underline{
\mathsf {a}}
\rhd \underline{
\mathsf {a}}
\cdot \underline{
\mathsf {b}}
= 
0
\gg \underline{
\mathsf {b}}
\cdot \underline{
\mathsf {a}}
= 
0
; 
Prop\ 3.5e
\gg 
{\neg }\underline{
\mathsf {a}}
= 
0
\Rightarrow \underline{
\mathsf {b}}
\cdot \underline{
\mathsf {a}}
= 
0
\Rightarrow \underline{
\mathsf {b}}
= 
0
; 
MP
\rhd 
{\neg }\underline{
\mathsf {a}}
= 
0
\Rightarrow \underline{
\mathsf {b}}
\cdot \underline{
\mathsf {a}}
= 
0
\Rightarrow \underline{
\mathsf {b}}
= 
0
\rhd 
{\neg }\underline{
\mathsf {a}}
= 
0
\gg \underline{
\mathsf {b}}
\cdot \underline{
\mathsf {a}}
= 
0
\Rightarrow \underline{
\mathsf {b}}
= 
0
; 
MP
\rhd \underline{
\mathsf {b}}
\cdot \underline{
\mathsf {a}}
= 
0
\Rightarrow \underline{
\mathsf {b}}
= 
0
\rhd \underline{
\mathsf {b}}
\cdot \underline{
\mathsf {a}}
= 
0
\gg \underline{
\mathsf {b}}
= 
0
; 
S2
\rhd \underline{
\mathsf {b}}
= 
0
\gg \underline{
\mathsf {b}}
{}'
= 
0
{}'
; 
Con
\rhd \underline{
\mathsf {a}}
= 
0
{}'
\rhd \underline{
\mathsf {b}}
{}'
= 
0
{}'
\gg 
{\neg }\underline{
\mathsf {a}}
= 
0
{}'
\Rightarrow 
{\neg }\underline{
\mathsf {b}}
{}'
= 
0
{}'
; 
Ded
\rhd 
\forall \underline{
\mathsf {a}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf {b}}
\colon 
{\neg }\underline{
\mathsf {a}}
\cdot \underline{
\mathsf {b}}
= 
0
\Rightarrow 
{\neg }\underline{
\mathsf {a}}
= 
0
{}'
\vdash 
{\neg }\underline{
\mathsf {a}}
= 
0
{}'
\Rightarrow 
{\neg }\underline{
\mathsf {b}}
{}'
= 
0
{}'
\gg 
{\neg }\underline{
\mathsf {a}}
\cdot \underline{
\mathsf {b}}
= 
0
\Rightarrow 
{\neg }\underline{
\mathsf {a}}
= 
0
{}'
\Rightarrow 
{\neg }\underline{
\mathsf {a}}
= 
0
{}'
\Rightarrow 
{\neg }\underline{
\mathsf {b}}
{}'
= 
0
{}'
\rceil 
, 
p_0
, 
\mathsf {c}
)
]$

\item $
[
Prop\ 3.5g_3
\stackrel{
stmt
}{\rightarrow}
S
\vdash 
\forall \underline{
\mathsf {a}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf {b}}
\colon \underline{
\mathsf {a}}
\cdot \underline{
\mathsf {b}}
= 
0
{}'
\Rightarrow 
{\neg }\underline{
\mathsf {a}}
= 
0
{}'
\Rightarrow 
{\neg }\underline{
\mathsf {b}}
= 
0
{}'
\vdash 
{\neg }\underline{
\mathsf {a}}
\cdot \underline{
\mathsf {b}}
= 
0
{}'
\Rightarrow 
{\neg }\underline{
\mathsf {a}}
= 
0
\Rightarrow 
{\neg }\underline{
\mathsf {a}}
= 
0
{}'
\Rightarrow 
{\neg }\underline{
\mathsf {b}}
{}'
= 
0
{}'
]$

\item $
[
Prop\ 3.5g_3
\stackrel{
proof
}{\rightarrow}
\lambda 
\mathsf {c}
.
\lambda 
\mathsf{x}
.
{\cal P}( 
\lceil 
S
\vdash 
\forall \underline{
\mathsf {a}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf {b}}
\colon \underline{
\mathsf {a}}
\cdot \underline{
\mathsf {b}}
= 
0
{}'
\Rightarrow 
{\neg }\underline{
\mathsf {a}}
= 
0
{}'
\Rightarrow 
{\neg }\underline{
\mathsf {b}}
= 
0
{}'
\vdash 
\forall \underline{
\mathsf {a}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf {b}}
\colon 
{\neg }\underline{
\mathsf {a}}
\cdot \underline{
\mathsf {b}}
= 
0
{}'
\Rightarrow 
{\neg }\underline{
\mathsf {a}}
= 
0
\vdash 
Con1
\rhd 
{\neg }\underline{
\mathsf {a}}
\cdot \underline{
\mathsf {b}}
= 
0
{}'
\Rightarrow 
{\neg }\underline{
\mathsf {a}}
= 
0
\gg \underline{
\mathsf {a}}
\cdot \underline{
\mathsf {b}}
= 
0
{}'
; 
MP
\rhd \underline{
\mathsf {a}}
\cdot \underline{
\mathsf {b}}
= 
0
{}'
\Rightarrow 
{\neg }\underline{
\mathsf {a}}
= 
0
{}'
\Rightarrow 
{\neg }\underline{
\mathsf {b}}
= 
0
{}'
\rhd \underline{
\mathsf {a}}
\cdot \underline{
\mathsf {b}}
= 
0
{}'
\gg 
{\neg }\underline{
\mathsf {a}}
= 
0
{}'
\Rightarrow 
{\neg }\underline{
\mathsf {b}}
= 
0
{}'
; 
Con1
\rhd 
{\neg }\underline{
\mathsf {a}}
= 
0
{}'
\Rightarrow 
{\neg }\underline{
\mathsf {b}}
= 
0
{}'
\gg \underline{
\mathsf {a}}
= 
0
{}'
; 
Con2
\rhd 
{\neg }\underline{
\mathsf {a}}
\cdot \underline{
\mathsf {b}}
= 
0
{}'
\Rightarrow 
{\neg }\underline{
\mathsf {a}}
= 
0
\gg \underline{
\mathsf {a}}
= 
0
; 
S1
\rhd \underline{
\mathsf {a}}
= 
0
\rhd \underline{
\mathsf {a}}
= 
0
{}'
\gg 
0
= 
0
{}'
; 
S3
\gg 
{\neg }
0
= 
0
{}'
; 
Lem 1.11c
\gg 
{\neg }
0
= 
0
{}'
\Rightarrow 
0
= 
0
{}'
\Rightarrow 
{\neg }\underline{
\mathsf {a}}
= 
0
{}'
\Rightarrow 
{\neg }\underline{
\mathsf {b}}
{}'
= 
0
{}'
; 
MP
\rhd 
{\neg }
0
= 
0
{}'
\Rightarrow 
0
= 
0
{}'
\Rightarrow 
{\neg }\underline{
\mathsf {a}}
= 
0
{}'
\Rightarrow 
{\neg }\underline{
\mathsf {b}}
{}'
= 
0
{}'
\rhd 
{\neg }
0
= 
0
{}'
\gg 
0
= 
0
{}'
\Rightarrow 
{\neg }\underline{
\mathsf {a}}
= 
0
{}'
\Rightarrow 
{\neg }\underline{
\mathsf {b}}
{}'
= 
0
{}'
; 
MP
\rhd 
0
= 
0
{}'
\Rightarrow 
{\neg }\underline{
\mathsf {a}}
= 
0
{}'
\Rightarrow 
{\neg }\underline{
\mathsf {b}}
{}'
= 
0
{}'
\rhd 
0
= 
0
{}'
\gg 
{\neg }\underline{
\mathsf {a}}
= 
0
{}'
\Rightarrow 
{\neg }\underline{
\mathsf {b}}
{}'
= 
0
{}'
; 
Ded
\rhd 
\forall \underline{
\mathsf {a}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf {b}}
\colon 
{\neg }\underline{
\mathsf {a}}
\cdot \underline{
\mathsf {b}}
= 
0
{}'
\Rightarrow 
{\neg }\underline{
\mathsf {a}}
= 
0
\vdash 
{\neg }\underline{
\mathsf {a}}
= 
0
{}'
\Rightarrow 
{\neg }\underline{
\mathsf {b}}
{}'
= 
0
{}'
\gg 
{\neg }\underline{
\mathsf {a}}
\cdot \underline{
\mathsf {b}}
= 
0
{}'
\Rightarrow 
{\neg }\underline{
\mathsf {a}}
= 
0
\Rightarrow 
{\neg }\underline{
\mathsf {a}}
= 
0
{}'
\Rightarrow 
{\neg }\underline{
\mathsf {b}}
{}'
= 
0
{}'
\rceil 
, 
p_0
, 
\mathsf {c}
)
]$

Det induktive trin:

\item $
[
Prop\ 3.5g_4
\stackrel{
stmt
}{\rightarrow}
S
\vdash 
\forall \underline{
\mathsf {a}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf {b}}
\colon \underline{
\mathsf {a}}
\cdot \underline{
\mathsf {b}}
= 
0
{}'
\Rightarrow 
{\neg }\underline{
\mathsf {a}}
= 
0
{}'
\Rightarrow 
{\neg }\underline{
\mathsf {b}}
= 
0
{}'
\Rightarrow \underline{
\mathsf {a}}
\cdot \underline{
\mathsf {b}}
{}'
= 
0
{}'
\Rightarrow 
{\neg }\underline{
\mathsf {a}}
= 
0
{}'
\Rightarrow 
{\neg }\underline{
\mathsf {b}}
{}'
= 
0
{}'
]$ 



\item $
[
Prop\ 3.5g_4
\stackrel{
proof
}{\rightarrow}
\lambda 
\mathsf {c}
.
\lambda 
\mathsf{x}
.
{\cal P}( 
\lceil 
S
\vdash 
\forall \underline{
\mathsf {a}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf {b}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf {a}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf {b}}
\colon \underline{
\mathsf {a}}
\cdot \underline{
\mathsf {b}}
= 
0
{}'
\Rightarrow 
{\neg }\underline{
\mathsf {a}}
= 
0
{}'
\Rightarrow 
{\neg }\underline{
\mathsf {b}}
= 
0
{}'
\vdash \underline{
\mathsf {a}}
\cdot \underline{
\mathsf {b}}
{}'
= 
0
{}'
\vdash 
S8
\gg \underline{
\mathsf {a}}
\cdot \underline{
\mathsf {b}}
{}'
= \underline{
\mathsf {a}}
\cdot \underline{
\mathsf {b}}
+ \underline{
\mathsf {a}}
; 
S1
\rhd \underline{
\mathsf {a}}
\cdot \underline{
\mathsf {b}}
{}'
= \underline{
\mathsf {a}}
\cdot \underline{
\mathsf {b}}
+ \underline{
\mathsf {a}}
\rhd \underline{
\mathsf {a}}
\cdot \underline{
\mathsf {b}}
{}'
= 
0
{}'
\gg \underline{
\mathsf {a}}
\cdot \underline{
\mathsf {b}}
+ \underline{
\mathsf {a}}
= 
0
{}'
; 
Prop\ 3.5f
\gg \underline{
\mathsf {a}}
\cdot \underline{
\mathsf {b}}
+ \underline{
\mathsf {a}}
= 
0
{}'
\Rightarrow 
{\neg }
{\neg }\underline{
\mathsf {a}}
\cdot \underline{
\mathsf {b}}
= 
0
\Rightarrow 
{\neg }\underline{
\mathsf {a}}
= 
0
{}'
\Rightarrow 
{\neg }\underline{
\mathsf {a}}
\cdot \underline{
\mathsf {b}}
= 
0
{}'
\Rightarrow 
{\neg }\underline{
\mathsf {a}}
= 
0
; 
MP
\rhd \underline{
\mathsf {a}}
\cdot \underline{
\mathsf {b}}
+ \underline{
\mathsf {a}}
= 
0
{}'
\Rightarrow 
{\neg }
{\neg }\underline{
\mathsf {a}}
\cdot \underline{
\mathsf {b}}
= 
0
\Rightarrow 
{\neg }\underline{
\mathsf {a}}
= 
0
{}'
\Rightarrow 
{\neg }\underline{
\mathsf {a}}
\cdot \underline{
\mathsf {b}}
= 
0
{}'
\Rightarrow 
{\neg }\underline{
\mathsf {a}}
= 
0
\rhd \underline{
\mathsf {a}}
\cdot \underline{
\mathsf {b}}
+ \underline{
\mathsf {a}}
= 
0
{}'
\gg 
{\neg }
{\neg }\underline{
\mathsf {a}}
\cdot \underline{
\mathsf {b}}
= 
0
\Rightarrow 
{\neg }\underline{
\mathsf {a}}
= 
0
{}'
\Rightarrow 
{\neg }\underline{
\mathsf {a}}
\cdot \underline{
\mathsf {b}}
= 
0
{}'
\Rightarrow 
{\neg }\underline{
\mathsf {a}}
= 
0
; 
Prop\ 3.5g_2
\gg 
{\neg }\underline{
\mathsf {a}}
\cdot \underline{
\mathsf {b}}
= 
0
\Rightarrow 
{\neg }\underline{
\mathsf {a}}
= 
0
{}'
\Rightarrow 
{\neg }\underline{
\mathsf {a}}
= 
0
{}'
\Rightarrow 
{\neg }\underline{
\mathsf {b}}
{}'
= 
0
{}'
; 
Prop\ 3.5g_3
\rhd \underline{
\mathsf {a}}
\cdot \underline{
\mathsf {b}}
= 
0
{}'
\Rightarrow 
{\neg }\underline{
\mathsf {a}}
= 
0
{}'
\Rightarrow 
{\neg }\underline{
\mathsf {b}}
= 
0
{}'
\gg 
{\neg }\underline{
\mathsf {a}}
\cdot \underline{
\mathsf {b}}
= 
0
{}'
\Rightarrow 
{\neg }\underline{
\mathsf {a}}
= 
0
\Rightarrow 
{\neg }\underline{
\mathsf {a}}
= 
0
{}'
\Rightarrow 
{\neg }\underline{
\mathsf {b}}
{}'
= 
0
{}'
; 
H11
\rhd 
{\neg }
{\neg }\underline{
\mathsf {a}}
\cdot \underline{
\mathsf {b}}
= 
0
\Rightarrow 
{\neg }\underline{
\mathsf {a}}
= 
0
{}'
\Rightarrow 
{\neg }\underline{
\mathsf {a}}
\cdot \underline{
\mathsf {b}}
= 
0
{}'
\Rightarrow 
{\neg }\underline{
\mathsf {a}}
= 
0
\rhd 
{\neg }\underline{
\mathsf {a}}
\cdot \underline{
\mathsf {b}}
= 
0
\Rightarrow 
{\neg }\underline{
\mathsf {a}}
= 
0
{}'
\Rightarrow 
{\neg }\underline{
\mathsf {a}}
= 
0
{}'
\Rightarrow 
{\neg }\underline{
\mathsf {b}}
{}'
= 
0
{}'
\rhd 
{\neg }\underline{
\mathsf {a}}
\cdot \underline{
\mathsf {b}}
= 
0
{}'
\Rightarrow 
{\neg }\underline{
\mathsf {a}}
= 
0
\Rightarrow 
{\neg }\underline{
\mathsf {a}}
= 
0
{}'
\Rightarrow 
{\neg }\underline{
\mathsf {b}}
{}'
= 
0
{}'
\gg 
{\neg }\underline{
\mathsf {a}}
= 
0
{}'
\Rightarrow 
{\neg }\underline{
\mathsf {b}}
{}'
= 
0
{}'
; 
Ded
\rhd 
\forall \underline{
\mathsf {a}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf {b}}
\colon \underline{
\mathsf {a}}
\cdot \underline{
\mathsf {b}}
= 
0
{}'
\Rightarrow 
{\neg }\underline{
\mathsf {a}}
= 
0
{}'
\Rightarrow 
{\neg }\underline{
\mathsf {b}}
= 
0
{}'
\vdash \underline{
\mathsf {a}}
\cdot \underline{
\mathsf {b}}
{}'
= 
0
{}'
\vdash 
{\neg }\underline{
\mathsf {a}}
= 
0
{}'
\Rightarrow 
{\neg }\underline{
\mathsf {b}}
{}'
= 
0
{}'
\gg \underline{
\mathsf {a}}
\cdot \underline{
\mathsf {b}}
= 
0
{}'
\Rightarrow 
{\neg }\underline{
\mathsf {a}}
= 
0
{}'
\Rightarrow 
{\neg }\underline{
\mathsf {b}}
= 
0
{}'
\Rightarrow \underline{
\mathsf {a}}
\cdot \underline{
\mathsf {b}}
{}'
= 
0
{}'
\Rightarrow 
{\neg }\underline{
\mathsf {a}}
= 
0
{}'
\Rightarrow 
{\neg }\underline{
\mathsf {b}}
{}'
= 
0
{}'
\rceil 
, 
p_0
, 
\mathsf {c}
)
]$
\item $
[
Prop\ 3.5g
\stackrel{
stmt
}{\rightarrow}
S
\vdash 
\forall \underline{
\mathsf {a}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf {b}}
\colon \underline{
\mathsf {a}}
\cdot \underline{
\mathsf {b}}
= 
0
{}'
\Rightarrow 
{\neg }\underline{
\mathsf {a}}
= 
0
{}'
\Rightarrow 
{\neg }\underline{
\mathsf {b}}
= 
0
{}'
]$


\item $
[
Prop\ 3.5g
\stackrel{
proof
}{\rightarrow}
\lambda 
\mathsf {c}
.
\lambda 
\mathsf{x}
.
{\cal P}( 
\lceil 
S
\vdash 
\forall \underline{
\mathsf {a}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf {b}}
\colon 
Prop\ 3.5g_1
\gg \overline{
\mathsf{x}}
\cdot 
0
= 
0
{}'
\Rightarrow 
{\neg }\overline{
\mathsf{x}}
= 
0
{}'
\Rightarrow 
{\neg }
0
= 
0
{}'
; 
Prop\ 3.5g_4
\gg \overline{
\mathsf{x}}
\cdot \overline{
\mathsf{y}}
= 
0
{}'
\Rightarrow 
{\neg }\overline{
\mathsf{x}}
= 
0
{}'
\Rightarrow 
{\neg }\overline{
\mathsf{y}}
= 
0
{}'
\Rightarrow \overline{
\mathsf{x}}
\cdot \overline{
\mathsf{y}}
{}'
= 
0
{}'
\Rightarrow 
{\neg }\overline{
\mathsf{x}}
= 
0
{}'
\Rightarrow 
{\neg }\overline{
\mathsf{y}}
{}'
= 
0
{}'
; 
S9
\mathop {\char64} \overline{
\mathsf{y}}
\rhd \overline{
\mathsf{x}}
\cdot 
0
= 
0
{}'
\Rightarrow 
{\neg }\overline{
\mathsf{x}}
= 
0
{}'
\Rightarrow 
{\neg }
0
= 
0
{}'
\rhd \overline{
\mathsf{x}}
\cdot \overline{
\mathsf{y}}
= 
0
{}'
\Rightarrow 
{\neg }\overline{
\mathsf{x}}
= 
0
{}'
\Rightarrow 
{\neg }\overline{
\mathsf{y}}
= 
0
{}'
\Rightarrow \overline{
\mathsf{x}}
\cdot \overline{
\mathsf{y}}
{}'
= 
0
{}'
\Rightarrow 
{\neg }\overline{
\mathsf{x}}
= 
0
{}'
\Rightarrow 
{\neg }\overline{
\mathsf{y}}
{}'
= 
0
{}'
\gg \overline{
\mathsf{x}}
\cdot \overline{
\mathsf{y}}
= 
0
{}'
\Rightarrow 
{\neg }\overline{
\mathsf{x}}
= 
0
{}'
\Rightarrow 
{\neg }\overline{
\mathsf{y}}
= 
0
{}'
; 
Ded
\rhd \overline{
\mathsf{x}}
\cdot \overline{
\mathsf{y}}
= 
0
{}'
\Rightarrow 
{\neg }\overline{
\mathsf{x}}
= 
0
{}'
\Rightarrow 
{\neg }\overline{
\mathsf{y}}
= 
0
{}'
\gg \underline{
\mathsf {a}}
\cdot \underline{
\mathsf {b}}
= 
0
{}'
\Rightarrow 
{\neg }\underline{
\mathsf {a}}
= 
0
{}'
\Rightarrow 
{\neg }\underline{
\mathsf {b}}
= 
0
{}'
\rceil 
, 
p_0
, 
\mathsf {c}
)
]$

\end{list}
\subsection{3.5h}\label{35h}

$
[
Prop\ 3.5h
\stackrel{
stmt
}{\rightarrow}
S
\vdash 
\forall \underline{
\mathsf {a}}
\colon 
{\neg }\underline{
\mathsf {a}}
= 
0
\Rightarrow 
{\neg }
\forall_{obj} \underline{
\mathsf {b}}
\colon 
{\neg }\underline{
\mathsf {a}}
= \underline{
\mathsf {b}}
{}'
]$

Beviset for 3.5.h ville i pyk have set ud nogenlunde som f\o{}lgende:
\[
t \neq 0 \Rightarrow (\exists y) (t = y')
\]


\subsubsection*{Part I}
\[
\begin{array}{lll}
L01 & premise & 0 \neq 0 \\
L02 & abbr.\ L01 & \lnot ( 0=0)\\
L03 & 3.2.a & 0 = 0 \\
L04 & Lemma\ 1.11.c & \lnot (0=0) \Rightarrow ((0=0) \Rightarrow (\exists w)(0=w')) \\
L05 & MP, L02, L03 & (\exists w)(0=w')\\
L06 & Ded, L05 & (0 \neq 0) \Rightarrow (\exists w)(0 = w') \\
\end{array}
\]
\subsubsection*{Part II}
\[
\begin{array}{llr}
L01: & premise & (x \neq 0) \Rightarrow  (\exists w) (x = w')\\
L02: & S3'& x' \neq  0 \\
L03: & Taut.:\ \mathcal{A} \lor  \lnot \mathcal{A} & (x=0)\lor \lnot(x = 0) \\
L04: &premise& (x= 0) \\
L05: &S2'& 0'= x'\\
L06: &E4& (x=0)\Rightarrow(\exists w)(x'= w')\\
L07: &premise & \lnot(x = 0)\\
L08: & MP,L01,L07  & (\exists w) (x = w')\\
L09: & rule c& x = b'\\
L10: &S2' &(\exists w) (x' = w')\\
L11: &E4& \lnot (x = 0) \Rightarrow (\exists w)(x' = w')\\
L12  & Lemma\ H11,L06. L11  & (x' \neq 0) \Rightarrow (\exists w)(x' = w') \\ 
\end{array}
\]
Tilbage er blot at bruge s\ae{}tning  $
S9$ for at fuldende induktionsbeviset.

\newpage
\section{Udsagn 3.7}

Vi har kun lavet de indledende definitioner, da hele 3.7 kr\ae{}ver ``existential rule''. 

\subsection{Definitioner af $
{\neg }
\forall_{obj} 
\mathsf{z}
\colon 
{\neg }
{\neg }
{\neg }
\mathsf{z}
= 
0
\Rightarrow 
{\neg }
\mathsf{z}
+ \overline{
\mathsf{x}}
= \overline{
\mathsf{y}}$}

Vi har makrodefineret f\o{}lgende definitioner: 

$
[
\mathsf{x} 
< 
\mathsf{y}
\stackrel{
\mathrm {macro}
}{\rightarrow}
\lambda 
\mathsf {t}
.
\lambda 
\mathsf {s}
.
\lambda 
\mathsf {c}
.
\tilde {{\cal M}}_4(
\mathsf {t}
,
\mathsf {s}
,
\mathsf {c}
,
\lceil 
[
\mathsf{x} 
< 
\mathsf{y}
\mathrel {\ddot {=}}
\exists 
\mathsf{z}
\colon 
(
\mathsf{z} 
\neq 
0
\wedge 
\mathsf{z}
+ 
\mathsf{x}
= 
\mathsf{y}
)
]
\rceil 
)
]$

$
[
\mathsf{x} 
\leq 
\mathsf{y}
\stackrel{
\mathrm {macro}
}{\rightarrow}
\lambda 
\mathsf {t}
.
\lambda 
\mathsf {s}
.
\lambda 
\mathsf {c}
.
\tilde {{\cal M}}_4(
\mathsf {t}
,
\mathsf {s}
,
\mathsf {c}
,
\lceil 
[
\mathsf{x} 
\leq 
\mathsf{y}
\mathrel {\ddot {=}}
\mathsf{x} 
< 
\mathsf{y}
\vee 
\mathsf{x}
= 
\mathsf{y}
]
\rceil 
)
]$

$
[
\mathsf{x} 
> 
\mathsf{y}
\stackrel{
\mathrm {macro}
}{\rightarrow}
\lambda 
\mathsf {t}
.
\lambda 
\mathsf {s}
.
\lambda 
\mathsf {c}
.
\tilde {{\cal M}}_4(
\mathsf {t}
,
\mathsf {s}
,
\mathsf {c}
,
\lceil 
[
\mathsf{x} 
> 
\mathsf{y}
\mathrel {\ddot {=}}
\mathsf{y} 
< 
\mathsf{x}
]
\rceil 
)
]$

$
[
\mathsf{x} 
\geq 
\mathsf{y}
\stackrel{
\mathrm {macro}
}{\rightarrow}
\lambda 
\mathsf {t}
.
\lambda 
\mathsf {s}
.
\lambda 
\mathsf {c}
.
\tilde {{\cal M}}_4(
\mathsf {t}
,
\mathsf {s}
,
\mathsf {c}
,
\lceil 
[
\mathsf{x} 
\geq 
\mathsf{y}
\mathrel {\ddot {=}}
\mathsf{y} 
\leq 
\mathsf{x}
]
\rceil 
)
]$

$
[
\mathsf{x} 
\not <  
\mathsf{y}
\stackrel{
\mathrm {macro}
}{\rightarrow}
\lambda 
\mathsf {t}
.
\lambda 
\mathsf {s}
.
\lambda 
\mathsf {c}
.
\tilde {{\cal M}}_4(
\mathsf {t}
,
\mathsf {s}
,
\mathsf {c}
,
\lceil 
[
\mathsf{x} 
\not <  
\mathsf{y}
\mathrel {\ddot {=}}
{\neg }
(
\mathsf{x} 
< 
\mathsf{y}
)
]
\rceil 
)
]$

$
[
\mathsf{x} 
\not > 
\mathsf{y}
\stackrel{
\mathrm {macro}
}{\rightarrow}
\lambda 
\mathsf {t}
.
\lambda 
\mathsf {s}
.
\lambda 
\mathsf {c}
.
\tilde {{\cal M}}_4(
\mathsf {t}
,
\mathsf {s}
,
\mathsf {c}
,
\lceil 
[
\mathsf{x} 
\not > 
\mathsf{y}
\mathrel {\ddot {=}}
\mathsf{y} 
\not <  
\mathsf{x}
]
\rceil 
)
]$

$
[
\mathsf{x}
\mathrel{|} 
\mathsf{y}
\stackrel{
\mathrm {macro}
}{\rightarrow}
\lambda 
\mathsf {t}
.
\lambda 
\mathsf {s}
.
\lambda 
\mathsf {c}
.
\tilde {{\cal M}}_4(
\mathsf {t}
,
\mathsf {s}
,
\mathsf {c}
,
\lceil 
[
\mathsf{x}
\mathrel{|} 
\mathsf{y}
\mathrel {\ddot {=}}
\exists 
\mathsf{z}
\colon 
\mathsf{y}
= 
\mathsf{x}
\cdot 
\mathsf{z}
]
\rceil 
)
]$

Ved hj\ae{}lp af disse definitioner og ``existential rule'' ville 3.7 kunne bevises.

\newpage
\appendix

\section{Hj\ae{}lpelemmaer}\label{help}

Til flere af vores beviser har vi brug for nogle hj\ae{}lpe-lemmaer, disse er bevist i det f\o{}lgende afsnit

\subsection{Liste over hj\ae{}lpelemmaer}
\begin{list}{}{
\setlength{\leftmargin}{0em}
\setlength{\itemindent}{0em}
\setlength{\itemsep}{1ex}}


\item $
[
Lem 1.11c
\stackrel{
stmt
}{\rightarrow}
S
\vdash 
\forall \underline{
\mathsf {a}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf {b}}
\colon 
{\neg }\underline{
\mathsf {a}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {a}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {b}}
]$

\item $
[
Cor 1.10a
\stackrel{
stmt
}{\rightarrow}
S
\vdash 
\forall \underline{
\mathsf {a}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf {b}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf {c}}
\colon \underline{
\mathsf {a}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {b}}
\vdash \underline{
\mathsf {b}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {c}}
\vdash \underline{
\mathsf {a}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {c}}
]$

\item $
[
Cor 1.10b
\stackrel{
stmt
}{\rightarrow}
S
\vdash 
\forall \underline{
\mathsf {a}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf {b}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf {c}}
\colon \underline{
\mathsf {a}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {b}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {c}}
\vdash \underline{
\mathsf {b}}
\vdash \underline{
\mathsf {a}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {c}}
]$


\item $
[
Lem 1.11a
\stackrel{
stmt
}{\rightarrow}
S
\vdash 
\forall \underline{
\mathsf {a}}
\colon 
{\neg }
{\neg }\underline{
\mathsf {a}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {a}}
]$

\item $
[
Lem 1.11b
\stackrel{
stmt
}{\rightarrow}
S
\vdash 
\forall \underline{
\mathsf {a}}
\colon \underline{
\mathsf {a}}
\Rightarrow 
{\neg }
{\neg }\underline{
\mathsf {a}}
]$


\item $
[
Prop 3.2c'
\stackrel{
stmt
}{\rightarrow}
S
\vdash 
\forall \underline{
\mathsf {a}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf {b}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf {c}}
\colon \underline{
\mathsf {a}}
= \underline{
\mathsf {b}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {b}}
= \underline{
\mathsf {c}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {a}}
= \underline{
\mathsf {c}}
]$
\item $
[
S1''
\stackrel{
stmt
}{\rightarrow}
S
\vdash 
\forall \underline{
\mathsf {a}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf {b}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf {c}}
\colon \underline{
\mathsf {a}}
= \underline{
\mathsf {b}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {a}}
= \underline{
\mathsf {c}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {b}}
= \underline{
\mathsf {c}}
]$

\item $
[
Neg'
\stackrel{
stmt
}{\rightarrow}
S
\vdash 
\forall \underline{
\mathsf {a}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf {b}}
\colon 
{\neg }\underline{
\mathsf {b}}
\Rightarrow 
{\neg }\underline{
\mathsf {a}}
\Rightarrow 
{\neg }\underline{
\mathsf {b}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {a}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {b}}
]$ 

\item $
[
Repetition'
\stackrel{
stmt
}{\rightarrow}
S
\vdash 
\forall \underline{
\mathsf {a}}
\colon \underline{
\mathsf {a}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {a}}
]$

\item $
[
Lem 1.11e
\stackrel{
stmt
}{\rightarrow}
S
\vdash 
\forall \underline{
\mathsf {a}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf {b}}
\colon \underline{
\mathsf {a}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {b}}
\Rightarrow 
{\neg }\underline{
\mathsf {b}}
\Rightarrow 
{\neg }\underline{
\mathsf {a}}
]$


\item $
[
Lem 1.11d
\stackrel{
stmt
}{\rightarrow}
S
\vdash 
\forall \underline{
\mathsf {a}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf {b}}
\colon 
{\neg }\underline{
\mathsf {b}}
\Rightarrow 
{\neg }\underline{
\mathsf {a}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {a}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {b}}
]$

\item $
[
Prop 3.2b'
\stackrel{
stmt
}{\rightarrow}
S
\vdash 
\forall \underline{
\mathsf {a}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf {b}}
\colon \underline{
\mathsf {a}}
= \underline{
\mathsf {b}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {b}}
= \underline{
\mathsf {a}}
]$
\item $
[
H10
\stackrel{
stmt
}{\rightarrow}
S
\vdash 
\forall \underline{
\mathsf {a}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf {b}}
\colon 
{\neg }\underline{
\mathsf {b}}
= \underline{
\mathsf {a}}
\vdash 
{\neg }\underline{
\mathsf {a}}
= \underline{
\mathsf {b}}
]$

\item $
[
H11
\stackrel{
stmt
}{\rightarrow}
S
\vdash 
\forall \underline{
\mathsf {a}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf {b}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf {c}}
\colon 
{\neg }\underline{
\mathsf {a}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {b}}
\vdash \underline{
\mathsf {a}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {c}}
\vdash \underline{
\mathsf {b}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {c}}
\vdash \underline{
\mathsf {c}}
]$

\item $
[
Lem 1.11g
\stackrel{
stmt
}{\rightarrow}
S
\vdash 
\forall \underline{
\mathsf {a}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf {b}}
\colon \underline{
\mathsf {a}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {b}}
\vdash 
{\neg }\underline{
\mathsf {a}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {b}}
\vdash \underline{
\mathsf {b}}
]$

\item $
[
MT
\stackrel{
stmt
}{\rightarrow}
S
\vdash 
\forall \underline{
\mathsf {a}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf {b}}
\colon \underline{
\mathsf {a}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {b}}
\vdash 
{\neg }\underline{
\mathsf {b}}
\vdash 
{\neg }\underline{
\mathsf {a}}
]$
\end{list}


\subsection{Beviser for hj\ae{}lpelemmaer}

\begin{list}{}{
\setlength{\leftmargin}{0em}
\setlength{\itemindent}{0em}
\setlength{\itemsep}{1ex}}

\item $
[
Lem 1.11c
\stackrel{
stmt
}{\rightarrow}
S
\vdash 
\forall \underline{
\mathsf {a}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf {b}}
\colon 
{\neg }\underline{
\mathsf {a}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {a}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {b}}
]$



\item $
[
Lem 1.11c
\stackrel{
proof
}{\rightarrow}
\lambda 
\mathsf {c}
.
\lambda 
\mathsf{x}
.
{\cal P}( 
\lceil 
S
\vdash 
\forall \underline{
\mathsf {a}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf {b}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf {a}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf {b}}
\colon 
{\neg }\underline{
\mathsf {a}}
\vdash 
\forall \underline{
\mathsf {a}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf {b}}
\colon \underline{
\mathsf {a}}
\vdash 
Repetition
\rhd 
{\neg }\underline{
\mathsf {a}}
\gg 
{\neg }\underline{
\mathsf {a}}
; 
A1'
\gg \underline{
\mathsf {a}}
\Rightarrow 
{\neg }\underline{
\mathsf {b}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {a}}
; 
MP
\rhd \underline{
\mathsf {a}}
\Rightarrow 
{\neg }\underline{
\mathsf {b}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {a}}
\rhd \underline{
\mathsf {a}}
\gg 
{\neg }\underline{
\mathsf {b}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {a}}
; 
A1'
\gg 
{\neg }\underline{
\mathsf {a}}
\Rightarrow 
{\neg }\underline{
\mathsf {b}}
\Rightarrow 
{\neg }\underline{
\mathsf {a}}
; 
MP
\rhd 
{\neg }\underline{
\mathsf {a}}
\Rightarrow 
{\neg }\underline{
\mathsf {b}}
\Rightarrow 
{\neg }\underline{
\mathsf {a}}
\rhd 
{\neg }\underline{
\mathsf {a}}
\gg 
{\neg }\underline{
\mathsf {b}}
\Rightarrow 
{\neg }\underline{
\mathsf {a}}
; 
Neg
\rhd 
{\neg }\underline{
\mathsf {b}}
\Rightarrow 
{\neg }\underline{
\mathsf {a}}
\rhd 
{\neg }\underline{
\mathsf {b}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {a}}
\gg \underline{
\mathsf {b}}
; 
Ded
\rhd 
\forall \underline{
\mathsf {a}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf {b}}
\colon \underline{
\mathsf {a}}
\vdash \underline{
\mathsf {b}}
\gg \underline{
\mathsf {a}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {b}}
; 
Ded
\rhd 
\forall \underline{
\mathsf {a}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf {b}}
\colon 
{\neg }\underline{
\mathsf {a}}
\vdash \underline{
\mathsf {a}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {b}}
\gg 
{\neg }\underline{
\mathsf {a}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {a}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {b}}
\rceil 
, 
p_0
, 
\mathsf {c}
)
]$
\item $
[
Cor 1.10a
\stackrel{
stmt
}{\rightarrow}
S
\vdash 
\forall \underline{
\mathsf {a}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf {b}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf {c}}
\colon \underline{
\mathsf {a}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {b}}
\vdash \underline{
\mathsf {b}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {c}}
\vdash \underline{
\mathsf {a}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {c}}
]$

\item $
[
Cor 1.10a
\stackrel{
proof
}{\rightarrow}
\lambda 
\mathsf {c}
.
\lambda 
\mathsf{x}
.
{\cal P}( 
\lceil 
S
\vdash 
\forall \underline{
\mathsf {a}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf {b}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf {c}}
\colon \underline{
\mathsf {a}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {b}}
\vdash \underline{
\mathsf {b}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {c}}
\vdash 
\forall \underline{
\mathsf {a}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf {b}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf {c}}
\colon \underline{
\mathsf {a}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {b}}
\vdash \underline{
\mathsf {b}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {c}}
\vdash \underline{
\mathsf {a}}
\vdash 
MP
\rhd \underline{
\mathsf {a}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {b}}
\rhd \underline{
\mathsf {a}}
\gg \underline{
\mathsf {b}}
; 
MP
\rhd \underline{
\mathsf {b}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {c}}
\rhd \underline{
\mathsf {b}}
\gg \underline{
\mathsf {c}}
; 
Ded
\rhd 
\forall \underline{
\mathsf {a}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf {b}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf {c}}
\colon \underline{
\mathsf {a}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {b}}
\vdash \underline{
\mathsf {b}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {c}}
\vdash \underline{
\mathsf {a}}
\vdash \underline{
\mathsf {c}}
\gg \underline{
\mathsf {a}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {b}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {b}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {c}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {a}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {c}}
; 
MP
\rhd \underline{
\mathsf {a}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {b}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {b}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {c}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {a}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {c}}
\rhd \underline{
\mathsf {a}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {b}}
\gg \underline{
\mathsf {b}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {c}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {a}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {c}}
; 
MP
\rhd \underline{
\mathsf {b}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {c}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {a}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {c}}
\rhd \underline{
\mathsf {b}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {c}}
\gg \underline{
\mathsf {a}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {c}}
\rceil 
, 
p_0
, 
\mathsf {c}
)
]$

\item $
[
Cor 1.10b
\stackrel{
stmt
}{\rightarrow}
S
\vdash 
\forall \underline{
\mathsf {a}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf {b}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf {c}}
\colon \underline{
\mathsf {a}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {b}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {c}}
\vdash \underline{
\mathsf {b}}
\vdash \underline{
\mathsf {a}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {c}}
]$


\item $
[
Cor 1.10b
\stackrel{
proof
}{\rightarrow}
\lambda 
\mathsf {c}
.
\lambda 
\mathsf{x}
.
{\cal P}( 
\lceil 
S
\vdash 
\forall \underline{
\mathsf {a}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf {b}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf {c}}
\colon \underline{
\mathsf {a}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {b}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {c}}
\vdash \underline{
\mathsf {b}}
\vdash 
A2'
\gg \underline{
\mathsf {a}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {b}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {c}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {a}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {b}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {a}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {c}}
; 
MP
\rhd \underline{
\mathsf {a}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {b}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {c}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {a}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {b}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {a}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {c}}
\rhd \underline{
\mathsf {a}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {b}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {c}}
\gg \underline{
\mathsf {a}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {b}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {a}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {c}}
; 
A1'
\gg \underline{
\mathsf {b}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {a}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {b}}
; 
MP
\rhd \underline{
\mathsf {b}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {a}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {b}}
\rhd \underline{
\mathsf {b}}
\gg \underline{
\mathsf {a}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {b}}
; 
MP
\rhd \underline{
\mathsf {a}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {b}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {a}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {c}}
\rhd \underline{
\mathsf {a}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {b}}
\gg \underline{
\mathsf {a}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {c}}
\rceil 
, 
p_0
, 
\mathsf {c}
)
]$


\item $
[
Lem 1.11a
\stackrel{
stmt
}{\rightarrow}
S
\vdash 
\forall \underline{
\mathsf {a}}
\colon 
{\neg }
{\neg }\underline{
\mathsf {a}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {a}}
]$


\item $
[
Lem 1.11a
\stackrel{
proof
}{\rightarrow}
\lambda 
\mathsf {c}
.
\lambda 
\mathsf{x}
.
{\cal P}( 
\lceil 
S
\vdash 
\forall \underline{
\mathsf {a}}
\colon 
Neg'
\gg 
{\neg }\underline{
\mathsf {a}}
\Rightarrow 
{\neg }
{\neg }\underline{
\mathsf {a}}
\Rightarrow 
{\neg }\underline{
\mathsf {a}}
\Rightarrow 
{\neg }\underline{
\mathsf {a}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {a}}
; 
Repetition'
\gg 
{\neg }\underline{
\mathsf {a}}
\Rightarrow 
{\neg }\underline{
\mathsf {a}}
; 
Cor 1.10b
\rhd 
{\neg }\underline{
\mathsf {a}}
\Rightarrow 
{\neg }
{\neg }\underline{
\mathsf {a}}
\Rightarrow 
{\neg }\underline{
\mathsf {a}}
\Rightarrow 
{\neg }\underline{
\mathsf {a}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {a}}
\rhd 
{\neg }\underline{
\mathsf {a}}
\Rightarrow 
{\neg }\underline{
\mathsf {a}}
\gg 
{\neg }\underline{
\mathsf {a}}
\Rightarrow 
{\neg }
{\neg }\underline{
\mathsf {a}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {a}}
; 
A1'
\gg 
{\neg }
{\neg }\underline{
\mathsf {a}}
\Rightarrow 
{\neg }\underline{
\mathsf {a}}
\Rightarrow 
{\neg }
{\neg }\underline{
\mathsf {a}}
; 
Cor 1.10a
\rhd 
{\neg }
{\neg }\underline{
\mathsf {a}}
\Rightarrow 
{\neg }\underline{
\mathsf {a}}
\Rightarrow 
{\neg }
{\neg }\underline{
\mathsf {a}}
\rhd 
{\neg }\underline{
\mathsf {a}}
\Rightarrow 
{\neg }
{\neg }\underline{
\mathsf {a}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {a}}
\gg 
{\neg }
{\neg }\underline{
\mathsf {a}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {a}}
\rceil 
, 
p_0
, 
\mathsf {c}
)
]$

\item $
[
Lem 1.11b
\stackrel{
stmt
}{\rightarrow}
S
\vdash 
\forall \underline{
\mathsf {a}}
\colon \underline{
\mathsf {a}}
\Rightarrow 
{\neg }
{\neg }\underline{
\mathsf {a}}
]$


\item $
[
Lem 1.11b
\stackrel{
proof
}{\rightarrow}
\lambda 
\mathsf {c}
.
\lambda 
\mathsf{x}
.
{\cal P}( 
\lceil 
S
\vdash 
\forall \underline{
\mathsf {a}}
\colon 
Neg'
\gg 
{\neg }
{\neg }
{\neg }\underline{
\mathsf {a}}
\Rightarrow 
{\neg }\underline{
\mathsf {a}}
\Rightarrow 
{\neg }
{\neg }
{\neg }\underline{
\mathsf {a}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {a}}
\Rightarrow 
{\neg }
{\neg }\underline{
\mathsf {a}}
; 
Lem 1.11a
\gg 
{\neg }
{\neg }
{\neg }\underline{
\mathsf {a}}
\Rightarrow 
{\neg }\underline{
\mathsf {a}}
; 
MP
\rhd 
{\neg }
{\neg }
{\neg }\underline{
\mathsf {a}}
\Rightarrow 
{\neg }\underline{
\mathsf {a}}
\Rightarrow 
{\neg }
{\neg }
{\neg }\underline{
\mathsf {a}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {a}}
\Rightarrow 
{\neg }
{\neg }\underline{
\mathsf {a}}
\rhd 
{\neg }
{\neg }
{\neg }\underline{
\mathsf {a}}
\Rightarrow 
{\neg }\underline{
\mathsf {a}}
\gg 
{\neg }
{\neg }
{\neg }\underline{
\mathsf {a}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {a}}
\Rightarrow 
{\neg }
{\neg }\underline{
\mathsf {a}}
; 
A1'
\gg \underline{
\mathsf {a}}
\Rightarrow 
{\neg }
{\neg }
{\neg }\underline{
\mathsf {a}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {a}}
; 
Cor 1.10a
\rhd \underline{
\mathsf {a}}
\Rightarrow 
{\neg }
{\neg }
{\neg }\underline{
\mathsf {a}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {a}}
\rhd 
{\neg }
{\neg }
{\neg }\underline{
\mathsf {a}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {a}}
\Rightarrow 
{\neg }
{\neg }\underline{
\mathsf {a}}
\gg \underline{
\mathsf {a}}
\Rightarrow 
{\neg }
{\neg }\underline{
\mathsf {a}}
\rceil 
, 
p_0
, 
\mathsf {c}
)
]$

\item $
[
Prop 3.2c'
\stackrel{
stmt
}{\rightarrow}
S
\vdash 
\forall \underline{
\mathsf {a}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf {b}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf {c}}
\colon \underline{
\mathsf {a}}
= \underline{
\mathsf {b}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {b}}
= \underline{
\mathsf {c}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {a}}
= \underline{
\mathsf {c}}
]$

\item $
[
Prop 3.2c'
\stackrel{
proof
}{\rightarrow}
\lambda 
\mathsf {c}
.
\lambda 
\mathsf{x}
.
{\cal P}( 
\lceil 
S
\vdash 
\forall \underline{
\mathsf {a}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf {b}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf {c}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf {a}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf {b}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf {c}}
\colon \underline{
\mathsf {a}}
= \underline{
\mathsf {b}}
\vdash 
\forall \underline{
\mathsf {a}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf {b}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf {c}}
\colon \underline{
\mathsf {b}}
= \underline{
\mathsf {c}}
\vdash 
Prop\ 3.2c
\rhd \underline{
\mathsf {a}}
= \underline{
\mathsf {b}}
\rhd \underline{
\mathsf {b}}
= \underline{
\mathsf {c}}
\gg \underline{
\mathsf {a}}
= \underline{
\mathsf {c}}
; 
Ded
\rhd 
\forall \underline{
\mathsf {a}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf {b}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf {c}}
\colon \underline{
\mathsf {b}}
= \underline{
\mathsf {c}}
\vdash \underline{
\mathsf {a}}
= \underline{
\mathsf {c}}
\gg \underline{
\mathsf {b}}
= \underline{
\mathsf {c}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {a}}
= \underline{
\mathsf {c}}
; 
Ded
\rhd 
\forall \underline{
\mathsf {a}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf {b}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf {c}}
\colon \underline{
\mathsf {a}}
= \underline{
\mathsf {b}}
\vdash \underline{
\mathsf {b}}
= \underline{
\mathsf {c}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {a}}
= \underline{
\mathsf {c}}
\gg \underline{
\mathsf {a}}
= \underline{
\mathsf {b}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {b}}
= \underline{
\mathsf {c}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {a}}
= \underline{
\mathsf {c}}
\rceil 
, 
p_0
, 
\mathsf {c}
)
]$
\item $
[
S1''
\stackrel{
stmt
}{\rightarrow}
S
\vdash 
\forall \underline{
\mathsf {a}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf {b}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf {c}}
\colon \underline{
\mathsf {a}}
= \underline{
\mathsf {b}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {a}}
= \underline{
\mathsf {c}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {b}}
= \underline{
\mathsf {c}}
]$

\item $
[
S1''
\stackrel{
proof
}{\rightarrow}
\lambda 
\mathsf {c}
.
\lambda 
\mathsf{x}
.
{\cal P}( 
\lceil 
S
\vdash 
\forall \underline{
\mathsf {a}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf {b}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf {c}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf {a}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf {b}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf {c}}
\colon \underline{
\mathsf {a}}
= \underline{
\mathsf {b}}
\vdash 
\forall \underline{
\mathsf {a}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf {b}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf {c}}
\colon \underline{
\mathsf {a}}
= \underline{
\mathsf {c}}
\vdash 
S1
\rhd \underline{
\mathsf {a}}
= \underline{
\mathsf {b}}
\rhd \underline{
\mathsf {a}}
= \underline{
\mathsf {c}}
\gg \underline{
\mathsf {b}}
= \underline{
\mathsf {c}}
; 
Ded
\rhd 
\forall \underline{
\mathsf {a}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf {b}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf {c}}
\colon \underline{
\mathsf {a}}
= \underline{
\mathsf {c}}
\vdash \underline{
\mathsf {b}}
= \underline{
\mathsf {c}}
\gg \underline{
\mathsf {a}}
= \underline{
\mathsf {c}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {b}}
= \underline{
\mathsf {c}}
; 
Ded
\rhd 
\forall \underline{
\mathsf {a}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf {b}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf {c}}
\colon \underline{
\mathsf {a}}
= \underline{
\mathsf {b}}
\vdash \underline{
\mathsf {a}}
= \underline{
\mathsf {c}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {b}}
= \underline{
\mathsf {c}}
\gg \underline{
\mathsf {a}}
= \underline{
\mathsf {b}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {a}}
= \underline{
\mathsf {c}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {b}}
= \underline{
\mathsf {c}}
\rceil 
, 
p_0
, 
\mathsf {c}
)
]$

\item $
[
Neg'
\stackrel{
stmt
}{\rightarrow}
S
\vdash 
\forall \underline{
\mathsf {a}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf {b}}
\colon 
{\neg }\underline{
\mathsf {b}}
\Rightarrow 
{\neg }\underline{
\mathsf {a}}
\Rightarrow 
{\neg }\underline{
\mathsf {b}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {a}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {b}}
]$ 


\item $
[
Neg'
\stackrel{
proof
}{\rightarrow}
\lambda 
\mathsf {c}
.
\lambda 
\mathsf{x}
.
{\cal P}( 
\lceil 
S
\vdash 
\forall \underline{
\mathsf {a}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf {b}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf {a}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf {b}}
\colon 
{\neg }\underline{
\mathsf {b}}
\Rightarrow 
{\neg }\underline{
\mathsf {a}}
\vdash 
\forall \underline{
\mathsf {a}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf {b}}
\colon 
{\neg }\underline{
\mathsf {b}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {a}}
\vdash 
Neg
\rhd 
{\neg }\underline{
\mathsf {b}}
\Rightarrow 
{\neg }\underline{
\mathsf {a}}
\rhd 
{\neg }\underline{
\mathsf {b}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {a}}
\gg \underline{
\mathsf {b}}
; 
Ded
\rhd 
\forall \underline{
\mathsf {a}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf {b}}
\colon 
{\neg }\underline{
\mathsf {b}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {a}}
\vdash \underline{
\mathsf {b}}
\gg 
{\neg }\underline{
\mathsf {b}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {a}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {b}}
; 
Ded
\rhd 
\forall \underline{
\mathsf {a}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf {b}}
\colon 
{\neg }\underline{
\mathsf {b}}
\Rightarrow 
{\neg }\underline{
\mathsf {a}}
\vdash 
{\neg }\underline{
\mathsf {b}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {a}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {b}}
\gg 
{\neg }\underline{
\mathsf {b}}
\Rightarrow 
{\neg }\underline{
\mathsf {a}}
\Rightarrow 
{\neg }\underline{
\mathsf {b}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {a}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {b}}
\rceil 
, 
p_0
, 
\mathsf {c}
)
]$
\item $
[
Repetition'
\stackrel{
stmt
}{\rightarrow}
S
\vdash 
\forall \underline{
\mathsf {a}}
\colon \underline{
\mathsf {a}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {a}}
]$


\item $
[
Repetition'
\stackrel{
proof
}{\rightarrow}
\lambda 
\mathsf {c}
.
\lambda 
\mathsf{x}
.
{\cal P}( 
\lceil 
S
\vdash 
\forall \underline{
\mathsf {a}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf {a}}
\colon \underline{
\mathsf {a}}
\vdash 
Repetition
\rhd \underline{
\mathsf {a}}
\gg \underline{
\mathsf {a}}
; 
Ded
\rhd 
\forall \underline{
\mathsf {a}}
\colon \underline{
\mathsf {a}}
\vdash \underline{
\mathsf {a}}
\gg \underline{
\mathsf {a}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {a}}
\rceil 
, 
p_0
, 
\mathsf {c}
)
]$
\item $
[
H10
\stackrel{
stmt
}{\rightarrow}
S
\vdash 
\forall \underline{
\mathsf {a}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf {b}}
\colon 
{\neg }\underline{
\mathsf {b}}
= \underline{
\mathsf {a}}
\vdash 
{\neg }\underline{
\mathsf {a}}
= \underline{
\mathsf {b}}
]$

\item $
[
H10
\stackrel{
proof
}{\rightarrow}
\lambda 
\mathsf {c}
.
\lambda 
\mathsf{x}
.
{\cal P}( 
\lceil 
S
\vdash 
\forall \underline{
\mathsf {a}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf {b}}
\colon 
{\neg }\underline{
\mathsf {b}}
= \underline{
\mathsf {a}}
\vdash 
Prop 3.2b'
\gg \underline{
\mathsf {a}}
= \underline{
\mathsf {b}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {b}}
= \underline{
\mathsf {a}}
; 
Lem 1.11e
\gg \underline{
\mathsf {a}}
= \underline{
\mathsf {b}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {b}}
= \underline{
\mathsf {a}}
\Rightarrow 
{\neg }\underline{
\mathsf {b}}
= \underline{
\mathsf {a}}
\Rightarrow 
{\neg }\underline{
\mathsf {a}}
= \underline{
\mathsf {b}}
; 
MP
\rhd \underline{
\mathsf {a}}
= \underline{
\mathsf {b}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {b}}
= \underline{
\mathsf {a}}
\Rightarrow 
{\neg }\underline{
\mathsf {b}}
= \underline{
\mathsf {a}}
\Rightarrow 
{\neg }\underline{
\mathsf {a}}
= \underline{
\mathsf {b}}
\rhd \underline{
\mathsf {a}}
= \underline{
\mathsf {b}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {b}}
= \underline{
\mathsf {a}}
\gg 
{\neg }\underline{
\mathsf {b}}
= \underline{
\mathsf {a}}
\Rightarrow 
{\neg }\underline{
\mathsf {a}}
= \underline{
\mathsf {b}}
; 
MP
\rhd 
{\neg }\underline{
\mathsf {b}}
= \underline{
\mathsf {a}}
\Rightarrow 
{\neg }\underline{
\mathsf {a}}
= \underline{
\mathsf {b}}
\rhd 
{\neg }\underline{
\mathsf {b}}
= \underline{
\mathsf {a}}
\gg 
{\neg }\underline{
\mathsf {a}}
= \underline{
\mathsf {b}}
\rceil 
, 
p_0
, 
\mathsf {c}
)
]$

\item $
[
MT
\stackrel{
stmt
}{\rightarrow}
S
\vdash 
\forall \underline{
\mathsf {a}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf {b}}
\colon \underline{
\mathsf {a}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {b}}
\vdash 
{\neg }\underline{
\mathsf {b}}
\vdash 
{\neg }\underline{
\mathsf {a}}
]$

\item $
[
MT
\stackrel{
proof
}{\rightarrow}
\lambda 
\mathsf {c}
.
\lambda 
\mathsf{x}
.
{\cal P}( 
\lceil 
S
\vdash 
\forall \underline{
\mathsf {a}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf {b}}
\colon \underline{
\mathsf {a}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {b}}
\vdash 
{\neg }\underline{
\mathsf {b}}
\vdash 
Lem 1.11a
\gg 
{\neg }
{\neg }\underline{
\mathsf {a}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {a}}
; 
Cor 1.10a
\rhd 
{\neg }
{\neg }\underline{
\mathsf {a}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {a}}
\rhd \underline{
\mathsf {a}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {b}}
\gg 
{\neg }
{\neg }\underline{
\mathsf {a}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {b}}
; 
\forall \underline{
\mathsf {a}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf {b}}
\colon 
{\neg }
{\neg }\underline{
\mathsf {a}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {b}}
\vdash 
{\neg }\underline{
\mathsf {b}}
\vdash 
A1'
\gg 
{\neg }\underline{
\mathsf {b}}
\Rightarrow 
{\neg }
{\neg }\underline{
\mathsf {a}}
\Rightarrow 
{\neg }\underline{
\mathsf {b}}
; 
MP
\rhd 
{\neg }\underline{
\mathsf {b}}
\Rightarrow 
{\neg }
{\neg }\underline{
\mathsf {a}}
\Rightarrow 
{\neg }\underline{
\mathsf {b}}
\rhd 
{\neg }\underline{
\mathsf {b}}
\gg 
{\neg }
{\neg }\underline{
\mathsf {a}}
\Rightarrow 
{\neg }\underline{
\mathsf {b}}
; 
Neg
\rhd 
{\neg }
{\neg }\underline{
\mathsf {a}}
\Rightarrow 
{\neg }\underline{
\mathsf {b}}
\rhd 
{\neg }
{\neg }\underline{
\mathsf {a}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {b}}
\gg 
{\neg }\underline{
\mathsf {a}}
; 
Ded
\rhd 
\forall \underline{
\mathsf {a}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf {b}}
\colon 
{\neg }
{\neg }\underline{
\mathsf {a}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {b}}
\vdash 
{\neg }\underline{
\mathsf {b}}
\vdash 
{\neg }\underline{
\mathsf {a}}
\gg 
{\neg }
{\neg }\underline{
\mathsf {a}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {b}}
\Rightarrow 
{\neg }\underline{
\mathsf {b}}
\Rightarrow 
{\neg }\underline{
\mathsf {a}}
; 
MP
\rhd 
{\neg }
{\neg }\underline{
\mathsf {a}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {b}}
\Rightarrow 
{\neg }\underline{
\mathsf {b}}
\Rightarrow 
{\neg }\underline{
\mathsf {a}}
\rhd 
{\neg }
{\neg }\underline{
\mathsf {a}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {b}}
\gg 
{\neg }\underline{
\mathsf {b}}
\Rightarrow 
{\neg }\underline{
\mathsf {a}}
; 
MP
\rhd 
{\neg }\underline{
\mathsf {b}}
\Rightarrow 
{\neg }\underline{
\mathsf {a}}
\rhd 
{\neg }\underline{
\mathsf {b}}
\gg 
{\neg }\underline{
\mathsf {a}}
\rceil 
, 
p_0
, 
\mathsf {c}
)
]$
\item $
[
Lem 1.11e
\stackrel{
stmt
}{\rightarrow}
S
\vdash 
\forall \underline{
\mathsf {a}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf {b}}
\colon \underline{
\mathsf {a}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {b}}
\Rightarrow 
{\neg }\underline{
\mathsf {b}}
\Rightarrow 
{\neg }\underline{
\mathsf {a}}
]$



\item $
[
Lem 1.11e
\stackrel{
proof
}{\rightarrow}
\lambda 
\mathsf {c}
.
\lambda 
\mathsf{x}
.
{\cal P}( 
\lceil 
S
\vdash 
\forall \underline{
\mathsf {a}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf {b}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf {a}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf {b}}
\colon \underline{
\mathsf {a}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {b}}
\vdash 
Lem 1.11a
\gg 
{\neg }
{\neg }\underline{
\mathsf {a}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {a}}
; 
Cor 1.10a
\rhd 
{\neg }
{\neg }\underline{
\mathsf {a}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {a}}
\rhd \underline{
\mathsf {a}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {b}}
\gg 
{\neg }
{\neg }\underline{
\mathsf {a}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {b}}
; 
Lem 1.11b
\gg \underline{
\mathsf {b}}
\Rightarrow 
{\neg }
{\neg }\underline{
\mathsf {b}}
; 
Cor 1.10a
\rhd 
{\neg }
{\neg }\underline{
\mathsf {a}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {b}}
\rhd \underline{
\mathsf {b}}
\Rightarrow 
{\neg }
{\neg }\underline{
\mathsf {b}}
\gg 
{\neg }
{\neg }\underline{
\mathsf {a}}
\Rightarrow 
{\neg }
{\neg }\underline{
\mathsf {b}}
; 
Lem 1.11d
\gg 
{\neg }
{\neg }\underline{
\mathsf {a}}
\Rightarrow 
{\neg }
{\neg }\underline{
\mathsf {b}}
\Rightarrow 
{\neg }\underline{
\mathsf {b}}
\Rightarrow 
{\neg }\underline{
\mathsf {a}}
; 
MP
\rhd 
{\neg }
{\neg }\underline{
\mathsf {a}}
\Rightarrow 
{\neg }
{\neg }\underline{
\mathsf {b}}
\Rightarrow 
{\neg }\underline{
\mathsf {b}}
\Rightarrow 
{\neg }\underline{
\mathsf {a}}
\rhd 
{\neg }
{\neg }\underline{
\mathsf {a}}
\Rightarrow 
{\neg }
{\neg }\underline{
\mathsf {b}}
\gg 
{\neg }\underline{
\mathsf {b}}
\Rightarrow 
{\neg }\underline{
\mathsf {a}}
; 
Ded
\rhd 
\forall \underline{
\mathsf {a}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf {b}}
\colon \underline{
\mathsf {a}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {b}}
\vdash 
{\neg }\underline{
\mathsf {b}}
\Rightarrow 
{\neg }\underline{
\mathsf {a}}
\gg \underline{
\mathsf {a}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {b}}
\Rightarrow 
{\neg }\underline{
\mathsf {b}}
\Rightarrow 
{\neg }\underline{
\mathsf {a}}
\rceil 
, 
p_0
, 
\mathsf {c}
)
]$
\item $
[
Lem 1.11d
\stackrel{
stmt
}{\rightarrow}
S
\vdash 
\forall \underline{
\mathsf {a}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf {b}}
\colon 
{\neg }\underline{
\mathsf {b}}
\Rightarrow 
{\neg }\underline{
\mathsf {a}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {a}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {b}}
]$


\item $
[
Lem 1.11d
\stackrel{
proof
}{\rightarrow}
\lambda 
\mathsf {c}
.
\lambda 
\mathsf{x}
.
{\cal P}( 
\lceil 
S
\vdash 
\forall \underline{
\mathsf {a}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf {b}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf {a}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf {b}}
\colon 
{\neg }\underline{
\mathsf {b}}
\Rightarrow 
{\neg }\underline{
\mathsf {a}}
\vdash 
Neg'
\gg 
{\neg }\underline{
\mathsf {b}}
\Rightarrow 
{\neg }\underline{
\mathsf {a}}
\Rightarrow 
{\neg }\underline{
\mathsf {b}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {a}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {b}}
; 
A1'
\gg \underline{
\mathsf {a}}
\Rightarrow 
{\neg }\underline{
\mathsf {b}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {a}}
; 
MP
\rhd 
{\neg }\underline{
\mathsf {b}}
\Rightarrow 
{\neg }\underline{
\mathsf {a}}
\Rightarrow 
{\neg }\underline{
\mathsf {b}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {a}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {b}}
\rhd 
{\neg }\underline{
\mathsf {b}}
\Rightarrow 
{\neg }\underline{
\mathsf {a}}
\gg 
{\neg }\underline{
\mathsf {b}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {a}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {b}}
; 
Cor 1.10a
\rhd \underline{
\mathsf {a}}
\Rightarrow 
{\neg }\underline{
\mathsf {b}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {a}}
\rhd 
{\neg }\underline{
\mathsf {b}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {a}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {b}}
\gg \underline{
\mathsf {a}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {b}}
; 
Ded
\rhd 
\forall \underline{
\mathsf {a}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf {b}}
\colon 
{\neg }\underline{
\mathsf {b}}
\Rightarrow 
{\neg }\underline{
\mathsf {a}}
\vdash \underline{
\mathsf {a}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {b}}
\gg 
{\neg }\underline{
\mathsf {b}}
\Rightarrow 
{\neg }\underline{
\mathsf {a}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {a}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {b}}
\rceil 
, 
p_0
, 
\mathsf {c}
)
]$
\item $
[
Prop 3.2b'
\stackrel{
stmt
}{\rightarrow}
S
\vdash 
\forall \underline{
\mathsf {a}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf {b}}
\colon \underline{
\mathsf {a}}
= \underline{
\mathsf {b}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {b}}
= \underline{
\mathsf {a}}
]$

\item $
[
Prop 3.2b'
\stackrel{
proof
}{\rightarrow}
\lambda 
\mathsf {c}
.
\lambda 
\mathsf{x}
.
{\cal P}( 
\lceil 
S
\vdash 
\forall \underline{
\mathsf {a}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf {b}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf {a}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf {b}}
\colon \underline{
\mathsf {a}}
= \underline{
\mathsf {b}}
\vdash 
Prop\ 3.2b
\rhd \underline{
\mathsf {a}}
= \underline{
\mathsf {b}}
\gg \underline{
\mathsf {b}}
= \underline{
\mathsf {a}}
; 
Ded
\rhd 
\forall \underline{
\mathsf {a}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf {b}}
\colon \underline{
\mathsf {a}}
= \underline{
\mathsf {b}}
\vdash \underline{
\mathsf {b}}
= \underline{
\mathsf {a}}
\gg \underline{
\mathsf {a}}
= \underline{
\mathsf {b}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {b}}
= \underline{
\mathsf {a}}
\rceil 
, 
p_0
, 
\mathsf {c}
)
]$
\item $
[
Lem 1.11g
\stackrel{
stmt
}{\rightarrow}
S
\vdash 
\forall \underline{
\mathsf {a}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf {b}}
\colon \underline{
\mathsf {a}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {b}}
\vdash 
{\neg }\underline{
\mathsf {a}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {b}}
\vdash \underline{
\mathsf {b}}
]$

\item $
[
Lem 1.11g
\stackrel{
proof
}{\rightarrow}
\lambda 
\mathsf {c}
.
\lambda 
\mathsf{x}
.
{\cal P}( 
\lceil 
S
\vdash 
\forall \underline{
\mathsf {a}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf {b}}
\colon \underline{
\mathsf {a}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {b}}
\vdash 
{\neg }\underline{
\mathsf {a}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {b}}
\vdash 
Lem 1.11e
\gg \underline{
\mathsf {a}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {b}}
\Rightarrow 
{\neg }\underline{
\mathsf {b}}
\Rightarrow 
{\neg }\underline{
\mathsf {a}}
; 
MP
\rhd \underline{
\mathsf {a}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {b}}
\Rightarrow 
{\neg }\underline{
\mathsf {b}}
\Rightarrow 
{\neg }\underline{
\mathsf {a}}
\rhd \underline{
\mathsf {a}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {b}}
\gg 
{\neg }\underline{
\mathsf {b}}
\Rightarrow 
{\neg }\underline{
\mathsf {a}}
; 
Lem 1.11e
\gg 
{\neg }\underline{
\mathsf {a}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {b}}
\Rightarrow 
{\neg }\underline{
\mathsf {b}}
\Rightarrow 
{\neg }
{\neg }\underline{
\mathsf {a}}
; 
MP
\rhd 
{\neg }\underline{
\mathsf {a}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {b}}
\Rightarrow 
{\neg }\underline{
\mathsf {b}}
\Rightarrow 
{\neg }
{\neg }\underline{
\mathsf {a}}
\rhd 
{\neg }\underline{
\mathsf {a}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {b}}
\gg 
{\neg }\underline{
\mathsf {b}}
\Rightarrow 
{\neg }
{\neg }\underline{
\mathsf {a}}
; 
Neg
\rhd 
{\neg }\underline{
\mathsf {b}}
\Rightarrow 
{\neg }
{\neg }\underline{
\mathsf {a}}
\rhd 
{\neg }\underline{
\mathsf {b}}
\Rightarrow 
{\neg }\underline{
\mathsf {a}}
\gg \underline{
\mathsf {b}}
\rceil 
, 
p_0
, 
\mathsf {c}
)
]$

\item $
[
H11
\stackrel{
stmt
}{\rightarrow}
S
\vdash 
\forall \underline{
\mathsf {a}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf {b}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf {c}}
\colon 
{\neg }\underline{
\mathsf {a}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {b}}
\vdash \underline{
\mathsf {a}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {c}}
\vdash \underline{
\mathsf {b}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {c}}
\vdash \underline{
\mathsf {c}}
]$


\item $
[
H11
\stackrel{
proof
}{\rightarrow}
\lambda 
\mathsf {c}
.
\lambda 
\mathsf{x}
.
{\cal P}( 
\lceil 
S
\vdash 
\forall \underline{
\mathsf {a}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf {b}}
\colon 
\forall \underline{
\mathsf {c}}
\colon 
{\neg }\underline{
\mathsf {a}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {b}}
\vdash \underline{
\mathsf {a}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {c}}
\vdash \underline{
\mathsf {b}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {c}}
\vdash 
Cor 1.10a
\rhd 
{\neg }\underline{
\mathsf {a}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {b}}
\rhd \underline{
\mathsf {b}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {c}}
\gg 
{\neg }\underline{
\mathsf {a}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {c}}
; 
Lem 1.11g
\rhd \underline{
\mathsf {a}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {c}}
\rhd 
{\neg }\underline{
\mathsf {a}}
\Rightarrow \underline{
\mathsf {c}}
\gg \underline{
\mathsf {c}}
\rceil 
, 
p_0
, 
\mathsf {c}
)
]$

\end{list}
\newpage
%------------------------------------------------------------------------------
\bibliographystyle{alpha}
\bibliography{./page}
%------------------------------------------------------------------------------
\everymath{}
\everydisplay{}

\end{document}
